Faisceaux sur les espaces

Introduction

Les propriétés fondamentales des faisceaux sur les espaces topologiques seront exposées dans ce chapitre. On pourra consulter [Godement].

La discussion des faisceaux sur les sites donnée plus loin dans ces documents remplacera cet exposé. Mais il est peut-être utile de définir brièvement ici certaines des notions en jeu.

Notions de base

Voici une liste de notions fondamentales de topologie.

1. Soit \(X\) un espace topologique. L’expression : « Soit \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert » signifie ce qui suit : \(I\) est un ensemble et, pour chaque \(i \in I\), on se donne une partie ouverte \(U_i \subset X\) telle que \(U\) soit la réunion des \(U_i\). On autorise \(I = \emptyset\) ; dans ce cas, il n’y a aucun \(U_i\) et \(U = \emptyset\). Lorsque \(I \not = \emptyset\), il est également permis que certains, voire tous, les \(U_i\) soient vides.

2. etc., etc.

Préfaisceaux

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X\) est une règle qui associe à chaque ouvert \(U \subset X\) un ensemble \(\mathcal{F}(U)\) et à chaque inclusion \(V \subset U\) une application \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) telle que \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\) et que, si \(W \subset V \subset U\), on ait \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\).

2. Un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de préfaisceaux d’ensembles sur \(X\) est une règle qui associe à chaque ouvert \(U \subset X\) une application d’ensembles \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) compatible avec les applications de restriction, c’est-à-dire que, lorsque \(V \subset U \subset X\) sont ouverts, le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^\varphi \ar[d]^{\rho^U_V} & \mathcal{G}(U) \ar[d]^{\rho^U_V} \\ \mathcal{F}(V) \ar[r]^\varphi & \mathcal{G}(V) }\] est commutatif.

3. La catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur \(X\) sera notée \(\textit{PSh}(X)\).

Les éléments de l’ensemble \(\mathcal{F}(U)\) sont appelés les sections de \(\mathcal{F}\) sur \(U\). Pour tout \(V \subset U\), l’application \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) est appelée l’application de restriction. Nous emploierons la notation \(s|_V := \rho^U_V(s)\) si \(s\in \mathcal{F}(U)\). Cette notation est compatible avec la notion topologique de restriction des fonctions, car si \(W \subset V \subset U\) et si \(s\) est une section de \(\mathcal{F}\) sur \(U\), alors \(s|_W = (s|_V)|_W\), par la propriété des applications de restriction exprimée dans la définition ci-dessus.

Une autre notation souvent employée consiste à désigner les sections sur un ouvert \(U\) par le symbole \(\Gamma(U, -)\) ou par \(H^0(U, -)\). Autrement dit, les égalités suivantes sont tautologiques : \[\Gamma(U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U) = H^0(U, \mathcal{F}).\] Nous n’emploierons pas cette notation dans ce chapitre, mais nous l’emploierons dans d’autres chapitres.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(A\) un ensemble. Le préfaisceau constant de valeur \(A\) est le préfaisceau qui associe l’ensemble \(A\) à tout ouvert \(U \subset X\) et dont toutes les applications de restriction sont \(\text{id}_A\).

Préfaisceaux abéliens

Dans cette section, nous indiquons brièvement quelques propriétés de la catégorie des préfaisceaux qui permettent de définir les préfaisceaux de groupes abéliens.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Considérons une règle \(\mathcal{F}\) qui associe un singleton à toute partie ouverte de \(X\). Comme tout ensemble admet une unique application vers un singleton, les applications de restriction \(\rho^U_V\) existent et sont uniques. La structure ainsi obtenue est un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). C’est un objet final de la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur \(X\), en vertu de la propriété des singletons mentionnée ci-dessus. Il est donc également unique à isomorphisme unique près. Nous désignerons parfois ce préfaisceau par \(*\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. La catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur \(X\) admet des produits (voir Catégories, Définition 002I). De plus, l’ensemble des sections du produit \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\) sur un ouvert \(U\) est le produit des ensembles de sections de \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sur \(U\).

Démonstration

En effet, supposons que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) soient des préfaisceaux d’ensembles sur l’espace topologique \(X\). Considérons la règle \(U \mapsto \mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U)\), notée \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\). Si \(V \subset U \subset X\) sont ouverts, définissons l’application de restriction \[(\mathcal{F} \times \mathcal{G})(U) \longrightarrow (\mathcal{F} \times \mathcal{G})(V)\] par la formule \((s, t) \mapsto (s|_V, t|_V)\). Il est alors immédiatement clair que \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\) est un préfaisceau. Il existe en outre des morphismes de projection \(p : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) et \(q : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{G}\). Nous laissons au lecteur le soin de montrer que, pour tout autre préfaisceau \(\mathcal{H}\), on a \(\Mor(\mathcal{H}, \mathcal{F} \times \mathcal{G}) = \Mor(\mathcal{H}, \mathcal{F}) \times \Mor(\mathcal{H}, \mathcal{G})\).

Rappelons que si \((A, + : A \times A \to A, - : A \to A, 0\in A)\) est un groupe abélien, alors le zéro et l’application de passage à l’opposé sont déterminés de manière unique par la loi d’addition. Autrement dit, il est légitime de dire : « Soit \((A, +)\) un groupe abélien. »

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles. Considérons les types de structures suivants sur \(\mathcal{F}\) :

1. Pour tout ouvert \(U\), une structure de groupe abélien sur \(\mathcal{F}(U)\) telle que toutes les applications de restriction soient des homomorphismes de groupes abéliens.

2. Un morphisme de préfaisceaux \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\), un morphisme de préfaisceaux \(- : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) et un morphisme \(0 : * \to \mathcal{F}\) (voir l’Exemple 006H) satisfaisant tous les axiomes vérifiés par \(+, -, 0\) dans un groupe abélien usuel.

3. Un morphisme de préfaisceaux \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\), un morphisme de préfaisceaux \(- : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) et un morphisme \(0 : * \to \mathcal{F}\) tels que, pour chaque ouvert \(U \subset X\), le quadruplet \((\mathcal{F}(U), +, -, 0)\) soit un groupe abélien,

4. Un morphisme de préfaisceaux \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) tel que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’application \(+ : \mathcal{F}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) définisse une structure de groupe abélien.

Il existe des bijections naturelles entre les collections de données des types (1) à (4) ci-dessus.

Démonstration

Omis.

Le lemme affirme que munir \(\mathcal{F}\) d’une structure d’objet en groupes abéliens dans la catégorie des préfaisceaux revient à se donner un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) tel que tous les ensembles \(\mathcal{F}(U)\) soient munis d’une structure de groupe abélien et que toutes les applications de restriction soient des homomorphismes de groupes. Pour la plupart des structures algébriques, nous procéderons de même pour les (pré)faisceaux de tels objets : autrement dit, nous définirons un (pré)faisceau de tels objets comme un (pré)faisceau \(\mathcal{F}\) d’ensembles dont tous les ensembles de sections \(\mathcal{F}(U)\) sont munis de cette structure d’une manière compatible avec les applications de restriction.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Un préfaisceau de groupes abéliens sur \(X\), ou un préfaisceau abélien sur \(X\), est un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) tel que, pour chaque ouvert \(U \subset X\), l’ensemble \(\mathcal{F}(U)\) soit muni d’une structure de groupe abélien et que toutes les applications de restriction \(\rho^U_V\) soient des homomorphismes de groupes abéliens ; voir le Lemme 006J ci-dessus.

2. Un morphisme de préfaisceaux abéliens sur \(X\) \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de préfaisceaux d’ensembles qui induit un homomorphisme de groupes abéliens \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) pour tout ouvert \(U \subset X\).

3. La catégorie des préfaisceaux de groupes abéliens sur \(X\) est notée \(\textit{PAb}(X)\).

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Pour chaque \(x \in X\), soit \(M_x\) un groupe abélien. Pour \(U \subset X\) ouvert, posons \[\mathcal{F}(U) = \bigoplus\nolimits_{x \in U} M_x.\] Un élément de ce groupe abélien sera noté sous la forme \(\sum_{i = 1}^n m_{x_i}\), où \(x_i \in U\) et \(m_{x_i} \in M_{x_i}\). (Bien entendu, nous pouvons toujours choisir cette écriture de telle sorte que \(x_1, \ldots, x_n\) soient deux à deux distincts.) Pour des ouverts \(V \subset U \subset X\), nous définissons une application de restriction \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) qui envoie un élément \(s = \sum_{i = 1}^n m_{x_i}\) sur l’élément \(s|_V = \sum_{x_i \in V} m_{x_i}\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu’il s’agit d’un préfaisceau de groupes abéliens.

Préfaisceaux de structures algébriques

Précisons la définition des préfaisceaux de structures algébriques. Supposons que \(\mathcal{C}\) soit une catégorie et que \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) soit un foncteur fidèle. En général, \(F\) est un « foncteur d’oubli ». Pour un objet \(M \in \Ob(\mathcal{C})\), nous appelons souvent \(F(M)\) l’ensemble sous-jacent de l’objet \(M\). Si \(M \to M'\) est un morphisme de \(\mathcal{C}\), nous appelons \(F(M) \to F(M')\) l’application ensembliste sous-jacente. En fait, nous ne distinguerons souvent pas un objet de son ensemble sous-jacent, et de même pour les morphismes. Nous dirons donc qu’une application d’ensembles \(F(M) \to F(M')\) est un morphisme de structures algébriques si elle est égale à \(F(f)\) pour un certain morphisme \(f : M \to M'\) de \(\mathcal{C}\).

Par analogie avec la définition 006K ci-dessus, un « préfaisceau d’objets de \(\mathcal{C}\) » pourrait être défini par les données suivantes :

1. un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\), et

2. pour tout ouvert \(U \subset X\), le choix d’un objet \(A(U) \in \Ob(\mathcal{C})\),

soumises aux conditions suivantes (avec la terminologie ci-dessus) :

1. pour tout ouvert \(U \subset X\), l’ensemble \(\mathcal{F}(U)\) est l’ensemble sous-jacent de \(A(U)\), et

2. pour tous ouverts \(V \subset U \subset X\), l’application d’ensembles \(\rho_V^U: \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) est un morphisme de structures algébriques.

Autrement dit, pour tous ouverts \(V \subset U\) de \(X\), l’application de restriction \(\rho^U_V\) est l’image \(F(\alpha^U_V)\) d’un unique morphisme \(\alpha^U_V : A(U) \to A(V)\) de la catégorie \(\mathcal{C}\). L’unicité découle de ce que \(F\) est fidèle ; elle implique également que \(\alpha^U_W = \alpha^V_W \circ \alpha^U_V\) lorsque \(W \subset V \subset U\) sont des ouverts de \(X\). Le système \((A(-), \alpha^U_V)\) est ce que nous définirons comme un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\) ; comparer Sites, définition 00V3. Nous retrouvons notre préfaisceau d’ensembles \((\mathcal{F}, \rho_V^U)\) au moyen des règles \(\mathcal{F}(U) = F(A(U))\) et \(\rho_V^U = F(\alpha_V^U)\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie.

1. Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) est la donnée d’une règle qui associe à tout ouvert \(U \subset X\) un objet \(\mathcal{F}(U)\) de \(\mathcal{C}\) et à toute inclusion \(V \subset U\) un morphisme \(\rho_V^U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) de \(\mathcal{C}\) tel que, lorsque \(W \subset V \subset U\), on ait \(\rho_W^U = \rho_W^V \circ \rho_V^U\).

2. Un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de préfaisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\) est donné par un morphisme \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) de \(\mathcal{C}\) compatible avec les morphismes de restriction.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur fidèle. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(X\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Le préfaisceau d’ensembles \(U \mapsto F(\mathcal{F}(U))\) est appelé le préfaisceau d’ensembles sous-jacent à \(\mathcal{F}\).

Il est d’usage d’employer la même lettre \(\mathcal{F}\) pour désigner le préfaisceau d’ensembles sous-jacent, et cela est justifié par la discussion qui précède la définition 006N. En particulier, l’expression « soit \(s \in \mathcal{F}(U)\) » ou « soit \(s\) une section de \(\mathcal{F}\) au-dessus de \(U\) » signifie que \(s \in F(\mathcal{F}(U))\).

Cette notation et ces définitions s’appliquent en particulier aux préfaisceaux de groupes (non nécessairement abéliens), d’anneaux, de modules sur un anneau fixé, d’espaces vectoriels sur un corps fixé, etc., ainsi qu’aux morphismes entre ceux-ci.

Préfaisceaux de modules

Supposons que \(\mathcal{O}\) soit un préfaisceau d’anneaux sur \(X\). Nous voudrions définir la notion de préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(X\). Par analogie avec la définition 006K, nous serions tentés de le définir comme un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) tel que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’ensemble \(\mathcal{F}(U)\) soit muni d’une structure de \(\mathcal{O}(U)\)-module compatible avec les applications de restriction (de \(\mathcal{F}\) et de \(\mathcal{O}\)). Il est cependant d’usage (et équivalent) d’adopter la définition suivante.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique, et soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(X\).

1. Un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est la donnée d’un préfaisceau abélien \(\mathcal{F}\) et d’une application de préfaisceaux d’ensembles \[\mathcal{O} \times \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] telle que, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’application \(\mathcal{O}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) définisse une structure de \(\mathcal{O}(U)\)-module sur le groupe abélien \(\mathcal{F}(U)\).

2. Un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est un morphisme de préfaisceaux abéliens \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) tel que le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_{\text{id} \times \varphi} & \mathcal{F} \ar[d]^{\varphi} \\ \mathcal{O} \times \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G} }\] soit commutatif.

3. L’ensemble des morphismes de \(\mathcal{O}\)-modules ci-dessus est noté \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\).

4. La catégorie des préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est notée \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\).

Supposons que \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) soit un morphisme de préfaisceaux d’anneaux sur \(X\). Dans ce cas, si \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules, nous pouvons considérer \(\mathcal{F}\) comme un préfaisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules en utilisant la composée \[\mathcal{O}_1 \times \mathcal{F} \to \mathcal{O}_2 \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}.\] Nous notons parfois ce préfaisceau \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\) pour indiquer la restriction des scalaires. Nous appelons ceci la restriction de \(\mathcal{F}\). Nous obtenons le foncteur de restriction \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_1)\]

D’autre part, étant donné un préfaisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules \(\mathcal{G}\), nous pouvons construire un préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) par la règle \[\left(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\right)(U) = \mathcal{O}_2(U) \otimes_{\mathcal{O}_1(U)} \mathcal{G}(U)\] L’indice \(p\) signifie « préfaisceau » et non « point ». Ce préfaisceau est appelé le préfaisceau produit tensoriel. Nous obtenons le foncteur d’extension des scalaires \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_2)\]

Lemme

Avec \(X\), \(\mathcal{O}_1\), \(\mathcal{O}_2\), \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme ci-dessus, il existe une bijection canonique \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] Autrement dit, les foncteurs de restriction et d’extension des scalaires sont adjoints.

Démonstration

Cela résulte du fait que, pour un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), le foncteur de restriction et le foncteur d’extension des scalaires sont adjoints.

Faisceaux

Dans cette section, nous expliquons la condition de faisceau.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Un faisceau \(\mathcal{F}\) d’ensembles sur \(X\) est un préfaisceau d’ensembles qui satisfait la propriété supplémentaire suivante : étant donnés un recouvrement ouvert quelconque \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) et une famille de sections \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\), \(i \in I\), telle que \(\forall i, j\in I\) \[s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\] il existe une unique section \(s \in \mathcal{F}(U)\) telle que \(s_i = s|_{U_i}\) pour tout \(i \in I\).

2. Un morphisme de faisceaux d’ensembles est simplement un morphisme de préfaisceaux d’ensembles.

3. La catégorie des faisceaux d’ensembles sur \(X\) est notée \(\Sh(X)\).

Remarque

Il subsiste toujours une certaine confusion quant à la nécessité de dire quelque chose sur l’ensemble des sections d’un faisceau au-dessus de l’ensemble vide \(\emptyset \subset X\). Cela est nécessaire, et nous l’avons déjà fait si vous lisez correctement la définition. En effet, remarquez que l’ensemble vide est recouvert par le recouvrement ouvert vide, si bien que la « famille de sections \(s_i\) » de la définition ci-dessus forme en réalité un élément du produit vide, qui est l’objet final de la catégorie dans laquelle le faisceau prend ses valeurs. Autrement dit, si vous lisez correctement la définition, vous en déduisez automatiquement que \(\mathcal{F}(\emptyset) = \textit{un objet final}\), ce qui, dans le cas d’un faisceau d’ensembles, est un singleton. Si cet argument ne vous plaît pas, vous pouvez simplement exiger que \(\mathcal{F}(\emptyset) = \{*\}\).

En particulier, cette condition garantira alors que, si \(U, V \subset X\) sont des ouverts disjoints, alors \[\mathcal{F}(U \cup V) = \mathcal{F}(U) \times \mathcal{F}(V).\] (En effet, le produit fibré au-dessus d’un objet final est un produit.)

Exemple

Soient \(X\), \(Y\) des espaces topologiques. Considérons la règle \(\mathcal{F}\) qui associe à l’ouvert \(U \subset X\) l’ensemble \[\mathcal{F}(U) = \{ f : U \to Y \mid f \text{ est continue}\}\] muni des applications de restriction évidentes. Nous affirmons que \(\mathcal{F}\) est un faisceau. Pour le voir, supposons que \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\) soit un recouvrement ouvert, et que l’on se donne \(f_i \in \mathcal{F}(U_i)\), \(i\in I\), avec \(f_i |_{U_i \cap U_j} = f_j|_{U_i \cap U_j}\) pour tous \(i, j \in I\). Dans ce cas, définissons \(f : U \to Y\) en prenant \(f(u)\) égal à la valeur de \(f_i(u)\) pour n’importe quel \(i \in I\) tel que \(u \in U_i\). Cette application est bien définie par hypothèse. De plus, \(f : U \to Y\) est une application dont la restriction à \(U_i\) coïncide avec l’application continue \(f_i\). Par conséquent, \(f\) est manifestement continue !

Nous pouvons utiliser le résultat de l’exemple pour définir les faisceaux constants. Soit donc \(A\) un ensemble. Munissons \(A\) de la topologie discrète. Soit \(U \subset X\) un ouvert. Nous avons alors \[\{ f : U \to A \mid f\text{ continue}\} = \{ f : U \to A \mid f\text{ localement constante}\}.\] Ainsi, la règle qui associe à un ouvert l’ensemble des applications localement constantes à valeurs dans \(A\) est un faisceau.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(A\) un ensemble. Le faisceau constant de valeur \(A\), noté \(\underline{A}\) ou \(\underline{A}_X\), est le faisceau qui associe à un ouvert \(U \subset X\) l’ensemble de toutes les applications localement constantes \(U \to A\), les applications de restriction étant données par les restrictions de fonctions.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \((A_x)_{x \in X}\) une famille d’ensembles \(A_x\) indexée par les points \(x \in X\). Nous allons construire à partir de ces données un faisceau d’ensembles \(\Pi\). Pour tout ouvert \(U \subset X\), \[\Pi(U) = \prod\nolimits_{x \in U} A_x.\] Pour tous ouverts \(V \subset U \subset X\), définissons une application de restriction par la règle suivante : un élément \(s = (a_x)_{x\in U} \in \Pi(U)\) a pour restriction \(s|_V = (a_x)_{x \in V}\). Il est clair que cela définit un préfaisceau d’ensembles. Nous affirmons que ce préfaisceau est un faisceau. Soit en effet \(U = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Supposons que les \(s_i \in \Pi(U_i)\) soient tels que \(s_i\) et \(s_j\) coïncident sur \(U_i \cap U_j\). Écrivons \(s_i = (a_{i, x})_{x\in U_i}\). La condition de compatibilité implique que \(a_{i, x} = a_{j, x}\) dans l’ensemble \(A_x\) lorsque \(x \in U_i \cap U_j\). Il existe donc un unique élément \(s = (a_x)_{x\in U}\) de \(\Pi(U) = \prod_{x\in U} A_x\) tel que \(a_x = a_{i, x}\) dès que \(x \in U_i\) pour un certain \(i\). Bien entendu, cet élément \(s\) vérifie \(s|_{U_i} = s_i\) pour tout \(i\).

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que, pour tout \(x\in X\), un groupe abélien \(M_x\) soit donné. Considérons le préfaisceau \(\mathcal{F} : U \mapsto \bigoplus_{x \in U} M_x\) défini dans l’exemple 006L. Ce n’est pas un faisceau en général. Par exemple, si \(X\) est un ensemble infini muni de la topologie discrète, alors la condition de faisceau impliquerait que \(\mathcal{F}(X) = \prod_{x\in X} \mathcal{F}(\{x\})\), mais, par définition, nous avons \(\mathcal{F}(X) = \bigoplus_{x \in X} M_x = \bigoplus_{x \in X} \mathcal{F}(\{x\})\). Or une somme directe infinie diffère en général d’un produit direct infini.

Cependant, si \(X\) est un espace topologique tel que tout ouvert de \(X\) soit quasi-compact, alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau. Ceci est laissé en exercice au lecteur.

