폐기된 결과

서론

이 장에는 이제 “폐기된” 몇 가지 보조정리를 모아 둔다 ([Miller]를 보라).

예비 사항

주

이 주석에 들어 있던 내용은 이제 『범주』의 보조정리 07RB와 0FWV를 함께 적용하면 모두 얻어진다.

호몰로지 대수학

주

다음 논의는 『호몰로지』의 보조정리 012W와 0132에 포함되므로 폐기되었다. \(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하고, \(\mathcal{C} \subset \mathcal{A}\)를 약한 Serre 부분범주라 하자 (『호몰로지』의 정의 02MO을 보라). 『호몰로지』의 보조정리 0132가 적용되는 이중 복합체 \(K^{\bullet, \bullet}\)가 주어졌고, 어떤 \(r \geq 0\)에 대해 모든 대상 \({}'E_r^{p, q}\)가 \(\mathcal{C}\)에 속한다고 하자. 그러면 모든 코호몰로지 군 \(H^n(sK^\bullet)\)가 \(\mathcal{C}\)에 속한다. 실제로 가정에 따르면 \({}'d_r^{p, q}\)의 핵과 상은 \(\mathcal{C}\)에 속한다. 따라서 각 \({}'E_{r + 1}^{p, q}\)가 \(\mathcal{C}\)에 속한다. 귀납법으로 각 \({}'E_\infty^{p, q}\)가 \(\mathcal{C}\)에 속함을 얻는다. 그러므로 각 \(H^n(sK^\bullet)\)에는 모든 부분몫이 \(\mathcal{C}\)에 속하는 유한 여과가 있다. \(\mathcal{C}\)가 확대에 대해 닫혀 있음을 이용하면, 주장한 대로 \(H^n(sK^\bullet)\)가 \(\mathcal{C}\)에 속한다. 같은 결과가 \(K^{\bullet, \bullet}\)에 딸린 두 번째 스펙트럼 열에도 성립한다. 마찬가지로, 여과 복합체 \((K^\bullet, F)\)에 『호몰로지』의 보조정리 012W가 적용되고 어떤 \(r \geq 0\)에 대해 모든 대상 \(E_r^{p, q}\)가 \(\mathcal{C}\)에 속하면, 각 \(H^n(K^\bullet)\)은 \(\mathcal{C}\)의 대상이다.

폐기된 대수학 보조정리

보조정리

\(M\)을 유한 표시 \(R\)-가군이라 하자. 임의의 전사 \(\alpha : R^{\oplus n} \to M\)에 대해 \(\alpha\)의 핵은 유한 \(R\)-가군이다.

증명

이는 『대수학』의 보조정리 0519의 특수한 경우이다.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. 다음이 성립한다고 하자.

1. 모든 \(x \in S\)에 대해 \(x^n\)이 \(\varphi\)의 상에 속하는 \(n > 0\)이 존재하고,

2. 모든 \(x \in \Ker(\varphi)\)에 대해 \(x^n = 0\)인 \(n > 0\)이 존재한다.

그러면 \(\varphi\)는 스펙트럼 사이의 위상동형을 유도한다. 소수 \(p\)가 주어져서 다음이 성립한다고 하자.

1. \(S\)는 \(R\)-대수로서, 어떤 \(n > 0\)에 대해 \(x^{p^n} \in \varphi(R)\) 및 \(p^nx \in \varphi(R)\)를 만족하는 원소 \(x\)들로 생성되고,

2. \(\varphi\)의 핵은 멱영원들로 생성된다.

그러면 (1)과 (2)가 성립하며, 임의의 환 준동형 \(R \to R'\)에 대해 환 준동형 \(R' \to R' \otimes_R S\)도 (a), (b), (1), (2)를 만족한다. 특히 이 준동형은 스펙트럼 사이의 위상동형을 유도한다.

증명

이는 『대수학』의 보조정리 0BR8와 0BRA을 결합한 것이다.

다음 기술적 보조정리는 적절한 의미에서 본질적으로 유한형인 환 준동형의 한 올에서 주어진 임의의 관계열을 전체 공간으로 올릴 수 있음을 말한다.

보조정리

\(R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak p \subset R\)를 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak q \subset S\)를 \(\mathfrak p\) 위에 놓인 소 아이디얼이라 하자. \(S_{\mathfrak q}\)가 \(R_\mathfrak p\) 위에서 본질적으로 유한형이라고 가정하자. 다음이 주어졌다고 하자.

1. 정수 \(n \geq 0\),

2. 소 아이디얼 \(\mathfrak a \subset \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\),

3. 전사인 \(\kappa(\mathfrak p)\)-준동형 \[\psi : (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \longrightarrow S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q},\]

4. \(\Ker(\psi)\)의 원소 \(\overline{f}_1, \ldots, \overline{f}_e\).

그러면 다음이 존재한다.

1. 정수 \(m \geq 0\),

2. 원소 \(g \in S\), \(g \not\in \mathfrak q\),

3. 사상 \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_n, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_g,\]

4. \(\Ker(\Psi)\)의 원소 \(f_1, \ldots, f_e, f_{e + 1}, \ldots, f_{e + m}\).

이들은 다음을 만족한다.

1. 다음 도표가 가환이고 \[\xymatrix{ R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \ar[d]_\Psi \ar[rr]_-{x_{n + j} \mapsto 0} & & (\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n])_{\mathfrak a} \ar[d]^\psi \\ S_g \ar[rr] & & S_{\mathfrak q}/\mathfrak p S_{\mathfrak q} },\]

2. 원소 \(f_i\)는 \(i \leq n\)일 때 국소환 \[(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}])_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})},\] 에서 \(\overline{f}_i\)에 단원을 곱한 원소로 사상되고,

3. 원소 \(f_{e + j}\)는 같은 국소환에서 \(x_{n + j}\)에 단원을 곱한 원소로 사상되며,

4. 유도된 사상 \(R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q}\)는 전사이다. 여기서 \(\mathfrak b = \Psi^{-1}(\mathfrak qS_g)\)이다.

증명

\(R\)과 \(S\)가 각각 극대 아이디얼 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak q\)를 갖는 국소환인 경우에 보조정리를 증명하는 것으로 충분하다고 주장한다. 실제로 필요한 성질을 모두 갖는 \[\Psi' : R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}] \longrightarrow S_{\mathfrak q}\] 와 \(f_1', \ldots, f_{e + m}' \in R_{\mathfrak p}[x_1, \ldots, x_{n + m}]\) 를 구성했다고 하자. 그러면 각 \(ff_k'\)가 어떤 원소 \(f_k \in R[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)에서 오는 원소가 되게 하는 \(f \in R\), \(f \not \in \mathfrak p\)가 존재한다. 또한 적절한 \(g \in S\), \(g \not \in \mathfrak q\)에 대해 원소 \(\Psi'(x_i)\)들은 원소 \(y_i \in S_g\)의 상이다. 규칙 \(\Psi(x_i) = y_i\)로 정의되는 \(R\)-대수 준동형을 \(\Psi\)라 하자. \(\Psi(f_i)\)는 국소화 \(S_{\mathfrak q}\)에서 영이므로, 필요하면 \(g\)를 바꾸어 \(\Psi(f_i) = 0\)이라고 가정할 수 있다. 이로써 주장이 증명된다.

따라서 \(R\)과 \(S\)가 각각 극대 아이디얼 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak q\)를 갖는 국소환이라고 가정해도 된다. \(y_i \bmod \mathfrak pS = \psi(x_i)\)가 되도록 \(y_1, \ldots, y_n \in S\)를 택한다. \(S\)가 그 국소화가 되는 어떤 \(R\)-부분대수를 생성하는 원소 \(y_{n + 1}, \ldots, y_{n + m} \in S\)를 택한다. \(S\)가 \(R\) 위에서 본질적으로 유한형이라는 가정에 의해 이런 원소들이 존재한다. \(\psi\)가 전사이므로 어떤 \(h_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak a}\)에 대해 \(y_{n + j} \bmod \mathfrak pS = \psi(h_j)\)라고 쓸 수 있다. 어떤 공통 분모 \(d \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\), \(d \not \in \mathfrak a\)와 \(g_j \in \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_n]\)에 대해 \(h_j = g_j/d\)라고 쓰자. \(g_j\)와 \(d\)의 올림 \(G_j, D \in R[x_1, \ldots, x_n]\)을 택한다. 다음과 같이 놓는다. \(y_{n + j}' = D(y_1, \ldots, y_n) y_{n + j} - G_j(y_1, \ldots, y_n)\). 구성에 의해 \(y_{n + j}' \in \mathfrak p S\)이다. \(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\)가 \(S\)의 어떤 \(R\)-부분대수를 생성하고 그 부분대수의 국소화가 \(S\)임은 명백하다. 다음 사상을 정의한다. \[\Psi : R[x_1, \ldots, x_{n + m}] \to S\] 이는 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(x_i\)를 \(y_i\)로 보내고, \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 \(x_{n + j}\)를 \(y'_{n + j}\)로 보낸다. 성질 (1)과 (4)는 구성에서 명백하다. 또한 아이디얼 \(\mathfrak b\)는 다항식환 \(\kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]\)의 아이디얼 \((\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})\) 위로 사상된다.

\(J = \Ker(\Psi)\)라 쓰자. 짧은 완전열 \[0 \to J_{\mathfrak b} \to R[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{\mathfrak b} \to S_{\mathfrak q} \to 0.\] 을 얻는다. 전사성은 위에서 택한 \(y_1, \ldots, y_n, y_n', \ldots, y_{n + m}'\)에서 따른다. 따라서 다음 열이 완전하다. \[J_{\mathfrak b}/ \mathfrak pJ_{\mathfrak b} \to \kappa(\mathfrak p)[x_1, \ldots, x_{n + m}]_{ (\mathfrak a, x_{n + 1}, \ldots, x_{n + m})} \to S_{\mathfrak q}/\mathfrak pS_{\mathfrak q} \to 0\] 구성에 의해 마지막 사상은 \(x_i\)를 \(\psi(x_i)\)로 보내고 \(x_{n + j}\)를 영으로 보낸다. 따라서 보조정리의 (2)와 (3)에 나오는 \(f_i\)들을 쉽게 택할 수 있다.

보조정리

\(R \to S\)를 유한 표시 환 준동형이라 하자. 어떤 \(R\) 위의 \(S\)의 표시 \(\alpha\)에 대해 순진한 여접 복합체 \(\NL(\alpha)\)가 차수 \(0\)에 놓인 유한 사영 \(S\)-가군과 준동형이면, 모든 표시에 대해서도 그렇다.

증명

『대수학』의 보조정리 00S1에서 즉시 따른다.

주

\(R\)을 환이라 하자. 임의의 집합 \(S\)에 대해 \(F(S)\)로 \(S\) 위의 자유 \(R\)-가군을 나타내자. 그러면 모든 왼쪽 \(R\)-가군에는 다음과 같은 두 단계 분해가 있다. \[F(M \times M) \oplus F(R \times M) \to F(M) \to M \to 0.\] 첫 번째 사상은 다음 규칙으로 주어진다. \[[m_1, m_2] \oplus [r, m] \mapsto [m_1 + m_2] - [m_1] - [m_2] + [rm] - r[m].\]

보조정리

\(S\)를 \(A\)의 곱셈적 집합이라 하자. 표준 환 준동형 \(A \to S^{-1}A\)가 유도하는 사상 \[f: \Spec(S^{-1}A)\longrightarrow \Spec(A)\] 은 그 상 위의 위상동형이고, \(\Im(f) = \{ \mathfrak p \in \Spec(A) : \mathfrak p\cap S = \emptyset \}\)이다.

증명

이는 『대수학』의 보조정리 00E3과 중복된다.

보조정리

\(A \to B\)를 유한형인 평탄 환 준동형이라 하고 \(A\)가 정역이라고 하자. 그러면 \(B\)는 유한 표시 \(A\)-대수이다.

증명

『평탄성 심화』의 명제 053G의 특수한 경우이다.

보조정리

\(R\)을 분수체 \(K\)를 갖는 정역이라 하자. \(S = R[x_1, \ldots, x_n]\)를 \(R\) 위의 다항식환이라 하자. \(M\)을 유한 \(S\)-가군이라 하자. \(M\)이 \(R\) 위에서 평탄하다고 가정하자. 모든 부분환 \(R \subset R' \subset K\), \(R \not = R'\)에 대해 \(M \otimes_R R'\)가 \(S \otimes_R R'\) 위의 유한 표시 가군이면, \(M\)은 \(S\) 위의 유한 표시 가군이다.

증명

이 보조정리는 참이다. 사실 명제에 나오는 모든 \(R'\)에 대해 \(M \otimes_R R'\)가 유한 표시라는 가정 없이도 \(M\)은 유한 표시이다. 이는 『평탄성 심화』의 명제 053G에서 따른다. 원래 이 보조정리에는 잘못된 증명이 있었고(그 틈을 찾아 준 Ofer Gabber에게 감사한다), 인용한 명제의 다른 증명에 사용되었다. 이 보조정리를 복원하려면 \(R\)이 국소 정규 정역인 경우에 가환대수학 장들의 결과만을 사용하는 올바른 논증이 필요하다. 그런 논증을 알고 있다면 stacks.project@gmail.com으로 이메일을 보내 주기 바란다.

보조정리

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하고 \(f \in B\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A \to B\)는 평탄하고,

2. \(f\)는 영인자가 아니며,

3. \(A \to B/fB\)는 평탄하다.

그러면 모든 아이디얼 \(I \subset A\)에 대해 사상 \(f : B/IB \to B/IB\)는 단사이다.

증명

\(B\)와 \(B/fB\)가 \(A\) 위에서 평탄하므로 \(IB = I \otimes_A B\)이고 \(I(B/fB) = I \otimes_A B/fB\)이다. 특히 \(IB/fIB \cong I \otimes_A B/fB\)는 \(B/fB\)로 단사적으로 사상된다. 따라서 완전한 행을 갖는 도표 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] \ar[d]^f & B \ar[r] \ar[d]^f & B/IB \ar[r] \ar[d]^f & 0 \\ 0 \ar[r] & I \otimes_A B \ar[r] & B \ar[r] & B/IB \ar[r] & 0 }\] 에 뱀 보조정리를 적용하면 결과가 따른다.

보조정리

\(R \to S\)가 충실히 평탄한 환 준동형이면, 모든 \(R\)-가군 \(M\)에 대해 사상 \(M \to S \otimes_R M\), \(x \mapsto 1 \otimes x\)는 단사이다.

증명

이 보조정리는 『대수학』의 보조정리 05CK와 중복된다.

주

이 참조/태그는 전에는 『환 준동형의 평활화』 장의 한 절을 가리켰으나, 그 내용은 이후 『대수학』의 절 00QL에 포함되었다.

보조정리

\((R, \mathfrak m)\)을 차원이 \(1\)인 축소 뇌터 국소환이라 하고 \(x \in \mathfrak m\)을 영인자가 아닌 원소라 하자. \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_r\)을 \(R\)의 극소 소 아이디얼들이라 하자. 그러면 \[\text{length}_R(R/(x)) = \sum\nolimits_i \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(x)\] 이다.

증명

『Chow 호몰로지』의 보조정리 02QG의 특수한(매우 쉬운) 경우이다.

보조정리

\(A\)를 차원이 \(2\)인 뇌터 국소 정규 정역이라 하자. 영이 아닌 \(f \in \mathfrak m\)에 대해 \(A\)의 뚫린 스펙트럼 위에서 \(f\)에 딸린 인자를 \(\text{div}(f) = \sum n_i (\mathfrak p_i)\)로 나타내자. \(|f| = \sum n_i\)로 놓는다. 모든 \(g \in \mathfrak m^N\)에 대해 \(|f + g| \leq M\)이 되게 하는 정수 \(N\)과 \(M\)이 존재한다.

증명

\(f, h\)가 \(A\)의 정칙열이 되도록 \(h \in \mathfrak m\)을 택한다 (이는 『대수학』의 보조정리 031S과 090R에서 따른다). \(M = \text{length}_A(A/(f, h))\)로 놓고, \(\mathfrak m^N \subset (f, h)\)인 임의의 정수 \(N\)을 택하면 보조정리가 성립함을 증명하겠다. \(\sqrt{(f, h)} = \mathfrak m\)이므로 그런 정수 \(N\)이 존재한다. \((f, h) = (f + g, h)\)이므로 모든 \(g \in \mathfrak m^N\)에 대해 \(M = \text{length}_A(A/(f + g, h))\)임에 유의하자. 또한 이로부터 \(f + g, h\)도 \(A\)의 정칙열임이 따른다. 『대수학』의 보조정리 02JN를 보라. 이제 \(\text{div}(f + g ) = \sum m_j (\mathfrak q_j)\)라고 하자. 다음 사상을 생각한다. \[c : A/(f + g) \longrightarrow \prod A/\mathfrak q_j^{(m_j)}\] 여기서 \(\mathfrak q_j^{(m_j)}\)는 기호적 거듭제곱이다. 『대수학』의 절 05G9를 보라. \(A\)가 정규이므로 \(A_{\mathfrak q_i}\)는 이산 값매김환이고, 따라서 \[A_{\mathfrak q_i}/(f + g) = A_{\mathfrak q_i}/\mathfrak q_i^{m_i} A_{\mathfrak q_i} = (A/\mathfrak q_i^{(m_i)})_{\mathfrak q_i}\] 이다. \(V(f + g, h) = \{\mathfrak m\}\)이므로 \(h\)를 가역화하면 \(c\)가 동형이 된다(작은 세부 사항은 생략한다). \(h\)는 \(A/(f + g)\) 위의 영인자가 아니므로 \(A/(f + g, h)\)의 길이는 『Chow 호몰로지』의 절 02PF에서 정의한 Herbrand 몫 \(e_A(A/(f + g), 0, h)\)와 같다. 마찬가지로 \(A/(h, \mathfrak q_j^{(m_j)})\)의 길이는 \(e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h)\)와 같다. 이제 \[\begin{align*} M & = \text{length}_A(A/(f + g, h) \\ & = e_A(A/(f + g), 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i e_A(A/\mathfrak q_j^{(m_j)}, 0, h) \\ & = \sum\nolimits_i \sum\nolimits_{m = 0, \ldots, m_j - 1} e_A(\mathfrak q_j^{(m)}/\mathfrak q_j^{(m + 1)}, 0, h) \end{align*}\] 를 얻는다. 위에서 논의했듯이 \(c\)의 여핵이 유한 길이를 갖는다는 사실을 특히 사용하여 『Chow 호몰로지』의 보조정리 0EA7와 0EA8를 적용하면 이 등식들이 따른다. Nakayama 보조정리를 써서 \(e_A(\mathfrak q^{(m)}/\mathfrak q^{(m + 1)}, 0, h)\)가 적어도 \(1\)임을 곧바로 증명할 수 있다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 국소환들의 평탄한 국소 준동형이라 하자. \(A\)와 \(B/\mathfrak m_A B\)가 Gorenstein이면 \(B\)도 Gorenstein이다.

증명

『쌍대화 복합체』의 보조정리 0BJL에서 즉시 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼, \(M\)을 유한 \(A\)-가군, \(s\)를 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)에는 쌍대화 복합체가 있고,

2. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이고 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) \not = \{\mathfrak m\}\)이면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > s\)이다.

그러면 \(V(J) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)이고 \(JI^n\)이 \(i \leq s\)에 대해 \(H^i_\mathfrak m(M)\)을 소멸시키게 하는 \(n > 0\)과 아이디얼 \(J \subset A\)가 존재한다.

증명

『국소 코호몰로지』의 보조정리 0DWZ에 따르면, \(i \leq s\)인 유한 \(A\)-가군 \(E^i = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)\)에 대해 이를 보이면 된다. \(E^0 \oplus \ldots \oplus E^s\)의 지지 \(Z\)는 \(\Spec(A)\)에서 닫혀 있고 (2)에 나오는 어떤 소 아이디얼도 포함하지 않는다. 따라서 보조정리의 명제에 나오는 것과 같은 어떤 \(J\)에 대해 이는 \(V(JI^n)\)에 포함된다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼, \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(s\)와 \(d\)를 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)에는 쌍대화 복합체가 있고,

2. \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이며,

3. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) > s\)이거나 \(\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) > d + s\)이다.

그러면 \(A, I, \mathfrak m, M\)에 대해 『대수 및 형식 기하학』의 보조정리 0EFR의 가정들이 성립하고, \(i \leq s\)에 대해 \(H^i_\mathfrak m(M) \to \lim H^i_\mathfrak m(M/I^nM)\)은 동형이며 이 가군들은 \(I\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸한다.

증명

『대수 및 형식 기하학』의 보조정리 0EFR의 가정들은 더 일반적인 『대수 및 형식 기하학』의 보조정리 0EFW에 의해 성립한다. 그러면 『대수 및 형식 기하학』의 보조정리 0EFR의 결론이 두 번째 명제를 준다.

보조정리

『대수 및 형식 기하학』의 상황 0EFU에서 \(H^s_\mathfrak a(M) = \lim H^s_\mathfrak a(M/I^nM)\)이다.

증명

이는 『대수 및 형식 기하학』의 정리 0EIE에서 즉시 따른다. 추가 가정들이 있던 이 보조정리의 원래 판은 이 정리로 대체되었다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(f \in \mathfrak a\)를 \(A\)의 아이디얼의 한 원소라 하자. \(U = \Spec(A) \setminus V(\mathfrak a)\)로 놓는다. 다음을 가정하자.

1. \(A\)에는 쌍대화 복합체가 있고 이는 \(f\)에 관해 완비이며,

2. \(A_f\)는 \((S_2)\)이고, 모든 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 \(f \not \in \mathfrak p\)이며, \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p) \cap V(\mathfrak a)\)이면 \(\dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \geq 3\)이다.

