대수공간 위의 평탄성

서론

이 장에서는 대수공간의 맥락에서 평탄 가군과 평탄 사상에 관한 몇 가지 고급 결과를 논한다. 먼저 스킴의 맥락에서 다룬 대응 장인 More on Flatness, Section 057N을 살펴볼 것을 독자에게 강력히 권한다. 참고문헌으로는 Raynaud와 Gruson의 논문 [GruRay]이 있다.

불순성

이 절은 More on Flatness, Section 05IW에 대응한다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 대수공간들 사이의 유한형 decent 사상이라 하자¹. 이 사상은 \(S\) 위의 사상이다. 또한 \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 마지막으로 \(y \in |Y|\)를 \(Y\)의 한 점이라 하자.

이 상황에서 스킴 \(T\), 사상 \(g : T \to Y\), 점 \(t \in T\)로서 \(g(t)=y\)인 것, 특수화 \(t' \leadsto t\) (\(T\) 안에서), 그리고 점 \(\xi \in |X_T|\)로서 \(t'\) 위에 놓이는 것을 생각하자. 여기서 \(X_T = T \times_Y X\)이다.

그림은 다음과 같다. [0CV7]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \xi \ar@{|->}[d] & \\ t' \ar@{~>}[r] & t \ar@{|->}[r] \ar[r] & y } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ X_T \ar[d]_{f_T} \ar[r] & X \ar[d]^f \\ T \ar[r]^g & Y } } \end{equation}\] 또한 \(\mathcal{F}_T\)로 \(\mathcal{F}\)의 \(X_T\)로의 당김을 나타낸다.

정의

Situation 0CV6에서 \(\mathcal{F}\)와 \(y\)에 관하여, \(\xi \in \text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\)이고 \(t \not \in f_T(\overline{\{\xi\}})\)이면 도표 (0CV7)가 위에서 말한 불순성을 정의한다고 한다. 이를 “\((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이라 하자”라고 표현한다.

달리 말하면, \((g : T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\)가 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이라는 것은 특수화 \(\xi \leadsto \theta\)로서 위상공간 \(|X_T|\) 안에 있고 \(f_T(\theta)=t\)를 만족하는 것이 존재하지 않는다는 뜻이다. decent가 아닌 대수공간에서는 특수화가 잘 거동하지 않는다. 사상 \(f\)가 decent이면 \(X_T\)는 decent 대수공간이며, 이는 위와 같은 모든 사상 \(g : T \to Y\)에 대하여 성립한다. Decent Spaces, Definition 03KZ을 보라.

보조정리

Situation 0CV6에서,

\((g : T \to S, t' \leadsto t, \xi)\)가 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이라 하자. \(T = \lim_{i \in I} T_i\)가 \(Y\) 위 아핀 스킴들의 유향 극한이라고 가정하자. 그러면 어떤 \(i\)에 대하여 삼중항 \((T_i \to Y, t'_i \leadsto t_i, \xi_i)\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이다.

증명

명제의 표기는 다음 뜻이다. \(p_i : T \to T_i\)를 사영 사상이라 하고, \(t_i=p_i(t)\) 및 \(t'_i=p_i(t')\)라 하자. 마지막으로 \(\xi_i \in |X_{T_i}|\)는 \(\xi\)의 상이다. Divisors on Spaces, Lemma 0CV2에 의해 \(\xi_i \in \text{Ass}_{X_{T_i}/T_i}(\mathcal{F}_{T_i})\)이다. 따라서 보일 것은 \(t_i \not \in f_{T_i}(\overline{\{\xi_i\}})\)가 어떤 \(i\)에 대하여 성립한다는 사실뿐이다.

\(Z_i \subset X_{T_i}\)를 \(\overline{\{\xi_i\}} \subset |X_{T_i}|\) 위의 축약 유도 스킴 구조라 하고, \(Z \subset X_T\)를 \(\overline{\{\xi\}} \subset |X_T|\) 위의 축약 유도 스킴 구조라 하자. 그러면 Limits of Spaces, Lemma 0CUK에 의해 \(Z=\lim Z_i\)이다(각 \(X_{T_i}\)가 decent이므로 이 보조정리를 적용할 수 있다). 체 \(k\)와 사상 \(\Spec(k) \to T\)를 택하되 그 상을 \(t\)라 하자. 그러면 \[\emptyset = Z \times_T \Spec(k) = (\lim Z_i) \times_{(\lim T_i)} \Spec(k) = \lim Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\] 이다. 극한은 올곱과 가환하기 때문이다(극한끼리는 가환한다). 각 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\)는 준콤팩트이다. 실제로 \(X_{T_i} \to T_i\)가 유한형이고, 따라서 \(Z_i \to T_i\)도 유한형이다. 따라서 \(Z_i \times_{T_i} \Spec(k)\)는 어떤 \(i\)에 대하여 공집합이다. Limits of Spaces, Lemma 086W를 보라. 합성 \(\Spec(k) \to T \to T_i\)의 상이 \(t_i\)이므로 원하는 결론을 얻는다.

불순성은 평탄 밑변환을 따라 올라간다.

보조정리

Situation 0CV6에서, \((Y_1, y_1) \to (Y, y)\)를 \(S\) 위의 점이 지정된 대수공간들 사이의 사상이라 하자. \(Y_1 \to Y\)가 \(y_1\)에서 평탄이라고 가정하자. \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\)가 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이면, 불순성 \((T_1 \to Y_1, t_1' \leadsto t_1, \xi_1)\)가 존재한다. 이는 \(\mathcal{F}_1\)의 불순성이며, 이 가군은 \(\mathcal{F}\)를 \(X_1=Y_1\times_YX\)로 당긴 것이고 이 불순성은 \(y_1\) 위에 있다. 또한 \(T_1\)은 \(Y_1 \times_Y T\) 위에서 에탈이다.

증명

에탈 사상 \(T_1 \to Y_1 \times_Y T\)를 택하되 \(T_1\)은 스킴이라 하자. 그리고 점 \(t_1 \in T_1\)을 택하되 \(y_1\)과 \(t\)로 가도록 하자. Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 이러한 쌍 \((T_1,t_1)\)을 찾을 수 있다. 스킴의 사상 \(T_1 \to T\)는 \(t_1\)에서 평탄하다(Morphisms of Spaces, Lemma 03MO과 대수공간의 평탄 사상의 정의를 사용한다).

따라서 특수화 \(t'_1 \leadsto t_1\)이 존재하며, 이는 \(t' \leadsto t\) 위에 놓인다. Morphisms, Lemma 03HV을 보라. 점 \(\xi_1 \in |X_{T_1}|\)을 택하자. 이 점은 \(t'_1\)과 \(\xi\)로 가며, \(\xi_1 \in \text{Ass}_{X_{T_1}/T_1}(\mathcal{F}_{T_1})\)이다.

이는 \(\Spec(\kappa(t'_1) \otimes_{\kappa(t')} \kappa(\xi))\)의 한 점을 택하는 것과 같다. Divisors on Spaces, Lemma 0CV2에 의해 그러한 선택이 가능하다. 폐포 \(Z_1\), 즉 \(\{\xi_1\}\)의 \(|X_{T_1}|\)에서의 폐포는 \(\{\xi\}\)의 \(|X_T|\)에서의 폐포 안으로 사상되므로, \(Z_1\)의 \(|T_1|\)에서의 상은 \(t_1\)을 포함할 수 없다. 따라서 \((T_1 \to Y_1, t'_1 \leadsto t_1, \xi_1)\)는 \(\mathcal{F}_1\)의

\(Y_1\) 위의 불순성이다.

보조정리

Situation 0CV6에서, \(\overline{y}\)를 \(y\) 위에 놓이는 기하적 점이라 하자. \(\mathcal{O}=\mathcal{O}_{Y,\overline{y}}\)를 \(Y\)의 에탈 국소환으로서 \(\overline{y}\)에서 취한 것이라 하자. \(Y^{sh}=\Spec(\mathcal{O})\), \(X^{sh}=X\times_YY^{sh}\)라 쓰고, \(\mathcal{F}^{sh}\)로 \(\mathcal{F}\)의 \(X^{sh}\)로의 당김을 나타내자. 다음 조건들은 동치이다.

1. 불순성 \((Y^{sh} \to Y, y' \leadsto \overline{y}, \xi)\)가 존재하며, 이는 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이다.

2. \(\text{Ass}_{X^{sh}/Y^{sh}}(\mathcal{F}^{sh})\)의 모든 점은 닫힌 올 \(X_{\overline{y}}\)의 한 점으로 특수화된다.

3. 불순성 \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재하며, 이는 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이고, \((T,t)\to(Y,y)\)가 에탈 근방이다.

4. 불순성 \((T \to Y, t' \leadsto t, \xi)\)가 존재하며, 이는 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이고, \(T \to Y\)가 \(t\)에서 준유한이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의에서 즉시 따른다.

\(\mathcal{O}=\mathcal{O}_{Y,\overline{y}}\)는 \(\mathcal{O}(V)\)들의 여과 여극한임을 상기하자. 여기서 \((V,\overline{v})\to(Y,\overline{y})\)는 에탈 근방들의 범주를 달린다 (Properties of Spaces, Lemma 04JW). 더욱이 아핀 에탈 근방 \(V\)들만 고려해도 충분하다. 따라서 \(Y^{sh}=\Spec(\mathcal{O})=\lim\Spec(\mathcal{O}(V))=\lim V\)이다. 그러므로 Lemma 0CV9에 의해 (1)은 (3)을 함의한다.

에탈 사상은 국소 준유한이므로(Morphisms of Spaces, Lemma 03XU), (3)은 (4)를 함의한다.

마지막으로 (4)를 가정하자. \(T\)를 \(t\)의 열린 근방으로 바꾸어 \(T \to Y\)가 국소 준유한이라고 가정할 수 있다. Lemma 0CVA에 의해 불순성 \((T_1 \to Y^{sh}, t_1' \leadsto t_1, \xi_1)\)을 얻으며, \(T_1 \to T \times_Y Y^{sh}\)는 에탈이다. 에탈 사상은 국소 준유한이며, Morphisms of Spaces, Lemma 03XL와 Morphisms, Lemma 01TL를 사용하면 \(T_1 \to Y^{sh}\)가 국소 준유한임을 알 수 있다. \(\mathcal{O}\)가 엄밀 헨젤이므로 More on Morphisms, Lemma 02LK를 적용할 수 있다. \(T_1\)을 \(t_1\)의 열리고 닫힌 근방으로 바꾼 뒤 \(T_1 \to Y^{sh}=\Spec(\mathcal{O})\)가 유한이라고 가정할 수 있다. \(\theta \in |X^{sh}|\)를 \(\xi_1\)의 상이라 하고, \(y' \in \Spec(\mathcal{O})\)를 \(t_1'\)의 상이라 하자. Divisors on Spaces, Lemma 0CV2에 의해 \(\theta \in \text{Ass}_{X^{sh}/Y^{sh}}(\mathcal{F}^{sh})\)이다. \(\pi : X_{T_1} \to X^{sh}\)가 유한이므로 닫힌 사상 \(|X_{T_1}| \to |X^{sh}|\)를 유도한다. 따라서 \(\overline{\{\xi_1\}}\)의 상은 \(\overline{\{\theta\}}\)이다. 그러므로 \((Y^{sh} \to Y, y' \leadsto \overline{y}, \theta)\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이며, 증명이 끝났다.

상대 순수 가군

이 절은 More on Flatness, Section 05BB에 대응한다.

정의

Situation 0CV6에서 다음과 같이 정의한다.

1. Lemma 0CVB의 동치 조건 가운데 어느 것도 성립하지 않으면 \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 순수하다고 한다.

2. \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 보편적으로 순수하다고 하는 것은 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이 전혀 존재하지 않는다는 뜻이다.

3. \(X\)가 \(y\) 위에서 순수하다고 하는 것은 \(\mathcal{O}_X\)가 \(y\) 위에서 순수하다는 뜻이다.

4. \(\mathcal{F}\)가 보편적으로 \(Y\)-순수하다, 또는 \(Y\)에 대해 보편적으로 순수하다고 하는 것은 \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 보편적으로 순수하고 이것이 모든 \(y \in |Y|\)에 대하여 성립한다는 뜻이다.

5. \(\mathcal{F}\)가 \(Y\)-순수하다, 또는 \(Y\)에 대해 순수하다고 하는 것은 \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 순수하고 이것이 모든 \(y \in |Y|\)에 대하여 성립한다는 뜻이다.

6. \(X\)가 \(Y\)-순수하다, 또는 \(Y\)에 대해 순수하다고 하는 것은 \(\mathcal{O}_X\)가 \(Y\)에 대해 순수하다는 뜻이다.

필수적인 보조정리들은 다음과 같다.

보조정리

Situation 0CV6에서 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 보편적으로 순수하다.

2. 점이 지정된 대수공간들의 모든 사상 \((Y',y')\to(Y,y)\)에 대하여 당김 \(\mathcal{F}_{Y'}\)가 \(y'\) 위에서 순수하다.

특히 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\)에 대해 보편적으로 순수할 필요충분조건은 모든 밑변환 \(\mathcal{F}_{Y'}\), 즉 \(\mathcal{F}\)에서 얻는 것이 \(Y'\)에 대해 순수한 것이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

Situation 0CV6에서, \((Y',y')\to(Y,y)\)를 점이 지정된 대수공간들의 사상이라 하자. \(Y'\to Y\)가 \(y'\)에서 준유한이고 \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 순수하면, \(\mathcal{F}_{Y'}\)는 \(y'\) 위에서 순수하다.

증명

\((T\to Y',t'\leadsto t,\xi)\)가 \(\mathcal{F}_{Y'}\)의 \(y'\) 위 불순성이고 \(T\to Y'\)가 \(t\)에서 준유한이면,

\((T\to Y,t'\to t,\xi)\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이며 \(T\to Y\)는 \(t\)에서 준유한이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03XK를 보라. 따라서 순수성의 정의에서 곧바로 결론이 따른다.

순수성은 평탄 하강을 만족한다.

보조정리

Situation 0CV6에서, \((Y_1,y_1)\to(Y,y)\)를 점이 지정된 대수공간들의 사상이라 하자. \(Y_1\to Y\)가 \(y_1\)에서 평탄이라고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_{Y_1}\)이 \(y_1\) 위에서 순수하면, \(\mathcal{F}\)는 \(y\) 위에서 순수하다.

2. \(\mathcal{F}_{Y_1}\)이 \(y_1\) 위에서 보편적으로 순수하면, \(\mathcal{F}\)는 \(y\) 위에서 보편적으로 순수하다.

