Homologie de Chow et classes de Chern

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les groupes d’homologie de Chow et la construction des classes de Chern des fibrés vectoriels comme éléments des groupes de cohomologie de Chow opérationnelle (le tout à coefficients dans \(\mathbf{Z}\)).

Nous commençons ce chapitre en donnant la démonstration algébrique la plus courte possible du lemme clé 0EAX. Nous définissons d’abord le quotient de Herbrand (section 02PF) et le calculons dans certains cas (section 0EAA). Ensuite, nous démontrons quelques lemmes algébriques simples sur l’existence de factorisations convenables après des modifications (section 0EAD). À l’aide de ceux-ci, nous construisons et définissons le symbole modéré à la section 0EAH. Seules les propriétés les plus élémentaires du symbole modéré sont nécessaires pour démontrer le lemme clé, ce que nous faisons à la section 0EAU.

Ensuite, nous introduisons le cadre de base dans lequel nous travaillons dans la suite de ce chapitre à la section 02QK. Afin de rendre la matière un peu plus stimulante, nous avons décidé de traiter un cas un peu plus général que celui habituellement considéré. Plus précisément, nous supposons que nos schémas \(X\) sont localement de type fini sur un schéma de base fixé, localement noethérien, qui est universellement caténaire et muni d’une fonction de dimension. Ces hypothèses suffisent pour pouvoir définir les groupes d’homologie de Chow \(\CH_*(X)\) et l’action sur ceux-ci du produit cap avec les classes de Chern. Cela indique que nous devrions également pouvoir les définir pour les champs algébriques localement de type fini sur une telle base.

Ensuite, nous suivons les premiers chapitres de [F] afin de définir les cycles, l’image réciproque plate, l’image directe propre et l’équivalence rationnelle, si ce n’est que nous avons été moins précis quant aux supports des cycles considérés.

Nous nous écartons de la présentation donnée dans [F] en utilisant le lemme clé mentionné ci-dessus pour démontrer une relation de commutativité fondamentale à la section 0AYB. Nous en déduisons que l’opération d’intersection avec un faisceau inversible passe au quotient par l’équivalence rationnelle et est commutative, voir la section 02TG. Une nouvelle application du lemme clé démontre que l’application de Gysin d’un diviseur de Cartier effectif passe au quotient par l’équivalence rationnelle, voir la section 02TK. Cela étant démontré, il est immédiat de définir les classes de Chern des fibrés vectoriels, d’établir l’additivité, de démontrer le principe de scindage, d’introduire les caractères de Chern et les classes de Todd, puis d’énoncer le théorème de Grothendieck–Riemann–Roch.

Il y a deux appendices. Dans l’appendice A (section 0EAZ), nous étudions une autre construction, plus longue, du symbole modéré et la démonstration correspondante du lemme clé. Enfin, dans l’appendice B (section 0AYD), nous examinons brièvement le rapport avec la \(K\)-théorie des faisceaux cohérents et étudions quelques lemmes sur les éclatements. Nous suggérons au lecteur de consulter leurs introductions pour de plus amples informations.

Nous reviendrons, au chapitre suivant, sur les groupes de Chow \(\CH_*(X)\) des variétés projectives lisses sur des corps algébriquement clos. À l’aide d’un lemme de déplacement comme dans [Samuel], [ChevalleyI] et [ChevalleyII], ainsi que de la formule de Serre pour les Tor (voir [Serre_local_algebra] ou [Serre_algebre_locale]), nous définirons une structure d’anneau sur \(\CH_*(X)\). Voir Théorie de l’intersection, section 0AZ7 et suivantes.

Complexes périodiques et quotients de Herbrand

Il existe bien entendu une notion très générale de complexe périodique. On peut imposer la périodicité des applications ou celle des objets. Nous ajouterons ici ces conditions selon les besoins. Pour le moment, seuls les cas suivants nous sont nécessaires.

Définition

Soit \(R\) un anneau.

1. Un complexe \(2\)-périodique sur \(R\) est donné par un quadruplet \((M, N, \varphi, \psi)\) constitué de \(R\)-modules \(M\), \(N\) et d’applications de \(R\)-modules \(\varphi : M \to N\), \(\psi : N \to M\) telles que \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & N \ar[r] & \ldots }\] soit un complexe. Dans ce cadre, nous définissons les modules de cohomologie du complexe comme étant les \(R\)-modules \[H^0(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\varphi)/\Im(\psi) \quad\text{et}\quad H^1(M, N, \varphi, \psi) = \Ker(\psi)/\Im(\varphi).\] Nous disons que le complexe \(2\)-périodique est exact si ses modules de cohomologie sont nuls.

2. Un complexe \((2, 1)\)-périodique sur \(R\) est donné par un triplet \((M, \varphi, \psi)\) constitué d’un \(R\)-module \(M\) et d’applications de \(R\)-modules \(\varphi : M \to M\), \(\psi : M \to M\) telles que \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r]^\psi & M \ar[r]^\varphi & M \ar[r] & \ldots }\] soit un complexe. Comme il s’agit d’un cas particulier d’un complexe \(2\)-périodique, nous disposons de ses modules de cohomologie \(H^0(M, \varphi, \psi)\), \(H^1(M, \varphi, \psi)\) et d’une notion d’exactitude.

Dans la suite, nous utiliserons tout résultat démontré pour les complexes \(2\)-périodiques sans autre mention dans le cas des complexes \((2, 1)\)-périodiques. Il est clair que la collection des complexes \(2\)-périodiques forme une catégorie, dont les morphismes \((f, g) : (M, N, \varphi, \psi) \to (M', N', \varphi', \psi')\) sont les couples d’applications \(f : M \to M'\) et \(g : N \to N'\) tels que \(\varphi' \circ f = g \circ \varphi\) et \(\psi' \circ g = f \circ \psi\). On obtient une catégorie abélienne, avec noyaux et conoyaux comme dans Homologie, Lemme 010Y.

Définition

Soit \((M, N, \varphi, \psi)\) un complexe \(2\)-périodique sur un anneau \(R\) dont les modules de cohomologie sont de longueur finie. Dans ce cas, nous définissons la multiplicité de \((M, N, \varphi, \psi)\) comme étant l’entier \[e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{longueur}_R(H^0(M, N, \varphi, \psi)) - \text{longueur}_R(H^1(M, N, \varphi, \psi))\] Dans le cas d’un complexe \((2, 1)\)-périodique \((M, \varphi, \psi)\), nous la notons \(e_R(M, \varphi, \psi)\) et l’appellerons parfois le quotient de Herbrand (additif).

Si les groupes de cohomologie de \((M, \varphi, \psi)\) sont des groupes abéliens finis, il est d’usage d’appeler quotient de Herbrand (multiplicatif) \[q(M, \varphi, \psi) = \frac{\# H^0(M, \varphi, \psi)}{\# H^1(M, \varphi, \psi)}\] Autrement dit, le quotient de Herbrand multiplicatif est le nombre d’éléments de \(H^0\) divisé par le nombre d’éléments de \(H^1\). Si \(R\) est local et si le corps résiduel de \(R\) est fini à \(q\) éléments, alors \[q(M, \varphi, \psi) = q^{e_R(M, \varphi, \psi)}\]

Un exemple de complexe \((2, 1)\)-périodique sur un anneau \(R\) est tout triplet de la forme \((M, 0, \psi)\), où \(M\) est un \(R\)-module et \(\psi\) une application \(R\)-linéaire. Si le noyau et le conoyau de \(\psi\) sont de longueur finie, alors on obtient [0EA6]\[\begin{equation} e_R(M, 0, \psi) = \text{longueur}_R(\Coker(\psi)) - \text{longueur}_R(\Ker(\psi)) \end{equation}\] Énonçons et démontrons les lemmes usuels relatifs à ces notations.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Supposons donnée une suite exacte courte de complexes \(2\)-périodiques \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] Si deux d’entre eux ont des modules de cohomologie de longueur finie, il en va de même du troisième, et l’on a \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\]

Démonstration

Abrégeons \(A = (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1)\), \(B = (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2)\) et \(C = (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3)\). Nous avons une suite exacte longue de cohomologie \[\ldots \to H^1(C) \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to H^1(C) \to \ldots\] Elle donne une suite exacte finie \[0 \to I \to H^0(A) \to H^0(B) \to H^0(C) \to H^1(A) \to H^1(B) \to K \to 0\] avec \(0 \to K \to H^1(C) \to I \to 0\) comme filtration. Par additivité de la fonction longueur (Algèbre, Lemme 00IV), on obtient le résultat.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Si \((M, N, \varphi, \psi)\) est un complexe \(2\)-périodique tel que \(M\) et \(N\) soient de longueur finie, alors \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{longueur}_R(M) - \text{longueur}_R(N)\). En particulier, si \((M, \varphi, \psi)\) est un complexe \((2, 1)\)-périodique tel que \(M\) soit de longueur finie, alors \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\).

Démonstration

Observons que, dans la catégorie des complexes \(2\)-périodiques où \(M\) et \(N\) sont de longueur finie, la quantité « \(\text{longueur}_R(M) - \text{longueur}_R(N)\) » est additive pour les suites exactes courtes (l’énoncé précis est laissé au lecteur). Considérons la suite exacte courte \[0 \to (M, \Im(\varphi), \varphi, 0) \to (M, N, \varphi, \psi) \to (0, N/\Im(\varphi), 0, 0) \to 0\] La remarque initiale, combinée à l’additivité du Lemme 0EA7, nous ramène aux cas (a) \(M = 0\) et (b) \(\varphi\) est surjective. Nous les laissons au lecteur.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(f : (M, \varphi, \psi) \to (M', \varphi', \psi')\) une application de complexes \((2, 1)\)-périodiques dont les modules de cohomologie sont de longueur finie. Si \(\Ker(f)\) et \(\Coker(f)\) sont de longueur finie, alors \(e_R(M, \varphi, \psi) = e_R(M', \varphi', \psi')\).

Démonstration

Appliquons l’additivité du Lemme 0EA7 et observons que \((\Ker(f), \varphi, \psi)\) et \((\Coker(f), \varphi', \psi')\) ont une multiplicité nulle d’après le Lemme 0EA8.

Calcul de quelques multiplicités

Pour démontrer plus loin l’égalité de certains cycles, nous devons calculer quelques multiplicités. Notre principal outil, outre les lemmes élémentaires sur les multiplicités donnés à la section précédente, sera Algèbre, Lemme 02MI.

Lemme

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module fini. Soit \(x \in R\). Supposons que

1. \(\dim(\text{Supp}(M)) \leq 1\), et

2. \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\).

Écrivons \(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\). Alors \[e_R(M, 0, x) = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x) \text{longueur}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\]

Démonstration

Commençons par quelques remarques préparatoires. Le résultat du lemme vaut si \(M\) est de longueur finie, c’est-à-dire si \(t = 0\), car le membre de gauche et celui de droite sont alors tous deux nuls, voir le Lemme 0EA8. De même, si l’on a une suite exacte courte \(0 \to M \to M' \to M'' \to 0\) de modules satisfaisant (1) et (2), le lemme pour deux de ces trois modules implique le lemme pour le troisième, par additivité des longueurs (Algèbre, Lemme 00IV) et additivité des multiplicités (Lemme 0EA7).

Notons \(M_i\) l’image de \(M\) dans \(M_{\mathfrak q_i}\), de sorte que \(\text{Supp}(M_i) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_i\}\). Le noyau et le conoyau de l’application \(M \to \bigoplus M_i\) ont pour support \(\{\mathfrak m\}\) et sont donc de longueur finie. Il résulte de nos remarques préparatoires qu’il suffit de démontrer le lemme pour chacun des \(M_i\). Nous pouvons donc supposer que \(\text{Supp}(M) = \{\mathfrak m, \mathfrak q\}\). Dans ce cas, nous avons une filtration finie \(M \supset \mathfrak qM \supset \mathfrak q^2M \supset \ldots \supset \mathfrak q^nM = 0\) d’après Algèbre, Lemme 00L6. Une nouvelle application de l’additivité montre qu’il suffit de démontrer le lemme lorsque \(M\) est annulé par \(\mathfrak q\). Nous pouvons alors considérer \(M\) comme un \(R/\mathfrak q\)-module, c’est-à-dire supposer que \(R\) est un anneau local noethérien intègre de dimension \(1\), de corps des fractions \(K\). En quotientant par le sous-module de torsion, c’est-à-dire par le noyau de \(M \to M \otimes_R K = V\) (la torsion étant de longueur finie, nos remarques préliminaires s’y appliquent), nous pouvons supposer que \(M \subset V\) est un réseau (Algèbre, Définition 02ME). Alors \(x : M \to M\) est injective et \(\text{longueur}_R(M/xM) = d(M, xM)\) (Algèbre, Définition 02MG). Comme \(\text{longueur}_K(V) = \dim_K(V)\), on voit que \(\det(x : V \to V) = x^{\dim_K(V)}\) et \(\text{ord}_R(\det(x : V \to V)) = \dim_K(V) \text{ord}_R(x)\). L’égalité cherchée résulte donc de Algèbre, Lemme 02MI dans ce cas.

Lemme

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Soit \(x \in R\). Si \(M\) est un module de Cohen–Macaulay fini sur \(R\) avec \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\) et \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) = 0\), alors \[\text{longueur}_R(M/xM) = \sum\nolimits_i \text{longueur}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{longueur}_{R_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}).\] où \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) sont les idéaux premiers minimaux du support de \(M\). Si \(I \subset R\) est un idéal tel que \(x\) soit un non-diviseur de zéro dans \(R/I\) et \(\dim(R/I) = 1\), alors \[\text{longueur}_R(R/(x, I)) = \sum\nolimits_i \text{longueur}_R(R/(x, \mathfrak q_i)) \text{longueur}_{R_{\mathfrak q_i}}((R/I)_{\mathfrak q_i})\] où \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_n\) sont les idéaux premiers minimaux contenant \(I\).

Démonstration

Ce sont des cas particuliers du Lemme 02QF.

Voici un autre cas où l’on peut déterminer la valeur d’une multiplicité.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(\varphi : M \to M\) un endomorphisme et soit \(n > 0\) tel que \(\varphi^n = 0\) et que \(\Ker(\varphi)/\Im(\varphi^{n - 1})\) soit de longueur finie comme \(R\)-module. Alors \[e_R(M, \varphi^i, \varphi^{n - i}) = 0\] pour \(i = 0, \ldots, n\).

Démonstration

Les cas \(i = 0, n\) sont triviaux puisque, par convention, \(\varphi^0 = \text{id}_M\). Considérons \(M\) comme un \(R[t]\)-module où la multiplication par \(t\) est donnée par \(\varphi\). Écrivons \(K_i = \Ker(t^i : M \to M)\) et \[a_i = \text{longueur}_R(K_i/t^{n - i}M),\quad b_i = \text{longueur}_R(K_i/tK_{i + 1}),\quad c_i = \text{longueur}_R(K_1/t^iK_{i + 1})\] Les valeurs au bord sont \(a_0 = a_n = b_0 = c_0 = 0\). Les \(c_i\) sont des entiers pour \(i < n\), car \(K_1/t^iK_{i + 1}\) est un quotient de \(K_1/t^{n - 1}M\), qui est supposé de longueur finie. Nous utiliserons souvent l’égalité \(K_i \cap t^jM = t^jK_{i + j}\). Pour \(0 < i < n - 1\), nous avons une suite exacte \[0 \to K_1/t^{n - i - 1}K_{n - i} \to K_{i + 1}/t^{n - i - 1}M \xrightarrow{t} K_i/t^{n - i}M \to K_i/tK_{i + 1} \to 0\] Par récurrence sur \(i\), on en déduit que \(a_i\) et \(b_i\) sont des entiers pour \(i < n\) et que \[c_{n - i - 1} - a_{i + 1} + a_i - b_i = 0\] Pour \(0 < i < n - 1\), il existe une suite exacte \[0 \to K_i/tK_{i + 1} \to K_{i + 1}/tK_{i + 2} \xrightarrow{t^i} K_1/t^{i + 1}K_{i + 2} \to K_1/t^iK_{i + 1} \to 0\] qui donne \[b_i - b_{i + 1} + c_{i + 1} - c_i = 0\] Comme \(b_0 = c_0\), on en conclut que \(b_i = c_i\) pour \(i < n\). On voit alors que \[a_2 = a_1 + b_{n - 2} - b_1,\quad a_3 = a_2 + b_{n - 3} - b_2,\quad \ldots\] On vérifie immédiatement que cela implique \(a_i = a_{n - i}\), comme voulu.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \((M, \varphi, \psi)\) un complexe \((2, 1)\)-périodique sur \(R\), avec \(M\) fini et dont les groupes de cohomologie sont de longueur finie sur \(R\). Soit \(x \in R\) tel que \(\dim(\text{Supp}(M/xM)) \leq 0\). Alors \[e_R(M, x\varphi, \psi) = e_R(M, \varphi, \psi) - e_R(\Im(\varphi), 0, x)\] et \[e_R(M, \varphi, x\psi) = e_R(M, \varphi, \psi) + e_R(\Im(\psi), 0, x)\]

Démonstration

Nous ne démontrerons que la première formule, la seconde se démontrant exactement de la même manière. Soit \(M' = M[x^\infty]\) le sous-module de \(x\)-torsion de \(M\). Considérons la suite exacte courte \(0 \to M' \to M \to M'' \to 0\). Alors \(M''\) est sans \(x\)-torsion (Compléments sur l’algèbre, Lemme 05EB). Comme \(\varphi\) et \(\psi\) envoient \(M'\) dans \(M'\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to (M', \varphi', \psi') \to (M, \varphi, \psi) \to (M'', \varphi'', \psi'') \to 0\] de complexes \((2, 1)\)-périodiques. De plus, on obtient une suite exacte courte \(0 \to M' \cap \Im(\varphi) \to \Im(\varphi) \to \Im(\varphi'') \to 0\). Nous avons \(e_R(M', \varphi, \psi) = e_R(M', x\varphi, \psi) = e_R(M' \cap \Im(\varphi), 0, x) = 0\) d’après le Lemme 0EA9. Par additivité (Lemme 0EA7), on voit qu’il suffit de démontrer le lemme pour \((M'', \varphi'', \psi'')\). Cela nous ramène au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(x : M \to M\) soit injective. Dans ce cas, \(\Ker(x\varphi) = \Ker(\varphi)\). D’autre part, nous avons une suite exacte courte \[0 \to \Im(\varphi)/x\Im(\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(x\varphi) \to \Ker(\psi)/\Im(\varphi) \to 0\] Ceci, joint à (0EA6), démontre la formule.

Préparation aux symboles modérés

Dans cette section, nous donnons quelques lemmes qui nous aideront à définir le symbole modéré à la section suivante.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soient \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) des idéaux maximaux deux à deux distincts de \(A\). Pour \(i = 1, \ldots, r\), soit \(\varphi_i : A_{\mathfrak m_i} \to B_i\) un morphisme d’anneaux dont le noyau et le conoyau sont annulés par une puissance de \(\mathfrak m_i\). Alors il existe un morphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) tel que

1. le localisé de \(\varphi\) en \(\mathfrak m_i\) soit isomorphe à \(\varphi_i\), et

2. \(\Ker(\varphi)\) et \(\Coker(\varphi)\) soient annulés par une puissance de \(\mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\).

De plus, si chaque \(\varphi_i\) est fini, injectif ou surjectif, il en va de même de \(\varphi\).

Démonstration

Posons \(I = \mathfrak m_1 \cap \ldots \cap \mathfrak m_r\). Posons \(A_i = A_{\mathfrak m_i}\) et \(A' = \prod A_i\). Alors \(IA' = \prod \mathfrak m_i A_i\) et \(A \to A'\) est un morphisme d’anneaux plat tel que \(A/I \cong A'/IA'\). Nous pouvons donc appliquer Compléments sur l’algèbre, Lemme 0ALK pour voir qu’il existe une application de \(A\)-modules \(\varphi : A \to B\) tel que \(\varphi_i\) soit isomorphe à la localisation de \(\varphi\) en \(\mathfrak m_i\). On peut ensuite utiliser la discussion de Compléments sur l’algèbre, Remarque 05EU pour munir \(B\) d’une structure de \(A\)-algèbre qui induit la structure de \(A\)-algèbre donnée sur \(B_i\). La dernière assertion du lemme résulte aisément du fait que \(\Ker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Ker(\varphi_i)\) et \(\Coker(\varphi)_{\mathfrak m_i} \cong \Coker(\varphi_i)\).

Le lemme suivant est très semblable à Algèbre, Lemme 00P9.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de dimension \(1\). Soient \(a, b \in R\) des non-diviseurs de zéro. Il existe une extension finie d’anneaux \(R \subset R'\) telle que \(R'/R\) soit annulé par une puissance de \(\mathfrak m\), et des non-diviseurs de zéro \(t, a', b' \in R'\) tels que \(a = ta'\), \(b = tb'\) et \(R' = a'R' + b'R'\).

Démonstration

Si \(a\) ou \(b\) est une unité, le lemme est vrai avec \(R = R'\). Nous pouvons donc supposer \(a, b \in \mathfrak m\). Posons \(I = (a, b)\). L’idée consiste à éclater \(R\) le long de \(I\). Au lieu d’un raisonnement algébrique, raisonnons géométriquement. Soit \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{d \geq 0} I^d)\). D’après Diviseurs, Lemme 02OS, le morphisme \(X \to \Spec(R)\) est un isomorphisme au-dessus du spectre épointé \(U = \Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\). Nous pouvons et allons donc considérer \(U\) comme un sous-schéma ouvert de \(X\). Le morphisme \(X \to \Spec(R)\) est projectif d’après Diviseurs, Lemme 02NS. De plus, tout point générique de \(X\) appartient à \(U\), par exemple d’après Diviseurs, Lemme 0BFM. Il résulte de Variétés, Lemme 0AB7 que \(X \to \Spec(R)\) est fini. Ainsi \(X = \Spec(R')\) est affine et \(R \to R'\) est fini. Nous avons \(R_a \cong R'_a\) puisque \(U = D(a)\). Par conséquent, une puissance de \(a\) annule le \(R\)-module fini \(R'/R\). Comme \(\mathfrak m = \sqrt{(a)}\), le module \(R'/R\) est annulé par une puissance de \(\mathfrak m\). D’après Diviseurs, Lemme 02OS, on voit que \(IR'\) est un idéal localement principal. Comme \(R'\) est semi-local, \(IR'\) est principal, voir Algèbre, Lemme 02M9, disons \(IR' = (t)\). Alors \(a = a't\) et \(b = b't\), et tout est clair.

Lemme

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de dimension \(1\). Soient \(a, b \in R\) des non-diviseurs de zéro avec \(a \in \mathfrak m\). Il existe un entier \(n = n(R, a, b)\) tel que, pour toute extension finie d’anneaux \(R \subset R'\), si \(b = a^m c\) pour un certain \(c \in R'\), alors \(m \leq n\).

Démonstration

Choisissons un idéal premier minimal \(\mathfrak q \subset R\). Observons que \(\dim(R/\mathfrak q) = 1\) ; en particulier, \(R/\mathfrak q\) n’est pas un corps. On peut choisir un anneau de valuation discrète \(A\) dominant \(R/\mathfrak q\) et ayant le même corps des fractions, voir Algèbre, Lemme 00P8. Observons que \(a\) et \(b\) s’envoient sur des éléments non nuls de \(A\), puisque les non-diviseurs de zéro de \(R\) n’appartiennent pas à \(\mathfrak q\). Soit \(v\) la valuation discrète sur \(A\). Alors \(v(a) > 0\) puisque \(a \in \mathfrak m\). Nous affirmons que \(n = v(b)/v(a)\) convient.

Soit donnée une extension \(R \subset R'\). Posons \(A' = A \otimes_R R'\). Comme \(\Spec(R') \to \Spec(R)\) est surjectif (Algèbre, Lemme 00GQ), \(\Spec(A') \to \Spec(A)\) est aussi surjectif (Algèbre, Lemme 00FI). Choisissons un idéal premier \(\mathfrak q' \subset A'\) au-dessus de \((0) \subset A\). Alors \(A \subset A'' = A'/\mathfrak q'\) est une extension finie d’anneaux (induisant de nouveau une surjection sur les spectres). Choisissons un idéal maximal \(\mathfrak m'' \subset A''\) au-dessus de l’idéal maximal de \(A\), ainsi qu’un anneau de valuation discrète \(A'''\) dominant \(A''_{\mathfrak m''}\) (voir le lemme cité ci-dessus). Alors \(A \to A'''\) est une extension d’anneaux de valuation discrète et nous avons \(b = a^m c\) dans \(A'''\). Ainsi \(v'''(b) \geq mv'''(a)\). Comme \(v''' = ev\), où \(e\) est l’indice de ramification de \(A'''/A\), on obtient \(m \leq n\), comme voulu.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de dimension \(1\). Soit \(r \geq 2\) et soient \(a_1, \ldots, a_r \in A\) des non-diviseurs de zéro qui ne sont pas tous des unités. Alors il existe

1. une extension finie d’anneaux \(A \subset B\) telle que \(B/A\) soit annulé par une puissance de \(\mathfrak m\),

2. pour tout idéal maximal \(\mathfrak m_j \subset B\), un non-diviseur de zéro \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\), et

3. des factorisations \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\) dans \(B_j\), où \(u_{i, j} \in B_j\) est une unité et \(e_{i, j} \geq 0\).

Démonstration

Puisqu’au moins un \(a_i\) n’est pas une unité, \(\mathfrak m\) n’est pas un idéal premier associé de \(A\). De plus, pour toute extension \(A \subset B\) comme dans l’énoncé, \(\mathfrak m\) n’est pas un idéal premier associé de \(B\) et \(\mathfrak m_j\) n’est pas un idéal premier associé de \(B_j\). Garder cela à l’esprit aidera à vérifier les raisonnements ci-dessous.

Tout d’abord, nous affirmons qu’il suffit de démontrer le lemme pour \(r = 2\). Nous allons le montrer par récurrence sur \(r\) ; nous suggérons au lecteur de sauter la démonstration. Supposons donnés \(A \subset B\) et des \(\pi_j\) dans \(B_j = B_{\mathfrak m_j}\), ainsi que des factorisations \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\) pour \(i = 1, \ldots, r - 1\) dans \(B_j\), où \(u_{i, j} \in B_j\) est une unité et \(e_{i, j} \geq 0\). En appliquant le cas \(r = 2\) à \(\pi_j\) et \(a_r\) dans \(B_j\), on peut trouver des extensions \(B_j \subset C_j\) et, pour tout idéal maximal \(\mathfrak m_{j, k}\) de \(C_j\), un non-diviseur de zéro \(\pi_{j, k} \in C_{j, k} = (C_j)_{\mathfrak m_{j, k}}\) et des factorisations \[\pi_j = v_{j, k} \pi_{j, k}^{f_{j, k}} \quad\text{et}\quad a_r = w_{j, k} \pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] comme dans le lemme. Il existe une unique extension finie \(B \subset C\) telle que \(C/B\) soit annulé par une puissance de \(\mathfrak m\) et que \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\) pour tout \(j\), voir le Lemme 0EAE. Les idéaux maximaux de \(C\) correspondent \(1\) à \(1\) aux idéaux maximaux \(\mathfrak m_{j, k}\) dans les localisés, et dans ces localisés nous avons \[a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}} = u_{i, j} v_{j, k}^{e_{i, j}} \pi_{j, k}^{e_{i, j}f_{j, k}}\] pour \(i \leq r - 1\). Comme \(a_r\) se factorise lui aussi correctement, la démonstration de l’étape de récurrence est achevée.

Démonstration du cas \(r = 2\). Nous raisonnons par récurrence sur \[\ell = \min(\text{longueur}_A(A/a_1A),\ \text{longueur}_A(A/a_2A)).\] Si \(\ell = 0\), alors \(a_1\) ou \(a_2\) est une unité et le lemme vaut avec \(A = B\). Nous pouvons donc supposer \(\ell > 0\).

Supposons donnée une extension finie d’anneaux \(A \subset A'\) telle que \(A'/A\) soit annulé par une puissance de \(\mathfrak m\) et que \(\mathfrak m\) ne soit pas un idéal premier associé de \(A'\). Soient \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r \subset A'\) les idéaux maximaux, et posons \(A'_i = A'_{\mathfrak m_i}\). Si l’on peut résoudre le problème pour \(a_1, a_2\) dans chaque \(A'_i\), alors on peut appliquer le Lemme 0EAE pour produire une solution pour \(a_1, a_2\) dans \(A\). Choisissons \(x \in \{a_1, a_2\}\) tel que \(\ell = \text{longueur}_A(A/xA)\). D’après le Lemme 0EA9 et (0EA6), nous avons \(\text{longueur}_A(A/xA) = \text{longueur}_A(A'/xA')\). D’autre part, \[\text{longueur}_A(A'/xA') = \sum [\kappa(\mathfrak m_i) : \kappa(\mathfrak m)] \text{longueur}_{A'_i}(A'_i/xA'_i)\] d’après Algèbre, Lemme 02M0. Comme \(x \in \mathfrak m\), chaque terme du membre de droite est positif. On en conclut que l’hypothèse de récurrence s’applique à \(a_1, a_2\) dans chaque \(A'_i\) si \(r > 1\), ou si \(r = 1\) et \([\kappa(\mathfrak m_1) : \kappa(\mathfrak m)] > 1\). On en conclut que l’on peut supposer que tout \(A'\) comme ci-dessus est local et a le même corps résiduel que \(A\).

En appliquant la discussion du paragraphe précédent, nous pouvons remplacer \(A\) par l’anneau construit dans le Lemme 02Q7 pour \(a_1, a_2 \in A\). Puisque \(A\) est local, nous obtenons alors, quitte à échanger \(a_1\) et \(a_2\), que \(a_2 \in (a_1)\). Écrivons \(a_2 = a_1^m c\), avec \(m > 0\) maximal. En fait, d’après le Lemme 0EAF, nous pouvons supposer que \(m\) demeure maximal même après avoir remplacé \(A\) par toute extension finie \(A \subset A'\) comme au paragraphe précédent. Si \(c\) est une unité, nous avons terminé. Sinon, nous remplaçons \(A\) par l’anneau construit dans le Lemme 02Q7 pour \(a_1, c \in A\). Alors ou bien (1) \(c = a_1 c'\), ou bien (2) \(a_1 = c a'_1\). Le premier cas est impossible, puisqu’il donnerait \(a_2 = a_1^{m + 1} c'\), ce qui contredirait la maximalité de \(m\). Dans le second cas, on obtient \(a_1 = c a'_1\) et \(a_2 = c^{m + 1} (a'_1)^m\). Il suffit alors de démontrer le lemme pour \(A\) et \(c, a'_1\). Si \(a'_1\) est une unité, nous avons terminé ; sinon, \(\text{longueur}_A(A/cA) < \ell\), car \(cA\) est un idéal strictement plus grand que \(a_1A\). Nous concluons donc par l’hypothèse de récurrence.

Symboles modérés

Considérons un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m)\) de dimension \(1\). Notons \(Q(A)\) l’anneau total des fractions de \(A\), voir Algèbre, Exemple 02C5. Le symbole modéré sera une application \[\partial_A(-, -) : Q(A)^* \times Q(A)^* \longrightarrow \kappa(\mathfrak m)^*\] qui satisfait les propriétés suivantes :

1. \(\partial_A(f, gh) = \partial_A(f, g) \partial_A(f, h)\) [0EAI] pour \(f, g, h \in Q(A)^*\),

2. \(\partial_A(f, g) \partial_A(g, f) = 1\) [0EAJ] pour \(f, g \in Q(A)^*\),

3. \(\partial_A(f, 1 - f) = 1\) [0EAK] pour \(f \in Q(A)^*\) tel que \(1 - f \in Q(A)^*\),

4. \(\partial_A(aa', b) = \partial_A(a, b)\partial_A(a', b)\) [0EAL] et \(\partial_A(a, bb') = \partial_A(a, b)\partial_A(a, b')\) pour des non-diviseurs de zéro \(a, a', b, b' \in A\),

5. \(\partial_A(b, b) = (-1)^m\) [0EAM] avec \(m = \text{longueur}_A(A/bA)\), pour tout non-diviseur de zéro \(b \in A\),

6. \(\partial_A(u, b) = u^m \bmod \mathfrak m\) [0EAN] avec \(m = \text{longueur}_A(A/bA)\), pour toute unité \(u \in A\) et tout non-diviseur de zéro \(b \in A\), et

7. \(\partial_A(a, b - a)\partial_A(b, b) = \partial_A(b, b - a)\partial_A(a, b)\) pour \(a, b \in A\) tels que \(a, b, b - a\) soient des non-diviseurs de zéro.

Comme il est plus facile de travailler avec des éléments de \(A\), nous considérerons souvent \(\partial_A\) comme une application définie sur les couples de non-diviseurs de zéro de \(A\) qui satisfait (0EAL), (0EAM), (0EAN), (0EAP). C’est un exercice de vérifier qu’en posant \[\partial_A(\frac{a}{b}, \frac{c}{d}) = \partial_A(a, c) \partial_A(a, d)^{-1} \partial_A(b, c)^{-1} \partial_A(b, d)\] on obtient une application bien définie \(Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\) qui satisfait (0EAI), (0EAJ), (0EAK), ainsi que les autres propriétés.

Nous ne prétendons pas qu’il existe une unique application ayant ces propriétés. Nous allons plutôt donner une recette pour construire une telle application. Plus précisément, étant donnés des non-diviseurs de zéro \(a_1, a_2 \in A\), nous choisissons une extension d’anneaux \(A \subset B\) et des factorisations locales comme dans le Lemme 0EAG. Puis nous définissons [0EAQ]\[\begin{equation} \partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norme}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} \end{equation}\] où \(m_j = \text{longueur}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\) et le produit est pris sur les idéaux maximaux \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) de \(B\).

Lemme

La formule (0EAQ) détermine un élément bien défini de \(\kappa(\mathfrak m)^*\). Autrement dit, le membre de droite ne dépend ni du choix des factorisations locales, ni du choix de \(B\).

Démonstration

Indépendance du choix des factorisations. Supposons donnés un anneau local noethérien de dimension \(1\), noté \(B\), des éléments \(a_1, a_2 \in B\), et des non-diviseurs de zéro \(\pi, \theta\) tels que l’on puisse écrire \[a_1 = u_1 \pi^{e_1} = v_1 \theta^{f_1},\quad a_2 = u_2 \pi^{e_2} = v_2 \theta^{f_2}\] avec des entiers \(e_i, f_i \geq 0\) et des unités \(u_i, v_i\) de \(B\). Observons que cela implique \[a_1^{e_2} = u_1^{e_2}u_2^{-e_1}a_2^{e_1},\quad a_1^{f_2} = v_1^{f_2}v_2^{-f_1}a_2^{f_1}\] D’autre part, en posant \(m = \text{longueur}_B(B/\pi B)\) et \(k = \text{longueur}_B(B/\theta B)\), on obtient \(e_2 m = \text{longueur}_B(B/a_2 B) = f_2 k\). En développant \(a_1^{e_2m} = a_1^{f_2 k}\) à l’aide des égalités ci-dessus, on trouve \[(u_1^{e_2}u_2^{-e_1})^m = (v_1^{f_2}v_2^{-f_1})^k\] Cela démontre l’égalité voulue au signe près. Pour vérifier que les signes conviennent, il faut montrer que \(me_1e_2\) est pair si et seulement si \(kf_1f_2\) est pair. Cela résulte des deux égalités \(me_2 = kf_2\) et \(me_1 = kf_1\) (par le même raisonnement que ci-dessus).

Indépendance du choix de \(B\). Supposons données deux extensions \(A \subset B\) et \(A \subset B'\) comme dans le Lemme 0EAG. Alors \[C = (B \otimes_A B')/(\mathfrak m\text{-torsion})\] en fournira une troisième. Nous pouvons donc supposer que nous avons \(A \subset B \subset C\), ainsi que des factorisations sur les anneaux locaux de \(B\), et il faut montrer que l’emploi des mêmes factorisations sur les anneaux locaux de \(C\) donne le même élément de \(\kappa(\mathfrak m)\). Par transitivité des normes (Corps, Lemme 0BIJ), cela se ramène au problème suivant : si \(B\) est un anneau local noethérien de dimension \(1\) et \(\pi \in B\) un non-diviseur de zéro, alors \[\lambda^m = \prod \text{Norme}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda)^{m_k}\] Nous avons employé ici les notations suivantes : (1) \(\kappa\) est le corps résiduel de \(B\), (2) \(\lambda\) est un élément de \(\kappa\), (3) les \(\mathfrak m_k \subset C\) sont les idéaux maximaux de \(C\), (4) \(\kappa_k = \kappa(\mathfrak m_k)\) est le corps résiduel de \(C_k = C_{\mathfrak m_k}\), (5) \(m = \text{longueur}_B(B/\pi B)\), et (6) \(m_k = \text{longueur}_{C_k}(C_k/\pi C_k)\). L’égalité affichée vaut parce que \(\text{Norme}_{\kappa_k/\kappa}(\lambda) = \lambda^{[\kappa_k : \kappa]}\), puisque \(\lambda \in \kappa\), et parce que \(m = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\). Premièrement, nous avons \(m = \text{longueur}_B(B/xB) = \text{longueur}_B(C/\pi C)\) d’après le Lemme 0EA9 et (0EA6). Enfin, \(\text{longueur}_B(C/\pi C) = \sum m_k[\kappa_k:\kappa]\) d’après Algèbre, Lemme 02M0.

Lemme

Le symbole modéré (0EAQ) satisfait (0EAL), (0EAM), (0EAN), (0EAP) et fournit donc une application \(\partial_A : Q(A)^* \times Q(A)^* \to \kappa(\mathfrak m)^*\) qui satisfait (0EAI), (0EAJ), (0EAK).

