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代数スタックの極限

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この章の節はじめに
規約
有限表示の射
性質の降下
相対的対象の降下
有限表示の中への有限型の閉埋め込み
普遍閉射

はじめに

本章では，代数スタックの極限に関する事項をまとめる． 代数スタックおよび代数空間の極限に関する多くの結果は， David Rydh により [rydh_approx] で得られている．

規約

引き続き，Properties of Stacks, Section 04XA で導入した規約および 言葉の濫用を用いる．

有限表示の射

本節は Limits of Spaces, Section 049I の類似である． そこでは，\(\Sch\) 上の関手の変換が極限を保つとは何かを定義した （Limits of Spaces, Lemma 06BC における特徴づけを参照されたい）． Criteria for Representability, Section 06CT では， 「対象について極限を保つ」という概念を定義した． また Artin’s Axioms, Section 07XK では， \(\Sch\) 上の亜群にファイバー化された圏が極限を保つとは何かを定義した． これらを組み合わせると，次の概念を得る．

定義

\(S\) をスキームとする． \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の 亜群にファイバー化された圏の \(1\)-射とする． \(S\) 上のアフィンスキームの任意の有向極限 \(U = \lim U_i\) に対し，ファイバー圏の図式 \[\xymatrix{ \colim \mathcal{X}_{U_i} \ar[r] \ar[d]_f & \mathcal{X}_U \ar[d]^f \\ \colim \mathcal{Y}_{U_i} \ar[r] & \mathcal{Y}_U }\] が \(2\)-カルテジアンであるとき，\(f\) は 極限を保つ という．

補題

\(S\) をスキームとする． \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の 亜群にファイバー化された圏の \(1\)-射とする． \(f\) が極限を保つならば （Definition 0CMR）， \(f\) は対象について極限を保つ （Criteria for Representability, Section 06CT）．

証明

\(U\) 上のアフィンスキームの任意の有向極限 \(U = \lim U_i\) に対して， 関手 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow (\colim \mathcal{Y}_{U_i}) \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\] が本質的全射ならば，\(f\) は対象について極限を保つ．

補題

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) および \(q : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) を \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の 亜群にファイバー化された圏の \(1\)-射とする． \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が極限を保つならば， \(q\) による \(p\) の基底変換 \(p' : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) も極限を保つ．

証明

これは形式的である． \(U = \lim_{i \in I} U_i\) を \(S\) 上のアフィンスキーム \(U_i\) の 有向極限とする．各 \(i\) に対して \[(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{Z}_{U_i}\] である．フィルター余極限は圏の \(2\)-ファイバー積と可換である （詳細は省略する）．したがって，\(p\) が極限を保つならば \[\begin{align*} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_{U_i} & = \colim \mathcal{X}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \times_{\colim \mathcal{Y}_{U_i}} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Z}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z})_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \end{align*}\] となり，所望の結論を得る．

補題

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) および \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) を \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の 亜群にファイバー化された圏の \(1\)-射とする． \(p\) と \(q\) が極限を保つならば，合成 \(q \circ p\) も極限を保つ．

証明

これは形式的である． \(U = \lim_{i \in I} U_i\) を \(S\) 上のアフィンスキーム \(U_i\) の 有向極限とする．\(p\) と \(q\) が極限を保つならば \[\begin{align*} \colim \mathcal{X}_{U_i} & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{Y}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \\ & = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Z}_U} \colim \mathcal{Z}_{U_i} \end{align*}\] となり，所望の結論を得る．

補題

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の 亜群にファイバー化された圏の \(1\)-射とする． \(p\) が代数空間によって表現可能ならば，次の条件は同値である：

  1. \(p\) は極限を保つ，

  2. \(p\) は対象について極限を保つ，

  3. \(p\) は局所有限表示である （Algebraic Stacks, Definition 03YK を参照）．

証明

Criteria for Representability, Lemma 06CX において， (2) と (3) が同値であることを見た． したがって，(1) と (2) が同値であることを示せば十分である． 一方の向きは Lemma 0CMS で見た． 逆向きについて，\(U = \lim_{i \in I} U_i\) を \(S\) 上のアフィンスキーム \(U_i\) の有向極限とする． 示すべきことは \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] が同値であることである．(2) を仮定しているので， これが本質的全射であることは分かっている． したがって，充満忠実であることを証明すればよい． \(p\) はファイバー圏上で忠実である （Algebraic Stacks, Lemma 02ZY） から，上の関手は忠実である． \(x_i\) および \(x'_i\) を \(U_i\) 上の \(\mathcal{X}\) の ファイバー圏の対象とする． 上の関手は \(x_i\) を \((x_i|_U, p(x_i), can)\) に送る． ここで \(can\) は標準同型 \(p(x_i|_U) \to p(x_i)|_U\) である． そこで，この証明で最初に表示した矢印の右辺の圏における射 \[(\alpha, \beta_i) : (x_i|_U, p(x_i), can) \longrightarrow (x'_i|_U, p(x'_i), can)\] が与えられていると仮定する． われわれの課題は，\(i' \geq i\) と，\((\alpha, \beta_i|_{U_{i'}})\) に 写る射 \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\) を構成することである．

