代数スタックの導来圏

はじめに

本章では，代数スタックに付随する導来圏について述べる．とくに準連接層の導来圏を扱う．すなわち，スキームに関する結果（Derived Categories of Schemes, Section 08CV を参照）および代数空間に関する結果（Derived Categories of Spaces, Section 08EZ を参照）に対応する類似結果を証明する．本章の結果が [LM-B] の結果と異なる主な理由は，一貫して「大サイト」を用いることにある．本章を読む前に，ここで用いる用語を導入した「代数スタック上の層」および「代数スタックのコホモロジー」の各章に目を通されたい．

規約・記法と言葉の濫用

Properties of Stacks, Section 04XA で導入した規約および言葉の濫用を引き続き用いる．記法については Cohomology of Stacks, Section 073S の説明に従う．

lisse-étale サイトと flat-fppf サイト

本節は，導来圏についての Cohomology of Stacks, Section 0786 の類似である．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．記法は Cohomology of Stacks, Lemmas 0788 および 0789 と同じとする．

関手 \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\) は左導来関手 \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale)\] をもち，これは \(g^{-1}\) の左随伴であり，\(g^{-1}Lg_! = \text{id}\) を満たす．

関手 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\) は左導来関手 \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] をもち，これは \(g^*\) の左随伴であり，\(g^*Lg_! = \text{id}\) を満たす．

関手 \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{flat,fppf}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_{fppf})\) は左導来関手 \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_{fppf})\] をもち，これは \(g^{-1}\) の左随伴であり，\(g^{-1}Lg_! = \text{id}\) を満たす．

関手 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{flat,fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\) は左導来関手 \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] をもち，これは \(g^*\) の左随伴であり，\(g^*Lg_! = \text{id}\) を満たす．

注意：加群に対する \(Lg_!\) がアーベル層に対する \(Lg_!\) と一致するかどうかは先験的には明らかでない． Cohomology on Sites, Remark 07AE を参照されたい．

証明

関手 \(Lg_!\) の存在と \(g^*\) の左随伴であることは Cohomology on Sites, Lemma 07AC である．（アーベル層の場合には，定数層 \(\mathbf{Z}\) を構造層として用いる．）さらに，複体 \(\mathcal{H}^\bullet\) 上での値は，適切な左分解 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) を取り，\(\mathcal{K}^\bullet\) に関手 \(g_!\) を適用することで計算される． Cohomology of Stacks, Lemmas 0789 および 0788 により \(g^{-1}g_!\mathcal{K}^\bullet = \mathcal{K}^\bullet\) であるから，いずれの場合にも最後の主張が成り立つ．

補題

Cohomology of Stacks, Lemma 07AT と同じ仮定と記法のもとで， \[g^{-1} \circ Rf_* = Rf'_* \circ (g')^{-1} \quad\text{and}\quad L(g')_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ Lg_!\] が非有界導来圏上で成り立つ（加群の場合にもアーベル層の場合にも成り立つ）．

証明

\(\tau = \etale\)（それぞれ \(\tau = fppf\)）とする． \(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{X}_\tau\) 上のアーベル層とする． Cohomology of Stacks, Lemma 0GR3 により，標準的な（基底変換）写像 \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] は同型である．残りの証明は形式的である．アーベル群の層として計算したコホモロジーと加群層として計算したコホモロジーとは一致するので，\(\mathcal{F}\) が \(\mathcal{X}_\tau\) 上の加群層である場合にも \(g^{-1} Rf_*\mathcal{F} = Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{F}\) を得る．

次に，\(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) （それぞれ \(\mathcal{Y}_{flat,fppf}\)）上の \(\mathcal{G}\)（加群層またはアーベル群の層）に対し，標準写像 \[L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G} \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}\] が同型であることを示す．このためには， \(\mathcal{X}_\tau\) 上の任意の単射的層 \(\mathcal{I}\) に対して，誘導される写像 \[\Hom(L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{I}[n]) \leftarrow \Hom(f^{-1}Lg_!\mathcal{G}, \mathcal{I}[n])\] がすべての \(n \in \mathbf{Z}\) に対して同型であることを示せば十分である（Hom は適切な導来圏で取る）． \(f^{-1}\) と \(Rf_*\) の随伴性，\(Lg_!\) と \(g^{-1}\) の随伴性，およびそれらの「プライム付き」版により，これは上で証明した同型 \(g^{-1} Rf_*\mathcal{I} \to Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{I}\) から従う．

\(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) （それぞれ \(\mathcal{Y}_{fppf}\)）上の有界複体 \(\mathcal{G}^\bullet\)（加群またはアーベル群）については，標準写像 [07AX]\[\begin{equation} L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}^\bullet \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}^\bullet \end{equation}\] は同型である．実際，これは切断を用いる通常の議論と， \(L(g')_!(f')^{-1}\) および \(f^{-1}Lg_!\) が三角圏の完全関手であることから，層の場合に帰着される．

