곡선의\ Picard 스킴

서론

이 장에서는 대수적으로 닫힌 체 위의 비특이 사영곡선의 Picard 스킴을 구성하는 데 꼭 필요한 만큼만 전개한다. 더 자세한 논의와 역사적 배경은 [Kleiman-Picard]를 보라.

Stacks project의 뒤쪽에서는 Hilbert 함자와 Quot 함자를 훨씬 더 일반적으로 논의할 것이다.

점들의 Hilbert 스킴

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(d \geq 0\)을 정수라 하자. \(S\) 위의 스킴 \(T\)에 대해 \[\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \left\{ \begin{matrix} Z \subset X_T\text{ closed subscheme such that }\\ Z \to T\text{ is finite locally free of degree }d \end{matrix} \right\}\] 로 둔다. \(T' \to T\)가 \(S\) 위 스킴들의 사상이고 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)이면, 기저변환 \(Z_{T'} \subset X_{T'}\)는 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T')\)의 원소이다. 이로써 함자 \[\Hilbfunctor^d_{X/S} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\] 를 얻는다. 일반적으로 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)는 대수공간이다 (여기에 장래의 참조를 삽입할 것). 이 절에서는 \(X \to S\)의 한 섬유 안의 임의의 유한 개 점이 어떤 아핀 열린집합에 포함되면 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)가 스킴으로 표현 가능함을 보인다. \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)가 스킴으로 표현 가능하면 이 스킴을 흔히 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\)로 쓴다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 함자 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)는 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다 (Topologies, Definition 022G).

증명

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(S\) 위 스킴들의 fpqc 덮개라 하자. \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\)로 둔다. \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\)는 \(X_T\)의 fpqc 덮개이고(Topologies, Lemma 022D), \(X_{T_i \times_T T_{i'}} = X_i \times_{X_T} X_{i'}\)임을 유의하자. \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\)가 원소들의 모임이고, \(Z_i\)와 \(Z_{i'}\)가 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i \times_T T_{i'})\)의 같은 원소로 사상된다고 가정하자. 닫힌 몰입의 유효 하강 (Descent, Lemma 03I0)에 의해 닫힌 몰입 \(Z \to X_T\)가 존재하며, \(X_i \to X_T\)에 의한 그 기저변환은 \(Z_i \to X_i\)와 같다. 그러면 사상 \(Z \to T\)를 \(T_i\)로 기저변환한 것은 \(Z_i \to T_i\)이다. 따라서 Descent, Lemma 02VO에 의해 \(Z \to T\)는 계수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상이다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X \to S\)가 유한 표시이면 함자 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)는 극한을 보존한다 (Limits, Remark 05LX).

증명

\(T = \lim T_i\)를 \(S\) 위 아핀 스킴들의 극한이라 하자. 등식 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \colim \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\)를 보여야 한다. \(Z \to X_T\)가 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)의 원소이면 \(Z \to T\)는 유한 표시임을 관찰하자. 따라서 Limits, Lemma 01ZM에 의해 어떤 \(i\), \(T_i\) 위의 유한 표시 스킴 \(Z_i\), 그리고 \(T_i\) 위의 사상 \(Z_i \to X_{T_i}\)가 존재하여, \(T\)로의 기저변환이 \(Z \to X_T\)를 준다. Limits, Lemma 01ZP을 적용하고 \(i\)를 늘리면 \(Z_i \to X_{T_i}\)가 닫힌 몰입이라고 가정할 수 있다. 또 Limits, Lemma 06AC를 적용하고 필요하면 \(i\)를 늘리면 \(Z_i \to T_i\)가 계수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상이라고 가정할 수 있다. 그러므로 원하는 대로 \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\)이다.

\(S\)를 스킴이라 하고, \(i : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. 그러면 함자의 변환 \[\Hilbfunctor^d_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{Y/S}\] 이 있으며, 이는 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)를 \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) 안의 \(i_T(Z) \subset Y_T\)로 보낸다. 여기서 \(i_T : X_T \to Y_T\)는 \(i\)의 기저변환이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(i : X \to Y\)를 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\)가 스킴으로 표현 가능하면 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)도 그러하며, 대응하는 스킴의 사상 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to \underline{\Hilbfunctor}^d_{Y/S}\)는 닫힌 몰입이다.

증명

\(T\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하고 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T)\)라 하자. 주장: 닫힌 부분스킴 \(T_X \subset T\)가 존재하여, 스킴의 사상 \(T' \to T\)가 \(T_X\)를 거쳐 인수분해될 필요충분조건은 \(Z_{T'} \to Y_{T'}\)가 \(X_{T'}\)를 거쳐 인수분해되는 것이다. \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\)를 표현하는 스킴 \(T_{univ}\)와 보편 대상 ¹ \(Z_{univ} \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T_{univ})\)에 이를 적용하면, 닫힌 부분스킴 \(T_{univ, X} \subset T_{univ}\)가 존재하여 \(Z_{univ, X} = Z_{univ} \times_{T_{univ}} T_{univ, X}\)는 \(X \times_S T_{univ, X}\)의 닫힌 부분스킴이 되고, 따라서 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_{univ, X})\)의 원소를 정의한다. 이제 형식적 논증으로 \(T_{univ, X}\)가 보편 대상 \(Z_{univ, X}\)와 함께 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)를 표현하는 스킴임을 알 수 있다.

주장의 증명. \(Z' = X_T \times_{Y_T} Z\)를 생각하자. \(T' \to T\)가 주어지면 \(Z_{T'} \to Y_{T'}\)가 \(X_{T'}\)를 거쳐 인수분해될 필요충분조건은 \(Z'_{T'} \to Z_{T'}\)가 동형사상인 것이다. 따라서 주장은 매우 일반적인 More on Flatness, Lemma 07AI에서 따른다. 그러나 이 특수한 경우에는 다음과 같이 직접 증명할 수 있다. 먼저 \(T = \Spec(A)\)이고 \(Z = \Spec(B)\)인 경우로 환원한다. \(T\)를 더 축소하면 \(A\)-모듈로서의 동형사상 \(\varphi : B \to A^{\oplus d}\)가 있다고 가정할 수 있다. 그러면 어떤 아이디얼 \(J \subset B\)에 대해 \(Z' = \Spec(B/J)\)이다. \(g_\beta \in J\)인 생성원들의 모임을 택하고 \(\varphi(g_\beta) = (g_\beta^1, \ldots, g_\beta^d)\)로 쓰자. 그러면 \(T_X\)가 \(\Spec(A/(g_\beta^j))\)로 주어짐은 명백하다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X \to S\)가 분리이고 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)가 표현 가능하면 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to S\)는 분리이다.

증명

이 증명에서 장식 없는 모든 곱은 \(S\) 위에서 취한다. \(H = \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\)라 하고 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H)\)를 보편 대상이라 하자. 두 사영 \(H \times H \to H\)로 \(Z\)를 당겨 얻는 두 대상 \(Z_1, Z_2 \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H \times H)\)를 생각하자. 그러면 \(Z_1 = Z \times H \subset X_{H \times H}\)이고 \(Z_2 = H \times Z \subset X_{H \times H}\)이다. \(H\)가 함자 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)를 표현하므로 대각 사상 \(\Delta : H \to H \times H\)는 다음 보편 성질을 갖는다. 스킴의 사상 \(T \to H \times H\)가 \(\Delta\)를 거쳐 인수분해될 필요충분조건은 \(Z_{1, T} = Z_{2, T}\)가 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)의 원소로서 성립하는 것이다. \(Z = Z_1 \times_{X_{H \times H}} Z_2\)로 둔다. 그러면 \(T \to H \times H\)가 \(\Delta\)를 거쳐 인수분해될 필요충분조건은 사상 \(Z_T \to Z_{1, T}\)와 \(Z_T \to Z_{2, T}\)가 동형사상인 것이다. 매우 일반적인 More on Flatness, Lemma 07AI에 의해 \(\Delta\)는 닫힌 몰입이다. Lemma 0B97의 증명에는 이 특수한 경우에 필요한 결과의 더 쉬운 다른 증명이 있다.

보조정리

\(X \to S\)를 아핀 스킴들의 사상이라 하자. \(d \geq 0\)이라 하자. 그러면 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)는 표현 가능하다.