\(y_i = p(x_i)\) および \(y'_i = p(x'_i)\) とおく． Algebraic Stacks, Lemma 02ZY により，関手 \[X_{y_i} : (\Sch/U_i)^{opp} \to \textit{Sets},\quad V/U_i \mapsto \{(x, \phi) \mid x \in \Ob(\mathcal{X}_V), \phi : f(x) \to y_i|V\}/\cong\] は \(U_i\) 上の代数空間であり，同様に定義した関手 \(X_{y'_i}\) についても同じことが成り立つ． (2) と (3) は同値なので，\(X_{y'_i}\) は \(U_i\) 上局所有限表示である． さらに，\((x_i, \text{id})\) および \((x'_i, \text{id})\) はそれぞれ \(X_{y_i}\) および \(X_{y'_i}\) の \(U_i\)-値点を定める． 関手の変換 \[\beta_i : X_{y_i} \to X_{y'_i},\quad (x/V, \phi) \mapsto (x/V, \beta_i|_V \circ \phi)\] が存在する．言い換えれば，これは \(U_i\) 上の代数空間の射である． 次の図式は可換であると主張する： \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] 実際，これは，関手 \(X_{y'_i}\) の定義に現れる対 \((x_i|_U, \beta_i|_U)\) と \((x'_i|_U, \text{id})\) が 同型であるという条件に同値である． そして射 \(\alpha : x_i|_U \to x'_i|_U\) が，まさにそのような同型を与える． 逆にたどれば，次の図式が可換となるような \(i' \geq i\) を見つけられれば， \[\xymatrix{ U_{i'} \ar[d] \ar[rr] & & U_i \ar[d]^{(x'_i, \text{id})} \\ U_i \ar[r]^{(x_i, \text{id})} & X_{y_i} \ar[r]^{\beta_i} & X_{y'_i} }\] 前段落で提示した問題の解となる同型 \(x_i|_{U_{i'}} \to x'_i|_{U_{i'}}\) が得られることが分かる． ところが，対角射 \[\Delta : X_{y'_i} \to X_{y'_i} \times_{U_i} X_{y'_i}\] は局所有限表示である （Morphisms of Spaces, Lemma 084P）． したがって，\(U \to U_i\) が \(X_{y'_i}\) への二つの射を等化するという事実から， ある \(i' \geq i\) に対して \(U_{i'} \to U_i\) がそれらを等化する． Limits of Spaces, Proposition 04AK を参照されたい．

補題

\(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の 亜群にファイバー化された圏の \(1\)-射とする． 次の条件は同値である：

  1. 対角射 \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) は極限を保つ，

  2. \(S\) 上のアフィンスキームの任意の有向極限 \(U = \lim U_i\) に対して，関手 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] は充満忠実である．

特に，\(p\) が極限を保つならば，\(\Delta\) も極限を保つ．

証明

\(U = \lim U_i\) を \(S\) 上のアフィンスキームの有向極限とする． 関手 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \colim \mathcal{Y}_{U_i}\] が充満忠実であることと，関手 \[\colim \mathcal{X}_{U_i} \longrightarrow \mathcal{X}_U \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U} \colim (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i}\] が同値であることは同値であると主張する． これを示せば補題が従う． 実際， \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_U = \mathcal{X}_U \times_{\mathcal{Y}_U} \mathcal{X}_U\) かつ \((\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})_{U_i} = \mathcal{X}_{U_i} \times_{\mathcal{Y}_{U_i}} \mathcal{X}_{U_i}\) であるから，これは純粋に圏論的な主張である． 次の段落でこれを論じる．

\(\mathcal{I}\) をフィルター付き添字圏とする． \((\mathcal{C}_i)\) および \((\mathcal{D}_i)\) を \(\mathcal{I}\) 上の亜群の系とし， \(p : (\mathcal{C}_i) \to (\mathcal{D}_i)\) を \(\mathcal{I}\) 上の亜群の系の射とする． さらに亜群の関手 \(p : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\) と， 可換図式 \[\xymatrix{ \colim \mathcal{C}_i \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \colim \mathcal{D}_i \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] をなす関手 \(f : \colim \mathcal{C}_i \to \mathcal{C}\) および \(g : \colim \mathcal{D}_i \to \mathcal{D}\) が与えられているとする． このとき \[A : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \colim \mathcal{D}_i\] が充満忠実であることと，関手 \[B : \colim \mathcal{C}_i \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} \colim (\mathcal{C}_i \times_{\mathcal{D}_i} \mathcal{C}_i)\] が同値であることは同値であると主張する． \(\mathcal{C}' = \colim \mathcal{C}_i\) および \(\mathcal{D}' = \colim \mathcal{D}_i\) とおく． \(2\)-ファイバー積はフィルター余極限と可換するので， \(A\) と \(B\) はそれぞれ関手 \[A' : \mathcal{C}' \to \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}' \quad\text{and}\quad B' : \mathcal{C}' \longrightarrow \mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}')\] となる．したがって， \[\xymatrix{ \mathcal{C}' \ar[d]_p \ar[r]_f & \mathcal{C} \ar[d]^p \\ \mathcal{D}' \ar[r]^g & \mathcal{D} }\] が亜群の可換図式ならば，\(A'\) が充満忠実であることと \(B'\) が同値であることが同値であると示せば十分である． これは Categories, Lemma 04Z7 （基底圏を自明，すなわち一点からなる圏とする）から従う．実際， \[\mathcal{C} \times_{\Delta, \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{C}, f \times_g f} (\mathcal{C}' \times_{\mathcal{D}'} \mathcal{C}') = \mathcal{C}' \times_{A', \mathcal{C} \times_\mathcal{D} \mathcal{D}', A'} \mathcal{C}'\] である．これで証明が完了する．

