曲線の Picard スキーム

序論

本章では、代数閉体上の射影的非特異曲線の Picard スキームを構成するために 必要なだけの準備を行う。より詳しい議論および歴史的背景については [Kleiman-Picard] を参照されたい。

Stacks project の後の章では、Hilbert 函手と Quot 函手をはるかに一般的な 設定で論じる。

点の Hilbert スキーム

\(X \to S\) をスキームの射とし、\(d \geq 0\) を整数とする。 \(S\) 上のスキーム \(T\) に対して \[\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \left\{ \begin{matrix} Z \subset X_T\text{ closed subscheme such that }\\ Z \to T\text{ is finite locally free of degree }d \end{matrix} \right\}\] とおく。\(T' \to T\) が \(S\) 上のスキームの射で、 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) ならば、基底変換 \(Z_{T'} \subset X_{T'}\) は \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T')\) の元である。 このようにして函手 \[\Hilbfunctor^d_{X/S} : (\Sch/S)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\] を得る。一般に \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は代数空間である （ここに将来の参照を挿入する）。本節では、\(X \to S\) の一つのファイバー内の 任意の有限個の点があるアフィン開集合に含まれるならば、 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) がスキームによって表現可能であることを示す。 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) がスキームによって表現可能なとき、そのスキームをしばしば \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\) と書く。

補題

\(X \to S\) をスキームの射とする。函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は fpqc 位相に 関する層の性質を満たす (『スキーム上の位相』の定義 022G)。

証明

\(\{T_i \to T\}_{i \in I}\) を \(S\) 上のスキームの fpqc 被覆とする。 \(X_i = X_{T_i} = X \times_S T_i\) とおく。 \(\{X_i \to X_T\}_{i \in I}\) は \(X_T\) の fpqc 被覆であり (『スキーム上の位相』の補題 022D)、 \(X_{T_i \times_T T_{i'}} = X_i \times_{X_T} X_{i'}\) であることに注意する。 \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\) が元の族であって、\(Z_i\) と \(Z_{i'}\) が \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i \times_T T_{i'})\) の同じ元に写ると仮定する。 閉埋め込みに対する有効降下 (『降下』の補題 03I0) により、 閉埋め込み \(Z \to X_T\) が存在し、\(X_i \to X_T\) によるその基底変換は \(Z_i \to X_i\) に等しい。すると射 \(Z \to T\) の \(T_i\) への基底変換は \(Z_i \to T_i\) である。したがって『降下』の補題 02VO により、 \(Z \to T\) は次数 \(d\) の有限局所自由射である。

補題

\(X \to S\) をスキームの射とする。\(X \to S\) が有限表示ならば、 函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は極限を保つ (『スキームの極限』の注意 05LX)。

証明

\(T = \lim T_i\) を \(S\) 上のアフィンスキームの極限とする。示すべきことは \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T) = \colim \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\) である。 \(Z \to X_T\) が \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) の元ならば、 \(Z \to T\) は有限表示であることに注意する。したがって『スキームの極限』の補題 01ZM により、ある \(i\)、 \(T_i\) 上有限表示なスキーム \(Z_i\)、および \(T_i\) 上の射 \(Z_i \to X_{T_i}\) が存在し、その \(T\) への基底変換は \(Z \to X_T\) を与える。 『スキームの極限』の補題 01ZP を適用し、 \(i\) を大きくすれば \(Z_i \to X_{T_i}\) を閉埋め込みと仮定できる。 さらに『スキームの極限』の補題 06AC を適用し、必要なら再び \(i\) を大きくすれば、\(Z_i \to T_i\) を 次数 \(d\) の有限局所自由射と仮定できる。したがって望みどおり \(Z_i \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T_i)\) である。

\(S\) をスキームとし、\(i : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの閉埋め込みとする。 このとき函手の変換 \[\Hilbfunctor^d_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^d_{Y/S}\] があり、元 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) を \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) の元 \(i_T(Z) \subset Y_T\) に写す。 ここで \(i_T : X_T \to Y_T\) は \(i\) の基底変換である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(i : X \to Y\) をスキームの閉埋め込みとする。 \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) がスキームによって表現可能ならば \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) もそうであり、対応するスキームの射 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to \underline{\Hilbfunctor}^d_{Y/S}\) は閉埋め込みである。

証明

\(T\) を \(S\) 上のスキームとし、\(Z \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T)\) とする。 断言：閉部分スキーム \(T_X \subset T\) が存在し、スキームの射 \(T' \to T\) が \(T_X\) を経由することと \(Z_{T'} \to Y_{T'}\) が \(X_{T'}\) を経由することとは同値である。 これを \(\Hilbfunctor^d_{Y/S}\) を表現するスキーム \(T_{univ}\) と 普遍対象¹ \(Z_{univ} \in \Hilbfunctor^d_{Y/S}(T_{univ})\) に適用すると、閉部分スキーム \(T_{univ, X} \subset T_{univ}\) が得られ、 \(Z_{univ, X} = Z_{univ} \times_{T_{univ}} T_{univ, X}\) は \(X \times_S T_{univ, X}\) の閉部分スキームとなる。したがってこれは \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T_{univ, X})\) の元を定める。 形式的な議論により、\(T_{univ, X}\) は普遍対象 \(Z_{univ, X}\) をもつ \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) の表現スキームである。

断言の証明。\(Z' = X_T \times_{Y_T} Z\) を考える。\(T' \to T\) を与えると、 \(Z_{T'} \to Y_{T'}\) が \(X_{T'}\) を経由することと \(Z'_{T'} \to Z_{T'}\) が同型であることとは同値である。 したがって断言は、非常に一般的な『平坦性の続論』の補題 07AI から従う。 ただし、この特殊な場合には次のように直接証明することもできる。 まず \(T = \Spec(A)\) かつ \(Z = \Spec(B)\) の場合に帰着する。 \(T\) をさらに縮小すれば、\(A\)-加群としての同型 \(\varphi : B \to A^{\oplus d}\) があると仮定してよい。 このとき、あるイデアル \(J \subset B\) に対し \(Z' = \Spec(B/J)\) である。 生成元の族 \(g_\beta \in J\) をとり、 \(\varphi(g_\beta) = (g_\beta^1, \ldots, g_\beta^d)\) と書く。 すると \(T_X\) が \(\Spec(A/(g_\beta^j))\) で与えられることは明らかである。

補題

\(X \to S\) をスキームの射とする。\(X \to S\) が分離的で \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) が表現可能ならば、 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \to S\) は分離的である。

証明

本証明では、基底を明記しない積はすべて \(S\) 上でとる。 \(H = \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\) とおき、 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H)\) を普遍対象とする。 二つの射影 \(H \times H \to H\) によって \(Z\) を引き戻して得られる二つの対象 \(Z_1, Z_2 \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(H \times H)\) を考える。 このとき \(Z_1 = Z \times H \subset X_{H \times H}\) かつ \(Z_2 = H \times Z \subset X_{H \times H}\) である。\(H\) は函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) を表現するので、対角射 \(\Delta : H \to H \times H\) は次の普遍性をもつ。すなわち、スキームの射 \(T \to H \times H\) が \(\Delta\) を経由することと、 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) の元として \(Z_{1, T} = Z_{2, T}\) であることとは同値である。 \(Z = Z_1 \times_{X_{H \times H}} Z_2\) とおく。このとき \(T \to H \times H\) が \(\Delta\) を経由することと、射 \(Z_T \to Z_{1, T}\) および \(Z_T \to Z_{2, T}\) が同型であることとは 同値である。非常に一般的な『平坦性の続論』の補題 07AI により、 \(\Delta\) は閉埋め込みである。補題 0B97 の証明には、この特殊な場合に必要な結果の、より易しい別証明がある。

補題

\(X \to S\) をアフィンスキームの射とし、\(d \geq 0\) とする。 このとき \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は表現可能である。

