Platitude sur les espaces algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions quelques résultats avancés sur les modules plats et les morphismes plats dans le cadre des espaces algébriques. Nous recommandons vivement au lecteur de consulter d’abord le chapitre correspondant dans le cadre des schémas, voir Compléments sur la platitude, section 057N. L’article [GruRay] de Raynaud et Gruson constitue une référence.

Impuretés

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05IW.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de type fini et décent¹ entre espaces algébriques sur \(S\). De plus, \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Enfin, \(y \in |Y|\) est un point de \(Y\).

Dans cette situation, considérons un schéma \(T\), un morphisme \(g : T \to Y\), un point \(t \in T\) tel que \(g(t) = y\), une spécialisation \(t' \leadsto t\) dans \(T\), et un point \(\xi \in |X_T|\) au-dessus de \(t'\). Ici \(X_T = T \times_Y X\). On a le diagramme [0CV7]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & \\ t' \ar@{~>}[r] & t \ar@{|->}[r] \ar[r] & y } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ X_T \ar[d]_{f_T} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^g & Y } } \end{equation}\] De plus, notons \(\mathcal{F}_T\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_T\).

Définition

Dans la Situation 0CV6, nous disons qu’un diagramme (0CV7) définit une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\) si \(\xi \in \text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\) et \(t \not \in f_T(\overline{\{\xi\}})\). Nous l’indiquerons en disant : « soit \((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\) ».

Autrement dit, \((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\) s’il n’existe aucune spécialisation \(\xi \leadsto \theta\) dans l’espace topologique \(|X_T|\) telle que \(f_T(\theta) = t\). Les spécialisations se comportent mal dans les espaces algébriques non décents. Si le morphisme \(f\) est décent, alors \(X_T\) est un espace algébrique décent pour tout morphisme \(g : T \to Y\) comme ci-dessus, voir Espaces décents, Définition 03KZ.

Lemme

Dans la Situation 0CV6. Soit \((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\). Supposons que \(T = \lim_{i \in I} T_i\) soit une limite dirigée de schémas affines sur \(Y\). Alors, pour un certain \(i\), le triplet \((T_i \to Y, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\).

Démonstration

Les notations de l’énoncé signifient ceci : soient \(p_i : T \to T_i\) les morphismes de projection, et posons \(t_i = p_i(t)\) et \(t'_i = p_i(t')\). Enfin, \(\xi_i \in |X_{T_i}|\) est l’image de \(\xi\). D’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CV2 nous avons \(\xi_i \in \text{Ass}_{X_{T_i}/T_i}(\mathcal{F}_{T_i})\). Il reste donc seulement à montrer que \(t_i \not \in f_{T_i}(\overline{\{\xi_i\}})\) pour un certain \(i\).

Soit \(Z_i \subset X_{T_i}\) la structure de schéma réduite induite sur \(\overline{\{\xi_i\}} \subset |X_{T_i}|\), et soit \(Z \subset X_T\) la structure de schéma réduite induite sur \(\overline{\{\xi\}} \subset |X_T|\). Alors \(Z = \lim Z_i\) d’après Limites d’espaces, Lemme 0CUK (le lemme s’applique car chaque \(X_{T_i}\) est décent). Choisissons un corps \(k\) et un morphisme \(\Spec(k) \to T\) dont l’image est \(t\). Alors \[\emptyset = Z \times_T \Spec(k) = (\lim Z_i) \times_{(\lim T_i)} \Spec(k) = \lim Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\] car les limites commutent aux produits fibrés (les limites commutent aux limites). Chaque \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) est quasi-compact, car \(X_{T_i} \to T_i\) est de type fini, et donc \(Z_i \to T_i\) est de type fini. Ainsi \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\) est vide pour un certain \(i\) d’après Limites d’espaces, Lemme 086W. Puisque l’image du composé \(\Spec(k) \to T \to T_i\) est \(t_i\), nous obtenons le résultat voulu.

Les impuretés remontent par changement de base plat.

Lemme

Dans la Situation 0CV6. Soit \((Y_1, y_1) \to (Y, y)\) un morphisme d’espaces algébriques pointés sur \(S\). Supposons que \(Y_1 \to Y\) soit plat en \(y_1\). Si \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\), alors il existe une impureté \((T_1 \to Y_1, t_1' \leadsto t_1, \xi_1)\) de l’image réciproque \(\mathcal{F}_1\) de \(\mathcal{F}\) sur \(X_1 = Y_1 \times_Y X\) au-dessus de \(y_1\), telle que \(T_1\) soit étale sur \(Y_1 \times_Y T\).

Démonstration

Choisissons un morphisme étale \(T_1 \to Y_1 \times_Y T\), où \(T_1\) est un schéma, et un point \(t_1 \in T_1\) s’envoyant sur \(y_1\) et \(t\). L’existence d’un tel couple \((T_1, t_1)\) résulte de Propriétés des espaces, Lemme 03H4. Le morphisme de schémas \(T_1 \to T\) est plat en \(t_1\) (utiliser Morphismes d’espaces, Lemme 03MO et la définition des morphismes plats d’espaces algébriques) ; il existe donc une spécialisation \(t'_1 \leadsto t_1\) au-dessus de \(t' \leadsto t\), voir Morphismes, Lemme 03HV. Choisissons un point \(\xi_1 \in |X_{T_1}|\) s’envoyant sur \(t'_1\) et sur \(\xi\), avec \(\xi_1 \in \text{Ass}_{X_{T_1}/T_1}(\mathcal{F}_{T_1})\). Autrement dit, un point de \(\Spec(\kappa(t'_1) \otimes_{\kappa(t')} \kappa(\xi))\). C’est possible d’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CV2. Comme l’adhérence \(Z_1\) de \(\{\xi_1\}\) dans \(|X_{T_1}|\) s’envoie dans l’adhérence de \(\{\xi\}\) dans \(|X_T|\), nous en concluons que l’image de \(Z_1\) dans \(|T_1|\) ne peut contenir \(t_1\). Ainsi \((T_1 \to Y_1, t'_1 \leadsto t_1, \xi_1)\) est une impureté de \(\mathcal{F}_1\) au-dessus de \(Y_1\).

Lemme

Dans la Situation 0CV6. Soit \(\overline{y}\) un point géométrique au-dessus de \(y\). Soit \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) l’anneau local étale de \(Y\) en \(\overline{y}\). Notons \(Y^{sh} = \Spec(\mathcal{O})\), \(X^{sh} = X \times_Y Y^{sh}\), et \(\mathcal{F}^{sh}\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X^{sh}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

il existe une impureté \((Y^{sh} \to Y, y' \leadsto \overline{y}, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\),

tout point de \(\text{Ass}_{X^{sh}/Y^{sh}}(\mathcal{F}^{sh})\) se spécialise en un point de la fibre fermée \(X_{\overline{y}}\),

il existe une impureté \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\) telle que \((T, t) \to (Y, y)\) soit un voisinage étale, et

il existe une impureté \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\) telle que \(T \to Y\) soit quasi-fini en \(t\).

Démonstration

L’équivalence de (1) et (2) résulte immédiatement de la définition.

Rappelons que \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) est la colimite filtrante des \(\mathcal{O}(V)\) sur la catégorie des voisinages étales \((V, \overline{v}) \to (Y, \overline{y})\) (Propriétés des espaces, Lemme 04JW). De plus, il suffit de considérer les voisinages étales affines \(V\). Par conséquent, \(Y^{sh} = \Spec(\mathcal{O}) = \lim \Spec(\mathcal{O}(V)) = \lim V\). Le Lemme 0CV9 montre donc que (1) implique (3).

Puisqu’un morphisme étale est localement quasi-fini (Morphismes d’espaces, Lemme 03XU) nous voyons que (3) implique (4).

Enfin, supposons (4). Après avoir remplacé \(T\) par un voisinage ouvert de \(t\), nous pouvons supposer que \(T \to Y\) est localement quasi-fini. Le Lemme 0CVA fournit une impureté \((T_1 \to Y^{sh}, t_1' \leadsto t_1, \xi_1)\) pour laquelle \(T_1 \to T \times_Y Y^{sh}\) est étale. Puisqu’un morphisme étale est localement quasi-fini, Morphismes d’espaces, Lemme 03XL, et Morphismes, Lemme 01TL, montrent que \(T_1 \to Y^{sh}\) est localement quasi-fini. Comme \(\mathcal{O}\) est strictement hensélien, nous pouvons appliquer Compléments sur les morphismes, Lemme 02LK pour voir qu’après avoir remplacé \(T_1\) par un voisinage ouvert et fermé de \(t_1\), nous pouvons supposer que \(T_1 \to Y^{sh} = \Spec(\mathcal{O})\) est fini. Soit \(\theta \in |X^{sh}|\) l’image de \(\xi_1\), et soit \(y' \in \Spec(\mathcal{O})\) l’image de \(t_1'\). D’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CV2 nous voyons que \(\theta \in \text{Ass}_{X^{sh}/Y^{sh}}(\mathcal{F}^{sh})\). Comme \(\pi : X_{T_1} \to X^{sh}\) est fini, il induit une application fermée \(|X_{T_1}| \to |X^{sh}|\). L’image de \(\overline{\{\xi_1\}}\) est donc \(\overline{\{\theta\}}\). Il s’ensuit que \((Y^{sh} \to Y, y' \leadsto \overline{y}, \theta)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\), ce qui achève la démonstration.

Modules relativement purs

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05BB.

Définition

Dans la Situation 0CV6.

Nous disons que \(\mathcal{F}\) est pur au-dessus de \(y\) si aucune des conditions équivalentes du Lemme 0CVB n’est satisfaite.

Nous disons que \(\mathcal{F}\) est universellement pur au-dessus de \(y\) s’il n’existe aucune impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\).

Nous disons que \(X\) est pur au-dessus de \(y\) si \(\mathcal{O}_X\) est pur au-dessus de \(y\).

Nous disons que \(\mathcal{F}\) est universellement \(Y\)-pur, ou universellement pur relativement à \(Y\), si \(\mathcal{F}\) est universellement pur au-dessus de \(y\) pour tout \(y \in |Y|\).

Nous disons que \(\mathcal{F}\) est \(Y\)-pur, ou pur relativement à \(Y\), si \(\mathcal{F}\) est pur au-dessus de \(y\) pour tout \(y \in |Y|\).

Nous disons que \(X\) est \(Y\)-pur ou pur relativement à \(Y\) si \(\mathcal{O}_X\) est pur relativement à \(Y\).

Voici les lemmes obligés.

Lemme

Dans la Situation 0CV6.

\(\mathcal{F}\) est universellement pur au-dessus de \(y\), et

pour tout morphisme \((Y', y') \to (Y, y)\) d’espaces algébriques pointés, l’image réciproque \(\mathcal{F}_{Y'}\) est pure au-dessus de \(y'\).

En particulier, \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(Y\) si et seulement si tout changement de base \(\mathcal{F}_{Y'}\) de \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(Y'\).

Démonstration

C’est formel.

Lemme

Dans la Situation 0CV6. Soit \((Y', y') \to (Y, y)\) un morphisme d’espaces algébriques pointés. Si \(Y' \to Y\) est quasi-fini en \(y'\) et si \(\mathcal{F}\) est pur au-dessus de \(y\), alors \(\mathcal{F}_{Y'}\) est pur au-dessus de \(y'\).

Démonstration

Si \((T \to Y', t' \leadsto t, \xi)\) est une impureté de \(\mathcal{F}_{Y'}\) au-dessus de \(y'\), avec \(T \to Y'\) quasi-fini en \(t\), alors \((T \to Y, t' \to t, \xi)\) est une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\), avec \(T \to Y\) quasi-fini en \(t\) ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XK. Le lemme résulte donc immédiatement de la définition de la pureté.

La pureté satisfait la descente plate.

Lemme

Dans la Situation 0CV6. Soit \((Y_1, y_1) \to (Y, y)\) un morphisme d’espaces algébriques pointés. Supposons que \(Y_1 \to Y\) soit plat en \(y_1\).

Si \(\mathcal{F}_{Y_1}\) est pur au-dessus de \(y_1\), alors \(\mathcal{F}\) est pur au-dessus de \(y\).

Si \(\mathcal{F}_{Y_1}\) est universellement pur au-dessus de \(y_1\), alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur au-dessus de \(y\).