補題

\(S\) をスキームとし，\(\mathcal{X}\) を \(S\) 上の代数スタックとする． \(\mathcal{X} \to S\) が局所有限表示ならば，\(\mathcal{X}\) は Artin’s Axioms, Definition 07XL の意味で極限を保つ （同値な言い方をすれば，射 \(\mathcal{X} \to S\) は極限を保つ）．

証明

あるスキーム \(U\) からの全射な滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) を選ぶ．このとき \(U \to S\) は局所有限表示である． Morphisms of Stacks, Section 06Q1 を参照されたい． 代数空間のある滑らかな亜群 \((U, R, s, t, c)\) により \(\mathcal{X} = [U/R]\) と書ける． Algebraic Stacks, Lemma 04T5 を参照されたい．\(U\) は \(S\) 上局所有限表示なので， 代数空間 \(R\) も \(S\) 上局所有限表示である． \([U/R]\) は，\(T\) 上のファイバー圏が亜群 \((U(T), R(T), s, t, c)\) であるような亜群にファイバー化された圏を スタック化して得られる，\((\Sch/S)_{fppf}\) 上の亜群のスタックであることを 思い出そう．\(U\) と \(R\) は関手として極限を保つので （Limits of Spaces, Proposition 04AK）， この亜群にファイバー化された圏は極限を保つ． したがって，fppf スタック化が極限を保つという性質を保存することを 示せば十分である．これは正しい （ヒント：Topologies, Lemma 049N を用いよ）． しかし以下では，この場合にスタック化が何を意味するかが分かっていることを 用いて，直接の証明を与える．

\(T = \lim T_\lambda\) を \(S\) 上のアフィンスキームの有向極限とする． 関手 \[\colim [U/R]_{T_\lambda} \longrightarrow [U/R]_T\] が圏の同値であることを示さなければならない． まずこの関手が本質的全射であることを示す． \(x \in \Ob([U/R]_T)\) とする． Groupoids in Spaces, Lemma 044X に， 圏 \([U/R]_T\) の記述がある． 特に，\(x\) は fppf 被覆 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) と， この被覆に関する \([U/R]\)-降下データ \((u_i, r_{ij})\) に対応する． この被覆を細分することにより，アフィンスキーム \(T\) の 標準 fppf 被覆であると仮定してよい． Topologies, Lemma 049N により， ある \(\lambda\) と標準 fppf 被覆 \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\) を選んで， \(T\) への基底変換が \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) に等しくなるようにできる． 各 \(i\) に対し，\(\lambda\) を増大させれば， \(T_i \to T_{\lambda, i}\) との合成が与えられた射 \(u_i\) となる \(u_{\lambda, i} : T_{\lambda, i} \to U\) を見つけられる （ここで \(U\) が極限を保つことを用いる）． 同様に，各 \(i, j\) に対し，\(\lambda\) を増大させれば， \(T_{ij} \to T_{\lambda, ij}\) との合成が与えられた射 \(r_{ij}\) となる \(r_{\lambda, ij} : T_{\lambda, i} \times_{T_\lambda} T_{\lambda, j} \to R\) を見つけられる（ここで \(R\) が極限を保つことを用いる）． さらに \(\lambda\) を増大させて， \[s \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, i} \circ \text{pr}_0 \quad\text{and}\quad t \circ r_{\lambda, ij} = u_{\lambda, j} \circ \text{pr}_1,\] および \[c \circ (r_{\lambda, jk} \circ \text{pr}_{12}, r_{\lambda, ij} \circ \text{pr}_{01}) = r_{\lambda, ik} \circ \text{pr}_{02}.\] を仮定してよい．言い換えれば，\((u_{\lambda, i}, r_{\lambda, ij})\) が 被覆 \(\{T_{\lambda, i} \to T_\lambda\}_{i \in I}\) に関する \([U/R]\)-降下データであると仮定してよい． すると \(T_\lambda\) 上の \([U/R]\) の対応する対象が得られ， その \(T\) への引き戻しは所望どおり \(x\) と同型になる． 充満忠実性の証明も，Groupoids in Spaces, Lemma 044X に与えられた \([U/T]\) のファイバー圏における射の記述を用いて，まったく同様に進む．

