스택의 유도 범주

도입

이 장에서는 대수적 스택에 딸린 유도 범주를 다룬다. 특히 이는 준연접 층의 유도 범주를 뜻한다. 즉, 스킴에 관한 결과 (스킴의 유도 범주, 절 08CV 참조)와 대수공간에 관한 결과(공간의 유도 범주, 절 08EZ 참조)에 대응하는 결과를 증명한다. 이 장의 결과가 [LM-B]의 결과와 다른 주된 이유는 우리가 일관되게 “큰 사이트”를 사용하기 때문이다. 이 장을 읽기 전에 여기서 사용하는 용어를 도입한 “대수적 스택 위의 층” 장과 “대수적 스택의 코호몰로지” 장을 간단히 살펴보기 바란다.

규약, 표기법 및 언어의 남용

스택의 성질, 절 04XA에서 도입한 규약과 언어의 남용을 계속 사용한다. 표기법은 스택의 코호몰로지, 절 073S에서 설명한 대로 사용한다.

lisse-étale 및 flat-fppf 사이트

이 절은 유도 범주에 대해 스택의 코호몰로지, 절 0786에 대응하는 내용이다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 표기는 스택의 코호몰로지의 보조정리 0788와 0789에서와 같다.

1. 함자 \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_\etale)\)에는 좌유도 함자 \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{lisse,\etale}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale)\] 가 존재한다. 이는 \(g^{-1}\)의 왼쪽 수반이며 \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\)를 만족한다.

2. 함자 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\)에는 좌유도 함자 \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] 가 존재한다. 이는 \(g^*\)의 왼쪽 수반이며 \(g^*Lg_! = \text{id}\)를 만족한다.

3. 함자 \(g_! : \textit{Ab}(\mathcal{X}_{flat,fppf}) \to \textit{Ab}(\mathcal{X}_{fppf})\)에는 좌유도 함자 \[Lg_! : D(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow D(\mathcal{X}_{fppf})\] 가 존재한다. 이는 \(g^{-1}\)의 왼쪽 수반이며 \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\)를 만족한다.

4. 함자 \(g_! : \textit{Mod}(\mathcal{X}_{flat,fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \to \textit{Mod}(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_{\mathcal{X}})\)에는 좌유도 함자 \[Lg_! : D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \longrightarrow D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 가 존재한다. 이는 \(g^*\)의 왼쪽 수반이며 \(g^*Lg_! = \text{id}\)를 만족한다.

주의: 가군에 대한 \(Lg_!\)가 아벨 층에 대한 \(Lg_!\)와 일치하는지는 (선험적으로) 분명하지 않다. 사이트 위의 코호몰로지, 비고 07AE를 보라.

증명

함자 \(Lg_!\)의 존재성과 \(g^*\)와의 수반성은 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 07AC이다. (아벨 층의 경우에는 상수층 \(\mathbf{Z}\)를 구조층으로 사용한다.) 또한 복합체 \(\mathcal{H}^\bullet\)에 대한 그 값은 적절한 왼쪽 분해 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\)를 취하고 \(\mathcal{K}^\bullet\)에 함자 \(g_!\)를 적용하여 계산한다. 스택의 코호몰로지의 보조정리 0789와 0788에 의해 \(g^{-1}g_!\mathcal{K}^\bullet = \mathcal{K}^\bullet\)이므로, 각 경우에 마지막 주장이 성립함을 알 수 있다.

보조정리

가정과 표기는 스택의 코호몰로지, 보조정리 07AT에서와 같다고 하자. 비유계 유도 범주 위에서 \[g^{-1} \circ Rf_* = Rf'_* \circ (g')^{-1} \quad\text{및}\quad L(g')_! \circ (f')^{-1} = f^{-1} \circ Lg_!\] 가 성립한다(가군의 경우와 아벨 층의 경우 모두).

증명

\(\tau = \etale\)라 하자(각각 \(\tau = fppf\)라 하자). \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{X}_\tau\) 위의 아벨 층이라 하자. 스택의 코호몰로지, 보조정리 0GR3에 의해 표준적인 (밑변환) 사상 \[g^{-1}Rf_*\mathcal{F} \longrightarrow Rf'_*(g')^{-1}\mathcal{F}\] 은 동형이다. 나머지 증명은 형식적이다. 아벨 군의 코호몰로지와 가군층의 코호몰로지가 일치하므로, \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{X}_\tau\) 위의 가군층인 경우에도 \(g^{-1} Rf_*\mathcal{F} = Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{F}\)임을 얻는다.

다음으로 \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) 위의 (가군층 또는 아벨 군층) \(\mathcal{G}\)에 대해(각각 \(\mathcal{Y}_{flat,fppf}\) 위에서) 표준 사상 \[L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G} \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}\] 이 동형임을 보이자. 이를 위해서는 \(\mathcal{X}_\tau\) 위의 임의의 단사층 \(\mathcal{I}\)에 대해 유도된 사상 \[\Hom(L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{I}[n]) \leftarrow \Hom(f^{-1}Lg_!\mathcal{G}, \mathcal{I}[n])\] 이 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 동형임을 보이면 충분하다. (Hom은 적절한 유도 범주에서 취한다.) \(f^{-1}\)과 \(Rf_*\)의 수반성, \(Lg_!\)와 \(g^{-1}\)의 수반성 및 이들의 “프라임 붙은” 판본에 의해, 이는 위에서 증명한 동형 \(g^{-1} Rf_*\mathcal{I} \to Rf'_* (g')^{-1}\mathcal{I}\)에서 따른다.

\(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) 위의 유계 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\) (가군 또는 아벨 군의 복합체)의 경우(각각 \(\mathcal{Y}_{fppf}\) 위에서), 표준 사상 [07AX]\[\begin{equation} L(g')_!(f')^{-1}\mathcal{G}^\bullet \to f^{-1}Lg_!\mathcal{G}^\bullet \end{equation}\] 은 동형이다. 이는 절단을 사용하는 통상적인 논증과 \(L(g')_!(f')^{-1}\) 및 \(f^{-1}Lg_!\)가 삼각 범주의 완전 함자라는 사실을 적용하여 층의 경우로부터 따른다.

