서론
이 장에서는 차원 \(2\)인 뇌터 대수 공간의 특이점 해소를 논한다. 앞 장에서 Lipman [Lipman]을 따라 스킴의 곡면 특이점 해소를 이미 논했다. 《곡면의 특이점 해소》 제 0ADX절을 보라. 이 장의 결과 대부분은 스킴에 관한 결과의 직접적인 귀결이다.
별도로 명시하지 않는 한, 이 장의 모든 기하학적 대상은 대수 공간이다. 따라서 “\(f : X \to Y\)를 수정이라 하자”라고 말하면, 이는 \(f\)가 《체 위의 공간》 정의 0AD8의 의미에서의 사상이라는 뜻이다. 고유 사상 등의 용어에도 같은 관례를 적용한다.
수정
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 뇌터 국소환이라 하자. 다음과 같이 놓는다. \(S = \Spec(A)\)이고 \(U = S \setminus \{\mathfrak m\}\)이다. 이 절에서는 다음 범주를 생각한다. [0AE2]\[\begin{equation} \left\{ f : X \longrightarrow S \quad \middle| \quad \begin{matrix} X\text{는 대수 공간이다}\\ f\text{는 고유 사상이다}\\ f^{-1}(U) \to U\text{는 동형이다} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] \(X/S\)에서 \(X'/S\)로 가는 사상은 \(S\) 위의 구조 사상들과 양립하는 대수 공간의 사상 \(X \to X'\)를 뜻한다. 《형식 공간의 대수화》 제0AS1절에서 이 범주가 \(A\)의 완비화에만 의존함을 보았고, 이 범주의 대상들이 갖는 몇 가지 기본 성질을 증명했다. 이 절에서는 특히 \(\dim(A) \leq 2\)이거나 닫힌 올의 차원이 기껏해야 \(1\)인 경우를 연구한다.
보조정리
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 \(2\)차원 뇌터 국소 정역이라 하고, \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)이 정규 스킴이라고 하자. 그러면 임의의 수정 \(f : X \to \Spec(A)\)는 (0AE2)에 속하는 사상이다.
증명
\(f : X \to S\)를 수정이라 하자. \(f^{-1}(U) \to U\)가 동형임을 보이면 된다. \(U\)의 모든 닫힌점 \(u\)는 여차원 \(1\)이므로, 이는 Spaces over Fields, Lemma 0BBQ 에서 따라온다.
보조정리
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 뇌터 국소환이라 하자. \(g : X \to Y\)를 범주 (0AE2)의 사상이라 하자. 특수 올 위에서 유도되는 사상 \(X_\kappa \to Y_\kappa\)가 닫힌 몰입이면, \(g\)도 닫힌 몰입이다.
증명
이는 More on Morphisms of Spaces, Lemma 05XA의 특수한 경우이다.
보조정리
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 차원이 \(\geq 1\)인 뇌터 국소 정역이라 하자. \(f : X \to \Spec(A)\)를 대수 공간의 사상이라 하자. 다음 조건 중 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.
\(f\)는 수정이다(Spaces over Fields, Definition 0AD8),
\(f\)는 alteration이다(Spaces over Fields, Definition 0ADA),
\(f\)는 국소 유한형이고 준분리이며, \(X\)는 정수적이고, \(\Spec(A)\)의 일반점으로 가는 \(|X|\)의 점은 정확히 하나이다,
\(f\)는 국소 유한형이고, \(X\)는 decent이며, \(\Spec(A)\)의 일반점으로 가는 \(|X|\)의 점들은 \(|X|\)의 기약 성분들의 일반점들이다,
여기에 더 추가할 것.
그러면 \(\dim(X_\kappa) \leq \dim(A) - 1\)이다.
증명
경우 (1), (2), (3)은 (4)의 특수한 경우이다. 아핀 스킴 \(U = \Spec(B)\)와 étale 사상 \(U \to X\)를 택하자. 환 사상 \(A \to B\)는 유한형이다. \(\dim(U_\kappa) \leq \dim(A) - 1\)임을 보여야 한다. \(X\)가 decent이므로, \(U\)의 기약 성분들의 일반점들은 \(|X|\)의 기약 성분들의 일반점들 위에 놓이는 점들이다. Decent Spaces, Lemma 0ABV를 보라. 따라서 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 \((0)\) 위 올은 \(B\)의 극소 소아이디얼 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\)들로 이루어진 (유한) 집합이다. 그러므로 어떤 영이 아닌 \(f \in A\)에 대하여 \(A_f \to B_f\)는 유한이다 (Algebra, Lemma 02ML). 따라서 \(\kappa(\mathfrak q_i)\)는 \(A\)의 분수체의 유한 확대이다. \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)를 택하자. 그러면 \[\dim(B_\mathfrak q) = \max \dim((B/\mathfrak q_i)_{\mathfrak q}) \leq \dim(A)\] 이다. 부등식은 \(A \subset B/\mathfrak q_i\)에 대한 차원 공식에서 따라온다. Algebra, Lemma 02IJ를 보라. 그러나 \(B_\mathfrak q/\mathfrak m B_\mathfrak q\)의 차원 (이는 대응하는 점에서 \(U_\kappa\)의 국소환의 차원이다)은 적어도 하나 작다. 극소 소아이디얼 \(\mathfrak q_i\)들이 \(V(\mathfrak m)\)에 들어 있지 않기 때문이다. Properties, Lemma 04MU에 의해 결론을 얻는다.
보조정리
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)가 차원 \(2\)인 완비 뇌터 국소 정역이면, \(\Spec(A)\)의 모든 수정은 \(A\) 위에서 사영적이다.