Démonstration

Cela vient de ce que les impuretés remontent par changement de base plat, voir Lemme 0CVA. Par exemple, pour (1), toute impureté \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\), avec \(T \to Y\) quasi-fini en \(t\), conduit par ce lemme à une impureté \((T_1 \to Y_1, t_1' \leadsto t_1, \xi_1)\) de l’image réciproque \(\mathcal{F}_1\) de \(\mathcal{F}\) sur \(X_1 = Y_1 \times_Y X\) au-dessus de \(y_1\), telle que \(T_1\) soit étale sur \(Y_1 \times_Y T\). Ainsi \(T_1 \to Y_1\) est quasi-fini en \(t_1\), car les morphismes étales sont localement quasi-finis et les composés de morphismes localement quasi-finis sont localement quasi-finis (Morphismes d’espaces, Lemmes 03XU et 03XK). Le raisonnement est analogue pour (2).

Lemme

Dans la Situation 0CV6. Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée, et supposons que \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) pour un faisceau quasi-cohérent de type fini \(\mathcal{G}\) sur \(Z\). Alors \(\mathcal{G}\) est (universellement) pur au-dessus de \(y\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est (universellement) pur au-dessus de \(y\).

Démonstration

Cela résulte de Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CV4.

Lemme

Dans la Situation 0CV6.

Si le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(Y\), alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(Y\).

Si \(f\) est propre, alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(Y\).

Si \(f\) est propre, alors \(X\) est universellement pur relativement à \(Y\).

Démonstration

Réduisons d’abord (1) à (2). Soit en effet \(Z \subset X\) le support schématique de \(\mathcal{F}\) (Morphismes d’espaces, Définition 07U1). Soit \(i : Z \to X\) l’immersion fermée correspondante, et écrivons \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\) pour un \(\mathcal{O}_Z\)-module \(\mathcal{G}\) quasi-cohérent de type fini. Dans le cas (1), \(Z \to Y\) est propre par hypothèse. Le Lemme 0CVH réduit donc le cas (1) au cas (2).

Supposons \(f\) propre. Soit \((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\). Puisque \(f\) est propre, il est universellement fermé. Par conséquent, \(f_T : X_T \to T\) est fermé. Comme \(f_T(\xi) = t'\), cela implique que \(t \in f(\overline{\{\xi\}})\), contradiction.

Modules plats de type fini

Comparer avec Compléments sur la platitude, sections 05I2, 05IF, et 05U8. La plupart de ces résultats ont des conséquences immédiates pour les espaces algébriques par localisation étale.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme de type fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(y \in |Y|\) un point. Il existe un morphisme étale \((Y', y') \to (Y, y)\), avec \(Y'\) schéma affine, et des morphismes étales \(h_i : W_i \to X_{Y'}\), \(i = 1, \ldots, n\), tels que, pour tout \(i\), il existe un dévissage complet de \(\mathcal{F}_i/W_i/Y'\) au-dessus de \(y'\), où \(\mathcal{F}_i\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(W_i\), et tels que \(|(X_{Y'})_{y'}| \subset \bigcup h_i(W_i)\).

Démonstration

La question est locale pour la topologie étale sur \(Y\) ; nous pouvons donc supposer que \(Y\) est un schéma affine. Alors \(X\) est quasi-compact, de sorte que nous pouvons choisir un schéma affine \(X'\) et un morphisme étale surjectif \(X' \to X\). Nous pouvons alors appliquer Compléments sur la platitude, Lemme 05HU à \(X' \to Y\), \((X' \to Y)^*\mathcal{F}\) et \(y\) pour obtenir le résultat voulu.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(y \in |Y|\) et \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\). Alors l’ensemble \[\{x \in F \mid \mathcal{F} \text{ est plat sur }Y\text{ en }x\}\] est ouvert dans \(F\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme étale \(V \to Y\) envoyant \(v\) sur \(y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Alors \(|U_v| \to F\) est une application continue ouverte d’espaces topologiques, puisque \(|U| \to |X|\) est continue et ouverte. Le résultat découle donc du cas des schémas, à savoir Compléments sur la platitude, Lemme 05M9.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(X\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(Y\). Si \(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(Y\), alors \[x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}_Y(\mathcal{G}) \text{ et } x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}).\]

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_g & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] où \(U\) et \(V\) sont des schémas et les flèches verticales sont étales surjectives. Choisissons \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\). Posons \(\mathcal{E} = \mathcal{F}|_U\) et \(\mathcal{H} = \mathcal{G}|_V\). Soit \(v \in V\) l’image de \(u\). Alors \(x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) si et seulement si \(u \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} g^*\mathcal{H})\) d’après Diviseurs sur les espaces, Définition 0CTX. De même, \(y \in \text{WeakAss}_Y(\mathcal{G})\) si et seulement si \(v \in \text{WeakAss}_V(\mathcal{H})\). Enfin, \(x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) si et seulement si \(u \in \text{Ass}_{U_v}(\mathcal{E}|_{U_v})\) d’après Diviseurs sur les espaces, Définition 0CV0. Observons que la platitude de \(\mathcal{F}\) en \(x\) est équivalente à celle de \(\mathcal{E}\) en \(u\), voir Morphismes d’espaces, Définition 05VV. L’équivalence pour \(g : U \to V\), \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{H}\), \(u\) et \(v\) est Compléments sur la platitude, Lemme 05IH.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de type fini sur \(X\) qui est plat sur \(Y\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(Y\). Alors \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \cap |f|^{-1}(\text{WeakAss}_Y(\mathcal{G}))\]

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du Lemme 0CVK.

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que

\(X \to Y\) soit localement de présentation finie,

\(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini, et

l’ensemble des points faiblement associés de \(Y\) soit localement fini dans \(Y\).

Alors \(U = \{x \in |X| : \mathcal{F}\text{ est plat en }x\text{ sur }Y\}\) est ouvert dans \(X\) et \(\mathcal{F}|_U\) est un \(\mathcal{O}_U\)-module de présentation finie et plat sur \(Y\).

Démonstration

La condition (3) signifie que, si \(V \to Y\) est un morphisme étale surjectif, où \(V\) est un schéma, alors les points faiblement associés de \(V\) sont localement en nombre fini sur le schéma \(V\). (Rappelons que les points faiblement associés de \(V\) sont exactement l’image réciproque des points faiblement associés de \(Y\) d’après Diviseurs sur les espaces, Définition 0CTX.) Cela étant, la question est locale pour la topologie étale sur \(X\) et \(Y\) ; nous pouvons donc supposer que \(X\) et \(Y\) sont des schémas. Le résultat découle alors de Compléments sur la platitude, Théorème 05IK.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(y \in |Y|\). Posons \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\). Supposons que

\(f\) soit de type fini,

\(\mathcal{F}\) soit de type fini, et

\(\mathcal{F}\) soit plat sur \(Y\) en tout \(x \in F\).

Alors il existe un morphisme étale \((Y', y') \to (Y, y)\), où \(Y'\) est un schéma, et un diagramme commutatif d’espaces algébriques \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & \Spec(\mathcal{O}_{Y', y'}) \ar[l] }\] tels que \(X' \to X \times_Y \Spec(\mathcal{O}_{Y', y'})\) soit étale, que \(|X'_{y'}| \to F\) soit surjectif, que \(X'\) soit affine, et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\mathcal{O}_{Y', y'}\)-module libre.

Démonstration

Choisissons un morphisme étale \((Y', y') \to (Y, y)\), où \(Y'\) est un schéma affine. Alors \(X \times_Y Y'\) est quasi-compact. Choisissons un schéma affine \(X'\) et un morphisme étale surjectif \(X' \to X \times_Y Y'\). On a le diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l] }\] Alors \(\mathcal{F}' = g^*\mathcal{F}\) est plat sur \(Y'\) en tout point de \(X'_{y'}\), voir Morphismes d’espaces, Lemme 05VW. Nous pouvons donc appliquer le lemme dans le cas des schémas (Compléments sur la platitude, Lemme 05L1) au morphisme \(X' \to Y'\), au faisceau quasi-cohérent \(g^*\mathcal{F}\) et au point \(y'\). On obtient un morphisme étale \((Y'', y'') \to (Y', y')\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] & X'' \ar[l]^{g'} \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l] & \Spec(\mathcal{O}_{Y'', y''}) \ar[l] }\] Pour obtenir le résultat voulu, on prend \((Y'', y'') \to (Y, y)\) et \(g \circ g' : X'' \to X\).

Théorème

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\). Posons \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\). Considérons les conditions suivantes :

\(\mathcal{F}\) est plat en \(x\) sur \(Y\), et

pour tout \(x' \in F \cap \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) qui se spécialise en \(x\), le module \(\mathcal{F}\) est plat en \(x'\) sur \(Y\).

On a toujours (2) \(\Rightarrow\) (1). Si \(X\) et \(Y\) sont décents, alors (1) \(\Rightarrow\) (2).

Démonstration

Supposons (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_Y X\). Choisissons un point \(u \in U\) s’envoyant sur \(x\). Soit \(v \in V\) l’image de \(u\). Nous déduirons le résultat du résultat correspondant pour \(\mathcal{F}|_U = (U \to X)^*\mathcal{F}\) et le point \(u\). \(U_v\). Cela fonctionne car \(\text{Ass}_{U/V}(\mathcal{F}|_U) \cap |U_v|\) est égal à \(\text{Ass}_{U_v}(\mathcal{F}|_{U_v})\), ainsi qu’à l’image réciproque de \(F \cap \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\). Comme l’application \(|U_v| \to F\) est continue, nous voyons que les spécialisations dans \(|U_v|\) s’envoient sur des spécialisations dans \(F\) ; la condition (2) est donc héritée par \(U \to V\), \(\mathcal{F}|_U\) et le point \(u\). Ainsi Compléments sur la platitude, Théorème 05UA s’applique et nous concluons que (1) est satisfaite.

Si \(Y\) est décent, nous pouvons représenter \(y\) par un monomorphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to Y\) (par définition des espaces décents, voir Espaces décents, Définition 03I8). Alors \(F = |X_k|\), voir Espaces décents, Lemme 0AC8. Si, de plus, \(X\) est décent (ou, plus généralement, si \(f\) est décent, voir Espaces décents, Définition 03KZ et Espaces décents, Lemme 0ABX), alors \(X_y\) est lui aussi un espace décent. De plus, les spécialisations dans \(F\) se relèvent en spécialisations dans \(U_v \to X_y\), voir Espaces décents, Lemme 03IL. Cela étant, il est clair que l’implication réciproque est vraie, puisqu’elle l’est dans le cas des schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma local de point fermé \(s\). Soit \(f : X \to S\) un morphisme d’un espace algébrique \(X\) vers \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Supposons que

tout point de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) se spécialise en un point de la fibre fermée \(X_s\)²,

\(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\).

Alors \(\mathcal{F}\) est plat sur \(S\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du fait qu’il suffit de vérifier la platitude aux points de l’assassin relatif de \(\mathcal{F}\) sur \(S\), d’après le Théorème 0CWL.

Modules plats de présentation finie

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05I9.

Proposition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(x \in |X|\), d’image \(y \in |Y|\). Supposons que

\(f\) soit localement de présentation finie,

\(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, et

\(\mathcal{F}\) soit plat en \(x\) sur \(Y\).

Alors il existe un diagramme commutatif de schémas pointés \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (Y, y) & (Y', y') \ar[l] }\] dont les flèches horizontales sont étales, tel que \(X'\) et \(Y'\) soient affines et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\)-module projectif.

Démonstration

Sous cette forme, la proposition se réduit immédiatement au cas des schémas, qui est Compléments sur la platitude, Proposition 05ID.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Soit \(y \in |Y|\). Posons \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\). Supposons que

\(f\) soit de présentation finie,

\(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, et

\(\mathcal{F}\) soit plat sur \(Y\) en tout \(x \in F\).

Alors il existe un diagramme commutatif d’espaces algébriques \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l]_h }\] tel que \(h\) et \(g\) soient étales, qu’il existe un point \(y' \in |Y'|\) s’envoyant sur \(y\), que \(F \subset g(|X'|)\), que les espaces algébriques \(X'\) et \(Y'\) soient affines, et que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) soit un \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\)-module projectif.

Démonstration

Sous cette forme, le lemme se réduit immédiatement au cas des schémas, qui est Compléments sur la platitude, Lemme 05KW.

Un critère de pureté

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05L2.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X\) un espace algébrique décent localement de type fini sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(s \in S\) tel que \(\mathcal{F}\) soit plat sur \(S\) en tout point de \(X_s\). Soit \(x' \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\). Si l’adhérence de \(\{x'\}\) dans \(|X|\) rencontre \(|X_s|\), alors elle rencontre \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) \cap |X_s|\).

