대수적 스택의 극한

서론

이 장에서는 대수적 스택의 극한과 관련된 내용을 다룬다. 대수적 스택과 대수공간의 극한에 관한 많은 결과는 David Rydh가 [rydh_approx]에서 얻었다.

규약

『스택의 성질』의 절 04XA에서 도입한 규약과 용어의 관용적 사용을 계속 따른다.

유한 표시 사상

이 절은 『대수공간의 극한』의 절 049I에 대응한다. 그곳에서 우리는 \(\Sch\) 위의 함자들 사이의 변환이 극한을 보존한다는 말의 뜻을 정의했다(『대수공간의 극한』의 보조정리 06BC에 나오는 특성화를 살펴보기를 권한다). 『표현가능성의 판정 조건』의 절 06CT에서는 “대상에 대해 극한을 보존한다”는 개념을 정의했다. 또 『Artin의 공리』의 절 07XK에서는 \(\Sch\) 위의 준군 섬유화 범주가 극한을 보존한다는 말의 뜻을 정의했다. 이들을 결합하면 다음 개념을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 섬유화 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(S\) 위의 아핀 스킴들의 임의의 유향 극한 \(U = \lim U_i\)에 대해 섬유 범주들의 도식 \[\xymatrix{ \colim \mathcal{X}_{U_i} \ar[r] \ar[d]_f & \mathcal{X}_U \ar[d]^f \\ \colim \mathcal{Y}_{U_i} \ar[r] & \mathcal{Y}_U }\] 이 \(2\)-카르테시안이면 \(f\)가 극한을 보존한다고 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 섬유화 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(f\)가 극한을 보존하면(정의 0CMR), \(f\)는 대상에 대해 극한을 보존한다(『표현가능성의 판정 조건』의 절 06CT).

증명

\(U\) 위의 아핀 스킴들의 모든 유향 극한 \(U = \lim U_i\)에 대해 함자 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow (\colim \mathcal{Y}_{U_i}) \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\] 가 본질적으로 전사이면, \(f\)는 대상에 대해 극한을 보존한다.

보조정리

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)와 \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 섬유화 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)가 극한을 보존하면, \(q\)에 의한 \(p\)의 밑변환 \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) 도 극한을 보존한다.

증명

이는 형식적이다. \(U = \lim_{i \in I} U_i\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴 \(U_i\)들의 유향 극한이라 하자. 각 \(i\)에 대해 \[(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{Z}_{U_i}\] 이다. 여과 쌍대극한은 범주들의 \(2\)-섬유곱과 가환하므로 (세부사항은 생략한다), \(p\)가 극한을 보존하면 다음을 얻는다. \[\begin{align*} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} & = \colim \mathcal{X}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Z}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i}. \end{align*}\] 이는 원하는 결과이다.

보조정리

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)와 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 섬유화 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(p\)와 \(q\)가 극한을 보존하면, 합성 \(q \circ p\)도 극한을 보존한다.

증명

이는 형식적이다. \(U = \lim_{i \in I} U_i\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴 \(U_i\)들의 유향 극한이라 하자. \(p\)와 \(q\)가 극한을 보존하면 \[\begin{align*} \colim \mathcal{X}_{U_i} & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Y}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \end{align*}\] 를 얻는다. 이는 원하는 결과이다.

보조정리

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 섬유화 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(p\)가 대수공간으로 표현가능하면 다음 조건들은 동치이다.

1. \(p\)는 극한을 보존한다.

2. \(p\)는 대상에 대해 극한을 보존한다.

3. \(p\)는 국소적으로 유한 표시이다(『대수적 스택』의 정의 03YK를 보라).

증명

『표현가능성의 판정 조건』의 보조정리 06CX에서 (2)와 (3)이 동치임을 보았다. 따라서 (1)과 (2)가 동치임을 보이면 충분하다. 한 방향은 보조정리 0CMS에서 보았다. 다른 방향을 위해 \(U = \lim_{i \in I} U_i\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴 \(U_i\)들의 유향 극한이라 하자. 다음 함자가 동치임을 보여야 한다. \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] (2)를 가정했으므로 이 함자가 본질적으로 전사임을 안다. 따라서 완전충실함을 증명하면 된다. \(p\)는 각 섬유 범주에서 충실하므로 (『대수적 스택』의 보조정리 02ZY), 이 함자가 충실함을 알 수 있다. \(x_i\)와 \(x'_i\)를 \(U_i\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 섬유 범주에 속하는 대상이라 하자. 위 함자는 \(x_i\)를 \((x_i|_U, p(x_i), can)\)으로 보내는데, 여기서 \(can\)은 표준 동형사상 \(p(x_i|_U) \to p(x_i)|_U\)이다. 따라서 이 증명의 첫 번째 표시 사상의 우변 범주에서 사상 \[(\alpha, \beta_i) : (x_i|_U, p(x_i), can) \longrightarrow (x'_i|_U, p(x'_i), can)\] 이 주어졌다고 하자. 우리의 과제는 \(i' \geq i\)와, 위 함자에 의해 \((\alpha, \beta_i|_{U_{i'}})\)로 보내지는 사상 \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\)를 만드는 것이다.

