可換代数

序論

本章では可換代数の基礎を説明する。参考文献として [MatCA] がある。

規約

環は単位元 \(1\) をもつ可換環とする。零環も環である。実際、零環は素イデアルを もたない唯一の環である。クロネッカー記号 \(\delta_{ij}\) を用いる。\(R \to S\) が 環準同型で、\(\mathfrak q\) が \(S\) の素イデアルであるとき、\(R\) が \(S\) の部分環で なく、また \(R \to S\) が単射でない場合でも、\(R \to S\) による \(\mathfrak q\) の 逆像である素イデアルを表すために「\(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)」という 記法を用いる。

基本概念

以下は可換代数の基本概念の一覧である。これらの概念の一部は後続の本文で より詳しく論じ、一部はこの一覧中で定義するが、残りは基礎事項とみなして 定義しない。斜体で示した概念の大半になじみがない場合には、先に代数学の 入門書を参照することを勧める。

1. \(R\) は環である、 [00AS]

2. \(x\in R\) は冪零である、 [00AT]

3. \(x\in R\) は零因子である、 [00AU]

4. \(x\in R\) は単元である、 [00AV]

5. \(e \in R\) は冪等元である、 [00AW]

6. 冪等元 \(e \in R\) が \(e = 1\) または \(e = 0\) を満たすとき、これを 自明という、 [00AX]

7. \(\varphi : R_1 \to R_2\) は環準同型である、 [00AY]

8. \(\varphi : R_1 \to R_2\) は有限表示である、または \(R_2\) は有限表示 \(R_1\)-代数である。定義 00F3 を参照せよ、

9. \(\varphi : R_1 \to R_2\) は有限型である、または \(R_2\) は有限型 \(R_1\)-代数である。定義 00F3 を参照せよ、

10. \(\varphi : R_1 \to R_2\) は有限である、または \(R_2\) は有限 \(R_1\)-代数である、

11. \(R\) は（整）域である、 [00B2]

12. \(R\) は被約である、 [00B3]

13. \(R\) はネーター的である、 [00B4]

14. \(R\) は単項イデアル整域、すなわちPIDである、 [00B5]

15. \(R\) はユークリッド整域である、 [00B6]

16. \(R\) は一意分解整域、すなわちUFDである、 [00B7]

17. \(R\) は離散付値環、すなわちdvrである、 [00B8]

18. \(K\) は体である、 [00B9]

19. \(L/K\) は体拡大である、 [00BA]

20. \(L/K\) は代数的体拡大である、 [00BB]

21. \(\{t_i\}_{i\in I}\) は \(K\) 上の \(L\) の超越基底である、 [00BC]

22. \(K\) 上の \(L\) の超越次数 \(\text{trdeg}(L/K)\)、 [00BD]

23. 体 \(k\) は代数閉である、 [00BE]

24. \(L/K\) が代数的で、\(\Omega/K\) が \(\Omega\) を代数閉とする拡大ならば、 \(K\) 上の写像を延長する環準同型 \(L \to \Omega\) が存在する、

25. \(I \subset R\) はイデアルである、 [00BG]

26. \(I \subset R\) は根基的である、 [00BH]

27. \(I\) がイデアルならば、その根基 \(\sqrt{I}\) がある、 [00BI]

28. \(I \subset R\) が冪零であるとは、ある \(n \in \mathbf{N}\) に対して \(I^n = 0\) であることをいう、

29. \(I \subset R\) が局所冪零であるとは、\(I\) のすべての元が冪零であることをいう、

30. \(\mathfrak p \subset R\) は素イデアルである、 [00BK]

31. \(\mathfrak p \subset R\) が素イデアルで、\(I, J \subset R\) がイデアルであり、 \(IJ\subset \mathfrak p\) ならば、\(I \subset \mathfrak p\) または \(J \subset \mathfrak p\) である、

32. \(\mathfrak m \subset R\) は極大イデアルである、 [00BM]

33. 任意の非零環は極大イデアルをもつ、 [00BN]

34. \(R\) のジャコブソン根基とは、\(R\) のすべての極大イデアルの共通部分 \(\text{rad}(R) = \bigcap_{\mathfrak m \subset R} \mathfrak m\) である、

35. 部分集合 \(T \subset R\) によって生成されるイデアル \((T)\)、 [00BP]

36. 商環 \(R/I\)、 [00BQ]

37. 環 \(R\) のイデアル \(I\) が素であるための必要十分条件は、\(R/I\) が整域で あることである、 [00BR]

38. 環 \(R\) のイデアル \(I\) が極大であるための必要十分条件は、環 \(R/I\) が体で あることである、

39. \(\varphi : R_1 \to R_2\) が環準同型で、\(I \subset R_2\) がイデアルならば、 \(\varphi^{-1}(I)\) は \(R_1\) のイデアルである、

40. \(\varphi : R_1 \to R_2\) が環準同型で、\(I \subset R_1\) がイデアルならば、 \(\varphi(I) \cdot R_2\)（\(I \cdot R_2\) または \(IR_2\) と記すこともある）は \(\varphi(I)\) によって生成される \(R_2\) のイデアルである、

41. \(\varphi : R_1 \to R_2\) が環準同型で、\(\mathfrak p \subset R_2\) が素イデアル ならば、\(\varphi^{-1}(\mathfrak p)\) は \(R_1\) の素イデアルである、

42. \(M\) は\(R\)-加群である、 [00BW]

43. \(m \in M\) に対し、\(m\) の \(R\) における零化イデアルは \(I = \{f \in R \mid fm = 0\}\) である、

44. \(N \subset M\) は\(R\)-部分加群である、 [00BX]

45. \(M\) はネーター的 \(R\)-加群である、 [00BY]

46. \(M\) は有限 \(R\)-加群である、 [00BZ]

47. \(M\) は有限生成 \(R\)-加群である、 [00C0]

48. \(M\) は有限表示 \(R\)-加群である、 [00C1]

49. \(M\) は自由 \(R\)-加群である、 [00C2]

50. \(0 \to K \to L \to M \to 0\) が \(R\)-加群の短完全列で、\(K\), \(M\) が自由ならば、 \(L\) も自由である、

51. \(N \subset M \subset L\) が \(R\)-加群ならば、\(L/M = (L/N)/(M/N)\) である、 [00C3]

52. \(S\) は\(R\) の乗法的集合である、 [00C4]

53. \(R\) の局所化 \(R \to S^{-1}R\)、 [00C5]

54. \(R\) が環で \(S\) が \(R\) の乗法的集合ならば、\(S^{-1}R\) が零環であるための 必要十分条件は \(S\) が \(0\) を含むことである、

55. \(R\) が環で、乗法的集合 \(S\) の元がすべて非零因子ならば、\(R \to S^{-1}R\) は単射である、

56. \(\varphi : R_1 \to R_2\) が環準同型で、\(S\) が \(R_1\) の乗法的集合ならば、 \(\varphi(S)\) は \(R_2\) の乗法的集合である、

57. \(S\), \(S'\) が \(R\) の乗法的集合であり、\(SS'\) が積の集合 \(SS' = \{r \in R \mid \exists s\in S, \exists s' \in S', r = ss'\}\) を表すならば、 \(SS'\) は \(R\) の乗法的集合である、

58. \(S\), \(S'\) が \(R\) の乗法的集合で、\(\overline{S}\) が \((S')^{-1}R\) における \(S\) の像を表すならば、\((SS')^{-1}R = \overline{S}^{-1}((S')^{-1}R)\) である、

59. \(R\)-加群 \(M\) の局所化 \(S^{-1}M\)、 [00CA]

60. 関手 \(M \mapsto S^{-1}M\) は単射、全射、および完全性を保つ、

61. \(S\), \(S'\) が \(R\) の乗法的集合で、\(M\) が \(R\)-加群ならば、 \((SS')^{-1}M = S^{-1}((S')^{-1}M)\) である、

62. \(R\) が環、\(I\) が \(R\) のイデアル、\(S\) が \(R\) の乗法的集合ならば、 \(S^{-1}I\) は \(S^{-1}R\) のイデアルであり、 \(S^{-1}R/S^{-1}I = \overline{S}^{-1}(R/I)\) が成り立つ。ここで \(\overline{S}\) は \(R/I\) における \(S\) の像である、

63. \(R\) が環で \(S\) が \(R\) の乗法的集合ならば、\(S^{-1}R\) の任意のイデアル \(I'\) は \(S^{-1}I\) の形である。ここで \(I\) として、\(R\) における \(I'\) の逆像を とることができる、

64. \(R\) が環、\(M\) が \(R\)-加群、\(S\) が \(R\) の乗法的集合ならば、\(S^{-1}M\) の 任意の部分加群 \(N'\) は、ある部分加群 \(N \subset M\) に対する \(S^{-1}N\) の形で ある。ここで \(N\) として、\(M\) における \(N'\) の逆像をとることができる、

65. \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\) ならば、\(R_f = S^{-1}R\) および \(M_f = S^{-1}M\) である、 [00CG]

66. ある素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(S = R \setminus \mathfrak p = \{x\in R \mid x\not\in \mathfrak p\}\) ならば、 \(R_{\mathfrak p} = S^{-1}R\) および \(M_{\mathfrak p} = S^{-1}M\) と記すのが慣例である、

67. 局所環とは極大イデアルをちょうど一つもつ環である、 [00CI]

68. 半局所環とは極大イデアルを有限個もつ環である、 [03C0]

69. \(\mathfrak p\) が \(R\) の素イデアルならば、\(R_{\mathfrak p}\) は極大イデアル \(\mathfrak p R_{\mathfrak p}\) をもつ局所環である、

70. 環 \(R\) の素イデアル \(\mathfrak p\) の剰余体 \(\kappa(\mathfrak p)\) とは、整域 \(R/\mathfrak p\) の分数体である。これは \(R_\mathfrak p/\mathfrak pR_\mathfrak p = (R \setminus \mathfrak p)^{-1}R/\mathfrak p\) に等しい、

71. \(R\) と \(M_1\), \(M_2\) が与えられたときのテンソル積 \(M_1 \otimes_R M_2\)、 [00CL]

72. 環 \(R\) 上のそれぞれ \(m \times n\) および \(n \times m\) 行列 \(A\), \(B\) に対し、 \(R\) において \(\det(AB) = \sum \det(A_S)\det({}_SB)\) が成り立つ。ここで和は 大きさ \(m\) の部分集合 \(S \subset \{1, \ldots, n\}\) 全体を走り、\(A_S\) は \(S\) に対応する列からなる \(A\) の \(m \times m\) 部分行列、\({}_SB\) は \(S\) に 対応する行からなる \(B\) の \(m \times m\) 部分行列である、

73. など。

蛇の補題

蛇の補題とその変種は、アーベル圏の設定において Homology, Section 00ZX で論じる。

補題

行が完全であるアーベル群の可換図式 \[\xymatrix{ & X \ar[r] \ar[d]^\alpha & Y \ar[r] \ar[d]^\beta & Z \ar[r] \ar[d]^\gamma & 0 \\ 0 \ar[r] & U \ar[r] & V \ar[r] & W }\] が与えられたとき、標準的な完全列 \[\Ker(\alpha) \to \Ker(\beta) \to \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha) \to \Coker(\beta) \to \Coker(\gamma)\] が存在する。さらに、\(X \to Y\) が単射ならば最初の写像は単射であり、 \(V \to W\) が全射ならば最後の写像は全射である。

証明

写像 \(\partial : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\) を次のように定める。 \(z \in \Ker(\gamma)\) をとり、\(z\) に写る \(y \in Y\) を選ぶ。このとき \(\beta(y) \in V\) は \(W\) の零元に写る。したがって \(\beta(y)\) はある \(u \in U\) の像である。\(\partial z = \overline{u}\)、すなわち \(\alpha\) の余核に おける \(u\) の類と定める。完全性の証明は省略する。

有限加群と有限表示加群

ここでは基本的な記法と補題をいくつか述べる。

定義

\(R\) を環とし、\(M\) を \(R\)-加群とする。

1. ある \(n \in \mathbf{N}\) と \(x_1, \ldots, x_n \in M\) が存在し、\(M\) の すべての元が \(x_i\) の \(R\)-線形結合であるとき、\(M\) を有限 \(R\)-加群 または有限生成 \(R\)-加群という。同値な言い換えとして、ある \(n \in \mathbf{N}\) に対して全射 \(R^{\oplus n} \to M\) が存在する。

2. ある整数 \(n, m \in \mathbf{N}\) と完全列 \[R^{\oplus m} \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0\] が存在するとき、\(M\) を有限表示 \(R\)-加群または有限表示の \(R\)-加群という。

非形式的にいえば、\(M\) が有限表示 \(R\)-加群であるための必要十分条件は、 それが有限生成であり、これらの生成元の間の関係式の加群も有限生成である ことである。定義に現れる完全列の選択を \(M\) の表示という。

補題

\(R\) を環とする。\(\alpha : R^{\oplus n} \to M\) と \(\beta : N \to M\) を 加群準同型とする。\(\Im(\alpha) \subset \Im(\beta)\) ならば、 \(\alpha = \beta \circ \gamma\) を満たす \(R\)-加群準同型 \(\gamma : R^{\oplus n} \to N\) が存在する。

証明

\(e_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\) を \(R^{\oplus n}\) の第 \(i\) 基底ベクトル とする。仮定により、\(\alpha(e_i) = \beta(x_i)\) を満たす元 \(x_i \in N\) が存在する。 \(\gamma(a_1, \ldots, a_n) = \sum a_i x_i\) と定める。構成から \(\alpha = \beta \circ \gamma\) である。

補題

\(R\) を環とし、 \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\] を \(R\)-加群の短完全列とする。

1. \(M_1\) と \(M_3\) が有限 \(R\)-加群ならば、\(M_2\) は有限 \(R\)-加群である。

2. \(M_1\) と \(M_3\) が有限表示 \(R\)-加群ならば、\(M_2\) は有限表示 \(R\)-加群である。

3. \(M_2\) が有限 \(R\)-加群ならば、\(M_3\) は有限 \(R\)-加群である。

4. \(M_2\) が有限表示 \(R\)-加群で、\(M_1\) が有限 \(R\)-加群ならば、\(M_3\) は 有限表示 \(R\)-加群である。

5. \(M_3\) が有限表示 \(R\)-加群で、\(M_2\) が有限 \(R\)-加群ならば、\(M_1\) は 有限 \(R\)-加群である。

証明

(1) を証明する。\(x_1, \ldots, x_n\) を \(M_1\) の生成元とし、 \(y_1, \ldots, y_m \in M_2\) を、その \(M_3\) における像が \(M_3\) を生成する元とする。 このとき \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m\) は \(M_2\) を生成する。

(3) は定義から直ちに従う。

(5) を証明する。\(M_3\) は有限表示、\(M_2\) は有限であると仮定し、表示 \[R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\] を選ぶ。補題 07JX により、実線からなる図式 \[\xymatrix{ & R^{\oplus m} \ar[r] \ar@{..>}[d] & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d] & M_3 \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] が可換となるような写像 \(R^{\oplus n} \to M_2\) が存在する。これにより点線の 矢印が得られる。蛇の補題（補題 07JW）から同型 \[\Coker(R^{\oplus m} \to M_1) \cong \Coker(R^{\oplus n} \to M_2)\] を得る。特に \(\Coker(R^{\oplus m} \to M_1)\) は有限 \(R\)-加群である。 \(\Im(R^{\oplus m} \to M_1)\) は (3) により有限なので、(1) から \(M_1\) は有限である。

(4) を証明する。\(M_2\) は有限表示、\(M_1\) は有限であると仮定する。表示 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_2 \to 0\) を選び、全射 \(R^{\oplus k} \to M_1\) を選ぶ。補題 07JX により、合成 \(R^{\oplus k} \to M_1 \to M_2\) は \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus n} \to M_2\) と分解する。このとき \(R^{\oplus k + m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\) は表示である。

(2) を証明する。\(M_1\) と \(M_3\) が有限表示であると仮定する。(1) の証明の 議論により、全射な垂直矢印をもつ可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R^{\oplus n} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus n + m} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus m} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] が得られる。蛇の補題により短完全列 \[0 \to \Ker(R^{\oplus n} \to M_1) \to \Ker(R^{\oplus n + m} \to M_2) \to \Ker(R^{\oplus m} \to M_3) \to 0\] を得る。(5) により両端の加群は有限である。したがって中央の加群も有限である。 (4) により \(M_2\) は有限表示である。

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。有限 \(R\)-部分加群による フィルトレーション \[0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M\] であって、各商 \(M_i/M_{i - 1}\) が \(R\) のあるイデアル \(I_i\) に対する \(R/I_i\) と同型になるものが存在する。

証明

\(M\) の生成元の個数に関する帰納法を用いる。\(x_1, \ldots, x_r \in M\) を 生成元とする。\(M' = Rx_1 \subset M\) とおけば、\(M/M'\) は \(r - 1\) 個の生成元を もち、帰納法の仮定を適用できる。また明らかに \(I_1 = \{f \in R \mid fx_1 = 0\}\) とおけば \(M' \cong R/I_1\) である。

補題

\(R \to S\) を環準同型とし、\(M\) を \(S\)-加群とする。\(M\) が \(R\)-加群として 有限ならば、\(M\) は \(S\)-加群として有限である。

証明

実際、\(M\) の任意の \(R\)-生成系は \(M\) の \(S\)-生成系でもある。これは \(R\)-加群構造が \(S\) における \(R\) の像から誘導されるためである。

有限型および有限表示の環準同型

定義

\(R \to S\) を環準同型とする。

1. ある \(n \in \mathbf{N}\) と \(R\)-代数の全射 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\) が存在するとき、\(R \to S\) は有限型である、 または\(S\) は有限型 \(R\)-代数であるという。

2. ある整数 \(n, m \in \mathbf{N}\) と多項式 \(f_1, \ldots,\allowbreak f_m \in R[x_1, \ldots,\allowbreak x_n]\)、および \(R\)-代数の同型 \(R[x_1, \ldots,\allowbreak x_n]/(f_1, \ldots,\allowbreak f_m)\allowbreak \cong S\) が存在するとき、 \(R \to S\) は有限表示であるという。

非形式的にいえば、\(R \to S\) が有限表示であるための必要十分条件は、\(S\) が 有限生成 \(R\)-代数であり、生成元の間の関係式のイデアルも有限生成である ことである。定義に現れる全射 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\) の選択を \(S\) の表示ということがある。

補題

有限型および有限表示という概念は、次の安定性をもつ。

1. 有限型の環準同型の合成は有限型である。

2. 有限表示の環準同型の合成は有限表示である。

3. \(R \to S' \to S\) が与えられ、\(R \to S\) が有限型ならば、 \(S' \to S\) は有限型である。

4. \(R \to S' \to S\) が与えられ、\(R \to S\) が有限表示で、 \(R \to S'\) が有限型ならば、\(S' \to S\) は有限表示である。

証明

最後の主張だけを証明する。 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) および \(S' = R[y_1, \ldots, y_a]/I\) と書く。\(y_i\) の類 \(\bar y_i\) が \(S\) において \(h_i \bmod (f_1, \ldots, f_m)\) に写るとする。このとき明らかに \(S = S'[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m, h_1 - \bar y_1, \ldots, h_a - \bar y_a)\) である。

補題

\(R \to S\) を有限表示の環準同型とする。任意の全射 \(\alpha : R[x_1, \ldots, x_n] \to S\) に対し、\(\alpha\) の核は \(R[x_1, \ldots, x_n]\) の有限生成イデアルである。

証明

\(S = R[y_1, \ldots, y_m]/(f_1, \ldots, f_k)\) と書く。 \(\alpha(x_i)\) の持ち上げとなる \(g_i \in R[y_1, \ldots, y_m]\) を選ぶ。このとき \(S = R[x_i, y_j]/(f_l, x_i - g_i)\) である。\(\alpha(h_j)\) が \(y_j \bmod (f_1, \ldots, f_k)\) に対応するような \(h_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\) を選ぶ。写像 \(\psi : R[x_i, y_j] \to R[x_i]\) を \(x_i \mapsto x_i\), \(y_j \mapsto h_j\) で 定める。このとき \(\alpha\) の核は \(\psi\) による \((f_l, x_i - g_i)\) の像であり、 主張が従う。

補題

\(R \to S\) を環準同型とし、\(M\) を \(S\)-加群とする。\(R \to S\) が有限型で、 \(M\) が \(R\)-加群として有限表示ならば、\(M\) は \(S\)-加群として有限表示である。

証明

補題 00F4 の (4) の証明と同様である。 \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\) と仮定してよい。\(M\) を \(R\)-加群として生成する \(y_1, \ldots, y_m \in M\) を選び、\(R^{\oplus m} \to M\) の核を生成する関係式 \(\sum a_{ij} y_j = 0\), \(i = 1, \ldots, t\) を選ぶ。任意の \(i = 1, \ldots, n\) と \(j = 1, \ldots, m\) に対して \[x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\] と書く。ただし \(a_{ijk} \in R\) である。\(y_1, \ldots, y_m\) によって生成され、 関係式 \(\sum a_{ij} y_j = 0\), \(i = 1, \ldots, t\) および \(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\), \(i = 1, \ldots, n\), \(j = 1, \ldots, m\) を課した \(S\)-加群を \(N\) とする。このとき \(N\) は表示 \[S^{\oplus nm + t} \longrightarrow S^{\oplus m} \longrightarrow N \longrightarrow 0\] をもつ。構成により全射 \(\varphi : N \to M\) が存在する。証明を終えるには \(\varphi\) が単射であることを示せばよい。ある \(b_j \in S\) に対し \(z = \sum b_j y_j \in N\) とする。\(b_j\) を \(R\) 係数の \(x_1, \ldots, x_n\) の多項式とみなしてよい。\(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\) の 形の関係式を適用すれば、多項式の次数を帰納的に下げられる。したがって ある \(c_j \in R\) に対して \(z = \sum c_j y_j\) と書ける。よって \(\varphi(z) = 0\) ならば、ベクトル \((c_1, \ldots, c_m)\) はベクトル \((a_{i1}, \ldots, a_{im})\) の \(R\)-線形結合である。したがって所望のとおり \(z = 0\) である。

有限環準同型

まず定義を述べる。

定義

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とする。\(S\) が \(R\)-加群として有限であるとき、 \(\varphi : R \to S\) は有限であるという。

補題

\(R \to S\) を有限環準同型とし、\(M\) を \(S\)-加群とする。\(M\) が \(R\)-加群として 有限であるための必要十分条件は、\(M\) が \(S\)-加群として有限であることである。

証明

一方の含意は補題 0560 から従う。逆を示すため、\(M\) が \(S\)-加群として有限であると仮定する。\(R\)-加群として \(S\) を生成する \(x_1, \ldots, x_n \in S\) を選び、\(S\)-加群として \(M\) を生成する \(y_1, \ldots, y_m \in M\) を選ぶ。このとき \(x_i y_j\) は \(R\)-加群として \(M\) を生成する。

補題

\(R \to S\) と \(S \to T\) が有限環準同型ならば、\(R \to T\) は有限である。

証明

\(t_i\) が \(S\)-加群として \(T\) を生成し、\(s_j\) が \(R\)-加群として \(S\) を 生成するならば、\(t_i s_j\) は \(R\)-加群として \(T\) を生成する。 （補題 00GJ からも従う。）

補題

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とする。

1. \(\varphi\) が有限ならば、\(\varphi\) は有限型である。

2. \(S\) が \(R\)-加群として有限表示ならば、\(\varphi\) は有限表示である。

証明

(1) について、\(x_1, \ldots, x_n \in S\) が \(R\)-加群として \(S\) を生成するならば、 \(x_1, \ldots, x_n\) は \(R\)-代数として \(S\) を生成する。(2) について、\(x_i\) を \(S\) の \(R\)-加群生成元とみたとき、その関係式の生成系を \(\sum r_j^ix_i = 0\), \(j = 1, \ldots, m\) とする。さらに、ある \(r_i \in R\) に 対して \(1 = \sum r_ix_i\) と書き、ある \(r_{ij}^k \in R\) に対して \(x_ix_j = \sum r_{ij}^k x_k\) と書く。このとき \(R\)-代数として \[S = R[t_1, \ldots, t_n]/ (\sum r_j^it_i,\ 1 - \sum r_it_i,\ t_it_j - \sum r_{ij}^k t_k)\] であり、(2) が従う。

有限環準同型の詳細については、Section 00GH を参照せよ。

余極限

本節の内容の一部は、Categories, Sections 002D – 002Z における余極限の一般論と重複する。 前順序集合の概念は Categories, Definition 00D3 で定義する。これは半順序集合より わずかに弱い概念である。

定義

\((I, \leq)\) を前順序集合とする。\(I\) 上の \(R\)-加群の系 \((M_i, \mu_{ij})\)とは、\(I\) で添字づけられた \(R\)-加群の族 \(\{M_i\}_{i\in I}\) と、比較可能な各添字対に対する \(R\)-加群準同型の族 \(\{\mu_{ij} : M_i \to M_j\}_{i \leq j}\) であって、すべての \(i \leq j \leq k\) に対して \[\mu_{ii} = \text{id}_{M_i}\quad \mu_{ik} = \mu_{jk}\circ \mu_{ij}\] を満たすものをいう。\(I\) が有向集合であるとき、\((M_i, \mu_{ij})\) を 有向系という。

これは Categories, Definition 0030 および Section 002Z で定義した概念と同じである。 任意の圏における図式または系の余極限の定義については、Categories, Definition 002F を参照せよ。

補題

\((M_i, \mu_{ij})\) を前順序集合 \(I\) 上の \(R\)-加群の系とする。この系 \((M_i, \mu_{ij})\) の余極限は 商 \(R\)-加群 \((\bigoplus_{i\in I} M_i) /Q\) である。ここで \(Q\) は、すべての元 \[\iota_i(x_i) - \iota_j(\mu_{ij}(x_i))\] によって生成される \(R\)-部分加群であり、 \(\iota_i : M_i \to \bigoplus_{i\in I} M_i\) は自然な包含である。余極限を \(M = \colim_i M_i\) と記す。射影を \(\pi : \bigoplus_{i\in I} M_i \to M\) と記し、 \(\phi_i = \pi \circ \iota_i : M_i \to M\) とおく。

証明

この補題は Categories, Lemma 002P の特別な場合であるが、 ここでは直接証明も与える。まず上の構成において \(\phi_i = \phi_j\circ \mu_{ij}\) である。対 \((M, \phi_i)\) が余極限であることを 示すには、普遍性を満たすことを示せばよい。すなわち、同じ性質をもつ任意の対 \((Y, \psi_i)\)、ただし \(\psi_i : M_i \to Y\) かつ \(\psi_i = \psi_j\circ \mu_{ij}\)、に対して、次の図式を可換にする一意な \(R\)-加群準同型 \(g : M \to Y\) が存在することを示せばよい。 \[\xymatrix{ M_i \ar[rr]^{\mu_{ij}} \ar[dr]^{\phi_i} \ar[ddr]_{\psi_i} & & M_j\ar[dl]_{\phi_j} \ar[ddl]^{\psi_j} \\ & M \ar[d]^{g}\\ & Y }\] これは、直和 \(\bigoplus M_i\) の直和因子 \(M_i\) 上で \(\psi_i\) とすることにより \(g\) を定義できるので明らかである。

補題

\((M_i, \mu_{ij})\) を前順序集合 \(I\) 上の \(R\)-加群の系とし、\(I\) は有向であると 仮定する。この系 \((M_i, \mu_{ij})\) の余極限は、次のように定義される加群 \(M\) と 標準的に同型である。

1. 集合として \[M = \left(\coprod\nolimits_{i \in I} M_i\right)/\sim\] とする。ここで \(m \in M_i\) および \(m' \in M_{i'}\) に対し、 \[m \sim m' \Leftrightarrow \mu_{ij}(m) = \mu_{i'j}(m')\text{ for some }j \geq i, i'\] と定める。

2. アーベル群として、\(m \in M_i\) および \(m' \in M_{i'}\) に対し、\(M\) に おける \(m\) と \(m'\) の類の和を \(\mu_{ij}(m) + \mu_{i'j}(m')\) の類と定める。 ここで \(j \in I\) は \(i \leq j\) および \(i' \leq j\) を満たす任意の添字である。

3. \(R\)-加群として、\(m \in M_i\) および \(x \in R\) に対し、\(x\) と \(M\) に おける \(m\) の類との積を \(M\) における \(xm\) の類と定める。

標準写像 \(\phi_i : M_i \to M\) は標準写像 \(M_i \to \coprod_{i \in I} M_i\) から誘導される。

証明

省略する。Categories, Section 04AX と比較せよ。

補題

\((M_i, \mu_{ij})\) を有向系とする。\(M = \colim M_i\) とし、 \(\mu_i : M_i \to M\) とする。このとき \(x_i \in M_i\) に対して \(\mu_i(x_i) = 0\) であるための必要十分条件は、\(\mu_{ij}(x_i) = 0\) を満たす \(j \geq i\) が存在することである。

証明

補題 00D6 における有向余極限の記述から明らかである。

例

\(a < b\) および \(a < c\) のほかに真の不等式をもたない半順序集合 \(I = \{a, b, c\}\) を考える。\(I\) 上の系 \((M_a, M_b, M_c, \mu_{ab}, \mu_{ac})\) は、三つの \(R\)-加群 \(M_a, M_b, M_c\) と、 二つの \(R\)-加群準同型 \(\mu_{ab} : M_a \to M_b\) および \(\mu_{ac} : M_a \to M_c\) からなる。この系の余極限は \[M := \colim_{i \in I} M_i = \Coker(M_a \to M_b \oplus M_c)\] にほかならず、この写像は \(\mu_{ab} \oplus -\mu_{ac}\) である。したがって標準写像 \(M_a \to M\) の核は \(\Ker(\mu_{ab}) + \Ker(\mu_{ac})\) である。また標準写像 \(M_b \to M\) の核は、\(\mu_{ab}\) による \(\Ker(\mu_{ac})\) の像である。ゆえに 補題 00D7 の結論は一般の系については偽である。

定義

\((M_i, \mu_{ij})\), \((N_i, \nu_{ij})\) を同じ前順序集合 \(I\) 上の \(R\)-加群の系とする。 \((M_i, \mu_{ij})\) から \((N_i, \nu_{ij})\) への系の準同型 \(\Phi\) とは、 すべての \(i \leq j\) に対して \(\phi_j \circ \mu_{ij} = \nu_{ij} \circ \phi_i\) を 満たす \(R\)-加群準同型の族 \(\phi_i : M_i \to N_i\) のことである。

圏の言葉では、これは付随する図式 \(M : I \to \text{Mod}_R\) と \(N : I \to \text{Mod}_R\) の間の関手の変換と同じ概念である。次の補題は Categories, Lemma 002K の特別な場合である。

補題

\((M_i, \mu_{ij})\), \((N_i, \nu_{ij})\) を同じ前順序集合上の \(R\)-加群の系とする。 \((M_i, \mu_{ij})\) から \((N_i, \nu_{ij})\) への系の射 \(\Phi = (\phi_i)\) は、一意な準同型 \[\colim \phi_i : \colim M_i \longrightarrow \colim N_i\] であって、すべての \(i \in I\) に対して図式 \[\xymatrix{ M_i \ar[r] \ar[d]_{\phi_i} & \colim M_i \ar[d]^{\colim \phi_i} \\ N_i \ar[r] & \colim N_i }\] を可換にするものを誘導する。

