Introduction
Ce chapitre traite de la résolution des singularités des espaces algébriques noethériens de dimension \(2\). Dans un chapitre antérieur, nous avons déjà étudié, à la suite de Lipman [Lipman], la résolution des surfaces dans le cas des schémas. Voir Résolution des surfaces, section 0ADX. La plupart des résultats de ce chapitre se déduisent immédiatement des résultats relatifs aux schémas.
Sauf mention expresse du contraire, tous les objets géométriques de ce chapitre seront des espaces algébriques. Ainsi, lorsque nous dirons “soit \(f : X \to Y\) une modification”, cela signifiera que \(f\) est un morphisme au sens de Espaces au-dessus de corps, définition 0AD8. Il en ira de même pour les morphismes propres, et ainsi de suite.
Modifications
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Posons \(S = \Spec(A)\) et \(U = S \setminus \{\mathfrak m\}\). Dans cette section, nous considérerons la catégorie [0AE2]\[\begin{equation} \left\{ f : X \longrightarrow S \quad \middle| \quad \begin{matrix} X\text{ est un espace algébrique}\\ f\text{ est un morphisme propre}\\ f^{-1}(U) \to U\text{ est un isomorphisme} \end{matrix} \right\} \end{equation}\] Un morphisme de \(X/S\) vers \(X'/S\) sera un morphisme d’espaces algébriques \(X \to X'\) compatible aux morphismes structuraux au-dessus de \(S\). Dans Algébrisation des espaces formels, section 0AS1, nous avons vu que cette catégorie ne dépend que du complété de \(A\) et démontré quelques propriétés élémentaires de ses objets. Dans cette section, nous étudions plus particulièrement les cas où \(\dim(A) \leq 2\) ou bien où la fibre fermée est de dimension au plus \(1\).
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un domaine local noethérien de dimension \(2\) tel que \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) soit un schéma normal. Alors toute modification \(f : X \to \Spec(A)\) est un morphisme comme dans (0AE2).
Démonstration
Soit \(f : X \to S\) une modification. Il nous faut montrer que \(f^{-1}(U) \to U\) est un isomorphisme. Comme tout point fermé \(u\) de \(U\) est de codimension \(1\), cela résulte de Espaces au-dessus de corps, lemme 0BBQ.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(g : X \to Y\) un morphisme de la catégorie (0AE2). Si le morphisme induit \(X_\kappa \to Y_\kappa\) entre les fibres spéciales est une immersion fermée, alors \(g\) est une immersion fermée.
Démonstration
C’est un cas particulier de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05XA.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un domaine local noethérien de dimension \(\geq 1\). Soit \(f : X \to \Spec(A)\) un morphisme d’espaces algébriques. Supposons satisfaite au moins l’une des conditions suivantes :
\(f\) est une modification (Espaces au-dessus de corps, définition 0AD8),
\(f\) est une altération (Espaces au-dessus de corps, définition 0ADA),
\(f\) est localement de type fini et quasi-séparé, \(X\) est intègre, et il existe exactement un point de \(|X|\) dont l’image est le point générique de \(\Spec(A)\),
\(f\) est localement de type fini, \(X\) est raisonnable, et les points de \(|X|\) dont l’image est le point générique de \(\Spec(A)\) sont les points génériques des composantes irréductibles de \(|X|\),
ajouter d’autres cas ici.
Alors \(\dim(X_\kappa) \leq \dim(A) - 1\).
Démonstration
Les cas (1), (2) et (3) sont des cas particuliers de (4). Choisissons un schéma affine \(U = \Spec(B)\) et un morphisme étale \(U \to X\). L’homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est de type fini. Il nous faut montrer que \(\dim(U_\kappa) \leq \dim(A) - 1\). Puisque \(X\) est raisonnable, les points génériques des composantes irréductibles de \(U\) sont les points situés au-dessus des points génériques des composantes irréductibles de \(|X|\) ; voir Espaces raisonnables, lemme 0ABV. La fibre de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) au-dessus de \((0)\) est donc l’ensemble (fini) des idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\) de \(B\). Ainsi, \(A_f \to B_f\) est fini pour un certain \(f \in A\) non nul (Algèbre, lemme 02ML). Il s’ensuit que \(\kappa(\mathfrak q_i)\) est une extension finie du corps des fractions de \(A\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) un idéal premier au-dessus de \(\mathfrak m\). Alors \[\dim(B_\mathfrak q) = \max \dim((B/\mathfrak q_i)_{\mathfrak q}) \leq \dim(A)\] l’inégalité résultant de la formule de dimension appliquée à \(A \subset B/\mathfrak q_i\) ; voir Algèbre, lemme 02IJ. Toutefois, la dimension de \(B_\mathfrak q/\mathfrak m B_\mathfrak q\) (qui est l’anneau local de \(U_\kappa\) au point correspondant) est inférieure d’au moins une unité, car les idéaux premiers minimaux \(\mathfrak q_i\) n’appartiennent pas à \(V(\mathfrak m)\). On conclut par Propriétés, lemme 04MU.
Lemme
Si \((A, \mathfrak m, \kappa)\) est un domaine local noethérien complet de dimension \(2\), alors toute modification de \(\Spec(A)\) est projective sur \(A\).