증명

불순성이 평탄 밑변환을 따라 올라가기 때문에 참이다. Lemma 0CVA를 보라. 예를 들어 (1)의 경우,

임의의 불순성 \((T\to Y,t'\leadsto t,\xi)\), 즉 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성으로서 \(T\to Y\)가 \(t\)에서 준유한인 것은 위 보조정리에 의해 불순성 \((T_1\to Y_1,t_1'\leadsto t_1,\xi_1)\)을 낳는다. 이는 \(\mathcal{F}_1\)의 불순성이며, 이 가군은 \(\mathcal{F}\)를 \(X_1=Y_1\times_YX\)로 당긴 것이고 그 불순성은 \(y_1\) 위에 있다. 또한 \(T_1\)은 \(Y_1\times_YT\) 위에서 에탈이다. 에탈 사상은 국소 준유한이고 국소 준유한 사상들의 합성은 국소 준유한이므로 \(T_1\to Y_1\)은 \(t_1\)에서 준유한이다 (Morphisms of Spaces, Lemmas 03XU and 03XK). (2)도 마찬가지이다.

보조정리

Situation 0CV6에서, \(i : Z \to X\)를 폐몰입이라 하고, \(\mathcal{F}=i_*\mathcal{G}\)라고 가정하자. 여기서 \(\mathcal{G}\)는 \(Z\) 위의 어떤 유한형 준연접 층이다. 그러면 \(\mathcal{G}\)가 \(y\) 위에서 (보편적으로) 순수할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 (보편적으로) 순수한 것이다.

증명

Divisors on Spaces, Lemma 0CV4에서 따른다.

보조정리

Situation 0CV6에서 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{F}\)의 지지가 \(Y\) 위에서 proper이면, \(\mathcal{F}\)는 \(Y\)에 대해 보편적으로 순수하다.

2. \(f\)가 proper이면 \(\mathcal{F}\)는 \(Y\)에 대해 보편적으로 순수하다.

3. \(f\)가 proper이면 \(X\)는 \(Y\)에 대해 보편적으로 순수하다.

증명

먼저 (1)을 (2)로 환원한다. 즉, \(Z\subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자(Morphisms of Spaces, Definition 07U1). \(i:Z\to X\)를 대응하는 폐몰입이라 하고, \(\mathcal{F}=i_*\mathcal{G}\)라고 쓰자. 여기서 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)는 유한형이고 준연접이다. (1)의 경우에는 가정에 의해 \(Z\to Y\)가 proper이다. 따라서 Lemma 0CVH에 의해 (1)은 (2)로 환원된다.

\(f\)가 proper이라고 가정하자. \((g:T\to Y,t'\leadsto t,\xi)\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이라 하자. \(f\)가 proper이므로 보편적으로 닫혀 있다. 따라서 \(f_T:X_T\to T\)는 닫힌 사상이다. \(f_T(\xi)=t'\)이므로 이는

\(t\in f(\overline{\{\xi\}})\)를 함의하지만, 이는 모순이다.

평탄 유한형 가군

More on Flatness, Sections 05I2, 05IF, and 05U8와 비교하라.

이 결과들의 대부분은 에탈 국소화를 통해 대수공간에 대한 즉각적인 귀결을 준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y\in|Y|\)를 한 점이라 하자. 에탈 사상 \((Y',y')\to(Y,y)\)가 존재하되 \(Y'\)은 아핀 스킴이고, 에탈 사상들 \(h_i:W_i\to X_{Y'}\), \(i=1,\ldots,n\)이 존재하여, 각 \(i\)에 대하여 \(\mathcal{F}_i/W_i/Y'\)의 완전한 dévissage가 \(y'\) 위에서 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}_i\)는 \(\mathcal{F}\)를 \(W_i\)로 당긴 것이며 \(|(X_{Y'})_{y'}|\subset\bigcup h_i(W_i)\)이다.

증명

문제는 \(Y\) 위에서 에탈 국소적이므로 \(Y\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(X\)는 준콤팩트이므로 아핀 스킴 \(X'\)과 전사 에탈 사상 \(X'\to X\)를 택할 수 있다. 이제 More on Flatness, Lemma 05HU을 \(X'\to Y\), \((X'\to Y)^*\mathcal{F}\), 그리고 \(y\)에 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상으로서 국소 유한형인 것이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y\in|Y|\)라 하고 \(F=f^{-1}(\{y\})\subset|X|\)라 하자. 그러면 집합 \[\{x \in F \mid \mathcal{F} \text{ flat over }Y\text{ at }x\}\] 은 \(F\)에서 열린집합이다.

증명

스킴 \(V\), 점 \(v\in V\), 그리고 에탈 사상 \(V\to Y\)를 택하되 \(v\)를 \(y\)로 보내도록 하자. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U\to V\times_YX\)를 택하자. \(|U_v|\to F\)는 위상공간들의 열린 연속 사상이다. 실제로 \(|U|\to|X|\)는 연속이고 열린 사상이다. 따라서 스킴의 경우인 More on Flatness, Lemma 05M9에서 결과가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 국소 유한형 사상이라 하자. \(x\in|X|\)의 상을 \(y\in|Y|\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 유한형 준연접 층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 준연접 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(Y\) 위로 평탄이면 \[x \in \text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \Leftrightarrow y \in \text{WeakAss}_Y(\mathcal{G}) \text{ and } x \in \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}).\]

증명

가환 도표 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_g & V \ar[d] \\ X \ar[r]^f & Y }\] 를 택하되, \(U\)와 \(V\)는 스킴이고 수직 화살표들은 전사 에탈 사상이라 하자. \(u\in U\)를 택하되 \(x\)로 가도록 하자. \(\mathcal{E}=\mathcal{F}|_U\) 및 \(\mathcal{H}=\mathcal{G}|_V\)라 하자. \(v\in V\)를 \(u\)의 상이라 하자. 그러면 \(x\in\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\)일 필요충분조건은

\(u\in\text{WeakAss}_X(\mathcal{E}\otimes_{\mathcal{O}_X} g^*\mathcal{H})\)인 것이다. 이는 Divisors on Spaces, Definition 0CTX에서 따른다. 마찬가지로 \(y\in\text{WeakAss}_Y(\mathcal{G})\)일 필요충분조건은 \(v\in\text{WeakAss}_V(\mathcal{H})\)인 것이다. 마지막으로 Divisors on Spaces, Definition 0CV0에 의해 \(x\in\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)일 필요충분조건은 \(u\in\text{Ass}_{U_v}(\mathcal{E}|_{U_v})\)인 것이다. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 평탄한 것과 \(\mathcal{E}\)가 \(u\)에서 평탄한 것은 동치이다. Morphisms of Spaces, Definition 05VV을 보라. \(g:U\to V\), \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{H}\), \(u\), \(v\)에 대한 동치는 More on Flatness, Lemma 05IH이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 국소 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 유한형 준연접 층으로서 \(Y\) 위에서 평탄한 것이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 준연접 층이라 하자. 그러면 \[\text{WeakAss}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) = \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F}) \cap |f|^{-1}(\text{WeakAss}_Y(\mathcal{G}))\] 이다.

증명

Lemma 0CVK의 즉각적인 귀결이다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\to Y\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(Y\)의 약한 연관점들의 집합은 \(Y\)에서 국소 유한이다.

그러면 \(U=\{x\in|X|:\mathcal{F}\text{ flat at }x\text{ over }Y\}\)는 \(X\)에서 열려 있고, \(\mathcal{F}|_U\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_U\)-가군이며 \(Y\) 위에서 평탄하다.

증명

조건 (3)은 다음을 뜻한다. \(V\to Y\)가 전사 에탈 사상이고 \(V\)가 스킴이면, \(V\)의 약한 연관점들은 스킴 \(V\)에서 국소 유한이다. (\(V\)의 약한 연관점들은 Divisors on Spaces, Definition 0CTX에 의해 \(Y\)의 약한 연관점들의 역상과 정확히 같다.) 이제 문제는 \(X\)와 \(Y\) 위에서 에탈 국소적이므로 \(X\)와 \(Y\)가 스킴이라고 가정할 수 있다. 따라서 More on Flatness, Theorem 05IK에서 결과가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접 층이라 하자. \(y\in|Y|\)라 하고 \(F=f^{-1}(\{y\})\subset|X|\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 모든 \(x\in F\)에서 평탄하다.

그러면 에탈 사상 \((Y',y')\to(Y,y)\)가 존재하되 \(Y'\)은 스킴이고, 대수공간들의 가환 도표 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & \Spec(\mathcal{O}_{Y', y'}) \ar[l] }\] 가 존재하여, \(X'\to X\times_Y\Spec(\mathcal{O}_{Y',y'})\)는 에탈이고, \(|X'_{y'}|\to F\)는 전사이며, \(X'\)은 아핀이고, \(\Gamma(X',g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(\mathcal{O}_{Y',y'}\)-가군이다.

증명

에탈 사상 \((Y',y')\to(Y,y)\)를 택하되 \(Y'\)은 아핀 스킴이라 하자. 그러면 \(X\times_YY'\)은 준콤팩트이다. 아핀 스킴 \(X'\)과 전사 에탈 사상 \(X'\to X\times_YY'\)을 택하자.

도표는 다음과 같다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l] }\] 그러면 \(\mathcal{F}'=g^*\mathcal{F}\)는 \(Y'\) 위에서 \(X'_{y'}\)의 모든 점에서 평탄하다. Morphisms of Spaces, Lemma 05VW을 보라. 따라서 스킴의 경우에 대한 보조정리(More on Flatness, Lemma 05L1)를 사상 \(X'\to Y'\), 준연접 층 \(g^*\mathcal{F}\), 그리고 점 \(y'\)에 적용할 수 있다. 이로부터 에탈 사상 \((Y'',y'')\to(Y',y')\)와 가환 도표 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] & X'' \ar[l]^{g'} \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l] & \Spec(\mathcal{O}_{Y'', y''}) \ar[l] }\] 를 얻는다. 원하는 결론을 위해 \((Y'',y'')\to(Y,y)\)와 \(g\circ g':X''\to X\)를 취하면 된다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 국소 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x\in|X|\)의 상을 \(y\in|Y|\)라 하자. \(F=f^{-1}(\{y\})\subset|X|\)라 하고 다음 조건들을 생각하자.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(Y\) 위로 평탄하다.

2. 모든 \(x'\in F\cap\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)로서 \(x\)로 특수화되는 것에 대하여 \(\mathcal{F}\)는 \(x'\)에서 \(Y\) 위로 평탄하다.

항상 (2) \(\Rightarrow\) (1)이다. \(X\)와 \(Y\)가 decent이면 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다.

증명

(2)를 가정하자. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V\to Y\)를 택하자. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U\to V\times_YX\)를 택하자. \(u\in U\)를 택하되 \(x\)로 가도록 하자. \(v\in V\)를 \(u\)의 상이라 하자. \(\mathcal{F}|_U=(U\to X)^*\mathcal{F}\)와 점 \(u\)에 대한 대응 결과로부터 결론을 얻을 것이다.

\(U_v\). \(\text{Ass}_{U/V}(\mathcal{F}|_U)\cap|U_v|\)는 \(\text{Ass}_{U_v}(\mathcal{F}|_{U_v})\)와 같고, \(F\cap\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)의 역상과도 같으므로 이 환원이 가능하다. 사상 \(|U_v|\to F\)가 연속이므로 \(|U_v|\) 안의 특수화들은 \(F\) 안의 특수화들로 사상된다. 따라서 조건 (2)는 \(U\to V\), \(\mathcal{F}|_U\), 그리고 점 \(u\)에 의해 상속된다. 이제 More on Flatness, Theorem 05UA을 적용하여 (1)을 얻는다.

\(Y\)가 decent이면 정의에 의해 \(y\)를 준콤팩트 단사 사상 \(\Spec(k)\to Y\)로 나타낼 수 있다. Decent Spaces, Definition 03I8을 보라. 그러면 \(F=|X_k|\)이다. Decent Spaces, Lemma 0AC8를 보라. 추가로 \(X\)가 decent이면(더 일반적으로 \(f\)가 decent이면, Decent Spaces, Definition 03KZ과 Decent Spaces, Lemma 0ABX를 보라), \(X_y\)도 decent 공간이다. 더욱이 \(F\) 안의 특수화들은 \(U_v\to X_y\) 안의 특수화들로 올릴 수 있다. Decent Spaces, Lemma 03IL을 보라. 이제 스킴의 경우에 역함의가 성립하므로 여기서도 성립함이 분명하다.

보조정리

\(S\)를 닫힌점 \(s\)를 갖는 국소 스킴이라 하자. \(f:X\to S\)를 대수공간 \(X\)에서 \(S\)로 가는 국소 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 모든 점은 닫힌 올 \(X_s\)의 한 점으로 특수화된다².

2. \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 \(X_s\)의 모든 점에서 평탄하다.

그러면 \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

증명

Theorem 0CWL에 의해 \(\mathcal{F}\)의 \(S\) 위 상대 assassin의 점들에서 평탄성을 확인하면 충분하다는 사실에서 즉시 따른다.

평탄 유한 표시 가군

이 절은 More on Flatness, Section 05I9에 대응한다.

명제

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접 층이라 하자. \(x\in|X|\)의 상을 \(y\in|Y|\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(Y\) 위로 평탄하다.

그러면 점이 지정된 스킴들의 가환 도표 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (Y, y) & (Y', y') \ar[l] }\] 가 존재하며, 수평 화살표들은 에탈이고 \(X'\), \(Y'\)은 아핀이며 \(\Gamma(X',g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(Y',\mathcal{O}_{Y'})\)-가군이다.

증명

이와 같이 서술하면 명제는 스킴의 경우로 즉시 환원되며, 그 경우는 More on Flatness, Proposition 05ID이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접 층이라 하자. \(y\in|Y|\)라 하고 \(F=f^{-1}(\{y\})\subset|X|\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 모든 \(x\in F\)에서 평탄하다.

그러면 대수공간들의 가환 도표 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ Y & Y' \ar[l]_h }\] 가 존재하며, \(h\)와 \(g\)는 에탈이고, 점 \(y'\in|Y'|\)가 존재하여 \(y\)로 가며, \(F\subset g(|X'|)\)이고, 대수공간 \(X'\), \(Y'\)은 아핀이며, \(\Gamma(X',g^*\mathcal{F})\)는 사영 \(\Gamma(Y',\mathcal{O}_{Y'})\)-가군이다.

증명

이와 같이 서술하면 보조정리는 스킴의 경우로 즉시 환원되며, 그 경우는 More on Flatness, Lemma 05KW이다.

