Chow 호몰로지와 천 특성류

서론

이 장에서는 Chow 호몰로지 군과, 벡터 다발의 천 특성류를 작용적 Chow 코호몰로지 군의 원소로 구성하는 것을 논한다(계수는 모두 \(\mathbf{Z}\)에서 취한다).

먼저 핵심 보조정리 0EAX의 가능한 한 짧은 대수적 증명을 제시한다. 우선 에르브랑 몫을 정의하고 (Section 02PF), 몇 가지 경우에 이를 계산한다 (Section 0EAA). 이어서 수정 뒤에 적절한 분해가 존재함을 보이는 간단한 대수 보조정리들을 증명한다 (Section 0EAD). 이를 사용하여 Section 0EAH에서 tame 기호를 구성하고 정의한다. 핵심 보조정리의 증명에는 tame 기호의 가장 기본적인 성질만 필요하며, 그 증명은 Section 0EAU에서 제시한다.

다음으로 Section 02QK에서 이 장의 나머지 부분에 사용할 기본 설정을 도입한다. 내용을 조금 더 도전적으로 만들기 위해 보통보다 다소 일반적인 경우를 다루기로 한다. 즉 스킴 \(X\)가, 보편 사슬형이고 차원함수가 주어진 고정된 국소 뇌터 기저 스킴 위에서 국소 유한형이라고 가정한다. 이 가정이면 Chow 호몰로지 군 \(\CH_*(X)\)와 그 위에서 천 특성류와의 cap 곱이 주는 작용을 정의할 수 있다. 이는 같은 기저 위에서 국소 유한형인 대수적 스택에 대해서도 이들을 정의할 수 있어야 함을 시사한다.

그다음에는 [F]의 처음 몇 장을 따라 사이클, 평탄 당김, 고유 밂, 유리 동치를 정의한다. 다만 관련 사이클의 지지에 관해서는 덜 정밀하게 다룬다.

Section 0AYB에서 위 핵심 보조정리를 사용하여 기본적인 가환 관계를 증명한다는 점에서 [F]의 서술과 갈라진다. 이를 통해 가역층과의 교차 연산이 유리 동치에 내려가며 가환임을 증명한다. Section 02TG를 보라. 핵심 보조정리를 한 번 더 적용하면 유효 카르티에 약수의 기신 사상이 유리 동치에 내려감을 얻는다. Section 02TK을 보라. 이를 증명한 뒤에는 벡터 다발의 천 특성류를 정의하고, 가법성과 분할 원리를 증명하며, 천 지표와 토드 특성류를 도입하고, 그로텐디크–리만–로흐 정리를 진술하는 일이 곧바로 이루어진다.

두 개의 부록이 있다. 부록 A(Section 0EAZ)에서는 tame 기호의 다른 (더 긴) 구성과 이에 대응하는 핵심 보조정리의 증명을 논한다. 마지막으로 부록 B(Section 0AYD)에서는 연접층의 \(K\)-이론과의 관계를 간략히 논하고 몇 가지 블로업 보조정리를 다룬다. 자세한 내용은 각 부록의 서론을 볼 것을 권한다.

다음 장에서는 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄러운 사영 다양체에 대한 Chow 군 \(\CH_*(X)\)로 돌아간다. [Samuel], [ChevalleyI], [ChevalleyII]에서와 같은 이동 보조정리와 Serre의 Tor-공식 ([Serre_local_algebra] 또는 [Serre_algebre_locale] 참조)을 사용하여 \(\CH_*(X)\) 위에 환 구조를 정의한다. Intersection Theory, Section 0AZ7 이하를 보라.

주기 복합체와 에르브랑 몫

물론 주기 복합체에는 매우 일반적인 개념이 있다. 사상들의 주기성을 요구할 수도 있고 대상들의 주기성을 요구할 수도 있다. 필요한 때에 그러한 개념들을 여기에 추가할 것이다. 지금은 다음 경우들만 필요하다.

정의

\(R\)을 환이라 하자.

1. \(R\) 위의 \(2\)-주기 복합체란 \(R\)-모듈 \(M\), \(N\)과 \(R\)-모듈 사상 \(\varphi : M \to N\), \(\psi : N \to M\)으로 이루어진 사중항 \((M, N, \varphi, \psi)\)로서 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r] & \ldots }\] 가 복합체인 것이다. 이때 이 복합체의 코호몰로지 모듈을 다음 \(R\)-모듈로 정의한다. \[H^0(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\varphi)/\Im(\psi) \quad\text{and}\quad H^1(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\psi)/\Im(\varphi).\] 코호몰로지 군이 영이면 이 \(2\)-주기 복합체가 완전하다고 한다.

2. \(R\) 위의 \((2, 1)\)-주기 복합체란 \(R\)-모듈 \(M\)과 \(R\)-모듈 사상 \(\varphi : M \to M\), \(\psi : M \to M\)으로 이루어진 삼중항 \((M, \varphi, \psi)\)로서 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r] & \ldots }\] 가 복합체인 것이다. 이는 \(2\)-주기 복합체의 특수한 경우이므로 그 코호몰로지 모듈 \(H^0(M, \varphi, \psi)\), \(H^1(M, \varphi, \psi)\)와 완전성의 개념이 주어진다.

이하에서는 \(2\)-주기 복합체에 대해 증명한 모든 결과를 별도의 언급 없이 \((2, 1)\)-주기 복합체에 사용한다. \(2\)-주기 복합체들의 모임은 사상 \((f, g) : (M, N, \varphi, \psi) \to (M', N', \varphi', \psi')\)을 \(f : M \to M'\)와 \(g : N \to N'\)의 쌍으로 취하여 범주를 이룸이 분명하다. 여기서 \(\varphi' \circ f = g \circ \varphi\)이고 \(\psi' \circ g = f \circ \psi\)이다. Homology, Lemma 010Y에서와 같은 핵과 여핵을 갖는 아벨 범주를 얻는다.

정의

\((M, N, \varphi, \psi)\)를 환 \(R\) 위의 \(2\)-주기 복합체라 하고 그 코호몰로지 모듈들의 길이가 유한하다고 하자. 이 경우 \((M, N, \varphi, \psi)\)의 중복도를 정수 \[e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(H^0(M, N, \varphi, \psi)) - \text{length}_R(H^1(M, N, \varphi, \psi))\] 로 정의한다. \((2, 1)\)-주기 복합체 \((M, \varphi, \psi)\)의 경우에는 이를 \(e_R(M, \varphi, \psi)\)로 나타내고 때로는 (가법적) 에르브랑 몫이라 부른다.

\((M, \varphi, \psi)\)의 코호몰로지 군들이 유한 아벨 군이면 \[q(M, \varphi, \psi) = \frac{\# H^0(M, \varphi, \psi)}{\# H^1(M, \varphi, \psi)}\] 를 (승법적) 에르브랑 몫이라 부르는 것이 관례이다. 다시 말해 승법적 에르브랑 몫은 \(H^0\)의 원소 수를 \(H^1\)의 원소 수로 나눈 값이다. \(R\)이 국소환이고 \(R\)의 잉여체가 \(q\)개의 원소를 갖는 유한체이면 \[q(M, \varphi, \psi) = q^{e_R(M, \varphi, \psi)}\] 임을 알 수 있다.

환 \(R\) 위의 \((2, 1)\)-주기 복합체의 한 예는 \(M\)이 \(R\)-모듈이고 \(\psi\)가 \(R\)-선형 사상일 때의 삼중항 \((M, 0, \psi)\)이다. \(\psi\)의 핵과 여핵의 길이가 유한하면 [0EA6]\[\begin{equation} e_R(M, 0, \psi) = \text{length}_R(\Coker(\psi)) - \text{length}_R(\Ker(\psi)) \end{equation}\] 을 얻는다. 이 표기들에 관한 필수적인 보조정리들을 진술하고 증명하자.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 다음과 같은 \(2\)-주기 복합체의 짧은 완전열이 주어졌다고 하자. \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] 셋 가운데 둘의 코호몰로지 모듈 길이가 유한하면 나머지 하나도 그러하며 \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\] 이다.

증명

\(A = (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1)\), \(B = (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2)\), \(C = (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3)\)로 줄여 쓰자. 긴 완전 코호몰로지 열 \[\ldots \to H^1(C) \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to H^1(C) \to \ldots\] 을 얻는다. 따라서 유한 완전열 \[0 \to I \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to K \to 0\] 과 여과 \(0 \to K \to H^1(C) \to I \to 0\)을 얻는다. 길이 함수의 가법성(Algebra, Lemma 00IV)으로부터 결론이 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((M, N, \varphi, \psi)\)가 \(2\)-주기 복합체이고 \(M\), \(N\)의 길이가 유한하면 \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\)이다. 특히 \((M, \varphi, \psi)\)가 \((2, 1)\)-주기 복합체이고 \(M\)의 길이가 유한하면 \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\)이다.

증명

\(M\), \(N\)의 길이가 유한한 \(2\)-주기 복합체들의 범주에서 양 “\(\text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\)”은 짧은 완전열에 대해 가법적이다(정확한 명제는 독자에게 맡긴다). 짧은 완전열 \[0 \to (M, \Im(\varphi), \varphi, 0) \to (M, N, \varphi, \psi) \to (0, N/\Im(\varphi), 0, 0) \to 0\] 을 생각하자. 첫 관찰과 Lemma 0EA7의 가법성을 결합하면 (a) \(M = 0\)인 경우와 (b) \(\varphi\)가 전사인 경우로 귀착된다. 이 두 경우는 독자에게 맡긴다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(f : (M, \varphi, \psi) \to (M', \varphi', \psi')\)를 코호몰로지 모듈의 길이가 유한한 \((2, 1)\)-주기 복합체의 사상이라 하자. \(\Ker(f)\)와 \(\Coker(f)\)의 길이가 유한하면 \(e_R(M, \varphi, \psi) = e_R(M', \varphi', \psi')\)이다.

증명

Lemma 0EA7의 가법성을 적용하자.

Lemma 0EA8에 의해 \((\Ker(f), \varphi, \psi)\)와 \((\Coker(f), \varphi', \psi')\)의 중복도는 영임을 관찰하면 된다.

몇 가지 중복도의 계산

뒤에서 특정 사이클들의 동등성을 증명하려면 몇 가지 중복도를 계산해야 한다. 앞 절에서 제시한 중복도에 관한 초등적 보조정리들 외에 우리의 주된 도구는 Algebra, Lemma 02MI이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-모듈이라 하고 \(x \in R\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\dim(\text{Supp}(M)) \leq 1\), 그리고

2. \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\).

\(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\)로 쓰자. 그러면 \[e_R(M, 0, x) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\] 이다.

증명

먼저 몇 가지 준비 관찰을 하자. \(M\)의 길이가 유한한 경우, 즉 \(t = 0\)인 경우에는 이 보조정리의 결론이 성립한다. 이때 좌변과 우변이 모두 영이기 때문이다. Lemma 0EA8를 보라. 또한 (1), (2)를 만족하는 모듈들의 짧은 완전열 \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\)이 주어졌을 때 셋 중 둘에 대해 보조정리가 성립하면, 길이의 가법성(Algebra, Lemma 00IV)과 중복도의 가법성(Lemma 0EA7)에 의해 나머지 하나에 대해서도 성립한다.

\(M_i\)를 \(M\)의 \(M_{\mathfrak q_i}\) 안에서의 상이라 하자. 그러면 \(\text{Supp}(M_i) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_i\}\)이다. 사상 \(M \to \bigoplus M_i\)의 핵과 여핵은 지지 \(\{\mathfrak m\}\)을 가지므로 길이가 유한하다. 위의 준비 관찰에 따라 각 \(M_i\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q\}\)라고 가정해도 된다. 이 경우 Algebra, Lemma 00L6에 의해 유한 여과 \(M \supset \mathfrak qM \supset \mathfrak q^2M \supset \ldots \supset \mathfrak q^nM = 0\)을 얻는다. 다시 가법성을 사용하면 \(M\)이 \(\mathfrak q\)에 의해 소멸되는 경우만 증명하면 충분하다. 이 경우 \(M\)을 \(R/\mathfrak q\)-모듈로 볼 수 있다. 즉 \(R\)이 분수체 \(K\)를 갖는 차원 \(1\)의 뇌터 국소 정역이라고 가정할 수 있다. 꼬임 부분모듈, 곧 \(M \to M \otimes_R K = V\)의 핵으로 나누자(꼬임 부분의 길이는 유한하므로 준비 관찰로 처리된다). 그러면 \(M \subset V\)가 격자라고 가정할 수 있다 (Algebra, Definition 02ME). 이때 \(x : M \to M\)은 단사이고 \(\text{length}_R(M/xM) = d(M, xM)\)이다 (Algebra, Definition 02MG). \(\text{length}_K(V) = \dim_K(V)\)이므로 \(\det(x : V \to V) = x^{\dim_K(V)}\)이고 \(\text{ord}_R(\det(x : V \to V)) = \dim_K(V) \text{ord}_R(x)\)임을 알 수 있다. 따라서 이 경우 원하는 등식은 Algebra, Lemma 02MI에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(x \in R\)라 하자. \(M\)이 \(R\) 위의 유한 Cohen–Macaulay 모듈이고 \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\) 및 \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = 0\)이면 \[\text{length}_R(M/xM) = \sum\nolimits_i \text{length}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\] 여기서 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)는 \(M\)의 지지의 최소 소아이디얼들이다. \(I \subset R\)가 아이디얼이고 \(x\)가 \(R/I\) 위의 영인자가 아니며 \(\dim(R/I) = 1\)이면 \[\text{length}_R(R/(x, I)) = \sum\nolimits_i \text{length}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}((R/I)_{\mathfrak q_i})\] 이다. 여기서 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_n\)는 \(I\) 위의 최소 소아이디얼들이다.

증명

이는 Lemma 02QF의 특수한 경우들이다.

다음은 중복도의 값을 결정할 수 있는 또 하나의 경우이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 \(R\)-모듈이라 하자. \(\varphi : M \to M\)을 자기준동형이라 하고, \(\varphi^n = 0\)이며 \(\Ker(\varphi)/\Im(\varphi^{n - 1})\)의 \(R\)-모듈로서의 길이가 유한한 \(n > 0\)을 택하자. 그러면 \[e_R(M, \varphi^i, \varphi^{n - i}) = 0\] 가 \(i = 0, \ldots, n\)에 대해 성립한다.

증명

관례상 \(\varphi^0 = \text{id}_M\)이므로 \(i = 0, n\)인 경우는 자명하다. \(t\)의 곱셈이 \(\varphi\)로 주어지는 \(R[t]\)-모듈로 \(M\)을 생각하자. 다음과 같이 쓰자. \(K_i = \Ker(t^i : M \to M)\) 그리고 \[a_i = \text{length}_R(K_i/t^{n - i}M),\quad b_i = \text{length}_R(K_i/tK_{i + 1}),\quad c_i = \text{length}_R(K_1/t^iK_{i + 1})\] 경계값은 \(a_0 = a_n = b_0 = c_0 = 0\)이다. \(K_1/t^iK_{i + 1}\)는 길이가 유한하다고 가정한 \(K_1/t^{n - 1}M\)의 몫이므로 \(i < n\)일 때 \(c_i\)는 정수이다. 우리는 \(K_i \cap t^jM = t^jK_{i + j}\)를 자주 사용할 것이다. \(0 < i < n - 1\)일 때 완전열 \[0 \to K_1/t^{n - i - 1}K_{n - i} \to K_{i + 1}/t^{n - i - 1}M \xrightarrow{t} K_i/t^{n - i}M \to K_i/tK_{i + 1} \to 0\] 을 얻는다. \(i\)에 관한 귀납법으로 \(i < n\)일 때 \(a_i\)와 \(b_i\)가 정수이고 \[c_{n - i - 1} - a_{i + 1} + a_i - b_i = 0\] 임을 얻는다. \(0 < i < n - 1\)일 때 짧은 완전열 \[0 \to K_i/tK_{i + 1} \to K_{i + 1}/tK_{i + 2} \xrightarrow{t^i} K_1/t^{i + 1}K_{i + 2} \to K_1/t^iK_{i + 1} \to 0\] 이 있으며, 이로부터 \[b_i - b_{i + 1} + c_{i + 1} - c_i = 0\] 을 얻는다. \(b_0 = c_0\)이므로 \(i < n\)일 때 \(b_i = c_i\)이다. 따라서 \[a_2 = a_1 + b_{n - 2} - b_1,\quad a_3 = a_2 + b_{n - 3} - b_2,\quad \ldots\] 임을 알 수 있다. 이로부터 원하는 대로 \(a_i = a_{n - i}\)가 따름은 곧바로 확인된다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \((M, \varphi, \psi)\)를 \(R\) 위의 \((2, 1)\)-주기 복합체라 하고, \(M\)은 유한하며 그 코호몰로지 군들의 \(R\) 위 길이가 유한하다고 하자. \(x \in R\)가 \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\)을 만족한다고 하자. 그러면 \[e_R(M, x\varphi, \psi) = e_R(M, \varphi, \psi) - e_R(\Im(\varphi), 0, x)\] 이고 \[e_R(M, \varphi, x\psi) = e_R(M, \varphi, \psi) + e_R(\Im(\psi), 0, x)\] 이다.

증명

두 번째 공식도 완전히 같은 방식으로 증명되므로 첫 번째 공식만 증명한다. \(M' = M[x^\infty]\)를 \(M\)의 \(x\)-멱 꼬임 부분모듈이라 하자. 짧은 완전열 \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\)을 생각하자. 그러면 \(M''\)은 \(x\)-멱 꼬임이 없다(More on Algebra, Lemma 05EB). \(\varphi\), \(\psi\)가 \(M'\)을 \(M'\) 안으로 보내므로 \((2, 1)\)-주기 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to (M', \varphi', \psi') \to (M, \varphi, \psi) \to (M'', \varphi'', \psi'') \to 0\] 을 얻는다. 또한 짧은 완전열 \(0 \to M' \cap \Im(\varphi) \to \Im(\varphi) \to \Im(\varphi'') \to 0\)을 얻는다. Lemma 0EA9에 의해 \(e_R(M', \varphi, \psi) = e_R(M', x\varphi, \psi) = e_R(M' \cap \Im(\varphi), 0, x) = 0\)이다. 가법성(Lemma 0EA7)에 의해 \((M'', \varphi'', \psi'')\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 이는 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착시킨다.

\(x : M \to M\)이 단사라고 하자. 이 경우 \(\Ker(x\varphi) = \Ker(\varphi)\)이다. 한편 짧은 완전열 \[0 \to \Im(\varphi)/x\Im(\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(x\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(\varphi) \to 0\] 을 얻는다. 이것과 (0EA6)을 함께 쓰면 공식이 증명된다.

tame 기호를 위한 준비

이 절에서는 다음 절에서 tame 기호를 정의하는 데 도움이 될 몇 가지 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\)을 \(A\)의 서로 다른 극대 아이디얼들이라 하자. \(i = 1, \ldots, r\)마다 \(\varphi_i : A_{\mathfrak m_i} \to B_i\)가, 그 핵과 여핵이 \(\mathfrak m_i\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되는 환 사상이라고 하자. 그러면 다음을 만족하는 환 사상 \(\varphi : A \to B\)가 존재한다.

1. \(\mathfrak m_i\)에서 \(\varphi\)를 국소화한 사상은 \(\varphi_i\)와 동형이고,

2. \(\Ker(\varphi)\)와 \(\Coker(\varphi)\)는 \(\mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다.

더욱이 각 \(\varphi_i\)가 유한, 단사, 또는 전사이면 \(\varphi\)도 각각 그러하다.

증명

\(I = \mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\)로 놓자. \(A_i = A_{\mathfrak m_i}\) 및 \(A' = \prod A_i\)로 놓자. 그러면 \(IA' = \prod \mathfrak m_i A_i\)이고 \(A \to A'\)은 \(A/I \cong A'/IA'\)를 만족하는 평탄 환 사상이다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0ALK을 사용하면, \(\mathfrak m_i\)에서 \(\varphi\)를 국소화한 사상이 \(\varphi_i\)와 동형인 \(A\)-모듈 사상 \(\varphi : A \to B\)가 존재함을 알 수 있다. 이어서 More on Algebra, Remark 05EU의 논의를 사용하여 \(B\)에 \(B_i\) 위에 주어진 \(A\)-대수 구조와 일치하는 \(A\)-대수 구조를 줄 수 있다. 보조정리의 마지막 명제는 \(\Ker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Ker(\varphi_i)\) 및 \(\Coker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Coker(\varphi_i)\)라는 사실에서 쉽게 따른다.

다음 보조정리는 Algebra, Lemma 00P9과 매우 유사하다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 차원 \(1\)의 뇌터 국소환이라 하자. \(a, b \in R\)를 영인자가 아닌 원소들이라 하자. \(R'/R\)가 \(\mathfrak m\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되고, 영인자가 아닌 원소 \(t, a', b' \in R'\)가 \(a = ta'\), \(b = tb'\), \(R' = a'R' + b'R'\)를 만족하는 유한 환 확대 \(R \subset R'\)가 존재한다.

증명

\(a\) 또는 \(b\)가 단원이면 \(R = R'\)로 두어 결론을 얻는다. 따라서 \(a, b \in \mathfrak m\)이라고 가정해도 된다. \(I = (a, b)\)로 놓자. 핵심 아이디어는 \(I\)를 중심으로 \(R\)을 블로업하는 것이다. 대수적 논증 대신 기하적으로 논하자. \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{d \geq 0} I^d)\)로 놓자. Divisors, Lemma 02OS에 의해 사상 \(X \to \Spec(R)\)은 천공 스펙트럼 \(U = \Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) 위에서 동형이다. 따라서 \(U\)를 \(X\)의 열린 부분스킴으로 볼 수 있고 그렇게 하자. Divisors, Lemma 02NS에 의해 \(X \to \Spec(R)\)은 사영적이다. 또한 예를 들어 Divisors, Lemma 0BFM에 의해 \(X\)의 모든 일반점은 \(U\)에 놓인다. Varieties, Lemma 0AB7에서 \(X \to \Spec(R)\)이 유한임이 따른다. 따라서 \(X = \Spec(R')\)는 아핀이고 \(R \to R'\)은 유한이다. \(U = D(a)\)이므로 \(R_a \cong R'_a\)이다. 따라서 \(a\)의 어떤 거듭제곱은 유한 \(R\)-모듈 \(R'/R\)를 소멸시킨다. \(\mathfrak m = \sqrt{(a)}\)이므로 \(R'/R\)는 \(\mathfrak m\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸된다. Divisors, Lemma 02OS에 의해 \(IR'\)는 국소 주 아이디얼이다. \(R'\)가 반국소이므로 \(IR'\)는 주 아이디얼이다. Algebra, Lemma 02M9를 보라. 이를 \(IR' = (t)\)라고 하자. 그러면 \(a = a't\) 및 \(b = b't\)이며 모든 결론이 분명하다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 차원 \(1\)의 뇌터 국소환이라 하자. \(a, b \in R\)를 \(a \in \mathfrak m\)인 영인자가 아닌 원소들이라 하자. 다음을 만족하는 정수 \(n = n(R, a, b)\)가 존재한다. 유한 환 확대 \(R \subset R'\)에서 어떤 \(c \in R'\)에 대해 \(b = a^m c\)이면 \(m \leq n\)이다.

증명

최소 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset R\)을 택하자. \(\dim(R/\mathfrak q) = 1\)이므로 특히 \(R/\mathfrak q\)는 체가 아니다. Algebra, Lemma 00P8에 따라 \(R/\mathfrak q\)를 지배하고 같은 분수체를 갖는 이산 값매김환 \(A\)를 택할 수 있다. \(R\)에서 영인자가 아닌 원소는 \(\mathfrak q\)에 속하지 않으므로 \(a\)와 \(b\)는 \(A\)의 영이 아닌 원소로 간다. \(v\)를 \(A\) 위의 이산 값매김이라 하자. \(a \in \mathfrak m\)이므로 \(v(a) > 0\)이다. \(n = v(b)/v(a)\)가 조건을 만족한다고 주장한다.

\(R \subset R'\)가 주어졌다고 하자. \(A' = A \otimes_R R'\)로 놓자. \(\Spec(R') \to \Spec(R)\)은 전사이므로(Algebra, Lemma 00GQ), \(\Spec(A') \to \Spec(A)\)도 전사이다(Algebra, Lemma 00FI). \((0) \subset A\) 위에 놓인 소아이디얼 \(\mathfrak q' \subset A'\)을 택하자. 그러면 \(A \subset A'' = A'/\mathfrak q'\)은 유한 환 확대이다(역시 스펙트럼 위에 전사를 유도한다). \(A\)의 극대 아이디얼 위에 놓인 극대 아이디얼 \(\mathfrak m'' \subset A''\)과 \(A''_{\mathfrak m''}\)을 지배하는 이산 값매김환 \(A'''\)를 택하자(위에서 인용한 보조정리를 보라). 그러면 \(A \to A'''\)은 이산 값매김환의 확대이고 \(A'''\)에서 \(b = a^m c\)이다. 따라서 \(v'''(b) \geq mv'''(a)\)이다. \(e\)가 \(A'''/A\)의 분기지수일 때 \(v''' = ev\)이므로, 원하는 대로 \(m \leq n\)을 얻는다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 차원 \(1\)의 뇌터 국소환이라 하자. \(r \geq 2\)라 하고 \(a_1, \ldots, a_r \in A\)를 모두 단원은 아닌 영인자가 아닌 원소들이라 하자. 그러면 다음이 존재한다.

1. \(B/A\)가 \(\mathfrak m\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되는 유한 환 확대 \(A \subset B\),

2. 각 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_j \subset B\)마다 영인자가 아닌 원소 \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\), 그리고

3. \(u_{i, j} \in B_j\)가 단원이고 \(e_{i, j} \geq 0\)인 \(B_j\) 안의 분해 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\).

증명

적어도 하나의 \(a_i\)가 단원이 아니므로 \(\mathfrak m\)은 \(A\)의 수반 소아이디얼이 아니다. 더욱이 명제에서와 같은 임의의 \(A \subset B\)에 대해 \(\mathfrak m\)은 \(B\)의 수반 소아이디얼이 아니며 \(\mathfrak m_j\)도 \(B_j\)의 수반 소아이디얼이 아니다. 이 점을 염두에 두면 아래 논증을 확인하는 데 도움이 된다.

먼저 \(r = 2\)인 경우만 증명하면 충분하다고 주장한다. 이를 \(r\)에 관한 귀납법으로 보이겠지만, 독자에게는 이 증명을 건너뛸 것을 권한다. \(A \subset B\), \(B_j = B_{\mathfrak m_j}\) 안의 \(\pi_j\), 그리고 \(i = 1, \ldots, r - 1\)에 대해 \(B_j\) 안에서의 분해 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\)가 주어졌다고 하자. 여기서 \(u_{i, j} \in B_j\)는 단원이고 \(e_{i, j} \geq 0\)이다. 그러면 \(B_j\) 안의 \(\pi_j\)와 \(a_r\)에 \(r = 2\)인 경우를 적용하여 확대 \(B_j \subset C_j\)를 얻을 수 있다. 또한 \(C_j\)의 각 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_{j, k}\)마다 영인자가 아닌 원소 \(\pi_{j, k} \in C_{j, k} = (C_j)_{\mathfrak m_{j, k}}\)와 보조정리에서와 같은 분해 \[\pi_j = v_{j, k} \pi_{j, k}^{f_{j, k}} \quad\text{and}\quad a_r = w_{j, k} \pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] 를 얻는다. 모든 \(j\)에 대해 \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\)이고 \(C/B\)가 \(\mathfrak m\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되는 유일한 유한 확대 \(B \subset C\)가 존재한다. Lemma 0EAE를 보라. \(C\)의 극대 아이디얼들은 각 국소화 안의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_{j, k}\)들과 \(1\)-대-\(1\)로 대응하고, 이 국소화들에서 \[a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}} = u_{i, j} v_{j, k}^{e_{i, j}} \pi_{j, k}^{e_{i, j}f_{j, k}}\] 이다. 이는 \(i \leq r - 1\)에 대해 성립한다. \(a_r\)도 올바르게 분해되므로 귀납 단계의 증명이 끝난다.

\(r = 2\)인 경우를 증명하자. 다음 값에 관한 귀납법을 사용한다. \[\ell = \min(\text{length}_A(A/a_1A),\ \text{length}_A(A/a_2A)).\] \(\ell = 0\)이면 \(a_1\) 또는 \(a_2\)가 단원이므로 \(A = B\)로 두어 보조정리를 얻는다. 따라서 \(\ell > 0\)이라고 가정하고 그렇게 하자.

\(A'/A\)가 \(\mathfrak m\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸되고 \(\mathfrak m\)이 \(A'\)의 수반 소아이디얼이 아닌 유한 환 확대 \(A \subset A'\)가 주어졌다고 하자. \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r \subset A'\)를 극대 아이디얼들이라 하고 \(A'_i = A'_{\mathfrak m_i}\)로 놓자. 각 \(A'_i\)에서 \(a_1, a_2\)에 대한 문제를 풀 수 있으면 Lemma 0EAE를 적용하여 \(A\) 안의 \(a_1, a_2\)에 대한 해를 만들 수 있다. \(\ell = \text{length}_A(A/xA)\)를 만족하는 \(x \in \{a_1, a_2\}\)를 택하자. Lemma 0EA9 및 (0EA6)에 의해 \(\text{length}_A(A/xA) = \text{length}_A(A'/xA')\)이다. 한편 Algebra, Lemma 02M0에 의해 \[\text{length}_A(A'/xA') = \sum [\kappa(\mathfrak m_i) : \kappa(\mathfrak m)] \text{length}_{A'_i}(A'_i/xA'_i)\] 이다. \(x \in \mathfrak m\)이므로 우변의 각 항은 양수이다. 따라서 \(r > 1\)이거나 \(r = 1\)이고 \([\kappa(\mathfrak m_1) : \kappa(\mathfrak m)] > 1\)이면 각 \(A'_i\) 안의 \(a_1, a_2\)에 귀납 가설을 적용할 수 있다. 그러므로 위와 같은 각 \(A'\)가 \(A\)와 같은 잉여체를 갖는 국소환이라고 가정해도 된다.

앞 문단의 논의를 적용하여 \(A\)를, Lemma 02Q7에서 \(a_1, a_2 \in A\)에 대해 구성한 환으로 바꿀 수 있다. 그러면 \(A\)가 국소환이므로 필요하면 \(a_1\)과 \(a_2\)를 맞바꾸어 \(a_2 \in (a_1)\)이라고 할 수 있다. \(m > 0\)이 최대가 되도록 \(a_2 = a_1^m c\)로 쓰자. 실제로 Lemma 0EAF에 의해 앞 문단에서와 같은 임의의 유한 확대 \(A \subset A'\)로 \(A\)를 바꾼 뒤에도 \(m\)이 최대라고 가정할 수 있다. \(c\)가 단원이면 끝난다. 그렇지 않으면 \(A\)를 Lemma 02Q7에서 \(a_1, c \in A\)에 대해 구성한 환으로 바꾼다. 그러면 (1) \(c = a_1 c'\)이거나 (2) \(a_1 = c a'_1\)이다. 첫 번째 경우에는 \(a_2 = a_1^{m + 1} c'\)가 되어 \(m\)의 최대성에 모순되므로 일어날 수 없다. 두 번째 경우에는 \(a_1 = c a'_1\) 및 \(a_2 = c^{m + 1} (a'_1)^m\)을 얻는다. 이제 \(A\)와 \(c, a'_1\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. \(a'_1\)이 단원이면 끝나고, 그렇지 않으면 \(cA\)가 \(a_1A\)보다 진정으로 큰 아이디얼이므로 \(\text{length}_A(A/cA) < \ell\)이다. 따라서 귀납 가설로 결론을 얻는다.

Tame 기호

차원 \(1\)의 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m)\)을 생각하자. \(A\)의 전분수환을 \(Q(A)\)로 나타낸다. Algebra, Example 02C5을 보라. tame 기호는 다음 성질들을 만족하는 사상 \[\partial_A(-, -) : Q(A)^* \times Q(A)^* \longrightarrow \kappa(\mathfrak m)^*\] 이다.

1. \(\partial_A(f, gh) = \partial_A(f, g) \partial_A(f, h)\) [0EAI] 가 \(f, g, h \in Q(A)^*\)에 대해 성립한다.

2. \(\partial_A(f, g) \partial_A(g, f) = 1\) [0EAJ] 이 \(f, g \in Q(A)^*\)에 대해 성립한다.

3. \(\partial_A(f, 1 - f) = 1\) [0EAK] 이 \(1 - f \in Q(A)^*\)를 만족하는 \(f \in Q(A)^*\)에 대해 성립한다.

4. \(\partial_A(aa', b) = \partial_A(a, b)\partial_A(a', b)\) [0EAL] 및 \(\partial_A(a, bb') = \partial_A(a, b)\partial_A(a, b')\)가 영인자가 아닌 원소 \(a, a', b, b' \in A\)에 대해 성립한다.

5. \(\partial_A(b, b) = (-1)^m\) [0EAM] 이며, 여기서 영인자가 아닌 원소 \(b \in A\)에 대해 \(m = \text{length}_A(A/bA)\)이다.

6. \(\partial_A(u, b) = u^m \bmod \mathfrak m\) [0EAN] 이며, 여기서 \(u \in A\)는 단원이고 \(b \in A\)는 영인자가 아닌 원소이며 \(m = \text{length}_A(A/bA)\)이다.

7. \(\partial_A(a, b - a)\partial_A(b, b) = \partial_A(b, b - a)\partial_A(a, b)\) 가 \(a, b, b - a\)가 영인자가 아닌 원소가 되는 \(a, b \in A\)에 대해 성립한다.

\(A\)의 원소로 작업하는 편이 더 쉽기 때문에 우리는 종종 \(\partial_A\)를, (0EAL), (0EAM), (0EAN), (0EAP)을 만족하는 \(A\)의 영인자가 아닌 원소 쌍 위의 사상으로 생각한다. 다음과 같이 놓으면 \[\partial_A(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \partial_A(a, c) \partial_A(a, d)^{-1} \partial_A(b, c)^{-1} \partial_A(b, d)\] (0EAI), (0EAJ), (0EAK) 및 나머지 성질들을 만족하는 잘 정의된 사상 \(Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\)를 얻는다는 것은 연습문제이다.

이 성질들을 갖는 사상이 유일하다고 주장하지는 않는다. 대신 그러한 사상을 구성하는 방법을 제시한다. 즉 영인자가 아닌 원소 \(a_1, a_2 \in A\)가 주어지면 Lemma 0EAG에서와 같은 환 확대 \(A \subset B\)와 국소 분해들을 택한다. 그리고 다음과 같이 정의한다. [0EAQ]\[\begin{equation} \partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} \end{equation}\] 여기서 \(m_j = \text{length}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\)이고 곱은 \(B\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) 전체에 걸쳐 취한다.

보조정리

공식 (0EAQ)은 \(\kappa(\mathfrak m)^*\)의 잘 정의된 원소를 결정한다. 다시 말해 우변은 국소 분해의 선택이나 \(B\)의 선택에 의존하지 않는다.

증명

먼저 분해의 선택과 무관함을 보이자. 뇌터 \(1\)차원 국소환 \(B\), 원소 \(a_1, a_2 \in B\), 그리고 영인자가 아닌 원소 \(\pi, \theta\)가 주어져 \[a_1 = u_1 \pi^{e_1} = v_1 \theta^{f_1},\quad a_2 = u_2 \pi^{e_2} = v_2 \theta^{f_2}\] 로 쓸 수 있다고 하자. 여기서 \(e_i, f_i \geq 0\)는 정수이고 \(u_i, v_i\)는 \(B\)의 단원이다. 이로부터 \[a_1^{e_2} = u_1^{e_2}u_2^{-e_1}a_2^{e_1},\quad a_1^{f_2} = v_1^{f_2}v_2^{-f_1}a_2^{f_1}\] 가 따른다. 한편 \(m = \text{length}_B(B/\pi B)\) 및 \(k = \text{length}_B(B/\theta B)\)로 놓으면 \(e_2 m = \text{length}_B(B/a_2 B) = f_2 k\)이다. 위의 등식을 사용하여 \(a_1^{e_2m} = a_1^{f_2 k}\)를 전개하면 \[(u_1^{e_2}u_2^{-e_1})^m = (v_1^{f_2}v_2^{-f_1})^k\] 를 얻는다. 이는 부호를 제외한 원하는 등식을 증명한다. 부호도 맞음을 보이려면 \(me_1e_2\)가 짝수일 필요충분조건이 \(kf_1f_2\)가 짝수임을 보이면 된다. 이는 \(me_2 = kf_2\) 및 \(me_1 = kf_1\)가 모두 성립하기 때문이다(위와 같은 논증).

다음으로 \(B\)의 선택과 무관함을 보이자. Lemma 0EAG에서와 같은 두 확대 \(A \subset B\)와 \(A \subset B'\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \[C = (B \otimes_A B')/(\mathfrak m\text{-power torsion})\] 은 세 번째 확대가 된다. 따라서 \(A \subset B \subset C\)이고 \(B\)의 국소환들 위에 분해들이 주어졌다고 가정할 수 있으며, 같은 분해들을 \(C\)의 국소환들 위에서 사용해도 \(\kappa(\mathfrak m)\)의 같은 원소를 준다는 것을 보이면 된다. 노름의 추이성(Fields, Lemma 0BIJ)에 의해 이는 다음 문제로 귀착된다. \(B\)가 차원 \(1\)의 뇌터 국소환이고 \(\pi \in B\)가 영인자가 아닌 원소이면 \[\lambda^m = \prod \text{Norm}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda)^{m_k}\] 이다. 여기에서는 다음 표기를 사용했다. (1) \(\kappa\)는 \(B\)의 잉여체, (2) \(\lambda\)는 \(\kappa\)의 원소, (3) \(\mathfrak m_k \subset C\)는 \(C\)의 극대 아이디얼들, (4) \(\kappa_k = \kappa(\mathfrak m_k)\)는 \(C_k = C_{\mathfrak m_k}\)의 잉여체, (5) \(m = \text{length}_B(B/\pi B)\), (6) \(m_k = \text{length}_{C_k}(C_k/\pi C_k)\)이다. 표시된 등식은 \(\text{Norm}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda) = \lambda^{[\kappa_k : \kappa]}\) 이고 \(\lambda \in \kappa\)이며 \(m = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\)이기 때문에 성립한다. 먼저 Lemma 0EA9 및 (0EA6)에 의해 \(m = \text{length}_B(B/xB) = \text{length}_B(C/\pi C)\)이다. 마지막으로 Algebra, Lemma 02M0에 의해 \(\text{length}_B(C/\pi C) = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\)이다.