\(\mathcal{G}^\bullet\) が \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) （それぞれ \(\mathcal{Y}_{fppf}\)）上の上に有界な複体（加群またはアーベル群）であるとする．標準写像 (07AX) は， stupid 切断 \(\sigma_{\geq -n}\)（Homology, Section 0118 を参照）を用いて， \(\mathcal{G}^\bullet\) を有界複体の余極限 \(\mathcal{G}^\bullet = \colim \mathcal{G}_n^\bullet\) として書けるため同型である．これにより識別三角形 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet \to \ldots\] を得る．また，関手 \(L(g')_!\), \((f')^{-1}\), \(f^{-1}\), \(Lg_!\) はいずれも（複体の）直和と可換である．

\(\mathcal{G}^\bullet\) が \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) （それぞれ \(\mathcal{Y}_{fppf}\)）上の任意の複体（加群またはアーベル群）である場合には，標準切断 \(\tau_{\leq n}\)（Homology, Section 0118 を参照）を用いて \(\mathcal{G}^\bullet\) を上に有界な複体の余極限として書き，直前の段落の議論を繰り返す．

最後に，\(f^{-1}\) と \(Rf_*\) の随伴性，\(Lg_!\) と \(g^{-1}\) の随伴性，およびそれらの「プライム付き」版により，補題の第一の等式が完全な一般性のもとで第二の等式から従うことが分かる．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．記法は Cohomology of Stacks, Lemma 0788 と同じものとする．

\(\mathcal{H}\) を，\(\mathcal{X}\) の lisse-étale サイト上の準連接 \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\)-加群とする．すべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対し，層 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) は \(\mathcal{X}\) 上で平坦基底変換性をもつ局所的準連接加群である．

\(\mathcal{H}\) を，\(\mathcal{X}\) の flat-fppf サイト上の準連接 \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)-加群とする．すべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対し，層 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) は \(\mathcal{X}\) 上で平坦基底変換性をもつ局所的準連接加群である．

証明

スキーム \(U\) と全射的な滑らかな射 \(x : U \to \mathcal{X}\) を取る． Modules on Sites, Definition 03DL により，各引き戻し \(f_i^{-1}\mathcal{H}\) が大域表示をもつような étale（それぞれ fppf）被覆 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\) が存在する（Modules on Sites, Definition 03DE を参照）．ここで \(f_i : U_i \to \mathcal{X}\) は合成 \(U_i \to U \to \mathcal{X}\) であり，代数スタックの射である．（引き戻しが \(\mathcal{X}/f_i\) への制限「そのもの」であることを思い出されたい．Sheaves on Stacks, Definition 06W1 およびその直後の議論を参照．）被覆を細分することにより，各 \(U_i\) がアフィンスキームであると仮定してよい．各 \(f_i\) は滑らか（それぞれ平坦）なので， Lemma 07AV により \(f_i^{-1}Lg_!\mathcal{H} = Lg_{i, !}(f'_i)^{-1}\mathcal{H}\) である． Cohomology of Stacks, Lemma 07AQ を用いると，補題の主張は，\(\mathcal{H}\) が大域表示をもち，かつあるアフィンスキーム \(X = \Spec(A)\) に対して \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) である場合に帰着される．

この表示を \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{H} \longrightarrow 0\] と書く．ここで \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\) （それぞれ \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)）である．サイト \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) （それぞれ \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)）は終対象，すなわち準コンパクトな \(X/X\) をもつことに注意する（Cohomology on Sites, Section 0737 を参照）．したがって Sites, Lemma 0738 により \[\Gamma(\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}) = \bigoplus\nolimits_{i \in I} A\] である．ゆえに，この表示の写像は，ある \(A\)-加群 \(M\) の同様な表示 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} A \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} A \longrightarrow M \longrightarrow 0\] に対応する．さらに，\(\mathcal{H}\) は \(M\) に付随する準連接層 \(M^a\) を lisse-étale（それぞれ flat-fppf）サイトへ制限したものに等しい．自由 \(A\)-加群による分解 \[\ldots \to F_2 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0\] を選ぶ．\(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) （それぞれ \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)）の各対象 \(U/X\) に対して構造射 \(U \to X\) は平坦なので，複体 \[\ldots \mathcal{O} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O} \otimes_A F_0 \to \mathcal{H} \to 0\] は自由 \(\mathcal{O}\)-加群による \(\mathcal{H}\) の分解である．したがって構成により，\(Lg_!\mathcal{H}\) の値は \[\ldots \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_0 \to 0 \to \ldots\] である．これは \(\mathcal{X}_\etale\) （それぞれ \(\mathcal{X}_{fppf}\)）上の準連接加群の複体なので， Cohomology of Stacks, Proposition 0771 から \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\) は準連接である．

コホモロジーと lisse-étale および flat-fppf サイト

代数スタック \(\mathcal{X}\) 上の層のコホモロジーは flat-fppf サイト上で計算できることをすでに見た．この節では，\(\mathcal{X}\) の direct 圏の（有界とは限らない）対象についても同じことが成り立つと証明する．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．Lemma 07AS の (1) の \(Lg_!\) についても，Lemma 07AS の (3) の \(Lg_!\) についても \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\) が成り立つ．