\(y_i = p(x_i)\) 및 \(y'_i = p(x'_i)\)로 둔다. 『대수적 스택』의 보조정리 02ZY 에 의해 함자 \[X_{y_i} : (\Sch/U_i)^{opp} \to \textit{Sets},\quad V/U_i \mapsto \{(x, \phi) \mid x \in \Ob(\mathcal{X}_V), \phi : f(x) \to y_i|V\}/\cong\] 는 \(U_i\) 위의 대수공간이고, 마찬가지로 정의한 함자 \(X_{y'_i}\)도 그렇다. (2)는 (3)과 동치이므로 \(X_{y'_i}\)가 \(U_i\) 위에서 국소적으로 유한 표시임을 알 수 있다. \((x_i, \text{id})\)와 \((x'_i, \text{id})\)가 각각 \(X_{y_i}\)와 \(X_{y'_i}\)의 \(U_i\)-값 점을 정의함에 유의하자. 함자들의 변환 \[\beta_i : X_{y_i} \to X_{y'_i},\quad (x/V, \phi) \mapsto (x/V, \beta_i|_V \circ \phi)\] 가 존재한다. 다시 말해 이것은 \(U_i\) 위의 대수공간들의 사상이다. 우리는 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] 이 가환한다고 주장한다. 실제로 이는 함자 \(X_{y'_i}\)의 정의에 나오는 쌍 \((x_i|_U, \beta_i|_U)\)와 \((x'_i|_U, \text{id})\)가 동형이라는 조건과 동치이다. 그리고 사상 \(\alpha : x_i|_U \to x'_i|_U\)가 바로 그러한 동형사상을 만든다. 이 논의를 거꾸로 따르면, 도식 \[\xymatrix{ U_{i'} \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] 이 가환하도록 하는 어떤 \(i' \geq i\)를 찾을 수 있다면, 앞 문단에서 제기한 문제의 해가 되는 동형사상 \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\)를 얻음을 알 수 있다. 그런데 대각사상 \[\Delta : X_{y'_i} \to X_{y'_i} \times_{U_i} X_{y'_i}\] 은 국소적으로 유한 표시이다(『대수공간의 사상』의 보조정리 084P). 따라서 \(U \to U_i\)가 \(X_{y'_i}\)로 가는 두 사상을 등화한다는 사실은, 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 \(U_{i'} \to U_i\)가 그 두 사상을 등화함을 뜻한다. 『대수공간의 극한』의 명제 04AK를 보라.

보조정리

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 섬유화 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 대각사상 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) 가 극한을 보존한다.

2. \(S\) 위의 아핀 스킴들의 모든 유향 극한 \(U = \lim U_i\)에 대해 함자 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] 가 완전충실하다.

특히 \(p\)가 극한을 보존하면 \(\Delta\)도 극한을 보존한다.

증명

\(U = \lim U_i\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이라 하자. 함자 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] 가 완전충실할 필요충분조건은 함자 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i}\] 가 동치인 것이라고 주장한다. 이로써 보조정리가 증명된다. 실제로 \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\) 이고 \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{X}_{U_i}\) 이므로, 이는 다음 문단에서 논의할 순전히 범주론적인 명제이다.

\(\mathcal{I}\)를 여과 지표 범주라 하자. \((\mathcal{C}_i)\)와 \((\mathcal{D}_i)\)를 \(\mathcal{I}\) 위의 준군들의 계라 하자. \(p : (\mathcal{C}_i) \to (\mathcal{D}_i)\)를 \(\mathcal{I}\) 위의 준군 계들의 사상이라 하자. 준군들의 함자 \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)와 가환도식 \[\xymatrix{ \colim \mathcal{C}_i \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \colim \mathcal{D}_i \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] 에 들어맞는 함자 \(f : \colim \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) 및 \(g : \colim \mathcal{D}_i \to \mathcal{D}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \[A : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \colim \mathcal{D}_i\] 가 완전충실할 필요충분조건은 함자 \[B : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} \colim (\mathcal{C}_i \times_{\mathcal{D}_i} \mathcal{C}_i)\] 가 동치인 것이라고 주장한다. \(\mathcal{C}' = \colim \mathcal{C}_i\) 및 \(\mathcal{D}' = \colim \mathcal{D}_i\)로 둔다. \(2\)-섬유곱은 여과 쌍대극한과 가환하므로 \(A\)와 \(B\)는 각각 다음 함자가 된다. \[A' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}' \quad\text{및}\quad B' : \mathcal{C}' \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}')\] 따라서 준군들의 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \mathcal{D}' \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] 이 주어졌을 때 \(A'\)가 완전충실할 필요충분조건이 \(B'\)가 동치인 것임을 보이면 충분하다. 이는 『범주』의 보조정리 04Z7에서 따른다 (기저 범주가 자명한, 즉 한 점으로 된 경우). 실제로 \[\mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}') = \mathcal{C}' \times_{A', \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}', A'} \mathcal{C}'\] 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{X}\)를 \(S\) 위의 대수적 스택이라 하자. \(\mathcal{X} \to S\)가 국소적으로 유한 표시이면, \(\mathcal{X}\)는 『Artin의 공리』의 정의 07XL의 의미에서 극한을 보존한다 (동치로, 사상 \(\mathcal{X} \to S\)가 극한을 보존한다).

