Algèbre commutative

Introduction

Les notions de base d’algèbre commutative seront exposées dans ce document. Une référence est [MatCA].

Conventions

Un anneau est commutatif et possède un élément unité \(1\). L’anneau nul est un anneau. En fait, c’est le seul anneau qui ne possède pas d’idéal premier. Nous utiliserons le symbole de Kronecker \(\delta_{ij}\). Si \(R \to S\) est un morphisme d’anneaux et si \(\mathfrak q\) est un idéal premier de \(S\), nous employons alors la notation “\(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)” pour désigner l’idéal premier qui est l’image réciproque de \(\mathfrak q\) par \(R \to S\), même si \(R\) n’est pas un sous-anneau de \(S\) et même si \(R \to S\) n’est pas injectif.

Notions de base

Voici une liste de notions de base d’algèbre commutative. Certaines de ces notions sont étudiées plus en détail dans la suite du texte et certaines sont définies dans la liste, mais d’autres sont considérées comme élémentaires et ne seront pas définies. Si la plupart des notions en italique ne vous sont pas familières, nous vous conseillons de consulter un texte d’introduction à l’algèbre avant de poursuivre.

1. \(R\) est un anneau, [00AS]

2. \(x\in R\) est nilpotent, [00AT]

3. \(x\in R\) est un diviseur de zéro, [00AU]

4. \(x\in R\) est une unité, [00AV]

5. \(e \in R\) est un idempotent, [00AW]

6. un idempotent \(e \in R\) est dit trivial si \(e = 1\) ou \(e = 0\), [00AX]

7. \(\varphi : R_1 \to R_2\) est un homomorphisme d’anneaux, [00AY]

8. \(\varphi : R_1 \to R_2\) est de présentation finie, ou \(R_2\) est une \(R_1\)-algèbre de présentation finie, voir la Définition 00F3,

9. \(\varphi : R_1 \to R_2\) est de type fini, ou \(R_2\) est une \(R_1\)-algèbre de type fini, voir la Définition 00F3,

10. \(\varphi : R_1 \to R_2\) est fini, ou \(R_2\) est une \(R_1\)-algèbre finie,

11. \(R\) est un anneau intègre, [00B2]

12. \(R\) est réduit, [00B3]

13. \(R\) est noethérien, [00B4]

14. \(R\) est un anneau principal ou un PID, [00B5]

15. \(R\) est un anneau euclidien, [00B6]

16. \(R\) est un anneau factoriel ou un UFD, [00B7]

17. \(R\) est un anneau de valuation discrète ou un dvr, [00B8]

18. \(K\) est un corps, [00B9]

19. \(L/K\) est une extension de corps, [00BA]

20. \(L/K\) est une extension algébrique de corps, [00BB]

21. \(\{t_i\}_{i\in I}\) est une base de transcendance de \(L\) sur \(K\), [00BC]

22. le degré de transcendance \(\text{trdeg}(L/K)\) de \(L\) sur \(K\), [00BD]

23. le corps \(k\) est algébriquement clos, [00BE]

24. si \(L/K\) est algébrique et si \(\Omega/K\) est une extension avec \(\Omega\) algébriquement clos, alors il existe un morphisme d’anneaux \(L \to \Omega\) qui prolonge le morphisme sur \(K\),

25. \(I \subset R\) est un idéal, [00BG]

26. \(I \subset R\) est radical, [00BH]

27. si \(I\) est un idéal, nous disposons de son radical \(\sqrt{I}\), [00BI]

28. Dire que l’idéal \(I \subset R\) est nilpotent signifie que \(I^n = 0\) pour un certain \(n \in \mathbf{N}\),

29. Dire que l’idéal \(I \subset R\) est localement nilpotent signifie que tout élément de \(I\) est nilpotent,

30. \(\mathfrak p \subset R\) est un idéal premier, [00BK]

31. si \(\mathfrak p \subset R\) est premier, si \(I, J \subset R\) sont des idéaux et si \(IJ\subset \mathfrak p\), alors \(I \subset \mathfrak p\) ou \(J \subset \mathfrak p\).

32. \(\mathfrak m \subset R\) est un idéal maximal, [00BM]

33. tout anneau non nul possède un idéal maximal, [00BN]

34. le radical de Jacobson de \(R\) est \(\text{rad}(R) = \bigcap_{\mathfrak m \subset R} \mathfrak m\), l’intersection de tous les idéaux maximaux de \(R\),

35. l’idéal \((T)\) engendré par un sous-ensemble \(T \subset R\), [00BP]

36. l’anneau quotient \(R/I\), [00BQ]

37. un idéal \(I\) de l’anneau \(R\) est premier si et seulement si \(R/I\) est intègre, [00BR]

38. un idéal \(I\) de l’anneau \(R\) est maximal si et seulement si l’anneau \(R/I\) est un corps,

39. si \(\varphi : R_1 \to R_2\) est un homomorphisme d’anneaux et si \(I \subset R_2\) est un idéal, alors \(\varphi^{-1}(I)\) est un idéal de \(R_1\),

40. si \(\varphi : R_1 \to R_2\) est un homomorphisme d’anneaux et si \(I \subset R_1\) est un idéal, alors \(\varphi(I) \cdot R_2\) (parfois noté \(I \cdot R_2\) ou \(IR_2\)) est l’idéal de \(R_2\) engendré par \(\varphi(I)\),

41. si \(\varphi : R_1 \to R_2\) est un homomorphisme d’anneaux et si \(\mathfrak p \subset R_2\) est un idéal premier, alors \(\varphi^{-1}(\mathfrak p)\) est un idéal premier de \(R_1\),

42. \(M\) est un \(R\)-module, [00BW]

43. pour \(m \in M\), l’annulateur \(I = \{f \in R \mid fm = 0\}\) de \(m\) dans \(R\),

44. \(N \subset M\) est un \(R\)-sous-module, [00BX]

45. \(M\) est un \(R\)-module noethérien, [00BY]

46. \(M\) est un \(R\)-module de type fini, [00BZ]

47. \(M\) est un \(R\)-module engendré par un nombre fini d’éléments, [00C0]

48. \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie, [00C1]

49. \(M\) est un \(R\)-module libre, [00C2]

50. si \(0 \to K \to L \to M \to 0\) est une suite exacte courte de \(R\)-modules et si \(K\), \(M\) sont libres, alors \(L\) est libre,

51. si \(N \subset M \subset L\) sont des \(R\)-modules, alors \(L/M = (L/N)/(M/N)\), [00C3]

52. \(S\) est une partie multiplicative de \(R\), [00C4]

53. la localisation \(R \to S^{-1}R\) de \(R\), [00C5]

54. si \(R\) est un anneau et si \(S\) est une partie multiplicative de \(R\), alors \(S^{-1}R\) est l’anneau nul si et seulement si \(S\) contient \(0\),

55. si \(R\) est un anneau et si la partie multiplicative \(S\) est entièrement constituée d’éléments non diviseurs de zéro, alors \(R \to S^{-1}R\) est injectif,

56. si \(\varphi : R_1 \to R_2\) est un homomorphisme d’anneaux et si \(S\) est une partie multiplicative de \(R_1\), alors \(\varphi(S)\) est une partie multiplicative de \(R_2\),

57. si \(S\), \(S'\) sont des parties multiplicatives de \(R\), et si \(SS'\) désigne l’ensemble des produits \(SS' = \{r \in R \mid \exists s\in S, \exists s' \in S', r = ss'\}\), alors \(SS'\) est une partie multiplicative de \(R\),

58. si \(S\), \(S'\) sont des parties multiplicatives de \(R\), et si \(\overline{S}\) désigne l’image de \(S\) dans \((S')^{-1}R\), alors \((SS')^{-1}R = \overline{S}^{-1}((S')^{-1}R)\),

59. la localisation \(S^{-1}M\) du \(R\)-module \(M\), [00CA]

60. le foncteur \(M \mapsto S^{-1}M\) préserve les applications injectives, les applications surjectives et l’exactitude,

61. si \(S\), \(S'\) sont des parties multiplicatives de \(R\), et si \(M\) est un \(R\)-module, alors \((SS')^{-1}M = S^{-1}((S')^{-1}M)\),

62. si \(R\) est un anneau, si \(I\) est un idéal de \(R\) et si \(S\) est une partie multiplicative de \(R\), alors \(S^{-1}I\) est un idéal de \(S^{-1}R\), et nous avons \(S^{-1}R/S^{-1}I = \overline{S}^{-1}(R/I)\), où \(\overline{S}\) est l’image de \(S\) dans \(R/I\),

63. si \(R\) est un anneau et si \(S\) est une partie multiplicative de \(R\), alors tout idéal \(I'\) de \(S^{-1}R\) est de la forme \(S^{-1}I\), où l’on peut prendre pour \(I\) l’image réciproque de \(I'\) dans \(R\),

64. si \(R\) est un anneau, si \(M\) est un \(R\)-module et si \(S\) est une partie multiplicative de \(R\), alors tout sous-module \(N'\) de \(S^{-1}M\) est de la forme \(S^{-1}N\) pour un certain sous-module \(N \subset M\), où l’on peut prendre pour \(N\) l’image réciproque de \(N'\) dans \(M\),

65. si \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\), alors \(R_f = S^{-1}R\) et \(M_f = S^{-1}M\), [00CG]

66. si \(S = R \setminus \mathfrak p = \{x\in R \mid x\not\in \mathfrak p\}\) pour un certain idéal premier \(\mathfrak p\), alors on note usuellement \(R_{\mathfrak p} = S^{-1}R\) et \(M_{\mathfrak p} = S^{-1}M\),

67. un anneau local est un anneau qui possède exactement un idéal maximal, [00CI]

68. un anneau semi-local est un anneau qui possède un nombre fini d’idéaux maximaux, [03C0]

69. si \(\mathfrak p\) est un idéal premier de \(R\), alors \(R_{\mathfrak p}\) est un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak p R_{\mathfrak p}\),

70. le corps résiduel, noté \(\kappa(\mathfrak p)\), de l’idéal premier \(\mathfrak p\) de l’anneau \(R\) est le corps des fractions de l’anneau intègre \(R/\mathfrak p\) ; il est égal à \(R_\mathfrak p/\mathfrak pR_\mathfrak p = (R \setminus \mathfrak p)^{-1}R/\mathfrak p\),

71. étant donnés \(R\) et \(M_1\), \(M_2\), le produit tensoriel \(M_1 \otimes_R M_2\), [00CL]

72. étant données des matrices \(A\) et \(B\) dans un anneau \(R\), de tailles \(m \times n\) et \(n \times m\), nous avons \(\det(AB) = \sum \det(A_S)\det({}_SB)\) dans \(R\), où la somme porte sur les sous-ensembles \(S \subset \{1, \ldots, n\}\) de cardinal \(m\), et \(A_S\) est la sous-matrice \(m \times m\) de \(A\) formée des colonnes correspondant à \(S\), tandis que \({}_SB\) est la sous-matrice \(m \times m\) de \(B\) formée des lignes correspondant à \(S\),

73. etc.

Lemme du serpent

Le lemme du serpent et ses variantes sont étudiés dans le cadre des catégories abéliennes dans Homologie, section 00ZX.

Lemme

Étant donné un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & X \ar[r] \ar[d]^\alpha & Y \ar[r] \ar[d]^\beta & Z \ar[r] \ar[d]^\gamma & 0 \\ 0 \ar[r] & U \ar[r] & V \ar[r] & W }\] de groupes abéliens dont les lignes sont exactes, il existe une suite exacte canonique \[\Ker(\alpha) \to \Ker(\beta) \to \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha) \to \Coker(\beta) \to \Coker(\gamma)\] De plus, si \(X \to Y\) est injectif, la première application est injective ; si \(V \to W\) est surjectif, la dernière application est surjective.

Démonstration

L’application \(\partial : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\) est définie comme suit. Soit \(z \in \Ker(\gamma)\). Choisissons \(y \in Y\) d’image \(z\). Alors \(\beta(y) \in V\) s’envoie sur zéro dans \(W\). Ainsi, \(\beta(y)\) est l’image d’un élément \(u \in U\). Posons \(\partial z = \overline{u}\), la classe de \(u\) dans le conoyau de \(\alpha\). La démonstration de l’exactitude est omise.

Modules de type fini et modules de présentation finie

Voici simplement quelques notations et lemmes élémentaires.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module.

1. Nous disons que \(M\) est un \(R\)-module de type fini, ou un \(R\)-module engendré par un nombre fini d’éléments, s’il existe \(n \in \mathbf{N}\) et \(x_1, \ldots, x_n \in M\) tels que tout élément de \(M\) soit une combinaison \(R\)-linéaire des \(x_i\). De manière équivalente, cela signifie qu’il existe une surjection \(R^{\oplus n} \to M\) pour un certain \(n \in \mathbf{N}\).

2. Nous disons que \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie ou un \(R\)-module de présentation finie s’il existe des entiers \(n, m \in \mathbf{N}\) et une suite exacte \[R^{\oplus m} \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0\]

De manière informelle, \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie si et seulement s’il est de type fini et si le module des relations entre ces générateurs est lui aussi de type fini. Le choix d’une suite exacte comme dans la définition s’appelle une présentation de \(M\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(\alpha : R^{\oplus n} \to M\) et \(\beta : N \to M\) des homomorphismes de modules. Si \(\Im(\alpha) \subset \Im(\beta)\), il existe alors un homomorphisme de \(R\)-modules \(\gamma : R^{\oplus n} \to N\) tel que \(\alpha = \beta \circ \gamma\).

Démonstration

Soit \(e_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\) le \(i\)-ème vecteur de base de \(R^{\oplus n}\). Soit \(x_i \in N\) un élément tel que \(\alpha(e_i) = \beta(x_i)\) ; il existe par hypothèse. Posons \(\gamma(a_1, \ldots, a_n) = \sum a_i x_i\). Par construction, \(\alpha = \beta \circ \gamma\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\] une suite exacte courte de \(R\)-modules.

1. Si \(M_1\) et \(M_3\) sont des \(R\)-modules de type fini, alors \(M_2\) est un \(R\)-module de type fini.

2. Si \(M_1\) et \(M_3\) sont des \(R\)-modules de présentation finie, alors \(M_2\) est un \(R\)-module de présentation finie.

3. Si \(M_2\) est un \(R\)-module de type fini, alors \(M_3\) est un \(R\)-module de type fini.

4. Si \(M_2\) est un \(R\)-module de présentation finie et si \(M_1\) est un \(R\)-module de type fini, alors \(M_3\) est un \(R\)-module de présentation finie.

5. Si \(M_3\) est un \(R\)-module de présentation finie et si \(M_2\) est un \(R\)-module de type fini, alors \(M_1\) est un \(R\)-module de type fini.

Démonstration

Démonstration de (1). Si \(x_1, \ldots, x_n\) sont des générateurs de \(M_1\) et si \(y_1, \ldots, y_m \in M_2\) sont des éléments dont les images dans \(M_3\) sont des générateurs de \(M_3\), alors \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m\) engendrent \(M_2\).

L’assertion (3) découle immédiatement de la définition.

Démonstration de (5). Supposons \(M_3\) de présentation finie et \(M_2\) de type fini. Choisissons une présentation \[R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\] D’après le Lemme 07JX, il existe une application \(R^{\oplus n} \to M_2\) telle que le diagramme en traits pleins \[\xymatrix{ & R^{\oplus m} \ar[r] \ar@{..>}[d] & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d] & M_3 \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] soit commutatif. On obtient ainsi la flèche en pointillé. Par le lemme du serpent (Lemme 07JW), on voit que l’on obtient un isomorphisme \[\Coker(R^{\oplus m} \to M_1) \cong \Coker(R^{\oplus n} \to M_2)\] En particulier, nous en déduisons que \(\Coker(R^{\oplus m} \to M_1)\) est un \(R\)-module de type fini. Puisque \(\Im(R^{\oplus m} \to M_1)\) est de type fini d’après (3), on voit que \(M_1\) est de type fini d’après l’assertion (1).

Démonstration de (4). Supposons \(M_2\) de présentation finie et \(M_1\) de type fini. Choisissons une présentation \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_2 \to 0\). Choisissons une surjection \(R^{\oplus k} \to M_1\). D’après le Lemme 07JX, il existe une factorisation \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus n} \to M_2\) de la composée \(R^{\oplus k} \to M_1 \to M_2\). Alors \(R^{\oplus k + m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\) est une présentation.

Démonstration de (2). Supposons \(M_1\) et \(M_3\) de présentation finie. L’argument de la démonstration de l’assertion (1) fournit un diagramme commutatif \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R^{\oplus n} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus n + m} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus m} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] dont les flèches verticales sont surjectives. Par le lemme du serpent, nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \Ker(R^{\oplus n} \to M_1) \to \Ker(R^{\oplus n + m} \to M_2) \to \Ker(R^{\oplus m} \to M_3) \to 0\] D’après l’assertion (5), les deux modules extrêmes sont de type fini. Par conséquent, celui du milieu l’est aussi. D’après (4), on voit que \(M_2\) est de présentation finie.

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Il existe une filtration par des \(R\)-sous-modules de type fini \[0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M\] telle que chaque quotient \(M_i/M_{i - 1}\) soit isomorphe à \(R/I_i\) pour un certain idéal \(I_i\) de \(R\).

Démonstration

Nous raisonnons par récurrence sur le nombre de générateurs de \(M\). Soient \(x_1, \ldots, x_r \in M\) des générateurs. Posons \(M' = Rx_1 \subset M\). Alors \(M/M'\) possède \(r - 1\) générateurs et l’hypothèse de récurrence s’applique. De plus, il est clair que \(M' \cong R/I_1\) avec \(I_1 = \{f \in R \mid fx_1 = 0\}\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(S\)-module. Si \(M\) est de type fini comme \(R\)-module, alors \(M\) est de type fini comme \(S\)-module.

Démonstration

En effet, tout système générateur sur \(R\) de \(M\) est aussi un système générateur sur \(S\) de \(M\), puisque la structure de \(R\)-module est induite par l’image de \(R\) dans \(S\).

Morphismes d’anneaux de type fini et de présentation finie

Définition

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux.

1. Nous disons que \(R \to S\) est de type fini, ou que \(S\) est une \(R\)-algèbre de type fini, s’il existe un \(n \in \mathbf{N}\) et une surjection de \(R\)-algèbres \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\).

2. Nous disons que \(R \to S\) est de présentation finie s’il existe des entiers \(n, m \in \mathbf{N}\), des polynômes \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\) et un isomorphisme de \(R\)-algèbres \(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m) \cong S\).

De manière informelle, \(R \to S\) est de présentation finie si et seulement si \(S\) est de type fini comme \(R\)-algèbre et si l’idéal des relations entre les générateurs est de type fini. Le choix d’une surjection \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\) comme dans la définition est parfois appelé une présentation de \(S\).

Lemme

Les notions de type fini et de présentation finie possèdent les propriétés de permanence suivantes.

1. Une composée de morphismes d’anneaux de type fini est de type fini.

2. Une composée de morphismes d’anneaux de présentation finie est de présentation finie.

3. Étant donné \(R \to S' \to S\) avec \(R \to S\) de type fini, le morphisme \(S' \to S\) est alors de type fini.

4. Étant donné \(R \to S' \to S\), avec \(R \to S\) de présentation finie et \(R \to S'\) de type fini, le morphisme \(S' \to S\) est alors de présentation finie.

Démonstration

Nous ne démontrons que la dernière assertion. Écrivons \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) et \(S' = R[y_1, \ldots, y_a]/I\). Supposons que la classe \(\bar y_i\) de \(y_i\) s’envoie sur \(h_i \bmod (f_1, \ldots, f_m)\) dans \(S\). Il est alors clair que \(S = S'[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m, h_1 - \bar y_1, \ldots, h_a - \bar y_a)\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux de présentation finie. Pour toute surjection \(\alpha : R[x_1, \ldots, x_n] \to S\), le noyau de \(\alpha\) est un idéal de type fini de \(R[x_1, \ldots, x_n]\).

Démonstration

Écrivons \(S = R[y_1, \ldots, y_m]/(f_1, \ldots, f_k)\). Choisissons des \(g_i \in R[y_1, \ldots, y_m]\) qui relèvent les \(\alpha(x_i)\). On voit alors que \(S = R[x_i, y_j]/(f_l, x_i - g_i)\). Choisissons \(h_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\) tel que \(\alpha(h_j)\) corresponde à \(y_j \bmod (f_1, \ldots, f_k)\). Considérons l’application \(\psi : R[x_i, y_j] \to R[x_i]\), \(x_i \mapsto x_i\), \(y_j \mapsto h_j\). Le noyau de \(\alpha\) est alors l’image de \((f_l, x_i - g_i)\) par \(\psi\), ce qui conclut.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(S\)-module. Supposons \(R \to S\) de type fini et \(M\) de présentation finie comme \(R\)-module. Alors \(M\) est de présentation finie comme \(S\)-module.

Démonstration

La démonstration est semblable à celle de l’assertion (4) du Lemme 00F4. Nous pouvons supposer \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\). Choisissons \(y_1, \ldots, y_m \in M\) qui engendrent \(M\) comme \(R\)-module et des relations \(\sum a_{ij} y_j = 0\), \(i = 1, \ldots, t\), qui engendrent le noyau de \(R^{\oplus m} \to M\). Pour tous \(i = 1, \ldots, n\) et \(j = 1, \ldots, m\), écrivons \[x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\] pour certains \(a_{ijk} \in R\). Considérons le \(S\)-module \(N\) engendré par \(y_1, \ldots, y_m\) et soumis aux relations \(\sum a_{ij} y_j = 0\), \(i = 1, \ldots, t\), ainsi que \(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\), \(i = 1, \ldots, n\) et \(j = 1, \ldots, m\). Alors \(N\) possède une présentation \[S^{\oplus nm + t} \longrightarrow S^{\oplus m} \longrightarrow N \longrightarrow 0\] Par construction, il existe une application surjective \(\varphi : N \to M\). Pour achever la démonstration, montrons que \(\varphi\) est injective. Supposons \(z = \sum b_j y_j \in N\) pour certains \(b_j \in S\). Nous pouvons considérer les \(b_j\) comme des polynômes en \(x_1, \ldots, x_n\) à coefficients dans \(R\). En appliquant les relations de la forme \(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\), nous pouvons abaisser par récurrence le degré des polynômes. Nous voyons donc que \(z = \sum c_j y_j\) pour certains \(c_j \in R\). Par conséquent, si \(\varphi(z) = 0\), le vecteur \((c_1, \ldots, c_m)\) est une combinaison \(R\)-linéaire des vecteurs \((a_{i1}, \ldots, a_{im})\), et nous concluons que \(z = 0\), comme souhaité.

Morphismes finis d’anneaux

Voici la définition.

Définition

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Nous disons que \(\varphi : R \to S\) est fini si \(S\) est de type fini comme \(R\)-module.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux fini. Soit \(M\) un \(S\)-module. Alors \(M\) est de type fini comme \(R\)-module si et seulement si \(M\) est de type fini comme \(S\)-module.

Démonstration

L’une des implications résulte du Lemme 0560. Pour voir l’autre, supposons que \(M\) soit de type fini comme \(S\)-module. Choisissons \(x_1, \ldots, x_n \in S\) qui engendrent \(S\) comme \(R\)-module. Choisissons \(y_1, \ldots, y_m \in M\) qui engendrent \(M\) comme \(S\)-module. Alors les \(x_i y_j\) engendrent \(M\) comme \(R\)-module.

Lemme

Supposons que \(R \to S\) et \(S \to T\) soient des morphismes d’anneaux finis. Alors \(R \to T\) est fini.

Démonstration

Si les \(t_i\) engendrent \(T\) comme \(S\)-module et si les \(s_j\) engendrent \(S\) comme \(R\)-module, alors les \(t_i s_j\) engendrent \(T\) comme \(R\)-module. (Cela résulte également du Lemme 00GJ.)

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux.

1. Si \(\varphi\) est fini, alors \(\varphi\) est de type fini.

2. Si \(S\) est de présentation finie comme \(R\)-module, alors \(\varphi\) est de présentation finie.

Démonstration

Pour (1), si \(x_1, \ldots, x_n \in S\) engendrent \(S\) comme \(R\)-module, alors \(x_1, \ldots, x_n\) engendrent \(S\) comme \(R\)-algèbre. Pour (2), supposons que \(\sum r_j^ix_i = 0\), \(j = 1, \ldots, m\), soit un système de générateurs des relations entre les \(x_i\) considérés comme des générateurs du \(R\)-module \(S\). Écrivons en outre \(1 = \sum r_ix_i\) pour certains \(r_i \in R\), et \(x_ix_j = \sum r_{ij}^k x_k\) pour certains \(r_{ij}^k \in R\). Alors \[S = R[t_1, \ldots, t_n]/ (\sum r_j^it_i,\ 1 - \sum r_it_i,\ t_it_j - \sum r_{ij}^k t_k)\] comme \(R\)-algèbre, ce qui démontre (2).

Pour plus de renseignements sur les morphismes d’anneaux finis, voir la section 00GH.

Colimites

Une partie du contenu de cette section recoupe l’étude générale des colimites dans Catégories, sections 002D – 002Z. La notion d’ensemble préordonné est définie dans Catégories, Définition 00D3. Elle est légèrement plus faible que celle d’ensemble partiellement ordonné.

Définition

Soit \((I, \leq)\) un ensemble préordonné. Un système \((M_i, \mu_{ij})\) de \(R\)-modules sur \(I\) est constitué d’une famille de \(R\)-modules \(\{M_i\}_{i\in I}\) indexée par \(I\) et d’une famille d’homomorphismes de \(R\)-modules \(\{\mu_{ij} : M_i \to M_j\}_{i \leq j}\) telles que, pour tous \(i \leq j \leq k\), \[\mu_{ii} = \text{id}_{M_i}\quad \mu_{ik} = \mu_{jk}\circ \mu_{ij}\] Nous disons que \((M_i, \mu_{ij})\) est un système filtrant si \(I\) est un ensemble filtrant.

C’est la même notion que celle définie dans Catégories, Définition 0030 et section 002Z. Nous renvoyons à Catégories, Définition 002F, pour la définition d’une colimite d’un diagramme ou d’un système dans une catégorie quelconque.

Lemme

Soit \((M_i, \mu_{ij})\) un système de \(R\)-modules sur l’ensemble préordonné \(I\). La colimite du système \((M_i, \mu_{ij})\) est le \(R\)-module quotient \((\bigoplus_{i\in I} M_i) /Q\), où \(Q\) est le \(R\)-sous-module engendré par tous les éléments \[\iota_i(x_i) - \iota_j(\mu_{ij}(x_i))\] où \(\iota_i : M_i \to \bigoplus_{i\in I} M_i\) est l’inclusion canonique. Nous notons la colimite \(M = \colim_i M_i\). Nous notons \(\pi : \bigoplus_{i\in I} M_i \to M\) la projection et \(\phi_i = \pi \circ \iota_i : M_i \to M\).

Démonstration

Ce lemme est un cas particulier de Catégories, Lemme 002P, mais nous allons aussi le démontrer directement dans ce cas. Remarquons en effet que \(\phi_i = \phi_j\circ \mu_{ij}\) dans la construction ci-dessus. Pour montrer que la paire \((M, \phi_i)\) est la colimite, nous devons montrer qu’elle satisfait la propriété universelle : pour toute autre paire de ce type \((Y, \psi_i)\) avec \(\psi_i : M_i \to Y\), \(\psi_i = \psi_j\circ \mu_{ij}\), il existe un unique homomorphisme de \(R\)-modules \(g : M \to Y\) tel que le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ M_i \ar[rr]^{\mu_{ij}} \ar[dr]^{\phi_i} \ar[ddr]_{\psi_i} & & M_j\ar[dl]_{\phi_j} \ar[ddl]^{\psi_j} \\ & M \ar[d]^{g}\\ & Y }\] Cela est clair, car nous pouvons définir \(g\) en prenant l’application \(\psi_i\) sur le facteur \(M_i\) de la somme directe \(\bigoplus M_i\).

Lemme

Soit \((M_i, \mu_{ij})\) un système de \(R\)-modules sur l’ensemble préordonné \(I\). Supposons que \(I\) soit filtrant. La colimite du système \((M_i, \mu_{ij})\) est canoniquement isomorphe au module \(M\) défini comme suit :

1. comme ensemble, posons \[M = \left(\coprod\nolimits_{i \in I} M_i\right)/\sim\] où, pour \(m \in M_i\) et \(m' \in M_{i'}\), nous avons \[m \sim m' \Leftrightarrow \mu_{ij}(m) = \mu_{i'j}(m')\text{ pour un certain }j \geq i, i'\]

2. comme groupe abélien, pour \(m \in M_i\) et \(m' \in M_{i'}\), nous définissons la somme des classes de \(m\) et \(m'\) dans \(M\) comme étant la classe de \(\mu_{ij}(m) + \mu_{i'j}(m')\), où \(j \in I\) est un indice quelconque tel que \(i \leq j\) et \(i' \leq j\), et

3. comme \(R\)-module, pour \(m \in M_i\) et \(x \in R\), définissons le produit de \(x\) par la classe de \(m\) dans \(M\) comme étant la classe de \(xm\) dans \(M\).

Les applications canoniques \(\phi_i : M_i \to M\) sont induites par les applications canoniques \(M_i \to \coprod_{i \in I} M_i\).

Démonstration

Démonstration omise. Comparer à Catégories, section 04AX.

Lemme

Soit \((M_i, \mu_{ij})\) un système filtrant. Soit \(M = \colim M_i\) avec \(\mu_i : M_i \to M\). Alors \(\mu_i(x_i) = 0\) pour \(x_i \in M_i\) si et seulement s’il existe \(j \geq i\) tel que \(\mu_{ij}(x_i) = 0\).

Démonstration

Cela résulte clairement de la description de la colimite filtrante du Lemme 00D6.

Exemple

Considérons l’ensemble partiellement ordonné \(I = \{a, b, c\}\) avec \(a < b\) et \(a < c\), et aucune autre inégalité stricte. Un système \((M_a, M_b, M_c, \mu_{ab}, \mu_{ac})\) sur \(I\) est constitué de trois \(R\)-modules \(M_a, M_b, M_c\) et de deux homomorphismes de \(R\)-modules \(\mu_{ab} : M_a \to M_b\) et \(\mu_{ac} : M_a \to M_c\). La colimite du système est simplement \[M := \colim_{i \in I} M_i = \Coker(M_a \to M_b \oplus M_c)\] où l’application est \(\mu_{ab} \oplus -\mu_{ac}\). Le noyau de l’application canonique \(M_a \to M\) est donc \(\Ker(\mu_{ab}) + \Ker(\mu_{ac})\). Et le noyau de l’application canonique \(M_b \to M\) est l’image de \(\Ker(\mu_{ac})\) par l’application \(\mu_{ab}\). Par conséquent, il est clair que le résultat du Lemme 00D7 est faux pour les systèmes généraux.

Définition

Soient \((M_i, \mu_{ij})\), \((N_i, \nu_{ij})\) des systèmes de \(R\)-modules sur le même ensemble préordonné \(I\). Un homomorphisme de systèmes \(\Phi\) de \((M_i, \mu_{ij})\) vers \((N_i, \nu_{ij})\) est, par définition, une famille d’homomorphismes de \(R\)-modules \(\phi_i : M_i \to N_i\) tels que \(\phi_j \circ \mu_{ij} = \nu_{ij} \circ \phi_i\) pour tous \(i \leq j\).

C’est la même notion que celle de transformation naturelle de foncteurs entre les diagrammes associés \(M : I \to \text{Mod}_R\) et \(N : I \to \text{Mod}_R\), dans le langage des catégories. Le lemme suivant est un cas particulier de Catégories, Lemme 002K.

Lemme

Soient \((M_i, \mu_{ij})\), \((N_i, \nu_{ij})\) des systèmes de \(R\)-modules sur le même ensemble préordonné. Un morphisme de systèmes \(\Phi = (\phi_i)\) de \((M_i, \mu_{ij})\) vers \((N_i, \nu_{ij})\) induit un unique homomorphisme \[\colim \phi_i : \colim M_i \longrightarrow \colim N_i\] tel que \[\xymatrix{ M_i \ar[r] \ar[d]_{\phi_i} & \colim M_i \ar[d]^{\colim \phi_i} \\ N_i \ar[r] & \colim N_i }\] soit commutatif pour tout \(i \in I\).

