가환대수

서론

이 문서에서는 가환대수의 기초를 설명한다. 참고문헌으로 [MatCA]가 있다.

규약

환은 \(1\)을 갖는 가환환이다. 영환도 환이며, 사실 소 이데알을 갖지 않는 유일한 환이다. Kronecker 기호 \(\delta_{ij}\)를 사용한다. \(R \to S\)가 환 준동형이고 \(\mathfrak q\)가 \(S\)의 소 이데알이면, \(R\)이 \(S\)의 부분환이 아니거나 \(R \to S\)가 단사가 아닌 경우에도 \(R \to S\)에 의한 \(\mathfrak q\)의 역상인 소 이데알을 나타내기 위해 “\(\mathfrak p = R \cap \mathfrak q\)”라는 표기를 사용한다.

기본 개념

다음은 가환대수의 기본 개념을 열거한 것이다. 이 가운데 일부는 뒤의 본문에서 더 자세히 논의하고 일부는 이 목록에서 정의하지만, 나머지는 기초 개념으로 보고 정의하지 않는다. 아래의 이탤릭체 개념 대부분이 익숙하지 않다면, 계속 읽기 전에 대수학 입문서를 살펴보기를 권한다.

1. \(R\)은 환이다, [00AS]

2. \(x\in R\)은 멱영원이다, [00AT]

3. \(x\in R\)은 영인자이다, [00AU]

4. \(x\in R\)은 단원이다, [00AV]

5. \(e \in R\)은 멱등원이다, [00AW]

6. 멱등원 \(e \in R\)이 \(e = 1\) 또는 \(e = 0\)이면 이를 자명하다고 한다, [00AX]

7. \(\varphi : R_1 \to R_2\)는 환 준동형이다, [00AY]

8. \(\varphi : R_1 \to R_2\)는 유한 표시이다, 또는 \(R_2\)는 유한 표시 \(R_1\)-대수이다, Definition 00F3을 보라,

9. \(\varphi : R_1 \to R_2\)는 유한형이다, 또는 \(R_2\)는 유한형 \(R_1\)-대수이다, Definition 00F3을 보라,

10. \(\varphi : R_1 \to R_2\)는 유한이다, 또는 \(R_2\)는 유한 \(R_1\)-대수이다,

11. \(R\)은 정역이다, [00B2]

12. \(R\)은 축소환이다, [00B3]

13. \(R\)은 뇌터 환이다, [00B4]

14. \(R\)은 주 아이디얼 정역, 즉 PID이다, [00B5]

15. \(R\)은 유클리드 정역이다, [00B6]

16. \(R\)은 유일분해정역, 즉 UFD이다, [00B7]

17. \(R\)은 이산 값매김환, 즉 dvr이다, [00B8]

18. \(K\)는 체이다, [00B9]

19. \(L/K\)는 체 확대이다, [00BA]

20. \(L/K\)는 대수적 체 확대이다, [00BB]

21. \(\{t_i\}_{i\in I}\)는 \(K\) 위의 \(L\)의 초월기저이다, [00BC]

22. \(K\) 위의 \(L\)의 초월차수 \(\text{trdeg}(L/K)\), [00BD]

23. 체 \(k\)는 대수적으로 닫혀 있다, [00BE]

24. \(L/K\)가 대수적이고 \(\Omega/K\)가 확대이며 \(\Omega\)가 대수적으로 닫혀 있으면, \(K\) 위의 사상을 연장하는 환 준동형 \(L \to \Omega\)가 존재한다,

25. \(I \subset R\)은 이데알이다, [00BG]

26. \(I \subset R\)은 근기 이데알이다, [00BH]

27. \(I\)가 이데알이면 그 근기 \(\sqrt{I}\)가 있다, [00BI]

28. \(I \subset R\)이 멱영 이데알이라는 것은 어떤 \(n \in \mathbf{N}\)에 대하여 \(I^n = 0\)이라는 뜻이다,

29. \(I \subset R\)이 국소 멱영 이데알이라는 것은 \(I\)의 모든 원소가 멱영원이라는 뜻이다,

30. \(\mathfrak p \subset R\)은 소 이데알이다, [00BK]

31. \(\mathfrak p \subset R\)이 소 이데알이고 \(I, J \subset R\)이 이데알이며 \(IJ\subset \mathfrak p\)이면, \(I \subset \mathfrak p\) 또는 \(J \subset \mathfrak p\)이다.

32. \(\mathfrak m \subset R\)은 극대 이데알이다, [00BM]

33. 영환이 아닌 모든 환은 극대 이데알을 갖는다, [00BN]

34. \(R\)의 자코브슨 근기는 \(R\)의 모든 극대 이데알의 교집합 \(\text{rad}(R) = \bigcap_{\mathfrak m \subset R} \mathfrak m\)이다,

35. 부분집합 \(T \subset R\)이 생성하는 이데알 \((T)\), [00BP]

36. 몫환 \(R/I\), [00BQ]

37. 환 \(R\)의 이데알 \(I\)가 소 이데알일 필요충분조건은 \(R/I\)가 정역인 것이다, [00BR]

38. 환 \(R\)의 이데알 \(I\)가 극대 이데알일 필요충분조건은 환 \(R/I\)가 체인 것이다,

39. \(\varphi : R_1 \to R_2\)가 환 준동형이고 \(I \subset R_2\)가 이데알이면, \(\varphi^{-1}(I)\)는 \(R_1\)의 이데알이다,

40. \(\varphi : R_1 \to R_2\)가 환 준동형이고 \(I \subset R_1\)이 이데알이면, \(\varphi(I) \cdot R_2\) (때로는 \(I \cdot R_2\) 또는 \(IR_2\)로 쓴다)는 \(\varphi(I)\)가 생성하는 \(R_2\)의 이데알이다,

41. \(\varphi : R_1 \to R_2\)가 환 준동형이고 \(\mathfrak p \subset R_2\)가 소 이데알이면, \(\varphi^{-1}(\mathfrak p)\)는 \(R_1\)의 소 이데알이다,

42. \(M\)은 \(R\)-가군이다, [00BW]

43. \(m \in M\)에 대하여 \(R\)에서 \(m\)의 소멸자는 \(I = \{f \in R \mid fm = 0\}\)이다,

44. \(N \subset M\)은 \(R\)-부분가군이다, [00BX]

45. \(M\)은 뇌터 \(R\)-가군이다, [00BY]

46. \(M\)은 유한 \(R\)-가군이다, [00BZ]

47. \(M\)은 유한 생성 \(R\)-가군이다, [00C0]

48. \(M\)은 유한 표시 \(R\)-가군이다, [00C1]

49. \(M\)은 자유 \(R\)-가군이다, [00C2]

50. \(0 \to K \to L \to M \to 0\)이 \(R\)-가군들의 짧은 완전열이고 \(K\), \(M\)이 자유가군이면, \(L\)도 자유가군이다,

51. \(N \subset M \subset L\)이 \(R\)-가군이면 \(L/M = (L/N)/(M/N)\)이다, [00C3]

52. \(S\)는 \(R\)의 곱셈적 부분집합이다, [00C4]

53. \(R\)의 국소화 \(R \to S^{-1}R\), [00C5]

54. \(R\)이 환이고 \(S\)가 \(R\)의 곱셈적 부분집합이면, \(S^{-1}R\)이 영환일 필요충분조건은 \(S\)가 \(0\)을 포함하는 것이다,

55. \(R\)이 환이고 곱셈적 부분집합 \(S\)가 전부 영인자가 아닌 원소로 이루어져 있으면, \(R \to S^{-1}R\)은 단사이다,

56. \(\varphi : R_1 \to R_2\)가 환 준동형이고 \(S\)가 \(R_1\)의 곱셈적 부분집합이면, \(\varphi(S)\)는 \(R_2\)의 곱셈적 부분집합이다,

57. \(S\), \(S'\)가 \(R\)의 곱셈적 부분집합이고 \(SS'\)가 곱들의 집합 \(SS' = \{r \in R \mid \exists s\in S, \exists s' \in S', r = ss'\}\)를 나타내면, \(SS'\)는 \(R\)의 곱셈적 부분집합이다,

58. \(S\), \(S'\)가 \(R\)의 곱셈적 부분집합이고 \(\overline{S}\)가 \((S')^{-1}R\)에서 \(S\)의 상을 나타내면, \((SS')^{-1}R = \overline{S}^{-1}((S')^{-1}R)\)이다,

59. \(R\)-가군 \(M\)의 국소화 \(S^{-1}M\), [00CA]

60. 함자 \(M \mapsto S^{-1}M\)은 단사사상, 전사사상, 완전성을 보존한다,

61. \(S\), \(S'\)가 \(R\)의 곱셈적 부분집합이고 \(M\)이 \(R\)-가군이면, \((SS')^{-1}M = S^{-1}((S')^{-1}M)\)이다,

62. \(R\)이 환이고 \(I\)가 \(R\)의 이데알이며 \(S\)가 \(R\)의 곱셈적 부분집합이면, \(S^{-1}I\)는 \(S^{-1}R\)의 이데알이고 \(S^{-1}R/S^{-1}I = \overline{S}^{-1}(R/I)\)이다. 여기서 \(\overline{S}\)는 \(R/I\)에서 \(S\)의 상이다,

63. \(R\)이 환이고 \(S\)가 \(R\)의 곱셈적 부분집합이면, \(S^{-1}R\)의 모든 이데알 \(I'\)은 \(S^{-1}I\)의 꼴이다. 여기서 \(I\)는 \(R\)에서 \(I'\)의 역상으로 택할 수 있다,

64. \(R\)이 환이고 \(M\)이 \(R\)-가군이며 \(S\)가 \(R\)의 곱셈적 부분집합이면, \(S^{-1}M\)의 모든 부분가군 \(N'\)은 어떤 부분가군 \(N \subset M\)에 대하여 \(S^{-1}N\)의 꼴이다. 여기서 \(N\)은 \(M\)에서 \(N'\)의 역상으로 택할 수 있다,

65. \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\)이면 \(R_f = S^{-1}R\)이고 \(M_f = S^{-1}M\)이다, [00CG]

66. 어떤 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(S = R \setminus \mathfrak p = \{x\in R \mid x\not\in \mathfrak p\}\)이면, \(R_{\mathfrak p} = S^{-1}R\) 및 \(M_{\mathfrak p} = S^{-1}M\)로 쓰는 것이 관례이다,

67. 국소환은 극대 이데알을 정확히 하나 갖는 환이다, [00CI]

68. 반국소환은 극대 이데알을 유한 개 갖는 환이다, [03C0]

69. \(\mathfrak p\)가 \(R\)의 소 이데알이면, \(R_{\mathfrak p}\)는 극대 이데알 \(\mathfrak p R_{\mathfrak p}\)를 갖는 국소환이다,

70. 환 \(R\)의 소 이데알 \(\mathfrak p\)의 잉여체 \(\kappa(\mathfrak p)\)는 정역 \(R/\mathfrak p\)의 분수체이다. 이는 \(R_\mathfrak p/\mathfrak pR_\mathfrak p = (R \setminus \mathfrak p)^{-1}R/\mathfrak p\)와 같다,

71. \(R\)과 \(M_1\), \(M_2\)가 주어졌을 때의 텐서곱 \(M_1 \otimes_R M_2\), [00CL]

72. 환 \(R\) 위의 크기가 각각 \(m \times n\) 및 \(n \times m\)인 행렬 \(A\), \(B\)에 대하여 \(R\)에서 \(\det(AB) = \sum \det(A_S)\det({}_SB)\)가 성립한다. 여기서 합은 크기가 \(m\)인 부분집합 \(S \subset \{1, \ldots, n\}\) 전체를 돌고, \(A_S\)는 \(S\)에 대응하는 \(A\)의 열들로 이루어진 \(m \times m\) 부분행렬이며, \({}_SB\)는 \(S\)에 대응하는 \(B\)의 행들로 이루어진 \(m \times m\) 부분행렬이다,

73. 기타.

뱀 보조정리

뱀 보조정리와 그 변형들은 아벨 범주의 맥락에서 Homology, Section 00ZX에서 논의한다.

보조정리

행들이 완전한 아벨군의 가환도식 \[\xymatrix{ & X \ar[r] \ar[d]^\alpha & Y \ar[r] \ar[d]^\beta & Z \ar[r] \ar[d]^\gamma & 0 \\ 0 \ar[r] & U \ar[r] & V \ar[r] & W }\] 이 주어지면 표준적인 완전열 \[\Ker(\alpha) \to \Ker(\beta) \to \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha) \to \Coker(\beta) \to \Coker(\gamma)\] 이 존재한다. 또한 \(X \to Y\)가 단사이면 첫 번째 사상도 단사이고, \(V \to W\)가 전사이면 마지막 사상도 전사이다.

증명

사상 \(\partial : \Ker(\gamma) \to \Coker(\alpha)\)를 다음과 같이 정의한다. \(z \in \Ker(\gamma)\)를 택하고 \(z\)로 가는 \(y \in Y\)를 택한다. 그러면 \(\beta(y) \in V\)는 \(W\)의 영원소로 가므로, \(\beta(y)\)는 어떤 \(u \in U\)의 상이다. \(\partial z = \overline{u}\), 즉 \(\alpha\)의 여핵에서 \(u\)의 동치류로 정한다. 완전성의 증명은 생략한다.

유한 가군과 유한 표시 가군

몇 가지 기본적인 표기와 보조정리를 제시한다.

정의

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자.

1. 어떤 \(n \in \mathbf{N}\)과 \(x_1, \ldots, x_n \in M\)이 존재하여 \(M\)의 모든 원소가 \(x_i\)들의 \(R\)-선형결합으로 표현되면, \(M\)을 유한 \(R\)-가군 또는 유한 생성 \(R\)-가군이라 한다. 동치로, 이는 어떤 \(n \in \mathbf{N}\)에 대하여 전사 \(R^{\oplus n} \to M\)이 존재한다는 뜻이다.

2. 어떤 정수 \(n, m \in \mathbf{N}\)과 완전열 \[R^{\oplus m} \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0\] 이 존재하면, \(M\)을 유한 표시 \(R\)-가군 또는 유한 표시인 \(R\)-가군이라 한다.

비형식적으로 말해, \(M\)이 유한 표시 \(R\)-가군일 필요충분조건은 유한 생성이고 이 생성원들 사이의 관계식들로 이루어진 가군도 유한 생성인 것이다. 정의에 나오는 것과 같은 완전열의 선택을 \(M\)의 표시라고 한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(\alpha : R^{\oplus n} \to M\)과 \(\beta : N \to M\)을 가군 준동형이라 하자. \(\Im(\alpha) \subset \Im(\beta)\)이면 \(\alpha = \beta \circ \gamma\)를 만족하는 \(R\)-가군 준동형 \(\gamma : R^{\oplus n} \to N\)이 존재한다.

증명

\(e_i = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots, 0)\)를 \(R^{\oplus n}\)의 제\(i\) 기저벡터라 하자. 가정에 따라 \(\alpha(e_i) = \beta(x_i)\)를 만족하는 \(x_i \in N\)을 택한다. \(\gamma(a_1, \ldots, a_n) = \sum a_i x_i\)로 놓는다. 구성상 \(\alpha = \beta \circ \gamma\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\] 을 \(R\)-가군들의 짧은 완전열이라 하자.

1. \(M_1\)과 \(M_3\)가 유한 \(R\)-가군이면, \(M_2\)도 유한 \(R\)-가군이다.

2. \(M_1\)과 \(M_3\)가 유한 표시 \(R\)-가군이면, \(M_2\)도 유한 표시 \(R\)-가군이다.

3. \(M_2\)가 유한 \(R\)-가군이면, \(M_3\)도 유한 \(R\)-가군이다.

4. \(M_2\)가 유한 표시 \(R\)-가군이고 \(M_1\)이 유한 \(R\)-가군이면, \(M_3\)는 유한 표시 \(R\)-가군이다.

5. \(M_3\)가 유한 표시 \(R\)-가군이고 \(M_2\)가 유한 \(R\)-가군이면, \(M_1\)은 유한 \(R\)-가군이다.

증명

(1)의 증명. \(x_1, \ldots, x_n\)이 \(M_1\)의 생성원이고 \(y_1, \ldots, y_m \in M_2\)의 \(M_3\)에서의 상들이 \(M_3\)를 생성하면, \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m\)은 \(M_2\)를 생성한다.

(3)은 정의에서 곧바로 따른다.

(5)의 증명. \(M_3\)가 유한 표시이고 \(M_2\)가 유한이라고 가정하자. 표시 \[R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\] 를 택한다. Lemma 07JX에 따라 다음 실선 도식이 가환하도록 하는 준동형 \(R^{\oplus n} \to M_2\)가 존재한다. \[\xymatrix{ & R^{\oplus m} \ar[r] \ar@{..>}[d] & R^{\oplus n} \ar[r] \ar[d] & M_3 \ar[r] \ar[d]^{\text{id}} & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] 이로써 점선 화살표가 생긴다. 뱀 보조정리 (Lemma 07JW)에 따라 동형 \[\Coker(R^{\oplus m} \to M_1) \cong \Coker(R^{\oplus n} \to M_2)\] 을 얻는다. 특히 \(\Coker(R^{\oplus m} \to M_1)\)은 유한 \(R\)-가군이다. \(\Im(R^{\oplus m} \to M_1)\)은 (3)에 따라 유한이므로, (1)에 따라 \(M_1\)은 유한이다.

(4)의 증명. \(M_2\)가 유한 표시이고 \(M_1\)이 유한이라고 가정하자. 표시 \(R^{\oplus m} \to R^{\oplus n} \to M_2 \to 0\)과 전사 \(R^{\oplus k} \to M_1\)을 택한다. Lemma 07JX에 따라 합성 \(R^{\oplus k} \to M_1 \to M_2\)의 분해 \(R^{\oplus k} \to R^{\oplus n} \to M_2\)가 존재한다. 그러면 \(R^{\oplus k + m} \to R^{\oplus n} \to M_3 \to 0\)은 하나의 표시이다.

(2)의 증명. \(M_1\)과 \(M_3\)가 유한 표시라고 가정하자. (1)의 증명에 쓰인 논증으로 전사인 수직 화살표를 갖는 가환도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & R^{\oplus n} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus n + m} \ar[d] \ar[r] & R^{\oplus m} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M_1 \ar[r] & M_2 \ar[r] & M_3 \ar[r] & 0 }\] 을 얻는다. 뱀 보조정리에 따라 짧은 완전열 \[0 \to \Ker(R^{\oplus n} \to M_1) \to \Ker(R^{\oplus n + m} \to M_2) \to \Ker(R^{\oplus m} \to M_3) \to 0\] 을 얻는다. (5)에 따라 양끝의 두 가군은 유한이고, 따라서 가운데 가군도 유한이다. (4)에 따라 \(M_2\)는 유한 표시이다.

보조정리

\(R\)을 환, \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. 유한 \(R\)-부분가군들에 의한 여과 \[0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M\] 가 존재하여, 각 몫 \(M_i/M_{i - 1}\)은 \(R\)의 어떤 이데알 \(I_i\)에 대하여 \(R/I_i\)와 동형이다.

증명

\(M\)의 생성원 수에 관하여 귀납한다. \(x_1, \ldots, x_r \in M\)을 생성원들이라 하자. \(M' = Rx_1 \subset M\)로 놓으면 \(M/M'\)에는 \(r - 1\)개의 생성원이 있으므로 귀납가설을 적용할 수 있다. 또한 분명히 \(I_1 = \{f \in R \mid fx_1 = 0\}\)에 대하여 \(M' \cong R/I_1\)이다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형, \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(M\)이 \(R\)-가군으로서 유한이면, \(M\)은 \(S\)-가군으로서도 유한이다.

증명

실제로 \(M\)의 모든 \(R\)-생성집합은 \(M\)의 \(S\)-생성집합이기도 하다. 이는 \(R\)-가군 구조가 \(S\) 안에서의 \(R\)의 상에 의해 유도되기 때문이다.

유한형 및 유한 표시 환 준동형

정의

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자.

1. \(n \in \mathbf{N}\)과 \(R\)-대수의 전사 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)가 존재하면, \(R \to S\)가 유한형이라고 하거나 \(S\)가 유한형 \(R\)-대수라고 한다.

2. 어떤 정수 \(n, m \in \mathbf{N}\)과 다항식 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\) 및 \(R\)-대수의 동형 \[R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m) \cong S\] 가 존재하면, \(R \to S\)가 유한 표시라고 한다.

비형식적으로 말해, \(R \to S\)가 유한 표시일 필요충분조건은 \(S\)가 \(R\)-대수로서 유한 생성이고 생성원들 사이의 관계식들이 이루는 이데알이 유한 생성인 것이다. 정의와 같은 전사 \(R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)의 선택을 때때로 \(S\)의 표시라고 한다.

보조정리

유한형과 유한 표시라는 개념은 다음 보존 성질들을 갖는다.

1. 유한형 환 준동형들의 합성은 유한형이다.

2. 유한 표시 환 준동형들의 합성은 유한 표시이다.

3. \(R \to S' \to S\)가 주어지고 \(R \to S\)가 유한형이면, \(S' \to S\)는 유한형이다.

4. \(R \to S' \to S\)가 주어지고 \(R \to S\)가 유한 표시이며 \(R \to S'\)가 유한형이면, \(S' \to S\)는 유한 표시이다.

증명

마지막 명제만 증명한다. \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 및 \(S' = R[y_1, \ldots, y_a]/I\)로 쓰자. \(y_i\)의 동치류 \(\bar y_i\)가 \(S\)의 \(h_i \bmod (f_1, \ldots, f_m)\)으로 간다고 하자. 그러면 분명히 \(S = S'[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m, h_1 - \bar y_1, \ldots, h_a - \bar y_a)\)이다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한 표시 환 준동형이라 하자. 임의의 전사 \(\alpha : R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)에 대하여 \(\alpha\)의 핵은 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)의 유한 생성 이데알이다.

증명

\(S = R[y_1, \ldots, y_m]/(f_1, \ldots, f_k)\)로 쓰자. \(\alpha(x_i)\)의 올림인 \(g_i \in R[y_1, \ldots, y_m]\)를 택하면, \(S = R[x_i, y_j]/(f_l, x_i - g_i)\)임을 알 수 있다. \(\alpha(h_j)\)가 \(y_j \bmod (f_1, \ldots, f_k)\)에 대응하도록 \(h_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\)를 택한다. 준동형 \(\psi : R[x_i, y_j] \to R[x_i]\), \(x_i \mapsto x_i\), \(y_j \mapsto h_j\)를 생각하자. 그러면 \(\alpha\)의 핵은 \((f_l, x_i - g_i)\)의 \(\psi\)에 의한 상이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형, \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(R \to S\)가 유한형이고 \(M\)이 \(R\)-가군으로서 유한 표시라고 가정하자. 그러면 \(M\)은 \(S\)-가군으로서 유한 표시이다.

증명

이는 Lemma 00F4의 (4)의 증명과 비슷하다. \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/J\)라고 가정해도 좋다. \(M\)을 \(R\)-가군으로서 생성하는 \(y_1, \ldots, y_m \in M\)을 택하고, \(R^{\oplus m} \to M\)의 핵을 생성하는 관계식 \(\sum a_{ij} y_j = 0\), \(i = 1, \ldots, t\)를 택한다. 각 \(i = 1, \ldots, n\)과 \(j = 1, \ldots, m\)에 대하여 어떤 \(a_{ijk} \in R\)을 사용하여 \[x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\] 로 쓰자. \(y_1, \ldots, y_m\)에 의해 생성되고 관계식 \(\sum a_{ij} y_j = 0\), \(i = 1, \ldots, t\) 및 \(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\), \(i = 1, \ldots, n\), \(j = 1, \ldots, m\)을 갖는 \(S\)-가군 \(N\)을 생각하자. 그러면 \(N\)은 표시 \[S^{\oplus nm + t} \longrightarrow S^{\oplus m} \longrightarrow N \longrightarrow 0\] 를 갖는다. 구성상 전사 \(\varphi : N \to M\)이 있다. 증명을 끝내기 위해 \(\varphi\)가 단사임을 보이자. 어떤 \(b_j \in S\)에 대하여 \(z = \sum b_j y_j \in N\)이라고 하자. \(b_j\)를 계수가 \(R\)에 있는 \(x_1, \ldots, x_n\)의 다항식으로 생각할 수 있다. \(x_i y_j = \sum a_{ijk} y_k\) 꼴의 관계식을 적용하면 다항식들의 차수를 귀납적으로 낮출 수 있다. 따라서 어떤 \(c_j \in R\)에 대하여 \(z = \sum c_j y_j\)임을 알 수 있다. 그러므로 \(\varphi(z) = 0\)이면 벡터 \((c_1, \ldots, c_m)\)은 벡터 \((a_{i1}, \ldots, a_{im})\)들의 \(R\)-선형결합이고, 원하는 대로 \(z = 0\)이라는 결론을 얻는다.

유한 환 준동형

정의는 다음과 같다.

정의

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(S\)가 \(R\)-가군으로서 유한이면 \(\varphi : R \to S\)가 유한이라고 한다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한 환 준동형, \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(M\)이 \(R\)-가군으로서 유한일 필요충분조건은 \(M\)이 \(S\)-가군으로서 유한인 것이다.

증명

한쪽 함의는 Lemma 0560에서 따른다. 다른 쪽을 보기 위해 \(M\)이 \(S\)-가군으로서 유한이라고 가정하자. \(S\)를 \(R\)-가군으로서 생성하는 \(x_1, \ldots, x_n \in S\)와 \(M\)을 \(S\)-가군으로서 생성하는 \(y_1, \ldots, y_m \in M\)을 택한다. 그러면 \(x_i y_j\)들이 \(M\)을 \(R\)-가군으로서 생성한다.

보조정리

\(R \to S\)와 \(S \to T\)가 유한 환 준동형이라고 하자. 그러면 \(R \to T\)는 유한이다.

증명

\(t_i\)들이 \(T\)를 \(S\)-가군으로서 생성하고 \(s_j\)들이 \(S\)를 \(R\)-가군으로서 생성하면, \(t_i s_j\)들이 \(T\)를 \(R\)-가군으로서 생성한다. (Lemma 00GJ에서도 따른다.)

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자.

1. \(\varphi\)가 유한이면 \(\varphi\)는 유한형이다.

2. \(S\)가 \(R\)-가군으로서 유한 표시이면 \(\varphi\)는 유한 표시이다.

증명

(1)에 대하여, \(x_1, \ldots, x_n \in S\)가 \(S\)를 \(R\)-가군으로서 생성하면 \(x_1, \ldots, x_n\)은 \(S\)를 \(R\)-대수로서도 생성한다. (2)에 대하여, \(x_i\)들을 \(S\)의 \(R\)-가군 생성원으로 볼 때 그들 사이의 관계식들의 생성집합을 \(\sum r_j^ix_i = 0\), \(j = 1, \ldots, m\)이라 하자. 또한 어떤 \(r_i \in R\)과 \(r_{ij}^k \in R\)에 대하여 \(1 = \sum r_ix_i\) 및 \(x_ix_j = \sum r_{ij}^k x_k\)로 쓰자. 그러면 \[S = R[t_1, \ldots, t_n]/ (\sum r_j^it_i,\ 1 - \sum r_it_i,\ t_it_j - \sum r_{ij}^k t_k)\] 가 \(R\)-대수로서 성립하므로 (2)가 증명된다.

유한 환 준동형에 관한 자세한 내용은 Section 00GH을 보라.

여극한

본 절의 일부 내용은 범주론의 Sections 002D – 002Z에서 다룬 여극한에 관한 일반 논의와 겹친다. 준순서 집합의 개념은 범주론의 Definition 00D3에서 정의한다. 이는 부분순서 집합보다 약간 약한 개념이다.

정의

\((I, \leq)\)를 준순서 집합이라 하자. \(I\) 위의 \(R\)-가군 계 \((M_i, \mu_{ij})\)는 \(I\)로 지표화된 \(R\)-가군의 족 \(\{M_i\}_{i\in I}\)와 \(R\)-가군 사상의 족 \(\{\mu_{ij} : M_i \to M_j\}_{i \leq j}\)로 이루어지며, 모든 \(i \leq j \leq k\)에 대하여 \[\mu_{ii} = \text{id}_{M_i}\quad \mu_{ik} = \mu_{jk}\circ \mu_{ij}\] 를 만족한다. \(I\)가 유향 집합이면 \((M_i, \mu_{ij})\)를 유향계라고 한다.

이는 범주론의 Definition 0030과 Section 002Z에서 정의한 개념과 같다. 임의의 범주에서 도표 또는 계의 여극한을 정의하는 방법은 범주론의 Definition 002F을 보라.

보조정리

\((M_i, \mu_{ij})\)를 준순서 집합 \(I\) 위의 \(R\)-가군 계라 하자. 계 \((M_i, \mu_{ij})\)의 여극한은 몫 \(R\)-가군 \((\bigoplus_{i\in I} M_i) /Q\)이다. 여기서 \(Q\)는 다음 꼴의 모든 원소 \[\iota_i(x_i) - \iota_j(\mu_{ij}(x_i))\] 로 생성되는 \(R\)-부분가군이고, \(\iota_i : M_i \to \bigoplus_{i\in I} M_i\)는 자연 포함사상이다. 여극한을 \(M = \colim_i M_i\)로 나타내고, 사영사상을 \(\pi : \bigoplus_{i\in I} M_i \to M\)로 나타내며, \(\phi_i = \pi \circ \iota_i : M_i \to M\)로 둔다.

증명

이 보조정리는 범주론의 Lemma 002P의 특수한 경우이지만, 여기서는 이 경우를 직접 증명하기도 한다. 위의 구성에서 \(\phi_i = \phi_j\circ \mu_{ij}\)임을 주목하라. 쌍 \((M, \phi_i)\)가 여극한임을 보이려면 다음 보편 성질을 만족함을 보여야 한다. 즉 \(\psi_i : M_i \to Y\)이고 \(\psi_i = \psi_j\circ \mu_{ij}\)인 임의의 다른 쌍 \((Y, \psi_i)\)에 대하여, 다음 도표를 가환하게 하는 유일한 \(R\)-가군 준동형 \(g : M \to Y\)가 존재해야 한다. \[\xymatrix{ M_i \ar[rr]^{\mu_{ij}} \ar[dr]^{\phi_i} \ar[ddr]_{\psi_i} & & M_j\ar[dl]_{\phi_j} \ar[ddl]^{\psi_j} \\ & M \ar[d]^{g}\\ & Y }\] 이는 직합 \(\bigoplus M_i\)의 직합항 \(M_i\) 위에서 사상 \(\psi_i\)를 취하여 \(g\)를 정의할 수 있으므로 명백하다.

보조정리

\((M_i, \mu_{ij})\)를 준순서 집합 \(I\) 위의 \(R\)-가군 계라 하고 \(I\)가 유향이라고 가정하자. 계 \((M_i, \mu_{ij})\)의 여극한은 다음과 같이 정의한 가군 \(M\)과 표준적으로 동형이다.

1. 집합으로서는 \[M = \left(\coprod\nolimits_{i \in I} M_i\right)/\sim\] 로 둔다. 여기서 \(m \in M_i\)와 \(m' \in M_{i'}\)에 대하여 \[m \sim m' \Leftrightarrow \mu_{ij}(m) = \mu_{i'j}(m')\text{ for some }j \geq i, i'\] 로 정의한다.

2. 아벨군으로서는 \(m \in M_i\)와 \(m' \in M_{i'}\)에 대하여, \(M\)에서 \(m\)과 \(m'\)의 동치류의 합을 \(\mu_{ij}(m) + \mu_{i'j}(m')\)의 동치류로 정의한다. 여기서 \(j \in I\)는 \(i \leq j\)와 \(i' \leq j\)를 만족하는 임의의 지표이다.

3. \(R\)-가군으로서는 \(m \in M_i\)와 \(x \in R\)에 대하여, \(M\)에서 \(x\)와 \(m\)의 동치류의 곱을 \(M\)에서 \(xm\)의 동치류로 정의한다.

표준 사상 \(\phi_i : M_i \to M\)은 표준 사상 \(M_i \to \coprod_{i \in I} M_i\)로부터 유도된다.

증명

생략한다. 범주론의 Section 04AX과 비교하라.

보조정리

\((M_i, \mu_{ij})\)를 유향계라 하자. \(M = \colim M_i\)이고 \(\mu_i : M_i \to M\)라 하자. 그러면 \(x_i \in M_i\)에 대하여 \(\mu_i(x_i) = 0\)일 필요충분조건은 \(\mu_{ij}(x_i) = 0\)인 \(j \geq i\)가 존재하는 것이다.

증명

이는 Lemma 00D6에서 유향 여극한을 기술한 방식으로부터 명백하다.

예

\(a < b\)와 \(a < c\) 외에는 엄밀한 부등식이 없는 부분순서 집합 \(I = \{a, b, c\}\)를 생각하자. \(I\) 위의 계 \((M_a, M_b, M_c, \mu_{ab}, \mu_{ac})\)는 세 \(R\)-가군 \(M_a, M_b, M_c\)와 두 \(R\)-가군 준동형 \(\mu_{ab} : M_a \to M_b\) 및 \(\mu_{ac} : M_a \to M_c\)로 이루어진다. 이 계의 여극한은 단순히 \[M := \colim_{i \in I} M_i = \Coker(M_a \to M_b \oplus M_c)\] 이며, 여기서 사상은 \(\mu_{ab} \oplus -\mu_{ac}\)이다. 따라서 표준 사상 \(M_a \to M\)의 핵은 \(\Ker(\mu_{ab}) + \Ker(\mu_{ac})\)이다. 또한 표준 사상 \(M_b \to M\)의 핵은 \(\Ker(\mu_{ac})\)의 사상 \(\mu_{ab}\)에 의한 상이다. 그러므로 Lemma 00D7의 결론은 일반적인 계에 대해서는 성립하지 않음이 명백하다.

정의

\((M_i, \mu_{ij})\)와 \((N_i, \nu_{ij})\)를 같은 준순서 집합 \(I\) 위의 \(R\)-가군 계라 하자. \((M_i, \mu_{ij})\)에서 \((N_i, \nu_{ij})\)로 가는 계의 준동형 \(\Phi\)는 정의상 \(R\)-가군 준동형들의 족 \(\phi_i : M_i \to N_i\)로서, 모든 \(i \leq j\)에 대하여 \(\phi_j \circ \mu_{ij} = \nu_{ij} \circ \phi_i\)를 만족하는 것이다.

범주의 언어로 말하면 이는 대응하는 도표 \(M : I \to \text{Mod}_R\)와 \(N : I \to \text{Mod}_R\) 사이의 함자 변환과 같은 개념이다. 다음 보조정리는 범주론의 Lemma 002K의 특수한 경우이다.