증명

어떤 스킴 \(U\)에 대해 전사 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)를 택한다. 그러면 \(U \to S\)는 국소적으로 유한 표시이다. 『스택의 사상』의 절 06Q1을 보라. 『대수적 스택』의 보조정리 04T5에 의해 대수공간의 어떤 매끄러운 준군 \((U, R, s, t, c)\)에 대해 \(\mathcal{X} = [U/R]\)로 쓸 수 있다. \(U\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시이므로 대수공간 \(R\)도 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시이다. \([U/R]\)은 \(T\) 위의 섬유 범주가 준군 \((U(T), R(T), s, t, c)\)인 준군 섬유화 범주를 스택화하여 얻은 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 준군 스택임을 상기하자. 함자로서 \(U\)와 \(R\)은 극한을 보존하므로 (『대수공간의 극한』의 명제 04AK), 이 준군 섬유화 범주는 극한을 보존한다. 따라서 fppf 스택화가 극한 보존성을 보존함을 보이면 충분하다. 이는 참이다 (힌트: 『위상』의 보조정리 049N를 사용하라). 그러나 이 경우 스택화가 무엇을 뜻하는지 알고 있으므로 아래에서 직접 증명한다.

\(T = \lim T_\lambda\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이라 하자. 함자 \[\colim [U/R]_{T_\lambda} \longrightarrow [U/R]_T\] 가 범주들의 동치임을 보여야 한다. 먼저 이 함자가 본질적으로 전사임을 보이자. \(x \in \Ob([U/R]_T)\)라 하자. 『대수공간의 준군』의 보조정리 044X에서 범주 \([U/R]_T\)의 기술을 찾을 수 있다. 특히 \(x\)는 fppf 피복 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)와 이 피복에 대한 \([U/R]\)-하강 데이터 \((u_i, r_{ij})\)에 대응한다. 이 피복을 세분하여 아핀 스킴 \(T\)의 표준 fppf 피복이라고 가정할 수 있다. 『위상』의 보조정리 049N에 의해 어떤 \(\lambda\)와 표준 fppf 피복 \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\)를 택하여, \(T\)로 밑변환한 것이 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)와 같게 할 수 있다. 각 \(i\)에 대해 \(\lambda\)를 키우면, \(T_i \to T_{\lambda, i}\)와 합성한 것이 주어진 사상 \(u_i\)인 사상 \(u_{\lambda, i} : T_{\lambda, i} \to U\)를 찾을 수 있다 (여기서 \(U\)가 극한을 보존함을 사용한다). 마찬가지로 각 \(i, j\)에 대해 \(\lambda\)를 키우면, \(T_{ij} \to T_{\lambda, ij}\)와 합성한 것이 주어진 사상 \(r_{ij}\)인 사상 \(r_{\lambda, ij} : T_{\lambda, i} \times_{T_\lambda} T_{\lambda, j} \to R\) 을 찾을 수 있다(여기서 \(R\)이 극한을 보존함을 사용한다). \(\lambda\)를 더 키워서 \[s \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, i} \circ \text{pr}_0 \quad\text{및}\quad t \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, j} \circ \text{pr}_1,\] 그리고 \[c \circ (r_{\lambda, jk} \circ \text{pr}_{12}, r_{\lambda, ij} \circ \text{pr}_{01}) = r_{\lambda, ik} \circ \text{pr}_{02}.\] 라고 가정할 수 있다. 다시 말해 \((u_{\lambda, i}, r_{\lambda, ij})\)가 피복 \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\)에 대한 \([U/R]\)-하강 데이터라고 가정할 수 있다. 그러면 \(T_\lambda\) 위의 \([U/R]\)의 대응하는 대상을 얻고, 이를 \(T\)로 당기면 원하는 대로 \(x\)와 동형이다. 완전충실성의 증명도 『대수공간의 준군』의 보조정리 044X에 주어진 \([U/T]\)의 섬유 범주에서 사상들의 기술을 사용하여 정확히 같은 방식으로 된다.

명제

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 대수적 스택들의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 극한을 보존한다.

2. \(f\)는 대상에 대해 극한을 보존한다.

3. \(f\)는 국소적으로 유한 표시이다.