증명
More on Morphisms of Spaces, Lemma 0AE7에 의해, \(\Spec(A)\)의 임의의 수정 \(X\)의 특수 올의 차원이 \(\leq 1\)임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0AYJ에서 따라온다.
전략
\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 decent 대수 공간이라 하자. \(x_1, \ldots, x_n \in |X|\)를 서로 다른 닫힌점들이라 하자. 각 \(i\)에 대하여 Decent Spaces, Lemma 0BBP에서와 같은 초등 étale 근방 \((U_i, u_i) \to (X, x_i)\)를 택한다. 이는 \(U_i\)가 아핀 스킴이고, \(U_i \to X\)가 étale이고, \(u_i\)가 \(x_i\) 위에 놓이는 \(U_i\)의 유일한 점이며, \(\Spec(\kappa(u_i)) \to X\)가 \(x_i\)를 표현하는 단사 사상이라는 뜻이다. \(U_i\)를 줄인 뒤, \(j \not = i\)이면 \(x_j\)로 가는 \(U_i\)의 점이 없다고 가정할 수 있고 그렇게 가정한다. \(u_i \in U_i\)가 닫힌점임을 유의하라.
\(f^{-1}(X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}) \to X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\)가 동형을 유도하는 대수 공간의 사상 \(f : Y \to X\)들의 범주를 \(\mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}}\)로 나타낸다. 각 \(i\)에 대하여 \(g_i^{-1}(U_i \setminus \{u_i\}) \to U_i \setminus \{u_i\}\)가 동형을 유도하는 대수 공간의 사상 \(g_i : Y_i \to U_i\)들의 범주를 \(\mathcal{C}_{U_i, u_i}\)로 나타낸다. 밑변환은 다음 함자를 정의한다.
[0BHA]\[\begin{equation} F : \mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}} \longrightarrow \mathcal{C}_{U_1, u_1} \times \ldots \times \mathcal{C}_{U_n, u_n} \end{equation}\] 이 장의 문제들 중 적어도 일부를 스킴의 경우로 환원하기 위하여 다음 보조정리를 사용한다.
보조정리
함자 \(F\) (0BHA)는 동치이다.
증명
\(n = 1\)인 경우는 Limits of Spaces, Lemma 0BGY이다. \(n > 1\)인 경우에도 정확히 같은 방식으로 증명할 수 있고, 또는 이 경우로부터 유도할 수 있다. 예를 들어 \(g_i : Y_i \to U_i\)가 \(\mathcal{C}_{U_i, u_i}\)의 대상들이라고 하자. 그러면 \(n = 1\)인 경우에 의해, \(X \setminus \{x_i\}\) 위에서 동형이고 \(U_i\)로의 밑변환이
\(f_i\)인 \(f'_i : Y'_i \to X\)를 찾을 수 있다. 이제 다음과 같이 놓을 수 있다. \[f : Y = Y'_1 \times_X \ldots \times_X Y'_n \to X\] 이는 \(\mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}}\)의 대상이고, \(U_i \to X\)에 의한 그 밑변환은 \(g_i\)를 복원한다. 따라서 이 함자는 본질적으로 전사이다. 충실충만성의 증명은 생략한다.
보조정리
\(X, x_i, U_i \to X, u_i\)가 (0BHA)에서와 같다고 하자. \(f : Y \to X\)가 \(F\) 아래에서 \(g_i : Y_i \to U_i\)에 대응하면, \(f\)가 준콤팩트, 준분리, 분리, 국소 유한 표시, 유한 표시, 국소 유한형, 유한형, 고유, 정수적, 유한인 것은 각각 모든 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(g_i\)가 그러한 것과 필요충분하다.
증명
이는 Limits of Spaces, Lemma 0BGZ에서 따라온다.
보조정리
\(X, x_i, U_i \to X, u_i\)가 (0BHA)에서와 같다고 하자. \(f : Y \to X\)가 \(F\) 아래에서 \(g_i : Y_i \to U_i\)에 대응하면, 대수 공간으로서 \(Y_{x_i} \cong (Y_i)_{u_i}\)이다.
증명
\(u_i \to x_i\)가 동형이므로 명백하다.
이차 변환에 의한 지배
공간의 한 점에서의 블로업은 \(X\)가 decent인 경우에만 정의한다.
정의
\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 decent 대수 공간이라 하자. \(x \in |X|\)를 닫힌점이라 하자. Decent Spaces, Lemma 0AHB에 의해 \(x\)를 닫힌 몰입 \(i : \Spec(k) \to X\)로 나타낼 수 있다. 닫힌 부분공간 \(Z = i(\Spec(k)) \subset X\)에서의 \(X\)의 블로업을 \(x\)에서의 \(X\)의 블로업 \(X' \to X\)이라 한다.
이 일반성 아래에서는 \(x\)에서의 \(X\)의 블로업이 반드시 고유인 것은 아니다. 그러나 \(X\)가 국소 뇌터이면 Divisors on Spaces, Lemma 085Z에 의해 그 블로업은 고유이다. 국소 뇌터 대수 공간이 뇌터일 필요충분조건은 준콤팩트이고 준분리인 것임을 상기하자. 또한 국소 뇌터 대수 공간에서는 준분리인 것과 decent인 것이 동치이다(Decent Spaces, Lemma 0BB6).
보조정리
\(X, x_i, U_i \to X, u_i\)가 (0BHA)에서와 같고, \(f : Y \to X\)가 \(F\) 아래에서 \(g_i : Y_i \to U_i\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 다음 분해를 가지며 \[Y = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\] \(Z_{j + 1} \to Z_j\)가 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 위에 놓인 닫힌점 \(z_j\)에서의 \(Z_j\)의 블로업인 것과, 각 \(i\)에 대하여 \(g_i\)가 다음 분해를 가지며 \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\] \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\)가 \(u_i\) 위에 놓인 닫힌점 \(z_{i, j}\)에서의 \(Z_{i, j}\)의 블로업인 것은 필요충분하다.