命題

代数スタックの射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) に対し， 次の条件は同値である：

  1. \(f\) は極限を保つ，

  2. \(f\) は対象について極限を保つ，

  3. \(f\) は局所有限表示である．

証明

(3) を仮定する． \(T = \lim T_i\) をアフィンスキームの有向極限とし，関手 \[\colim \mathcal{X}_{T_i} \longrightarrow \mathcal{X}_T \times_{\mathcal{Y}_T} \colim \mathcal{Y}_{T_i}\] を考える．右辺の対象 \((x, y_i, \beta)\)，すなわち \(x \in \Ob(\mathcal{X}_T)\)，\(y_i \in \Ob(\mathcal{Y}_{T_i})\)，および \(\mathcal{Y}_T\) における \(\beta : f(x) \to y_i|_T\) を考える． \((x, y_i, \beta)\) は，\(T\) 上の代数スタック \(\mathcal{X}_{y_i} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}, y_i} T_i\) の対象とみなせる． \(\mathcal{X}_{y_i} \to T_i\) は \(f\) の基底変換として局所有限表示なので， Lemma 0CMX により 極限を保つ．これは，ある \(i' \geq i\) に対して \((x, y_i, \beta)\) が \(T_{i'}\) 上の対象から来ることを意味する． 定義を展開すれば，\((x, y_i, \beta)\) は表示された関手の 本質像に属することが分かる． 言い換えれば，その関手は本質的全射であり， これは \(f\) が対象について極限を保つということでもある． 次に，これを \(f\) の対角射 \(\Delta\) に適用する． Morphisms of Stacks, Lemma 0CMG により， 射 \(\Delta\) は局所有限表示である． したがって，上の議論から \(\Delta\) は対象について極限を保つ． Lemma 0CMV により， \(\Delta\) は極限を保つ．さらに Lemma 0CMW により， 上で表示した関手は充満忠実である． すでに本質的全射であることを示したので，これは同値であり， (1) が成り立つ．

(1) \(\Rightarrow\) (2) は自明である．(2) を仮定する． スキーム \(V\) と全射な滑らかな射 \(V \to \mathcal{Y}\) を選ぶ． Criteria for Representability, Lemma 06CV により， 基底変換 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) は 対象について極限を保つ． スキーム \(U\) と全射な滑らかな射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) を選ぶ． 滑らかな射は局所有限表示なので， \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) は極限を保つ （証明の前半）． Criteria for Representability, Lemma 06CW により， 合成 \(U \to V\) は対象について極限を保つ． Criteria for Representability, Lemma 06CX により， \(U \to V\) は局所有限表示である． これは，まさに \(f\) が局所有限表示であるための条件である． Morphisms of Stacks, Definition 06Q2 を参照されたい．

性質の降下

本節は Limits, Section 081A の類似である．

設定

\(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) を，遷移射がアフィンである 代数空間の有向系の極限とする． すべての \(i \in I\) に対して \(X_i\) は準コンパクトかつ準分離であると仮定する． さらに元 \(0 \in I\) を一つ選ぶ．

補題

Situation 0CPY において， \(\mathcal{X}_0 \to Y_0\) を代数スタックから \(Y_0\) への射とする． \(\mathcal{X}_0\) は準コンパクトかつ準分離であると仮定する． \(Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y\) が分離的ならば， 十分大きいすべての \(i \in I\) に対して \(Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0 \to Y_i\) は分離的である．

証明

\(\mathcal{X} = Y \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\) および \(\mathcal{X}_i = Y_i \times_{Y_0} \mathcal{X}_0\) とおく． アフィンスキーム \(U_0\) と全射な滑らかな射 \(U_0 \to \mathcal{X}_0\) を選ぶ． \(U = Y \times_{Y_0} U_0\) および \(U_i = Y_i \times_{Y_0} U_0\) とおく． すると \(U\) と \(U_i\) はアフィンであり， \(U \to \mathcal{X}\) と \(U_i \to \mathcal{X}_i\) は滑らかかつ全射である． \(R_0 = U_0 \times_{\mathcal{X}_0} U_0\) とおき， \(R = Y \times_{Y_0} R_0\) および \(R_i = Y_i \times_{Y_0} R_0\) とおく． このとき \(R = U \times_\mathcal{X} U\) かつ \(R_i = U_i \times_{\mathcal{X}_i} U_i\) である．

この記法のもとで，\(\mathcal{X} \to Y\) が分離的ならば， \(R \to U \times_Y U\) は \(U \times_Y U \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\) による \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\) の基底変換として 固有である．逆に， \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) は全射かつ滑らかなので， \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) が固有ならば \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) は分離的である． Properties of Stacks, Lemma 04XD を参照されたい． \(R_0 \to U_0 \times_{Y_0} U_0\) は局所有限型であり， \(R_0\) は準コンパクトかつ準分離であることに注意する． Limits of Spaces, Lemma 08K1 により，十分大きい \(i\) に対して \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) は固有である． これで証明が完了する．