\(\mathcal{G}^\bullet\)이 \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) 위의 위로 유계인 복합체(가군 또는 아벨 군의 복합체)라고 하자(각각 \(\mathcal{Y}_{fppf}\) 위에서). 표준 사상 (07AX)은 동형이다. 실제로 우둔한 절단 \(\sigma_{\geq -n}\) (호몰로지, 절 0118 참조)을 사용하여 \(\mathcal{G}^\bullet\)을 유계 복합체들의 쌍대극한 \(\mathcal{G}^\bullet = \colim \mathcal{G}_n^\bullet\)으로 쓸 수 있다. 이로부터 특수 삼각형 \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \bigoplus\nolimits_{n \geq 1} \mathcal{G}_n^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet \to \ldots\] 을 얻으며, 함자 \(L(g')_!\), \((f')^{-1}\), \(f^{-1}\), \(Lg_!\) 각각은 (복합체의) 직합과 가환한다.

\(\mathcal{G}^\bullet\)이 \(\mathcal{Y}_{lisse,\etale}\) 위의 임의의 복합체(가군 또는 아벨 군의 복합체)라면(각각 \(\mathcal{Y}_{fppf}\) 위에서), 표준 절단 \(\tau_{\leq n}\) (호몰로지, 절 0118 참조)을 사용하여 \(\mathcal{G}^\bullet\)을 위로 유계인 복합체들의 쌍대극한으로 쓰고 앞 문단의 논증을 반복한다.

마지막으로 \(f^{-1}\)과 \(Rf_*\)의 수반성, \(Lg_!\)와 \(g^{-1}\)의 수반성, 그리고 이들의 “프라임 붙은” 판본에 의해, 보조정리의 첫 번째 항등식은 완전한 일반성 아래 두 번째 항등식으로부터 따른다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 표기는 스택의 코호몰로지, 보조정리 0788에서와 같다.

1. \(\mathcal{H}\)를 \(\mathcal{X}\)의 lisse-étale 사이트 위의 준연접 \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\)-가군이라 하자. 모든 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 층 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\)는 \(\mathcal{X}\) 위에서 평탄 밑변환 성질을 갖는 국소 준연접 가군이다.

2. \(\mathcal{H}\)를 \(\mathcal{X}\)의 flat-fppf 사이트 위의 준연접 \(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)-가군이라 하자. 모든 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 층 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\)는 \(\mathcal{X}\) 위에서 평탄 밑변환 성질을 갖는 국소 준연접 가군이다.

증명

스킴 \(U\)와 전사 매끄러운 사상 \(x : U \to \mathcal{X}\)를 택하자. 사이트 위의 가군, 정의 03DL에 의해, 각 당김 \(f_i^{-1}\mathcal{H}\)가 전역 표시를 갖도록 하는 étale 피복(각각 fppf 피복) \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 존재한다 (사이트 위의 가군, 정의 03DE 참조). 여기서 \(f_i : U_i \to \mathcal{X}\)는 대수적 스택의 사상인 합성 \(U_i \to U \to \mathcal{X}\)이다. (당김은 \(\mathcal{X}/f_i\)로의 제한과 “같음”을 상기하라. 스택 위의 층, 정의 06W1 및 그 뒤의 논의를 보라.) 피복을 세분하여 각 \(U_i\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 각 \(f_i\)가 매끄럽기(각각 평탄하기) 때문에 보조정리 07AV에 의해 \(f_i^{-1}Lg_!\mathcal{H} = Lg_{i, !}(f'_i)^{-1}\mathcal{H}\)이다. 스택의 코호몰로지, 보조정리 07AQ을 사용하면, 보조정리의 주장은 \(\mathcal{H}\)가 전역 표시를 갖고 어떤 아핀 스킴 \(X = \Spec(A)\)에 대해 \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)인 경우로 귀착된다.

우리의 표시가 다음과 같다고 하자. \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} \mathcal{O} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O} \longrightarrow \mathcal{H} \longrightarrow 0\] 여기서 \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}\)이고 (각각 \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}\)이다). 사이트 \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\) (각각 \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\))에는 끝 대상, 즉 준콤팩트한 \(X/X\)가 있음을 주목하라(사이트 위의 코호몰로지, 절 0737 참조). 따라서 \[\Gamma(\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}) = \bigoplus\nolimits_{i \in I} A\] 가 사이트, 보조정리 0738에 의해 성립한다. 따라서 표시의 사상은 \(A\)-가군 \(M\)의 유사한 표시 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} A \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{i \in I} A \longrightarrow M \longrightarrow 0\] 에 대응한다. 또한 \(\mathcal{H}\)는 \(M\)에 딸린 준연접 층 \(M^a\)를 lisse-étale(각각 flat-fppf) 사이트에 제한한 것과 같다. 자유 \(A\)-가군에 의한 분해 \[\ldots \to F_2 \to F_1 \to F_0 \to M \to 0\] 를 택하자. 복합체 \[\ldots \mathcal{O} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O} \otimes_A F_0 \to \mathcal{H} \to 0\] 는 자유 \(\mathcal{O}\)-가군에 의한 \(\mathcal{H}\)의 분해이다. 실제로 \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\)의 각 대상 \(U/X\)에 대해 (각각 \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)에서) 구조 사상 \(U \to X\)가 평탄하다. 따라서 구성에 의해 \(Lg_!\mathcal{H}\)의 값은 \[\ldots \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_2 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_1 \to \mathcal{O}_\mathcal{X} \otimes_A F_0 \to 0 \to \ldots\] 이다. 이는 \(\mathcal{X}_\etale\) 위의 준연접 가군의 복합체이므로 (각각 \(\mathcal{X}_{fppf}\) 위에서), 스택의 코호몰로지, 명제 0771에 의해 \(H^p(Lg_!\mathcal{H})\)는 준연접이다.

코호몰로지와 lisse-étale 및 flat-fppf 사이트

대수적 스택 \(\mathcal{X}\) 위의 층의 코호몰로지를 flat-fppf 사이트에서 계산할 수 있음을 이미 보았다. 이 절에서는 \(\mathcal{X}\)의 직접 범주의 (아마도) 비유계 대상에 대해서도 같은 사실이 참임을 증명한다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 보조정리 07AS의 (1)에 나오는 \(Lg_!\) 또는 보조정리 07AS의 (3)에 나오는 \(Lg_!\) 어느 경우에도 \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\)이다.