Démonstration
Par Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0AE7 il suffit de montrer que la fibre spéciale de toute modification \(X\) de \(\Spec(A)\) est de dimension \(\leq 1\). Cela résulte du lemme 0AYJ.
Stratégie
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique raisonnable sur \(S\). Soient \(x_1, \ldots, x_n \in |X|\) des points fermés deux à deux distincts. Pour chaque \(i\), choisissons un voisinage étale élémentaire \((U_i, u_i) \to (X, x_i)\) comme dans Espaces raisonnables, lemme 0BBP. Cela signifie que \(U_i\) est un schéma affine, que \(U_i \to X\) est étale, que \(u_i\) est l’unique point de \(U_i\) au-dessus de \(x_i\), et que \(\Spec(\kappa(u_i)) \to X\) est un monomorphisme représentant \(x_i\). Quitte à restreindre \(U_i\), nous pouvons et voulons supposer que, si \(j \not = i\), aucun point de \(U_i\) ne s’envoie sur \(x_j\). Remarquons que \(u_i \in U_i\) est un point fermé.
Notons \(\mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}}\) la catégorie des morphismes d’espaces algébriques \(f : Y \to X\) qui induisent un isomorphisme \(f^{-1}(X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}) \to X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\). Pour chaque \(i\), notons \(\mathcal{C}_{U_i, u_i}\) la catégorie des morphismes d’espaces algébriques \(g_i : Y_i \to U_i\) qui induisent un isomorphisme \(g_i^{-1}(U_i \setminus \{u_i\}) \to U_i \setminus \{u_i\}\). Le changement de base définit un foncteur [0BHA]\[\begin{equation} F : \mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}} \longrightarrow \mathcal{C}_{U_1, u_1} \times \ldots \times \mathcal{C}_{U_n, u_n} \end{equation}\] Le lemme suivant permettra de ramener au cas des schémas au moins certains des problèmes de ce chapitre.
Lemme
Le foncteur \(F\) de (0BHA) est une équivalence.
Démonstration
Pour \(n = 1\), c’est Limites d’espaces, lemme 0BGY. Pour \(n > 1\), le lemme se démontre exactement de la même manière, ou s’en déduit. Supposons par exemple que les \(g_i : Y_i \to U_i\) soient des objets de \(\mathcal{C}_{U_i, u_i}\). Le cas \(n = 1\) fournit alors des \(f'_i : Y'_i \to X\) qui sont des isomorphismes au-dessus de \(X \setminus \{x_i\}\) et dont le changement de base à \(U_i\) est \(f_i\). On peut alors poser \[f : Y = Y'_1 \times_X \ldots \times_X Y'_n \to X\] C’est un objet de \(\mathcal{C}_{X, \{x_1, \ldots, x_n\}}\) dont le changement de base par \(U_i \to X\) redonne \(g_i\). Le foncteur est donc essentiellement surjectif. Nous omettons la démonstration de sa pleine fidélité.
Lemme
Soient \(X, x_i, U_i \to X, u_i\) comme dans (0BHA). Si \(f : Y \to X\) correspond aux \(g_i : Y_i \to U_i\) par \(F\), alors \(f\) est quasi-compact, quasi-séparé, séparé, localement de présentation finie, de présentation finie, localement de type fini, de type fini, propre, entier ou fini si et seulement si tous les \(g_i\) le sont, pour \(i = 1, \ldots, n\).
Démonstration
Cela résulte de Limites d’espaces, lemme 0BGZ.
Lemme
Soient \(X, x_i, U_i \to X, u_i\) comme dans (0BHA). Si \(f : Y \to X\) correspond aux \(g_i : Y_i \to U_i\) par \(F\), alors \(Y_{x_i} \cong (Y_i)_{u_i}\) comme espaces algébriques.
Démonstration
C’est clair, puisque \(u_i \to x_i\) est un isomorphisme.
Domination par des transformations quadratiques
Nous ne définissons l’éclatement d’un espace en un point que si \(X\) est raisonnable.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique raisonnable sur \(S\). Soit \(x \in |X|\) un point fermé. D’après Espaces raisonnables, lemme 0AHB, on peut représenter \(x\) par une immersion fermée \(i : \Spec(k) \to X\). Par éclatement \(X' \to X\) de \(X\) en \(x\), on entend l’éclatement de \(X\) le long du sous-espace fermé \(Z = i(\Spec(k)) \subset X\).
À ce degré de généralité, l’éclatement de \(X\) en \(x\) n’est pas nécessairement propre. Toutefois, si \(X\) est localement noethérien, il résulte de Diviseurs sur les espaces, lemme 085Z, que cet éclatement est propre. Rappelons qu’un espace algébrique localement noethérien est noethérien si et seulement s’il est quasi-compact et quasi-séparé. De plus, pour un espace algébrique localement noethérien, être quasi-séparé équivaut à être raisonnable (Espaces raisonnables, lemme 0BB6).
Lemme
Soient \(X, x_i, U_i \to X, u_i\) comme dans (0BHA), et supposons que \(f : Y \to X\) corresponde aux \(g_i : Y_i \to U_i\) par \(F\). Il existe alors une factorisation \[Y = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\] de \(f\) dans laquelle \(Z_{j + 1} \to Z_j\) est l’éclatement de \(Z_j\) en un point fermé \(z_j\) situé au-dessus de \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) si et seulement si, pour chaque \(i\), il existe une factorisation \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\] de \(g_i\) dans laquelle \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\) est l’éclatement de \(Z_{i, j}\) en un point fermé \(z_{i, j}\) situé au-dessus de \(u_i\).