証明

flat-fppf サイトと fppf サイトとの比較について証明する． lisse-étale サイトの場合も全く同じである． \(i \not = 0\) に対して \(H^i(Lg_!\mathbf{Z})\) が \(0\) であり，かつ標準写像 \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to \mathbf{Z}\) が同型であることを示せばよい． \(\mathcal{U}\) がスキームであり，さらに \(f\) が局所有限表示であるような，全射的平坦射 \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) を取る．（例えば表示 \(U \to \mathcal{X}\) を取り，\(\mathcal{U}\) を \(U\) に対応する代数スタックとすればよい．）Sheaves on Stacks, Lemmas 06XD および 06XH により，\(i \not = 0\) に対して引き戻し \(f^{-1}H^i(Lg_!\mathbf{Z})\) が \(0\) であり，かつ引き戻し \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to f^{-1}\mathbf{Z}\) が同型であることを示せば十分である．Lemma 07AV により \(f^{-1}Lg_!\mathbf{Z} = L(g')_!\mathbf{Z}\) である．ここで \(g' : \Sh(\mathcal{U}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{U}_{fppf})\) は \(\mathcal{U}\) に対する対応する比較射である．これで次の段落で扱う場合に帰着された．

あるスキーム \(X\) に対して \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) であると仮定する．この場合，圏 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) は終対象 \(e\)，すなわち \(X/X\) をもち，さらに関手 \(u : \mathcal{X}_{flat, fppf} \to \mathcal{X}_{fppf}\) は \(e\) を終対象へ写す．終対象が存在するとき，\(\mathbf{Z}\) は終対象上の自由アーベル層である．したがって Cohomology on Sites, Lemma 07AC における \(Lg_!\) の構成そのものから \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\) を得る．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．記法は Lemma 07AS と同じものとする．

\(D(\mathcal{X}_\etale)\) の \(K\) に対して，

\(R\Gamma(\mathcal{X}_\etale, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K)\) であり，かつ

\(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) の任意の対象 \(x\) に対して \(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}/x, g^{-1}K)\) である．

\(D(\mathcal{X}_{fppf})\) の \(K\) に対して，

\(R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}, g^{-1}K)\) であり，かつ

\(\mathcal{X}_{flat,fppf}\) の任意の対象 \(x\) に対して \(H^p(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}/x, g^{-1}K)\) である．

いずれの場合にも加群について同じことが成り立つ．実際， \(g^{-1} = g^*\) であり，Cohomology on Sites, Lemma 0D6J によりコホモロジーの計算に相違はない．

証明

flat-fppf サイトと fppf サイトとの比較について証明する． lisse-étale サイトの場合も全く同じである．Lemma 0H0Z により \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\) である．したがって \[\begin{align*} R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) & = R\Hom(\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(Lg_!\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(\mathbf{Z}, g^{-1}K) \\ & = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K) \end{align*}\] を得る．

これで (1)(a) が証明された． (1)(b) は (1)(a) から従う．実際，\(x\) がスキーム \(U\) 上にあるなら，サイト \(\mathcal{X}_\etale/x\) は \((\Sch/U)_\etale\) と同値であり， \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) は \(U_{lisse, \etale}\) と同値である．

準連接加群の導来圏

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．包含関手 \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は完全でないので， \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) を，準連接なコホモロジー層をもつ複体からなる \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の充満部分圏として定義することはできない．そこで Cohomology of Stacks, Remark 07B2 との類推により，準連接加群の導来圏を商として定義する．

\(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は，平坦基底変換性をもつ局所的準連接 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-加群の充満部分圏を表すことを思い出そう．Cohomology of Stacks, Section 0GQG を参照されたい．以下では \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] と略記する．Derived Categories, Lemma 06UQ および Cohomology of Stacks, Proposition 0771 の (2) から， \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の厳密充満な飽和三角部分圏であると分かる．

\(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) を，寄生的な \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-加群の充満部分圏とする． Cohomology of Stacks, Section 0772 を参照されたい．以下では \[D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] と略記する．\(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の Serre 部分圏なので，先と同様に，これは \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の厳密充満な飽和三角部分圏である．Cohomology of Stacks, Lemma 0774 を参照されたい．

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の弱 Serre 部分圏の共通部分 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) もまた弱 Serre 部分圏である．同様に \[\begin{align*} D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) & = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ & = D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{align*}\] と略記する．先と同様に，これは \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の厳密充満な飽和三角部分圏である．したがってなおさら， \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の厳密充満な飽和三角部分圏でもある．

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．上の記法のもとで， 準連接なコホモロジー層をもつ \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-加群の導来圏 を Verdier 商¹ \[D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})/ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] として定義する．

Verdier 商は Derived Categories, Section 05RA で定義されている． \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の射 \(a : E \to E'\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) で同型になるための必要十分条件は，錐 \(C(a)\) が寄生的なコホモロジー層をもつことである． Derived Categories, Lemma 05RL を参照されたい．