相対的対象の降下

本節は Limits of Spaces, Section 07SJ の類似である．

補題

\(I\) を有向集合とし，\((X_i, f_{ii'})\) を \(I\) 上の代数空間の逆系とする． 次を仮定する：

  1. 射 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\) はアフィンである，

  2. 空間 \(X_i\) は準コンパクトかつ準分離である．

\(X = \lim X_i\) とする． \(\mathcal{X}\) が \(X\) 上有限表示の代数スタックならば， ある \(i \in I\) と \(X_i\) 上有限表示の代数スタック \(\mathcal{X}_i\) が存在し， \(X\) 上の代数スタックとして \(\mathcal{X} \cong \mathcal{X}_i \times_{X_i} X\) となる．

証明

Morphisms of Stacks, Definition 06Q2 により， 射 \(\mathcal{X} \to X\) は準コンパクト，局所有限表示，かつ準分離である． \(X\) は準コンパクトで \(\mathcal{X} \to X\) は準コンパクトなので， \(\mathcal{X}\) は準コンパクトである （Morphisms of Stacks, Definition 050U）． したがって，アフィンスキーム \(U\) と全射な滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) が存在する （Properties of Stacks, Lemma 04YC）． \(R = U \times_\mathcal{X} U\) とおく． すると \(X\) 上の代数空間の滑らかな亜群 \((U, R, s, t, c)\) で \(\mathcal{X} = [U/R]\) となるものを得る． Algebraic Stacks, Lemma 04T5 を参照されたい． \(\mathcal{X} \to X\) は準分離で \(X\) も準分離なので， \(\mathcal{X}\) は準分離である （Morphisms of Stacks, Lemma 050K）． したがって \(R \to U \times U\) は準コンパクトかつ準分離であり （Morphisms of Stacks, Lemma 050H）， \(R\) は準分離かつ準コンパクトな代数空間である． 一方，\(U \to X\) は局所有限表示であり， \(s : R \to U\) は滑らか，したがって局所有限表示なので， \(R \to X\) も局所有限表示である． よって \((U, R, s, t, c)\) は， \(X\) 上有限表示である代数空間の圏における亜群対象である． Limits of Spaces, Lemma 07SK により， ある \(i\) と，\(X_i\) 上の代数空間の亜群 \((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i)\) が存在し， その \(X\) への引き戻しは \((U, R, s, t, c)\) と同型になる． \(i\) を増大させれば，\(s_i\) と \(t_i\) は滑らかであると仮定できる． Limits of Spaces, Lemma 0CN2 を参照されたい．商スタック \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\) は代数スタックである （Algebraic Stacks, Theorem 04TK）．

射 \([U/R] \to [U_i/R_i]\) が存在する． Groupoids in Spaces, Lemma 046Q を参照されたい． この射と射 \([U/R] \to X\) および \([U_i/R_i] \to X_i\) （Groupoids in Spaces, Lemma 044R）を合わせると， 同型（すなわち同値） \[[U/R] \longrightarrow [U_i/R_i] \times_{X_i} X\] が得られると主張する． Groupoids in Spaces, Equation (044P) における 「亜群の前層」のレベルで，対応する射 \[[U/_{\!p}R] \longrightarrow [U_i/_{\!p}R_i] \times_{X_i} X\] は同型である．したがって，スタック化がファイバー積と可換することから 主張が従う．Stacks, Lemma 04Y1 を参照されたい．

有限表示の中への有限型の閉埋め込み

本節は Limits of Spaces, Section 07SP の類似である．

補題

\(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする． 次を仮定する：

  1. \(f\) は有限型かつ準分離である，

  2. \(Y\) は準コンパクトかつ準分離である．

このとき，有限表示の射 \(f' : \mathcal{X}' \to Y\) と， \(Y\) 上の代数スタックの閉埋め込み \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) が存在する．

証明

この代数空間を，アフィンな遷移射をもつ有向集合 \(I\) 上の代数空間の 極限 \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\) と書く．ここで \(Y_i\) はネーターとする． Limits of Spaces, Proposition 07SU を参照されたい． Limits of Spaces, Section 0CP5 の内容を用いる．

表示 \(\mathcal{X} = [U/R]\) を選ぶ． 対応する \(Y\) 上の代数空間の亜群を \((U, R, s, t, c, e, i)\) と表す． \(U\) はアフィンであると仮定してよく，実際そう仮定する． このとき \(U\)，\(R\)，\(R \times_{s, U, t} R\) は， \(Y\) 上有限型の準分離な代数空間である． 二つの射 \(s, t : R \to U\)，三つの射 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)， \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\)， \(\text{pr}_2 : R \times_{s, U, t} R \to R\)， 一つの射 \(e : U \to R\)，そして最後に一つの射 \(i : R \to R\) がある．これらの射は Groupoids, Section 0230 に詳述されている一連の公理を満たす．