순수성의 한 판정법

이 절은 More on Flatness, Section 05L2에 대응한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위 국소 유한형 decent 대수공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

\(s\in S\)이고 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 \(X_s\)의 모든 점에서 평탄이라고 하자. \(x'\in\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라 하자. \(\{x'\}\)의 \(|X|\) 안에서의 폐포가 \(|X_s|\)와 만나면, 이 폐포는 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\cap|X_s|\)와도 만난다.

증명

\(|X_s|\subset|X|\)는 \(|X|\)의 점들 가운데

\(s\in S\) 위에 놓이는 것들의 집합이다. Decent Spaces, Lemma 0AC8를 보라. \(t\in|X_s|\)를 \(x'\)의 \(|X|\) 안 특수화라 하자. 아핀 스킴 \(U\), 점 \(u\in U\), 그리고 에탈 사상 \(\varphi:U\to X\)를 택하되 \(u\)를 \(t\)로 보내도록 하자. Decent Spaces, Lemma 03IL에 의해 특수화 \(u'\leadsto u\)를 택하되 \(u'\)가 \(x'\)로 가도록 할 수 있다.

\(g=f\circ\varphi\)라 하자. \(s'=g(u')=f(x')\)가 \(s\)로 특수화됨을 관찰하라. \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)의 정의에 의해 \(u'\in\text{Ass}_{U/S}(\varphi^*\mathcal{F})\)이다. 이 보조정리의 스킴 버전인 More on Flatness, Lemma 05L3에 의해 특수화 \(u'\leadsto u\)가 존재하며, 이에 대하여 \(u\in\text{Ass}_{U_s}(\varphi^*\mathcal{F}_s) =\text{Ass}_{U/S}(\varphi^*\mathcal{F})\cap U_s\)이다. 따라서 \(x=\varphi(u)\in\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)는 \(s\) 위에 놓이며, 증명이 끝났다.

보조정리

\(Y\)를 스킴 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(g:X'\to X\)를 \(Y\) 위 대수공간들의 사상이라 하고, \(X\)는 \(Y\) 위 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\subset g(|X'|)\)이면, 임의의 사상 \(Z\to Y\)에 대하여 \(\text{Ass}_{X_Z/Z}(\mathcal{F}_Z)\subset g_Z(|X'_Z|)\)이다.

증명

Properties of Spaces, Lemma 03H4에 의해 사상 \(|X'_Z|\to|X_Z|\times_{|X|}|X'|\)은 전사이다. 실제로 \(X'_Z\)는 \(X_Z\times_XX'\)와 같다. Divisors on Spaces, Lemma 0CV2에 의해 사상 \(|X_Z|\to|X|\)는 \(\text{Ass}_{X_Z/Z}(\mathcal{F}_Z)\)를 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\) 안으로 보낸다. 따라서 결론이 따른다.

보조정리

\(Y\)를 스킴 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(g:X'\to X\)를 \(Y\) 위 대수공간들의 에탈 사상이라 하자. 구조 사상 \(X'\to Y\)와 \(X\to Y\)가 decent이고 유한형이라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y\in|Y|\)라 하고,

\(F=f^{-1}(\{y\})\subset|X|\)라 하자.

1. \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\subset g(|X'|)\)이고 \(g^*\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 (보편적으로) 순수하면, \(\mathcal{F}\)는 \(y\) 위에서 (보편적으로) 순수하다.

2. \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 순수하고, \(g(|X'|)\)가 \(F\)를 포함하며, \(Y\)가 닫힌점 \(y\)를 갖는 아핀 국소 스킴이면 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\subset g(|X'|)\)이다.

3. \(\mathcal{F}\)가 \(y\) 위에서 순수하고, \(\mathcal{F}\)가 \(F\)의 모든 점에서 평탄하며, \(g(|X'|)\)가 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\cap F\)를 포함하고, \(Y\)가 닫힌점 \(y\)를 갖는 아핀 국소 스킴이면 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\subset g(|X'|)\)이다.

4. 여기에 더 추가하라.

증명

\(X\to Y\)와 \(X'\to Y\)에 대한 가정은 Sections 0CV5 and 0CVC의 내용을 이 사상들과 층 \(\mathcal{F}\) 및 \(g^*\mathcal{F}\)에 적용할 수 있음을 보장한다. \(g\)가 에탈이므로 \(\text{Ass}_{X'/Y}(g^*\mathcal{F})\)는 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)의 역상이며, 밑변환 뒤에도 같은 사실이 성립한다.

(1)을 증명하자. \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\subset g(|X'|)\)라고 가정하자. \((T\to Y,t'\leadsto t,\xi)\)가 \(\mathcal{F}\)의 \(y\) 위 불순성이라고 하자. Lemma 0CW2에 의해 \(\text{Ass}_{X_T/T}(\mathcal{F}_T)\subset g_T(|X'_T|)\)이므로, 점 \(\xi'\in|X'_T|\)을 택하여 \(\xi\)로 가게 할 수 있다. 위의 사실에 의해 \((T\to Y,t'\leadsto t,\xi')\)는 \(g^*\mathcal{F}\)의

\(y'\) 위 불순성이다. 이로써 (1)이 성립한다.

(2)를 증명하자. \(g(|X'|)\)가 \(|X|\)에서 열려 있고, 순수성에 의해 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)의 모든 점이 \(F\)의 한 점으로 특수화된다는 사실에서 따른다.

(3)을 증명하자. \(g(|X'|)\)가 \(|X|\)에서 열려 있고, 순수성과 Lemma 0CW1에 의해 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)의 모든 점이 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\cap F\)의 한 점으로 특수화된다는 사실에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y\in|Y|\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 decent이고 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(y\) 위에 놓이는 모든 점에서 평탄하다.

4. \(\mathcal{F}\)는 \(y\) 위에서 순수하다.

그러면 \(\mathcal{F}\)는 \(y\) 위에서 보편적으로 순수하다.

증명

사상 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y,\overline{y}})\to Y\)를 생각하자. 이는 엄밀 헨젤 국소환의 스펙트럼에서 오는 평탄 사상이며 닫힌점을 \(y\)로 보낸다. Lemma 0CVG에 의해 다음 문단에서 서술하는 경우로 환원된다.

\(Y\)가 엄밀 헨젤 국소환 \(R\)의 스펙트럼이며 닫힌점이 \(y\)라고 가정하자. Lemma 0CVW에 의해 에탈 사상 \(g:X'\to X\)가 존재하며, \(g(|X'|)\supset|X_y|\)이고 \(X'\)은 아핀이며 \(\Gamma(X',g^*\mathcal{F})\)는 자유 \(R\)-가군이다. 그러면 \(g^*\mathcal{F}\)는 \(Y\)에 대해 보편적으로 순수하다. More on Flatness, Lemma 05K6를 보라. 따라서 Lemma 0CW3의 (1)에 의해 \(g(|X'|)\)가 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)를 포함함을 보이면 충분하다. 이는 다시 Lemma 0CW3의 (2)에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 decent 유한형 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 평탄하다고 가정하자. 이 경우 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\)에 대해 순수할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\)에 대해 보편적으로 순수한 것이다.

증명

Lemma 0CW4와 정의들의 즉각적인 귀결이다.

보조정리

\(Y\)를 스킴 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(g:X'\to X\)를 \(Y\) 위 대수공간들의 평탄 사상이라 하고, \(X\)는 \(Y\) 위 국소 유한형이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 \(Y\) 위에서 평탄한 것이라 하자. \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\subset g(|X'|)\)이면 정준 사상 \[\mathcal{F} \longrightarrow g_*g^*\mathcal{F}\] 은 단사이고, 임의의 밑변환 뒤에도 단사로 남는다.

증명

마지막 주장은 \(\mathcal{F}_Z\to(g_Z)_*g_Z^*\mathcal{F}_Z\)가 임의의 사상 \(Z\to Y\)에 대하여 단사라는 뜻이다. 상대 assassin에 대한 가정은 밑변환으로 보존되므로(Lemma 0CW2), 표시된 화살표의 단사성만 증명하면 충분하다.

\(\mathcal{K}=\Ker(\mathcal{F}\to g_*g^*\mathcal{F})\)라 하자. 목표는 \(\mathcal{K}=0\)을 증명하는 것이다. 이를 위해 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K})=\emptyset\)임을 보이면 충분하다. Divisors on Spaces, Lemma 0CU0를 보라. Divisors on Spaces, Lemma 0CTZ에 의해 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{K})\subset \text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\)이다. \(\mathcal{F}\)가 평탄하므로 Lemma 0CVL에서 \(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F})\subset \text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)를 얻는다. 가정에 의해 임의의 점 \(x\)로서 \(\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)에 속하는 것은 어떤 \(x'\in|X'|\)의 상이다. \(g\)가 평탄이므로 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{X,\overline{x}}\to \mathcal{O}_{X',\overline{x}'}\)은 충실히 평탄하다. 따라서 사상 \[\mathcal{F}_{\overline{x}} \longrightarrow (g^*\mathcal{F})_{\overline{x}'} = \mathcal{F}_{\overline{x}} \otimes_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}} \mathcal{O}_{X', \overline{x}'}\] 은 단사이다(Algebra, Lemma 05CK를 보라). 표시된 화살표가 \(\mathcal{F}_{\overline{x}}\to (g_*g^*\mathcal{F})_{\overline{x}}\)를 통해 분해되므로 \(\mathcal{K}_{\overline{x}}=0\)이다. 따라서 \(x\)는 \(\mathcal{K}\)의 약한 연관점일 수 없으며, 결론을 얻는다.

평탄화 함자

이 절은 More on Flatness, Section 05MG에 대응한다. 처음 읽을 때에는 이 절을 건너뛸 것을 독자에게 권한다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to B\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(u:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 준동형이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 주어지면 \(u_T:\mathcal{F}_T\to\mathcal{G}_T\)로 \(u\)의 \(T\)로의 밑변환을 나타내겠다. 다시 말해 \(u_T\)는 \(u\)의 당김으로서 사영 사상 \(X_T=X\times_BT\to X\)를 통해 얻어진 것이다. 이 상황에서는 함자 [083G]\[\begin{equation} F_{iso} : (\Sch/B)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{만일 }u_T\text{가 동형이면}, \\ \emptyset & \text{그렇지 않으면} \end{matrix} \right. \end{equation}\] 를 생각할 수 있다. 변형 \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\)도 있으며, 여기서는 \(u_T\)가 각각 단사, 전사, 또는 영이기를 요구한다.

Situation 083F에서 때로는 함자 \(F_{iso}\), \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\)를 함자 \((\Sch/S)^{opp}\to\textit{Sets}\)로 생각하고, 각각 사상 \(F_{iso}\to B\), \(F_{inj}\to B\), \(F_{surj}\to B\), \(F_{zero}\to B\)를 갖추었다고 본다. 즉, \(T\)가 \(S\) 위의 스킴이면 원소 \(h\in F_{iso}(T)\)는 사상 \(h:T\to B\)로서 \(u\)를 \(h\)를 통해 밑변환한 것이 동형인 것이다. 특히 \(F_{iso}\)가 대수공간이라고 말할 때에는 대응하는 함자 \((\Sch/S)^{opp}\to\textit{Sets}\)가 대수공간이라는 뜻이다.

보조정리

Situation 083F에서 함자 \(F_{iso}\), \(F_{inj}\), \(F_{surj}\), \(F_{zero}\) 각각은 fpqc 위상에 대한 층 조건을 만족한다.

증명

\(\{T_i\to T\}_{i\in I}\)를 \(B\) 위 스킴들의 fpqc 덮개라 하자.

\(X_i=X_{T_i}=X\times_ST_i\) 및 \(u_i=u_{T_i}\)라 하자. \(\{X_i\to X_T\}_{i\in I}\)는 \(X_T\)의 fpqc 덮개이다. Topologies on Spaces, Lemma 03MR를 보라. 특히 모든 \(x\in|X_T|\)에 대하여 어떤 \(i\in I\)와 어떤 \(x_i\in|X_i|\)가 존재하며, 후자는 \(x\)로 간다.

사상 \(\mathcal{O}_{X_T,\overline{x}}\to \mathcal{O}_{X_i,\overline{x_i}}\)은 평탄하고, 따라서 충실히 평탄이다(Morphisms of Spaces, Section 03MK을 보라). 그러므로 \((u_i)_{x_i}\)가 단사, 전사, 전단사, 또는 영일 필요충분조건은 \((u_T)_x\)가 각각 그러한 것이다. 따라서 보조정리가 따른다.

보조정리

Situation 083F에서 \(X'\to X\)를 대수공간들의 평탄 사상이라 하자. \(u':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)로 \(u\)의 \(X'\)로의 당김을 나타내자. \(F'_{iso}\), \(F'_{inj}\), \(F'_{surj}\), \(F'_{zero}\)로 \(\Sch/B\) 위의 함자들 가운데 \(u'\)에 결부된 것들을 나타내자.

1. \(\mathcal{G}\)가 유한형이고 \(|X'|\to|X|\)의 상이 \(\mathcal{G}\)의 지지를 포함하면 \(F_{surj}=F'_{surj}\)이고 \(F_{zero}=F'_{zero}\)이다.

2. \(\mathcal{F}\)가 유한형이고 \(|X'|\to|X|\)의 상이 \(\mathcal{F}\)의 지지를 포함하면 \(F_{inj}=F'_{inj}\)이고 \(F_{zero}=F'_{zero}\)이다.

3. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 유한형이고 \(|X'|\to|X|\)의 상이 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 지지들을 포함하면 \(F_{iso}=F'_{iso}\)이다.

증명

\(v:\mathcal{H}\to\mathcal{E}\)를 대수공간 \(Y\) 위 준연접 가군들의 사상이라 하고, \(\varphi:Y'\to Y\)를 대수공간들의 전사 평탄 사상이라 하자. 그러면 \(v\)가 동형, 단사, 전사, 또는 영일 필요충분조건은 \(\varphi^*v\)가 각각 그러한 것이다. 실제로 모든 \(y\in|Y|\)에 대하여 어떤 \(y'\in|Y'|\)가 존재하며 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{Y,\overline{y}}\to \mathcal{O}_{Y',\overline{y'}}\)은 충실히 평탄이다 (Morphisms of Spaces, Section 03MK을 보라). 물론 단사성이나 영 사상 여부를 확인하려면 \(\mathcal{H}\)의 지지 안의 점들만 보면 충분하고, 전사성을 확인하려면 \(\mathcal{E}\)의 지지 안의 점들만 보면 충분하다. 더욱이 보조정리의 명제와 같은 유한형 가정 아래에서는 지지를 취하는 것이 밑변환과 가환한다. Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ을 보라. 따라서 보조정리는 명백하다.