증명

flat-fppf 사이트와 fppf 사이트의 비교에 대해 이를 증명하겠다. lisse-étale 사이트의 경우도 완전히 같다. \(i \not = 0\)일 때 \(H^i(Lg_!\mathbf{Z})\)가 \(0\)이고 표준 사상 \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to \mathbf{Z}\)가 동형임을 보여야 한다. \(\mathcal{U}\)가 스킴이고 \(f\)가 또한 국소 유한 표시인 전사 평탄 사상 \(f : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\)를 택하자. (예를 들어 표시 \(U \to \mathcal{X}\)를 택하고 \(\mathcal{U}\)를 \(U\)에 대응하는 대수적 스택으로 둔다.) 스택 위의 층, 보조정리 06XD와 06XH에 의해, \(i \not = 0\)일 때 당김 \(f^{-1}H^i(Lg_!\mathbf{Z})\)가 \(0\)이고 \(H^0(Lg_!\mathbf{Z}) \to f^{-1}\mathbf{Z}\)의 당김이 동형임을 보이는 것으로 충분하다. 보조정리 07AV에 의해 \(f^{-1}Lg_!\mathbf{Z} = L(g')_!\mathbf{Z}\)를 얻는다. 여기서 \(g' : \Sh(\mathcal{U}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{U}_{fppf})\) 는 \(\mathcal{U}\)에 대한 해당 비교 사상이다. 이로써 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착된다.

어떤 스킴 \(X\)에 대해 \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)라고 하자. 이 경우 범주 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\)에는 끝 대상 \(e\), 즉 \(X/X\)가 있고, 더욱이 함자 \(u : \mathcal{X}_{flat, fppf} \to \mathcal{X}_{fppf}\)는 \(e\)를 끝 대상으로 보낸다. \(\mathbf{Z}\)는 끝 대상 위의 자유 아벨 층이므로 (끝 대상이 존재한다면), 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 07AC에 나오는 \(Lg_!\)의 바로 그 구성에 의해 \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\)를 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 표기는 보조정리 07AS에서와 같다.

1. \(D(\mathcal{X}_\etale)\)의 \(K\)에 대해 다음이 성립한다.

   1. \(R\Gamma(\mathcal{X}_\etale, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K)\)이고,

   2. \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\)의 임의의 대상 \(x\)에 대해 \(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}/x, g^{-1}K)\)이다.

2. \(D(\mathcal{X}_{fppf})\)의 \(K\)에 대해 다음이 성립한다.

   1. \(R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}, g^{-1}K)\)이고,

   2. \(\mathcal{X}_{flat,fppf}\)의 임의의 대상 \(x\)에 대해 \(H^p(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat,fppf}/x, g^{-1}K)\)이다.

두 경우 모두 가군에 대해서도 같은 사실이 성립한다. 실제로 \(g^{-1} = g^*\)이고, 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 0D6J에 의해 코호몰로지를 계산할 때 차이가 없다.

증명

flat-fppf 사이트와 fppf 사이트의 비교에 대해 이를 증명하겠다. lisse-étale 사이트의 경우도 완전히 같다. 보조정리 0H0Z에 의해 \(Lg_!\mathbf{Z} = \mathbf{Z}\)이다. 따라서 \[\begin{align*} R\Gamma(\mathcal{X}_{fppf}, K) & = R\Hom(\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(Lg_!\mathbf{Z}, K) \\ & = R\Hom(\mathbf{Z}, g^{-1}K) \\ & = R\Gamma(\mathcal{X}_{lisse,\etale}, g^{-1}K) \end{align*}\] 를 얻는다. 이것으로 (1)(a)를 증명했다. (1)(b)는 (1)(a)에서 따른다. 실제로 \(x\)가 스킴 \(U\) 위에 놓이면, 사이트 \(\mathcal{X}_\etale/x\)는 \((\Sch/U)_\etale\)와 동치이고 \(\mathcal{X}_{lisse,\etale}\)는 \(U_{lisse, \etale}\)와 동치이다.

준연접 가군의 유도 범주

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 포함 함자 \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)가 완전하지 않으므로, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)를 준연접 코호몰로지 층을 갖는 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 복합체들로 이루어진 충만한 부분범주로 정의할 수 없다. 대신 스택의 코호몰로지, 비고 07B2와 유사하게 준연접 가군의 유도 범주를 몫으로 정의한다.

\(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)가 평탄 밑변환 성질을 갖는 국소 준연접 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-가군들의 충만한 부분범주를 뜻함을 상기하라. 스택의 코호몰로지, 절 0GQG를 보라. 다음과 같이 줄여 쓰겠다. \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 유도 범주, 보조정리 06UQ와 스택의 코호몰로지, 명제 0771의 (2)로부터 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)가 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주임을 얻는다.

\(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)가 기생 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-가군들의 충만한 부분범주를 뜻한다고 하자. 스택의 코호몰로지, 절 0772를 보라. 다음과 같이 줄여 쓰겠다. \[D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 앞에서와 같이 이는 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주이다. 실제로 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 Serre 부분범주이다. 스택의 코호몰로지, 보조정리 0774를 보라.

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 두 약한 Serre 부분범주의 교집합 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)도 약한 Serre 부분범주이다. 마찬가지로 다음과 같이 줄여 쓰자. \[\begin{align*} D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) & = D_{\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ & = D_{\textit{Parasitic}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{align*}\] 앞에서와 같이 이는 \(D(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주이다. 따라서 특히 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주이다.

정의

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 위의 표기 아래, 준연접 코호몰로지 층을 갖는 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-가군의 유도 범주를 Verdier 몫으로 정의한다.¹ \[D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})/ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\]

Verdier 몫은 유도 범주, 절 05RA에서 정의된다. \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 사상 \(a : E \to E'\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에서 동형이 되는 것은 그 원뿔 \(C(a)\)가 기생 코호몰로지 층을 갖는 것과 동치이다. 유도 범주, 보조정리 05RL를 보라.