Démonstration

Écrivons \(M = \colim M_i\), \(N = \colim N_i\) et \(\phi = \colim \phi_i\) (ce dernier restant à construire). Nous utiliserons sans autre mention la description explicite de \(M\) et de \(N\) donnée au Lemme 00D5. La condition du lemme équivaut à ce que \[\xymatrix{ \bigoplus_{i\in I} M_i \ar[r] \ar[d]_{\bigoplus\phi_i} & M \ar[d]^\phi \\ \bigoplus_{i\in I} N_i \ar[r] & N }\] soit commutatif. Il est donc clair que, si \(\phi\) existe, il est unique. Pour voir que \(\phi\) existe, il suffit de montrer que le noyau de la flèche horizontale supérieure est envoyé par \(\bigoplus \phi_i\) dans le noyau de la flèche horizontale inférieure. Pour cela, soient \(j \leq k\) et \(x_j \in M_j\). Alors \[(\bigoplus \phi_i)(x_j - \mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \phi_k(\mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \nu_{jk}(\phi_j(x_j))\] appartient au noyau de la flèche horizontale inférieure, comme voulu.

Lemme

Soit \(I\) un ensemble filtrant. Soient \((L_i, \lambda_{ij})\), \((M_i, \mu_{ij})\) et \((N_i, \nu_{ij})\) des systèmes de \(R\)-modules sur \(I\). Soient \(\varphi_i : L_i \to M_i\) et \(\psi_i : M_i \to N_i\) des morphismes de systèmes sur \(I\). Supposons que, pour tout \(i \in I\), la suite de \(R\)-modules \[\xymatrix{ L_i \ar[r]^{\varphi_i} & M_i \ar[r]^{\psi_i} & N_i }\] soit un complexe d’homologie \(H_i\). Alors les \(R\)-modules \(H_i\) forment un système sur \(I\), la suite de \(R\)-modules \[\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\] est elle aussi un complexe et, en notant \(H\) son homologie, nous avons \[H = \colim_i H_i.\]

Démonstration

Il est clair que \(\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\) est un complexe. Pour chaque \(i \in I\), il existe un morphisme canonique de \(R\)-modules \(H_i \to H\) (qui envoie chaque \([m] \in H_i = \Ker(\psi_i) / \Im(\varphi_i)\) sur la classe dans \(H = \Ker(\psi) / \Im(\varphi)\) de l’image de \(m\) dans \(\colim_i M_i\)). Ces morphismes donnent lieu à un morphisme \(\colim_i H_i \to H\). Il reste à montrer que ce morphisme est surjectif et injectif.

Nous allons utiliser à plusieurs reprises, sans autre mention, la description des colimites sur \(I\) donnée au Lemme 00D6. Soit \(h \in H\). Puisque \(H = \Ker(\psi)/\Im(\varphi)\), on voit que \(h\) est la classe modulo \(\Im(\varphi)\) d’un élément \([m]\) de \(\Ker(\psi) \subset \colim_i M_i\). Choisissons un \(i\) tel que \([m]\) provienne d’un élément \(m \in M_i\). Choisissons \(j \geq i\) tel que \(\nu_{ij}(\psi_i(m)) = 0\), ce qui est possible puisque \([m] \in \Ker(\psi)\). Après avoir remplacé \(i\) par \(j\) et \(m\) par \(\mu_{ij}(m)\), nous voyons que nous pouvons supposer \(m \in \Ker(\psi_i)\). Cela montre que l’application \(\colim_i H_i \to H\) est surjective.

Supposons qu’un \(h_i \in H_i\) ait une image nulle dans \(H\). Puisque \(H_i = \Ker(\psi_i)/\Im(\varphi_i)\), nous pouvons représenter \(h_i\) par un élément \(m \in \Ker(\psi_i) \subset M_i\). L’hypothèse d’annulation de \(h_i\) dans \(H\) signifie que la classe de \(m\) dans \(\colim_i M_i\) appartient à l’image de \(\varphi\). Il existe donc un \(j \geq i\) et un \(l \in L_j\) tels que \(\varphi_j(l) = \mu_{ij}(m)\). Cela montre clairement que l’image de \(h_i\) dans \(H_j\) est nulle. Ceci démontre l’injectivité de \(\colim_i H_i \to H\).

Exemple

La prise des colimites n’est pas exacte en général. Considérons l’ensemble partiellement ordonné \(I = \{a, b, c\}\) avec \(a < b\) et \(a < c\), et aucune autre inégalité stricte, comme dans l’Exemple 00D8. Considérons l’application de systèmes \((0, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 0, 0) \to (\mathbf{Z}, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 1, 1)\). D’après la description de la colimite dans l’Exemple 00D8, nous voyons que l’application associée entre les colimites n’est pas injective, bien que l’application de systèmes soit injective sur chaque objet. Par conséquent, le résultat du Lemme 00DB est faux pour les systèmes généraux.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices satisfaisant aux hypothèses de Catégories, Lemme 002X. Alors la prise des colimites de diagrammes de groupes abéliens sur \(\mathcal{I}\) est exacte (c’est-à-dire que l’analogue du Lemme 00DB vaut dans cette situation).

Démonstration

D’après Catégories, Lemme 002X, nous pouvons écrire \(\mathcal{I} = \coprod_{j \in J} \mathcal{I}_j\), où chaque \(\mathcal{I}_j\) est une catégorie filtrante et où \(J\) peut être vide. D’après Catégories, Lemme 0032, prendre les colimites sur les catégories d’indices \(\mathcal{I}_j\) revient à prendre la colimite sur un certain ensemble filtrant. Le Lemme 00DB s’applique donc à ces colimites. Le problème se ramène ainsi à montrer que les coproduits dans la catégorie des \(R\)-modules indexés par l’ensemble \(J\) sont exacts. Autrement dit, étant données des suites exactes \(L_j \to M_j \to N_j\) de \(R\)-modules, nous devons montrer que \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} L_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} M_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} N_j\] est exacte. Cela se vérifie directement et reste vrai même si \(J\) est vide.

Localisation

Définition

Soit \(R\) un anneau et soit \(S\) un sous-ensemble de \(R\). Nous disons que \(S\) est une partie multiplicative de \(R\) si \(1\in S\) et si \(S\) est stable par multiplication, c’est-à-dire si \(s, s' \in S \Rightarrow ss' \in S\).

Étant donnés un anneau \(A\) et une partie multiplicative \(S\), nous définissons une relation sur \(A \times S\) comme suit : \[(x, s) \sim (y, t) \Leftrightarrow \exists u \in S \text{ tel que } (xt-ys)u = 0\] On vérifie aisément qu’il s’agit d’une relation d’équivalence. Notons \(x/s\) (ou \(\frac{x}{s}\)) la classe d’équivalence de \((x, s)\) et \(S^{-1}A\) l’ensemble de toutes les classes d’équivalence. Définissons l’addition et la multiplication dans \(S^{-1}A\) comme suit : \[x/s + y/t = (xt + ys)/st, \quad x/s \cdot y/t = xy/st\] On vérifie que ces opérations font de \(S^{-1}A\) un anneau.

Définition

Cet anneau est appelé la localisation de \(A\) relativement à \(S\).

Il existe un morphisme naturel d’anneaux de \(A\) vers sa localisation \(S^{-1}A\), \[A \longrightarrow S^{-1}A, \quad x \longmapsto x/1\] parfois appelé le morphisme de localisation. En général, le morphisme de localisation n’est pas injectif, à moins que \(S\) ne contienne aucun diviseur de zéro. En effet, si \(x/1 = 0\), il existe un \(u\in S\) tel que \(xu = 0\) dans \(A\), et donc \(x = 0\) puisqu’il n’y a pas de diviseur de zéro dans \(S\). La localisation d’un anneau possède la propriété universelle suivante.

Proposition

Soit \(f : A \to B\) un morphisme d’anneaux qui envoie chaque élément de \(S\) sur une unité de \(B\). Il existe alors un unique homomorphisme \(g : S^{-1}A \to B\) tel que le diagramme suivant soit commutatif. \[\xymatrix{ A \ar[rr]^{f} \ar[dr] & & B \\ & S^{-1}A \ar[ur]_g }\]

Démonstration

Existence. Définissons une application \(g\) comme suit. Pour \(x/s\in S^{-1}A\), posons \(g(x/s) = f(x)f(s)^{-1}\in B\). La définition permet de vérifier aisément qu’il s’agit d’un morphisme d’anneaux bien défini. Il est également clair que ce morphisme rend le diagramme commutatif.

Unicité. Montrons maintenant que, si \(g' : S^{-1}A \to B\) satisfait \(g'(x/1) = f(x)\), alors \(g = g'\). La commutativité du diagramme donne donc \(f(s) = g'(s/1)\) pour \(s \in S\). Mais alors \(g'(1/s)f(s) = 1\) dans \(B\), ce qui implique \(g'(1/s) = f(s)^{-1}\), puis \(g'(x/s) = g'(x/1)g'(1/s) = f(x)f(s)^{-1} = g(x/s)\).

Lemme

La localisation \(S^{-1}A\) est l’anneau nul si et seulement si \(0\in S\).

Démonstration

Si \(0\in S\), toute paire \((a, s)\sim (0, 1)\) par définition. Si \(0\not \in S\), alors il est clair que \(1/1 \neq 0/1\) dans \(S^{-1}A\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. La catégorie des \(S^{-1}R\)-modules est équivalente à la catégorie des \(R\)-modules \(N\) ayant la propriété que tout \(s \in S\) agit sur \(N\) par un automorphisme.

Démonstration

Le foncteur qui définit l’équivalence associe à un \(S^{-1}R\)-module \(M\) le même module, considéré maintenant comme un \(R\)-module au moyen du morphisme de localisation \(R \to S^{-1}R\). Réciproquement, si \(N\) est un \(R\)-module tel que tout \(s \in S\) agisse par un automorphisme \(s_N\), nous pouvons considérer \(N\) comme un \(S^{-1}R\)-module en faisant agir \(x/s\) par \(x_N \circ s_N^{-1}\). Nous omettons de vérifier que ces deux foncteurs sont quasi-inverses l’un de l’autre.

La notion de localisation d’un anneau se généralise à la localisation d’un module. Soient \(A\) un anneau, \(S\) une partie multiplicative de \(A\) et \(M\) un \(A\)-module. Nous définissons une relation sur \(M \times S\) comme suit : \[(m, s) \sim (n, t) \Leftrightarrow \exists u\in S \text{ tel que } (mt-ns)u = 0\] Il s’agit clairement d’une relation d’équivalence. Notons \(m/s\) (ou \(\frac{m}{s}\)) la classe d’équivalence de \((m, s)\) et \(S^{-1}M\) l’ensemble de toutes les classes d’équivalence. Définissons l’addition et la multiplication scalaire comme suit : \[m/s + n/t = (mt + ns)/st,\quad m/s\cdot n/t = mn/st\] Il est clair que cela fait de \(S^{-1}M\) un \(S^{-1}A\)-module.

Définition

Le \(S^{-1}A\)-module \(S^{-1}M\) est appelé la localisation de \(M\) relativement à \(S\).

Remarquons qu’il existe un homomorphisme de \(A\)-modules \(M \to S^{-1}M\), \(m \mapsto m/1\), parfois appelé le morphisme de localisation. Il satisfait la propriété universelle suivante.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Soient \(M\), \(N\) des \(R\)-modules. Supposons que tous les éléments de \(S\) agissent sur \(N\) par des automorphismes. Alors l’application canonique \[\Hom_R(S^{-1}M, N) \longrightarrow \Hom_R(M, N)\] induite par le morphisme de localisation est un isomorphisme.

Démonstration

Il est clair que l’application est bien définie et \(R\)-linéaire. Injectivité : soit \(\alpha \in \Hom_R(S^{-1}M, N)\) et prenons un élément arbitraire \(m/s \in S^{-1}M\). Puisque \(s \cdot \alpha(m/s) = \alpha(m/1)\), nous avons \(\alpha(m/s) =s^{-1}(\alpha (m/1))\) ; ainsi, \(\alpha\) est entièrement déterminé par ses valeurs sur l’image de \(M\) dans \(S^{-1}M\). Surjectivité : soit \(\beta : M \rightarrow N\) une application R-linéaire donnée. Nous devons montrer qu’elle peut être “prolongée” à \(S^{-1}M\). Définissons une application d’ensembles \[M \times S \rightarrow N,\quad (m,s) \mapsto s^{-1}\beta(m)\] Cette application respecte clairement la relation d’équivalence ci-dessus ; elle passe donc au quotient en une application bien définie \(\alpha : S^{-1}M \rightarrow N\). Il reste à montrer que cette application est \(R\)-linéaire ; prenons donc \(r, r' \in R\), ainsi que \(s, s' \in S\) et \(m, m' \in M\). Alors \[\begin{align*} \alpha(r \cdot m/s + r' \cdot m' /s') & = \alpha((r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') /(ss')) \\ & = (ss')^{-1}\beta(r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') \\ & = (ss')^{-1} (r \cdot s' \beta (m) + r' \cdot s \beta (m')) \\ & = r \alpha (m/s) + r' \alpha (m' /s') \end{align*}\] ce qui conclut.

Exemple

Soit \(A\) un anneau et soit \(M\) un \(A\)-module. Voici quelques exemples importants de localisations.

1. Étant donné un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\), considérons \(S = A\setminus\mathfrak p\). On vérifie immédiatement que \(S\) est une partie multiplicative. Dans ce cas, nous notons \(A_\mathfrak p\) et \(M_\mathfrak p\) les localisations de \(A\) et de \(M\) relativement à \(S\), respectivement. Elles sont appelées la localisation de \(A\), resp. de \(M\), en \(\mathfrak p\).

2. Soit \(f\in A\). Considérons \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\). C’est clairement une partie multiplicative de \(A\). Dans ce cas, nous notons \(A_f\) (resp. \(M_f\)) la localisation \(S^{-1}A\) (resp. \(S^{-1}M\)). Elle est appelée la localisation de \(A\), resp. de \(M\), relativement à \(f\). Remarquons que \(A_f = 0\) si et seulement si \(f\) est nilpotent dans \(A\).

3. Soit \(S = \{f \in A \mid f \text{ n'est pas un diviseur de zéro dans }A\}\). C’est une partie multiplicative de \(A\). Dans ce cas, l’anneau \(Q(A) = S^{-1}A\) est appelé soit l’anneau total des quotients, soit l’anneau total des fractions de \(A\).

4. Si \(A\) est un anneau intègre, alors l’anneau total des quotients \(Q(A)\) est le corps des fractions de \(A\). Voir Corps, Exemple 09FJ.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Soit \(M\) un \(R\)-module. Alors \[S^{-1}M = \colim_{f \in S} M_f\] où le préordre sur \(S\) est donné par \(f \geq f' \Leftrightarrow f = f'f''\) pour un certain \(f'' \in R\), auquel cas l’application \(M_{f'} \to M_f\) est donnée par \(m/(f')^e \mapsto m(f'')^e/f^e\).

Démonstration

Démonstration omise. Indication : utiliser la propriété universelle du Lemme 07K0.

Dans le paragraphe suivant, \(A\) désigne un anneau, et \(M, N\) désignent des modules sur \(A\).

Si \(S\) et \(S'\) sont des parties multiplicatives de \(A\), il est alors clair que \[SS' = \{ss' : s\in S, \ s'\in S'\}\] est également une partie multiplicative de \(A\). On a alors le résultat suivant.

Proposition

Soit \(\overline{S}\) l’image de \(S\) dans \(S'^{-1}A\) ; alors \((SS')^{-1}A\) est isomorphe à \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\).

Démonstration

L’application qui envoie \(x\in A\) sur \(x/1\in (SS')^{-1}A\) induit, par propriété universelle, une application qui envoie \(x/s\in S'^{-1}A\) sur \(x/s \in (SS')^{-1}A\). Les images des éléments de \(\overline{S}\) sont inversibles dans \((SS')^{-1}A\). La propriété universelle fournit une application \(f : \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A) \to (SS')^{-1}A\) qui envoie \((x/s')/(s/1)\) sur \(x/ss'\).

D’autre part, l’application de \(A\) vers \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\) qui envoie \(x\in A\) sur \((x/1)/(1/1)\) induit elle aussi, par la propriété universelle, une application \(g : (SS')^{-1}A \to \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\) qui envoie \(x/ss'\) sur \((x/s')/(s/1)\). On vérifie immédiatement que \(f\) et \(g\) sont inverses l’un de l’autre ; ce sont donc tous deux des isomorphismes.

Pour le module \(M\), nous avons

Proposition

Considérons \(S'^{-1}M\) comme un \(A\)-module ; alors \(S^{-1}(S'^{-1}M)\) est isomorphe à \((SS')^{-1}M\).

Démonstration

Remarquons qu’étant donné un \(A\)-module M, nous n’avons démontré aucune propriété universelle pour \(S^{-1}M\). Nous ne pouvons donc pas raisonner comme dans la démonstration précédente ; nous devons construire explicitement l’isomorphisme.

Définissons les applications comme suit : \[\begin{align*} & f : S^{-1}(S'^{-1}M) \longrightarrow (SS')^{-1}M, \quad \frac{x/s'}{s}\mapsto x/ss'\\ & g : (SS')^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(S'^{-1}M), \quad x/t\mapsto \frac{x/s'}{s}\ \text{pour certains }s\in S, s'\in S', \text{ et } t = ss' \end{align*}\] Nous devons vérifier que ces homomorphismes sont bien définis, c’est-à-dire indépendants du choix de la fraction. Cela se vérifie aisément et il est également immédiat qu’ils sont inverses l’un de l’autre.

Si \(u : M \to N\) est un homomorphisme de \(A\)-modules, la localisation induit bien un homomorphisme de \(S^{-1}A\)-modules \(S^{-1}u : S^{-1}M \to S^{-1}N\) qui envoie \(x/s\) sur \(u(x)/s\). On vérifie immédiatement que cette construction est fonctorielle, si bien que \(S^{-1}\) est effectivement un foncteur de la catégorie des \(A\)-modules vers la catégorie des \(S^{-1}A\)-modules. De plus, ce foncteur est exact, comme le montre la proposition suivante.

Proposition

Soit \(L\xrightarrow{u} M\xrightarrow{v} N\) une suite exacte de \(R\)-modules. Alors \(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\) est également exacte.

Démonstration

Tout d’abord, il est clair que \(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\) est un complexe, puisque la localisation est un foncteur. Supposons ensuite que \(x/s\) s’envoie sur zéro dans \(S^{-1}N\) pour un certain \(x/s \in S^{-1}M\). Il existe alors, par définition, un \(t\in S\) tel que \(v(xt) = v(x)t = 0\) dans \(N\), ce qui signifie que \(xt \in \Ker(v)\). Par l’exactitude de \(L \to M \to N\), nous avons \(xt = u(y)\) pour un certain \(y\) dans \(L\). Ainsi, \(x/s\) est l’image de \(y/st\). Cela démontre l’exactitude.

Lemme

La localisation respecte les quotients : si \(N\) est un sous-module de \(M\), alors \(S^{-1}(M/N)\simeq (S^{-1}M)/(S^{-1}N)\).

Démonstration

La suite exacte \[0 \longrightarrow N \longrightarrow M \longrightarrow M/N \longrightarrow 0\] donne \[0 \longrightarrow S^{-1}N \longrightarrow S^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(M/N) \longrightarrow 0\] Le corollaire en résulte.

Si, dans le corollaire précédent, nous prenons \(N = I\) et \(M = A\) pour un idéal \(I\) de \(A\), nous voyons que \(S^{-1}A/S^{-1}I \simeq S^{-1}(A/I)\) comme \(A\)-modules. La proposition suivante montre qu’ils sont isomorphes comme anneaux.

Proposition

Soient \(I\) un idéal de \(A\) et \(S\) une partie multiplicative de \(A\). Alors \(S^{-1}I\) est un idéal de \(S^{-1}A\) et \(\overline{S}^{-1}(A/I)\) est isomorphe à \(S^{-1}A/S^{-1}I\), où \(\overline{S}\) est l’image de \(S\) dans \(A/I\).

Démonstration

Le fait que \(S^{-1}I\) soit un idéal est clair puisque \(I\) est lui-même un idéal. Définissons \[f : S^{-1}A\longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad x/s\mapsto \overline{x}/\overline{s}\] où \(\overline{x}\) et \(\overline{s}\) sont les images de \(x\) et de \(s\) dans \(A/I\). Nous conserverons des notations semblables dans cette démonstration. Cette application est bien définie par la propriété universelle de \(S^{-1}A\), et \(S^{-1}I\) est contenu dans son noyau ; elle induit donc une application \[\overline{f} : S^{-1}A/S^{-1}I \longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad \overline{x/s}\mapsto \overline{x}/\overline{s}\]

D’autre part, l’application \(A \to S^{-1}A/S^{-1}I\) qui envoie \(x\) sur \(\overline{x/1}\) induit une application \(A/I \to S^{-1}A/S^{-1}I\) qui envoie \(\overline{x}\) sur \(\overline{x/1}\). L’image de \(\overline{S}\) est inversible dans \(S^{-1}A/S^{-1}I\) ; elle induit donc une application \[g : \overline{S}^{-1}(A/I) \longrightarrow S^{-1}A/S^{-1}I, \quad \frac{\overline{x}}{\overline{s}}\mapsto \overline{x/s}\] par la propriété universelle. Il est alors clair que \(\overline{f}\) et \(g\) sont inverses l’un de l’autre ; ce sont donc tous deux des isomorphismes.

Étudions maintenant le comportement des sous-modules par localisation.

Lemme

Tout sous-module \(N'\) de \(S^{-1}M\) est de la forme \(S^{-1}N\) pour un certain \(N\subset M\). On peut en effet prendre pour \(N\) l’image réciproque de \(N'\) dans \(M\).

Démonstration

Soit \(N\) l’image réciproque de \(N'\) dans \(M\). On voit alors que \(S^{-1}N\supset N'\). Pour montrer qu’ils sont égaux, prenons \(x/s\) dans \(S^{-1}N\), où \(s\in S\) et \(x\in N\). Il s’ensuit que \(x/1\in N'\). Puisque \(N'\) est un \(S^{-1}R\)-sous-module, nous avons \(x/s = x/1\cdot 1/s\in N'\). Cela achève la démonstration.

En prenant \(M = A\) et \(N = I\), où I est un idéal de \(A\), nous obtenons le corollaire suivant, que l’on peut considérer comme une réciproque de la première partie de la Proposition 00CT.

Lemme

Tout idéal \(I'\) de \(S^{-1}A\) est de la forme \(S^{-1}I\), où l’on peut prendre pour \(I\) l’image réciproque de \(I'\) dans \(A\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 00CU.

Hom interne

Si \(R\) est un anneau et si \(M\), \(N\) sont des \(R\)-modules, alors \[\Hom_R(M, N) = \{ \varphi : M \to N\}\] est l’ensemble des applications \(R\)-linéaires de \(M\) vers \(N\). Cet ensemble est muni d’une structure de groupe abélien en posant, comme d’habitude, \((\varphi + \psi)(m) = \varphi(m) + \psi(m)\). En fait, \(\Hom_R(M, N)\) est aussi un \(R\)-module par la règle \((x \varphi)(m) = x \varphi(m) = \varphi(xm)\).

Étant donnés des homomorphismes \(a : M \to M'\) et \(b : N \to N'\) de \(R\)-modules, nous pouvons précomposer et postcomposer les homomorphismes par \(a\) et \(b\). On obtient le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ \Hom_R(M', N) \ar[d]_{- \circ a} \ar[r]_{b \circ -} & \Hom_R(M', N') \ar[d]^{- \circ a} \\ \Hom_R(M, N) \ar[r]^{b \circ -} & \Hom_R(M, N') }\] En fait, les applications de ce diagramme sont des homomorphismes de \(R\)-modules. Ainsi, \(\Hom_R\) définit un foncteur additif \[\text{Mod}_R^{opp} \times \text{Mod}_R \longrightarrow \text{Mod}_R, \quad (M, N) \longmapsto \Hom_R(M, N)\]

Lemme

Exactitude et \(\Hom_R\). Soit \(R\) un anneau. Soient \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) des \(R\)-modules. Soient \(M_1 \to M_2\) et \(M_2 \to M_3\) des homomorphismes de \(R\)-modules.

1. \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) est exacte si et seulement si \(0 \to \Hom_R(M_3, N) \to \Hom_R(M_2, N) \to \Hom_R(M_1, N)\) est exacte pour tout \(R\)-module \(N\).

2. \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3\) est exacte si et seulement si \(0 \to \Hom_R(N, M_1) \to \Hom_R(N, M_2) \to \Hom_R(N, M_3)\) est exacte pour tout \(R\)-module \(N\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de présentation finie. Soit \(N\) un \(R\)-module.

1. Pour \(f \in R\), nous avons \(\Hom_R(M, N)_f = \Hom_{R_f}(M_f, N_f) = \Hom_R(M_f, N_f)\),

2. pour une partie multiplicative \(S\) de \(R\), nous avons \[S^{-1}\Hom_R(M, N) = \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) = \Hom_R(S^{-1}M, S^{-1}N).\]

Démonstration

L’assertion (1) est un cas particulier de l’assertion (2). La seconde égalité dans (2) résulte du Lemme 07JY. Choisissons une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} R \to M \to 0.\] D’après le Lemme 0582, nous obtenons une suite exacte \[0 \to \Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N.\] En inversant \(S\) et en utilisant la Proposition 00CS, nous obtenons une suite exacte \[0 \to S^{-1}\Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] et le résultat en découle puisque \(S^{-1}M\) s’insère dans une suite exacte \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}R \to S^{-1}M \to 0\] qui induit (d’après le Lemme 0582) la suite exacte \[0 \to \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] qui est la même que ci-dessus.

Caractérisation des modules de type fini et de présentation finie

Étant donné un module \(N\) sur un anneau \(R\), on peut caractériser si \(N\) est ou non un module de type fini ou un module de présentation finie à l’aide du foncteur \(\Hom_R(N, -)\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(N\) un \(R\)-module. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(N\) est un \(R\)-module de type fini,

2. pour toute colimite filtrante \(M = \colim M_i\) de \(R\)-modules, l’application \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\) est injective.

Démonstration

Supposons (1) et choisissons des générateurs \(x_1, \ldots, x_m\) de \(N\). Si \(N \to M_i\) est un homomorphisme de modules et si la composée \(N \to M_i \to M\) est nulle, alors, puisque \(M = \colim_{i' \geq i} M_{i'}\), pour tout \(j \in \{1, \ldots, m\}\), nous pouvons trouver un \(i' \geq i\) tel que \(x_j\) s’envoie sur zéro dans \(M_{i'}\). Comme les \(x_j\) sont en nombre fini, nous pouvons trouver un seul \(i'\) qui convienne à tous. La composée \(N \to M_i \to M_{i'}\) est alors nulle, et nous en concluons que l’application est injective, c’est-à-dire que l’assertion (2) vaut.

Supposons (2). Pour un sous-ensemble fini \(E \subset N\), notons \(N_E \subset N\) le \(R\)-sous-module engendré par les éléments de \(E\). Alors \(0 = \colim N/N_E\) est une colimite filtrante. Nous voyons donc que \(\text{id} : N \to N\) se factorise par \(N_E\) pour un certain \(E\), c’est-à-dire que \(N\) est de type fini.

Pour référence, nous définissons ce que signifie l’existence d’une relation entre des éléments d’un module.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soient \(n \geq 0\) et \(x_i \in M\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Une relation entre \(x_1, \ldots, x_n\) dans \(M\) est une suite d’éléments \(f_1, \ldots, f_n \in R\) telle que \(\sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i = 0\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(M\) un \(R\)-module. Alors \(M\) est la colimite d’un système filtrant \((M_i, \mu_{ij})\) de \(R\)-modules dont tous les \(M_i\) sont des \(R\)-modules de présentation finie.

Démonstration

Considérons un sous-ensemble fini quelconque \(S \subset M\) et une famille finie de relations \(E\) entre les éléments de \(S\). Ainsi, chaque \(s \in S\) correspond à un \(x_s \in M\) et chaque \(e \in E\) est constitué d’un vecteur d’éléments \(f_{e, s} \in R\) tel que \(\sum f_{e, s} x_s = 0\). Soit \(M_{S, E}\) le conoyau de l’application \[R^{\# E} \longrightarrow R^{\# S}, \quad (g_e)_{e\in E} \longmapsto (\sum g_e f_{e, s})_{s\in S}.\] Il existe des applications canoniques \(M_{S, E} \to M\). Si \(S \subset S'\) et si les éléments de \(E\) correspondent, par cette application, à des relations de \(E'\), il existe alors une application évidente \(M_{S, E} \to M_{S', E'}\) qui commute aux applications vers \(M\). Soit \(I\) l’ensemble des paires \((S, E)\), ordonné par l’inclusion décrite ci-dessus. Il est clair que la colimite de ce système filtrant est \(M\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(N\) un \(R\)-module. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(N\) est un \(R\)-module de présentation finie,

2. pour toute colimite filtrante \(M = \colim M_i\) de \(R\)-modules, l’application \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\) est bijective.

Démonstration

Supposons (1) et choisissons une suite exacte \(F_{-1} \to F_0 \to N \to 0\) où les \(F_i\) sont libres de type fini. Nous avons alors une suite exacte \[0 \to \Hom_R(N, M) \to \Hom_R(F_0, M) \to \Hom_R(F_{-1}, M)\] fonctorielle en le \(R\)-module \(M\). Les foncteurs \(\Hom_R(F_i, M)\) commutent aux colimites filtrantes puisque \(\Hom_R(R^{\oplus n}, M) = M^{\oplus n}\). Comme les colimites filtrantes sont exactes (Lemme 00DB), nous voyons que (2) vaut.

Supposons (2). D’après le Lemme 00HA, nous pouvons écrire \(N = \colim N_i\) comme une colimite filtrante telle que \(N_i\) soit de présentation finie pour tout \(i\). Ainsi, \(\text{id}_N\) se factorise par \(N_i\) pour un certain \(i\). Cela signifie que \(N\) est facteur direct d’un module de présentation finie sur \(R\) (à savoir \(N_i\)), et est donc de présentation finie.

Produits tensoriels

Définition

Soient \(R\) un anneau et \(M, N, P\) trois \(R\)-modules. Une application \(f : M \times N \to P\) (où \(M \times N\) est considéré uniquement comme le produit cartésien de deux \(R\)-modules) est dite \(R\)-bilinéaire si, pour tout \(x \in M\), l’application \(y\mapsto f(x, y)\) de \(N\) dans \(P\) est \(R\)-linéaire et si, pour tout \(y\in N\), l’application \(x\mapsto f(x, y)\) est également \(R\)-linéaire.

Lemme

Soient \(M, N\) des \(R\)-modules. Il existe alors une paire \((T, g)\), où \(T\) est un \(R\)-module et \(g : M \times N \to T\) une application \(R\)-bilinéaire, qui possède la propriété universelle suivante : pour tout \(R\)-module \(P\) et toute application \(R\)-bilinéaire \(f : M \times N \to P\), il existe une unique application \(R\)-linéaire \(\tilde{f} : T \to P\) telle que \(f = \tilde{f} \circ g\). Autrement dit, le diagramme suivant est commutatif : \[\xymatrix{ M \times N \ar[rr]^f \ar[dr]_g & & P\\ & T \ar[ur]_{\tilde f} }\] De plus, si \((T, g)\) et \((T', g')\) sont deux paires possédant cette propriété, il existe un unique isomorphisme \(j : T \to T'\) tel que \(j\circ g = g'\).

Le \(R\)-module \(T\) qui satisfait à la propriété universelle ci-dessus est appelé le produit tensoriel des \(R\)-modules \(M\) et \(N\), et est noté \(M \otimes_R N\).

Démonstration

Démontrons d’abord l’existence d’un tel \(R\)-module \(T\). Soient \(M, N\) des \(R\)-modules. Soit \(T\) le module quotient \(P/Q\), où \(P\) est le \(R\)-module libre \(R^{(M \times N)}\) et où \(Q\) est le \(R\)-module engendré par tous les éléments des types suivants : (\(x\in M, y\in N\)) \[\begin{align*} (x + x', y) - (x, y) - (x', y), \\ (x, y + y') - (x, y) - (x, y'), \\ (ax, y) - a(x, y), \\ (x, ay) - a(x, y) \end{align*}\] Notons \(\pi : M \times N \to T\) l’application canonique. Cette application est \(R\)-bilinéaire, comme le montrent les relations ci-dessus lorsque l’on vérifie les conditions de bilinéarité. Notons l’image \(\pi(x, y) = x \otimes y\) ; ces éléments engendrent alors \(T\). Soit maintenant \(f : M \times N \to P\) une application \(R\)-bilinéaire ; nous pouvons définir \(f' : T \to P\) en prolongeant l’application \(f'(x \otimes y) = f(x, y)\). Il est clair que \(f = f'\circ \pi\). De plus, \(f'\) est uniquement déterminée par ses valeurs sur le système générateur \(\{x \otimes y : x\in M, y\in N\}\). Supposons qu’il existe une autre paire \((T', g')\) satisfaisant aux mêmes propriétés. Il existe alors un unique \(j : T \to T'\), ainsi qu’un \(j' : T' \to T\), tels que \(g' = j\circ g\), \(g = j'\circ g'\). Mais les deux applications \((j\circ j') \circ g\) et \(g\) satisfont alors aux propriétés universelles ; par unicité, elles sont donc égales, et par conséquent \(j'\circ j\) est l’identité sur \(T\). De même, \((j'\circ j) \circ g' = g'\) et \(j\circ j'\) est l’identité sur \(T'\). Ainsi, \(j\) est un isomorphisme.