유한형 준연접 가군의 스킴론적 지지는 Morphisms of Spaces, Definition 07U1에서 정의했음을 상기하자.

보조정리

Situation 083F에서 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{G}\)가 유한형이고 \(\mathcal{G}\)의 스킴론적 지지가 \(B\) 위에서 준콤팩트이면 \(F_{surj}\)는 극한을 보존한다.

2. \(\mathcal{F}\)가 유한형이고 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지가 \(B\) 위에서 준콤팩트이면 \(F_{zero}\)는 극한을 보존한다.

3. \(\mathcal{F}\)가 유한형이고 \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이며, \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 스킴론적 지지들이 \(B\) 위에서 준콤팩트이면 \(F_{iso}\)는 극한을 보존한다.

증명

(1)을 증명하자. \(i:Z\to X\)를 \(\mathcal{G}\)의 스킴론적 지지라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(Z\) 위의 유한형 준연접 가군으로 생각하자. \(X\)를 \(Z\)로 바꾸고 \(u\)를 사상 \(i^*\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)로 바꿀 수 있다(세부사항은 생략한다). 따라서 \(f\)가 준콤팩트이고 \(\mathcal{G}\)가 유한형이라고 가정할 수 있다. \(T=\lim_{i\in I}T_i\)를 아핀 \(B\)-스킴들의 유향 극한이라 하고 \(u_T\)가 전사라고 가정하자.

\(X_i=X_{T_i}=X\times_ST_i\) 및 \(u_i=u_{T_i}:\mathcal{F}_i=\mathcal{F}_{T_i} \to\mathcal{G}_i=\mathcal{G}_{T_i}\)라 하자. (1)을 증명하려면 \(u_i\)가 전사인 어떤 \(i\)가 있음을 보여야 한다. \(0\in I\)를 택하고 \(I\)를 \(\{i\mid i\geq0\}\)로 바꾸자. \(f\)가 준콤팩트이므로 \(X_0\)는 준콤팩트이다. 따라서 전사 에탈 사상 \(\varphi_0:W_0\to X_0\)를 택하되 \(W_0\)가 아핀 스킴이 되게 할 수 있다. \(W=W_0\times_{T_0}T\) 및 \(W_i=W_0\times_{T_0}T_i\) (\(i\geq0\))라 하자. 이들은 아핀 스킴이고,

전사 에탈 사상들 \(\varphi:W\to X_T\)와 \(\varphi_i:W_i\to X_i\)를 갖는다. \(W=\lim W_i\)임을 주목하라. 따라서 \(\varphi^*u_T\)는 전사이고, \(\varphi_i^*u_i\)가 전사인 어떤 \(i\)가 있음을 증명하면 충분하다. 이로써 문제는 아핀의 경우인 Algebra, Lemma 05LI의 (2)로 환원되었다.

(2)를 증명하자. \(\mathcal{F}\)가 유한형이고 스킴론적 지지

\(Z\subset B\)가 \(B\) 위에서 준콤팩트라고 가정하자. \(T=\lim_{i\in I}T_i\)를 아핀 \(B\)-스킴들의 유향 극한이라 하고 \(u_T\)가 영이라고 가정하자. \(X_i=T_i\times_BX\)라 하고 \(u_i:\mathcal{F}_i\to\mathcal{G}_i\)로 당김을 나타내자. \(0\in I\)를 택하고 \(I\)를 \(\{i\mid i\geq0\}\)로 바꾸자. \(Z_0=Z\times_XX_0\)라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 07TZ에 의해

\(\mathcal{F}_i\)의 지지는 \(|Z_0|\)이다. \(|Z_0|\)가 준콤팩트이므로 아핀 스킴 \(W_0\)와 에탈 사상 \(W_0\to X_0\)를 찾아 \(|Z_0|\subset\Im(|W_0|\to|X_0|)\)이 되게 할 수 있다. \(W=W_0\times_{T_0}T\) 및 \(W_i=W_0\times_{T_0}T_i\) (\(i\geq0\))라 하자. 이들은 아핀 스킴이고 에탈 사상 \(\varphi:W\to X_T\) 및 \(\varphi_i:W_i\to X_i\)를 갖는다. \(W=\lim W_i\)이고, \(\mathcal{F}_T\) 및 \(\mathcal{F}_i\)의 지지는 각각 \(|W|\to|X_T|\) 및 \(|W_i|\to|X_i|\)의 상 안에 들어 있음을 주목하라.

이제 \(\varphi^*u_T\)는 단사이고, \(\varphi_i^*u_i\)가 단사인 어떤 \(i\)가 있음을 증명하면 충분하다. 이로써 문제는 아핀의 경우인 Algebra, Lemma 05LI의 (1)로 환원되었다.

(3)을 증명하자. 앞의 두 문단과 완전히 같은 방법으로 Algebra, Lemma 05LI의 (3)을 사용하여 증명할 수 있다. 다음과 같이 (1)과 (2)에서 이를 도출할 수도 있다. \(T=\lim_{i\in I}T_i\)를 아핀 \(B\)-스킴들의 유향 극한이라 하고 \(u_T\)가 동형이라고 가정하자. (1)에 의해 어떤 \(0\in I\)가 존재하여 \(u_{T_0}\)가 전사이다. \(\mathcal{K}=\Ker(u_{T_0})\)라 하고 준연접 가군들의 사상 \(v:\mathcal{K}\to\mathcal{F}_{T_0}\)를 생각하자. \(i\geq0\)일 때, 밑변환 \(v_{T_i}\)가 영일 필요충분조건은 \(u_i\)가 동형인 것이다. 더욱이 \(v_T\)는 영이다. \(\mathcal{G}_{T_0}\)가 유한 표시이고, \(\mathcal{F}_{T_0}\)가 유한형이며 \(u_{T_0}\)가 전사이므로 \(\mathcal{K}\)가 유한형임을 얻는다(Modules on Sites, Lemma 082T). \(\mathcal{K}\)의 지지는 \(\mathcal{F}_{T_0}\)의 지지 안에 들어 있고, 후자는 \(T_0\) 위에서 준콤팩트임이 명백하다. 따라서 (2)를 적용하면 \(v_{T_i}\)가 영인 어떤 \(i\)가 있음을 알 수 있다.

보조정리

Situation 083F에서 완전열 \[\mathcal{F} \xrightarrow{u} \mathcal{G} \xrightarrow{v} \mathcal{H} \to 0\] 이 주어졌다고 하자. 자명한 표기 아래 \(F_{v,iso}=F_{u,zero}\)이다.

증명

당김은 오른쪽 완전이므로 \(\mathcal{F}_T\to\mathcal{G}_T\to\mathcal{H}_T\to0\)은 모든 스킴 \(T\)로서 \(B\) 위에 있는 것에 대하여 완전하다. 따라서

\(u_T\)가 전사일 필요충분조건은 \(v_T\)가 동형인 것이다.

보조정리

Situation 083F에서 아핀 사상 \(i:Z\to X\)와 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{H}\)가 주어져 \(\mathcal{G}=i_*\mathcal{H}\)라고 하자. \(v:i^*\mathcal{F}\to\mathcal{H}\)를 \(u\)의 수반 사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(F_{v,zero}=F_{u,zero}\)이다.

2. \(i\)가 폐몰입이면 \(F_{v,surj}=F_{u,surj}\)이다.

증명

\(T\)를 \(B\) 위의 스킴이라 하자. \(i_T:Z_T\to X_T\)로 \(i\)의 밑변환을 나타내고, \(\mathcal{H}_T\)로 \(\mathcal{H}\)의 \(Z_T\)로의 당김을 나타내자. \((i^*\mathcal{F})_T=i_T^*\mathcal{F}_T\)이고 \(i_{T,*}\mathcal{H}_T=(i_*\mathcal{H})_T\)임을 관찰하라. 첫 번째 등식은 당김의 가환성에서, 두 번째 등식은 Cohomology of Spaces, Lemma 07U8에서 따른다. 따라서 \(u_T\)와 \(v_T\)도 수반 사상이다. 그러므로 \(u_T=0\)일 필요충분조건은 \(v_T=0\)인 것이며, 이는 (1)을 증명한다. (2)의 경우 \(u_T\)가 전사일 필요충분조건은 \(v_T\)가 전사인 것이다. 실제로 \(u_T\)는 \[\mathcal{F}_T \to i_{T, *}i_T^*\mathcal{F}_T \xrightarrow{i_{T, *}v_T} i_{T, *}\mathcal{H}_T\] 로 분해되고, \(i_{T,*}\)는 \(Z_T\) 위 준연접 가군들의 범주를 준연접 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-가군들의 범주 안에 완전충실하게 매장하는 완전 함자이다. Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ를 보라.

보조정리

Situation 083F에서 아핀 사상 \(g:X\to X'\)가 주어졌다고 하자.

\(u'=f_*u:f_*\mathcal{F}\to f_*\mathcal{G}\)라 하자. 그러면 \(F_{u,iso}=F_{u',iso}\), \(F_{u,inj}=F_{u',inj}\), \(F_{u,surj}=F_{u',surj}\), 그리고 \(F_{u,zero}=F_{u',zero}\)이다.

증명

Cohomology of Spaces, Lemma 07U8에 의해 \(g_{T,*}u_T=u'_T\)이다. 더욱이

\(g_{T,*}:\QCoh(\mathcal{O}_{X_T})\to\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 충실하고 완전하며 동형, 단사 사상, 전사 사상을 반영하는 함자이다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)가 \(Y\) 위에 주어지면 \(\mathcal{F}_T\)로 \(\mathcal{F}\)의 \(T\)로의 밑변환을 나타내겠다. 다시 말해 \(\mathcal{F}_T\)는 \(\mathcal{F}\)의 당김으로서 사영 사상 \(X_T=X\times_YT\to X\)를 통해 얻어진 것이다. 평탄 가군의 밑변환은 평탄하므로 함자 [0CWY]\[\begin{equation} F_{flat} : (\Sch/Y)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if } \mathcal{F}_T \text{ is flat over }T, \\ \emptyset & \text{else.} \end{matrix} \right. \end{equation}\] 를 얻는다.

Situation 0CWX에서 때로는 \(F_{flat}\)을 함자 \((\Sch/S)^{opp}\to\textit{Sets}\)로 생각하고, 이 함자에는 사상 \(F_{flat}\to Y\)가 주어져 있다고 본다. 즉, \(T\)가 \(S\) 위의 스킴이면 원소 \(h\in F_{flat}(T)\)는 사상 \(h:T\to Y\)로서 \(\mathcal{F}\)의 \(h\)를 통한 밑변환이 \(T\) 위에서 평탄인 것이다. 특히 \(F_{flat}\)이 대수공간이라고 말할 때에는 대응하는 함자 \((\Sch/S)^{opp}\to\textit{Sets}\)가 대수공간이라는 뜻이다.

보조정리

Situation 0CWX에서 다음이 성립한다.

1. 함자 \(F_{flat}\)은 fpqc 위상에 대한 층 조건을 만족한다.

2. \(f\)가 준콤팩트이고 국소 유한 표시이며 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면, 함자 \(F_{flat}\)은 극한을 보존한다.

증명

(1)은 다음 명제에서 따른다. \(T'\to T\)가 \(Y\) 위 대수공간들의 전사 평탄 사상이면, \(\mathcal{F}_{T'}\)가 \(T'\) 위에서 평탄할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}_T\)가 \(T\) 위에서 평탄한 것이다. Morphisms of Spaces, Lemma 05VW를 보라. \(f\)가 준분리이기도 하면(즉, \(f\)가 유한 표시이면) (2)는 Limits of Spaces, Lemma 08K0에서 따른다. 일반적인 경우에는 먼저 밑이 아핀인 경우로 환원하고, 이어 \(X\)를 유한 개의 아핀으로 덮어 준분리인 경우로 환원한다. 세부사항은 생략한다.

사상을 영으로 만들기

이 절에 대응하는 스킴에 관한 장에는 유사한 절이 없다.

설정

\(S=\Spec(R)\)를 아핀 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(u:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)가 \(S\) 위에서 평탄이라고 가정하자.

보조정리

Situation 0CWA에서, \(T\to S\)를 스킴들의 준콤팩트 사상으로서 밑변환 \(u_T\)가 영인 것이라 하자. 그러면 폐부분스킴 \(Z\subset S\)가 존재하여 (a) \(T\to S\)는 \(Z\)를 통해 분해되고, (b) 밑변환 \(u_Z\)는 영이다. \(\mathcal{F}\)가 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지가 준콤팩트이면 \(Z\to S\)를 유한 표시로 택할 수 있다.

증명

\(U\to X\)를 대수공간들의 전사 에탈 사상이라 하되, \(U=\coprod U_i\)는 아핀 스킴들의 분리합이라 하자 (Properties of Spaces, Lemma 03FX를 보라). Lemma 083I에 의해 \(X\)를 \(U\)로 바꿀 수 있다. 다시 말해 \(X=\coprod X_i\)가 아핀 스킴 \(X_i\)들의 분리합이라고 가정할 수 있다. \(u_i=u|_{X_i}\)에 대하여 보조정리를 증명할 수 있다고 하자. 그러면 폐부분스킴 \(Z_i\subset S\)를 찾아 \(T\to S\)가 \(Z_i\)를 통해 분해되고 \(u_{i,Z_i}\)가 영이 되게 할 수 있다. 만일 \(Z_i=\Spec(R/I_i)\subset\Spec(R)=S\)이면 \(Z=\Spec(R/\sum I_i)\)를 취하면 된다. 따라서 \(X=\Spec(A)\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

유한 아핀 열린 덮개 \(T=T_1\cup\ldots\cup T_m\)을 택하자. \(T\)를 \(\coprod_{j=1,\ldots,m}T_j\)로 바꿀 수 있음이 명백하다. 따라서 \(T\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(T=\Spec(R')\)라 하자. \(u:M\to N\)을 \(A\)-가군들의 준동형으로서 \(u:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)에 대응하는 것이라 하자. \(N\)은 평탄 \(R\)-가군인데, 이는 \(\mathcal{G}\)가 \(S\) 위에서 평탄하기 때문이다. 보조정리의 가정은 합성 \[M \otimes_R R' \to N \otimes_R R'\] 이 영이라는 뜻이다. \(z\in M\)이라 하자. Lazard 정리 (Algebra, Theorem 058G)와 \(\otimes\)가 여극한과 가환한다는 사실에 의해 자유 \(R\)-가군 \(F_z\), 원소 \(\tilde z\in F_z\), 그리고 사상 \(F_z\to N\)을 찾아 \(u(z)\)가 \(\tilde z\)의 상이고 \(\tilde z\)가 \(F_z\otimes_RR'\)에서 영으로 가게 할 수 있다. \(\{e_{z,\alpha}\}\)를 \(F_z\)의 기저로 택하고 \(\tilde z=\sum f_{z,\alpha}e_{z,\alpha}\)라 쓰되 \(f_{z,\alpha}\in R\)이라 하자. \(I\subset R\)를 원소 \(f_{z,\alpha}\)들로 생성되는 아이디얼이라 하되, 여기서 \(z\)는 \(M\)의 모든 원소를 달린다. 구성에 의해 \(I\)는 \(R'\)에서 영으로 가고, 원소 \(\tilde z\)는 \(F_z/IF_z\)에서, 따라서 \(N/IN\)에서 영으로 간다. 그러므로 \(Z=\Spec(R/I)\)는 이 경우 문제의 해이다.