Démonstration

Observons que \(|X_s| \subset |X|\) est l’ensemble des points de \(|X|\) au-dessus de \(s \in S\), voir Espaces décents, Lemme 0AC8. Soit \(t \in |X_s|\) une spécialisation de \(x'\) dans \(|X|\). Choisissons un schéma affine \(U\), un point \(u \in U\) et un morphisme étale \(\varphi : U \to X\) envoyant \(u\) sur \(t\). D’après Espaces décents, Lemme 03IL, nous pouvons choisir une spécialisation \(u' \leadsto u\) telle que \(u'\) s’envoie sur \(x'\). Posons \(g = f \circ \varphi\). Observons que \(s' = g(u') = f(x')\) se spécialise en \(s\). Par notre définition de \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\), nous avons \(u' \in \text{Ass}_{U/S}(\varphi^*\mathcal{F})\). La version pour les schémas de ce lemme (Compléments sur la platitude, Lemme 05L3) montre qu’il existe une spécialisation \(u' \leadsto u\) avec \(u \in \text{Ass}_{U_s}(\varphi^*\mathcal{F}_s) = \text{Ass}_{U/S}(\varphi^*\mathcal{F}) \cap U_s\). Ainsi \(x = \varphi(u) \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) est au-dessus de \(s\), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \(Y\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(g : X' \to X\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(Y\), où \(X\) est localement de type fini sur \(Y\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Si \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\), alors, pour tout morphisme \(Z \to Y\), on a \(\text{Ass}_{X_Z/Z}(\mathcal{F}_Z) \subset g_Z(|X'_Z|)\).

Démonstration

D’après Propriétés des espaces, Lemme 03H4, l’application \(|X'_Z| \to |X_Z| \times_{|X|} |X'|\) est surjective puisque \(X'_Z\) est égal à \(X_Z \times_X X'\). D’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CV2 l’application \(|X_Z| \to |X|\) envoie \(\text{Ass}_{X_Z/Z}(\mathcal{F}_Z)\) dans \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(Y\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(g : X' \to X\) un morphisme étale d’espaces algébriques sur \(Y\). Supposons que les morphismes structuraux \(X' \to Y\) et \(X \to Y\) soient décents et de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(y \in |Y|\). Posons \(F = f^{-1}(\{y\}) \subset |X|\).

Si \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\) et si \(g^*\mathcal{F}\) est (universellement) pur au-dessus de \(y\), alors \(\mathcal{F}\) est (universellement) pur au-dessus de \(y\).

Si \(\mathcal{F}\) est pur au-dessus de \(y\), si \(g(|X'|)\) contient \(F\), et si \(Y\) est affine local de point fermé \(y\), alors \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\).

Si \(\mathcal{F}\) est pur au-dessus de \(y\), si \(\mathcal{F}\) est plat en tout point de \(F\), si \(g(|X'|)\) contient \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \cap F\), et si \(Y\) est affine local de point fermé \(y\), alors \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\).

Ajouter d’autres assertions ici.

Démonstration

Les hypothèses sur \(X \to Y\) et \(X' \to Y\) garantissent que nous pouvons appliquer les résultats des sections 0CV5 et 0CVC à ces morphismes et aux faisceaux \(\mathcal{F}\) et \(g^*\mathcal{F}\). Comme \(g\) est étale, nous voyons que \(\text{Ass}_{X'/Y}(g^*\mathcal{F})\) est l’image réciproque de \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\), et cela reste vrai après tout changement de base.

Preuve de (1). Supposons \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\). Supposons que \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\) soit une impureté de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(y\). Comme \(\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T) \subset g_T(|X'_T|)\) d’après le Lemme 0CW2, nous pouvons choisir un point \(\xi' \in |X'_T|\) s’envoyant sur \(\xi\). D’après ce qui précède, \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi')\) est une impureté de \(g^*\mathcal{F}\) au-dessus de \(y'\). Cela prouve (1).

Preuve de (2). Cela résulte de ce que \(g(|X'|)\) est ouvert dans \(|X|\) et de ce que, par pureté, tout point de \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) se spécialise en un point de \(F\).

Preuve de (3). Cela résulte de ce que \(g(|X'|)\) est ouvert dans \(|X|\) et de ce que la pureté, combinée au Lemme 0CW1, assure que tout point de \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) se spécialise en un point de \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \cap F\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Soit \(y \in |Y|\). Supposons que

\(f\) soit décent et de type fini,

\(\mathcal{F}\) soit de type fini,

\(\mathcal{F}\) soit plat sur \(Y\) en tout point au-dessus de \(y\), et

\(\mathcal{F}\) soit pur au-dessus de \(y\).

Alors \(\mathcal{F}\) est universellement pur au-dessus de \(y\).

Démonstration

Considérons le morphisme \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}) \to Y\). C’est un morphisme plat partant du spectre d’un anneau local strictement hensélien et envoyant le point fermé sur \(y\). Le Lemme 0CVG nous ramène au cas décrit dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(Y\) soit le spectre d’un anneau local strictement hensélien \(R\) de point fermé \(y\). D’après le Lemme 0CVW, il existe un morphisme étale \(g : X' \to X\) tel que \(g(|X'|) \supset |X_y|\), avec \(X'\) affine et \(\Gamma(X', g^*\mathcal{F})\) est un module libre sur \(R\). Alors \(g^*\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(Y\), voir Compléments sur la platitude, Lemme 05K6. Il suffit donc de démontrer que \(g(|X'|)\) contient \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\), d’après le Lemme 0CW3, partie (1). Cela résulte à son tour du Lemme 0CW3, partie (2).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme décent et de type fini d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Supposons \(\mathcal{F}\) plat sur \(Y\). Dans ce cas, \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(Y\) si et seulement si \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(Y\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du Lemme 0CW4 et des définitions.

Lemme

Soit \(Y\) un espace algébrique sur un schéma \(S\). Soit \(g : X' \to X\) un morphisme plat d’espaces algébriques sur \(Y\), où \(X\) est localement de type fini sur \(Y\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini qui est plat sur \(Y\). Si \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \subset g(|X'|)\), alors l’application canonique \[\mathcal{F} \longrightarrow g_*g^*\mathcal{F}\] est injective, et le reste après tout changement de base.

Démonstration

La dernière assertion signifie que \(\mathcal{F}_Z \to (g_Z)_*g_Z^*\mathcal{F}_Z\) est injective pour tout morphisme \(Z \to Y\). Comme l’hypothèse sur l’assassin relatif est préservée par changement de base (Lemme 0CW2), il suffit de démontrer l’injectivité de la flèche affichée.

Soit \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to g_*g^*\mathcal{F})\). Notre but est de démontrer que \(\mathcal{K} = 0\). Pour cela, il suffit de démontrer que \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) = \emptyset\), voir Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CU0. Nous avons \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K}) \subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\), voir Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CTZ. Comme \(\mathcal{F}\) est plat, le Lemme 0CVL donne \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}) \subset \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\). Par hypothèse, tout point \(x\) de \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) est l’image d’un certain \(x' \in |X'|\). Puisque \(g\) est plat, l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\) est fidèlement plat ; par conséquent, l’application \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \longrightarrow (g^*\mathcal{F})_{\overline{x}'} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] est injective (voir Algèbre, Lemme 05CK). Puisque la flèche affichée se factorise par \(\mathcal{F}_{\overline{x}} \to (g_*g^*\mathcal{F})_{\overline{x}}\), nous en concluons que \(\mathcal{K}_{\overline{x}} = 0\). Ainsi \(x\) ne peut être un point faiblement associé de \(\mathcal{K}\), ce qui donne le résultat.

Foncteurs d’aplatissement

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05MG. Nous conseillons au lecteur de l’omettre en première lecture.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un homomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), nous noterons \(u_T : \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T\) le changement de base de \(u\) à \(T\) ; autrement dit, \(u_T\) est l’image réciproque de \(u\) par le morphisme de projection \(X_T = X \times_B T \to X\). Dans cette situation, nous pouvons considérer le foncteur [083G]\[\begin{equation} F_{iso} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Ens}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }u_T\text{ est un isomorphisme}, \\ \emptyset & \text{sinon.} \end{matrix} \right. \end{equation}\] Il existe des variantes \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\) pour lesquelles on exige que \(u_T\) soit injectif, surjectif ou nul.

Dans la Situation 083F, nous considérons parfois les foncteurs \(F_{iso}\), \(F_{inj}\), \(F_{surj}\) et \(F_{zero}\) comme des foncteurs \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ens}\) munis d’un morphisme \(F_{iso} \to B\), \(F_{inj} \to B\), \(F_{surj} \to B\) et \(F_{zero} \to B\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément \(h \in F_{iso}(T)\) est un morphisme \(h : T \to B\) tel que le changement de base de \(u\) par \(h\) soit un isomorphisme. En particulier, lorsque nous disons que \(F_{iso}\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ens}\) est un espace algébrique.

Lemme

Dans la Situation 083F. Chacun des foncteurs \(F_{iso}\), \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\) vérifie la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Démonstration

Soit \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) un recouvrement fpqc de schémas sur \(B\). Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et \(u_i = u_{T_i}\). Remarquons que \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) est un recouvrement fpqc de \(X_T\), voir Topologies sur les espaces, Lemme 03MR. En particulier, pour tout \(x \in |X_T|\), il existe \(i \in I\) et \(x_i \in |X_i|\) s’envoyant sur \(x\). Comme \(\mathcal{O}_{X_T, \overline{x}} \to \mathcal{O}_{X_i, \overline{x_i}}\) est plat, donc fidèlement plat (voir Morphismes d’espaces, section 03MK), nous concluons que \((u_i)_{x_i}\) est injectif, surjectif, bijectif ou nul si et seulement si \((u_T)_x\) est injectif, surjectif, bijectif ou nul. Le lemme en résulte.

Lemme

Dans la Situation 083F, soit \(X' \to X\) un morphisme plat d’espaces algébriques. Notons \(u' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) l’image réciproque de \(u\) sur \(X'\). Notons \(F'_{iso}\), \(F'_{inj}\), \(F'_{surj}\), \(F'_{zero}\) les foncteurs sur \(\Sch/B\) associés à \(u'\).

Si \(\mathcal{G}\) est de type fini et si l’image de \(|X'| \to |X|\) contient le support de \(\mathcal{G}\), alors \(F_{surj} = F'_{surj}\) et \(F_{zero} = F'_{zero}\).

Si \(\mathcal{F}\) est de type fini et si l’image de \(|X'| \to |X|\) contient le support de \(\mathcal{F}\), alors \(F_{inj} = F'_{inj}\) et \(F_{zero} = F'_{zero}\).

Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont de type fini et si l’image de \(|X'| \to |X|\) contient les supports de \(\mathcal{F}\) et de \(\mathcal{G}\), alors \(F_{iso} = F'_{iso}\).

Démonstration

Soit \(v : \mathcal{H} \to \mathcal{E}\) une application de modules quasi-cohérents sur un espace algébrique \(Y\), et soit \(\varphi : Y' \to Y\) un morphisme plat surjectif d’espaces algébriques. Alors \(v\) est un isomorphisme, injectif, surjectif ou nul si et seulement si \(\varphi^*v\) l’est. En effet, pour tout \(y \in |Y|\), il existe \(y' \in |Y'|\), et l’homomorphisme d’anneaux locaux \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}} \to \mathcal{O}_{Y', \overline{y'}}\) est fidèlement plat (voir Morphismes d’espaces, section 03MK). Bien entendu, pour vérifier l’injectivité ou la nullité, il suffit de considérer les points du support de \(\mathcal{H}\) ; pour vérifier la surjectivité, il suffit de considérer les points du support de \(\mathcal{E}\). De plus, sous les hypothèses de type fini de l’énoncé du lemme, la formation des supports commute au changement de base, voir Morphismes d’espaces, Lemme 07TZ. Le lemme est donc clair.

Rappelons que nous avons défini le support schématique d’un module quasi-cohérent de type fini dans Morphismes d’espaces, Définition 07U1.

Lemme

Dans la Situation 083F.

Si \(\mathcal{G}\) est de type fini et si le support schématique de \(\mathcal{G}\) est quasi-compact sur \(B\), alors \(F_{surj}\) commute aux limites.

Si \(\mathcal{F}\) est de type fini et si le support schématique de \(\mathcal{F}\) est quasi-compact sur \(B\), alors \(F_{zero}\) commute aux limites.

Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie et si les supports schématiques de \(\mathcal{F}\) et de \(\mathcal{G}\) sont quasi-compacts sur \(B\), alors \(F_{iso}\) commute aux limites.