証明

\(S = \Spec(R)\) とする。十分大きい濃度をもつある集合 \(I\) に対し、 \(X\) から \(R[x_i; i \in I]\) のスペクトルへの閉埋め込みを選べる。 したがって補題 0B97 により、 \(A = R[x_i; i \in I]\) として \(X = \Spec(A)\) と仮定してよい。 この場合に『スキーム』の補題 01JJ を用いて 補題を証明する。

補題の条件 (1) は補題 0B95 から従う。

濃度 \(d\) の各部分集合 \(W \subset A\) に対し、 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) の部分函手 \(F_W\) を構成する。 （\(W\) が \(x_i\) の単項式の族からなる場合だけを考えれば十分だが、 ここではそのことを必要としない。） すなわち、\(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) が \(F_W(T)\) に属することを、 \(\mathcal{O}_T\)-線形写像 \[\bigoplus\nolimits_{f \in W} \mathcal{O}_T \longrightarrow (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z,\quad (g_f) \longmapsto \sum g_f f|_Z\] が全射である（同値なこととして、同型である）ことによって定める。 ここで \(f \in A\) と \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) に対し、 \(f|_Z\) は射 \(Z \to X_T \to X\) による \(f\) の引き戻しを表す。

開性、すなわち補題の条件 (2)(b)。これは『可換代数』の補題 00O0 から従う。

被覆性、すなわち補題の条件 (2)(c)。射 \[A \otimes_R \mathcal{O}_T = (X_T \to T)_*\mathcal{O}_{X_T} \to (Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\] は全射で、\((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z\) は階数 \(d\) の有限局所自由加群である。 したがって各点 \(t \in T\) に対し、濃度 \(d\) の有限部分集合 \(W \subset A\) を選んで、その像が \(d\) 次元 \(\kappa(t)\)-ベクトル空間 \(((Z \to T)_*\mathcal{O}_Z)_t \otimes_{\mathcal{O}_{T, t}} \kappa(t)\) の基底をなすようにできる。中山の補題により、\(t\) のある開近傍 \(V \subset T\) が存在して \(Z_V \in F_W(V)\) となる。

表現可能性、すなわち補題の条件 (2)(a)。\(W \subset A\) の濃度を \(d\) とする。 \(F_W\) は \(R\) 上のアフィンスキームによって表現可能であると主張する。 ここでこのアフィンスキームを構成するが、読者には自ら考えてみることを勧める。 \(W\) の元に番号を付けて \(f_1, \ldots, f_d\) とする。次のようにして、 \(T_{univ} = \Spec(R_{univ})\) 上の \(F_W\) の普遍元 \(Z_{univ} = \Spec(B_{univ})\) を構成する。まず \[R_{univ} = R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]/\mathfrak a_{univ}\] とおく。ここでイデアル \(\mathfrak a_{univ}\) は後で記述する。 添字 \(k, l, m, i\) はすべて \(\{1, \ldots, d\}\) を動く。次に \[B_{univ} = R_{univ}e_1 \oplus R_{univ}e_2 \oplus \ldots \oplus R_{univ}e_d\] とおき、これを \(R_{univ}\)-加群とみなし、 \[e_ke_l = \sum c_{kl}^m e_m\] という規則で代数構造を定める。閉埋め込み \(Z_{univ} \to X_{T_{univ}}\) は \(R_{univ}\)-代数写像 \[\Psi : A \otimes_R R_{univ} \longrightarrow B_{univ}\] によって与えられ、この写像は \(1 \otimes 1\) を \(\sum b^le_l\) に、 \(x_i\) を \(\sum b_i^le_l\) に写す（存在については後述する）。 イデアル \(\mathfrak a_{univ}\) は次の条件によって定める。

1. \(B_{univ}\) 上の乗法は可換、すなわち \(c_{lk}^m - c_{kl}^m \in \mathfrak a_{univ}\) であること、

2. \(B_{univ}\) 上の乗法は結合的、すなわち \(c_{lk}^m c_{m n}^p - c_{lq}^p c_{kn}^q \in \mathfrak a_{univ}\) であること、

3. \(\sum b^le_l\) は \(B_{univ}\) の乗法単位元 \(1\) であること。 言い換えると、すべての \(k\) に対し \((\sum b^le_l)e_k = e_k\)、すなわち \(\sum b^lc_{lk}^m - \delta_{km} \in \mathfrak a_{univ}\) であること（Kronecker のデルタ）。

これにより \(B_{univ}\) が \(\sum b^le_l\) を単位元 \(1\) とする可換 \(R_{univ}\)-代数であることを保証したので、準同型 \(\Psi\) は存在する。 最後の条件は次である。

1. \(f_l\) が \(B_{univ}\) の \(e_l\) に写ること。 ある \(h_l^m \in R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\) によって \(\Psi(f_l) - e_l \equiv \sum h_l^me_m\) と書けば、 \(h_l^m \in \mathfrak a_{univ}\) でなければならない。

\(\mathfrak a_{univ} \subset R[c_{kl}^m, b^l, b_i^l]\) を (1) – (5) に挙げた元で生成されるイデアルとすれば、 \(F_W\) が \(\Spec(R_{univ})\) によって表現されることは明らかである。

命題

\(X \to S\) をスキームの射とし、\(d \geq 0\) とする。 \(s \in S\) かつ \(x_1, \ldots, x_d \in X_s\) であるすべての \((s, x_1, \ldots, x_d)\) に対し、 \(x_1, \ldots, x_d \in U\) を満たすアフィン開集合 \(U \subset X\) が存在すると仮定する。このとき \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は スキームによって表現可能である。

証明

相対的貼り合わせ (『スキームの構成』の第 01LG 節) を用いるか、または 函手的観点 (『スキーム』の補題 01JJ) を用いることで、\(S\) がアフィンの場合に帰着する。詳細は省略する。

\(S\) をアフィンと仮定する。アフィン開集合 \(U \subset X\) に対し、 \(F_U \subset \Hilbfunctor^d_{X/S}\) を次の部分函手とする。 スキーム \(T/S\) と元 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) に対し、 この元が \(F_U(T)\) に属することを \(Z \subset U_T\) によって定める。 『スキーム』の補題 01JJ と部分函手 \(F_U\) を用いて結論を得る。

条件 (1) は補題 0B95 である。

条件 (2)(a) は \(F_U = \Hilbfunctor^d_{U/S}\) であることと、 補題 0B99 により後者が表現可能であることから従う。 実際、\(Z \in F_U(T)\) ならば \(Z\) は \(U_T\) の閉部分スキームとみなせ、 \(T\) 上次数 \(d\) の有限局所自由なので \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\) である。逆に \(Z \in \Hilbfunctor^d_{U/S}(T)\) ならば、 \(Z \to U_T \to X_T\) は閉埋め込みであり² \(Z\) を \(F_U(T)\) の元とみなせる。

\(T\) を \(S\) 上のスキームとし、 \(Z \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) とする。 \[B = (Z \to T)\left((Z \to X_T \to X)^{-1}(X \setminus U)\right)\] とおく。これは \(T\) の閉部分集合であり、開集合 \(T_{Z, U} = T \setminus B\) 上では制限 \(Z_{t'}\) が \(U_{T'}\) に写ることは 明らかである。一方、任意の \(b \in B\) に対し、ファイバー \(Z_b\) は \(U\) に写らない。したがって射 \(T' \to T\) が与えられたとき、 \(Z_{T'} \in F_U(T')\) \(\Leftrightarrow\) \(T' \to T\) が開集合 \(T_{Z, U}\) を経由することとは同値である。これで条件 (2)(b) が示された。