\(\mathcal{F}\)가 유한형이고 그 스킴론적 지지가 준콤팩트라고 가정하자. \(Z=\Spec(R/I)\)라 쓰자. \(I=\bigcup I_\lambda\)를 유한 생성 아이디얼들의 여과 합집합으로 쓰자. \(Z_\lambda=\Spec(R/I_\lambda)\)라 하면 \(Z=\colim Z_\lambda\)이다. \(u_Z\)가 영이므로 Lemma 083J에 의해 \(u_{Z_\lambda}\)가 영인 어떤 \(\lambda\)가 존재한다. 이로써 보조정리의 증명이 끝났다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(u:M\to N\)을 \(A\)-가군들의 사상이라 하자. \(N\)이 \(A\)-가군으로서 사영이면, 아이디얼 \(I\subset A\)가 존재하여 임의의 환 사상 \(\varphi:A\to B\)에 대하여 다음이 동치이다.

1. \(u\otimes 1:M\otimes_A B\to N\otimes_A B\)는 영이다.

2. \(\varphi(I)=0\)이다.

증명

\(N\)이 사영이므로 사영 \(A\)-가군 \(C\)를 찾아

\(F=N\oplus C\)가 자유 \(R\)-가군이 되게 할 수 있다. \(u\)를

\(u\oplus 1:F=M\oplus C\to N\oplus C\)로 바꾸면 \(N\)이 자유라고 가정할 수 있음을 알 수 있다. 이 경우 \(I\)를 \(A\)의 아이디얼로서, \(\Im(u)\)의 모든 원소를 \(N\)의 어떤 고정된 기저에 관해 나타낸 계수들로 생성되는 것이라 하자.

보조정리

Situation 0CWA에서 생각하자. \(T\subset S\)를 부분집합이라 하고, \(s\in S\)가 \(T\)의 폐포에 속한다고 하자. \(t\in T\)에 대하여 \(u_t\)를 \(u\)의 \(X_t\)로의 당김이라 하고, \(u_s\)를 \(u\)의 \(X_s\)로의 당김이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한 표시이고, \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이며³, \(u_t=0\)가 모든 \(t\in T\)에 대하여 성립하면 \(u_s=0\)이다.

증명

\(u_s\)가 영인지 여부를 확인하는 것은 올 \(X_s\) 위에서 에탈 국소적이다. 따라서 점 \(x\in |X_s|\subset |X|\)를 택하고 에탈 근방에서 확인하면 된다. Proposition 0CVY에서와 같이 \[\xymatrix{ (X, x) \ar[d] & (X', x') \ar[l]^g \ar[d] \\ (S, s) & (S', s') \ar[l] }\] 를 택하자. \(T'\subset S'\)를 \(T\)의 역상이라 하자. \(s'\)는 \(T'\)의 폐포에 속하는데, 이는 \(S'\to S\)가 열린 사상이기 때문이다. 따라서 다음 단락에서 서술하는 대수 문제로 환원된다.

\(R\)-가군 사상 \(u:M\to N\)이 주어져 있고, \(N\)은 \(R\)-가군으로서 사영이며, \(u_t:M\otimes_R\kappa(t)\to N\otimes_R\kappa(t)\)가 각 \(t\in T\)에 대하여 영이라고 하자. 문제는 \(u_s=0\)임을 보이는 것이다. Lemma 083L에서 정의된 아이디얼을 \(I\subset R\)라 하자. 그러면 \(I\)는 \(\kappa(t)\)에서 영으로 가는데, 이는 모든 \(t\in T\)에 대하여 성립한다. 따라서 \(T\subset V(I)\)이다. \(s\)는 \(T\)의 폐포에 속하므로 \(s\in V(I)\)이다. 따라서 \(u_s=0\)이다.

Lemma 0CWC 또는 Lemma 083M의 “간단한” 직접 증명을 Lemmas 083K와 0CWB에서 사용한 것과 같은 논증으로 찾는 것은 흥미로울 것이다. \(f:X\to B\)가 사영 사상이고 \(B\)가 뇌터 스킴일 때 이 보조정리의 “고전적” 증명은 다음과 같을 것이다. (a) 상대적으로 풍부한 가역층 \(\mathcal{O}_X(1)\)을 택하고, (b) \(u_n:f_*\mathcal{F}(n)\to f_*\mathcal{G}(n)\)이라 두고, (c) \(f_*\mathcal{G}(n)\)이 모든 \(n\gg0\)에 대하여 유한 국소 자유층임을 관찰하고, (d) \(F_{zero}\)가 \(u_n\)의 소멸 자취로 표현되는 어떤 \(n\gg0\)가 있음을 사용한다.

보조정리

Situation 083F에서 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{G}\)는 유한 표시이고 \(B\) 위에서 평탄하며 \(B\)에 대하여 순수하다.

그러면 \(F_{zero}\)는 대수공간이고 \(F_{zero}\to B\)는 닫힌 몰입이다. \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 \(F_{zero}\to B\)는 유한 표시이다.

증명

Lemma 0CW5에 의해 가군 \(\mathcal{G}\)는 \(B\)에 대하여 보편적으로 순수하다. \(F_{zero}\)가 대수공간임을 보이기 위해서는 \(F_{zero}\to B\)가 표현 가능임을 보이면 충분하다. Spaces, Lemma 02WY를 보라. \(B'\to B\)를 사상이라 하되 \(B'\)는 스킴이라 하고, \(u':\mathcal{F}'\to\mathcal{G}'\)를 \(u\)의 \(X'=X_{B'}\)로의 당김이라 하자. 그러면 연관된 함자 \(F'_{zero}\)는 \(F_{zero}\times_B B'\)와 같다. 따라서 \(B\)가 스킴인 경우로 환원된다.

\(B\)가 스킴이라고 가정하자. \(F_{zero}\)가 \(B\)의 닫힌 부분스킴으로 표현됨을 보이겠다. Lemma 083H와 Descent, Lemmas 03I0 및 02W5에 의해 이 문제는 \(B\) 위의 에탈 위상에 관하여 국소적이다. \(b\in B\)라 하자. 먼저 \(B\)를 \(b\)의 아핀 근방으로 바꾼다. Lemma 0CVZ에서와 같이 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d] & X' \ar[l]^g \ar[d] \\ B & B' \ar[l] }\] 과 \(b'\in B'\)를 택하여 \(b\in B\)로 가게 하자. 에탈 국소적으로 작업하고 있으므로 \(B\)를 \(B'\)로 바꾸고, 다음 도식이 주어져 있다고 가정할 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[rd] & & X' \ar[ll]^g \ar[ld] \\ & B }\] 여기서 \(B\)와 \(X'\)는 아핀이고 \(\Gamma(X',g^*\mathcal{G})\)는 \(\Gamma(B,\mathcal{O}_B)\)-가군으로서 사영이며 \(g(|X'|)\supset |X_b|\)이다. \(U\subset X\)를 \(|U|=g(|X'|)\)인 열린 부분공간이라 하자. Divisors on Spaces, Lemma 0CVV에 의해 집합 \[E=\{t\in B:\text{Ass}_{X_t}(\mathcal{G}_t)\subset |U_t|\}= \{t\in B:\text{Ass}_{X/B}(\mathcal{G})\cap |X_t|\subset |U_t|\}\] 은 \(B\)에서 구성 가능하다. Lemma 0CW3의 (2)에 의해 \(E\)는 \(\Spec(\mathcal{O}_{B,b})\)를 포함한다. Morphisms, Lemma 05LW에 의해 \(E\)는 \(b\)의 열린 근방을 포함한다. 따라서 \(B\)를 \(b\)의 더 작은 아핀 근방으로 바꾼 뒤 \(\text{Ass}_{X/B}(\mathcal{G})\subset g(|X'|)\)라고 가정할 수 있다.

Lemma 0CW6에 의해

\(u:\mathcal{F}\to\mathcal{G}\)가 단사일 필요충분조건은 \(g^*u:g^*\mathcal{F}\to g^*\mathcal{G}\)가 단사인 것이며, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립한다. 따라서 정리의 가정에 더하여

\(X\to B\)가 아핀 스킴들의 사상이고 \(\Gamma(X,\mathcal{G})\)가 \(\Gamma(B,\mathcal{O}_B)\)-가군으로서 사영인 경우로 환원되었다. 이 경우는 Lemma 083L에서 즉시 따른다.

\(F_{zero}\to B\)가 유한 표시임을 \(\mathcal{F}\)가 유한형인 경우에 여전히 보여야 한다. 이는 Lemma 083J와 Limits of Spaces, Proposition 04AK을 결합하면 따른다.

보조정리

Situation 083F에서 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{G}\)는 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(B\) 위에서 평탄하다.

3. \(\mathcal{G}\)의 지지는 \(B\) 위에서 proper이다.

그러면 함자 \(F_{zero}\)는 대수공간이고 \(F_{zero}\to B\)는 닫힌 몰입이다. \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 \(F_{zero}\to B\)는 유한 표시이다.

증명

\(f\)가 유한 표시이면 Lemmas 0CWC와 0CVI에서 즉시 따른다. 이것이 유일하게 관심 있는 경우이며, 독자에게 이 증명의 나머지를 건너뛸 것을 권한다. 나머지는 이 보조정리의 가정이 허용하는 \(f\)가 준분리도 준콤팩트도 아닐 가능성을 다룬다.

\(i:Z\to X\)를 \(\mathcal{G}\)의 제0 Fitting 아이디얼이 잘라내는 닫힌 부분공간이라 하자 (Divisors on Spaces, Section 0CZ3). 그러면 가정에 의해 \(Z\to B\)는 proper이다 (Derived Categories of Spaces, Section 0CZB을 보라). 한편 \(i\)는 유한 표시이다 (Divisors on Spaces, Lemma 0CZ5 및 Morphisms of Spaces, Lemma 084Q). 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{H}\)가 존재하여 \(i_*\mathcal{H}=\mathcal{G}\)가 된다 (Divisors on Spaces, Lemma 0CZ6). 실제로 Algebra, Lemma 0561에 의해 \(\mathcal{H}\)는 \(\mathcal{O}_Z\)-가군으로서 유한 표시이다 (세부사항은 생략한다). 그러면 \(F_{zero}\)는 함자 \(F_{zero}\)와 같다. 여기서 두 번째 함자는 사상 \(i^*\mathcal{F}\to\mathcal{H}\)에 대한 것이고, 이 사상은 \(u\)에 수반한다. Lemma 0CW7를 보라. 층 \(\mathcal{H}\)는 \(B\)에 대하여 평탄한데, 이는 \(\mathcal{G}\)도 그러하기 때문이다 (줄기에서 확인하면 된다. 세부사항은 생략한다). 또한 \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 \(i^*\mathcal{F}\)도 유한형임에 유의하자. 따라서 이 보조정리는 증명의 첫 단락에서 다룬 경우로 환원되었다.

사상의 평탄화

이 절은 More on Flatness, Section 05PC의 유사물이다. 특히 다음 결과는 More on Flatness, Theorem 05PF의 변형이다.

정리

Situation 083F에서 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시이고 \(B\) 위에서 평탄하며 \(B\)에 대하여 순수하다.

3. \(u\)는 전사이다.

그러면 \(F_{iso}\)는 닫힌 몰입 \(Z\to B\)로 표현된다. 또한

\(Z\to S\)는 \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이면 유한 표시이다.

증명

\(\mathcal{K}=\Ker(u)\)라 하고 포함을 \(v:\mathcal{K}\to\mathcal{F}\)로 나타내자. Lemma 0CVM에 의해 \(F_{u,iso}=F_{v,zero}\)임을 알 수 있다. Lemma 0CWC를 \(v\)에 적용하면 \(F_{u,iso}=F_{v,zero}\)가 \(B\)의 닫힌 부분공간으로 표현됨을 알 수 있다. \(\mathcal{K}\)가 유한형임에 유의하자. 이는 \(\mathcal{G}\)가 유한 표시일 때 성립한다. Modules on Sites, Lemma 082T를 보라. 따라서 정리의 마지막 명제도 얻는다.

보조정리

Situation 083F에서 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 국소 유한 표시이고 \(B\) 위에서 평탄하다.

3. \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(B\) 위에서 proper이다.

4. \(u\)는 전사이다.

그러면 함자 \(F_{iso}\)는 대수공간이고 \(F_{iso}\to B\)는 닫힌 몰입이다. \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이면 \(F_{iso}\to B\)는 유한 표시이다.

증명

\(\mathcal{K}=\Ker(u)\)라 하고 포함을 \(v:\mathcal{K}\to\mathcal{F}\)로 나타내자. Lemma 0CVM에 의해 \(F_{u,iso}=F_{v,zero}\)임을 알 수 있다. Lemma 083M를 \(v\)에 적용하면 \(F_{u,iso}=F_{v,zero}\)가 \(B\)의 닫힌 부분공간으로 표현됨을 알 수 있다. \(\mathcal{K}\)가 유한형임에 유의하자. 이는 \(\mathcal{G}\)가 유한 표시일 때 성립한다. Modules on Sites, Lemma 082T를 보라. 따라서 보조정리의 마지막 명제도 얻는다.

Quot 함자를 논할 때 다음의 쉬운 결과를 사용할 것이다.

보조정리

Situation 083F에서 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{G}\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{G}\)의 지지는 \(B\) 위에서 proper이다.

그러면 \(F_{surj}\)는 대수공간이고 \(F_{surj}\to B\)는 열린 몰입이다.