증명
블로업은 표현 가능한 사상이다. 따라서 어느 경우든 귀납적으로 \(Z_j \to X\) 또는 \(Z_{i, j} \to U_i\)가 표현 가능함을 알 수 있다. 그러므로 Decent Spaces, Lemma 0ABT에 의해 각 \(Z_j\) 또는 \(Z_{i, j}\)는 decent 대수 공간이다. 이로써 주장들이 의미를 가짐을 알 수 있다 (블로업은 decent 공간에 대해서만 정의되기 때문이다). 동치성을 보이기 위하여 먼저 블로업의 열 \(Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\)에서 시작하자. 첫 사상 \(Z_1 \to X\)는 \(x_i\) 중 하나, 이를테면 \(x_1\)에서의 블로업으로 주어진다. \(F\)를 \(Z_1 \to X\)에 적용하면,
\(Z_{1, 1} \to U_1\)은 \(u_1\)에서의 블로업, 즉 \(u_1\)에서의 블로업이고, \(i > 1\)에 대해서는 \(Z_{i, 0} = U_i\)임을 알 수 있다. 다음 단계에서는 \(Z_1\) 위에서 \(x_i\) 중 하나(\(i \geq 2\))를 블로업하거나, \(x_1\) 위의 \(Z_1 \to X\)의 올에서 닫힌점 \(z_1\)을 택한다. 첫 번째 경우에는 무엇을 해야 할지가 명백하고, 두 번째 경우에는 \((Z_1)_{x_1} \cong (Z_{1, 1})_{u_1}\) (Lemma 0BHD)을 이용하여 \(z_1\)에 대응하는 닫힌점 \(z_{1, 1} \in Z_{1, 1}\)을 얻는다. 그런 다음 \(Z_{1, 2} \to Z_{1, 1}\)을 \(z_{1, 1}\)에서의 블로업으로 둔다. 이 과정을 계속하여 각 \(g_i\)의 분해를 구성한다.
반대로 블로업의 열 \(Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\) 가 주어지면, 정확히 같은 방식으로 \(X\)의 블로업의 열을 구성한다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 뇌터 대수 공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 다음을 만족하는 닫힌점 \(x\)들의 유한 집합이라 하자: (1) \(X\)는 \(x\)에서 정칙이고, (2) \(x\)에서의 \(X\)의 국소환은 차원 \(2\)이다. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)가 \(T\)에 지지되는 준연접 아이디얼 층이라 하자. 그러면 다음과 같은 열이 존재한다. \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 여기서 \(X_{j + 1} \to X_j\)는 \(T\)의 한 점 위에 놓인 닫힌점 \(x_j\)에서의 \(X_j\)의 블로업이고,
\(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\)은 가역 아이디얼 층이다.
증명
\(T = \{x_1, \ldots, x_r\}\)이라 하자. Section 0BH9에서와 같은 초등 étale 근방 \((U_i, u_i) \to (X, x_i)\)를 택한다. 각 \(i\)에 대하여 제한 \(\mathcal{I}_i = \mathcal{I}|_{U_i} \subset \mathcal{O}_{U_i}\)는 \(u_i\)에 지지되는 준연접 아이디얼 층이다. \(u_i\)에서의 \(U_i\)의 국소환은 정칙이고 차원 \(2\)이다. 따라서 Resolution of Surfaces, Lemma 0AHH을 적용하여
\[X_{i, m_i} \to X_{i, m_i - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_{i, 0} = U_i\] 라는, \(u_i\) 위에 놓인 닫힌점들에서의 블로업의 열로서 \(\mathcal{I}_i \mathcal{O}_{X_{i, m_i}}\)가 가역인 것을 얻는다. Lemma 0BHF에 의해 다음과 같은, 보조정리의 명제에 나온 블로업의 열을 얻는다. \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 이 열을 우리의 \(U_i\)로 밑변환하면 주어진 열들이 나온다. 따라서 \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\)은 가역 아이디얼 층이다. 실제로 이것은
\(X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\) 위에서 성립함을 알고 있으며, 각 \(x_i\)의 올의 한 étale 근방에서는 구성에 의해 성립한다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하고, \(X\)를 \(S\) 위의 뇌터 대수 공간이라 하자. \(T \subset |X|\)를 다음을 만족하는 닫힌점 \(x\)들의 유한 집합이라 하자: (1) \(X\)는 \(x\)에서 정칙이고, (2) \(x\)에서의 \(X\)의 국소환은 차원 \(2\)이다. \(f : Y \to X\)를 \(U = X \setminus T\) 위에서 동형인 대수 공간들의 고유 사상이라 하자. 그러면 다음과 같은 열이 존재한다. \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 여기서 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(T\)의 한 점 위에 놓인 닫힌점 \(x_i\)에서의 \(X_i\)의 블로업이고, 그 합성은 \(X_n \to Y \to X\)로 분해된다.
증명
More on Morphisms of Spaces, Lemma 087G에 의해 \(Y \to X\)를 지배하는 \(U\)-허용가능 블로업 \(X' \to X\)가 존재한다. 따라서 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)가 \(T\)에 지지되고 \(Y\)가 \(\mathcal{I}\)에서의 \(X\)의 블로업이 되게 하는 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)가 존재한다고 가정해도 된다. Lemma 0BHG에 의해 다음과 같은 열이 존재한다. \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 여기서 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(T\)의 한 점 위에 놓인 닫힌점 \(x_i\)에서의 \(X_i\)의 블로업이고, \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\)은 가역 아이디얼 층이다. 블로업의 보편 성질(Divisors on Spaces, Lemma 085U)에 의해 원하는 분해를 얻는다.