보조정리

\((M_i, \mu_{ij})\)와 \((N_i, \nu_{ij})\)를 같은 준순서 집합 위의 \(R\)-가군 계라 하자. \((M_i, \mu_{ij})\)에서 \((N_i, \nu_{ij})\)로 가는 계의 사상 \(\Phi = (\phi_i)\)는 다음 유일한 준동형을 유도한다. \[\colim \phi_i : \colim M_i \longrightarrow \colim N_i\] 이 준동형은 모든 \(i \in I\)에 대하여 다음 도표를 가환하게 한다. \[\xymatrix{ M_i \ar[r] \ar[d]_{\phi_i} & \colim M_i \ar[d]^{\colim \phi_i} \\ N_i \ar[r] & \colim N_i }\]

증명

\(M = \colim M_i\), \(N = \colim N_i\), 그리고 \(\phi = \colim \phi_i\)라고 쓰자(마지막 것은 아직 구성해야 한다). 이하 별도의 언급 없이 Lemma 00D5에서 준 \(M\)과 \(N\)의 명시적 기술을 사용한다. 보조정리의 조건은 다음 도표가 가환한다는 조건과 동치이다. \[\xymatrix{ \bigoplus_{i\in I} M_i \ar[r] \ar[d]_{\bigoplus\phi_i} & M \ar[d]^\phi \\ \bigoplus_{i\in I} N_i \ar[r] & N }\] 따라서 \(\phi\)가 존재한다면 유일함이 명백하다. \(\phi\)가 존재함을 보이려면 위쪽 수평 화살표의 핵이 \(\bigoplus \phi_i\)에 의해 아래쪽 수평 화살표의 핵으로 사상됨을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(j \leq k\)와 \(x_j \in M_j\)를 택하자. 그러면 \[(\bigoplus \phi_i)(x_j - \mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \phi_k(\mu_{jk}(x_j)) = \phi_j(x_j) - \nu_{jk}(\phi_j(x_j))\] 이고, 이는 요구한 대로 아래쪽 수평 화살표의 핵에 속한다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하자. \((L_i, \lambda_{ij})\), \((M_i, \mu_{ij})\), 그리고 \((N_i, \nu_{ij})\)를 \(I\) 위의 \(R\)-가군 계라 하자. \(\varphi_i : L_i \to M_i\)와 \(\psi_i : M_i \to N_i\)를 \(I\) 위의 계의 사상이라 하자. 모든 \(i \in I\)에 대하여 다음 \(R\)-가군 열이 \[\xymatrix{ L_i \ar[r]^{\varphi_i} & M_i \ar[r]^{\psi_i} & N_i }\] 호몰로지가 \(H_i\)인 복합체라고 가정하자. 그러면 \(R\)-가군들 \(H_i\)는 \(I\) 위의 계를 이루며, 다음 \(R\)-가군 열도 복합체이고, \[\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\] 그 호몰로지를 \(H\)로 나타내면 \[H = \colim_i H_i.\]

증명

다음 열이 복합체임은 명백하다. \(\xymatrix{ \colim_i L_i \ar[r]^\varphi & \colim_i M_i \ar[r]^\psi & \colim_i N_i }\) 각 \(i \in I\)에 대하여 표준 \(R\)-가군 사상 \(H_i \to H\)가 있다. 이는 각 \([m] \in H_i = \Ker(\psi_i) / \Im(\varphi_i)\)를 \(m\)의 \(\colim_i M_i\)에서의 상이 \(H = \Ker(\psi) / \Im(\varphi)\)에서 정하는 잉여류로 보낸다. 이 사상들은 사상 \(\colim_i H_i \to H\)를 유도한다. 이 사상이 전사이고 단사임을 보이는 일만 남는다.

이하 별도의 언급 없이 Lemma 00D6에서처럼 \(I\) 위의 여극한을 기술한 방식을 반복하여 사용한다. \(h \in H\)를 택하자. \(H = \Ker(\psi)/\Im(\varphi)\)이므로, \(h\)는 \(\Ker(\psi) \subset \colim_i M_i\)의 원소 \([m]\)이 법 \(\Im(\varphi)\)에 대하여 정하는 동치류이다. \([m]\)이 어떤 원소 \(m \in M_i\)로부터 오도록 \(i\)를 택한다. \([m] \in \Ker(\psi)\)이므로 가능한 방식으로, \(\nu_{ij}(\psi_i(m)) = 0\)인 \(j \geq i\)를 택한다. \(i\)를 \(j\)로, \(m\)을 \(\mu_{ij}(m)\)으로 바꾸면 \(m \in \Ker(\psi_i)\)라고 가정할 수 있다. 이는 사상 \(\colim_i H_i \to H\)가 전사임을 보인다.

\(h_i \in H_i\)의 \(H\)에서의 상이 영이라고 가정하자. \(H_i = \Ker(\psi_i)/\Im(\varphi_i)\)이므로 \(h_i\)를 원소 \(m \in \Ker(\psi_i) \subset M_i\)로 나타낼 수 있다. \(h_i\)가 \(H\)에서 영이 된다는 가정은 \(\colim_i M_i\)에서 \(m\)의 동치류가 \(\varphi\)의 상에 속한다는 뜻이다. 따라서 \(\varphi_j(l) = \mu_{ij}(m)\)인 \(j \geq i\)와 \(l \in L_j\)가 존재한다. 이는 \(H_j\)에서 \(h_i\)의 상이 영임을 명백히 보인다. 이로써 \(\colim_i H_i \to H\)의 단사성이 증명된다.

예

일반적으로 여극한을 취하는 것은 완전하지 않다. Example 00D8에서와 같이 \(a < b\)와 \(a < c\) 외에는 엄밀한 부등식이 없는 부분순서 집합 \(I = \{a, b, c\}\)를 생각하자. 계의 사상 \((0, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 0, 0) \to (\mathbf{Z}, \mathbf{Z}, \mathbf{Z}, 1, 1)\)을 생각하자. Example 00D8의 여극한에 대한 기술로부터, 이 계의 사상이 각 대상에서는 단사임에도 대응하는 여극한 사이의 사상은 단사가 아님을 알 수 있다. 따라서 Lemma 00DB의 결론은 일반적인 계에 대해서는 성립하지 않는다.

보조정리

\(\mathcal{I}\)를 범주론의 Lemma 002X의 가정을 만족하는 지표 범주라 하자. 그러면 \(\mathcal{I}\) 위의 아벨군 도표의 여극한을 취하는 것은 완전하다(즉, Lemma 00DB와 같은 결과가 이 상황에서도 성립한다).

증명

범주론의 Lemma 002X에 의해, 각 \(\mathcal{I}_j\)가 여과 범주이고 \(J\)는 공집합일 수도 있도록 \(\mathcal{I} = \coprod_{j \in J} \mathcal{I}_j\)로 쓸 수 있다. 범주론의 Lemma 0032에 의해 지표 범주 \(\mathcal{I}_j\) 위에서 여극한을 취하는 것은 어떤 유향 집합 위에서 여극한을 취하는 것과 같다. 따라서 Lemma 00DB를 이 여극한들에 적용할 수 있다. 이제 문제는 집합 \(J\)에 걸친 \(R\)-가군 범주의 쌍대곱이 완전함을 보이는 것으로 환원된다.

달리 말해, \(R\)-가군의 완전열 \(L_j \to M_j \to N_j\)에 대하여 다음 열이 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} L_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} M_j \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j \in J} N_j\] 완전함을 보여야 한다. 이는 직접 확인할 수 있으며 \(J\)가 공집합이어도 성립한다.

국소화

정의

\(R\)을 환, \(S\)를 \(R\)의 부분집합이라 하자. \(1\in S\)이고 \(S\)가 곱셈에 관하여 닫혀 있으면, 즉 \(s, s' \in S \Rightarrow ss' \in S\)이면 \(S\)를 \(R\)의 곱셈적 부분집합이라고 한다.

환 \(A\)와 곱셈적 부분집합 \(S\)가 주어졌다고 하자. \(A \times S\) 위의 관계를 다음과 같이 정의한다. \[(x, s) \sim (y, t) \Leftrightarrow \exists u \in S \text{ such that } (xt-ys)u = 0\] 이것이 동치관계임은 쉽게 확인된다. \(x/s\) (또는 \(\frac{x}{s}\))를 \((x, s)\)의 동치류라 하고, \(S^{-1}A\)를 모든 동치류의 집합이라 하자. \(S^{-1}A\)에서 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다. \[x/s + y/t = (xt + ys)/st, \quad x/s \cdot y/t = xy/st\] 이 연산들 아래에서 \(S^{-1}A\)가 환이 됨을 확인할 수 있다.

정의

이 환을 \(S\)에 관한 \(A\)의 국소화라고 한다.

\(A\)에서 그 국소화 \(S^{-1}A\)로 가는 자연스러운 환 준동형 \[A \longrightarrow S^{-1}A, \quad x \longmapsto x/1\] 이 있으며, 이를 때때로 국소화 사상이라고 한다. 일반적으로 국소화 사상은 단사가 아니며, \(S\)가 영인자를 전혀 포함하지 않으면 단사이다. 실제로 \(x/1 = 0\)이면 \(A\)에서 \(xu = 0\)인 \(u\in S\)가 존재하고, \(S\)에는 영인자가 없으므로 \(x = 0\)이다. 환의 국소화는 다음 보편 성질을 갖는다.

명제

\(f : A \to B\)를 \(S\)의 모든 원소를 \(B\)의 단원으로 보내는 환 준동형이라 하자. 그러면 다음 도표를 가환하게 하는 유일한 준동형 \(g : S^{-1}A \to B\)가 존재한다. \[\xymatrix{ A \ar[rr]^{f} \ar[dr] & & B \\ & S^{-1}A \ar[ur]_g }\]

증명

존재성. 사상 \(g\)를 다음과 같이 정의한다. \(x/s\in S^{-1}A\)에 대하여 \(g(x/s) = f(x)f(s)^{-1}\in B\)로 둔다. 정의로부터 이것이 잘 정의된 환 준동형임을 쉽게 확인할 수 있다. 또한 이 사상이 도표를 가환하게 함도 명백하다.

유일성. 이제 \(g' : S^{-1}A \to B\)가 \(g'(x/1) = f(x)\)를 만족하면 \(g = g'\)임을 보이자. 도표의 가환성에 의해 \(s \in S\)에 대하여 \(f(s) = g'(s/1)\)이다. 그런데 \(B\)에서 \(g'(1/s)f(s) = 1\)이므로 \(g'(1/s) = f(s)^{-1}\)이고, 따라서 \(g'(x/s) = g'(x/1)g'(1/s) = f(x)f(s)^{-1} = g(x/s)\)이다.

보조정리

국소화 \(S^{-1}A\)가 영환일 필요충분조건은 \(0\in S\)인 것이다.

증명

\(0\in S\)이면 정의에 의해 임의의 쌍 \((a, s)\sim (0, 1)\)이다. \(0\not \in S\)이면 \(S^{-1}A\)에서 \(1/1 \neq 0/1\)임이 명백하다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(S \subset R\)을 곱셈적 부분집합이라 하자. \(S^{-1}R\)-가군의 범주는 모든 \(s \in S\)가 \(N\) 위에서 자기동형으로 작용하는 \(R\)-가군 \(N\)의 범주와 동치이다.

증명

이 동치를 정의하는 함자는 \(S^{-1}R\)-가군 \(M\)에, 국소화 사상 \(R \to S^{-1}R\)을 통하여 \(R\)-가군으로 본 같은 가군을 대응시킨다. 반대로 \(N\)이 각 \(s \in S\)가 자기동형 \(s_N\)으로 작용하는 \(R\)-가군이면, \(x/s\)가 \(x_N \circ s_N^{-1}\)로 작용하게 하여 \(N\)을 \(S^{-1}R\)-가군으로 볼 수 있다. 이 두 함자가 서로 준역임을 확인하는 일은 생략한다.

환의 국소화 개념은 가군의 국소화로 일반화할 수 있다. \(A\)를 환, \(S\)를 \(A\)의 곱셈적 부분집합, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. \(M \times S\) 위의 관계를 다음과 같이 정의한다. \[(m, s) \sim (n, t) \Leftrightarrow \exists u\in S \text{ such that } (mt-ns)u = 0\] 이는 명백히 동치관계이다.

\(m/s\) (또는 \(\frac{m}{s}\))를 \((m, s)\)의 동치류라 하고, \(S^{-1}M\)을 모든 동치류의 집합이라 하자. 덧셈과 스칼라곱을 다음과 같이 정의한다.

\[m/s + n/t = (mt + ns)/st,\quad m/s\cdot n/t = mn/st\] 이로써 \(S^{-1}M\)은 \(S^{-1}A\)-가군이 됨이 명백하다.

정의

\(S^{-1}A\)-가군 \(S^{-1}M\)을 \(S\)에 관한 \(M\)의 국소화라고 한다.

\(A\)-가군 사상 \(M \to S^{-1}M\), \(m \mapsto m/1\)이 있으며, 이를 때때로 국소화 사상이라고 한다. 이 사상은 다음 보편 성질을 만족한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S \subset R\)을 곱셈적 부분집합이라 하자. \(M\), \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(S\)의 모든 원소가 \(N\) 위에서 자기동형으로 작용한다고 가정하자. 그러면 국소화 사상으로 유도되는 표준 사상 \[\Hom_R(S^{-1}M, N) \longrightarrow \Hom_R(M, N)\] 은 동형이다.

증명

이 사상이 잘 정의되고 \(R\)-선형임은 명백하다.

단사성: \(\alpha \in \Hom_R(S^{-1}M, N)\)이라 하고 임의의 원소 \(m/s \in S^{-1}M\)을 택하자. \(s \cdot \alpha(m/s) = \alpha(m/1)\)이므로 \(\alpha(m/s) =s^{-1}(\alpha (m/1))\)이고, 따라서 \(\alpha\)는 \(S^{-1}M\) 안의 \(M\)의 상 위에서 하는 작용에 의해 완전히 결정된다. 전사성: \(\beta : M \rightarrow N\)를 주어진 R-선형 사상이라 하자. 이를 \(S^{-1}M\)으로 “확장”할 수 있음을 보여야 한다. 집합의 사상 \[M \times S \rightarrow N,\quad (m,s) \mapsto s^{-1}\beta(m)\] 을 정의한다. 이 사상은 위의 동치관계를 보존함이 명백하므로, 잘 정의된 사상 \(\alpha : S^{-1}M \rightarrow N\)으로 내려간다. 이 사상이 \(R\)-선형임을 보이는 일만 남는다. 이를 위해 \(r, r' \in R\), \(s, s' \in S\), 그리고 \(m, m' \in M\)을 택하자. 그러면 \[\begin{align*} \alpha(r \cdot m/s + r' \cdot m' /s') & = \alpha((r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') /(ss')) \\ & = (ss')^{-1}\beta(r \cdot s' \cdot m + r' \cdot s \cdot m') \\ & = (ss')^{-1} (r \cdot s' \beta (m) + r' \cdot s \beta (m')) \\ & = r \alpha (m/s) + r' \alpha (m' /s') \end{align*}\] 이고, 이로써 증명이 끝난다.

예

\(A\)를 환, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. 다음은 국소화의 중요한 예들이다.

1. \(A\)의 소 이데알 \(\mathfrak p\)가 주어졌다고 하고 \(S = A\setminus\mathfrak p\)를 생각하자. \(S\)가 곱셈적 집합임은 즉시 확인된다. 이 경우 \(A\)와 \(M\)의 \(S\)에 관한 국소화를 각각 \(A_\mathfrak p\)와 \(M_\mathfrak p\)로 나타낸다. 이들을 \(\mathfrak p\)에서의 \(A\), 각각 \(M\)의 국소화라고 한다.

2. \(f\in A\)라 하고 \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\)를 생각하자. 이는 명백히 \(A\)의 곱셈적 부분집합이다. 이 경우 국소화 \(S^{-1}A\) (각각 \(S^{-1}M\))를 \(A_f\) (각각 \(M_f\))로 나타낸다. 이를 \(f\)에 관한 \(A\), 각각 \(M\)의 국소화라고 한다. \(A_f = 0\)일 필요충분조건은 \(A\)에서 \(f\)가 멱영원인 것이다.

3. \(S = \{f \in A \mid f \text{ is not a zerodivisor in }A\}\)라 하자. 이는 \(A\)의 곱셈적 부분집합이다. 이 경우 환 \(Q(A) = S^{-1}A\)를 \(A\)의 전 몫환 또는 전분수환이라고 한다.

4. \(A\)가 정역이면 전 몫환 \(Q(A)\)는 \(A\)의 분수체이다. 체론의 Example 09FJ을 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S \subset R\)을 곱셈적 부분집합이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \[S^{-1}M = \colim_{f \in S} M_f\] 이다. 여기서 \(S\) 위의 준순서는 \(f \geq f' \Leftrightarrow f = f'f''\)인 어떤 \(f'' \in R\)가 존재하는 것으로 주어지며, 이 경우 사상 \(M_{f'} \to M_f\)는 \(m/(f')^e \mapsto m(f'')^e/f^e\)로 주어진다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 07K0의 보편 성질을 사용하라.

다음 문단에서 \(A\)는 환을 나타내고, \(M, N\)은 \(A\) 위의 가군들을 나타낸다.

\(S\)와 \(S'\)이 \(A\)의 곱셈적 집합이면 \[SS' = \{ss' : s\in S, \ s'\in S'\}\] 도 \(A\)의 곱셈적 집합임이 명백하다. 이때 다음이 성립한다.

명제

\(\overline{S}\)를 \(S'^{-1}A\)에서 \(S\)의 상이라 하자. 그러면 \((SS')^{-1}A\)는 \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\)와 동형이다.

증명

\(x\in A\)를 \(x/1\in (SS')^{-1}A\)로 보내는 사상은 보편 성질에 의해 \(x/s\in S'^{-1}A\)를 \(x/s \in (SS')^{-1}A\)로 보내는 사상을 유도한다. \(\overline{S}\)의 원소들의 상은 \((SS')^{-1}A\)에서 가역이다. 보편 성질에 의해 \((x/s')/(s/1)\)을 \(x/ss'\)로 보내는 사상 \(f : \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A) \to (SS')^{-1}A\)를 얻는다.

한편 \(x\in A\)를 \((x/1)/(1/1)\)로 보내는 \(A\)에서 \(\overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\)로 가는 사상도 보편 성질에 의해 \(x/ss'\)를 \((x/s')/(s/1)\)로 보내는 사상 \(g : (SS')^{-1}A \to \overline{S}^{-1}(S'^{-1}A)\)를 유도한다. \(f\)와 \(g\)가 서로 역임은 즉시 확인되므로 둘 다 동형이다.

가군 \(M\)에 대해서는 다음이 성립한다.

명제

\(S'^{-1}M\)을 \(A\)-가군으로 보자. 그러면 \(S^{-1}(S'^{-1}M)\)은 \((SS')^{-1}M\)과 동형이다.

증명

주어진 \(A\)-가군 M에 대하여 \(S^{-1}M\)의 보편 성질을 아직 증명하지 않았음에 유의하라. 따라서 앞의 증명처럼 논증할 수 없고, 동형을 명시적으로 구성해야 한다.

사상들을 다음과 같이 정의한다. \[\begin{align*} & f : S^{-1}(S'^{-1}M) \longrightarrow (SS')^{-1}M, \quad \frac{x/s'}{s}\mapsto x/ss'\\ & g : (SS')^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(S'^{-1}M), \quad x/t\mapsto \frac{x/s'}{s}\ \text{for some }s\in S, s'\in S', \text{ and } t = ss' \end{align*}\]

이 준동형들이 잘 정의되는지, 즉 분수의 선택에 무관한지 확인해야 한다. 이는 쉽게 확인할 수 있으며, 이들이 서로 역임을 보이는 것도 간단하다.

\(u : M \to N\)가 \(A\)-준동형이면 국소화는 실제로 \(x/s\)를 \(u(x)/s\)로 보내는 잘 정의된 \(S^{-1}A\)-준동형 \(S^{-1}u : S^{-1}M \to S^{-1}N\)을 유도한다. 이 구성이 함자적임은 즉시 확인되므로, \(S^{-1}\)은 실제로 \(A\)-가군의 범주에서 \(S^{-1}A\)-가군의 범주로 가는 함자이다. 더욱이 다음 명제에서 보이듯 이 함자는 완전하다.

명제

\(L\xrightarrow{u} M\xrightarrow{v} N\)을 \(R\)-가군의 완전열이라 하자. 그러면 \(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\)도 완전하다.

증명

먼저 국소화가 함자이므로 \(S^{-1}L \to S^{-1}M \to S^{-1}N\)가 복합체임은 명백하다. 다음으로 어떤 \(x/s \in S^{-1}M\)에 대하여 \(x/s\)가 \(S^{-1}N\)에서 영으로 사상된다고 가정하자. 그러면 정의에 의해 \(N\)에서 \(v(xt) = v(x)t = 0\)인 \(t\in S\)가 존재하므로 \(xt \in \Ker(v)\)이다. \(L \to M \to N\)의 완전성에 의해 어떤 \(L\)의 \(y\)에 대하여 \(xt = u(y)\)이다. 그러면 \(x/s\)는 \(y/st\)의 상이다. 이로써 완전성이 증명된다.

보조정리

국소화는 몫을 보존한다. 즉 \(N\)이 \(M\)의 부분가군이면 \(S^{-1}(M/N)\simeq (S^{-1}M)/(S^{-1}N)\)이다.

증명

완전열 \[0 \longrightarrow N \longrightarrow M \longrightarrow M/N \longrightarrow 0\] 로부터 \[0 \longrightarrow S^{-1}N \longrightarrow S^{-1}M \longrightarrow S^{-1}(M/N) \longrightarrow 0\] 을 얻는다.

따라서 따름정리가 따른다.

앞의 따름정리에서 \(A\)의 이데알 \(I\)에 대하여 \(N = I\)와 \(M = A\)로 놓으면, \(A\)-가군으로서 \(S^{-1}A/S^{-1}I \simeq S^{-1}(A/I)\)임을 알 수 있다. 다음 명제는 이들이 환으로서 동형임을 보인다.

명제

\(I\)를 \(A\)의 이데알, \(S\)를 \(A\)의 곱셈적 집합이라 하자. 그러면 \(S^{-1}I\)는 \(S^{-1}A\)의 이데알이고, \(\overline{S}\)가 \(A/I\)에서 \(S\)의 상일 때 \(\overline{S}^{-1}(A/I)\)는 \(S^{-1}A/S^{-1}I\)와 동형이다.

증명

\(I\) 자체가 이데알이므로 \(S^{-1}I\)가 이데알이라는 사실은 명백하다. 다음을 정의하자. \[f : S^{-1}A\longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad x/s\mapsto \overline{x}/\overline{s}\] 여기서 \(\overline{x}\)와 \(\overline{s}\)는 \(A/I\)에서 각각 \(x\)와 \(s\)의 상이다. 이 증명에서 비슷한 표기를 계속 사용하겠다. 이 사상은 \(S^{-1}A\)의 보편 성질에 의해 잘 정의되고, \(S^{-1}I\)는 그 핵에 포함된다. 따라서 사상 \[\overline{f} : S^{-1}A/S^{-1}I \longrightarrow \overline{S}^{-1}(A/I), \quad \overline{x/s}\mapsto \overline{x}/\overline{s}\] 을 유도한다.

한편 \(x\)를 \(\overline{x/1}\)로 보내는 사상 \(A \to S^{-1}A/S^{-1}I\)는 \(\overline{x}\)를 \(\overline{x/1}\)로 보내는 사상 \(A/I \to S^{-1}A/S^{-1}I\)를 유도한다. \(\overline{S}\)의 상은 \(S^{-1}A/S^{-1}I\)에서 가역이므로, 보편 성질에 의해 사상 \[g : \overline{S}^{-1}(A/I) \longrightarrow S^{-1}A/S^{-1}I, \quad \frac{\overline{x}}{\overline{s}}\mapsto \overline{x/s}\] 을 유도한다. 이제 \(\overline{f}\)와 \(g\)가 서로 역임이 명백하므로 둘 다 동형이다.

이제 부분가군이 국소화에서 어떻게 행동하는지 살펴보자.

보조정리

\(S^{-1}M\)의 임의의 부분가군 \(N'\)은 어떤 \(N\subset M\)에 대하여 \(S^{-1}N\) 꼴이다. 실제로 \(N\)을 \(M\)에서 \(N'\)의 역상으로 택할 수 있다.

증명

\(N\)을 \(M\)에서 \(N'\)의 역상이라 하자.

그러면 \(S^{-1}N\supset N'\)임을 알 수 있다. 이들이 같음을 보이기 위해 \(S^{-1}N\)의 \(x/s\)를 택하자. 여기서 \(s\in S\)이고 \(x\in N\)이다. 이로부터 \(x/1\in N'\)을 얻는다.

\(N'\)은 \(S^{-1}R\)-부분가군이므로 \(x/s = x/1\cdot 1/s\in N'\)이다. 이로써 증명이 끝난다.

\(M = A\)와 \(A\)의 이데알 \(N = I\)를 택하면 다음 따름정리를 얻는다. 이는 Proposition 00CT의 첫 번째 부분의 역으로 볼 수 있다.

보조정리

\(S^{-1}A\)의 각 이데알 \(I'\)은 \(S^{-1}I\) 꼴이며, 여기서 \(I\)를 \(A\)에서 \(I'\)의 역상으로 택할 수 있다.

증명

Lemma 00CU로부터 즉시 따른다.

내부 Hom

\(R\)이 환이고 \(M\), \(N\)이 \(R\)-가군이면 \[\Hom_R(M, N) = \{ \varphi : M \to N\}\] 은 \(M\)에서 \(N\)으로 가는 \(R\)-선형 사상들의 집합이다. 보통과 같이 \((\varphi + \psi)(m) = \varphi(m) + \psi(m)\)로 놓으면 이 집합은 아벨군의 구조를 갖는다. 사실 \(\Hom_R(M, N)\)은 규칙 \((x \varphi)(m) = x \varphi(m) = \varphi(xm)\)에 의해 \(R\)-가군이기도 하다.

\(R\)-가군의 사상 \(a : M \to M'\)와 \(b : N \to N'\)가 주어지면 준동형에 \(a\)를 앞에서 합성하고 \(b\)를 뒤에서 합성할 수 있다. 이로부터 다음 가환도표를 얻는다. \[\xymatrix{ \Hom_R(M', N) \ar[d]_{- \circ a} \ar[r]_{b \circ -} & \Hom_R(M', N') \ar[d]^{- \circ a} \\ \Hom_R(M, N) \ar[r]^{b \circ -} & \Hom_R(M, N') }\] 사실 이 도표의 사상들은 \(R\)-가군 사상이다. 따라서 \(\Hom_R\)은 가법 함자 \[\text{Mod}_R^{opp} \times \text{Mod}_R \longrightarrow \text{Mod}_R, \quad (M, N) \longmapsto \Hom_R(M, N)\] 를 정의한다.

보조정리

완전성과 \(\Hom_R\). \(R\)을 환이라 하자. \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\)를 \(R\)-가군이라 하고, \(M_1 \to M_2\)와 \(M_2 \to M_3\)를 \(R\)-가군 사상이라 하자.

1. \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\)가 완전일 필요충분조건은 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대하여 \(0 \to \Hom_R(M_3, N) \to \Hom_R(M_2, N) \to \Hom_R(M_1, N)\)이 완전인 것이다.

2. \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3\)가 완전일 필요충분조건은 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대하여 \(0 \to \Hom_R(N, M_1) \to \Hom_R(N, M_2) \to \Hom_R(N, M_3)\)가 완전인 것이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R\)을 환, \(M\)을 유한 표시 \(R\)-가군, \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(f \in R\)에 대하여 \(\Hom_R(M, N)_f = \Hom_{R_f}(M_f, N_f) = \Hom_R(M_f, N_f)\)이고,

2. \(R\)의 곱셈적 부분집합 \(S\)에 대하여 \[S^{-1}\Hom_R(M, N) = \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) = \Hom_R(S^{-1}M, S^{-1}N).\]

증명

(1)은 (2)의 특수한 경우이다. (2)의 두 번째 등식은 Lemma 07JY로부터 따른다. 표시 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} R \to M \to 0.\] 를 택하자. Lemma 0582에 의해 이는 완전열 \[0 \to \Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N.\] 을 준다. \(S\)를 가역화하고 Proposition 00CS를 사용하면 완전열 \[0 \to S^{-1}\Hom_R(M, N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] 을 얻는다. 또한 \(S^{-1}M\)은 완전열 \[\bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}R \to S^{-1}M \to 0\] 에 속하고, 이것은 Lemma 0582에 의해 완전열 \[0 \to \Hom_{S^{-1}R}(S^{-1}M, S^{-1}N) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} S^{-1}N \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} S^{-1}N\] 을 유도한다. 이는 위의 완전열과 같으므로 결과가 따른다.

유한 가군과 유한 표시 가군의 특징짓기

환 \(R\) 위의 가군 \(N\)이 주어지면, \(N\)이 유한 가군인지 또는 유한 표시 가군인지를 함자 \(\Hom_R(N, -)\)로 특징지을 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환, \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(N\)은 유한 \(R\)-가군이다.

2. \(R\)-가군의 임의의 여과 여극한 \(M = \colim M_i\)에 대하여 사상 \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\)은 단사이다.

증명

(1)을 가정하고 \(N\)의 생성원 \(x_1, \ldots, x_m\)을 택하자. \(N \to M_i\)가 가군 사상이고 합성 \(N \to M_i \to M\)이 영이라 하자. \(M = \colim_{i' \geq i} M_{i'}\)이므로 각 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)에 대하여 \(x_j\)가 \(M_{i'}\)에서 영으로 사상되는 \(i' \geq i\)를 찾을 수 있다.

\(x_j\)가 유한 개뿐이므로 이들 모두에 통하는 하나의 \(i'\)를 찾을 수 있다. 그러면 합성 \(N \to M_i \to M_{i'}\)가 영이므로 사상이 단사임, 즉 (2)가 성립함을 얻는다.

(2)를 가정하자. 유한 부분집합 \(E \subset N\)에 대하여, \(N_E \subset N\)을 \(E\)의 원소들로 생성되는 \(R\)-부분가군이라 하자. 그러면 \(0 = \colim N/N_E\)는 여과 여극한이다.

따라서 어떤 \(E\)에 대하여 \(\text{id} : N \to N\)이 \(N_E\) 안으로 사상됨을 알 수 있다. 즉 \(N\)은 유한 생성이다.

참조를 위하여, 가군의 원소들 사이에 관계식이 있다는 뜻을 정의한다.

정의

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(n \geq 0\)이고 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(x_i \in M\)이라 하자. \(M\)에서 \(x_1, \ldots, x_n\) 사이의 관계식은 \(\sum_{i = 1, \ldots, n} f_i x_i = 0\)을 만족하는 원소들의 열 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)이다.

보조정리

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(M\)은 \(R\)-가군들의 어떤 유향계 \((M_i, \mu_{ij})\)의 여극한으로 쓸 수 있으며, 모든 \(M_i\)는 유한 표시 \(R\)-가군이다.

증명

임의의 유한 부분집합 \(S \subset M\)과 \(S\)의 원소들 사이의 관계식들의 임의의 유한 모음 \(E\)를 생각하자. 따라서 각 \(s \in S\)에는 \(x_s \in M\)이 대응하고, 각 \(e \in E\)는 \(\sum f_{e, s} x_s = 0\)을 만족하는 원소들 \(f_{e, s} \in R\)의 벡터로 이루어진다. \(M_{S, E}\)를 사상 \[R^{\# E} \longrightarrow R^{\# S}, \quad (g_e)_{e\in E} \longmapsto (\sum g_e f_{e, s})_{s\in S}.\] 의 여핵이라 하자. 표준 사상 \(M_{S, E} \to M\)들이 있다. \(S \subset S'\)이고 \(E\)의 원소들이 이 사상을 통해 \(E'\)의 관계식들에 대응하면, \(M\)으로 가는 사상들과 가환하는 명백한 사상 \(M_{S, E} \to M_{S', E'}\)가 있다. \(I\)를 위와 같이 포함관계로 순서가 주어진 쌍 \((S, E)\)의 집합이라 하자. 이 유향계의 여극한이 \(M\)임은 명백하다.

보조정리

\(R\)을 환, \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(N\)은 유한 표시 \(R\)-가군이다.

2. \(R\)-가군의 임의의 여과 여극한 \(M = \colim M_i\)에 대하여 사상 \(\colim \Hom_R(N, M_i) \to \Hom_R(N, M)\)은 전단사이다.

증명

(1)을 가정하고 \(F_i\)들이 유한 자유가군인 완전열 \(F_{-1} \to F_0 \to N \to 0\)을 택하자. 그러면 \(R\)-가군 \(M\)에 관하여 함자적인 완전열 \[0 \to \Hom_R(N, M) \to \Hom_R(F_0, M) \to \Hom_R(F_{-1}, M)\] 을 얻는다. 함자 \(\Hom_R(F_i, M)\)들은 \(\Hom_R(R^{\oplus n}, M) = M^{\oplus n}\)이므로 여과 여극한과 가환한다. 여과 여극한은 완전하므로 (Lemma 00DB) (2)가 성립함을 알 수 있다.

(2)를 가정하자. Lemma 00HA에 의해 각 \(i\)에 대하여 \(N_i\)가 유한 표시이도록 \(N = \colim N_i\)를 여과 여극한으로 쓸 수 있다. 따라서 어떤 \(i\)에 대하여 \(\text{id}_N\)은 \(N_i\)를 통해 분해된다. 이는 \(N\)이 유한 표시 \(R\)-가군(즉 \(N_i\))의 직합항임을 뜻하므로 따라서 유한 표시이다.

텐서곱

정의

\(R\)을 환, \(M, N, P\)를 세 \(R\)-가군이라 하자. 사상 \(f : M \times N \to P\)에서 \(M \times N\)은 두 \(R\)-가군의 데카르트곱으로만 본다. 각 \(x \in M\)에 대하여 \(N\)에서 \(P\)로 가는 사상 \(y\mapsto f(x, y)\)가 \(R\)-선형이고, 각 \(y\in N\)에 대하여 사상 \(x\mapsto f(x, y)\)도 \(R\)-선형이면 이를 \(R\)-쌍선형이라고 한다.

보조정리

\(M, N\)을 \(R\)-가군이라 하자. 다음 보편 성질을 갖는 쌍 \((T, g)\)가 존재한다. 여기서 \(T\)는 \(R\)-가군이고 \(g : M \times N \to T\)는 \(R\)-쌍선형 사상이다. 임의의 \(R\)-가군 \(P\)와 임의의 \(R\)-쌍선형 사상 \(f : M \times N \to P\)에 대하여, \(f = \tilde{f} \circ g\)를 만족하는 유일한 \(R\)-선형 사상 \(\tilde{f} : T \to P\)가 존재한다. 달리 말하면 다음 도표가 가환한다. \[\xymatrix{ M \times N \ar[rr]^f \ar[dr]_g & & P\\ & T \ar[ur]_{\tilde f} }\] 더 나아가 \((T, g)\)와 \((T', g')\)가 이 성질을 갖는 두 쌍이면, \(j\circ g = g'\)를 만족하는 유일한 동형 \(j : T \to T'\)가 존재한다.

위의 보편 성질을 만족하는 \(R\)-가군 \(T\)를 \(R\)-가군 \(M\)과 \(N\)의 텐서곱이라고 하며, \(M \otimes_R N\)으로 나타낸다.

증명

먼저 그러한 \(R\)-가군 \(T\)의 존재를 증명한다. \(M, N\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(T\)를 몫가군 \(P/Q\)라 하자. 여기서 \(P\)는 자유 \(R\)-가군 \(R^{(M \times N)}\)이고 \(Q\)는 다음 꼴의 모든 원소로 생성되는 \(R\)-가군이다(\(x\in M, y\in N\)). \[\begin{align*} (x + x', y) - (x, y) - (x', y), \\ (x, y + y') - (x, y) - (x, y'), \\ (ax, y) - a(x, y), \\ (x, ay) - a(x, y) \end{align*}\] \(\pi : M \times N \to T\)를 자연 사상이라 하자. 쌍선형 조건을 확인할 때 위 관계식들로부터 알 수 있듯이 이 사상은 \(R\)-쌍선형이다.

상 \(\pi(x, y) = x \otimes y\)로 나타내면 이 원소들은 \(T\)를 생성한다. 이제 \(f : M \times N \to P\)를 \(R\)-쌍선형 사상이라 하자. 사상 \(f'(x \otimes y) = f(x, y)\)를 확장하여 \(f' : T \to P\)를 정의할 수 있다. 명백히 \(f = f'\circ \pi\)이다. 더욱이 \(f'\)은 생성집합 \(\{x \otimes y : x\in M, y\in N\}\)에서의 값에 의해 유일하게 결정된다. 같은 성질을 만족하는 다른 쌍 \((T', g')\)가 있다고 하자. 그러면 \(g' = j\circ g\), \(g = j'\circ g'\)를 만족하는 유일한 \(j : T \to T'\)와 \(j' : T' \to T\)가 존재한다.

그런데 두 사상 \((j\circ j') \circ g\)와 \(g\)는 보편 성질을 만족하므로 유일성에 의해 서로 같고, 따라서 \(j'\circ j\)는 \(T\) 위의 항등사상이다. 마찬가지로 \((j'\circ j) \circ g' = g'\)이고 \(j\circ j'\)는 \(T'\) 위의 항등사상이다. 따라서 \(j\)는 동형이다.

