旧結果 · Stacks

序論

本章には，現在では「旧結果」となったいくつかの補題を収録する（[Miller] を参照せよ）．

予備事項

注意

この注に以前含まれていた内容は，現在では Categories の Lemma 07RB と Lemma 0FWV を組み合わせた結果に包含されている．

ホモロジー代数

注意

以下の内容は Homology の Lemma 012W と Lemma 0132 に包含されるため，現在では旧結果である． \(\mathcal{A}\) をアーベル圏とする． \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\) を弱 Serre 部分圏とする（Homology の Definition 02MO を参照せよ）． \(K^{\bullet, \bullet}\) は Homology の Lemma 0132 を適用できる二重複体であり，ある \(r \geq 0\) に対して，すべての対象 \({}'E_r^{p, q}\) が \(\mathcal{C}\) に属すると仮定する．このとき，すべてのコホモロジー群 \(H^n(sK^\bullet)\) は \(\mathcal{C}\) に属する．実際，仮定から \({}'d_r^{p, q}\) の核と像は \(\mathcal{C}\) に属する．したがって，各 \({}'E_{r + 1}^{p, q}\) が \(\mathcal{C}\) に属することが分かる．帰納法により，各 \({}'E_\infty^{p, q}\) が \(\mathcal{C}\) に属する．ゆえに各 \(H^n(sK^\bullet)\) は，その各部分商が \(\mathcal{C}\) に属する有限フィルトレーションをもつ．\(\mathcal{C}\) が拡大について閉じていることから，主張どおり \(H^n(sK^\bullet)\) が \(\mathcal{C}\) に属すると結論できる． \(K^{\bullet, \bullet}\) に付随する第2スペクトル系列についても同じ結果が成り立つ．同様に，\((K^\bullet, F)\) が Homology の Lemma 012W を適用できるフィルター付き複体であり，ある \(r \geq 0\) に対してすべての対象 \(E_r^{p, q}\) が \(\mathcal{C}\) に属するならば，各 \(H^n(K^\bullet)\) は \(\mathcal{C}\) の対象である．

旧結果となった代数の補題

補題

\(M\) を有限表示 \(R\)-加群とする．任意の全射 \(\alpha : R^{\oplus n} \to M\) に対し，\(\alpha\) の核は有限 \(R\)-加群である．

証明

これは Algebra の Lemma 0519 の特別な場合である．

補題

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とする．次を仮定する：

任意の \(x \in S\) に対して，\(x^n\) が \(\varphi\) の像に属するような \(n > 0\) が存在する；

任意の \(x \in \Ker(\varphi)\) に対して，\(x^n = 0\) となる \(n > 0\) が存在する．

このとき \(\varphi\) はスペクトル上の同相写像を誘導する．さらに，素数 \(p\) があり，

\(S\) は \(R\)-代数として，ある \(n > 0\) に対して \(x^{p^n} \in \varphi(R)\) かつ \(p^nx \in \varphi(R)\) を満たす元 \(x\) たちで生成され，

\(\varphi\) の核は冪零元たちで生成される

とする．このとき (1) と (2) が成り立つ．また，任意の環準同型 \(R \to R'\) に対して，環準同型 \(R' \to R' \otimes_R S\) も (a)，(b)，(1)，(2) を満たし，とくにスペクトル上の同相写像を誘導する．

証明

これは Algebra の Lemma 0BR8 と Lemma 0BRA を組み合わせたものである．

次の技術的補題は，本質的有限型の環準同型について，ファイバー上の任意の関係式の列を，適切な意味で全空間へ持ち上げられることを述べる．

補題

\(R \to S\) を環準同型とする． \(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとする． \(\mathfrak q \subset S\) を \(\mathfrak p\) の上にある素イデアルとする． \(S_{\mathfrak q}\) は \(R_\mathfrak p\) 上本質的有限型であると仮定する．次が与えられているとする：

整数 \(n \geq 0\)；

素イデアル \(\mathfrak a \subset \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\)；

全射な \(\kappa(\mathfrak p)\)-準同型 \[\psi : (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \longrightarrow S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q},\] および

\(\Ker(\psi)\) の元 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_e\)．

このとき，次が存在する：

整数 \(m \geq 0\)；

元 \(g \in S\), \(g \not\in \mathfrak q\)；

準同型 \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_g,\] および

\(\Ker(\Psi)\) の元 \(f_1, \ldots, f_e, f_{e + 1}, \ldots, f_{e + m}\)．

これらは次を満たす：

次の図式は可換である： \[\xymatrix{ R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \ar[d]_\Psi \ar[rr]_-{x_{n + j} \mapsto 0} & & (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \ar[d]^\psi \\ S_g \ar[rr] & & S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q} },\]

元 \(f_i\), \(i \leq n\) は，局所環 \[(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}])_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})},\] において \(\overline{f}_i\) の単元倍へ写る；

元 \(f_{e + j}\) は同じ局所環において \(x_{n + j}\) の単元倍へ写る；

誘導される準同型 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q}\) は全射である．ただし \(\mathfrak b = \Psi^{-1}(\mathfrak qS_g)\) とする．

証明

\(R\) と \(S\) がそれぞれ極大イデアル \(\mathfrak p\) と \(\mathfrak q\) をもつ局所環である場合に補題を証明すれば十分であると主張する．実際，必要な性質をすべて満たす \[\Psi' : R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_{\mathfrak q}\] および \(f_1', \ldots, f_{e + m}' \in R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}]\) が構成されたとする．このとき，各 \(ff_k'\) がある元 \(f_k \in R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\) に由来するような \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\) が存在する．さらに，適当な \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\) に対して，元 \(\Psi'(x_i)\) は元 \(y_i \in S_g\) の像である．\(\Psi(x_i) = y_i\) という規則で定まる \(R\)-代数準同型を \(\Psi\) とする．\(\Psi(f_i)\) は局所化 \(S_{\mathfrak q}\) で零なので，必要なら \(g\) を取り替えることにより \(\Psi(f_i) = 0\) と仮定できる．これで主張が証明された．

したがって，\(R\) と \(S\) はそれぞれ極大イデアル \(\mathfrak p\) と \(\mathfrak q\) をもつ局所環であると仮定してよい． \(y_i \bmod \mathfrak pS = \psi(x_i)\) となる \(y_1, \ldots, y_n \in S\) を取る． \(S\) がその局所化となるような \(R\)-部分代数を生成する元を \(y_{n + 1}, \ldots, y_{n + m} \in S\) とする．このような元は， \(S\) が \(R\) 上本質的有限型であるという仮定から存在する．\(\psi\) は全射なので，ある \(h_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak a}\) により \(y_{n + j} \bmod \mathfrak pS = \psi(h_j)\) と書ける．共通分母 \(d \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\), \(d \not \in \mathfrak a\) を用いて \(h_j = g_j/d\), \(g_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\) と書く． \(g_j\) と \(d\) の持ち上げ \(G_j, D \in R[x_1, \ldots, x_n]\) を選ぶ． \(y_{n + j}' = D(y_1, \ldots, y_n) y_{n + j} - G_j(y_1, \ldots, y_n)\) と置く．構成により \(y_{n + j}' \in \mathfrak p S\) である． \(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\) が，その局所化が \(S\) となる \(S\) の \(R\)-部分代数を生成することは明らかである． \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \to S\] を，\(i = 1, \ldots, n\) に対して \(x_i\) を \(y_i\) へ， \(j = 1, \ldots, m\) に対して \(x_{n + j}\) を \(y'_{n + j}\) へ送る準同型とする． (1) と (4) は構成から明らかである．さらに，イデアル \(\mathfrak b\) は多項式環 \(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]\) のイデアル \((\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})\) の上へ写る．

\(J = \Ker(\Psi)\) と記す．短完全列 \[0 \to J_{\mathfrak b} \to R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q} \to 0.\] がある．全射性は，上での \(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\) の選び方から従う．このことから \[J_{\mathfrak b}/ \mathfrak pJ_{\mathfrak b} \to \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})} \to S_{\mathfrak q}/\mathfrak pS_{\mathfrak q} \to 0\] は完全である．構成により，最後の準同型の下で \(x_i\) は \(\psi(x_i)\) へ写り， \(x_{n + j}\) は零へ写る．したがって，補題の (2) と (3) にあるような \(f_i\) を容易に選べる．

補題

\(R \to S\) を有限表示な環準同型とする．\(R\) 上の \(S\) のある表示 \(\alpha\) に対して，素朴な余接複体 \(\NL(\alpha)\) が，次数 \(0\) に置かれた有限射影 \(S\)-加群と擬同型であるならば，これは任意の表示について成り立つ．

証明

Algebra の Lemma 00S1 から直ちに従う．

注意

\(R\) を環とする．任意の集合 \(S\) に対して，\(S\) 上の自由 \(R\)-加群を \(F(S)\) と記す．このとき任意の左 \(R\)-加群は次の2段階分解をもつ： \[F(M \times M) \oplus F(R \times M) \to F(M) \to M \to 0.\] 最初の準同型は次の規則で与えられる： \[[m_1, m_2] \oplus [r, m] \mapsto [m_1 + m_2] - [m_1] - [m_2] + [rm] - r[m].\]

補題

\(S\) を \(A\) の積閉集合とする．標準環準同型 \(A \to S^{-1}A\) が誘導する写像 \[f: \Spec(S^{-1}A)\longrightarrow \Spec(A)\] はその像の上への同相写像であり， \(\Im(f) = \{ \mathfrak p \in \Spec(A) : \mathfrak p\cap S = \emptyset \}\) である．

証明

これは Algebra の Lemma 00E3 と重複している．

補題

\(A \to B\) を有限型かつ平坦な環準同型とし，\(A\) は整域であるとする．このとき \(B\) は有限表示 \(A\)-代数である．

証明

More on Flatness の Proposition 053G の特別な場合である．

補題

\(R\) を分数体 \(K\) をもつ整域とする． \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\) を \(R\) 上の多項式環とする． \(M\) を有限 \(S\)-加群とし，\(M\) は \(R\) 上平坦であると仮定する．すべての部分環 \(R \subset R' \subset K\), \(R \not = R'\) に対して，加群 \(M \otimes_R R'\) が \(S \otimes_R R'\) 上有限表示ならば， \(M\) は \(S\) 上有限表示である．

証明

実は，補題の主張にあるすべての \(R'\) に対して \(M \otimes_R R'\) が有限表示であるという仮定がなくても，\(M\) は有限表示なので，この補題は正しい．これは More on Flatness の Proposition 053G から従う．この補題には当初，誤った証明があり（間隙を見つけた Ofer Gabber に感謝する），引用した命題の別証明に用いられていた．この補題を復活させるには， \(R\) が局所正規整域の場合に，可換代数の諸章の結果だけを用いる正しい議論が必要である．そのような議論があれば stacks.project@gmail.com まで電子メールを送ってほしい．

補題

\(A \to B\) を環準同型とする．\(f \in B\) とし，次を仮定する：

\(A \to B\) は平坦である；

\(f\) は非零因子である；

\(A \to B/fB\) は平坦である．

このとき，任意のイデアル \(I \subset A\) に対して，写像 \(f : B/IB \to B/IB\) は単射である．

証明

\(B\) と \(B/fB\) が \(A\) 上平坦であることにより， \(IB = I \otimes_A B\) および \(I(B/fB) = I \otimes_A B/fB\) であることに注意する．とくに \(IB/fIB \cong I \otimes_A B/fB\) は \(B/fB\) へ単射的に写る．したがって，完全な行をもつ次の図式に蛇の補題を適用すれば結果が従う： \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] \ar[d]^f & B \ar[r] \ar[d]^f & B/IB \ar[r] \ar[d]^f & 0 \\ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] & B \ar[r] & B/IB \ar[r] & 0 }\]

補題

\(R \to S\) が忠実平坦な環準同型ならば，任意の \(R\)-加群 \(M\) に対して，写像 \(M \to S \otimes_R M\), \(x \mapsto 1 \otimes x\) は単射である．

証明

この補題は Algebra の Lemma 05CK と重複している．

注意

この参照・タグは以前，Smoothing Ring Maps のある Section を指していたが，その内容はその後 Algebra の Section 00QL に包含された．

補題

\((R, \mathfrak m)\) を次元 \(1\) の被約 Noether 局所環とし， \(x \in \mathfrak m\) を非零因子とする． \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\) を \(R\) の極小素イデアルとする．このとき \[\text{length}_R(R/(x)) = \sum\nolimits_i \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x)\] である．

証明

Chow Homology の Lemma 02QG の特別な（非常に容易な）場合である．

補題

\(A\) を次元 \(2\) の Noether 局所正規整域とする．非零な \(f \in \mathfrak m\) に対して，\(A\) の穴あきスペクトル上の \(f\) に付随する因子を \(\text{div}(f) = \sum n_i (\mathfrak p_i)\) と記す． \(|f| = \sum n_i\) と置く．このとき，すべての \(g \in \mathfrak m^N\) に対して \(|f + g| \leq M\) となる整数 \(N\) と \(M\) が存在する．

証明

\(f, h\) が \(A\) の正則列となるような \(h \in \mathfrak m\) を取る（これは Algebra の Lemma 031S と Lemma 090R から従う）． \(M = \text{length}_A(A/(f, h))\) とし， \(\mathfrak m^N \subset (f, h)\) となる任意の整数 \(N\) を取れば補題が成り立つことを示す． \(\sqrt{(f, h)} = \mathfrak m\) なので，そのような整数 \(N\) は存在する． \((f, h) = (f + g, h)\) であるから，すべての \(g \in \mathfrak m^N\) に対して \(M = \text{length}_A(A/(f + g, h))\) であることに注意する．さらに，これから \(f + g, h\) も \(A\) の正則列であることが従う；Algebra の Lemma 02JN を参照せよ．ここで \(\text{div}(f + g ) = \sum m_j (\mathfrak q_j)\) と仮定する．写像 \[c : A/(f + g) \longrightarrow \prod A/\mathfrak q_j^{(m_j)}\] を考える．ここで \(\mathfrak q_j^{(m_j)}\) は記号冪である；Algebra の Section 05G9 を参照せよ．\(A\) は正規なので， \(A_{\mathfrak q_i}\) は離散付値環であり，したがって \[A_{\mathfrak q_i}/(f + g) = A_{\mathfrak q_i}/\mathfrak q_i^{m_i} A_{\mathfrak q_i} = (A/\mathfrak q_i^{(m_i)})_{\mathfrak q_i}\] である．\(V(f + g, h) = \{\mathfrak m\}\) なので，\(h\) を可逆にすると \(c\) は同型になる（細部は省略する）．\(h\) は \(A/(f + g)\) 上の非零因子なので， \(A/(f + g, h)\) の長さは，Chow Homology の Section 02PF で定義された Herbrand 商 \(e_A(A/(f + g), 0, h)\) に等しい．同様に，\(A/(h, \mathfrak q_j^{(m_j)})\) の長さは \(e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h)\) に等しい．そこで \[\begin{align*} M & = \text{length}_A(A/(f + g, h) \\ & = e_A(A/(f + g), 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i \sum\nolimits_{m = 0, \ldots, m_j - 1} e_A(\mathfrak q_j^{(m)}/\mathfrak q_j^{(m + 1)}, 0, h) \end{align*}\] を得る．これらの等式は Chow Homology の Lemma 0EA7 と Lemma 0EA8 から従う．ここではとくに，上で論じたように \(c\) の余核が有限長であることを用いた．Nakayama の補題により， \(e_A(\mathfrak q^{(m)}/\mathfrak q^{(m + 1)}, 0, h)\) が少なくとも \(1\) であることは直接証明できる．これで補題の証明が完了する．

補題

\(A \to B\) を Noether 局所環の平坦な局所準同型とする． \(A\) と \(B/\mathfrak m_A B\) が Gorenstein ならば，\(B\) も Gorenstein である．

証明

Dualizing Complexes の Lemma 0BJL から直ちに従う．

補題

\((A, \mathfrak m)\) を Noether 局所環とする．\(I \subset A\) をイデアルとし， \(M\) を有限 \(A\)-加群とする．\(s\) を整数とし，次を仮定する：

\(A\) は双対化複体をもつ；

\(\mathfrak p \not \in V(I)\) かつ \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\) ならば， \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > s\)．

このとき，\(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\) であり， \(i \leq s\) に対して \(JI^n\) が \(H^i_\mathfrak m(M)\) を零化するような \(n > 0\) とイデアル \(J \subset A\) が存在する．

証明

Local Cohomology の Lemma 0DWZ により， \(i \leq s\) に対して有限 \(A\)-加群 \(E^i = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)\) についてこれを示せばよい． \(E^0 \oplus \ldots \oplus E^s\) の台 \(Z\) は \(\Spec(A)\) の閉集合であり， (2) にあるような素イデアルを一つも含まない．したがって，補題の主張にあるようなある \(J\) とある指数に対して，その台は \(V(JI^n)\) に含まれる．

補題

\((A, \mathfrak m)\) を Noether 局所環とする．\(I \subset A\) をイデアルとし， \(M\) を有限 \(A\)-加群とする．\(s\) と \(d\) を整数とし，次を仮定する：

\(A\) は双対化複体をもつ；

\(\text{cd}(A, I) \leq d\)；

\(\mathfrak p \not \in V(I)\) ならば， \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\) または \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\)．

このとき，\(A, I, \mathfrak m, M\) は Algebraic and Formal Geometry の Lemma 0EFR の仮定を満たし， \(i \leq s\) に対して \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\) は同型であり，これらの加群は \(I\) のある冪によって零化される．

証明

Algebraic and Formal Geometry の Lemma 0EFR の仮定は，より一般的な Algebraic and Formal Geometry の Lemma 0EFW により満たされる．次に Algebraic and Formal Geometry の Lemma 0EFR の結論が第2の主張を与える．

補題

Algebraic and Formal Geometry の Situation 0EFU において， \(H^s_\mathfrak a(M) = \lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\) である．

証明

これは Algebraic and Formal Geometry の Theorem 0EIE から直ちに従う．この補題の元の版には追加の仮定があったが，この定理によって置き換えられた．

補題

\(A\) を Noether 環とする．\(f \in \mathfrak a\) を \(A\) のあるイデアルの元とする． \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\) と置き，次を仮定する：

\(A\) は双対化複体をもち，\(f\) に関して完備である；

\(A_f\) は \((S_2)\) であり，すべての極小素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に対して，\(f \not \in \mathfrak p\) かつ \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\) ならば \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \geq 3\) である．

このとき，完備化函手 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] は，有限局所自由な対象からなる充満部分圏上で充満忠実である．

証明

この補題は Algebraic and Formal Geometry の Lemma 0EKT の特別な場合である．

Zariski の主定理に関する補題

この節の補題は，もともと Zariski の主定理の（代数的な版の）証明，すなわち Algebra の Theorem 00Q9 で用いられていた．

補題

\(R\) を環とし，\(\varphi : R[x] \to S\) を環準同型とする．\(t \in S\) とする． \(t\) が \(R[x]\) 上整ならば，任意の \(a \in R\) に対して \(\varphi(a)^\ell t\) が，\(y \mapsto \varphi(ax)\) および \(r\in R\) に対する \(r \mapsto \varphi(r)\) により定義される \(\varphi_a : R[y] \to S\) 上整となるような \(\ell \geq 0\) が存在する．