증명

\(S = \Spec(R)\)이라 하자. 충분히 큰 기수의 어떤 집합 \(I\)에 대해 \(X\)를 \(R[x_i; i \in I]\)의 스펙트럼 안에 닫히게 몰입시킬 수 있다. 따라서 Lemma 0B97에 의해 \(X = \Spec(A)\), \(A = R[x_i; i \in I]\)라고 가정해도 된다. 이 경우 Schemes, Lemma 01JJ를 사용하여 보조정리를 증명하겠다.

그 보조정리의 조건 (1)은 Lemma 0B95에서 따른다.

기수가 \(d\)인 모든 부분집합 \(W \subset A\)에 대해 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)의 부분함자 \(F_W\)를 구성한다. (\(W\)가 \(x_i\)들의 단항식들의 모임인 경우만 생각해도 충분하지만, 여기서는 그럴 필요가 없다.) 구체적으로, \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)가 \(F_W(T)\)에 속한다는 것을 \(\mathcal{O}_T\)-선형사상 \[\bigoplus\nolimits_{f \in W} \mathcal{O}_T \longrightarrow (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z,\quad (g_f) \longmapsto \sum g_f f|_Z\] 이 전사인 것(동치로, 동형사상인 것)으로 정의한다. 여기서 \(f \in A\)와 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)에 대해 \(f|_Z\)는 사상 \(Z \to X_T \to X\)에 의한 \(f\)의 당김을 뜻한다.

열림성, 즉 보조정리의 조건 (2)(b). 이는 Algebra, Lemma 00O0에서 따른다.

덮개성, 즉 보조정리의 조건 (2)(c). 사상 \[A \otimes_R \mathcal{O}_T = (X_T \to T)_*\mathcal{O}_{X_T} \to (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\] 은 전사이고 \((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\)는 랭크 \(d\)인 유한 국소 자유이므로, 모든 점 \(t \in T\)에 대해 기수가 \(d\)인 유한 부분집합 \(W \subset A\)를 찾아서 그 상들이 \(d\)차원 \(\kappa(t)\)-벡터공간 \(((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z)_t \otimes_{\mathcal{O}_{T, t}} \kappa(t)\)의 기저를 이루게 할 수 있다. Nakayama 보조정리에 의해 \(t\)의 열린 근방 \(V \subset T\)가 존재하여 \(Z_V \in F_W(V)\)이다.

표현 가능성, 즉 보조정리의 조건 (2)(a). 기수가 \(d\)인 \(W \subset A\)를 택하자. \(F_W\)가 \(R\) 위의 아핀 스킴으로 표현 가능하다고 주장한다. 여기서 이 아핀 스킴을 구성하겠지만, 독자가 직접 따져 보기를 권한다. \(W\)의 원소들을 \(f_1, \ldots, f_d\)로 번호 매기자. 다음과 같이 \(T_{univ} = \Spec(R_{univ})\) 위의 \(F_W\)의 보편 원소 \(Z_{univ} = \Spec(B_{univ})\)를 구성한다. 먼저 \[R_{univ} = R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]/\mathfrak a_{univ}\] 로 둔다. 여기서 \(\mathfrak a_{univ}\)는 아래에서 설명할 아이디얼이고, 첨자 \(k, l, m, i\)는 모두 \(\{1, \ldots, d\}\)를 돈다. 이어서 \[B_{univ} = R_{univ}e_1 \oplus R_{univ}e_2 \oplus \ldots \oplus R_{univ}e_d\] 로 두고, \(R_{univ}\)-모듈인 여기에 규칙 \[e_ke_l = \sum c_{kl}^m e_m\] 으로 대수 구조를 준다. 닫힌 몰입 \(Z_{univ} \to X_{T_{univ}}\)는 \(1 \otimes 1\)을 \(\sum b^le_l\)로, \(x_i\)를 \(\sum b_i^le_l\)로 보내는 \(R_{univ}\)-대수 사상 \[\Psi : A \otimes_R R_{univ} \longrightarrow B_{univ}\] 으로 주어진다(존재성은 아래를 보라). 아이디얼 \(\mathfrak a_{univ}\)는 다음 조건으로 정한다.

1. \(B_{univ}\) 위의 곱셈은 가환이어야 한다. 즉 \(c_{lk}^m - c_{kl}^m \in \mathfrak a_{univ}\)이어야 한다.

2. \(B_{univ}\) 위의 곱셈은 결합적이어야 한다. 즉 \(c_{lk}^m c_{m n}^p - c_{lq}^p c_{kn}^q \in \mathfrak a_{univ}\)이어야 한다.

3. \(\sum b^le_l\)은 \(B_{univ}\)의 곱셈 항등원 \(1\)이어야 한다. 달리 말해 모든 \(k\)에 대해 \((\sum b^le_l)e_k = e_k\)이어야 하며, 이는 \(\sum b^lc_{lk}^m - \delta_{km} \in \mathfrak a_{univ}\)라는 뜻이다 (Kronecker 델타).

\(B_{univ}\)가 \(\sum b^le_l\)을 \(1\)로 갖는 가환 \(R_{univ}\)-대수임을 보장했으므로 준동형 \(\Psi\)가 존재한다. 마지막 조건은 다음과 같다.

1. \(f_l\)은 \(B_{univ}\) 안의 \(e_l\)로 사상되어야 한다. 어떤 \(h_l^m \in R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\)에 대해 \(\Psi(f_l) - e_l \equiv \sum h_l^me_m\)로 쓰면 \(h_l^m \in \mathfrak a_{univ}\)이어야 한다.

\(\mathfrak a_{univ} \subset R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\)를 (1)–(5)에 열거한 원소들로 생성되는 아이디얼로 두면 \(F_W\)가 \(\Spec(R_{univ})\)로 표현됨은 명백하다.

명제

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(d \geq 0\)이라 하자. \(s \in S\)이고 \(x_1, \ldots, x_d \in X_s\)인 모든 \((s, x_1, \ldots, x_d)\)에 대해 \(x_1, \ldots, x_d \in U\)인 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 존재한다고 가정하자. 그러면 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)는 스킴으로 표현 가능하다.

증명

상대 붙이기(Constructions, Section 01LG)를 사용하거나 함자적 관점 (Schemes, Lemma 01JJ)을 사용하면 \(S\)가 아핀인 경우로 환원된다. 세부사항은 생략한다.

\(S\)가 아핀이라고 가정하자. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(F_U \subset \Hilbfunctor^d_{X/S}\)를 다음 부분함자로 두자. 스킴 \(T/S\)에 대해 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)가 \(F_U(T)\)에 속한다는 것은 \(Z \subset U_T\)라는 뜻이다. Schemes, Lemma 01JJ와 부분함자 \(F_U\)들을 사용하여 결론을 내리겠다.

조건 (1)은 Lemma 0B95이다.

조건 (2)(a)는 \(F_U = \Hilbfunctor^d_{U/S}\)라는 사실과 이것이 Lemma 0B99에 의해 표현 가능하다는 사실에서 따른다. 실제로 \(Z \in F_U(T)\)이면 \(Z\)는 \(U_T\)의 닫힌 부분스킴으로 볼 수 있고 \(T\) 위에서 계수 \(d\)인 유한 국소 자유이므로 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\)이다. 역으로 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\)이면 \(Z \to U_T \to X_T\)는 닫힌 몰입이다 ² 따라서 \(Z\)를 \(F_U(T)\)의 원소로 볼 수 있다.

어떤 \(S\) 위의 스킴 \(T\)와 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)가 주어졌다고 하자. 다음과 같이 둔다. \[B = (Z \to T)\left((Z \to X_T \to X)^{-1}(X \setminus U)\right)\] 이는 \(T\)의 닫힌 부분집합이고, 열린집합 \(T_{Z, U} = T \setminus B\) 위에서 제한 \(Z_{t'}\)가 \(U_{T'}\) 안으로 사상됨은 명백하다. 한편 모든 \(b \in B\)에 대해 섬유 \(Z_b\)는 \(U\) 안으로 사상되지 않는다. 따라서 사상 \(T' \to T\)가 주어지면 \(Z_{T'} \in F_U(T')\) \(\Leftrightarrow\) \(T' \to T\)가 열린집합 \(T_{Z, U}\)를 거쳐 인수분해된다. 이것으로 조건 (2)(b)가 증명된다.

조건 (2)(c)는 \(X/S\)에 대한 가정에서 따른다. 다음만 보이면 된다. \(T\)가 체의 스펙트럼이고 \(Z \subset X_T\)가 \(T\) 위에서 계수 \(d\)인 유한 평탄 닫힌 부분스킴이면 \(Z \to X_T \to X\)는 \(X\)의 어떤 아핀 열린집합 \(U\)를 거쳐 인수분해된다. \(Z\)는 많아야 \(d\)개의 점을 갖고, 이 점들이 모두 \(T \to S\)의 상인 점 위의 \(X\)의 섬유 안으로 사상되므로 이는 명백하다.