Démonstration

Preuve de (1). Soit \(i : Z \to X\) le support schématique de \(\mathcal{G}\), et considérons \(\mathcal{G}\) comme un module quasi-cohérent de type fini sur \(Z\). Nous pouvons remplacer \(X\) par \(Z\) et \(u\) par l’application \(i^*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) (détails omis). Nous pouvons donc supposer que \(f\) est quasi-compact et \(\mathcal{G}\) de type fini. Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) une limite dirigée de \(B\)-schémas affines, et supposons \(u_T\) surjectif. Posons \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) et \(u_i = u_{T_i} : \mathcal{F}_i = \mathcal{F}_{T_i} \to \mathcal{G}_i = \mathcal{G}_{T_i}\). Pour démontrer (1), il faut montrer que \(u_i\) est surjectif pour un certain \(i\). Choisissons \(0 \in I\) et remplaçons \(I\) par \(\{i \mid i \geq 0\}\). Puisque \(f\) est quasi-compact, \(X_0\) est quasi-compact. Nous pouvons donc choisir un morphisme étale surjectif \(\varphi_0 : W_0 \to X_0\), où \(W_0\) est un schéma affine. Posons \(W = W_0 \times_{T_0} T\) et \(W_i = W_0 \times_{T_0} T_i\) pour \(i \geq 0\). Ce sont des schémas affines munis de morphismes étales surjectifs \(\varphi : W \to X_T\) et \(\varphi_i : W_i \to X_i\). Remarquons que \(W = \lim W_i\). Ainsi \(\varphi^*u_T\) est surjectif, et il suffit de démontrer que \(\varphi_i^*u_i\) est surjectif pour un certain \(i\). Nous avons donc ramené le problème au cas affine, qui est Algèbre, Lemme 05LI, partie (2).

Preuve de (2). Supposons que \(\mathcal{F}\) soit de type fini, de support schématique \(Z \subset B\) quasi-compact sur \(B\). Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) une limite dirigée de \(B\)-schémas affines, et supposons \(u_T\) nul. Posons \(X_i = T_i \times_B X\) et notons \(u_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\) l’image réciproque. Choisissons \(0 \in I\) et remplaçons \(I\) par \(\{i \mid i \geq 0\}\). Posons \(Z_0 = Z \times_X X_0\). D’après Morphismes d’espaces, Lemme 07TZ, le support de \(\mathcal{F}_i\) est \(|Z_0|\). Puisque \(|Z_0|\) est quasi-compact, on peut trouver un schéma affine \(W_0\) et un morphisme étale \(W_0 \to X_0\) tels que \(|Z_0| \subset \Im(|W_0| \to |X_0|)\). Posons \(W = W_0 \times_{T_0} T\) et \(W_i = W_0 \times_{T_0} T_i\) pour \(i \geq 0\). Ce sont des schémas affines munis de morphismes étales \(\varphi : W \to X_T\) et \(\varphi_i : W_i \to X_i\). Remarquons que \(W = \lim W_i\) et que les supports de \(\mathcal{F}_T\) et de \(\mathcal{F}_i\) sont contenus respectivement dans les images de \(|W| \to |X_T|\) et \(|W_i| \to |X_i|\). Alors \(\varphi^*u_T\) est injectif, et il suffit de démontrer que \(\varphi_i^*u_i\) est injectif pour un certain \(i\). Nous avons ainsi ramené le problème au cas affine, qui est Algèbre, Lemme 05LI, partie (1).

Preuve de (3). On peut la démontrer exactement comme dans les deux paragraphes précédents, en utilisant Algèbre, Lemme 05LI, partie (3). On peut aussi la déduire de (1) et (2) comme suit. Soit \(T = \lim_{i \in I} T_i\) une limite dirigée de \(B\)-schémas affines, et supposons que \(u_T\) soit un isomorphisme. D’après (1), il existe un indice \(0 \in I\) tel que \(u_{T_0}\) soit surjectif. Posons \(\mathcal{K} = \Ker(u_{T_0})\) et considérons l’application de modules quasi-cohérents \(v : \mathcal{K} \to \mathcal{F}_{T_0}\). Pour \(i \geq 0\), le changement de base \(v_{T_i}\) est nul si et seulement si \(u_i\) est un isomorphisme. De plus, \(v_T\) est nul. Puisque \(\mathcal{G}_{T_0}\) est de présentation finie, que \(\mathcal{F}_{T_0}\) est de type fini et que \(u_{T_0}\) est surjectif, nous concluons que \(\mathcal{K}\) est de type fini (Modules sur les sites, Lemme 082T). Il est clair que le support de \(\mathcal{K}\) est contenu dans celui de \(\mathcal{F}_{T_0}\), qui est quasi-compact sur \(T_0\). On peut donc appliquer (2) pour voir que \(v_{T_i}\) est nul pour un certain \(i\).

Lemme

Dans la Situation 083F, supposons donnée une suite exacte \[\mathcal{F} \xrightarrow{u} \mathcal{G} \xrightarrow{v} \mathcal{H} \to 0\] Alors \(F_{v, iso} = F_{u, zero}\), avec les notations évidentes.

Démonstration

Puisque l’image réciproque est exacte à droite, nous voyons que \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T \to \mathcal{H}_T \to 0\) est exacte pour tout schéma \(T\) sur \(B\). Ainsi \(u_T\) est surjectif si et seulement si \(v_T\) est un isomorphisme.

Lemme

Dans la Situation 083F, supposons donnés un morphisme affine \(i : Z \to X\) et un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) tels que \(\mathcal{G} = i_*\mathcal{H}\). Soit \(v : i^*\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) l’application adjointe de \(u\). Alors

\(F_{v, zero} = F_{u, zero}\), et

si \(i\) est une immersion fermée, alors \(F_{v, surj} = F_{u, surj}\).

Démonstration

Soit \(T\) un schéma sur \(B\). Notons \(i_T : Z_T \to X_T\) le changement de base de \(i\), et \(\mathcal{H}_T\) l’image réciproque de \(\mathcal{H}\) sur \(Z_T\). Observons que \((i^*\mathcal{F})_T = i_T^*\mathcal{F}_T\) et \(i_{T, *}\mathcal{H}_T = (i_*\mathcal{H})_T\). La première assertion résulte de la commutativité des images réciproques, et la seconde de Cohomologie des espaces, Lemme 07U8. Nous voyons donc que \(u_T\) et \(v_T\) sont eux aussi des applications adjointes. Ainsi \(u_T = 0\) si et seulement si \(v_T = 0\). Cela démontre (1). Dans le cas (2), nous voyons que \(u_T\) est surjectif si et seulement si \(v_T\) est surjectif, car \(u_T\) se factorise sous la forme \[\mathcal{F}_T \to i_{T, *}i_T^*\mathcal{F}_T \xrightarrow{i_{T, *}v_T} i_{T, *}\mathcal{H}_T\] et parce que \(i_{T, *}\) est un foncteur exact qui plonge pleinement fidèlement la catégorie des modules quasi-cohérents sur \(Z_T\) dans la catégorie des \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules quasi-cohérents. Voir Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ.

Lemme

Dans la Situation 083F, supposons donné un morphisme affine \(g : X \to X'\). Posons \(u' = f_*u : f_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{G}\). Alors \(F_{u, iso} = F_{u', iso}\), \(F_{u, inj} = F_{u', inj}\), \(F_{u, surj} = F_{u', surj}\) et \(F_{u, zero} = F_{u', zero}\).

Démonstration

D’après Cohomologie des espaces, Lemme 07U8 nous avons \(g_{T, *}u_T = u'_T\). De plus, \(g_{T, *} : \QCoh(\mathcal{O}_{X_T}) \to \QCoh(\mathcal{O}_X)\) est un foncteur fidèle et exact qui reflète les isomorphismes, les applications injectives et les applications surjectives.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Pour tout schéma \(T\) sur \(Y\), nous noterons \(\mathcal{F}_T\) le changement de base de \(\mathcal{F}\) à \(T\) ; autrement dit, \(\mathcal{F}_T\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) par le morphisme de projection \(X_T = X \times_Y T \to X\). Puisque tout changement de base d’un module plat est plat, nous obtenons un foncteur [0CWY]\[\begin{equation} F_{flat} : (\Sch/Y)^{opp} \longrightarrow \textit{Ens}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si } \mathcal{F}_T \text{ est plat sur }T, \\ \emptyset & \text{sinon.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Dans la Situation 0CWX, nous considérons parfois \(F_{flat}\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ens}\) muni d’un morphisme \(F_{flat} \to Y\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément \(h \in F_{flat}(T)\) est un morphisme \(h : T \to Y\) tel que le changement de base de \(\mathcal{F}\) par \(h\) soit plat sur \(T\). En particulier, lorsque nous disons que \(F_{flat}\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ens}\) est un espace algébrique.

Lemme

Dans la Situation 0CWX.

Le foncteur \(F_{flat}\) vérifie la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Si \(f\) est quasi-compact et localement de présentation finie et si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors le foncteur \(F_{flat}\) commute aux limites.

Démonstration

La partie (1) résulte de l’assertion suivante : si \(T' \to T\) est un morphisme plat surjectif d’espaces algébriques sur \(Y\), alors \(\mathcal{F}_{T'}\) est plat sur \(T'\) si et seulement si \(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\), voir Morphismes d’espaces, Lemme 05VW. La partie (2) résulte de Limites d’espaces, Lemme 08K0, si \(f\) est en outre quasi-séparé (c’est-à-dire si \(f\) est de présentation finie). Dans le cas général, on se ramène d’abord au cas où la base est affine, puis on recouvre \(X\) par un nombre fini d’ouverts affines pour se ramener au cas quasi-séparé. Détails omis.

Annulation d’une application

Cette section n’a pas d’analogue dans le chapitre correspondant sur les schémas.

Situation

Soit \(S = \Spec(R)\) un schéma affine. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(S\). Soit \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Supposons \(\mathcal{G}\) plat sur \(S\).

Lemme

Dans la Situation 0CWA. Soit \(T \to S\) un morphisme quasi-compact de schémas tel que le changement de base \(u_T\) soit nul. Alors il existe un sous-schéma fermé \(Z \subset S\) tel que (a) \(T \to S\) se factorise par \(Z\) et (b) le changement de base \(u_Z\) soit nul. Si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de type fini et si le support schématique de \(\mathcal{F}\) est quasi-compact, on peut prendre \(Z \to S\) de présentation finie.

Démonstration

Soit \(U \to X\) un morphisme étale surjectif d’espaces algébriques, où \(U = \coprod U_i\) est une réunion disjointe de schémas affines (voir Propriétés des espaces, Lemme 03FX). D’après le Lemme 083I, nous pouvons remplacer \(X\) par \(U\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(X = \coprod X_i\) est une réunion disjointe de schémas affines \(X_i\). Supposons que nous sachions démontrer le lemme pour \(u_i = u|_{X_i}\). Nous obtenons alors un sous-schéma fermé \(Z_i \subset S\) tel que \(T \to S\) se factorise par \(Z_i\) et que \(u_{i, Z_i}\) soit nul. Si \(Z_i = \Spec(R/I_i) \subset \Spec(R) = S\), alors prendre \(Z = \Spec(R/\sum I_i)\) convient. Nous pouvons donc supposer que \(X = \Spec(A)\) est affine.

Choisissons un recouvrement ouvert affine fini \(T = T_1 \cup \ldots \cup T_m\). Il est clair que nous pouvons remplacer \(T\) par \(\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j\). Nous pouvons donc supposer \(T\) affine. Écrivons \(T = \Spec(R')\). Soit \(u : M \to N\) l’homomorphisme de \(A\)-modules correspondant à \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\). Alors \(N\) est un \(R\)-module plat puisque \(\mathcal{G}\) est plat sur \(S\). L’hypothèse du lemme signifie que le composé \[M \otimes_R R' \to N \otimes_R R'\] est nul. Soit \(z \in M\). D’après le théorème de Lazard (Algèbre, Théorème 058G) et puisque \(\otimes\) commute aux colimites, on peut trouver un \(R\)-module libre \(F_z\), un élément \(\tilde z \in F_z\) et une application \(F_z \to N\) tels que \(u(z)\) soit l’image de \(\tilde z\) et que \(\tilde z\) s’envoie sur zéro dans \(F_z \otimes_R R'\). Choisissons une base \(\{e_{z, \alpha}\}\) de \(F_z\) et écrivons \(\tilde z = \sum f_{z, \alpha} e_{z, \alpha}\) avec \(f_{z, \alpha} \in R\). Soit \(I \subset R\) l’idéal engendré par les éléments \(f_{z, \alpha}\), où \(z\) parcourt tous les éléments de \(M\). Par construction, \(I\) s’envoie sur zéro dans \(R'\) et les éléments \(\tilde z\) s’envoient sur zéro dans \(F_z/IF_z\), donc dans \(N/IN\). Ainsi \(Z = \Spec(R/I)\) résout le problème dans ce cas.