Faisceaux abéliens

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Un faisceau abélien sur \(X\) ou un faisceau de groupes abéliens sur \(X\) est un préfaisceau abélien sur \(X\) tel que le préfaisceau d’ensembles sous-jacent soit un faisceau.

2. La catégorie des faisceaux de groupes abéliens est notée \(\textit{Ab}(X)\).

Soit \(X\) un espace topologique. Dans le cas d’un préfaisceau abélien \(\mathcal{F}\), la condition de faisceau relative à un recouvrement ouvert \(U = \bigcup U_i\) s’exprime souvent en disant que le complexe de groupes abéliens \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})\] est exact. La première application est l’application usuelle, tandis que la seconde envoie l’élément \((s_i)_{i \in I}\) sur l’élément \[( s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} - s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} )_{(i_0, i_1)} \in \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})\]

Faisceaux de structures algébriques

Précisons la définition des faisceaux de certaines espèces de structures. Commençons par reformuler la condition de faisceau. Supposons donc que \(\mathcal{F}\) soit un préfaisceau d’ensembles sur l’espace topologique \(X\). La condition de faisceau peut se reformuler comme suit. Soit \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1}) }\] Ici, l’application de gauche est définie par la règle \(s \mapsto \prod_{i \in I} s|_{U_i}\). Les deux applications de droite sont les applications \[\prod\nolimits_i s_i \mapsto \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} \text{ resp. } \prod\nolimits_i s_i \mapsto \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}}.\] La condition de faisceau signifie exactement que la flèche de gauche est l’égalisateur des deux flèches de droite. Cette reformulation s’étend immédiatement aux préfaisceaux à valeurs dans une catégorie, pourvu que celle-ci admette des produits.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie admettant des produits. Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\) est un faisceau si, pour tout recouvrement ouvert, le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1}) }\] est un diagramme égalisateur dans la catégorie \(\mathcal{C}\).

Supposons que \(\mathcal{C}\) soit une catégorie et que \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) soit un foncteur fidèle. Un bon exemple à garder à l’esprit est le cas où \(\mathcal{C}\) est la catégorie des groupes abéliens et \(F\) le foncteur d’oubli. Considérons un préfaisceau \(\mathcal{F}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\). Nous voudrions reformuler la condition précédente en termes du préfaisceau d’ensembles sous-jacent (Définition 006O). Remarquons que le préfaisceau d’ensembles sous-jacent est un faisceau d’ensembles si et seulement si tous les diagrammes \[\xymatrix{ F(\mathcal{F}(U)) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} F(\mathcal{F}(U_i)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} F(\mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})) }\] d’ensembles – après application du foncteur d’oubli \(F\) – sont des diagrammes égalisateurs ! Nous voudrions donc que \(\mathcal{C}\) admette des produits et des égalisateurs et que \(F\) commute avec ces constructions. Cela équivaut à demander que \(\mathcal{C}\) admette des limites et que \(F\) commute avec elles ; voir Catégories, Lemme 002N. Mais cela ne suffit pas encore (voir l’Exemple 0075) ; il faut aussi que \(F\) reflète les isomorphismes. Cette propriété signifie que, pour tout morphisme \(f : A \to A'\) de \(\mathcal{C}\), \(f\) est un isomorphisme si (et seulement si) \(F(f)\) est une bijection.

Lemme

Supposons que la catégorie \(\mathcal{C}\) et le foncteur \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) possèdent les propriétés suivantes :

1. \(F\) est fidèle,

2. \(\mathcal{C}\) admet des limites et \(F\) commute avec elles, et

3. le foncteur \(F\) reflète les isomorphismes.

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Alors \(\mathcal{F}\) est un faisceau si et seulement si le préfaisceau d’ensembles sous-jacent est un faisceau.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau. Alors \(\mathcal{F}(U)\) est l’égalisateur du diagramme ci-dessus et, par hypothèse, \(F(\mathcal{F}(U))\) est l’égalisateur du diagramme correspondant d’ensembles. Ainsi, \(F(\mathcal{F})\) est un faisceau d’ensembles.

Supposons que \(F(\mathcal{F})\) soit un faisceau. Soit \(E \in \Ob(\mathcal{C})\) l’égalisateur des deux flèches parallèles de la Définition 0072. Nous obtenons un morphisme canonique \(\mathcal{F}(U) \to E\), simplement parce que \(\mathcal{F}\) est un préfaisceau. Par hypothèse, l’application induite \(F(\mathcal{F}(U)) \to F(E)\) est un isomorphisme, puisque \(F(E)\) est l’égalisateur du diagramme correspondant d’ensembles. Nous voyons donc que \(\mathcal{F}(U) \to E\) est un isomorphisme par la condition (3) du lemme.

Le lemme s’applique en particulier aux faisceaux de groupes, d’anneaux, d’algèbres sur un anneau fixé, de modules sur un anneau fixé, d’espaces vectoriels sur un corps fixé, etc. Autrement dit, ce sont les préfaisceaux de groupes, d’anneaux, de modules sur un anneau fixé, d’espaces vectoriels sur un corps fixé, etc., dont le préfaisceau d’ensembles sous-jacent est un faisceau.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Pour tout ouvert \(U \subset X\), considérons la \(\mathbf{R}\)-algèbre \(\mathcal{C}^{0}(U) = \{ f : U \to \mathbf{R} \mid f\text{ est continue}\}\). Les applications de restriction évidentes en font un préfaisceau de \(\mathbf{R}\)-algèbres sur \(X\). D’après l’Exemple 006V, c’est un faisceau d’ensembles. Le Lemme 0073 montre donc que c’est un faisceau de \(\mathbf{R}\)-algèbres sur \(X\).

Exemple

Considérons la catégorie des espaces topologiques \(\textit{Top}\). Il existe un foncteur fidèle naturel \(\textit{Top} \to \textit{Ensembles}\) qui commute aux produits et aux égalisateurs. Mais il ne reflète pas les isomorphismes. En fait, il s’avère que l’analogue du Lemme 0073 est faux. En effet, supposons \(X = \mathbf{N}\) muni de la topologie discrète. Donnons-nous des espaces topologiques discrets \(A_i\), pour \(i \in \mathbf{N}\). Pour toute partie \(U \subset \mathbf{N}\), définissons \(\mathcal{F}(U) = \prod_{i\in U} A_i\), muni de la topologie discrète. On obtient alors un préfaisceau d’espaces topologiques dont le préfaisceau d’ensembles sous-jacent est un faisceau ; voir l’Exemple 006X. Cependant, si chaque \(A_i\) possède au moins deux éléments, ce préfaisceau n’est pas un faisceau d’espaces topologiques au sens de la Définition 0072. Le lecteur pourra vérifier qu’en munissant chaque \(\mathcal{F}(U) = \prod_{i\in U} A_i\) de la topologie produit, on obtient bien un faisceau d’espaces topologiques sur \(X\).

Faisceaux de modules

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(X\).

1. Un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules est un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\), voir la Définition 006Q, tel que le préfaisceau de groupes abéliens sous-jacent \(\mathcal{F}\) soit un faisceau.

2. Un morphisme de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est un morphisme de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules.

3. Étant donnés des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\), nous notons \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) l’ensemble des morphismes de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules.

4. La catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules est notée \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\).

Cette définition garde un certain sens même si \(\mathcal{O}\) n’est qu’un préfaisceau d’anneaux, bien que nous ne connaissions aucun exemple où cela soit utile ; nous éviterons d’employer la terminologie « faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules » lorsque \(\mathcal{O}\) n’est pas un faisceau d’anneaux.

Fibres

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(x \in X\) un point. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). La fibre de \(\mathcal{F}\) en \(x\) est l’ensemble \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] où la limite inductive est prise sur l’ensemble des voisinages ouverts \(U\) de \(x\) dans \(X\). L’ensemble des voisinages ouverts est partiellement ordonné par l’inclusion inverse : nous posons \(U \geq U' \Leftrightarrow U \subset U'\). Les morphismes de transition du système sont donnés par les applications de restriction de \(\mathcal{F}\). Voir Catégories, section 002Z pour les notations et la terminologie relatives aux (co)limites de systèmes. Remarquons qu’il s’agit d’une limite inductive filtrante. Il est donc facile de décrire \(\mathcal{F}_x\). Plus précisément, \[\mathcal{F}_x = \{ (U, s) \mid x\in U, s\in \mathcal{F}(U) \}/\sim\] où la relation d’équivalence est donnée par \((U, s) \sim (U', s')\) si et seulement s’il existe un ouvert \(U'' \subset U \cap U'\) tel que \(x \in U''\) et \(s|_{U''} = s'|_{U''}\). Étant donné un couple \((U, s)\), nous notons parfois \(s_x\) l’élément de \(\mathcal{F}_x\) correspondant à la classe d’équivalence de \((U, s)\). Nous employons parfois l’expression « image de \(s\) dans \(\mathcal{F}_x\) » pour désigner \(s_x\). Par exemple, étant donnés deux couples \((U, s)\) et \((U', s')\), nous disons parfois « \(s\) est égal à \(s'\) dans \(\mathcal{F}_x\) » pour indiquer que \(s_x = s'_x\). D’autres auteurs emploient la terminologie « germe de \(s\) en \(x\) ».

Une conséquence évidente de cette définition est que, pour tout ouvert \(U \subset X\), il existe une application canonique \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] définie par \(s \mapsto \prod_{x \in U} (U, s)\). À méditer !

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur l’espace topologique \(X\). Pour tout ouvert \(U \subset X\), l’application \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] est injective.

Démonstration

Supposons que \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\) aient la même image dans chaque fibre \(\mathcal{F}_x\) pour tout \(x \in U\). Cela signifie que, pour tout \(x \in U\), il existe un ouvert \(V^x \subset U\), \(x \in V^x\), tel que \(s|_{V^x} = s'|_{V^x}\). Mais alors \(U = \bigcup_{x \in U} V^x\) est un recouvrement ouvert. L’unicité dans la condition de faisceau entraîne donc que \(s = s'\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X\) est séparé si, pour tout ouvert \(U \subset X\), l’application \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x\) est injective.

Observons aussi que la construction de la fibre \(\mathcal{F}_x\) est fonctorielle par rapport au préfaisceau \(\mathcal{F}\). Autrement dit, elle définit un foncteur \[\textit{PSh}(X) \longrightarrow \textit{Ensembles}, \ \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_x.\] Ce foncteur est appelé le foncteur fibre. Plus précisément, si \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) est un morphisme de préfaisceaux, nous définissons \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) par la règle \((U, s) \mapsto (U, \varphi(s))\). Pour vérifier que cette définition a un sens, il faut montrer que, si \((U, s) = (U', s')\) dans \(\mathcal{F}_x\), alors \((U, \varphi(s)) = (U', \varphi(s'))\) dans \(\mathcal{G}_x\). C’est clair, puisque \(\varphi\) est compatible avec les applications de restriction.

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(A\) un ensemble. Notons provisoirement \(A_p\) le préfaisceau constant de valeur \(A\) (\(p\) pour préfaisceau – non pour point). Il existe un morphisme canonique de préfaisceaux \(A_p \to \underline{A}\) vers le faisceau constant de valeur \(A\). En tout point, nous avons des bijections canoniques \(A = (A_p)_x = \underline{A}_x\), où la seconde application est induite, par fonctorialité, par l’application \(A_p \to \underline{A}\).

Exemple

Supposons que \(X = \mathbf{R}^n\) soit muni de la topologie euclidienne. Considérons le préfaisceau des fonctions \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(X\), noté \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n}\). Autrement dit, \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n}(U)\) est l’ensemble des fonctions de classe \(\mathcal{C}^\infty\), \(f : U \to \mathbf{R}\). Comme dans l’Exemple 006V, il est facile de montrer que c’est un faisceau. C’est même un faisceau de \(\mathbf{R}\)-espaces vectoriels.

Soit ensuite \(x \in X = \mathbf{R}^n\) un point. Comment se représenter un élément de la fibre \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n, x}\) ? Un tel élément est représenté par une fonction \(\mathcal{C}^\infty\) \(f\) dont le domaine contient \(x\). Deux telles fonctions \(f\), \(g\) déterminent le même élément de la fibre si elles coïncident sur un voisinage de \(x\). Autrement dit, un élément de \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n, x}\) n’est autre que ce qu’on appelle parfois un germe de fonction \(\mathcal{C}^\infty\) en \(x\).

Exemple

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(A_x\) un ensemble pour tout \(x \in X\). Considérons le faisceau \(\mathcal{F} : U \mapsto \prod_{x\in U} A_x\) de l’Exemple 006X. Nous voulons simplement signaler ici que la fibre \(\mathcal{F}_x\) de \(\mathcal{F}\) en \(x\) n’est en général pas égale à l’ensemble \(A_x\). Il existe bien entendu une application \(\mathcal{F}_x \to A_x\), mais on ne peut en général rien dire de plus. Supposons par exemple que \(x = \lim x_n\) avec \(x_n \not = x_m\) pour tous \(n \not = m\) et que \(A_y = \{0, 1\}\) pour tout \(y \in X\). Alors \(\mathcal{F}_x\) admet une surjection sur l’ensemble (infini) des queues de suites de \(0\) et de \(1\). En effet, tout voisinage ouvert de \(x\) contient presque tous les \(x_n\). En revanche, si tout voisinage de \(x\) contient un point \(y\) tel que \(A_y = \emptyset\), alors \(\mathcal{F}_x = \emptyset\).

Fibres des préfaisceaux abéliens

Nous traitons d’abord le cas des groupes abéliens, qui servira de modèle au cas général.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de groupes abéliens sur \(X\). Il existe une unique structure de groupe abélien sur \(\mathcal{F}_x\) telle que, pour tout \(U \subset X\) ouvert avec \(x\in U\), l’application \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_x\) soit un homomorphisme de groupes. De plus, \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] dans la catégorie des groupes abéliens.

Démonstration

Nous définissons la somme des deux éléments \((U, s)\) et \((V, t)\) comme le couple \((U \cap V, s|_{U\cap V} + t|_{U \cap V})\). Le reste se vérifie aisément.

Le point crucial de la démonstration précédente est que l’ensemble partiellement ordonné des voisinages ouverts est un ensemble dirigé (Catégories, Définition 00D3). En effet, le coproduit de deux groupes abéliens \(A, B\) est la somme directe \(A \oplus B\), tandis que le coproduit dans la catégorie des ensembles est la réunion disjointe \(A \amalg B\), ce qui montre que les limites inductives dans la catégorie des groupes abéliens ne coïncident pas en général avec les limites inductives dans la catégorie des ensembles.

Fibres des préfaisceaux de structures algébriques

La démonstration du Lemme 007F vaut pour toute espèce de structure algébrique pour laquelle le foncteur d’oubli commute aux limites inductives filtrantes.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie. Soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

1. \(F\) soit fidèle, et

2. les limites inductives filtrantes existent dans \(\mathcal{C}\) et que \(F\) commute avec elles.

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(x \in X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Alors \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] existe dans \(\mathcal{C}\). Son ensemble sous-jacent est égal à la fibre du préfaisceau d’ensembles sous-jacent à \(\mathcal{F}\). En outre, la construction \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\) est un foncteur de la catégorie des préfaisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\) vers \(\mathcal{C}\).

Démonstration

Omis.

Par définition même, tous les morphismes \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_x\) sont des morphismes de la catégorie \(\mathcal{C}\) qui, après application du foncteur d’oubli \(F\), deviennent les applications correspondantes du faisceau d’ensembles sous-jacent. Comme d’habitude, nous ne distinguerons pas le morphisme de \(\mathcal{C}\) de l’application d’ensembles sous-jacente, ce qui est permis puisque \(F\) est fidèle.

Ce lemme s’applique en particulier aux préfaisceaux de groupes (non nécessairement abéliens), d’anneaux, de modules sur un anneau fixé et d’espaces vectoriels sur un corps fixé.

Fibres des préfaisceaux de modules

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(x \in X\). L’application canonique \(\mathcal{O}_x \times \mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_x\) provenant de l’application de multiplication \(\mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) définit une structure de \(\mathcal{O}_x\)-module sur le groupe abélien \(\mathcal{F}_x\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un morphisme de préfaisceaux d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(x \in X\). Nous avons \[\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{O}'_x = (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{O}')_x\] en tant que \(\mathcal{O}'_x\)-modules.

Démonstration

Omis.

Structures algébriques

Dans cette section, nous formalisons légèrement les notions rencontrées dans les sections précédentes.

Définition

Une espèce de structure algébrique est la donnée d’une catégorie \(\mathcal{C}\) et d’un foncteur \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) ayant les propriétés suivantes :

1. \(F\) est fidèle,

2. \(\mathcal{C}\) admet des limites et \(F\) commute aux limites,

3. \(\mathcal{C}\) admet des limites inductives filtrantes et \(F\) commute avec celles-ci, et

4. \(F\) reflète les isomorphismes.

Nous introduisons cette définition afin de mettre en évidence les propriétés que nous emploierons dans plusieurs arguments ci-dessous. Nous n’étudierons cependant pas cette notion en détail, car nos conventions nous interdisent d’étudier les catégories « grandes », à l’exception de celles énumérées dans Catégories, remarque 0015. Parmi celles-ci, les catégories suivantes possèdent les propriétés requises.

Lemme

Les catégories suivantes, munies du foncteur d’oubli évident, définissent des espèces de structures algébriques :

1. La catégorie des ensembles pointés.

2. La catégorie des groupes abéliens.

3. La catégorie des groupes.

4. La catégorie des monoïdes.

5. La catégorie des anneaux.

6. La catégorie des \(R\)-modules, pour un anneau fixé \(R\).

7. La catégorie des algèbres de Lie sur un corps fixé.

Démonstration

Omis.

Désormais, nous considérerons les (pré)faisceaux de structures algébriques et leurs fibres au moyen des (pré)faisceaux d’ensembles sous-jacents. Cela est permis par les lemmes 0073 et 007H.

Dans le reste de cette section, nous signalons quelques résultats sur les structures algébriques qui seront utiles par la suite.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique.

1. \(\mathcal{C}\) admet un objet final \(0\) et \(F(0) = \{ * \}\).

2. \(\mathcal{C}\) admet des produits et \(F(\prod A_i) = \prod F(A_i)\).

3. \(\mathcal{C}\) admet des produits fibrés et \(F(A \times_B C) = F(A)\times_{F(B)}F(C)\).

4. \(\mathcal{C}\) admet des égalisateurs et, si \(E \to A\) est l’égalisateur de \(a, b : A \to B\), alors \(F(E) \to F(A)\) est l’égalisateur de \(F(a), F(b) : F(A) \to F(B)\).

5. \(A \to B\) est un monomorphisme si et seulement si \(F(A) \to F(B)\) est injective.

6. si \(F(a) : F(A) \to F(B)\) est surjective, alors \(a\) est un épimorphisme.

7. étant donnée une suite \(A_1 \to A_2 \to A_3 \to \ldots\), la limite inductive \(\colim A_i\) existe et \(F(\colim A_i) = \colim F(A_i)\) ; plus généralement, il en va de même pour toute limite inductive filtrante.

Démonstration

Omis. La seule assertion qui mérite commentaire est (5). Elle résulte du fait que \(A \to B\) est un monomorphisme si et seulement si \(A \to A \times_B A\) est un isomorphisme, puis de ce que \(F\) reflète les isomorphismes.

Lemme

Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Supposons que \(A, B, C \in \Ob(\mathcal{C})\). Soient \(f : A \to B\) et \(g : C \to B\) des morphismes de \(\mathcal{C}\). Si \(F(g)\) est injective et si \(\Im(F(f)) \subset \Im(F(g))\), alors \(f\) se factorise sous la forme \(f = g \circ t\) pour un certain morphisme \(t : A \to C\).

Démonstration

Considérons \(A \times_B C\). Les hypothèses impliquent que \(F(A \times_B C) = F(A) \times_{F(B)} F(C) = F(A)\). Ainsi, \(A = A \times_B C\), puisque \(F\) reflète les isomorphismes. Le résultat s’ensuit.

Exemple

Nous appliquerons souvent le lemme dans la situation suivante. Supposons donné un diagramme \[\xymatrix{ A \ar[r] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }\] dans \(\mathcal{C}\). Supposons que \(C \to D\) soit injective sur les ensembles sous-jacents et que l’image, sur les ensembles sous-jacents, de la composée \(A \to B \to D\) soit contenue dans l’image de \(C \to D\). On obtient alors un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }\] dans \(\mathcal{C}\).

Exemple

Soit \(F : \mathcal{C} \to \textit{Ensembles}\) une espèce de structure algébrique. Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que, pour tout \(x \in X\), un objet \(A_x \in \Ob(\mathcal{C})\) soit donné. Considérons le préfaisceau \(\Pi\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\), défini par la règle \(\Pi(U) = \prod_{x \in U} A_x\) (avec les applications de restriction évidentes). Remarquons que le préfaisceau d’ensembles associé \(U \mapsto F(\Pi(U)) = \prod_{x \in U} F(A_x)\) est un faisceau d’après l’exemple 006X. Ainsi, \(\Pi\) est un faisceau de structures algébriques de type \((\mathcal{C} , F)\). On obtient de cette manière de nombreux exemples de faisceaux de groupes abéliens, de groupes, d’anneaux, etc.