条件 (2)(c) は \(X/S\) に関する仮定から従う。示すべきことは次だけである。 \(T\) が体のスペクトルで、\(Z \subset X_T\) が \(T\) 上次数 \(d\) の有限平坦な 閉部分スキームならば、\(Z \to X_T \to X\) は \(X\) のあるアフィン開集合 \(U\) を経由する。実際、\(Z\) の点は高々 \(d\) 個であり、それらはすべて \(T \to S\) の像の点上の \(X\) のファイバーに写るので明らかである。

注意

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次の各場合には命題 0B9A の仮定が満たされ、 したがってその結論が成り立つ。

1. \(X\) が準アフィンである、

2. \(f\) が準アフィンである、

3. \(f\) が準射影的である、

4. \(f\) が局所射影的である、

5. \(X\) 上に豊富な可逆層が存在する、

6. \(X\) 上に \(f\)-豊富な可逆層が存在する、

7. \(X\) 上に \(f\)-非常に豊富な可逆層が存在する。

実際、いずれの場合にも、ファイバー \(X_s\) の任意の有限点集合は \(X\) のある準コンパクト開集合 \(U\) に含まれ、この開集合は豊富な可逆層をもち、 アフィンスキームの開部分と同型であるか、または次数付き環の \(\text{Proj}\) の開部分と同型である（いずれも定義を展開すれば従う）。 したがって『スキームの性質』の補題 01ZY により、 適切なアフィン開集合が存在する。

滑らかな曲線上の因子のモジュライ

相対次元 \(1\) の滑らかな射 \(X \to S\) に対して、函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は『因子』の第 056P 節で定義された 相対有効 Cartier 因子をパラメータ付ける。

補題

\(X \to S\) を相対次元 \(1\) のスキームの滑らかな射とし、 \(D \subset X\) を閉部分スキームとする。次の条件を考える。

1. \(D \to S\) は有限局所自由である、

2. \(D\) は \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子である、

3. \(D \to S\) は局所準有限、平坦、かつ局所有限表示である、

4. \(D \to S\) は局所準有限かつ平坦である。

常に \[(1) \Rightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Rightarrow (4)\] が成り立つ。\(S\) が局所 Noether 的ならば、最後の矢印は同値である。 \(X \to S\) が固有ならば（\(S\) は任意）、最初の矢印は同値である。

証明

(2) と (3) の同値性。\(S\) が体 \(k\) のスペクトルの場合に (2) と (3) の同値性を示せば、『因子』の補題 062Y から従う。 \(x \in X\) を閉点とする。\(X\) は \(k\) 上相対次元 \(1\) で滑らかなので、 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は次元 \(1\) の正則局所環である (『多様体』の補題 056S)。 したがって \(\mathcal{O}_{X, x}\) は離散付値環 (『可換代数』の補題 00PD) であり、 ゆえに PID である。そこで、\(X\) のすべての生成点で消えない 任意のイデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) は可逆である (『因子』の補題 0AG8)。 言い換えると、生成点を含まない \(X\) の任意の閉部分スキームは 有効 Cartier 因子である。これにより (2) と (3) は同値である。

\(S\) が Noether 的ならば、任意の局所準有限射 \(D \to S\) は 局所有限表示である (『スキームの射』の補題 01TX)。 したがって (3) と (4) は同値である。

\(X \to S\) が固有ならば（\(S\) は任意）、\(D \to S\) も固有である。 固有かつ局所準有限な射は有限であり (『射の続論』の補題 02LS)、 有限、平坦かつ有限表示な射は有限局所自由なので (『スキームの射』の補題 02KB)、 (1) と (2) は同値である。

補題

\(X \to S\) を相対次元 \(1\) のスキームの滑らかな射とする。 \(D_1, D_2 \subset X\) を、それぞれ \(S\) 上次数 \(d_1\), \(d_2\) の 有限局所自由な閉部分スキームとする。このとき \(D_1 + D_2\) は \(S\) 上次数 \(d_1 + d_2\) の有限局所自由である。

証明

補題 0B9D により、\(D_1\) と \(D_2\) は \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子である。したがって『因子』の補題 0B8U により、 \(D = D_1 + D_2\) は \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子である。 ゆえに補題 0B9D により、 \(D \to S\) は局所準有限、平坦、かつ局所有限表示である。 全射な整射 \(D_1 \amalg D_2 \to D\) に『スキームの射』の補題 09MQ を適用すると、 \(D \to S\) は分離的である。すると『スキームの射』の補題 03GN により \(D \to S\) は固有である。 これにより \(D \to S\) は有限であり (『射の続論』の補題 02LS)、 さらに \(D \to S\) は有限局所自由である (『スキームの射』の補題 02KB)。 したがって、\(D \to S\) の次数が \(d_1 + d_2\) であることを示せば十分である。 そのためには \(X \to S\) の一つのファイバーへ基底変換してよいので、 ある体 \(k\) に対し \(S = \Spec(k)\) と仮定してよい。 この場合、有限個の閉点 \(x_1, \ldots, x_n \in X\) が存在して、 \(D_1\) と \(D_2\) は \(\{x_1, \ldots, x_n\}\) 上に台をもつ。 実際、次を満たす非零因子 \(f_{i, j} \in \mathcal{O}_{X, x_i}\) が存在する。 \[D_1 = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1})) \quad\text{and}\quad D_2 = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 2}))\] このとき \[D = \coprod \Spec(\mathcal{O}_{X, x_i}/(f_{i, 1}f_{i, 2}))\] である。これから \(D\) が \(k\) 上次数 \(d_1 + d_2\) をもつことは容易に分かる （必要なら『可換代数』の補題 02MC を用いよ）。

補題

\(X \to S\) を相対次元 \(1\) のスキームの滑らかな射とする。 \(D_1, D_2 \subset X\) を、それぞれ \(S\) 上次数 \(d_1\), \(d_2\) の 有限局所自由な閉部分スキームとする。\(D_1 \subset D_2\) （閉部分スキームとして）ならば、\(S\) 上次数 \(d_2 - d_1\) の 有限局所自由な閉部分スキーム \(D \subset X\) が存在して \(D_2 = D_1 + D\) となる。

証明

証明は補題 0B9E の証明とほとんど同じである。 補題 0B9D により、\(D_1\) と \(D_2\) は \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子である。『因子』の補題 0B8V により、 \(D_2 = D_1 + D\) を満たす相対有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) が存在する。 ゆえに補題 0B9D により、 \(D \to S\) は局所準有限、平坦、かつ局所有限表示である。 \(D\) は \(D_2\) の閉部分スキームなので \(D \to S\) は有限であり、 したがって \(D \to S\) は有限局所自由である (『スキームの射』の補題 02KB)。 よって \(D \to S\) の次数が \(d_2 - d_1\) であることを示せば十分であり、 これは補題 0B9E から従う。

\(X \to S\) を相対次元 \(1\) のスキームの滑らかな射とする。 補題 0B9D により、\(S\) 上のスキーム \(T\) と \(D \in \Hilbfunctor^d_{X/S}(T)\) に対し、\(D\) を \(X_T/T\) 上の 相対有効 Cartier 因子であって \(D \to T\) が次数 \(d\) の有限局所自由である ものとみなせる。したがって補題 0B9E により、函手の変換 \[\Hilbfunctor^{d_1}_{X/S} \times \Hilbfunctor^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \Hilbfunctor^{d_1 + d_2}_{X/S},\quad (D_1, D_2) \longmapsto D_1 + D_2\] を得る。\(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) がすべての次数 \(d\) について表現可能ならば、 この函手の変換はスキームの射 \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/S} \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/S} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/S}\] に対応する。これは \(S\) 上の射である。 \(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\) および \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\) であることに注意する。 上の射の特殊な場合として \[\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S},\quad (D, x) \longmapsto D + x\] がある。

補題

\(X \to S\) を相対次元 \(1\) のスキームの滑らかな射とし、 函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は表現可能であるとする。射 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) は次数 \(d + 1\) の有限局所自由射である。