Lemme

Soient \(M, N, P\) des \(R\)-modules ; les applications bilinéaires \[\begin{align*} (x, y) & \mapsto y \otimes x\\ (x + y, z) & \mapsto x \otimes z + y \otimes z\\ (r, x) & \mapsto rx \end{align*}\] induisent des isomorphismes uniques \[\begin{align*} M \otimes_R N & \to N \otimes_R M, \\ (M\oplus N)\otimes_R P & \to (M \otimes_R P)\oplus(N \otimes_R P), \\ R \otimes_R M & \to M \end{align*}\]

Démonstration

Démonstration omise.

Nous pouvons généraliser le produit tensoriel de deux \(R\)-modules à un nombre fini de \(R\)-modules et établir une correspondance entre le produit multitensoriel et les applications multilinéaires. Une construction presque identique permet de démontrer le résultat suivant :

Lemme

Soient \(M_1, \ldots, M_r\) des \(R\)-modules. Il existe alors une paire \((T, g)\) constituée d’un \(R\)-module T et d’une application \(R\)-multilinéaire \(g : M_1\times \ldots \times M_r \to T\) possédant la propriété universelle suivante : pour toute application \(R\)-multilinéaire \(f : M_1\times \ldots \times M_r \to P\), il existe un unique homomorphisme de \(R\)-modules \(f' : T \to P\) tel que \(f'\circ g = f\). Un tel module \(T\) est unique à isomorphisme unique près. Nous le notons \(M_1\otimes_R \ldots \otimes_R M_r\) et nous notons l’application multilinéaire universelle \((m_1, \ldots, m_r) \mapsto m_1 \otimes \ldots \otimes m_r\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Les homomorphismes \[(M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P \to M \otimes_R (N \otimes_R P)\] tels que \(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\) et \(g(x \otimes y \otimes z) = x \otimes (y \otimes z)\), \(x\in M, y\in N, z\in P\), sont bien définis et sont des isomorphismes.

Démonstration

Nous allons montrer que \(f\) est bien défini et est un isomorphisme ; la démonstration s’applique de manière analogue à \(g\). Fixons un \(z\in P\) quelconque. L’application \((x, y)\mapsto x \otimes y \otimes z\), \(x\in M, y\in N\), est alors \(R\)-bilinéaire en \(x\) et \(y\), et induit donc un homomorphisme \(f_z : M \otimes N \to M \otimes N \otimes P\) qui vérifie \(f_z(x \otimes y) = x \otimes y \otimes z\). Considérons ensuite \((M \otimes N)\times P \to M \otimes N \otimes P\) donnée par \((w, z)\mapsto f_z(w)\). Cette application est \(R\)-bilinéaire et induit donc \(f : (M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P\), avec \(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\). Pour construire l’inverse, remarquons que l’application \(\pi : M \times N \times P \to (M \otimes N)\otimes P\) est \(R\)-trilinéaire. Elle induit donc une application \(R\)-linéaire \(h : M \otimes N \otimes P \to (M \otimes N)\otimes P\) qui s’accorde avec la propriété universelle. Nous voyons ici que \(h(x \otimes y \otimes z) = (x \otimes y)\otimes z\). D’après les expressions explicites de \(f\) et de \(h\), \(f\circ h\) et \(h\circ f\) sont les applications identiques de \(M \otimes N \otimes P\) et de \((M \otimes N)\otimes P\), respectivement ; ainsi, \(f\) est bien l’isomorphisme recherché.

En raisonnant par récurrence, nous voyons que cela s’étend aux produits multitensoriels. En combinant ce résultat avec le Lemme 00CY, nous voyons que l’opération de produit tensoriel sur la catégorie des \(R\)-modules est associative, commutative et distributive.

Définition

Un groupe abélien \(N\) est appelé un \((A, B)\)-bimodule s’il est à la fois un \(A\)-module et un \(B\)-module et si, pour tous \(a \in A\) et \(b \in B\), les multiplications par \(a\) et par \(b\) commutent, de sorte que \(b(an) = a(bn)\) pour tout \(n \in N\). Dans cette situation, nous écrivons habituellement l’action de \(B\) à droite : ainsi, pour \(b \in B\) et \(n \in N\), le résultat de la multiplication de \(n\) par \(b\) est noté \(nb\). Avec cette convention, la compatibilité ci-dessus s’écrit \((ax)b = a(xb)\) pour tous \(a\in A, b\in B, x\in N\). La notation abrégée \(_AN_B\) désigne un \((A, B)\)-bimodule \(N\).

Lemme

Pour un \(A\)-module \(M\), un \(B\)-module \(P\) et un \((A, B)\)-bimodule \(N\), les modules \((M \otimes_A N)\otimes_B P\) et \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\) peuvent tous deux être munis d’une structure de \((A, B)\)-bimodule, et de plus \[(M \otimes_A N)\otimes_B P \cong M \otimes_A(N \otimes_B P).\]

Démonstration

A priori, \(M \otimes_A N\) est un \(A\)-module, mais nous pouvons le munir d’une structure de \(B\)-module en posant \[(x \otimes y)b = x \otimes yb, \quad x\in M, y\in N, b\in B\] Ainsi, \(M \otimes_A N\) devient un \((A, B)\)-bimodule. Il en va de même pour \(N \otimes_B P\), et donc pour \((M \otimes_A N)\otimes_B P\) et \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\). D’après le Lemme 00D0, ces deux modules sont isomorphes à la fois comme \(A\)-modules et comme \(B\)-modules par la même application.

Lemme

Pour trois \(R\)-modules quelconques \(M, N, P\), \[\Hom_R(M \otimes_R N, P) \cong \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\]

Démonstration

Une application \(R\)-linéaire \(\hat{f}\in \Hom_R(M \otimes_R N, P)\) correspond à une application \(R\)-bilinéaire \(f : M \times N \to P\). Pour tout \(x\in M\), l’application \(y\mapsto f(x, y)\) est \(R\)-linéaire par la propriété universelle. Ainsi, \(f\) correspond à une application \(\phi_f : M \to \Hom_R(N, P)\). Cette application est \(R\)-linéaire puisque \[\phi_f(ax + y)(z) = f(ax + y, z) = af(x, z)+f(y, z) = (a\phi_f(x)+\phi_f(y))(z),\] pour tous \(a \in R\), \(x \in M\), \(y \in M\) et \(z \in N\). Réciproquement, tout \(f \in \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\) définit une application \(R\)-bilinéaire \(M \times N \to P\), à savoir \((x, y)\mapsto f(x)(y)\). Nous obtenons donc une bijection naturelle entre les deux modules \(\Hom_R(M \otimes_R N, P)\) et \(\Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\).

Lemme

Soit \((M_i, \mu_{ij})\) un système sur l’ensemble préordonné \(I\). Soit \(N\) un \(R\)-module. Alors \[\colim (M_i \otimes N) \cong (\colim M_i)\otimes N.\] De plus, l’isomorphisme est induit par les homomorphismes \(\mu_i \otimes 1: M_i \otimes N \to M \otimes N\), où \(M = \colim_i M_i\) et où \(\mu_i : M_i \to M\) sont les applications canoniques.

Démonstration

Première démonstration. Le foncteur \(M' \mapsto M' \otimes_R N\) est adjoint à gauche du foncteur \(N' \mapsto \Hom_R(N, N')\) d’après le Lemme 00DE. Ainsi, \(M' \mapsto M' \otimes_R N\) commute à toutes les colimites ; voir Catégories, Lemme 0038.

Seconde démonstration directe. Soit \(P = \colim (M_i \otimes N)\), muni des coprojections \(\lambda_i : M_i \otimes N \to P\). Soit \(M = \colim M_i\), muni des coprojections \(\mu_i : M_i \to M\). Alors, pour tous \(i\leq j\), le diagramme suivant est commutatif : \[\xymatrix{ M_i \otimes N \ar[r]_{\mu_i \otimes 1} \ar[d]_{\mu_{ij} \otimes 1} & M \otimes N \ar[d]^{\text{id}} \\ M_j \otimes N \ar[r]^{\mu_j \otimes 1} & M \otimes N }\] D’après le Lemme 00DA, ces applications induisent un unique homomorphisme \(\psi : P \to M \otimes N\) tel que \(\mu_i \otimes 1 = \psi \circ \lambda_i\).

Pour construire l’application inverse, il existe, pour tout \(i\in I\), l’application canonique \(R\)-bilinéaire \(g_i : M_i \times N \to M_i \otimes N\). Celle-ci induit une unique application \(\widehat{\phi} : M \times N \to P\) telle que \(\widehat{\phi} \circ (\mu_i \times 1) = \lambda_i \circ g_i\). Elle est \(R\)-bilinéaire et induit donc une application \(R\)-linéaire \(\phi : M \otimes N \to P\). Le diagramme commutatif ci-dessous : \[\xymatrix{ M_i \times N \ar[r]^{g_i} \ar[d]^{\mu_i \times \text{id}} & M_i \otimes N\ar[r]_{\text{id}} \ar[d]_{\lambda_i} & M_i \otimes N \ar[d]_{\mu_i \otimes \text{id}} \ar[rd]^{\lambda_i} \\ M \times N \ar[r]^{\widehat{\phi}} & P \ar[r]^{\psi} & M \otimes N \ar[r]^{\phi} & P }\] montre que \(\psi\circ\widehat{\phi} = g\), où g est l’application \(R\)-bilinéaire canonique \(g : M \times N \to M \otimes N\). Ainsi, \(\psi\circ\phi\) est l’identité de \(M \otimes N\). Le carré et le triangle de droite montrent que \(\phi\circ\psi\) est également l’identité de \(P\).

Lemme

Soit \[\begin{align*} M_1\xrightarrow{f} M_2\xrightarrow{g} M_3 \to 0 \end{align*}\] une suite exacte de \(R\)-modules et d’homomorphismes, et soit \(N\) un \(R\)-module quelconque. Alors la suite [00DG]\[\begin{equation} M_1\otimes N\xrightarrow{f \otimes 1} M_2\otimes N \xrightarrow{g \otimes 1} M_3\otimes N \to 0 \end{equation}\] est exacte. Autrement dit, le foncteur \(- \otimes_R N\) est exact à droite, au sens où tensoriser chaque terme de la suite exacte à droite initiale préserve l’exactitude.

Démonstration

Pour tout \(R\)-module \(P\), appliquons le foncteur \(\Hom(-, \Hom(N, P))\) à la première suite exacte. Nous obtenons \[0 \to \Hom(M_3, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_2, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_1, \Hom(N, P))\] qui est exacte d’après le Lemme 0582 (1). D’après le Lemme 00DE, cette suite devient \[0 \to \Hom(M_3 \otimes N, P) \to \Hom(M_2 \otimes N, P) \to \Hom(M_1 \otimes N, P)\] et est donc elle aussi exacte. En appliquant de nouveau le Lemme 0582 (1), nous obtenons la suite exacte recherchée.

Remarque

Cependant, le produit tensoriel NE préserve PAS les suites exactes en général. Autrement dit, si \(M_1 \to M_2 \to M_3\) est exacte, il n’est pas nécessairement vrai que \(M_1 \otimes N \to M_2 \otimes N \to M_3 \otimes N\) soit exacte pour un \(R\)-module \(N\) arbitraire.

Exemple

Considérons l’application injective \(2 : \mathbf{Z}\to \mathbf{Z}\) comme une application de \(\mathbf{Z}\)-modules. Soit \(N = \mathbf{Z}/2\). L’application induite \(\mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2 \to \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\) n’est PAS injective. En effet, pour \(x \otimes y\in \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\), \[(2 \otimes 1)(x \otimes y) = 2x \otimes y = x \otimes 2y = x \otimes 0 = 0\] L’application induite est donc l’application nulle, tandis que \(\mathbf{Z} \otimes N\neq 0\).

Remarque

Pour un \(R\)-module \(N\), si le foncteur \(-\otimes_R N\) est exact, c’est-à-dire si la tensorisation par \(N\) préserve toutes les suites exactes, alors \(N\) est appelé un \(R\)-module plat. Nous étudierons cette notion plus loin dans la section 00H9.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(M\) et \(N\) des \(R\)-modules.

1. Si \(N\) et \(M\) sont de type fini, alors \(M \otimes_R N\) l’est aussi.

2. Si \(N\) et \(M\) sont de présentation finie, alors \(M \otimes_R N\) l’est aussi.

Démonstration

Supposons \(M\) de type fini. Choisissons alors une présentation \(0 \to K \to R^{\oplus n} \to M \to 0\). Elle donne une suite exacte \(K \otimes_R N \to N^{\oplus n} \to M \otimes_R N \to 0\) d’après le Lemme 00DF. Nous en concluons que, si \(N\) est également de type fini, alors \(M \otimes_R N\) est un quotient d’un module de type fini, donc est de type fini ; voir le Lemme 0519. De même, si \(N\) et \(M\) sont tous deux de présentation finie, nous voyons que \(K\) est de type fini et que \(M \otimes_R N\) est le quotient du module de présentation finie \(N^{\oplus n}\) par un module de type fini, à savoir \(K \otimes_R N\), et est donc de présentation finie ; voir le Lemme 0519.

Lemme

Soit \(M\) un \(R\)-module. Alors les \(S^{-1}R\)-modules \(S^{-1}M\) et \(S^{-1}R \otimes_R M\) sont canoniquement isomorphes, et l’isomorphisme canonique \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\) est donné par \[f((a/s) \otimes m) = am/s, \forall a \in R, m \in M, s \in S\]

Démonstration

Il est évident que l’application \(f' : S^{-1}R \times M \to S^{-1}M\) donnée par \(f'(a/s, m) = am/s\) est bilinéaire ; par la propriété universelle, elle induit donc un unique homomorphisme de \(S^{-1}R\)-modules \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\) comme dans l’énoncé du lemme. En fait, tout élément de \(S^{-1}M\) est de la forme \(m/s\), \(m\in M, s\in S\), et tout élément de \(S^{-1}R \otimes_R M\) est de la forme \(1/s \otimes m\). Pour voir ce dernier fait, écrivons un élément de \(S^{-1}R \otimes_R M\) sous la forme \[\sum_k \frac{a_k}{s_k} \otimes m_k = \sum_k \frac{a_k t_k}{s} \otimes m_k = \frac{1}{s} \otimes \sum_k {a_k t_k}m_k = \frac{1}{s} \otimes m\] où \(m = \sum_k {a_k t_k}m_k\). Il est alors évident que \(f\) est surjectif, et si \(f(\frac{1}{s} \otimes m) = m/s = 0\), il existe \(t \in S\) tel que \(tm = 0\) dans \(M\). Nous avons alors \[\frac{1}{s} \otimes m = \frac{1}{st} \otimes tm = \frac{1}{st} \otimes 0 = 0\] Par conséquent, \(f\) est injectif.

Lemme

Soient \(M, N\) des \(R\)-modules. Il existe alors un isomorphisme canonique de \(S^{-1}R\)-modules \(f : S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \to S^{-1}(M \otimes_R N)\), donné par \[f((m/s)\otimes(n/t)) = (m \otimes n)/st\]

Démonstration

Nous pouvons utiliser à plusieurs reprises le Lemme 00D2 et le Lemme 00DK pour voir que ces deux \(S^{-1}R\)-modules sont isomorphes, en remarquant que \(S^{-1}R\) est un \((R, S^{-1}R)\)-bimodule : \[\begin{align*} S^{-1}(M \otimes_R N) & \cong S^{-1}R \otimes_R (M \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_R N\\ & \cong (S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}R)\otimes_R N\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}(S^{-1}R \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \end{align*}\] On vérifie aisément que cet isomorphisme est bien celui énoncé dans le lemme.

Algèbre tensorielle

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Nous définissons l’algèbre tensorielle de \(M\) sur \(R\) comme la \(R\)-algèbre non commutative \[\text{T}(M) = \text{T}_R(M) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{T}^n(M)\] où \(\text{T}^0(M) = R\), \(\text{T}^1(M) = M\), \(\text{T}^2(M) = M \otimes_R M\), \(\text{T}^3(M) = M \otimes_R M \otimes_R M\), et ainsi de suite. La multiplication est définie par la règle suivante sur les tenseurs purs : \[(x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n) \cdot (y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m) = x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n \otimes y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m\] et nous l’étendons par linéarité.

Nous définissons l’algèbre extérieure \(\wedge(M)\) de \(M\) sur \(R\) comme le quotient de \(\text{T}(M)\) par l’idéal bilatère engendré par les éléments \(x \otimes x \in \text{T}^2(M)\). L’image d’un tenseur pur \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\) dans \(\wedge^n(M)\) est notée \(x_1 \wedge \ldots \wedge x_n\). Ces éléments engendrent \(\wedge^n(M)\), ils dépendent \(R\)-linéairement de chaque \(x_i\) et ils sont nuls lorsque deux des \(x_i\) sont égaux (autrement dit, ils sont alternés en \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)). La multiplication sur \(\wedge(M)\) est commutative au sens gradué, c’est-à-dire que tous \(x \in M\) et \(y \in M\) vérifient \(x \wedge y = - y \wedge x\).

Considérons le cas où \(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\) est un module libre de type fini. Alors \(\wedge(M)\) est libre sur \(R\), de base formée des éléments \[x_{i_1} \wedge \ldots \wedge x_{i_r}\] où \(0 \leq r \leq n\) et \(1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_r \leq n\).

Nous définissons l’algèbre symétrique \(\text{Sym}(M)\) de \(M\) sur \(R\) comme le quotient de \(\text{T}(M)\) par l’idéal bilatère engendré par les éléments \(x \otimes y - y \otimes x \in \text{T}^2(M)\). L’image d’un tenseur pur \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\) dans \(\text{Sym}^n(M)\) est simplement notée \(x_1 \ldots x_n\). Ces éléments engendrent \(\text{Sym}^n(M)\), ils dépendent \(R\)-linéairement de chaque \(x_i\), et \(x_1 \ldots x_n = x_1' \ldots x_n'\) si la suite d’éléments \(x_1, \ldots, x_n\) est une permutation de la suite \(x_1', \ldots, x_n'\). Ainsi, \(\text{Sym}(M)\) est commutative.

Considérons le cas où \(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\) est un module libre de type fini. Alors \(\text{Sym}(M) = R[x_1, \ldots, x_n]\) est une algèbre polynomiale.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Si \(M\) est un \(R\)-module libre, chacune de ses puissances symétriques et extérieures l’est aussi.

Démonstration

La démonstration est omise ; voir toutefois ci-dessus le cas libre de type fini.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M_2 \to M_1 \to M \to 0\) une suite exacte de \(R\)-modules. Il existe des suites exactes \[M_2 \otimes_R \text{Sym}^{n - 1}(M_1) \to \text{Sym}^n(M_1) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] et, de même, \[M_2 \otimes_R \wedge^{n - 1}(M_1) \to \wedge^n(M_1) \to \wedge^n(M) \to 0\]

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(x_i\), \(i \in I\), une famille donnée de générateurs de \(M\) comme \(R\)-module. Soit \(n \geq 2\). Il existe une suite exacte canonique \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \oplus \bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \wedge^n(M) \to 0\] où le tenseur pur \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) du premier facteur direct est envoyé sur \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{avec } x_{i_1} \text{ et } x_{i_2} \text{ occupant les places } j_1 \text{ et } j_2 \text{ dans le tenseur}} \\ + \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{avec } x_{i_2} \text{ et } x_{i_1} \text{ occupant les places } j_1 \text{ et } j_2 \text{ dans le tenseur}} \end{align*}\] et \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) du second facteur direct est envoyé sur \[\underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{avec } x_{i} \text{ et } x_{i} \text{ occupant les places } j_1 \text{ et } j_2 \text{ dans le tenseur}}\] Il existe aussi une suite exacte canonique \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] où le tenseur pur \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) est envoyé sur \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{avec } x_{i_1} \text{ et } x_{i_2} \text{ occupant les places } j_1 \text{ et } j_2 \text{ dans le tenseur}} \\ - \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{avec } x_{i_2} \text{ et } x_{i_1} \text{ occupant les places } j_1 \text{ et } j_2 \text{ dans le tenseur}} \end{align*}\]

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(A \to B\) un morphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(B\)-module. Soit \(n > 1\). Le noyau de l’application \(A\)-linéaire \(M \otimes_A \ldots \otimes_A M \to \wedge^n_B(M)\) est engendré comme \(A\)-module par les éléments \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_n\) tels que \(m_i = m_j\) pour \(i \not = j\), avec \(m_1, \ldots, m_n \in M\), et par les éléments \(m_1 \otimes \ldots \otimes bm_i \otimes \ldots \otimes m_n - m_1 \otimes \ldots \otimes bm_j \otimes \ldots \otimes m_n\) pour \(i \not = j\), \(m_1, \ldots, m_n \in M\) et \(b \in B\).

Démonstration

La démonstration est omise.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Supposons que les \(M_i\) forment un système filtrant de \(R\)-modules. Alors \(\colim_i \text{T}(M_i) = \text{T}(\colim_i M_i)\), et il en va de même pour les algèbres symétriques et extérieures.

Démonstration

La démonstration est omise. Indication : appliquer le lemme 00DD.

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Alors \(S^{-1}T_R(M) = T_{S^{-1}R}(S^{-1}M)\) pour tout \(R\)-module \(M\). Il en va de même pour les algèbres symétriques et extérieures.

Démonstration

La démonstration est omise. Indication : appliquer le lemme 00DL.

Changement de base

Nous introduisons formellement le changement de base en algèbre comme suit.

Définition

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(S\)-module. Soit \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux quelconque. Le changement de base de \(\varphi\) par \(R \to R'\) est le morphisme d’anneaux \(R' \to S \otimes_R R'\). Dans cette situation, nous écrivons souvent \(S' = S \otimes_R R'\). Le changement de base du \(S\)-module \(M\) est le \(S'\)-module \(M \otimes_R R'\).

Si \(S = R[x_i]/(f_j)\) pour une famille de variables \(x_i\), \(i \in I\), et une famille de polynômes \(f_j \in R[x_i]\), \(j \in J\), alors \(S \otimes_R R' = R'[x_i]/(f'_j)\), où \(f'_j \in R'[x_i]\) est l’image de \(f_j\) par le morphisme \(R[x_i] \to R'[x_i]\) induit par \(R \to R'\). Cette remarque simple est la clé de la compréhension du changement de base.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(S\)-module. Soit \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux, et soient \(S' = S \otimes_R R'\) et \(M' = M \otimes_R R'\) les changements de base.

1. Si \(M\) est un \(S\)-module de type fini, alors son changement de base \(M'\) est un \(S'\)-module de type fini.

2. Si \(M\) est un \(S\)-module de présentation finie, alors son changement de base \(M'\) est un \(S'\)-module de présentation finie.

3. Si \(R \to S\) est de type fini, alors son changement de base \(R' \to S'\) est de type fini.

4. Si \(R \to S\) est de présentation finie, alors son changement de base \(R' \to S'\) est de présentation finie.

Démonstration

Démonstration de (1). Choisissons une application \(S\)-linéaire surjective \(S^{\oplus n} \to M \to 0\). Par les lemmes 00CY et 00DF, sa tensorisation par \(R^\prime\) donne une surjection \({S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \rightarrow 0\), de sorte que \(M^\prime\) est un \(S^\prime\)-module de type fini. Démonstration de (2). Choisissons une présentation \(S^{\oplus m} \to S^{\oplus n} \to M \to 0\). Par les lemmes 00CY et 00DF, sa tensorisation par \(R^\prime\) donne une présentation finie \({S^\prime}^{\oplus m} \to {S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \to 0\) du \(S^\prime\)-module \(M^\prime\). Démonstration de (3). Cela résulte de la remarque précédant le lemme, puisque nous pouvons supposer \(I\) fini. Démonstration de (4). Cela résulte de la remarque précédant le lemme, puisque nous pouvons supposer \(I\) et \(J\) finis.

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Étant donné un \(S\)-module \(N\), nous obtenons un \(R\)-module \(N_R\) par la règle \(r \cdot n = \varphi(r)n\). On l’appelle parfois la restriction des scalaires de \(N\) à \(R\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Les foncteurs \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\), \(N \mapsto N_R\) (restriction des scalaires), et \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\), \(M \mapsto M \otimes_R S\) (changement de base) sont adjoints. Plus précisément, \[\Hom_R(M, N_R) = \Hom_S(M \otimes_R S, N)\]

Démonstration

Si \(\alpha : M \to N_R\) est un morphisme de \(R\)-modules, nous définissons \(\alpha' : M \otimes_R S \to N\) par la règle \(\alpha'(m \otimes s) = s\alpha(m)\). Si \(\beta : M \otimes_R S \to N\) est un morphisme de \(S\)-modules, nous définissons \(\beta' : M \to N_R\) par la règle \(\beta'(m) = \beta(m \otimes 1)\). Nous omettons la vérification que ces constructions sont inverses l’une de l’autre.

Le lemme précédent nous dit que la restriction des scalaires admet un adjoint à gauche, à savoir le changement de base. Elle admet aussi un adjoint à droite.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Les foncteurs \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\), \(N \mapsto N_R\) (restriction des scalaires), et \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\), \(M \mapsto \Hom_R(S, M)\) sont adjoints. Plus précisément, \[\Hom_R(N_R, M) = \Hom_S(N, \Hom_R(S, M))\]

Démonstration

Si \(\alpha : N_R \to M\) est un morphisme de \(R\)-modules, nous définissons \(\alpha' : N \to \Hom_R(S, M)\) par la règle \(\alpha'(n) = (s \mapsto \alpha(sn))\). Si \(\beta : N \to \Hom_R(S, M)\) est un morphisme de \(S\)-modules, nous définissons \(\beta' : N_R \to M\) par la règle \(\beta'(n) = \beta(n)(1)\). Nous omettons la vérification que ces constructions sont inverses l’une de l’autre.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Étant donnés des \(S\)-modules \(M, N\) et un \(R\)-module \(P\), nous avons \[\Hom_R(M \otimes_S N, P) = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P))\]

Démonstration

On peut le démontrer directement, mais c’est aussi une conséquence des lemmes 08YP et 00DE. En effet, nous avons \[\begin{align*} \Hom_R(M \otimes_S N, P) & = \Hom_S(M \otimes_S N, \Hom_R(S, P)) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_S(N, \Hom_R(S, P))) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P)) \end{align*}\] comme voulu.

Divers

Les démonstrations de cette section ne doivent faire appel à aucun résultat autre que ceux de la section sur les notions de base, la section 00AR.

Lemme

Soient \(R\) un anneau, \(I\) et \(J\) deux idéaux, et \(\mathfrak p\) un idéal premier contenant le produit \(IJ\). Alors \(\mathfrak{p}\) contient \(I\) ou \(J\).

Démonstration

Supposons le contraire et choisissons \(x \in I \setminus \mathfrak p\) et \(y \in J \setminus \mathfrak p\). Leur produit appartient à \(IJ \subset \mathfrak p\), ce qui contredit le fait que \(\mathfrak p\) est premier.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(I_i \subset R\), \(i = 1, \ldots, r\), et \(J \subset R\) des idéaux. Supposons que

1. \(J \not\subset I_i\) pour \(i = 1, \ldots, r\), et

2. tous les \(I_i\) sauf deux sont des idéaux premiers.

Alors il existe \(x \in J\) tel que \(x\not\in I_i\) pour tout \(i\).

Démonstration

Le résultat est vrai pour \(r = 1\). Si \(r = 2\), choisissons \(x, y \in J\) tels que \(x \not \in I_1\) et \(y \not \in I_2\). Nous avons conclu, sauf si \(x \in I_2\) et \(y \in I_1\). Mais alors l’élément \(x + y\) ne peut appartenir à \(I_1\) (car cela entraînerait \(x + y - y \in I_1\)), ni à \(I_2\).

Pour \(r \geq 3\), supposons le résultat vrai pour \(r - 1\). Après renumérotation, nous pouvons supposer que \(I_r\) est premier. Nous pouvons aussi supposer qu’il n’existe aucune inclusion entre les \(I_i\). Choisissons \(x \in J\) tel que \(x \not \in I_i\) pour tout \(i = 1, \ldots, r - 1\). Si \(x \not\in I_r\), nous avons conclu. Supposons donc \(x \in I_r\). Si \(J I_1 \ldots I_{r - 1} \subset I_r\), alors \(J \subset I_r\) (par le lemme 07K1), contradiction. Choisissons \(y \in J I_1 \ldots I_{r - 1}\) tel que \(y \not \in I_r\). Alors \(x + y\) convient.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(x \in R\), \(I \subset R\) un idéal, et \(\mathfrak p_i\), \(i = 1, \ldots, r\), des idéaux premiers. Supposons que \(x + I \not \subset \mathfrak p_i\) pour \(i = 1, \ldots, r\). Alors il existe \(y \in I\) tel que \(x + y \not \in \mathfrak p_i\) pour tout \(i\).

Démonstration

Nous pouvons supposer qu’il n’existe aucune inclusion entre les \(\mathfrak p_i\). Après réordonnement, nous pouvons supposer \(x \not \in \mathfrak p_i\) pour \(i < s\) et \(x \in \mathfrak p_i\) pour \(i \geq s\). Si \(s = r + 1\), nous avons conclu. Sinon, nous pouvons trouver \(y \in I\) tel que \(y \not \in \mathfrak p_s\). Choisissons \(f \in \bigcap_{i < s} \mathfrak p_i\) tel que \(f \not \in \mathfrak p_s\). Alors \(x + fy\) n’appartient à aucun de \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_s\). Nous concluons donc par récurrence sur \(s\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. Si \(I_1, \ldots, I_r\) sont des idéaux tels que \(I_a + I_b = R\) lorsque \(a \not = b\), alors \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1I_2\ldots I_r\) et \(R/(I_1I_2\ldots I_r) \cong R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\).

2. Si \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) sont des idéaux maximaux deux à deux distincts, alors \(\mathfrak m_a + \mathfrak m_b = R\) pour \(a \not = b\), et ce qui précède s’applique.

Démonstration

Démontrons d’abord \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1 \ldots I_r\), car cela entraînera aussi l’injectivité du morphisme d’anneaux induit \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\). L’inclusion \(I_1 \cap \ldots \cap I_r \supset I_1 \ldots I_r\) est toujours vraie, puisque les idéaux sont stables par multiplication par des éléments quelconques de l’anneau. Pour démontrer l’autre inclusion, affirmons que les idéaux \[I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r,\quad i = 1, \ldots, r\] engendrent l’anneau \(R\). Nous le démontrons par récurrence sur \(r\). C’est vrai pour \(r = 2\). Si \(r > 2\), nous voyons que \(R\) est la somme des idéaux \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_{r - 1}\), \(i = 1, \ldots, r - 1\). Par conséquent, \(I_r\) est la somme des idéaux \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\), \(i = 1, \ldots, r - 1\). En appliquant le même argument aux idéaux pris dans l’ordre inverse, nous voyons que \(I_1\) est la somme des idéaux \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\), \(i = 2, \ldots, r\). Puisque \(R = I_1 + I_r\) par hypothèse, nous voyons que \(R\) est la somme des idéaux affichés ci-dessus. Nous pouvons donc trouver des éléments \(a_i \in I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\) dont la somme vaut un. En multipliant cette égalité par un élément de \(I_1 \cap \ldots \cap I_r\), nous obtenons l’autre inclusion. Il reste à montrer que l’application canonique \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\) est surjective. Pour cela, considérons son action sur l’égalité \(1 = \sum_{i=1}^r a_i\) obtenue ci-dessus. D’une part, un morphisme d’anneaux envoie 1 sur 1 ; d’autre part, l’image de tout \(a_i\) est nulle dans \(R/I_j\) pour \(j \neq i\). L’image de \(a_i\) dans \(R/I_i\) est donc l’élément unité. Ainsi, pour tout élément \((\bar{b_1}, \ldots, \bar{b_r}) \in R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\), l’élément \(\sum_{i=1}^r a_i \cdot b_i\) en est un antécédent dans \(R\).

Pour voir (2), la définition même d’idéaux maximaux distincts donne \(\mathfrak{m}_a + \mathfrak{m}_b = R\) pour \(a \neq b\), et ce qui précède s’applique.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(n \geq m\). Soit \(A\) une matrice \(n \times m\) à coefficients dans \(R\). Soit \(J \subset R\) l’idéal engendré par les mineurs \(m \times m\) de \(A\).