関手 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{H^i} \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{Q} \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] を考える．\(Q\) は部分圏 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) を零化することに注意する． Cohomology of Stacks, Lemma 0779 を参照されたい． Derived Categories, Lemma 05RJ により，コホモロジー的関手 [07B7]\[\begin{equation} H^i : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{equation}\] を得る．さらに，\(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) が零であるための必要十分条件は，すべての \(i \in \mathbf{Z}\) に対して \(H^i(E) = 0\) であることにも注意する．実際 Cohomology of Stacks, Lemma 0779 により， \(Q\) の核はちょうど \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に等しい．

圏 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) および \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は，étale 位相における加群のアーベル圏 \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) の弱 Serre 部分圏でもあることに注意する．Cohomology of Stacks, Proposition 0771 および Lemma 0774 を参照されたい．したがって次の補題の主張は意味をもつ．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする． \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) と略記する．比較射 \(\epsilon : \mathcal{X}_{fppf} \to \mathcal{X}_\etale\) は可換図式 \[\xymatrix{ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[u]^{\epsilon^*} }\] を誘導する．さらに左の二つの垂直矢印は三角圏の同値である．したがって \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] という同値も得られる．

証明

\(\epsilon^*\) は完全なので，補題の主張にある図式が得られることは明らかである． Cohomology on Sites, Lemma 07A8 を次の状況に適用して，中央の垂直矢印が同値であることを示す： \(\mathcal{C} = \mathcal{X}\)， \(\tau = fppf\)， \(\tau' = \etale\)， \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\)， \(\mathcal{A} = \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)，そして \(\mathcal{B}\) はアフィンスキーム上にある \(\mathcal{X}\) の対象の集合とする．この補題を適用できることを確認するには，条件 (1), (2), (3), (4) を調べなければならない．条件 (1) と (2) は上の議論から明らかである（明示的には Cohomology of Stacks, Proposition 0771 から従う）．すべてのスキームはアフィン開集合による Zariski 開被覆をもつので，条件 (3) が成り立つ．条件 (4) は Descent, Lemma 0756 から従う．

圏の同値 \(\epsilon^* : D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) が，寄生的なコホモロジー層をもつ複体の部分圏の同値を誘導することの確認は省略する．

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．Cohomology of Stacks, Lemma 07B4 により，

準連接加群の圏 \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) は \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) の弱 Serre 部分圏をなす．

同様に，準連接加群の圏 \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) は \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) の弱 Serre 部分圏をなす．したがって \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\] を考えることができ，同様に \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\] を考えることができる．先と同様に，これらは厳密充満な飽和三角部分圏である． \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は，実はこれらのいずれとも同値である．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする． \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) と置く．

\(\mathcal{F}^\bullet\) を \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) の対象とする． Cohomology of Stacks, Lemma 0788 における lisse-étale サイトの \(g\) に対して，次が成り立つ．

\(g^*\mathcal{F}^\bullet\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) に属する．

\(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\) であるための必要十分条件は， \(\mathcal{F}^\bullet\) が \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属することである．

\(\mathcal{H}^\bullet\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) に属するなら， \(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\) は \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属する．

関手 \(g^*\) と \(Lg_!\) は互いに逆な関手 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\] を定める．

\(\mathcal{F}^\bullet\) を \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の対象とする． Cohomology of Stacks, Lemma 0788 における flat-fppf サイトの \(g\) に対して，次が成り立つ．

\(g^*\mathcal{F}^\bullet\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) に属する．

\(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\) であるための必要十分条件は， \(\mathcal{F}^\bullet\) が \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属することである．

\(\mathcal{H}^\bullet\) が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) に属するなら， \(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\) は \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属する．

関手 \(g^*\) と \(Lg_!\) は互いに逆な関手 \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\] を定める．

証明

関手 \(g^* = g^{-1}\) は完全である．したがって (1)(a), (2)(a), (1)(b), (2)(b) は Cohomology of Stacks, Lemmas 07B1 および 07AR から従う．

(1)(c) と (2)(c) を証明する．Lemma 07AS における \(Lg_!\) の構成を用いる．この構成は Cohomology on Sites, Lemma 07AC を介する．

さらに Derived Categories, Proposition 0794 を用いる．これらの構成によれば， \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) の任意の対象 \(\mathcal{H}^\bullet\) 上の \(Lg_!\) は \[Lg_!\mathcal{H}^\bullet = \colim g_!\mathcal{K}_n^\bullet = g_! \colim \mathcal{K}_n^\bullet\] （項ごとの余極限）として計算される．ここで擬同型 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\) は擬同型 \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n} \mathcal{H}^\bullet\) を誘導する．包含関手 \[\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \quad\text{and}\quad \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] はフィルター余極限と両立する．したがって (c) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) に属する上に有界な複体，および \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\) に属する上に有界な複体 \(\mathcal{H}^\bullet\) について証明すれば十分である．この場合，\(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet)\) が \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属することを示すため， \(i > m\) に対して \(\mathcal{H}^i = 0\) となる整数 \(m\) に関する帰納法を用いることができる．\(m < n\) なら \(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet) = 0\) なので主張は成り立つ．一般の場合，識別三角形 \[\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet \to H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m] \to \ldots\] （Derived Categories, Remark 08J5）を考え，関手 \(Lg_!\) を適用する．\(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は加群圏の弱 Serre 部分圏なので，三項のうち二項について (c) を証明すれば十分である．\(Lg_!\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet\) については帰納法により，\(Lg_!H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m]\) については Lemma 07B3 により主張が成り立つ．したがって (c) が成り立つ．