그러면 완비화 함자 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \textit{Coh}(U, I\mathcal{O}_U), \quad \mathcal{F} \longmapsto \mathcal{F}^\wedge\] 는 유한 국소 자유 대상들의 충만한 부분범주 위에서 완전충실하다.

증명

이 보조정리는 『대수 및 형식 기하학』의 보조정리 0EKT의 특수한 경우이다.

ZMT와 관련된 보조정리

이 절의 보조정리들은 원래 Zariski 주정리의 (대수적 판인) 『대수학』의 정리 00Q9의 증명에 사용되었다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(\varphi : R[x] \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(t \in S\)라 하자. \(t\)가 \(R[x]\) 위에서 정수적이면, 모든 \(a \in R\)에 대해 \(\varphi(a)^\ell t\)가 \(\varphi_a : R[y] \to S\) 위에서 정수적이 되게 하는 \(\ell \geq 0\)이 존재한다. 여기서 이 사상은 \(y \mapsto \varphi(ax)\)와 \(r \mapsto \varphi(r)\) (\(r\in R\))로 정의된다.

증명

\(f_i \in R[x]\)에 대해 \(t^d + \sum_{i < d} \varphi(f_i)t^i = 0\)이라 하자. \(\ell\)을 모든 \(f_i\)의 \(x\)에 관한 차수 가운데 최댓값이라 하자. 등식에 \(\varphi(a)^\ell\)을 곱하면 \(\varphi(a)^\ell t^d + \sum_{i < d} \varphi(a^\ell f_i)t^i = 0\)을 얻는다. 각 \(\varphi(a^\ell f_i)\)가 \(\varphi_a\)의 상에 속함에 유의하자. 『대수학』의 보조정리 00PQ에서 결과가 따른다.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(t \in S\)가 관계식 \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\)을 만족한다고 하자. \(u_n = \varphi(a_n)\), \(u_{n-1} = u_n t + \varphi(a_{n-1})\)로 놓고, \(u_1 = u_2 t + \varphi(a_1)\)에 이를 때까지 같은 방식으로 정의한다. 그러면 \(u_n, u_{n-1}, \ldots, u_1\)과 \(u_nt, u_{n-1}t, \ldots, u_1t\)는 모두 \(R\) 위에서 정수적이고, \(S\)의 아이디얼 \((\varphi(a_0), \ldots, \varphi(a_n))\)과 \((u_n, \ldots, u_1)\)은 같다.

증명

\(n\)에 대한 귀납법으로 증명한다. \(u_n = \varphi(a_n)\)이므로 『대수학』의 보조정리 00PQ에서 \(u_nt\)가 \(R\) 위에서 정수적임을 얻는다. 물론 \(u_n = \varphi(a_n)\)도 \(R\) 위에서 정수적이다. 따라서 \(u_{n - 1} = u_n t + \varphi(a_{n - 1})\)는 \(R\) 위에서 정수적이다 (『대수학』의 보조정리 00GO을 보라). 또한 \[\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_{n - 1})t^{n - 1} + u_{n - 1}t^{n - 1} = 0.\] 이다. \(S'\)을 \(S\) 안에서 \(R\)의 정수적 폐포라 하자. 사상 \(S' \to S\)와 위 등식에 귀납 가정을 적용하면 \(u_{n-1}, \ldots, u_1\)과 \(u_{n-1}t, \ldots, u_1t\)도 모두 \(S'\)에 속함을 알 수 있다. 아이디얼에 관한 명제는 원소들의 형태와 \(u_1t + \varphi(a_0) = 0\)이라는 사실에서 즉시 따른다.

보조정리

\(\varphi : R \to S\)를 환 준동형이라 하자. \(t \in S\)가 관계식 \(\varphi(a_0) + \varphi(a_1)t + \ldots + \varphi(a_n) t^n = 0\)을 만족한다고 하자. \(J \subset S\)를 어떤 하나 이상의 \(i\)에 대해 \(\varphi(a_i) \not \in J\)인 아이디얼이라 하자. 그러면 \(u \not\in J\)이고 \(u\)와 \(ut\)가 모두 \(R\) 위에서 정수적인 \(u \in S\)가 존재한다.

증명

원소 \(u_i\) 가운데 하나는 \(J\)에 속하지 않으므로, 보조정리 00PR에서 즉시 따른다.

다음 두 보조정리는 하나의 (퇴화하지 않은) 방정식으로 잘라 낸 \(\mathbf{P}^1_R\)의 닫힌 부분스킴을 기술하는 방법이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(F(X, Y) \in R[X, Y]\)를 차수가 \(d\)인 동차다항식이라 하자. \(R\)의 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해 \(F\)의 계수 가운데 적어도 하나는 \(\mathfrak p\)에 속하지 않는다고 가정하자. \(S = R[X, Y]/(F)\)를 등급환으로 보자. 그러면 모든 \(n \geq d\)에 대해 \(R\)-가군 \(S_n\)은 계수 \(d\)인 유한 국소 자유 가군이다.

증명

\(R\)-가군 \(S_n\)은 다음 표시를 갖는다. \[R[X, Y]_{n-d} \to R[X, Y]_n \to S_n \to 0.\] 따라서 『대수학』의 보조정리 00O0에 의해, 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해 \(F\)를 곱하는 사상 \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y] \to \kappa(\mathfrak p)[X, Y]\)가 단사임을 보이면 충분하다. \(F\)가 \(\mathfrak p\)로 나눈 나머지에서 영다항식으로 사상되지 않는다는 가정으로부터 이는 명백하다. 계수에 관한 주장도 이로부터 명백하다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(F, G \in k[X, Y]\)를 각각 차수가 \(d, e\)인 동차다항식이라 하자. \(F, G\)가 서로소라고 가정하자. 그러면 \(G\)를 곱하는 사상은 \(S = k[X, Y]/(F)\) 위에서 단사이다.

증명

이는 “서로소”를 정의하는 한 방법이다. 다른 정의를 사용한다면, 그 정의가 이 정의와 동치임을 보일 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(F(X, Y) \in R[X, Y]\)를 차수가 \(d\)인 동차다항식이라 하고 \(S = R[X, Y]/(F)\)를 등급환으로 보자. \(\mathfrak p \subset R\)를 소 아이디얼이라 하고, \(F\)의 어떤 계수가 \(\mathfrak p\)에 속하지 않는다고 하자. 모든 \(n \geq d\)에 대해 \(G\)를 곱하는 사상이 동형 \((S_n)_f \to (S_{n + e})_f\)을 유도하도록 하는 \(f \in R\), \(f \not\in \mathfrak p\), 정수 \(e\), 그리고 \(G \in R[X, Y]_e\)가 존재한다.

증명

증명하는 동안 \(f\in R\), \(f\not\in \mathfrak p\)에 대해 \(R\)을 \(R_f\)로 (유한 번) 바꾸어도 된다. 첫 단계로, \(F\)의 어떤 계수가 \(R\)에서 가역이 되도록 이렇게 바꾼다. 특히 보조정리 00Q4에 의해 이제 \(n \geq d\)에 대해 가군 \(S_n\)은 계수 \(d\)인 국소 자유 가군이다. \(\kappa(\mathfrak p)[X, Y]\)에서의 \(G\)의 상이 \(F(X, Y)\)의 상과 서로소가 되도록 하는 임의의 \(G \in R[X, Y]_e\)를 택한다(어떤 \(e\)에 대해서는 가능하다). \(G\)를 곱하여 유도되는 사상 \(S_d \to S_{d + e}\)에 『대수학』의 보조정리 00O0을 적용한다. \(G\)의 선택과 보조정리 00Q5에 의해 \(S_d \otimes \kappa(\mathfrak p) \to S_{d + e} \otimes \kappa(\mathfrak p)\) 는 전단사이다. 따라서 적절한 \(f\)에 대해 \(R\)을 \(R_f\)로 바꾸면 \(G : S_d \to S_{d + e}\)가 전단사라고 가정할 수 있다. 그러면 \(R\)의 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p'\)에 대해 \(\kappa(\mathfrak p')[X, Y]\)에서의 \(G\)의 상은 \(F\)의 상과 서로소이다. 이제 『대수학』의 보조정리 00O0을 다시 적용하면 모든 사상 \(G : S_d \to S_{d + e}\), \(n \geq d\)가 동형임을 알 수 있다.

주

\(R\)을 환이라 하자. \(F \in R[X, Y]_d\)와 \(G \in R[X, Y]_e\)가 주어졌고, \(S = R[X, Y]/(F)\)로 놓았을 때 다음이 성립한다고 하자. (1) 모든 \(n \geq d\)에 대해 \(S_n\)은 계수 \(d\)인 유한 국소 자유 가군이고, (2) 모든 \(n \geq d\)에 대해 \(G\)를 곱하는 사상은 동형 \(S_n \to S_{n + e}\)을 정의한다. 이 경우 다음과 같이 유한 국소 자유 \(R\)-대수 \(A\)를 정의할 수 있다.

1. \(R\)-가군으로서 \(A = S_{ed}\)이고,

2. 곱셈 \(A \times A \to A\)는 \(S_{2ed}\)에서 \(G^d H_3 = H_1 H_2\)일 때 그리고 그때에만 \(H_1 H_2 = H_3\)이 되도록 정의한다.

\(G^d\)를 곱하는 사상이 전단사 \(S_{de} \to S_{2de}\)를 유도하므로 이는 잘 정의된다. 이것이 환 구조를 정의함은 쉽게 알 수 있다. 혼동하기 쉬운 사실은 원소 \(G^d\)가 환 \(A\)의 단위원을 정의한다는 점이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(f \in R\)라 하자. \(S\), \(S'\)과 다음 가환 도표의 실선 화살표들이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ & S'' \ar@{-->}[rd] \ar@{-->}[dd] & \\ R \ar[rr] \ar@{-->}[ru] \ar[d] & & S \ar[d] \\ R_f \ar[r] & S' \ar[r] & S_f }\] \(R_f \to S'\)가 유한이라고 가정하자. 그러면 \(S' = (S'')_f\)가 되도록 도표에 표시된 점선 화살표들과 유한 환 준동형 \(R \to S''\)을 찾을 수 있다.

증명

\(S'\)이 \(R_f\) 위에서 \(x_i\), \(i = 1, \ldots, w\)로 생성된다고 하자. \(P_i(x_i) = 0\)인 일계수 다항식 \(P_i(t) \in R_f[t]\)를 택한다. \(P_i\)의 차수가 \(d_i > 0\)이라고 하자. 하나의 공통된 \(n\)에 대해 \(P_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} (a_{ij}/f^n) t^j\)라고 쓴다. 또한 적절한 \(g_i \in S\)에 대해 \(S_f\)에서 \(x_i\)의 상을 \(g_i / f^n\)으로 쓴다. 그러면 \(S\)의 원소 \(\xi_i = f^{nd_i} g_i^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} g_i^j\)는 \(f\)의 어떤 거듭제곱에 의해 소멸한다. 따라서 \(n\)을 \(n'\)으로 늘리면 \(g_i\)가 \(f^{n' - n}g_i\)로 바뀌고, \(\xi_i = 0\)이라고 가정할 수 있다. 이제 \(S'\)은 원소 \(f^n x_i\)들로 생성되며, 각 원소는 \(R\)에 계수를 갖는 일계수 다항식 \(Q_i(t) = t^{d_i} + \sum_{j < d_i} f^{n(d_i - j)} a_{ij} t^j\)의 영점이다. 또한 구성에 의해 \(S\)에서 \(Q_i(f^ng_i) = 0\)이다. 따라서 유한 \(R\)-대수 \(S'' = R[z_1, \ldots, z_w]/(Q_1(z_1), \ldots, Q_w(z_w))\)를 얻으며, 이는 위와 같은 가환 도표에 들어간다. 사상 \(\alpha : S'' \to S\)는 \(z_i\)를 \(f^ng_i\)로 보내고, 사상 \(\beta : S'' \to S'\)는 \(z_i\)를 \(f^nx_i\)로 보낸다. 아직은 \(\beta\)가 동형 \((S'')_f \cong S'\)를 유도하지 않을 수도 있다. 지금까지는 이 사상이 전사라는 것만 안다. 문제는 \(S'\)에서 영으로 사상되지만 영은 아닌 원소 \(h/f^n \in (S'')_f\)가 있을 수 있다는 것이다. 이 경우 \(\beta(h)\)는 어떤 \(N\)에 대해 \(f^N \beta(h) = 0\)을 만족하는 \(S\)의 원소이다. 따라서 \(f^N h\)는 \(S''\)의 아이디얼 \(J = \{h \in S'' \mid \alpha(h) = 0 \text{ 이고 } \beta(h) = 0\}\)의 원소이다. 좋다. 이제 \(S''/J\)가 원하는 대수임을 쉽게 알 수 있다.

형식적으로 매끄러운 환 준동형

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(S\)를 \(R\)-대수라 하자. \(S\)가 \(R\) 위에서 유한 표시이고 형식적으로 매끄러우면, \(S\)는 \(R\) 위에서 매끄럽다.

증명

『대수학』의 명제 00TN를 보라.

주

이 태그는 『형식 공간의 대수화』의 명제 0GAT의 증명에 있던 한 등식을 가리켰으나, 내용을 재배열하면서 더 이상 쓰이지 않게 되었다.

주

이 태그는 『형식 공간의 대수화』의 명제 0GAT의 증명에 있던 한 등식을 가리켰으나, 내용을 재배열하면서 더 이상 쓰이지 않게 되었다.

주

이 태그는 『형식 공간의 대수화』의 명제 0GAT의 증명에 있던 한 등식을 가리켰으나, 내용을 재배열하면서 더 이상 쓰이지 않게 되었다.

주

이 태그는 『형식 공간의 대수화』의 명제 0GAT의 증명에 있던 한 등식을 가리켰으나, 내용을 재배열하면서 더 이상 쓰이지 않게 되었다.

주

이 태그는 『형식 공간의 대수화』의 보조정리 0ALT의 증명에 있던 한 등식을 가리켰으나, 내용을 재배열하면서 더 이상 쓰이지 않게 되었다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(t\)를 \(I\)의 최소 생성원 수라 하자. \(C\)를 \(I\)-진 완비 뇌터 \(A\)-대수라 하자. \(I \subset A \to C\)에만 의존하고 다음 성질을 갖는 정수 \(d \geq 0\)이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.

1. \(c \geq 0\)과 『형식 공간의 대수화』의 등식 (0AL4)에 나오는 \(B\)가 주어지고, \(a \in I^c\)에 대해 \(\NL_{B/A}^\wedge\) 위에서 \(a\)를 곱하는 사상이 \(D(B)\)에서 영이며,

2. 정수 \(n > 2t\max(c, d)\)와,

3. \(A/I^n\)-대수 준동형 \(\psi_n : B/I^nB \to C/I^nC\)가 주어졌다.

그러면 \(m = \lfloor \frac{n}{t} \rfloor\)일 때 \(\psi_n \bmod I^{m - c} = \varphi \bmod I^{m - c}\)를 만족하는 \(A\)-대수 준동형 \(\varphi : B \to C\)가 존재한다.

증명

이 보조정리는 더 강한 『형식 공간의 대수화』의 보조정리 0GAQ로 대체되었다. 실제로 그 보조정리에서 이 보조정리를 도출하겠다.

위 명제와 같은 \(I \subset A \to C\)가 주어졌다고 하자. 『국소 코호몰로지』의 절 0GA6에서 얻은 정수들을 \(d(\text{Gr}_I(C))\)와 \(q(\text{Gr}_I(C))\)로 나타내자. \(t\)는 \(IC\)의 최소 생성원 수의 상계이고, 따라서 『국소 코호몰로지』의 절 0GA6의 논의에 의해 \(d(\text{Gr}_I(C)) + 1 \leq t\)이다. 보조정리에서 실제 내용이 있는 경우만 생각하면 되므로 \(t \geq 1\)이라고 가정한다. 다음 값에 대해 보조정리가 참이라고 주장한다. \[d = q(\text{Gr}_I(C))\] 실제로 \(c\), \(B\), \(n\), \(\psi_n\)이 위 명제와 같이 주어졌다고 하자. 그러면 \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n \geq 2tc + 1 \Rightarrow n \geq 2(d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c + 1\] 이고, 한편 \[n > 2t\max(c, d) \Rightarrow n > t(c + d) \Rightarrow n \geq q(C) + tc \geq q(\text{Gr}_I(C)) + (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c\] 이다. 따라서 『형식 공간의 대수화』의 보조정리 0GAQ의 가정들이 성립하고, \(I^{n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c}C\)를 법으로 \(\psi_n\)과 합동인 \(A\)-대수 준동형 \(\varphi : B \to C\)를 얻는다. 다음 계산에 의해 \[\begin{align*} n - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c & = \frac{n}{t} + \frac{(t - 1)n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & \geq \frac{n}{t} + \frac{(d(\text{Gr}_I(C))n}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & > \frac{n}{t} + \frac{d(\text{Gr}_I(C))2tc}{t} - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + 2d(\text{Gr}_I(C))c - (d(\text{Gr}_I(C)) + 1)c \\ & = \frac{n}{t} + d(\text{Gr}_I(C))c - c \\ & \geq m - c \end{align*}\] 원하는 대로 \(I^{m - c}C\)를 법으로 \(\varphi\)와 \(\psi_n\)이 합동이다.

사이트와 층

주

\(U\)를 사이트 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{C}/U\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{G}\)에 대해 표준 사상 \[c : j_{U!}\mathcal{G} \longrightarrow j_{U*}\mathcal{G}\] 이 있는지 물을 수 있다. 그런 사상을 구성하는 것은 \(j_U^{-1}j_{U!}\mathcal{G} \to \mathcal{G}\)를 구성하는 것과 같다. 제한은 층화와 가환함에 유의하자. 따라서 『사이트 위의 가군』의 보조정리 03DI에 나오는 준층을 사용할 수 있다. 그러므로 제한 사상들과 호환되는 사상 \[\bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \longrightarrow \mathcal{G}(V/U)\] 을 각 \(V/U\)에 대해 정의하면 충분하다. \(\varphi\)가 구조 사상 \(\varphi_0 : V \to U\)인 성분에서는 \(1\)을 취하고 다른 모든 성분에서는 영인 사상을 취할 수 있을 것처럼 보인다. 그러나 이는 제한 사상과 호환되지 않는다. 실제로 \(\alpha : V' \to V\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면, 구조 사상이 \(\varphi'_0 = \varphi_0 \circ \alpha\)인 \(\mathcal{C}/U\)의 대상을 \(V'/U\)라 나타내자. 다음 도표가 가환인지 확인해야 한다. \[\xymatrix{ \bigoplus\nolimits_{\varphi \in \Mor_\mathcal{C}(V, U)} \mathcal{G}(V \xrightarrow{\varphi} U) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{G}(V/U) \ar[d] \\ \bigoplus\nolimits_{\varphi' \in \Mor_\mathcal{C}(V', U)} \mathcal{G}(V' \xrightarrow{\varphi'} U) \ar[r] & \mathcal{G}(V'/U) }\] 문제는 \(\varphi \circ \alpha = \varphi'_0\)을 만족하면서 \(\varphi_0\)와는 다른 사상 \(\varphi : V \to U\)가 있을 수 있다는 점이다. 그러면 왼쪽 수직 화살표는 \(\varphi\)에 대응하는 성분을 아래 수평 화살표가 \(1\)인 성분으로 보내므로, 도표는 거의 확실히 가환하지 않는다.

코호몰로지

코호몰로지에 관한 폐기된 보조정리들이다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고 \(X\)를 \(\Spec(A)\) 위의 스킴이라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)을 만족하는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하자. \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 가 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 오름 사슬 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 역계 \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

증명

더 일반적인 『코호몰로지』의 보조정리 0GYK의 특수한 경우이다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 아이디얼이라 하고 \(X\)를 \(\Spec(A)\) 위의 스킴이라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)을 만족하는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하자. \(n\)이 주어졌을 때 \[H^1_n = \bigcap\nolimits_{m \geq n} \Im\left( H^1(X, I^n\mathcal{F}_{m + 1}) \to H^1(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1}) \right)\] 로 정의한다. \(\bigoplus H^1_n\)이 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 오름 사슬 조건을 만족하면, 역계 \(M_n = \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\)은 Mittag–Leffler 조건을 만족한다.

증명

더 일반적인 『코호몰로지』의 보조정리 0GYL의 특수한 경우이다.

보조정리

\(I\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하고 \(X\)를 \(\Spec(A)\) 위의 스킴이라 하자. \[\ldots \to \mathcal{F}_3 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_1\] 을 \(\mathcal{F}_n = \mathcal{F}_{n + 1}/I^n\mathcal{F}_{n + 1}\)을 만족하는 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 역계라 하자. \[\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} H^0(X, I^n\mathcal{F}_{n + 1})\] 가 등급 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)-가군으로서 오름 사슬 조건을 만족한다고 가정하자. 그러면 \(M = \lim \Gamma(X, \mathcal{F}_n)\) 위의 극한 위상은 \(I\)-진 위상이다.

증명

더 일반적인 『코호몰로지』의 보조정리 0GYM의 특수한 경우이다.

보조정리

\((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\)를 환 달린 토포스라 하자. \(\mathcal{O}_\mathcal{C}\)-가군의 임의의 복합체 \(\mathcal{G}^\bullet\)에 대해 준동형 \(\mathcal{K}^\bullet \to \mathcal{G}^\bullet\)이 존재하여, 환 달린 토포스의 임의의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D}) \to (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C})\)에 대해 \(f^*\mathcal{K}^\bullet\)은 \(\mathcal{O}_\mathcal{D}\)-가군의 K-평탄 복합체가 된다.