Démonstration
Un éclatement est un morphisme représentable. Dans l’un et l’autre cas, on voit donc par récurrence que \(Z_j \to X\) ou \(Z_{i, j} \to U_i\) est représentable. Par conséquent, chaque \(Z_j\) ou \(Z_{i, j}\) est un espace algébrique raisonnable d’après Espaces raisonnables, lemme 0ABT. Cela montre que les assertions ont un sens (puisque l’éclatement n’est défini que pour les espaces raisonnables). Pour démontrer l’équivalence, partons d’une suite d’éclatements \(Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\). Le premier morphisme \(Z_1 \to X\) est obtenu en éclatant l’un des \(x_i\), disons \(x_1\). En appliquant \(F\) à \(Z_1 \to X\), on obtient l’éclatement \(Z_{1, 1} \to U_1\) en \(u_1\), précisément l’éclatement en \(u_1\), tandis que \(Z_{i, 0} = U_i\) pour \(i > 1\). À l’étape suivante, soit on éclate l’un des \(x_i\), avec \(i \geq 2\), sur \(Z_1\), soit on choisit un point fermé \(z_1\) de la fibre de \(Z_1 \to X\) au-dessus de \(x_1\). Dans le premier cas, la marche à suivre est claire ; dans le second, on utilise l’isomorphisme \((Z_1)_{x_1} \cong (Z_{1, 1})_{u_1}\) (lemme 0BHD) pour obtenir le point fermé \(z_{1, 1} \in Z_{1, 1}\) correspondant à \(z_1\). On définit alors \(Z_{1, 2} \to Z_{1, 1}\) comme l’éclatement en \(z_{1, 1}\). En poursuivant ainsi, on construit les factorisations de chacun des \(g_i\).
Réciproquement, étant données des suites d’éclatements \(Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\) on construit exactement de la même manière la suite d’éclatements de \(X\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) un ensemble fini de points fermés \(x\) tels que (1) \(X\) soit régulier en \(x\) et (2) l’anneau local de \(X\) en \(x\) soit de dimension \(2\). Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) un faisceau quasi-cohérent d’idéaux tel que \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) soit supporté par \(T\). Il existe alors une suite \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] où \(X_{j + 1} \to X_j\) est l’éclatement de \(X_j\) en un point fermé \(x_j\) situé au-dessus d’un point de \(T\), telle que \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) soit un faisceau inversible d’idéaux.
Démonstration
Écrivons \(T = \{x_1, \ldots, x_r\}\). Choisissons des voisinages étales élémentaires \((U_i, u_i) \to (X, x_i)\) comme dans la section 0BH9. Pour chaque \(i\), la restriction \(\mathcal{I}_i = \mathcal{I}|_{U_i} \subset \mathcal{O}_{U_i}\) est un faisceau quasi-cohérent d’idéaux supporté en \(u_i\). L’anneau local de \(U_i\) en \(u_i\) est régulier et de dimension \(2\). Nous pouvons donc appliquer Résolution des surfaces, lemme 0AHH, et obtenir une suite \[X_{i, m_i} \to X_{i, m_i - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_{i, 0} = U_i\] d’éclatements en des points fermés situés au-dessus de \(u_i\) telle que \(\mathcal{I}_i \mathcal{O}_{X_{i, m_i}}\) soit inversible. Le lemme 0BHF fournit une suite d’éclatements \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] comme dans l’énoncé du lemme, dont le changement de base aux \(U_i\) redonne les suites données. Il en résulte que \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) est un faisceau inversible d’idéaux. En effet, nous le savons au-dessus de \(X \setminus \{x_1, \ldots, x_n\}\), et cela est vrai par construction dans un voisinage étale de la fibre de chacun des \(x_i\).
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien sur \(S\). Soit \(T \subset |X|\) un ensemble fini de points fermés \(x\) tels que (1) \(X\) soit régulier en \(x\) et (2) l’anneau local de \(X\) en \(x\) soit de dimension \(2\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre d’espaces algébriques qui est un isomorphisme au-dessus de \(U = X \setminus T\). Il existe alors une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] où \(X_{i + 1} \to X_i\) est l’éclatement de \(X_i\) en un point fermé \(x_i\) situé au-dessus d’un point de \(T\), ainsi qu’une factorisation \(X_n \to Y \to X\) de la composée.
Démonstration
D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 087G, il existe un éclatement \(U\)-admissible \(X' \to X\) qui domine \(Y \to X\). On peut donc supposer qu’il existe un faisceau d’idéaux \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) tel que \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) soit supporté par \(T\) et que \(Y\) soit l’éclatement de \(X\) le long de \(\mathcal{I}\). D’après le lemme 0BHG, il existe une suite \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] où \(X_{i + 1} \to X_i\) est l’éclatement de \(X_i\) en un point fermé \(x_i\) situé au-dessus d’un point de \(T\), telle que \(\mathcal{I}\mathcal{O}_{X_n}\) soit un faisceau inversible d’idéaux. La propriété universelle de l’éclatement (Diviseurs sur les espaces, lemme 085U) fournit la factorisation voulue.