Démonstration

Démontrons (0EAL). Soient \(a_1, a_2, a_3 \in A\) des non-diviseurs de zéro. Choisissons \(A \subset B\) comme dans le Lemme 0EAG pour \(a_1, a_2, a_3\). Alors l’égalité \[\partial_A(a_1a_2, a_3) = \partial_A(a_1, a_3) \partial_A(a_2, a_3)\] résulte de l’égalité \[(-1)^{(e_{1, j} + e_{2, j})e_{3, j}} (u_{1, j}u_{2, j})^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j} - e_{2, j}} = (-1)^{e_{1, j}e_{3, j}} u_{1, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{1, j}} (-1)^{e_{2, j}e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j}}u_{3, j}^{-e_{2, j}}\] dans \(B_j\). Les propriétés (0EAM) et (0EAN) sont tout aussi immédiates.

Démontrons (0EAP). Soient \(a_1, a_2, a_1 - a_2 \in A\) des non-diviseurs de zéro et posons \(a_3 = a_1 - a_2\). Choisissons \(A \subset B\) comme dans le Lemme 0EAG pour \(a_1, a_2, a_3\). Il suffit alors de montrer que \[(-1)^{e_{1, j}e_{2, j} + e_{1, j}e_{3, j} + e_{2, j}e_{3, j} + e_{2, j}} u_{1, j}^{e_{2, j} - e_{3, j}} u_{2, j}^{e_{3, j} - e_{1, j}} u_{3, j}^{e_{1, j} - e_{2, j}} \bmod \mathfrak m_j = 1\] C’est clair si \(e_{1, j} = e_{2, j} = e_{3, j}\). Supposons \(e_{1, j} > e_{2, j}\). Alors \(e_{3, j} = e_{2, j}\), car \(a_3 = a_1 - a_2\), et \(u_{3, j}\) a la même classe résiduelle que \(-u_{2, j}\). Par conséquent, la formule est vraie ; les signes conviennent eux aussi, et cette vérification explique le choix des signes dans (0EAQ). Les autres cas se traitent exactement de la même manière.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de dimension \(1\). Soit \(A \subset B\) une extension finie d’anneaux telle que \(B/A\) soit annulé par une puissance de \(\mathfrak m\) et que \(\mathfrak m\) ne soit pas un idéal premier associé de \(B\). Pour des non-diviseurs de zéro \(a, b \in A\), nous avons \[\partial_A(a, b) = \prod \text{Norme}_{\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)}(\partial_{B_j}(a, b))\] où le produit est pris sur les idéaux maximaux \(\mathfrak m_j\) de \(B\) et \(B_j = B_{\mathfrak m_j}\).

Démonstration

Choisissons \(B_j \subset C_j\) comme dans le Lemme 0EAG pour \(a, b\). D’après le Lemme 0EAE, on peut choisir une extension finie d’anneaux \(B \subset C\) telle que \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\) pour tout \(j\). Soient \(\mathfrak m_{j, k} \subset C\) les idéaux maximaux de \(C\) au-dessus de \(\mathfrak m_j\). Soient \[a = u_{j, k}\pi_{j, k}^{f_{j, k}},\quad b = v_{j, k}\pi_{j, k}^{g_{j, k}}\] les factorisations locales dont l’existence résulte de notre choix de \(C_j \cong C_{\mathfrak m_j}\). Par définition, nous avons \[\partial_A(a, b) = \prod\nolimits_{j, k} \text{Norme}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] et \[\partial_{B_j}(a, b) = \prod\nolimits_k \text{Norme}_{\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)} ((-1)^{f_{j, k}g_{j, k}}u_{j, k}^{g_{j, k}}v_{j, k}^{-f_{j, k}} \bmod \mathfrak m_{j, k})^{m_{j, k}}\] Le résultat découle de la transitivité des normes pour \(\kappa(\mathfrak m_{j, k})/\kappa(\mathfrak m_j)/\kappa(\mathfrak m)\), voir Corps, Lemme 0BIJ.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa) \to (A', \mathfrak m', \kappa')\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. Supposons \(A \to A'\) plat et \(\dim(A) = \dim(A') = 1\). Posons \(m = \text{longueur}_{A'}(A'/\mathfrak mA')\). Pour des non-diviseurs de zéro \(a_1, a_2 \in A\), \(\partial_A(a_1, a_2)^m\) s’envoie sur \(\partial_{A'}(a_1, a_2)\) par \(\kappa \to \kappa'\).

Démonstration

Si \(a_1, a_2\) sont tous deux des unités, alors \(\partial_A(a_1, a_2) = 1\), \(\partial_{A'}(a_1, a_2) = 1\), et le résultat est vrai. Sinon, on peut choisir une extension d’anneaux \(A \subset B\) et des factorisations locales comme dans le Lemme 0EAG. Notons \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\) les idéaux maximaux de \(B\). Soient \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_m\) les idéaux maximaux de \(B\), de corps résiduels \(\kappa_1, \ldots, \kappa_m\). Pour chaque \(j \in \{1, \ldots, m\}\), notons \(\pi_j \in B_j = B_{\mathfrak m_j}\) un non-diviseur de zéro tel que nous ayons des factorisations \(a_i = u_{i, j}\pi_j^{e_{i, j}}\) comme dans le lemme. Par définition, nous avons \[\partial_A(a_1, a_2) = \prod\nolimits_j \text{Norme}_{\kappa_j/\kappa} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\] où \(m_j = \text{longueur}_{B_j}(B_j/\pi_j B_j)\).

Posons \(B' = A' \otimes_A B\). Comme \(A'\) est plat sur \(A\), on voit que \(A' \subset B'\) est une extension d’anneaux telle que \(B'/A'\) soit annulé par une puissance de \(\mathfrak m'\). Soient \[\mathfrak m'_{j, l},\quad l = 1, \ldots, n_j\] les idéaux maximaux de \(B'\) au-dessus de \(\mathfrak m_j\). Notons \(\kappa'_{j, l}\) le corps résiduel de \(\mathfrak m'_{j, l}\). Notons \(B'_{j, l}\) le localisé de \(B'\) en \(\mathfrak m'_{j, l}\). Comme factorisations de \(a_1\) et \(a_2\) dans \(B'_{j, l}\), nous utilisons l’image des factorisations \(a_i = u_{i, j} \pi_j^{e_{i, j}}\) qui nous sont données dans \(B_j\). Par définition, nous avons \[\partial_{A'}(a_1, a_2) = \prod\nolimits_{j, l} \text{Norme}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'} ((-1)^{e_{1, j}e_{2, j}}u_{1, j}^{e_{2, j}}u_{2, j}^{-e_{1, j}} \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}}\] où \(m'_{j, l} = \text{longueur}_{B'_{j, l}}(B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l})\).

En comparant les formules ci-dessus, on voit qu’il suffit de montrer que pour tout \(j\) et toute unité \(u \in B_j\), on a [0GU1]\[\begin{equation} \left(\text{Norme}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j}\right)^m = \prod\nolimits_l \text{Norme}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} \end{equation}\] dans \(\kappa'\). Pour le démontrer, nous allons utiliser la construction des déterminants d’endomorphismes de modules de longueur finie donnée dans Compléments sur l’algèbre, section 0GSX. Posons \(M = B_j/\pi_j B_j\). D’après Compléments sur l’algèbre, Lemme 0GSZ, nous avons \[\text{Norme}_{\kappa_j/\kappa}(u \bmod \mathfrak m_j)^{m_j} = \det\nolimits_\kappa(u : M \to M)\] Ainsi, d’après Compléments sur l’algèbre, Lemme 0GT0, le membre de gauche de (0GU1) est égal à \(\det_{\kappa'}(u : M \otimes_A A' \to M \otimes_A A')\). Nous avons un isomorphisme \[M \otimes_A A' = (B_j/\pi_j B_j) \otimes_A A' = \bigoplus\nolimits_l B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\] de \(A'\)-modules. En posant \(M'_l = B'_{j, l}/\pi_j B'_{j, l}\), on voit que \(\text{Norme}_{\kappa'_{j, l}/\kappa'}(u \bmod \mathfrak m'_{j, l})^{m'_{j, l}} = \det_{\kappa'}(u_j : M'_l \to M'_l)\) d’après, de nouveau, Compléments sur l’algèbre, Lemme 0GSZ. Ainsi (0GU1) résulte de la multiplicativité de la construction du déterminant, voir Compléments sur l’algèbre, Lemme 0GSY.

Un lemme clé

Dans cette section, nous appliquons les résultats précédents pour démontrer le Lemme 0EAX. Ce lemme est le cas en bas degré de l’assertion selon laquelle il existe, pour la K-théorie de Milnor, un complexe analogue au complexe de Gersten–Quillen en K-théorie de Quillen. Voir la Remarque 0EAY.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de dimension \(2\). Soit \(t \in \mathfrak m\) un non-diviseur de zéro. Écrivons \(V(t) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\). Soit \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\) une extension finie d’anneaux telle que \(B_i/A_{\mathfrak q_i}\) soit annulé par une puissance de \(t\). Alors il existe une extension finie \(A \subset B\) d’anneaux locaux, identifiant les corps résiduels, telle que \(B_i \cong B_{\mathfrak q_i}\) et que \(B/A\) soit annulé par une puissance de \(t\).

Démonstration

Choisissons \(n > 0\) tel que \(B_i \subset t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\). Soient \(M \subset t^{-n}A\), respectivement \(M' \subset t^{-2n}A\), les sous-\(A\)-modules formés des éléments dont les images appartiennent à \(B_i\) dans \(t^{-n}A_{\mathfrak q_i}\) et \(t^{-2n}A_{\mathfrak q_i}\), respectivement. L’inclusion \(M \subset M'\) est alors une inclusion de \(A\)-modules finis, puisque \(A\) est noethérien, et \(M_{\mathfrak q_i} = M'_{\mathfrak q_i} = B_i\), car la localisation est exacte. Ainsi \(M'/M\) est annulé par \(\mathfrak m^c\) pour un certain \(c > 0\). Observons que \(M \cdot M \subset M'\) pour la multiplication \(t^{-n}A \times t^{-n}A \to t^{-2n}A\). Par conséquent, \(B = A + \mathfrak m^{c + 1}M\) est une \(A\)-algèbre finie ayant les bons localisés. Nous omettons de vérifier que \(B\) est local, d’idéal maximal \(\mathfrak m + \mathfrak m^{c + 1}M\).

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien de dimension \(2\). Soient \(a, b \in A\) des non-diviseurs de zéro. Alors \[\sum \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(a, b)) = 0\] où la somme porte sur les idéaux premiers de hauteur \(1\), notés \(\mathfrak q\), de \(A\).

Démonstration

Si \(\mathfrak q\) est un idéal premier de hauteur \(1\) de \(A\) tel que \(a, b\) s’envoient sur une unité de \(A_\mathfrak q\), alors \(\partial_{A_\mathfrak q}(a, b) = 1\). La somme est donc finie. En fait, si \(V(ab) = \{\mathfrak m, \mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\}\), la somme porte sur \(i = 1, \ldots, r\). Pour chaque \(i\), choisissons une extension \(A_{\mathfrak q_i} \subset B_i\) comme dans le Lemme 0EAG pour \(a, b\). D’après le Lemme 0EAV, appliqué avec \(t = ab\) et la liste d’idéaux premiers donnée, nous pouvons supposer donnée une extension locale finie \(A \subset B\) telle que \(B/A\) soit annulé par une puissance de \(ab\) et que, pour chaque \(i\), on ait \(B_{\mathfrak q_i} \cong B_i\). Observons que, si les \(\mathfrak q_{i, j}\) sont les idéaux premiers de \(B\) au-dessus de \(\mathfrak q_i\), alors \[\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) = \sum\nolimits_j \text{ord}_{B/\mathfrak q_{i, j}}(\partial_{B_{\mathfrak q_{i, j}}}(a, b))\] d’après le Lemme 0EAT et Algèbre, Lemme 02MJ. Nous pouvons donc remplacer \(A\) par \(B\) et nous ramener au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que, pour chaque \(i\), il existe un non-diviseur de zéro \(\pi_i \in A_{\mathfrak q_i}\) et des unités \(u_i, v_i \in A_{\mathfrak q_i}\) tels que, pour certains entiers \(e_i, f_i \geq 0\), nous ayons \[a = u_i \pi_i^{e_i},\quad b = v_i \pi_i^{f_i}\] dans \(A_{\mathfrak q_i}\). En posant \(m_i = \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}/\pi_i)\), nous avons \(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b) = ((-1)^{e_if_i}u_i^{f_i}v_i^{-e_i})^{m_i}\) par définition. Comme \(a, b\) sont des non-diviseurs de zéro, le complexe \((2, 1)\)-périodique \((A/(ab), a, b)\) a une cohomologie nulle. Notons \(M_i\) l’image de \(A/(ab)\) dans \(A_{\mathfrak q_i}/(ab)\). Nous avons alors une application \[A/(ab) \longrightarrow \bigoplus M_i\] dont le noyau et le conoyau ont leur support dans \(\{\mathfrak m\}\) et sont donc de longueur finie. On voit ainsi que \[\sum e_A(M_i, a, b) = 0\] d’après le Lemme 0EA9. Il suffit donc de montrer \(e_A(M_i, a, b) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b))\).

Démontrons d’abord ceci dans le cas où \(\pi_i, u_i, v_i\) sont les images d’éléments \(\pi_i, u_i, v_i \in A\) (l’emploi des mêmes symboles ne devrait prêter à aucune confusion). Dans ce cas, on obtient \[\begin{align*} e_A(M_i, a, b) & = e_A(M_i, u_i\pi_i^{e_i}, v_i\pi_i^{f_i}) \\ & = e_A(M_i, \pi_i^{e_i}, \pi_i^{f_i}) - e_A(\pi_i^{e_i}M_i, 0, u_i) + e_A(\pi_i^{f_i}M_i, 0, v_i) \\ & = 0 - f_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i) + e_im_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(v_i) \\ & = -m_i\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(u_i^{f_i}v_i^{-e_i}) = -\text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)) \end{align*}\] La deuxième égalité résulte du Lemme 0EAC. Observons que \(M_i \subset (M_i)_{\mathfrak q_i} = A_{\mathfrak q_i}/(\pi_i^{e_i + f_i})\) et que \((\pi_i^{e_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{f_i}\) et \((\pi_i^{f_i}M_i)_{\mathfrak q_i} \cong A_{\mathfrak q_i}/\pi_i^{e_i}\). Le \(0\) de la troisième égalité provient du Lemme 0EAB, et les deux autres termes proviennent du Lemme 02QF. Les deux dernières égalités résultent de la multiplicativité de la fonction ordre et de la définition de notre symbole modéré.

En général, on peut d’abord choisir \(c \in A\), \(c \not \in \mathfrak q_i\) tel que \(c\pi_i \in A\). En remplaçant \(\pi_i\) par \(c\pi_i\), \(u_i\) par \(c^{-e_i}u_i\) et \(v_i\) par \(c^{-f_i}v_i\), nous pouvons et allons supposer que \(\pi_i\) appartient à \(A\). Ensuite, choisissons un \(c \in A\), \(c \not \in \mathfrak q_i\), tel que \(cu_i, cv_i \in A\). On observe alors que \[e_A(M_i, ca, cb) = e_A(M_i, a, b) - e_A(aM_i, 0, c) + e_A(bM_i, 0, c)\] d’après le Lemme 02QF. D’autre part, nous avons \[\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb) = c^{m_i(f_i - e_i)}\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(a, b)\] dans \(\kappa(\mathfrak q_i)^*\), puisque \(c\) est une unité de \(A_{\mathfrak q_i}\). Les raisonnements du paragraphe précédent montrent que \(e_A(M_i, ca, cb) = - \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(ca, cb))\). Il suffit donc de démontrer \[e_A(aM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_if_i}) \quad\text{et}\quad e_A(bM_i, 0, c) = \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(c^{m_ie_i})\] ce qui résulte du Lemme 02QF par la description donnée ci-dessus de ce qui se produit après localisation en \(\mathfrak q_i\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau local noethérien intègre de dimension \(2\), de corps des fractions \(K\). Soient \(f, g \in K^*\). Soient \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) les idéaux premiers de hauteur \(1\), notés \(\mathfrak q\), de \(A\) tels que \(f\) ou \(g\) n’appartienne pas à \(A^*_{\mathfrak q}\). Alors \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{A_{\mathfrak q_i}}(f, g)) = 0\] On peut aussi l’écrire \[\sum\nolimits_{\text{hauteur}(\mathfrak q) = 1} \text{ord}_{A/\mathfrak q}(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)) = 0\] car, en tout idéal premier de hauteur \(1\), noté \(\mathfrak q\), de \(A\) tel que \(f, g \in A^*_{\mathfrak q}\), nous avons \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g) = 1\).

Démonstration

Comme les symboles modérés \(\partial_{A_{\mathfrak q}}(f, g)\) sont bilinéaires et les fonctions ordre \(\text{ord}_{A/\mathfrak q}\) additives, il suffit de démontrer la formule lorsque \(f\) et \(g\) sont des éléments de \(A\). Ce cas est démontré au Lemme 0EAW.

Remarque

Pour un corps \(k\), notons \(K^M_*(k)\) le quotient de l’algèbre tensorielle sur \(k^*\) par l’idéal bilatère engendré par les éléments \(x \otimes 1 - x\) pour \(x \in k \setminus \{0, 1\}\). Ainsi \(K^M_0(k) = \mathbf{Z}\), \(K_1^M(k) = k^*\), et \[K^M_2(k) = k^* \otimes_\mathbf{Z} k^* / \langle x \otimes 1 - x \rangle\] Si \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(F = \text{Frac}(A)\) et de corps résiduel \(\kappa\), il existe un symbole modéré \[\partial_A : K_{i + 1}^M(F) \to K_i^M(\kappa)\] défini comme à la section 0EAH ; voir [Kato-Milnor-K]. Plus généralement, cette application peut être étendue au cas où \(A\) est un anneau local intègre excellent de dimension \(1\), à l’aide de la normalisation et des applications normes sur \(K_i^M\), voir [Kato-Milnor-K] ; vraisemblablement, la méthode de la section 0EAH permet d’étendre la construction du symbole modéré \(\partial_A\) à tout anneau local noethérien intègre \(A\) de dimension \(1\). Ensuite, soit \(X\) un schéma noethérien muni d’une fonction de dimension \(\delta\). On peut alors utiliser ces symboles modérés pour obtenir les flèches suivantes : \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j + 1} K^M_{i + 1}(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j} K^M_i(\kappa(x)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = j - 1} K^M_{i - 1}(\kappa(x))\] Cependant, il n’est pas clair que la composée soit nulle, c’est-à-dire que l’on obtienne un complexe de groupes abéliens. Pour \(X\) excellent, cela est démontré dans [Kato-Milnor-K]. Lorsque \(i = 1\) et \(j\) est quelconque, cela résulte du Lemme 0EAX.

Cadre

Nous travaillerons partout sur une base localement noethérienne et universellement caténaire \(S\), munie d’une fonction de dimension \(\delta\). Bien qu’il soit probablement possible de généraliser certaines parties de la discussion de ce chapitre, cela semble constituer une bonne première approximation. C’est exactement le degré de généralité étudié dans [Thorup]. Nous ne supposons généralement pas nos schémas séparés ni quasi-compacts. De nombreux champs algébriques intéressants ne sont ni séparés ni quasi-compacts, et c’est un bon cas d’étude pour voir comment élaborer aussi pour eux une théorie raisonnable. Afin de pouvoir faire référence à ces hypothèses, nous les numérotons.

Situation

Ici, \(S\) est un schéma localement noethérien et universellement caténaire. De plus, nous supposons \(S\) muni d’une fonction de dimension \(\delta : S \longrightarrow \mathbf{Z}\).

Voir Morphismes, Définition 02J8, pour la notion de schéma universellement caténaire, et Topologie, Définition 02I9, pour la notion de fonction de dimension. Rappelons que tout schéma localement noethérien et caténaire possède localement une fonction de dimension, voir Propriétés, Lemme 02IY. De plus, beaucoup de schémas sont universellement caténaires, voir Morphismes, Lemme 02JB.

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Tout schéma \(X\) localement de type fini sur \(S\) est localement noethérien et caténaire. En fait, \(X\) possède une fonction de dimension canonique \[\delta = \delta_{X/S} : X \longrightarrow \mathbf{Z}\] associée à \((f : X \to S, \delta)\) et donnée par la règle \(\delta_{X/S}(x) = \delta(f(x)) + \text{trdeg}_{\kappa(f(x))}\kappa(x)\). Voir Morphismes, Lemme 02JW. De plus, si \(h : X \to Y\) est un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\), et si \(x \in X\), \(y = h(x)\), alors, de manière évidente, \(\delta_{X/S}(x) = \delta_{Y/S}(y) + \text{trdeg}_{\kappa(y)}\kappa(x)\). Nous utiliserons librement cette fonction et ses propriétés dans la suite.

Voici les exemples fondamentaux de cadres comme ci-dessus. En fait, le principal intérêt réside dans le cas où la base est le spectre d’un corps, ou dans celui où la base est le spectre d’un anneau de Dedekind (par exemple \(\mathbf{Z}\) ou un anneau de valuation discrète).

Exemple

Ici, \(S = \Spec(k)\) et \(k\) est un corps. On pose \(\delta(pt) = 0\), où \(pt\) désigne l’unique point de \(S\). Le couple \((S, \delta)\) est un exemple de situation comme dans la Situation 02QL, d’après Morphismes, Lemme 02JB.

Exemple

Ici, \(S = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau noethérien intègre de dimension \(1\). On peut par exemple considérer \(A = \mathbf{Z}\). On pose \(\delta(\mathfrak p) = 0\) si \(\mathfrak p\) est un idéal maximal, et \(\delta(\mathfrak p) = 1\) si \(\mathfrak p = (0)\) correspond au point générique. C’est un exemple de Situation 02QL, d’après Morphismes, Lemme 02JB.

Exemple

Ici, \(S\) est un schéma de Cohen–Macaulay. Alors \(S\) est universellement caténaire d’après Morphismes, Lemme 02JB. On pose \(\delta(s) = -\dim(\mathcal{O}_{S, s})\). Si \(s' \leadsto s\) est une spécialisation non triviale de points de \(S\), alors \(\mathcal{O}_{S, s'}\) est le localisé de \(\mathcal{O}_{S, s}\) en un idéal premier non maximal \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{S, s}\), voir Schémas, Lemme 01J7. Ainsi \(\dim(\mathcal{O}_{S, s}) = \dim(\mathcal{O}_{S, s'}) + \dim(\mathcal{O}_{S, s}/\mathfrak p) > \dim(\mathcal{O}_{S, s'})\) d’après Algèbre, Lemme 00NA. Par conséquent, \(\delta(s') > \delta(s)\). Si \(s' \leadsto s\) est une spécialisation immédiate, alors il n’existe aucun idéal premier strictement compris entre \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak m_s\), et l’on obtient \(\delta(s') = \delta(s) + 1\). Ainsi \(\delta\) est une fonction de dimension. Autrement dit, le couple \((S, \delta)\) est un exemple de Situation 02QL.

Si \(S\) est jacobsonien et si \(\delta\) envoie les points fermés sur zéro, alors \(\delta\) est la fonction qui associe à un point la dimension de son adhérence.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Supposons en outre que \(S\) soit un schéma jacobsonien et que \(\delta(s) = 0\) pour tout point fermé \(s\) de \(S\). Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre et soit \(\xi \in Z\) son point générique. Les entiers suivants sont égaux :

1. \(\delta_{X/S}(\xi)\),

2. \(\dim(Z)\), et

3. \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\), où \(z\) est un point fermé de \(Z\).

Démonstration

Soient \(X \to S\) et \(\xi \in Z \subset X\) comme dans le lemme. Comme \(X\) est localement de type fini sur \(S\), on voit que \(X\) est jacobsonien, voir Morphismes, Lemme 02J5. Par conséquent, les points fermés de \(X\) sont denses dans tout fermé de \(Z\) et s’envoient sur des points fermés de \(S\). Ainsi, toute chaîne de fermés irréductibles de \(Z\) peut être terminée par un point fermé de \(Z\). Il s’ensuit que \(\dim(Z) = \sup_z(\dim(\mathcal{O}_{Z, z})\) (voir Propriétés, Lemme 02IZ), où \(z \in Z\) parcourt les points fermés de \(Z\). Notons que \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) = \delta(\xi) - \delta(z)\) d’après les propriétés d’une fonction de dimension. Pour tout point fermé \(z \in Z\), l’extension de corps \(\kappa(z)/\kappa(f(z))\) est finie, voir Morphismes, Lemme 01TB. Ainsi \(\delta_{X/S}(z) = \delta(f(z)) = 0\) pour \(z \in Z\) fermé. Il s’ensuit que les trois entiers sont égaux.

Dans la situation du lemme précédent, la valeur de \(\delta\) au point générique d’un fermé irréductible est la dimension de ce fermé irréductible. Cependant, on ne peut s’attendre à ce que cette égalité vaille en général. Par exemple, si \(S = \Spec(\mathbf{C}[[t]])\) et \(X = \Spec(\mathbf{C}((t)))\), on obtiendrait alors \(\delta(x) = 1\) pour l’unique point de \(X\), mais \(\dim(X) = 0\). Nous voulons néanmoins considérer \(\delta_{X/S}\) comme donnant la dimension des sous-schémas fermés irréductibles. Nous introduisons donc la terminologie suivante.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Pour tout schéma \(X\) localement de type fini sur \(S\) et tout fermé irréductible \(Z \subset X\), nous définissons \[\dim_\delta(Z) = \delta(\xi)\] où \(\xi \in Z\) est le point générique de \(Z\). Nous appellerons cet entier la \(\delta\)-dimension de \(Z\). Si \(Z\) est un sous-schéma fermé de \(X\), nous définissons \(\dim_\delta(Z)\) comme la borne supérieure des \(\delta\)-dimensions de ses composantes irréductibles.

Cycles

Comme nous ne supposons pas nos schémas quasi-compacts, il faut être un peu prudent dans la définition des cycles. Nous devons autoriser les sommes infinies, car une fonction rationnelle peut, par exemple, avoir une infinité de pôles. Quoi qu’il en soit, si \(X\) est quasi-compact, un cycle est une somme finie, comme d’habitude.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\).

1. Un cycle sur \(X\) est une somme formelle \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] où la somme porte sur les sous-schémas fermés intègres \(Z \subset X\), où chaque \(n_Z \in \mathbf{Z}\), et où la collection \(\{Z; n_Z \not = 0\}\) est localement finie (Topologie, Définition 0BDS).

2. Un \(k\)-cycle sur \(X\) est un cycle \[\alpha = \sum n_Z [Z]\] tel que \(n_Z \not = 0 \Rightarrow \dim_\delta(Z) = k\).

3. Le groupe abélien de tous les \(k\)-cycles sur \(X\) est noté \(Z_k(X)\).

Autrement dit, un \(k\)-cycle sur \(X\) est une combinaison \(\mathbf{Z}\)-linéaire formelle et localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(\delta\)-dimension \(k\). L’addition des \(k\)-cycles \(\alpha = \sum n_Z[Z]\) et \(\beta = \sum m_Z[Z]\) est donnée par \[\alpha + \beta = \sum (n_Z + m_Z)[Z],\] c’est-à-dire par addition des coefficients.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Alors on peut écrire \[Z_k(X) = \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \quad\subset\quad \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k} K_0^M(\kappa(x))\] avec les notations et conventions suivantes :

1. \(K_0^M(\kappa(x)) = \mathbf{Z}\) est la partie de degré \(0\) de la K-théorie de Milnor du corps résiduel \(\kappa(x)\) du point \(x \in X\) (voir la Remarque 0EAY), et

2. la somme directe de droite porte sur tous les points \(x \in X\) tels que \(\delta(x) = k\),

3. la notation \(\bigoplus'_x\) signifie que nous considérons le sous-groupe constitué des éléments localement finis, à savoir des éléments \(\sum_x n_x\) tels que, pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), l’ensemble des \(x \in U\) tels que \(n_x \not = 0\) soit fini.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Le support d’un cycle \(\alpha = \sum n_Z [Z]\) sur \(X\) est \[\text{Supp}(\alpha) = \bigcup\nolimits_{n_Z \not = 0} Z \subset X\]

Comme la collection \(\{Z; n_Z \not = 0\}\) est localement finie, on voit que \(\text{Supp}(\alpha)\) est un fermé de \(X\). Si \(\alpha\) est un \(k\)-cycle, toute composante irréductible \(Z\) de \(\text{Supp}(\alpha)\) est de \(\delta\)-dimension \(k\).

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Un cycle \(\alpha\) sur \(X\) est effectif s’il peut s’écrire \(\alpha =\sum n_Z [Z]\) avec \(n_Z \geq 0\) pour tout \(Z\).

L’ensemble de tous les cycles effectifs est un monoïde, car la somme de deux cycles effectifs est effective, mais ce n’est pas un groupe (sauf si \(X = \emptyset\)).

Cycle associé à un sous-schéma fermé

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé.

1. Soit \(Z' \subset Z\) une composante irréductible et soit \(\xi \in Z'\) son point générique. Alors \[\text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi} < \infty\]

2. Si \(\dim_\delta(Z) \leq k\) et si \(\xi \in Z\) vérifie \(\delta(\xi) = k\), alors \(\xi\) est le point générique d’une composante irréductible de \(Z\).

Démonstration

Soient \(Z' \subset Z\) et \(\xi \in Z'\) comme dans (1). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{Z, \xi}) = 0\) (par exemple d’après Propriétés, Lemme 02IZ). Ainsi \(\mathcal{O}_{Z, \xi}\) est un anneau noethérien local de dimension zéro, donc de longueur finie sur lui-même (voir Algèbre, Proposition 00KJ). Il est donc aussi de longueur finie sur \(\mathcal{O}_{X, \xi}\), voir Algèbre, Lemme 00IX.

Supposons \(\xi \in Z\) et \(\delta(\xi) = k\). Considérons l’adhérence \(Z' = \overline{\{\xi\}}\). C’est un sous-schéma fermé irréductible tel que \(\dim_\delta(Z') = k\) par définition. Comme \(\dim_\delta(Z) = k\), ce doit être une composante irréductible de \(Z\). Cela démontre (2).

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé.

1. Pour toute composante irréductible \(Z' \subset Z\) de point générique \(\xi\), l’entier \(m_{Z', Z} = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{O}_{Z, \xi}\) (Lemme 02QT) est appelé la multiplicité de \(Z'\) dans \(Z\).

2. Supposons \(\dim_\delta(Z) \leq k\). Le \(k\)-cycle associé à \(Z\) est \[[Z]_k = \sum m_{Z', Z}[Z']\] où la somme porte sur les composantes irréductibles de \(Z\) de \(\delta\)-dimension \(k\). (C’est un \(k\)-cycle d’après Diviseurs, Lemme 0BE1.)

Il importe de noter que nous ne définissons \([Z]_k\) que si la \(\delta\)-dimension de \(Z\) ne dépasse pas \(k\). Autrement dit, par convention, écrire \([Z]_k\) implique que \(\dim_\delta(Z) \leq k\).

Cycle associé à un faisceau cohérent

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

1. La collection des composantes irréductibles du support de \(\mathcal{F}\) est localement finie.

2. Soit \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\) une composante irréductible, et soit \(\xi \in Z'\) son point générique. Alors \[\text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi < \infty\]

3. Si \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\) et si \(\xi \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) vérifie \(\delta(\xi) = k\), alors \(\xi\) est un point générique d’une composante irréductible de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\).

Démonstration

D’après Cohomologie des schémas, Lemme 01Y5, le support \(Z\) de \(\mathcal{F}\) est un fermé de \(X\). Nous pouvons considérer \(Z\) comme un sous-schéma fermé réduit de \(X\) (Schémas, Lemme 01J3). Ainsi (1) résulte de Diviseurs, Lemme 0BE1, appliqué à \(Z\), et (3) résulte du Lemme 02QT, appliqué à \(Z\).

Soit \(\xi \in Z'\) comme dans (2). Dans ce cas, pour toute spécialisation \(\xi' \leadsto \xi\) dans \(X\), nous avons \(\mathcal{F}_{\xi'} = 0\). Rappelons que les idéaux premiers non maximaux de \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) correspondent aux points de \(X\) qui se spécialisent en \(\xi\) (Schémas, Lemme 01J7). Ainsi \(\mathcal{F}_\xi\) est un \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-module fini de support \(\{\mathfrak m_\xi\}\). Il est donc de longueur finie d’après Algèbre, Lemme 00L5.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent.

1. Pour toute composante irréductible \(Z' \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\) de point générique \(\xi\), l’entier \(m_{Z', \mathcal{F}} = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}} \mathcal{F}_\xi\) (Lemme 02QW) est appelé la multiplicité de \(Z'\) dans \(\mathcal{F}\).

2. Supposons \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Le \(k\)-cycle associé à \(\mathcal{F}\) est \[[\mathcal{F}]_k = \sum m_{Z', \mathcal{F}}[Z']\] où la somme porte sur les composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) de \(\delta\)-dimension \(k\). (C’est un \(k\)-cycle d’après le Lemme 02QW.)

Il importe de noter que nous ne définissons \([\mathcal{F}]_k\) que si \(\mathcal{F}\) est cohérent et si la \(\delta\)-dimension de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) ne dépasse pas \(k\). Autrement dit, par convention, écrire \([\mathcal{F}]_k\) implique que \(\mathcal{F}\) est cohérent sur \(X\) et que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Si \(\dim_\delta(Z) \leq k\), alors \([Z]_k = [{\mathcal O}_Z]_k\).

Démonstration

Cela vient de ce que, dans ce cas, les multiplicités \(m_{Z', Z}\) et \(m_{Z', \mathcal{O}_Z}\) coïncident par définition.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\) une suite exacte courte de faisceaux cohérents sur \(X\). Supposons que la \(\delta\)-dimension des supports de \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{H}\) soit \(\leq k\). Alors \([\mathcal{G}]_k = [\mathcal{F}]_k + [\mathcal{H}]_k\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de l’additivité des longueurs, voir Algèbre, Lemme 00IV.

Préparation à l’image directe propre

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\) et \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Supposons \(X\) et \(Y\) intègres et \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\). Alors ou bien \(f(X)\) est contenu dans un sous-schéma fermé strict de \(Y\), ou bien \(f\) est dominant et l’extension de corps de fonctions \(R(X)/R(Y)\) est finie.

Démonstration

L’adhérence \(\overline{f(X)} \subset Y\) est irréductible, puisque \(X\) est irréductible (Topologie, Lemmes 0379 et 004W). Si \(\overline{f(X)} \not = Y\), nous avons terminé. Si \(\overline{f(X)} = Y\), alors \(f\) est dominant et, d’après Morphismes, Lemme 01RM, le point générique \(\eta_Y\) de \(Y\) appartient à l’image de \(f\). Cela implique bien sûr que \(f(\eta_X) = \eta_Y\), où \(\eta_X \in X\) est le point générique de \(X\). Comme \(\delta(\eta_X) = \delta(\eta_Y)\), on voit que \(R(Y) = \kappa(\eta_Y) \subset \kappa(\eta_X) = R(X)\) est une extension de degré de transcendance \(0\). Par conséquent, \(R(Y) \subset R(X)\) est une extension finie d’après Morphismes, Lemme 02NX (qui s’applique en vertu de Morphismes, Lemme 01T8).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\) et \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Supposons \(f\) quasi-compact et \(\{Z_i\}_{i \in I}\) une collection localement finie de fermés de \(X\). Alors \(\{\overline{f(Z_i)}\}_{i \in I}\) est une collection localement finie de fermés de \(Y\).

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un ouvert quasi-compact. Puisque \(f\) est quasi-compact, l’ouvert \(f^{-1}(V)\) est quasi-compact. Ainsi l’ensemble \(\{i \in I \mid Z_i \cap f^{-1}(V) \not = \emptyset \}\) est fini par un argument topologique simple que nous omettons. Comme il s’agit du même ensemble que \[\{i \in I \mid f(Z_i) \cap V \not = \emptyset \} = \{i \in I \mid \overline{f(Z_i)} \cap V \not = \emptyset \}\] le lemme est démontré.

Image directe propre

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\) et \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Supposons \(f\) propre.

1. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre tel que \(\dim_\delta(Z) = k\). Nous définissons \[f_*[Z] = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & \dim_\delta(f(Z))< k, \\ \deg(Z/f(Z)) [f(Z)] & \text{si} & \dim_\delta(f(Z)) = k. \end{matrix} \right.\] Ici, nous considérons \(f(Z) \subset Y\) comme un sous-schéma fermé intègre. Le degré de \(Z\) sur \(f(Z)\) est fini si \(\dim_\delta(f(Z)) = \dim_\delta(Z)\), d’après le Lemme 02R1.

2. Soit \(\alpha = \sum n_Z [Z]\) un \(k\)-cycle sur \(X\). Nous appelons image directe de \(\alpha\) la somme \[f_* \alpha = \sum n_Z f_*[Z]\] où chaque \(f_*[Z]\) est défini comme ci-dessus. La somme est localement finie d’après le Lemme 02R2 ci-dessus.

Par définition, l’image directe propre des cycles \[f_* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(Y)\] est un homomorphisme de groupes abéliens. Elle fait de \(X \mapsto Z_k(X)\) un foncteur covariant sur la catégorie des schémas localement de type fini sur \(S\), dont les morphismes sont les morphismes propres.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) et \(Z\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes propres. Alors \(g_* \circ f_* = (g \circ f)_*\) comme applications \(Z_k(X) \to Z_k(Z)\).

Démonstration

Soit \(W \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de dimension \(k\). Considérons \(W' = f(W) \subset Y\) et \(W'' = g(f(W)) \subset Z\). Comme \(f\) et \(g\) sont propres, \(W'\) (respectivement \(W''\)) est un sous-schéma fermé intègre de \(Y\) (respectivement de \(Z\)). Il faut montrer que \(g_*(f_*[W]) = (g \circ f)_*[W]\). Si \(\dim_\delta(W'') < k\), les deux membres sont nuls. Si \(\dim_\delta(W'') = k\), les morphismes induits \[W \longrightarrow W' \longrightarrow W''\] satisfont tous deux les hypothèses du Lemme 02R1. Ainsi \[g_*(f_*[W]) = \deg(W/W')\deg(W'/W'')[W''], \quad (g \circ f)_*[W] = \deg(W/W'')[W''].\] On peut alors appliquer Morphismes, Lemme 02NZ, pour conclure.