証明

\(D_{univ} \subset X \times_S \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) を普遍対象とする。可換図式 \[\xymatrix{ \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \ar[rr] \ar[rd] & & D_{univ} \ar[ld] \ar@{^{(}->}[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} \times_S X \\ & \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S} }\] がある。上の水平矢印は \((D', x)\) を \((D' + x, x)\) に写す。 この射は同型であると主張する。これで補題は明らかに従う。 実際、\(S\) 上のスキーム \(T\) を与えると、\(D_{univ}\) の \(T\)-値点 \(\xi\) は対 \(\xi = (D, x)\) によって与えられる。ここで \(D \subset X_T\) は \(T\) 上次数 \(d + 1\) の有限局所自由な閉部分スキームであり、 \(x : T \to X\) は、そのグラフ \(x : T \to X_T\) が \(D\) を経由する射である。 このとき補題 0B9F により、 \(T\) 上次数 \(d\) の有限局所自由なある \(D' \subset X_T\) によって \(D = D' + x\) と書ける。\(\xi = (D, x)\) を対 \((D', x)\) に写す写像が 求める逆写像である。

補題

\(X \to S\) を相対次元 \(1\) のスキームの滑らかな射とし、 函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/S}\) は表現可能であるとする。 スキーム \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S}\) は \(S\) 上滑らかで、 相対次元は \(d\) である。

証明

\(\underline{\Hilbfunctor}^0_{X/S} = S\) および \(\underline{\Hilbfunctor}^1_{X/S} = X\) なので、\(d = 0, 1\) では結論は正しい。 \(d\) について結論を仮定すると、 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X\) は \(S\) 上滑らかである (『スキームの射』の補題 01VB および 01VA)。また補題 0B9G により \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/S} \times_S X \to \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/S}\) は次数 \(d + 1\) の有限局所自由射であるから、結論は 『降下』の補題 05B5 から従う。 相対次元が主張どおりであることの確認は省略する （ファイバーを調べるか、上の議論で次元を追跡すればよい）。

これまでに得た情報を、体上の固有滑らかな曲線の場合についてまとめる。

命題

\(X\) を体 \(k\) 上の幾何学的に既約な滑らかな固有曲線とする。

1. 函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\) は、\(k\) 上次元 \(d\) の滑らかな固有多様体 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) によって表現可能である。

2. 体拡大 \(k'/k\) に対し、 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) の \(k'\)-有理点は \(X_{k'}\) 上の次数 \(d\) の有効 Cartier 因子と \(1\)-対-\(1\) に対応する。

3. \(d_1, d_2 \geq 0\) に対し、射 \[\underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k}\] が存在し、これは次数 \({d_1 + d_2 \choose d_1}\) の有限局所自由射である。

証明

函手 \(\Hilbfunctor^d_{X/k}\) が表現可能であることは、 命題 0B9A （注意 0B9B も参照）と、 \(X\) が射影的であること (『多様体』の補題 0A26) から従う。 スキーム \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) は 補題 0B98 により \(k\) 上分離的である。 スキーム \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) は 補題 0B9H により \(k\) 上滑らかである。 \(X = \underline{\Hilbfunctor}^1_{X/k}\) から始め、 補題 0B9G の射と帰納法を用いると、射 \[X^d = X \times_k X \times_k \ldots \times_k X \longrightarrow \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k},\quad (x_1, \ldots, x_d) \longrightarrow x_1 + \ldots + x_d\] を得る。これは次数 \(d!\) の有限局所自由射である。\(X\) は \(k\) 上固有なので \(X^d\) もそうであり、『スキームの射』の補題 03GN により \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) は \(k\) 上固有である。 \(X\) は \(k\) 上幾何学的に既約なので、積 \(X^d\) は既約であり (『多様体』の補題 038F)、 したがって像も既約（実際、幾何学的に既約）である。これで (1) が示された。 (2) は定義から従う。(3) は可換図式 \[\xymatrix{ X^{d_1} \times_k X^{d_2} \ar[d] \ar@{=}[r] & X^{d_1 + d_2} \ar[d] \\ \underline{\Hilbfunctor}^{d_1}_{X/k} \times_k \underline{\Hilbfunctor}^{d_2}_{X/k} \ar[r] & \underline{\Hilbfunctor}^{d_1 + d_2}_{X/k} }\] と有限局所自由射の次数の乗法性から従う。

注意

\(X\) を命題 0B9I のような、体 \(k\) 上の 幾何学的に既約な滑らかな固有曲線とし、\(d \geq 0\) とする。 普遍閉対象は \[D_{univ} \subset \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k} \times_k X\] であり、補題 0B9D により \(\underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\) 上の相対有効因子である。 実際、補題 0B9G の証明にあるように、 \(D_{univ}\) はスキームとして \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\) と同型である。 特に \(D_{univ}\) は有効 Cartier 因子であり、可逆加群 \(\mathcal{O}(D_{univ})\) を得る。 \([D] \in \underline{\Hilbfunctor}^{d + 1}_{X/k}\) が次数 \(d + 1\) の 有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) に対応する \(k\)-有理点を表すならば、 \(\mathcal{O}(D_{univ})\) のファイバー \([D] \times X\) への制限は \(\mathcal{O}_X(D)\) である。

Picard 函手

任意のスキーム \(X\) に対し、可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群の同型類の集合を \(\Pic(X)\) と書く。『加群の層』の定義 01CX を参照されたい。スキームの射 \(f : X \to Y\) が与えられると、 引き戻しは群準同型 \(\Pic(Y) \to \Pic(X)\) を定める。 対応 \(X \leadsto \Pic(X)\) はスキームの圏から Abel 群の圏への反変函手である。 この函手は表現可能ではないが、この構成の相対版は表現可能となることがある。

スキームの射 \(f : X \to S\) に対する Picard 函手を定義しよう。 構成の考え方は、fppf 位相を用いて高次順像を計算した層 \(R^1f_*\mathbf{G}_m\) をとることである。定義を展開すると、 次のより直接的な定義に至る。

定義

\(\Sch_{fppf}\) を『スキーム上の位相』の定義 021S のような大サイトとする。 \(f : X \to S\) をこのサイトの射とする。Picard 函手 \(\Picardfunctor_{X/S}\) とは、函手 \[(\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow \textit{Sets},\quad T \longmapsto \Pic(X_T)\] の fppf 層化である。この函手が表現可能ならば、それを表現するスキームを \(\underline{\Picardfunctor}_{X/S}\) と書く。

しばしば用いる注意として、\(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) ならば、 \(\Picardfunctor_{X_T/T}\) は \(\Picardfunctor_{X/S}\) の \((\Sch/T)_{fppf}\) への制限である。 \(S\) 上のスキーム \(T\) における \(\Picardfunctor_{X/S}\) の値を 見定めることは非自明である。次の補題が役立つ。

補題

\(f : X \to S\) を定義 0B9L のような射とする。 すべての \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) に対して \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) が同型ならば、 \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T)\] はすべての \(T\) に対して完全列である。

証明

記号を簡単にするため、\(S\) を \(T\) で、\(X\) を \(X_T\) で置き換え、 \(S = T\) と仮定してよい。\(\mathcal{N}\) を可逆 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。\(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X\) ならば、 仮定により \(f_*f^*\mathcal{N} \cong f_*\mathcal{O}_X \cong \mathcal{O}_S\) である。\(\mathcal{N}\) は局所的に自明なので、標準写像 \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N}\) は局所的に同型である （仮定により \(\mathcal{O}_S \to f_*f^*\mathcal{O}_S\) が同型だからである）。 したがって \(\mathcal{N} \to f_*f^*\mathcal{N} \to \mathcal{O}_S\) は同型で、 \(\mathcal{N}\) は自明である。これで最初の矢印が単射であることが示された。

