공간 위의 층

서론

이 문서에서는 위상공간 위의 층이 지닌 기본 성질을 설명한다. 참고문헌으로 [Godement]가 있다.

뒤에서 다룰 사이트 위의 층에 관한 논의가 이 내용을 대신하게 될 것이다. 그러나 여기서 몇 가지 개념을 간략히 정의해 두는 것도 의미가 있을 듯하다.

기본 개념

다음은 위상수학의 기본 개념을 모아 놓은 목록이다.

1. \(X\)를 위상공간이라 하자. “\(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)가 열린 덮개라고 하자”라는 표현은 다음을 뜻한다. \(I\)는 집합이고, 각 \(i \in I\)에 대하여 열린 부분집합 \(U_i \subset X\)가 주어지며, \(U\)는 \(U_i\)들의 합집합이다. \(I = \emptyset\)인 것도 허용한다. 이 경우에는 \(U_i\)가 없고 \(U = \emptyset\)이다. 또한 \(I \not = \emptyset\)인 경우에도 일부 또는 모든 \(U_i\)가 공집합이어도 된다.

2. 기타 등등.

준층

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자.

1. \(X\) 위의 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)란, 각 열린집합 \(U \subset X\)에 집합 \(\mathcal{F}(U)\)를 대응시키고 각 포함관계 \(V \subset U\)에 사상 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)를 대응시키는 규칙으로서, \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\)이고 \(W \subset V \subset U\)일 때마다 \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\)를 만족하는 것이다.

2. \(X\) 위의 집합의 준층 사이의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이란, 각 열린집합 \(U \subset X\)에 제한 사상과 양립하는 집합의 사상 \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)를 대응시키는 규칙이다. 즉, \(V \subset U \subset X\)가 열린집합일 때마다 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r]^\varphi \ar[d]^{\rho^U_V} & \mathcal{G}(U) \ar[d]^{\rho^U_V} \\ \mathcal{F}(V) \ar[r]^\varphi & \mathcal{G}(V) }\] 은 가환한다.

3. \(X\) 위의 집합의 준층들이 이루는 범주를 \(\textit{PSh}(X)\)로 나타낸다.

집합 \(\mathcal{F}(U)\)의 원소를 \(U\) 위에서의 \(\mathcal{F}\)의 단면이라 한다. 각 \(V \subset U\)에 대하여 사상 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)를 제한 사상이라 한다. \(s\in \mathcal{F}(U)\)이면 \(s|_V := \rho^U_V(s)\)라는 표기를 사용한다. 이 표기는 위상수학에서 함수의 제한이라는 개념과 양립한다. 실제로 \(W \subset V \subset U\)이고 \(s\)가 \(U\) 위에서의 \(\mathcal{F}\)의 단면이면, 위 정의에 나타난 제한 사상의 성질에 따라 \(s|_W = (s|_V)|_W\)이다.

열린집합 \(U\) 위의 단면을 기호 \(\Gamma(U, -)\) 또는 \(H^0(U, -)\)로 나타내는 표기도 흔히 쓰인다. 다시 말해, 다음 등식들은 항상 성립한다. \[\Gamma(U, \mathcal{F}) = \mathcal{F}(U) = H^0(U, \mathcal{F}).\] 이 장에서는 이 표기를 사용하지 않지만, 다른 장에서는 사용할 것이다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(A\)를 집합이라 하자. 값이 \(A\)인 상수 준층은 각 열린집합 \(U \subset X\)에 집합 \(A\)를 대응시키고 모든 제한 사상이 \(\text{id}_A\)인 준층이다.

아벨 준층

이 절에서는 아벨군의 준층을 정의할 수 있게 해 주는 준층 범주의 몇 가지 성질을 간단히 살펴본다.

예

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X\)의 모든 열린 부분집합에 한원소 집합을 대응시키는 규칙 \(\mathcal{F}\)를 생각하자. 모든 집합에서 한원소 집합으로 가는 사상은 유일하므로, 유일한 제한 사상 \(\rho^U_V\)들이 존재한다. 이렇게 얻은 구조는 \(X\) 위의 집합의 준층이다. 앞서 언급한 한원소 집합의 성질에 따라 이것은 \(X\) 위의 집합의 준층 범주에서 끝 대상이다. 따라서 유일한 동형사상까지 유일하다. 이 준층을 때때로 \(*\)로 나타낸다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X\) 위의 집합의 준층 범주에는 곱이 존재한다 (Categories, 정의 002I 참조). 또한 열린집합 \(U\) 위에서 곱 \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\)의 단면들의 집합은 \(U\) 위에서 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 단면들의 집합의 곱이다.

증명

구체적으로, \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 위상공간 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\)로 나타내는 규칙 \(U \mapsto \mathcal{F}(U) \times \mathcal{G}(U)\)를 생각하자. \(V \subset U \subset X\)가 열린집합이면 제한 사상 \[(\mathcal{F} \times \mathcal{G})(U) \longrightarrow (\mathcal{F} \times \mathcal{G})(V)\] 을 \((s, t) \mapsto (s|_V, t|_V)\)로 정의한다. 그러면 \(\mathcal{F} \times \mathcal{G}\)가 준층임은 즉시 알 수 있다. 또한 사영 사상 \(p : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)와 \(q : \mathcal{F} \times \mathcal{G} \to \mathcal{G}\)가 있다. 임의의 세 번째 준층 \(\mathcal{H}\)에 대하여 \(\Mor(\mathcal{H}, \mathcal{F} \times \mathcal{G}) = \Mor(\mathcal{H}, \mathcal{F}) \times \Mor(\mathcal{H}, \mathcal{G})\)임을 보이는 것은 독자에게 맡긴다.

\((A, + : A \times A \to A, - : A \to A, 0\in A)\)가 아벨군이면 영사상과 역원 사상은 덧셈 법칙에 의해 유일하게 결정된다는 것을 상기하자. 다시 말해, “\((A, +)\)를 아벨군이라 하자”라고 말하는 것은 의미가 있다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 집합의 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\) 위의 다음 구조들을 생각하자.

1. 각 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\mathcal{F}(U)\) 위에 아벨군 구조를 주고, 모든 제한 사상이 아벨군 준동형이 되게 하는 구조.

2. 준층의 사상 \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\), 준층의 사상 \(- : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\), 그리고 사상 \(0 : * \to \mathcal{F}\) (예 006H 참조)로서, 보통의 아벨군에서 \(+, -, 0\)이 만족하는 모든 공리를 만족하는 것.

3. 준층의 사상 \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\), 준층의 사상 \(- : \mathcal{F} \to \mathcal{F}\), 그리고 사상 \(0 : * \to \mathcal{F}\)로서, 각 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 사중항 \((\mathcal{F}(U), +, -, 0)\)이 아벨군이 되게 하는 것.

4. 준층의 사상 \(+ : \mathcal{F} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)로서, 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 사상 \(+ : \mathcal{F}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\)가 아벨군 구조를 정의하게 하는 것.

위의 (1)–(4) 유형의 데이터들의 모임 사이에는 자연스러운 전단사가 있다.

증명

생략한다.

이 보조정리는 준층 범주에서 아벨군 대상 \(\mathcal{F}\)를 주는 것이, 모든 집합 \(\mathcal{F}(U)\)에 아벨군 구조가 주어지고 모든 제한 사상이 군 준동형이 되는 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)를 주는 것과 같다는 뜻이다. 대부분의 대수 구조에 대해서는 이러한 대상들의 (준)층을 이와 같은 방식으로 다룰 것이다. 즉, 이러한 대상들의 (준)층을, 모든 단면 집합 \(\mathcal{F}(U)\)가 제한 사상과 양립하도록 해당 구조를 갖춘 집합의 (준)층 \(\mathcal{F}\)로 정의할 것이다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자.

1. \(X\) 위의 아벨군의 준층 또는 \(X\) 위의 아벨 준층이란 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)로서, 각 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 집합 \(\mathcal{F}(U)\)가 아벨군 구조를 갖고 모든 제한 사상 \(\rho^U_V\)가 아벨군 준동형인 것이다. 위의 보조정리 006J를 보라.

2. \(X\) 위의 아벨 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이란, 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 아벨군 준동형 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)를 유도하는 집합의 준층의 사상이다.

3. \(X\) 위의 아벨군의 준층 범주는 \(\textit{PAb}(X)\)로 나타낸다.

예

\(X\)를 위상공간이라 하자. 각 \(x \in X\)에 대하여 아벨군 \(M_x\)가 주어졌다고 하자. 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \[\mathcal{F}(U) = \bigoplus\nolimits_{x \in U} M_x.\] 로 둔다. 이 아벨군의 전형적인 원소를 \(\sum_{i = 1}^n m_{x_i}\)로 나타내며, 여기서 \(x_i \in U\)이고 \(m_{x_i} \in M_{x_i}\)이다. (물론 \(x_1, \ldots, x_n\)이 서로 다르도록 표현을 언제나 선택할 수 있다.) 열린집합 \(V \subset U \subset X\)에 대하여 원소 \(s = \sum_{i = 1}^n m_{x_i}\)를 \(s|_V = \sum_{x_i \in V} m_{x_i}\)로 보내는 제한 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)를 정의한다. 이것이 아벨군의 준층임을 확인하는 것은 독자에게 맡긴다.

대수 구조의 준층

대수 구조의 준층에 관한 정의를 명확히 하자. \(\mathcal{C}\)가 범주이고 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)가 충실 함자라고 하자. 보통 \(F\)는 “망각” 함자이다. 대상 \(M \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대하여 \(F(M)\)을 흔히 대상 \(M\)의 바탕 집합이라 한다. \(M \to M'\)이 \(\mathcal{C}\)의 사상이면 \(F(M) \to F(M')\)를 바탕 집합의 사상이라 한다. 실제로 우리는 흔히 대상과 그 바탕 집합을 구별하지 않으며, 사상에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 집합의 사상 \(F(M) \to F(M')\)가 \(\mathcal{C}\)의 어떤 사상 \(f : M \to M'\)에 대한 \(F(f)\)와 같으면 이를 대수 구조의 사상이라 할 것이다.

위의 정의 006K와 유사하게, “\(\mathcal{C}\)의 대상들의 준층”은 다음 데이터로 정의할 수 있다.

1. 집합의 준층 \(\mathcal{F}\), 그리고

2. 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 택한 대상 \(A(U) \in \Ob(\mathcal{C})\).

이 데이터는 다음 조건들을 만족해야 한다(위의 표현을 사용한다).

1. 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 집합 \(\mathcal{F}(U)\)는 \(A(U)\)의 바탕 집합이고,

2. 모든 열린집합 \(V \subset U \subset X\)에 대하여 집합의 사상 \(\rho_V^U: \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)는 대수 구조의 사상이다.

다시 말해, \(X\)의 모든 열린집합 \(V \subset U\)에 대하여 제한 사상 \(\rho^U_V\)는 범주 \(\mathcal{C}\)의 어떤 유일한 사상 \(\alpha^U_V : A(U) \to A(V)\)의 상 \(F(\alpha^U_V)\)이다. 유일성은 \(F\)가 충실하다는 조건으로부터 강제되며, 또한 \(W \subset V \subset U\)가 \(X\)의 열린집합일 때마다 \(\alpha^U_W = \alpha^V_W \circ \alpha^U_V\)임을 함의한다. 계 \((A(-), \alpha^U_V)\)은 우리가 \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층으로 정의할 대상이다. Sites, 정의 00V3와 비교하라. 규칙 \(\mathcal{F}(U) = F(A(U))\)와 \(\rho_V^U = F(\alpha_V^U)\)를 통하여 집합의 준층 \((\mathcal{F}, \rho_V^U)\)를 복원한다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{C}\)를 범주라 하자.

1. \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층 \(\mathcal{F}\)란, 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(\mathcal{F}(U)\)를 대응시키고, 각 포함관계 \(V \subset U\)에 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(\rho_V^U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)를 대응시키는 규칙으로서, \(W \subset V \subset U\)일 때마다 \(\rho_W^U = \rho_W^V \circ \rho_V^U\)를 만족하는 것이다.

2. \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이란 제한 사상과 양립하는 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)로 주어진다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 충실 함자라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층이라 하자. 집합의 준층 \(U \mapsto F(\mathcal{F}(U))\)를 \(\mathcal{F}\)의 바탕 집합의 준층이라 한다.

바탕 집합의 준층을 나타낼 때 같은 문자 \(\mathcal{F}\)를 사용하는 것이 관례이며, 이는 정의 006N 앞의 논의에 따라 타당하다. 특히 “\(s \in \mathcal{F}(U)\)라 하자” 또는 “\(s\)를 \(U\) 위에서의 \(\mathcal{F}\)의 단면이라 하자”라는 말은 \(s \in F(\mathcal{F}(U))\)를 뜻한다.

이 표기와 정의들은 특히 다음에 적용된다. (반드시 아벨일 필요는 없는) 군, 환, 고정된 환 위의 가군, 고정된 체 위의 벡터공간 등의 준층, 그리고 이들 사이의 사상.

가군의 준층

\(\mathcal{O}\)가 \(X\) 위의 환의 준층이라고 하자. \(X\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이라는 개념을 정의하고자 한다. 정의 006K와 유사하게, 이를 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 집합 \(\mathcal{F}(U)\)가 (\(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{O}\)의) 제한 사상과 양립하는 \(\mathcal{O}(U)\)-가군 구조를 갖는 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)로 정의하고 싶을 수 있다. 그러나 관례적으로는 다음 정의를 사용하며, 이는 앞의 정의와 동치이다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 준층이라 하자.

1. \(\mathcal{O}\)-가군의 준층은 아벨 준층 \(\mathcal{F}\)와 집합의 준층의 사상 \[\mathcal{O} \times \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 으로 주어지며, 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 사상 \(\mathcal{O}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\)가 아벨군 \(\mathcal{F}(U)\) 위에 \(\mathcal{O}(U)\)-가군 구조를 정의해야 한다.

2. \(\mathcal{O}\)-가군의 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이란 다음 도식이 가환하도록 하는 아벨 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이다. \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d]_{\text{id} \times \varphi} & \mathcal{F} \ar[d]^{\varphi} \\ \mathcal{O} \times \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G} }\]

3. 위와 같은 \(\mathcal{O}\)-가군 사상의 집합은 \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)로 나타낸다.

4. \(\mathcal{O}\)-가군의 준층 범주는 \(\textit{PMod}(\mathcal{O})\)로 나타낸다.

\(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\)가 \(X\) 위의 환의 준층의 사상이라고 하자. 이때 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_2\)-가군의 준층이면, 합성 \[\mathcal{O}_1 \times \mathcal{F} \to \mathcal{O}_2 \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}.\] 을 사용하여 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_1\)-가군의 준층으로 생각할 수 있다. 환의 제한을 나타내기 위하여 이를 때때로 \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\)로 쓴다. 이것을 \(\mathcal{F}\)의 제한이라 한다. 제한 함자 \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_1)\] 를 얻는다.

한편 \(\mathcal{O}_1\)-가군의 준층 \(\mathcal{G}\)가 주어지면, 규칙 \[\left(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\right)(U) = \mathcal{O}_2(U) \otimes_{\mathcal{O}_1(U)} \mathcal{G}(U)\] 을 통하여 \(\mathcal{O}_2\)-가군의 준층 \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\)를 구성할 수 있다. 첨자 \(p\)는 “point(점)”가 아니라 “presheaf(준층)”를 뜻한다. 이 준층을 텐서곱 준층이라 한다. 환의 변경 함자 \[\textit{PMod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{PMod}(\mathcal{O}_2)\] 를 얻는다.

보조정리

위의 \(X\), \(\mathcal{O}_1\), \(\mathcal{O}_2\), \(\mathcal{F}\) 및 \(\mathcal{G}\)에 대하여 표준적인 전단사 \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] 가 존재한다. 다시 말해, 제한 함자와 환의 변경 함자는 서로 수반이다.

증명

이는 환 사상 \(A \to B\)에 대하여 제한 함자와 환의 변경 함자가 서로 수반이라는 사실로부터 따른다.

층

이 절에서는 층 조건을 설명한다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자.

1. \(X\) 위의 집합의 층 \(\mathcal{F}\)란 다음의 추가 성질을 만족하는 집합의 준층이다. 임의의 열린 덮개 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)와 단면들의 임의의 모임 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\), \(i \in I\)가 주어지고 \(\forall i, j\in I\)에 대하여 \[s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\] 이면, 모든 \(i \in I\)에 대하여 \(s_i = s|_{U_i}\)를 만족하는 유일한 단면 \(s \in \mathcal{F}(U)\)가 존재한다.

2. 집합의 층의 사상은 단순히 집합의 준층의 사상이다.

3. \(X\) 위의 집합의 층들의 범주는 \(\Sh(X)\)로 나타낸다.

주

공집합 \(\emptyset \subset X\) 위에서 층의 단면들의 집합에 관해 무언가를 말해야 하는지를 두고 언제나 약간의 혼동이 있다. 말해야 하며, 정의를 올바르게 읽었다면 우리는 이미 그렇게 했다. 실제로 공집합은 빈 열린 덮개로 덮인다는 점에 유의하라.

따라서 위 정의의 “단면들의 모임 \(s_i\)”는 실제로 빈 곱의 원소를 이루는데, 그 빈 곱은 층이 값을 갖는 범주의 끝 대상이다. 다시 말해, 정의를 올바르게 읽으면 자동으로 \(\mathcal{F}(\emptyset) = \textit{a final object}\)를 얻는다. 집합의 층인 경우 이것은 한원소 집합이다. 이 논증이 마음에 들지 않는다면 그저 \(\mathcal{F}(\emptyset) = \{*\}\)를 요구해도 된다.

특히 이 조건은 열린집합 \(U, V \subset X\)가 서로소이면 \[\mathcal{F}(U \cup V) = \mathcal{F}(U) \times \mathcal{F}(V).\] 임을 보장한다. (끝 대상 위의 섬유곱은 곱이기 때문이다.)

예

\(X\), \(Y\)를 위상공간이라 하자. 열린집합 \(U \subset X\)에 집합 \[\mathcal{F}(U) = \{ f : U \to Y \mid f \text{ is continuous}\}\] 을 명백한 제한 사상들과 함께 대응시키는 규칙 \(\mathcal{F}\)를 생각하자. \(\mathcal{F}\)가 층이라고 주장한다. 이를 보이기 위해 \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\)가 열린 덮개이고 \(f_i \in \mathcal{F}(U_i)\), \(i\in I\)이며, 모든 \(i, j \in I\)에 대하여 \(f_i |_{U_i \cap U_j} = f_j|_{U_i \cap U_j}\)라고 하자. 이때 \(u \in U_i\)를 만족하는 임의의 \(i \in I\)에 대하여 \(f(u)\)를 \(f_i(u)\)의 값으로 두어 \(f : U \to Y\)를 정의한다. 가정에 따라 이는 잘 정의된다. 또한 \(f : U \to Y\)는 \(U_i\)로의 제한이 연속 사상 \(f_i\)와 일치하는 사상이다. 따라서 \(f\)는 분명히 연속이다!

이 예의 결과를 사용하여 상수층을 정의할 수 있다. 실제로 \(A\)가 집합이라고 하자. \(A\)에 이산위상을 주자. \(U \subset X\)를 열린 부분집합이라 하자. 그러면 \[\{ f : U \to A \mid f\text{ continuous}\} = \{ f : U \to A \mid f\text{ locally constant}\}.\]

따라서 각 열린집합에 \(A\)로 가는 모든 국소상수 사상의 집합을 대응시키는 규칙은 층이다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(A\)를 집합이라 하자. \(\underline{A}\) 또는 \(\underline{A}_X\)로 나타내는 값이 \(A\)인 상수층은 열린집합 \(U \subset X\)에 모든 국소상수 사상 \(U \to A\)의 집합을 대응시키고, 함수의 제한으로 제한 사상을 주는 층이다.

예

\(X\)를 위상공간이라 하자. \((A_x)_{x \in X}\)를 점 \(x \in X\)로 지표화된 집합들 \(A_x\)의 족이라 하자. 이 데이터로부터 집합의 층 \(\Pi\)를 구성할 것이다.

열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \[\Pi(U) = \prod\nolimits_{x \in U} A_x.\] 로 둔다. 열린집합 \(V \subset U \subset X\)에 대하여 다음 규칙으로 제한 사상을 정의한다. 원소 \(s = (a_x)_{x\in U} \in \Pi(U)\)의 제한은 \(s|_V = (a_x)_{x \in V}\)이다. 이것이 집합의 준층을 정의함은 명백하다. 이것이 층이라고 주장한다. 실제로 \(U = \bigcup U_i\)가 열린 덮개라고 하자. \(s_i \in \Pi(U_i)\)이고 \(s_i\)와 \(s_j\)가 \(U_i \cap U_j\) 위에서 일치한다고 하자. \(s_i = (a_{i, x})_{x\in U_i}\)로 쓰자. 양립 조건은 \(x \in U_i \cap U_j\)일 때마다 집합 \(A_x\) 안에서 \(a_{i, x} = a_{j, x}\)임을 뜻한다. 따라서 어떤 \(i\)에 대하여 \(x \in U_i\)일 때마다 \(a_x = a_{i, x}\)를 만족하는 유일한 원소 \(s = (a_x)_{x\in U}\)가 \(\Pi(U) = \prod_{x\in U} A_x\) 안에 존재한다. 물론 이 원소 \(s\)는 모든 \(i\)에 대하여 \(s|_{U_i} = s_i\)를 만족한다.

예

\(X\)를 위상공간이라 하자. 각 \(x\in X\)에 대하여 아벨군 \(M_x\)가 주어졌다고 하자. 예 006L에서 정의한 준층 \(\mathcal{F} : U \mapsto \bigoplus_{x \in U} M_x\)를 생각하자. 이는 일반적으로 층이 아니다. 예를 들어 \(X\)가 이산위상을 갖는 무한집합이면, 층 조건은 \(\mathcal{F}(X) = \prod_{x\in X} \mathcal{F}(\{x\})\)임을 함의하지만, 정의에 따르면 \(\mathcal{F}(X) = \bigoplus_{x \in X} M_x = \bigoplus_{x \in X} \mathcal{F}(\{x\})\)이다. 그리고 무한 직합은 일반적으로 무한 직적과 다르다.

그러나 \(X\)가, \(X\)의 모든 열린집합이 준콤팩트인 위상공간이면 \(\mathcal{F}\)는 실제로 층이다. 이는 독자를 위한 연습문제로 남긴다.

아벨층

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자.

1. \(X\) 위의 아벨층 또는 \(X\) 위의 아벨군의 층이란, 그 바탕 집합의 준층이 층인 \(X\) 위의 아벨 준층이다.

2. 아벨군의 층들의 범주는 \(\textit{Ab}(X)\)로 나타낸다.

\(X\)를 위상공간이라 하자. 아벨 준층 \(\mathcal{F}\)의 경우, 열린 덮개 \(U = \bigcup U_i\)에 대한 층 조건은 흔히 아벨군의 복합체 \[0 \to \mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_i \mathcal{F}(U_i) \to \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})\] 가 완전하다고 표현한다. 첫 번째 사상은 통상적인 사상이고, 두 번째 사상은 원소 \((s_i)_{i \in I}\)를 원소 \[( s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} - s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} )_{(i_0, i_1)} \in \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})\] 로 보낸다.