증명

\(\Coker(u)\)를 생각하자. \(\Coker(u_T)=\Coker(u)_T\)임을 관찰하자. 이는 임의의 \(T/B\)에 대하여 성립한다. 유한형 준연접 가군의 지지를 취하는 것은 당김과 가환함에 유의하자 (Morphisms of Spaces, Lemma 07TY). 따라서 \(F_{surj}\)는 \(B\)의 열린 부분공간으로서 열린집합 \[|B|\setminus |f|(\text{Supp}(\Coker(u)))\] 에 대응하는 것으로 표현된다. Properties of Spaces, Lemma 03BZ를 보라.

이것은 열린집합이다. 실제로 \(|f|\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{G})\) 위에서 닫힌 사상이고, \(\text{Supp}(\Coker(u))\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{G})\)의 닫힌 부분집합이다.

국소적 경우의 평탄화

이 절은 More on Flatness, Section 05MZ의 유사물이다.

보조정리

\(S\)를 닫힌점 \(s\)를 갖는 헨젤 국소환의 스펙트럼이라 하자. \(X\to S\)를 국소 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(E\subset |X_s|\)를 부분집합이라 하자. 다음 성질을 갖는 닫힌 부분스킴 \(Z\subset S\)가 존재한다. 점이 표시된 스킴들의 임의의 사상 \((T,t)\to(S,s)\)에 대하여 다음이 동치이다.

1. \(\mathcal{F}_T\)는 \(T\) 위에서, \(|X_t|\)의 모든 점 가운데 \(E\subset |X_s|\)의 점으로 가는 것들에서 평탄하다.

2. \(\Spec(\mathcal{O}_{T,t})\to S\)는 \(Z\)를 통해 분해된다.

또한 \(X\to S\)가 국소 유한 표시이고, \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이며, \(E\subset |X_s|\)가 닫혀 있고 준콤팩트이면 \(Z\to S\)는 유한 표시이다.

증명

스킴 \(U\)와 에탈 사상 \(\varphi:U\to X\)를 택하자. \(E'\subset |U_s|\)를 \(E\)의 역상이라 하자. \(E'\to E\)가 전사이면 조건 (1)은 다음 조건과 동치이다.

\((\varphi^*\mathcal{F})_T\)는 \(T\) 위에서, \(|U_t|\)의 모든 점 가운데 \(E'\subset |U_t|\)의 점으로 가는 것들에서 평탄하다. \(\varphi\)를 전사로 택하면 스킴의 경우로 환원되며, 이는

More on Flatness, Lemma 05PI이다. \(E\)가 닫혀 있고 준콤팩트이면 \(U\)를 아핀으로 택하여 \(E'\to E\)가 전사이게 할 수 있다. 그러면 \(E'\)는 닫혀 있고 준콤팩트이며, 마지막 명제는 More on Flatness, Lemma 05PI의 마지막 명제에서 따른다.

보편적 평탄화

이 절은 More on Flatness, Section 05PS의 유사물이다. 주된 목표는 Lemma 0CX2을 증명하는 것이다. 그러나 스킴에 대한 대응하는 결과에서 이 결과를 직접 도출하는 방법을 알 수 없다. 따라서 여기에서 일부 내용을 다시 전개해야 한다. 먼저 정의부터 하자.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 보편적 평탄화가 존재한다고 말하는 것은 Situation 0CWX에서 정의된 함자 \(F_{flat}\)이 대수공간이라는 뜻이다. \(X\)의 보편적 평탄화가 존재한다고 말하는 것은 \(\mathcal{O}_X\)의 보편적 평탄화가 존재한다는 뜻이다.

이는 다소 만족스럽지 못하다. 대수공간의 모든 단사 사상이 표현 가능한지는 알지 못하므로(More on Morphisms of Spaces, Section 0B89), 여기서 보편적 평탄화의 정의는 스킴의 경우에 쓰는 정의와 일치하지 않기 때문이다. 이로부터 혼동이 생기지 않기를 바란다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 국소 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(n\geq0\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. 어떤 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d]_\varphi \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 수직 화살표들이 전사 에탈이고 \(U\)와 \(V\)가 스킴일 때, 층 \(\varphi^*\mathcal{F}\)가 \(V\) 위에서 차원 \(\geq n\)으로 평탄이다(More on Flatness, Definition 0CWG).

2. 모든 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d]_\varphi \ar[r] & V \ar[d] \\ X \ar[r] & Y }\] 에서 수직 화살표들이 에탈이고 \(U\)와 \(V\)가 스킴일 때, 층 \(\varphi^*\mathcal{F}\)가 \(V\) 위에서 차원 \(\geq n\)으로 평탄이다.

3. \(x\in |X|\)이고 \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(Y\) 위로 평탄하지 않으면, \(x/f(x)\)의 초월 차수는 \(<n\)이다 (Morphisms of Spaces, Definition 04NM).

이 조건들이 성립하면 임의의 밑변환 \(Y'\to Y\) 뒤에도 성립한다.

증명

(1)의 도식이 주어져 있다고 하자. More on Flatness, Lemma 0CWF의 조건들이 동치이므로 (1)과 (3)은 동치이다. 한편 (3)은 \(\varphi^*\mathcal{F}\)로 계승되며, 이는 (2)에서와 같은 임의의 \(U\to V\)에 대하여 성립한다. 따라서 스킴에 대한 결과를 다시 적용하면 (3)이 (2)를 함의함을 알 수 있다. 스킴에 대한 결과는 밑변환에 관한 명제도 함의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위의 국소 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(n\geq0\)라 하자. Lemma 0CWS의 동치 조건들이 성립하면 \(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위에서 차원 \(\geq n\)으로 평탄이다라고 말한다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위의 국소 유한형인 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(T\)를 \(Y\) 위의 임의의 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}_T\)로 \(\mathcal{F}\)의 \(T\)로의 밑변환을 나타내겠다. 다시 말해 \(\mathcal{F}_T\)는 \(\mathcal{F}\)의 사영 사상 \(X_T=X\times_Y T\to X\)를 통한 당김이다.

\(f_T:X_T\to T\)는 유한형이고 \(\mathcal{F}_T\)는 유한형 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-가군임에 유의하자 (Morphisms of Spaces, Lemma 03XH 및 Modules on Sites, Lemma 03DO). \(n\geq0\)라 하자. Definition 0CWT과 Lemma 0CWS에 의해 함자 [0CWV]\[\begin{equation} F_n : (\Sch/Y)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}, \quad T \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ is flat over }T\text{ in }\dim \geq n, \\ \emptyset & \text{else.} \end{matrix} \right. \end{equation}\] 를 얻는다.

Situation 0CWU에서 때로는 \(F_n\)을 함자 \((\Sch/S)^{opp}\to\textit{Sets}\)로 생각하고, 이 함자에는 사상 \(F_n\to Y\)가 주어져 있다고 본다. 즉 \(T\)가 \(S\) 위의 스킴이면 원소 \(h\in F_n(T)\)는 사상 \(h:T\to Y\)로서 \(\mathcal{F}\)의 \(h\)를 통한 밑변환이 \(T\) 위에서 \(\dim\geq n\)으로 평탄인 것이다. 특히 \(F_n\)이 대수공간이라고 말할 때에는 대응하는 함자 \((\Sch/S)^{opp}\to\textit{Sets}\)가 대수공간이라는 뜻이다.

보조정리

Situation 0CWU에서 다음이 성립한다.

1. 함자 \(F_n\)은 fpqc 위상에 대한 층 조건을 만족한다.

2. \(f\)가 준콤팩트이고 국소 유한 표시이며 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면, 함자 \(F_n\)은 극한을 보존한다.

증명

(1)의 증명. \(\{T_i\to T\}\)가 스킴 \(T\)의 fpqc 덮개이고 이 스킴은 \(Y\) 위에 있다고 하자. \(F_n(T_i)\)가 모든 \(i\)에 대하여 공집합이 아니면 \(F_n(T)\)가 공집합이 아님을 보여야 한다. Lemma 0CWS의 (1)과 같은 도식을 택하자. \(F'_n\)으로 \(\varphi^*\mathcal{F}\)와 사상 \(U\to V\)에 대응하는 함자를 나타내자. More on Flatness, Lemma 05MV에 의해 \(F'_n\)은 층 조건을 만족한다. 따라서 \(F_n\)도 층 조건을 만족한다. 실제로 \(T\to Y\)에 대하여 Lemma 0CWS에 의해 \(F_n(T)=F'_n(V\times_Y T)\)이고, \(\{V\times_Y T_i\to V\times_Y T\}\)는 fpqc 덮개이다.

(2)의 증명. \(T=\lim_{i\in I}T_i\)가 아핀 스킴 \(T_i\)들의 여과 극한이고 이 스킴들은 \(Y\) 위에 있다고 하자. 또한 \(F_n(T)\)가 공집합이 아니라고 하자. \(F_n(T_i)\)가 공집합이 아닌 어떤 \(i\)가 있음을 보여야 한다. Lemma 0CWS의 (1)과 같은 도식을 택하자. \(i\in I\)를 고정하고 아핀 열린집합 \(W_i\subset V\times_Y T_i\)를 택하여 \(T_i\) 위로 전사하게 하자. \(i'\geq i\)에 대하여 \(W_{i'}\)를 \(W_i\)의 역상으로서 \(V\times_Y T_{i'}\) 안에 정의하고, \(W\subset V\times_Y T\)를 \(W_i\)의 역상이라 하자. 그러면

\(W=\lim_{i'\geq i}W_i\)는 \(V\) 위의 아핀 스킴들의 여과 극한이다. Lemma 0CWS에 의해 \(F'_n(W_{i'})\)가 공집합이 아닌 어떤 \(i'\geq i\)가 있음을 보이면 충분하다. 그러나 \(F'_n(W)\)가 공집합이 아님을 안다. 이는 \(F_n(T)=F'_n(V\times_Y T)\)가 공집합이 아니라는 가정 때문이다. 따라서 More on Flatness, Lemma 05MV를 적용하여 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 0CWU에서 생각하자. \(h:X'\to X\)를 에탈 사상이라 하자. \(\mathcal{F}'=h^*\mathcal{F}\) 및 \(f'=f\circ h\)라 두자. \(F_n'\)을 \((f':X'\to Y,\mathcal{F}')\)에 연관된 (0CWV)이라 하자. 그러면 \(F_n\)은 \(F_n'\)의 부분함자이고, \(h(X')\supset\text{Ass}_{X/Y}(\mathcal{F})\)이면 \(F_n=F'_n\)이다.

증명

Lemma 0CWS의 (1)에서와 같이 \(U\to X\), \(V\to Y\), \(U\to V\)를 택하자. 전사 에탈 사상 \(U'\to U\times_X X'\)를 택하되 \(U'\)는 스킴이라 하자. 그러면 두 함자 \(F_{U,n}\) 및 \(F_{U',n}\)에 대하여 보조정리가 성립한다. 이들은 \(U'\to U\)와 \(\mathcal{F}|_U\)에 의해 \(V\) 위에서 정해진다. More on Flatness, Lemma 05UD를 보라. 한편 Lemma 0CWS에 따르면 \(T\to Y\)가 주어졌을 때 \(F_n(T)=F_{U,n}(V\times_Y T)\) 이고 \(F'_n(T)=F_{U',n}(V\times_Y T)\)이다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

정리

Situation 0CWU에서 생각하자. 또한 \(f\)가 유한 표시이고, \(\mathcal{F}\)가 유한 표시인 \(\mathcal{O}_X\)-가군이며, \(\mathcal{F}\)가 \(Y\)에 대하여 순수하다고 가정하자. 그러면 \(F_n\)은 대수공간이고 \(F_n\to Y\)는 유한 표시 단사 사상이다.

증명

함자 \(F_n\)은 Lemma 0CWW에 의해 fppf 위상에 대한 층이다. \(F_n\to Y\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 층들의 단사 사상이므로 \(\Delta:F_n\to F_n\times F_n\)은 대각 사상 \(\Delta_Y:Y\to Y\times_S Y\)의 당김이다. 따라서 \(\Delta_Y\)의 표현 가능성은 \(F_n\)에 대해서도 같은 결론을 함의한다. 그러므로 스킴 \(W\)가 존재하여 \(S\) 위에 있고 전사 에탈 사상 \(W\to F_n\)이 주어짐을 증명하면 충분하다.

\(W\to F_n\)을 구성하기 위해 에탈 덮개 \(\{Y_i\to Y\}\)를 택하되 \(Y_i\)는 스킴이라 하자. \(X_i=X\times_Y Y_i\)라 하고, \(\mathcal{F}_i\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(X_i\)로의 당김이라 하자. 그러면 정의 또는 Lemma 0CVF에 의해 \(\mathcal{F}_i\)는 \(Y_i\)에 대하여 순수하다. 정리의 다른 가정들도 보존된다. 마지막으로 \(F_n\)을 \(Y_i\)에 제한한 것은 함자 \(F_n\), 즉 \(X_i\to Y_i\)와 \(\mathcal{F}_i\)에 대응하는 함자이다. 따라서 다음을 보이면 충분하다. 정리의 명제에서와 같은 \(\mathcal{F}\)와 \(f:X\to Y\)가 주어지고 \(Y\)가 스킴이면, 함자 \(F_n\)은 스킴 \(Z_n\)으로 표현되며 \(Z_n\to Y\)는 유한 표시 단사 사상이다.

유한 표시 단사 사상은 분리이고 준유한임을 관찰하자 (Morphisms, Lemma 0CT8). 따라서 Descent, Lemma 02W5, More on Morphisms, Lemma 02W8

, 그리고 Descent, Lemmas 02YK 및 02L0을 결합하면 이 문제는 \(Y\) 위의 에탈 위상에 관하여 국소적이다.

특히 상황은 \(Y\) 위의 자리스키 위상에 관하여 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 이 경우 \(f\)의 올들의 차원은 위로 유계이므로 \(F_n\)이 충분히 큰 \(n\)에 대하여 표현됨을 알 수 있다. 따라서 \(n\)에 관한 내림 귀납법을 사용할 수 있다. \(F_{n+1}\)이 유한 표시 단사 사상 \(Z_{n+1}\to Y\)로 표현된다고 가정하자. 밑변환 \(X_{n+1}=Z_{n+1}\times_Y X\)와 당김 \(\mathcal{F}_{n+1}\)을 생각하자. 후자는 \(\mathcal{F}\)의 \(X_{n+1}\)로의 당김이다. 사상 \(Z_{n+1}\to Y\)는 유한 표시 단사 사상이므로 준유한이고, 따라서 Lemma 0CVF에 의해 \(\mathcal{F}_{n+1}\)은 \(Z_{n+1}\)에 대하여 순수하다. \(F_n\)은 \(F_{n+1}\)의 부분함자이므로 \(F_n\)에 대한 결과를 증명하려면 상황 \(\mathcal{F}_{n+1}/X_{n+1}/Z_{n+1}\)에 대응하는 함자에 대한 결과를 증명하면 충분하다. 이와 같이 \(F_n\)에 대한 결과를

\(Y_{n+1}=Y\)인 경우에 증명하는 것으로 환원된다. 즉, \(\mathcal{F}\)가 차원 \(\geq n+1\)으로 \(Y\) 위에서 평탄이라고 가정할 수 있다.