보조정리

\(M, N, P\)를 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 쌍선형 사상들

\[\begin{align*} (x, y) & \mapsto y \otimes x\\ (x + y, z) & \mapsto x \otimes z + y \otimes z\\ (r, x) & \mapsto rx \end{align*}\] 은 다음 유일한 동형들을 유도한다. \[\begin{align*} M \otimes_R N & \to N \otimes_R M, \\ (M\oplus N)\otimes_R P & \to (M \otimes_R P)\oplus(N \otimes_R P), \\ R \otimes_R M & \to M \end{align*}\]

증명

생략한다.

두 \(R\)-가군의 텐서곱을 유한 개의 \(R\)-가군으로 일반화하고, 다중 텐서곱과 다중선형 사상 사이의 대응을 세울 수 있다. 거의 같은 구성을 사용하면 다음을 증명할 수 있다.

보조정리

\(M_1, \ldots, M_r\)를 \(R\)-가군이라 하자. \(R\)-가군 T와 \(R\)-다중선형 사상 \(g : M_1\times \ldots \times M_r \to T\)로 이루어진 쌍 \((T, g)\)가 다음 보편 성질을 만족하도록 존재한다. 임의의 \(R\)-다중선형 사상 \(f : M_1\times \ldots \times M_r \to P\)에 대하여 \(f'\circ g = f\)를 만족하는 유일한 \(R\)-가군 준동형 \(f' : T \to P\)가 존재한다. 그러한 가군 \(T\)는 유일한 동형을 제외하고 유일하다. 이를 \(M_1\otimes_R \ldots \otimes_R M_r\)로 나타내고, 보편 다중선형 사상을 \((m_1, \ldots, m_r) \mapsto m_1 \otimes \ldots \otimes m_r\)로 나타낸다.

증명

생략한다.

보조정리

준동형들 \[(M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P \to M \otimes_R (N \otimes_R P)\] 에서 \(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\)이고 \(g(x \otimes y \otimes z) = x \otimes (y \otimes z)\)이며 \(x\in M, y\in N, z\in P\)라고 하자. 이들은 잘 정의되고 동형이다.

증명

\(f\)가 잘 정의되고 동형임을 증명하겠다. 같은 증명이 \(g\)에도 적용된다. 임의의 \(z\in P\)를 고정하자. 그러면 \(x\in M, y\in N\)에 대하여 사상 \((x, y)\mapsto x \otimes y \otimes z\)는 \(x\)와 \(y\)에 관해 \(R\)-쌍선형이므로, \(f_z(x \otimes y) = x \otimes y \otimes z\)로 보내는 준동형 \(f_z : M \otimes N \to M \otimes N \otimes P\)를 유도한다. 이제 \((w, z)\mapsto f_z(w)\)로 주어지는 \((M \otimes N)\times P \to M \otimes N \otimes P\)를 생각하자. 이 사상은 \(R\)-쌍선형이므로 \(f : (M \otimes_R N)\otimes_R P \to M \otimes_R N \otimes_R P\)를 유도하고 \(f((x \otimes y)\otimes z) = x \otimes y \otimes z\)이다. 역사상을 구성하기 위하여 사상 \(\pi : M \times N \times P \to (M \otimes N)\otimes P\)가 \(R\)-삼중선형임을 주목하자. 따라서 이는 보편 성질과 양립하는 \(R\)-선형 사상 \(h : M \otimes N \otimes P \to (M \otimes N)\otimes P\)를 유도한다. 여기서 \(h(x \otimes y \otimes z) = (x \otimes y)\otimes z\)임을 알 수 있다. \(f\)와 \(h\)의 명시적 표현으로부터 \(f\circ h\)와 \(h\circ f\)는 각각 \(M \otimes N \otimes P\)와 \((M \otimes N)\otimes P\)의 항등사상이다. 따라서 \(f\)는 원하는 동형이다.

귀납법을 사용하면 이것이 다중 텐서곱으로 확장됨을 알 수 있다. Lemma 00CY와 합치면 \(R\)-가군의 범주에서 텐서곱 연산은 결합적이고 가환적이며 분배적이다.

정의

아벨군 \(N\)이 \(A\)-가군이면서 \(B\)-가군이고, 모든 \(a \in A\)와 \(b \in B\)에 대하여 \(a\)에 의한 곱셈과 \(b\)에 의한 곱셈이 가환하여 모든 \(n \in N\)에 대해 \(b(an) = a(bn)\)이면, 이 아벨군을 \((A, B)\)-쌍가군이라고 한다. 이 상황에서는 보통 \(B\)의 작용을 오른쪽에 쓴다. 즉 \(b \in B\)와 \(n \in N\)에 대하여 \(n\)에 \(b\)를 곱한 결과를 \(nb\)로 나타낸다. 이 규약 아래에서 위의 양립성은 모든 \(a\in A, b\in B, x\in N\)에 대하여 \((ax)b = a(xb)\)라는 것이다. \((A, B)\)-쌍가군 \(N\)을 나타내는 약어로 \(_AN_B\)를 사용한다.

보조정리

\(A\)-가군 \(M\), \(B\)-가군 \(P\), 그리고 \((A, B)\)-쌍가군 \(N\)에 대하여, 가군 \((M \otimes_A N)\otimes_B P\)와 \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\)에는 모두 \((A, B)\)-쌍가군 구조를 줄 수 있으며, 더욱이 \[(M \otimes_A N)\otimes_B P \cong M \otimes_A(N \otimes_B P).\]

증명

선험적으로 \(M \otimes_A N\)은 \(A\)-가군이지만, 다음과 같이 \(B\)-가군 구조를 줄 수 있다. \[(x \otimes y)b = x \otimes yb, \quad x\in M, y\in N, b\in B\] 따라서 \(M \otimes_A N\)은 \((A, B)\)-쌍가군이 된다. \(N \otimes_B P\)도 마찬가지이고, 따라서 \((M \otimes_A N)\otimes_B P\)와 \(M \otimes_A(N \otimes_B P)\)도 그러하다. Lemma 00D0에 의해 이 두 가군은 같은 사상을 통해

\(A\)-가군으로서도 \(B\)-가군으로서도 동형이다.

보조정리

임의의 세 \(R\)-가군 \(M, N, P\)에 대하여 \[\Hom_R(M \otimes_R N, P) \cong \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\] 이다.

증명

\(R\)-선형 사상 \(\hat{f}\in \Hom_R(M \otimes_R N, P)\)는 \(R\)-쌍선형 사상 \(f : M \times N \to P\)에 대응한다. 각 \(x\in M\)에 대하여 사상 \(y\mapsto f(x, y)\)는 보편 성질에 의해 \(R\)-선형이다. 따라서 \(f\)는 사상 \(\phi_f : M \to \Hom_R(N, P)\)에 대응한다. 이 사상은 \[\phi_f(ax + y)(z) = f(ax + y, z) = af(x, z)+f(y, z) = (a\phi_f(x)+\phi_f(y))(z),\] 이고, 이것이 모든 \(a \in R\), \(x \in M\), \(y \in M\), \(z \in N\)에 대하여 성립하므로 \(R\)-선형이다. 반대로 임의의 \(f \in \Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\)는 \((x, y)\mapsto f(x)(y)\)로 주어지는 \(R\)-쌍선형 사상 \(M \times N \to P\)를 정의한다. 따라서 이는 두 가군 \(\Hom_R(M \otimes_R N, P)\)와 \(\Hom_R(M, \Hom_R(N, P))\) 사이의 자연스러운 일대일 대응이다.

보조정리

\((M_i, \mu_{ij})\)를 준순서 집합 \(I\) 위의 계라 하자. \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \[\colim (M_i \otimes N) \cong (\colim M_i)\otimes N.\] 더욱이 이 동형은 준동형들 \(\mu_i \otimes 1: M_i \otimes N \to M \otimes N\)에 의해 유도된다. 여기서 \(M = \colim_i M_i\)이고 자연 사상은 \(\mu_i : M_i \to M\)이다.

증명

첫 번째 증명. Lemma 00DE에 의해 함자 \(M' \mapsto M' \otimes_R N\)은 함자 \(N' \mapsto \Hom_R(N, N')\)의 왼쪽 수반이다. 따라서 \(M' \mapsto M' \otimes_R N\)은 모든 여극한과 가환한다. 범주론의 Lemma 0038를 보라.

두 번째 직접 증명. \(P = \colim (M_i \otimes N)\)라 하고 쌍대사영을 \(\lambda_i : M_i \otimes N \to P\)라 하자. \(M = \colim M_i\)라 하고 쌍대사영을 \(\mu_i : M_i \to M\)라 하자. 그러면 모든 \(i\leq j\)에 대하여 다음 도표가 가환한다. \[\xymatrix{ M_i \otimes N \ar[r]_{\mu_i \otimes 1} \ar[d]_{\mu_{ij} \otimes 1} & M \otimes N \ar[d]^{\text{id}} \\ M_j \otimes N \ar[r]^{\mu_j \otimes 1} & M \otimes N }\] Lemma 00DA에 의해 이 사상들은 \(\mu_i \otimes 1 = \psi \circ \lambda_i\)를 만족하는 유일한 준동형 \(\psi : P \to M \otimes N\)을 유도한다.

역사상을 구성하자. 각 \(i\in I\)에 대하여 표준 \(R\)-쌍선형 사상 \(g_i : M_i \times N \to M_i \otimes N\)이 있다. 이는 \(\widehat{\phi} \circ (\mu_i \times 1) = \lambda_i \circ g_i\)를 만족하는 유일한 사상 \(\widehat{\phi} : M \times N \to P\)를 유도한다. 이 사상은 \(R\)-쌍선형이다. 따라서 \(R\)-선형 사상 \(\phi : M \otimes N \to P\)를 유도한다. 다음 가환도표로부터 \[\xymatrix{ M_i \times N \ar[r]^{g_i} \ar[d]^{\mu_i \times \text{id}} & M_i \otimes N\ar[r]_{\text{id}} \ar[d]_{\lambda_i} & M_i \otimes N \ar[d]_{\mu_i \otimes \text{id}} \ar[rd]^{\lambda_i} \\ M \times N \ar[r]^{\widehat{\phi}} & P \ar[r]^{\psi} & M \otimes N \ar[r]^{\phi} & P }\] \(\psi\circ\widehat{\phi} = g\)임을 알 수 있다. 여기서 \(g : M \times N \to M \otimes N\)은 표준 \(R\)-쌍선형 사상이다. 따라서 \(\psi\circ\phi\)는 \(M \otimes N\) 위의 항등사상이다. 오른쪽 사각형과 삼각형으로부터 \(\phi\circ\psi\)도 \(P\) 위의 항등사상이다.

보조정리

완전열 \[\begin{align*} M_1\xrightarrow{f} M_2\xrightarrow{g} M_3 \to 0 \end{align*}\] 인 \(R\)-가군과 준동형의 열 및 임의의 \(R\)-가군 \(N\)이 주어졌다고 하자. 그러면 열 [00DG]\[\begin{equation} M_1\otimes N\xrightarrow{f \otimes 1} M_2\otimes N \xrightarrow{g \otimes 1} M_3\otimes N \to 0 \end{equation}\] 은 완전하다. 달리 말해 함자 \(- \otimes_R N\)은 오른쪽 완전이다. 이는 원래의 오른쪽 완전열의 각 항을 텐서하는 것이 완전성을 보존한다는 뜻이다.

증명

모든 \(R\)-가군 \(P\)에 대하여 첫 번째 완전열에 함자 \(\Hom(-, \Hom(N, P))\)를 적용한다. 그러면 \[0 \to \Hom(M_3, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_2, \Hom(N, P)) \to \Hom(M_1, \Hom(N, P))\] 을 얻으며, 이는 Lemma 0582 (1)에 의해 완전하다. Lemma 00DE에 의해 이 열은 \[0 \to \Hom(M_3 \otimes N, P) \to \Hom(M_2 \otimes N, P) \to \Hom(M_1 \otimes N, P)\] 이 되고, 따라서 이 열도 완전하다. Lemma 0582 (1)을 다시 사용하면 원하는 완전열을 얻는다.

주

그러나 일반적으로 텐서곱은 완전열을 보존하지 않는다. 달리 말해 \(M_1 \to M_2 \to M_3\)가 완전하더라도, 임의의 \(R\)-가군 \(N\)에 대하여 \(M_1 \otimes N \to M_2 \otimes N \to M_3 \otimes N\)이 완전일 필요는 없다.

예

\(\mathbf{Z}\)-가군의 사상으로 본 단사 사상 \(2 : \mathbf{Z}\to \mathbf{Z}\)를 생각하자. \(N = \mathbf{Z}/2\)라 하자. 그러면 유도된 사상 \(\mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2 \to \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\)는 단사가 아니다. 실제로 \(x \otimes y\in \mathbf{Z} \otimes \mathbf{Z}/2\)에 대하여 \[(2 \otimes 1)(x \otimes y) = 2x \otimes y = x \otimes 2y = x \otimes 0 = 0\] 이다. 따라서 유도된 사상은 영사상이지만 \(\mathbf{Z} \otimes N\neq 0\)이다.

주

\(R\)-가군 \(N\)에 대하여 함자 \(-\otimes_R N\)이 완전하다면, 즉 \(N\)과 텐서하는 것이 모든 완전열을 보존한다면,

\(N\)을 평탄 \(R\)-가군이라고 한다. 이는 나중에 Section 00H9에서 논의한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)과 \(N\)을 \(R\)-가군이라 하자.

1. \(N\)과 \(M\)이 유한이면 \(M \otimes_R N\)도 유한이다.

2. \(N\)과 \(M\)이 유한 표시이면 \(M \otimes_R N\)도 유한 표시이다.

증명

\(M\)이 유한이라고 가정하자. 그러면 표시 \(0 \to K \to R^{\oplus n} \to M \to 0\)을 택할 수 있다. 이는 Lemma 00DF에 의해 완전열 \(K \otimes_R N \to N^{\oplus n} \to M \otimes_R N \to 0\)을 준다. \(N\)도 유한이면 \(M \otimes_R N\)은 유한 가군의 몫이므로 유한이다. Lemma 0519을 보라. 마찬가지로 \(N\)과 \(M\)이 모두 유한 표시이면 \(K\)가 유한이고, \(M \otimes_R N\)은 유한 표시 가군 \(N^{\oplus n}\)을 유한 가군, 즉 \(K \otimes_R N\)으로 나눈 몫임을 알 수 있다. 따라서 유한 표시이다. Lemma 0519을 보라.

보조정리

\(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 \(S^{-1}R\)-가군 \(S^{-1}M\)과 \(S^{-1}R \otimes_R M\)은 표준적으로 동형이며, 표준 동형 \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\)은 다음과 같이 주어진다. \[f((a/s) \otimes m) = am/s, \forall a \in R, m \in M, s \in S\]

증명

사상 \(f' : S^{-1}R \times M \to S^{-1}M\)을 \(f'(a/s, m) = am/s\)로 주면 명백히 쌍선형이다. 따라서 보편 성질에 의해 이 사상은 보조정리의 명제에 나온 유일한 \(S^{-1}R\)-가군 준동형 \(f : S^{-1}R \otimes_R M \to S^{-1}M\)을 유도한다. 사실 \(S^{-1}M\)의 모든 원소는 \(m/s\), \(m\in M, s\in S\) 꼴이고, \(S^{-1}R \otimes_R M\)의 모든 원소는 \(1/s \otimes m\) 꼴이다. 후자를 보이려면 \(S^{-1}R \otimes_R M\)의 원소를 다음과 같이 쓰면 된다. \[\sum_k \frac{a_k}{s_k} \otimes m_k = \sum_k \frac{a_k t_k}{s} \otimes m_k = \frac{1}{s} \otimes \sum_k {a_k t_k}m_k = \frac{1}{s} \otimes m\]

여기서 \(m = \sum_k {a_k t_k}m_k\)이다. 그러면 \(f\)가 전사임은 명백하다. 또한 \(f(\frac{1}{s} \otimes m) = m/s = 0\)이면 \(M\)에서 \(tm = 0\)인 \(t \in S\)가 존재한다. 이때 \[\frac{1}{s} \otimes m = \frac{1}{st} \otimes tm = \frac{1}{st} \otimes 0 = 0\] 이므로 \(f\)는 단사이다.

보조정리

\(M, N\)을 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 다음과 같이 주어지는 표준 \(S^{-1}R\)-가군 동형 \(f : S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \to S^{-1}(M \otimes_R N)\)이 있다. \[f((m/s)\otimes(n/t)) = (m \otimes n)/st\]

증명

Lemma 00D2과 Lemma 00DK을 반복하여 사용하면, \(S^{-1}R\)이 \((R, S^{-1}R)\)-쌍가군임에 유의할 때 다음 두 \(S^{-1}R\)-가군이 동형임을 알 수 있다. \[\begin{align*} S^{-1}(M \otimes_R N) & \cong S^{-1}R \otimes_R (M \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_R N\\ & \cong (S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}R)\otimes_R N\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}(S^{-1}R \otimes_R N)\\ & \cong S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R}S^{-1}N \end{align*}\] 이 동형이 보조정리에서 말한 동형임은 쉽게 알 수 있다.

텐서대수

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(R\) 위의 \(M\)의 텐서대수를 다음 비가환 \(R\)-대수로 정의한다. \[\text{T}(M) = \text{T}_R(M) = \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{T}^n(M)\] 여기서 \(\text{T}^0(M) = R\), \(\text{T}^1(M) = M\), \(\text{T}^2(M) = M \otimes_R M\), \(\text{T}^3(M) = M \otimes_R M \otimes_R M\) 등이다. 곱셈은 순수 텐서 위에서 다음 규칙으로 정의한 뒤 선형성으로 확장한다. \[(x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n) \cdot (y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m) = x_1 \otimes x_2 \otimes \ldots \otimes x_n \otimes y_1 \otimes y_2 \otimes \ldots \otimes y_m\]

\(R\) 위의 \(M\)의 외대수 \(\wedge(M)\)를 \(\text{T}(M)\)을 원소 \(x \otimes x \in \text{T}^2(M)\)들로 생성되는 양쪽 이데알로 나눈 몫으로 정의한다. \(\wedge^n(M)\)에서 순수 텐서 \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\)의 상을 \(x_1 \wedge \ldots \wedge x_n\)으로 나타낸다. 이 원소들은 \(\wedge^n(M)\)을 생성하고, 각 \(x_i\)에 관해 \(R\)-선형이며, 두 \(x_i\)가 같으면 영이다. 즉 \(x_1, x_2, \ldots, x_n\)의 함수로서 교대적이다. \(\wedge(M)\)의 곱셈은 등급가환이다. 즉 모든 \(x \in M\)과 \(y \in M\)은 \(x \wedge y = - y \wedge x\)를 만족한다.

그 예로 \(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\)이 유한 자유가군인 경우를 들 수 있다. 이 경우 \(\wedge(M)\)은 다음 원소들을 기저로 갖는 자유 \(R\)-가군이다. \[x_{i_1} \wedge \ldots \wedge x_{i_r}\] 여기서 \(0 \leq r \leq n\)이고 \(1 \leq i_1 < i_2 < \ldots < i_r \leq n\)이다.

\(R\) 위의 \(M\)의 대칭대수 \(\text{Sym}(M)\)를 \(\text{T}(M)\)을 원소 \(x \otimes y - y \otimes x \in \text{T}^2(M)\)들로 생성되는 양쪽 이데알로 나눈 몫으로 정의한다. \(\text{Sym}^n(M)\)에서 순수 텐서 \(x_1 \otimes \ldots \otimes x_n\)의 상을 간단히 \(x_1 \ldots x_n\)으로 나타낸다. 이 원소들은 \(\text{Sym}^n(M)\)을 생성하고, 각 \(x_i\)에 관해 \(R\)-선형이며, 원소들의 열 \(x_1, \ldots, x_n\)이 열 \(x_1', \ldots, x_n'\)의 순열이면 \(x_1 \ldots x_n = x_1' \ldots x_n'\)이다. 따라서 \(\text{Sym}(M)\)이 가환임을 알 수 있다.

그 예로 \(M = Rx_1 \oplus \ldots \oplus Rx_n\)이 유한 자유가군인 경우를 들 수 있다. 이 경우 \(\text{Sym}(M) = R[x_1, \ldots, x_n]\)은 다항식 대수이다.

보조정리

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(M\)이 자유 \(R\)-가군이면 각 대칭승과 외승도 자유가군이다.

증명

생략한다. 다만 위의 유한 자유가군인 경우를 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M_2 \to M_1 \to M \to 0\)을 \(R\)-가군의 완전열이라 하자. 다음 완전열들이 있다. \[M_2 \otimes_R \text{Sym}^{n - 1}(M_1) \to \text{Sym}^n(M_1) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] 그리고 마찬가지로 \[M_2 \otimes_R \wedge^{n - 1}(M_1) \to \wedge^n(M_1) \to \wedge^n(M) \to 0\] 이 있다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(x_i\), \(i \in I\)를 \(R\)-가군으로서 \(M\)의 주어진 생성계라 하자. \(n \geq 2\)라 하자. 다음 표준 완전열이 존재한다. \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \oplus \bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \wedge^n(M) \to 0\] 여기서 첫 번째 직합항의 순수 텐서 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\)는 다음으로 사상된다. \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_1} \text{ and } x_{i_2} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \\ + \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_2} \text{ and } x_{i_1} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \end{align*}\] 그리고 두 번째 직합항의 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\)는 다음으로 사상된다. \[\underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes x_i \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i} \text{ and } x_{i} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}}\] 또한 다음 표준 완전열이 있다. \[\bigoplus_{1 \leq j_1 < j_2 \leq n} \bigoplus_{i_1, i_2 \in I} \text{T}^{n - 2}(M) \to \text{T}^n(M) \to \text{Sym}^n(M) \to 0\] 여기서 순수 텐서 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_{n - 2}\)는 다음으로 사상된다. \[\begin{align*} \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_1} \text{ and } x_{i_2} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \\ - \underbrace{ m_1 \otimes \ldots \otimes x_{i_2} \otimes \ldots \otimes x_{i_1} \otimes \ldots \otimes m_{n - 2} }_{\text{with } x_{i_2} \text{ and } x_{i_1} \text{ occupying slots } j_1 \text{ and } j_2 \text{ in the tensor}} \end{align*}\]

증명

생략한다.

보조정리

\(A \to B\)를 환 준동형, \(M\)을 \(B\)-가군이라 하자. \(n > 1\)이라 하자. \(A\)-선형 사상 \(M \otimes_A \ldots \otimes_A M \to \wedge^n_B(M)\)의 핵은, \(i \not = j\), \(m_1, \ldots, m_n \in M\)일 때 \(m_i = m_j\)인 원소 \(m_1 \otimes \ldots \otimes m_n\)들과, \(i \not = j\), \(m_1, \ldots, m_n \in M\), \(b \in B\)일 때의 원소 \(m_1 \otimes \ldots \otimes bm_i \otimes \ldots \otimes m_n - m_1 \otimes \ldots \otimes bm_j \otimes \ldots \otimes m_n\)들에 의해 \(A\)-가군으로서 생성된다.

증명

생략한다.

보조정리

\(R\)을 환, \(M_i\)를 \(R\)-가군의 유향계라 하자. 그러면 \(\colim_i \text{T}(M_i) = \text{T}(\colim_i M_i)\)이고, 대칭대수와 외대수에 대해서도 마찬가지이다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 00DD를 적용하라.

보조정리

\(R\)을 환, \(S \subset R\)을 곱셈적 부분집합이라 하자. 그러면 임의의 \(R\)-가군 \(M\)에 대하여 \(S^{-1}T_R(M) = T_{S^{-1}R}(S^{-1}M)\)이다. 대칭대수와 외대수에 대해서도 마찬가지이다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 00DL을 적용하라.

기저변환

대수에서 기저변환을 다음과 같이 형식적으로 도입한다.

정의

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형, \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(R \to R'\)을 임의의 환 준동형이라 하자. \(R \to R'\)에 의한 \(\varphi\)의 기저변환은 환 준동형 \(R' \to S \otimes_R R'\)이다. 이 상황에서 흔히 \(S' = S \otimes_R R'\)이라고 쓴다. \(S\)-가군 \(M\)의 기저변환은 \(S'\)-가군 \(M \otimes_R R'\)이다.

어떤 변수들의 모음 \(x_i\), \(i \in I\)와 어떤 다항식들의 모음 \(f_j \in R[x_i]\), \(j \in J\)에 대하여 \(S = R[x_i]/(f_j)\)라고 하자. 그러면 \(S \otimes_R R' = R'[x_i]/(f'_j)\)이다. 여기서 \(f'_j \in R'[x_i]\)는 \(R \to R'\)에 의해 유도된 사상 \(R[x_i] \to R'[x_i]\) 아래에서 \(f_j\)의 상이다. 이 간단한 관찰이 기저변환을 이해하는 열쇠이다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형, \(M\)을 \(S\)-가군이라 하자. \(R \to R'\)을 환 준동형이라 하고, \(S' = S \otimes_R R'\)와 \(M' = M \otimes_R R'\)을 그 기저변환들이라 하자.

1. \(M\)이 유한 \(S\)-가군이면 기저변환 \(M'\)은 유한 \(S'\)-가군이다.

2. \(M\)이 유한 표시 \(S\)-가군이면 기저변환 \(M'\)은 유한 표시 \(S'\)-가군이다.

3. \(R \to S\)가 유한형이면 기저변환 \(R' \to S'\)도 유한형이다.

4. \(R \to S\)가 유한 표시이면 기저변환 \(R' \to S'\)도 유한 표시이다.

증명

(1)의 증명. 전사인 \(S\)-선형 사상 \(S^{\oplus n} \to M \to 0\)을 택하자. Lemmas 00CY와 00DF에 의해 \(R^\prime\)과 텐서한 결과는 전사 \({S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \rightarrow 0\)이다. 따라서 \(M^\prime\)은 유한 생성 \(S^\prime\)-가군이다. (2)의 증명. 표시 \(S^{\oplus m} \to S^{\oplus n} \to M \to 0\)을 택하자. Lemmas 00CY와 00DF에 의해 \(R^\prime\)과 텐서한 결과는 \(S^\prime\)-가군 \(M^\prime\)의 유한 표시 \({S^\prime}^{\oplus m} \to {S^\prime}^{\oplus n} \to M^\prime \to 0\)을 준다. (3)의 증명. 가정에 의해 \(I\)를 유한하게 택할 수 있으므로 보조정리 앞의 관찰에서 따른다. (4)의 증명. 가정에 의해 \(I\)와 \(J\)를 유한하게 택할 수 있으므로 보조정리 앞의 관찰에서 따른다.

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(S\)-가군 \(N\)이 주어지면 규칙 \(r \cdot n = \varphi(r)n\)에 의해 \(R\)-가군 \(N_R\)을 얻는다. 이를 때때로 \(N\)의 \(R\)로의 제한이라고 한다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 함자 \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\), \(N \mapsto N_R\) (제한)과 \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\), \(M \mapsto M \otimes_R S\) (기저변환)는 수반함자이다. 공식으로 쓰면 \[\Hom_R(M, N_R) = \Hom_S(M \otimes_R S, N)\] 이다.

증명

\(\alpha : M \to N_R\)가 \(R\)-가군 사상이면 규칙 \(\alpha'(m \otimes s) = s\alpha(m)\)으로 \(\alpha' : M \otimes_R S \to N\)을 정의한다. \(\beta : M \otimes_R S \to N\)가 \(S\)-가군 사상이면 규칙 \(\beta'(m) = \beta(m \otimes 1)\)로 \(\beta' : M \to N_R\)을 정의한다. 이 구성들이 서로 역임을 확인하는 일은 생략한다.

위 보조정리는 제한이 왼쪽 수반, 즉 기저변환을 가짐을 말한다. 제한은 오른쪽 수반도 갖는다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 함자 \(\text{Mod}_S \to \text{Mod}_R\), \(N \mapsto N_R\) (제한)과 \(\text{Mod}_R \to \text{Mod}_S\), \(M \mapsto \Hom_R(S, M)\)은 수반함자이다. 공식으로 쓰면 \[\Hom_R(N_R, M) = \Hom_S(N, \Hom_R(S, M))\] 이다.

증명

\(\alpha : N_R \to M\)이 \(R\)-가군 사상이면 규칙 \(\alpha'(n) = (s \mapsto \alpha(sn))\)으로 \(\alpha' : N \to \Hom_R(S, M)\)을 정의한다. \(\beta : N \to \Hom_R(S, M)\)가 \(S\)-가군 사상이면 규칙 \(\beta'(n) = \beta(n)(1)\)로 \(\beta' : N_R \to M\)을 정의한다. 이 구성들이 서로 역임을 확인하는 일은 생략한다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(S\)-가군 \(M, N\)과 \(R\)-가군 \(P\)가 주어지면 \[\Hom_R(M \otimes_S N, P) = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P))\] 이다.

증명

이를 직접 증명할 수도 있지만, Lemmas 08YP와 00DE의 귀결이기도 하다. 실제로 \[\begin{align*} \Hom_R(M \otimes_S N, P) & = \Hom_S(M \otimes_S N, \Hom_R(S, P)) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_S(N, \Hom_R(S, P))) \\ & = \Hom_S(M, \Hom_R(N, P)) \end{align*}\] 이며, 이는 원하는 결과이다.

잡사항

본 절의 증명들은 기본 개념을 다룬 Section 00AR의 결과 외에는 어떤 결과도 참조하지 않아야 한다.

보조정리

\(R\)을 환, \(I\)와 \(J\)를 두 이데알, \(\mathfrak p\)를 곱 \(IJ\)를 포함하는 소 이데알이라 하자. 그러면 \(\mathfrak{p}\)는 \(I\) 또는 \(J\)를 포함한다.

증명

반대로 가정하고 \(x \in I \setminus \mathfrak p\)와 \(y \in J \setminus \mathfrak p\)를 택하자. 그 곱은 \(IJ \subset \mathfrak p\)의 원소이며, 이는 \(\mathfrak p\)가 소 이데알이라는 가정에 모순이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I_i \subset R\), \(i = 1, \ldots, r\)와 \(J \subset R\)을 이데알이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 모든 \(i = 1, \ldots, r\)에 대하여 \(J \not\subset I_i\)이다.

2. \(I_i\)들 가운데 많아야 두 개를 제외하면 모두 소 이데알이다.

그러면 모든 \(i\)에 대하여 \(x\not\in I_i\)인 \(x \in J\)가 존재한다.

증명

\(r = 1\)일 때 결과는 참이다. \(r = 2\)이면 \(x \not \in I_1\)인 \(x, y \in J\)와 \(y \not \in I_2\)를 택하자. \(x \in I_2\)이고 \(y \in I_1\)인 경우가 아니면 증명이 끝난다. 이 경우에도 원소 \(x + y\)는 \(I_1\)에 속할 수 없고 (속한다면 \(x + y - y \in I_1\)이기 때문이다), \(I_2\)에도 속할 수 없다.

\(r \geq 3\)일 때 결과가 \(r - 1\)에 대해 성립한다고 가정하자. 번호를 다시 매긴 뒤 \(I_r\)이 소 이데알이라고 가정할 수 있다. \(I_i\)들 사이에는 포함관계가 없다고도 가정할 수 있다. 모든 \(i = 1, \ldots, r - 1\)에 대하여 \(x \not \in I_i\)인 \(x \in J\)를 택하자. \(x \not\in I_r\)이면 증명이 끝난다. 따라서 \(x \in I_r\)이라고 가정하자. \(J I_1 \ldots I_{r - 1} \subset I_r\)이면 Lemma 07K1에 의해 \(J \subset I_r\)이어서 모순이다. \(y \not \in I_r\)인 \(y \in J I_1 \ldots I_{r - 1}\)을 택하자. 그러면 \(x + y\)가 조건을 만족한다.

보조정리

\(R\)을 환, \(x \in R\), \(I \subset R\)을 이데알이라 하고, \(\mathfrak p_i\), \(i = 1, \ldots, r\)를 소 이데알들이라 하자. 모든 \(i = 1, \ldots, r\)에 대하여 \(x + I \not \subset \mathfrak p_i\)라고 가정하자. 그러면 모든 \(i\)에 대하여 \(x + y \not \in \mathfrak p_i\)인 \(y \in I\)가 존재한다.

증명

\(\mathfrak p_i\)들 사이에는 포함관계가 없다고 가정할 수 있다. 순서를 바꾸어 \(i < s\)일 때 \(x \not \in \mathfrak p_i\)이고 \(i \geq s\)일 때 \(x \in \mathfrak p_i\)라고 가정할 수 있다. \(s = r + 1\)이면 증명이 끝난다. 그렇지 않으면 \(y \not \in \mathfrak p_s\)인 \(y \in I\)를 찾을 수 있다. \(f \not \in \mathfrak p_s\)인 \(f \in \bigcap_{i < s} \mathfrak p_i\)를 택하자.

그러면 \(x + fy\)는 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_s\)에 포함되지 않는다. 따라서 \(s\)에 관한 귀납법으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

1. \(a \not = b\)일 때 \(I_a + I_b = R\)인 이데알 \(I_1, \ldots, I_r\)가 주어지면 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1I_2\ldots I_r\)이고 \(R/(I_1I_2\ldots I_r) \cong R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\)이다.

2. \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\)가 서로 다른 극대 이데알들이면 \(a \not = b\)일 때 \(\mathfrak m_a + \mathfrak m_b = R\)이고 위 결과를 적용할 수 있다.

증명

먼저 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r = I_1 \ldots I_r\)임을 증명하자. 이는 유도된 환 준동형 \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\)이 단사임도 함의한다. 이데알은 임의의 환 원소와 곱하는 것에 관하여 닫혀 있으므로 포함관계 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r \supset I_1 \ldots I_r\)는 항상 성립한다. 반대 포함관계를 증명하기 위하여 이데알들 \[I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r,\quad i = 1, \ldots, r\] 이 환 \(R\)을 생성한다고 주장한다. 이를 \(r\)에 관한 귀납법으로 증명한다. \(r = 2\)일 때 성립한다. \(r > 2\)이면 \(R\)은 이데알들 \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_{r - 1}\), \(i = 1, \ldots, r - 1\)의 합이다. 따라서 \(I_r\)은 이데알들 \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\), \(i = 1, \ldots, r - 1\)의 합이다. 이데알의 순서를 뒤집어 같은 논증을 적용하면 \(I_1\)은 이데알들 \(I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\), \(i = 2, \ldots, r\)의 합이다. 가정에 의해 \(R = I_1 + I_r\)이므로 \(R\)은 위에 표시한 이데알들의 합이다. 따라서 합이 일인 원소들 \(a_i \in I_1 \ldots \hat I_i \ldots I_r\)를 찾을 수 있다. 이 등식에 \(I_1 \cap \ldots \cap I_r\)의 원소를 곱하면 반대 포함관계를 얻는다. 이제 표준 사상 \(R/(I_1 \ldots I_r) \rightarrow R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\)이 전사임을 보여야 한다. 이를 위해 위에서 얻은 등식 \(1 = \sum_{i=1}^r a_i\) 위에서 이 사상이 어떻게 작용하는지 생각하자. 한편으로 환 준동형은 1을 1로 보내고, 다른 한편으로 임의의 \(a_i\)의 상은 \(j \neq i\)일 때 \(R/I_j\)에서 영이다. 따라서 \(R/I_i\)에서 \(a_i\)의 상은 항등원이다. 그러므로 임의의 원소 \((\bar{b_1}, \ldots, \bar{b_r}) \in R/I_1 \times \ldots \times R/I_r\)가 주어지면 원소 \(\sum_{i=1}^r a_i \cdot b_i\)는 \(R\)에서의 역상이다.

(2)를 보기 위하여, 서로 다른 극대 이데알의 정의 자체로부터 \(a \neq b\)일 때 \(\mathfrak{m}_a + \mathfrak{m}_b = R\)이므로 위 결과를 적용할 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(n \geq m\)이라 하자. \(A\)를 \(R\)에 계수를 갖는 \(n \times m\) 행렬이라 하자. \(J \subset R\)을 \(A\)의 \(m \times m\) 소행렬식들로 생성되는 이데알이라 하자.

1. 임의의 \(f \in J\)에 대하여 \(BA = f 1_{m \times m}\)인 \(m \times n\) 행렬 \(B\)가 존재한다.