証明

\(f_i \in R[x]\) により \(t^d + \sum_{i < d} \varphi(f_i)t^i = 0\) と書く．\(\ell\) を，すべての \(f_i\) の \(x\) に関する次数の最大値とする．等式に \(\varphi(a)^\ell\) を掛けて \(\varphi(a)^\ell t^d + \sum_{i < d} \varphi(a^\ell f_i)t^i = 0\) を得る．各 \(\varphi(a^\ell f_i)\) は \(\varphi_a\) の像に属することに注意する．結果は Algebra の Lemma 00PQ から従う．

補題

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とする．\(t \in S\) が関係式 \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\) を満たすとする． \(u_n = \varphi(a_n)\)，\(u_{n-1} = u_n t + \varphi(a_{n-1})\) と置き，同様にして \(u_1 = u_2 t + \varphi(a_1)\) まで定める．このとき \(u_n, u_{n-1}, \ldots, u_1\) と \(u_nt, u_{n-1}t, \ldots, u_1t\) はすべて \(R\) 上整であり， \(S\) のイデアル \((\varphi(a_0), \ldots, \varphi(a_n))\) と \((u_n, \ldots, u_1)\) は等しい．

証明

\(n\) に関する帰納法で証明する．\(u_n = \varphi(a_n)\) なので，Algebra の Lemma 00PQ から \(u_nt\) は \(R\) 上整である．もちろん \(u_n = \varphi(a_n)\) も \(R\) 上整である．したがって \(u_{n - 1} = u_n t + \varphi(a_{n - 1})\) は \(R\) 上整であり（Algebra の Lemma 00GO を参照せよ）， \[\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_{n - 1})t^{n - 1} + u_{n - 1}t^{n - 1} = 0.\] \(S'\) を \(S\) における \(R\) の整閉包とすると，準同型 \(S' \to S\) と上の等式に帰納法の仮定を適用することにより， \(u_{n-1}, \ldots, u_1\) および \(u_{n-1}t, \ldots, u_1t\) もすべて \(S'\) に属することが分かる．イデアルに関する主張は，元の形と \(u_1t + \varphi(a_0) = 0\) から直ちに従う．

補題

\(\varphi : R \to S\) を環準同型とする．\(t \in S\) が関係式 \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\) を満たすとする． \(J \subset S\) を，少なくとも一つの \(i\) に対して \(\varphi(a_i) \not \in J\) となるイデアルとする．このとき， \(u\) と \(ut\) がともに \(R\) 上整であるような \(u \in S\), \(u \not\in J\) が存在する．

証明

Lemma 00PR により，元 \(u_i\) の少なくとも一つは \(J\) に属さないので，直ちに従う．

次の二つの補題は，一つの（非退化な）方程式で切り出される \(\mathbf{P}^1_R\) の閉部分スキームを記述する方法を与える．

補題

\(R\) を環とする．\(F(X, Y) \in R[X, Y]\) を次数 \(d\) の斉次式とする． \(R\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p\) に対して，\(F\) の少なくとも一つの係数が \(\mathfrak p\) に属さないと仮定する．次数付き環として \(S = R[X, Y]/(F)\) と置く．このとき，すべての \(n \geq d\) に対して \(R\)-加群 \(S_n\) は階数 \(d\) の有限局所自由加群である．

証明

\(R\)-加群 \(S_n\) は表示 \[R[X, Y]_{n-d} \to R[X, Y]_n \to S_n \to 0.\] をもつ．したがって Algebra の Lemma 00O0 により，すべての素イデアル \(\mathfrak p\) に対して，\(F\) による乗法が単射 \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y] \to \kappa(\mathfrak p)[X, Y]\) を誘導することを示せば十分である．これは，\(F\) が \(\mathfrak p\) を法として零多項式へ写らないという仮定から明らかである．階数に関する主張もここから明らかである．

補題

\(k\) を体とする．\(F, G \in k[X, Y]\) をそれぞれ次数 \(d, e\) の斉次式とする． \(F, G\) は互いに素であると仮定する．このとき，\(G\) による乗法は \(S = k[X, Y]/(F)\) 上で単射である．

証明

これは「互いに素」の一つの定義である．別の定義を用いるならば，それがこの定義と同値であることを示せる．

補題

\(R\) を環とする．\(F(X, Y) \in R[X, Y]\) を次数 \(d\) の斉次式とする．次数付き環として \(S = R[X, Y]/(F)\) と置く． \(\mathfrak p \subset R\) を素イデアルとし，\(F\) のある係数が \(\mathfrak p\) に属さないとする．このとき，\(f \in R\), \(f \not\in \mathfrak p\)，整数 \(e\)，および \(G \in R[X, Y]_e\) であって，すべての \(n \geq d\) に対して \(G\) による乗法が同型 \((S_n)_f \to (S_{n + e})_f\) を誘導するものが存在する．

証明

証明の途中で（有限回），\(f\in R\), \(f\not\in \mathfrak p\) に対して \(R\) を \(R_f\) に取り替えてよい．まずそのような取り替えを行い， \(F\) のある係数が \(R\) で可逆であるとする．とくに Lemma 00Q4 により， \(n \geq d\) に対して加群 \(S_n\) は階数 \(d\) の局所自由加群である． \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y]\) における \(G\) の像が \(F(X, Y)\) の像と互いに素になるような任意の \(G \in R[X, Y]_e\) を取る（ある \(e\) に対してこれは可能である）． \(G\) による乗法が誘導する写像 \(S_d \to S_{d + e}\) に Algebra の Lemma 00O0 を適用する．\(G\) の選び方と Lemma 00Q5 により， \(S_d \otimes \kappa(\mathfrak p) \to S_{d + e} \otimes \kappa(\mathfrak p)\) は全単射である．したがって，適当な \(f\) に対して \(R\) を \(R_f\) に取り替えれば， \(G : S_d \to S_{d + e}\) は全単射であると仮定できる．さらにこれは， \(R\) のすべての素イデアル \(\mathfrak p'\) に対して， \(\kappa(\mathfrak p')[X, Y]\) における \(G\) の像が \(F\) の像と互いに素であることを意味する．そこで Algebra の Lemma 00O0 を再び用いると，すべての写像 \(G : S_d \to S_{d + e}\), \(n \geq d\) は同型であることが分かる．

注意

\(R\) を環とする．\(F \in R[X, Y]_d\) と \(G \in R[X, Y]_e\) があり， \(S = R[X, Y]/(F)\) と置いたとき，(1) すべての \(n \geq d\) に対して \(S_n\) は階数 \(d\) の有限局所自由加群であり，(2) \(G\) による乗法がすべての \(n \geq d\) に対して同型 \(S_n \to S_{n + e}\) を定めると仮定する．この場合，有限局所自由 \(R\)-代数 \(A\) を次のように定義できる：

\(R\)-加群として \(A = S_{ed}\) とする；

乗法 \(A \times A \to A\) は，\(S_{2ed}\) において \(G^d H_3 = H_1 H_2\) であるとき，かつそのときに限り \(H_1 H_2 = H_3\) とする規則によって与える．

\(G^d\) による乗法が全単射 \(S_{de} \to S_{2de}\) を誘導するので，これは意味をもつ．これが環構造を定めることは容易に分かる．元 \(G^d\) が環 \(A\) の単位元を定めるという紛らわしい事実に注意する．

補題

\(R\) を環とし，\(f \in R\) とする．環 \(S\), \(S'\) と，次の可換図式をなす実線の矢印が与えられているとする： \[\xymatrix{ & S'' \ar@{-->}[rd] \ar@{-->}[dd] & \\ R \ar[rr] \ar@{-->}[ru] \ar[d] & & S \ar[d] \\ R_f \ar[r] & S' \ar[r] & S_f }\] \(R_f \to S'\) は有限であると仮定する．このとき，有限な環準同型 \(R \to S''\) と図式中の点線の矢印を，\(S' = (S'')_f\) となるように選べる．

証明

\(S'\) が \(R_f\) 上 \(x_i\), \(i = 1, \ldots, w\) で生成されるとする． \(P_i(x_i) = 0\) となるモニック多項式 \(P_i(t) \in R_f[t]\) を取る． \(P_i\) の次数を \(d_i > 0\) とする．一様な \(n\) に対して \(P_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} (a_{ij}/f^n) t^j\) と書く．また，\(S_f\) における \(x_i\) の像を，適当な \(g_i \in S\) により \(g_i / f^n\) と書く．このとき \(S\) の元 \(\xi_i = f^{nd_i} g_i^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} g_i^j\) は \(f\) のある冪によって零化される．したがって \(n\) を \(n'\) へ増やし， \(g_i\) を \(f^{n' - n}g_i\) で取り替えることにより，\(\xi_i = 0\) と仮定できる．すると \(S'\) は元 \(f^n x_i\) たちで生成され，各元は \(R\) に係数をもつモニック多項式 \(Q_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} t^j\) の零点である．また構成により，\(S\) において \(Q_i(f^ng_i) = 0\) である．したがって，上のような可換図式に収まる有限 \(R\)-代数 \(S'' = R[z_1, \ldots, z_w]/(Q_1(z_1), \ldots, Q_w(z_w))\) を得る．準同型 \(\alpha : S'' \to S\) は \(z_i\) を \(f^ng_i\) へ送り，準同型 \(\beta : S'' \to S'\) は \(z_i\) を \(f^nx_i\) へ送る．この時点ではまだ，\(\beta\) が同型 \((S'')_f \cong S'\) を誘導するとは限らない．今のところ，この写像が全射であることだけが分かっている．問題は， \(S'\) では零へ写るが自身は零でない元 \(h/f^n \in (S'')_f\) があり得ることである．この場合，\(\beta(h)\) は \(S\) の元であり，ある \(N\) に対して \(f^N \beta(h) = 0\) である．したがって \(f^N h\) は \(S''\) のイデアル \(J = \{h \in S'' \mid \alpha(h) = 0 \text{ and } \beta(h) = 0\}\) の元である．すると \(S''/J\) が求めるものになることは容易に分かる．

形式的に滑らかな環準同型

補題

\(R\) を環とする．\(S\) を \(R\)-代数とする．\(S\) が有限表示であり， \(R\) 上形式的に滑らかならば，\(S\) は \(R\) 上滑らかである．

証明

Algebra の Proposition 00TN を参照せよ．

注意

このタグは以前，Algebraization of Formal Spaces の Proposition 0GAT の証明中のある等式を指していたが，内容の再配置によって使われなくなった．

注意

このタグは以前，Algebraization of Formal Spaces の Lemma 0ALT の証明中のある等式を指していたが，内容の再配置によって使われなくなった．

補題

\(A\) を Noether 環とする．\(I \subset A\) をイデアルとする． \(t\) を \(I\) の生成元の最小数とする． \(C\) を Noether な \(I\)-進完備 \(A\)-代数とする． \(I \subset A \to C\) のみに依存し，次の性質をもつ整数 \(d \geq 0\) が存在する．次が与えられているとする：

\(c \geq 0\) と，Algebraization of Formal Spaces の Equation (0AL4) にある \(B\) であって，\(a \in I^c\) に対して \(a\) による乗法が \(D(B)\) において \(\NL_{B/A}^\wedge\) 上零であるもの；

整数 \(n > 2t\max(c, d)\)；

\(A/I^n\)-代数準同型 \(\psi_n : B/I^nB \to C/I^nC\)．

このとき，\(m = \lfloor \frac{n}{t} \rfloor\) と置けば， \(\psi_n \bmod I^{m - c} = \varphi \bmod I^{m - c}\) を満たす \(A\)-代数準同型 \(\varphi : B \to C\) が存在する．

証明

この補題は，より強い Algebraization of Formal Spaces の Lemma 0GAQ によって旧結果となった．実際，この補題をそこから導く．

上の主張にあるような \(I \subset A \to C\) が与えられたとする． Local Cohomology の Section 0GA6 で得られる整数を \(d(\text{Gr}_I(C))\) および \(q(\text{Gr}_I(C))\) と記す． \(t\) は \(IC\) の生成元の最小数の上界なので， \(d(\text{Gr}_I(C)) + 1 \leq t\) であることに注意する；Local Cohomology の Section 0GA6 の議論を参照せよ．そうでなければ補題は何も述べないので，\(t \geq 1\) と仮定してよい． \[d = q(\text{Gr}_I(C))\] とすれば補題が成り立つと主張する．実際，\(c\), \(B\), \(n\), \(\psi_n\) が上の主張にあるようなものとする．このとき \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n \geq 2tc + 1 \Rightarrow n \geq 2(d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c + 1\] である．他方， \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n > t(c + d) \Rightarrow n \geq q(C) + tc \geq q(\text{Gr}_I(C)) + (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c\] である．したがって Algebraization of Formal Spaces の Lemma 0GAQ の仮定が満たされ， \(I^{n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c}C\) を法として \(\psi_n\) と合同な \(A\)-代数準同型 \(\varphi : B \to C\) を得る．さらに \[\begin{align*} n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c & = \frac{n}{t} + \frac{(t - 1)n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & \geq \frac{n}{t} + \frac{(d(\text{Gr}_I(C))n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & > \frac{n}{t} + \frac{d(\text{Gr}_I(C))2tc}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + 2d(\text{Gr}_I(C))c - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + d(\text{Gr}_I(C))c - c \\ & \geq m - c \end{align*}\] なので，望むとおり \(I^{m - c}C\) を法として \(\varphi\) と \(\psi_n\) は合同である．

サイトと層

注意

\(U\) をサイト \(\mathcal{C}\) の対象とする．\(\mathcal{C}/U\) 上の任意のアーベル層 \(\mathcal{G}\) に対して，標準写像 \[c : j_{U!}\mathcal{G} \longrightarrow j_{U*}\mathcal{G}\] が存在するかを問いたくなるかもしれない．このようなものを構成することは，写像 \(j_U^{-1}j_{U!}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\) を構成することと同じである．制限は層化と可換であることに注意する．したがって Modules on Sites の Lemma 03DI の前層を用いることができる．ゆえに， \(V/U\) に対して制限と両立する写像 \[\bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \longrightarrow \mathcal{G}(V/U)\] を定義すれば十分である．\(\varphi\) が構造射 \(\varphi_0 : V \to U\) である直和成分だけでは \(1\) を取り，それ以外のすべての直和成分上では零である写像を取れそうに見える．しかし，これは制限写像と両立しない．実際，\(\alpha : V' \to V\) が \(\mathcal{C}\) の射ならば， \(\mathcal{C}/U\) の対象 \(V'/U\) の構造射を \(\varphi'_0 = \varphi_0 \circ \alpha\) と記す．次の図式が可換であることを確かめる必要がある： \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{G}(V/U) \ar[d] \\ \bigoplus\nolimits_{\varphi' \in \Mor_\mathcal{C}(V', U)} \mathcal{G}(V' \xrightarrow{\varphi'} U) \ar[r] & \mathcal{G}(V'/U) }\] ここで問題となるのは，\(\varphi_0\) と異なる射 \(\varphi : V \to U\) であって， \(\varphi \circ \alpha = \varphi'_0\) を満たすものが存在し得ることである．すると左の垂直矢印は \(\varphi\) に対応する直和成分を，下の水平矢印が \(1\) に等しくなる直和成分へ送るので，ほぼ確実に図式は可換でない．

コホモロジー

コホモロジーに関する旧結果となった補題を挙げる．

補題

\(I\) を環 \(A\) のイデアルとする．\(X\) を \(\Spec(A)\) 上のスキームとする． \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] を，\(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\) を満たす \(\mathcal{O}_X\)-加群の逆系とする． \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] が次数付き \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-加群として昇鎖条件を満たすと仮定する．このとき，逆系 \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) は Mittag–Leffler 条件を満たす．

証明

これは，より一般的な Cohomology の Lemma 0GYK の特別な場合である．

補題

\(I\) を環 \(A\) のイデアルとする．\(X\) を \(\Spec(A)\) 上のスキームとする． \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] を，\(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\) を満たす \(\mathcal{O}_X\)-加群の逆系とする．\(n\) が与えられたとき， \[H^1_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^1(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] と定める．\(\bigoplus H^1_n\) が次数付き \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-加群として昇鎖条件を満たすならば，逆系 \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) は Mittag–Leffler 条件を満たす．

証明

これは，より一般的な Cohomology の Lemma 0GYL の特別な場合である．

補題

\(I\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする．\(X\) を \(\Spec(A)\) 上のスキームとする． \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] を，\(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\) を満たす \(\mathcal{O}_X\)-加群の逆系とする． \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] が次数付き \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-加群として昇鎖条件を満たすと仮定する．このとき，\(M = \lim \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) 上の極限位相は \(I\)-進位相である．

証明

これは，より一般的な Cohomology の Lemma 0GYM の特別な場合である．

補題

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) を環付きトポスとする．任意の \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-加群の複体 \(\mathcal{G}^\bullet\) に対して，擬同型 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\) が存在し，任意の環付きトポスの射 \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\) に対して， \(f^*\mathcal{K}^\bullet\) は \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-加群の K-flat 複体である．

証明

これは Cohomology on Sites の Lemma 06YS と Lemma 0G7E から従う．

注意

この注では以前，K-flat 複体の引き戻しが K-flat であるか否かについて知られていることを論じていたが，現在では Cohomology on Sites の Lemma 0G7E によって旧結果となっている．

次の補題は，特別な場合に導来極限のコホモロジー層を計算する．

補題

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\) を環付きサイトとする．\((K_n)\) を \(D(\mathcal{O})\) の対象の逆系とする． \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\) を部分集合とし， \(d \in \mathbf{N}\) とする．次を仮定する：

すべての \(n\) に対して \(K_n\) は \(D^+(\mathcal{O})\) の対象である；

\(q \in \mathbf{Z}\) に対して \(n(q)\) が存在し，\(n \geq n(q)\) ならば \(H^q(K_{n + 1}) \to H^q(K_n)\) は同型である；

\(\mathcal{C}\) のすべての対象は，その各要素が \(\mathcal{B}\) に属する被覆をもつ；

すべての \(U \in \mathcal{B}\) に対し，\(p > d\) およびすべての \(q\) について \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\) である．