1. Pour tout \(f \in J\), il existe une matrice \(m \times n\), \(B\), telle que \(BA = f 1_{m \times m}\).

2. Si \(f \in R\) et \(BA = f 1_{m \times m}\) pour une matrice \(m \times n\), \(B\), alors \(f^m \in J\).

Démonstration

Pour \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) avec \(|I| = m\), notons \(E_I\) la matrice \(m \times n\) de la projection \[R^{\oplus n} = \bigoplus\nolimits_{i \in \{1, \ldots, n\}} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} R\] et posons \(A_I = E_I A\) ; ainsi, \(A_I\) est la matrice \(m \times m\) dont les lignes sont celles de \(A\) d’indices appartenant à \(I\). Soit \(B_I\) la matrice adjointe (transposée de la matrice des cofacteurs) de \(A_I\), c’est-à-dire telle que \(A_I B_I = B_I A_I = \det(A_I) 1_{m \times m}\). Les mineurs \(m \times m\) de \(A\) sont les déterminants \(\det A_I\) pour tous les \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) tels que \(|I| = m\). Si \(f \in J\), nous pouvons écrire \(f = \sum c_I \det(A_I)\) avec \(c_I \in R\). Posons \(B = \sum c_I B_I E_I\) ; cela démontre (1).

Si \(f 1_{m \times m} = BA\), la formule de Cauchy-Binet (0F0K) donne \(f^m = \sum b_I \det(A_I)\), où \(b_I\) est le déterminant de la matrice \(m \times m\) dont les colonnes sont celles de \(B\) d’indices appartenant à \(I\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(n \geq m\). Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice \(n \times m\) à coefficients dans \(R\), écrite par blocs sous la forme \[A = \left( \begin{matrix} A_1 \\ A_2 \end{matrix} \right)\] où \(A_1\) est de taille \(m \times m\). Soit \(B\) la matrice adjointe (transposée de la matrice des cofacteurs) de \(A_1\). Alors \[AB = \left( \begin{matrix} f 1_{m \times m} \\ C \end{matrix} \right)\] où \(f = \det(A_1)\) et où \(c_{ij}\) est, au signe près, le déterminant du mineur \(m \times m\) de \(A\) correspondant aux lignes \(1, \ldots, \hat j, \ldots, m, i\).

Démonstration

Puisque la matrice adjointe vérifie \(A_1B = B A_1 = f\), le premier bloc de l’expression de \(AB\) est correct. Remarquons que \[c_{ij} = \sum\nolimits_k a_{ik}b_{kj} = \sum (-1)^{j + k}a_{ik} \det(A_1^{jk})\] où \(A_1^{ij}\) désigne la matrice \(A_1\) privée de sa \(j\)-ième ligne et de sa \(k\)-ième colonne. Cette dernière expression est le développement suivant une ligne du déterminant de la matrice de l’énoncé du lemme.

Lemme

Soit \(R\) un anneau non nul. Soit \(n \geq 1\). Soit \(M\) un \(R\)-module engendré par un nombre d’éléments \(< n\). Alors tout morphisme de \(R\)-modules \(f : R^{\oplus n} \to M\) a un noyau non nul.

Démonstration

Choisissons une surjection \(R^{\oplus n - 1} \to M\). Nous pouvons relever le morphisme \(f\) en un morphisme \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\) (lemme 07JX). Il suffit de démontrer que \(f'\) a un noyau non nul. Le morphisme \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\) est donné par une matrice \(A = (a_{ij})\). Si l’un des \(a_{ij}\) n’est pas nilpotent, disons que \(a = a_{ij}\) ne l’est pas, nous pouvons remplacer \(R\) par la localisation \(R_a\) et supposer que \(a_{ij}\) est une unité. En effet, si nous trouvons un noyau non nul après localisation, il existait déjà un noyau non nul, car la localisation est exacte ; voir la proposition 00CS. Dans ce cas, nous pouvons effectuer un changement de base à la fois dans \(R^{\oplus n}\) et dans \(R^{\oplus n - 1}\) et nous ramener au cas où \[A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \ldots \\ 0 & a_{32} & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] Nous concluons alors par récurrence sur \(n\). Sinon, chaque \(a_{ij}\) est nilpotent. Posons \(I = (a_{ij}) \subset R\). Remarquons que \(I^{m + 1} = 0\) pour un certain \(m \geq 0\). Soit \(m\) le plus grand entier tel que \(I^m \not = 0\). Alors \((I^m)^{\oplus n}\) est contenu dans le noyau du morphisme, ce qui conclut.

Lemme

Soit \(R\) un anneau non nul. Soient \(n, m \geq 0\) des entiers. Si \(R^{\oplus n}\) est isomorphe à \(R^{\oplus m}\) comme \(R\)-modules, alors \(n = m\).

Démonstration

C’est immédiat d’après le lemme 05WI.

Cayley-Hamilton

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A = (a_{ij})\) une matrice \(n \times n\) à coefficients dans \(R\). Soit \(P(x) \in R[x]\) le polynôme caractéristique de \(A\) (défini comme \(\det(x\text{id}_{n \times n} - A)\)). Alors \(P(A) = 0\) dans \(\text{Mat}(n \times n, R)\).

Démonstration

Nous ramenons la question au théorème de Cayley-Hamilton bien connu d’algèbre linéaire, en plusieurs étapes :

1. Si \(\phi :S \rightarrow R\) est un morphisme d’anneaux et si les \(b_{ij}\) sont des antécédents des \(a_{ij}\) par ce morphisme, il suffit de démontrer l’énoncé pour \(S\) et \((b_{ij})\), puisque \(\phi\) est un morphisme d’anneaux.

2. Si \(\psi :R \hookrightarrow S\) est un morphisme injectif d’anneaux, il suffit clairement de démontrer le résultat pour \(S\) et pour les \(a_{ij}\) considérés comme éléments de \(S\).

3. Nous pouvons donc d’abord nous ramener au cas \(R = \mathbf{Z}[X_{ij}]\), \(a_{ij} = X_{ij}\), d’un anneau de polynômes, puis au cas \(R = \mathbf{Q}(X_{ij})\), où nous pouvons enfin appliquer Cayley-Hamilton.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(\varphi : M \to M\) un endomorphisme. Alors il existe un polynôme unitaire \(P \in R[T]\) tel que \(P(\varphi) = 0\) comme endomorphisme de \(M\).

Démonstration

Choisissons un morphisme surjectif de \(R\)-modules \(R^{\oplus n} \to M\), donné par \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\), pour des générateurs \(x_i \in M\). Choisissons \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in R^{\oplus n}\) tels que \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ R^{\oplus n} \ar[r] & M }\] est commutatif, où \(A = (a_{ij})\). D’après le lemme 00DX, il existe un polynôme unitaire \(P\) tel que \(P(A) = 0\). Il s’ensuit que \(P(\varphi) = 0\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(\varphi : M \to M\) un endomorphisme tel que \(\varphi(M) \subset IM\). Alors il existe un polynôme unitaire \(P = t^n + a_1 t^{n - 1} + \ldots + a_n \in R[T]\) tel que \(a_j \in I^j\) et que \(P(\varphi) = 0\) comme endomorphisme de \(M\).

Démonstration

Choisissons un morphisme surjectif de \(R\)-modules \(R^{\oplus n} \to M\), donné par \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\), pour des générateurs \(x_i \in M\). Choisissons \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in I^{\oplus n}\) tels que \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ I^{\oplus n} \ar[r] & M }\] est commutatif, où \(A = (a_{ij})\). D’après le lemme 00DX, le polynôme \(P(t) = \det(t\text{id}_{n \times n} - A)\) possède toutes les propriétés voulues.

À titre d’application plaisante, démontrons le lemme surprenant suivant.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Soit \(\varphi : M \to M\) un morphisme surjectif de \(R\)-modules. Alors \(\varphi\) est un isomorphisme.

Démonstration

Écrivons \(R' = R[x]\) et considérons \(M\) comme un \(R'\)-module de type fini, \(x\) agissant par \(\varphi\). Posons \(I = (x) \subset R'\). L’hypothèse de surjectivité de \(\varphi\) donne \(IM = M\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 05G7 à \(M\) considéré comme un \(R'\)-module, à l’idéal \(I\) et à l’endomorphisme \(\text{id}_M\). Nous en déduisons que \((1 + a_1 + \ldots + a_n)\text{id}_M = 0\) avec \(a_j \in I\). Écrivons \(a_j = b_j(x)x\) pour un certain \(b_j(x) \in R[x]\). En revenant à \(\varphi\), nous voyons que \(\text{id}_M = -(\sum_{j = 1, \ldots, n} b_j(\varphi)) \varphi\), et donc que \(\varphi\) est inversible.

Démonstration

Nous raisonnons par récurrence sur le nombre de générateurs de \(M\) sur \(R\). Si \(M\) est engendré par un élément, alors \(M \cong R/I\) pour un certain idéal \(I \subset R\). Nous pouvons alors remplacer \(R\) par \(R/I\), de sorte que \(M = R\). Dans ce cas, \(\varphi : R \to R\) est donné par la multiplication sur \(M\) par un élément \(r \in R\). La surjectivité de \(\varphi\) force \(r\) à être inversible, puisque \(\varphi\) doit atteindre \(1\) ; il s’ensuit que \(\varphi\) est inversible.

Supposons maintenant le lemme démontré pour les modules engendrés par \(n - 1\) éléments, et considérons un module \(M\) engendré par \(n\) éléments. Notons \(A\) l’anneau \(R[t]\) et regardons le module \(M\) comme un \(A\)-module en faisant agir \(t\) par \(\varphi\) ; comme \(M\) est de type fini sur \(R\), il l’est aussi sur \(R[t]\). Puisque nous cherchons à démontrer que \(\varphi\) est injectif, ce qui est une propriété ensembliste, nous pouvons tout aussi bien démontrer que l’endomorphisme \(t : M \to M\) sur \(A\) est injectif. Nous avons ramené le problème au cas où notre endomorphisme est la multiplication par un élément de l’anneau de base. Notons \(M' \subset M\) le sous-\(A\)-module engendré par les \(n - 1\) premiers générateurs de \(M\), et considérons le diagramme \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & M' \ar[r]\ar[d]^{\varphi\mid_{M'}} & M\ar[d]^\varphi \ar[r] & M/M' \ar[d]^{\varphi \bmod M'} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M' \ar[r] & M \ar[r] & M/M' \ar[r] & 0, }\] où la restriction de \(\varphi\) à \(M'\) et l’application induite par \(\varphi\) sur le quotient \(M/M'\) sont bien définies, puisque \(\varphi\) est la multiplication par un élément de la base, et que \(M'\) et \(M/M'\) sont eux-mêmes des \(A\)-modules. Par le cas \(n = 1\), l’application \(M/M' \to M/M'\) est un isomorphisme. Une chasse au diagramme montre que \(\varphi|_{M'}\) est surjective ; par récurrence, \(\varphi|_{M'}\) est donc un isomorphisme. Le lemme du serpent impose alors à la colonne du milieu d’être un isomorphisme.

Le spectre d’un anneau

Nous décidons arbitrairement que le spectre d’un anneau, considéré comme espace topologique, relève du chapitre d’algèbre, tandis qu’un schéma affine relève du chapitre sur les schémas.

Définition

Soit \(R\) un anneau.

1. Le spectre de \(R\) est l’ensemble des idéaux premiers de \(R\). On le note habituellement \(\Spec(R)\).

2. Étant donnée une partie \(T \subset R\), nous notons \(V(T) \subset \Spec(R)\) l’ensemble des idéaux premiers contenant \(T\), c’est-à-dire \(V(T) = \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid \forall f\in T, f\in \mathfrak p\}\).

3. Étant donné un élément \(f \in R\), nous notons \(D(f) \subset \Spec(R)\) l’ensemble des idéaux premiers ne contenant pas \(f\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. Le spectre d’un anneau \(R\) est vide si et seulement si \(R\) est l’anneau nul.

2. Tout anneau non nul possède un idéal maximal.

3. Tout anneau non nul possède un idéal premier minimal.

4. Étant donnés un idéal \(I \subset R\) et un idéal premier vérifiant \(I \subset \mathfrak p\), il existe un idéal premier \(I \subset \mathfrak q \subset \mathfrak p\) tel que \(\mathfrak q\) soit minimal au-dessus de \(I\).

5. Si \(T \subset R\) et si \((T)\) est l’idéal engendré par \(T\) dans \(R\), alors \(V((T)) = V(T)\).

6. Si \(I\) est un idéal et si \(\sqrt{I}\) est son radical, voir la notion de base (00BI), alors \(V(I) = V(\sqrt{I})\).

7. Pour tout idéal \(I\) de \(R\), nous avons \(\sqrt{I} = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\).

8. Si \(I\) est un idéal, alors \(V(I) = \emptyset\) si et seulement si \(I\) est l’idéal unité.

9. Si \(I\) et \(J\) sont des idéaux de \(R\), alors \(V(I) \cup V(J) = V(I \cap J)\).

10. Si \((I_a)_{a\in A}\) est une famille d’idéaux de \(R\), alors \(\bigcap_{a\in A} V(I_a) = V(\bigcup_{a\in A} I_a)\).

11. Si \(f \in R\), alors \(D(f) \amalg V(f) = \Spec(R)\).

12. Si \(f \in R\), alors \(D(f) = \emptyset\) si et seulement si \(f\) est nilpotent.

13. Si \(f = u f'\) pour une unité \(u \in R\), alors \(D(f) = D(f')\).

14. Si \(I \subset R\) est un idéal et si \(\mathfrak p\) est un idéal premier de \(R\) tel que \(\mathfrak p \not\in V(I)\), alors il existe \(f \in R\) tel que \(\mathfrak p \in D(f)\) et \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\).

15. Si \(f, g \in R\), alors \(D(fg) = D(f) \cap D(g)\).

16. Si \(f_i \in R\) pour \(i \in I\), alors \(\bigcup_{i\in I} D(f_i)\) est le complémentaire de \(V(\{f_i \}_{i\in I})\) dans \(\Spec(R)\).

17. Si \(f \in R\) et \(D(f) = \Spec(R)\), alors \(f\) est une unité.

Démonstration

Nous traitons chaque assertion dans l’item correspondant ci-dessous.

1. C’est une conséquence directe de (2) ou de (3).

2. Soit \(\mathfrak{A}\) l’ensemble de tous les idéaux propres de \(R\). Cet ensemble est ordonné par inclusion et n’est pas vide, puisque \((0) \in \mathfrak{A}\) est un idéal propre. Soit \(A\) une partie totalement ordonnée de \(\mathfrak A\). Alors \(\bigcup_{I \in A} I\) est en fait un idéal. Comme 1 \(\notin I\) pour tout \(I \in A\), la réunion ne contient pas 1 et est donc propre. Ainsi, \(\bigcup_{I \in A} I\) appartient à \(\mathfrak{A}\) et majore la partie \(A\). Le lemme de Zorn assure donc à \(\mathfrak{A}\) l’existence d’un élément maximal, qui est l’idéal maximal recherché.

3. Puisque \(R\) est non nul, il contient un idéal maximal, donc premier. Ainsi, l’ensemble \(\mathfrak{A}\) de tous les idéaux premiers de \(R\) n’est pas vide. \(\mathfrak{A}\) est ordonné par l’inclusion opposée. Soit \(A\) une partie totalement ordonnée de \(\mathfrak{A}\). Il est clair que \(J = \bigcap_{I \in A} I\) est un idéal. Il est moins clair qu’il soit premier. Soit \(xy \in J\). Alors \(xy \in I\) pour tout \(I \in A\). Posons \(B = \{I \in A | y \in I\}\) et \(K = \bigcap_{I \in B} I\). Puisque \(A\) est totalement ordonné, ou bien \(K = J\) (et nous avons conclu, car alors \(y \in J\)), ou bien \(K \supset J\) et, pour tout \(I \in A\) tel que \(I\) soit strictement contenu dans \(K\), nous avons \(y \notin I\). Mais cela signifie que, pour tous ces idéaux \(I, x \in I\), puisqu’ils sont premiers. Ainsi \(x \in J\). Dans les deux cas, \(J\) est premier, comme voulu. Le lemme de Zorn fournit donc un élément maximal, qui est ici un idéal premier minimal.

4. C’est exactement le même argument que dans (3), en ne considérant que les idéaux premiers contenus dans \(\mathfrak{p}\) et contenant \(I\).

5. \((T)\) est le plus petit idéal contenant \(T\). Par conséquent, si \(T \subset I\) pour un certain idéal, alors \((T) \subset I\) également. Ainsi, si \(I \in V(T)\), alors \(I \in V((T))\) également. L’autre inclusion est évidente.

6. Puisque \(I \subset \sqrt{I}, V(\sqrt{I}) \subset V(I)\), prenons \(\mathfrak{p} \in V(I)\). Soit \(x \in \sqrt{I}\). Alors \(x^n \in I\) pour un certain \(n\). Donc \(x^n \in \mathfrak{p}\). Comme \(\mathfrak{p}\) est premier, une récurrence immédiate donne \(x \in \mathfrak{p}\). Ainsi \(\sqrt{I} \subset \mathfrak{p}\) et \(\mathfrak{p} \in V(\sqrt{I})\).

7. Soit \(f \in R \setminus \sqrt{I}\). Alors \(f^n \notin I\) pour tout \(n\). Par conséquent, \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\) est une partie multiplicative ne contenant pas \(0\). Choisissons un idéal premier \(\bar{\mathfrak{p}} \subset S^{-1}R\) contenant \(S^{-1}I\). Alors \(\mathfrak{p}\), image réciproque dans \(R\) de \(\bar{\mathfrak{p}}\), est un idéal premier contenant \(I\) et ne rencontrant pas \(S\). Cela montre que \(\bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p \subset \sqrt{I}\). Maintenant, si \(a \in \sqrt{I}\), alors \(a^n \in I\) pour un certain \(n\). Ainsi, si \(I \subset \mathfrak{p}\), alors \(a^n \in \mathfrak{p}\). Comme \(\mathfrak{p}\) est premier, nous avons \(a \in \mathfrak{p}\). L’égalité est donc démontrée.

8. \(I\) n’est pas l’idéal unité si et seulement si \(I\) est contenu dans un idéal maximal (pour le voir, appliquer (2) à l’anneau \(R/I\)), lequel est donc premier.

9. Si \(\mathfrak{p} \in V(I) \cup V(J)\), alors \(I \subset \mathfrak{p}\) ou \(J \subset \mathfrak{p}\), ce qui signifie que \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\). Réciproquement, si \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\), alors \(IJ \subset \mathfrak{p}\) ; ainsi, soit \(I\), soit \(J\), est contenu dans \(\mathfrak{p}\), puisque \(\mathfrak{p}\) est premier.

10. \(\mathfrak{p} \in \bigcap_{a \in A} V(I_a) \Leftrightarrow I_a \subset \mathfrak{p}, \forall a \in A \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in V(\bigcup_{a\in A} I_a)\)

11. Si \(\mathfrak{p}\) est un idéal premier et \(f \in R\), alors ou bien \(f \in \mathfrak{p}\), ou bien \(f \notin \mathfrak{p}\), de façon exclusive ; c’est précisément ce qu’exprime la réunion disjointe.

12. Si \(a \in R\) est nilpotent, alors \(a^n = 0\) pour un certain \(n\). Ainsi \(a^n \in \mathfrak{p}\) pour tout idéal premier. Une récurrence donne donc \(a \in \mathfrak{p}\) et \(D(a) = \emptyset\). Réciproquement, comme nous l’avons montré en (7), si \(a \in R\) n’est pas nilpotent, il existe un idéal premier qui ne le contient pas.

13. \(f \in \mathfrak{p} \Leftrightarrow uf \in \mathfrak{p}\), puisque \(u\) est inversible.

14. Si \(\mathfrak{p} \notin V(I)\), alors \(\exists f \in I \setminus \mathfrak{p}\). Ainsi \(f \notin \mathfrak{p}\), donc \(\mathfrak{p} \in D(f)\). En outre, si \(\mathfrak{q} \in D(f)\), alors \(f \notin \mathfrak{q}\), si bien que \(I\) n’est pas contenu dans \(\mathfrak{q}\). Ainsi \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\).

15. Si \(fg \in \mathfrak{p}\), alors \(f \in \mathfrak{p}\) ou \(g \in \mathfrak{p}\). Par conséquent, si \(f \notin \mathfrak{p}\) et \(g \notin \mathfrak{p}\), alors \(fg \notin \mathfrak{p}\). Puisque \(\mathfrak{p}\) est un idéal, si \(fg \notin \mathfrak{p}\), alors \(f \notin \mathfrak{p}\) et \(g \notin \mathfrak{p}\).

16. \(\mathfrak{p} \in \bigcup_{i \in I} D(f_i) \Leftrightarrow \exists i \in I, f_i \notin \mathfrak{p} \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in \Spec(R) \setminus V(\{f_i\}_{i \in I})\)

17. Si \(D(f) = \Spec(R)\), alors \(V(f) = \emptyset\) et donc \(fR = R\), de sorte que \(f\) est une unité.

Le lemme entraîne que les parties \(V(T)\) de la définition 00DZ sont les fermés d’une topologie sur \(\Spec(R)\). Il montre aussi que les ensembles \(D(f)\) sont ouverts et forment une base de cette topologie.

Définition

Soit \(R\) un anneau. La topologie sur \(\Spec(R)\) dont les fermés sont les ensembles \(V(T)\) est appelée topologie de Zariski. Les ouverts \(D(f)\) sont appelés les ouverts principaux de \(\Spec(R)\).

Le contexte indiquera clairement si nous considérons \(\Spec(R)\) seulement comme un ensemble ou comme un espace topologique.

Lemme

Supposons que \(\varphi : R \to R'\) soit un morphisme d’anneaux. L’application induite \[\Spec(\varphi) : \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R), \quad \mathfrak p' \longmapsto \varphi^{-1}(\mathfrak p')\] est continue pour les topologies de Zariski. En fait, pour tout élément \(f \in R\), nous avons \(\Spec(\varphi)^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))\).

Démonstration

La notion de base (00BV) assure que \(\mathfrak p := \varphi^{-1}(\mathfrak p')\) est bien un idéal premier de \(R\). La dernière assertion du lemme résulte directement des définitions et entraîne la première.

Si \(\varphi' : R' \to R''\) est un second morphisme d’anneaux, alors la composée \[\Spec(R'') \longrightarrow \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R)\] est égale à \(\Spec(\varphi' \circ \varphi)\). Autrement dit, \(\Spec\) est un foncteur contravariant de la catégorie des anneaux vers la catégorie des espaces topologiques.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Le morphisme \(R \to S^{-1}R\) induit, par fonctorialité de \(\Spec\), un homéomorphisme \[\Spec(S^{-1}R) \longrightarrow \{\mathfrak p \in \Spec(R) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset \}\] où le membre de droite est muni de la topologie induite par la topologie de Zariski sur \(\Spec(R)\). L’application inverse est donnée par \(\mathfrak p \mapsto S^{-1}\mathfrak p = \mathfrak p(S^{-1}R)\).

Démonstration

Notons \(D\) le membre de droite de la flèche du lemme. Choisissons un idéal premier \(\mathfrak p' \subset S^{-1}R\) et soit \(\mathfrak p\) l’image réciproque de \(\mathfrak p'\) dans \(R\). Puisque \(\mathfrak p'\) ne contient pas \(1\), nous voyons que \(\mathfrak p\) ne contient aucun élément de \(S\). Ainsi \(\mathfrak p \in D\), et nous voyons que l’image est contenue dans \(D\). Soit \(\mathfrak p \in D\). Par hypothèse, l’image \(\overline{S}\) ne contient pas \(0\). D’après la notion de base (00C6), \(\overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) n’est pas l’anneau nul. D’après la notion de base (00CD), nous voyons que \(S^{-1}R / S^{-1}\mathfrak p = \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) est un anneau intègre, et donc que \(S^{-1}\mathfrak p\) est premier. L’égalité d’anneaux montre aussi que l’image réciproque de \(S^{-1}\mathfrak p\) dans \(R\) est égale à \(\mathfrak p\), car \(R/\mathfrak p \to \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) est injective d’après la notion de base (00C7). Cela démontre que l’application \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) est une bijection sur \(D\), dont l’inverse est celui indiqué. Elle est continue d’après le lemme 00E2. Enfin, soit \(D(g) \subset \Spec(S^{-1}R)\) un ouvert principal. Écrivons \(g = h/s\) pour certains \(h\in R\) et \(s\in S\). Puisque \(g\) s’obtient à partir de \(h/1\) par multiplication par une unité, nous avons \(D(g) = D(h/1)\) dans \(\Spec(S^{-1}R)\). Le lemme 00E2 et la bijectivité ci-dessus montrent donc que l’image de \(D(g) = D(h/1)\) est \(D \cap D(h)\). Cela prouve que l’application est également ouverte.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(f \in R\). Le morphisme \(R \to R_f\) induit, par fonctorialité de \(\Spec\), un homéomorphisme \[\Spec(R_f) \longrightarrow D(f) \subset \Spec(R).\] L’application inverse est donnée par \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p \cdot R_f\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 00E3.

Tout « ouvert affine » d’un spectre n’est pas nécessairement un ouvert principal. Voir l’exemple 00F1.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Le morphisme \(R \to R/I\) induit, par fonctorialité de \(\Spec\), un homéomorphisme \[\Spec(R/I) \longrightarrow V(I) \subset \Spec(R).\] L’application inverse est donnée par \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p / I\).

Démonstration

Il est immédiat que l’image est contenue dans \(V(I)\). D’autre part, si \(\mathfrak p \in V(I)\), alors \(\mathfrak p \supset I\), et nous pouvons considérer l’idéal \(\mathfrak p /I \subset R/I\). La notion de base (00C3) montre que \((R/I)/(\mathfrak p/I) = R/\mathfrak p\) est un anneau intègre, et donc que \(\mathfrak p/I\) est un idéal premier. Il est alors immédiat que l’image de \(D(f + I)\) est \(D(f) \cap V(I)\), et donc que l’application est un homéomorphisme.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. L’espace \(\Spec(R)\) est quasi-compact.

Démonstration

Il suffit de démontrer que de tout recouvrement de \(\Spec(R)\) par des ouverts principaux on peut extraire un recouvrement fini. Supposons donc que \(\Spec(R) = \cup D(f_i)\) pour une famille d’éléments \(\{f_i\}_{i\in I}\) de \(R\). Cela signifie que \(\cap V(f_i) = \emptyset\). D’après le lemme 00E0, cela signifie que \(V(\{f_i \}) = \emptyset\). D’après le même lemme, cela signifie que l’idéal engendré par les \(f_i\) est l’idéal unité de \(R\). Nous pouvons donc écrire \(1\) comme une somme finie : \(1 = \sum_{i \in J} r_i f_i\) avec \(J \subset I\) fini. Il s’ensuit alors que \(\Spec(R) = \cup_{i \in J} D(f_i)\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. La topologie sur \(X = \Spec(R)\) possède les propriétés suivantes :

1. \(X\) est quasi-compact,

2. \(X\) possède une base de la topologie formée d’ouverts quasi-compacts, et

3. l’intersection de deux ouverts quasi-compacts quelconques est quasi-compacte.

Démonstration

Le spectre d’un anneau est quasi-compact ; voir le lemme 00E8. Il possède une base de la topologie formée des ouverts principaux \(D(f) = \Spec(R_f)\) (lemme 00E4), qui sont quasi-compacts d’après la première assertion. L’intersection de deux ouverts principaux est quasi-compacte, car \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\). Étant donnés deux ouverts quasi-compacts \(U, V \subset X\), nous pouvons écrire \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) et \(V = D(g_1) \cup \ldots \cup D(g_m)\). Alors \(U \cap V = \bigcup D(f_ig_j)\), qui est quasi-compact.

Anneaux locaux

Les anneaux locaux sont au cœur de la géométrie algébrique.

Définition

Un anneau local est un anneau qui possède exactement un idéal maximal. Si \(R\) est un anneau local, on note souvent son idéal maximal \(\mathfrak m_R\), et le corps \(R/\mathfrak m_R\) est appelé le corps résiduel de l’anneau local \(R\). Nous disons souvent « soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local » ou « soit \((R, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local » pour indiquer que \(R\) est local, que \(\mathfrak m\) est son unique idéal maximal et que \(\kappa = R/\mathfrak m\) est son corps résiduel. Un morphisme local d’anneaux locaux est un morphisme d’anneaux \(\varphi : R \to S\) tel que \(R\) et \(S\) soient des anneaux locaux et que \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\). S’il est entendu que \(R\) et \(S\) sont des anneaux locaux, l’expression « morphisme local d’anneaux \(\varphi : R \to S\) » signifie que \(\varphi\) est un morphisme local d’anneaux locaux.

Un corps est un anneau local. Tout morphisme d’anneaux entre corps est un morphisme local d’anneaux locaux.

La localisation \(R_\mathfrak p\) d’un anneau \(R\) en un idéal premier \(\mathfrak p\) est un anneau local d’idéal maximal \(\mathfrak p R_\mathfrak p\). En effet, d’après le lemme 00E3, tout idéal premier de \(R_\mathfrak p\) est contenu dans l’idéal premier \(\mathfrak p R_\mathfrak p\) (qui est donc un idéal maximal, et l’unique idéal maximal de \(R_\mathfrak p\)). Le corps résiduel de \(R_\mathfrak p\) est noté \(\kappa(\mathfrak p)\) ; nous l’appelons le corps résiduel de \(\mathfrak p\). D’après la proposition 00CT, nous pouvons identifier \(\kappa(\mathfrak p)\) au corps des fractions de l’anneau intègre \(R/\mathfrak p\). Par la composée \[\Spec(\kappa(\mathfrak p)) \to \Spec(R_\mathfrak p) \to \Spec(R)\] l’unique point de la source est envoyé sur le point \(\mathfrak p\) du but.

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(\mathfrak q \subset S\) un idéal premier, et considérons l’idéal premier \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\) de \(R\). Puisque \(\varphi(\mathfrak p) \subset \mathfrak q\), le morphisme d’anneaux induit \[R_\mathfrak p \to S_\mathfrak q,\quad r/g \mapsto \varphi(r)/\varphi(g)\] est un morphisme local d’anneaux locaux, et nous obtenons un morphisme induit entre les corps résiduels \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\).

Exemple

Si \(R\) est un anneau local et si \(\mathfrak p \subset R\) est un idéal premier non maximal, alors \(R \to R_\mathfrak p\) n’est pas un morphisme local.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(R\) est un anneau local,

2. \(\Spec(R)\) possède exactement un point fermé,

3. \(R\) possède un idéal maximal \(\mathfrak m\) et tout élément de \(R \setminus \mathfrak m\) est une unité, et

4. \(R\) n’est pas l’anneau nul et, pour tout \(x \in R\), ou bien \(x\), ou bien \(1 - x\), ou bien les deux sont inversibles.

Démonstration

Soient \(R\) un anneau et \(\mathfrak m\) un idéal maximal. Si \(x \in R \setminus \mathfrak m\) et si \(x\) n’est pas une unité, alors il existe un idéal maximal \(\mathfrak m'\) contenant \(x\). Ainsi \(R\) possède au moins deux idéaux maximaux. Réciproquement, si \(\mathfrak m'\) est un autre idéal maximal, choisissons \(x \in \mathfrak m'\) tel que \(x \not \in \mathfrak m\). Clairement, \(x\) n’est pas une unité. Cela démontre l’équivalence de (1) et de (3). L’équivalence de (1) et de (2) est tautologique. Si \(R\) est local, alors (4) est vraie, puisque \(x\) appartient ou non à \(\mathfrak m\). Si (4) est vraie et si \(\mathfrak m\), \(\mathfrak m'\) sont des idéaux maximaux distincts, nous pouvons choisir \(x \in R\) tel que \(x \bmod \mathfrak m' = 0\) et \(x \bmod \mathfrak m = 1\) par le théorème des restes chinois (lemme 00DT). Cet élément \(x\) n’est pas inversible, et \(1 - x\) ne l’est pas davantage, ce qui est une contradiction. Ainsi (4) et (1) sont équivalentes.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Supposons que \(R\) et \(S\) soient des anneaux locaux. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\varphi\) est un morphisme local d’anneaux,

2. \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\),

3. \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\), et

4. pour tout \(x \in R\), si \(\varphi(x)\) est inversible dans \(S\), alors \(x\) est inversible dans \(R\).

Démonstration

Les conditions (1) et (2) sont équivalentes par définition. Si (3) est vraie, alors (2) l’est. Réciproquement, si (2) est vraie, \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S)\) est un idéal premier contenant l’idéal maximal \(\mathfrak m_R\), donc \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\). Enfin, (4) est la contraposée de (2) d’après le lemme 00E9.