証明

\(M = \colim M_i\), \(N = \colim N_i\), \(\phi = \colim \phi_i\) と書く（この写像は これから構成する）。以下では補題 00D5 における \(M\) と \(N\) の 具体的記述を断りなく用いる。補題の条件は、図式 \[\xymatrix{ \bigoplus_{i\in I} M_i \ar[r] \ar[d]_{\bigoplus\phi_i} & M \ar[d]^\phi \\ \bigoplus_{i\in I} N_i \ar[r] & N }\] が可換であるという条件と同値である。したがって \(\phi\) が存在すれば一意で あることは明らかである。\(\phi\) の存在を示すには、上の水平矢印の核が \(\bigoplus \phi_i\) によって下の水平矢印の核へ写ることを示せば十分である。 このため \(j \leq k\) および \(x_j \in M_j\) とすると、 \[(\bigoplus \phi_i)(x_j - \mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \phi_k(\mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \nu_{jk}(\phi_j(x_j))\] であり、これは所望のとおり下の水平矢印の核に属する。

補題

\(I\) を有向集合とする。\((L_i, \lambda_{ij})\), \((M_i, \mu_{ij})\) および \((N_i, \nu_{ij})\) を \(I\) 上の \(R\)-加群の系とする。 \(\varphi_i : L_i \to M_i\) および \(\psi_i : M_i \to N_i\) を \(I\) 上の系の射とする。 すべての \(i \in I\) に対し、\(R\)-加群の列 \[\xymatrix{ L_i \ar[r]^{\varphi_i} & M_i \ar[r]^{\psi_i} & N_i }\] がホモロジー \(H_i\) をもつ複体であると仮定する。このとき \(R\)-加群 \(H_i\) は \(I\) 上の系をなし、\(R\)-加群の列 \[\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\] も複体である。そのホモロジーを \(H\) と記すと、 \[H = \colim_i H_i.\] である。

証明

\(\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\) が複体であることは明らかである。各 \(i \in I\) に対して標準的な \(R\)-加群準同型 \(H_i \to H\) がある。これは各 \([m] \in H_i = \Ker(\psi_i) / \Im(\varphi_i)\) を、\(\colim_i M_i\) における \(m\) の像の \(H = \Ker(\psi) / \Im(\varphi)\) における剰余類へ送る。この族から 準同型 \(\colim_i H_i \to H\) が得られる。これが全射かつ単射であることを示せばよい。

以下では補題 00D6 による \(I\) 上の余極限の記述を繰り返し 用いる。\(h \in H\) とする。\(H = \Ker(\psi)/\Im(\varphi)\) なので、\(h\) は \(\Ker(\psi) \subset \colim_i M_i\) の元 \([m]\) の \(\Im(\varphi)\) を法とする類である。 \([m]\) がある元 \(m \in M_i\) から来るような \(i\) を選ぶ。 \([m] \in \Ker(\psi)\) なので、\(\nu_{ij}(\psi_i(m)) = 0\) を満たす \(j \geq i\) を 選べる。\(i\) を \(j\) に、\(m\) を \(\mu_{ij}(m)\) に置き換えると、 \(m \in \Ker(\psi_i)\) と仮定してよい。これにより写像 \(\colim_i H_i \to H\) が全射であることが分かる。

\(h_i \in H_i\) の \(H\) における像が零であると仮定する。 \(H_i = \Ker(\psi_i)/\Im(\varphi_i)\) なので、\(h_i\) は \(m \in \Ker(\psi_i) \subset M_i\) によって表せる。\(H\) における \(h_i\) の消滅は、 \(\colim_i M_i\) における \(m\) の類が \(\varphi\) の像に属することを意味する。 したがって \(\varphi_j(l) = \mu_{ij}(m)\) を満たす \(j \geq i\) と \(l \in L_j\) が 存在する。これは \(H_j\) における \(h_i\) の像が零であることを明らかに示す。 よって \(\colim_i H_i \to H\) は単射である。

例

一般には余極限をとる操作は完全ではない。例 00D8 と同様に、\(a < b\) および \(a < c\) のほかに 真の不等式をもたない半順序集合 \(I = \{a, b, c\}\) を考える。系の写像 \((0, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 0, 0) \to (\mathbf{Z}, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 1, 1)\) を考える。例 00D8 における余極限の記述から、この系の写像は 各対象上では単射であるにもかかわらず、付随する余極限の写像は単射でない。 したがって補題 00DB の結論は一般の系については 偽である。

補題

\(\mathcal{I}\) を Categories, Lemma 002X の仮定を 満たす添字圏とする。このとき \(\mathcal{I}\) 上のアーベル群の図式の余極限を とる操作は完全である（すなわち補題 00DB の類似が この状況で成り立つ）。

証明

Categories, Lemma 002X により、 \(\mathcal{I} = \coprod_{j \in J} \mathcal{I}_j\) と書ける。ここで各 \(\mathcal{I}_j\) はフィルター圏であり、\(J\) は空でもよい。Categories, Lemma 0032 により、添字圏 \(\mathcal{I}_j\) 上の 余極限をとることは、ある有向集合上の余極限をとることと同じである。したがって これらの余極限には補題 00DB が適用できる。よって 問題は、集合 \(J\) 上の \(R\)-加群の圏における余積が完全であることを示すことに 帰着する。言い換えれば、\(R\) 加群の完全列 \(L_j \to M_j \to N_j\) に対して、

\[\bigoplus\nolimits_{j \in J} L_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} M_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} N_j\] が完全であることを示せばよい。これは直接確かめられ、\(J\) が空の場合にも成り立つ。

局所化

定義

\(R\) を環、\(S\) を \(R\) の部分集合とする。\(1\in S\) であり、\(S\) が乗法について 閉じている、すなわち \(s, s' \in S \Rightarrow ss' \in S\) であるとき、\(S\) を \(R\) の乗法的集合という。

環 \(A\) と乗法的集合 \(S\) が与えられたとき、\(A \times S\) 上の関係を次で定める。 \[(x, s) \sim (y, t) \Leftrightarrow \exists u \in S \text{ such that } (xt-ys)u = 0\] これが同値関係であることは容易に確かめられる。\((x, s)\) の同値類を \(x/s\) （または \(\frac{x}{s}\)）とし、すべての同値類の集合を \(S^{-1}A\) とする。 \(S^{-1}A\) における加法と乗法を次で定める。 \[x/s + y/t = (xt + ys)/st, \quad x/s \cdot y/t = xy/st\] これらの演算によって \(S^{-1}A\) が環になることを確かめられる。

定義

この環を\(S\) に関する \(A\) の局所化という。

\(A\) からその局所化 \(S^{-1}A\) への自然な環準同型 \[A \longrightarrow S^{-1}A, \quad x \longmapsto x/1\] があり、これを局所化写像ということがある。一般に局所化写像は単射では ないが、\(S\) が零因子を含まなければ単射である。実際 \(x/1 = 0\) ならば、 \(xu = 0\) を \(A\) において満たす \(u\in S\) が存在する。\(S\) には零因子がないので \(x = 0\) である。環の局所化は次の普遍性をもつ。

命題

\(f : A \to B\) を、\(S\) のすべての元を \(B\) の単元へ送る環準同型とする。このとき 次の図式を可換にする一意な準同型 \(g : S^{-1}A \to B\) が存在する。 \[\xymatrix{ A \ar[rr]^{f} \ar[dr] & & B \\ & S^{-1}A \ar[ur]_g }\]

証明

存在を示す。写像 \(g\) を次のように定める。\(x/s\in S^{-1}A\) に対して \(g(x/s) = f(x)f(s)^{-1}\in B\) とおく。定義から、これは良定義な環準同型である ことが容易に確かめられる。またこの写像が図式を可換にすることも明らかである。

一意性を示す。\(g' : S^{-1}A \to B\) が \(g'(x/1) = f(x)\) を満たすならば \(g = g'\) であることを示す。図式の可換性から、\(s \in S\) に対して \(f(s) = g'(s/1)\) である。一方 \(B\) において \(g'(1/s)f(s) = 1\) だから、 \(g'(1/s) = f(s)^{-1}\) であり、したがって \(g'(x/s) = g'(x/1)g'(1/s) = f(x)f(s)^{-1} = g(x/s)\) である。

補題

局所化 \(S^{-1}A\) が零環であるための必要十分条件は \(0\in S\) である。

証明

\(0\in S\) ならば、定義により任意の対 \((a, s)\sim (0, 1)\) である。 \(0\not \in S\) ならば、明らかに \(S^{-1}A\) において \(1/1 \neq 0/1\) である。

補題

\(R\) を環とし、\(S \subset R\) を乗法的集合とする。\(S^{-1}R\)-加群の圏は、 各 \(s \in S\) が \(N\) 上の自己同型として作用するという性質をもつ \(R\)-加群 \(N\) の圏と同値である。

証明

同値を定める関手は、\(S^{-1}R\)-加群 \(M\) に、局所化写像 \(R \to S^{-1}R\) を介して \(R\)-加群とみなした同じ加群を対応させる。逆に、 \(N\) が \(R\)-加群で、各 \(s \in S\) が自己同型 \(s_N\) として作用するならば、 \(x/s\) を \(x_N \circ s_N^{-1}\) として作用させることにより、\(N\) を \(S^{-1}R\)-加群とみなせる。これら二つの関手が互いに準逆であることの確認は 省略する。

環の局所化という概念は加群の局所化へ一般化できる。\(A\) を環、\(S\) を \(A\) の 乗法的集合、\(M\) を \(A\)-加群とする。\(M \times S\) 上の関係を次で定める。 \[(m, s) \sim (n, t) \Leftrightarrow \exists u\in S \text{ such that } (mt-ns)u = 0\] これは明らかに同値関係である。\((m, s)\) の同値類を \(m/s\)（または \(\frac{m}{s}\)）とし、すべての同値類の集合を \(S^{-1}M\) とする。加法と スカラー乗法を次で定める。

\[m/s + n/t = (mt + ns)/st,\quad m/s\cdot n/t = mn/st\] これにより \(S^{-1}M\) が \(S^{-1}A\)-加群になることは明らかである。

定義

\(S^{-1}A\)-加群 \(S^{-1}M\) を、\(S\) に関する \(M\) の局所化という。

\(A\)-加群準同型 \(M \to S^{-1}M\), \(m \mapsto m/1\) があることに注意せよ。 これを局所化写像ということがある。これは次の普遍性を満たす。

補題

\(R\) を環とする。\(S \subset R\) を乗法的集合とする。\(M\), \(N\) を \(R\)-加群とする。

\(S\) のすべての元が \(N\) 上の自己同型として作用すると仮定する。このとき 局所化写像から誘導される標準写像 \[\Hom_R(S^{-1}M, N) \longrightarrow \Hom_R(M, N)\] は同型である。

証明

写像が良定義かつ \(R\)-線形であることは明らかである。単射性を示す。 \(\alpha \in \Hom_R(S^{-1}M, N)\) とし、任意の元 \(m/s \in S^{-1}M\) をとる。 \(s \cdot \alpha(m/s) = \alpha(m/1)\) なので、 \(\alpha(m/s) =s^{-1}(\alpha (m/1))\) である。したがって \(\alpha\) は、\(M\) の \(S^{-1}M\) における像上での値によって完全に決定される。全射性を示す。 \(\beta : M \rightarrow N\) を与えられた R-線形写像とする。これを \(S^{-1}M\) へ 「延長」できることを示す必要がある。集合の写像 \[M \times S \rightarrow N,\quad (m,s) \mapsto s^{-1}\beta(m)\] を定める。この写像が上の同値関係を保つことは明らかなので、良定義な写像 \(\alpha : S^{-1}M \rightarrow N\) に降りる。この写像が \(R\)-線形であることを 示せばよい。そこで \(r, r' \in R\), \(s, s' \in S\), \(m, m' \in M\) とすると、 \[\begin{align*} \alpha(r \cdot m/s + r' \cdot m' /s') & = \alpha((r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') /(ss')) \\ & = (ss')^{-1}\beta(r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') \\ & = (ss')^{-1} (r \cdot s' \beta (m) + r' \cdot s \beta (m')) \\ & = r \alpha (m/s) + r' \alpha (m' /s') \end{align*}\] であり、主張が従う。

例

\(A\) を環、\(M\) を \(A\)-加群とする。局所化の重要な例を挙げる。

1. \(A\) の素イデアル \(\mathfrak p\) が与えられたとき、 \(S = A\setminus\mathfrak p\) を考える。\(S\) が乗法的集合であることは直ちに 確かめられる。この場合、\(S\) に関する \(A\) と \(M\) の局所化をそれぞれ \(A_\mathfrak p\) および \(M_\mathfrak p\) と記す。これらを \(\mathfrak p\) における \(A\), resp. \(M\) の局所化という。

2. \(f\in A\) とし、\(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\) を考える。これは明らかに \(A\) の乗法的集合である。この場合、局所化 \(S^{-1}A\)（resp. \(S^{-1}M\)）を \(A_f\)（resp. \(M_f\)）と記す。これを \(f\) に関する \(A\), resp. \(M\) の局所化という。 \(A_f = 0\) であるための必要十分条件は、\(f\) が \(A\) において冪零であることである。

3. \(S = \{f \in A \mid f \text{ is not a zerodivisor in }A\}\) とする。これは \(A\) の乗法的集合である。この場合、環 \(Q(A) = S^{-1}A\) を \(A\) の 全商環または全分数環という。

4. \(A\) が整域ならば、全商環 \(Q(A)\) は \(A\) の分数体である。Fields, Example 09FJ を参照せよ。

補題

\(R\) を環、\(S \subset R\) を乗法的集合、\(M\) を \(R\)-加群とする。このとき \[S^{-1}M = \colim_{f \in S} M_f\] である。ここで \(S\) 上の前順序は、\(f \geq f' \Leftrightarrow f = f'f''\) と定める。 ただし \(f'' \in R\) である。この場合、写像 \(M_{f'} \to M_f\) は \(m/(f')^e \mapsto m(f'')^e/f^e\) で与えられる。

証明

省略する。ヒントとして、補題 07K0 の普遍性を用いよ。

以下では、\(A\) を環、\(M, N\) を \(A\) 上の加群とする。

\(S\) と \(S'\) が \(A\) の乗法的集合ならば、 \[SS' = \{ss' : s\in S, \ s'\in S'\}\] も \(A\) の乗法的集合であることは明らかである。このとき次が成り立つ。

命題

\(\overline{S}\) を \(S'^{-1}A\) における \(S\) の像とする。このとき \((SS')^{-1}A\) は \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\) と同型である。

証明

\(x\in A\) を \(x/1\in (SS')^{-1}A\) へ送る写像は、普遍性により \(x/s\in S'^{-1}A\) を \(x/s \in (SS')^{-1}A\) へ送る写像を誘導する。 \(\overline{S}\) の元の像は \((SS')^{-1}A\) において可逆である。再び普遍性により、 \((x/s')/(s/1)\) を \(x/ss'\) へ送る写像 \(f : \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A) \to (SS')^{-1}A\) を得る。

一方、\(x\in A\) を \((x/1)/(1/1)\) へ送る \(A\) から \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\) への写像も、普遍性により \(x/ss'\) を \((x/s')/(s/1)\) へ送る写像 \(g : (SS')^{-1}A \to \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\) を誘導する。 \(f\) と \(g\) が互いに逆であることは直ちに確かめられる。したがって両者は同型である。

加群 \(M\) については次が成り立つ。

命題

\(S'^{-1}M\) を \(A\)-加群とみなす。このとき \(S^{-1}(S'^{-1}M)\) は \((SS')^{-1}M\) と同型である。

証明

与えられた \(A\)-加群 M に対して、\(S^{-1}M\) の普遍性はまだ証明していない ことに注意せよ。したがって直前の証明と同じ論法は使えず、同型を明示的に 構成しなければならない。

写像を次のように定める。 \[\begin{align*} & f : S^{-1}(S'^{-1}M) \longrightarrow (SS')^{-1}M, \quad \frac{x/s'}{s}\mapsto x/ss'\\ & g : (SS')^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(S'^{-1}M), \quad x/t\mapsto \frac{x/s'}{s}\ \text{for some }s\in S, s'\in S', \text{ and } t = ss' \end{align*}\] これらの準同型が良定義、すなわち分数の選択に依存しないことを確かめる必要が ある。これは容易に確かめられ、また互いに逆であることも直ちに示せる。

\(u : M \to N\) が \(A\)-加群準同型ならば、局所化は良定義な \(S^{-1}A\)-加群準同型 \(S^{-1}u : S^{-1}M \to S^{-1}N\) を実際に誘導し、これは \(x/s\) を \(u(x)/s\) へ送る。この構成が関手的であることは直ちに確かめられるので、 \(S^{-1}\) は \(A\)-加群の圏から \(S^{-1}A\)-加群の圏への関手である。さらにこの関手は 完全であることを次の命題で示す。

命題

\(L\xrightarrow{u} M\xrightarrow{v} N\) を \(R\)-加群の完全列とする。このとき \(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\) も完全である。

証明

局所化は関手なので、\(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\) が複体であることは 明らかである。次に \(x/s \in S^{-1}M\) であり、\(x/s\) が \(S^{-1}N\) の零元に 写ると仮定する。定義により、\(N\) において \(v(xt) = v(x)t = 0\) を満たす \(t\in S\) が存在する。したがって \(xt \in \Ker(v)\) である。\(L \to M \to N\) の完全性により、ある \(L\) の元 \(y\) に 対して \(xt = u(y)\) である。このとき \(x/s\) は \(y/st\) の像である。これで完全性が 証明された。

補題

局所化は商を保つ。すなわち \(N\) が \(M\) の部分加群ならば、 \(S^{-1}(M/N)\allowbreak\simeq (S^{-1}M)\allowbreak/(S^{-1}N)\) である。

証明

完全列 \[0 \longrightarrow N \longrightarrow M \longrightarrow M/N \longrightarrow 0\] から完全列 \[0 \longrightarrow S^{-1}N \longrightarrow S^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(M/N) \longrightarrow 0\] を得る。したがって系が従う。

直前の系において、\(I\) を \(A\) のイデアルとして \(N = I\), \(M = A\) と おけば、\(A\)-加群として \(S^{-1}A/S^{-1}I \simeq S^{-1}(A/I)\) であることが分かる。

次の命題は、これらが環として同型であることを示す。

命題

\(I\) を \(A\) のイデアル、\(S\) を \(A\) の乗法的集合とする。このとき \(S^{-1}I\) は \(S^{-1}A\) のイデアルであり、\(\overline{S}^{-1}(A/I)\) は \(S^{-1}A/S^{-1}I\) と同型である。ここで \(\overline{S}\) は \(A/I\) における \(S\) の 像である。

証明

\(I\) 自身がイデアルなので、\(S^{-1}I\) がイデアルであることは明らかである。写像 \[f : S^{-1}A\longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad x/s\mapsto \overline{x}/\overline{s}\] を定める。ここで \(\overline{x}\) と \(\overline{s}\) は \(A/I\) における \(x\) と \(s\) の 像である。この証明では同様の記法を用いる。この写像は \(S^{-1}A\) の普遍性により 良定義であり、その核は \(S^{-1}I\) を含む。したがって写像 \[\overline{f} : S^{-1}A/S^{-1}I \longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad \overline{x/s}\mapsto \overline{x}/\overline{s}\] を誘導する。

一方、\(x\) を \(\overline{x/1}\) へ送る写像 \(A \to S^{-1}A/S^{-1}I\) は、 \(\overline{x}\) を \(\overline{x/1}\) へ送る写像 \(A/I \to S^{-1}A/S^{-1}I\) を 誘導する。\(\overline{S}\) の像は \(S^{-1}A/S^{-1}I\) において可逆なので、普遍性により 写像 \[g : \overline{S}^{-1}(A/I) \longrightarrow S^{-1}A/S^{-1}I, \quad \frac{\overline{x}}{\overline{s}}\mapsto \overline{x/s}\] を誘導する。\(\overline{f}\) と \(g\) が互いに逆であることは明らかであり、したがって 両者は同型である。

次に、部分加群が局所化のもとでどのように振る舞うかを調べる。

補題

\(S^{-1}M\) の任意の部分加群 \(N'\) は、ある \(N\subset M\) に対して \(S^{-1}N\) の形で ある。実際、\(N\) として \(M\) における \(N'\) の逆像をとることができる。

証明

\(N\) を \(M\) における \(N'\) の逆像とする。このとき \(S^{-1}N\supset N'\) であることが 分かる。等号を示すため、\(S^{-1}N\) の元 \(x/s\) をとる。ただし \(s\in S\) かつ \(x\in N\) である。このとき \(x/1\in N'\) である。\(N'\) は \(S^{-1}R\)-部分加群なので、\(x/s = x/1\cdot 1/s\in N'\) である。これで証明が 完了する。

\(M = A\) とし、\(N = I\) を \(A\) のイデアルとすれば、命題 00CT の前半の逆とみなせる次の系を得る。

補題

\(S^{-1}A\) の各イデアル \(I'\) は \(S^{-1}I\) の形であり、\(I\) として \(A\) における \(I'\) の逆像をとることができる。

証明

補題 00CU から直ちに従う。

内部 Hom

\(R\) が環で、\(M\), \(N\) が \(R\)-加群ならば、 \[\Hom_R(M, N) = \{ \varphi : M \to N\}\] は \(M\) から \(N\) への \(R\)-線形写像の集合である。通常どおり \((\varphi + \psi)(m) = \varphi(m) + \psi(m)\) と定めることにより、この集合は アーベル群の構造をもつ。実際、\(\Hom_R(M, N)\) は規則 \((x \varphi)(m) = x \varphi(m) = \varphi(xm)\) によって \(R\)-加群でもある。

\(R\)-加群の写像 \(a : M \to M'\) および \(b : N \to N'\) が与えられたとき、 準同型に \(a\) を前から、\(b\) を後ろから合成できる。これにより可換図式 \[\xymatrix{ \Hom_R(M', N) \ar[d]_{- \circ a} \ar[r]_{b \circ -} & \Hom_R(M', N') \ar[d]^{- \circ a} \\ \Hom_R(M, N) \ar[r]^{b \circ -} & \Hom_R(M, N') }\] を得る。実際、この図式の写像は \(R\)-加群準同型である。したがって \(\Hom_R\) は加法的関手 \[\text{Mod}_R^{opp} \times \text{Mod}_R \longrightarrow \text{Mod}_R, \quad (M, N) \longmapsto \Hom_R(M, N)\] を定める。

補題

完全性と \(\Hom_R\)。\(R\) を環とし、\(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) を \(R\)-加群とする。 \(M_1 \to M_2\) と \(M_2 \to M_3\) を \(R\)-加群準同型とする。

1. \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\) が完全であるための必要十分条件は、すべての \(R\)-加群 \(N\) に対して \(0 \to \Hom_R(M_3, N) \to \Hom_R(M_2, N) \to \Hom_R(M_1, N)\) が完全である ことである。

2. \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3\) が完全であるための必要十分条件は、すべての \(R\)-加群 \(N\) に対して \(0 \to \Hom_R(N, M_1) \to \Hom_R(N, M_2) \to \Hom_R(N, M_3)\) が完全である ことである。

証明

省略する。

補題

\(R\) を環、\(M\) を有限表示 \(R\)-加群、\(N\) を \(R\)-加群とする。

1. \(f \in R\) に対して \(\Hom_R(M, N)_f = \Hom_{R_f}(M_f, N_f) = \Hom_R(M_f, N_f)\) である。

2. \(R\) の乗法的集合 \(S\) に対して \[S^{-1}\Hom_R(M, N) = \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) = \Hom_R(S^{-1}M, S^{-1}N).\]

証明

(1) は (2) の特別な場合である。(2) の第二の等号は補題 07JY から従う。表示 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} R \to M \to 0.\] を選ぶ。補題 0582 により、これは完全列 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N.\] を与える。\(S\) の元を可逆にし、命題 00CS を用いると、 完全列 \[0 \to S^{-1}\Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] を得る。一方 \(S^{-1}M\) は完全列 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}R \to S^{-1}M \to 0\] に属し、これは補題 0582 により完全列 \[0 \to \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] を誘導する。これは上の完全列と同じなので、結論が従う。

有限加群および有限表示加群の特徴づけ

環 \(R\) 上の加群 \(N\) が有限加群または有限表示加群であるかどうかは、関手 \(\Hom_R(N, -)\) によって特徴づけられる。

補題

\(R\) を環、\(N\) を \(R\)-加群とする。次は同値である。

1. \(N\) は有限 \(R\)-加群である。

2. \(R\)-加群の任意のフィルター余極限 \(M = \colim M_i\) に対して、写像 \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\) は単射である。

証明

(1) を仮定し、\(N\) の生成元 \(x_1, \ldots, x_m\) を選ぶ。\(N \to M_i\) が加群準同型で、 合成 \(N \to M_i \to M\) が零ならば、\(M = \colim_{i' \geq i} M_{i'}\) なので、 各 \(j \in \{1, \ldots, m\}\) に対し、\(x_j\) が \(M_{i'}\) の零元へ写るような

\(i' \geq i\) を見つけられる。\(x_j\) は有限個しかないので、すべてに対して働く 単一の \(i'\) を見つけられる。このとき合成 \(N \to M_i \to M_{i'}\) は零であり、 写像が単射、すなわち (2) が成り立つと結論できる。

(2) を仮定する。有限部分集合 \(E \subset N\) に対して、\(E\) の元が生成する \(R\)-部分加群を \(N_E \subset N\) と記す。このとき \(0 = \colim N/N_E\) はフィルター余極限である。したがって \(\text{id} : N \to N\) はある \(E\) に対して \(N_E\) を経由する。すなわち \(N\) は 有限生成である。

参照の便宜のため、加群の元の間の関係式という概念を定義する。

定義

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。\(n \geq 0\) とし、 \(i = 1, \ldots, n\) に対して \(x_i \in M\) とする。\(M\) における \(x_1, \ldots, x_n\) の間の関係式とは、 \(\sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i = 0\) を満たす元の列 \(f_1, \ldots, f_n \in R\) のことである。

補題

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。このとき \(M\) は、各 \(M_i\) が有限表示 \(R\)-加群であるような \(R\)-加群の有向系 \((M_i, \mu_{ij})\) の余極限である。

証明

任意の有限部分集合 \(S \subset M\) と、\(S\) の元の間の関係式の任意の有限集合 \(E\) を考える。各 \(s \in S\) は \(x_s \in M\) に対応し、各 \(e \in E\) は \(\sum f_{e, s} x_s = 0\) を満たす元 \(f_{e, s} \in R\) のベクトルからなる。 \(M_{S, E}\) を写像 \[R^{\# E} \longrightarrow R^{\# S}, \quad (g_e)_{e\in E} \longmapsto (\sum g_e f_{e, s})_{s\in S}.\] の余核とする。標準写像 \(M_{S, E} \to M\) がある。\(S \subset S'\) であり、 \(E\) の元がこの写像を介して \(E'\) の関係式に対応するならば、\(M\) への写像と 可換する明らかな写像 \(M_{S, E} \to M_{S', E'}\) がある。\(I\) を、上の包含関係で 順序づけた対 \((S, E)\) の集合とする。この有向系の余極限が \(M\) であることは 明らかである。

補題

\(R\) を環、\(N\) を \(R\)-加群とする。次は同値である。

1. \(N\) は有限表示 \(R\)-加群である。

2. \(R\)-加群の任意のフィルター余極限 \(M = \colim M_i\) に対して、写像 \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\) は全単射である。

証明

(1) を仮定し、\(F_i\) が有限自由である完全列 \(F_{-1} \to F_0 \to N \to 0\) を 選ぶ。このとき \(R\)-加群 \(M\) に関して関手的な完全列 \[0 \to \Hom_R(N, M) \to \Hom_R(F_0, M) \to \Hom_R(F_{-1}, M)\] がある。\(\Hom_R(R^{\oplus n}, M) = M^{\oplus n}\) なので、関手 \(\Hom_R(F_i, M)\) はフィルター余極限と可換する。フィルター余極限は完全である （補題 00DB）から、(2) が成り立つ。

(2) を仮定する。補題 00HA により、すべての \(i\) に対して \(N_i\) が有限表示となるように、\(N = \colim N_i\) をフィルター余極限として書ける。 したがって \(\text{id}_N\) はある \(i\) に対して \(N_i\) を経由する。これは \(N\) が 有限表示 \(R\)-加群（すなわち \(N_i\)）の直和因子であることを意味する。ゆえに \(N\) は有限表示である。

テンソル積

定義

\(R\) を環、\(M, N, P\) を三つの \(R\)-加群とする。写像 \(f : M \times N \to P\)（ここで \(M \times N\) は二つの \(R\)-加群の直積集合として のみ考える）が\(R\)-双線形であるとは、各 \(x \in M\) に対して \(N\) から \(P\) への写像 \(y\mapsto f(x, y)\) が \(R\)-線形であり、かつ各 \(y\in N\) に対して写像 \(x\mapsto f(x, y)\) も \(R\)-線形であることをいう。

補題

\(M, N\) を \(R\)-加群とする。このとき、\(R\)-加群 \(T\) と \(R\)-双線形写像 \(g : M \times N \to T\) からなる対 \((T, g)\) であって、次の普遍性をもつものが 存在する。任意の \(R\)-加群 \(P\) と任意の \(R\)-双線形写像 \(f : M \times N \to P\) に対し、\(f = \tilde{f} \circ g\) を満たす一意な \(R\)-線形写像 \(\tilde{f} : T \to P\) が存在する。言い換えれば、次の図式が可換である。 \[\xymatrix{ M \times N \ar[rr]^f \ar[dr]_g & & P\\ & T \ar[ur]_{\tilde f} }\] さらに、\((T, g)\) と \((T', g')\) がこの性質をもつ二つの対ならば、 \(j\circ g = g'\) を満たす一意な同型 \(j : T \to T'\) が存在する。

上の普遍性を満たす \(R\)-加群 \(T\) を、\(R\)-加群 \(M\) と \(N\) のテンソル積 といい、\(M \otimes_R N\) と記す。

証明

まず、このような \(R\)-加群 \(T\) の存在を証明する。\(M, N\) を \(R\)-加群とする。 \(P\) を自由 \(R\)-加群 \(R^{(M \times N)}\) とし、\(Q\) を次の形のすべての元 （\(x\in M, y\in N\)）によって生成される \(R\)-加群として、\(T\) を商加群 \(P/Q\) とする。 \[\begin{align*} (x + x', y) - (x, y) - (x', y), \\ (x, y + y') - (x, y) - (x, y'), \\ (ax, y) - a(x, y), \\ (x, ay) - a(x, y) \end{align*}\] 自然な写像を \(\pi : M \times N \to T\) と記す。双線形性の条件を確認すれば、 上の関係式からこの写像が \(R\)-双線形であることが分かる。像を \(\pi(x, y) = x \otimes y\) と記すと、これらの元は \(T\) を生成する。ここで \(f : M \times N \to P\) を \(R\)-双線形写像とすると、 \(f'(x \otimes y) = f(x, y)\) を延長することにより \(f' : T \to P\) を定義できる。 明らかに \(f = f'\circ \pi\) である。さらに \(f'\) は生成系 \(\{x \otimes y : x\in M, y\in N\}\) 上の値によって一意に決まる。