2. \(f \in R\)이고 어떤 \(m \times n\) 행렬 \(B\)에 대하여 \(BA = f 1_{m \times m}\)이면 \(f^m \in J\)이다.

증명

\(I \subset \{1, \ldots, n\}\)이고 \(|I| = m\)일 때, \(E_I\)를 사영 \[R^{\oplus n} = \bigoplus\nolimits_{i \in \{1, \ldots, n\}} R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} R\] 의 \(m \times n\) 행렬이라 하고 \(A_I = E_I A\)로 둔다. 즉 \(A_I\)는 \(A\)에서 지표가 \(I\)에 속하는 행들을 취해 만든 \(m \times m\) 행렬이다. \(B_I\)를 \(A_I\)의 수반행렬 (여인수 행렬의 전치)이라 하자. 즉 \(A_I B_I = B_I A_I = \det(A_I) 1_{m \times m}\)이다. \(A\)의 \(m \times m\) 소행렬식들은 \(I \subset \{1, \ldots, n\}\)이고 \(|I| = m\)인 모든 경우에 대한 행렬식 \(\det A_I\)이다. \(f \in J\)이면 어떤 \(c_I \in R\)에 대하여 \(f = \sum c_I \det(A_I)\)로 쓸 수 있다. \(B = \sum c_I B_I E_I\)로 두면 (1)이 성립함을 알 수 있다.

\(f 1_{m \times m} = BA\)이면 Cauchy–Binet 공식 (0F0K)에 의해 \(f^m = \sum b_I \det(A_I)\)이다. 여기서 \(b_I\)는 \(B\)의 열들 가운데 지표가 \(I\)에 속하는 열들로 이루어진 \(m \times m\) 행렬의 행렬식이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(n \geq m\)이라 하자. \(A = (a_{ij})\)를 \(R\)에 계수를 갖는 \(n \times m\) 행렬이라 하고, 다음 블록 형태로 쓰자. \[A = \left( \begin{matrix} A_1 \\ A_2 \end{matrix} \right)\] 여기서 \(A_1\)의 크기는 \(m \times m\)이다. \(B\)를 \(A_1\)의 수반행렬(여인수 행렬의 전치)이라 하자. 그러면 \[AB = \left( \begin{matrix} f 1_{m \times m} \\ C \end{matrix} \right)\] 이다. 여기서 \(f = \det(A_1)\)이고, \(c_{ij}\)는 부호를 제외하면 \(A\)에서 행 \(1, \ldots, \hat j, \ldots, m, i\)에 대응하는 \(m \times m\) 소행렬식의 행렬식이다.

증명

수반행렬은 \(A_1B = B A_1 = f\)를 만족하므로 \(AB\)의 표현에서 첫 번째 블록은 옳다. 다음에 유의하라. \[c_{ij} = \sum\nolimits_k a_{ik}b_{kj} = \sum (-1)^{j + k}a_{ik} \det(A_1^{jk})\]

여기서 \(A_1^{ij}\)는 \(A_1\)에서 \(j\)번째 행과 \(k\)번째 열을 제거한 행렬을 뜻한다. 마지막 표현은 보조정리의 명제에 나온 행렬의 행 전개이다.

보조정리

\(R\)을 영환이 아닌 환이라 하자. \(n \geq 1\)이라 하자. \(M\)을 \(< n\)개의 원소로 생성되는 \(R\)-가군이라 하자. 그러면 임의의 \(R\)-가군 사상 \(f : R^{\oplus n} \to M\)은 영이 아닌 핵을 갖는다.

증명

전사 \(R^{\oplus n - 1} \to M\)을 택하자. 사상 \(f\)를 사상 \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\)로 들어 올릴 수 있다(Lemma 07JX). \(f'\)이 영이 아닌 핵을 가짐을 보이면 충분하다. 사상 \(f' : R^{\oplus n} \to R^{\oplus n - 1}\)는 행렬 \(A = (a_{ij})\)로 주어진다. \(a_{ij}\) 중 하나가 멱영원이 아니라고 하고, 이를 \(a = a_{ij}\)라 하자. 그러면 \(R\)을 국소화 \(R_a\)로 바꾸어 \(a_{ij}\)가 단원이라고 가정할 수 있다. 실제로 국소화는 완전하므로 국소화한 뒤 영이 아닌 핵을 찾으면 처음에도 영이 아닌 핵이 있었다. Proposition 00CS를 보라.

이 경우 \(R^{\oplus n}\)과 \(R^{\oplus n - 1}\) 양쪽에서 기저변환을 하여 다음과 같은 경우로 환원할 수 있다. \[A = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \ldots \\ 0 & a_{22} & a_{23} & \ldots \\ 0 & a_{32} & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{matrix} \right)\] 따라서 이 경우에는 \(n\)에 관한 귀납법으로 증명이 끝난다. 그렇지 않으면 각 \(a_{ij}\)는 멱영원이다. \(I = (a_{ij}) \subset R\)로 두자. 어떤 \(m \geq 0\)에 대하여 \(I^{m + 1} = 0\)임에 유의하라. \(I^m \not = 0\)인 가장 큰 정수를 \(m\)이라 하자. 그러면 \((I^m)^{\oplus n}\)이 사상의 핵에 포함됨을 알 수 있으므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)을 영환이 아닌 환이라 하자. \(n, m \geq 0\)을 정수라 하자. \(R^{\oplus n}\)이 \(R\)-가군으로서 \(R^{\oplus m}\)과 동형이면 \(n = m\)이다.

증명

Lemma 05WI로부터 즉시 따른다.

케일리–해밀턴

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(A = (a_{ij})\)를 \(R\)에 계수를 갖는 \(n \times n\) 행렬이라 하자. \(P(x) \in R[x]\)를 \(A\)의 특성다항식 (\(\det(x\text{id}_{n \times n} - A)\)로 정의한다)이라 하자. 그러면 \(\text{Mat}(n \times n, R)\)에서 \(P(A) = 0\)이다.

증명

다음 몇 단계를 거쳐 이 문제를 선형대수학의 잘 알려진 케일리–해밀턴 정리로 환원한다.

1. \(\phi :S \rightarrow R\)가 환 준동형이고 \(b_{ij}\)들이 이 사상 아래에서 \(a_{ij}\)들의 원상이라면, \(\phi\)가 환 준동형이므로 \(S\)와 \((b_{ij})\)에 대해 명제를 보이면 충분하다.

2. \(\psi :R \hookrightarrow S\)가 단사 환 준동형이면, \(a_{ij}\)들을 \(S\)의 원소로 보아 \(S\)에 대해 결과를 보이면 충분함이 명백하다.

3. 따라서 먼저 다항식환의 경우인 \(R = \mathbf{Z}[X_{ij}]\), \(a_{ij} = X_{ij}\)로 환원한 다음, 케일리–해밀턴 정리를 적용할 수 있는 \(R = \mathbf{Q}(X_{ij})\)의 경우로 다시 환원할 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(\varphi : M \to M\)을 자기준동형이라 하자. 그러면 \(M\)의 자기준동형으로서 \(P(\varphi) = 0\)을 만족하는 일계수 다항식 \(P \in R[T]\)가 존재한다.

증명

어떤 생성원들 \(x_i \in M\)에 대해 \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\)로 주어지는 전사 \(R\)-가군 사상 \(R^{\oplus n} \to M\)을 택한다. \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\)를 만족하는 \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in R^{\oplus n}\)을 택한다. 달리 말해, \(A = (a_{ij})\)일 때 다음 도식은 가환한다. \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ R^{\oplus n} \ar[r] & M }\] Lemma 00DX에 의해 \(P(A) = 0\)을 만족하는 일계수 다항식 \(P\)가 존재한다. 따라서 \(P(\varphi) = 0\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)을 이데알이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(\varphi(M) \subset IM\)을 만족하는 자기준동형 \(\varphi : M \to M\)을 생각하자. 그러면 \(a_j \in I^j\)이고 \(M\)의 자기준동형으로서 \(P(\varphi) = 0\)을 만족하는 일계수 다항식

\(P = t^n + a_1 t^{n - 1} + \ldots + a_n \in R[T]\) 가 존재한다.

증명

어떤 생성원들 \(x_i \in M\)에 대해 \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto \sum a_ix_i\)로 주어지는 전사 \(R\)-가군 사상 \(R^{\oplus n} \to M\)을 택한다. \(\varphi(x_i) = \sum a_{ij} x_j\)를 만족하는 \((a_{i1}, \ldots, a_{in}) \in I^{\oplus n}\)을 택한다. 달리 말해, \(A = (a_{ij})\)일 때 다음 도식은 가환한다. \[\xymatrix{ R^{\oplus n} \ar[d]_A \ar[r] & M \ar[d]^\varphi \\ I^{\oplus n} \ar[r] & M }\] Lemma 00DX에 의해 다항식 \(P(t) = \det(t\text{id}_{n \times n} - A)\) 은 요구된 성질을 모두 만족한다.

흥미로운 응용으로 다음의 놀라운 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(\varphi : M \to M\)을 전사 \(R\)-가군 사상이라 하자. 그러면 \(\varphi\)는 동형사상이다.

증명

\(R' = R[x]\)라 쓰고, \(x\)가 \(\varphi\)로 작용하게 하여 \(M\)을 유한 \(R'\)-가군으로 생각하자. \(I = (x) \subset R'\)로 둔다. \(\varphi\)가 전사라는 가정에 의해 \(IM = M\)이다. 따라서 \(M\)을 \(R'\)-가군으로 보고, 이데알 \(I\)와 자기준동형 \(\text{id}_M\)에 Lemma 05G7을 적용할 수 있다. 그 결과 \(a_j \in I\)일 때 \((1 + a_1 + \ldots + a_n)\text{id}_M = 0\)을 얻는다. 어떤 \(b_j(x) \in R[x]\)에 대해 \(a_j = b_j(x)x\)라고 쓰자. 이를 다시 \(\varphi\)의 말로 옮기면 \(\text{id}_M = -(\sum_{j = 1, \ldots, n} b_j(\varphi)) \varphi\)이고, 따라서 \(\varphi\)는 가역이다.

증명

\(R\) 위에서 \(M\)의 생성원 수에 관해 귀납법을 쓴다. \(M\)이 한 원소로 생성되면 어떤 이데알 \(I \subset R\)에 대해 \(M \cong R/I\)이다. 이 경우 \(R\)을 \(R/I\)로 바꾸어 \(M = R\)이라 할 수 있다. 이때 \(\varphi : R \to R\)는 어떤 원소 \(r \in R\)에 의한 \(M\) 위의 곱셈으로 주어진다. \(\varphi\)가 전사이면 \(\varphi\)가 \(1\)을 상으로 가져야 하므로 \(r\)은 가역이고, 따라서 \(\varphi\)는 가역이다.

이제 \(n - 1\)개 원소로 생성되는 가군에 대해 보조정리를 증명했다고 하고, \(n\)개 원소로 생성되는 가군 \(M\)을 살펴보자. \(A\)를 환 \(R[t]\)라 하고, \(t\)가 \(\varphi\)로 작용하게 하여 \(M\)을 \(A\)-가군으로 보자. \(M\)은 \(R\) 위에서 유한이므로 \(R[t]\) 위에서도 유한하다. 또한 우리가 \(\varphi\)의 단사성을 증명하려는 것은 집합론적 성질이므로, \(A\) 위의 자기준동형 \(t : M \to M\)의 단사성을 증명해도 된다. 이로써 자기준동형이 바탕환의 한 원소에 의한 곱셈인 경우로 문제가 환원되었다. \(M\)의 생성원들 가운데 처음 \(n - 1\)개가 생성하는 부분-\(A\)-가군을 \(M' \subset M\)이라 하고, 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & M' \ar[r]\ar[d]^{\varphi\mid_{M'}} & M\ar[d]^\varphi \ar[r] & M/M' \ar[d]^{\varphi \bmod M'} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & M' \ar[r] & M \ar[r] & M/M' \ar[r] & 0, }\] 여기서 \(\varphi\)는 바탕의 한 원소에 의한 곱셈이고 \(M'\)과 \(M/M'\)도 각각 \(A\)-가군이므로, \(\varphi\)의 \(M'\)에 대한 제한과 \(\varphi\)가 몫 \(M/M'\) 위에 유도하는 사상은 잘 정의된다. \(n = 1\)인 경우에 의해 사상 \(M/M' \to M/M'\)는 동형사상이다. 도식 추적을 하면 \(\varphi|_{M'}\)가 전사이고, 따라서 귀납가정에 의해 \(\varphi|_{M'}\)는 동형사상이다. 뱀 보조정리에 의해 가운데 세로 사상도 동형사상이다.

환의 스펙트럼

환의 스펙트럼을 위상공간으로 보는 내용은 대수학 장에 두고, 아핀 스킴은 스킴 장에 두기로 임의로 정한다.

정의

\(R\)을 환이라 하자.

1. \(R\)의 스펙트럼은 \(R\)의 소 이데알들의 집합이다. 보통 \(\Spec(R)\)로 나타낸다.

2. 부분집합 \(T \subset R\)가 주어졌을 때, \(V(T) \subset \Spec(R)\)를 \(T\)를 포함하는 소 이데알들의 집합, 즉 \(V(T) = \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid \forall f\in T, f\in \mathfrak p\}\)로 둔다.

3. 원소 \(f \in R\)가 주어졌을 때, \(D(f) \subset \Spec(R)\)를 \(f\)를 포함하지 않는 소 이데알들의 집합으로 둔다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

1. 환 \(R\)의 스펙트럼이 공집합인 것과 \(R\)이 영환인 것은 동치이다.

2. 영환이 아닌 모든 환에는 극대 이데알이 존재한다.

3. 영환이 아닌 모든 환에는 극소 소 이데알이 존재한다.

4. 이데알 \(I \subset R\)와 소 이데알 \(I \subset \mathfrak p\)가 주어지면, \(I\) 위에서 극소인 소 이데알 \(\mathfrak q\), 즉 \(I \subset \mathfrak q \subset \mathfrak p\)가 존재한다.

5. \(T \subset R\)이고 \((T)\)가 \(R\)에서 \(T\)가 생성하는 이데알이면 \(V((T)) = V(T)\)이다.

6. \(I\)가 이데알이고 \(\sqrt{I}\)가 그 근기이면 (00BI)의 기본 개념에 의해 \(V(I) = V(\sqrt{I})\)이다.

7. \(R\)의 이데알 \(I\)가 주어지면 \(\sqrt{I} = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\)이다.

8. 이데알 \(I\)에 대해 \(V(I) = \emptyset\)인 것과 \(I\)가 단위 이데알인 것은 동치이다.

9. \(I\), \(J\)가 \(R\)의 이데알이면 \(V(I) \cup V(J) = V(I \cap J)\)이다.

10. \((I_a)_{a\in A}\)가 \(R\)의 이데알들의 집합이면 \(\bigcap_{a\in A} V(I_a) = V(\bigcup_{a\in A} I_a)\)이다.

11. \(f \in R\)이면 \(D(f) \amalg V(f) = \Spec(R)\)이다.

12. \(f \in R\)이면 \(D(f) = \emptyset\)인 것과 \(f\)가 멱영원인 것은 동치이다.

13. 어떤 단위원 \(u \in R\)에 대해 \(f = u f'\)이면 \(D(f) = D(f')\)이다.

14. \(I \subset R\)가 이데알이고 \(\mathfrak p\)가 \(\mathfrak p \not\in V(I)\)인 \(R\)의 소 이데알이면, \(\mathfrak p \in D(f)\)이고 \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\)인 \(f \in R\)가 존재한다.

15. \(f, g \in R\)이면 \(D(fg) = D(f) \cap D(g)\)이다.

16. \(i \in I\)에 대해 \(f_i \in R\)이면 \(\bigcup_{i\in I} D(f_i)\)는 \(\Spec(R)\)에서 \(V(\{f_i \}_{i\in I})\)의 여집합이다.

17. \(f \in R\)이고 \(D(f) = \Spec(R)\)이면 \(f\)는 단위원이다.

증명

아래의 대응하는 항목에서 각 부분을 다룬다.

1. (2) 또는 (3)의 직접적인 결과이다.

2. \(R\)의 모든 진 이데알들의 집합을 \(\mathfrak{A}\)라 하자. \((0) \in \mathfrak{A}\)가 진 이데알이므로 이 집합은 공집합이 아니며, 포함관계로 순서가 주어진다. \(A\)를 \(\mathfrak A\)의 전순서 부분집합이라 하자. 그러면 \(\bigcup_{I \in A} I\)는 실제로 이데알이다.

   모든 \(I \in A\)에 대해 1 \(\notin I\)이므로 그 합집합은 1을 포함하지 않고, 따라서 진 이데알이다. 그러므로 \(\bigcup_{I \in A} I\)는 \(\mathfrak{A}\)의 원소이며 집합 \(A\)의 상계이다. 이제 초른의 보조정리에 의해 \(\mathfrak{A}\)에는 극대 원소가 존재하고, 이것이 구하려던 극대 이데알이다.

3. \(R\)은 영환이 아니므로 소 이데알인 극대 이데알을 하나 포함한다. 따라서 \(R\)의 모든 소 이데알들의 집합 \(\mathfrak{A}\)는 공집합이 아니다. \(\mathfrak{A}\)에는 역포함관계로 순서를 준다. \(A\)를 \(\mathfrak{A}\)의 전순서 부분집합이라 하자. \(J = \bigcap_{I \in A} I\)가 이데알임은 꽤 명백하다. 그러나 이것이 소 이데알임은 그만큼 명백하지 않다. \(xy \in J\)라 하자. 그러면 모든 \(I \in A\)에 대해 \(xy \in I\)이다. 이제 \(B = \{I \in A | y \in I\}\)라 하고 \(K = \bigcap_{I \in B} I\)라 하자. \(A\)가 전순서 집합이므로 \(K = J\)이거나(이 경우 \(y \in J\)이므로 끝난다), 아니면 \(K \supset J\)이고 \(K\)에 진부분집합으로 포함되는 모든 \(I \in A\)에 대해 \(y \notin I\)이다. 하지만 이 이데알들은 소 이데알이므로 그 모든 \(I, x \in I\)이다. 따라서 \(x \in J\)이다. 어느 경우든 원하는 대로 \(J\)는 소 이데알이다. 그러므로 초른의 보조정리에 의해 극대 원소를 얻는데, 이 경우에는 극소 소 이데알이다.

4. \(\mathfrak{p}\)에 포함되고 \(I\)를 포함하는 소 이데알들만 고려하면 (3)과 정확히 같은 논증이다.

5. \((T)\)는 \(T\)를 포함하는 가장 작은 이데알이다. 따라서 어떤 이데알 \(I\)에 대해 \(T \subset I\)이면 \((T) \subset I\)이기도 하다. 그러므로 \(I \in V(T)\)이면 \(I \in V((T))\)이기도 하다. 반대쪽 포함관계는 명백하다.

6. \(I \subset \sqrt{I}, V(\sqrt{I}) \subset V(I)\)이다. 이제 \(\mathfrak{p} \in V(I)\)라 하고 \(x \in \sqrt{I}\)라 하자. 어떤 \(n\)에 대해 \(x^n \in I\)이다. 따라서 \(x^n \in \mathfrak{p}\)이다. 그런데 \(\mathfrak{p}\)가 소 이데알이므로 단순한 귀납논증으로 \(x \in \mathfrak{p}\)를 얻는다. 따라서 \(\sqrt{I} \subset \mathfrak{p}\)이고 \(\mathfrak{p} \in V(\sqrt{I})\)이다.

7. \(f \in R \setminus \sqrt{I}\)라 하자. 그러면 모든 \(n\)에 대해 \(f^n \notin I\)이다. 따라서 \(S = \{1, f, f^2, \ldots\}\)는 \(0\)을 포함하지 않는 곱셈적 부분집합이다. \(S^{-1}I\)를 포함하는 소 이데알 \(\bar{\mathfrak{p}} \subset S^{-1}R\)를 택한다. \(\bar{\mathfrak{p}}\)의 \(R\)에서의 원상을 \(\mathfrak{p}\)라 하면, 이는 \(I\)를 포함하고 \(S\)와 만나지 않는 소 이데알이다. 이로부터 \(\bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p \subset \sqrt{I}\)를 얻는다. 이제 \(a \in \sqrt{I}\)이면 어떤 \(n\)에 대해 \(a^n \in I\)이다. 따라서 \(I \subset \mathfrak{p}\)이면 \(a^n \in \mathfrak{p}\)이다. \(\mathfrak{p}\)가 소 이데알이므로 \(a \in \mathfrak{p}\)이다. 이로써 등식이 증명되었다.

8. \(I\)가 단위 이데알이 아닌 것과 \(I\)가 어떤 극대 이데알에 포함되는 것은 동치이다(이를 보려면 환 \(R/I\)에 (2)를 적용하라). 그 극대 이데알은 소 이데알이다.

9. \(\mathfrak{p} \in V(I) \cup V(J)\)이면 \(I \subset \mathfrak{p}\) 또는 \(J \subset \mathfrak{p}\)이고, 따라서 \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\)이다. 이제 \(I \cap J \subset \mathfrak{p}\)이면 \(IJ \subset \mathfrak{p}\)이고,

   \(\mathfrak{p}\)가 소 이데알이므로 \(I\) 또는 \(J\)가 \(\mathfrak{p}\) 안에 있다.

10. \(\mathfrak{p} \in \bigcap_{a \in A} V(I_a) \Leftrightarrow I_a \subset \mathfrak{p}, \forall a \in A \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in V(\bigcup_{a\in A} I_a)\)

11. \(\mathfrak{p}\)가 소 이데알이고 \(f \in R\)이면 \(f \in \mathfrak{p}\) 또는 \(f \notin \mathfrak{p}\)이며(엄밀히 둘 중 하나만 성립한다), 이것이 바로 서로소 합집합이라는 말의 뜻이다.

12. \(a \in R\)가 멱영원이면 어떤 \(n\)에 대해 \(a^n = 0\)이다. 따라서 임의의 소 이데알에 대해 \(a^n \in \mathfrak{p}\)이다. 귀납법으로 \(a \in \mathfrak{p}\)임을 보일 수 있으므로 \(D(a) = \emptyset\)이다. 한편 (7)에서 보았듯이 \(a \in R\)가 멱영원이 아니면 이를 포함하지 않는 소 이데알이 존재한다.

13. \(u\)가 가역이므로 \(f \in \mathfrak{p} \Leftrightarrow uf \in \mathfrak{p}\)이다.

14. \(\mathfrak{p} \notin V(I)\)이면 \(\exists f \in I \setminus \mathfrak{p}\)이다. 그러면 \(f \notin \mathfrak{p}\)이므로 \(\mathfrak{p} \in D(f)\)이다. 또한 \(\mathfrak{q} \in D(f)\)이면 \(f \notin \mathfrak{q}\)이므로 \(I\)는 \(\mathfrak{q}\)에 포함되지 않는다. 따라서 \(D(f) \cap V(I) = \emptyset\)이다.

15. \(fg \in \mathfrak{p}\)이면 \(f \in \mathfrak{p}\) 또는 \(g \in \mathfrak{p}\)이다. 따라서 \(f \notin \mathfrak{p}\)이고 \(g \notin \mathfrak{p}\)이면 \(fg \notin \mathfrak{p}\)이다. \(\mathfrak{p}\)가 이데알이므로 \(fg \notin \mathfrak{p}\)이면 \(f \notin \mathfrak{p}\)이고 \(g \notin \mathfrak{p}\)이다.

16. \(\mathfrak{p} \in \bigcup_{i \in I} D(f_i) \Leftrightarrow \exists i \in I, f_i \notin \mathfrak{p} \Leftrightarrow \mathfrak{p} \in \Spec(R) \setminus V(\{f_i\}_{i \in I})\)

17. \(D(f) = \Spec(R)\)이면 \(V(f) = \emptyset\)이고, 따라서 \(fR = R\)이므로 \(f\)는 단위원이다.

이 보조정리에 의해 Definition 00DZ의 부분집합 \(V(T)\)들은 \(\Spec(R)\) 위의 한 위상의 닫힌집합들을 이룬다. 또한 집합 \(D(f)\)들은 열린집합이며 이 위상의 기저를 이룬다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. 닫힌집합들이 \(V(T)\)인 \(\Spec(R)\) 위의 위상을 자리스키 위상이라 한다. 열린 부분집합 \(D(f)\)들을 \(\Spec(R)\)의 표준 열린집합이라 한다.

문맥상 \(\Spec(R)\)를 단지 집합으로 보는지 위상공간으로 보는지는 명확할 것이다.

보조정리

\(\varphi : R \to R'\)가 환 준동형이라고 하자. 유도된 사상 \[\Spec(\varphi) : \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R), \quad \mathfrak p' \longmapsto \varphi^{-1}(\mathfrak p')\] 은 자리스키 위상에 대해 연속이다. 실제로 임의의 원소 \(f \in R\)에 대해 \(\Spec(\varphi)^{-1}(D(f)) = D(\varphi(f))\)이다.

증명

(00BV)의 기본 개념에 의해 \(\mathfrak p := \varphi^{-1}(\mathfrak p')\)는 실제로 \(R\)의 소 이데알이다. 보조정리의 마지막 명제는 정의에서 바로 따르며, 첫 번째 명제를 함의한다.

\(\varphi' : R' \to R''\)가 두 번째 환 준동형이면 합성 \[\Spec(R'') \longrightarrow \Spec(R') \longrightarrow \Spec(R)\] 은 \(\Spec(\varphi' \circ \varphi)\)와 같다. 달리 말해, \(\Spec\)은 환의 범주에서 위상공간의 범주로 가는 반변 함자이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(S \subset R\)을 곱셈적 부분집합이라 하자. 사상 \(R \to S^{-1}R\)는 \(\Spec\)의 함자성에 의해 위상동형 \[\Spec(S^{-1}R) \longrightarrow \{\mathfrak p \in \Spec(R) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset \}\] 을 유도한다. 여기서 오른쪽에는 \(\Spec(R)\)의 자리스키 위상에서 유도된 위상을 준다. 역함수는 \(\mathfrak p \mapsto S^{-1}\mathfrak p = \mathfrak p(S^{-1}R)\)로 주어진다.

증명

보조정리의 화살표 오른쪽을 \(D\)라 하자. 소 이데알 \(\mathfrak p' \subset S^{-1}R\)를 택하고

\(\mathfrak p\)를 \(R\)에서 \(\mathfrak p'\)의 원상이라 하자. \(\mathfrak p'\)는 \(1\)을 포함하지 않으므로 \(\mathfrak p\)는 \(S\)의 어떤 원소도 포함하지 않는다. 따라서 \(\mathfrak p \in D\)이고 상은 \(D\)에 포함된다. 이제 \(\mathfrak p \in D\)라 하자. 가정에 의해 상 \(\overline{S}\)는 \(0\)을 포함하지 않는다. (00C6)의 기본 개념에 의해 \(\overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\)는 영환이 아니다. (00CD)의 기본 개념에 의해 \(S^{-1}R / S^{-1}\mathfrak p = \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\)는 정역이므로 \(S^{-1}\mathfrak p\)는 소 이데알이다. 이 환들의 등식은 \(R\)에서 \(S^{-1}\mathfrak p\)의 원상이 \(\mathfrak p\)와 같다는 것도 보여 준다. 실제로 (00C7)의 기본 개념에 의해 \(R/\mathfrak p \to \overline{S}^{-1}(R/\mathfrak p)\)가 단사이다. 따라서 사상 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\)는 주어진 역함수를 가지며 \(D\) 위로 전단사이다. Lemma 00E2에 의해 연속이다. 마지막으로 \(D(g) \subset \Spec(S^{-1}R)\)를 표준 열린집합이라 하자. 어떤 \(h\in R\)와 \(s\in S\)에 대해 \(g = h/s\)라고 쓰자. \(g\)와 \(h/1\)은 단위원만큼 차이나므로 \(\Spec(S^{-1}R)\)에서 \(D(g) = D(h/1)\)이다. 따라서 Lemma 00E2과 위의 전단사성에 의해 \(D(g) = D(h/1)\)의 상은 \(D \cap D(h)\)이다. 이로부터 이 사상은 열린사상이기도 하다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(f \in R\)이라 하자. 사상 \(R \to R_f\)는 \(\Spec\)의 함자성에 의해 위상동형 \[\Spec(R_f) \longrightarrow D(f) \subset \Spec(R).\] 을 유도한다. 역함수는 \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p \cdot R_f\)로 주어진다.

증명

Lemma 00E3의 특수한 경우이다.

스펙트럼의 모든 “아핀 열린집합”이 표준 열린집합인 것은 아니다. Example 00F1을 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)을 이데알이라 하자. 사상 \(R \to R/I\)는 \(\Spec\)의 함자성에 의해 위상동형 \[\Spec(R/I) \longrightarrow V(I) \subset \Spec(R).\] 을 유도한다. 역함수는 \(\mathfrak p \mapsto \mathfrak p / I\)로 주어진다.

증명

상이 \(V(I)\)에 포함됨은 즉시 알 수 있다. 반대로 \(\mathfrak p \in V(I)\)이면 \(\mathfrak p \supset I\)이므로 이데알 \(\mathfrak p /I \subset R/I\)를 생각할 수 있다. (00C3)의 기본 개념을 쓰면 \((R/I)/(\mathfrak p/I) = R/\mathfrak p\)가 정역이고, 따라서 \(\mathfrak p/I\)는 소 이데알이다. 이로부터 \(D(f + I)\)의 상이 \(D(f) \cap V(I)\)임을 즉시 알 수 있으며, 따라서 이 사상은 위상동형이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 공간 \(\Spec(R)\)는 준콤팩트이다.

증명

\(\Spec(R)\)의 표준 열린집합들에 의한 임의의 덮개를 유한 덮개로 세분할 수 있음을 보이면 충분하다. 따라서 \(R\)의 원소들의 집합 \(\{f_i\}_{i\in I}\)에 대해 \(\Spec(R) = \cup D(f_i)\)라고 하자. 이는 \(\cap V(f_i) = \emptyset\)이라는 뜻이다. Lemma 00E0에 따르면 이는 \(V(\{f_i \}) = \emptyset\)이라는 뜻이다. 같은 보조정리에 따르면 이는 \(f_i\)들이 생성하는 이데알이 \(R\)의 단위 이데알이라는 뜻이다. 따라서 \(J \subset I\)가 유한일 때 \(1\)을 다음과 같은 유한 합으로 쓸 수 있다: \(1 = \sum_{i \in J} r_i f_i\). 그러면 \(\Spec(R) = \cup_{i \in J} D(f_i)\)가 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(X = \Spec(R)\) 위의 위상은 다음 성질들을 갖는다.

1. \(X\)는 준콤팩트이다.

2. \(X\)의 위상에는 준콤팩트 열린집합들로 이루어진 기저가 있다.

3. 임의의 두 준콤팩트 열린집합의 교집합은 준콤팩트이다.

증명

환의 스펙트럼은 준콤팩트이다. Lemma 00E8을 보라. 위상의 기저는 표준 열린집합들 \(D(f) = \Spec(R_f)\) (Lemma 00E4)로 이루어지고, 첫 번째 언급에 의해 이들은 준콤팩트이다. 두 표준 열린집합의 교집합은 \(D(f) \cap D(g) = D(fg)\)이므로 준콤팩트이다. 임의의 두 준콤팩트 열린집합 \(U, V \subset X\)가 주어지면 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) 및 \(V = D(g_1) \cup \ldots \cup D(g_m)\)로 쓸 수 있다. 그러면

\(U \cap V = \bigcup D(f_ig_j)\)는 준콤팩트이다.

국소환

국소환은 대수기하학의 핵심적인 도구이다.

정의

국소환은 극대 이데알을 정확히 하나 갖는 환이다. \(R\)이 국소환이면 그 극대 이데알을 흔히 \(\mathfrak m_R\)로 나타내며, 체 \(R/\mathfrak m_R\)를 국소환 \(R\)의 잉여체라 한다. 흔히 “\((R, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자” 또는 “\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 국소환이라 하자”라고 말하여 \(R\)이 국소환이고 \(\mathfrak m\)이 유일한 극대 이데알이며 \(\kappa = R/\mathfrak m\)이 잉여체임을 나타낸다. 국소환의 국소 준동형은 \(R\)과 \(S\)가 국소환이고 \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\)를 만족하는 환 사상 \(\varphi : R \to S\)이다. \(R\)과 \(S\)가 국소환임이 주어져 있다면 “국소환 사상 \(\varphi : R \to S\)”이라는 말은 \(\varphi\)가 국소환의 국소 준동형이라는 뜻이다.

체는 국소환이다. 체 사이의 모든 환 사상은 국소환의 국소 준동형이다.

환 \(R\)을 소 이데알 \(\mathfrak p\)에서 국소화한 \(R_\mathfrak p\)는 극대 이데알 \(\mathfrak p R_\mathfrak p\)를 갖는 국소환이다. 실제로 Lemma 00E3에 의해 \(R_\mathfrak p\)의 모든 소 이데알은 소 이데알 \(\mathfrak p R_\mathfrak p\)에 포함된다 (따라서 이것은 \(R_\mathfrak p\)의 유일한 극대 이데알이다). \(R_\mathfrak p\)의 잉여체를 \(\kappa(\mathfrak p)\)로 나타내고, 이를 \(\mathfrak p\)의 잉여체라 한다. Proposition 00CT에 의해 \(\kappa(\mathfrak p)\)를 정역 \(R/\mathfrak p\)의 분수체와 동일시할 수 있다. 합성 \[\Spec(\kappa(\mathfrak p)) \to \Spec(R_\mathfrak p) \to \Spec(R)\] 을 통해 정의역의 유일한 점은 공역의 점 \(\mathfrak p\)로 간다.

\(\varphi : R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(\mathfrak q \subset S\)를 소 이데알이라 하고 \(R\)의 소 이데알 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)를 생각하자. \(\varphi(\mathfrak p) \subset \mathfrak q\)이므로 유도된 환 사상 \[R_\mathfrak p \to S_\mathfrak q,\quad r/g \mapsto \varphi(r)/\varphi(g)\] 은 국소환 사상이고, 유도된 잉여체의 사상 \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\)를 얻는다.

예

\(R\)이 국소환이고 \(\mathfrak p \subset R\)가 극대가 아닌 소 이데알이면 \(R \to R_\mathfrak p\)는 국소 준동형이 아니다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(R\)은 국소환이다.

2. \(\Spec(R)\)에는 닫힌점이 정확히 하나 있다.

3. \(R\)에는 극대 이데알 \(\mathfrak m\)이 있고, \(R \setminus \mathfrak m\)의 모든 원소는 단위원이다.

4. \(R\)은 영환이 아니며, 모든 \(x \in R\)에 대해 \(x\) 또는 \(1 - x\) 중 적어도 하나는 가역이다.

증명

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathfrak m\)을 극대 이데알이라 하자. \(x \in R \setminus \mathfrak m\)이고 \(x\)가 단위원이 아니면 \(x\)를 포함하는 극대 이데알 \(\mathfrak m'\)이 존재한다. 따라서 \(R\)에는 적어도 두 극대 이데알이 있다. 역으로 \(\mathfrak m'\)이 또 다른 극대 이데알이면 \(x \in \mathfrak m'\), \(x \not \in \mathfrak m\)인 그런 원소를 택하자. 명백히 \(x\)는 단위원이 아니다. 이로써 (1)과 (3)의 동치가 증명되었다. (1)과 (2)의 동치는 동어반복이다. \(R\)이 국소환이면 \(x\)는 \(\mathfrak m\)에 속하거나 속하지 않으므로 (4)가 성립한다. (4)가 성립하고 \(\mathfrak m\), \(\mathfrak m'\)이 서로 다른 극대 이데알이라 하자. 중국인의 나머지 정리 (Lemma 00DT)에 의해 \(x \bmod \mathfrak m' = 0\)이고 \(x \bmod \mathfrak m = 1\)인 \(x \in R\)를 택할 수 있다. 이 원소 \(x\)는 가역이 아니며 \(1 - x\)도 가역이 아니므로 모순이다. 따라서 (4)와 (1)은 동치이다.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 사상이라 하고 \(R\)과 \(S\)가 국소환이라고 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\varphi\)는 국소환 사상이다.