Remarque

Un diagramme commutatif fondamental associé à un morphisme d’anneaux \(\varphi : R \to S\) et à un idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) est le suivant : \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} & S_{\mathfrak p} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] Dans ce diagramme, les colonnes extrêmes gauche et droite sont identiques. Sur les spectres, les morphismes horizontaux induisent des homéomorphismes sur leurs images, et les carrés induisent des carrés cartésiens d’espaces topologiques (voir les lemmes 00E3 et 00E5). Cela montre que \(\mathfrak p\) appartient à l’image de l’application entre spectres si et seulement si \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) n’est pas l’anneau nul. S’il existe un idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) au-dessus de \(\mathfrak p\), c’est-à-dire tel que \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\), alors nous pouvons compléter le diagramme en le diagramme suivant : \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak q) = S_{\mathfrak q}/{\mathfrak q}S_{\mathfrak q} & S_{\mathfrak q} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak q \ar[r] & \kappa(\mathfrak q) \\ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} \ar[u] & S_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & S \ar[u] \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[u] \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \ar[u] \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] Dans ce diagramme encore, les colonnes extrêmes gauche et droite sont identiques et, sur les spectres, les morphismes horizontaux induisent des homéomorphismes sur leurs images.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(R\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathfrak p\) appartient à l’image de \(\Spec(S) \to \Spec(R)\),

2. \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0\),

3. \(S_{\mathfrak p}/\mathfrak p S_{\mathfrak p} \not = 0\),

4. \((S/\mathfrak pS)_{\mathfrak p} \not = 0\), et

5. \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak pS)\).

Démonstration

Nous avons déjà vu l’équivalence des deux premières conditions dans la remarque 00E6. Les autres n’en sont que des reformulations.

Remarque

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Soit \(\mathfrak q\) un idéal premier de \(S\) au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\). D’après la remarque 00E6, l’idéal premier \(\mathfrak q\) correspond à un unique idéal premier \(\overline{\mathfrak q}\) de l’anneau de la fibre \(F = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\). Alors nous avons \[F_{\overline{\mathfrak q}} \cong S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p) \cong S_\mathfrak q/\mathfrak p S_\mathfrak q\] En effet, il existe un morphisme d’anneaux évident \(F \to S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p)\) qui s’identifie aisément à \(F \to F_{\overline{\mathfrak q}}\). Le second isomorphisme résulte du fait que \(\kappa(\mathfrak p)\) est le quotient de \(R_\mathfrak p\) par \(\mathfrak pR_\mathfrak p\).

Le radical de Jacobson d’un anneau

Rappelons que le radical de Jacobson \(\text{rad}(R)\) d’un anneau \(R\) est l’intersection de tous les idéaux maximaux de \(R\). Si \(R\) est local, alors \(\text{rad}(R)\) est l’idéal maximal de \(R\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau de radical de Jacobson \(\text{rad}(R)\). Soit \(I \subset R\) un idéal. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(I \subset \text{rad}(R)\), et

2. tout élément de \(1 + I\) est une unité de \(R\).

Dans ce cas, tout élément de \(R\) dont l’image est une unité de \(R/I\) est une unité.

Démonstration

Si \(f \in \text{rad}(R)\), alors \(f \in \mathfrak m\) pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\). Ainsi \(1 + f \not \in \mathfrak m\) pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\). Le fermé \(V(1 + f)\) de \(\Spec(R)\) est donc vide. Cela entraîne que \(1 + f\) est une unité ; voir le lemme 00E0.

Réciproquement, supposons que \(1 + f\) soit une unité pour tout \(f \in I\). Si \(\mathfrak m\) est un idéal maximal et si \(I \not \subset \mathfrak m\), alors \(I + \mathfrak m = R\). Par conséquent, \(1 = f + g\) pour un certain \(g \in \mathfrak m\) et un certain \(f \in I\). Mais \(g = 1 + (-f)\) n’est pas une unité, contradiction.

Pour la dernière assertion, soit \(f \in R\) dont l’image est une unité de \(R/I\). Nous pouvons trouver \(g \in R\) dont l’image est l’inverse multiplicatif de \(f \bmod I\). Alors \(fg = 1 \bmod I\). Ainsi \(fg\) est une unité de \(R\) d’après (2), ce qui entraîne que \(f\) est une unité.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux tel que l’application induite \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) soit surjective. Alors un élément \(x \in R\) est une unité si et seulement si \(\varphi(x) \in S\) est une unité.

Démonstration

Si \(x\) est une unité, alors \(\varphi(x)\) l’est aussi. Réciproquement, si \(\varphi(x)\) est une unité, alors \(\varphi(x) \not \in \mathfrak q\) pour tout \(\mathfrak q \in \Spec(S)\). Par conséquent, \(x \not \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) = \Spec(\varphi)(\mathfrak q)\) pour tout \(\mathfrak q \in \Spec(S)\). Puisque \(\Spec(\varphi)\) est surjective, nous concluons que \(x\) est une unité d’après la partie (17) du lemme 00E0.

Le lemme de Nakayama

Nous citons [MatCA] : « Ce lemme simple mais important est dû à T. Nakayama, G. Azumaya et W. Krull. La question de la priorité est obscure et, bien qu’il soit habituellement appelé lemme de Nakayama, feu le professeur Nakayama n’aimait pas ce nom. »

Lemme

Soit \(R\) un anneau de radical de Jacobson \(\text{rad}(R)\). Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(I \subset R\) un idéal.

1. Si \(IM = M\) et si \(M\) est de type fini, alors il existe \(f \in 1 + I\) tel que \(fM = 0\).

2. Si \(IM = M\), si \(M\) est de type fini et si \(I \subset \text{rad}(R)\), alors \(M = 0\).

3. Si \(N, N' \subset M\), si \(M = N + IN'\) et si \(N'\) est de type fini, alors il existe \(f \in 1 + I\) tel que \(fM \subset N\) et \(M_f = N_f\).

4. Si \(N, N' \subset M\), si \(M = N + IN'\), si \(N'\) est de type fini et si \(I \subset \text{rad}(R)\), alors \(M = N\).

5. Si \(N \to M\) est un morphisme de modules, si \(N/IN \to M/IM\) est surjectif et si \(M\) est de type fini, alors il existe \(f \in 1 + I\) tel que \(N_f \to M_f\) soit surjectif.

6. Si \(N \to M\) est un morphisme de modules, si \(N/IN \to M/IM\) est surjectif, si \(M\) est de type fini et si \(I \subset \text{rad}(R)\), alors \(N \to M\) est surjectif.

7. Si \(x_1, \ldots, x_n \in M\) engendrent \(M/IM\) et si \(M\) est de type fini, alors il existe \(f \in 1 + I\) tel que \(x_1, \ldots, x_n\) engendrent \(M_f\) comme \(R_f\)-module.

8. Si \(x_1, \ldots, x_n \in M\) engendrent \(M/IM\), si \(M\) est de type fini et si \(I \subset \text{rad}(R)\), alors \(M\) est engendré par \(x_1, \ldots, x_n\).

9. Si \(IM = M\) et si \(I\) est nilpotent, alors \(M = 0\).

10. Si \(N, N' \subset M\), si \(M = N + IN'\) et si \(I\) est nilpotent, alors \(M = N\).

11. Si \(N \to M\) est un morphisme de modules, si \(I\) est nilpotent et si \(N/IN \to M/IM\) est surjectif, alors \(N \to M\) est surjectif.

12. Si \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) est un ensemble d’éléments de \(M\) qui engendrent \(M/IM\) et si \(I\) est nilpotent, alors \(M\) est engendré par les \(x_\alpha\).

Démonstration

Démonstration de (00DW). Choisissons des générateurs \(y_1, \ldots, y_m\) de \(M\) comme \(R\)-module. Pour chaque \(i\), nous pouvons écrire \(y_i = \sum z_{ij} y_j\) avec \(z_{ij} \in I\) (puisque \(M = IM\)). Autrement dit, \(\sum_j (\delta_{ij} - z_{ij})y_j = 0\). Soit \(f\) le déterminant de la matrice \(m \times m\) \(A = (\delta_{ij} - z_{ij})\). Notons que \(f \in 1 + I\) (puisque la matrice \(A\) est congrue terme à terme à la matrice identité \(m \times m\) modulo \(I\)). D’après le lemme 07DQ (1), il existe une matrice \(m \times m\) \(B\) telle que \(BA = f 1_{m \times m}\). En développant, nous voyons que \(\sum_{i} b_{hi} a_{ij} = f \delta_{hj}\) pour tous \(h\) et \(j\) ; ainsi, \(\sum_{i, j} b_{hi} a_{ij} y_j = \sum_{j} f \delta_{hj} y_j = f y_h\) pour tout \(h\). Autrement dit, \(0 = f y_h\) pour tout \(h\) (puisque chaque \(i\) vérifie \(\sum_j a_{ij} y_j = 0\)). Cela entraîne que \(f\) annule \(M\).

D’après le lemme 0AME, tout élément de \(1 + \text{rad}(R)\) est un élément inversible de \(R\). Nous voyons donc que (00DW) entraîne (2). Nous obtenons (3) en appliquant (1) à \(M/N\), qui est de type fini puisque \(N'\) l’est. Nous obtenons (4) en appliquant (2) à \(M/N\), qui est de type fini puisque \(N'\) l’est. Nous obtenons (5) en appliquant (3) à \(M\) et aux sous-modules \(\Im(N \to M)\) et \(M\). Nous obtenons (6) en appliquant (4) à \(M\) et aux sous-modules \(\Im(N \to M)\) et \(M\). Nous obtenons (7) en appliquant (5) au morphisme \(R^{\oplus n} \to M\), \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\). Nous obtenons (8) en appliquant (6) au morphisme \(R^{\oplus n} \to M\), \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\).

L’assertion (9) est vraie car, si \(M = IM\), alors \(M = I^nM\) pour tout \(n \geq 0\), et la nilpotence de \(I\) signifie que \(I^n = 0\) pour un certain \(n \gg 0\). Les assertions (10), (11) et (12) résultent de (9) par les arguments utilisés ci-dessus.

Lemme

Soit \(R\) un anneau, soit \(S \subset R\) une partie multiplicative, soit \(I \subset R\) un idéal et soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Si \(x_1, \ldots, x_r \in M\) engendrent \(S^{-1}(M/IM)\) comme \(S^{-1}(R/I)\)-module, alors il existe \(f \in S + I\) tel que \(x_1, \ldots, x_r\) engendrent \(M_f\) comme \(R_f\)-module.¹

Démonstration

Cas particulier \(I = 0\). Soient \(y_1, \ldots, y_s\) des générateurs de \(M\) comme \(R\)-module. Puisque \(S^{-1}M\) est engendré par \(x_1, \ldots, x_r\), pour chaque \(i\), nous pouvons écrire \(y_i = \sum (a_{ij}/s_{ij})x_j\) dans \(S^{-1}M\) pour certains \(a_{ij} \in R\) et \(s_{ij} \in S\). En multipliant par le produit \(s \in S\) des \(s_{ij}\), nous voyons que \(sy_i = \sum a'_{ij}x_j\) dans \(S^{-1}M\) pour certains \(a'_{ij} \in R\). Cela signifie à son tour qu’il existe des \(t_i \in S\) tels que \(t_isy_i = \sum t_ia'_{ij}x_j\) dans \(M\). Ainsi, si \(t \in S\) est le produit des \(t_i\), alors nous voyons que \(y_i\) appartient au sous-\(R_{st}\)-module engendré par \(x_1, \ldots, x_r\) dans \(M_{st}\). Par conséquent, \(x_1, \ldots, x_r\) engendrent \(M_{st}\).

Cas général. D’après le cas particulier, nous pouvons trouver \(s \in S\) tel que \(x_1, \ldots, x_r\) engendrent \((M/IM)_s\) comme \((R/I)_s\)-module. D’après le lemme 00DV, nous pouvons trouver \(g \in 1 + I_s \subset R_s\) tel que \(x_1, \ldots, x_r\) engendrent \((M_s)_g\) comme \((R_s)_g\)-module. Écrivons \(g = 1 + i/s'\). Alors \(f = ss' + is\) convient ; nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(A \to B\) un morphisme local d’anneaux locaux. Supposons que

1. \(B\) soit de type fini comme \(A\)-module,

2. \(\mathfrak m_B\) soit un idéal de type fini,

3. \(A \to B\) induise un isomorphisme sur les corps résiduels, et

4. \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) soit surjectif.

Alors \(A \to B\) est surjectif.

Démonstration

Pour montrer que \(A \to B\) est surjectif, considérons-le comme un morphisme de \(A\)-modules et appliquons le lemme 00DV (6). Nous en concluons qu’il suffit de montrer que \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_AB\) est surjectif. Comme \(A/\mathfrak m_A = B/\mathfrak m_B\), il suffit de montrer que \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) est surjectif. Considérons \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) comme un morphisme de \(B\)-modules et appliquons le lemme 00DV (6). Nous en concluons qu’il suffit de voir que \(\mathfrak m_AB/\mathfrak m_A\mathfrak m_B \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) est surjectif. Cela résulte de l’hypothèse (4).

Sous-ensembles ouverts et fermés des spectres

Il se trouve que les sous-ensembles à la fois ouverts et fermés d’un spectre correspondent aux idempotents de l’anneau.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(e \in R\) un idempotent. Dans ce cas, \[\Spec(R) = D(e) \amalg D(1-e).\]

Démonstration

Notons qu’un idempotent \(e\) d’un anneau intègre est égal à \(1\) ou à \(0\). Nous voyons donc que \[\begin{eqnarray*} D(e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 0\text{ dans }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 1\text{ dans }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] De même, nous avons \[\begin{eqnarray*} D(1-e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid 1 - e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 1\text{ dans }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 0\text{ dans }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] Puisque l’image de \(e\) dans tout corps résiduel est égale à \(1\) ou à \(0\), nous en déduisons que \(D(e)\) et \(D(1-e)\) recouvrent tout \(\Spec(R)\).

Lemme

Soient \(R_1\) et \(R_2\) des anneaux. Soit \(R = R_1 \times R_2\). Les morphismes \(R \to R_1\), \((x, y) \mapsto x\) et \(R \to R_2\), \((x, y) \mapsto y\) induisent des applications continues \(\Spec(R_1) \to \Spec(R)\) et \(\Spec(R_2) \to \Spec(R)\). L’application ainsi obtenue \[\Spec(R_1) \amalg \Spec(R_2) \longrightarrow \Spec(R)\] est un homéomorphisme. Autrement dit, le spectre de \(R = R_1\times R_2\) est la réunion disjointe du spectre de \(R_1\) et du spectre de \(R_2\).

Démonstration

Écrivons \(1 = e_1 + e_2\) avec \(e_1 = (1, 0)\) et \(e_2 = (0, 1)\). Notons que \(e_1\) et \(e_2 = 1 - e_1\) sont des idempotents. Nous laissons au lecteur le soin de montrer que \(R_1 = R_{e_1}\) est la localisation de \(R\) en \(e_1\). Il en va de même pour \(e_2\). Ainsi, l’assertion du lemme résulte du lemme 00EC combiné au lemme 00E4.

Nous redémontrerons le lemme suivant plus loin, après avoir introduit un lemme de recollement pour les fonctions. Voir la section 00EI.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Pour tout \(U \subset \Spec(R)\) qui est à la fois ouvert et fermé, il existe un unique idempotent \(e \in R\) tel que \(U = D(e)\). Cela induit une correspondance bijective entre les sous-ensembles à la fois ouverts et fermés \(U \subset \Spec(R)\) et les idempotents \(e \in R\).

Démonstration

Soit \(U \subset \Spec(R)\) un sous-ensemble ouvert et fermé. Puisque \(U\) est fermé, il est quasi-compact d’après le lemme 00E8, et il en va de même pour son complémentaire. Écrivons \(U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\) comme réunion finie d’ouverts principaux. De même, écrivons \(\Spec(R) \setminus U = \bigcup_{j = 1}^m D(g_j)\) comme réunion finie d’ouverts principaux. Puisque \(\emptyset = D(f_i) \cap D(g_j) = D(f_i g_j)\), nous voyons que \(f_i g_j\) est nilpotent d’après le lemme 00E0. Soit \(I = (f_1, \ldots, f_n) \subset R\) et soit \(J = (g_1, \ldots, g_m) \subset R\). Notons que \(V(J)\) est égal à \(U\), que \(V(I)\) est égal au complémentaire de \(U\), de sorte que \(\Spec(R) = V(I) \amalg V(J)\). D’après la remarque ci-dessus concernant la nilpotence, nous voyons que \((IJ)^N = (0)\) pour un entier \(N\) suffisamment grand. Puisque \(\bigcup D(f_i) \cup \bigcup D(g_j) = \Spec(R)\), nous voyons que \(I + J = R\) ; voir le lemme 00E0. En élevant cette égalité à la puissance \(2N\), nous en concluons que \(I^N + J^N = R\). Écrivons \(1 = x + y\) avec \(x \in I^N\) et \(y \in J^N\). Alors \(0 = xy = x(1 - x)\) puisque \(I^N J^N = (0)\). Ainsi \(x = x^2\) est idempotent et appartient à \(I^N \subset I\). L’idempotent \(y = 1 - x\) appartient à \(J^N \subset J\). Cela montre que l’idempotent \(x\) a pour image \(1\) dans tout corps résiduel \(\kappa(\mathfrak p)\) pour \(\mathfrak p \in V(J)\) et que \(x\) a pour image \(0\) dans \(\kappa(\mathfrak p)\) pour tout \(\mathfrak p \in V(I)\).

Pour voir l’unicité, supposons que \(e_1, e_2\) soient des idempotents distincts de \(R\). Nous devons montrer qu’il existe un idéal premier \(\mathfrak p\) tel que \(e_1 \in \mathfrak p\) et \(e_2 \not \in \mathfrak p\), ou l’inverse. Écrivons \(e_i' = 1 - e_i\). Si \(e_1 \not = e_2\), alors \(0 \not = e_1 - e_2 = e_1(e_2 + e_2') - (e_1 + e_1')e_2 = e_1 e_2' - e_1' e_2\). Par conséquent, soit l’idempotent \(e_1 e_2' \not = 0\), soit \(e_1' e_2 \not = 0\). Un idempotent n’est pas nilpotent ; nous trouvons donc un idéal premier \(\mathfrak p\) tel que soit \(e_1e_2' \not \in \mathfrak p\), soit \(e_1'e_2 \not \in \mathfrak p\), d’après le lemme 00E0. Il est facile de voir que cela fournit l’idéal premier recherché.

Lemme

Soit \(R\) un anneau non nul. Alors \(\Spec(R)\) est connexe si et seulement si \(R\) ne possède aucun idempotent non trivial.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 00EE et de la définition d’un espace topologique connexe.

Lemme

Soit \(I \subset R\) un idéal de type fini d’un anneau \(R\) tel que \(I = I^2\). Alors

1. il existe un idempotent \(e \in R\) tel que \(I = (e)\),

2. \(R/I \cong R_{e'}\) pour l’idempotent \(e' = 1 - e \in R\), et

3. \(V(I)\) est ouvert et fermé dans \(\Spec(R)\).

Démonstration

D’après le lemme de Nakayama 00DV, il existe un élément \(f = 1 + i\), \(i \in I\) tel que \(fI = 0\). Alors \(f^2 = f + fi = f\) est un idempotent. Considérons l’idempotent \(e = 1 - f = -i \in I\). Pour \(j \in I\), nous avons \(ej = j - fj = j\), donc \(I = (e)\). Cela démontre (1).

Les parties (2) et (3) résultent de (1). En effet, nous avons \(V(I) = V(e) = \Spec(R) \setminus D(e)\), qui est ouvert et fermé d’après le lemme 00EC ou le lemme 00EE. Cela démontre (3). Pour (2), observons que le morphisme \(R \to R_{e'}\) est surjectif puisque \(x/(e')^n = x/e' = xe'/(e')^2 = xe'/e' = x/1\) dans \(R_{e'}\). Le noyau du morphisme \(R \to R_{e'}\) est l’ensemble des éléments de \(R\) annulés par une puissance strictement positive de \(e'\). Puisque \(e'\) est idempotent, c’est l’idéal des éléments annulés par \(e'\), qui est l’idéal \(I = (e)\) puisque \(e + e' = 1\) est une paire d’idempotents orthogonaux. Cela démontre (2).

Composantes connexes des spectres

Les composantes connexes des spectres ne sont pas aussi faciles à comprendre qu’on pourrait le penser de prime abord. Cela vient de ce que nous sommes habitués à la topologie des espaces localement connexes, alors que le spectre d’un anneau n’est en général pas localement connexe.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(T \subset \Spec(R)\) un sous-ensemble du spectre. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(T\) est fermé et est une réunion de composantes connexes de \(\Spec(R)\),

2. \(T\) est une intersection de sous-ensembles ouverts et fermés de \(\Spec(R)\), et

3. \(T = V(I)\), où \(I \subset R\) est un idéal engendré par des idempotents.

De plus, l’idéal de (3), s’il existe, est unique.

Démonstration

D’après le lemme 04PM et Topologie, lemme 04PL, nous voyons que (1) et (2) sont équivalentes. Supposons (2) et écrivons \(T = \bigcap U_\alpha\) avec \(U_\alpha \subset \Spec(R)\) ouvert et fermé. Alors \(U_\alpha = D(e_\alpha)\) pour un certain idempotent \(e_\alpha \in R\) d’après le lemme 00EE. En posant alors \(I = (1 - e_\alpha)\), nous voyons que \(T = V(I)\), c’est-à-dire que (3) est satisfaite. Enfin, supposons (3). Écrivons \(T = V(I)\) et \(I = (e_\alpha)\) pour une certaine famille d’idempotents \(e_\alpha\). Il est alors clair que \(T = \bigcap V(e_\alpha) = \bigcap D(1 - e_\alpha)\).

Supposons que \(I\) soit un idéal engendré par des idempotents. Soit \(e \in R\) un idempotent tel que \(V(I) \subset V(e)\). Alors, d’après le lemme 00E0, nous voyons que \(e^n \in I\) pour un certain \(n \geq 1\). Comme \(e\) est un idempotent, cela signifie que \(e \in I\). Nous voyons donc que \(I\) est engendré par exactement les idempotents \(e\) tels que \(T \subset V(e)\). Autrement dit, l’idéal \(I\) est entièrement déterminé par le sous-ensemble fermé \(T\), ce qui démontre l’unicité.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Une composante connexe de \(\Spec(R)\) est de la forme \(V(I)\), où \(I\) est un idéal engendré par des idempotents tel que tout idempotent de \(R\) ait pour image \(0\) ou \(1\) dans \(R/I\).

Démonstration

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier de \(R\). D’après le lemme 04PM, nous voyons que les hypothèses de Topologie, lemme 005F, sont satisfaites pour l’espace topologique \(\Spec(R)\). Par conséquent, la composante connexe de \(\mathfrak p\) dans \(\Spec(R)\) est l’intersection des sous-ensembles ouverts et fermés de \(\Spec(R)\) qui contiennent \(\mathfrak p\). Elle est donc égale à \(V(I)\), où \(I\) est engendré par les idempotents \(e \in R\), tels que \(e\) ait pour image \(0\) dans \(\kappa(\mathfrak p)\) ; voir le lemme 00EE. Tout idempotent \(e\) qui n’appartient pas à cette famille a manifestement pour image \(1\) dans \(R/I\).

Propriétés de recollement

Dans cette section, nous rassemblons plusieurs résultats classiques de la forme suivante : si une propriété est vraie sur tous les membres d’un recouvrement par des ouverts principaux, alors elle est vraie. En fait, il suffit souvent de vérifier les propriétés au niveau des anneaux locaux, comme dans le lemme suivant.

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. Pour un élément \(x\) d’un \(R\)-module \(M\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(x = 0\),

   2. l’image de \(x\) dans \(M_\mathfrak p\) est nulle pour tout \(\mathfrak p \in \Spec(R)\),

   3. l’image de \(x\) dans \(M_{\mathfrak m}\) est nulle pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\).

   Autrement dit, le morphisme \(M \to \prod_{\mathfrak m} M_{\mathfrak m}\) est injectif.

2. Pour un \(R\)-module \(M\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(M\) est nul,

   2. \(M_{\mathfrak p}\) est nul pour tout \(\mathfrak p \in \Spec(R)\),

   3. \(M_{\mathfrak m}\) est nul pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\).

3. Pour un complexe \(M_1 \to M_2 \to M_3\) de \(R\)-modules, les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(M_1 \to M_2 \to M_3\) est exact,

   2. pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), le complexe localisé \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\) est exact,

   3. pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\), le complexe localisé \(M_{1, \mathfrak m} \to M_{2, \mathfrak m} \to M_{3, \mathfrak m}\) est exact.

4. Pour un morphisme \(f : M \to M'\) de \(R\)-modules, les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) est injectif,

   2. \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) est injectif pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\),

   3. \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) est injectif pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\).

5. Pour un morphisme \(f : M \to M'\) de \(R\)-modules, les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) est surjectif,

   2. \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) est surjectif pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\),

   3. \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) est surjectif pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\).

6. Pour un morphisme \(f : M \to M'\) de \(R\)-modules, les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(f\) est bijectif,

   2. \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) est bijectif pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\),

   3. \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) est bijectif pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(R\).

Démonstration

Soit \(x \in M\) comme dans (1). Soit \(I = \{f \in R \mid fx = 0\}\). Il est facile de voir que \(I\) est un idéal (c’est l’annulateur de \(x\)). La condition (1)(c) signifie que, pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\), il existe \(f \in R \setminus \mathfrak m\) tel que \(fx =0\). Autrement dit, \(V(I)\) ne contient aucun point fermé. D’après le lemme 00E0, nous voyons que \(I\) est l’idéal unité. Ainsi \(x\) est nul, c’est-à-dire que (1)(a) est satisfaite. Cela démontre (1).

La partie (2) résulte de l’application simultanée de (1) à tous les éléments de \(M\).

Démonstration de (3). Soit \(H\) l’homologie de la suite, c’est-à-dire \(H = \Ker(M_2 \to M_3)/\Im(M_1 \to M_2)\). D’après la proposition 00CS, \(H_\mathfrak p\) est l’homologie de la suite \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\). Ainsi (3) résulte de (2).

Les parties (4) et (5) sont des cas particuliers de (3). La partie (6) résulte formellement de la combinaison de (4) et (5).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(M\) un \(R\)-module. Soit \(S\) une \(R\)-algèbre. Supposons que \(f_1, \ldots, f_n\) soit une liste finie d’éléments de \(R\) telle que \(\bigcup D(f_i) = \Spec(R)\), autrement dit \((f_1, \ldots, f_n) = R\).

1. Si chaque \(M_{f_i} = 0\), alors \(M = 0\).

2. Si chaque \(M_{f_i}\) est un \(R_{f_i}\)-module de type fini, alors \(M\) est un \(R\)-module de type fini.

3. Si chaque \(M_{f_i}\) est un \(R_{f_i}\)-module de présentation finie, alors \(M\) est un \(R\)-module de présentation finie.

4. Soit \(M \to N\) un morphisme de \(R\)-modules. Si \(M_{f_i} \to N_{f_i}\) est un isomorphisme pour tout \(i\), alors \(M \to N\) est un isomorphisme.

5. Soit \(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\) un complexe de \(R\)-modules. Si \(0 \to M''_{f_i} \to M_{f_i} \to M'_{f_i} \to 0\) est exact pour tout \(i\), alors \(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\) est exact.

6. Si chaque \(R_{f_i}\) est noethérien, alors \(R\) est noethérien.

7. Si chaque \(S_{f_i}\) est une \(R_{f_i}\)-algèbre de type fini, alors \(S\) est une \(R\)-algèbre de type fini.

8. Si chaque \(S_{f_i}\) est de présentation finie sur \(R_{f_i}\), alors \(S\) est une \(R\)-algèbre de présentation finie.

Démonstration

Démontrons successivement chacune des parties.

1. D’après la proposition 02C6, cela entraîne que \(M_\mathfrak p = 0\) pour tout \(\mathfrak p \in \Spec(R)\) ; nous concluons donc par le lemme 00HN.

2. Pour chaque \(i\), choisissons un ensemble fini de générateurs \(X_i\) de \(M_{f_i}\). Nous pouvons supposer sans perte de généralité que les éléments de \(X_i\) appartiennent à l’image du morphisme de localisation \(M \rightarrow M_{f_i}\) ; prenons donc un ensemble fini \(Y_i\) d’antécédents des éléments de \(X_i\) dans \(M\). Soit \(Y\) la réunion de ces ensembles. C’est encore un ensemble fini. Considérons le morphisme \(R\)-linéaire évident \(R^Y \rightarrow M\) qui envoie l’élément de base \(e_y\) sur \(y\). D’après l’hypothèse, ce morphisme est surjectif après localisation en tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\) ; il est donc surjectif d’après le lemme 00HN, et \(M\) est de type fini.

3. D’après (2), nous avons une suite exacte courte \[0 \rightarrow K \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0\] Puisque la localisation est un foncteur exact et que \(M_{f_i}\) est de présentation finie, nous voyons que \(K_{f_i}\) est de type fini pour tout \(1 \leq i \leq n\) d’après le lemme 0519. D’après (2), cela entraîne que \(K\) est un \(R\)-module de type fini et donc que \(M\) est de présentation finie.

4. D’après la proposition 02C6, l’hypothèse entraîne que le morphisme induit sur les localisés en tous les idéaux premiers est un isomorphisme ; nous concluons donc par le lemme 00HN.

5. D’après la proposition 02C6, l’hypothèse entraîne que la suite des localisés en tous les idéaux premiers est exacte courte ; nous concluons donc par le lemme 00HN.

6. Nous allons montrer que tout idéal de \(R\) possède un ensemble fini de générateurs. Pour cela, soit \(I \subset R\) un idéal arbitraire. D’après la proposition 00CS, chaque \(I_{f_i} \subset R_{f_i}\) est un idéal. Ils sont tous de type fini par hypothèse, et nous concluons donc par (2).

7. Pour chaque \(i\), choisissons un ensemble fini de générateurs \(X_i\) de \(S_{f_i}\). Nous pouvons supposer sans perte de généralité que les éléments de \(X_i\) appartiennent à l’image du morphisme de localisation \(S \rightarrow S_{f_i}\) ; prenons donc un ensemble fini \(Y_i\) d’antécédents des éléments de \(X_i\) dans \(S\). Soit \(Y\) la réunion de ces ensembles. C’est encore un ensemble fini. Considérons le morphisme d’algèbres \(R[X_y]_{y \in Y} \rightarrow S\) induit par \(Y\). Puisqu’il s’agit d’un morphisme d’algèbres, l’image \(T\) est un \(R\)-sous-module du \(R\)-module \(S\) ; nous pouvons donc considérer le module quotient \(S/T\). D’après l’hypothèse, celui-ci est nul après localisation en chacun des \(f_i\) ; il est donc nul d’après (1), et \(S\) est par conséquent une \(R\)-algèbre de type fini.

8. D’après le point précédent, il existe un morphisme surjectif de \(R\)-algèbres \(R[X_1, \ldots, X_n] \rightarrow S\). Soit \(K\) le noyau de ce morphisme. C’est un idéal de \(R[X_1, \ldots, X_n]\), de type fini après chacune des localisations en \(f_i\). Puisque les \(f_i\) engendrent l’idéal unité dans \(R\), ils engendrent également l’idéal unité dans \(R[X_1, \ldots, X_n]\) ; une application de (2) achève donc la démonstration.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Supposons que \(g_1, \ldots, g_n\) soit une liste finie d’éléments de \(S\) telle que \(\bigcup D(g_i) = \Spec(S)\), autrement dit \((g_1, \ldots, g_n) = S\).

1. Si chaque \(S_{g_i}\) est de type fini sur \(R\), alors \(S\) est de type fini sur \(R\).

2. Si chaque \(S_{g_i}\) est de présentation finie sur \(R\), alors \(S\) est de présentation finie sur \(R\).

Démonstration

Choisissons \(h_1, \ldots, h_n \in S\) tels que \(\sum h_i g_i = 1\).