Domination par des éclatements normalisés
Dans cette section, nous montrons qu’une modification d’une surface peut être dominée par une suite d’éclatements normalisés en des points.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique raisonnable sur \(S\) satisfaisant aux conditions équivalentes de Morphismes d’espaces, lemme 0BB1. Soit \(x \in |X|\) un point fermé. L’éclatement normalisé de \(X\) en \(x\) est la composée \(X'' \to X' \to X\), où \(X' \to X\) est l’éclatement de \(X\) en \(x\) (définition 0BHE) et où \(X'' \to X'\) est la normalisation de \(X'\).
La normalisation \(X'' \to X'\) est bien définie comme espace algébrique, car \(X'\) satisfait aux conditions équivalentes de Morphismes d’espaces, lemme 0BB1, d’après Diviseurs sur les espaces, lemme 0BH1. Voir Morphismes d’espaces, définition 0BB2 pour la définition de la normalisation.
En général, l’éclatement normalisé n’est pas nécessairement propre, même lorsque \(X\) est noethérien. Rappelons qu’un espace algébrique est de Nagata s’il admet un recouvrement étale par des espaces affines qui sont les spectres d’anneaux de Nagata (Propriétés des espaces, définition 03E6 et remarque 03E7, et Propriétés, définition 033S).
Lemme
Dans la définition 0BHJ, si \(X\) est de Nagata, alors l’éclatement normalisé de \(X\) en \(x\) est un espace algébrique normal de Nagata, propre sur \(X\).
Démonstration
Le morphisme d’éclatement \(X' \to X\) est propre (puisque \(X\) est localement noethérien, nous pouvons appliquer Diviseurs sur les espaces, lemme 085Z). Ainsi, \(X'\) est de Nagata (Morphismes d’espaces, lemme 0BAU). La normalisation \(X'' \to X'\) est donc finie (Morphismes d’espaces, lemme 0BB5), et l’on en conclut que \(X'' \to X\) est également propre (Morphismes d’espaces, lemmes 04NZ et 04XY). Il s’ensuit que l’éclatement normalisé est un espace algébrique normal (Morphismes d’espaces, lemme 0BB4) et de Nagata.
Voici, pour les éclatements normalisés, l’analogue du lemme 0BHF.
Lemme
Soient \(X, x_i, U_i \to X, u_i\) comme dans (0BHA), et supposons que \(f : Y \to X\) corresponde aux \(g_i : Y_i \to U_i\) par \(F\). Supposons que \(X\) satisfasse aux conditions équivalentes de Morphismes d’espaces, lemme 0BB1. Il existe alors une factorisation \[Y = Z_m \to Z_{m - 1} \to \ldots \to Z_1 \to Z_0 = X\] de \(f\) dans laquelle \(Z_{j + 1} \to Z_j\) est l’éclatement normalisé de \(Z_j\) en un point fermé \(z_j\) situé au-dessus de \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) si et seulement si, pour chaque \(i\), il existe une factorisation \[Y_i = Z_{i, m_i} \to Z_{i, m_i - 1} \to \ldots \to Z_{i, 1} \to Z_{i, 0} = U_i\] de \(g_i\) dans laquelle \(Z_{i, j + 1} \to Z_{i, j}\) est l’éclatement normalisé de \(Z_{i, j}\) en un point fermé \(z_{i, j}\) situé au-dessus de \(u_i\).
Démonstration
Cela résulte exactement du même argument que dans la démonstration du lemme 0BHF.
Un espace algébrique de Nagata est localement noethérien.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique noethérien de Nagata sur \(S\), avec \(\dim(X) = 2\). Soit \(f : Y \to X\) un morphisme propre birationnel. Il existe alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] & \ldots \ar[r] & X_1 \ar[r] & X_0 \ar[d] \\ Y \ar[rrrr] & & & & X }\] où \(X_0 \to X\) est la normalisation et où \(X_{i + 1} \to X_i\) est l’éclatement normalisé de \(X_i\) en un point fermé.
Démonstration
Bien que l’on puisse démontrer ce lemme directement pour les espaces algébriques, nous poursuivrons la méthode employée ci-dessus pour nous ramener au cas des schémas.
Nous utiliserons le fait que les espaces algébriques noethériens sont quasi-séparés et que leurs points possèdent donc des corps résiduels bien définis (par exemple d’après Espaces raisonnables, lemme 0BBP). Nous utiliserons sans autre mention les résultats de Morphismes d’espaces, sections 0BAT, 0BAW et 07U3. Nous pouvons remplacer \(Y\) par sa normalisation. Soit \(X_0 \to X\) la normalisation. Le morphisme \(Y \to X\) se factorise par \(X_0\). Nous pouvons donc supposer \(X\) et \(Y\) normaux.
Supposons \(X\) et \(Y\) normaux. Le morphisme \(f : Y \to X\) est un isomorphisme au-dessus d’un ouvert qui contient tout point de codimension \(0\) ou \(1\) de \(Y\), ainsi que tout point de \(Y\) au-dessus duquel la fibre est finie ; voir Espaces au-dessus de corps, lemme 0BBQ. On voit donc qu’il existe un ensemble fini de points fermés \(T \subset |X|\) tel que \(f\) soit un isomorphisme au-dessus de \(X \setminus T\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 087G il existe un éclatement \(X \setminus T\)-admissible \(Y' \to X\) qui domine \(Y\). Après avoir remplacé \(Y\) par la normalisation de \(Y'\), on voit que l’on peut supposer le morphisme \(Y \to X\) représentable.