증명

『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 06YS과 0G7E에서 따른다.

주

이 주석은 전에는 K-평탄 복합체의 당김뒤가 K-평탄인지 여부에 관해 알려진 내용을 논의했으나, 이제 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0G7E로 대체되었다.

다음 보조정리는 특수한 경우에 유도 극한의 코호몰로지 층을 계산한다.

보조정리

\((\mathcal{C}, \mathcal{O})\)를 환 달린 사이트라 하자. \((K_n)\)을 \(D(\mathcal{O})\)의 대상들의 역계라 하자. \(\mathcal{B} \subset \Ob(\mathcal{C})\)를 부분집합이라 하고 \(d \in \mathbf{N}\)이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 모든 \(n\)에 대해 \(K_n\)은 \(D^+(\mathcal{O})\)의 대상이고,

2. \(q \in \mathbf{Z}\)마다 \(n \geq n(q)\)이면 \(H^q(K_{n + 1}) \to H^q(K_n)\)이 동형이 되게 하는 \(n(q)\)가 존재하며,

3. \(\mathcal{C}\)의 모든 대상에는 그 원소들이 \(\mathcal{B}\)에 속하는 피복이 있고,

4. 모든 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(p > d\)와 모든 \(q\)에 대하여 \(H^p(U, H^q(K_n)) = 0\)이다.

그러면 모든 \(m \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^m(R\lim K_n) = \lim H^m(K_n)\)이다.

증명

\(K = R\lim K_n\)으로 놓고 \(U \in \mathcal{B}\)라 하자. 각 \(n\)에 대해 스펙트럼 열 \[H^p(U, H^q(K_n)) \Rightarrow H^{p + q}(U, K_n)\] 이 있다. \(K_n\)이 아래로 유계이므로 이 열은 수렴한다. 『유도 범주』의 보조정리 015J를 보라. \(m \in \mathbf{Z}\)를 고정하면 가정 (4)에 의해 \(H^m(U, K_n)\)에 기여하는 항은 \(0 \leq p \leq d\) 및 \(m - d \leq q \leq m\)인 \(H^p(U, H^q(K_n))\)뿐이다. 가정 (2)에 의해 \(n \geq \max{n(m), \ldots, n(m - d)}\)이면 \(H^m(U, K_{n + 1}) \to H^m(U, K_n)\)은 동형이다. 『단사 대상』의 보조정리 08U1에 의해 함자 \(R\Gamma(U, -)\)는 유도 극한과 가환한다. 따라서 \[H^m(U, K) = H^m(R\lim R\Gamma(U, K_n))\] 이다. 한편 방금 복합체 \(R\Gamma(U, K_n)\)의 코호몰로지 군이 결국 상수가 됨을 보였다. 그러므로 『대수학 심화』의 주석 08U5에 의해, \(U \in \mathcal{B}\)와 무관한 어떤 경계에 대해 모든 \(n \gg 0\)에서 \(H^m(U, K)\)는 \(H^m(U, K_n)\)과 같다. 그런 \(n\)을 택한다. 마지막으로 \(H^m(K)\)는 준층 \(U \mapsto H^m(U, K)\)의 층화이고 \(H^m(K_n)\)은 준층 \(U \mapsto H^m(U, K_n)\)의 층화임을 상기하자. 이 준층들은 \(\mathcal{B}\)의 원소들 위에서 같은 값을 갖는다. 따라서 가정 (3)은 두 층화도 같음을 보장한다. 보조정리가 따른다.

보조정리

『단체적 공간』의 상황 09WE에서, 『단체적 공간』의 주석 0D6Z에 나오는 것처럼 \(a_0\)를 사이트 \(\mathcal{D}\)를 향하는 증대라 하자. 엄밀히 충만한 약한 Serre 부분범주 \[\mathcal{A} \subset \textit{Ab}(\mathcal{D}),\quad \mathcal{A}_n \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_n)\] 이 주어졌다고 하자. 그러면

1. 모든 \(n\)에 대해 \(\mathcal{C}_n\)으로 제한한 것이 \(\mathcal{A}_n\)에 속하는 \(\mathcal{C}_{total}\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)들의 모임은 엄밀히 충만한 약한 Serre 부분범주 \(\mathcal{A}_{total} \subset \textit{Ab}(\mathcal{C}_{total})\)이다.

모든 \(n\)에 대해 \(a_n^{-1}\)이 \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{A}_n\)으로 보내면

1. \(a^{-1}\)은 \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{A}_{total}\)로 보내고,

2. \(a^{-1}\)은 \(D_\mathcal{A}(\mathcal{D})\)를 \(D_{\mathcal{A}_{total}}(\mathcal{C}_{total})\)로 보낸다.

모든 \(n, q\)에 대해 \(R^qa_{n, *}\)가 \(\mathcal{A}_n\)을 \(\mathcal{A}\)로 보내면

1. 모든 \(q\)에 대해 \(R^qa_*\)는 \(\mathcal{A}_{total}\)을 \(\mathcal{A}\)로 보내고,

2. \(Ra_*\)는 \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\)을 \(D_\mathcal{A}^+(\mathcal{D})\)로 보낸다.

증명

내용이 있는 주장은 (4)와 (5)뿐이다. (4)는 『단체적 공간』의 보조정리 0D7A의 스펙트럼 열과 『호몰로지』의 보조정리 012W에서 따른다. 이어서 (5)는 절단으로 주어지는 \(D_{\mathcal{A}_{total}}^+(\mathcal{C}_{total})\)의 대상 \(K\) 위의 표준 여과에 딸린 스펙트럼 열을 생각하면 따른다. 세부 사항은 생략한다.

주

이 태그는 전에는 다룰 주제들을 나열한 코호몰로지 장의 한 절을 가리켰다.

주

이 태그는 전에는 다룰 주제들을 나열한 코호몰로지 장의 한 절을 가리켰다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZA의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZI에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZB의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZI에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZE의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZI에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZA의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0H에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZB의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0H에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZE의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0H에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZA의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0I에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZB의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0I에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZC의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0I에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZD의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0I에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZE의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0I에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZA의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0J에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZB의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0J에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZC의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0J에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 『사이트 위의 코호몰로지』의 보조정리 0EZE의 특수한 경우를 가리켰다. 이는 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 0F0J에 기술된 상황에 관한 것이다.

주

이 태그는 전에는 에탈 코호몰로지 장에 있었으나 재구성으로 인해 이제 그곳에 두기 적절하지 않다. 태그의 내용은 다음과 같았다. 『에탈 코호몰로지』의 보조정리 03TT를 사용하면 \(f : X \to Y\)가 스킴의 분리 유한형 사상이고 \(Y\)가 뇌터이면 \(Rf_!\)가 함자 \(D_{ctf}(X_\etale, \Lambda) \to D_{ctf}(Y_\etale, \Lambda)\)를 유도함을 증명할 수 있다. \(Y\)가 체의 스펙트럼이고 \(X\)가 곡선인 경우의 이 논증의 예는 『대각합 공식』의 명제 03TV에 있다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 국소 준유한 사상이라 하자. 다음 성질을 갖는 유일한 함자 \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\)가 존재한다.

1. \(f \circ j\)가 분리인 임의의 열린 사상 \(j : U \to X\)에 대해 표준 동형 \(j^! \circ f^! = (f \circ j)^!\)이 있고,

2. \(U \subset U' \subset X\)에 대한 이 동형들은 『에탈 코호몰로지 심화』의 보조정리 0F5B의 동형들과 호환된다.

증명

『에탈 코호몰로지 심화』의 보조정리 0F59와 0F5B에서 즉시 따른다.

명제

\(f : X \to Y\)를 국소 준유한 사상이라 하자. 다음 성질을 갖는 수반 함자 \(f_! : \textit{Ab}(X_\etale) \to \textit{Ab}(Y_\etale)\)와 \(f^! : \textit{Ab}(Y_\etale) \to \textit{Ab}(X_\etale)\)가 존재한다.

1. 함자 \(f^!\)는 『에탈 코호몰로지 심화』의 보조정리 0F59에서 구성한 것이고,

2. \(f \circ j\)가 분리인 임의의 열린 사상 \(j : U \to X\)에 대해 표준 동형 \(f_! \circ j_! = (f \circ j)_!\)이 있으며,

3. \(U \subset U' \subset X\)에 대한 이 동형들은 『에탈 코호몰로지 심화』의 보조정리 0F50의 동형들과 호환된다.

증명

『에탈 코호몰로지 심화』의 절 0F6E와 0F58를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 국소 준유한인 스킴의 사상이라 하자. 아벨 군 \(A\)와 기하학적 점 \(\overline{y} : \Spec(k) \to Y\)에 대해 \(f^!(\overline{y}_*A) = \prod\nolimits_{f(\overline{x}) = \overline{y}} \overline{x}_*A\)이다.

증명

『에탈 코호몰로지 심화』의 보조정리 0F59의 대응하는 명제에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 합성 가능한 스킴의 국소 준유한 사상이라 하자. 그러면 \(g_! \circ f_! = (g \circ f)_!\)이고 \(f^! \circ g^! = (g \circ f)^!\)이다.

증명

『에탈 코호몰로지 심화』의 보조정리 0F6T과 0F5B을 결합하면 된다.

미분 등급 대수

보조정리

\((A, \text{d})\)와 \((B, \text{d})\)를 미분 등급 대수라 하자. \(N\)을 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \((A, B)\)-쌍가군이라 하고, \(M\)을 성질 (P)를 갖는 미분 등급 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \(Q = M \otimes_A N\)은 \(D(B)\)에서 \(M \otimes_A^\mathbf{L} N\)을 나타내는 미분 등급 \(B\)-가군이고, 미분 등급 부분가군들에 의한 여과 \[0 = F_{-1}Q \subset F_0Q \subset F_1Q \subset \ldots \subset Q\] 를 갖는다. 여기서 \(Q = \bigcup F_pQ\)이고, 포함사상 \(F_iQ \to F_{i + 1}Q\)는 허용 가능한 단사이며, 몫 \(F_{i + 1}Q/F_iQ\)는 미분 등급 \(B\)-가군으로서 \((A \otimes_R B)[k]\)들의 직합과 동형이다.

증명

\(M\)과 \(N\) 위의 여과 \(F_\bullet\)을 택한다. 다음 식으로 주어지는 \(Q = M \otimes_A N\) 위의 여과를 생각하자. \[F_n(Q) = \sum\nolimits_{i + j = n} F_i(M) \otimes_A F_j(N)\] 이는 명백히 미분 등급 \(B\)-부분가군이다. 예를 들어 \(M\)의 여과가 등급 \(A\)-가군의 범주에서 분할되므로 \[F_n(Q)/F_{n - 1}(Q) = \bigoplus\nolimits_{i + j = n} F_i(M)/F_{i - 1}(M) \otimes_A F_j(N)/F_{j - 1}(N)\] 임을 알 수 있다. 가정에 의해 오른쪽의 몫들은 각각 \(A\) 및 \(A \otimes_R B\)의 옮김들의 직합과 동형이고, \(A \otimes_A (A \otimes_R B) = A \otimes_R B\)이므로, 왼쪽은 미분 등급 \(B\)-가군으로서 \(A \otimes_R B\)의 옮김들의 직합이다. (주의: \(Q\)에는 \((A, B)\)-쌍가군 구조가 없다.) 이로써 보조정리의 첫 번째 명제가 증명된다. 두 번째 명제는 『미분 등급 대수』의 보조정리 09LS에서 함자를 정의한 방식으로부터 즉시 따른다.

단체적 방법

보조정리

『단체적 방법』의 보조정리 01A6과 같은 가정과 표기법을 사용하자. 사상 \(f\)의 단면 \(g : U \to V\)가 존재하고, 합성 \(g \circ f\)는 \(V\) 위의 항등사상과 호모토피 동치이다. 특히 사상 \(f\)는 호모토피 동치이다.

증명

『단체적 방법』의 보조정리 01A6과 08NS에서 즉시 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 유한 쌍대곱과 유한 극한을 갖는 범주라 하자. \(X\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고 \(k \geq 0\)이라 하자. 표준 사상 \[\Hom(\Delta[k], X) \longrightarrow \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)\] 은 동형이다.

증명

임의의 단체적 대상 \(V\)에 대해 \[\begin{eqnarray*} \Mor(V, \text{cosk}_1 \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) & = & \Mor(\text{sk}_1 V, \text{sk}_1 \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V, \Hom(\Delta[k], X)) \\ & = & \Mor(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k], X) \end{eqnarray*}\] 이다. 첫 번째 등식은 \(\text{sk}\)와 \(\text{cosk}\)의 수반성에서, 두 번째 등식은 \(i_{1!}\)와 \(\text{sk}_1\)의 수반성에서, 첫 번째 등식은 『단체적 방법』의 정의 017I에서 따른다. 마지막의 \(X\)는 값이 \(X\)인 상수 단체적 대상을 뜻한다. 『단체적 방법』의 보조정리 018H에 의해 이 집합의 원소는 \(i_{1!} \text{sk}_1 V \times \Delta[k]\)의 차수 \(0\)과 \(1\)인 항들에만 의존한다. 이 항들은 \(V \times \Delta[k]\)의 차수 \(0\)과 \(1\)인 항들과 일치한다. 『단체적 방법』의 보조정리 018N을 보라. 따라서 위 집합은 \(\Mor(V \times \Delta[k], X) = \Mor(V, \Hom(\Delta[k], X))\)와 같다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(X\)를 자기 곱 \(X \times \ldots \times X\)가 존재하는 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(k \geq 0\)이라 하고, \(C[k]\)를 『단체적 방법』의 예 0B13에 나오는 것으로 하자. 『단체적 방법』의 보조정리 017M의 표기법을 사용하면, 표준 사상 \[\Hom(C[k], X)_1 \longrightarrow (\text{cosk}_0 \text{sk}_0 \Hom(C[k], X))_1\] 은 사상 \[\prod\nolimits_{\alpha : [k] \to [1]} X \longrightarrow X \times X\] 과 동일시된다. 이 사상은 \(\alpha\)가 상수 사상인 인자들로의 사영이다.

증명

이는 『초피복』의 보조정리 01GJ의 증명에 나와 있다.

스킴에 관한 결과

불필요해 보이는 보조정리들이다.

보조정리

\((R, \mathfrak m, \kappa)\)를 국소환이라 하자. \(X \subset \mathbf{P}^n_R\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라고 가정하자. 그러면 특수 올 \(X_k\)는 기하학적으로 연결이다.

증명

이는 『사상 심화』의 정리 03H2의 특수한 경우이다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(Z_0 \subset X\)를 일반점 \(\xi\)를 갖는 기약 닫힌 부분집합이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위의 연접층의 성질이라 하고 다음을 가정하자.

1. 연접층의 임의의 짧은 완전열에서 세 층 가운데 두 층이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 나머지 층도 이 성질을 갖는다.

2. 연접층의 직합이 \(\mathcal{P}\)를 가지면 두 직합인자 모두 그 성질을 갖는다.

3. 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset Z_0 \subset X\), \(Z \not = Z_0\)와 모든 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Z\)에 대해 \((Z \to X)_*\mathcal{I}\)가 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

4. 다음을 만족하는 \(X\) 위의 어떤 연접층 \(\mathcal{G}\)가 존재한다.

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z_0\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\)는 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸하고,

   3. \(\mathcal{G}\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

그러면 지지가 \(Z_0\)에 포함되는 \(X\) 위의 모든 연접층 \(\mathcal{F}\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

증명

증명은 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 01YH의 증명을 변형한 것이다. 그 증명과 정확히 같은 방식으로, 지지가 \(Z_0\)에 진부분집합으로 포함되는 모든 연접층이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 알 수 있다.

(3)에 나오는 연접층 \(\mathcal{G}\)를 생각하자. 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 01YE에 의해 \(Z_0\) 위의 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)와 짧은 완전열 \[0 \to \left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r} \to \mathcal{G} \to \mathcal{Q} \to 0\] 이 존재한다. 여기서 \(\mathcal{Q}\)의 지지는 \(Z_0\)에 진부분집합으로 포함된다. 특히 \(\mathcal{G}\)의 지지가 \(Z\)와 같으므로 \(r > 0\)이고 \(\mathcal{I}\)는 영이 아니다. \(\mathcal{Q}\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지므로 \(\left((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\right)^{\oplus r}\)도 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다. (2)에 의해 \((Z_0 \to X)_*\mathcal{I}\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가짐을 얻는다. 이를 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 01YH의 증명 중 적절한 지점에 대입하면 보조정리가 따라 나온다. 몇몇 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{P}\)를 \(X\) 위의 연접층의 성질이라 하고 다음을 가정하자.

1. 연접층의 임의의 짧은 완전열에서 세 층 가운데 두 층이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 나머지 층도 이 성질을 갖는다.

2. 연접층의 직합이 \(\mathcal{P}\)를 가지면 두 직합인자 모두 그 성질을 갖는다.

3. 일반점 \(\xi\)를 갖는 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)에 대해 다음을 만족하는 어떤 연접층 \(\mathcal{G}\)가 존재한다.

   1. \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\),

   2. \(\mathcal{G}_\xi\)는 \(\mathfrak m_\xi\)에 의해 소멸하고,

   3. \(\mathcal{G}\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

그러면 \(X\) 위의 모든 연접층은 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는다.

증명

이 명제는 보조정리 01YJ에서 따른다. 그 방식은 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 01YI가 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 01YH에서 따라 나오는 방식과 정확히 같다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 절단이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이고,

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이며,

3. \(\mathcal{F}'|_{X_s} = \mathcal{F}|_{X_s}\)이다.

그러면 \(\mathcal{F}\) 위에서 \(s^n\)을 곱하는 사상이 \(\mathcal{F}'\)을 통해 분해되게 하는 \(n \geq 0\)이 존재한다.

증명

달리 말하면, 어떤 \(n \geq 0\)에 대해 \(s^n\mathcal{F} \subset \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes n}\)이라고 주장하는 것이다. 다시 말해 몫사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}/\mathcal{F}'\)에 \(s\)의 어떤 거듭제곱을 곱하면 영이 된다고 주장한다. 이는 『스킴의 성질』의 보조정리 01XQ에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)와 \(Y\)는 정수적 스킴이고,

2. \(f\)는 국소 유한형이고 우세하며,

3. \(f\)는 준콤팩트이거나 분리이고,

4. \(f\)는 일반점에서 유한이다. 즉, 『스킴의 사상』의 보조정리 02NX의 (1)–(5) 가운데 하나가 성립한다.

그러면 \(f^{-1}(V) \to V\)가 차수 \(\deg(X/Y)\)인 유한 국소 자유 사상이 되게 하는 공집합이 아닌 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다. 특히 \(f^{-1}(V) \to V\)의 올들의 차수는 \(\deg(X/Y)\)로 유계이다.

증명

\(f^{-1}(V) \to V\)가 유한이 되도록 \(V\)를 택할 수 있다. 그런 다음 일반 평탄성(『스킴의 사상』의 명제 052A)에 의해 \(V\)를 줄여 \(f^{-1}(V) \to V\)가 평탄하고 유한 표시라고 가정할 수 있다. 그러면 『스킴의 사상』의 보조정리 02KB에 의해 이 사상은 유한 국소 자유이다. \(V\)가 기약이므로 이 사상은 고정된 차수를 갖는다. 마지막 명제는 이 사실과 『스킴의 사상』의 보조정리 0CC2에서 따른다.

다양체의 유도 범주

원래 다양체의 유도 범주 장에 속했으나 이제는 필요하지 않은 몇몇 보조정리이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 정칙인 분리 유한형 스킴이라 하자. \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 \(k\)-선형 완전 함자라 하자. 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)로서 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) = 0\)인 것에 대해, \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 \(M\)에 관해 함자적인 \(k\)-벡터 공간의 동형 \[\Hom_X(\mathcal{F}, M) = \Hom_X(\mathcal{F}, F(M))\] 이 있다고 가정하자. 그러면 밑바탕 위상 공간 위에서 항등사상을 유도하는 \(k\) 위의 자기동형 \(f : X \to X\) ¹와 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 존재하여, \(F\)와 \(F'(M) = f^*M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{L}\)은 서로 형제이다.

증명

『다양체의 유도 범주』의 보조정리 0G02에 의해, 지지가 닫힌 점인 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(M\)에 관해 함자적인 동형 \[H^0(X, M \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) = H^0(X, F(M) \otimes^\mathbf{L}_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F})\] 이 있음을 얻는다.

\(x \in X\)를 닫힌 점이라 하고, \(x\)에서 값이 \(\kappa(x)\)인 마천루층 \(\mathcal{F} = \mathcal{O}_x\)에 위 사실을 적용하자. 모든 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(M_x, \kappa(x)) = \dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_p(F(M)_x, \kappa(x))\] 을 얻는다. 특히 \(i > 0\)에 대해 \(H^i(M) = 0\)이면, 『다양체의 유도 범주』의 보조정리 0G03에 의해 \(i > 0\)에 대해 \(H^i(F(M)) = 0\)이다.

\(\mathcal{E}\)가 계수 \(r\)인 국소 자유 가군이면 \(F(\mathcal{E})\)도 계수 \(r\)인 국소 자유 가군이다. 실제로 다음을 만족하는 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 위의 완전 복합체 \(K\)는 차수 \(0\)에 놓인 계수 \(r\)인 자유 가군과 같다. \[\dim_{\kappa(x)} \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_i(K, \kappa(x)) = \left\{ \begin{matrix} r & \text{조건} & i = 0 \\ 0 & \text{조건} & i \not = 0 \end{matrix} \right.\] 예를 들어 『대수학 심화』의 보조정리 0BCD를 보라.