증명

(3)을 가정하자. \(T = \lim T_i\)를 아핀 스킴들의 유향 극한이라 하자. 함자 \[\colim \mathcal{X}_{T_i} \longrightarrow \mathcal{X}_T \times_{\mathcal{Y}_T} \colim \mathcal{Y}_{T_i}\] 를 생각하자. \((x, y_i, \beta)\)를 우변의 대상이라 하자. 즉, \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\), \(y_i \in \Ob(\mathcal{Y}_{T_i})\)이고, \(\beta : f(x) \to y_i|_T\)는 \(\mathcal{Y}_T\)의 사상이다. 그러면 \((x, y_i, \beta)\)를 \(T\) 위의 대수적 스택 \(\mathcal{X}_{y_i} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}, y_i} T_i\)의 대상으로 볼 수 있다. \(\mathcal{X}_{y_i} \to T_i\)는 \(f\)의 밑변환이므로 국소적으로 유한 표시이고, 보조정리 0CMX에 의해 극한을 보존한다. 이는 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 \((x, y_i, \beta)\)가 \(T_{i'}\) 위의 대상에서 온다는 뜻이다. 정의를 풀면 \((x, y_i, \beta)\)가 표시된 함자의 본질적 상에 속한다. 즉 그 함자는 본질적으로 전사이며, 달리 말하면 \(f\)가 대상에 대해 극한을 보존한다. 이제 이 논의를 \(f\)의 대각사상 \(\Delta\)에 적용하자. 『스택의 사상』의 보조정리 0CMG에 의해 \(\Delta\)는 국소적으로 유한 표시이다. 따라서 위 논의로부터 \(\Delta\)가 대상에 대해 극한을 보존한다. 보조정리 0CMV에 의해 \(\Delta\)는 극한을 보존한다. 보조정리 0CMW에 의해 위 표시 함자는 완전충실하다. 이미 본질적으로 전사임을 증명했으므로 이 함자는 동치이고, (1)을 얻는다.

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 자명하다. (2)를 가정하자. 스킴 \(V\)와 전사 매끄러운 사상 \(V \to \mathcal{Y}\)를 택한다. 『표현가능성의 판정 조건』의 보조정리 06CV에 의해 밑변환 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\)는 대상에 대해 극한을 보존한다. 스킴 \(U\)와 전사 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)를 택한다. 매끄러운 사상은 국소적으로 유한 표시이므로 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)는 극한을 보존한다 (증명의 첫 부분). 『표현가능성의 판정 조건』의 보조정리 06CW에 의해 합성 \(U \to V\)는 대상에 대해 극한을 보존한다. 따라서 \(U \to V\)는 국소적으로 유한 표시이다. 『표현가능성의 판정 조건』의 보조정리 06CX를 보라. 이는 바로 \(f\)가 국소적으로 유한 표시라는 조건이다. 『스택의 사상』의 정의 06Q2를 보라.

성질의 하강

이 절은 『극한』의 절 081A에 대응한다.

설정

\(Y = \lim_{i \in I} Y_i\)를 아핀 전이사상을 갖는 대수공간들의 유향계의 극한이라 하자. 모든 \(i \in I\)에 대해 \(X_i\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. 또한 원소 \(0 \in I\)를 하나 택한다.

보조정리

상황 0CPY에서 \(\mathcal{X}_0 \to Y_0\)가 대수적 스택에서 \(Y_0\)로 가는 사상이라고 하자. \(\mathcal{X}_0\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정하자. \(Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y\)가 분리이면, 충분히 큰 모든 \(i \in I\)에 대해 \(Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y_i\)도 분리이다.

증명

\(\mathcal{X} = Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\) 및 \(\mathcal{X}_i = Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\)로 쓰자. 아핀 스킴 \(U_0\)과 전사 매끄러운 사상 \(U_0 \to \mathcal{X}_0\)를 택한다. \(U = Y \times_{Y_0} U_0\) 및 \(U_i = Y_i \times_{Y_0} U_0\)로 둔다. 그러면 \(U\)와 \(U_i\)는 아핀이고, \(U \to \mathcal{X}\)와 \(U_i \to \mathcal{X}_i\)는 매끄럽고 전사이다. \(R_0 = U_0 \times_{\mathcal{X}_0} U_0\)로 두고, \(R = Y \times_{Y_0} R_0\) 및 \(R_i = Y_i \times_{Y_0} R_0\)로 둔다. 그러면 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)이고 \(R_i = U_i \times_{\mathcal{X}_i} U_i\)이다.

이 표기에서 \(\mathcal{X} \to Y\)가 분리이면 \(R \to U \times_Y U\)는 \(U \times_Y U \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\)에 의한 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\)의 밑변환이므로 고유임에 유의하자. 반대로 \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\)가 고유이면 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\)가 분리이다. 실제로 \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) 는 전사이고 매끄럽다. 『스택의 성질』의 보조정리 04XD를 보라. \(R_0 \to U_0 \times_{Y_0} U_0\)는 국소 유한형이고 \(R_0\)는 준콤팩트이며 준분리임에 유의하자. 『대수공간의 극한』의 보조정리 08K1에 의해 충분히 큰 \(i\)에 대해 \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\)가 고유이고, 이로써 증명이 끝난다.

상대적 대상의 하강

이 절은 『대수공간의 극한』의 절 07SJ에 대응한다.

보조정리

\(I\)를 유향집합이라 하자. \((X_i, f_{ii'})\)를 \(I\) 위의 대수공간들의 역계라 하고 다음을 가정하자.

1. 사상 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\)는 아핀이다.

2. 공간 \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

\(X = \lim X_i\)라 하자. \(\mathcal{X}\)가 \(X\) 위 유한 표시인 대수적 스택이면, 어떤 \(i \in I\)와 \(X_i\) 위 유한 표시인 대수적 스택 \(\mathcal{X}_i\)가 존재하여 \(X\) 위의 대수적 스택으로서 \(\mathcal{X} \cong \mathcal{X}_i \times_{X_i} X\)이다.