(2)(d) を証明しよう．(2)(a) と (2)(b) により，関手 \(g^{-1} = g^*\) は関手 \[c : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\] を誘導する．Derived Categories, Lemma 05RJ を参照されたい．したがって三角圏の図式 \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[rd]^{g^{-1}} \ar[rr]_q & & D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[ld]^c \\ & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \ar@<1ex>[lu]^{Lg_!} }\] を得る．ここで \(q\) は商関手であり，内側の三角形は可換で， \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\) である．

\(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の任意の対象 \(E\) に対し，写像 \(a : Lg_!g^{-1}E \to E\) は \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) における擬同型へ写る．

したがって \(a\) の錐は \(g^{-1}\) により零へ写り，(2)(b) により \(q(a)\) は同型である．ゆえに \(q \circ Lg_!\) は \(c\) の擬逆である．

lisse-étale サイトの場合には，上と全く同じ議論により \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] が \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) と同値であると分かる．Lemma 07B8 の最後の同値を適用すれば証明が完了する．

次の補題は，商関手 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) が左随伴をもつことを述べる． Remark 0H11 を参照されたい．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする． \(E\) を \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の対象とする． \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) には標準的な識別三角形 \[E' \to E \to P \to E'[1]\] が存在し，\(P\) は \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}} (\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属し，かつ \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(E', P') = 0\] がすべての \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の \(P'\) に対して成り立つ．

証明

Cohomology of Stacks, Section 0786 で考察した環付きトポスの射 \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) を考える．\(E' = Lg_!g^*E\) と置き，随伴写像 \(E' \to E\) の錐を \(P\) とする． Lemma 07AS の (4) を参照されたい．Lemma 07B9 の (2)(a) および (2)(c) により， \(E'\) は \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属する．したがって \(P\) も \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属する． Lemma 07AS の (4) により \(g^*Lg_! = \text{id}\) なので，写像 \(g^*E' \to g^*E\) は同型である．よって \(g^*P = 0\) であり，Lemma 07B9 の (2)(b) により，\(P\) は \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の対象である．最後に， \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の \(P'\) に対して \[\Hom(E', P') = \Hom(Lg_!g^*E, P') = \Hom(g^*E, g^*P') = 0\] である．実際，Lemma 07B9 の (2)(b) により \(g^*P' = 0\) である．識別三角形 \(E' \to E \to P \to E'[1]\) は標準的である．より正確には，\(E\) 上の恒等射を誘導する三角形の同型を除いて一意である．

Derived Categories, Section 0CQP の議論を参照されたい．

注意

Lemma 07BA の結果によれば， \[D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] は左許容部分圏である．Derived Categories, Section 0CQP を参照されたい．

特に， \(\mathcal{A} \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) をその左直交補とすると，Derived Categories, Proposition 0H0P により，\(\mathcal{A}\) は \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の右許容部分圏であり，合成 \[\mathcal{A} \longrightarrow D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] は同値である．すなわち \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) を \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の，さらには \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) の厳密充満な飽和三角部分圏とみなすことができる．

準連接加群の導来順像

上の内容の最初の応用として導来順像を構成する．Examples, Section 07DC には，代数スタックの準コンパクトかつ準分離な射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) であって，順像関手 \(Rf_*\) が関手 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) を誘導しない例がある．したがって下に有界な複体へ制限する必要がある．

命題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの準コンパクトかつ準分離な射とする．関手 \(Rf_*\) は可換図式 \[\xymatrix{ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[d]^{Rf_*} \\ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) }\] を誘導し，したがって商圏上の関手 \[Rf_{\QCoh, *} : D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] を誘導する．さらに Cohomology of Stacks, Proposition 077A の関手 \(R^if_\QCoh\) は，(07B7) の \(H^i\) に対する \(H^i \circ Rf_{\QCoh, *}\) と等しい．

証明

\(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の \(E\) に対して， \(Rf_*E\) が \(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) の対象であることを示さなければならない．これは Cohomology of Stacks, Proposition 0771 とスペクトル系列 \(R^if_*H^j(E) \Rightarrow R^{i + j}f_*E\) から従う．寄生加群の場合も Cohomology of Stacks, Lemma 0775 を用いて同様に示される．最後の主張は (07B7) における \(H^i\) の定義から明らかである．