함자들을 생각하자. \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{H^i} \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{Q} \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] \(Q\)가 부분범주 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)를 소멸시킴을 주목하라. 스택의 코호몰로지, 보조정리 0779를 보라. 유도 범주, 보조정리 05RJ에 의해 코호몰로지 함자 [07B7]\[\begin{equation} H^i : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \end{equation}\] 를 얻는다. 또한 \(E \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)가 영 대상인 것은 모든 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^i(E) = 0\)인 것과 동치임을 주목하라. 실제로 스택의 코호몰로지, 보조정리 0779에 의해 \(Q\)의 핵은 정확히 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)와 같다.

범주 \(\textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)와 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)는 또한 étale 위상에서의 가군의 아벨 범주 \(\textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 약한 Serre 부분범주이다. 스택의 코호몰로지의 명제 0771와 보조정리 0774를 보라. 따라서 다음 보조정리의 명제가 의미를 갖는다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 다음과 같이 줄여 쓰자. \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\). 비교 사상 \(\epsilon : \mathcal{X}_{fppf} \to \mathcal{X}_\etale\)은 가환 그림 \[\xymatrix{ D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[u]^{\epsilon^*} & D(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[u]^{\epsilon^*} }\] 을 유도한다. 또한 왼쪽의 두 수직 화살표는 삼각 범주의 동치이므로, 다음 동치도 얻는다. \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\]

증명

\(\epsilon^*\)는 완전하므로 보조정리의 명제에 나오는 그림을 얻는 것은 명백하다. 다음 상황에 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 07A8를 적용하여 가운데 수직 화살표가 동치임을 보이겠다. \(\mathcal{C} = \mathcal{X}\), \(\tau = fppf\), \(\tau' = \etale\), \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_\mathcal{X}\), \(\mathcal{A} = \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)이고, \(\mathcal{B}\)는 아핀 스킴 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 대상들의 집합이다. 보조정리를 적용할 수 있음을 확인하려면 조건 (1), (2), (3), (4)를 확인해야 한다. 조건 (1)과 (2)는 위의 논의에서 명백하다(구체적으로는 스택의 코호몰로지, 명제 0771에서 따른다). 모든 스킴은 아핀 열린집합들에 의한 Zariski 열린 피복을 가지므로 조건 (3)이 성립한다. 조건 (4)는 강하, 보조정리 0756에서 따른다.

범주의 동치 \(\epsilon^* : D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 가 기생 코호몰로지 층을 갖는 복합체들의 부분범주 사이의 동치를 유도한다는 확인은 생략한다.

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 스택의 코호몰로지, 보조정리 07B4에 의해, 준연접 가군의 범주 \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)의 약한 Serre 부분범주를 이루고, 준연접 가군의 범주 \(\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\)는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\)의 약한 Serre 부분범주를 이룬다. 따라서 다음을 생각할 수 있다. \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\] 그리고 마찬가지로 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) = D_{\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})}( \mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \subset D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\] 앞에서와 같이 이들은 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주이다. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)는 이들 각각과 동치임이 밝혀진다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 다음과 같이 두자. \(\mathcal{P}_\mathcal{X} = \textit{Parasitic}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \cap \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\).

1. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})} (\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 대상이라 하자. lisse-étale 사이트에 대해 스택의 코호몰로지, 보조정리 0788에 나오는 \(g\)를 택하면 다음이 성립한다.

   1. \(g^*\mathcal{F}^\bullet\)은 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)에 속한다.

   2. \(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\)인 것은 \(\mathcal{F}^\bullet\)이 \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) 에 속하는 것과 동치이다.

   3. \(\mathcal{H}^\bullet\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)에 속하면 \(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\)은 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속한다.

   4. 함자 \(g^*\)와 \(Lg_!\)는 서로 역인 함자들을 정의한다. \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\]

2. \(\mathcal{F}^\bullet\)을 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 대상이라 하자. flat-fppf 사이트에 대해 스택의 코호몰로지, 보조정리 0788에 나오는 \(g\)를 택하면 다음이 성립한다.

   1. \(g^*\mathcal{F}^\bullet\)은 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\)에 속한다.

   2. \(g^*\mathcal{F}^\bullet = 0\)인 것은 \(\mathcal{F}^\bullet\)이 \(D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속하는 것과 동치이다.

   3. \(\mathcal{H}^\bullet\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\)에 속하면 \(Lg_!\mathcal{H}^\bullet\)은 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속한다.

   4. 함자 \(g^*\)와 \(Lg_!\)는 서로 역인 함자들을 정의한다. \[\xymatrix{ D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar@<1ex>[r]^-{g^*} & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}}) \ar@<1ex>[l]^-{Lg_!} }\]

증명

함자 \(g^* = g^{-1}\)는 완전하므로 (1)(a), (2)(a), (1)(b), (2)(b)는 스택의 코호몰로지의 보조정리 07B1와 07AR에서 따른다.

(1)(c)와 (2)(c)를 증명하자. 보조정리 07AS의 \(Lg_!\)의 구성은(사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 07AC를 통하며, 이는 다시 유도 범주, 명제 0794를 사용한다) \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)의 임의의 대상 \(\mathcal{H}^\bullet\)에 대한 \(Lg_!\)가 다음과 같이 계산됨을 보인다. \[Lg_!\mathcal{H}^\bullet = \colim g_!\mathcal{K}_n^\bullet = g_! \colim \mathcal{K}_n^\bullet\] (항별 쌍대극한이다.) 여기서 준동형 \(\colim \mathcal{K}_n^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet\)은 준동형 \(\mathcal{K}_n^\bullet \to \tau_{\leq n} \mathcal{H}^\bullet\)을 유도한다. 포함 함자 \[\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) \quad\text{및}\quad \textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset \textit{Mod}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 가 여과 쌍대극한과 양립하므로, (c)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\) 및 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat,fppf}})\)의 위로 유계인 복합체 \(\mathcal{H}^\bullet\)에 대해 증명하는 것으로 충분하다. 이 경우 \(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet)\)이 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속함을 보이기 위해, \(i > m\)이면 \(\mathcal{H}^i = 0\)이 되게 하는 정수 \(m\)에 관한 귀납법을 쓸 수 있다. \(m < n\)이면 \(H^n(Lg_!\mathcal{H}^\bullet) = 0\)이므로 결과가 성립한다. 일반적으로 특수 삼각형 \[\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet \to \mathcal{H}^\bullet \to H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m] \to \ldots\] (유도 범주, 비고 08J5)을 생각하고 함자 \(Lg_!\)를 적용한다. \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)는 가군 범주의 약한 Serre 부분범주이므로, 세 항 중 두 항에 대해 (c)를 증명하면 충분하다. \(Lg_!\tau_{\leq m - 1}\mathcal{H}^\bullet\)에 대해서는 귀납법으로 결과를 얻고, \(Lg_!H^m(\mathcal{H}^\bullet)[-m]\)에 대해서는 보조정리 07B3로 결과를 얻는다. 따라서 (c)가 성립한다.