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit de type fini, de support schématique quasi-compact. Écrivons \(Z = \Spec(R/I)\). Écrivons \(I = \bigcup I_\lambda\) comme réunion filtrante d’idéaux de type fini. Posons \(Z_\lambda = \Spec(R/I_\lambda)\), de sorte que \(Z = \colim Z_\lambda\). Puisque \(u_Z\) est nul, nous voyons que \(u_{Z_\lambda}\) est nul pour un certain \(\lambda\), d’après le Lemme 083J. Cela achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(u : M \to N\) une application de \(A\)-modules. Si \(N\) est projectif comme \(A\)-module, alors il existe un idéal \(I \subset A\) tel que, pour tout homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\), les conditions suivantes soient équivalentes :

\(u \otimes 1 : M \otimes_A B \to N \otimes_A B\) est nul, et

\(\varphi(I) = 0\).

Démonstration

Puisque \(N\) est projectif, on peut trouver un \(A\)-module projectif \(C\) tel que \(F = N \oplus C\) soit un \(R\)-module libre. En remplaçant \(u\) par \(u \oplus 1 : F = M \oplus C \to N \oplus C\), nous voyons que nous pouvons supposer \(N\) libre. Dans ce cas, soit \(I\) l’idéal de \(A\) engendré par les coefficients de tous les éléments de \(\Im(u)\) relativement à une base (fixée) de \(N\).

Lemme

Dans la Situation 0CWA. Soit \(T \subset S\) une partie. Soit \(s \in S\) dans l’adhérence de \(T\). Pour \(t \in T\), soit \(u_t\) l’image réciproque de \(u\) sur \(X_t\), et soit \(u_s\) l’image réciproque de \(u\) sur \(X_s\). Si \(X\) est localement de présentation finie sur \(S\), si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie³, et si \(u_t = 0\) pour tout \(t \in T\), alors \(u_s = 0\).

Démonstration

Vérifier si \(u_s\) est nul est une question locale pour la topologie étale sur la fibre \(X_s\). Nous pouvons donc choisir un point \(x \in |X_s| \subset |X|\) et effectuer la vérification dans un voisinage étale. Choisissons \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] comme dans la Proposition 0CVY. Soit \(T' \subset S'\) l’image réciproque de \(T\). Observons que \(s'\) appartient à l’adhérence de \(T'\), car \(S' \to S\) est ouvert. Nous sommes donc ramenés au problème d’algèbre décrit dans le paragraphe suivant.

Nous avons une application de \(R\)-modules \(u : M \to N\) telle que \(N\) soit projectif comme \(R\)-module et telle que \(u_t : M \otimes_R \kappa(t) \to N \otimes_R \kappa(t)\) soit nulle pour tout \(t \in T\). Il s’agit de montrer que \(u_s = 0\). Soit \(I \subset R\) l’idéal défini dans le Lemme 083L. Alors \(I\) s’envoie sur zéro dans \(\kappa(t)\) pour tout \(t \in T\). Ainsi \(T \subset V(I)\). Puisque \(s\) appartient à l’adhérence de \(T\), nous avons \(s \in V(I)\). Par conséquent, \(u_s = 0\).

Il serait intéressant de trouver une démonstration directe « simple » de l’un des Lemmes 0CWC ou 083M, en utilisant des arguments analogues à ceux des Lemmes 083K et 0CWB. Une démonstration « classique » de ce lemme lorsque \(f : X \to B\) est un morphisme projectif et \(B\) un schéma noethérien serait la suivante : (a) choisir un faisceau inversible relativement ample \(\mathcal{O}_X(1)\), (b) poser \(u_n : f_*\mathcal{F}(n) \to f_*\mathcal{G}(n)\), (c) observer que \(f_*\mathcal{G}(n)\) est un faisceau localement libre de rang fini pour tout \(n \gg 0\), et (d) que \(F_{zero}\) est représenté par le lieu des zéros de \(u_n\) pour un certain \(n \gg 0\).

Lemme

Dans la Situation 083F. Supposons que

\(f\) soit de présentation finie, et

\(\mathcal{G}\) soit de présentation finie, plat sur \(B\) et pur relativement à \(B\).

Alors \(F_{zero}\) est un espace algébrique et \(F_{zero} \to B\) est une immersion fermée. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, alors \(F_{zero} \to B\) est de présentation finie.

Démonstration

D’après le Lemme 0CW5, le module \(\mathcal{G}\) est universellement pur relativement à \(B\). Pour démontrer que \(F_{zero}\) est un espace algébrique, il suffit de montrer que \(F_{zero} \to B\) est représentable, voir Espaces, Lemme 02WY. Soit \(B' \to B\) un morphisme, où \(B'\) est un schéma, et soit \(u' : \mathcal{F}' \to \mathcal{G}'\) l’image réciproque de \(u\) sur \(X' = X_{B'}\). Alors le foncteur associé \(F'_{zero}\) est égal à \(F_{zero} \times_B B'\). Cela nous ramène au cas où \(B\) est un schéma.

Supposons que \(B\) soit un schéma. Nous allons montrer que \(F_{zero}\) est représentable par un sous-schéma fermé de \(B\). D’après le Lemme 083H et Descente, Lemmes 03I0 et 02W5 la question est locale pour la topologie étale sur \(B\). Soit \(b \in B\). Remplaçons d’abord \(B\) par un voisinage affine de \(b\). Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ B & B' \ar[l] }\] et un point \(b' \in B'\) s’envoyant sur \(b \in B\), comme dans le Lemme 0CVZ. Puisque nous travaillons localement pour la topologie étale, nous pouvons remplacer \(B\) par \(B'\) et supposer que nous disposons d’un diagramme \[\xymatrix{ X \ar[rd] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & B }\] où \(B\) et \(X'\) sont affines, tel que \(\Gamma(X', g^*\mathcal{G})\) soit un \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-module projectif et que \(g(|X'|) \supset |X_b|\). Soit \(U \subset X\) le sous-espace ouvert tel que \(|U| = g(|X'|)\). D’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CVV, l’ensemble \[E = \{t \in B : \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{G}_t) \subset |U_t|\} = \{t \in B : \text{Ass}_{X/B}(\mathcal{G}) \cap |X_t| \subset |U_t|\}\] est constructible dans \(B\). D’après le Lemme 0CW3, partie (2), nous voyons que \(E\) contient \(\Spec(\mathcal{O}_{B, b})\). D’après Morphismes, Lemme 05LW, nous voyons que \(E\) contient un voisinage ouvert de \(b\). Ainsi, après avoir remplacé \(B\) par un voisinage affine plus petit de \(b\), nous pouvons supposer que \(\text{Ass}_{X/B}(\mathcal{G}) \subset g(|X'|)\).

Il résulte du Lemme 0CW6 que \(u : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est injectif si et seulement si \(g^*u : g^*\mathcal{F} \to g^*\mathcal{G}\) est injectif, et cela reste vrai après tout changement de base. Nous nous sommes donc ramenés au cas où, outre les hypothèses du théorème, \(X \to B\) est un morphisme de schémas affines et \(\Gamma(X, \mathcal{G})\) est un \(\Gamma(B, \mathcal{O}_B)\)-module projectif. Ce cas résulte immédiatement du Lemme 083L.

Il reste à montrer que \(F_{zero} \to B\) est de présentation finie si \(\mathcal{F}\) est de type fini. Cela résulte du Lemme 083J, combiné à Limites d’espaces, Proposition 04AK.

Lemme

Dans la Situation 083F. Supposons que

\(f\) soit localement de présentation finie,

\(\mathcal{G}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie plat sur \(B\),

le support de \(\mathcal{G}\) soit propre sur \(B\).

Alors le foncteur \(F_{zero}\) est un espace algébrique et \(F_{zero} \to B\) est une immersion fermée. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, alors \(F_{zero} \to B\) est de présentation finie.

Démonstration

Si \(f\) est de présentation finie, cela résulte immédiatement des Lemmes 0CWC et 0CVI. C’est le seul cas intéressant, et nous conseillons au lecteur d’omettre la suite de la démonstration, qui traite de la possibilité (autorisée par les hypothèses du présent lemme) que \(f\) ne soit ni quasi-séparé ni quasi-compact.

Soit \(i : Z \to X\) le sous-espace fermé défini par l’idéal de Fitting d’indice zéro de \(\mathcal{G}\) (Diviseurs sur les espaces, section 0CZ3). Alors \(Z \to B\) est propre par hypothèse (voir Catégories dérivées des espaces, section 0CZB). D’autre part, \(i\) est de présentation finie (Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CZ5, et Morphismes d’espaces, Lemme 084Q). Il existe un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{H}\) de type fini tel que \(i_*\mathcal{H} = \mathcal{G}\) (Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CZ6). En fait, \(\mathcal{H}\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_Z\)-module d’après Algèbre, Lemme 0561 (détails omis). Alors \(F_{zero}\) est le même que le foncteur \(F_{zero}\) pour l’application \(i^*\mathcal{F} \to \mathcal{H}\) adjointe de \(u\), voir Lemme 0CW7. Le faisceau \(\mathcal{H}\) est plat sur \(B\), car il en est de même de \(\mathcal{G}\) (vérifier sur les germes ; détails omis). De plus, remarquons que si \(\mathcal{F}\) est de type fini, alors \(i^*\mathcal{F}\) est de type fini. Nous avons donc ramené le lemme au cas étudié dans le premier paragraphe de la démonstration.

Aplatissement d’une application

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05PC. En particulier, le résultat suivant est une variante de Compléments sur la platitude, Théorème 05PF.

Théorème

Dans la Situation 083F, supposons que

\(f\) soit de présentation finie,

\(\mathcal{F}\) soit de présentation finie, plat sur \(B\) et pur relativement à \(B\), et

\(u\) soit surjectif.

Alors \(F_{iso}\) est représentable par une immersion fermée \(Z \to B\). De plus, \(Z \to S\) est de présentation finie si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie.

Démonstration

Soit \(\mathcal{K} = \Ker(u)\) et notons \(v : \mathcal{K} \to \mathcal{F}\) l’inclusion. Le Lemme 0CVM donne \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\). En appliquant le Lemme 0CWC à \(v\), nous voyons que \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\) est représentable par un sous-espace fermé de \(B\). Remarquons que \(\mathcal{K}\) est de type fini si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, voir Modules sur les sites, Lemme 082T. Nous obtenons donc également la dernière assertion du théorème.

Lemme

Dans la Situation 083F. Supposons que

\(f\) soit localement de présentation finie,

\(\mathcal{F}\) soit localement de présentation finie et plat sur \(B\),

le support de \(\mathcal{F}\) soit propre sur \(B\), et

\(u\) soit surjectif.

Alors le foncteur \(F_{iso}\) est un espace algébrique et \(F_{iso} \to B\) est une immersion fermée. Si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, alors \(F_{iso} \to B\) est de présentation finie.

Démonstration

Soit \(\mathcal{K} = \Ker(u)\) et notons \(v : \mathcal{K} \to \mathcal{F}\) l’inclusion. Le Lemme 0CVM donne \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\). En appliquant le Lemme 083M à \(v\), nous voyons que \(F_{u, iso} = F_{v, zero}\) est représentable par un sous-espace fermé de \(B\). Remarquons que \(\mathcal{K}\) est de type fini si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, voir Modules sur les sites, Lemme 082T. Nous obtenons donc également la dernière assertion du lemme.

Nous utiliserons le résultat (facile) suivant dans l’étude du foncteur Quot.

Lemme

Dans la Situation 083F. Supposons que

\(f\) soit localement de présentation finie,

\(\mathcal{G}\) soit de type fini,

le support de \(\mathcal{G}\) soit propre sur \(B\).

Alors \(F_{surj}\) est un espace algébrique et \(F_{surj} \to B\) est une immersion ouverte.

Démonstration

Considérons \(\Coker(u)\). Observons que \(\Coker(u_T) = \Coker(u)_T\) pour tout \(T/B\). Remarquons que la formation du support d’un module quasi-cohérent de type fini commute à l’image réciproque (Morphismes d’espaces, Lemme 07TY). Ainsi \(F_{surj}\) est représentable par le sous-espace ouvert de \(B\) correspondant à l’ouvert \[|B| \setminus |f|(\text{Supp}(\Coker(u)))\] voir Propriétés des espaces, Lemme 03BZ. C’est un ouvert, car \(|f|\) est fermé sur \(\text{Supp}(\mathcal{G})\) et \(\text{Supp}(\Coker(u))\) est une partie fermée de \(\text{Supp}(\mathcal{G})\).

Aplatissement dans le cas local

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05MZ.