\(M\)이 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\) 위에 지지되면 \(F(M)\)도 \(Z\) 위에 지지된다. 실제로 \(x \not \in Z\)이면 \(M \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} \mathcal{O}_x = 0\)이고, 따라서 \(F(M)\)에 대해서도 같으므로 『다양체의 유도 범주』의 보조정리 0G03에서 결론을 얻는다.

특히 \(F(\mathcal{O}_x)\)는 \(\{x\}\)에 지지된다. \(H^i(\mathcal{O}_x) \not = 0\)인 최소 정수를 \(i \in \mathbf{Z}\)라 하자. \(i \leq 0\)임을 안다. \(i < 0\)이면 사상 \(\mathcal{O}_x[-i] \to F(\mathcal{O}_x)\)가 존재하는데, 이는 모든 사상 \(\mathcal{O}_x[-i] \to \mathcal{O}_x\)가 영이라는 사실과 모순이다. 따라서 \(F(\mathcal{O}_x) = \mathcal{H}[0]\)이고, 여기서 \(\mathcal{H}\)는 \(x\)의 마천루층이다.

\(\mathcal{G}\)를 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{G})) = 0\)인 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 여과 \[0 = \mathcal{G}_0 \subset \mathcal{G}_1 \subset \ldots \subset \mathcal{G}_n = \mathcal{G}\] 가 존재하여, \(n \geq i \geq 1\)에 대해 몫 \(\mathcal{G}_i/\mathcal{G}_{i - 1}\)은 어떤 닫힌 점 \(x_i \in X\)에 대한 \(\mathcal{O}_{x_i}\)와 동형이다. 따라서 구별 삼각형 \[F(\mathcal{G}_{i - 1}) \to F(\mathcal{G}_i) \to F(\mathcal{O}_{x_i})\] 을 얻고, 귀납법으로 \(F(\mathcal{G}_i)\)가 차수 \(0\)에 놓인 연접층임을 알 수 있다.

\(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(i > 0\)에 대해 \(H^i(F(\mathcal{G})) = 0\)임을 안다. 모순을 얻기 위해 어떤 \(i < 0\)에 대해 \(H^i(F(\mathcal{G}))\)가 영이 아니라고 가정하자. 이 성질을 갖는 최소 \(i\)를 택하면 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에서 사상 \(H^i(F(\mathcal{G}))[-i] \to F(\mathcal{G})\)를 얻는다. \(H^i(F(\mathcal{G}))\)의 지지에 속하는 닫힌 점 \(x \in X\)를 택한다. 『대수학 심화』의 보조정리 0EGV에 의해 다음 사상이 영이 아니게 하는 \(n > 0\)이 존재한다. \[H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] 다음으로 \(m \geq 1\)을 택하고 짧은 완전열 \[0 \to \mathfrak m_x^m \mathcal{G} \to \mathcal{G} \to \mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G} \to 0\] 을 생각한다. 위에서 \(F(\mathcal{G}/\mathfrak m_x^m\mathcal{G})\)가 차수 \(0\)에 놓인 층임을 보았다. 따라서 \(H^i(F(\mathfrak m_x^m \mathcal{G})) \to H^i(F(\mathcal{G}))\)는 동형이다. 다음 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ H^i(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] \ar[d] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathfrak m_x^m\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \ar[d] \\ H^i(F(\mathcal{G}))_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \ar[r] & \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(F(\mathcal{G})_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) }\] 왼쪽 수직 화살표는 동형이고 아래 화살표는 영이 아니므로, 모든 \(m \geq 1\)에 대해 오른쪽 수직 화살표는 영이 아니다. 한편 증명의 첫 문단에 의해 이 화살표는 다음 화살표와 동형임을 안다. \[\text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathfrak m_x^m\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n) \longrightarrow \text{Tor}^{\mathcal{O}_{X, x}}_{-i}(\mathcal{G}_x, \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n)\] 그러나 『대수학 심화』의 보조정리 0FXN에 의해 \(m \gg n\)이면 이 화살표는 영이다. 이것이 원하던 모순이다.

따라서 \(F\)가 연접 가군을 보존함을 안다. 『다양체의 유도 범주』의 보조정리 0G00에 의해, \(F\)는 다음과 같은 연접 \(\mathcal{O}_{X \times X}\)-가군 \(\mathcal{K}\)가 주는 Fourier–Mukai 함자 \(F'\)과 형제이다. 이 가군은 \(\text{pr}_1\)을 통해 \(X\) 위에서 평탄하고 \(\text{pr}_2\)를 통해 \(X\) 위에서 유한이다. \(F(\mathcal{O}_X)\)가 차수 \(0\)에 놓인 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)이므로 \[\mathcal{L} \cong F(\mathcal{O}_X) \cong F'(\mathcal{O}_X) \cong \text{pr}_{2, *}\mathcal{K}\] 이다. 그러므로 『함자와 사상』의 보조정리 0FZP에 의해 \(\text{pr}_2 \circ s = \text{id}_X\)이고 \(\mathcal{K} = s_*\mathcal{L}\)인 사상 \(s : X \to X \times X\)가 존재한다. \(f = \text{pr}_1 \circ s\)로 놓는다. 그러면 \[\begin{align*} F'(M) & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*K \otimes \mathcal{K}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(L\text{pr}_1^*M \otimes s_*\mathcal{L}) \\ & = R\text{pr}_{2, *}(Rs_*(Lf^*M \otimes \mathcal{L})) \\ & = Lf^*M \otimes \mathcal{L} \end{align*}\] 이다. 세 번째 단계에서 『스킴의 유도 범주』의 보조정리 08EU를 사용했다. 모든 닫힌 점 \(x \in X\)에 대해 가군 \(F(\mathcal{O}_x)\)가 \(x\)에 지지되므로, \(f\)는 \(X\)의 밑바탕 위상 공간 위에서 항등사상을 유도한다. 이제 \(f\)가 동형임을 보여야 하며, 다음 문단에서 이를 하겠다.

\(x \in X\)를 닫힌 점이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \(x\)에서 값이 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\)인 마천루층을 \(\mathcal{O}_{x, n}\)으로 나타내자. \(\mathcal{O}_{x, n}\) 사이의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 준동형에 관해 함자적인 동형 \[\Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n}) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, F(\mathcal{O}_{x, n})) \cong \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, f^*\mathcal{O}_{x, n} \otimes \mathcal{L})\] 이 있다. (첫 번째 동형은 가정에 의해 존재하고, 두 번째 동형은 \(F\)와 \(F'\)이 형제이기 때문에 존재한다.) \(m \geq n\)이면 \(\mathcal{O}_{x, n}\) 위의 작용을 통해 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m^n = \Hom_X(\mathcal{O}_{x, m}, \mathcal{O}_{x, n})\)이므로, 모든 \(n\)에 대해 \(f^\sharp : \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n \to \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_x^n\)이 전단사임을 얻는다. 따라서 \(f\)는 닫힌 점에서의 완비 국소환들 사이의 동형을 유도하고, 그러므로 에탈이다(『에탈 사상』의 보조정리 039M). 닫힌 점들을 살펴보면 \(\Delta_f : X \to X \times_{f, X, f} X\)는 (\(f\)가 에탈이므로 열린 몰입이고) 전단사이므로 동형이다. 따라서 \(f\)는 단사 사상이다. 마지막으로 『내림』의 보조정리 06NC가 이 사상이 열린 몰입임을 말해 주므로, \(f\)는 동형이라고 결론짓는다.

정칙 고유 경우의 표현가능성

『다양체의 유도 범주』의 정리 0FYH를 개선하여 체 위의 모든 고유 스킴에 적용되게 했으므로 이 절은 폐기되었다(이전에는 체 위의 사영 스킴에 대해서만 증명했다).

보조정리

\(f : X' \to X\)를 정수적 뇌터 스킴의 고유 쌍유리 사상이라 하고 \(X\)가 정칙이라고 하자. 사상 \(\mathcal{O}_X \to Rf_*\mathcal{O}_{X'}\)은 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 표준적으로 분할된다.

증명

\(D(\mathcal{O}_X)\)에서 \(E = Rf_*\mathcal{O}_{X'}\)로 놓는다. 『스킴의 유도 범주』의 보조정리 08E2에 의해 \(E\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속함에 유의하자. 『스킴의 유도 범주』의 보조정리 0FDC에 의해 \(E\)는 \(D(\mathcal{O}_X)\)의 완전 대상이다. \(\mathcal{O}_{X'}\)가 대수의 층이므로 『코호몰로지』의 주석 0B68에 의해 상대 컵곱 \(\mu : E \otimes_{\mathcal{O}_X}^\mathbf{L} E \to E\)가 있다. \(\sigma : E \otimes E^\vee \to E^\vee \otimes E\)를 대칭 모노이드 범주 \(D(\mathcal{O}_X)\) 위의 가환성 제약이라 하자 (『코호몰로지』의 보조정리 0FPB). \(\eta : \mathcal{O}_X \to E \otimes E^\vee\)와 \(\epsilon : E^\vee \otimes E \to \mathcal{O}_X\)를 『코호몰로지』의 예 0FPC에서 구성한 사상들이라 하자. 그러면 다음 사상을 생각할 수 있다. \[E \xrightarrow{\eta \otimes 1} E \otimes E^\vee \otimes E \xrightarrow{\sigma \otimes 1} E^\vee \otimes E \otimes E \xrightarrow{1 \otimes \mu} E^\vee \otimes E \xrightarrow{\epsilon} \mathcal{O}_X\] 이 사상이 보조정리의 사상의 한쪽 역이라고 주장한다. 이를 보이려면 합성 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\)가 항등사상임을 보이면 충분하다. 이는 \(X\)의 일반점에서(또는 \(f\)가 동형인 \(X\)의 열린 부분스킴 위에서) 확인해도 된다. 이 경우 \(E = \mathcal{O}_X\)이고 \(\mu\)는 보통의 곱셈 사상이므로 결과가 명백하다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 정칙 고유 스킴이라 하고 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(K \in D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X) = D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)이고,

2. \(D(\mathcal{O}_X)\)의 모든 완전 대상 \(E\)에 대해 \(\sum_{i \in \mathbf{Z}} \dim_k \Ext^i_X(E, K) < \infty\)이다.

증명

(1)의 등식은 『스킴의 유도 범주』의 보조정리 0FDC에 의해 성립한다. (1) \(\Rightarrow\) (2)는 『다양체의 유도 범주』의 보조정리 0FYC에서 따른다. (2) \(\Rightarrow\) (1)는 『사상 심화』의 보조정리 0GET에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 정칙 고유 스킴이라 하자.

1. \(F : D_{perf}(\mathcal{O}_X)^{opp} \to \text{Vect}_k\)를 모든 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k F(E[n]) < \infty\] 를 만족하는 \(k\)-선형 코호몰로지적 함자라 하자. 그러면 \(F\)는 어떤 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대한 함자 \(E \mapsto \Hom_X(E, K)\)와 동형이다.

2. \(G : D_{perf}(\mathcal{O}_X) \to \text{Vect}_k\)를 모든 \(E \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \[\sum\nolimits_{n \in \mathbf{Z}} \dim_k G(E[n]) < \infty\] 를 만족하는 \(k\)-선형 호몰로지적 함자라 하자. 그러면 \(G\)는 어떤 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)에 대한 함자 \(E \mapsto \Hom_X(K, E)\)와 동형이다.

증명

이는 『다양체의 유도 범주』의 정리 0FYH와 보조정리 0H4A에서 따른다. 아래에 다른 증명도 제시한다.

(1)의 증명. 유도 범주 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)는 직합을 가지며, 콤팩트 생성되고, \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)는 콤팩트 대상들의 충만한 부분범주이다. 『스킴의 유도 범주』의 보조정리 08DT, 정리 09IS, 명제 09M1를 보라. 『다양체의 유도 범주』의 보조정리 0FYG에 의해 어떤 \(K \in \Ob(D_\QCoh(\mathcal{O}_X))\)에 대해 \(F(E) = \Hom_X(E, K)\)라고 가정할 수 있다. 그러면 보조정리 0FYK에 의해 \(K\)는 \(D^b_{\textit{Coh}}(\mathcal{O}_X)\)에 속한다.

(2)의 증명. \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\) 위의 반변 함자 \(E \mapsto E^\vee\)를 생각하자. 『코호몰로지』의 보조정리 08DQ를 보라. 이 함자는 \(D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)의 완전 반자기동치이다. 따라서 함자 \(F(E) = G(E^\vee)\)에 (1)을 적용하면 \(G(E^\vee) = \Hom_X(E, K)\)인 \(K \in D_{perf}(\mathcal{O}_X)\)를 얻는다. 그러면 \(G(E) = \Hom_X(E^\vee, K) = \Hom_X(K^\vee, E)\)이므로 \(K^\vee\)를 택하면 된다.

몫의 함자

보조정리

\(S = \Spec(R)\)을 아핀 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(q_i : \mathcal{F} \to \mathcal{Q}_i\), \(i = 1, 2\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 전사라 하자. \(\mathcal{Q}_1\)이 \(S\) 위에서 평탄하다고 가정하자. \(T \to S\)를 다음 분해가 존재하는 스킴의 준콤팩트 사상이라 하자. \[\xymatrix{ & \mathcal{F}_T \ar[rd]^{q_{2, T}} \ar[ld]_{q_{1, T}} \\ \mathcal{Q}_{1, T} & & \mathcal{Q}_{2, T} \ar@{..>}[ll] }\] 그러면 다음을 만족하는 닫힌 부분스킴 \(Z \subset S\)가 존재한다. (a) \(T \to S\)는 \(Z\)를 통해 분해되고, (b) \(q_{1, Z}\)는 \(q_{2, Z}\)를 통해 분해된다. \(\Ker(q_2)\)가 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 \(X\)가 준콤팩트이면 \(Z \to S\)를 유한 표시로 택할 수 있다.

증명

사상 \(\Ker(q_2) \to \mathcal{Q}_1\)에 『공간 위의 평탄성』의 보조정리 083K를 적용한다.

공간과 fpqc 피복

대수공간이 fpqc 피복에 관한 층 조건을 만족한다는 Gabber의 논증으로 인해 여기의 내용은 폐기되었다. 『공간의 성질』의 절 03W8를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(S\) 위의 스킴의 fpqc 피복이라 하자. 그러면 사상 \[\Mor_S(T, X) \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} \Mor_S(T_i, X)\] 은 단사이다.

증명

『공간의 성질』의 명제 0APL에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X = \bigcup_{j \in J} X_j\)를 Zariski 피복이라 하자. 『공간』의 정의 02YY을 보라. 각 \(X_j\)가 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족하면 \(X\)도 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다.

증명

모든 대수공간이 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족하므로 참이다. 『공간의 성질』의 명제 0APL를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(X\)가 \(S\) 위에서 Zariski 국소적으로 준분리이면, \(X\)는 fpqc 위상에 대한 층 조건을 만족한다.

증명

일반적인 『공간의 성질』의 명제 0APL에서 즉시 따른다.

주

이 주석은 전에는 보조정리 03WB의 원래 증명(2009년 12월 18일)이 어느 정도까지 일반화되는지를 논의했다.

매우 합리적인 대수공간

다소 폐기된 내용이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 합리적인 대수공간이라 하자. 그러면 \(|X|\)는 Kolmogorov 공간이다(『위상 공간』의 정의 004X을 보라).

증명

정의들과 『괜찮은 공간』의 보조정리 03K3에서 따른다.

이 절의 나머지에서는 매우 합리적인 대수공간에 관해 몇 가지 논평을 한다. 스킴 \(U\)와 전사인 에탈 준콤팩트 사상 \(U \to X\)가 존재하면 \(X\)는 매우 합리적이다. 『괜찮은 공간』의 보조정리 03IH를 보라.

보조정리

모든 스킴은 매우 합리적이다.

증명

항등사상이 준콤팩트인 전사 에탈 사상이므로 참이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 각 \(X_i\)가 매우 합리적인 Zariski 열린 피복 \(X = \bigcup X_i\)가 존재하면 \(X\)는 매우 합리적이다.

증명

『괜찮은 공간』의 보조정리 03KE의 경우 \((\epsilon)\)이다.

보조정리

Zariski 국소적으로 준분리인 대수공간은 매우 합리적이다. 특히 모든 준분리 대수공간은 매우 합리적이다.

증명

『괜찮은 공간』의 보조정리 03JX에 나오는 함의 가운데 하나이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(Y \to X\)를 표현가능한 사상이라 하자. \(X\)가 매우 합리적이면 \(Y\)도 매우 합리적이다.

증명

『괜찮은 공간』의 보조정리 03KF의 경우 \((\epsilon)\)이다.

주

매우 합리적인 대수공간들은 Zariski 국소적으로 준분리인 대수공간들보다 엄밀히 더 큰 모임을 이룬다. 고정점 없이 비준분리 스킴 \(U\) 위에 작용하는 유한군 \(G\)에 대해 \(X = [U/G]\) 꼴의 대수공간을 생각하자 (『공간』의 정의 02Z3을 보라). 실제로 이 경우 \(U \times_X U = U \times G\)이고 \(U\)로 가는 두 사영은 명백히 준콤팩트이므로 \(X\)는 매우 합리적이다. 한편 대각사상 \(U \times_X U \to U \times U\)는 준콤팩트가 아니므로 이 대수공간은 준분리가 아니다. 이제 표수가 \(\not = 2\)인 체 \(k\) 위의 무한 차원 아핀 공간에서 영점을 둘로 만든 공간을 \(U\)로 택하자. 『스킴』의 예 01KL를 보라. \(0_1, 0_2\)를 \(U\)의 두 영점이라 하자. \(G = \{+1, -1\}\)로 놓고, \(-1\)이 모든 좌표에는 \(-1\)로 작용하며 \(0_1\)과 \(0_2\)를 맞바꾸게 하자. 그러면 \([U/G]\)는 매우 합리적이지만 Zariski 국소적으로 준분리이지는 않다 (세부 사항은 생략한다).

경고: 다음 보조정리는 주의해서 사용해야 한다. 여기에 나오는 스킴 \(U_i\)들은 반드시 분리이거나 심지어 준분리일 필요도 없다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 매우 합리적인 대수공간이라 하자. 다음을 만족하는 스킴들의 집합 \(U_i\)와 사상 \(U_i \to X\)가 존재한다.

1. 각 \(U_i\)는 준콤팩트 스킴이고,

2. 각 \(U_i \to X\)는 에탈이며,

3. 두 사영 \(U_i \times_X U_i \to U_i\)는 모두 준콤팩트이고,

4. 사상 \(\coprod U_i \to X\)는 전사이다(그리고 에탈이다).

증명

『괜찮은 공간』의 정의 03I8는 (2), (3), (4)를 만족하는 \(U_i \to X\)가 존재한다고 말한다. \(i\)를 고정하고 \(R_i = U_i \times_X U_i\)로 놓으며 사영들을 \(s, t : R_i \to U_i\)로 나타내자. 임의의 아핀 열린집합 \(W \subset U_i\)에 대해 열린집합 \(W' = t(s^{-1}(W)) \subset U_i\)는 준콤팩트이고 \(R_i\)-불변이다(『군체』의 보조정리 03LO를 보라). 따라서 \(W'\)은 준콤팩트 스킴이고 \(W' \to X\)는 에탈이며, \(W' \times_X W' = s^{-1}(W') = t^{-1}(W')\)이므로 두 사영 \(W' \times_X W' \to W'\)은 준콤팩트이다. 즉, \(W \subset U_i\)가 \(U_i\)의 아핀 열린 피복들의 원소들을 달릴 때 얻는 \(W' \to X\)의 족이 원하는 것을 준다.

대수공간에 관한 폐기된 보조정리

불필요해 보이거나 본문에서 더 이상 쓰이지 않는 보조정리들이다.

보조정리

『공간의 코호몰로지』의 상황 07UY에서 사상 \(p : X \to \Spec(A)\)는 전사이다.

증명

이 보조정리는 원래 『공간의 코호몰로지』의 명제 07V6의 증명에 사용되었으나, 이제는 그 명제의 결과이다.

보조정리

『공간의 코호몰로지』의 상황 07UY에서 사상 \(p : X \to \Spec(A)\)는 보편적으로 닫혀 있다.

증명

이 보조정리는 원래 『공간의 코호몰로지』의 명제 07V6의 증명에 사용되었으나, 이제는 그 명제의 결과이다.

주

이 태그는 전에는 『형식 공간』의 보조정리 0AKT의 증명에 있는 한 등식을 가리켰다.

주

이 태그는 전에는 『형식 공간』의 보조정리 0AKT의 증명에 있는 한 등식을 가리켰다.

대수적 스택에 관한 폐기된 보조정리

불필요해 보이거나 본문에서 더 이상 쓰이지 않는 보조정리들이다.

보조정리

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{X}\)를 (RS*)를 갖는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 군체로 올화된 범주라 하자. \(x\)를 \(S\) 위에서 유한형인 아핀 스킴 \(U\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 대상이라 하자. \(u_n \in U\), \(n \geq 1\)을 서로 다르고 유한형인 점들이라 하고, 모든 \(n\)에 대해 \(x\)가 \(u_n\)에서 버설이 아니라고 하자. \(u_n\)을 부분열로 바꾼 뒤, \(S\) 위에서 \[x \to x_1 \to x_2 \to \ldots \quad\text{범주 }\mathcal{X}\text{ 안에서 다음 열 위에 놓인}\quad U \to U_1 \to U_2 \to \ldots\] 인 사상들이 존재하여 다음을 만족한다.