Écrivons \(T = \{x_1, \ldots, x_r\}\). Choisissons des voisinages étales élémentaires \((U_i, u_i) \to (X, x_i)\) comme dans la section 0BH9. Pour chaque \(i\), le morphisme \(Y_i = Y \times_X U_i \to U_i\) est un morphisme propre birationnel qui est un isomorphisme au-dessus de \(U_i \setminus \{u_i\}\). Nous pouvons donc appliquer Résolution des surfaces, lemme 0BBT et obtenir une suite \[X_{i, m_i} \to X_{i, m_i - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_{i, 0} = U_i\] d’éclatements normalisés en des points fermés situés au-dessus de \(u_i\) telle que \(X_{i, m_i}\) domine \(Y_i\). Le lemme 0BHL fournit une suite d’éclatements normalisés \[X_m \to X_{m - 1} \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] comme dans l’énoncé du lemme, dont le changement de base à nos \(U_i\) redonne les suites données. Il résulte alors de l’équivalence de catégories du lemme 0BHB que \(X_m\) domine \(Y\).
Changement de base au complété
Le lemme simple qui suit sera un outil utile dans la suite.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local dont l’idéal maximal \(\mathfrak m\) est de type fini. Soit \(X\) un espace algébrique raisonnable sur \(A\). Posons \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\), où \(A^\wedge\) est le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(A\). Soit \(q \in |Y|\) un point d’image \(p \in |X|\), situé au-dessus du point fermé de \(\Spec(A)\). L’homomorphisme d’anneaux locaux henséliens \(\mathcal{O}_{X, p}^h \to \mathcal{O}_{Y, q}^h\) induit un isomorphisme entre leurs complétés.
Démonstration
Cela résulte immédiatement du cas des schémas : choisissons un voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (X, p)\) comme dans Espaces raisonnables, lemme 0BBP, et posons \(V = U \times_X Y = U \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\) ainsi que \(v = (u, q)\). Le cas des schémas est Résolution des surfaces, lemme 0BG5.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien. Soit \(X \to \Spec(A)\) un morphisme localement de type fini, où \(X\) est un espace algébrique raisonnable. Posons \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\). Soit \(y \in |Y|\) d’image \(x \in |X|\). Alors :
si \(\mathcal{O}_{Y, y}^h\) est régulier, alors \(\mathcal{O}_{X, x}^h\) est régulier ;
si \(y\) appartient à la fibre fermée, alors \(\mathcal{O}_{Y, y}^h\) est régulier \(\Leftrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^h\) est régulier ;
si \(X\) est propre sur \(A\), alors \(X\) est régulier si et seulement si \(Y\) est régulier.
Démonstration
Par localisation étale, les deux premières assertions résultent immédiatement de l’analogue de ce lemme pour les schémas ; voir Résolution des surfaces, lemme 0BG6. Pour (3), puisque \(Y \to X\) est surjectif (car \(A \to A^\wedge\) est fidèlement plat), la régularité de \(Y\) entraîne celle de \(X\) d’après (1). Réciproquement, si \(X\) est régulier, alors les anneaux locaux henséliens de \(Y\) sont réguliers en tous les points de la fibre spéciale. Soit \(y \in |Y|\) un point quelconque. Dans le cas propre, l’application \(|Y| \to |\Spec(A^\wedge)|\) est fermée ; on peut donc trouver une spécialisation \(y \leadsto y_0\), où \(y_0\) appartient à la fibre fermée. Choisissons un voisinage étale élémentaire \((V, v_0) \to (Y, y_0)\) comme dans Espaces raisonnables, lemme 0BBP. Comme \(Y\) est raisonnable, on peut relever \(y \leadsto y_0\) en une spécialisation \(v \leadsto v_0\) dans \(V\) (Espaces raisonnables, lemme 03IL). On en conclut que \(\mathcal{O}_{V, v}\) est un localisé de \(\mathcal{O}_{V, v_0}\), donc qu’il est régulier, ce qui achève la démonstration.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(A\). Supposons que :
\(A\) est analytiquement non ramifié (Algèbre, définition 032X) ;
\(X\) est localement de type fini sur \(A\) ;
\(X \to \Spec(A)\) est étale en tout point de codimension \(0\) de \(X\).
Alors la normalisation de \(X\) est finie sur \(X\).
Démonstration
Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X\). Alors \(U \to \Spec(A)\) satisfait aux hypothèses, donc aux conclusions, de Résolution des surfaces, lemme 0BG8.
Propriétés qui s’en déduisent
Dans cette section, nous montrons que, pour un espace algébrique noethérien intègre, l’existence d’une altération régulière entraîne de nombreuses conséquences. Les lecteurs que n’intéressent pas les “mauvais” espaces algébriques noethériens peuvent omettre cette section.
Lemme
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique noethérien intègre sur \(S\). Supposons qu’il existe une altération \(f : X \to Y\), avec \(X\) régulier. Alors la normalisation \(Y^\nu \to Y\) est finie et \(Y\) possède un ouvert dense qui est régulier.