정규화 블로업에 의한 지배
이 절에서는 곡면의 수정이 점들에서의 정규화 블로업의 열에 의해 지배됨을 증명한다.
정의
\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 decent 대수 공간으로서 Morphisms of Spaces, Lemma 0BB1의 동치 조건들을 만족한다고 하자. \(x \in |X|\)를 닫힌점이라 하자. \(x\)에서의 \(X\)의 정규화 블로업은 합성 \(X'' \to X' \to X\)이다. 여기서 \(X' \to X\)는 \(x\)에서의 \(X\)의 블로업(Definition 0BHE)이고, \(X'' \to X'\)는 \(X'\)의 정규화이다.
여기서 정규화 \(X'' \to X'\)는 대수 공간으로서 정의된다. 실제로 \(X'\)가 Morphisms of Spaces, Lemma 0BB1의 동치 조건들을 만족하기 때문이며, 이는 Divisors on Spaces, Lemma 0BH1에서 따른다. 정규화의 정의는 Morphisms of Spaces, Definition 0BB2을 보라.
일반적으로 \(X\)가 뇌터인 경우에도 정규화 블로업은 반드시 고유인 것은 아니다. Nagata 환의 스펙트럼인 아핀들로 이루어진 étale 피복을 가지는 대수 공간을 Nagata라 함을 상기하자(Properties of Spaces, Definition 03E6, Remark 03E7, 그리고 Properties, Definition 033S).
보조정리
Definition 0BHJ에서 \(X\)가 Nagata이면, \(x\)에서의 \(X\)의 정규화 블로업은 \(X\) 위에서 고유인 정규 Nagata 대수 공간이다.
증명
블로업 사상 \(X' \to X\)는 고유이다 (\(X\)가 국소 뇌터이므로 Divisors on Spaces, Lemma 085Z를 적용할 수 있다). 따라서 \(X'\)는 Nagata이다(Morphisms of Spaces, Lemma 0BAU). 그러므로 정규화 \(X'' \to X'\)는 유한이고 (Morphisms of Spaces, Lemma 0BB5), \(X'' \to X\)도 고유임을 알 수 있다 (Morphisms of Spaces, Lemmas 04NZ and 04XY). 따라서 정규화 블로업은 정규(Morphisms of Spaces, Lemma 0BB4) Nagata 대수 공간이다.
다음은 정규화 블로업에 대한 Lemma 0BHF의 유사 명제이다.
보조정리
\(X, x_i, U_i \to X, u_i\)가 (0BHA)에서와 같고, \(f : Y \to X\)가 \(F\) 아래에서 \(g_i : Y_i \to U_i\)에 대응한다고 하자. \(X\)가 Morphisms of Spaces, Lemma 0BB1의 동치 조건들을 만족한다고 가정하자. 그러면 \(f\)가 다음 분해를 가지며 \[Y = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\] \(Z_{j + 1} \to Z_j\)가 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 위에 놓인 닫힌점 \(z_j\)에서의 \(Z_j\)의 정규화 블로업인 것과, 각 \(i\)에 대하여 \(g_i\)가 다음 분해를 가지며 \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\] \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\)가 \(u_i\) 위에 놓인 닫힌점 \(z_{i, j}\)에서의 \(Z_{i, j}\)의 정규화 블로업인 것은 필요충분하다.
증명
이는 Lemma 0BHF의 증명에 사용한 것과 정확히 같은 논증으로부터 따른다.
Nagata 대수 공간은 국소 뇌터이다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 차원 \(\dim(X) = 2\)인 뇌터 Nagata 대수 공간이라 하자. \(f : Y \to X\)를 고유 쌍유리 사상이라 하자. 그러면 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & X_1 \ar[r] & X_0 \ar[d] \\ Y \ar[rrrr] & & & & X }\] 여기서 \(X_0 \to X\)는 정규화이고, \(X_{i + 1} \to X_i\)는 닫힌점에서의 \(X_i\)의 정규화 블로업이다.
증명
이 보조정리를 대수 공간에 대하여 직접 증명할 수도 있지만, 위에서 사용한 접근을 계속하여 스킴의 경우로 환원하겠다.
뇌터 대수 공간은 준분리이므로 점들이 잘 정의된 잉여체를 가짐을 사용할 것이다 (예를 들어 Decent Spaces, Lemma 0BBP). 또한 Morphisms of Spaces, Sections 0BAT, 0BAW, and 07U3의 결과들을 더 언급하지 않고 사용할 것이다. \(Y\)를 그 정규화로 대체해도 된다. \(X_0 \to X\)를 정규화라 하자. 사상 \(Y \to X\)는 \(X_0\)를 거쳐 분해된다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 모두 정규라고 가정해도 된다.
\(X\)와 \(Y\)가 정규라고 가정하자. 사상 \(f : Y \to X\)는 \(Y\)의 여차원 \(0\)과 \(1\)인 모든 점 및 올이 유한인 \(Y\)의 모든 점을 포함하는 열린집합 위에서 동형이다. Spaces over Fields, Lemma 0BBQ을 보라. 따라서 \(f\)가 \(X \setminus T\) 위에서 동형이 되게 하는 닫힌점들의 유한 집합 \(T \subset |X|\)가 존재함을 알 수 있다. More on Morphisms of Spaces, Lemma 087G에 의해 \(Y\)를 지배하는 \(X \setminus T\)-허용가능 블로업 \(Y' \to X\)가 존재한다. \(Y\)를 \(Y'\)의 정규화로 대체한 뒤에는 \(Y \to X\)가 표현 가능하다고 가정해도 됨을 알 수 있다.