2. \(\varphi(\mathfrak m_R) \subset \mathfrak m_S\)이다.

3. \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\)이다.

4. 임의의 \(x \in R\)에 대해 \(\varphi(x)\)가 \(S\)에서 가역이면 \(x\)는 \(R\)에서 가역이다.

증명

조건 (1)과 (2)는 정의에 의해 동치이다. (3)이 성립하면 (2)가 성립한다. 역으로 (2)가 성립하면 \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S)\)는 극대 이데알 \(\mathfrak m_R\)을 포함하는 소 이데알이므로 \(\varphi^{-1}(\mathfrak m_S) = \mathfrak m_R\)이다. 마지막으로 Lemma 00E9에 의해 (4)는 (2)의 대우이다.

주

환 사상 \(\varphi : R \to S\)와 소 이데알 \(\mathfrak p \subset R\)에 따르는 기본적인 가환도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} & S_{\mathfrak p} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] 이 도식에서 가장 왼쪽 세로열과 가장 오른쪽 세로열은 동일하다. 스펙트럼 위에서 수평 사상들은 각자의 상으로의 위상동형을 유도하고, 정사각형들은 위상공간의 섬유곱 정사각형을 유도한다 (Lemmas 00E3 및 00E5 참조). 따라서 \(\mathfrak p\)가 Spec 위 사상의 상에 속하는 것과 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)가 영환이 아닌 것은 동치이다. \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 소 이데알 \(\mathfrak q \subset S\), 즉 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak q)\)인 것이 존재하면 이 도식을 다음 도식으로 확장할 수 있다. \[\xymatrix{ \kappa(\mathfrak q) = S_{\mathfrak q}/{\mathfrak q}S_{\mathfrak q} & S_{\mathfrak q} \ar[l] & S \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak q \ar[r] & \kappa(\mathfrak q) \\ \kappa(\mathfrak p) \otimes_R S = S_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}S_{\mathfrak p} \ar[u] & S_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & S \ar[u] \ar[r] \ar[l] & S/\mathfrak pS \ar[u] \ar[r] & (R \setminus \mathfrak p)^{-1}S/\mathfrak pS \ar[u] \\ \kappa(\mathfrak p) = R_{\mathfrak p}/{\mathfrak p}R_{\mathfrak p} \ar[u] & R_{\mathfrak p} \ar[u] \ar[l] & R \ar[u] \ar[r] \ar[l] & R/\mathfrak p \ar[u] \ar[r] & \kappa(\mathfrak p) \ar[u] }\] 이 도식에서도 여전히 가장 왼쪽 세로열과 가장 오른쪽 세로열은 동일하고, 스펙트럼 위에서 수평 사상들은 각자의 상으로의 위상동형을 유도한다.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 사상이라 하고 \(\mathfrak p\)를 \(R\)의 소 이데알이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\mathfrak p\)는 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 상에 속한다.

2. \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \not = 0\)이다.

3. \(S_{\mathfrak p}/\mathfrak p S_{\mathfrak p} \not = 0\)이다.

4. \((S/\mathfrak pS)_{\mathfrak p} \not = 0\)이다.

5. \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak pS)\)이다.

증명

첫 두 조건의 동치는 이미 Remark 00E6에서 보았다. 나머지는 이를 다시 표현한 것뿐이다.

주

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(\mathfrak q\)를 \(R\)의 소 이데알 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 \(S\)의 소 이데알이라 하자. Remark 00E6에 따르면 소 이데알 \(\mathfrak q\)는 섬유환 \(F = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 유일한 소 이데알 \(\overline{\mathfrak q}\)에 대응한다. 그러면 \[F_{\overline{\mathfrak q}} \cong S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p) \cong S_\mathfrak q/\mathfrak p S_\mathfrak q\] 이다. 실제로 명백한 환 사상 \(F \to S_\mathfrak q \otimes_{R_\mathfrak p} \kappa(\mathfrak p)\)가 있고, 이는 \(F \to F_{\overline{\mathfrak q}}\)와 동형임을 쉽게 알 수 있다. 두 번째 동형은 \(\kappa(\mathfrak p)\)가 \(R_\mathfrak p\)를 \(\mathfrak pR_\mathfrak p\)로 나눈 몫이라는 사실에서 따른다.

환의 야코브슨 근기

환 \(R\)의 야코브슨 근기 \(\text{rad}(R)\)는 \(R\)의 모든 극대 이데알의 교집합임을 상기하자. \(R\)이 국소환이면 \(\text{rad}(R)\)는 \(R\)의 극대 이데알이다.

보조정리

\(R\)을 야코브슨 근기 \(\text{rad}(R)\)를 갖는 환이라 하자. \(I \subset R\)를 이데알이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(I \subset \text{rad}(R)\)이다.

2. \(1 + I\)의 모든 원소는 \(R\)의 단위원이다.

이 경우 \(R/I\)의 단위원으로 가는 \(R\)의 모든 원소는 단위원이다.

증명

\(f \in \text{rad}(R)\)이면 \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(f \in \mathfrak m\)이다. 따라서 \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(1 + f \not \in \mathfrak m\)이다. 그러므로 \(\Spec(R)\)의 닫힌 부분집합 \(V(1 + f)\)는 공집합이다. Lemma 00E0에 의해 \(1 + f\)는 단위원이다.

역으로 모든 \(f \in I\)에 대해 \(1 + f\)가 단위원이라고 하자. \(\mathfrak m\)이 극대 이데알이고 \(I \not \subset \mathfrak m\)이면 \(I + \mathfrak m = R\)이다. 따라서 어떤 \(g \in \mathfrak m\)과 \(f \in I\)에 대해 \(1 = f + g\)이다. 그러면 \(g = 1 + (-f)\)는 단위원이 아니므로 모순이다.

마지막 명제를 위해 \(f \in R\)가 \(R/I\)의 단위원으로 간다고 하자. \(f \bmod I\)의 곱셈 역원으로 가는 \(g \in R\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(fg = 1 \bmod I\)이다. 따라서 (2)에 의해 \(fg\)는 \(R\)의 단위원이고, 이로부터 \(f\)가 단위원임이 따른다.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 유도된 사상 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)가 전사인 환 사상이라 하자. 원소 \(x \in R\)가 단위원인 것과 \(\varphi(x) \in S\)가 단위원인 것은 동치이다.

증명

\(x\)가 단위원이면 \(\varphi(x)\)도 단위원이다. 역으로 \(\varphi(x)\)가 단위원이면 모든 \(\mathfrak q \in \Spec(S)\)에 대해 \(\varphi(x) \not \in \mathfrak q\)이다. 따라서 모든 \(\mathfrak q \in \Spec(S)\)에 대해 \(x \not \in \varphi^{-1}(\mathfrak q) = \Spec(\varphi)(\mathfrak q)\)이다. \(\Spec(\varphi)\)가 전사이므로 Lemma 00E0의 (17)에 의해 \(x\)가 단위원이라고 결론 내린다.

나카야마의 보조정리

[MatCA]에서 인용한다. “이 간단하지만 중요한 보조정리는 T. Nakayama, G. Azumaya, W. Krull에 의한 것이다. 우선권은 분명하지 않으며, 보통 나카야마의 보조정리라고 부르지만 고 Nakayama 교수는 그 이름을 좋아하지 않았다.”

보조정리

\(R\)을 야코브슨 근기 \(\text{rad}(R)\)를 갖는 환이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하고 \(I \subset R\)를 이데알이라 하자.

1. \(IM = M\)이고 \(M\)이 유한이면 \(fM = 0\)인 \(f \in 1 + I\)가 존재한다.

2. \(IM = M\)이고 \(M\)이 유한이며 \(I \subset \text{rad}(R)\)이면 \(M = 0\)이다.

3. \(N, N' \subset M\)이고 \(M = N + IN'\)이며 \(N'\)이 유한이면, \(fM \subset N\)이고 \(M_f = N_f\)인 \(f \in 1 + I\)가 존재한다.

4. \(N, N' \subset M\)이고 \(M = N + IN'\)이며 \(N'\)이 유한이고 \(I \subset \text{rad}(R)\)이면 \(M = N\)이다.

5. \(N \to M\)이 가군 사상이고 \(N/IN \to M/IM\)이 전사이며 \(M\)이 유한이면, \(N_f \to M_f\)가 전사인 \(f \in 1 + I\)가 존재한다.

6. \(N \to M\)이 가군 사상이고 \(N/IN \to M/IM\)이 전사이며 \(M\)이 유한이고 \(I \subset \text{rad}(R)\)이면 \(N \to M\)은 전사이다.

7. \(x_1, \ldots, x_n \in M\)이 \(M/IM\)을 생성하고 \(M\)이 유한이면, \(x_1, \ldots, x_n\)이 \(R_f\) 위에서 \(M_f\)를 생성하는 \(f \in 1 + I\)가 존재한다.

8. \(x_1, \ldots, x_n \in M\)이 \(M/IM\)을 생성하고 \(M\)이 유한이며 \(I \subset \text{rad}(R)\)이면, \(M\)은 \(x_1, \ldots, x_n\)으로 생성된다.

9. \(IM = M\)이고 \(I\)가 멱영 이데알이면 \(M = 0\)이다.

10. \(N, N' \subset M\)이고 \(M = N + IN'\)이며 \(I\)가 멱영 이데알이면 \(M = N\)이다.

11. \(N \to M\)이 가군 사상이고 \(I\)가 멱영 이데알이며 \(N/IN \to M/IM\)이 전사이면 \(N \to M\)은 전사이다.

12. \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\)가 \(M/IM\)을 생성하는 \(M\)의 원소들의 집합이고 \(I\)가 멱영 이데알이면, \(M\)은 \(x_\alpha\)들로 생성된다.

증명

(00DW)의 증명. \(R\) 위에서 \(M\)의 생성원 \(y_1, \ldots, y_m\)을 택한다. 각 \(i\)에 대해 \(M = IM\)이므로 \(z_{ij} \in I\)인 \(y_i = \sum z_{ij} y_j\)로 쓸 수 있다. 달리 말해 \(\sum_j (\delta_{ij} - z_{ij})y_j = 0\)이다. \(m \times m\) 행렬 \(A = (\delta_{ij} - z_{ij})\)의 행렬식을 \(f\)라 하자. \(f \in 1 + I\)임에 유의하라(행렬 \(A\)는 \(I\)을 법으로 성분별로 \(m \times m\) 단위행렬과 합동이기 때문이다). Lemma 07DQ (1)에 의해 \(BA = f 1_{m \times m}\)인 \(m \times m\) 행렬 \(B\)가 존재한다. 성분별로 쓰면 모든 \(h\)와 \(j\)에 대해 \(\sum_{i} b_{hi} a_{ij} = f \delta_{hj}\)이다. 따라서 모든 \(h\)에 대해 \(\sum_{i, j} b_{hi} a_{ij} y_j = \sum_{j} f \delta_{hj} y_j = f y_h\)이다. 달리 말해 모든 \(h\)에 대해 \(0 = f y_h\)이다(각 \(i\)가 \(\sum_j a_{ij} y_j = 0\)을 만족하기 때문이다). 이는 \(f\)가 \(M\)을 영멸함을 뜻한다.

Lemma 0AME에 의해

\(1 + \text{rad}(R)\)의 원소는 \(R\)의 가역원이다. 따라서 (00DW)가 (2)를 함의한다. \(N'\)이 유한이므로 유한인 \(M/N\)에 (1)을 적용하여 (3)을 얻는다. \(N'\)이 유한이므로 유한인 \(M/N\)에 (2)를 적용하여 (4)를 얻는다. \(M\)과 부분가군 \(\Im(N \to M)\) 및 \(M\)에 (3)을 적용하여 (5)를 얻는다. \(M\)과 부분가군 \(\Im(N \to M)\) 및 \(M\)에 (4)를 적용하여 (6)을 얻는다. 사상 \(R^{\oplus n} \to M\), \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\)에 (5)를 적용하여 (7)을 얻는다. 사상 \(R^{\oplus n} \to M\), \((a_1, \ldots, a_n) \mapsto a_1x_1 + \ldots + a_nx_n\)에 (6)을 적용하여 (8)을 얻는다.

(9)가 성립하는 것은 \(M = IM\)이면 모든 \(n \geq 0\)에 대해 \(M = I^nM\)이고, \(I\)가 멱영 이데알이라는 것은 어떤 \(n \gg 0\)에 대해 \(I^n = 0\)이라는 뜻이기 때문이다. (10), (11), (12)는 위에서 쓴 논증으로 (9)에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 환, \(S \subset R\)을 곱셈적 부분집합, \(I \subset R\)를 이데알, \(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. \(x_1, \ldots, x_r \in M\)이 \(S^{-1}(R/I)\)-가군으로서 \(S^{-1}(M/IM)\)을 생성하면, \(x_1, \ldots, x_r\)이 \(R_f\)-가군으로서 \(M_f\)를 생성하는 \(f \in S + I\)가 존재한다.¹

증명

특수한 경우 \(I = 0\). \(R\) 위에서 \(M\)의 생성원을 \(y_1, \ldots, y_s\)라 하자. \(S^{-1}M\)은 \(x_1, \ldots, x_r\)으로 생성되므로 각 \(i\)에 대해 어떤 \(a_{ij} \in R\)와 \(s_{ij} \in S\)를 써서 \(S^{-1}M\)에서 \(y_i = \sum (a_{ij}/s_{ij})x_j\)로 쓸 수 있다. \(s_{ij}\)들의 곱 \(s \in S\)를 곱하면 어떤 \(a'_{ij} \in R\)에 대해 \(S^{-1}M\)에서 \(sy_i = \sum a'_{ij}x_j\)임을 알 수 있다. 이는 다시 \(M\)에서 \(t_isy_i = \sum t_ia'_{ij}x_j\)인 \(t_i \in S\)가 존재한다는 뜻이다. 따라서 \(t \in S\)가 \(t_i\)들의 곱이면, \(M_{st}\)에서 \(y_i\)는 \(x_1, \ldots, x_r\)이 생성하는 \(R_{st}\)-부분가군에 속한다. 그러므로

\(x_1, \ldots, x_r\)은 \(M_{st}\)를 생성한다.

일반적인 경우. 특수한 경우에 의해 \(x_1, \ldots, x_r\)이 \((R/I)_s\) 위에서 \((M/IM)_s\)를 생성하는 \(s \in S\)를 찾을 수 있다. Lemma 00DV에 의해 \(x_1, \ldots, x_r\)이 \((R_s)_g\) 위에서 \((M_s)_g\)를 생성하는 \(g \in 1 + I_s \subset R_s\)를 찾을 수 있다. \(g = 1 + i/s'\)라고 쓰면 \(f = ss' + is\)가 원하는 원소이다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(A \to B\)를 국소환들의 국소 준동형이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(B\)는 \(A\)-가군으로서 유한이다.

2. \(\mathfrak m_B\)는 유한 생성 이데알이다.

3. \(A \to B\)는 잉여체 위의 동형사상을 유도한다.

4. \(\mathfrak m_A/\mathfrak m_A^2 \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\)는 전사이다.

그러면 \(A \to B\)는 전사이다.

증명

\(A \to B\)가 전사임을 보이기 위해 이를 \(A\)-가군의 사상으로 보고 Lemma 00DV (6)을 적용한다. 그러면 \(A/\mathfrak m_A \to B/\mathfrak m_AB\)가 전사임을 보이면 충분하다. \(A/\mathfrak m_A = B/\mathfrak m_B\)이므로 \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\)가 전사임을 보이면 충분하다. \(\mathfrak m_AB \to \mathfrak m_B\)를 \(B\)-가군의 사상으로 보고 Lemma 00DV (6)을 적용한다. 그러면 \(\mathfrak m_AB/\mathfrak m_A\mathfrak m_B \to \mathfrak m_B/\mathfrak m_B^2\)가 전사임을 보이면 충분하다. 이는 가정 (4)에서 따른다.

스펙트럼의 열린 부분집합과 닫힌 부분집합

스펙트럼에서 동시에 열린집합이고 닫힌집합인 부분집합은 환의 멱등원에 대응한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(e \in R\)를 멱등원이라 하자. 이 경우 \[\Spec(R) = D(e) \amalg D(1-e).\]

증명

정역의 멱등원 \(e\)는 \(1\) 또는 \(0\)임에 유의하라. 따라서 \[\begin{eqnarray*} D(e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 0\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 1\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] 이다. 마찬가지로 \[\begin{eqnarray*} D(1-e) & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid 1 - e \not\in \mathfrak p \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e \not = 1\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \\ & = & \{ \mathfrak p \in \Spec(R) \mid e = 0\text{ in }\kappa(\mathfrak p) \} \end{eqnarray*}\] 이다. 임의의 잉여체에서 \(e\)의 상은 \(1\) 또는 \(0\)이므로 \(D(e)\)와 \(D(1-e)\)는 \(\Spec(R)\) 전체를 덮는다.

보조정리

\(R_1\)과 \(R_2\)를 환이라 하고 \(R = R_1 \times R_2\)라 하자. 사상 \(R \to R_1\), \((x, y) \mapsto x\)와 \(R \to R_2\), \((x, y) \mapsto y\)는 연속사상 \(\Spec(R_1) \to \Spec(R)\)와 \(\Spec(R_2) \to \Spec(R)\)를 유도한다. 유도된 사상 \[\Spec(R_1) \amalg \Spec(R_2) \longrightarrow \Spec(R)\] 은 위상동형이다. 달리 말해 \(R = R_1\times R_2\)의 스펙트럼은 \(R_1\)의 스펙트럼과 \(R_2\)의 스펙트럼의 서로소 합집합이다.

증명

\(e_1 = (1, 0)\)이고 \(e_2 = (0, 1)\)일 때 \(1 = e_1 + e_2\)라고 쓰자. \(e_1\)과 \(e_2 = 1 - e_1\)은 멱등원임에 유의하라. \(R_1 = R_{e_1}\)이 \(R\)을 \(e_1\)에서 국소화한 것임을 보이는 일은 독자에게 맡긴다. \(e_2\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 보조정리의 명제는 Lemma 00EC과 Lemma 00E4에서 따른다.

함수의 붙이기 보조정리를 도입한 뒤에 다음 보조정리를 다시 증명한다. Section 00EI를 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 동시에 열린집합이고 닫힌집합인 각 \(U \subset \Spec(R)\)에 대해 \(U = D(e)\)를 만족하는 유일한 멱등원 \(e \in R\)가 존재한다. 이로부터 동시에 열린집합이고 닫힌집합인 부분집합 \(U \subset \Spec(R)\)와 멱등원 \(e \in R\) 사이의 일대일 대응을 얻는다.

증명

\(U \subset \Spec(R)\)가 열린집합이면서 닫힌집합이라고 하자. \(U\)가 닫힌집합이므로 Lemma 00E8에 의해 준콤팩트이고, 그 여집합도 마찬가지이다. 이를 표준 열린집합들의 유한 합집합 \(U = \bigcup_{i = 1}^n D(f_i)\)로 쓰자. 마찬가지로 \(\Spec(R) \setminus U = \bigcup_{j = 1}^m D(g_j)\)를 표준 열린집합들의 유한 합집합으로 쓰자. \(\emptyset = D(f_i) \cap D(g_j) = D(f_i g_j)\)이므로 Lemma 00E0에 의해 \(f_i g_j\)는 멱영원이다. \(I = (f_1, \ldots, f_n) \subset R\) 및 \(J = (g_1, \ldots, g_m) \subset R\)로 두자. \(V(J)\)는 \(U\)와 같고, \(V(I)\)는 \(U\)의 여집합과 같으므로 \(\Spec(R) = V(I) \amalg V(J)\)이다. 위에서 언급한 멱영성에 의해 충분히 큰 정수 \(N\)에 대해 \((IJ)^N = (0)\)이다. \(\bigcup D(f_i) \cup \bigcup D(g_j) = \Spec(R)\)이므로 Lemma 00E0에 의해 \(I + J = R\)이다. 이 등식을 \(2N\)제곱하면 \(I^N + J^N = R\)을 얻는다. \(x \in I^N\)이고 \(y \in J^N\)일 때 \(1 = x + y\)라고 쓰자. \(I^N J^N = (0)\)이므로 \(0 = xy = x(1 - x)\)이다. 따라서 \(x = x^2\)는 멱등원이고 \(I^N \subset I\)에 속한다. 멱등원 \(y = 1 - x\)는 \(J^N \subset J\)에 속한다. 이는 모든 \(\mathfrak p \in V(J)\)에 대해 멱등원 \(x\)가 잉여체 \(\kappa(\mathfrak p)\)에서 \(1\)로 가고, 모든 \(\mathfrak p \in V(I)\)에 대해 \(\kappa(\mathfrak p)\)에서 \(x\)가 \(0\)으로 감을 보여 준다.

유일성을 보이기 위해 \(e_1, e_2\)가 \(R\)의 서로 다른 멱등원이라고 하자. \(e_1 \in \mathfrak p\)이고 \(e_2 \not \in \mathfrak p\)이거나 그 반대인 소 이데알 \(\mathfrak p\)가 존재함을 보여야 한다. \(e_i' = 1 - e_i\)라고 쓰자. \(e_1 \not = e_2\)이면 \(0 \not = e_1 - e_2 = e_1(e_2 + e_2') - (e_1 + e_1')e_2 = e_1 e_2' - e_1' e_2\)이다. 따라서 멱등원 \(e_1 e_2' \not = 0\) 또는 \(e_1' e_2 \not = 0\)이다.

멱등원은 멱영원이 아니므로 Lemma 00E0에 의해 \(e_1e_2' \not \in \mathfrak p\) 또는 \(e_1'e_2 \not \in \mathfrak p\)인 소 이데알 \(\mathfrak p\)를 찾을 수 있다. 이것이 원하는 소 이데알을 준다는 것은 쉽게 알 수 있다.

보조정리

\(R\)을 영환이 아닌 환이라 하자. \(\Spec(R)\)가 연결인 것과 \(R\)에 자명하지 않은 멱등원이 없는 것은 동치이다.

증명

Lemma 00EE과 연결 위상공간의 정의에서 명백히 따른다.

보조정리

\(R\)의 유한 생성 이데알 \(I \subset R\)가 \(I = I^2\)을 만족한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(I = (e)\)인 멱등원 \(e \in R\)가 존재한다.

2. 멱등원 \(e' = 1 - e \in R\)에 대해 \(R/I \cong R_{e'}\)이다.

3. \(V(I)\)는 \(\Spec(R)\)에서 열린집합이면서 닫힌집합이다.

증명

나카야마의 Lemma 00DV에 의해 \(fI = 0\)인 원소 \(f = 1 + i\), \(i \in I\)가 존재한다. 그러면 \(f^2 = f + fi = f\)이므로 멱등원이다. 멱등원 \(e = 1 - f = -i \in I\)를 생각하자. \(j \in I\)에 대해 \(ej = j - fj = j\)이므로 \(I = (e)\)이다. 이로써 (1)이 증명되었다.

(2)와 (3)은 (1)에서 따른다. 실제로 \(V(I) = V(e) = \Spec(R) \setminus D(e)\)이고, 이는 Lemma 00EC 또는 Lemma 00EE에 의해 열린집합이면서 닫힌집합이다. 이로써 (3)이 증명되었다. (2)를 위해 사상 \(R \to R_{e'}\)가 전사임에 유의하라. 실제로 \(R_{e'}\)에서 \(x/(e')^n = x/e' = xe'/(e')^2 = xe'/e' = x/1\)이다. 사상 \(R \to R_{e'}\)의 핵은 \(e'\)의 양의 거듭제곱에 의해 영멸되는 \(R\)의 원소들의 집합이다. \(e'\)은 멱등원이므로 이는 \(e'\)에 의해 영멸되는 원소들의 이데알이고, \(e + e' = 1\)이 서로 직교하는 두 멱등원이므로 이 이데알은 \(I = (e)\)이다. 이로써 (2)가 증명되었다.

스펙트럼의 연결 성분

스펙트럼의 연결 성분은 처음 생각하는 것만큼 이해하기 쉽지 않다. 우리는 국소 연결 공간의 위상에 익숙하지만, 일반적으로 환의 스펙트럼은 국소 연결이 아니기 때문이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(T \subset \Spec(R)\)를 스펙트럼의 부분집합이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(T\)는 닫힌집합이며 \(\Spec(R)\)의 연결 성분들의 합집합이다.

2. \(T\)는 \(\Spec(R)\)에서 동시에 열린집합이고 닫힌집합인 부분집합들의 교집합이다.

3. \(T = V(I)\)이고, 여기서 \(I \subset R\)는 멱등원들로 생성되는 이데알이다.

또한 (3)의 이데알이 존재하면 유일하다.

증명

Lemma 04PM과 Topology, Lemma 04PL에 의해 (1)과 (2)는 동치이다. (2)를 가정하고 \(T = \bigcap U_\alpha\)라고 쓰자. 여기서 \(U_\alpha \subset \Spec(R)\)는 열린집합이면서 닫힌집합이다. Lemma 00EE에 의해 어떤 멱등원 \(e_\alpha \in R\)에 대해 \(U_\alpha = D(e_\alpha)\)이다. 이제 \(I = (1 - e_\alpha)\)로 두면 \(T = V(I)\)이므로 (3)이 성립한다. 마지막으로 (3)을 가정하자. 어떤 멱등원들의 모음 \(e_\alpha\)에 대해 \(T = V(I)\) 및 \(I = (e_\alpha)\)라고 쓰자. 그러면 \(T = \bigcap V(e_\alpha) = \bigcap D(1 - e_\alpha)\)임이 명백하다.

\(I\)가 멱등원들로 생성되는 이데알이라고 하자. \(V(I) \subset V(e)\)인 멱등원 \(e \in R\)를 생각하자. Lemma 00E0에 의해 어떤 \(n \geq 1\)에 대해 \(e^n \in I\)이다. \(e\)가 멱등원이므로 이는 \(e \in I\)라는 뜻이다. 따라서 \(I\)는 \(T \subset V(e)\)를 만족하는 멱등원 \(e\)들로 정확히 생성된다. 달리 말해 이데알 \(I\)는 닫힌 부분집합 \(T\)에 의해 완전히 결정되며, 이로써 유일성이 증명된다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(\Spec(R)\)의 연결 성분은 \(V(I)\) 꼴이다. 여기서 \(I\)는 \(R\)의 모든 멱등원이 \(R/I\)에서 \(0\) 또는 \(1\)로 가도록 하는, 멱등원들로 생성되는 이데알이다.

증명

\(\mathfrak p\)를 \(R\)의 소 이데알이라 하자.

Lemma 04PM에 의해 위상공간 \(\Spec(R)\)에 대해 Topology, Lemma 005F의 가정들이 성립함을 알 수 있다. 따라서 \(\Spec(R)\)에서 \(\mathfrak p\)의 연결 성분은 \(\mathfrak p\)를 포함하면서 동시에 열린집합이고 닫힌집합인 \(\Spec(R)\)의 부분집합들의 교집합이다. 그러므로 이는 \(V(I)\)와 같다. 여기서 \(I\)는 멱등원 \(e \in R\)들 중 \(\kappa(\mathfrak p)\)에서 \(e\)가 \(0\)으로 가는 것들로 생성된다. Lemma 00EE을 보라. 이 모음에 속하지 않는 임의의 멱등원 \(e\)는 \(R/I\)에서 명백히 \(1\)로 간다.

붙이기 성질

이 절에서는 다음 꼴의 몇 가지 표준 결과를 모은다. 어떤 성질이 표준 열린 덮개의 모든 원소에 대해 참이면 그 성질은 전체에서도 참이다. 실제로 다음 보조정리처럼 국소환의 수준에서 확인하는 것만으로 충분한 경우가 많다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

1. \(R\)-가군 \(M\)의 원소 \(x\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

   1. \(x = 0\)이다.

   2. 모든 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\)에 대해 \(x\)는 \(M_\mathfrak p\)에서 영으로 간다.

   3. \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(x\)는 \(M_{\mathfrak m}\)에서 영으로 간다.

   달리 말해 사상 \(M \to \prod_{\mathfrak m} M_{\mathfrak m}\)은 단사이다.

2. \(R\)-가군 \(M\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

   1. \(M\)은 영가군이다.

   2. 모든 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\)에 대해 \(M_{\mathfrak p}\)는 영가군이다.

   3. \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(M_{\mathfrak m}\)는 영가군이다.

3. \(R\)-가군들의 복합체 \(M_1 \to M_2 \to M_3\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

   1. \(M_1 \to M_2 \to M_3\)는 완전하다.

   2. \(R\)의 모든 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대해 국소화 \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\)는 완전하다.

   3. \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 국소화 \(M_{1, \mathfrak m} \to M_{2, \mathfrak m} \to M_{3, \mathfrak m}\)는 완전하다.

4. \(R\)-가군들의 사상 \(f : M \to M'\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

   1. \(f\)는 단사이다.

   2. \(R\)의 모든 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대해 \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\)는 단사이다.

   3. \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\)는 단사이다.

5. \(R\)-가군들의 사상 \(f : M \to M'\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

   1. \(f\)는 전사이다.

   2. \(R\)의 모든 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대해 \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\)는 전사이다.

   3. \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\)는 전사이다.

6. \(R\)-가군들의 사상 \(f : M \to M'\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

   1. \(f\)는 전단사이다.

   2. \(R\)의 모든 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대해 \(f_{\mathfrak p} : M_\mathfrak p \to M'_\mathfrak p\)는 전단사이다.

   3. \(R\)의 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(f_{\mathfrak m} : M_\mathfrak m \to M'_\mathfrak m\)는 전단사이다.

증명

(1)에서와 같이 \(x \in M\)이라 하자. \(I = \{f \in R \mid fx = 0\}\)로 두자. \(I\)가 이데알임은 쉽게 알 수 있다(이는 \(x\)의 영멸 이데알이다). 조건 (1)(c)는 모든 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(fx =0\)인 \(f \in R \setminus \mathfrak m\)이 존재한다는 뜻이다. 달리 말해 \(V(I)\)는 닫힌점을 포함하지 않는다. Lemma 00E0에 의해 \(I\)는 단위 이데알이다. 따라서 \(x\)는 영이고, 즉 (1)(a)가 성립한다. 이로써 (1)이 증명되었다.

\(M\)의 모든 원소에 (1)을 동시에 적용하면 (2)가 따른다.

(3)의 증명. 수열의 호몰로지를 \(H\), 즉 \(H = \Ker(M_2 \to M_3)/\Im(M_1 \to M_2)\)라 하자. Proposition 00CS에 의해 \(H_\mathfrak p\)는 수열 \(M_{1, \mathfrak p} \to M_{2, \mathfrak p} \to M_{3, \mathfrak p}\)의 호몰로지이다. 따라서 (3)은 (2)의 결과이다.

(4)와 (5)는 (3)의 특수한 경우이다. (6)은 (4)와 (5)를 결합하면 형식적으로 따른다.

보조정리

\(R\)을 환, \(M\)을 \(R\)-가군, \(S\)를 \(R\)-대수라 하자. \(f_1, \ldots, f_n\)이 \(\bigcup D(f_i) = \Spec(R)\)를 만족하는 \(R\)의 원소들의 유한 목록, 달리 말해 \((f_1, \ldots, f_n) = R\)이라고 하자.

1. 각 \(M_{f_i} = 0\)이면 \(M = 0\)이다.

2. 각 \(M_{f_i}\)가 유한 \(R_{f_i}\)-가군이면 \(M\)은 유한 \(R\)-가군이다.

3. 각 \(M_{f_i}\)가 유한 표시 \(R_{f_i}\)-가군이면 \(M\)은 유한 표시 \(R\)-가군이다.

4. \(M \to N\)을 \(R\)-가군들의 사상이라 하자. 각 \(i\)에 대해 \(M_{f_i} \to N_{f_i}\)가 동형사상이면 \(M \to N\)은 동형사상이다.

5. \(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\)을 \(R\)-가군들의 복합체라 하자. 각 \(i\)에 대해 \(0 \to M''_{f_i} \to M_{f_i} \to M'_{f_i} \to 0\)이 완전하면 \(0 \to M'' \to M \to M' \to 0\)은 완전하다.

6. 각 \(R_{f_i}\)가 뇌터환이면 \(R\)은 뇌터환이다.

7. 각 \(S_{f_i}\)가 유한형 \(R_{f_i}\)-대수이면 \(S\)는 유한형 \(R\)-대수이다.

8. 각 \(S_{f_i}\)가 \(R_{f_i}\) 위에서 유한 표시이면 \(S\)는 유한 표시 \(R\)-대수이다.

증명

각 부분을 차례로 증명한다.

1. Proposition 02C6에 의해 가정은 모든 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\)에 대해 \(M_\mathfrak p = 0\)임을 함의하므로, Lemma 00HN에 의해 결론을 얻는다.

2. 각 \(i\)에 대해 \(M_{f_i}\)의 유한 생성집합 \(X_i\)를 택한다. 일반성을 잃지 않고 \(X_i\)의 원소들이 국소화 사상 \(M \rightarrow M_{f_i}\)의 상에 있다고 할 수 있으므로, \(M\)에서 \(X_i\)의 원소들의 원상들로 이루어진 유한 집합 \(Y_i\)를 택한다. 이 집합들의 합집합을 \(Y\)라 하자. 이 역시 유한 집합이다. 기저 원소 \(e_y\)를 \(y\)로 보내는 명백한 \(R\)-선형사상 \(R^Y \rightarrow M\)을 생각하자. 가정에 의해 이 사상은 \(R\)의 임의의 소 이데알 \(\mathfrak p\)에서 국소화한 뒤 전사이므로 Lemma 00HN에 의해 전사이고, \(M\)은 유한 생성이다.

3. (2)에 의해 짧은 완전열을 얻는다.

   \[0 \rightarrow K \rightarrow R^n \rightarrow M \rightarrow 0\] 국소화는 완전 함자이고 \(M_{f_i}\)는 유한 표시이므로 Lemma 0519에 의해 모든 \(1 \leq i \leq n\)에 대해 \(K_{f_i}\)가 유한 생성임을 알 수 있다. (2)에 의해 \(K\)는 유한 \(R\)-가군이고, 따라서 \(M\)은 유한 표시이다.

4. Proposition 02C6에 의해 가정은 모든 소 이데알에서의 국소화에 유도된 준동형이 동형사상임을 함의하므로, Lemma 00HN에 의해 결론을 얻는다.

5. Proposition 02C6에 의해 가정은 모든 소 이데알에서 국소화한 수열이 짧은 완전열임을 함의하므로, Lemma 00HN에 의해 결론을 얻는다.

6. \(R\)의 모든 이데알에 유한 생성집합이 있음을 보이겠다. 이를 위해 \(I \subset R\)를 임의의 이데알이라 하자. Proposition 00CS에 의해 각 \(I_{f_i} \subset R_{f_i}\)는 이데알이다. 가정에 의해 이들은 모두 유한 생성이므로 (2)에 의해 결론을 얻는다.

7. 각 \(i\)에 대해 \(S_{f_i}\)의 유한 생성집합 \(X_i\)를 택한다. 일반성을 잃지 않고 \(X_i\)의 원소들이 국소화 사상 \(S \rightarrow S_{f_i}\)의 상에 있다고 할 수 있으므로, \(S\)에서 \(X_i\)의 원소들의 원상들로 이루어진 유한 집합 \(Y_i\)를 택한다. 이 집합들의 합집합을 \(Y\)라 하자. 이 역시 유한 집합이다. \(Y\)가 유도하는 대수 준동형 \(R[X_y]_{y \in Y} \rightarrow S\)를 생각하자. 이는 대수 준동형이므로 그 상 \(T\)는 \(R\)-가군 \(S\)의 \(R\)-부분가군이고, 따라서 몫가군 \(S/T\)를 생각할 수 있다. 가정에 의해 이는 \(f_i\)들에서 국소화하면 영가군이므로 (1)에 의해 영가군이다. 따라서 \(S\)는 유한형 \(R\)-대수이다.