(2)(d)를 증명하자. (2)(a)와 (2)(b)에 의해 함자 \(g^{-1} = g^*\)는 함자 \[c : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\] 를 유도한다. 유도 범주, 보조정리 05RJ를 보라. 따라서 다음과 같은 삼각 범주의 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[rd]^{g^{-1}} \ar[rr]_q & & D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[ld]^c \\ & D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}}) \ar@<1ex>[lu]^{Lg_!} }\] 여기서 \(q\)는 몫 함자이고, 안쪽 삼각형은 가환하며 \(g^{-1}Lg_! = \text{id}\)이다. \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 임의의 대상 \(E\)에 대해 사상 \(a : Lg_!g^{-1}E \to E\)는 \(D(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\)에서 준동형으로 보내진다. 따라서 \(a\)의 원뿔은 \(g^{-1}\) 아래 영으로 보내지고, (2)(b)에 의해 \(q(a)\)가 동형임을 알 수 있다. 그러므로 \(q \circ Lg_!\)는 \(c\)의 준역함자이다.

lisse-étale 사이트의 경우에는 위와 정확히 같은 논증으로 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X}) / D_{\mathcal{P}_\mathcal{X}}( \mathcal{X}_\etale, \mathcal{O}_\mathcal{X})\] 가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{lisse,\etale}})\)와 동치임을 증명한다. 보조정리 07B8의 마지막 동치를 적용하면 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 몫 함자 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)가 왼쪽 수반을 가짐을 말해 준다. 비고 0H11를 보라.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. \(E\)를 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 대상이라 하자. \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 안에 표준적인 특수 삼각형 \[E' \to E \to P \to E'[1]\] 이 존재하여, \(P\)는 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}} (\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속하고 모든 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 의 \(P'\)에 대해 \[\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(E', P') = 0\] 이다.

증명

스택의 코호몰로지, 절 0786에서 다룬 환 달린 토포스의 사상 \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\) 를 생각하자. \(E' = Lg_!g^*E\)로 두고, \(P\)를 수반 사상 \(E' \to E\)의 원뿔로 두자. 보조정리 07AS의 (4)를 보라. 보조정리 07B9의 (2)(a)와 (2)(c)에 의해 \(E'\)은 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속한다. 따라서 \(P\)도 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속한다. 보조정리 07AS의 (4)에 의해 \(g^*Lg_! = \text{id}\)이므로 사상 \(g^*E' \to g^*E\)는 동형이다. 따라서 \(g^*P = 0\)이고, 그러므로 보조정리 07B9의 (2)(b)에 의해 \(P\)는 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 의 대상이다. 마지막으로 \(P'\)가 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 에 속할 때 \[\Hom(E', P') = \Hom(Lg_!g^*E, P') = \Hom(g^*E, g^*P') = 0\] 이다. 실제로 보조정리 07B9의 (2)(b)에 의해 \(g^*P' = 0\)이다. 특수 삼각형 \(E' \to E \to P \to E'[1]\)은 표준적이다 (더 정확히 말해, \(E\) 위의 항등사상을 유도하는 삼각형들의 동형까지 유일하다). 유도 범주, 절 0CQP의 논의를 보라.

주

보조정리 07BA의 결과는 \[D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 가 왼쪽 허용 가능 부분범주임을 말해 준다. 유도 범주, 절 0CQP를 보라. 특히 \(\mathcal{A} \subset D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)가 그 왼쪽 직교를 나타내면, 유도 범주, 명제 0H0P에 의해 \(\mathcal{A}\)는 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에서 오른쪽 허용 가능하고, 합성 \[\mathcal{A} \longrightarrow D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 은 동치이다. 이는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)를 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 엄밀히 충만하고 포화된 삼각 부분범주로, 또 \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 그러한 부분범주로 볼 수 있음을 뜻한다.

준연접 가군의 유도 직접상

위 내용의 첫 응용으로 유도 직접상을 구성한다. 예, 절 07DC에서 독자는 대수적 스택의 준콤팩트 준분리 사상 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) 가운데 직접상 함자 \(Rf_*\)가 함자 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)를 유도하지 않는 예를 찾을 수 있다. 따라서 아래로 유계인 복합체로 제한할 필요가 있다.

명제

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 대수적 스택의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. 함자 \(Rf_*\)는 가환 그림 \[\xymatrix{ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] \ar[d]^{Rf_*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[d]^{Rf_*} \\ D^{+}_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) }\] 을 유도하고, 따라서 몫 범주 위의 함자 \[Rf_{\QCoh, *} : D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] 를 유도한다. 또한 스택의 코호몰로지, 명제 077A의 함자 \(R^if_\QCoh\)는 (07B7)의 \(H^i\)에 대해 \(H^i \circ Rf_{\QCoh, *}\)와 같다.

증명

\(E\)가 \(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속할 때 \(Rf_*E\)가 \(D^{+}_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)의 대상임을 보여야 한다. 이는 스택의 코호몰로지, 명제 0771와 스펙트럼 열 \(R^if_*H^j(E) \Rightarrow R^{i + j}f_*E\)에서 따른다. 기생 가군의 경우도 스택의 코호몰로지, 보조정리 0775를 사용하면 같은 방식으로 된다. 마지막 주장은 (07B7)에 나오는 \(H^i\)의 정의에서 명백하다.

준연접 가군의 유도 당김

준연접 코호몰로지 층을 갖는 복합체의 유도 당김은 일반적으로 존재한다.