대수 구조의 층

몇 가지 종류의 구조를 갖는 층의 정의를 명확히 하자. 먼저 층 조건을 다시 표현하자. \(\mathcal{F}\)가 위상공간 \(X\) 위의 집합의 준층이라고 하자. 층 조건은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. \(U = \bigcup_{i\in I} U_i\)를 열린 덮개라 하고, 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1}) }\] 을 생각하자. 여기서 왼쪽 사상은 규칙

\(s \mapsto \prod_{i \in I} s|_{U_i}\)로 정의된다. 오른쪽의 두 사상은 \[\prod\nolimits_i s_i \mapsto \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} s_{i_0}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}} \text{ resp. } \prod\nolimits_i s_i \mapsto \prod\nolimits_{(i_0, i_1)} s_{i_1}|_{U_{i_0} \cap U_{i_1}}.\] 이다. 층 조건은 정확히 왼쪽 화살표가 오른쪽 두 화살표의 등화자임을 말한다. 이 설명은 그 범주에 곱이 존재하기만 하면 범주에 값을 갖는 준층의 경우로 곧바로 일반화된다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{C}\)를 곱을 갖는 범주라 하자. \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층 \(\mathcal{F}\)가 층이라는 것은, 모든 열린 덮개에 대하여 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} \mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1}) }\] 이 범주 \(\mathcal{C}\)에서 등화자 도식이라는 뜻이다.

\(\mathcal{C}\)가 범주이고 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)가 충실 함자라고 하자. 염두에 둘 좋은 예는 \(\mathcal{C}\)가 아벨군의 범주이고 \(F\)가 망각 함자인 경우이다. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층이라 하자. 위 조건을 바탕 집합의 준층 (정의 006O)을 사용하여 다시 표현하고자 한다. 바탕 집합의 준층이 집합의 층일 필요충분조건은 집합의 모든 도식 \[\xymatrix{ F(\mathcal{F}(U)) \ar[r] & \prod\nolimits_{i\in I} F(\mathcal{F}(U_i)) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod\nolimits_{(i_0, i_1) \in I \times I} F(\mathcal{F}(U_{i_0} \cap U_{i_1})) }\] 이 망각 함자 \(F\)를 적용한 뒤에도 등화자 도식인 것이다. 따라서 \(\mathcal{C}\)에는 곱과 등화자가 존재하고 \(F\)가 이들과 가환하기를 원한다. 이는 \(\mathcal{C}\)가 극한을 갖고 \(F\)가 극한과 가환한다는 조건과 동치이다. Categories, 보조정리 002N를 보라. 그러나 이것만으로는 아직 충분하지 않다 (예 0075 참조). 또한 \(F\)가 동형사상을 반영해야 한다. 이 성질은 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : A \to A'\)가 주어졌을 때, \(F(f)\)가 전단사이면 (그리고 그때에만) \(f\)가 동형사상이라는 뜻이다.

보조정리

범주 \(\mathcal{C}\)와 함자 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)가 다음 성질들을 갖는다고 하자.

1. \(F\)는 충실하고,

2. \(\mathcal{C}\)는 극한을 가지며 \(F\)는 극한과 가환하고,

3. 함자 \(F\)는 동형사상을 반영한다.

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 층일 필요충분조건은 그 바탕 집합의 준층이 층인 것이다.

증명

\(\mathcal{F}\)가 층이라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{F}(U)\)는 위 도식의 등화자이고, 가정에 따라 \(F(\mathcal{F}(U))\)는 대응하는 집합의 도식의 등화자이다. 따라서 \(F(\mathcal{F})\)는 집합의 층이다.

\(F(\mathcal{F})\)가 층이라고 가정하자. \(E \in \Ob(\mathcal{C})\)를 정의 0072의 평행한 두 화살표의 등화자라 하자. \(\mathcal{F}\)가 준층이라는 사실만으로도 표준적인 사상 \(\mathcal{F}(U) \to E\)를 얻는다. 가정에 따라 유도된 사상 \(F(\mathcal{F}(U)) \to F(E)\)는 동형사상이다. 실제로 \(F(E)\)는 대응하는 집합의 도식의 등화자이다. 그러므로 보조정리의 조건 (3)에 의해 \(\mathcal{F}(U) \to E\)가 동형사상임을 알 수 있다.

이 보조정리는 특히 군, 환, 고정된 환 위의 대수, 고정된 환 위의 가군, 고정된 체 위의 벡터공간 등의 층에 적용된다. 다시 말해, 이들은 그 바탕 집합의 준층이 층인, 군, 환, 고정된 환 위의 가군, 고정된 체 위의 벡터공간 등의 준층이다.

예

\(X\)를 위상공간이라 하자. 각 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(\mathbf{R}\)-대수 \(\mathcal{C}^{0}(U) = \{ f : U \to \mathbf{R} \mid f\text{ is continuous}\}\) 를 생각하자. 명백한 제한 사상들을 주면 이는 \(X\) 위의 \(\mathbf{R}\)-대수의 준층이 된다. 예 006V에 따라 이는 집합의 층이다. 따라서 보조정리 0073에 따라 이는 \(X\) 위의 \(\mathbf{R}\)-대수의 층이다.

예

위상공간의 범주 \(\textit{Top}\)을 생각하자. 곱과 등화자와 가환하는 자연스러운 충실 함자 \(\textit{Top} \to \textit{Sets}\)가 존재한다. 그러나 이 함자는 동형사상을 반영하지 않는다. 실제로 보조정리 0073의 유사 명제는 성립하지 않는다. \(X = \mathbf{N}\)에 이산위상을 주었다고 하자.

각 \(i \in \mathbf{N}\)에 대하여 \(A_i\)를 이산위상공간이라 하자. 임의의 부분집합 \(U \subset \mathbf{N}\)에 대하여 \(\mathcal{F}(U) = \prod_{i\in U} A_i\)에 이산위상을 주어 정의하자. 그러면 이것은 바탕 집합의 준층이 층인 위상공간의 준층이다. 예 006X를 보라. 그러나 각 \(A_i\)가 적어도 두 원소를 가지면 정의 0072에 따라 이것은 위상공간의 층이 아니다. 각 \(\mathcal{F}(U) = \prod_{i\in U} A_i\)에 곱위상을 주면 실제로 \(X\) 위의 위상공간의 층이 된다는 것은 독자가 확인할 수 있다.

가군의 층

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 층이라 하자.

1. \(\mathcal{O}\)-가군의 층이란 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층 \(\mathcal{F}\)로서(정의 006Q 참조), 그 바탕 아벨군의 준층 \(\mathcal{F}\)가 층인 것이다.

2. \(\mathcal{O}\)-가군의 층의 사상은 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층의 사상이다.

3. \(\mathcal{O}\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 주어졌을 때, \(\Hom_\mathcal{O}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)로 \(\mathcal{O}\)-가군의 층의 사상들의 집합을 나타낸다.

4. \(\mathcal{O}\)-가군의 층들의 범주는 \(\textit{Mod}(\mathcal{O})\)로 나타낸다.

이 정의는 \(\mathcal{O}\)가 단지 환의 준층인 경우에도 어느 정도 의미가 있다. 하지만 이것이 유용한 예는 알지 못하며, \(\mathcal{O}\)가 환의 층이 아닌 경우에는 “\(\mathcal{O}\)-가군의 층”이라는 용어를 사용하지 않을 것이다.

줄기

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. \(x\)에서 \(\mathcal{F}\)의 줄기란 집합 \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] 이다. 여기서 여극한은 \(X\)에서 \(x\)의 열린 근방 \(U\)들의 집합에 대하여 취한다. 열린 근방들의 집합에는 (역)포함관계로 부분순서를 준다. \(U \geq U' \Leftrightarrow U \subset U'\)라고 한다. 이 계의 전이 사상들은 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상들로 주어진다. 계에 대한 (여)극한의 표기와 용어는 Categories, 절 002Z를 보라. 이 여극한은 유향 여극한임에 유의하라. 따라서 \(\mathcal{F}_x\)를 쉽게 기술할 수 있다. 구체적으로, \[\mathcal{F}_x = \{ (U, s) \mid x\in U, s\in \mathcal{F}(U) \}/\sim\] 이고, 동치관계는 다음과 같이 주어진다. \((U, s) \sim (U', s')\)일 필요충분조건은 \(x \in U''\)인 열린집합 \(U'' \subset U \cap U'\)가 존재하여 \(s|_{U''} = s'|_{U''}\)인 것이다.

쌍 \((U, s)\)가 주어지면, \((U, s)\)의 동치류에 대응하는 \(\mathcal{F}_x\)의 원소를 때때로 \(s_x\)로 나타낸다. 때로는 \(s_x\)를 가리켜 “\(\mathcal{F}_x\)에서 \(s\)의 상”이라는 표현을 사용한다. 예를 들어 두 쌍 \((U, s)\)와 \((U', s')\)가 주어졌을 때, \(s_x = s'_x\)임을 나타내기 위해 “\(\mathcal{F}_x\)에서 \(s\)와 \(s'\)가 같다”라고 말하기도 한다. 다른 저자들은 “\(x\)에서 \(s\)의 싹”이라는 용어를 사용한다.

이 정의의 명백한 귀결로서, 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 표준적인 사상 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] 이 존재한다. 이는

\(s \mapsto \prod_{x \in U} (U, s)\)로 정의된다. 생각해 보라!

보조정리

\(\mathcal{F}\)를 위상공간 \(X\) 위의 집합의 층이라 하자. 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 사상 \[\mathcal{F}(U) \longrightarrow \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] 은 단사이다.

증명

\(s, s' \in \mathcal{F}(U)\)가 모든 \(x \in U\)에 대하여 각 줄기 \(\mathcal{F}_x\)에서 같은 원소로 간다고 하자. 이는 모든 \(x \in U\)에 대하여 \(x \in V^x\)이고 \(s|_{V^x} = s'|_{V^x}\)인 열린집합 \(V^x \subset U\)가 존재한다는 뜻이다. 그런데 \(U = \bigcup_{x \in U} V^x\)는 열린 덮개이다. 따라서 층 조건의 유일성에 의해 \(s = s'\)임을 알 수 있다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X\) 위의 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)가 분리되어 있다는 것은, 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x\)가 단사라는 뜻이다.

또 하나의 관찰은 줄기 \(\mathcal{F}_x\)의 구성이 준층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 함자적이라는 것이다. 다시 말해, 이는 함자 \[\textit{PSh}(X) \longrightarrow \textit{Sets}, \ \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}_x.\] 를 준다. 이 함자를 줄기 함자라 한다. 즉, \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 준층의 사상이면 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)를 규칙 \((U, s) \mapsto (U, \varphi(s))\)로 정의한다. 이것이 잘 작동함을 보이려면, \(\mathcal{F}_x\)에서 \((U, s) = (U', s')\)이면 \(\mathcal{G}_x\)에서도 \((U, \varphi(s)) = (U', \varphi(s'))\)임을 확인해야 한다. \(\varphi\)가 제한 사상들과 양립하므로 이는 명백하다.

예

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(A\)를 집합이라 하자. 값이 \(A\)인 상수 준층을 잠시 \(A_p\)로 나타내자 (\(p\)는 point가 아니라 presheaf를 뜻한다). 값이 \(A\)인 상수층으로 가는 준층의 표준적인 사상 \(A_p \to \underline{A}\)가 있다. 모든 점에 대하여 표준적인 전단사 \(A = (A_p)_x = \underline{A}_x\)가 있으며, 여기서 두 번째 사상은 \(A_p \to \underline{A}\)로부터 함자성에 의해 유도된다.

예

\(X = \mathbf{R}^n\)에 유클리드 위상을 주었다고 하자. \(X\) 위의 \(\mathcal{C}^\infty\) 함수들의 준층을 생각하고 \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n}\)으로 나타내자. 다시 말해, \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n}(U)\)는 \(\mathcal{C}^\infty\) 함수 \(f : U \to \mathbf{R}\)들의 집합이다. 예 006V에서와 같이 이것이 층임을 쉽게 보일 수 있다. 실제로 이것은 \(\mathbf{R}\)-벡터공간의 층이다.

이제 \(x \in X = \mathbf{R}^n\)를 점이라 하자. 줄기 \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n, x}\)의 원소를 어떻게 생각해야 하는가? 그러한 원소는 정의역이 \(x\)를 포함하는 \(\mathcal{C}^\infty\) 함수 \(f\)로 주어진다.

그러한 함수들의 한 쌍 \(f\), \(g\)는 \(x\)의 한 근방에서 일치할 때 줄기의 같은 원소를 정한다. 다시 말해, \(\mathcal{C}^\infty_{\mathbf{R}^n, x}\)의 원소는 때때로 \(x\)에서 \(\mathcal{C}^\infty\) 함수의 싹이라고 부르는 것과 같다.

예

\(X\)를 위상공간이라 하자. 각 \(x \in X\)에 대하여 \(A_x\)를 집합이라 하자. 예 006X의 층 \(\mathcal{F} : U \mapsto \prod_{x\in U} A_x\)를 생각하자. 여기서는 \(x\)에서 \(\mathcal{F}\)의 줄기 \(\mathcal{F}_x\)가 일반적으로 집합 \(A_x\)와 같지 않다는 점을 지적하고자 한다. 물론 사상 \(\mathcal{F}_x \to A_x\)가 있지만 일반적으로 이것이 말할 수 있는 전부이다. 예를 들어 모든 \(n \not = m\)에 대하여 \(x_n \not = x_m\)이고 \(x = \lim x_n\)이며, 모든 \(y \in X\)에 대하여 \(A_y = \{0, 1\}\)이라고 하자. 그러면 \(\mathcal{F}_x\)는 \(0\)과 \(1\)로 이루어진 수열들의 꼬리들의 (무한) 집합 위로 전사한다. 실제로 \(x\)의 모든 열린 근방은 거의 모든 \(x_n\)을 포함한다. 한편 \(x\)의 모든 근방이 \(A_y = \emptyset\)인 점 \(y\)를 포함하면 \(\mathcal{F}_x = \emptyset\)이다.

아벨 준층의 줄기

먼저 일반적인 경우의 모형으로서 아벨군의 경우를 다룬다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨군의 준층이라 하자. 모든 열린집합 \(U \subset X\), \(x\in U\)에 대하여 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_x\)가 군 준동형이 되도록 하는 \(\mathcal{F}_x\) 위의 아벨군 구조가 유일하게 존재한다. 또한 \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] 가 아벨군의 범주에서 성립한다.

증명

원소들의 쌍 \((U, s)\)와 \((V, t)\)의 합을 쌍 \((U \cap V, s|_{U\cap V} + t|_{U \cap V})\)로 정의한다. 나머지는 쉽게 확인된다.

위 증명에서 핵심은 열린 근방들의 부분순서집합이 유향 집합이라는 사실이다(Categories, 정의 00D3 참조). 실제로 두 아벨군 \(A, B\)의 쌍대곱은 직합 \(A \oplus B\)이지만, 집합의 범주에서 쌍대곱은 서로소 합집합 \(A \amalg B\)이다. 이는 일반적으로 아벨군의 범주의 여극한이 집합의 범주의 여극한과 일치하지 않음을 보여 준다.

대수 구조의 준층의 줄기

보조정리 007F의 증명은 유향 여극한이 망각 함자와 가환하는 모든 종류의 대수 구조에 적용된다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(F\)는 충실하고,

2. \(\mathcal{C}\)에는 유향 여극한이 존재하며 \(F\)는 그것들과 가환한다.

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(x \in X\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층이라 하자. 그러면 \[\mathcal{F}_x = \colim_{x\in U} \mathcal{F}(U)\] 가 \(\mathcal{C}\)에서 존재한다. 그 바탕 집합은 \(\mathcal{F}\)의 바탕 집합의 준층의 줄기와 같다. 또한 구성 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층의 범주에서 \(\mathcal{C}\)로 가는 함자이다.

증명

생략한다.

정의 자체에 의해 모든 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}_x\)는 범주 \(\mathcal{C}\)의 사상이며, 망각 함자 \(F\)를 적용하면 바탕 집합의 층에 대한 대응하는 사상이 된다. 늘 그렇듯이 \(\mathcal{C}\)의 사상과 그 바탕 집합의 사상을 구별하지 않을 것이다. \(F\)가 충실하므로 이렇게 해도 된다.

이 보조정리는 특히 다음에 적용된다. (반드시 아벨일 필요는 없는) 군, 환, 고정된 환 위의 가군, 고정된 체 위의 벡터공간의 준층.

가군 준층의 줄기

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이라 하자. \(x \in X\)라 하자.

곱셈 사상 \(\mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)로부터 오는 표준적인 사상 \(\mathcal{O}_x \times \mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_x\)는 아벨군 \(\mathcal{F}_x\) 위에 \(\mathcal{O}_x\)-가군 구조를 정의한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)를 \(X\) 위의 환의 준층의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이라 하자. \(x \in X\)라 하자. 다음 등식이 성립한다. \[\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{O}'_x = (\mathcal{F} \otimes_{p, \mathcal{O}} \mathcal{O}')_x\] 이는 \(\mathcal{O}'_x\)-가군으로서의 등식이다.

증명

생략한다.

대수 구조

이 절에서는 앞의 절들에서 만난 개념들을 가볍게 형식화한다.

정의

대수 구조의 유형은 범주 \(\mathcal{C}\)와 다음 성질들을 갖는 함자 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)로 주어진다.

1. \(F\)는 충실하고,

2. \(\mathcal{C}\)는 극한을 가지며 \(F\)는 극한과 가환하고,

3. \(\mathcal{C}\)는 여과 여극한을 가지며 \(F\)는 그것들과 가환하고,

4. \(F\)는 동형사상을 반영한다.

우리는 아래의 여러 논증에서 사용할 성질들을 드러내기 위하여 이 정의를 도입한다. 다만 Categories, 주석 0015에 열거된 것들을 제외하면, 관례상 “큰” 범주를 연구할 수 없으므로 이 개념 자체를 아주 자세히 연구하지는 않을 것이다. 열거된 범주 가운데 다음 범주들은 필요한 성질을 갖는다.

보조정리

다음 범주들에 명백한 망각 함자를 주면 대수 구조의 유형들이 정의된다.

1. 기점이 지정된 집합들의 범주.

2. 아벨군들의 범주.

3. 군들의 범주.

4. 모노이드들의 범주.

5. 환들의 범주.

6. 고정된 환 \(R\)에 대한 \(R\)-가군들의 범주.

7. 고정된 체 위의 리 대수들의 범주.

증명

생략한다.

이제부터 대수 구조의 (준)층과 그 줄기는 바탕 집합의 (준)층을 통하여 생각할 것이다. 보조정리 0073와 007H에 따라 이렇게 해도 된다.

이 절의 나머지 부분에서는 앞으로 유용하게 쓸 대수 구조에 관한 몇 가지 결과를 지적한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 유형이라 하자.

1. \(\mathcal{C}\)는 끝 대상 \(0\)을 가지며 \(F(0) = \{ * \}\)이다.

2. \(\mathcal{C}\)는 곱을 가지며 \(F(\prod A_i) = \prod F(A_i)\)이다.

3. \(\mathcal{C}\)는 섬유곱을 가지며 \(F(A \times_B C) = F(A)\times_{F(B)}F(C)\)이다.

4. \(\mathcal{C}\)는 등화자를 가진다. \(E \to A\)가 \(a, b : A \to B\)의 등화자이면 \(F(E) \to F(A)\)는 \(F(a), F(b) : F(A) \to F(B)\)의 등화자이다.

5. \(A \to B\)가 단사사상일 필요충분조건은 \(F(A) \to F(B)\)가 단사인 것이다.

6. \(F(a) : F(A) \to F(B)\)가 전사이면 \(a\)는 전사사상이다.

7. \(A_1 \to A_2 \to A_3 \to \ldots\)가 주어지면 \(\colim A_i\)가 존재하고 \(F(\colim A_i) = \colim F(A_i)\)이며, 더 일반적으로 모든 여과 여극한에 대해서도 마찬가지이다.

증명

생략한다. 흥미로운 명제는 (5)뿐이다. 이는 \(A \to B\)가 단사사상일 필요충분조건이 \(A \to A \times_B A\)가 동형사상이라는 사실과, 이어서 \(F\)가 동형사상을 반영한다는 사실을 적용하면 따른다.

보조정리

\((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 유형이라 하자. \(A, B, C \in \Ob(\mathcal{C})\)라고 하자. \(f : A \to B\)와 \(g : C \to B\)를 \(\mathcal{C}\)의 사상이라 하자. \(F(g)\)가 단사이고 \(\Im(F(f)) \subset \Im(F(g))\)이면, 어떤 사상 \(t : A \to C\)에 대하여 \(f\)는 \(f = g \circ t\)로 분해된다.

증명

\(A \times_B C\)를 생각하자. 가정은 \(F(A \times_B C) = F(A) \times_{F(B)} F(C) = F(A)\)임을 함의한다.

따라서 \(F\)가 동형사상을 반영하므로 \(A = A \times_B C\)이다. 결론이 따른다.

예

이 보조정리는 다음 상황에 자주 적용될 것이다. \(\mathcal{C}\)의 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }\] 이 주어졌다고 하자. \(C \to D\)가 바탕 집합에서 단사이고, 합성 \(A \to B \to D\)의 바탕 집합에서의 상이 \(C \to D\)의 상 안에 있다고 하자. 그러면 \(\mathcal{C}\)에서 가환 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar[d] & B \ar[d] \\ C \ar[r] & D }\] 을 얻는다.

예

\(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 대수 구조의 유형이라 하자. \(X\)를 위상공간이라 하자. 모든 \(x \in X\)에 대하여 대상 \(A_x \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어졌다고 하자. \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖고 규칙 \(\Pi(U) = \prod_{x \in U} A_x\)로 정의되는 준층 \(\Pi\)를 생각하자 (제한 사상은 명백하다). 연관된 집합의 준층 \(U \mapsto F(\Pi(U)) = \prod_{x \in U} F(A_x)\)는 예 006X에 따라 층임에 유의하라. 따라서 \(\Pi\)는 유형 \((\mathcal{C} , F)\)의 대수 구조의 층이다. 이로부터 아벨군, 군, 환 등의 층의 많은 예를 얻는다.

완전성과 점

임의의 범주에는 전사사상, 단사사상, 동형사상 등의 개념이 있다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 집합의 층의 사상이라 하자.

1. 사상 \(\varphi\)가 층의 범주에서 단사사상일 필요충분조건은 모든 \(x \in X\)에 대하여 사상 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)가 단사인 것이다.

2. 사상 \(\varphi\)가 층의 범주에서 전사사상일 필요충분조건은 모든 \(x \in X\)에 대하여 사상 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)가 전사인 것이다.

3. 사상 \(\varphi\)가 층의 범주에서 동형사상일 필요충분조건은 모든 \(x \in X\)에 대하여 사상 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)가 전단사인 것이다.

증명

생략한다.

따라서 집합의 층의 범주에서 전사사상과 단사사상의 개념은 다음과 같이 기술할 수 있다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자.