8. 앞 항목에 의해 전사 \(R\)-대수 준동형 \(R[X_1, \ldots, X_n] \rightarrow S\)가 존재한다. 그 핵을 \(K\)라 하자. 이는 \(R[X_1, \ldots, X_n]\)의 이데알이고, 각 \(f_i\)에서의 국소화에서 유한 생성이다. \(f_i\)들은 \(R\)에서 단위 이데알을 생성하므로 \(R[X_1, \ldots, X_n]\)에서도 단위 이데알을 생성한다. 이제 (2)를 적용하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(g_1, \ldots, g_n\)이 \(\bigcup D(g_i) = \Spec(S)\)를 만족하는 \(S\)의 원소들의 유한 목록, 달리 말해 \((g_1, \ldots, g_n) = S\)라고 하자.

1. 각 \(S_{g_i}\)가 \(R\) 위에서 유한형이면 \(S\)는 \(R\) 위에서 유한형이다.

2. 각 \(S_{g_i}\)가 \(R\) 위에서 유한 표시이면 \(S\)는 \(R\) 위에서 유한 표시이다.

증명

\(\sum h_i g_i = 1\)인 \(h_1, \ldots, h_n \in S\)를 택한다.

(1)의 증명. 각 \(i\)에 대해 \(R\)-대수로서 \(S_{g_i}\)를 생성하는 원소들의 유한 목록 \(x_{i, j} \in S_{g_i}\), \(j = 1, \ldots, m_i\)를 택한다. 어떤 \(y_{i, j} \in S\)와 \(n_{i, j} \ge 0\)에 대해 \(x_{i, j} = y_{i, j}/g_i^{n_{i, j}}\)라고 쓰자. \(g_1, \ldots, g_n\), \(h_1, \ldots, h_n\) 및 \(y_{i, j}\), \(i = 1, \ldots, n\), \(j = 1, \ldots, m_i\)로 생성되는 \(R\)-부분대수 \(S' \subset S\)를 생각하자. 국소화는 완전하므로(Proposition 00CS) \(S'_{g_i} \to S_{g_i}\)는 단사이다. 한편 \(y_{i, j}\)를 택한 방식에 의해 전사이다. \(h_1, \ldots, h_n \in S'\)이므로 원소들 \(g_1, \ldots, g_n\)은 \(S'\)에서 단위 이데알을 생성한다. 따라서 \(S' \to S\)를 \(S'\)-가군 사상으로 보면 Lemma 00EO에 의해 동형사상이다.

(2)의 증명. 이미 \(S\)가 유한형임을 안다. 어떤 이데알 \(J\)에 대해 \(S = R[x_1, \ldots, x_m]/J\)라고 쓰자. 각 \(i\)에 대해 \(g_i\)의 원상 \(g'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\)를 택하고, \(h_i\)의 원상 \(h'_i \in R[x_1, \ldots, x_m]\)를 택한다. 그러면 \[S_{g_i} = R[x_1, \ldots, x_m, y_i]/(J_i + (1 - y_ig'_i))\] 이다. 여기서 \(J_i\)는 \(J\)가 생성하는 \(R[x_1, \ldots, x_m, y_i]\)의 이데알이다. 작은 세부사항은 생략한다. Lemma 00R2에 의해 원소들의 유한 목록 \(f_{i, j} \in J\), \(j = 1, \ldots, m_i\)를 택하여, \(J_i\)에서 \(f_{i, j}\)들의 상과 \(1 - y_ig'_i\)가 이데알 \(J_i + (1 - y_ig'_i)\)를 생성하게 할 수 있다. 다음과 같이 두자. \[S' = R[x_1, \ldots, x_m]/\left(\sum h'_ig'_i - 1, f_{i, j}; i = 1, \ldots, n, j = 1, \ldots, m_i\right)\] 전사 \(R\)-대수 사상 \(S' \to S\)가 존재한다. \(S'\)에서 원소 \(g'_1, \ldots, g'_n\)들의 동치류는 단위 이데알을 생성하며, 구성에 의해 사상 \(S'_{g'_i} \to S_{g_i}\)들은 단사이다. 따라서 (1)에서처럼 결론을 얻는다.

함수 붙이기

이 절에서는 표준 열린집합들에 의한 열린 덮개 \[\Spec(R) = \bigcup\nolimits_{i = 1}^n D(f_i)\] 가 주어지고, 각 \(i\)에 대해 \(h_i \in R_{f_i}\)가 주어져 \(R_{f_i f_j}\)의 원소로서 \(h_i = h_j\)를 만족하면, \(h \in R\)가 유일하게 존재하여 \(h\)의 \(R_{f_i}\)에서의 상이 \(h_i\)가 됨을 보인다. 이 결과는 두 가지로 해석할 수 있다.

1. 규칙 \(D(f) \mapsto R_f\)는 표준 열린집합들 위의 환의 층이다. Sheaves, Section 009H를 보라.

2. \(R_f\)의 원소를 \(D(f)\) 위의 “대수적” 또는 “정칙” 함수로 생각하면, 이들은 위상다양체의 연속함수 또는 미분가능 다양체의 미분가능 함수와 같은 방식으로 붙여진다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(f_1, \ldots, f_n\)을 단위 이데알을 생성하는 \(R\)의 원소들이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 수열 \[0 \to M \xrightarrow{\alpha} \bigoplus\nolimits_{i = 1}^n M_{f_i} \xrightarrow{\beta} \bigoplus\nolimits_{i, j = 1}^n M_{f_i f_j}\] 은 완전하다. 여기서 \(\alpha(m) = (m/1, \ldots, m/1)\)이고 \(\beta(m_1/f_1^{e_1}, \ldots, m_n/f_n^{e_n}) = (m_i/f_i^{e_i} - m_j/f_j^{e_j})_{(i, j)}\)이다.

증명

임의의 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에서 이 수열을 국소화한 것이 완전함을 보이면 충분하다. Lemma 00HN을 보라. \(f_1, \ldots, f_n\)은 단위 이데알을 생성하므로 \(f_i \not \in \mathfrak m\)인 \(i\)가 존재한다. 지표를 다시 매겨 \(i = 1\)이라고 할 수 있다. Proposition 02C7에 의해 \((M_{f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\)이고 \((M_{f_if_j})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_if_j}\)이다. 특히 \(f_1\)이 단위원이므로 \((M_{f_1})_\mathfrak m = M_\mathfrak m\)이고 \((M_{f_1 f_i})_\mathfrak m = (M_\mathfrak m)_{f_i}\)이다. 수열의 사상들은 Lemma 07K0과 \(M\) 위의 항등사상에서 오는 표준 사상들임에 유의하라. 지금까지의 내용을 종합하여 \(R\)을 \(R_\mathfrak m\)으로, \(M\)을 \(M_\mathfrak m\)으로, \(f_i\)들을 \(R_\mathfrak m\)에서의 상으로, \(f_1\)을 \(1 \in R_\mathfrak m\)으로 바꾸면 \(f_1 = 1\)인 경우로 환원된다.

\(f_1 = 1\)이라고 하자. 이제 \(\alpha\)의 단사성은 자명하다. \(m = (m_i) \in \bigoplus_{i = 1}^n M_{f_i}\)가 \(\beta\)의 핵에 속한다고 하자. 그러면 \(m_1 \in M_{f_1} = M\)이다. 또한 \(\beta(m) = 0\)이면 \(m_1\)과 \(m_i\)는 \(M_{f_1f_i} = M_{f_i}\)의 같은 원소로 간다. 따라서 \(\alpha(m_1) = m\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고,

\(f_1, f_2, \ldots f_n\in R\)이 \(R\)에서 단위 이데알을 생성한다고 하자. 그러면 다음 수열은 완전하다. \[0 \longrightarrow R \longrightarrow \bigoplus\nolimits_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i, j}R_{f_if_j}\] 여기서 사상 \(\alpha : R \longrightarrow \bigoplus_i R_{f_i}\)와 \(\beta : \bigoplus_i R_{f_i} \longrightarrow \bigoplus_{i, j} R_{f_if_j}\)는 다음과 같이 정의된다. \[\alpha(x) = \left(\frac{x}{1}, \ldots, \frac{x}{1}\right) \text{ and } \beta\left(\frac{x_1}{f_1^{r_1}}, \ldots, \frac{x_n}{f_n^{r_n}}\right) = \left(\frac{x_i}{f_i^{r_i}}-\frac{x_j}{f_j^{r_j}}~\text{in}~R_{f_if_j}\right).\]

증명

Lemma 00EK의 특수한 경우이다.

다음 내용은 위에서 이미 보았지만 편의를 위해 명시적으로 진술한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(U\)와 \(V\)가 모두 열린집합이고 \(\Spec(R) = U \amalg V\)이면, Lemma 00ED의 사상들을 통해 \(U \cong \Spec(R_1)\) 및 \(V \cong \Spec(R_2)\)이고 \(R \cong R_1 \times R_2\)이다. 또한 \(R_1\)과 \(R_2\)는 둘 다 환 \(R\)의 국소화인 동시에 몫이다.

증명

Lemma 00EE에 의해 어떤 멱등원 \(e\)에 대해 \(U = D(e)\)이고 \(V = D(1-e)\)이다. Lemma 00EJ에 의해 \(R \cong R_e \times R_{1 - e}\)이다(명백히 \(R_{e(1-e)} = 0\)이므로 붙이기 조건은 자명하다. 물론 이 경우 곱 분해를 직접 증명하는 것도 자명하다). 이로써 보조정리가 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)이라 하자. \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. \(M \to \bigoplus M_{f_i}\)가 단사인 것과 \[M \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} M, \quad m \longmapsto (f_1m, \ldots, f_nm)\] 가 단사인 것은 동치이다.

증명

사상 \(M \to \bigoplus M_{f_i}\)가 단사인 것과 다음 조건은 동치이다. \(f_i^{e_i}m = 0\), \(i = 1, \ldots, n\)을 만족하는 모든 \(m \in M\)과 \(e_1, \ldots, e_n \geq 1\)에 대해 \(m = 0\)이다. 이 조건은 표시된 사상이 단사임을 명백히 함의한다. 역으로 표시된 사상이 단사이고, \(f_i^{e_i}m = 0\), \(i = 1, \ldots, n\)을 만족하는 \(m \in M\)과 \(e_1, \ldots, e_n \geq 1\)이 주어졌다고 하자. 모든 \(i\)에 대해 \(e_i = 1\)이면 표시된 사상의 단사성에서 즉시 \(m = 0\)을 얻는다. 이제 \(e = \sum e_i\)에 관한 귀납법으로 이러한 모든 자료에 대해 성립함을 보이자. 기초 단계는 \(e = n\)이고 방금 다루었다. 어떤 \(e_i > 1\)이면 \(m' = f_im\)으로 두자. 귀납가정에 의해 \(m' = 0\)이다. 따라서 \(f_i m = 0\)이고, 즉 \(e_i = 1\)로 택하여 \(e\)를 줄일 수 있으므로 결론을 얻는다.

다음 보조정리는 평탄 내림이라는 더 일반적인 맥락에서 진술하고 증명하는 편이 낫다. 하지만 위의 내용과 잘 맞으므로 여기에 진술하는 것도 타당하다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)이라 하자. 다음 자료가 주어졌다고 하자.

1. 각 \(i\)에 대한 \(R_{f_i}\)-가군 \(M_i\).

2. 각 쌍 \(i, j\)에 대한 \(R_{f_if_j}\)-가군 동형사상 \(\psi_{ij} : (M_i)_{f_j} \to (M_j)_{f_i}\).

이 자료가 모든 도식 \[\xymatrix{ (M_i)_{f_jf_k} \ar[rd]_{\psi_{ij}} \ar[rr]^{\psi_{ik}} & & (M_k)_{f_if_j} \\ & (M_j)_{f_if_k} \ar[ru]_{\psi_{jk}} }\] 이 가환한다는 “코사이클 조건”을 만족한다고 하자(모든 삼중항 \(i, j, k\)에 대해). 이 자료로 다음을 정의한다. \[M = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_i \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_i)_{f_j} \right)\] 여기서 \((m_1, \ldots, m_n)\)은 \((i, j)\)번째 성분이 \(m_i/1 - \psi_{ji}(m_j/1)\)인 원소로 간다. 그러면 자연스러운 사상 \(M \to M_i\)는 동형사상 \(M_{f_i} \to M_i\)를 유도한다. 또한 모든 \(m \in M\)에 대해 \(\psi_{ij}(m/1) = m/1\)이다(명백한 표기법을 썼다).

증명

\(M_{f_1} \to M_1\)이 동형사상임을 보이기 위해 \(R_{f_1}\)의 모든 소 이데알 \(\mathfrak p'\)에서 국소화한 것이 동형사상임을 보이면 충분하다. Lemma 00HN을 보라. 어떤 소 이데알 \(\mathfrak p \subset R\)에 대해 \(\mathfrak p' = \mathfrak p R_{f_1}\)이고 \(f_1 \not \in \mathfrak p\)라고 쓰자. Lemma 00E4을 보라. 국소화는 완전하므로 (Proposition 00CS) 다음을 얻는다. \[\begin{align*} (M_{f_1})_{\mathfrak p'} & = M_\mathfrak p \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} ((M_i)_{f_j})_\mathfrak p \right) \\ & = \Ker\left( \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} M_{i, \mathfrak p} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_{i, \mathfrak p})_{f_j} \right) \end{align*}\] 여기서 Proposition 02C7도 사용했다. \(f_1\)은 \(R_\mathfrak p\)의 단위원이므로, \(R\)을 \(R_\mathfrak p\)로, \(f_i\)를 \(R_\mathfrak p\)에서의 \(f_i\)의 상으로, \(M\)을 \(M_\mathfrak p\)로, \(f_1\)을 \(1\)로 바꾸어 \(f_1 = 1\)인 경우로 환원된다.

\(f_1 = 1\)이라고 하자. 그러면 \(j = 2, \ldots, n\)에 대해 \(\psi_{1j} : (M_1)_{f_j} \to M_j\)는 동형사상이다. 이 동형사상들을 사용하여 \(M_j = (M_1)_{f_j}\)로 동일시하면, \(\psi_{ij} : (M_1)_{f_if_j} \to (M_1)_{f_if_j}\)가 표준 동일시임을 알 수 있다. 따라서 복합체 \[0 \to M_1 \to \bigoplus\nolimits_{1 \leq i \leq n} (M_1)_{f_i} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{1 \leq i, j \leq n} (M_1)_{f_if_j}\] 는 Lemma 00EK에 의해 완전하다. 따라서 이 경우 첫 번째 사상은 \(M_1\)을 \(M\)과 동일시하며, 나머지는 모두 명백하다.

영인자와 전분수환

극소 소 이데알에서의 국소환은 다음 성질들을 갖는다.

보조정리

\(\mathfrak p\)를 환 \(R\)의 극소 소 이데알이라 하자. \(R_{\mathfrak p}\)의 극대 이데알의 모든 원소는 멱영원이다. \(R\)이 축소환이면 \(R_{\mathfrak p}\)는 체이다.

증명

\({\mathfrak p}R_{\mathfrak p}\)의 어떤 원소 \(x\)가 멱영원이 아니면 \(D(x) \not = \emptyset\)이다. Lemma 00E0을 보라. 이는 \(\mathfrak p\)의 극소성에 모순이다. \(R\)이 축소환이면 \({\mathfrak p}R_{\mathfrak p} = 0\)이고, 따라서 체이다.

보조정리

\(R\)을 축소환이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(R\)은 체들의 곱의 부분환이다.

2. \(R \to \prod_{\mathfrak p\text{ minimal}} R_{\mathfrak p}\)는 체들의 곱으로의 매입이다.

3. \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\)는 \(R\)의 영인자들의 집합이다.

증명

Lemma 00EU에 의해 각 환 \(R_\mathfrak p\)는 체이다. 특히 환 사상 \(R \to R_\mathfrak p\)의 핵은 \(\mathfrak p\)이다. Lemma 00E0에 의해 \(\bigcap_{\mathfrak p} \mathfrak p = (0)\)이다. 따라서 (2)와 (1)이 성립한다. \(x y = 0\)이고 \(y \not = 0\)이면 어떤 극소 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대해 \(y \not \in \mathfrak p\)이다. 따라서 \(x \in \mathfrak p\)이다. 그러므로 \(R\)의 모든 영인자는 \(\bigcup_{\mathfrak p\text{ minimal}} \mathfrak p\)에 속한다. 역으로 어떤 극소 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대해 \(x \in \mathfrak p\)라고 하자. 그러면 \(x\)는 \(R_\mathfrak p\)에서 영으로 가므로, \(y \not \in \mathfrak p\)이고 \(xy = 0\)인 \(y \in R\)가 존재한다. 달리 말해 \(x\)는 영인자이다. 이로써 (3)과 보조정리의 증명이 끝난다.

환 \(R\)의 전분수환 \(Q(R)\)는 Example 02C5에서 도입했다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(S \subset R\)를 비영인자들로 이루어진 곱셈적 부분집합이라 하자. 그러면 \(Q(R) \cong Q(S^{-1}R)\)이다. 특히 \(Q(R) \cong Q(Q(R))\)이다.

증명

\(x \in S^{-1}R\)가 비영인자이고 어떤 \(r \in R\), \(f \in S\)에 대해 \(x = r/f\)이면, \(r\)은 \(R\)의 비영인자이다. 이로부터 보조정리가 따른다.

붙이기 결과들을 적용하여 Example 02C5에서 도입한 전분수환 \(Q(R)\)에 관한 내용을 증명할 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(R\)에 유한 개의 극소 소 이데알 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)가 있고, \(\mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\)가 \(R\)의 영인자들의 집합이라고 하자. 그러면 전분수환 \(Q(R)\)는 \(R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\)와 같다.

증명

임의의 비영인자는

\(R \setminus \mathfrak q_i\)에 포함되므로 자연스러운 사상 \(Q(R) \to R_{\mathfrak q_i}\)들이 있다. 따라서 자연스러운 사상 \(Q(R) \to R_{\mathfrak q_1} \times \ldots \times R_{\mathfrak q_t}\)가 있다. 극소가 아닌 임의의 소 이데알 \(\mathfrak p \subset R\)에 대해 Lemma 00DS로부터 \(\mathfrak p \not \subset \mathfrak q_1 \cup \ldots \cup \mathfrak q_t\)이다. 따라서 \(\Spec(Q(R)) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\)이다 (\(\Spec(R)\)의 부분집합으로 보았다. Lemma 00E3을 보라). 그러므로 \(\Spec(Q(R))\)는 유한 이산집합이고, Lemma 00EM에 의해 \(\Spec(A_i) = \{\mathfrak{q}_i\}\)인 \(Q(R) = A_1 \times \ldots \times A_t\)가 따른다. 또한 \(A_i\)는 \(R\)의 국소화인 국소환이다. 따라서 \(A_i \cong R_{\mathfrak q_i}\)이다.

스펙트럼의 기약 성분

환의 스펙트럼의 기약 성분이 환의 극소 소 이데알에 대응함을 보인다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

1. 소 이데알 \(\mathfrak p \subset R\)에 대해 자리스키 위상에서 \(\{\mathfrak p\}\)의 폐포는 \(V(\mathfrak p)\)이다. 식으로 쓰면 \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\)이다.

2. \(\Spec(R)\)의 기약 닫힌 부분집합들은 정확히 소 이데알 \(\mathfrak p \subset R\)에 대한 부분집합 \(V(\mathfrak p)\)들이다.

3. \(\Spec(R)\)의 기약 성분들(Topology, Definition 004V 참조)은 정확히 극소 소 이데알 \(\mathfrak p \subset R\)에 대한 부분집합 \(V(\mathfrak p)\)들이다.

증명

\(\mathfrak p \in V(I)\)이면 \(I \subset \mathfrak p\)임에 유의하라. 따라서 \(\overline{\{\mathfrak p\}} = V(\mathfrak p)\)임이 명백하다. 특히 \(V(\mathfrak p)\)는 한원소집합의 폐포이므로 기약이다. 두 번째 명제가 세 번째 명제를 함의한다. 두 번째 명제를 보이기 위해 \(I\)가 근기 이데알인 \(V(I) \subset \Spec(R)\)를 생각하자. \(I\)가 소 이데알이 아니면 \(a, b\in R\), \(a, b\not \in I\)이고 \(ab\in I\)인 원소를 택한다. 이 경우 \(V(I, a) \cup V(I, b) = V(I)\)이지만, Lemma 00E0에 의해 \(V(I, b) = V(I)\)도 \(V(I, a) = V(I)\)도 아니다. 따라서 \(V(I)\)는 기약이 아니다.

달리 말해 이 보조정리는 \(\Spec(R)\)의 모든 기약 닫힌 부분집합이 어떤 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대한 \(V(\mathfrak p)\) 꼴임을 보여 준다. \(V(\mathfrak p) = \overline{\{\mathfrak p\}}\)이므로 각 기약 닫힌 부분집합에는 유일한 일반점이 있다. Topology, Definition 004X를 보라. 특히 \(\Spec(R)\)는 소버 위상공간이다. 이 사실을 다음 보조정리에 기록한다.

보조정리

환의 스펙트럼은 스펙트럴 공간이다. Topology, Definition 08YG를 보라.

증명

형식적으로 이는 Lemma 00ES과 Lemma 04PM에서 따른다. 위의 논의도 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathfrak p \subset R\)를 소 이데알이라 하자.

1. \(\mathfrak p\)를 지나는 \(\Spec(R)\)의 기약 닫힌 부분집합들의 집합은 소 이데알 \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\)들과 일대일로 대응한다.

2. \(\mathfrak p\)를 지나는 \(\Spec(R)\)의 기약 성분들의 집합은 극소 소 이데알 \(\mathfrak q \subset R_{\mathfrak p}\)들과 일대일로 대응한다.

증명

Lemma 00ES과 \(\Spec(R_\mathfrak p)\)를 기술하는 Lemma 00E3에서 따른다. 그 기술에 따르면 \(\Spec(R_\mathfrak p)\)는 \(\mathfrak q \subset \mathfrak p\)인 \(R\)의 소 이데알 \(\mathfrak q\)들에 대응한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathfrak p\)를 \(R\)의 극소 소 이데알이라 하자. \(W \subset \Spec(R)\)를 점 \(\mathfrak p\)를 포함하지 않는 준콤팩트 열린집합이라 하자. 그러면 \(f \not \in \mathfrak p\)이고 \(D(f) \cap W = \emptyset\)인 \(f \in R\)가 존재한다.

증명

\(W\)가 준콤팩트이므로 이를 표준 아핀 열린집합 \(D(g_i)\), \(i = 1, \ldots, n\)의 유한 합집합으로 쓸 수 있다. \(\mathfrak p \not \in W\)이므로 모든 \(i\)에 대해 \(g_i \in \mathfrak p\)이다. Lemma 00EU에 의해 각 \(g_i\)는 \(R_{\mathfrak p}\)에서 멱영원이다. 따라서 모든 \(i\)에 대해 어떤 \(n_i > 0\)에 대해 \(f g_i^{n_i} = 0\)인 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(D(f)\)가 원하는 열린집합이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(X = \Spec(R)\)를 위상공간으로 보자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 프로유한이다.

2. \(X\)는 하우스도르프 공간이다.

3. \(X\)는 완전 비연결이다.

4. \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합은 닫힌집합이다.

5. 소 이데알들 사이에 자명하지 않은 포함관계가 없다.

6. 모든 소 이데알은 극대 이데알이다.

7. 모든 소 이데알은 극소이다.

8. 모든 표준 열린집합 \(D(f) \subset X\)는 닫힌집합이다.

9. 여기에 더 추가한다.

증명

첫 번째 증명. (5), (6), (7)이 동치임은 명백하다. 모든 준콤팩트 열린집합은 표준 열린집합들의 유한 합집합이므로 (4)와 (8)이 동치임도 명백하다. (7) \(\Rightarrow\) (4)는 Lemma 00EV에서 따른다. (4)가 성립한다고 하자. \(\mathfrak p, \mathfrak p'\)를 \(R\)의 서로 다른 소 이데알이라 하자. \(f \in \mathfrak p'\), \(f \not \in \mathfrak p\)인 원소를 택한다(필요하면 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak p'\)을 바꾼다). 그러면 \(\mathfrak p' \not \in D(f)\)이고 \(\mathfrak p \in D(f)\)이다. (4)에 의해 열린집합 \(D(f)\)는 닫힌집합이기도 하다. 따라서 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak p'\)은 합집합이 \(X\)인 서로소 열린 근방들에 속한다. 그러므로 \(X\)는 하우스도르프 공간이고 완전 비연결이다. 따라서 (4) \(\Rightarrow\) (2) 및 (3)이다. (3)이 성립하면 \(\Spec(R)\)의 점들 사이에 특수화가 존재할 수 없으므로 (5)가 성립한다. \(X\)가 하우스도르프 공간이면 모든 점이 닫힌점이므로 (2)는 (6)을 함의한다. 따라서 (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8)은 동치이다. 모든 프로유한 공간은 하우스도르프 공간이므로 (1)은 (2)를 함의한다. \(X\)가 (2)와 (3)을 만족하면, \(X\)는 Lemma 00E8에 의해 준콤팩트이므로 Topology, Lemma 08ZY에 의해 프로유한이다.

두 번째 증명. (4)와 (8)의 동치를 제외하면 이는 Lemma 090M과 순수한 위상적 사실들에서 따른다. Topology, Lemma 0905을 보라.

환의 스펙트럼의 예

이 절에서는 스펙트럼의 몇 가지 예를 모은다.

예

이 예에서는 \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4))\)를 기술한다. \(\mathfrak{p}\)를 \(X\)의 임의의 소 이데알이라 하자. 자연스러운 환 사상을 \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4)\)라 하자. 그러면 \(\phi^{-1}(\mathfrak p)\)는 \(\mathbf{Z}\)의 소 이데알이다. \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (2)\)이면 \(\mathfrak p\)가 \(2\)를 포함하므로, 사상 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2)\)를 통해 이는 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, 2) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\)의 소 이데알에 대응한다. \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x^2)\)의 임의의 소 이데알은 \((x^2)\)을 포함하는 \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]\)의 소 이데알에 대응한다. 따라서 그러한 소 이데알은 \(x\)를 포함한다. \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}) \cong (\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})[x]/(x)\)가 체이므로 \((x)\)는 극대 이데알이다. 모든 소 이데알은 \((x)\)를 포함하고 \((x)\)는 극대이므로 이 환에는 소 이데알 \((x)\)가 하나뿐이다. 따라서 이 경우 \(\mathfrak p = (2, x)\)이다. 이제 \(q > 2\)에 대해 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\)이면, \(\mathfrak p\)가 \(q\)를 포함하므로 사상 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4) \to \mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q)\)를 통해 이는 \(\mathbf{Z}[x]/(x^2 - 4, q) \cong (\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\)의 소 이데알에 대응한다. \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]/(x^2 - 4)\)의 임의의 소 이데알은 \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\)를 포함하는 \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\)의 소 이데알에 대응한다. 따라서 이 소 이데알들은 \(x -2\) 또는 \(x + 2\)를 포함해야 한다. \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\)가 PID이므로 영이 아닌 모든 소 이데알은 극대이고, 따라서 \((x-2)(x + 2)\)를 포함하는 \((\mathbf{Z}/q\mathbf{Z})[x]\)의 소 이데알은 정확히 두 개, 즉 \((x-2)\)와 \((x + 2)\)이다. 결론적으로 \(2 \neq -2 \in \mathbf{Z}/(q)\)이므로 두 소 이데알 \((q, x-2)\)와 \((q, x + 2)\)가 존재한다. 마지막으로 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\)인 경우를 다룬다. \(\mathfrak p\)는 \((x^2 - 4) = (x -2)(x + 2)\)를 포함하는 \(\mathbf{Z}[x]\)의 소 이데알에 대응한다. 따라서 \(\mathfrak p\)는 \((x-2)\) 또는 \((x + 2)\)를 포함한다. 그러므로 \(\mathfrak p\)는 가정에 의해 \(\mathbf{Z}\)와 오직 \(0\)에서만 만나는 \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2)\) 또는 \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2)\)의 소 이데알에 대응한다. \(\mathbf{Z}[x]/(x - 2) \cong \mathbf{Z}\)이고 \(\mathbf{Z}[x]/(x + 2) \cong \mathbf{Z}\)이므로, 이는 \(\mathfrak p\)가 이 환들 중 하나에서 \(0\)에 대응해야 함을 뜻한다. 따라서 원래 환에서 \(\mathfrak p = (x - 2)\) 또는 \(\mathfrak p = (x + 2)\)이다.

예

이 예에서는 \(X = \Spec(\mathbf{Z}[x])\)를 기술한다. \(\mathfrak p \in X\)를 고정하자. \(\phi : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}[x]\)라 하면 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) \in \Spec(\mathbf{Z})\)이다.

\(q\)가 소수이고 \(q > 0\)일 때 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (q)\)이면 \(\mathfrak p\)는 \((\mathbf{Z}/(q))[x]\)의 소 이데알에 대응하며, 이는 \((\mathbf{Z}/(q))[x]\)에서 기약인 다항식으로 생성되어야 한다. 이 다항식의 최소 차수 대표를 택하면 \(\mathbf{Z}[x]\)에서도 기약이다. 따라서 이 경우 \(\mathfrak p = (q, f_q)\)이고, 여기서 \(f_q\)는 \(\mathbf{Z}[x]\)의 기약다항식이며 \((\mathbf{Z}/(q) [x])\)에서 보아도 기약이다. 이제 \(\phi^{-1}(\mathfrak p) = (0)\)이라고 하자.

이 경우 \(\mathfrak p\)는 상수가 아닌 다항식들로 생성되어야 하며, \(\mathfrak p\)가 소 이데알이므로 이들을 \(\mathbf{Z}[x]\)에서 기약이라고 할 수 있다. 가우스의 보조정리에 의해 이 다항식들은 \(\mathbf{Q}[x]\)에서도 기약이다. \(\mathbf{Q}[x]\)는 유클리드 정역이므로, \(\mathfrak p\)를 생성하는 서로 다른 기약원 \(f, g\)가 적어도 둘 있으면 어떤 \(a, b \in \mathbf{Q}[x]\)에 대해 \(1 = af + bg\)이다. 공통분모를 곱하면 \(\bar{a}, \bar{b} \in \mathbf{Z}[x]\) 및 영이 아닌 \(m \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(m = \bar{a}f + \bar{b} g\)이다. 이는 모순이다. 따라서 \(\mathfrak p\)는 \(\mathbf{Z}[x]\)의 기약다항식 하나로 생성된다.

예

이 예에서는 \(k\)가 임의의 체일 때 \(X = \Spec(k[x, y])\)를 기술한다. 명백히 \((0)\)은 소 이데알이고, \(k[x, y]\)가 유일분해정역이므로 기약다항식으로 생성되는 임의의 주 이데알도 소 이데알이다. 이제 \(\mathfrak p\)가 주 이데알이 아닌 \(X\)의 원소라고 하자. \(k[x, y]\)는 뇌터 유일분해정역이므로 소 이데알 \(\mathfrak p\)는 유한 개의 기약다항식 \((f_1, \ldots, f_n)\)으로 생성된다. 이제 서로 동반이 아닌 \(k[x, y]\)의 기약다항식 \(f, g\)에 대해 \((f, g) \cap k[x] \neq 0\)임을 주장한다. 이를 보이기 위해서는 \(k(x)[y]\)에서 보았을 때 \(f\)와 \(g\)가 서로소임을 보이면 충분하다. 이 경우 \(k(x)[y]\)는 유클리드 정역이므로 유클리드 알고리즘을 적용하고 분모를 없애면

\(p, a, b \in k[x]\)에 대해 \(p = af + bg\)를 얻는다. 그렇지 않다고, 즉 어떤 비단위원 \(h \in k(x)[y]\)가 \(f\)와 \(g\)를 모두 나눈다고 하자. 그러면 가우스의 보조정리에 의해 어떤 \(a, b \in k(x)\)에 대해

\(ah, bh \in k[x]\)이고 \(ah | f\) 및 \(bh | g\)이다. 기약성에 의해 \(ah = f\)이고 \(bh = g\)이다(\(h \notin k(x)\)이기 때문이다). 따라서 \(k(x)[y]\)에서 \(\frac{a}{b} g = f\)이므로 \(f, g\)는 동반이다. \(k(x)\)는 \(k[x]\)의 분수체이므로 공약수를 갖지 않는 원소 \(r , s \in k[x]\)에 대해 \(g = \frac{r}{s} f\)로 쓸 수 있다. 이는 \(k[x, y]\)에서 \(sg = rf\)임을 뜻하고, \(k[x, y]\)가 유일분해정역이므로 \(s\)는 \(f\)를 나누어야 한다. 따라서 \(s = 1\) 또는 \(s = f\)이다. \(s = f\)이면 \(r = g\)이고, 따라서 \(f, g \in k[x]\)이므로 \(k(x)\)의 단위원이며 \(k(x)[y]\)에서 서로소여야 한다. 이는 가정에 모순이다. \(s = 1\)이면 \(g = rf\)이고 역시 모순이다. 따라서 유클리드 정역 \(k(x)[y]\)에서 \(f, g\)는 서로소여야 한다. 이로써 \(\mathfrak p\)가 어떤 기약다항식 \(p \in k[x] \subset k[x, y]\)를 포함하는 경우로 환원되었다. 위의 논의에 의해 \(\mathfrak p\)는 환 \(k[x, y]/(p) = k(\alpha)[y]\)의 소 이데알에 대응한다. 여기서 \(\alpha\)는 최소다항식이 \(p\)인 \(k\) 위의 대수적 원소이다. 이 환은 PID이므로 임의의 소 이데알은 \((0)\) 또는 \(k(\alpha)[y]\)의 기약다항식에 대응한다. 따라서 \(\mathfrak p\)는 \((p)\) 또는 \((p, f)\) 꼴이고, 여기서 \(f\)는 몫 \(k[x, y]/(p)\)에서 기약인 \(k[x, y]\)의 다항식이다.

예

환 \[R = \{ f \in \mathbf{Q}[z]\text{ with }f(0) = f(1) \}.\] 을 생각하자. 사상 \[\varphi : \mathbf{Q}[A, B] \to R\] 을 \(\varphi(A) = z^2-z\) 및 \(\varphi(B) = z^3-z^2\)로 정의한다. \((A^3 - B^2 + AB) \subset \Ker(\varphi)\)이고 \(A^3 - B^2 + AB\)가 기약임은 쉽게 확인할 수 있다. \(\varphi\)가 전사라고 하자. 그러면 \(R\)은 정역의 부분환이어서 정역이므로 \(\Ker(\varphi)\)는 \(\mathbf{Q}[A, B]\)의 소 이데알이어야 한다.

\((A^3-B^2 + AB)\)를 포함하는 소 이데알은 \((A^3-B^2 + AB)\) 자체와, \(f\)가 \(g\)를 법으로 기약인 \(f, g\in\mathbf{Q}[A, B]\)에 대한 임의의 극대 이데알 \((f, g)\)이다. 그러나 \(R\)은 체가 아니므로 핵은 \((A^3-B^2 + AB)\)여야 한다. 따라서

\(\varphi\)는 동형사상 \(R \to \mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\)를 준다.

\(\varphi\)가 전사임을 보이려면 임의의 \(f\in R\)를 \(A(z) = z^2-z\)와 \(B(z) = z^3-z^2\)에 대한 \(\mathbf{Q}\)-계수 다항식으로 나타내야 한다. 관계 \(zA(z) = B(z)\)에 유의하라. \(a = f(0) = f(1)\)이라 하자. 그러면 \(z(z-1)\)이 \(f(z)-a\)를 나누어야 하므로 \(f(z) = z(z-1)g(z)+a = A(z)g(z)+a\)라고 쓸 수 있다. \(\deg(g) < 2\)이면

\(h(z) = c_1z + c_0\)이고 \(f(z) = A(z)(c_1z + c_0)+a = c_1B(z)+c_0A(z)+a\)이므로 끝난다. \(\deg(g)\geq 2\)이면 다항식 나눗셈 알고리즘에 의해 \(g(z) = A(z)h(z)+b_1z + b_0\)로 쓸 수 있다 (\(\deg(h)\leq\deg(g)-2\)). 따라서

\(f(z) = A(z)^2h(z)+b_1B(z)+b_0A(z)\)이다. \(h(z)\)에 나눗셈을 적용하고 반복하면 \(f(z)\)를 \(A(z)\)와 \(B(z)\)의 다항식으로 나타낼 수 있다. 따라서 \(\varphi\)는 전사이다.