보조정리

tame 기호 (0EAQ)은 (0EAL), (0EAM), (0EAN), (0EAP)을 만족하며, 따라서 (0EAI), (0EAJ), (0EAK)을 만족하는 사상 \(\partial_A : Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\)를 준다.

증명

(0EAL)을 증명하자. \(a_1, a_2, a_3 \in A\)를 영인자가 아닌 원소라 하자. \(a_1, a_2, a_3\)에 대하여 Lemma 0EAG에서와 같은 \(A \subset B\)를 택한다. 그러면 등식 \[\partial_A(a_1a_2, a_3) = \partial_A(a_1, a_3) \partial_A(a_2, a_3)\] 은 \(B_j\)에서의 등식 \[(-1)^{(e_{1, j} + e_{2, j})e_{3, j}} (u_{1, j}u_{2, j})^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j} - e_{2, j}} = (-1)^{e_{1, j}e_{3, j}} u_{1, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j}} (-1)^{e_{2, j}e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{2, j}}\] 로부터 따른다. 성질 (0EAM)과 (0EAN)도 마찬가지로 즉시 성립한다.

(0EAP)을 증명하자. \(a_1, a_2, a_1 - a_2 \in A\)를 영인자가 아닌 원소라 하고 \(a_3 = a_1 - a_2\)로 놓는다. \(a_1, a_2, a_3\)에 대하여 Lemma 0EAG에서와 같은 \(A \subset B\)를 택한다. 그러면 다음을 보이면 충분하다. \[(-1)^{e_{1, j}e_{2, j} + e_{1, j}e_{3, j} + e_{2, j}e_{3, j} + e_{2, j}} u_{1, j}^{e_{2, j} - e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j} - e_{1, j}} u_{3, j}^{e_{1, j} - e_{2, j}} \bmod \mathfrak m_j = 1\] \(e_{1, j} = e_{2, j} = e_{3, j}\)이면 이는 명백하다. \(e_{1, j} > e_{2, j}\)라고 하자. 그러면 \(a_3 = a_1 - a_2\)이므로 \(e_{3, j} = e_{2, j}\)이고, \(u_{3, j}\)의 잉여류는 \(-u_{2, j}\)의 잉여류와 같음을 알 수 있다. 따라서 공식은 참이다. 부호도 맞으며, 바로 이 검증 때문에 (0EAQ)에서 그 부호들을 선택했다. 다른 경우들도 완전히 같은 방식으로 다룬다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 차원 \(1\)의 뇌터 국소환이라 하자. \(A \subset B\)를 유한 환 확대라 하고, \(B/A\)는 \(\mathfrak m\)의 한 거듭제곱에 의해 소멸되며 \(\mathfrak m\)은 \(B\)의 수반 소아이디얼이 아니라고 하자. 영인자가 아닌 원소 \(a, b \in A\)에 대하여 \[\partial_A(a, b) = \prod \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)}(\partial_{B_j}(a, b))\] 이다. 여기서 곱은 \(B\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_j\) 전체에 걸쳐 취하며 \(B_j = B_{\mathfrak m_j}\)이다.

증명

\(a, b\)에 대하여 Lemma 0EAG에서와 같은 \(B_j \subset C_j\)를 택한다. Lemma 0EAE에 의해 모든 \(j\)에 대해 \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\)가 되도록 하는 유한 환 확대 \(B \subset C\)를 택할 수 있다. \(\mathfrak m_{j, k} \subset C\)를 \(\mathfrak m_j\) 위에 놓이는 \(C\)의 극대 아이디얼들이라 하자. 우리의 \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\) 선택에 의해 존재하는 국소 분해를 \[a = u_{j, k}\pi_{j, k}^{f_{j, k}},\quad b = v_{j, k}\pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] 라 하자. 정의에 의해 \[\partial_A(a, b) = \prod\nolimits_{j, k} \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] 이고 \[\partial_{B_j}(a, b) = \prod\nolimits_k \text{Norm}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] 이다. 결과는 \(\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)\)에 대한 노름의 추이성으로부터 따른다. Fields, Lemma 0BIJ를 보라.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa) \to (A', \mathfrak m', \kappa')\)를 뇌터 국소환들의 국소 준동형이라 하자. \(A \to A'\)는 평탄하고 \(\dim(A) = \dim(A') = 1\)이라고 가정한다. 다음과 같이 놓자. \(m = \text{length}_{A'}(A'/\mathfrak mA')\). 영인자가 아닌 원소 \(a_1, a_2 \in A\)에 대하여 \(\partial_A(a_1, a_2)^m\)의 \(\kappa \to \kappa'\)에 의한 상은 \(\partial_{A'}(a_1, a_2)\)이다.

증명

\(a_1, a_2\)가 모두 단원이면 \(\partial_A(a_1, a_2) = 1\)이고 \(\partial_{A'}(a_1, a_2) = 1\)이므로 결과가 성립한다. 그렇지 않으면 Lemma 0EAG에서와 같은 환 확대 \(A \subset B\)와 국소 분해들을 택할 수 있다. \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\)을 \(B\)의 극대 아이디얼들이라 하자. \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\)을 \(B\)의 극대 아이디얼들이라 하고 그 잉여체를 \(\kappa_1, \ldots, \kappa_m\)이라 하자. 각 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)에 대하여 \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\)를, 보조정리에서와 같은 분해 \(a_i = u_{i, j}\pi_j^{e_{i, j}}\)를 갖게 하는 영인자가 아닌 원소라 하자. 정의에 의해 \[\partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norm}_{\kappa_j/\kappa} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\] 이며, 여기서 \(m_j = \text{length}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\)이다.

\(B' = A' \otimes_A B\)로 놓는다. \(A'\)은 \(A\) 위에서 평탄하므로 \(A' \subset B'\)은 환 확대이고 \(B'/A'\)은 \(\mathfrak m'\)의 한 거듭제곱에 의해 소멸됨을 알 수 있다. \[\mathfrak m'_{j, l},\quad l = 1, \ldots, n_j\] 를 \(\mathfrak m_j\) 위에 놓이는 \(B'\)의 극대 아이디얼들이라 하자. \(\kappa'_{j, l}\)을 \(\mathfrak m'_{j, l}\)의 잉여체라 하고, \(B'_{j, l}\)을 \(\mathfrak m'_{j, l}\)에서의 \(B'\)의 국소화라 하자. \(B'_{j, l}\)에서 \(a_1\)과 \(a_2\)의 분해로서 \(B_j\)에서 주어진 분해 \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\)의 상을 사용한다. 정의에 의해 \[\partial_{A'}(a_1, a_2) = \prod\nolimits_{j, l} \text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}}\] 이며, 여기서 \(m'_{j, l} = \text{length}_{B'_{j, l}}(B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l})\)이다.

위 공식들을 비교하면 각 \(j\)와 임의의 단원 \(u \in B_j\)에 대하여 다음을 보이면 충분함을 알 수 있다. [0GU1]\[\begin{equation} \left(\text{Norm}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\right)^m = \prod\nolimits_l \text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} \end{equation}\] 이는 \(\kappa'\) 안에서의 등식이다. 이를 증명하기 위해 More on Algebra, Section 0GSX의 유한 길이 모듈의 자기준동형의 행렬식 구성을 사용한다. \(M = B_j/\pi_j B_j\)로 놓는다. More on Algebra, Lemma 0GSZ에 의해 \[\text{Norm}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} = \det\nolimits_\kappa(u : M \to M)\] 이다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0GT0에 의해 (0GU1)의 좌변은 \(\det_{\kappa'}(u : M \otimes_A A' \to M \otimes_A A')\)와 같다. \(A'\)-모듈의 동형 \[M \otimes_A A' = (B_j/\pi_j B_j) \otimes_A A' = \bigoplus\nolimits_l B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\] 이 있다. \(M'_l = B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\)로 놓으면, 다시 More on Algebra, Lemma 0GSZ에 의해 \(\text{Norm}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} = \det_{\kappa'}(u_j : M'_l \to M'_l)\)이다. 따라서 행렬식 구성의 곱셈성에 의해 (0GU1)가 성립한다. More on Algebra, Lemma 0GSY를 보라.

핵심 보조정리

이 절에서는 앞의 결과들을 적용하여 Lemma 0EAX를 증명한다. 이 보조정리는 밀너 K-이론에도 퀼런 K-이론의 Gersten–Quillen 복합체와 비슷한 복합체가 있다는 명제의 낮은 차수 경우이다. Remark 0EAY를 보라.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 \(2\)차원 뇌터 국소환이라 하자. \(t \in \mathfrak m\)을 영인자가 아닌 원소라 하자. 다음과 같이 쓰자. \(V(t) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\). \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\)를 유한 환 확대라 하고, \(B_i/A_{\mathfrak q_i}\)는 \(t\)의 한 거듭제곱에 의해 소멸된다고 하자. 그러면 잉여체들을 동일시하고 \(B_i \cong B_{\mathfrak q_i}\)이며 \(B/A\)가 \(t\)의 한 거듭제곱에 의해 소멸되는 국소환들의 유한 확대 \(A \subset B\)가 존재한다.

증명

\(B_i \subset t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\)가 되도록 \(n > 0\)을 택한다. \(M \subset t^{-n}A\)와 \(M' \subset t^{-2n}A\)를 각각 \(t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\)와 \(t^{-2n}A_{\mathfrak q_i}\) 안에서 각각 \(B_i\)로 가는 원소들로 이루어진 \(A\)-부분모듈이라 하자. 그러면 \(A\)가 뇌터이므로 \(M \subset M'\)은 유한 \(A\)-모듈들이고, 국소화는 완전하므로 \(M_{\mathfrak q_i} = M'_{\mathfrak q_i} = B_i\)이다. 따라서 어떤 \(c > 0\)에 대하여 \(M'/M\)은 \(\mathfrak m^c\)에 의해 소멸된다. 곱셈 \(t^{-n}A \times t^{-n}A \to t^{-2n}A\) 아래에서 \(M \cdot M \subset M'\)임에 유의하자. 따라서 \(B = A + \mathfrak m^{c + 1}M\)은 올바른 국소화들을 갖는 유한 \(A\)-대수이다. \(B\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m + \mathfrak m^{c + 1}M\)을 갖는 국소환이라는 검증은 생략한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 \(2\)차원 뇌터 국소환이라 하자. \(a, b \in A\)를 영인자가 아닌 원소라 하자. 그러면 \[\sum \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(a, b)) = 0\] 이다. 여기서 합은 \(A\)의 높이 \(1\) 소아이디얼 \(\mathfrak q\) 전체에 걸쳐 취한다.

증명

\(\mathfrak q\)가 \(A\)의 높이 \(1\) 소아이디얼이고 \(a, b\)의 상이 \(A_\mathfrak q\)의 단원이면 \(\partial_{A_\mathfrak q}(a, b) = 1\)이다. 따라서 합은 유한하다. 실제로 \(V(ab) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\)이면 합은 \(i = 1, \ldots, r\)에 걸쳐 취한다. 각 \(i\)에 대하여 \(a, b\)에 관한 Lemma 0EAG에서와 같은 확대 \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\)를 택한다. \(t = ab\)와 주어진 소아이디얼 목록에 Lemma 0EAV를 적용하면, \(B/A\)가 \(ab\)의 한 거듭제곱에 의해 소멸되고 각 \(i\)에 대하여 \(B_{\mathfrak q_i} \cong B_i\)가 되는 유한 국소 확대 \(A \subset B\)가 있다고 가정할 수 있다. \(\mathfrak q_{i, j}\)가 \(\mathfrak q_i\) 위에 놓이는 \(B\)의 소아이디얼들이면 \[\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) = \sum\nolimits_j \text{ord}_{B/\mathfrak q_{i, j}}(\partial_{B_{\mathfrak q_{i, j}}}(a, b))\] 이다. 이는 Lemma 0EAT와 Algebra, Lemma 02MJ에 따른다.따라서 \(A\)를 \(B\)로 바꾸어 다음 문단에서 논의하는 경우로 귀착시킬 수 있다.

각 \(i\)에 대하여 영인자가 아닌 원소 \(\pi_i \in A_{\mathfrak q_i}\)와 단원 \(u_i, v_i \in A_{\mathfrak q_i}\)가 있어서, 어떤 정수 \(e_i, f_i \geq 0\)에 대하여 \[a = u_i \pi_i^{e_i},\quad b = v_i \pi_i^{f_i}\] 가 \(A_{\mathfrak q_i}\)에서 성립한다고 가정하자. 다음과 같이 놓으면 \(m_i = \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}/\pi_i)\), 정의에 의해 \(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b) = ((-1)^{e_if_i}u_i^{f_i}v_i^{-e_i})^{m_i}\)이다. \(a, b\)가 영인자가 아닌 원소이므로 \((2, 1)\)-주기 복합체 \((A/(ab), a, b)\)의 코호몰로지는 영이다. \(M_i\)를 \(A/(ab)\)의 \(A_{\mathfrak q_i}/(ab)\) 안에서의 상이라 하자. 그러면 사상 \[A/(ab) \longrightarrow \bigoplus M_i\] 이 있고, 그 핵과 여핵은 \(\{\mathfrak m\}\) 안에 지지되므로 유한 길이를 갖는다. 따라서 Lemma 0EA9에 의해 \[\sum e_A(M_i, a, b) = 0\] 이다. 그러므로 \(e_A(M_i, a, b) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b))\)임을 보이면 충분하다.

먼저 \(\pi_i, u_i, v_i\)가 원소 \(\pi_i, u_i, v_i \in A\)의 상인 경우에 이를 증명하자(같은 기호를 사용해도 혼동이 없을 것이다). 이 경우 \[\begin{align*} e_A(M_i, a, b) & = e_A(M_i, u_i\pi_i^{e_i}, v_i\pi_i^{f_i}) \\ & = e_A(M_i, \pi_i^{e_i}, \pi_i^{f_i}) - e_A(\pi_i^{e_i}M_i, 0, u_i) + e_A(\pi_i^{f_i}M_i, 0, v_i) \\ & = 0 - f_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i) + e_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(v_i) \\ & = -m_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i^{f_i}v_i^{-e_i}) = -\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) \end{align*}\] 이다. 두 번째 등식은 Lemma 0EAC에 따른다. \(M_i \subset (M_i)_{\mathfrak q_i} = A_{\mathfrak q_i}/(\pi_i^{e_i + f_i})\) 이고 \((\pi_i^{e_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{f_i}\) 및 \((\pi_i^{f_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{e_i}\)임에 유의하자. 세 번째 등식의 \(0\)은 Lemma 0EAB에서 나오고, 나머지 두 항은 Lemma 02QF에서 나온다. 마지막 두 등식은 차수 함수의 곱셈성과 tame 기호의 정의에 따른다.

일반적인 경우에는 먼저 \(c \in A\), \(c \not \in \mathfrak q_i\)이고 \(c\pi_i \in A\)가 되도록 그 원소를 택한다. \(\pi_i\)를 \(c\pi_i\)로, \(u_i\)를 \(c^{-e_i}u_i\)로, \(v_i\)를 \(c^{-f_i}v_i\)로 바꾼 뒤에는 \(\pi_i\)가 \(A\)에 속한다고 가정할 수 있고 그렇게 한다. 다음으로 \(c \in A\), \(c \not \in \mathfrak q_i\)이고 \(cu_i, cv_i \in A\)가 되는 그 원소를 택한다. 그러면 Lemma 02QF에 의해 \[e_A(M_i, ca, cb) = e_A(M_i, a, b) - e_A(aM_i, 0, c) + e_A(bM_i, 0, c)\] 임을 알 수 있다. 한편 \(c\)는 \(A_{\mathfrak q_i}\)의 단원이므로 \(\kappa(\mathfrak q_i)^*\)에서 \[\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb) = c^{m_i(f_i - e_i)}\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)\] 이다. 앞 문단의 논증으로부터 \(e_A(M_i, ca, cb) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb))\)임을 알 수 있다.따라서 \[e_A(aM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_if_i}) \quad\text{and}\quad e_A(bM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_ie_i})\] 임을 증명하면 충분하다. 이는 \(\mathfrak q_i\)에서 국소화했을 때 무엇이 일어나는지에 대한 위의 서술과 Lemma 02QF으로부터 따른다.

보조정리

\(A\)를 분수체가 \(K\)인 \(2\)차원 뇌터 국소 정역이라 하자. \(f, g \in K^*\)라 하자. \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)를 \(f\) 또는 \(g\) 중 하나가 \(A^*_{\mathfrak q}\)의 원소가 아닌 그러한 \(A\)의 높이 \(1\) 소아이디얼 \(\mathfrak q\)들이라 하자. 그러면 \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(f, g)) = 0\] 이다. 이는 다음과 같이 쓸 수도 있다. \[\sum\nolimits_{\text{height}(\mathfrak q) = 1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)) = 0\] 실제로 \(A\)의 높이 \(1\) 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 \(f, g \in A^*_{\mathfrak q}\)이면 \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g) = 1\)이다.

증명

tame 기호 \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)\)는 쌍선형이고 차수 함수 \(\text{ord}_{A/\mathfrak q}\)는 가법적이므로, \(f\)와 \(g\)가 \(A\)의 원소인 경우에 공식을 증명하면 충분하다. 이 경우는 Lemma 0EAW에서 증명했다.

주

체 \(k\)에 대하여 \(K^M_*(k)\)를, \(k^*\) 위의 텐서 대수를 \(x \in k \setminus \{0, 1\}\)에 대한 원소 \(x \otimes 1 - x\)들이 생성하는 양측 아이디얼로 나눈 몫이라 하자. 따라서 \(K^M_0(k) = \mathbf{Z}\), \(K_1^M(k) = k^*\)이고 \[K^M_2(k) = k^* \otimes_\mathbf{Z} k^* / \langle x \otimes 1 - x \rangle\] 이다. \(A\)가 분수체 \(F = \text{Frac}(A)\)와 잉여체 \(\kappa\)를 갖는 이산 값매김환이면 Section 0EAH에서와 같이 정의되는 tame 기호 \[\partial_A : K_{i + 1}^M(F) \to K_i^M(\kappa)\] 가 있다. [Kato-Milnor-K]를 보라. 더 일반적으로 정규화와 \(K_i^M\) 위의 노름 사상을 사용하면 \(A\)가 차원 \(1\)의 excellent 국소 정역인 경우에도 이 사상을 확장할 수 있다. [Kato-Milnor-K]를 보라. 아마도 Section 0EAH의 방법을 사용하면 차원 \(1\)의 임의의 뇌터 국소 정역 \(A\)에도 tame 기호 \(\partial_A\)의 구성을 확장할 수 있을 것이다. 다음으로 \(X\)를 차원 함수 \(\delta\)를 갖는 뇌터 스킴이라 하자. 그러면 이 tame 기호들을 사용하여 다음의 화살표들을 얻을 수 있다. \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j + 1} K^M_{i + 1}(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j} K^M_i(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j - 1} K^M_{i - 1}(\kappa(x))\] 그러나 그 합성이 영인지, 즉 아벨 군들의 복합체를 얻는지는 명백하지 않다. excellent \(X\)에 대해서는 이것이 [Kato-Milnor-K]에서 증명되었다. \(i = 1\)이고 \(j\)가 임의일 때에는 Lemma 0EAX로부터 따른다.

설정

이 장 전체에서 차원 함수 \(\delta\)가 주어진, 국소 뇌터이고 보편적 catenary인 밑 \(S\) 위에서 작업한다. 이 장의 논의 중 일부를 일반화할 수 있을 듯하지만, 이는 적절한 첫 근사로 보인다. 정확히 [Thorup]에서 논의한 일반성이다. 보통 우리의 스킴들이 분리이거나 준콤팩트라고 가정하지 않는다. 흥미로운 대수적 스택 가운데에는 비분리이거나 비준콤팩트인 것이 많으며, 이들에 대해서도 합리적인 이론을 어떻게 전개할지 살펴보기에 좋은 사례이다. 이 가설들을 참조할 수 있도록 번호를 붙인다.

설정

여기서 \(S\)는 국소 뇌터이고 보편적 catenary인 스킴이다. 또한 \(S\)에는 차원 함수 \(\delta : S \longrightarrow \mathbf{Z}\)가 주어져 있다고 가정한다.

보편적 catenary 스킴의 개념은 Morphisms, Definition 02J8를, 차원 함수의 개념은 Topology, Definition 02I9을 보라. 국소 뇌터 catenary 스킴은 국소적으로 차원 함수를 갖는다는 사실을 상기하자. Properties, Lemma 02IY을 보라. 또한 보편적 catenary인 스킴은 매우 많다. Morphisms, Lemma 02JB를 보라.

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(S\) 위에서 국소 유한형인 임의의 스킴 \(X\)는 국소 뇌터이고 catenary이다. 실제로 \((f : X \to S, \delta)\)에 결부되고 규칙 \(\delta_{X/S}(x) = \delta(f(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(f(x))}\kappa(x)\)로 주어지는 표준 차원 함수 \[\delta = \delta_{X/S} : X \longrightarrow \mathbf{Z}\] 가 \(X\)에 있다. Morphisms, Lemma 02JW를 보라. 더구나 \(h : X \to Y\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이고 \(x \in X\), \(y = h(x)\)이면, 명백히 \(\delta_{X/S}(x) = \delta_{Y/S}(y) + \text{trdeg}_{\kappa(y)}\kappa(x)\)이다. 이하에서는 이 함수와 그 성질들을 자유롭게 사용한다.

위와 같은 설정의 기본 예들은 다음과 같다. 실제로 주된 관심은 밑이 체의 스펙트럼인 경우나 데데킨트 환의 스펙트럼인 경우에 있다 (예를 들어 \(\mathbf{Z}\) 또는 이산 값매김환).

예

여기서 \(S = \Spec(k)\)이고 \(k\)는 체이다. \(pt\)가 \(S\)의 유일한 점을 나타낼 때 \(\delta(pt) = 0\)으로 놓는다. 쌍 \((S, \delta)\)는 Situation 02QL에서와 같은 상황의 예이다. 이는 Morphisms, Lemma 02JB에 따른다.

예

여기서 \(S = \Spec(A)\)이고 \(A\)는 차원 \(1\)의 뇌터 정역이다. 예를 들어 \(A = \mathbf{Z}\)를 생각할 수 있다. \(\mathfrak p\)가 극대 아이디얼이면 \(\delta(\mathfrak p) = 0\)으로 놓고, \(\mathfrak p = (0)\)이 생성점에 대응하면 \(\delta(\mathfrak p) = 1\)로 놓는다. 이는 Situation 02QL의 예이며 Morphisms, Lemma 02JB에 따른다.

예

여기서 \(S\)는 코언–매콜리 스킴이다. 그러면 Morphisms, Lemma 02JB에 의해 \(S\)는 보편적 catenary이다. \(\delta(s) = -\dim(\mathcal{O}_{S, s})\)로 놓는다. \(s' \leadsto s\)가 \(S\)의 점들의 자명하지 않은 특수화이면 \(\mathcal{O}_{S, s'}\)은 \(\mathcal{O}_{S, s}\)를 극대가 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{S, s}\)에서 국소화한 것이다. Schemes, Lemma 01J7를 보라.따라서 Algebra, Lemma 00NA에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{S, s}) = \dim(\mathcal{O}_{S, s'}) + \dim(\mathcal{O}_{S, s}/\mathfrak p) > \dim(\mathcal{O}_{S, s'})\)이다. 그러므로 \(\delta(s') > \delta(s)\)이다. \(s' \leadsto s\)가 즉시 특수화이면 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak m_s\) 사이에 소아이디얼이 엄밀하게 존재하지 않으므로 \(\delta(s') = \delta(s) + 1\)을 얻는다. 따라서 \(\delta\)는 차원 함수이다. 다시 말해 쌍 \((S, \delta)\)는 Situation 02QL의 예이다.

\(S\)가 야콥슨이고 \(\delta\)가 닫힌 점들을 영으로 보내면, \(\delta\)는 각 점을 그 폐포의 차원으로 보내는 함수이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. 추가로 \(S\)가 야콥슨 스킴이고 \(S\)의 모든 닫힌 점 \(s\)에 대해 \(\delta(s) = 0\)이라고 가정한다. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(Z \subset X\)를 정수적 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\xi \in Z\)를 그 생성점이라 하자. 다음 정수들은 서로 같다.

1. \(\delta_{X/S}(\xi)\),

2. \(\dim(Z)\), 그리고

3. \(z\)가 \(Z\)의 닫힌 점일 때 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\).

증명

\(X \to S\), \(\xi \in Z \subset X\)가 보조정리에서와 같다고 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이므로 \(X\)는 야콥슨이다. Morphisms, Lemma 02J5을 보라. 따라서 \(X\)의 닫힌 점들은 \(Z\)의 모든 닫힌 부분집합에서 조밀하고 \(S\)의 닫힌 점들로 간다. 그러므로 \(Z\)의 기약 닫힌 부분집합들의 임의의 사슬을 \(Z\)의 닫힌 점으로 끝낼 수 있다. 따라서 \(\dim(Z) = \sup_z(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\)이다(Properties, Lemma 02IZ를 보라). 여기서 \(z \in Z\)는 \(Z\)의 닫힌 점 전체를 달린다. 차원 함수의 성질에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) = \delta(\xi) - \delta(z)\)임에 유의하자. 각 닫힌 점 \(z \in Z\)에 대하여 체 확대 \(\kappa(z)/\kappa(f(z))\)는 유한하다. Morphisms, Lemma 01TB를 보라. 따라서 닫힌 \(z \in Z\)에 대하여 \(\delta_{X/S}(z) = \delta(f(z)) = 0\)이다. 이로부터 세 정수가 모두 같음이 따른다.

위 보조정리의 상황에서는 닫힌 기약 부분집합의 생성점에서의 \(\delta\) 값이 그 기약 닫힌 부분집합의 차원이다. 그러나 일반적으로는 이 등식을 기대할 수 없다. 예를 들어 \(S = \Spec(\mathbf{C}[[t]])\)이고 \(X = \Spec(\mathbf{C}((t)))\)이면 \(X\)의 유일한 점 x에 대하여 \(\delta(x) = 1\)을 얻지만 \(\dim(X) = 0\)이다. 그럼에도 우리는 \(\delta_{X/S}\)가 기약 닫힌 부분스킴들의 차원을 주는 것으로 생각하고 싶다. 따라서 다음 용어를 도입한다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(S\) 위에서 국소 유한형인 임의의 스킴 \(X\)와 임의의 기약 닫힌 부분집합 \(Z \subset X\)에 대하여 \[\dim_\delta(Z) = \delta(\xi)\] 로 정의한다. 여기서 \(\xi \in Z\)는 \(Z\)의 생성점이다. 이를 \(Z\)의 \(\delta\)-차원이라 부른다. \(Z\)가 \(X\)의 닫힌 부분스킴이면 \(\dim_\delta(Z)\)를 그 기약 성분들의 \(\delta\)-차원의 상한으로 정의한다.

순환

우리의 스킴들이 준콤팩트라고 가정하지 않으므로 순환을 정의할 때 약간 주의해야 한다. 예를 들어 유리함수에는 극이 무한히 많을 수 있으므로 무한합을 허용해야 한다. 어쨌든 \(X\)가 준콤팩트이면 순환은 통상적인 유한합이다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(X\) 위의 순환은 형식적 합 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 이다. 여기서 합은 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\) 전체에 걸쳐 취하고, 각 \(n_Z \in \mathbf{Z}\)이며, 모임 \(\{Z; n_Z \not = 0\}\)은 국소 유한이다(Topology, Definition 0BDS).

2. \(X\) 위의 \(k\)-순환은 \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] 꼴의 순환으로서 \(n_Z \not = 0 \Rightarrow \dim_\delta(Z) = k\)를 만족하는 것이다.

3. \(X\) 위의 모든 \(k\)-순환의 아벨 군을 \(Z_k(X)\)로 나타낸다.

다시 말해 \(X\) 위의 \(k\)-순환은 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정수적 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 형식적 \(\mathbf{Z}\)-선형결합이다. \(k\)-순환 \(\alpha = \sum n_Z[Z]\)와 \(\beta = \sum m_Z[Z]\)의 합은 \[\alpha + \beta = \sum (n_Z + m_Z)[Z],\] 즉 계수들을 더하여 주어진다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다. \[Z_k(X) = \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \quad\subset\quad \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k} K_0^M(\kappa(x))\] 여기서 표기와 규약은 다음과 같다.

1. \(K_0^M(\kappa(x)) = \mathbf{Z}\)는 점 \(x \in X\)의 잉여체 \(\kappa(x)\)의 밀너 K-이론의 차수 \(0\) 부분이다(Remark 0EAY를 보라).

2. 우변의 직합은 \(\delta(x) = k\)를 만족하는 모든 점 \(x \in X\)에 걸쳐 취한다.

3. 표기 \(\bigoplus'_x\)는 국소 유한 원소들로 이루어진 부분군을 생각한다는 뜻이다. 즉 모든 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(n_x \not = 0\)인 \(x \in U\)의 집합이 유한한 그러한 원소 \(\sum_x n_x\)를 뜻한다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\) 위의 순환 \(\alpha = \sum n_Z [Z]\)의 지지집합은 \[\text{Supp}(\alpha) = \bigcup\nolimits_{n_Z \not = 0} Z \subset X\] 이다.

모임 \(\{Z; n_Z \not = 0\}\)은 국소 유한이므로 \(\text{Supp}(\alpha)\)는 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. \(\alpha\)가 \(k\)-순환이면 \(\text{Supp}(\alpha)\)의 모든 기약 성분 \(Z\)는 \(\delta\)-차원 \(k\)를 갖는다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\) 위의 순환 \(\alpha\)가 모든 \(Z\)에 대하여 \(n_Z \geq 0\)인 꼴 \(\alpha =\sum n_Z [Z]\)로 쓰이면 유효라고 한다.

두 유효 순환의 합은 유효이므로 모든 유효 순환의 집합은 모노이드를 이루지만, 군은 아니다(\(X = \emptyset\)인 경우는 제외).

닫힌 부분스킴에 결부된 순환

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하고 \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자.

1. \(Z' \subset Z\)를 기약 성분이라 하고 \(\xi \in Z'\)를 그 생성점이라 하자. 그러면 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi} < \infty\] 이다.

2. \(\dim_\delta(Z) \leq k\)이고 \(\delta(\xi) = k\)인 \(\xi \in Z\)이면, \(\xi\)는 \(Z\)의 기약 성분의 생성점이다.

증명

(1)에서와 같이 \(Z' \subset Z\), \(\xi \in Z'\)를 택하자. 그러면 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, \xi}) = 0\)이다(예를 들어 Properties, Lemma 02IZ에 따른다). 따라서 \(\mathcal{O}_{Z, \xi}\)는 차원 0인 뇌터 국소환이고, 자기 자신 위에서 유한 길이를 갖는다(Algebra, Proposition 00KJ을 보라). 그러므로 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) 위에서도 유한 길이를 갖는다. Algebra, Lemma 00IX를 보라.

\(\xi \in Z\)이고 \(\delta(\xi) = k\)라고 하자. 폐포 \(Z' = \overline{\{\xi\}}\)를 생각하자. 이는 정의에 의해 \(\dim_\delta(Z') = k\)인 기약 닫힌 부분스킴이다. \(\dim_\delta(Z) = k\)이므로 이는 \(Z\)의 기약 성분이어야 한다. 따라서 (2)가 성립한다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하고 \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자.

1. 생성점이 \(\xi\)인 \(Z\)의 임의의 기약 성분 \(Z' \subset Z\)에 대하여 정수 \(m_{Z', Z} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi}\) (Lemma 02QT)를 \(Z\)에서 \(Z'\)의 중복도라 부른다.

2. \(\dim_\delta(Z) \leq k\)라고 하자. \(Z\)에 결부된 \(k\)-순환은 \[[Z]_k = \sum m_{Z', Z}[Z']\] 로 정의한다. 여기서 합은 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 \(Z\)의 기약 성분들에 대해 취한다. 이는 Divisors, Lemma 0BE1에 의해 \(k\)-순환이다.

\(\delta\)-차원이 \(k\)를 넘지 않을 때에만 \([Z]_k\)를 정의한다는 점이 중요하다. 다시 말해 관례상 \([Z]_k\)라고 쓰면 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)임을 뜻한다.

코히런트 층에 결부된 순환

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-코히런트 모듈이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)의 지지집합의 기약 성분들의 모임은 국소 유한이다.

2. \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)를 기약 성분이라 하고 \(\xi \in Z'\)를 그 생성점이라 하자. 그러면 \[\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi < \infty\] 이다.

3. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)이고 \(\xi \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)에서 \(\delta(\xi) = k\)이면, \(\xi\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 기약 성분의 생성점이다.

증명

Cohomology of Schemes, Lemma 01Y5에 의해 지지집합 \(Z\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. \(Z\)를 \(X\)의 축소된 닫힌 부분스킴으로 생각할 수 있다(Schemes, Lemma 01J3). 따라서 (1)은 \(Z\)에 Divisors, Lemma 0BE1를 적용한 결과이고, (3)은 \(Z\)에 Lemma 02QT를 적용한 결과이다.

(2)에서와 같이 \(\xi \in Z'\)를 택하자. 이 경우 임의의 특수화 \(\xi' \leadsto \xi\)가 \(X\)에서 주어지면 \(\mathcal{F}_{\xi'} = 0\)이다. \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 극대가 아닌 소아이디얼들은 \(X\)에서 \(\xi\)로 특수화하는 점들에 대응한다(Schemes, Lemma 01J7). 따라서 \(\mathcal{F}_\xi\)는 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 유한 모듈이고 그 지지집합은 \(\{\mathfrak m_\xi\}\)이다. 그러므로 Algebra, Lemma 00L5에 의해 유한 길이를 갖는다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-코히런트 모듈이라 하자.

1. \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)를 기약 성분이라 하고 그 생성점을 \(\xi\)라 하자. 정수 \(m_{Z', \mathcal{F}} = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi\) (Lemma 02QW)를 \(\mathcal{F}\)에서 \(Z'\)의 중복도라 부른다.

2. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)라고 하자. \(k\)-순환을 \(\mathcal{F}\)에 결부된 것으로 정의하면 \[[\mathcal{F}]_k = \sum m_{Z', \mathcal{F}}[Z']\] 로 정의한다. 여기서 합은 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 \(\delta\)-차원이 \(k\)인 기약 성분들에 대해 취한다. (이는 Lemma 02QW에 의해 \(k\)-순환이다.)

\(\mathcal{F}\)가 코히런트이고 \(\delta\)-차원이 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 \(k\)를 넘지 않을 때에만 \([\mathcal{F}]_k\)를 정의한다는 점이 중요하다. 다시 말해 관례상 \([\mathcal{F}]_k\)라고 쓰면 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 코히런트 모듈이고 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)임을 뜻한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하고 \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\dim_\delta(Z) \leq k\)이면 \([Z]_k = [{\mathcal O}_Z]_k\)이다.

증명

이 경우 정의에 의해 중복도 \(m_{Z', Z}\)와 \(m_{Z', \mathcal{O}_Z}\)가 같기 때문이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\)을 \(X\) 위의 코히런트 층들의 짧은 완전열이라 하자. 그 지지집합들의 \(\delta\)-차원이 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), \(\mathcal{H}\)에 대해 \(\leq k\)라고 가정하자. 그러면 \([\mathcal{G}]_k = [\mathcal{F}]_k + [\mathcal{H}]_k\)이다.

증명

길이의 가법성에서 즉시 따른다. Algebra, Lemma 00IV를 보라.

고유 밂을 위한 준비

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 사상이라 하자. \(X\), \(Y\)가 기약이고 \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. 그러면 \(f(X)\)가 \(Y\)의 진부분 닫힌 부분스킴에 포함되거나, \(f\)가 우세이고 함수체의 확대 \(R(X)/R(Y)\)가 유한이다.

증명

\(\overline{f(X)} \subset Y\)는 \(X\)가 기약이므로 기약이다(Topology, Lemmas 0379 및 004W). \(\overline{f(X)} \not = Y\)이면 증명할 것이 없다. \(\overline{f(X)} = Y\)이면 \(f\)는 우세이고 Morphisms, Lemma 01RM에 의해 \(Y\)의 일반점 \(\eta_Y\)가 \(f\)의 상에 속함을 안다. 이는 물론 \(f(\eta_X) = \eta_Y\)임을 뜻한다. 여기서 \(\eta_X \in X\)는 \(X\)의 일반점이다. \(\delta(\eta_X) = \delta(\eta_Y)\)이므로 \(R(Y) = \kappa(\eta_Y) \subset \kappa(\eta_X) = R(X)\)는 초월차수 \(0\)인 확대이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02NX에 의해 \(R(Y) \subset R(X)\)는 유한 확대이다(이는 Morphisms, Lemma 01T8에 의해 적용된다).

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 사상이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이고 \(\{Z_i\}_{i \in I}\)가 \(X\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임이라고 가정하자. 그러면 \(\{\overline{f(Z_i)}\}_{i \in I}\)는 \(Y\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임이다.

증명

\(V \subset Y\)를 준콤팩트 열린부분집합이라 하자. \(f\)가 준콤팩트이므로 열린집합 \(f^{-1}(V)\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(\{i \in I \mid Z_i \cap f^{-1}(V) \not = \emptyset \}\) 는 간단한 위상수학적 논증에 의해 유한하다(그 논증은 생략한다). 이는 다음 집합과 같다. \[\{i \in I \mid f(Z_i) \cap V \not = \emptyset \} = \{i \in I \mid \overline{f(Z_i)} \cap V \not = \emptyset \}\] 따라서 보조정리가 증명된다.

고유 밂

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 사상이라 하자. \(f\)가 고유하다고 가정하자.