주

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 각 경우에는 Proposition 0B9A의 가정과 따라서 결론이 성립한다.

1. \(X\)가 준아핀인 경우,

2. \(f\)가 준아핀인 경우,

3. \(f\)가 준사영인 경우,

4. \(f\)가 국소 사영인 경우,

5. \(X\) 위에 풍부한 가역층이 존재하는 경우,

6. \(X\) 위에 \(f\)-풍부한 가역층이 존재하는 경우,

7. \(X\) 위에 \(f\)-매우 풍부한 가역층이 존재하는 경우.

실제로 각 경우에 섬유 \(X_s\)의 모든 유한 점 집합은 \(X\)의 준콤팩트 열린집합 \(U\)에 포함되고, 이는 풍부한 가역층을 갖거나 아핀 스킴의 열린집합과 동형이거나 등급환의 \(\text{Proj}\)의 열린집합과 동형이다 (각 경우 모두 정의를 풀면 알 수 있다). 따라서 Properties, Lemma 01ZY에 의해 적절한 아핀 열린집합이 존재한다.

매끄러운 곡선 위 약수의 모듈라이

상대차원이 \(1\)인 매끄러운 사상 \(X \to S\)에 대해 함자 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)는 Divisors, Section 056P에서 정의한 상대 유효 Cartier 약수들을 매개화한다.

보조정리

\(X \to S\)를 상대차원이 \(1\)인 스킴의 매끄러운 사상이라 하고, \(D \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음 조건들을 생각하자.

1. \(D \to S\)는 유한 국소 자유이다.

2. \(D\)는 \(X/S\) 위의 상대 유효 Cartier 약수이다.

3. \(D \to S\)는 국소 준유한이고 평탄이며 국소 유한 표시이다.

4. \(D \to S\)는 국소 준유한이고 평탄이다.

항상 다음 함의들이 성립한다. \[(1) \Rightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Rightarrow (4)\] \(S\)가 국소 뇌터이면 마지막 화살표는 필요충분조건이다. \(X \to S\)가 고유이면(\(S\)는 임의) 첫째 화살표도 필요충분조건이다.

증명

(2)와 (3)의 동치. \(S\)가 체 \(k\)의 스펙트럼일 때 (2)와 (3)이 동치임을 보이면, 이는 Divisors, Lemma 062Y에서 따른다. \(x \in X\)를 닫힌점이라 하자. \(X\)는 \(k\) 위 상대차원 \(1\)의 매끄러운 스킴이므로 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 차원 \(1\)의 정칙 국소환이다 (Varieties, Lemma 056S 참조). 따라서 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 이산 값매김환이고 (Algebra, Lemma 00PD), 따라서 PID이다. 그러므로 \(X\)의 모든 일반점에서 영이 아닌 모든 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)는 가역이다 (Divisors, Lemma 0AG8). 달리 말해 일반점을 포함하지 않는 \(X\)의 모든 닫힌 부분스킴은 유효 Cartier 약수이다. 따라서 (2)와 (3)은 동치이다.

\(S\)가 뇌터이면 임의의 국소 준유한 사상 \(D \to S\)는 국소 유한 표시이다 (Morphisms, Lemma 01TX). 따라서 (3)과 (4)는 동치이다.

\(X \to S\)가 고유이면(\(S\)는 임의) \(D \to S\)도 고유이다. 고유 국소 준유한 사상은 유한이고 (More on Morphisms, Lemma 02LS), 유한이고 평탄이며 유한 표시인 사상은 유한 국소 자유이므로 (Morphisms, Lemma 02KB), (1)과 (2)는 동치이다.

보조정리

\(X \to S\)를 상대차원이 \(1\)인 스킴의 매끄러운 사상이라 하자. \(D_1, D_2 \subset X\)를 \(S\) 위에서 각각 계수 \(d_1\), \(d_2\)인 유한 국소 자유 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 \(D_1 + D_2\)는 \(S\) 위에서 계수 \(d_1 + d_2\)인 유한 국소 자유이다.

증명

Lemma 0B9D에 의해 \(D_1\)과 \(D_2\)는 \(X/S\) 위의 상대 유효 Cartier 약수이다. 따라서 Divisors, Lemma 0B8U에 의해 \(D = D_1 + D_2\)는 \(X/S\) 위의 상대 유효 Cartier 약수이다. 그러므로 Lemma 0B9D에 의해 \(D \to S\)는 국소 준유한이고 평탄이며 국소 유한 표시이다. 전사 정수 사상 \(D_1 \amalg D_2 \to D\)에 Morphisms, Lemma 09MQ를 적용하면 \(D \to S\)가 분리임을 알 수 있다. 이어서 Morphisms, Lemma 03GN에 의해 \(D \to S\)는 고유이다. 따라서 \(D \to S\)는 유한이고 (More on Morphisms, Lemma 02LS), 다시 \(D \to S\)는 유한 국소 자유이다 (Morphisms, Lemma 02KB). 그러므로 \(D \to S\)의 계수가 \(d_1 + d_2\)임만 보이면 된다. 이를 위해 \(X \to S\)의 한 섬유로 기저변환할 수 있으므로, 어떤 체 \(k\)에 대해 \(S = \Spec(k)\)라고 가정해도 된다. 이 경우 \(D_1\)과 \(D_2\)의 지지가 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\)에 들어가는 유한 개의 닫힌점 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)가 존재한다. 실제로 영인자가 아닌 \(f_{i, j} \in \mathcal{O}_{X, x_i}\)들이 존재하여 \[D_1 = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1})) \quad\text{and}\quad D_2 = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 2}))\] 이다. 따라서 \[D = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1}f_{i, 2}))\] 임을 알 수 있다. 이로부터 \(D\)가 \(k\) 위에서 계수 \(d_1 + d_2\)임을 쉽게 알 수 있다(필요하면 Algebra, Lemma 02MC를 사용하라).

보조정리

\(X \to S\)를 상대차원이 \(1\)인 스킴의 매끄러운 사상이라 하자. \(D_1, D_2 \subset X\)를 \(S\) 위에서 각각 계수 \(d_1\), \(d_2\)인 유한 국소 자유 닫힌 부분스킴이라 하자. \(D_1 \subset D_2\)이면(닫힌 부분스킴으로서) \(D_2 = D_1 + D\)이고 \(S\) 위에서 계수 \(d_2 - d_1\)인 유한 국소 자유 닫힌 부분스킴 \(D \subset X\)가 존재한다.

증명

이 증명은 Lemma 0B9E의 증명과 거의 완전히 같다. Lemma 0B9D에 의해 \(D_1\)과 \(D_2\)는 \(X/S\) 위의 상대 유효 Cartier 약수이다. Divisors, Lemma 0B8V에 의해 \(D_2 = D_1 + D\)인 상대 유효 Cartier 약수 \(D \subset X\)가 존재한다. 따라서 Lemma 0B9D에 의해 \(D \to S\)는 국소 준유한이고 평탄이며 국소 유한 표시이다. \(D\)는 \(D_2\)의 닫힌 부분스킴이므로 \(D \to S\)는 유한이다. 그러므로 \(D \to S\)는 유한 국소 자유이다 (Morphisms, Lemma 02KB). 이제 \(D \to S\)의 계수가 \(d_2 - d_1\)임만 보이면 되며, 이는 Lemma 0B9E에서 따른다.

\(X \to S\)를 상대차원이 \(1\)인 스킴의 매끄러운 사상이라 하자. Lemma 0B9D에 의해, \(S\) 위의 스킴 \(T\)와 \(D \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\)에 대해 \(D\)를 \(X_T/T\) 위의 상대 유효 Cartier 약수로 볼 수 있으며, \(D \to T\)는 계수 \(d\)인 유한 국소 자유이다. 따라서 Lemma 0B9E에 의해 함자의 변환 \[\Hilbfunctor^{d_1}_{X/S} \times \Hilbfunctor^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^{d_1 + d_2}_{X/S},\quad (D_1, D_2) \longmapsto D_1 + D_2\] 을 얻는다. 모든 계수 \(d\)에 대해 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)가 표현 가능하면, 이 함자의 변환은 \(S\) 위 스킴들의 사상 \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/S} \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/S}\] 에 대응한다. \(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\)이고 \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\)임을 유의하자. 위 사상의 한 특수한 경우는 다음 사상이다. \[\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S},\quad (D, x) \longmapsto D + x\]

보조정리

\(X \to S\)를 상대차원이 \(1\)인 스킴의 매끄러운 사상이라 하고, 함자들 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)가 표현 가능하다고 하자. 사상 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\)는 계수 \(d + 1\)인 유한 국소 자유 사상이다.