このとき，すべての \(m \in \mathbf{Z}\) に対して \(H^m(R\lim K_n) = \lim H^m(K_n)\) である．

証明

\(K = R\lim K_n\) と置く．\(U \in \mathcal{B}\) とする．各 \(n\) に対してスペクトル系列 \[H^p(U, H^q(K_n)) \Rightarrow H^{p + q}(U, K_n)\] がある．\(K_n\) は下に有界なので，これは収束する；Derived Categories の Lemma 015J を参照せよ． \(m \in \mathbf{Z}\) を固定すると，仮定 (4) により，\(H^m(U, K_n)\) に寄与するのは \(0 \leq p \leq d\) かつ \(m - d \leq q \leq m\) である \(H^p(U, H^q(K_n))\) だけである．仮定 (2) により，これは \(n \geq \max{n(m), \ldots, n(m - d)}\) となるや否や \(H^m(U, K_{n + 1}) \to H^m(U, K_n)\) が同型になることを意味する．函手 \(R\Gamma(U, -)\) は Injectives の Lemma 08U1 により導来極限と可換する．したがって \[H^m(U, K) = H^m(R\lim R\Gamma(U, K_n))\] である．他方，上で複体 \(R\Gamma(U, K_n)\) のコホモロジー群は最終的に一定であると分かった．したがって More on Algebra の Remark 08U5 により，\(U \in \mathcal{B}\) に依存しないある上界について，すべての \(n \gg 0\) に対し \(H^m(U, K)\) は \(H^m(U, K_n)\) に等しい．そのような \(n\) を取る．最後に，\(H^m(K)\) は前層 \(U \mapsto H^m(U, K)\) の層化であり，\(H^m(K_n)\) は前層 \(U \mapsto H^m(U, K_n)\) の層化であることを思い出す．これらの前層は \(\mathcal{B}\) の要素上で同じ値をもつ．したがって仮定 (3) は，その層化も同じであることを保証する．補題が従う．

補題

Simplicial Spaces の Situation 09WE において， Simplicial Spaces の Remark 0D6Z にあるようなサイト \(\mathcal{D}\) への増大写像を \(a_0\) とする．厳密充満な弱 Serre 部分圏 \[\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(\mathcal{D}),\quad \mathcal{A}_n \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\] が与えられているとする．このとき

すべての \(n\) に対して \(\mathcal{C}_n\) への制限が \(\mathcal{A}_n\) に属するような \(\mathcal{C}_{total}\) 上のアーベル層 \(\mathcal{F}\) の集まりは，厳密充満な弱 Serre 部分圏 \(\mathcal{A}_{total} \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\) である．

すべての \(n\) に対して \(a_n^{-1}\) が \(\mathcal{A}\) を \(\mathcal{A}_n\) へ送るならば，

\(a^{-1}\) は \(\mathcal{A}\) を \(\mathcal{A}_{total}\) へ送り，

\(a^{-1}\) は \(D_\mathcal{A}(\mathcal{D})\) を \(D_{\mathcal{A}_{total}}(\mathcal{C}_{total})\) へ送る．

すべての \(n, q\) に対して \(R^qa_{n, *}\) が \(\mathcal{A}_n\) を \(\mathcal{A}\) へ送るならば，

すべての \(q\) に対して \(R^qa_*\) は \(\mathcal{A}_{total}\) を \(\mathcal{A}\) へ送り，

\(Ra_*\) は \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\) を \(D_\mathcal{A}^+(\mathcal{D})\) へ送る．

証明

興味深い主張は (4) と (5) だけである．(4) は Simplicial Spaces の Lemma 0D7A にあるスペクトル系列と， Homology の Lemma 012W から従う．次に (5) は，切断によって与えられる \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\) の対象 \(K\) 上の標準フィルトレーションに付随するスペクトル系列を考えることから従う．詳細は省略する．

注意

このタグは以前，扱うべき話題を列挙したコホモロジーの章のある節を指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZA の特別な場合であって， Cohomology on Sites の Lemma 0EZI に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZB の特別な場合であって， Cohomology on Sites の Lemma 0EZI に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZE の特別な場合であって， Cohomology on Sites の Lemma 0EZI に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZA の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0H に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZB の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0H に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZE の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0H に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZA の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0I に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZB の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0I に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZC の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0I に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZD の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0I に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZE の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0I に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZA の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0J に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZB の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0J に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZC の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0J に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，Cohomology on Sites の Lemma 0EZE の特別な場合であって， Étale Cohomology の Lemma 0F0J に記述された状況に関するものを指していた．

注意

このタグは以前，étale cohomology の章にあったが，再編成のため現在ではそこに置くのは適切でない．タグの内容は次のとおりであった： Étale Cohomology の Lemma 03TT を用いると， \(f : X \to Y\) がスキームの分離的有限型射であり，\(Y\) が Noether ならば， \(Rf_!\) が函手 \(D_{ctf}(X_\etale, \Lambda) \to D_{ctf}(Y_\etale, \Lambda)\) を誘導することを証明できる．\(Y\) が体のスペクトルであり \(X\) が曲線である場合のこの議論の例は， The Trace Formula の Proposition 03TV にある．

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの局所準有限射とする．次を満たす一意な函手 \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) が存在する：

\(f \circ j\) が分離的となる任意の開射 \(j : U \to X\) に対して，標準同型 \(j^! \circ f^! = (f \circ j)^!\) が存在する；

\(U \subset U' \subset X\) に対するこれらの同型は，More Étale Cohomology の Lemma 0F5B にある同型と両立する．

証明

More Étale Cohomology の Lemma 0F59 と Lemma 0F5B から直ちに従う．

命題

\(f : X \to Y\) を局所準有限射とする．随伴函手 \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\) および \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\) で，次の性質をもつものが存在する：

函手 \(f^!\) は More Étale Cohomology の Lemma 0F59 で構成されたものである；

\(f \circ j\) が分離的となる任意の開射 \(j : U \to X\) に対して，標準同型 \(f_! \circ j_! = (f \circ j)_!\) が存在する；

\(U \subset U' \subset X\) に対するこれらの同型は，More Étale Cohomology の Lemma 0F50 にある同型と両立する．

証明

More Étale Cohomology の Section 0F6E と Section 0F58 を参照せよ．

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの局所準有限射とする．アーベル群 \(A\) と幾何点 \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\) に対して， \(f^!(\overline{y}_*A) = \prod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \overline{x}_*A\) である．

証明

More Étale Cohomology の Lemma 0F59 にある対応する主張から従う．

補題

\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) を合成可能なスキームの局所準有限射とする．このとき \(g_! \circ f_! = (g \circ f)_!\) および \(f^! \circ g^! = (g \circ f)^!\) である．

証明

More Étale Cohomology の Lemma 0F6T と Lemma 0F5B を組み合わせればよい．

微分次数付き代数

補題

\((A, \text{d})\) と \((B, \text{d})\) を微分次数付き代数とする． \(N\) を性質 (P) をもつ微分次数付き \((A, B)\)-双加群とする． \(M\) を性質 (P) をもつ微分次数付き \(A\)-加群とする．このとき \(Q = M \otimes_A N\) は，\(D(B)\) において \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\) を表す微分次数付き \(B\)-加群であり，さらに微分次数付き部分加群によるフィルトレーション \[0 = F_{-1}Q \subset F_0Q \subset F_1Q \subset \ldots \subset Q\] をもつ．ここで \(Q = \bigcup F_pQ\) であり，包含 \(F_iQ \to F_{i + 1}Q\) は許容単射，商 \(F_{i + 1}Q/F_iQ\) は微分次数付き \(B\)-加群として \((A \otimes_R B)[k]\) の直和と同型である．

証明

\(M\) と \(N\) 上のフィルトレーション \(F_\bullet\) を選ぶ． \(Q = M \otimes_A N\) 上のフィルトレーションを \[F_n(Q) = \sum\nolimits_{i + j = n} F_i(M) \otimes_A F_j(N)\] で定める．これは明らかに微分次数付き \(B\)-部分加群である． \[F_n(Q)/F_{n - 1}(Q) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} F_i(M)/F_{i - 1}(M) \otimes_A F_j(N)/F_{j - 1}(N)\] である．たとえば，これは \(M\) のフィルトレーションが次数付き \(A\)-加群の圏で分裂することから従う．仮定により右辺の商は \(A\) と \(A \otimes_R B\) のシフトの直和と同型であり，また \(A \otimes_A (A \otimes_R B) = A \otimes_R B\) である．したがって左辺は微分次数付き \(B\)-加群として \(A \otimes_R B\) のシフトの直和である．（注意：\(Q\) は \((A, B)\)-双加群の構造をもたない．）これで補題の第1の主張が証明された．第2の主張は Differential Graded Algebra の Lemma 09LS にある函手の定義から直ちに従う．

単体的方法

補題

仮定と記法は Simplicial の Lemma 01A6 と同じとする．射 \(f\) の切断 \(g : U \to V\) が存在し，合成 \(g \circ f\) は \(V\) 上の恒等写像とホモトピー同値である．とくに，射 \(f\) はホモトピー同値である．

証明

Simplicial の Lemma 01A6 と Lemma 08NS から直ちに従う．

補題

\(\mathcal{C}\) を有限余積と有限極限をもつ圏とする．\(X\) を \(\mathcal{C}\) の対象とする． \(k \geq 0\) とする．標準写像 \[\Hom(\Delta[k], X) \longrightarrow \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)\] は同型である．

証明

任意の単体的対象 \(V\) に対して， \[\begin{eqnarray*} \Mor(V, \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) & = & \Mor(\text{sk}_1 V, \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V, \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k], X) \end{eqnarray*}\] である．第1の等式は \(\text{sk}\) と \(\text{cosk}\) の随伴性による．第2の等式は \(i_{1!}\) と \(\text{sk}_1\) の随伴性による．第1の等式は Simplicial の Definition 017I による．ここで最後の \(X\) は値 \(X\) をもつ定単体的対象を表す．Simplicial の Lemma 018H により，この集合の元は \(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k]\) の次数 \(0\) と \(1\) の項だけに依存する．これらは \(V \times \Delta[k]\) の次数 \(0\) と \(1\) の項に一致する；Simplicial の Lemma 018N を参照せよ．したがって上の集合は \(\Mor(V \times \Delta[k], X) = \Mor(V, \Hom(\Delta[k], X))\) に等しい．

補題

\(\mathcal{C}\) を圏とする．\(X\) を，自己積 \(X \times \ldots \times X\) が存在する \(\mathcal{C}\) の対象とする．\(k \geq 0\) とし，\(C[k]\) は Simplicial の Example 0B13 にあるものとする． Simplicial の Lemma 017M の記法の下で，標準写像 \[\Hom(C[k], X)_1 \longrightarrow (\text{cosk}_0 \text{sk}_0 \Hom(C[k], X))_1\] は，写像 \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} X \longrightarrow X \times X\] と同一視される．これは \(\alpha\) が定値写像である因子への射影である．

証明

これは Hypercoverings の Lemma 01GJ の証明中で示されている．

スキームに関する結果

余分と思われる補題を挙げる．

補題

\((R, \mathfrak m, \kappa)\) を局所環とする． \(X \subset \mathbf{P}^n_R\) を閉部分スキームとする． \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) と仮定する．このとき特殊ファイバー \(X_k\) は幾何学的に連結である．

証明

これは More on Morphisms の Theorem 03H2 の特別な場合である．

補題

\(X\) を Noether スキームとする．\(Z_0 \subset X\) を生成点 \(\xi\) をもつ既約閉集合とする． \(\mathcal{P}\) を \(X\) 上の連接層の性質で，次を満たすものとする：

連接層の任意の短完全列において，三つのうち二つが性質 \(\mathcal{P}\) をもてば，残る一つもこの性質をもつ．

連接層の直和が \(\mathcal{P}\) を満たすならば，双方がこれを満たす．

任意の整閉部分スキーム \(Z \subset Z_0 \subset X\), \(Z \not = Z_0\) と，任意の準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\) に対して， \((Z \to X)_*\mathcal{I}\) は \(\mathcal{P}\) を満たす．

\(X\) 上のある連接層 \(\mathcal{G}\) が存在し，次を満たす：

\(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\)；

\(\mathcal{G}_\xi\) は \(\mathfrak m_\xi\) によって零化される；

\(\mathcal{G}\) は性質 \(\mathcal{P}\) を満たす．

このとき，その台が \(Z_0\) に含まれる \(X\) 上の任意の連接層 \(\mathcal{F}\) は性質 \(\mathcal{P}\) を満たす．

証明

証明は Cohomology of Schemes の Lemma 01YH の証明の変形である．その証明とまったく同様に，台が \(Z_0\) に真に含まれる任意の連接層は性質 \(\mathcal{P}\) をもつことが分かる．

(3) にあるような連接層 \(\mathcal{G}\) を考える．Cohomology of Schemes の Lemma 01YE により，\(Z_0\) 上のイデアル層 \(\mathcal{I}\) と短完全列 \[0 \to \left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] が存在する．ここで \(\mathcal{Q}\) の台は \(Z_0\) に真に含まれる．とくに \(\mathcal{G}\) の台は \(Z\) に等しいので，\(r > 0\) であり，\(\mathcal{I}\) は零でない． \(\mathcal{Q}\) は性質 \(\mathcal{P}\) をもつから， \(\left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r}\) も性質 \(\mathcal{P}\) をもつ． (2) により，\((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもつと分かる．これを Cohomology of Schemes の Lemma 01YH の証明の適切な箇所に組み込めば補題を得る．いくつかの細部は省略する．

補題

\(X\) を Noether スキームとする．\(\mathcal{P}\) を \(X\) 上の連接層の性質で，次を満たすものとする：

連接層の任意の短完全列において，三つのうち二つが性質 \(\mathcal{P}\) をもてば，残る一つもこの性質をもつ．

連接層の直和が \(\mathcal{P}\) を満たすならば，双方がこれを満たす．

生成点 \(\xi\) をもつ任意の整閉部分スキーム \(Z \subset X\) に対して，ある連接層 \(\mathcal{G}\) が存在し，次を満たす：

\(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)；

\(\mathcal{G}_\xi\) は \(\mathfrak m_\xi\) によって零化される；

\(\mathcal{G}\) は性質 \(\mathcal{P}\) を満たす．

このとき，\(X\) 上の任意の連接層は性質 \(\mathcal{P}\) を満たす．

証明

これは Lemma 01YJ から， Cohomology of Schemes の Lemma 01YI が Cohomology of Schemes の Lemma 01YH から従うのとまったく同じ仕方で従う．

補題

\(X\) をスキームとする．\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする． \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) を切断とする． \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする．次を仮定する：

\(X\) は準コンパクトである；

\(\mathcal{F}\) は有限型である；

\(\mathcal{F}'|_{X_s} = \mathcal{F}|_{X_s}\)．

このとき，\(\mathcal{F}\) 上の \(s^n\) による乗法が \(\mathcal{F}'\) を経由するような \(n \geq 0\) が存在する．

証明

言い換えると，ある \(n \geq 0\) に対して \(s^n\mathcal{F} \subset \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\) であると主張している．さらに言い換えると，商写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}'\) は \(s\) のある冪を掛けると零になると主張している．これは Properties の Lemma 01XQ から従う．

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする．次を仮定する：

\(X\) と \(Y\) は整スキームである；

\(f\) は局所有限型かつ支配的である；

\(f\) は準コンパクトまたは分離的である；

\(f\) は生成的に有限である，すなわち Morphisms の Lemma 02NX の (1)–(5) のいずれかが成り立つ．

このとき，\(f^{-1}(V) \to V\) が次数 \(\deg(X/Y)\) の有限局所自由射となるような空でない開集合 \(V \subset Y\) が存在する．とくに，\(f^{-1}(V) \to V\) のファイバーの次数は \(\deg(X/Y)\) で上から抑えられる．

証明

\(f^{-1}(V) \to V\) が有限となるように \(V\) を選べる．次に \(V\) を縮小し，生成的平坦性（Morphisms の Proposition 052A）により，\(f^{-1}(V) \to V\) が平坦かつ有限表示であると仮定できる．すると Morphisms の Lemma 02KB により，この射は有限局所自由である． \(V\) は既約なので，この射は一定の次数をもつ．最後の主張はこれと Morphisms の Lemma 0CC2 から従う．

多様体の導来圏

もともと多様体の導来圏の章の一部であったが，現在では不要になった補題を挙げる．

補題

\(k\) を体とする．\(X\) を \(k\) 上有限型で分離的かつ正則なスキームとする． \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を \(k\)-線形完全函手とする．\(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\) を満たす任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して，\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の \(M\) に関して函手的な \(k\)-ベクトル空間の同型 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_X(\mathcal{F}, F(M))\] があると仮定する．このとき，台となる位相空間上で恒等写像を誘導する \(k\) 上の自己同型 \(f : X \to X\) ¹ と，可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) が存在し，\(F\) と \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\) は sibling である．

証明

Derived Categories of Varieties の Lemma 0G02 により，台が閉点である任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して， \(M\) に関して函手的な同型 \[H^0(X, M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) = H^0(X, F(M) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\] がある．

\(x \in X\) を閉点とし，上の主張を，\(x\) で値 \(\kappa(x)\) をとる摩天楼層 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_x\) に適用する．すべての \(p \in \mathbf{Z}\) に対して \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(M_x, \kappa(x)) = \dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(F(M)_x, \kappa(x))\] を得る．とくに，\(i > 0\) に対して \(H^i(M) = 0\) ならば，Derived Categories of Varieties の Lemma 0G03 により， \(i > 0\) に対して \(H^i(F(M)) = 0\) である．

\(\mathcal{E}\) が階数 \(r\) の局所自由加群ならば，\(F(\mathcal{E})\) も階数 \(r\) の局所自由加群である．実際，\(\mathcal{O}_{X, x}\) 上の完全複体 \(K\) が \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_i(K, \kappa(x)) = \left\{ \begin{matrix} r & \text{if} & i = 0 \\ 0 & \text{if} & i \not = 0 \end{matrix} \right.\] を満たすならば，それは次数 \(0\) に置かれた階数 \(r\) の自由加群に等しい．たとえば More on Algebra の Lemma 0BCD を参照せよ．

\(M\) の台が閉部分スキーム \(Z \subset X\) に含まれるならば，\(F(M)\) の台も \(Z\) に含まれる．実際，\(x \not \in Z\) に対して \(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x = 0\) であり，したがって \(F(M)\) についても同じことが成り立つ．ゆえに Derived Categories of Varieties の Lemma 0G03 から結論を得る．

とくに \(F(\mathcal{O}_x)\) の台は \(\{x\}\) に含まれる． \(H^i(\mathcal{O}_x) \not = 0\) となる最小の整数を \(i \in \mathbf{Z}\) とする． \(i \leq 0\) であることが分かっている．もし \(i < 0\) ならば，射 \(\mathcal{O}_x[-i] \to F(\mathcal{O}_x)\) が存在し，これはすべての射 \(\mathcal{O}_x[-i] \to \mathcal{O}_x\) が零であることに矛盾する．したがって \(F(\mathcal{O}_x) = \mathcal{H}[0]\) である．ここで \(\mathcal{H}\) は \(x\) における摩天楼層である．

\(\mathcal{G}\) を \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G})) = 0\) を満たす連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする．このときフィルトレーション \[0 = \mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{G}_n = \mathcal{G}\] であって，\(n \geq i \geq 1\) に対して商 \(\mathcal{G}_i/\mathcal{G}_{i - 1}\) がある閉点 \(x_i \in X\) に対する \(\mathcal{O}_{x_i}\) と同型であるものが存在する．すると識別三角形 \[F(\mathcal{G}_{i - 1}) \to F(\mathcal{G}_i) \to F(\mathcal{O}_{x_i})\] を得る．帰納法により，\(F(\mathcal{G}_i)\) は次数 \(0\) に置かれた連接層である．