同じ性質を満たす別の対 \((T', g')\) があると仮定する。このとき \(g' = j\circ g\), \(g = j'\circ g'\) を満たす一意な \(j : T \to T'\) および \(j' : T' \to T\) が存在する。しかし写像 \((j\circ j') \circ g\) と \(g\) はどちらも

普遍性を満たすので、一意性により等しく、したがって \(j'\circ j\) は \(T\) 上の 恒等写像である。同様に \((j'\circ j) \circ g' = g'\) であり、\(j\circ j'\) は \(T'\) 上の恒等写像である。したがって \(j\) は同型である。

補題

\(M, N, P\) を \(R\)-加群とする。このとき双線形写像 \[\begin{align*} (x, y) & \mapsto y \otimes x\\ (x + y, z) & \mapsto x \otimes z + y \otimes z\\ (r, x) & \mapsto rx \end{align*}\]

は一意な同型 \[\begin{align*} M \otimes_R N & \to N \otimes_R M, \\ (M\oplus N)\otimes_R P & \to (M \otimes_R P)\oplus(N \otimes_R P), \\ R \otimes_R M & \to M \end{align*}\] を誘導する。

証明

省略する。

二つの \(R\)-加群のテンソル積を有限個の \(R\)-加群へ一般化し、多重テンソル積と 多重線形写像との対応を設定できる。ほぼ同じ構成によって次を証明できる。

補題

\(M_1, \ldots, M_r\) を \(R\)-加群とする。このとき \(R\)-加群 T と \(R\)-多重線形写像 \(g : M_1\times \ldots \times M_r \to T\) からなる対 \((T, g)\) であって、次の 普遍性をもつものが存在する。任意の \(R\)-多重線形写像 \(f : M_1\times \ldots \times M_r \to P\) に対し、\(f'\circ g = f\) を満たす一意な \(R\)-加群準同型 \(f' : T \to P\) が存在する。このような加群 \(T\) は一意な同型を 除いて一意である。これを \(M_1\otimes_R \ldots \otimes_R M_r\) と記し、普遍的な 多重線形写像を \((m_1, \ldots, m_r) \mapsto m_1 \otimes \ldots \otimes m_r\) と記す。

証明

省略する。

補題

準同型 \[(M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P \to M \otimes_R (N \otimes_R P)\] であって、\(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\) および \(g(x \otimes y \otimes z) = x \otimes (y \otimes z)\) を満たすものは良定義で 同型である。ただし \(x\in M, y\in N, z\in P\) とする。

証明

\(f\) が良定義で同型であることを証明する。\(g\) についても同様である。任意の \(z\in P\) を固定すると、写像 \((x, y)\mapsto x \otimes y \otimes z\) は \(x\in M, y\in N\) に関して \(x\) と \(y\) の \(R\)-双線形写像であり、したがって \(f_z(x \otimes y) = x \otimes y \otimes z\) とする準同型 \(f_z : M \otimes N \to M \otimes N \otimes P\) を誘導する。次に \((w, z)\mapsto f_z(w)\) で与えられる写像 \((M \otimes N)\times P \to M \otimes N \otimes P\) を考える。この写像は \(R\)-双線形なので、\(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\) を満たす \(f : (M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P\) を誘導する。 逆写像を構成するため、写像 \(\pi : M \times N \times P \to (M \otimes N)\otimes P\) が \(R\)-三重線形であることに注意する。したがって普遍性と整合する \(R\)-線形写像 \(h : M \otimes N \otimes P \to (M \otimes N)\otimes P\) を誘導する。ここで \(h(x \otimes y \otimes z) = (x \otimes y)\otimes z\) である。\(f\) と \(h\) の明示式から、 \(f\circ h\) と \(h\circ f\) はそれぞれ \(M \otimes N \otimes P\) と \((M \otimes N)\otimes P\) の恒等写像である。したがって \(f\) は所望の同型である。

帰納法により、これが多重テンソル積へ拡張されることが分かる。補題 00CY と合わせると、\(R\)-加群の圏上のテンソル積演算は 結合的、可換、かつ分配的である。

定義

アーベル群 \(N\) が\((A, B)\)-双加群であるとは、\(A\)-加群かつ \(B\)-加群であり、 すべての \(a \in A\) と \(b \in B\) に対して \(a\) と \(b\) による乗法が可換する、 すなわちすべての \(n \in N\) に対して \(b(an) = a(bn)\) となることをいう。この状況では 通常 \(B\)-作用を右側に書く。すなわち \(b \in B\) と \(n \in N\) に対し、\(n\) に \(b\) を 掛けた結果を \(nb\) と記す。この規約のもとで、上の両立条件は、すべての \(a\in A, b\in B, x\in N\) に対して \((ax)b = a(xb)\) となることである。 \((A, B)\)-双加群 \(N\) を表す略記として \(_AN_B\) を用いる。

補題

\(A\)-加群 \(M\)、\(B\)-加群 \(P\)、\((A, B)\)-双加群 \(N\) に対して、加群 \((M \otimes_A N)\otimes_B P\) と \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\) はどちらも \((A, B)\)-双加群構造をもつことができ、さらに \[(M \otimes_A N)\otimes_B P \cong M \otimes_A(N \otimes_B P).\] である。

証明

先験的には \(M \otimes_A N\) は \(A\)-加群であるが、 \[(x \otimes y)b = x \otimes yb, \quad x\in M, y\in N, b\in B\] と定めることにより \(B\)-加群構造を与えられる。したがって \(M \otimes_A N\) は \((A, B)\)-双加群となる。\(N \otimes_B P\) についても同様であり、したがって \((M \otimes_A N)\otimes_B P\) および \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\) についても 同様である。補題 00D0 により、これら二つの加群は同じ写像を 介して \(A\)-加群としても \(B\)-加群としても同型である。

補題

任意の三つの \(R\)-加群 \(M, N, P\) に対して \[\Hom_R(M \otimes_R N, P) \cong \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\] である。

証明

\(R\)-線形写像 \(\hat{f}\in \Hom_R(M \otimes_R N, P)\) は \(R\)-双線形写像 \(f : M \times N \to P\) に対応する。各 \(x\in M\) に対し、写像 \(y\mapsto f(x, y)\) は普遍性により \(R\)-線形である。したがって \(f\) は写像 \(\phi_f : M \to \Hom_R(N, P)\) に対応する。この写像は、 \[\phi_f(ax + y)(z) = f(ax + y, z) = af(x, z)+f(y, z) = (a\phi_f(x)+\phi_f(y))(z),\] がすべての \(a \in R\), \(x \in M\), \(y \in M\), \(z \in N\) に対して成り立つので \(R\)-線形である。逆に、任意の \(f \in \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\) は \((x, y)\mapsto f(x)(y)\) によって \(R\)-双線形写像 \(M \times N \to P\) を定める。 したがってこれは二つの加群 \(\Hom_R(M \otimes_R N, P)\) と \(\Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\) の間の自然な一対一対応である。

補題

\((M_i, \mu_{ij})\) を前順序集合 \(I\) 上の系とし、\(N\) を \(R\)-加群とする。このとき \[\colim (M_i \otimes N) \cong (\colim M_i)\otimes N.\] である。さらに、この同型は、\(M = \colim_i M_i\) として自然な写像 \(\mu_i : M_i \to M\) をとったとき、準同型 \(\mu_i \otimes 1: M_i \otimes N \to M \otimes N\) によって誘導される。

証明

第一の証明。補題 00DE により、関手 \(M' \mapsto M' \otimes_R N\) は関手 \(N' \mapsto \Hom_R(N, N')\) の左随伴である。 したがって \(M' \mapsto M' \otimes_R N\) はすべての余極限と可換する。Categories, Lemma 0038 を参照せよ。

第二の直接証明。\(P = \colim (M_i \otimes N)\) とし、余積射を \(\lambda_i : M_i \otimes N \to P\) とする。また \(M = \colim M_i\) とし、余積射を \(\mu_i : M_i \to M\) とする。このときすべての \(i\leq j\) に対して次の図式は可換である。 \[\xymatrix{ M_i \otimes N \ar[r]_{\mu_i \otimes 1} \ar[d]_{\mu_{ij} \otimes 1} & M \otimes N \ar[d]^{\text{id}} \\ M_j \otimes N \ar[r]^{\mu_j \otimes 1} & M \otimes N }\] 補題 00DA により、これらの写像は \(\mu_i \otimes 1 = \psi \circ \lambda_i\) を満たす一意な準同型 \(\psi : P \to M \otimes N\) を誘導する。

逆写像を構成する。各 \(i\in I\) に対し、標準的な \(R\)-双線形写像 \(g_i : M_i \times N \to M_i \otimes N\) がある。これは \(\widehat{\phi} \circ (\mu_i \times 1) = \lambda_i \circ g_i\) を満たす一意な写像 \(\widehat{\phi} : M \times N \to P\) を誘導する。この写像は \(R\)-双線形なので、 \(R\)-線形写像 \(\phi : M \otimes N \to P\) を誘導する。次の可換図式から、 \[\xymatrix{ M_i \times N \ar[r]^{g_i} \ar[d]^{\mu_i \times \text{id}} & M_i \otimes N\ar[r]_{\text{id}} \ar[d]_{\lambda_i} & M_i \otimes N \ar[d]_{\mu_i \otimes \text{id}} \ar[rd]^{\lambda_i} \\ M \times N \ar[r]^{\widehat{\phi}} & P \ar[r]^{\psi} & M \otimes N \ar[r]^{\phi} & P }\] \(\psi\circ\widehat{\phi} = g\) が分かる。ここで \(g : M \times N \to M \otimes N\) は標準的な \(R\)-双線形写像である。したがって \(\psi\circ\phi\) は \(M \otimes N\) 上の恒等写像である。右側の正方形と三角形から、 \(\phi\circ\psi\) も \(P\) 上の恒等写像である。

補題

\[\begin{align*} M_1\xrightarrow{f} M_2\xrightarrow{g} M_3 \to 0 \end{align*}\] を \(R\)-加群と準同型の完全列とし、\(N\) を任意の \(R\)-加群とする。このとき列 [00DG]\[\begin{equation} M_1\otimes N\xrightarrow{f \otimes 1} M_2\otimes N \xrightarrow{g \otimes 1} M_3\otimes N \to 0 \end{equation}\] は完全である。言い換えれば、関手 \(- \otimes_R N\) は右完全である。 すなわち、もとの右完全列の各項とテンソル積をとると完全性が保たれる。

証明

任意の \(R\)-加群 \(P\) に対し、最初の完全列へ関手 \(\Hom(-, \Hom(N, P))\) を 適用すると、補題 0582 (1) により完全な列 \[0 \to \Hom(M_3, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_2, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_1, \Hom(N, P))\] を得る。補題 00DE により、これは列 \[0 \to \Hom(M_3 \otimes N, P) \to \Hom(M_2 \otimes N, P) \to \Hom(M_1 \otimes N, P)\] となり、したがってこれも完全である。補題 0582 (1) を再び 用いると、所望の完全列を得る。

注意

しかし一般にテンソル積は完全列を保たない。言い換えれば、 \(M_1 \to M_2 \to M_3\) が完全であっても、任意の \(R\)-加群 \(N\) に対して \(M_1 \otimes N \to M_2 \otimes N \to M_3 \otimes N\) が完全であるとは限らない。

例

\(\mathbf{Z}\)-加群の写像とみなした単射 \(2 : \mathbf{Z}\to \mathbf{Z}\) を考える。 \(N = \mathbf{Z}/2\) とする。このとき誘導される写像 \(\mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2 \to \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\) は単射でない。 実際、\(x \otimes y\in \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\) に対して \[(2 \otimes 1)(x \otimes y) = 2x \otimes y = x \otimes 2y = x \otimes 0 = 0\] である。したがって誘導写像は零写像だが、\(\mathbf{Z} \otimes N\neq 0\) である。

注意

\(R\)-加群 \(N\) に対して、関手 \(-\otimes_R N\) が完全、すなわち \(N\) との テンソル積がすべての完全列を保つならば、\(N\) を平坦 \(R\)-加群という。 これについては後に Section 00H9 で論じる。

補題

\(R\) を環、\(M\) と \(N\) を \(R\)-加群とする。

1. \(N\) と \(M\) が有限ならば、\(M \otimes_R N\) も有限である。

2. \(N\) と \(M\) が有限表示ならば、\(M \otimes_R N\) も有限表示である。

証明

\(M\) が有限であると仮定し、表示 \(0 \to K \to R^{\oplus n} \to M \to 0\) を選ぶ。 補題 00DF により、これは完全列 \(K \otimes_R N \to N^{\oplus n} \to M \otimes_R N \to 0\) を与える。\(N\) も有限ならば、 \(M \otimes_R N\) は有限加群の商なので有限である。補題 0519 を 参照せよ。同様に \(N\) と \(M\) がともに有限表示ならば、\(K\) は有限であり、 \(M \otimes_R N\) は有限表示加群 \(N^{\oplus n}\) を有限加群 \(K \otimes_R N\) で割った商であることが分かる。したがって有限表示である。 補題 0519 を参照せよ。

補題

\(M\) を \(R\)-加群とする。このとき \(S^{-1}R\)-加群 \(S^{-1}M\) と \(S^{-1}R \otimes_R M\) は標準的に同型であり、標準同型 \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\) は \[f((a/s) \otimes m) = am/s, \forall a \in R, m \in M, s \in S\] で与えられる。

証明

写像 \(f' : S^{-1}R \times M \to S^{-1}M\) を \(f'(a/s, m) = am/s\) で定めると、 これは明らかに双線形である。したがって普遍性により、この写像は補題の主張に ある一意な \(S^{-1}R\)-加群準同型 \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\) を誘導する。 実際、\(S^{-1}M\) のすべての元は \(m/s\), \(m\in M, s\in S\) の形であり、 \(S^{-1}R \otimes_R M\) のすべての元は \(1/s \otimes m\) の形である。後者を示すため、 \(S^{-1}R \otimes_R M\) の元を \[\sum_k \frac{a_k}{s_k} \otimes m_k = \sum_k \frac{a_k t_k}{s} \otimes m_k = \frac{1}{s} \otimes \sum_k {a_k t_k}m_k = \frac{1}{s} \otimes m\] と書く。ここで \(m = \sum_k {a_k t_k}m_k\) である。このとき \(f\) が全射であることは 明らかである。また \(f(\frac{1}{s} \otimes m) = m/s = 0\) ならば、\(M\) において \(tm = 0\) を満たす \(t \in S\) が存在する。このとき \[\frac{1}{s} \otimes m = \frac{1}{st} \otimes tm = \frac{1}{st} \otimes 0 = 0\] である。したがって \(f\) は単射である。

補題

\(M, N\) を \(R\)-加群とする。このとき \[f((m/s)\otimes(n/t)) = (m \otimes n)/st\] で与えられる標準的な \(S^{-1}R\)-加群同型 \(f : S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \to S^{-1}(M \otimes_R N)\) が存在する。

証明

補題 00D2 と補題 00DK を繰り返し 用いると、\(S^{-1}R\) が \((R, S^{-1}R)\)-双加群であることから、これら二つの \(S^{-1}R\)-加群が次のように同型であることが分かる。 \[\begin{align*} S^{-1}(M \otimes_R N) & \cong S^{-1}R \otimes_R (M \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_R N\\ & \cong (S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}R)\otimes_R N\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}(S^{-1}R \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \end{align*}\] この同型が補題で述べたものに一致することは容易に分かる。

テンソル代数

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。 \(R\) 上の \(M\) の テンソル代数を、非可換 \(R\)-代数 \[\text{T}(M) = \text{T}_R(M) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{T}^n(M)\] として定める。ここで \(\text{T}^0(M) = R\), \(\text{T}^1(M) = M\), \(\text{T}^2(M) = M \otimes_R M\), \(\text{T}^3(M) = M \otimes_R M \otimes_R M\) などとする。 積は、単純テンソル上で \[(x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n) \cdot (y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m) = x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n \otimes y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m\] とし、これを線形に拡張することによって定める。

\(R\) 上の \(M\) の 外積代数 \(\wedge(M)\) を、 元 \(x \otimes x \in \text{T}^2(M)\) が生成する両側イデアルによる \(\text{T}(M)\) の商として定める。 \(\wedge^n(M)\) における単純テンソル \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\) の像を \(x_1 \wedge \ldots \wedge x_n\) と書く。 これらの元は \(\wedge^n(M)\) を生成し、各 \(x_i\) について \(R\)-線形であり、 二つの \(x_i\) が等しいときは零である（すなわち \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) の関数として交代的である）。 \(\wedge(M)\) 上の積は次数付き可換である。すなわち、任意の \(x \in M\) と \(y \in M\) は \(x \wedge y = - y \wedge x\) を満たす。

一例として、\(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\) が有限自由加群である場合を考える。 このとき \(\wedge(M)\) は \(R\) 上自由であり、 \[x_{i_1} \wedge \ldots \wedge x_{i_r}\] ただし \(0 \leq r \leq n\) かつ \(1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_r \leq n\) である元を基底にもつ。

\(R\) 上の \(M\) の 対称代数 \(\text{Sym}(M)\) を、 元 \(x \otimes y - y \otimes x \in \text{T}^2(M)\) が生成する両側イデアルによる \(\text{T}(M)\) の商として定める。 \(\text{Sym}^n(M)\) における単純テンソル \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\) の像を単に \(x_1 \ldots x_n\) と書く。 これらの元は \(\text{Sym}^n(M)\) を生成し、各 \(x_i\) について \(R\)-線形である。 また、元の列 \(x_1, \ldots, x_n\) が元の列 \(x_1', \ldots, x_n'\) の置換ならば \(x_1 \ldots x_n = x_1' \ldots x_n'\) である。 したがって \(\text{Sym}(M)\) は可換である。

一例として、\(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\) が有限自由加群である場合を考える。 このとき \(\text{Sym}(M) = R[x_1, \ldots, x_n]\) は多項式代数である。

補題

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。 \(M\) が自由 \(R\)-加群ならば、各対称冪および外積冪も自由である。

証明

省略する。ただし有限自由の場合については上記を参照せよ。

補題

\(R\) を環とする。 \(M_2 \to M_1 \to M \to 0\) を \(R\)-加群の完全列とする。 このとき完全列 \[M_2 \otimes_R \text{Sym}^{n - 1}(M_1) \to \text{Sym}^n(M_1) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] があり、同様に完全列 \[M_2 \otimes_R \wedge^{n - 1}(M_1) \to \wedge^n(M_1) \to \wedge^n(M) \to 0\] がある。

証明

省略する。

補題

\(R\) を環とする。 \(M\) を \(R\)-加群とする。 \(x_i\), \(i \in I\) を、\(R\)-加群としての \(M\) の所与の生成系とする。 \(n \geq 2\) とする。このとき標準的な完全列 \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \oplus \bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \wedge^n(M) \to 0\] が存在する。第一の直和因子に属する単純テンソル \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) は \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_1} \text{ and } x_{i_2} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \\ + \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_2} \text{ and } x_{i_1} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \end{align*}\] へ写り、第二の直和因子に属する \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) は \[\underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i} \text{ and } x_{i} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}}\] へ写る。また、標準的な完全列 \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] も存在し、単純テンソル \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\) は \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_1} \text{ and } x_{i_2} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \\ - \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_2} \text{ and } x_{i_1} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \end{align*}\] へ写る。

証明

省略する。

補題

\(A \to B\) を環準同型とし、\(M\) を \(B\)-加群とする。 \(n > 1\) とする。\(A\)-線形写像 \(M \otimes_A \ldots \otimes_A M \to \wedge^n_B(M)\) の核は、\(A\)-加群として、\(i \not = j\) かつ \(m_1, \ldots, m_n \in M\) を満たす \(m_i = m_j\) なる元 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_n\) と、\(i \not = j\), \(m_1, \ldots, m_n \in M\), \(b \in B\) を満たす元 \(m_1 \otimes \ldots \otimes bm_i \otimes \ldots \otimes m_n - m_1 \otimes \ldots \otimes bm_j \otimes \ldots \otimes m_n\) によって生成される。

証明

省略する。

補題

\(R\) を環とし、\(M_i\) を \(R\)-加群の有向系とする。このとき \(\colim_i \text{T}(M_i) = \text{T}(\colim_i M_i)\) であり、対称代数および外積代数についても同様である。

証明

省略する。ヒント：補題 00DD を適用せよ。

補題

\(R\) を環、\(S \subset R\) を乗法的集合とする。 このとき任意の \(R\)-加群 \(M\) に対し \(S^{-1}T_R(M) = T_{S^{-1}R}(S^{-1}M)\) である。 対称代数および外積代数についても同様である。

証明

省略する。ヒント：補題 00DL を適用せよ。

基底変換

代数における基底変換を次のように形式的に導入する。

定義

\(\varphi : R \to S\) を環準同型、\(M\) を \(S\)-加群とする。 \(R \to R'\) を任意の環準同型とする。 \(R \to R'\) による \(\varphi\) の 基底変換とは、環準同型 \(R' \to S \otimes_R R'\) のことである。この状況ではしばしば \(S' = S \otimes_R R'\) と書く。 \(S\)-加群 \(M\) の 基底変換とは \(S'\)-加群 \(M \otimes_R R'\) のことである。

ある変数族 \(x_i\), \(i \in I\) と多項式族 \(f_j \in R[x_i]\), \(j \in J\) に対して \(S = R[x_i]/(f_j)\) ならば、 \(S \otimes_R R' = R'[x_i]/(f'_j)\) である。ここで \(f'_j \in R'[x_i]\) は、\(R \to R'\) が誘導する写像 \(R[x_i] \to R'[x_i]\) による \(f_j\) の像である。 この簡単な注意が基底変換を理解する鍵である。

補題

\(R \to S\) を環準同型、\(M\) を \(S\)-加群とする。 \(R \to R'\) を環準同型とし、\(S' = S \otimes_R R'\) および \(M' = M \otimes_R R'\) をそれぞれの基底変換とする。

1. \(M\) が有限 \(S\)-加群ならば、基底変換 \(M'\) は有限 \(S'\)-加群である。

2. \(M\) が有限表示 \(S\)-加群ならば、基底変換 \(M'\) は有限表示 \(S'\)-加群である。

3. \(R \to S\) が有限型ならば、基底変換 \(R' \to S'\) も有限型である。

4. \(R \to S\) が有限表示ならば、基底変換 \(R' \to S'\) も有限表示である。

証明

(1) の証明。全射な \(S\)-線形写像 \(S^{\oplus n} \to M \to 0\) をとる。 補題 00CY および 00DF により、\(R^\prime\) とテンソル積を とった結果は全射 \({S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \rightarrow 0\) となる。したがって \(M^\prime\) は有限生成 \(S^\prime\)-加群である。 (2) の証明。表示 \(S^{\oplus m} \to S^{\oplus n} \to M \to 0\) をとる。 補題 00CY および 00DF により、\(R^\prime\) とテンソル積を とった結果は \(S^\prime\)-加群 \(M^\prime\) の有限表示 \({S^\prime}^{\oplus m} \to {S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \to 0\) を与える。(3) の証明。仮定により \(I\) を有限にとれるので、補題の直前の 注意から従う。(4) の証明。仮定により \(I\) と \(J\) を有限にとれるので、 補題の直前の注意から従う。

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とする。\(S\)-加群 \(N\) が与えられると、 規則 \(r \cdot n = \varphi(r)n\) により \(R\)-加群 \(N_R\) を得る。 これは \(N\) の \(R\) への 制限と呼ばれることがある。

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。関手 \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\), \(N \mapsto N_R\)（制限）と \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\), \(M \mapsto M \otimes_R S\) （基底変換）は随伴関手である。式で書けば \[\Hom_R(M, N_R) = \Hom_S(M \otimes_R S, N)\] である。

証明

\(\alpha : M \to N_R\) が \(R\)-加群写像ならば、規則 \(\alpha'(m \otimes s) = s\alpha(m)\) により \(\alpha' : M \otimes_R S \to N\) を定める。 \(\beta : M \otimes_R S \to N\) が \(S\)-加群写像ならば、規則 \(\beta'(m) = \beta(m \otimes 1)\) により \(\beta' : M \to N_R\) を定める。 これらの構成が互いに逆であることの確認は省略する。

上の補題は、制限が左随伴、すなわち基底変換をもつことを述べている。 制限は右随伴ももつ。

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。関手 \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\), \(N \mapsto N_R\)（制限）と \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\), \(M \mapsto \Hom_R(S, M)\) は随伴関手である。式で書けば \[\Hom_R(N_R, M) = \Hom_S(N, \Hom_R(S, M))\] である。

証明

\(\alpha : N_R \to M\) が \(R\)-加群写像ならば、規則 \(\alpha'(n) = (s \mapsto \alpha(sn))\) により \(\alpha' : N \to \Hom_R(S, M)\) を定める。 \(\beta : N \to \Hom_R(S, M)\) が \(S\)-加群写像ならば、規則 \(\beta'(n) = \beta(n)(1)\) により \(\beta' : N_R \to M\) を定める。 これらの構成が互いに逆であることの確認は省略する。

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。\(S\)-加群 \(M, N\) と \(R\)-加群 \(P\) が与えられたとき、 \[\Hom_R(M \otimes_S N, P) = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P))\] が成り立つ。

証明

これは直接証明できるが、補題 08YP および 00DE の帰結でもある。実際、 \[\begin{align*} \Hom_R(M \otimes_S N, P) & = \Hom_S(M \otimes_S N, \Hom_R(S, P)) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_S(N, \Hom_R(S, P))) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P)) \end{align*}\] となり、所望の結果を得る。

雑録

この節の証明では、基本概念を扱う節、すなわち Section 00AR の結果以外を参照してはならない。

補題

\(R\) を環、\(I\) と \(J\) を二つのイデアル、\(\mathfrak p\) を積 \(IJ\) を含む 素イデアルとする。このとき \(\mathfrak{p}\) は \(I\) または \(J\) を含む。

証明

そうでないと仮定し、\(x \in I \setminus \mathfrak p\) および \(y \in J \setminus \mathfrak p\) をとる。その積は \(IJ \subset \mathfrak p\) の元であり、\(\mathfrak p\) が素イデアルであるという 仮定に矛盾する。

補題

\(R\) を環とする。\(I_i \subset R\), \(i = 1, \ldots, r\) および \(J \subset R\) をイデアルとする。次を仮定する。

1. \(i = 1, \ldots, r\) に対して \(J \not\subset I_i\) である。

2. \(I_i\) のうち二つを除くすべてが素イデアルである。

このとき、すべての \(i\) に対して \(x\not\in I_i\) を満たす \(x \in J\) が存在する。

証明

\(r = 1\) のとき結果は正しい。\(r = 2\) ならば、 \(x \not \in I_1\) および \(y \not \in I_2\) を満たす \(x, y \in J\) をとる。 \(x \in I_2\) かつ \(y \in I_1\) でない限り、これでよい。 その場合、元 \(x + y\) は \(I_1\) に属しえず（属すれば \(x + y - y \in I_1\) となる）、同様に \(I_2\) にも属しえない。

\(r \geq 3\) とし、\(r - 1\) に対して結果が成り立つと仮定する。 番号を付け替えて \(I_r\) が素イデアルであるとしてよい。 また、\(I_i\) の間に包含関係がないとしてよい。 すべての \(i = 1, \ldots, r - 1\) に対して \(x \not \in I_i\) を満たす \(x \in J\) をとる。\(x \not\in I_r\) ならばこれでよいので、 \(x \in I_r\) と仮定する。もし \(J I_1 \ldots I_{r - 1} \subset I_r\) ならば、補題 07K1 により \(J \subset I_r\) となり、矛盾する。 \(y \not \in I_r\) を満たす \(y \in J I_1 \ldots I_{r - 1}\) をとれば、\(x + y\) が所望の元である。

補題

\(R\) を環とする。\(x \in R\)、\(I \subset R\) をイデアルとし、 \(\mathfrak p_i\), \(i = 1, \ldots, r\) を素イデアルとする。 \(i = 1, \ldots, r\) に対して \(x + I \not \subset \mathfrak p_i\) であると仮定する。 このとき、すべての \(i\) に対して \(x + y \not \in \mathfrak p_i\) を満たす \(y \in I\) が存在する。

証明

\(\mathfrak p_i\) の間に包含関係がないとしてよい。 順序を付け替えて、\(i < s\) では \(x \not \in \mathfrak p_i\)、 \(i \geq s\) では \(x \in \mathfrak p_i\) としてよい。 \(s = r + 1\) ならばこれでよい。そうでなければ \(y \not \in \mathfrak p_s\) を満たす \(y \in I\) をとれる。 \(f \not \in \mathfrak p_s\) を満たす \(f \in \bigcap_{i < s} \mathfrak p_i\) を選ぶ。 このとき \(x + fy\) は \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_s\) のいずれにも属さない。 したがって \(s\) に関する帰納法により結論を得る。

補題

\(R\) を環とする。

1. \(I_1, \ldots, I_r\) が、\(a \not = b\) のとき \(I_a + I_b = R\) を満たすイデアルならば、 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1I_2\ldots I_r\) であり、 \(R/(I_1I_2\ldots I_r) \cong R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\) である。

2. \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) が互いに異なる極大イデアルならば、 \(a \not = b\) に対して \(\mathfrak m_a + \mathfrak m_b = R\) であり、 上記が適用される。

証明

まず \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1 \ldots I_r\) を示す。 これにより、誘導される環準同型 \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\) の単射性も従う。 イデアルは任意の環の元との積について閉じているので、包含 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r \supset I_1 \ldots I_r\) は常に成り立つ。 逆の包含を示すため、イデアル \[I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r,\quad i = 1, \ldots, r\] が環 \(R\) を生成することを主張する。これを \(r\) に関する帰納法で示す。 \(r = 2\) のときは成り立つ。\(r > 2\) ならば、 \(R\) はイデアル \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_{r - 1}\), \(i = 1, \ldots, r - 1\) の和である。したがって \(I_r\) はイデアル \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\), \(i = 1, \ldots, r - 1\) の和である。イデアルの順序を逆にして同じ議論を適用すれば、 \(I_1\) はイデアル \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\), \(i = 2, \ldots, r\) の和である。仮定により \(R = I_1 + I_r\) なので、 \(R\) は上に表示したイデアルの和である。 したがって、和が 1 となる元 \(a_i \in I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\) をとれる。この等式に \(I_1 \cap \ldots \cap I_r\) の元を掛ければ 逆の包含を得る。 残るのは、標準写像 \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\) が全射であることを示すことである。そのため、上で得た等式 \(1 = \sum_{i=1}^r a_i\) に対するこの写像の作用を考える。 一方で環準同型は 1 を 1 へ写し、他方で任意の \(a_i\) の像は \(j \neq i\) に対して \(R/I_j\) で零である。 したがって \(R/I_i\) における \(a_i\) の像は単位元である。 ゆえに任意の元 \((\bar{b_1}, \ldots, \bar{b_r}) \in R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\) に対し、元 \(\sum_{i=1}^r a_i \cdot b_i\) が \(R\) における逆像である。

(2) を示す。互いに異なる極大イデアルの定義そのものから、 \(a \neq b\) に対して \(\mathfrak{m}_a + \mathfrak{m}_b = R\) であるので、上記が適用される。

補題

\(R\) を環とする。\(n \geq m\) とし、\(A\) を \(R\) に係数をもつ \(n \times m\) 行列とする。\(J \subset R\) を \(A\) の \(m \times m\) 小行列式が生成するイデアルとする。

1. 任意の \(f \in J\) に対し、\(BA = f 1_{m \times m}\) を満たす \(m \times n\) 行列 \(B\) が存在する。