1. \(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) = k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음과 같이 정의한다. \[f_*[Z] = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & \dim_\delta(f(Z))< k, \\ \deg(Z/f(Z)) [f(Z)] & \text{if} & \dim_\delta(f(Z)) = k. \end{matrix} \right.\] 여기서 \(f(Z) \subset Y\)를 정역 닫힌 부분스킴으로 생각한다. \(\dim_\delta(f(Z)) = \dim_\delta(Z)\)이면 \(Z\)에서 \(f(Z)\) 위의 차수는 Lemma 02R1에 의해 유한하다.

2. \(\alpha = \sum n_Z [Z]\)를 \(X\) 위의 \(k\)-순환이라 하자. \(\alpha\)의 밂을 다음 합으로 정의한다. \[f_* \alpha = \sum n_Z f_*[Z]\] 여기서 각 \(f_*[Z]\)는 위와 같이 정의한다. 합은 앞의 Lemma 02R2에 의해 국소 유한이다.

정의에 의해 순환의 고유 밂 \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] 은 아벨 군의 준동형이다. 이는 \(X \mapsto Z_k(X)\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 범주에서, 사상을 고유 사상으로 제한하여 공변 함자로 만든다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\), \(Z\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 고유 사상이라 하자. 그러면 \(Z_k(X) \to Z_k(Z)\)인 사상들로서 \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\)이다.

증명

\(W \subset X\)를 차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(W' = f(W) \subset Y\) 및 \(W'' = g(f(W)) \subset Z\)를 생각하자. \(f\), \(g\)가 고유이므로 \(W'\) (resp. \(W''\))는 각각 \(Y\) (resp. \(Z\))의 정역 닫힌 부분스킴이다. 다음을 보이면 된다. \(g_*(f_*[W]) = (g \circ f)_*[W]\). \(\dim_\delta(W'') < k\)이면 양변은 모두 영이다. \(\dim_\delta(W'') = k\)이면 유도된 사상 \[W \longrightarrow W' \longrightarrow W''\] 은 둘 다 Lemma 02R1의 가정을 만족한다. 따라서 \[g_*(f_*[W]) = \deg(W/W')\deg(W'/W'')[W''], \quad (g \circ f)_*[W] = \deg(W/W'')[W''].\] 이제 Morphisms, Lemma 02NZ을 적용하면 결론을 얻는다.

닫힌 몰입은 고유하다. \(i : Z \to X\)가 닫힌 몰입이면 \[i_* : Z_k(Z) \longrightarrow Z_k(X)\] 는 모두 단사이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(X_1, X_2 \subset X\)를 집합으로 \(X = X_1 \cup X_2\)가 되는 닫힌 부분스킴이라 하자. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대하여 다음 아벨 군의 열 \[\xymatrix{ Z_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & Z_k(X_1) \oplus Z_k(X_2) \ar[r] & Z_k(X) \ar[r] & 0 }\] 은 정확하다. 여기서 \(X_1 \cap X_2\)는 스킴론적 교집합이고, 사상은 하나에 \(-1\)을 곱한 고유 밂 사상들이다.

증명

먼저 \(X\)가 준콤팩트라고 하자. 그러면 \(Z_k(X)\)는 원소들 \([Z]\)를 기저로 갖는 자유 \(\mathbf{Z}\)-모듈이며, 여기서 \(Z \subset X\)는 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이다. 군 \(Z_k(X_1)\), \(Z_k(X_2)\), \(Z_k(X_1 \cap X_2)\)는 각각 \(Z \subset X_1\), \(Z \subset X_2\), \(Z \subset X_1 \cap X_2\)인 그러한 \(Z\)들의 부분집합을 기저로 하여 자유이다. 이 경우 보조정리는 즉시 성립한다. 일반적인 경우도 유사하며 증명은 생략한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 고유 사상이라 하자.

1. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)라고 하자. 그러면 \[f_*[Z]_k = [f_*{\mathcal O}_Z]_k.\]

2. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 코히런트 층이라 하고 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)라고 하자. 그러면 \[f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*{\mathcal F}]_k.\]

이 진술은 \(f_*\mathcal{F}\)와 \(f_*\mathcal{O}_Z\)가 Cohomology of Schemes, Proposition 02O5에 의해 코히런트 \(\mathcal{O}_Y\)-모듈이므로 의미가 있다.

증명

(1)은 (2)와 Lemma 02QY에서 따른다. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 코히런트 층이라 하자. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)라고 가정하자. Cohomology of Schemes, Lemma 01Y5에 의해 닫힌 부분스킴 \(i : Z \to X\)와 코히런트 \(\mathcal{O}_Z\)-모듈 \(\mathcal{G}\)가 존재하여 \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\)이고 \(\mathcal{F}\)의 지지집합은 \(Z\)이다. \(Z' \subset Y\)를 \(f|_Z : Z \to Y\)의 스킴론적 상이라 하자. 다음 스킴의 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_{f|_Z} & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r]^{i'} & Y }\] 도식의 두 경로를 따라 합성하면 \(f_*\mathcal{F} = f_*i_*\mathcal{G} = i'_*(f|_Z)_*\mathcal{G}\)이다. 닫힌 몰입과 \(f|_Z\)에 대해 결론이 성립한다고 가정하자. 그러면 \[f_*[\mathcal{F}]_k = f_*i_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*(f|_Z)_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*[(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [(i')_*(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\] 를 얻어 원하는 바가 따른다. 닫힌 몰입인 경우는 직접 확인할 수 있으므로 생략한다. \(f|_Z : Z \to Z'\)가 우세 사상임을 유의하라(Morphisms, Lemma 01R8를 보라). 따라서 \(\dim_\delta(X) \leq k\)이고 \(f : X \to Y\)가 고유 우세 사상인 경우로 환원되었다.

\(\dim_\delta(X) \leq k\)이고 \(f : X \to Y\)가 고유 우세 사상이라고 하자. \(f\)가 우세이므로, 생성점이 \(\eta\)인 모든 기약 성분 \(Z \subset Y\)에 대해 \(f(\xi) = \eta\)인 점 \(\xi \in X\)가 존재한다. 따라서 \(\delta(\eta) \leq \delta(\xi) \leq k\)이다. 그러므로 식 \[f_*[\mathcal{F}]_k = \sum n_Z[Z], \quad \text{and} \quad [f_*\mathcal{F}]_k = \sum m_Z[Z].\] 에서 \(n_Z \not = 0\) 또는 \(m_Z \not = 0\)이면, 정역 닫힌 부분스킴 \(Z\)는 실제로 \(Y\)의 \(\delta\)-차원 \(k\)인 기약 성분이다. 그러한 정역 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Y\)를 택하고 그 생성점을 \(\eta\)라 쓰자. \(f(\xi) = \eta\)인 임의의 \(\xi \in X\)에 대해 \(\delta(\xi) \geq k\)이고, 따라서 \(\xi\) 역시 \(X\)의 \(\delta\)-차원 \(k\)인 기약 성분의 생성점임을 유의하라(Lemma 02QT를 보라). \(f\)가 준콤팩트이고 \(X\)가 국소 뇌터이므로 그러한 점은 유한 개뿐이고, 따라서 \(f^{-1}(\{\eta\})\)는 유한하다. Morphisms, Lemma 02NW에 의해 \(f^{-1}(V) \to V\)가 유한이 되는 열린 근방 \(\eta \in V \subset Y\)가 존재한다. \(Y\)를 \(V\)로, \(X\)를 \(f^{-1}(V)\)로 바꾸면 \(Y\)가 아핀이고 \(f\)가 유한인 경우로 환원된다.

\(Y = \Spec(R)\)이고 \(X = \Spec(A)\)라 쓰자(유한 사상은 아핀이므로 가능하다). 그러면 \(R\)과 \(A\)는 뇌터 환이고 \(A\)는 \(R\) 위에서 유한이다. 또한 어떤 유한 \(A\)-모듈 \(M\)에 대해 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이다. \(f_*\mathcal{F}\)는 \(R\)-모듈로 본 \(M\)에 대응함을 유의하라. \(\eta \in Y\)에 대응하는 극소 소아이디얼을 \(\mathfrak p \subset R\)라 하자. \([f_*\mathcal{F}]_k\)에서 \(Z\)의 계수는 분명 \(\text{length}_{R_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})\)이다. \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 \(A\)의 소아이디얼들을 \(\mathfrak q_i\), \(i = 1, \ldots, t\)라 하자. 그러면 \(A_{\mathfrak p} = \prod A_{\mathfrak q_i}\)이다. 실제로 \(R_{\mathfrak p}\)는 차원 0인 뇌터 국소환이고 \(A_{\mathfrak p}\)는 그 위에서 유한이므로 아르틴 환이다. \(f_*[\mathcal{F}]_k\)에서 \(Z\)의 계수는 분명 \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} [\kappa(\mathfrak q_i) : \kappa(\mathfrak p)] \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i})\] 이다. 따라서 원하는 등식은 Algebra, Lemma 02M0에서 따른다.

평탄 당김을 위한 준비

국소 유한형 사상 \(f : X \to Y\)에서 공집합이 아닌 모든 섬유가 차원 \(r\)인 등차원이면 이 사상이 상대차원 \(r\)을 갖는다고 함을 상기하자. Morphisms, Definition 02NJ를 보라.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 사상이라 하자. \(f\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정하자. 임의의 닫힌 부분집합 \(Z \subset Y\)에 대해 \(f^{-1}(Z)\)가 공집합이 아니면 \[\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = \dim_\delta(Z) + r.\] 또한 \(Z\)가 기약이고 \(Z' \subset f^{-1}(Z)\)가 기약 성분이면, \(Z'\)는 \(Z\) 위에 우세이고 \(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z) + r\)이다.

증명

마지막 명제를 증명하면 충분하다. \(Y\)를 정역 닫힌 부분스킴 \(Z\)로, \(X\)를 스킴론적 역상 \(f^{-1}(Z) = Z \times_Y X\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(Z = Y\)가 정역이고 \(f\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정할 수 있다. \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(f\)가 국소 유한형이므로 실제로 국소 유한 표시이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01UA를 적용할 수 있고 \(f\)가 열린 사상임을 알 수 있다. \(\xi \in X\)를 \(X\)의 한 기약 성분의 생성점이라 하자. \(f\)가 열린 사상이므로 \(f(\xi)\)는 \(Z = Y\)의 생성점 \(\eta\)이다. \(f\)가 상대차원 \(r\)이라는 가정에 의해 \(\dim_\xi(X_\eta) = r\)임을 유의하라. 한편 \(\xi\)가 \(X\)의 생성점이므로 \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \mathcal{O}_{X_\eta, \xi}\)는 소아이디얼을 하나만 가지며 따라서 차원은 \(0\)이다. 그러므로 Morphisms, Lemma 02FX에 의해 \(\kappa(\xi)\)의 \(\kappa(\eta)\) 위 초월차수는 \(r\)이다. 다시 말해 원하는 대로 \(\delta(\xi) = \delta(\eta) + r\)이다.

국소 유한인 닫힌 부분스킴 모임의 평탄 당김도 국소 유한임을 증명할 때 사용할 보조정리는 다음과 같다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 사상이라 하자. \(\{Z_i\}_{i \in I}\)가 \(Y\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임이라고 가정하자. 그러면 \(\{f^{-1}(Z_i)\}_{i \in I}\)는 \(X\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임이다.

증명

\(U \subset X\)를 준콤팩트 열린 부분집합이라 하자. 상 \(f(U) \subset Y\)가 준콤팩트 부분집합이므로 \(f(U) \subset V\)인 준콤팩트 열린 부분집합 \(V \subset Y\)가 존재한다. 다음 포함을 유의하라. \[\{i \in I \mid f^{-1}(Z_i) \cap U \not = \emptyset \} \subset \{i \in I \mid Z_i \cap V \not = \emptyset \}.\] 가정에 의해 우변이 유한이므로 결론이 따른다.

평탄 당김

이하에서는 스킴 사상 \(f : X \to Y\)와 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Y\)에 대해 \(f^{-1}(Z)\)로 그 스킴론적 역상을 나타낸다. 스킴론적 역상은 섬유곱 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] 임을 상기하자. 또한 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)가 \(Y\) 안의 \(Z\)에 대응하는 준연접 아이디얼 층이면, 이는 준연접 아이디얼 층 \(f^{-1}(\mathcal{I})\mathcal{O}_X\)가 잘라내는 \(X\)의 닫힌 부분스킴이기도 하다. (이는 Schemes, Section 01HJ, Lemma 01JU, Definition 01JV에서 논의한다.)

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 사상이라 하자. \(f\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정하자.

1. \(Z \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(X\) 위에서 스킴론적 역상에 결부된 \((k+r)\)-순환 \(f^*[Z]\)를 \[f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k+r}.\] 로 정의한다. Lemma 02R8에 의해 \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = k + r\)이므로 이 정의는 타당하다.

2. \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\)를 \(Y\) 위의 \(k\)-순환이라 하자. \(f\)에 의한 \(\alpha\)의 평탄 당김은 합 \[f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\] 으로 정의한다. 여기서 각 \(f^*[Z_i]\)는 위와 같이 정의한다. 이 합은 Lemma 02R9에 의해 국소 유한이다.

3. 이렇게 얻은 아벨 군의 사상을 \(f^* : Z_k(Y) \to Z_{k + r}(X)\)로 나타낸다.

열린 몰입은 평탄하다. 이는 평탄 사상의 중요하지만 자명한 특수한 경우이다. \(U \subset X\)가 열려 있으면, 순환을 \(j : U \to X\)로 당긴 것을 때때로 그 순환의 \(U\)에 대한 제한이라고 부른다. 이 경우 사상 \[j^* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(U)\] 은 모두 전사임을 유의하라. 실제로 임의의 정역 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset U\)가 주어지면, 폐포 \(Z\)를 \(Z'\)의 \(X\) 안에서의 폐포로 택하여 \(X\)의 축소 닫힌 부분스킴으로 생각할 수 있다(Schemes, Lemma 01J3를 보라). 그리고 분명 \(Z \cap U = Z'\), 다시 말해 \(j^*[Z] = [Z']\)이므로 전사성이 따른다. 사실 조금 더 강한 명제가 성립한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하고, \(i : Y = X \setminus U \to X\)를 \(X\)의 축소 닫힌 부분스킴으로 나타내자. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 열 \[\xymatrix{ Z_k(Y) \ar[r]^{i_*} & Z_k(X) \ar[r]^{j^*} & Z_k(U) \ar[r] & 0 }\] 은 아벨 군의 완전 복합체이다.

증명

먼저 \(X\)가 준콤팩트라고 가정하자. 그러면 \(Z_k(X)\)는 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 \(Z \subset X\)에 대응하는 원소 \([Z]\)들을 기저로 하는 자유 \(\mathbf{Z}\)-모듈이다. 그러한 기저 원소는 \([Z \cap U]\)로 가거나, \(Z \subset Y\)이면 영으로 간다. 따라서 이 경우 보조정리는 분명하다. 일반적인 경우도 비슷하므로 증명을 생략한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X, Y, Z\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 각각 상대차원 \(r\)과 \(s\)인 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(g \circ f\)는 상대차원 \(r + s\)인 평탄 사상이고 \[f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\] 가 사상 \(Z_k(Z) \to Z_{k + r + s}(X)\)로서 성립한다.

증명

Morphisms, Lemma 02NL에 의해 합성은 상대차원 \(r + s\)인 평탄 사상이다. 다음을 가정하자.

1. \(W \subset Z\)는 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이고,

2. \(W' \subset Y\)는 \(\delta\)-차원 \(k + s\)인 정역 닫힌 부분스킴으로 \(W' \subset g^{-1}(W)\)이며,

3. \(W'' \subset Y\)는 \(\delta\)-차원 \(k + s + r\)인 정역 닫힌 부분스킴으로 \(W'' \subset f^{-1}(W')\)이다.

\((g \circ f)^*[W]\)에서 \([W'']\)의 계수 \(n\)이 \(f^*(g^*[W])\)에서 \([W'']\)의 계수 \(m\)과 같음을 보여야 한다. 이러한 경우들만 확인하면 충분하다는 것은 Lemma 02R8에서 따른다. \(\xi'' \in W''\), \(\xi' \in W'\), \(\xi \in W\)를 각각의 생성점이라 하자. 국소환 \(A = \mathcal{O}_{Z, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\), \(C = \mathcal{O}_{X, \xi''}\)를 생각하자. 그러면 평탄 국소 환 사상 \(A \to B\), \(B \to C\)가 있고, 더 나아가 \[n = \text{length}_C(C/\mathfrak m_AC), \quad \text{and} \quad m = \text{length}_C(C/\mathfrak m_BC) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] 이다. 따라서 등식은 Algebra, Lemma 02M2에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X, Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자.

1. \(Z \subset Y\)를 \(\dim_\delta(Z) \leq k\)인 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) \leq k + r\)이고 \([f^{-1}(Z)]_{k + r} = f^*[Z]_k\)가 \(Z_{k + r}(X)\)에서 성립한다.

2. \(\mathcal{F}\)를 \(Y\) 위의 코히런트 층이라 하고 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)라고 하자. 그러면 \(\dim_\delta(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})) \leq k + r\)이고 \[f^*[{\mathcal F}]_k = [f^*{\mathcal F}]_{k+r}\] 가 \(Z_{k + r}(X)\)에서 성립한다.

증명

차원에 관한 명제들은 Lemma 02R8에서 즉시 따른다. (1)은 (2), Lemma 02QY, 그리고 \(f^*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_{f^{-1}(Z)}\)라는 사실에서 따른다.

(2)의 증명. \(X\), \(Y\)가 국소 뇌터이므로 Cohomology of Schemes, Lemma 01XZ를 적용하여 \(\mathcal{F}\)가 유한형임을 알 수 있다. 따라서 \(f^*\mathcal{F}\)가 유한형이고(Modules, Lemma 01B6), 다시 Cohomology of Schemes, Lemma 01XZ에 의해 \(f^*\mathcal{F}\)는 코히런트이다. 그러므로 보조정리의 명제는 의미가 있다. \(W \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하고, \(W' \subset X\)를 \(f\)에 의해 \(W\) 안으로 사상되는 차원 \(k + r\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(f^*[{\mathcal F}]_k\)에서 \([W']\)의 계수 \(n\)이 \([f^*{\mathcal F}]_{k+r}\)에서 \([W']\)의 계수 \(m\)과 같음을 보여야 한다. \(\xi \in W\)와 \(\xi' \in W'\)를 각각의 생성점이라 하자. \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi'}\)라 하고 \(A\)-모듈로서 \(M = \mathcal{F}_\xi\)라 두자. (차원에 관한 가정에 의해 \(M\)은 유한 길이를 갖지만 실제로 이를 확인할 필요는 없다. Lemma 02QW를 보라.) \(f^*\mathcal{F}_{\xi'} = B \otimes_A M\)이다. 따라서 \[n = \text{length}_B(B \otimes_A M) \quad \text{and} \quad m = \text{length}_A(M) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] 이다. 그러므로 등식은 Algebra, Lemma 02M1에서 따른다.

밂과 당김

이 절에서는 고유 밂과 평탄 당김이 정의되는 경우 서로 양립함을 확인한다. 위에서 한 작업에 의해 이는 코호몰로지와 기저변환의 결과이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 섬유곱 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] 이 주어졌다고 하자. \(f : X \to Y\)가 고유이고 \(g : Y' \to Y\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라고 가정하자. 그러면 \(f'\)도 고유이고 \(g'\)도 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이다. \(X\) 위의 임의의 \(k\)-순환 \(\alpha\)에 대해 \[g^*f_*\alpha = f'_*(g')^*\alpha\] 가 \(Z_{k + r}(Y')\)에서 성립한다.

증명

\(f'\)가 고유라는 주장은 Morphisms, Lemma 01W4에서 따른다. \(g'\)가 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라는 주장은 Morphisms, Lemmas 02NK와 01U9에서 따른다. 어떤 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset X\)에 대해 \(\alpha = [W]\)인 경우에 순환의 등식을 증명하면 충분하다. 이 경우 Lemma 02QY에 의해 \(\alpha = [\mathcal{O}_W]_k\)임을 유의하라. 따라서 Lemmas 02R6와 02RE에 의해 \(f'_*(g')^*\mathcal{O}_W\)가 \(g^*f_*\mathcal{O}_W\)와 동형임을 보이면 충분하다. 이는 코호몰로지와 기저변환에서 따른다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH를 보라.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 차수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상이라 하자(Morphisms, Definition 02KA를 보라). 그러면 \(f\)는 고유인 동시에 상대차원 \(0\)인 평탄 사상이고, \[f_*f^*\alpha = d\alpha\] 가 모든 \(\alpha \in Z_k(Y)\)에 대해 성립한다.

증명

유한 국소 자유 사상은 Morphisms, Lemma 02KB에 의해 평탄하고 유한하며, 유한 사상은 Morphisms, Lemma 01WN에 의해 고유이다. 유한 사상의 상대차원이 \(0\)임을 보이는 것은 생략한다. 따라서 공식은 의미가 있다. 이를 증명하기 위해 \(Z \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\alpha = [Z]\)인 경우의 공식을 증명하면 충분하다. 유한 국소 자유 사상의 기저변환은 유한 국소 자유이므로 (Morphisms, Lemma 02KD), \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\)는 \(Z\) 위에서 계수 \(d\)인 유한 국소 자유 층이다. 그러므로 \[f_*f^*[Z] = f_*f^*[\mathcal{O}_Z]_k = [f_*f^*\mathcal{O}_Z]_k = d[Z]\] 이다. 여기서 Lemmas 02RE와 02R6를 사용하였다.

주약수를 위한 준비

이 절의 일부 내용은 Divisors, Section 0BE0의 논의와 부분적으로 겹친다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(X\)가 정역이라고 가정하자.

1. \(Z \subset X\)가 정역 닫힌 부분스킴이면 다음은 동치이다.

   1. \(Z\)는 소약수이고,

   2. \(Z\)는 \(X\)에서 여차원 \(1\)이며,

   3. \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\)이다.

2. \(Z\)가 \(X\) 위의 유효 카르티에 약수의 한 기약 성분이면 \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\)이다.

증명

(1)은 소약수의 정의(Divisors, Definition 0BE2)와 차원 함수의 정의(Topology, Definition 02I9)에서 따른다. \(\xi \in Z\)를 유효 카르티에 약수 \(D \subset X\)의 기약 성분 \(Z\)의 생성점이라 하자. 그러면 \(\dim(\mathcal{O}_{D, \xi}) = 0\)이고, 어떤 영인자가 아닌 원소 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\)에 대해 \(\mathcal{O}_{D, \xi} = \mathcal{O}_{X, \xi}/(f)\)이다(Divisors, Lemma 0AG8). 따라서 Algebra, Lemma 00KW에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)이다. 그러므로 Properties, Lemma 02IZ에 의해 \(Z\)는 (1)의 경우에 해당하며 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\xi \in Y\)를 점이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\), \(Y\)는 정역이고,

2. \(Y\)는 국소 뇌터이며,

3. \(f\)는 고유 우세 사상이고 \(R(Y) \subset R(X)\)는 유한이며,

4. \(\dim(\mathcal{O}_{Y, \xi}) = 1\)이다.

그러면 \(\xi\)의 열린 근방 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\)는 유한이다.

증명

이 보조정리는 Varieties, Lemma 0AB7의 특수한 경우이다. 이 경우의 직접적인 논증은 다음과 같다. Cohomology of Schemes, Lemma 02OH에 의해 \(f^{-1}(\{\xi\})\)가 유한임을 증명하면 충분하다. \(Y\)를 아핀 열린 부분으로 바꾸고 \(Y = \Spec(R)\)라 하자. \(Y\)가 국소 뇌터라고 가정했으므로 \(R\)은 뇌터임을 유의하라. \(f\)는 고유이므로 준콤팩트이다. 따라서 각 \(U_i = \Spec(A_i)\)가 아핀 열린 부분인 유한 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)을 찾을 수 있다. \(R \to A_i\)는 정역의 유한형 단사 준동형이며, 유도된 분수체 확대는 유한임을 유의하라. 따라서 보조정리는 Algebra, Lemma 02MA에서 따른다.

주약수

다음 정의는 현재 설정에서 Divisors, Definition 0BE3에 대응하는 정의이다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. \(f\)에 결부된 주약수는 Divisors, Definition 0BE3에서 정의한 \((n - 1)\)-순환 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] 이다. Lemma 02RK에 의해 소약수의 \(\delta\)-차원은 \(n - 1\)이므로 이 정의는 타당하다.

정의의 상황에서 \(f, g \in R(X)^*\)에 대해 \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] 가 \(Z_{n - 1}(X)\)에서 성립한다. Divisors, Lemma 02RP를 보라. 다음 보조정리는 더 일반적인 Lemma 02S1로 대체될 것이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\), \(Y\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(g \in R(Y)^*\)라 하자. 그러면 \[f^*(\text{div}_Y(g)) = \text{div}_X(g)\] 가 \(Z_{n + r - 1}(X)\)에서 성립한다.

증명

\(f\)가 평탄이므로 우세이고, 따라서 \(f\)는 매입 \(R(Y) \subset R(X)\)를 유도함을 유의하라. 그러므로 \(g\)를 \(R(X)^*\)의 원소로 생각할 수 있다. \(Z \subset X\)를 \(\delta\)-차원 \(n + r - 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\xi \in Z\)를 그 생성점이라 하자. \(\dim_\delta(f(Z)) > n - 1\)이면 등식의 좌변과 우변에서 \([Z]\)의 계수가 영임을 알 수 있다. 따라서 \(Z' = \overline{f(Z)}\)가 \(Y\)의 \(\delta\)-차원 \(n - 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이라고 가정할 수 있다. \(\xi' = f(\xi)\)라 하자. 이는 \(Z'\)의 생성점이다. \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\)라 두자. 환 사상 \(A \to B\)는 차원 \(1\)인 뇌터 국소 정역들의 평탄 국소 준동형이다. \(g\)는 \(A\)의 분수체 안에 있다. 보여야 할 것은 \[\text{ord}_A(g) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{ord}_B(g).\] 이다. 이는 Algebra, Lemma 02M1에서 따른다(세부사항은 생략한다).

주약수와 밂

첫 번째 보조정리에 따르면 일반적으로 유한인 사상을 따라 주약수를 밀어 보낸 것은 주약수이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\), \(Y\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. \(p : X \to Y\)를 고유 우세 사상이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하고 \[g = \text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(f).\] 로 두자. 그러면 \(p_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\)이다.

증명

\(Z \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(n - 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(p_*\text{div}(f)\)와 \(\text{div}(g)\)에서 \([Z]\)의 계수가 같음을 보이고자 한다. 사상 \(p : X \to Y\)와 생성점 \(\xi \in Z\)에 Lemma 02RM을 적용할 수 있다. 따라서 \(Y\)를 \(\xi\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어 \(p : X \to Y\)가 유한이라고 가정할 수 있다. \(Y = \Spec(R)\), \(X = \Spec(A)\)라 쓰자. 여기서 \(p\)는 뇌터 정역의 유한 준동형 \(R \to A\)에 의해 유도되고, 이 준동형은 분수체의 유한 확대 \(L/K\)를 유도한다. 이제 \(f \in L\), \(g = \text{Nm}(f) \in K\)이고, \(\dim(R_{\mathfrak p}) = 1\)인 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)가 주어져 있다. \(\text{div}_Y(g)\)에서 \([Z]\)의 계수는 \(\text{ord}_{R_\mathfrak p}(g)\)이다. \(p_*\text{div}_X(f)\)에서 \([Z]\)의 계수는 \[\sum\nolimits_{\mathfrak q\text{ lying over }\mathfrak p} [\kappa(\mathfrak q) : \kappa(\mathfrak p)] \text{ord}_{A_{\mathfrak q}}(f)\] 이다. 그러므로 원하는 등식은 Algebra, Lemma 02MJ에서 따른다.

주약수에 관한 논의에서 \(\mathbf{P}^1_S\) 위의 “보편” 주약수 \([0] - [\infty]\)가 중요한 역할을 한다. 이를 더 정확히 하기 위해 [0F93]\[\begin{equation} D_0, D_\infty \subset \mathbf{P}^1_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, T_1]) \end{equation}\] 로 \(\mathcal{O}(1)\)의 단면 \(T_1\), resp. \(T_0\)가 잘라내는 닫힌 부분스킴을 나타내자. 이들은 유효 카르티에 약수이다. Divisors, Definition 01WR와 Lemma 01X0를 보라. 다음 보조정리는 느슨히 말해 “\(\text{div}(T_1/T_0) = [D_0] - [D_1]\)”이고 이것이 보편 주약수임을 말한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. \(f\)가 단면 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\)에 대응하는 공집합이 아닌 열린 부분집합 \(U \subset X\)를 택하자. \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\)를 \(f : U \to \mathbf{P}^1_S\)의 그래프의 폐포라 하자. 그러면

1. 사영 사상 \(p : Y \to X\)는 고유이고,

2. \(p|_{p^{-1}(U)} : p^{-1}(U) \to U\)는 동형이며,

3. 사상 \(q : Y \to \mathbf{P}^1_S\)에 의한 당김 \(Y_0 = q^{-1}D_0\)와 \(Y_\infty = q^{-1}D_\infty\)가 정의되고(Divisors, Definition 01WV),

4. \[\text{div}_Y(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\] 이며,

5. \[\text{div}_X(f) = p_*\text{div}_Y(f)\] 이고,

6. \(p\)를 통해 \(Y_0\)와 \(Y_\infty\)를 \(X\)의 닫힌 부분스킴으로 보면 \[\text{div}_X(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\] 이다.

증명

\(X\)가 정역이므로 \(U\)도 정역임을 알 수 있다. 따라서 \(Y\)는 정역이고 \((1, f)(U) \subset Y\)는 열린 조밀 부분스킴이다. 또한 닫힌 부분스킴 \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\)는 열린 부분 \(U\)의 선택에 의존하지 않음을 유의하라. 실제로 이는 생성점 \(\eta \in X\)에 대한 한 점 집합 \(\{\eta'\} = \{(1, f)(\eta)\}\)의 폐포이다. 이제 보조정리의 주장들을 증명하자.

(1)에 대해, \(p\)는 닫힌 몰입 \(Y \to X \times_S \mathbf{P}^1_S = \mathbf{P}^1_X\)와 고유 사상 \(\mathbf{P}^1_X \to X\)의 합성임을 유의하라. 고유 사상의 합성은 고유이므로(Morphisms, Lemma 01W3) 결론이 따른다.

\(Y \cap U \times_S \mathbf{P}^1_S = (1, f)(U)\)임은 분명하다. 따라서 (2)가 따른다. 또한 \(\dim_\delta(Y) = n\)도 따른다.

\(f \in R(X)^*\)이므로 \(q(\eta') = f(\eta)\)는 \(D_0\) 또는 \(D_\infty\)에 포함되지 않음을 유의하라. 따라서 Divisors, Lemma 02OO에 의해 (3)이 따른다. Lemma 02RK에서 \(\dim_\delta(Y_0) = n - 1\)과 \(\dim_\delta(Y_\infty) = n - 1\)을 얻는다.

유효 카르티에 약수 \(Y_0\)를 생각하자. 모든 점 \(\xi \in Y_0\)에서 \(f \in \mathcal{O}_{Y, \xi}\)이고 \(Y_0\)의 국소 방정식은 \(f\)로 주어진다. 특히 \(\delta(\xi) = n - 1\)이고 따라서 \(\xi\)가 \(\delta\)-차원 \(n - 1\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(Z\)의 생성점이면, \(\text{div}_Y(f)\)에서 \([Z]\)의 계수는 \[\text{ord}_Z(f) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y, \xi}/f\mathcal{O}_{Y, \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y_0, \xi})\] 이다. 이는 \([Y_0]_{n - 1}\)에서 \([Z]\)의 계수이다. 유리함수 \(1/f\)를 사용하는 비슷한 논증으로 \(-[Y_\infty]\)가 \(\text{div}_Y(f)\)의 표현에서 음의 계수를 갖는 항들과 일치함을 알 수 있다. 따라서 (4)가 따른다.

\(D_0 \to S\)가 동형임을 유의하라. 따라서 \(X \times_S D_0 \to X\)도 동형이다. \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) 안에서 \(Y_0 = Y \cap X \times_S D_0\)임이 분명하다(스킴론적 교집합). 따라서 \(Y_0 \to X\)는 실제로 닫힌 몰입이다. 그러므로 \[p_*\mathcal{O}_{Y_0} = \mathcal{O}_{Y'_0}\] 이다. 여기서 \(Y'_0 \subset X\)는 \(Y_0 \to X\)의 상이다. Lemma 02R6에 의해 \(p_*[Y_0]_{n - 1} = [Y'_0]_{n - 1}\)이다. \(D_\infty\)와 \(Y_\infty\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 (6)은 (5)의 결과이다. 마지막으로 (5)는 Lemma 02RT에서 즉시 따른다.

다음 보조정리는 고유 곡선 위 주약수의 차수가 영임을 말한다.

보조정리

\(K\)를 임의의 체라 하자. \(X\)를 고유 사상 \(c : X \to \Spec(K)\)가 주어진 \(1\)차원 정역 스킴이라 하자. \(f \in K(X)^*\)를 가역 유리함수라 하자. 그러면 \[\sum\nolimits_{x \in X \text{ closed}} [\kappa(x) : K] \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(f) = 0\] 이다. 여기서 \(\text{ord}\)는 Algebra, Definition 02MD에서와 같다. 다시 말해 \(c_*\text{div}(f) = 0\)이다.

증명

Lemma 02RQ에서 \(S = \Spec(K)\) 위의 \(X\)와 유리함수 \(f\)로부터 구성한 도식 \[\xymatrix{ Y \ar[r]_p \ar[d]_q & X \ar[d]^c \\ \mathbf{P}^1_K \ar[r]^-{c'} & \Spec(K) }\] 을 생각하자. 이 보조정리의 모든 결과를 별도의 언급 없이 사용한다. \(c_*\text{div}_X(f) = c_*p_*\text{div}_Y(f) = 0\)임을 보여야 한다. 이는 \(c'_*q_*\text{div}_Y(f) = 0\)임을 증명하는 것과 같다. \(q(Y)\)가 \(\mathbf{P}^1_K\)의 닫힌 점이면 \(\text{div}_X(f) = 0\)이므로 보조정리가 성립한다. 따라서 \(q\)가 우세라고 가정할 수 있다. \(q : Y \to \mathbf{P}^1_K\)가 차수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상임을 보일 수 있다고 하자(Morphisms, Definition 02KA를 보라). \(\text{div}_Y(f) = [q^{-1}D_0]_0 - [q^{-1}D_\infty]_0\)이므로 평탄 당김의 정의에 의해 \(\text{div}_Y(f) = q^*([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\)이다. 그러면 Lemma 02RH에 의해 \(q_*\text{div}_Y(f) = d([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\)을 얻는다. 분명 \(c'_*[D_0]_0 = c'_*[D_\infty]_0\)이므로 결론이 따른다.

\(q\)가 유한 국소 자유임을 보이는 일만 남았다. (이는 자동으로 어떤 차수를 갖는다. \(\mathbf{P}^1_K\)가 연결이기 때문이다.) \(\dim(\mathbf{P}^1_K) = 1\)이므로, 예를 들어 Lemma 02RM에 의해 \(q\)가 유한임을 알 수 있다. \(\mathbf{P}^1_K\)의 닫힌 점에서의 모든 국소환은 차원 \(1\)인 정칙 국소환(다시 말해 이산 값매김환)이다. 실제로 이들은 \(K[T]\)의 국소화이다(Algebra, Lemma 00OP를 보라). 따라서 닫힌 점 \(y\in Y\)에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 꼬임 없음이면 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_K, q(y)}\) 위에서 평탄이다(More on Algebra, Lemma 0AUW). 이는 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 정역이고 \(q\)가 우세이므로 분명하다. 따라서 \(q\)는 평탄이다. 그러므로 Morphisms, Lemma 02KB에 의해 \(q\)는 유한 국소 자유이다.

유리 동치

이 절에서는 \(k\)-순환에 대한 유리 동치를 정의한다. 주약수를 (닫힌 몰입으로) 보낸 상들의 국소 유한 합을 허용할 것이다. 이로 인해 상당히 기묘한 현상이 생긴다. Example 02RY를 보라. 그러나 이를 허용하지 않으면 선다발의 천 특성류와의 cap 연산이 유리 동치를 통해 인수분해함을 증명할 방법을 알지 못한다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자.

1. \(\dim_\delta(W_j) = k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 임의의 국소 유한 모임 \(\{W_j \subset X\}\)와 임의의 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 주어지면 \[\sum (i_j)_*\text{div}(f_j) \in Z_k(X)\] 를 생각할 수 있다. 여기서 \(i_j : W_j \to X\)는 포함 사상이다. 사상 \(\coprod i_j : \coprod W_j \to X\)가 고유이므로 이는 의미가 있다.

2. \(\alpha \in Z_k(X)\)라 하자. \(\alpha\)가 위에 표시한 꼴의 순환이면 영과 유리 동치라고 한다.

3. \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\)에 대해 \(\alpha - \beta\)가 영과 유리 동치이면 이들이 유리 동치라고 하고 \(\alpha \sim_{rat} \beta\)라 쓴다.

4. \[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{rat}\] 를 \(X\) 위 \(k\)-순환의 Chow 군으로 정의한다. 이를 때때로 \(X\) 위에서 유리 동치를 법으로 한 \(k\)-순환의 Chow 군이라고 부른다.

그 밖에도 흥미로운 (적정) 동치관계가 많이 있다. 유리 동치는 그 모두 가운데 가장 거친 동치관계이다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. 다음 표시가 있음을 보이자. \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \to \CH_k(X) \to 0\] 여기서는 Remark 0GU2에서 도입한 표기와 관례를 사용하고, 추가로 다음과 같이 한다.

1. \(K_1^M(\kappa(x)) = \kappa(x)^*\)는 점 \(x \in X\)의 잉여체 \(\kappa(x)\)의 밀너 K-이론에서 차수 \(1\) 부분이다(Remark 0EAY를 보라).