Limits of Spaces, Remark 0CPB により， ある \(i_0 \in I\) と，\((Y_i)_{i \geq i_0}\) 上の逆系

  1. \((U_i)_{i \geq i_0}\)，

  2. \((R_i)_{i \geq i_0}\)，

  3. \((T_i)_{i \geq i_0}\)

で， \(U = \lim_{i \geq i_0} U_i\)， \(R = \lim_{i \geq i_0} R_i\)，および \(R \times_{s, U, t} R = \lim_{i \geq i_0} T_i\) を満たすものを見つけられる．さらに系の射

  1. \((s_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\)，

  2. \((t_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (U_i)_{i \geq i_0}\)，

  3. \((c_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)，

  4. \((p_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)，

  5. \((q_i)_{i \geq i_0} : (T_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)，

  6. \((e_i)_{i \geq i_0} : (U_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)，

  7. \((i_i)_{i \geq i_0} : (R_i)_{i \geq i_0} \to (R_i)_{i \geq i_0}\)

が存在し， \(s = \lim_{i \geq i_0} s_i\)， \(t = \lim_{i \geq i_0} t_i\)， \(c = \lim_{i \geq i_0} c_i\)， \(\text{pr}_1 = \lim_{i \geq i_0} p_i\)， \(\text{pr}_2 = \lim_{i \geq i_0} q_i\)， \(e = \lim_{i \geq i_0} e_i\)，および \(i = \lim_{i \geq i_0} i_i\) となる． Limits of Spaces, Lemma 0CPD により， \(s_i\) と \(t_i\) は滑らかであると仮定してよい （そのために \(i_0\) を増大させる必要があるかもしれない）． Limits of Spaces, Lemma 0CPC により， \(s\) と \(R \to R_i\) が定める射 \(R \to U \times_{U_i, s_i} R_i\)，および \(t\) と \(R \to R_i\) が定める射 \(R \to U \times_{U_i, t_i} R_i\) は， すべての \(i \geq i_0\) に対して同型であると仮定してよい． Limits of Spaces, Lemma 0CPF により， 図式 \[\xymatrix{ T_i \ar[r]_{q_i} \ar[d]_{p_i} & R_i \ar[d]^{t_i} \\ R_i \ar[r]^{s_i} & U_i }\] はカルテジアンであると仮定してよい． すると Limits of Spaces, Lemma 0CPA の一意性により， 十分大きい \(i\) に対して，上で述べた射 \(s, t, c, e, i\) の間の関係を \(s_i, t_i, c_i, e_i, i_i\) も満たすことが保証される． そのような \(i\) を一つ固定する．

したがって，\((U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\) は \(Y_i\) 上の代数空間の滑らかな亜群である． よって \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\) は代数スタックである （Algebraic Stacks, Theorem 04TK）． \(Y \to Y_i\) 上の亜群の射 \[(U, R, s, t, c, e, i) \to (U_i, R_i, s_i, t_i, c_i, e_i, i_i)\] は可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X}_i \ar[d] \\ Y \ar[r] & Y_i }\] を定める （Groupoids in Spaces, Lemma 046Q）． 射 \(\mathcal{X} \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) は 閉埋め込みであると主張する． 構成により代数スタック \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) は有限表示なので， この主張から証明が完了する． 主張を示すため，左の図式 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}_i } \quad\quad \xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Y \times_{Y_i} U_i \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i }\] は Groupoids in Spaces, Lemma 04ZN と上の結果により カルテジアンであることに注意する． したがって右の可換図式もカルテジアンである． ここで \(U \to Y \times_{Y_i} U_i\) は Limits of Spaces, Lemma 0CP9 における逆系 \((U_i)\) の構成により閉埋め込みであり， \(Y \times_{Y_i} U_i \to Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) は 滑らかかつ全射である． よって Properties of Stacks, Lemma 0503 から 所望の結果が従う．

分離的な代数スタックに対する版もある．

補題

\(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする． 次を仮定する：

  1. \(f\) は有限型かつ分離的である，

  2. \(Y\) は準コンパクトかつ準分離である．

このとき，有限表示の分離射 \(f' : \mathcal{X}' \to Y\) と， \(Y\) 上の代数スタックの閉埋め込み \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) が存在する．

証明

まず Lemma 0CQ1 の 証明とまったく同じ手順を用い（その記法も借用し）， \(\mathcal{X}_i = [U_i/R_i]\) として， 埋め込み \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) を 射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' = Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) として構成する． したがって，十分大きい \(i\) に対して \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) が分離的であることを示せば十分である． 言い換えれば，十分大きい \(i\) に対して \(\mathcal{X}_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) が固有であることを示せばよい． 射 \(U_i \times_{Y_i} U_i \to \mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) は全射かつ滑らかであり，また \(R_i = \mathcal{X}_i \times_{\mathcal{X}_i \times_{Y_i} \mathcal{X}_i} U_i \times_{Y_i} U_i\) であるから，十分大きい \(i\) に対して射 \((s_i, t_i) : R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) が固有であることを示せば十分である． Properties of Stacks, Lemma 04XD を参照されたい． これを次の段落で証明する．