\(\mathcal{L}\) を \(\Pic(X) \to \Picardfunctor_{X/S}(S)\) の核に属する 可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき fppf 被覆 \(\{S_i \to S\}\) が存在して、\(\mathcal{L}\) の \(X_{S_i}\) への引き戻しは 自明な可逆層となる。自明化切断 \(s_i\) を選ぶ。 \(\text{pr}_0^*s_i\) と \(\text{pr}_1^*s_j\) はともに \(X_{S_i \times_S S_j}\) 上の \(\mathcal{L}\) の自明化切断なので、 ある乗法単元だけ異なる。 \[f_{ij} \in \Gamma(X_{S_i \times_S S_j}, \mathcal{O}_{X_{S_i \times_S S_j}}^*) = \Gamma(S_i \times_S S_j, \mathcal{O}_{S_i \times_S S_j}^*)\] （等号は構造層の順像に関する仮定による。） もちろん、これらの元は \(S_i \times_S S_j \times_S S_k\) 上で コサイクル条件を満たすので、fppf 被覆 \(\{S_i \to S\}\) に関する 可逆層上の降下データを定める。『降下』の命題 023T により、 可逆 \(\mathcal{O}_S\)-加群 \(\mathcal{N}\) が存在し、\(S_i\) 上の自明化に 付随する降下データは \(\{f_{ij}\}\) である。すると \(f^*\mathcal{N} \cong \mathcal{L}\) である。実際、降下データから加群への 函手は忠実充満である（上で引用した命題を参照）。

補題

\(f : X \to S\) を定義 0B9L のような射とする。 \(f\) が切断 \(\sigma\) をもち、すべての \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\) に対して \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) が同型であると仮定する。 このとき \[0 \to \Pic(T) \to \Pic(X_T) \to \Picardfunctor_{X/S}(T) \to 0\] は分裂完全列であり、分裂は \(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T)\) によって与えられる。

証明

\(K(T) = \Ker(\sigma_T^* : \Pic(X_T) \to \Pic(T))\) と書く。 \(\sigma\) は \(f\) の切断なので、\(\Pic(X_T)\) は \(\Pic(T)\) と \(K(T)\) の 直和である。したがって補題 0B9M により、 すべての \(T\) に対して \(K(T) \subset \Picardfunctor_{X/S}(T)\) である。 さらに、構成から \(\Picardfunctor_{X/S}\) は前層 \(K\) の層化である。 証明を終えるには \(K\) が fppf 被覆に対する層条件を満たすことを示せば十分で、 これを次の段落で行う。

\(\{T_i \to T\}\) を fppf 被覆とする。\(\mathcal{L}_i\) を \(K(T_i)\) の元で、 すべての \(i\), \(j\) に対し \(K(T_i \times_T T_j)\) の同じ元に写るものとする。 すべての \(i\) に対して同型 \(\alpha_i : \mathcal{O}_{T_i} \to \sigma_{T_i}^*\mathcal{L}_i\) を選ぶ。また同型 \[\varphi_{ij} : \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j}} \longrightarrow \mathcal{L}_j|_{X_{T_i \times_T T_j}}\] を選ぶ。写像 \[\alpha_j|_{T_i \times_T T_j} \circ \sigma_{T_i \times_T T_j}^*\varphi_{ij} \circ \alpha_i|_{T_i \times_T T_j} : \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j} \to \mathcal{O}_{T_i \times_T T_j}\] が \(1\) による乗法ではなく、ある \(u_{ij}\) による乗法ならば、 \(\varphi_{ij}\) を \(u_{ij}^{-1}\) 倍して修正できる。こうした後、自己写像 \[\varphi_{ki}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{jk}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \circ \varphi_{ij}|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}} \quad\text{on}\quad \mathcal{L}_i|_{X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}}\] を考える。これはスキーム \(X_{T_i \times_T T_j \times_T T_k}\) 上の ある正則関数 \(f_{ijk}\) による乗法で与えられる。 \(\varphi_{ij}\) の選び方により、この写像の \(\sigma\) による引き戻しは \(1\) による乗法である。\(X\) 上の関数に関する仮定により \(f_{ijk} = 1\) である。したがって fppf 被覆 \(\{X_{T_i} \to X\}\) に対する降下データを得る。 『降下』の命題 023T により、可逆 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-加群 \(\mathcal{L}\) と同型 \(\alpha : \mathcal{O}_T \to \sigma_T^*\mathcal{L}\) が存在し、 その \(X_{T_i}\) への引き戻しは \((\mathcal{L}_i, \alpha_i)\) を復元する （細部は省略する）。したがって \(\mathcal{L}\) は望みどおり \(K(T)\) の対象を定める。

表現可能性の判定条件

Picard 函手の表現可能性を証明するため、次の判定条件を用いる。

補題

\(k\) を体とし、\(G : (\Sch/k)^{opp} \to \textit{Groups}\) を函手とする。 『スキーム』の定義 01JI の用語のもとで、 次を仮定する。

1. \(G\) は Zariski 位相に関する層の性質を満たす、

2. 次を満たす部分函手 \(F \subset G\) が存在する。

   1. \(F\) は表現可能である、

   2. \(F \subset G\) は開埋め込みによって表現可能である、

   3. \(k\) の任意の体拡大 \(K\) と \(g \in G(K)\) に対し、 \(g'g \in F(K)\) を満たす \(g' \in G(k)\) が存在する。

このとき \(G\) は \(k\) 上の群スキームによって表現可能である。

証明

『スキーム』の補題 01JJ から従う。 実際、\(I = G(k)\) とし、\(i = g' \in I\) に対して \(F_i \subset G\) を、\(k\) 上の \(T\) に元 \(g \in G(T)\) で \(g'g \in F(T)\) を満たすものの集合を対応させる 部分函手とする。\(g'\) による乗法によって \(F_i \cong F\) である。 写像 \(F_i \to G\) は \(g'\) による乗法を通じて写像 \(F \to G\) と同型なので、 開埋め込みによって表現可能である。最後に仮定 (2)(c) により、 族 \((F_i)_{i \in I}\) は \(G\) を被覆する。したがって上記の補題を適用でき、 証明は完了する。

曲線の Picard スキーム

本節では補題 0B9Q を適用し、\(k\) が代数閉体で \(X\) が \(k\) 上の滑らかな射影曲線ならば \(\Picardfunctor_{X/k}\) が表現可能であることを示す。 このため、スキームの導来圏の章で展開したコホモロジーと基底変換を少し用いる。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の滑らかな射影曲線で \(k\)-有理点をもつものとする。このとき補題 0B9N の仮定が満たされる。

証明

「\(k\)-有理点をもつ」という句の意味は、構造射 \(f : X \to \Spec(k)\) が切断をもつということにほかならず、 これで最初の条件が確認される。『多様体』の補題 04L2 により、 \(k' = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) は \(k\) の体拡大である。 \(X\) は \(k\)-有理点をもつので \(k\)-代数準同型 \(k' \to k\) があり、 \(k' = k\) と結論する。\(k\) は体なので、任意の射 \(T \to \Spec(k)\) は平坦である。したがってコホモロジーと基底変換 (『スキームのコホモロジー』の補題 02KH) により、 \(\mathcal{O}_T \to f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\) は同型である。 これで証明は完了する。

\(X\) を体 \(k\) 上の滑らかな射影曲線で、\(k\)-有理点 \(\sigma\) をもつものとする。 このとき函手 \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} : (\Sch/k)^{opp} \longrightarrow \textit{Ab},\quad T \longmapsto \Ker(\Pic(X_T) \xrightarrow{\sigma_T^*} \Pic(T))\] は、補題 0B9U および 0B9N により、 \((\Sch/k)_{fppf}\) 上で \(\Picardfunctor_{X/k}\) と同型である。 したがって \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) の表現可能性を示せば十分である。 「\(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\)」という記法は、 \(T\) が \(k\) 上のスキームで、\(\mathcal{L}\) が可逆 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-加群であり、その \(\sigma_T\) を介した \(T\) への制限が \(\mathcal{O}_T\) と同型であることを表すものとする。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の滑らかな射影曲線で、 \(k\)-有理点 \(\sigma\) をもつものとする。\(k\) 上のスキーム \(T\) に対し、 \(F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) を、 \(Rf_{T, *}\mathcal{L}\) が次数 \(0\) に置かれた可逆 \(\mathcal{O}_T\)-加群と同型であるような \(\mathcal{L}\) からなる部分集合とする。 このとき \(F \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) は部分函手であり、 包含は開埋め込みによって表現可能である。