명제

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 대수적 스택의 사상이라 하자. 완전 함자 \(f^*\)는 가환 그림 \[\xymatrix{ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \ar[r] & D(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \\ D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[r] \ar[u]^{f^*} & D(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \ar[u]^{f^*} }\] 을 유도한다. 합성 \[D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \xrightarrow{f^*} D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \xrightarrow{q_\mathcal{X}} D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] 은 국소화 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \to D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)에 관해 좌유도 가능하며, 그 좌유도 함자를 \(Lf^*_\QCoh\)로 정의할 수 있다. \[Lf_\QCoh^* : D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y}) \longrightarrow D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\] (유도 범주의 정의 05S9와 05SV 참조.) \(f\)가 준콤팩트하고 준분리이면 \(Lf^*_\QCoh\)와 \(Rf_{\QCoh, *}\)는 다음 수반성을 만족한다. \[\Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B)\] 여기서 \(A \in D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)이고 \(B \in D^{+}_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)이다.

증명

첫 번째 주장을 증명하려면 \(E\)가 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)에 속할 때 \(f^*E\)가 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 대상임을 보여야 한다. \(f^* = f^{-1}\)가 완전하고, 스택의 코호몰로지, 명제 0771에 의해 \(f^*\)는 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)를 \(\textit{LQCoh}^{fbc}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 안으로 보내므로 이는 즉시 따른다.

\(\mathcal{D} = D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\)로 두자. \(S\)를 그 원뿔이 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 의 대상인 \(\mathcal{D}\)의 사상들의 모임이라 하자. \(\mathcal{D}' = D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)로 두고, \(F = q_\mathcal{X} \circ f^* : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'\)로 두자. 그러면 \(\mathcal{D}, S, \mathcal{D}', F\)는 유도 범주의 상황 05S8과 정의 05S9에서와 같다. \(\mathcal{D}\)의 임의의 대상 \(E\)에 대해 \(LF(E)\)가 정의됨을 증명하자. 즉, 보조정리 07BA에서 구성한 삼각형 \[E' \to E \to P \to E'[1]\] 을 생각하자. \(s : E' \to E\)는 \(S\)의 원소임을 주목하라. \(E'\)이 \(LF\)를 계산한다고 주장한다. 실제로 \(s' : E'' \to E\)가 \(S\)의 또 다른 원소라고 하자. 즉, 이는 \(P'\)가 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 에 속하는 삼각형 \(E'' \to E \to P' \to E''[1]\)에 들어간다고 하자. 보조정리 07BA(및 그 증명)에 의해 \(E' \to E\)는 \(E'' \to E\)를 거쳐 분해된다. 따라서 \(E' \to E\)는 계 \(S/E\)에서 공종말이다. 그러므로 \(E'\)이 \(LF\)를 계산함은 명백하다.

마지막 주장을 보이기 위해 \(B = q_\mathcal{X}(H)\) 및 \(A = q_\mathcal{Y}(E)\)로 쓰자. 위와 같이 \(E' \to E\)를 택한다. 한편으로는 \(Rf_{\QCoh, *}(B) = q_\mathcal{Y}(Rf_*H)\)를 사용하고, 다른 한편으로는 \(Lf^*_\QCoh(A) = q_\mathcal{X}(f^*E')\)를 사용한다. \[\begin{align*} \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(Lf^*_\QCoh A, B) & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(q_\mathcal{X}(f^*E'), q_\mathcal{X}(H)) \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{X})}(f^*E', H') \\ & = \colim_{H \to H'} \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H') \\ & = \Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*H) \\ & = \Hom_{D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(A, Rf_{\QCoh, *}B) \end{align*}\] 여기서 쌍대극한은 그 원뿔 \(P(s)\)가 \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 의 대상인 \(D^+_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 사상 \(s : H \to H'\)에 걸쳐 취한다. 첫 번째 등식은 위에서 보았다. 두 번째 등식은 Verdier 몫의 구성에 의해 성립한다. 세 번째 등식은 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 07A6에 의해 성립한다. 명제 07BC에 의해 \(Rf_*P(s)\)는 \(D^+_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) 의 대상이므로 \(\Hom_{D(\mathcal{O}_\mathcal{Y})}(E', Rf_*P(s)) = 0\)이다. 따라서 네 번째 등식이 성립한다. 마지막 등식은 \(E'\)의 구성에 의해 성립한다.

유도 범주의 준연접 대상

이 절은 스택 위의 층, 절 0H0G의 연속이다. \(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 그 절에서 삼각 범주 \[\mathit{QC}(\mathcal{X}) = \mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\] 를 정의했고, \(\mathcal{X}\)가 대수공간 \(X\)로 표현가능하면 \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)와 동치임을 증명했다. 임의의 대수적 스택에 대해서도 같은 사실을 증명하기에 충분한 만큼의 이론을 정확히 마련했음이 밝혀진다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. \(K\)를 코호몰로지 층들이 기생인 \(D(\mathcal{X}_{fppf})\)의 대상이라 하자. 그러면 사상 \(U \to \mathcal{X}\)가 평탄인 스킴 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 모든 대상 \(x\)에 대해 \(R\Gamma(x, K) = 0\)이다.

증명

절 08MZ에서 논의한 토포스의 사상을 \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\)로 나타내자. \(x\)를 사상 \(U \to \mathcal{X}\)가 평탄인 스킴 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 대상이라 하자. 즉, \(x\)는 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\)의 대상이다. 보조정리 0H10의 (2)(b)에 의해 \(R\Gamma(x, K) = R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}/x, g^{-1}K)\)이다. 한편 우리의 가정은 \(D(\mathcal{X}_{flat, fppf})\)의 대상 \(g^{-1}K\)의 코호몰로지 층들이 영임을 뜻한다. 스택의 코호몰로지, 정의 0773를 보라. 따라서 \(g^{-1}K = 0\)이고, 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. \(K\)를 다음 성질을 갖는 \(D(\mathcal{X}_{fppf})\)의 대상이라 하자. 사상 \(U \to \mathcal{X}\)가 평탄인 아핀 스킴 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 모든 대상 \(x\)에 대해 \(R\Gamma(x, K) = 0\)이다. 그러면 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(\mathcal{X}, K) = 0\)이다.