증명

『스택의 사상』의 정의 06Q2에 의해 \(\mathcal{X} \to X\)는 준콤팩트이고 국소적으로 유한 표시이며 준분리이다. \(X\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{X} \to X\)도 준콤팩트이므로 \(\mathcal{X}\)는 준콤팩트이다(『스택의 사상』의 정의 050U). 따라서 아핀 스킴 \(U\)와 전사 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)를 찾을 수 있다 (『스택의 성질』의 보조정리 04YC). \(R = U \times_\mathcal{X} U\)로 둔다. 그러면 \(X\) 위의 대수공간의 매끄러운 준군 \((U, R, s, t, c)\)를 얻고 \(\mathcal{X} = [U/R]\)이다. 『대수적 스택』의 보조정리 04T5를 보라. \(\mathcal{X} \to X\)가 준분리이고 \(X\)도 준분리이므로 \(\mathcal{X}\)는 준분리이다(『스택의 사상』의 보조정리 050K). 따라서 \(R \to U \times U\)는 준콤팩트이고 준분리이며(『스택의 사상』의 보조정리 050H), \(R\)은 준분리이고 준콤팩트인 대수공간이다. 한편 \(U \to X\)는 국소적으로 유한 표시이고, 따라서 \(R \to X\)도 국소적으로 유한 표시이다(\(s : R \to U\)가 매끄러우므로 국소적으로 유한 표시이기 때문이다). 그러므로 \((U, R, s, t, c)\)는 \(X\) 위 유한 표시인 대수공간들의 범주에서 준군 대상이다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 07SK에 의해 어떤 \(i\)와 \(X_i\) 위의 대수공간의 준군 \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i)\)가 존재하여, \(X\)로 당긴 것은 \((U, R, s, t, c)\)와 동형이다. \(i\)를 키워서 \(s_i\)와 \(t_i\)가 매끄럽다고 가정할 수 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 0CN2를 보라. 몫 스택 \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\)는 대수적 스택이다 (『대수적 스택』의 정리 04TK).

『대수공간의 준군』의 보조정리 046Q에 의해 사상 \([U/R] \to [U_i/R_i]\)가 있다. 이 사상과 사상 \([U/R] \to X\) 및 \([U_i/R_i] \to X_i\) (『대수공간의 준군』의 보조정리 044R)을 결합하면 동형사상 (즉 동치) \[[U/R] \longrightarrow [U_i/R_i] \times_{X_i} X\] 을 얻는다고 주장한다. 『대수공간의 준군』의 식 (044P)에서 말하는 “준군의 전층” 수준에서 대응하는 사상 \[[U/_{\!p}R] \longrightarrow [U_i/_{\!p}R_i] \times_{X_i} X\] 은 동형사상이다. 따라서 스택화가 섬유곱과 가환한다는 사실에서 주장이 따른다. 『스택』의 보조정리 04Y1를 보라.

유한 표시 안에 닫힌 유한형

이 절은 『대수공간의 극한』의 절 07SP에 대응한다.

보조정리

\(f : \mathcal{X} \to Y\)를 대수적 스택에서 대수공간으로 가는 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한형이고 준분리이다.

2. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 유한 표시 사상 \(f' : \mathcal{X}' \to Y\)와 \(Y\) 위의 대수적 스택들의 닫힌 몰입 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)가 존재한다.

증명

『대수공간의 극한』의 명제 07SU에 의해 \(Y_i\)가 뇌터이고 전이사상이 아핀인 어떤 유향집합 \(I\) 위의 대수공간들의 극한 \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\)로 이를 쓰자. 우리는 『대수공간의 극한』의 절 0CP5의 내용을 사용한다.

표현 \(\mathcal{X} = [U/R]\)을 택한다. 이에 대응하는 \(Y\) 위의 대수공간의 준군을 \((U, R, s, t, c, e, i)\)로 나타내자. \(U\)는 아핀이라고 가정해도 좋고 그렇게 한다. 그러면 \(U\), \(R\), \(R \times_{s, U, t} R\)은 \(Y\) 위 유한형인 준분리 대수공간들이다. 두 사상 \(s, t : R \to U\), 세 사상 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\), \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\), \(\text{pr}_2 : R \times_{s, U, t} R \to R\), 사상 \(e : U \to R\), 그리고 마지막으로 사상 \(i : R \to R\)가 있다. 이 사상들은 『준군』의 절 0230에 자세히 적힌 공리들을 만족한다.