Démonstration de (1). Pour chaque \(i\), choisissons une liste finie d’éléments \(x_{i, j} \in S_{g_i}\), \(j = 1, \ldots, m_i\), qui engendrent \(S_{g_i}\) comme \(R\)-algèbre. Écrivons \(x_{i, j} = y_{i, j}/g_i^{n_{i, j}}\) pour un certain \(y_{i, j} \in S\) et un certain \(n_{i, j} \ge 0\). Considérons la \(R\)-sous-algèbre \(S' \subset S\) engendrée par \(g_1, \ldots, g_n\), \(h_1, \ldots, h_n\) et les \(y_{i, j}\), \(i = 1, \ldots, n\), \(j = 1, \ldots, m_i\). Puisque la localisation est exacte (proposition 00CS), nous voyons que \(S'_{g_i} \to S_{g_i}\) est injectif. D’autre part, il est surjectif par notre choix des \(y_{i, j}\). Les éléments \(g_1, \ldots, g_n\) engendrent l’idéal unité dans \(S'\) puisque \(h_1, \ldots, h_n \in S'\). Ainsi, \(S' \to S\), considéré comme un morphisme de \(S'\)-modules, est un isomorphisme d’après le lemme 00EO.

Démonstration de (2). Nous savons déjà que \(S\) est de type fini. Écrivons \(S = R[x_1, \ldots, x_m]/J\) pour un certain idéal \(J\). Pour chaque \(i\), choisissons un relèvement \(g'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\) de \(g_i\) et choisissons un relèvement \(h'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\) de \(h_i\). Nous voyons alors que \[S_{g_i} = R[x_1, \ldots, x_m, y_i]/(J_i + (1 - y_ig'_i))\] où \(J_i\) est l’idéal de \(R[x_1, \ldots, x_m, y_i]\) engendré par \(J\). Nous omettons un petit détail. D’après le lemme 00R2, nous pouvons choisir une liste finie d’éléments \(f_{i, j} \in J\), \(j = 1, \ldots, m_i\), telle que les images des \(f_{i, j}\) dans \(J_i\) ainsi que \(1 - y_ig'_i\) engendrent l’idéal \(J_i + (1 - y_ig'_i)\). Posons \[S' = R[x_1, \ldots, x_m]/\left(\sum h'_ig'_i - 1, f_{i, j}; i = 1, \ldots, n, j = 1, \ldots, m_i\right)\] Il existe un morphisme surjectif de \(R\)-algèbres \(S' \to S\). Les classes des éléments \(g'_1, \ldots, g'_n\) dans \(S'\) engendrent l’idéal unité et, par construction, les morphismes \(S'_{g'_i} \to S_{g_i}\) sont injectifs. Nous concluons donc comme dans la partie (1).

Recollement de fonctions

Dans cette section, nous montrons qu’étant donné un recouvrement ouvert \[\Spec(R) = \bigcup\nolimits_{i = 1}^n D(f_i)\] par des ouverts principaux, et étant donné un élément \(h_i \in R_{f_i}\) pour chaque \(i\), tel que \(h_i = h_j\) comme éléments de \(R_{f_i f_j}\), il existe un unique \(h \in R\) tel que l’image de \(h\) dans \(R_{f_i}\) soit \(h_i\). Ce résultat peut s’interpréter de deux manières :

1. La règle \(D(f) \mapsto R_f\) est un faisceau d’anneaux sur les ouverts principaux ; voir Faisceaux, section 009H.

2. Si nous considérons les éléments de \(R_f\) comme les fonctions « algébriques » ou « régulières » sur \(D(f)\), alors celles-ci se recollent comme le feraient les fonctions continues, resp. différentiables, sur une variété topologique, resp. différentiable.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_n\) des éléments de \(R\) qui engendrent l’idéal unité. Soit \(M\) un \(R\)-module. La suite \[0 \to M \xrightarrow{\alpha} \bigoplus\nolimits_{i = 1}^n M_{f_i} \xrightarrow{\beta} \bigoplus\nolimits_{i, j = 1}^n M_{f_i f_j}\] est exacte, où \(\alpha(m) = (m/1, \ldots, m/1)\) et \(\beta(m_1/f_1^{e_1}, \ldots, m_n/f_n^{e_n}) = (m_i/f_i^{e_i} - m_j/f_j^{e_j})_{(i, j)}\).

Démonstration

Il suffit de montrer que la localisation de la suite en tout idéal maximal \(\mathfrak m\) est exacte ; voir le lemme 00HN. Puisque \(f_1, \ldots, f_n\) engendrent l’idéal unité, il existe \(i\) tel que \(f_i \not \in \mathfrak m\). Après renumérotation, nous pouvons supposer que \(i = 1\). Notons que \((M_{f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\) et que \((M_{f_if_j})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_if_j}\) ; voir la proposition 02C7. En particulier, \((M_{f_1})_\mathfrak m = M_\mathfrak m\) et \((M_{f_1 f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\), car \(f_1\) est une unité. Notons que les morphismes de la suite sont les morphismes canoniques provenant du lemme 07K0 et du morphisme identité de \(M\). Cela étant dit, après avoir remplacé \(R\) par \(R_\mathfrak m\), \(M\) par \(M_\mathfrak m\), les \(f_i\) par leurs images dans \(R_\mathfrak m\) et \(f_1\) par \(1 \in R_\mathfrak m\), nous nous ramenons au cas où \(f_1 = 1\).

Supposons \(f_1 = 1\). L’injectivité de \(\alpha\) est alors immédiate. Soit \(m = (m_i) \in \bigoplus_{i = 1}^n M_{f_i}\) un élément du noyau de \(\beta\). Alors \(m_1 \in M_{f_1} = M\). De plus, \(\beta(m) = 0\) entraîne que \(m_1\) et \(m_i\) ont la même image dans \(M_{f_1f_i} = M_{f_i}\). Ainsi \(\alpha(m_1) = m\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(R\) un anneau, et soient \(f_1, f_2, \ldots f_n\in R\) des éléments qui engendrent l’idéal unité de \(R\). Alors la suite suivante est exacte : \[0 \longrightarrow R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i, j}R_{f_if_j}\] où les morphismes \(\alpha : R \longrightarrow \bigoplus_i R_{f_i}\) et \(\beta : \bigoplus_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus_{i, j} R_{f_if_j}\) sont définis par \[\alpha(x) = \left(\frac{x}{1}, \ldots, \frac{x}{1}\right) \text{ et } \beta\left(\frac{x_1}{f_1^{r_1}}, \ldots, \frac{x_n}{f_n^{r_n}}\right) = \left(\frac{x_i}{f_i^{r_i}}-\frac{x_j}{f_j^{r_j}}~\text{dans}~R_{f_if_j}\right).\]

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 00EK.

Nous avons déjà vu le résultat suivant ci-dessus, mais nous l’énonçons explicitement ici pour plus de commodité.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Si \(\Spec(R) = U \amalg V\), où \(U\) et \(V\) sont tous deux ouverts, alors \(R \cong R_1 \times R_2\), avec \(U \cong \Spec(R_1)\) et \(V \cong \Spec(R_2)\) via les morphismes du lemme 00ED. De plus, \(R_1\) et \(R_2\) sont tous deux des localisations ainsi que des quotients de l’anneau \(R\).

Démonstration

D’après le lemme 00EE, nous avons \(U = D(e)\) et \(V = D(1-e)\) pour un certain idempotent \(e\). D’après le lemme 00EJ, nous voyons que \(R \cong R_e \times R_{1 - e}\) (puisque, manifestement, \(R_{e(1-e)} = 0\), de sorte que la condition de recollement est triviale ; bien entendu, il est également immédiat de démontrer directement la décomposition en produit dans ce cas). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_n \in R\). Soit \(M\) un \(R\)-module. Alors \(M \to \bigoplus M_{f_i}\) est injectif si et seulement si \[M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} M, \quad m \longmapsto (f_1m, \ldots, f_nm)\] est injectif.

Démonstration

Le morphisme \(M \to \bigoplus M_{f_i}\) est injectif si et seulement si, pour tous \(m \in M\) et \(e_1, \ldots, e_n \geq 1\) tels que \(f_i^{e_i}m = 0\), \(i = 1, \ldots, n\), nous avons \(m = 0\). Cela entraîne manifestement que le morphisme affiché est injectif. Réciproquement, supposons le morphisme affiché injectif et que \(m \in M\) et \(e_1, \ldots, e_n \geq 1\) soient tels que \(f_i^{e_i}m = 0\), \(i = 1, \ldots, n\). Si \(e_i = 1\) pour tout \(i\), alors l’injectivité du morphisme affiché donne immédiatement \(m = 0\). Démontrons ensuite que cela vaut pour toutes données de ce type par récurrence sur \(e = \sum e_i\). Le cas initial est \(e = n\), et nous venons de le traiter. Si un certain \(e_i > 1\), posons \(m' = f_im\). Par récurrence, nous voyons que \(m' = 0\). Ainsi \(f_i m = 0\), c’est-à-dire que nous pouvons prendre \(e_i = 1\), ce qui diminue \(e\) et achève la récurrence.

Le lemme suivant s’énonce et se démontre mieux dans le cadre plus général de la descente plate. Il est néanmoins naturel de l’énoncer ici, car il s’accorde bien avec ce qui précède.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(f_1, \ldots, f_n \in R\). Supposons données les données suivantes :

1. Pour chaque \(i\), un \(R_{f_i}\)-module \(M_i\).

2. Pour chaque paire \(i, j\), un isomorphisme de \(R_{f_if_j}\)-modules \(\psi_{ij} : (M_i)_{f_j} \to (M_j)_{f_i}\).

qui satisfont la « condition de cocycle » selon laquelle tous les diagrammes \[\xymatrix{ (M_i)_{f_jf_k} \ar[rd]_{\psi_{ij}} \ar[rr]^{\psi_{ik}} & & (M_k)_{f_if_j} \\ & (M_j)_{f_if_k} \ar[ru]_{\psi_{jk}} }\] sont commutatifs (pour tous les triplets \(i, j, k\)). À partir de ces données, définissons \[M = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_i)_{f_j} \right)\] où \((m_1, \ldots, m_n)\) est envoyé sur l’élément dont la composante d’indice \((i, j)\) est \(m_i/1 - \psi_{ji}(m_j/1)\). Alors le morphisme naturel \(M \to M_i\) induit un isomorphisme \(M_{f_i} \to M_i\). De plus, \(\psi_{ij}(m/1) = m/1\) pour tout \(m \in M\) (avec les notations évidentes).

Démonstration

Pour montrer que \(M_{f_1} \to M_1\) est un isomorphisme, il suffit de montrer que sa localisation en tout idéal premier \(\mathfrak p'\) de \(R_{f_1}\) est un isomorphisme ; voir le lemme 00HN. Écrivons \(\mathfrak p' = \mathfrak p R_{f_1}\) pour un certain idéal premier \(\mathfrak p \subset R\), avec \(f_1 \not \in \mathfrak p\) ; voir le lemme 00E4. Puisque la localisation est exacte (proposition 00CS), nous voyons que \[\begin{align*} (M_{f_1})_{\mathfrak p'} & = M_\mathfrak p \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} ((M_i)_{f_j})_\mathfrak p \right) \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_{i, \mathfrak p})_{f_j} \right) \end{align*}\] Nous avons également utilisé ici la proposition 02C7. Puisque \(f_1\) est une unité de \(R_\mathfrak p\), nous nous ramenons au cas où \(f_1 = 1\) en remplaçant \(R\) par \(R_\mathfrak p\), les \(f_i\) par les images des \(f_i\) dans \(R_\mathfrak p\), \(M\) par \(M_\mathfrak p\) et \(f_1\) par \(1\).

Supposons \(f_1 = 1\). Alors \(\psi_{1j} : (M_1)_{f_j} \to M_j\) est un isomorphisme pour \(j = 2, \ldots, n\). Si nous utilisons ces isomorphismes pour identifier \(M_j = (M_1)_{f_j}\), nous voyons alors que \(\psi_{ij} : (M_1)_{f_if_j} \to (M_1)_{f_if_j}\) est l’identification canonique. Ainsi, le complexe \[0 \to M_1 \to \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} (M_1)_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_1)_{f_if_j}\] est exact d’après le lemme 00EK. Ainsi, le premier morphisme identifie \(M_1\) à \(M\) dans ce cas, et tout est clair.

Diviseurs de zéro et anneaux totaux des fractions

L’anneau local en un idéal premier minimal possède les propriétés suivantes.

Lemme

Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier minimal d’un anneau \(R\). Tout élément de l’idéal maximal de \(R_{\mathfrak p}\) est nilpotent. Si \(R\) est réduit, alors \(R_{\mathfrak p}\) est un corps.

Démonstration

Si un élément \(x\) de \({\mathfrak p}R_{\mathfrak p}\) n’est pas nilpotent, alors \(D(x) \not = \emptyset\) ; voir le lemme 00E0. Cela contredit la minimalité de \(\mathfrak p\). Si \(R\) est réduit, alors \({\mathfrak p}R_{\mathfrak p} = 0\) et l’anneau local est donc un corps.

Lemme

Soit \(R\) un anneau réduit. Alors

1. \(R\) est un sous-anneau d’un produit de corps,

2. \(R \to \prod_{\mathfrak p\text{ minimal}} R_{\mathfrak p}\) est un plongement dans un produit de corps,

3. \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\) est l’ensemble des diviseurs de zéro de \(R\).

Démonstration

D’après le lemme 00EU, chacun des anneaux \(R_\mathfrak p\) est un corps. En particulier, le noyau du morphisme d’anneaux \(R \to R_\mathfrak p\) est \(\mathfrak p\). D’après le lemme 00E0, nous avons \(\bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p = (0)\). Ainsi (2) et (1) sont vraies. Si \(x y = 0\) et \(y \not = 0\), alors \(y \not \in \mathfrak p\) pour un certain idéal premier minimal \(\mathfrak p\). Par conséquent, \(x \in \mathfrak p\). Ainsi, tout diviseur de zéro de \(R\) appartient à \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\). Réciproquement, supposons que \(x \in \mathfrak p\) pour un certain idéal premier minimal \(\mathfrak p\). Alors l’image de \(x\) dans \(R_\mathfrak p\) est nulle ; il existe donc \(y \in R\), \(y \not \in \mathfrak p\) tel que \(xy = 0\). Autrement dit, \(x\) est un diviseur de zéro. Cela achève la démonstration de (3) et du lemme.

L’anneau total des fractions \(Q(R)\) d’un anneau \(R\) a été introduit dans l’exemple 02C5.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative formée d’éléments non diviseurs de zéro. Alors \(Q(R) \cong Q(S^{-1}R)\). En particulier, \(Q(R) \cong Q(Q(R))\).

Démonstration

Si \(x \in S^{-1}R\) est un élément non diviseur de zéro et si \(x = r/f\) pour certains \(r \in R\), \(f \in S\), alors \(r\) est un élément non diviseur de zéro de \(R\). Le lemme en résulte.

Nous pouvons appliquer les résultats de recollement pour démontrer une propriété des anneaux totaux des fractions \(Q(R)\), que nous avons introduits dans l’exemple 02C5.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Supposons que \(R\) possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\), et que \(\mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\) soit l’ensemble des diviseurs de zéro de \(R\). Alors l’anneau total des fractions \(Q(R)\) est égal à \(R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\).

Démonstration

Il existe des morphismes naturels \(Q(R) \to R_{\mathfrak q_i}\) puisque tout élément non diviseur de zéro appartient à \(R \setminus \mathfrak q_i\). Il existe donc un morphisme naturel \(Q(R) \to R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\). Pour tout idéal premier non minimal \(\mathfrak p \subset R\), nous voyons que \(\mathfrak p \not \subset \mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\) d’après le lemme 00DS. Par conséquent, \(\Spec(Q(R)) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\) (comme sous-ensembles de \(\Spec(R)\) ; voir le lemme 00E3). Ainsi \(\Spec(Q(R))\) est un ensemble discret fini et il s’ensuit que \(Q(R) = A_1 \times \ldots \times A_t\), avec \(\Spec(A_i) = \{\mathfrak{q}_i\}\) ; voir le lemme 00EM. De plus, \(A_i\) est un anneau local qui est une localisation de \(R\). Ainsi \(A_i \cong R_{\mathfrak q_i}\).

Composantes irréductibles des spectres

Nous montrons que les composantes irréductibles du spectre d’un anneau correspondent aux idéaux premiers minimaux de l’anneau.

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. Pour un idéal premier \(\mathfrak p \subset R\), l’adhérence de \(\{\mathfrak p\}\) dans la topologie de Zariski est \(V(\mathfrak p)\). Sous forme de formule, \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\).

2. Les sous-ensembles fermés irréductibles de \(\Spec(R)\) sont exactement les sous-ensembles \(V(\mathfrak p)\), où \(\mathfrak p \subset R\) est un idéal premier.

3. Les composantes irréductibles (voir Topologie, définition 004V) de \(\Spec(R)\) sont exactement les sous-ensembles \(V(\mathfrak p)\), où \(\mathfrak p \subset R\) est un idéal premier minimal.

Démonstration

Notons que, si \(\mathfrak p \in V(I)\), alors \(I \subset \mathfrak p\). Par conséquent, il est clair que \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\). En particulier, \(V(\mathfrak p)\) est l’adhérence d’un singleton et est donc irréductible. La deuxième assertion entraîne la troisième. Pour démontrer la deuxième, soit \(V(I) \subset \Spec(R)\), où \(I\) est un idéal radical. Si \(I\) n’est pas premier, choisissons \(a, b\in R\), \(a, b\not \in I\) avec \(ab\in I\). Dans ce cas, \(V(I, a) \cup V(I, b) = V(I)\), mais ni \(V(I, b) = V(I)\) ni \(V(I, a) = V(I)\), d’après le lemme 00E0. Ainsi \(V(I)\) n’est pas irréductible.

Autrement dit, ce lemme montre que tout sous-ensemble fermé irréductible de \(\Spec(R)\) est de la forme \(V(\mathfrak p)\) pour un certain idéal premier \(\mathfrak p\). Puisque \(V(\mathfrak p) = \overline{\{\mathfrak p\}}\), nous voyons que tout sous-ensemble fermé irréductible possède un unique point générique ; voir Topologie, définition 004X. En particulier, \(\Spec(R)\) est un espace topologique sobre. Consignons ce fait dans le lemme suivant.

Lemme

Le spectre d’un anneau est un espace spectral ; voir Topologie, définition 08YG.

Démonstration

Formellement, cela résulte du lemme 00ES et du lemme 04PM. Voir aussi la discussion ci-dessus.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier.

1. L’ensemble des sous-ensembles fermés irréductibles de \(\Spec(R)\) passant par \(\mathfrak p\) est en correspondance bijective avec les idéaux premiers \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\).

2. L’ensemble des composantes irréductibles de \(\Spec(R)\) passant par \(\mathfrak p\) est en correspondance bijective avec les idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 00ES et de la description de \(\Spec(R_\mathfrak p)\) donnée dans le lemme 00E3, qui montre que \(\Spec(R_\mathfrak p)\) correspond aux idéaux premiers \(\mathfrak q\) de \(R\) tels que \(\mathfrak q \subset \mathfrak p\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathfrak p\) un idéal premier minimal de \(R\). Soit \(W \subset \Spec(R)\) un ouvert quasi-compact qui ne contient pas le point \(\mathfrak p\). Alors il existe \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que \(D(f) \cap W = \emptyset\).

Démonstration

Puisque \(W\) est quasi-compact, nous pouvons l’écrire comme réunion finie d’ouverts affines principaux \(D(g_i)\), \(i = 1, \ldots, n\). Puisque \(\mathfrak p \not \in W\), nous avons \(g_i \in \mathfrak p\) pour tout \(i\). D’après le lemme 00EU, chaque \(g_i\) est nilpotent dans \(R_{\mathfrak p}\). Nous pouvons donc trouver \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que, pour tout \(i\), nous ayons \(f g_i^{n_i} = 0\) pour un certain \(n_i > 0\). Alors \(D(f)\) convient.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(X = \Spec(R)\) comme espace topologique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est profini,

2. \(X\) est séparé,

3. \(X\) est totalement discontinu.

4. tout ouvert quasi-compact de \(X\) est fermé,

5. il n’existe aucune inclusion non triviale entre ses idéaux premiers,

6. tout idéal premier est un idéal maximal,

7. tout idéal premier est minimal,

8. tout ouvert principal \(D(f) \subset X\) est fermé, et

9. ajouter d’autres conditions ici.

Démonstration

Première démonstration. Il est clair que (5), (6) et (7) sont équivalentes. Il est clair que (4) et (8) sont équivalentes, puisque tout ouvert quasi-compact est une réunion finie d’ouverts principaux. L’implication (7) \(\Rightarrow\) (4) résulte du lemme 00EV. Supposons (4). Soient \(\mathfrak p, \mathfrak p'\) deux idéaux premiers distincts de \(R\). Choisissons \(f \in \mathfrak p'\), \(f \not \in \mathfrak p\) (au besoin, échangeons \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak p'\)). Alors \(\mathfrak p' \not \in D(f)\) et \(\mathfrak p \in D(f)\). D’après (4), l’ouvert \(D(f)\) est également fermé. Ainsi \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak p'\) appartiennent à des voisinages ouverts disjoints dont la réunion est \(X\). Par conséquent, \(X\) est séparé et totalement discontinu. Ainsi (4) \(\Rightarrow\) (2) et (3). Si (3) est satisfaite, il ne peut exister aucune spécialisation entre les points de \(\Spec(R)\), et nous voyons que (5) est satisfaite. Si \(X\) est séparé, tout point est fermé, donc (2) entraîne (6). Ainsi (2), (3), (4), (5), (6), (7) et (8) sont équivalentes. Tout espace profini est séparé, donc (1) entraîne (2). Si \(X\) satisfait (2) et (3), alors \(X\) (qui est quasi-compact d’après le lemme 00E8) est profini d’après Topologie, lemme 08ZY.

Deuxième démonstration. Outre l’équivalence de (4) et (8), cela résulte du lemme 090M et de faits purement topologiques ; voir Topologie, lemme 0905.

Exemples de spectres d’anneaux

Dans cette section, nous donnons quelques exemples de spectres.

Exemple

Dans cet exemple, nous décrivons \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4))\). Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier arbitraire de \(X\). Soit \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4)\) le morphisme d’anneaux naturel. Alors \(\phi^{-1}(\mathfrak p)\) est un idéal premier de \(\mathbf{Z}\). Si \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (2)\), alors, puisque \(\mathfrak p\) contient \(2\), il correspond à un idéal premier de \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\) via le morphisme \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2)\). Tout idéal premier de \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\) correspond à un idéal premier de \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]\) contenant \((x^2)\). Un tel idéal premier contient alors \(x\). Puisque \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x)\) est un corps, \((x)\) est un idéal maximal. Puisque tout idéal premier contient \((x)\) et que \((x)\) est maximal, l’anneau ne possède qu’un seul idéal premier, \((x)\). Ainsi, dans ce cas, \(\mathfrak p = (2, x)\). Maintenant, si \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\) pour \(q > 2\), alors, puisque \(\mathfrak p\) contient \(q\), il correspond à un idéal premier de \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q) \cong (\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\) via le morphisme \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q)\). Tout idéal premier de \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\) correspond à un idéal premier de \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) contenant \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\). Par conséquent, ces idéaux premiers doivent contenir soit \(x -2\), soit \(x + 2\). Puisque \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) est un anneau principal, tous les idéaux premiers non nuls sont maximaux, et il existe donc exactement deux idéaux premiers de \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) contenant \((x-2)(x + 2)\), à savoir \((x-2)\) et \((x + 2)\). En conclusion, il existe deux idéaux premiers \((q, x-2)\) et \((q, x + 2)\) puisque \(2 \neq -2 \in \mathbf{Z}/(q)\). Enfin, traitons le cas où \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\). Remarquons que \(\mathfrak p\) correspond à un idéal premier de \(\mathbf{Z}[x]\) qui contient \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\). Ainsi, \(\mathfrak p\) contient soit \((x-2)\), soit \((x + 2)\). Par conséquent, \(\mathfrak p\) correspond à un idéal premier de \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2)\) ou de \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2)\) dont l’intersection avec \(\mathbf{Z}\) est réduite à \(0\), par hypothèse. Puisque \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2) \cong \mathbf{Z}\) et \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2) \cong \mathbf{Z}\), cela signifie que \(\mathfrak p\) doit correspondre à \(0\) dans l’un de ces anneaux. Ainsi, \(\mathfrak p = (x - 2)\) ou \(\mathfrak p = (x + 2)\) dans l’anneau initial.

Exemple

Dans cet exemple, nous décrivons \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x])\). Fixons \(\mathfrak p \in X\). Soit \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]\) et remarquons que \(\phi^{-1}(\mathfrak p) \in \Spec(\mathbf{Z})\). Si \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\) pour \(q\) un nombre premier tel que \(q > 0\), alors \(\mathfrak p\) correspond à un idéal premier de \((\mathbf{Z}/(q))[x]\), qui doit être engendré par un polynôme irréductible dans \((\mathbf{Z}/(q))[x]\). Si nous choisissons un représentant de ce polynôme de degré minimal, il sera également irréductible dans \(\mathbf{Z}[x]\). Ainsi, dans ce cas, \(\mathfrak p = (q, f_q)\), où \(f_q\) est un polynôme irréductible de \(\mathbf{Z}[x]\) qui reste irréductible lorsqu’on le considère dans \((\mathbf{Z}/(q) [x])\). Supposons maintenant que \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\). Dans ce cas, \(\mathfrak p\) doit être engendré par des polynômes non constants qui, puisque \(\mathfrak p\) est premier, peuvent être supposés irréductibles dans \(\mathbf{Z}[x]\). D’après le lemme de Gauss, ces polynômes sont aussi irréductibles dans \(\mathbf{Q}[x]\). Puisque \(\mathbf{Q}[x]\) est un anneau euclidien, s’il existe au moins deux polynômes irréductibles distincts \(f, g\) qui engendrent \(\mathfrak p\), alors \(1 = af + bg\) pour certains \(a, b \in \mathbf{Q}[x]\). En multipliant par un dénominateur commun, nous voyons que \(m = \bar{a}f + \bar{b} g\) pour certains \(\bar{a}, \bar{b} \in \mathbf{Z}[x]\) et un certain \(m \in \mathbf{Z}\) non nul. C’est une contradiction. Ainsi, \(\mathfrak p\) est engendré par un polynôme irréductible de \(\mathbf{Z}[x]\).

Exemple

Dans cet exemple, nous décrivons \(X = \Spec(k[x, y])\) lorsque \(k\) est un corps arbitraire. Il est clair que \((0)\) est premier, et tout idéal principal engendré par un polynôme irréductible est également premier puisque \(k[x, y]\) est un anneau factoriel. Supposons maintenant que \(\mathfrak p\) soit un élément de \(X\) qui n’est pas principal. Puisque \(k[x, y]\) est un anneau factoriel noethérien, l’idéal premier \(\mathfrak p\) peut être engendré par un nombre fini de polynômes irréductibles \((f_1, \ldots, f_n)\). Affirmons maintenant que, si \(f, g\) sont des polynômes irréductibles de \(k[x, y]\) qui ne sont pas associés, alors \((f, g) \cap k[x] \neq 0\). Pour le montrer, il suffit d’établir que \(f\) et \(g\) sont premiers entre eux lorsqu’on les considère dans \(k(x)[y]\). Dans ce cas, \(k(x)[y]\) est un anneau euclidien ; en appliquant l’algorithme d’Euclide et en chassant les dénominateurs, nous obtenons \(p = af + bg\) pour \(p, a, b \in k[x]\). Supposons donc que ce ne soit pas le cas, c’est-à-dire qu’un certain élément non inversible \(h \in k(x)[y]\) divise à la fois \(f\) et \(g\). Alors, d’après le lemme de Gauss, pour certains \(a, b \in k(x)\), nous avons \(ah | f\) et \(bh | g\) avec \(ah, bh \in k[x]\). Par irréductibilité, \(ah = f\) et \(bh = g\) (puisque \(h \notin k(x)\)). Ainsi, de retour dans \(k(x)[y]\), \(f, g\) sont associés, car \(\frac{a}{b} g = f\). Puisque \(k(x)\) est le corps des fractions de \(k[x]\), nous pouvons écrire \(g = \frac{r}{s} f\) pour des éléments \(r , s \in k[x]\) sans facteur commun. Cela entraîne que \(sg = rf\) dans \(k[x, y]\), et donc que \(s\) doit diviser \(f\), puisque \(k[x, y]\) est un anneau factoriel. Ainsi, \(s = 1\) ou \(s = f\). Si \(s = f\), alors \(r = g\), ce qui entraîne \(f, g \in k[x]\) ; ils doivent donc être des unités de \(k(x)\) et être premiers entre eux dans \(k(x)[y]\), en contradiction avec notre hypothèse. Si \(s = 1\), alors \(g = rf\), autre contradiction. Ainsi, \(f, g\) doivent être premiers entre eux dans \(k(x)[y]\), qui est un anneau euclidien. Nous nous sommes donc ramenés au cas où \(\mathfrak p\) contient un polynôme irréductible \(p \in k[x] \subset k[x, y]\). D’après ce qui précède, \(\mathfrak p\) correspond à un idéal premier de l’anneau \(k[x, y]/(p) = k(\alpha)[y]\), où \(\alpha\) est un élément algébrique sur \(k\) de polynôme minimal \(p\). Cet anneau est principal, et tout idéal premier correspond donc à \((0)\) ou à un polynôme irréductible de \(k(\alpha)[y]\). Ainsi, \(\mathfrak p\) est de la forme \((p)\) ou \((p, f)\), où \(f\) est un polynôme de \(k[x, y]\) qui est irréductible dans le quotient \(k[x, y]/(p)\).

Exemple

Considérons l’anneau \[R = \{ f \in \mathbf{Q}[z]\text{ vérifiant }f(0) = f(1) \}.\] Considérons le morphisme \[\varphi : \mathbf{Q}[A, B] \to R\] défini par \(\varphi(A) = z^2-z\) et \(\varphi(B) = z^3-z^2\). On vérifie aisément que \((A^3 - B^2 + AB) \subset \Ker(\varphi)\) et que \(A^3 - B^2 + AB\) est irréductible. Supposons que \(\varphi\) soit surjectif ; alors, puisque \(R\) est un anneau intègre (c’est un sous-anneau d’un anneau intègre), \(\Ker(\varphi)\) doit être un idéal premier de \(\mathbf{Q}[A, B]\). Les idéaux premiers qui contiennent \((A^3-B^2 + AB)\) sont \((A^3-B^2 + AB)\) lui-même et tout idéal maximal \((f, g)\), avec \(f, g\in\mathbf{Q}[A, B]\), tel que \(f\) soit irréductible modulo \(g\). Mais \(R\) n’est pas un corps, donc le noyau doit être \((A^3-B^2 + AB)\) ; ainsi, \(\varphi\) donne un isomorphisme \(R \to \mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\).

Pour voir que \(\varphi\) est surjectif, nous devons exprimer tout \(f\in R\) comme un polynôme à coefficients dans \(\mathbf{Q}\) en \(A(z) = z^2-z\) et \(B(z) = z^3-z^2\). Notons la relation \(zA(z) = B(z)\). Soit \(a = f(0) = f(1)\). Alors \(z(z-1)\) doit diviser \(f(z)-a\), et nous pouvons donc écrire \(f(z) = z(z-1)g(z)+a = A(z)g(z)+a\). Si \(\deg(g) < 2\), alors \(h(z) = c_1z + c_0\) et \(f(z) = A(z)(c_1z + c_0)+a = c_1B(z)+c_0A(z)+a\), et nous avons terminé. Si \(\deg(g)\geq 2\), alors, d’après l’algorithme de division euclidienne des polynômes, nous pouvons écrire \(g(z) = A(z)h(z)+b_1z + b_0\) (\(\deg(h)\leq\deg(g)-2\)), de sorte que \(f(z) = A(z)^2h(z)+b_1B(z)+b_0A(z)\). En appliquant la division à \(h(z)\) et en itérant, nous obtenons une expression de \(f(z)\) comme polynôme en \(A(z)\) et \(B(z)\) ; ainsi, \(\varphi\) est surjectif.