Exactitude et points

Dans toute catégorie, on dispose des notions d’épimorphisme, de monomorphisme, d’isomorphisme, etc.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) un morphisme de faisceaux d’ensembles sur \(X\).

1. L’application \(\varphi\) est un monomorphisme dans la catégorie des faisceaux si et seulement si, pour tout \(x \in X\), l’application \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est injective.

2. L’application \(\varphi\) est un épimorphisme dans la catégorie des faisceaux si et seulement si, pour tout \(x \in X\), l’application \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est surjective.

3. L’application \(\varphi\) est un isomorphisme dans la catégorie des faisceaux si et seulement si, pour tout \(x \in X\), l’application \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est bijective.

Démonstration

Omis.

Il en résulte que, dans la catégorie des faisceaux d’ensembles, les notions d’épimorphisme et de monomorphisme se décrivent comme suit.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) est appelé un sous-préfaisceau d’un préfaisceau \(\mathcal{G}\) si \(\mathcal{F}(U) \subset \mathcal{G}(U)\) pour tout ouvert \(U \subset X\) et si les applications de restriction de \(\mathcal{G}\) induisent celles de \(\mathcal{F}\). Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des faisceaux, on dit que \(\mathcal{F}\) est un sous-faisceau de \(\mathcal{G}\). Nous l’indiquons parfois par la notation \(\mathcal{F} \subset \mathcal{G}\).

2. Un morphisme de préfaisceaux d’ensembles \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sur \(X\) est dit injectif si et seulement si \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) est injective pour tout ouvert \(U\) de \(X\).

3. Un morphisme de préfaisceaux d’ensembles \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sur \(X\) est dit surjectif si et seulement si \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) est surjective pour tout ouvert \(U\) de \(X\).

4. Un morphisme de faisceaux d’ensembles \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sur \(X\) est dit injectif si et seulement si \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) est injective pour tout ouvert \(U\) de \(X\).

5. Un morphisme de faisceaux d’ensembles \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) sur \(X\) est dit surjectif si et seulement si, pour tout ouvert \(U\) de \(X\) et toute section \(s\) de \(\mathcal{G}(U)\), il existe un recouvrement ouvert \(U = \bigcup U_i\) tel que \(s|_{U_i}\) appartienne à l’image de \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\) pour tout \(i\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Les épimorphismes (resp. les monomorphismes) dans la catégorie des préfaisceaux sont exactement les morphismes surjectifs (resp. injectifs) de préfaisceaux.

2. Les épimorphismes (resp. les monomorphismes) dans la catégorie des faisceaux sont exactement les morphismes surjectifs (resp. injectifs) de faisceaux ; ce sont également exactement les morphismes surjectifs (resp. injectifs) sur toutes les fibres.

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Supposons que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) soient des faisceaux sur \(X\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Soit \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une application entre les faisceaux d’ensembles sous-jacents. Si, pour tout point \(x \in X\), l’application \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) est un morphisme de structures algébriques, alors \(\varphi\) est un morphisme de faisceaux de structures algébriques.

Démonstration

Soit \(U\) un ouvert de \(X\). Considérons le diagramme d’ensembles sous-jacents \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] \ar[d] & \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[d] \\ \mathcal{G}(U) \ar[r] & \prod_{x \in U} \mathcal{G}_x }\] Par hypothèse et d’après les résultats précédents, toutes les flèches sauf la flèche verticale de gauche sont des morphismes de structures algébriques. De plus, la flèche horizontale inférieure est injective ; voir le lemme 0079. La conclusion résulte donc du lemme 007P ; voir également l’exemple 007Q.

Les suites exactes courtes de faisceaux abéliens, entre autres, seront étudiées dans le chapitre consacré aux faisceaux de modules. Voir Modules, section 01AF.

Faisceau associé

Dans cette section, nous expliquons comment construire le faisceau associé à un préfaisceau sur un espace topologique. Nous utiliserons les fibres pour décrire ici le faisceau associé. Cette construction diffère du procédé général décrit dans Sites, section 00W1, et elle est peut-être un peu plus facile à comprendre.

La construction fondamentale est la suivante. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur un espace topologique \(X\). Pour tout ouvert \(U \subset X\), nous posons \[\mathcal{F}^{\#}(U) = \{ (s_u) \in \prod\nolimits_{u \in U} \mathcal{F}_u \text{ tels que }(*) \}\] où \((*)\) désigne la propriété suivante :

• Pour tout \(u \in U\), il existe un voisinage ouvert \(u \in V \subset U\) et une section \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\) tels que, pour tout \(v \in V\), on ait \(s_v = (V, \sigma)\) dans \(\mathcal{F}_v\).

Remarquons que \((*)\) est une condition imposée en chaque \(u \in U\) et que, \(u \in U\) étant fixé, sa validité ne dépend que des valeurs \(s_v\) pour \(v\) dans un voisinage ouvert quelconque de \(u\). Il est donc clair que, si \(V \subset U \subset X\) sont ouverts, les applications de projection \[\prod\nolimits_{u \in U} \mathcal{F}_u \longrightarrow \prod\nolimits_{v \in V} \mathcal{F}_v\] envoient les éléments de \(\mathcal{F}^{\#}(U)\) dans \(\mathcal{F}^{\#}(V)\). En prenant ces applications pour applications de restriction, on munit \(\mathcal{F}^\#\) d’une structure de préfaisceau d’ensembles sur \(X\).

De plus, l’application \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{u \in U} \mathcal{F}_u\) décrite dans la section 0078 est manifestement à valeurs dans \(\mathcal{F}^{\#}(U)\). Par ailleurs, si \(V \subset U \subset X\) sont ouverts, on a le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{\#}(U) \ar[r] \ar[d] & \prod_{u\in U} \mathcal{F}_u \ar[d] \\ \mathcal{F}(V) \ar[r] & \mathcal{F}^{\#}(V) \ar[r] & \prod_{v\in V} \mathcal{F}_v }\] où les flèches verticales sont induites par les applications de restriction. On voit donc qu’il existe un morphisme canonique de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^{\#}\).

Dans l’Exemple 006X, nous avons vu que la règle \(\Pi(\mathcal{F}) : U \mapsto \prod_{u\in U} \mathcal{F}_u\) définit un faisceau, muni des applications de restriction évidentes. Par construction, \(\mathcal{F}^{\#}\) en est un sous-préfaisceau. Autrement dit, on a des morphismes de préfaisceaux \[\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \Pi(\mathcal{F}).\] En outre, la règle qui associe à \(\mathcal{F}\) la suite ci-dessus est manifestement fonctorielle en le préfaisceau \(\mathcal{F}\). Cette notation sera utilisée dans les démonstrations des lemmes qui suivent.

Lemme

Le préfaisceau \(\mathcal{F}^{\#}\) est un faisceau.

Démonstration

Il vaut sans doute mieux que le lecteur trouve lui-même une explication plutôt que de lire la démonstration ci-dessous. En fait, le lemme est vrai pour la même raison que le préfaisceau des fonctions continues est un faisceau, voir l’Exemple 006V (et cette analogie peut être précisée au moyen de l’« espace étalé »).

Quoi qu’il en soit, soit \(U = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Supposons donnés des \(s_i = (s_{i, u})_{u \in U_i} \in \mathcal{F}^{\#}(U_i)\) tels que \(s_i\) et \(s_j\) coïncident sur \(U_i \cap U_j\). Comme \(\Pi(\mathcal{F})\) est un faisceau, il existe un élément \(s = (s_u)_{u\in U}\) de \(\prod_{u\in U} \mathcal{F}_u\) qui se restreint en \(s_i\) sur \(U_i\). Il reste à vérifier la propriété \((*)\). Soit \(u \in U\). Alors \(u \in U_i\) pour un certain \(i\). La propriété \((*)\) appliquée à \(s_i\) fournit donc un ouvert \(V\), avec \(u \in V \subset U_i\), et un \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\) tels que \(s_{i, v} = (V, \sigma)\) dans \(\mathcal{F}_v\) pour tout \(v \in V\). Puisque \(s_{i, v} = s_v\), la propriété \((*)\) vaut pour \(s\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). Soit \(x \in X\). Alors \(\mathcal{F}_x = \mathcal{F}^\#_x\).

Démonstration

L’application \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\) est injective, puisque l’application \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\) l’est déjà. En effet, il existe une application canonique \(\Pi(\mathcal{F})_x \to \mathcal{F}_x\) qui est un inverse à gauche de l’application \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\), voir l’Exemple 007D. Pour montrer qu’elle est surjective, soit \(\overline{s} \in \mathcal{F}^\#_x\). On peut trouver un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\overline{s}\) soit la classe d’équivalence de \((U, s)\), où \(s \in \mathcal{F}^\#(U)\). Par définition, cela signifie qu’il existe un voisinage ouvert \(V \subset U\) de \(x\) et une section \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\) tels que \(s|_V\) soit l’image de \(\sigma\) dans \(\Pi(\mathcal{F})(V)\). La classe de \((V, \sigma)\) définit manifestement un élément de \(\mathcal{F}_x\) qui s’envoie sur \(\overline{s}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). Tout morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) vers un faisceau d’ensembles se factorise de manière unique sous la forme \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\).

Démonstration

On a manifestement un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^\# \ar[r] \ar[d] & \Pi(\mathcal{F}) \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G}^\# \ar[r] & \Pi(\mathcal{G}) \\ }\] Il suffit donc de montrer que \(\mathcal{G} = \mathcal{G}^\#\). D’après le Lemme 007T, il suffit pour cela de montrer, pour tout point \(x \in X\), que l’application \(\mathcal{G}_x \to \mathcal{G}^\#_x\) est bijective. C’est précisément le Lemme 007Z ci-dessus.

Ce lemme affirme en réalité que les foncteurs \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\) (inclusion) et \(\# : \textit{PSh}(X) \to \Sh(X)\) (faisceau associé) forment un couple de foncteurs adjoints. La formule est \[\Mor_{\textit{PSh}(X)}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\Sh(X)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] ce qui signifie que le foncteur faisceau associé est adjoint à gauche du foncteur d’inclusion. Voir Catégories, section 0036.

Exemple

Pour les notations, voir l’Exemple 007B. L’application \(A_p \to \underline{A}\) induit une application \(A_p^\# \to \underline{A}\). On voit aisément que celle-ci est un isomorphisme. Autrement dit, le faisceau associé au préfaisceau constant de valeur \(A\) est le faisceau constant de valeur \(A\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) est séparé (voir la Définition 007A) si et seulement si l’application canonique \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) est injective.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la construction de \(\mathcal{F}^\#\) donnée dans cette section.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Le morphisme de faisceaux associés à un morphisme surjectif (resp. injectif) de préfaisceaux d’ensembles est surjectif (resp. injectif).

Démonstration

Omis.

Faisceau associé à un préfaisceau abélien

Le lemme suivant, d’aspect quelque peu étrange, est vraisemblablement superflu, mais très commode pour traiter le passage au faisceau associé des préfaisceaux de structures algébriques.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). Soit \(U \subset X\) un ouvert. On a un diagramme cartésien canonique \[\xymatrix{ \mathcal{F}^\#(U) \ar[d] \ar[r] & \Pi(\mathcal{F})(U) \ar[d] \\ \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[r] & \prod_{x \in U} \Pi(\mathcal{F})_x }\] dont les flèches sont les suivantes :

1. Les composantes de la flèche verticale de gauche sont les applications \(\mathcal{F}^\#(U) \to \mathcal{F}^\#_x = \mathcal{F}_x\) où l’égalité résulte du Lemme 007Z.

2. La flèche horizontale supérieure provient du morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\) décrit dans la section 007X.

3. Les composantes évidentes de la flèche verticale de droite sont les applications \(\Pi(\mathcal{F})(U) \to \Pi(\mathcal{F})_x\).

4. Les composantes de la flèche horizontale inférieure sont les applications \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\) qui proviennent du morphisme de préfaisceaux \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\) décrit dans la section 007X.

Démonstration

Le diagramme est manifestement commutatif. Il faut montrer qu’il est cartésien. La flèche horizontale inférieure est injective puisque toutes les applications \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\) sont injectives (voir le début de la démonstration du Lemme 007Z). Une section \(s \in \Pi(\mathcal{F})(U)\) appartient à \(\mathcal{F}^\#\) si et seulement si elle vérifie \((*)\). Or \((*)\) affirme qu’au voisinage de tout point la section \(s\) provient d’une section de \(\mathcal{F}\). Par définition des foncteurs fibres, cela équivaut à dire que la valeur de \(s\) dans toute fibre \(\Pi(\mathcal{F})_x\) provient d’un élément de la fibre \(\mathcal{F}_x\). D’où le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(X\). Il existe alors une unique structure de faisceau abélien sur \(\mathcal{F}^\#\) telle que \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) soit un morphisme de préfaisceaux abéliens. En outre, on a la propriété d’adjonction suivante : \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\textit{Ab}(X)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G}).\]

Démonstration

Rappelons le faisceau d’ensembles \(\Pi(\mathcal{F})\) défini dans la section 007X. Toutes les fibres \(\mathcal{F}_x\) sont des groupes abéliens, voir le Lemme 007F. Par conséquent, \(\Pi(\mathcal{F})\) est un faisceau de groupes abéliens d’après l’Exemple 007R. Il est également clair que l’application \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\) est un morphisme de préfaisceaux abéliens. Si l’on montre que la condition \((*)\) de la section 007X définit un sous-groupe de \(\Pi(\mathcal{F})(U)\) pour tout ouvert \(U \subset X\), alors \(\mathcal{F}^\#\) hérite canoniquement d’une structure de faisceau abélien. Cela se vérifie aisément directement, et nous laissons au lecteur le soin d’en trouver un argument simple. Voici l’argument que nous employons, qui se généralise aux préfaisceaux de structures algébriques : le Lemme 0084 montre que \(\mathcal{F}^\#(U)\) est le produit fibré d’un diagramme de groupes abéliens. Ainsi \(\mathcal{F}^\#\) est bien le sous-groupe abélien voulu.

Remarquons qu’à ce stade \(\mathcal{F}^\#_x\) est un groupe abélien d’après le Lemme 007F, et que \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\) est à la fois une bijection (Lemme 007Z) et un homomorphisme de groupes abéliens. Par conséquent, \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\) est un isomorphisme de groupes abéliens. Nous l’utiliserons ci-dessous sans autre mention.

Pour démontrer la propriété d’adjonction, nous utilisons celle du foncteur faisceau associé pour les préfaisceaux d’ensembles. Par exemple, si \(\psi : \mathcal{F} \to i(\mathcal{G})\) est un morphisme de préfaisceaux, on obtient un morphisme de faisceaux \(\psi' : \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\). Il reste à vérifier qu’il s’agit d’un morphisme de faisceaux abéliens. On peut le faire, par exemple, en constatant que c’est vrai sur les fibres, d’après le Lemme 007Z, puis en appliquant le Lemme 007W ci-dessus.

Faisceau associé à un préfaisceau de structures algébriques

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\). Il existe alors un faisceau \(\mathcal{F}^\#\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) et un morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) de préfaisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\) possédant les propriétés suivantes :

1. L’application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\) identifie le faisceau d’ensembles sous-jacent à \(\mathcal{F}^\#\) au faisceau associé au préfaisceau d’ensembles sous-jacent à \(\mathcal{F}\).

2. Pour tout morphisme \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\), où \(\mathcal{G}\) est un faisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\), il existe une unique factorisation \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\).

Démonstration

La démonstration est la même que celle du Lemme 0085, en appliquant à plusieurs reprises le Lemme 007P (voir aussi l’Exemple 007Q). L’idée principale consiste toutefois à définir \(\mathcal{F}^\#(U)\) comme le produit fibré dans \(\mathcal{C}\) du diagramme \[\xymatrix{ & \Pi(\mathcal{F})(U) \ar[d] \\ \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[r] & \prod_{x \in U} \Pi(\mathcal{F})_x }\] à comparer au Lemme 0084.

Faisceau associé à un préfaisceau de modules

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{O}^\#\) le faisceau associé à \(\mathcal{O}\). Soit \(\mathcal{F}^\#\) le faisceau associé à \(\mathcal{F}\) considéré comme préfaisceau de groupes abéliens. Il existe un morphisme de faisceaux d’ensembles \[\mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \longrightarrow \mathcal{F}^\#\] qui rend commutatif le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \\ \mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \ar[r] & \mathcal{F}^\# }\] et qui munit \(\mathcal{F}^\#\) d’une structure de faisceau de \(\mathcal{O}^\#\)-modules. En outre, si \(\mathcal{G}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}^\#\)-modules, tout morphisme de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) (où \(\mathcal{G}\) est considéré, par restriction des scalaires, comme \(\mathcal{O}\)-module) se factorise de manière unique sous la forme \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\), où \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\) est un morphisme de \(\mathcal{O}^\#\)-modules.

Démonstration

Omis.

Cela signifie en fait que le foncteur \(i : \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#) \to \textit{PMod}(\mathcal{O})\) (qui combine la restriction des scalaires et l’inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux) et le foncteur faisceau associé du lemme \({}^\# : \textit{PMod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)\) sont adjoints. En formule : \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, i\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\]

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Dans la section 006P, nous avons défini un foncteur de restriction des scalaires et un foncteur d’extension des scalaires sur les préfaisceaux de modules associés à cette situation.

Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules, alors la restriction des scalaires \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\) de \(\mathcal{F}\) est manifestement un faisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules. On obtient le foncteur de restriction des scalaires \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_1)\]

Inversement, étant donné un faisceau de \(\mathcal{O}_1\)-modules \(\mathcal{G}\), le préfaisceau de \(\mathcal{O}_2\)-modules \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) ne constitue pas en général un faisceau. Nous définissons donc le faisceau produit tensoriel \(\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}\) par la formule \[\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G} = (\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G})^\#\] comme le faisceau associé à la construction faite pour les préfaisceaux. On obtient ainsi le foncteur d’extension des scalaires \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_2)\]

Lemme

Avec \(X\), \(\mathcal{O}_1\), \(\mathcal{O}_2\), \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) comme ci-dessus, on a une bijection canonique \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] Autrement dit, les foncteurs de restriction et d’extension des scalaires sont adjoints l’un de l’autre.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 006R et du fait que \(\Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} ) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\) puisque \(\mathcal{F}\) est un faisceau.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\) un morphisme de faisceaux d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(x \in X\). On a \[\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{O}'_x = (\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}')_x\] en tant que \(\mathcal{O}'_x\)-modules.

Démonstration

Cela résulte directement du Lemme 007K et du fait que le passage aux fibres commute au passage au faisceau associé.

Applications continues et faisceaux

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Nous allons définir les foncteurs image directe et image inverse pour les préfaisceaux et les faisceaux.

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). Nous définissons l’image directe de \(\mathcal{F}\) par la règle \[f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\] pour tout ouvert \(V \subset Y\). Étant donnés des ouverts \(V_1 \subset V_2 \subset Y\), l’application de restriction est définie par la commutativité du diagramme \[\xymatrix{ f_*\mathcal{F}(V_2) \ar[d] \ar@{=}[r] & \mathcal{F}(f^{-1}(V_2)) \ar[d]^{\text{restriction de }\mathcal{F}} \\ f_*\mathcal{F}(V_1) \ar@{=}[r] & \mathcal{F}(f^{-1}(V_1)) }\] Il est clair que ceci définit un préfaisceau d’ensembles. La construction est manifestement fonctorielle en \(\mathcal{F}\) ; nous obtenons donc un foncteur \[f_* : \textit{PSh}(X) \longrightarrow \textit{PSh}(Y).\]

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X\). Alors \(f_*\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(Y\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du fait que, si \(V = \bigcup V_j\) est un recouvrement ouvert de \(Y\), alors \(f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(V_j)\) est un recouvrement ouvert de \(X\).

Nous obtenons par conséquent un foncteur \[f_* : \Sh(X) \longrightarrow \Sh(Y).\] Celui-ci est compatible avec la composition au sens fort suivant.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des applications continues d’espaces topologiques. Les foncteurs \((g \circ f)_*\) et \(g_* \circ f_*\) sont égaux (tant sur les préfaisceaux que sur les faisceaux d’ensembles).

Démonstration

Cela vient de ce que \((g \circ f)_*\mathcal{F}(W) = \mathcal{F}((g \circ f)^{-1}W)\) et \((g_* \circ f_*)\mathcal{F}(W) = \mathcal{F}(f^{-1} g^{-1} W)\), et que \((g \circ f)^{-1}W = f^{-1} g^{-1} W\).

Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(Y\). Le préfaisceau image inverse \(f_p\mathcal{G}\) d’un préfaisceau donné \(\mathcal{G}\) est défini comme l’adjoint à gauche de l’image directe \(f_*\) sur les préfaisceaux. Autrement dit, ce devrait être un préfaisceau \(f_p \mathcal{G}\) sur \(X\) tel que \[\Mor_{\textit{PSh}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Par le lemme de Yoneda, cette propriété détermine l’image inverse de manière unique. Il se trouve qu’elle existe effectivement.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Il existe un foncteur \(f_p : \textit{PSh}(Y) \to \textit{PSh}(X)\) qui est adjoint à gauche de \(f_*\). Pour un préfaisceau \(\mathcal{G}\), il est déterminé par la règle \[f_p\mathcal{G}(U) = \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V)\] où la limite inductive porte sur la collection des voisinages ouverts \(V\) de \(f(U)\) dans \(Y\). Les limites inductives sont prises sur des ensembles partiellement ordonnés filtrants. (Les applications de restriction de \(f_p\mathcal{G}\) sont expliquées dans la preuve.)