\(a \in \mathbf{Q}\), \(a \neq 0, \frac{1}{2}, 1\)이라 하고 \[R_a = \{ f \in \mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\text{ with }f(0) = f(1) \}.\] 을 생각하자. 이 역시 유한 생성 \(\mathbf{Q}\)-대수이다. 실제로 함수 \(z^2-z\), \(z^3-z\), \(\frac{a^2-a}{z-a}+z\)가 \(\mathbf{Q}\)-대수로서 \(R_a\)를 생성함은 쉽게 확인할 수 있다. 다음 포함관계들이 있다. \[R\subset R_a\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}], \quad R\subset\mathbf{Q}[z]\subset\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}].\] 환 T와 곱셈적 부분집합 \(S\subset T\)에 대해 환 사상 \(T \to S^{-1}T\)가 스펙트럼 위의 사상 \(\Spec(S^{-1}T) \to \Spec(T)\)를 유도하며, 이 사상은 부분집합 \[\{\mathfrak p \in \Spec(T) \mid S \cap \mathfrak p = \emptyset\} \subset \Spec(T).\] 위로의 위상동형임을 상기하자(Lemma 00E3). 어떤 \(f\in T\)에 대해 \(S = \{ 1, f, f^2, \ldots\}\)이면 이는

열린집합 \(D(f)\subset T\)이다. 이제 환 사상 \(R \to R_a\)에 대해 이에 대응하는 성질을 확인한다. 포함관계 \(R\subset R_a\)가 유도하는 사상 \(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\)가 \(\Spec(R)\)의 열린 부분집합 위로의 위상동형임을, \(\theta\)가 단사 국소 위상동형임을 확인하여 보이겠다. 이를 위해 이제 기술할 두 개의 특별 열린집합에 의한 \(\Spec(R_a)\)의 열린 덮개를 사용한다. 임의의 \(r\in\mathbf{Q}\)에 대해 \(r\)에서의 값매김으로 주어지는 준동형을 \(\text{ev}_r : R \to \mathbf{Q}\)라 하자. \(r = 0\) 및 \(r = 1-a\)에 대해 이는 준동형 \(\text{ev}_r' : R_a \to \mathbf{Q}\)로 확장된다 (후자의 경우 \(a\neq\frac{1}{2}\)이므로 \(\frac{1}{z-a}\)가 \(z = 1-a\)에서 잘 정의되기 때문이다). 그러나 \(\text{ev}_a\)는 \(R_a\)로 확장되지 않는다. \(\mathfrak{m}_r = \Ker(\text{ev}_r)\)라고 쓰자. 그러면 \[\mathfrak{m}_0 = (z^2-z, z^3-z),\] \[\mathfrak{m}_a = ((z-1 + a)(z-a), (z^2-1 + a)(z-a)), \text{ and}\] \[\mathfrak{m}_{1-a} = ((z-1 + a)(z-a), (z-1 + a)(z^2-a)).\] 이다. 이를 확인하기 위해 오른쪽들이 왼쪽들에 명백히 포함됨에 유의하라. 그런 다음 생성원들을 \(A\)와 \(B\)로 나타내고 \(R\)을 \(\mathbf{Q}[A, B]/(A^3-B^2 + AB)\)로 보아 오른쪽들이 극대 이데알임을 확인하라. \(\mathfrak{m}_a\)는 \(\theta\)의 상에 속하지 않음에 유의하라. 실제로 \[(z^2 - z)^2(z - a)\left(\frac{a^2 - a}{z - a} + z\right) = (z^2 - z)^2(a^2 - a) + (z^2 - z)^2(z - a)z\] 이다. 왼쪽은 \((z^2 - z)(z - a)\)가 \(\mathfrak m_a\)에 속하고 \((z^2 - z)(\frac{a^2 - a}{z - a} + z)\)가 \(R_a\)에 속하므로 \(\mathfrak m_a R_a\)에 속한다. 마찬가지로 원소 \((z^2 - z)^2(z - a)z\)는 \((z^2 - z)\)가 \(R_a\)에 속하고 \((z^2 - z)(z - a)\)가 \(\mathfrak m_a\)에 속하므로 \(\mathfrak m_a R_a\)에 속한다. \(a \not \in \{0, 1\}\)이므로 \((z^2 - z)^2 \in \mathfrak m_a R_a\)라고 결론 내린다. 따라서 \(R_a\)의 어떤 이데알 \(I\)도 \(I \cap R = \mathfrak m_a\)를 만족할 수 없다. 그런 \(I\)는 \((z^2 - z)^2\)을 포함해야 하지만 이 원소는 \(R\)에는 속하고 \(\mathfrak m_a\)에는 속하지 않기 때문이다. 특별 열린집합 \(D((z-1 + a)(z-a))\subset\Spec(R)\)는 닫힌집합 \(\{\mathfrak{m}_a, \mathfrak{m}_{1-a}\}\)의 여집합과 같다. 이제 \(R_{(z-1 + a)(z-a)} = (R_a)_{(z-1 + a)(z-a)}\)임을 확인하라. 이 국소화된 환을 \(R'\)이라 부르면 사상 \(R \to R'\)은 \(R \to R_a \to R'\)로 분해된다. 따라서 Lemma 00E3에 의해 이 사상들은 \(\Spec(R') \subset \Spec(R_a)\)와 \(\Spec(R') \subset \Spec(R)\)를 열린 부분집합으로 나타낸다. 그러므로 \(D((z-1 + a)(z-a))\)에 제한한 \(\theta : \Spec(R_a) \to \Spec(R)\)는 열린 부분집합 위로의 위상동형이다. 마찬가지로 \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R_a)\)에 제한한 \(\theta\)는 열린 부분집합 \(D((z^2 + z + 2a-2)(z-a)) \subset \Spec(R)\) 위로의 위상동형이다. \(z^2 + z + 2a-2\)가 \(\mathbf{Q}\) 위에서 기약인지에 따라, 앞의 특별 열린집합의 여집합은 닫힌점 \(\mathfrak{m}_a\)와 함께 한 개 또는 두 개의 닫힌점으로 이루어진다. 또한 \(R_a\)에서 원소

\((z^2 + z + 2a-a)(z-a)\)와 \((z-1 + a)(z-a)\)가 생성하는 이데알은 \(R_a\) 전체이므로 이 두 특별 열린집합은 \(\Spec(R_a)\)를 덮는다. 따라서 \(\theta\)가 \(\Spec(R)-\{\mathfrak{m}_a\}\) 위로의 위상동형임을 보이려면, 이 한 개 또는 두 개의 점이 결코 \(\mathfrak{m}_{1-a}\)와 같지 않음을 보이면 충분하다. 실제로 그러하다. \(1-a\)가 \(z^2 + z + 2a-2\)의 근인 것과 \(a = 0\) 또는 \(a = 1\)인 것은 동치인데, 두 경우 모두 일어나지 않기 때문이다.

이 위상동형은 \(R\)의 한 원소에서의 국소화와 같은 거동을 보이지만,

\(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z-a}]\)가 극대 이데알 \((z-a)\)에서의 \(\mathbf{Q}[z]\)의 국소화인 반면 환 \(R_a\)는 \(R\)의 국소화가 아니다. 실제로

임의의 국소화 \(S^{-1}R\)는 원래 환 \(R\)보다 더 많은 단위원을 만든다. \(R\)의 단위원들은 \(\mathbf{Q}\)의 단위원들인 \(\mathbf{Q}^\times\)이다. 실제로 \(R_a\)의 단위원들이 \(\mathbf{Q}^*\)임은 쉽게 알 수 있다. 즉 \(\mathbf{Q}[z, \frac{1}{z - a}]\)의 단위원들은 \(c \in \mathbf{Q}^*\) 및 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대한 \(c (z - a)^n\)이고, 이들이 \(R_a\)에 속하는 것은 \(n = 0\)인 경우뿐임이 명백하다. 따라서 \(R_a\)에는 \(R\)보다 더 많은 단위원이 없으며, 그러므로 \(R\)의 국소화일 수 없다.

\(a\neq 0, 1\)이라는 사실은 \(\frac{1}{z-a}\)가 \(z = 0, 1\)에서 의미를 갖도록 하기 위해 사용했다. \(a\neq 1/2\)라는 사실은 몇 군데에서 사용했다. (1) \(R_a\) 위의 \(\text{ev}_{1-a}\)의 핵을 말할 수 있도록 하기 위해 사용했으며, 이는 \(\mathfrak{m}_{1-a}\)가 \(R_a\)의 점임을 보장한다(즉 \(R_a\)에는 \(R\)의 점이 정확히 하나 빠져 있다). (2) 마지막에

\((z-a)^{k + \ell}\)가 \(R\)에 속할 수 있는 것은 \(k = \ell = 0\)인 경우뿐임을 결론 내리기 위해 사용했다. 실제로 \(a = 1/2\)이면 \(k + \ell\)가 짝수인 한 이는 \(R\)에 속한다. 따라서 이 경우 \(R_a\)에는 \(R\)보다 더 많은 단위원이 실제로 존재하고, \(R_a\)는 \(R\)의 국소화일 수도 있다.

소 이데알에 관한 메타 관찰

이 절은 CRing 프로젝트에서 가져왔다. \(R\)을 환이라 하고 \(S \subset R\)를 곱셈적 부분집합이라 하자. Lemma 00E3의 한 결과는 \(S\)와 만나지 않는다는 성질에 관해 극대인 이데알 \(I \subset R\)가 소 이데알이라는 것이다. 그 이유는 \(S^{-1}R\)의 어떤 극대 이데알 \(\mathfrak m\)에 대해 \(I = R \cap \mathfrak m\)이기 때문이다. 여러 이데알의 성질에서 극대인 것들이 소 이데알이라는 사실이 드러난다. 이를 보는 일반적인 방법은 [Lam-Reyes]에서 개발되었다. 이 절에서는 잠시 본론을 벗어나 이 현상을 설명한다.

\(R\)을 환이라 하자. \(I\)가 \(R\)의 이데알이고 \(a \in R\)이면 다음과 같이 정의한다. \[(I : a) = \left\{ x \in R \mid xa \in I\right\}.\] 더 일반적으로 \(J \subset R\)가 이데알이면 다음과 같이 정의한다. \[(I : J) = \left\{ x \in R \mid xJ \subset I\right\}.\]

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 주 이데알 \(J \subset R\)와 임의의 이데알 \(I \subset J\)에 대해 \(I = J (I : J)\)이다.

증명

\(J = (a)\)라고 하자. 그러면 \((I : J) = (I : a)\)이다. \(I \subset J\)이므로 임의의 \(y \in I\)는 어떤 \(x \in (I : a)\)에 대해 \(y = xa\) 꼴이다. 따라서 \(I \subset J (I : J)\)이다. 역으로 \(x \in (I : a)\)이면 \(xJ = (xa) \subset I\)이고, 이는 반대쪽 포함관계를 증명한다.

\(\mathcal{F}\)를 \(R\)의 이데알들의 모음이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 여집합에서 극대인 원소들이 소 이데알임을 보장하는 조건에 관심을 둔다.

정의

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(R\)의 이데알들의 집합이라 하자. \(R \in \mathcal{F}\)이고, 이데알 \(I \subset R\)와 어떤 \(a \in R\)에 대해 \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\)이면 언제나 \(I \in \mathcal{F}\)일 때 \(\mathcal{F}\)를 오카 족이라 한다.

오카 족의 몇 가지 예를 들자. 첫 번째 예는 이 절의 서론에서 논의한 기본 예이다.

예

\(R\)을 환이라 하고 \(S\)를 \(R\)의 곱셈적 부분집합이라 하자. \(\mathcal{F} = \{I \subset R \mid I \cap S \not = \emptyset\}\)가 오카 족임을 주장한다. 실제로 어떤 \(a \in R\)에 대해 \((I : a), (I, a) \in \mathcal{F}\)라고 하자. \(s \in (I, a) \cap S\)와 \(s' \in (I : a) \cap S\)를 택하면 \(ss' \in I \cap S\)이므로 \(I \in \mathcal{F}\)이다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 오카 족이다.

예

\(R\)을 환, \(I \subset R\)를 이데알, \(a \in R\)를 원소라 하자. \((I : a)\)가 \(a_1, \ldots, a_n\)으로 생성되고, \((I, a)\)가 \(b_1, \ldots, b_m \in I\)일 때 \(a, b_1, \ldots, b_m\)으로 생성되면, \(I\)는 \(aa_1, \ldots, aa_n, b_1, \ldots, b_m\)으로 생성된다. 이를 보기 위해 \(x \in I\)이면 \(x \in (I, a)\)이므로 \(a, b_1, \ldots, b_m\)의 선형결합이지만, \(a\)의 계수는 \((I:a)\)에 속해야 함에 유의하라. 그 결과 유한 생성 이데알들의 족은 오카 족이다.

예

환 \(R\)의 주 이데알들의 족이 오카 족임을 보이자. 실제로 \(I \subset R\)가 이데알이고 \(a \in R\)이며 \((I, a)\)와 \((I : a)\)가 주 이데알이라고 하자. \((I : a) = (I : (I, a))\)임에 유의하라. \(J = (I, a)\)로 두면 \(J\)와 \((I : J)\)는 모두 주 이데알이다. Lemma 05K8에 의해 \(I = J (I : J)\)이다. 따라서 지금의 상황에서는 \(J = (I, a)\)와 \((I : J)\)가 주 이데알이므로 \(I\)도 주 이데알이다.

예

\(R\)을 환이라 하고 \(\kappa\)를 무한 기수라 하자. 많아야 \(\kappa\)개의 원소로 생성될 수 있는 이데알들의 족은 오카 족이다. 논증은 Example 05KB의 논증과 비슷하므로 생략한다.

예

\(A\)를 환, \(I \subset A\)를 이데알, \(a \in A\)를 원소라 하자. 첫 번째 화살표가 \(a\)에 의한 곱셈으로 주어지는 짧은 완전열 \(0 \to A/(I : a) \to A/I \to A/(I, a) \to 0\)이 있다. 따라서 \(P\)가 확대 아래에서 안정적이고 \(0\)에 대해 성립하는 \(A\)-가군의 성질이면, \(A/I\)가 \(P\)를 갖는 이데알 \(I\)들의 족은 오카 족이다.

명제

\(\mathcal{F}\)가 이데알들의 오카 족이면 \(\mathcal{F}\)의 여집합의 임의의 극대 원소는 소 이데알이다.

증명

\(I \not \in \mathcal{F}\)가 \(\mathcal{F}\)에 속하지 않는다는 성질에 관해 극대이지만 \(I\)가 소 이데알은 아니라고 하자. \(R \in \mathcal{F}\)이므로 \(I \not = R\)임에 유의하라. \(I\)가 소 이데알이 아니므로 \(ab \in I\)인 \(a, b \in R - I\)를 찾을 수 있다. 그러면 \((I, a) \neq I\)이고 \((I : a)\)는 \(b \not \in I\)를 포함하므로 \((I : a) \neq I\)이기도 하다. 따라서 \((I : a), (I, a)\)는 둘 다 \(I\)를 진하게 포함하므로 \(\mathcal{F}\)에 속해야 한다. 오카 조건에 의해 \(I \in \mathcal{F}\)이고, 이는 모순이다.

이제 위의 예들 대부분을 환의 소 이데알에 관한 보조정리로 바꿀 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(S\)를 \(R\)의 곱셈적 부분집합이라 하자. \(I \cap S = \emptyset\)이라는 성질에 관해 극대인 이데알 \(I \subset R\)는 소 이데알이다.

증명

이는 이 절의 서론에서 논의한 예이다. 다른 증명으로는 Example 05KA과 Proposition 05KE를 결합하라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

1. 유한 생성이 아니라는 성질에 관해 극대인 이데알 \(I \subset R\)는 소 이데알이다.

2. \(R\)의 모든 소 이데알이 유한 생성이면 \(R\)의 모든 이데알이 유한 생성이다.²

증명

첫 번째 명제는 Example 05KB와 Proposition 05KE의 즉각적인 결과이다. 두 번째를 위해 유한 생성이 아닌 이데알 \(I \subset R\)가 존재한다고 하자. 유한 생성이 아닌 이데알들의 전순서 사슬 \(\left\{I_\alpha\right\}\)의 합집합은 유한 생성이 아니다. 실제로 \(I = \bigcup I_\alpha\)가 \(a_1, \ldots, a_n\)으로 생성된다면 모든 생성원이 어떤 \(I_\alpha\)에 속하고, 따라서 그것을 생성하게 된다. 초른의 보조정리에 의해 유한 생성이 아니라는 성질에 관해 극대인 이데알이 존재한다. 첫 번째 부분에 의해 이 이데알은 소 이데알이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

1. 주 이데알이 아니라는 성질에 관해 극대인 이데알 \(I \subset R\)는 소 이데알이다.

2. \(R\)의 모든 소 이데알이 주 이데알이면 \(R\)의 모든 이데알이 주 이데알이다.

증명

첫 번째 부분은 Example 05KC과 Proposition 05KE에서 따른다. 두 번째를 위해 주 이데알이 아닌 이데알 \(I \subset R\)가 존재한다고 하자.

주 이데알이 아닌 이데알들의 전순서 사슬 \(\left\{I_\alpha\right\}\)의 합집합은 주 이데알이 아니다. 실제로 \(I = \bigcup I_\alpha\)가 \(a\)로 생성된다면 \(a\)는 어떤 \(I_\alpha\)에 속하고 \(a\)가 그것을 생성하게 된다. 초른의 보조정리에 의해 주 이데알이 아니라는 성질에 관해 극대인 이데알이 존재한다. 첫 번째 부분에 의해 이 이데알은 반드시 소 이데알이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자.

1. 비영인자를 포함하지 않는 이데알들 가운데 극대인 이데알은 소 이데알이다.

2. \(R\)이 영환이 아니고 \(R\)의 영이 아닌 모든 소 이데알이 비영인자를 포함하면 \(R\)은 정역이다.

증명

비영인자들의 집합을 \(S\)라 하자. 이는 \(R\)의 곱셈적 부분집합이다. 따라서 \(S\)와 만나지 않는다는 성질에 관해 극대인 임의의 이데알은 소 이데알이다. Lemma 05KF을 보라. 그러므로 영이 아닌 모든 소 이데알이 비영인자를 포함하면 \((0)\)은 소 이데알이고, 즉 \(R\)은 정역이다.

주

\(R\)을 환이라 하고 \(\kappa\)를 무한 기수라 하자. Example 05KD와 Proposition 05KE을 적용하면 \(\kappa\)개의 원소로 생성되지 않는다는 성질에 관해 극대인 임의의 이데알이 소 이데알임을 알 수 있다. 이 결과는 그다지 유용하지 않다. \(R\)의 모든 소 이데알은 \(\aleph_0\)개의 원소로 생성되지만 어떤 이데알은 그렇지 않은 환이 존재하기 때문이다. 구체적으로 \(k\)를 체라 하고, \(T\)를 기수가 \(\aleph_0\)보다 큰 집합이라 하며 다음과 같이 두자. \[R = k[\{x_n\}_{n \geq 1}, \{z_{t, n}\}_{t \in T, n \geq 0}]/ (x_n^2, z_{t, n}^2, x_n z_{t, n} - z_{t, n - 1})\] 이는 유일한 소 이데알 \(\mathfrak m = (x_n)\)을 갖는 국소환이다. 그러나 이데알 \((z_{t, n})\)은 가산 개의 원소로 생성될 수 없다.

예

\(R\)을 환이라 하고 \(X = \Spec(R)\)라 하자. \(X\)의 닫힌 부분집합들은

\(R\)의 근기 이데알에 대응하므로(Lemma 00E0), \(X\)가 뇌터 위상공간인 것과 근기 이데알들에 대해 오름사슬조건이 성립하는 것은 동치이다. 이는 모든 근기 이데알이 유한 생성 이데알의 근기인 것과 동치이다(세부사항은 생략한다). 다음과 같이 두자. \[\mathcal{F} = \{I \subset R \mid \sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\text{ for some }n \text{ and }f_1, \ldots, f_n \in R\}.\] 임의의 이데알 \(I \subset R\)와 임의의 원소 \(a \in R\)에 대해 성립하는 항등식 \[\sqrt{I} = \sqrt{(I, a)(I : a)}\] 을 사용하여 \(\mathcal{F}\)가 오카 족임을 보이는 일은 독자에게 맡긴다. 한편 어느 것도 \(\mathcal{F}\)에 속하지 않는 이데알들의 전순서 사슬 \(\{I_\alpha\}\)가 있으면 그 합집합 \(I = \bigcup I_\alpha\)도 \(\mathcal{F}\)에 속할 수 없다. 그렇지 않고 \(\sqrt{I} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)이면 어떤 \(e\)에 대해 \(f_i^e \in I\)이고, 이어서 \(i\)와 무관한 어떤 \(\alpha\)에 대해 \(f_i^e \in I_\alpha\)이며, 그러면 \(\sqrt{I_\alpha} = \sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)이므로 모순이다. 따라서 \(\mathcal{F}\)에 속하지 않는 이데알들의 집합이 공집합이 아니면 극대 원소를 갖고, Lemma 05KG에서와 똑같이 \(X\)가 뇌터 위상공간인 것과 \(R\)의 모든 소 이데알이 어떤 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)에 대한 \(\sqrt{(f_1, \ldots, f_n)}\)과 같은 것은 동치라고 결론 내린다. 이 결과가 필요해지면 여기에 주의 깊게 진술하고 증명할 것이다.

유한 표시 환 사상의 상

이 절에서는 환 준동형 \(R \to S\)가 유도하는 사상 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 위상에 관한 몇 가지 결과, 주로 슈발레 정리를 증명한다. 이를 위해 Topology, Section 04ZC에서 정의한 구성가능 집합, 준콤팩트 집합, 레트로콤팩트 집합 등의 개념을 사용한다.

보조정리

\(U \subset \Spec(R)\)를 열린집합이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(U\)는 \(\Spec(R)\)에서 레트로콤팩트이다.

2. \(U\)는 준콤팩트이다.

3. \(U\)는 표준 열린집합들의 유한 합집합이다.

4. 유한 생성 이데알 \(I \subset R\)가 존재하여

   \(X \setminus V(I) = U\)이다.

증명

\(\Spec(R)\)가 준콤팩트이므로 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다. Lemma 00E8을 보라. 표준 열린집합들이 위상의 기저를 이루므로 (2) \(\Rightarrow\) (3)이다. 이제 (3) \(\Rightarrow\) (1)을 증명하자. \(U = \bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)\)라 하자. \(U\)가 \(\Spec(R)\)에서 레트로콤팩트임을 보이려면 \(\Spec(R)\)의 임의의 준콤팩트 열린집합 \(V\)에 대하여 \(U \cap V\)가 준콤팩트임을 보이면 충분하다. (2) \(\Rightarrow\) (3)에 따라 가능한 방식으로 \(V = \bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)\)라고 쓰자. 각 표준 열린집합은 어떤 환의 스펙트럼과 위상동형이므로 준콤팩트이다. Lemma 00E4과 Lemma 00E8을 보라. 따라서 \(U \cap V = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap (\bigcup_{j = 1\ldots m} D(g_j)) = \bigcup_{i, j} D(f_i g_j)\)는 준콤팩트 열린집합들의 유한 합집합이므로 준콤팩트이다. 끝으로 (4)와 (3)의 동치는 Lemma 00E0에서 따름에 유의하라.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 유도된 연속사상 \(f : \Spec(S) \to \Spec(R)\)는 준콤팩트이다. 임의의 구성가능 집합 \(E \subset \Spec(R)\)에 대하여 역상 \(f^{-1}(E)\)는 \(\Spec(S)\)에서 구성가능하다.

증명

먼저 임의의 준콤팩트 열린집합 \(U \subset \Spec(R)\)의 역상이 준콤팩트임을 보이자. Lemma 00F6에 따라 \(U\)를 표준

열린집합들의 유한 합집합으로 쓸 수 있다. 따라서 Lemma 00E2에 의해 \(f^{-1}(U)\)는 표준 열린집합들의 유한 합집합이다. 그러므로 Lemma 00F6을 다시 적용하면 \(f^{-1}(U)\)는 준콤팩트이다. 두 번째 명제는 이제 Topology, Lemma 005I에서 따른다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(\Spec(R)\)의 부분집합이 구성가능일 필요충분조건은 \(f, g_1, \ldots, g_m \in R\)에 대하여 \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\) 꼴의 부분집합들의 유한 합집합으로 쓸 수 있는 것이다.

증명

Lemma 00F6에 의해 부분집합 \(D(f)\)와 \(V(g_1, \ldots, g_m)\)의 여집합은 레트로콤팩트 열린집합이다. 따라서 \(D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)는 구성가능 부분집합이고, 그러한 부분집합들의 임의의 유한 합집합도 구성가능하다. 역으로 \(T \subset \Spec(R)\)가 구성가능이라고 하자. Topology, Definition 005G에 따라 \(U, V \subset \Spec(R)\)가 레트로콤팩트 열린집합인 경우 \(T = U \cap V^c\)라고 가정해도 된다. Lemma 00F6에 의해 \(U = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(f_i)\) 및 \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(g_j)\)라고 쓸 수 있다. 그러면 \(T = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} \big(D(f_i) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\big)\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(T \subset \Spec(R)\)를 구성가능 집합이라 하자. 그러면 유한 표시 환 준동형 \(R \to S\)가 존재하여 \(T\)는 \(\Spec(S)\)의 \(\Spec(R)\)에서의 상이다.

증명

환들의 유한 곱의 스펙트럼은 각 스펙트럼의 서로소 합집합이다. Lemma 00ED를 보라. 따라서 \(T = T_1 \cup T_2\)이고 \(T_1\) 및 \(T_2\)에 대해 결과가 성립하면 \(T\)에 대해서도 성립한다. Lemma 0G1P에 따라 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(T\)는 사상 \(\Spec((R/(g_1, \ldots, g_m))_f) \to \Spec(R)\)의 상이다. Lemma 00E4과 Lemma 00E5를 보라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(f\)를 \(R\)의 원소라 하고 \(S = R_f\)로 두자. 그러면 \(\Spec(S)\)의 구성가능 부분집합의 상은 \(\Spec(R)\)에서 구성가능하다.

증명

Lemma 00F6을 별도의 언급 없이 거듭 사용한다. \(U, V\)를 \(\Spec(S)\)의 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(U \cap V^c\)의 상이 구성가능임을 보이겠다. Lemma 00E4의 식별 \(\Spec(S) = D(f)\) 아래에서 \(U, V\)는 \(\Spec(R)\)의 준콤팩트 열린집합 \(U', V'\)에 대응한다. 따라서 \(U' \cap (V')^c\)가 \(\Spec(R)\)에서 구성가능임을 보이면 충분하며, 이는 명백하다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(I\)를 \(R\)의 유한 생성 이데알이라 하고 \(S = R/I\)로 두자. 그러면 \(\Spec(S)\)의 구성가능 부분집합의 상은 \(\Spec(R)\)에서 구성가능하다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_m)\)이면 \(V(I)\)는 \(\bigcup D(f_i)\)의 여집합이다. Lemma 00E0을 보라. 따라서 Lemma 00F6에 의해 이는 구성가능하다. 사상 \(R \to S\)를 \(f \mapsto \overline{f}\)로 나타내자. \(\overline{U}, \overline{V}\)가 \(\Spec(S)\)의 레트로콤팩트 열린집합일 때 \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\)의 \(\Spec(R)\)에서의 상이 구성가능임을 보이면 된다. Lemma 00F6에 의해 \(\overline{U} = \bigcup D(\overline{g_i})\)라고 쓸 수 있다. \(U = \bigcup D({g_i})\)로 두면 \(\overline{U}\)의 상은 \(U \cap V(I)\)이고, 이는 \(\Spec(R)\)에서 구성가능하다. 마찬가지로 \(\overline{V}\)의 상은 \(\Spec(R)\)의 어떤 레트로콤팩트 열린집합 \(V\)에 대하여 \(V \cap V(I)\)이다. 따라서 \(\overline{U} \cap \overline{V}^c\)의 상은 원하는 대로 \(U \cap V(I) \cap V^c\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. 사상 \(\Spec(R[x]) \to \Spec(R)\)는 열린사상이고, 임의의 표준 열린집합의 상은 준콤팩트 열린집합이다.

증명

표준 열린집합 \(D(f)\), \(f\in R[x]\)의 상이 준콤팩트 열린집합임을 보이면 충분하다. \(D(f)\)의 상은 \(\Spec(R[x]_f) \to \Spec(R)\)의 상이다. \(\mathfrak p \subset R\)를 소 이데알이라 하고, \(\overline{f}\)를 \(\kappa(\mathfrak p)[x]\)에서의 \(f\)의 상이라 하자. Lemma 00E7에서 보았듯이 \(\mathfrak p\)가 상에 속할 필요충분조건은 \(R[x]_f \otimes_R \kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p)[x]_{\overline{f}}\)가 영환이 아닌 것이다. 이는 \(f\)가 \(\kappa(\mathfrak p)[x]\)에서 영으로 가지 않는다는 조건, 다시 말해 \(f\)의 어떤 계수가 \(\mathfrak p\)에 속하지 않는다는 조건과 정확히 같다. 따라서 \(f = a_d x^d + \ldots + a_0\)이면 \(D(f)\)의 상은 \(D(a_d) \cup \ldots \cup D(a_0)\)이다.

아래에서 사용할 특성다항식의 한 성질을 증명한다.

보조정리

\(R \to A\)를 환 준동형이라 하자. \(R\)-가군으로서 \(A \cong R^{\oplus n}\)이라고 가정하고 \(f \in A\)라 하자. 곱셈사상 \(m_f: A \to A\)는 \(R\)-선형이므로 특성다항식 \(P(T) = T^n + r_{n-1}T^{n-1} + \ldots + r_0 \in R[T]\)를 갖는다. 임의의 소 이데알 \(\mathfrak{p} \in \Spec(R)\)에 대하여 \(f\)가 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak{p})\) 위에서 멱영적으로 작용할 필요충분조건은 \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n-1})\)인 것이다.

증명

곱셈사상 \(m_{\bar f}: A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 특성다항식 \(\bar P(T) \in \kappa(\mathfrak p)[T]\)가 단지 \(P(T)\)의 \(\kappa(\mathfrak p)[T]\)에서의 상임을 보이면 결과는 쉽게 따른다. 여기서 이 사상은 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)의 원소에 \(\bar f\)를 곱하며,

그 원소는 \(\kappa(\mathfrak p)\)에서 본 \(f\)의 상이다. \(R\)의 원소를 성분으로 갖는 \(m_f\)의 행렬을 \((a_{ij})\)라 하되, \(R\)-가군 \(A\)의 기저 \(e_1, \ldots, e_n\)을 사용하자. 그러면 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \cong (R \otimes_R \kappa(\mathfrak p))^{\oplus n} = \kappa(\mathfrak p)^n\)이고, 이는 \(\kappa(\mathfrak p)\) 위의 \(n\)차원 벡터공간이며 기저는 \(e_1 \otimes 1, \ldots, e_n \otimes 1\)이다. 상은 \(\bar f = f \otimes 1\)이고, 따라서 곱셈사상 \(m_{\bar f}\)의 행렬은 \((a_{ij} \otimes 1)\)이다. 그러므로 그 특성다항식은 정확히 \(P(T)\)의 상이다.

선형대수학에서 \(n\)차원 벡터공간의 선형변환이 멱영적으로 작용할 필요충분조건은 그 특성다항식이 \(T^n\)인 것임을 안다(특성다항식은 최소다항식의 어떤 거듭제곱을 나누기 때문이다). 따라서 \(f\)가 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 위에서 멱영적으로 작용할 필요충분조건은 \(\bar P(T) = T^n\)인 것이다. 이는 모든 \(0 \leq i \leq n - 1\)에 대하여 \(r_i \in \mathfrak p\)일 필요충분조건이고, 즉 \(\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{n - 1}).\)인 경우이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(f, g \in R[x]\)를 다항식들이라 하자. \(g\)의 최고차항 계수가 \(R\)의 단위원이라고 가정하자.

원소들 \(r_i\in R\), \(i = 1\ldots, n\)이 존재하여 \(D(f) \cap V(g)\)의 \(\Spec(R)\)에서의 상은 \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} D(r_i)\)이다.

증명

\(g = ux^d + a_{d-1}x^{d-1} + \ldots + a_0\)라고 쓰자. 여기서 \(d\)는 \(g\)의 차수이고, 따라서 \(u \in R^*\)이다. 환 \(A = R[x]/(g)\)를 생각하자. 이는 \(R\)-가군으로서 유한 자유이고, 그 기저는 \(1, x, \ldots, x^{d-1}\)의 상들이다. \(A\) 위에서 \(f\)의 상에 의한 곱셈을 생각하자. 이는 \(R\)-가군 사상이다. 따라서 이 사상의 특성다항식을 \(P(T) \in R[T]\)라 둘 수 있다. \(P(T) = T^d + r_{d-1} T^{d-1} + \ldots + r_0\)라고 쓰자. \(r_0, \ldots, r_{d-1}\)이 원하는 성질을 가짐을 주장한다. 아래에서는 특성다항식의 다음 성질을 사용한다. \[\mathfrak p \in V(r_0, \ldots, r_{d-1}) \Leftrightarrow \text{multiplication by }f\text{ is nilpotent on } A \otimes_R \kappa(\mathfrak p).\] 이는 Lemma 00FC에서 증명하였다.

\(\mathfrak q\in D(f) \cap V(g)\)라고 하고 \(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\)라 하자. 그러면 \(f\)에 의한 곱셈과 양립하는 영이 아닌 사상 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak q)\)가 있다. 또한 \(f\)는 \(\kappa(\mathfrak q)\) 위에서 단위원으로 작용한다. 따라서 \(\mathfrak p \not \in V(r_0, \ldots, r_{d-1})\)라고 결론 내린다.

다른 한편, \(R\)의 어떤 소 이데알 \(\mathfrak p\)와 어떤 \(0 \leq i \leq d - 1\)에 대하여 \(r_i \not\in \mathfrak p\)라고 하자. 그러면 \(f\)에 의한 곱셈은 대수 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\) 위에서 멱영적이지 않다. 따라서 \(f\)의 상을 포함하지 않는 소 이데알 \(\overline{\mathfrak q} \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)가 존재한다. \(R[x]\)에서 \(\overline{\mathfrak q}\)의 역상은 \(\mathfrak p\)로 가는 \(D(f) \cap V(g)\)의 원소이다.

정리

\(R \to S\)가 유한 표시라고 가정하자. \(\Spec(S)\)의 구성가능 부분집합의 \(\Spec(R)\)에서의 상은 구성가능하다.

증명

\(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)이라고 쓰자. 사상 \(R \to S\)는 \(R \to R[x_1] \to R[x_1, x_2] \to \ldots \to R[x_1, \ldots, x_{n-1}] \to S\)로 분해할 수 있다. 따라서 \(S = R[x]/(f_1, \ldots, f_m)\)이라고 가정해도 된다. 이 경우 사상을 \(R \to R[x] \to S\)로 분해하고, Lemma 00FA에 의해 \(S = R[x]\)인 경우로 귀착된다.

Lemma 00F6에 따라 \(T = (\bigcup_{i = 1\ldots n} D(f_i)) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)이고 \(f_i , g_j \in R[x]\)일 때 그 상이 \(\Spec(R)\)에서 구성가능임을 보이면 충분하다. 구성가능 집합들의 유한 합집합은 구성가능이므로 \(n = 1\)인 경우, 즉 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)인 경우만 다루면 충분하다.

\(c \in R\)이면 \[\Spec(R) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)) \amalg \Spec(R_c),\] 이고, 이에 대응하여 \(\Spec(R[x]) = V(c) \amalg D(c) = \Spec(R/(c)[x]) \amalg \Spec(R_c[x])\)이다. \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)와 각 부분의 교집합은 여전히 같은 모양이며, 이때 \(f\), \(g_i\)를 각각 \(R/(c)[x]\), \(R_c[x]\)에서의 상으로 바꾼다. \(T\)의 \(\Spec(R)\)에서의 상은 \(T \cap V(c)\)의 상과 \(T \cap D(c)\)의 상의 합집합임에 유의하라. Lemma 00F9와 Lemma 00FA을 사용하면 두 부분의 상이 각각 \(\Spec(R/(c))\)와 \(\Spec(R_c)\)에서 구성가능임을 증명하는 것으로 충분하다.