準連接加群の導来引き戻し

準連接なコホモロジー層をもつ複体の導来引き戻しは一般に存在する．

命題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする．完全関手 \(f^*\) は可換図式 \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] \ar[u]^{f^*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[u]^{f^*} }\] を誘導する．合成 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \xrightarrow{f^*} D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{q_\mathcal{X}} D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] は局所化 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) に関して左導来可能であり， \(Lf^*_\QCoh\) をその左導来関手として定義してよい： \[Lf_\QCoh^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] と定義してよい（Derived Categories, Definitions 05S9 および 05SV を参照）． \(f\) が準コンパクトかつ準分離なら，\(Lf^*_\QCoh\) と \(Rf_{\QCoh, *}\) は次の随伴性を満たす： \[\Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B)\] ただし \(A \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)， \(B \in D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) とする．

証明

最初の主張を証明するには， \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) の \(E\) に対して \(f^*E\) が \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の対象であることを示さなければならない．\(f^* = f^{-1}\) は完全であり， Cohomology of Stacks, Proposition 0771 により \(f^*\) は \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) を \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) へ写すので，直ちに従う．

\(\mathcal{D} = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) と置く． \(S\) を，錐が \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) の対象となる \(\mathcal{D}\) の射の集まりとする． \(\mathcal{D}' = D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) と置き， \(F = q_\mathcal{X} \circ f^* : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\) と置く．すると \(\mathcal{D}, S, \mathcal{D}', F\) は Derived Categories, Situation 05S8 および Definition 05S9 の状況にある． \(\mathcal{D}\) の任意の対象 \(E\) に対して \(LF(E)\) が定義されることを証明しよう．すなわち Lemma 07BA で構成した三角形 \[E' \to E \to P \to E'[1]\] を考える．\(s : E' \to E\) は \(S\) の元であることに注意する． \(E'\) が \(LF\) を計算すると主張する．実際，\(s' : E'' \to E\) を \(S\) の別の元とする．すなわちこれは，\(P'\) が \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) に属する三角形 \(E'' \to E \to P' \to E''[1]\) に入るとする．Lemma 07BA（およびその証明）により， \(E' \to E\) は \(E'' \to E\) を経由する．したがって \(E' \to E\) は系 \(S/E\) で共終である．ゆえに \(E'\) が \(LF\) を計算することは明らかである．

最後の主張を示すため，\(B = q_\mathcal{X}(H)\) および \(A = q_\mathcal{Y}(E)\) と書く．上のように \(E' \to E\) を選ぶ．一方で \(Rf_{\QCoh, *}(B) = q_\mathcal{Y}(Rf_*H)\) を用い，他方で \(Lf^*_\QCoh(A) = q_\mathcal{X}(f^*E')\) を用いる． \[\begin{align*} \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(q_\mathcal{X}(f^*E'), q_\mathcal{X}(H)) \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(f^*E', H') \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H') \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H) \\ & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B) \end{align*}\] ここで余極限は，錐 \(P(s)\) が \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の対象となる \(D^+_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の射 \(s : H \to H'\) 全体にわたって取る．第一の等式は上ですでに見た．第二の等式は Verdier 商の構成から成り立つ．第三の等式は Cohomology on Sites, Lemma 07A6 から成り立つ． Proposition 07BC により \(Rf_*P(s)\) は \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) の対象なので， \(\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*P(s)) = 0\) である．したがって第四の等式が成り立つ．最後の等式は \(E'\) の構成から成り立つ．

導来圏における準連接対象

この節は Sheaves on Stacks, Section 0H0G の続きである． \(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．同節では三角圏 \[\mathit{QC}(\mathcal{X}) = \mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\] を定義し，\(\mathcal{X}\) が代数空間 \(X\) によって表現可能なら \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) と同値であることを証明した．任意の代数スタックについて同じことを証明するのに十分な理論が，ここまででちょうど整ったことになる．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．\(K\) を，コホモロジー層が寄生的である \(D(\mathcal{X}_{fppf})\) の対象とする．スキーム \(U\) 上にあり， \(U \to \mathcal{X}\) が平坦であるような \(\mathcal{X}\) のすべての対象 \(x\) に対して \(R\Gamma(x, K) = 0\) である．

証明

Section 08MZ で論じたトポスの射を \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) と書く．

\(x\) を，スキーム \(U\) 上にあり \(U \to \mathcal{X}\) が平坦であるような \(\mathcal{X}\) の対象とする．すなわち \(x\) は \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) の対象である． Lemma 0H10 の (2)(b) により \(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}/x, g^{-1}K)\) である．一方，仮定は \(D(\mathcal{X}_{flat, fppf})\) の対象 \(g^{-1}K\) のコホモロジー層が零であることを意味する．Cohomology of Stacks, Definition 0773 を参照されたい．したがって \(g^{-1}K = 0\) であり，証明が完了する．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．\(K\) を \(D(\mathcal{X}_{fppf})\) の対象とし，アフィンスキーム \(U\) 上にあり \(U \to \mathcal{X}\) が平坦であるような \(\mathcal{X}\) のすべての対象 \(x\) に対して \(R\Gamma(x, K) = 0\) と仮定する．このとき，すべての \(i\) に対して \(H^i(\mathcal{X}, K) = 0\) である．