Lemme

Soit \(S\) le spectre d’un anneau local hensélien de point fermé \(s\). Soit \(X \to S\) un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(E \subset |X_s|\) une partie. Il existe un sous-schéma fermé \(Z \subset S\) ayant la propriété suivante : pour tout morphisme de schémas pointés \((T, t) \to (S, s)\), les conditions suivantes sont équivalentes :

\(\mathcal{F}_T\) est plat sur \(T\) en tout point de \(|X_t|\) qui s’envoie sur un point de \(E \subset |X_s|\), et

\(\Spec(\mathcal{O}_{T, t}) \to S\) se factorise par \(Z\).

De plus, si \(X \to S\) est localement de présentation finie, si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie et si \(E \subset |X_s|\) est fermé et quasi-compact, alors \(Z \to S\) est de présentation finie.

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale \(\varphi : U \to X\). Soit \(E' \subset |U_s|\) l’image réciproque de \(E\). Si \(E' \to E\) est surjectif, alors la condition (1) équivaut à ceci : \((\varphi^*\mathcal{F})_T\) est plat sur \(T\) en tout point de \(|U_t|\) qui s’envoie sur un point de \(E' \subset |U_t|\). En choisissant \(\varphi\) surjectif, nous sommes ramenés au cas des schémas, à savoir Compléments sur la platitude, Lemme 05PI. Si \(E\) est fermé et quasi-compact, nous pouvons choisir \(U\) affine de telle sorte que \(E' \to E\) soit surjectif. Alors \(E'\) est fermé et quasi-compact, et la dernière assertion résulte de la dernière assertion de Compléments sur la platitude, Lemme 05PI.

Aplatissement universel

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 05PS. Notre but principal est de démontrer le Lemme 0CX2. Cependant, nous ne voyons pas comment déduire directement ce résultat du résultat correspondant pour les schémas. Nous devons donc reprendre ici une partie du développement. Commençons toutefois par une définition.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Nous disons que l’aplatissement universel de \(\mathcal{F}\) existe si le foncteur \(F_{flat}\) défini dans la Situation 0CWX est un espace algébrique. Nous disons que l’aplatissement universel de \(X\) existe si l’aplatissement universel de \(\mathcal{O}_X\) existe.

Cette définition est quelque peu insatisfaisante, car la définition de l’aplatissement universel ne coïncide pas ici avec celle utilisée dans le cas des schémas, puisque nous ignorons si tout monomorphisme d’espaces algébriques est représentable (Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0B89). Espérons qu’il n’en résultera jamais de confusion.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(n \geq 0\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

pour un certain diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_\varphi \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] dont les flèches verticales sont étales et surjectives, où \(U\) et \(V\) sont des schémas, le faisceau \(\varphi^*\mathcal{F}\) est plat sur \(V\) en dimensions \(\geq n\) (Compléments sur la platitude, Définition 0CWG),

pour tout diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_\varphi \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] dont les flèches verticales sont étales, où \(U\) et \(V\) sont des schémas, le faisceau \(\varphi^*\mathcal{F}\) est plat sur \(V\) en dimensions \(\geq n\), et

pour \(x \in |X|\) tel que \(\mathcal{F}\) ne soit pas plat en \(x\) sur \(Y\), le degré de transcendance de \(x/f(x)\) est \(< n\) (Morphismes d’espaces, Définition 04NM).

Si ces conditions sont satisfaites, elles le restent après tout changement de base \(Y' \to Y\).

Démonstration

Supposons disposer d’un diagramme comme en (1). L’équivalence des conditions dans Compléments sur la platitude, Lemme 0CWF, montre alors que (1) et (3) sont équivalentes. Mais la condition (3) est héritée par \(\varphi^*\mathcal{F}\) pour tout \(U \to V\) comme en (2). Le résultat pour les schémas montre donc à nouveau que (3) implique (2). Il implique également l’assertion relative au changement de base.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Soit \(n \geq 0\). Nous disons que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(Y\) en dimensions \(\geq n\) si les conditions équivalentes du Lemme 0CWS sont satisfaites.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\) qui est localement de type fini. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent de type fini. Pour tout schéma \(T\) sur \(Y\), nous noterons \(\mathcal{F}_T\) le changement de base de \(\mathcal{F}\) à \(T\) ; autrement dit, \(\mathcal{F}_T\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) par le morphisme de projection \(X_T = X \times_Y T \to X\). Remarquons que \(f_T : X_T \to T\) est de type fini et que \(\mathcal{F}_T\) est un \(\mathcal{O}_{X_T}\)-module de type fini (Morphismes d’espaces, Lemme 03XH et Modules sur les sites, Lemme 03DO). Soit \(n \geq 0\). La Définition 0CWT et le Lemme 0CWS fournissent un foncteur [0CWV]\[\begin{equation} F_n : (\Sch/Y)^{opp} \longrightarrow \textit{Ens}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si }\mathcal{F}_T\text{ est plat sur }T\text{ en }\dim \geq n, \\ \emptyset & \text{sinon.} \end{matrix} \right. \end{equation}\]

Dans la Situation 0CWU, nous considérons parfois \(F_n\) comme un foncteur \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ens}\) muni d’un morphisme \(F_n \to Y\). En effet, si \(T\) est un schéma sur \(S\), un élément \(h \in F_n(T)\) est un morphisme \(h : T \to Y\) tel que le changement de base de \(\mathcal{F}\) par \(h\) soit plat sur \(T\) en \(\dim \geq n\). En particulier, lorsque nous disons que \(F_n\) est un espace algébrique, nous entendons que le foncteur correspondant \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Ens}\) est un espace algébrique.

Lemme

Dans la Situation 0CWU.

Le foncteur \(F_n\) vérifie la propriété de faisceau pour la topologie fpqc.

Si \(f\) est quasi-compact et localement de présentation finie et si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors le foncteur \(F_n\) commute aux limites.

Démonstration

Preuve de (1). Supposons que \(\{T_i \to T\}\) soit un recouvrement fpqc d’un schéma \(T\) sur \(Y\). Nous devons montrer que, si \(F_n(T_i)\) est non vide pour tout \(i\), alors \(F_n(T)\) est non vide. Choisissons un diagramme comme dans la partie (1) du Lemme 0CWS. Notons \(F'_n\) le foncteur correspondant pour \(\varphi^*\mathcal{F}\) et le morphisme \(U \to V\). D’après Compléments sur la platitude, Lemme 05MV, \(F'_n\) vérifie la propriété de faisceau. Il en est donc de même de \(F_n\), car pour \(T \to Y\), on a \(F_n(T) = F'_n(V \times_Y T)\) d’après le Lemme 0CWS, et parce que \(\{V \times_Y T_i \to V \times_Y T\}\) est un recouvrement fpqc.

Preuve de (2). Supposons que \(T = \lim_{i \in I} T_i\) soit une limite filtrante de schémas affines \(T_i\) sur \(Y\), et supposons que \(F_n(T)\) soit non vide. Nous devons montrer que \(F_n(T_i)\) est non vide pour un certain \(i\). Choisissons un diagramme comme dans la partie (1) du Lemme 0CWS. Fixons \(i \in I\) et choisissons un ouvert affine \(W_i \subset V \times_Y T_i\) s’envoyant surjectivement sur \(T_i\). Pour \(i' \geq i\), soit \(W_{i'}\) l’image réciproque de \(W_i\) dans \(V \times_Y T_{i'}\), et soit \(W \subset V \times_Y T\) l’image réciproque de \(W_i\). Alors \(W = \lim_{i' \geq i} W_i\) est une limite filtrante de schémas affines sur \(V\). À nouveau, d’après le Lemme 0CWS, il suffit de montrer que \(F'_n(W_{i'})\) est non vide pour un certain \(i' \geq i\). Or nous savons que \(F'_n(W)\) est non vide, car, par hypothèse, \(F_n(T) = F'_n(V \times_Y T)\) est non vide. Nous pouvons donc appliquer Compléments sur la platitude, Lemme 05MV, et conclure.

Lemme

Dans la Situation 0CWU. Soit \(h : X' \to X\) un morphisme étale. Posons \(\mathcal{F}' = h^*\mathcal{F}\) et \(f' = f \circ h\). Soit \(F_n'\) le foncteur (0CWV) associé à \((f' : X' \to Y, \mathcal{F}')\). Alors \(F_n\) est un sous-foncteur de \(F_n'\) et, si \(h(X') \supset \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\), alors \(F_n = F'_n\).

Démonstration

Choisissons \(U \to X\), \(V \to Y\), \(U \to V\) comme dans la partie (1) du Lemme 0CWS. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U' \to U \times_X X'\), où \(U'\) est un schéma. Nous disposons alors du lemme pour les deux foncteurs \(F_{U, n}\) et \(F_{U', n}\) déterminés par \(U' \to U\) et \(\mathcal{F}|_U\) sur \(V\), voir Compléments sur la platitude, Lemme 05UD. D’autre part, le Lemme 0CWS nous dit que, pour tout \(T \to Y\), on a \(F_n(T) = F_{U, n}(V \times_Y T)\) et \(F'_n(T) = F_{U', n}(V \times_Y T)\). Cela démontre le lemme.

Théorème

Dans la Situation 0CWU. Supposons en outre que \(f\) soit de présentation finie, que \(\mathcal{F}\) soit un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie et que \(\mathcal{F}\) soit pur relativement à \(Y\). Alors \(F_n\) est un espace algébrique et \(F_n \to Y\) est un monomorphisme de présentation finie.

Démonstration

Le foncteur \(F_n\) est un faisceau pour la topologie fppf d’après le Lemme 0CWW. Puisque \(F_n \to Y\) est un monomorphisme de faisceaux sur \((\Sch/S)_{fppf}\), nous voyons que \(\Delta : F_n \to F_n \times F_n\) est l’image réciproque de la diagonale \(\Delta_Y : Y \to Y \times_S Y\). La représentabilité de \(\Delta_Y\) implique donc celle de la diagonale de \(F_n\). Il suffit par conséquent de démontrer qu’il existe un schéma \(W\) sur \(S\) et un morphisme étale surjectif \(W \to F_n\).

Pour construire \(W \to F_n\), choisissons un recouvrement étale \(\{Y_i \to Y\}\) où \(Y_i\) est un schéma. Soit \(X_i = X \times_Y Y_i\) et soit \(\mathcal{F}_i\) l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(X_i\). Alors \(\mathcal{F}_i\) est pur relativement à \(Y_i\), soit par définition, soit d’après le Lemme 0CVF. Les autres hypothèses du théorème sont également préservées. Enfin, la restriction de \(F_n\) à \(Y_i\) est le foncteur \(F_n\) correspondant à \(X_i \to Y_i\) et \(\mathcal{F}_i\). Il suffit donc de montrer ceci : étant donnés \(\mathcal{F}\) et \(f : X \to Y\) comme dans l’énoncé du théorème, avec \(Y\) schéma, le foncteur \(F_n\) est représentable par un schéma \(Z_n\) et \(Z_n \to Y\) est un monomorphisme de présentation finie.

Observons qu’un monomorphisme de présentation finie est séparé et quasi-fini (Morphismes, Lemme 0CT8). Ainsi, en combinant Descente, Lemme 02W5, Compléments sur les morphismes, Lemme 02W8 et Descente, Lemmes 02YK et 02L0 nous voyons que la question est locale pour la topologie étale sur \(Y\).

En particulier, la situation est locale pour la topologie de Zariski sur \(Y\), et nous pouvons supposer \(Y\) affine. Dans ce cas, la dimension des fibres de \(f\) est majorée ; \(F_n\) est donc représentable pour \(n\) assez grand. Nous pouvons ainsi raisonner par récurrence descendante sur \(n\). Supposons que nous sachions \(F_{n + 1}\) représentable par un monomorphisme \(Z_{n + 1} \to Y\) de présentation finie. Considérons le changement de base \(X_{n + 1} = Z_{n + 1} \times_Y X\) et l’image réciproque \(\mathcal{F}_{n + 1}\) de \(\mathcal{F}\) sur \(X_{n + 1}\). Le morphisme \(Z_{n + 1} \to Y\) est quasi-fini, car c’est un monomorphisme de présentation finie ; le Lemme 0CVF implique donc que \(\mathcal{F}_{n + 1}\) est pur relativement à \(Z_{n + 1}\). Puisque \(F_n\) est un sous-foncteur de \(F_{n + 1}\), nous concluons que, pour démontrer le résultat pour \(F_n\), il suffit de le démontrer pour le foncteur correspondant à la situation \(\mathcal{F}_{n + 1}/X_{n + 1}/Z_{n + 1}\). Nous sommes ainsi ramenés à démontrer le résultat pour \(F_n\) dans le cas \(Y_{n + 1} = Y\), c’est-à-dire que nous pouvons supposer \(\mathcal{F}\) plat en dimensions \(\geq n + 1\) sur \(Y\).