\(n\)을 고정하고 \(\mathcal{F}\)가 차원 \(\geq n+1\)으로 아핀 스킴 \(Y\) 위에서 평탄이라고 가정하자. 증명을 끝내려면 \(F_n\)이 유한 표시 단사 사상

\(Z_n\to S\)로 표현됨을 보여야 한다. 문제는 \(Y\) 위의 에탈 위상에 관하여 국소적이므로, 모든 \(y\in Y\)에 대하여 점이 표시된 에탈 근방 \((Y',y')\to(Y,y)\)가 존재하여 \(Y'\)로 밑변환한 뒤 결과가 성립함을 보이면 충분하다. 따라서 Lemma 0CWJ에 의해 다음을 가정할 수 있다. 에탈 사상 \(h_j:W_j\to X\), \(j=1,\ldots,m\)이 존재하고, 각 \(j\)에 대하여 \(\mathcal{F}_j/W_j/Y\)의 완전한 dévissage가 \(y\) 위에서 존재한다. 여기서 \(\mathcal{F}_j\)는 \(\mathcal{F}\)의 \(W_j\)로의 당김이고 \(|X_y|\subset\bigcup h_j(W_j)\)이다. \(h_j\)가 에탈이므로 Lemma 0CWS에 의해

층 \(\mathcal{F}_j\)는 여전히 차원 \(\geq n+1\)으로 \(Y\) 위에서 평탄이다. \(W=\bigcup h_j(W_j)\)라 두면 이는 \(X\)의 준콤팩트 열린집합이다. \(\mathcal{F}\)가 \(X_y\)를 따라 순수하므로

\[E=\{t\in|Y|:\text{Ass}_{X_t}(\mathcal{F}_t)\subset W\}.\] 는 \(y\)의 모든 일반화를 포함한다. Divisors on Spaces, Lemma 0CVV에 의해 \(E\)는 \(Y\)의 구성 가능한 부분집합이다. 앞에서 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y,y})\subset E\)임을 보았다. Morphisms, Lemma 05LW에 의해 \(E\)는 \(y\)의 열린 근방을 포함한다. 따라서 \(Y\)를 줄인 뒤

\(E=Y\)라고 가정할 수 있다. Lemma 0CX0에 의해 함자 \(F_n\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 여기서 이 함자는 \(X=\coprod W_j\)와 \(\mathcal{F}=\coprod\mathcal{F}_j\)에 연관된다. \(F_{j,n}\)이 \(W_j\to Y\)와 층 \(\mathcal{F}_j\)에 대한 함자라면 \(F_n=\prod F_{j,n}\)임을 알 수 있다. 따라서 각각의 \(F_{j,n}\)이 어떤 유한 표시 단사 사상 \(Z_{j,n}\to Y\)로 표현됨을 증명하면 충분하다. 실제로 그때

\[Z_n=Z_{1,n}\times_Y\ldots\times_Y Z_{m,n}\] 이다. 이로써 정리는 More on Flatness, Lemma 05UF에서 다룬 특별한 경우로 환원되었다.

따라서 마침내 원하는 결과를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f:X\to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(f\)가 유한 표시이고, \(\mathcal{F}\)가 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이며, \(\mathcal{F}\)가 \(Y\)에 대하여 순수하면, 보편적 평탄화 \(Y'\to Y\)가 \(\mathcal{F}\)에 대하여 존재한다. 또한 \(Y'\to Y\)는 유한 표시 단사 사상이다.

2. \(f\)가 유한 표시이고 \(X\)가 \(Y\)에 대하여 순수하면, 보편적 평탄화 \(Y'\to Y\)가 \(X\)에 대하여 존재한다. 또한 \(Y'\to Y\)는 유한 표시 단사 사상이다.

3. \(f\)가 proper이고 유한 표시이며 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면, 보편적 평탄화 \(Y'\to Y\)가 \(\mathcal{F}\)에 대하여 존재한다. 또한 \(Y'\to Y\)는 유한 표시 단사 사상이다.

4. \(f\)가 proper이고 유한 표시이면 보편적 평탄화 \(Y'\to Y\)가 \(X\)에 대하여 존재한다.

증명

이 명제들은 Theorem 0CX1을 \(F_0=F_{flat}\)에 적용하고, \(f\)가 proper이면 \(\mathcal{F}\)가 자동으로 밑에 대하여 순수하다는 사실을 사용하면 즉시 따른다. Lemma 0CVI를 보라.

그로텐디크 존재 정리

이 절은 More on Flatness, Section 0CTB의 유사물이며, More on Morphisms of Spaces, Section 089N의 논의를 계속한다. 다음 상황에서 작업한다.

설정

여기서는 전이 사상들이 전사이고 그 핵들이 국소 멱영인 환들의 역계 \((A_n)\)이 주어져 있다. \(A=\lim A_n\)이라 두자. 대수공간 \(X\)가 주어져 있고, 이는 \(A\) 위에서 분리이고 유한 표시이다. \(X_n=X\times_{\Spec(A)}\Spec(A_n)\)이라 두고 이를 \(X\)의 닫힌 부분공간으로 본다. 또한 계 \((\mathcal{F}_n,\varphi_n)\)이 주어져 있다고 가정한다. 여기서 \(\mathcal{F}_n\)은 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-가군이고, \(A_n\) 위에서 평탄하며, 그 지지는 \(A_n\) 위에서 proper이고, \[\varphi_n: \mathcal{F}_n\otimes_{\mathcal{O}_{X_n}}\mathcal{O}_{X_{n-1}} \longrightarrow \mathcal{F}_{n-1}\] 는 동형이다(Morphisms of Spaces, Lemma 04CJ의 동치를 쓰는 표기법이다).

목표는 준연접층 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 찾을 수 있는지 알아보는 것이다. 이 층은 \(\mathcal{F}_n=\mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_{X_n}\) 을 모든 \(n\)에 대하여 만족해야 한다.

보조정리

Situation 0CX4에서 \[K=R\lim_{D_\QCoh(\mathcal{O}_X)}(\mathcal{F}_n)= DQ_X(R\lim_{D(\mathcal{O}_X)}\mathcal{F}_n)\] 를 생각하자. 그러면 \(K\)는 \(D^b_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\)에 속하고, 실제로 \(K\)의 영이 아닌 코호몰로지 층들은 차수 \(\geq0\)에만 있다.

증명

Derived Categories of Spaces, Example 0CST의 특별한 경우이다.

보조정리

Situation 0CX4에서 \(K\)를 Lemma 0CX5에서와 같이 두자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 완전 대상이라 하자. 다음이 성립한다.

1. \(M=R\Gamma(X,K\otimes^\mathbf{L}E)\)은 \(D(A)\)의 완전 대상이고, 표준 동형 \(R\Gamma(X_n,\mathcal{F}_n\otimes^\mathbf{L}E|_{X_n})= M\otimes_A^\mathbf{L}A_n\)이 \(D(A_n)\)에서 존재한다.

2. \(N=R\Hom_X(E,K)\)는 \(D(A)\)의 완전 대상이고, 표준 동형 \(R\Hom_{X_n}(E|_{X_n},\mathcal{F}_n)= N\otimes_A^\mathbf{L}A_n\)이 \(D(A_n)\)에서 존재한다.

두 명제 모두에서 \(E|_{X_n}\)은 \(E\)의 \(X_n\)로의 유도 당김을 나타낸다.

증명

(2)의 증명. \(E_n=E|_{X_n}\) 및 \(N_n=R\Hom_{X_n}(E_n,\mathcal{F}_n)\)이라 쓰자. \(R\Hom_{X_n}(-,-)\)는 \(R\Gamma(X_n,R\SheafHom(-,-))\)와 같음을 상기하자. Cohomology on Sites, Section 0B6E을 보라. 따라서 Derived Categories of Spaces, Lemma 0A1R에 의해 \(N_n\)은 \(D(A_n)\)의 완전 대상이고, 이를 만드는 과정은 밑변환과 가환한다. 그러므로 사상 \(N_n\otimes_{A_n}^\mathbf{L}A_{n-1}\to N_{n-1}\)은 \(\varphi_n\)에서 오며 동형이다. More on Algebra, Lemma 0CQG에 의해 \(R\lim N_n\)은 완전이고, 이를 다시 \(A_n\)으로 밑변환하면 \(N_n\)을 회복한다. 한편 삼각 범주들의 완전 함자 \(R\Hom_X(E,-):D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D(A)\)는 곱과 가환하므로 유도 극한과도 가환한다. 따라서 \[R\Hom_X(E,K)= R\lim R\Hom_X(E,\mathcal{F}_n)= R\lim R\Hom_X(E_n,\mathcal{F}_n)= R\lim N_n\] 이다. 이는 (2)를 증명한다. (1)이 성립함을 보려면 Cohomology on Sites, Lemma 08JJ를 사용하여 (1)을 (2)로 옮기면 된다.

보조정리

Situation 0CX4에서 \(K\)를 Lemma 0CX5에서와 같이 두자. 그러면 \(K\)는 \(A\)에 대하여 유사연접이다.

증명

Lemma 0CX6와 Derived Categories of Spaces, Lemma 0CWH를 결합하면, \(R\Gamma(X,K\otimes^\mathbf{L}E)\)가 \(D(A)\)에서 유사연접임을 알 수 있다. 이는 모든 유사연접 대상 \(E\)에 대하여 성립하며, 이 대상들은 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속한다. 따라서 More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CTT에서 보조정리가 따른다.

보조정리

Situation 0CX4에서 \(K\)를 Lemma 0CX5에서와 같이 두자. \(U\to X\)가 에탈 사상이고 \(U\)가 준콤팩트 준분리이면 \[R\Gamma(U,K)\otimes_A^\mathbf{L}A_n= R\Gamma(U_n,\mathcal{F}_n)\] 이 \(D(A_n)\)에서 성립한다. 여기서 \(U_n=U\times_X X_n\)이다.

증명

\(n\)을 고정하자. Derived Categories of Spaces, Lemma 0CRW에 의해 완전 복합체들의 계 \(E_m\)이 \(X\) 위에 존재하여 \(R\Gamma(U,K)=\text{hocolim} R\Gamma(X,K\otimes^\mathbf{L}E_m)\) 이 된다. 실제로 이 공식은 \(K\)뿐 아니라 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 모든 대상에 대하여 성립한다. 이를 \(\mathcal{F}_n\)에 적용하면 \[\begin{align*} R\Gamma(U_n,\mathcal{F}_n) &= R\Gamma(U,\mathcal{F}_n)\\ &= \text{hocolim}_m R\Gamma(X,\mathcal{F}_n\otimes^\mathbf{L}E_m)\\ &= \text{hocolim}_m R\Gamma(X_n,\mathcal{F}_n\otimes^\mathbf{L}E_m|_{X_n}) \end{align*}\] 을 얻는다. Lemma 0CX6와 \(-\otimes_A^\mathbf{L}A_n\)이 호모토피 여극한과 가환한다는 사실을 사용하면 결과를 얻는다.

보조정리

Situation 0CX4에서 \(K\)를 Lemma 0CX5에서와 같이 두자.

\(X_0\subset |X|\)로 닫힌 부분집합 \(\Spec(A_1)=\Spec(A_2)=\ldots\) 위에 놓이는 점들로 이루어진 부분집합을 나타내자. 이 닫힌 부분집합은 \(\Spec(A)\) 안에 있다. 열린 부분공간 \(W\subset X\)가 존재하여 \(X_0\)를 포함하고 다음이 성립한다.

1. \(H^i(K)|_W\)는 \(i=0\)이 아니면 영이다.

2. \(\mathcal{F}=H^0(K)|_W\)는 유한 표시이다.

3. \(\mathcal{F}_n= \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_{X_n}\)이다.

증명

\(n\geq1\)을 고정하자. 구성에 의해 표준 사상 \(K\to\mathcal{F}_n\)이 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에서 존재하고, 따라서 준연접층들의 표준 사상 \(H^0(K)\to\mathcal{F}_n\)이 존재한다. 이것이 (3)의 뜻을 설명한다.

\(x\in X_0\)를 점이라 하자. 열린 근방 \(W\)를 \(x\)에 대하여 찾되 (1), (2), (3)이 성립하게 하겠다. \(X_0\)가 준콤팩트이므로 이것으로 보조정리가 증명된다. \(U\to X\)를 에탈 사상이라 하되 \(U\)는 아핀이고 \(u\in U\)는 \(x\)로 가는 점이라 하자. \(|U|\to|X|\)가 열린 사상이므로 (1), (2), (3)이 성립하는 \(u\)의 열린 근방을 찾으면 충분하며, 이 근방은 \(U\) 안에 있다. \(U=\Spec(B)\)라 하자. 전사 \(P\to B\)를 택하되 \(P\)는 \(A\) 위에서 매끄럽다고 하자. Lemma 0CX7와 상대적 유사연접성의 정의에 의해 위로 유계인 복합체 \(F^\bullet\)이 존재하는데, 이는 유한 자유 \(P\)-가군들로 이루어지고

\(Ri_*K\)를 나타낸다. 여기서 \(i:U\to\Spec(P)\)는 이 표시가 유도하는 닫힌 몰입이다. \(M_n\)을 \(B\)-가군으로서 \(\mathcal{F}_n|_U\)에 대응하는 것이라 하자. Lemma 0CX8에 의해 \[H^i(F^\bullet\otimes_A A_n)= \left\{ \begin{matrix} 0&\text{if}&i\not=0\\ M_n&\text{if}&i=0 \end{matrix} \right.\] 이다. \(i\)를 \(F^i\)가 영이 아닌 최대 첨자라 하자. \(i\leq0\)이면 (1), (2), (3)이 성립한다. 그렇지 않으면 \(i>0\)이고, 사상 \[F^{i-1}\to F^i\] 의 점 \(u\)에서의 계수가 최대임을 알 수 있다.