2. 미분 \(\partial\)는 다음과 같이 정의한다. 원소 \(\xi = \sum_x f_x\)가 주어지면 \(W_x = \overline{x}\)로 생성점이 \(x\)인 \(X\)의 정역 닫힌 부분스킴을 나타내고 \[\partial(\xi) = \sum (W_x \to X)_*\text{div}(f_x)\] 로 둔다. 이는 \(Z_k(X)\)에서 의미가 있다. 실제로 Remark 0GU2에서 복합체의 둘째 항이 \(Z_k(X)\)와 같음을 보았다.

\(\CH_k(X)\)의 표시를 얻는다는 사실은 Definition 02RW와 비교하면 즉시 따른다.

매우 간단하지만 중요한 보조정리는 다음과 같다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하고 \(i : Y = X \setminus U \to X\)로 \(X\)의 축소 닫힌 부분스킴을 나타내자. \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\)라고 가정하자. \(\alpha|_U \sim_{rat} \beta|_U\)이면 \[\alpha \sim_{rat} \beta + i_*\gamma.\] 가 되는 순환 \(\gamma \in Z_k(Y)\)가 존재한다. 다시 말해 열 \[\xymatrix{ \CH_k(Y) \ar[r]^{i_*} & \CH_k(X) \ar[r]^{j^*} & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] 은 아벨 군의 완전 복합체이다.

증명

\(\{W_j\}_{j \in J}\)를 \(U\)의 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임이라 하자. 정의에서와 같이 \((\alpha - \beta)|_U = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\)가 되는 원소 \(f_j \in R(W_j)^*\)를 택하자. \(W_j' \subset X\)를 \(W_j\)의 폐포와 같게 두자. \(V \subset X\)가 준콤팩트 열린 부분집합이라고 가정하자. \(V\)가 뇌터이므로 \(V \cap U\)도 \(U\)에서 준콤팩트 열린 부분집합이다. 따라서 \(\{j \in J \mid W_j \cap V \not = \emptyset\} = \{j \in J \mid W'_j \cap V \not = \emptyset\}\)는 \(\{W_j\}\)가 국소 유한이므로 유한하다. 다시 말해 \(\{W'_j\}\)도 국소 유한이다. \(R(W_j) = R(W'_j)\)이므로 \[\alpha - \beta - \sum (i'_j)_*\text{div}(f_j)\] 는 \(Y\)에 지지된 순환이고, 보조정리가 따른다(Lemma 02RC를 보라).

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X_1, X_2 \subset X\)를 집합론적으로 \(X = X_1 \cup X_2\)인 닫힌 부분스킴이라 하자. 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 아벨 군의 열 \[\xymatrix{ \CH_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & \CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \ar[r] & \CH_k(X) \ar[r] & 0 }\] 은 완전하다. 여기서 \(X_1 \cap X_2\)는 스킴론적 교집합이고, 사상은 하나에 \(-1\)을 곱한 고유 밂 사상들이다.

증명

Lemma 0F92에 의해 화살표 \(\CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \to \CH_k(X)\)는 전사이다. \((\alpha_1, \alpha_2)\)가 이 사상 아래 영으로 간다고 가정하자. \(\alpha_1 = \sum n_{1, i}[W_{1, i}]\)와 \(\alpha_2 = \sum n_{2, i}[W_{2, i}]\)로 쓰자. 그러면 \(X\)의 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임 \(\{W_j\}_{j \in J}\)와 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 존재하여 \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] + \sum n_{2, i}[W_{2, i}] = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\] 가 \(X\) 위의 순환으로서 성립한다. 여기서 \(i_j : W_j \to X\)는 포함 사상이다. \(j \in J_1\)이면 \(W_j \subset X_1\)이고 \(j \in J_2\)이면 \(W_j \subset X_2\)가 되도록 서로소 합 분해 \(J = J_1 \amalg J_2\)를 택하자. (\(W_j\)들이 정역이므로 이것이 가능하다.) 그러면 위 등식을 \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] - \sum\nolimits_{j \in J_1} (i_j)_*\text{div}(f_j) = - \sum n_{2, i}[W_{2, i}] + \sum\nolimits_{j \in J_2} (i_j)_*\text{div}(f_j)\] 로 쓸 수 있다. 따라서 이 식은 \(X_1 \cap X_2\) 위의 순환(!)이다. 다시 말해 원소 \((\alpha_1, \alpha_2)\)는 첫 번째 화살표의 상에 속하며 증명이 끝난다.

예

다음은 “기묘한” 예이다. \(S\)가 체 \(k\)의 스펙트럼이고 \(\delta\)는 Example 02QM에서와 같다고 가정하자. \(X = C_1 \cup C_2 \cup \ldots\)가 다음 방식으로 이어 붙인 곡선 \(C_j \cong \mathbf{P}^1_k\)들의 무한 합집합이라고 가정하자. 각 \(j = 1, 2, 3, \ldots\)에 대해 점 \(\infty \in C_j\)를 \(0 \in C_{j + 1}\)에 횡단적으로 이어 붙인다. 점 \(0 \in C_1\)을 택하자. 이는 영차 순환 \([0] \in Z_0(X)\)을 준다. 이 상황의 “기묘함”은 실제로 \([0] \sim_{rat} 0\)이라는 것이다! 실제로 \(0\)에서 단순 영점을 갖고 \(\infty\)에서 단순 극을 가지며 다른 영점이나 극이 없는 함수 \(f_j \in R(C_j)\)를 택할 수 있다. 그러면 합 \(\sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\)는 정확히 \(0\)-순환 \([0]\)이다. 사실 이 예에서는 \(\CH_0(X) = 0\)임을 알 수 있다. 이것이 너무 기괴하다고 느껴지면 공간을 언제나 준콤팩트하게 택하면 된다(그러면 이러한 \(X\)는 아예 존재하지 않는다).

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(X\) 위의 \(k\)-순환들의 무한 모임 \(\alpha_i, \beta_i \in Z_k(X)\), \(i \in I\)가 주어졌다고 하자. \(\alpha_i\)와 \(\beta_i\)의 지지집합들이 \(X\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임을 이루어 \(\sum \alpha_i\)와 \(\sum \beta_i\)가 순환으로 정의된다고 가정하자. 또한 각 \(i\)에 대해 \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\)라고 하자. 그렇더라도 \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\)인지는 분명하지 않다. 실제로 유리 동치는 국소 유한 족 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\)로 주어질 수 있지만, 합집합 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 국소 유한이 아닐 수 있다.

실제로 많은 경우에는 닫힌 부분집합들의 국소 유한 족 \(\{T_i\}_{i \in I}\)가 있어서 \(\alpha_i, \beta_i\)가 \(T_i\)에 지지되고 \(\CH_k(T_i)\)에서 \(\alpha_i = \beta_i\)이다. 다시 말해 족 \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\)는 부분스킴 \(W_{i, j} \subset T_i\)들로 이루어진다. 이 경우 \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\)가 \(X\) 위에서 성립한다. 실제로 이때 족 \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 자동으로 국소 유한이다.

유리 동치와 밂 및 당김

이 절에서는 평탄 당김과 고유 밂이 유리 동치와 가환함을 보인다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(Y\)가 정역이고 \(\dim_\delta(Y) = k\)라고 가정하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(g \in R(Y)^*\)에 대해 \[f^*\text{div}_Y(g) = \sum n_j i_{j, *}\text{div}_{X_j}(g \circ f|_{X_j})\] 가 \(X\) 위의 \((k + r - 1)\)-순환으로서 성립한다. 여기서 합은 \(X\)의 기약 성분 \(X_j\)들에 대해 취하고, \(n_j\)는 \(X\)에서 \(X_j\)의 중복도이다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\delta\)-차원 \(k + r - 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(f^*\text{div}(g)\)에서 \([Z]\)의 계수 \(n\)이 \(\sum i_{j, *} \text{div}(g \circ f|_{X_j})\)에서 \([Z]\)의 계수 \(m\)과 같음을 보여야 한다. \(Z'\)를 \(f(Z)\)의 폐포라 하자. 이는 \(Y\)의 정역 닫힌 부분스킴이다. Lemma 02R8에 의해 \(\dim_\delta(Z') \geq k - 1\)이다. 따라서 \(Z' = Y\)이거나 \(Z'\)는 \(Y\) 위의 소약수이다. \(Z' = Y\)이면 계수 \(n\)과 \(m\)은 모두 영이다. \(n\)에 대해서는 \(f^*\)의 정의로부터 분명하고, \(m\)에 대해서는 \(g \circ f|_{X_j}\)가 \(Y\)의 생성점으로 가는 \(X_j\)의 임의의 점에서 단원이므로 따른다. 따라서 \(Z' \subset Y\)가 소약수라고 가정할 수 있다.

\(n\)과 \(m\)의 등식을 대수학으로 옮기겠다. \(\xi' \in Z'\)와 \(\xi \in Z\)를 생성점이라 하자. \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\)라 두자. \(A\), \(B\)는 뇌터이고, \(A \to B\)는 평탄 국소 사상이며, \(A\)는 정역이고, \(\mathfrak m_AB\)는 국소환 \(B\)의 정의 아이디얼임을 유의하라. 유리함수 \(g\)는 \(A\)의 분수체 \(Q(A)\)의 원소이다. \(\xi\)와 만나는 닫힌 부분스킴 \(X_j\)들은 극소 소아이디얼 \[\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset B\] 들과 \(1\)-대-\(1\)로 대응한다. 정수 \(n_j\)는 이에 대응하는 길이 \[n_i = \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] 이다. 유리함수 \(g \circ f|_{X_j}\)는 \(g \in Q(A)\)의 상 \(g_i \in \kappa(\mathfrak q_i)^*\)에 대응한다. 모두 합치면 \[n = \text{ord}_A(g) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB)\] 이고 \[m = \sum \text{ord}_{B/\mathfrak q_i}(g_i) \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] 임을 알 수 있다. 영이 아닌 어떤 \(x, y \in A\)에 대해 \(g = x/y\)로 쓰면, 다음을 증명하는 것으로 충분하다. \[\text{length}_A(A/(x)) \text{length}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{length}_B(B/xB)\] (등식에는 Algebra, Lemma 02M1를 사용한다) 와 \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, s} \text{length}_{B/\mathfrak q_i}(B/(x, \mathfrak q_i)) \text{length}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] 가 같고, \(y\)에 대해서도 마찬가지임을 보이면 된다. \(A \to B\)가 평탄이므로 \(x\)는 \(B\)에서 영인자가 아니다. 따라서 원하는 등식은 Lemma 02QG에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(\alpha \sim_{rat} \beta\)를 \(Y\) 위에서 유리 동치인 \(k\)-순환이라 하자. 그러면 \(f^*\alpha \sim_{rat} f^*\beta\)가 \(X\) 위의 \((k + r)\)-순환으로서 성립한다.

증명

무엇을 보여야 하는가? 각각의 \(W_j\)가 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역인 닫힌 몰입들의 모임 \[i_j : W_j \longrightarrow Y\] 과 유리함수 \(g_j \in R(W_j)^*\)가 주어졌다고 하자. 또한 모임 \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\)가 \(Y\)에서 국소 유한이라고 가정하자. 그러면 \[f^*(\sum i_{j, *}\text{div}(g_j)) = \sum f^*i_{j, *}\text{div}(g_j)\] 가 \(X\) 위에서 영과 유리 동치임을 보여야 한다. 우변의 합은 Lemma 02R9에 의해 \(\{W_j\}\)가 \(X\)에서 국소 유한이므로 의미가 있다.

섬유곱 \[i'_j : W'_j = W_j \times_Y X \longrightarrow X.\] 을 생각하고, 첫째 사영을 \(f_j : W'_j \to W_j\)로 나타내자. Lemma 02RG에 의해 위 합은 \[\sum i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\] 로 쓸 수 있다. Lemma 0EPH에 의해 각 \(f_j^*\text{div}(g_j)\)는 \(W'_j\) 위에서 영과 유리 동치이다. 따라서 각 \(i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\)도 영과 유리 동치이다. 그러면 Remark 02RZ의 논의에 의해 표시한 합에 대해서도 마찬가지이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(p : X \to Y\)를 고유 사상이라 하자. \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\)가 유리 동치라고 가정하자. 그러면 \(p_*\alpha\)는 \(p_*\beta\)와 유리 동치이다.

증명

무엇을 보여야 하는가? 각각의 \(W_j\)가 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역인 닫힌 몰입들의 모임 \[i_j : W_j \longrightarrow X\] 과 유리함수 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 주어졌다고 하자. 또한 모임 \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\)가 \(X\)에서 국소 유한이라고 가정하자. 그러면 \[p_*\left(\sum i_{j, *}\text{div}(f_j)\right)\] 가 \(X\) 위에서 영과 유리 동치임을 보여야 한다.

이 합은 \[\sum p_*i_{j, *}\text{div}(f_j).\] 와 같음을 유의하라. \(W'_j \subset Y\)를 \(p \circ i_j\)의 상인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. Lemma 02R2에 의해 모임 \(\{W'_j\}\)는 \(Y\)에서 국소 유한이다. 따라서 주어진 \(j\)에 대해 \(p_*i_{j, *}\text{div}(f_j) = 0\)이거나, 어떤 \(g_j \in R(W'_j)^*\)에 대해 \(i'_{j, *}\text{div}(g_j)\)와 같음을 보이면 충분하다.

따라서 위 논증에 의해 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 하나의 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset X\)인 경우로 환원된다. \(f \in R(W)^*\)라 하고 위와 같이 \(W' = p(W)\)라 하자. 다음 사상의 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ W \ar[r]_i \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ W' \ar[r]^{i'} & Y }\] Lemma 02R5에 의해 \(p_*i_*\text{div}(f) = i'_*(p')_*\text{div}(f)\)임을 유의하라. 위에서 설명했듯이 \((p')_*\text{div}(f)\)가 \(W'\) 위 유리함수의 약수이거나 영임을 보여야 한다. 세 경우로 나눈다.

\(\dim_\delta(W') < k\)인 경우. 이 경우 자동으로 \((p')_*\text{div}(f) = 0\)이므로 증명할 것이 없다.

\(\dim_\delta(W') = k\)인 경우. 이 경우 \((p')_*\text{div}(f) = 0\)임을 보이자. \(\eta \in W'\)를 생성점이라 하자. \(c : W_\eta \to \Spec(K)\)는 \(K = \kappa(\eta)\) 위의 고유 정역 곡선이고, 그 함수체 \(K(W_\eta)\)는 \(R(W)\)와 동일시됨을 유의하라. 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ W_\eta \ar[r] \ar[d]_c & W \ar[d]^{p'} \\ \Spec(K) \ar[r] & W' }\] \(f \in R(W)^*\)에 대응하는 유리함수를 \(f_\eta \in K(W_\eta)^*\)로 나타내자. 또한 \(W_\eta\)의 닫힌 점 \(\xi\)는 \(p'(Z) = W'\)인 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(Z = Z_\xi \subset W\)와 \(1 - 1\)로 대응한다. 분수체의 부분환으로서 국소환 \(\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}\)와 \(\mathcal{O}_{W, \xi}\)가 동일시되므로, \(\text{div}(f)\)에서 \(Z_\xi\)의 중복도는 \(\text{ord}_{\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}}(f_\eta)\)와 같음을 유의하라. 따라서 \((p')_*\text{div}(f)\)에서 \([W']\)의 중복도는 \(c_*\text{div}(f_\eta)\)에서 \([\Spec(K)]\)의 중복도와 같다. Lemma 02RU에 의해 이는 영이다.

\(\dim_\delta(W') = k + 1\)인 경우. 이 경우 Lemma 02RT를 적용할 수 있고, 원하는 대로 어떤 \(g \in R(W')^*\)에 대해 \(p'_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\)임을 알 수 있다.

유리 동치와 사영직선

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. 임의의 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S = X \times \mathbf{P}^1\)에 대해 \(Z_0\), resp. \(Z_\infty\)로 스킴론적 닫힌 부분스킴 \(Z_0 = \text{pr}_2^{-1}(D_0)\), resp. \(Z_\infty = \text{pr}_2^{-1}(D_\infty)\)를 나타낸다. 여기서 \(D_0\), \(D_\infty\)는 (0F93)에서와 같다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(W \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\)를 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(W \not = W_0\)이고 \(W \not = W_\infty\)라고 가정하자. 그러면

1. \(W_0\), \(W_\infty\)는 \(W\)의 유효 카르티에 약수이고,

2. \(W_0\), \(W_\infty\)를 \(X\)의 닫힌 부분스킴으로 볼 수 있으며 \[[W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k,\]

3. \(W_i \not = (W_i)_0\)이고 \(W_i \not = (W_i)_\infty\)인 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)의 정역 닫힌 부분스킴 \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\)들의 임의의 국소 유한 족에 대해 \(\sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k) \sim_{rat} 0\)이 \(X\) 위에서 성립하고,

4. \(\alpha \sim_{rat} 0\)인 임의의 \(\alpha \in Z_k(X)\)에 대해 위와 같은 정역 닫힌 부분스킴 \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\)들의 국소 유한 족이 존재하여 \(\alpha = \sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k)\)이다.

증명

(1)은 가정에 의해 \(W\)의 생성점이 사영 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to \mathbf{P}^1_S\) 아래 \(D_0\) 또는 \(D_\infty\) 안으로 가지 않으므로 Divisors, Lemma 02OO에서 따른다.

\(X \times_S D_0 \to X\)가 닫힌 몰입이므로 \(W_0\)는 \(X\)의 닫힌 부분스킴과 동형임을 알 수 있다. \(W_\infty\)에 대해서도 마찬가지이다. 사상 \(p : W \to X\)는 닫힌 몰입 \(W \to X \times_S \mathbf{P}^1_S\)와 고유 사상 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to X\)의 합성이므로 고유이다. Lemma 02RQ에 의해 \(W\) 위의 순환으로서 \([W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k\)이다. 따라서 분명 \(p_*[W_0]_k = [W_0]_k\)이고 \(W_\infty\)에 대해서도 마찬가지이므로, Lemma 02S2에서 (2)가 따른다.

(1)과 (2)가 주어졌을 때, 명제 (3)의 유일한 내용은 모임 \(\{(W_i)_0, (W_i)_\infty\}\)가 \(X\)의 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임이라는 것이다. 이는 분명하다.

\(\alpha \sim_{rat} 0\)이라고 가정하자. 정의에 의해 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(V_i \subset X\)와 유리함수 \(f_i \in R(V_i)^*\)가 존재하여, 족 \(\{V_i\}_{i \in I}\)는 \(X\)에서 국소 유한이고 \(\alpha = \sum (V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\)이다. Lemma 02RQ에서와 같이 유리 사상 \(f_i\)의 그래프의 폐포를 \[W_i \subset V_i \times_S \mathbf{P}^1_S \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\] 라 하자. 같은 보조정리에 의해 \((V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\)는 \([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k\)와 같다. 따라서 결과는 분명하다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(Z\)를 \(X \times \mathbf{P}^1\)의 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\)이고,

2. \(\dim_\delta(Z_0) \leq k\), \(\dim_\delta(Z_\infty) \leq k\)이며,

3. \(Z\)의 임의의 매입점 \(\xi\)(Divisors, Definition 05AK)에 대해 \(\xi \not \in Z_0 \cup Z_\infty\)이거나 \(\delta(\xi) < k\)이다.

그러면 \(X\) 위의 \(k\)-순환으로서 \([Z_0]_k \sim_{rat} [Z_\infty]_k\)이다.

증명

\(\{W_i\}_{i \in I}\)를 \(Z\)의 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 기약 성분들의 모임이라 하자. 정의에 따라 \(n_i > 0\)으로 \[[Z]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] 라고 쓰자. Divisors, Lemma 0BE1에 의해 \(\{W_i\}\)는 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임임을 유의하라. 다음을 주장한다. \[[Z_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] 그리고 \([Z_\infty]_k\)에 대해서도 마찬가지이다. 이를 증명하면 보조정리는 Lemma 02S4에서 따른다.

\(Z' \subset X\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. 위 등식을 증명하려면 \([Z_0]_k\)에서 \([Z']\)의 계수 \(n\)이 \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\)에서 \([Z']\)의 계수 \(m\)과 같음을 보이면 충분하다. \(\xi' \in Z'\)를 생성점이라 하고 \(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\)라 두자. 국소환 \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\)를 생각하자. \(I \subset A\)를 \(Z\)를 잘라내는 아이디얼, 다시 말해 \(A/I = \mathcal{O}_{Z, \xi}\)가 되게 하는 아이디얼이라 하자. \(t \in A\)를 \(X \times_S D_0\)를 잘라내는 원소라 하자(즉 영점에서 \(\mathbf{P}^1\)의 좌표를 당긴 것). \(\xi' \in Z'\)의 선택에 의해 \(\delta(\xi) = k\)이고 따라서 \(\dim(A/I) = 1\)이다. 가정 (3)에 의해 \(\xi\)는 매입점이 아니므로 \(A/I\)는 Cohen–Macaulay이다. 또한 \(\dim_\delta(Z_0) = k\)이므로 \(\dim(A/(t, I)) = 0\)이고, 이는 \(t\)가 \(A/I\) 위에서 영인자가 아님을 뜻한다. 마지막으로 \(\xi\)를 지나는 기약 닫힌 부분스킴 \(W_i\)들은 \(I\) 위의 극소 소아이디얼 \(I \subset \mathfrak q_i\)들과 대응한다. 중복도 \(n_i\)는 길이 \(\text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\)에 대응한다. 따라서 \[n = \text{length}_A(A/(t, I))\] 이고 \[m = \sum \text{length}_A(A/(t, \mathfrak q_i)) \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\] 이다. 그러므로 결과는 Lemma 02QG에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X \times \mathbf{P}^1\) 위의 코히런트 층이라 하자. \(i_0, i_\infty : X \to X \times \mathbf{P}^1\)를 \(i_t(x) = (x, t)\)인 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{F}_0 = i_0^*\mathcal{F}\), \(\mathcal{F}_\infty = i_\infty^*\mathcal{F}\)로 나타내자. 다음을 가정하자.

1. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\)이고,

2. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) \leq k\), \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_\infty)) \leq k\)이며,

3. \(\mathcal{F}\)의 임의의 매입 연관점 \(\xi\)에 대해 \(\xi \not \in (X \times \mathbf{P}^1)_0 \cup (X \times \mathbf{P}^1)_\infty\) 이거나 \(\delta(\xi) < k\)이다.

그러면 \(X\) 위의 \(k\)-순환으로서 \([\mathcal{F}_0]_k \sim_{rat} [\mathcal{F}_\infty]_k\)이다.

증명

\(\{W_i\}_{i \in I}\)를 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 기약 성분들의 모임이라 하자. 정의에 따라 \(n_i > 0\)으로 \[[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] 라고 쓰자. Lemma 02QW에 의해 \(\{W_i\}\)는 \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\)의 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임임을 유의하라. 다음을 주장한다. \[[\mathcal{F}_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] 그리고 \([\mathcal{F}_\infty]_k\)에 대해서도 마찬가지이다. 이를 증명하면 보조정리는 Lemma 02S4에서 따른다.

\(Z' \subset X\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. 위 등식을 증명하려면 \([\mathcal{F}_0]_k\)에서 \([Z']\)의 계수 \(n\)이 \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\)에서 \([Z']\)의 계수 \(m\)과 같음을 보이면 충분하다. \(\xi' \in Z'\)를 생성점이라 하고 \(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\)라 두자. 국소환 \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\)를 생각하자. \(A\)-모듈로서 \(M = \mathcal{F}_\xi\)라 하자. \(t \in A\)를 \(X \times_S D_0\)를 잘라내는 원소라 하자(즉 영점에서 \(\mathbf{P}^1\)의 좌표를 당긴 것). \(\xi' \in Z'\)의 선택에 의해 \(\delta(\xi) = k\)이고 따라서 \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\)이다. 가정 (3)에 의해 \(\xi\)는 \(\mathcal{F}\)의 연관점이 아니므로 \(M\)은 Cohen–Macaulay 모듈이다. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) = k\)이므로 \(\dim(\text{Supp}(M/tM)) = 0\)이고, 이는 \(t\)가 \(M\) 위에서 영인자가 아님을 뜻한다. 마지막으로 \(\xi\)를 지나는 기약 닫힌 부분스킴 \(W_i\)들은 \(\text{Ass}(M)\)의 극소 소아이디얼 \(\mathfrak q_i\)들과 대응한다. 중복도 \(n_i\)는 길이 \(\text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\)에 대응한다. 따라서 \[n = \text{length}_A(M/tM)\] 이고 \[m = \sum \text{length}_A(A/(t, \mathfrak q_i)A) \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\] 이다. 그러므로 결과는 Lemma 02QG에서 따른다.

Chow 군과 포락 사상

다음은 정의이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. 포락 사상은 완전 분해된 (More on Morphisms, Definition 0GTI) 고유 사상 \(f : Y \to X\)이다.

Lemma 0GU8의 완전열은 이 정의의 주된 동기이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)와 \(g : Z \to Y\)가 포락 사상이면 \(f \circ g\)도 포락 사상이다.

증명

Morphisms, Lemma 01W3와 More on Morphisms, Lemma 0GTJ에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X' \to X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(f : Y \to X\)가 포락 사상이면 \(f\)의 기저변환 \(f' : Y' \to X'\)도 포락 사상이다.

증명

Morphisms, Lemma 01W4와 More on Morphisms, Lemma 0GTK에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 포락 사상이라 하자. 그러면 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 완전열 \[\CH_k(Y \times_X Y) \xrightarrow{p_* - q_*} \CH_k(Y) \xrightarrow{f_*} \CH_k(X) \to 0\] 을 얻는다. 여기서 \(p, q : Y \times_X Y \to Y\)는 사영이다.

증명

\(f\)는 포락 사상이므로 \(f\)는 고유이고, 따라서 순환과 순환류에 대한 밂이 정의된다. Sections 02R3와 02RF을 보라. 마찬가지로 사상 \(p\)와 \(q\)는 \(f\)의 기저변환이므로 고유이다. 사상의 합성은 \(f_* \circ p_* = (p \circ f)_* = (q \circ f)_* = f_* \circ q_*\)이므로 영이다. Lemma 02R5를 보라.

\(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\)가 전사임을 보이자. 실제로 \(Z_i \subset X\)가 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 족인 \(\alpha = \sum n_i[Z_i] \in Z_k(X)\)가 주어졌다고 하자. \(x_i \in Z_i\)를 생성점이라 하자. \(f\)는 포락 사상이고 따라서 완전 분해되므로, \(f(y_i) = x_i\)이고 \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\)가 자명한 점 \(y_i \in Y\)가 존재한다. \(W_i \subset Y\)를 생성점이 \(y_i\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(f\)가 닫힌 사상이므로 \(f(W_i) = Z_i\)이다. 따라서 닫힌 부분스킴들의 족 \(W_i\)는 \(Y\) 위에서 국소 유한이다. \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\)가 자명하므로 \(\dim_\delta(W_i) = \dim_\delta(Z_i) = k\)이다. 따라서 \(\beta = \sum n_i[W_i]\)는 \(Z_k(Y)\)에 속한다. 마지막으로 \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\)가 자명하므로 지배적 사상 \(f|_{W_i} : W_i \to Z_i\)의 차수는 \(1\)이고, 따라서 \(f_*\beta = \alpha\)이다.

\(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\)가 전사이므로, 더더욱 사상 \(f_* : \CH_k(Y) \to \CH_k(X)\)도 전사이다.

\(f_*\beta\)가 \(\CH_k(X)\)에서 영인 원소 \(\beta \in Z_k(Y)\)를 택하자. 이는 \(\dim_\delta(Z_j) = k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 족 \(Z_j \subset X\)와 \(f_j \in R(Z_j)^*\)를 찾아 순환으로서 \[f_*\beta = \sum (Z_j \to X)_*\text{div}(f_j)\] 로 쓸 수 있음을 뜻한다. 여기서 \(i_j : Z_j \to X\)는 주어진 닫힌 몰입이다. 위와 정확히 같은 논증으로 \(f(W_j) = Z_j\)이고 \(W_j \to Z_j\)가 쌍유리인, 즉 동형 \(R(Z_j) = R(W_j)\)를 유도하는 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 족 \(W_j \subset Y\)를 찾을 수 있다. \(f_j\)에 대응하는 원소를 \(g_j \in R(W_j)^*\)로 나타내자. \(W_j \to Z_j\)는 고유이고 \((W_j \to Z_j)_*\text{div}(g_j) = \text{div}(f_j)\)가 \(Z_j\) 위의 순환으로서 성립함을 유의하라. 따라서 \(\beta\)를 유리 동치인 순환 \[\beta' = \beta - \sum (W_j \to Y)_*\text{div}(g_j)\] 로 바꾸면 \(f_*\beta' = 0\)을 얻는다. (여기서는 Lemma 02R5를 사용한다.) 그러므로 보조정리의 증명을 끝내려면 다음 문단의 주장을 보이면 충분하다.

주장: \(\beta \in Z_k(Y)\)이고 \(f_*\beta = 0\)이면, 어떤 \(\gamma \in Z_k(Y \times_X Y)\)에 대해 \(\beta = \delta + p_*\gamma - q_*\gamma\)가 \(Z_k(Y)\)에서 성립한다. 실제로 \(\{W_j\}_{j \in J}\)가 \(\dim_\delta(W_j) = k\)인 \(Y\)의 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 족이 되도록 \(\beta = \sum_{j \in J} n_j[W_j]\)라고 쓰자. 정역 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)를 고정하고 부분집합 \(J_Z = \{j \in J : f(W_j) = Z\}\)를 생각하자. 이는 유한집합이다. 다음 세 경우가 있다.

1. \(J_Z = \emptyset\). 이 경우에는 \(\gamma_Z = 0\)으로 둔다.

2. \(J_Z \not = \emptyset\)이고 \(\dim_\delta(Z) = k\)인 경우. 조건 \(f_*\beta = 0\)에서 \(Z\)의 계수를 보면 \(\sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W_j/Z) = 0\)이다. 이 경우 \(Z\) 위로 쌍유리하게 가는 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset Y\)를 택한다(위를 보라). 생성점을 살펴보면 \(W_j \times_Z W\)에는 \(W_j\) 위로 쌍유리하게 가는 유일한 기약 성분 \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\)가 있음을 알 수 있다. 그러면 \(W'_j \to W\)는 지배적이고 \(\deg(W'_j/W) = \deg(W_j/W)\)이다. 따라서 \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\)로 두면 \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\)이고 \(q_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W'_j/W)[W] = 0\)이다.

3. \(J_Z \not = \emptyset\)이고 \(\dim_\delta(Z) < k\)인 경우. 이 경우에도 \(Z\) 위로 쌍유리하게 가는 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset Y\)를 택한다(위를 보라). 생성점을 살펴보면 \(W_j \times_Z W\)에는 \(W_j\) 위로 쌍유리하게 가는 유일한 기약 성분 \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\)가 있음을 알 수 있다. 그러면 \(W'_j \to W\)는 지배적이고 \(k = \dim_\delta(W'_j) > \dim_\delta(W) = \dim_\delta(Z)\)이다. 따라서 \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\)로 두면 \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\)이고 \(q_*\gamma_Z = 0\)이다.

정역 닫힌 부분스킴들의 족 \(\{f(W_j)\}\)는 \(X\) 위에서 국소 유한이므로 (Lemma 02R2), \(Y \times_X Y\) 위의 \(k\)-순환 \[\gamma = \sum\nolimits_{Z \subset X\text{ integral closed}} \gamma_Z\] 는 잘 정의된다. 위의 계산에 의해 \(p_*\gamma_Z = \beta\)이고 \(q_*\gamma_Z = 0\)이므로 원하는 결과를 얻는다.

Chow 군과 K-군

이 절에서는 코히런트 층 범주의 \(K_0\)와 Chow 군을 비교한다.

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \(X\) 위의 코히런트 층의 범주를 \(\textit{Coh}(X) = \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)로 나타낸다. 이는 아벨 범주이다. Cohomology of Schemes, Lemma 01Y0을 보라. 임의의 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\)로 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\)인 코히런트 층 \(\mathcal{F}\)들로 이루어진 \(\textit{Coh}(X)\)의 충만한 부분범주를 나타낸다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. 범주 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\)는 아벨 범주 \(\textit{Coh}(X)\)의 Serre 부분범주이다.

증명

Serre 부분범주의 정의는 Homology, Definition 02MO에 있다. 보조정리의 증명은 직접적이므로 생략한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. 사상 \[Z_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)), \quad \sum n_Z[Z] \mapsto \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\right] - \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\right]\] 과 \[K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow Z_k(X),\quad \mathcal{F} \longmapsto [\mathcal{F}]_k\] 은 서로 역인 동형이다.

증명

\(\sum n_Z[Z]\)가 \(Z_k(X)\)에 속하면, 족 \(\{Z \mid n_Z > 0\}\)가 \(X\) 위에서 국소 유한이므로 직합 \(\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\)와 \(\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\)는 \(X\) 위의 코히런트 층임을 유의하라. 사상 \(\mathcal{F} \to [\mathcal{F}]_k\)는 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) 위에서 가법적이다. Lemma 02QZ을 보라. 또한 \(\mathcal{F} \in \textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\)이면 \([\mathcal{F}]_k = 0\)이다. Homology, Lemma 02MX의 (1)에 의해 두 번째 사상도 잘 정의된다. 첫 번째 사상과 두 번째 사상의 합성이 항등임은 분명하다.

반대로 \(X\) 위의 코히런트 층 \(\mathcal{F}\)에서 시작한다고 하자. \(n_i > 0\)이고 \(Z_i \subset X\), \(i \in I\)가 서로 다른 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이 되도록 \([\mathcal{F}]_k = \sum_{i \in I} n_i[Z_i]\)라고 쓰자. 다음을 보여야 한다. \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i}]\] 이는 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\)에서의 등식이다. 생성점을 \(\xi_i \in Z_i\)로 나타내자. \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{F} \to \bigoplus \xi_{i, *}\mathcal{F}_{\xi_i})\] 로 두면 \(\mathcal{F}'\)는 지지집합의 차원이 \(\leq k - 1\)인 \(\mathcal{F}\)의 최대 코히런트 부분모듈이다. 특히 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\)는 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\)에서 같은 류를 갖는다. 따라서 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\)로 바꾸어 위에 표시한 핵 \(\mathcal{F}'\)가 영이라고 가정할 수 있고, 그렇게 가정한다.

각 \(i \in I\)에 대해 여과 \[\mathcal{F}_{\xi_i} = \mathcal{F}_i^0 \supset \mathcal{F}_i^1 \supset \ldots \supset \mathcal{F}_i^{n_i} = 0\] 를 연속하는 몫들이 \(\xi_i\)에서의 잉여체 위에서 차원 \(1\)이 되도록 택한다. \(\mathcal{O}_{X, \xi_i}\) 위에서 \(\mathcal{F}_{\xi_i}\)의 길이가 \(n_i\)이므로 가능하다. \(p > n_i\)이면 \(\mathcal{F}_i^p = 0\)으로 둔다. \(p \geq 0\)에 대해 \[\mathcal{F}^p = \Ker\left(\mathcal{F} \longrightarrow \bigoplus \xi_{i, *}(\mathcal{F}_{\xi_i}/\mathcal{F}_i^p)\right)\] 로 나타낸다. 그러면 \(\mathcal{F}^p\)는 코히런트이고, \(\mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\)이며, \(\mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\)은 \(\xi_i\)의 어떤 열린 근방에서 계수 \(1\)의 자유 \(\mathcal{O}_{Z_i}\)-모듈(\(n_i > p\)인 경우) 또는 \(0\)(\(n_i \leq p\)인 경우)과 동형이다. 또한 \(\mathcal{F}' = \bigcap \mathcal{F}^p = 0\)이다. 모든 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)는 유한 개의 \(\xi_i\)만 포함하므로 \(p \gg 0\)이면 \(\mathcal{F}^p|_U\)가 영임을 얻는다. 따라서 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\)는 코히런트 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이다. 코히런트 \(\mathcal{O}_X\)-모듈들의 짧은 완전열 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to 0\] 과 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \mathcal{F} \to 0\] 을 생각하자. 이것만으로도 \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] 가 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\)에서 성립함을 알 수 있다. 다음으로 \(p \geq 0\)이고 \(n_i > p\)인 모든 \(i \in I\)에 대해 영이 아닌 아이디얼 층 \(\mathcal{I}_{i, p} \subset \mathcal{O}_{Z_i}\)와 \(X\) 위의 사상 \(\mathcal{I}_{i, p} \to \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\)을 위에서 말한 \(\xi_i\)의 열린 근방 위에서 동형이 되도록 택한다. 이는 Cohomology of Schemes, Lemma 0FD0에 의해 가능하다. 이제 짧은 완전열 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to \mathcal{Q} \to 0\] 과 짧은 완전열 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i} \to \mathcal{Q}' \to 0\] 을 생각한다. \(\mathcal{Q}\)와 \(\mathcal{Q}'\)는 모두 점 \(\xi_i\)들의 근방에서 영이고 \(\bigcup Z_i\) 위에 지지됨을 유의하라. 따라서 \(\mathcal{Q}\)와 \(\mathcal{Q}'\)는 \(\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\)에 속한다. 또한 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i} \cong \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i}\] 이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 Situation 02QL에서와 같은 \((S, \delta)\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 유한 사상이라 하자. 그러면 \(\pi_* : \textit{Coh}(X) \to \textit{Coh}(Y)\)는 \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\)를 \(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)\) 안으로 보내는 완전 함자이고, 이 범주들과 그 몫들의 \(K_0\) 위의 준동형을 유도한다. Lemma 02S9의 사상들은 가환 그림 \[\xymatrix{ Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \\ Z_k(Y) \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(Y)) \ar[r] & Z_k(Y) }\] 에 들어맞는다.

증명

유한 사상은 아핀이므로, \(\pi\)를 따른 준코히런트 모듈의 밂은 Cohomology of Schemes, Lemma 01XC에 의해 완전 함자이다. 유한 사상은 고유이므로 \(\pi_*\)는 코히런트 층을 코히런트 층으로 보낸다. Cohomology of Schemes, Proposition 02O5을 보라. 지지집합의 차원에 관한 명제는 분명하다. 오른쪽의 가환성은 Lemma 02R6에서 바로 따른다. 수평 화살표들이 전단사이므로 왼쪽에서도 가환성을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 Situation 02QL에서와 같은 \((S, \delta)\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. Lemma 02S9의 사상 \(Z_k(X) \to K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) 이 유도하는 표준 사상 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] 이 존재한다.