1. 준층 \(\mathcal{F}\)가 준층 \(\mathcal{G}\)의 부분준층이라는 것은 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(\mathcal{F}(U) \subset \mathcal{G}(U)\)이고 \(\mathcal{G}\)의 제한 사상들이 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상들을 유도한다는 뜻이다. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 층이면 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{G}\)의 부분층이라 한다. 이를 때때로 \(\mathcal{F} \subset \mathcal{G}\)로 나타낸다.

2. \(X\) 위의 집합의 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 단사라는 것은 모든 \(X\)의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)가 단사라는 것과 동치이다.

3. \(X\) 위의 집합의 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 전사라는 것은 모든 \(X\)의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)가 전사라는 것과 동치이다.

4. \(X\) 위의 집합의 층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 단사라는 것은 모든 \(X\)의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)가 단사라는 것과 동치이다.

5. \(X\) 위의 집합의 층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 전사라는 것은 \(X\)의 모든 열린집합 \(U\)와 \(\mathcal{G}(U)\)의 모든 단면 \(s\)에 대하여, \(s|_{U_i}\)가 모든 \(i\)에 대해 \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{G}(U_i)\)의 상에 속하도록 하는 열린 덮개 \(U = \bigcup U_i\)가 존재한다는 것과 동치이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자.

1. 준층의 범주에서 전사사상(각각 단사사상)은 정확히 준층의 전사 사상(각각 단사 사상)이다.

2. 층의 범주에서 전사사상(각각 단사사상)은 정확히 층의 전사 사상(각각 단사 사상)이며, 정확히 모든 줄기에서 전사(각각 단사)인 사상이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 유형이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)가 \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층이라고 하자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 그 바탕 집합의 층들의 사상이라 하자. 모든 점 \(x \in X\)에 대하여 사상 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)가 대수 구조의 사상이면, \(\varphi\)는 대수 구조의 층들의 사상이다.

증명

\(U\)를 \(X\)의 열린 부분집합이라 하자. (바탕) 집합의 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] \ar[d] & \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[d] \\ \mathcal{G}(U) \ar[r] & \prod_{x \in U} \mathcal{G}_x }\] 을 생각하자. 가정과 앞의 결과들에 따라 왼쪽 수직 화살표를 제외한 모든 화살표는 대수 구조의 사상이다. 또한 아래쪽 수평 화살표는 단사이다. 보조정리 0079를 보라. 따라서 보조정리 007P로부터 결론을 얻는다. 예 007Q도 보라.

아벨층의 짧은 완전열 등은 가군의 층을 다루는 장에서 논의할 것이다. Modules, 절 01AF를 보라.

층화

이 절에서는 위상공간 위의 준층을 층화하는 방법을 설명한다. 이 경우에는 줄기를 이용하여 층화를 기술할 것이다. 이는 Sites, 절 00W1에서 설명한 일반적인 절차와는 다르며, 아마도 어느 정도 더 이해하기 쉽다.

기본 구성은 다음과 같다. \(\mathcal{F}\)를 위상공간 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. 각 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \[\mathcal{F}^{\#}(U) = \{ (s_u) \in \prod\nolimits_{u \in U} \mathcal{F}_u \text{ such that }(*) \}\] 로 정의한다. 여기서 \((*)\)는 다음 성질이다.

• 모든 \(u \in U\)에 대하여 열린 근방 \(u \in V \subset U\)와 단면 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)가 존재하여, 모든 \(v \in V\)에 대해 \(\mathcal{F}_v\)에서 \(s_v = (V, \sigma)\)가 성립한다.

\((*)\)는 각 \(u \in U\)에 대한 조건이며, \(u \in U\)가 주어졌을 때 이 조건의 참 여부는 \(u\)의 임의의 열린 근방에 놓인 \(v\)들에 대한 값 \(s_v\)에만 의존한다. 따라서 \(V \subset U \subset X\)가 열린집합이면 사영 사상들 \[\prod\nolimits_{u \in U} \mathcal{F}_u \longrightarrow \prod\nolimits_{v \in V} \mathcal{F}_v\] 은 \(\mathcal{F}^{\#}(U)\)의 원소를 \(\mathcal{F}^{\#}(V)\)의 원소로 보낸다는 것이 분명하다.

이 사상들을 제한 사상으로 사용하면 \(\mathcal{F}^\#\)는 \(X\) 위의 집합의 준층이 된다.

더 나아가, 절 0078에서 설명한 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \prod_{u \in U} \mathcal{F}_u\)의 상은 분명히 \(\mathcal{F}^{\#}(U)\)에 포함된다. 또한 \(V \subset U \subset X\)가 열린집합이면 다음 가환도식이 있다. \[\xymatrix{ \mathcal{F}(U) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^{\#}(U) \ar[r] \ar[d] & \prod_{u\in U} \mathcal{F}_u \ar[d] \\ \mathcal{F}(V) \ar[r] & \mathcal{F}^{\#}(V) \ar[r] & \prod_{v\in V} \mathcal{F}_v }\] 여기서 수직 사상들은 제한 사상들로부터 유도된다. 따라서 준층의 표준적인 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^{\#}\)가 있음을 알 수 있다.

예 006X에서 자명한 제한 사상들을 갖는 규칙 \(\Pi(\mathcal{F}) : U \mapsto \prod_{u\in U} \mathcal{F}_u\)가 층임을 보았다. 구성에 의해 \(\mathcal{F}^{\#}\)는 이 층의 부분준층이다. 달리 말하면 준층의 사상들 \[\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \Pi(\mathcal{F}).\] 이 있다. 또한 \(\mathcal{F}\)에 위의 열을 대응시키는 규칙은 준층 \(\mathcal{F}\)에 대해 분명히 함자적이다. 아래 보조정리들의 증명에서 이 표기를 사용할 것이다.

보조정리

준층 \(\mathcal{F}^{\#}\)는 층이다.

증명

독자에게는 여기의 증명을 읽는 것보다 스스로 설명을 찾아내는 편이 더 나을지도 모른다. 실제로 이 보조정리가 참인 이유는 연속함수의 준층이 층인 이유와 같다. 예 006V를 보라 (그리고 이 비유는 “espace étalé”를 사용하여 엄밀하게 만들 수 있다).

어쨌든 \(U = \bigcup U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(s_i = (s_{i, u})_{u \in U_i} \in \mathcal{F}^{\#}(U_i)\)이고, \(s_i\)와 \(s_j\)가 \(U_i \cap U_j\) 위에서 일치한다고 하자. \(\Pi(\mathcal{F})\)는 층이므로 \(\prod_{u\in U} \mathcal{F}_u\) 안에서, \(U_i\)에 대한 제한이 \(s_i\)인 원소 \(s = (s_u)_{u\in U}\)를 얻는다. 성질 \((*)\)를 확인해야 한다. \(u \in U\)를 택하자. 그러면 어떤 \(i\)에 대해 \(u \in U_i\)이다. 따라서 \(s_i\)에 대한 \((*)\)에 의해 열린집합 \(V\)와 \(u \in V \subset U_i\), 그리고 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)가 존재하여, 모든 \(v \in V\)에 대해 \(\mathcal{F}_v\)에서 \(s_{i, v} = (V, \sigma)\)가 성립한다. \(s_{i, v} = s_v\)이므로 \(s\)에 대한 \((*)\)를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하고 \(x \in X\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}_x = \mathcal{F}^\#_x\)이다.

증명

사상 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\)는 단사이다. 실제로 이미 사상 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\)가 단사이기 때문이다. 즉, 사상 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\)의 왼쪽 역인 표준적인 사상 \(\Pi(\mathcal{F})_x \to \mathcal{F}_x\)가 있다. 예 007D를 보라. 전사임을 보이기 위해 \(\overline{s} \in \mathcal{F}^\#_x\)라 하자. \(\overline{s}\)가 \(s \in \mathcal{F}^\#(U)\)인 \((U, s)\)의 동치류가 되도록 하는 \(x\)의 열린 근방 \(U\)를 찾을 수 있다. 정의에 의해 이는 \(x\)의 열린 근방 \(V \subset U\)와 단면 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)가 존재하여, \(s|_V\)가 \(\Pi(\mathcal{F})(V)\)에서 \(\sigma\)의 상이 됨을 뜻한다. 분명히 \((V, \sigma)\)의 류는 \(\overline{s}\)로 가는 \(\mathcal{F}_x\)의 원소를 정의한다.

보조정리

\(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. 집합의 층으로 가는 임의의 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)는 유일하게 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)로 분해된다.

증명

분명히 가환도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}^\# \ar[r] \ar[d] & \Pi(\mathcal{F}) \ar[d] \\ \mathcal{G} \ar[r] & \mathcal{G}^\# \ar[r] & \Pi(\mathcal{G}) \\ }\] 이 있다. 따라서 \(\mathcal{G} = \mathcal{G}^\#\)임을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 보조정리 007T에 의해 모든 점 \(x \in X\)에 대하여 사상 \(\mathcal{G}_x \to \mathcal{G}^\#_x\)가 전단사임을 보이면 충분하다. 이는 위의 보조정리 007Z이다.

이 보조정리가 실제로 말하는 바는 다음 함자들의 수반쌍이 있다는 것이다. \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\) (포함)와 \(\# : \textit{PSh}(X) \to \Sh(X)\) (층화)이다. 공식은 \[\Mor_{\textit{PSh}(X)}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\Sh(X)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] 이며, 이는 층화가 포함 함자의 왼쪽 수반임을 말한다.

Categories, 절 0036를 보라.

예

표기에 대해서는 예 007B를 보라. 사상 \(A_p \to \underline{A}\)는 사상 \(A_p^\# \to \underline{A}\)를 유도한다. 이것이 동형사상임은 쉽게 알 수 있다. 말로 하면, 값이 \(A\)인 상수 준층의 층화는 값이 \(A\)인 상수층이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. 준층 \(\mathcal{F}\)가 분리되어 있다는 것 (정의 007A을 보라)은 표준적인 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)가 단사인 것과 동치이다.

증명

이는 이 절에서 한 \(\mathcal{F}^\#\)의 구성으로부터 분명하다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. 집합의 준층들의 전사 사상(각각 단사 사상)을 층화하면 전사 사상(각각 단사 사상)이 된다.

증명

생략한다.

아벨 준층의 층화

다음의 다소 이상해 보이는 보조정리는 아마 필요하지 않을 것이지만, 대수 구조의 준층을 층화할 때 매우 편리하다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. \(U \subset X\)가 열린집합이라 하자. 표준적인 섬유곱 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}^\#(U) \ar[d] \ar[r] & \Pi(\mathcal{F})(U) \ar[d] \\ \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[r] & \prod_{x \in U} \Pi(\mathcal{F})_x }\] 이 있다. 여기서 사상들은 다음과 같다.

1. 왼쪽 수직 사상의 성분들은 \(\mathcal{F}^\#(U) \to \mathcal{F}^\#_x = \mathcal{F}_x\)이다. 여기서 등식은 보조정리 007Z이다.

2. 위쪽 수평 사상은 절 007X에서 설명한 준층의 사상 \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\)로부터 온다.

3. 오른쪽 수직 사상은 자명한 성분 사상들 \(\Pi(\mathcal{F})(U) \to \Pi(\mathcal{F})_x\)를 갖는다.

4. 아래쪽 수평 사상은 성분들 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\)를 갖는데, 이들은 절 007X에서 설명한 준층의 사상 \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\)로부터 온다.

증명

도식이 가환함은 분명하다. 이것이 섬유곱 도식임을 보여야 한다. 모든 사상 \(\mathcal{F}_x \to \Pi(\mathcal{F})_x\)가 단사이므로 (보조정리 007Z의 증명 첫 부분을 보라), 아래쪽 수평 화살표는 단사이다. 단면 \(s \in \Pi(\mathcal{F})(U)\)가 \(\mathcal{F}^\#\)에 속하는 것은 \((*)\)가 성립하는 것과 동치이다. 그런데 \((*)\)는 모든 점의 근방에서 단면 \(s\)가 \(\mathcal{F}\)의 단면으로부터 온다는 뜻이다. 줄기 함자들의 정의에 따라, 이는 모든 줄기 \(\Pi(\mathcal{F})_x\)에서 \(s\)의 값이 줄기 \(\mathcal{F}_x\)의 원소로부터 온다는 것과 동치이다. 이로써 증명된다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층이라 하자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)가 아벨 준층의 사상이 되도록 하는 \(\mathcal{F}^\#\) 위의 아벨층 구조가 유일하게 존재한다. 더 나아가 다음 수반 성질이 성립한다. \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(\mathcal{F}, i(\mathcal{G})) = \Mor_{\textit{Ab}(X)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G}).\]

증명

절 007X에서 정의한 집합의 층 \(\Pi(\mathcal{F})\)를 상기하자. 모든 줄기 \(\mathcal{F}_x\)는 아벨군이다. 보조정리 007F를 보라. 따라서 예 007R에 의해 \(\Pi(\mathcal{F})\)는 아벨군의 층이다. 또한 사상 \(\mathcal{F} \to \Pi(\mathcal{F})\)가 아벨 준층의 사상임은 분명하다. 모든 열린 부분집합 \(U \subset X\)에 대하여 절 007X의 조건 \((*)\)가 \(\Pi(\mathcal{F})(U)\)의 부분군을 정의함을 보이면, \(\mathcal{F}^\#\)는 표준적으로 아벨층의 구조를 물려받는다. 이를 직접 보이는 것은 매우 쉬우며, 간단하고 좋은 논증을 찾는 일은 독자에게 맡긴다. 여기서 사용할 논증은 대수 구조의 준층으로 일반화되며 다음과 같다. 보조정리 0084는 \(\mathcal{F}^\#(U)\)가 아벨군들의 도식의 섬유곱임을 보여 준다. 따라서 원하는 대로 \(\mathcal{F}^\#\)는 아벨 부분군이다.

이 시점에서 보조정리 007F에 의해 \(\mathcal{F}^\#_x\)는 아벨군이고, \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\)는 전단사(보조정리 007Z)이자 아벨군의 준동형임을 주목하자. 따라서 \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}^\#_x\)는 아벨군의 동형사상이다. 아래에서는 이를 더 언급하지 않고 사용할 것이다.

수반 성질을 증명하기 위해 집합의 준층을 층화하는 데 대한 수반 성질을 사용한다. 예를 들어 \(\psi : \mathcal{F} \to i(\mathcal{G})\)가 준층의 사상이면 층의 사상 \(\psi' : \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)를 얻는다.

이것이 아벨층의 사상임을 확인해야 한다. 예컨대 보조정리 007Z에 의해 줄기에서 이것이 참임을 주목한 뒤, 위의 보조정리 007W를 사용하면 된다.

대수 구조의 준층의 층화

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 유형이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층이라 하자. 다음 성질들을 갖는 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층 \(\mathcal{F}^\#\)와 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층의 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)가 존재한다.

1. 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\#\)는 \(\mathcal{F}^\#\)의 바탕 집합의 층을 \(\mathcal{F}\)의 바탕 집합의 준층을 층화한 것과 동일시한다.

2. \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층일 때, 임의의 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)에 대하여 유일한 분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)가 존재한다.

증명

증명은 보조정리 0085의 증명과 같으며, 보조정리 007P를 반복해서 적용한다 (예 007Q도 보라). 그러나 주된 발상은 \(\mathcal{F}^\#(U)\)를 \(\mathcal{C}\)에서의 다음 도식의 섬유곱으로 정의하는 것이다.

\[\xymatrix{ & \Pi(\mathcal{F})(U) \ar[d] \\ \prod_{x \in U} \mathcal{F}_x \ar[r] & \prod_{x \in U} \Pi(\mathcal{F})_x }\] 보조정리 0084와 비교하라.

가군의 준층의 층화

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 준층이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이라 하자. \(\mathcal{O}^\#\)를 \(\mathcal{O}\)의 층화라 하고, \(\mathcal{F}^\#\)를 아벨군의 준층으로서 \(\mathcal{F}\)를 층화한 것이라 하자. 도식 \[\mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \longrightarrow \mathcal{F}^\#\] 을 가환으로 만들고 \(\mathcal{F}^\#\)를 \(\mathcal{O}^\#\)-가군의 층으로 만드는 집합의 층의 사상이 존재한다. \[\xymatrix{ \mathcal{O} \times \mathcal{F} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \\ \mathcal{O}^\# \times \mathcal{F}^\# \ar[r] & \mathcal{F}^\# }\] 또한 \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{O}^\#\)-가군의 층이면, \(\mathcal{O}\)-가군의 준층의 임의의 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)는 (\(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군으로 제한한 것에 이르는 사상으로 보아) 유일하게 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)로 분해된다.

여기서 \(\mathcal{F}^\# \to \mathcal{G}\)는 \(\mathcal{O}^\#\)-가군의 사상이다.

증명

생략한다.

이는 실제로 함자 \(i : \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#) \to \textit{PMod}(\mathcal{O})\) (스칼라 제한과 층을 준층에 포함하는 것을 합친 것)와 보조정리의 층화 함자 \({}^\# : \textit{PMod}(\mathcal{O}) \to \textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)\)가 수반임을 뜻한다. 공식으로는 \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{F}, i\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}^\#)}(\mathcal{F}^\#, \mathcal{G})\] 이다.

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{O}_1 \to \mathcal{O}_2\)를 \(X\) 위의 환의 층들의 사상이라 하자. 절 006P에서 이 상황에 딸린 가군의 준층들에 대한 제한 함자와 환 변경 함자를 정의했다.

\(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_2\)-가군의 층이면 \(\mathcal{F}\)의 제한 \(\mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}\)은 분명히 \(\mathcal{O}_1\)-가군의 층이다. 따라서 제한 함자 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_2) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_1)\] 를 얻는다.

한편 \(\mathcal{O}_1\)-가군의 층 \(\mathcal{G}\)가 주어졌을 때, \(\mathcal{O}_2\)-가군의 준층 \(\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}\)는 일반적으로 층이 아니다. 따라서 준층에 대한 우리의 구성을 층화하여 텐서곱 층 \(\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}\)를 공식 \[\mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G} = (\mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G})^\#\] 으로 정의한다. 환 변경 함자 \[\textit{Mod}(\mathcal{O}_1) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}_2)\] 를 얻는다.

보조정리

위와 같은 \(X\), \(\mathcal{O}_1\), \(\mathcal{O}_2\), \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)에 대하여 표준적인 전단사 \[\Hom_{\mathcal{O}_1}(\mathcal{G}, \mathcal{F}_{\mathcal{O}_1}) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\] 가 존재한다. 달리 말하면 제한 함자와 환 변경 함자는 서로 수반이다.

증명

이는 보조정리 006R와, \(\mathcal{F}\)가 층이므로 성립하는 등식 \(\Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{\mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} ) = \Hom_{\mathcal{O}_2}( \mathcal{O}_2 \otimes_{p, \mathcal{O}_1} \mathcal{G}, \mathcal{F} )\) 로부터 따른다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{O} \to \mathcal{O}'\)를 \(X\) 위의 환의 층들의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이라 하자. \(x \in X\)라 하자. \(\mathcal{O}'_x\)-가군으로서 \[\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_x} \mathcal{O}'_x = (\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{O}')_x\] 이다.

증명

이는 보조정리 007K와 줄기를 취하는 것이 층화와 가환한다는 사실로부터 바로 따른다.

연속사상과 층

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. 준층과 층에 대한 직접상 함자와 역상 함자를 정의할 것이다.

\(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. 임의의 열린집합 \(V \subset Y\)에 대하여 \[f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\] 로 놓아 \(\mathcal{F}\)의 직접상을 정의한다. 열린집합 \(V_1 \subset V_2 \subset Y\)가 주어졌을 때 제한 사상은 도식 \[\xymatrix{ f_*\mathcal{F}(V_2) \ar[d] \ar@{=}[r] & \mathcal{F}(f^{-1}(V_2)) \ar[d]^{\text{restriction for }\mathcal{F}} \\ f_*\mathcal{F}(V_1) \ar@{=}[r] & \mathcal{F}(f^{-1}(V_1)) }\] 의 가환성으로 주어진다. 이것이 집합의 준층을 정의함은 분명하다. 이 구성은 준층 \(\mathcal{F}\)에 대해 분명히 함자적이므로 함자 \[f_* : \textit{PSh}(X) \longrightarrow \textit{PSh}(Y).\] 를 얻는다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 층이라 하자. 그러면 \(f_*\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위의 층이다.

증명

\(V = \bigcup V_j\)가 \(Y\)의 열린 덮개이면 \(f^{-1}(V) = \bigcup f^{-1}(V_j)\)가 \(X\)의 열린 덮개라는 사실로부터 즉시 따른다.

그 결과 함자 \[f_* : \Sh(X) \longrightarrow \Sh(Y).\] 를 얻는다. 이는 다음의 강한 의미에서 합성과 양립한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. 함자 \((g \circ f)_*\)와 \(g_* \circ f_*\)는 같다(집합의 준층에 대해서도 층에 대해서도).

증명

이는 \((g \circ f)_*\mathcal{F}(W) = \mathcal{F}((g \circ f)^{-1}W)\)이고, \((g_* \circ f_*)\mathcal{F}(W) = \mathcal{F}(f^{-1} g^{-1} W)\)이며, \((g \circ f)^{-1}W = f^{-1} g^{-1} W\)이기 때문이다.

\(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 집합의 준층이라 하자. 주어진 준층 \(\mathcal{G}\)의 역상 준층 \(f_p\mathcal{G}\)는 준층에 대한 직접상 \(f_*\)의 왼쪽 수반으로 정의한다. 달리 말하면 이는 \(X\) 위의 준층 \(f_p \mathcal{G}\)로서 \[\Mor_{\textit{PSh}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PSh}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 을 만족해야 한다. Yoneda 보조정리에 의해 이는 역상을 유일하게 결정한다. 실제로 이러한 역상이 존재한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. \(f_*\)의 왼쪽 수반인 함자 \(f_p : \textit{PSh}(Y) \to \textit{PSh}(X)\)가 존재한다. 준층 \(\mathcal{G}\)에 대하여 이 함자는 규칙 \[f_p\mathcal{G}(U) = \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V)\] 으로 결정된다. 여기서 여극한은 \(Y\) 안에서 \(f(U)\)의 열린근방들 \(V\)의 모임에 대해 취한다. 이 여극한들은 유향 부분순서집합에 대해 취해진다. (\(f_p\mathcal{G}\)의 제한 사상은 증명에서 설명한다.)

증명

여극한은 \(f(U)\)를 포함하는 열린 부분집합 \(V \subset Y\)들로 이루어진 부분순서집합에 대해 취하며, 순서는 포함관계의 역순이다. \(V, V'\)가 그 안에 있으면 \(V \cap V'\)도 그 안에 있으므로 이는 유향 부분순서집합이다. 더 나아가 \(U_1 \subset U_2\)이면 \(f(U_2)\)의 모든 열린근방은 \(f(U_1)\)의 열린근방이다. 따라서 \(f_p\mathcal{G}(U_2)\)를 정의하는 계는 \(f_p\mathcal{G}(U_1)\)을 정의하는 계의 부분계이며, 제한 사상을 얻는다(예컨대 Categories, 보조정리 002K의 일반론을 적용한다).

여극한의 구성은 \(\mathcal{G}\)에 대해 분명히 함자적이고 제한 사상들도 마찬가지임을 주목하자. 따라서 \(f_p\)를 함자로 정의했다.