\(\mathcal{G}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする．\(i > 0\) に対して \(H^i(F(\mathcal{G})) = 0\) であることが分かっている．矛盾を導くため，ある \(i < 0\) に対して \(H^i(F(\mathcal{G}))\) が零でないと仮定する．この性質をもつ最小の \(i\) を選ぶと，\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に射 \(H^i(F(\mathcal{G}))[-i] \to F(\mathcal{G})\) がある． \(H^i(F(\mathcal{G}))\) の台にある閉点 \(x \in X\) を選ぶ．More on Algebra の Lemma 0EGV により，写像 \[H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] が零でないような \(n > 0\) が存在する．次に \(m \geq 1\) を取り，短完全列 \[0 \to \mathfrak m_x^m \mathcal{G} \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G} \to 0\] を考える．上で見たように，\(F(\mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G})\) は次数 \(0\) に置かれた層である．したがって \(H^i(F(\mathfrak m_x^m \mathcal{G})) \to H^i(F(\mathcal{G}))\) は同型である．可換図式 \[\xymatrix{ H^i(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] \ar[d] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \ar[d] \\ H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) }\] を考える．左の垂直矢印は同型で，下の矢印は零でないので，すべての \(m \geq 1\) に対して右の垂直矢印は零でないと結論できる．他方，証明の第1段落により，この矢印は写像 \[\text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] と同型であることが分かっている．しかし More on Algebra の Lemma 0FXN により，\(m \gg n\) に対してこの矢印は零である．これは求めていた矛盾である．

以上から \(F\) は連接加群を保つ．Derived Categories of Varieties の Lemma 0G00 により，\(F\) は Fourier–Mukai 函手 \(F'\) と sibling である．この函手は，\(\text{pr}_1\) を介して \(X\) 上平坦であり， \(\text{pr}_2\) を介して \(X\) 上有限である連接 \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-加群 \(\mathcal{K}\) によって与えられる．\(F(\mathcal{O}_X)\) は次数 \(0\) に置かれた可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) なので， \[\mathcal{L} \cong F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X) \cong \text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\] である．したがって Functors and Morphisms の Lemma 0FZP により， \(\text{pr}_2 \circ s = \text{id}_X\) かつ \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{L}\) を満たす射 \(s : X \to X \times X\) が存在する．\(f = \text{pr}_1 \circ s\) と置く．このとき \[\begin{align*} F'(M) & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes \mathcal{K}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes s_*\mathcal{L}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(Rs_*(Lf^*M \otimes \mathcal{L})) \\ & = Lf^*M \otimes \mathcal{L} \end{align*}\] である．第3段階では Derived Categories of Schemes の Lemma 08EU を用いた．すべての閉点 \(x \in X\) に対して加群 \(F(\mathcal{O}_x)\) の台は \(x\) に含まれるので，\(f\) は \(X\) の台となる位相空間上の恒等写像を誘導する．\(f\) が同型であることはまだ示す必要があり，次の段落でこれを行う．

\(x \in X\) を閉点とする．\(n \geq 1\) に対して，値 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\) をもつ \(x\) における摩天楼層を \(\mathcal{O}_{x, n}\) と記す． \[\Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n}) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, F(\mathcal{O}_{x, n})) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, f^*\mathcal{O}_{x, n} \otimes \mathcal{L})\] という同型があり，\(\mathcal{O}_{x, n}\) どうしの \(\mathcal{O}_X\)-加群準同型に関して函手的である．（第1の同型は仮定により存在し，第2の同型は \(F\) と \(F'\) が sibling であることによる．）\(m \geq n\) に対して，\(\mathcal{O}_{x, n}\) への作用を介して \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m^n = \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n})\) であるから，すべての \(n\) に対して \(f^\sharp : \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \to \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\) は全単射であると結論できる．したがって \(f\) は閉点における完備局所環上で同型を誘導し，ゆえに étale である（Étale Morphisms の Lemma 039M）．閉点を見ると，\(f\) は étale なので開埋め込みである \(\Delta_f : X \to X \times_{f, X, f} X\) は全単射であり，したがって同型である．ゆえに \(f\) は単射射である．最後に，\(f\) は同型であると結論する．Descent の Lemma 06NC により，それは開埋め込みだからである．

正則固有の場合の表現可能性

Derived Categories of Varieties の Theorem 0FYH を，体上のすべての固有スキームに適用できるように改良したので，この節は旧結果である（以前は体上の射影スキームについてのみ証明していた）．

補題

\(f : X' \to X\) を整 Noether スキームの固有双有理射とし，\(X\) は正則であるとする．写像 \(\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_{X'}\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) において標準的に分裂する．

証明

\(D(\mathcal{O}_X)\) において \(E = Rf_*\mathcal{O}_{X'}\) と置く． Derived Categories of Schemes の Lemma 08E2 により， \(E\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属することに注意する． Derived Categories of Schemes の Lemma 0FDC により，\(E\) は \(D(\mathcal{O}_X)\) の完全対象である．\(\mathcal{O}_{X'}\) は代数の層なので， Cohomology の Remark 0B68 により，相対カップ積 \(\mu : E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E \to E\) がある． \(\sigma : E \otimes E^\vee \to E^\vee \otimes E\) を，対称モノイド圏 \(D(\mathcal{O}_X)\) 上の可換制約とする（Cohomology の Lemma 0FPB）． \(\eta : \mathcal{O}_X \to E \otimes E^\vee\) および \(\epsilon : E^\vee \otimes E \to \mathcal{O}_X\) を Cohomology の Example 0FPC で構成された写像とする．このとき写像 \[E \xrightarrow{\eta \otimes 1} E \otimes E^\vee \otimes E \xrightarrow{\sigma \otimes 1} E^\vee \otimes E \otimes E \xrightarrow{1 \otimes \mu} E^\vee \otimes E \xrightarrow{\epsilon} \mathcal{O}_X\] を考えられる．この写像は補題の主張にある写像の片側逆であると主張する．これを見るには，合成 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\) が恒等写像であることを示せば十分である．これは \(X\) の生成点で（あるいは \(f\) が同型となる \(X\) の開部分スキーム上で）確かめてよい．この場合 \(E = \mathcal{O}_X\) であり，\(\mu\) は通常の乗法写像なので，結果は明らかである．

補題

\(X\) を体 \(k\) 上の正則な固有スキームとする． \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\) とする．次は同値である：

\(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)；

\(D(\mathcal{O}_X)\) のすべての完全対象 \(E\) に対して \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\)．

証明

(1) の等式は Derived Categories of Schemes の Lemma 0FDC により成り立つ．含意 (1) \(\Rightarrow\) (2) は Derived Categories of Varieties の Lemma 0FYC から従う．含意 (2) \(\Rightarrow\) (1) は More on Morphisms の Lemma 0GET から従う．

補題

\(X\) を体 \(k\) 上の正則な固有スキームとする．

\(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\) を \(k\)-線形コホモロジー函手であって，すべての \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対し \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] を満たすものとする．このとき \(F\) は，ある \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対する \(E \mapsto \Hom_X(E, K)\) という形の函手と同型である．

\(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\) を \(k\)-線形ホモロジー函手であって，すべての \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対し \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] を満たすものとする．このとき \(G\) は，ある \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) に対する \(E \mapsto \Hom_X(K, E)\) という形の函手と同型である．

証明

これは Derived Categories of Varieties の Theorem 0FYH と Lemma 0H4A から従う．以下では別の証明も与える．

(1) の証明．導来圏 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) は直和をもち，コンパクト生成され， \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) はコンパクト対象の充満部分圏である； Derived Categories of Schemes の Lemma 08DT，Theorem 09IS，Proposition 09M1 を参照せよ． Derived Categories of Varieties の Lemma 0FYG により，ある \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\) に対して \(F(E) = \Hom_X(E, K)\) と仮定してよい．すると Lemma 0FYK により， \(K\) は \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\) に属する．

(2) の証明．\(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 上の反変函手 \(E \mapsto E^\vee\) を考える；Cohomology の Lemma 08DQ を参照せよ．この函手は \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) の完全な反自己同値である．したがって函手 \(F(E) = G(E^\vee)\) に (1) を適用して， \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\) となる \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) を得る．すると \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\) であるから， \(K^\vee\) を取ればよい．

商の函手

補題

\(S = \Spec(R)\) をアフィンスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする． \(q_i : \mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i\), \(i = 1, 2\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の全射とする．\(\mathcal{Q}_1\) は \(S\) 上平坦であると仮定する． \(T \to S\) をスキームの準コンパクト射とし，次の分解が存在するとする： \[\xymatrix{ & \mathcal{F}_T \ar[rd]^{q_{2, T}} \ar[ld]_{q_{1, T}} \\ \mathcal{Q}_{1, T} & & \mathcal{Q}_{2, T} \ar@{..>}[ll] }\] このとき閉部分スキーム \(Z \subset S\) が存在して，(a) \(T \to S\) は \(Z\) を経由し， (b) \(q_{1, Z}\) は \(q_{2, Z}\) を経由する．\(\Ker(q_2)\) が有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり，\(X\) が準コンパクトならば，\(Z \to S\) を有限表示に取ることができる．

証明

写像 \(\Ker(q_2) \to \mathcal{Q}_1\) に Flatness on Spaces の Lemma 083K を適用する．

空間と fpqc 被覆

代数空間が fpqc 被覆に関する層条件を満たすことを示す Gabber の議論により，ここの内容は旧結果となった．Properties of Spaces の Section 03W8 を参照せよ．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする． \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\) を \(S\) 上のスキームの fpqc 被覆とする．このとき写像 \[\Mor_S(T, X) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_S(T_i, X)\] は単射である．

証明

Properties of Spaces の Proposition 0APL から直ちに従う．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする． \(X = \bigcup_{j \in J} X_j\) を Zariski 被覆とする；Spaces の Definition 02YY を参照せよ．各 \(X_j\) が fpqc 位相に関する層性を満たすならば，\(X\) も fpqc 位相に関する層性を満たす．

証明

これは，すべての代数空間が fpqc 位相に関する層性を満たすことから正しい； Properties of Spaces の Proposition 0APL を参照せよ．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする． \(X\) が \(S\) 上 Zariski 局所的に準分離的ならば，\(X\) は fpqc 位相に関する層条件を満たす．

証明

一般の Properties of Spaces の Proposition 0APL から直ちに従う．

注意

この注では以前，Lemma 03WB の元の証明（2009年12月18日）がどの程度一般化できるかを論じていた．

非常に reasonable な代数空間

やや旧結果となった内容を収める．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の reasonable な代数空間とする．このとき \(|X|\) は Kolmogorov である（Topology の Definition 004X を参照せよ）．

証明

定義と Decent Spaces の Lemma 03K3 から従う．

この節の残りでは，非常に reasonable な代数空間についていくつか注意を述べる．スキーム \(U\) と全射な étale 準コンパクト射 \(U \to X\) が存在するならば， \(X\) は非常に reasonable である；Decent Spaces の Lemma 03IH を参照せよ．

補題

スキームは非常に reasonable である．

証明

恒等写像が準コンパクトかつ全射な étale 射なので，これは正しい．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする．各 \(X_i\) が非常に reasonable となる Zariski 開被覆 \(X = \bigcup X_i\) が存在するならば， \(X\) は非常に reasonable である．

証明

これは Decent Spaces の Lemma 03KE の場合 \((\epsilon)\) である．

補題

Zariski 局所的に準分離的な代数空間は非常に reasonable である．とくに，任意の準分離的代数空間は非常に reasonable である．

証明

これは Decent Spaces の Lemma 03JX の含意の一つである．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\), \(Y\) を \(S\) 上の代数空間とする． \(Y \to X\) を表現可能な射とする．\(X\) が非常に reasonable ならば， \(Y\) も非常に reasonable である．

証明

これは Decent Spaces の Lemma 03KF の場合 \((\epsilon)\) である．

注意

非常に reasonable な代数空間の集まりは，Zariski 局所的に準分離的な代数空間の集まりより真に大きい．\(G\) が非準分離的スキーム \(U\) に不動点なしに作用する有限群であるような，\(X = [U/G]\) という形の代数空間を考える（Spaces の Definition 02Z3 を参照せよ）．実際，この場合 \(U \times_X U = U \times G\) であり，\(U\) への二つの射影は明らかに準コンパクトなので， \(X\) は非常に reasonable である．他方，対角射 \(U \times_X U \to U \times U\) は準コンパクトでなく，したがってこの代数空間は準分離的でない．ここで，標数が \(\not = 2\) の体 \(k\) 上の無限次元アフィン空間で，原点を二重化したものを \(U\) とする；Schemes の Example 01KL を参照せよ．\(U\) の二つの原点を \(0_1, 0_2\) とする．\(G = \{+1, -1\}\) とし，\(-1\) はすべての座標上では \(-1\) として作用し，\(0_1\) と \(0_2\) を入れ替えるものとする．すると \([U/G]\) は非常に reasonable であるが，Zariski 局所的に準分離的でない（詳細は省略する）．

注意：次の補題は慎重に用いるべきである．そこに現れるスキーム \(U_i\) は，分離的であるとも，さらには準分離的であるとも限らない．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の非常に reasonable な代数空間とする．次を満たすスキーム \(U_i\) の集合と射 \(U_i \to X\) が存在する：

各 \(U_i\) は準コンパクトスキームである；

各 \(U_i \to X\) は étale である；

二つの射影 \(U_i \times_X U_i \to U_i\) はともに準コンパクトである；

射 \(\coprod U_i \to X\) は全射（かつ étale）である．

証明

Decent Spaces の Definition 03I8 により，(2)，(3)，(4) を満たす \(U_i \to X\) が存在する．\(i\) を固定し，\(R_i = U_i \times_X U_i\) と置き，射影を \(s, t : R_i \to U_i\) と記す．任意のアフィン開集合 \(W \subset U_i\) に対して，開集合 \(W' = t(s^{-1}(W)) \subset U_i\) は準コンパクトかつ \(R_i\)-不変である（Groupoids の Lemma 03LO を参照せよ）．したがって \(W'\) は準コンパクトスキームで，\(W' \to X\) は étale であり， \(W' \times_X W' = s^{-1}(W') = t^{-1}(W')\) なので二つの射影 \(W' \times_X W' \to W'\) はともに準コンパクトである．ゆえに，\(W \subset U_i\) が \(U_i\) のアフィン開被覆の要素を走るときの \(W' \to X\) の族が求めるものを与える．

代数空間に関する旧結果となった補題

余分と思われるか，本文でもはや使われていない補題を挙げる．

補題

Cohomology of Spaces の Situation 07UY において，射 \(p : X \to \Spec(A)\) は全射である．

証明

この補題はもともと Cohomology of Spaces の Proposition 07V6 の証明で用いられていたが，現在ではその命題の帰結である．

補題

Cohomology of Spaces の Situation 07UY において，射 \(p : X \to \Spec(A)\) は普遍閉である．

証明

この補題はもともと Cohomology of Spaces の Proposition 07V6 の証明で用いられていたが，現在ではその命題の帰結である．

注意

このタグは以前，Formal Spaces の Lemma 0AKT の証明中のある等式を指していた．

代数スタックに関する旧結果となった補題

余分と思われるか，本文でもはや使われていない補題を挙げる．

補題

\(S\) を局所 Noether スキームとする．\(\mathcal{X}\) を \((\Sch/S)_{fppf}\) 上の亜群でファイバー付けられた圏で，(RS*) をもつものとする． \(x\) を，\(S\) 上有限型のアフィンスキーム \(U\) 上の \(\mathcal{X}\) の対象とする． \(u_n \in U\), \(n \geq 1\) を相異なる有限型点とし，すべての \(n\) に対して \(x\) は \(u_n\) で versal でないとする．\(u_n\) を部分列で取り替えると， \(S\) 上の射 \[x \to x_1 \to x_2 \to \ldots \quad\text{in }\mathcal{X}\text{ lying over }\quad U \to U_1 \to U_2 \to \ldots\] であって，次を満たすものが存在する：

各 \(n\) に対して射 \(U \to U_n\) は1次の肥厚である；

各 \(n\) に対して短完全列 \[0 \to \kappa(u_n) \to \mathcal{O}_{U_n} \to \mathcal{O}_{U_{n - 1}} \to 0\] があり，\(n = 1\) に対して \(U_0 = U\) とする；

各 \(n\) に対して，\(u_n\) の開近傍 \(W \subset U_n\) と射 \(\alpha : x_n|_W \to x\) からなり，合成 \[x|_{U \cap W} \xrightarrow{\text{restriction of }x \to x_n} x_n|_W \xrightarrow{\alpha} x\] が標準射 \(x|_{U \cap W} \to x\) となるような対 \((W, \alpha)\) は 存在しない．

証明

この補題はもともと versality の開性に関する判定法（Artin’s Axioms の Lemma 0CXU）の証明で用いられていたが，Artin’s Axioms の Lemma 0G2S に置き換えられ，そこから容易に従う．実際，\(u_n\), \(n \geq 1\) を部分列で取り替え，これらの点の間に特殊化がないと仮定してよい；Properties の Lemma 0CXG を参照せよ．すると Artin’s Axioms の Lemma 0G2S を適用して証明を終えられる．

スキームに対する余接複体の変種

この節ではスキームの射の余接複体の別構成を与える．応用には Cotangent の Section 08V7 で論じた，より容易な版で足りるので，この節は現在，旧結果の章に置かれている．

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする．\(\mathcal{C}_{X/Y}\) を，スキームの可換図式 [08T6]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_i & A \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] } } \end{equation}\] を対象とする圏とする．ここで

\(U\) は \(X\) の開部分スキームである；
\(V\) は \(Y\) の開部分スキームである；
\(P\) を \(\mathbf{Z}\) 上の（ある変数集合に関する）多項式代数として， \(V\) 上の同型 \(A = V \times \Spec(P)\) が存在する．

言い換えると，\(A\) は \(V\) 上の（無限次元）アフィン空間である．射は可換図式で与える．

記法． \(\mathcal{C}_{X/Y}\) の対象，すなわち図式 (08T6) は，しばしば \(U \to A\) と記す．このとき，(a) \(U\) は \(X\) の開部分スキーム，(b) \(U \to A\) は \(Y\) 上の射，(c) 構造射 \(A \to Y\) の像は開集合 \(V \subset Y\)，(d) \(A \to V\) はアフィン空間であることを了解する．\(V \subset Y\) が \(A \to Y\) の像であることを示すときは \(U \to A/V\) と書く．\(X_{Zar}\) が \(X\) の小 Zariski サイトを表すことを思い出す．忘却函手 \[\mathcal{C}_{X/Y} \to X_{Zar},\ (U \to A) \mapsto U \quad\text{and}\quad \mathcal{C}_{X/Y} \mapsto Y_{Zar},\ (U \to A/V) \mapsto V.\] がある．