Démonstration

La limite inductive porte sur l’ensemble partiellement ordonné formé des ouverts \(V \subset Y\) qui contiennent \(f(U)\), ordonné par l’inclusion opposée. Cet ensemble partiellement ordonné est filtrant puisque, si \(V, V'\) lui appartiennent, il en va de même de \(V \cap V'\). En outre, si \(U_1 \subset U_2\), alors tout voisinage ouvert de \(f(U_2)\) est un voisinage ouvert de \(f(U_1)\). Le système qui définit \(f_p\mathcal{G}(U_2)\) est donc un sous-système de celui qui définit \(f_p\mathcal{G}(U_1)\), et nous obtenons une application de restriction (par exemple en appliquant les généralités de Catégories, lemme 002K).

Remarquons que la construction de la limite inductive est manifestement fonctorielle en \(\mathcal{G}\), de même que les applications de restriction. Nous avons donc défini \(f_p\) comme un foncteur.

Une petite remarque utile est qu’il existe une application canonique \(\mathcal{G}(U) \to f_p\mathcal{G}(f^{-1}(U))\), car le système des voisinages ouverts de \(f(f^{-1}(U))\) contient l’élément \(U\). Celle-ci est compatible avec les applications de restriction. Autrement dit, il existe un morphisme canonique \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G}\).

Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). Supposons que \(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) soit un morphisme de préfaisceaux d’ensembles. Le morphisme correspondant \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) est le morphisme \(f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}\).

Une autre petite remarque utile est qu’il existe un morphisme canonique \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\). Soit en effet \(U \subset X\) un ouvert. Pour tout voisinage ouvert \(V \supset f(U)\) de \(Y\), il existe une application \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\to \mathcal{F}(U)\), à savoir l’application de restriction de \(\mathcal{F}\). Celle-ci est compatible avec les applications de restriction entre les valeurs de \(\mathcal{F}\) sur les images par \(f^{-1}\) des différents ouverts contenant \(f(U)\). Nous obtenons donc une application canonique \(f_p f_* \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\). Une autre vérification immédiate montre que ces applications sont compatibles avec les applications de restriction et définissent un morphisme \(c_\mathcal{F}\) de préfaisceaux d’ensembles.

Supposons que \(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) soit un morphisme de préfaisceaux d’ensembles. Considérons \(f_p\varphi : f_p \mathcal{G} \to f_p f_* \mathcal{F}\). En composant ensuite avec \(c_\mathcal{F}\), nous obtenons le morphisme cherché \(c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\). Nous omettons la vérification que cette construction est inverse de la construction dans l’autre sens donnée ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Soit \(x \in X\). Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(Y\). Il existe une bijection canonique entre les fibres \((f_p\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}\).

Démonstration

On peut le voir comme suit : \[\begin{eqnarray*} (f_p\mathcal{G})_x & = & \colim_{x \in U} f_p\mathcal{G}(U) \\ & = & \colim_{x \in U} \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \colim_{f(x) \in V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \mathcal{G}_{f(x)} \end{eqnarray*}\] Nous avons utilisé ici Catégories, lemme 002M, ainsi que le fait que tout ouvert \(V\) de \(Y\) contenant \(f(x)\) intervient dans la troisième description ci-dessus. Nous omettons les détails.

Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(Y\). Le faisceau image inverse \(f^{-1}\mathcal{G}\) est défini par la formule \[f^{-1}\mathcal{G} = (f_p\mathcal{G})^\# .\] Le foncteur image inverse \(f^{-1}\) est adjoint à gauche du foncteur image directe sur les faisceaux. Autrement dit, \[\Mor_{\Sh(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] En effet, nous avons \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] Pour la première égalité, nous utilisons que le foncteur « faisceau associé » est l’adjoint à gauche du foncteur d’inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux. Pour la deuxième égalité, nous utilisons que \(f_p\) est adjoint à gauche de \(f_*\) sur les préfaisceaux. Nous reviendrons sur cet énoncé dans la preuve du lemme 008K.

Lemme

Soit \(x \in X\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(Y\). Il existe une bijection canonique entre les fibres \((f^{-1}\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}\).

Démonstration

C’est une combinaison des lemmes 007Z et 008G.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des applications continues d’espaces topologiques. Les foncteurs \((g \circ f)^{-1}\) et \(f^{-1} \circ g^{-1}\) sont canoniquement isomorphes. De même, \((g \circ f)_p \cong f_p \circ g_p\) sur les préfaisceaux.

Démonstration

Pour le voir, utilisons le fait que les foncteurs adjoints sont uniques à isomorphisme unique près, ainsi que le lemme 008E.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(X\) et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(Y\). Un \(f\)-morphisme \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est une famille d’applications \(\xi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}(V))\) indexée par les ouverts \(V \subset Y\) telle que \[\xymatrix{ \mathcal{G}(V) \ar[r]_{\xi_V} \ar[d]_{\text{restriction de }\mathcal{G}} & \mathcal{F}(f^{-1}V) \ar[d]^{\text{restriction de }\mathcal{F}} \\ \mathcal{G}(V') \ar[r]^{\xi_{V'}} & \mathcal{F}(f^{-1}V') }\] soit commutatif pour tous ouverts \(V' \subset V \subset Y\).

Dans la littérature, on rencontre parfois une autre définition, comme dans la partie (4) du lemme 008K, mais le lemme montre qu’il n’y a en réalité aucune différence.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Il existe des bijections entre les quatre ensembles suivants :

1. l’ensemble des morphismes \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\),

2. l’ensemble des morphismes \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\),

3. l’ensemble des \(f\)-morphismes \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\), et

4. l’ensemble de toutes les familles d’applications \(\xi_{U, V} : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)\) pour tous ouverts \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) tels que \(f(U) \subset V\), compatibles avec toutes les applications de restriction,

fonctoriellement en \(\mathcal{F} \in \Sh(X)\) et \(\mathcal{G} \in \Sh(Y)\).

Démonstration

Un morphisme de faisceaux \(a : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\) est par définition une règle qui associe à chaque ouvert \(V\) de \(Y\) une application \(a_V : \mathcal{G}(V) \to f_*\mathcal{F}(V)\), et nous avons \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\). Ainsi, pour ce qui est des « données », on obtient exactement ce qu’il faut pour un \(f\)-morphisme \(\xi\) de \(\mathcal{G}\) vers \(\mathcal{F}\). Pour montrer que les ensembles (1) et (3) sont en bijection, nous observons que \(a\) est un morphisme de faisceaux si et seulement si la famille d’applications \(a_V\) correspondante satisfait la condition de la définition 008J.

Rappelons que \(f^{-1}\mathcal{G}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(f_p\mathcal{G}\). Par la propriété universelle du faisceau associé, un morphisme de faisceaux \(b : f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) équivaut à un morphisme de préfaisceaux \(b_p : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\), où \(f_p\) est le foncteur défini plus haut dans cette section. Pour donner un tel morphisme \(b_p\), il faut spécifier, pour chaque ouvert \(U\) de \(X\), une application \[b_{p, U} : \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] compatible avec les applications de restriction. Nous regardons \(b_{p, U}\) comme une famille d’applications \(b_{p, U, V} : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)\) pour tout ouvert \(V\) de \(Y\) tel que \(f(U) \subset V\). Ces applications doivent être compatibles avec toutes les applications de restriction possibles. Autrement dit, nous voyons que \(b_p\) correspond à une famille d’applications comme en (4). Réciproquement, une telle famille définit bien sûr un morphisme \(b_p\), puis un morphisme \(b : f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\).

Pour achever la preuve du lemme, il faut montrer que, par « oubli de structure », la règle qui, à une famille \(\xi_{U, V}\) comme en (4), associe le \(f\)-morphisme \(\xi\) défini par \(\xi_V = \xi_{f^{-1}(V), V}\) est bijective. Pour cela, si \(\xi\) est un \(f\)-morphisme usuel, nous définissons simplement \(\tilde \xi_{U, V}\) comme la composée de \(\xi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}(V))\) avec l’application de restriction \(\mathcal{F}(f^{-1}(V)) \to \mathcal{F}(U)\), qui a un sens précisément parce que \(f(U) \subset V\), c’est-à-dire \(U \subset f^{-1}(V)\). Ceci achève la preuve.

Il est parfois commode de considérer les \(f\)-morphismes plutôt que les morphismes entre faisceaux, soit sur \(X\), soit sur \(Y\). Nous définissons comme suit la composition des \(f\)-morphismes.

Définition

Supposons que \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) soient des applications continues d’espaces topologiques. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau sur \(X\), que \(\mathcal{G}\) soit un faisceau sur \(Y\) et que \(\mathcal{H}\) soit un faisceau sur \(Z\). Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un \(f\)-morphisme. Soit \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) un \(g\)-morphisme. La composée de \(\varphi\) et \(\psi\) est le \((g \circ f)\)-morphisme \(\varphi \circ \psi\) défini par la commutativité du diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{H}(W) \ar[rr]_{(\varphi \circ \psi)_W} \ar[rd]_{\psi_W} & & \mathcal{F}(f^{-1}g^{-1}W) \\ & \mathcal{G}(g^{-1}W) \ar[ru]_{\varphi_{g^{-1}W}} }\]

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cela fonctionne. Une autre manière de le voir consiste à considérer \(\varphi \circ \psi\) comme la composée \[\mathcal{H} \xrightarrow{\psi} g_*\mathcal{G} \xrightarrow{g_*\varphi} g_* f_* \mathcal{F} = (g \circ f)_* \mathcal{F}\] N’avez-vous pas maintenant l’impression que considérer les \(f\)-morphismes est en quelque sorte plus simple ?

Enfin, étant donnés une application continue \(f : X \to Y\) et un \(f\)-morphisme \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\), il existe une application naturelle entre les fibres \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] pour tout \(x \in X\). Un représentant \((V, s)\) d’un élément de \(\mathcal{G}_{f(x)}\) est envoyé sur l’élément de \(\mathcal{F}_x\) ayant pour représentant \((f^{-1}V, \varphi_V(s))\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette application est bien définie. Une autre formulation consiste à dire qu’il s’agit de l’unique application pour laquelle tous les diagrammes \[\xymatrix{ \mathcal{F}(f^{-1}V) \ar[r] & \mathcal{F}_x \\ \mathcal{G}(V) \ar[r] \ar[u]^{\varphi_V} & \mathcal{G}_{f(x)} \ar[u]^{\varphi_x} }\] (pour tout ouvert \(f(x) \in V \subset Y\)) sont commutatifs.

Lemme

Supposons que \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) soient des applications continues d’espaces topologiques. Supposons que \(\mathcal{F}\) soit un faisceau sur \(X\), que \(\mathcal{G}\) soit un faisceau sur \(Y\) et que \(\mathcal{H}\) soit un faisceau sur \(Z\). Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un \(f\)-morphisme. Soit \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\) un \(g\)-morphisme. Soit \(x \in X\) un point. L’application induite sur les fibres \((\varphi \circ \psi)_x : \mathcal{H}_{g(f(x))} \to \mathcal{F}_x\) est la composée \[\mathcal{H}_{g(f(x))} \xrightarrow{\psi_{f(x)}} \mathcal{G}_{f(x)} \xrightarrow{\varphi_x} \mathcal{F}_x\]

Démonstration

Cela résulte immédiatement de la définition 008L et de la définition de l’application sur les fibres ci-dessus.

Applications continues et faisceaux abéliens

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Nous affirmons qu’il existe des foncteurs \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PAb}(X) & \longrightarrow & \textit{PAb}(Y) \\ f_* : \textit{Ab}(X) & \longrightarrow & \textit{Ab}(Y) \\ f_p : \textit{PAb}(Y) & \longrightarrow & \textit{PAb}(X) \\ f^{-1} : \textit{Ab}(Y) & \longrightarrow & \textit{Ab}(X) \end{eqnarray*}\] qui possèdent des propriétés analogues à celles de leurs homologues de la section 008C. Pour le voir, nous procédons comme suit.

Chacun de ces foncteurs sera construit de la même manière que le foncteur correspondant de la section 008C. Cela fonctionne parce que toutes les limites inductives de cette section sont filtrantes (mais nous allons donner les détails ci-dessous).

Tout d’abord, étant donnés un préfaisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(X\) et un préfaisceau abélien \(\mathcal{G}\) sur \(Y\), nous définissons \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \\ f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \end{eqnarray*}\] comme groupes abéliens. Les applications de restriction sont les mêmes que pour les préfaisceaux d’ensembles (et ce sont toutes des homomorphismes de groupes abéliens).

Les affectations \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G} \to f_p\mathcal{G}\) sont des foncteurs sur les catégories de préfaisceaux de groupes abéliens. C’est clair : par exemple, un morphisme de préfaisceaux abéliens \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\) induit un morphisme de systèmes filtrants \(\{\mathcal{G}_1(V)\}_{f(U) \subset V} \to \{\mathcal{G}_2(V)\}_{f(U) \subset V}\) dont toutes les composantes sont des homomorphismes ; il induit donc un homomorphisme de groupes abéliens \(f_p\mathcal{G}_1(U) \to f_p\mathcal{G}_2(U)\).

Les foncteurs \(f_*\) et \(f_p\) sont adjoints sur la catégorie des préfaisceaux de groupes abéliens, c’est-à-dire que \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Pour le démontrer, remarquons que le morphisme \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p\mathcal{G}\) de la preuve du Lemme 008F est un morphisme de préfaisceaux abéliens. Ainsi, si \(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est un morphisme de préfaisceaux abéliens, alors le morphisme correspondant \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\), à savoir \(f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}\), est lui aussi un morphisme de préfaisceaux abéliens. Dans l’autre sens, remarquons que le morphisme \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) de la preuve du Lemme 008F est également un morphisme de préfaisceaux abéliens (car il est construit à partir des applications de restriction de \(\mathcal{F}\), qui sont toutes des homomorphismes). Ainsi, étant donné un morphisme de préfaisceaux abéliens \(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\), le morphisme \(c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est lui aussi un morphisme de préfaisceaux abéliens. Puisque ces constructions \(\psi \mapsto f_*\psi\) et \(\varphi \mapsto c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi\) sont inverses l’une de l’autre sur les morphismes de préfaisceaux d’ensembles, elles le sont aussi sur les morphismes de préfaisceaux abéliens.

Si \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien sur \(Y\), alors \(f_*\mathcal{F}\) est un faisceau abélien sur \(X\). Cela résulte de la définition d’un faisceau abélien et du résultat correspondant pour les faisceaux d’ensembles ; voir le Lemme 008D. On obtient ainsi le foncteur \(f_*\) sur la catégorie des faisceaux abéliens.

Nous définissons \(f^{-1}\mathcal{G} = (f_p\mathcal{G})^\#\) comme précédemment. L’adjonction de \(f_*\) et \(f^{-1}\) s’obtient formellement comme dans le cas des préfaisceaux d’ensembles. Voici l’argument : \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \end{eqnarray*}\]

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue.

1. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau abélien sur \(Y\). Soit \(x \in X\). La bijection \(\mathcal{G}_{f(x)} \to (f_p\mathcal{G})_x\) du Lemme 008G est un isomorphisme de groupes abéliens.

2. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau abélien sur \(Y\). Soit \(x \in X\). La bijection \(\mathcal{G}_{f(x)} \to (f^{-1}\mathcal{G})_x\) du Lemme 008H est un isomorphisme de groupes abéliens.

Démonstration

Omis.

Étant donnés une application continue \(f : X \to Y\) et des faisceaux de groupes abéliens \(\mathcal{F}\) sur \(X\), \(\mathcal{G}\) sur \(Y\), la notion d’\(f\)-morphisme \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) de faisceaux de groupes abéliens a un sens. Nous pouvons la définir exactement comme dans la Définition 008J (en remplaçant les applications d’ensembles par des homomorphismes de groupes abéliens), ou dire simplement qu’il s’agit d’un morphisme de faisceaux abéliens \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\). Nous emploierons librement cette notion dans la suite. Le groupe des \(f\)-morphismes entre \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) sera canoniquement en bijection avec les groupes \(\Mor_{\textit{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F})\) et \(\Mor_{\textit{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\).

La composition des \(f\)-morphismes se définit exactement de la même manière que pour les \(f\)-morphismes de faisceaux d’ensembles. De plus, étant donné un \(f\)-morphisme \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) comme ci-dessus, les applications induites sur les fibres \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] sont des homomorphismes de groupes abéliens.

Applications continues et faisceaux de structures algébriques

Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Pour un espace topologique \(X\), introduisons les notations suivantes :

1. \(\textit{PSh}(X, \mathcal{C})\) désignera la catégorie des préfaisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\).

2. \(\Sh(X, \mathcal{C})\) désignera la catégorie des faisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\).

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Les mêmes arguments que dans la section précédente montrent qu’il existe des foncteurs \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \\ f_* : \Sh(X, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \Sh(Y, \mathcal{C}) \\ f_p : \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \\ f^{-1} : \Sh(Y, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \Sh(X, \mathcal{C}) \end{eqnarray*}\] construits de la même manière et possédant les mêmes propriétés que les foncteurs construits pour les (pré)faisceaux abéliens. En particulier, on a des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_*} \ar[d]^F & \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \ar[d]^F & \Sh(X, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_*} \ar[d]^F & \Sh(Y, \mathcal{C}) \ar[d]^F \\ \textit{PSh}(X) \ar[r]^{f_*} & \textit{PSh}(Y) & \Sh(X) \ar[r]^{f_*} & \Sh(Y) \\ \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_p} \ar[d]^F & \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \ar[d]^F & \Sh(Y, \mathcal{C}) \ar[r]^{f^{-1}} \ar[d]^F & \Sh(X, \mathcal{C}) \ar[d]^F \\ \textit{PSh}(Y) \ar[r]^{f_p} & \textit{PSh}(X) & \Sh(Y) \ar[r]^{f^{-1}} & \Sh(X) }\]

Les principales formules à retenir sont les suivantes : \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \\ f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ f^{-1}\mathcal{G} & = & (f_p\mathcal{G})^\# \\ (f_p\mathcal{G})_x & = & \mathcal{G}_{f(x)} \\ (f^{-1}\mathcal{G})_x & = & \mathcal{G}_{f(x)} \end{eqnarray*}\] Chacune de ces formules est valable dans la catégorie \(\mathcal{C}\) et redonne, après passage aux ensembles sous-jacents, la formule correspondante pour les préfaisceaux d’ensembles. Nous avons en outre les propriétés d’adjonction \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{PSh}(X, \mathcal{C})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ \Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] Pour les démontrer, l’étape principale consiste à construire les morphismes \[i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \longrightarrow f_*f_p\mathcal{G}\] et \[c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] qui interviennent dans la preuve du Lemme 008F comme morphismes de préfaisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Nous pouvons laisser cette vérification au lecteur, car les constructions sont exactement les mêmes que pour les préfaisceaux d’ensembles.

Étant donnés une application continue \(f : X \to Y\) et des faisceaux de structures algébriques \(\mathcal{F}\) sur \(X\), \(\mathcal{G}\) sur \(Y\), la notion d’\(f\)-morphisme \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) de faisceaux de structures algébriques a un sens. Nous pouvons la définir exactement comme dans la Définition 008J (en remplaçant les applications d’ensembles par des morphismes de \(\mathcal{C}\)), ou dire simplement qu’il s’agit d’un morphisme de faisceaux de structures algébriques \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\). Nous emploierons librement cette notion dans la suite. L’ensemble des \(f\)-morphismes entre \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) sera canoniquement en bijection avec les ensembles \(\Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F})\) et \(\Mor_{\Sh(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\).

La composition des \(f\)-morphismes se définit exactement de la même manière que pour les \(f\)-morphismes de faisceaux d’ensembles. De plus, étant donné un \(f\)-morphisme \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) comme ci-dessus, les applications induites sur les fibres \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] sont des homomorphismes de structures algébriques.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Supposons donnés des faisceaux de structures algébriques \(\mathcal{F}\) sur \(X\), \(\mathcal{G}\) sur \(Y\). Soit \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) un \(f\)-morphisme des faisceaux d’ensembles sous-jacents. Si, pour tout ouvert \(V \subset Y\), l’application d’ensembles \(\varphi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)\) provient, sur les ensembles sous-jacents, d’un morphisme de \(\mathcal{C}\), alors \(\varphi\) provient d’un unique \(f\)-morphisme entre les faisceaux de structures algébriques.

Démonstration

Omis.

Applications continues et faisceaux de modules

Le cas des faisceaux de modules est plus compliqué. En effet, le cadre naturel pour définir les foncteurs image inverse et image directe est celui des espaces annelés, que nous définirons plus bas. Nous énonçons d’abord quelques lemmes évidents.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe un morphisme naturel de préfaisceaux d’ensembles sous-jacents \[f_*\mathcal{O} \times f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*\mathcal{F}\] qui munit \(f_*\mathcal{F}\) d’une structure de préfaisceau de \(f_*\mathcal{O}\)-modules. Cette construction est fonctorielle en \(\mathcal{F}\).