『대수공간의 극한』의 주석 0CPB에 따라 어떤 \(i_0 \in I\)와 \((Y_i)_{i \geq i_0}\) 위의 역계들

1. \((U_i)_{i \geq i_0}\),

2. \((R_i)_{i \geq i_0}\),

3. \((T_i)_{i \geq i_0}\)

을 찾아서 \(U = \lim_{i \geq i_0} U_i\), \(R = \lim_{i \geq i_0} R_i\), 그리고 \(R \times_{s, U, t} R = \lim_{i \geq i_0} T_i\) 가 되게 할 수 있다. 또한 계들의 사상

1. \((s_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\),

2. \((t_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\),

3. \((c_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

4. \((p_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

5. \((q_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

6. \((e_i)_{i \geq i_0} : (U_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\),

7. \((i_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)

이 존재하여 \(s = \lim_{i \geq i_0} s_i\), \(t = \lim_{i \geq i_0} t_i\), \(c = \lim_{i \geq i_0} c_i\), \(\text{pr}_1 = \lim_{i \geq i_0} p_i\), \(\text{pr}_2 = \lim_{i \geq i_0} q_i\), \(e = \lim_{i \geq i_0} e_i\), 그리고 \(i = \lim_{i \geq i_0} i_i\)가 되게 할 수 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 0CPD에 의해 \(s_i\)와 \(t_i\)가 매끄럽다고 가정할 수 있다(이를 위해 \(i_0\)를 키워야 할 수도 있다). 『대수공간의 극한』의 보조정리 0CPC에 의해 모든 \(i \geq i_0\)에 대해, \(s\)와 \(R \to R_i\)가 주는 사상 \(R \to U \times_{U_i, s_i} R_i\) 및 \(t\)와 \(R \to R_i\)가 주는 사상 \(R \to U \times_{U_i, t_i} R_i\)가 동형사상이라고 가정할 수 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 0CPF에 의해 도식 \[\xymatrix{ T_i \ar[r]_{q_i} \ar[d]_{p_i} & R_i \ar[d]^{t_i} \\ R_i \ar[r]^{s_i} & U_i }\] 이 카르테시안이라고 가정할 수 있다. 그러면 『대수공간의 극한』의 보조정리 0CPA의 유일성으로부터, 충분히 큰 \(i\)에 대해 위에서 언급한 \(s, t, c, e, i\) 사이의 관계들이 \(s_i, t_i, c_i, e_i, i_i\)에 대해서도 성립함이 보장된다. 그러한 \(i\)를 고정한다.

그러면 \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\)는 \(Y_i\) 위의 대수공간의 매끄러운 준군이다. 따라서 \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\)는 대수적 스택이다 (『대수적 스택』의 정리 04TK). \(Y \to Y_i\) 위의 준군 사상 \[(U, R, s, t, c, e, i) \to (U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\] 은 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X}_i \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y_i }\] 을 결정한다(『대수공간의 준군』의 보조정리 046Q). 사상 \(\mathcal{X} \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\)가 닫힌 몰입이라고 주장한다. 구성에 의해 대수적 스택 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\)는 유한 표시이므로, 이 주장이 증명을 끝낸다. 주장을 증명하기 위해 왼쪽 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}_i } \quad\quad \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Y \times_{Y_i} U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i }\] 이 『대수공간의 준군』의 보조정리 04ZN와 위 결과들에 의해 카르테시안임에 유의하자. 따라서 오른쪽 가환도식도 카르테시안이다. 이제 원하는 결과는 다음 사실들에서 따른다. 역계 \((U_i)\)의 구성에 의해 \(U \to Y \times_{Y_i} U_i\)는 닫힌 몰입이다(『대수공간의 극한』의 보조정리 0CP9); \(Y \times_{Y_i} U_i \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\)는 매끄럽고 전사이다; 그리고 『스택의 성질』의 보조정리 0503가 성립한다.

분리된 대수적 스택에 대해서도 같은 형태의 결과가 있다.

보조정리

\(f : \mathcal{X} \to Y\)를 대수적 스택에서 대수공간으로 가는 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한형이고 분리이다.

2. \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 유한 표시인 분리 사상 \(f' : \mathcal{X}' \to Y\)와 \(Y\) 위의 대수적 스택들의 닫힌 몰입 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)가 존재한다.

증명

먼저 보조정리 0CQ1의 증명과 정확히 같은 절차를 사용하여(그 표기도 빌려 쓴다), 몰입 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)를 \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\)인 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' = Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\)로 구성한다. 따라서 충분히 큰 \(i\)에 대해 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\)가 분리임을 보이면 충분하다. 다시 말해, 충분히 큰 \(i\)에 대해 \(\mathcal{X}_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\)가 고유임을 보이면 충분하다. 사상 \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\)가 전사이고 매끄러우며 \(R_i = \mathcal{X}_i \times_{\mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i} U_i \times_{Y_i} U_i\) 이므로, 충분히 큰 \(i\)에 대해 사상 \((s_i, t_i) : R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\)가 고유임을 보이면 충분하다. 『스택의 성질』의 보조정리 04XD를 보라. 이를 다음 문단에서 증명한다.