Démonstration
Par localisation étale, il suffit de le démontrer lorsque \(Y = \Spec(A)\), où \(A\) est un domaine noethérien. Soit \(B\) la clôture intégrale de \(A\) dans son corps des fractions. Posons \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). D’après Cohomologie des espaces, lemme 08AR nous voyons que \(C\) est un \(A\)-module fini. Comme \(X\) est normal (Propriétés des espaces, lemme 0BGT) nous voyons que \(C\) est un domaine normal (Espaces au-dessus de corps, lemme 0BH3). Ainsi \(B \subset C\), et l’on conclut que \(B\) est fini sur \(A\) puisque \(A\) est noethérien.
Il existe un ouvert non vide \(V \subset Y\) tel que \(f^{-1}V \to V\) soit fini ; voir Espaces au-dessus de corps, définition 0ADA. Quitte à restreindre \(V\), on peut supposer que \(f^{-1}V \to V\) est plat (Morphismes d’espaces, proposition 06QS). Ainsi, \(f^{-1}V \to V\) est fidèlement plat. Dès lors, \(V\) est régulier d’après Algèbre, lemme 07NG.
Lemme
Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un domaine local noethérien. Supposons qu’il existe une altération \(f : X \to \Spec(A)\) avec \(X\) régulier. Alors :
il existe un \(f \in A\) non nul tel que \(A_f\) soit régulier ;
la clôture intégrale \(B\) de \(A\) dans son corps des fractions est finie sur \(A\) ;
le complété \(\mathfrak m\)-adique de \(B\) est un anneau normal, c’est-à-dire que les complétés de \(B\) en ses idéaux maximaux sont des domaines normaux ;
la fibre formelle générique de \(A\) est régulière.
Démonstration
Les assertions (1) et (2) résultent du lemme 0BHT. Il nous faut reprendre une partie de la démonstration de ce lemme afin de fixer les notations pour la preuve de (3). Posons \(C = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\). D’après Cohomologie des espaces, lemme 08AR nous voyons que \(C\) est un \(A\)-module fini. Comme \(X\) est normal (Propriétés des espaces, lemme 0BGT) nous voyons que \(C\) est un domaine normal (Espaces au-dessus de corps, lemme 0BH3). Ainsi \(B \subset C\), et l’on conclut que \(B\) est fini sur \(A\) puisque \(A\) est noethérien. D’après Résolution des surfaces, lemme 0BGH, il suffit, pour prouver (3), de montrer que le complété \(\mathfrak m\)-adique \(C^\wedge\) est normal.
D’après Algèbre, lemme 07N9, le complété \(C^\wedge\) est le produit des complétés de \(C\) en les idéaux premiers de \(C\) qui sont au-dessus de \(\mathfrak m\). Ceux-ci sont en nombre fini et ce sont les idéaux maximaux \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_r\) de \(C\). (Le résultat correspondant pour \(B\) explique la dernière précision de l’énoncé.) En remplaçant \(A\) par \(C_{\mathfrak m_i}\) et \(X\) par \(X_i = X \times_{\Spec(C)} \Spec(C_{\mathfrak m_i})\), on se ramène donc au cas du paragraphe suivant. (Notons que \(\Gamma(X_i, \mathcal{O}) = C_{\mathfrak m_i}\) d’après Cohomologie des espaces, lemme 073K.)
Ici, \(A\) est un domaine local noethérien normal et \(f : X \to \Spec(A)\) est une altération régulière telle que \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) = A\). Il nous faut montrer que le complété \(A^\wedge\) de \(A\) est un domaine normal. D’après le lemme 0BHQ, \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\) est régulier. Or \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\) d’après Cohomologie des espaces, lemme 073K. On conclut comme précédemment que \(A^\wedge\) est normal. En effet, \(Y\) est normal d’après Propriétés des espaces, lemme 0BGT. Il est connexe parce que \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\) est local. Ainsi, \(Y\) est normal et intègre (pour un espace algébrique séparé, être connexe et normal entraîne être intègre). Par conséquent, \(\Gamma(Y, \mathcal{O}_Y) = A^\wedge\) est un domaine normal d’après Espaces au-dessus de corps, lemme 0BH3. Ceci démontre (3).
Démontrons (4). Notons \(\eta \in \Spec(A)\) le point générique et indiquons par un indice \(\eta\) le changement de base à \(\eta\). Comme \(f\) est une altération, le schéma \(X_\eta\) est fini et fidèlement plat sur \(\eta\). Puisque \(Y = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A^\wedge)\) est régulier d’après le lemme 0BHQ, on voit que \(Y_\eta\) est régulier (comme limite d’ouverts de \(Y\)). Le morphisme \(Y_\eta \to \Spec(A^\wedge \otimes_A \kappa(\eta))\) est alors fini et fidèlement plat sur la fibre formelle générique. On conclut par Algèbre, lemme 07NG.
Résolution
Voici une définition.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique noethérien intègre sur \(S\). Une résolution des singularités de \(X\) est une modification \(f : X \to Y\) telle que \(X\) soit régulier.
Dans le cas des surfaces, nous souhaitons parfois disposer d’un peu plus d’information.