증명

영과 유리 동치인 \(Z_k(X)\)의 원소 \(\alpha\)가 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\)에서 영으로 보내짐을 보여야 한다. Definition 02RW에서와 같이 \(\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\)라고 쓰자. 각 \(i_j : W_j \to X\)가 닫힌 몰입이고 \(W_j\)의 족은 \(X\)에서 국소 유한이므로 \[\pi = \coprod i_j : W = \coprod W_j \longrightarrow X\] 는 유한 사상임을 유의하라. 따라서 Lemma 0FDR을 사용하여 \(W\)의 경우로 환원할 수 있다. \(W\)는 정역 스킴들의 서로소 합이므로 다음 문단에서 다루는 경우로 환원된다.

\(X\)가 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 스킴이라고 가정하자. \(f\)를 \(X\) 위의 영이 아닌 유리함수라 하고 \(\alpha = \text{div}(f)\)라 하자. \(\alpha\)가 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\)에서 영으로 보내짐을 보여야 한다. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(f\)의 분모 아이디얼이라 하자. Divisors, Definition 02P1을 보라. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to 0\] 과 \[0 \to \mathcal{I} \xrightarrow{f} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/f\mathcal{I} \to 0\] 이 있다. Divisors, Lemma 02P0를 보라. 다음을 주장한다. \[[\mathcal{O}_X/\mathcal{I}]_k - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]_k = \text{div}(f)\] 이 주장에서 원소 \(\alpha = \text{div}(f)\)는 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\)에서 \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\)로 표현된다. 그러면 위의 짧은 완전열들에 의해 이 원소는 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\)에서 영으로 보내진다.

주장을 증명하기 위해 \(Z \subset X\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\xi \in Z\)를 생성점이라 하자. 그러면 \(I = \mathcal{I}_\xi \subset A = \mathcal{O}_{X, \xi}\)는 \(fI \subset A\)인 아이디얼이다. 이제 \(\text{div}(f)\)에서 \([Z]\)의 계수는 \(\text{ord}_A(f)\)이다. (평소처럼 \(X\)의 함수체를 \(A\)의 분수체와 동일시한다.) 한편 \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\)에서 \([Z]\)의 계수는 \[\text{length}_A(A/I) - \text{length}_A(A/fI)\] 이다. Algebra, Definition 02MG의 거리함수를 사용하면 이를 \[d(A, I) - d(A, fI) = d(I, fI) = \text{ord}_A(f)\] 로 다시 쓸 수 있다. 등식들은 Algebra, Lemmas 02MH와 02MI에 의해 성립한다. (이 보조정리들을 쓸 필요는 없지만 편리하다.)

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. 나중에(Lemma 02SC에서) Lemma 0FDS의 사상 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] 이 단사임을 볼 것이다. 이를 표준 사상 \[K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] 과 합성하여 표준 사상 \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)).\] 을 얻는다. 이 사상이 단사여야 하는지에 관한 명제나 추측을 문헌에서 찾지 못했다. 이 사상의 핵은 꼬임 부분군일 것으로 기대하는 것이 합리적으로 보인다. 이 질문으로 돌아올 것이다(추후 참고문헌 삽입).

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\textit{Coh}_Z(X) \subset \textit{Coh}(X)\)로 집합론적 지지집합이 \(Z\)에 포함되는 코히런트 \(\mathcal{O}_X\)-모듈들의 Serre 부분범주를 나타내자. 그러면 완전한 포함 함자 \(\textit{Coh}(Z) \to \textit{Coh}_Z(X)\)는 동형 \[K'_0(Z) = K_0(\textit{Coh}(Z)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_Z(X))\] 을 유도한다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 \(\textit{Coh}_Z(X)\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z\)의 준코히런트 아이디얼 층이라 하자. 내림 여과 \[\ldots \subset \mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p \mathcal{F} \subset \mathcal{F}^{p - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\] 를 생각하자. Lemma 0FDS의 증명에서와 정확히 같이 이 여과는 국소 유한이고, 따라서 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\), \(\bigoplus_{p \geq 1} \mathcal{F}^p\), 그리고 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\)는 \(Z\) 위에 지지된 코히런트 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이다. 따라서 Lemma 0FDS의 증명에서와 정확히 같이 \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] 을 \(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\)에서 얻는다. 코히런트 모듈 \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\)는 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되므로 \([\mathcal{F}]\)가 상에 속함을 얻는다. 사실 사상 \[\mathcal{F} \longmapsto c(\mathcal{F}) = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] 은 \(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\)를 통하여 인수분해되고, 보조정리의 명제에 나오는 사상의 역임을 주장한다. 이를 보이려면 \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] 이 \(\textit{Coh}_Z(X)\)의 짧은 완전열일 때 \(c(\mathcal{G}) = c(\mathcal{F}) + c(\mathcal{H})\)를 얻는다는 것만 보이면 된다. 모든 \(q \geq 0\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G}) \to \mathcal{G}^q/\mathcal{G}^{q + 1} \to \mathcal{H}^q/\mathcal{H}^{q + 1} \to 0\] 이 있음을 유의하라. \(p, q \geq 0\)에 대해 코히런트 부분모듈 \[\mathcal{F}^{p, q} = \mathcal{I}^p\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\] 를 생각하자. 위와 정확히 같은 논증을 하고 여과 \(\mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\)가 국소 유한임을 사용하면 \[[\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}] = [\bigoplus\nolimits_{p, q \geq 0} \mathcal{F}^{p, q}/(\mathcal{F}^{p + 1, q} + \mathcal{F}^{p, q + 1})] = [\bigoplus\nolimits_{q \geq 0} (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G})]\] 을 \(K_0(\textit{Coh}(Z))\)에서 얻는다. 이를 위의 완전열들과 결합하면 원하는 결과를 얻는다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

가역층에 결부된 약수

다음 정의는 현재 설정에서 Divisors, Definition 0BE6에 대응한다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자.

1. \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 임의의 유리형 단면 \(s\)에 대해 \(s\)에 결부된 Weil 약수를 Divisors, Definition 0BE6에서 정의된 \((n - 1)\)-순환 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z]\] 로 정의한다. Lemma 02RK에 의해 Weil 약수들의 \(\delta\)-차원이 \(n - 1\)이므로 이는 의미가 있다.

2. \(\mathcal{L}\)에 결부된 Weil 약수를 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = \text{class of }\text{div}_\mathcal{L}(s) \in \CH_{n - 1}(X)\] 로 정의한다. 여기서 \(s\)는 \(X\) 위의 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 임의의 유리형 단면이다. 이는 Divisors, Lemma 02SH에 의해 잘 정의된다.

\(X\)와 \(S\)가 위의 Definition 02SJ에서와 같다고 하고 \(n = \dim_\delta(X)\)로 두자. \(Cl(X)\)가 Divisors, Definition 0BE4에서 정의된 \(X\)의 Weil 약수류군일 때, 정의에서 \(Cl(X) = \CH_{n - 1}(X)\)임이 분명하다. 사상 \[\Pic(X) \longrightarrow \CH_{n - 1}(X), \quad \mathcal{L} \longmapsto c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\] 은 임의의 국소 뇌터 정역 스킴에 대해 Divisors, Equation (0BE7)에서 구성한 사상 \(\Pic(X) \to Cl(X)\)와 같다. 특히 이 사상은 아벨 군의 준동형이고, \(X\)가 정규 스킴이면 단사이며, \(X\)의 모든 국소환이 UFD이면 동형이다. Divisors, Lemmas 0BE8와 0BE9를 보라. 가역층에 결부된 Weil 약수를 쉽게 계산할 수 있는 경우들이 있다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하고, \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 영이 아닌 전역 단면이라 하자. 그러면 \(Z_{n - 1}(X)\)에서 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = [Z(s)]_{n - 1}\] 이고 \(\CH_{n - 1}(X)\)에서 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [Z(s)]_{n - 1}\] 이다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\delta\)-차원 \(n - 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\xi \in Z\)를 생성점이라 하자. 생성원 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)를 택하고, 어떤 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\)에 대해 \(s = fs_\xi\)라고 쓰자. \(Z(s)\)의 정의(Divisors, Definition 02OQ)에 의해 \(Z(s)\)는 \(\mathcal{I}_\xi = (f)\)인 준코히런트 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 잘라내는 부분스킴이다. 따라서 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{Z(s), \xi}) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{X, \xi}/(f)) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\)이고, 이것이 원하는 결과이다.

다음 보조정리는 더 일반적인 Lemma 02SS로 대체될 것이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\), \(Y\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-모듈이라 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. 그러면 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]\] 가 \(\CH_{n + r - 1}(X)\)에서 성립한다.

증명

\(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. 실제로 \(f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\)임을 보이겠고, 그러면 보조정리가 성립한다. 이를 위해 \(\xi \in Y\)를 점이라 하고 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)를 생성원이라 하자. \(g \in R(Y)^*\)에 대해 \(s = gs_\xi\)라고 쓰자. 그러면 \(\xi\)의 열린 근방 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(s_\xi \in \mathcal{L}(V)\)이고 \(s_\xi\)가 \(\mathcal{L}|_V\)를 생성한다. 따라서 \[\text{div}_\mathcal{L}(s)|_V = \text{div}_Y(g)|_V.\] 정확히 같은 방법으로 \(f^*s_\xi\)가 \(f^{-1}(V)\) 위에서 \(f^*\mathcal{L}\)을 생성하고 \(f^*s = g f^*s_\xi\)이므로 \[\text{div}_\mathcal{L}(f^*s)|_{f^{-1}(V)} = \text{div}_X(g)|_{f^{-1}(V)}.\] 그러므로 \(f^{-1}(V)\) 위의 원하는 순환 등식은 주약수의 당김에 관한 대응하는 결과인 Lemma 02RR에서 따른다.

가역층과의 교차

이 절에서는 다음 구성을 연구한다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 각 정수 \(k\)에 대해 연산 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 을 정의하고, 이를 \(\mathcal{L}\)의 제1 천 특성류와의 교차라 부른다.

1. \(\dim_\delta(W) = k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(i : W \to X\)가 주어지면 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [W] = i_*(c_1({i^*\mathcal{L}}) \cap [W])\] 로 정의한다. 여기서 우변은 Definition 02SJ에서 정의되어 있다.

2. 일반적인 \((k + 1)\)-순환 \(\alpha = \sum n_i [W_i]\)에 대해서는 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_i c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]\] 로 둔다.

각 \(c_1(\mathcal{L}) \cap W_i = \sum_j n_{i, j} [Z_{i, j}]\)를 \(\{Z_{i, j}\}_j\)가 \(W_i\)의 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 합이 되도록 쓰자. \(\{W_i\}\)가 \(X\) 위 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임이므로 \(\{Z_{i, j}\}_{i, j}\)도 \(X\)의 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임임을 쉽게 알 수 있다. 따라서 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_in_{i, j}[Z_{i, j}]\)는 순환이다. 이를 생각하는 또 다른, 더 편리한 방법은 사상 \(\coprod W_i \to X\)가 고유임을 유의하는 것이다. 따라서 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)는 \(\CH_k(\coprod W_i) = \prod \CH_k(W_i)\)의 한 류를 밀어 보낸 것으로 볼 수 있다. 이는 결과가 \(X\) 위의 유리 동치를 제외하고 잘 정의되는 이유도 설명한다.

다음 몇 절의 주된 목표는 \(c_1(\mathcal{L})\)과의 교차가 유리 동치를 통하여 인수분해됨을 보이는 것이다. 이는 자명하지 않다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. 그러면 모든 \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)에 대해 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) \cap \alpha\] 가 \(\CH_k(X)\)에서 성립한다. 또한 모든 \(\alpha\)에 대해 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\)이다.

증명

가법성은 Divisors, Lemma 02SL와 정의들에서 곧바로 따른다. \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\)임을 보기 위해 단면 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)을 생각하자. 이는 임의의 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset X\) 위에서 어디서나 영이 아닌 단면으로 제한된다. 따라서 원하는 대로 \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap [W] = 0\)이다.

\(Z(s) \subset X\)는 스킴 \(X\) 위 가역층의 전역 단면 \(s\)의 영점 스킴을 나타냄을 상기하자. Divisors, Definition 02OQ을 보라.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-모듈이라 하고 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\),

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\), 그리고

3. \(\delta\)-차원 \(k\)인 \(Z(s)\)의 기약 성분의 모든 생성점 \(\xi\)에 대해 \(s\)에 의한 곱셈이 단사 \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to \mathcal{L}_\xi\)를 유도한다.

\(Y_i \subset Y\)가 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 \(Y\)의 기약 성분들이 되도록 \([Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\)라고 쓰자. \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\)로 두자. 그러면 [02SR]\[\begin{equation} [Z(s)]_k = \sum n_i[Z(s_i)]_k \end{equation}\] 가 \(Y\) 위의 \(k\)-순환으로서 성립한다.

증명

\(Z \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\xi \in Z\)를 생성점이라 하자. 식 \(\sum n_i[Z(s_i)]_k\)에서 \([Z]\)의 계수 \(n\)과 식 \([Z(s)]_k\)에서 \([Z]\)의 계수 \(m\)을 비교하려 한다. 생성원 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)를 택하고 \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\), \(L = \mathcal{L}_\xi\)라고 쓰자. 그러면 \(L = As_\xi\)이다. 유일한 어떤 \(f \in A\)에 대해 \(s = f s_\xi\)라고 쓰자. 가정 (3)은 \(f : A \to A\)가 단사임을 뜻한다. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\)이고 \(\dim_\delta(Z) = k\)이므로 \(\dim(A) = 0\) 또는 \(1\)이다. 어느 경우에나 유한한 \[m = \text{length}_A(A/(f))\] 을 얻는다.

\(\dim(A) = 0\)이면 \(f : A \to A\)가 단사라는 사실에서 \(f \in A^*\)임을 얻는다. 따라서 이 경우 \(m\)은 영이다. 또한 \(\dim(A) = 0\)이라는 조건은 \(\xi\)가 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 어떤 기약 성분에도 놓이지 않음을 뜻하므로 \(n = 0\)이기도 하다.

이제 \(\dim(A) = 1\)이라 하자. \(A\)는 뇌터 국소환이므로 유한 개의 극소 소아이디얼 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)를 갖는다. 이들은 \(\xi'\)를 지나는 \(Y_i\)들과 일대일 대응한다. 또한 \(n_i = \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i})\)이다. \([Z(s_i)]_k\)에서 \([Z]\)의 중복도는 \(\text{length}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\)이다. 따라서 이 경우 증명할 등식은 \[\text{length}_A(A/(f)) = \sum \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}) \text{length}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\] 이고, 이는 Lemma 02QG에서 따른다.

다음 보조정리는 가역층의 \(c_1\)과 닫힌 부분스킴에 결부된 순환의 교차곱을 계산하는 데 유용하다. \(Z(s) \subset X\)는 스킴 \(X\) 위 가역층의 전역 단면 \(s\)의 영점 스킴을 나타냄을 상기하자. Divisors, Definition 02OQ을 보라.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. \(Y \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하고 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L}|_Y)\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\),

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\), 그리고

3. \(\delta\)-차원 \(k\)인 \(Z(s)\)의 기약 성분의 모든 생성점 \(\xi\)에 대해 \(s\)에 의한 곱셈이 단사 \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to (\mathcal{L}|_Y)_\xi\)를 유도한다¹.

그러면 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = [Z(s)]_k\] 가 \(\CH_k(X)\)에서 성립한다.

증명

\[[Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\] 라고 쓰자. 여기서 \(Y_i \subset Y\)는 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 \(Y\)의 기약 성분이고 \(n_i > 0\)이다. 가정에 의해 제한 \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\)는 영이 아니며, 따라서 정칙 단면이다. Lemma 02SK에 의해 \([Z(s_i)]_k\)가 \(c_1(\mathcal{L}|_{Y_i})\)를 나타냄을 알 수 있다. 따라서 정의에 의해 \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = \sum n_i[Z(s_i)]_k\] 이다. 이제 Lemma 0EPI에서 결과가 따른다.

가역층과의 교차 및 밂과 당김

이 절에서는 연산 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\)가 평탄 당김 및 고유 밂과 가환함을 증명한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역층이라 하자. \(Y\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. 그러면 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 가 \(Z_{n + r - 1}(X)\)에서 성립한다. 여기서 합은 \(\delta\)-차원 \(n + r\)인 기약 성분 \(X_i \subset X\) 전체를 돌고, 단면 \(s_i = f|_{X_i}^*(s)\)는 \(s\)의 당김이며, \(n_i = m_{X_i, X}\)는 \(X\)에서 \(X_i\)의 중복도이다.

증명

이 순환 등식을 증명하기 위해 \(Y\) 위에서 국소적으로 논증할 수 있다. 따라서 \(Y\)가 아핀이고, 영이 아닌 단면 \(p \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)와 \(q \in \Gamma(Y, \mathcal{O})\)에 대해 \(s = p/q\)라고 가정할 수 있다. 명백한 표기 아래 두 등식 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(p) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(p_i) \quad\text{and}\quad f^*\text{div}_\mathcal{O}(q) = \sum n_i\text{div}_{\mathcal{O}_{X_i}}(q_i)\] 을 모두 보이면 가법성에 의해 결과를 얻는다. Divisors, Lemma 02SL를 보라. 따라서 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\)라고 가정할 수 있다. 이 경우 등식 (02SR)을 적용하면 \[[Z(f^*(s))]_{k + r - 1} = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] 임을 알 수 있다. 여기서 \(f^*(s) \in f^*\mathcal{L}\)는 \(s\)를 \(X\)로 당긴 것을 나타낸다. 한편 Lemmas 02SK과 02RE에 의해 \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = f^*[Z(s)]_{k - 1} = [f^{-1}(Z(s))]_{k + r - 1},\] 이다. \(Z(f^*(s)) = f^{-1}(Z(s))\)이므로 결과를 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역층이라 하고 \(\alpha\)를 \(Y\) 위의 \(k\)-순환이라 하자. 그러면 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*\alpha\] 가 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 성립한다.

증명

\(\alpha = \sum n_i[W_i]\)라고 쓰자. \(X\)의 닫힌 부분스킴 \(f^{-1}(W_i)\) 위에서 유리 동치를 구성함으로써 \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W_i]\] 가 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 성립함을 보이겠다. Remark 02RZ의 논의에 의해 이로부터 보조정리의 등식이 성립한다.

\(W \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. 닫힌 부분스킴 \(W' = f^{-1}(W) = W \times_Y X\)를 생각하면 섬유곱 그림 \[\xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ W \ar[r] & Y }\] 을 얻는다. 등식 \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\)를 보여야 한다. \(\mathcal{L}|_W\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(s\)를 택하자. \(W'_i \subset W'\)를 \(\delta\)-차원 \(k + r\)인 기약 성분들이라 하고, 정의에 따른 \(W'\) 안의 \(W'_i\)의 중복도를 \(n_i\)라 하여 \([W']_{k + r} = \sum n_i[W'_i]\)라고 쓰자. 그러면 \(Z_{k + r}(X)\)에서 \(f^*[W] = \sum n_i[W'_i]\)이다. 각 \(W'_i \to W\)가 지배적이므로 각 \(i\)에 대해 \(s_i = s|_{W'_i}\)가 영이 아닌 유리형 단면임을 알 수 있다. Lemma 0EPJ에 의해 순환의 등식 \[h^*\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{W'_i}}(s_i)\] 가 \(Z_{k + r - 1}(W')\)에서 성립한다. 좌변은 \(W'\) 위의 순환이고 그 밂은 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W])\)이며, 우변은 \(W'\) 위의 순환이고 그 밂은 \(\CH_{k + r - 1}(X)\)에서 \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\)이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 고유 사상이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역층이라 하자. \(s\)를 \(Y\) 위 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(s\)라 하자. \(X\), \(Y\)가 정역이고, \(f\)가 지배적이며, \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)라고 가정하자. 그러면 \[f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_\mathcal{L}(s).\] 가 \(Y\) 위의 순환으로서 성립한다. 특히 \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]) = [R(X) : R(Y)] c_1(\mathcal{L}) \cap [Y] = c_1(\mathcal{L}) \cap f_*[X]\] 이다.

증명

정의에 따라 \(f_*[X] = [R(X) : R(Y)][Y]\)이므로 마지막 등식은 첫 번째 등식에서 따른다. Lemma 02RT을 다시 사용하여 첫 번째 등식을 증명할 수 있다. 실제로 순환의 등식을 증명하려 하므로 \(Y\) 위에서 국소적으로 논증할 수 있다. 따라서 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_Y\)라고 가정할 수 있다. 이 경우 \(s\)는 유리함수 \(g \in R(Y)\)에 대응하고, 증명할 것은 단순히 \[f_*\left(\text{div}_X(g)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_Y(g).\] 이다. 앞서 말한 Lemma 02RT의 결과와 비교하면, \(g \in R(Y)^*\)이므로 \(\text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(g) = g^{[R(X) : R(Y)]}\)이고 따라서 이 등식이 성립함을 알 수 있다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(p : X \to Y\)를 고유 사상이라 하고 \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(Y\) 위의 가역층이라 하자. 그러면 \[p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(\mathcal{L}) \cap p_*\alpha\] 가 \(\CH_k(Y)\)에서 성립한다.

증명

모든 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset X\)에 대해 사상 \(p|_W : W \to Y\)가 닫힌 몰입이라는 성질을 \(p\)가 갖는다고 하자. 그러면 \(c_1(\mathcal{L})\)과 cap을 취하는 정의에 의해 보조정리가 성립한다.

이 관찰을 사용하여 특수한 경우로 환원하겠다. 즉, \(n_i \not = 0\)이고 \(W_i\)들이 서로 다르도록 \(\alpha = \sum n_i[W_i]\)라고 쓰자. \(W'_i \subset Y\)를 \(W_i\)의 상으로 보자(정역 닫힌 부분스킴으로서). 그림 \[\xymatrix{ X' = \coprod W_i \ar[r]_-q \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ Y' = \coprod W'_i \ar[r]^-{q'} & Y. }\] 을 생각하자. \(\{W_i\}\)가 \(X\) 위에서 국소 유한이고 \(p\)가 고유이므로 \(\{W'_i\}\)가 \(Y\) 위에서 국소 유한이며 \(q, q', p'\)도 고유 사상임을 알 수 있다. \(\sum n_i[W_i]\)를 \(k\)-순환 \(\alpha' \in Z_k(X')\)로 생각할 수도 있다. 분명 \(q_*\alpha' = \alpha\)이다. 증명의 첫 관찰에 의해 \(q_*(c_1(q^*p^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = c_1(p^*\mathcal{L}) \cap q_*\alpha'\)이고 \((q')_*(c_1((q')^*\mathcal{L}) \cap p'_*\alpha') = c_1(\mathcal{L}) \cap q'_*p'_*\alpha'\)이다. 따라서 사상 \(p'\)와 순환 \(\sum n_i[W_i]\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 분명 이는 \(X\), \(Y\)가 정역이고, \(f : X \to Y\)가 지배적이며, \(\alpha = [X]\)라고 가정할 수 있음을 뜻한다. 이 경우 결과는 Lemma 02ST에서 따른다.

핵심 공식

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하고, \(t\)를 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. \(Z_i \subset X\), \(i \in I\)를 다음 성질을 갖는 여차원 \(1\)의 기약 닫힌 부분집합들의 국소 유한 집합이라 하자. 생성점이 \(\xi\)인 \(Z \not \in \{Z_i\}\)에 대해서는 \(s\)가 \(\mathcal{L}_\xi\)의 생성원이고 \(t\)가 \(\mathcal{N}_\xi\)의 생성원이다. 이러한 집합은 Divisors, Lemma 02SG에 의해 존재한다. 그러면 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) [Z_i]\] 이고, 마찬가지로 \[\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) [Z_i]\] 이다. 정의를 더 풀어 쓰기 위해 각 \(i\)에 대해 생성원 \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\)와 \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\)를 택하자. 여기서 \(\xi_i\)는 \(Z_i\)의 생성점이다. 그러면 \[s = f_i s_i \quad\text{and}\quad t = g_i t_i\] 라고 쓸 수 있다. \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\)로 두자. 정의에 따라 \[\text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{B_i}(f_i) \quad\text{and}\quad \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\] 이다. \(t_i\)는 \(\mathcal{N}_{\xi_i}\)의 생성원이므로 섬유 \(\mathcal{N}_{\xi_i} \otimes \kappa(\xi_i)\) 안의 그 상은 \(\mathcal{N}|_{Z_i}\)의 영이 아닌 유리형 단면이다. 이 상을 \(t_i|_{Z_i}\)로 나타내겠다. 정의들에서 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 이고, 마찬가지로 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] 가 \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 성립한다. 이 두 순환 사이의 유리 동치를 찾겠다. 이를 위해 tame 기호 \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \in \kappa(\xi_i)^*\] 를 생각한다. Section 0EAH을 보라.

보조정리

위의 상황에서 순환 \[\sum (Z_i \to X)_*\left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right)\] 은 순환 \[\sum (Z_i \to X)_*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] 과 같다.

증명

먼저 \(B_i\)의 어떤 단원 \(u\)에 대해 \(s_i\)를 \(us_i\)로 바꾸면 어떻게 되는지 살펴보자. 그러면 \(f_i\)는 \(u^{-1} f_i\)로 바뀐다. 따라서 보조정리의 첫 번째 식의 첫째 부분은 변하지 않고, 둘째 부분에는 \[-\text{ord}_{B_i}(g_i)\text{div}(u|_{Z_i})\] 를 더하게 된다. 여기서 \(u|_{Z_i}\)는 잉여체 안의 \(u\)의 상이며, 이는 Divisors, Lemma 02SH에 의한다. 둘째 식에는 tame 기호의 쌍선형성에 의해 \[\text{div}(\partial_{B_i}(u^{-1}, g_i))\] 를 더하게 된다. 이 두 항은 tame 기호의 성질 (0EAN)에 의해 같다.

\(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) = n - 2\)인 기약 닫힌 부분집합이라 하자. 보조정리의 두 순환에서 \(Z\)의 계수가 같음을 보이기 위해 앞 문단에서와 같이 \(s_i \mapsto us_i\)로 바꿀 수 있다. 정확히 같은 방법으로 \(B_i\)의 어떤 단원 \(v\)에 대해 \(t_i \mapsto vt_i\)로 바꿀 수 있음을 보인다.

순환의 등식을 증명하므로 계수를 하나씩 논증할 수 있다. 따라서 \(\dim_\delta(Z) = n - 2\)인 기약 닫힌 부분집합 \(Z \subset X\)를 택하여 계수를 비교하자. \(\xi \in Z\)를 생성점이라 하고 \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\)로 두자. 이는 차원 \(2\)의 뇌터 국소 정역이다. \(\mathcal{L}_\xi\)와 \(\mathcal{N}_\xi\)의 생성원 \(\sigma\)와 \(\tau\)를 택하자. \(X\)를 줄인 뒤 \(\sigma\)와 \(\tau\)가 \(X\) 전체에서 가역층 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)의 자명화를 정의한다고 가정할 수 있고, 그렇게 가정한다. \(X\)를 줄인 뒤 \(Z_i\)가 국소 유한이므로 모든 \(i \in I\)에 대해 \(Z \subset Z_i\)이고 \(I\)가 유한이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(\xi_i\)는 높이 \(1\)인 소아이디얼 \(\mathfrak q_i \subset A\)에 대응한다. 어떤 \(A_{\mathfrak q_i}\)의 단원 \(a_i\)와 \(b_i\)에 대해 \(s_i = a_i \sigma\)와 \(t_i = b_i \tau\)라고 쓸 수 있다. 위의 관찰에 의해 모든 \(i\)에 대해 \(a_i = b_i = 1\)인 경우를 증명하면 충분하다.

모든 \(i\)에 대해 \(a_i = b_i = 1\)이라고 가정하자. \(\sigma\)와 \(\tau\)를 자명화 단면으로 택했으므로 보조정리의 첫째 식은 영이다. \(A\)의 분수체 안의 \(f\)와 \(g\)에 대해 \(s = f\sigma\)와 \(t = g \tau\)라고 쓰자. 앞 문단에 의해 모든 \(i\)에 대해 \(f_i = f\)이고 \(g_i = g\)인 경우로 환원했다. 더욱이 \(\{\mathfrak q_i\}\)에 속하지 않는 \(A\)의 높이 \(1\)인 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대해서는 \(f\)와 \(g\)가 모두 \(A_\mathfrak q\)의 단원이다 (이는 보조정리 앞의 논의에서 족 \(\{Z_i\}\)를 택한 방법에 의한다). 따라서 보조정리의 둘째 식에서 \(Z\)의 계수는 \[\sum\nolimits_i \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{B_i}(f, g))\] 이고, 이는 핵심 Lemma 0EAX에 의해 영이다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. 복합체 \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 2}' K_2^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x))\] 가 존재한다고 주장한다. Remark 0GU3에서 도입한 표기와 규약을 사용하며, 다음을 추가한다.

1. \(K_2^M(\kappa(x))\)는 점 \(x \in X\)의 잉여체 \(\kappa(x)\)의 Milnor K-이론의 차수 \(2\) 부분이다(Remark 0EAY를 보라). 이는 \(\lambda \in \kappa(x) \setminus \{0, 1\}\)에 대해 \(\lambda \otimes (1 - \lambda)\) 꼴의 원소들이 생성하는 부분군으로 \(\kappa(x)^* \otimes_\mathbf{Z} \kappa(x)^*\)를 나눈 몫이고,

2. 첫 번째 미분 \(\partial\)는 다음과 같이 정의한다. 첫째 항의 원소 \(\xi = \sum_x \alpha_x\)가 주어지면 \[\partial(\xi) = \sum\nolimits_{x \leadsto x',\ \delta(x') = k + 1} \partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}}(\alpha_x)\] 로 둔다. 여기서 \(\partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}} : K_2^M(\kappa(x)) \to K_1^M(\kappa(x))\) 는 Section 0EAH에서 구성한 tame 기호이다.

복합체를 얻는다고, 즉 \(\partial \circ \partial = 0\)이라고 주장한다. 이를 보이기 위해서는 위와 같은 원소 \(\xi\)와 \(\delta(x'') = k\)인 점 \(x'' \in X\)를 택하여 \(\partial(\partial(\xi))\)에서 \(x''\)의 계수가 영임을 확인하면 충분하다. \(\xi = \sum \alpha_x\)는 국소 유한 합이므로 가법성에 의해 실제로 어떤 \(\delta(x) = k + 2\)인 \(x \in X\)와 \(\alpha_x \in K_2^M(\kappa(x))\)에 대해 \(\xi = \alpha_x\)라고 가정할 수 있다. 다시 선형성에 의해 어떤 \(f, g \in \kappa(x)^*\)에 대해 \(\alpha_x = f \otimes g\)라고 가정할 수 있다. \(W \subset X\)를 생성점이 \(x\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(x'' \not \in W\)이면 \(\partial(\partial(\xi))\)에서 \(x\)의 계수가 영임은 바로 분명하다. \(x'' \in W\)이면 \(\partial(\partial(x))\)에서 \(x''\)의 계수는 \[\sum\nolimits_{x \leadsto x' \leadsto x'',\ \delta(x') = k + 1} \text{ord}_{\mathcal{O}_{\overline{\{x'\}}, x''}}( \partial_{\mathcal{O}_{W, x'}}(f, g))\] 와 같다. 핵심 대수적 Lemma 0EAX는 바로 이것이 영임을 말한다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(k \in \mathbf{Z}\)라 하자. Remark 0GU9의 복합체와 Remark 0GU3의 \(\CH_k(X)\)의 표현은 첫 번째 고차 Chow 군을 \[\CH^M_k(X, 1) = H_1(\text{the complex of Remark \href{chow.html#chow-remark-higher-chow-pointwise}{0GU9}})\] 로 정의할 수 있음을 시사한다. 문헌, 예를 들어 Spencer Bloch의 논문들 ([Bloch]와 [Bloch-moving])에서 정의된 고차 Chow 군과 표기를 구별하기 위해 위첨자 \({}^M\)을 사용한다. \(U \subset X\)를 열린집합이라 하고 여집합 \(Y \subset X\)를 축약된 닫힌 부분스킴으로 보자. 그러면 \(i = 2, 1, 0\)에 대해 분할 짧은 완전열 \[0 \to \bigoplus\nolimits_{y \in Y, \delta(y) = k + i}' K_i^M(\kappa(y)) \to \bigoplus\nolimits_{x \in X, \delta(x) = k + i}' K_i^M(\kappa(x)) \to \bigoplus\nolimits_{u \in U, \delta(u) = k + i}' K_i^M(\kappa(u)) \to 0\] 을 얻으며, 이는 Remark 0GU9의 복합체들의 경계사상과 양립한다. 뱀 보조정리(Homology, Lemma 0111)를 적용하면 Lemma 02RX의 표준 완전열을 확장하는 여섯 항 완전열 \[\CH^M_k(Y, 1) \to \CH^M_k(X, 1) \to \CH^M_k(U, 1) \to \CH_k(Y) \to \CH_k(X) \to \CH_k(U) \to 0\] 을 얻는다. 조금 더 작업하면 첫 번째 고차 Chow 군 \(\CH^M_k(X, 1)\)에 대해서도 평탄 당김과 고유 밂을 정의할 수 있다. 나중에 이 문제로 돌아오겠다(여기에 추후 참고문헌 삽입).

가역층과의 교차 및 유리 동치

핵심 보조정리를 적용하여 가역층과의 교차의 기본 성질들을 얻는다. 특히 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\)가 유리 동치를 통하여 인수분해되고, 서로 다른 가역층에 대한 이 연산들이 가환함을 볼 것이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 \(X\) 위에서 가역이라 하자. \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(s\)와 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(t\)를 택하자. \(\alpha = \text{div}_\mathcal{L}(s)\)와 \(\beta = \text{div}_\mathcal{N}(t)\)로 두자. 그러면 \[c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \beta\] 가 \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 성립한다.

증명

핵심 Lemma 0AYC와 그 앞의 논의에서 바로 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위에서 가역이라 하자. 연산 \(\alpha \mapsto c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)는 유리 동치를 통하여 인수분해되어 연산 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 을 준다.

증명

\(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)이고 \(\alpha \sim_{rat} 0\)이라고 하자. Definition 02SO에서 정의한 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)가 영임을 보여야 한다. Definition 02RW에 의해 \(\dim_\delta(W_j) = k + 2\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 족 \(\{W_j\}\)와 유리함수 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 존재하여 \[\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}_{W_j}(f_j)\] 이다. \(p : \coprod W_j \to X\)는 고유 사상이고, 따라서 \(\alpha = p_*\alpha'\)이다. 여기서 \(\alpha' \in Z_{k + 1}(\coprod W_j)\)는 주약수 \(\text{div}_{W_j}(f_j)\)들의 합이다. Lemma 02SU에 의해 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\)이다. 따라서 각 \(c_1(\mathcal{L}|_{W_j}) \cap \text{div}_{W_j}(f_j)\)가 영임을 보이면 충분하다. 다시 말해 \(X\)가 정역이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대해 \(\alpha = \text{div}_X(f)\)라고 가정할 수 있다.

\(X\)가 정역이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대해 \(\alpha = \text{div}_X(f)\)라고 가정하자. \(f\)를 가역층 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\)의 정칙 유리형 단면으로 생각할 수 있다. \(\mathcal{L}\)의 유리형 단면 \(s\)를 택하고 \(\beta = \text{div}_\mathcal{L}(s)\)로 나타내자. Lemma 02TH에 의해 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{O}_X) \cap \beta.\] 이다. 그러나 Lemma 02SP에 의해 우변은 원하는 대로 \(\CH_k(X)\)에서 영이다.

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위에서 가역이라 하자. Lemma 02TI에 의해 의미가 있는 연산 \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] 을 \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\)로 나타내겠다. 모든 \(s \geq 0\)에 대해 이 연산의 \(s\)회 반복을 \(c_1(\mathcal{L})^s \cap -\)로 나타내겠다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 \(X\) 위에서 가역이라 하자. 임의의 \(\alpha \in \CH_{k + 2}(X)\)에 대해 \[c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\] 가 \(\CH_k(X)\)의 원소로서 성립한다.

증명

\(\dim_\delta(Z_j) = k + 2\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 어떤 국소 유한 모임 \(Z_j \subset X\)에 대해 \(\alpha = \sum m_j[Z_j]\)라고 쓰자. 고유 사상 \(p : \coprod Z_j \to X\)를 생각하자. \(\coprod Z_j\) 위의 \((k + 2)\)-순환으로서 \(\alpha' = \sum m_j[Z_j]\)로 두자. Lemma 02SU를 여러 번 적용하면 \(c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap c_1(p^*\mathcal{N}) \cap \alpha')\)이고 \(c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{N}) \cap c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\)임을 알 수 있다. 따라서 \(X\)가 정역이고 \(\alpha = [X]\)인 경우에 공식을 증명하면 충분하다. 이 경우 결과는 Lemma 02TH과 정의들에서 따른다.

Gysin 준동형

이 절에서는 가역층의 한 단면의 영점 자취 \(D\)에 대한 Gysin 사상을 정의한다. \(D\)가 유효 카르티에 약수인 경우가 흥미롭지만, 임의의 \(D\)로 일반화하면 여러 양립성을 정식화할 유연성을 얻는다. Remark 0B6Y와 Lemmas 02TA, 0B71, 0B73을 보라. 이 결과들은 가상 법다발이 주어진 국소 주 아이디얼 닫힌 부분스킴 (Remark 0B70)이나 의사약수 (Remark 0B7D)로 일반화할 수 있다.

유효 카르티에 약수들은 \(\mathcal{L}\)이 가역층이고 \(s\)가 정칙 전역 단면인 쌍 \((\mathcal{L}, s)\)의 동형류들과 \(1\)-대-\(1\)로 대응함을 상기하자. Divisors, Lemma 01X0를 보라. \(D\)가 \((\mathcal{L}, s)\)에 대응하면 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)이다. 이 절을 읽는 동안 이를 염두에 두기 바란다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s)\)를 가역층과 전역 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)로 이루어진 쌍이라 하자. \(D = Z(s)\)를 \(s\)의 영점 스킴이라 하고 닫힌 몰입을 \(i : D \to X\)로 나타내자. 각 정수 \(k\)에 대해 Gysin 준동형 \[i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D).\] 을 다음 규칙들로 정의한다.