補題

\(X \to Y\) をスキームの射とする．

圏 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) は \(X_{Zar}\) 上ファイバー付けられている．

圏 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) は \(Y_{Zar}\) 上ファイバー付けられている．

圏 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) は，\(U \subset X\), \(V \subset Y\) が開で \(f(U) \subset V\) となる対 \((U, V)\) の圏上ファイバー付けられている．

証明

(1) について．\(\mathcal{C}_{X/Y}\) の対象 \(U \to A\) と \(X_{Zar}\) の射 \(U' \to U\) が与えられたとする．\(i'\) を \(U' \to U\) と \(i\) の合成として， \(\mathcal{C}_{X/Y}\) の対象 \(i' : U' \to A\) を考える． \(\mathcal{C}_{X/Y}\) の射 \((U' \to A) \to (U \to A)\) は，\(X_{Zar}\) 上強 Cartesian である．

(2) について．対象 \(U \to A/V\) と \(V' \to V\) が与えられたとする． \(U' = U \cap f^{-1}(V')\) および \(A' = V' \times_V A\) と置けば， \(V' \to V\) 上の強 Cartesian 射 \((U' \to A') \to (U \to A)\) を得る．

(3) について．(3) の圏を \((X/Y)_{Zar}\) と記す．\(U \to A/V\) と \((X/Y)_{Zar}\) の射 \((U', V') \to (U, V)\) が与えられたとする． \(A' = V' \times_V A\) を考える．すると射 \((U' \to A'/V') \to (U \to A/V)\) は \((X/Y)_{Zar}\) 上の \(\mathcal{C}_{X/Y}\) において強 Cartesian である．

\(X_{Zar}\) から継承した位相を用いて，\(\mathcal{C}_{X/Y}\) 上の位相 \(\tau_X\) を得る（Stacks の Section 06NT を参照せよ）．特に断らない限り，\(\mathcal{C}_{X/Y}\) 上ではこの位相を考える．正確には，射の族 \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\) が \(\mathcal{C}_{X/Y}\) の被覆であることと，次は同値である：

\(U = \bigcup U_i\)；
すべての \(i\) に対して \(A_i = A\)．

(2) で \(A_i \cong A\) を許しても，同じ層の集まりを得る．函手 \(u\) はトポスの射 \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \to \Sh(X_{Zar})\) を定める．

サイト \(\mathcal{C}_{X/Y}\) にはいくつかの環の層が備わっている．

規則 \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(A)\) で与えられる層 \(\mathcal{O}\)．
規則 \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(U)\) で与えられる層 \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\)．
規則 \((U \to A/V) \mapsto \mathcal{O}(V)\) で与えられる層 \(\underline{\mathcal{O}}_Y\)．

環付きトポスの射 [08T8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] を得る．射 \(i\) は台となるトポス上の恒等写像で， \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\) は明らかな写像である．写像 \(\pi\) は Cohomology on Sites の Situation 08P8 の特別な場合である．以下では導来函手 \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\) が重要な役割を果たす．これは \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\) の左随伴である．また \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\) も重要であり，これは \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\) の左随伴である．

注意

\(Y_{Zar}\) から継承した位相を取ることにより，\(\mathcal{C}_{X/Y}\) 上の第2の位相 \(\tau_Y\) を得る．第3の位相 \(\tau_{X \to Y}\) もある．ここで射の族 \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\) が被覆であることと， \(U = \bigcup U_i\), \(V = \bigcup V_i\) かつ \(A_i \cong V_i \times_V A\) であることは同値である．これは，Lemma 08T7 の (3) にある対 \((U, V)\) の圏を台となる圏とするサイト \((X/Y)_{Zar}\) 上の位相から継承した位相である． \((X/Y)_{Zar}\) の被覆は，\(U = \bigcup U_i\) かつ \(V = \bigcup V_i\) を満たす族 \(\{(U_i, V_i) \to (U, V)\}\) である．トポスの射 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) = \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_X) & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) }\] がある（\(\tau_X\) が「既定」の位相であることを思い出す）．これらの矢印に対する引き戻し函手は層化であり，順像は台となる前層上の恒等写像である．トポスの図式 \[\xymatrix{ \Sh(X_{Zar}) \ar[d]^f & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \ar[l]^\pi & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[d] \\ \Sh(Y_{Zar}) & & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) \ar[ll] }\] は 可換でない．実際，\(Y\) 上の零でないアーベル層の引き戻しは \((\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\) 上の零でないアーベル層であるが，そのような層が \(X\) 上では零へ引き戻される例を確かに見つけられる． \(Y_{Zar}\) 上の任意の前層 \(\mathcal{F}\) は，\((U \to A/V)\) に集合 \(\mathcal{F}(V)\) を割り当てる規則により，\(\mathcal{C}_{Y/X}\) 上の層 \(\underline{\mathcal{F}}\) を与えることに注意する．\(\mathcal{F}\) が層であっても，一般には \(\underline{\mathcal{F}} = \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\) ではない．これは上の図式の非可換性と関係する．実際，\(\underline{\mathcal{F}}\) は，\(\mathcal{F}\) を下の水平矢印と右の垂直矢印を介して \(\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\) へ引き戻し，その後に順像を取ったものとして記述できる．一例は層 \(\underline{\mathcal{O}}_Y\) である．しかし正しいのは，写像 \(\underline{\mathcal{F}} \to \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\) が存在し，それが（後で見るように）\(\pi_!\) を適用すると同型へ移されることである．

平坦加群の変形と障害

この節では，環 \(\Lambda\) 上の任意の代数空間 \(X\) に対する連接層のスタックの変形理論の構成を概説する．Quot の Section 08WB における議論が改良されたため，この内容は旧結果となっている．

設定は次のとおりである．以下が与えられていると仮定する：

環 \(\Lambda\)；
\(\Lambda\) 上の代数空間 \(X\)；
\(\Lambda\)-代数 \(A\)； \(X_A = X \times_{\Spec(\Lambda)} \Spec(A)\) と置く；
\(A\) 上平坦な有限表示 \(\mathcal{O}_{X_A}\)-加群 \(\mathcal{F}\)．

この状況で，全射 \[0 \to I \to A' \to A \to 0\] で，\(A'\) が \(\Lambda\)-代数であり，その核 \(I\) が \(A'\) の平方零イデアルであるものをすべて考える．\(A'\) が与えられると，\(\Spec(\Lambda)\) 上の代数空間の一次の厚化 \(X_A \to X_{A'}\) を得る．その各々について，\(\mathcal{F}\) を \(X_{A'}\) 上の \(A'\) 上平坦な有限表示加群 \(\mathcal{F}'\) へ持ち上げる問題を考える．この設定で Deformation Theory, Lemma 08VW の結果を再現したい．

より正確には，\(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) を対 \((\mathcal{F}', \alpha)\) の圏とする．ここで \(\mathcal{F}'\) は \(X_{A'}\) 上の \(A'\) 上平坦な有限表示加群であり， \(\alpha : \mathcal{F}'|_{X_A} \to \mathcal{F}\) は同型である．射 \((\mathcal{F}'_1, \alpha_1) \to (\mathcal{F}'_2, \alpha_2)\) は， \(\alpha_1\) および \(\alpha_2\) と両立する同型 \(\mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2\) である． \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) の同型類の集合を \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\) と記す．

\(\mathcal{G}\) を，\(X_\etale\) 上の \(A\) 上平坦な \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-加群の層とする．圏 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) を導入する．その対象は対 \((\mathcal{G}', \beta)\) であり，\(\mathcal{G}'\) は \(A'\) 上平坦な \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A'\)-加群の層，\(\beta\) は同型 \(\mathcal{G}' \otimes_{A'} A \to \mathcal{G}\) である．

補題

記法と仮定は上のとおりとする．\(p : X_A \to X\) を射影とする．\(A'\) が与えられたとき，\(p' : X_{A'} \to X\) を射影と記す．函手 \(p'_*\) は，次の圏の間の圏同値を誘導する：

圏 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\)；

圏 \(\textit{Lift}(p_*\mathcal{F}, A')\)．

証明

FIXME.

\(\mathcal{H}\) を，\(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) 上の \(A\) 上平坦な \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-加群の層とする．圏 \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(\mathcal{H}, A')\) を導入する．その対象は対 \((\mathcal{H}', \gamma)\) であり，\(\mathcal{H}'\) は \(A'\) 上平坦な \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A'\)-加群の層， \(\gamma : \mathcal{H}' \otimes_A A' \to \mathcal{H}\) は \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-加群の同型である．

\(\mathcal{G}\) を，\(X_\etale\) 上の \(A\) 上平坦な \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-加群の層とする． Cotangent, Equation (08VK) の射 \(i\) と \(\pi\) を考える． \(\underline{\mathcal{G}} = \pi^{-1}(\mathcal{G})\) と記す．これは単に規則 \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{G}(U)\) で与えられるので， \(\underline{\mathcal{O}}_X \otimes_\Lambda A\)-加群の層である． \(i_*\underline{\mathcal{G}}\) を，同じ層を \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-加群の層とみなしたものとする．

補題

記法と仮定は上のとおりとする．函手 \(\pi_!\) は，次の圏の間の圏同値を誘導する：

圏 \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(i_*\underline{\mathcal{G}}, A')\)；

圏 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\)．

証明

FIXME.

補題

記法と仮定は Lemma 08W1 のとおりとする． \(D(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A)\) の対象 \[L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{G}) = L\pi_!(Li^*(i_*(\underline{\mathcal{G}})))\] を考える．平方零の核 \(I\) をもつ \(\Lambda\)-代数の全射 \(A' \to A\) が与えられると，次が成り立つ：

圏 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) が空でないための必要十分条件は，ある類 \(\xi \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\) が零であることである．

\(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\) が空でなければ， \(\text{Lift}(\mathcal{G}, A')\) は \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\) の作用に関して主同次空間をなす．

持ち上げ \(\mathcal{G}'\) が与えられたとき，\(\text{id}_\mathcal{G}\) へ引き戻される \(\mathcal{G}'\) の自己同型の集合は，標準的に \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\) と同型である．

証明

FIXME.

最後に，以上を次のようにまとめる．

命題

\(\Lambda\), \(X\), \(A\), \(\mathcal{F}\) は上のとおりとする．\(D(X_A)\) の標準的な対象 \(L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{F})\) が存在し，平方零の核 \(I\) をもつ \(\Lambda\)-代数の全射 \(A' \to A\) が与えられると，次が成り立つ：

圏 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) が空でないための必要十分条件は，ある類 \(\xi \in \Ext^2_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\) が零であることである．

\(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\) が空でなければ， \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\) は \(\Ext^1_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\) の作用に関して主同次空間をなす．

持ち上げ \(\mathcal{F}'\) が与えられたとき，\(\text{id}_\mathcal{F}\) へ引き戻される \(\mathcal{F}'\) の自己同型の集合は，標準的に \(\Ext^0_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\) と同型である．

証明

FIXME.

補題

Proposition 08W3 の状況で，\(X \to \Spec(\Lambda)\) が局所有限型で \(\Lambda\) が Noether 環ならば，\(L\) は擬連接である．

証明

FIXME.

非平坦な場合の連接層のスタック

Quot, Theorem 08WC では， \(f : X \to B\) が平坦であるという仮定は必要ない．この節では，導来代数幾何の考えに基づいて証明法を修正し，平坦性の仮定を回避する．Quot, Section 08WB では，まったく異なる方法により正確に同じ結果を得ている．このため，本節の方法は旧結果となっている．

Quot, Theorem 08WC の証明で平坦性を用いる唯一の段階は，Quot, Lemma 08WA の適用である．この補題は， Artin’s Axioms, Section 07YV の意味での障害理論を構成するために用いられる．補題の証明は，Deformation Theory, Lemmas 08VW および 08VY に依存する．これらは Deformation Theory, Section 08VV にある．これが \(f\) の平坦性という仮定が現れる理由である．先へ進む前に，Deformation Theory, Lemmas 08VW の結果 (2) と (3) は，\(f\) の平坦性を仮定しなくても成り立つことに注意する．実際，これらが依存する Deformation Theory, Lemmas 08MU および 08MR には平坦性の仮定がない．

詳細を述べる前に，以下を明確にすると思われるので，導来代数幾何から得られる構成の動機を説明する．\(A\) を局所 Noether 基底 \(S\) 上の有限型代数とする．\(X\) の \(A\) への「導来基底変換」を \(X \otimes^\mathbf{L} A\) と記し，標準的な包含射を \(i : X_A \to X \otimes^\mathbf{L} A\) と記す．対象 \(X \otimes^\mathbf{L} A\) は Stacks project では（まだ）定義されていない．これは，代数空間 \(X_A\) に環の単体的層 \(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}\) を備えたものと考えられ，そのホモロジー層は \[H_i(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_S}_i(\mathcal{O}_X, A).\] である．射 \(X \otimes^\mathbf{L} A \to \Spec(A)\) は平坦である（環の単体的層の各項が \(A\)-平坦だからである）．したがって，平坦加群の変形に関する通常の内容をこれに適用できる．ゆえに，\(i = 0, 1, 2\) に対し，それぞれ無限小自己同型，無限小変形，障害を与える群 \[\Ext^i_{X \otimes^\mathbf{L} A}(i_*\mathcal{F}, i_*\mathcal{F} \otimes_A M)\] を用いて障害理論を得ることが分かる．\(i_*\mathcal{F}\) の \(X \otimes^\mathbf{L} A'\) への平坦変形は，自動的に \(i'_*\mathcal{F}'\) の形である．ここで \(\mathcal{F}'\) は \(\mathcal{F}\) の平坦変形である．函手 \(Li^*\) と \(i_* = Ri_*\) の随伴により，これらの Ext 群は \[\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] に等しい．したがって Quot, Lemma 08WA の証明とまったく同じ形の障害群が得られる．唯一の変更は，\(\mathcal{F}\) の最初の出現を複体 \(Li^*(i_*\mathcal{F})\) で置き換えることである．

以下では，\(E(\mathcal{F}) = Li^*(i_*\mathcal{F})\) を「直接」構成し， \(\mathcal{F}\) の変形理論との関係を直接証明することにより，この補題の非平坦版を証明する．実際，関心があるのは \(i = 0, 1, 2\) に対する Ext 群 \(\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\) だけなので，\(\tau_{\geq -2}E(\mathcal{F})\) を構成すれば十分である．さらに，コホモロジー層を \[H^i(E(\mathcal{F})) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{if }i > 0 \\ \mathcal{F} & \text{if } i = 0 \\ 0 & \text{if } i = -1 \\ \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_S}(\mathcal{O}_X, A) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} & \text{if } i = -2 \end{matrix} \right.\] と同定することさえできる．この観察が，以下の注意における \(E(\mathcal{F})\) の構成を導く．

注意

\(S\) をスキームとする．\(f : X \to B\) を \(S\) 上の代数空間の射とする．\(U\) を \(B\) 上の別の代数空間とする．第2射影を \(q : X \times_B U \to U\) と記す． Cotangent, Section 09DJ の特別三角形 \[Lq^*L_{U/B} \to L_{X \times_B U/B} \to E \to Lq^*L_{U/B}[1]\] を考える．任意の \(\mathcal{O}_{X \times_B U}\)-加群の層 \(\mathcal{F}\) に対し， Atiyah 類 \[\mathcal{F} \to L_{X \times_B U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] がある．Cotangent, Section 09DF を参照せよ．これを \(E\) への写像と合成し，\(D(\mathcal{O}_{X \times_B U})\) における特別三角形 \[E(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} E[1] \to E(\mathcal{F})[1]\] を選べる．構成により，Atiyah 類は写像 \[e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow Lq^*L_{U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] へ持ち上がり，これは特別三角形の射 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} Lq^*L_{U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} L_{X \times_B U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \\ E(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^{e_\mathcal{F}} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u]^{Atiyah} & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \ar[u]^{=} }\] に組み込まれる．\(S, B, X, f, U, \mathcal{F}\) が与えられるたびに， \(E(\mathcal{F})\) と \(e_\mathcal{F}\) の選択を一つ固定する．

注意

記法を Remark 09DN のとおりとし，\(i : U \to U'\) を \(B\) 上の \(U\) の一次の厚化とする．\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{U'}\) を， \(B'\) における \(B\) を切り出す準連接イデアル層とする．基本三角形 \[Li^*L_{U'/B} \to L_{U/B} \to L_{U/U'} \to Li^*L_{U'/B}[1]\] と写像 \(L_{U/U'} \to \mathcal{I}[1]\) は，写像 \(e_{U'} : L_{U/B} \to \mathcal{I}[1]\) を定める．これと前の注意の写像 \(e_\mathcal{F}\) を組み合わせると， \[(\text{id}_\mathcal{F} \otimes Lq^*e_{U'}) \cup e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I}[2]\] を得る（導来テンソル積から通常のテンソル積への写像とも合成した）．言い換えると，元 \[\xi_{U'} \in \Ext^2_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}( E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I})\] を得る．

補題

Remark 09DP の状況で，\(\mathcal{F}\) が \(U\) 上平坦であると仮定する．類 \(\xi_{U'}\) が消えることは，\(U'\) 上平坦で \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\) を満たす \(\mathcal{O}_{X \times_B U'}\)-加群 \(\mathcal{F}'\) が存在するための必要十分条件である．

証明

Deformation Theory, Lemma 08MV の判定法を用いる．\(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X \times_B U}\) および \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}_{X \times_B U'}\) と略記する．短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{U'} \to \mathcal{O}_U \to 0.\] を考える．\(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}'\) を，\(X \times_B U\) を切り出す準連接イデアル層とする．上のことから完全列 \[\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to q^*\mathcal{I} \to \mathcal{J} \to 0\] を得る．ここで \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U)\) は \[\text{Tor}_1^{h^{-1}\mathcal{O}_B}(p^{-1}\mathcal{O}_X, q^{-1}\mathcal{O}_U) \otimes_{(p^{-1}\mathcal{O}_X\otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_B}q^{-1}\mathcal{O}_U)} \mathcal{O}.\] の略記である．\(\mathcal{F}\) とテンソルを取ると，完全列 \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J} \to 0\] を得る（文字 \(\mathcal{I}\) と \(\mathcal{J}\) の役割は，Deformation Theory, Lemma 08MV の記法とは逆であることに注意せよ）．この補題の条件 (1) は，上の最後の写像が同型であること，すなわち最初の写像が零であることである．この写像が消えるかどうかは，幾何学的点 \(\overline{z} = (\overline{x}, \overline{u}) : \Spec(k) \to X \times_B U\) の茎で確認できる．\(R = \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\), \(A = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), \(B = \mathcal{O}_{U, \overline{u}}\)，および \(C = \mathcal{O}_{\overline{z}}\) と置く．Cotangent, Lemma 09DM と \(E(\mathcal{F})\) の定義三角形から， \[H^{-2}(E(\mathcal{F}))_{\overline{z}} = \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B)\] が分かる．したがって写像 \(\xi_{U'}\) は写像 \[\mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B) \longrightarrow \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes_B \mathcal{I}_{\overline{u}}\] を誘導する．この写像は上で述べた写像の茎と同じであると主張する（証明は省略する．これは純粋に環論的な主張である）．したがって，Deformation Theory, Lemma 08MV の条件 (1) は，写像 \(H^{-2}(\xi_{U'}) : H^{-2}(E(\mathcal{F})) \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\) が消えることと同値である．