증명

절 08MZ에서 논의한 토포스의 사상을 \(g : \Sh(\mathcal{X}_{flat, fppf}) \to \Sh(\mathcal{X}_{fppf})\)로 나타내자. 보조정리 0H10의 (2)(b)에 의해, 우리의 가정은 아핀 스킴 위에 놓이는 \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\)의 모든 대상 위에서 \(g^{-1}K\)의 코호몰로지가 소멸함을 뜻한다. \(\mathcal{X}_{flat, fppf}\)의 모든 대상 \(x\)는 그러한 대상들에 의한 피복을 가지므로, \(g^{-1}K\)의 코호몰로지 층들이 소멸한다. 즉, \(g^{-1}K = 0\)이다. 그러면 물론 \(R\Gamma(\mathcal{X}_{flat, fppf}, g^{-1}K) = 0\)이고, 이는 다시 보조정리 0H10의 (2)(a)에 의해 원하는 결론을 준다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. \(K\)를 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\)의 대상이라 하자. 그러면 \(Lg_!K\)는 다음 성질을 만족한다. \(\mathcal{X}_{affine}\)의 임의의 사상 \(x \to x'\)에 대해 사상 \[R\Gamma(x', Lg_!K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, Lg_!K)\] 은 준동형이다.

증명

보조정리 07B9의 (2)(c)에 의해 대상 \(Lg_!K\)는 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 속한다. 이로부터 \(\mathcal{O}(x') \to \mathcal{O}(x)\)가 평탄한 환 사상이면 보조정리에 표시된 사상이 동형임이 쉽게 따른다. 자세한 내용은 생략한다.

이 문단에서는 문제가 étale 위상에 대해 국소적임을 논증한다. \(x \to x'\)를 \(\mathcal{X}_{affine}\)의 일반적인 사상이라 하자. \(\{x'_i \to x'\}\)를 \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\)의 피복이라 하자. \(x_i = x \times_{x'} x'_i\)로 두면 \(\{x_i \to x\}\) 역시 \(\mathcal{X}_{affine, \etale}\)의 피복이다. 그러면 \(\mathcal{O}(x') \to \prod \mathcal{O}(x'_i)\)는 충실하게 평탄한 étale 환 사상이고 \[\prod \mathcal{O}(x_i) = \mathcal{O}(x) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \left(\prod \mathcal{O}(x'_i)\right)\] 이다. 따라서 우리가 생략하는 간단한 대수학 논증에 의해, 보조정리의 명제에 나오는 결과가 \(\mathcal{X}_{affine}\)의 각 사상 \(x_i \to x'_i\)에 대해 성립함을 증명하는 것으로 충분하다. 달리 말해 이 문제는 étale 위상에서 국소적이다.

스킴 \(X\)와 전사 매끄러운 사상 \(f : X \to \mathcal{X}\)를 택하자. (표기의 남용에 따라) \(f\)를 \(\mathcal{X}\)의 대상으로 볼 수 있고, 그러면 \((\Sch/X)_{fppf} = \mathcal{X}/f\)이다. 스택 위의 층, 절 075C을 보라. 예를 들어 스택 위의 층, 보조정리 06XH에 의해, \(x'_i : U'_i = p(x'_i) \to \mathcal{X}\)가 \(f\)를 거쳐 분해되게 하는 étale 피복 \(\{x'_i \to x'\}\)가 존재한다. 앞 문단의 결과에 의해, \(x \to x'\)가 함자 \((\Sch/X)_{fppf} \to \mathcal{X}\) 아래 \((\textit{Aff}/X)_{fppf}\)의 사상 \(U \to U'\)의 상인 사상이라고 가정할 수 있다. 이 지점에서 \((\Sch/X)_{fppf}\)로 제한한 \(Lg_!K\)가 보조정리 07AV에 의해 \(f^*Lg_!K = L(g')_!(f')^*K\)와 같다는 사실을 사용함을 알 수 있다. 이로써 다음 문단에서 논의하는 경우로 귀착된다.

\(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)이고 \(x \to x'\)가 아핀 스킴의 사상 \(U \to U'\)에 대응한다고 하자. 여전히 \(U'\) 위에서 étale하게 (또는 Zariski하게) 국소적으로 작업할 수 있으므로, \(U' \to X\)가 \(X\)의 어떤 아핀 열린집합을 거쳐 분해된다고 가정할 수 있다. 이로써 다음 문단에서 논의하는 경우로 귀착된다.

\(X = \Spec(R)\)가 아핀 스킴이고 \(\mathcal{X} = (\Sch/X)_{fppf}\)이며, \(x \to x'\)가 아핀 스킴의 사상 \(U \to U'\)에 대응한다고 하자. \(M^\bullet\)을 \(R\Gamma(X, K)\)를 나타내는 \(R\)-가군의 복합체라 하자. 대수학에 관한 추가 내용, 보조정리 06Y4의 구성에 의해, 각 \(P_n^\bullet\)이 자유 \(R\)-가군의 위로 유계인 복합체가 되도록 \(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\)이라고 가정할 수 있다. 자세한 내용은 생략한다. 대수학에 관한 추가 내용, 비고 09PB도 보라. 규칙 \[U \longmapsto \Gamma(U, M^\bullet \otimes_R \mathcal{O}_U)\] 으로 주어지는 \(X_{flat, fppf} = (\Sch/X)_{flat, fppf}\) 위의 가군 복합체 \(M^\bullet_{flat, fppf}\)를 생각하자. 강하, 절 03DR의 논의에 의해 이는 층의 복합체이다. 표준 사상 \(M^\bullet_{flat, fppf} \to K\)가 있으며, 증명 첫머리의 언급에 의해 이 사상은 \(X_{flat, fppf}\)의 아핀 대상 위의 단면들에 동형을 유도한다. \(X_{flat, fppf}\)의 모든 대상은 아핀 대상들에 의한 피복을 가지므로 \(M^\bullet_{flat, fppf}\)가 \(K\)와 일치함을 알 수 있다.