작지만 유용한 관찰로, 표준적인 사상 \(\mathcal{G}(U) \to f_p\mathcal{G}(f^{-1}(U))\)가 존재한다. 이는 \(f(f^{-1}(U))\)의 열린근방들의 계가 원소 \(U\)를 포함하기 때문이다. 이 사상은 제한 사상들과 양립한다. 달리 말하면 표준적인 사상 \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G}\)가 있다.

\(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. 집합의 준층의 사상 \(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 주어졌다고 하자. 이에 대응하는 사상 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)는 \(f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}\)이다.

또 하나의 작지만 유용한 관찰로, 표준적인 사상 \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)가 존재한다. 실제로 \(U \subset X\)가 열려 있다고 하자. \(Y\)에서 그 상을 포함하는 모든 열린근방 \(V \supset f(U)\)에 대해 사상 \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\to \mathcal{F}(U)\)가 존재하는데, 바로 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상이다. 이는 \(f(U)\)를 포함하는 여러 열린집합의 \(f^{-1}\) 위에서의 \(\mathcal{F}\)의 값들 사이의 제한 사상들과 양립한다. 따라서 표준적인 사상 \(f_p f_* \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\)를 얻는다. 또 하나의 자명한 확인으로 이 사상들이 제한 사상들과 양립하여 집합의 준층의 사상 \(c_\mathcal{F}\)를 정의함을 알 수 있다.

\(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)가 집합의 준층의 사상이라고 하자. \(f_p\varphi : f_p \mathcal{G} \to f_p f_* \mathcal{F}\)를 생각하자. 뒤에 \(c_\mathcal{F}\)를 합성하면 원하는 사상 \(c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 얻는다. 이 구성이 위에서 준 반대 방향의 구성의 역이라는 확인은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. \(x \in X\)라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 집합의 준층이라 하자. 줄기들의 표준적인 전단사 \((f_p\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}\)가 있다.

증명

이는 다음과 같이 알 수 있다. \[\begin{eqnarray*} (f_p\mathcal{G})_x & = & \colim_{x \in U} f_p\mathcal{G}(U) \\ & = & \colim_{x \in U} \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \colim_{f(x) \in V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \mathcal{G}_{f(x)} \end{eqnarray*}\] 여기서 Categories, 보조정리 002M와, \(f(x)\)를 포함하는 \(Y\)의 임의의 열린집합 \(V\)가 위의 세 번째 표현에 나타난다는 사실을 사용했다. 자세한 내용은 생략한다.

\(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 집합의 층이라 하자. 역상층 \(f^{-1}\mathcal{G}\)를 공식 \[f^{-1}\mathcal{G} = (f_p\mathcal{G})^\# .\] 으로 정의한다. 역상 \(f^{-1}\)은 층에 대한 직접상의 왼쪽 수반이다.

달리 말하면 \[\Mor_{\Sh(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\Sh(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 이다. 실제로 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\Sh(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PSh}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\Sh(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \end{eqnarray*}\] 이다. 첫 번째 등식에는 층화가 층을 준층에 포함하는 함자의 왼쪽 수반이라는 사실을 사용한다. 두 번째 등식에는 \(f_p\)가 준층에서 \(f_*\)의 왼쪽 수반이라는 사실을 사용한다. 보조정리 008K의 증명에서 이 명제로 돌아올 것이다.

보조정리

\(x \in X\)라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 집합의 층이라 하자. 줄기들의 표준적인 전단사 \((f^{-1}\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)}\)가 있다.

증명

이는 보조정리 007Z와 008G를 결합한 것이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. 함자 \((g \circ f)^{-1}\)과 \(f^{-1} \circ g^{-1}\)은 표준적으로 동형이다. 마찬가지로 준층에서 \((g \circ f)_p \cong f_p \circ g_p\)이다.

증명

수반함자가 유일한 동형사상을 제외하고 유일하다는 사실과 보조정리 008E를 사용하면 알 수 있다.

정의

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 집합의 층이라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 집합의 층이라 하자. \(f\)-사상 \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)이란 열린 부분집합 \(V \subset Y\)로 첨자화된 사상들의 모임 \(\xi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}(V))\)로서, 모든 열린집합 \(V' \subset V \subset Y\)에 대하여 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{G}(V) \ar[r]_{\xi_V} \ar[d]_{\text{restriction of }\mathcal{G}} & \mathcal{F}(f^{-1}V) \ar[d]^{\text{restriction of }\mathcal{F}} \\ \mathcal{G}(V') \ar[r]^{\xi_{V'}} & \mathcal{F}(f^{-1}V') }\] 이 가환하도록 하는 것이다.

문헌에서는 때때로 이를 보조정리 008K의 (4)처럼 다르게 정의하지만, 그 보조정리가 보여 주듯 실제 차이는 없다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. 다음 네 집합 사이에 전단사들이 있다.

1. 사상 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)들의 집합,

2. 사상 \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)들의 집합,

3. \(f\)-사상 \(\xi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)들의 집합, 그리고

4. 모든 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)로서 \(f(U) \subset V\)인 것들에 대한 사상 \(\xi_{U, V} : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)\)들의 모임 중에서 모든 제한 사상과 양립하는 것들의 집합.

이 전단사들은 \(\mathcal{F} \in \Sh(X)\)와 \(\mathcal{G} \in \Sh(Y)\)에 대해 함자적이다.

증명

층의 사상 \(a : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)는 정의상 \(Y\)의 각 열린집합 \(V\)에 사상 \(a_V : \mathcal{G}(V) \to f_*\mathcal{F}(V)\)를 대응시키는 규칙이며, \(f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(f^{-1}(V))\)이다. 따라서 적어도 그 “데이터”는 \(\mathcal{G}\)에서 \(\mathcal{F}\)로 가는 \(f\)-사상 \(\xi\)에 필요한 것과 정확히 일치한다. 집합 (1)과 (3)이 전단사임을 보이기 위해, \(a\)가 층의 사상인 것은 이에 대응하는 사상족 \(a_V\)가 정의 008J의 조건을 만족하는 것과 동치임을 관찰한다.

\(f^{-1}\mathcal{G}\)가 \(f_p\mathcal{G}\)의 층화임을 상기하자. 층화의 보편 성질에 의해 층의 사상 \(b : f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 주는 것은 준층의 사상 \(b_p : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 주는 것과 같다. 여기서 \(f_p\)는 이 절 앞부분에서 정의한 함자이다. 이러한 사상 \(b_p\)를 주려면 \(X\)의 각 열린집합 \(U\)에 대하여 제한 사상들과 양립하는 사상 \[b_{p, U} : \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] 을 지정해야 한다. 우리는 \(b_{p, U}\)를 \(Y\)에서 \(f(U) \subset V\)인 모든 열린집합 \(V\)에 대한 사상 \(b_{p, U, V} : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(U)\)들의 모임으로 보아도 되고 그렇게 본다. 이 사상들은 생각할 수 있는 모든 제한 사상과 양립해야 한다. 달리 말하면 \(b_p\)는 (4)와 같은 사상들의 모임에 대응함을 알 수 있다. 물론 역으로 그러한 모임은 사상 \(b_p\)를 정의하고, 따라서 사상 \(b : f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 정의한다.

보조정리의 증명을 끝내려면, (4)와 같은 모임 \(\xi_{U, V}\)에 \(\xi_V = \xi_{f^{-1}(V), V}\)인 \(f\)-사상 \(\xi\)를 대응시키는 “구조를 잊는” 규칙이 전단사임을 보여야 한다. 이를 위해 \(\xi\)가 보통의 \(f\)-사상이면 \(\tilde \xi_{U, V}\)를 \(\xi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}(V))\)에 제한 사상 \(\mathcal{F}(f^{-1}(V)) \to \mathcal{F}(U)\)를 합성한 것으로 정의한다.

이는 정확히 \(f(U) \subset V\), 즉 \(U \subset f^{-1}(V)\)이므로 말이 된다. 이로써 증명이 끝난다.

\(X\) 위 또는 \(Y\) 위의 층들 사이의 사상 대신 \(f\)-사상을 생각하는 것이 때때로 편리하다. \(f\)-사상의 합성을 다음과 같이 정의한다.

정의

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 층, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 층, \(\mathcal{H}\)를 \(Z\) 위의 층이라 하자. \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 \(f\)-사상이라 하고, \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\)를 \(g\)-사상이라 하자.

\(\varphi\)와 \(\psi\)의 합성은 다음 도식들의 가환성으로 정의되는 \((g \circ f)\)-사상 \(\varphi \circ \psi\)이다. \[\xymatrix{ \mathcal{H}(W) \ar[rr]_{(\varphi \circ \psi)_W} \ar[rd]_{\psi_W} & & \mathcal{F}(f^{-1}g^{-1}W) \\ & \mathcal{G}(g^{-1}W) \ar[ru]_{\varphi_{g^{-1}W}} }\]

이 정의가 잘 작동한다는 확인은 독자에게 맡긴다. 달리 생각하면 \(\varphi \circ \psi\)를 합성 \[\mathcal{H} \xrightarrow{\psi} g_*\mathcal{G} \xrightarrow{g_*\varphi} g_* f_* \mathcal{F} = (g \circ f)_* \mathcal{F}\] 으로 볼 수 있다. 이제 \(f\)-사상을 생각하는 편이 왠지 더 쉬워 보이지 않는가?

마지막으로 연속사상 \(f : X \to Y\)와 \(f\)-사상 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 주어졌을 때, 모든 \(x \in X\)에 대하여 줄기 위의 자연스러운 사상 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 이 있다. \(\mathcal{G}_{f(x)}\)의 원소를 나타내는 대표 \((V, s)\)의 상은 대표 \((f^{-1}V, \varphi_V(s))\)를 갖는 \(\mathcal{F}_x\)의 원소이다. 이것이 잘 정의됨을 확인하는 일은 독자에게 맡긴다. 달리 말하면, 이는 모든 열린집합 \(f(x) \in V \subset Y\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F}(f^{-1}V) \ar[r] & \mathcal{F}_x \\ \mathcal{G}(V) \ar[r] \ar[u]^{\varphi_V} & \mathcal{G}_{f(x)} \ar[u]^{\varphi_x} }\] 이 가환하도록 하는 유일한 사상이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 층, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 층, \(\mathcal{H}\)를 \(Z\) 위의 층이라 하자. \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 \(f\)-사상이라 하고, \(\psi : \mathcal{H} \to \mathcal{G}\)를 \(g\)-사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하자. 줄기 위의 사상 \((\varphi \circ \psi)_x : \mathcal{H}_{g(f(x))} \to \mathcal{F}_x\)는 합성 \[\mathcal{H}_{g(f(x))} \xrightarrow{\psi_{f(x)}} \mathcal{G}_{f(x)} \xrightarrow{\varphi_x} \mathcal{F}_x\] 이다.

증명

정의 008L와 위에서 정의한 줄기 위의 사상으로부터 즉시 따른다.

연속사상과 아벨층

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. 절 008C의 대응물과 비슷한 성질을 갖는 함자들 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PAb}(X) & \longrightarrow & \textit{PAb}(Y) \\ f_* : \textit{Ab}(X) & \longrightarrow & \textit{Ab}(Y) \\ f_p : \textit{PAb}(Y) & \longrightarrow & \textit{PAb}(X) \\ f^{-1} : \textit{Ab}(Y) & \longrightarrow & \textit{Ab}(X) \end{eqnarray*}\] 이 있다고 주장한다. 이를 보기 위해 다음과 같이 논증한다.

각 함자는 절 008C의 대응하는 함자와 같은 방식으로 구성할 것이다. 그 절의 모든 여극한이 유향 여극한이므로 이 방법이 작동한다(하지만 아래에서 그 과정을 살펴볼 것이다).

먼저 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 아벨 준층, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 아벨 준층이라 하고, 아벨군으로서 \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \\ f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \end{eqnarray*}\] 로 정의한다. 제한 사상들은 집합의 준층에 대한 제한 사상들과 같고, 모두 아벨군 준동형이다.

대응 \(\mathcal{F} \mapsto f_*\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G} \to f_p\mathcal{G}\)는 아벨군의 준층 범주 위의 함자이다.

이는 분명하다. 예를 들어 아벨 준층의 사상 \(\mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_2\)는 모든 사상이 준동형인 유향계의 사상 \(\{\mathcal{G}_1(V)\}_{f(U) \subset V} \to \{\mathcal{G}_2(V)\}_{f(U) \subset V}\)를 낳고, 따라서 아벨군 준동형 \(f_p\mathcal{G}_1(U) \to f_p\mathcal{G}_2(U)\)를 낳는다.

함자 \(f_*\)와 \(f_p\)는 아벨군의 준층 범주에서 수반이다. 즉, \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 이다. 이를 증명하기 위해, 보조정리 008F의 증명에 나오는 사상 \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p\mathcal{G}\)가 아벨 준층의 사상임을 주목하자. 따라서 \(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 아벨 준층의 사상이면, 이에 대응하는 사상 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)는 사상 \(f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}\)이고, 이 역시 아벨 준층의 사상이다.

반대 방향에 대해서는 보조정리 008F의 증명에 나오는 사상 \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)도 아벨 준층의 사상임을 지적한다(이는 모두 준동형인 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상들로 만들어지기 때문이다). 따라서 아벨 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)가 주어지면 사상 \(c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)도 아벨 준층의 사상이다. 구성들 \(\psi \mapsto f_*\psi\)와 \(\varphi \mapsto c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi\)는 집합의 준층의 사상에 대한 구성으로서 서로 역이므로, 아벨 준층의 사상에 대해서도 서로 역임을 알 수 있다.

\(\mathcal{F}\)가 \(Y\) 위의 아벨층이면 \(f_*\mathcal{F}\)는 \(X\) 위의 아벨층이다.

이는 아벨층의 정의와 집합의 층에 대해 이것이 참이라는 사실로부터 따른다. 보조정리 008D를 보라. 이로써 아벨층의 범주 위의 함자 \(f_*\)를 정의한다.

앞에서와 같이 \(f^{-1}\mathcal{G} = (f_p\mathcal{G})^\#\)로 정의한다. \(f_*\)와 \(f^{-1}\)의 수반성은 집합의 준층의 경우처럼 형식적으로 따른다. 그 논증은 다음과 같다. \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \end{eqnarray*}\]

보조정리

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자.

1. \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 아벨 준층이라 하고 \(x \in X\)라 하자. 보조정리 008G의 전단사 \(\mathcal{G}_{f(x)} \to (f_p\mathcal{G})_x\)는 아벨군의 동형사상이다.

2. \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위의 아벨층이라 하고 \(x \in X\)라 하자. 보조정리 008H의 전단사 \(\mathcal{G}_{f(x)} \to (f^{-1}\mathcal{G})_x\)는 아벨군의 동형사상이다.

증명

생략한다.

연속사상 \(f : X \to Y\)와 \(X\) 위의 아벨군의 층 \(\mathcal{F}\), \(Y\) 위의 아벨군의 층 \(\mathcal{G}\)가 주어지면, 아벨군의 층의 \(f\)-사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)이라는 개념이 의미를 갖는다. 정의 008J에서 집합의 사상을 아벨군의 준동형으로 바꾸어 정확히 같은 방식으로 정의할 수도 있고, 단순히 아벨층의 사상 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)와 같은 것이라고 말할 수도 있다. 아래에서는 이 개념을 자유롭게 사용할 것이다. \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}\) 사이의 \(f\)-사상들의 군은 군들 \(\Mor_{\textit{Ab}(X)}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 및 \(\Mor_{\textit{Ab}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\)와 표준적으로 전단사이다.

\(f\)-사상의 합성은 집합의 층의 \(f\)-사상의 경우와 정확히 같은 방식으로 정의한다. 더 나아가 위와 같은 \(f\)-사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 주어졌을 때 유도되는 줄기 위의 사상들 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 은 아벨군 준동형이다.

연속사상과 대수 구조의 층

\((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 유형이라 하자. 위상공간 \(X\)에 대하여 다음 표기를 도입한다.

1. \(\textit{PSh}(X, \mathcal{C})\)는 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층들의 범주이다.

2. \(\Sh(X, \mathcal{C})\)는 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층들의 범주이다.

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. 앞 절과 같은 논증으로, 아벨 (준)층에 대해 구성한 함자들과 같은 방식으로 구성되고 같은 성질을 갖는 함자들 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \\ f_* : \Sh(X, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \Sh(Y, \mathcal{C}) \\ f_p : \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \\ f^{-1} : \Sh(Y, \mathcal{C}) & \longrightarrow & \Sh(X, \mathcal{C}) \end{eqnarray*}\] 이 있음을 알 수 있다. 특히 가환도식 \[\xymatrix{ \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_*} \ar[d]^F & \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \ar[d]^F & \Sh(X, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_*} \ar[d]^F & \Sh(Y, \mathcal{C}) \ar[d]^F \\ \textit{PSh}(X) \ar[r]^{f_*} & \textit{PSh}(Y) & \Sh(X) \ar[r]^{f_*} & \Sh(Y) \\ \textit{PSh}(Y, \mathcal{C}) \ar[r]^{f_p} \ar[d]^F & \textit{PSh}(X, \mathcal{C}) \ar[d]^F & \Sh(Y, \mathcal{C}) \ar[r]^{f^{-1}} \ar[d]^F & \Sh(X, \mathcal{C}) \ar[d]^F \\ \textit{PSh}(Y) \ar[r]^{f_p} & \textit{PSh}(X) & \Sh(Y) \ar[r]^{f^{-1}} & \Sh(X) }\] 들이 있다.

기억해야 할 주된 공식들은 다음과 같다. \[\begin{eqnarray*} f_*\mathcal{F}(V) & = & \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \\ f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ f^{-1}\mathcal{G} & = & (f_p\mathcal{G})^\# \\ (f_p\mathcal{G})_x & = & \mathcal{G}_{f(x)} \\ (f^{-1}\mathcal{G})_x & = & \mathcal{G}_{f(x)} \end{eqnarray*}\] 각 공식은 범주 \(\mathcal{C}\)에서 성립하고, 바탕 집합을 취하면 집합의 준층에 대한 대응하는 공식을 얻는다는 성질을 갖는다. 또한 수반 성질 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{PSh}(X, \mathcal{C})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PSh}(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}) \\ \Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\Sh(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 들이 있다. 이를 증명하는 주된 단계는 보조정리 008F의 증명에 나오는 사상들 \[i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \longrightarrow f_*f_p\mathcal{G}\] 과 \[c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 을 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층들의 사상으로 구성하는 것이다. 그 구성은 집합의 준층의 경우와 정확히 같으므로 독자에게 맡겨도 안전하다.

연속사상 \(f : X \to Y\)와 \(X\) 위의 대수 구조의 층 \(\mathcal{F}\), \(Y\) 위의 대수 구조의 층 \(\mathcal{G}\)가 주어지면 대수 구조의 층의 \(f\)-사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)이라는 개념이 의미를 갖는다. 정의 008J에서 집합의 사상을 \(\mathcal{C}\)의 사상으로 바꾸어 정확히 같은 방식으로 정의할 수도 있고, 단순히 대수 구조의 층의 사상 \(\mathcal{G} \to f_*\mathcal{F}\)와 같은 것이라고 말할 수도 있다. 아래에서는 이 개념을 자유롭게 사용할 것이다. \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}\) 사이의 \(f\)-사상들의 집합은 집합들 \(\Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 및 \(\Mor_{\Sh(Y, \mathcal{C})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\)와 표준적으로 전단사이다.

\(f\)-사상의 합성은 집합의 층의 \(f\)-사상의 경우와 정확히 같은 방식으로 정의한다. 더 나아가 위와 같은 \(f\)-사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 주어졌을 때 유도되는 줄기 위의 사상들 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 은 대수 구조의 준동형이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(X\) 위의 대수 구조의 층 \(\mathcal{F}\)와 \(Y\) 위의 대수 구조의 층 \(\mathcal{G}\)가 주어졌다고 하자. \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 바탕 집합의 층들의 \(f\)-사상이라 하자. 모든 열린집합 \(V \subset Y\)에 대하여 집합의 사상 \(\varphi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)\)가 \(\mathcal{C}\)의 어떤 사상이 바탕 집합에 미치는 작용이면, \(\varphi\)는 대수 구조의 층들 사이의 유일한 \(f\)-사상으로부터 온다.

증명

생략한다.

연속사상과 가군의 층

가군의 층의 경우는 더 복잡하다. 그 이유는 역상 함자와 직접상 함자를 정의하는 자연스러운 무대가 아래에서 정의할 환 달린 공간이기 때문이다. 먼저 몇 가지 자명한 보조정리를 서술한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 준층이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이라 하자. 바탕 집합의 준층들의 자연스러운 사상 \[f_*\mathcal{O} \times f_*\mathcal{F} \longrightarrow f_*\mathcal{F}\] 이 있으며, 이는 \(f_*\mathcal{F}\)를 \(f_*\mathcal{O}\)-가군의 준층으로 만든다. 이 구성은 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이다.

증명

\(V \subset Y\)가 열려 있다고 하자. 보조정리의 사상을 사상

\[f_*\mathcal{O}(V) \times f_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{O}(f^{-1}V) \times \mathcal{F}(f^{-1}V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V) = f_*\mathcal{F}(V).\] 으로 정의한다. 여기서 가운데 화살표는 \(X\) 위의 곱셈 사상이다.

이것이 제한 사상들과 양립하고 \(f_*\mathcal{F}\) 위에 \(f_*\mathcal{O}\)-가군 구조를 정의함을 확인하는 것은 독자에게 맡긴다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(Y\) 위의 환의 준층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이라 하자. 바탕 집합의 준층들의 자연스러운 사상 \[f_p\mathcal{O} \times f_p\mathcal{G} \longrightarrow f_p\mathcal{G}\] 이 있으며, 이는 \(f_p\mathcal{G}\)를 \(f_p\mathcal{O}\)-가군의 준층으로 만든다. 이 구성은 \(\mathcal{G}\)에 대해 함자적이다.

증명

\(U \subset X\)가 열려 있다고 하자. 보조정리의 사상을 사상

\[\begin{eqnarray*} f_p\mathcal{O}(U) \times f_p\mathcal{G}(U) & = & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{O}(V) \times \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & \colim_{f(U) \subset V} (\mathcal{O}(V)\times \mathcal{G}(V)) \\ & \to & \colim_{f(U) \subset V} \mathcal{G}(V) \\ & = & f_p\mathcal{G}(U). \end{eqnarray*}\] 으로 정의한다. 여기서 가운데 화살표는 \(Y\) 위의 곱셈 사상이다. 두 번째 등식은 유향 여극한이 유한 극한과 가환하기 때문에 성립한다. Categories, 보조정리 002W를 보라. 이것이 제한 사상들과 양립하고 \(f_p\mathcal{G}\) 위에 \(f_p\mathcal{O}\)-가군 구조를 정의함을 확인하는 것은 독자에게 맡긴다.