2. \(f \in R\) であり、ある \(m \times n\) 行列 \(B\) に対して \(BA = f 1_{m \times m}\) ならば、\(f^m \in J\) である。

証明

\(|I| = m\) を満たす \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) に対し、 射影 \[R^{\oplus n} = \bigoplus\nolimits_{i \in \{1, \ldots, n\}} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} R\] の \(m \times n\) 行列を \(E_I\) と書き、 \(A_I = E_I A\) とおく。すなわち \(A_I\) は、\(A\) のうち添字が \(I\) に属する行からなる \(m \times m\) 行列である。 \(B_I\) を \(A_I\) の随伴行列（余因子行列の転置）、すなわち \(A_I B_I = B_I A_I = \det(A_I) 1_{m \times m}\) を満たす行列とする。 \(A\) の \(m \times m\) 小行列式は、 \(|I| = m\) を満たすすべての \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) に対する 行列式 \(\det A_I\) である。\(f \in J\) ならば、ある \(c_I \in R\) により \(f = \sum c_I \det(A_I)\) と書ける。 \(B = \sum c_I B_I E_I\) とおけば (1) が成り立つことが分かる。

\(f 1_{m \times m} = BA\) ならば、コーシー・ビネの公式 (0F0K) により \(f^m = \sum b_I \det(A_I)\) である。ここで \(b_I\) は、 \(B\) のうち添字が \(I\) に属する列からなる \(m \times m\) 行列の行列式である。

補題

\(R\) を環とする。\(n \geq m\) とし、\(A = (a_{ij})\) を \(R\) に係数をもつ \(n \times m\) 行列で、ブロック表示が \[A = \left( \begin{matrix} A_1 \\ A_2 \end{matrix} \right)\] であるものとする。ここで \(A_1\) の大きさは \(m \times m\) である。 \(B\) を \(A_1\) の随伴行列（余因子行列の転置）とする。このとき \[AB = \left( \begin{matrix} f 1_{m \times m} \\ C \end{matrix} \right)\] である。ここで \(f = \det(A_1)\) であり、\(c_{ij}\) は符号を除いて、 \(A\) の行 \(1, \ldots, \hat j, \ldots, m, i\) に対応する \(m \times m\) 小行列式である。

証明

随伴行列は \(A_1B = B A_1 = f\) を満たすので、\(AB\) の表示の 第一ブロックは正しい。また \[c_{ij} = \sum\nolimits_k a_{ik}b_{kj} = \sum (-1)^{j + k}a_{ik} \det(A_1^{jk})\] である。ここで \(A_1^{ij}\) は、\(A_1\) から第 \(j\) 行と第 \(k\) 列を 取り除いた行列を表す。

最後の式は、補題の主張に現れる行列の行列式を行について展開したものである。

補題

\(R\) を零でない環とする。\(n \geq 1\) とし、\(M\) を \(< n\) 個の元で生成される \(R\)-加群とする。このとき任意の \(R\)-加群写像 \(f : R^{\oplus n} \to M\) は零でない核をもつ。

証明

全射 \(R^{\oplus n - 1} \to M\) を選ぶ。 写像 \(f\) を写像 \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\) へ持ち上げられる （補題 07JX）。 \(f'\) が零でない核をもつことを示せば十分である。 写像 \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\) は行列 \(A = (a_{ij})\) で与えられる。\(a_{ij}\) の一つ、たとえば \(a = a_{ij}\) が冪零でないならば、\(R\) を局所化 \(R_a\) で置き換えて、 \(a_{ij}\) が単元であるとしてよい。実際、局所化は完全なので、 局所化後に零でない核が見つかれば、もとの写像も零でない核をもつ。 命題 00CS を参照せよ。 この場合、\(R^{\oplus n}\) と \(R^{\oplus n - 1}\) の双方で基底を取り替え、 \[A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \ldots \\ 0 & a_{32} & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] の場合に帰着できる。したがって、この場合は \(n\) に関する帰納法で結論を得る。 そうでなければ各 \(a_{ij}\) は冪零である。 \(I = (a_{ij}) \subset R\) とおく。ある \(m \geq 0\) に対して \(I^{m + 1} = 0\) であることに注意する。 \(I^m \not = 0\) を満たす最大の整数 \(m\) をとる。 すると \((I^m)^{\oplus n}\) が写像の核に含まれるので、結論を得る。

補題

\(R\) を零でない環とし、\(n, m \geq 0\) を整数とする。 \(R^{\oplus n}\) と \(R^{\oplus m}\) が \(R\)-加群として同型ならば \(n = m\) である。

証明

補題 05WI から直ちに従う。

ケイリー・ハミルトン

補題

\(R\) を環とする。\(A = (a_{ij})\) を \(R\) に係数をもつ \(n \times n\) 行列とする。\(P(x) \in R[x]\) を \(A\) の特性多項式 （\(\det(x\text{id}_{n \times n} - A)\) として定義する）とする。 このとき \(\text{Mat}(n \times n, R)\) において \(P(A) = 0\) である。

証明

いくつかの段階を経て、この問題を線形代数でよく知られた ケイリー・ハミルトンの定理に帰着する。

1. \(\phi :S \rightarrow R\) が環準同型であり、\(b_{ij}\) がこの写像による \(a_{ij}\) の逆像ならば、\(\phi\) は環準同型なので、\(S\) と \((b_{ij})\) に 対して主張を示せば十分である。

2. \(\psi :R \hookrightarrow S\) が単射な環準同型ならば、 \(S\) の元とみなした \(a_{ij}\) と \(S\) に対して結果を示せば十分である。

3. したがって、まず多項式環の場合 \(R = \mathbf{Z}[X_{ij}]\), \(a_{ij} = X_{ij}\) に帰着し、さらに \(R = \mathbf{Q}(X_{ij})\) の場合へ帰着できる。最後の体上では ケイリー・ハミルトンの定理を適用できる。

補題

\(R\) を環とする。 \(M\) を有限 \(R\)-加群とする。 \(\varphi : M \to M\) を自己準同型とする。 このとき、\(M\) の自己準同型として \(P(\varphi) = 0\) を満たす モニック多項式 \(P \in R[T]\) が存在する。

証明

ある生成元 \(x_i \in M\) に対し \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\) で与えられる全射な \(R\)-加群写像 \(R^{\oplus n} \to M\) を選ぶ。 \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\) を満たす \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in R^{\oplus n}\) を選ぶ。 言い換えれば、\(A = (a_{ij})\) として図式 \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ R^{\oplus n} \ar[r] & M }\] は可換である。補題 00DX により、 \(P(A) = 0\) を満たすモニック多項式 \(P\) が存在する。 したがって \(P(\varphi) = 0\) である。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアルとする。 \(M\) を有限 \(R\)-加群とする。 \(\varphi(M) \subset IM\) を満たす自己準同型 \(\varphi : M \to M\) とする。 このとき、\(a_j \in I^j\) であり、\(M\) の自己準同型として \(P(\varphi) = 0\) を満たすモニック多項式 \(P = t^n + a_1 t^{n - 1} + \ldots + a_n \in R[T]\) が存在する。

証明

ある生成元 \(x_i \in M\) に対し \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\) で与えられる全射な \(R\)-加群写像 \(R^{\oplus n} \to M\) を選ぶ。 \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\) を満たす \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in I^{\oplus n}\) を選ぶ。 言い換えれば、\(A = (a_{ij})\) として図式 \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ I^{\oplus n} \ar[r] & M }\] は可換である。補題 00DX により、多項式 \(P(t) = \det(t\text{id}_{n \times n} - A)\) は所望の性質をすべてもつ。

楽しい応用例として、次の驚くべき補題を証明する。

補題

\(R\) を環とする。 \(M\) を有限 \(R\)-加群とする。 \(\varphi : M \to M\) を全射な \(R\)-加群写像とする。 このとき \(\varphi\) は同型である。

証明

\(R' = R[x]\) と書き、\(x\) が \(\varphi\) として作用することにより \(M\) を有限 \(R'\)-加群とみなす。\(I = (x) \subset R'\) とおく。 \(\varphi\) が全射であるという仮定から \(IM = M\) である。 したがって、\(R'\)-加群としての \(M\)、イデアル \(I\)、自己準同型 \(\text{id}_M\) に補題 05G7 を適用できる。 その結果、\(a_j \in I\) を満たす \((1 + a_1 + \ldots + a_n)\text{id}_M = 0\) を得る。 ある \(b_j(x) \in R[x]\) により \(a_j = b_j(x)x\) と書く。 これを \(\varphi\) の言葉に戻すと \(\text{id}_M = -(\sum_{j = 1, \ldots, n} b_j(\varphi)) \varphi\) となり、したがって \(\varphi\) は可逆である。

証明

\(R\) 上の \(M\) の生成元の個数について帰納法を行う。 \(M\) が一つの元で生成されるならば、あるイデアル \(I \subset R\) に対し \(M \cong R/I\) である。この場合、\(R\) を \(R/I\) で置き換えて \(M = R\) としてよい。このとき \(\varphi : R \to R\) は ある元 \(r \in R\) による \(M\) 上の乗法で与えられる。 \(\varphi\) の全射性により、\(\varphi\) は \(1\) を像にもたなければならないので、 \(r\) は可逆となり、したがって \(\varphi\) は可逆である。

\(n - 1\) 個の元で生成される加群に対して補題を証明済みとし、 \(n\) 個の元で生成される加群 \(M\) を考える。\(A\) を環 \(R[t]\) とし、 \(t\) が \(\varphi\) として作用することにより \(M\) を \(A\)-加群とみなす。 \(M\) は \(R\) 上有限なので \(R[t]\) 上も有限である。 また、示そうとしている \(\varphi\) の単射性は集合論的な性質なので、 \(A\) 上の自己準同型 \(t : M \to M\) の単射性を示してもよい。 これで、自己準同型が基礎環の元による乗法である場合に問題を帰着した。 \(M\) の最初の \(n - 1\) 個の生成元が生成する部分 \(A\)-加群を \(M' \subset M\) と書き、図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & M' \ar[r]\ar[d]^{\varphi\mid_{M'}} & M\ar[d]^\varphi \ar[r] & M/M' \ar[d]^{\varphi \bmod M'} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M' \ar[r] & M \ar[r] & M/M' \ar[r] & 0, }\] を考える。\(\varphi\) は基礎環の元による乗法であり、\(M'\) と \(M/M'\) は それ自体 \(A\)-加群なので、\(\varphi\) の \(M'\) への制限と \(\varphi\) が商 \(M/M'\) 上に誘導する写像はいずれも良定義である。 \(n = 1\) の場合により、写像 \(M/M' \to M/M'\) は同型である。 図式追跡により \(\varphi|_{M'}\) は全射であり、帰納法により \(\varphi|_{M'}\) は同型である。したがって蛇の補題により中央の列も同型となる。

環のスペクトル

環のスペクトルを位相空間とみなしたものは代数の章に属し、 アフィンスキームはスキームの章に属するものと、ここでは便宜的に定める。

定義

\(R\) を環とする。

1. \(R\) の スペクトルとは、\(R\) の素イデアル全体の集合である。 通常これを \(\Spec(R)\) と書く。

2. 部分集合 \(T \subset R\) が与えられたとき、 \(V(T) \subset \Spec(R)\) を \(T\) を含む素イデアル全体、すなわち \(V(T) = \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid \forall f\in T, f\in \mathfrak p\}\) とする。

3. 元 \(f \in R\) が与えられたとき、 \(D(f) \subset \Spec(R)\) を \(f\) を含まない素イデアル全体とする。

補題

\(R\) を環とする。

1. 環 \(R\) のスペクトルが空であることと、\(R\) が零環であることは同値である。

2. 零でない任意の環は極大イデアルをもつ。

3. 零でない任意の環は極小素イデアルをもつ。

4. イデアル \(I \subset R\) と素イデアル \(I \subset \mathfrak p\) が与えられたとき、\(\mathfrak q\) が \(I\) 上極小であるような素イデアル \(I \subset \mathfrak q \subset \mathfrak p\) が存在する。

5. \(T \subset R\) であり、\((T)\) が \(R\) において \(T\) が生成する イデアルならば、\(V((T)) = V(T)\) である。

6. \(I\) がイデアルで \(\sqrt{I}\) がその根基ならば、基本概念 (00BI) を参照して、\(V(I) = V(\sqrt{I})\) である。

7. \(R\) のイデアル \(I\) に対して \(\sqrt{I} = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\) である。

8. \(I\) がイデアルならば、\(V(I) = \emptyset\) であることと \(I\) が単位イデアルであることは同値である。

9. \(I\), \(J\) が \(R\) のイデアルならば \(V(I) \cup V(J) = V(I \cap J)\) である。

10. \((I_a)_{a\in A}\) が \(R\) のイデアル族ならば \(\bigcap_{a\in A} V(I_a) = V(\bigcup_{a\in A} I_a)\) である。

11. \(f \in R\) ならば \(D(f) \amalg V(f) = \Spec(R)\) である。

12. \(f \in R\) ならば、\(D(f) = \emptyset\) であることと \(f\) が冪零であることは同値である。

13. ある単元 \(u \in R\) に対して \(f = u f'\) ならば \(D(f) = D(f')\) である。

14. \(I \subset R\) がイデアルであり、\(\mathfrak p\) が \(\mathfrak p \not\in V(I)\) を満たす \(R\) の素イデアルならば、 \(\mathfrak p \in D(f)\) かつ \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\) を満たす \(f \in R\) が存在する。

15. \(f, g \in R\) ならば \(D(fg) = D(f) \cap D(g)\) である。

16. \(i \in I\) に対して \(f_i \in R\) ならば、 \(\bigcup_{i\in I} D(f_i)\) は \(\Spec(R)\) における \(V(\{f_i \}_{i\in I})\) の補集合である。

17. \(f \in R\) かつ \(D(f) = \Spec(R)\) ならば、\(f\) は単元である。

証明

各部分を対応する項目で扱う。

1. (2) または (3) から直ちに従う。

2. \(\mathfrak{A}\) を \(R\) の真のイデアル全体の集合とする。 この集合を包含関係で順序づける。\((0) \in \mathfrak{A}\) は真の イデアルなので、この集合は空でない。\(A\) を \(\mathfrak A\) の全順序部分集合とする。 このとき \(\bigcup_{I \in A} I\) は実際イデアルである。 すべての \(I \in A\) に対して 1 \(\notin I\) なので、この和集合は 1 を含まず、 したがって真である。

   ゆえに \(\bigcup_{I \in A} I\) は \(\mathfrak{A}\) に属し、集合 \(A\) の上界である。 よってツォルンの補題により \(\mathfrak{A}\) は極大元をもち、これが求める 極大イデアルである。

3. \(R\) は零でないので、素イデアルでもある極大イデアルをもつ。 したがって \(R\) の素イデアル全体の集合 \(\mathfrak{A}\) は空でない。 \(\mathfrak{A}\) を逆包含で順序づける。\(A\) を \(\mathfrak{A}\) の 全順序部分集合とする。\(J = \bigcap_{I \in A} I\) が実際イデアルであることは ほぼ明らかである。しかし、これが素であることはそれほど明らかでない。 \(xy \in J\) とする。このときすべての \(I \in A\) に対して \(xy \in I\) である。 \(B = \{I \in A | y \in I\}\) とし、\(K = \bigcap_{I \in B} I\) とおく。 \(A\) は全順序づけられているので、\(K = J\)（このとき \(y \in J\) なので結論を得る） であるか、または \(K \supset J\) であって、\(K\) に真に含まれるすべての \(I \in A\) に対して \(y \notin I\) である。後者の場合、それらは素なので、 すべてのそのような \(I, x \in I\) である。したがって \(x \in J\) である。 いずれの場合も所望どおり \(J\) は素である。よってツォルンの補題から極大元を得るが、 この場合それは極小素イデアルである。

4. \(\mathfrak{p}\) に含まれ、かつ \(I\) を含む素イデアルだけを 考える点を除けば、(3) とまったく同じ議論である。

5. \((T)\) は \(T\) を含む最小のイデアルである。したがって、あるイデアル \(I\) に対して \(T \subset I\) ならば \((T) \subset I\) でもある。 ゆえに \(I \in V(T)\) ならば \(I \in V((T))\) でもある。 逆の包含は明らかである。

6. \(I \subset \sqrt{I}, V(\sqrt{I}) \subset V(I)\) である。 ここで \(\mathfrak{p} \in V(I)\) とし、\(x \in \sqrt{I}\) とする。 ある \(n\) に対して \(x^n \in I\) である。したがって \(x^n \in \mathfrak{p}\) である。\(\mathfrak{p}\) は素なので、単純な 帰納法により \(x \in \mathfrak{p}\) を得る。ゆえに \(\sqrt{I} \subset \mathfrak{p}\) であり、 \(\mathfrak{p} \in V(\sqrt{I})\) である。

7. \(f \in R \setminus \sqrt{I}\) とする。このときすべての \(n\) に対して \(f^n \notin I\) である。したがって \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\) は \(0\) を含まない乗法的集合である。 \(S^{-1}I\) を含む素イデアル \(\bar{\mathfrak{p}} \subset S^{-1}R\) をとる。 \(\bar{\mathfrak{p}}\) の \(R\) における引き戻し \(\mathfrak{p}\) は、 \(I\) を含み \(S\) と交わらない素イデアルである。 これにより \(\bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p \subset \sqrt{I}\) が分かる。 一方、\(a \in \sqrt{I}\) ならば、ある \(n\) に対して \(a^n \in I\) である。 したがって \(I \subset \mathfrak{p}\) ならば \(a^n \in \mathfrak{p}\) である。 \(\mathfrak{p}\) は素なので \(a \in \mathfrak{p}\) である。以上で等式が示された。

8. \(I\) が単位イデアルでないことと、\(I\) がある極大イデアルに含まれることは 同値であり（これを見るには環 \(R/I\) に (2) を適用せよ）、その極大イデアルは素である。

9. \(\mathfrak{p} \in V(I) \cup V(J)\) ならば、 \(I \subset \mathfrak{p}\) または \(J \subset \mathfrak{p}\) であり、 したがって \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\) である。 逆に \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\) ならば \(IJ \subset \mathfrak{p}\) であり、\(\mathfrak{p}\) は素なので \(I\) または \(J\) が \(\mathfrak{p}\) に含まれる。

10. \(\mathfrak{p} \in \bigcap_{a \in A} V(I_a) \Leftrightarrow I_a \subset \mathfrak{p}, \forall a \in A \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in V(\bigcup_{a\in A} I_a)\)

11. \(\mathfrak{p}\) が素イデアルで \(f \in R\) ならば、 \(f \in \mathfrak{p}\) または \(f \notin \mathfrak{p}\) のいずれか一方が 成り立つ。これが直和記号の述べていることである。

12. \(a \in R\) が冪零ならば、ある \(n\) に対して \(a^n = 0\) である。 したがって任意の素イデアルに対して \(a^n \in \mathfrak{p}\) である。 帰納法により \(a \in \mathfrak{p}\) であり、\(D(a) = \emptyset\) である。 逆に (7) で示したとおり、\(a \in R\) が冪零でなければ、 それを含まない素イデアルが存在する。

13. \(u\) は可逆なので \(f \in \mathfrak{p} \Leftrightarrow uf \in \mathfrak{p}\) である。

14. \(\mathfrak{p} \notin V(I)\) ならば \(\exists f \in I \setminus \mathfrak{p}\) である。 このとき \(f \notin \mathfrak{p}\) なので \(\mathfrak{p} \in D(f)\) である。 また \(\mathfrak{q} \in D(f)\) ならば \(f \notin \mathfrak{q}\) であり、 したがって \(I\) は \(\mathfrak{q}\) に含まれない。 ゆえに \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\) である。

15. \(fg \in \mathfrak{p}\) ならば \(f \in \mathfrak{p}\) または \(g \in \mathfrak{p}\) である。したがって \(f \notin \mathfrak{p}\) かつ \(g \notin \mathfrak{p}\) ならば \(fg \notin \mathfrak{p}\) である。 \(\mathfrak{p}\) はイデアルなので、\(fg \notin \mathfrak{p}\) ならば \(f \notin \mathfrak{p}\) かつ \(g \notin \mathfrak{p}\) である。

16. \(\mathfrak{p} \in \bigcup_{i \in I} D(f_i) \Leftrightarrow \exists i \in I, f_i \notin \mathfrak{p} \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in \Spec(R) \setminus V(\{f_i\}_{i \in I})\)

17. \(D(f) = \Spec(R)\) ならば \(V(f) = \emptyset\) であり、 したがって \(fR = R\) なので \(f\) は単元である。

この補題により、定義 00DZ の部分集合 \(V(T)\) は \(\Spec(R)\) 上のある位相の閉集合系をなす。 また、集合 \(D(f)\) は開であり、この位相の基底をなすことも分かる。

定義

\(R\) を環とする。 閉集合が \(V(T)\) という形の集合である \(\Spec(R)\) 上の位相を ザリスキー位相という。開部分集合 \(D(f)\) を \(\Spec(R)\) の 標準開集合という。

\(\Spec(R)\) を単なる集合とみなすのか、位相空間とみなすのかは、 文脈から明らかであろう。

補題

\(\varphi : R \to R'\) を環準同型とする。誘導写像 \[\Spec(\varphi) : \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R), \quad \mathfrak p' \longmapsto \varphi^{-1}(\mathfrak p')\] はザリスキー位相について連続である。実際、任意の元 \(f \in R\) に対して \(\Spec(\varphi)^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))\) である。

証明

\(\mathfrak p := \varphi^{-1}(\mathfrak p')\) が実際に \(R\) の素イデアルで あることは基本概念 (00BV) である。 補題の最後の主張は定義から直ちに従い、最初の主張を導く。

\(\varphi' : R' \to R''\) を第二の環準同型とすると、合成 \[\Spec(R'') \longrightarrow \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R)\] は \(\Spec(\varphi' \circ \varphi)\) に等しい。 言い換えれば、\(\Spec\) は環の圏から位相空間の圏への反変関手である。

補題

\(R\) を環、\(S \subset R\) を乗法的集合とする。 写像 \(R \to S^{-1}R\) は \(\Spec\) の関手性により同相写像 \[\Spec(S^{-1}R) \longrightarrow \{\mathfrak p \in \Spec(R) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset \}\] を誘導する。ここで右辺には \(\Spec(R)\) のザリスキー位相から誘導される 位相を入れる。逆写像は \(\mathfrak p \mapsto S^{-1}\mathfrak p = \mathfrak p(S^{-1}R)\) で与えられる。

証明

補題の矢印の右辺を \(D\) と書く。 素イデアル \(\mathfrak p' \subset S^{-1}R\) を選び、 \(\mathfrak p\) を \(\mathfrak p'\) の \(R\) における逆像とする。 \(\mathfrak p'\) は \(1\) を含まないので、\(\mathfrak p\) は \(S\) の どの元も含まない。したがって \(\mathfrak p \in D\) であり、像は \(D\) に含まれる。\(\mathfrak p \in D\) とする。 仮定により像 \(\overline{S}\) は \(0\) を含まない。 基本概念 (00C6) により \(\overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) は零環でない。 基本概念 (00CD) により \(S^{-1}R / S^{-1}\mathfrak p = \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) は整域なので、\(S^{-1}\mathfrak p\) は素である。 この環の等式は、\(S^{-1}\mathfrak p\) の \(R\) における逆像が \(\mathfrak p\) に等しいことも示す。実際、基本概念 (00C7) により \(R/\mathfrak p \to \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\) は単射である。 以上により、写像 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) は \(D\) の上への 全単射であり、逆写像は主張のとおりである。 補題 00E2 によりこれは連続である。 最後に、\(D(g) \subset \Spec(S^{-1}R)\) を標準開集合とする。 ある \(h\in R\) と \(s\in S\) により \(g = h/s\) と書く。 \(g\) と \(h/1\) は単元倍だけ異なるので、 \(\Spec(S^{-1}R)\) において \(D(g) = D(h/1)\) である。 したがって補題 00E2 と上の全単射性により、 \(D(g) = D(h/1)\) の像は \(D \cap D(h)\) である。 これで写像が開でもあることが分かる。

補題

\(R\) を環、\(f \in R\) とする。 写像 \(R \to R_f\) は \(\Spec\) の関手性により同相写像 \[\Spec(R_f) \longrightarrow D(f) \subset \Spec(R).\] を誘導する。逆写像は \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p \cdot R_f\) で与えられる。

証明

補題 00E3 の特別な場合である。

スペクトルのすべての「アフィン開集合」が標準開集合であるわけではない。 例 00F1 を参照せよ。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアルとする。 写像 \(R \to R/I\) は \(\Spec\) の関手性により同相写像 \[\Spec(R/I) \longrightarrow V(I) \subset \Spec(R).\] を誘導する。逆写像は \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p / I\) で与えられる。

証明

像が \(V(I)\) に含まれることは直ちに分かる。 一方、\(\mathfrak p \in V(I)\) ならば \(\mathfrak p \supset I\) であり、 イデアル \(\mathfrak p /I \subset R/I\) を考えられる。 基本概念 (00C3) を用いると \((R/I)/(\mathfrak p/I) = R/\mathfrak p\) は整域であり、 したがって \(\mathfrak p/I\) は素イデアルである。 さらに \(D(f + I)\) の像が \(D(f) \cap V(I)\) であることは直ちに分かるので、 この写像は同相写像である。

補題

\(R\) を環とする。空間 \(\Spec(R)\) は準コンパクトである。

証明

\(\Spec(R)\) の標準開集合による任意の被覆が有限被覆に細分されることを 示せば十分である。そこで、\(R\) の元の集合 \(\{f_i\}_{i\in I}\) に対して \(\Spec(R) = \cup D(f_i)\) であると仮定する。 これは \(\cap V(f_i) = \emptyset\) を意味する。 補題 00E0 によれば、これは \(V(\{f_i \}) = \emptyset\) を意味する。 同じ補題によれば、これは \(f_i\) が生成するイデアルが \(R\) の単位イデアルで あることを意味する。したがって \(1\) を 有限和 \(1 = \sum_{i \in J} r_i f_i\) として書ける。ここで \(J \subset I\) は有限である。このとき \(\Spec(R) = \cup_{i \in J} D(f_i)\) が従う。

補題

\(R\) を環とする。 \(X = \Spec(R)\) 上の位相は次の性質をもつ。

1. \(X\) は準コンパクトである。

2. \(X\) は準コンパクト開集合からなる位相の基底をもつ。

3. 任意の二つの準コンパクト開集合の共通部分は準コンパクトである。

証明

環のスペクトルは準コンパクトである。補題 00E8 を参照せよ。 これは標準開集合 \(D(f) = \Spec(R_f)\) からなる位相の基底をもち（補題 00E4）、 最初の注意によりそれらは準コンパクトである。 二つの標準開集合の共通部分は \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\) なので準コンパクトである。 任意の二つの準コンパクト開集合 \(U, V \subset X\) に対し、 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) および \(V = D(g_1) \cup \ldots \cup D(g_m)\) と書ける。このとき \(U \cap V = \bigcup D(f_ig_j)\) は準コンパクトである。

局所環

局所環は代数幾何学の最も基本的な道具である。

定義

局所環とは、極大イデアルをちょうど一つもつ環である。 \(R\) が局所環ならば、その極大イデアルをしばしば \(\mathfrak m_R\) と書き、体 \(R/\mathfrak m_R\) を局所環 \(R\) の 剰余体という。 \(R\) が局所環、\(\mathfrak m\) がその唯一の極大イデアルであることを表すため、 しばしば「\((R, \mathfrak m)\) を局所環とする」といい、 さらに \(\kappa = R/\mathfrak m\) がその剰余体であることも表すため、 「\((R, \mathfrak m, \kappa)\) を局所環とする」という。 局所環の局所準同型とは、\(R\) と \(S\) が局所環であり、 \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\) を満たす環準同型 \(\varphi : R \to S\) のことである。 \(R\) と \(S\) が局所環であることが既知ならば、「局所環準同型 \(\varphi : R \to S\)」という語は、\(\varphi\) が局所環の局所準同型で あることを意味する。

体は局所環である。体の間の任意の環準同型は局所環の局所準同型である。

環 \(R\) の素イデアル \(\mathfrak p\) における局所化 \(R_\mathfrak p\) は、 極大イデアル \(\mathfrak p R_\mathfrak p\) をもつ局所環である。 実際、補題 00E3 により、\(R_\mathfrak p\) の すべての素イデアルは素イデアル \(\mathfrak p R_\mathfrak p\) に含まれる （したがってこれは極大イデアルであり、\(R_\mathfrak p\) の唯一の極大イデアルである）。 \(R_\mathfrak p\) の剰余体を \(\kappa(\mathfrak p)\) と書き、 \(\mathfrak p\) の剰余体という。命題 00CT により、 \(\kappa(\mathfrak p)\) を整域 \(R/\mathfrak p\) の分数体と同一視できる。 合成 \[\Spec(\kappa(\mathfrak p)) \to \Spec(R_\mathfrak p) \to \Spec(R)\] により、始域の唯一の点は終域の点 \(\mathfrak p\) へ写る。

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とする。\(\mathfrak q \subset S\) を 素イデアルとし、\(R\) の素イデアル \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\) を考える。 \(\varphi(\mathfrak p) \subset \mathfrak q\) なので、誘導環準同型 \[R_\mathfrak p \to S_\mathfrak q,\quad r/g \mapsto \varphi(r)/\varphi(g)\] は局所環準同型であり、剰余体の誘導写像 \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\) を得る。

例

\(R\) が局所環で \(\mathfrak p \subset R\) が極大でない素イデアルならば、 \(R \to R_\mathfrak p\) は局所準同型でない。

補題

\(R\) を環とする。次は同値である。

1. \(R\) は局所環である。

2. \(\Spec(R)\) は閉点をちょうど一つもつ。

3. \(R\) は極大イデアル \(\mathfrak m\) をもち、 \(R \setminus \mathfrak m\) のすべての元が単元である。

4. \(R\) は零環でなく、すべての \(x \in R\) に対して \(x\) または \(1 - x\) の少なくとも一方が可逆である。

証明

\(R\) を環、\(\mathfrak m\) を極大イデアルとする。 \(x \in R \setminus \mathfrak m\) が単元でなければ、\(x\) を含む極大イデアル \(\mathfrak m'\) が存在する。したがって \(R\) は少なくとも二つの極大イデアルをもつ。 逆に、\(\mathfrak m'\) が別の極大イデアルならば、 \(x \in \mathfrak m'\), \(x \not \in \mathfrak m\) を満たす \(x\) を選ぶ。 明らかに \(x\) は単元でない。これで (1) と (3) の同値性が示された。 (1) と (2) の同値性は同語反復である。 \(R\) が局所環ならば、\(x\) は \(\mathfrak m\) に属するか属さないかの いずれかなので (4) が成り立つ。 (4) が成り立ち、\(\mathfrak m\), \(\mathfrak m'\) が互いに異なる 極大イデアルならば、中国剰余定理 （補題 00DT）により、 \(x \bmod \mathfrak m' = 0\) かつ \(x \bmod \mathfrak m = 1\) を満たす \(x \in R\) を選べる。この元 \(x\) は可逆でなく、\(1 - x\) も可逆でないので 矛盾する。したがって (4) と (1) は同値である。

補題

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とし、\(R\) と \(S\) が局所環であると仮定する。 次は同値である。