Une immersion fermée est propre. Si \(i : Z \to X\) est une immersion fermée, alors les applications \[i_* : Z_k(Z) \longrightarrow Z_k(X)\] sont toutes injectives.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(X_1, X_2 \subset X\) des sous-schémas fermés tels que \(X = X_1 \cup X_2\) ensemblistement. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), la suite de groupes abéliens \[\xymatrix{ Z_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & Z_k(X_1) \oplus Z_k(X_2) \ar[r] & Z_k(X) \ar[r] & 0 }\] est exacte. Ici, \(X_1 \cap X_2\) est l’intersection schématique et les applications sont les applications d’image directe, l’une étant multipliée par \(-1\).

Démonstration

Supposons d’abord \(X\) quasi-compact. Alors \(Z_k(X)\) est un \(\mathbf{Z}\)-module libre ayant pour base les éléments \([Z]\), où \(Z \subset X\) est fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Les groupes \(Z_k(X_1)\), \(Z_k(X_2)\) et \(Z_k(X_1 \cap X_2)\) sont libres sur le sous-ensemble des \(Z\) tels que \(Z \subset X_1\), \(Z \subset X_2\), \(Z \subset X_1 \cap X_2\). Cela démontre immédiatement le lemme dans ce cas. Le cas général est analogue et la démonstration est omise.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre de schémas qui sont localement de type fini sur \(S\).

1. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé tel que \(\dim_\delta(Z) \leq k\). Alors \[f_*[Z]_k = [f_*{\mathcal O}_Z]_k.\]

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\) tel que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Alors \[f_*[\mathcal{F}]_k = [f_*{\mathcal F}]_k.\]

Notons que l’énoncé a un sens puisque \(f_*\mathcal{F}\) et \(f_*\mathcal{O}_Z\) sont des \(\mathcal{O}_Y\)-modules cohérents d’après Cohomologie des schémas, Proposition 02O5.

Démonstration

La partie (1) résulte de (2) et du Lemme 02QY. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Supposons que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). D’après Cohomologie des schémas, Lemme 01Y5, il existe un sous-schéma fermé \(i : Z \to X\) et un \(\mathcal{O}_Z\)-module cohérent \(\mathcal{G}\) tels que \(i_*\mathcal{G} \cong \mathcal{F}\) et que le support de \(\mathcal{F}\) soit \(Z\). Soit \(Z' \subset Y\) l’image schématique de \(f|_Z : Z \to Y\). Considérons le diagramme commutatif de schémas \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_{f|_Z} & X \ar[d]^f \\ Z' \ar[r]^{i'} & Y }\] Nous avons \(f_*\mathcal{F} = f_*i_*\mathcal{G} = i'_*(f|_Z)_*\mathcal{G}\) en parcourant le diagramme des deux façons. Supposons le résultat établi pour les immersions fermées et pour \(f|_Z\). Alors \[f_*[\mathcal{F}]_k = f_*i_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*(f|_Z)_*[\mathcal{G}]_k = (i')_*[(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [(i')_*(f|_Z)_*\mathcal{G}]_k = [f_*\mathcal{F}]_k\] comme voulu. Le cas d’une immersion fermée est immédiat (et omis). Notons que \(f|_Z : Z \to Z'\) est un morphisme dominant (voir Morphismes, Lemme 01R8). Nous nous sommes donc ramenés au cas où \(\dim_\delta(X) \leq k\) et \(f : X \to Y\) est propre et dominant.

Supposons \(\dim_\delta(X) \leq k\) et \(f : X \to Y\) propre et dominant. Puisque \(f\) est dominant, pour toute composante irréductible \(Z \subset Y\) de point générique \(\eta\), il existe un point \(\xi \in X\) tel que \(f(\xi) = \eta\). Ainsi \(\delta(\eta) \leq \delta(\xi) \leq k\). On voit donc que, dans les expressions \[f_*[\mathcal{F}]_k = \sum n_Z[Z], \quad \text{et} \quad [f_*\mathcal{F}]_k = \sum m_Z[Z].\] dès que \(n_Z \not = 0\) ou que \(m_Z \not = 0\), le sous-schéma fermé intègre \(Z\) est en fait une composante irréductible de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(k\). Choisissons un tel sous-schéma fermé intègre \(Z \subset Y\) et notons \(\eta\) son point générique. Notons que, pour tout \(\xi \in X\) tel que \(f(\xi) = \eta\), nous avons \(\delta(\xi) \geq k\), et que \(\xi\) est donc lui aussi le point générique d’une composante irréductible de \(X\) de \(\delta\)-dimension \(k\) (voir le Lemme 02QT). Comme \(f\) est quasi-compact et \(X\) localement noethérien, il ne peut y en avoir qu’un nombre fini, et \(f^{-1}(\{\eta\})\) est donc fini. D’après Morphismes, Lemme 02NW, il existe un voisinage ouvert \(\eta \in V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \to V\) soit fini. En remplaçant \(Y\) par \(V\) et \(X\) par \(f^{-1}(V)\), on se ramène au cas où \(Y\) est affine et où \(f\) est fini.

Écrivons \(Y = \Spec(R)\) et \(X = \Spec(A)\) (ce qui est possible car un morphisme fini est affine). Alors \(R\) et \(A\) sont des anneaux noethériens, et \(A\) est fini sur \(R\). De plus, \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) pour un certain \(A\)-module fini \(M\). Notons que \(f_*\mathcal{F}\) correspond à \(M\) considéré comme \(R\)-module. Soit \(\mathfrak p \subset R\) l’idéal premier minimal correspondant à \(\eta \in Y\). Le coefficient de \(Z\) dans \([f_*\mathcal{F}]_k\) est manifestement \(\text{longueur}_{R_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})\). Soient \(\mathfrak q_i\), \(i = 1, \ldots, t\), les idéaux premiers de \(A\) au-dessus de \(\mathfrak p\). Alors \(A_{\mathfrak p} = \prod A_{\mathfrak q_i}\), puisque \(A_{\mathfrak p}\) est un anneau artinien, étant fini sur l’anneau local noethérien de dimension zéro \(R_{\mathfrak p}\). Le coefficient de \(Z\) dans \(f_*[\mathcal{F}]_k\) est manifestement \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, t} [\kappa(\mathfrak q_i) : \kappa(\mathfrak p)] \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i})\] L’égalité voulue résulte donc de Algèbre, Lemme 02M0.

Préparation à l’image réciproque plate

Rappelons qu’un morphisme \(f : X \to Y\) qui est localement de type fini est dit de dimension relative \(r\) si toute fibre non vide est équidimensionnelle de dimension \(r\). Voir Morphismes, Définition 02NJ.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\) et \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Supposons \(f\) plat de dimension relative \(r\). Pour tout fermé \(Z \subset Y\), nous avons \[\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = \dim_\delta(Z) + r.\] pourvu que \(f^{-1}(Z)\) soit non vide. Si \(Z\) est irréductible et si \(Z' \subset f^{-1}(Z)\) est une composante irréductible, alors \(Z'\) domine \(Z\) et \(\dim_\delta(Z') = \dim_\delta(Z) + r\).

Démonstration

Il suffit de démontrer la dernière assertion. Nous pouvons remplacer \(Y\) par le sous-schéma fermé intègre \(Z\) et \(X\) par l’image réciproque schématique \(f^{-1}(Z) = Z \times_Y X\). Nous pouvons donc supposer \(Z = Y\) intègre et \(f\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Comme \(Y\) est localement noethérien, le morphisme \(f\), qui est localement de type fini, est en fait localement de présentation finie. Par conséquent, Morphismes, Lemme 01UA, s’applique et montre que \(f\) est ouvert. Soit \(\xi \in X\) le point générique d’une composante irréductible de \(X\). Comme \(f\) est ouvert, \(f(\xi)\) est le point générique \(\eta\) de \(Z = Y\). Notons que \(\dim_\xi(X_\eta) = r\), car \(f\) est, par hypothèse, de dimension relative \(r\). D’autre part, comme \(\xi\) est un point générique de \(X\), on voit que \(\mathcal{O}_{X, \xi} = \mathcal{O}_{X_\eta, \xi}\) ne possède qu’un idéal premier et est donc de dimension \(0\). Ainsi, d’après Morphismes, Lemme 02FX, on conclut que le degré de transcendance de \(\kappa(\xi)\) sur \(\kappa(\eta)\) est \(r\). Autrement dit, \(\delta(\xi) = \delta(\eta) + r\), comme voulu.

Voici le lemme que nous utiliserons pour démontrer que l’image réciproque plate d’une collection localement finie de sous-schémas fermés est localement finie.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\) et \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Supposons que \(\{Z_i\}_{i \in I}\) soit une collection localement finie de fermés de \(Y\). Alors \(\{f^{-1}(Z_i)\}_{i \in I}\) est une collection localement finie de fermés de \(X\).

Démonstration

Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Comme l’image \(f(U) \subset Y\) est un sous-ensemble quasi-compact, il existe un ouvert quasi-compact \(V \subset Y\) tel que \(f(U) \subset V\). Notons que \[\{i \in I \mid f^{-1}(Z_i) \cap U \not = \emptyset \} \subset \{i \in I \mid Z_i \cap V \not = \emptyset \}.\] Le membre de droite étant fini par hypothèse, nous avons terminé.

Image réciproque plate

Dans la suite, nous appelons \(f^{-1}(Z)\) l’image réciproque schématique d’un sous-schéma fermé \(Z \subset Y\) par un morphisme de schémas \(f : X \to Y\). Rappelons que l’image réciproque schématique est le produit fibré \[\xymatrix{ f^{-1}(Z) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Z \ar[r] & Y }\] et qu’elle est aussi le sous-schéma fermé de \(X\) défini par le faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(f^{-1}(\mathcal{I})\mathcal{O}_X\), si \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) est le faisceau quasi-cohérent d’idéaux qui correspond à \(Z\) dans \(Y\). (Ceci est étudié dans Schémas, section 01HJ et Lemme 01JU, ainsi que dans la Définition 01JV.)

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\) et \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme. Supposons \(f\) plat de dimension relative \(r\).

1. Soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Nous définissons \(f^*[Z]\) comme le \((k+r)\)-cycle sur \(X\) associé à l’image réciproque schématique \[f^*[Z] = [f^{-1}(Z)]_{k+r}.\] Cela a un sens puisque \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) = k + r\) d’après le Lemme 02R8.

2. Soit \(\alpha = \sum n_i [Z_i]\) un \(k\)-cycle sur \(Y\). L’image réciproque plate de \(\alpha\) par \(f\) est la somme \[f^* \alpha = \sum n_i f^*[Z_i]\] où chaque \(f^*[Z_i]\) est défini comme ci-dessus. La somme est localement finie d’après le Lemme 02R9.

3. Nous notons \(f^* : Z_k(Y) \to Z_{k + r}(X)\) l’application de groupes abéliens ainsi obtenue.

Une immersion ouverte est plate. C’est un cas particulier important, quoique trivial, d’un morphisme plat. Si \(U \subset X\) est ouvert, on appelle parfois l’image réciproque par \(j : U \to X\) d’un cycle la restriction du cycle à \(U\). Notons que, dans ce cas, les applications \[j^* : Z_k(X) \longrightarrow Z_k(U)\] sont toutes surjectives. En effet, étant donné tout sous-schéma fermé intègre \(Z' \subset U\), on peut prendre l’adhérence \(Z\) de \(Z'\) dans \(X\) et la considérer comme un sous-schéma fermé réduit de \(X\) (voir Schémas, Lemme 01J3). Et, manifestement, \(Z \cap U = Z'\) ; autrement dit, \(j^*[Z] = [Z']\), d’où la surjectivité. En fait, un peu plus est vrai.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert et notons \(i : Y = X \setminus U \to X\) le sous-schéma fermé réduit de \(X\). Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), la suite \[\xymatrix{ Z_k(Y) \ar[r]^{i_*} & Z_k(X) \ar[r]^{j^*} & Z_k(U) \ar[r] & 0 }\] est un complexe exact de groupes abéliens.

Démonstration

Supposons d’abord \(X\) quasi-compact. Alors \(Z_k(X)\) est un \(\mathbf{Z}\)-module libre ayant pour base les éléments \([Z]\), où \(Z \subset X\) est fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Un tel élément de base s’envoie soit sur l’élément de base \([Z \cap U]\), soit sur zéro si \(Z \subset Y\). Le lemme est donc clair dans ce cas. Le cas général est analogue et la démonstration est omise.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X, Y, Z\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes plats de dimensions relatives \(r\) et \(s\). Alors \(g \circ f\) est plat de dimension relative \(r + s\) et \[f^* \circ g^* = (g \circ f)^*\] comme applications \(Z_k(Z) \to Z_{k + r + s}(X)\).

Démonstration

La composée est plate de dimension relative \(r + s\) d’après Morphismes, Lemme 02NL. Supposons que

1. \(W \subset Z\) soit un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\),

2. \(W' \subset Y\) soit un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + s\) tel que \(W' \subset g^{-1}(W)\), et

3. \(W'' \subset Y\) soit un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + s + r\) tel que \(W'' \subset f^{-1}(W')\).

Il faut montrer que le coefficient \(n\) de \([W'']\) dans \((g \circ f)^*[W]\) coïncide avec le coefficient \(m\) de \([W'']\) dans \(f^*(g^*[W])\). Le fait qu’il suffise de vérifier le lemme dans ces cas résulte du Lemme 02R8. Soient \(\xi'' \in W''\), \(\xi' \in W'\) et \(\xi \in W\) les points génériques. Considérons les anneaux locaux \(A = \mathcal{O}_{Z, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\) et \(C = \mathcal{O}_{X, \xi''}\). Nous avons alors des morphismes locaux plats d’anneaux \(A \to B\), \(B \to C\) et, de plus, \[n = \text{longueur}_C(C/\mathfrak m_AC), \quad \text{et} \quad m = \text{longueur}_C(C/\mathfrak m_BC) \text{longueur}_B(B/\mathfrak m_AB)\] L’égalité résulte donc de Algèbre, Lemme 02M2.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X, Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\).

1. Soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé tel que \(\dim_\delta(Z) \leq k\). Alors \(\dim_\delta(f^{-1}(Z)) \leq k + r\) et \([f^{-1}(Z)]_{k + r} = f^*[Z]_k\) dans \(Z_{k + r}(X)\).

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(Y\) tel que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\). Alors \(\dim_\delta(\text{Supp}(f^*\mathcal{F})) \leq k + r\) et \[f^*[{\mathcal F}]_k = [f^*{\mathcal F}]_{k+r}\] dans \(Z_{k + r}(X)\).

Démonstration

Les assertions sur les dimensions résultent immédiatement du Lemme 02R8. La partie (1) résulte de la partie (2), du Lemme 02QY et du fait que \(f^*\mathcal{O}_Z = \mathcal{O}_{f^{-1}(Z)}\).

Démonstration de (2). Comme \(X\) et \(Y\) sont localement noethériens, nous pouvons appliquer Cohomologie des schémas, Lemme 01XZ, pour voir que \(\mathcal{F}\) est de type fini, donc que \(f^*\mathcal{F}\) est de type fini (Modules, Lemme 01B6), et donc que \(f^*\mathcal{F}\) est cohérent (de nouveau Cohomologie des schémas, Lemme 01XZ). Le lemme a donc un sens. Soit \(W \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\), et soit \(W' \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de dimension \(k + r\) qui s’envoie dans \(W\) par \(f\). Il faut montrer que le coefficient \(n\) de \([W']\) dans \(f^*[{\mathcal F}]_k\) coïncide avec le coefficient \(m\) de \([W']\) dans \([f^*{\mathcal F}]_{k+r}\). Soient \(\xi \in W\) et \(\xi' \in W'\) soient les points génériques. Posons \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi'}\) et considérons \(M = \mathcal{F}_\xi\) comme un \(A\)-module. (Notons que \(M\) est de longueur finie d’après nos hypothèses sur les dimensions, mais nous n’avons en fait pas besoin de le vérifier. Voir le Lemme 02QW.) Nous avons \(f^*\mathcal{F}_{\xi'} = B \otimes_A M\). Nous voyons ainsi que \[n = \text{longueur}_B(B \otimes_A M) \quad \text{et} \quad m = \text{longueur}_A(M) \text{longueur}_B(B/\mathfrak m_AB)\] L’égalité résulte donc du Lemme 02M1 d’Algèbre.

Images directes et images réciproques

Dans cette section, nous vérifions que l’image directe propre et l’image réciproque plate sont compatibles lorsque cela a un sens. D’après le travail effectué ci-dessus, ceci est une conséquence de la cohomologie et du changement de base.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] un diagramme cartésien de schémas localement de type fini sur \(S\). Supposons \(f : X \to Y\) propre et \(g : Y' \to Y\) plat de dimension relative \(r\). Alors \(f'\) est aussi propre et \(g'\) est aussi plat de dimension relative \(r\). Pour tout \(k\)-cycle \(\alpha\) sur \(X\), nous avons \[g^*f_*\alpha = f'_*(g')^*\alpha\] dans \(Z_{k + r}(Y')\).

Démonstration

Le fait que \(f'\) soit propre résulte du Lemme 01W4 de Morphismes. Le fait que \(g'\) soit plat de dimension relative \(r\) résulte des Lemmes 02NK et 01U9 de Morphismes. Il suffit de démontrer l’égalité de cycles lorsque \(\alpha = [W]\) pour un sous-schéma fermé intègre \(W \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k\). Notons que, dans ce cas, nous avons \(\alpha = [\mathcal{O}_W]_k\) ; voir le Lemme 02QY. D’après les Lemmes 02R6 et 02RE, il suffit donc de montrer que \(f'_*(g')^*\mathcal{O}_W\) est isomorphe à \(g^*f_*\mathcal{O}_W\). Ceci résulte de la cohomologie et du changement de base ; voir le Lemme 02KH de Cohomologie des schémas.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini localement libre de degré \(d\) (voir la Définition 02KA de Morphismes). Alors \(f\) est à la fois propre et plat de dimension relative \(0\), et \[f_*f^*\alpha = d\alpha\] pour tout \(\alpha \in Z_k(Y)\).

Démonstration

Un morphisme fini localement libre est plat et fini d’après le Lemme 02KB de Morphismes, et un morphisme fini est propre d’après le Lemme 01WN de Morphismes. Nous omettons de montrer qu’un morphisme fini est de dimension relative \(0\). La formule a donc un sens. Pour la démontrer, soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Il suffit de démontrer la formule pour \(\alpha = [Z]\). Puisque le changement de base d’un morphisme fini localement libre est fini localement libre (Lemme 02KD de Morphismes), nous voyons que \(f_*f^*\mathcal{O}_Z\) est un faisceau fini localement libre de rang \(d\) sur \(Z\). Ainsi \[f_*f^*[Z] = f_*f^*[\mathcal{O}_Z]_k = [f_*f^*\mathcal{O}_Z]_k = d[Z]\] où nous avons utilisé les Lemmes 02RE et 02R6.

Préparation aux diviseurs principaux

Une partie du contenu de cette section recoupe partiellement la discussion de Diviseurs, section 0BE0.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre.

1. Si \(Z \subset X\) est un sous-schéma fermé intègre, alors les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(Z\) est un diviseur premier,

   2. \(Z\) est de codimension \(1\) dans \(X\), et

   3. \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\).

2. Si \(Z\) est une composante irréductible d’un diviseur de Cartier effectif sur \(X\), alors \(\dim_\delta(Z) = \dim_\delta(X) - 1\).

Démonstration

La partie (1) résulte de la définition d’un diviseur premier (Définition 0BE2 de Diviseurs) et de la définition d’une fonction de dimension (Définition 02I9 de Topologie). Soit \(\xi \in Z\) le point générique d’une composante irréductible \(Z\) d’un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{D, \xi}) = 0\) et \(\mathcal{O}_{D, \xi} = \mathcal{O}_{X, \xi}/(f)\) pour un certain élément non diviseur de zéro \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\) (Lemme 0AG8 de Diviseurs). Alors \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\) d’après le Lemme 00KW d’Algèbre. Ainsi \(Z\) est comme dans (1) d’après le Lemme 02IZ de Propriétés, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soit \(\xi \in Y\) un point. Supposons que

1. \(X\), \(Y\) sont intègres,

2. \(Y\) est localement noethérien,

3. \(f\) est propre, dominant et l’extension \(R(Y) \subset R(X)\) est finie, et

4. \(\dim(\mathcal{O}_{Y, \xi}) = 1\).

Alors il existe un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(\xi\) tel que \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\) soit fini.

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier du Lemme 0AB7 de Variétés. Voici un argument direct dans ce cas. D’après le Lemme 02OH de Cohomologie des schémas, il suffit de démontrer que \(f^{-1}(\{\xi\})\) est fini. Nous remplaçons \(Y\) par un ouvert affine, disons \(Y = \Spec(R)\). Notons que \(R\) est noethérien, puisque \(Y\) est supposé localement noethérien. Puisque \(f\) est propre, il est quasi-compact. Nous pouvons donc trouver un recouvrement ouvert affine fini \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\), avec chaque \(U_i = \Spec(A_i)\). Notons que \(R \to A_i\) est un homomorphisme injectif de type fini de domaines tel que l’extension induite des corps des fractions soit finie. Le lemme résulte donc du Lemme 02MA d’Algèbre.

Diviseurs principaux

La définition suivante est l’analogue de la Définition 0BE3 de Diviseurs dans notre cadre actuel.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre avec \(\dim_\delta(X) = n\). Soit \(f \in R(X)^*\). Le diviseur principal associé à \(f\) est le \((n - 1)\)-cycle \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] défini dans Diviseurs, Définition 0BE3. Ceci a un sens parce que les diviseurs premiers sont de \(\delta\)-dimension \(n - 1\) d’après le Lemme 02RK.

Dans la situation de la définition, pour \(f, g \in R(X)^*\), nous avons \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] dans \(Z_{n - 1}(X)\). Voir Diviseurs, Lemme 02RP. Le lemme suivant sera supplanté par le Lemme plus général 02S1.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\), \(Y\) intègres et \(n = \dim_\delta(Y)\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(g \in R(Y)^*\). Alors \[f^*(\text{div}_Y(g)) = \text{div}_X(g)\] dans \(Z_{n + r - 1}(X)\).

Démonstration

Notons que, puisque \(f\) est plat, il est dominant, de sorte que \(f\) induit un plongement \(R(Y) \subset R(X)\) ; nous pouvons donc considérer \(g\) comme un élément de \(R(X)^*\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(n + r - 1\). Soit \(\xi \in Z\) son point générique. Si \(\dim_\delta(f(Z)) > n - 1\), alors nous voyons que le coefficient de \([Z]\) dans les membres de gauche et de droite de l’équation est nul. Nous pouvons donc supposer que \(Z' = \overline{f(Z)}\) est un sous-schéma fermé intègre de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(n - 1\). Soit \(\xi' = f(\xi)\). C’est le point générique de \(Z'\). Posons \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\), \(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\). L’homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est un homomorphisme local plat de domaines locaux noethériens de dimension \(1\). Nous avons \(g\) dans le corps des fractions de \(A\). Ce que nous devons montrer est que \[\text{ord}_A(g) \text{longueur}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{ord}_B(g).\] Ceci résulte du Lemme 02M1 d’Algèbre (détails omis).

Diviseurs principaux et image directe

Le premier lemme implique que l’image directe d’un diviseur principal par un morphisme génériquement fini est un diviseur principal.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\), \(Y\) intègres et \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\). Soit \(p : X \to Y\) un morphisme propre dominant. Soit \(f \in R(X)^*\). Posons \[g = \text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(f).\] Alors nous avons \(p_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\).

Démonstration

Soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(n - 1\). Nous voulons montrer que les coefficients de \([Z]\) dans \(p_*\text{div}(f)\) et \(\text{div}(g)\) sont égaux. Nous pouvons appliquer le Lemme 02RM au morphisme \(p : X \to Y\) et au point générique \(\xi \in Z\). Nous pouvons donc remplacer \(Y\) par un voisinage ouvert affine de \(\xi\) et supposer que \(p : X \to Y\) est fini. Écrivons \(Y = \Spec(R)\) et \(X = \Spec(A)\), où \(p\) est induit par un homomorphisme fini \(R \to A\) de domaines noethériens qui induit une extension finie \(L/K\) des corps des fractions. Nous avons alors \(f \in L\), \(g = \text{Nm}(f) \in K\), et un idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) avec \(\dim(R_{\mathfrak p}) = 1\). Le coefficient de \([Z]\) dans \(\text{div}_Y(g)\) est \(\text{ord}_{R_\mathfrak p}(g)\). Le coefficient de \([Z]\) dans \(p_*\text{div}_X(f)\) est \[\sum\nolimits_{\mathfrak q\text{ au-dessus de }\mathfrak p} [\kappa(\mathfrak q) : \kappa(\mathfrak p)] \text{ord}_{A_{\mathfrak q}}(f)\] L’égalité souhaitée résulte donc du Lemme 02MJ d’Algèbre.

Dans l’étude des diviseurs principaux, un rôle important est joué par le diviseur principal « universel » \([0] - [\infty]\) sur \(\mathbf{P}^1_S\). Pour préciser cela, notons [0F93]\[\begin{equation} D_0, D_\infty \subset \mathbf{P}^1_S = \underline{\text{Proj}}_S(\mathcal{O}_S[T_0, T_1]) \end{equation}\] les sous-schémas fermés définis par la section \(T_1\), resp. \(T_0\) de \(\mathcal{O}(1)\). Ce sont des diviseurs de Cartier effectifs ; voir la Définition 01WR et le Lemme 01X0 de Diviseurs. Le lemme suivant dit que, de façon informelle, nous avons « \(\text{div}(T_1/T_0) = [D_0] - [D_1]\) » et que c’est le diviseur principal universel.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(f \in R(X)^*\). Soit \(U \subset X\) un ouvert non vide tel que \(f\) corresponde à une section \(f \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\). Soit \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) l’adhérence du graphe de \(f : U \to \mathbf{P}^1_S\). Alors

1. le morphisme de projection \(p : Y \to X\) est propre,

2. \(p|_{p^{-1}(U)} : p^{-1}(U) \to U\) est un isomorphisme,

3. les images réciproques \(Y_0 = q^{-1}D_0\) et \(Y_\infty = q^{-1}D_\infty\) par le morphisme \(q : Y \to \mathbf{P}^1_S\) sont définies (Diviseurs, Définition 01WV),

4. nous avons \[\text{div}_Y(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\]

5. nous avons \[\text{div}_X(f) = p_*\text{div}_Y(f)\]

6. si nous considérons \(Y_0\) et \(Y_\infty\) comme des sous-schémas fermés de \(X\) par le morphisme \(p\), alors nous avons \[\text{div}_X(f) = [Y_0]_{n - 1} - [Y_\infty]_{n - 1}\]

Démonstration

Puisque \(X\) est intègre, nous voyons que \(U\) est intègre. Ainsi \(Y\) est intègre, et \((1, f)(U) \subset Y\) est un sous-schéma ouvert dense. Notons aussi que le sous-schéma fermé \(Y \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) ne dépend pas du choix de l’ouvert \(U\), puisqu’il s’agit en définitive de l’adhérence de l’ensemble à un point \(\{\eta'\} = \{(1, f)(\eta)\}\), où \(\eta \in X\) est le point générique. Cela étant dit, démontrons les assertions du lemme.

Pour (1), notons que \(p\) est la composée de l’immersion fermée \(Y \to X \times_S \mathbf{P}^1_S = \mathbf{P}^1_X\) et du morphisme propre \(\mathbf{P}^1_X \to X\). Comme une composée de morphismes propres est propre (Morphismes, Lemme 01W3), nous concluons.

Il est clair que \(Y \cap U \times_S \mathbf{P}^1_S = (1, f)(U)\). Ainsi (2) en résulte. Il en résulte aussi que \(\dim_\delta(Y) = n\).

Notons que \(q(\eta') = f(\eta)\) n’est contenu ni dans \(D_0\) ni dans \(D_\infty\), puisque \(f \in R(X)^*\). D’où (3) par le Lemme 02OO de Diviseurs. Nous obtenons \(\dim_\delta(Y_0) = n - 1\) et \(\dim_\delta(Y_\infty) = n - 1\) par le Lemme 02RK.

Considérons le diviseur de Cartier effectif \(Y_0\). En tout point \(\xi \in Y_0\), nous avons \(f \in \mathcal{O}_{Y, \xi}\) et une équation locale de \(Y_0\) est donnée par \(f\). En particulier, si \(\delta(\xi) = n - 1\), de sorte que \(\xi\) est le point générique d’un sous-schéma fermé intègre \(Z\) de \(\delta\)-dimension \(n - 1\), alors nous voyons que le coefficient de \([Z]\) dans \(\text{div}_Y(f)\) est \[\text{ord}_Z(f) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y, \xi}/f\mathcal{O}_{Y, \xi}) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{Y, \xi}} (\mathcal{O}_{Y_0, \xi})\] qui est le coefficient de \([Z]\) dans \([Y_0]_{n - 1}\). Un argument semblable utilisant la fonction rationnelle \(1/f\) montre que \(-[Y_\infty]\) coïncide avec les termes de coefficients négatifs dans l’expression de \(\text{div}_Y(f)\). D’où (4).

Notons que \(D_0 \to S\) est un isomorphisme. Nous voyons donc que \(X \times_S D_0 \to X\) est également un isomorphisme. Il est clair que nous avons \(Y_0 = Y \cap X \times_S D_0\) (intersection schématique) dans \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\). Il s’agit donc bien du cas où \(Y_0 \to X\) est une immersion fermée. Il en résulte que \[p_*\mathcal{O}_{Y_0} = \mathcal{O}_{Y'_0}\] où \(Y'_0 \subset X\) est l’image de \(Y_0 \to X\). D’après le Lemme 02R6, nous avons \(p_*[Y_0]_{n - 1} = [Y'_0]_{n - 1}\). Il en va de même pour \(D_\infty\) et \(Y_\infty\). Ainsi (6) est une conséquence de (5). Enfin, (5) résulte immédiatement du Lemme 02RT.

Le lemme suivant dit que le degré d’un diviseur principal sur une courbe propre est nul.

Lemme

Soit \(K\) un corps quelconque. Soit \(X\) un schéma intègre de dimension \(1\) muni d’un morphisme propre \(c : X \to \Spec(K)\). Soit \(f \in K(X)^*\) une fonction rationnelle inversible. Alors \[\sum\nolimits_{x \in X \text{ fermé}} [\kappa(x) : K] \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, x}}(f) = 0\] où \(\text{ord}\) est comme dans la Définition 02MD d’Algèbre. Autrement dit, \(c_*\text{div}(f) = 0\).

Démonstration

Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Y \ar[r]_p \ar[d]_q & X \ar[d]^c \\ \mathbf{P}^1_K \ar[r]^-{c'} & \Spec(K) }\] que nous avons construit dans le Lemme 02RQ à partir de \(X\) et de la fonction rationnelle \(f\) sur \(S = \Spec(K)\). Nous utiliserons sans autre mention tous les résultats de ce lemme. Nous devons montrer que \(c_*\text{div}_X(f) = c_*p_*\text{div}_Y(f) = 0\). Cela revient à démontrer que \(c'_*q_*\text{div}_Y(f) = 0\). Si \(q(Y)\) est un point fermé de \(\mathbf{P}^1_K\), alors nous voyons que \(\text{div}_X(f) = 0\) et le lemme est démontré. Nous pouvons donc supposer que \(q\) est dominant. Supposons que nous puissions montrer que \(q : Y \to \mathbf{P}^1_K\) est fini localement libre de degré \(d\) (voir la Définition 02KA de Morphismes). Puisque \(\text{div}_Y(f) = [q^{-1}D_0]_0 - [q^{-1}D_\infty]_0\), nous voyons (par définition de l’image réciproque plate) que \(\text{div}_Y(f) = q^*([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\). Alors le Lemme 02RH donne \(q_*\text{div}_Y(f) = d([D_0]_0 - [D_\infty]_0)\). Comme il est clair que \(c'_*[D_0]_0 = c'_*[D_\infty]_0\), nous avons le résultat.

Il reste à montrer que \(q\) est fini localement libre. (Il aura automatiquement un certain degré donné puisque \(\mathbf{P}^1_K\) est connexe.) Comme \(\dim(\mathbf{P}^1_K) = 1\), nous voyons que \(q\) est fini, par exemple d’après le Lemme 02RM. Tous les anneaux locaux de \(\mathbf{P}^1_K\) aux points fermés sont des anneaux locaux réguliers de dimension \(1\) (autrement dit, des anneaux de valuation discrète), puisqu’ils sont des localisés de \(K[T]\) (voir le Lemme 00OP d’Algèbre). Ainsi, pour \(y\in Y\) fermé, l’anneau local \(\mathcal{O}_{Y, y}\) sera plat sur \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_K, q(y)}\) dès qu’il est sans torsion (Plus sur l’algèbre, Lemme 0AUW). C’est manifestement le cas puisque \(\mathcal{O}_{Y, y}\) est un domaine et \(q\) est dominant. Ainsi \(q\) est plat. Par conséquent, \(q\) est fini localement libre d’après le Lemme 02KB de Morphismes.

Équivalence rationnelle

Dans cette section, nous définissons l’équivalence rationnelle sur les \(k\)-cycles. Nous autoriserons les sommes localement finies d’images de diviseurs principaux (par des immersions fermées). Cela conduit à des phénomènes assez étranges ; voir l’Exemple 02RY. Cependant, si nous ne les autorisons pas, nous ne savons pas démontrer que le produit avec les classes de Chern de fibrés inversibles se factorise par l’équivalence rationnelle.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\).

1. Étant donnée toute famille localement finie \(\{W_j \subset X\}\) de sous-schémas fermés intègres avec \(\dim_\delta(W_j) = k + 1\), et des \(f_j \in R(W_j)^*\) quelconques, nous pouvons considérer \[\sum (i_j)_*\text{div}(f_j) \in Z_k(X)\] où \(i_j : W_j \to X\) est le morphisme d’inclusion. Ceci a un sens car le morphisme \(\coprod i_j : \coprod W_j \to X\) est propre.

2. Nous disons que \(\alpha \in Z_k(X)\) est rationnellement équivalent à zéro si \(\alpha\) est un cycle de la forme affichée ci-dessus.

3. Nous disons que \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) sont rationnellement équivalents et nous écrivons \(\alpha \sim_{rat} \beta\) si \(\alpha - \beta\) est rationnellement équivalent à zéro.

4. Nous définissons \[\CH_k(X) = Z_k(X) / \sim_{rat}\] comme étant le groupe de Chow des \(k\)-cycles sur \(X\). On l’appelle parfois le groupe de Chow des \(k\)-cycles modulo équivalence rationnelle sur \(X\).

Il existe beaucoup d’autres relations d’équivalence (adéquates) intéressantes. L’équivalence rationnelle est la moins fine de toutes.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Montrons que nous avons une présentation \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x)) \to \CH_k(X) \to 0\] Nous utilisons ici les notations et conventions introduites dans la Remarque 0GU2 et, de plus,

1. \(K_1^M(\kappa(x)) = \kappa(x)^*\) est la partie de degré \(1\) de la K-théorie de Milnor du corps résiduel \(\kappa(x)\) du point \(x \in X\) (voir la Remarque 0EAY), et

2. la différentielle \(\partial\) est définie comme suit : étant donné un élément \(\xi = \sum_x f_x\), nous notons \(W_x = \overline{x}\) le sous-schéma fermé intègre de \(X\) de point générique \(x\) et nous posons \[\partial(\xi) = \sum (W_x \to X)_*\text{div}(f_x)\] dans \(Z_k(X)\), ce qui a un sens puisque nous avons vu que le deuxième terme du complexe est égal à \(Z_k(X)\) d’après la Remarque 0GU2.

Le fait que nous obtenions une présentation de \(\CH_k(X)\) résulte immédiatement de la comparaison avec la Définition 02RW.

Voici un lemme très simple mais important.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(U \subset X\) un sous-schéma ouvert, et notons \(i : Y = X \setminus U \to X\) le sous-schéma fermé réduit de \(X\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Supposons \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\). Si \(\alpha|_U \sim_{rat} \beta|_U\), alors il existe un cycle \(\gamma \in Z_k(Y)\) tel que \[\alpha \sim_{rat} \beta + i_*\gamma.\] Autrement dit, la suite \[\xymatrix{ \CH_k(Y) \ar[r]^{i_*} & \CH_k(X) \ar[r]^{j^*} & \CH_k(U) \ar[r] & 0 }\] est un complexe exact de groupes abéliens.

Démonstration

Soit \(\{W_j\}_{j \in J}\) une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(U\), de \(\delta\)-dimension \(k + 1\), et soient \(f_j \in R(W_j)^*\) des éléments tels que \((\alpha - \beta)|_U = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) comme dans la définition. Posons \(W_j' \subset X\) égal à l’adhérence de \(W_j\). Supposons que \(V \subset X\) soit un ouvert quasi-compact. Alors \(V \cap U\) est aussi un ouvert quasi-compact de \(U\), car \(V\) est noethérien. Par conséquent, l’ensemble \(\{j \in J \mid W_j \cap V \not = \emptyset\} = \{j \in J \mid W'_j \cap V \not = \emptyset\}\) est fini puisque \(\{W_j\}\) est localement finie. Autrement dit, nous voyons que \(\{W'_j\}\) est également localement finie. Comme \(R(W_j) = R(W'_j)\), nous voyons que \[\alpha - \beta - \sum (i'_j)_*\text{div}(f_j)\] est un cycle supporté sur \(Y\), et le lemme en résulte (voir le Lemme 02RC).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(X_1, X_2 \subset X\) des sous-schémas fermés tels que \(X = X_1 \cup X_2\) ensemblistement. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), la suite de groupes abéliens \[\xymatrix{ \CH_k(X_1 \cap X_2) \ar[r] & \CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \ar[r] & \CH_k(X) \ar[r] & 0 }\] est exacte. Ici \(X_1 \cap X_2\) est l’intersection schématique, et les applications sont les applications d’image directe, l’une étant multipliée par \(-1\).