証明を終えるため，条件 (1) が満たされると仮定して，条件 (2) が \(\xi_{U'}\) の消滅と同値であることを示す．証明の残りでは， \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\) を \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} = \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J}\) の意味で用いる．スペクトル系列 \[\Ext^i(H^{-j}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \Rightarrow \Ext^{i + j}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] を考え，\(H^0(E(\mathcal{F})) = \mathcal{F}\) および \(H^{-1}(E(\mathcal{F})) = 0\) を用いると，完全列 \[0 \to \Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Ext^2(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Hom(H^{-2}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] があることが分かる．したがって，元 \(\xi_{U'}\) は \(\Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\) の元である．この元が Deformation Theory, Lemma 08MV の元と一致することを示せば証明は完了するが，その確認は省略する．

補題

Quot, Situation 08KB において，\(S\) は局所 Noether スキームで \(S = B\) であると仮定する． \(\mathcal{X} = \textit{Coh}_{X/B}\) と置く．このとき \(\mathcal{X}\) に対して versal 性の開性が成り立つ（Artin’s Axioms, Definition 07XQ を参照せよ）．

証明

\(U \to S\) をスキームの有限型射，\(x\) を \(U\) 上の \(\mathcal{X}\) の対象， \(u_0 \in U\) を有限型の点で，\(x\) が \(u_0\) で versal であるものとする．\(U\) を縮小した後，\(u_0\) は閉点であると仮定でき（Morphisms, Lemma 01TA），また \(U = \Spec(A)\) で，\(U \to S\) の像は \(S\) のアフィン開集合 \(\Spec(\Lambda)\) に含まれると仮定できる． Artin’s Axioms, Lemma 07YZ を用いて補題を証明する．与えられた対象 \(x\) に対応する，\(A\) 上平坦な \(X_A = \Spec(A) \times_S X\) 上の連接加群を \(\mathcal{F}\) とする．

Remark 09DN のように \(E(\mathcal{F})\) と \(e_\mathcal{F}\) を選ぶ．\(E(\mathcal{F})\) のコホモロジー層の記述から，任意の \(A\)-加群 \(M\) に対して \[\Ext^1(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M) = \Ext^1(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] が分かる．これと Deformation Theory, Lemma 08MU を用いると，函手の同型 \[T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] を得る．Lemma 09DQ により，平方零の核 \(I\) をもつ \(\Lambda\)-代数の任意の全射 \(A' \to A\) に対して，障害類 \[\xi_{A'} \in \Ext^2_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A I)\] がある．\(m = 2\) とし，\(i \leq m\) に対する Ext 群 \(\Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\) の計算に Derived Categories of Spaces, Lemma 08JR を適用する．\(E(\mathcal{F})\) が \(D^-_{\textit{Coh}}\) に属することの確認は省略する．ヒント：Cotangent, Lemma 08PZ を用いよ．完全対象 \(K \in D(A)\) と，境界写像と両立する函手的同型 \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] が \(i \leq m\) に対して得られる．この対象 \(K\) と上の同定により，Artin’s Axioms, Situation 07YX にあるデータが得られる．最後に，Artin’s Axioms, Lemma 07YY の条件 (iv) は，Deformation Theory, Lemma 08VY の変種から従う．その定式化と証明は省略する．したがって Artin’s Axioms, Lemma 07YZ を適用でき，補題が証明される．

定理

\(S\) をスキームとする．\(f : X \to B\) を \(S\) 上の代数空間の射とする．\(f\) は有限表示かつ分離的であると仮定する．このとき \(\textit{Coh}_{X/B}\) は \(S\) 上の代数スタックである．

証明

この定理は Quot, Theorem 09DS の複製である．ここに複製を置く理由は，本節の内容から第2の証明が得られるためである（本節の冒頭で論じたとおりである）．すなわち，Quot, Theorem 08WC の証明とまったく同じように論じるが， Lemma 09DR を，そこで用いられた Quot, Lemma 08WA の代わりに用いる．

修正

ここに，Algebraization of Formal Spaces, Equation (0AS2) の圏に関する旧結果を記す．現在の内容については Algebraization of Formal Spaces, Section 0AS1 を参照されたい．

補題

\((A, \mathfrak m, \kappa)\) を Noether 局所環とする．\(A\) に対する Algebraization of Formal Spaces, Equation (0AS2) の圏は，\(A\) の Hensel 化 \(A^h\) に対する Algebraization of Formal Spaces, Equation (0AS2) の圏と同値である．

証明

これは Algebraization of Formal Spaces, Lemma 0AF7 の特別な場合である．

有理特異点に関する次の補題は，曲面特異点の解消を扱う章ではもはや必要ない．

補題

Resolution of Surfaces, Situation 0B4W の状況とする． \(M\) を有限反射的 \(A\)-加群とする．付随する \(\mathcal{O}_S\)-加群の引き戻しを \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) と記す．このとき \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\) からその二重双対への写像は全射である．

証明

二重双対を \(\mathcal{F} = (M \otimes_A \mathcal{O}_X)^{**}\) とし，評価写像 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) の像を \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) とする．すると短完全列 \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] がある．\(X\) は正規なので，余次元 \(1\) の点における局所環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は離散付値環である（Properties, Lemma 0345 を参照せよ）．したがって，そのような点では More on Algebra, Lemma 0B36 により \(\mathcal{Q}_x = 0\) である．ゆえに \(\mathcal{Q}\) は有限個の閉点に台をもち， Cohomology of Schemes, Lemma 0B3J により大域切断で生成される． \(\mathcal{F}'\) は大域切断で生成されるので（Resolution of Surfaces, Lemma 0B4X），完全列 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \to 0\] を得る．\(X \to \Spec(A)\) は閉点の補集合上で同型であり，\(M\) は反射的なので，写像 \[M \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F})\] は \(A\) の任意の非極大素イデアルで局所化した後に同型を誘導する．したがって， More on Algebra, Lemma 0AV8，および正規環上の反射的加群が性質 \((S_2)\) をもつという事実（More on Algebra, Lemma 0AVB）により，これらの写像は同型である．よって望みどおり \(\mathcal{Q} = 0\) と結論できる．

交叉理論

補題

\(b : X' \to X\) を，体 \(k\) 上の滑らかな射影スキームを滑らかな閉部分スキーム \(Z \subset X\) に沿って吹き上げたものとする．図式は \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] である．\(K_0(X)\) の元で，\(Z\) への制限が \(K_0(Z)\) における \(\mathcal{C}_{Z/X}\) の類に等しいものが存在すると仮定する．このとき，ある \(\alpha'' \in K_0(X')\) に対して，\(K_0(X')\) において \([Lb^*\mathcal{O}_Z] = [\mathcal{O}_E] \cdot \alpha''\) が成り立つ．

証明

スキーム \(X\), \(X'\), \(E\), \(Z\) は \(k\) 上滑らかかつ射影的であり，したがって \(K'_0(X) = K_0(X) = K_0(\textit{Vect}(X)) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(X)))\) である．他の \(3\) つについても同様である． Derived Categories of Schemes, Lemmas 0FDF, 0FDI, および 0FDJ を参照せよ．この証明では，これらの版を自由に行き来する．\(\mathcal{F}\) を定める，有限局所自由 \(\mathcal{O}_E\)-加群の短完全列 \[0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{E/X'} \to 0\] を考える．\(\mathcal{C}_{E/X'} = \mathcal{O}_{X'}(-E)|_E\) は，可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{O}_{X'}(-E)\) の制限であることに注意する． \(K_0(Z)\) において \(i^*\alpha = [\mathcal{C}_{Z/X}]\) を満たす元 \(\alpha \in K_0(X)\) を取る． \(\alpha' = b^*\alpha - [\mathcal{O}_{X'}(-E)]\) と置く．このとき \(j^*\alpha' = [\mathcal{F}]\) である．Weil Cohomology Theories, Lemma 0FIC により， \(j^*\lambda^i(\alpha') = [\wedge^i(\mathcal{F})]\) と分かる．これは \(K_0(X)\) において \([\mathcal{O}_E] \cdot \alpha' = [\wedge^i\mathcal{F}]\) であることを意味する． Derived Categories of Schemes, Lemma 0FDM を参照せよ．\(X\) における \(Z\) の既約成分の余次元の最大値を \(r\) とする．省略する計算により，\(i \geq 0, 1, \ldots, r - 1\) に対して \(H^{-i}(Lb^*\mathcal{O}_Z) = \wedge^i\mathcal{F}\) であり，その他の次数では零である．したがって \(K_0(X)\) において \[\begin{align*} [Lb^*\mathcal{O}_Z] & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\wedge^i\mathcal{F}] \\ & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\mathcal{O}_E] \lambda^i(\alpha') \\ & = [\mathcal{O}_E] \left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\right) \end{align*}\] が成り立つ．これにより， \(\alpha'' = \sum_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\) として補題が証明される．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(n = \dim_\delta(X)\) とする． \(a \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) を零でない関数とする． \(i : D = Z(a) \to X\) を \(a\) の零点スキームの閉埋入とする． \(f \in R(X)^*\) とする．この場合，\(A_{n - 2}(D)\) において \(i^*\text{div}_X(f) = 0\) である．

証明

Chow Homology, Lemma 02TM の特別な場合である．

注意

以前この注意では，Chow Homology, Lemma 02S9 の矢印が一般に同型であるかどうかは不明だと述べていた．しかし現在では，この事実の証明が見つかっている．

吹き上げに関する補題

この節では，吹き上げ上の適当な有効 Cartier 因子によって Cartier 因子を表すことに関するいくつかの補題を証明する．これらの補題は [F, Section 2.4] にある．有限型でない設定でも成り立つように定式化を修正した．Lemma 02T5 の射 \(b\) は無限個の吹き上げの合成となることがあるが，任意に与えた準コンパクト開集合 \(W \subset X\) 上では有限個の吹き上げだけで足りる（そしてこれが同所の結果である）．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\), \(Y\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(f : X \to Y\) を固有射とする． \(D \subset Y\) を有効 Cartier 因子とする．\(X\), \(Y\) は整で， \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\) とし，\(f\) は支配的であると仮定する．このとき \[f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [R(X) : R(Y)] [D]_{n - 1}.\] 特に，\(f\) が双有理ならば \(f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\) である．

証明

Chow Homology, Lemma 02ST，および \(D\) が \(\mathcal{O}_X(D)\) の標準切断 \(1_D\) の零点スキームであることから直ちに従う．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する．\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする．\(s\) を \(\mathcal{L}\) の零でない有理型切断とする． \(s\) が \(U\) 上の \(\mathcal{L}\) の切断に対応するような最大の開部分スキームを \(U \subset X\) とする．射影射 \[\pi : X' \longrightarrow X\] で，次を満たすものが存在する：

\(X'\) は整である；

\(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) は同型である；

有効 Cartier 因子 \(D, E \subset X'\) で \[\pi^*\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X'}(D - E),\] を満たすものが存在する；

上の同型を介して，有理型切断 \(s\) は有理型切断 \(1_D \otimes (1_E)^{-1}\) に対応する（Divisors, Definition 01WX を参照せよ）；

\(Z_{n - 1}(X)\) において \[\pi_*([D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}) = \text{div}_\mathcal{L}(s)\] が成り立つ．

証明

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(s\) の分母の準連接イデアル層とする． Divisors, Definition 02P1 を参照せよ． Divisors, Lemma 0ESL により (2), (3), (4) を得る． Divisors, Lemma 02ND により (1) を得る． Divisors, Lemma 02NS により射 \(\pi\) は射影的である．残るのは (5) の証明である．Chow Homology, Lemma 02ST により \[\pi_*(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s')) = \text{div}_\mathcal{L}(s).\] したがって \(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s') = [D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}\) を示せば十分である．これは等式 \(s' = 1_D \otimes 1_E^{-1}\) と加法性から従う． Divisors, Lemma 02SL を参照せよ．

定義

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する．\(D_1, D_2\) を \(X\) の二つの有効 Cartier 因子とする． \(Z \subset X\) を \(\dim_\delta(Z) = n - 1\) を満たす整閉部分スキームとする．この状況の it \(\epsilon\)-不変量は \[\epsilon_Z(D_1, D_2) = n_Z \cdot m_Z\] である．ここで \(n_Z\)（それぞれ \(m_Z\)）は，\((n - 1)\)-サイクル \([D_1]_{n - 1}\)（それぞれ \([D_2]_{n - 1}\)）における \(Z\) の係数である．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する．\(D_1, D_2\) を \(X\) の二つの有効 Cartier 因子とする． \(Z\) をスキーム \(D_1 \cap D_2\) の開かつ閉な部分スキームとする． \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\) と仮定する．このとき射 \(b : X' \to X\) と \(X'\) 上の Cartier 因子 \(D_1', D_2', E\) で，次の性質をもつものが存在する：

\(X'\) は整である；

\(b\) は射影的である；

\(b\) は閉部分スキーム \(Z\) に沿った \(X\) の吹き上げである；

\(E = b^{-1}(Z)\)；

\(b^{-1}(D_1) = D'_1 + E\)，かつ \(b^{-1}D_2 = D_2' + E\)；

\(\dim_\delta(D'_1 \cap D'_2) \leq n - 2\)，また \(Z = D_1 \cap D_2\) ならば \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\)；

\(\dim_\delta(W') = n - 1\) を満たす任意の整閉部分スキーム \(W'\) に対して，

\(\epsilon_{W'}(D'_1, E) > 0\) ならば，\(W = b(W')\) と置くと \(\dim_\delta(W) = n - 1\) であり， \[\epsilon_{W'}(D'_1, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

\(\epsilon_{W'}(D'_2, E) > 0\) ならば，\(W = b(W')\) と置くと \(\dim_\delta(W) = n - 1\) であり， \[\epsilon_{W'}(D'_2, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

証明

準連接イデアル層 \(\mathcal{I} = \mathcal{I}_{D_1} + \mathcal{I}_{D_2}\) は，スキーム論的交叉 \(D_1 \cap D_2 \subset X\) を定めることに注意する．\(Z\) は \(D_1 \cap D_2\) の連結成分の合併なので，任意の \(z \in Z\) に対して \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) の核は \(\mathcal{I}_z\) に等しい． \(b : X' \to X\) を \(Z\) に沿った \(X\) の吹き上げとする（したがって \(Z\) の周りで Zariski 局所的には，これは \(\mathcal{I}\) に沿った \(X\) の吹き上げである）．対応する有効 Cartier 因子を \(E = b^{-1}(Z)\) と記す．Divisors, Lemma 02OS を参照せよ． \(Z \subset D_1\) なので \(E \subset f^{-1}(D_1)\) であり，したがってある有効 Cartier 因子 \(D'_1 \subset X'\) に対して \(D_1 = D_1' + E\) である．Divisors, Lemma 02ON を参照せよ．同様に \(D_2 = D_2' + E\) である．これで主張 (1)–(5) が得られた．

\(W'\) が (7) (a) または (7) (b) のとおりならば，\(W'\) の像 \(W\) は \(D_1 \cap D_2\) に含まれることに注意する．\(W\) が \(Z\) に含まれないならば，\(b\) は \(W\) の生成点で同型であり， \(\dim_\delta(W) = \dim_\delta(W') = n - 1\) と分かる．これは \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\) という仮定に反する．したがって \(W \subset Z\) である．ゆえに (6) と (7) を証明するには，\(X\) 上 \(Z\) の周りで局所的に作業してよい．

そこで，\(X = \Spec(A)\)，\(A\) は Noether 整域， \(D_1 = \Spec(A/a)\), \(D_2 = \Spec(A/b)\), \(Z = D_1 \cap D_2\) と仮定してよい． \(I = (a, b)\) と置く．\(A\) は整域で \(a, b \not = 0\) なので，吹き上げは二つのチャート \(U = \Spec(A[s]/(as - b))\) と \(V = \Spec(A[t]/(bt -a))\) で被覆される．これらのチャートは，\(s\) を \(t^{-1}\) へ写す同型 \(A[s, s^{-1}]/(as - b) \cong A[t, t^{-1}]/(bt - a)\) を用いて貼り合わせる．有効 Cartier 因子 \(E\) は \(\Spec(A[s]/(as - b, a)) \subset U\) および \(\Spec(A[t]/(bt - a, b)) \subset V\) で記述される．閉部分スキーム \(D'_1\) は \(\Spec(A[t]/(bt - a, t)) \subset U\) に対応する．閉部分スキーム \(D'_2\) は \(\Spec(A[s]/(as -b, s)) \subset V\) に対応する．「\(ts = 1\)」なので \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\) である．

高さ 1 の素イデアル \(\mathfrak q \subset A[s]/(as - b)\) で \(s, a \in \mathfrak q\) を満たすものがあるとする．対応する \(A\) の素イデアルを \(\mathfrak p \subset A\) とする．\(a, b \in \mathfrak p\) であることに注意する．次元公式により \(\dim(A_{\mathfrak p}) = 1\) でもある．最後に示すべき主張は \[\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(a) \text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(b) > \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(a) \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s)\] である．ここで \(B = A[s]/(as - b)\) である．Algebra, Lemma 02MM により，\(x = a, b\) に対して \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(x) \geq \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(x)\) である． \(\text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s) > 0\) なので，\(\text{ord}\) 函数の加法性と \(as = b\) という事実から結論を得る．

定義

\(X\) をスキームとする．\(\{D_i\}_{i \in I}\) を \(X\) 上の有効 Cartier 因子の局所有限な族とする．函数 \(I \to \mathbf{Z}_{\geq 0}\), \(i \mapsto n_i\) が与えられているとする．it 有効 Cartier 因子の和 \(D = \sum n_i D_i\) とは，任意の準コンパクト開集合 \(U \subset X\) 上で \(D|_U = \sum_{D_i \cap U \not = \emptyset} n_iD_i|_U\) が Divisors, Definition 01WT の意味での和となるような，一意な有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) である．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する．\(\{D_i\}_{i \in I}\) を \(X\) 上の有効 Cartier 因子の局所有限な族とする．\(i \in I\) に対して \(n_i \geq 0\) が与えられているとする．このとき \(Z_{n - 1}(X)\) において \[[D]_{n - 1} = \sum\nolimits_i n_i[D_i]_{n - 1}\] が成り立つ．