1. 각 \(n\)에 대해 사상 \(U \to U_n\)은 일차 비후이고,

2. 각 \(n\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to \kappa(u_n) \to \mathcal{O}_{U_n} \to \mathcal{O}_{U_{n - 1}} \to 0\] 이 있으며 \(n = 1\)일 때 \(U_0 = U\)이고,

3. 각 \(n\)에 대해 \(u_n\)의 열린 근방 \(W \subset U_n\)과 사상 \(\alpha : x_n|_W \to x\)로 이루어진 쌍 \((W, \alpha)\) 가운데, 합성 \[x|_{U \cap W} \xrightarrow{\text{사상의 제한 }x \to x_n} x_n|_W \xrightarrow{\alpha} x\] 이 표준 사상 \(x|_{U \cap W} \to x\)가 되는 것은 존재하지 않는다.

증명

이 보조정리는 원래 버설성의 개방성 판정법 (『Artin의 공리』의 보조정리 0CXU)의 증명에 사용되었으나, 『Artin의 공리』의 보조정리 0G2S로 대체되었고 여기서 쉽게 따른다. 실제로 \(u_n\), \(n \geq 1\)을 부분열로 바꾼 뒤 이 점들 사이에는 특수화가 없다고 가정할 수 있고 그렇게 한다. 『스킴의 성질』의 보조정리 0CXG를 보라. 이제 『Artin의 공리』의 보조정리 0G2S를 적용하면 증명이 끝난다.

스킴의 여접 복합체의 변형

이 절에서는 스킴의 사상의 여접 복합체를 구성하는 다른 방법을 제시한다. 응용에는 『여접 복합체』의 절 08V7에서 논의한 더 쉬운 판으로 충분하므로, 이 절은 현재 폐기된 결과 장에 들어 있다.

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{C}_{X/Y}\)를 다음과 같은 스킴의 가환 도표를 대상으로 갖는 범주라 하자. [08T6]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \ar[r]_i & A \ar[ld] \\ Y & V \ar[l] } } \end{equation}\] 여기서

1. \(U\)는 \(X\)의 열린 부분스킴이고,

2. \(V\)는 \(Y\)의 열린 부분스킴이며,

3. \(P\)가 \(\mathbf{Z}\) 위의 (어떤 변수 집합에 대한) 다항식 대수일 때 \(V\) 위의 동형 \(A = V \times \Spec(P)\)가 존재한다.

즉, \(A\)는 \(V\) 위의 (무한 차원) 아핀 공간이다. 사상은 가환 도표로 주어진다.

표기법. \(\mathcal{C}_{X/Y}\)의 대상, 즉 도표 (08T6)는 흔히 \(U \to A\)로 나타낸다. 이때 다음을 암묵적으로 이해한다. (a) \(U\)는 \(X\)의 열린 부분스킴이고, (b) \(U \to A\)는 \(Y\) 위의 사상이며, (c) 구조 사상 \(A \to Y\)의 상은 열린집합 \(V \subset Y\)이고, (d) \(A \to V\)는 아핀 공간이다. \(V \subset Y\)가 \(A \to Y\)의 상임을 나타내기 위해 \(U \to A/V\)라고 쓰겠다. \(X_{Zar}\)가 \(X\)의 작은 Zariski 사이트를 나타냄을 상기하자. 망각 함자 \[\mathcal{C}_{X/Y} \to X_{Zar},\ (U \to A) \mapsto U \quad\text{및}\quad \mathcal{C}_{X/Y} \mapsto Y_{Zar},\ (U \to A/V) \mapsto V.\] 가 있다.

보조정리

\(X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자.

1. 범주 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)는 \(X_{Zar}\) 위에 올화되어 있다.

2. 범주 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)는 \(Y_{Zar}\) 위에 올화되어 있다.

3. 범주 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)는 \(U \subset X\), \(V \subset Y\)가 열린집합이고 \(f(U) \subset V\)인 쌍 \((U, V)\)들의 범주 위에 올화되어 있다.

증명

(1)에 대하여. \(\mathcal{C}_{X/Y}\)의 대상 \(U \to A\)와 \(X_{Zar}\)의 사상 \(U' \to U\)가 주어졌다고 하자. \(i'\)을 \(i\)와 \(U' \to U\)의 합성으로 두어 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)의 대상 \(i' : U' \to A\)를 생각한다. \(\mathcal{C}_{X/Y}\)의 사상 \((U' \to A) \to (U \to A)\)는 \(X_{Zar}\) 위에서 강한 Cartesian이다.

(2)에 대하여. 대상 \(U \to A/V\)와 \(V' \to V\)가 주어졌을 때 \(U' = U \cap f^{-1}(V')\), \(A' = V' \times_V A\)로 놓으면, \(V' \to V\) 위의 강한 Cartesian 사상 \((U' \to A') \to (U \to A)\)를 얻는다.

(3)에 대하여. (3)의 범주를 \((X/Y)_{Zar}\)로 나타내자. \(U \to A/V\)와 \((X/Y)_{Zar}\)의 사상 \((U', V') \to (U, V)\)가 주어졌을 때 \(A' = V' \times_V A\)를 생각할 수 있다. 그러면 사상 \((U' \to A'/V') \to (U \to A/V)\)는 \((X/Y)_{Zar}\) 위에서 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)의 강한 Cartesian 사상이다.

\(X_{Zar}\)에서 물려받은 위상을 사용하여 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 위의 위상 \(\tau_X\)를 얻는다(『스택』의 절 06NT를 보라). 달리 명시하지 않는 한 이것이 우리가 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 위에서 고려하는 위상이다. 정확히 말해, 사상들의 족 \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\)가 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)의 피복일 필요충분조건은 다음과 같다.

1. \(U = \bigcup U_i\)이고,

2. 모든 \(i\)에 대해 \(A_i = A\)이다.

(2)에서 \(A_i \cong A\)를 허용해도 같은 층들의 모임을 얻는다. 함자 \(u\)는 토포스의 사상 \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \to \Sh(X_{Zar})\)를 정의한다.

사이트 \(\mathcal{C}_{X/Y}\)에는 다음과 같은 여러 환의 층이 있다.

1. 규칙 \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(A)\)로 주어지는 층 \(\mathcal{O}\).

2. 규칙 \((U \to A) \mapsto \mathcal{O}(U)\)로 주어지는 층 \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\).

3. 규칙 \((U \to A/V) \mapsto \mathcal{O}(V)\)로 주어지는 층 \(\underline{\mathcal{O}}_Y\).

환 달린 토포스의 사상 [08T8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] 을 얻는다. 사상 \(i\)는 밑바탕 토포스 위에서 항등이고, \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\)는 명백한 사상이다. 사상 \(\pi\)는 『사이트 위의 코호몰로지』의 상황 08P8의 특수한 경우이다. 다음에서는 유도 함자 \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\), \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\)의 왼쪽 수반과, \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\), \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\)의 왼쪽 수반이 중요한 역할을 한다.

주

\(Y_{Zar}\)에서 물려받은 위상을 택하여 \(\mathcal{C}_{X/Y}\) 위의 두 번째 위상 \(\tau_Y\)를 얻는다. 사상들의 족 \(\{(U_i \to A_i) \to (U \to A)\}\)가 피복일 필요충분조건이 \(U = \bigcup U_i\), \(V = \bigcup V_i\), 그리고 \(A_i \cong V_i \times_V A\)인 세 번째 위상 \(\tau_{X \to Y}\)도 있다. 이는 보조정리 08T7의 (3)에 나오는 쌍 \((U, V)\)들의 범주를 밑바탕 범주로 하는 사이트 \((X/Y)_{Zar}\)의 위상에서 물려받은 위상이다. \((X/Y)_{Zar}\)의 피복들은 \(U = \bigcup U_i\)와 \(V = \bigcup V_i\)를 만족하는 족 \(\{(U_i, V_i) \to (U, V)\}\)이다. 토포스의 사상 \[\xymatrix{ \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) = \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_X) & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) }\] 이 있다(\(\tau_X\)가 우리의 “기본” 위상임을 상기하자). 이 화살표들의 당김뒤 함자는 층화이고, 밂앞은 밑바탕 준층 위에서 항등이다. 토포스의 도표 \[\xymatrix{ \Sh(X_{Zar}) \ar[d]^f & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}) \ar[l]^\pi & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y}) \ar[l] \ar[d] \\ \Sh(Y_{Zar}) & & \Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_Y) \ar[ll] }\] 는 가환하지 않는다. 실제로 \(Y\) 위의 영이 아닌 아벨 층을 \((\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\)로 당기면 영이 아닌 아벨 층이 되지만, 그런 층을 \(X\)로 당기면 영이 되는 예를 분명히 찾을 수 있다. \(Y_{Zar}\) 위의 임의의 준층 \(\mathcal{F}\)는 객체 \((U \to A/V)\)에 집합 \(\mathcal{F}(V)\)를 대응시키는 규칙에 의해 \(\mathcal{C}_{Y/X}\) 위의 층 \(\underline{\mathcal{F}}\)를 준다는 점에 유의하자. \(\mathcal{F}\)가 우연히 층이더라도 일반적으로 \(\underline{\mathcal{F}} = \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\)인 것은 아니다. 이는 위 도표의 비가환성과 관련된다. 실제로 아래 수평 화살표와 오른쪽 수직 화살표를 통해 \(\mathcal{F}\)를 \(\Sh(\mathcal{C}_{X/Y}, \tau_{X \to Y})\)로 당긴 뒤 밂앞한 것으로 \(\underline{\mathcal{F}}\)를 기술할 수 있다. 한 예는 층 \(\underline{\mathcal{O}}_Y\)이다. 그러나 참인 사실은 사상 \(\underline{\mathcal{F}} \to \pi^{-1}f^{-1}\mathcal{F}\)가 있고, (나중에 보겠지만) \(\pi_!\)를 적용하면 이 사상이 동형으로 바뀐다는 것이다.

평탄 가군의 변형과 장애물

이 절에서는 환 \(\Lambda\) 위의 임의의 대수공간 \(X\)에 대한 연접층의 스택의 변형 이론 구성을 개략적으로 설명한다. 『Quot』의 절 08WB에서 논의를 개선했으므로 이 내용은 폐기되었다.

설정은 다음과 같다. 다음이 주어졌다고 가정한다.

1. 환 \(\Lambda\),

2. \(\Lambda\) 위의 대수공간 \(X\),

3. \(\Lambda\)-대수 \(A\)와 \(X_A = X \times_{\Spec(\Lambda)} \Spec(A)\),

4. \(A\) 위에서 평탄한 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_A}\)-가군 \(\mathcal{F}\).

이 상황에서 \[0 \to I \to A' \to A \to 0\] 꼴의 가능한 모든 전사를 생각한다. 여기서 \(A'\)은 핵 \(I\)가 \(A'\)에서 제곱 영 아이디얼인 \(\Lambda\)-대수이다. \(A'\)이 주어지면 \(\Spec(\Lambda)\) 위의 대수공간의 일차 비후 \(X_A \to X_{A'}\)를 얻는다. 각 비후에 대해 \(\mathcal{F}\)를 \(A'\) 위에서 평탄한 \(X_{A'}\) 위의 유한 표시 가군 \(\mathcal{F}'\)으로 올리는 문제를 생각한다. 이 설정에서 『변형 이론』의 보조정리 08VW의 결과들을 재현하고자 한다.

더 정확히 말해, \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\)를 다음 쌍 \((\mathcal{F}', \alpha)\)들의 범주라 하자. \(\mathcal{F}'\)은 \(A'\) 위에서 평탄한 \(X_{A'}\) 위의 유한 표시 가군이고, \(\alpha : \mathcal{F}'|_{X_A} \to \mathcal{F}\)는 동형이다. 사상 \((\mathcal{F}'_1, \alpha_1) \to (\mathcal{F}'_2, \alpha_2)\)는 \(\alpha_1\), \(\alpha_2\)와 호환되는 동형 \(\mathcal{F}'_1 \to \mathcal{F}'_2\)이다. \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\)의 동형류들의 집합을 \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\)로 나타낸다.

\(\mathcal{G}\)를 \(A\) 위에서 평탄한 \(X_\etale\) 위의 \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-가군층이라 하자. \(\mathcal{G}'\)가 \(A'\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A'\)-가군층이고 \(\beta\)가 동형 \(\mathcal{G}' \otimes_{A'} A \to \mathcal{G}\)인 쌍 \((\mathcal{G}', \beta)\)들의 범주 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\)를 도입한다.

보조정리

위와 같은 표기법과 가정을 사용하자. \(p : X_A \to X\)를 사영이라 하자. \(A'\)이 주어졌을 때 사영을 \(p' : X_{A'} \to X\)로 나타내자. 함자 \(p'_*\)는 다음 두 범주 사이의 동치를 유도한다.

1. 범주 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\),

2. 범주 \(\textit{Lift}(p_*\mathcal{F}, A')\).

증명

원문에는 증명이 제시되어 있지 않다.

\(\mathcal{H}\)를 \(A\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) 위의 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-가군층이라 하자. \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(\mathcal{H}, A')\)를 다음 쌍 \((\mathcal{H}', \gamma)\)들을 대상으로 하는 범주로 도입한다. \(\mathcal{H}'\)은 \(A'\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A'\)-가군층이고, \(\gamma : \mathcal{H}' \otimes_A A' \to \mathcal{H}\)는 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-가군의 동형이다.

\(\mathcal{G}\)를 \(A\) 위에서 평탄한 \(X_\etale\) 위의 \(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A\)-가군층이라 하자. 『여접 복합체』의 등식 (08VK)에 나오는 사상 \(i\)와 \(\pi\)를 생각하자. \(\underline{\mathcal{G}} = \pi^{-1}(\mathcal{G})\)로 나타내자. 이는 단순히 규칙 \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{G}(U)\)로 주어지므로 \(\underline{\mathcal{O}}_X \otimes_\Lambda A\)-가군층이다. 같은 층을 \(\mathcal{O} \otimes_\Lambda A\)-가군층으로 보았을 때 \(i_*\underline{\mathcal{G}}\)로 나타낸다.

보조정리

위와 같은 표기법과 가정을 사용하자. 함자 \(\pi_!\)는 다음 두 범주 사이의 동치를 유도한다.

1. 범주 \(\textit{Lift}_\mathcal{O}(i_*\underline{\mathcal{G}}, A')\),

2. 범주 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\).

증명

원문에는 증명이 제시되어 있지 않다.

보조정리

보조정리 08W1와 같은 표기법과 가정을 사용하자. \(D(\mathcal{O}_X \otimes_\Lambda A)\)의 대상 \[L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{G}) = L\pi_!(Li^*(i_*(\underline{\mathcal{G}})))\] 을 생각하자. 제곱 영 핵 \(I\)를 갖는 \(\Lambda\)-대수의 전사 \(A' \to A\)가 주어지면 다음이 성립한다.

1. 범주 \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\)가 공집합이 아닐 필요충분조건은 어떤 류 \(\xi \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\)가 영인 것이다.

2. \(\textit{Lift}(\mathcal{G}, A')\)가 공집합이 아니면, \(\text{Lift}(\mathcal{G}, A')\)는 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\) 아래의 주동차 공간이다.

3. 올림 \(\mathcal{G}'\)이 주어졌을 때, \(\text{id}_\mathcal{G}\)로 당겨지는 \(\mathcal{G}'\)의 자기동형들의 집합은 표준적으로 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X \otimes A}(L, \mathcal{G} \otimes_A I)\)와 동형이다.

증명

원문에는 증명이 제시되어 있지 않다.

마지막으로 모든 것을 다음과 같이 합친다.

명제

\(\Lambda\), \(X\), \(A\), \(\mathcal{F}\)가 위와 같다고 하자. \(D(X_A)\)의 표준 대상 \(L = L(\Lambda, X, A, \mathcal{F})\)가 존재하여, 제곱 영 핵 \(I\)를 갖는 \(\Lambda\)-대수의 전사 \(A' \to A\)가 주어지면 다음이 성립한다.

1. 범주 \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\)가 공집합이 아닐 필요충분조건은 어떤 류 \(\xi \in \Ext^2_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\)가 영인 것이다.

2. \(\textit{Lift}(\mathcal{F}, A')\)가 공집합이 아니면, \(\text{Lift}(\mathcal{F}, A')\)는 \(\Ext^1_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\) 아래의 주동차 공간이다.

3. 올림 \(\mathcal{F}'\)이 주어졌을 때, \(\text{id}_\mathcal{F}\)로 당겨지는 \(\mathcal{F}'\)의 자기동형들의 집합은 표준적으로 \(\Ext^0_{X_A}(L, \mathcal{F} \otimes_A I)\)와 동형이다.

증명

원문에는 증명이 제시되어 있지 않다.

보조정리

명제 08W3의 상황에서 \(X \to \Spec(\Lambda)\)가 국소 유한형이고 \(\Lambda\)가 뇌터이면 \(L\)은 유사 연접이다.

증명

원문에는 증명이 제시되어 있지 않다.

비평탄 경우의 연접층 스택

『Quot』의 정리 08WC에서 \(f : X \to B\)가 평탄하다는 가정은 필요하지 않다. 이 절에서는 유도 대수기하학의 아이디어를 바탕으로 증명 방법을 수정하여 평탄성 가정을 피한다. 『Quot』의 절 08WB에서는 완전히 다른 방법으로 정확히 같은 결과를 얻는다. 이것이 이 절의 방법이 폐기된 이유이다.

『Quot』의 정리 08WC의 증명에서 평탄성을 사용하는 유일한 단계는 『Quot』의 보조정리 08WA를 적용하는 부분이다. 이 보조정리는 『Artin의 공리』의 절 07YV에서와 같은 장애물 이론을 구성하는 데 사용된다. 그 증명은 『변형 이론』의 보조정리 08VW와 08VY에 의존한다. 이 보조정리들은 『변형 이론』의 절 08VV에 있다. 이 때문에 \(f\)가 평탄하다는 가정이 생긴다. 계속하기 전에 『변형 이론』의 보조정리 08VW의 결과 (2), (3)은 \(f\)가 평탄하다는 가정 없이도 성립함에 유의하자. 실제로 이 결과들은 평탄성 가정이 없는 『변형 이론』의 보조정리 08MU와 08MR에 의존한다.

세부 사항에 들어가기 전에 유도 대수기하학에서 온 이 구성의 동기를 설명한다. 이 설명이 뒤따르는 내용을 분명하게 해 줄 것이라 생각한다. \(A\)를 국소 뇌터 밑 \(S\) 위의 유한형 대수라 하자. \(X\)를 \(A\)로 “유도 밑변환”한 것을 \(X \otimes^\mathbf{L} A\)라 쓰고, 표준 포함 사상을 \(i : X_A \to X \otimes^\mathbf{L} A\)로 나타내자. 대상 \(X \otimes^\mathbf{L} A\)는 Stacks Project에 (아직) 정의되어 있지 않다. 이를 호몰로지 층이 \[H_i(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}) = \text{Tor}^{\mathcal{O}_S}_i(\mathcal{O}_X, A).\] 인 단체적 환의 층 \(\mathcal{O}_{X \otimes^\mathbf{L} A}\)가 주어진 대수공간 \(X_A\)라고 생각할 수 있다. 사상 \(X \otimes^\mathbf{L} A \to \Spec(A)\)는 평탄하다(단체적 환의 층의 각 항이 \(A\)-평탄하다). 따라서 평탄 가군의 변형에 관한 보통의 내용을 적용할 수 있다. 이로부터 장애물 이론을 얻으며, 사용되는 군은 \[\Ext^i_{X \otimes^\mathbf{L} A}(i_*\mathcal{F}, i_*\mathcal{F} \otimes_A M)\] 이다. 여기서 \(i = 0, 1, 2\)는 각각 무한소 자기동형, 무한소 변형, 장애물에 대응한다. \(i_*\mathcal{F}\)를 \(X \otimes^\mathbf{L} A'\)로 평탄하게 변형한 것은 자동으로 \(i'_*\mathcal{F}'\) 꼴이며, 여기서 \(\mathcal{F}'\)은 \(\mathcal{F}\)의 평탄 변형이다. 함자 \(Li^*\)와 \(i_* = Ri_*\)의 수반성에 의해 이 Ext 군들은 \[\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] 과 같다. 따라서 『Quot』의 보조정리 08WA의 증명과 정확히 같은 꼴의 장애물 군을 얻으며, 유일한 차이는 \(\mathcal{F}\)가 처음 나타나는 곳을 복합체 \(Li^*(i_*\mathcal{F})\)로 바꾸는 것이다.

아래에서는 \(E(\mathcal{F}) = Li^*(i_*\mathcal{F})\)를 “직접” 구성하고 \(\mathcal{F}\)의 변형 이론과 맺는 관계를 직접 증명하여 보조정리의 비평탄 판을 증명한다. 실제로 우리가 관심을 갖는 것은 \(i = 0, 1, 2\)에 대한 Ext 군 \(\Ext^i_{X_A}(Li^*(i_*\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\)뿐이므로 \(\tau_{\geq -2}E(\mathcal{F})\)만 구성하면 충분하다. 코호몰로지 층을 다음과 같이 식별할 수도 있다. \[H^i(E(\mathcal{F})) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{조건 }i > 0 \\ \mathcal{F} & \text{조건 } i = 0 \\ 0 & \text{조건 } i = -1 \\ \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_S}(\mathcal{O}_X, A) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F} & \text{조건 } i = -2 \end{matrix} \right.\] 이 관찰은 아래 주석들에서 \(E(\mathcal{F})\)를 구성하는 길잡이가 된다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to B\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하고 \(U\)를 \(B\) 위의 또 다른 대수공간이라 하자. 두 번째 사영을 \(q : X \times_B U \to U\)로 나타내자. 『여접 복합체』의 절 09DJ의 구별 삼각형 \[Lq^*L_{U/B} \to L_{X \times_B U/B} \to E \to Lq^*L_{U/B}[1]\] 을 생각하자. 임의의 \(\mathcal{O}_{X \times_B U}\)-가군층 \(\mathcal{F}\)에 대해 Atiyah 류 \[\mathcal{F} \to L_{X \times_B U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] 가 있다. 『여접 복합체』의 절 09DF을 보라. 이를 \(E\)로 가는 사상과 합성하고 \(D(\mathcal{O}_{X \times_B U})\)의 구별 삼각형 \[E(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} E[1] \to E(\mathcal{F})[1]\] 을 택할 수 있다. 구성에 의해 Atiyah 류는 다음 사상으로 올라간다. \[e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow Lq^*L_{U/B} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\] 이 사상은 다음 구별 삼각형들의 사상에 들어간다. \[\xymatrix{ \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} Lq^*L_{U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} L_{X \times_B U/B}[1] \ar[r] & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \\ E(\mathcal{F}) \ar[r] \ar[u]^{e_\mathcal{F}} & \mathcal{F} \ar[r] \ar[u]^{Atiyah} & \mathcal{F} \otimes^\mathbf{L} E[1] \ar[u]^{=} }\] \(S, B, X, f, U, \mathcal{F}\)가 주어졌을 때 \(E(\mathcal{F})\)와 \(e_\mathcal{F}\)의 선택 하나를 고정한다.