Définition
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique noethérien intègre de dimension \(2\) sur \(S\). On dit que \(Y\) admet une résolution des singularités par éclatements normalisés s’il existe une suite \[Y_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 \to Y\] où :
\(Y_i\) est propre sur \(Y\) pour \(i = 0, \ldots, n\) ;
\(Y_0 \to Y\) est la normalisation ;
\(Y_i \to Y_{i - 1}\) est un éclatement normalisé pour \(i = 1, \ldots, n\) ;
\(Y_n\) est régulier.
Remarquons que la condition (1) implique que la normalisation \(Y_0\) de \(Y\) est finie sur \(Y\) et que les normalisations intervenant dans les éclatements normalisés sont elles aussi finies. Nous arrivons enfin au théorème principal de ce chapitre.
Théorème
Soit \(S\) un schéma. Soit \(Y\) un espace algébrique noethérien intègre de dimension deux sur \(S\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
il existe une altération \(X \to Y\) avec \(X\) régulier ;
il existe une résolution des singularités de \(Y\) ;
\(Y\) admet une résolution des singularités par éclatements normalisés ;
la normalisation \(Y^\nu \to Y\) est finie, \(Y^\nu\) possède un nombre fini de points singuliers \(y_1, \ldots, y_m \in |Y|\), et, pour chaque \(i\), le complété de l’anneau local hensélien \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\) est normal.
Démonstration
Les implications (3) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (1) sont immédiates.
Soit \(X \to Y\) une altération avec \(X\) régulier. Alors \(Y^\nu \to Y\) est fini d’après le lemme 0BHT. Considérons la factorisation \(f : X \to Y^\nu\) de Morphismes d’espaces, lemme 0BB4. D’après Espaces au-dessus de corps, lemme 0AD2, le morphisme \(f\) est fini au-dessus d’un ouvert \(V \subset Y^\nu\) contenant tout point de codimension \(\leq 1\) de \(Y^\nu\). Alors \(f\) est plat au-dessus de \(V\) d’après Algèbre, lemme 00R4, et parce qu’un anneau local normal de dimension \(\leq 2\) est de Cohen–Macaulay par le critère de Serre (Algèbre, lemme 031S). L’ouvert \(V\) est donc régulier d’après Algèbre, lemme 07NG. Comme \(Y^\nu\) est noethérien, on conclut que \(Y^\nu \setminus V = \{y_1, \ldots, y_m\}\) est fini. Pour chaque \(i\), soit \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\) l’anneau local hensélien. Alors \(X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h)\) est une altération régulière de \(\Spec(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h)\) (nous omettons quelques détails). D’après le lemme 0BHU, le complété de \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\) est normal. On obtient ainsi (1) \(\Rightarrow\) (4).
Supposons (4). Il nous faut démontrer (3). Nous pouvons immédiatement remplacer \(Y\) par sa normalisation. Soient \(y_1, \ldots, y_m \in |Y|\) les points singuliers. Choisissons des voisinages étales élémentaires \((V_i, v_i) \to (Y, y_i)\) comme dans la section 0BH9. Pour chaque \(i\), l’anneau local hensélien \(\mathcal{O}_{Y^\nu, y_i}^h\) est le hensélisé de \(\mathcal{O}_{V_i, v_i}\). Ces anneaux ont donc des complétés isomorphes. Le résultat pour les schémas (Résolution des surfaces, théorème 0BGP) montre alors qu’il existe des suites finies d’éclatements normalisés \[X_{i, n_i} \to X_{i, n_i - 1} \to \ldots \to V_i\] dont les centres sont uniquement des points situés au-dessus de \(v_i\), telles que \(X_{i, n_i}\) soit régulier. D’après le lemme 0BHL, il existe une suite d’éclatements normalisés \[X_n \to X_{n - 1} \to \ldots \to X_1 \to Y\] et, bien entendu, \(X_n\) est lui aussi régulier (il suffit de considérer les anneaux locaux). Cela achève la démonstration.
Exemples
Voici quelques exemples liés aux résultats précédents de ce chapitre.
Exemple
Soit \(k\) un corps. L’anneau \(A = k[x, y, z]/(x^r + y^s + z^t)\) est factoriel lorsque \(r, s, t\) sont des entiers deux à deux premiers entre eux. En effet, puisque \(x^r + y^s + z^t\) est irréductible, \(A\) est un domaine. L’élément \(z\) est premier, c’est-à-dire qu’il engendre un idéal premier de \(A\). D’autre part, si \(t = 1 + ers\) pour un certain \(e\), alors \[A[1/z] \cong k[x', y', 1/z]\] où \(x' = x/z^{es}\), \(y' = y/z^{er}\) et \(z = (x')^r + (y')^s\). Ainsi, \(A[1/z]\) est un localisé d’un anneau de polynômes, et il est donc factoriel. Un argument de Nagata montre alors que \(A\) est factoriel. Voir Algèbre, lemme 0AFU. Un argument analogue s’applique lorsque \(t\) n’est pas congru à \(1\) modulo \(rs\).