証明

サイクルの等式を証明するので，\(X\) 上で局所的に作業してよい．したがって有限和に，さらに帰納法によって二つの有効 Cartier 因子の和 \(D = D_1 + D_2\) に帰着する． Chow Homology, Lemma 02SK により， \(D_1 = \text{div}_{\mathcal{O}_X(D_1)}(1_{D_1})\) である．ここで \(1_{D_1}\) は \(\mathcal{O}_X(D_1)\) の標準切断を表す．もちろん \(D_2\) と \(D\) に対しても同じ主張が成り立つ．同定 \(\mathcal{O}_X(D) = \mathcal{O}_X(D_1) \otimes \mathcal{O}_X(D_2)\) を介して \(1_D = 1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\) なので，Divisors, Lemma 02SL から結論を得る．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = d\) と仮定する．\(\{D_i\}_{i \in I}\) を \(X\) 上の有効 Cartier 因子の局所有限な族とする．\(\{i, j, k\} \subset I\) かつ \(\#\{i, j, k\} = 3\) であるすべての組に対して \(D_i \cap D_j \cap D_k = \emptyset\) と仮定する．このとき次が存在する：

\(\dim_\delta(X \setminus U) \leq d - 3\) を満たす開部分スキーム \(U \subset X\)；

射 \(b : U' \to U\)；

\(U'\) 上の有効 Cartier 因子 \(\{D'_j\}_{j \in J}\)．

これらは次の性質をもつ：

\(b\) は固有射 \(b : U' \to U\) である；

\(U'\) は整である；

\(b\) は，\(D_i|_U\) たちの二つずつの交叉の合併の補集合上で同型である；

\(\{D'_j\}_{j \in J}\) は \(U'\) 上の有効 Cartier 因子の局所有限な族である；

\(j \not = j'\) ならば \(\dim_\delta(D'_j \cap D'_{j'}) \leq d - 2\)；

ある \(n_{ij} \geq 0\) に対して \(b^{-1}(D_i|_U) = \sum n_{ij} D'_j\)．

さらに \(X\) が準コンパクトならば，上で \(U = X\) と仮定できる．

証明

まず準コンパクトな場合を証明する．これはおそらく最も興味深い場合でもある．この場合，吹き上げの列 \[X = X_0 \xleftarrow{b_0} X_1 \xleftarrow{b_1} X_2 \leftarrow \ldots\] と有効 Cartier 因子の有限集合 \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\) を帰納的に構成する．各段階で，任意の三重交叉 \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\) は空である．さらに各 \(n \geq 0\) に対し， \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\) とする．ここで \(P(I_n)\) は \(I_n\) の元の対の集合を表す．最後に \[b_n^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\] とする．その結果，各 \(n \geq 0\) に対して \((b_0 \circ \ldots \circ b_n)^{-1}(D_i)\) は因子 \(D_{n + 1, j}\), \(j \in I_{n + 1}\) の非負整数係数の線形結合となる．

帰納法の初期値として \(X_0 = X\), \(I_0 = I\), \(D_{0, i} = D_i\) と置く．

\((X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\) が与えられたとき，\(X_{n + 1}\) を閉部分スキーム \(Z_n = \bigcup_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) に沿った \(X_n\) の吹き上げとする．三重交叉に関する仮定により，閉部分スキーム \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) たちは二つずつ互いに素であることに注意する．言い換えると \(Z_n = \coprod_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) と書ける．さらに \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) の Zariski 近傍では，射 \(b_n\) は閉部分スキーム \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) に沿ったスキーム \(X_n\) の吹き上げに等しく， Lemma 02T2 の結果を適用できる．したがって \(D_{n + 1, \{i, i'\}} = b_n^{-1}(D_i \cap D_{i'})\) と置くと，有効 Cartier 因子を得る．Cartier 因子 \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\) たちは二つずつ互いに素である．任意の \(i' \in I_n\), \(i' \not = i\) に対して，明らかに \(b_n^{-1}(D_{n, i}) \supset D_{n + 1, \{i, i'\}}\) である．したがって Divisors, Lemma 02ON を適用すると，実際にある \(X_{n + 1}\) 上の有効 Cartier 因子 \(D_{n + 1, i}\) に対して \(b^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\) となる．\(D_{n + 1, \{i, i'\}}\) の近傍では，これらの因子 \(D_{n + 1, i}\) は Lemma 02T2 のプライム付き因子の役割を果たす．特に Lemma 02T2 の (6) により，\(i \not = i'\), \(i, i' \in I_n\) ならば \(D_{n + 1, i} \cap D_{n + 1, i'} = \emptyset\) と結論できる．これはすでに因子 \(D_{n + 1, i}\) たちの三重交叉が零であることを含意する．

ここで \(X\) の準コンパクト性を用いると，不変量 [02T6]\[\begin{equation} \epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \max\{\epsilon_Z(D_i, D_{i'}) \mid Z \subset X, \dim_\delta(Z) = d - 1, \{i, i'\} \in P(I)\} \end{equation}\] は有限であると分かる．実際，各 \(D_i\) は有限個の既約成分しかもたない．ある \(n\) に対して不変量 \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\) は零であると主張する．そうでなければ Lemma 02T2 により，正の整数の真に減少する列 \[\epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \epsilon(X_0, \{D_{0, i}\}_{i \in I_0}) > \epsilon(X_1, \{D_{1, i}\}_{i \in I_1}) > \ldots\] が得られ，矛盾する．不変量 \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\) が零となる \(n\) を取る．これは，整閉部分スキーム \(Z \subset X_n\) と添字の対 \(i, i' \in I_n\) で \(\epsilon_Z(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\) を満たすものがないことを意味する．言い換えると，すべての対 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\) に対して，望みどおり \(\dim_\delta(D_{n, i}, D_{n, i'}) \leq d - 2\) である．

次に，スキーム \(X\) が準コンパクトであるとは仮定しない一般の場合を考える．証明の最初の部分の考え方には，\(X\) のある固定した点を支配する中心をもつ吹き上げが無限列をなすおそれがあるという問題がある．これを避けるため，各段階で余次元 \(\geq 3\) の適当な閉部分集合を除く．すなわち，次の形の射の列を帰納的に構成する： \[\xymatrix{ X = X_0 \\ U_0 \ar[u]^{j_0} & X_1 \ar[l]_{b_0} \\ & U_1 \ar[u]^{j_1} & X_2 \ar[l]_{b_1} \\ & & U_2 \ar[u]^{j_2} & X_3 \ar[l]_{b_2} }\] 各射 \(j_n : U_n \to X_n\) は開埋入である．各射 \(b_n : X_{n + 1} \to U_n\) は整スキームの固有双有理射である．準コンパクトな場合と同様，\(X_n\) 上に有効 Cartier 因子 \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\) がある．各段階で，任意の三重交叉 \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\) は空である．さらに各 \(n \geq 0\) に対して \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\) とする．ここで \(P(I_n)\) は \(I_n\) の元の対の集合を表す．最後に \[b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\] となるようにする．

帰納法は \(X_0 = X\), \(I_0 = I\), \(D_{0, i} = D_i\) と置いて始める．

\((X_n, \{D_{n, i}\})\) が与えられたとき，開部分スキーム \(U_n\) を次のように構成する．各対 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\) に対して閉部分スキーム \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) を考える．これには，\(\delta\)-次元 \(d - 2\) の「良い」既約成分と，\(\delta\)-次元 \(d - 1\) の「悪い」既約成分がある． \[\text{Bad}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ irred.\ comp. with }\dim_\delta(W) = d - 1} W\] と置き，同様に \[\text{Good}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ irred.\ comp. with }\dim_\delta(W) = d - 2} W.\] と置く．すると \(D_{n, i} \cap D_{n, i'} = \text{Bad}(i, i') \cup \text{Good}(i, i')\) であり，さらに \(\dim_\delta(\text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i')) \leq d - 3\) である． \(U_n\) を次のように選ぶ： \[U_n = X_n \setminus \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} \text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i').\] 因子 \(D_{n, i}\) の三重交叉に関する条件から，この合併は実際には直和であると分かる．さらにスキームとして \[D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n} = Z_{n, i, i'} \amalg G_{n, i, i'}\] である．ここで \(Z_{n, i, i'}\) は次元 \(d - 1\) の \(\delta\)-純次元であり， \(G_{n, i, i'}\) は次元 \(d - 2\) の \(\delta\)-純次元である（したがって位相的には， \(Z_{n, i, i'}\) は悪い成分の合併から良い成分との交叉を除いたものである）．最後に \[Z_n = \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'} = \coprod\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'},\] と置き，\(b_n : X_{n + 1} \to X_n\) を \(Z_n\) に沿った吹き上げとする．Lemma 02T2 は，各軌跡 \(D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n}\) の周りで局所的に射 \(b_n : X_{n + 1} \to X_n\) に適用できることに注意する．したがって証明の最初の部分とまったく同様に，\(\{i, i'\} \in P(I_n)\) に対する有効 Cartier 因子 \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\) と，\(i \in I_n\) に対する有効 Cartier 因子 \(D_{n + 1, i}\) で \(b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\) を満たすものを得る．各 \(n\) に対し，合成 \(j_0 \circ \ldots \circ j_{n - 1} \circ b_{n - 1}\) として得られる射 \(\pi_n : X_n \to X\) を記す．

主張： 任意の準コンパクト開集合 \(V \subset X\) に対し，十分大きいすべての \(n\) について，写像 \[\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V) \leftarrow \ldots\] はすべて同型である．実際，写像 \(\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V)\) が同型でなければ，ある \(\{i, i'\} \in P(I_n)\) に対して \(Z_{n, i, i'} \cap \pi_n^{-1}(V) \not = \emptyset\) である．したがって， \(\dim_\delta(W) = d - 1\) を満たす既約成分 \(W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'}\) が存在する．特に \(\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\) である．Lemma 02T2 を繰り返し適用すると \[\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) < \epsilon(V, \{D_i|_V\}) - n\] を得る．ここで \(\epsilon(V, \{D_i|_V\})\) は (02T6) のとおりである．\(V\) は準コンパクトなので \(\epsilon(V, \{D_i|_V\}) < \infty\) であり， \(n > \epsilon(V, \{D_i|_V\})\) と取れば結果を得る．

構成により \(X_n \setminus U_n\) は \(\dim_\delta(X_n \setminus U_n) \leq d - 3\) を満たすことに注意する．その \(X\) における像を \(T_n = \pi_n(X_n \setminus U_n)\) とする．上の射の図式をたどり，各 \(b_n\) が閉写像であることを用いると，各 \(n\) に対して \(T_0 \cup \ldots \cup T_n\) は \(X\) の閉部分集合であると分かる．構成により，任意の \(t \in T_n\) は \(\delta(t) \leq d - 3\) を満たす．したがって \(\overline{T_n} \subset X\) は \(\dim_\delta(T_n) \leq d - 3\) を満たす閉部分集合である．上の主張により，任意の準コンパクト開集合 \(V \subset X\) に対して \(T_n \cap V \not = \emptyset\) となる \(n\) は有限個しかない．したがって \(\{\overline{T_n}\}_{n \geq 0}\) は閉部分集合の局所有限な族であり， \(U = X \setminus \bigcup \overline{T_n}\) と置ける．これが補題の \(U\) となる．

\(U\) の構成により \(U_n \cap \pi_n^{-1}(U) = \pi_n^{-1}(U)\) であることに注意する．したがって射 \[b_n : \pi_{n + 1}^{-1}(U) \longrightarrow \pi_n^{-1}(U)\] はすべて固有である．さらに上の主張により，\(X\) の各準コンパクト開集合上で最終的に同型となる．ゆえに \[U' = \lim_n \pi_n^{-1}(U).\] と定義できる．誘導される射 \(b : U' \to U\) は固有である．これは \(U\) 上局所的な性質であり，各コンパクト開集合上で極限が安定するからである．同様に，構成から得られる包含 \(I_n \to I_{n + 1}\) を用いて \(J = \bigcup_{n \geq 0} I_n\) と置く．\(j \in J\) に対し，\(j\) が \(i \in I_{n_0}\) に対応するような \(n_0\) を選び， \(D'_j = \lim_{n \geq n_0} D_{n, i}\) と定義する．これも \(X\) 上局所的には射が安定するので意味をもつ．補題の他の主張は，\(X\) が準コンパクトな場合と同様に確認される．

因子の交叉の可換性

この節の結果は元来，Chow Homology, Section 02TG の補題に別証明を与え，Chow Homology, Lemma 0B73 の弱い版を与えるために用いられていた．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(\{i_j : D_j \to X \}_{j \in J}\) を \(X\) 上の有効 Cartier 因子の局所有限な族とする．\(n_j > 0\), \(j\in J\) とする． \(D = \sum_{j \in J} n_j D_j\) と置き，包含射を \(i : D \to X\) と記す． \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\) とする．このとき \[p : \coprod\nolimits_{j \in J} D_j \longrightarrow D\] は固有であり，\(\CH_k(D)\) において \[i^*\alpha = p_*\left(\sum n_j i_j^*\alpha\right)\] が成り立つ．

証明

有理同値の無限和に関する微妙な点のため，この補題の証明は予想より少し長くなる．準コンパクトな場合，族 \(D_j\) は有限で，結果はまったく容易であり，Chow Homology, Lemma 02SK と Divisors, Lemma 02SL および定義から直接従う．

族 \(\{D_j\}_{j \in J}\) は局所有限なので，射 \(p\) は固有である． \(W_a \subset X\) は \(\delta\)-次元 \(k + 1\) の整閉部分スキームとして， \(\alpha = \sum_{a \in A} m_a [W_a]\) と書く．閉埋入を \(i_a : W_a \to X\) と記す．\(\{W_a\}_{a \in A}\) が \(X\) 上局所有限となるようなすべての \(a \in A\) に対して \(m_a \not = 0\) と仮定する．

Chow Homology, Definition 02T8 により，類 \(i^*\alpha\) は，ある \(\beta_a \in Z_k(W_a \cap D)\) に対するサイクル \(\sum m_a\beta_a\) の類であることに注意する．すなわち， \(W_a \not \subset D\) ならば \(\beta_a = [D \cap W_a]_k\) であり， \(W_a \subset D\) ならば \(\beta_a\) は \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\) を表すサイクルである．

各 \(a \in A\) に対して \(J = J_{a, 1} \amalg J_{a, 2} \amalg J_{a, 3}\) と書く．ここで

\(j \in J_{a, 1}\) であることと \(W_a \cap D_j = \emptyset\) は同値である；

\(j \in J_{a, 2}\) であることと \(W_a \not = W_a \cap D_1 \not = \emptyset\) は同値である；

\(j \in J_{a, 3}\) であることと \(W_a \subset D_j\) は同値である．

族 \(\{D_j\}\) は局所有限なので，\(J_{a, 3}\) は有限集合である．各 \(a \in A\) と \(j \in J\) に対して，サイクル \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a \cap D_j)\) を次のように選ぶ：

\(j \in J_{a, 1}\) ならば \(\beta_{a, j} = 0\) と置く；

\(j \in J_{a, 2}\) ならば \(\beta_{a, j} = [D_j \cap W_a]_k\) と置く；

\(j \in J_{a, 3}\) ならば， \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_j)) \cap [W_j]\) を表す \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a)\) を選ぶ．

\(\CH_k(W_a \cap D)\) において \[\beta_a \sim_{rat} \sum\nolimits_{j \in J} n_j \beta_{a, j}\] であると主張する．

場合 I：\(W_a \not \subset D\)．この場合 \(J_{a, 3} = \emptyset\) である．したがってサイクルとして \([D \cap W_a]_k = \sum n_j [D_j \cap W_a]_k\) を示せば十分である．これは Lemma 02T4 である．

場合 II：\(W_a \subset D\)．この場合，\(\beta_a\) は \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\) を表すサイクルである． \(D_{a, s} = \sum_{j \in J_{a, s}} n_jD_j\) として \(D = D_{a, 1} + D_{a, 2} + D_{a, 3}\) と書く．Divisors, Lemma 02SL により \[\begin{eqnarray*} c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a] & = & c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 1})) \cap [W_a] + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 2})) \cap [W_a] \\ & & + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 3})) \cap [W_a]. \end{eqnarray*}\] 和の第1項は明らかに零である．\(J_{a, 3}\) は有限なので，最後の項は \(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 3}} n_jc_1(i_a^*\mathcal{L}_j) \cap [W_a]\) と一致する．Divisors, Lemma 02SL を参照せよ．これは \(\sum_{j \in J_{a, 3}} n_j \beta_{a, j}\) によって表される．最後に，場合 I により中間の項はサイクル \(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 2}} n_j[D_j \cap W_a]_k = \sum_{j \in J_{a, 2}} n_j\beta_{a, j}\) によって表される．これでこの場合の主張を得る．

これで補題の証明を終えられる．すなわち，\(\beta_a\) の選択により \(i^*D \sim_{rat} \sum m_a\beta_a\) である．各 \(a\) に対して \(\beta_a \sim_{rat} \sum_j \beta_{a, j}\) であり，この有理同値は \(D \cap W_a\) 上で成り立つ．閉部分スキーム \(D \cap W_a\) の族は \(D\) 上局所有限なので， \(D\) 上でも \(\sum m_a \beta_a \sim_{rat} \sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\) である（Chow Homology, Remark 02RZ を参照せよ）！さて， \(\sum_a m_a\beta_{a, j}\) は（\(D_j\) 上のサイクルとみなすと）\(i_j^*\alpha\) を表し，したがって \(\sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\) は \(p_* \sum_j i_j^*\alpha\) を表すことが明らかである．これで結論を得る．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する．\(D\), \(D'\) を \(X\) 上の有効 Cartier 因子とする． \(\dim_\delta(D \cap D') = n - 2\) と仮定する．\(i : D \to X\)，それぞれ \(i' : D' \to X\) を対応する閉埋入とする．このとき

サイクル \(\alpha \in Z_{n - 2}(D \cap D')\) で，\(D\) への押し出しが \(i^*[D']_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D)\) を表し，\(D'\) への押し出しが \((i')^*[D]_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D')\) を表すものが存在する；

\(\CH_{n - 2}(X)\) において \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] が成り立つ．