1. \(\dim_\delta(W) = k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset X\)가 주어지면 다음과 같이 정의한다.

   1. \(W \not \subset D\)이면 \(i^*[W] = [D \cap W]_k\)를 \(D\) 위의 \(k\)-순환으로 두고,

   2. \(W \subset D\)이면 \(i^*[W] = i'_*(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W])\)로 둔다. 여기서 \(i' : W \to D\)는 유도된 닫힌 몰입이다.

2. 일반적인 \((k + 1)\)-순환 \(\alpha = \sum n_j[W_j]\)에 대해서는 \[i^*\alpha = \sum n_j i^*[W_j]\] 로 둔다.

3. \(D\)가 유효 카르티에 약수이면, 류 \(i^*\alpha\)를 \(X\) 위의 류로 밀어 보낸 것을 \(D \cdot \alpha = i_*i^*\alpha\)로 나타낸다.

실제로 나중에 보겠지만 이 Gysin 준동형 \(i^*\)는 비평탄 당김의 한 예로 볼 수 있다. 따라서 때때로 비형식적으로 류 \(i^*\alpha\)를 류 \(\alpha\)의 당김이라 부르겠다.

주

\(X\)를 Situation 02QL에서와 같이 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \((D, \mathcal{N}, \sigma)\)를 국소 주 아이디얼(Divisors, Definition 01WR) 닫힌 부분스킴 \(i : D \to X\), 가역 \(\mathcal{O}_D\)-모듈 \(\mathcal{N}\), 그리고 \(\mathcal{O}_D\)-모듈의 전사 \(\sigma : \mathcal{N}^{\otimes -1} \to i^*\mathcal{I}_D\)로 이루어진 삼중항이라 하자². 여기서 \(\mathcal{N}\)은 \(X\) 안의 \(D\)의 가상 법다발로 생각해야 한다. Definition 02T8의 구성 \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\)는 이러한 삼중항으로 일반화된다. Section 0FBI을 보라.

주

\(X\)를 Situation 02QL에서와 같이 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. [F]에서 \(X\) 위의 의사약수는 삼중항 \(D = (\mathcal{L}, Z, s)\)로 정의된다. 여기서 \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이고, \(Z \subset X\)는 닫힌 부분집합이며, \(s \in \Gamma(X \setminus Z, \mathcal{L})\)는 어디서도 영이 아닌 단면이다. 위와 비슷하게, \(\CH_{k + 1}(X)\)의 모든 \(\alpha\)에 대해 \(\CH_k(Z \cap |\alpha|)\)의 곱 \(D \cdot \alpha\)를 정의할 수 있다. 여기서 \(|\alpha|\)는 \(\alpha\)의 지지집합이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 Definition 02T8에서와 같다고 하자. \(\alpha\)를 \(X\) 위의 \((k + 1)\)-순환이라 하자. 그러면 \(i_*i^*\alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)가 \(\CH_k(X)\)에서 성립한다. 특히 \(D\)가 유효 카르티에 약수이면 \(D \cdot \alpha = c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap \alpha\)이다.

증명

\(i_j : W_j \to X\)가 \(\dim_\delta(W_j) = k\)인 정역 닫힌 부분스킴이 되도록 \(\alpha = \sum n_j[W_j]\)라고 쓰자. \(D\)는 \(s\)의 영점 스킴이므로 \(D \cap W_j\)는 제한 \(s|_{W_j}\)의 영점 스킴이다. 따라서 \(W_j \not \subset D\)인 각 \(j\)에 대해 Lemma 02SQ에 의해 \(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_j] = [D \cap W_j]_k\)이다. 그러므로 Definition 02SO에 의해 \(\CH_k(X)\)에서 \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum\nolimits_{W_j \not \subset D} n_j[D \cap W_j]_k + \sum\nolimits_{W_j \subset D} n_j i_{j, *}(c_1(\mathcal{L})|_{W_j}) \cap [W_j])\] 이다. 우변은 Definition 02T8에서 정의한 \(D\) 위 류 \(i^*\alpha\)의 밂과 항별로 일치한다. 따라서 결과를 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 Definition 02T8에서와 같다고 하자.

1. \(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\)이고 \(D \cap Z\)가 \(Z\) 위의 유효 카르티에 약수인 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(i^*[Z]_{k + 1} = [D \cap Z]_k\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)를 \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\)이고 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\)가 단사인 \(X\) 위의 코히런트 층이라 하자. 그러면 \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = [i^*\mathcal{F}]_k\] 가 \(\CH_k(D)\)에서 성립한다.

증명

(1)에서와 같은 \(Z \subset X\)를 가정하고 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\)로 두자. \(D \cap Z\)가 유효 카르티에 약수라는 가정은 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\)가 단사라는 가정과 동치이다. 더욱이 \([Z]_{k + 1} = [\mathcal{F}]_{k + 1}]\) 이고 \([D \cap Z]_k = [\mathcal{O}_{D \cap Z}]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\)이다. Lemma 02QY을 보라. 따라서 (1)은 (2)에서 따른다.

\(m_j > 0\)이고 \(W_j \subset X\)가 서로 다른 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이 되도록 \([\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j[W_j]\)라고 쓰자. 사상 \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\)가 단사라는 가정은 모든 \(j\)에 대해 \(W_j \not \subset D\)임을 함의한다. 정의에 따라 \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j [D \cap W_j]_k.\] 다음을 주장한다. \[\sum [D \cap W_j]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\] 이는 순환의 등식이다. \(Z \subset D\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\xi \in Z\)를 생성점이라 하자. \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\), \(M = \mathcal{F}_\xi\)라고 하자. \(f \in A\)를 \(D\)의 아이디얼을 생성하는 원소, 즉 \(\mathcal{O}_{D, \xi} = A/fA\)가 되게 하는 원소라 하자. 가정에 의해 \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\)이고, 사상 \(f : M \to M\)은 단사이며, \(\text{length}_A(M/fM) < \infty\)이다. 더욱이 \(\text{length}_A(M/fM)\)은 \([i^*\mathcal{F}]_k\)에서 \([Z]\)의 계수이다. 한편 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)를 \(M\)의 지지집합 안의 극소 소아이디얼들이라 하자. 그러면 \[\sum \text{length}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}) \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(f)\] 는 \(\sum [D \cap W_j]_k\)에서 \([Z]\)의 계수이다. 따라서 Lemma 02QG에 의해 등식을 얻는다.

주

\(X \to S\), \(\mathcal{L}\), \(s\), \(i : D \to X\)가 Definition 02T8에서와 같고 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)라고 가정하자. 이 경우 \(W \subset D\)인 모든 정역 닫힌 부분스킴에 대해 \(i^*[W] = 0\)이 되도록 요구하여 순환 위의 표준 사상 \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to Z_k(D)\)를 정의할 수 있다. 이렇게 할 수 있다는 사실은 나중에 유용할 것이다.

주

\(f : X' \to X\)를 Situation 02QL에서와 같이 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 02T8에서와 같은 삼중항이라 하자. 그러면 \(\mathcal{L}' = f^*\mathcal{L}\), \(s' = f^*s\), \(D' = X' \times_X D = Z(s')\)로 둘 수 있다. 이로부터 가환 그림 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 얻고, \(i^*\)와 \((i')^*\) 사이의 여러 양립성을 물을 수 있다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X' \to X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 고유 사상이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 Definition 02T8에서와 같다고 하자. Remark 0B6Y에서와 같이 그림 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 만들자. \(X'\) 위의 임의의 \((k + 1)\)-순환 \(\alpha'\)에 대해 \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\)가 \(\CH_k(D)\)에서 성립한다 (이는 \(f_*\)가 순환 수준에서 정의되므로 의미가 있다).

증명

어떤 정역 닫힌 부분스킴 \(W' \subset X'\)에 대해 \(\alpha = [W']\)라고 가정하자. \(W = f(W') \subset X\)라 하자. \(W' \not \subset D'\)인 경우에는 \(W \not \subset D\)이고 \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{and}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] 임을 알 수 있다. 따라서 Lemma 02ST에 의해 첫째 순환을 \(f_*\)로 민 것이 둘째 순환과 같다. 그러므로 등식은 순환으로서 성립한다. \(W' \subset D'\)인 경우에는 \(W \subset D\)이고, Lemma 02ST의 둘째 명제에 의해 \(f_*(c_1(\mathcal{L}|_{W'}) \cap [W'])\)는 \(\CH_k(W)\)에서 \(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W]\)와 같다. Remark 02RZ에 의해 일반적인 \(\alpha'\)에 대해서도 결과가 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X' \to X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 Definition 02T8에서와 같다고 하자. Remark 0B6Y에서와 같이 그림 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 만들자. \(X\) 위의 임의의 \((k + 1)\)-순환 \(\alpha\)에 대해 \((i')^*f^*\alpha = g^*i^*\alpha\)가 \(\CH_{k + r}(D')\)에서 성립한다 (이는 \(f^*\)가 순환 수준에서 정의되므로 의미가 있다).

증명

어떤 정역 닫힌 부분스킴 \(W \subset X\)에 대해 \(\alpha = [W]\)라고 가정하자. \(W' = f^{-1}(W) \subset X'\)라 하자. \(W \not \subset D\)인 경우에는 \(W' \not \subset D'\)이고 \[W' \cap D' = g^{-1}(W \cap D)\] 가 \(D'\)의 닫힌 부분스킴으로서 성립한다. 따라서 Lemma 02RE에 의해 등식은 순환으로서 성립한다. \(W \subset D\)인 경우에는 \(W' \subset D'\)이고 \(W' = g^{-1}(W)\)이며, \([W']_{k + 1 + r} = g^*[W]\)이다. 따라서 Lemma 02SS에 의해 등식이 \(\CH_{k + r}(D')\)에서 성립한다. Remark 02RZ에 의해 일반적인 \(\alpha'\)에 대해서도 결과가 따른다.

Gysin 준동형과 유리 동치

이 절에서는 핵심 공식을 사용하여 Gysin 준동형이 유리 동치를 통해 인수분해됨을 보인다. 또한 중요한 가환성 성질을 증명한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 하자. \(i : D \to X\)를 유효 카르티에 약수라 하자. \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하고 \(t\)를 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 단면이라 하자. 그러면 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = c_1(\mathcal{N}|_D) \cap [D]_{n - 1}\) 이 \(\CH_{n - 2}(D)\)에서 성립한다.

증명

어떤 \(\delta\)-차원 \(n - 1\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(Z_i \subset X\)들에 대해 \(\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t)[Z_i]\) 라고 쓰자. 모임 \(\{Z_i\}\)가 국소 유한이고, \(U = X \setminus \bigcup Z_i\)에서 \(t \in \Gamma(U, \mathcal{N}|_U)\)가 생성원이며, \(D\)의 모든 기약 성분이 \(Z_i\)들 가운데 하나라고 가정해도 된다. Divisors, Lemmas 0BE1, 02RL, 그리고 02SG를 보라.

\(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)로 두자. 표준 단면을 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)) = \Gamma(X, \mathcal{L})\)로 나타내자. Section 0AYB의 논의를 현재 상황에 적용한다. 각 \(i\)에 대해 \(\xi_i \in Z_i\)를 생성점이라 하고 \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\)라 하자. 각 \(i\)에 대해 \(B_i\) 위의 생성원 \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\)와 \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\)를 택하되, \(Z_i \not \subset D\)이면 반드시 \(s_i = s\)로 택한다. \(f_i, g_i \in B_i\)를 사용하여 \(s = f_i s_i\)와 \(t = g_i t_i\)라고 쓰자. 그러면 \(\text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\)이다. 한편 \(f_i \in B_i\)이고, \(s_i\)를 위와 같이 택했으므로 \[[D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i)[Z_i]\] 이다. 다음을 주장한다. \[i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] 이는 순환의 등식이다. 더 정확히 말하면 우변은 좌변을 대표하는 순환이다. 실제로 이는 \(\text{div}_\mathcal{N}(t)\)에 대한 위 공식과, \(Z_i \not \subset D\)인 경우 \(s_i|_{Z_i} = s|_{Z_i}\)가 정칙 단면이므로 \(\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = [Z(s_i|_{Z_i})]_{n - 2} = [Z_i \cap D]_{n - 2}\) 이라는 사실에서 분명하다. Lemma 02SK을 보라. 마찬가지로 \[c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] 이다. 핵심 공식(Lemma 0AYC)은 순환의 등식 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] 을 준다. \(Z_i \not \subset D\)이면 \(f_i = 1\)이므로 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = 0\)이다. 따라서 \(D\) 위에서 \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)\)와 \(c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\)을 대표하는 위의 특정 순환들 사이에 유리 동치를 얻는다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 Definition 02T8에서와 같다고 하자. Gysin 준동형은 유리 동치를 통해 인수분해되어 \(i^* : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\)를 준다.

증명

\(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)이고 \(\alpha \sim_{rat} 0\)이라고 가정하자. 이는 \(\delta\)-차원 \(k + 2\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(W_j \subset X\)들의 국소 유한 모임과 \(f_j \in R(W_j)^*\)가 존재하여 \(\alpha = \sum i_{j, *}\text{div}_{W_j}(f_j)\)가 된다는 뜻이다. \(X' = \coprod W_i\)로 두고 Remark 0B6Y의 그림 \[\xymatrix{ D' \ar[d]_q \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^p \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 생각하자. \(X' \to X\)가 고유이므로 Lemma 02TA에 의해 \(i^*p_* = q_*(i')^*\)이다. \(q_*\)가 유리 동치를 통해 인수분해됨을 알고 있으므로(Lemma 02S2), \(X'\) 위의 \(\alpha' = \sum \text{div}_{W_j}(f_j)\)에 대해 결과를 증명하면 충분하다. 이는 명백히 \(X\)가 정역이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대해 \(\alpha = \text{div}(f)\)인 경우로 환원한다.

\(X\)가 정역이고 어떤 \(f \in R(X)^*\)에 대해 \(\alpha = \text{div}(f)\)라고 가정하자. \(X = D\)이면 \(i^*\alpha\)는 \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)와 같다. 이는 Lemma 02TI에 의해 영과 유리 동치이다. \(D \not = X\)이면 Lemma 02TM에 의해 \(i^*\text{div}_X(f)\)는 \(\CH_{n - 2}(D)\)에서 \(c_1(\mathcal{O}_D) \cap [D]_{n - 1}\)과 같다. 물론 \(c_1(\mathcal{O}_D)\)와의 교차곱은 영 사상이다 (Lemma 02SP).

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 Definition 02T8에서와 같다고 하자. 그러면 \(i^*i_* : \CH_k(D) \to \CH_{k - 1}(D)\)는 \(\alpha\)를 \(c_1(\mathcal{L}|_D) \cap \alpha\)로 보낸다.

증명

이는 순환 위의 \(i_*\)의 정의와 Definition 02T8에서 주어진 \(i^*\)의 정의로부터 즉시 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 02T8에서와 같은 삼중항이라 하자. \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 그러면 모든 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대해 \(i^*(c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha) = c_1(i^*\mathcal{N}) \cap i^*\alpha\)가 \(\CH_{k - 2}(D)\)에서 성립한다.

증명

Lemma 02TO와 정확히 같은 증명을 사용하면 이는 Lemmas 02SU, 02TJ, 그리고 02TM에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)와 \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to X)\)를 Definition 02T8에서와 같은 두 삼중항이라 하자. 그러면 그림 \[\xymatrix{ \CH_k(X) \ar[r]_{i^*} \ar[d]_{(i')^*} & \CH_{k - 1}(D) \ar[d]^{j^*} \\ \CH_{k - 1}(D') \ar[r]^{(j')^*} & \CH_{k - 2}(D \cap D') }\] 은 가환이다. 여기서 각 사상은 Gysin 사상이다.

증명

\(j : D \cap D' \to D\)와 \(j' : D \cap D' \to D'\)를 각각 \((\mathcal{L}|_{D'}, s|_{D'}\)와 \((\mathcal{L}'_D, s|_D)\)에 대응하는 닫힌 몰입으로 나타내자. 모든 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대해 \((j')^*i^*\alpha = j^* (i')^*\alpha\)임을 보여야 한다. \(W \subset X\)를 차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\alpha = [W]\)인 경우에 등식을 증명하자. 핵심 공식으로부터 이를 도출할 것이다.

\(\mathcal{L}|_W\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(\sigma\)를 택하되, \(W \not \subset D\)이면 \(s|_W\)와 같도록 요구한다. \(\mathcal{L}'|_W\)의 영이 아닌 유리형 단면 \(\sigma'\)를 택하되, \(W \not \subset D'\)이면 \(s'|_W\)와 같도록 요구한다. Section 0AYB의 논의에서와 같이 \[\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(\sigma) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}|_W}(\sigma)[Z_i] = \sum n_i[Z_i]\] 라고 쓰고, 마찬가지로 \[\text{div}_{\mathcal{L}'|_W}(\sigma') = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}'|_W}(\sigma')[Z_i] = \sum n'_i[Z_i]\] 라고 쓰자. 그러면 \(n_i \not = 0\)이면 \(Z_i \subset D\)이고 \(n'_i \not = 0\)이면 \(Z'_i \subset D'\)이다. 각 \(i\)에 대해 \(\xi_i \in Z_i\)를 생성점이라 하자. Section 0AYB에서와 같이 각 \(i\)에 대해 \(B_i = \mathcal{O}_{W, \xi_i}\) 위에서 생성하는 원소 \(\sigma_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\), resp. \(\sigma'_i \in \mathcal{L}'_{\xi_i}\)를 택하되, \(Z_i \not \subset D\), resp. \(Z_i \not \subset D'\)이면 각각 \(s\), resp. \(s'\)의 상과 같도록 한다. \(\sigma = f_i \sigma_i\)와 \(\sigma' = f'_i\sigma'_i\)라고 쓰면 \(n_i = \text{ord}_{B_i}(f_i)\)이고 \(n'_i = \text{ord}_{B_i}(f'_i)\)이다. 정의로부터 순환으로서 \[(j')^*i^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i})\] 이고 \[j^*(i')^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i})\] 임을 알 수 있다. 이제 핵심 공식(Lemma 0AYC)은 순환의 등식 \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i))\] 을 준다. \(Z_i \not \subset D \cap D'\)이면 \(f_i = 1\) 또는 \(f'_i = 1\)이므로 \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i)) = 0\)임을 유의하라. 따라서 \(D \cap D' \cap W\) 위에서 \((j')^*i^*[W]\)와 \(j^*(i')^*[W]\)를 대표하는 위의 특정 순환들 사이에 유리 동치를 얻는다. Remark 02RZ에 의해 일반적인 \(\alpha\)에 대해서도 결과가 따른다.

상대 유효 카르티에 약수

상대 유효 카르티에 약수는 Divisors, Section 056P에서 정의하고 연구한다. 벡터 다발의 천 특성류에 관한 기본 결과를 전개하는 데에는 주위 스킴과 유효 카르티에 약수가 모두 기저 위에서 평탄인 경우만 필요하다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(p : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(i : D \to X\)를 상대 유효 카르티에 약수라 하자 (Divisors, Definition 062T). \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)라 하자. 임의의 \(\alpha \in \CH_{k + 1}(Y)\)에 대해 \[i^*p^*\alpha = (p|_D)^*\alpha\] 가 \(\CH_{k + r}(D)\)에서 성립하고, \[c_1(\mathcal{L}) \cap p^*\alpha = i_* ((p|_D)^*\alpha)\] 가 \(\CH_{k + r}(X)\)에서 성립한다.

증명

\(W \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. Divisors, Lemma 056Q에 의해 \(D \cap p^{-1}W\)는 \(p^{-1}W\) 위의 유효 카르티에 약수이다. Lemma 02TB에 의해 \[i^*[p^{-1}W]_{k + r + 1} = [D \cap p^{-1}W]_{k + r} = [(p|_D)^{-1}(W)]_{k + r}.\] 에서 첫째 등식을 얻고, 둘째 등식은 스킴으로서 \(D \cap p^{-1}(W) = (p|_D)^{-1}(W)\)이기 때문에 얻는다. 정의에 따라 \(p^*[W] = [p^{-1}W]_{k + r + 1}\)이므로 순환으로서 \(i^*p^*[W] = (p|_D)^*[W]\)이다. \(\alpha = \sum m_j[W_j]\)가 일반적인 \(k + 1\)-순환이면 순환으로서 \(i^*\alpha = \sum m_j i^*p^*[W_j] = \sum m_j(p|_D)^*[W_j]\)를 얻는다. 이로써 첫째 등식이 증명된다. 첫째 등식에서 둘째 등식을 도출하려면 Lemma 02T9를 적용한다.

아핀 다발

아핀 다발의 경우 Chow 군 위의 당김 사상은 전사이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(f : X \to Y\)를 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. 모든 \(y \in Y\)에 대해 열린 근방 \(U \subset Y\)가 존재하여 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\)가 사상 \(U \times \mathbf{A}^r \to U\)와 동일시된다고 가정하자. 그러면 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\)는 전사이다.

증명

\(\alpha \in \CH_{k + r}(X)\)라 하자. \(m_j \not = 0\)이고 \(W_j\)들이 서로 다른 \(\delta\)-차원 \(k + r\)인 정역 닫힌 부분스킴이 되도록 \(\alpha = \sum m_j[W_j]\)라고 쓰자. 그러면 모임 \(\{W_j\}\)는 \(X\)에서 국소 유한이다. 임의의 준콤팩트 열린집합 \(V \subset Y\)에 대해 \(f^{-1}(V) \cap W_j\)가 공집합이 아닌 \(j\)는 유한 개뿐이다. 따라서 상의 폐포들 \(Z_j = \overline{f(W_j)}\)은 \(Y\)의 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임이다.

올곱 그림 \[\xymatrix{ f^{-1}(Z_j) \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ Z_j \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 어떤 \(k\)-순환 \(\beta_j \in \CH_k(Z_j)\)에 대해 \([W_j] \in Z_{k + r}(f^{-1}(Z_j))\)가 \(f_j^*\beta_j\)와 유리 동치라고 가정하자. 그러면 \(\beta = \sum m_j \beta_j\)는 \(Y\) 위의 \(k\)-순환이고, \(f^*\beta = \sum m_j f_j^*\beta_j\)는 \(\alpha\)와 유리 동치이다 (Remark 02RZ를 보라). 이는 \(Y\)가 정역이고 \(\alpha = [W]\)이며 그 정역 닫힌 부분스킴이 \(X\) 안에서 \(Y\)를 지배하는 경우로 환원한다. 특히 \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\)라고 가정해도 된다.

따라서 \(d = \dim_\delta(Y)\)에 대한 귀납법을 사용할 수 있다. \(d < k\)이면 \(\CH_{k + r}(X) = 0\)이므로 보조정리가 성립한다. 가정에 의해 \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\)가 \(V\) 위의 스킴으로서 성립하는 조밀한 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다. 어떤 \(\beta \in Z_k(V)\)에 대해 \(\alpha|_{f^{-1}(V)} = f^*\beta\)임을 보일 수 있다고 가정하자. Lemma 02RC에 의해 어떤 \(\beta' \in Z_k(Y)\)에 대해 \(\beta = \beta'|_V\)이다. Lemma 02RX의 완전열 \(\CH_k(f^{-1}(Y \setminus V)) \to \CH_k(X) \to \CH_k(f^{-1}(V))\)에 의해 \(\alpha - f^*\beta'\)는 어떤 순환 \(\alpha' \in \CH_{k + r}(f^{-1}(Y \setminus V))\)에서 온다. \(\dim_\delta(Y \setminus V) < d\)이므로 \(d\)에 대한 귀납법으로 결론을 얻는다.

따라서 \(X = Y \times \mathbf{A}^r\)이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(f\)를 \[X = Y \times \mathbf{A}^r \to Y \times \mathbf{A}^{r - 1} \to \ldots \to Y \times \mathbf{A}^1 \to Y.\] 로 인수분해할 수 있다. 그러므로 \(r = 1\)인 경우만 다루면 충분하다. 증명의 둘째 문단의 논증에 의해 \(\alpha = [W]\), \(Y\)가 정역이고 \(W \to Y\)가 지배적인 경우로 환원된다. 다시 \(d = \dim_\delta(Y)\)에 대해 귀납법을 사용할 수 있다. \(W = Y \times \mathbf{A}^1\)이면 \([W] = f^*[Y]\)이다. 마지막으로 \(W \subset Y \times \mathbf{A}^1\)가 진부분 포함이면 \(W \to Y\)는 유한 체 확대 \(R(W)/R(Y)\)를 유도한다. \(W \to Y\)의 일반 올이 \(\mathbf{A}^1_{R(Y)}\)에서 \(P\)에 의해 잘리도록 하는 기약 일계수 다항식 \(P(T) \in R(Y)[T]\)를 택하자. \(P \in \Gamma(V, \mathcal{O}_Y)[T]\)이고 \(W \cap f^{-1}(V)\)가 여전히 \(P\)에 의해 잘리도록 하는 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset Y\)를 택하자. 그러면 \(\alpha|_{f^{-1}(V)} \sim_{rat} 0\)이고, 따라서 \((Y \setminus V) \times \mathbf{A}^1\) 위의 어떤 순환 \(\alpha'\)에 대해 \(\alpha \sim_{rat} \alpha'\)이다. 차원에 대한 귀납법으로 결론을 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. \[p : L = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L})) \longrightarrow X\] 를 \(X\) 위의 연관 벡터 다발이라 하자. 그러면 모든 \(k\)에 대해 \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + 1}(L)\)는 동형사상이다.

증명

전사성은 Lemma 02TT를 보라. \(o : X \to L\)를 \(L \to X\)의 영단면, 즉 모든 \(n > 0\)에 대해 \(\mathcal{L}^{\otimes n}\)을 영으로 보내는 전사 \(\text{Sym}^*(\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_X\)에 대응하는 사상이라 하자. 그러면 \(p \circ o = \text{id}_X\)이고 \(o(X)\)는 \(L\) 위의 유효 카르티에 약수이다. 따라서 Lemma 02TR에 의해 \(o^* \circ p^* = \text{id}\)이고, \(p^*\)도 단사임을 얻는다.

주

나중에(Lemma 02TY) \(X\)가 \(Y\) 위의 랭크 \(r\)인 벡터 다발이면 당김 사상 \(\CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\)가 동형사상임을 보일 것이다. 이는 \(X \to Y\)가 Lemma 02TT의 가정을 만족할 때마다 성립한다. [Totaro-group, Lemma 2.2]를 보라. Remark 0GUB에서 고차 Chow 군을 사용하여 증명을 개략적으로 설명할 것이다.

보조정리

Lemma 0B74의 상황에서 영단면을 \(o : X \to L\)로 나타내자(보조정리의 증명을 보라). 그러면 다음이 성립한다.

1. \(o(X)\)는 \(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\)의 정칙 대역 단면의 영점 스킴이다.

2. \(o\)가 닫힌 몰입이므로 \(o_* : \CH_k(X) \to \CH_k(L)\)이다.

3. \(o(X)\)가 유효 카르티에 약수이므로 \(o^* : \CH_{k + 1}(L) \to \CH_k(X)\)이다.

4. \(o^* p^* : \CH_k(X) \to \CH_k(X)\)는 항등사상이다.

5. 임의의 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대해 \(o_*\alpha = - p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha)\)이다.

6. \(o^* o_* : \CH_k(X) \to \CH_{k - 1}(X)\)는 사상 \(\alpha \mapsto - c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\)와 같다.

증명

\(p_*\mathcal{O}_L = \text{Sym}^*(\mathcal{L})\)이므로 사영 공식 (Cohomology, Lemma 01E8)에 의해 \(p_*(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}) = \text{Sym}^*(\mathcal{L}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\) 이고, (1)에서 언급한 단면은 표준 자명화 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\)이다. 이 단면의 영점 자취가 정확히 \(o(X)\)라는 증명은 생략한다. 이로써 (1)이 증명된다.

(2), (3), (4)는 Lemma 0B74의 증명 과정에서 보았다. 물론 (4)는 Lemma 02TR의 첫째 공식이다.

(5)는 Lemma 02TR의 둘째 공식, \(c_1\)과의 교차곱의 가법성(Lemma 02SP), 그리고 \(c_1\)과의 교차곱이 평탄 당김과 가환한다는 사실(Lemma 02SS)에서 따른다.

(6)은 Lemma 0F95과 \(o^*p^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\)이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\(Y\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}_i\), \(i = 1, 2\)를 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-모듈이라 하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2\)의 대역 단면이라 하자. \(s\)의 영점 스킴을 \(i : D \to Y\)로 나타내자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ D_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{p_1} & L \ar[d]^p & D_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{p_2} \\ D \ar[r]^i & Y & D \ar[l]_i }\] 과 \(p^*\mathcal{L}_i\)의 단면 \(s_i\)들이 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(p^*s = s_1 \otimes s_2\)이다.

2. \(p\)는 유한형이고 상대차원 \(1\)인 평탄 사상이다.

3. \(D_i\)는 \(s_i\)의 영점 스킴이다.

4. \(i = 1, 2\)에 대해 \(D\) 위에서 \(D_i \cong \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L}_{3 - i}^{\otimes -1})|_D))\)이다.

5. \(p^{-1}D = D_1 \cup D_2\)이다(스킴론적 합집합).

6. \(D_1 \cap D_2\)(스킴론적 교차)는 \(D\)에 동형으로 사상된다.

7. \(i = 1, 2\)에 대해 \(D_1 \cap D_2 \to D_i\)는 선다발 \(D_i \to D\)의 영단면이다.

더욱이 이 그림과 단면 \(s_i\)들의 구성은 임의의 기저 변환과 가환한다.

증명

\(p : X \to Y\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-대수의 준연접층 \[\mathcal{A} = \left(\bigoplus\nolimits_{a_1, a_2 \geq 0} \mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\right)/\mathcal{J}\] 의 상대 스펙트럼이라 하자. 여기서 \(\mathcal{J}\)는 \(a_1, a_2 > 0\)인 임의의 직합 성분 \(\mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\)의 국소 단면 \(t\)에 대해 \(st - t\) 꼴의 국소 단면들이 생성하는 아이디얼이다. 사상 \(p^*\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)로 본 단면 \(s_i\)는 사상 \(\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{A} = p_*\mathcal{O}_X\)의 수반으로 정의한다. 임의의 \(y \in Y\)에 대해 \(y\)를 포함하는 아핀 열린집합 \(V \subset Y\), 이를 \(V = \Spec(A)\)라 하자, 와 자명화 \(z_i : \mathcal{O}_V \to \mathcal{L}_i^{\otimes -1}|_V\)를 택할 수 있다. \(f = s(z_1z_2) \in A\)가 닫힌 부분스킴 \(D\)를 잘라냄을 유의하라. 그러면 분명히 \[p^{-1}(V) = \Spec(B[z_1, z_2]/(z_1 z_2 - f))\] 이다. \(D_i\)가 \(z_i\)에 의해 잘리므로 모든 주장은 분명하다.

보조정리

Lemma 0F97의 상황에서 \(Y\)가 Situation 02QL에서와 같은 \((S, \delta)\) 위에서 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 모든 \(\alpha \in \CH_k(Y)\)에 대해 \(i_1^*p^*\alpha = p_1^*i^*\alpha\)가 \(\CH_k(D_1)\)에서 성립한다.

증명

\(W \subset Y\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. 두 경우로 나눈다.

\(W \subset D\)라고 가정하자. Gysin 준동형의 정의와 Lemma 02SP의 가법성에 의해 \(\CH_{k - 1}(D)\)에서 \(i^*[W] = c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W] + c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W]\)이다. 따라서 \(p_1^*i^*[W] = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\)이다. 한편 평탄 당김의 구성에 의해 \(p^*[W] = [p^{-1}(W)]_{k + 1}\)이다. 또한 보조정리에 의해 (그림의 구성이 기저 변환과 가환하므로) \(p^{-1}(W) = W_1 \cup W_2\)가 스킴론적으로 성립한다. 여기서 \(W_i = p_i^{-1}(W)\)는 \(W\) 위의 선다발이다. \(W_i\)들이 \(L\)의 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴이므로 \([p^{-1}(W)]_{k + 1} = [W_1] + [W_2]\)이다. 따라서 \[\begin{align*} i_1^*p^*[W] & = i_1^*[p^{-1}(W)]_{k + 1} \\ & = i_1^*([W_1] + [W_2]) \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap [W_1] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap p_1^*[W] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + [W_1 \cap W_2]_k \end{align*}\] 이다. 여기서는 Gysin 준동형의 구성, 평탄 당김의 정의(둘째 등식에 대해), 그리고 \(c_1 \cap -\)와 평탄 당김의 양립성(Lemma 02SS)을 사용하였다. \(W_1 \cap W_2\)가 선다발 \(W_1 \to W\)의 영단면이므로 Lemma 0F96에 의해 \([W_1 \cap W_2]_k = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\)이다. 여기서는 \(D_1\)이 \(\mathcal{L}_2\)의 역의 상대 스펙트럼인 선다발이라는 사실을 사용한다. 따라서 앞서와 같은 결과를 얻는다.

\(W \not \subset D\)라고 가정하자. 이 경우 \(i_1^*p^*[W]\)와 \(p_1^*i^*[W]\)는 모두 \(D_1\)에서 \(W\)의 스킴론적 역상의 연관 \(k - 1\)-순환으로 대표된다.

보조정리

Situation 02QL에서 \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 02T8에서와 같은 삼중항이라 하자. 다음 조건을 만족하는 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ D' \ar[r]_{i'} \ar[d]_p & X' \ar[d]^g \\ D \ar[r]^i & X }\]

1. \(p\)와 \(g\)는 유한형이고 상대차원 \(1\)인 평탄 사상이다.

2. 모든 \(k\)에 대해 \(p^* : \CH_k(D) \to \CH_{k + 1}(D')\)는 단사이다.

3. \(D' \subset X'\)는 대역 단면 \(s' \in \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\)의 영점 스킴이다.

4. 사상 \(\CH_k(X) \to \CH_k(D')\)로서 \(p^*i^* = (i')^*g^*\)이다.

더욱이 이 성질들은 국소 유한형 사상 \(Y \to X\)에 의한 임의의 기저 변환 뒤에도 성립한다.

증명

Definition 02T8에서와 같은 삼중항 \((\mathcal{O}_{X'}, s', i' : D' \to X')\)가 있으므로 \((i')^*\)가 정의됨을 유의하라. 따라서 명제는 의미가 있다.

\(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X\), \(\mathcal{L}_2 = \mathcal{L}\)로 두고 \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}_2\)의 단면 \(s\)에 Lemma 0F97을 적용하자. \(D' = D_1\)로 택한다. 이제 결과는 그 보조정리와 Lemma 0F98에서 따르고, 단사성은 Lemma 0B74에서 따른다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(r \geq 0\)이라 하자. \(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 모든 \(y \in Y\)가 어떤 열린집합 \(V \subset Y\)에 포함되고 \(V\) 위의 스킴으로서 \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\)이라고 가정하자. 이 보충설명에서는 \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\)가 동형사상이라는 사실의 증명을 개략적으로 설명한다. 먼저 Lemma 02TT에 의해 이 사상은 전사이다. \(f^*\alpha = 0\)인 \(\alpha \in \CH_k(Y)\)를 택하자. \(\alpha = 0\)임을 증명할 것이다.

단계 1. \(\dim_\delta(Y) < \infty\)라고 가정해도 된다. (실제로 나타나는 모든 경우에는 이것이 즉시 성립하므로 독자는 이 단계를 건너뛰어도 좋다.) 실제로 \(X\) 위에서 \(f^*\alpha = 0\)임을 증명하는 임의의 유리 동치는 차원 \(k + r + 1\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임을 사용한다. 이들의 \(Y\) 안의 상의 폐포들의 합집합을 취하면 \(\dim_\delta(Y') \leq k + r + 1\)인 닫힌 부분스킴 \(Y' \subset Y\)를 얻고, \(\alpha\)는 어떤 \(\alpha' \in \CH_k(Y')\)의 상이며, \(f'\)가 \(f\)를 \(Y'\)로 기저 변환한 사상일 때 \((f')^*\alpha = 0\)이다.

단계 2. \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\)라고 가정하자. 그러면 \(d\)에 대한 귀납법을 사용할 수 있다. \(d < k\)이면 \(\alpha = 0\)이고 증명이 끝난다. 이는 귀납법의 기초 단계이다. 일반적으로 \(f\)에 대한 가정에 의해 \(U = f^{-1}(V) = \mathbf{A}^r_V\)가 되는 조밀한 열린집합 \(V \subset Y\)를 택할 수 있다. \(V\)의 여집합을 기약화된 닫힌 부분스킴 \(Y' \subset Y\)로 나타내고 \(X' = f^{-1}(Y')\)로 두자. 다음을 생각하자. \[\xymatrix{ \CH^M_{k + r}(U, 1) \ar[r] & \CH_{k + r}(X') \ar[r] & \CH_{k + r}(X) \ar[r] & \CH_{k + r}(U) \ar[r] & 0 \\ \CH^M_k(V, 1) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y') \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(V) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 여기서는 \(V\)와 \(U\)의 첫째 고차 Chow 군, Remark 0GUA에서 구성한 6항 완전열, 이 고차 Chow 군들의 평탄 당김, 그리고 평탄 당김과 이 6항 완전열의 양립성을 사용한다. \(U = \mathbf{A}^r_V\)이므로 오른쪽의 수직 사상은 동형사상이다. \(\CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\)는 \(d\)에 대한 귀납법에 의해 전단사이다. 따라서 논증을 끝내려면 \[\CH^M_k(V, 1) \longrightarrow \CH^M_{k + r}(U, 1)\] 이 전사임을 보이면 충분하다. Lemma 02TT의 증명에서와 같이 논증하면 이는 아래의 단계 3으로 환원된다.