Démonstration

Soit \(V \subset Y\) un ouvert. Nous définissons l’application du lemme comme l’application \[f_*\mathcal{O}(V) \times f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{O}(f^{-1}V) \times \mathcal{F}(f^{-1}V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V) = f_*\mathcal{F}(V).\] Ici, la flèche du milieu est l’application de multiplication sur \(X\). Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu’elle est compatible avec les applications de restriction et définit une structure de \(f_*\mathcal{O}\)-module sur \(f_*\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(Y\). Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe un morphisme naturel de préfaisceaux d’ensembles sous-jacents \[f_p\mathcal{O} \times f_p\mathcal{G} \longrightarrow f_p\mathcal{G}\] qui munit \(f_p\mathcal{G}\) d’une structure de préfaisceau de \(f_p\mathcal{O}\)-modules. Cette construction est fonctorielle en \(\mathcal{G}\).

Démonstration

Soit \(U \subset X\) un ouvert. Nous définissons l’application du lemme comme l’application \[\begin{eqnarray*} f_p\mathcal{O}(U) \times f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{O}(V) \times \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \colim_{f(U) \subset V} (\mathcal{O}(V)\times \mathcal{G}(V)) \\ & \to & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & f_p\mathcal{G}(U). \end{eqnarray*}\] Ici, la flèche du milieu est l’application de multiplication sur \(Y\). La seconde égalité vaut parce que les limites inductives filtrantes commutent aux limites finies ; voir Catégories, Lemme 002W. Nous laissons au lecteur le soin de vérifier que cette application est compatible avec les applications de restriction et définit une structure de \(f_p\mathcal{O}\)-module sur \(f_p\mathcal{G}\).

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Soit \(\mathcal{O}_X\) un préfaisceau d’anneaux sur \(X\) et soit \(\mathcal{O}_Y\) un préfaisceau d’anneaux sur \(Y\). À ce stade, nous avons donc défini des foncteurs \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_p : \textit{PMod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_p\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] Ils vérifient les compatibilités suivantes.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(Y\). Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(f_p\mathcal{O}\)-modules. Alors \[\Mor_{\textit{PMod}(f_p\mathcal{O})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Nous utilisons ici les Lemmes 008T et 008S, et considérons \(f_*\mathcal{F}\) comme un \(\mathcal{O}\)-module par restriction des scalaires le long de \(i_\mathcal{O} : \mathcal{O} \to f_*f_p\mathcal{O}\) (défini pour la première fois dans la preuve du Lemme 008F).

Démonstration

Remarquons que \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Cette égalité vaut d’après la section 008N. Il reste donc à montrer que, sous cette correspondance, les sous-ensembles formés des morphismes de modules se correspondent. De plus, la correspondance est déterminée par la règle \[(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}) \longmapsto (f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F})\] et, dans l’autre sens, par la règle \[(\varphi : \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}) \longmapsto (c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F})\] où \(i_\mathcal{G}\) et \(c_\mathcal{F}\) sont ceux de la section 008N. Ainsi, par fonctorialité de \(f_*\) et \(f_p\), nous voyons qu’il suffit de vérifier que les morphismes \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G}\) et \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) sont compatibles avec les structures de modules, ce que nous laissons au lecteur.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau de \(f_*\mathcal{O}\)-modules. Alors \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{p, f_pf_*\mathcal{O}} f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Nous utilisons ici les Lemmes 008T et 008S, ainsi que le morphisme \(c_\mathcal{O} : f_pf_*\mathcal{O} \to \mathcal{O}\) dans la définition du produit tensoriel.

Démonstration

Cela résulte des égalités \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{p, f_pf_*\mathcal{O}} f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_pf_*\mathcal{O})}( f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}}) \\ & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*(\mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}})) \\ & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] La première égalité est le Lemme 006R. La deuxième égalité est le Lemme 008U. La troisième égalité est donnée par l’égalité \(f_*(\mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}}) = f_*\mathcal{F}\) de faisceaux abéliens qui est \(f_*\mathcal{O}\)-linéaire. En effet, \(\text{id}_{f_*\mathcal{O}}\) correspond à \(c_\mathcal{O}\) par l’adjonction décrite dans la preuve du Lemme 008F ; ainsi \(\text{id}_{f_*\mathcal{O}} = f_*c_\mathcal{O} \circ i_{f_*\mathcal{O}}\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. L’image directe \(f_*\mathcal{F}\), telle que définie dans le Lemme 008S, est un faisceau de \(f_*\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

C’est évident d’après la définition et le Lemme 008D.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(Y\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Il existe un morphisme naturel de préfaisceaux d’ensembles sous-jacents \[f^{-1}\mathcal{O} \times f^{-1}\mathcal{G} \longrightarrow f^{-1}\mathcal{G}\] qui munit \(f^{-1}\mathcal{G}\) d’une structure de faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Rappelons que \(f^{-1}\) est défini comme la composée du foncteur \(f_p\) et du foncteur faisceau associé. Le lemme résulte donc du Lemme 008T et du Lemme 0089.

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Soit \(\mathcal{O}_X\) un faisceau d’anneaux sur \(X\) et soit \(\mathcal{O}_Y\) un faisceau d’anneaux sur \(Y\). Nous avons donc maintenant défini des foncteurs \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] Ils vérifient les compatibilités suivantes.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(Y\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(f^{-1}\mathcal{O}\)-modules. Alors \[\Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Nous utilisons ici les Lemmes 008X et 008W, et considérons \(f_*\mathcal{F}\) comme un \(\mathcal{O}\)-module par restriction des scalaires le long de \(\mathcal{O} \to f_*f^{-1}\mathcal{O}\).

Démonstration

Le résultat découle des égalités \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(f_p\mathcal{O})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] La seconde égalité provient du Lemme 008U et la première du Lemme 0089.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(f_*\mathcal{O}\)-modules. Alors \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Nous utilisons ici les Lemmes 008X et 008W, ainsi que le morphisme canonique \(f^{-1}f_*\mathcal{O} \to \mathcal{O}\) dans la définition du produit tensoriel.

Démonstration

Cela résulte des égalités \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}f_*\mathcal{O})}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}f_*\mathcal{O}}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] Ces égalités combinent le Lemme 008A et le Lemme 008Y.

Soit \(f : X \to Y\) une application continue. Soit \(\mathcal{O}_X\) un (pré)faisceau d’anneaux sur \(X\) et soit \(\mathcal{O}_Y\) un (pré)faisceau d’anneaux sur \(Y\). À ce stade, nous avons donc défini les foncteurs \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_p : \textit{PMod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_p\mathcal{O}_Y) \\ f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] Manifestement, en général, les deux foncteurs \((f_*, f^{-1})\) sur les faisceaux de modules ne sont pas adjoints, car leurs catégories d’arrivée ne coïncident pas. En effet, comme nous l’avons vu plus haut, cela ne fonctionne que si, par miracle, les faisceaux d’anneaux \(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y\) vérifient les relations \(\mathcal{O}_X = f^{-1}\mathcal{O}_Y\) et \(\mathcal{O}_Y = f_*\mathcal{O}_X\). Ce n’est presque jamais le cas en pratique. Nous interrompons la discussion pour définir la notion correcte de morphisme pour laquelle il existe un couple de foncteurs adjoints approprié sur les faisceaux de modules.

Espaces annelés

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(\mathcal{O}_X\) un faisceau d’anneaux sur \(X\). Nous devons considérer le faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) comme un faisceau de fonctions sur \(X\). Et si \(f : X \to Y\) est une application « convenable », alors, par composition, une fonction sur \(Y\) devient une fonction sur \(X\). Il devrait donc exister un \(f\)-morphisme naturel de \(\mathcal{O}_Y\) vers \(\mathcal{O}_X\) ; voir la définition 008J et le lemme 008K. Pour un exemple précis, voir l’exemple 0092 ci-dessous. Voici la définition abstraite pertinente.

Définition

Un espace annelé est un couple \((X, \mathcal{O}_X)\) formé d’un espace topologique \(X\) et d’un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}_X\) sur \(X\). Un morphisme d’espaces annelés \((X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) est un couple formé d’une application continue \(f : X \to Y\) et d’un \(f\)-morphisme de faisceaux d’anneaux \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\).

Exemple

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Considérons les faisceaux de fonctions continues à valeurs réelles \(\mathcal{C}^0_X\) sur \(X\) et \(\mathcal{C}^0_Y\) sur \(Y\) ; voir l’exemple 0074. Nous affirmons qu’il existe un \(f\)-morphisme naturel \(f^\sharp : \mathcal{C}^0_Y \to \mathcal{C}^0_X\) associé à \(f\). Nous le définissons simplement par la règle \[\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^0_Y(V) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0_X(f^{-1}V) \\ h & \longmapsto & h \circ f \end{eqnarray*}\] En toute rigueur, nous devrions écrire \(f^\sharp(h) = h \circ f|_{f^{-1}(V)}\). Il est clair qu’il s’agit d’une famille d’applications comme dans la définition 008J, compatible avec les structures de \(\mathbf{R}\)-algèbres. C’est donc un \(f\)-morphisme de faisceaux de \(\mathbf{R}\)-algèbres ; voir le lemme 008Q.

Il existe bien sûr beaucoup d’autres situations dans lesquelles un morphisme canonique d’espaces annelés est associé à un type géométrique de morphisme. Par exemple, si \(M\), \(N\) sont des variétés \(\mathcal{C}^\infty\) et si \(f : M \to N\) est une application indéfiniment différentiable, alors \(f\) induit un morphisme canonique d’espaces annelés \((M, \mathcal{C}_M^\infty) \to (N, \mathcal{C}^\infty_N)\). La construction (qui est identique à celle ci-dessus) est laissée au lecteur.

La manière de composer les morphismes d’espaces annelés n’étant peut-être pas tout à fait évidente, nous l’explicitons ici.

Définition

Soient \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) et \((g, g^\sharp) : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (Z, \mathcal{O}_Z)\) des morphismes d’espaces annelés. Nous définissons alors la composée de morphismes d’espaces annelés par la règle \[(g, g^\sharp) \circ (f, f^\sharp) = (g \circ f, f^\sharp \circ g^\sharp).\] Nous utilisons ici la composition des \(f\)-morphismes définie dans la définition 008L.

Morphismes d’espaces annelés et modules

Nous avons maintenant introduit assez de notations pour pouvoir définir l’image inverse et l’image directe des modules le long d’un morphisme d’espaces annelés.

Définition

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Nous définissons l’image directe de \(\mathcal{F}\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules qui, comme faisceau de groupes abéliens, est égal à \(f_*\mathcal{F}\) et dont la structure de module est obtenue par restriction des scalaires via \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\) de la structure de module donnée dans le lemme 008W.

2. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Nous définissons l’image inverse \(f^*\mathcal{G}\) comme le faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules défini par la formule \[f^*\mathcal{G} = \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}\] où l’homomorphisme d’anneaux \(f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) est l’homomorphisme correspondant à \(f^\sharp\), et où la structure de module est donnée par le lemme 008X.

Nous avons ainsi défini des foncteurs \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \\ f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \end{eqnarray*}\] Le dernier résultat concernant ces foncteurs affirme qu’ils sont bien adjoints, comme prévu.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Il existe une bijection canonique \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] Autrement dit, le foncteur \(f^*\) est adjoint à gauche de \(f_*\).

Démonstration

Cela résulte du travail effectué précédemment : \[\begin{eqnarray*} \Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}( \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y)}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}) \\ & = & \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] Nous utilisons ici les lemmes 008A et 008Y.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés. Les foncteurs \((g \circ f)_*\) et \(g_* \circ f_*\) sont égaux. Il existe un isomorphisme canonique de foncteurs \((g \circ f)^* \cong f^* \circ g^*\).

Démonstration

Le résultat sur les images directes est une conséquence du lemme 008E et de nos définitions. Le résultat sur les images inverses s’en déduit par le même argument que dans la preuve du lemme 008I.

Étant donnés un morphisme d’espaces annelés \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\), un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) et un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \(\mathcal{G}\) sur \(Y\), la notion d’\(f\)-morphisme \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) de faisceaux de modules a un sens. Nous pouvons simplement le définir comme un \(f\)-morphisme \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) de faisceaux abéliens (voir la définition 008J et le lemme 008K) tel que, pour tout ouvert \(V \subset Y\), l’application \[\mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] soit un morphisme de \(\mathcal{O}_Y(V)\)-modules. Nous considérons ici \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\) comme un \(\mathcal{O}_Y(V)\)-module au moyen de l’homomorphisme \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V)\). L’ensemble des \(f\)-morphismes entre \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) est en bijection canonique avec les ensembles \(\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F})\) et \(\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\). Voir ci-dessus.

La composition des \(f\)-morphismes est définie exactement de la même manière que dans le cas des \(f\)-morphismes de faisceaux d’ensembles. En outre, étant donnés un \(f\)-morphisme \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) comme ci-dessus et \(x \in X\), l’application induite sur les fibres \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] est un morphisme de \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-modules, où la structure de \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-module sur \(\mathcal{F}_x\) provient de la structure de \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module au moyen de l’application \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\). Voici un lemme apparenté.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Soit \(x \in X\). Alors \[(f^*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, f(x)}} \mathcal{O}_{X, x}\] comme \(\mathcal{O}_{X, x}\)-modules, le produit tensoriel de droite utilisant \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 008B et de l’identification des fibres des faisceaux images inverses en \(x\) avec les fibres correspondantes en \(f(x)\). Voir par exemple les formules de la section 008P.

Faisceaux gratte-ciel et fibres

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Soit \(x \in X\) un point. Notons \(i_x : \{x\} \to X\) l’application d’inclusion. Soit \(A\) un ensemble et considérons \(A\) comme un faisceau sur l’espace à un point \(\{x\}\). Nous appelons \(i_{x, *}A\) le faisceau gratte-ciel en \(x\) de valeur \(A\).

2. Si, dans (1) ci-dessus, \(A\) est un groupe abélien, nous considérons \(i_{x, *}A\) comme un faisceau de groupes abéliens sur \(X\).

3. Si, dans (1) ci-dessus, \(A\) est une structure algébrique, nous considérons \(i_{x, *}A\) comme un faisceau de structures algébriques.

4. Si \((X, \mathcal{O}_X)\) est un espace annelé, nous considérons \(i_x : \{x\} \to X\) comme un morphisme d’espaces annelés \((\{x\}, \mathcal{O}_{X, x}) \to (X, \mathcal{O}_X)\) et, si \(A\) est un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module, nous considérons \(i_{x, *}A\) comme un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

5. On dit qu’un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) est un faisceau gratte-ciel s’il existe un point \(x\) de \(X\) et un ensemble \(A\) tels que \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\).

6. On dit qu’un faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\) est un faisceau gratte-ciel s’il existe un point \(x\) de \(X\) et un groupe abélien \(A\) tels que \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\) comme faisceaux de groupes abéliens.

7. On dit qu’un faisceau de structures algébriques \(\mathcal{F}\) est un faisceau gratte-ciel s’il existe un point \(x\) de \(X\) et une structure algébrique \(A\) tels que \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\) comme faisceaux de structures algébriques.

8. Si \((X, \mathcal{O}_X)\) est un espace annelé et si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules, on dit que \(\mathcal{F}\) est un faisceau gratte-ciel s’il existe un point \(x \in X\) et un \(\mathcal{O}_{X, x}\)-module \(A\) tels que \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\) comme faisceaux de \(\mathcal{O}_X\)-modules.

Lemme

Soient \(X\) un espace topologique, \(x \in X\) un point et \(A\) un ensemble. Pour tout point \(x' \in X\), la fibre du faisceau gratte-ciel en \(x\) de valeur \(A\) au point \(x'\) est \[(i_{x, *}A)_{x'} = \left\{ \begin{matrix} A & \text{si} & x' \in \overline{\{x\}} \\ \{*\} & \text{si} & x' \not\in \overline{\{x\}} \end{matrix} \right.\] Une description analogue vaut dans le cas des groupes abéliens, des structures algébriques et des faisceaux de modules.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(x \in X\) un point. Les foncteurs \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\) et \(A \mapsto i_{x, *}A\) sont adjoints. Plus précisément, \[\Mor_{\textit{Ensembles}}(\mathcal{F}_x, A) = \Mor_{\Sh(X)}(\mathcal{F}, i_{x, *}A).\] Un énoncé analogue vaut dans le cas des groupes abéliens et des structures algébriques. Dans le cas des faisceaux de modules, nous avons \[\Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, A) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, i_{x, *}A).\]

Démonstration

Démonstration omise. Indication : le foncteur fibre peut être considéré comme le foncteur image inverse pour le morphisme \(i_x : \{x\} \to X\). L’adjonction résulte alors de celle de \(i_x^{-1}\) et \(i_{x, *}\) (resp. \(i_x^*\) et \(i_{x, *}\) dans le cas des faisceaux de modules).

Limites projectives et inductives de préfaisceaux

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{I} \to \textit{PSh}(X)\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme.

1. Les objets \(\lim_i \mathcal{F}_i\) et \(\colim_i \mathcal{F}_i\) existent tous deux.

2. Pour tout ouvert \(U \subset X\), on a \[(\lim_i \mathcal{F}_i)(U) = \lim_i \mathcal{F}_i(U)\] et \[(\colim_i \mathcal{F}_i)(U) = \colim_i \mathcal{F}_i(U).\]

3. Soit \(x \in X\) un point. En général, la fibre de \(\lim_i \mathcal{F}_i\) en \(x\) n’est pas égale à la limite projective des fibres. C’est toutefois le cas si la catégorie d’indices est finie. Autrement dit, le foncteur fibre est exact à gauche (voir Catégories, définition 0034).

4. Soit \(x \in X\). On a toujours \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}.\]

Toutes les démonstrations sont faciles.

Limites projectives et inductives de faisceaux

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{I} \to \Sh(X)\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\), un diagramme.

1. Les objets \(\lim_i \mathcal{F}_i\) et \(\colim_i \mathcal{F}_i\) existent tous deux.

2. Le foncteur d’inclusion \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\) commute aux limites projectives. Autrement dit, on peut calculer la limite projective dans la catégorie des faisceaux comme la limite projective dans la catégorie des préfaisceaux. En particulier, pour tout ouvert \(U \subset X\), on a \[(\lim_i \mathcal{F}_i)(U) = \lim_i \mathcal{F}_i(U).\]

3. Le foncteur d’inclusion \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\) ne commute pas en général aux limites inductives (pas même aux limites inductives finies — penser aux surjections). La limite inductive s’obtient en prenant le faisceau associé à la limite inductive dans la catégorie des préfaisceaux : \[\colim_i \mathcal{F}_i = \Big(U \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(U)\Big)^\#.\]

4. Soit \(x \in X\) un point. En général, la fibre de \(\lim_i \mathcal{F}_i\) en \(x\) n’est pas égale à la limite projective des fibres. C’est toutefois le cas si la catégorie d’indices est finie. Autrement dit, le foncteur fibre est exact à gauche.

5. Soit \(x \in X\). On a toujours \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}.\]

6. Le foncteur faisceau associé \({}^\# : \textit{PSh}(X) \to \Sh(X)\) commute à toutes les limites inductives et aux limites projectives finies. Il ne commute cependant pas à toutes les limites projectives.

Toutes les démonstrations sont faciles. Voici un exemple de ce qui vaut pour les limites inductives filtrantes de faisceaux.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(I\) un ensemble ordonné filtrant. Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\) un système inductif de faisceaux d’ensembles indexé par \(I\), voir Catégories, section 002Z. Soit \(U \subset X\) un ouvert. Considérons l’application canonique \[\Psi : \colim_i \mathcal{F}_i(U) \longrightarrow \left(\colim_i \mathcal{F}_i\right)(U)\]

1. Si toutes les applications de transition sont injectives, alors \(\Psi\) est injective pour tout ouvert \(U\).

2. Si \(U\) est quasi-compact, alors \(\Psi\) est injective.

3. Si \(U\) est quasi-compact et si toutes les applications de transition sont injectives, alors \(\Psi\) est un isomorphisme.

4. Si \(U\) admet un système cofinal de recouvrements ouverts \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{j\in J} U_j\), où \(J\) étant fini, tels que \(U_j \cap U_{j'}\) soit quasi-compact pour tous \(j, j' \in J\), alors \(\Psi\) est bijective.

Démonstration

Supposons toutes les applications de transition injectives. Dans ce cas, le préfaisceau \(\mathcal{F}' : V \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(V)\) est séparé (voir la Définition 007A). D’après ce qui précède, on a \((\mathcal{F}')^\# = \colim_i \mathcal{F}_i\). Le Lemme 0082 montre que \(\mathcal{F}' \to (\mathcal{F}')^\#\) est injective. Cela démontre (1).