\(T = \{x_1, \ldots, x_r\}\)이라 하자. Section 0BH9에서와 같은 초등 étale 근방 \((U_i, u_i) \to (X, x_i)\)를 택한다. 각 \(i\)에 대하여 사상 \(Y_i = Y \times_X U_i \to U_i\)는 \(U_i \setminus \{u_i\}\) 위에서 동형인 고유 쌍유리 사상이다. 따라서 Resolution of Surfaces, Lemma 0BBT을 적용하여
\[X_{i, m_i} \to X_{i, m_i - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_{i, 0} = U_i\] 라는, \(u_i\) 위에 놓인 닫힌점들에서의 정규화 블로업의 열로서 \(X_{i, m_i}\)가 \(Y_i\)를 지배하는 것을 얻는다. Lemma 0BHL에 의해 다음과 같은, 보조정리의 명제에 나온 정규화 블로업의 열을 얻는다. \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 이 열을 우리의 \(U_i\)로 밑변환하면 주어진 열들이 나온다. Lemma 0BHB의 범주 동치에 의해 \(X_m\)이 \(Y\)를 지배함이 따른다.
완비화로의 밑변환
다음의 간단한 보조정리는 이후에 유용한 도구가 될 것이다.
보조정리
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)이 유한 생성인 국소환이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 decent 대수 공간이라 하자. \(A^\wedge\)가 \(A\)의 \(\mathfrak m\)-진 완비화일 때 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)라 하자. \(q \in |Y|\)를 그 상 \(p \in |X|\)가 \(\Spec(A)\)의 닫힌점 위에 놓이는 점이라 하자. 그러면 헨젤 국소환의 사상 \(\mathcal{O}_{X, p}^h \to \mathcal{O}_{Y, q}^h\)는 완비화 사이의 동형을 유도한다.
증명
이는 Decent Spaces, Lemma 0BBP에서와 같은 초등 étale 근방 \((U, u) \to (X, p)\)를 택하고 \(V = U \times_X Y = U \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\) 및 \(v = (u, q)\)로 둠으로써 스킴의 경우에서 즉시 따른다. 스킴의 경우는 Resolution of Surfaces, Lemma 0BG5이다.
보조정리
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 뇌터 국소환이라 하자. \(X\)가 decent 대수 공간인 국소 유한형 사상 \(X \to \Spec(A)\)를 생각하자. \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)라 하자. \(y \in |Y|\)의 상을 \(x \in |X|\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
\(\mathcal{O}_{Y, y}^h\)가 정칙이면 \(\mathcal{O}_{X, x}^h\)도 정칙이다.
\(y\)가 닫힌 올에 속하면, \(\mathcal{O}_{Y, y}^h\)가 정칙이다 \(\Leftrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^h\)가 정칙이다.
\(X\)가 \(A\) 위에서 고유이면, \(X\)가 정칙일 필요충분조건은 \(Y\)가 정칙인 것이다.
증명
étale 국소화에 의해 처음 두 명제는 스킴에 대한 이 보조정리의 대응 명제로부터 즉시 따른다. Resolution of Surfaces, Lemma 0BG6을 보라. (3)에 대하여, \(Y \to X\)가 전사이므로 (\(A \to A^\wedge\)가 충실히 평탄하기 때문이다), (1)에 의해 \(Y\)가 정칙이면 \(X\)가 정칙임을 알 수 있다. 반대로 \(X\)가 정칙이면, 특수 올의 모든 점에서 \(Y\)의 헨젤 국소환들이 정칙이다. \(y \in |Y|\)를 임의의 점이라 하자. 고유인 경우에는 \(|Y| \to |\Spec(A^\wedge)|\)가 닫힌 사상이므로, 닫힌 올에 속하는 \(y_0\)에 대한 특수화 \(y \leadsto y_0\)를 찾을 수 있다. Decent Spaces, Lemma 0BBP에서와 같은 초등 étale 근방 \((V, v_0) \to (Y, y_0)\)를 택한다. \(Y\)가 decent이므로 \(y \leadsto y_0\)를 \(V\) 안의 특수화 \(v \leadsto v_0\)로 올릴 수 있다 (Decent Spaces, Lemma 03IL). 그러면 \(\mathcal{O}_{V, v}\)는 \(\mathcal{O}_{V, v_0}\)의 국소화이므로 정칙이고, 증명이 끝난다.
보조정리
\((A, \mathfrak m)\)을 국소 뇌터 환이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 대수 공간이라 하자. 다음을 가정하자.
\(A\)는 해석적 비분기이다 (Algebra, Definition 032X).
\(X\)는 \(A\) 위에서 국소 유한형이다.
\(X \to \Spec(A)\)는 \(X\)에서 여차원 \(0\)인 모든 점에서 étale이다.
그러면 \(X\)의 정규화는 \(X\) 위에서 유한이다.
증명
스킴 \(U\)와 전사 étale 사상 \(U \to X\)를 택한다. 그러면 \(U \to \Spec(A)\)는 Resolution of Surfaces, Lemma 0BG8의 가정들을 만족하고, 따라서 그 결론도 만족한다.
함의되는 성질
이 절에서는 뇌터 정수적 대수 공간에 정칙 alteration이 존재하면 상당히 많은 결과가 따름을 증명한다. “나쁜” 뇌터 대수 공간에 관심이 없는 독자는 이 절을 건너뛰어도 된다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 뇌터 정수적 대수 공간이라 하자. \(X\)가 정칙인 alteration \(f : X \to Y\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 정규화 \(Y^\nu \to Y\)는 유한이고, \(Y\)는 정칙인 조밀한 열린부분을 가진다.