Démonstration

D’après le Lemme 0F92, la flèche \(\CH_k(X_1) \oplus \CH_k(X_2) \to \CH_k(X)\) est surjective. Supposons que \((\alpha_1, \alpha_2)\) soit envoyé sur zéro par cette application. Écrivons \(\alpha_1 = \sum n_{1, i}[W_{1, i}]\) et \(\alpha_2 = \sum n_{2, i}[W_{2, i}]\). Nous obtenons alors une famille localement finie \(\{W_j\}_{j \in J}\) de sous-schémas fermés intègres de \(X\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\) et des \(f_j \in R(W_j)^*\) tels que \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] + \sum n_{2, i}[W_{2, i}] = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\] comme cycles sur \(X\), où \(i_j : W_j \to X\) est le morphisme d’inclusion. Choisissons une décomposition en union disjointe \(J = J_1 \amalg J_2\) telle que \(W_j \subset X_1\) si \(j \in J_1\) et \(W_j \subset X_2\) si \(j \in J_2\). (C’est possible parce que les \(W_j\) sont intègres.) Nous pouvons alors écrire l’équation ci-dessus sous la forme \[\sum n_{1, i}[W_{1, i}] - \sum\nolimits_{j \in J_1} (i_j)_*\text{div}(f_j) = - \sum n_{2, i}[W_{2, i}] + \sum\nolimits_{j \in J_2} (i_j)_*\text{div}(f_j)\] Cette expression est donc un cycle (!) sur \(X_1 \cap X_2\). Autrement dit, l’élément \((\alpha_1, \alpha_2)\) appartient à l’image de la première flèche, ce qui achève la démonstration.

Exemple

Voici un exemple « étrange ». Supposons que \(S\) soit le spectre d’un corps \(k\), avec \(\delta\) comme dans l’Exemple 02QM. Supposons que \(X = C_1 \cup C_2 \cup \ldots\) soit une union infinie de courbes \(C_j \cong \mathbf{P}^1_k\) recollées de la manière suivante : le point \(\infty \in C_j\) est recollé transversalement au point \(0 \in C_{j + 1}\) pour \(j = 1, 2, 3, \ldots\). Prenons le point \(0 \in C_1\). Cela donne un zéro-cycle \([0] \in Z_0(X)\). L’« étrangeté » de cette situation est qu’en fait \([0] \sim_{rat} 0\) ! En effet, nous pouvons choisir la fonction rationnelle \(f_j \in R(C_j)\) comme étant la fonction qui a un zéro simple en \(0\), un pôle simple en \(\infty\) et aucun autre zéro ni pôle. Nous voyons alors que la somme \(\sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) est exactement le \(0\)-cycle \([0]\). En fait, il s’avère que \(\CH_0(X) = 0\) dans cet exemple. Si vous trouvez cela trop bizarre, il vous suffit de veiller à ce que vos espaces soient toujours quasi-compacts (ainsi \(X\) n’existe même pas pour vous).

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Supposons données des familles infinies \(\alpha_i, \beta_i \in Z_k(X)\), \(i \in I\), de \(k\)-cycles sur \(X\). Supposons que les supports des \(\alpha_i\) et des \(\beta_i\) forment des familles localement finies de fermés de \(X\), de sorte que \(\sum \alpha_i\) et \(\sum \beta_i\) soient définies comme cycles. Supposons de plus que \(\alpha_i \sim_{rat} \beta_i\) pour tout \(i\). Il n’est alors pas évident que \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\). En effet, le problème est que les équivalences rationnelles peuvent être données par des familles localement finies \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\), mais que l’union \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) peut ne pas être localement finie.

Dans de nombreux cas pratiques, on dispose d’une famille localement finie de fermés \(\{T_i\}_{i \in I}\) telle que \(\alpha_i, \beta_i\) soient supportés sur \(T_i\) et telle que \(\alpha_i = \beta_i\) dans \(\CH_k(T_i)\) ; autrement dit, les familles \(\{W_{i, j}, f_{i, j} \in R(W_{i, j})^*\}_{j \in J_i}\) sont constituées de sous-schémas \(W_{i, j} \subset T_i\). Dans ce cas, il est vrai que \(\sum \alpha_i \sim_{rat} \sum \beta_i\) sur \(X\), simplement parce que la famille \(\{W_{i, j}\}_{i \in I, j\in J_i}\) est alors automatiquement localement finie.

Équivalence rationnelle et images directe et réciproque

Dans cette section, nous montrons que l’image réciproque plate et l’image directe propre commutent avec l’équivalence rationnelle.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) des schémas localement de type fini sur \(S\). Supposons \(Y\) intègre avec \(\dim_\delta(Y) = k\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Alors, pour \(g \in R(Y)^*\), nous avons \[f^*\text{div}_Y(g) = \sum n_j i_{j, *}\text{div}_{X_j}(g \circ f|_{X_j})\] comme \((k + r - 1)\)-cycles sur \(X\), où la somme porte sur les composantes irréductibles \(X_j\) de \(X\) et \(n_j\) est la multiplicité de \(X_j\) dans \(X\).

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + r - 1\). Nous devons montrer que le coefficient \(n\) de \([Z]\) dans \(f^*\text{div}(g)\) est égal au coefficient \(m\) de \([Z]\) dans \(\sum i_{j, *} \text{div}(g \circ f|_{X_j})\). Soit \(Z'\) l’adhérence de \(f(Z)\), qui est un sous-schéma fermé intègre de \(Y\). D’après le Lemme 02R8, nous avons \(\dim_\delta(Z') \geq k - 1\). Ainsi, ou bien \(Z' = Y\), ou bien \(Z'\) est un diviseur premier sur \(Y\). Si \(Z' = Y\), alors les coefficients \(n\) et \(m\) sont tous deux nuls : c’est clair pour \(n\) par définition de \(f^*\), et cela résulte pour \(m\) du fait que \(g \circ f|_{X_j}\) est une unité en tout point de \(X_j\) envoyé sur le point générique de \(Y\). Nous pouvons donc supposer que \(Z' \subset Y\) est un diviseur premier.

Nous allons traduire en algèbre l’égalité de \(n\) et \(m\). En effet, soient \(\xi' \in Z'\) et \(\xi \in Z\) les points génériques. Posons \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi'}\) et \(B = \mathcal{O}_{X, \xi}\). Notons que \(A\), \(B\) sont noethériens, que \(A \to B\) est plat et local, que \(A\) est un domaine et que \(\mathfrak m_AB\) est un idéal de définition de l’anneau local \(B\). La fonction rationnelle \(g\) est un élément du corps des fractions \(Q(A)\) de \(A\). Par construction, les sous-schémas fermés \(X_j\) qui rencontrent \(\xi\) correspondent \(1\)-à-\(1\) aux idéaux premiers minimaux \[\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset B\] Les entiers \(n_j\) sont les longueurs correspondantes \[n_i = \text{longueur}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] Les fonctions rationnelles \(g \circ f|_{X_j}\) correspondent à l’image \(g_i \in \kappa(\mathfrak q_i)^*\) de \(g \in Q(A)\). En rassemblant tout cela, nous voyons que \[n = \text{ord}_A(g) \text{longueur}_B(B/\mathfrak m_AB)\] et que \[m = \sum \text{ord}_{B/\mathfrak q_i}(g_i) \text{longueur}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] En écrivant \(g = x/y\) pour des éléments non nuls \(x, y \in A\), nous voyons qu’il suffit de démontrer \[\text{longueur}_A(A/(x)) \text{longueur}_B(B/\mathfrak m_AB) = \text{longueur}_B(B/xB)\] (l’égalité utilise Algèbre, Lemme 02M1) égale à \[\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, s} \text{longueur}_{B/\mathfrak q_i}(B/(x, \mathfrak q_i)) \text{longueur}_{B_{\mathfrak q_i}}(B_{\mathfrak q_i})\] et de même pour \(y\). Comme \(A \to B\) est plat, il s’ensuit que \(x\) est un non-diviseur de zéro dans \(B\). L’égalité souhaitée résulte alors du Lemme 02QG.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) des schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soient \(\alpha \sim_{rat} \beta\) des \(k\)-cycles rationnellement équivalents sur \(Y\). Alors \(f^*\alpha \sim_{rat} f^*\beta\) comme \((k + r)\)-cycles sur \(X\).

Démonstration

Que devons-nous montrer ? Supposons que l’on nous donne une famille \[i_j : W_j \longrightarrow Y\] d’immersions fermées, avec chaque \(W_j\) intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\), et des fonctions rationnelles \(g_j \in R(W_j)^*\). Supposons de plus que la famille \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\) soit localement finie sur \(Y\). Nous devons alors montrer que \[f^*(\sum i_{j, *}\text{div}(g_j)) = \sum f^*i_{j, *}\text{div}(g_j)\] est rationnellement équivalent à zéro sur \(X\). La somme de droite a un sens car \(\{W_j\}\) est localement finie dans \(X\) d’après le Lemme 02R9.

Considérons les produits fibrés \[i'_j : W'_j = W_j \times_Y X \longrightarrow X.\] et notons \(f_j : W'_j \to W_j\) la première projection. D’après le Lemme 02RG, nous pouvons écrire la somme ci-dessus sous la forme \[\sum i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\] D’après le Lemme 0EPH, nous voyons que chaque \(f_j^*\text{div}(g_j)\) est rationnellement équivalent à zéro sur \(W'_j\). Ainsi, chaque \(i'_{j, *}(f_j^*\text{div}(g_j))\) est rationnellement équivalent à zéro. Il en va alors de même pour la somme affichée d’après la discussion de la Remarque 02RZ.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) des schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(p : X \to Y\) un morphisme propre. Supposons que \(\alpha, \beta \in Z_k(X)\) soient rationnellement équivalents. Alors \(p_*\alpha\) est rationnellement équivalent à \(p_*\beta\).

Démonstration

Que devons-nous montrer ? Supposons que l’on nous donne une famille \[i_j : W_j \longrightarrow X\] d’immersions fermées, avec chaque \(W_j\) intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\), et des fonctions rationnelles \(f_j \in R(W_j)^*\). Supposons de plus que la famille \(\{i_j(W_j)\}_{j \in J}\) soit localement finie sur \(X\). Nous devons alors montrer que \[p_*\left(\sum i_{j, *}\text{div}(f_j)\right)\] est rationnellement équivalent à zéro sur \(X\).

Notons que la somme est égale à \[\sum p_*i_{j, *}\text{div}(f_j).\] Soit \(W'_j \subset Y\) le sous-schéma fermé intègre qui est l’ image de \(p \circ i_j\). La famille \(\{W'_j\}\) est localement finie dans \(Y\) d’après le Lemme 02R2. Il suffit donc de montrer, pour un \(j\) donné, que soit \(p_*i_{j, *}\text{div}(f_j) = 0\), soit il est égal à \(i'_{j, *}\text{div}(g_j)\) pour un certain \(g_j \in R(W'_j)^*\).

Les arguments ci-dessus nous ramènent donc au cas d’un seul sous-schéma fermé intègre \(W \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Soit \(f \in R(W)^*\). Soit \(W' = p(W)\) comme ci-dessus. Nous obtenons un diagramme commutatif de morphismes \[\xymatrix{ W \ar[r]_i \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ W' \ar[r]^{i'} & Y }\] Notons que \(p_*i_*\text{div}(f) = i'_*(p')_*\text{div}(f)\) d’après le Lemme 02R5. Comme expliqué ci-dessus, nous devons montrer que \((p')_*\text{div}(f)\) est le diviseur d’une fonction rationnelle sur \(W'\), ou zéro. Il y a trois cas à distinguer.

Le cas \(\dim_\delta(W') < k\). Dans ce cas, automatiquement, \((p')_*\text{div}(f) = 0\) et il n’y a rien à démontrer.

Le cas \(\dim_\delta(W') = k\). Montrons que \((p')_*\text{div}(f) = 0\) dans ce cas. Soit \(\eta \in W'\) le point générique. Notons que \(c : W_\eta \to \Spec(K)\) est une courbe intègre propre sur \(K = \kappa(\eta)\) dont le corps des fonctions \(K(W_\eta)\) s’identifie à \(R(W)\). Voici un diagramme \[\xymatrix{ W_\eta \ar[r] \ar[d]_c & W \ar[d]^{p'} \\ \Spec(K) \ar[r] & W' }\] Notons \(f_\eta \in K(W_\eta)^*\) la fonction rationnelle correspondant à \(f \in R(W)^*\). De plus, les points fermés \(\xi\) de \(W_\eta\) correspondent \(1 - 1\) aux sous-schémas intègres fermés \(Z = Z_\xi \subset W\) de \(\delta\)-dimension \(k\) avec \(p'(Z) = W'\). Notons que la multiplicité de \(Z_\xi\) dans \(\text{div}(f)\) est égale à \(\text{ord}_{\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}}(f_\eta)\), simplement parce que les anneaux locaux \(\mathcal{O}_{W_\eta, \xi}\) et \(\mathcal{O}_{W, \xi}\) sont identifiés (comme sous-anneaux de leurs corps des fractions). Nous voyons donc que la multiplicité de \([W']\) dans \((p')_*\text{div}(f)\) est égale à la multiplicité de \([\Spec(K)]\) dans \(c_*\text{div}(f_\eta)\). D’après le Lemme 02RU, celle-ci est nulle.

Le cas \(\dim_\delta(W') = k + 1\). Dans ce cas, le Lemme 02RT s’applique, et nous voyons qu’en effet \(p'_*\text{div}(f) = \text{div}(g)\) pour un certain \(g \in R(W')^*\), comme souhaité.

Équivalence rationnelle et droite projective

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Étant donné un sous-schéma fermé quelconque \(Z \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S = X \times \mathbf{P}^1\), nous notons \(Z_0\), resp. \(Z_\infty\), le sous-schéma fermé schématique \(Z_0 = \text{pr}_2^{-1}(D_0)\), resp. \(Z_\infty = \text{pr}_2^{-1}(D_\infty)\). Ici \(D_0\), \(D_\infty\) sont comme dans (0F93).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(W \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Supposons \(W \not = W_0\) et \(W \not = W_\infty\). Alors

1. \(W_0\), \(W_\infty\) sont des diviseurs de Cartier effectifs de \(W\),

2. \(W_0\), \(W_\infty\) peuvent être considérés comme des sous-schémas fermés de \(X\) et \[[W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k,\]

3. pour toute famille localement finie de sous-schémas fermés intègres \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\) avec \(W_i \not = (W_i)_0\) et \(W_i \not = (W_i)_\infty\), nous avons \(\sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k) \sim_{rat} 0\) sur \(X\), et

4. pour tout \(\alpha \in Z_k(X)\) avec \(\alpha \sim_{rat} 0\), il existe une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres \(W_i \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\) comme ci-dessus telle que \(\alpha = \sum ([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k)\).

Démonstration

La partie (1) résulte du Lemme 02OO de Diviseurs, puisque, par hypothèse, le point générique de \(W\) n’est envoyé ni dans \(D_0\) ni dans \(D_\infty\) par la projection \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to \mathbf{P}^1_S\).

Comme \(X \times_S D_0 \to X\) est une immersion fermée, nous voyons que \(W_0\) est isomorphe à un sous-schéma fermé de \(X\). Il en va de même pour \(W_\infty\). Le morphisme \(p : W \to X\) est propre comme composée de l’immersion fermée \(W \to X \times_S \mathbf{P}^1_S\) et du morphisme propre \(X \times_S \mathbf{P}^1_S \to X\). D’après le Lemme 02RQ, nous avons \([W_0]_k \sim_{rat} [W_\infty]_k\) comme cycles sur \(W\). Ainsi la partie (2) résulte du Lemme 02S2, puisque manifestement \(p_*[W_0]_k = [W_0]_k\) et de même pour \(W_\infty\).

Le seul contenu de l’assertion (3), compte tenu des parties (1) et (2), est que la famille \(\{(W_i)_0, (W_i)_\infty\}\) est une famille localement finie de sous-schémas fermés de \(X\). C’est clair.

Supposons que \(\alpha \sim_{rat} 0\). Par définition, cela signifie qu’il existe des sous-schémas fermés intègres \(V_i \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\) et des fonctions rationnelles \(f_i \in R(V_i)^*\) tels que la famille \(\{V_i\}_{i \in I}\) soit localement finie dans \(X\) et tels que \(\alpha = \sum (V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\). Soit \[W_i \subset V_i \times_S \mathbf{P}^1_S \subset X \times_S \mathbf{P}^1_S\] l’adhérence du graphe de l’application rationnelle \(f_i\), comme dans le Lemme 02RQ. Alors \((V_i \to X)_*\text{div}(f_i)\) est égal à \([(W_i)_0]_k - [(W_i)_\infty]_k\) d’après ce même lemme. Le résultat est donc clair.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(Z\) un sous-schéma fermé de \(X \times \mathbf{P}^1\). Supposons

1. \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\),

2. \(\dim_\delta(Z_0) \leq k\), \(\dim_\delta(Z_\infty) \leq k\), et

3. pour tout point immergé \(\xi\) (Diviseurs, Définition 05AK) de \(Z\), soit \(\xi \not \in Z_0 \cup Z_\infty\), soit \(\delta(\xi) < k\).

Alors \([Z_0]_k \sim_{rat} [Z_\infty]_k\) comme \(k\)-cycles sur \(X\).

Démonstration

Soit \(\{W_i\}_{i \in I}\) la famille des composantes irréductibles de \(Z\) qui sont de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Écrivons \[[Z]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] avec \(n_i > 0\), conformément à la définition. Notons que \(\{W_i\}\) est une famille localement finie de fermés de \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) d’après le Lemme 0BE1 de Diviseurs. Nous affirmons que \[[Z_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] et de même pour \([Z_\infty]_k\). Si nous le démontrons, alors le lemme résulte du Lemme 02S4.

Soit \(Z' \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Pour démontrer l’égalité ci-dessus, il suffit de montrer que le coefficient \(n\) de \([Z']\) dans \([Z_0]_k\) est égal au coefficient \(m\) de \([Z']\) dans \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\). Soit \(\xi' \in Z'\) le point générique. Posons \(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\). Considérons l’anneau local \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\). Soit \(I \subset A\) l’idéal définissant \(Z\), autrement dit tel que \(A/I = \mathcal{O}_{Z, \xi}\). Soit \(t \in A\) l’élément définissant \(X \times_S D_0\) (c’est-à-dire le relevé de la coordonnée de \(\mathbf{P}^1\) en zéro). Par notre choix de \(\xi' \in Z'\), nous avons \(\delta(\xi) = k\), et donc \(\dim(A/I) = 1\). Puisque \(\xi\) n’est pas un point immergé d’après l’hypothèse (3), nous voyons que \(A/I\) est de Cohen-Macaulay. Puisque \(\dim_\delta(Z_0) = k\), nous voyons que \(\dim(A/(t, I)) = 0\), ce qui implique que \(t\) est un non-diviseur de zéro dans \(A/I\). Enfin, les sous-schémas fermés irréductibles \(W_i\) passant par \(\xi\) correspondent aux idéaux premiers minimaux \(I \subset \mathfrak q_i\) au-dessus de \(I\). Les multiplicités \(n_i\) correspondent aux longueurs \(\text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\). Nous voyons donc que \[n = \text{longueur}_A(A/(t, I))\] et \[m = \sum \text{longueur}_A(A/(t, \mathfrak q_i)) \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(A/I)_{\mathfrak q_i}\] Le résultat résulte donc du Lemme 02QG.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X \times \mathbf{P}^1\). Soient \(i_0, i_\infty : X \to X \times \mathbf{P}^1\) les immersions fermées telles que \(i_t(x) = (x, t)\). Notons \(\mathcal{F}_0 = i_0^*\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}_\infty = i_\infty^*\mathcal{F}\). Supposons

1. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\),

2. \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) \leq k\), \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_\infty)) \leq k\), et

3. pour tout point associé immergé \(\xi\) de \(\mathcal{F}\), soit \(\xi \not \in (X \times \mathbf{P}^1)_0 \cup (X \times \mathbf{P}^1)_\infty\), soit \(\delta(\xi) < k\).

Alors \([\mathcal{F}_0]_k \sim_{rat} [\mathcal{F}_\infty]_k\) comme \(k\)-cycles sur \(X\).

Démonstration

Soit \(\{W_i\}_{i \in I}\) la famille des composantes irréductibles de \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) qui sont de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Écrivons \[[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum n_i[W_i]\] avec \(n_i > 0\), conformément à la définition. Notons que \(\{W_i\}\) est une famille localement finie de fermés de \(X \times_S \mathbf{P}^1_S\) d’après le Lemme 02QW. Nous affirmons que \[[\mathcal{F}_0]_k = \sum n_i[(W_i)_0]_k\] et de même pour \([\mathcal{F}_\infty]_k\). Si nous le démontrons, alors le lemme résulte du Lemme 02S4.

Soit \(Z' \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Pour démontrer l’égalité ci-dessus, il suffit de montrer que le coefficient \(n\) de \([Z']\) dans \([\mathcal{F}_0]_k\) est égal au coefficient \(m\) de \([Z']\) dans \(\sum n_i[(W_i)_0]_k\). Soit \(\xi' \in Z'\) le point générique. Posons \(\xi = (\xi', 0) \in X \times_S \mathbf{P}^1_S\). Considérons l’anneau local \(A = \mathcal{O}_{X \times_S \mathbf{P}^1_S, \xi}\). Considérons \(M = \mathcal{F}_\xi\) comme un \(A\)-module. Soit \(t \in A\) l’élément définissant \(X \times_S D_0\) (c’est-à-dire le relevé de la coordonnée de \(\mathbf{P}^1\) en zéro). Par notre choix de \(\xi' \in Z'\), nous avons \(\delta(\xi) = k\), et donc \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\). Puisque \(\xi\) n’est pas un point associé de \(\mathcal{F}\) d’après l’hypothèse (3), nous voyons que \(M\) est un module de Cohen-Macaulay. Puisque \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F}_0)) = k\), nous voyons que \(\dim(\text{Supp}(M/tM)) = 0\), ce qui implique que \(t\) est un non-diviseur de zéro dans \(M\). Enfin, les sous-schémas fermés irréductibles \(W_i\) passant par \(\xi\) correspondent aux idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q_i\) de \(\text{Ass}(M)\). Les multiplicités \(n_i\) correspondent aux longueurs \(\text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\). Nous voyons donc que \[n = \text{longueur}_A(M/tM)\] et \[m = \sum \text{longueur}_A(A/(t, \mathfrak q_i)A) \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}M_{\mathfrak q_i}\] Le résultat résulte donc du Lemme 02QG.

Groupes de Chow et enveloppes

Voici la définition.

Définition

Soit \(X\) un schéma. Une enveloppe est un morphisme propre \(f : Y \to X\) qui est complètement décomposé (Plus sur les morphismes, Définition 0GTI).

La suite exacte du Lemme 0GU8 est la motivation principale de la définition.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Si \(f : Y \to X\) et \(g : Z \to Y\) sont des enveloppes, alors \(f \circ g\) est une enveloppe.

Démonstration

Ceci résulte du Lemme 01W3 de Morphismes et du Lemme 0GTJ de Plus sur les morphismes.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X' \to X\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Si \(f : Y \to X\) est une enveloppe, alors le changement de base \(f' : Y' \to X'\) de \(f\) est aussi une enveloppe.

Démonstration

Ceci résulte du Lemme 01W4 de Morphismes et du Lemme 0GTK de Plus sur les morphismes.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : Y \to X\) une enveloppe. Alors nous avons une suite exacte \[\CH_k(Y \times_X Y) \xrightarrow{p_* - q_*} \CH_k(Y) \xrightarrow{f_*} \CH_k(X) \to 0\] pour tout \(k \in \mathbf{Z}\). Ici \(p, q : Y \times_X Y \to Y\) sont les projections.

Démonstration

Puisque \(f\) est une enveloppe, \(f\) est propre, et l’image directe des cycles et des classes de cycles est donc définie ; voir les sections 02R3 et 02RF. De même, les morphismes \(p\) et \(q\) sont propres comme changements de base de \(f\). La composée des flèches est nulle, car \(f_* \circ p_* = (p \circ f)_* = (q \circ f)_* = f_* \circ q_*\) ; voir le Lemme 02R5.

Montrons que \(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\) est surjectif. En effet, supposons que nous ayons \(\alpha = \sum n_i[Z_i] \in Z_k(X)\), où les \(Z_i \subset X\) forment une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres. Soit \(x_i \in Z_i\) le point générique. Puisque \(f\) est une enveloppe et donc complètement décomposé, il existe un point \(y_i \in Y\) avec \(f(y_i) = x_i\) et avec \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) triviale. Soit \(W_i \subset Y\) le sous-schéma fermé intègre de point générique \(y_i\). Comme \(f\) est fermé, nous voyons que \(f(W_i) = Z_i\). Il en résulte que la famille de sous-schémas fermés \(W_i\) est localement finie sur \(Y\). Comme \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) est triviale, nous voyons que \(\dim_\delta(W_i) = \dim_\delta(Z_i) = k\). Ainsi \(\beta = \sum n_i[W_i]\) appartient à \(Z_k(Y)\). Enfin, puisque \(\kappa(y_i)/\kappa(x_i)\) est triviale, le degré du morphisme dominant \(f|_{W_i} : W_i \to Z_i\) est \(1\), et nous concluons que \(f_*\beta = \alpha\).

Puisque \(f_* : Z_k(Y) \to Z_k(X)\) est surjectif, l’application \(f_* : \CH_k(Y) \to \CH_k(X)\) est a fortiori surjective.

Soit \(\beta \in Z_k(Y)\) un élément tel que \(f_*\beta\) soit nul dans \(\CH_k(X)\). Cela signifie que nous pouvons trouver une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres \(Z_j \subset X\) avec \(\dim_\delta(Z_j) = k + 1\) et des \(f_j \in R(Z_j)^*\) tels que \[f_*\beta = \sum (Z_j \to X)_*\text{div}(f_j)\] comme cycles, où \(i_j : Z_j \to X\) est l’immersion fermée donnée. En raisonnant exactement comme ci-dessus, nous pouvons trouver une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres \(W_j \subset Y\) avec \(f(W_j) = Z_j\) et telle que \(W_j \to Z_j\) soit birationnel, c’est-à-dire induise un isomorphisme \(R(Z_j) = R(W_j)\). Notons \(g_j \in R(W_j)^*\) l’élément correspondant à \(f_j\). Observons que \(W_j \to Z_j\) est propre et que \((W_j \to Z_j)_*\text{div}(g_j) = \text{div}(f_j)\) comme cycles sur \(Z_j\). Il s’ensuit que, si nous remplaçons \(\beta\) par le cycle rationnellement équivalent \[\beta' = \beta - \sum (W_j \to Y)_*\text{div}(g_j)\] nous obtenons \(f_*\beta' = 0\). (On utilise ici le Lemme 02R5.) Ainsi, pour achever la démonstration du lemme, il suffit de démontrer l’affirmation du paragraphe suivant.

Affirmation : si \(\beta \in Z_k(Y)\) et \(f_*\beta = 0\), alors \(\beta = \delta + p_*\gamma - q_*\gamma\) dans \(Z_k(Y)\) pour un certain \(\gamma \in Z_k(Y \times_X Y)\). En effet, écrivons \(\beta = \sum_{j \in J} n_j[W_j]\), où \(\{W_j\}_{j \in J}\) est une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(Y\) avec \(\dim_\delta(W_j) = k\). Fixons un sous-schéma fermé intègre \(Z \subset X\). Considérons le sous-ensemble \(J_Z = \{j \in J : f(W_j) = Z\}\). C’est un ensemble fini. Il y a trois cas :

1. \(J_Z = \emptyset\). Dans ce cas, nous posons \(\gamma_Z = 0\).

2. \(J_Z \not = \emptyset\) et \(\dim_\delta(Z) = k\). La condition \(f_*\beta = 0\) implique, en considérant le coefficient de \(Z\), que \(\sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W_j/Z) = 0\). Dans ce cas, nous choisissons un sous-schéma fermé intègre \(W \subset Y\) qui s’envoie birationnellement sur \(Z\) (voir ci-dessus). En considérant les points génériques, nous voyons que \(W_j \times_Z W\) possède une unique composante irréductible \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\) qui s’envoie birationnellement sur \(W_j\). Alors \(W'_j \to W\) est dominant et \(\deg(W'_j/W) = \deg(W_j/W)\). Ainsi, si nous posons \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\), alors nous voyons que \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\) et \(q_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j\deg(W'_j/W)[W] = 0\).

3. \(J_Z \not = \emptyset\) et \(\dim_\delta(Z) < k\). Dans ce cas, nous choisissons un sous-schéma fermé intègre \(W \subset Y\) qui s’envoie birationnellement sur \(Z\) (voir ci-dessus). En considérant les points génériques, nous voyons que \(W_j \times_Z W\) possède une unique composante irréductible \(W'_j \subset W_j \times_Z W \subset Y \times_X Y\) qui s’envoie birationnellement sur \(W_j\). Alors \(W'_j \to W\) est dominant et \(k = \dim_\delta(W'_j) > \dim_\delta(W) = \dim_\delta(Z)\). Ainsi, si nous posons \(\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W'_j]\), alors nous voyons que \(p_*\gamma_Z = \sum_{j \in J_Z} n_j[W_j]\) et \(q_*\gamma_Z = 0\).

Puisque la famille de sous-schémas fermés intègres \(\{f(W_j)\}\) est localement finie sur \(X\) (Lemme 02R2), nous voyons que le \(k\)-cycle \[\gamma = \sum\nolimits_{Z \subset X\text{ fermé intègre}} \gamma_Z\] sur \(Y \times_X Y\) est bien défini. Nos calculs ci-dessus montrent que \(p_*\gamma_Z = \beta\) et \(q_*\gamma_Z = 0\), ce qui implique ce que nous voulions démontrer.

Groupes de Chow et groupes K

Dans cette section, nous allons comparer le \(K_0\) de la catégorie des faisceaux cohérents aux groupes de Chow.

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Nous notons \(\textit{Coh}(X) = \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) la catégorie des faisceaux cohérents sur \(X\). C’est une catégorie abélienne ; voir le Lemme 01Y0 de Cohomologie des schémas. Pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), nous notons \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) la sous-catégorie pleine de \(\textit{Coh}(X)\) formée des faisceaux cohérents \(\mathcal{F}\) tels que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Les catégories \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) sont des sous-catégories de Serre de la catégorie abélienne \(\textit{Coh}(X)\).

Démonstration

La définition d’une sous-catégorie de Serre est la Définition 02MO d’Homologie. La démonstration du lemme est immédiate et omise.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Les applications \[Z_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)), \quad \sum n_Z[Z] \mapsto \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\right] - \left[\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\right]\] et \[K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow Z_k(X),\quad \mathcal{F} \longmapsto [\mathcal{F}]_k\] sont des isomorphismes réciproques l’un de l’autre.

Démonstration

Notons que, si \(\sum n_Z[Z]\) appartient à \(Z_k(X)\), alors les sommes directes \(\bigoplus\nolimits_{n_Z > 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus n_Z}\) et \(\bigoplus\nolimits_{n_Z < 0} \mathcal{O}_Z^{\oplus -n_Z}\) sont des faisceaux cohérents sur \(X\), puisque la famille \(\{Z \mid n_Z > 0\}\) est localement finie sur \(X\). L’application \(\mathcal{F} \to [\mathcal{F}]_k\) est additive sur \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) ; voir le Lemme 02QZ. Et \([\mathcal{F}]_k = 0\) si \(\mathcal{F} \in \textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\). D’après la partie (1) du Lemme 02MX d’Homologie, cela implique que la deuxième application est elle aussi bien définie. Il est clair que la composée de la première application avec la deuxième est l’identité.

Réciproquement, supposons que nous partions d’un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\). Écrivons \([\mathcal{F}]_k = \sum_{i \in I} n_i[Z_i]\) avec \(n_i > 0\) et \(Z_i \subset X\), \(i \in I\), des sous-schémas fermés intègres deux à deux distincts de \(\delta\)-dimension \(k\). Nous devons montrer que \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i}]\] dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\). Notons \(\xi_i \in Z_i\) le point générique. Si nous posons \[\mathcal{F}' = \Ker(\mathcal{F} \to \bigoplus \xi_{i, *}\mathcal{F}_{\xi_i})\] alors \(\mathcal{F}'\) est le sous-module cohérent maximal de \(\mathcal{F}\) dont le support est de dimension \(\leq k - 1\). En particulier, \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\) ont la même classe dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\). Ainsi, après avoir remplacé \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{F}/\mathcal{F}'\), nous pouvons supposer, et supposons, que le noyau \(\mathcal{F}'\) affiché ci-dessus est nul.

Pour tout \(i \in I\), choisissons une filtration \[\mathcal{F}_{\xi_i} = \mathcal{F}_i^0 \supset \mathcal{F}_i^1 \supset \ldots \supset \mathcal{F}_i^{n_i} = 0\] telle que les quotients successifs soient de dimension \(1\) sur le corps résiduel en \(\xi_i\). C’est possible puisque la longueur de \(\mathcal{F}_{\xi_i}\) sur \(\mathcal{O}_{X, \xi_i}\) est \(n_i\). Pour \(p > n_i\), posons \(\mathcal{F}_i^p = 0\). Pour \(p \geq 0\), nous notons \[\mathcal{F}^p = \Ker\left(\mathcal{F} \longrightarrow \bigoplus \xi_{i, *}(\mathcal{F}_{\xi_i}/\mathcal{F}_i^p)\right)\] Alors \(\mathcal{F}^p\) est cohérent, \(\mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\), et \(\mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) est isomorphe à un \(\mathcal{O}_{Z_i}\)-module libre de rang \(1\) (si \(n_i > p\)), ou à \(0\) (si \(n_i \leq p\)), dans un voisinage ouvert de \(\xi_i\). De plus, \(\mathcal{F}' = \bigcap \mathcal{F}^p = 0\). Puisque tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\) ne contient qu’un nombre fini de \(\xi_i\), nous concluons que \(\mathcal{F}^p|_U\) est nul pour \(p \gg 0\). Ainsi \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Considérons les suites exactes courtes \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to 0\] et \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p > 0} \mathcal{F}^p \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p \to \mathcal{F} \to 0\] de \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents. Cela montre déjà que \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\). Ensuite, pour tout \(p \geq 0\) et tout \(i \in I\) tel que \(n_i > p\), nous choisissons un faisceau d’idéaux non nul \(\mathcal{I}_{i, p} \subset \mathcal{O}_{Z_i}\) et une application \(\mathcal{I}_{i, p} \to \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) sur \(X\) qui est un isomorphisme sur le voisinage ouvert de \(\xi_i\) mentionné ci-dessus. C’est possible d’après le Lemme 0FD0 de Cohomologie des schémas. Nous considérons alors la suite exacte courte \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1} \to \mathcal{Q} \to 0\] et la suite exacte courte \[0 \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{I}_{i, p} \to \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i} \to \mathcal{Q}' \to 0\] Observons que \(\mathcal{Q}\) et \(\mathcal{Q}'\) sont tous deux nuls dans un voisinage des points \(\xi_i\) et qu’ils sont supportés sur \(\bigcup Z_i\). Ainsi \(\mathcal{Q}\) et \(\mathcal{Q}'\) appartiennent à \(\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)\). Puisque \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_{Z_i}^{\oplus n_i} \cong \bigoplus\nolimits_{p \geq 0, i \in I, n_i > p} \mathcal{O}_{Z_i}\] ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini de schémas localement de type fini sur \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Alors \(\pi_* : \textit{Coh}(X) \to \textit{Coh}(Y)\) est un foncteur exact qui envoie \(\textit{Coh}_{\leq k}(X)\) dans \(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)\) et induit des homomorphismes sur les \(K_0\) de ces catégories et de leurs quotients. Les applications du Lemme 02S9 s’insèrent dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \ar[d]^{\pi_*} \ar[r] & Z_k(X) \ar[d]^{\pi_*} \\ Z_k(Y) \ar[r] & K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(Y)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(Y)) \ar[r] & Z_k(Y) }\]

Démonstration

Un morphisme fini est affine ; l’image directe des modules quasi-cohérents par \(\pi\) est donc un foncteur exact d’après le Lemme 01XC de Cohomologie des schémas. Un morphisme fini est propre ; \(\pi_*\) envoie donc les faisceaux cohérents sur des faisceaux cohérents ; voir la Proposition 02O5 de Cohomologie des schémas. L’assertion sur les dimensions des supports est claire. La commutativité à droite résulte immédiatement du Lemme 02R6. Puisque les flèches horizontales sont des bijections, nous constatons que nous avons aussi la commutativité à gauche.

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Il existe une application canonique \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] induite par l’application \(Z_k(X) \to K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\) du Lemme 02S9.

Démonstration

Nous devons montrer qu’un élément \(\alpha\) de \(Z_k(X)\) qui est rationnellement équivalent à zéro est envoyé sur zéro dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\). Écrivons \(\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}(f_j)\) comme dans la Définition 02RW. Observons que \[\pi = \coprod i_j : W = \coprod W_j \longrightarrow X\] est un morphisme fini, car chaque \(i_j : W_j \to X\) est une immersion fermée et la famille des \(W_j\) est localement finie dans \(X\). Nous pouvons donc utiliser le Lemme 0FDR pour nous ramener au cas de \(W\). Puisque \(W\) est une union disjointe de schémas intègres, nous nous ramenons au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons \(X\) intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Soit \(f\) une fonction rationnelle non nulle sur \(X\). Soit \(\alpha = \text{div}(f)\). Nous devons montrer que \(\alpha\) est envoyé sur zéro dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) l’idéal des dénominateurs de \(f\) ; voir Diviseurs, Définition 02P1. Nous avons alors des suites exactes courtes \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/\mathcal{I} \to 0\] et \[0 \to \mathcal{I} \xrightarrow{f} \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X/f\mathcal{I} \to 0\] Voir Diviseurs, Lemme 02P0. Nous affirmons que \[[\mathcal{O}_X/\mathcal{I}]_k - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]_k = \text{div}(f)\] Cette affirmation implique que l’élément \(\alpha = \text{div}(f)\) est représenté par \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\) dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\). Les suites exactes courtes montrent alors que cet élément s’envoie sur zéro dans \(K_0(\textit{Coh}_{\leq k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\).