証明

『スキームの導来圏』の補題 0B9S を \(i = 0\), \(r = 1\) として適用し、『スキーム』の定義 01JI を用いれば直ちに従う。

先へ進むため、次の定義をしておくと便利である。

定義

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の滑らかな射影的かつ幾何学的に既約な 曲線とする。\(X\) の 種数 とは \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\) のことである。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の種数 \(g\) の滑らかな射影曲線で \(k\)-有理点 \(\sigma\) をもつものとする。補題 0B9V で定義された開部分函手 \(F\) は \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) の開部分スキームによって表現可能である。

証明

本証明では、基底を明記しない積はすべて \(\Spec(k)\) 上でとる。 命題 0B9I によりスキーム \(H = \underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) は存在する。 普遍因子 \(D_{univ} \subset H \times X\) と、それに付随する可逆層 \(\mathcal{O}(D_{univ})\) を考える (注意 0B9J)。 \(\sigma_H : H \to H \times X\) を介した引き戻しをテンソルして調整し、 \[\mathcal{L}_H = \mathcal{O}(D_{univ}) \otimes_{\mathcal{O}_{H \times X}} \text{pr}_H^*\sigma_H^*\mathcal{O}(D_{univ})^{\otimes -1} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(H)\] を得る。 Yoneda の補題 (『圏論』の補題 001P) により、 可逆層 \(\mathcal{L}_H\) は自然変換 \[h_H \longrightarrow \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] を定める。\(F\) は開部分函手なので、 \(\mathcal{L}_H|_{W \times X}\) が \(F(W)\) に属するような最大の開部分 \(W \subset H\) が存在する。この開部分はもちろん、射 \(H \times X \to H\) と層 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}(D_{univ})\) に対し \(i = 0\) および \(r = 1\) として 『スキームの導来圏』の補題 0B9S で構成される開部分スキームにほかならない。Yoneda の補題を再び適用すると、 可換図式 \[\xymatrix{ h_W \ar[d] \ar[r] & F \ar[d] \\ h_H \ar[r] & \Picardfunctor_{X/k, \sigma} }\] を得る。証明を終えるため、上の水平射が同型であることを示す。

\(\mathcal{L} \in F(T) \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) とする。 \(Rf_{T, *}\mathcal{L} \cong \mathcal{N}[0]\) となる可逆 \(\mathcal{O}_T\)-加群を \(\mathcal{N}\) とする。随伴射 \[f_T^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L} \quad\text{corresponds to a section }s\text{ of}\quad \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\] は、\(X_T\) 上の切断に対応する。主張：\(s\) の零点スキームは、 \((T \times X)/T\) 上の相対有効 Cartier 因子 \(D\) であり、\(T\) 上 次数 \(g\) の有限局所自由である。

この主張を認めて補題の証明を終えよう。すなわち、\(D\) は射 \(m : T \to H\) を定め、\(D\) は \(D_{univ}\) の引き戻しである。したがって \[(m \times \text{id}_X)^*\mathcal{O}(D_{univ}) \cong \mathcal{O}_{T \times X}(D)\] である。\(\mathcal{O}_{T \times X}(D) \cong \mathcal{L} \otimes f_T^*\mathcal{N}^{\otimes -1}\) なので、 \((m \times \text{id}_X)^*\mathcal{L}_H\) と \(\mathcal{L}\) の差は、 \(T\) 上の可逆加群の引き戻しである。ゆえに \(m : T \to H\) は上の開部分 \(W \subset H\) を経由する。さらに、上と同様に \(\sigma_T\) による引き戻しで 調整すると、これらの可逆加群は \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) の同じ元を 定める。Yoneda の補題を用いて図式を追えば、\(m \in h_W(T)\) が \(\mathcal{L} \in F(T)\) に写ることが分かる。規則 \(F(T) \to h_W(T)\)、 \(\mathcal{L} \mapsto m\) が上の函手の変換の逆を定めることの確認は省略する。

主張の証明。\(D\) は \(T \times X\) の局所主閉部分スキームなので、 \(T\) 上の \(D\) の各ファイバーが有効 Cartier 因子であることを示せば十分である。 補題 0B9D および 『因子』の補題 062Y を参照せよ。 \(\mathcal{L}\) のコホモロジーをとる操作は基底変換と可換するから (『スキームの導来圏』の補題 0B91)、 \(K/k\) が体拡大である場合の \(T = \Spec(K)\) に帰着する。 このとき \(\mathcal{L}\) は \(X_K\) 上の可逆層であり、 \(H^0(X_K, \mathcal{L}) = K\) かつ \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\) である。したがって \[\deg(\mathcal{L}) = \chi(X_K, \mathcal{L}) - \chi(X_K, \mathcal{O}_{X_K}) = 1 - (1 - g) = g\] である。『多様体』の定義 0AYR を参照せよ。 証明を終えるには、\(\mathcal{L}\) の非零切断が \(X_K\) 上の有効 Cartier 因子を 定めることを示せばよい。これは明らかである。

補題

\(k\) を可分閉体とし、\(X\) を \(k\) 上の種数 \(g\) の滑らかな射影曲線とする。 \(K/k\) を体拡大とし、\(\mathcal{L}\) を \(X_K\) 上の可逆層とする。このとき、 \(X\) 上の可逆層 \(\mathcal{L}_0\) であって \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 1\) かつ \(\dim_K H^1(X_K, \mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0|_{X_K}) = 0\) となるものが存在する。

証明

この証明は『多様体』の補題 0B8Z の証明の変形である。 先にそちらの証明を読むことを勧める。

まず豊富な可逆層 \(\mathcal{L}_0\) を選び、ある \(n \gg 0\) に対して \(\mathcal{L}\) を \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}_0^{\otimes n}|_{X_K}\) で置き換える。これにより、\(H^0(X_K, \mathcal{L}) \not = 0\) かつ \(H^1(X_K, \mathcal{L}) = 0\) と仮定してよいことになる。実際、消滅は 『スキームのコホモロジー』の補題 0B5U から従い、非消滅はテンソル積の次数が \(\gg 0\) であることから従う。 \(t = \dim_K H^0(X_K, \mathcal{L})\) に関する降下帰納法で証明を終える。 基底の場合 \(t = 1\) は自明である。\(t > 1\) と仮定する。

\(X\) の \(k\)-有理点 \(x\) に対し、その逆像 \(x_K\) は \(X_K\) の \(K\)-有理点である。また『多様体』の補題 056U により、 \(k\)-有理点は無限に存在する。したがって、点 \(x_K\) の族は \(X_K\) で Zariski 稠密である。

\(s \in H^0(X_K, \mathcal{L})\) を非零とする。前段落から、\(s\) が \(x_K\) で 消えないような \(k\)-有理点 \(x\) が存在する。『多様体』の補題 0B8Y と同様に、 \(\mathcal{I}\) を \(i : x_K \to X_K\) のイデアル層とする。短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L} \to \mathcal{L} \to i_*i^*\mathcal{L} \to 0\] を考える。\(H^0(X_K, i_*i^*\mathcal{L}) = H^0(x_K, i^*\mathcal{L})\) は \(K\) 上 \(1\) 次元である。\(s\) は \(x\) で消えないので、 \[H^0(X_K, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(X, i_*i^*\mathcal{L})\] は全射である。よって \(\dim_K H^0(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = t - 1\) となる。最後に、コホモロジーの長完全列から \(H^1(X_K, \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_{X_K}} \mathcal{L}) = 0\) も分かり、帰納段階の証明が完了する。