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)를 \(X\) 위의 환의 준층이라 하고 \(\mathcal{O}_Y\)를 \(Y\) 위의 환의 준층이라 하자. 현재 함자들 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_p : \textit{PMod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_p\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] 을 정의했다. 이들은 다음과 같은 양립성을 만족한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(Y\) 위의 환의 준층, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층, \(\mathcal{F}\)를 \(f_p\mathcal{O}\)-가군의 준층이라 하자. 그러면 \[\Mor_{\textit{PMod}(f_p\mathcal{O})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 이다. 여기서 보조정리 008T와 008S를 사용하며, \(f_*\mathcal{F}\)를 사상 \(i_\mathcal{O} : \mathcal{O} \to f_*f_p\mathcal{O}\)를 통한 \(\mathcal{O}\)-가군으로 본다(이 사상은 보조정리 008F의 증명에서 처음 정의했다).

증명

절 008N에 따라 \[\Mor_{\textit{PAb}(X)}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PAb}(Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 이다. 따라서 이 대응 아래에서 가군 사상들의 부분집합이 대응함을 증명해야 한다. 또한 이 대응은 규칙 \[(\psi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F}) \longmapsto (f_*\psi \circ i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F})\] 과 반대 방향의 규칙 \[(\varphi : \mathcal{G} \to f_* \mathcal{F}) \longmapsto (c_\mathcal{F} \circ f_p\varphi : f_p\mathcal{G} \to \mathcal{F})\] 으로 결정된다. 여기서 \(i_\mathcal{G}\)와 \(c_\mathcal{F}\)는 절 008N에서와 같다. 따라서 \(f_*\)와 \(f_p\)의 함자성을 사용하면, 사상들 \(i_\mathcal{G} : \mathcal{G} \to f_* f_p \mathcal{G}\)와 \(c_\mathcal{F} : f_p f_* \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)가 가군 구조와 양립함을 확인하는 것으로 충분하다. 이 확인은 독자에게 맡긴다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 준층, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층, \(\mathcal{G}\)를 \(f_*\mathcal{O}\)-가군의 준층이라 하자. 그러면 \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{p, f_pf_*\mathcal{O}} f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 이다. 여기서 보조정리 008T와 008S를 사용하고, 텐서곱의 정의에서 사상 \(c_\mathcal{O} : f_pf_*\mathcal{O} \to \mathcal{O}\)를 사용한다.

증명

이는 등식들 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{p, f_pf_*\mathcal{O}} f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_pf_*\mathcal{O})}( f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}}) \\ & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*(\mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}})) \\ & = & \Mor_{\textit{PMod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 로부터 따른다. 첫 번째 등식은 보조정리 006R이고, 두 번째 등식은 보조정리 008U이다. 세 번째 등식은 \(f_*\mathcal{O}\)-선형인 아벨층들의 등식 \(f_*(\mathcal{F}_{f_pf_*\mathcal{O}}) = f_*\mathcal{F}\)로 주어진다.

실제로 보조정리 008F의 증명에서 설명한 수반 아래에서 \(\text{id}_{f_*\mathcal{O}}\)는 \(c_\mathcal{O}\)에 대응하고, 따라서 \(\text{id}_{f_*\mathcal{O}} = f_*c_\mathcal{O} \circ i_{f_*\mathcal{O}}\)이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 층이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이라 하자. 보조정리 008S에서 정의한 직접상 \(f_*\mathcal{F}\)는 \(f_*\mathcal{O}\)-가군의 층이다.

증명

정의와 보조정리 008D로부터 자명하다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(Y\) 위의 환의 층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이라 하자. 바탕 집합의 준층들의 자연스러운 사상 \[f^{-1}\mathcal{O} \times f^{-1}\mathcal{G} \longrightarrow f^{-1}\mathcal{G}\] 이 있으며, 이는 \(f^{-1}\mathcal{G}\)를 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-가군의 층으로 만든다.

증명

\(f^{-1}\)이 함자 \(f_p\)와 층화의 합성으로 정의됨을 상기하자. 따라서 이 보조정리는 보조정리 008T와 보조정리 0089를 결합한 것이다.

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)를 \(X\) 위의 환의 층이라 하고 \(\mathcal{O}_Y\)를 \(Y\) 위의 환의 층이라 하자. 이제 함자들 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] 을 정의했다. 이들은 다음과 같은 양립성을 만족한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(Y\) 위의 환의 층, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 층, \(\mathcal{F}\)를 \(f^{-1}\mathcal{O}\)-가군의 층이라 하자. 그러면 \[\Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 이다. 여기서 보조정리 008X과 008W을 사용하고, \(f_*\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O} \to f_*f^{-1}\mathcal{O}\)를 통한 제한에 의해 \(\mathcal{O}\)-가군으로 본다.

증명

등식들 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O})}(f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(f_p\mathcal{O})}(f_p\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 로 논증한다. 여기서 두 번째 등식은 보조정리 008U이고 첫 번째 등식은 보조정리 0089에 의한 것이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 층, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}\)-가군의 층, \(\mathcal{G}\)를 \(f_*\mathcal{O}\)-가군의 층이라 하자. 그러면 \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Mor_{\textit{Mod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 이다. 여기서 보조정리 008X과 008W을 사용하고, 텐서곱의 정의에서 표준적인 사상 \(f^{-1}f_*\mathcal{O} \to \mathcal{O}\)를 사용한다.

증명

이는 등식들 \[\begin{eqnarray*} \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}( \mathcal{O} \otimes_{f^{-1}f_*\mathcal{O}} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}f_*\mathcal{O})}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}f_*\mathcal{O}}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(f_*\mathcal{O})}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 로부터 따르며, 이는 보조정리 008A와 008Y를 결합한 것이다.

\(f : X \to Y\)를 연속사상이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)를 \(X\) 위의 환의 (준)층이라 하고 \(\mathcal{O}_Y\)를 \(Y\) 위의 환의 (준)층이라 하자. 현재 함자들 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{PMod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f_*\mathcal{O}_X) \\ f_p : \textit{PMod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{PMod}(f_p\mathcal{O}_Y) \\ f^{-1} : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y) \end{eqnarray*}\] 을 정의했다. 일반적으로 가군의 층 위의 함자쌍 \((f_*, f^{-1})\)은 그 표적 범주들이 일치하지 않으므로 분명 수반이 아니다. 즉, 위에서 본 것처럼 어떤 기적에 의해 환의 층 \(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_Y\)가 관계 \(\mathcal{O}_X = f^{-1}\mathcal{O}_Y\)와 \(\mathcal{O}_Y = f_*\mathcal{O}_X\)를 만족할 때만 작동한다. 이는 실제로 거의 결코 참이 아니다. 가군의 층 위에서 적절한 수반함자쌍이 존재하게 하는 올바른 사상 개념을 정의하기 위해 논의를 잠시 중단한다.

환 달린 공간

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(\mathcal{O}_X\)를 \(X\) 위의 환의 층이라 하자. 환의 층 \(\mathcal{O}_X\)를 \(X\) 위의 함수들의 층으로 생각해야 한다. 또한 \(f : X \to Y\)가 “적절한” 사상이면 \(Y\) 위의 함수는 합성에 의해 \(X\) 위의 함수가 된다. 따라서 \(\mathcal{O}_Y\)에서 \(\mathcal{O}_X\)로 가는 자연스러운 \(f\)-사상이 있어야 한다. 정의 008J과 보조정리 008K을 보라. 구체적인 예는 아래의 예 0092을 보라. 관련된 추상적 정의는 다음과 같다.

정의

환 달린 공간은 위상공간 \(X\)와 \(X\) 위의 환의 층 \(\mathcal{O}_X\)로 이루어진 쌍 \((X, \mathcal{O}_X)\)이다. 환 달린 공간의 사상 \((X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)은 연속사상 \(f : X \to Y\)와 환의 층들의 \(f\)-사상 \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)로 이루어진 쌍이다.

예

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속사상이라 하자. \(X\) 위와 \(Y\) 위의 실수값 연속함수들의 층 \(\mathcal{C}^0_X\)와 \(\mathcal{C}^0_Y\)를 생각하자. 예 0074를 보라.

\(f\)에 딸린 자연스러운 \(f\)-사상 \(f^\sharp : \mathcal{C}^0_Y \to \mathcal{C}^0_X\)가 있다고 주장한다. 실제로 이를 단순히 규칙 \[\begin{eqnarray*} \mathcal{C}^0_Y(V) & \longrightarrow & \mathcal{C}^0_X(f^{-1}V) \\ h & \longmapsto & h \circ f \end{eqnarray*}\] 으로 정의한다. 엄밀히 말하면 \(f^\sharp(h) = h \circ f|_{f^{-1}(V)}\)라고 써야 한다. 이것이 정의 008J에서와 같은 사상족이며 \(\mathbf{R}\)-대수 구조들과 양립함은 분명하다. 따라서 이는 \(\mathbf{R}\)-대수의 층들의 \(f\)-사상이다. 보조정리 008Q를 보라.

물론 기하학적인 유형의 사상에 딸린 표준적인 환 달린 공간의 사상이 존재하는 상황은 이 밖에도 많다. 예를 들어 \(M\), \(N\)이 \(\mathcal{C}^\infty\)-다양체이고 \(f : M \to N\)이 무한번 미분 가능한 사상이면, \(f\)는 표준적인 환 달린 공간의 사상 \((M, \mathcal{C}_M^\infty) \to (N, \mathcal{C}^\infty_N)\)을 유도한다. 위와 동일한 이 구성은 독자에게 맡긴다.

환 달린 공간의 사상을 합성하는 방법이 완전히 분명하지 않을 수도 있으므로 여기에서 상세히 적는다.

정의

\((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)와 \((g, g^\sharp) : (Y, \mathcal{O}_Y) \to (Z, \mathcal{O}_Z)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 환 달린 공간의 사상의 합성을 규칙 \[(g, g^\sharp) \circ (f, f^\sharp) = (g \circ f, f^\sharp \circ g^\sharp).\] 으로 정의한다. 여기서 정의 008L에서 정의한 \(f\)-사상의 합성을 사용한다.

환 달린 공간의 사상과 가군

이제 환 달린 공간의 사상을 따라 가군을 역상과 직접상으로 보내는 것을 정의하기에 충분한 표기를 도입했다.

정의

\((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 직접상을 아벨군의 층으로서는 \(f_*\mathcal{F}\)와 같고, 그 가군 구조는 보조정리 008W에서 준 가군 구조를 \(f^\sharp : \mathcal{O}_Y \to f_*\mathcal{O}_X\)를 통해 제한하여 얻는 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층으로 정의한다.

2. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층이라 하자. 역상 \(f^*\mathcal{G}\)를 공식 \[f^*\mathcal{G} = \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}\] 으로 정의되는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 한다. 여기서 환 사상 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)는 \(f^\sharp\)에 대응하는 사상이고, 가군 구조는 보조정리 008X로 주어진다.

따라서 함자들 \[\begin{eqnarray*} f_* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) \\ f^* : \textit{Mod}(\mathcal{O}_Y) & \longrightarrow & \textit{Mod}(\mathcal{O}_X) \end{eqnarray*}\] 을 정의했다. 이 함자들에 대한 마지막 결과는 예상대로 실제로 수반이라는 것이다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층이라 하자. 표준적인 전단사 \[\Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}).\] 가 있다. 달리 말하면 함자 \(f^*\)는 \(f_*\)의 왼쪽 수반이다.

증명

이는 앞에서 한 작업으로부터 따른다. \[\begin{eqnarray*} \Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F}) & = & \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}( \mathcal{O}_X \otimes_{f^{-1}\mathcal{O}_Y} f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \\ & = & \Mor_{\textit{Mod}(f^{-1}\mathcal{O}_Y)}( f^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}_{f^{-1}\mathcal{O}_Y}) \\ & = & \Hom_{\mathcal{O}_Y}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F}). \end{eqnarray*}\] 여기서 보조정리 008A와 008Y를 사용한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 함자 \((g \circ f)_*\)와 \(g_* \circ f_*\)는 같다. 함자들의 표준적인 동형사상 \((g \circ f)^* \cong f^* \circ g^*\)가 있다.

증명

직접상에 대한 결과는 보조정리 008E와 우리의 정의들로부터 따른다. 역상에 대한 결과는 보조정리 008I의 증명과 같은 논증으로 이로부터 따른다.

환 달린 공간의 사상 \((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)와 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\), 그리고 \(Y\) 위의 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층 \(\mathcal{G}\)가 주어지면 가군의 층의 \(f\)-사상 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\) 이라는 개념이 의미를 갖는다. 이를 모든 열린집합 \(V \subset Y\)에 대해 사상 \[\mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] 이 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-가군 사상이 되는 아벨층의 \(f\)-사상 \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)로 정의하면 된다 (정의 008J과 보조정리 008K을 보라). 여기서 \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\)를 사상 \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V)\)를 통한 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-가군으로 본다. \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}\) 사이의 \(f\)-사상들의 집합은 집합들 \(\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_X)}(f^*\mathcal{G}, \mathcal{F})\) 및 \(\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}_Y)}(\mathcal{G}, f_*\mathcal{F})\)와 표준적으로 전단사이다. 위를 보라.

\(f\)-사상의 합성은 집합의 층의 \(f\)-사상의 경우와 정확히 같은 방식으로 정의한다. 더 나아가 위와 같은 \(f\)-사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)와 \(x \in X\)가 주어졌을 때 유도되는 줄기 위의 사상 \[\varphi_x : \mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 은 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-가군 사상이다. 여기서 \(\mathcal{F}_x\) 위의 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)-가군 구조는 사상 \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\)를 통해 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 구조로부터 온다. 관련된 보조정리는 다음과 같다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층이라 하고 \(x \in X\)라 하자. 그러면 오른쪽 텐서곱에서 \(f^\sharp_x : \mathcal{O}_{Y, f(x)} \to \mathcal{O}_{X, x}\)를 사용할 때, \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군으로서 \[(f^*\mathcal{G})_x = \mathcal{G}_{f(x)} \otimes_{\mathcal{O}_{Y, f(x)}} \mathcal{O}_{X, x}\] 이다.

증명

이는 보조정리 008B와, \(x\)에서의 역상층의 줄기를 \(f(x)\)에서의 대응하는 줄기와 동일시하는 것으로부터 따른다. 예를 들어 절 008P의 공식들을 보라.

마천루층과 줄기

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자.

1. \(x \in X\)를 점이라 하고, 포함 사상을 \(i_x : \{x\} \to X\)로 나타내자.

   \(A\)를 집합이라 하고 \(A\)를 한 점 공간 \(\{x\}\) 위의 층으로 생각하자. \(i_{x, *}A\)를 \(x\)에서 값이 \(A\)인 마천루층이라 한다.

2. 위의 (1)에서 \(A\)가 아벨군이면 \(i_{x, *}A\)를 \(X\) 위의 아벨군의 층으로 생각한다.

3. 위의 (1)에서 \(A\)가 대수 구조이면 \(i_{x, *}A\)를 대수 구조의 층으로 생각한다.

4. \((X, \mathcal{O}_X)\)가 환 달린 공간이면 \(i_x : \{x\} \to X\)를 환 달린 공간의 사상 \((\{x\}, \mathcal{O}_{X, x}) \to (X, \mathcal{O}_X)\)로 생각한다. \(A\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이면 \(i_{x, *}A\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층으로 생각한다.

5. \(X\)의 점 \(x\)와 집합 \(A\)가 존재하여 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\)이면 집합의 층 \(\mathcal{F}\)를 마천루층이라 한다.

6. \(X\)의 점 \(x\)와 아벨군 \(A\)가 존재하여 아벨군의 층으로서 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\)이면 아벨군의 층 \(\mathcal{F}\)를 마천루층이라 한다.

7. \(X\)의 점 \(x\)와 대수 구조 \(A\)가 존재하여 대수 구조의 층으로서 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\)이면 대수 구조의 층 \(\mathcal{F}\)를 마천루층이라 한다.

8. \((X, \mathcal{O}_X)\)가 환 달린 공간이고 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층일 때, 점 \(x \in X\)와 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 \(A\)가 존재하여 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층으로서 \(\mathcal{F} \cong i_{x, *}A\)이면 \(\mathcal{F}\)를 마천루층이라 한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간, \(x \in X\)를 점, \(A\)를 집합이라 하자. 임의의 점 \(x' \in X\)에 대하여 \(x\)에서 값이 \(A\)인 마천루층의 \(x'\)에서의 줄기는 \[(i_{x, *}A)_{x'} = \left\{ \begin{matrix} A & \text{if} & x' \in \overline{\{x\}} \\ \{*\} & \text{if} & x' \not\in \overline{\{x\}} \end{matrix} \right.\] 이다. 아벨군, 대수 구조, 가군의 층의 경우에도 비슷한 기술이 성립한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(x \in X\)를 점이라 하자.

함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\)와 \(A \mapsto i_{x, *}A\)는 수반이다. 공식으로는 \[\Mor_{\textit{Sets}}(\mathcal{F}_x, A) = \Mor_{\Sh(X)}(\mathcal{F}, i_{x, *}A).\] 이다. 아벨군과 대수 구조의 경우에도 비슷한 명제가 성립한다.

가군의 층의 경우에는 \[\Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x, A) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, i_{x, *}A).\] 이다.

증명

생략한다. 힌트: 줄기 함자는 사상 \(i_x : \{x\} \to X\)에 대한 역상 함자로 볼 수 있다. 그러면 수반성은 \(i_x^{-1}\)과 \(i_{x, *}\)의 수반성(가군의 층의 경우에는 각각 \(i_x^*\)와 \(i_{x, *}\)의 수반성)으로부터 따른다.

준층의 극한과 여극한

\(X\)를 위상공간이라 하자. 도표 \(\mathcal{I} \to \textit{PSh}(X)\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\)가 주어졌다고 하자.

1. \(\lim_i \mathcal{F}_i\)와 \(\colim_i \mathcal{F}_i\)가 모두 존재한다.

2. 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \[(\lim_i \mathcal{F}_i)(U) = \lim_i \mathcal{F}_i(U)\] 이고 \[(\colim_i \mathcal{F}_i)(U) = \colim_i \mathcal{F}_i(U).\]

3. \(x \in X\)를 점이라 하자. 일반적으로 \(\lim_i \mathcal{F}_i\)의 \(x\)에서의 줄기는 줄기들의 극한과 같지 않다. 그러나 지표범주가 유한하면 같다. 다시 말해 줄기 함자는 좌완전이다(Categories, 정의 0034를 보라).

4. \(x \in X\)라 하자. 항상 \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}.\] 이다.

증명은 모두 쉽다.

층의 극한과 여극한

\(X\)를 위상공간이라 하자. 도표 \(\mathcal{I} \to \Sh(X)\), \(i \mapsto \mathcal{F}_i\)가 주어졌다고 하자.

1. \(\lim_i \mathcal{F}_i\)와 \(\colim_i \mathcal{F}_i\)가 모두 존재한다.

2. 포함 함자 \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\)는 극한과 가환한다. 다시 말해 층의 범주에서의 극한을 준층의 범주에서의 극한으로 계산할 수 있다. 특히 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \[(\lim_i \mathcal{F}_i)(U) = \lim_i \mathcal{F}_i(U).\] 이다.

3. 포함 함자 \(i : \Sh(X) \to \textit{PSh}(X)\)는 일반적으로 여극한과 가환하지 않는다(유한 여극한과도 가환하지 않는다—전사사상을 생각하라). 여극한은 준층의 범주에서의 여극한을 층화하여 계산한다: \[\colim_i \mathcal{F}_i = \Big(U \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(U)\Big)^\#.\]

4. \(x \in X\)를 점이라 하자. 일반적으로 \(\lim_i \mathcal{F}_i\)의 \(x\)에서의 줄기는 줄기들의 극한과 같지 않다. 그러나 지표범주가 유한하면 같다. 다시 말해 줄기 함자는 좌완전이다.

5. \(x \in X\)라 하자. 항상 \[(\colim_i \mathcal{F}_i)_x = \colim_i \mathcal{F}_{i, x}.\] 이다.

6. 층화 함자 \({}^\# : \textit{PSh}(X) \to \Sh(X)\)는 모든 여극한 및 유한 극한과 가환하지만 모든 극한과 가환하지는 않는다.

증명은 모두 쉽다. 다음은 층의 유향 여극한에 대해 성립하는 명제의 한 예이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하고 \(I\)를 유향 집합이라 하자. \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ii'})\)를 \(I\) 위의 집합의 층들의 계라 하자. Categories, Section 002Z를 보라. \(U \subset X\)를 열린 부분집합이라 하자. 표준 사상 \[\Psi : \colim_i \mathcal{F}_i(U) \longrightarrow \left(\colim_i \mathcal{F}_i\right)(U)\] 을 생각하자.

1. 모든 전이 사상이 단사이면 임의의 열린집합 \(U\)에 대하여 \(\Psi\)는 단사이다.

2. \(U\)가 준콤팩트이면 \(\Psi\)는 단사이다.

3. \(U\)가 준콤팩트이고 모든 전이 사상이 단사이면 \(\Psi\)는 동형사상이다.

4. \(U\)가 열린 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{j\in J} U_j\)들의 공종계를 가지며, \(J\)가 유한하고 모든 \(j, j' \in J\)에 대하여 \(U_j \cap U_{j'}\)가 준콤팩트이면 \(\Psi\)는 전단사이다.

증명

모든 전이 사상이 단사라고 가정하자. 이 경우 준층 \(\mathcal{F}' : V \mapsto \colim_i \mathcal{F}_i(V)\)는 분리되어 있다 (정의 007A를 보라). 위의 논의에 의해 \((\mathcal{F}')^\# = \colim_i \mathcal{F}_i\)이다. 보조정리 0082에 의해 \(\mathcal{F}' \to (\mathcal{F}')^\#\)가 단사임을 알 수 있다. 이로써 (1)이 증명된다.

\(U\)가 준콤팩트라고 가정하자. \(s \in \mathcal{F}_i(U)\)와 \(s' \in \mathcal{F}_{i'}(U)\)가 왼쪽의 원소들을 주며, 이 원소들이 \(\Psi\)에 의해 같은 상으로 간다고 하자. \(U\)가 준콤팩트이므로 이는 유한 열린 덮개 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)가 존재하고 각 \(j\)마다 지표 \(i_j \in I\), \(i_j \geq i\), \(i_j \geq i'\)가 존재하여 \(\varphi_{ii_j}(s)\)와 \(\varphi_{i'i_j}(s')\)의 \(U_j\)로의 제한이 같다는 뜻이다. 모든 \(i_j\)에 대해 \(\geq\)인 \(i''\in I\)를 택하자. 모든 \(j\)에 대하여 \(\varphi_{ii''}(s)\)와 \(\varphi_{i'i''}(s')\)가 열린집합 \(U_j\) 위에서 일치하므로 \(\varphi_{ii''}(s) = \varphi_{i'i''}(s')\)이다. 이로써 (2)가 증명된다.

\(U\)가 준콤팩트이고 모든 전이 사상이 단사라고 가정하자. \(s\)를 \(\Psi\)의 공역의 원소라 하자. \(U\)가 준콤팩트이므로 유한 열린 덮개 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)가 존재하고, 각 \(j\)마다 지표 \(i_j \in I\)와 \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\)가 존재하여 모든 \(j\)에 대하여 \(s|_{U_j}\)가 \(s_j\)에서 온다. 모든 \(i_j\)에 대해 \(\geq\)인 \(i \in I\)를 택하자. (1)에 의해 각 절단 \(\varphi_{i_ji}(s_j)\)는 교집합 \(U_j \cap U_{j'}\) 위에서 일치한다. 따라서 이들은 \(s' \in \mathcal{F}_i(U)\)인 절단으로 붙고, 이 절단은 \(\Psi\)에 의해 \(s\)로 간다. 이로써 (3)이 증명된다.