\(M^\bullet_{fppf}\)를 위에 표시한 것과 같은 공식으로 주어지는 \(X_{fppf}\) 위의 가군 복합체라 하자. \(Lg_!\mathcal{O} = g_!\mathcal{O} = \mathcal{O}\)임을 상기하라. \(Lg_!\)는 \(g_!\)의 좌유도 함자이므로 \(Lg_!P_{n, flat, fppf}^\bullet = P_{n, fppf}^\bullet\)을 얻는다. 함자 \(Lg_!\)는 호모토피 쌍대극한과 가환하고 (또는 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 07AC의 구성에 의해), \(M^\bullet = \colim P_n^\bullet\)이므로 \(Lg_!M^\bullet_{flat, fppf} = M^\bullet_{fppf}\)을 얻는다. \(U = \Spec(A)\), \(U' = \Spec(A')\)이고 \(U \to U'\)가 환 사상 \(A' \to A\)에 대응한다고 하자. 위에서 \[R\Gamma(U, Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A \quad\text{및}\quad R\Gamma(U', Lg_!K) = M^\bullet \otimes_R A'\] 임을 알 수 있다. \(M^\bullet\)은 \(R\)-가군의 K-평탄 복합체이므로, 텐서곱의 추이성에 의해 \[R\Gamma(U', Lg_!K) \otimes_{A'}^\mathbf{L} A \longrightarrow R\Gamma(U, Lg_!K)\] 는 원하는 대로 준동형이다.

명제

\(\mathcal{X}\)를 대수적 스택이라 하자. 그러면 \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)와 표준적으로 동치이다.

증명

스택 위의 층, 보조정리 0H0X에 의해 비교 사상 \(\epsilon : \mathcal{X}_{affine, fppf} \to \mathcal{X}_{affine}\)에 의한 당김은 \(\mathit{QC}(\mathcal{X})\)를 충만한 부분범주 \(Q_\mathcal{X} \subset D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\)와 동일시한다. 스택 위의 층, 식 (0H0C)에 나오는 환 달린 토포스의 동치를 사용하여, \(Q_\mathcal{X}\)를 \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\)의 충만한 부분범주로 볼 수 있고 그렇게 보기로 한다.

마찬가지로 보조정리 07BA와 비고 0H11에 의해, \(D_\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)를 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)의 왼쪽 허용 가능 부분범주 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 의 왼쪽 직교 \(\mathcal{A}\)로 볼 수 있다.

증명을 끝내기 위해 \(D(\mathcal{X}_{fppf}, \mathcal{O})\)의 부분범주로서 \(Q_\mathcal{X}\)와 \(\mathcal{A}\)가 같음을 보이겠다.

1단계: \(Q_\mathcal{X}\)는 \(D_{\textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\)에 포함된다. \(Q_\mathcal{X}\)의 대상 \(K\)는 다음 성질로 특징지어진다. \(K\)를 \(D(\mathcal{X}_{affine, fppf}, \mathcal{O})\)의 대상으로 볼 때, \(R\epsilon_*K\)는 \(\mathit{QC}(\mathcal{X}_{affine}, \mathcal{O})\)의 대상이다. 이는 다시 정확히 \(\mathcal{X}_{affine}\)의 모든 사상 \(x \to x'\)에 대해 사상 \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] 이 동형임을 뜻한다. 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 0GZS의 명제에 붙은 각주를 보라. 이제 \(x' \to x\)가 아핀 스킴의 평탄 사상 위에 놓이면, 이는 \[H^i(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')} \mathcal{O}(x) \cong H^i(x, K)\] 임을 뜻한다. 이는 분명히 \(H^i(K)\)가 étale 위상에 대한 층이고 (스택 위의 층, 보조정리 0H0E), 평탄 밑변환 성질을 가짐을 뜻한다(작은 세부 사항은 생략한다).

2단계: \(Q_\mathcal{X}\)는 \(\mathcal{A}\)에 포함된다. 이를 보이려면 \(K\)가 \(Q_\mathcal{X}\)에 속할 때, 모든 \(P\)가 \(D_{\textit{Parasitic} \cap \textit{LQCoh}^{fbc}}(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) 에 속하는 경우에 대해 \(\Hom(K, P) = 0\)임을 보이는 것으로 충분하다. 대상 \[H = R\SheafHom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K, P)\] 를 생각하자. \(x\)를 아핀 스킴 \(U = p(x)\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 대상이라 하자. 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 08JA에 의해 다음 식의 첫 번째 등식을 얻는다. \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(K|_{\mathcal{X}/x}, P|_{\mathcal{X}/x}) = R\Hom_{\mathcal{O}}(K|_{\mathcal{X}_{affine}/x}, P|_{\mathcal{X}_{affine}/x})\] 두 번째 등식은 사이트 \(\mathcal{X}/x\)의 토포스가 사이트 \(\mathcal{X}_{affine}/x\)의 토포스와 동치라는 사실에서 나온다. 스택 위의 층, 식 (0H0C)을 보라. 어떤 \(N\)이 \(\mathit{QC}(\mathcal{O})\)에 속하여 \(K = \epsilon^*N\)으로 쓸 수 있다. 그러면 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 0H0T에 의해 \[R\Gamma(x, H) = R\Hom_{D(\mathcal{O}(x))}(R\Gamma(x, N), R\Gamma(x, P))\] 임을 알 수 있다. 보조정리 0H13에 의해 \(U \to \mathcal{X}\)가 평탄하면 \(R\Gamma(x, P) = 0\)이고, 따라서 같은 가정 아래 \(R\Gamma(x, H) = 0\)이다. 보조정리 0H14에 의해 \(R\Gamma(\mathcal{X}, H) = 0\)이고, 그러므로 \(\Hom(K, P) = 0\)이다.

3단계: \(\mathcal{A}\)는 \(Q_\mathcal{X}\)에 포함된다. \(K\)를 \(\mathcal{A}\)의 대상이라 하고 \(x \to x'\)를 \(\mathcal{X}_{affine}\)의 사상이라 하자. 사상 \[R\Gamma(x', K) \otimes_{\mathcal{O}(x')}^\mathbf{L} \mathcal{O}(x) \longrightarrow R\Gamma(x, K)\] 이 준동형임을 보여야 한다. 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 0GZS의 명제에 붙은 각주를 보라. 보조정리 07BA의 증명과 비고 0H11의 논의에 의해, \(\mathcal{A}\)는 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\)로 제한한 \(Lg_!\)의 상이다. 따라서 어떤 \(M\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{X}_{flat, fppf}})\)에 속하여 \(K = Lg_!M\)이라고 가정할 수 있다. 그러면 원하는 등식은 보조정리 0H15에서 따른다.