증명

\(D_{univ} \subset X \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\)를 보편 대상이라 하자. 다음 가환도식이 있다. \[\xymatrix{ \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \ar[rr] \ar[rd] & & D_{univ} \ar[ld] \ar@{^{(}->}[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} \times_S X \\ & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} }\] 위쪽 수평 화살표는 \((D', x)\)를 \((D' + x, x)\)로 보낸다. 이 사상이 동형사상이라고 주장한다. 그러면 보조정리는 바로 증명된다. 실제로 \(S\) 위의 스킴 \(T\)가 주어졌을 때, \(D_{univ}\)의 \(T\)-값 점 \(\xi\)는 쌍 \(\xi = (D, x)\)로 주어진다. 여기서 \(D \subset X_T\)는 \(T\) 위에서 계수 \(d + 1\)인 유한 국소 자유 닫힌 부분스킴이고, \(x : T \to X\)는 그 그래프 \(x : T \to X_T\)가 \(D\)를 거쳐 인수분해되는 사상이다. 그러면 Lemma 0B9F에 의해 \(T\) 위에서 계수 \(d\)인 유한 국소 자유인 어떤 \(D' \subset X_T\)에 대해 \(D = D' + x\)로 쓸 수 있다. \(\xi = (D, x)\)를 쌍 \((D', x)\)로 보내는 것이 원하는 역함수이다.

보조정리

\(X \to S\)를 상대차원이 \(1\)인 스킴의 매끄러운 사상이라 하고, 함자들 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\)가 표현 가능하다고 하자. 스킴들 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\)는 \(S\) 위에서 상대차원 \(d\)인 매끄러운 스킴이다.

증명

\(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\)이고 \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\)이므로 결과는 \(d = 0, 1\)일 때 참이다. \(d\)에 대해 결과가 참이라고 가정하면 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X\)는 \(S\) 위에서 매끄럽다 (Morphisms, Lemma 01VB와 01VA). Lemma 0B9G에 의해 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\)는 계수 \(d + 1\)인 유한 국소 자유 사상이므로, 결과는 Descent, Lemma 05B5에서 따른다. 상대차원이 주장한 값임의 확인은 생략한다(섬유를 살피거나 위 논증에서 차원을 추적하면 된다).

지금까지 얻은 모든 정보를 체 위의 고유 매끄러운 곡선인 경우에 모은다.

명제

\(X\)를 체 \(k\) 위의 기하적으로 기약인 매끄러운 고유 곡선이라 하자.

1. 함자 \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\)는 \(k\) 위에서 차원 \(d\)인 매끄러운 고유 다양체 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\)로 표현된다.

2. 체 확장 \(k'/k\)에 대해 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\)의 \(k'\)-유리점들은 \(X_{k'}\) 위의 차수 \(d\)인 유효 Cartier 약수들과 \(1\)-대-\(1\)로 대응한다.

3. \(d_1, d_2 \geq 0\)에 대해 사상 \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k}\] 이 있으며, 이는 계수 \({d_1 + d_2 \choose d_1}\)인 유한 국소 자유이다.

증명

함자 \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\)는 Proposition 0B9A에 의해 표현 가능하다 (Remark 0B9B도 보라). 여기서는 \(X\)가 사영이라는 사실도 사용한다 (Varieties, Lemma 0A26). Lemma 0B98에 의해 스킴 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\)는 \(k\) 위에서 분리이다. Lemma 0B9H에 의해 스킴 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\)는 \(k\) 위에서 매끄럽다. \(X = \underline{\Hilbfunctor}^1_{X/k}\)에서 시작하여 Lemma 0B9G의 사상들을 쓰고 귀납하면 사상 \[X^d = X \times_k X \times_k \ldots \times_k X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k},\quad (x_1, \ldots, x_d) \longrightarrow x_1 + \ldots + x_d\] 을 얻으며, 이는 계수 \(d!\)인 유한 국소 자유이다. \(X\)가 \(k\) 위에서 고유이므로 \(X^d\)도 그러하고, 따라서 Morphisms, Lemma 03GN에 의해 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\)는 \(k\) 위에서 고유이다. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이므로 곱 \(X^d\)는 기약이고 (Varieties, Lemma 038F), 따라서 그 상은 기약이다(실제로 기하적으로 기약이다). 이것으로 (1)이 증명된다. (2)는 정의에서 따르고, (3)은 가환도식 \[\xymatrix{ X^{d_1} \times_k X^{d_2} \ar[d] \ar@{=}[r] & X^{d_1 + d_2} \ar[d] \\ \underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \ar[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k} }\] 과 유한 국소 자유 사상들의 계수의 곱셈성에서 따른다.

주

\(X\)를 Proposition 0B9I에서처럼 체 \(k\) 위의 기하적으로 기약인 매끄러운 고유 곡선이라 하고, \(d \geq 0\)이라 하자. 보편 닫힌 대상은 \(\underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\) 위의 상대 유효 약수 \[D_{univ} \subset \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k} \times_k X\] 이다(Lemma 0B9D). 실제로 \(D_{univ}\)는 스킴으로서 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\)와 동형이다. Lemma 0B9G의 증명을 보라. 특히 \(D_{univ}\)는 유효 Cartier 약수이고, 가역 모듈 \(\mathcal{O}(D_{univ})\)를 얻는다. \([D] \in \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\)가 차수 \(d + 1\)인 유효 Cartier 약수 \(D \subset X\)에 대응하는 \(k\)-유리점을 나타내면, \(\mathcal{O}(D_{univ})\)를 섬유 \([D] \times X\)에 제한한 것은 \(\mathcal{O}_X(D)\)이다.

Picard 함자

임의의 스킴 \(X\)가 주어지면 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈들의 동형류의 집합을 \(\Pic(X)\)로 쓴다. Modules, Definition 01CX을 보라. 스킴의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어지면 당김은 군 준동형 \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\)를 정의한다. 대응 \(X \leadsto \Pic(X)\)는 스킴의 범주에서 아벨군의 범주로 가는 반변함자이다. 이 함자는 표현 가능하지 않지만, 이 구성의 상대적인 변형은 때때로 표현 가능함이 드러난다.

스킴의 사상 \(f : X \to S\)에 대한 Picard 함자를 정의하자. 구성의 배후에 있는 생각은 고차 직접상을 계산할 때 fppf 위상을 사용하여 이 함자를 층 \(R^1f_*\mathbf{G}_m\)으로 취하는 것이다. 정의를 풀면 다음의 더 직접적인 정의에 이른다.

정의

\(\Sch_{fppf}\)를 Topologies, Definition 021S에서와 같은 큰 사이트라 하자. \(f : X \to S\)를 이 사이트의 사상이라 하자. Picard 함자 \(\Picardfunctor_{X/S}\)는 함자 \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longmapsto \Pic(X_T)\] 의 fppf 층화이다. 이 함자가 표현 가능하면 이를 표현하는 스킴을 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/S}\)로 쓴다.

흔히 사용하는 사실은 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)이면 \(\Picardfunctor_{X_T/T}\)가 \(\Picardfunctor_{X/S}\)를 \((\Sch/T)_{fppf}\)에 제한한 것이라는 점이다. \(S\) 위의 스킴 \(T\)에서 \(\Picardfunctor_{X/S}\)가 갖는 값을 알아내는 일은 자명하지 않다. 다음 보조정리가 이 작업에 도움이 된다.

보조정리

\(f : X \to S\)가 Definition 0B9L에서와 같다고 하자. 모든 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)에 대해 \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\)가 동형사상이면, 모든 \(T\)에 대해 \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T)\] 는 완전열이다.

증명

표기를 간단히 하기 위해 \(S\)를 \(T\)로, \(X\)를 \(X_T\)로 바꾸어 \(S = T\)라고 가정해도 된다. \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이라 하자. \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\)이면 가정에 의해 \(f_*f^*\mathcal{N} \cong f_*\mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_S\)이다. \(\mathcal{N}\)은 국소적으로 자명하므로 표준 사상 \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N}\)은 국소적으로 동형사상이다 (가정에 의해 \(\mathcal{O}_S \to f_*f^*\mathcal{O}_S\)가 동형사상이기 때문이다). 따라서 \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N} \to \mathcal{O}_S\)가 동형사상이고, \(\mathcal{N}\)은 자명하다. 이것으로 첫째 화살표가 단사임이 증명된다.