命題

\(k\) を可分閉体とし、\(X\) を \(k\) 上の滑らかな射影曲線とする。 Picard 函手 \(\Picardfunctor_{X/k}\) は表現可能である。

証明

\(k\) は可分閉なので、\(X\) の \(k\)-有理点 \(\sigma\) が存在する。 『多様体』の補題 056U を参照せよ。 上で述べたように、\(\sigma\) に沿って自明な可逆加群を分類する函手 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) が表現可能であることを示せば十分である。 そのため補題 0B9Q の条件 (1)、(2)(a)、(2)(b)、 および (2)(c) を確認する。

函手 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) は \(\Picardfunctor_{X/k}\) と同型なので、 fppf 位相に関する層の条件を満たす。より正確には、補題 0B9N の証明において \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) に対する層の条件を示した、というべきであり、 この補題は補題 0B9U により適用できる。 これで条件 (1) が証明された。

部分函手として補題 0B9V で定義した \(F\) を用いる。 条件 (2)(b) が従う。条件 (2)(a) は補題 0B9X であり、条件 (2)(c) は補題 0B9Y である。

実際、上の証明からはさらに多くの情報が得られるので、ここにまとめておく。

補題

\(k\) を可分閉体とし、\(X\) を \(k\) 上の種数 \(g\) の滑らかな射影曲線とする。

1. \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) は、\(g\) 次元の滑らかな固有多様体 \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) の非交和である。

2. \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) の \(k\)-点は、次数 \(d\) の可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群に対応する。

3. \(\underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\) は開かつ閉な部分群スキームである。

4. \(d \geq 0\) に対して標準射 \(\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) が存在する。

5. 射 \(\gamma_d\) は \(d \geq g\) に対して全射であり、 \(d \geq 2g - 1\) に対して滑らかである。

6. 射 \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^g_{X/k}\) は双有理である。

証明

\(X\) の \(k\)-有理点 \(\sigma\) を選ぶ。\(\Picardfunctor_{X/k}\) は函手 \(\Picardfunctor_{X/k, \sigma}\) と同型であることを思い出そう。 『スキームの導来圏』の補題 0B9T により、各 \(d \in \mathbf{Z}\) に対して開部分函手 \[\Picardfunctor^d_{X/k, \sigma} \subset \Picardfunctor_{X/k, \sigma}\] が存在する。\(k\) 上のスキーム \(T\) におけるその値は、 \(\chi(X_t, \mathcal{L}_t) = d + 1 - g\) を満たす \(\mathcal{L} \in \Picardfunctor_{X/k, \sigma}(T)\) からなり、さらに fppf 層として \[\Picardfunctor_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \Picardfunctor^d_{X/k, \sigma}\] である。したがって、命題 0B9Z により存在する スキーム \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) には、対応する分解 \[\underline{\Picardfunctor}_{X/k, \sigma} = \coprod\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\] がある。ここで \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k, \sigma}\) の点は、 \(X\) 上の次数 \(d\) の可逆加群の同型類に対応する。

\(d \geq 0\) を固定する。\(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \times_k X\) 上の 可逆層 \(\mathcal{O}(D_{univ})\) (注意 0B9J) から、Yoneda の補題 (『圏論』の補題 001P) により射 \[\gamma_d : \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k} \longrightarrow \underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\] が得られる。命題 0B9Z および補題 0B9X における \(X/k\) の Picard 函手の表現可能性の 証明から、\(\gamma_g\) は \(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/k}\) のある空でない 開部分上で開埋め込みを誘導する。さらにその証明によれば、群スキーム \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) の \(k\)-有理点によるこの開部分の平行移動は 開被覆を定める。\(\underline{\Hilbfunctor}^g_{X/K}\) は \(k\) 上滑らかな \(g\) 次元スキームなので (命題 0B9I)、群スキーム \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) は \(k\) 上滑らかな \(g\) 次元スキームである。

『亜群スキーム』の補題 047L により、 \(\underline{\Picardfunctor}_{X/k}\) は分離的である。したがって各 \(d \geq 0\) に対し、\(\gamma_d\) の像は \(k\) 上の固有多様体である (『スキームの射』の補題 0AH6)。

\(d \geq g\) とする。任意の体拡大 \(K/k\) と次数 \(d\) の可逆 \(\mathcal{O}_{X_K}\)-加群 \(\mathcal{L}\) に対して \(\chi(X_K, \mathcal{L}) = d + 1 - g > 0\) である。よって \(\mathcal{L}\) は 非零切断をもち、次数 \(d\) のある因子 \(D \subset X_K\) に対して \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X_K}(D)\) となる。したがって \(\gamma_d\) は全射である。

以上の事実を合わせると、\(d \geq g\) に対して \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) は固有である。これで (2) の証明が 完了する。実際、\(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) が \(d \geq g\) に対して 固有であることが分かれば、平行移動によりすべての \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) が固有となる。

残るのは、\(d \geq 2g - 1\) に対して \(\gamma_d\) が滑らかであることの証明である。 次数 \(d\) の可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) を考える。このとき、 \(\mathcal{L}\) に対応する点上のファイバーは、その自然なスキーム構造を備えた \[Z = \{D \subset X \mid \mathcal{O}_X(D) \cong \mathcal{L}\} \subset \underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\] である。同型 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\) は非零スカラー倍を除いて 定まるので、標準切断 \(1 \in \mathcal{O}_X(D)\) は非零スカラー倍を除いて 定まる切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) に写る。このようにして射 \[Z \longrightarrow \text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*))\] を得る（双対が現れるのは本書の規約による）。この射は同型である。 実際、\(\mathcal{L}\) の切断から対応する有効 Cartier 因子をとることにより、 表示された射の逆を構成できる。厳密な定式化と証明は省略する。 『多様体』の補題 0B90 により、次数 \(d \geq 2g - 1\) のすべての \(\mathcal{L}\) に対して \(\dim H^0(X, \mathcal{L}) = d + 1 - g\) なので、 \(\text{Proj}(\text{Sym}(\Gamma(X, \mathcal{L})^*)) \cong \mathbf{P}^{d - g}_k\) である。 したがって \(\dim(Z) = \dim(\mathbf{P}^{d - g}_k) = d - g\) である。 ゆえに射 \(\gamma_d\) のすべてのファイバーの次元は、 \(\underline{\Hilbfunctor}^d_{X/k}\) と \(\underline{\Picardfunctor}^d_{X/k}\) の 次元の差に等しい。したがって \(\gamma_d\) は平坦である (『可換代数』の補題 00R4)。 さらにファイバーは滑らかなので、『スキームの射』の補題 01V8 により \(\gamma_d\) は滑らかである。

Picard 群に関する若干の注意

本節では『多様体』の第 0BEG 節の議論を 引き継ぎ、Algebraic 『代数曲線』の第 0C1Y 節でさらに続ける。

補題

\(k\) を体とし、\(X\) を \(k\) 上の準コンパクトかつ準分離的なスキームで \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) を満たすものとする。\(X\) が \(k\)-有理点をもつならば、 任意の Galois 拡大 \(k'/k\) に対して \[\Pic(X) = \Pic(X_{k'})^{\text{Gal}(k'/k)}\] である。さらに、\(\Pic(X_{k'})\) 上の \(\text{Gal}(k'/k)\) の作用は連続である。