Fixons \(n\) et supposons que \(\mathcal{F}\) soit plat en dimensions \(\geq n + 1\) sur le schéma affine \(Y\). Pour achever la démonstration, nous devons montrer que \(F_n\) est représentable par un monomorphisme \(Z_n \to S\) de présentation finie. Puisque la question est locale pour la topologie étale sur \(Y\), il suffit de montrer que, pour tout \(y \in Y\), il existe un voisinage étale \((Y', y') \to (Y, y)\) tel que le résultat soit vrai après changement de base à \(Y'\). Ainsi, d’après le Lemme 0CWJ, nous pouvons supposer qu’il existe des morphismes étales \(h_j : W_j \to X\), \(j = 1, \ldots, m\), tels que, pour chaque \(j\), il existe un dévissage complet de \(\mathcal{F}_j/W_j/Y\) au-dessus de \(y\), où \(\mathcal{F}_j\) est l’image réciproque de \(\mathcal{F}\) sur \(W_j\), et tels que \(|X_y| \subset \bigcup h_j(W_j)\). Puisque \(h_j\) est étale, le Lemme 0CWS montre que les faisceaux \(\mathcal{F}_j\) sont encore plats en dimensions \(\geq n + 1\) sur \(Y\). Posons \(W = \bigcup h_j(W_j)\), qui est un ouvert quasi-compact de \(X\). Comme \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_y\), nous voyons que \[E = \{t \in |Y| : \text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t) \subset W \}.\] contient toutes les générisations de \(y\). D’après Diviseurs sur les espaces, Lemme 0CVV, \(E\) est une partie constructible de \(Y\). Nous avons vu que \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \subset E\). D’après Morphismes, Lemme 05LW, nous voyons que \(E\) contient un voisinage ouvert de \(y\). Ainsi, après avoir restreint \(Y\), nous pouvons supposer que \(E = Y\). Il résulte du Lemme 0CX0 qu’il suffit de démontrer le théorème pour le foncteur \(F_n\) associé à \(X = \coprod W_j\) et \(\mathcal{F} = \coprod \mathcal{F}_j\). Si \(F_{j, n}\) désigne le foncteur associé à \(W_j \to Y\) et au faisceau \(\mathcal{F}_j\), alors \(F_n = \prod F_{j, n}\). Il suffit donc de démontrer que chaque \(F_{j, n}\) est représentable par un monomorphisme \(Z_{j, n} \to Y\) de présentation finie, puisque alors \[Z_n = Z_{1, n} \times_Y \ldots \times_Y Z_{m, n}\] Nous avons ainsi ramené le théorème au cas particulier traité dans Compléments sur la platitude, Lemme 05UF.

Nous obtenons enfin le résultat souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent.

Si \(f\) est de présentation finie, si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie et si \(\mathcal{F}\) est pur relativement à \(Y\), alors il existe un aplatissement universel \(Y' \to Y\) de \(\mathcal{F}\). De plus, \(Y' \to Y\) est un monomorphisme de présentation finie.

Si \(f\) est de présentation finie et si \(X\) est pur relativement à \(Y\), alors il existe un aplatissement universel \(Y' \to Y\) de \(X\). De plus, \(Y' \to Y\) est un monomorphisme de présentation finie.

Si \(f\) est propre et de présentation finie et si \(\mathcal{F}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, alors il existe un aplatissement universel \(Y' \to Y\) de \(\mathcal{F}\). De plus, \(Y' \to Y\) est un monomorphisme de présentation finie.

Si \(f\) est propre et de présentation finie, alors il existe un aplatissement universel \(Y' \to Y\) de \(X\).

Démonstration

Ces assertions résultent immédiatement du Théorème 0CX1 appliqué à \(F_0 = F_{flat}\), et du fait que, si \(f\) est propre, alors \(\mathcal{F}\) est automatiquement pur sur la base, voir Lemme 0CVI.

Théorème d’existence de Grothendieck

Cette section est l’analogue de Compléments sur la platitude, section 0CTB, et poursuit l’étude menée dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 089N. Nous travaillerons dans la situation suivante.

Situation

Nous avons ici un système projectif d’anneaux \((A_n)\) dont les applications de transition sont surjectives et ont des noyaux localement nilpotents. Posons \(A = \lim A_n\). Soit \(X\) un espace algébrique séparé et de présentation finie sur \(A\). Posons \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\) et considérons-le comme un sous-espace fermé de \(X\). Supposons en outre donné un système \((\mathcal{F}_n, \varphi_n)\), où \(\mathcal{F}_n\) est un \(\mathcal{O}_{X_n}\)-module de présentation finie, plat sur \(A_n\), de support propre sur \(A_n\), et où \[\varphi_n : \mathcal{F}_n \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{O}_{X_{n - 1}} \longrightarrow \mathcal{F}_{n - 1}\] est un isomorphisme (notation utilisant l’équivalence de Morphismes d’espaces, Lemme 04CJ).

Notre but est de déterminer si l’on peut trouver un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X_n}\) pour tout \(n\).

Lemme

Dans la Situation 0CX4, considérons \[K = R\lim_{D_\QCoh(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{F}_n) = DQ_X(R\lim_{D(\mathcal{O}_X)}\mathcal{F}_n)\] Alors \(K\) appartient à \(D^b_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\) et, en fait, \(K\) n’a de faisceaux de cohomologie non nuls qu’en degrés \(\geq 0\).

Démonstration

C’est un cas particulier de Catégories dérivées des espaces, Exemple 0CST.

Lemme

Dans la Situation 0CX4, soit \(K\) comme dans le Lemme 0CX5. Pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), on a :

\(M = R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\) est un objet parfait de \(D(A)\), et il existe un isomorphisme canonique \(R\Gamma(X_n, \mathcal{F}_n \otimes^\mathbf{L} E|_{X_n}) = M \otimes_A^\mathbf{L} A_n\) dans \(D(A_n)\),

\(N = R\Hom_X(E, K)\) est un objet parfait de \(D(A)\), et il existe un isomorphisme canonique \(R\Hom_{X_n}(E|_{X_n}, \mathcal{F}_n) = N \otimes_A^\mathbf{L} A_n\) dans \(D(A_n)\).

Dans les deux assertions, \(E|_{X_n}\) désigne l’image réciproque dérivée de \(E\) sur \(X_n\).

Démonstration

Preuve de (2). Écrivons \(E_n = E|_{X_n}\) et \(N_n = R\Hom_{X_n}(E_n, \mathcal{F}_n)\). Rappelons que \(R\Hom_{X_n}(-, -)\) est égal à \(R\Gamma(X_n, R\SheafHom(-, -))\), voir Cohomologie sur les sites, section 0B6E. Ainsi, d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0A1R le complexe \(N_n\) est un objet parfait de \(D(A_n)\) dont la formation commute au changement de base. Ainsi, les applications \(N_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} A_{n - 1} \to N_{n - 1}\) provenant de \(\varphi_n\) sont des isomorphismes. D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0CQG, \(R\lim N_n\) est parfait et son changement de base à \(A_n\) redonne \(N_n\). D’autre part, le foncteur exact \(R\Hom_X(E, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\) de catégories triangulées commute aux produits, donc aux limites dérivées ; par conséquent, \[R\Hom_X(E, K) = R\lim R\Hom_X(E, \mathcal{F}_n) = R\lim R\Hom_X(E_n, \mathcal{F}_n) = R\lim N_n\] Cela démontre (2). Pour obtenir (1), on le reformule sous la forme (2) à l’aide de Cohomologie sur les sites, Lemme 08JJ.

Lemme

Dans la Situation 0CX4, soit \(K\) comme dans le Lemme 0CX5. Alors \(K\) est pseudo-cohérent relativement à \(A\).

Démonstration

En combinant le Lemme 0CX6 et Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CWH, nous voyons que \(R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\) est pseudo-cohérent dans \(D(A)\) pour tout objet pseudo-cohérent \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\). Le lemme résulte donc de Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0CTT.

Lemme

Dans la Situation 0CX4, soit \(K\) comme dans le Lemme 0CX5. Pour tout morphisme étale \(U \to X\), avec \(U\) quasi-compact et quasi-séparé, on a \[R\Gamma(U, K) \otimes_A^\mathbf{L} A_n = R\Gamma(U_n, \mathcal{F}_n)\] dans \(D(A_n)\), où \(U_n = U \times_X X_n\).

Démonstration

Fixons \(n\). D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CRW il existe un système de complexes parfaits \(E_m\) sur \(X\) tel que \(R\Gamma(U, K) = \text{hocolim} R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E_m)\). En fait, cette formule vaut non seulement pour \(K\), mais pour tout objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). En l’appliquant à \(\mathcal{F}_n\), nous obtenons \[\begin{align*} R\Gamma(U_n, \mathcal{F}_n) & = R\Gamma(U, \mathcal{F}_n) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X, \mathcal{F}_n \otimes^\mathbf{L} E_m) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X_n, \mathcal{F}_n \otimes^\mathbf{L} E_m|_{X_n}) \end{align*}\] En utilisant le Lemme 0CX6 et le fait que \(- \otimes_A^\mathbf{L} A_n\) commute aux colimites homotopiques, nous obtenons le résultat.

Lemme

Dans la Situation 0CX4, soit \(K\) comme dans le Lemme 0CX5. Notons \(X_0 \subset |X|\) la partie fermée formée des points situés au-dessus de la partie fermée \(\Spec(A_1) = \Spec(A_2) = \ldots\) de \(\Spec(A)\). Il existe un sous-espace ouvert \(W \subset X\) contenant \(X_0\) tel que

\(H^i(K)|_W\) soit nul sauf si \(i = 0\),

\(\mathcal{F} = H^0(K)|_W\) soit de présentation finie, et

\(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X_n}\).

Démonstration

Fixons \(n \geq 1\). Par construction, il existe une application canonique \(K \to \mathcal{F}_n\) dans \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), et donc une application canonique \(H^0(K) \to \mathcal{F}_n\) de faisceaux quasi-cohérents. Cela précise le sens de la partie (3).

Soit \(x \in X_0\) un point. Nous allons trouver un voisinage ouvert \(W\) de \(x\) où (1), (2) et (3) sont vraies. Puisque \(X_0\) est quasi-compact, cela démontrera le lemme. Soit \(U \to X\) un morphisme étale, avec \(U\) affine, et soit \(u \in U\) un point s’envoyant sur \(x\). Puisque \(|U| \to |X|\) est ouvert, il suffit de trouver un voisinage ouvert de \(u\) dans \(U\) où (1), (2) et (3) sont vraies. Écrivons \(U = \Spec(B)\). Choisissons une surjection \(P \to B\), avec \(P\) lisse sur \(A\). D’après le Lemme 0CX7 et la définition de la pseudo-cohérence relative, il existe un complexe borné supérieurement \(F^\bullet\) de \(P\)-modules libres de rang fini représentant \(Ri_*K\), où \(i : U \to \Spec(P)\) est l’immersion fermée induite par la présentation. Soit \(M_n\) le \(B\)-module correspondant à \(\mathcal{F}_n|_U\). D’après le Lemme 0CX8, \[H^i(F^\bullet \otimes_A A_n) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i \not = 0 \\ M_n & \text{si} & i = 0 \end{matrix} \right.\] Soit \(i\) l’indice maximal tel que \(F^i\) soit non nul. Si \(i \leq 0\), alors (1), (2) et (3) sont vraies. Sinon, \(i > 0\), et nous voyons que le rang de l’application \[F^{i - 1} \to F^i\] au point \(u\) est maximal. Il est donc maximal dans un voisinage ouvert de \(u\) dans \(\Spec(P)\). Ainsi, après avoir remplacé \(P\) par une localisation principale, nous pouvons supposer que l’application affichée est surjective. Puisque \(F^i\) est libre de rang fini, nous pouvons choisir une décomposition \(F^{i - 1} = F' \oplus F^i\). Nous pouvons alors remplacer \(F^\bullet\) par le complexe \[\ldots \to F^{i - 2} \to F' \to 0 \to \ldots\] et conclure par récurrence sur \(i\).

Lemme

Dans la Situation 0CX4, soit \(K\) comme dans le Lemme 0CX5. Soit \(W \subset X\) comme dans le Lemme 0CX9. Posons \(\mathcal{F} = H^0(K)|_W\). Alors, quitte à restreindre l’ouvert \(W\), le support de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(A\).