단계 3. \(F\)를 체라 하자. 그러면 \(\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = 0\)이다. (위에서 인용한 보조정리의 증명에서는 마찬가지로 \(\CH_0(\mathbf{A}^1_F) = 0\)임을 증명하였다.) 다음이 성립한다. \[\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = \Coker\left( \partial : K^M_2(F(T)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \subset F[T]\text{ maximal}} \kappa(\mathfrak p)^*\right)\] 여핵이 영임을 보이는 고전적 논증은 \(\kappa(\mathfrak p)/F\)의 차수에 대한 귀납법으로 \(\mathfrak p\)에 대응하는 직합 성분이 상 안에 있음을 보이는 것이다. \(\mathfrak p\)가 기약 일계수 다항식 \(P(T) \in F[T]\)에 의해 생성되고, \(u \in \kappa(x)^*\)가 \(\deg(Q) < \deg(P)\)인 어떤 \(Q(T) \in F[T]\)의 잉여류이면, \(\partial(Q, P)\)가 \(\mathfrak p\)에서 원소 \(u\)를 만들고, 아마도 \(Q\)를 나누는 차수가 더 낮은 소아이디얼들에서 다른 가역원들도 만든다는 것을 보인다. 이로써 증명의 개요가 끝난다.

쌍변 교차 이론

벡터 다발의 고차 천 특성류를 제대로 논하기 위해 [F]를 따라 쌍변 Chow 류를 도입한다. 우리의 정의는 [F]와 두 측면에서 다르다. (1) 서로 다른 설정에서 작업하고, (2) 가역 모듈의 단면의 영점 스킴에 대한 Gysin 준동형과 쌍변류가 가환한다는 조건만 요구한다 (Section 02T7). 나중에 Lemma 0FBP에서 우리의 쌍변류가 모든 고차 여차원의 Gysin 준동형과 가환하고, 따라서 [F]에서 요구하는 모든 성질을 만족함을 보일 것이다. [F, Theorem 17.1]도 보라.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(f\)에 대한 차수 \(p\)의 쌍변류 \(c\)란, 모든 국소 유한형 사상 \(Y' \to Y\)와 모든 \(k\)에 사상 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 을 대응시키는 규칙이다. 여기서 \(X' = Y' \times_Y X\)이고 다음 조건들을 만족해야 한다.

1. \(Y'' \to Y'\)이 고유이면, \(X'' = Y'' \times_Y X\)일 때 모든 \(Y''\) 위의 \(\alpha''\)에 대해 \(c \cap (Y'' \to Y')_*\alpha'' = (X'' \to X')_*(c \cap \alpha'')\)이다.

2. \(Y'' \to Y'\)이 고정된 상대차원을 갖는 국소 유한형 평탄 사상이면, 모든 \(Y'\) 위의 \(\alpha'\)에 대해 \(c \cap (Y'' \to Y')^*\alpha' = (X'' \to X')^*(c \cap \alpha')\)이다.

3. \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\)가 Definition 02T8에서와 같고, 이를 \(X'\)로 당긴 것이 \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\)이면, 모든 \(Y'\) 위의 \(\alpha'\)에 대해 \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\)이다.

\(f\)에 대한 차수 \(p\)의 모든 쌍변류의 모음을 \(A^p(X \to Y)\)로 나타낸다.

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(A^p(X \to Y)\)가 아벨 군임은 명백하다. 더욱이 결합적인 쌍선형 합성 \[A^p(X \to Y) \times A^q(Y \to Z) \to A^{p + q}(X \to Z)\] 이 있음도 명백하다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들 사이의 상대차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(Y' \to Y\)에 \((f')^* : \CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(-r\)인 쌍변류이다. 여기서 \(X' = X \times_Y Y'\)이다.

증명

이는 Lemmas 02S1, 02RD, 02RG, 그리고 0B71에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 02T8에서와 같은 삼중항이라 하자. \(f : X' \to X\)에 \((i')^* : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(D')\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(1\)인 쌍변류이다. 여기서 \(D' = D \times_X X'\)이다.

증명

이는 Lemmas 02TO, 02TA, 0B71, 그리고 0B73에서 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(c \in A^p(X \to Z)\)라 하고 \(f\)가 고유라고 가정하자. 그러면 \(Z' \to Z\)에 \(\alpha \longmapsto f'_*(c \cap \alpha)\)를 대응시키는 규칙은 \(f_* \circ c \in A^p(Y \to Z)\)로 나타내는 쌍변류이다.

증명

이는 Lemmas 02R5, 02RG, 그리고 02TA에서 따른다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X \to Y\)와 \(Y' \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(X' = Y' \times_Y X\)라 하자. 그러면 명백한 제한 사상 \[A^p(X \to Y) \longrightarrow A^p(X' \to Y'),\quad c \longmapsto res(c)\] 이 있다. 이는 \(Y'\) 위에서 국소 유한형인 스킴 \(Y''\)를 \(Y\) 위에서 국소 유한형인 스킴으로 보고, 임의의 \(\alpha'' \in \CH_k(Y'')\)에 대해 \(res(c) \cap \alpha'' = c \cap \alpha''\)로 두어 얻는다. 이 제한 연산은 명백한 방식으로 합성과 양립한다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(i = 1, 2\)에 대해 \(Z_i \to X\)를 국소 유한형 스킴의 사상이라 하자. \(c_i \in A^{p_i}(Z_i \to X)\), \(i = 1, 2\)를 쌍변류라 하자. 임의의 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대해 \[c_1 \cap c_2 \cap \alpha = c_2 \cap c_1 \cap \alpha\] 가 \(\CH_{k - p_1 - p_2}(Z_1 \times_X Z_2)\)에서 성립하는지 물을 수 있다. 이것이 참이고 국소 유한형인 임의의 기저 변환 \(X' \to X\) 뒤에도 성립하면 \(c_1\)과 \(c_2\)가 가환한다고 한다. 물론 이는 \[res(c_1) \circ c_2 = res(c_2) \circ c_1\] 가 \(A^{p_1 + p_2}(Z_1 \times_X Z_2 \to X)\)에서 성립한다고 말하는 것과 같다. 여기서 \(res(c_1) \in A^{p_1}(Z_1 \times_X Z_2 \to Z_2)\)는 Remark 0F9Z에서와 같은 \(c_1\)의 제한이고, \(res(c_2)\)도 마찬가지이다.

예

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)를 Definition 02T8에서와 같은 삼중항이라 하자. \(Z \to X\)를 국소 유한형 스킴의 사상이라 하고 \(c \in A^p(Z \to X)\)를 쌍변류라 하자. 그러면 Lemma 0B79의 쌍변 Gysin 류 \(c' \in A^1(D \to X)\)는 Remark 0FA2의 의미에서 \(c\)와 가환한다. 실제로 이는 Definition 0B76의 조건 (3)을 다시 진술한 것이다.

주

문헌에서는 다루지 않는 것으로 보이는 더 일반적인 쌍변류의 유형이 있다. 즉 Situation 02QL에서와 같은 \((S, \delta)\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 그림 \[X \longrightarrow Z \longleftarrow Y\] 가 주어졌다고 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하자. 그러면 모든 국소 유한형 사상 \(Z' \to Z\)와 모든 \(k \in \mathbf{Z}\)에 사상 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 을 대응시키는 규칙 \(c\)를 생각할 수 있다. 여기서 \(X' = X \times_Z Z'\)이고 \(Y' = Z' \times_Z Y\)이며, 이 규칙은 다음과 양립한다.

1. 고유 사상 \(Z'' \to Z'\)가 주어졌을 때 고유 밂,

2. 고정된 상대차원의 평탄 사상 \(Z'' \to Z'\)가 주어졌을 때 평탄 당김,

3. Definition 02T8에서와 같은 \(D' \subset Z'\)가 주어졌을 때 Gysin 사상.

상세한 정식화는 생략한다. 이러한 모든 연산의 모음을 \(A^p(X \to Z \leftarrow Y)\)로 나타낸다고 하자. 이 개념이 유용한 간단한 예는 고유 사상 \(f : X_2 \to X_1\)가 있을 때이다. 이때 \(f_*\)는 Definition 0B76의 의미에서 쌍변 연산이 아니지만, 위의 일반화된 의미에서는 쌍변 연산이다. 즉 \(f_* \in A^0(X_1 \to X_1 \leftarrow X_2)\)이다.

Chow 코호몰로지와 제1 천 특성류

우리는 주로 \(A^p(X) = A^p(X \to X)\)에 관심을 둘 것이다. 이는 항상 \(\text{id}_X\)에 대한 쌍변 코호몰로지류를 뜻한다. 바로 이곳에 천 특성류들이 놓인다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)의 Chow 코호몰로지는 차수 \(p\) 성분이 \(A^p(X \to X)\)인 등급 \(\mathbf{Z}\)-대수 \(A^*(X)\)이다.

경고: \(A^*(X)\) 위의 \(\mathbf{Z}\)-대수 구조가 가환인지는 명확하지 않다. 그러나 천 특성류들이 그 중심에 놓임을 보게 될 것이다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : Y' \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. Remark 0F9Z의 특수한 경우로서 표준적인 \(\mathbf{Z}\)-대수 사상 \(res : A^*(Y) \to A^*(Y')\)이 있다. 문헌에서는 이 사상을 흔히 \(f^*\)로 나타낸다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 그러면 \(f : X' \to X\)에 \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(X')\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(1\)의 쌍변류이다.

증명

이는 Lemmas 02TI, 02SU, 02SS, 그리고 0B72에서 따른다.

위 보조정리로 마침내 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. \(\mathcal{L}\)의 제1 천 특성류 \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\)는 Lemma 0B77의 쌍변류이다.

유한 국소 자유 모듈의 천 특성류들은 Section 02U4에서 구성한다. \(c_1(\mathcal{L})\)이 \(A^*(X)\)의 중심에 놓임을 증명하자.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 그러면

1. \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\)는 \(A^*(X)\)의 중심에 놓인다.

2. \(f : X' \to X\)가 국소 유한형이고 \(c \in A^*(X' \to X)\)이면 \(c \circ c_1(\mathcal{L}) = c_1(f^*\mathcal{L}) \circ c\)이다.

증명

물론 (2)는 (1)을 함의한다. \(p : L \to X\)를 Lemma 0B74에서와 같이 택하고 \(o : X \to L\)을 영단면이라 하자. 이들의 기저 변환을 각각 \(p' : L' \to X'\)와 \(o' : X' \to L'\)로 나타내자. Lemma 0F96에 의해 \[p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = - o_* \alpha \quad\text{and}\quad (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = - o'_* \alpha'\] 이다. \(c\)가 쌍변류이므로 \[\begin{align*} (p')^*(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) & = c \cap p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) \\ & = - c \cap o_* \alpha \\ & = - o'_*(c \cap \alpha) \\ & = (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha) \end{align*}\] 이다. 앞서 인용한 보조정리들 가운데 하나에 의해 \((p')^*\)가 단사이므로 \(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha\)를 얻는다. 이는 국소 유한형인 임의의 기저 변환 \(Y \to X\) 뒤에도 성립하므로 (2)에 진술한 쌍변류의 등식을 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 풍부한 가역층을 갖는 \(S\) 위의 유한형 스킴이라 하자. \(d = \dim(X) < \infty\)라고 가정하자(여기서는 실제 차원을 뜻하며 \(\delta\)-차원을 뜻하지 않는다). 그러면 \(X\) 위의 임의의 가역층 \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_{d + 1}\)에 대해 \(c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = 0\)이 \(A^{d + 1}(X)\)에서 성립한다.

증명

\(d\)에 대한 귀납법으로 증명한다. 기초 단계 \(d = 0\)에서는 \(X\)가 닫힌 점들의 유한 집합이고 따라서 모든 가역 모듈이 자명하므로 명제가 성립한다. \(d > 0\)이라고 가정하자. Divisors, Lemma 0AYM에 의해 어떤 유효 카르티에 약수 \(D, D' \subset X\)에 대해 \(\mathcal{L}_{d + 1} \cong \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\)라고 쓸 수 있다. 그러면 \(c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\)은 \(c_1(\mathcal{O}_X(D))\)와 \(c_1(\mathcal{O}_X(D'))\)의 차이이므로, 어떤 유효 카르티에 약수에 대해 \(\mathcal{L}_{d + 1} = \mathcal{O}_X(D)\)라고 가정해도 된다.

포함 사상을 \(i : D \to X\)로 나타내고, Lemma 0B79에서와 같은 Gysin 준동형이 주는 쌍변류를 \(i^* \in A^1(D \to X)\)로 나타내자. Lemma 02T9에 의해 \(A^1(X)\)에서 \(i_* \circ i^* = c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\)이다(좌변이 의미를 갖게 하려면 Lemma 0EPK도 사용한다). \(c_1(\mathcal{L}_i)\)가 \(i_*\) 및 \(i^*\)와 모두 가환하므로(쌍변류의 정의에 따라) 다음을 얻는다. \[c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d) \circ i^* = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1|_D) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d|_D) \circ i^*\] 따라서 \(d\)에 대한 귀납법으로 결론을 얻는다. 실제로 \(X\)의 생성점 가운데 어느 것도 \(D\)에 속하지 않으므로 \(\dim(D) < d\)이다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(Z \to X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 닫힌 몰입이라 하고 \(p \geq 0\)이라 하자. 이 설정에서 \[A^{(p)}(Z \to X) = \prod\nolimits_{i \leq p - 1} A^i(X) \times \prod\nolimits_{i \geq p} A^i(Z \to X).\] 로 정의한다. 그러면 \(A^{(p)}(Z \to X)\)에는 표준적으로 등급 대수의 구조가 주어진다. 실제로 더 일반적으로 곱셈 \[A^{(p)}(Z \to X) \times A^{(q)}(Z \to X) \longrightarrow A^{(\max(p, q))}(Z \to X)\] 이 있다. 이를 정의하기 위해 사상들 \[\begin{align*} A^i(Z \to X) \times A^j(X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(Z \to X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \end{align*}\] 을 정의한다. 첫째 사상에는 쌍변류의 합성을 사용한다. 둘째 사상에는 제한 \(A^i(X) \to A^i(Z)\)(Remark 0F9Z)과 합성 \(A^i(Z) \times A^j(Z \to X) \to A^{i + j}(Z \to X)\)을 사용한다. 셋째 사상에서는 \((c, c')\)를 \(res(c) \circ c'\)로 보낸다. 여기서 \(res : A^i(Z \to X) \to A^i(Z)\)는 제한 사상이다(Remark 0F9Z를 보라). 이 곱셈들이 적절한 의미에서 결합적이라는 검증은 생략한다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(Z \to X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. Remark 0F9Z의 제한 사상을 \(res : A^p(Z \to X) \to A^p(Z)\)로 나타내자. \(c \in A^p(Z \to X)\)에 대해 임의의 \(\alpha \in \CH_*(Z)\)에 대하여 \(res(c) \cap \alpha = c \cap i_*\alpha\)이다. 실제로 \(res(c) \cap \alpha = c \cap \alpha\)이고, \(c\)와 고유 밂의 양립성은 \((Z \to Z)_*(c \cap \alpha) = c \cap (Z \to X)_*\alpha\)를 준다.

쌍변류에 관한 보조정리

이 절에서는 쌍변류에 관한 몇 가지 기초 결과를 증명한다. 먼저 연산이 유리 동치를 통해 내려가기 위한 판정법을 제시한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하자. 모든 국소 유한형 사상 \(Y' \to Y\)와 모든 \(k\)에 사상 \[c \cap - : Z_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 을 대응시키는 규칙이 주어졌다고 하자. 여기서 \(Y' = X' \times_X Y\)이고, \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\)일 때마다 Definition 0B76의 조건 (3)을 만족한다고 하자. 그러면 \(c \cap -\)는 유리 동치를 통해 인수분해된다.

증명

Definition 02T8에서와 같은 삼중항 \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 주어지고 \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\)이면 연산 \(i^*\)가 순환 수준에서 정의되므로 명제는 의미가 있다. Remark 0B6Z를 보라. 영과 유리 동치인 순환 \(\alpha \in Z_k(X')\)를 택하자. \(c \cap \alpha = 0\)임을 보여야 한다. Lemma 02S4에 의해 순환 \(\beta \in Z_{k + 1}(X' \times \mathbf{P}^1)\)가 존재하여 \(\alpha = i_0^*\beta - i_\infty^*\beta\)이다. 여기서 \(i_0, i_\infty : X' \to X' \times \mathbf{P}^1\)는 \(0, \infty\) 위의 \(X'\)의 닫힌 몰입이다. 이들은 자명한 법다발을 갖는 유효 카르티에 약수의 예이므로 \(c \cap i_0^*\beta = j_0^*(c \cap \beta)\)이고 \(c \cap i_\infty^*\beta = j_\infty^*(c \cap \beta)\)이다. 여기서 \(j_0, j_\infty : Y' \to Y' \times \mathbf{P}^1\)는 앞서와 같은 닫힌 몰입이다. Lemma 02S4에서 \(j_0^*(c \cap \beta) \sim_{rat} j_\infty^*(c \cap \beta)\)가 따르므로 결론을 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하자. 모든 국소 유한형 사상 \(Y' \to Y\)와 모든 \(k\)에 사상 \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] 을 대응시키는 규칙이 주어졌다고 하자. 여기서 \(Y' = X' \times_X Y\)이고, Definition 0B76의 조건 (1), (2)와 \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\)일 때마다 조건 (3)을 만족한다고 하자. 그러면 \(c \cap -\)는 쌍변류이다.

증명

\(Y' \to Y\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\)가 Definition 02T8에서와 같고 이를 \(X'\)로 당긴 것이 \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\)라고 하자. 모든 \(\alpha' \in \CH_k(Y')\)에 대해 \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\)임을 보여야 한다.

Lemma 0F99에서 구성한 상대차원 \(1\)인 매끄러운 사상을 \(g : Y'' \to Y'\), 함께 구성한 사상들을 \(i'' : D'' \to Y''\)와 \(p : D'' \to D'\)로 나타내자. (경고: \(D''\)는 \(D'\)의 전체 역상이 아니다.) \(X' \to Y'\)에 의한 이들의 기저 변환을 \(f : X'' \to X'\)와 \(E'' \subset X''\)로 나타내자. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & X'' \ar[rr] \ar'[d][dd]_h & & Y'' \ar[dd]^g \\ E'' \ar[rr] \ar[dd]_q \ar[ru]^{j''} & & D'' \ar[dd]^p \ar[ru]^{i''} & \\ & X' \ar'[r][rr] & & Y' \\ E' \ar[rr] \ar[ru]^{j'} & & D' \ar[ru]^{i'} }\] 보조정리에서 주어진 성질에 의해 \(\beta' = (i')^*\alpha'\)는 \(p^*\beta' = (i'')^*g^*\alpha'\)를 만족하는 \(\CH_{k - 1}(D')\)의 유일한 원소이다. 마찬가지로 \(\gamma' = (j')^*(c \cap \alpha')\)는 \(q^*\gamma' = (j'')^*h^*(c \cap \alpha')\)를 만족하는 \(\CH_{k - 1 - p}(E')\)의 유일한 원소이다. \(c\)에 대한 가정에 의해 \[(j'')^*h^*(c \cap \alpha') = (j'')^*(c \cap g^*\alpha') = c \cap (i'')^*g^*\alpha'\] 임을 알고 있다. 명제에서 가정한 조건 (3)의 수정된 형태가 \(i''\)와 그 기저 변환 \(j''\)에 적용됨을 유의하라. 마찬가지로 \[q^*(c \cap \beta') = c \cap p^*\beta'\] 임을 안다. 따라서 위에서 지적한 유일성에 의해 \(\gamma' = c \cap \beta'\)이다.

다음은 쌍변류가 영이 되는 경우에 대한 판정법이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(c \in A^p(X \to Y)\)라 하자. \(Y'' \to Y' \to Y\)에 대해 \(X'' = Y'' \times_Y X\)와 \(X' = Y' \times_Y X\)로 두자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(c\)는 영이다.

2. \(Y\) 위에서 국소 유한형인 모든 정역 스킴 \(Y'\)에 대해 \(c \cap [Y'] = 0\)이 \(\CH_*(X')\)에서 성립한다.

3. \(Y\) 위에서 국소 유한형인 모든 정역 스킴 \(Y'\)에 대해 고유 쌍유리 사상 \(Y'' \to Y'\)가 존재하여 \(c \cap [Y''] = 0\)이 \(\CH_*(X'')\)에서 성립한다.

증명

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3)은 분명하다. 가정 (3)은 (2)를 함의한다. 실제로 \((Y'' \to Y')_*[Y''] = [Y']\)이고 \(c\)가 쌍변류이므로 \(c \cap [Y'] = (X'' \to X')_*(c \cap [Y''])\)이다. (2)를 가정하자. \(Y' \to Y\)를 국소 유한형이라 하고 \(\alpha \in \CH_k(Y')\)라 하자. \(Y'_i \subset Y'\)가 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴들의 국소 유한 모임이 되도록 \(\alpha = \sum n_i [Y'_i]\)라고 쓰자. 그러면 \(\alpha\)는 고유 사상 \(Y'' \to Y'\) 아래에서 \(Y'' = \coprod Y'_i\) 위의 순환 \(\alpha' = \sum n_i[Y'_i]\)를 민 것이다. 쌍변류의 성질에 의해 \(c \cap \alpha' = 0\)이 \(\CH_{k - p}(X'')\)에서 성립함을 증명하면 충분하다. 여기서 \(X'_i = Y'_i \times_Y X\)일 때 정의에서 즉시 \(\CH_{k - p}(X'') = \prod \CH_{k - p}(X'_i)\)를 얻는다. 사영 사상 \(\CH_{k - p}(X'') \to \CH_{k - p}(X'_i)\)은 평탄 당김으로 주어진다. \(c\)와의 교차곱이 평탄 당김과 가환하므로 \(c \cap [Y'_i]\)가 \(\CH_{k - p}(X'_i)\)에서 영임을 보이면 충분하고, 이는 가정에 의해 참이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. 열리고 닫힌 부분스킴에 의한 서로소 합 분해 \(X = \coprod_{i \in I} X_i\)와 \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\), 그리고 \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\)를 만족하는 집합의 사상 \(a : I \to J\)가 주어졌다고 가정하자. 그러면 \[A^p(X \to Y) = \prod\nolimits_{i \in I} A^p(X_i \to Y_{a(i)})\] 이다.

증명

원소 \((c_i) \in \prod_i A^p(X_i \to Y_{a(i)})\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(\beta \in \CH_k(Y)\)에 \(X_i\)로 제한했을 때 \(c_i \cap \beta|_{Y_{a(i)}}\)가 되는 \(\CH_{k - p}(X)\)의 원소를 대응시킬 수 있다. 이는 \(\CH_{k - p}(X) = \prod_i \CH_{k - p}(X_i)\)이므로 가능하다. 같은 구성은 국소 유한형인 임의의 기저 변환 \(Y' \to Y\) 뒤에도 작동하므로 \(c \in A^p(X \to Y)\)를 얻는다. 따라서 공식의 우변에서 좌변으로 가는 사상 \(\Psi\)를 얻는다.

거꾸로 \(c \in A^p(X \to Y)\)와 원소 \(\beta_i \in \CH_k(Y_{a(i)})\)가 주어지면 \(\CH_{k - p}(X_i)\)의 원소 \((c \cap (Y_{a(i)} \to Y)_*\beta_i)|_{X_i}\)를 생각할 수 있다. 같은 것은 국소 유한형인 임의의 기저 변환 \(Y' \to Y\) 뒤에도 작동하므로 \(c_i \in A^p(X_i \to Y_{a(i)})\)를 얻는다. 따라서 공식의 좌변에서 우변으로 가는 사상 \(\Phi\)를 얻는다. \(\Phi \circ \Psi = \text{id}\)임은 즉시 알 수 있다.

반대 합성에 대해 \(c \in A^p(X \to Y)\)와 \(\beta \in \CH_k(Y)\)를 택하자. \(\Phi(c) = (c_i)\)라고 하자. \(j \in J\)를 택하자. \(c\)와 평탄 당김의 가환성에 의해 \[(c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i} = c \cap \beta|_{Y_j}\] 이고, \(c\)와 고유 밂의 가환성에 의해 \[(\coprod\nolimits_{a(i) = j} X_i \to X)_* ((c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i}) = c \cap (Y_j \to Y)_*\beta|_{Y_j}\] 이다. 좌변은 \(a(i) = j\)인 \(i \in I\)에 대해 \(X_i\)로 제한했을 때 \((c \cap \beta)|_{X_i}\)이고 그 밖에서는 \(0\)인 \(X\) 위의 순환이다. 우변은 \(a(i) = j\)인 \(i \in I\)에 대해 \(X_i\)로 제한했을 때 \(c_i \cap \beta|_{Y_j}\)인 \(X\) 위의 순환이다. 따라서 원하는 대로 \(c \cap \beta = \Psi((c_i))\)이다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(X = \coprod_{i \in I} X_i\)와 \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\)를 \(X\)와 \(Y\)의 연결 성분에 따른 분해라 하자(\(X\)와 \(Y\)가 국소 뇌터이므로 연결 성분은 열려 있다. Topology, Lemma 04MF과 Properties, Lemma 01OZ를 보라). \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\)가 되는 지표를 \(a(i) \in J\)라 하자. Lemma 0FDZ에 의해 \(A^p(X \to Y) = \prod A^p(X_i \to Y_{a(i)})\)이다. 이 설정에서는 \[A^*(X \to Y)^\wedge = \prod\nolimits_i A^*(X_i \to Y_{a(i)})\] 로 두는 것이 편리하다. 이 “완비화된” 쌍변 군은 \[A^*(X \to Y)^\wedge \quad\subset\quad \prod\nolimits_{p \geq 0} A^p(X \to Y)\] 의 부분집합이며, 각 연결 성분 \(X_i\)에 대해 거의 모든 \(p\)에서 \(c_p\)의 \(A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) 안의 상이 영이 되는 원소 \(c = (c_0, c_1, c_2, \ldots)\)들로 이루어진다. \(Y \to Z\)가 둘째 사상이면 합성 \(A^*(X \to Y) \times A^*(Y \to Z) \to A^*(X \to Z)\)은 완비화들의 합성 \(A^*(X \to Y)^\wedge \times A^*(Y \to Z)^\wedge \to A^*(X \to Z)^\wedge\) 으로 확장된다. 때때로 \(A^*(X)^\wedge = A^*(X \to X)^\wedge\)를 \(X\)의 완비화된 쌍변 코호몰로지 환이라 부른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(g : Y' \to Y\)를 포락 사상이라 하고(Definition 0GU5) \(X' = Y' \times_Y X\)로 나타내자. \(p \in \mathbf{Z}\)라 하고 \(c' \in A^p(X' \to Y')\)라 하자. 두 제한이 \[res_1(c') = res_2(c') \in A^p(X' \times_X X' \to Y' \times_Y Y')\] 로 같다면(증명을 보라), 제한 \(res(c) = c'\)가 \(A^p(X' \to Y')\)에서 성립하는 유일한 \(c \in A^p(X \to Y)\)가 존재한다.

증명

가환 그림 \[\xymatrix{ X' \times_X X' \ar[d]^{f''} \ar@<1ex>[r]^-a \ar@<-1ex>[r]_-b & X' \ar[d]^{f'} \ar[r]_h & X \ar[d]^f \\ Y' \times_Y Y' \ar@<1ex>[r]^-p \ar@<-1ex>[r]_-q & Y' \ar[r]^g & Y }\] 이 있다. 원소 \(res_1(c')\)은 사상 \(a, f', p, f''\)를 갖는 카르테시안 정사각형에 대한 \(c'\)의 제한이고(Remark 0F9Z를 보라), 원소 \(res_2(c')\)은 사상 \(b, f', q, f''\)를 갖는 카르테시안 정사각형에 대한 \(c'\)의 제한이다. \(res_1(c') = res_2(c')\)라고 가정하고 \(\beta \in \CH_k(Y)\)라 하자. Lemma 0GU8에 의해 \(g_*\beta' = \beta\)인 \(\beta' \in \CH_k(Y')\)를 찾을 수 있다. 다음과 같이 둔다. \[c \cap \beta = h_*(c' \cap \beta')\] 이것이 \(\beta'\)의 선택과 무관함을 보이려면 임의의 \(\gamma \in \CH_k(Y' \times_Y Y')\)에 대해 \(h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma))\)가 영임을 보이면 충분하다. \(c'\)가 쌍변류이므로 \[h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma)) = h_*(a_*(c' \cap \gamma) - b_*(c' \cap \gamma)) = 0\] 이다. 마지막 등식은 \(h \circ a = h \circ b\)이므로 \(h_* \circ a_* = h_* \circ b_*\)이기 때문이다.

\(c \cap \beta\)에 대한 위 선택은 \(res(c) = c'\)라는 요구와 쌍변류와 고유 밂의 양립성에 의해 강제됨을 유의하라.

물론 쌍변류 \(c\)를 정의하려면 국소 유한형인 임의의 사상 \(Y_1 \to Y\)에 대해 Definition 0B76에 열거된 조건들을 만족하는 사상 \(c \cap -: \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(Y_1 \times_Y X)\)를 구성해야 한다. \(Y'_1 = Y' \times_Y Y_1\), \(X_1 = X \times_Y Y_1\)로 나타내자. Lemma 0GU7에 의해 \(Y'_1 \to Y_1\)은 포락 사상이다. 따라서 기저 변환된 그림 \[\xymatrix{ X'_1 \times_{X_1} X'_1 \ar[d]^{f''_1} \ar@<1ex>[r]^-{a_1} \ar@<-1ex>[r]_-{b_1} & X'_1 \ar[d]^{f'_1} \ar[r]_{h_1} & X_1 \ar[d]^{f_1} \\ Y'_1 \times_{Y_1} Y'_1 \ar@<1ex>[r]^-{p_1} \ar@<-1ex>[r]_-{q_1} & Y'_1 \ar[r]^{g_1} & Y_1 }\] 과 같은 논증을 사용하여 앞서와 같이 잘 정의된 사상 \(c \cap - : \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(X_1)\)을 얻을 수 있다.

다음으로 \(c\)에 대해 Definition 0B76의 조건 (1), (2), (3)을 확인해야 한다. 예를 들어 \(t : Y_2 \to Y_1\)을 \(Y\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 고유 사상이라 하자. 위와 같이 첫째 그림을 \(Y_1\), resp. \(Y_2\)로 기저 변환한 그림을 아래첨자 \({}_1\), resp. \({}_2\)로 나타내자. \(t\)를 \(Y'\), \(X\), \(X'\)로 기저 변환한 사상들을 각각 \(t' : Y'_2 \to Y'_1\), \(s : X_2 \to X_1\), \(s' : X'_2 \to X'_1\)로 나타내자. 임의의 \(\beta_2 \in \CH_k(Y_2)\)에 대해 \[s_*(c \cap \beta_2) = c \cap t_*\beta_2\] 임을 보여야 한다. \(g_{2, *}\beta'_2 = \beta_2\)인 \(\beta'_2 \in \CH_k(Y'_2)\)를 택하자. \(c'\)가 쌍변류이고 그림들 \[\vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{h_2} & X_2 \ar[d]^s \\ X'_1 \ar[r]^{h_1} & X_1 } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{f'_2} & Y'_2 \ar[d]^{t'} \\ X'_2 \ar[r]^{f'_1} & Y'_1 } }\] 이 카르테시안이므로 \[s_*(c \cap \beta_2) = s_*(h_{2, *}(c' \cap \beta'_2)) = h_{1, *}s'_*(c' \cap \beta'_2) = h_{1, *}(c' \cap (t'_*\beta'_2))\] 이다. 마지막 식은 구성에 의해 \(c \cap t_*\beta_2\)를 계산한다. 실제로 \(t'_*\beta'_2 \in \CH_k(Y'_1)\)의 \(g_{1, *}\)에 의한 상은 \(t_*\beta_2\)이다. 이로써 조건 (1)이 증명된다. 다른 조건들도 같은 방식으로 증명되므로 상세한 논증은 생략한다.

사영공간 다발 공식

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \(\mathcal{E}\)를 생각하자. 우리의 규약에서 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발은 \(X\) 위의 사상 \[\xymatrix{ \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-\pi & X }\] 이며, 여기서 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)은 \(\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)) = \mathcal{E}\)가 되도록 규격화되어 있다. 특히 전사 \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)가 있다. 비형식적으로 “\((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자”라고 말할 때에는 \(P = \mathbf{P}(\mathcal{E})\)이고 \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\)인 상황을 뜻하겠다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \(\mathcal{E}\)라 하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. 임의의 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대해 원소 \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha \right) \in \CH_{k + r - 1 - s}(X)\] 는 \(s < r - 1\)이면 \(0\)이고 \(s = r - 1\)이면 \(\alpha\)와 같다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\delta\)-차원 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\pi^{-1}(Z)\)가 \(\delta\)-차원 \(r - 1\)인 정역이므로 \(\pi^*[Z] = [\pi^{-1}(Z)]\)임을 유의하라. \(s < r - 1\)이면 구성에 의해 \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*[Z]\)는 \(\pi^{-1}(Z)\) 위에 지지된 \((k + r - 1 - s)\)-순환으로 대표된다. 따라서 이 순환의 밂은 차원상의 이유로 영이다.

\(s = r - 1\)이라 하자. 위의 논증에 의해 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha) = n [Z]\)임을 알 수 있다. \(n = 1\)임을 보이려 한다. 위와 같은 차원상의 이유로 \(T \subset Z\)가 진닫힌 부분집합일 때 \(X\)를 \(X \setminus T\)로 바꾼 뒤 결과를 증명하면 충분하다. \(Z\)의 생성점을 \(\xi\)라 하자. \(\mathcal{E}_\xi\)의 기저의 일부를 이루는 원소 \(e_1, \ldots, e_{r - 1} \in \mathcal{E}_\xi\)를 택할 수 있다. 이들은 \(\mathcal{O}_P(1)|_{\pi^{-1}(Z)}\)의 유리 단면 \(s_1, \ldots, s_{r - 1}\)을 주며, 그 공통 영점 집합은 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}|_Z) \to Z\)의 한 유리 단면의 상의 폐포와, 지지집합이 \(Z\)의 어떤 진닫힌 부분집합 \(T\)로 사상되는 닫힌 부분집합의 합집합이다. \(X\)에서 \(T\)를 제거하고(\(P\)에서는 이에 따라 \(\pi^{-1}(T)\)를 제거하고) 나면 \(s_1, \ldots, s_n\)은 대역 단면들의 열 \(s_i \in \Gamma(\pi^{-1}(Z), \mathcal{O}_{\pi^{-1}(Z)}(1))\)을 이루고, 그 공통 영점 집합은 한 단면 \(Z \to \pi^{-1}(Z)\)의 상이다. 따라서 Lemma 02SQ를 반복 적용하여 차례로 \[\begin{eqnarray*} \pi^*[Z] & = & [\pi^{-1}(Z)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^2 \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap Z(s_2)] \\ \ldots & = & \ldots \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap \ldots \cap Z(s_{r - 1})] \end{eqnarray*}\] 임을 알 수 있다. \(Z\) 위에서 \(\pi\)의 한 단면의 상을 \(\pi\)로 민 것은 분명히 \([Z]\)이므로 \(\alpha = [Z]\)일 때 결과를 얻는다. 이 논증이 일반 순환 \(\alpha = \sum n_j [Z_j]\)에 대한 결과를 함의한다는 검증은 생략한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \(\mathcal{E}\)라 하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. 사상 \[\bigoplus\nolimits_{i = 0}^{r - 1} \CH_{k + i}(X) \longrightarrow \CH_{k + r - 1}(P),\] \[(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}) \longmapsto \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}\] 은 동형사상이다.

증명

\(k \in \mathbf{Z}\)를 고정하자. 먼저 사상이 단사임을 보이자. 좌변의 원소 \((\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\)가 영으로 보내진다고 가정하자. Lemma 02TW에 의해 \[0 = \pi_*(\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}) = \alpha_{r - 1}\] 임을 알 수 있다. 다음으로 \[0 = \pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap (\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 2} \cap \pi^*\alpha_{r - 2})) = \alpha_{r - 2}\] 임을 알 수 있고, 이와 같이 계속한다. 따라서 사상은 단사이다.

사상이 전사임을 보이는 일만 남는다. \(X_i\), \(i \in I\)를 \(X\)의 기약 성분들이라 하자. 그러면 \(P_i = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{X_i})\), \(i \in I\)는 \(P\)의 기약 성분들이다. 가환 그림 \[\xymatrix{ \coprod P_i \ar[d]_{\coprod \pi_i} \ar[r]_p & P \ar[d]^\pi \\ \coprod X_i \ar[r]^q & X }\] 을 생각하자. \(p_*\)는 전사임을 유의하라. \(\beta \in \CH_k(\coprod X_i)\)이면 Lemma 02RG에 의해 \(\pi^* q_* \beta = p_*(\coprod \pi_i)^* \beta\)이다. Lemma 02SU에 의해 \(c_1(\mathcal{O}(1))\)과의 교차곱에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 보조정리의 사상이 각 \(\pi_i : P_i \to X_i\)에 대해 전사이면 \(\pi : P \to X\)에 대해서도 전사이다. 그러므로 \(X\)가 기약이라고 가정해도 된다. 이때 \(\dim_\delta(X) < \infty\)이고, 특히 \(\dim_\delta(X)\)에 대한 귀납법을 사용할 수 있다.

\(\dim_\delta(X) < k\)이면 결과는 분명하다. \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\)라 하자. 임의의 국소 닫힌 부분스킴 \(T \subset X\)에 대해 \(\gamma_T : \bigoplus \CH_{k + i}(T) \to \CH_{k + r - 1}(\pi^{-1}(T))\)를 다음 사상으로 나타내자. \[\gamma_T(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1}) = \pi^*\alpha_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(T)}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}.\] 어떤 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)와 어떤 원소들에 대해 \(\alpha|_{\pi^{-1}(U)} = \gamma_U(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\)라고 가정하자. 올림 \(\alpha'_i \in \CH_{k + i}(X)\)를 택할 수 있고, Lemma 02RX에 의해 \(\alpha - \gamma_X(\alpha'_0, \ldots, \alpha'_{r - 1})\)은 \(Y = X \setminus U\)를 기약화된 닫힌 부분스킴으로 볼 때 \(P_Y = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_Y)\) 위의 \(k\)-순환과 유리 동치이다. \(\dim_\delta(Y) < \dim_\delta(X)\)임을 유의하라. 귀납법에 의해 \(P_Y \to Y\)에 대해 결과가 성립하므로 \(\alpha\)에 대해서도 결과가 성립한다. 따라서 \(X\)를 \(X\)의 임의의 공집합이 아닌 열린집합으로 바꾸어도 된다.