\(\mathcal{L}\)을 \(\Pic(X) \to \Picardfunctor_{X/S}(S)\)의 핵에 속하는 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X_{S_i}\)로 당기면 자명한 가역층이 되도록 하는 fppf 덮개 \(\{S_i \to S\}\)가 존재한다. 이를 자명화하는 단면 \(s_i\)를 택하자. 그러면 \(\text{pr}_0^*s_i\)와 \(\text{pr}_1^*s_j\)는 둘 다 \(X_{S_i \times_S S_j}\) 위의 \(\mathcal{L}\)을 자명화하는 단면이므로, 다음 곱셈 가역원만큼 차이 난다. \[f_{ij} \in \Gamma(X_{S_i \times_S S_j}, \mathcal{O}_{X_{S_i \times_S S_j}}^*) = \Gamma(S_i \times_S S_j, \mathcal{O}_{S_i \times_S S_j}^*)\] (등식은 구조층의 직접상에 관한 가정에서 따른다.) 물론 이 원소들은 \(S_i \times_S S_j \times_S S_k\) 위에서 코사이클 조건을 만족하므로, fppf 덮개 \(\{S_i \to S\}\)에 대한 가역층의 하강 데이터를 정의한다. Descent, Proposition 023T에 의해 가역 \(\mathcal{O}_S\)-모듈 \(\mathcal{N}\)과 \(S_i\) 위의 자명화들이 존재하여 그에 딸린 하강 데이터가 \(\{f_{ij}\}\)이다. 하강 데이터에서 모듈로 가는 함자는 충실충만이므로(위에서 인용한 명제를 보라) \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{L}\)이다.

보조정리

\(f : X \to S\)가 Definition 0B9L에서와 같다고 하자. \(f\)가 단면 \(\sigma\)를 갖고, 모든 \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)에 대해 \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\)가 동형사상이라고 가정하자. 그러면 \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T) \to 0\] 은 분해 완전열이며, 분해는 \(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T)\)로 주어진다.

증명

\(K(T) = \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\)로 쓰자. \(\sigma\)는 \(f\)의 단면이므로 \(\Pic(X_T)\)는 \(\Pic(T)\)와 \(K(T)\)의 직합이다. 따라서 Lemma 0B9M에 의해 모든 \(T\)에 대해 \(K(T) \subset \Picardfunctor_{X/S}(T)\)이다. 더욱이 구성에서 \(\Picardfunctor_{X/S}\)가 전층 \(K\)의 층화임은 명백하다. 증명을 마치려면 \(K\)가 fppf 덮개에 대한 층 조건을 만족함만 보이면 되며, 다음 문단에서 이를 보인다.

\(\{T_i \to T\}\)를 fppf 덮개라 하자. 모든 \(i\), \(j\)에 대해 \(K(T_i \times_T T_j)\)의 같은 원소로 사상되는 \(K(T_i)\)의 원소 \(\mathcal{L}_i\)들을 택하자. 각 \(i\)에 대해 동형사상 \(\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i\)를 택하고, 동형사상 \[\varphi_{ij} : \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j}} \longrightarrow \mathcal{L}_j|_{X_{T_i \times_T T_j}}\] 을 택하자. 사상 \[\alpha_j|_{T_i \times_T T_j} \circ \sigma_{T_i \times_T T_j}^*\varphi_{ij} \circ \alpha_i|_{T_i \times_T T_j} : \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j} \to \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j}\] 이 \(1\)에 의한 곱셈이 아니라 어떤 \(u_{ij}\)에 의한 곱셈이면, \(\varphi_{ij}\)에 \(u_{ij}^{-1}\)을 곱하여 이를 바로잡을 수 있다. 이렇게 한 뒤 자기 사상 \[\varphi_{ki}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{jk}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{ij}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \quad\text{on}\quad \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}}\] 을 생각하자. 이는 스킴 \(X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}\) 위의 어떤 정칙함수 \(f_{ijk}\)에 의한 곱셈으로 주어진다. \(\varphi_{ij}\)의 선택에 의해 이 사상을 \(\sigma\)로 당긴 것은 \(1\)에 의한 곱셈이다. \(X\) 위의 함수에 관한 가정에 의해 \(f_{ijk} = 1\)이다. 따라서 fppf 덮개 \(\{X_{T_i} \to X\}\)에 대한 하강 데이터를 얻는다. Descent, Proposition 023T에 의해 가역 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-모듈 \(\mathcal{L}\)과 동형사상 \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\)이 존재하여, \(X_{T_i}\)로 당기면 \((\mathcal{L}_i, \alpha_i)\)를 회복한다 (작은 세부사항은 생략한다). 따라서 \(\mathcal{L}\)은 원하는 대로 \(K(T)\)의 대상을 정의한다.

표현 가능성의 판정 조건

Picard 함자가 표현 가능함을 증명하기 위해 다음 판정 조건을 사용한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(G : (\Sch/k)^{opp} \to \textit{Groups}\)를 함자라 하자. Schemes, Definition 01JI의 용어를 사용하여 다음을 가정하자.

1. \(G\)는 Zariski 위상에 대한 층 성질을 만족한다.

2. 다음을 만족하는 부분함자 \(F \subset G\)가 존재한다.

   1. \(F\)는 표현 가능하다.

   2. \(F \subset G\)는 열린 몰입으로 표현 가능하다.

   3. \(k\)의 모든 체 확장 \(K\)와 \(g \in G(K)\)에 대해 \(g'g \in F(K)\)인 \(g' \in G(k)\)가 존재한다.

그러면 \(G\)는 \(k\) 위의 군 스킴으로 표현 가능하다.

증명

이는 Schemes, Lemma 01JJ에서 따른다. 실제로 \(I = G(k)\)로 두고, \(i = g' \in I\)에 대해 \(F_i \subset G\)를 다음 부분함자로 잡는다. 이는 \(k\) 위의 \(T\)에 \(g'g \in F(T)\)인 원소 \(g \in G(T)\)들의 집합을 대응시킨다. \(g'\)에 의한 곱셈으로 \(F_i \cong F\)이다. 사상 \(F_i \to G\)는 \(g'\)에 의한 곱셈을 통해 사상 \(F \to G\)와 동형이므로 열린 몰입으로 표현 가능하다. 끝으로 가정 (2)(c)에 의해 모임 \((F_i)_{i \in I}\)는 \(G\)를 덮는다. 따라서 위에서 언급한 보조정리를 적용할 수 있고 증명이 끝난다.

곡선의 Picard 스킴

이 절에서는 \(k\)가 대수적으로 닫힌 체이고 \(X\)가 \(k\) 위의 매끄러운 사영곡선일 때 Lemma 0B9Q을 적용하여 \(\Picardfunctor_{X/k}\)가 표현 가능함을 보인다. 이를 위해 스킴의 유도범주를 다룬 장에서 전개한 코호몰로지와 기저변환의 일부를 사용한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\)-유리점을 갖는 \(k\) 위의 매끄러운 사영곡선이라 하자. 그러면 Lemma 0B9N의 가정들이 만족된다.

증명

“\(k\)-유리점을 갖는다”는 말의 뜻은 정확히 구조 사상 \(f : X \to \Spec(k)\)가 단면을 갖는다는 것이므로, 첫째 조건이 확인된다. Varieties, Lemma 04L2에 의해 \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 \(k\)의 체 확장이다. \(X\)가 \(k\)-유리점을 가지므로 \(k\)-대수 준동형 \(k' \to k\)가 있고, 따라서 \(k' = k\)이다. \(k\)가 체이므로 임의의 사상 \(T \to \Spec(k)\)는 평탄하다. 따라서 코호몰로지와 기저변환 (Cohomology of Schemes, Lemma 02KH)에 의해 \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\)는 동형사상이다. 이것으로 증명이 끝난다.