証明

(2) は (1) の自明な帰結である．\(Z_a\) は \(D\) の既約成分，\([Z_b]\) は \(D'\) の既約成分として，\([D]_{n - 1} = \sum n_a[Z_a]\) および \([D']_{n - 1} = \sum m_b[Z_b]\) と書く．Chow Homology, Definition 02T8 によれば， \(i^*D' = \sum m_b i^*[Z_b]\) および \((i')^*D = \sum n_a(i')^*[Z_a]\) である．仮定により，どの既約成分 \(Z_b\) も \(D\) に含まれず，したがって定義から \(i^*[Z_b] = [Z_b\cap D]_{n - 2}\) である．同様に \((i')^*[Z_a] = [Z_a \cap D']_{n - 2}\) である．したがって，実際に \(D \cap D'\) 上に台をもつサイクルの等式 \[\sum n_a[Z_a \cap D']_{n - 2} = \sum m_b[Z_b \cap D]_{n - 2}\] を証明しようとしている．\(W \subset X\) を \(\dim_\delta(W) = n - 2\) を満たす整閉部分スキームとする．その生成点を \(\xi \in W\) とする．\(R = \mathcal{O}_{X, \xi}\) と置く．これは Noether 局所整域である． \(\dim(R) = 2\) であることに注意する．\(D\)，それぞれ \(D'\) のイデアルを定める元を \(f \in R\)，それぞれ \(f' \in R\) とする．仮定により \(\dim(R/(f, f')) = 0\) である．\((f')\) 上の極小素イデアルを \(\mathfrak q'_1, \ldots, \mathfrak q'_t \subset R\) とし，\((f)\) 上の極小素イデアルを \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset R\) とする．上の等式は \[\sum_{i = 1, \ldots, s} \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(R_{\mathfrak q_i}/(f)) \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(f') = \sum_{j = 1, \ldots, t} \text{length}_{R_{\mathfrak q'_j}}(R_{\mathfrak q'_j}/(f')) \text{ord}_{R/\mathfrak q'_j}(f).\] に帰着する．Chow Homology, Lemma 02QF を \(M = R/(f)\) として適用すると，この等式の左辺は \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f)))\] に等しい．ここで，\(x \bmod (f) \mapsto f'x \bmod (ff')\) により \(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f))\) は \(((f) \cap (f'))/(ff')\) と標準的に同型であることに注意する．したがって左辺は \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R((f) \cap (f')/(ff'))\] である．これは \(f\) と \(f'\) に関して対称なので，結論を得る．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する．\(\{D_j\}_{j \in J}\) を \(X\) 上の有効 Cartier 因子の局所有限な族とする．\(n_j, m_j \geq 0\) を非負整数の族とする． \(D = \sum n_j D_j\) および \(D' = \sum m_j D_j\) と置く．任意の \(j \not = j'\) に対して \(\dim_\delta(D_j \cap D_{j'}) = n - 2\) と仮定する．このとき \(\CH_{n - 2}(X)\) において \(D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\) である．

証明

和が有限の場合，たとえば \(X\) が準コンパクトな場合には，この補題は Lemmas 02T4 および 02TD の自明な帰結である．したがって，読者には証明を飛ばすことを勧める．

一般の場合の証明は次のとおりである．閉埋入を \(i_j : D_j \to X\) とする． \(p : \coprod D_j \to X\) を射 \(i_j\) たちの余積とする．\(\{Z_a\}_{a \in A}\) を \(\bigcup D_j\) の既約成分の族とする．各 \(j\) に対して \[[D_j]_{n - 1} = \sum d_{j, a}[Z_a].\] と書く．Lemma 02T4 により \[[D]_{n - 1} = \sum n_j d_{j, a} [Z_a], \quad [D']_{n - 1} = \sum m_j d_{j, a} [Z_a].\] である．Lemma 02TC により \[D \cdot [D']_{n - 1} = p_*\left(\sum n_j i_j^*[D']_{n - 1} \right), \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = p_*\left(\sum m_{j'} i_{j'}^*[D]_{n - 1} \right).\] である．Gysin 準同型の定義と同様に（Chow Homology, Definition 02T8 を参照せよ），\(i_j^*[Z_a]\) を表す \(D_j \cap Z_a\) 上のサイクル \(\beta_{a, j}\) を選ぶ（実際，\(Z_a\) が \(D_j\) に含まれないならば \(\beta_{a, j} = [D_j \cap Z_a]_{n - 2}\) であり，この場合は選択の余地がないことに注意する）．\(p\) は各 \(D_j\) に制限すると閉埋入なので， \(\beta_{a, j}\) を \(X\) 上のサイクルとみなせるし，以下そうする．上で得た \([D]_{n - 1}\) と \([D']_{n - 1}\) の公式を代入すると \[D \cdot [D']_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j}, \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'}.\] となる．さらに，同じ規約のもとで \[D_j \cdot [D_{j'}]_{n - 1} = \sum d_{j', a} \beta_{a, j}.\] でもある．この言葉で，Lemma 02TD（その証明も参照せよ）は， \(j \not = j'\) に対してサイクル \(\sum d_{j', a} \beta_{a, j}\) と \(\sum d_{j, a} \beta_{a, j'}\) がサイクルとして等しいと述べている！したがって \[\begin{eqnarray*} D \cdot [D']_{n - 1} & = & \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j', a} \beta_{a, j}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j, a} \beta_{a, j'}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'} \\ & = & D' \cdot [D]_{n - 1} \end{eqnarray*}\] となり，結論を得る．

補題

\((S, \delta)\) は Chow Homology, Situation 02QL のとおりとする． \(X\) は \(S\) 上局所有限型とする．\(X\) は整で \(\dim_\delta(X) = n\) と仮定する．\(D\), \(D'\) を \(X\) 上の有効 Cartier 因子とする．このとき \(\CH_{n - 2}(X)\) において \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] が成り立つ．

証明

まず \(X\) が準コンパクトな場合に証明する．この場合，\(X\) と有効 Cartier 因子の二元集合 \(\{D, D'\}\) に Lemma 02T5 を適用する．すると固有射 \(b : X' \to X\) と，二つずつ余次元 \(\geq 2\) で交わる有効 Cartier 因子の有限族 \(D'_j \subset X'\) が得られ， \(b^{-1}(D) = \sum n_j D'_j\) および \(b^{-1}(D') = \sum m_j D'_j\) となる． \(Z_{n - 1}(X)\) において \(b_*[b^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\) であり，\(D'\) に対しても同様であることに注意する．Lemma 02SZ を参照せよ．したがって Chow Homology, Lemma 02SU により， \(\CH_{n - 2}(X)\) において \[D \cdot [D']_{n - 1} = b_*\left(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1}\right)\] であり，他方の項についても同様である．したがって，補題は Lemma 02TE の \(\CH_{n - 2}(X')\) における等式 \(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1} = b^{-1}(D') \cdot [b^{-1}(D)]_{n - 1}\) から従う．

上の証明で参照した各補題は，一般の場合（\(X\) を準コンパクトと仮定しない場合）にも成り立つことに注意する．一般の場合の唯一の小さな変更は，Lemma 02T5 を適用して得られる射 \(b : U' \to U\) の終域が，補集合の余次元が \(\geq 3\) である開集合 \(U \subset X\) となることである．したがって Chow Homology, Lemma 02RX により \(\CH_{n - 2}(U) = \CH_{n - 2}(X)\) であり，\(X\) を \(U\) で置き換えた後は，証明の残りは変更なく進む．

証明

\(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-D)\) および \(\mathcal{I}' = \mathcal{O}_X(-D')\) を，\(D\) および \(D'\) の可逆イデアル層とする． \(\mathcal{I}_{D'} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{D'}\) および \(\mathcal{I}'_D = \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_D\) と記す．包含写像 \(\mathcal{I} \to \mathcal{O}_X\) を \(D'\) に制限して写像 \[\varphi : \mathcal{I}_{D'} \longrightarrow \mathcal{O}_{D'}\] を得られ，同様に \[\psi : \mathcal{I}'_D \longrightarrow \mathcal{O}_D\] を得る．明らかに \[\Coker(\varphi) \cong \mathcal{O}_{D \cap D'} \cong \Coker(\psi)\] かつ \[\Ker(\varphi) \cong \frac{\mathcal{I} \cap \mathcal{I}'}{\mathcal{I}\mathcal{I}'} \cong \Ker(\psi).\] である．したがって \(K_0(\textit{Coh}_{\leq n - 1}(X))\) において \[\gamma = [\mathcal{I}_{D'}] - [\mathcal{O}_{D'}] = [\mathcal{I}'_D] - [\mathcal{O}_D]\] である．一方，明らかに \[[\mathcal{I}'_D]_{n - 1} = [D]_{n - 1}, \quad [\mathcal{I}_{D'}]_{n - 1} = [D']_{n - 1}.\] であり，また \[\mathcal{O}_X(D') \otimes \mathcal{I}'_D = \mathcal{O}_D, \quad \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{I}_{D'} = \mathcal{O}_{D'}.\] である．Chow Homology, Lemma 02SX を二度適用すると，これは元 \(\gamma\) が \(B_{n - 2}(X)\) の元であり， \(c_1(\mathcal{O}_X(D')) \cap [D]_{n - 1}\) と \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [D']_{n - 1}\) の両方へ写ることを意味する．これで結論を得る（写像 \(B_{n - 2}(X) \to \CH_{n - 2}(X)\) が well-defined であることがこの証明の要点である）．

正則固有モデル上の双対化加群

Semistable Reduction, Situation 0C61 では，Duality for Schemes, Remark 0B6S で導入された \(f : X \to \Spec(R)\) の相対双対化複体を \(\omega_{X/R}^\bullet = f^!\mathcal{O}_{\Spec(R)}\) とした．Semistable Reduction, Lemma 0C60 により \(f\) は相対次元 \(1\) の Gorenstein 射なので， Duality for Schemes, Lemmas 0C08, 0BV8, および 0C06 を用いると，ある可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\omega_X\) に対して \[\omega_{X/R}^\bullet = \omega_X[1]\] であることが分かる．この可逆加群はしばしば it \(R\) 上の \(X\) の相対双対化加群と呼ばれる．\(R\) は次元 \(1\) の正則環（したがって Gorenstein 環）なので， \(\omega_R^\bullet = R[1]\) は \(R\) の正規化された双対化複体である．したがって \(\omega_X = H^{-2}(f^!\omega_R^\bullet)\) であり，\(\omega_X\) は単に相対双対化加群であるだけでなく双対化加群でもあることが分かる．Duality for Schemes, Example 0AWI を参照せよ．ゆえに Duality for Schemes, Lemma 0AWP により，\(\omega_X\) は函手 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Sets},\quad \mathcal{F} \mapsto \Hom_R(H^1(X, \mathcal{F}), R)\] を表現する．これは Semistable Reduction, Situation 0C61 における相対双対化加群の別の定義を与える． \(\omega_X\) の形成は任意の基底変換と可換する（与えられた相対次元をもつ任意の固有 Gorenstein 射について）．これは Duality for Schemes, Remark 0B6S で論じた相対双対化複体に関する対応する事実から従い，その事実は Duality for Schemes, Lemma 0AAB に遡る．したがって \(\omega_X\) は， Algebraic Curves, Lemma 0BS3 で論じた \(K\) 上の \(C\) の双対化加群 \(\omega_C\) へ引き戻される．Algebraic Curves, Lemma 0BS2 により，\(\omega_C\) は \(\Omega_{C/K}\) と同型であることに注意する．同様に，\(\omega_X|_{X_k}\) は \(k\) 上の \(X_k\) の双対化加群 \(\omega_{X_k}\) である．

補題

Semistable Reduction, Situation 0C61 において， \(k\) 上の \(C_i\) の双対化加群は \[\omega_{C_i} = \omega_X(C_i)|_{C_i}\] である．ここで \(\omega_X\) は上のとおりである．

証明

\(t : C_i \to X\) を閉埋入とする．\(t\) は有効 Cartier 因子の包含なので，Duality for Schemes, Lemmas 0A9X および 0AA4 から，任意の可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) に対して \(t^!(\mathcal{L}) = \mathcal{L}(C_i)|_{C_i}\) であると結論できる．可換図式 \[\xymatrix{ C_i \ar[r]_t \ar[d]_g & X \ar[d]^f \\ \Spec(k) \ar[r]^s & \Spec(R) }\] を考える．\(C_i\) は Gorenstein 曲線であり（Semistable Reduction, Lemma 0C60），その可逆双対化加群 \(\omega_{C_i}\) は性質 \(\omega_{C_i}[0] = g^!\mathcal{O}_{\Spec(k)}\) によって特徴づけられることに注意する． Algebraic Curves, Lemma 0BS2 とその証明，および Algebraic Curves, Lemmas 0BS3 と 0BS6 を参照せよ．一方，\(s^!(R[1]) = k\) なので \[\omega_{C_i}[0] = g^! s^!(R[1]) = t^!f^!(R[1]) = t^!\omega_X\] である．以上を組み合わせると補題の主張を得る．

重複して分割された参照

この節には，重複した結果，および以前は複数の内容を同時に述べていたが現在では構成部分に分割された参照を集める．

補題

\(X\) を位相空間とする．

前層の圏におけるエピ射（それぞれモノ射）は，ちょうど前層の全射（それぞれ単射）である．

層の圏におけるエピ射（それぞれモノ射）は，ちょうど層の全射（それぞれ単射）であり，またすべての茎上で全射（それぞれ単射）である写像にちょうど一致する．

集合の前層の全射（それぞれ単射）の層化は全射（それぞれ単射）である．

証明

Sheaves, Lemmas 0H7H および 0H7I を組み合わせればよい．

補題

\(X\) をスキームとし，\(X\) は準コンパクトかつ準分離的であると仮定する． \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする．このとき \(\mathcal{F}\) は，その有限型準連接部分加群たちの有向余極限である．

証明

これは Properties, Lemma 01PG の重複である．

補題

\(S\) をスキームとする．\(X\) を \(S\) 上の代数空間とする．写像 \(\{\Spec(k) \to X \text{ monomorphism}\} \to |X|\) は単射である．

証明

これは Properties of Spaces, Lemma 03E1 の重複である．

定理

\(K\) を体として \(S = \Spec(K)\) とする．\(\overline{s}\) を \(S\) の幾何学的点とする． \(G = \text{Gal}_{\kappa(s)}\) を絶対 Galois 群とする．このとき圏同値 \(\Sh(S_\etale) \to G\textit{-Sets}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\) がある．

証明

これは Étale Cohomology, Theorem 03QT の重複である．

注意

重複したタグをたどってここに到達したはずである．実際の内容については Formal Deformation Theory, Section 06I1 を参照されたい．

補題

\(X\) を局所環付き空間とする．有限自由 \(\mathcal{O}_X\)-加群の直和因子は有限局所自由である．

証明

これは Modules, Lemma 0BCI の重複である．

補題

\(R\) を環とし，\(E\) を \(R\)-加群とする．次は同値である：

\(E\) は入射的 \(R\)-加群である；

イデアル \(I \subset R\) と加群準同型 \(\varphi : I \to E\) が与えられたとき， \(\varphi\) を延長する \(R\)-加群準同型 \(R \to E\) が存在する．

証明

これは Baer の判定法である．Injectives, Lemma 05NU を参照せよ．

補題

\(R\) を局所環とする．

\((M, N, \varphi, \psi)\) が \(2\)-周期複体で，\(M\), \(N\) の長さが有限ならば， \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\) である．

\((M, \varphi, \psi)\) が \((2, 1)\)-周期複体で，\(M\) の長さが有限ならば， \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\) である．

\(2\)-周期複体の短完全列 \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] があるとする．三つのうち二つが有限長のコホモロジー加群をもつならば，三つ目もそうであり， \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\] が成り立つ．

証明

Chow Homology, Lemmas 0EA7 および 0EA8 から従う．

補題

\(A\) を環とし，\(I\) を \(A\)-加群とする．

\(I\) が平方零イデアルであるような環の拡大 \(0 \to I \to A' \to A \to 0\) の集合は， \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\) と標準的に全単射である．

環準同型 \(A \to B\)，\(B\)-加群 \(N\)，\(A\)-加群準同型 \(c : I \to N\)，および平方零の核をもつ環の拡大が与えられているとする：

\(\alpha \in \Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\) に対応する \(0 \to I \to A' \to A \to 0\)；

\(\beta \in \Ext^1_B(\NL_{B/\mathbf{Z}}, N)\) に対応する \(0 \to N \to B' \to B \to 0\)．

このとき，Deformation Theory, Equation (08S4) に組み込まれる写像 \(A' \to B'\) が存在するための必要十分条件は，\(\beta\) と \(\alpha\) が \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, N)\) の同じ元へ写ることである．

証明

Deformation Theory, Lemmas 0GPT および 0GPV から従う．

補題

\((S, \mathcal{O}_S)\) を環付き空間とし，\(\mathcal{J}\) を \(\mathcal{O}_S\)-加群とする．

\(\mathcal{J}\) が平方零イデアルであるような環の層の拡大 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\) の集合は， \(\Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\) と標準的に全単射である．

環付き空間の射 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)，\(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{G}\)，\(f\)-写像 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)，および平方零の核をもつ環の層の拡大が与えられているとする：

\(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\) に対応する \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\)；

\(\beta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\) に対応する \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\)．

このとき，Deformation Theory, Equation (08U7) に組み込まれる射 \(X' \to S'\) が存在するための必要十分条件は，\(\beta\) と \(\alpha\) が \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\) の同じ元へ写ることである．

証明

Deformation Theory, Lemmas 0GPZ および 0GQ1 から従う．

補題

\((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) を環付きトポスとし， \(\mathcal{J}\) を \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-加群とする．

\(\mathcal{J}\) が平方零イデアルであるような環の層の拡大 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\) の集合は， \(\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\) と標準的に全単射である．

環付きトポスの射 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)，\(\mathcal{O}\)-加群 \(\mathcal{G}\)，\(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-加群準同型 \(c : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\)，および平方零の核をもつ環の層の拡大が与えられているとする：

\(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\) に対応する \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\)；

\(\beta \in \Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\) に対応する \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\)．

このとき，Deformation Theory, Equation (08UF) に組み込まれる射 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{B}, \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) が存在するための必要十分条件は， \(\beta\) と \(\alpha\) が \(\Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\) の同じ元へ写ることである．

証明

Deformation Theory, Lemmas 0GQ5 および 0GQ7 から従う．

注意

このタグは以前，変形問題のいくつかの例を記述する節を指していた．現在では各例がそれぞれ独自の節をもつ．Deformation Problems, Sections 0DVN, 0DVR, 0DVU, および 0DVX を参照せよ．

補題

Deformation Problems, Examples 0D3I, 0D3J, 0D3K, および 0D3L は Rim–Schlessinger 条件 (RS) を満たす．

証明

Deformation Problems, Lemmas 0DVP, 0DVS, 0DVV, および 0DVY から従う．

補題

次の標準的な \(k\)-ベクトル空間の同定がある：

Deformation Problems, Example 0D3I において， \(x_0 = (k, V)\) ならば， \(T_{x_0}\mathcal{F} = (0)\) および \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{End}_k(V)\) は有限次元である．

Deformation Problems, Example 0D3J において， \(x_0 = (k, V, \rho_0)\) ならば， \(T_{x_0}\mathcal{F} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V) = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V))\) および \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\) は，\(\Gamma\) が有限生成ならば有限次元である．

Deformation Problems, Example 0D3K において， \(x_0 = (k, V, \rho_0)\) ならば， \(T_{x_0}\mathcal{F} = H^1_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\) および \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\) は，\(\Gamma\) が位相的有限生成ならば有限次元である．

Deformation Problems, Example 0D3L において， \(x_0 = (k, P)\) ならば， \(T_{x_0}\mathcal{F}\) および \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Der}_k(P, P)\) は，\(P\) が \(k\) 上有限生成ならば有限次元である．

証明

Deformation Problems, Lemmas 0DVQ, 0DVT, 0DVW, および 0DVZ から従う．

これはしばしば \(f\) が恒等写像であることを強制する；Varieties の Lemma 0G05 を参照せよ．↩︎