증명
étale 국소화에 의해 \(Y = \Spec(A)\)(여기서 \(A\)는 뇌터 정역이다)인 경우를 증명하면 충분하다. \(B\)를 \(A\)의 분수체 안에서의 정수적 폐포라 하자. \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 두자. Cohomology of Spaces, Lemma 08AR에 의해 \(C\)는 유한 \(A\)-가군이다. \(X\)가 정규이므로 (Properties of Spaces, Lemma 0BGT),
\(C\)는 정규 정역임을 알 수 있다 (Spaces over Fields, Lemma 0BH3). 따라서 \(B \subset C\)이고, \(A\)가 뇌터이므로 \(B\)가 \(A\) 위에서 유한임을 결론짓는다.
\(f^{-1}V \to V\)가 유한이 되는 공집합이 아닌 열린부분 \(V \subset Y\)가 존재한다. Spaces over Fields, Definition 0ADA을 보라. \(V\)를 줄인 뒤에는 \(f^{-1}V \to V\)가 평탄하다고 가정해도 된다 (Morphisms of Spaces, Proposition 06QS). 따라서 \(f^{-1}V \to V\)는 충실히 평탄이다. 그러면 Algebra, Lemma 07NG에 의해 \(V\)는 정칙이다.
보조정리
\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 국소 뇌터 정역이라 하자. \(X\)가 정칙인 alteration \(f : X \to \Spec(A)\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.
어떤 영이 아닌 \(f \in A\)에 대하여 \(A_f\)는 정칙이다.
\(A\)의 분수체 안에서의 정수적 폐포 \(B\)는 \(A\) 위에서 유한이다.
\(B\)의 \(\mathfrak m\)-진 완비화는 정규환이다. 즉, \(B\)의 극대 아이디얼들에서의 완비화들은 정규 정역이다.
\(A\)의 일반 형식 올은 정칙이다.
증명
(1)과 (2)는 Lemma 0BHT에서 따른다. (3)의 증명을 위한 기호를 마련하려면 그 보조정리의 증명 일부를 다시 해야 한다. \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 두자. Cohomology of Spaces, Lemma 08AR에 의해 \(C\)는 유한 \(A\)-가군이다. \(X\)가 정규이므로 (Properties of Spaces, Lemma 0BGT),
\(C\)는 정규 정역임을 알 수 있다 (Spaces over Fields, Lemma 0BH3). 따라서 \(B \subset C\)이고, \(A\)가 뇌터이므로 \(B\)가 \(A\) 위에서 유한임을 결론짓는다. Resolution of Surfaces, Lemma 0BGH에 의해 (3)을 증명하려면 \(\mathfrak m\)-진 완비화 \(C^\wedge\)가 정규임을 보이면 충분하다.
Algebra, Lemma 07N9에 의해 완비화 \(C^\wedge\)는 \(\mathfrak m\) 위에 놓이는 \(C\)의 소아이디얼들에서의 \(C\)의 완비화들의 곱이다. 이러한 소아이디얼은 유한 개이고, 이들은 \(C\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\)이다. (\(B\)에 대한 대응 결과가 보조정리의 마지막 명제를 설명한다.) 따라서 \(A\)를 \(C_{\mathfrak m_i}\)로, \(X\)를 \(X_i = X \times_{\Spec(C)} \Spec(C_{\mathfrak m_i})\)로 대체하면 다음 문단에서 논하는 경우로 환원된다. (Cohomology of Spaces, Lemma 073K에 의해 \(\Gamma(X_i, \mathcal{O}) = C_{\mathfrak m_i}\)임을 주의하라.)
여기서 \(A\)는 뇌터 국소 정규 정역이고, \(f : X \to \Spec(A)\)는 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A\)를 만족하는 정칙 alteration이다. \(A\)의 완비화 \(A^\wedge\)가 정규 정역임을 보여야 한다. Lemma 0BHQ에 의해 \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)는 정칙이다.
Cohomology of Spaces, Lemma 073K에 의해 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\)이다. 앞에서와 같이 \(A^\wedge\)가 정규임을 결론짓는다. 실제로 Properties of Spaces, Lemma 0BGT에 의해 \(Y\)는 정규이다. \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\)가 국소환이므로 이 공간은 연결이다. 따라서 \(Y\)는 정규이고 정수적이다 (분리 대수 공간에서는 연결이고 정규이면 정수적이기 때문이다). 그러므로 Spaces over Fields, Lemma 0BH3에 의해 \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\)는 정규 정역이다. 이로써 (3)을 증명했다.
(4)의 증명. \(\eta \in \Spec(A)\)를 일반점이라 하고, 아래첨자 \(\eta\)로 \(\eta\)로의 밑변환을 나타내자. \(f\)가 alteration이므로 스킴 \(X_\eta\)는 \(\eta\) 위에서 유한이고 충실히 평탄이다. \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\)가 Lemma 0BHQ에 의해 정칙이므로, \(Y_\eta\)가 정칙임을 알 수 있다(\(Y\) 안의 열린부분들의 극한이기 때문이다). 그러면 \(Y_\eta \to \Spec(A^\wedge \otimes_A \kappa(\eta))\)는 일반 형식 올 위로 가는 유한 충실히 평탄 사상이다. Algebra, Lemma 07NG에 의해 결론을 얻는다.
특이점 해소
다음은 정의이다.
정의
\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 뇌터 정수적 대수 공간이라 하자.
\(X\)의 특이점 해소란 \(X\)가 정칙인 수정 \(f : X \to Y\)를 말한다.
곡면의 경우에는 때때로 조금 더 많은 정보가 필요하다.