Pour démontrer l’affirmation, soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\), et soit \(\xi \in Z\) son point générique. Alors \(I = \mathcal{I}_\xi \subset A = \mathcal{O}_{X, \xi}\) est un idéal tel que \(fI \subset A\). Or le coefficient de \([Z]\) dans \(\text{div}(f)\) est \(\text{ord}_A(f)\). (Bien sûr, comme d’habitude, nous identifions le corps des fonctions de \(X\) au corps des fractions de \(A\).) D’autre part, le coefficient de \([Z]\) dans \([\mathcal{O}_X/\mathcal{I}] - [\mathcal{O}_X/f\mathcal{I}]\) est \[\text{longueur}_A(A/I) - \text{longueur}_A(A/fI)\] À l’aide de la fonction distance de la Définition 02MG d’Algèbre, nous pouvons récrire ceci sous la forme \[d(A, I) - d(A, fI) = d(I, fI) = \text{ord}_A(f)\] Les égalités sont vraies d’après les Lemmes 02MH et 02MI d’Algèbre. (L’utilisation de ces lemmes n’est pas nécessaire, mais commode.)

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Nous verrons plus loin (dans le Lemme 02SC) que l’application \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] du Lemme 0FDS est injective. En la composant avec l’application canonique \[K_0(\textit{Coh}_{k + 1}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X))\] nous obtenons une application canonique \[\CH_k(X) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}(X)/\textit{Coh}_{\leq k - 1}(X)).\] Nous n’avons trouvé dans la littérature aucun énoncé ni aucune conjecture indiquant si cette application devrait être injective ou non. Il semble raisonnable de s’attendre à ce que le noyau de cette application soit de torsion. Nous reviendrons sur cette question (insérer une référence ultérieure).

Lemme

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé. Notons \(\textit{Coh}_Z(X) \subset \textit{Coh}(X)\) la sous-catégorie de Serre des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents dont le support ensembliste est contenu dans \(Z\). Alors le foncteur exact d’inclusion \(\textit{Coh}(Z) \to \textit{Coh}_Z(X)\) induit un isomorphisme \[K'_0(Z) = K_0(\textit{Coh}(Z)) \longrightarrow K_0(\textit{Coh}_Z(X))\]

Démonstration

Soit \(\mathcal{F}\) un objet de \(\textit{Coh}_Z(X)\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux de \(Z\). Considérons la filtration décroissante \[\ldots \subset \mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p \mathcal{F} \subset \mathcal{F}^{p - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}^0 = \mathcal{F}\] Exactement comme dans la démonstration du Lemme 0FDS, cette filtration est localement finie, et donc \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p\), \(\bigoplus_{p \geq 1} \mathcal{F}^p\) et \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules cohérents supportés sur \(Z\). Nous obtenons ainsi \[[\mathcal{F}] = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] dans \(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\), exactement comme dans la démonstration du Lemme 0FDS. Puisque le module cohérent \(\bigoplus_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}\) est annulé par \(\mathcal{I}\), nous concluons que \([\mathcal{F}]\) appartient à l’image. En fait, nous affirmons que l’application \[\mathcal{F} \longmapsto c(\mathcal{F}) = [\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}]\] se factorise par \(K_0(\textit{Coh}_Z(X))\) et est réciproque de l’application de l’énoncé du lemme. Pour le voir, il nous suffit de montrer que, si \[0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{G} \to \mathcal{H} \to 0\] est une suite exacte courte dans \(\textit{Coh}_Z(X)\), alors nous obtenons \(c(\mathcal{G}) = c(\mathcal{F}) + c(\mathcal{H})\). Observons que, pour tout \(q \geq 0\), nous avons une suite exacte courte \[0 \to (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G}) \to \mathcal{G}^q/\mathcal{G}^{q + 1} \to \mathcal{H}^q/\mathcal{H}^{q + 1} \to 0\] Pour \(p, q \geq 0\), considérons le sous-module cohérent \[\mathcal{F}^{p, q} = \mathcal{I}^p\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\] En raisonnant exactement comme ci-dessus et en utilisant que les filtrations \(\mathcal{F}^p = \mathcal{I}^p\mathcal{F}\) et \(\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G}\) sont localement finies, nous obtenons \[[\bigoplus\nolimits_{p \geq 0} \mathcal{F}^p/\mathcal{F}^{p + 1}] = [\bigoplus\nolimits_{p, q \geq 0} \mathcal{F}^{p, q}/(\mathcal{F}^{p + 1, q} + \mathcal{F}^{p, q + 1})] = [\bigoplus\nolimits_{q \geq 0} (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^q\mathcal{G})/ (\mathcal{F} \cap \mathcal{I}^{q + 1}\mathcal{G})]\] dans \(K_0(\textit{Coh}(Z))\). Avec les suites exactes ci-dessus, nous obtenons le résultat souhaité. Certains détails sont omis.

Le diviseur associé à un faisceau inversible

La définition suivante est l’analogue de la Définition 0BE6 de Diviseurs dans notre cadre actuel.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible.

1. Pour toute section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}\), nous définissons le diviseur de Weil associé à \(s\) comme le \((n - 1)\)-cycle \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z]\] défini dans Diviseurs, Définition 0BE6. Ceci a un sens parce que les diviseurs de Weil sont de \(\delta\)-dimension \(n - 1\) d’après le Lemme 02RK.

2. Nous définissons le diviseur de Weil associé à \(\mathcal{L}\) par \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = \text{classe de }\text{div}_\mathcal{L}(s) \in \CH_{n - 1}(X)\] où \(s\) est une section méromorphe non nulle quelconque de \(\mathcal{L}\) sur \(X\). Ceci est bien défini d’après le Lemme 02SH de Diviseurs.

Soient \(X\) et \(S\) comme dans la Définition 02SJ ci-dessus. Posons \(n = \dim_\delta(X)\). Il est clair d’après les définitions que \(Cl(X) = \CH_{n - 1}(X)\), où \(Cl(X)\) est le groupe des classes de diviseurs de Weil de \(X\) défini dans Diviseurs, Définition 0BE4. L’application \[\Pic(X) \longrightarrow \CH_{n - 1}(X), \quad \mathcal{L} \longmapsto c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\] est la même que l’application \(\Pic(X) \to Cl(X)\) construite dans Diviseurs, Équation (0BE7), pour les schémas intègres localement noethériens quelconques. En particulier, cette application est un homomorphisme de groupes abéliens ; elle est injective si \(X\) est un schéma normal, et un isomorphisme si tous les anneaux locaux de \(X\) sont factoriels. Voir Diviseurs, Lemmes 0BE8 et 0BE9. Dans certains cas, il est facile de calculer le diviseur de Weil associé à un faisceau inversible.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) une section globale non nulle. Alors \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = [Z(s)]_{n - 1}\] dans \(Z_{n - 1}(X)\) et \[c_1(\mathcal{L}) \cap [X] = [Z(s)]_{n - 1}\] dans \(\CH_{n - 1}(X)\).

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(n - 1\). Soit \(\xi \in Z\) son point générique. Choisissons un générateur \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\). Écrivons \(s = fs_\xi\) pour un certain \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\). Par définition de \(Z(s)\), voir la Définition 02OQ de Diviseurs, nous voyons que \(Z(s)\) est défini par un faisceau quasi-cohérent d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(\mathcal{I}_\xi = (f)\). Ainsi \(\text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{Z(s), \xi}) = \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(\mathcal{O}_{X, \xi}/(f)) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\), comme souhaité.

Le lemme suivant sera supplanté par le Lemme plus général 02SS.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\), \(Y\) intègres et \(n = \dim_\delta(Y)\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Alors \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]\] dans \(\CH_{n + r - 1}(X)\).

Démonstration

Soit \(s\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\). Nous allons montrer qu’en fait \(f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\), et donc que le lemme est vrai. Pour le voir, soit \(\xi \in Y\) un point, et soit \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) un générateur. Écrivons \(s = gs_\xi\) avec \(g \in R(Y)^*\). Il existe alors un voisinage ouvert \(V \subset Y\) de \(\xi\) tel que \(s_\xi \in \mathcal{L}(V)\) et que \(s_\xi\) engendre \(\mathcal{L}|_V\). Nous voyons donc que \[\text{div}_\mathcal{L}(s)|_V = \text{div}_Y(g)|_V.\] De la même manière exactement, puisque \(f^*s_\xi\) engendre \(f^*\mathcal{L}\) sur \(f^{-1}(V)\) et puisque \(f^*s = g f^*s_\xi\), nous avons aussi \[\text{div}_\mathcal{L}(f^*s)|_{f^{-1}(V)} = \text{div}_X(g)|_{f^{-1}(V)}.\] L’égalité souhaitée de cycles sur \(f^{-1}(V)\) résulte donc du résultat correspondant pour les images réciproques de diviseurs principaux ; voir le Lemme 02RR.

Intersection par un faisceau inversible

Dans cette section, nous étudions la construction suivante.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Nous définissons, pour tout entier \(k\), une opération \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] appelée intersection avec la première classe de Chern de \(\mathcal{L}\).

1. Étant donné un sous-schéma fermé intègre \(i : W \to X\) avec \(\dim_\delta(W) = k + 1\), nous définissons \[c_1(\mathcal{L}) \cap [W] = i_*(c_1({i^*\mathcal{L}}) \cap [W])\] où le membre de droite est défini dans la Définition 02SJ.

2. Pour un \((k + 1)\)-cycle général \(\alpha = \sum n_i [W_i]\), nous posons \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_i c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]\]

Écrivons chaque \(c_1(\mathcal{L}) \cap W_i = \sum_j n_{i, j} [Z_{i, j}]\), où \(\{Z_{i, j}\}_j\) est une somme localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(W_i\). Puisque \(\{W_i\}\) est une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(X\), il en résulte facilement que \(\{Z_{i, j}\}_{i, j}\) est une famille localement finie de sous-schémas fermés de \(X\). Ainsi \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum n_in_{i, j}[Z_{i, j}]\) est un cycle. Une autre manière, plus commode, de voir cela est d’observer que le morphisme \(\coprod W_i \to X\) est propre. Ainsi \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) peut être considéré comme l’image directe d’une classe de \(\CH_k(\coprod W_i) = \prod \CH_k(W_i)\). Cela explique aussi pourquoi le résultat est bien défini modulo équivalence rationnelle sur \(X\).

L’objectif principal des quelques sections suivantes est de montrer que l’intersection avec \(c_1(\mathcal{L})\) se factorise par l’équivalence rationnelle. Ce n’est pas une trivialité.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) des faisceaux inversibles sur \(X\). Alors \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha + c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) \cap \alpha\] dans \(\CH_k(X)\) pour tout \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\). De plus, \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\) pour tout \(\alpha\).

Démonstration

L’additivité résulte directement du Lemme 02SL de Diviseurs et des définitions. Pour voir que \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap \alpha = 0\), considérons la section \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). Sa restriction est une section partout non nulle sur tout sous-schéma fermé intègre \(W \subset X\). Ainsi \(c_1(\mathcal{O}_X) \cap [W] = 0\), comme souhaité.

Rappelons que \(Z(s) \subset X\) désigne le schéma des zéros d’une section globale \(s\) d’un faisceau inversible sur un schéma \(X\) ; voir la Définition 02OQ de Diviseurs.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module inversible. Soit \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\). Supposons

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\),

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\), et

3. pour tout point générique \(\xi\) d’une composante irréductible de \(Z(s)\) de \(\delta\)-dimension \(k\), la multiplication par \(s\) induit une injection \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to \mathcal{L}_\xi\).

Écrivons \([Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\), où les \(Y_i \subset Y\) sont les composantes irréductibles de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Posons \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\). Alors [02SR]\[\begin{equation} [Z(s)]_k = \sum n_i[Z(s_i)]_k \end{equation}\] comme \(k\)-cycles sur \(Y\).

Démonstration

Soit \(Z \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Soit \(\xi \in Z\) son point générique. Nous voulons comparer le coefficient \(n\) de \([Z]\) dans l’expression \(\sum n_i[Z(s_i)]_k\) au coefficient \(m\) de \([Z]\) dans l’expression \([Z(s)]_k\). Choisissons un générateur \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\). Écrivons \(A = \mathcal{O}_{Y, \xi}\), \(L = \mathcal{L}_\xi\). Alors \(L = As_\xi\). Écrivons \(s = f s_\xi\) pour un certain (unique) \(f \in A\). L’hypothèse (3) signifie que \(f : A \to A\) est injectif. Puisque \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\) et \(\dim_\delta(Z) = k\), nous avons \(\dim(A) = 0\) ou \(1\). Nous avons \[m = \text{longueur}_A(A/(f))\] qui est finie dans les deux cas.

Si \(\dim(A) = 0\), alors l’injectivité de \(f : A \to A\) implique que \(f \in A^*\). Ainsi, dans ce cas, \(m\) est nul. De plus, la condition \(\dim(A) = 0\) signifie que \(\xi\) n’appartient à aucune composante irréductible de \(\delta\)-dimension \(k + 1\), c’est-à-dire que \(n = 0\) également.

Supposons maintenant \(\dim(A) = 1\). Puisque \(A\) est un anneau local noethérien, il possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\). Ceux-ci correspondent bijectivement aux \(Y_i\) passant par \(\xi'\). De plus, \(n_i = \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i})\). La multiplicité de \([Z]\) dans \([Z(s_i)]_k\) est aussi \(\text{longueur}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\). L’équation à démontrer dans ce cas est donc \[\text{longueur}_A(A/(f)) = \sum \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(A_{\mathfrak q_i}) \text{longueur}_A(A/(f, \mathfrak q_i))\] qui résulte du Lemme 02QG.

Le lemme suivant est un résultat utile pour calculer le produit d’intersection de \(c_1\) d’un faisceau inversible avec le cycle associé à un sous-schéma fermé. Rappelons que \(Z(s) \subset X\) désigne le schéma des zéros d’une section globale \(s\) d’un faisceau inversible sur un schéma \(X\) ; voir la Définition 02OQ de Diviseurs.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(Y \subset X\) un sous-schéma fermé. Soit \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L}|_Y)\). Supposons

1. \(\dim_\delta(Y) \leq k + 1\),

2. \(\dim_\delta(Z(s)) \leq k\), et

3. pour tout point générique \(\xi\) d’une composante irréductible de \(Z(s)\) de \(\delta\)-dimension \(k\), la multiplication par \(s\) induit une injection \(\mathcal{O}_{Y, \xi} \to (\mathcal{L}|_Y)_\xi\)¹.

Alors \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = [Z(s)]_k\] dans \(\CH_k(X)\).

Démonstration

Écrivons \[[Y]_{k + 1} = \sum n_i[Y_i]\] où les \(Y_i \subset Y\) sont les composantes irréductibles de \(Y\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\) et \(n_i > 0\). Par hypothèse, la restriction \(s_i = s|_{Y_i} \in \Gamma(Y_i, \mathcal{L}|_{Y_i})\) n’est pas nulle, et est donc une section régulière. D’après le Lemme 02SK, nous voyons que \([Z(s_i)]_k\) représente \(c_1(\mathcal{L}|_{Y_i})\). Ainsi, par définition, \[c_1(\mathcal{L}) \cap [Y]_{k + 1} = \sum n_i[Z(s_i)]_k\] Le résultat résulte donc du Lemme 0EPI.

Intersection par un faisceau inversible et images directe et réciproque

Dans cette section, nous démontrons que l’opération \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) commute avec l’image réciproque plate et l’image directe propre.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Supposons \(Y\) intègre et \(n = \dim_\delta(Y)\). Soit \(s\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\). Alors nous avons \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] dans \(Z_{n + r - 1}(X)\). Ici, la somme porte sur les composantes irréductibles \(X_i \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(n + r\), la section \(s_i = f|_{X_i}^*(s)\) est l’image réciproque de \(s\), et \(n_i = m_{X_i, X}\) est la multiplicité de \(X_i\) dans \(X\).

Démonstration

Pour démontrer cette égalité de cycles, nous pouvons travailler localement sur \(Y\). Nous pouvons donc supposer \(Y\) affine et \(s = p/q\) pour des sections non nulles \(p \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\) et \(q \in \Gamma(Y, \mathcal{O})\). Si nous pouvons démontrer à la fois \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(p) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(p_i) \quad\text{et}\quad f^*\text{div}_\mathcal{O}(q) = \sum n_i\text{div}_{\mathcal{O}_{X_i}}(q_i)\] (avec les notations évidentes), alors nous avons le résultat par additivité ; voir le Lemme 02SL de Diviseurs. Nous pouvons donc supposer que \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{L})\). Dans ce cas, nous pouvons appliquer l’égalité (02SR) pour voir que \[[Z(f^*(s))]_{k + r - 1} = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{X_i}}(s_i)\] où \(f^*(s) \in f^*\mathcal{L}\) désigne l’image réciproque de \(s\) sur \(X\). D’autre part, nous avons \[f^*\text{div}_\mathcal{L}(s) = f^*[Z(s)]_{k - 1} = [f^{-1}(Z(s))]_{k + r - 1},\] d’après les Lemmes 02SK et 02RE. Puisque \(Z(f^*(s)) = f^{-1}(Z(s))\), nous avons le résultat.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Soit \(\alpha\) un \(k\)-cycle sur \(Y\). Alors \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*\alpha\] dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\).

Démonstration

Écrivons \(\alpha = \sum n_i[W_i]\). Nous allons montrer que \[f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_i]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W_i]\] dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\) en produisant une équivalence rationnelle sur le sous-schéma fermé \(f^{-1}(W_i)\) de \(X\). D’après la discussion de la Remarque 02RZ, ceci démontrera l’égalité du lemme.

Soit \(W \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Considérons le sous-schéma fermé \(W' = f^{-1}(W) = W \times_Y X\), de sorte que nous avons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ W' \ar[r] \ar[d]_h & X \ar[d]^f \\ W \ar[r] & Y }\] Nous devons montrer que \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W]) = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\). Choisissons une section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}|_W\). Soient \(W'_i \subset W'\) les composantes irréductibles de \(\delta\)-dimension \(k + r\). Écrivons \([W']_{k + r} = \sum n_i[W'_i]\), où \(n_i\) est la multiplicité de \(W'_i\) dans \(W'\), conformément à la définition. Ainsi \(f^*[W] = \sum n_i[W'_i]\) dans \(Z_{k + r}(X)\). Puisque chaque \(W'_i \to W\) est dominant, nous voyons que \(s_i = s|_{W'_i}\) est une section méromorphe non nulle pour tout \(i\). D’après le Lemme 0EPJ, nous avons l’égalité de cycles suivante \[h^*\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s) = \sum n_i\text{div}_{f^*\mathcal{L}|_{W'_i}}(s_i)\] dans \(Z_{k + r - 1}(W')\). Ceci achève la démonstration, puisque le membre de gauche est un cycle sur \(W'\) dont l’image directe est \(f^*(c_1(\mathcal{L}) \cap [W])\) dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\), et le membre de droite est un cycle sur \(W'\) dont l’image directe est \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap f^*[W]\) dans \(\CH_{k + r - 1}(X)\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme propre. Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Soit \(s\) une section méromorphe non nulle, encore notée \(s\), de \(\mathcal{L}\) sur \(Y\). Supposons \(X\), \(Y\) intègres, \(f\) dominant et \(\dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\). Alors \[f_*\left(\text{div}_{f^*\mathcal{L}}(f^*s)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_\mathcal{L}(s).\] comme cycles sur \(Y\). En particulier, \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap [X]) = [R(X) : R(Y)] c_1(\mathcal{L}) \cap [Y] = c_1(\mathcal{L}) \cap f_*[X]\]

Démonstration

La dernière égalité résulte de la première puisque \(f_*[X] = [R(X) : R(Y)][Y]\) par définition. Il se trouve que nous pouvons réutiliser le Lemme 02RT pour le démontrer. En effet, puisque nous cherchons à démontrer une égalité de cycles, nous pouvons travailler localement sur \(Y\). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_Y\). Dans ce cas, \(s\) correspond à une fonction rationnelle \(g \in R(Y)\), et nous cherchons simplement à démontrer \[f_*\left(\text{div}_X(g)\right) = [R(X) : R(Y)]\text{div}_Y(g).\] En comparant avec le résultat du Lemme 02RT précité, nous voyons que c’est vrai puisque \(\text{Nm}_{R(X)/R(Y)}(g) = g^{[R(X) : R(Y)]}\), car \(g \in R(Y)^*\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(p : X \to Y\) un morphisme propre. Soit \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(Y\). Alors \[p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha) = c_1(\mathcal{L}) \cap p_*\alpha\] dans \(\CH_k(Y)\).

Démonstration

Supposons que \(p\) ait la propriété que, pour tout sous-schéma fermé intègre \(W \subset X\), l’application \(p|_W : W \to Y\) soit une immersion fermée. Alors, par définition du produit avec \(c_1(\mathcal{L})\), le lemme est vrai.

Nous allons utiliser cette remarque pour nous ramener à un cas particulier. En effet, écrivons \(\alpha = \sum n_i[W_i]\) avec \(n_i \not = 0\) et les \(W_i\) deux à deux distincts. Soit \(W'_i \subset Y\) l’image de \(W_i\) (comme sous-schéma fermé intègre). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ X' = \coprod W_i \ar[r]_-q \ar[d]_{p'} & X \ar[d]^p \\ Y' = \coprod W'_i \ar[r]^-{q'} & Y. }\] Puisque \(\{W_i\}\) est localement finie sur \(X\) et que \(p\) est propre, nous voyons que \(\{W'_i\}\) est localement finie sur \(Y\) et que \(q, q', p'\) sont aussi des morphismes propres. Nous pouvons aussi considérer \(\sum n_i[W_i]\) comme un \(k\)-cycle \(\alpha' \in Z_k(X')\). Il est clair que \(q_*\alpha' = \alpha\). Nous avons \(q_*(c_1(q^*p^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = c_1(p^*\mathcal{L}) \cap q_*\alpha'\) et \((q')_*(c_1((q')^*\mathcal{L}) \cap p'_*\alpha') = c_1(\mathcal{L}) \cap q'_*p'_*\alpha'\) d’après la remarque initiale de la démonstration. Il suffit donc de démontrer le lemme pour le morphisme \(p'\) et le cycle \(\sum n_i[W_i]\). Il est clair que cela signifie que nous pouvons supposer \(X\), \(Y\) intègres, \(f : X \to Y\) dominant et \(\alpha = [X]\). Dans ce cas, le résultat résulte du Lemme 02ST.

La formule clé

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) des faisceaux inversibles sur \(X\). Soit \(s\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}\) et soit \(t\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{N}\). Soit \(Z_i \subset X\), \(i \in I\), une famille localement finie de fermés irréductibles de codimension \(1\) ayant la propriété suivante : si \(Z \not \in \{Z_i\}\) a pour point générique \(\xi\), alors \(s\) est un générateur de \(\mathcal{L}_\xi\) et \(t\) est un générateur de \(\mathcal{N}_\xi\). Une telle famille existe d’après le Lemme 02SG de Diviseurs. Alors \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) [Z_i]\] et, de même, \[\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) [Z_i]\] En développant davantage les définitions, choisissons, pour chaque \(i\), des générateurs \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) et \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\), où \(\xi_i\) est le point générique de \(Z_i\). Nous pouvons alors écrire \[s = f_i s_i \quad\text{et}\quad t = g_i t_i\] Posons \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\). Alors, par définition, \[\text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{B_i}(f_i) \quad\text{et}\quad \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\] Puisque \(t_i\) est un générateur de \(\mathcal{N}_{\xi_i}\), nous voyons que son image dans la fibre \(\mathcal{N}_{\xi_i} \otimes \kappa(\xi_i)\) est une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{N}|_{Z_i}\). Nous noterons cette image \(t_i|_{Z_i}\). Il résulte de nos définitions que \[c_1(\mathcal{N}) \cap \text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] et, de même, \[c_1(\mathcal{L}) \cap \text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) (Z_i \to X)_*\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] dans \(\CH_{n - 2}(X)\). Nous allons trouver une équivalence rationnelle entre ces deux cycles. Pour cela, nous considérons le symbole modéré \[\partial_{B_i}(f_i, g_i) \in \kappa(\xi_i)^*\] voir la section 0EAH.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, le cycle \[\sum (Z_i \to X)_*\left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right)\] est égal au cycle \[\sum (Z_i \to X)_*\text{div}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\]

Démonstration

Examinons d’abord ce qui se passe si l’on remplace \(s_i\) par \(us_i\), où \(u\) est une unité de \(B_i\). Alors \(f_i\) est remplacé par \(u^{-1} f_i\). La première partie de la première expression du lemme reste donc inchangée, et l’on ajoute à la seconde partie \[-\text{ord}_{B_i}(g_i)\text{div}(u|_{Z_i})\] (où \(u|_{Z_i}\) est l’image de \(u\) dans le corps résiduel), d’après Diviseurs, lemme 02SH, tandis que l’on ajoute à la seconde expression \[\text{div}(\partial_{B_i}(u^{-1}, g_i))\] par bilinéarité du symbole modéré. Ces termes coïncident d’après la propriété (0EAN) du symbole modéré.

Soit \(Z \subset X\) une partie fermée irréductible telle que \(\dim_\delta(Z) = n - 2\). Pour montrer que les coefficients de \(Z\) dans les deux cycles du lemme coïncident, on peut effectuer un remplacement \(s_i \mapsto us_i\) comme au paragraphe précédent. De la même manière, on montre que l’on peut effectuer un remplacement \(t_i \mapsto vt_i\), où \(v\) est une unité de \(B_i\).

Puisqu’il s’agit de démontrer une égalité de cycles, on peut raisonner coefficient par coefficient. Choisissons donc une partie fermée irréductible \(Z \subset X\) telle que \(\dim_\delta(Z) = n - 2\), et comparons les coefficients. Soit \(\xi \in Z\) son point générique, et posons \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\). C’est un anneau local noethérien intègre de dimension \(2\). Choisissons des générateurs \(\sigma\) et \(\tau\) de \(\mathcal{L}_\xi\) et \(\mathcal{N}_\xi\). Après avoir restreint \(X\), on peut supposer, et l’on suppose, que \(\sigma\) et \(\tau\) définissent des trivialisations des faisceaux inversibles \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) sur tout \(X\). La famille \(Z_i\) étant localement finie, on peut, après avoir restreint \(X\), supposer \(Z \subset Z_i\) pour tout \(i \in I\) et \(I\) fini. Alors \(\xi_i\) correspond à un idéal premier \(\mathfrak q_i \subset A\) de hauteur \(1\). On peut écrire \(s_i = a_i \sigma\) et \(t_i = b_i \tau\), où \(a_i\) et \(b_i\) sont des unités de \(A_{\mathfrak q_i}\). D’après les remarques précédentes, il suffit de démontrer le lemme lorsque \(a_i = b_i = 1\) pour tout \(i\).

Supposons \(a_i = b_i = 1\) pour tout \(i\). Alors la première expression du lemme est nulle, car nous avons choisi \(\sigma\) et \(\tau\) comme sections trivialisantes. Écrivons \(s = f\sigma\) et \(t = g \tau\), avec \(f\) et \(g\) dans le corps des fractions de \(A\). Le paragraphe précédent nous a ramenés au cas où \(f_i = f\) et \(g_i = g\) pour tout \(i\). De plus, pour tout idéal premier de hauteur \(1\) \(\mathfrak q\) de \(A\) qui n’appartient pas à \(\{\mathfrak q_i\}\), \(f\) et \(g\) sont des unités de \(A_\mathfrak q\) (d’après le choix de la famille \(\{Z_i\}\) dans la discussion précédant le lemme). Ainsi, le coefficient de \(Z\) dans la seconde expression du lemme est \[\sum\nolimits_i \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(\partial_{B_i}(f, g))\] qui est nul d’après le lemme fondamental 0EAX.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Nous affirmons qu’il existe un complexe \[\bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 2}' K_2^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k + 1}' K_1^M(\kappa(x)) \xrightarrow{\partial} \bigoplus\nolimits_{\delta(x) = k}' K_0^M(\kappa(x))\] Nous utilisons ici les notations et conventions introduites dans la remarque 0GU3, avec en outre les précisions suivantes :

1. \(K_2^M(\kappa(x))\) est la composante de degré \(2\) de la K-théorie de Milnor du corps résiduel \(\kappa(x)\) du point \(x \in X\) (voir la remarque 0EAY) ; c’est le quotient de \(\kappa(x)^* \otimes_\mathbf{Z} \kappa(x)^*\) par le sous-groupe engendré par les éléments de la forme \(\lambda \otimes (1 - \lambda)\), pour \(\lambda \in \kappa(x) \setminus \{0, 1\}\), et

2. la première différentielle \(\partial\) est définie comme suit : étant donné un élément \(\xi = \sum_x \alpha_x\) du premier terme, on pose \[\partial(\xi) = \sum\nolimits_{x \leadsto x',\ \delta(x') = k + 1} \partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}}(\alpha_x)\] où \(\partial_{\mathcal{O}_{W_x, x'}} : K_2^M(\kappa(x)) \to K_1^M(\kappa(x))\) est le symbole modéré construit dans la section 0EAH.

Nous affirmons que l’on obtient un complexe, c’est-à-dire que \(\partial \circ \partial = 0\). Pour le voir, il suffit de prendre un élément \(\xi\) comme ci-dessus et un point \(x'' \in X\) tel que \(\delta(x'') = k\), et de vérifier que le coefficient de \(x''\) dans l’élément \(\partial(\partial(\xi))\) est nul. Comme \(\xi = \sum \alpha_x\) est une somme localement finie, on peut en fait supposer, par additivité, que \(\xi = \alpha_x\) pour un certain \(x \in X\) tel que \(\delta(x) = k + 2\) et \(\alpha_x \in K_2^M(\kappa(x))\). Par linéarité, on peut encore supposer que \(\alpha_x = f \otimes g\) pour certains \(f, g \in \kappa(x)^*\). Notons \(W \subset X\) le sous-schéma fermé intègre de point générique \(x\). Si \(x'' \not \in W\), il est immédiatement clair que le coefficient de \(x\) dans \(\partial(\partial(\xi))\) est nul. Si \(x'' \in W\), on voit que le coefficient de \(x''\) dans \(\partial(\partial(x))\) est égal à \[\sum\nolimits_{x \leadsto x' \leadsto x'',\ \delta(x') = k + 1} \text{ord}_{\mathcal{O}_{\overline{\{x'\}}, x''}}( \partial_{\mathcal{O}_{W, x'}}(f, g))\] Le lemme algébrique fondamental 0EAX affirme précisément que cette somme est nulle.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(k \in \mathbf{Z}\). Le complexe de la remarque 0GU9 et la présentation de \(\CH_k(X)\) dans la remarque 0GU3 suggèrent de définir un premier groupe de Chow supérieur par \[\CH^M_k(X, 1) = H_1(\text{le complexe de la remarque \href{chow.html#chow-remark-higher-chow-pointwise}{0GU9}})\] Nous utilisons l’exposant \({}^M\) pour distinguer notre notation de celle des groupes de Chow supérieurs définis dans la littérature, par exemple dans les articles de Spencer Bloch ([Bloch] et [Bloch-moving]). Soit \(U \subset X\) un ouvert dont le complémentaire est \(Y \subset X\) (muni de sa structure de sous-schéma fermé réduit). On obtient alors une suite exacte courte scindée \[0 \to \bigoplus\nolimits_{y \in Y, \delta(y) = k + i}' K_i^M(\kappa(y)) \to \bigoplus\nolimits_{x \in X, \delta(x) = k + i}' K_i^M(\kappa(x)) \to \bigoplus\nolimits_{u \in U, \delta(u) = k + i}' K_i^M(\kappa(u)) \to 0\] pour \(i = 2, 1, 0\), compatible avec les opérateurs de bord des complexes de la remarque 0GU9. En appliquant le lemme du serpent (voir Homologie, lemme 0111), on obtient une suite exacte à six termes \[\CH^M_k(Y, 1) \to \CH^M_k(X, 1) \to \CH^M_k(U, 1) \to \CH_k(Y) \to \CH_k(X) \to \CH_k(U) \to 0\] prolongeant la suite exacte canonique du lemme 02RX. Au prix de quelques efforts, on peut aussi définir l’image réciproque plate et l’image directe propre pour le premier groupe de Chow supérieur \(\CH^M_k(X, 1)\). Nous y reviendrons plus loin (insérer ici un renvoi ultérieur).

Intersection avec un faisceau inversible et équivalence rationnelle

L’application du lemme fondamental donne les propriétés essentielles de l’intersection avec les faisceaux inversibles. Nous verrons en particulier que \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\) passe au quotient par l’équivalence rationnelle et que ces opérations commutent pour différents faisceaux inversibles.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(\dim_\delta(X) = n\). Soient \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) des faisceaux inversibles sur \(X\). Choisissons une section méromorphe non nulle \(s\) de \(\mathcal{L}\) et une section méromorphe non nulle \(t\) de \(\mathcal{N}\). Posons \(\alpha = \text{div}_\mathcal{L}(s)\) et \(\beta = \text{div}_\mathcal{N}(t)\). Alors \[c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \beta\] dans \(\CH_{n - 2}(X)\).

Démonstration

Cela découle immédiatement du lemme fondamental 0AYC et de la discussion qui le précède.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). L’opération \(\alpha \mapsto c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) passe au quotient par l’équivalence rationnelle et donne une opération \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\]

Démonstration

Soit \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\), avec \(\alpha \sim_{rat} 0\). Il faut montrer que \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\), au sens de la définition 02SO, est nul. D’après la définition 02RW, il existe une famille localement finie \(\{W_j\}\) de sous-schémas fermés intègres tels que \(\dim_\delta(W_j) = k + 2\), et des fonctions rationnelles \(f_j \in R(W_j)^*\) telles que \[\alpha = \sum (i_j)_*\text{div}_{W_j}(f_j)\] Remarquons que \(p : \coprod W_j \to X\) est un morphisme propre ; on a donc \(\alpha = p_*\alpha'\), où \(\alpha' \in Z_{k + 1}(\coprod W_j)\) est la somme des diviseurs principaux \(\text{div}_{W_j}(f_j)\). D’après le lemme 02SU, on a \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\). Il suffit donc de montrer que chacun des \(c_1(\mathcal{L}|_{W_j}) \cap \text{div}_{W_j}(f_j)\) est nul. Autrement dit, on peut supposer \(X\) intègre et \(\alpha = \text{div}_X(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\).

Supposons \(X\) intègre et \(\alpha = \text{div}_X(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\). On peut considérer \(f\) comme une section méromorphe régulière du faisceau inversible \(\mathcal{N} = \mathcal{O}_X\). Choisissons une section méromorphe \(s\) de \(\mathcal{L}\) et notons \(\beta = \text{div}_\mathcal{L}(s)\). D’après le lemme 02TH, on en conclut que \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{O}_X) \cap \beta.\] Or le lemme 02SP montre que le membre de droite est nul dans \(\CH_k(X)\), comme voulu.

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Nous noterons \[c_1(\mathcal{L}) \cap - : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(X)\] l’opération \(c_1(\mathcal{L}) \cap -\). Cette notation a un sens d’après le lemme 02TI. Nous noterons \(c_1(\mathcal{L})^s \cap -\) la \(s\)-ième itérée de cette opération pour tout \(s \geq 0\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\) des faisceaux inversibles sur \(X\). Pour tout \(\alpha \in \CH_{k + 2}(X)\), on a \[c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\] comme éléments de \(\CH_k(X)\).

Démonstration

Écrivons \(\alpha = \sum m_j[Z_j]\) pour une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres \(Z_j \subset X\) tels que \(\dim_\delta(Z_j) = k + 2\). Considérons le morphisme propre \(p : \coprod Z_j \to X\). Posons \(\alpha' = \sum m_j[Z_j]\), considéré comme un \((k + 2)\)-cycle sur \(\coprod Z_j\). Plusieurs applications du lemme 02SU donnent \(c_1(\mathcal{L}) \cap c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{L}) \cap c_1(p^*\mathcal{N}) \cap \alpha')\) et \(c_1(\mathcal{N}) \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = p_*(c_1(p^*\mathcal{N}) \cap c_1(p^*\mathcal{L}) \cap \alpha')\). Il suffit donc de démontrer la formule lorsque \(X\) est intègre et \(\alpha = [X]\). Dans ce cas, le résultat découle du lemme 02TH et des définitions.

Homomorphismes de Gysin

Dans cette section, nous définissons l’application de Gysin pour le lieu des zéros \(D\) d’une section d’un faisceau inversible. Le cas où \(D\) est un diviseur de Cartier effectif est intéressant, mais la généralisation à un \(D\) quelconque donne la souplesse nécessaire pour formuler diverses compatibilités ; voir la remarque 0B6Y et les lemmes 02TA, 0B71 et 0B73. Ces résultats se généralisent aux sous-schémas fermés localement principaux munis d’un fibré normal virtuel (remarque 0B70) ou aux pseudo-diviseurs (remarque 0B7D).

Rappelons que les diviseurs de Cartier effectifs correspondent \(1\) à \(1\) aux classes d’isomorphisme de couples \((\mathcal{L}, s)\), où \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible et \(s\) une section globale régulière ; voir Diviseurs, lemme 01X0. Si \(D\) correspond à \((\mathcal{L}, s)\), alors \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\). On gardera ce fait à l’esprit dans la lecture de cette section.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s)\) un couple formé d’un faisceau inversible et d’une section globale \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\). Soit \(D = Z(s)\) le schéma des zéros de \(s\), et notons \(i : D \to X\) l’immersion fermée. Nous définissons, pour tout entier \(k\), un homomorphisme de Gysin \[i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D).\] par les règles suivantes :

1. Étant donné un sous-schéma fermé intègre \(W \subset X\) tel que \(\dim_\delta(W) = k + 1\), on définit

   1. si \(W \not \subset D\), alors \(i^*[W] = [D \cap W]_k\), considéré comme \(k\)-cycle sur \(D\), et

   2. si \(W \subset D\), alors \(i^*[W] = i'_*(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W])\), où \(i' : W \to D\) est l’immersion fermée induite.