\(U \times_Y U \to Y\) は準分離かつ有限型であることに注意する． したがって Limits of Spaces, Remark 0CPB の構成を用い，ある \(i_1 \in I\) と逆系 \((V_i)_{i \geq i_1}\) で \(U \times_Y U = \lim_{i \geq i_1} V_i\) となるものを見つけられる． Limits of Spaces, Lemma 0CPF により， 十分大きい \(i\) に対し，射影 \(U \times_Y U \to U\) に適用した 構成の関手性から閉埋め込み \[V_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\] が得られる （厳密には \(Y_i\) を \(Y \to Y_i\) のスキーム論的像で置き換えるべきなので， ここには小さな不一致があるが，これは明らかにファイバー積を変えない）． 一方，Limits of Spaces, Lemma 0CPE により， 固有射 \((s, t) : R \to U \times_Y U\) （ここで \(\mathcal{X}\) が分離的であることを用いる）に適用した関手性から， 十分大きい \(i\) に対して固有な射 \(R_i \to V_i\) が得られる． これらを合成して，すべての十分大きい \(i\) に対する固有射 \(R_i \to U_i \times_{Y_i} U_i\) を得る． Limits of Spaces, Remark 0CPB の構成の関手性から，十分大きい \(i\) に対してこの射は \((s_i, t_i)\) と同じであることが分かる．これで証明が完了する．

普遍閉射

本節は Limits of Spaces, Section 0CM7 の類似である．

補題

\(g : Z \to Y\) をアフィンスキームの射とする． \(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックの準コンパクトな射とする． \(z \in Z\) とし，\(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\) を \(z \not \in \Im(T \to |Z|)\) を満たす閉部分集合とする． \(\mathcal{X}\) が準コンパクトならば， \(z\) の開近傍 \(V \subset Z\)，可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] および閉部分集合 \(T' \subset |X \times_Y Z'|\) で， 次を満たすものが存在する：

  1. \(Z'\) は \(Y\) 上有限表示のアフィンスキームである，

  2. \(z' = a(z)\) とおくと \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\) である，

  3. \(|\mathcal{X} \times_Y V|\) における \(T\) の逆像は， \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) によって \(T'\) の中に写る．

証明

これをスキームの射に対する対応する結果から導く． \(\mathcal{X}\) は準コンパクトなので，アフィンスキーム \(W\) と 全射な滑らかな射 \(W \to \mathcal{X}\) を選べる． \(T_W \subset |W \times_Y Z|\) を \(T\) の逆像とする． このとき \(z\) は \(T_W\) の像に属さない． スキームの場合 （Limits, Lemma 05BD）により， \(z\) の開近傍 \(V \subset Z\)，スキームの可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] および閉部分集合 \(T' \subset |W \times_Y Z'|\) で， 次を満たすものを見つけられる：

  1. \(Z'\) は \(Y\) 上有限表示のアフィンスキームである，

  2. \(z' = a(z)\) とおくと \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\) である，

  3. \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) は \(|W \times_Y V| \to |W \times_Y Z'|\) によって \(T'\) の中に写る．

可換図式 \[\xymatrix{ W \times_Y Z \ar[d] & W \times_Y V \ar[l] \ar[rr]_{a_1} \ar[d]_c & & W \times_Y Z' \ar[d]^q \\ \mathcal{X} \times_Y Z & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[rr]^{a_2} & & \mathcal{X} \times_Y Z' }\] の各正方形はカルテジアンであり，縦の射は全射かつ滑らか， したがって特に開である．左の正方形を見ると， \(T_1 = T_W \cap |W \times_Y V|\) は， \(T_2 = T \cap |\mathcal{X} \times_Y V|\) の \(c\) による逆像である． Properties of Stacks, Lemma 04XH により \(a_1(T_1) = q^{-1}(a_2(T_2))\) を得る． Topology, Lemma 02YB により \[q^{-1}\left(\overline{a_2(T_2)}\right) = \overline{q^{-1}(a_2(T_2))} = \overline{a_1(T_1)} \subset T'\] を得る．\(q\) は全射なので，\(\overline{a_2(T_2)} \to |Z'|\) の像は \(z'\) を含まない．なぜなら，\(T'\) について同じことが成り立つからである． したがって，上の \(Z', V, a, b\) をもつ図式と閉部分集合 \(\overline{a_2(T_2)} \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) を， 補題が提示する問題の解として取れる．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの準コンパクトな射とする． 次の条件は同値である：

  1. \(f\) は普遍閉である，

  2. \(Z\) がアフィンスキームである局所有限表示の任意の射 \(Z \to \mathcal{Y}\) に対し， 写像 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) は閉である，

  3. スキーム \(V\) と全射な滑らかな射 \(V \to \mathcal{Y}\) が存在して，すべての \(n \geq 0\) に対し \(|\mathbf{A}^n \times (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V)| \to |\mathbf{A}^n \times V|\) は閉である．