証明

\(\text{Gal}(k'/k) = \text{Aut}(k'/k)\) は \(\Spec(k')\) に右から作用し、 したがって \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) にも右から作用する。 \(\Pic(-)\) は反変函手なので、\(\Pic(X_{k'})\) には左から作用する。 \(k'/k\) が無限 Galois 拡大ならば、有限 Galois 拡大のフィルター付き余極限として \(k' = \colim k'_\lambda\) と書ける (『体』の補題 0BU2)。 このとき \(X_{k'} = \lim X_{k_\lambda}\) (『スキームの極限』の第 01YV 節と同様) であり、『スキームの極限』の補題 0B8W により \[\Pic(X_{k'}) = \colim \Pic(X_{k_\lambda})\] を得る。また『多様体』の補題 0CC5 により、このアーベル群系の遷移写像は単射である。 したがって \(\Pic(X_{k'})\) の各元は、ある開部分群 \(\text{Gal}(k'/k_\lambda)\) によって固定される。これは作用が連続であることに ほかならない。遷移写像の単射性から、固定点に関する主張は \(k'/k\) が有限 Galois 拡大の場合に証明すれば十分である。

\(k'/k\) を Galois 群 \(G = \text{Gal}(k'/k)\) をもつ有限 Galois 拡大とする。 \(\mathcal{L}\) を \(G\) に固定される \(\Pic(X_{k'})\) の元とする。 Galois 降下 (『降下』の補題 0CDR) を用いて、 \(\mathcal{L}\) が \(X\) 上の可逆層の引き戻しであることを示す。 \(f_\sigma = \text{id}_X \times \Spec(\sigma) : X_{k'} \to X_{k'}\) であり、 \(\sigma\) は \(f_\sigma\) による引き戻しを通じて \(\Pic(X_{k'})\) に作用することを 思い出そう。\(\mathcal{L}\) は \(G\)-作用で固定されるので、各 \(\sigma \in G\) に 対して同型 \(\varphi_\sigma : \mathcal{L} \to f_\sigma^*\mathcal{L}\) を選べる。 問題は、コサイクル条件 \(\varphi_{\sigma\tau} = f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\) を満たすように \(\varphi_\sigma\) を選べるかどうかがまだ分からないことである。これが可能で あることを示すため、\(X\) が \(k\)-有理点 \(x \in X(k)\) をもつことを用いる。 もちろん \(x\) は同様に、すべての \(\sigma\) に対して \(f_\sigma\) に固定される \(k'\)-有理点 \(x' \in X_{k'}\) を定める。\(x'\) における \(\mathcal{L}\) のファイバーの 非零元 \(s\) を選ぶ。このファイバーは \(1\) 次元の \(k' = \kappa(x')\)-ベクトル空間 \[\mathcal{L}_{x'} \otimes_{\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}} \kappa(x').\] である。すると \(f_\sigma^*s\) は、\(x'\) における \(f_\sigma^*\mathcal{L}\) のファイバーの非零元である。\(\varphi_\sigma\) を \((k')^*\) の元倍できるので、\(\varphi_\sigma\) が \(s\) を \(f_\sigma^*s\) に写すと 仮定してよい。このとき \(\varphi_{\sigma\tau}\) と \(f_\sigma^*\varphi_\tau \circ \varphi_\sigma\) はともに \(s\) を \(f_{\sigma\tau}^*s = f_\tau^*f_\sigma^*s\) に写す。 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\) なので、この二つの同型は一致しなければ ならない（一方は他方の大域単元倍であり、\(x'\) で一致する）。これで証明が完了する。

補題

\(k\) を標数 \(p > 0\) の体とし、\(X\) を \(k\) 上の準コンパクトかつ準分離的な スキームで \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) を満たすものとする。 \(n\) を \(p\) と互いに素な整数とする。このとき任意の純非分離拡大 \(k'/k\) に対して写像 \[\Pic(X)[n] \longrightarrow \Pic(X_{k'})[n]\] は全単射である。

証明

まず『多様体』の補題 0CC5 により、写像 \(\Pic(X) \to \Pic(X_{k'})\) は単射である。したがって、補題の写像が全射である ことを示せばよい。\(\mathcal{L}\) を、\(\Pic(X_{k'})\) における位数が \(n\) を割る 可逆 \(\mathcal{O}_{X_{k'}}\)-加群とする。可逆加群の同型 \(\alpha : \mathcal{L}^{\otimes n} \to \mathcal{O}_{X_{k'}}\) を選ぶ。 対 \((\mathcal{L}, \alpha)\) を \(X\) に降下できることを示す。

\(A = k' \otimes_k k'\) とおく。\(k'/k\) は純非分離なので、乗法写像 \(A \to k'\) の核は \(A\) の局所冪零イデアル \(I\) である。 \[X_A = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A) = X_{k'} \times_X X_{k'}\] には二つの射影 \(\text{pr}_i : X_A \to X_{k'}\)、\(i = 0, 1\) があり、 これらは \(A/I\) 上で一致する。したがって可逆加群 \(\mathcal{L}_i = \text{pr}_i^*\mathcal{L}\) は閉部分スキーム \(X_{A/I} = X_{k'}\) 上で一致する。\(X_{A/I} \to X_A\) は肥厚であり、 \(\mathcal{L}_i\) は \(n\)-torsion なので、『射の続論』の補題 0C6S により同型 \(\varphi : \mathcal{L}_0 \to \mathcal{L}_1\) が存在する。 \(\varphi\) は \(I\) を法として恒等写像に還元されるように選べる。実際、 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) から『スキームのコホモロジー』の補題 02KH により \(H^0(X_{k'}, \mathcal{O}_{X_{k'}}) = k'\) が従い、\(A \to k'\) は全射なので、 \(\varphi\) を \(A\) の適当な元倍して調整できる。写像 \[\lambda : \mathcal{O}_{X_A} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\alpha^{-1}} \mathcal{L}_0^{\otimes n} \xrightarrow{\varphi^{\otimes n}} \mathcal{L}_1^{\otimes n} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\alpha} \mathcal{O}_{X_A}\] を考える。\(H^0(X_A, \mathcal{O}_{X_A}) = A\) なので（参照は上と同じ）、 \(\lambda\) を \(A\) の元とみなせる。\(\varphi\) は \(I\) を法として恒等写像に 還元されるから、\(\lambda = 1 \bmod I\) である。すると \(1 + I\) の中に \(\lambda\) の一意な \(n\) 乗根が存在し (『可換代数』の補題 0CAP)、その逆を \(\varphi\) に掛ければ \(\lambda = 1\) となる。 \((\mathcal{L}, \varphi)\) は fpqc 被覆 \(\{X_{k'} \to X\}\) に関する降下データであると 主張する (『降下』の定義 023B)。これが正しければ、 『降下』の命題 023T により \(\mathcal{L}\) はある可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{N}\) の引き戻しである。 Picard 群上の写像の単射性から、\(\mathcal{N}\) は \(\mathcal{L}\) と同じ位数をもつ \(\Pic(X)\) の torsion 元である。

主張の証明。そのためには \[\text{pr}_{12}^*\varphi \circ \text{pr}_{01}^*\varphi = \text{pr}_{02}^*\varphi \quad\text{on}\quad X_{k'} \times_X X_{k'} \times_X X_{k'} = X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\] を確認しなければならない。前と同様に、対角射 \(\Delta : X_{k'} \to X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'}\) は肥厚である。 等式の左辺と右辺は、\(p_0^*\alpha\) および \(p_2^*\alpha\) と両立する写像 \(a, b : p_0^*\mathcal{L} \to p_2^*\mathcal{L}\) である。ここで \(p_i : X_{k' \otimes_k k' \otimes_k k'} \to X_{k'}\) は射影である。 さらに、\(a, b\) の \(\Delta\) による引き戻しは同じ写像である。 アフィン局所的に局所自明化をとると、これは \(a, b\) が可逆関数による乗法で 与えられ、その関数が局所冪零イデアルを法として同じ関数に還元され、かつ 同じ \(n\) 乗をもつことを意味する。したがって『可換代数』の補題 0CAP により、これらの関数は等しい。