1. \(\varphi\) は局所環準同型である。

2. \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\) である。

3. \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\) である。

4. 任意の \(x \in R\) に対し、\(\varphi(x)\) が \(S\) で可逆ならば、 \(x\) は \(R\) で可逆である。

証明

条件 (1) と (2) は定義により同値である。 (3) ならば (2) である。逆に (2) が成り立つならば、 \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S)\) は極大イデアル \(\mathfrak m_R\) を含む 素イデアルなので、\(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\) である。 最後に、補題 00E9 により、 (4) は (2) の対偶である。

注意

環準同型 \(\varphi : R \to S\) と素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) に付随する基本的な可換図式は次である。 \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} & S_{\mathfrak p} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] この図式では最左列と最右列は同一である。 スペクトル上で水平写像はその像の上への同相写像を誘導し、各正方形は 位相空間のファイバー積の正方形を誘導する （補題 00E3 および 00E5 を参照せよ）。 これにより、\(\mathfrak p\) がスペクトル上の写像の像に属することと、 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) が零環でないことは同値である。 \(\mathfrak p\) の上にある素イデアル \(\mathfrak q \subset S\)、 すなわち \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\) を満たすものが 存在するならば、図式を次の図式へ拡張できる。 \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak q) = S_{\mathfrak q}/{\mathfrak q}S_{\mathfrak q} & S_{\mathfrak q} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak q \ar[r] & \kappa(\mathfrak q) \\ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} \ar[u] & S_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & S \ar[u] \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[u] \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \ar[u] \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] この図式でも、最左列と最右列は同一であり、スペクトル上で水平写像は その像の上への同相写像を誘導する。

補題

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とし、\(\mathfrak p\) を \(R\) の 素イデアルとする。次は同値である。

1. \(\mathfrak p\) は \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) の像に属する。

2. \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0\) である。

3. \(S_{\mathfrak p}/\mathfrak p S_{\mathfrak p} \not = 0\) である。

4. \((S/\mathfrak pS)_{\mathfrak p} \not = 0\) である。

5. \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak pS)\) である。

証明

最初の二条件が同値であることは注意 00E6 ですでに見た。 残りはこの事実の言い換えにすぎない。

注意

\(R \to S\) を環準同型とする。\(\mathfrak q\) を、\(R\) の素イデアル \(\mathfrak p\) の上にある \(S\) の素イデアルとする。 注意 00E6 によれば、素イデアル \(\mathfrak q\) はファイバー環 \(F = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の一意な素イデアル \(\overline{\mathfrak q}\) に対応する。このとき \[F_{\overline{\mathfrak q}} \cong S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p) \cong S_\mathfrak q/\mathfrak p S_\mathfrak q\] である。実際、明らかな環準同型 \(F \to S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p)\) があり、これは \(F \to F_{\overline{\mathfrak q}}\) と同型であることが 容易に分かる。第二の同型は、\(\kappa(\mathfrak p)\) が \(R_\mathfrak p\) の \(\mathfrak pR_\mathfrak p\) による商であることから従う。

環のジャコブソン根基

環 \(R\) の ジャコブソン根基 \(\text{rad}(R)\) とは、\(R\) の すべての極大イデアルの共通部分のことである。\(R\) が局所環ならば、 \(\text{rad}(R)\) は \(R\) の極大イデアルである。

補題

\(R\) を、ジャコブソン根基が \(\text{rad}(R)\) である環とする。 \(I \subset R\) をイデアルとする。このとき、次は同値である。

1. \(I \subset \text{rad}(R)\) である。

2. \(1 + I\) のすべての元は \(R\) の単元である。

この場合、\(R/I\) の単元に写る \(R\) の任意の元は単元である。

証明

\(f \in \text{rad}(R)\) ならば、\(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(f \in \mathfrak m\) である。したがって、 \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(1 + f \not \in \mathfrak m\) である。ゆえに \(\Spec(R)\) の閉部分集合 \(V(1 + f)\) は空である。補題 00E0 により、 これは \(1 + f\) が単元であることを意味する。

逆に、すべての \(f \in I\) に対して \(1 + f\) が単元であると仮定する。 \(\mathfrak m\) が極大イデアルで \(I \not \subset \mathfrak m\) ならば、 \(I + \mathfrak m = R\) である。したがって、ある \(g \in \mathfrak m\) および \(f \in I\) に対して \(1 = f + g\) と書ける。このとき \(g = 1 + (-f)\) は単元でなく、矛盾する。

最後の主張について、\(f \in R\) が \(R/I\) の単元に写るとする。 \(f \bmod I\) の乗法逆元に写る \(g \in R\) を取ることができる。 すると \(fg = 1 \bmod I\) である。したがって (2) により \(fg\) は \(R\) の単元であり、ゆえに \(f\) も単元である。

補題

\(\varphi : R \to S\) を、誘導される写像 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) が全射となる環準同型とする。このとき \(x \in R\) が単元であることと、\(\varphi(x) \in S\) が単元であることは 同値である。

証明

\(x\) が単元ならば \(\varphi(x)\) も単元である。逆に、\(\varphi(x)\) が 単元ならば、すべての \(\mathfrak q \in \Spec(S)\) に対して \(\varphi(x) \not \in \mathfrak q\) である。したがって、すべての \(\mathfrak q \in \Spec(S)\) に対して \(x \not \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) = \Spec(\varphi)(\mathfrak q)\) である。\(\Spec(\varphi)\) は全射なので、補題 00E0 の (17) により、\(x\) は単元である。

中山の補題

[MatCA] から引用する。「この単純だが重要な補題は、 T. Nakayama、G. Azumaya および W. Krull による。優先権は明らかでなく、 通常は中山の補題と呼ばれるものの、故 Nakayama 教授はこの名称を 好まなかった。」

補題

\(R\) を、ジャコブソン根基が \(\text{rad}(R)\) である環とする。 \(M\) を \(R\)-加群とし、\(I \subset R\) をイデアルとする。

1. \(IM = M\) かつ \(M\) が有限ならば、\(fM = 0\) を満たす \(f \in 1 + I\) が存在する。

2. \(IM = M\) であり、\(M\) が有限で、\(I \subset \text{rad}(R)\) ならば \(M = 0\) である。

3. \(N, N' \subset M\) であり、\(M = N + IN'\) かつ \(N'\) が有限ならば、 \(fM \subset N\) および \(M_f = N_f\) を満たす \(f \in 1 + I\) が存在する。

4. \(N, N' \subset M\) であり、\(M = N + IN'\)、\(N'\) が有限、かつ \(I \subset \text{rad}(R)\) ならば \(M = N\) である。

5. \(N \to M\) が加群準同型であり、\(N/IN \to M/IM\) が全射で、 \(M\) が有限ならば、\(N_f \to M_f\) が全射となる \(f \in 1 + I\) が存在する。

6. \(N \to M\) が加群準同型であり、\(N/IN \to M/IM\) が全射、 \(M\) が有限、かつ \(I \subset \text{rad}(R)\) ならば、 \(N \to M\) は全射である。

7. \(x_1, \ldots, x_n \in M\) が \(M/IM\) を生成し、\(M\) が有限ならば、 \(x_1, \ldots, x_n\) が \(R_f\) 上で \(M_f\) を生成するような \(f \in 1 + I\) が存在する。

8. \(x_1, \ldots, x_n \in M\) が \(M/IM\) を生成し、\(M\) が有限で、 \(I \subset \text{rad}(R)\) ならば、\(M\) は \(x_1, \ldots, x_n\) により 生成される。

9. \(IM = M\) で \(I\) が冪零ならば、\(M = 0\) である。

10. \(N, N' \subset M\) であり、\(M = N + IN'\) かつ \(I\) が冪零ならば \(M = N\) である。

11. \(N \to M\) が加群準同型で、\(I\) が冪零、かつ \(N/IN \to M/IM\) が全射ならば、\(N \to M\) は全射である。

12. \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) が \(M\) の元の集合で \(M/IM\) を生成し、 \(I\) が冪零ならば、\(M\) はこれらの \(x_\alpha\) により生成される。

証明

(00DW) を証明する。\(R\) 上の \(M\) の生成元 \(y_1, \ldots, y_m\) を選ぶ。各 \(i\) に対して \(z_{ij} \in I\) を用いて \(y_i = \sum z_{ij} y_j\) と書ける （\(M = IM\) だからである）。言い換えれば、 \(\sum_j (\delta_{ij} - z_{ij})y_j = 0\) である。 \(m \times m\) 行列 \(A = (\delta_{ij} - z_{ij})\) の行列式を \(f\) とする。 \(f \in 1 + I\) であることに注意する（行列 \(A\) は各成分について、 \(I\) を法として \(m \times m\) 単位行列と合同だからである）。 補題 07DQ の (1) により、 \(BA = f 1_{m \times m}\) を満たす \(m \times m\) 行列 \(B\) が存在する。 成分で書けば、すべての \(h\) と \(j\) に対して \(\sum_{i} b_{hi} a_{ij} = f \delta_{hj}\) であり、したがって各 \(h\) に対して \(\sum_{i, j} b_{hi} a_{ij} y_j = \sum_{j} f \delta_{hj} y_j = f y_h\) である。言い換えると、各 \(i\) について \(\sum_j a_{ij} y_j = 0\) なので、すべての \(h\) に対して \(0 = f y_h\) である。これは \(f\) が \(M\) を零化することを意味する。

補題 0AME により、\(1 + \text{rad}(R)\) の元は \(R\) の可逆元である。したがって、(00DW) から (2) が従う。 (3) は、\(N'\) が有限なので有限となる \(M/N\) に (1) を適用して得られる。 (4) は、\(N'\) が有限なので有限となる \(M/N\) に (2) を適用して得られる。 (5) は、\(M\) とその部分加群 \(\Im(N \to M)\) および \(M\) に (3) を 適用して得られる。(6) は、\(M\) とその部分加群 \(\Im(N \to M)\) および \(M\) に (4) を適用して得られる。 (7) は、写像 \(R^{\oplus n} \to M\)、 \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\) に (5) を 適用して得られる。(8) は、写像 \(R^{\oplus n} \to M\)、 \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\) に (6) を 適用して得られる。

(9) が成り立つのは、\(M = IM\) ならばすべての \(n \geq 0\) に対して \(M = I^nM\) であり、\(I\) が冪零であることから、ある \(n \gg 0\) に対して \(I^n = 0\) となるためである。(10)、(11)、(12) は、上と同じ議論により (9) から従う。

補題

\(R\) を環、\(S \subset R\) を乗法的部分集合、\(I \subset R\) をイデアル、 \(M\) を有限 \(R\)-加群とする。\(x_1, \ldots, x_r \in M\) が \(S^{-1}(R/I)\)-加群として \(S^{-1}(M/IM)\) を生成するならば、 \(x_1, \ldots, x_r\) が \(R_f\)-加群として \(M_f\) を生成するような \(f \in S + I\) が存在する。¹

証明

まず特別な場合 \(I = 0\) を扱う。\(R\) 上の \(M\) の生成元を \(y_1, \ldots, y_s\) とする。\(S^{-1}M\) は \(x_1, \ldots, x_r\) により 生成されるので、各 \(i\) に対し、ある \(a_{ij} \in R\) および \(s_{ij} \in S\) を用いて、\(S^{-1}M\) において \(y_i = \sum (a_{ij}/s_{ij})x_j\) と書ける。\(s_{ij}\) の積 \(s \in S\) を掛けると、ある \(a'_{ij} \in R\) に対して \(S^{-1}M\) において \(sy_i = \sum a'_{ij}x_j\) となる。 これはさらに、\(M\) において \(t_isy_i = \sum t_ia'_{ij}x_j\) となるような \(t_i \in S\) が 存在することを意味する。そこで \(t \in S\) を \(t_i\) の積とすれば、 \(M_{st}\) の \(x_1, \ldots, x_r\) が生成する \(R_{st}\)-部分加群に \(y_i\) が属することが分かる。したがって、\(x_1, \ldots, x_r\) は \(M_{st}\) を生成する。

一般の場合を考える。特別な場合により、\(x_1, \ldots, x_r\) が \((R/I)_s\) 上で \((M/IM)_s\) を生成するような \(s \in S\) を取れる。 補題 00DV により、\(x_1, \ldots, x_r\) が \((R_s)_g\) 上で \((M_s)_g\) を生成するような \(g \in 1 + I_s \subset R_s\) を取れる。 \(g = 1 + i/s'\) と書く。このとき \(f = ss' + is\) とすればよい。 詳細は省略する。

補題

\(A \to B\) を局所環の局所準同型とする。次を仮定する。

1. \(B\) は有限 \(A\)-加群である。

2. \(\mathfrak m_B\) は有限生成イデアルである。

3. \(A \to B\) は剰余体上の同型を誘導する。

4. \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) は全射である。

このとき \(A \to B\) は全射である。

証明

\(A \to B\) が全射であることを示すため、これを \(A\)-加群の写像とみなし、 補題 00DV の (6) を適用する。すると、 \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_AB\) が全射であることを示せば十分である。 \(A/\mathfrak m_A = B/\mathfrak m_B\) なので、 \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) が全射であることを示せば十分である。 \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\) を \(B\)-加群の写像とみなし、 補題 00DV の (6) を適用する。すると、 \(\mathfrak m_AB/\mathfrak m_A\mathfrak m_B \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\) が全射であることを示せば十分である。これは仮定 (4) から従う。

スペクトルの開閉部分集合

スペクトルの開かつ閉な部分集合は、環の冪等元に対応することが分かる。

補題

\(R\) を環とし、\(e \in R\) を冪等元とする。この場合、 \[\Spec(R) = D(e) \amalg D(1-e).\]

証明

整域の冪等元 \(e\) は \(1\) または \(0\) のいずれかであることに注意する。 したがって、 \[\begin{eqnarray*} D(e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 0\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 1\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] である。同様に、 \[\begin{eqnarray*} D(1-e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid 1 - e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 1\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 0\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] を得る。任意の剰余体における \(e\) の像は \(1\) または \(0\) のいずれかなので、 \(D(e)\) と \(D(1-e)\) は \(\Spec(R)\) 全体を覆う。

補題

\(R_1\) と \(R_2\) を環とし、\(R = R_1 \times R_2\) とおく。 写像 \(R \to R_1\)、\((x, y) \mapsto x\) および \(R \to R_2\)、 \((x, y) \mapsto y\) は、連続写像 \(\Spec(R_1) \to \Spec(R)\) および \(\Spec(R_2) \to \Spec(R)\) を誘導する。誘導される写像 \[\Spec(R_1) \amalg \Spec(R_2) \longrightarrow \Spec(R)\] は同相写像である。言い換えれば、\(R = R_1\times R_2\) のスペクトルは \(R_1\) のスペクトルと \(R_2\) のスペクトルの非交和である。

証明

\(e_1 = (1, 0)\) および \(e_2 = (0, 1)\) として \(1 = e_1 + e_2\) と書く。\(e_1\) と \(e_2 = 1 - e_1\) は冪等元である。 \(R_1 = R_{e_1}\) が \(e_1\) における \(R\) の局所化であることの確認は 読者に委ねる。\(e_2\) についても同様である。したがって、この補題の主張は 補題 00EC と補題 00E4 から従う。

以下の補題は、関数の貼り合わせ補題を導入した後でもう一度証明する。 節 00EI を参照せよ。

補題

\(R\) を環とする。開かつ閉な各 \(U \subset \Spec(R)\) に対して、 \(U = D(e)\) を満たす一意な冪等元 \(e \in R\) が存在する。これにより、 開かつ閉な部分集合 \(U \subset \Spec(R)\) と冪等元 \(e \in R\) の間に 一対一対応が誘導される。

証明

\(U \subset \Spec(R)\) を開かつ閉とする。\(U\) は閉なので、補題 00E8 により準コンパクトであり、その補集合も同様である。 \(U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\) を標準開集合の有限合併として書く。 同様に、\(\Spec(R) \setminus U = \bigcup_{j = 1}^m D(g_j)\) を標準開集合の 有限合併として書く。\(\emptyset = D(f_i) \cap D(g_j) = D(f_i g_j)\) なので、 補題 00E0 により \(f_i g_j\) は冪零である。 \(I = (f_1, \ldots, f_n) \subset R\) および \(J = (g_1, \ldots, g_m) \subset R\) とおく。\(V(J)\) は \(U\) に等しく、 \(V(I)\) は \(U\) の補集合に等しいので、\(\Spec(R) = V(I) \amalg V(J)\) である。 上の冪零性に関する考察から、十分大きい整数 \(N\) に対して \((IJ)^N = (0)\) である。また、 \(\bigcup D(f_i) \cup \bigcup D(g_j) = \Spec(R)\) なので、補題 00E0 により \(I + J = R\) である。 この等式を \(2N\) 乗すると \(I^N + J^N = R\) を得る。 \(x \in I^N\) および \(y \in J^N\) を用いて \(1 = x + y\) と書く。 \(I^N J^N = (0)\) なので \(0 = xy = x(1 - x)\) である。したがって \(x = x^2\) は冪等元であり、\(I^N \subset I\) に含まれる。 冪等元 \(y = 1 - x\) は \(J^N \subset J\) に含まれる。 これにより、\(x\) はすべての \(\mathfrak p \in V(J)\) に対して剰余体 \(\kappa(\mathfrak p)\) で \(1\) に写り、すべての \(\mathfrak p \in V(I)\) に 対して \(x\) は \(\kappa(\mathfrak p)\) で \(0\) に写ることが分かる。

一意性を示すため、\(e_1, e_2\) が \(R\) の相異なる冪等元であるとする。 \(e_1 \in \mathfrak p\) かつ \(e_2 \not \in \mathfrak p\)、またはその逆を 満たす素イデアル \(\mathfrak p\) が存在することを示せばよい。 \(e_i' = 1 - e_i\) と書く。\(e_1 \not = e_2\) ならば、 \(0 \not = e_1 - e_2 = e_1(e_2 + e_2') - (e_1 + e_1')e_2 = e_1 e_2' - e_1' e_2\) である。したがって、冪等元 \(e_1 e_2' \not = 0\) または \(e_1' e_2 \not = 0\) のいずれかが成り立つ。

冪等元は冪零ではないので、補題 00E0 により、 \(e_1e_2' \not \in \mathfrak p\) または \(e_1'e_2 \not \in \mathfrak p\) を満たす素イデアル \(\mathfrak p\) が見つかる。 これが求める素イデアルを与えることは容易に分かる。

補題

\(R\) を零でない環とする。このとき \(\Spec(R)\) が連結であることと、 \(R\) が非自明な冪等元をもたないことは同値である。

証明

補題 00EE と連結位相空間の定義から明らかである。

補題

\(R\) の有限生成イデアル \(I \subset R\) が \(I = I^2\) を満たすとする。このとき、

1. \(I = (e)\) を満たす冪等元 \(e \in R\) が存在する。

2. 冪等元 \(e' = 1 - e \in R\) に対して \(R/I \cong R_{e'}\) である。

3. \(V(I)\) は \(\Spec(R)\) の開かつ閉な部分集合である。

証明

中山の補題 00DV により、\(fI = 0\) を満たす元 \(f = 1 + i\)、\(i \in I\) が存在する。このとき \(f^2 = f + fi = f\) なので、 これは冪等元である。冪等元 \(e = 1 - f = -i \in I\) を考える。 \(j \in I\) に対して \(ej = j - fj = j\) であるから \(I = (e)\) である。 これで (1) が示された。

(2) と (3) は (1) から従う。実際、 \(V(I) = V(e) = \Spec(R) \setminus D(e)\) であり、これは補題 00EC または補題 00EE により開かつ閉である。これで (3) が示された。 (2) について、写像 \(R \to R_{e'}\) は全射であることに注意する。実際、 \(R_{e'}\) において \(x/(e')^n = x/e' = xe'/(e')^2 = xe'/e' = x/1\) である。 写像 \(R \to R_{e'}\) の核は、\(e'\) の正の冪で零化される \(R\) の元全体である。 \(e'\) は冪等元なので、これは \(e'\) により零化される元のイデアルであり、 \(e + e' = 1\) は互いに直交する冪等元の対だから、そのイデアルは \(I = (e)\) である。これで (2) が示された。

スペクトルの連結成分

スペクトルの連結成分は、初めに思うほど理解しやすくない。 これは、われわれが局所連結空間の位相に慣れている一方で、 環のスペクトルは一般には局所連結でないためである。

補題

\(R\) を環とし、\(T \subset \Spec(R)\) をスペクトルの部分集合とする。 次は同値である。

1. \(T\) は閉で、\(\Spec(R)\) の連結成分の合併である。

2. \(T\) は \(\Spec(R)\) の開かつ閉な部分集合の共通部分である。

3. \(T = V(I)\) であり、\(I \subset R\) は冪等元で生成されるイデアルである。

さらに、(3) のイデアルが存在するならば、それは一意である。

証明

補題 04PM および Topology, Lemma 04PL により、 (1) と (2) は同値である。(2) を仮定し、 \(U_\alpha \subset \Spec(R)\) を開かつ閉として \(T = \bigcap U_\alpha\) と書く。補題 00EE により、ある冪等元 \(e_\alpha \in R\) に対して \(U_\alpha = D(e_\alpha)\) である。 そこで \(I = (1 - e_\alpha)\) とおけば \(T = V(I)\) となり、(3) が成り立つ。 最後に (3) を仮定する。\(T = V(I)\) と書き、ある冪等元の族 \(e_\alpha\) によって \(I = (e_\alpha)\) と書く。このとき明らかに \(T = \bigcap V(e_\alpha) = \bigcap D(1 - e_\alpha)\) である。

\(I\) を冪等元で生成されるイデアルとする。\(V(I) \subset V(e)\) を満たす 冪等元 \(e \in R\) を取る。補題 00E0 により、 ある \(n \geq 1\) に対して \(e^n \in I\) である。\(e\) は冪等元なので、 これは \(e \in I\) を意味する。したがって \(I\) は、ちょうど \(T \subset V(e)\) を満たす冪等元 \(e\) たちにより生成される。 言い換えれば、イデアル \(I\) は閉部分集合 \(T\) によって完全に定まり、 一意性が示された。

補題

\(R\) を環とする。\(\Spec(R)\) の連結成分は \(V(I)\) の形である。 ここで \(I\) は冪等元で生成されるイデアルであり、\(R\) の各冪等元は \(R/I\) において \(0\) または \(1\) のいずれかに写る。

証明

\(\mathfrak p\) を \(R\) の素イデアルとする。補題 04PM により、位相空間 \(\Spec(R)\) は

Topology, Lemma 005F の 仮定を満たす。したがって、\(\Spec(R)\) における \(\mathfrak p\) の連結成分は、 \(\mathfrak p\) を含む \(\Spec(R)\) の開かつ閉な部分集合すべての共通部分である。 ゆえに、それは \(V(I)\) に等しい。ここで \(I\) は、冪等元 \(e \in R\) であって \(e\) が \(\kappa(\mathfrak p)\) において \(0\) に写るものにより生成される。 補題 00EE を参照せよ。 この族に属さない任意の冪等元 \(e\) は、明らかに \(R/I\) において \(1\) に写る。

貼り合わせの性質

この節では、「あることが標準開被覆のすべての要素上で成り立てば、 それは大域的にも成り立つ」という形の標準的な結果をいくつかまとめる。 実際、次の補題のように、局所環のレベルで確認すれば十分なことが多い。

補題

\(R\) を環とする。

1. \(R\)-加群 \(M\) の元 \(x\) に対して、次は同値である。

   1. \(x = 0\) である。

   2. すべての \(\mathfrak p \in \Spec(R)\) に対して、\(x\) は \(M_\mathfrak p\) で零に写る。

   3. \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して、\(x\) は \(M_{\mathfrak m}\) で零に写る。

   言い換えれば、写像 \(M \to \prod_{\mathfrak m} M_{\mathfrak m}\) は単射である。

2. \(R\)-加群 \(M\) に対して、次は同値である。

   1. \(M\) は零である。

   2. すべての \(\mathfrak p \in \Spec(R)\) に対して \(M_{\mathfrak p}\) は零である。

   3. \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(M_{\mathfrak m}\) は零である。

3. \(R\)-加群の複体 \(M_1 \to M_2 \to M_3\) に対して、次は同値である。

   1. \(M_1 \to M_2 \to M_3\) は完全である。

   2. \(R\) のすべての素イデアル \(\mathfrak p\) に対して、局所化 \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\) は完全である。

   3. \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して、局所化 \(M_{1, \mathfrak m} \to M_{2, \mathfrak m} \to M_{3, \mathfrak m}\) は完全である。

4. \(R\)-加群の写像 \(f : M \to M'\) に対して、次は同値である。

   1. \(f\) は単射である。

   2. \(R\) のすべての素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) は単射である。

   3. \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) は単射である。

5. \(R\)-加群の写像 \(f : M \to M'\) に対して、次は同値である。

   1. \(f\) は全射である。

   2. \(R\) のすべての素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) は全射である。

   3. \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) は全射である。

6. \(R\)-加群の写像 \(f : M \to M'\) に対して、次は同値である。

   1. \(f\) は全単射である。

   2. \(R\) のすべての素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\) は全単射である。

   3. \(R\) のすべての極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\) は全単射である。

証明

(1) のように \(x \in M\) とする。 \(I = \{f \in R \mid fx = 0\}\) とおく。\(I\) がイデアルであることは容易に 分かる（これは \(x\) の零化イデアルである）。条件 (1)(c) は、すべての 極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して、\(fx =0\) を満たす \(f \in R \setminus \mathfrak m\) が存在することを意味する。 言い換えれば、\(V(I)\) は閉点を含まない。補題 00E0 により、\(I\) は単位イデアルである。 したがって \(x\) は零であり、すなわち (1)(a) が成り立つ。これで (1) が示された。

(2) は、(1) を \(M\) のすべての元に同時に適用すれば従う。

(3) を証明する。\(H\) をこの列のホモロジー、すなわち \(H = \Ker(M_2 \to M_3)/\Im(M_1 \to M_2)\) とする。命題 00CS により、\(H_\mathfrak p\) は列 \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\) の ホモロジーである。したがって (3) は (2) から従う。

(4) と (5) は (3) の特別な場合である。(6) は (4) と (5) を 組み合わせれば形式的に従う。

補題

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群、\(S\) を \(R\)-代数とする。 \(f_1, \ldots, f_n\) を、\(\bigcup D(f_i) = \Spec(R)\)、言い換えれば \((f_1, \ldots, f_n) = R\) を満たす \(R\) の元の有限列とする。

1. 各 \(M_{f_i} = 0\) ならば \(M = 0\) である。

2. 各 \(M_{f_i}\) が有限 \(R_{f_i}\)-加群ならば、\(M\) は有限 \(R\)-加群である。

3. 各 \(M_{f_i}\) が有限表示 \(R_{f_i}\)-加群ならば、 \(M\) は有限表示 \(R\)-加群である。

4. \(M \to N\) を \(R\)-加群の写像とする。各 \(i\) に対して \(M_{f_i} \to N_{f_i}\) が同型ならば、\(M \to N\) は同型である。

5. \(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\) を \(R\)-加群の複体とする。 各 \(i\) に対して \(0 \to M''_{f_i} \to M_{f_i} \to M'_{f_i} \to 0\) が完全ならば、\(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\) は完全である。

6. 各 \(R_{f_i}\) がネーター的ならば、\(R\) はネーター的である。

7. 各 \(S_{f_i}\) が有限型 \(R_{f_i}\)-代数ならば、 \(S\) は有限型 \(R\)-代数である。

8. 各 \(S_{f_i}\) が \(R_{f_i}\) 上有限表示ならば、 \(S\) は有限表示 \(R\)-代数である。

証明

各項を順に証明する。

1. 命題 02C6 により、これはすべての \(\mathfrak p \in \Spec(R)\) に対して \(M_\mathfrak p = 0\) を意味するので、 補題 00HN から結論を得る。

2. 各 \(i\) に対して、\(M_{f_i}\) の有限生成集合 \(X_i\) を取る。 一般性を失わず、\(X_i\) の元は局所化写像 \(M \rightarrow M_{f_i}\) の像に 属すると仮定できるので、\(M\) における \(X_i\) の元の逆像からなる有限集合 \(Y_i\) を取る。これらの集合の合併を \(Y\) とする。これは依然として有限集合である。 基底元 \(e_y\) を \(y\) に写す明らかな \(R\)-線形写像 \(R^Y \rightarrow M\) を考える。仮定により、この写像は \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) で局所化すると全射なので、補題 00HN により全射であり、\(M\) は有限生成である。

3. (2) により、短完全列

   \[0 \rightarrow K \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0\] を得る。局所化は完全関手であり、\(M_{f_i}\) は有限表示なので、補題 0519 により、すべての \(1 \leq i \leq n\) に対して \(K_{f_i}\) は有限生成である。(2) により、\(K\) は有限 \(R\)-加群であり、 したがって \(M\) は有限表示である。

4. 命題 02C6 により、この仮定は、 すべての素イデアルでの局所化上に誘導される射が同型であることを意味する。 したがって、補題 00HN から結論を得る。

5. 命題 02C6 により、この仮定は、 すべての素イデアルでの局所化からなる誘導列が短完全であることを意味する。 したがって、補題 00HN から結論を得る。

6. \(R\) の任意のイデアルが有限生成集合をもつことを示す。 そのため、\(I \subset R\) を任意のイデアルとする。命題 00CS により、各 \(I_{f_i} \subset R_{f_i}\) は イデアルである。仮定により、これらはすべて有限生成なので、(2) から結論を得る。

7. 各 \(i\) に対して、\(S_{f_i}\) の有限生成集合 \(X_i\) を取る。 一般性を失わず、\(X_i\) の元は局所化写像 \(S \rightarrow S_{f_i}\) の像に 属すると仮定できるので、\(S\) における \(X_i\) の元の逆像からなる有限集合 \(Y_i\) を取る。これらの集合の合併を \(Y\) とする。これは依然として有限集合である。 \(Y\) により誘導される代数準同型 \(R[X_y]_{y \in Y} \rightarrow S\) を考える。 これは代数準同型なので、その像 \(T\) は \(R\)-加群 \(S\) の \(R\)-部分加群であり、 商加群 \(S/T\) を考えることができる。仮定により、これは各 \(f_i\) で 局所化すると零なので、(1) により零である。したがって \(S\) は有限型 \(R\)-代数である。

8. 前項により、全射 \(R\)-代数準同型 \(R[X_1, \ldots, X_n] \rightarrow S\) が存在する。この写像の核を \(K\) とする。 これは \(R[X_1, \ldots, X_n]\) のイデアルであり、各 \(f_i\) での局所化において 有限生成である。\(f_i\) は \(R\) で単位イデアルを生成するので、 \(R[X_1, \ldots, X_n]\) でも単位イデアルを生成する。したがって、 (2) を適用すれば証明が完了する。

補題

\(R \to S\) を環準同型とする。\(g_1, \ldots, g_n\) を、 \(\bigcup D(g_i) = \Spec(S)\)、言い換えれば \((g_1, \ldots, g_n) = S\) を 満たす \(S\) の元の有限列とする。