\(X\)를 \(k\)-유리점 \(\sigma\)를 갖는 체 \(k\) 위의 매끄러운 사영곡선이라 하자. 그러면 함자 \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} : (\Sch/k)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab},\quad T \longmapsto \Ker(\Pic(X_T) \xrightarrow{\sigma_T^*} \Pic(T))\] 는 Lemma 0B9U와 0B9N에 의해 \((\Sch/k)_{fppf}\) 위에서 \(\Picardfunctor_{X/k}\)와 동형이다. 따라서 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\)가 표현 가능함을 보이면 충분하다. “\(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)”라는 표기는 \(T\)가 \(k\) 위의 스킴이고 \(\mathcal{L}\)이 가역 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-모듈이며, \(\sigma_T\)를 통해 \(T\)에 제한한 것이 \(\mathcal{O}_T\)와 동형임을 뜻한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\)-유리점 \(\sigma\)를 갖는 \(k\) 위의 매끄러운 사영곡선이라 하자. \(k\) 위의 스킴 \(T\)에 대해 \(F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)를 \(Rf_{T, *}\mathcal{L}\)이 차수 \(0\)에 놓인 가역 \(\mathcal{O}_T\)-모듈과 동형인 \(\mathcal{L}\)들의 부분집합으로 두자. 그러면 \(F \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\)는 부분함자이고 이 포함은 열린 몰입으로 표현 가능하다.

증명

Derived Categories of Schemes, Lemma 0B9S을 \(i = 0\), \(r = 1\)로 적용하고 Schemes, Definition 01JI을 적용하면 바로 따른다.

계속하기 위해 다음 정의를 두는 것이 편리하다.

정의

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 매끄럽고 사영이며 기하적으로 기약인 곡선이라 하자. \(X\)의 종수는 \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\)-유리점 \(\sigma\)를 갖는 \(k\) 위의 종수 \(g\)인 매끄러운 사영곡선이라 하자. Lemma 0B9V에서 정의한 열린 부분함자 \(F\)는 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\)의 열린 부분스킴으로 표현 가능하다.

증명

이 증명에서 장식 없는 모든 곱은 \(\Spec(k)\) 위에서 취한다. Proposition 0B9I에 의해 스킴 \(H = \underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\)가 존재한다. 보편 약수 \(D_{univ} \subset H \times X\)와 이에 딸린 가역층 \(\mathcal{O}(D_{univ})\)를 생각하자. Remark 0B9J를 보라. \(\sigma_H : H \to H \times X\)에 의한 당김을 텐서하여 조정하면 \[\mathcal{L}_H = \mathcal{O}(D_{univ}) \otimes_{\mathcal{O}_{H \times X}} \text{pr}_H^*\sigma_H^*\mathcal{O}(D_{univ})^{\otimes -1} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(H)\] 를 얻는다. 요네다 보조정리(Categories, Lemma 001P)에 의해 가역층 \(\mathcal{L}_H\)는 자연변환 \[h_H \longrightarrow \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] 을 정의한다. \(F\)가 열린 부분함자이므로 \(\mathcal{L}_H|_{W \times X}\)가 \(F(W)\)에 속하는 최대 열린집합 \(W \subset H\)가 존재한다. 물론 이 열린집합은 사상 \(H \times X \to H\)와 층 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}(D_{univ})\)에 대해 \(i = 0\), \(r = 1\)로 Derived Categories of Schemes, Lemma 0B9S에서 구성한 열린 부분스킴과 다르지 않다. 요네다 보조정리를 다시 적용하면 가환도식 \[\xymatrix{ h_W \ar[d] \ar[r] & F \ar[d] \\ h_H \ar[r] & \Picardfunctor_{X/k, \sigma} }\] 을 얻는다. 증명을 마치려면 위쪽 수평 화살표가 동형사상임을 보이면 된다.

\(\mathcal{L} \in F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)라 하자. \(Rf_{T, *}\mathcal{L} \cong \mathcal{N}[0]\)인 가역 \(\mathcal{O}_T\)-모듈 \(\mathcal{N}\)을 택하자. 수반 사상 \[f_T^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L} \quad\text{corresponds to a section }s\text{ of}\quad \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\] 을 \(X_T\) 위에서 생각하자. 주장: \(s\)의 영점 스킴은 \((T \times X)/T\) 위의 상대 유효 Cartier 약수 \(D\)이며 \(T\) 위에서 계수 \(g\)인 유한 국소 자유이다.

주장을 인정하고 보조정리의 증명을 마치자. \(D\)는 사상 \(m : T \to H\)를 정의하며, \(D\)는 \(D_{univ}\)의 당김이다. 따라서 \[(m \times \text{id}_X)^*\mathcal{O}(D_{univ}) \cong \mathcal{O}_{T \times X}(D)\] 이다. 또한 \(\mathcal{O}_{T \times X}(D) \cong \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\)이므로 \((m \times \text{id}_X)^*\mathcal{L}_H\)와 \(\mathcal{L}\)은 \(T\) 위의 가역 모듈을 당긴 것만큼 차이 난다. 이것으로 \(m : T \to H\)가 위의 열린집합 \(W \subset H\)를 거쳐 인수분해됨을 알 수 있다. 더욱이 위와 같이 \(\sigma_T\)에 의한 당김으로 조정하면 이 가역 모듈들이 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)의 같은 원소를 정의함이 따른다. 요네다 보조정리를 사용하여 도식을 추적하면 \(m \in h_W(T)\)가 \(\mathcal{L} \in F(T)\)로 사상됨을 알 수 있다. 규칙 \(F(T) \to h_W(T)\), \(\mathcal{L} \mapsto m\)이 위 함자 변환의 역을 정의한다는 확인은 생략한다.

주장의 증명. \(D\)는 \(T \times X\)의 국소 주 아이디얼 닫힌 부분스킴이므로, \(T\) 위의 \(D\)의 섬유들이 유효 Cartier 약수임을 보이면 충분하다. Lemma 0B9D와 Divisors, Lemma 062Y를 보라. \(\mathcal{L}\)의 코호몰로지를 취하는 것은 기저변환과 가환하므로(Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91), \(K/k\)가 체 확장인 \(T = \Spec(K)\)의 경우로 환원된다. 그러면 \(\mathcal{L}\)은 \(X_K\) 위의 가역층이고 \(H^0(X_K, \mathcal{L}) = K\), \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\)이다. 따라서 \[\deg(\mathcal{L}) = \chi(X_K, \mathcal{L}) - \chi(X_K, \mathcal{O}_{X_K}) = 1 - (1 - g) = g\] 이다. Varieties, Definition 0AYR를 보라. 증명을 마치려면 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 단면이 \(X_K\) 위의 유효 Cartier 약수를 정의함을 보여야 한다. 이는 명백하다.

보조정리

\(k\)를 분리폐체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 종수 \(g\)인 매끄러운 사영곡선이라 하자. \(K/k\)를 체 확장이라 하고 \(\mathcal{L}\)을 \(X_K\) 위의 가역층이라 하자. 그러면 \(X\) 위의 가역층 \(\mathcal{L}_0\)가 존재하여 \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 1\)이고 \(\dim_K H^1(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 0\)이다.

증명

이 증명은 Varieties, Lemma 0B8Z의 증명을 변형한 것이다. 독자는 먼저 그 증명을 읽어 보기를 권한다.

먼저 풍부한 가역층 \(\mathcal{L}_0\)를 택하고, 어떤 \(n \gg 0\)에 대해 \(\mathcal{L}\)을 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0^{\otimes n}|_{X_K}\)로 바꾼다. 그 결과 \(H^0(X_K, \mathcal{L}) \not = 0\)이고 \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\)이라고 가정할 수 있다. 실제로 소멸은 Cohomology of Schemes, Lemma 0B5U에서 얻고, 텐서곱의 차수가 \(\gg 0\)이므로 비소멸을 얻는다. 이제 \(t = \dim_K H^0(X_K, \mathcal{L})\)에 관한 하강 귀납법으로 증명을 마친다. 기초 단계 \(t = 1\)은 자명하다. \(t > 1\)이라고 가정하자.

\(X\)의 \(k\)-유리점 \(x\)에 대해 역상 \(x_K\)는 \(X_K\)의 \(K\)-유리점임을 관찰하자. 또한 Varieties, Lemma 056U에 의해 \(k\)-유리점은 무한히 많다. 따라서 점들 \(x_K\)는 \(X_K\) 안에서 Zariski 조밀한 점들의 모임을 이룬다.