2. Pour un \((k + 1)\)-cycle quelconque \(\alpha = \sum n_j[W_j]\), on pose \[i^*\alpha = \sum n_j i^*[W_j]\]

3. Si \(D\) est un diviseur de Cartier effectif, on note \(D \cdot \alpha = i_*i^*\alpha\) l’image directe de la classe \(i^*\alpha\), considérée comme classe sur \(X\).

En fait, comme nous le verrons plus loin, cet homomorphisme de Gysin \(i^*\) peut être considéré comme un exemple d’image réciproque non plate. Nous appellerons donc parfois, de manière informelle, la classe \(i^*\alpha\) l’image réciproque de la classe \(\alpha\).

Remarque

Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\) comme dans la situation 02QL. Soit \((D, \mathcal{N}, \sigma)\) un triplet formé d’un sous-schéma fermé localement principal (Diviseurs, définition 01WR) \(i : D \to X\), d’un \(\mathcal{O}_D\)-module inversible \(\mathcal{N}\) et d’une surjection \(\sigma : \mathcal{N}^{\otimes -1} \to i^*\mathcal{I}_D\) de \(\mathcal{O}_D\)-modules². Il faut ici considérer \(\mathcal{N}\) comme un fibré normal virtuel de \(D\) dans \(X\). La construction de \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\) dans la définition 02T8 se généralise à de tels triplets ; voir la section 0FBI.

Remarque

Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\) comme dans la situation 02QL. Dans [F], un pseudo-diviseur sur \(X\) est défini comme un triplet \(D = (\mathcal{L}, Z, s)\), où \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, \(Z \subset X\) une partie fermée, et \(s \in \Gamma(X \setminus Z, \mathcal{L})\) une section qui ne s’annule nulle part. Comme ci-dessus, on peut définir pour tout \(\alpha\) dans \(\CH_{k + 1}(X)\) un produit \(D \cdot \alpha\) dans \(\CH_k(Z \cap |\alpha|)\), où \(|\alpha|\) est le support de \(\alpha\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 02T8. Soit \(\alpha\) un \((k + 1)\)-cycle sur \(X\). Alors \(i_*i^*\alpha = c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\) dans \(\CH_k(X)\). En particulier, si \(D\) est un diviseur de Cartier effectif, alors \(D \cdot \alpha = c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap \alpha\).

Démonstration

Écrivons \(\alpha = \sum n_j[W_j]\), où \(i_j : W_j \to X\) sont des sous-schémas fermés intègres tels que \(\dim_\delta(W_j) = k\). Puisque \(D\) est le schéma des zéros de \(s\), on voit que \(D \cap W_j\) est le schéma des zéros de la restriction \(s|_{W_j}\). Ainsi, pour tout \(j\) tel que \(W_j \not \subset D\), on a \(c_1(\mathcal{L}) \cap [W_j] = [D \cap W_j]_k\) d’après le lemme 02SQ. On a donc \[c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = \sum\nolimits_{W_j \not \subset D} n_j[D \cap W_j]_k + \sum\nolimits_{W_j \subset D} n_j i_{j, *}(c_1(\mathcal{L})|_{W_j}) \cap [W_j])\] dans \(\CH_k(X)\), d’après la définition 02SO. Le membre de droite coïncide terme à terme avec l’image directe de la classe \(i^*\alpha\) sur \(D\) de la définition 02T8. On obtient donc le résultat.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 02T8.

1. Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé tel que \(\dim_\delta(Z) \leq k + 1\) et tel que \(D \cap Z\) soit un diviseur de Cartier effectif sur \(Z\). Alors \(i^*[Z]_{k + 1} = [D \cap Z]_k\).

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\) tel que \(\dim_\delta(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq k + 1\) et que \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) soit injectif. Alors \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = [i^*\mathcal{F}]_k\] dans \(\CH_k(D)\).

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) comme dans (1). Posons \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_Z\). L’hypothèse selon laquelle \(D \cap Z\) est un diviseur de Cartier effectif équivaut à l’injectivité de \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\). De plus, \([Z]_{k + 1} = [\mathcal{F}]_{k + 1}]\) et \([D \cap Z]_k = [\mathcal{O}_{D \cap Z}]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\). Voir le lemme 02QY. L’assertion (1) découle donc de (2).

Écrivons \([\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j[W_j]\), avec \(m_j > 0\) et des sous-schémas fermés intègres deux à deux distincts \(W_j \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). L’hypothèse d’injectivité de \(s : \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\) entraîne que \(W_j \not \subset D\) pour tout \(j\). Par définition, on a \[i^*[\mathcal{F}]_{k + 1} = \sum m_j [D \cap W_j]_k.\] Nous affirmons que \[\sum [D \cap W_j]_k = [i^*\mathcal{F}]_k\] comme cycles. Soit \(Z \subset D\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Soit \(\xi \in Z\) son point générique. Soit \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\). Soit \(M = \mathcal{F}_\xi\). Soit \(f \in A\) un élément engendrant l’idéal de \(D\), c’est-à-dire tel que \(\mathcal{O}_{D, \xi} = A/fA\). Par hypothèse, \(\dim(\text{Supp}(M)) = 1\), l’application \(f : M \to M\) est injective, et \(\text{longueur}_A(M/fM) < \infty\). De plus, \(\text{longueur}_A(M/fM)\) est le coefficient de \([Z]\) dans \([i^*\mathcal{F}]_k\). D’autre part, soient \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) les idéaux premiers minimaux du support de \(M\). Alors \[\sum \text{longueur}_{A_{\mathfrak q_i}}(M_{\mathfrak q_i}) \text{ord}_{A/\mathfrak q_i}(f)\] est le coefficient de \([Z]\) dans \(\sum [D \cap W_j]_k\). L’égalité résulte donc du lemme 02QG.

Remarque

Soient \(X \to S\), \(\mathcal{L}\), \(s\), \(i : D \to X\) comme dans la définition 02T8, et supposons que \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\). Dans ce cas, on peut définir une application canonique \(i^* : Z_{k + 1}(X) \to Z_k(D)\) sur les cycles, en imposant \(i^*[W] = 0\) lorsque \(W \subset D\) est un sous-schéma fermé intègre. Cette possibilité nous sera utile par la suite.

Remarque

Soit \(f : X' \to X\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\) comme dans la situation 02QL. Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 02T8. On peut alors poser \(\mathcal{L}' = f^*\mathcal{L}\), \(s' = f^*s\) et \(D' = X' \times_X D = Z(s')\). Cela donne un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] et l’on peut étudier diverses compatibilités entre \(i^*\) et \((i')^*\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme propre de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 02T8. Formons le diagramme \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] comme dans la remarque 0B6Y. Pour tout \((k + 1)\)-cycle \(\alpha'\) sur \(X'\), on a \(i^*f_*\alpha' = g_*(i')^*\alpha'\) dans \(\CH_k(D)\) (ce qui a un sens, puisque \(f_*\) est défini au niveau des cycles).

Démonstration

Supposons \(\alpha = [W']\) pour un sous-schéma fermé intègre \(W' \subset X'\). Soit \(W = f(W') \subset X\). Si \(W' \not \subset D'\), alors \(W \not \subset D\), et l’on voit que \[[W' \cap D']_k = \text{div}_{\mathcal{L}'|_{W'}}({s'|_{W'}}) \quad\text{et}\quad [W \cap D]_k = \text{div}_{\mathcal{L}|_W}(s|_W)\] et donc que l’image du premier cycle par \(f_*\) est égale au second cycle, d’après le lemme 02ST. L’égalité est donc vraie comme égalité de cycles. Si \(W' \subset D'\), alors \(W \subset D\) et \(f_*(c_1(\mathcal{L}|_{W'}) \cap [W'])\) est égal à \(c_1(\mathcal{L}|_W) \cap [W]\) dans \(\CH_k(W)\), d’après la seconde assertion du lemme 02ST. D’après la remarque 02RZ, le résultat s’ensuit pour un \(\alpha'\) quelconque.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X' \to X\) un morphisme plat de dimension relative \(r\) entre schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 02T8. Formons le diagramme \[\xymatrix{ D' \ar[d]_g \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^f \\ D \ar[r]^i & X }\] comme dans la remarque 0B6Y. Pour tout \((k + 1)\)-cycle \(\alpha\) sur \(X\), on a \((i')^*f^*\alpha = g^*i^*\alpha\) dans \(\CH_{k + r}(D')\) (ce qui a un sens, puisque \(f^*\) est défini au niveau des cycles).

Démonstration

Supposons \(\alpha = [W]\) pour un sous-schéma fermé intègre \(W \subset X\). Soit \(W' = f^{-1}(W) \subset X'\). Si \(W \not \subset D\), alors \(W' \not \subset D'\), et l’on voit que \[W' \cap D' = g^{-1}(W \cap D)\] comme sous-schémas fermés de \(D'\). L’égalité est donc vraie comme égalité de cycles ; voir le lemme 02RE. Si \(W \subset D\), alors \(W' \subset D'\) et \(W' = g^{-1}(W)\), avec \([W']_{k + 1 + r} = g^*[W]\), et l’égalité est vraie dans \(\CH_{k + r}(D')\) d’après le lemme 02SS. D’après la remarque 02RZ, le résultat s’ensuit pour un \(\alpha'\) quelconque.

Homomorphismes de Gysin et équivalence rationnelle

Dans cette section, nous utilisons la formule fondamentale pour montrer que l’homomorphisme de Gysin passe au quotient par l’équivalence rationnelle. Nous démontrons aussi une importante propriété de commutativité.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(i : D \to X\) un diviseur de Cartier effectif. Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible, et soit \(t\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{N}\). Alors \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = c_1(\mathcal{N}|_D) \cap [D]_{n - 1}\) dans \(\CH_{n - 2}(D)\).

Démonstration

Écrivons \(\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t)[Z_i]\) pour des sous-schémas fermés intègres \(Z_i \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(n - 1\). On peut supposer que la famille \(\{Z_i\}\) est localement finie, que \(t \in \Gamma(U, \mathcal{N}|_U)\) est un générateur, où \(U = X \setminus \bigcup Z_i\), et que toute composante irréductible de \(D\) est l’un des \(Z_i\) ; voir Diviseurs, lemmes 0BE1, 02RL et 02SG.

Posons \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\). Notons \(s \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)) = \Gamma(X, \mathcal{L})\) la section canonique. Nous allons appliquer la discussion de la section 0AYB à la situation présente. Pour chaque \(i\), soit \(\xi_i \in Z_i\) son point générique. Soit \(B_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\). Pour chaque \(i\), choisissons des générateurs \(s_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\) et \(t_i \in \mathcal{N}_{\xi_i}\) sur \(B_i\), en imposant toutefois \(s_i = s\) si \(Z_i \not \subset D\). Écrivons \(s = f_i s_i\) et \(t = g_i t_i\), avec \(f_i, g_i \in B_i\). Alors \(\text{ord}_{Z_i, \mathcal{N}}(t) = \text{ord}_{B_i}(g_i)\). D’autre part, on a \(f_i \in B_i\) et \[[D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i)[Z_i]\] d’après le choix des \(s_i\). Nous affirmons que \[i^*\text{div}_\mathcal{N}(t) = \sum \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i})\] comme cycles. Plus précisément, le membre de droite est un cycle représentant le membre de gauche. Cela résulte en effet de notre formule pour \(\text{div}_\mathcal{N}(t)\) et du fait que \(\text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) = [Z(s_i|_{Z_i})]_{n - 2} = [Z_i \cap D]_{n - 2}\) lorsque \(Z_i \not \subset D\), car dans ce cas \(s_i|_{Z_i} = s|_{Z_i}\) est une section régulière ; voir le lemme 02SK. De même, \[c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1} = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i})\] La formule fondamentale (lemme 0AYC) donne l’égalité \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{N}|_{Z_i}}(t_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(g_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(s_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i))\] de cycles. Si \(Z_i \not \subset D\), alors \(f_i = 1\), et donc \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, g_i)) = 0\). On obtient ainsi une équivalence rationnelle entre les cycles particuliers représentant \(i^*\text{div}_\mathcal{N}(t)\) et \(c_1(\mathcal{N}) \cap [D]_{n - 1}\) sur \(D\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 02T8. L’homomorphisme de Gysin passe au quotient par l’équivalence rationnelle et donne une application \(i^* : \CH_{k + 1}(X) \to \CH_k(D)\).

Démonstration

Soit \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\), et supposons \(\alpha \sim_{rat} 0\). Cela signifie qu’il existe une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres \(W_j \subset X\) de \(\delta\)-dimension \(k + 2\) et des \(f_j \in R(W_j)^*\) tels que \(\alpha = \sum i_{j, *}\text{div}_{W_j}(f_j)\). Posons \(X' = \coprod W_i\) et considérons le diagramme \[\xymatrix{ D' \ar[d]_q \ar[r]_{i'} & X' \ar[d]^p \\ D \ar[r]^i & X }\] de la remarque 0B6Y. Puisque \(X' \to X\) est propre, on a \(i^*p_* = q_*(i')^*\) d’après le lemme 02TA. Comme on sait que \(q_*\) passe au quotient par l’équivalence rationnelle (lemme 02S2), il suffit de démontrer le résultat pour \(\alpha' = \sum \text{div}_{W_j}(f_j)\) sur \(X'\). Cela nous ramène clairement au cas où \(X\) est intègre et \(\alpha = \text{div}(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\).

Supposons \(X\) intègre et \(\alpha = \text{div}(f)\) pour un certain \(f \in R(X)^*\). Si \(X = D\), on voit que \(i^*\alpha\) est égal à \(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\). Cette classe est rationnellement équivalente à zéro d’après le lemme 02TI. Si \(D \not = X\), on voit que \(i^*\text{div}_X(f)\) est égal à \(c_1(\mathcal{O}_D) \cap [D]_{n - 1}\) dans \(\CH_{n - 2}(D)\) d’après le lemme 02TM. Bien entendu, le produit cap avec \(c_1(\mathcal{O}_D)\) est l’application nulle (lemme 02SP).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 02T8. Alors \(i^*i_* : \CH_k(D) \to \CH_{k - 1}(D)\) envoie \(\alpha\) sur \(c_1(\mathcal{L}|_D) \cap \alpha\).

Démonstration

Cela découle immédiatement de la définition de \(i_*\) sur les cycles et de celle de \(i^*\) donnée dans la définition 02T8.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 02T8. Soit \(\mathcal{N}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors \(i^*(c_1(\mathcal{N}) \cap \alpha) = c_1(i^*\mathcal{N}) \cap i^*\alpha\) dans \(\CH_{k - 2}(D)\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\).

Démonstration

Par une démonstration identique à celle du lemme 02TO, cela résulte des lemmes 02SU, 02TJ et 02TM.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) et \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to X)\) deux triplets comme dans la définition 02T8. Alors le diagramme \[\xymatrix{ \CH_k(X) \ar[r]_{i^*} \ar[d]_{(i')^*} & \CH_{k - 1}(D) \ar[d]^{j^*} \\ \CH_{k - 1}(D') \ar[r]^{(j')^*} & \CH_{k - 2}(D \cap D') }\] est commutatif, chacune des applications étant une application de Gysin.

Démonstration

Notons \(j : D \cap D' \to D\) et \(j' : D \cap D' \to D'\) les immersions fermées correspondant à \((\mathcal{L}|_{D'}, s|_{D'}\) et \((\mathcal{L}'_D, s|_D)\). Il faut montrer que \((j')^*i^*\alpha = j^* (i')^*\alpha\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\). Soit \(W \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de dimension \(k\). Démontrons l’égalité lorsque \(\alpha = [W]\). Nous la déduirons de la formule fondamentale.

Soit \(\sigma\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}|_W\), que l’on impose égale à \(s|_W\) si \(W \not \subset D\). Soit \(\sigma'\) une section méromorphe non nulle de \(\mathcal{L}'|_W\), que l’on impose égale à \(s'|_W\) si \(W \not \subset D'\). Écrivons \[\text{div}_{\mathcal{L}|_W}(\sigma) = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}|_W}(\sigma)[Z_i] = \sum n_i[Z_i]\] et, de même, \[\text{div}_{\mathcal{L}'|_W}(\sigma') = \sum \text{ord}_{Z_i, \mathcal{L}'|_W}(\sigma')[Z_i] = \sum n'_i[Z_i]\] comme dans la discussion de la section 0AYB. On voit alors que \(Z_i \subset D\) si \(n_i \not = 0\), et \(Z'_i \subset D'\) si \(n'_i \not = 0\). Pour chaque \(i\), soit \(\xi_i \in Z_i\) le point générique. Comme dans la section 0AYB, choisissons pour chaque \(i\) un élément \(\sigma_i \in \mathcal{L}_{\xi_i}\), resp. \(\sigma'_i \in \mathcal{L}'_{\xi_i}\), qui soit un générateur sur \(B_i = \mathcal{O}_{W, \xi_i}\) et qui soit égal à l’image de \(s\), resp. \(s'\) si \(Z_i \not \subset D\), resp. \(Z_i \not \subset D'\). Écrivons \(\sigma = f_i \sigma_i\) et \(\sigma' = f'_i\sigma'_i\), de sorte que \(n_i = \text{ord}_{B_i}(f_i)\) et \(n'_i = \text{ord}_{B_i}(f'_i)\). Il résulte de nos définitions que \[(j')^*i^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i})\] comme cycles, et que \[j^*(i')^*[W] = \sum \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i})\] La formule fondamentale (lemme 0AYC) donne maintenant l’égalité \[\sum \left( \text{ord}_{B_i}(f_i) \text{div}_{\mathcal{L}'|_{Z_i}}(\sigma'_i|_{Z_i}) - \text{ord}_{B_i}(f'_i) \text{div}_{\mathcal{L}|_{Z_i}}(\sigma_i|_{Z_i}) \right) = \sum \text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i))\] de cycles. Remarquons que \(\text{div}_{Z_i}(\partial_{B_i}(f_i, f'_i)) = 0\) si \(Z_i \not \subset D \cap D'\), car, dans ce cas, soit \(f_i = 1\), soit \(f'_i = 1\). On obtient ainsi une équivalence rationnelle entre nos cycles particuliers représentant \((j')^*i^*[W]\) et \(j^*(i')^*[W]\) sur \(D \cap D' \cap W\). D’après la remarque 02RZ, le résultat s’ensuit pour un \(\alpha\) quelconque.

Diviseurs de Cartier effectifs relatifs

Les diviseurs de Cartier effectifs relatifs sont définis et étudiés dans Diviseurs, section 056P. Pour établir les résultats fondamentaux sur les classes de Chern des fibrés vectoriels, nous n’avons besoin que du cas où le schéma ambiant et le diviseur de Cartier effectif sont tous deux plats sur la base.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(p : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(i : D \to X\) un diviseur de Cartier effectif relatif (Diviseurs, définition 062T). Soit \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\). Pour tout \(\alpha \in \CH_{k + 1}(Y)\), on a \[i^*p^*\alpha = (p|_D)^*\alpha\] dans \(\CH_{k + r}(D)\) et \[c_1(\mathcal{L}) \cap p^*\alpha = i_* ((p|_D)^*\alpha)\] dans \(\CH_{k + r}(X)\).

Démonstration

Soit \(W \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). D’après Diviseurs, lemme 056Q, on voit que \(D \cap p^{-1}W\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(p^{-1}W\). Le lemme 02TB donne la première égalité dans \[i^*[p^{-1}W]_{k + r + 1} = [D \cap p^{-1}W]_{k + r} = [(p|_D)^{-1}(W)]_{k + r}.\] et la seconde découle de l’égalité \(D \cap p^{-1}(W) = (p|_D)^{-1}(W)\) de schémas. Puisque, par définition, \(p^*[W] = [p^{-1}W]_{k + r + 1}\), on voit que \(i^*p^*[W] = (p|_D)^*[W]\) comme cycles. Si \(\alpha = \sum m_j[W_j]\) est un \(k + 1\)-cycle quelconque, on obtient \(i^*\alpha = \sum m_j i^*p^*[W_j] = \sum m_j(p|_D)^*[W_j]\) comme cycles. Cela démontre la première égalité. Pour en déduire la seconde, on applique le lemme 02T9.

Fibrés affines

Pour un fibré affine, l’application d’image réciproque est surjective sur les groupes de Chow.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Supposons que, pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage ouvert \(U \subset Y\) tel que \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\) s’identifie au morphisme \(U \times \mathbf{A}^r \to U\). Alors \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) est surjectif pour tout \(k \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Soit \(\alpha \in \CH_{k + r}(X)\). Écrivons \(\alpha = \sum m_j[W_j]\), avec \(m_j \not = 0\) et des sous-schémas fermés intègres \(W_j\) deux à deux distincts de \(\delta\)-dimension \(k + r\). Alors la famille \(\{W_j\}\) est localement finie dans \(X\). Pour tout ouvert quasi-compact \(V \subset Y\), on voit que \(f^{-1}(V) \cap W_j\) n’est non vide que pour un nombre fini de \(j\). La famille \(Z_j = \overline{f(W_j)}\) des adhérences des images est donc une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(Y\).

Considérons les diagrammes de produit fibré \[\xymatrix{ f^{-1}(Z_j) \ar[r] \ar[d]_{f_j} & X \ar[d]^f \\ Z_j \ar[r] & Y }\] Supposons que \([W_j] \in Z_{k + r}(f^{-1}(Z_j))\) soit rationnellement équivalent à \(f_j^*\beta_j\) pour un \(k\)-cycle \(\beta_j \in \CH_k(Z_j)\). Alors \(\beta = \sum m_j \beta_j\) sera un \(k\)-cycle sur \(Y\), et \(f^*\beta = \sum m_j f_j^*\beta_j\) sera rationnellement équivalent à \(\alpha\) (voir la remarque 02RZ). Cela nous ramène au cas où \(Y\) est intègre et \(\alpha = [W]\) pour un sous-schéma fermé intègre de \(X\) dominant \(Y\). En particulier, on peut supposer que \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\).

On peut donc raisonner par récurrence sur \(d = \dim_\delta(Y)\). Si \(d < k\), alors \(\CH_{k + r}(X) = 0\) et le lemme est vrai. Par hypothèse, il existe un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\) comme schémas sur \(V\). Supposons que l’on puisse montrer que \(\alpha|_{f^{-1}(V)} = f^*\beta\) pour un certain \(\beta \in Z_k(V)\). D’après le lemme 02RC, on voit que \(\beta = \beta'|_V\) pour un certain \(\beta' \in Z_k(Y)\). D’après la suite exacte \(\CH_k(f^{-1}(Y \setminus V)) \to \CH_k(X) \to \CH_k(f^{-1}(V))\) du lemme 02RX, on voit que \(\alpha - f^*\beta'\) provient d’un cycle \(\alpha' \in \CH_{k + r}(f^{-1}(Y \setminus V))\). Comme \(\dim_\delta(Y \setminus V) < d\), la récurrence sur \(d\) donne le résultat.

On peut donc supposer que \(X = Y \times \mathbf{A}^r\). Dans ce cas, on peut factoriser \(f\) sous la forme \[X = Y \times \mathbf{A}^r \to Y \times \mathbf{A}^{r - 1} \to \ldots \to Y \times \mathbf{A}^1 \to Y.\] Il suffit donc de traiter le cas \(r = 1\). L’argument du deuxième paragraphe de la démonstration nous ramène au cas où \(\alpha = [W]\), \(Y\) est intègre et \(W \to Y\) dominant. On peut à nouveau raisonner par récurrence sur \(d = \dim_\delta(Y)\). Si \(W = Y \times \mathbf{A}^1\), alors \([W] = f^*[Y]\). Enfin, si \(W \subset Y \times \mathbf{A}^1\) est une inclusion stricte, alors \(W \to Y\) induit une extension finie de corps \(R(W)/R(Y)\). Soit \(P(T) \in R(Y)[T]\) le polynôme unitaire irréductible tel que la fibre générique de \(W \to Y\) soit définie par \(P\) dans \(\mathbf{A}^1_{R(Y)}\). Soit \(V \subset Y\) un ouvert non vide tel que \(P \in \Gamma(V, \mathcal{O}_Y)[T]\) et tel que \(W \cap f^{-1}(V)\) soit encore défini par \(P\). On voit alors que \(\alpha|_{f^{-1}(V)} \sim_{rat} 0\), et donc que \(\alpha \sim_{rat} \alpha'\) pour un cycle \(\alpha'\) sur \((Y \setminus V) \times \mathbf{A}^1\). La récurrence sur la dimension donne le résultat.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \[p : L = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L})) \longrightarrow X\] le fibré vectoriel associé sur \(X\). Alors \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + 1}(L)\) est un isomorphisme pour tout \(k\).

Démonstration

Pour la surjectivité, voir le lemme 02TT. Soit \(o : X \to L\) la section nulle de \(L \to X\), c’est-à-dire le morphisme correspondant à la surjection \(\text{Sym}^*(\mathcal{L}) \to \mathcal{O}_X\) qui envoie \(\mathcal{L}^{\otimes n}\) sur zéro pour tout \(n > 0\). Alors \(p \circ o = \text{id}_X\), et \(o(X)\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(L\). Le lemme 02TR donne donc \(o^* \circ p^* = \text{id}\), et l’on en conclut que \(p^*\) est également injectif.

Remarque

Nous verrons plus loin (lemme 02TY) que, si \(X\) est un fibré vectoriel de rang \(r\) sur \(Y\), alors l’application d’image réciproque \(\CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) est un isomorphisme. Cela est vrai dès que \(X \to Y\) satisfait aux hypothèses du lemme 02TT ; voir [Totaro-group, Lemme 2.2]. Nous esquisserons une démonstration dans la remarque 0GUB à l’aide des groupes de Chow supérieurs.

Lemme

Dans la situation du lemme 0B74, notons \(o : X \to L\) la section nulle (voir la démonstration du lemme). On a alors

1. \(o(X)\) est le schéma des zéros d’une section globale régulière de \(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}\),

2. \(o_* : \CH_k(X) \to \CH_k(L)\), puisque \(o\) est une immersion fermée,

3. \(o^* : \CH_{k + 1}(L) \to \CH_k(X)\), puisque \(o(X)\) est un diviseur de Cartier effectif,

4. \(o^* p^* : \CH_k(X) \to \CH_k(X)\) est l’application identique,

5. \(o_*\alpha = - p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha)\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\), et

6. \(o^* o_* : \CH_k(X) \to \CH_{k - 1}(X)\) est égal à l’application \(\alpha \mapsto - c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha\).

Démonstration

Puisque \(p_*\mathcal{O}_L = \text{Sym}^*(\mathcal{L})\), on a \(p_*(p^*\mathcal{L}^{\otimes -1}) = \text{Sym}^*(\mathcal{L}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\) d’après la formule de projection (Cohomologie, lemme 01E8), et la section mentionnée dans (1) est la trivialisation canonique \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1}\). Nous omettons la démonstration du fait que le lieu des zéros de cette section est précisément \(o(X)\). Cela démontre (1).

Nous avons établi les assertions (2), (3) et (4) au cours de la démonstration du lemme 0B74. Bien entendu, (4) est la première formule du lemme 02TR.

L’assertion (5) découle de la seconde formule du lemme 02TR, de l’additivité du produit cap avec \(c_1\) (lemme 02SP) et du fait que ce produit cap avec \(c_1\) commute à l’image réciproque plate (lemme 02SS).

L’assertion (6) découle du lemme 0F95 et du fait que \(o^*p^*\mathcal{L} = \mathcal{L}\).

Lemme

Soit \(Y\) un schéma. Soient \(\mathcal{L}_i\), \(i = 1, 2\) des \(\mathcal{O}_Y\)-modules inversibles. Soit \(s\) une section globale de \(\mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2\). Notons \(i : D \to Y\) le schéma des zéros de \(s\). Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D_1 \ar[r]_{i_1} \ar[d]_{p_1} & L \ar[d]^p & D_2 \ar[l]^{i_2} \ar[d]^{p_2} \\ D \ar[r]^i & Y & D \ar[l]_i }\] et des sections \(s_i\) de \(p^*\mathcal{L}_i\) telles que les assertions suivantes soient vérifiées :

1. \(p^*s = s_1 \otimes s_2\),

2. \(p\) est de type fini et plat de dimension relative \(1\),

3. \(D_i\) est le schéma des zéros de \(s_i\),

4. \(D_i \cong \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{L}_{3 - i}^{\otimes -1})|_D))\) sur \(D\) pour \(i = 1, 2\),

5. \(p^{-1}D = D_1 \cup D_2\) (réunion schématique),

6. \(D_1 \cap D_2\) (intersection schématique) s’envoie isomorphiquement sur \(D\), et

7. \(D_1 \cap D_2 \to D_i\) est la section nulle du fibré en droites \(D_i \to D\) pour \(i = 1, 2\).

De plus, la formation de ce diagramme et des sections \(s_i\) commute à tout changement de base.

Démonstration

Soit \(p : X \to Y\) le spectre relatif du faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_Y\)-algèbres \[\mathcal{A} = \left(\bigoplus\nolimits_{a_1, a_2 \geq 0} \mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes_{\mathcal{O}_Y} \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\right)/\mathcal{J}\] où \(\mathcal{J}\) est l’idéal engendré par les sections locales de la forme \(st - t\), pour \(t\) section locale de l’un des facteurs directs \(\mathcal{L}_1^{\otimes -a_1} \otimes \mathcal{L}_2^{\otimes -a_2}\) avec \(a_1, a_2 > 0\). Les sections \(s_i\), considérées comme applications \(p^*\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\), sont définies comme les adjointes des applications \(\mathcal{L}_i^{\otimes -1} \to \mathcal{A} = p_*\mathcal{O}_X\). Pour tout \(y \in Y\), on peut choisir un ouvert affine \(V \subset Y\), disons \(V = \Spec(A)\), contenant \(y\), et des trivialisations \(z_i : \mathcal{O}_V \to \mathcal{L}_i^{\otimes -1}|_V\). Remarquons que \(f = s(z_1z_2) \in A\) définit le sous-schéma fermé \(D\). Alors, clairement, \[p^{-1}(V) = \Spec(B[z_1, z_2]/(z_1 z_2 - f))\] Puisque \(D_i\) est défini par \(z_i\), tout est clair.

Lemme

Dans la situation du lemme 0F97, supposons \(Y\) localement de type fini sur \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Alors on a \(i_1^*p^*\alpha = p_1^*i^*\alpha\) dans \(\CH_k(D_1)\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(Y)\).

Démonstration

Soit \(W \subset Y\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Distinguons deux cas.

Supposons \(W \subset D\). Alors \(i^*[W] = c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W] + c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W]\) dans \(\CH_{k - 1}(D)\), d’après notre définition des homomorphismes de Gysin et l’additivité du lemme 02SP. Ainsi \(p_1^*i^*[W] = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\). D’autre part, on a \(p^*[W] = [p^{-1}(W)]_{k + 1}\) par construction de l’image réciproque plate. De plus, \(p^{-1}(W) = W_1 \cup W_2\) (au sens schématique), où \(W_i = p_i^{-1}(W)\) est un fibré en droites sur \(W\) d’après le lemme (puisque la formation du diagramme commute au changement de base). Alors \([p^{-1}(W)]_{k + 1} = [W_1] + [W_2]\), car les \(W_i\) sont des sous-schémas fermés intègres de \(L\) de \(\delta\)-dimension \(k + 1\). Ainsi \[\begin{align*} i_1^*p^*[W] & = i_1^*[p^{-1}(W)]_{k + 1} \\ & = i_1^*([W_1] + [W_2]) \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap [W_1] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = c_1(p_1^*\mathcal{L}_1) \cap p_1^*[W] + [W_1 \cap W_2]_k \\ & = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_1) \cap [W]) + [W_1 \cap W_2]_k \end{align*}\] par construction des homomorphismes de Gysin, par définition de l’image réciproque plate (pour la deuxième égalité) et par compatibilité de \(c_1 \cap -\) avec l’image réciproque plate (lemme 02SS). Puisque \(W_1 \cap W_2\) est la section nulle du fibré en droites \(W_1 \to W\), le lemme 0F96 donne \([W_1 \cap W_2]_k = p_1^*(c_1(\mathcal{L}_2) \cap [W])\). On utilise ici le fait que \(D_1\) est le fibré en droites qui est le spectre relatif de l’inverse de \(\mathcal{L}_2\). On obtient donc la même expression que précédemment.

Supposons \(W \not \subset D\). Dans ce cas, \(i_1^*p^*[W]\) et \(p_1^*i^*[W]\) sont tous deux représentés par le \(k - 1\)-cycle associé à l’image réciproque schématique de \(W\) dans \(D_1\).

Lemme

Dans la situation 02QL, soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 02T8. Il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ D' \ar[r]_{i'} \ar[d]_p & X' \ar[d]^g \\ D \ar[r]^i & X }\] tel que

1. \(p\) et \(g\) soient de type fini et plats de dimension relative \(1\),

2. \(p^* : \CH_k(D) \to \CH_{k + 1}(D')\) soit injectif pour tout \(k\),

3. \(D' \subset X'\) soit le schéma des zéros d’une section globale \(s' \in \Gamma(X', \mathcal{O}_{X'})\),

4. \(p^*i^* = (i')^*g^*\) comme applications \(\CH_k(X) \to \CH_k(D')\).

De plus, ces propriétés restent vraies après tout changement de base par un morphisme \(Y \to X\) localement de type fini.

Démonstration

Remarquons que \((i')^*\) est défini, car on dispose du triplet \((\mathcal{O}_{X'}, s', i' : D' \to X')\) comme dans la définition 02T8. L’énoncé a donc un sens.

Posons \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X\), \(\mathcal{L}_2 = \mathcal{L}\), et appliquons le lemme 0F97 à la section \(s\) de \(\mathcal{L} = \mathcal{L}_1 \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}_2\). Prenons \(D' = D_1\). Les résultats découlent alors de ce lemme, du lemme 0F98, et l’injectivité du lemme 0B74.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(r \geq 0\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Supposons que tout \(y \in Y\) soit contenu dans un ouvert \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}(V) \cong V \times \mathbf{A}^r\) comme schémas sur \(V\). Dans cette remarque, nous esquissons une démonstration du fait que \(f^* : \CH_k(Y) \to \CH_{k + r}(X)\) est un isomorphisme. D’abord, d’après le lemme 02TT, l’application est surjective. Soit \(\alpha \in \CH_k(Y)\) tel que \(f^*\alpha = 0\). Nous allons démontrer que \(\alpha = 0\).

Étape 1. On peut supposer que \(\dim_\delta(Y) < \infty\). (En pratique, cela est immédiat dans tous les cas, et nous suggérons donc de sauter cette étape.) En effet, toute équivalence rationnelle témoignant de l’égalité \(f^*\alpha = 0\) sur \(X\) fait intervenir une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres de dimension \(k + r + 1\). En prenant la réunion des adhérences de leurs images dans \(Y\), on obtient un sous-schéma fermé \(Y' \subset Y\) tel que \(\dim_\delta(Y') \leq k + r + 1\), que \(\alpha\) soit l’image d’un certain \(\alpha' \in \CH_k(Y')\), et que \((f')^*\alpha = 0\), où \(f'\) est le changement de base de \(f\) à \(Y'\).

Étape 2. Supposons \(d = \dim_\delta(Y) < \infty\). On peut alors raisonner par récurrence sur \(d\). Si \(d < k\), alors \(\alpha = 0\) et le résultat est acquis ; c’est le cas initial de la récurrence. En général, notre hypothèse sur \(f\) montre que l’on peut choisir un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(U = f^{-1}(V) = \mathbf{A}^r_V\). Notons \(Y' \subset Y\) le complémentaire de \(V\), muni de sa structure de sous-schéma fermé réduit, et posons \(X' = f^{-1}(Y')\). Considérons \[\xymatrix{ \CH^M_{k + r}(U, 1) \ar[r] & \CH_{k + r}(X') \ar[r] & \CH_{k + r}(X) \ar[r] & \CH_{k + r}(U) \ar[r] & 0 \\ \CH^M_k(V, 1) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y') \ar[r] \ar[u] & \CH_k(Y) \ar[r] \ar[u] & \CH_k(V) \ar[r] \ar[u] & 0 }\] Nous utilisons ici les premiers groupes de Chow supérieurs de \(V\) et de \(U\) et les suites exactes à six termes construites dans la remarque 0GUA, ainsi que l’image réciproque plate pour ces groupes de Chow supérieurs et sa compatibilité avec ces suites exactes à six termes. Puisque \(U = \mathbf{A}^r_V\), l’application verticale de droite est un isomorphisme. L’application \(\CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\) est bijective par récurrence sur \(d\). Pour achever le raisonnement, il suffit donc de montrer que \[\CH^M_k(V, 1) \longrightarrow \CH^M_{k + r}(U, 1)\] est surjective. En raisonnant comme dans la démonstration du lemme 02TT, on se ramène à l’étape 3 ci-dessous.

Étape 3. Soit \(F\) un corps. Alors \(\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = 0\). (Dans la démonstration du lemme cité ci-dessus, nous avons montré de manière analogue que \(\CH_0(\mathbf{A}^1_F) = 0\).) On a \[\CH^M_0(\mathbf{A}^1_F, 1) = \Coker\left( \partial : K^M_2(F(T)) \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \subset F[T]\text{ maximal}} \kappa(\mathfrak p)^*\right)\] L’argument classique pour établir la nullité du conoyau consiste à montrer, par récurrence sur le degré de \(\kappa(\mathfrak p)/F\), que le facteur direct correspondant à \(\mathfrak p\) est contenu dans l’image. Si \(\mathfrak p\) est engendré par le polynôme unitaire irréductible \(P(T) \in F[T]\) et si \(u \in \kappa(x)^*\) est la classe résiduelle d’un \(Q(T) \in F[T]\) tel que \(\deg(Q) < \deg(P)\), on montre que \(\partial(Q, P)\) donne l’élément \(u\) en \(\mathfrak p\), et éventuellement d’autres unités en des idéaux premiers divisant \(Q\), qui ont un degré inférieur. Cela achève l’esquisse de démonstration.