Démonstration

Fixons \(n \geq 1\). Soit \(I_n = \Ker(A \to A_n)\). D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0CT7, la paire \((A, I_n)\) est hensélienne. Soit \(Z \subset W\) le support schématique de \(\mathcal{F}\). C’est un sous-espace fermé, puisque \(\mathcal{F}\) est de présentation finie. D’après la partie (3) du Lemme 0CX9, \(Z \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\) est égal au support de \(\mathcal{F}_n\), et est donc propre sur \(\Spec(A/I)\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0CWI nous pouvons écrire \(Z = Z_1 \amalg Z_2\), avec \(Z_1, Z_2\) ouverts et fermés dans \(Z\), avec \(Z_1\) propre sur \(A\), et avec \(Z_1 \times_{\Spec(A)} \Spec(A/I_n)\) égal au support de \(\mathcal{F}_n\). Autrement dit, \(|Z_2|\) ne rencontre pas \(X_0\). Ainsi, en remplaçant \(W\) par \(W \setminus Z_2\), nous obtenons le lemme.

Théorème

Dans la Situation 0CX4, il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie \(\mathcal{F}\), plat sur \(A\), de support propre sur \(A\), tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{X_n}\) pour tout \(n\), de manière compatible avec les applications \(\varphi_n\).

Démonstration

Appliquons les Lemmes 0CX5, 0CX6, 0CX7, 0CX8, 0CX9 et 0CXA pour obtenir un sous-espace ouvert \(W \subset X\) contenant tous les points au-dessus de \(\Spec(A_n)\) et un \(\mathcal{O}_W\)-module \(\mathcal{F}\) de présentation finie, dont le support est propre sur \(A\) et tel que \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_W} \mathcal{O}_{X_n}\) pour tout \(n \geq 1\). (Cela a un sens puisque \(X_n \subset W\).) D’après le Lemme 0CVI, \(\mathcal{F}\) est universellement pur relativement à \(\Spec(A)\). D’après le Théorème 0CX1 (pour des explications, voir le Lemme 0CX2), il existe un aplatissement universel \(S' \to \Spec(A)\) de \(\mathcal{F}\) et, de plus, le morphisme \(S' \to \Spec(A)\) est un monomorphisme de présentation finie. En particulier, \(S'\) est un schéma (cela résulte de la démonstration du théorème, mais aussi a posteriori de Morphismes d’espaces, Proposition 03XX). Puisque le changement de base de \(\mathcal{F}\) à \(\Spec(A_n)\) est \(\mathcal{F}_n\), nous voyons que \(\Spec(A_n) \to \Spec(A)\) se factorise (uniquement) par \(S'\) pour tout \(n\). D’après Compléments sur la platitude, Lemme 0CTJ, nous avons \(S' = \Spec(A)\). Cela signifie que \(\mathcal{F}\) est plat sur \(A\). Enfin, puisque le support schématique \(Z\) de \(\mathcal{F}\) est propre sur \(\Spec(A)\), le morphisme \(Z \to X\) est fermé. Par conséquent, l’image directe \((W \to X)_*\mathcal{F}\) est supportée sur \(W\) et possède toutes les propriétés voulues.

Théorème d’existence de Grothendieck, bis

Dans cette section, nous démontrons un analogue du théorème d’existence de Grothendieck dans la catégorie dérivée, en suivant la méthode utilisée à la section 0CX3 pour les modules quasi-cohérents. Cette section est l’analogue, pour les espaces algébriques, de Compléments sur la platitude, section 0DIA. Le cas classique (pour les espaces algébriques) est étudié dans Compléments sur les morphismes d’espaces, section 089N. Nous travaillerons dans la situation suivante.

Situation

Nous avons ici un système projectif d’anneaux \((A_n)\) dont les applications de transition sont surjectives et ont des noyaux localement nilpotents. Posons \(A = \lim A_n\). Soit \(X\) un espace algébrique propre, plat et de présentation finie sur \(A\). Posons \(X_n = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A_n)\) et considérons-le comme un sous-espace fermé de \(X\). Supposons en outre donné un système \((K_n, \varphi_n)\), où \(K_n\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(\mathcal{O}_{X_n})\) et \[\varphi_n : K_n \longrightarrow K_{n - 1}\] est une application dans \(D(\mathcal{O}_{X_n})\) qui induit un isomorphisme \(K_n \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X_{n - 1}} \to K_{n - 1}\) dans \(D(\mathcal{O}_{X_{n - 1}})\).

Plus précisément, il faudrait écrire \(\varphi_n : K_n \to Ri_{n - 1, *}K_{n - 1}\) où \(i_{n - 1} : X_{n - 1} \to X_n\) est le morphisme d’inclusion ; avec cette notation, la condition est que l’application adjointe \(Li_{n - 1}^*K_n \to K_{n - 1}\) soit un isomorphisme. Notre but est de trouver un \(K \in D(\mathcal{O}_X)\) pseudo-cohérent tel que \(K_n = K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X_n}\) pour tout \(n\) (avec le même abus de notation).

Lemme

Dans la Situation 0DIK, considérons \[K = R\lim_{D_\QCoh(\mathcal{O}_X)}(K_n) = DQ_X(R\lim_{D(\mathcal{O}_X)} K_n)\] Alors \(K\) appartient à \(D^-_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Le foncteur \(DQ_X\) existe car \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, voir Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CR4. Puisque \(DQ_X\) est un adjoint à droite, il commute aux produits, et donc aux limites dérivées. On obtient ainsi l’égalité de l’énoncé du lemme.

D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CSS, le foncteur \(DQ_X\) est de dimension cohomologique bornée. Il suffit donc de montrer que \(R\lim K_n \in D^-(\mathcal{O}_X)\). Pour cela, soit \(U \to X\) un morphisme étale, avec \(U\) affine. Il existe alors une suite exacte canonique \[0 \to R^1\lim H^{m - 1}(U, K_n) \to H^m(U, R\lim K_n) \to \lim H^m(U, K_n) \to 0\] d’après Cohomologie sur les sites, Lemme 0D6K. Puisque \(U\) est affine et \(K_n\) pseudo-cohérent (et possède donc des faisceaux de cohomologie quasi-cohérents d’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 08JL), nous avons \(H^m(U, K_n) = H^m(K_n)(U)\) d’après Catégories dérivées des schémas, Lemme 06Z0. Il suffit donc de montrer que les \(K_n\) sont bornés supérieurement indépendamment de \(n\).

Puisque \(K_n\) est pseudo-cohérent, on a \(K_n \in D^-(\mathcal{O}_{X_n})\). Supposons que \(a_n\) soit maximal tel que \(H^{a_n}(K_n)\) soit non nul. Bien entendu, \(a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \ldots\). Remarquons que \(H^{a_n}(K_n)\) est un \(\mathcal{O}_{X_n}\)-module de présentation finie (Cohomologie sur les sites, Lemme 08FX). Nous avons \(H^{a_n}(K_{n - 1}) = H^{a_n}(K_n) \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{O}_{X_{n - 1}}\). Puisque \(X_{n - 1} \to X_n\) est un épaississement, le lemme de Nakayama (Algèbre, Lemme 00DV) montre que, si \(H^{a_n}(K_n) \otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{O}_{X_{n - 1}}\) est nul, alors \(H^{a_n}(K_n)\) l’est aussi (on peut par exemple vérifier sur les germes ; ce petit détail est omis). Ainsi \(a_{n - 1} = a_n\) pour tout \(n\), ce qui permet de conclure.

Lemme

Dans la Situation 0DIK, soit \(K\) comme dans le Lemme 0DIL. Pour tout objet parfait \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\), la cohomologie \[M = R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\] est un objet pseudo-cohérent de \(D(A)\) et il existe un isomorphisme canonique \[R\Gamma(X_n, K_n \otimes^\mathbf{L} E|_{X_n}) = M \otimes_A^\mathbf{L} A_n\] dans \(D(A_n)\). Ici, \(E|_{X_n}\) désigne l’image réciproque dérivée de \(E\) sur \(X_n\).

Démonstration

Écrivons \(E_n = E|_{X_n}\) et \(M_n = R\Gamma(X_n, K_n \otimes^\mathbf{L} E|_{X_n})\). D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CTN nous voyons que \(M_n\) est un objet pseudo-cohérent de \(D(A_n)\) dont la formation commute au changement de base. Ainsi, les applications \(M_n \otimes_{A_n}^\mathbf{L} A_{n - 1} \to M_{n - 1}\) provenant de \(\varphi_n\) sont des isomorphismes. D’après Compléments d’algèbre, Lemme 0CQF \(R\lim M_n\) est pseudo-cohérent et son changement de base à \(A_n\) redonne \(M_n\). D’autre part, le foncteur exact \(R\Gamma(X, -) : D_\QCoh(\mathcal{O}_X) \to D(A)\) de catégories triangulées commute aux produits, donc aux limites dérivées ; par conséquent, \[R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K) = R\lim R\Gamma(X, E \otimes^\mathbf{L} K_n) = R\lim R\Gamma(X_n, E_n \otimes^\mathbf{L} K_n) = R\lim M_n\] comme souhaité.

Lemme

Dans la Situation 0DIK, soit \(K\) comme dans le Lemme 0DIL. Alors \(K\) est pseudo-cohérent sur \(X\).

Démonstration

En combinant le Lemme 0DIM et Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CWH nous voyons que \(R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E)\) est pseudo-cohérent dans \(D(A)\) pour tout objet pseudo-cohérent \(E\) de \(D(\mathcal{O}_X)\). Il résulte donc de Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0CTT que \(K\) est pseudo-cohérent relativement à \(A\). Puisque \(X\) est plat et de présentation finie sur \(A\), cela équivaut à être pseudo-cohérent sur \(X\), voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 0DII.

Lemme

Dans la Situation 0DIK, soit \(K\) comme dans le Lemme 0DIL. Pour tout morphisme étale \(U \to X\), avec \(U\) quasi-compact et quasi-séparé, on a \[R\Gamma(U, K) \otimes_A^\mathbf{L} A_n = R\Gamma(U_n, K_n)\] dans \(D(A_n)\), où \(U_n = U \times_X X_n\).

Démonstration

Fixons \(n\). D’après Catégories dérivées des espaces, Lemme 0CRW il existe un système de complexes parfaits \(E_m\) sur \(X\) tel que \(R\Gamma(U, K) = \text{hocolim} R\Gamma(X, K \otimes^\mathbf{L} E_m)\). En fait, cette formule vaut non seulement pour \(K\), mais pour tout objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\). En l’appliquant à \(K_n\), nous obtenons \[\begin{align*} R\Gamma(U_n, K_n) & = R\Gamma(U, K_n) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X, K_n \otimes^\mathbf{L} E_m) \\ & = \text{hocolim}_m R\Gamma(X_n, K_n \otimes^\mathbf{L} E_m|_{X_n}) \end{align*}\] En utilisant le Lemme 0DIM et le fait que \(- \otimes_A^\mathbf{L} A_n\) commute aux colimites homotopiques, nous obtenons le résultat.

Théorème

Dans la Situation 0DIK, il existe un \(K\) pseudo-cohérent dans \(D(\mathcal{O}_X)\) tel que \(K_n = K \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X_n}\) pour tout \(n\), de manière compatible avec les applications \(\varphi_n\).

Démonstration

Appliquons les Lemmes 0DIL, 0DIM, 0DIN pour obtenir un objet pseudo-cohérent \(K\) de \(D(\mathcal{O}_X)\). En choisissant \(U\) affine dans le Lemme 0DIP on voit immédiatement que \(K\) se restreint en \(K_n\) sur \(X_n\).

Remarque

Le résultat de cette section peut être généralisé. Il est probablement vrai si l’on suppose seulement que \(X \to \Spec(A)\) est séparé et de présentation finie, et que \(K_n\) est pseudo-cohérent relativement à \(A_n\) et supporté par une partie fermée de \(X_n\) propre sur \(A_n\). On obtiendra alors un \(K\) pseudo-cohérent relativement à \(A\) et supporté par une partie fermée propre sur \(A\). Si cela nous est un jour nécessaire, nous formulerons ici un énoncé précis et le démontrerons.

Les morphismes quasi-séparés sont décents, voir Espaces décents, Lemme 03M5. Pour tout morphisme \(\Spec(k) \to Y\), où \(k\) est un corps, l’espace algébrique \(X_k\) est de présentation finie sur \(k\) car il est de type fini sur \(k\) et quasi-séparé d’après Espaces décents, Lemme 0BB6.↩︎
C’est par exemple le cas si \(f\) est de type fini et \(\mathcal{F}\) est pur le long de \(X_s\), ou si \(f\) est propre.↩︎
Il suffirait que \(X\) soit localement de type fini sur \(S\) et que \(\mathcal{G}\) soit de présentation finie relativement à \(S\), mais cette notion n’a pas encore été définie dans le cadre des espaces algébriques. La définition pour les schémas est donnée dans Compléments sur les morphismes, section 05GX.↩︎