証明

Section 08MZ で論じたトポスの射を \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) と書く． Lemma 0H10 の (2)(b) により，仮定は \(g^{-1}K\) が，アフィンスキーム上にある \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) のすべての対象上で消滅コホモロジーをもつことを意味する．\(\mathcal{X}_{flat, fppf}\) のすべての対象 \(x\) はそのような対象による被覆をもつので，\(g^{-1}K\) のコホモロジー層は消滅する，すなわち \(g^{-1}K = 0\) である．するともちろん \(R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}, g^{-1}K) = 0\) であり，Lemma 0H10 の (2)(a) により求める結論が従う．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．\(K\) を \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) の対象とする．このとき \(Lg_!K\) は次の性質を満たす： \(\mathcal{X}_{affine}\) の任意の射 \(x \to x'\) に対して写像 \[R\Gamma(x', Lg_!K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, Lg_!K)\] は擬同型である．

証明

Lemma 07B9 の (2)(c) により，対象 \(Lg_!K\) は \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に属する．ここから，\(\mathcal{O}(x') \to \mathcal{O}(x)\) が平坦な環準同型なら補題に表示した写像が同型であることは容易に従う．詳細は省略する．

この段落では，問題が étale 位相に関して局所的であることを示す． \(x \to x'\) を \(\mathcal{X}_{affine}\) の一般の射とする． \(\{x'_i \to x'\}\) を \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) の被覆とする． \(x_i = x \times_{x'} x'_i\) と置けば， \(\{x_i \to x\}\) も \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\) の被覆である．このとき \(\mathcal{O}(x') \to \prod \mathcal{O}(x'_i)\) は忠実平坦な étale 環準同型であり， \[\prod \mathcal{O}(x_i) = \mathcal{O}(x) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \left(\prod \mathcal{O}(x'_i)\right)\] である．したがって，省略する簡単な代数の議論により，補題の主張を \(\mathcal{X}_{affine}\) の各射 \(x_i \to x'_i\) について証明すれば十分である．言い換えれば，問題は étale 位相で局所的である．

スキーム \(X\) と全射的な滑らかな射 \(f : X \to \mathcal{X}\) を選ぶ．（記法の濫用により）\(f\) を \(\mathcal{X}\) の対象とみなしてよく，このとき \((\Sch/X)_{fppf} = \mathcal{X}/f\) である．Sheaves on Stacks, Section 075C を参照されたい．例えば Sheaves on Stacks, Lemma 06XH により， \(x'_i : U'_i = p(x'_i) \to \mathcal{X}\) が \(f\) を経由するような étale 被覆 \(\{x'_i \to x'\}\) が存在する．前段落の結果により， \(x \to x'\) は，関手 \((\Sch/X)_{fppf} \to \mathcal{X}\) による \((\textit{Aff}/X)_{fppf}\) の射 \(U \to U'\) の像であると仮定してよい．ここで \((\Sch/X)_{fppf}\) への \(Lg_!K\) の制限は，Lemma 07AV により \(f^*Lg_!K = L(g')_!(f')^*K\) に等しいことを用いる．

これで次の段落で論じる場合に帰着される．

\(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) であり，\(x \to x'\) がアフィンスキームの射 \(U \to U'\) に対応すると仮定する．なお \(U'\) 上 étale（または Zariski）局所的に作業できるので，\(U' \to X\) が \(X\) のあるアフィン開集合を経由すると仮定してよい．これで次の段落で論じる場合に帰着される．

\(X = \Spec(R)\) がアフィンスキームであり， \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\) で，\(x \to x'\) がアフィンスキームの射 \(U \to U'\) に対応すると仮定する．\(R\Gamma(X, K)\) を表す \(R\)-加群の複体を \(M^\bullet\) とする．More on Algebra, Lemma 06Y4 の構成により，各 \(P_n^\bullet\) が自由 \(R\)-加群の上に有界な複体であるように \(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\) と仮定してよい．詳細は省略する． More on Algebra, Remark 09PB も参照されたい． \(X_{flat, fppf} = (\Sch/X)_{flat, fppf}\) 上で，規則 \[U \longmapsto \Gamma(U, M^\bullet \otimes_R \mathcal{O}_U)\] により与えられる加群の複体 \(M^\bullet_{flat, fppf}\) を考える． Descent, Section 03DR の議論により，これは層の複体である．標準写像 \(M^\bullet_{flat, fppf} \to K\) があり，証明冒頭の所見により，これは \(X_{flat, fppf}\) のアフィン対象上の切断に同型を誘導する．\(X_{flat, fppf}\) のすべての対象はアフィン対象による被覆をもつので，\(M^\bullet_{flat, fppf}\) は \(K\) と一致する．