Soit maintenant \(a \in \mathbf{Q}\), \(a \neq 0, \frac{1}{2}, 1\), et considérons \[R_a = \{ f \in \mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\text{ vérifiant }f(0) = f(1) \}.\] C’est encore une \(\mathbf{Q}\)-algèbre de type fini : on vérifie aisément que les fonctions \(z^2-z\), \(z^3-z\) et \(\frac{a^2-a}{z-a}+z\) engendrent \(R_a\) comme \(\mathbf{Q}\)-algèbre. Nous avons les inclusions suivantes : \[R\subset R_a\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}], \quad R\subset\mathbf{Q}[z]\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}].\] Rappelons (lemme 00E3) que, pour un anneau T et une partie multiplicative \(S\subset T\), le morphisme d’anneaux \(T \to S^{-1}T\) induit un morphisme sur les spectres \(\Spec(S^{-1}T) \to \Spec(T)\) qui est un homéomorphisme sur le sous-ensemble \[\{\mathfrak p \in \Spec(T) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset\} \subset \Spec(T).\] Lorsque \(S = \{ 1, f, f^2, \ldots\}\) pour un certain \(f\in T\), il s’agit de l’ouvert \(D(f)\subset T\). Vérifions maintenant une propriété analogue pour le morphisme d’anneaux \(R \to R_a\) : nous allons montrer que le morphisme \(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\) induit par l’inclusion \(R\subset R_a\) est un homéomorphisme sur un sous-ensemble ouvert de \(\Spec(R)\) en vérifiant que \(\theta\) est un homéomorphisme local injectif. Nous le faisons relativement à un recouvrement ouvert de \(\Spec(R_a)\) par deux ouverts principaux, que nous décrivons maintenant. Pour tout \(r\in\mathbf{Q}\), soit \(\text{ev}_r : R \to \mathbf{Q}\) le morphisme donné par l’évaluation en \(r\). Notons que, pour \(r = 0\) et \(r = 1-a\), celui-ci se prolonge en un morphisme \(\text{ev}_r' : R_a \to \mathbf{Q}\) (dans le second cas, parce que \(\frac{1}{z-a}\) est bien défini en \(z = 1-a\), puisque \(a\neq\frac{1}{2}\)). Toutefois, \(\text{ev}_a\) ne se prolonge pas à \(R_a\). Posons \(\mathfrak{m}_r = \Ker(\text{ev}_r)\). Nous avons \[\mathfrak{m}_0 = (z^2-z, z^3-z),\] \[\mathfrak{m}_a = ((z-1 + a)(z-a), (z^2-1 + a)(z-a)), \text{ et}\] \[\mathfrak{m}_{1-a} = ((z-1 + a)(z-a), (z-1 + a)(z^2-a)).\] Pour le vérifier, notons que les membres de droite sont clairement contenus dans les membres de gauche. Vérifions ensuite que les membres de droite sont des idéaux maximaux en écrivant les générateurs en fonction de \(A\) et \(B\), et en considérant \(R\) comme \(\mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\). Notons que \(\mathfrak{m}_a\) n’appartient pas à l’image de \(\theta\) : nous avons \[(z^2 - z)^2(z - a)\left(\frac{a^2 - a}{z - a} + z\right) = (z^2 - z)^2(a^2 - a) + (z^2 - z)^2(z - a)z\] Le membre de gauche appartient à \(\mathfrak m_a R_a\) parce que \((z^2 - z)(z - a)\) appartient à \(\mathfrak m_a\) et que \((z^2 - z)(\frac{a^2 - a}{z - a} + z)\) appartient à \(R_a\). De même, l’élément \((z^2 - z)^2(z - a)z\) appartient à \(\mathfrak m_a R_a\) parce que \((z^2 - z)\) appartient à \(R_a\) et que \((z^2 - z)(z - a)\) appartient à \(\mathfrak m_a\). Comme \(a \not \in \{0, 1\}\), nous en concluons que \((z^2 - z)^2 \in \mathfrak m_a R_a\). Par conséquent, aucun idéal \(I\) de \(R_a\) ne peut vérifier \(I \cap R = \mathfrak m_a\), car un tel \(I\) devrait contenir \((z^2 - z)^2\), qui appartient à \(R\) mais pas à \(\mathfrak m_a\). L’ouvert principal \(D((z-1 + a)(z-a))\subset\Spec(R)\) est égal au complémentaire du fermé \(\{\mathfrak{m}_a, \mathfrak{m}_{1-a}\}\). Vérifions alors que \(R_{(z-1 + a)(z-a)} = (R_a)_{(z-1 + a)(z-a)}\) ; en notant cet anneau localisé \(R'\), il s’ensuit que le morphisme \(R \to R'\) se factorise en \(R \to R_a \to R'\). D’après le lemme 00E3, ces morphismes présentent alors \(\Spec(R') \subset \Spec(R_a)\) et \(\Spec(R') \subset \Spec(R)\) comme des sous-ensembles ouverts ; ainsi, \(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\), restreint à \(D((z-1 + a)(z-a))\), est un homéomorphisme sur un sous-ensemble ouvert. De même, la restriction de \(\theta\) à \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R_a)\) est un homéomorphisme sur le sous-ensemble ouvert \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R)\). Selon que \(z^2 + z + 2a-2\) est irréductible ou non sur \(\mathbf{Q}\), le complémentaire de ce premier ouvert principal est constitué d’un ou deux points fermés, ainsi que du point fermé \(\mathfrak{m}_a\). De plus, l’idéal de \(R_a\) engendré par les éléments \((z^2 + z + 2a-a)(z-a)\) et \((z-1 + a)(z-a)\) est égal à \(R_a\) tout entier ; ainsi, ces deux ouverts principaux recouvrent \(\Spec(R_a)\). Par conséquent, pour montrer que \(\theta\) est un homéomorphisme sur \(\Spec(R)-\{\mathfrak{m}_a\}\), il suffit de montrer que ces un ou deux points ne peuvent jamais être égaux à \(\mathfrak{m}_{1-a}\). Et c’est bien le cas, puisque \(1-a\) est une racine de \(z^2 + z + 2a-2\) si et seulement si \(a = 0\) ou \(a = 1\), deux cas qui ne se produisent pas.

Malgré cet homéomorphisme, qui imite le comportement d’une localisation en un élément de \(R\), tandis que \(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\) est la localisation de \(\mathbf{Q}[z]\) en l’idéal maximal \((z-a)\), l’anneau \(R_a\) n’est pas une localisation de \(R\) : toute localisation \(S^{-1}R\) produit davantage d’unités que l’anneau initial \(R\). Les unités de \(R\) sont \(\mathbf{Q}^\times\), les unités de \(\mathbf{Q}\). En fait, il est facile de voir que les unités de \(R_a\) sont \(\mathbf{Q}^*\). En effet, les unités de \(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z - a}]\) sont \(c (z - a)^n\) pour \(c \in \mathbf{Q}^*\) et \(n \in \mathbf{Z}\), et il est clair que celles-ci n’appartiennent à \(R_a\) que si \(n = 0\). Ainsi, \(R_a\) ne possède pas davantage d’unités que \(R\) et ne peut donc pas être une localisation de \(R\).

Nous avons utilisé le fait que \(a\neq 0, 1\) pour garantir que \(\frac{1}{z-a}\) est défini en \(z = 0, 1\). Nous avons utilisé le fait que \(a\neq 1/2\) en plusieurs endroits : (1) pour pouvoir parler du noyau de \(\text{ev}_{1-a}\) sur \(R_a\), ce qui garantit que \(\mathfrak{m}_{1-a}\) est un point de \(R_a\) (c’est-à-dire que \(R_a\) ne possède qu’un point de moins que \(R\)). (2) À la fin, pour conclure que \((z-a)^{k + \ell}\) ne peut appartenir à \(R\) que pour \(k = \ell = 0\) ; en effet, si \(a = 1/2\), cet élément appartient à \(R\) dès que \(k + \ell\) est pair. Il y aurait alors effectivement davantage d’unités dans \(R_a\) que dans \(R\), et \(R_a\) pourrait éventuellement être une localisation de \(R\).

Une méta-observation sur les idéaux premiers

Cette section est tirée du projet CRing. Soit \(R\) un anneau et soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Une conséquence du lemme 00E3 est qu’un idéal \(I \subset R\) maximal parmi ceux qui ne rencontrent pas \(S\) est premier. La raison en est que \(I = R \cap \mathfrak m\) pour un certain idéal maximal \(\mathfrak m\) de l’anneau \(S^{-1}R\). Il s’avère que, pour de nombreuses propriétés d’idéaux, les éléments maximaux sont premiers. Une méthode générale permettant de le voir a été développée dans [Lam-Reyes]. Dans cette section, nous faisons une digression pour expliquer ce phénomène.

Soit \(R\) un anneau. Si \(I\) est un idéal de \(R\) et \(a \in R\), nous définissons \[(I : a) = \left\{ x \in R \mid xa \in I\right\}.\] Plus généralement, si \(J \subset R\) est un idéal, nous définissons \[(I : J) = \left\{ x \in R \mid xJ \subset I\right\}.\]

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Pour un idéal principal \(J \subset R\) et pour tout idéal \(I \subset J\), nous avons \(I = J (I : J)\).

Démonstration

Écrivons \(J = (a)\). Alors \((I : J) = (I : a)\). Puisque \(I \subset J\), nous voyons que tout \(y \in I\) est de la forme \(y = xa\) pour un certain \(x \in (I : a)\). Ainsi, \(I \subset J (I : J)\). Réciproquement, si \(x \in (I : a)\), alors \(xJ = (xa) \subset I\), ce qui démontre l’autre inclusion.

Soit \(\mathcal{F}\) une collection d’idéaux de \(R\). Nous cherchons des conditions garantissant que les éléments maximaux du complémentaire de \(\mathcal{F}\) sont premiers.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\mathcal{F}\) un ensemble d’idéaux de \(R\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) est une famille d’Oka si \(R \in \mathcal{F}\) et si, chaque fois que \(I \subset R\) est un idéal et que \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\) pour un certain \(a \in R\), alors \(I \in \mathcal{F}\).

Donnons quelques exemples de familles d’Oka. Le premier est l’exemple fondamental présenté dans l’introduction de cette section.

Exemple

Soit \(R\) un anneau et soit \(S\) une partie multiplicative de \(R\). Nous affirmons que \(\mathcal{F} = \{I \subset R \mid I \cap S \not = \emptyset\}\) est une famille d’Oka. En effet, supposons que \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\) pour un certain \(a \in R\). Choisissons alors \(s \in (I, a) \cap S\) et \(s' \in (I : a) \cap S\). Alors \(ss' \in I \cap S\), et donc \(I \in \mathcal{F}\). Ainsi, \(\mathcal{F}\) est une famille d’Oka.

Exemple

Soient \(R\) un anneau, \(I \subset R\) un idéal et \(a \in R\). Si \((I : a)\) est engendré par \(a_1, \ldots, a_n\) et si \((I, a)\) est engendré par \(a, b_1, \ldots, b_m\), avec \(b_1, \ldots, b_m \in I\), alors \(I\) est engendré par \(aa_1, \ldots, aa_n, b_1, \ldots, b_m\). Pour le voir, notons que, si \(x \in I\), alors \(x \in (I, a)\) est une combinaison linéaire de \(a, b_1, \ldots, b_m\), mais le coefficient de \(a\) doit appartenir à \((I:a)\). Nous en déduisons que la famille des idéaux de type fini est une famille d’Oka.

Exemple

Montrons que la famille des idéaux principaux d’un anneau \(R\) est une famille d’Oka. En effet, supposons que \(I \subset R\) soit un idéal, que \(a \in R\) et que \((I, a)\) et \((I : a)\) soient principaux. Notons que \((I : a) = (I : (I, a))\). En posant \(J = (I, a)\), nous constatons que \(J\) est principal et que \((I : J)\) l’est aussi. D’après le lemme 05K8, nous avons \(I = J (I : J)\). Ainsi, dans notre situation, puisque \(J = (I, a)\) et \((I : J)\) sont principaux, \(I\) est principal.

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\kappa\) un cardinal infini. La famille des idéaux qui peuvent être engendrés par au plus \(\kappa\) éléments est une famille d’Oka. L’argument est analogue à celui de l’exemple 05KB et est omis.

Exemple

Soient \(A\) un anneau, \(I \subset A\) un idéal et \(a \in A\) un élément. Il existe une suite exacte courte \(0 \to A/(I : a) \to A/I \to A/(I, a) \to 0\) dont la première flèche est donnée par la multiplication par \(a\). Ainsi, si \(P\) est une propriété des \(A\)-modules qui est stable par extensions et qui est vérifiée par \(0\), alors la famille des idéaux \(I\) tels que \(A/I\) possède \(P\) est une famille d’Oka.

Proposition

Si \(\mathcal{F}\) est une famille d’Oka d’idéaux, alors tout élément maximal du complémentaire de \(\mathcal{F}\) est premier.

Démonstration

Supposons que \(I \not \in \mathcal{F}\) soit maximal parmi les idéaux qui n’appartiennent pas à \(\mathcal{F}\), mais que \(I\) ne soit pas premier. Notons que \(I \not = R\), car \(R \in \mathcal{F}\). Puisque \(I\) n’est pas premier, nous pouvons trouver \(a, b \in R - I\) tels que \(ab \in I\). Il s’ensuit que \((I, a) \neq I\) et que \((I : a)\) contient \(b \not \in I\), donc que \((I : a) \neq I\) également. Ainsi, \((I : a), (I, a)\) contiennent tous deux strictement \(I\) et doivent donc appartenir à \(\mathcal{F}\). Par la condition d’Oka, nous avons \(I \in \mathcal{F}\), ce qui est une contradiction.

Nous pouvons maintenant convertir la plupart des exemples ci-dessus en un lemme sur les idéaux premiers d’un anneau.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S\) une partie multiplicative de \(R\). Un idéal \(I \subset R\) maximal parmi ceux qui vérifient \(I \cap S = \emptyset\) est premier.

Démonstration

C’est l’exemple présenté dans l’introduction de cette section. Pour une autre démonstration, combiner l’exemple 05KA avec la proposition 05KE.

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. Un idéal \(I \subset R\) maximal parmi ceux qui ne sont pas de type fini est premier.

2. Si tout idéal premier de \(R\) est de type fini, alors tout idéal de \(R\) est de type fini².

Démonstration

La première assertion est une conséquence immédiate de l’exemple 05KB et de la proposition 05KE. Pour la seconde, supposons qu’il existe un idéal \(I \subset R\) qui ne soit pas de type fini. La réunion d’une chaîne totalement ordonnée \(\left\{I_\alpha\right\}\) d’idéaux qui ne sont pas de type fini n’est pas de type fini ; en effet, si \(I = \bigcup I_\alpha\) était engendré par \(a_1, \ldots, a_n\), alors tous les générateurs appartiendraient à un certain \(I_\alpha\) et l’engendreraient par conséquent. D’après le lemme de Zorn, il existe un idéal maximal parmi ceux qui ne sont pas de type fini. D’après la première partie, cet idéal est premier.

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. Un idéal \(I \subset R\) maximal parmi ceux qui ne sont pas principaux est premier.

2. Si tout idéal premier de \(R\) est principal, alors tout idéal de \(R\) est principal.

Démonstration

La première partie résulte de l’exemple 05KC et de la proposition 05KE. Pour la seconde, supposons qu’il existe un idéal \(I \subset R\) qui ne soit pas principal. La réunion d’une chaîne totalement ordonnée \(\left\{I_\alpha\right\}\) d’idéaux qui ne sont pas principaux n’est pas principale ; en effet, si \(I = \bigcup I_\alpha\) était engendré par \(a\), alors \(a\) appartiendrait à un certain \(I_\alpha\) et \(a\) l’engendrerait. D’après le lemme de Zorn, il existe un idéal maximal parmi ceux qui ne sont pas principaux. Cet idéal est nécessairement premier d’après la première partie.

Lemme

Soit \(R\) un anneau.

1. Un idéal maximal parmi les idéaux qui ne contiennent aucun élément non diviseur de zéro est premier.

2. Si \(R\) est non nul et si tout idéal premier non nul de \(R\) contient un élément non diviseur de zéro, alors \(R\) est un anneau intègre.

Démonstration

Considérons l’ensemble \(S\) des éléments non diviseurs de zéro. C’est une partie multiplicative de \(R\). Ainsi, tout idéal maximal parmi ceux qui ne rencontrent pas \(S\) est premier, voir le lemme 05KF. Par conséquent, si tout idéal premier non nul contient un élément non diviseur de zéro, alors \((0)\) est premier, c’est-à-dire que \(R\) est un anneau intègre.

Remarque

Soit \(R\) un anneau. Soit \(\kappa\) un cardinal infini. En appliquant l’exemple 05KD et la proposition 05KE, nous voyons que tout idéal maximal parmi ceux qui ne peuvent pas être engendrés par \(\kappa\) éléments est premier. Ce résultat n’est pas très utile, car il existe un anneau \(R\) dont tout idéal premier peut être engendré par \(\aleph_0\) éléments, mais dont un certain idéal ne le peut pas. En effet, soit \(k\) un corps, soit \(T\) un ensemble dont la cardinalité est strictement supérieure à \(\aleph_0\), et posons \[R = k[\{x_n\}_{n \geq 1}, \{z_{t, n}\}_{t \in T, n \geq 0}]/ (x_n^2, z_{t, n}^2, x_n z_{t, n} - z_{t, n - 1})\] C’est un anneau local dont l’unique idéal premier est \(\mathfrak m = (x_n)\). Mais l’idéal \((z_{t, n})\) ne peut pas être engendré par une famille dénombrable d’éléments.

Exemple

Soient \(R\) un anneau et \(X = \Spec(R)\). Puisque les fermés de \(X\) correspondent aux idéaux radicaux de \(R\) (lemme 00E0), nous voyons que \(X\) est un espace topologique noethérien si et seulement si les idéaux radicaux vérifient la condition de chaîne ascendante. Cela équivaut à dire que tout idéal radical est le radical d’un idéal de type fini (détails omis). Posons \[\mathcal{F} = \{I \subset R \mid \sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\text{ pour un certain }n \text{ et }f_1, \ldots, f_n \in R\}.\] Le lecteur peut montrer que \(\mathcal{F}\) est une famille d’Oka en utilisant l’identité \[\sqrt{I} = \sqrt{(I, a)(I : a)}\] qui vaut pour tout idéal \(I \subset R\) et tout élément \(a \in R\). D’autre part, si nous avons une chaîne totalement ordonnée d’idéaux \(\{I_\alpha\}\) dont aucun n’appartient à \(\mathcal{F}\), alors la réunion \(I = \bigcup I_\alpha\) ne peut pas non plus appartenir à \(\mathcal{F}\). Sinon, \(\sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\), puis \(f_i^e \in I\) pour un certain \(e\), puis \(f_i^e \in I_\alpha\) pour un certain \(\alpha\) indépendant de \(i\), et enfin \(\sqrt{I_\alpha} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\), contradiction. Ainsi, si l’ensemble des idéaux qui n’appartiennent pas à \(\mathcal{F}\) est non vide, il possède des éléments maximaux et, exactement comme dans le lemme 05KG, nous concluons que \(X\) est un espace topologique noethérien si et seulement si tout idéal premier de \(R\) est égal à \(\sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\) pour certains \(f_1, \ldots, f_n \in R\). Si ce résultat nous est un jour nécessaire, nous l’énoncerons et le démontrerons ici avec soin.

Images des morphismes d’anneaux de présentation finie

Dans cette section, nous démontrons quelques résultats sur la topologie des applications \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) induites par des morphismes d’anneaux \(R \to S\), principalement le théorème de Chevalley. Pour ce faire, nous utiliserons les notions de parties constructibles, de parties quasi-compactes, de parties rétrocompactes, etc., qui sont définies dans Topologie, section 04ZC.

Lemme

Soit \(U \subset \Spec(R)\) un ouvert. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(U\) est rétrocompact dans \(\Spec(R)\),

2. \(U\) est quasi-compact,

3. \(U\) est une réunion finie d’ouverts principaux, et

4. il existe un idéal de type fini \(I \subset R\) tel que \(X \setminus V(I) = U\).

Démonstration

Nous avons (1) \(\Rightarrow\) (2), car \(\Spec(R)\) est quasi-compact, voir le lemme 00E8. Nous avons (2) \(\Rightarrow\) (3), car les ouverts principaux forment une base de la topologie. Démontrons (3) \(\Rightarrow\) (1). Soit \(U = \bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)\). Pour montrer que \(U\) est rétrocompact dans \(\Spec(R)\), il suffit de montrer que \(U \cap V\) est quasi-compact pour tout ouvert quasi-compact \(V\) de \(\Spec(R)\). Écrivons \(V = \bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)\), ce qui est possible par (2) \(\Rightarrow\) (3). Tout ouvert principal est homéomorphe au spectre d’un anneau et est donc quasi-compact, voir les lemmes 00E4 et 00E8. Ainsi, \(U \cap V = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap (\bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)) = \bigcup_{i, j} D(f_i g_j)\) est une réunion finie d’ouverts quasi-compacts, donc est quasi-compact. Pour achever la démonstration, notons que (4) équivaut à (3) d’après le lemme 00E0.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. L’application continue induite \(f : \Spec(S) \to \Spec(R)\) est quasi-compacte. Pour toute partie constructible \(E \subset \Spec(R)\), l’image réciproque \(f^{-1}(E)\) est constructible dans \(\Spec(S)\).

Démonstration

Montrons d’abord que l’image réciproque de tout ouvert quasi-compact \(U \subset \Spec(R)\) est quasi-compacte. D’après le lemme 00F6, nous pouvons écrire \(U\) comme une réunion finie d’ouverts principaux. Le lemme 00E2 montre donc que \(f^{-1}(U)\) est une réunion finie d’ouverts principaux. Ainsi, \(f^{-1}(U)\) est quasi-compact d’après le lemme 00F6. La seconde assertion résulte alors de Topologie, lemme 005I.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Une partie de \(\Spec(R)\) est constructible si et seulement si elle peut s’écrire comme une réunion finie de parties de la forme \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\), où \(f, g_1, \ldots, g_m \in R\).

Démonstration

D’après le lemme 00F6, la partie \(D(f)\) et le complémentaire de \(V(g_1, \ldots, g_m)\) sont des ouverts rétrocompacts. Ainsi, \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) est une partie constructible, de même que toute réunion finie de telles parties. Réciproquement, soit \(T \subset \Spec(R)\) une partie constructible. D’après Topologie, définition 005G, nous pouvons supposer que \(T = U \cap V^c\), où \(U, V \subset \Spec(R)\) sont des ouverts rétrocompacts. D’après le lemme 00F6, nous pouvons écrire \(U = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\) et \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(g_j)\). Alors \(T = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} \big(D(f_i) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\big)\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(T \subset \Spec(R)\) une partie constructible. Il existe alors un morphisme d’anneaux \(R \to S\) de présentation finie tel que \(T\) soit l’image de \(\Spec(S)\) dans \(\Spec(R)\).

Démonstration

Le spectre d’un produit fini d’anneaux est la réunion disjointe des spectres, voir le lemme 00ED. Par conséquent, si \(T = T_1 \cup T_2\) et si le résultat vaut pour \(T_1\) et \(T_2\), alors il vaut pour \(T\). D’après le lemme 0G1P, nous pouvons supposer que \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\). Dans ce cas, \(T\) est l’image du morphisme \(\Spec((R/(g_1, \ldots, g_m))_f) \to \Spec(R)\), voir les lemmes 00E4 et 00E5.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(f\) un élément de \(R\). Soit \(S = R_f\). Alors l’image d’une partie constructible de \(\Spec(S)\) est constructible dans \(\Spec(R)\).

Démonstration

Nous utilisons à plusieurs reprises le lemme 00F6 sans le mentionner. Soient \(U, V\) des ouverts quasi-compacts de \(\Spec(S)\). Nous allons montrer que l’image de \(U \cap V^c\) est constructible. Sous l’identification \(\Spec(S) = D(f)\) du lemme 00E4, les parties \(U, V\) correspondent à des ouverts quasi-compacts \(U', V'\) de \(\Spec(R)\). Il suffit donc de montrer que \(U' \cap (V')^c\) est constructible dans \(\Spec(R)\), ce qui est clair.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I\) un idéal de type fini de \(R\). Soit \(S = R/I\). Alors l’image d’une partie constructible de \(\Spec(S)\) est constructible dans \(\Spec(R)\).

Démonstration

Si \(I = (f_1, \ldots, f_m)\), alors nous voyons que \(V(I)\) est le complémentaire de \(\bigcup D(f_i)\), voir le lemme 00E0. Il est donc constructible, d’après le lemme 00F6. Notons le morphisme \(R \to S\) par \(f \mapsto \overline{f}\). Nous devons montrer que, si \(\overline{U}, \overline{V}\) sont des ouverts rétrocompacts de \(\Spec(S)\), alors l’image de \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\) dans \(\Spec(R)\) est constructible. D’après le lemme 00F6, nous pouvons écrire \(\overline{U} = \bigcup D(\overline{g_i})\). En posant \(U = \bigcup D({g_i})\), nous voyons que \(\overline{U}\) a pour image \(U \cap V(I)\), qui est constructible dans \(\Spec(R)\). De même, l’image de \(\overline{V}\) est égale à \(V \cap V(I)\) pour un certain ouvert rétrocompact \(V\) de \(\Spec(R)\). Ainsi, l’image de \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\) est égale à \(U \cap V(I) \cap V^c\), comme voulu.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Le morphisme \(\Spec(R[x]) \to \Spec(R)\) est ouvert, et l’image de tout ouvert principal est un ouvert quasi-compact.

Démonstration

Il suffit de montrer que l’image d’un ouvert principal \(D(f)\), \(f\in R[x]\), est un ouvert quasi-compact. L’image de \(D(f)\) est celle du morphisme \(\Spec(R[x]_f) \to \Spec(R)\). Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Soit \(\overline{f}\) l’image de \(f\) dans \(\kappa(\mathfrak p)[x]\). Rappelons, voir le lemme 00E7, que \(\mathfrak p\) appartient à l’image si et seulement si \(R[x]_f \otimes_R \kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p)[x]_{\overline{f}}\) n’est pas l’anneau nul. C’est exactement la condition que \(f\) ne s’envoie pas sur zéro dans \(\kappa(\mathfrak p)[x]\), autrement dit qu’un coefficient de \(f\) n’appartienne pas à \(\mathfrak p\). Ainsi, si \(f = a_d x^d + \ldots + a_0\), alors l’image de \(D(f)\) est \(D(a_d) \cup \ldots \cup D(a_0)\).

Nous démontrons une propriété des polynômes caractéristiques qui sera utilisée ci-dessous.

Lemme

Soit \(R \to A\) un morphisme d’anneaux. Supposons que \(A \cong R^{\oplus n}\) comme \(R\)-module. Soit \(f \in A\). L’application de multiplication \(m_f: A \to A\) est \(R\)-linéaire et possède donc un polynôme caractéristique \(P(T) = T^n + r_{n-1}T^{n-1} + \ldots + r_0 \in R[T]\). Pour tout idéal premier \(\mathfrak{p} \in \Spec(R)\), \(f\) agit de manière nilpotente sur \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak{p})\) si et seulement si \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n-1})\).

Démonstration

Cela résulte assez facilement du fait que le polynôme caractéristique \(\bar P(T) \in \kappa(\mathfrak p)[T]\) de l’application de multiplication \(m_{\bar f}: A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\), qui multiplie les éléments de \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) par \(\bar f\), l’image de \(f\) considérée dans \(\kappa(\mathfrak p)\), est précisément l’image de \(P(T)\) dans \(\kappa(\mathfrak p)[T]\). Soit \((a_{ij})\) la matrice de l’application \(m_f\), à coefficients dans \(R\), relativement à une base \(e_1, \ldots, e_n\) de \(A\) comme \(R\)-module. Alors \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \cong (R \otimes_R \kappa(\mathfrak p))^{\oplus n} = \kappa(\mathfrak p)^n\), qui est un espace vectoriel de dimension \(n\) sur \(\kappa(\mathfrak p)\), de base \(e_1 \otimes 1, \ldots, e_n \otimes 1\). L’image est \(\bar f = f \otimes 1\), et l’application de multiplication \(m_{\bar f}\) a donc pour matrice \((a_{ij} \otimes 1)\). Ainsi, le polynôme caractéristique est précisément l’image de \(P(T)\).

Nous savons par l’algèbre linéaire qu’un endomorphisme agit de manière nilpotente sur un espace vectoriel de dimension \(n\) si et seulement si son polynôme caractéristique est \(T^n\) (car le polynôme caractéristique divise une puissance du polynôme minimal). Ainsi, \(f\) agit de manière nilpotente sur \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) si et seulement si \(\bar P(T) = T^n\). Cela se produit si et seulement si \(r_i \in \mathfrak p\) pour tout \(0 \leq i \leq n - 1\), c’est-à-dire lorsque \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n - 1}).\)

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soient \(f, g \in R[x]\) des polynômes. Supposons que le coefficient dominant de \(g\) soit une unité de \(R\). Il existe des éléments \(r_i\in R\), \(i = 1\ldots, n\), tels que l’image de \(D(f) \cap V(g)\) dans \(\Spec(R)\) soit \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(r_i)\).

Démonstration

Écrivons \(g = ux^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_0\), où \(d\) est le degré de \(g\), et donc \(u \in R^*\). Considérons l’anneau \(A = R[x]/(g)\). Comme \(R\)-module, il est libre de type fini, de base les images de \(1, x, \ldots, x^{d-1}\). Considérons la multiplication par (l’image de) \(f\) sur \(A\). C’est un morphisme de \(R\)-modules. Nous pouvons donc noter \(P(T) \in R[T]\) le polynôme caractéristique de ce morphisme. Écrivons \(P(T) = T^d + r_{d-1} T^{d-1} + \ldots + r_0\). Nous affirmons que \(r_0, \ldots, r_{d-1}\) ont la propriété voulue. Nous utiliserons ci-dessous la propriété des polynômes caractéristiques selon laquelle \[\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{d-1}) \Leftrightarrow \text{la multiplication par }f\text{ est nilpotente sur } A \otimes_R \kappa(\mathfrak p).\] Elle a été démontrée dans le lemme 00FC.

Supposons que \(\mathfrak q\in D(f) \cap V(g)\), et soit \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\). Il existe alors un morphisme non nul \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\) qui est compatible avec la multiplication par \(f\). Et \(f\) agit comme une unité sur \(\kappa(\mathfrak q)\). Nous en concluons que \(\mathfrak p \not \in V(r_0, \ldots, r_{d-1})\).

D’autre part, supposons que \(r_i \not\in \mathfrak p\) pour un certain idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\) et un certain \(0 \leq i \leq d - 1\). Alors la multiplication par \(f\) n’est pas nilpotente sur l’algèbre \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\). Il existe donc un idéal premier \(\overline{\mathfrak q} \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) qui ne contient pas l’image de \(f\). L’image réciproque de \(\overline{\mathfrak q}\) dans \(R[x]\) est un élément de \(D(f) \cap V(g)\) qui s’envoie sur \(\mathfrak p\).

Théorème

Supposons que \(R \to S\) soit de présentation finie. L’image d’une partie constructible de \(\Spec(S)\) dans \(\Spec(R)\) est constructible.

Démonstration

Écrivons \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). Nous pouvons factoriser \(R \to S\) sous la forme \(R \to R[x_1] \to R[x_1, x_2] \to \ldots \to R[x_1, \ldots, x_{n-1}] \to S\). Nous pouvons donc supposer que \(S = R[x]/(f_1, \ldots, f_m)\). Dans ce cas, nous factorisons le morphisme sous la forme \(R \to R[x] \to S\) et, grâce au lemme 00FA, nous nous ramenons au cas \(S = R[x]\). D’après le lemme 00F6, il suffit de montrer que, si \(T = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) pour \(f_i , g_j \in R[x]\), alors l’image dans \(\Spec(R)\) est constructible. Puisque les réunions finies de parties constructibles sont constructibles, il suffit de traiter le cas \(n = 1\), c’est-à-dire celui où \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\).

Notons que, si \(c \in R\), alors \[\Spec(R) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)) \amalg \Spec(R_c),\] et, de façon correspondante, \(\Spec(R[x]) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)[x]) \amalg \Spec(R_c[x])\). L’intersection de \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) avec chaque partie conserve la même forme, où \(f\), \(g_i\) sont remplacés par leurs images dans \(R/(c)[x]\) et \(R_c[x]\), respectivement. Notons que l’image de \(T\) dans \(\Spec(R)\) est la réunion des images de \(T \cap V(c)\) et de \(T \cap D(c)\). D’après les lemmes 00F9 et 00FA, il suffit de montrer que les images des deux parties sont constructibles dans \(\Spec(R/(c))\) et \(\Spec(R_c)\), respectivement.

Supposons que \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) comme ci-dessus, avec \(\deg(g_1) \leq \deg(g_2) \leq \ldots \leq \deg(g_m)\). Nous allons raisonner par récurrence sur \(m\) et sur les degrés des \(g_i\). Soit \(d_1 = \deg(g_1)\), c’est-à-dire \(g_1 = c x^{d_1} + l.o.t\) avec \(c \in R\) non nul. En décomposant \(R\) en les deux morceaux \(R/(c)\) et \(R_c\), soit nous abaissons le degré de \(g_1\) (et ce cas est couvert par récurrence), soit nous nous ramenons au cas où \(c\) est inversible. Si \(c\) est inversible et si \(m > 1\), écrivons \(g_2 = c' x^{d_2} + l.o.t\). Dans ce cas, considérons \(g_2' = g_2 - (c'/c) x^{d_2 - d_1} g_1\). Puisque les idéaux \((g_1, g_2, \ldots, g_m)\) et \((g_1, g_2', g_3, \ldots, g_m)\) sont égaux, nous voyons que \(T = D(f) \cap V(g_1, g_2', g_3\ldots, g_m)\). Mais ici, le degré de \(g_2'\) est strictement inférieur à celui de \(g_2\), et ce cas est donc couvert par récurrence.