위와 같이 \(T = D(f) \cap V(g_1, \ldots, g_m)\)이고 \(\deg(g_1) \leq \deg(g_2) \leq \ldots \leq \deg(g_m)\)이라고 가정하자. \(m\)과 \(g_i\)들의 차수에 관해 귀납법을 사용한다. \(d_1 = \deg(g_1)\), 즉 \(g_1 = c x^{d_1} + l.o.t\)라 하자. 여기서 \(c \in R\)는 영이 아니다. \(R\)을 \(R/(c)\)와 \(R_c\) 두 조각으로 나누면 \(g_1\)의 차수를 낮추거나(이는 귀납가정으로 다루어진다), \(c\)가 가역인 경우로 귀착된다. \(c\)가 가역이고 \(m > 1\)이면 \(g_2 = c' x^{d_2} + l.o.t\)라고 쓰자. 이 경우 \(g_2' = g_2 - (c'/c) x^{d_2 - d_1} g_1\)을 생각하자. 이데알 \((g_1, g_2, \ldots, g_m)\)과 \((g_1, g_2', g_3, \ldots, g_m)\)이 같으므로

\(T = D(f) \cap V(g_1, g_2', g_3\ldots, g_m)\)임을 알 수 있다. 그런데 여기서 \(g_2'\)의 차수는 \(g_2\)의 차수보다 엄밀히 작으므로 이 경우는 귀납가정으로 다루어진다.

위 귀납법의 기저 경우는 (a) \(g\)의 최고차항 계수가 가역인 \(T = D(f) \cap V(g)\)인 경우와 (b) \(T = D(f)\)인 경우이다. 이 두 경우는 Lemma 00FD과 Lemma 00FB에서 다루었다.

상에 관한 추가 결과

이 절에서는 환 준동형에 대해 \(\Spec\)에서의 상과 관련된 몇 가지 보조정리를 더 모은다. 예를 들어 Section 00HU도 보라.

보조정리

\(R \subset S\)를 정역들의 포함이라 하자. \(R \to S\)가 유한형이라고 가정하자. 영이 아닌 \(f \in R\)와 영이 아닌 \(g \in S\)가 존재하여 \(R_f \to S_{fg}\)는 유한 표시이다.

증명

\(R\) 위에서 \(S\)의 생성원 수에 대한 귀납법을 쓴다. 증명 도중 영이 아닌 어떤 \(f \in R\)에 대하여 \(R\)을 \(R_f\)로, \(S\)를 \(S_f\)로 바꾸어도 된다.

\(S\)가 \(R\) 위에서 하나의 원소로 생성된다고 하자. 그러면 어떤 소 이데알 \(\mathfrak q \subset R[x]\)에 대하여 \(S = R[x]/\mathfrak q\)이다. \(\mathfrak q = (0)\)이면 증명할 것이 없다. \(\mathfrak q \not = (0)\)이면 \(x\)에 관한 차수가 최소인 영이 아닌 원소 \(h \in \mathfrak q\)를 택하자. \(a_i \in R\) 및 \(f \not = 0\)에 대하여 \(h = f x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0\)라고 쓰자. \(R\)과 \(S\)에서 \(f\)를 가역화한 뒤에는 \(h\)가 일계수라고 가정해도 된다. 전사 \(R\)-대수 사상 \(R[x]/(h) \to S\)를 얻는다. \(R\)-가군으로서 \(R[x]/(h) = R \oplus Rx \oplus \ldots \oplus Rx^{d - 1}\)이고, \(d\)의 최소성에 의해 \(R[x]/(h)\)는 \(S\)로 단사적으로 사상된다. 따라서 \(R[x]/(h) \cong S\)는 \(R\) 위에서 유한 표시이다.

\(S\)가 \(R\) 위에서 \(n > 1\)개의 원소로 생성된다고 하자. \(x_1, \ldots, x_n \in S\)가 \(S\)를 생성한다고 하자. \(S' \subset S\)를 \(x_1, \ldots, x_{n-1}\)이 생성하는 \(R\)-부분대수라 하자.

귀납가정에 의해 영이 아닌 \(f\in R\)와 \(g \in S'\)가 존재하여 \(R_f \to S'_{fg}\)가 유한 표시임을 안다. 다음으로 귀납가정을 \(S'_{fg} \to S_{fg}\)에 적용하면 \(f' \in S'_{fg}\)와 \(g' \in S_{fg}\)가 존재하여 \(S'_{fgf'} \to S_{fgf'g'}\)가 유한 표시임을 알 수 있다. 결론을 내리는 일은 독자에게 맡긴다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(X = \Spec(R)\) 및 \(Y = \Spec(S)\)로 나타내자.

유도된 스펙트럼의 사상을 \(f : Y \to X\)로 쓰자. \(E \subset Y = \Spec(S)\)를 구성가능 집합이라 하자. 점 \(\xi \in X\)가 \(f(E)\)에 속하면 \(\overline{\{\xi\}} \cap f(E)\)는 \(\overline{\{\xi\}}\)의 조밀한 열린 부분집합을 포함한다.

증명

\(\xi \in X\)를 \(f(E)\)의 점이라 하자. \(\xi\)로 가는 점 \(\eta \in E\)를 택하자. \(\mathfrak p \subset R\)를 \(\xi\)에 대응하는 소 이데알이라 하고, \(\mathfrak q \subset S\)를 \(\eta\)에 대응하는 소 이데알이라 하자. 다음 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ \eta \ar[r] \ar@{|->}[d] & E \cap Y' \ar[r] \ar[d] & Y' = \Spec(S/\mathfrak q) \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ \xi \ar[r] & f(E) \cap X' \ar[r] & X' = \Spec(R/\mathfrak p) \ar[r] & X }\] Lemma 00F7에 의해 집합 \(E \cap Y'\)는 \(Y'\)에서 구성가능하다. 따라서 \(X\)를 \(X'\)으로, \(Y\)를 \(Y'\)으로 바꾸어도 된다. 그러므로 \(R \subset S\)가 정역들의 포함이고, \(\xi\)는 \(X\)의 일반점이며, \(\eta\)는 \(Y\)의 일반점이라고 가정해도 된다. Lemma 00FG와 슈발레 정리 (Theorem 00FE)를 함께 적용하면 조밀한 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset Y\)가 존재하여 \(f(V) \subset U\)이고, \(f : V \to U\)는 구성가능 집합을 구성가능 집합으로 보낸다. \(E \cap V\)는 \(V\)에서 구성가능임에 유의하라. Topology, Lemma 005J를 보라. 따라서 \(f(E \cap V)\)는 \(U\)에서 구성가능하고 \(\xi\)를 포함한다. Topology, Lemma 005K에 의해 \(f(E \cap V)\)는 조밀한 열린집합 \(U' \subset U\)를 포함한다.

이 절의 끝에서는 구성가능 집합과 무관한 스펙트럼 사상의 상에 관한 몇 가지 결과를 더 제시한다.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 사상 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)는 전사이다.

2. 임의의 이데알 \(I \subset R\)에 대하여 \(\sqrt{IS}\)의 \(R\)에서의 역상은 \(\sqrt{I}\)와 같다.

3. 임의의 근기 이데알 \(I \subset R\)에 대하여 \(IS\)의 \(R\)에서의 역상은 \(I\)와 같다.

4. \(R\)의 모든 소 이데알 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(\mathfrak p S\)의 \(R\)에서의 역상은 \(\mathfrak p\)이다.

이 경우 임의의 기저변환 뒤에도 같은 명제가 성립한다. 즉 환 준동형 \(R \to R'\)가 주어지면 환 준동형 \(R' \to R' \otimes_R S\)도 동치인 성질 (1), (2), (3)을 갖는다.

증명

\(J \subset S\)가 이데알이면 \(\sqrt{\varphi^{-1}(J)} = \varphi^{-1}(\sqrt{J})\)이다. 따라서 (2)와 (3)은 동치이다. (3) \(\Rightarrow\) (4)는 즉각적이다. \(I \subset R\)가 근기 이데알이면 Lemma 00E0에 의해 \(I = \bigcap_{I \subset \mathfrak p} \mathfrak p\)이다. 따라서 (4) \(\Rightarrow\) (2)이다. Lemma 00E7에 의해 \(\mathfrak p = \varphi^{-1}(\mathfrak p S)\)일 필요충분조건은 \(\mathfrak p\)가 상에 속하는 것이다. 따라서 (1) \(\Leftrightarrow\) (4)이다. 그러므로 (1), (2), (3), (4)는 동치이다.

(1)이 성립한다고 가정하자. \(R \to R'\)를 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak p' \subset R'\)를 \(R\)의 소 이데알 \(\mathfrak p\) 위에 놓인 소 이데알이라 하자. \(\mathfrak p'\)가 \(\Spec(R' \otimes_R S) \to \Spec(R')\)의 상에 속함을 보이려면 Lemma 00E7에 따라 \((R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p')\)가 영이 아님을 보여야 한다. 그런데 \[(R' \otimes_R S) \otimes_{R'} \kappa(\mathfrak p') = S \otimes_R \kappa(\mathfrak p) \otimes_{\kappa(\mathfrak p)} \kappa(\mathfrak p')\] 이다. 가정에 의해 \(S \otimes_R \kappa(\mathfrak p)\)는 영이 아니고 \(\kappa(\mathfrak p) \to \kappa(\mathfrak p')\)는 체의 확대이므로 이 환도 영이 아니다.

보조정리

\(R\)을 정역이라 하고 \(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 환 준동형 \(R \to S\)는 단사이다.

2. \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 상은 조밀한 점들의 집합을 포함한다.

3. \(R\)에서의 역상이 \((0)\)인 소 이데알 \(\mathfrak q \subset S\)가 존재한다.

증명

\(K\)를 정역 \(R\)의 분수체라 하자. \(R \to S\)가 단사라고 가정하자. 국소화는 완전하므로 \(K \to S \otimes_R K\)도 단사이다. 따라서 Lemma 00E7에 의해 \((0)\)으로 가는 소 이데알이 있다.

\((0)\)은 \(\Spec(R)\)에서 조밀하므로 마지막 조건은 두 번째 조건을 함의함에 유의하라.

두 번째 조건이 성립한다고 하자. \(f \in R\), \(f \not = 0\)라 하자. \(R\)이 정역이므로

\(V(f)\)는 \(R\)의 진닫힌 부분집합이다. 가정에 의해 \(\varphi(f) \not \in \mathfrak q\)인 \(S\)의 소 이데알 \(\mathfrak q\)가 존재한다. 따라서 \(\varphi(f) \not = 0\)이다. 그러므로 \(R \to S\)는 단사이다.

보조정리

\(R \subset S\)를 단사 환 준동형이라 하자. 그러면 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)는 모든 극소 소 이데알을 만난다.

증명

\(\mathfrak p \subset R\)를 극소 소 이데알이라 하자. 이 경우 \(R_{\mathfrak p}\)는 유일한 소 이데알을 갖는다. 따라서 \(S_{\mathfrak p}\)가 영이 아님을 보이면 충분하다. 이는 국소화가 완전하다는 사실에서 따른다. Proposition 00CS를 보라.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(R \to S\)의 핵은 멱영원들로 이루어진다.

2. \(R\)의 극소 소 이데알들은 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 상에 속한다.

3. \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 상은 \(\Spec(R)\)에서 조밀하다.

증명

\(I = \Ker(R \to S)\)라 하자. Lemma 00E0에 의해 \(\sqrt{(0)} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} \mathfrak q\)임에 유의하라. 따라서 \(\sqrt{I} = \bigcap_{\mathfrak q \subset S} R \cap \mathfrak q\)이다. 그러므로 \(V(I) = V(\sqrt{I})\)는 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 상의 폐포이다. 이로써 (1)과 (3)이 동치임을 알 수 있다. (2)가 (3)을 함의하는 것은 명백하다. 끝으로 (1)을 가정하자. 스펙트럼의 위상과 사상을 바꾸지 않고 \(R\)을 \(R/I\)로, \(S\)를 \(S/IS\)로 바꾸어도 된다. 따라서 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 Lemma 00FK에서 따른다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 극소 소 이데알 \(\mathfrak p \subset R\)가 \(\Spec(S) \to \Spec(R)\)의 상에 속하면, 이는 어떤 극소 소 이데알의 상이다.

증명

\(\mathfrak p = \mathfrak q \cap R\)라고 하자. Lemma 00E0에 따라 \(\mathfrak r \subset \mathfrak q\)인 극소 소 이데알 \(\mathfrak r \subset S\)를 택하자. \(\mathfrak p\)의 최소성에 의해 \(\mathfrak p = \mathfrak r \cap R\)임을 안다.

보조정리

\(A \subset B\)를 정역들의 포함이라 하고, 이 포함이 분수체들의 대수적 확대를 유도한다고 하자. \(J \subset B\)가 영이 아닌 이데알이면 \(A \cap J\)도 영이 아니다. 따라서 \(\Spec(B)\)의 진닫힌 부분집합의 상은 \(\Spec(A)\)에서 조밀하지 않다.

증명

\(x \in J\)를 영이 아닌 원소라 하자. \(x\)는 \(A\)의 분수체 위에서 대수적이므로, \(a_0, a_d \not = 0\)이며 \(d \geq 1\) 및 \(a_0, \ldots, a_d \in A\)가 존재하여 \(B\)에서 \(a_d x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0 = 0\)이다. 그러면 \(a_0 \in A \cap J\)이다.

뇌터환

환 \(R\)의 모든 이데알이 유한 생성이면 \(R\)을 뇌터환이라고 한다. 이는 \(R\)의 이데알들에 대한 상승 사슬 조건과 동치임이 명백하다. Lemma 05KG에 의해 \(R\)의 모든 소 이데알이 유한 생성임을 확인하는 것으로 충분하다.

보조정리

뇌터환 위에서 유한 생성된 모든 환은 뇌터환이다. 뇌터환의 임의의 국소화도 뇌터환이다.

증명

국소화에 관한 명제는 \(J \subset S^{-1}R\)인 임의의 이데알이 \(I \cdot S^{-1}R\) 꼴이라는 사실에서 따른다. 뇌터환에서의 임의의 몫 \(R/I\)도 뇌터환이다. 실제로 환 \(R\)은 뇌터환이고 이 몫의 임의의 이데알 \(\overline{J} \subset R/I\)는 어떤 이데알 \(I \subset J \subset R\)에 대한 \(J/I\) 꼴이다. 따라서 \(R\)이 뇌터환이면 \(R[X]\)도 뇌터환임을 보이면 충분하다. \(R[X]\)의 이데알들에 대한 상승 사슬 \(J_1 \subset J_2 \subset \ldots\)을 생각하자. \(I_{i, d}\)를 \(J_i\)의 차수 \(d\) 다항식의 최고차항 계수로 나타나는 \(R\)의 원소들이 생성하는 이데알로 정의하자. \(i \leq i'\) 및 \(d \leq d'\)이면 \(I_{i, d} \subset I_{i', d'}\)임은 명백하다. \(R\)의 상승 사슬 조건에 의해 모든 \(I_{i, d}\) 가운데 서로 다른 이데알은 유한 개뿐이다. (힌트: \(\mathbf{N} \times \mathbf{N}\)의 무한 부분집합은 증가하는 무한 수열을 포함한다.) \(i_0\)를 충분히 크게 택하여 모든 \(i \geq i_0\) 및 모든 \(d\)에 대하여 \(I_{i, d} = I_{i_0, d}\)가 되게 하자. 어떤 \(i \geq i_0\)에 대해 \(f \in J_i\)라고 하자. 차수 \(d = \deg(f)\)에 대한 귀납법으로 \(f \in J_{i_0}\)임을 보인다. 즉, \(f\)와 같은 최고차항 계수를 갖고 차수가 \(d\)인 \(g\in J_{i_0}\)가 존재한다. 귀납가정에 의해 \(f - g \in J_{i_0}\)이고, 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)이 뇌터환이면 형식적 멱급수환 \(R[[x_1, \ldots, x_n]]\)도 뇌터환이다.

증명

\(R[[x_1, \ldots, x_{n + 1}]] \cong R[[x_1, \ldots, x_n]][[x_{n + 1}]]\)이므로, \(R\)이 뇌터환이면 \(R[[x]]\)가 뇌터환이라는 명제를 증명하면 충분하다. 이데알 \(I \subset R[[x]]\)를 택하자. \(I\)가 유한 생성 이데알임을 보여야 한다. 각 정수 d에 대하여 \(I_d = \{a \in R \mid ax^d + \text{h.o.t.} \in I\}\)라고 두자. 그러면 \(R\)이 뇌터환이므로 \(I_0 \subset I_1 \subset \ldots\)는 안정화된다. \(I_{d_0} = I_{d_0 + 1} = \ldots\)가 되도록 \(d_0\)를 택하자. \(d \leq d_0\)인 각 \(d\)에 대해 \(f_{d, j} \in I \cap (x^d)\), \(j = 1, \ldots, n_d\)인 원소를 택하여 \(f_{d, j} = a_{d, j}x^d + \text{h.o.t}\)라고 쓸 때 \(I_d = (a_{d, j})\)가 되게 하자. 다음과 같이 두자. \(I' = (\{f_{d, j}\}_{d = 0, \ldots, d_0, j = 1, \ldots, n_d})\). 그러면 \(I' \subset I\)임은 명백하다. \(f \in I\)를 택하자. 먼저 \(c_{d, i} \in R\)를 택하여 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} \in (x^{d_0 + 1}) \cap I.\] 다음으로 \(c_{i, 1} \in R\), \(i = 1, \ldots, n_{d_0}\)를 택하여 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 2}) \cap I.\] 다음으로 \(c_{i, 2} \in R\), \(i = 1, \ldots, n_{d_0}\)를 택하여 \[f - \sum c_{d, i} f_{d, i} - \sum c_{i, 1}xf_{d_0, i} - \sum c_{i, 2}x^2f_{d_0, i} \in (x^{d_0 + 3}) \cap I.\] 이 과정을 계속하면 결국 \[f = \sum c_{d, i} f_{d, i} + \sum\nolimits_i (\sum\nolimits_e c_{i, e} x^e)f_{d_0, i}\] 를 얻는다. 이는 원하는 대로 \(I'\)에 속한다.

다음 보조정리는 쉽지만 “절대 뇌터 환 감소”라고 불리는 기법에서 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수가 자주 등장하기 때문에 유용하다.

보조정리

체 위의 유한형 대수는 뇌터환이다. 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수는 뇌터환이다.

증명

이는 Lemma 00FN와 체가 뇌터환이라는 사실, 그리고

\(\mathbf{Z}\)가 주 이데알 정역이므로 뇌터환이라는 사실에서 즉시 따른다.

보조정리

\(R\)을 뇌터환이라 하자.

1. 유한 \(R\)-가군은 유한 표시이다.

2. 유한 \(R\)-가군의 부분가군은 유한하다.

3. 유한형 \(R\)-대수는 \(R\) 위에서 유한 표시이다.

증명

\(M\)을 유한 \(R\)-가군이라 하자. Lemma 00KZ에 의해 \(M\)의 유한 여과를 찾을 수 있으며, 그 연속적인 몫들은 \(R/I\) 꼴이다. 모든 이데알이 유한 생성이므로 각 몫 \(R/I\)는 유한 표시이다. 따라서 Lemma 0519에 의해 \(M\)은 유한 표시이다. 이것이 (1)을 증명한다.

\(N \subset M\)을 부분가군이라 하자. \(M\)이 유한이므로 몫 \(M/N\)도 유한하다. 따라서 (1)에 의해 \(M/N\)은 유한 표시이다. 그러므로 Lemma 0519의 (5)에 의해 \(N\)은 유한임을 알 수 있다. 이것이 (2)를 증명한다.

(3)을 보이기 위해 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)의 임의의 이데알이 Lemma 00FN에 의해 유한 생성임에 유의하라.

보조정리

\(R\)이 뇌터환이면 \(\Spec(R)\)는 뇌터 위상 공간이다. Topology, Definition 0051을 참조하라.

증명

이는 \(\Spec(R)\)의 모든 닫힌 부분집합이 근기 이데알 \(I\)에 대해 \(V(I)\) 꼴로 유일하게 주어진다는 사실 때문이다. Lemma 00E0를 참조하라. 그리고 이 대응은 포함을 뒤집는다. 따라서 정의로부터 결과가 따른다.

보조정리

\(R\)이 뇌터환이면 \(\Spec(R)\)는 유한 개의 기약 성분을 갖는다. 다시 말해, \(R\)은 유한 개의 극소 소 이데알을 갖는다.

증명

Lemma 00FQ와 Topology, Lemma 0052에 의해 기약 성분이 유한 개임을 알 수 있다. Lemma 00ES에 의해 이 성분들은 \(R\)의 극소 소 이데알에 대응한다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 사상이라 하자. \(R \to R'\)가 유한형이라고 하자. \(S\)가 뇌터환이면 기저변환 \(S' = R' \otimes_R S\)도 뇌터환이다.

증명

Lemma 05G5에 의해 유한형 성질은 기저변환에 대해 안정적이다. 따라서 \(S \to S'\)는 유한형이다. \(S\)가 뇌터환이므로 Lemma 00FN를 적용할 수 있다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(R\)을 뇌터 \(k\)-대수라 하자. \(K/k\)가 유한 생성 체 확대이면 \(K \otimes_k R\)는 뇌터환이다.

증명

\(K/k\)가 유한 생성 체 확대이므로, 유한 생성 \(k\)-대수 \(B \subset K\)가 존재하여 \(K\)가 \(B\)의 분수체가 된다. 다시 말해 \(K = S^{-1}B\)이고 \(S = B \setminus \{0\}\)이다. 그러면 \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\)이다. Lemma 0CY6에 의해 \(B \otimes_k R\)는 뇌터환이다. 마지막으로 Lemma 00FN에 의해 \(K \otimes_k R = S^{-1}(B \otimes_k R)\)는 뇌터환이다.

때때로 유용한 재미있는 보조정리들을 소개한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(\mathfrak p \subset R\)를 소 이데알이라 하자. 다음 각각의 경우에 \(R_f \to R_\mathfrak p\)가 단사이고 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\)인 원소가 존재한다.

1. \(R\)이 정역인 경우,

2. \(R\)이 뇌터환인 경우, 또는

3. \(R\)이 축약환이고 유한 개의 극소 소 이데알을 갖는 경우.

증명

\(R\)이 정역이면 \(R \subset R_\mathfrak p\)이므로 \(f = 1\)로 충분하다. \(R\)이 뇌터환이면 \(R \to R_\mathfrak p\)의 핵 \(I\)는 유한 생성 이데알이고, \(IR_f = 0\)이 되도록 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\)를 찾을 수 있다. 이 \(f\)에 대해 \(R_f \to R_\mathfrak p\)는 단사이므로 \(f\)가 조건을 만족한다. \(R\)이 축약환이고 극소 소 이데알 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\)을 유한 개 갖는다면 \(f \in \bigcap_{\mathfrak p_i \not \subset \mathfrak p} \mathfrak p_i\), \(f \not \in \mathfrak p\)인 것을 택할 수 있다. 실제로 \(\mathfrak{p}_i\not\subset \mathfrak{p}\)이면 \(f_i \in \mathfrak{p}_i\), \(f_i \not\in \mathfrak{p}\)인 원소가 존재하며 \(f = \prod f_i\)가 조건을 만족한다. 이 \(f\)에 대해 \(R_f \subset R_\mathfrak p\)인 것은 \(R_f\)의 극소 소 이데알들이 \(R_\mathfrak p\)의 극소 소 이데알들에 대응하기 때문이다. 세부 사항은 생략하고 Lemma 00EW를 적용한다.

보조정리

뇌터환의 모든 전사 자기준동형은 동형이다.

증명

\(f : R \to R\)가 그러한 자기준동형이지만 단사가 아니라고 하자. 그러면 \[\Ker(f) \subset \Ker(f \circ f) \subset \Ker(f \circ f \circ f) \subset \ldots\] 는 이데알들의 엄격히 증가하는 사슬이 된다.

국소 멱영 이데알

정의는 다음과 같다.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)를 이데알이라 하자. \(I\)의 모든 \(x \in I\)에 대해 어떤 \(n \in \mathbf{N}\)이 존재하여 \(x^n = 0\)이면 \(I\)를 국소 멱영이라고 한다. 어떤 \(n \in \mathbf{N}\)이 존재하여 \(I^n = 0\)이면 멱영이라고 한다.

예

\(R = k[x_n | n \in \mathbf{N}]\)를 체 \(k\) 위에서 무한히 많은 변수를 갖는 다항식환이라 하자. \(I\)를 원소 \(x_n^n\) (\(n \in \mathbf{N}\))들이 생성하는 이데알이라 하고 \(S = R/I\)라 하자. 그러면 \(J \subset S\)는 \(x_n\)의 상들, \(n \in \mathbf{N}\)이 생성하는 이데알로서 국소 멱영이지만 멱영은 아니다. 실제로 멱영원들의 \(S\)-선형결합은 멱영원이므로, \(J\)가 국소 멱영임을 보이려면 그 생성원들이 모두 멱영원임을 관찰하는 것으로 충분하다 (이는 분명하다). 한편 각 \(n \in \mathbf{N}\)에 대해 \(x_{n + 1}^n \not \in I\)이므로 \(J^n \not = 0\)이다. 따라서 \(J\)는 멱영이 아니다.

보조정리

\(R \to R'\)를 환 사상이라 하고 \(I \subset R\)를 국소 멱영 이데알이라 하자. 그러면 \(IR'\)는 \(R'\)의 국소 멱영 이데알이다.

증명

멱영원 \(x, y \in R'\)에 대해서는 \(x + y\)도 멱영원이라는 사실에서 따른다. 즉 \(x^n = 0\)이고 \(y^m = 0\)이면 \((x + y)^{n + m - 1} = 0\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)를 국소 멱영 이데알이라 하자. \(R\)의 원소 \(x\)가 가역원일 필요충분조건은 \(R/I\)에서 \(x\)의 상이 가역원인 것이다.

증명

\(x\)가 \(R\)에서 가역원이면 그 상은 분명히 \(R/I\)에서 가역원이다. 역을 증명하면 된다.

\(R/I\)에서 \(y \in R\)의 상이 \(x\)의 상의 역원이라고 하자. 그러면 어떤 \(z \in I\)에 대해 \(xy = 1 - z\)이다. 이는 \(xR\)을 법으로 \(1\equiv z\)라는 뜻이다. \(z\)는 국소 멱영 이데알 \(I\)에 속하므로 충분히 큰 \(N\)에 대해 \(z^N = 0\)이다. 따라서 \(xR\)을 법으로 \(1 = 1^N \equiv z^N = 0\)이다. 다시 말해 \(x\)는 \(1\)을 나누므로 가역원이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터환이라 하자. \(I, J\)를 \(R\)의 이데알이라 하자. \(J \subset \sqrt{I}\)라고 가정하자. 그러면 어떤 \(n\)에 대해 \(J^n \subset I\)이다. 특히 뇌터환에서는 “국소 멱영 이데알”과 “멱영 이데알”의 개념이 일치한다.

증명

\(J = (f_1, \ldots, f_s)\)라 하자. 가정에 의해 \(f_i^{d_i} \in I\)이다. \(n = d_1 + d_2 + \ldots + d_s + 1\)로 두자.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)를 국소 멱영 이데알이라 하자. 그러면 \(R \to R/I\)는 멱등원들 사이에 전단사 대응을 유도한다.

증명

\(I\)가 국소 멱영이므로 모든 소 이데알에 포함된다. 따라서 \(\Spec(R/I) = V(I) = \Spec(R)\)이다. 그러므로 이 보조정리는 Lemma 00EE에서 따른다.

증명

\(\overline{e} \in R/I\)가 멱등원이라고 하자. \(\overline{e}\)를 \(R\)의 멱등원으로 들어 올려야 한다.

먼저 \(\overline{e}\)의 임의의 올림 \(f \in R\)를 택하고 \(x = f^2 - f\)로 두자. 그러면 \(x \in I\)이므로 \(x\)는 멱영원이다 (\(I\)가 국소 멱영이기 때문이다). 이제 \(J\)를 \(x\)가 생성하는 \(R\)의 이데알이라 하자. \(J\)는 단지 국소 멱영인 것뿐 아니라 멱영이다. 이는 멱영원 \(x\)가 생성하기 때문이다.

이제 어떤 \(k \geq 1\)에 대해 \(\overline{e}\)의 올림 \(e \in R\)를 찾아 \(e^2 - e \in J^k\)가 되었다고 하자. 다음과 같이 두자. \(e' = e - (2e - 1)(e^2 - e) = 3e^2 - 2e^3\). 이는 \(\overline{e}\)의 또 다른 올림이다 (멱등원인 \(\overline{e}\)로부터 \(e^2 - e \in I\)이기 때문이다). 그러면 \[(e')^2 - e' = (4e^2 - 4e - 3)(e^2 - e)^2 \in J^{2k}\] 이다. 이는 간단한 계산으로 확인된다.

따라서 \(e^2 - e \in J^k\)인 \(\overline{e}\)의 올림 \(e\)에서 시작하여, \((e')^2 - e' \in J^{2k}\)인 \(\overline{e}\)의 올림 \(e'\)를 얻었다. 이 방법으로 근사를 계속 개선할 수 있다 (\(k = 1\)에 대해 조건을 만족하는 \(e = f\)에서 시작한다). 결국 \(J^k = 0\)인 단계에 도달한다. 그 단계에서 \(e^2 - e \in J^k = 0\)인 \(\overline{e}\)의 올림 \(e\)를 얻으므로, 이 \(e\)는 멱등원이다.

따라서 \(\overline{e} \in R/I\)인 임의의 멱등원 \(\overline{e}\)가 \(R\)의 멱등원으로 올라감을 보였다. 이제 이 올림의 유일성을 증명해야 한다. 실제로 두 올림 \(e_1\), \(e_2\)를 택하자. \(e_1 = e_2\)임을 보여야 한다.

\(e_1\)과 \(e_2\)의 정의에 의해 \(e_1 \equiv e_2 \mod I\)이고, \(e_1\)과 \(e_2\)는 모두 멱등원이다. \(e_1 \equiv e_2 \mod I\)로부터 \(e_1 - e_2 \in I\)임을 알 수 있으므로, \(e_1 - e_2\)는 멱영원이다 (\(I\)가 국소 멱영이기 때문이다). 간단한 계산 (\(e_1\)과 \(e_2\)의 멱등성을 사용한다)으로 \((e_1 - e_2)^3 = e_1 - e_2\)임을 얻는다. 이를 사용하고 귀납하면, 임의의 양의 홀수 \(k\)에 대해 \((e_1 - e_2)^k = e_1 - e_2\)이다. 충분히 큰 모든 \(k\)는 \((e_1 - e_2)^k = 0\)을 만족한다 (\(e_1 - e_2\)가 멱영원이므로). 따라서 \(e_1 - e_2 = 0\)이고 \(e_1 = e_2\)이다. 증명이 끝난다.

보조정리

\(A\)를 비가환일 수도 있는 대수라 하자. \(x = e^2 - e\)가 멱영원인 \(e \in A\)를 택하자. 다음 꼴의 멱등원이 존재한다. \(e' = e + x(\sum a_{i, j}e^ix^j) \in A\) 여기서 \(a_{i, j} \in \mathbf{Z}\)이다.

증명

\(R_n = \mathbf{Z}[e]/((e^2 - e)^n)\)이라는 환을 생각하자. 각 \(R_n\)에 대해 결과를 증명할 수 있으면 보조정리가 따른다는 것은 분명하다. \(R_n\)에서 이데알 \(I = (e^2 - e)\)를 택하고 Lemma 00J9를 적용한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(I \subset R\)를 국소 멱영 이데알이라 하자. \(R/I\)에서 가역인 정수 \(n \geq 1\)을 택하자.

1. \(n\)제곱 사상 \(1 + I \to 1 + I\), \(1 + x \mapsto (1 + x)^n\)은 전단사이다.

2. \(R\)의 가역원이 \(n\)제곱이라는 것은 \(R/I\)에서 그 상이 \(n\)제곱이라는 것과 동치이다.

증명

\(a \in R\)를 가역원이라 하고, \(R/I\)에서 그 상이 \(b^n\)의 상과 같다고 하자 (\(b \in R\)). \(b\)는 가역원이다 (Lemma 0AMG). 따라서 어떤 \(x \in I\)에 대해 \(ab^{-n} = 1 + x\)이고, (1)에 의해 \(ab^{-n} = c^n\)이다. 그러므로 (1)로부터 (2)가 따른다.

(1)의 증명. 이는 \(1 + x \mapsto (1 + x)^n\) 사상에 역사가 존재하기 때문이다. 구체적으로 \(1 + x\)를 다음으로 보내는 사상을 생각할 수 있다. \[\begin{align*} (1 + x)^{1/n} & = 1 + {1/n \choose 1}x + {1/n \choose 2}x^2 + {1/n \choose 3}x^3 + \ldots \\ & = 1 + \frac{1}{n} x + \frac{1 - n}{2n^2}x^2 + \frac{(1 - n)(1 - 2n)}{6n^3}x^3 + \ldots \end{align*}\] 초등 미적분에서와 같다. \(x^k = 0\)인 \(k \gg 0\)이므로 급수는 유한하고, 각 계수 \({1/n \choose k} \in \mathbf{Z}[1/n]\)이므로 이는 의미가 있다 (세부 사항은 생략한다. Lemma 0AMG에 의해 \(n\)이 \(R\)에서 가역임을 관찰하라).

호기심

보조정리 00EM는 어떤 이데알 \(I \subset R\)에 대해 \(V(I)\)가 열린 집합일 때 무슨 일이 일어나는지를 설명한다. 그렇다면 \(\Spec(S^{-1}R)\)가 \(\Spec(R)\)에서 닫힌 집합이면 어떠한가? 다음 두 보조정리가 부분적인 답을 준다. 자세한 내용은 절 04PQ을(를) 참조하라.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S \subset R\)를 곱셈 부분집합이라 하자. 사상 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\)의 상이 닫혀 있다고 하자. 그러면 어떤 이데알 \(I \subset R\)에 대해 \(S^{-1}R \cong R/I\)이다.

증명

\(I = \Ker(R \to S^{-1}R)\)라 두면 \(V(I)\)가 상을 포함한다. 어떤 이데알 \(I' \subset R\)에 대해 상이 닫힌 부분집합 \(V(I') \subset \Spec(R)\)라고 하자. 그러면 \(V(I') \subset V(I)\)이다. \(f \in I'\)이면 \(f/1 \in S^{-1}R\)가 모든 소 아이디얼에 포함됨을 알 수 있다. 따라서 어떤 \(n \geq 1\)에 대해 \(f^n\)은 \(S^{-1}R\)에서 영원으로 사상된다 (보조정리 00E0). 그러므로 \(V(I') = V(I)\)이다. 이로부터 모든 \(g \in S\)가 \(I\)를 법으로 가역임을 알 수 있다. 따라서 환 사상 \(R/I \to S^{-1}R\) 및 \(S^{-1}R \to R/I\)를 얻는다. 첫 번째 사상은 \(I\)의 선택에 의해 단사이다. 두 번째 사상은 \(S^{-1}R \to S^{-1}(R/I) = R/I\)이고, 국소화가 완전하므로 그 핵은 \(S^{-1}I\)이다. \(S^{-1}I = 0\)이므로 두 번째 사상도 단사임을 알 수 있다. 따라서 \(S^{-1}R \cong R/I\)이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(S \subset R\)를 곱셈 부분집합이라 하자. 사상 \(\Spec(S^{-1}R) \to \Spec(R)\)의 상이 닫혀 있다고 하자. \(R\)이 뇌터환이거나, \(\Spec(R)\)가 뇌터 위상 공간이거나, \(S\)가 모노이드로서 유한 생성이면, 어떤 환 \(R'\)에 대해 \(R \cong S^{-1}R \times R'\)이다.