(4)의 가정을 하자. 특히 \(U\)는 준콤팩트이므로 (2)에 의해 \(\Psi\)는 단사이다. \(s\)를 \(\Psi\)의 공역의 원소라 하자. 가정에 의해 유한 열린 덮개 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)가 존재하며, 모든 \(j, j' \in J\)에 대하여 \(U_j \cap U_{j'}\)는 준콤팩트이고, 각 \(j\)마다 지표 \(i_j \in I\)와 \(s_j \in \mathcal{F}_{i_j}(U_j)\)가 존재하여 모든 \(j\)에 대해 \(s|_{U_j}\)는 \(s_j\)의 상이다. \(U_j \cap U_{j'}\)가 준콤팩트이므로 (2)를 적용할 수 있고, \(i_{jj'} \in I\)가 존재하여 \(i_{jj'} \geq i_j\), \(i_{jj'} \geq i_{j'}\)이며 \(\varphi_{i_ji_{jj'}}(s_j)\)와 \(\varphi_{i_{j'}i_{jj'}}(s_{j'})\)가 \(U_j \cap U_{j'}\) 위에서 일치함을 알 수 있다. 모든 \(i_{jj'}\) 이상인 지표 \(i \in I\)를 택하자. 그러면 \(\mathcal{F}_i\)의 절단들 \(\varphi_{i_ji}(s_j)\)가 \(U\) 위의 \(\mathcal{F}_i\)의 절단으로 붙는다. 이 절단은 요구한 대로 원소 \(s\)로 간다.

예

\(X = \{s_1, s_2, \xi_1, \xi_2, \xi_3, \ldots\}\)를 집합이라 하자. 부분집합 \(U \subset X\)가 열린집합이라는 것을, \(s_1 \in U\) 또는 \(s_2 \in U\)이면 \(U\)가 모든 \(\xi_i\)를 포함한다는 것으로 정의하자. \(U_n = \{\xi_n, \xi_{n + 1}, \ldots\}\)라 하고, \(j_n : U_n \to X\)를 포함 사상이라 하자. \(\mathcal{F}_n = j_{n, *}\underline{\mathbf{Z}}\)라 놓자. 전이 사상 \(\mathcal{F}_n \to \mathcal{F}_{n + 1}\)이 있다. \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_n\)이라 놓자. \(\{\xi_m\}\)은 \(U_n\)과 만나지 않는 \(X\)의 열린 부분집합이므로 \(m < n\)이면 \(\mathcal{F}_{n, \xi_m} = 0\)임에 유의하라. 따라서 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{F}_{\xi_n} = 0\)임을 알 수 있다. 한편 \(i = 1, 2\)일 때 줄기 \(\mathcal{F}_{s_i}\)는 여극한 \[M = \colim_n \prod\nolimits_{m \geq n} \mathbf{Z}\] 이고, 이는 영이 아니다. 따라서 층 \(\mathcal{F}\)는 닫힌점 \(s_1\)과 \(s_2\)에서 값이 \(M\)인 마천루층들의 직합이다. 따라서 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) = M \oplus M\)이다. 한편 독자는 \(\colim_n \Gamma(X, \mathcal{F}_n) = M\)임을 확인할 수 있다. 따라서 위의 보조정리 009F의 (4)에는 어떤 조건이 필요하다.

앞 보조정리에는 스펙트럴 공간들의 도표 위의 층을 다루는 판본이 있다. 이를 진술하기 위해 몇 가지 표기를 도입하자. \(\mathcal{I}\)를 쌍대여과 지표범주라 하자. \(i \mapsto X_i\)를 \(\mathcal{I}\) 위의 스펙트럴 공간들의 도표라 하고, \(\mathcal{I}\)의 \(a : j \to i\)에 대응하는 사상 \(f_a : X_j \to X_i\)가 스펙트럴 사상이라고 하자. \(X = \lim X_i\)라 놓고 \(p_i : X \to X_i\)를 사영사상이라 하자.

보조정리

위의 상황에서 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)라 하고 \(\mathcal{G}\)를 \(X_i\) 위의 층이라 하자. 준콤팩트 열린집합 \(U_i \subset X_i\)에 대하여 \[p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{G}(f_a^{-1}(U_i))\] 이다.

증명

표준 사상 \(\colim_{a : j \to i} f_a^{-1}\mathcal{G}(f_a^{-1}(U_i)) \to p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i))\)가 단사임을 증명하자. 어떤 \(a : j \to i\)에 대하여 \(s, s'\)를 \(f_a^{-1}(U_i)\) 위의 \(f_a^{-1}\mathcal{G}\)의 절단이라 하자. \(b : k \to j\)에 대하여 \(Z_k \subset f_{a \circ b}^{-1}(U_i)\)를, \(s\)와 \(s'\)의 상이 줄기 \((f_{a \circ b}^{-1}\mathcal{G})_x\)에서 서로 다른 점 \(x\)들의 닫힌 부분집합이라 하자. 모든 \(b : k \to j\)에 대하여 \(Z_k\)가 비어 있지 않다면 Topology, Lemma 0A2W에 의해 \(\lim_{b : k \to j} Z_k\)도 비어 있지 않음을 알 수 있다. 그러면 \(x \in \lim_{b : k \to j} Z_k \subset X\)에 대하여 (\(\mathcal{I}/j \to \mathcal{I}\)가 초기임에 유의하라) 위의 모든 \(b : k \to j\)에 대해

\((p_i^{-1}\mathcal{G})_x = (f_{b \circ a}^{-1}\mathcal{G})_{p_k(x)}\) 이므로 \(s\)와 \(s'\)의 상은 \(p_i^{-1}\mathcal{G}\)의 \(x\)에서의 줄기에서도 서로 다르다. 따라서 \(s\)와 \(s'\)의 상이 \(p_i^{-1}\mathcal{G}(p_i^{-1}(U_i))\)에서 같다면 어떤 \(b : k \to j\)에 대하여 \(Z_k\)는 공집합이다. 이로써 단사성이 증명된다.

전사성을 보이자. \(s\)를 \(p_i^{-1}(U_i)\) 위의 \(p_i^{-1}\mathcal{G}\)의 절단이라 하자. Topology, Lemma 0A2Z에 의해 집합 \(p_i^{-1}(U_i)\)는 스펙트럴 공간 \(X\)의 준콤팩트 열린집합이다. 역상층의 구성에 의해 열린 덮개 \(p_i^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_l\), 열린집합 \(V_{l, i} \subset X_i\), 절단 \(s_{l, i} \in \mathcal{G}(V_{l, i})\)를 찾을 수 있어서 \(p_i(W_l) \subset V_{l, i}\)이고 \(p_i^{-1}s_{l, i}|_{W_l} = s|_{W_l}\)이다. \(X\)와 \(X_i\)가 스펙트럴이고 \(p_i^{-1}(U_i)\)가 준콤팩트 열린집합이므로 \(L\)이 유한하며 모든 \(l\)에 대하여 \(W_l\)과 \(V_{l, i}\)가 준콤팩트 열린집합이라고 가정할 수 있다. 그러면 Topology, Lemma 0A30를 적용하여 \(a : j \to i\)와 준콤팩트 열린집합들에 의한 열린 덮개 \(f_a^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_{l, j}\)를 찾을 수 있다. 이 덮개의 \(X\)로의 역상은 덮개 \(p_i^{-1}(U_i) = \bigcup_{l \in L} W_l\)이고, 또한 \(W_{l, j} \subset f_a^{-1}(V_{l, i})\)이다. \(s_{l, j}\)를 \(s_{l, i}\)의 \(f_a\)에 의한 역상을 \(W_{l, j}\)로 제한한 것으로 쓰자. 그러면 \(s_{l, j}\)와 \(s_{l', j}\)는 \((f_a^{-1}\mathcal{G})(W_{l, j} \cap W_{l', j})\)의 원소들로 제한되며, 그 역상들은 \((p_i^{-1}\mathcal{G})(W_l \cap W_{l'})\)의 같은 원소, 즉 \(s\)의 제한이 된다. 따라서 단사성에 의해, 절단들 \(f_b^{-1}s_{l, j}\)가 요구한 대로 \(f_{a \circ b}^{-1}(U_i)\) 위의 절단으로 붙게 하는 \(b : k \to j\)를 찾을 수 있다.

다음으로 스펙트럴 공간들의 쌍대여과계 \(X_i\)에 더하여 다음이 주어졌다고 가정하자.

1. 모든 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)에 대하여 \(X_i\) 위의 층 \(\mathcal{F}_i\),

2. \(a : j \to i\)에 대하여 \(f_a\)-사상 \(\varphi_a : \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_j\).

\(c = a \circ b\)일 때마다 \(\varphi_c = \varphi_b \circ \varphi_a\)라고 가정하자. \(X\) 위에서 \(\mathcal{F} = \colim p_i^{-1}\mathcal{F}_i\)라 놓자.

보조정리

위의 상황에서 \(i \in \Ob(\mathcal{I})\)라 하고 \(U_i \subset X_i\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. 그러면 \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(f_a^{-1}(U_i)) = \mathcal{F}(p_i^{-1}(U_i))\] 이다.

증명

\(p_i^{-1}(U_i)\)가 스펙트럴 공간 \(X\)의 준콤팩트 열린집합임을 상기하라. Topology, Lemma 0A2Z를 보라. 따라서 보조정리 009F를 적용할 수 있고 \[\mathcal{F}(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} p_j^{-1}\mathcal{F}_j(p_i^{-1}(U_i)).\] 이다. 형식적인 논증으로 \[\colim_{a : j \to i} \mathcal{F}_j(f_a^{-1}(U_i)) = \colim_{a : j \to i} \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(f_{a \circ b}^{-1}(U_i))\] 임을 알 수 있다. 따라서 \[p_j^{-1}\mathcal{F}_j(p_i^{-1}(U_i)) = \colim_{b : k \to j} f_b^{-1}\mathcal{F}_j(f_{a \circ b}^{-1}(U_i))\] 임을 보이면 충분하다. 이는 \(\mathcal{F}_j\)와 준콤팩트 열린집합 \(f_a^{-1}(U_i)\)에 적용한 보조정리 0A32이다.

기저와 층

때로는 일반적인 열린집합보다 다루기 쉬운 열린집합들로 이루어진 위상의 기저가 존재한다. 이러한 상황에서 (준)층을 다루기 쉽도록 몇 가지 정의와 간단한 보조정리를 편의를 위해 제시한다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자.

1. \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 준층 \(\mathcal{F}\)란 각 \(U \in \mathcal{B}\)에 집합 \(\mathcal{F}(U)\)를 대응시키고, \(\mathcal{B}\)의 원소들의 각 포함관계 \(V \subset U\)에 사상 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)를 대응시키는 규칙으로서, 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\)이고, \(\mathcal{B}\)에서 \(W \subset V \subset U\)일 때마다 \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\)인 것을 말한다.

2. \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이란 각 원소 \(U \in \mathcal{B}\)에 제한 사상들과 가환하는 집합의 사상

   \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)를 대응시키는 규칙이다.

보통의 준층의 경우와 마찬가지로 절단, 절단의 제한 등의 용어를 쓴다. 특히 점 \(x \in X\)에서 \(\mathcal{F}\)의 줄기를 여극한 \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] 으로 정의할 수 있다. \(X\) 위의 준층의 줄기와 마찬가지로 이 극한은 유향이다. 이는 \(U\in \mathcal{B}\), \(x \in U\)인 열린집합들의 모임이 \(x\)의 열린 근방의 기본계를 이루기 때문이다.

\(X\) 위의 준층이라는 개념이 \(X\)의 위상의 기저 위의 준층이라는 개념과 매우 다름을 보여 주는 예를 만들기는 쉽다. 층의 경우에는 이런 일이 일어나지 않는다. 따라서 다음 개념이 훨씬 더 유용하다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자.

1. \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 층 \(\mathcal{F}\)란 다음 추가 성질을 만족하는 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 준층이다. 임의의 \(U \in \mathcal{B}\)와 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 임의의 덮개 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\), 그리고 \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\)인 임의의 덮개 \(U_i \cap U_j = \bigcup_{k \in I_{ij}} U_{ijk}\)가 주어졌을 때 다음 층 조건이 성립한다.

   • 절단들의 임의의 모임 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\), \(i \in I\)가 주어져서 \(\forall i, j\in I\), \(\forall k\in I_{ij}\)에 대해 \[s_i|_{U_{ijk}} = s_j|_{U_{ijk}}\] 이면, 모든 \(i \in I\)에 대하여 \(s_i = s|_{U_i}\)가 되는 유일한 절단 \(s \in \mathcal{F}(U)\)가 존재한다.

2. \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 층의 사상은 단순히 집합의 준층의 사상이다.

먼저 층 조건 \((**)\)을 덮개들의 공종계에서 확인하는 것으로 충분함을 설명하자. 정의의 상황에서 \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. 잠시 \(\text{Cov}_\mathcal{B}(U)\)를 \(\mathcal{B}\)의 원소들에 의한 \(U\)의 모든 덮개들의 집합이라 쓰자. \(\text{Cov}_\mathcal{B}(U)\)는 세분에 의해 전순서가 주어짐에 유의하라. 부분집합 \(C \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\)가 공종계라는 것은, 모든 \(\mathcal{U} \in \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\)에 대하여 \(\mathcal{U}\)를 세분하는 덮개 \(\mathcal{V} \in C\)가 존재한다는 뜻이다.

보조정리

위의 표기를 사용하자. 각 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(C(U) \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\)를 공종계라 하자. 각 \(U \in \mathcal{B}\)와 \(C(U)\) 안의 각 \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\)에 대하여 덮개 \(\mathcal{U}_{ij} : U_i \cap U_j = \bigcup U_{ijk}\), \(U_{ijk} \in \mathcal{B}\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 준층이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 준층 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{B}\) 위의 층이다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)와 \(C(U)\) 안의 모든 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\)에 대하여 층 조건 \((**)\)이 성립한다 (주어진 덮개들 \(\mathcal{U}_{ij}\)에 대하여).

증명

(2)가 (1)을 함의함을 보이면 된다. \(U \in \mathcal{B}\)라 하고 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i\in I} U_i\)를 \(\mathcal{B}\)의 원소들에 의한 임의의 덮개라 하자. 계 \(C(U)\)가 공종이므로 \(\mathcal{U}\)를 세분하는 \(C(U)\)의 원소 \(\mathcal{V} : U = \bigcup_{j \in J} V_j\)를 찾을 수 있다. 이는 \(V_j \subset U_{\alpha(j)}\)가 되게 하는 사상 \(\alpha : J \to I\)가 존재한다는 뜻이다.

\(s, s' \in \mathcal{F}(U)\)가 \(s|_{U_i} = s'|_{U_i}\)인 절단들이면 \[s|_{V_j} = (s|_{U_{\alpha(j)}})|_{V_j} = (s'|_{U_{\alpha(j)}})|_{V_j} = s'|_{V_j}\] 가 모든 \(j\)에 대하여 성립함에 유의하라. 따라서 덮개 \(\mathcal{V}\)에 대한 \((**)\)의 유일성으로부터 \(s = s'\)임을 얻는다. 이로써 임의의 덮개 \(\mathcal{U}\)에 대한 \((**)\)의 유일성 부분을 증명했다.

더 나아가 \(U_{ii'k} \in \mathcal{B}\)에 의한 \(U_i \cap U_{i'} = \bigcup_{k \in I_{ii'}} U_{ii'k}\)가 임의의 덮개들이라 하자. 계 \((\mathcal{U}, \mathcal{U}_{ij})\)에 대한 \((**)\)의 존재성 부분을 증명해 보자. 즉 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)라 하고 \[s_i|_{U_{ii'k}} = s_{i'}|_{U_{ii'k}}\] 가 모든 \(i, i', k\)에 대해 성립한다고 하자. 위의 \(\mathcal{V}\)와 \(\alpha\)에 대하여 \(t_j = s_{\alpha(j)}|_{V_j}\)라 놓자.

여기서 논증에는 작은 난점이 하나 있다. 보조정리의 명제로 주어진 덮개를 \(\mathcal{V}_{jj'} : V_j \cap V_{j'} = \bigcup_{l \in J_{jj'}} V_{jj'l}\)라 하자. 모든 \(j, j', l\)에 대하여 \[t_j|_{V_{jj'l}} = t_{j'}|_{V_{jj'l}}\] 임은 선험적으로 분명하지 않다. 이를 보려면, 원소들의 족 \(s_i\)에 대한 가정으로부터 모든 \(k \in I_{\alpha(j)\alpha(j')}\)에 대해 \[t_j|_W = t_{j'}|_W \text{ for all } W \in \mathcal{B}, W \subset V_{jj'l} \cap U_{\alpha(j)\alpha(j')k}\] 임에 유의하라. 또한 \(V_j \cap V_{j'} \subset U_{\alpha(j)} \cap U_{\alpha(j')}\)이므로 \(t_j|_{V_{jj'l}}\)와 \(t_{j'}|_{V_{jj'l}}\)는 \(\mathcal{B}\)의 원소들에 의한 \(V_{jj'l}\)의 한 덮개의 각 원소 위에서 일치한다. 따라서 위에서 증명한 유일성 부분에 의해 마침내 \(t_j|_{V_{jj'l}}\)와 \(t_{j'}|_{V_{jj'l}}\)가 같다는 원하는 결론을 얻는다. 이제 \((\mathcal{V}, \mathcal{V}_{jj'})\)에 대한 성질 \((**)\)에 의해 원소 \(t \in \mathcal{F}(U)\)가 존재한다.

다시 작은 난점이 있다. \(t\)가 \(V_j\)에서 \(t_j\)로 제한됨은 알지만, \(t\)가 \(U_i\)에서 \(s_i\)로 제한됨은 아직 모른다. 이를 결론내기 위해 집합들 \(U_i \cap V_j\), \(j \in J\)가 \(U_i\)를 덮는다는 것에 유의하라. 따라서 \(U_{i \alpha(j) k} \cap V_j\), \(j\in J\), \(k \in I_{i\alpha(j)}\)도 \(U_i\)를 덮는다. 이 열린집합들 중 하나에 포함되는 임의의 \(W \in \mathcal{B}\) 위에서 \(t\)와 \(s_i\)가 \(\mathcal{F}\)의 같은 절단으로 제한됨을 확인하는 것은 독자에게 맡긴다. 그 열린집합은 \(U_{i \alpha(j) k} \cap V_j\), \(j\in J\), \(k \in I_{i\alpha(j)}\) 중 하나이다. 따라서 위에서 본 유일성 부분에 의해 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(U' \subset U\) 및 \(U'' \subset U\)인 모든 세 원소 \(U, U', U'' \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(U' \cap U'' \in \mathcal{B}\)라고 가정하자. 각 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(C(U) \subset \text{Cov}_\mathcal{B}(U)\)를 공종계라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 준층이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 준층 \(\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{B}\) 위의 층이다.

2. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)와 \(C(U)\) 안의 모든 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup U_i\), 그리고 \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\)인 모든 절단들의 족 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)에 대하여, \(U_i\)에서 \(s_i\)로 제한되는 유일한 절단 \(s \in \mathcal{F}(U)\)가 존재한다.

증명

이는 각 덮개 \(\mathcal{U}_{ij}\)가 하나의 원소로 이루어진 특별한 경우에 대한 위 보조정리 009K의 재진술이다. 그러나 이 경우는 훨씬 쉬우며 직접 푸는 것도 간단한 연습문제이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 층이라 하자. 사상 \[\mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\] 은 \(\mathcal{F}(U)\)를 다음 성질을 가진 원소들 \((s_x)_{x\in U}\)와 동일시한다.

• 임의의 \(x \in U\)에 대하여 \(x \in V \subset U\)인 \(V \in \mathcal{B}\)와 절단 \(\sigma \in \mathcal{F}(V)\)가 존재하여, 모든 \(y \in V\)에 대해 \(\mathcal{F}_y\) 안에서 \(s_y = (V, \sigma)\)이다.

증명

먼저 사상 \(\mathcal{F}(U) \to \prod\nolimits_{x \in U} \mathcal{F}_x\)는 정의 009J의 층 조건의 유일성에 의해 단사이다. 오른쪽에서 \((*)\)를 만족하는 임의의 원소 \((s_x)\)를 택하자. 이는 분명히 \(U = \bigcup U_i\), \(U_i \in \mathcal{B}\)인 덮개를 찾아서 \((s_x)_{x \in U_i}\)가 어떤 \(\sigma_i \in \mathcal{F}(U_i)\)에서 오게 할 수 있다는 뜻이다. 모든 \(y \in U_i \cap U_j\)에 대하여 절단 \(\sigma_i\)와 \(\sigma_j\)는 줄기 \(\mathcal{F}_y\)에서 일치한다. 따라서 \(\sigma_i|_{V_{ijy}} = \sigma_j|_{V_{ijy}}\)가 되는 \(y \in V_{ijy}\)인 원소 \(V_{ijy} \in \mathcal{B}\)가 존재한다. 그러므로 정의 009J의 층 조건 \((**)\)을 \(\sigma_i\)들의 계에 적용하여 원하는 성질을 가진 절단 \(s \in \mathcal{F}(U)\)를 얻는다.

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(X\) 위의 집합의 층들의 범주에서 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 층들의 범주로 가는 자연스러운 제한 함자가 있다. 이 함자는 사실 범주의 동치이다. 구체적으로 이는 다음을 뜻한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 층이라 하자. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 제한 사상들과 가환하게 \(\mathcal{F}^{ext}(U) = \mathcal{F}(U)\)인 \(X\) 위의 유일한 집합의 층 \(\mathcal{F}^{ext}\)가 존재한다.

증명

먼저 원하는 성질을 가진 준층 \(\mathcal{F}^{ext}\)를 구성하자. 즉 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(\mathcal{F}^{ext}(U)\)를 보조정리 009M의 \((*)\)를 만족하는 원소들 \((s_x)_{x \in U}\)의 집합으로 정의한다. 명백한 제한 사상들에 의해 \(\mathcal{F}^{ext}\)는 집합의 준층이 된다. 또한 보조정리 009M에 의해 \(U\)가 기저 \(\mathcal{B}\)의 원소일 때마다 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}^{ext}(U)\)임을 알 수 있다. \(\mathcal{F}^{ext}\)가 층임을 보이려면 보조정리 007Y의 증명과 같이 논증하면 된다.

보조정리의 상황에서 \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] 임에 유의하라. 이는 \(x\)를 포함하는 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 모임이 \(x\)의 열린 근방의 기본계를 이루기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자.

\(\Sh(\mathcal{B})\)로 \(\mathcal{B}\) 위의 층들의 범주를 나타내자. 다음 범주의 동치가 있다. \[\Sh(X) \longrightarrow \Sh(\mathcal{B})\] 이 동치는 \(X\) 위의 층에 그 층을 \(\mathcal{B}\)의 원소들로 제한한 것을 대응시킨다.