주

주석 09DN의 표기법을 사용하고, \(i : U \to U'\)을 \(B\) 위에서 \(U\)의 일차 비후라 하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{U'}\)를 \(B'\)에서 \(B\)를 잘라 내는 준연접 아이디얼층이라 하자. 기본 삼각형 \[Li^*L_{U'/B} \to L_{U/B} \to L_{U/U'} \to Li^*L_{U'/B}[1]\] 과 사상 \(L_{U/U'} \to \mathcal{I}[1]\)은 사상 \(e_{U'} : L_{U/B} \to \mathcal{I}[1]\)을 결정한다. 이를 앞 주석의 사상 \(e_\mathcal{F}\)와 결합하면 \[(\text{id}_\mathcal{F} \otimes Lq^*e_{U'}) \cup e_\mathcal{F} : E(\mathcal{F}) \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I}[2]\] 를 얻는다(유도 텐서곱에서 보통의 텐서곱으로 가는 사상과도 합성했다). 다시 말해 다음 원소를 얻는다. \[\xi_{U'} \in \Ext^2_{\mathcal{O}_{X \times_B U}}( E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_B U}} q^*\mathcal{I})\]

보조정리

주석 09DP의 상황에서 \(\mathcal{F}\)가 \(U\) 위에서 평탄하다고 가정하자. 류 \(\xi_{U'}\)가 영일 필요충분조건은 \(i^*\mathcal{F}' \cong \mathcal{F}\)인, \(U'\) 위에서 평탄한 \(\mathcal{O}_{X \times_B U'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)이 존재하는 것이다.

증명

『변형 이론』의 보조정리 08MV의 판정법을 사용하겠다. \(\mathcal{O} = \mathcal{O}_{X \times_B U}\), \(\mathcal{O}' = \mathcal{O}_{X \times_B U'}\)로 줄여 쓰겠다. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{U'} \to \mathcal{O}_U \to 0.\] 을 생각하자. \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}'\)를 \(X \times_B U\)를 잘라 내는 준연접 아이디얼층이라 하자. 위 완전열로부터 완전열 \[\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to q^*\mathcal{I} \to \mathcal{J} \to 0\] 을 얻는다. 여기서 \(\text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U)\)는 다음을 줄여 쓴 것이다. \[\text{Tor}_1^{h^{-1}\mathcal{O}_B}(p^{-1}\mathcal{O}_X, q^{-1}\mathcal{O}_U) \otimes_{(p^{-1}\mathcal{O}_X\otimes_{h^{-1}\mathcal{O}_B}q^{-1}\mathcal{O}_U)} \mathcal{O}.\] \(\mathcal{F}\)와 텐서곱하면 완전열 \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \text{Tor}_1^{\mathcal{O}_B}(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_U) \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J} \to 0\] 을 얻는다. (『변형 이론』의 보조정리 08MV의 표기법과 비교하면 문자 \(\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{J}\)의 역할이 뒤바뀌었음에 유의하자.) 그 보조정리의 조건 (1)은 위의 마지막 사상이 동형이라는 것, 즉 첫 번째 사상이 영이라는 것이다. 이 사상의 소멸은 기하학적 점 \(\overline{z} = (\overline{x}, \overline{u}) : \Spec(k) \to X \times_B U\)에서 줄기별로 확인할 수 있다. \(R = \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\), \(A = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), \(B = \mathcal{O}_{U, \overline{u}}\), \(C = \mathcal{O}_{\overline{z}}\)로 놓는다. 『여접 복합체』의 보조정리 09DM와 \(E(\mathcal{F})\)의 정의 삼각형에 의해 \[H^{-2}(E(\mathcal{F}))_{\overline{z}} = \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B)\] 이다. 따라서 사상 \(\xi_{U'}\)는 사상 \[\mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes \text{Tor}_1^R(A, B) \longrightarrow \mathcal{F}_{\overline{z}} \otimes_B \mathcal{I}_{\overline{u}}\] 을 유도한다. 이 사상이 위에서 기술한 사상의 줄기와 같다고 주장한다 (증명은 생략한다. 이는 순수하게 환론적인 명제이다). 따라서 『변형 이론』의 보조정리 08MV의 조건 (1)은 \(H^{-2}(\xi_{U'}) : H^{-2}(E(\mathcal{F})) \to \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\)가 영인 것과 동치이다.

증명을 끝내기 위해 조건 (1)이 성립한다고 가정할 때 조건 (2)가 \(\xi_{U'}\)의 소멸과 동치임을 보인다. 증명의 나머지에서는 \(\mathcal{F} \otimes \mathcal{I}\)로 \(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} q^*\mathcal{I} = \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J}\)를 나타낸다. \(H^0(E(\mathcal{F})) = \mathcal{F}\)와 \(H^{-1}(E(\mathcal{F})) = 0\)을 사용하여 스펙트럼 열 \[\Ext^i(H^{-j}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \Rightarrow \Ext^{i + j}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] 을 살펴보면 완전열 \[0 \to \Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Ext^2(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I}) \to \Hom(H^{-2}(E(\mathcal{F})), \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\] 이 있음을 알 수 있다. 따라서 원소 \(\xi_{U'}\)는 \(\Ext^2(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes \mathcal{I})\)의 원소이다. 이 원소가 『변형 이론』의 보조정리 08MV의 원소와 일치함을 보이면 증명이 끝난다. 이 확인은 생략한다.

보조정리

『Quot』의 상황 08KB에서 \(S\)가 국소 뇌터 스킴이고 \(S = B\)라고 가정하자. \(\mathcal{X} = \textit{Coh}_{X/B}\)로 놓는다. 그러면 \(\mathcal{X}\)에 대해 버설성의 개방성이 성립한다 (『Artin의 공리』의 정의 07XQ를 보라).

증명

\(U \to S\)를 스킴의 유한형 사상이라 하고, \(x\)를 \(U\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 대상, \(u_0 \in U\)를 유한형 점이라 하며 \(x\)가 \(u_0\)에서 버설이라고 하자. \(U\)를 줄인 뒤 \(u_0\)가 닫힌 점이라고 가정할 수 있고 (『스킴의 사상』의 보조정리 01TA), \(U = \Spec(A)\)이며 \(U \to S\)가 \(S\)의 아핀 열린집합 \(\Spec(\Lambda)\) 안으로 사상된다고 가정할 수 있다. 보조정리를 증명하기 위해 『Artin의 공리』의 보조정리 07YZ를 사용하겠다. \(\mathcal{F}\)를 주어진 대상 \(x\)에 대응하며 \(A\) 위에서 평탄한 \(X_A = \Spec(A) \times_S X\) 위의 연접 가군이라 하자.

주석 09DN에서와 같이 \(E(\mathcal{F})\)와 \(e_\mathcal{F}\)를 택한다. \(E(\mathcal{F})\)의 코호몰로지 층에 관한 기술로부터 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 \[\Ext^1(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M) = \Ext^1(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_A M)\] 임을 알 수 있다. 이것과 『변형 이론』의 보조정리 08MU를 사용하면 함자들의 동형 \[T_x(M) = \Ext^1_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] 을 얻는다. 보조정리 09DQ에 의해 제곱 영 핵 \(I\)를 갖는 \(\Lambda\)-대수의 임의의 전사 \(A' \to A\)에 대해 장애물 류 \[\xi_{A'} \in \Ext^2_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A I)\] 가 있다. \(m = 2\)로 놓고 \(i \leq m\)에 대한 Ext 군 \(\Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\)의 계산에 『공간의 유도 범주』의 보조정리 08JR를 적용한다. \(E(\mathcal{F})\)가 \(D^-_{\textit{Coh}}\)에 속함의 확인은 생략한다. 힌트: 『여접 복합체』의 보조정리 08PZ를 사용하라. 완전 대상 \(K \in D(A)\)와 경계 사상들과 호환되는 함자적 동형 \[H^i(K \otimes_A^\mathbf{L} M) \longrightarrow \Ext^i_{X_A}(E(\mathcal{F}), \mathcal{F} \otimes_A M)\] 을 \(i \leq m\)에 대해 얻는다. 이 대상 \(K\)와 위에 표시한 동일시들은 『Artin의 공리』의 상황 07YX과 같은 자료를 준다. 마지막으로 『Artin의 공리』의 보조정리 07YY의 조건 (iv)는 『변형 이론』의 보조정리 08VY의 한 변형에 의해 성립한다. 그 변형의 명제와 증명은 생략한다. 따라서 『Artin의 공리』의 보조정리 07YZ를 적용할 수 있고 보조정리가 증명된다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to B\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 유한 표시이고 분리라고 가정하자. 그러면 \(\textit{Coh}_{X/B}\)는 \(S\) 위의 대수적 스택이다.

증명

이 정리는 『Quot』의 정리 09DS을 복사한 것이다. 여기에 사본을 둔 이유는 이 절의 내용으로 두 번째 증명을 얻기 때문이다 (이 절의 시작에서 논의했다). 실제로 『Quot』의 정리 08WC의 증명과 정확히 같은 방식으로 논증하되, 보조정리 09DR을 『Quot』의 보조정리 08WA 대신 대입한다.

수정

다음은 『형식 공간의 대수화』의 등식 (0AS2)에 나오는 범주에 관한 폐기된 결과이다. 현재의 내용은 『형식 공간의 대수화』의 절 0AS1을 보라.

보조정리

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 뇌터 국소환이라 하자. \(A\)에 대한 『형식 공간의 대수화』의 등식 (0AS2)의 범주는 \(A\)의 Hensel화 \(A^h\)에 대한 『형식 공간의 대수화』의 등식 (0AS2)의 범주와 동치이다.

증명

이는 『형식 공간의 대수화』의 보조정리 0AF7의 특수한 경우이다.

유리 특이점에 관한 다음 보조정리는 표면 특이점의 해소 장에서 더 이상 필요하지 않다.

보조정리

『표면의 해소』의 상황 0B4W에서, \(M\)을 유한 반사 \(A\)-가군이라 하자. 딸린 \(\mathcal{O}_S\)-가군의 당김뒤를 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\)로 나타내자. 그러면 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X\)는 그 이중 쌍대 위로 사상된다.

증명

이중 쌍대를 \(\mathcal{F} = (M \otimes_A \mathcal{O}_X)^{**}\)로 놓고, \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 평가 사상 \(M \otimes_A \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)의 상이라 하자. 그러면 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F} \to \mathcal{Q} \to 0\] 을 얻는다. \(X\)가 정규이므로 여차원 \(1\)인 점에서 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 이산 값매김환이다(『스킴의 성질』의 보조정리 0345을 보라). 따라서 『대수학 심화』의 보조정리 0B36에 의해 그런 점들에서 \(\mathcal{Q}_x = 0\)이다. 그러므로 \(\mathcal{Q}\)는 유한 개의 닫힌 점에 지지되고, 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 0B3J에 의해 대역적으로 생성된다. \(\mathcal{F}'\)도 대역 절단들로 생성되므로 (『표면의 해소』의 보조정리 0B4X) 완전열 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(X, \mathcal{Q}) \to 0\] 을 얻는다. \(X \to \Spec(A)\)는 닫힌 점의 여집합 위에서 동형이고 \(M\)은 반사이므로, 사상 \[M \to H^0(X, \mathcal{F}') \to H^0(X, \mathcal{F})\] 은 \(A\)의 임의의 비극대 소 아이디얼에서 국소화하면 동형을 유도한다. 따라서 『대수학 심화』의 보조정리 0AV8와 정규환 위의 반사 가군이 성질 \((S_2)\)를 갖는다는 사실(『대수학 심화』의 보조정리 0AVB)에 의해 이 사상들은 동형이다. 따라서 원하는 대로 \(\mathcal{Q} = 0\)이다.

교차 이론

보조정리

\(b : X' \to X\)를 체 \(k\) 위의 매끄러운 사영 스킴을 매끄러운 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)에서 부풀리기한 것이라 하자. 다음 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ E \ar[r]_j \ar[d]_\pi & X' \ar[d]^b \\ Z \ar[r]^i & X }\] \(K_0(X)\)의 어떤 원소를 \(Z\)로 제한하면 \(K_0(Z)\)에서 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)의 류와 같다고 가정하자. 그러면 어떤 \(\alpha'' \in K_0(X')\)에 대해 \(K_0(X')\)에서 \([Lb^*\mathcal{O}_Z] = [\mathcal{O}_E] \cdot \alpha''\)이다.

증명

스킴 \(X\), \(X'\), \(E\), \(Z\)는 \(k\) 위에서 매끄럽고 사영이므로 \(K'_0(X) = K_0(X) = K_0(\textit{Vect}(X)) = K_0(D^b_{\textit{Coh}}(X)))\)이고, 나머지 \(3\)개의 스킴에 대해서도 마찬가지이다. 『스킴의 유도 범주』의 보조정리 0FDF, 0FDI, 0FDJ를 보라. 이 증명에서는 이 판들 사이를 자유롭게 오가겠다. \(\mathcal{F}\)를 정의하는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_E\)-가군의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \to \pi^*\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{E/X'} \to 0\] 을 생각하자. \(\mathcal{C}_{E/X'} = \mathcal{O}_{X'}(-E)|_E\)는 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{O}_{X'}(-E)\)의 제한임에 유의하자. \(K_0(Z)\)에서 \(i^*\alpha = [\mathcal{C}_{Z/X}]\)인 \(\alpha \in K_0(X)\)를 택한다. \(\alpha' = b^*\alpha - [\mathcal{O}_{X'}(-E)]\)로 놓자. 그러면 \(j^*\alpha' = [\mathcal{F}]\)이다. 『Weil 코호몰로지 이론』의 보조정리 0FIC에 의해 \(j^*\lambda^i(\alpha') = [\wedge^i(\mathcal{F})]\)임을 얻는다. 이는 \(K_0(X)\)에서 \([\mathcal{O}_E] \cdot \alpha' = [\wedge^i\mathcal{F}]\)이라는 뜻이다. 『스킴의 유도 범주』의 보조정리 0FDM를 보라. \(r\)을 \(X\) 안에서 \(Z\)의 기약 성분들이 갖는 여차원의 최댓값이라 하자. 생략하는 계산에 의하면 \(i \geq 0, 1, \ldots, r - 1\)에 대해 \(H^{-i}(Lb^*\mathcal{O}_Z) = \wedge^i\mathcal{F}\)이고 다른 차수에서는 영이다. 따라서 \(K_0(X)\)에서 \[\begin{align*} [Lb^*\mathcal{O}_Z] & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\wedge^i\mathcal{F}] \\ & = \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i[\mathcal{O}_E] \lambda^i(\alpha') \\ & = [\mathcal{O}_E] \left(\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\right) \end{align*}\] 이다. 이로써 \(\alpha'' = \sum_{i = 0, \ldots, r - 1} (-1)^i \lambda^i(\alpha')\)에 대해 보조정리가 증명된다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)는 정수적이며 \(n = \dim_\delta(X)\)라고 하자. \(a \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 영이 아닌 함수라 하고, \(i : D = Z(a) \to X\)를 \(a\)의 영점 스킴의 닫힌 몰입이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. 이 경우 \(A_{n - 2}(D)\)에서 \(i^*\text{div}_X(f) = 0\)이다.

증명

『Chow 호몰로지』의 보조정리 02TM의 특수한 경우이다.

주

이 주석은 전에는 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02S9의 화살표들이 일반적으로 동형인지 분명하지 않다고 말했다. 그러나 이제 이 사실의 증명을 찾았다.

부풀리기 보조정리

이 절에서는 부풀리기 위에서 적절한 유효 Cartier 인자로 Cartier 인자를 표현하는 것에 관한 몇 가지 보조정리를 증명한다. 이 보조정리들은 [F, 제2.4절]에서 찾을 수 있다. 유한형이 아닌 설정에서도 작동하도록 명제를 조정했다. 보조정리 02T5의 사상 \(b\)는 무한히 많은 부풀리기의 합성일 수 있지만, 주어진 임의의 준콤팩트 열린집합 \(W \subset X\) 위에서는 유한 번의 부풀리기만 필요하다(그리고 이것이 앞서 인용한 곳의 결과이다).

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\), \(Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고 \(f : X \to Y\)를 고유 사상이라 하자. \(D \subset Y\)를 유효 Cartier 인자라 하자. \(X\), \(Y\)가 정수적이고 \(n = \dim_\delta(X) = \dim_\delta(Y)\)이며 \(f\)가 우세라고 가정하자. 그러면 \[f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [R(X) : R(Y)] [D]_{n - 1}.\] 특히 \(f\)가 쌍유리이면 \(f_*[f^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\)이다.

증명

『Chow 호몰로지』의 보조정리 02ST와, \(D\)가 \(\mathcal{O}_X(D)\)의 표준 절단 \(1_D\)의 영점 스킴이라는 사실에서 즉시 따른다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 절단이라 하자. \(s\)가 \(U\) 위의 \(\mathcal{L}\)의 절단에 대응하도록 하는 가장 큰 열린 부분스킴을 \(U \subset X\)라 하자. 다음을 만족하는 사영 사상 \[\pi : X' \longrightarrow X\] 가 존재한다.

1. \(X'\)은 정수적이고,

2. \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\)는 동형이며,

3. 다음을 만족하는 유효 Cartier 인자 \(D, E \subset X'\)이 존재하고, \[\pi^*\mathcal{L} = \mathcal{O}_{X'}(D - E),\]

4. 유리형 절단 \(s\)는 위 동형을 통해 유리형 절단 \(1_D \otimes (1_E)^{-1}\)에 대응하며(『인자』의 정의 01WX),

5. \(Z_{n - 1}(X)\)에서 \[\pi_*([D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}) = \text{div}_\mathcal{L}(s)\] 이다.

증명

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(s\)의 분모들의 준연접 아이디얼층이라 하자. 『인자』의 정의 02P1를 보라. 『인자』의 보조정리 0ESL에서 (2), (3), (4)를 얻는다. 『인자』의 보조정리 02ND에서 (1)을 얻는다. 『인자』의 보조정리 02NS에 의해 사상 \(\pi\)는 사영이다. 이제 (5)를 증명하면 된다. 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02ST에 의해 \[\pi_*(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s')) = \text{div}_\mathcal{L}(s).\] 따라서 \(\text{div}_{\mathcal{L}'}(s') = [D]_{n - 1} - [E]_{n - 1}\)임을 보이면 충분하다. 이는 등식 \(s' = 1_D \otimes 1_E^{-1}\)과 가법성에서 따른다. 『인자』의 보조정리 02SL를 보라.

정의

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(D_1, D_2\)를 \(X\)의 두 유효 Cartier 인자라 하자. \(Z \subset X\)를 \(\dim_\delta(Z) = n - 1\)인 정수적 닫힌 부분스킴이라 하자. 이 상황의 \(\epsilon\)-불변량은 \[\epsilon_Z(D_1, D_2) = n_Z \cdot m_Z\] 이다. 여기서 \(n_Z\)와 \(m_Z\)는 각각 \((n - 1)\)-순환 \([D_1]_{n - 1}\)과 \([D_2]_{n - 1}\)에서 \(Z\)의 계수이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(D_1, D_2\)를 \(X\)의 두 유효 Cartier 인자라 하자. \(Z\)를 스킴 \(D_1 \cap D_2\)의 열린닫힌 부분스킴이라 하자. \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\)라고 가정하자. 그러면 사상 \(b : X' \to X\)와 \(X'\) 위의 Cartier 인자 \(D_1', D_2', E\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(X'\)은 정수적이고,

2. \(b\)는 사영이며,

3. \(b\)는 닫힌 부분스킴 \(Z\)에서 \(X\)를 부풀리기한 것이고,

4. \(E = b^{-1}(Z)\)이며,

5. \(b^{-1}(D_1) = D'_1 + E\)이고 \(b^{-1}D_2 = D_2' + E\)이며,

6. \(\dim_\delta(D'_1 \cap D'_2) \leq n - 2\)이고, \(Z = D_1 \cap D_2\)이면 \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\)이며,

7. \(\dim_\delta(W') = n - 1\)인 모든 정수적 닫힌 부분스킴 \(W'\)에 대해 다음이 성립한다.