Théorie bivariante de l’intersection

Afin de traiter convenablement les classes de Chern supérieures des fibrés vectoriels, nous introduisons les classes de Chow bivariantes comme dans [F]. Notre définition diffère de celle de [F] sur deux points : (1) nous travaillons dans un cadre différent, et (2) nous exigeons seulement que nos classes bivariantes commutent aux homomorphismes de Gysin pour les schémas des zéros de sections de modules inversibles (section 02T7). Nous verrons plus loin, dans le lemme 0FBP, que nos classes bivariantes commutent à tous les homomorphismes de Gysin en codimension supérieure, et satisfont donc à toutes les propriétés exigées dans [F] ; voir aussi [F, Théorème 17.1].

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(p \in \mathbf{Z}\). Une classe bivariante \(c\) de degré \(p\) pour \(f\) est donnée par une règle qui associe à tout morphisme localement de type fini \(Y' \to Y\) et à tout \(k\) une application \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] où \(X' = Y' \times_Y X\), satisfaisant aux conditions suivantes :

1. si \(Y'' \to Y'\) est propre, alors \(c \cap (Y'' \to Y')_*\alpha'' = (X'' \to X')_*(c \cap \alpha'')\) pour tout \(\alpha''\) sur \(Y''\), où \(X'' = Y'' \times_Y X\),

2. si \(Y'' \to Y'\) est plat, localement de type fini et de dimension relative fixée, alors \(c \cap (Y'' \to Y')^*\alpha' = (X'' \to X')^*(c \cap \alpha')\) pour tout \(\alpha'\) sur \(Y'\), et

3. si \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\) est comme dans la définition 02T8, avec pour image réciproque \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\) sur \(X'\), alors on a \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\) pour tout \(\alpha'\) sur \(Y'\).

L’ensemble des classes bivariantes de degré \(p\) pour \(f\) est noté \(A^p(X \to Y)\).

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soient \(X \to Y\) et \(Y \to Z\) des morphismes de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(p \in \mathbf{Z}\). Il est clair que \(A^p(X \to Y)\) est un groupe abélien. De plus, on dispose clairement d’une composition bilinéaire \[A^p(X \to Y) \times A^q(Y \to Z) \to A^{p + q}(X \to Z)\] qui est associative.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\) entre schémas localement de type fini sur \(S\). Alors la règle qui associe à \(Y' \to Y\) \((f')^* : \CH_k(Y') \to \CH_{k + r}(X')\), où \(X' = X \times_Y Y'\), est une classe bivariante de degré \(-r\).

Démonstration

Cela découle des lemmes 02S1, 02RD, 02RG et 0B71.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 02T8. Alors la règle qui associe à \(f : X' \to X\) \((i')^* : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(D')\), où \(D' = D \times_X X'\), est une classe bivariante de degré \(1\).

Démonstration

Cela découle des lemmes 02TO, 02TA, 0B71 et 0B73.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(c \in A^p(X \to Z)\), et supposons \(f\) propre. Alors la règle qui associe à \(Z' \to Z\) \(\alpha \longmapsto f'_*(c \cap \alpha)\) est une classe bivariante notée \(f_* \circ c \in A^p(Y \to Z)\).

Démonstration

Cela découle des lemmes 02R5, 02RG et 02TA.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soient \(X \to Y\) et \(Y' \to Y\) des morphismes de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(X' = Y' \times_Y X\). On dispose alors d’une application de restriction évidente \[A^p(X \to Y) \longrightarrow A^p(X' \to Y'),\quad c \longmapsto res(c)\] obtenue en considérant un schéma \(Y''\) localement de type fini sur \(Y'\) comme un schéma localement de type fini sur \(Y\) et en posant \(res(c) \cap \alpha'' = c \cap \alpha''\) pour tout \(\alpha'' \in \CH_k(Y'')\). Cette opération de restriction est compatible avec les compositions de manière évidente.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Pour \(i = 1, 2\), soit \(Z_i \to X\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soient \(c_i \in A^{p_i}(Z_i \to X)\), \(i = 1, 2\) des classes bivariantes. Pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\), on peut se demander si \[c_1 \cap c_2 \cap \alpha = c_2 \cap c_1 \cap \alpha\] dans \(\CH_{k - p_1 - p_2}(Z_1 \times_X Z_2)\). Si cette égalité est vraie et le demeure après tout changement de base par un morphisme \(X' \to X\) localement de type fini, on dit que \(c_1\) et \(c_2\) commutent. Bien entendu, cela revient à dire que \[res(c_1) \circ c_2 = res(c_2) \circ c_1\] dans \(A^{p_1 + p_2}(Z_1 \times_X Z_2 \to X)\). Ici, \(res(c_1) \in A^{p_1}(Z_1 \times_X Z_2 \to Z_2)\) est la restriction de \(c_1\) au sens de la remarque 0F9Z ; de même pour \(res(c_2)\).

Exemple

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) un triplet comme dans la définition 02T8. Soit \(Z \to X\) un morphisme de schémas localement de type fini, et soit \(c \in A^p(Z \to X)\) une classe bivariante. Alors la classe de Gysin bivariante \(c' \in A^1(D \to X)\) du lemme 0B79 commute à \(c\) au sens de la remarque 0FA2. Il s’agit en effet d’une reformulation de la condition (3) de la définition 0B76.

Remarque

Il existe un type plus général de classe bivariante qui ne semble pas être considéré dans la littérature. Supposons en effet donné un diagramme \[X \longrightarrow Z \longleftarrow Y\] de schémas localement de type fini sur \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(p \in \mathbf{Z}\). On peut alors considérer une règle \(c\) qui associe à tout \(Z' \to Z\) localement de type fini des applications \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] pour tout \(k \in \mathbf{Z}\), où \(X' = X \times_Z Z'\) et \(Y' = Z' \times_Z Y\), compatibles aux

1. images directes propres pour \(Z'' \to Z'\) propre,

2. images réciproques plates pour \(Z'' \to Z'\) plat de dimension relative fixée, et

3. applications de Gysin pour \(D' \subset Z'\) comme dans la définition 02T8.

Nous omettons les formulations détaillées. Notons l’ensemble de toutes ces opérations \(A^p(X \to Z \leftarrow Y)\). Un exemple simple de l’utilité de cette notion est fourni par un morphisme propre \(f : X_2 \to X_1\). Alors \(f_*\) n’est pas une opération bivariante au sens de la définition 0B76, mais l’est au sens généralisé ci-dessus ; on a \(f_* \in A^0(X_1 \to X_1 \leftarrow X_2)\).

Cohomologie de Chow et première classe de Chern

Nous nous intéresserons surtout à \(A^p(X) = A^p(X \to X)\), qui désignera toujours les classes de cohomologie bivariante pour \(\text{id}_X\). C’est en effet là que se trouveront les classes de Chern.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). La cohomologie de Chow de \(X\) est la \(\mathbf{Z}\)-algèbre graduée \(A^*(X)\) dont la composante de degré \(p\) est \(A^p(X \to X)\).

Attention : il n’est pas clair que la structure de \(\mathbf{Z}\)-algèbre sur \(A^*(X)\) soit commutative, mais nous verrons que les classes de Chern appartiennent à son centre.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : Y' \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Comme cas particulier de la remarque 0F9Z, on dispose d’un homomorphisme canonique de \(\mathbf{Z}\)-algèbres \(res : A^*(Y) \to A^*(Y')\). Cet homomorphisme est souvent noté \(f^*\) dans la littérature.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors la règle qui associe à \(f : X' \to X\) \(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - 1}(X')\) est une classe bivariante de degré \(1\).

Démonstration

Cela découle des lemmes 02TI, 02SU, 02SS et 0B72.

Le lemme précédent nous permet enfin de donner la définition suivante.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. La première classe de Chern \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\) de \(\mathcal{L}\) est la classe bivariante du lemme 0B77.

Pour les modules localement libres de rang fini, nous construisons les classes de Chern dans la section 02U4. Montrons que \(c_1(\mathcal{L})\) appartient au centre de \(A^*(X)\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors

1. \(c_1(\mathcal{L}) \in A^1(X)\) appartient au centre de \(A^*(X)\), et

2. si \(f : X' \to X\) est localement de type fini et \(c \in A^*(X' \to X)\), alors \(c \circ c_1(\mathcal{L}) = c_1(f^*\mathcal{L}) \circ c\).

Démonstration

Bien entendu, (2) entraîne (1). Soit \(p : L \to X\) comme dans le lemme 0B74, et soit \(o : X \to L\) la section nulle. Notons \(p' : L' \to X'\) et \(o' : X' \to L'\) leurs changements de base. D’après le lemme 0F96, on a \[p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) = - o_* \alpha \quad\text{et}\quad (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap \alpha') = - o'_* \alpha'\] Puisque \(c\) est une classe bivariante, on a \[\begin{align*} (p')^*(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) & = c \cap p^*(c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha) \\ & = - c \cap o_* \alpha \\ & = - o'_*(c \cap \alpha) \\ & = (p')^*(c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha) \end{align*}\] Puisque \((p')^*\) est injectif d’après l’un des lemmes cités ci-dessus, on obtient \(c \cap c_1(\mathcal{L}) \cap \alpha = c_1(f^*\mathcal{L}) \cap c \cap \alpha\). Il en est de même après tout changement de base par un morphisme \(Y \to X\) localement de type fini, d’où l’égalité de classes bivariantes énoncée dans (2).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(S\) possédant un faisceau inversible ample. Supposons \(d = \dim(X) < \infty\) (il s’agit bien ici de la dimension et non de la \(\delta\)-dimension). Alors, pour tous faisceaux inversibles \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_{d + 1}\) sur \(X\), on a \(c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = 0\) dans \(A^{d + 1}(X)\).

Démonstration

Raisonnons par récurrence sur \(d\). Le cas initial \(d = 0\) est vrai, car dans ce cas \(X\) est un ensemble fini de points fermés, et tout module inversible est donc trivial. Supposons \(d > 0\). D’après Diviseurs, lemme 0AYM, on peut écrire \(\mathcal{L}_{d + 1} \cong \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\) pour des diviseurs de Cartier effectifs \(D, D' \subset X\). Alors \(c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\) est la différence de \(c_1(\mathcal{O}_X(D))\) et de \(c_1(\mathcal{O}_X(D'))\) ; on peut donc supposer \(\mathcal{L}_{d + 1} = \mathcal{O}_X(D)\) pour un diviseur de Cartier effectif.

Notons \(i : D \to X\) le morphisme d’inclusion, et notons \(i^* \in A^1(D \to X)\) la classe bivariante donnée par l’homomorphisme de Gysin comme dans le lemme 0B79. On a \(i_* \circ i^* = c_1(\mathcal{L}_{d + 1})\) dans \(A^1(X)\) d’après le lemme 02T9 (et le lemme 0EPK pour donner un sens au membre de gauche). Puisque \(c_1(\mathcal{L}_i)\) commute à \(i_*\) et à \(i^*\) (par définition des classes bivariantes), on en conclut que \[c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_{d + 1}) = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d) \circ i^* = i_* \circ c_1(\mathcal{L}_1|_D) \circ \ldots \circ c_1(\mathcal{L}_d|_D) \circ i^*\] On conclut donc par récurrence sur \(d\). En effet, on a \(\dim(D) < d\), car aucun des points génériques de \(X\) n’appartient à \(D\).

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(Z \to X\) une immersion fermée de schémas localement de type fini sur \(S\), et soit \(p \geq 0\). Dans ce cadre, on définit \[A^{(p)}(Z \to X) = \prod\nolimits_{i \leq p - 1} A^i(X) \times \prod\nolimits_{i \geq p} A^i(Z \to X).\] Alors \(A^{(p)}(Z \to X)\) est canoniquement muni d’une structure d’algèbre graduée. En fait, plus généralement, on dispose d’une multiplication \[A^{(p)}(Z \to X) \times A^{(q)}(Z \to X) \longrightarrow A^{(\max(p, q))}(Z \to X)\] Pour les définir, on définit des applications \[\begin{align*} A^i(Z \to X) \times A^j(X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \\ A^i(Z \to X) \times A^j(Z \to X) & \to A^{i + j}(Z \to X) \end{align*}\] Pour la première, on utilise la composition des classes bivariantes. Pour la deuxième, on utilise la restriction \(A^i(X) \to A^i(Z)\) (remarque 0F9Z) et la composition \(A^i(Z) \times A^j(Z \to X) \to A^{i + j}(Z \to X)\). Pour la troisième, on envoie \((c, c')\) sur \(res(c) \circ c'\), où \(res : A^i(Z \to X) \to A^i(Z)\) est l’application de restriction (voir la remarque 0F9Z). Nous omettons la vérification de l’associativité de ces multiplications en un sens approprié.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(Z \to X\) une immersion fermée de schémas localement de type fini sur \(S\). Notons \(res : A^p(Z \to X) \to A^p(Z)\) l’application de restriction de la remarque 0F9Z. Pour \(c \in A^p(Z \to X)\), on a \(res(c) \cap \alpha = c \cap i_*\alpha\) pour \(\alpha \in \CH_*(Z)\). En effet, \(res(c) \cap \alpha = c \cap \alpha\), et la compatibilité de \(c\) avec l’image directe propre donne \((Z \to Z)_*(c \cap \alpha) = c \cap (Z \to X)_*\alpha\).

Lemmes sur les classes bivariantes

Dans cette section, nous démontrons quelques résultats élémentaires sur les classes bivariantes. Voici un critère permettant de voir qu’une opération passe au quotient par équivalence rationnelle.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(p \in \mathbf{Z}\). Supposons donnée une règle qui associe à tout morphisme localement de type fini \(Y' \to Y\) et à tout \(k\) une application \[c \cap - : Z_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] où \(Y' = X' \times_X Y\), satisfaisant à la condition (3) de la définition 0B76 dès que \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\). Alors \(c \cap -\) se factorise par l’équivalence rationnelle.

Démonstration

L’énoncé a un sens car, étant donné un triplet \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la définition 02T8 tel que \(\mathcal{L}|_D \cong \mathcal{O}_D\), l’opération \(i^*\) est définie au niveau des cycles, voir la remarque 0B6Z. Soit \(\alpha \in Z_k(X')\) un cycle rationnellement équivalent à zéro. Nous devons montrer que \(c \cap \alpha = 0\). D’après le lemme 02S4, il existe un cycle \(\beta \in Z_{k + 1}(X' \times \mathbf{P}^1)\) tel que \(\alpha = i_0^*\beta - i_\infty^*\beta\), où \(i_0, i_\infty : X' \to X' \times \mathbf{P}^1\) sont les immersions fermées de \(X'\) au-dessus de \(0, \infty\). Puisque ce sont des exemples de diviseurs de Cartier effectifs à fibrés normaux triviaux, on voit que \(c \cap i_0^*\beta = j_0^*(c \cap \beta)\) et \(c \cap i_\infty^*\beta = j_\infty^*(c \cap \beta)\), où \(j_0, j_\infty : Y' \to Y' \times \mathbf{P}^1\) sont les immersions fermées comme ci-dessus. Comme \(j_0^*(c \cap \beta) \sim_{rat} j_\infty^*(c \cap \beta)\) (cela résulte du lemme 02S4), on conclut.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(p \in \mathbf{Z}\). Supposons donnée une règle qui associe à tout morphisme localement de type fini \(Y' \to Y\) et à tout \(k\) une application \[c \cap - : \CH_k(Y') \longrightarrow \CH_{k - p}(X')\] où \(Y' = X' \times_X Y\), satisfaisant aux conditions (1), (2) de la définition 0B76 et à la condition (3) dès que \(\mathcal{L}'|_{D'} \cong \mathcal{O}_{D'}\). Alors \(c \cap -\) est une classe bivariante.

Démonstration

Soit \(Y' \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini. Soit \((\mathcal{L}', s', i' : D' \to Y')\) comme dans la définition 02T8, et soit \((\mathcal{N}', t', j' : E' \to X')\) son image réciproque sur \(X'\). Nous devons montrer que \(c \cap (i')^*\alpha' = (j')^*(c \cap \alpha')\) pour tout \(\alpha' \in \CH_k(Y')\).

Notons \(g : Y'' \to Y'\) le morphisme lisse de dimension relative \(1\), avec \(i'' : D'' \to Y''\) et \(p : D'' \to D'\), construit dans le lemme 0F99. (Attention : \(D''\) n’est pas l’image réciproque entière de \(D'\).) Notons \(f : X'' \to X'\) et \(E'' \subset X''\) leurs changements de base par \(X' \to Y'\). On a le diagramme \[\xymatrix{ & X'' \ar[rr] \ar'[d][dd]_h & & Y'' \ar[dd]^g \\ E'' \ar[rr] \ar[dd]_q \ar[ru]^{j''} & & D'' \ar[dd]^p \ar[ru]^{i''} & \\ & X' \ar'[r][rr] & & Y' \\ E' \ar[rr] \ar[ru]^{j'} & & D' \ar[ru]^{i'} }\] D’après les propriétés données dans le lemme, nous savons que \(\beta' = (i')^*\alpha'\) est l’unique élément de \(\CH_{k - 1}(D')\) tel que \(p^*\beta' = (i'')^*g^*\alpha'\). De même, nous savons que \(\gamma' = (j')^*(c \cap \alpha')\) est l’unique élément de \(\CH_{k - 1 - p}(E')\) tel que \(q^*\gamma' = (j'')^*h^*(c \cap \alpha')\). Or nous savons que \[(j'')^*h^*(c \cap \alpha') = (j'')^*(c \cap g^*\alpha') = c \cap (i'')^*g^*\alpha'\] par nos hypothèses sur \(c\) ; remarquons que la version modifiée de (3) supposée dans l’énoncé du lemme s’applique à \(i''\) et à son changement de base \(j''\). Nous savons de même que \[q^*(c \cap \beta') = c \cap p^*\beta'\] On conclut que \(\gamma' = c \cap \beta'\) par l’unicité signalée ci-dessus.

Voici un critère pour qu’une classe bivariante soit nulle.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(c \in A^p(X \to Y)\). Pour \(Y'' \to Y' \to Y\), posons \(X'' = Y'' \times_Y X\) et \(X' = Y' \times_Y X\). Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(c\) est nulle,

2. \(c \cap [Y'] = 0\) dans \(\CH_*(X')\) pour tout schéma intègre \(Y'\) localement de type fini sur \(Y\), et

3. pour tout schéma intègre \(Y'\) localement de type fini sur \(Y\), il existe un morphisme propre birationnel \(Y'' \to Y'\) tel que \(c \cap [Y''] = 0\) dans \(\CH_*(X'')\).

Démonstration

Les implications (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (3) sont claires. L’hypothèse (3) implique (2) car \((Y'' \to Y')_*[Y''] = [Y']\) et donc \(c \cap [Y'] = (X'' \to X')_*(c \cap [Y''])\), puisque \(c\) est une classe bivariante. Supposons (2). Soit \(Y' \to Y\) localement de type fini. Soit \(\alpha \in \CH_k(Y')\). Écrivons \(\alpha = \sum n_i [Y'_i]\), où les \(Y'_i \subset Y'\) forment une famille localement finie de sous-schémas fermés intègres de \(\delta\)-dimension \(k\). On voit alors que \(\alpha\) est l’image directe du cycle \(\alpha' = \sum n_i[Y'_i]\) sur \(Y'' = \coprod Y'_i\) par le morphisme propre \(Y'' \to Y'\). Par les propriétés des classes bivariantes, il suffit de prouver que \(c \cap \alpha' = 0\) dans \(\CH_{k - p}(X'')\). On a \(\CH_{k - p}(X'') = \prod \CH_{k - p}(X'_i)\), où \(X'_i = Y'_i \times_Y X\). Cela résulte immédiatement des définitions. Les applications de projection \(\CH_{k - p}(X'') \to \CH_{k - p}(X'_i)\) sont données par l’image réciproque plate. Puisque le produit cap avec \(c\) commute à l’image réciproque plate, on voit qu’il suffit de montrer que \(c \cap [Y'_i]\) est nul dans \(\CH_{k - p}(X'_i)\), ce qui est vrai par hypothèse.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Supposons données des décompositions en réunions disjointes \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) et \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\) par des sous-schémas ouverts et fermés, ainsi qu’une application d’ensembles \(a : I \to J\) telle que \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\). Alors \[A^p(X \to Y) = \prod\nolimits_{i \in I} A^p(X_i \to Y_{a(i)})\]

Démonstration

Supposons donné un élément \((c_i) \in \prod_i A^p(X_i \to Y_{a(i)})\). Étant donné \(\beta \in \CH_k(Y)\), on peut alors l’envoyer sur l’élément de \(\CH_{k - p}(X)\) dont la restriction à \(X_i\) est \(c_i \cap \beta|_{Y_{a(i)}}\). Cela fonctionne car \(\CH_{k - p}(X) = \prod_i \CH_{k - p}(X_i)\). La même construction fonctionne après tout changement de base \(Y' \to Y\) localement de type fini, et l’on obtient \(c \in A^p(X \to Y)\). On obtient ainsi une application \(\Psi\) du membre droit de la formule vers son membre gauche. Réciproquement, étant donnés \(c \in A^p(X \to Y)\) et un élément \(\beta_i \in \CH_k(Y_{a(i)})\), on peut considérer l’élément \((c \cap (Y_{a(i)} \to Y)_*\beta_i)|_{X_i}\) de \(\CH_{k - p}(X_i)\). La même chose fonctionne après tout changement de base \(Y' \to Y\) localement de type fini, et l’on obtient \(c_i \in A^p(X_i \to Y_{a(i)})\). On obtient ainsi une application \(\Phi\) du membre gauche de la formule vers son membre droit. Il est immédiat que \(\Phi \circ \Psi = \text{id}\). Réciproquement, supposons que \(c \in A^p(X \to Y)\) et \(\beta \in \CH_k(Y)\). Écrivons \(\Phi(c) = (c_i)\). Soit \(j \in J\). Comme \(c\) commute à l’image réciproque plate, on a \[(c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i} = c \cap \beta|_{Y_j}\] Comme \(c\) commute à l’image directe propre, on a \[(\coprod\nolimits_{a(i) = j} X_i \to X)_* ((c \cap \beta)|_{\coprod_{a(i) = j} X_i}) = c \cap (Y_j \to Y)_*\beta|_{Y_j}\] Le membre gauche est le cycle sur \(X\) qui se restreint en \((c \cap \beta)|_{X_i}\) sur \(X_i\) pour \(i \in I\) tel que \(a(i) = j\), et qui vaut \(0\) sinon. Le membre droit est un cycle sur \(X\) dont la restriction à \(X_i\) est \(c_i \cap \beta|_{Y_j}\) pour \(i \in I\) tel que \(a(i) = j\). Ainsi, \(c \cap \beta = \Psi((c_i))\), comme voulu.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soient \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) et \(Y = \coprod_{j \in J} Y_j\) les décompositions de \(X\) et de \(Y\) en leurs composantes connexes (les composantes connexes sont ouvertes puisque \(X\) et \(Y\) sont localement noethériens ; voir Topologie, Lemme 04MF, et Propriétés, Lemme 01OZ). Soit \(a(i) \in J\) l’indice tel que \(f(X_i) \subset Y_{a(i)}\). Alors \(A^p(X \to Y) = \prod A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) d’après le Lemme 0FDZ. Dans ce cadre, il est commode de poser \[A^*(X \to Y)^\wedge = \prod\nolimits_i A^*(X_i \to Y_{a(i)})\] Ce groupe bivariant « complété » est le sous-ensemble \[A^*(X \to Y)^\wedge \quad\subset\quad \prod\nolimits_{p \geq 0} A^p(X \to Y)\] formé des éléments \(c = (c_0, c_1, c_2, \ldots)\) tels que, pour toute composante connexe \(X_i\), l’image de \(c_p\) dans \(A^p(X_i \to Y_{a(i)})\) soit nulle pour presque tout \(p\). Si \(Y \to Z\) est un second morphisme, alors la composition \(A^*(X \to Y) \times A^*(Y \to Z) \to A^*(X \to Z)\) s’étend en une composition \(A^*(X \to Y)^\wedge \times A^*(Y \to Z)^\wedge \to A^*(X \to Z)^\wedge\) des complétés. On appelle parfois \(A^*(X)^\wedge = A^*(X \to X)^\wedge\) l’anneau de cohomologie bivariante complété de \(X\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas localement de type fini sur \(S\). Soit \(g : Y' \to Y\) une enveloppe (Définition 0GU5) et notons \(X' = Y' \times_Y X\). Soit \(p \in \mathbf{Z}\) et soit \(c' \in A^p(X' \to Y')\). Si les deux restrictions \[res_1(c') = res_2(c') \in A^p(X' \times_X X' \to Y' \times_Y Y')\] sont égales (voir la démonstration), alors il existe un unique \(c \in A^p(X \to Y)\) dont la restriction \(res(c) = c'\) dans \(A^p(X' \to Y')\).

Démonstration

On a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \times_X X' \ar[d]^{f''} \ar@<1ex>[r]^-a \ar@<-1ex>[r]_-b & X' \ar[d]^{f'} \ar[r]_h & X \ar[d]^f \\ Y' \times_Y Y' \ar@<1ex>[r]^-p \ar@<-1ex>[r]_-q & Y' \ar[r]^g & Y }\] L’élément \(res_1(c')\) est la restriction (voir Remarque 0F9Z) de \(c'\) pour le carré cartésien de morphismes \(a, f', p, f''\), et l’élément \(res_2(c')\) est la restriction de \(c'\) pour le carré cartésien de morphismes \(b, f', q, f''\). Supposons \(res_1(c') = res_2(c')\) et soit \(\beta \in \CH_k(Y)\). D’après le Lemme 0GU8, on peut trouver un \(\beta' \in \CH_k(Y')\) tel que \(g_*\beta' = \beta\). On pose alors \[c \cap \beta = h_*(c' \cap \beta')\] Pour voir que ceci ne dépend pas du choix de \(\beta'\), il suffit de montrer que \(h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma))\) est nul pour \(\gamma \in \CH_k(Y' \times_Y Y')\). Puisque \(c'\) est une classe bivariante, on a \[h_*(c' \cap (p_*\gamma - q_*\gamma)) = h_*(a_*(c' \cap \gamma) - b_*(c' \cap \gamma)) = 0\] la dernière égalité résultant de \(h_* \circ a_* = h_* \circ b_*\), car \(h \circ a = h \circ b\).

Remarquons que notre choix de \(c \cap \beta\) est imposé par la condition \(res(c) = c'\) et par la compatibilité des classes bivariantes avec l’image directe propre.

Bien entendu, pour définir la classe bivariante \(c\), il nous faut construire des applications \(c \cap -: \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(Y_1 \times_Y X)\) pour tout morphisme \(Y_1 \to Y\) localement de type fini satisfaisant aux conditions énumérées dans la Définition 0B76. Notons \(Y'_1 = Y' \times_Y Y_1\), \(X_1 = X \times_Y Y_1\). Le morphisme \(Y'_1 \to Y_1\) est une enveloppe d’après le Lemme 0GU7. Nous pouvons donc utiliser le diagramme obtenu par changement de base \[\xymatrix{ X'_1 \times_{X_1} X'_1 \ar[d]^{f''_1} \ar@<1ex>[r]^-{a_1} \ar@<-1ex>[r]_-{b_1} & X'_1 \ar[d]^{f'_1} \ar[r]_{h_1} & X_1 \ar[d]^{f_1} \\ Y'_1 \times_{Y_1} Y'_1 \ar@<1ex>[r]^-{p_1} \ar@<-1ex>[r]_-{q_1} & Y'_1 \ar[r]^{g_1} & Y_1 }\] et les mêmes arguments pour obtenir une application bien définie \(c \cap - : \CH_k(Y_1) \to \CH_{k + p}(X_1)\) comme ci-dessus.

Il nous faut ensuite vérifier les conditions (1), (2) et (3) de la Définition 0B76 pour \(c\). Par exemple, supposons que \(t : Y_2 \to Y_1\) soit un morphisme propre de schémas localement de type fini sur \(Y\). Notons comme ci-dessus les changements de base du premier diagramme à \(Y_1\), resp. à \(Y_2\), par les indices \({}_1\), resp. \({}_2\). Notons \(t' : Y'_2 \to Y'_1\), \(s : X_2 \to X_1\) et \(s' : X'_2 \to X'_1\) les changements de base de \(t\) à \(Y'\), \(X\) et \(X'\). Nous devons montrer que \[s_*(c \cap \beta_2) = c \cap t_*\beta_2\] pour \(\beta_2 \in \CH_k(Y_2)\). Choisissons \(\beta'_2 \in \CH_k(Y'_2)\) tel que \(g_{2, *}\beta'_2 = \beta_2\). Puisque \(c'\) est une classe bivariante et que les diagrammes \[\vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{h_2} & X_2 \ar[d]^s \\ X'_1 \ar[r]^{h_1} & X_1 } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ X'_2 \ar[d]_{s'} \ar[r]_{f'_2} & Y'_2 \ar[d]^{t'} \\ X'_2 \ar[r]^{f'_1} & Y'_1 } }\] sont cartésiens, on a \[s_*(c \cap \beta_2) = s_*(h_{2, *}(c' \cap \beta'_2)) = h_{1, *}s'_*(c' \cap \beta'_2) = h_{1, *}(c' \cap (t'_*\beta'_2))\] et l’expression finale calcule \(c \cap t_*\beta_2\) par construction : \(t'_*\beta'_2 \in \CH_k(Y'_1)\) est une classe dont l’image par \(g_{1, *}\) est \(t_*\beta_2\). Ceci démontre la condition (1). Les autres conditions se démontrent de la même manière, et nous omettons les arguments détaillés.

Formule du fibré projectif

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Considérons un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\) de rang \(r\). Notre convention est que le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\) est le morphisme \[\xymatrix{ \mathbf{P}(\mathcal{E}) = \underline{\text{Proj}}_X(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \ar[r]^-\pi & X }\] au-dessus de \(X\), avec \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\) normalisé de sorte que \(\pi_*(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)) = \mathcal{E}\). En particulier, il existe une surjection \(\pi^*\mathcal{E} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\). Nous dirons informellement « soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\) » pour désigner la situation où \(P = \mathbf{P}(\mathcal{E})\) et \(\mathcal{O}_P(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{E})}(1)\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\) de rang \(r\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). Pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\), l’élément \[\pi_*\left( c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha \right) \in \CH_{k + r - 1 - s}(X)\] est \(0\) si \(s < r - 1\) et est égal à \(\alpha\) lorsque \(s = r - 1\).

Démonstration

Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de \(\delta\)-dimension \(k\). Remarquons que \(\pi^*[Z] = [\pi^{-1}(Z)]\), car \(\pi^{-1}(Z)\) est intègre de \(\delta\)-dimension \(r - 1\). Si \(s < r - 1\), alors, par construction, \(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*[Z]\) est représenté par un \((k + r - 1 - s)\)-cycle supporté sur \(\pi^{-1}(Z)\). L’image directe de ce cycle est donc nulle pour des raisons de dimension.

Soit \(s = r - 1\). L’argument donné ci-dessus montre que \(\pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1))^s \cap \pi^*\alpha) = n [Z]\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\). Nous voulons montrer que \(n = 1\). Pour les mêmes raisons de dimension que ci-dessus, il suffit de démontrer ce résultat après avoir remplacé \(X\) par \(X \setminus T\), où \(T \subset Z\) est une partie fermée propre. Soit \(\xi\) le point générique de \(Z\). On peut choisir des éléments \(e_1, \ldots, e_{r - 1} \in \mathcal{E}_\xi\) qui font partie d’une base de \(\mathcal{E}_\xi\). Ils donnent des sections rationnelles \(s_1, \ldots, s_{r - 1}\) de \(\mathcal{O}_P(1)|_{\pi^{-1}(Z)}\) dont le lieu commun des zéros est l’adhérence de l’image d’une section rationnelle de \(\mathbf{P}(\mathcal{E}|_Z) \to Z\), réunie à une partie fermée dont le support s’envoie dans une partie fermée propre \(T\) de \(Z\). Après avoir retiré \(T\) de \(X\) (et, de façon correspondante, \(\pi^{-1}(T)\) de \(P\)), on voit que \(s_1, \ldots, s_n\) forment une suite de sections globales \(s_i \in \Gamma(\pi^{-1}(Z), \mathcal{O}_{\pi^{-1}(Z)}(1))\) dont le lieu commun des zéros est l’image d’une section \(Z \to \pi^{-1}(Z)\). On voit donc successivement que \[\begin{eqnarray*} \pi^*[Z] & = & [\pi^{-1}(Z)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1)] \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^2 \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap Z(s_2)] \\ \ldots & = & \ldots \\ c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*[Z] & = & [Z(s_1) \cap \ldots \cap Z(s_{r - 1})] \end{eqnarray*}\] par applications répétées du Lemme 02SQ. Puisque l’image directe par \(\pi\) de l’image d’une section de \(\pi\) au-dessus de \(Z\) est clairement \([Z]\), on obtient le résultat lorsque \(\alpha = [Z]\). Nous omettons la vérification que ces arguments donnent le résultat pour un cycle général \(\alpha = \sum n_j [Z_j]\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini \(\mathcal{E}\) de rang \(r\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). L’application \[\bigoplus\nolimits_{i = 0}^{r - 1} \CH_{k + i}(X) \longrightarrow \CH_{k + r - 1}(P),\] \[(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r-1}) \longmapsto \pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}\] est un isomorphisme.

Démonstration

Fixons \(k \in \mathbf{Z}\). Montrons d’abord que l’application est injective. Supposons que \((\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\) soit un élément du membre gauche qui s’envoie sur zéro. D’après le Lemme 02TW, on voit que \[0 = \pi_*(\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r-1}) = \alpha_{r - 1}\] Ensuite, on voit que \[0 = \pi_*(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap (\pi^*\alpha_0 + c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_P(1))^{r - 2} \cap \pi^*\alpha_{r - 2})) = \alpha_{r - 2}\] et ainsi de suite. L’application est donc injective.

Il reste à montrer que l’application est surjective. Soient \(X_i\), \(i \in I\), les composantes irréductibles de \(X\). Alors \(P_i = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{X_i})\), \(i \in I\), sont les composantes irréductibles de \(P\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \coprod P_i \ar[d]_{\coprod \pi_i} \ar[r]_p & P \ar[d]^\pi \\ \coprod X_i \ar[r]^q & X }\] Remarquons que \(p_*\) est surjective. Si \(\beta \in \CH_k(\coprod X_i)\), alors \(\pi^* q_* \beta = p_*(\coprod \pi_i)^* \beta\) ; voir le Lemme 02RG. Il en va de même pour le produit cap avec \(c_1(\mathcal{O}(1))\), d’après le Lemme 02SU. Par conséquent, si l’application du lemme est surjective pour chacun des morphismes \(\pi_i : P_i \to X_i\), alors elle est surjective pour \(\pi : P \to X\). On peut donc supposer \(X\) irréductible. Ainsi, \(\dim_\delta(X) < \infty\), et l’on peut en particulier raisonner par récurrence sur \(\dim_\delta(X)\).

Le résultat est clair si \(\dim_\delta(X) < k\). Soit \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\). Pour tout sous-schéma localement fermé \(T \subset X\), notons \(\gamma_T : \bigoplus \CH_{k + i}(T) \to \CH_{k + r - 1}(\pi^{-1}(T))\) l’application \[\gamma_T(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1}) = \pi^*\alpha_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(T)}(1))^{r - 1} \cap \pi^*\alpha_{r - 1}.\] Supposons que, pour un certain ouvert non vide \(U \subset X\), on ait \(\alpha|_{\pi^{-1}(U)} = \gamma_U(\alpha_0, \ldots, \alpha_{r - 1})\). On peut alors choisir des relèvements \(\alpha'_i \in \CH_{k + i}(X)\), et l’on voit que \(\alpha - \gamma_X(\alpha'_0, \ldots, \alpha'_{r - 1})\) est, d’après le Lemme 02RX, rationnellement équivalent à un \(k\)-cycle sur \(P_Y = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_Y)\), où \(Y = X \setminus U\) est muni de sa structure de sous-schéma fermé réduit. Remarquons que \(\dim_\delta(Y) < \dim_\delta(X)\). Par récurrence, le résultat vaut pour \(P_Y \to Y\), et il vaut donc pour \(\alpha\). On peut par conséquent remplacer \(X\) par n’importe quel ouvert non vide de \(X\).

En particulier, on peut supposer que \(\mathcal{E} \cong \mathcal{O}_X^{\oplus r}\). Dans ce cas, \(\mathbf{P}(\mathcal{E}) = X \times \mathbf{P}^{r - 1}\). Utilisons la stratification \[\mathbf{P}^{r - 1} = \mathbf{A}^{r - 1} \amalg \mathbf{A}^{r - 2} \amalg \ldots \amalg \mathbf{A}^0\] L’adhérence de chaque strate est un \(\mathbf{P}^{r - 1 - i}\) qui représente \(c_1(\mathcal{O}(1))^i \cap [\mathbf{P}^{r - 1}]\). Ainsi, \(P\) possède une stratification analogue \[P = U^{r - 1} \amalg U^{r - 2} \amalg \ldots \amalg U^0\] Soit \(P^i\) l’adhérence de \(U^i\). Soit \(\pi^i : P^i \to X\) la restriction de \(\pi\) à \(P^i\). Soit \(\alpha \in \CH_{k + r - 1}(P)\). D’après le Lemme 02TT, on peut écrire \(\alpha|_{U^{r - 1}} = \pi^*\alpha_0|_{U^{r - 1}}\) pour un certain \(\alpha_0 \in \CH_k(X)\). La différence \(\alpha - \pi^*\alpha_0\) est donc l’image d’un certain \(\alpha' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 2})\). En appliquant de nouveau le Lemme 02TT, on peut écrire \(\alpha'|_{U^{r - 2}} = (\pi^{r - 2})^*\alpha_1|_{U^{r - 2}}\) pour un certain \(\alpha_1 \in \CH_{k + 1}(X)\). D’après le Lemme 02TR, on voit que l’image de \((\pi^{r - 2})^*\alpha_1\) représente \(c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\). On voit également que \(\alpha - \pi^*\alpha_0 - c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha_1\) est l’image d’un certain \(\alpha'' \in \CH_{k + r - 1}(P^{r - 3})\). Et ainsi de suite.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Soit \[p : E = \underline{\Spec}(\text{Sym}^*(\mathcal{E})) \longrightarrow X\] le fibré vectoriel associé au-dessus de \(X\). Alors \(p^* : \CH_k(X) \to \CH_{k + r}(E)\) est un isomorphisme pour tout \(k\).