\(U \times_Y U \to Y\)가 준분리이고 유한형임을 관찰하자. 따라서 『대수공간의 극한』의 주석 0CPB의 구성을 사용하여 \(i_1 \in I\)와 \(U \times_Y U = \lim_{i \geq i_1} V_i\)인 역계 \((V_i)_{i \geq i_1}\)를 찾을 수 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 0CPF에 의해, 충분히 큰 \(i\)에 대하여 사영 \(U \times_Y U \to U\)에 적용한 구성의 함자성은 닫힌 몰입 \[V_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\] 을 준다. (엄밀히는 \(Y_i\)를 \(Y \to Y_i\)의 스킴론적 상으로 바꾸어야 하므로 약간 어긋나지만, 이것은 섬유곱을 바꾸지 않음이 분명하다.) 한편 『대수공간의 극한』의 보조정리 0CPE에 의해, 고유 사상 \((s, t) : R \to U \times_Y U\)에 적용한 함자성은(여기서 \(\mathcal{X}\)가 분리라는 사실을 사용한다) 충분히 큰 \(i\)에 대해 고유인 사상 \(R_i \to V_i\)를 준다. 이 사상들을 합성하면 모든 충분히 큰 \(i\)에 대해 고유 사상 \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\)를 얻는다. 『대수공간의 극한』의 주석 0CPB에 나오는 구성의 함자성에 의해, 충분히 큰 \(i\)에서 이 사상은 \((s_i, t_i)\)와 같으며 증명이 끝난다.

보편 닫힌 사상

이 절은 『대수공간의 극한』의 절 0CM7에 대응한다.

보조정리

\(g : Z \to Y\)를 아핀 스킴의 사상이라 하자. \(f : \mathcal{X} \to Y\)를 대수적 스택의 준콤팩트 사상이라 하자. \(z \in Z\)라 하고, \(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\)를 \(z \not \in \Im(T \to |Z|)\)인 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{X}\)가 준콤팩트이면 다음이 존재한다. \(z\)의 열린 근방 \(V \subset Z\), 가환도식 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 및 다음 조건을 만족하는 닫힌 부분집합 \(T' \subset |X \times_Y Z'|\).

1. \(Z'\)는 \(Y\) 위 유한 표시인 아핀 스킴이다.

2. \(z' = a(z)\)라 하면 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)이다.

3. \(|\mathcal{X} \times_Y V|\)에서 \(T\)의 역상은 \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\)에 의해 \(T'\) 안으로 사상된다.

증명

스킴의 사상에 대한 대응하는 결과에서 이를 이끌어 내겠다. \(\mathcal{X}\)가 준콤팩트이므로, 아핀 스킴 \(W\)와 전사 매끄러운 사상 \(W \to \mathcal{X}\)를 택할 수 있다. \(T_W \subset |W \times_Y Z|\)를 \(T\)의 역상이라 하자. 그러면 \(z\)는 \(T_W\)의 상에 속하지 않는다. 스킴의 경우(『극한』의 보조정리 05BD)에 의해, \(z\)의 열린 근방 \(V \subset Z\), 스킴의 가환도식 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 및 다음 조건을 만족하는 닫힌 부분집합 \(T' \subset |W \times_Y Z'|\)를 찾을 수 있다.

1. \(Z'\)는 \(Y\) 위 유한 표시인 아핀 스킴이다.

2. \(z' = a(z)\)라 하면 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)이다.

3. \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\)는 \(|W \times_Y V| \to |W \times_Y Z'|\)에 의해 \(T'\) 안으로 사상된다.

가환도식 \[\xymatrix{ W \times_Y Z \ar[d] & W \times_Y V \ar[l] \ar[rr]_{a_1} \ar[d]_c & & W \times_Y Z' \ar[d]^q \\ \mathcal{X} \times_Y Z & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[rr]^{a_2} & & \mathcal{X} \times_Y Z' }\] 의 정사각형들은 카르테시안이고 수직 사상들은 전사이고 매끄러우며, 따라서 특히 열린사상이다. 왼쪽 정사각형을 보면 \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\)가 \(c\)에 의한 \(T_2 = T \cap |\mathcal{X} \times_Y V|\)의 역상임을 알 수 있다. 『스택의 성질』의 보조정리 04XH에 의해 \(a_1(T_1) = q^{-1}(a_2(T_2))\)이다. 『위상』의 보조정리 02YB에 의해 \[q^{-1}\left(\overline{a_2(T_2)}\right) = \overline{q^{-1}(a_2(T_2))} = \overline{a_1(T_1)} \subset T'\] 이다. \(q\)가 전사이므로, \(T'\)에 대해 그렇듯이 \(\overline{a_2(T_2)} \to |Z'|\)의 상은 \(z'\)를 포함하지 않는다. 따라서 위의 \(Z', V, a, b\)로 된 도식과 닫힌 부분집합 \(\overline{a_2(T_2)} \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\)를 보조정리가 제기한 문제의 해로 택할 수 있다.

보조정리

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 대수적 스택의 준콤팩트 사상이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(f\)는 보편 닫힌 사상이다.

2. 국소적으로 유한 표시인 모든 사상 \(Z \to \mathcal{Y}\)에 대해, \(Z\)가 아핀 스킴이면 사상 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\)는 닫힌사상이다.

3. 스킴 \(V\)와 전사 매끄러운 사상 \(V \to \mathcal{Y}\)가 존재하여, 모든 \(n \geq 0\)에 대해 \(|\mathbf{A}^n \times (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\)는 닫힌사상이다.

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다.