1. 各 \(S_{g_i}\) が \(R\) 上有限型ならば、\(S\) は \(R\) 上有限型である。

2. 各 \(S_{g_i}\) が \(R\) 上有限表示ならば、\(S\) は \(R\) 上有限表示である。

証明

\(\sum h_i g_i = 1\) を満たす \(h_1, \ldots, h_n \in S\) を選ぶ。

(1) を証明する。各 \(i\) に対し、\(R\)-代数として \(S_{g_i}\) を生成する元の 有限列 \(x_{i, j} \in S_{g_i}\)、\(j = 1, \ldots, m_i\) を選ぶ。 ある \(y_{i, j} \in S\) および \(n_{i, j} \ge 0\) を用いて \(x_{i, j} = y_{i, j}/g_i^{n_{i, j}}\) と書く。 \(g_1, \ldots, g_n\)、\(h_1, \ldots, h_n\)、および \(y_{i, j}\)、\(i = 1, \ldots, n\)、\(j = 1, \ldots, m_i\) により生成される \(R\)-部分代数 \(S' \subset S\) を考える。局所化は完全なので（命題 00CS）、\(S'_{g_i} \to S_{g_i}\) は単射である。 一方、\(y_{i, j}\) の選び方により、これは全射である。 \(h_1, \ldots, h_n \in S'\) なので、\(g_1, \ldots, g_n\) は \(S'\) で 単位イデアルを生成する。したがって、\(S' \to S\) を \(S'\)-加群の写像と みなせば、補題 00EO により同型である。

(2) を証明する。\(S\) が有限型であることはすでに分かっている。 あるイデアル \(J\) に対して \(S = R[x_1, \ldots, x_m]/J\) と書く。 各 \(i\) に対し、\(g_i\) の持ち上げ \(g'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\) と \(h_i\) の持ち上げ \(h'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\) を選ぶ。このとき、 \[S_{g_i} = R[x_1, \ldots, x_m, y_i]/(J_i + (1 - y_ig'_i))\] である。ここで \(J_i\) は \(J\) により生成される \(R[x_1, \ldots, x_m, y_i]\) のイデアルである。細部は省略する。 補題 00R2 により、 \(J_i\) における \(f_{i, j}\) の像と \(1 - y_ig'_i\) がイデアル \(J_i + (1 - y_ig'_i)\) を生成するような有限個の元 \(f_{i, j} \in J\)、\(j = 1, \ldots, m_i\) を選べる。次のようにおく。 \[S' = R[x_1, \ldots, x_m]/\left(\sum h'_ig'_i - 1, f_{i, j}; i = 1, \ldots, n, j = 1, \ldots, m_i\right)\] 全射 \(R\)-代数準同型 \(S' \to S\) が存在する。\(S'\) における \(g'_1, \ldots, g'_n\) の類は単位イデアルを生成し、構成により写像 \(S'_{g'_i} \to S_{g_i}\) は単射である。したがって、(1) と同様に結論を得る。

関数の貼り合わせ

この節では、標準開集合による開被覆 \[\Spec(R) = \bigcup\nolimits_{i = 1}^n D(f_i)\] と、各 \(i\) に対する元 \(h_i \in R_{f_i}\) が与えられ、 \(R_{f_i f_j}\) の元として \(h_i = h_j\) であるとき、一意な \(h \in R\) が存在し、 その \(h\) の \(R_{f_i}\) における像が \(h_i\) となることを示す。この結果は二通りに 解釈できる。

1. 対応 \(D(f) \mapsto R_f\) は標準開集合上の環の層である。 Sheaves, Section 009H を参照せよ。

2. \(R_f\) の元を \(D(f)\) 上の「代数的」または「正則」関数と考えると、 これらは、位相多様体上の連続関数、あるいは可微分多様体上の可微分関数と 同じように貼り合わさる。

補題

\(R\) を環とする。\(f_1, \ldots, f_n\) を単位イデアルを生成する \(R\) の元とし、 \(M\) を \(R\)-加群とする。列 \[0 \to M \xrightarrow{\alpha} \bigoplus\nolimits_{i = 1}^n M_{f_i} \xrightarrow{\beta} \bigoplus\nolimits_{i, j = 1}^n M_{f_i f_j}\] は完全である。ここで \(\alpha(m) = (m/1, \ldots, m/1)\) および \(\beta(m_1/f_1^{e_1}, \ldots, m_n/f_n^{e_n}) = (m_i/f_i^{e_i} - m_j/f_j^{e_j})_{(i, j)}\) である。

証明

任意の極大イデアル \(\mathfrak m\) におけるこの列の局所化が完全であることを 示せば十分である。補題 00HN を参照せよ。 \(f_1, \ldots, f_n\) は単位イデアルを生成するので、 \(f_i \not \in \mathfrak m\) を満たす \(i\) が存在する。番号を付け替えることにより、 \(i = 1\) と仮定してよい。命題 02C7 により、 \((M_{f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\) および \((M_{f_if_j})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_if_j}\) である。 特に、\(f_1\) は単元なので、 \((M_{f_1})_\mathfrak m = M_\mathfrak m\) および \((M_{f_1 f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\) である。 この列の写像は、補題 07K0 と \(M\) 上の恒等写像から来る 標準的な写像である。以上を踏まえて、\(R\) を \(R_\mathfrak m\)、 \(M\) を \(M_\mathfrak m\)、\(f_i\) を \(R_\mathfrak m\) におけるその像、 \(f_1\) を \(1 \in R_\mathfrak m\) で置き換えれば、\(f_1 = 1\) の場合に帰着する。

\(f_1 = 1\) と仮定する。このとき \(\alpha\) の単射性は自明である。 \(m = (m_i) \in \bigoplus_{i = 1}^n M_{f_i}\) を \(\beta\) の核の元とする。 すると \(m_1 \in M_{f_1} = M\) である。さらに、\(\beta(m) = 0\) であることから、 \(m_1\) と \(m_i\) は \(M_{f_1f_i} = M_{f_i}\) の同じ元に写る。 したがって \(\alpha(m_1) = m\) であり、証明が完了する。

補題

\(R\) を環とし、\(f_1, f_2, \ldots f_n\in R\) は \(R\) で単位イデアルを 生成するとする。

このとき、次の列は完全である。 \[0 \longrightarrow R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i, j}R_{f_if_j}\] ここで写像 \(\alpha : R \longrightarrow \bigoplus_i R_{f_i}\) および \(\beta : \bigoplus_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus_{i, j} R_{f_if_j}\) は 次のように定義される。 \[\alpha(x) = \left(\frac{x}{1}, \ldots, \frac{x}{1}\right) \text{ and } \beta\left(\frac{x_1}{f_1^{r_1}}, \ldots, \frac{x_n}{f_n^{r_n}}\right) = \left(\frac{x_i}{f_i^{r_i}}-\frac{x_j}{f_j^{r_j}}~\text{in}~R_{f_if_j}\right).\]

証明

補題 00EK の特別な場合である。

次の結果はすでに上で見たが、便宜のためここで明示的に述べる。

補題

\(R\) を環とする。\(U\) と \(V\) がともに開で \(\Spec(R) = U \amalg V\) ならば、\(R \cong R_1 \times R_2\) であり、補題 00ED の写像を通じて \(U \cong \Spec(R_1)\) および \(V \cong \Spec(R_2)\) である。さらに、\(R_1\) と \(R_2\) はいずれも環 \(R\) の 局所化であり、かつ商でもある。

証明

補題 00EE により、ある冪等元 \(e\) に対して \(U = D(e)\) および \(V = D(1-e)\) である。補題 00EJ により、 \(R \cong R_e \times R_{1 - e}\) である（明らかに \(R_{e(1-e)} = 0\) なので 貼り合わせ条件は自明である。もちろん、この場合には積分解を直接証明することも 自明である）。これで補題が従う。

補題

\(R\) を環、\(f_1, \ldots, f_n \in R\) を元、\(M\) を \(R\)-加群とする。 このとき \(M \to \bigoplus M_{f_i}\) が単射であることと、 \[M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} M, \quad m \longmapsto (f_1m, \ldots, f_nm)\] が単射であることは同値である。

証明

写像 \(M \to \bigoplus M_{f_i}\) が単射であることは、 \(f_i^{e_i}m = 0\)、\(i = 1, \ldots, n\) を満たすすべての \(m \in M\) および \(e_1, \ldots, e_n \geq 1\) に対して \(m = 0\) となることと同値である。これは明らかに、表示された写像が 単射であることを意味する。逆に、表示された写像が単射であると仮定し、 \(f_i^{e_i}m = 0\)、\(i = 1, \ldots, n\) を満たす \(m \in M\) および \(e_1, \ldots, e_n \geq 1\) を取る。 すべての \(i\) に対して \(e_i = 1\) ならば、表示された写像の単射性から直ちに \(m = 0\) を得る。次に、この主張がこのような任意のデータに対して成り立つことを、 \(e = \sum e_i\) に関する帰納法で示す。基底の場合は \(e = n\) であり、これは 今しがた扱った。ある \(e_i > 1\) に対して \(m' = f_im\) とおく。 帰納法により \(m' = 0\) である。したがって \(f_i m = 0\)、すなわち \(e_i = 1\) としてよく、これにより \(e\) が減少するので結論を得る。

次の補題は、平坦降下というより一般的な文脈で述べて証明する方がよい。 しかし、上の結果とよく調和するので、ここで述べることにも意味がある。

補題

\(R\) を環とし、\(f_1, \ldots, f_n \in R\) とする。次のデータが与えられたとする。

1. 各 \(i\) に対する \(R_{f_i}\)-加群 \(M_i\)。

2. 各組 \(i, j\) に対する \(R_{f_if_j}\)-加群同型 \(\psi_{ij} : (M_i)_{f_j} \to (M_j)_{f_i}\)。

これらは、すべての図式 \[\xymatrix{ (M_i)_{f_jf_k} \ar[rd]_{\psi_{ij}} \ar[rr]^{\psi_{ik}} & & (M_k)_{f_if_j} \\ & (M_j)_{f_if_k} \ar[ru]_{\psi_{jk}} }\] が可換であるという「コサイクル条件」を満たすとする （すべての三つ組 \(i, j, k\) に対して）。このデータから \[M = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_i)_{f_j} \right)\] を定義する。ここで \((m_1, \ldots, m_n)\) は、その \((i, j)\) 成分が \(m_i/1 - \psi_{ji}(m_j/1)\) である元に写る。このとき自然な写像 \(M \to M_i\) は同型 \(M_{f_i} \to M_i\) を誘導する。さらに、明らかな記法のもとで、 すべての \(m \in M\) に対して \(\psi_{ij}(m/1) = m/1\) である。

証明

\(M_{f_1} \to M_1\) が同型であることを示すには、\(R_{f_1}\) のすべての素イデアル \(\mathfrak p'\) でのその局所化が同型であることを示せば十分である。 補題 00HN を参照せよ。補題 00E4 により、ある素イデアル \(\mathfrak p \subset R\)、 \(f_1 \not \in \mathfrak p\) に対して \(\mathfrak p' = \mathfrak p R_{f_1}\) と書ける。局所化は完全なので （命題 00CS）、 \[\begin{align*} (M_{f_1})_{\mathfrak p'} & = M_\mathfrak p \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} ((M_i)_{f_j})_\mathfrak p \right) \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_{i, \mathfrak p})_{f_j} \right) \end{align*}\] である。ここでは命題 02C7 も用いた。 \(f_1\) は \(R_\mathfrak p\) の単元なので、\(R\) を \(R_\mathfrak p\)、 \(f_i\) を \(R_\mathfrak p\) における \(f_i\) の像、\(M\) を \(M_\mathfrak p\)、 \(f_1\) を \(1\) で置き換えることにより、\(f_1 = 1\) の場合に帰着する。

\(f_1 = 1\) と仮定する。このとき \(\psi_{1j} : (M_1)_{f_j} \to M_j\) は \(j = 2, \ldots, n\) に対して同型である。 これらの同型を用いて \(M_j = (M_1)_{f_j}\) と同一視すると、 \(\psi_{ij} : (M_1)_{f_if_j} \to (M_1)_{f_if_j}\) は標準的な同一視である。 したがって複体 \[0 \to M_1 \to \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} (M_1)_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_1)_{f_if_j}\] は補題 00EK により完全である。したがって、この場合、 最初の写像は \(M_1\) と \(M\) を同一視し、すべてが明らかになる。

零因子と全商環

極小素イデアルにおける局所環は、次の性質をもつ。

補題

\(\mathfrak p\) を環 \(R\) の極小素イデアルとする。\(R_{\mathfrak p}\) の 極大イデアルのすべての元は冪零である。\(R\) が被約ならば、 \(R_{\mathfrak p}\) は体である。

証明

\({\mathfrak p}R_{\mathfrak p}\) のある元 \(x\) が冪零でないならば、補題 00E0 により \(D(x) \not = \emptyset\) である。 これは \(\mathfrak p\) の極小性に反する。\(R\) が被約ならば \({\mathfrak p}R_{\mathfrak p} = 0\) であり、したがってこれは体である。

補題

\(R\) を被約環とする。このとき、

1. \(R\) は体の積の部分環である。

2. \(R \to \prod_{\mathfrak p\text{ minimal}} R_{\mathfrak p}\) は 体の積への埋め込みである。

3. \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\) は \(R\) の零因子全体である。

証明

補題 00EU により、各環 \(R_\mathfrak p\) は体である。 特に、環準同型 \(R \to R_\mathfrak p\) の核は \(\mathfrak p\) である。 補題 00E0 により \(\bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p = (0)\) である。したがって (2) と (1) が成り立つ。 \(x y = 0\) かつ \(y \not = 0\) ならば、ある極小素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(y \not \in \mathfrak p\) である。したがって \(x \in \mathfrak p\) である。 ゆえに \(R\) のすべての零因子は \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\) に含まれる。 逆に、ある極小素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(x \in \mathfrak p\) とする。 すると \(x\) は \(R_\mathfrak p\) で零に写るので、\(xy = 0\) を満たす \(y \in R\)、\(y \not \in \mathfrak p\) が存在する。言い換えれば、\(x\) は零因子である。 これで (3) と補題の証明が完了する。

環 \(R\) の全商環 \(Q(R)\) は例 02C5 で導入した。

補題

\(R\) を環とし、\(S \subset R\) を非零因子からなる乗法的部分集合とする。 このとき \(Q(R) \cong Q(S^{-1}R)\) である。特に \(Q(R) \cong Q(Q(R))\) である。

証明

\(x \in S^{-1}R\) が非零因子で、ある \(r \in R\)、\(f \in S\) に対して \(x = r/f\) ならば、\(r\) は \(R\) の非零因子である。これで補題が従う。

貼り合わせの結果を用いて、例 02C5 で導入した 全商環 \(Q(R)\) についての結果を証明できる。

補題

\(R\) を環とする。\(R\) は有限個の極小素イデアル \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) をもち、 \(\mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\) は \(R\) の零因子全体であると仮定する。 このとき全商環 \(Q(R)\) は \(R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\) に等しい。

証明

任意の非零因子は \(R \setminus \mathfrak q_i\) に属するので、自然な写像 \(Q(R) \to R_{\mathfrak q_i}\) がある。したがって自然な写像 \(Q(R) \to R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\) がある。 任意の極小でない素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) に対して、補題 00DS により \(\mathfrak p \not \subset \mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\) である。 したがって \(\Spec(Q(R)) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\) である （\(\Spec(R)\) の部分集合として。補題 00E3 を参照せよ）。 ゆえに \(\Spec(Q(R))\) は有限離散集合であり、補題 00EM により、 \(\Spec(A_i) = \{\mathfrak{q}_i\}\) を満たす \(Q(R) = A_1 \times \ldots \times A_t\) が得られる。さらに \(A_i\) は \(R\) の局所化である局所環である。したがって \(A_i \cong R_{\mathfrak q_i}\) である。

スペクトルの既約成分

環のスペクトルの既約成分が、その環の極小素イデアルに対応することを示す。

補題

\(R\) を環とする。

1. 素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) に対し、ザリスキー位相における \(\{\mathfrak p\}\) の閉包は \(V(\mathfrak p)\) である。式で書けば \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\) である。

2. \(\Spec(R)\) の既約閉部分集合は、素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) に対する部分集合 \(V(\mathfrak p)\) にちょうど一致する。

3. \(\Spec(R)\) の既約成分（Topology, Definition 004V を参照）は、極小素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) に対する部分集合 \(V(\mathfrak p)\) にちょうど一致する。

証明

\(\mathfrak p \in V(I)\) ならば \(I \subset \mathfrak p\) であることに注意する。 したがって、明らかに \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\) である。特に \(V(\mathfrak p)\) は一点集合の閉包であり、それゆえ既約である。 第二の主張から第三の主張が従う。 第二の主張を示すため、\(I\) を根基イデアルとして \(V(I) \subset \Spec(R)\) とする。\(I\) が素イデアルでなければ、 \(a, b\in R\)、\(a, b\not \in I\)、\(ab\in I\) を満たす元を選べる。 この場合 \(V(I, a) \cup V(I, b) = V(I)\) だが、補題 00E0 により、 \(V(I, b) = V(I)\) でも \(V(I, a) = V(I)\) でもない。 したがって \(V(I)\) は既約でない。

言い換えると、この補題は \(\Spec(R)\) の任意の既約閉部分集合が、 ある素イデアル \(\mathfrak p\) に対して \(V(\mathfrak p)\) の形であることを示す。 \(V(\mathfrak p) = \overline{\{\mathfrak p\}}\) なので、 各既約閉部分集合は一意な生成点をもつことが分かる。Topology, Definition 004X を参照せよ。 特に、\(\Spec(R)\) はソバー位相空間である。 この事実を次の補題として記録する。

補題

環のスペクトルはスペクトル空間である。Topology, Definition 08YG を参照せよ。

証明

形式的には、これは補題 00ES と補題 04PM から従う。上の議論も参照せよ。

補題

\(R\) を環とする。\(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとする。

1. \(\mathfrak p\) を通る \(\Spec(R)\) の既約閉部分集合全体は、 その局所環の素イデアル \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\) 全体と一対一に対応する。

2. \(\mathfrak p\) を通る \(\Spec(R)\) の既約成分全体は、 その局所環の極小素イデアル \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\) 全体と一対一に対応する。

証明

補題 00ES と、\(\Spec(R_\mathfrak p)\) が \(\mathfrak q \subset \mathfrak p\) を満たす \(R\) の素イデアル \(\mathfrak q\) に対応することを示す補題 00E3 の \(\Spec(R_\mathfrak p)\) の記述から従う。

補題

\(R\) を環とする。\(\mathfrak p\) を \(R\) の極小素イデアルとする。 \(W \subset \Spec(R)\) を、点 \(\mathfrak p\) を含まない準コンパクト開集合とする。 このとき、\(D(f) \cap W = \emptyset\) を満たす \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\) が存在する。

証明

\(W\) は準コンパクトなので、標準アファイン開集合 \(D(g_i)\)、 \(i = 1, \ldots, n\) の有限和として書ける。 \(\mathfrak p \not \in W\) なので、すべての \(i\) に対して \(g_i \in \mathfrak p\) である。補題 00EU により、各 \(g_i\) は \(R_{\mathfrak p}\) において冪零である。したがって、すべての \(i\) について、 ある \(n_i > 0\) に対して \(f g_i^{n_i} = 0\) となる \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\) を取れる。この \(D(f)\) が求めるものである。

補題

\(R\) を環とし、位相空間として \(X = \Spec(R)\) とする。 次は同値である。

1. \(X\) は副有限である。

2. \(X\) はハウスドルフである。

3. \(X\) は完全不連結である。

4. \(X\) の任意の準コンパクト開集合は閉である。

5. その素イデアルの間に自明でない包含関係がない。

6. 任意の素イデアルは極大イデアルである。

7. 任意の素イデアルは極小イデアルである。

8. 任意の標準開集合 \(D(f) \subset X\) は閉である。

9. ここにさらに追加する。

証明

第一の証明。(5)、(6)、(7) が同値であることは明らかである。 任意の準コンパクト開集合は標準開集合の有限和なので、 (4) と (8) が同値であることも明らかである。 (7) \(\Rightarrow\) (4) は補題 00EV から従う。 (4) を仮定する。\(\mathfrak p, \mathfrak p'\) を \(R\) の相異なる 素イデアルとする。\(f \in \mathfrak p'\)、\(f \not \in \mathfrak p\) を選ぶ（必要なら \(\mathfrak p\) と \(\mathfrak p'\) を入れ替える）。 すると \(\mathfrak p' \not \in D(f)\) かつ \(\mathfrak p \in D(f)\) である。 (4) により、開集合 \(D(f)\) は閉でもある。 したがって \(\mathfrak p\) と \(\mathfrak p'\) は、和が \(X\) となる 互いに交わらない開近傍に属する。ゆえに \(X\) はハウスドルフかつ完全不連結である。 したがって (4) \(\Rightarrow\) (2) および (3) である。 (3) が成り立てば、\(\Spec(R)\) の点の間に特殊化は存在し得ず、 (5) が成り立つことが分かる。\(X\) がハウスドルフならば各点は閉なので、 (2) から (6) が従う。したがって (2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8) は同値である。任意の副有限空間はハウスドルフなので、(1) から (2) が従う。 \(X\) が (2) と (3) を満たすならば、補題 00E8 により \(X\) は準コンパクトでもあるから、 Topology, Lemma 08ZY により副有限である。

第二の証明。(4) と (8) の同値性を除けば、これは補題 090M と純粋に位相的な事実から従う。Topology, Lemma 0905 を参照せよ。

環のスペクトルの例

この節ではスペクトルの例をいくつか挙げる。

例

この例では \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4))\) を記述する。 \(\mathfrak{p}\) を \(X\) の任意の素イデアルとする。 \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4)\) を自然な環写像とする。 すると \(\phi^{-1}(\mathfrak p)\) は \(\mathbf{Z}\) の素イデアルである。 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (2)\) ならば、\(\mathfrak p\) は \(2\) を含むので、 写像 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2)\) を介して \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\) の素イデアルに対応する。 \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\) の任意の素イデアルは、 \((x^2)\) を含む \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]\) の素イデアルに対応する。 したがって、そのような素イデアルは \(x\) を含む。 \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x)\) は体なので、 \((x)\) は極大イデアルである。任意の素イデアルは \((x)\) を含み、 \((x)\) は極大なので、この環はただ一つの素イデアル \((x)\) しかもたない。 したがって、この場合 \(\mathfrak p = (2, x)\) である。 次に \(q > 2\) に対して \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\) ならば、 \(\mathfrak p\) は \(q\) を含むので、写像 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q)\) を介して \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q) \cong (\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\) の素イデアルに対応する。 \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\) の任意の素イデアルは、 \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\) を含む \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) の素イデアルに対応する。 したがって、これらの素イデアルは \(x -2\) または \(x + 2\) のいずれかを含む。 \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) は主イデアル整域なので、 すべての非零素イデアルは極大である。ゆえに \((x-2)(x + 2)\) を含む \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\) の素イデアルは ちょうど二つ、すなわち \((x-2)\) と \((x + 2)\) である。 結論として、\(2 \neq -2 \in \mathbf{Z}/(q)\) なので、 二つの素イデアル \((q, x-2)\) と \((q, x + 2)\) が存在する。 最後に \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\) の場合を扱う。 \(\mathfrak p\) は \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\) を含む \(\mathbf{Z}[x]\) の素イデアルに対応することに注意する。 したがって \(\mathfrak p\) は \((x-2)\) または \((x + 2)\) のいずれかを含む。 ゆえに、仮定により、\(\mathfrak p\) は \(\mathbf{Z}\) と \(0\) でしか交わらない \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2)\) または \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2)\) の素イデアルに対応する。 \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2) \cong \mathbf{Z}\) かつ \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2) \cong \mathbf{Z}\) なので、 これは \(\mathfrak p\) がこれらの環の一方における \(0\) に対応しなければならないことを意味する。 したがって、もとの環で \(\mathfrak p = (x - 2)\) または \(\mathfrak p = (x + 2)\) である。

例

この例では \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x])\) を記述する。 \(\mathfrak p \in X\) を固定する。 \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]\) とし、 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) \in \Spec(\mathbf{Z})\) であることに注意する。

\(q\) を素数 \(q > 0\) として \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\) ならば、 \(\mathfrak p\) は \((\mathbf{Z}/(q))[x]\) の素イデアルに対応し、 これは \((\mathbf{Z}/(q))[x]\) で既約な多項式により生成されなければならない。

この多項式の最小次数の代表元を選べば、それは \(\mathbf{Z}[x]\) でも既約である。 したがって、この場合 \(\mathfrak p = (q, f_q)\) である。ここで \(f_q\) は、 \((\mathbf{Z}/(q) [x])\) で見ても既約な \(\mathbf{Z}[x]\) の既約多項式である。

次に \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\) と仮定する。 この場合、\(\mathfrak p\) は非定数多項式によって生成されなければならず、 \(\mathfrak p\) は素イデアルなので、それらは \(\mathbf{Z}[x]\) で既約と仮定してよい。 ガウスの補題により、これらの多項式は \(\mathbf{Q}[x]\) でも既約である。 \(\mathbf{Q}[x]\) はユークリッド整域なので、\(\mathfrak p\) を生成する 相異なる既約元 \(f, g\) が少なくとも二つあれば、 \(a, b \in \mathbf{Q}[x]\) に対して \(1 = af + bg\) となる。 共通分母を掛ければ、\(\bar{a}, \bar{b} \in \mathbf{Z}[x]\) および 非零な \(m \in \mathbf{Z}\) に対して \(m = \bar{a}f + \bar{b} g\) となることが分かる。これは矛盾である。 したがって、\(\mathfrak p\) は \(\mathbf{Z}[x]\) の一つの既約多項式で生成される。

例

この例では、\(k\) を任意の体とするときの \(X = \Spec(k[x, y])\) を記述する。 明らかに \((0)\) は素イデアルであり、\(k[x, y]\) は一意分解整域なので、 既約多項式で生成される任意の単項イデアルも素イデアルである。 ここで \(\mathfrak p\) を、単項でない \(X\) の元と仮定する。 \(k[x, y]\) はネーター一意分解整域なので、素イデアル \(\mathfrak p\) は 有限個の既約多項式 \((f_1, \ldots, f_n)\) で生成できる。 ここで、同伴でない \(k[x, y]\) の既約多項式 \(f, g\) に対して \((f, g) \cap k[x] \neq 0\) であると主張する。これを示すには、 \(k(x)[y]\) で見たときに \(f\) と \(g\) が互いに素であることを示せば十分である。 この場合、\(k(x)[y]\) はユークリッド整域なので、ユークリッドの互除法を適用して 分母を払えば、

\(p, a, b \in k[x]\) に対して \(p = af + bg\) を得る。 したがって、そうでない、すなわち、ある非単元 \(h \in k(x)[y]\) が \(f\) と \(g\) の両方を割ると仮定する。

するとガウスの補題により、ある \(a, b \in k(x)\) に対して、 \(ah, bh \in k[x]\) であり、\(ah | f\) および \(bh | g\) となる。 既約性により、\(ah = f\) かつ \(bh = g\) である （\(h \notin k(x)\) だからである）。したがって \(k(x)[y]\) に戻ると、 \(\frac{a}{b} g = f\) なので \(f, g\) は同伴である。 \(k(x)\) は \(k[x]\) の分数体なので、共通因子をもたない元 \(r , s \in k[x]\) により \(g = \frac{r}{s} f\) と書ける。 これは \(k[x, y]\) において \(sg = rf\) であることを意味し、 \(k[x, y]\) は一意分解整域なので、\(s\) は \(f\) を割らなければならない。 したがって \(s = 1\) または \(s = f\) である。 \(s = f\) ならば \(r = g\) となり、\(f, g \in k[x]\) を意味する。 したがって、それらは \(k(x)\) の単元であり、 \(k(x)[y]\) で互いに素でなければならず、仮定に矛盾する。 \(s = 1\) ならば \(g = rf\) となり、これも矛盾である。 ゆえに、ユークリッド整域 \(k(x)[y]\) において \(f, g\) は互いに素でなければならない。 こうして、\(\mathfrak p\) が \(p \in k[x] \subset k[x, y]\) なる既約多項式を含む場合に帰着した。 上の議論により、\(\mathfrak p\) は環 \(k[x, y]/(p) = k(\alpha)[y]\) の素イデアルに対応する。 ここで \(\alpha\) は、最小多項式 \(p\) をもち \(k\) 上代数的な元である。 これは主イデアル整域なので、任意の素イデアルは \((0)\) または \(k(\alpha)[y]\) の既約多項式に対応する。 したがって、\(\mathfrak p\) は \((p)\) または \((p, f)\) の形である。 ここで \(f\) は、商 \(k[x, y]/(p)\) で既約な \(k[x, y]\) の多項式である。

例

環 \[R = \{ f \in \mathbf{Q}[z]\text{ with }f(0) = f(1) \}.\] を考える。写像 \[\varphi : \mathbf{Q}[A, B] \to R\] を \(\varphi(A) = z^2-z\) および \(\varphi(B) = z^3-z^2\) により定める。 \((A^3 - B^2 + AB) \subset \Ker(\varphi)\) であり、 \(A^3 - B^2 + AB\) が既約であることは容易に確かめられる。 \(\varphi\) が全射であると仮定する。すると \(R\) は整域 （整域の部分環である）なので、\(\Ker(\varphi)\) は \(\mathbf{Q}[A, B]\) の素イデアルでなければならない。

\((A^3-B^2 + AB)\) を含む素イデアルは、\((A^3-B^2 + AB)\) 自身と、 \(f\) が \(g\) を法として既約であるような \(f, g\in\mathbf{Q}[A, B]\) による任意の極大イデアル \((f, g)\) である。 しかし \(R\) は体ではないので、核は \((A^3-B^2 + AB)\) でなければならない。

したがって \(\varphi\) は同型 \(R \to \mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\) を与える。

\(\varphi\) が全射であることを確かめるには、任意の \(f\in R\) を \(A(z) = z^2-z\) と \(B(z) = z^3-z^2\) の \(\mathbf{Q}\) 係数多項式として 表さなければならない。関係 \(zA(z) = B(z)\) に注意する。 \(a = f(0) = f(1)\) とする。このとき \(z(z-1)\) は \(f(z)-a\) を割るので、 \(f(z) = z(z-1)g(z)+a = A(z)g(z)+a\) と書ける。

\(\deg(g) < 2\) ならば、 \(h(z) = c_1z + c_0\) かつ \(f(z) = A(z)(c_1z + c_0)+a = c_1B(z)+c_0A(z)+a\) となるので完了である。

\(\deg(g)\geq 2\) ならば、多項式の除法アルゴリズムにより \(g(z) = A(z)h(z)+b_1z + b_0\) と書ける （\(\deg(h)\leq\deg(g)-2\)）。したがって \(f(z) = A(z)^2h(z)+b_1B(z)+b_0A(z)\) である。 \(h(z)\) に除法を適用して反復すれば、\(f(z)\) を \(A(z)\) と \(B(z)\) の 多項式として表す式を得る。ゆえに \(\varphi\) は全射である。

いま \(a \in \mathbf{Q}\)、\(a \neq 0, \frac{1}{2}, 1\) とし、 \[R_a = \{ f \in \mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\text{ with }f(0) = f(1) \}.\] を考える。これも有限生成 \(\mathbf{Q}\)-代数である。実際、関数 \(z^2-z\)、\(z^3-z\)、\(\frac{a^2-a}{z-a}+z\) が \(R_a\) を \(\mathbf{Q}\)-代数として生成することは容易に確かめられる。 次の包含関係がある。 \[R\subset R_a\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}], \quad R\subset\mathbf{Q}[z]\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}].\] 環 T と乗法的部分集合 \(S\subset T\) に対して、環写像 \(T \to S^{-1}T\) はスペクトル上の写像 \(\Spec(S^{-1}T) \to \Spec(T)\) を誘導し、これは部分集合 \[\{\mathfrak p \in \Spec(T) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset\} \subset \Spec(T).\] の上への同相写像であることを思い出そう（補題 00E3）。 \(f\in T\) に対して \(S = \{ 1, f, f^2, \ldots\}\) のとき、これは開集合