증명

역함자는 위의 보조정리 009N에서 주어진다. 명백한 함자성의 확인은 독자에게 맡긴다.

이로써 기저 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 층에 대한 논의를 마친다. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 한 유형이라 하자. 이 절의 끝에서는 위 구성들이 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층에도 적용됨을 지적하고자 한다. 관련된 개념들을 간단히 정의하자.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 한 유형이라 하자.

1. \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층 \(\mathcal{F}\)란 각 \(U \in \mathcal{B}\)에 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(\mathcal{F}(U)\)를 대응시키고, \(\mathcal{B}\)의 원소들의 각 포함관계 \(V \subset U\)에 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(\rho^U_V : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)를 대응시키는 규칙으로서, 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(\rho^U_U = \text{id}_{\mathcal{F}(U)}\)이고 \(\mathcal{B}\)에서 \(W \subset V \subset U\)일 때마다 \(\rho^U_W = \rho^V_W \circ \rho ^U_V\)인 것을 말한다.

2. \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이란 각 원소 \(U \in \mathcal{B}\)에 제한 사상들과 가환하는 대수 구조의 사상

   \(\varphi : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)를 대응시키는 규칙이다.

3. \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층 \(\mathcal{F}\)가 주어졌을 때 \(U \mapsto F(\mathcal{F}(U))\)를 집합의 바탕 준층이라 한다.

4. \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층 \(\mathcal{F}\)란 그 집합의 바탕 준층이 층인, \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층이다.

이제 \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층의 \(x \in X\)에서의 줄기를 유향 여극한 \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] 으로 정의할 수 있다. 이는 \(\mathcal{C}\)에 대한 우리의 가정으로 인해 \(\mathcal{C}\)의 대상으로 존재한다. 또한 \(\mathcal{F}_x\)의 바탕집합은 \(\mathcal{B}\) 위의 집합의 바탕 준층의 줄기임을 알 수 있다.

보조정리들 009K, 009L 및 009M는 연관된 집합의 준층으로 정의한 층 성질을 언급한다. 따라서 이 보조정리들은 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 준층이라는 개념으로 변경 없이 일반화된다. 보조정리 009N의 유사 명제에는 약간의 주의가 필요하다.

그 명제는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 한 유형이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층이라 하자. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 제한 사상들과 가환하게 \(\mathcal{F}^{ext}(U) = \mathcal{F}(U)\)인, \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 유일한 층 \(\mathcal{F}^{ext}\)가 존재한다.

증명

쌍 \((\mathcal{C}, F)\)에 부과한 조건에 의해 집합의 바탕 준층의 수준에서 올바르게 작동하는 준층 \(\mathcal{F}^{ext}\)를 찾는 것으로 충분하다. 따라서 우리의 첫 과제는 모든 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 적절한 대상 \(\mathcal{F}^{ext}(U)\)를 구성하는 것이다. 이는 \(\mathcal{B}\) 위의 준층의 맥락에서 보조정리 0084를 모방하여 할 수 있다. 그러나 약간 다르지만 본질적으로 동치인 다음 방법을 쓰자. 이를 \(U_i \in \mathcal{B}\)인 모든 덮개 \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i\in I} U_i\)에 걸쳐 섬유곱들의 유향 여극한 \[\mathcal{F}^{ext}(U) := \colim_\mathcal{U} FIB(\mathcal{U})\] 으로 정의한다. 여기서 섬유곱은 \[\xymatrix{ FIB(\mathcal{U}) \ar[r] \ar[d] & \prod\nolimits_{x\in U} \mathcal{F}_x \ar[d] \\ \prod\nolimits_{i\in I} \mathcal{F}(U_i) \ar[r] & \prod\nolimits_{i \in I} \prod\nolimits_{x\in U_i} \mathcal{F}_x }\] 이다. 보조정리 007P과 예 007Q을 보라. 통상적인 논증에 의해, 바탕집합에 대한 이 구성이 위의 \((**)\)를 사용한 정의와 같음을 보이면 충분하다. 세부사항은 독자에게 맡긴다.

보조정리의 상황에서 \(\mathcal{C}\)의 대상들로서 \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] 임에 유의하라. 이는 \(x\)를 포함하는 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 모임이 \(x\)의 열린 근방의 기본계를 이루기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 한 유형이라 하자.

\(\Sh(\mathcal{B}, \mathcal{C})\)로 \(\mathcal{B}\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층들의 범주를 나타내자. 다음 범주의 동치가 있다. \[\Sh(X, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(\mathcal{B}, \mathcal{C})\] 이 동치는 \(X\) 위의 층에 그 층을 \(\mathcal{B}\)의 원소들로 제한한 것을 대응시킨다.

증명

역함자는 위의 보조정리 009Q에서 주어진다. 명백한 함자성의 확인은 독자에게 맡긴다.

마지막으로 기저 위의 가군의 (준)층의 경우를 다룬다. 기저 위의 집합의 준층들의 범주가 곱을 가지며, 이 곱은 기저의 원소에서의 값들의 곱을 취하는 것으로 기술된다는 쉬운 사실을 사용할 것이다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{B}\) 위의 환의 준층이라 하자.

1. \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층 \(\mathcal{F}\)란 \(\mathcal{B}\) 위의 아벨군의 준층과 집합의 준층의 사상 \(\mathcal{O} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)를 합친 것으로서, 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 사상 \(\mathcal{O}(U) \times \mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(U)\)가 군 \(\mathcal{F}(U)\)를 \(\mathcal{O}(U)\)-가군으로 만드는 것을 말한다.

2. \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층의 사상 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이란 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(\mathcal{O}(U)\)-가군 준동형 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U)\)을 유도하는 \(\mathcal{B}\) 위의 아벨 준층의 사상이다.

3. \(\mathcal{O}\)가 \(\mathcal{B}\) 위의 환의 층이라고 하자. \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)란 그 바탕 아벨군의 준층이 층인 \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이다.

\(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층의 \(x \in X\)에서의 줄기를 유향 여극한 \[\mathcal{F}_x = \colim_{U\in \mathcal{B}, x\in U} \mathcal{F}(U).\] 으로 정의할 수 있다. 이는 \(\mathcal{O}_x\)-가군이다.

보조정리들 009K, 009L 및 009M는 연관된 집합의 준층으로 정의한 층 성질을 언급한다. 따라서 이 보조정리들은 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이라는 개념으로 변경 없이 일반화된다. 보조정리 009N의 유사 명제는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(\mathcal{B}\) 위의 환의 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이라 하자. \(\mathcal{O}^{ext}\)를 \(\mathcal{O}\)를 확장하는 \(X\) 위의 환의 층이라 하고, \(\mathcal{F}^{ext}\)를 \(\mathcal{F}\)를 확장하는 \(X\) 위의 아벨층이라 하자. 보조정리 009Q를 보라. \(\mathcal{B}\)의 원소들 위에서 주어진 사상과 일치하며 \(\mathcal{F}^{ext}\)에 \(\mathcal{O}^{ext}\)-가군 구조를 부여하는 표준 사상 \[\mathcal{O}^{ext} \times \mathcal{F}^{ext} \longrightarrow \mathcal{F}^{ext}\] 이 존재한다.

증명

집합의 준층의 수준에서 곱셈 사상을 구성하면 충분하다. 이를 보는 아마 가장 쉬운 방법은 \((f_x)_{x \in U}\), \(f_x \in \mathcal{O}_x\)와 \((m_x)_{x \in U}\), \(m_x \in \mathcal{F}_x\)가 \((*)\)를 만족하면 원소 \((f_xm_x)_{x \in U}\)도 \((*)\)를 만족함을 직접 증명하는 것이다. 그러면 원하는 결과를 얻는다. 실제로 보조정리 009N의 증명에서 확장을 \((*)\)를 만족하는 줄기의 원소들의 족을 사용하여 구성하기 때문이다.

보조정리의 상황에서 \(\mathcal{O}_x\)-가군으로서 \[\mathcal{F}_x = \mathcal{F}_x^{ext}\] 임에 유의하라. 이는 \(x\)를 포함하는 \(\mathcal{B}\)의 원소들의 모임이 \(x\)의 열린 근방의 기본계를 이루기 때문이거나, 단순히 바탕집합에 대해 참이기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 층이라 하자.

\(\textit{Mod}(\mathcal{O}|_\mathcal{B})\)로 \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{O}|_\mathcal{B}\)-가군의 층들의 범주를 나타내자. 다음 범주의 동치가 있다. \[\textit{Mod}(\mathcal{O}) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O}|_\mathcal{B})\] 이 동치는 \(X\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 층에 그 층을 \(\mathcal{B}\)의 원소들로 제한한 것을 대응시킨다.

증명

역함자는 위의 보조정리 009T에서 주어진다. 명백한 함자성의 확인은 독자에게 맡긴다.

마지막으로 이 논의와 연속 사상 사이의 관계를 다룬다. 위의 작업 덕분에 이는 이제 매우 쉽다. 먼저 공역에 기저가 주어진 경우를 다룬다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속 사상이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 한 유형이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(Y\)의 위상의 기저라 하자. 모든 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 제한 사상들과 가환하는 \(\mathcal{C}\)의 사상 \[\varphi_V : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] 이 주어졌다고 하자. 그러면 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 \(\varphi_V\)를 복원하는 유일한 \(f\)-사상 (정의 008J 및 Section 008P의 \(f\)-사상에 대한 논의를 보라) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재한다.

증명

이 사상들의 모임은 \(\mathcal{G}\)와 \(f_*\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\)로 제한한 것 사이의 사상을 주는 것과 같으므로 자명하다. 보조정리 009R에 의해 이는 \(\mathcal{G}\)에서 \(f_*\mathcal{F}\)로 가는 사상을 주는 것과 같고, 보조정리 008K에 의해 다시 \(f\)-사상을 주는 것과 같다. 대수 구조의 층의 경우를 다루는 방법에 대해서는 보조정리 008Q와 그 앞의 논의도 보라.

환 달린 공간에 대한 유사 명제는 다음과 같다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층이라 하자. \(\mathcal{B}\)를 \(Y\)의 위상의 기저라 하자. 모든 \(V \in \mathcal{B}\)에 대하여 제한 사상들과 가환하는 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-가군 사상 \[\varphi_V : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(f^{-1}V)\] 이 주어졌다고 하자(여기서 \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\)는 \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V)\)를 사용한 가군 구조를 갖는다). 그러면 \(V \in \mathcal{B}\)에 대해 \(\varphi_V\)를 복원하는 유일한 \(f\)-사상 (Section 0094의 \(f\)-사상에 대한 논의를 보라) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재한다.

증명

위의 대수 구조의 층에 대한 대응하는 보조정리의 증명과 같다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 위상공간들의 연속 사상이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 대수 구조의 한 유형이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(Y\) 위에서 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층이라 하자. \(\mathcal{B}_Y\)를 \(Y\)의 위상의 기저라 하고, \(\mathcal{B}_X\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. 모든 \(V \in \mathcal{B}_Y\) 및 \(f(U) \subset V\)인 \(U \in \mathcal{B}_X\)에 대하여 제한 사상들과 가환하는 \(\mathcal{C}\)의 사상 \[\varphi_V^U : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] 이 주어졌다고 하자. 그러면 위와 같은 모든 쌍 \((U, V)\)에 대하여 합성 \[\mathcal{G}(V) \xrightarrow{\varphi_V} \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \xrightarrow{\text{restr.}} \mathcal{F}(U)\] 으로 \(\varphi_V^U\)를 복원하는 유일한 \(f\)-사상 (정의 008J 및 Section 008P의 \(f\)-사상에 대한 논의를 보라) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재한다.

증명

우선 집합의 층에 대해 이를 증명하자. \(V \subset Y\)를 열린집합으로 고정하고 \(s \in \mathcal{G}(V)\)를 택하자. 원소 \(\varphi_V(s) \in \mathcal{F}(f^{-1}V)\)를 구성할 것이다. 모든 \(x \in f^{-1}V\)에 대하여 \(x \in U \subset f^{-1}V\)인 \(U \in \mathcal{B}_X\)를 택하여 줄기 \(\mathcal{F}_x\) 안의 값 \(\varphi(s)_x\)를 정의할 수 있다. 구체적으로 \(\varphi(s)_x\)를 \((U, \varphi_V^U(s))\)의 동치류로 놓는다. 변하는 \(U\)에 대한 사상들 \(\varphi_V^U\)가 층 \(\mathcal{F}\)의 제한들과 가환하므로 족 \((\varphi(s)_x)_{x \in f^{-1}V}\)는 분명히 조건 \((*)\)를 만족한다. 따라서 보조정리 009N의 증명에 의해 \((\varphi(s)_x)_{x \in f^{-1}V}\)는 \(\mathcal{F}(f^{-1}V)\)의 유일한 원소 \(\varphi_V(s)\)에 대응한다. 이로써 집합 사상 \(\varphi_V : \mathcal{G}(V) \to \mathcal{F}(f^{-1}V)\)를 정의했다. \(\varphi_V\)와 \(\varphi_V^U\) 사이의 가환성은 보조정리 009M로부터 따른다.

\(V \in \mathcal{B}_Y\)를 변화시킬 때 \(\varphi_V\)의 구성이 제한 사상들과 가환함을 보이는 것은 독자에게 맡긴다. 따라서 위의 보조정리 009V를 적용하여 이들을 원하는 \(f\)-사상으로 ‘붙일’ 수 있다.

마지막으로 이렇게 구성한 집합의 층의 사상이 줄기 위에서 주는 사상 \[\mathcal{G}_{f(x)} \longrightarrow \mathcal{F}_x\] 은 \(V \in \mathcal{B}_Y\)가 \(f(x)\)를 포함하는 원소들 사이에서 변하고 \(U \in \mathcal{B}_X\)가 \(x\)를 포함하는 원소들 사이에서 변할 때의 사상들 \(\varphi_V^U\)의 여극한이라는 성질을 만족함에 유의하라. 특히 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}\)가 대수 구조의 층들의 집합의 바탕 층이면,

줄기 위의 사상들이 대수 구조의 사상임을 알 수 있다. 따라서 연관된 집합의 바탕 층의 사상 \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)는 보조정리 008Q의 가정을 만족한다. 그러므로 \(f^{-1}\mathcal{G} \to \mathcal{F}\)는 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 층들의 사상이다. 수반성에 의해 이는 \(\varphi\)가 대수 구조의 층들의 \(f\)-사상이라는 뜻이다.

보조정리

\((f, f^\sharp) : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층이라 하자. \(\mathcal{B}_Y\)를 \(Y\)의 위상의 기저라 하고, \(\mathcal{B}_X\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. 모든 \(V \in \mathcal{B}_Y\) 및 \(f(U) \subset V\)인 \(U \in \mathcal{B}_X\)에 대하여 제한 사상들과 가환하는 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-가군 사상 \[\varphi_V^U : \mathcal{G}(V) \longrightarrow \mathcal{F}(U)\] 이 주어졌다고 하자. 여기서 \(\mathcal{F}(U)\) 위의 \(\mathcal{O}_Y(V)\)-가군 구조는 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군 구조와 사상 \(f^\sharp_V : \mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(f^{-1}V) \to \mathcal{O}_X(U)\)로부터 온다. 그러면 위와 같은 모든 쌍 \((U, V)\)에 대하여 합성 \[\mathcal{G}(V) \xrightarrow{\varphi_V} \mathcal{F}(f^{-1}(V)) \xrightarrow{\text{restr.}} \mathcal{F}(U)\] 으로 \(\varphi_V^U\)를 복원하는 유일한 가군의 층의 \(f\)-사상 (정의 008J 및 Section 0094의 \(f\)-사상에 대한 논의를 보라) \(\varphi : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)가 존재한다.

증명

위와 비슷하므로 생략한다.

열린 몰입과 (준)층

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합 \(U\)의 \(X\)로의 포함사상이라 하자. Section 008C에서 \(j_*\)가 \(j^{-1}\)의 오른쪽 수반이 되도록 함자 \(j_*\)와 \(j^{-1}\)을 정의했다. 열린 몰입의 경우에는 \(j^{-1}\)에 왼쪽 수반도 있음이 밝혀지며, 이를 \(j_!\)로 나타낼 것이다. 먼저 열린 몰입의 경우 \(j^{-1}\)이 특히 간단하게 기술됨을 지적하자.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합 \(U\)의 \(X\)로의 포함사상이라 하자.

1. \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 집합의 준층이라 하자. 준층 \(j_p\mathcal{G}\) (Section 008C 참조)는 열린집합 \(V \subset U\)에 대해 \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\)라는 규칙으로 주어진다.

2. \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 집합의 층이라 하자. 층 \(j^{-1}\mathcal{G}\)는 열린집합 \(V \subset U\)에 대해 \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\)라는 규칙으로 주어진다.

3. 임의의 점 \(u \in U\)와 \(X\) 위의 임의의 층 \(\mathcal{G}\)에 대해 줄기의 표준적 동일시 \[j^{-1}\mathcal{G}_u = (\mathcal{G}|_U)_u = \mathcal{G}_u.\] 가 성립한다.

4. \(U\) 위의 준층의 범주에서 \(j_pj_* = \text{id}\)이다.

5. \(U\) 위의 층의 범주에서 \(j^{-1}j_* = \text{id}\)이다.

아벨 군의 (준)층, 대수 구조의 (준)층, 그리고 가군의 (준)층에도 같은 기술이 성립한다.

증명

\(j_p\mathcal{G}(V)\)의 정의에 나오는 여극한은 \(V \subset W\)를 만족하는 모든 열린집합 \(W \subset X\)의 모임을 역포함관계로 순서 지은 것 위에서 취한다. 따라서 이 모임에는 최대 원소, 곧 \(V\)가 있다. 이것이 (1)을 증명한다. \(\mathcal{G}\)가 층이면 열린집합 \(V \subset U\)에 \(V \mapsto \mathcal{G}(V)\)를 대응시키는 것이 분명히 층이므로 (2)도 따른다. \(U\)에 포함되고 \(u\)를 포함하는 열린 근방들의 모임은 \(X\)에서 \(u\)의 모든 열린 근방들의 모임 안에서 공종이므로 (3)은 (2)로부터 따른다. (4)와 (5)는 \(j^{-1}j_*\mathcal{F}(V) = j_*\mathcal{F}(V) = \mathcal{F}(V)\)를 계산하면 따른다.

완전히 같은 논증이 아벨 군의 (준)층과 대수 구조의 (준)층에도 성립한다.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자.

1. \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 집합, 아벨 군 또는 대수 구조의 준층이라 하자. 보조정리 00A0에서 기술한 준층 \(j_p\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{G}\)의 \(U\)로의 제한이라 하고 \(\mathcal{G}|_U\)로 나타낸다.

2. \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 집합의 층, 또는 \(X\) 위의 아벨 군이나 대수 구조의 층이라 하자. 층 \(j^{-1}\mathcal{G}\)를 \(\mathcal{G}\)의 \(U\)로의 제한이라 하고 \(\mathcal{G}|_U\)로 나타낸다.

3. \((X, \mathcal{O})\)가 환 달린 공간이면 쌍 \((U, \mathcal{O}|_U)\)를 \(U\)에 대응하는 \((X, \mathcal{O})\)의 열린부분공간이라 한다.

4. \(\mathcal{G}\)가 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층이면 \(\mathcal{G}|_U\)에 곱셈 사상 \(\mathcal{O}|_U \times \mathcal{G}|_U \to \mathcal{G}|_U\) (보조정리 008X 참조)을 함께 갖춘 것을 \(\mathcal{G}\)의 \(U\)로의 제한이라 한다.

가군의 준층의 제한에 대한 정의는 독자에게 맡긴다. 이제 이 절에서는 제한 함자의 왼쪽 수반을 논의할 것이다. 먼저 집합의 (준)층의 경우에 그 정의를 주자.

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 집합의 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 공집합에 의한 확장 \(j_{p!}\mathcal{F}\)을 다음 규칙으로 정의되는 \(X\) 위의 집합의 준층으로 정의한다. \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{if} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{if} & V \subset U \end{matrix} \right.\] 제한 사상은 자명한 것으로 취한다.

2. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 집합의 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 공집합에 의한 확장 \(j_!\mathcal{F}\)을 준층 \(j_{p!}\mathcal{F}\)의 층화로 정의한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자.

1. 함자 \(j_{p!}\)는 제한 함자 \(j_p\)의 왼쪽 수반이다 (보조정리 00A0 참조).

2. 함자 \(j_!\)는 제한의 왼쪽 수반이다. 식으로 쓰면 \[\Mor_{\Sh(X)}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U)}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 이며, 이는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)에 대해 쌍함자적이다.

3. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 집합의 층이라 하자. 층 \(j_!\mathcal{F}\)의 줄기는 다음과 같이 기술된다. \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} \emptyset & \text{if} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{if} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. \(U\) 위의 준층의 범주에서 \(j_pj_{p!} = \text{id}\)이다.

5. \(U\) 위의 층의 범주에서 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)이다.

증명

\(j_{p!}\mathcal{F}\)에서 \(\mathcal{G}\)로 사상하려면 모든 \(V \subset U\)에 대해 제한 사상들과 가환하도록 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{G}(V)\)를 사상하는 것으로 충분하다. 보조정리 00A0에 의해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\)인 사상에도 같은 기술이 성립한다. \(j_!\)와 제한 사이의 수반성은 이 사실과 층화의 성질들로부터 따른다. 줄기의 동일시는 공집합에 의한 확장의 정의와 줄기의 정의로부터 자명하다. 명제 (4)와 (5)는 \(U\)의 임의의 열린집합에서 층의 값을 계산하면 따른다.

\(\mathcal{F}\)가 \(U\) 위의 아벨 군의 층이면 위에서 정의한 \(j_!\mathcal{F}\)는 일반적으로 아벨 군의 층이 아님에 유의하라. 예를 들어 그 줄기 가운데 일부가 공집합인데, 공집합은 결코 아벨 군이 아니다. 따라서 고려하는 층의 종류에 따라 \(j_!\)의 정의를 수정해야 한다. 공집합에 의한 확장의 정의에서 공집합을 택한 까닭은 이것이 집합의 범주에서 초기 대상이기 때문이다. 따라서 아벨 군의 경우에는 \(0\)을 사용한다(더 일반적으로는 임의의 아벨 범주에 값을 갖는 층에도 마찬가지이다).

정의

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 아벨 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 \(0\)에 의한 확장 \(j_{p!}\mathcal{F}\)을 다음 규칙으로 정의되는 \(X\) 위의 아벨 준층으로 정의한다. \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{if} & V \subset U \end{matrix} \right.\] 제한 사상은 자명한 것으로 취한다.

2. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 아벨 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 \(0\)에 의한 확장 \(j_!\mathcal{F}\)을 아벨 준층 \(j_{p!}\mathcal{F}\)의 층화로 정의한다.

3. \(\mathcal{C}\)를 초기 대상 \(e\)를 갖는 범주라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 \(U\) 위의 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 \(e\)에 의한 확장 \(j_{p!}\mathcal{F}\)을 다음 규칙으로 정의되는, \(\mathcal{C}\)에 값을 갖는 \(X\) 위의 준층으로 정의한다. \[j_{p!}\mathcal{F}(V) = \left\{ \begin{matrix} e & \text{if} & V \not \subset U \\ \mathcal{F}(V) & \text{if} & V \subset U \end{matrix} \right.\] 제한 사상은 자명한 것으로 취한다.