정의
\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 \(2\)차원 뇌터 정수적 대수 공간이라 하자. 다음 열이 존재할 때 \(Y\)가 정규화 블로업에 의한 특이점 해소를 가진다고 한다.
\[Y_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 \to Y\] 여기서 다음이 성립한다.
\(i = 0, \ldots, n\)에 대하여 \(Y_i\)는 \(Y\) 위에서 고유이다.
\(Y_0 \to Y\)는 정규화이다.
\(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(Y_i \to Y_{i - 1}\)은 정규화 블로업이다.
\(Y_n\)은 정칙이다.
조건 (1)은 \(Y\)의 정규화 \(Y_0\)가 \(Y\) 위에서 유한이고, 정규화 블로업에 사용되는 정규화들도 유한임을 함의한다. 이제 마침내 이 장의 주정리에 이른다.
정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y\)를 \(S\) 위의 이차원 정수적 뇌터 대수 공간이라 하자. 다음 조건들은 동치이다.
\(X\)가 정칙인 alteration \(X \to Y\)가 존재한다.
\(Y\)의 특이점 해소가 존재한다.
\(Y\)는 정규화 블로업에 의한 특이점 해소를 가진다.
정규화 \(Y^\nu \to Y\)가 유한이고, \(Y^\nu\)는 유한 개의 특이점
\(y_1, \ldots, y_m \in |Y|\)를 가지며, 각 \(i\)에 대하여 헨젤 국소환 \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\)의 완비화가 정규이다.
증명
함의 (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1)은 즉시 성립한다.
\(X\)가 정칙인 alteration \(X \to Y\)를 택하자. 그러면 Lemma 0BHT에 의해 \(Y^\nu \to Y\)는 유한이다. Morphisms of Spaces, Lemma 0BB4에서 얻는 분해 \(f : X \to Y^\nu\)를 생각하자. Spaces over Fields, Lemma 0AD2에 의해 \(f\)는 \(Y^\nu\)에서 여차원 \(\leq 1\)인 모든 점을 포함하는 열린부분 \(V \subset Y^\nu\) 위에서 유한이다. Algebra, Lemma 00R4 및 Serre의 판정법에 의해 차원 \(\leq 2\)인 정규 국소환이 Cohen–Macaulay라는 사실(Algebra, Lemma 031S)에 의해 \(f\)는 \(V\) 위에서 평탄이다. 그러면 Algebra, Lemma 07NG에 의해 \(V\)는 정칙이다. \(Y^\nu\)가 뇌터이므로 \(Y^\nu \setminus V = \{y_1, \ldots, y_m\}\)은 유한임을 결론짓는다. 각 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\)를 헨젤 국소환이라 하자. 그러면 \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h)\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h)\)의 정칙 alteration이다 (몇 가지 세부 사항은 생략한다). Lemma 0BHU에 의해 \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\)의 완비화는 정규이다. 이로써 (1) \(\Rightarrow\) (4)를 얻는다.
(4)를 가정하자. (3)을 증명해야 한다. \(Y\)를 즉시 그 정규화로 대체해도 된다. \(y_1, \ldots, y_m \in |Y|\)를 특이점들이라 하자. Section 0BH9에서와 같은 초등 étale 근방의 족 \((V_i, v_i) \to (Y, y_i)\)를 택한다. 각 \(i\)에 대하여 헨젤 국소환 \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\)는 \(\mathcal{O}_{V_i, v_i}\)의 헨젤화이다. 따라서 이 환들은 서로 동형인 완비화를 가진다. 그러므로 스킴에 대한 결과 (Resolution of Surfaces, Theorem 0BGP)에 의해 다음과 같은 정규화 블로업의 유한 열들이 존재한다. \[X_{i, n_i} \to X_{i, n_i - 1} \to \ldots \to V_i\] 여기서는 \(v_i\) 위에 놓인 점들만 블로업하고, \(X_{i, n_i}\)는 정칙이다. Lemma 0BHL에 의해 다음과 같은 정규화 블로업의 열이 존재한다. \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to Y\] 물론 \(X_n\)도 정칙이다(국소환들을 보라). 이로써 증명이 끝난다.
예
이 장에서 앞서 얻은 결과들과 관련된 몇 가지 예를 든다.
예
\(k\)를 체라 하자. \(r, s, t\)가 쌍마다 서로소인 정수이면 환 \(A = k[x, y, z]/(x^r + y^s + z^t)\)는 UFD이다. 실제로 \(x^r + y^s + z^t\)가 기약이므로 \(A\)는 정역이다. 원소 \(z\)는 소원이다. 즉, \(A\)에서 소아이디얼을 생성한다. 한편 어떤 \(e\)에 대하여 \(t = 1 + ers\)이면 \[A[1/z] \cong k[x', y', 1/z]\] 이다. 여기서 \(x' = x/z^{es}\), \(y' = y/z^{er}\)이고 \(z = (x')^r + (y')^s\)이다. 따라서 \(A[1/z]\)는 다항식환의 국소화이고, 그러므로 UFD이다. Nagata의 논증으로부터 \(A\)가 UFD임이 따른다. Algebra, Lemma 0AFU를 보라. \(t\)가 \(rs\)를 법으로 \(1\)과 합동이 아닌 경우에도 비슷한 논증을 줄 수 있다.