\(M^\bullet_{fppf}\) を，上と同じ表示式で与えられる \(X_{fppf}\) 上の加群の複体とする．\(Lg_!\mathcal{O} = g_!\mathcal{O} = \mathcal{O}\) を思い出そう．\(Lg_!\) は \(g_!\) の左導来関手なので， \(Lg_!P_{n, flat, fppf}^\bullet = P_{n, fppf}^\bullet\) である．関手 \(Lg_!\) はホモトピー余極限と可換し（または Cohomology on Sites, Lemma 07AC におけるその構成により），\(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\) なので， \(Lg_!M^\bullet_{flat, fppf} = M^\bullet_{fppf}\) と結論される． \(U = \Spec(A)\)，\(U' = \Spec(A')\) と書き，\(U \to U'\) が環準同型 \(A' \to A\) に対応するとする．上から \[R\Gamma(U, Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A \quad\text{and}\quad R\Gamma(U', Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A'\] を得る．\(M^\bullet\) は \(R\)-加群の K-flat 複体なので，テンソル積の推移性により \[R\Gamma(U', Lg_!K) \otimes_{A'}^\mathbf{L} A \longrightarrow R\Gamma(U, Lg_!K)\] は求める擬同型である．

命題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする．このとき \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) と標準的に同値である．

証明

Sheaves on Stacks, Lemma 0H0X により，比較射 \(\epsilon : \mathcal{X}_{affine, fppf} \to \mathcal{X}_{affine}\) による引き戻しは，\(\mathit{QC}(\mathcal{X})\) を充満部分圏 \(Q_\mathcal{X} \subset D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\) と同一視する． Sheaves on Stacks, Equation (0H0C) における環付きトポスの同値を用いて，\(Q_\mathcal{X}\) を \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\) の充満部分圏とみなし，以下でもそうする．

同様に，Lemma 07BA および Remark 0H11 により， \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) は \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の左許容部分圏 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の左直交補 \(\mathcal{A}\) とみなすことができる．

証明を完了するため，\(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\) の部分圏として \(Q_\mathcal{X}\) が \(\mathcal{A}\) に等しいことを示す．

ステップ 1：\(Q_\mathcal{X}\) は \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) に含まれる． \(Q_\mathcal{X}\) の対象 \(K\) は， \(D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\) の対象とみなした \(K\) について \(R\epsilon_*K\) が \(\mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\) の対象であるという性質によって特徴づけられる．これはさらに， \(\mathcal{X}_{affine}\) のすべての射 \(x \to x'\) に対して写像 \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] が同型であることをちょうど意味する．Cohomology on Sites, Lemma 0GZS の主張にある脚注を参照されたい．いま，\(x' \to x\) がアフィンスキームの平坦射上にあるなら，

これは \[H^i(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \mathcal{O}(x) \cong H^i(x, K)\] を意味する．これは明らかに，\(H^i(K)\) が étale 位相に対する層であり（Sheaves on Stacks, Lemma 0H0E），かつ平坦基底変換性をもつことを意味する（細部は省略する）．

ステップ 2：\(Q_\mathcal{X}\) は \(\mathcal{A}\) に含まれる．これを示すには，\(Q_\mathcal{X}\) の \(K\) と \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) のすべての \(P\) に対して \(\Hom(K, P) = 0\) であることを示せば十分である．対象 \[H = R\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K, P)\] を考える．\(x\) を，アフィンスキーム \(U = p(x)\) 上にある \(\mathcal{X}\) の対象とする．Cohomology on Sites, Lemma 08JA により，次の第一の等式を得る： \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K|_{\mathcal{X}/x}, P|_{\mathcal{X}/x}) = R\Hom_{\mathcal{O}}(K|_{\mathcal{X}_{affine}/x}, P|_{\mathcal{X}_{affine}/x})\] 第二の等式は，サイト \(\mathcal{X}/x\) のトポスがサイト \(\mathcal{X}_{affine}/x\) のトポスと同値であることから従う． Sheaves on Stacks, Equation (0H0C) を参照されたい． \(K = \epsilon^*N\) と書ける．ここである \(N\) は \(\mathit{QC}(\mathcal{O})\) に属する．すると Cohomology on Sites, Lemma 0H0T により \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{D(\mathcal{O}(x))}(R\Gamma(x, N), R\Gamma(x, P))\] を得る．Lemma 0H13 により， \(U \to \mathcal{X}\) が平坦なら \(R\Gamma(x, P) = 0\) であり，したがって同じ仮定のもとで \(R\Gamma(x, H) = 0\) である．Lemma 0H14 により \(R\Gamma(\mathcal{X}, H) = 0\) と結論され，ゆえに \(\Hom(K, P) = 0\) である．

ステップ 3：\(\mathcal{A}\) は \(Q_\mathcal{X}\) に含まれる． \(K\) を \(\mathcal{A}\) の対象，\(x \to x'\) を \(\mathcal{X}_{affine}\) の射とする．写像 \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] が擬同型であることを示さなければならない．Cohomology on Sites, Lemma 0GZS の主張にある脚注を参照されたい．Lemma 07BA の証明と Remark 0H11 の議論により，\(\mathcal{A}\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) への \(Lg_!\) の制限の像である．したがって \(K = Lg_!M\) と仮定してよい．ここである \(M\) は \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\) に属する．すると求める等式は Lemma 0H15 から従う．

この定義は文献における定義とは異なる． [olsson_sheaves, 6.3] を参照されたい．しかし Lemma 07B9 により，この定義はその定義と一致する．↩︎