특히 \(\mathcal{E} \cong \mathcal{O}_X^{\oplus r}\)라고 가정해도 된다. 이 경우 \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) = X \times \mathbf{P}^{r - 1}\)이다. 층화 \[\mathbf{P}^{r - 1} = \mathbf{A}^{r - 1} \amalg \mathbf{A}^{r - 2} \amalg \ldots \amalg \mathbf{A}^0\] 를 사용하자. 각 층의 폐포는 \(c_1(\mathcal{O}(1))^i \cap [\mathbf{P}^{r - 1}]\)의 대표인 \(\mathbf{P}^{r - 1 - i}\)이다. 따라서 \(P\)에도 비슷한 층화 \[P = U^{r - 1} \amalg U^{r - 2} \amalg \ldots \amalg U^0\] 가 있다. \(U^i\)의 폐포를 \(P^i\)라 하고, \(\pi\)를 \(P^i\)로 제한한 사상을 \(\pi^i : P^i \to X\)라 하자. \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\)라 하자. Lemma 02TT에 의해 어떤 \(\alpha_0 \in \CH_k(X)\)에 대해 \(\alpha|_{U^{r - 1}} = \pi^*\alpha_0|_{U^{r - 1}}\)라고 쓸 수 있다. 따라서 차이 \(\alpha - \pi^*\alpha_0\)은 어떤 \(\alpha' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 2})\)의 상이다. 다시 Lemma 02TT에 의해 어떤 \(\alpha_1 \in \CH_{k + 1}(X)\)에 대해 \(\alpha'|_{U^{r - 2}} = (\pi^{r - 2})^*\alpha_1|_{U^{r - 2}}\)라고 쓸 수 있다. Lemma 02TR에 의해 \((\pi^{r - 2})^*\alpha_1\)의 상은 \(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\)을 대표한다. 또한 \(\alpha - \pi^*\alpha_0 - c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\)은 어떤 \(\alpha'' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 3})\)의 상이다. 이와 같이 계속한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하자. \[p : E = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \longrightarrow X\] 를 \(X\) 위의 연관 벡터 다발이라 하자. 그러면 모든 \(k\)에 대해 \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + r}(E)\)는 동형사상이다.

증명

(선다발의 경우에는 Lemma 0B74를 보라.) 전사성은 Lemma 02TT를 보라. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 유한 국소 자유층 \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\)에 결부된 사영공간 다발이라 하자. \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\)를 대역 단면 \((0, 1) \in \Gamma(X, \mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X)\)에 대응하는 단면이라 하자. \(D = Z(s) \subset P\)라 하자. \((\pi|_D : D \to X , \mathcal{O}_P(1)|_D)\)가 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영공간 다발임을 유의하라. \(\pi_D = \pi|_D\)와 \(\mathcal{O}_D(1) = \mathcal{O}_P(1)|_D\)로 나타내자. 더욱이 \(D\)는 \(P\) 위의 유효 카르티에 약수이다. 따라서 \(\mathcal{O}_P(D) = \mathcal{O}_P(1)\)이다(Divisors, Lemma 01X0를 보라). 또한 동형사상 \(E \cong P \setminus D\)가 있다. 이에 대응하는 열린 몰입을 \(j : E \to P\)로 나타내자.

단사성을 위해 Lemma 02RX에 따라 \[j^* : \CH_{k + r}(P) \longrightarrow \CH_{k + r}(E)\] 의 핵이 유효 카르티에 약수 \(D\) 위에 지지된 순환들이라는 사실을 사용한다. 따라서 \(p^*\alpha = 0\)이면 어떤 \(\beta \in \CH_{k + r}(D)\)에 대해 \(\pi^*\alpha = i_*\beta\)이다. Lemma 02TX에 의해 \[\beta = \pi_D^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^{r - 1} \cap \pi_D^* \beta_{r - 1}.\] 라고 쓸 수 있다. 여기서 \(\beta_i \in \CH_{k + i}(X)\)이다. Lemmas 02TR와 02SU에 의해 이는 \[\pi^*\alpha = i_*\beta = c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^r \cap \pi^*\beta_{r - 1}.\] 를 함의한다. \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\)의 랭크가 \(r + 1\)이므로 모든 \(\alpha\)와 모든 \(\beta_i\)가 영이 아닌 한 이는 Lemma 02SU과 모순이다.

벡터 다발의 천 특성류

사영공간 다발 공식을 사용하여 랭크 \(r\)인 벡터 다발의 천 특성류를 \(c_1(\mathcal{O}(1))^r\)의 낮은 거듭제곱들에 의한 전개로 정의할 수 있다. 공식 (02U1)를 보라. 부호의 이유는 나중에 설명할 것이다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영공간 다발이라 하자.

1. Lemma 02TX에 의해 \(c_0 = [X]\)이고 [02U1]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\] 이 되는 원소 \(c_i \in \CH_{n - i}(X)\), \(i = 0, \ldots, r\)가 존재한다.

2. 위의 표기에서 \(\CH_{n - i}(X)\)의 원소로 \(c_i(\mathcal{E}) \cap [X] = c_i\)라고 둔다. 이들을 \(X\) 위에서 \(\mathcal{E}\)의 천 특성류라고 부른다.

3. \(X\) 위에서 \(\mathcal{E}\)의 전 천 특성류는 결합 \[c({\mathcal E}) \cap [X] = c_0({\mathcal E}) \cap [X] + c_1({\mathcal E}) \cap [X] + \ldots + c_r({\mathcal E}) \cap [X]\] 이며, 이는 \(\CH_*(X) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} \CH_k(X)\)의 원소이다.

벡터 다발의 랭크가 \(1\)인 경우 이것이 새로운 개념을 주지 않음을 확인하자.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(X\)가 정역이고 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. Definition 02U0의 \(X\) 위에서 \(\mathcal{L}\)의 제1 천 특성류는 Definition 02SJ이 \(\mathcal{L}\)에 대응시키는 베유 약수와 같다.

증명

이 증명에서는 Definition 02SJ의 구성을 \(c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\)로 나타낸다. \(\mathcal{L}\)의 랭크가 \(1\)이므로 우리의 규격화에 의해 \(\mathbf{P}(\mathcal{L}) = X\)이고 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{L})}(1) = \mathcal{L}\)이다. 따라서 (02U1)는 \[(-1)^1 c_1(\mathcal{L}) \cap c_0 + (-1)^0 c_1 = 0\] 이 된다. \(c_0 = [X]\)이므로 원하는 대로 \(c_1 = c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\)를 얻는다.

주

식 02U1을 다음과 같이 다시 쓸 수도 있다. [05M8]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r c_1(\mathcal{O}_P(-1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\] 그러나 그 쌍대 대신 보편 몫층 \(\mathcal{O}_P(1)\)을 사용하는 편이 더 쉽다.

천 특성류와의 교차

이 절에서는 \(X\) 위의 벡터 다발의 천 특성류를 \(X\) 위의 쌍변류로 정의한다. Lemma 0B7H와 그 보조정리 뒤의 논의를 보라. 우리의 구성은 먼저 소순환 위에서 연산을 정의한 다음 합을 취하는 익숙한 방식을 따른다. Lemma 02U6에서는 그 결과가 결부된 사영 다발 위의 통상적인 공식으로 결정됨을 보인다. 다음으로 천 특성류와의 cap 곱이 유리 동치를 통해 내려가고, 고유 밂과 가환하며, 평탄 당김과 가환하고, 유효 Cartier 약수의 포함에 대한 Gysin 사상과 가환함을 보인다. 이 보조정리들은 Lemma 02U6의 특성화를 직접 사용하고 Lemma 0EPK를 적용함으로써 피할 수도 있었다. 그 전개를 보고 싶은 독자는 Chow Groups of Spaces, Lemma 0ERY를 참고하라.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하자. 모든 정수 \(k\)와 모든 \(0 \leq j \leq r\)에 대해 연산 \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : Z_k(X) \to \CH_{k - j}(X)\] 을 다음과 같이 정의하고, 이를 \(\mathcal{E}\)의 \(j\)번째 천 특성류와의 교차라 부른다.

1. \(\delta\)-차원이 \(k\)인 정역 닫힌 부분스킴 \(i : W \to X\)가 주어지면 \[c_j(\mathcal{E}) \cap [W] = i_*(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]) \in \CH_{k - j}(X)\] 로 정의한다. 여기서 \(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]\)는 Definition 02U0에서 정의한 것이다.

2. 일반적인 \(k\)-순환 \(\alpha = \sum n_i [W_i]\)에 대해서는 \[c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = \sum n_i c_j(\mathcal{E}) \cap [W_i]\] 로 둔다.

\(\mathcal{E}\)의 랭크가 \(1\)이면 이는 앞선 정의(Definition 02SO)와 일치한다. 이는 Lemma 02U2에 의한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. \(\alpha \in Z_k(X)\)에 대해 원소 \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)들은 \(\alpha_0 = \alpha\)이고 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 이 \(P\)의 Chow 군에서 성립하게 하는 \(\CH_{k - j}(X)\)의 원소 \(\alpha_j\)들로 유일하게 결정된다.

증명

\(\alpha_0 = \alpha\)이고 표시된 식을 만족하는 \(\alpha_0, \ldots, \alpha_r\)의 유일성은 사영공간 다발 공식인 Lemma 02TX에서 따른다. \(\alpha = [W]\)이고 \(W\)가 \(X\)의 정역 닫힌 부분스킴인 경우에는 그 항등식이 정의에 의해 성립한다. \(X\) 위의 일반적인 \(k\)-순환 \(\alpha\)를 \(\alpha = \sum n_a[W_a]\)로 쓰자. 여기서 \(n_a \not = 0\)이고 \(i_a : W_a \to X\)들은 서로 다른 정역 닫힌 부분스킴이다. 그러면 모임 \(\{W_a\}\)는 \(X\) 위에서 국소 유한이다. \(P_a = \pi^{-1}(W_a) = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{W_a})\)라 두고, 대응하는 닫힌 몰입을 \(i'_a : P_a \to P\)로 나타내자. 올곱 도식 \[\xymatrix{ P' \ar@{=}[r] \ar[d]_{\pi'} & \coprod P_a \ar[d]_{\coprod \pi_a} \ar[r]_{\coprod i'_a} & P \ar[d]^\pi \\ X' \ar@{=}[r] & \coprod W_a \ar[r]^{\coprod i_a} & X }\] 을 생각하자. 사상 \(p : X' \to X\)는 고유이다. 또한 \(\pi' : P' \to X'\)와 가역층 \(\mathcal{O}_{P'}(1) = \coprod \mathcal{O}_{P_a}(1)\)의 쌍은 \(\mathcal{E}' = p^*\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이다. 이 가역층은 \(\mathcal{O}_P(1)\)의 당김이기도 하다. 정의에 의해 \[c_j(\mathcal{E}) \cap [\alpha] = \sum i_{a, *}(c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]).\] 이다. \(\CH_{k - j}(W_a)\)의 원소 \(\beta_{a, j} = c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]\)라 쓰자. 정의에 의해 각 \(a\)에 대해 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_a}(1))^i \cap \pi_a^*(\beta_{a, r - i}) = 0\] 이다. 따라서 분명히 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(\beta_{r - i}) = 0\] 이다. 여기서 \(\beta_j = \sum n_a\beta_{a, j} \in \CH_{k - j}(X')\)이다. 사상 \(\coprod i'_a\)를 \(p' : P' \to P\)로 나타내자. Lemma 02RG에 의해 \(\pi^*p_*\beta_j = p'_*(\pi')^*\beta_j\)이다. Lemma 02SU의 사영 공식에 의해 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\beta_j) = 0\] 을 얻는다. \(p_*\beta_j\)가 \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)의 대표이므로 결론을 얻는다.

이제부터는 천 특성류의 더 많은 성질을 증명할 때 이 특성화를 일관되게 사용한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하자. \(\alpha \sim_{rat} \beta\)가 \(X\) 위에서 유리 동치인 \(k\)-순환들이면 \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\)가 \(\CH_{k - j}(X)\)에서 성립한다.

증명

Lemma 02U6에 의해 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), \(j \geq 1\)과 \(\beta_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\), \(j \geq 1\)은 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발의 Chow 군에서의 같은 식으로 유일하게 결정된다. (물론 여기서는 평탄 당김이 유리 동치와 양립한다는 사실, 즉 Lemma 02S1를 사용한다.) 따라서 이들은 서로 같다.

달리 말하면 유한 국소 자유층의 천 특성류와의 cap 곱은 유리 동치를 통해 인수분해되어 사상 \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X) \to \CH_{k - j}(X).\] 을 준다. 다음 과제는 천 특성류들이 쌍변류임을 보이는 것이다. Definition 0B76를 보라.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하자. \(p : X \to Y\)를 고유 사상이라 하고, \(\alpha\)를 \(X\) 위의 \(k\)-순환이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(Y\) 위의 유한 국소 자유층이라 하자. 그러면 \[p_*(c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(\mathcal{E}) \cap p_*\alpha\] 이다.

증명

\((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이라 하자. 그러면 \(P_X = X \times_Y P\)는 \(p^*\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발이고 \(\mathcal{O}_{P_X}(1)\)은 \(\mathcal{O}_P(1)\)의 당김이다. \(\alpha_j = c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha\)라 쓰면 \(\alpha_0 = \alpha\)이다. Lemma 02U6에 의해 \(P_X\)의 Chow 군에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi_X^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 이다. 올곱 도식 \[\xymatrix{ P_X \ar[r]_-{p'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^p & Y }\] 을 생각하자. 위의 표시된 등식에 고유 밂 \(p'_*\)를 적용한다 (Lemma 02S2). Lemmas 02SU 및 02RG를 사용하면 \(P\)의 Chow 군에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\alpha_{r - i}) = 0\] 을 얻는다. Lemma 02U6의 특성화로부터 결론을 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(Y\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하고, \(f : X \to Y\)를 상대 차원 \(r\)인 평탄 사상이라 하자. \(\alpha\)를 \(Y\) 위의 \(k\)-순환이라 하자. 그러면 \[f^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(f^*\mathcal{E}) \cap f^*\alpha\] 이다.

증명

\(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)라 쓰면 \(\alpha_0 = \alpha\)이다. Lemma 02U6에 의해 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발 \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\)의 Chow 군에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 이다. 올곱 도식 \[\xymatrix{ P_X = \mathbf{P}(f^*\mathcal{E}) \ar[r]_-{f'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^f & Y }\] 을 생각하자. \(\mathcal{O}_{P_X}(1)\)은 \(\mathcal{O}_P(1)\)의 당김임을 유의하라. 위의 표시된 식에 평탄 당김 \((f')^*\)를 적용한다 (Lemma 02S1). Lemmas 02SS 및 02RD에 의해 \(P_X\)의 Chow 군에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_X}(1))^i \cap \pi_X^*(f^*\alpha_{r - i}) = 0\] 이다. Lemma 02U6의 특성화로부터 결론을 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하자. \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\)가 Definition 02T8에서와 같다고 하자. 그러면 모든 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대해 \(c_j(\mathcal{E}|_D) \cap i^*\alpha = i^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha)\) 이다.

증명

\(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)라 쓰면 \(\alpha_0 = \alpha\)이다. Lemma 02U6에 의해 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발 \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)의 Chow 군에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 이다. 올곱 도식 \[\xymatrix{ P_D = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_D) \ar[r]_-{i'} \ar[d]_{\pi_D} & P \ar[d]^\pi \\ D \ar[r]^i & X }\] 을 생각하자. \(\mathcal{O}_{P_D}(1)\)은 \(\mathcal{O}_P(1)\)의 당김임을 유의하라. 위의 표시된 식에 Gysin 사상 \((i')^*\)를 적용한다 (Lemma 02TO). Lemmas 0B72 및 0B71을 적용하면 \(P_D\)의 Chow 군에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_D}(1))^i \cap \pi_D^*(i^*\alpha_{r - i}) = 0\] 을 얻는다. Lemma 02U6의 특성화로부터 결론을 얻는다.

이제 천 특성류와의 cap 곱이 쌍변류를 정의함을 증명하기에 충분한 준비가 되었다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 랭크 \(r\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하고, \(0 \leq p \leq r\)라 하자. 그러면 \(f : X' \to X\)에 \(c_p(f^*\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - p}(X')\)를 대응시키는 규칙은 차수 \(p\)의 쌍변류이다.

증명

Lemmas 02U7, 02U9, 02U8, 0B7G 및 Definition 0B76에서 즉시 따른다.

이 보조정리를 이용하면 유한 국소 자유 모듈의 천 특성류를 다음과 같이 정의할 수 있다.

정의

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}\)를 랭크 \(r\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. \(i = 0, \ldots, r\)에 대해 \(\mathcal{E}\)의 \(i\)번째 천 특성류는 Lemma 0B7H에서 구성한 차수 \(i\)의 쌍변류 \(c_i(\mathcal{E}) \in A^i(X)\)이다. \(\mathcal{E}\)의 전 천 특성류는 형식적 합 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + \ldots + c_r(\mathcal{E})\] 이며, 이를 \(X\) 위의 비동차 쌍변류로 본다.

Definition 02U5 뒤의 Remark에 의해 \(\mathcal{E}\)가 가역이면 이 정의는 Definition 0FDW와 일치한다. 다음으로 천 특성류들이 쌍변 Chow 코호몰로지 환 \(A^*(X)\)의 중심에 있음을 보인다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}\)를 랭크 \(r\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 그러면

1. \(c_j(\mathcal{E}) \in A^j(X)\)는 \(A^*(X)\)의 중심에 있고,

2. \(f : X' \to X\)가 국소 유한형이고 \(c \in A^*(X' \to X)\)이면 \(c \circ c_j(\mathcal{E}) = c_j(f^*\mathcal{E}) \circ c\)이다.

특히 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 랭크 \(s\)인 두 번째 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이면, 모든 \(\alpha \in \CH_k(X)\)에 대해 \[c_i(\mathcal{E}) \cap c_j(\mathcal{F}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{F}) \cap c_i(\mathcal{E}) \cap \alpha\] 가 \(\CH_{k - i - j}(X)\)에서 성립한다.

증명

(2)가 (1)을 함의함은 즉시 알 수 있다. \(\alpha \in \CH_k(X)\)라 하자. \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\)라 쓰면 \(\alpha_0 = \alpha\)이다. Lemma 02U6에 의해 \(\mathcal{E}\)에 결부된 사영 다발 \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\)의 Chow 군에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] 이다. \(\pi' : P' \to X'\)를 \(\pi\)의 \(f\)에 의한 기저변환이라 하자. Lemma 0B7B와 쌍변류의 성질들을 사용하면 \[\begin{align*} 0 & = c \cap \left(\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i})\right) \\ & = \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(c \cap \alpha_{r - i}) \end{align*}\] 을 \(P'\)의 Chow 군에서 얻는다(계산은 생략한다). 따라서 Lemma 02U6의 특성화에 의해 \(c \cap \alpha_j\)는 \(c_j(f^*\mathcal{E}) \cap (c \cap \alpha)\)와 같다. 이로써 보조정리가 증명된다.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. \(\mathcal{E}\)의 랭크가 상수가 아닌 경우에도 \(\mathcal{E}\)의 천 특성류를 정의할 수 있다. 실제로 이 경우 \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] 로 쓸 수 있다. 여기서 \(X_r \subset X\)는 \(\mathcal{E}\)의 랭크가 \(r\)인 열린닫힌 부분공간이다. Lemma 0FDZ에 의해 \(A^p(X) = \prod A^p(X_r)\)이다. 따라서 \(c_p(\mathcal{E})\)를 \(A^p(X_r)\)의 특성류 \(c_p(\mathcal{E}|_{X_r})\)들의 곱으로 정의할 수 있다. 구체적으로 \(X' \to X\)가 국소 유한형 사상이면 당김에 의해 \(X'\)의 대응하는 분해를 얻고, 우리의 정의에 의해 \[\CH_*(X') = \prod\nolimits_{r \geq 0} \CH_*(X'_r)\] 임을 안다. 그러면 \(c_p(\mathcal{E}) \in A^p(X)\)는 이 직접곱 분해들을 보존하고 각 인자 위에서 이미 정의한 연산 \(c_i(\mathcal{E}|_{X_r}) \cap -\)로 작용하는 쌍변류이다. 이 설정에서는 무한히 많은 \(p\)에 대해 \(c_p(\mathcal{E})\)가 영이 아닐 수 있음에 유의하라. 따라서 전 천 특성류는 \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + c_2(\mathcal{E}) + \ldots \in A^*(X)^\wedge\] 인 완비화된 쌍변 코호몰로지 환의 원소이다. 표기에 대해서는 Remark 0FE0를 보라. 이 설정에서 \(\mathcal{E}\)의 “랭크”를 원소 \(r(\mathcal{E}) \in A^0(X)\)로 정의한다. 이는 \((\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\)를 \((r\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\)로 보내는 쌍변 연산이다. \(c_p(\mathcal{E})\)와 \(r(\mathcal{E})\)가 여전히 \(A^*(X)\)의 중심에 있음에 유의하라.

주

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 일반적으로 Remark 0ESW에서와 같이 \(X = \coprod X_r\)로 쓴다. 공집합이 아닌 \(X_r\)이 유한 개뿐이면 \[c_{top}(\mathcal{E}) = \sum\nolimits_r c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in A^*(X) = \bigoplus A^*(X_r)\] 로 둘 수 있다. 여기서 등식은 Lemma 0FDZ이다. 공집합이 아닌 \(X_r\)이 무한히 많으면 같은 표기로 \[c_{top}(\mathcal{E}) = \prod c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in \prod A^r(X_r) \subset A^*(X)^\wedge\] 을 나타낸다. 표기에 대해서는 Remark 0FE0를 보라.

천 특성류 사이의 다항식 관계

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(\mathcal{E}_i\)를 \(X\) 위의 유한 국소 자유층들의 유한 모임이라 하자. Lemma 02UA에 의해 천 특성류 \[c_j(\mathcal{E}_i) \in A^*(X)\] 들은 Chow 코호몰로지 대수 \(A^*(X)\)의 가환(더 나아가 중심적인) \(\mathbf{Z}\)-부분대수를 생성한다. 따라서 이 천 특성류들의 다항식이 영이라는 것과 두 다항식이 같다는 것이 무엇을 뜻하는지 말할 수 있다. 예를 들어 \(c_1(\mathcal{E}_1)^5 + c_2(\mathcal{E}_2)c_3(\mathcal{E}_3) = 0\)이라는 것은 국소 유한형인 모든 사상 \(f : Y \to X\)에 대해 연산 \[\CH_k(Y) \longrightarrow \CH_{k - 5}(Y), \quad \alpha \longmapsto c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap \alpha + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap \alpha\] 이 영이라는 뜻이다. Lemma 02UC에 의해 이는 \(Y\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형인 정역 스킴인 임의의 사상 \(f : Y \to X\)에 대해 순환 \[c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap [Y] + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap [Y]\] 이 \(\CH_{\dim(Y) - 5}(Y)\)에서 영이어야 한다는 조건과 동치이다.

구체적인 예로 Lemma 02SP에서 증명한 관계 \[c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) = c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{N})\] 가 있다. 더 일반적으로 임의의 국소 자유층에 가역층을 텐서하면 다음과 같다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 \(X\) 위의 랭크 \(r\)인 유한 국소 자유층이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. 그러면 \(A^*(X)\)에서 [02UE]\[\begin{equation} c_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j \end{equation}\] 이다.

증명

이는 임의의 삼중항 \((X, \mathcal{E}, \mathcal{L})\)에 대해 성립해야 한다. 특히 \(X\)가 정역일 때 성립해야 하며, Lemma 02UC에 의해 그러한 \(X\)에 대해 \([X]\)와 cap 곱을 취했을 때 성립함을 증명하면 충분하다. 따라서 \(X\)가 정역이라고 가정하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\), resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\)를 \(\mathcal{E}\), resp. \(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}\)에 결부된 사영공간 다발이라 하자. 표준 사상 \[\xymatrix{ P \ar[rd]_\pi \ar[rr]_g & & P' \ar[ld]^{\pi'} \\ & X & }\] 을 생각하자. Constructions, Lemma 02NC를 보라. 이는 \(g^*\mathcal{O}_{P'}(1) = \mathcal{O}_P(1) \otimes \pi^* {\mathcal L}\)이라는 성질을 갖는다. 이는 \(\CH_*(P)\)에서 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i (\xi + x)^i \cap \pi^*(c_{r - i}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) = 0\] 임을 뜻한다. 여기서 \(\xi\)는 \(c_1(\mathcal{O}_P(1))\)을 나타내고 \(x\)는 \(c_1(\pi^*\mathcal{L})\)을 나타낸다. 간단한 대수 계산으로 이는 \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i \xi^i \left( \sum\nolimits_{j = i}^r (-1)^{j - i} \binom{j}{i} x^{j - i} \cap \pi^*(c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) \right) = 0\] 과 동치이다. Equation (02U1)과 비교하면 \[c_{r - i}(\mathcal{E}) \cap [X] = \sum\nolimits_{j = i}^r \binom{j}{i} (-c_1(\mathcal{L}))^{j - i} \cap c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]\] 을 얻는다. 이를 다시 정리하여(음의 부호들을 없애고 지표를 다시 붙여서) 원하는 관계를 얻는다.

(02UE)의 몇 가지 예는 다음과 같다. \[\begin{align*} c_1(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_1(\mathcal{E}) + r c_1(\mathcal{L}) \\ c_2(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_2(\mathcal{E}) + (r - 1) c_1(\mathcal{E}) c_1(\mathcal{L}) + \binom{r}{2} c_1(\mathcal{L})^2 \\ c_3(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_3(\mathcal{E}) + (r - 2) c_2(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L}) + \binom{r - 1}{2} c_1(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L})^2 + \binom{r}{3} c_1(\mathcal{L})^3 \end{align*}\]

천 특성류의 가법성

모든 예비 보조정리는 마지막 결과에서 자명하게 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\)를 각각 랭크 \(r\), \(r - 1\)인 \(X\) 위의 유한 국소 자유층이라 하고, 이들이 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 에 놓인다고 하자. 그러면 \(A^*(X)\)에서 \[c_r(\mathcal{E}) = 0, \quad c_j(\mathcal{E}) = c_j(\mathcal{F}), \quad j = 0, \ldots, r - 1\] 이다.

증명

Lemma 02UC에 의해 \(X\)가 정역일 때 \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\)임을 보이면 충분하다. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\), resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\)를 \(\mathcal{E}\), resp. \(\mathcal{F}\)에 결부된 사영공간 다발이라 하자. 전사 \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\)는 \(X\) 위의 닫힌 몰입 \[i : P' \longrightarrow P\] 을 유도한다. 또한 원소 \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \subset \Gamma(X, \mathcal{E})\)은 영점집합이 정확히 \(P'\)인 대역 단면 \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\)을 유도한다. 따라서 \(P'\)은 \(P\) 위의 유효 Cartier 약수이고 \(\mathcal{O}_P(P') \cong \mathcal{O}_P(1)\)이다. 그러므로 Lemma 02TR에 의해 \(X\) 위의 임의의 순환류 \(\alpha\)에 대해 \[c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha = i_*((\pi')^*\alpha)\] 임을 안다. Lemma 02U6에 의해 \(\alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\), \(j = 0, \ldots, r - 1\)은 \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^jc_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^j \cap (\pi')^*\alpha_j = 0\] 을 만족한다. 이를 \(P\)로 밀고 위의 관찰과 Lemma 02SU을 사용하면 \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^j c_1(\mathcal{O}_P(1))^{j + 1} \cap \pi^*\alpha_j = 0\] 을 얻는다. Lemma 02U6의 유일성에 의해 \(c_r(\mathcal{E}) \cap [X] = 0\)이고 \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = \alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\)가 \(j = 0, \ldots, r - 1\)에 대해 성립한다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\)를 각각 랭크 \(r\), \(r - 1\)인 \(X\) 위의 유한 국소 자유층이라 하고, 이들이 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] 에 놓인다고 하자. 여기서 \(\mathcal{L}\)은 가역층이다. 그러면 \(A^*(X)\)에서 \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{L}) c(\mathcal{F})\] 이다.

증명

이 관계는 실제로 \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\)라는 말일 뿐이다. Lemma 02UG에 의해 \(c_j(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}) = c_j(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1})\)가 \(j = 0, \ldots, r\)에 대해 성립한다. 여기서 관례상 \(c_r(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{-1}) = 0\)으로 둔다. Lemma 02UD을 적용하면 \[\sum_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j = \sum_{j = 0}^i \binom{r - 1 - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal F}) c_1({\mathcal L})^j\] 을 얻는다. \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\)로 두면 이 방정식의 “해”가 된다. 이것이 유일하게 가능한 해임을 보이면 보조정리가 따르는데, 그 확인은 생략한다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. \({\mathcal E}\)가 랭크 \(r_i\)인 유한 국소 자유층 \(\mathcal{E}_i\)들의 완전열 \[0 \to {\mathcal E}_1 \to {\mathcal E} \to {\mathcal E}_2 \to 0\] 에 놓인다고 하자. 그러면 전 천 특성류들은 \(A^*(X)\)에서 \[c({\mathcal E}) = c({\mathcal E}_1) c({\mathcal E}_2)\] 을 만족한다.

증명

Lemma 02UC에 의해 \(X\)가 정역이라고 가정할 수 있고, \([X]\)와 cap 곱을 취했을 때 그 항등식을 보이면 된다. \(r_1\)에 관해 귀납한다. \(r_1 = 1\)인 경우는 Lemma 02UH이다. \(r_1 > 1\)이라고 가정하자. \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\)를 \(\mathcal{E}_1\)에 결부된 사영공간 다발이라 하자. 다음에 유의하라.

1. \(\pi^* : \CH_*(X) \to \CH_*(P)\)는 단사이고,

2. \(\pi^*\mathcal{E}_1\)은 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{E}_1 \to \mathcal{L} \to 0\)에 놓이며, 여기서 \(\mathcal{L}\)은 가역이다.

첫 번째 주장은 사영공간 다발 공식에서 따르고, 두 번째 주장은 사영공간 다발의 정의에서 따른다. (실제로 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_P(1)\)이다.) \(Q = \pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}\)라 두자. 이는 완전열 \(0 \to \mathcal{L} \to Q \to \pi^*\mathcal{E}_2 \to 0\)에 놓인다. 귀납법에 의해 \[\begin{eqnarray*} c(\pi^*\mathcal{E}) \cap [P] & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}) \cap [P] \\ & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\mathcal{L}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \\ & = & c(\pi^*\mathcal{E}_1) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \end{eqnarray*}\] 이다. \([P] = \pi^*[X]\)이므로 Lemma 02U8에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 Situation 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\)를 \(X\) 위의 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 여과 \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] 가 주어진 국소 자유 랭크 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하고, \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\)라고 하자. \(c_1({\mathcal L}_i) = x_i\)라 두면 \(A^*(X)\)에서 \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i)\] 이다.

증명

Lemma 02UH와 귀납법을 적용한다.

0-순환의 차수

체 위의 고유 스킴에 놓인 0-순환의 차수를 정의하기 시작한다. 한 가지 방법은 Lemma 0AZ2에서처럼 직접 정의한 다음 Lemma 02RU를 이용하여 잘 정의됨을 보이는 것이다. 여기서는 그 대신 다음과 같이 정의한다.

정의

\(k\)를 체라 하자(Example 02QM). \(p : X \to \Spec(k)\)를 고유 사상이라 하자. \(X\) 위의 0-순환의 차수는 고유 밂 \[p_* : \CH_0(X) \to \CH_0(\Spec(k))\] (Lemma 02S2)과 \([\Spec(k)]\)를 \(1\)로 보내는 자연 동형 \(\CH_0(\Spec(k)) = \mathbf{Z}\)의 합성으로 주어진다. 표기는 \(\deg(\alpha)\)이다.

이를 좀 더 구체적으로 쓰자.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\alpha = \sum n_i[Z_i]\)가 \(Z_0(X)\)에 속한다고 하자. 그러면 \[\deg(\alpha) = \sum n_i\deg(Z_i)\] 이다. 여기서 \(\deg(Z_i)\)는 \(Z_i \to \Spec(k)\)의 차수, 즉 \(\deg(Z_i) = \dim_k \Gamma(Z_i, \mathcal{O}_{Z_i})\)이다.

증명

이는 고유 밂의 정의(Definition 02R4)이다.

다음으로 Varieties, Section 0AYQ에서 정의한 체 위의 \(1\)-차원 고유 스킴 위 벡터 다발의 차수와 연결한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 차원 \(\leq 1\)인 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 상수 랭크의 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 그러면 \[\deg(\mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1)\] 이다. 여기서 좌변은 Varieties, Definition 0AYR에서 정의한다.

증명

\(C_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, t\)를 차원 \(1\)인 기약 성분들에 기약 유도 스킴 구조를 준 것으로 하고, \(m_i\)를 \(X\)에서 \(C_i\)의 중복도라 하자. 그러면 \([X]_1 = \sum m_i[C_i]\)이고 \(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1\)은 순환 \(m_i c_1(\mathcal{E}|_{C_i}) \cap [C_i]\)들의 밂의 합이다. Varieties, Lemma 0AYW에 의해 \(\mathcal{E}\)의 차수도 비슷하게 분해되므로, \(X\)가 \(k\) 위의 고유 곡선인 경우를 증명하면 충분하다.

\(X\)가 \(k\) 위의 고유 곡선이라고 가정하자. Divisors, Lemma 0AYP에 의해 \(f^*\mathcal{E}\)가 연속 몫들이 가역 \(\mathcal{O}_{X'}\)-모듈인 여과를 갖게 하는 수정 \(f : X' \to X\)가 존재한다. \(f_*[X']_1 = [X]_1\)이므로 Lemma 02U9로부터 \[\deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) = \deg(c_1(f^*\mathcal{E}) \cap [X']_1)\] 을 얻는다. Varieties, Lemma 0AYU에 의해 차수에도 비슷한 관계가 있으므로, \(\mathcal{E}\)가 연속 몫들이 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈인 여과를 갖는 경우로 귀착된다. 이 경우 차수의 가법성(Varieties, Lemma 0AYS)과 제1 천 특성류의 가법성(Lemma 02UI)을 이용하여 다음 문단의 경우로 귀착시킨다.

\(X\)가 \(k\) 위의 고유 곡선이고 \(\mathcal{E}\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라고 가정하자. Divisors, Lemma 0AYM에 의해 어떤 유효 Cartier 약수 \(D, D'\)가 \(X\) 위에 존재하여 \(\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\)과 동형이다. (여기서는 \(X\)가 사영이라는 사실도 사용한다. 예를 들어 Varieties, Lemma 0A26를 보라.) 가역층의 텐서곱에 대한 차수의 가법성(Varieties, Lemma 0AYX)과 가역층의 텐서곱에 대한 \(c_1\)의 가법성(Lemma 02SP 또는 02UD)에 의해 \(\mathcal{E} = \mathcal{O}_X(D)\)인 경우로 귀착된다. 이 경우 좌변은 \(\deg(D)\)를 주고(Varieties, Lemma 0AYY), 우변은 Lemma 02SQ에 의해 \(\deg([D]_0)\)를 준다. 정의에 의해 \[[D]_0 = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x] = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x]\] 이므로 \[\deg([D]_0) = \sum\nolimits_{x \in D} \text{length}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [\kappa(x) : k] = \dim_k \Gamma(D, \mathcal{O}_D) = \deg(D)\] 임을 안다. 끝에서 두 번째 등식은 \(D\)가 아핀임을 사용하여 Algebra, Lemma 02M0에서 따른다.

마지막으로 모든 것을 Varieties, Section 0BEL에서 정의한 수치적 교차와 연결할 수 있다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 차원 \(d\)인 닫힌 부분스킴이라 하고, \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\)를 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. 그러면 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg( c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d)\] 이다. 여기서 좌변은 Varieties, Definition 0BEP에서 정의한다. 특히 \(\mathcal{L}\)이 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이면 \[\deg_\mathcal{L}(Z) = \deg(c_1(\mathcal{L})^d \cap [Z]_d)\] 이다.

증명

\(d\)에 관해 귀납하여 증명한다. \(d = 0\)이면 결과는 Varieties, Lemma 0AYT에 의해 참이다. \(d > 0\)이라고 가정하자.

\(Z_i \subset Z\), \(i = 1, \ldots, t\)를 차원 \(d\)인 기약 성분들에 기약 유도 스킴 구조를 준 것으로 하고, \(m_i\)를 \(Z\)에서 \(Z_i\)의 중복도라 하자. 그러면 \([Z]_d = \sum m_i[Z_i]\)이고 \(c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d\)는 순환 \(m_i c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z_i]\)들의 합이다. Varieties, Lemma 0BEN에 의해 \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\)도 비슷하게 분해되므로 \(Z = X\)가 \(k\) 위의 차원 \(d\)인 고유 대수다양체인 경우를 증명하면 충분하다.

Chow의 보조정리에 의해 \(Y\)가 \(k\) 위에서 H-사영이고 \(f : Y \to X\)가 쌍유리 고유 사상인 것이 존재한다. Cohomology of Schemes, Lemma 0200 및 Remark 0201를 보라. Varieties, Lemma 0BET에 의해 \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Y) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X)\] 이고, Lemma 02SU에 의해 \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(f^*\mathcal{L}_d) \cap [Y]) = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X]\] 이다. 따라서 \(X\)를 \(Y\)로 바꾸어 \(X\)가 \(k\) 위에서 사영이라고 가정할 수 있다.

\(X\)가 고유한 \(d\)-차원 사영 대수다양체이면 Divisors, Lemma 0AYM에 의해 어떤 유효 Cartier 약수 \(D, D' \subset X\)에 대해 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\)로 쓸 수 있다. 등식 양변의 가법성(Varieties, Lemma 0BER 및 Lemma 02SP)에 의해 어떤 유효 Cartier 약수 \(D\)에 대해 \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\)인 경우로 귀착된다. Varieties, Lemma 0BEU에 의해 \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\] 이고, Lemma 02SQ에 의해 \[c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X] = c_1(\mathcal{L}_2) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [D]_{d - 1}\] 이다. 따라서 귀납 가정으로 결과를 얻는다.