\(D(f)\subset T\) である。次に、環写像 \(R \to R_a\) について対応する性質を確かめる。 包含 \(R\subset R_a\) が誘導する写像 \(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\) について、\(\theta\) が単射な局所同相写像であることを確かめ、 \(\Spec(R)\) の開部分集合の上への同相写像であることを示す。 これを、これから記述する二つの標準開集合による \(\Spec(R_a)\) の開被覆に関して行う。 任意の \(r\in\mathbf{Q}\) に対し、 \(\text{ev}_r : R \to \mathbf{Q}\) を \(r\) での評価により与えられる準同型とする。 \(r = 0\) および \(r = 1-a\) のとき、これは準同型 \(\text{ev}_r' : R_a \to \mathbf{Q}\) に拡張できることに注意する （後者については \(a\neq\frac{1}{2}\) なので、 \(z = 1-a\) で \(\frac{1}{z-a}\) が定義されるためである）。 しかし \(\text{ev}_a\) は \(R_a\) に拡張されない。 \(\mathfrak{m}_r = \Ker(\text{ev}_r)\) と書く。次が成り立つ。 \[\mathfrak{m}_0 = (z^2-z, z^3-z),\] \[\mathfrak{m}_a = ((z-1 + a)(z-a), (z^2-1 + a)(z-a)), \text{ and}\] \[\mathfrak{m}_{1-a} = ((z-1 + a)(z-a), (z-1 + a)(z^2-a)).\] これを確かめるには、右辺が明らかに左辺に含まれることに注意する。 次に、生成元を \(A\) と \(B\) で表し、 \(R\) を \(\mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\) と見て、 右辺が極大イデアルであることを確かめる。 \(\mathfrak{m}_a\) は \(\theta\) の像に含まれないことに注意する。実際、 \[(z^2 - z)^2(z - a)\left(\frac{a^2 - a}{z - a} + z\right) = (z^2 - z)^2(a^2 - a) + (z^2 - z)^2(z - a)z\] である。左辺は \(\mathfrak m_a R_a\) に属する。なぜなら \((z^2 - z)(z - a)\) は \(\mathfrak m_a\) に属し、 \((z^2 - z)(\frac{a^2 - a}{z - a} + z)\) は \(R_a\) に属するからである。 同様に、元 \((z^2 - z)^2(z - a)z\) は \(\mathfrak m_a R_a\) に属する。 なぜなら \((z^2 - z)\) は \(R_a\) に属し、 \((z^2 - z)(z - a)\) は \(\mathfrak m_a\) に属するからである。 \(a \not \in \{0, 1\}\) なので、\((z^2 - z)^2 \in \mathfrak m_a R_a\) と結論できる。したがって \(R_a\) のどのイデアル \(I\) も \(I \cap R = \mathfrak m_a\) を満たし得ない。というのも、そのような \(I\) は \((z^2 - z)^2\) を含まなければならないが、これは \(R\) に属し \(\mathfrak m_a\) には属さないからである。 標準開集合 \(D((z-1 + a)(z-a))\subset\Spec(R)\) は、閉集合 \(\{\mathfrak{m}_a, \mathfrak{m}_{1-a}\}\) の補集合に等しい。 次に \(R_{(z-1 + a)(z-a)} = (R_a)_{(z-1 + a)(z-a)}\) であることを確かめる。 この局所化された環を \(R'\) と呼ぶと、写像 \(R \to R'\) は \(R \to R_a \to R'\) と分解される。すると補題 00E3 により、これらの写像は \(\Spec(R') \subset \Spec(R_a)\) および \(\Spec(R') \subset \Spec(R)\) を開部分集合として表す。 したがって、\(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\) を \(D((z-1 + a)(z-a))\) に制限すると、開部分集合の上への同相写像となる。 同様に、\(\theta\) を \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R_a)\) に制限すると、 開部分集合 \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R)\) の上への同相写像となる。 \(z^2 + z + 2a-2\) が \(\mathbf{Q}\) 上既約かどうかに応じて、 後者の標準開集合の補集合は、一つまたは二つの閉点と 閉点 \(\mathfrak{m}_a\) からなる。さらに、

\(R_a\) において元 \((z^2 + z + 2a-a)(z-a)\) と \((z-1 + a)(z-a)\) が生成するイデアルは \(R_a\) 全体なので、 これら二つの標準開集合は \(\Spec(R_a)\) を被覆する。 したがって \(\theta\) が \(\Spec(R)-\{\mathfrak{m}_a\}\) の上への同相写像であることを示すには、 これら一つまたは二つの点が \(\mathfrak{m}_{1-a}\) と決して等しくならないことを 示せば十分である。実際そのとおりである。\(1-a\) が \(z^2 + z + 2a-2\) の根であるのは、\(a = 0\) または \(a = 1\) のとき、 かつそのときに限るが、いずれも起こらないからである。

この同相写像は \(R\) の元による局所化の挙動を模倣しているが、

\(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\) が極大イデアル \((z-a)\) における \(\mathbf{Q}[z]\) の局所化である一方、環 \(R_a\) は \(R\) の局所化では ない。

任意の局所化 \(S^{-1}R\) では、もとの環 \(R\) より単元が増えるからである。 \(R\) の単元は、\(\mathbf{Q}\) の単元 \(\mathbf{Q}^\times\) である。 実際、\(R_a\) の単元が \(\mathbf{Q}^*\) であることは容易に分かる。 すなわち、\(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z - a}]\) の単元は、 \(c \in \mathbf{Q}^*\) および \(n \in \mathbf{Z}\) に対する \(c (z - a)^n\) であり、これらが \(R_a\) に属するのは \(n = 0\) のときに限ることは明らかである。 したがって \(R_a\) は \(R\) より多くの単元をもたず、 それゆえ \(R\) の局所化ではあり得ない。

\(z = 0, 1\) で \(\frac{1}{z-a}\) が意味をもつことを保証するために、 \(a\neq 0, 1\) という事実を用いた。\(a\neq 1/2\) という事実は数箇所で用いた。 (1) \(R_a\) 上の \(\text{ev}_{1-a}\) の核を論じられるようにするためである。 これにより \(\mathfrak{m}_{1-a}\) が \(R_a\) の点であること （すなわち、\(R_a\) が \(R\) の点をちょうど一つだけ欠くこと）が保証される。 (2) 最後に、\((z-a)^{k + \ell}\) が \(R\) に属し得るのは \(k = \ell = 0\) のときだけだと結論するためである。実際、 \(a = 1/2\) ならば、\(k + \ell\) が偶数である限りこれは \(R\) に属する。 したがって、この場合 \(R_a\) は実際に \(R\) より多くの単元をもち、 \(R_a\) は \(R\) の局所化である可能性がある。

素イデアルについてのメタ観察

この節は CRing project から取られている。\(R\) を環とし、 \(S \subset R\) を乗法的部分集合とする。補題 00E3 の帰結として、 \(S\) と交わらないという性質に関して極大なイデアル \(I \subset R\) は素イデアルである。その理由は、環 \(S^{-1}R\) の ある極大イデアル \(\mathfrak m\) に対して \(I = R \cap \mathfrak m\) となるからである。 実は、イデアルの多くの性質について、その性質をもつ極大なものは素イデアルである。 これを見る一般的方法が [Lam-Reyes] で展開された。 この節では本筋を離れ、この現象を説明する。

\(R\) を環とする。\(I\) が \(R\) のイデアルで \(a \in R\) ならば、 \[(I : a) = \left\{ x \in R \mid xa \in I\right\}.\] と定める。より一般に、\(J \subset R\) がイデアルならば、 \[(I : J) = \left\{ x \in R \mid xJ \subset I\right\}.\] と定める。

補題

\(R\) を環とする。単項イデアル \(J \subset R\) と任意のイデアル \(I \subset J\) に対して \(I = J (I : J)\) である。

証明

\(J = (a)\) とする。このとき \((I : J) = (I : a)\) である。 \(I \subset J\) なので、任意の \(y \in I\) は、ある \(x \in (I : a)\) によって \(y = xa\) の形に書ける。 したがって \(I \subset J (I : J)\) である。 逆に \(x \in (I : a)\) ならば、\(xJ = (xa) \subset I\) であり、 もう一方の包含が証明される。

\(\mathcal{F}\) を \(R\) のイデアルの集まりとする。 \(\mathcal{F}\) の補集合の極大元が素イデアルとなることを保証する条件に関心がある。

定義

\(R\) を環とし、\(\mathcal{F}\) を \(R\) のイデアルの集合とする。 \(R \in \mathcal{F}\) であり、イデアル \(I \subset R\) と元 \(a \in R\) に対して \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\) ならば常に \(I \in \mathcal{F}\) となるとき、\(\mathcal{F}\) を 岡族 という。

岡族の例をいくつか挙げよう。最初の例は、この節の導入で論じた基本例である。

例

\(R\) を環、\(S\) を \(R\) の乗法的部分集合とする。 \(\mathcal{F} = \{I \subset R \mid I \cap S \not = \emptyset\}\) が 岡族であると主張する。実際、ある \(a \in R\) に対して \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\) と仮定する。 \(s \in (I, a) \cap S\) と \(s' \in (I : a) \cap S\) を選ぶ。 すると \(ss' \in I \cap S\) なので \(I \in \mathcal{F}\) である。 したがって \(\mathcal{F}\) は岡族である。

例

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアル、\(a \in R\) とする。 \((I : a)\) が \(a_1, \ldots, a_n\) で生成され、\((I, a)\) が \(b_1, \ldots, b_m \in I\) を用いて \(a, b_1, \ldots, b_m\) で生成されるならば、\(I\) は \(aa_1, \ldots, aa_n, b_1, \ldots, b_m\) で生成される。 これを見るため、\(x \in I\) ならば、\(x \in (I, a)\) は \(a, b_1, \ldots, b_m\) の線形結合だが、 \(a\) の係数は \((I:a)\) に属さなければならないことに注意する。 その結果、有限生成イデアルの族が岡族であることが分かる。

例

環 \(R\) の単項イデアルの族が岡族であることを示そう。 実際、\(I \subset R\) をイデアル、\(a \in R\) とし、 \((I, a)\) と \((I : a)\) が単項であると仮定する。 \((I : a) = (I : (I, a))\) であることに注意する。 \(J = (I, a)\) と置くと、\(J\) は単項であり \((I : J)\) も単項である。 補題 05K8 により \(I = J (I : J)\) である。 したがって、この状況では \(J = (I, a)\) と \((I : J)\) が単項なので、 \(I\) も単項である。

例

\(R\) を環とする。\(\kappa\) を無限基数とする。 高々 \(\kappa\) 個の元で生成できるイデアルの族は岡族である。 議論は例 05KB の議論と同様なので省略する。

例

\(A\) を環、\(I \subset A\) をイデアル、\(a \in A\) を元とする。 最初の矢印が \(a\) による乗法で与えられる短完全列 \(0 \to A/(I : a) \to A/I \to A/(I, a) \to 0\) がある。 したがって、\(P\) が拡大に関して安定で \(0\) に対して成り立つ \(A\)-加群の性質ならば、\(A/I\) が \(P\) をもつようなイデアル \(I\) の族は岡族である。

命題

\(\mathcal{F}\) がイデアルの岡族ならば、\(\mathcal{F}\) の補集合の任意の極大元は 素イデアルである。

証明

\(I \not \in \mathcal{F}\) が \(\mathcal{F}\) に属さないことに関して極大だが、 \(I\) は素イデアルでないと仮定する。\(R \in \mathcal{F}\) なので \(I \not = R\) であることに注意する。\(I\) は素イデアルでないので、 \(ab \in I\) を満たす \(a, b \in R - I\) を取れる。 すると \((I, a) \neq I\) であり、\((I : a)\) は \(b \not \in I\) を含むので \((I : a) \neq I\) でもある。したがって \((I : a), (I, a)\) はいずれも \(I\) を真に含み、それゆえ \(\mathcal{F}\) に属さなければならない。 岡条件により \(I \in \mathcal{F}\) となり、矛盾である。

ここまでで、上の例の大部分を環の素イデアルに関する補題へ変換できる。

補題

\(R\) を環とし、\(S\) を \(R\) の乗法的部分集合とする。 \(I \cap S = \emptyset\) という性質に関して極大なイデアル \(I \subset R\) は素イデアルである。

証明

これはこの節の導入で論じた例である。別の証明として、例 05KA と命題 05KE を組み合わせればよい。

補題

\(R\) を環とする。

1. 有限生成でないことに関して極大なイデアル \(I \subset R\) は素イデアルである。

2. \(R\) のすべての素イデアルが有限生成ならば、\(R\) のすべてのイデアルが 有限生成である²。

証明

第一の主張は、例 05KB と命題 05KE の直接の帰結である。第二について、有限生成でない イデアル \(I \subset R\) が存在すると仮定する。 有限生成でないイデアルの全順序鎖 \(\left\{I_\alpha\right\}\) の和は 有限生成でない。実際、\(I = \bigcup I_\alpha\) が \(a_1, \ldots, a_n\) で生成されるならば、すべての生成元はある \(I_\alpha\) に属し、したがってそれを生成することになる。 ツォルンの補題により、有限生成でないことに関して極大なイデアルが存在する。 第一の部分により、このイデアルは素イデアルである。

補題

\(R\) を環とする。

1. 単項でないことに関して極大なイデアル \(I \subset R\) は素イデアルである。

2. \(R\) のすべての素イデアルが単項ならば、\(R\) のすべてのイデアルが単項である。

証明

第一の部分は例 05KC と命題 05KE から従う。第二について、単項でないイデアル \(I \subset R\) が存在すると仮定する。

単項でないイデアルの全順序鎖 \(\left\{I_\alpha\right\}\) の和は単項でない。 実際、\(I = \bigcup I_\alpha\) が \(a\) で生成されるならば、 \(a\) はある \(I_\alpha\) に属し、\(a\) がそれを生成することになる。 ツォルンの補題により、単項でないことに関して極大なイデアルが存在する。 第一の部分により、このイデアルは必然的に素イデアルである。

補題

\(R\) を環とする。

1. 非零因子を含まないイデアルの中で極大なイデアルは素イデアルである。

2. \(R\) が非零で、\(R\) の任意の非零素イデアルが非零因子を含むならば、 \(R\) は整域である。

証明

非零因子の集合 \(S\) を考える。これは \(R\) の乗法的部分集合である。 したがって \(S\) と交わらないことに関して極大な任意のイデアルは素イデアルである。 補題 05KF を参照せよ。 ゆえに、任意の非零素イデアルが非零因子を含むならば、 \((0)\) は素イデアル、すなわち \(R\) は整域である。

注意

\(R\) を環とし、\(\kappa\) を無限基数とする。 例 05KD と命題 05KE を適用すると、 \(\kappa\) 個の元で生成されないことに関して極大な任意のイデアルは 素イデアルであることが分かる。この結果はそれほど有用ではない。 \(R\) の任意の素イデアルを \(\aleph_0\) 個の元で生成できるが、 あるイデアルは生成できないような環が存在するからである。 実際、\(k\) を体、\(T\) を濃度が \(\aleph_0\) より大きい集合とし、 \[R = k[\{x_n\}_{n \geq 1}, \{z_{t, n}\}_{t \in T, n \geq 0}]/ (x_n^2, z_{t, n}^2, x_n z_{t, n} - z_{t, n - 1})\] とする。これは一意な素イデアル \(\mathfrak m = (x_n)\) をもつ局所環である。 しかしイデアル \((z_{t, n})\) は可算個の元では生成できない。

例

\(R\) を環、\(X = \Spec(R)\) とする。

\(X\) の閉部分集合は \(R\) の根基イデアルに対応するので （補題 00E0）、\(X\) がネーター位相空間であることと、 根基イデアルについて上昇連鎖条件が成り立つことは同値である。 これは、任意の根基イデアルが有限生成イデアルの根基であることと同値である （詳細は省略する）。次を置く。 \[\mathcal{F} = \{I \subset R \mid \sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\text{ for some }n \text{ and }f_1, \ldots, f_n \in R\}.\] 任意のイデアル \(I \subset R\) と任意の元 \(a \in R\) に対して成り立つ等式 \[\sqrt{I} = \sqrt{(I, a)(I : a)}\] を用いれば、\(\mathcal{F}\) が岡族であることを読者は示せる。 一方、いずれも \(\mathcal{F}\) に属さないイデアルの全順序鎖 \(\{I_\alpha\}\) があれば、その和 \(I = \bigcup I_\alpha\) も \(\mathcal{F}\) に属し得ない。そうでなければ、 \(\sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\) であり、 ある \(e\) に対して \(f_i^e \in I\)、次に \(i\) に依存しないある \(\alpha\) に対して \(f_i^e \in I_\alpha\)、さらに \(\sqrt{I_\alpha} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\) となり、矛盾する。 したがって、\(\mathcal{F}\) に属さないイデアルの集合が空でなければ、 それは極大元をもち、補題 05KG とまったく同様に、 \(X\) がネーター位相空間であることと、\(R\) の任意の素イデアルが ある \(f_1, \ldots, f_n \in R\) に対して \(\sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\) に等しいことは同値であると結論できる。 この結果が必要になった場合には、ここで注意深く主張し証明することにする。

有限表示環写像の像

この節では、環写像 \(R \to S\) が誘導する写像 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) の位相、主としてシュヴァレーの定理について いくつかの結果を証明する。そのために、Topology, Section 04ZC で定義される構成可能集合、 準コンパクト集合、レトロコンパクト集合などの概念を用いる。

補題

\(U \subset \Spec(R)\) を開集合とする。次は同値である。

1. \(U\) は \(\Spec(R)\) においてレトロコンパクトである。

2. \(U\) は準コンパクトである。

3. \(U\) は標準開集合の有限和である。

4. ある有限生成イデアル \(I \subset R\) が存在して

   \(X \setminus V(I) = U\) となる。

証明

\(\Spec(R)\) は準コンパクトなので (1) \(\Rightarrow\) (2) である。 補題 00E8 を参照せよ。 標準開集合は位相の基底をなすので (2) \(\Rightarrow\) (3) である。 (3) \(\Rightarrow\) (1) を証明する。 \(U = \bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)\) とする。 \(U\) が \(\Spec(R)\) においてレトロコンパクトであることを示すには、 \(\Spec(R)\) の任意の準コンパクト開集合 \(V\) に対して \(U \cap V\) が準コンパクトであることを示せば十分である。 (2) \(\Rightarrow\) (3) により可能なので、 \(V = \bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)\) と書く。 各標準開集合はある環のスペクトルと同相であり、それゆえ準コンパクトである。 補題 00E4 および 00E8 を参照せよ。したがって \(U \cap V = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap (\bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)) = \bigcup_{i, j} D(f_i g_j)\) は準コンパクト開集合の有限和なので 準コンパクトである。証明を終えるには、補題 00E0 により (4) と (3) が同値であることに注意すればよい。

補題

\(\varphi : R \to S\) を環写像とする。誘導される連続写像 \(f : \Spec(S) \to \Spec(R)\) は準コンパクトである。 任意の構成可能集合 \(E \subset \Spec(R)\) に対して、逆像 \(f^{-1}(E)\) は \(\Spec(S)\) で構成可能である。

証明

まず、任意の準コンパクト開集合 \(U \subset \Spec(R)\) の逆像が 準コンパクトであることを示す。補題 00F6 により、

\(U\) を標準開集合の有限和として書ける。したがって補題 00E2 により、\(f^{-1}(U)\) は標準開集合の有限和である。 ゆえに、再び補題 00F6 によって \(f^{-1}(U)\) は準コンパクトである。 第二の主張は Topology, Lemma 005I から従う。

補題

\(R\) を環とする。\(\Spec(R)\) の部分集合が構成可能であるための必要十分条件は、 それが \(f, g_1, \ldots, g_m \in R\) に対する \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) の形の部分集合の有限和として書けることである。

証明

補題 00F6 により、部分集合 \(D(f)\) と \(V(g_1, \ldots, g_m)\) の補集合はレトロコンパクト開集合である。 したがって \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) は構成可能な部分集合であり、 そのような集合の任意の有限和も構成可能である。 逆に、\(T \subset \Spec(R)\) を構成可能とする。 Topology, Definition 005G により、 \(U, V \subset \Spec(R)\) をレトロコンパクト開集合として \(T = U \cap V^c\) と仮定してよい。補題 00F6 により \(U = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\) および \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(g_j)\) と書ける。すると \(T = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} \big(D(f_i) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\big)\) である。

補題

\(R\) を環とし、\(T \subset \Spec(R)\) を構成可能とする。 このとき、有限表示の環写像 \(R \to S\) で、\(\Spec(R)\) における \(\Spec(S)\) の像が \(T\) となるものが存在する。

証明

環の有限積のスペクトルはスペクトルの非交和である。補題 00ED を参照せよ。 したがって \(T = T_1 \cup T_2\) であり、結果が \(T_1\) と \(T_2\) について成り立つならば、結果は \(T\) についても成り立つ。 補題 0G1P により、 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) と仮定してよい。 この場合、\(T\) は写像 \(\Spec((R/(g_1, \ldots, g_m))_f) \to \Spec(R)\) の像である。 補題 00E4 および 00E5 を参照せよ。

補題

\(R\) を環とし、\(f\) を \(R\) の元とし、\(S = R_f\) とする。 このとき \(\Spec(S)\) の構成可能部分集合の像は \(\Spec(R)\) で構成可能である。

証明

以下、補題 00F6 を断りなく繰り返し用いる。 \(U, V\) を \(\Spec(S)\) の準コンパクト開集合とする。 \(U \cap V^c\) の像が構成可能であることを示す。 補題 00E4 の同一視 \(\Spec(S) = D(f)\) のもとで、集合 \(U, V\) は \(\Spec(R)\) の準コンパクト開集合 \(U', V'\) に対応する。 したがって、\(\Spec(R)\) において \(U' \cap (V')^c\) が構成可能であることを 示せば十分であり、これは明らかである。

補題

\(R\) を環とし、\(I\) を \(R\) の有限生成イデアルとし、\(S = R/I\) とする。 このとき \(\Spec(S)\) の構成可能部分集合の像は \(\Spec(R)\) で構成可能である。

証明

\(I = (f_1, \ldots, f_m)\) ならば、\(V(I)\) は \(\bigcup D(f_i)\) の補集合であることが分かる。補題 00E0 を参照せよ。 したがって補題 00F6 により、それは構成可能である。 写像 \(R \to S\) を \(f \mapsto \overline{f}\) と書く。 \(\overline{U}, \overline{V}\) が \(\Spec(S)\) のレトロコンパクト開集合ならば、 \(\Spec(R)\) における \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\) の像が 構成可能であることを示さなければならない。 補題 00F6 により \(\overline{U} = \bigcup D(\overline{g_i})\) と書ける。 \(U = \bigcup D({g_i})\) と置くと、\(\overline{U}\) の像は \(U \cap V(I)\) であり、これは \(\Spec(R)\) で構成可能である。 同様に \(\overline{V}\) の像は、\(\Spec(R)\) のあるレトロコンパクト開集合 \(V\) に対する \(V \cap V(I)\) に等しい。 したがって \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\) の像は \(U \cap V(I) \cap V^c\) に等しく、望む結果を得る。

補題

\(R\) を環とする。写像 \(\Spec(R[x]) \to \Spec(R)\) は開写像であり、 任意の標準開集合の像は準コンパクト開集合である。

証明

標準開集合 \(D(f)\)、\(f\in R[x]\) の像が準コンパクト開集合であることを 示せば十分である。\(D(f)\) の像は \(\Spec(R[x]_f) \to \Spec(R)\) の像である。 \(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとし、\(\overline{f}\) を \(\kappa(\mathfrak p)[x]\) における \(f\) の像とする。 補題 00E7 を思い出すと、\(\mathfrak p\) が像に属するための 必要十分条件は \(R[x]_f \otimes_R \kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p)[x]_{\overline{f}}\) が零環でないことである。 これはちょうど \(f\) が \(\kappa(\mathfrak p)[x]\) で零に写らないという条件、 言い換えれば \(f\) のある係数が \(\mathfrak p\) に属さないという条件である。 したがって、\(f = a_d x^d + \ldots + a_0\) ならば、 \(D(f)\) の像は \(D(a_d) \cup \ldots \cup D(a_0)\) である。

以下で用いる特性多項式の性質を証明する。

補題

\(R \to A\) を環準同型とする。\(R\)-加群として \(A \cong R^{\oplus n}\) であると仮定する。\(f \in A\) とする。 乗法写像 \(m_f: A \to A\) は \(R\)-線形なので、特性多項式 \(P(T) = T^n + r_{n-1}T^{n-1} + \ldots + r_0 \in R[T]\) をもつ。 任意の素イデアル \(\mathfrak{p} \in \Spec(R)\) に対し、 \(f\) が \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak{p})\) 上冪零に作用するための必要十分条件は、 \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n-1})\) である。

証明

乗法写像 \(m_{\bar f}: A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の特性多項式 \(\bar P(T) \in \kappa(\mathfrak p)[T]\) が、単に \(P(T)\) の \(\kappa(\mathfrak p)[T]\) における像であることを示せば、結果は容易に従う。 この写像は \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) の元に

\(\bar f\)、すなわち \(\kappa(\mathfrak p)\) の元と見た \(f\) の像を掛ける。 \(R\)-加群としての \(A\) の基底 \(e_1, \ldots, e_n\) を用い、 \(R\) に成分をもつ写像 \(m_f\) の行列を \((a_{ij})\) とする。 すると \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \cong (R \otimes_R \kappa(\mathfrak p))^{\oplus n} = \kappa(\mathfrak p)^n\) であり、 これは基底 \(e_1 \otimes 1, \ldots, e_n \otimes 1\) をもつ \(\kappa(\mathfrak p)\) 上の \(n\) 次元ベクトル空間である。 像は \(\bar f = f \otimes 1\) なので、乗法写像 \(m_{\bar f}\) の行列は \((a_{ij} \otimes 1)\) である。したがって、特性多項式はちょうど \(P(T)\) の像である。

線形代数により、線形変換が \(n\) 次元ベクトル空間上冪零に作用するための 必要十分条件は、特性多項式が \(T^n\) であることである （特性多項式は最小多項式のある冪を割るからである）。 したがって、\(f\) が \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 上 冪零に作用するための必要十分条件は \(\bar P(T) = T^n\) である。 これは、すべての \(0 \leq i \leq n - 1\) に対して \(r_i \in \mathfrak p\) となるとき、すなわち \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n - 1}).\) となるとき、 かつそのときに限る。

補題

\(R\) を環とし、\(f, g \in R[x]\) を多項式とする。 \(g\) の最高次係数が \(R\) の単元であると仮定する。

\(i = 1\ldots, n\) に対する元 \(r_i\in R\) で、 \(\Spec(R)\) における \(D(f) \cap V(g)\) の像が \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(r_i)\) となるものが存在する。

証明

\(g = ux^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_0\) と書く。 ここで \(d\) は \(g\) の次数であり、したがって \(u \in R^*\) である。 環 \(A = R[x]/(g)\) を考える。これは \(R\)-加群として、 \(1, x, \ldots, x^{d-1}\) の像を基底とする有限自由加群である。 \(A\) 上で \(f\) の像による乗法を考える。これは \(R\)-加群写像である。 したがって、この写像の特性多項式を \(P(T) \in R[T]\) と書ける。 \(P(T) = T^d + r_{d-1} T^{d-1} + \ldots + r_0\) と書く。 \(r_0, \ldots, r_{d-1}\) が求める性質をもつと主張する。 以下では、特性多項式の次の性質を用いる。 \[\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{d-1}) \Leftrightarrow \text{multiplication by }f\text{ is nilpotent on } A \otimes_R \kappa(\mathfrak p).\] これは補題 00FC で証明した。

\(\mathfrak q\in D(f) \cap V(g)\) とし、 \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\) とする。このとき、\(f\) による乗法と両立する 非零写像 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\) がある。 そして \(f\) は \(\kappa(\mathfrak q)\) 上単元として作用する。 したがって \(\mathfrak p \not \in V(r_0, \ldots, r_{d-1})\) と結論する。

逆に、\(R\) のある素イデアル \(\mathfrak p\) とある \(0 \leq i \leq d - 1\) に対して \(r_i \not\in \mathfrak p\) と仮定する。 このとき \(f\) による乗法は代数 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 上冪零でない。 したがって、\(f\) の像を含まない素イデアル \(\overline{\mathfrak q} \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) が存在する。 \(R[x]\) における \(\overline{\mathfrak q}\) の逆像は、 \(\mathfrak p\) に写る \(D(f) \cap V(g)\) の元である。

定理

\(R \to S\) が有限表示であると仮定する。 \(\Spec(S)\) の構成可能部分集合の \(\Spec(R)\) における像は構成可能である。

証明

\(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) と書く。 \(R \to S\) を \(R \to R[x_1] \to R[x_1, x_2] \to \ldots \to R[x_1, \ldots, x_{n-1}] \to S\) と分解できる。 したがって \(S = R[x]/(f_1, \ldots, f_m)\) と仮定してよい。 この場合、写像を \(R \to R[x] \to S\) と分解し、補題 00FA により \(S = R[x]\) の場合に帰着する。

補題 00F6 により、 \(f_i , g_j \in R[x]\) に対して \(T = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) であるとき、その \(\Spec(R)\) における像が構成可能であることを 示せば十分である。構成可能集合の有限和は構成可能なので、 \(n = 1\) の場合、すなわち \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) の場合を扱えば十分である。

\(c \in R\) ならば、 \[\Spec(R) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)) \amalg \Spec(R_c),\] であり、それに対応して \(\Spec(R[x]) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)[x]) \amalg \Spec(R_c[x])\) であることに注意する。 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) と各部分との交わりも、 \(f\)、\(g_i\) をそれぞれ \(R/(c)[x]\)、\(R_c[x]\) における像で置き換えた 同じ形をしている。\(\Spec(R)\) における \(T\) の像は、 \(T \cap V(c)\) の像と \(T \cap D(c)\) の像の和であることに注意する。 補題 00F9 と 00FA を用いると、 両方の部分の像がそれぞれ \(\Spec(R/(c))\) と \(\Spec(R_c)\) で 構成可能であることを証明すれば十分である。

上のように \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) であり、 \(\deg(g_1) \leq \deg(g_2) \leq \ldots \leq \deg(g_m)\) と仮定する。 \(m\) と \(g_i\) の次数に関する帰納法を用いる。 \(d_1 = \deg(g_1)\)、すなわち \(g_1 = c x^{d_1} + l.o.t\) とし、\(c \in R\) は零でないとする。 \(R\) を \(R/(c)\) と \(R_c\) の部分に分けると、\(g_1\) の次数が下がる （これは帰納法で扱われる）か、\(c\) が可逆な場合に帰着する。 \(c\) が可逆で \(m > 1\) ならば、 \(g_2 = c' x^{d_2} + l.o.t\) と書く。この場合 \(g_2' = g_2 - (c'/c) x^{d_2 - d_1} g_1\) を考える。 イデアル \((g_1, g_2, \ldots, g_m)\) と \((g_1, g_2', g_3, \ldots, g_m)\) は等しいので、