\(s \in H^0(X_K, \mathcal{L})\)를 영이 아니라고 하자. 앞 문단에서 \(s\)가 \(x_K\)에서 영이 아닌 \(k\)-유리점 \(x\)가 존재함을 알 수 있다. \(\mathcal{I}\)를 Varieties, Lemma 0B8Y에서와 같은 \(i : x_K \to X_K\)의 아이디얼층이라 하자. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L} \to \mathcal{L} \to i_*i^*\mathcal{L} \to 0\] 을 보자. \(H^0(X_K, i_*i^*\mathcal{L}) = H^0(x_K, i^*\mathcal{L})\)은 \(K\) 위에서 차원 \(1\)이다. \(s\)가 \(x\)에서 영이 아니므로 \[H^0(X_K, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(X, i_*i^*\mathcal{L})\] 는 전사이다. 따라서 \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = t - 1\)이다. 끝으로 코호몰로지의 긴 완전열에 의해서도 \(H^1(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = 0\)임을 알 수 있으므로 귀납 단계의 증명이 끝난다.

명제

\(k\)를 분리폐체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영곡선이라 하자. Picard 함자 \(\Picardfunctor_{X/k}\)는 표현 가능하다.

증명

\(k\)가 분리폐체이므로 \(X\)의 \(k\)-유리점 \(\sigma\)가 존재한다. Varieties, Lemma 056U를 보라. 위에서 논의했듯이 \(\sigma\)를 따라 자명한 가역 모듈들을 분류하는 함자 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\)가 표현 가능함을 보이면 충분하다. 이를 위해 Lemma 0B9Q의 조건 (1), (2)(a), (2)(b), (2)(c)를 확인한다.

함자 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\)는 \(\Picardfunctor_{X/k}\)와 동형이므로 fppf 위상에 대한 층 조건을 만족한다. 더 정확히는 Lemma 0B9N의 증명에서 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\)에 대한 이 층 조건을 보였다고 해야 하며, 이 보조정리는 Lemma 0B9U에 의해 적용할 수 있다. 이것으로 조건 (1)이 증명된다.

부분함자로는 Lemma 0B9V에서 정의한 \(F\)를 사용한다. 조건 (2)(b)가 따른다. 조건 (2)(a)는 Lemma 0B9X이다. 조건 (2)(c)는 Lemma 0B9Y이다.

실제로 위의 증명은 더 많은 정보를 주며, 이를 여기에 모은다.

보조정리

\(k\)를 분리폐체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 종수 \(g\)인 매끄러운 사영곡선이라 하자.

1. \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\)는 \(g\)차원의 매끄러운 고유 다양체들 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)의 서로소 합이다.

2. \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)의 \(k\)-점들은 차수 \(d\)인 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈들에 대응한다.

3. \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\)는 열린 닫힌 부분군 스킴이다.

4. \(d \geq 0\)에 대해 표준 사상 \(\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)가 있다.

5. 사상 \(\gamma_d\)들은 \(d \geq g\)일 때 전사이고 \(d \geq 2g - 1\)일 때 매끄럽다.

6. 사상 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^g_{X/k}\)는 쌍유리이다.

증명

\(X\)의 \(k\)-유리점 \(\sigma\)를 택하자. \(\Picardfunctor_{X/k}\)가 함자 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\)와 동형임을 상기하자. Derived Categories of Schemes, Lemma 0B9T에 의해 모든 \(d \in \mathbf{Z}\)에 대해 열린 부분함자 \[\Picardfunctor^d_{X/k, \sigma} \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] 가 존재하며, \(k\) 위의 스킴 \(T\)에서 그 값은 \(\chi(X_t, \mathcal{L}_t) = d + 1 - g\)인 \(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)들로 이루어진다. 더욱이 fppf 층으로서 \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \Picardfunctor^d_{X/k, \sigma}\] 이다. 따라서 Proposition 0B9Z에 의해 존재하는 스킴 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\)는 대응하는 분해 \[\underline{\Picardfunctor}_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\] 를 가지며, \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\)의 점들은 \(X\) 위의 차수 \(d\)인 가역 모듈의 동형류에 대응한다.

\(d \geq 0\)을 고정하자. \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\) 위의 가역층 \(\mathcal{O}(D_{univ})\)(Remark 0B9J)와 요네다 보조정리(Categories, Lemma 001P)에서 사상 \[\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\] 를 얻는다. Proposition 0B9Z와 Lemma 0B9X에서 \(X/k\)의 Picard 함자의 표현 가능성을 증명한 방식에 따르면 \(\gamma_g\)는 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\)의 영이 아닌 열린집합 위에서 열린 몰입을 유도한다. 더욱이 그 증명에 따르면 군 스킴 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\)의 \(k\)-유리점들로 이 열린집합을 평행이동한 것들이 열린 덮개를 정의한다. \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/K}\)는 \(k\) 위의 차원 \(g\)인 매끄러운 스킴이므로(Proposition 0B9I), 군 스킴 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\)는 \(k\) 위에서 차원 \(g\)인 매끄러운 스킴이라는 결론을 얻는다.

Groupoids, Lemma 047L에 의해 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\)는 분리이다. 따라서 모든 \(d \geq 0\)에 대해 \(\gamma_d\)의 상은 \(k\) 위의 고유 다양체이다 (Morphisms, Lemma 0AH6).

\(d \geq g\)라 하자. 임의의 체 확장 \(K/k\)와 차수 \(d\)인 가역 \(\mathcal{O}_{X_K}\)-모듈 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(\chi(X_K, \mathcal{L}) = d + 1 - g > 0\)이다. 따라서 \(\mathcal{L}\)은 영이 아닌 단면을 가지며, 어떤 차수 \(d\)인 약수 \(D \subset X_K\)에 대해 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X_K}(D)\)라는 결론을 얻는다. 그러므로 \(\gamma_d\)는 전사이다.

위 사실들을 종합하면 \(d \geq g\)일 때 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)는 고유이다. 이것으로 (2)의 증명이 끝난다. 실제로 \(d \geq g\)일 때 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)가 고유임을 알았고, 그러면 평행이동에 의해 모든 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)가 고유이다.

\(d \geq 2g - 1\)일 때 \(\gamma_d\)가 매끄러움만 증명하면 된다. 차수 \(d\)인 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \(\mathcal{L}\)을 생각하자. \(\mathcal{L}\)에 대응하는 점의 섬유는 자연스러운 스킴 구조와 함께 \[Z = \{D \subset X \mid \mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{L}\} \subset \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\] 이다. 임의의 동형사상 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\)은 영이 아닌 스칼라를 곱하는 것까지 잘 정의되므로, 표준 단면 \(1 \in \mathcal{O}_X(D)\)은 영이 아닌 스칼라를 곱하는 것까지 잘 정의된 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)로 사상된다. 이로써 사상 \[Z \longrightarrow \text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*))\] 을 얻는다(우리의 규약 때문에 쌍대를 취한다). 이 사상은 동형사상이다. 실제로 \(\mathcal{L}\)의 단면이 주어지면 이에 딸린 유효 Cartier 약수를 취하여 표시된 사상의 역을 구성할 수 있다. 정확한 정식화와 증명은 생략한다. Varieties, Lemma 0B90에 의해 차수 \(d \geq 2g - 1\)인 모든 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(\dim H^0(X, \mathcal{L}) = d + 1 - g\)이므로 \(\text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*)) \cong \mathbf{P}^{d - g}_k\)이다. 따라서 \(\dim(Z) = \dim(\mathbf{P}^{d - g}_k) = d - g\)이다. 그러므로 사상 \(\gamma_d\)의 모든 섬유의 차원은 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\)와 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\)의 차원의 차이와 같다. Algebra, Lemma 00R4에 의해 \(\gamma_d\)는 평탄하다. 또한 섬유들이 매끄러우므로 Morphisms, Lemma 01V8에 의해 \(\gamma_d\)는 매끄럽다.

Picard 군에 관한 몇 가지 주의

이 절은 Varieties, Section 0BEG의 논의를 이어 가며, Algebraic Curves, Section 0C1Y에서 다시 계속된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)인 \(k\) 위의 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(X\)가 \(k\)-유리점을 가지면 임의의 Galois 확장 \(k'/k\)에 대해 \[\Pic(X) = \Pic(X_{k'})^{\text{Gal}(k'/k)}\] 이다. 또한 \(\Pic(X_{k'})\) 위의 \(\text{Gal}(k'/k)\)의 작용은 연속이다.