Les cas de base de la récurrence ci-dessus sont les cas (a) \(T = D(f) \cap V(g)\) où le coefficient dominant de \(g\) est inversible, et (b) \(T = D(f)\). Ces deux cas sont traités par les lemmes 00FD et 00FB.

Compléments sur les images

Dans cette section, nous rassemblons quelques lemmes supplémentaires concernant l’image au niveau de \(\Spec\) pour les morphismes d’anneaux. Voir aussi, par exemple, la section 00HU.

Lemme

Soit \(R \subset S\) une inclusion d’anneaux intègres. Supposons que \(R \to S\) soit de type fini. Il existe un élément non nul \(f \in R\) et un élément non nul \(g \in S\) tels que \(R_f \to S_{fg}\) soit de présentation finie.

Démonstration

Nous raisonnons par récurrence sur le nombre de générateurs de \(S\) sur \(R\). Au cours de la démonstration, nous pouvons remplacer \(R\) par \(R_f\) et \(S\) par \(S_f\) pour un certain élément non nul \(f \in R\).

Supposons que \(S\) soit engendré par un seul élément sur \(R\). Alors \(S = R[x]/\mathfrak q\) pour un certain idéal premier \(\mathfrak q \subset R[x]\). Si \(\mathfrak q = (0)\), il n’y a rien à démontrer. Si \(\mathfrak q \not = (0)\), soit \(h \in \mathfrak q\) un élément non nul de degré minimal en \(x\). Écrivons \(h = f x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0\), avec \(a_i \in R\) et \(f \not = 0\). Après avoir inversé \(f\) dans \(R\) et \(S\), nous pouvons supposer que \(h\) est unitaire. Nous obtenons un morphisme surjectif de \(R\)-algèbres \(R[x]/(h) \to S\). Nous avons \(R[x]/(h) = R \oplus Rx \oplus \ldots \oplus Rx^{d - 1}\) comme \(R\)-module et, par minimalité de \(d\), nous voyons que \(R[x]/(h)\) s’injecte dans \(S\). Ainsi, \(R[x]/(h) \cong S\) est de présentation finie sur \(R\).

Supposons que \(S\) soit engendré par \(n > 1\) éléments sur \(R\). Disons que \(x_1, \ldots, x_n \in S\) engendrent \(S\). Notons \(S' \subset S\) la sous-\(R\)-algèbre engendrée par \(x_1, \ldots, x_{n-1}\). Par l’hypothèse de récurrence, nous voyons qu’il existe des éléments non nuls \(f\in R\) et \(g \in S'\) tels que \(R_f \to S'_{fg}\) soit de présentation finie. Nous appliquons ensuite l’hypothèse de récurrence à \(S'_{fg} \to S_{fg}\) pour voir qu’il existe \(f' \in S'_{fg}\) et \(g' \in S_{fg}\) tels que \(S'_{fgf'} \to S_{fgf'g'}\) soit de présentation finie. Nous laissons au lecteur le soin de conclure.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux de type fini. Notons \(X = \Spec(R)\) et \(Y = \Spec(S)\). Notons \(f : Y \to X\) le morphisme induit sur les spectres. Soit \(E \subset Y = \Spec(S)\) une partie constructible. Si un point \(\xi \in X\) appartient à \(f(E)\), alors \(\overline{\{\xi\}} \cap f(E)\) contient un sous-ensemble ouvert dense de \(\overline{\{\xi\}}\).

Démonstration

Soit \(\xi \in X\) un point de \(f(E)\). Choisissons un point \(\eta \in E\) qui s’envoie sur \(\xi\). Soit \(\mathfrak p \subset R\) l’idéal premier correspondant à \(\xi\), et soit \(\mathfrak q \subset S\) l’idéal premier correspondant à \(\eta\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \eta \ar[r] \ar@{|->}[d] & E \cap Y' \ar[r] \ar[d] & Y' = \Spec(S/\mathfrak q) \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & f(E) \cap X' \ar[r] & X' = \Spec(R/\mathfrak p) \ar[r] & X }\] D’après le lemme 00F7, la partie \(E \cap Y'\) est constructible dans \(Y'\). Il s’ensuit que nous pouvons remplacer \(X\) par \(X'\) et \(Y\) par \(Y'\). Nous pouvons donc supposer que \(R \subset S\) est une inclusion d’anneaux intègres, que \(\xi\) est le point générique de \(X\) et que \(\eta\) est le point générique de \(Y\). En combinant le lemme 00FG avec le théorème de Chevalley (théorème 00FE), nous voyons qu’il existe des ouverts denses \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(V) \subset U\) et que \(f : V \to U\) envoie les parties constructibles sur des parties constructibles. Notons que \(E \cap V\) est constructible dans \(V\), voir Topologie, lemme 005J. Ainsi, \(f(E \cap V)\) est constructible dans \(U\) et contient \(\xi\). D’après Topologie, lemme 005K, nous voyons que \(f(E \cap V)\) contient un ouvert dense \(U' \subset U\).

À la fin de cette section, nous présentons quelques résultats supplémentaires sur les images des applications entre spectres qui n’ont rien à voir avec les parties constructibles.

Lemme

Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. L’application \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) est surjective.

2. Pour tout idéal \(I \subset R\), l’image réciproque de \(\sqrt{IS}\) dans \(R\) est égale à \(\sqrt{I}\).

3. Pour tout idéal radical \(I \subset R\), l’image réciproque de \(IS\) dans \(R\) est égale à \(I\).

4. Pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\), l’image réciproque de \(\mathfrak p S\) dans \(R\) est \(\mathfrak p\).

Dans ce cas, il en va de même après tout changement de base : étant donné un morphisme d’anneaux \(R \to R'\), le morphisme d’anneaux \(R' \to R' \otimes_R S\) possède lui aussi les propriétés équivalentes (1), (2), (3).

Démonstration

Si \(J \subset S\) est un idéal, alors \(\sqrt{\varphi^{-1}(J)} = \varphi^{-1}(\sqrt{J})\). Cela montre que (2) et (3) sont équivalentes. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (4) est immédiate. Si \(I \subset R\) est un idéal radical, alors le lemme 00E0 garantit que \(I = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\). Ainsi, (4) \(\Rightarrow\) (2). D’après le lemme 00E7, nous avons \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak p S)\) si et seulement si \(\mathfrak p\) appartient à l’image. Ainsi, (1) \(\Leftrightarrow\) (4). Les conditions (1), (2), (3) et (4) sont donc équivalentes.

Supposons que (1) soit vérifiée. Soit \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux. Soit \(\mathfrak p' \subset R'\) un idéal premier au-dessus de l’idéal premier \(\mathfrak p\) de \(R\). Pour voir que \(\mathfrak p'\) appartient à l’image de \(\Spec(R' \otimes_R S) \to \Spec(R')\), nous devons montrer que \((R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p')\) n’est pas nul, voir le lemme 00E7. Mais nous avons \[(R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\] qui n’est pas nul, car \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) n’est pas nul par hypothèse et \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak p')\) est une extension de corps.

Lemme

Soit \(R\) un anneau intègre. Soit \(\varphi : R \to S\) un morphisme d’anneaux. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le morphisme d’anneaux \(R \to S\) est injectif.

2. L’image de \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) contient un ensemble dense de points.

3. Il existe un idéal premier \(\mathfrak q \subset S\) dont l’image réciproque dans \(R\) est \((0)\).

Démonstration

Soit \(K\) le corps des fractions de l’anneau intègre \(R\). Supposons que \(R \to S\) soit injectif. Puisque la localisation est exacte, nous voyons que \(K \to S \otimes_R K\) est injectif. Il existe donc un idéal premier s’envoyant sur \((0)\) d’après le lemme 00E7.

Notons que \((0)\) est dense dans \(\Spec(R)\), de sorte que la dernière condition implique la seconde.

Supposons que la seconde condition soit vérifiée. Soit \(f \in R\), \(f \not = 0\). Puisque \(R\) est un anneau intègre, nous voyons que \(V(f)\) est un fermé propre de \(R\). Par hypothèse, il existe un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(S\) tel que \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\). Ainsi, \(\varphi(f) \not = 0\). Le morphisme \(R \to S\) est donc injectif.

Lemme

Soit \(R \subset S\) un morphisme d’anneaux injectif. Alors \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) atteint tous les idéaux premiers minimaux.

Démonstration

Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier minimal. Dans ce cas, \(R_{\mathfrak p}\) possède un unique idéal premier. Il suffit donc de montrer que \(S_{\mathfrak p}\) n’est pas nul. Cela résulte du fait que la localisation est exacte, voir la proposition 00CS.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le noyau de \(R \to S\) est constitué d’éléments nilpotents.

2. Les idéaux premiers minimaux de \(R\) appartiennent à l’image de \(\Spec(S) \to \Spec(R)\).

3. L’image de \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) est dense dans \(\Spec(R)\).

Démonstration

Soit \(I = \Ker(R \to S)\). Notons que \(\sqrt{(0)} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} \mathfrak q\), voir le lemme 00E0. Ainsi, \(\sqrt{I} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} R \cap \mathfrak q\). Donc \(V(I) = V(\sqrt{I})\) est l’adhérence de l’image de \(\Spec(S) \to \Spec(R)\). Cela montre que (1) équivaut à (3). Il est clair que (2) implique (3). Enfin, supposons (1). Nous pouvons remplacer \(R\) par \(R/I\) et \(S\) par \(S/IS\) sans changer la topologie des spectres ni l’application. Ainsi, l’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte du lemme 00FK.

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Si un idéal premier minimal \(\mathfrak p \subset R\) appartient à l’image de \(\Spec(S) \to \Spec(R)\), alors il est l’image d’un idéal premier minimal.

Démonstration

Écrivons \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\). Choisissons alors un idéal premier minimal \(\mathfrak r \subset S\) tel que \(\mathfrak r \subset \mathfrak q\), voir le lemme 00E0. Par minimalité de \(\mathfrak p\), nous voyons que \(\mathfrak p = \mathfrak r \cap R\).

Lemme

Soit \(A \subset B\) une inclusion d’anneaux intègres induisant une extension algébrique des corps des fractions. Si \(J \subset B\) est un idéal non nul, alors \(A \cap J\) est également non nul. Ainsi, l’image d’un fermé propre de \(\Spec(B)\) n’est pas dense dans \(\Spec(A)\).

Démonstration

Soit \(x \in J\) un élément non nul. Puisque \(x\) est algébrique sur le corps des fractions de \(A\), il existe un \(d \geq 1\) et des \(a_0, \ldots, a_d \in A\) tels que \(a_0, a_d \not = 0\) et que \(a_d x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0 = 0\) dans \(B\). Alors \(a_0 \in A \cap J\).

Anneaux noethériens

Un anneau \(R\) est noethérien si tout idéal de \(R\) est de type fini. Cela équivaut clairement à la condition de chaîne ascendante pour les idéaux de \(R\). D’après le lemme 05KG, il suffit de vérifier que tout idéal premier de \(R\) est de type fini.

Lemme

Tout anneau de type fini sur un anneau noethérien est noethérien. Toute localisation d’un anneau noethérien est noethérienne.

Démonstration

L’assertion sur les localisations résulte du fait que tout idéal \(J \subset S^{-1}R\) est de la forme \(I \cdot S^{-1}R\). Tout quotient \(R/I\) d’un anneau noethérien \(R\) est noethérien, car tout idéal \(\overline{J} \subset R/I\) est de la forme \(J/I\) pour un certain idéal \(I \subset J \subset R\). Il suffit donc de montrer que, si \(R\) est noethérien, alors \(R[X]\) l’est aussi. Supposons que \(J_1 \subset J_2 \subset \ldots\) soit une chaîne ascendante d’idéaux de \(R[X]\). Considérons les idéaux \(I_{i, d}\) définis comme les idéaux constitués des éléments de \(R\) qui apparaissent comme coefficients dominants de polynômes de degré \(d\) appartenant à \(J_i\). Il est clair que \(I_{i, d} \subset I_{i', d'}\) dès que \(i \leq i'\) et \(d \leq d'\). Par la condition de chaîne ascendante dans \(R\), il n’y a qu’un nombre fini d’idéaux distincts parmi tous les \(I_{i, d}\). (Indication : tout ensemble infini d’éléments de \(\mathbf{N} \times \mathbf{N}\) contient une suite infinie croissante.) Prenons \(i_0\) assez grand pour que \(I_{i, d} = I_{i_0, d}\) pour tous \(i \geq i_0\) et tout \(d\). Supposons que \(f \in J_i\) pour un certain \(i \geq i_0\). Par récurrence sur le degré \(d = \deg(f)\), montrons que \(f \in J_{i_0}\). En effet, il existe un \(g\in J_{i_0}\) de degré \(d\) ayant le même coefficient dominant que \(f\). Par récurrence, \(f - g \in J_{i_0}\), et le résultat s’ensuit.

Lemme

Si \(R\) est un anneau noethérien, alors l’anneau de séries formelles \(R[[x_1, \ldots, x_n]]\) l’est également.

Démonstration

Puisque \(R[[x_1, \ldots, x_{n + 1}]] \cong R[[x_1, \ldots, x_n]][[x_{n + 1}]]\), il suffit de montrer que \(R[[x]]\) est noethérien lorsque \(R\) l’est. Soit \(I \subset R[[x]]\) un idéal. Nous devons montrer que \(I\) est un idéal de type fini. Pour tout entier \(d\), notons \(I_d = \{a \in R \mid ax^d + \text{termes d'ordre supérieur} \in I\}\). Alors nous voyons que \(I_0 \subset I_1 \subset \ldots\) se stabilise, puisque \(R\) est noethérien. Choisissons \(d_0\) tel que \(I_{d_0} = I_{d_0 + 1} = \ldots\). Pour tout \(d \leq d_0\), choisissons des éléments \(f_{d, j} \in I \cap (x^d)\), \(j = 1, \ldots, n_d\), tels que, si nous écrivons \(f_{d, j} = a_{d, j}x^d + \text{termes d'ordre supérieur}\), alors \(I_d = (a_{d, j})\). Notons \(I' = (\{f_{d, j}\}_{d = 0, \ldots, d_0, j = 1, \ldots, n_d})\). Il est alors clair que \(I' \subset I\). Choisissons \(f \in I\). Nous pouvons d’abord choisir des \(c_{d, i} \in R\) tels que \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} \in (x^{d_0 + 1}) \cap I.\] Ensuite, nous pouvons choisir \(c_{i, 1} \in R\), \(i = 1, \ldots, n_{d_0}\), tels que \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 2}) \cap I.\] Ensuite, nous pouvons choisir \(c_{i, 2} \in R\), \(i = 1, \ldots, n_{d_0}\), tels que \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} - \sum c_{i, 2}x^2f_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 3}) \cap I.\] Et ainsi de suite. Finalement, nous voyons que \[f = \sum c_{d, i} f_{d, i} + \sum\nolimits_i (\sum\nolimits_e c_{i, e} x^e)f_{d_0, i}\] appartient à \(I'\), comme voulu.

Le lemme suivant, quoique facile, est utile, car les \(\mathbf{Z}\)-algèbres de type fini apparaissent assez souvent dans une technique appelée « réduction noethérienne absolue ».

Lemme

Toute algèbre de type fini sur un corps est noethérienne. Toute algèbre de type fini sur \(\mathbf{Z}\) est noethérienne.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 00FN et du fait que les corps sont des anneaux noethériens et que \(\mathbf{Z}\) est un anneau noethérien (car c’est un anneau principal).

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien.

1. Tout \(R\)-module de type fini est de présentation finie.

2. Tout sous-module d’un \(R\)-module de type fini est de type fini.

3. Toute \(R\)-algèbre de type fini est de présentation finie sur \(R\).

Démonstration

Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. D’après le lemme 00KZ, nous pouvons trouver une filtration finie de \(M\) dont les quotients successifs sont de la forme \(R/I\). Puisque tout idéal est de type fini, chacun des quotients \(R/I\) est de présentation finie. Ainsi, \(M\) est de présentation finie d’après le lemme 0519. Cela démontre (1).

Soit \(N \subset M\) un sous-module. Puisque \(M\) est de type fini, le quotient \(M/N\) est de type fini. Ainsi, \(M/N\) est de présentation finie d’après la partie (1). Nous voyons donc que \(N\) est de type fini d’après le lemme 0519, partie (5). Cela démontre la partie (2).

Pour voir (3), notons que tout idéal de \(R[x_1, \ldots, x_n]\) est de type fini d’après le lemme 00FN.

Lemme

Si \(R\) est un anneau noethérien, alors \(\Spec(R)\) est un espace topologique noethérien, voir Topologie, définition 0051.

Démonstration

Cela vient du fait que tout fermé de \(\Spec(R)\) s’écrit de manière unique sous la forme \(V(I)\), où \(I\) est un idéal radical, voir le lemme 00E0. Et cette correspondance renverse les inclusions. Le résultat découle donc des définitions.

Lemme

Si \(R\) est un anneau noethérien, alors \(\Spec(R)\) possède un nombre fini de composantes irréductibles. Autrement dit, \(R\) possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux.

Démonstration

D’après le lemme 00FQ et Topologie, lemme 0052, nous voyons qu’il n’y a qu’un nombre fini de composantes irréductibles. D’après le lemme 00ES, celles-ci correspondent aux idéaux premiers minimaux de \(R\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un morphisme d’anneaux. Supposons que \(R \to R'\) soit de type fini. Si \(S\) est noethérien, alors le changement de base \(S' = R' \otimes_R S\) est noethérien.

Démonstration

D’après le lemme 05G5, le caractère de type fini est stable par changement de base. Ainsi, \(S \to S'\) est de type fini. Puisque \(S\) est noethérien, nous pouvons appliquer le lemme 00FN.

Lemme

Soit \(k\) un corps et soit \(R\) une \(k\)-algèbre noethérienne. Si \(K/k\) est une extension de corps de type fini, alors \(K \otimes_k R\) est noethérien.

Démonstration

Puisque \(K/k\) est une extension de corps de type fini, il existe une \(k\)-algèbre de type fini \(B \subset K\) telle que \(K\) soit le corps des fractions de \(B\). Autrement dit, \(K = S^{-1}B\), où \(S = B \setminus \{0\}\). Alors \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\). Puis, \(B \otimes_k R\) est noethérien d’après le lemme 0CY6. Enfin, \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\) est noethérien d’après le lemme 00FN.

Voici quelques lemmes amusants qui sont parfois utiles.

Lemme

Soient \(R\) un anneau et \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Il existe un \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que \(R_f \to R_\mathfrak p\) soit injectif dans chacun des cas suivants :

1. \(R\) est un anneau intègre,

2. \(R\) est noethérien, ou

3. \(R\) est réduit et possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux.

Démonstration

Si \(R\) est un anneau intègre, alors \(R \subset R_\mathfrak p\), et donc \(f = 1\) convient. Si \(R\) est noethérien, alors le noyau \(I\) de \(R \to R_\mathfrak p\) est un idéal de type fini, et nous pouvons trouver \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que \(IR_f = 0\). Pour ce \(f\), le morphisme \(R_f \to R_\mathfrak p\) est injectif, et \(f\) convient. Si \(R\) est réduit et possède un nombre fini d’idéaux premiers minimaux \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\), alors nous pouvons choisir \(f \in \bigcap_{\mathfrak p_i \not \subset \mathfrak p} \mathfrak p_i\), \(f \not \in \mathfrak p\). En effet, si \(\mathfrak{p}_i\not\subset \mathfrak{p}\), alors il existe \(f_i \in \mathfrak{p}_i\), \(f_i \not\in \mathfrak{p}\), et \(f = \prod f_i\) convient. Pour ce \(f\), nous avons \(R_f \subset R_\mathfrak p\), car les idéaux premiers minimaux de \(R_f\) correspondent aux idéaux premiers minimaux de \(R_\mathfrak p\) et nous pouvons appliquer le lemme 00EW (certains détails sont omis).

Lemme

Tout endomorphisme surjectif d’un anneau noethérien est un isomorphisme.

Démonstration

Si \(f : R \to R\) était un tel endomorphisme sans être injectif, alors \[\Ker(f) \subset \Ker(f \circ f) \subset \Ker(f \circ f \circ f) \subset \ldots\] serait une chaîne strictement croissante d’idéaux.

Idéaux localement nilpotents

Voici la définition.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal. Nous disons que \(I\) est localement nilpotent si, pour tout \(x \in I\), il existe un \(n \in \mathbf{N}\) tel que \(x^n = 0\). Nous disons que \(I\) est nilpotent s’il existe un \(n \in \mathbf{N}\) tel que \(I^n = 0\).

Exemple

Soit \(R = k[x_n | n \in \mathbf{N}]\) l’anneau de polynômes en une infinité de variables sur un corps \(k\). Soit \(I\) l’idéal engendré par les éléments \(x_n^n\) pour \(n \in \mathbf{N}\), et soit \(S = R/I\). Alors l’idéal \(J \subset S\) engendré par les images des \(x_n\), \(n \in \mathbf{N}\), est localement nilpotent, mais n’est pas nilpotent. En effet, puisque les combinaisons \(S\)-linéaires d’éléments nilpotents sont nilpotentes, pour prouver que \(J\) est localement nilpotent, il suffit d’observer que tous ses générateurs sont nilpotents (ce qu’ils sont manifestement). D’autre part, pour tout \(n \in \mathbf{N}\), nous avons \(x_{n + 1}^n \not \in I\), de sorte que \(J^n \not = 0\). Il s’ensuit que \(J\) n’est pas nilpotent.

Lemme

Soit \(R \to R'\) un morphisme d’anneaux et soit \(I \subset R\) un idéal localement nilpotent. Alors \(IR'\) est un idéal localement nilpotent de \(R'\).

Démonstration

Cela résulte du fait que, si \(x, y \in R'\) sont nilpotents, alors \(x + y\) l’est aussi. En effet, si \(x^n = 0\) et \(y^m = 0\), alors \((x + y)^{n + m - 1} = 0\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soit \(I \subset R\) un idéal localement nilpotent. Un élément \(x\) de \(R\) est une unité si et seulement si l’image de \(x\) dans \(R/I\) est une unité.

Démonstration

Si \(x\) est une unité de \(R\), alors son image est clairement une unité de \(R/I\). Il reste à démontrer la réciproque. Supposons que l’image de \(y \in R\) dans \(R/I\) soit l’inverse de l’image de \(x\). Alors \(xy = 1 - z\) pour un certain \(z \in I\). Cela signifie que \(1\equiv z\) modulo \(xR\). Puisque \(z\) appartient à l’idéal localement nilpotent \(I\), nous avons \(z^N = 0\) pour un certain \(N\) assez grand. Il s’ensuit que \(1 = 1^N \equiv z^N = 0\) modulo \(xR\). Autrement dit, \(x\) divise \(1\) et est donc une unité.

Lemme

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soient \(I, J\) des idéaux de \(R\). Supposons que \(J \subset \sqrt{I}\). Alors \(J^n \subset I\) pour un certain \(n\). En particulier, dans un anneau noethérien, les notions d’ « idéal localement nilpotent » et d’« idéal nilpotent » coïncident.

Démonstration

Écrivons \(J = (f_1, \ldots, f_s)\). Par hypothèse, \(f_i^{d_i} \in I\). Prenons \(n = d_1 + d_2 + \ldots + d_s + 1\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal localement nilpotent. Alors \(R \to R/I\) induit une bijection sur les idempotents.

Démonstration

Puisque \(I\) est localement nilpotent, il est contenu dans tout idéal premier. Ainsi, \(\Spec(R/I) = V(I) = \Spec(R)\). Le lemme résulte donc du lemme 00EE.

Démonstration

Supposons que \(\overline{e} \in R/I\) soit un idempotent. Nous devons relever \(\overline{e}\) en un idempotent de \(R\).

Choisissons d’abord un relèvement quelconque \(f \in R\) de \(\overline{e}\) et posons \(x = f^2 - f\). Alors \(x \in I\), donc \(x\) est nilpotent (puisque \(I\) est localement nilpotent). Soit maintenant \(J\) l’idéal de \(R\) engendré par \(x\). Alors \(J\) est nilpotent (et pas seulement localement nilpotent), puisqu’il est engendré par l’élément nilpotent \(x\).

Supposons maintenant que nous ayons trouvé un relèvement \(e \in R\) de \(\overline{e}\) tel que \(e^2 - e \in J^k\) pour un certain \(k \geq 1\). Soit \(e' = e - (2e - 1)(e^2 - e) = 3e^2 - 2e^3\), qui est un autre relèvement de \(\overline{e}\) (car l’idempotence de \(\overline{e}\) donne \(e^2 - e \in I\)). Alors \[(e')^2 - e' = (4e^2 - 4e - 3)(e^2 - e)^2 \in J^{2k}\] par un calcul direct.

Nous sommes donc partis d’un relèvement \(e\) de \(\overline{e}\) tel que \(e^2 - e \in J^k\), et nous avons obtenu un relèvement \(e'\) de \(\overline{e}\) tel que \((e')^2 - e' \in J^{2k}\). Nous pouvons ainsi améliorer successivement l’approximation (en commençant par \(e = f\), qui convient pour \(k = 1\)). Nous finissons par atteindre un stade où \(J^k = 0\), et à ce stade nous disposons d’un relèvement \(e\) de \(\overline{e}\) tel que \(e^2 - e \in J^k = 0\), c’est-à-dire que cet \(e\) est idempotent.

Nous avons ainsi vu que, si \(\overline{e} \in R/I\) est un idempotent quelconque, il existe un relèvement de \(\overline{e}\) qui est un idempotent de \(R\). Il reste à montrer que ce relèvement est unique. En effet, soient \(e_1\) et \(e_2\) deux tels relèvements. Nous devons montrer que \(e_1 = e_2\).

Par définition de \(e_1\) et de \(e_2\), nous avons \(e_1 \equiv e_2 \mod I\), et \(e_1\) et \(e_2\) sont tous deux idempotents. De \(e_1 \equiv e_2 \mod I\), nous déduisons que \(e_1 - e_2 \in I\), de sorte que \(e_1 - e_2\) est nilpotent (puisque \(I\) est localement nilpotent). Un calcul direct (utilisant l’idempotence de \(e_1\) et de \(e_2\)) montre que \((e_1 - e_2)^3 = e_1 - e_2\). En utilisant cela et une récurrence, nous obtenons \((e_1 - e_2)^k = e_1 - e_2\) pour tout entier impair positif \(k\). Comme tout \(k\) assez grand vérifie \((e_1 - e_2)^k = 0\) (puisque \(e_1 - e_2\) est nilpotent), cela montre que \(e_1 - e_2 = 0\), et donc que \(e_1 = e_2\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A\) une algèbre éventuellement non commutative. Soit \(e \in A\) un élément tel que \(x = e^2 - e\) soit nilpotent. Il existe alors un idempotent de la forme \(e' = e + x(\sum a_{i, j}e^ix^j) \in A\), avec \(a_{i, j} \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Considérons l’anneau \(R_n = \mathbf{Z}[e]/((e^2 - e)^n)\). Il est clair que, si nous pouvons démontrer le résultat pour chaque \(R_n\), le lemme en résulte. Dans \(R_n\), considérons l’idéal \(I = (e^2 - e)\) et appliquons le lemme 00J9.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) un idéal localement nilpotent. Soit \(n \geq 1\) un entier inversible dans \(R/I\). Alors

1. l’application d’élévation à la puissance \(n\)-ième \(1 + I \to 1 + I\), \(1 + x \mapsto (1 + x)^n\) est une bijection,

2. une unité de \(R\) est une puissance \(n\)-ième si et seulement si son image dans \(R/I\) est une puissance \(n\)-ième.

Démonstration

Soit \(a \in R\) une unité dont l’image dans \(R/I\) est égale à l’image de \(b^n\), avec \(b \in R\). Alors \(b\) est une unité (lemme 0AMG) et \(ab^{-n} = 1 + x\) pour un certain \(x \in I\). Ainsi, \(ab^{-n} = c^n\) d’après la partie (1). La partie (2) résulte donc de la partie (1).

Démontrons (1). Cela est vrai parce que l’application \(1 + x \mapsto (1 + x)^n\) possède une inverse. Nous pouvons en effet considérer l’application qui envoie \(1 + x\) sur \[\begin{align*} (1 + x)^{1/n} & = 1 + {1/n \choose 1}x + {1/n \choose 2}x^2 + {1/n \choose 3}x^3 + \ldots \\ & = 1 + \frac{1}{n} x + \frac{1 - n}{2n^2}x^2 + \frac{(1 - n)(1 - 2n)}{6n^3}x^3 + \ldots \end{align*}\] comme en calcul élémentaire. Cette expression a un sens, car la série est finie, puisque \(x^k = 0\) pour tout \(k \gg 0\), et que chaque coefficient \({1/n \choose k} \in \mathbf{Z}[1/n]\) (détails omis ; observons que \(n\) est inversible dans \(R\) d’après le lemme 0AMG).

Curiosité

Le lemme 00EM explique ce qui se passe lorsque \(V(I)\) est ouvert pour un certain idéal \(I \subset R\). Mais qu’en est-il si \(\Spec(S^{-1}R)\) est fermé dans \(\Spec(R)\) ? Les deux lemmes suivants donnent une réponse partielle. Pour plus d’informations, voir la section 04PQ.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Supposons que l’image du morphisme \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) soit fermée. Alors \(S^{-1}R \cong R/I\) pour un certain idéal \(I \subset R\).

Démonstration

Soit \(I = \Ker(R \to S^{-1}R)\), de sorte que \(V(I)\) contient l’image. Disons que l’image est le fermé \(V(I') \subset \Spec(R)\) pour un certain idéal \(I' \subset R\). Ainsi, \(V(I') \subset V(I)\). Pour \(f \in I'\), nous voyons que \(f/1 \in S^{-1}R\) appartient à tout idéal premier. Ainsi, \(f^n\) s’envoie sur zéro dans \(S^{-1}R\) pour un certain \(n \geq 1\) (lemme 00E0). Par conséquent, \(V(I') = V(I)\). Cela implique que tout \(g \in S\) est inversible modulo \(I\). Nous obtenons donc des morphismes d’anneaux \(R/I \to S^{-1}R\) et \(S^{-1}R \to R/I\). Le premier morphisme est injectif par le choix de \(I\). Le second est le morphisme \(S^{-1}R \to S^{-1}(R/I) = R/I\), qui a pour noyau \(S^{-1}I\), car la localisation est exacte. Puisque \(S^{-1}I = 0\), nous voyons que le second morphisme est lui aussi injectif. Ainsi, \(S^{-1}R \cong R/I\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \(S \subset R\) une partie multiplicative. Supposons que l’image du morphisme \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) soit fermée. Si \(R\) est noethérien, ou si \(\Spec(R)\) est un espace topologique noethérien, ou si \(S\) est de type fini comme monoïde, alors \(R \cong S^{-1}R \times R'\) pour un certain anneau \(R'\).

Démonstration

D’après le lemme 02JH, nous avons \(S^{-1}R \cong R/I\) pour un certain idéal \(I \subset R\). D’après le lemme 00EM, il suffit de montrer que \(V(I)\) est ouvert. Si \(R\) est noethérien, alors \(\Spec(R)\) est un espace topologique noethérien, voir le lemme 00FQ. Si \(\Spec(R)\) est un espace topologique noethérien, alors le complémentaire \(\Spec(R) \setminus V(I)\) est quasi-compact, voir Topologie, lemme 04ZA. Il existe donc un nombre fini d’éléments \(f_1, \ldots, f_n \in I\) tels que \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_n)\). Puisque chaque \(f_i\) s’envoie sur zéro dans \(S^{-1}R\), il existe un \(g \in S\) tel que \(gf_i = 0\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Ainsi, \(D(g) = V(I)\), comme voulu. Dans le cas où \(S\) est de type fini comme monoïde, disons que \(S\) est engendré par \(g_1, \ldots, g_m\), nous avons \(S^{-1}R \cong R_{g_1 \ldots g_m}\), et nous concluons que \(V(I) = D(g_1 \ldots g_m)\).

Nullstellensatz de Hilbert

Théorème

Soit \(k\) un corps.

1. Pour tout idéal maximal \(\mathfrak m \subset k[x_1, \ldots, x_n]\), l’extension de corps \(\kappa(\mathfrak m)/k\) est finie.

2. Tout idéal radical \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) est l’intersection des idéaux maximaux qui le contiennent.

Il en va de même dans toute \(k\)-algèbre de type fini.