   1. \(\epsilon_{W'}(D'_1, E) > 0\)이면 \(W = b(W')\)로 놓았을 때 \(\dim_\delta(W) = n - 1\)이고 \[\epsilon_{W'}(D'_1, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

   2. \(\epsilon_{W'}(D'_2, E) > 0\)이면 \(W = b(W')\)로 놓았을 때 \(\dim_\delta(W) = n - 1\)이고 \[\epsilon_{W'}(D'_2, E) < \epsilon_W(D_1, D_2),\]

증명

준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} = \mathcal{I}_{D_1} + \mathcal{I}_{D_2}\)가 스킴론적 교차 \(D_1 \cap D_2 \subset X\)를 정의함에 유의하자. \(Z\)가 \(D_1 \cap D_2\)의 연결 성분들의 합집합이므로 모든 \(z \in Z\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\)의 핵은 \(\mathcal{I}_z\)와 같다. \(b : X' \to X\)를 \(Z\)에서 \(X\)의 부풀리기라 하자. (따라서 \(Z\) 주위에서 Zariski 국소적으로 이는 \(\mathcal{I}\)에서 \(X\)를 부풀리기한 것이다.) 대응하는 유효 Cartier 인자를 \(E = b^{-1}(Z)\)로 나타내자. 『인자』의 보조정리 02OS를 보라. \(Z \subset D_1\)이므로 \(E \subset f^{-1}(D_1)\)이고, 따라서 어떤 유효 Cartier 인자 \(D'_1 \subset X'\)에 대해 \(D_1 = D_1' + E\)이다. 『인자』의 보조정리 02ON를 보라. 마찬가지로 \(D_2 = D_2' + E\)이다. 이로써 주장 (1)–(5)가 처리되었다.

\(W'\)이 (7)(a) 또는 (7)(b)와 같으면 \(W'\)의 상 \(W\)는 \(D_1 \cap D_2\)에 포함된다. \(W\)가 \(Z\)에 포함되지 않으면 \(b\)는 \(W\)의 일반점에서 동형이고, \(\dim_\delta(W) = \dim_\delta(W') = n - 1\)임을 얻는다. 이는 \(\dim_\delta(D_1 \cap D_2 \setminus Z) \leq n - 2\)라는 가정과 모순이다. 따라서 \(W \subset Z\)이다. 즉, (6)과 (7)을 증명하기 위해 \(X\) 위에서 \(Z\) 주위로 국소화해도 된다.

따라서 \(A\)가 뇌터 정역이고 \(X = \Spec(A)\)이며, \(D_1 = \Spec(A/a)\), \(D_2 = \Spec(A/b)\), \(Z = D_1 \cap D_2\)라고 가정할 수 있다. \(I = (a, b)\)로 놓는다. \(A\)가 정역이고 \(a, b \not = 0\)이므로 부풀리기를 두 조각 \(U = \Spec(A[s]/(as - b))\)와 \(V = \Spec(A[t]/(bt -a))\)로 덮을 수 있다. 이 조각들은 \(s\)를 \(t^{-1}\)로 보내는 동형 \(A[s, s^{-1}]/(as - b) \cong A[t, t^{-1}]/(bt - a)\)을 사용하여 붙인다. 유효 Cartier 인자 \(E\)는 \(\Spec(A[s]/(as - b, a)) \subset U\)와 \(\Spec(A[t]/(bt - a, b)) \subset V\)로 기술된다. 닫힌 부분스킴 \(D'_1\)은 \(\Spec(A[t]/(bt - a, t)) \subset U\)에 대응한다. 닫힌 부분스킴 \(D'_2\)는 \(\Spec(A[s]/(as -b, s)) \subset V\)에 대응한다. “\(ts = 1\)”이므로 \(D'_1 \cap D'_2 = \emptyset\)이다.

높이가 일이고 \(s, a \in \mathfrak q\)인 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A[s]/(as - b)\)가 있다고 하자. 대응하는 \(A\)의 소 아이디얼을 \(\mathfrak p \subset A\)라 하자. \(a, b \in \mathfrak p\)임에 유의하자. 차원 공식에 의해 \(\dim(A_{\mathfrak p}) = 1\)이기도 하다. 이제 보여야 할 마지막 주장은 \[\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(a) \text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(b) > \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(a) \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s)\] 이다. 여기서 \(B = A[s]/(as - b)\)이다. 『대수학』의 보조정리 02MM에 의해 \(x = a, b\)에 대해 \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p}}(x) \geq \text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(x)\)이다. \(\text{ord}_{B_{\mathfrak q}}(s) > 0\)이므로 \(\text{ord}\) 함수의 가법성과 \(as = b\)라는 사실을 사용하면 결론이 나온다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\{D_i\}_{i \in I}\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 인자들의 국소 유한 모임이라 하자. 함수 \(I \to \mathbf{Z}_{\geq 0}\), \(i \mapsto n_i\)가 주어졌다고 하자. 유효 Cartier 인자들의 합 \(D = \sum n_i D_i\)는 다음 성질을 갖는 유일한 유효 Cartier 인자 \(D \subset X\)이다. 임의의 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\) 위에서 \(D|_U = \sum_{D_i \cap U \not = \emptyset} n_iD_i|_U\)이고, 이는 『인자』의 정의 01WT에서와 같은 합이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(\{D_i\}_{i \in I}\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 인자들의 국소 유한 모임이라 하자. \(i \in I\)에 대해 \(n_i \geq 0\)이 주어졌다고 하자. 그러면 \(Z_{n - 1}(X)\)에서 \[[D]_{n - 1} = \sum\nolimits_i n_i[D_i]_{n - 1}\] 이다.

증명

순환들의 등식을 증명하므로 \(X\) 위에서 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 유한합의 경우로, 다시 귀납법을 사용하여 두 유효 Cartier 인자의 합 \(D = D_1 + D_2\)의 경우로 환원된다. 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02SK에 의해 \(D_1 = \text{div}_{\mathcal{O}_X(D_1)}(1_{D_1})\)이다. 여기서 \(1_{D_1}\)은 \(\mathcal{O}_X(D_1)\)의 표준 절단이다. 물론 \(D_2\)와 \(D\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다. 동일시 \(\mathcal{O}_X(D) = \mathcal{O}_X(D_1) \otimes \mathcal{O}_X(D_2)\)를 통해 \(1_D = 1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\)이므로 『인자』의 보조정리 02SL를 적용하면 된다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = d\)라고 가정하자. \(\{D_i\}_{i \in I}\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 인자들의 국소 유한 모임이라 하자. 모든 \(\{i, j, k\} \subset I\), \(\#\{i, j, k\} = 3\)에 대해 \(D_i \cap D_j \cap D_k = \emptyset\)이라고 가정하자. 그러면 다음이 존재한다.

1. \(\dim_\delta(X \setminus U) \leq d - 3\)인 열린 부분스킴 \(U \subset X\),

2. 사상 \(b : U' \to U\),

3. \(U'\) 위의 유효 Cartier 인자들 \(\{D'_j\}_{j \in J}\).

이들은 다음 성질을 갖는다.

1. \(b\)는 고유 사상 \(b : U' \to U\)이고,

2. \(U'\)은 정수적이며,

3. \(b\)는 \(D_i|_U\)들의 두 개씩의 교차들의 합집합의 여집합 위에서 동형이고,

4. \(\{D'_j\}_{j \in J}\)는 \(U'\) 위의 유효 Cartier 인자들의 국소 유한 모임이며,

5. \(j \not = j'\)이면 \(\dim_\delta(D'_j \cap D'_{j'}) \leq d - 2\)이고,

6. 어떤 \(n_{ij} \geq 0\)에 대해 \(b^{-1}(D_i|_U) = \sum n_{ij} D'_j\)이다.

또한 \(X\)가 준콤팩트이면 위에서 \(U = X\)라고 가정할 수 있다.

증명

먼저 아마도 가장 흥미로운 준콤팩트 경우를 증명하자. 이 경우 부풀리기의 열 \[X = X_0 \xleftarrow{b_0} X_1 \xleftarrow{b_1} X_2 \leftarrow \ldots\] 과 유효 Cartier 인자들의 유한 집합 \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\)을 귀납적으로 만든다. 각 단계에서 모든 삼중 교차 \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\)가 공집합이라는 성질을 갖게 한다. 또한 각 \(n \geq 0\)에 대해 \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\)이 되게 한다. 여기서 \(P(I_n)\)은 \(I_n\)의 원소들의 쌍들의 집합이다. 마지막으로 \[b_n^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\] 가 되게 한다. 이로부터 각 \(n \geq 0\)에 대해 \((b_0 \circ \ldots \circ b_n)^{-1}(D_i)\)가 \(j \in I_{n + 1}\)에 대한 인자 \(D_{n + 1, j}\)들의 음이 아닌 정수 선형결합임을 얻는다.

귀납법을 시작하기 위해 \(X_0 = X\), \(I_0 = I\), \(D_{0, i} = D_i\)로 놓는다.

\((X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\)이 주어졌다고 하자. \(X_{n + 1}\)을 닫힌 부분스킴 \(Z_n = \bigcup_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)에서 \(X_n\)을 부풀리기한 것으로 정의한다. 삼중 교차에 관한 가정에 의해 닫힌 부분스킴 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)들이 서로소임에 유의하자. 즉, \(Z_n = \coprod_{\{i, i'\} \in P(I_n)} D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)라고 쓸 수 있다. 또한 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)의 Zariski 근방에서 사상 \(b_n\)은 닫힌 부분스킴 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)에서 스킴 \(X_n\)을 부풀리기한 것과 같고, 보조정리 02T2의 결과들을 적용할 수 있다. 따라서 \(D_{n + 1, \{i, i'\}} = b_n^{-1}(D_i \cap D_{i'})\)로 놓으면 유효 Cartier 인자를 얻는다. Cartier 인자 \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\)들은 서로소이다. 모든 \(i' \in I_n\), \(i' \not = i\)에 대해 \(b_n^{-1}(D_{n, i}) \supset D_{n + 1, \{i, i'\}}\)임은 명백하다. 그러므로 『인자』의 보조정리 02ON를 적용하면 \(X_{n + 1}\) 위의 어떤 유효 Cartier 인자 \(D_{n + 1, i}\)에 대해 실제로 \(b^{-1}(D_{n, i}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\)이다. \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\)의 근방에서 이 인자들 \(D_{n + 1, i}\)는 보조정리 02T2의 프라임이 붙은 인자들의 역할을 한다. 특히 그 보조정리의 (6)에 의해 \(i \not = i'\), \(i, i' \in I_n\)이면 \(D_{n + 1, i} \cap D_{n + 1, i'} = \emptyset\)이다. 보조정리 02T2의 (6)에 의해 이는 이미 인자 \(D_{n + 1, i}\)들의 삼중 교차가 영임을 뜻한다.

좋다. 이제 \(X\)의 준콤팩트성을 사용하여 불변량 [02T6]\[\begin{equation} \epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \max\{\epsilon_Z(D_i, D_{i'}) \mid Z \subset X, \dim_\delta(Z) = d - 1, \{i, i'\} \in P(I)\} \end{equation}\] 이 유한임을 알 수 있다. 실제로 각 \(D_i\)는 기약 성분을 유한 개 이하만 갖는다. 어떤 \(n\)에 대해 불변량 \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\)이 영이라고 주장한다. 그렇지 않다면 보조정리 02T2에 의해 양의 정수들의 엄밀히 감소하는 열 \[\epsilon(X, \{D_i\}_{i \in I}) = \epsilon(X_0, \{D_{0, i}\}_{i \in I_0}) > \epsilon(X_1, \{D_{1, i}\}_{i \in I_1}) > \ldots\] 을 얻어 모순이다. 불변량 \(\epsilon(X_n, \{D_{n, i}\}_{i \in I_n})\)이 영인 \(n\)을 택한다. 이는 \(\epsilon_Z(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\)인 정수적 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X_n\)과 지표 쌍 \(i, i' \in I_n\)이 없다는 뜻이다. 즉, 원하는 대로 모든 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\)에 대해 \(\dim_\delta(D_{n, i}, D_{n, i'}) \leq d - 2\)이다.

다음으로 스킴 \(X\)가 더 이상 준콤팩트라고 가정하지 않는 일반적인 경우를 다룬다. 증명의 첫 부분의 아이디어에는 \(X\)의 어떤 고정된 점을 우세하게 덮는 중심을 갖는 부풀리기의 무한 열이 생길 수 있다는 문제가 있다. 이를 피하기 위해 각 단계에서 여차원이 \(\geq 3\)인 적절한 닫힌 부분집합을 잘라 낸다. 구체적으로 다음 꼴의 사상들의 열을 귀납적으로 구성한다. \[\xymatrix{ X = X_0 \\ U_0 \ar[u]^{j_0} & X_1 \ar[l]_{b_0} \\ & U_1 \ar[u]^{j_1} & X_2 \ar[l]_{b_1} \\ & & U_2 \ar[u]^{j_2} & X_3 \ar[l]_{b_2} }\] 각 사상 \(j_n : U_n \to X_n\)은 열린 몰입이다. 각 사상 \(b_n : X_{n + 1} \to U_n\)은 정수적 스킴의 고유 쌍유리 사상이다. 준콤팩트 경우와 마찬가지로 \(X_n\) 위의 유효 Cartier 인자 \(\{D_{n, i}\}_{i \in I_n}\)를 갖게 한다. 각 단계에서 모든 삼중 교차 \(D_{n, i} \cap D_{n, j} \cap D_{n, k}\)가 공집합이라는 성질을 갖게 한다. 또한 각 \(n \geq 0\)에 대해 \(I_{n + 1} = I_n \amalg P(I_n)\)이 되게 한다. 여기서 \(P(I_n)\)은 \(I_n\)의 원소들의 쌍들의 집합이다. 마지막으로 \[b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\] 가 되게 한다.

\(X_0 = X\), \(I_0 = I\), \(D_{0, i} = D_i\)로 놓아 귀납법을 시작한다.

\((X_n, \{D_{n, i}\})\)이 주어졌을 때 열린 부분스킴 \(U_n\)을 다음과 같이 구성한다. 각 쌍 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\)에 대해 닫힌 부분스킴 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)을 생각하자. 이 부분스킴에는 \(\delta\)-차원이 \(d - 2\)인 “좋은” 기약 성분들과 \(\delta\)-차원이 \(d - 1\)인 “나쁜” 기약 성분들이 있다. 다음과 같이 놓는다. \[\text{Bad}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ 다음 조건의 기약 성분 }\dim_\delta(W) = d - 1} W\] 마찬가지로 \[\text{Good}(i, i') = \bigcup\nolimits_{W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'} \text{ 다음 조건의 기약 성분 }\dim_\delta(W) = d - 2} W.\] 그러면 \(D_{n, i} \cap D_{n, i'} = \text{Bad}(i, i') \cup \text{Good}(i, i')\)이고 \(\dim_\delta(\text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i')) \leq d - 3\)이다. \(U_n\)을 다음과 같이 택한다. \[U_n = X_n \setminus \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} \text{Bad}(i, i') \cap \text{Good}(i, i').\] 인자 \(D_{n, i}\)들의 삼중 교차에 관한 조건에 의해 이 합집합은 실제로 서로소 합집합이다. 또한 스킴으로서 \[D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n} = Z_{n, i, i'} \amalg G_{n, i, i'}\] 임을 알 수 있다. 여기서 \(Z_{n, i, i'}\)는 \(\delta\)-차원 \(d - 1\)의 등차원이고, \(G_{n, i, i'}\)는 \(\delta\)-차원 \(d - 2\)의 등차원이다. (따라서 위상적으로 \(Z_{n, i, i'}\)는 나쁜 성분들의 합집합에서 좋은 성분들과의 교차를 버린 것이다.) 마지막으로 \[Z_n = \bigcup\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'} = \coprod\nolimits_{\{i, i'\} \in P(I_n)} Z_{n, i, i'},\] 로 놓고 \(b_n : X_{n + 1} \to X_n\)을 \(Z_n\)에서의 부풀리기로 정의한다. 보조정리 02T2는 각 자취 \(D_{n, i}|_{U_n} \cap D_{n, i'}|_{U_n}\)의 근방에서 사상 \(b_n : X_{n + 1} \to X_n\)에 적용된다는 점에 유의하자. 따라서 증명의 첫 부분과 정확히 같은 방식으로 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\)에 대한 유효 Cartier 인자 \(D_{n + 1, \{i, i'\}}\)와 \(i \in I_n\)에 대한 유효 Cartier 인자 \(D_{n + 1, i}\)를 얻으며, 이들은 \(b_n^{-1}(D_{n, i}|_{U_n}) = D_{n + 1, i} + \sum\nolimits_{i' \in I_n, i' \not = i} D_{n + 1, \{i, i'\}}\)를 만족한다. 각 \(n\)에 대해 합성 \(j_0 \circ \ldots \circ j_{n - 1} \circ b_{n - 1}\)로 얻는 사상을 \(\pi_n : X_n \to X\)로 나타내자.

주장: 임의의 준콤팩트 열린집합 \(V \subset X\)가 주어지면 충분히 큰 모든 \(n\)에 대해 사상 \[\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V) \leftarrow \ldots\] 은 모두 동형이다. 실제로 사상 \(\pi_n^{-1}(V) \leftarrow \pi_{n + 1}^{-1}(V)\)이 동형이 아니면 어떤 \(\{i, i'\} \in P(I_n)\)에 대해 \(Z_{n, i, i'} \cap \pi_n^{-1}(V) \not = \emptyset\)이다. 따라서 \(\dim_\delta(W) = d - 1\)인 기약 성분 \(W \subset D_{n, i} \cap D_{n, i'}\)이 존재한다. 특히 \(\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) > 0\)이다. 보조정리 02T2를 반복해서 적용하면 \[\epsilon_W(D_{n, i}, D_{n, i'}) < \epsilon(V, \{D_i|_V\}) - n\] 을 얻는다. 여기서 \(\epsilon(V, \{D_i|_V\})\)는 (02T6)에서와 같다. \(V\)가 준콤팩트이므로 \(\epsilon(V, \{D_i|_V\}) < \infty\)이고, \(n > \epsilon(V, \{D_i|_V\})\)을 택하면 결과를 얻는다.

구성에 의해 차집합 \(X_n \setminus U_n\)은 \(\dim_\delta(X_n \setminus U_n) \leq d - 3\)임에 유의하자. \(T_n = \pi_n(X_n \setminus U_n)\)을 그 \(X\) 안의 상이라 하자. 위 사상 도표를 따라가면서 각 \(b_n\)이 닫혀 있음을 사용하면, 모든 \(n\)에 대해 \(T_0 \cup \ldots \cup T_n\)이 \(X\)의 닫힌 부분집합임이 따른다. 구성에 의해 모든 \(t \in T_n\)은 \(\delta(t) \leq d - 3\)을 만족한다. 따라서 \(\overline{T_n} \subset X\)는 \(\dim_\delta(T_n) \leq d - 3\)인 닫힌 부분집합이다. 위 주장에 의해 임의의 준콤팩트 열린집합 \(V \subset X\)에 대해 \(T_n \cap V \not = \emptyset\)인 \(n\)은 유한 개뿐이다. 따라서 \(\{\overline{T_n}\}_{n \geq 0}\)은 닫힌 부분집합들의 국소 유한 모임이고, \(U = X \setminus \bigcup \overline{T_n}\)으로 놓을 수 있다. 이것이 보조정리에 나오는 \(U\)가 된다.

\(U\)의 구성에 의해 \(U_n \cap \pi_n^{-1}(U) = \pi_n^{-1}(U)\)임에 유의하자. 따라서 모든 사상 \[b_n : \pi_{n + 1}^{-1}(U) \longrightarrow \pi_n^{-1}(U)\] 은 고유이다. 또한 위 주장에 의해 이 사상들은 \(X\)의 각 준콤팩트 열린집합 위에서 결국 동형이 된다. 따라서 \[U' = \lim_n \pi_n^{-1}(U).\] 를 정의할 수 있다. 이는 \(U\) 위에서 국소적인 성질이고 각 콤팩트 열린집합 위에서 극한이 안정되므로, 유도된 사상 \(b : U' \to U\)는 고유이다. 마찬가지로 구성에서의 포함 \(I_n \to I_{n + 1}\)을 사용하여 \(J = \bigcup_{n \geq 0} I_n\)으로 놓는다. \(j \in J\)에 대해 \(j\)가 \(i \in I_{n_0}\)에 대응하는 \(n_0\)를 택하고 \(D'_j = \lim_{n \geq n_0} D_{n, i}\)로 정의한다. \(X\) 위에서 국소적으로 사상들이 안정되므로 이 역시 잘 정의된다. 보조정리의 나머지 주장들은 준콤팩트 \(X\)의 경우와 같이 확인한다.

교차하는 인자들의 가환성

이 절의 결과들은 원래 『Chow 호몰로지』의 절 02TG의 보조정리들에 대한 다른 증명과 『Chow 호몰로지』의 보조정리 0B73의 약한 판을 제시하는 데 사용되었다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하자. \(\{i_j : D_j \to X \}_{j \in J}\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 인자들의 국소 유한 모임이라 하자. \(j\in J\)에 대해 \(n_j > 0\)이라 하자. \(D = \sum_{j \in J} n_j D_j\)로 놓고 포함사상을 \(i : D \to X\)로 나타내자. \(\alpha \in Z_{k + 1}(X)\)라 하자. 그러면 \[p : \coprod\nolimits_{j \in J} D_j \longrightarrow D\] 는 고유이고 \(\CH_k(D)\)에서 \[i^*\alpha = p_*\left(\sum n_j i_j^*\alpha\right)\] 이다.

증명

유리 동치들의 무한합에 관한 미묘한 점 때문에 이 보조정리의 증명은 예상보다 조금 길어진다. 준콤팩트 경우에는 족 \(D_j\)가 유한이고, 결과는 매우 쉬우며 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02SK, 『인자』의 보조정리 02SL, 그리고 정의들에서 곧바로 따른다.