Supposons \(U\) quasi-compact. Supposons que \(s \in \mathcal{F}_i(U)\) et \(s' \in \mathcal{F}_{i'}(U)\) déterminent au membre de gauche des éléments ayant la même image par \(\Psi\). Comme \(U\) est quasi-compact, cela signifie qu’il existe un recouvrement ouvert fini \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\) et, pour chaque \(j\), un indice \(i_j \in I\), avec \(i_j \geq i\), \(i_j \geq i'\), tels que \(\varphi_{ii_j}(s)\) et \(\varphi_{i'i_j}(s')\) aient la même restriction à \(U_j\). Soit \(i''\in I\) supérieur ou égal (\(\geq\)) à chacun des \(i_j\). On en conclut que \(\varphi_{ii''}(s)\) et \(\varphi_{i'i''}(s')\) coïncident sur les ouverts \(U_j\) pour tout \(j\), et donc que \(\varphi_{ii''}(s) = \varphi_{i'i''}(s')\). Cela démontre (2).

Supposons \(U\) quasi-compact et toutes les applications de transition injectives. Soit \(s\) un élément du but de \(\Psi\). Comme \(U\) est quasi-compact, il existe un recouvrement ouvert fini \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\), ainsi que, pour chaque \(j\), un indice \(i_j \in I\) et un \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\), tels que \(s|_{U_j}\) provienne de \(s_j\) pour tout \(j\). Choisissons \(i \in I\) supérieur ou égal (\(\geq\)) à chacun des \(i_j\). D’après (1), les sections \(\varphi_{i_ji}(s_j)\) coïncident sur les intersections \(U_j \cap U_{j'}\). Elles se recollent donc en une section \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\) qui s’envoie sur \(s\) par \(\Psi\). Cela démontre (3).

Supposons l’hypothèse de (4). En particulier, \(U\) est quasi-compact et (2) assure donc l’injectivité de \(\Psi\). Soit \(s\) un élément du but de \(\Psi\). Par hypothèse, il existe un recouvrement ouvert fini \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\), où \(U_j \cap U_{j'}\) est quasi-compact pour tous \(j, j' \in J\), ainsi que, pour chaque \(j\), un indice \(i_j \in I\) et un \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\) tels que \(s|_{U_j}\) soit l’image de \(s_j\) pour tout \(j\). Puisque \(U_j \cap U_{j'}\) est quasi-compact, on peut appliquer (2) et voir qu’il existe un \(i_{jj'} \in I\), avec \(i_{jj'} \geq i_j\), \(i_{jj'} \geq i_{j'}\), tel que \(\varphi_{i_ji_{jj'}}(s_j)\) et \(\varphi_{i_{j'}i_{jj'}}(s_{j'})\) coïncident sur \(U_j \cap U_{j'}\). Choisissons un indice \(i \in I\) majorant tous les \(i_{jj'}\). On voit alors que les sections \(\varphi_{i_ji}(s_j)\) de \(\mathcal{F}_i\) se recollent en une section de \(\mathcal{F}_i\) sur \(U\). Cette section s’envoie sur l’élément \(s\), comme voulu.

Exemple

Soit \(X = \{s_1, s_2, \xi_1, \xi_2, \xi_3, \ldots\}\) comme ensemble. Déclarons qu’une partie \(U \subset X\) est ouverte si \(s_1 \in U\) ou \(s_2 \in U\) entraîne que \(U\) contient tous les \(\xi_i\). Soit \(U_n = \{\xi_n, \xi_{n + 1}, \ldots\}\), et soit \(j_n : U_n \to X\) l’application d’inclusion. Posons \(\mathcal{F}_n = j_{n, *}\underline{\mathbf{Z}}\). On a des applications de transition \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\). Soit \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_n\). Remarquons que \(\mathcal{F}_{n, \xi_m} = 0\) si \(m < n\), car \(\{\xi_m\}\) est une partie ouverte de \(X\) disjointe de \(U_n\). On voit donc que \(\mathcal{F}_{\xi_n} = 0\) pour tout \(n\). En revanche, la fibre \(\mathcal{F}_{s_i}\), pour \(i = 1, 2\), est la limite inductive \[M = \colim_n \prod\nolimits_{m \geq n} \mathbf{Z}\] qui n’est pas nulle. On en déduit que le faisceau \(\mathcal{F}\) est la somme directe des faisceaux gratte-ciel de valeur \(M\) aux points fermés \(s_1\) et \(s_2\). Ainsi, \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = M \oplus M\). D’autre part, le lecteur peut vérifier que \(\colim_n \Gamma(X, \mathcal{F}_n) = M\). Une condition est donc nécessaire dans l’assertion (4) du Lemme 009F ci-dessus.

Il existe une version du lemme précédent pour les faisceaux sur un diagramme d’espaces spectraux. Introduisons les notations nécessaires à son énoncé. Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces spectraux indexé par \(\mathcal{I}\), tel que, pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), l’application correspondante \(f_a : X_j \to X_i\) soit spectrale. Posons \(X = \lim X_i\) et notons \(p_i : X \to X_i\) la projection.

Lemme

Dans la situation décrite ci-dessus, soit \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et soit \(\mathcal{G}\) un faisceau sur \(X_i\). Pour tout ouvert quasi-compact \(U_i \subset X_i\), on a \[p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{G}(f_a^{-1}(U_i))\]

Démonstration

Montrons que l’application canonique \(\colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{G}(f_a^{-1}(U_i)) \to p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i))\) est injective. Soient \(s, s'\) des sections de \(f_a^{-1}\mathcal{G}\) sur \(f_a^{-1}(U_i)\) pour un certain \(a : j \to i\). Pour \(b : k \to j\), soit \(Z_k \subset f_{a \circ b}^{-1}(U_i)\) la partie fermée formée des points \(x\) tels que les images de \(s\) et \(s'\) dans la fibre \((f_{a \circ b}^{-1}\mathcal{G})_x\) soient distinctes. Si \(Z_k\) est non vide pour tout \(b : k \to j\), alors le lemme 0A2W de Topologie montre que \(\lim_{b : k \to j} Z_k\) est également non vide. Pour \(x \in \lim_{b : k \to j} Z_k \subset X\) (remarquons que \(\mathcal{I}/j \to \mathcal{I}\) est initial), les images de \(s\) et \(s'\) dans la fibre de \(p_i^{-1}\mathcal{G}\) en \(x\) sont alors également distinctes, puisque \((p_i^{-1}\mathcal{G})_x = (f_{b \circ a}^{-1}\mathcal{G})_{p_k(x)}\) pour tout \(b : k \to j\) comme ci-dessus. Ainsi, si les images de \(s\) et \(s'\) dans \(p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i))\) sont égales, alors \(Z_k\) est vide pour un certain \(b : k \to j\). Cela démontre l’injectivité.

Surjectivité. Soit \(s\) une section de \(p_i^{-1}\mathcal{G}\) sur \(p_i^{-1}(U_i)\). D’après le lemme 0A2Z de Topologie, la partie \(p_i^{-1}(U_i)\) est un ouvert quasi-compact de l’espace spectral \(X\). Par construction du faisceau image inverse, on peut trouver un recouvrement ouvert \(p_i^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_l\), des ouverts \(V_{l, i} \subset X_i\) et des sections \(s_{l, i} \in \mathcal{G}(V_{l, i})\) tels que \(p_i(W_l) \subset V_{l, i}\) et \(p_i^{-1}s_{l, i}|_{W_l} = s|_{W_l}\). Comme \(X\) et \(X_i\) sont spectraux et que \(p_i^{-1}(U_i)\) est un ouvert quasi-compact, on peut supposer \(L\) fini et les \(W_l\) et \(V_{l, i}\) ouverts quasi-compacts pour tout \(l\). On peut alors appliquer le lemme 0A30 de Topologie pour trouver un \(a : j \to i\) et un recouvrement ouvert \(f_a^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_{l, j}\) par des ouverts quasi-compacts dont l’image inverse sur \(X\) est le recouvrement \(p_i^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_l\) et tels qu’en outre \(W_{l, j} \subset f_a^{-1}(V_{l, i})\). Notons \(s_{l, j}\) la restriction de l’image inverse de \(s_{l, i}\) par \(f_a\) à \(W_{l, j}\). On voit alors que \(s_{l, j}\) et \(s_{l', j}\) se restreignent en des éléments de \((f_a^{-1}\mathcal{G})(W_{l, j} \cap W_{l', j})\) dont les images inverses donnent le même élément \((p_i^{-1}\mathcal{G})(W_l \cap W_{l'})\), à savoir la restriction de \(s\). L’injectivité permet donc de trouver \(b : k \to j\) tel que les sections \(f_b^{-1}s_{l, j}\) se recollent en une section sur \(f_{a \circ b}^{-1}(U_i)\), comme voulu.

Supposons maintenant donnés, en plus du système cofiltrant \(X_i\) d’espaces spectraux, les objets suivants :

1. un faisceau \(\mathcal{F}_i\) sur \(X_i\) pour tout \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) ;

2. pour \(a : j \to i\), un \(f_a\)-morphisme \(\varphi_a : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\)

tels que \(\varphi_c = \varphi_b \circ \varphi_a\) dès que \(c = a \circ b\). Posons \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\) sur \(X\).

Lemme

Dans la situation décrite ci-dessus, soit \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et soit \(U_i \subset X_i\) un ouvert quasi-compact. Alors \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(f_a^{-1}(U_i)) = \mathcal{F}(p_i^{-1}(U_i))\]

Démonstration

Rappelons que \(p_i^{-1}(U_i)\) est un ouvert quasi-compact de l’espace spectral \(X\), voir le lemme 0A2Z de Topologie. Le Lemme 009F s’applique donc et donne \[\mathcal{F}(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} p_j^{-1}\mathcal{F}_j(p_i^{-1}(U_i)).\] Un argument formel montre que \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(f_a^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(f_{a \circ b}^{-1}(U_i))\] Il suffit donc de montrer que \[p_j^{-1}\mathcal{F}_j(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(f_{a \circ b}^{-1}(U_i))\] C’est le Lemme 0A32 appliqué à \(\mathcal{F}_j\) et à l’ouvert quasi-compact \(f_a^{-1}(U_i)\).

Bases et faisceaux

Il existe parfois une base de la topologie formée d’ouverts avec lesquels il est plus facile de travailler qu’avec des ouverts quelconques. Pour plus de commodité, nous donnons ici quelques définitions et lemmes simples afin de faciliter le travail avec les (pré)faisceaux dans une telle situation.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\).

1. Un préfaisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{B}\) est une règle qui associe à chaque \(U \in \mathcal{B}\) un ensemble \(\mathcal{F}(U)\) et à chaque inclusion \(V \subset U\) d’éléments de \(\mathcal{B}\) une application \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) telle que \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\) pour tout \(U \in \mathcal{B}\) et que, si \(W \subset V \subset U\) dans \(\mathcal{B}\), on ait \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\).

2. Un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de préfaisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{B}\) est une règle qui associe à chaque élément \(U \in \mathcal{B}\) une application d’ensembles \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) compatible avec les applications de restriction.

Comme pour les préfaisceaux usuels, nous employons la terminologie des sections, des restrictions de sections, etc. En particulier, nous pouvons définir la fibre de \(\mathcal{F}\) en un point \(x \in X\) comme la limite inductive \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] Comme pour la fibre d’un préfaisceau sur \(X\), cette limite inductive est filtrante. En effet, la famille des \(U\in \mathcal{B}\), \(x \in U\), est un système fondamental de voisinages ouverts de \(x\).

Il est facile de construire des exemples montrant que la notion de préfaisceau sur \(X\) est très différente de celle de préfaisceau sur une base de la topologie de \(X\). Ce phénomène ne se produit pas pour les faisceaux. La notion suivante est donc beaucoup plus utile.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\).

1. Un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{B}\) est un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{B}\) qui satisfait la propriété supplémentaire suivante : étant donnés \(U \in \mathcal{B}\), un recouvrement \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) avec \(U_i \in \mathcal{B}\), et des recouvrements \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k \in I_{ij}} U_{ijk}\) avec \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\), la condition de faisceau suivante est satisfaite :

   • Pour toute famille de sections \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\), \(i \in I\), telle que \(\forall i, j\in I\), \(\forall k\in I_{ij}\), \[s_i|_{U_{ijk}} = s_j|_{U_{ijk}}\] il existe une unique section \(s \in \mathcal{F}(U)\) telle que \(s_i = s|_{U_i}\) pour tout \(i \in I\).

2. Un morphisme de faisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{B}\) est simplement un morphisme de préfaisceaux d’ensembles.

Nous expliquons d’abord qu’il suffit de vérifier la condition de faisceau \((**)\) sur un système cofinal de recouvrements. Dans la situation de la définition, supposons que \(U \in \mathcal{B}\). Notons temporairement \(\text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) l’ensemble de tous les recouvrements de \(U\) par des éléments de \(\mathcal{B}\). Remarquons que \(\text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) est préordonné par le raffinement. Une partie \(C \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) est un système cofinal si, pour tout \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\), il existe un recouvrement \(\mathcal{V} \in C\) qui raffine \(\mathcal{U}\).

Lemme

Conservons les notations ci-dessus. Pour chaque \(U \in \mathcal{B}\), soit \(C(U) \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) un système cofinal. Pour chaque \(U \in \mathcal{B}\) et chaque \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\) appartenant à \(C(U)\), supposons donnés des recouvrements \(\mathcal{U}_{ij} : U_i \cap U_j = \bigcup U_{ijk}\), \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{B}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le préfaisceau \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(\mathcal{B}\).

2. Pour tout \(U \in \mathcal{B}\) et tout recouvrement \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\) appartenant à \(C(U)\), la condition de faisceau \((**)\) est satisfaite (pour les recouvrements \(\mathcal{U}_{ij}\) donnés).

Démonstration

Nous devons montrer que (2) implique (1). Supposons que \(U \in \mathcal{B}\) et que \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i\in I} U_i\) soit un recouvrement quelconque par des éléments de \(\mathcal{B}\). Comme le système \(C(U)\) est cofinal, nous pouvons trouver un élément \(\mathcal{V} : U = \bigcup_{j \in J} V_j\) de \(C(U)\) qui raffine \(\mathcal{U}\). Cela signifie qu’il existe une application \(\alpha : J \to I\) telle que \(V_j \subset U_{\alpha(j)}\).

Remarquons que, si \(s, s' \in \mathcal{F}(U)\) sont des sections telles que \(s|_{U_i} = s'|_{U_i}\), alors \[s|_{V_j} = (s|_{U_{\alpha(j)}})|_{V_j} = (s'|_{U_{\alpha(j)}})|_{V_j} = s'|_{V_j}\] pour tout \(j\). L’unicité dans \((**)\) pour le recouvrement \(\mathcal{V}\) entraîne donc que \(s = s'\). Nous avons ainsi démontré la partie unicité de \((**)\) pour notre recouvrement quelconque \(\mathcal{U}\).

Supposons en outre que \(U_i \cap U_{i'} = \bigcup_{k \in I_{ii'}} U_{ii'k}\) soient des recouvrements quelconques par des \(U_{ii'k} \in \mathcal{B}\). Essayons de démontrer la partie existence de \((**)\) pour le système \((\mathcal{U}, \mathcal{U}_{ij})\). Soient donc \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) et supposons que \[s_i|_{U_{ii'k}} = s_{i'}|_{U_{ii'k}}\] pour tous \(i, i', k\). Posons \(t_j = s_{\alpha(j)}|_{V_j}\), où \(\mathcal{V}\) et \(\alpha\) sont comme ci-dessus.

L’argument présente ici une petite difficulté. Soit en effet \(\mathcal{V}_{jj'} : V_j \cap V_{j'} = \bigcup_{l \in J_{jj'}} V_{jj'l}\) le recouvrement fourni par l’énoncé du lemme. Il n’est pas clair a priori que \[t_j|_{V_{jj'l}} = t_{j'}|_{V_{jj'l}}\] pour tous \(j, j', l\). Pour le voir, remarquons que nous avons bien \[t_j|_W = t_{j'}|_W \text{ pour tout } W \in \mathcal{B}, W \subset V_{jj'l} \cap U_{\alpha(j)\alpha(j')k}\] pour tout \(k \in I_{\alpha(j)\alpha(j')}\), par notre hypothèse sur la famille d’éléments \(s_i\). Et puisque \(V_j \cap V_{j'} \subset U_{\alpha(j)} \cap U_{\alpha(j')}\), nous voyons que \(t_j|_{V_{jj'l}}\) et \(t_{j'}|_{V_{jj'l}}\) coïncident sur les membres d’un recouvrement de \(V_{jj'l}\) par des éléments de \(\mathcal{B}\). La partie unicité démontrée ci-dessus donne donc enfin l’égalité voulue entre \(t_j|_{V_{jj'l}}\) et \(t_{j'}|_{V_{jj'l}}\). Nous obtenons alors l’existence d’un élément \(t \in \mathcal{F}(U)\) par la propriété \((**)\) pour \((\mathcal{V}, \mathcal{V}_{jj'})\).

Une petite difficulté subsiste. Nous savons que \(t\) se restreint en \(t_j\) sur \(V_j\), mais nous ne savons pas encore que \(t\) se restreint en \(s_i\) sur \(U_i\). Pour conclure, remarquons que les ensembles \(U_i \cap V_j\), \(j \in J\), recouvrent \(U_i\). Par conséquent, les ensembles \(U_{i \alpha(j) k} \cap V_j\), \(j\in J\), \(k \in I_{i\alpha(j)}\), recouvrent eux aussi \(U_i\). Nous laissons au lecteur le soin de voir que \(t\) et \(s_i\) induisent la même section de \(\mathcal{F}\) sur tout \(W \in \mathcal{B}\) contenu dans l’un des ouverts \(U_{i \alpha(j) k} \cap V_j\), \(j\in J\), \(k \in I_{i\alpha(j)}\). La partie unicité établie ci-dessus permet donc de conclure.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Supposons que, pour tout triplet \(U, U', U'' \in \mathcal{B}\) tel que \(U' \subset U\) et \(U'' \subset U\), on ait \(U' \cap U'' \in \mathcal{B}\). Pour chaque \(U \in \mathcal{B}\), soit \(C(U) \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\) un système cofinal. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(\mathcal{B}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Le préfaisceau \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(\mathcal{B}\).

2. Pour tout \(U \in \mathcal{B}\), tout recouvrement \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\) appartenant à \(C(U)\) et toute famille de sections \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\) telle que \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\), il existe une unique section \(s \in \mathcal{F}(U)\) qui se restreint en \(s_i\) sur \(U_i\).

Démonstration

C’est une reformulation du Lemme 009K ci-dessus dans le cas particulier où chacun des recouvrements \(\mathcal{U}_{ij}\) est formé d’un seul élément. Ce cas est d’ailleurs beaucoup plus simple et constitue un exercice facile que l’on peut résoudre directement.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(U \in \mathcal{B}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{B}\). L’application \[\mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] identifie \(\mathcal{F}(U)\) aux éléments \((s_x)_{x\in U}\) qui vérifient la propriété

• Pour tout \(x \in U\), il existe \(V \in \mathcal{B}\) tel que \(x \in V \subset U\), ainsi qu’une section \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\), de sorte que, pour tout \(y \in V\), on ait \(s_y = (V, \sigma)\) dans \(\mathcal{F}_y\).

Démonstration

Remarquons d’abord que l’application \(\mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\) est injective par l’unicité dans la condition de faisceau de la Définition 009J. Soit \((s_x)\) un élément quelconque du membre de droite qui vérifie \((*)\). Cela signifie clairement que l’on peut trouver un recouvrement \(U = \bigcup U_i\), \(U_i \in \mathcal{B}\), tel que \((s_x)_{x \in U_i}\) provienne de certains \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U_i)\). Pour tout \(y \in U_i \cap U_j\), les sections \(\sigma_i\) et \(\sigma_j\) coïncident dans la fibre \(\mathcal{F}_y\). Il existe donc un élément \(V_{ijy} \in \mathcal{B}\), \(y \in V_{ijy}\), tel que \(\sigma_i|_{V_{ijy}} = \sigma_j|_{V_{ijy}}\). La condition de faisceau \((**)\) de la Définition 009J s’applique donc au système des \(\sigma_i\), et nous obtenons une section \(s \in \mathcal{F}(U)\) qui possède la propriété voulue.

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Il existe un foncteur de restriction naturel de la catégorie des faisceaux d’ensembles sur \(X\) vers la catégorie des faisceaux d’ensembles sur \(\mathcal{B}\). Ce foncteur est en fait une équivalence de catégories. Concrètement, cela signifie ce qui suit.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(\mathcal{B}\). Il existe un unique faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}^{ext}\) sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}^{ext}(U) = \mathcal{F}(U)\) pour tout \(U \in \mathcal{B}\), de manière compatible avec les applications de restriction.

Démonstration

Nous construisons d’abord un préfaisceau \(\mathcal{F}^{ext}\) possédant la propriété voulue. Pour un ouvert quelconque \(U \subset X\), nous définissons \(\mathcal{F}^{ext}(U)\) comme l’ensemble des éléments \((s_x)_{x \in U}\) qui vérifient la condition \((*)\) du Lemme 009M. Il est clair qu’il existe des applications de restriction qui font de \(\mathcal{F}^{ext}\) un préfaisceau d’ensembles. En outre, le Lemme 009M montre que \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}^{ext}(U)\) dès que \(U\) est un élément de la base \(\mathcal{B}\). Pour voir que \(\mathcal{F}^{ext}\) est un faisceau, on peut raisonner comme dans la preuve du Lemme 007Y.