Démonstration

(Pour le cas des fibrés en droites, voir le Lemme 0B74.) Pour la surjectivité, voir le Lemme 02TT. Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé au faisceau localement libre de type fini \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\). Soit \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) correspondant à la section globale \((0, 1) \in \Gamma(X, \mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X)\). Soit \(D = Z(s) \subset P\). Remarquons que \((\pi|_D : D \to X , \mathcal{O}_P(1)|_D)\) est le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). On note \(\pi_D = \pi|_D\) et \(\mathcal{O}_D(1) = \mathcal{O}_P(1)|_D\). De plus, \(D\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(P\). Ainsi, \(\mathcal{O}_P(D) = \mathcal{O}_P(1)\) (voir Diviseurs, Lemme 01X0). Il existe aussi un isomorphisme \(E \cong P \setminus D\). Notons \(j : E \to P\) l’immersion ouverte correspondante. Pour l’injectivité, on utilise que le noyau de \[j^* : \CH_{k + r}(P) \longrightarrow \CH_{k + r}(E)\] est formé des cycles supportés dans le diviseur de Cartier effectif \(D\) ; voir le Lemme 02RX. Ainsi, si \(p^*\alpha = 0\), alors \(\pi^*\alpha = i_*\beta\) pour un certain \(\beta \in \CH_{k + r}(D)\). D’après le Lemme 02TX, on peut écrire \[\beta = \pi_D^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^{r - 1} \cap \pi_D^* \beta_{r - 1}.\] pour certains \(\beta_i \in \CH_{k + i}(X)\). D’après les Lemmes 02TR et 02SU, cela implique \[\pi^*\alpha = i_*\beta = c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\beta_0 + \ldots + c_1(\mathcal{O}_D(1))^r \cap \pi^*\beta_{r - 1}.\] Puisque le rang de \(\mathcal{E} \oplus \mathcal{O}_X\) est \(r + 1\), cela contredit le Lemme 02SU, à moins que tous les \(\alpha\) et tous les \(\beta_i\) ne soient nuls.

Les classes de Chern d’un fibré vectoriel

Nous pouvons utiliser la formule du fibré en espaces projectifs pour définir les classes de Chern d’un fibré vectoriel de rang \(r\) au moyen du développement de \(c_1(\mathcal{O}(1))^r\) suivant les puissances inférieures, voir la formule (02U1). La raison des signes sera expliquée plus loin.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré en espaces projectifs associé à \(\mathcal{E}\).

1. D’après le Lemme 02TX, il existe des éléments \(c_i \in \CH_{n - i}(X)\), \(i = 0, \ldots, r\) tels que \(c_0 = [X]\), et [02U1]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\]

2. Avec les notations ci-dessus, nous posons \(c_i(\mathcal{E}) \cap [X] = c_i\) comme élément de \(\CH_{n - i}(X)\). Nous les appelons les classes de Chern de \(\mathcal{E}\) sur \(X\).

3. La classe de Chern totale de \(\mathcal{E}\) sur \(X\) est la somme \[c({\mathcal E}) \cap [X] = c_0({\mathcal E}) \cap [X] + c_1({\mathcal E}) \cap [X] + \ldots + c_r({\mathcal E}) \cap [X]\] qui est un élément de \(\CH_*(X) = \bigoplus_{k \in \mathbf{Z}} \CH_k(X)\).

Vérifions que cela ne donne pas une notion nouvelle lorsque le fibré vectoriel est de rang \(1\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Supposons \(X\) intègre et \(n = \dim_\delta(X)\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. La première classe de Chern de \(\mathcal{L}\) sur \(X\) de la Définition 02U0 est égale au diviseur de Weil associé à \(\mathcal{L}\) par la Définition 02SJ.

Démonstration

Dans cette démonstration, nous employons \(c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\) pour désigner la construction de la Définition 02SJ. Comme \(\mathcal{L}\) est de rang \(1\), nous avons \(\mathbf{P}(\mathcal{L}) = X\) et \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(\mathcal{L})}(1) = \mathcal{L}\) d’après nos normalisations. Ainsi, (02U1) s’écrit \[(-1)^1 c_1(\mathcal{L}) \cap c_0 + (-1)^0 c_1 = 0\] Puisque \(c_0 = [X]\), nous concluons que \(c_1 = c_1(\mathcal{L}) \cap [X]\), comme voulu.

Remarque

Nous pourrions aussi récrire l’équation 02U1 sous la forme [05M8]\[\begin{equation} \sum\nolimits_{i = 0}^r c_1(\mathcal{O}_P(-1))^i \cap \pi^*c_{r - i} = 0. \end{equation}\] mais il nous paraît plus facile de travailler avec le faisceau quotient tautologique \(\mathcal{O}_P(1)\) plutôt qu’avec son dual.

Intersection avec les classes de Chern

Dans cette section, nous définissons les classes de Chern des fibrés vectoriels sur \(X\) comme classes bivariantes sur \(X\), voir le Lemme 0B7H et la discussion qui le suit. Notre construction suit le procédé familier consistant à définir d’abord l’opération sur les cycles premiers, puis à sommer. Dans le Lemme 02U6, nous montrons que le résultat est déterminé par la formule usuelle sur le fibré projectif associé. Ensuite, nous montrons que l’intersection avec les classes de Chern passe à l’équivalence rationnelle, commute à l’image directe propre, commute à l’image inverse par un morphisme plat et commute aux homomorphismes de Gysin pour les inclusions de diviseurs de Cartier effectifs. On aurait pu éviter ces lemmes en utilisant directement la caractérisation du Lemme 02U6 et le Lemme 0EPK ; le lecteur qui souhaite en voir les détails pourra consulter Groupes de Chow des espaces, Lemme 0ERY.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Nous définissons, pour tout entier \(k\) et tout \(0 \leq j \leq r\), une opération \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : Z_k(X) \to \CH_{k - j}(X)\] appelée intersection avec la \(j\)-ième classe de Chern de \(\mathcal{E}\).

1. Étant donné un sous-schéma fermé intègre \(i : W \to X\) de \(\delta\)-dimension \(k\), nous définissons \[c_j(\mathcal{E}) \cap [W] = i_*(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]) \in \CH_{k - j}(X)\] où \(c_j({i^*\mathcal{E}}) \cap [W]\) est défini comme dans la Définition 02U0.

2. Pour un \(k\)-cycle quelconque \(\alpha = \sum n_i [W_i]\), nous posons \[c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = \sum n_i c_j(\mathcal{E}) \cap [W_i]\]

Si \(\mathcal{E}\) est de rang \(1\), cela coïncide avec notre définition précédente (Définition 02SO) d’après le Lemme 02U2.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). Pour \(\alpha \in Z_k(X)\), les éléments \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\) sont les uniques éléments \(\alpha_j\) de \(\CH_{k - j}(X)\) tels que \(\alpha_0 = \alpha\) et que \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow de \(P\).

Démonstration

L’unicité de \(\alpha_0, \ldots, \alpha_r\) tels que \(\alpha_0 = \alpha\) et que l’équation affichée soit satisfaite résulte de la formule du fibré en espaces projectifs, Lemme 02TX. Par définition, l’identité est satisfaite pour \(\alpha = [W]\), où \(W\) est un sous-schéma fermé intègre de \(X\). Pour un \(k\)-cycle quelconque \(\alpha\) sur \(X\), écrivons \(\alpha = \sum n_a[W_a]\) avec \(n_a \not = 0\), et \(i_a : W_a \to X\) des sous-schémas fermés intègres deux à deux distincts. Alors la famille \(\{W_a\}\) est localement finie sur \(X\). Posons \(P_a = \pi^{-1}(W_a) = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_{W_a})\). Notons \(i'_a : P_a \to P\) les immersions fermées correspondantes. Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ P' \ar@{=}[r] \ar[d]_{\pi'} & \coprod P_a \ar[d]_{\coprod \pi_a} \ar[r]_{\coprod i'_a} & P \ar[d]^\pi \\ X' \ar@{=}[r] & \coprod W_a \ar[r]^{\coprod i_a} & X }\] Le morphisme \(p : X' \to X\) est propre. De plus, \(\pi' : P' \to X'\), muni du faisceau inversible \(\mathcal{O}_{P'}(1) = \coprod \mathcal{O}_{P_a}(1)\), qui est également l’image inverse de \(\mathcal{O}_P(1)\), est le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}' = p^*\mathcal{E}\). Par définition, \[c_j(\mathcal{E}) \cap [\alpha] = \sum i_{a, *}(c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]).\] Écrivons \(\beta_{a, j} = c_j(\mathcal{E}|_{W_a}) \cap [W_a]\), qui est un élément de \(\CH_{k - j}(W_a)\). Nous avons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_a}(1))^i \cap \pi_a^*(\beta_{a, r - i}) = 0\] pour tout \(a\), par définition. Il est donc clair que nous avons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(\beta_{r - i}) = 0\] avec \(\beta_j = \sum n_a\beta_{a, j} \in \CH_{k - j}(X')\). Notons \(p' : P' \to P\) le morphisme \(\coprod i'_a\). Nous avons \(\pi^*p_*\beta_j = p'_*(\pi')^*\beta_j\) d’après le Lemme 02RG. Par la formule de projection du Lemme 02SU, nous concluons que \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\beta_j) = 0\] Puisque \(p_*\beta_j\) est un représentant de \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), le résultat s’ensuit.

Nous utiliserons systématiquement cette caractérisation des classes de Chern pour en démontrer bien d’autres propriétés.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Si \(\alpha \sim_{rat} \beta\) sont des \(k\)-cycles rationnellement équivalents sur \(X\), alors \(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\) dans \(\CH_{k - j}(X)\).

Démonstration

D’après le Lemme 02U6, les éléments \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), \(j \geq 1\), et \(\beta_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \beta\), \(j \geq 1\), sont uniquement déterminés par la même équation dans le groupe de Chow du fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). (Cela repose bien entendu sur le fait que l’image inverse par un morphisme plat est compatible avec l’équivalence rationnelle, voir le Lemme 02S1.) Ils sont donc égaux.

Autrement dit, l’intersection avec les classes de Chern des faisceaux localement libres de type fini passe à l’équivalence rationnelle et donne des applications \[c_j(\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X) \to \CH_{k - j}(X).\] Notre tâche suivante consiste à montrer que les classes de Chern sont des classes bivariantes, voir la Définition 0B76.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Soit \(p : X \to Y\) un morphisme propre. Soit \(\alpha\) un \(k\)-cycle sur \(X\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini sur \(Y\). Alors \[p_*(c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(\mathcal{E}) \cap p_*\alpha\]

Démonstration

Soit \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré projectif associé à \(\mathcal{E}\). Alors \(P_X = X \times_Y P\) est le fibré projectif associé à \(p^*\mathcal{E}\) et \(\mathcal{O}_{P_X}(1)\) est l’image inverse de \(\mathcal{O}_P(1)\). Écrivons \(\alpha_j = c_j(p^*\mathcal{E}) \cap \alpha\), de sorte que \(\alpha_0 = \alpha\). D’après le Lemme 02U6, nous avons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi_X^*(\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow de \(P_X\). Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ P_X \ar[r]_-{p'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^p & Y }\] Appliquons l’image directe propre \(p'_*\), (Lemme 02S2) à l’égalité affichée ci-dessus. En utilisant les Lemmes 02SU et 02RG, nous obtenons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(p_*\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow de \(P\). Par la caractérisation du Lemme 02U6, nous concluons.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soient \(X\), \(Y\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(Y\). Soit \(f : X \to Y\) un morphisme plat de dimension relative \(r\). Soit \(\alpha\) un \(k\)-cycle sur \(Y\). Alors \[f^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha) = c_j(f^*\mathcal{E}) \cap f^*\alpha\]

Démonstration

Écrivons \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), de sorte que \(\alpha_0 = \alpha\). D’après le Lemme 02U6, nous avons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow du fibré projectif \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) associé à \(\mathcal{E}\). Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ P_X = \mathbf{P}(f^*\mathcal{E}) \ar[r]_-{f'} \ar[d]_{\pi_X} & P \ar[d]^\pi \\ X \ar[r]^f & Y }\] Notons que \(\mathcal{O}_{P_X}(1)\) est l’image inverse de \(\mathcal{O}_P(1)\). Appliquons l’image inverse plate \((f')^*\), (Lemme 02S1) à l’équation affichée ci-dessus. D’après les Lemmes 02SS et 02RD, nous voyons que \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_X}(1))^i \cap \pi_X^*(f^*\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow de \(P_X\). Par la caractérisation du Lemme 02U6, nous concluons.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Soit \((\mathcal{L}, s, i : D \to X)\) comme dans la Définition 02T8. Alors \(c_j(\mathcal{E}|_D) \cap i^*\alpha = i^*(c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha)\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\).

Démonstration

Écrivons \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), de sorte que \(\alpha_0 = \alpha\). D’après le Lemme 02U6, nous avons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow du fibré projectif \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) associé à \(\mathcal{E}\). Considérons le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ P_D = \mathbf{P}(\mathcal{E}|_D) \ar[r]_-{i'} \ar[d]_{\pi_D} & P \ar[d]^\pi \\ D \ar[r]^i & X }\] Notons que \(\mathcal{O}_{P_D}(1)\) est l’image inverse de \(\mathcal{O}_P(1)\). Appliquons l’homomorphisme de Gysin \((i')^*\) (Lemme 02TO) à l’équation affichée ci-dessus. En appliquant les Lemmes 0B72 et 0B71, nous obtenons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P_D}(1))^i \cap \pi_D^*(i^*\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow de \(P_D\). Par la caractérisation du Lemme 02U6, nous concluons.

Nous disposons maintenant de suffisamment d’éléments pour démontrer que l’intersection avec les classes de Chern définit une classe bivariante.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang \(r\). Soit \(0 \leq p \leq r\). Alors la règle qui, à \(f : X' \to X\), associe \(c_p(f^*\mathcal{E}) \cap - : \CH_k(X') \to \CH_{k - p}(X')\) est une classe bivariante de degré \(p\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des Lemmes 02U7, 02U9, 02U8, et 0B7G, ainsi que de la Définition 0B76.

Ce lemme nous permet de définir comme suit les classes de Chern d’un module localement libre de type fini.

Définition

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang \(r\). Pour \(i = 0, \ldots, r\), la \(i\)-ième classe de Chern de \(\mathcal{E}\) est la classe bivariante \(c_i(\mathcal{E}) \in A^i(X)\) de degré \(i\) construite dans le Lemme 0B7H. La classe de Chern totale de \(\mathcal{E}\) est la somme formelle \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + \ldots + c_r(\mathcal{E})\] considérée comme une classe bivariante non homogène sur \(X\).

D’après la remarque qui suit la Définition 02U5, si \(\mathcal{E}\) est inversible, cette définition coïncide avec la Définition 0FDW. Nous voyons ensuite que les classes de Chern appartiennent au centre de l’anneau de cohomologie bivariante de Chow \(A^*(X)\).

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang \(r\). Alors

1. \(c_j(\mathcal{E}) \in A^j(X)\) appartient au centre de \(A^*(X)\), et

2. si \(f : X' \to X\) est localement de type fini et \(c \in A^*(X' \to X)\), alors \(c \circ c_j(\mathcal{E}) = c_j(f^*\mathcal{E}) \circ c\).

En particulier, si \(\mathcal{F}\) est un second \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre sur \(X\) de rang \(s\), alors \[c_i(\mathcal{E}) \cap c_j(\mathcal{F}) \cap \alpha = c_j(\mathcal{F}) \cap c_i(\mathcal{E}) \cap \alpha\] comme éléments de \(\CH_{k - i - j}(X)\) pour tout \(\alpha \in \CH_k(X)\).

Démonstration

Il est immédiat que (2) implique (1). Soit \(\alpha \in \CH_k(X)\). Écrivons \(\alpha_j = c_j(\mathcal{E}) \cap \alpha\), de sorte que \(\alpha_0 = \alpha\). D’après le Lemme 02U6, nous avons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i}) = 0\] dans le groupe de Chow du fibré projectif \((\pi : P \to Y, \mathcal{O}_P(1))\) associé à \(\mathcal{E}\). Notons \(\pi' : P' \to X'\) le changement de base de \(\pi\) par \(f\). En utilisant le Lemme 0B7B et les propriétés des classes bivariantes, nous obtenons \[\begin{align*} 0 & = c \cap \left(\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_P(1))^i \cap \pi^*(\alpha_{r - i})\right) \\ & = \sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i c_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^i \cap (\pi')^*(c \cap \alpha_{r - i}) \end{align*}\] dans le groupe de Chow de \(P'\) (calcul omis). Nous voyons donc que \(c \cap \alpha_j\) est égal à \(c_j(f^*\mathcal{E}) \cap (c \cap \alpha)\) par la caractérisation du Lemme 02U6. Cela démontre le lemme.

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini. Si le rang de \(\mathcal{E}\) n’est pas constant, nous pouvons encore définir les classes de Chern de \(\mathcal{E}\). En effet, dans ce cas, nous pouvons écrire \[X = X_0 \amalg X_1 \amalg X_2 \amalg \ldots\] où \(X_r \subset X\) est le sous-espace ouvert et fermé sur lequel le rang de \(\mathcal{E}\) est \(r\). D’après le Lemme 0FDZ, nous avons \(A^p(X) = \prod A^p(X_r)\). Nous pouvons donc définir \(c_p(\mathcal{E})\) comme le produit des classes \(c_p(\mathcal{E}|_{X_r})\) dans \(A^p(X_r)\). Explicitement, si \(X' \to X\) est un morphisme localement de type fini, nous obtenons par image inverse une décomposition correspondante de \(X'\), et nous trouvons que \[\CH_*(X') = \prod\nolimits_{r \geq 0} \CH_*(X'_r)\] d’après nos définitions. Alors \(c_p(\mathcal{E}) \in A^p(X)\) est la classe bivariante qui préserve ces décompositions en produits directs et agit par les opérations déjà définies \(c_i(\mathcal{E}|_{X_r}) \cap -\) sur les facteurs. Observons que, dans ce cadre, il peut arriver que \(c_p(\mathcal{E})\) soit non nul pour une infinité de \(p\). Il s’ensuit que la classe de Chern totale est un élément \[c(\mathcal{E}) = c_0(\mathcal{E}) + c_1(\mathcal{E}) + c_2(\mathcal{E}) + \ldots \in A^*(X)^\wedge\] de l’anneau de cohomologie bivariante complété, voir la Remarque 0FE0. Dans ce cadre, nous définissons le « rang » de \(\mathcal{E}\) comme l’élément \(r(\mathcal{E}) \in A^0(X)\), à savoir l’opération bivariante qui envoie \((\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\) sur \((r\alpha_r) \in \prod \CH_*(X'_r)\). Notons qu’il reste vrai que \(c_p(\mathcal{E})\) et \(r(\mathcal{E})\) appartiennent au centre de \(A^*(X)\).

Remarque

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini. En général, nous écrivons \(X = \coprod X_r\) comme dans la Remarque 0ESW. Si seul un nombre fini des \(X_r\) sont non vides, alors nous pouvons poser \[c_{top}(\mathcal{E}) = \sum\nolimits_r c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in A^*(X) = \bigoplus A^*(X_r)\] où l’égalité est le Lemme 0FDZ. Si une infinité des \(X_r\) sont non vides, nous emploierons la même notation pour désigner \[c_{top}(\mathcal{E}) = \prod c_r(\mathcal{E}|_{X_r}) \in \prod A^r(X_r) \subset A^*(X)^\wedge\] voir la Remarque 0FE0 pour les notations.

Relations polynomiales entre classes de Chern

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Les \(\mathcal{E}_i\) forment une famille finie de faisceaux localement libres de type fini sur \(X\). D’après le Lemme 02UA, nous voyons que les classes de Chern \[c_j(\mathcal{E}_i) \in A^*(X)\] engendrent une \(\mathbf{Z}\)-sous-algèbre commutative (et même centrale) de l’algèbre de cohomologie de Chow \(A^*(X)\). Nous pouvons donc préciser ce que signifie qu’un polynôme en ces classes de Chern est nul, ou que deux polynômes sont égaux. Par exemple, dire que \(c_1(\mathcal{E}_1)^5 + c_2(\mathcal{E}_2)c_3(\mathcal{E}_3) = 0\) signifie que les opérations \[\CH_k(Y) \longrightarrow \CH_{k - 5}(Y), \quad \alpha \longmapsto c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap \alpha + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap \alpha\] sont nulles pour tout morphisme \(f : Y \to X\) localement de type fini. D’après le Lemme 02UC, cela équivaut à exiger que, pour tout morphisme \(f : Y \to X\) où \(Y\) est un schéma intègre localement de type fini sur \(S\), le cycle \[c_1(\mathcal{E}_1)^5 \cap [Y] + c_2(\mathcal{E}_2) \cap c_3(\mathcal{E}_3) \cap [Y]\] soit nul dans \(\CH_{\dim(Y) - 5}(Y)\).

Un exemple particulier est la relation \[c_1(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}) = c_1(\mathcal{L}) + c_1(\mathcal{N})\] démontrée dans le Lemme 02SP. Plus généralement, voici ce qui se passe lorsque l’on tensorise un faisceau localement libre quelconque par un faisceau inversible.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{E}\) un faisceau localement libre de type fini de rang \(r\) sur \(X\). Soit \(\mathcal{L}\) un faisceau inversible sur \(X\). Alors nous avons [02UE]\[\begin{equation} c_i({\mathcal E} \otimes {\mathcal L}) = \sum\nolimits_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j \end{equation}\] dans \(A^*(X)\).

Démonstration

Cela doit être vrai pour tout triplet \((X, \mathcal{E}, \mathcal{L})\). En particulier, cela doit être vrai lorsque \(X\) est intègre et, d’après le Lemme 02UC, il suffit de démontrer que cela vaut après intersection avec \([X]\) pour un tel \(X\). Supposons donc que \(X\) est intègre. Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\), resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\), le fibré en espaces projectifs associé à \(\mathcal{E}\), resp. à \(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}\). Considérons le morphisme canonique \[\xymatrix{ P \ar[rd]_\pi \ar[rr]_g & & P' \ar[ld]^{\pi'} \\ & X & }\] voir Constructions, Lemme 02NC. Il possède la propriété \(g^*\mathcal{O}_{P'}(1) = \mathcal{O}_P(1) \otimes \pi^* {\mathcal L}\). Cela signifie que nous avons \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i (\xi + x)^i \cap \pi^*(c_{r - i}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) = 0\] dans \(\CH_*(P)\), où \(\xi\) représente \(c_1(\mathcal{O}_P(1))\) et \(x\) représente \(c_1(\pi^*\mathcal{L})\). Un calcul algébrique élémentaire montre que cela équivaut à \[\sum\nolimits_{i = 0}^r (-1)^i \xi^i \left( \sum\nolimits_{j = i}^r (-1)^{j - i} \binom{j}{i} x^{j - i} \cap \pi^*(c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]) \right) = 0\] En comparant avec l’Équation (02U1), il en résulte que \[c_{r - i}(\mathcal{E}) \cap [X] = \sum\nolimits_{j = i}^r \binom{j}{i} (-c_1(\mathcal{L}))^{j - i} \cap c_{r - j}(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) \cap [X]\] En remaniant ceci (en éliminant les signes moins et en renumérotant), nous obtenons la relation voulue.

Quelques cas particuliers de (02UE) sont \[\begin{align*} c_1(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_1(\mathcal{E}) + r c_1(\mathcal{L}) \\ c_2(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_2(\mathcal{E}) + (r - 1) c_1(\mathcal{E}) c_1(\mathcal{L}) + \binom{r}{2} c_1(\mathcal{L})^2 \\ c_3(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}) & = c_3(\mathcal{E}) + (r - 2) c_2(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L}) + \binom{r - 1}{2} c_1(\mathcal{E})c_1(\mathcal{L})^2 + \binom{r}{3} c_1(\mathcal{L})^3 \end{align*}\]

Additivité des classes de Chern

Tous les lemmes préliminaires découlent trivialement du résultat final.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) des faisceaux localement libres de type fini sur \(X\), de rangs \(r\), \(r - 1\), qui s’insèrent dans une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] Alors nous avons \[c_r(\mathcal{E}) = 0, \quad c_j(\mathcal{E}) = c_j(\mathcal{F}), \quad j = 0, \ldots, r - 1\] dans \(A^*(X)\).

Démonstration

D’après le Lemme 02UC, il suffit de montrer que, si \(X\) est intègre, alors \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\), resp. \((\pi' : P' \to X, \mathcal{O}_{P'}(1))\), le fibré en espaces projectifs associé à \(\mathcal{E}\), resp. à \(\mathcal{F}\). La surjection \(\mathcal{E} \to \mathcal{F}\) donne lieu à une immersion fermée \[i : P' \longrightarrow P\] sur \(X\). De plus, l’élément \(1 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \subset \Gamma(X, \mathcal{E})\) donne lieu à une section globale \(s \in \Gamma(P, \mathcal{O}_P(1))\) dont le lieu des zéros est exactement \(P'\). Ainsi, \(P'\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(P\) tel que \(\mathcal{O}_P(P') \cong \mathcal{O}_P(1)\). Nous voyons donc que \[c_1(\mathcal{O}_P(1)) \cap \pi^*\alpha = i_*((\pi')^*\alpha)\] pour toute classe de cycle \(\alpha\) sur \(X\), d’après le Lemme 02TR. D’après le Lemme 02U6, nous voyons que \(\alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\), \(j = 0, \ldots, r - 1\), satisfont \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^jc_1(\mathcal{O}_{P'}(1))^j \cap (\pi')^*\alpha_j = 0\] En prenant l’image directe dans \(P\) et en utilisant la remarque ci-dessus ainsi que le Lemme 02SU, nous obtenons \[\sum\nolimits_{j = 0}^{r - 1} (-1)^j c_1(\mathcal{O}_P(1))^{j + 1} \cap \pi^*\alpha_j = 0\] Par l’unicité du Lemme 02U6, nous concluons que \(c_r(\mathcal{E}) \cap [X] = 0\) et \(c_j(\mathcal{E}) \cap [X] = \alpha_j = c_j(\mathcal{F}) \cap [X]\) pour \(j = 0, \ldots, r - 1\). Le lemme est donc vrai.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\) des faisceaux localement libres de type fini sur \(X\), de rangs \(r\), \(r - 1\), qui s’insèrent dans une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{E} \to \mathcal{F} \to 0\] où \(\mathcal{L}\) est un faisceau inversible. Alors \[c(\mathcal{E}) = c(\mathcal{L}) c(\mathcal{F})\] dans \(A^*(X)\).

Démonstration

Cette relation dit simplement que \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\). D’après le Lemme 02UG, nous avons \(c_j(\mathcal{E} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}) = c_j(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1})\) pour \(j = 0, \ldots, r\) étaient nous posons \(c_r(\mathcal{F} \otimes \mathcal{L}^{-1}) = 0\) par convention. En appliquant le Lemme 02UD, nous déduisons \[\sum_{j = 0}^i \binom{r - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal E}) c_1({\mathcal L})^j = \sum_{j = 0}^i \binom{r - 1 - i + j}{j} (-1)^j c_{i - j}({\mathcal F}) c_1({\mathcal L})^j\] En posant \(c_i(\mathcal{E}) = c_i(\mathcal{F}) + c_1(\mathcal{L})c_{i - 1}(\mathcal{F})\), on obtient une « solution » de cette équation. Le lemme s’ensuit si nous montrons que c’est la seule solution possible. Nous omettons la vérification.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) un schéma localement de type fini sur \(S\). Supposons que \({\mathcal E}\) s’insère dans une suite exacte \[0 \to {\mathcal E}_1 \to {\mathcal E} \to {\mathcal E}_2 \to 0\] de faisceaux localement libres de type fini \(\mathcal{E}_i\) de rang \(r_i\). Les classes de Chern totales satisfont \[c({\mathcal E}) = c({\mathcal E}_1) c({\mathcal E}_2)\] dans \(A^*(X)\).

Démonstration

D’après le Lemme 02UC, nous pouvons supposer \(X\) intègre et nous devons montrer l’identité après intersection avec \([X]\). Raisonnons par récurrence sur \(r_1\). Le cas \(r_1 = 1\) est le Lemme 02UH. Supposons \(r_1 > 1\). Soit \((\pi : P \to X, \mathcal{O}_P(1))\) le fibré en espaces projectifs associé à \(\mathcal{E}_1\). Notons que

1. \(\pi^* : \CH_*(X) \to \CH_*(P)\) est injective, et

2. \(\pi^*\mathcal{E}_1\) s’insère dans une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{E}_1 \to \mathcal{L} \to 0\), où \(\mathcal{L}\) est inversible.

La première assertion résulte de la formule du fibré en espaces projectifs et la seconde de la définition d’un fibré en espaces projectifs. (En fait, \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_P(1)\).) Soit \(Q = \pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}\), qui s’insère dans une suite exacte \(0 \to \mathcal{L} \to Q \to \pi^*\mathcal{E}_2 \to 0\). Par récurrence, nous avons \[\begin{eqnarray*} c(\pi^*\mathcal{E}) \cap [P] & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}/\mathcal{F}) \cap [P] \\ & = & c(\mathcal{F}) \cap c(\mathcal{L}) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \\ & = & c(\pi^*\mathcal{E}_1) \cap c(\pi^*\mathcal{E}_2) \cap [P] \end{eqnarray*}\] Puisque \([P] = \pi^*[X]\), nous concluons par le Lemme 02U8.

Lemme

Soit \((S, \delta)\) comme dans la Situation 02QL. Soit \(X\) localement de type fini sur \(S\). Soient \({\mathcal L}_i\), \(i = 1, \ldots, r\), des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles sur \(X\). Soit \(\mathcal{E}\) un module localement libre de rang \(\mathcal{O}_X\)-module muni d’une filtration \[0 = \mathcal{E}_0 \subset \mathcal{E}_1 \subset \mathcal{E}_2 \subset \ldots \subset \mathcal{E}_r = \mathcal{E}\] telle que \(\mathcal{E}_i/\mathcal{E}_{i - 1} \cong \mathcal{L}_i\). Posons \(c_1({\mathcal L}_i) = x_i\). Alors \[c(\mathcal{E}) = \prod\nolimits_{i = 1}^r (1 + x_i)\] dans \(A^*(X)\).

Démonstration

Appliquer le Lemme 02UH et procéder par récurrence.

Degrés des zéro-cycles

Nous commençons par définir le degré d’un zéro-cycle sur un schéma propre sur un corps. Une méthode consiste à le définir directement comme dans le Lemme 0AZ2, puis à montrer qu’il est bien défini à l’aide du Lemme 02RU. Nous le définissons plutôt comme suit.

Définition

Soit \(k\) un corps (Exemple 02QM). Soit \(p : X \to \Spec(k)\) propre. Le degré d’un zéro-cycle sur \(X\) est donné par l’image directe propre \[p_* : \CH_0(X) \to \CH_0(\Spec(k))\] (Lemme 02S2) composée avec l’isomorphisme naturel \(\CH_0(\Spec(k)) = \mathbf{Z}\) qui envoie \([\Spec(k)]\) sur \(1\). Notation : \(\deg(\alpha)\).

Explicitons davantage cette définition.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) propre sur \(k\). Soit \(\alpha = \sum n_i[Z_i]\) un élément de \(Z_0(X)\). Alors \[\deg(\alpha) = \sum n_i\deg(Z_i)\] où \(\deg(Z_i)\) est le degré de \(Z_i \to \Spec(k)\), c’est-à-dire \(\deg(Z_i) = \dim_k \Gamma(Z_i, \mathcal{O}_{Z_i})\).

Démonstration

C’est la définition de l’image directe propre (Définition 02R4).

Nous établissons ensuite le lien avec les degrés des fibrés vectoriels sur les schémas propres de dimension \(1\) sur des corps, tels qu’ils sont définis dans Variétés, section 0AYQ.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\) de dimension \(\leq 1\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de type fini de rang constant. Alors \[\deg(\mathcal{E}) = \deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1)\] où le membre de gauche est défini dans Variétés, Définition 0AYR.

Démonstration

Soient \(C_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, t\), les composantes irréductibles de dimension \(1\), munies de leur structure de schéma induite réduite, et soit \(m_i\) la multiplicité de \(C_i\) dans \(X\). Alors \([X]_1 = \sum m_i[C_i]\) et \(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1\) est la somme des images directes des cycles \(m_i c_1(\mathcal{E}|_{C_i}) \cap [C_i]\). Puisque nous avons une décomposition analogue du degré de \(\mathcal{E}\) par Variétés, Lemme 0AYW, il suffit de démontrer le lemme lorsque \(X\) est une courbe propre sur \(k\).

Supposons que \(X\) soit une courbe propre sur \(k\). Par Diviseurs, Lemme 0AYP, il existe une modification \(f : X' \to X\) telle que \(f^*\mathcal{E}\) possède une filtration dont les quotients successifs sont des \(\mathcal{O}_{X'}\)-modules inversibles. Puisque \(f_*[X']_1 = [X]_1\), nous déduisons du Lemme 02U9 que \[\deg(c_1(\mathcal{E}) \cap [X]_1) = \deg(c_1(f^*\mathcal{E}) \cap [X']_1)\] Puisque nous avons une relation analogue pour le degré par Variétés, Lemme 0AYU, nous nous ramenons au cas où \(\mathcal{E}\) possède une filtration dont les quotients successifs sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Dans ce cas, nous pouvons utiliser l’additivité du degré (Variétés, Lemme 0AYS) et celle des premières classes de Chern (Lemme 02UI) pour nous ramener au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X\) soit une courbe propre sur \(k\) et que \(\mathcal{E}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Par Diviseurs, Lemme 0AYM, nous voyons que \(\mathcal{E}\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\) pour certains diviseurs de Cartier effectifs \(D, D'\) sur \(X\) (cela utilise aussi que \(X\) est projectif, voir par exemple Variétés, Lemme 0A26). Par additivité du degré relativement au produit tensoriel de faisceaux inversibles (Variétés, Lemme 0AYX) et additivité de \(c_1\) relativement au produit tensoriel de faisceaux inversibles (Lemme 02SP ou 02UD), nous nous ramenons au cas \(\mathcal{E} = \mathcal{O}_X(D)\). Dans ce cas, le membre de gauche donne \(\deg(D)\) (Variétés, Lemme 0AYY) et le membre de droite donne \(\deg([D]_0)\) par le Lemme 02SQ. Puisque \[[D]_0 = \sum\nolimits_{x \in D} \text{longueur}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x] = \sum\nolimits_{x \in D} \text{longueur}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [x]\] par définition, nous voyons que \[\deg([D]_0) = \sum\nolimits_{x \in D} \text{longueur}_{\mathcal{O}_{D, x}}(\mathcal{O}_{D, x}) [\kappa(x) : k] = \dim_k \Gamma(D, \mathcal{O}_D) = \deg(D)\] L’avant-dernière égalité résulte de Algèbre, Lemme 02M0, en utilisant que \(D\) est affine.

Enfin, nous pouvons tout relier aux intersections numériques définies dans Variétés, section 0BEL.

Lemme

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre sur \(k\). Soit \(Z \subset X\) un sous-schéma fermé de dimension \(d\). Soient \(\mathcal{L}_1, \ldots, \mathcal{L}_d\) des \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles. Alors \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z) = \deg( c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d)\] où le membre de gauche est défini dans Variétés, Définition 0BEP. En particulier, \[\deg_\mathcal{L}(Z) = \deg(c_1(\mathcal{L})^d \cap [Z]_d)\] si \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample.

Démonstration

Nous allons le démontrer par récurrence sur \(d\). Si \(d = 0\), le résultat est vrai par Variétés, Lemme 0AYT. Supposons \(d > 0\).

Soient \(Z_i \subset Z\), \(i = 1, \ldots, t\), les composantes irréductibles de dimension \(d\), munies de leur structure de schéma induite réduite, et soit \(m_i\) la multiplicité de \(Z_i\) dans \(Z\). Alors \([Z]_d = \sum m_i[Z_i]\) et \(c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z]_d\) est la somme des cycles \(m_i c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [Z_i]\). Puisque nous avons une décomposition analogue pour \((\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot Z)\) par Variétés, Lemme 0BEN, il suffit de démontrer le lemme dans le cas où \(Z = X\) est une variété propre de dimension \(d\) sur \(k\).

Par le lemme de Chow, il existe un morphisme propre birationnel \(f : Y \to X\) tel que \(Y\) soit H-projectif sur \(k\). Voir Cohomologie des schémas, Lemme 0200 et Remarque 0201. Alors \[(f^*\mathcal{L}_1 \cdots f^*\mathcal{L}_d \cdot Y) = (\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X)\] par Variétés, Lemme 0BET, et nous avons \[f_*(c_1(f^*\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(f^*\mathcal{L}_d) \cap [Y]) = c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X]\] par le Lemme 02SU. Ainsi, nous pouvons remplacer \(X\) par \(Y\) et supposer que \(X\) est projectif sur \(k\).

Si \(X\) est une variété projective propre de dimension \(d\), nous pouvons écrire \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\) pour certains diviseurs de Cartier effectifs \(D, D' \subset X\) par Diviseurs, Lemme 0AYM. Par additivité des deux membres de l’équation (Variétés, Lemme 0BER et Lemme 02SP), nous nous ramenons au cas \(\mathcal{L}_1 = \mathcal{O}_X(D)\) pour un diviseur de Cartier effectif \(D\). Par Variétés, Lemme 0BEU, nous avons \[(\mathcal{L}_1 \cdots \mathcal{L}_d \cdot X) = (\mathcal{L}_2 \cdots \mathcal{L}_d \cdot D)\] et, par le Lemme 02SQ, nous avons \[c_1(\mathcal{L}_1) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [X] = c_1(\mathcal{L}_2) \cap \ldots \cap c_1(\mathcal{L}_d) \cap [D]_{d - 1}\] Nous obtenons ainsi le résultat par notre hypothèse de récurrence.