(2)를 가정하자. 아핀 스킴들의 서로소 합인 스킴 \(V\)와 전사 매끄러운 사상 \(V \to \mathcal{Y}\)를 택하자. \(f\)가 보편 닫힌 사상임을 보이려면, \(f\)의 밑변환 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\)가 보편 닫힌 사상임을 보이면 충분하다. 『스택의 사상』의 보조정리 0CL3를 보라. 이 밑변환에 대해서도 성질 (2)가 성립함에 유의하자. 따라서 (2)가 (1)을 함의함을 증명하기 위해 \(Y = \mathcal{Y}\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다.

(2)를 가정하고 \(\mathcal{Y} = Y\)가 아핀 스킴이라고 가정하자. \(f\)가 보편 닫힌 사상이 아니면, \(Y\) 위의 어떤 아핀 스킴 \(Z\)에 대해 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\)가 닫힌사상이 아니다. 『스택의 사상』의 보조정리 0CL3를 보라. 이는 어떤 닫힌 부분집합 \(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\)가 존재하여 \(\Im(T \to |Z|)\)가 닫혀 있지 않다는 뜻이다. \(T\)의 상의 폐포에는 속하지만 그 상에는 속하지 않는 \(z \in |Z|\)를 택하자. 보조정리 0H29를 적용한다. 열린 근방 \(V \subset Z\)와 가환도식 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] 및 다음 조건을 만족하는 닫힌 부분집합 \(T' \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\)를 얻는다.

1. \(Z'\)는 \(Y\) 위 유한 표시인 아핀 스킴이다.

2. \(z' = a(z)\)라 하면 \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\)이다.

3. \(|\mathcal{X} \times_Y V|\)에서 \(T\)의 역상은 \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\)에 의해 \(T'\) 안으로 사상된다.

\(z'\)가 \(\Im(T' \to |Z'|)\)의 폐포에 속한다고 주장한다. 그러면 \(|\mathcal{X} \times_Y Z'| \to |Z'|\)가 닫힌사상이 아니므로, (2)를 가정한 것과 모순이다. 다시 말해 이 주장은 (2)가 (1)을 함의함을 보인다. 주장을 확인하기 위해 다음 가환도식을 보자. \[\xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \times_Y Z' \ar[d] \\ Z & V \ar[l] \ar[r]^a & Z' }\] \(T_V \subset |\mathcal{X} \times_Y V|\)를 \(T\)의 역상이라 하자. 『스택의 성질』의 보조정리 04XH에 의해 \(|V|\)에서 \(T_V\)의 상은 \(|Z|\)에서 \(T\)의 상의 역상이다. \(z\)가 \(T \to |Z|\)의 상의 폐포에 속하고 \(|V| \to |Z|\)가 열린사상이므로, \(z\)는 \(T_V \to |V|\)의 상의 폐포에 속한다. \(|\mathcal{X} \times_Y Z'|\)에서 \(T_V\)의 상이 \(|T'|\)에 포함되므로, 곧바로 \(z' = a(z)\)가 \(T'\)의 상의 폐포에 속함을 얻는다.

(1)이 (3)을 함의함은 분명하다. \(V \to \mathcal{Y}\)를 (3)에서와 같이 택하자. \(\mathcal{X} \times_Y V \to V\)가 보편 닫힌 사상임을 보일 수 있으면, 『스택의 사상』의 보조정리 0CL3에 의해 \(f\)는 보편 닫힌 사상이다. 따라서 \(f\)가 대수적 스택의 준콤팩트 사상이고, \(\mathcal{Y} = Y\)가 스킴이며, 모든 \(n\)에 대해 \(|\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \to |\mathbf{A}^n \times Y|\)가 닫힌사상일 때 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)가 (2)를 만족함을 보이면 충분하다. \(Z\)가 아핀 스킴인 국소 유한 표시 사상 \(Z \to Y\)를 택하자. 사상 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\)가 닫힌사상임을 보여야 한다. \(Y\)가 스킴이고, \(Z\)가 아핀이며, \(Z \to Y\)가 국소적으로 유한 표시이므로 몰입 \(Z \to \mathbf{A}^n \times Y\)를 찾을 수 있다. 『스킴의 사상』의 보조정리 04II를 보라. 카르테시안 도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^n \times \mathcal{X} \ar[d] \\ Z \ar[r] & \mathbf{A}^n \times Y } } \quad \begin{matrix} \text{이로부터 다음} \\ \text{카르테시안 정사각형이 유도된다} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ |\mathcal{X} \times_Y Z| \ar[d] \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \ar[d] \\ |Z| \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times Y| } }\] 을 생각하자. 이 위상공간들의 도식에서 수평 화살표들은 국소 닫힌 부분집합 위로의 위상동형이다(『스택의 성질』의 보조정리 0H20). 따라서 \(|X \times_Y Z|\)의 모든 닫힌 부분집합 \(T\)는 \(|\mathbf{A}^n \times Y|\)의 어떤 닫힌 부분집합 \(T'\)의 당김이다. 가정에 의해 \(|\mathbf{A}^n \times X|\)에서 \(T'\)의 상이 닫혀 있으므로, 원하는 대로 \(|Z|\)에서 \(T\)의 상도 닫혀 있다고 결론내린다.