증명

\(\text{Gal}(k'/k) = \text{Aut}(k'/k)\)이므로 이는 \(\Spec(k')\) 위에 (오른쪽에서) 작용하고, 따라서 \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) 위에 (오른쪽에서) 작용한다. \(\Pic(-)\)가 반변함자이므로 이는 \(\Pic(X_{k'})\) 위에 (왼쪽에서) 작용한다. \(k'/k\)가 무한 Galois 확장이면 Fields, Lemma 0BU2에서처럼 유한 Galois 확장들의 여과쌍극한으로 \(k' = \colim k'_\lambda\)라 쓴다. 그러면 \(X_{k'} = \lim X_{k_\lambda}\)이고 (Limits, Section 01YV에서처럼), Limits, Lemma 0B8W에 의해 \[\Pic(X_{k'}) = \colim \Pic(X_{k_\lambda})\] 를 얻는다. 더욱이 이 아벨군 계에서 전이 사상들은 Varieties, Lemma 0CC5에 의해 단사이다. 따라서 \(\Pic(X_{k'})\)의 모든 원소는 열린 부분군들 중 하나인 \(\text{Gal}(k'/k_\lambda)\)에 의해 고정되며, 이는 정확히 그 작용이 연속이라는 뜻이다. 전이 사상들의 단사성에 의해 고정점에 관한 명제는 \(k'/k\)가 유한 Galois인 경우에 증명하면 충분하다.

\(k'/k\)가 Galois 군 \(G = \text{Gal}(k'/k)\)를 갖는 유한 Galois 확장이라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 \(G\)에 의해 고정되는 \(\Pic(X_{k'})\)의 원소라 하자. Galois 하강(Descent, Lemma 0CDR)을 사용하여 \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위의 가역층을 당긴 것임을 증명하겠다. \(f_\sigma = \text{id}_X \times \Spec(\sigma) : X_{k'} \to X_{k'}\)이고, \(\sigma\)가 \(f_\sigma\)에 의한 당김으로 \(\Pic(X_{k'})\) 위에 작용함을 상기하자. \(\mathcal{L}\)이 \(G\)-작용에 의해 고정되므로 각 \(\sigma \in G\)에 대해 동형사상 \(\varphi_\sigma : \mathcal{L} \to f_\sigma^*\mathcal{L}\)을 택할 수 있다. 문제는 코사이클 조건 \(\varphi_{\sigma\tau} = f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\)가 성립하도록 \(\varphi_\sigma\)를 택할 수 있는지 아직 모른다는 점이다. 이것이 가능함을 보이기 위해 \(X\)가 \(k\)-유리점 \(x \in X(k)\)를 갖는다는 사실을 사용한다. 물론 \(x\)는 마찬가지로 모든 \(\sigma\)에 대해 \(f_\sigma\)에 의해 고정되는 \(k'\)-유리점 \(x' \in X_{k'}\)를 정한다. \(x'\)에서 \(\mathcal{L}\)의 섬유의 영이 아닌 원소 \(s\)를 택하자. 이 섬유는 \(1\)차원 \(k' = \kappa(x')\)-벡터공간 \[\mathcal{L}_{x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}} \kappa(x').\] 이다. 그러면 \(f_\sigma^*s\)는 \(x'\)에서 \(f_\sigma^*\mathcal{L}\)의 섬유의 영이 아닌 원소이다. \(\varphi_\sigma\)에 \((k')^*\)의 원소를 곱할 수 있으므로 \(\varphi_\sigma\)가 \(s\)를 \(f_\sigma^*s\)로 보낸다고 가정해도 된다. 그러면 \(\varphi_{\sigma\tau}\)와 \(f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\)는 둘 다 \(s\)를 \(f_{\sigma\tau}^*s = f_\tau^*f_\sigma^*s\)로 보낸다. \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\)이므로 이 두 동형사상은 같아야 한다 (하나는 다른 것에 전역 가역원을 곱한 것이고 \(x'\)에서 서로 같기 때문이다). 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 표수가 \(p > 0\)인 체라 하자. \(X\)를 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)인 \(k\) 위의 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(n\)을 \(p\)와 서로소인 정수라 하자. 그러면 임의의 순수 비분리 확장 \(k'/k\)에 대해 사상 \[\Pic(X)[n] \longrightarrow \Pic(X_{k'})[n]\] 은 전단사이다.

증명

먼저 Varieties, Lemma 0CC5에 의해 사상 \(\Pic(X) \to \Pic(X_{k'})\)가 단사임을 관찰하자. 따라서 보조정리의 사상이 전사임을 보이면 된다. \(\mathcal{L}\)을 \(\Pic(X_{k'})\)에서 위수가 \(n\)의 약수인 가역 \(\mathcal{O}_{X_{k'}}\)-모듈이라 하고, 가역 모듈의 동형사상 \(\alpha : \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{O}_{X_{k'}}\)를 택하자. 쌍 \((\mathcal{L}, \alpha)\)을 \(X\)로 하강시킬 수 있음을 증명하겠다.

\(A = k' \otimes_k k'\)로 두자. \(k'/k\)가 순수 비분리이므로 곱셈 사상 \(A \to k'\)의 핵은 \(A\)의 국소 멱영 아이디얼 \(I\)이다. 등식 \[X_A = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A) = X_{k'} \times_X X_{k'}\] 과 두 사영 \(\text{pr}_i : X_A \to X_{k'}\), \(i = 0, 1\)을 생각하자. 두 사영은 \(A/I\) 위에서 일치한다. 따라서 가역 모듈 \(\mathcal{L}_i = \text{pr}_i^*\mathcal{L}\)은 닫힌 부분스킴 \(X_{A/I} = X_{k'}\) 위에서 일치한다. \(X_{A/I} \to X_A\)는 두꺼워짐이고 \(\mathcal{L}_i\)들은 \(n\)-꼬임이므로 More on Morphisms, Lemma 0C6S에 의해 동형사상 \(\varphi : \mathcal{L}_0 \to \mathcal{L}_1\)이 존재한다. \(\varphi\)를 \(I\)로 나눈 뒤 항등사상으로 환원되도록 택할 수 있다. 실제로 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)이므로 Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의해 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\)이고, \(A \to k'\)는 전사이므로 \(\varphi\)에 \(A\)의 적절한 원소를 곱하여 조정할 수 있다. 사상 \[\lambda : \mathcal{O}_{X_A} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\alpha^{-1}} \mathcal{L}_0^{\otimes n} \xrightarrow{\varphi^{\otimes n}} \mathcal{L}_1^{\otimes n} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\alpha} \mathcal{O}_{X_A}\] 을 생각하자. \(H^0(X_A, \mathcal{O}_{X_A}) = A\)이므로(위와 같은 참조) \(\lambda\)를 \(A\)의 원소로 볼 수 있다. \(\varphi\)가 \(I\)로 나눈 뒤 항등사상으로 환원되므로 \(\lambda = 1 \bmod I\)이다. 그러면 \(1 + I\) 안에 \(\lambda\)의 유일한 \(n\)제곱근이 존재하고 (Algebra, Lemma 0CAP), 그 역을 \(\varphi\)에 곱하면 \(\lambda = 1\)을 얻는다. \((\mathcal{L}, \varphi)\)가 fpqc 덮개 \(\{X_{k'} \to X\}\)에 대한 하강 데이터라고 주장한다(Descent, Definition 023B). 이것이 참이면 Descent, Proposition 023T에 의해 \(\mathcal{L}\)은 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \(\mathcal{N}\)을 당긴 것이다. Picard 군 위 사상의 단사성에 의해 \(\mathcal{N}\)은 \(\Pic(X)\)에서 \(\mathcal{L}\)과 같은 위수를 갖는 꼬임 원소이다.

주장의 증명. 다음 등식을 확인해야 한다. \[\text{pr}_{12}^*\varphi \circ \text{pr}_{01}^*\varphi = \text{pr}_{02}^*\varphi \quad\text{on}\quad X_{k'} \times_X X_{k'} \times_X X_{k'} = X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\] 앞에서처럼 대각 사상 \(\Delta : X_{k'} \to X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\)는 두꺼워짐이다. 등호의 좌변과 우변은 \(p_0^*\alpha\) 및 \(p_2^*\alpha\)와 양립하는 사상 \(a, b : p_0^*\mathcal{L} \to p_2^*\mathcal{L}\)이다. 여기서 \(p_i : X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'} \to X_{k'}\)는 사영 사상이다. 끝으로 \(a, b\)는 \(\Delta\)로 당기면 같은 사상이 된다. 아핀 국소적으로 (국소 자명화 안에서) 이는 \(a, b\)가 다음 성질을 갖는 가역함수에 의한 곱셈으로 주어진다는 뜻이다. 이 함수들은 어떤 국소 멱영 아이디얼로 나누면 같은 함수로 환원되고, 같은 \(n\)제곱을 갖는다. 따라서 Algebra, Lemma 0CAP에 의해 이 함수들은 서로 같다.