\(T = D(f) \cap V(g_1, g_2', g_3\ldots, g_m)\) であることが分かる。 しかしここで \(g_2'\) の次数は \(g_2\) の次数より真に小さいので、 この場合は帰納法で扱われる。

上の帰納法の基底の場合は、(a) \(g\) の最高次係数が可逆である \(T = D(f) \cap V(g)\) の場合と、(b) \(T = D(f)\) の場合である。 これら二つの場合は補題 00FD および 00FB で扱われる。

像についてのさらなる結果

この節では、環写像に対する \(\Spec\) 上の像に関する補題をいくつか集める。 例えば Section 00HU も参照せよ。

補題

\(R \subset S\) を整域の包含とする。\(R \to S\) が有限型であると仮定する。 このとき、非零元 \(f \in R\) と非零元 \(g \in S\) で、 \(R_f \to S_{fg}\) が有限表示となるものが存在する。

証明

\(R\) 上の \(S\) の生成元の個数に関する帰納法による。 証明中、ある非零元 \(f \in R\) に対して、 \(R\) を \(R_f\) で、\(S\) を \(S_f\) で置き換えてよい。

\(S\) が \(R\) 上一つの元で生成されると仮定する。 このとき、ある素イデアル \(\mathfrak q \subset R[x]\) に対して \(S = R[x]/\mathfrak q\) である。\(\mathfrak q = (0)\) ならば証明することはない。 \(\mathfrak q \not = (0)\) ならば、\(x\) に関する次数が最小の非零元 \(h \in \mathfrak q\) を取る。\(a_i \in R\) および \(f \not = 0\) として \(h = f x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0\) と書く。 \(R\) と \(S\) で \(f\) を逆にした後、\(h\) がモニックであると仮定してよい。 全射な \(R\)-代数写像 \(R[x]/(h) \to S\) を得る。 \(R\)-加群として \(R[x]/(h) = R \oplus Rx \oplus \ldots \oplus Rx^{d - 1}\) であり、 \(d\) の最小性により \(R[x]/(h)\) は \(S\) に単射的に写ることが分かる。 したがって \(R[x]/(h) \cong S\) は \(R\) 上有限表示である。

\(S\) が \(R\) 上 \(n > 1\) 個の元で生成されると仮定する。 \(x_1, \ldots, x_n \in S\) が \(S\) を生成するとする。 \(x_1, \ldots, x_{n-1}\) で生成される \(R\)-部分代数を \(S' \subset S\) と書く。

帰納法の仮定により、非零元 \(f\in R\) と \(g \in S'\) で、 \(R_f \to S'_{fg}\) が有限表示となるものが存在する。 次に帰納法の仮定を \(S'_{fg} \to S_{fg}\) に適用すると、 \(f' \in S'_{fg}\) と \(g' \in S_{fg}\) で、 \(S'_{fgf'} \to S_{fgf'g'}\) が有限表示となるものが存在することが分かる。 結論を導くことは読者に任せる。

補題

\(R \to S\) を有限型環写像とする。 \(X = \Spec(R)\) および \(Y = \Spec(S)\) と書く。

誘導されるスペクトルの写像を \(f : Y \to X\) と書く。 \(E \subset Y = \Spec(S)\) を構成可能集合とする。 点 \(\xi \in X\) が \(f(E)\) に属するならば、 \(\overline{\{\xi\}} \cap f(E)\) は \(\overline{\{\xi\}}\) の開稠密部分集合を含む。

証明

\(\xi \in X\) を \(f(E)\) の点とする。\(\xi\) に写る点 \(\eta \in E\) を選ぶ。 \(\mathfrak p \subset R\) を \(\xi\) に対応する素イデアルとし、 \(\mathfrak q \subset S\) を \(\eta\) に対応する素イデアルとする。 図式 \[\xymatrix{ \eta \ar[r] \ar@{|->}[d] & E \cap Y' \ar[r] \ar[d] & Y' = \Spec(S/\mathfrak q) \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & f(E) \cap X' \ar[r] & X' = \Spec(R/\mathfrak p) \ar[r] & X }\] を考える。補題 00F7 により、 集合 \(E \cap Y'\) は \(Y'\) で構成可能である。 したがって \(X\) を \(X'\) で、\(Y\) を \(Y'\) で置き換えてよい。 ゆえに、\(R \subset S\) は整域の包含、\(\xi\) は \(X\) の生成点、 \(\eta\) は \(Y\) の生成点であると仮定してよい。 補題 00FG とシュヴァレーの定理 （定理 00FE）を組み合わせると、稠密開集合 \(U \subset X\)、\(V \subset Y\) で、\(f(V) \subset U\) かつ \(f : V \to U\) が構成可能集合を構成可能集合に写すものが存在することが分かる。 \(E \cap V\) は \(V\) で構成可能であることに注意する。Topology, Lemma 005J を参照せよ。 したがって \(f(E \cap V)\) は \(U\) で構成可能であり、\(\xi\) を含む。 Topology, Lemma 005K により、 \(f(E \cap V)\) は稠密開集合 \(U' \subset U\) を含む。

この節の末尾では、構成可能集合とは関係のない、スペクトル上の写像の像に関する 結果をさらにいくつか示す。

補題

\(\varphi : R \to S\) を環写像とする。次は同値である。

1. 写像 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) は全射である。

2. 任意のイデアル \(I \subset R\) に対して、 \(R\) における \(\sqrt{IS}\) の逆像は \(\sqrt{I}\) に等しい。

3. 任意の根基イデアル \(I \subset R\) に対して、 \(R\) における \(IS\) の逆像は \(I\) に等しい。

4. \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して、 \(R\) における \(\mathfrak p S\) の逆像は \(\mathfrak p\) である。

この場合、任意の基底変換の後でも同じことが成り立つ。 すなわち、環写像 \(R \to R'\) が与えられると、環写像 \(R' \to R' \otimes_R S\) も同値な性質 (1)、(2)、(3) をもつ。

証明

\(J \subset S\) がイデアルならば、 \(\sqrt{\varphi^{-1}(J)} = \varphi^{-1}(\sqrt{J})\) である。 これは (2) と (3) が同値であることを示す。 (3) \(\Rightarrow\) (4) は直ちに従う。 \(I \subset R\) が根基イデアルならば、補題 00E0 により \(I = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\) である。 したがって (4) \(\Rightarrow\) (2) である。 補題 00E7 により、 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak p S)\) であるための必要十分条件は、 \(\mathfrak p\) が像に属することである。したがって (1) \(\Leftrightarrow\) (4) である。ゆえに (1)、(2)、(3)、(4) は同値である。

(1) を仮定する。\(R \to R'\) を環写像とする。 \(\mathfrak p' \subset R'\) を \(R\) の素イデアル \(\mathfrak p\) の上にある 素イデアルとする。\(\mathfrak p'\) が写像 \(\Spec(R' \otimes_R S) \to \Spec(R')\) の像に属することを見るには、 補題 00E7 により \((R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p')\) が零でないことを 示さなければならない。しかし \[(R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\] である。仮定により \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) は零でなく、 \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak p')\) は体の拡大なので、 これは零でない。

補題

\(R\) を整域とし、\(\varphi : R \to S\) を環写像とする。次は同値である。

1. 環写像 \(R \to S\) は単射である。

2. 像 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) は点の稠密集合を含む。

3. \(R\) における逆像が \((0)\) となる素イデアル \(\mathfrak q \subset S\) が存在する。

証明

\(K\) を整域 \(R\) の分数体とする。\(R \to S\) が単射であると仮定する。 局所化は完全なので、\(K \to S \otimes_R K\) は単射であることが分かる。 したがって補題 00E7 により、\((0)\) に写る素イデアルが存在する。

\((0)\) は \(\Spec(R)\) で稠密であることに注意する。 したがって、最後の条件から第二の条件が従う。

第二の条件が成り立つと仮定する。\(f \in R\)、\(f \not = 0\) とする。 \(R\) は整域なので、\(V(f)\) は

\(R\) の真の閉部分集合である。仮定により、\(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\) を満たす \(S\) の素イデアル \(\mathfrak q\) が存在する。 したがって \(\varphi(f) \not = 0\) である。 ゆえに \(R \to S\) は単射である。

補題

\(R \subset S\) を単射な環写像とする。このとき \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) はすべての極小素イデアルに達する。

証明

\(\mathfrak p \subset R\) を極小素イデアルとする。 この場合 \(R_{\mathfrak p}\) は一意な素イデアルをもつ。 したがって \(S_{\mathfrak p}\) が零でないことを示せば十分である。 これは局所化が完全であることから従う。命題 00CS を参照せよ。

補題

\(R \to S\) を環写像とする。次は同値である。

1. \(R \to S\) の核は冪零元からなる。

2. \(R\) の極小素イデアルは \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) の像に属する。

3. \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) の像は \(\Spec(R)\) で稠密である。

証明

\(I = \Ker(R \to S)\) とする。補題 00E0 により \(\sqrt{(0)} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} \mathfrak q\) であることに注意する。 したがって \(\sqrt{I} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} R \cap \mathfrak q\) である。 ゆえに \(V(I) = V(\sqrt{I})\) は \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) の像の閉包である。 これは (1) と (3) が同値であることを示す。(2) から (3) が従うことは明らかである。 最後に (1) を仮定する。スペクトルの位相と写像に影響を与えずに、 \(R\) を \(R/I\) で、\(S\) を \(S/IS\) で置き換えてよい。 したがって (1) \(\Rightarrow\) (2) は補題 00FK から従う。

補題

\(R \to S\) を環写像とする。極小素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) が \(\Spec(S) \to \Spec(R)\) の像に属するならば、それは極小素イデアルの像である。

証明

\(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\) とする。 補題 00E0 により、\(\mathfrak r \subset \mathfrak q\) を満たす極小素イデアル \(\mathfrak r \subset S\) を選ぶ。 \(\mathfrak p\) の極小性により \(\mathfrak p = \mathfrak r \cap R\) であることが分かる。

補題

\(A \subset B\) を、分数体の代数拡大を誘導する整域の包含とする。 \(J \subset B\) が非零イデアルならば、\(A \cap J\) も非零である。 したがって \(\Spec(B)\) の真の閉部分集合の像は \(\Spec(A)\) で稠密でない。

証明

\(x \in J\) を非零元とする。\(x\) は \(A\) の分数体上代数的なので、 \(a_0, a_d \not = 0\) を満たす \(d \geq 1\) と \(a_0, \ldots, a_d \in A\) が存在して、 \(B\) において \(a_d x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0 = 0\) となる。 すると \(a_0 \in A \cap J\) である。

ネーター環

環 \(R\) の任意のイデアルが有限生成であるとき、\(R\) を ネーター的 という。 これは明らかに \(R\) のイデアルに対する昇鎖条件と同値である。 補題 05KG により、\(R\) の任意の素イデアルが有限生成であることを 確かめれば十分である。

補題

ネーター環上の任意の有限生成環はネーター的である。 ネーター環の任意の局所化はネーター的である。

証明

局所化に関する主張は、任意のイデアル \(J \subset S^{-1}R\) が \(I \cdot S^{-1}R\) の形であることから従う。 ネーター環 \(R\) の任意の商 \(R/I\) はネーター的である。 実際、任意のイデアル \(\overline{J} \subset R/I\) は、 あるイデアル \(I \subset J \subset R\) に対する \(J/I\) の形である。 したがって、\(R\) がネーター的ならば \(R[X]\) もそうであることを 示せば十分である。\(J_1 \subset J_2 \subset \ldots\) を \(R[X]\) のイデアルの昇鎖とする。 \(J_i\) の次数 \(d\) の多項式の最高次係数として現れる \(R\) の元のイデアルを \(I_{i, d}\) と定める。\(i \leq i'\) かつ \(d \leq d'\) ならば、明らかに \(I_{i, d} \subset I_{i', d'}\) である。 \(R\) の昇鎖条件により、すべての \(I_{i, d}\) の中には相異なるイデアルが 高々有限個しかない。 （ヒント：\(\mathbf{N} \times \mathbf{N}\) の任意の無限部分集合は、 増加する無限列を含む。） すべての \(i \geq i_0\) とすべての \(d\) に対して \(I_{i, d} = I_{i_0, d}\) となるほど十分大きい \(i_0\) を取る。 ある \(i \geq i_0\) に対して \(f \in J_i\) と仮定する。 次数 \(d = \deg(f)\) に関する帰納法により \(f \in J_{i_0}\) を示す。 実際、次数が \(d\) で \(f\) と同じ最高次係数をもつ \(g\in J_{i_0}\) が存在する。帰納法により \(f - g \in J_{i_0}\) となり、 証明が終わる。

補題

\(R\) がネーター環ならば、形式的冪級数環 \(R[[x_1, \ldots, x_n]]\) もネーター的である。

証明

\(R[[x_1, \ldots, x_{n + 1}]] \cong R[[x_1, \ldots, x_n]][[x_{n + 1}]]\) なので、\(R\) がネーター的ならば \(R[[x]]\) がネーター的であるという主張を 証明すれば十分である。\(I \subset R[[x]]\) をイデアルとする。 \(I\) が有限生成イデアルであることを示さなければならない。 各整数 \(d\) に対して \(I_d = \{a \in R \mid ax^d + \text{h.o.t.} \in I\}\) と書く。 \(R\) はネーター的なので、\(I_0 \subset I_1 \subset \ldots\) は安定する。 \(I_{d_0} = I_{d_0 + 1} = \ldots\) となる \(d_0\) を選ぶ。 各 \(d \leq d_0\) に対して、\(f_{d, j} \in I \cap (x^d)\)、 \(j = 1, \ldots, n_d\) なる元を選び、 \(f_{d, j} = a_{d, j}x^d + \text{h.o.t}\) と書くと \(I_d = (a_{d, j})\) となるようにする。 \(I' = (\{f_{d, j}\}_{d = 0, \ldots, d_0, j = 1, \ldots, n_d})\) と書く。 このとき \(I' \subset I\) であることは明らかである。 \(f \in I\) を取る。まず、次を満たす \(c_{d, i} \in R\) を選べる。 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} \in (x^{d_0 + 1}) \cap I.\] 次に、\(i = 1, \ldots, n_{d_0}\) に対して \(c_{i, 1} \in R\) を選び、次が成り立つようにできる。 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 2}) \cap I.\] 次に、\(i = 1, \ldots, n_{d_0}\) に対して \(c_{i, 2} \in R\) を選び、次が成り立つようにできる。 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} - \sum c_{i, 2}x^2f_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 3}) \cap I.\] 以下同様である。最終的に \[f = \sum c_{d, i} f_{d, i} + \sum\nolimits_i (\sum\nolimits_e c_{i, e} x^e)f_{d_0, i}\]

は望みどおり \(I'\) に属することが分かる。

次の補題は容易だが、「絶対ネーター還元」と呼ばれる手法で 有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数が頻繁に現れるため有用である。

補題

体上の任意の有限型代数はネーター的である。 \(\mathbf{Z}\) 上の任意の有限型代数はネーター的である。

証明

これは補題 00FN と、 体がネーター環であること、および

\(\mathbf{Z}\) がネーター環であること（主イデアル整域だからである）から直ちに従う。

補題

\(R\) をネーター環とする。

1. 任意の有限 \(R\)-加群は有限表示である。

2. 有限 \(R\)-加群の任意の部分加群は有限である。

3. 任意の有限型 \(R\)-代数は \(R\) 上有限表示である。

証明

\(M\) を有限 \(R\)-加群とする。補題 00KZ により、\(M\) の有限フィルトレーションで、 その逐次商が \(R/I\) の形となるものを取れる。 任意のイデアルは有限生成なので、各商 \(R/I\) は有限表示である。 したがって補題 0519 により \(M\) は有限表示である。 これで (1) が証明された。

\(N \subset M\) を部分加群とする。\(M\) は有限なので、商 \(M/N\) は有限である。 したがって (1) により \(M/N\) は有限表示である。 ゆえに補題 0519 の (5) により \(N\) は有限である。 これで (2) が証明された。

(3) を見るには、補題 00FN により \(R[x_1, \ldots, x_n]\) の任意のイデアルが有限生成であることに注意すればよい。

補題

\(R\) がネーター環ならば、\(\Spec(R)\) はネーター位相空間である。 Topology, Definition 0051 を参照せよ。

証明

これは、\(\Spec(R)\) の任意の閉部分集合が、根基イデアル \(I\) に対する \(V(I)\) の形に一意に書けるためである。補題 00E0 を参照せよ。 また、この対応は包含関係を逆転する。したがって結果は定義から従う。

補題

\(R\) がネーター環ならば、\(\Spec(R)\) は有限個の既約成分をもつ。 言い換えれば、\(R\) は有限個の極小素イデアルをもつ。

証明

補題 00FQ と Topology, Lemma 0052 により、既約成分が有限個であることが分かる。 補題 00ES により、これらは \(R\) の極小素イデアルに対応する。

補題

\(R \to S\) を環写像とし、\(R \to R'\) が有限型であるとする。 \(S\) がネーター的ならば、基底変換 \(S' = R' \otimes_R S\) はネーター的である。

証明

補題 05G5 により、有限型という性質は 基底変換で保たれる。したがって \(S \to S'\) は有限型である。 \(S\) はネーター的なので、補題 00FN を適用できる。

補題

\(k\) を体、\(R\) をネーター的な \(k\)-代数とする。 \(K/k\) が有限生成体拡大ならば、\(K \otimes_k R\) はネーター的である。

証明

\(K/k\) は有限生成体拡大なので、有限生成 \(k\)-代数 \(B \subset K\) で、\(K\) が \(B\) の分数体となるものが存在する。 言い換えれば、\(S = B \setminus \{0\}\) として \(K = S^{-1}B\) である。 すると \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\) である。 補題 0CY6 により \(B \otimes_k R\) はネーター的である。 最後に、補題 00FN により \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\) はネーター的である。

ときどき有用な、興味深い補題をいくつか挙げる。

補題

\(R\) を環、\(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとする。 次の各場合に、\(R_f \to R_\mathfrak p\) が単射となる \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\) が存在する。

1. \(R\) は整域である。

2. \(R\) はネーター的である。

3. \(R\) は被約で、有限個の極小素イデアルをもつ。

証明

\(R\) が整域ならば \(R \subset R_\mathfrak p\) なので、\(f = 1\) でよい。 \(R\) がネーター的ならば、\(R \to R_\mathfrak p\) の核 \(I\) は有限生成イデアルであり、 \(IR_f = 0\) を満たす \(f \in R\)、\(f \not \in \mathfrak p\) を取れる。 この \(f\) に対して写像 \(R_f \to R_\mathfrak p\) は単射であり、\(f\) は求めるものである。 \(R\) が被約で、有限個の極小素イデアル \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) をもつとする。 このとき \(f \in \bigcap_{\mathfrak p_i \not \subset \mathfrak p} \mathfrak p_i\)、 \(f \not \in \mathfrak p\) となる元を選べる。 実際、\(\mathfrak{p}_i\not\subset \mathfrak{p}\) ならば \(f_i \in \mathfrak{p}_i\)、\(f_i \not\in \mathfrak{p}\) となる元が存在し、 \(f = \prod f_i\) でよい。この \(f\) に対して、 \(R_f\) の極小素イデアルは \(R_\mathfrak p\) の極小素イデアルに対応するので \(R_f \subset R_\mathfrak p\) であり、補題 00EW を適用できる （いくつかの詳細は省略する）。

補題

ネーター環の任意の全射自己準同型は同型である。

証明

\(f : R \to R\) がそのような自己準同型だが単射でないならば、 \[\Ker(f) \subset \Ker(f \circ f) \subset \Ker(f \circ f \circ f) \subset \ldots\] はイデアルの真の増加列となる。

局所冪零イデアル

定義は次のとおりである。

定義

\(R\) を環、\(I \subset R\) をイデアルとする。 すべての \(x \in I\) に対して、\(x^n = 0\) となる \(n \in \mathbf{N}\) が存在するとき、\(I\) を 局所冪零 という。 \(I^n = 0\) となる \(n \in \mathbf{N}\) が存在するとき、 \(I\) を 冪零 という。

例

\(R = k[x_n | n \in \mathbf{N}]\) を、体 \(k\) 上の無限個の変数をもつ 多項式環とする。\(I\) を \(n \in \mathbf{N}\) に対する元 \(x_n^n\) で 生成されるイデアルとし、\(S = R/I\) とする。 \(J \subset S\) を、\(n \in \mathbf{N}\) に対する \(x_n\) の像で 生成されるイデアルとする。このイデアルは局所冪零だが冪零でない。 実際、冪零元の \(S\)-線形結合は冪零なので、\(J\) が局所冪零であることを 証明するには、すべての生成元が冪零であることを確認すれば十分である （それらが冪零であることは明らかである）。 一方、各 \(n \in \mathbf{N}\) に対して \(x_{n + 1}^n \not \in I\) なので、 \(J^n \not = 0\) である。したがって \(J\) は冪零でない。

補題

\(R \to R'\) を環写像、\(I \subset R\) を局所冪零イデアルとする。 このとき \(IR'\) は \(R'\) の局所冪零イデアルである。

証明

これは、\(x, y \in R'\) が冪零ならば \(x + y\) も冪零であることから従う。 実際、\(x^n = 0\) かつ \(y^m = 0\) ならば \((x + y)^{n + m - 1} = 0\) である。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) を局所冪零イデアルとする。 \(R\) の元 \(x\) が単元であるための必要十分条件は、 \(R/I\) における \(x\) の像が単元であることである。

証明

\(x\) が \(R\) の単元ならば、その \(R/I\) における像が単元であることは明らかである。 逆を証明すればよい。\(R/I\) における \(y \in R\) の像が \(x\) の像の逆元であると仮定する。このとき、ある \(z \in I\) に対して \(xy = 1 - z\) である。これは \(xR\) を法として \(1\equiv z\) であることを意味する。 \(z\) は局所冪零イデアル \(I\) に属するので、十分大きいある \(N\) に対して \(z^N = 0\) である。したがって、\(xR\) を法として \(1 = 1^N \equiv z^N = 0\) である。 言い換えれば、\(x\) は \(1\) を割り、それゆえ単元である。

補題

\(R\) をネーター環とし、\(I, J\) を \(R\) のイデアルとする。 \(J \subset \sqrt{I}\) と仮定する。このとき、ある \(n\) に対して \(J^n \subset I\) である。特に、ネーター環では 「局所冪零イデアル」と「冪零イデアル」の概念は一致する。

証明

\(J = (f_1, \ldots, f_s)\) とする。仮定により \(f_i^{d_i} \in I\) である。 \(n = d_1 + d_2 + \ldots + d_s + 1\) と取る。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) を局所冪零イデアルとする。 このとき \(R \to R/I\) は冪等元の間の全単射を誘導する。

証明

\(I\) は局所冪零なので、すべての素イデアルに含まれる。 したがって \(\Spec(R/I) = V(I) = \Spec(R)\) である。 ゆえに補題 00EE から結果が従う。

証明

\(\overline{e} \in R/I\) を冪等元とする。 \(\overline{e}\) を \(R\) の冪等元に持ち上げなければならない。

まず、\(\overline{e}\) の任意の持ち上げ \(f \in R\) を選び、 \(x = f^2 - f\) と置く。すると \(x \in I\) なので、\(x\) は冪零である （\(I\) が局所冪零だからである）。いま、\(x\) で生成される \(R\) のイデアルを \(J\) とする。このとき \(J\) は、単に局所冪零なのではなく 冪零である。冪零元 \(x\) で生成されるからである。

ある \(k \geq 1\) に対して \(e^2 - e \in J^k\) となる \(\overline{e}\) の持ち上げ \(e \in R\) が見つかったと仮定する。 \(e' = e - (2e - 1)(e^2 - e) = 3e^2 - 2e^3\) と置く。 これは \(\overline{e}\) の別の持ち上げである （\(\overline{e}\) の冪等性から \(e^2 - e \in I\) となるためである）。 簡単な計算により \[(e')^2 - e' = (4e^2 - 4e - 3)(e^2 - e)^2 \in J^{2k}\] である。

こうして、\(e^2 - e \in J^k\) を満たす \(\overline{e}\) の持ち上げ \(e\) から出発し、 \((e')^2 - e' \in J^{2k}\) を満たす \(\overline{e}\) の持ち上げ \(e'\) を得た。 この方法で近似を逐次改善できる （\(k = 1\) の条件を満たす \(e = f\) から始める）。 最終的に \(J^k = 0\) となる段階に達し、その段階では \(e^2 - e \in J^k = 0\) を満たす \(\overline{e}\) の持ち上げ \(e\) が得られる。 すなわち、この \(e\) は冪等元である。

以上により、任意の冪等元 \(\overline{e} \in R/I\) に対して、 \(R\) の冪等元である \(\overline{e}\) の持ち上げが存在することが分かった。 この持ち上げの一意性を証明すればよい。 実際、\(e_1\) と \(e_2\) をそのような二つの持ち上げとする。 \(e_1 = e_2\) であることを示さなければならない。

\(e_1\) と \(e_2\) の定義により、\(e_1 \equiv e_2 \mod I\) であり、 \(e_1\) と \(e_2\) はともに冪等元である。 \(e_1 \equiv e_2 \mod I\) から \(e_1 - e_2 \in I\) が分かるので、 \(e_1 - e_2\) は冪零である（\(I\) が局所冪零だからである）。 \(e_1\) と \(e_2\) の冪等性を用いた直接の計算により、 \((e_1 - e_2)^3 = e_1 - e_2\) であることが分かる。 これと帰納法により、任意の正の奇数 \(k\) に対して \((e_1 - e_2)^k = e_1 - e_2\) を得る。 \(e_1 - e_2\) は冪零なので、十分大きいすべての \(k\) に対して \((e_1 - e_2)^k = 0\) である。したがって \(e_1 - e_2 = 0\)、 すなわち \(e_1 = e_2\) となり、証明が完了する。

補題

\(A\) を可換とは限らない代数とする。 \(e \in A\) を、\(x = e^2 - e\) が冪零となる元とする。 このとき、\(a_{i, j} \in \mathbf{Z}\) を用いて \(e' = e + x(\sum a_{i, j}e^ix^j) \in A\) の形に書ける冪等元が存在する。

証明

環 \(R_n = \mathbf{Z}[e]/((e^2 - e)^n)\) を考える。 各 \(R_n\) について結果を証明できれば補題が従うことは明らかである。 \(R_n\) においてイデアル \(I = (e^2 - e)\) を考え、補題 00J9 を適用する。

補題

\(R\) を環、\(I \subset R\) を局所冪零イデアルとする。 \(n \geq 1\) を \(R/I\) で可逆な整数とする。このとき

1. \(n\) 乗写像 \(1 + I \to 1 + I\)、\(1 + x \mapsto (1 + x)^n\) は全単射である。

2. \(R\) の単元が \(n\) 乗であるための必要十分条件は、その \(R/I\) における像が \(n\) 乗であることである。

証明

\(a \in R\) を単元とし、その \(R/I\) における像が \(b \in R\) に対する \(b^n\) の像と同じであるとする。 このとき \(b\) は単元であり（補題 0AMG）、 ある \(x \in I\) に対して \(ab^{-n} = 1 + x\) である。 したがって (1) により \(ab^{-n} = c^n\) である。 ゆえに (2) は (1) から従う。

(1) の証明。写像 \(1 + x \mapsto (1 + x)^n\) には逆写像があるため、 主張は成り立つ。すなわち、\(1 + x\) を \[\begin{align*} (1 + x)^{1/n} & = 1 + {1/n \choose 1}x + {1/n \choose 2}x^2 + {1/n \choose 3}x^3 + \ldots \\ & = 1 + \frac{1}{n} x + \frac{1 - n}{2n^2}x^2 + \frac{(1 - n)(1 - 2n)}{6n^3}x^3 + \ldots \end{align*}\] に写す写像を、初等微積分と同様に考えればよい。 この級数は \(k \gg 0\) に対して \(x^k = 0\) となるため有限であり、 各係数 \({1/n \choose k} \in \mathbf{Z}[1/n]\) なので意味をもつ （詳細は省略する。補題 0AMG により \(n\) が \(R\) で可逆であることに注意せよ）。

余談

補題 00EM は、あるイデアル \(I \subset R\) に対して \(V(I)\) が開である場合に何が起こるかを説明している。 では、\(\Spec(S^{-1}R)\) が \(\Spec(R)\) において閉である場合はどうだろうか。 次の二つの補題は、この問いに部分的な答えを与える。さらに詳しくは 節 04PQ を参照せよ。

補題

\(R\) を環、\(S \subset R\) を乗法的部分集合とする。 写像 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) の像が閉であると仮定する。 このとき、あるイデアル \(I \subset R\) に対して \(S^{-1}R \cong R/I\) である。

証明

\(I = \Ker(R \to S^{-1}R)\) と置くと、その像は \(V(I)\) に含まれる。 その像が、あるイデアル \(I' \subset R\) に対する閉部分集合 \(V(I') \subset \Spec(R)\) であるとする。すると \(V(I') \subset V(I)\) である。 \(f \in I'\) に対し、\(f/1 \in S^{-1}R\) はすべての素イデアルに属する。

したがって、ある \(n \geq 1\) に対して \(f^n\) は \(S^{-1}R\) で零に写る （補題 00E0）。 ゆえに \(V(I') = V(I)\) である。 すると、すべての \(g \in S\) は \(I\) を法として可逆である。 したがって、環準同型 \(R/I \to S^{-1}R\) および \(S^{-1}R \to R/I\) を得る。 第一の写像は \(I\) の選び方により単射である。 第二の写像は \(S^{-1}R \to S^{-1}(R/I) = R/I\) であり、 局所化の完全性によりその核は \(S^{-1}I\) である。 \(S^{-1}I = 0\) なので、第二の写像も単射である。 したがって \(S^{-1}R \cong R/I\) である。

補題

\(R\) を環、\(S \subset R\) を乗法的部分集合とする。 写像 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\) の像が閉であると仮定する。 \(R\) がネーター的であるか、\(\Spec(R)\) がネーター位相空間であるか、 または \(S\) がモノイドとして有限生成であるならば、 ある環 \(R'\) に対して \(R \cong S^{-1}R \times R'\) である。

証明

補題 02JH により、あるイデアル \(I \subset R\) に対して \(S^{-1}R \cong R/I\) である。補題 00EM により、 \(V(I)\) が開であることを示せば十分である。 \(R\) がネーター的ならば、補題 00FQ により \(\Spec(R)\) はネーター位相空間である。 \(\Spec(R)\) がネーター位相空間ならば、その補集合 \(\Spec(R) \setminus V(I)\) は準コンパクトである。Topology の補題 04ZA を参照せよ。 したがって、\(V(I) = V(f_1, \ldots, f_n)\) となる有限個の \(f_1, \ldots, f_n \in I\) が存在する。 各 \(f_i\) は \(S^{-1}R\) で零に写るので、\(i = 1, \ldots, n\) に対して \(gf_i = 0\) となる \(g \in S\) が存在する。 したがって、所望のとおり \(D(g) = V(I)\) である。 \(S\) がモノイドとして有限生成である場合、\(S\) が \(g_1, \ldots, g_m\) で生成されるとすると、 \(S^{-1}R \cong R_{g_1 \ldots g_m}\) であり、 \(V(I) = D(g_1 \ldots g_m)\) と結論できる。