Remarquons que l’on a \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] dans la situation du lemme. En effet, la famille des éléments de \(\mathcal{B}\) qui contiennent \(x\) forme un système fondamental de voisinages ouverts de \(x\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Notons \(\Sh(\mathcal{B})\) la catégorie des faisceaux sur \(\mathcal{B}\). Il existe une équivalence de catégories \[\Sh(X) \longrightarrow \Sh(\mathcal{B})\] qui associe à un faisceau sur \(X\) sa restriction aux membres de \(\mathcal{B}\).

Démonstration

Le foncteur inverse est donné par le Lemme 009N ci-dessus. La vérification des fonctorialités évidentes est laissée au lecteur.

Ceci termine l’étude des faisceaux d’ensembles sur une base \(\mathcal{B}\). Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Pour terminer cette section, nous souhaitons signaler que les constructions ci-dessus valent pour les faisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Définissons brièvement les notions pertinentes.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique.

1. Un préfaisceau \(\mathcal{F}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\) est une règle qui associe à chaque \(U \in \mathcal{B}\) un objet \(\mathcal{F}(U)\) de \(\mathcal{C}\) et à chaque inclusion \(V \subset U\) d’éléments de \(\mathcal{B}\) un morphisme \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\) dans \(\mathcal{C}\) tel que \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\) pour tout \(U \in \mathcal{B}\) et que, si \(W \subset V \subset U\) dans \(\mathcal{B}\), on ait \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\).

2. Un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de préfaisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\) est une règle qui associe à chaque élément \(U \in \mathcal{B}\) un morphisme de structures algébriques \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) compatible avec les applications de restriction.

3. Étant donné un préfaisceau \(\mathcal{F}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\), nous appelons \(U \mapsto F(\mathcal{F}(U))\) le préfaisceau d’ensembles sous-jacent.

4. Un faisceau \(\mathcal{F}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\) est un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\) dont le préfaisceau d’ensembles sous-jacent est un faisceau.

Nous pouvons maintenant définir la fibre en \(x \in X\) d’un préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\) comme la limite inductive filtrante \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] Elle existe comme objet de \(\mathcal{C}\) en vertu de nos hypothèses sur \(\mathcal{C}\). De plus, l’ensemble sous-jacent à \(\mathcal{F}_x\) est la fibre du préfaisceau d’ensembles sous-jacent sur \(\mathcal{B}\).

Remarquons que les Lemmes 009K, 009L et 009M portent sur la propriété de faisceau, que nous avons définie en termes du préfaisceau d’ensembles associé. Ils se généralisent donc sans changement à la notion de préfaisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\). L’analogue du Lemme 009N demande quelques précautions. Le voici.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\). Il existe un unique faisceau \(\mathcal{F}^{ext}\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\) tel que \(\mathcal{F}^{ext}(U) = \mathcal{F}(U)\) pour tout \(U \in \mathcal{B}\), de manière compatible avec les applications de restriction.

Démonstration

En vertu des conditions imposées au couple \((\mathcal{C}, F)\), il suffit de construire un préfaisceau \(\mathcal{F}^{ext}\) qui possède la propriété voulue au niveau des préfaisceaux d’ensembles sous-jacents. Notre première tâche consiste donc à construire un objet convenable \(\mathcal{F}^{ext}(U)\) pour tout ouvert \(U \subset X\). Nous pourrions le faire en imitant le Lemme 0084 dans le cadre des préfaisceaux sur \(\mathcal{B}\). Voici toutefois une méthode légèrement différente (mais essentiellement équivalente) : définissons-le comme la limite inductive filtrante \[\mathcal{F}^{ext}(U) := \colim_\mathcal{U} FIB(\mathcal{U})\] sur tous les recouvrements \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i\in I} U_i\) par des \(U_i \in \mathcal{B}\) du produit fibré \[\xymatrix{ FIB(\mathcal{U}) \ar[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{x\in U} \mathcal{F}_x \ar[d] \\ \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar[r] & \prod\nolimits_{i \in I} \prod\nolimits_{x\in U_i} \mathcal{F}_x }\] Par les arguments usuels, voir le Lemme 007P et l’Exemple 007Q, il suffit de montrer que, sur les ensembles sous-jacents, cette construction coïncide avec la définition ci-dessus au moyen de \((**)\). Les détails sont laissés au lecteur.

Remarquons que l’on a \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] comme objets de \(\mathcal{C}\) dans la situation du lemme. En effet, la famille des éléments de \(\mathcal{B}\) qui contiennent \(x\) forme un système fondamental de voisinages ouverts de \(x\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Notons \(\Sh(\mathcal{B}, \mathcal{C})\) la catégorie des faisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\). Il existe une équivalence de catégories \[\Sh(X, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{B}, \mathcal{C})\] qui associe à un faisceau sur \(X\) sa restriction aux membres de \(\mathcal{B}\).

Démonstration

Le foncteur inverse est donné par le Lemme 009Q ci-dessus. La vérification des fonctorialités évidentes est laissée au lecteur.

Enfin, nous abordons le cas des (pré)faisceaux de modules sur une base. Nous utiliserons le fait élémentaire que la catégorie des préfaisceaux d’ensembles sur une base admet des produits et que ceux-ci s’obtiennent en prenant les produits des valeurs sur les éléments de la base.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(\mathcal{B}\).

1. Un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{B}\) est un préfaisceau de groupes abéliens sur \(\mathcal{B}\) muni d’un morphisme de préfaisceaux d’ensembles \(\mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) tel que, pour tout \(U \in \mathcal{B}\), l’application \(\mathcal{O}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\) munisse le groupe \(\mathcal{F}(U)\) d’une structure de \(\mathcal{O}(U)\)-module.

2. Un morphisme \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) de préfaisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{B}\) est un morphisme de préfaisceaux abéliens sur \(\mathcal{B}\) qui induit un homomorphisme de \(\mathcal{O}(U)\)-modules \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\) pour tout \(U \in \mathcal{B}\).

3. Supposons que \(\mathcal{O}\) soit un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{B}\). Un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{B}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{B}\) dont le préfaisceau de groupes abéliens sous-jacent est un faisceau.

Nous pouvons définir la fibre en \(x \in X\) d’un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{B}\) comme la limite inductive filtrante \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] C’est un \(\mathcal{O}_x\)-module.

Remarquons que les Lemmes 009K, 009L et 009M portent sur la propriété de faisceau, que nous avons définie en termes du préfaisceau d’ensembles associé. Ils se généralisent donc sans changement à la notion de préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules. L’analogue du Lemme 009N est le suivant.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{B}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(\mathcal{B}\). Soit \(\mathcal{O}^{ext}\) le faisceau d’anneaux sur \(X\) qui prolonge \(\mathcal{O}\), et soit \(\mathcal{F}^{ext}\) le faisceau abélien sur \(X\) qui prolonge \(\mathcal{F}\) ; voir le Lemme 009Q. Il existe un morphisme canonique \[\mathcal{O}^{ext} \times \mathcal{F}^{ext} \longrightarrow \mathcal{F}^{ext}\] qui coïncide avec le morphisme donné sur les éléments de \(\mathcal{B}\) et qui munit \(\mathcal{F}^{ext}\) d’une structure de \(\mathcal{O}^{ext}\)-module.

Démonstration

Il suffit de construire le morphisme de multiplication au niveau des préfaisceaux d’ensembles. La manière la plus simple de le voir est peut-être de démontrer directement que, si \((f_x)_{x \in U}\), \(f_x \in \mathcal{O}_x\) et \((m_x)_{x \in U}\), \(m_x \in \mathcal{F}_x\) vérifient \((*)\), alors l’élément \((f_xm_x)_{x \in U}\) vérifie lui aussi \((*)\). On obtient alors le résultat voulu, car, dans la preuve du Lemme 009N, nous construisons le prolongement à l’aide de familles d’éléments de fibres qui vérifient \((*)\).

Remarquons que l’on a \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] comme \(\mathcal{O}_x\)-modules dans la situation du lemme. Cela tient au fait que la famille des éléments de \(\mathcal{B}\) qui contiennent \(x\) forme un système fondamental de voisinages ouverts de \(x\), ou simplement au fait que l’assertion est vraie sur les ensembles sous-jacents.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(X\). Notons \(\textit{Mod}(\mathcal{O}|_\mathcal{B})\) la catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}|_\mathcal{B}\)-modules sur \(\mathcal{B}\). Il existe une équivalence de catégories \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}|_\mathcal{B})\] qui associe à un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(X\) sa restriction aux membres de \(\mathcal{B}\).

Démonstration

Le foncteur inverse est donné par le Lemme 009T ci-dessus. La vérification des fonctorialités évidentes est laissée au lecteur.

Enfin, nous étudions le lien de cette théorie avec les applications continues. C’est maintenant très facile grâce au travail accompli ci-dessus. Traitons d’abord le cas où une base de l’espace d’arrivée est donnée.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(Y\). Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(Y\). Supposons donné, pour tout \(V \in \mathcal{B}\), un morphisme \[\varphi_V : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] de \(\mathcal{C}\) compatible avec les applications de restriction. Il existe alors un unique \(f\)-morphisme (voir la Définition 008J et la discussion des \(f\)-morphismes dans la section 008P) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) qui redonne \(\varphi_V\) pour \(V \in \mathcal{B}\).

Démonstration

C’est immédiat, car la famille de morphismes revient à un morphisme entre les restrictions de \(\mathcal{G}\) et de \(f_*\mathcal{F}\) à \(\mathcal{B}\). Par le Lemme 009R, cela revient à donner un morphisme de \(\mathcal{G}\) vers \(f_*\mathcal{F}\), ce qui, par le Lemme 008K, équivaut à un \(f\)-morphisme. Voir aussi le Lemme 008Q et la discussion qui le précède pour le traitement du cas des faisceaux de structures algébriques.

Voici l’analogue pour les espaces annelés.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(Y\). Supposons donné, pour tout \(V \in \mathcal{B}\), un morphisme de \(\mathcal{O}_Y(V)\)-modules \[\varphi_V : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] (où \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\) est muni d’une structure de module par restriction des scalaires le long de \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V)\)) compatible avec les applications de restriction. Il existe alors un unique \(f\)-morphisme (voir la discussion des \(f\)-morphismes dans la section 0094) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) qui redonne \(\varphi_V\) pour \(V \in \mathcal{B}\).

Démonstration

La preuve est la même que celle du lemme correspondant pour les faisceaux de structures algébriques ci-dessus.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(X\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau à valeurs dans \(\mathcal{C}\) sur \(Y\). Soit \(\mathcal{B}_Y\) une base de la topologie de \(Y\). Soit \(\mathcal{B}_X\) une base de la topologie de \(X\). Supposons donné, pour tous \(V \in \mathcal{B}_Y\) et \(U \in \mathcal{B}_X\) tels que \(f(U) \subset V\), un morphisme \[\varphi_V^U : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] de \(\mathcal{C}\) compatible avec les applications de restriction. Il existe alors un unique \(f\)-morphisme (voir la Définition 008J et la discussion des \(f\)-morphismes dans la section 008P) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) qui redonne \(\varphi_V^U\) comme la composée \[\mathcal{G}(V) \xrightarrow{\varphi_V} \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \xrightarrow{\text{rest.}} \mathcal{F}(U)\] pour toute paire \((U, V)\) comme ci-dessus.

Démonstration

Démontrons d’abord ce résultat pour les faisceaux d’ensembles. Fixons un ouvert \(V \subset Y\). Choisissons \(s \in \mathcal{G}(V)\). Nous allons construire un élément \(\varphi_V(s) \in \mathcal{F}(f^{-1}V)\). Nous pouvons définir une valeur \(\varphi(s)_x\) dans la fibre \(\mathcal{F}_x\) pour tout \(x \in f^{-1}V\) en choisissant un \(U \in \mathcal{B}_X\) tel que \(x \in U \subset f^{-1}V\) et en prenant pour \(\varphi(s)_x\) la classe d’équivalence de \((U, \varphi_V^U(s))\) dans la fibre. Il est clair que la famille \((\varphi(s)_x)_{x \in f^{-1}V}\) vérifie la condition \((*)\), car les morphismes \(\varphi_V^U\), lorsque \(U\) varie, sont compatibles avec les restrictions dans le faisceau \(\mathcal{F}\). Ainsi, par la preuve du Lemme 009N, nous voyons que \((\varphi(s)_x)_{x \in f^{-1}V}\) correspond à un unique élément \(\varphi_V(s)\) de \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\). Nous avons donc défini une application d’ensembles \(\varphi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)\). La compatibilité entre \(\varphi_V\) et \(\varphi_V^U\) résulte du Lemme 009M.

Nous laissons au lecteur le soin de montrer que la construction de \(\varphi_V\) est compatible avec les applications de restriction lorsque \(V \in \mathcal{B}_Y\) varie. Nous pouvons donc appliquer le Lemme 009V ci-dessus pour les “recoller” et obtenir le \(f\)-morphisme voulu.

Enfin, remarquons que le morphisme de faisceaux d’ensembles ainsi construit possède la propriété suivante : le morphisme sur les fibres \[\mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] est la limite inductive du système de morphismes \(\varphi_V^U\) lorsque \(V \in \mathcal{B}_Y\) parcourt les éléments qui contiennent \(f(x)\) et \(U \in \mathcal{B}_X\) parcourt ceux qui contiennent \(x\). En particulier, si \(\mathcal{G}\) et \(\mathcal{F}\) sont les faisceaux d’ensembles sous-jacents à des faisceaux de structures algébriques, nous voyons que le morphisme sur les fibres est un morphisme de structures algébriques. Le morphisme correspondant de faisceaux d’ensembles sous-jacents \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) satisfait donc les hypothèses du Lemme 008Q. Nous en concluons que \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\) est un morphisme de faisceaux à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Par adjonction, cela signifie que \(\varphi\) est un \(f\)-morphisme de faisceaux de structures algébriques.

Lemme

Soit \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau de \(\mathcal{O}_Y\)-modules. Soit \(\mathcal{B}_Y\) une base de la topologie de \(Y\). Soit \(\mathcal{B}_X\) une base de la topologie de \(X\). Supposons donné, pour tous \(V \in \mathcal{B}_Y\) et \(U \in \mathcal{B}_X\) tels que \(f(U) \subset V\), un morphisme de \(\mathcal{O}_Y(V)\)-modules \[\varphi_V^U : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] compatible avec les applications de restriction. Ici, la structure de \(\mathcal{O}_Y(V)\)-module sur \(\mathcal{F}(U)\) s’obtient par restriction des scalaires à partir de la structure de \(\mathcal{O}_X(U)\)-module le long du morphisme \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V) \to \mathcal{O}_X(U)\). Il existe alors un unique \(f\)-morphisme de faisceaux de modules (voir la Définition 008J et la discussion des \(f\)-morphismes dans la section 0094) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) qui redonne \(\varphi_V^U\) comme la composée \[\mathcal{G}(V) \xrightarrow{\varphi_V} \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \xrightarrow{\text{rest.}} \mathcal{F}(U)\] pour toute paire \((U, V)\) comme ci-dessus.

Démonstration

La preuve est analogue à la précédente et est omise.

Immersions ouvertes et (pré)faisceaux

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert \(U\) dans \(X\). Dans la section 008C, nous avons défini des foncteurs \(j_*\) et \(j^{-1}\) tels que \(j_*\) soit adjoint à droite de \(j^{-1}\). Il se trouve que, pour une immersion ouverte, \(j^{-1}\) possède un adjoint à gauche, que nous noterons \(j_!\). Commençons par remarquer que \(j^{-1}\) admet une description particulièrement simple dans le cas d’une immersion ouverte.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert \(U\) dans \(X\).

1. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(X\). Le préfaisceau \(j_p\mathcal{G}\) (voir la section 008C) est donné par la règle \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\) pour tout ouvert \(V \subset U\).

2. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(X\). Le faisceau \(j^{-1}\mathcal{G}\) est donné par la règle \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\) pour tout ouvert \(V \subset U\).

3. Pour tout point \(u \in U\) et tout faisceau \(\mathcal{G}\) sur \(X\), on dispose d’une identification canonique des fibres \[j^{-1}\mathcal{G}_u = (\mathcal{G}|_U)_u = \mathcal{G}_u.\]

4. Dans la catégorie des préfaisceaux sur \(U\), nous avons \(j_pj_* = \text{id}\).

5. Dans la catégorie des faisceaux sur \(U\), nous avons \(j^{-1}j_* = \text{id}\).

La même description vaut pour les (pré)faisceaux de groupes abéliens, les (pré)faisceaux de structures algébriques et les (pré)faisceaux de modules.

Démonstration

La limite inductive dans la définition de \(j_p\mathcal{G}(V)\) porte sur la collection de tous les ouverts \(W \subset X\) tels que \(V \subset W\), ordonnée par l’inclusion opposée. Elle possède donc un plus grand élément, à savoir \(V\). Cela prouve (1). Et (2) en résulte, car la règle \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\) pour tout ouvert \(V \subset U\) est manifestement un faisceau si \(\mathcal{G}\) est un faisceau. L’assertion (3) résulte de (2), car la collection des voisinages ouverts de \(u\) contenus dans \(U\) est cofinale dans la collection de tous les voisinages ouverts de \(u\) dans \(X\). Les parties (4) et (5) résultent du calcul \(j^{-1}j_*\mathcal{F}(V) = j_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V)\).

Les mêmes arguments s’appliquent mot pour mot aux (pré)faisceaux de groupes abéliens et aux (pré)faisceaux de structures algébriques.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert.

1. Soit \(\mathcal{G}\) un préfaisceau d’ensembles, de groupes abéliens ou de structures algébriques sur \(X\). Le préfaisceau \(j_p\mathcal{G}\) décrit dans le lemme 00A0 est appelé la restriction de \(\mathcal{G}\) à \(U\) et noté \(\mathcal{G}|_U\).

2. Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau d’ensembles sur \(X\), ou un faisceau de groupes abéliens ou de structures algébriques sur \(X\). Le faisceau \(j^{-1}\mathcal{G}\) est appelé la restriction de \(\mathcal{G}\) à \(U\) et noté \(\mathcal{G}|_U\).

3. Si \((X, \mathcal{O})\) est un espace annelé, le couple \((U, \mathcal{O}|_U)\) est appelé le sous-espace ouvert de \((X, \mathcal{O})\) associé à \(U\).

4. Si \(\mathcal{G}\) est un préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules, alors \(\mathcal{G}|_U\), muni de l’application de multiplication \(\mathcal{O}|_U \times \mathcal{G}|_U \to \mathcal{G}|_U\) (voir le lemme 008X), est appelé la restriction de \(\mathcal{G}\) à \(U\).

Nous laissons au lecteur la définition de la restriction des préfaisceaux de modules. Dans cette section, nous allons donc étudier un adjoint à gauche du foncteur de restriction. Voici la définition dans le cas des (pré)faisceaux d’ensembles.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau d’ensembles sur \(U\). Nous définissons le prolongement de \(\mathcal{F}\) par l’ensemble vide \(j_{p!}\mathcal{F}\) comme le préfaisceau d’ensembles sur \(X\) défini par la règle \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{si} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{si} & V \subset U \end{matrix} \right.\] avec les applications de restriction évidentes.

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(U\). Nous définissons le prolongement de \(\mathcal{F}\) par l’ensemble vide \(j_!\mathcal{F}\) comme le faisceau associé au préfaisceau \(j_{p!}\mathcal{F}\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert.

1. Le foncteur \(j_{p!}\) est adjoint à gauche du foncteur de restriction \(j_p\) (voir le lemme 00A0).

2. Le foncteur \(j_!\) est adjoint à gauche de la restriction ; plus précisément, \[\Mor_{\Sh(X)}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U)}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

3. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(U\). Les fibres du faisceau \(j_!\mathcal{F}\) sont décrites comme suit : \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{si} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{si} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. Dans la catégorie des préfaisceaux sur \(U\), nous avons \(j_pj_{p!} = \text{id}\).

5. Dans la catégorie des faisceaux sur \(U\), nous avons \(j^{-1}j_! = \text{id}\).

Démonstration

Pour définir un morphisme de \(j_{p!}\mathcal{F}\) vers \(\mathcal{G}\), il suffit de définir des applications \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{G}(V)\) lorsque \(V \subset U\), compatibles avec les applications de restriction. Et, d’après le lemme 00A0, la même description vaut pour les morphismes \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\). L’adjonction entre \(j_!\) et la restriction résulte de ceci et des propriétés du faisceau associé. L’identification des fibres est évidente d’après la définition du prolongement par l’ensemble vide et la définition d’une fibre. Les assertions (4) et (5) résultent du calcul de la valeur du faisceau sur tout ouvert de \(U\).

Remarquons que, si \(\mathcal{F}\) est un faisceau de groupes abéliens sur \(U\), alors \(j_!\mathcal{F}\), tel qu’il est défini ci-dessus, n’est en général pas un faisceau de groupes abéliens, par exemple parce que certaines de ses fibres sont vides (et ne sont donc certainement pas des groupes abéliens). Nous devons donc adapter la définition de \(j_!\) au type de faisceaux considéré. La raison du choix de l’ensemble vide dans la définition du prolongement par l’ensemble vide est qu’il s’agit de l’objet initial de la catégorie des ensembles. Dans le cas des groupes abéliens, nous utilisons donc \(0\) (et, plus généralement, pour les faisceaux à valeurs dans une catégorie abélienne quelconque).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert.

1. Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau abélien sur \(U\). Nous définissons le prolongement \(j_{p!}\mathcal{F}\) de \(\mathcal{F}\) par \(0\) comme le préfaisceau abélien sur \(X\) défini par la règle \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{si} & V \subset U \end{matrix} \right.\] avec les applications de restriction évidentes.

2. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(U\). Nous définissons le prolongement \(j_!\mathcal{F}\) de \(\mathcal{F}\) par \(0\) comme le faisceau associé au préfaisceau abélien \(j_{p!}\mathcal{F}\).

3. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie possédant un objet initial \(e\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau sur \(U\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\). Nous définissons le prolongement \(j_{p!}\mathcal{F}\) de \(\mathcal{F}\) par \(e\) comme le préfaisceau sur \(X\) à valeurs dans \(\mathcal{C}\) défini par la règle \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} e & \text{si} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{si} & V \subset U \end{matrix} \right.\] avec les applications de restriction évidentes.

4. Soit \((\mathcal{C}, F)\) un type de structure algébrique tel que \(\mathcal{C}\) possède un objet initial \(e\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de structures algébriques sur \(U\) (du type donné). Nous définissons le prolongement \(j_!\mathcal{F}\) de \(\mathcal{F}\) par \(e\) comme le faisceau associé au préfaisceau \(j_{p!}\mathcal{F}\) défini ci-dessus.

5. Soit \(\mathcal{O}\) un préfaisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un préfaisceau de \(\mathcal{O}|_U\)-modules. Dans ce cas, nous définissons le prolongement par \(0\) comme le préfaisceau de \(\mathcal{O}\)-modules qui est égal à \(j_{p!}\mathcal{F}\) comme préfaisceau abélien muni de l’application de multiplication \(\mathcal{O} \times j_{p!}\mathcal{F} \to j_{p!}\mathcal{F}\).

6. Soit \(\mathcal{O}\) un faisceau d’anneaux sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}|_U\)-modules. Dans ce cas, nous définissons le prolongement par \(0\) comme le \(\mathcal{O}\)-module qui est égal à \(j_!\mathcal{F}\) comme faisceau abélien muni de l’application de multiplication \(\mathcal{O} \times j_!\mathcal{F} \to j_!\mathcal{F}\).

Il est vrai que l’on peut définir \(j_!\) dans le cadre des faisceaux de structures algébriques (voir ci-dessous). Toutefois, l’objet obtenu dépend du type de structures algébriques considéré. Par exemple, si \(\mathcal{O}\) est un faisceau d’anneaux sur \(U\), alors \(j_{!, rings}\mathcal{O} \not = j_{!, abelian}\mathcal{O}\), car l’objet initial de la catégorie des anneaux est \(\mathbf{Z}\), tandis que l’objet initial de la catégorie des groupes abéliens est \(0\). En particulier, le foncteur \(j_!\) ne commute pas avec le passage aux faisceaux d’ensembles sous-jacents, contrairement à ce que nous avons vu jusqu’ici ! Comme d’habitude, nous traitons séparément les (pré)faisceaux de groupes abéliens, les (pré)faisceaux de structures algébriques et les (pré)faisceaux de modules.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert. Considérons les foncteurs de restriction et de prolongement par \(0\) pour les (pré)faisceaux abéliens.

1. Le foncteur \(j_{p!}\) est adjoint à gauche du foncteur de restriction \(j_p\) (voir le lemme 00A0).

2. Le foncteur \(j_!\) est adjoint à gauche de la restriction ; plus précisément, \[\Mor_{\textit{Ab}(X)}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Ab}(U)}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Ab}(U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

3. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(U\). Les fibres du faisceau \(j_!\mathcal{F}\) sont décrites comme suit : \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{si} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. Dans la catégorie des préfaisceaux abéliens sur \(U\), nous avons \(j_pj_{p!} = \text{id}\).

5. Dans la catégorie des faisceaux abéliens sur \(U\), nous avons \(j^{-1}j_! = \text{id}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert. Soit \((\mathcal{C}, F)\) un type de structure algébrique tel que \(\mathcal{C}\) possède un objet initial \(e\). Considérons les foncteurs de restriction et de prolongement par \(e\) des (pré)faisceaux de structures algébriques définis ci-dessus.

1. Le foncteur \(j_{p!}\) est adjoint à gauche du foncteur de restriction \(j_p\) (voir le lemme 00A0).

2. Le foncteur \(j_!\) est adjoint à gauche de la restriction ; plus précisément, \[\Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U, \mathcal{C})}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U, \mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

3. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau sur \(U\). Les fibres du faisceau \(j_!\mathcal{F}\) sont décrites comme suit : \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} e & \text{si} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{si} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. Dans la catégorie des préfaisceaux de structures algébriques sur \(U\), nous avons \(j_pj_{p!} = \text{id}\).

5. Dans la catégorie des faisceaux de structures algébriques sur \(U\), nous avons \(j^{-1}j_! = \text{id}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O})\) un espace annelé. Soit \(j : (U, \mathcal{O}|_U) \to (X, \mathcal{O})\) un sous-espace ouvert. Considérons les foncteurs de restriction et de prolongement par \(0\) des (pré)faisceaux de modules définis ci-dessus.

1. Le foncteur \(j_{p!}\) est adjoint à gauche de la restriction ; plus précisément, \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(j_{p!}\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O}|_U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

2. Le foncteur \(j_!\) est adjoint à gauche de la restriction ; plus précisément, \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}|_U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] bifonctoriellement en \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\).

3. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules sur \(U\). Les fibres du faisceau \(j_!\mathcal{F}\) sont décrites comme suit : \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{si} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. Dans la catégorie des faisceaux de \(\mathcal{O}|_U\)-modules sur \(U\), nous avons \(j^{-1}j_! = \text{id}\).

Démonstration

Démonstration omise.

Remarquons que, d’après les lemmes ci-dessus, les deux foncteurs \(j_*\) et \(j_!\) sont des plongements pleinement fidèles de la catégorie des faisceaux sur \(U\) dans la catégorie des faisceaux sur \(X\). Ce n’est que pour le foncteur \(j_!\) que l’on peut décrire aisément l’image essentielle.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert. Le foncteur \[j_! : \Sh(U) \longrightarrow \Sh(X)\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est formée exactement des faisceaux \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{G}_x = \emptyset\) pour tout \(x \in X \setminus U\).

Démonstration

La pleine fidélité résulte formellement de \(j^{-1} j_! = \text{id}\). Nous avons vu que tout faisceau dans l’image du foncteur possède la propriété sur les fibres mentionnée dans le lemme. Réciproquement, supposons que \(\mathcal{G}\) possède la propriété indiquée. Il est alors facile de vérifier que \[j_! j^{-1} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\] est un isomorphisme sur toutes les fibres, donc un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert. Le foncteur \[j_! : \textit{Ab}(U) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est formée exactement des faisceaux \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{G}_x = 0\) pour tout \(x \in X \setminus U\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(j : U \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble ouvert. Soit \((\mathcal{C}, F)\) un type de structure algébrique tel que \(\mathcal{C}\) possède un objet initial \(e\). Le foncteur \[j_! : \Sh(U, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(X, \mathcal{C})\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est formée exactement des faisceaux \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{G}_x = e\) pour tout \(x \in X \setminus U\).

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \((X, \mathcal{O})\) un espace annelé. Soit \(j : (U, \mathcal{O}|_U) \to (X, \mathcal{O})\) un sous-espace ouvert. Le foncteur \[j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}|_U) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O})\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est formée exactement des faisceaux \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{G}_x = 0\) pour tout \(x \in X \setminus U\).

Démonstration

Démonstration omise.

Remarque

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte d’espaces topologiques comme ci-dessus. Soit \(x \in X\), \(x \not \in U\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(U\). Alors \(j_!\mathcal{F}_x = \emptyset\) d’après le lemme 00A3. Ainsi, \(j_!\) ne transforme pas un objet final de \(\Sh(U)\) en un objet final de \(\Sh(X)\), sauf si \(U = X\). D’après nos conventions de Catégories, section 0033, cela signifie que le foncteur \(j_!\) n’est pas exact à gauche comme foncteur entre les catégories de faisceaux d’ensembles. Nous montrerons plus loin que \(j_!\) est exact sur les faisceaux abéliens ; voir Modules, lemme 01AK.

Immersions fermées et (pré)faisceaux

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble fermé \(Z\) dans \(X\). Dans la section 008C, nous avons défini des foncteurs \(i_*\) et \(i^{-1}\) tels que \(i_*\) soit adjoint à droite de \(i^{-1}\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble fermé \(Z\) dans \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(Z\). Les fibres de \(i_*\mathcal{F}\) se décrivent comme suit : \[i_*\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{si} & x \not \in Z \\ \mathcal{F}_x & \text{si} & x \in Z \end{matrix} \right.\] où \(\{*\}\) désigne un ensemble à un élément. De plus, \(i^{-1}i_* = \text{id}\) sur la catégorie des faisceaux d’ensembles sur \(Z\). Le même énoncé vaut pour les faisceaux abéliens sur \(Z\), respectivement pour les faisceaux de structures algébriques sur \(Z\), en remplaçant \(\{*\}\) par \(0\), respectivement par un objet final de la catégorie des structures algébriques.

Démonstration

Si \(x \not \in Z\), il existe des voisinages ouverts arbitrairement petits \(U\) de \(x\) qui ne rencontrent pas \(Z\). Comme \(\mathcal{F}\) est un faisceau, on a \(\mathcal{F}(i^{-1}(U)) = \{*\}\) pour tout tel \(U\), voir la remarque 006U. Cela démontre le premier cas. Le second résulte du fait que, pour \(z \in Z\), tout voisinage ouvert de \(z\) est de la forme \(Z \cap U\) pour un ouvert \(U\) de \(X\). Pour établir l’égalité \(i^{-1}i_* = \text{id}\), considérons l’application canonique \(i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\). C’est un isomorphisme sur les fibres (d’après ce qui précède), donc un isomorphisme.

On raisonne de même pour les faisceaux de groupes abéliens et les faisceaux de structures algébriques.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble fermé. Le foncteur \[i_* : \Sh(Z) \longrightarrow \Sh(X)\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est exactement constituée des faisceaux \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{G}_x = \{*\}\) pour tout \(x \in X \setminus Z\).

Démonstration

La pleine fidélité résulte formellement de \(i^{-1} i_* = \text{id}\). Nous avons vu que tout faisceau dans l’image du foncteur possède la propriété énoncée sur les fibres. Réciproquement, supposons que \(\mathcal{G}\) possède cette propriété. On vérifie alors aisément que \[\mathcal{G} \to i_* i^{-1} \mathcal{G}\] est un isomorphisme sur toutes les fibres, donc un isomorphisme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble fermé. Le foncteur \[i_* : \textit{Ab}(Z) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est exactement constituée des faisceaux \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{G}_x = 0\) pour tout \(x \in X \setminus Z\).

Démonstration

Omis.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(i : Z \to X\) l’inclusion d’un sous-ensemble fermé. Soit \((\mathcal{C}, F)\) une espèce de structure algébrique ayant un objet final \(0\). Le foncteur \[i_* : \Sh(Z, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(X, \mathcal{C})\] est pleinement fidèle. Son image essentielle est exactement constituée des faisceaux \(\mathcal{G}\) tels que \(\mathcal{G}_x = 0\) pour tout \(x \in X \setminus Z\).

Démonstration

Omis.

Remarque

Soit \(i : Z \to X\) une immersion fermée d’espaces topologiques comme ci-dessus. Soit \(x \in X\), \(x \not \in Z\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau d’ensembles sur \(Z\). Alors \((i_*\mathcal{F})_x = \{ * \}\) d’après le lemme 00AE. Ainsi, si \(\mathcal{F} = * \amalg *\), où \(*\) est le faisceau à un élément, alors \(i_*\mathcal{F}_x = \{*\} \not = i_*(*)_x \amalg i_*(*)_x\), car le membre de droite est un ensemble à deux éléments. Selon nos conventions dans Catégories, section 0033, cela signifie que le foncteur \(i_*\) n’est pas exact à droite comme foncteur entre les catégories de faisceaux d’ensembles. En particulier, il ne peut pas avoir d’adjoint à droite, voir Catégories, lemme 0039.

En revanche, nous verrons plus loin (voir Modules, lemme 01AZ) que \(i_*\) est exact sur les faisceaux abéliens et possède bien un adjoint à droite, à savoir le foncteur qui associe à un faisceau abélien sur \(X\) le faisceau de ses sections à support dans \(Z\).

Remarque

Nous n’avons pas étudié le lien entre les immersions fermées et les espaces annelés. En effet, il est préférable d’aborder la notion d’immersion fermée d’espaces annelés dans le cadre des faisceaux quasi-cohérents ; voir Modules, section 01C1.

Recollement de faisceaux

Dans cette section, nous recollons des faisceaux définis sur les membres d’un recouvrement de \(X\). Nous commençons par les applications.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Soient \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) des faisceaux d’ensembles sur \(X\). Étant donnée une famille \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{U_i} \longrightarrow \mathcal{G}|_{U_i}\] d’applications de faisceaux telle que, pour tous \(i, j \in I\), les applications \(\varphi_i, \varphi_j\) induisent par restriction la même application \(\mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \to \mathcal{G}|_{U_i \cap U_j}\), il existe une unique application de faisceaux \[\varphi : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}\] dont la restriction à chaque \(U_i\) coïncide avec \(\varphi_i\).

Démonstration

Pour tout ouvert \(U \subset X\), définissons \[\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U), \quad s \mapsto \varphi_U(s)\] où \(\varphi_U(s)\) est l’unique section vérifiant \[(\varphi_U(s))|_{U \cap U_i} = (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}).\] L’existence et l’unicité d’une telle section résultent des axiomes des faisceaux, puisque \[\begin{align*} ((\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}))|_{U \cap U_i \cap U_j} &= (\varphi_i)_{U \cap U_i \cap U_j}(s|_{U \cap U_i \cap U_j})\\ &= (\varphi_j)_{U \cap U_i \cap U_j}(s|_{U \cap U_i \cap U_j})\\ &= ((\varphi_j)_{U \cap U_j}(s|_{U \cap U_j}))|_{U \cap U_i \cap U_j}. \end{align*}\] Cette famille d’applications définit bien une application de faisceaux. En effet, si \(V \subset U \subset X\) sont des ouverts, alors \[(\varphi_U(s))|_V = \varphi_V(s|_V)\] car, pour tout \(i \in I\), on a \[\begin{align*} (\varphi_U(s))|_{V \cap U_i} &= ((\varphi_U(s))|_{U \cap U_i})|_{V \cap U_i}\\ &= ((\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}))|_{V \cap U_i}\\ &= (\varphi_i)_{V \cap U_i}(s|_{V \cap U_i})\\ &= \varphi_V(s_{V})|_{V \cap U_i}. \end{align*}\] En outre, sa restriction à chaque \(U_i\) coïncide avec \(\varphi_i\). En effet, si \(U \subset X\) est ouvert et \(s \in \mathcal{F}(U \cap U_i)\), alors \[\begin{align*} \varphi_{U \cap U_i}(s) &= \varphi_{U \cap U_i}(s)|_{U \cap U_i}\\ &= (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i})\\ &= (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s). \end{align*}\]

Le lemme précédent implique que, pour deux faisceaux \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sur l’espace topologique \(X\), la règle \[U \longmapsto \Mor_{\Sh(U)}( \mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\] définit un faisceau. Il s’agit d’une sorte de faisceau Hom interne. On l’emploie rarement pour les faisceaux d’ensembles, et plus souvent pour les faisceaux de modules ; voir Modules, section 01CM.

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Pour tout \(i \in I\), soit \(\mathcal{F}_i\) un faisceau d’ensembles sur \(U_i\). Pour toute paire \(i, j \in I\), soit \[\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j} \longrightarrow \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j}\] un isomorphisme de faisceaux d’ensembles. Supposons en outre que, pour tout triplet d’indices \(i, j, k \in I\), le diagramme suivant soit commutatif : \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \ar[rr]_{\varphi_{ik}} \ar[rd]_{\varphi_{ij}} & & \mathcal{F}_k|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \\ & \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \ar[ru]_{\varphi_{jk}} }\] Nous appellerons une telle famille de données \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) une donnée de recollement de faisceaux d’ensembles relativement au recouvrement \(X = \bigcup U_i\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Pour toute donnée de recollement \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) de faisceaux d’ensembles relativement au recouvrement \(X = \bigcup U_i\), il existe un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) sur \(X\), muni d’isomorphismes \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{F}_i\] tels que les diagrammes \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \ar[r]_{\varphi_i} \ar[d]_{\text{id}} & \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j} \ar[d]^{\varphi_{ij}} \\ \mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \ar[r]^{\varphi_j} & \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j} }\] soient commutatifs.

Démonstration

Première démonstration. Nous donnons ici une formule pour l’ensemble des sections de \(\mathcal{F}\) sur un ouvert \(W \subset X\). Posons \[\mathcal{F}(W) = \{ (s_i)_{i \in I} \mid s_i \in \mathcal{F}_i(W \cap U_i), \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_i \cap U_j}) = s_j|_{W \cap U_i \cap U_j} \}.\] Pour \(W' \subset W\), les applications de restriction sont définies en restreignant chacun des \(s_i\) à \(W' \cap U_i\). La condition de faisceau pour \(\mathcal{F}\) résulte immédiatement de celle de chacun des \(\mathcal{F}_i\).

Il reste à démontrer que \(\mathcal{F}|_{U_i}\) s’envoie isomorphiquement sur \(\mathcal{F}_i\). Soit \(W \subset U_i\). Dans ce cas, la condition de la définition de \(\mathcal{F}(W)\) entraîne \(s_j = \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_j})\). La commutativité des diagrammes intervenant dans la définition d’une donnée de recollement garantit alors que l’on peut partir d’une section quelconque \(s \in \mathcal{F}_i(W)\) et obtenir une famille compatible en posant \(s_i = s\) et \(s_j = \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_j})\).

Deuxième démonstration (esquisse). Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des ouverts \(U \subset X\) tels que \(U \subset U_i\) pour un certain \(i \in I\). Alors \(\mathcal{B}\) est une base de la topologie de \(X\). Pour \(U \in \mathcal{B}\), choisissons \(i \in I\) tel que \(U \subset U_i\) et posons \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_i(U)\). Les isomorphismes \(\varphi_{ij}\) montrent que cette prescription est « indépendante du choix de \(i\) ». À l’aide des applications de restriction des \(\mathcal{F}_i\), on constate que \(\mathcal{F}\) est un faisceau sur \(\mathcal{B}\). Enfin, le lemme 009N permet d’étendre \(\mathcal{F}\) en un unique faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) une donnée de recollement de faisceaux de groupes abéliens, respectivement de faisceaux de structures algébriques, respectivement de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules pour un faisceau d’anneaux \(\mathcal{O}\) sur \(X\). Alors la construction donnée dans la démonstration du lemme 00AL conduit respectivement à un faisceau de groupes abéliens, à un faisceau de structures algébriques ou à un faisceau de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Cela résulte du fait que, dans cette construction, l’ensemble des sections \(\mathcal{F}(W)\) sur un ouvert \(W\) est donné par l’égalisateur des applications \[\xymatrix{ \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i(W \cap U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j\in I} \mathcal{F}_i(W \cap U_i \cap U_j) }\] Dans chacun des cas envisagés, cet égalisateur définit un objet de la catégorie considérée dont l’ensemble sous-jacent est celui du lemme cité.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Le foncteur qui associe à un faisceau d’ensembles \(\mathcal{F}\) la donnée de recollement suivante \[(\mathcal{F}|_{U_i}, (\mathcal{F}|_{U_i})|_{U_i \cap U_j} \to (\mathcal{F}|_{U_j})|_{U_i \cap U_j} )\] relativement au recouvrement \(X = \bigcup U_i\) définit une équivalence de catégories entre \(\Sh(X)\) et la catégorie des données de recollement. Un énoncé analogue vaut pour les faisceaux abéliens, respectivement les faisceaux de structures algébriques, respectivement les faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules.

Démonstration

Le foncteur est pleinement fidèle d’après le lemme 04TN, et essentiellement surjectif (par un quasi-inverse donné explicitement) d’après le lemme 00AL.

Ce lemme signifie que, si le faisceau \(\mathcal{F}\) a été construit à partir de la donnée de recollement \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\) et si \(\mathcal{G}\) est un faisceau sur \(X\), alors un morphisme \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) équivaut à la donnée d’une famille de morphismes de faisceaux \[f_i : \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{G}|_{U_i}\] compatible avec les applications de recollement \(\varphi_{ij}\). De même, se donner un morphisme de faisceaux \(g : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) revient à se donner une famille de morphismes de faisceaux \[g_i : \mathcal{G}|_{U_i} \longrightarrow \mathcal{F}_i\] compatible avec les applications de recollement \(\varphi_{ij}\).