따라서 \(u\)의 열린 근방에서 계수는 최대이며, 이 근방은 \(\Spec(P)\) 안에 있다. \(P\)를 주국소화로 바꾼 뒤 표시된 사상이 전사라고 가정할 수 있다. \(F^i\)가 유한 자유이므로 분할 \(F^{i-1}=F'\oplus F^i\)를 택할 수 있다. 그러면 \(F^\bullet\)을 복합체 \[\ldots\to F^{i-2}\to F'\to0\to\ldots\] 로 바꿀 수 있고, \(i\)에 관한 귀납법으로 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 0CX4에서 \(K\)를 Lemma 0CX5에서와 같이 두자. \(W\subset X\)를 Lemma 0CX9에서와 같이 두고 \(\mathcal{F}=H^0(K)|_W\)라 하자. 그러면 열린집합 \(W\)를 필요하면 줄인 뒤 \(\mathcal{F}\)의 지지는 \(A\) 위에서 proper이다.

증명

\(n\geq1\)을 고정하자. \(I_n=\Ker(A\to A_n)\)이라 하자. More on Algebra, Lemma 0CT7에 의해 쌍 \((A,I_n)\)은 헨젤이다. \(Z\subset W\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이므로 이는 닫힌 부분공간이다. Lemma 0CX9의 (3)에 의해 \(Z\times_{\Spec(A)}\Spec(A_n)\)은 \(\mathcal{F}_n\)의 지지와 같고, 따라서

\(\Spec(A/I)\) 위에서 proper이다. More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CWI에 의해 \(Z=Z_1\amalg Z_2\)라 쓸 수 있다. 여기서 \(Z_1,Z_2\)는 \(Z\)에서 열리고 닫혀 있으며, \(Z_1\)은 \(A\) 위에서 proper이고, \(Z_1\times_{\Spec(A)}\Spec(A/I_n)\)은 \(\mathcal{F}_n\)의 지지와 같다. 다시 말해 \(|Z_2|\)는 \(X_0\)와 만나지 않는다. 따라서 \(W\)를 \(W\setminus Z_2\)로 바꾸면 보조정리를 얻는다.

정리

Situation 0CX4에서 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재하여, \(A\) 위에서 평탄하고 그 지지가 \(A\) 위에서 proper이며, \(\mathcal{F}_n= \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{O}_{X_n}\)이 모든 \(n\)에 대하여 성립하고 사상 \(\varphi_n\)과 양립한다.

증명

Lemmas 0CX5, 0CX6, 0CX7, 0CX8, 0CX9, 및 0CXA를 적용하면 열린 부분공간 \(W\subset X\)를 얻으며, 이는 모든 \(\Spec(A_n)\) 위의 점을 포함한다. 또한 유한 표시 \(\mathcal{O}_W\)-가군 \(\mathcal{F}\)를 얻는다. 그 지지는 \(A\) 위에서 proper이고, \(\mathcal{F}_n= \mathcal{F}\otimes_{\mathcal{O}_W}\mathcal{O}_{X_n}\)가 모든 \(n\geq1\)에 대하여 성립한다 (\(X_n\subset W\)이므로 이는 뜻이 있다). Lemma 0CVI에 의해 \(\mathcal{F}\)는 \(\Spec(A)\)에 대하여 보편적으로 순수하다. Theorem 0CX1에 의해 (설명은 Lemma 0CX2을 보라) 보편적 평탄화 \(S'\to\Spec(A)\)가 \(\mathcal{F}\)에 대하여 존재하고, 사상 \(S'\to\Spec(A)\)는 유한 표시 단사 사상이다. 특히 \(S'\)은 스킴이다. 이는 정리의 증명에서 따르지만,

Morphisms of Spaces, Proposition 03XX에 의해 a postoriori로도 따른다. \(\mathcal{F}\)의 \(\Spec(A_n)\)로의 밑변환은 \(\mathcal{F}_n\)이므로 \(\Spec(A_n)\to\Spec(A)\)가 \(S'\)을 통해 유일하게 분해됨을 안다. 이는 각 \(n\)에 대하여 성립한다. More on Flatness, Lemma 0CTJ에 의해 \(S'=\Spec(A)\)임을 알 수 있다. 이는 \(\mathcal{F}\)가 \(A\) 위에서 평탄이라는 뜻이다. 마지막으로 \(Z\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자. 이는 \(\Spec(A)\) 위에서 proper이므로 사상 \(Z\to X\)는 닫혀 있다. 따라서 전진상 \((W\to X)_*\mathcal{F}\)는

\(W\) 위에 지지되고 원하는 모든 성질을 갖는다.

그로텐디크 존재 정리, bis

이 절에서는 준연접 가군에 대하여 Section 0CX3에서 사용한 방법을 따라 유도 범주에서의

그로텐디크 존재 정리의 유사물을 증명한다. 이 절은 대수공간에 대한 More on Flatness, Section 0DIA의 유사물이다. 고전적인 경우(대수공간에 대한 경우)는 More on Morphisms of Spaces, Section 089N에서 논의한다. 다음 상황에서 작업한다.

설정

여기서는 전이 사상들이 전사이고 그 핵들이 국소 멱영인 환들의 역계 \((A_n)\)이 주어져 있다. \(A=\lim A_n\)이라 두자. 대수공간 \(X\)가 주어져 있고, 이는 \(A\) 위에서 proper이고 평탄하며 유한 표시이다. \(X_n=X\times_{\Spec(A)}\Spec(A_n)\)이라 두고 이를 \(X\)의 닫힌 부분공간으로 본다. 또한 계 \((K_n,\varphi_n)\)이 주어져 있다고 가정한다. 여기서 \(K_n\)은 \(D(\mathcal{O}_{X_n})\)의 유사연접 대상이고, \[\varphi_n:K_n\longrightarrow K_{n-1}\] 은 \(D(\mathcal{O}_{X_n})\)의 사상으로서 \(K_n\otimes_{\mathcal{O}_{X_n}}^\mathbf{L} \mathcal{O}_{X_{n-1}}\to K_{n-1}\)을 유도하고, 이 사상은 \(D(\mathcal{O}_{X_{n-1}})\)에서 동형이다.

더 정확하게는 \(\varphi_n:K_n\to Ri_{n-1,*}K_{n-1}\)이라 써야 한다. 여기서 \(i_{n-1}:X_{n-1}\to X_n\)은 포함 사상이다. 이 표기법에서 조건은 수반 사상 \(Li_{n-1}^*K_n\to K_{n-1}\)이 동형이라는 것이다. 목표는 유사연접 \(K\in D(\mathcal{O}_X)\)를 찾아 \(K_n=K\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}\mathcal{O}_{X_n}\)이 모든 \(n\)에 대하여 성립하게 하는 것이다 (동일한 표기의 남용을 사용한다).

보조정리

Situation 0DIK에서 \[K=R\lim_{D_\QCoh(\mathcal{O}_X)}(K_n)= DQ_X(R\lim_{D(\mathcal{O}_X)}K_n)\] 를 생각하자. 그러면 \(K\)는 \(D^-_{\QCoh}(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

증명

함자 \(DQ_X\)는 \(X\)가 준콤팩트 준분리이므로 존재한다. Derived Categories of Spaces, Lemma 0CR4를 보라. \(DQ_X\)는 오른쪽 수반이므로 곱과 가환하고, 따라서 유도 극한과도 가환한다. 이로부터 보조정리의 등식이 따른다.

Derived Categories of Spaces, Lemma 0CSS에 의해 함자 \(DQ_X\)의 코호몰로지 차원은 유계이다. 따라서 \(R\lim K_n\in D^-(\mathcal{O}_X)\)임을 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해 \(U\to X\)를 에탈 사상이라 하되 \(U\)는 아핀이라고 하자. 그러면 Cohomology on Sites, Lemma 0D6K에 의해 표준 완전열 \[0\to R^1\lim H^{m-1}(U,K_n)\to H^m(U,R\lim K_n)\to \lim H^m(U,K_n)\to0\] 이 존재한다. \(U\)가 아핀이고 \(K_n\)이 유사연접이므로 (따라서 Derived Categories of Spaces, Lemma 08JL에 의해 그 코호몰로지 층들은 준연접이다), Derived Categories of Schemes, Lemma 06Z0에 의해 \(H^m(U,K_n)=H^m(K_n)(U)\)임을 알 수 있다. 따라서 \(K_n\)이 \(n\)과 무관하게 위로 유계임을 보이면 충분하다고 결론 내린다.

\(K_n\)이 유사연접이므로 \(K_n\in D^-(\mathcal{O}_{X_n})\)이다.

\(a_n\)을 \(H^{a_n}(K_n)\)이 영이 아닌 최대 정수라 하자. 물론 \(a_1\leq a_2\leq a_3\leq\ldots\)이다. \(H^{a_n}(K_n)\)은 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_n}\)-가군임에 유의하자 (Cohomology on Sites, Lemma 08FX). 다음이 성립한다. \[H^{a_n}(K_{n-1})= H^{a_n}(K_n)\otimes_{\mathcal{O}_{X_n}}\mathcal{O}_{X_{n-1}}\] \(X_{n-1}\to X_n\)은 두껍게 하기이므로 Nakayama 보조정리 (Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(H^{a_n}(K_n)\otimes_{\mathcal{O}_{X_n}} \mathcal{O}_{X_{n-1}}\)이 영이면 \(H^{a_n}(K_n)\)도 영이다 (예를 들어 줄기에서 확인하면 된다. 작은 세부사항은 생략한다). 따라서

\(a_{n-1}=a_n\)이 모든 \(n\)에 대하여 성립하고 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 0DIK에서 \(K\)를 Lemma 0DIL에서와 같이 두자. \(E\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 임의의 완전 대상이라 하자. 코호몰로지 \[M=R\Gamma(X,K\otimes^\mathbf{L}E)\] 는 \(D(A)\)의 유사연접 대상이고, 표준 동형 \[R\Gamma(X_n,K_n\otimes^\mathbf{L}E|_{X_n})= M\otimes_A^\mathbf{L}A_n\] 이 \(D(A_n)\)에서 존재한다. 여기서 \(E|_{X_n}\)은 \(E\)의 \(X_n\)로의 유도 당김을 나타낸다.

증명

\(E_n=E|_{X_n}\) 및 \(M_n=R\Gamma(X_n,K_n\otimes^\mathbf{L}E|_{X_n})\)이라 쓰자. Derived Categories of Spaces, Lemma 0CTN에 의해 \(M_n\)은 \(D(A_n)\)의 유사연접 대상이고, 이를 만드는 과정은 밑변환과 가환한다. 따라서 사상 \(M_n\otimes_{A_n}^\mathbf{L}A_{n-1}\to M_{n-1}\)은 \(\varphi_n\)에서 오며 동형이다. More on Algebra, Lemma 0CQF에 의해 \(R\lim M_n\)은 유사연접이고, 이를 다시 \(A_n\)으로 밑변환하면 \(M_n\)을 회복한다. 한편 삼각 범주들의 완전 함자 \(R\Gamma(X,-):D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\to D(A)\)는 곱과 가환하므로 유도 극한과도 가환한다. 따라서 원하는 대로 \[R\Gamma(X,E\otimes^\mathbf{L}K)= R\lim R\Gamma(X,E\otimes^\mathbf{L}K_n)= R\lim R\Gamma(X_n,E_n\otimes^\mathbf{L}K_n)= R\lim M_n\] 이다.

보조정리

Situation 0DIK에서 \(K\)를 Lemma 0DIL에서와 같이 두자. 그러면 \(K\)는 \(X\) 위에서 유사연접이다.

증명

Lemma 0DIM와 Derived Categories of Spaces, Lemma 0CWH를 결합하면, \(R\Gamma(X,K\otimes^\mathbf{L}E)\)가 \(D(A)\)에서 유사연접임을 알 수 있다. 이는 모든 유사연접 대상 \(E\)에 대하여 성립하며, 이 대상들은 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 속한다. 따라서 More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CTT에 의해 \(K\)는 \(A\)에 대하여 유사연접이다.

\(X\)가 \(A\) 위에서 of 평탄이고 유한 표시이므로, 이는 \(X\) 위에서 유사연접인 것과 같다. More on Morphisms of Spaces, Lemma 0DII를 보라.

보조정리

Situation 0DIK에서 \(K\)를 Lemma 0DIL에서와 같이 두자. \(U\to X\)가 에탈 사상이고 \(U\)가 준콤팩트 준분리이면 \[R\Gamma(U,K)\otimes_A^\mathbf{L}A_n= R\Gamma(U_n,K_n)\] 이 \(D(A_n)\)에서 성립한다. 여기서 \(U_n=U\times_X X_n\)이다.

증명

\(n\)을 고정하자. Derived Categories of Spaces, Lemma 0CRW에 의해 완전 복합체들의 계 \(E_m\)이 \(X\) 위에 존재하여 \(R\Gamma(U,K)=\text{hocolim} R\Gamma(X,K\otimes^\mathbf{L}E_m)\) 이 된다. 실제로 이 공식은 \(K\)뿐 아니라 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 모든 대상에 대하여 성립한다. 이를 \(K_n\)에 적용하면 \[\begin{align*} R\Gamma(U_n,K_n) &= R\Gamma(U,K_n)\\ &= \text{hocolim}_m R\Gamma(X,K_n\otimes^\mathbf{L}E_m)\\ &= \text{hocolim}_m R\Gamma(X_n,K_n\otimes^\mathbf{L}E_m|_{X_n}) \end{align*}\] 을 얻는다. Lemma 0DIM와 \(-\otimes_A^\mathbf{L}A_n\)이 호모토피 여극한과 가환한다는 사실을 사용하면 결과를 얻는다.

정리

Situation 0DIK에서 유사연접 대상 \(K\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 존재하여 \(K_n=K\otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L}\mathcal{O}_{X_n}\)이 모든 \(n\)에 대하여 사상 \(\varphi_n\)과 양립하게 성립한다.

증명

Lemmas 0DIL, 0DIM, 0DIN를 적용하여 \(K\)를 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 유사연접 대상으로 얻는다. Lemma 0DIP에서 아핀 \(U\)를 택하면 \(K\)를 제한한 것이 \(K_n\)임이 즉시 따르며, 그 제한은 \(X_n\) 위에서 취한다.

주

이 절의 결과는 일반화할 수 있다. \(X\to\Spec(A)\)가 분리이고 유한 표시이며, \(K_n\)이 \(A_n\)에 대하여 유사연접이고 \(X_n\)의 닫힌 부분집합 위에 지지되며 그 부분집합이 \(A_n\) 위에서 proper이라고만 가정해도 아마 옳을 것이다. 결과로 \(K\)를 얻을 것이며, 이는 \(A\)에 대하여 유사연접이고 \(A\) 위에서 proper인 닫힌 부분집합 위에 지지된다. 이 결과가 필요해지면 여기서 정확한 명제를 정식화하고 증명하겠다.