4. \((\mathcal{C}, F)\)를 \(\mathcal{C}\)가 초기 대상 \(e\)를 갖는 대수 구조의 종류라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 (주어진 종류의) 대수 구조의 층이라 하자.

   \(\mathcal{F}\)의 \(e\)에 의한 확장 \(j_!\mathcal{F}\)을 위에서 정의한 준층 \(j_{p!}\mathcal{F}\)의 층화로 정의한다.

5. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 준층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}|_U\)-가군의 준층이라 하자. 이 경우 \(0\)에 의한 확장을, 아벨 준층으로서 \(j_{p!}\mathcal{F}\)와 같고 곱셈 사상 \(\mathcal{O} \times j_{p!}\mathcal{F} \to j_{p!}\mathcal{F}\)를 갖춘 \(\mathcal{O}\)-가군의 준층으로 정의한다.

6. \(\mathcal{O}\)를 \(X\) 위의 환의 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}|_U\)-가군의 층이라 하자. 이 경우 \(0\)에 의한 확장을, 아벨 층으로서 \(j_!\mathcal{F}\)와 같고 곱셈 사상 \(\mathcal{O} \times j_!\mathcal{F} \to j_!\mathcal{F}\)를 갖춘 \(\mathcal{O}\)-가군으로 정의한다.

대수 구조의 층의 맥락에서도 \(j_!\)를 정의할 수 있다는 것은 사실이다(아래를 보라). 그러나 그 결과로 얻는 대상은 해당 대수 구조의 종류에 의존한다. 예를 들어 \(\mathcal{O}\)가 \(U\) 위의 환의 층이면 \(j_{!, rings}\mathcal{O} \not = j_{!, abelian}\mathcal{O}\)이다. 환의 범주에서 초기 대상은 \(\mathbf{Z}\)이고 아벨 군의 범주에서 초기 대상은 \(0\)이기 때문이다. 특히 지금까지 본 것과는 달리 함자 \(j_!\)는 바탕 집합의 층을 취하는 연산과 가환하지 않는다! 평소처럼 아벨 군의 (준)층, 대수 구조의 (준)층, 그리고 가군의 (준)층의 경우를 따로 다룬다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자. 아벨 (준)층에 대한 제한 함자와 \(0\)에 의한 확장 함자를 생각하자.

1. 함자 \(j_{p!}\)는 제한 함자 \(j_p\)의 왼쪽 수반이다 (보조정리 00A0 참조).

2. 함자 \(j_!\)는 제한의 왼쪽 수반이다. 식으로 쓰면 \[\Mor_{\textit{Ab}(X)}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Ab}(U)}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Ab}(U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 이며, 이는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)에 대해 쌍함자적이다.

3. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 아벨 층이라 하자. 층 \(j_!\mathcal{F}\)의 줄기는 다음과 같이 기술된다. \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{if} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. \(U\) 위의 아벨 준층의 범주에서 \(j_pj_{p!} = \text{id}\)이다.

5. \(U\) 위의 아벨 층의 범주에서 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 \(\mathcal{C}\)가 초기 대상 \(e\)를 갖는 대수 구조의 종류라 하자. 위에서 정의한 대수 구조의 (준)층에 대한 제한 함자와 \(e\)에 의한 확장 함자를 생각하자.

1. 함자 \(j_{p!}\)는 제한 함자 \(j_p\)의 왼쪽 수반이다 (보조정리 00A0 참조).

2. 함자 \(j_!\)는 제한의 왼쪽 수반이다. 식으로 쓰면 \[\Mor_{\Sh(X, \mathcal{C})}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U, \mathcal{C})}(\mathcal{F}, j^{-1}\mathcal{G}) = \Mor_{\Sh(U, \mathcal{C})}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 이며, 이는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)에 대해 쌍함자적이다.

3. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 층이라 하자. 층 \(j_!\mathcal{F}\)의 줄기는 다음과 같이 기술된다. \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} e & \text{if} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{if} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. \(U\) 위의 대수 구조의 준층의 범주에서 \(j_pj_{p!} = \text{id}\)이다.

5. \(U\) 위의 대수 구조의 층의 범주에서 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O})\)를 환 달린 공간이라 하자. \(j : (U, \mathcal{O}|_U) \to (X, \mathcal{O})\)를 열린부분공간이라 하자. 위에서 정의한 가군의 (준)층에 대한 제한 함자와 \(0\)에 의한 확장 함자를 생각하자.

1. 함자 \(j_{p!}\)는 제한의 왼쪽 수반이다. 식으로 쓰면 \[\Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O})}(j_{p!}\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{PMod}(\mathcal{O}|_U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 이며, 이는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)에 대해 쌍함자적이다.

2. 함자 \(j_!\)는 제한의 왼쪽 수반이다. 식으로 쓰면 \[\Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O})}(j_!\mathcal{F}, \mathcal{G}) = \Mor_{\textit{Mod}(\mathcal{O}|_U)}(\mathcal{F}, \mathcal{G}|_U)\] 이며, 이는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)에 대해 쌍함자적이다.

3. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군의 층이라 하자. 층 \(j_!\mathcal{F}\)의 줄기는 다음과 같이 기술된다. \[j_{!}\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if} & x \not \in U \\ \mathcal{F}_x & \text{if} & x \in U \end{matrix} \right.\]

4. \(U\) 위의 \(\mathcal{O}|_U\)-가군의 층의 범주에서 \(j^{-1}j_! = \text{id}\)이다.

증명

생략한다.

위의 보조정리들에 의해 함자 \(j_*\)와 \(j_!\)는 모두 \(U\) 위의 층의 범주를 \(X\) 위의 층의 범주로 보내는 충만충실 매입임에 유의하라. 이 함자의 본질적 상을 쉽게 기술할 수 있는 것은 함자 \(j_!\)에 대해서뿐이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자. 함자 \[j_! : \Sh(U) \longrightarrow \Sh(X)\] 는 충만충실이다. 그 본질적 상은 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = \emptyset\)인 층 \(\mathcal{G}\)들로 정확히 이루어진다.

증명

충만충실성은 \(j^{-1} j_! = \text{id}\)로부터 형식적으로 따른다. 함자의 상에 속하는 모든 층이 보조정리에 서술된 줄기의 성질을 가짐을 이미 보았다. 역으로 \(\mathcal{G}\)가 그 성질을 갖는다고 하자. 그러면 \[j_! j^{-1} \mathcal{G} \to \mathcal{G}\] 가 모든 줄기 위에서 동형이고 따라서 동형임을 쉽게 확인할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자. 함자 \[j_! : \textit{Ab}(U) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] 는 충만충실이다. 그 본질적 상은 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = 0\)인 층 \(\mathcal{G}\)들로 정확히 이루어진다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린부분집합의 포함사상이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 \(\mathcal{C}\)가 초기 대상 \(e\)를 갖는 대수 구조의 종류라 하자. 함자 \[j_! : \Sh(U, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(X, \mathcal{C})\] 는 충만충실이다. 그 본질적 상은 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = e\)인 층 \(\mathcal{G}\)들로 정확히 이루어진다.

증명

생략한다.

보조정리

\((X, \mathcal{O})\)를 환 달린 공간이라 하자. \(j : (U, \mathcal{O}|_U) \to (X, \mathcal{O})\)를 열린부분공간이라 하자. 함자 \[j_! : \textit{Mod}(\mathcal{O}|_U) \longrightarrow \textit{Mod}(\mathcal{O})\] 는 충만충실이다. 그 본질적 상은 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = 0\)인 층 \(\mathcal{G}\)들로 정확히 이루어진다.

증명

생략한다.

주

\(j : U \to X\)를 위와 같은 위상공간의 열린 몰입이라 하자. \(x \in X\), \(x \not \in U\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(U\) 위의 집합의 층이라 하자. 보조정리 00A3에 의해 \(j_!\mathcal{F}_x = \emptyset\)이다. 따라서 \(U = X\)가 아닌 한 \(j_!\)는 \(\Sh(U)\)의 끝 대상을 \(\Sh(X)\)의 끝 대상으로 보내지 않는다. Categories, Section 0033의 규약에 따르면 이는 집합의 층의 범주 사이의 함자로서 \(j_!\)가 좌완전이 아니라는 뜻이다. 아벨 층 위의 \(j_!\)는 완전함을 나중에 보일 것이다. Modules, Lemma 01AK를 보라.

닫힌 몰입과 (준)층

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 닫힌부분집합 \(Z\)의 \(X\)로의 포함사상이라 하자. Section 008C에서 \(i_*\)가 \(i^{-1}\)의 오른쪽 수반이 되도록 함자 \(i_*\)와 \(i^{-1}\)을 정의했다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 닫힌부분집합 \(Z\)의 \(X\)로의 포함사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(Z\) 위의 집합의 층이라 하자. \(i_*\mathcal{F}\)의 줄기는 다음과 같이 기술된다. \[i_*\mathcal{F}_x = \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if} & x \not \in Z \\ \mathcal{F}_x & \text{if} & x \in Z \end{matrix} \right.\] 여기서 \(\{*\}\)는 한원소 집합을 나타낸다. 또한 \(Z\) 위의 집합의 층의 범주에서 \(i^{-1}i_* = \text{id}\)이다. 더 나아가 \(Z\) 위의 아벨 층, 각각 \(Z\) 위의 대수 구조의 층에도 같은 명제가 성립한다. 이때 \(\{*\}\)를 각각 \(0\), 대수 구조의 범주의 끝 대상으로 바꾸어야 한다.

증명

\(x \not \in Z\)이면 \(Z\)와 만나지 않으면서 임의로 작은 \(x\)의 열린 근방 \(U\)들이 존재한다. \(\mathcal{F}\)가 층이므로 그러한 모든 \(U\)에 대해 \(\mathcal{F}(i^{-1}(U)) = \{*\}\)이다. 주석 006U을 보라. 이것이 첫째 경우를 증명한다. 둘째 경우는 \(z \in Z\)에 대해 \(z\)의 임의의 열린 근방이 \(X\)의 어떤 열린집합 \(U\)에 대한 \(Z \cap U\) 꼴이라는 사실로부터 나온다. \(i^{-1}i_* = \text{id}\)라는 명제를 위해 표준 사상 \(i^{-1}i_*\mathcal{F} \to \mathcal{F}\)를 생각하자. 이는 줄기 위에서 동형이고(위를 보라), 따라서 동형이다.

아벨 군의 층과 대수 구조의 층의 경우에도 같은 방식으로 논증한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 닫힌부분집합의 포함사상이라 하자. 함자 \[i_* : \Sh(Z) \longrightarrow \Sh(X)\] 는 충만충실이다. 그 본질적 상은 모든 \(x \in X \setminus Z\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = \{*\}\)인 층 \(\mathcal{G}\)들로 정확히 이루어진다.

증명

충만충실성은 \(i^{-1} i_* = \text{id}\)로부터 형식적으로 따른다. 함자의 상에 속하는 모든 층이 보조정리에 서술된 줄기의 성질을 가짐을 이미 보았다. 역으로 \(\mathcal{G}\)가 그 성질을 갖는다고 하자. 그러면 \[\mathcal{G} \to i_* i^{-1} \mathcal{G}\] 가 모든 줄기 위에서 동형이고 따라서 동형임을 쉽게 확인할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 닫힌부분집합의 포함사상이라 하자. 함자 \[i_* : \textit{Ab}(Z) \longrightarrow \textit{Ab}(X)\] 는 충만충실이다. 그 본질적 상은 모든 \(x \in X \setminus Z\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = 0\)인 층 \(\mathcal{G}\)들로 정확히 이루어진다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(i : Z \to X\)를 닫힌부분집합의 포함사상이라 하자. \((\mathcal{C}, F)\)를 끝 대상 \(0\)을 갖는 대수 구조의 종류라 하자. 함자 \[i_* : \Sh(Z, \mathcal{C}) \longrightarrow \Sh(X, \mathcal{C})\] 는 충만충실이다. 그 본질적 상은 모든 \(x \in X \setminus Z\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = 0\)인 층 \(\mathcal{G}\)들로 정확히 이루어진다.

증명

생략한다.

주

\(i : Z \to X\)를 위와 같은 위상공간의 닫힌 몰입이라 하자. \(x \in X\), \(x \not \in Z\)라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(Z\) 위의 집합의 층이라 하자. 보조정리 00AE에 의해 \((i_*\mathcal{F})_x = \{ * \}\)이다. 따라서 \(\mathcal{F} = * \amalg *\)이고 \(*\)가 한원소 층이면

\(i_*\mathcal{F}_x = \{*\} \not = i_*(*)_x \amalg i_*(*)_x\)이다. 뒤의 집합은 두 원소 집합이기 때문이다. Categories, Section 0033의 규약에 따르면 이는 집합의 층의 범주 사이의 함자로서 \(i_*\)가 우완전이 아니라는 뜻이다. 특히 이 함자는 오른쪽 수반을 가질 수 없다. Categories, Lemma 0039를 보라.

한편 아벨 층 위의 \(i_*\)는 완전하고 오른쪽 수반도 가짐을 나중에 보일 것이다(Modules, Lemma 01AZ 참조). 그 오른쪽 수반은 \(X\) 위의 아벨 층에 \(Z\)에서 지지되는 절단들의 층을 대응시키는 함자이다.

주

닫힌 몰입과 환 달린 공간 사이의 관계는 논의하지 않았다. 환 달린 공간의 닫힌 몰입이라는 개념은 준연접층의 맥락에서 논의하는 것이 가장 적절하기 때문이다. Modules, Section 01C1을 보라.

층 붙이기

이 절에서는 \(X\)의 덮개의 원소들 위에 정의된 층들을 붙인다. 먼저 사상을 다룬다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X = \bigcup U_i\)를 열린 덮개라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 \(X\) 위의 집합의 층이라 하자. 모든 \(i, j \in I\)에 대해 사상 \(\varphi_i, \varphi_j\)의 제한이 같은 사상 \(\mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \to \mathcal{G}|_{U_i \cap U_j}\)이 되도록 층의 사상들의 족 \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{U_i} \longrightarrow \mathcal{G}|_{U_i}\] 가 주어졌다고 하자. 그러면 각 \(U_i\)로의 제한이 \(\varphi_i\)와 일치하는 유일한 층의 사상 \[\varphi : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{G}\] 가 존재한다.

증명

각 열린부분집합 \(U \subset X\)에 대해 \[\varphi_U : \mathcal{F}(U) \to \mathcal{G}(U), \quad s \mapsto \varphi_U(s)\] 를 정의하자. 여기서 \(\varphi_U(s)\)는 \[(\varphi_U(s))|_{U \cap U_i} = (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}).\] 를 만족하는 유일한 절단이다. 그러한 절단의 존재성과 유일성은 층 공리로부터 따른다. 실제로 \[\begin{align*} ((\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}))|_{U \cap U_i \cap U_j} &= (\varphi_i)_{U \cap U_i \cap U_j}(s|_{U \cap U_i \cap U_j})\\ &= (\varphi_j)_{U \cap U_i \cap U_j}(s|_{U \cap U_i \cap U_j})\\ &= ((\varphi_j)_{U \cap U_j}(s|_{U \cap U_j}))|_{U \cap U_i \cap U_j}. \end{align*}\] 이다. 이 사상들의 족은 실제로 층의 사상을 준다. 열린부분집합 \(V \subset U \subset X\)에 대해 \[(\varphi_U(s))|_V = \varphi_V(s|_V)\] 이다. 각 \(i \in I\)에 대해 다음이 성립하기 때문이다.

\[\begin{align*} (\varphi_U(s))|_{V \cap U_i} &= ((\varphi_U(s))|_{U \cap U_i})|_{V \cap U_i}\\ &= ((\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i}))|_{V \cap U_i}\\ &= (\varphi_i)_{V \cap U_i}(s|_{V \cap U_i})\\ &= \varphi_V(s_{V})|_{V \cap U_i}. \end{align*}\] 또한 각 \(U_i\)로의 제한은 \(\varphi_i\)와 일치한다. 실제로 열린부분집합

\(U \subset X\)와 \(s \in \mathcal{F}(U \cap U_i)\)가 주어지면 \[\begin{align*} \varphi_{U \cap U_i}(s) &= \varphi_{U \cap U_i}(s)|_{U \cap U_i}\\ &= (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s|_{U \cap U_i})\\ &= (\varphi_i)_{U \cap U_i}(s). \end{align*}\]

앞의 보조정리는 위상공간 \(X\) 위의 두 층 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)가 주어졌을 때 규칙 \[U \longmapsto \Mor_{\Sh(U)}( \mathcal{F}|_U, \mathcal{G}|_U)\] 가 층을 정의함을 뜻한다. 이것은 일종의 내부 hom 층이다. 집합의 층의 맥락에서는 거의 쓰이지 않고, 가군의 층의 맥락에서 더 흔히 쓰인다. Modules, Section 01CM을 보라.

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 각 \(i \in I\)에 대해 \(\mathcal{F}_i\)를 \(U_i\) 위의 집합의 층이라 하자. 각 쌍 \(i, j \in I\)에 대해 \[\varphi_{ij} : \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j} \longrightarrow \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j}\] 를 집합의 층의 동형이라 하자. 또한 모든 세 지표 \(i, j, k \in I\)에 대해 다음 도표가 가환한다고 가정하자. \[\xymatrix{ \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \ar[rr]_{\varphi_{ik}} \ar[rd]_{\varphi_{ij}} & & \mathcal{F}_k|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \\ & \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j \cap U_k} \ar[ru]_{\varphi_{jk}} }\]

이러한 자료의 족 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\)를 덮개 \(X = \bigcup U_i\)에 대한 집합의 층의 붙이기 자료라 한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 덮개 \(X = \bigcup U_i\)에 대한 집합의 층의 임의의 붙이기 자료 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\)가 주어지면, \(X\) 위의 집합의 층 \(\mathcal{F}\)와 동형 \[\varphi_i : \mathcal{F}|_{U_i} \to \mathcal{F}_i\] 가 존재하여 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \ar[r]_{\varphi_i} \ar[d]_{\text{id}} & \mathcal{F}_i|_{U_i \cap U_j} \ar[d]^{\varphi_{ij}} \\ \mathcal{F}|_{U_i \cap U_j} \ar[r]^{\varphi_j} & \mathcal{F}_j|_{U_i \cap U_j} }\] 가 가환한다.

증명

첫째 증명. 이 증명에서는 열린집합 \(W \subset X\) 위에서 \(\mathcal{F}\)의 절단들의 집합을 식으로 준다. 즉, \[\mathcal{F}(W) = \{ (s_i)_{i \in I} \mid s_i \in \mathcal{F}_i(W \cap U_i), \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_i \cap U_j}) = s_j|_{W \cap U_i \cap U_j} \}.\] 로 정의한다. \(W' \subset W\)에 대한 제한 사상은 각 \(s_i\)를

\(W' \cap U_i\)로 제한하여 정의한다. \(\mathcal{F}\)의 층 조건은 각 \(\mathcal{F}_i\)의 층 조건으로부터 즉시 따른다.

이제 \(\mathcal{F}|_{U_i}\)가 \(\mathcal{F}_i\)로 동형하게 사상됨을 증명해야 한다. \(W \subset U_i\)라 하자. 이 경우 \(\mathcal{F}(W)\)의 정의에 나오는 조건은 \(s_j = \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_j})\)임을 뜻한다. 또한 붙이기 자료의 정의에 나오는 도표들의 가환성에 의해 임의의 절단 \(s \in \mathcal{F}_i(W)\)에서 시작하여 \(s_i = s\) 및 \(s_j = \varphi_{ij}(s_i|_{W \cap U_j})\)로 놓음으로써 양립하는 족을 얻을 수 있다.

둘째 증명(개요). \(\mathcal{B}\)를 어떤 \(i \in I\)에 대해 \(U \subset U_i\)인 열린집합 \(U \subset X\)들의 집합이라 하자. 그러면 \(\mathcal{B}\)는 \(X\)의 위상의 기저이다. \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(U \subset U_i\)인 \(i \in I\)를 택하고 \(\mathcal{F}(U) = \mathcal{F}_i(U)\)로 놓는다. 동형 \(\varphi_{ij}\)를 사용하면 이 처방이 “\(i\)의 선택과 무관함”을 알 수 있다. \(\mathcal{F}_i\)의 제한 사상들을 사용하면 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{B}\) 위의 층임을 알 수 있다. 마지막으로 보조정리 009N를 사용하여 \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 유일한 층 \(\mathcal{F}\)로 확장한다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X = \bigcup U_i\)를 열린 덮개라 하자. \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\)를 아벨 군의 층, 각각 대수 구조의 층, 각각 \(X\) 위의 어떤 환의 층 \(\mathcal{O}\)에 대한 \(\mathcal{O}\)-가군의 층의 붙이기 자료라 하자. 그러면 위의 보조정리 00AL의 증명에 나오는 구성은 각각 아벨 군의 층, 대수 구조의 층, \(\mathcal{O}\)-가군의 층을 준다.

증명

이는 구성에서 열린집합 \(W\) 위의 절단들의 집합 \(\mathcal{F}(W)\)가 사상들 \[\xymatrix{ \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i(W \cap U_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod_{i, j\in I} \mathcal{F}_i(W \cap U_i \cap U_j) }\] 의 등화자로 주어지기 때문에 참이다. 상정한 각 경우에 이 등화자는 해당 범주의 대상이며, 그 바탕 집합은 인용한 보조정리에서 고려한 대상이다.

보조정리

\(X\)를 위상공간이라 하자. \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\)를 열린 덮개라 하자. 집합의 층 \(\mathcal{F}\)에 덮개 \(X = \bigcup U_i\)에 대한 다음 붙이기 자료의 족을 대응시키는 함자 \[(\mathcal{F}|_{U_i}, (\mathcal{F}|_{U_i})|_{U_i \cap U_j} \to (\mathcal{F}|_{U_j})|_{U_i \cap U_j} )\] 는 \(\Sh(X)\)와 붙이기 자료의 범주 사이의 범주의 동치를 정의한다. 아벨 층, 각각 대수 구조의 층, 각각 \(\mathcal{O}\)-가군의 층에도 비슷한 명제가 성립한다.

증명

함자는 보조정리 04TN에 의해 충만충실이고, 보조정리 00AL에 의해 (명시적으로 주어진 준역 함자를 통하여) 본질적으로 전사이다.

이 보조정리는 층 \(\mathcal{F}\)가 붙이기 자료 \((\mathcal{F}_i, \varphi_{ij})\)로부터 구성되고 \(\mathcal{G}\)가 \(X\) 위의 층이면, 사상 \(f : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준다는 것이 붙이기 사상 \(\varphi_{ij}\)와 양립하는 층의 사상들의 족 \[f_i : \mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{G}|_{U_i}\] 를 주는 것과 같음을 뜻한다. 마찬가지로 층의 사상 \(g : \mathcal{G} \to \mathcal{F}\)를 준다는 것은 붙이기 사상 \(\varphi_{ij}\)와 양립하는 층의 사상들의 족 \[g_i : \mathcal{G}|_{U_i} \longrightarrow \mathcal{F}_i\] 를 주는 것과 같다.