Exemple
L’anneau \(A = \mathbf{C}[[x, y, z]]/(x^r + y^s + z^t)\) n’est pas factoriel lorsque \(1 < r < s < t\) sont des entiers deux à deux premiers entre eux qui ne sont pas égaux à \(2, 3, 5\). Considérons par exemple le cas particulier \(A = \mathbf{C}[[x, y, z]]/(x^2 + y^5 + z^7)\). Considérons les homomorphismes \[\psi_\zeta : \mathbf{C}[[x, y, z]]/(x^2 + y^5 + z^7) \to \mathbf{C}[[t]]\] donnés par \[x \mapsto t^7,\quad y \mapsto t^3,\quad z \mapsto -\zeta t^2(1 + t)^{1/7}\] où \(\zeta\) est une racine \(7\)-ième de l’unité. Le noyau \(\mathfrak p_\zeta\) de \(\psi_\zeta\) est un idéal premier de hauteur un ; si \(A\) était factoriel, il serait donc principal, engendré, disons, par \(f_\zeta \in \mathbf{C}[[x, y, z]]\). Notons que \(V(x^3 - y^7) = \bigcup V(\mathfrak p_\zeta)\) et que \(A/(x^3 - y^7)\) est réduit hors du point fermé. Par conséquent, toujours sous l’hypothèse que \(A\) est factoriel, on obtiendrait \[\prod\nolimits_\zeta f_\zeta = u(x^3 - y^7) + a(x^2 + y^5 + z^7) \quad\text{in}\quad \mathbf{C}[[x, y, z]]\] pour une unité \(u \in \mathbf{C}[[x, y, z]]\) et un élément \(a \in \mathbf{C}[[x, y, z]]\). Après multiplication par une constante, on peut supposer que \(u(0, 0, 0) = 1\). Notons que le membre de gauche s’annule à l’ordre \(7\). Ainsi \(a = - x \bmod \mathfrak m^2\). Mais il apparaît alors dans le membre de droite un terme \(xy^5\) qui n’apparaît pas dans celui de gauche. C’est une contradiction.
Exemple
Il existe un anneau local noethérien excellent de dimension \(2\) et une modification \(X \to S = \Spec(A)\) qui n’est pas un schéma. Esquissons une construction. Soit \(X\) une surface normale sur \(\mathbf{C}\) ayant un unique point singulier \(x \in X\). Supposons qu’il existe une résolution \(\pi : X' \to X\) telle que la fibre exceptionnelle \(C = \pi^{-1}(x)_{red}\) soit une courbe projective lisse. Supposons en outre qu’il existe un point \(c \in C\) tel que, si \(\mathcal{O}_C(nc)\) appartient à l’image de \(\Pic(X') \to \Pic(C)\), alors \(n = 0\). Soit ensuite \(X'' \to X'\) l’éclatement au point non singulier \(c\). Notons \(C' \subset X''\) la transformée stricte de \(C\) et \(E \subset X''\) la fibre exceptionnelle. D’après les résultats d’Artin ([ArtinII] ; on peut utiliser, par exemple, [Mumford-topology] pour voir que le fibré normal de \(C'\) est négatif), on peut contracter la courbe \(C'\) dans \(X''\) et obtenir un espace algébrique \(X'''\). Voici le diagramme : \[\xymatrix{ & X'' \ar[ld] \ar[rd] \\ X' \ar[rd] & & X''' \ar[ld] \\ & X }\] Nous affirmons que \(X'''\) n’est pas un schéma. Cela fournit notre exemple, car \(X'''\) est un schéma si et seulement si le changement de base de \(X'''\) à \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) est un schéma (nous omettons les détails). Si \(X'''\) était un schéma, l’image de \(C'\) dans \(X'''\) posséderait un voisinage affine. Le complémentaire de ce voisinage serait un diviseur de Cartier effectif sur \(X'''\) (car \(X'''\) est non singulier à l’exception de \(1\) point). Ce diviseur de Cartier effectif correspondrait à un diviseur de Cartier effectif sur \(X''\) qui rencontre \(E\) et évite \(C'\). En prenant son image dans \(X'\), on obtiendrait un diviseur de Cartier effectif qui rencontre \(C\), au sens ensembliste, en \(c\). C’est impossible, puisque, par hypothèse, aucun multiple de \(c\) n’est la restriction d’un diviseur de Cartier.
Pour terminer, il nous faut trouver une telle surface singulière \(X\). On peut simplement prendre pour \(X\) la surface affine définie par \[x^3 + y^3 + z^3 + x^4 + y^4 + z^4 = 0\] dans \(\mathbf{A}^3_\mathbf{C} = \Spec(\mathbf{C}[x, y, z])\), le point singulier étant \((0, 0, 0)\). Alors \((0, 0, 0)\) est l’unique point singulier. En éclatant \(X\) le long de l’idéal maximal correspondant à \((0, 0, 0)\), on obtient trois cartes, chacune isomorphe à la surface affine lisse \[1 + s^3 + t^3 + x(1 + s^4 + t^4) = 0\] qui est non singulière et dont le diviseur exceptionnel \(C\) est défini par \(x = 0\). Le lecteur reconnaîtra en \(C\) une courbe elliptique. Enfin, la surface \(X\) est rationnelle, comme le montre la projection depuis \((0, 0, 0)\), ou encore parce que l’équation de l’éclatement permet de résoudre en \(x\). Le groupe de Picard d’une surface rationnelle non singulière est dénombrable, tandis que celui d’une courbe elliptique sur les nombres complexes ne l’est pas. On peut donc choisir un point fermé \(c\) comme indiqué.