예
\(1 < r < s < t\)가 쌍마다 서로소이고 \(2, 3, 5\)와 같지 않은 정수이면, 환 \(A = \mathbf{C}[[x, y, z]]/(x^r + y^s + z^t)\)는 UFD가 아니다. 예를 들어 특수한 경우 \(A = \mathbf{C}[[x, y, z]]/(x^2 + y^5 + z^7)\)을 생각하자. 다음 사상들을 생각하자. \[\psi_\zeta : \mathbf{C}[[x, y, z]]/(x^2 + y^5 + z^7) \to \mathbf{C}[[t]]\] 이들은 다음으로 주어진다. \[x \mapsto t^7,\quad y \mapsto t^3,\quad z \mapsto -\zeta t^2(1 + t)^{1/7}\] 여기서 \(\zeta\)는 1의 \(7\)제곱근이다. \(\psi_\zeta\)의 핵 \(\mathfrak p_\zeta\)는 높이 1인 소아이디얼이다. 따라서 \(A\)가 UFD이면 이는 주아이디얼이고, 이를테면 \(f_\zeta \in \mathbf{C}[[x, y, z]]\)로 생성된다. \(V(x^3 - y^7) = \bigcup V(\mathfrak p_\zeta)\)이고 \(A/(x^3 - y^7)\)가 닫힌점 밖에서 기약임을 주의하자. 따라서 계속해서 \(A\)가 UFD라고 가정하면 다음을 얻는다. \[\prod\nolimits_\zeta f_\zeta = u(x^3 - y^7) + a(x^2 + y^5 + z^7) \quad\text{in}\quad \mathbf{C}[[x, y, z]]\] 여기서 \(u \in \mathbf{C}[[x, y, z]]\)는 단원이고 \(a \in \mathbf{C}[[x, y, z]]\)는 어떤 원소이다. 상수로 스케일링하여 \(u(0, 0, 0) = 1\)이라 가정해도 된다. 좌변이 차수 \(7\)로 소멸함을 주의하자. 따라서 \(a = - x \bmod \mathfrak m^2\)이다. 그러나 그러면 우변에 항 \(xy^5\)가 생기지만 좌변에는 생기지 않는다. 이는 모순이다.
예
우수한 \(2\)차원 뇌터 국소환과 스킴이 아닌 수정 \(X \to S = \Spec(A)\)가 존재한다. 한 구성을 개략적으로 설명하겠다. \(X\)를 유일한 특이점 \(x \in X\)를 가지는 \(\mathbf{C}\) 위의 정규 곡면이라 하자. 예외 올 \(C = \pi^{-1}(x)_{red}\)가 매끄러운 사영 곡선이 되게 하는 특이점 해소 \(\pi : X' \to X\)가 존재한다고 가정하자. 또한 \(\mathcal{O}_C(nc)\)가 \(\Pic(X') \to \Pic(C)\)의 상에 속하면 \(n = 0\)이 되게 하는 점 \(c \in C\)가 존재한다고 가정하자. \(X'' \to X'\)를 비특이점 \(c\)에서의 블로업이라 하자. \(C' \subset X''\)를 \(C\)의 엄밀 변환이라 하고, \(E \subset X''\)를 예외 올이라 하자. Artin의 결과들([ArtinII]; \(C'\)의 법다발이 음임을 보려면 예를 들어 [Mumford-topology]를 사용하라)에 의해 \(X''\)에서 곡선 \(C'\)를 수축하여 대수 공간 \(X'''\)를 얻을 수 있다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & X'' \ar[ld] \ar[rd] \\ X' \ar[rd] & & X''' \ar[ld] \\ & X }\] \(X'''\)가 스킴이 아니라고 주장한다. 이것이 우리의 예를 준다. 왜냐하면 \(X'''\)가 스킴일 필요충분조건은 \(X'''\)를 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)로 밑변환한 것이 스킴인 것이기 때문이다 (세부 사항은 생략한다).
\(X'''\)가 스킴이라면 \(X'''\) 안에서 \(C'\)의 상은 아핀 근방을 가질 것이다. 이 근방의 여집합은 \(X'''\) 위의 유효 Cartier 인자일 것이다 (\(X'''\)가 \(1\)점을 제외하면 비특이이기 때문이다). 이 유효 Cartier 인자는 \(X''\) 위에서 \(E\)와 만나고 \(C'\)를 피하는 유효 Cartier 인자에 대응할 것이다. \(X'\) 안에서 그 상을 취하면 집합론적으로 \(C\)와 \(c\)에서 만나는 유효 Cartier 인자를 얻는다. 가정에 의해 \(c\)의 어떤 배수도 Cartier 인자의 제한이 아니므로 이는 불가능하다.
마지막으로 이러한 특이 곡면 \(X\)를 찾아야 한다. 단순히 \(\mathbf{A}^3_\mathbf{C} = \Spec(\mathbf{C}[x, y, z])\) 안에서 \[x^3 + y^3 + z^3 + x^4 + y^4 + z^4 = 0\] 으로 주어지고 특이점이 \((0, 0, 0)\)인 아핀 곡면을 \(X\)로 택할 수 있다. 그러면 \((0, 0, 0)\)은 유일한 특이점이다. \((0, 0, 0)\)에 대응하는 극대 아이디얼에서 \(X\)를 블로업하면, 각각 다음 매끄러운 아핀 곡면과 동형인 세 개의 차트를 얻는다. \[1 + s^3 + t^3 + x(1 + s^4 + t^4) = 0\] 이는 비특이이고 예외 인자 \(C\)는 \(x = 0\)으로 주어진다. 독자는 \(C\)가 타원 곡선임을 알아볼 것이다. 마지막으로 \((0, 0, 0)\)에서의 사영으로 알 수 있듯이 곡면 \(X\)는 유리적이다. 또는 블로업의 방정식에서 \(x\)에 대하여 풀어도 된다. 마지막으로 비특이 유리 곡면의 Picard 군은 가산인 반면, 복소수체 위의 타원 곡선의 Picard 군은 비가산이다. 따라서 위에서 말한 닫힌점 \(c\)를 찾을 수 있다.