証明

(1) が (2) を含意することは明らかである．

(2) を仮定する． アフィンスキームの非交和であるスキーム \(V\) と， 全射な滑らかな射 \(V \to \mathcal{Y}\) を選ぶ． \(f\) が普遍閉であることを示すには，\(f\) の基底変換 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) が普遍閉であることを 示せば十分である．Morphisms of Stacks, Lemma 0CL3 を参照されたい． この基底変換に対しても性質 (2) が成り立つことに注意する． したがって，(2) が (1) を含意することを証明するためには， \(Y = \mathcal{Y}\) がアフィンスキームであると仮定してよい．

(2) を仮定し，\(\mathcal{Y} = Y\) がアフィンスキームであるとする． \(f\) が普遍閉でないならば， \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) が閉でないような \(Y\) 上のアフィンスキーム \(Z\) が存在する． Morphisms of Stacks, Lemma 0CL3 を参照されたい． これは，ある閉部分集合 \(T \subset |\mathcal{X} \times_Y Z|\) が存在して， \(\Im(T \to |Z|)\) が閉でないことを意味する． \(T\) の像の閉包に属するが像には属さない \(z \in |Z|\) を選ぶ． Lemma 0H29 を適用する． 開近傍 \(V \subset Z\)，可換図式 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & Z' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^g & Y, }\] および閉部分集合 \(T' \subset |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) で， 次を満たすものを得る：

  1. \(Z'\) は \(Y\) 上有限表示のアフィンスキームである，

  2. \(z' = a(z)\) とおくと \(z' \not \in \Im(T' \to |Z'|)\) である，

  3. \(|\mathcal{X} \times_Y V|\) における \(T\) の逆像は， \(|\mathcal{X} \times_Y V| \to |\mathcal{X} \times_Y Z'|\) によって \(T'\) の中に写る．

\(z'\) は \(\Im(T' \to |Z'|)\) の閉包に属すると主張する． これにより \(|\mathcal{X} \times_Y Z'| \to |Z'|\) が閉でないことになり， (2) の仮定に反する．言い換えれば，この主張から (2) が (1) を含意する． 主張を見るため，次の可換図式を考える： \[\xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] & \mathcal{X} \times_Y V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \times_Y Z' \ar[d] \\ Z & V \ar[l] \ar[r]^a & Z' }\] \(T_V \subset |\mathcal{X} \times_Y V|\) を \(T\) の逆像とする． Properties of Stacks, Lemma 04XH により， \(|V|\) における \(T_V\) の像は，\(|Z|\) における \(T\) の像の逆像である． \(z\) は \(T \to |Z|\) の像の閉包に属し，\(|V| \to |Z|\) は開なので， \(z\) は \(T_V \to |V|\) の像の閉包に属する． \(|\mathcal{X} \times_Y Z'|\) における \(T_V\) の像は \(|T'|\) に含まれるから， \(z' = a(z)\) は直ちに \(T'\) の像の閉包に属する．

(1) が (3) を含意することは明らかである． \(V \to \mathcal{Y}\) を (3) のとおりとする． \(\mathcal{X} \times_Y V \to V\) が普遍閉であることを示せれば， Morphisms of Stacks, Lemma 0CL3 により \(f\) は普遍閉である． したがって，\(f\) が代数スタックの準コンパクトな射で， \(\mathcal{Y} = Y\) がスキームであり， すべての \(n\) に対して \(|\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \to |\mathbf{A}^n \times Y|\) が閉であるとき，\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が (2) を満たすことを示せば十分である． \(Z\) がアフィンスキームである局所有限表示の射 \(Z \to Y\) を取る． 写像 \(|\mathcal{X} \times_Y Z| \to |Z|\) が閉であることを示す必要がある． \(Y\) はスキーム，\(Z\) はアフィンで，\(Z \to Y\) は局所有限表示なので， 埋め込み \(Z \to \mathbf{A}^n \times Y\) を見つけられる． Morphisms, Lemma 04II を参照されたい． カルテジアン図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{X} \times_Y Z \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^n \times \mathcal{X} \ar[d] \\ Z \ar[r] & \mathbf{A}^n \times Y } } \quad \begin{matrix} \text{これが誘導する} \\ \text{カルテジアン図式} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ |\mathcal{X} \times_Y Z| \ar[d] \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times \mathcal{X}| \ar[d] \\ |Z| \ar[r] & |\mathbf{A}^n \times Y| } }\] を考える．これは位相空間の図式であり，その横の矢印は局所閉部分集合への 同相写像である （Properties of Stacks, Lemma 0H20）． したがって，\(|X \times_Y Z|\) の任意の閉部分集合 \(T\) は， \(|\mathbf{A}^n \times Y|\) のある閉部分集合 \(T'\) の引き戻しである． 仮定により \(|\mathbf{A}^n \times X|\) における \(T'\) の像は閉なので， 所望どおり \(|Z|\) における \(T\) の像は閉である．