족 \(\{D_j\}_{j \in J}\)가 국소 유한이므로 사상 \(p\)는 고유이다. \(W_a \subset X\)가 \(\delta\)-차원 \(k + 1\)의 정수적 닫힌 부분스킴이 되도록 \(\alpha = \sum_{a \in A} m_a [W_a]\)라고 쓰자. 닫힌 몰입을 \(i_a : W_a \to X\)로 나타내자. \(\{W_a\}_{a \in A}\)가 \(X\) 위에서 국소 유한이고 모든 \(a \in A\)에 대해 \(m_a \not = 0\)이라고 가정한다.

『Chow 호몰로지』의 정의 02T8에 의해 류 \(i^*\alpha\)는 어떤 \(\beta_a \in Z_k(W_a \cap D)\)에 대한 순환 \(\sum m_a\beta_a\)의 류임에 유의하자. 구체적으로 \(W_a \not \subset D\)이면 \(\beta_a = [D \cap W_a]_k\)이고, \(W_a \subset D\)이면 \(\beta_a\)는 \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\)를 나타내는 순환이다.

각 \(a \in A\)에 대해 \(J = J_{a, 1} \amalg J_{a, 2} \amalg J_{a, 3}\)로 쓰자. 여기서

1. \(j \in J_{a, 1}\)일 필요충분조건은 \(W_a \cap D_j = \emptyset\)이고,

2. \(j \in J_{a, 2}\)일 필요충분조건은 \(W_a \not = W_a \cap D_1 \not = \emptyset\)이며,

3. \(j \in J_{a, 3}\)일 필요충분조건은 \(W_a \subset D_j\)이다.

족 \(\{D_j\}\)가 국소 유한이므로 \(J_{a, 3}\)은 유한 집합이다. 각 \(a \in A\)와 \(j \in J\)에 대해 순환 \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a \cap D_j)\)를 다음과 같이 택한다.

1. \(j \in J_{a, 1}\)이면 \(\beta_{a, j} = 0\)으로 놓고,

2. \(j \in J_{a, 2}\)이면 \(\beta_{a, j} = [D_j \cap W_a]_k\)로 놓으며,

3. \(j \in J_{a, 3}\)이면 \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_j)) \cap [W_j]\)를 나타내는 \(\beta_{a, j} \in Z_k(W_a)\)를 택한다.

\(\CH_k(W_a \cap D)\)에서 \[\beta_a \sim_{rat} \sum\nolimits_{j \in J} n_j \beta_{a, j}\] 라고 주장한다.

경우 I: \(W_a \not \subset D\). 이 경우 \(J_{a, 3} = \emptyset\)이다. 따라서 순환들의 등식 \([D \cap W_a]_k = \sum n_j [D_j \cap W_a]_k\)을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 02T4이다.

경우 II: \(W_a \subset D\). 이 경우 \(\beta_a\)는 \(c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a]\)를 나타내는 순환이다. \(D = D_{a, 1} + D_{a, 2} + D_{a, 3}\)으로 쓰자. 여기서 \(D_{a, s} = \sum_{j \in J_{a, s}} n_jD_j\)이다. 『인자』의 보조정리 02SL에 의해 \[\begin{eqnarray*} c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D)) \cap [W_a] & = & c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 1})) \cap [W_a] + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 2})) \cap [W_a] \\ & & + c_1(i_a^*\mathcal{O}_X(D_{a, 3})) \cap [W_a]. \end{eqnarray*}\] 합의 첫 번째 항은 영임이 명백하다. \(J_{a, 3}\)이 유한이므로 마지막 항은 \(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 3}} n_jc_1(i_a^*\mathcal{L}_j) \cap [W_a]\) 와 일치한다. 『인자』의 보조정리 02SL를 보라. 이는 \(\sum_{j \in J_{a, 3}} n_j \beta_{a, j}\)로 나타내어진다. 마지막으로 경우 I에 의해 가운데 항은 순환 \(\sum\nolimits_{j \in J_{a, 2}} n_j[D_j \cap W_a]_k = \sum_{j \in J_{a, 2}} n_j\beta_{a, j}\)로 나타내어진다. 따라서 이 경우에도 주장이 성립한다.

이제 보조정리의 증명을 끝낼 준비가 되었다. \(\beta_a\)를 택한 방식에 의해 \(i^*D \sim_{rat} \sum m_a\beta_a\)이다. 각 \(a\)에 대해 \(\beta_a \sim_{rat} \sum_j \beta_{a, j}\)이고, 이 유리 동치는 \(D \cap W_a\) 위에서 이루어진다. 닫힌 부분스킴 \(D \cap W_a\)들의 모임이 \(D\) 위에서 국소 유한이므로 \(D\) 위에서도 \(\sum m_a \beta_a \sim_{rat} \sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\)이다! (『Chow 호몰로지』의 주석 02RZ를 보라.) 좋다. 이제 \(D_j\) 위의 순환으로 본 \(\sum_a m_a\beta_{a, j}\)는 \(i_j^*\alpha\)를 나타내므로 \(\sum_{a, j} m_a\beta_{a, j}\)는 \(p_* \sum_j i_j^*\alpha\)를 나타낸다. 이것으로 끝이다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(D\), \(D'\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 인자라 하자. \(\dim_\delta(D \cap D') = n - 2\)라고 가정하자. 대응하는 닫힌 몰입을 각각 \(i : D \to X\)와 \(i' : D' \to X\)라 하자. 그러면

1. 순환 \(\alpha \in Z_{n - 2}(D \cap D')\)가 존재하여, \(D\)로의 밂앞은 \(i^*[D']_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D)\)를 나타내고 \(D'\)으로의 밂앞은 \((i')^*[D]_{n - 1} \in \CH_{n - 2}(D')\)를 나타내며,

2. \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] 이다.

증명

(2)는 (1)에서 자명하게 따른다. \(Z_a\)를 \(D\)의 기약 성분, \([Z_b]\)를 \(D'\)의 기약 성분으로 하여 \([D]_{n - 1} = \sum n_a[Z_a]\)와 \([D']_{n - 1} = \sum m_b[Z_b]\)라고 쓰자. 『Chow 호몰로지』의 정의 02T8에 의해 \(i^*D' = \sum m_b i^*[Z_b]\)이고 \((i')^*D = \sum n_a(i')^*[Z_a]\)이다. 가정에 의해 어떤 기약 성분 \(Z_b\)도 \(D\)에 포함되지 않으므로 정의에 따라 \(i^*[Z_b] = [Z_b\cap D]_{n - 2}\)이다. 마찬가지로 \((i')^*[Z_a] = [Z_a \cap D']_{n - 2}\)이다. 따라서 증명하려는 것은 \(D \cap D'\) 위에 실제로 지지되는 순환들의 등식 \[\sum n_a[Z_a \cap D']_{n - 2} = \sum m_b[Z_b \cap D]_{n - 2}\] 이다. \(W \subset X\)를 \(\dim_\delta(W) = n - 2\)인 정수적 닫힌 부분스킴이라 하고 \(\xi \in W\)를 일반점이라 하자. \(R = \mathcal{O}_{X, \xi}\)로 놓는다. 이는 뇌터 국소 정역이고 \(\dim(R) = 2\)이다. \(D\)의 아이디얼을 정의하는 원소를 \(f \in R\), \(D'\)의 아이디얼을 정의하는 원소를 \(f' \in R\)라 하자. 가정에 의해 \(\dim(R/(f, f')) = 0\)이다. \((f')\) 위의 극소 소 아이디얼들을 \(\mathfrak q'_1, \ldots, \mathfrak q'_t \subset R\)라 하고, \((f)\) 위의 극소 소 아이디얼들을 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_s \subset R\)라 하자. 위 등식은 다음 등식으로 귀착된다. \[\sum_{i = 1, \ldots, s} \text{length}_{R_{\mathfrak q_i}}(R_{\mathfrak q_i}/(f)) \text{ord}_{R/\mathfrak q_i}(f') = \sum_{j = 1, \ldots, t} \text{length}_{R_{\mathfrak q'_j}}(R_{\mathfrak q'_j}/(f')) \text{ord}_{R/\mathfrak q'_j}(f).\] 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02QF를 \(M = R/(f)\)에 적용하면 이 등식의 왼쪽은 \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f)))\] 과 같다. 좋다. 이제 사상 \(x \bmod (f) \mapsto f'x \bmod (ff')\)을 통해 \(\Ker(f' : R/(f) \to R/(f))\)가 \(((f) \cap (f'))/(ff')\)와 표준적으로 동형임에 유의하자. 따라서 왼쪽은 \[\text{length}_R(R/(f, f')) - \text{length}_R((f) \cap (f')/(ff'))\] 이다. 이는 \(f\)와 \(f'\)에 관해 대칭이므로 결론이 나온다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(\{D_j\}_{j \in J}\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 인자들의 국소 유한 모임이라 하자. \(n_j, m_j \geq 0\)을 음이 아닌 정수들의 모임이라 하자. \(D = \sum n_j D_j\), \(D' = \sum m_j D_j\)로 놓는다. 모든 \(j \not = j'\)에 대해 \(\dim_\delta(D_j \cap D_{j'}) = n - 2\)라고 가정하자. 그러면 \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 \(D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\)이다.

증명

합들이 유한인 경우, 예를 들어 \(X\)가 준콤팩트인 경우에는 이 보조정리는 보조정리 02T4과 02TD에서 자명하게 따른다. 따라서 독자에게 증명을 건너뛰기를 권한다.

일반적인 경우의 증명은 다음과 같다. \(i_j : D_j \to X\)를 닫힌 몰입이라 하자. \(p : \coprod D_j \to X\)를 사상 \(i_j\)들의 쌍대곱이라 하자. \(\{Z_a\}_{a \in A}\)를 \(\bigcup D_j\)의 기약 성분들의 모임이라 하자. 각 \(j\)에 대해 \[[D_j]_{n - 1} = \sum d_{j, a}[Z_a].\] 라고 쓰자. 보조정리 02T4에 의해 \[[D]_{n - 1} = \sum n_j d_{j, a} [Z_a], \quad [D']_{n - 1} = \sum m_j d_{j, a} [Z_a].\] 보조정리 02TC에 의해 \[D \cdot [D']_{n - 1} = p_*\left(\sum n_j i_j^*[D']_{n - 1} \right), \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = p_*\left(\sum m_{j'} i_{j'}^*[D]_{n - 1} \right).\] Gysin 준동형의 정의에서와 같이(『Chow 호몰로지』의 정의 02T8를 보라), \(D_j \cap Z_a\) 위에서 \(i_j^*[Z_a]\)를 나타내는 순환 \(\beta_{a, j}\)를 택한다. (실제로 \(Z_a\)가 \(D_j\)에 포함되지 않으면 \(\beta_{a, j} = [D_j \cap Z_a]_{n - 2}\)이고, 따라서 이 경우에는 선택의 여지가 없음에 유의하자.) 각 \(D_j\)로 제한했을 때 \(p\)가 닫힌 몰입이므로 \(\beta_{a, j}\)를 \(X\) 위의 순환으로 볼 수 있고, 그렇게 하겠다. 위에서 얻은 \([D]_{n - 1}\)과 \([D']_{n - 1}\)의 공식들을 대입하면 \[D \cdot [D']_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j}, \quad D' \cdot [D]_{n - 1} = \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'}.\] 또한 같은 규약 아래 \[D_j \cdot [D_{j'}]_{n - 1} = \sum d_{j', a} \beta_{a, j}.\] 이 용어로 보조정리 02TD는 (그 증명도 보라) \(j \not = j'\)일 때 순환 \(\sum d_{j', a} \beta_{a, j}\)와 \(\sum d_{j, a} \beta_{a, j'}\)가 순환으로서 같다고 말한다! 따라서 \[\begin{eqnarray*} D \cdot [D']_{n - 1} & = & \sum\nolimits_{j, j', a} n_j m_{j'} d_{j', a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j', a} \beta_{a, j}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j \not = j'} n_j m_{j'} \left(\sum\nolimits_a d_{j, a} \beta_{a, j'}\right) + \sum\nolimits_{j, a} n_j m_j d_{j, a} \beta_{a, j} \\ & = & \sum\nolimits_{j, j', a} m_{j'} n_j d_{j, a} \beta_{a, j'} \\ & = & D' \cdot [D]_{n - 1} \end{eqnarray*}\] 이고, 결론이 나온다.

보조정리

\((S, \delta)\)가 『Chow 호몰로지』의 상황 02QL에서와 같다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형이라 하고, \(X\)가 정수적이며 \(\dim_\delta(X) = n\)이라고 가정하자. \(D\), \(D'\)를 \(X\) 위의 유효 Cartier 인자라 하자. 그러면 \[D \cdot [D']_{n - 1} = D' \cdot [D]_{n - 1}\] 이 \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 성립한다.

증명

먼저 \(X\)가 준콤팩트인 경우를 증명하자. \(X\)와 두 원소로 된 유효 Cartier 인자들의 집합 \(\{D, D'\}\)에 보조정리 02T5를 적용한다. 그러면 고유 사상 \(b : X' \to X\)와 서로 두 개씩 여차원 \(\geq 2\)에서 교차하는 유효 Cartier 인자들의 유한 모임 \(D'_j \subset X'\)을 얻으며, \(b^{-1}(D) = \sum n_j D'_j\)이고 \(b^{-1}(D') = \sum m_j D'_j\)이다. 보조정리 02SZ에 의해 \(Z_{n - 1}(X)\)에서 \(b_*[b^{-1}(D)]_{n - 1} = [D]_{n - 1}\)이고 \(D'\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02SU에 의해 \(\CH_{n - 2}(X)\)에서 \[D \cdot [D']_{n - 1} = b_*\left(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1}\right)\] 이고 다른 항도 마찬가지이다. 그러므로 보조정리 02TE의 \(\CH_{n - 2}(X')\)에서의 등식 \(b^{-1}(D) \cdot [b^{-1}(D')]_{n - 1} = b^{-1}(D') \cdot [b^{-1}(D)]_{n - 1}\)에서 보조정리가 따른다.

위 증명에서 참조한 각 보조정리는 일반적인 경우(\(X\)가 준콤팩트라고 가정하지 않는 경우)에도 성립함에 유의하자. 일반적인 경우의 유일한 작은 변화는 보조정리 02T5를 적용하여 얻는 사상 \(b : U' \to U\)의 치역이 여집합의 여차원이 \(\geq 3\)인 열린집합 \(U \subset X\)라는 것이다. 따라서 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02RX에 의해 \(\CH_{n - 2}(U) = \CH_{n - 2}(X)\)이고, \(X\)를 \(U\)로 바꾸면 증명의 나머지는 변함없이 진행된다.

증명

\(\mathcal{I} = \mathcal{O}_X(-D)\)와 \(\mathcal{I}' = \mathcal{O}_X(-D')\)를 각각 \(D\)와 \(D'\)의 가역 아이디얼층이라 하자. 다음과 같이 나타낸다. \(\mathcal{I}_{D'} = \mathcal{I} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_{D'}\)이고 \(\mathcal{I}'_D = \mathcal{I}' \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_D\)이다. 포함사상 \(\mathcal{I} \to \mathcal{O}_X\)을 \(D'\)으로 제한하여 사상 \[\varphi : \mathcal{I}_{D'} \longrightarrow \mathcal{O}_{D'}\] 을 얻을 수 있고, 마찬가지로 \[\psi : \mathcal{I}'_D \longrightarrow \mathcal{O}_D\] 를 얻는다. 다음은 명백하다. \[\Coker(\varphi) \cong \mathcal{O}_{D \cap D'} \cong \Coker(\psi)\] 그리고 \[\Ker(\varphi) \cong \frac{\mathcal{I} \cap \mathcal{I}'}{\mathcal{I}\mathcal{I}'} \cong \Ker(\psi).\] 따라서 \(K_0(\textit{Coh}_{\leq n - 1}(X))\)에서 \[\gamma = [\mathcal{I}_{D'}] - [\mathcal{O}_{D'}] = [\mathcal{I}'_D] - [\mathcal{O}_D]\] 임을 알 수 있다. 한편 \[[\mathcal{I}'_D]_{n - 1} = [D]_{n - 1}, \quad [\mathcal{I}_{D'}]_{n - 1} = [D']_{n - 1}.\] 이고 \[\mathcal{O}_X(D') \otimes \mathcal{I}'_D = \mathcal{O}_D, \quad \mathcal{O}_X(D) \otimes \mathcal{I}_{D'} = \mathcal{O}_{D'}.\] 이다. 『Chow 호몰로지』의 보조정리 02SX를 두 번 적용하면, 이는 원소 \(\gamma\)가 \(B_{n - 2}(X)\)의 원소이고 \(c_1(\mathcal{O}_X(D')) \cap [D]_{n - 1}\)과 \(c_1(\mathcal{O}_X(D)) \cap [D']_{n - 1}\) 둘 다로 사상된다는 뜻이다. 따라서 결론이 나온다(사상 \(B_{n - 2}(X) \to \CH_{n - 2}(X)\)가 잘 정의된다는 것이 이 증명의 핵심이다).

정칙 고유 모형 위의 쌍대화 가군

『반안정 축소』의 상황 0C61에서 \(\omega_{X/R}^\bullet = f^!\mathcal{O}_{\Spec(R)}\)를 \(f : X \to \Spec(R)\)의 상대 쌍대화 복합체라 하자. 이는 『스킴의 쌍대성』의 주석 0B6S에서 도입되었다. 『반안정 축소』의 보조정리 0C60에 의해 \(f\)는 상대 차원 \(1\)인 Gorenstein 사상이므로 『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0C08, 0BV8, 0C06을 사용하면 어떤 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\omega_X\)에 대해 \[\omega_{X/R}^\bullet = \omega_X[1]\] 임을 알 수 있다. 이 가역 가군은 흔히 \(R\) 위의 \(X\)의 상대 쌍대화 가군이라고 불린다. \(R\)은 차원 \(1\)인 정칙(따라서 Gorenstein) 환이므로 \(\omega_R^\bullet = R[1]\)은 \(R\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다. 따라서 \(\omega_X = H^{-2}(f^!\omega_R^\bullet)\)이고, \(\omega_X\)가 상대 쌍대화 가군일 뿐 아니라 쌍대화 가군이기도 함을 알 수 있다. 『스킴의 쌍대성』의 예 0AWI를 보라. 그러므로 『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0AWP에 의해 \(\omega_X\)는 함자 \[\textit{Coh}(\mathcal{O}_X) \to \textit{Sets},\quad \mathcal{F} \mapsto \Hom_R(H^1(X, \mathcal{F}), R)\] 를 표현한다. 이는 『반안정 축소』의 상황 0C61에서 상대 쌍대화 가군을 정의하는 다른 방법을 준다. \(\omega_X\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다 (주어진 상대 차원의 임의의 고유 Gorenstein 사상에 대해). 이는 『스킴의 쌍대성』의 주석 0B6S에서 논의한 상대 쌍대화 복합체의 대응하는 사실에서 따르고, 그 사실은 『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0AAB로 거슬러 올라간다. 따라서 \(\omega_X\)는 『대수 곡선』의 보조정리 0BS3에서 논의한 \(K\) 위의 \(C\)의 쌍대화 가군 \(\omega_C\)로 당겨진다. 『대수 곡선』의 보조정리 0BS2에 의해 \(\omega_C\)는 \(\Omega_{C/K}\)와 동형임에 유의하자. 마찬가지로 \(\omega_X|_{X_k}\)는 \(k\) 위의 \(X_k\)의 쌍대화 가군 \(\omega_{X_k}\)이다.

보조정리

『반안정 축소』의 상황 0C61에서 \(k\) 위의 \(C_i\)의 쌍대화 가군은 \[\omega_{C_i} = \omega_X(C_i)|_{C_i}\] 이다. 여기서 \(\omega_X\)는 위와 같다.

증명

\(t : C_i \to X\)를 닫힌 몰입이라 하자. \(t\)는 유효 Cartier 인자의 포함이므로 『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0A9X와 0AA4에서, 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(t^!(\mathcal{L}) = \mathcal{L}(C_i)|_{C_i}\)임을 얻는다. 다음 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ C_i \ar[r]_t \ar[d]_g & X \ar[d]^f \\ \Spec(k) \ar[r]^s & \Spec(R) }\] \(C_i\)는 가역 쌍대화 가군 \(\omega_{C_i}\)를 갖는 Gorenstein 곡선이며 (『반안정 축소』의 보조정리 0C60), 이 가군은 성질 \(\omega_{C_i}[0] = g^!\mathcal{O}_{\Spec(k)}\)로 특징지어진다. 『대수 곡선』의 보조정리 0BS2과 그 증명, 그리고 보조정리 0BS3, 0BS6를 보라. 한편 \(s^!(R[1]) = k\)이고, 따라서 \[\omega_{C_i}[0] = g^! s^!(R[1]) = t^!f^!(R[1]) = t^!\omega_X\] 이다. 위 사실들을 결합하면 보조정리의 명제를 얻는다.

중복되거나 나뉜 참조

이 절은 중복된 결과들과, 전에는 여러 사실을 한꺼번에 말했지만 이제는 구성 부분들로 나뉜 참조들을 모아 두는 곳이다.

보조정리

\(X\)를 위상 공간이라 하자.

1. 준층의 범주에서 범주론적 전사상(각각 단사상)은 정확히 성분별로 전사(각각 단사)인 준층 사상이다.

2. 층의 범주에서 범주론적 전사상(각각 단사상)은 정확히 전사 (각각 단사)인 층 사상이고, 정확히 모든 줄기에서 전사(각각 단사)인 사상들이다.

3. 집합의 준층의 전사(각각 단사) 사상을 층화하면 전사(각각 단사)가 된다.

증명

『공간 위의 층』의 보조정리 0H7H와 0H7I를 결합하면 된다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고, \(X\)가 준콤팩트이고 준분리라고 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 그 유한형 준연접 부분가군들의 유향 쌍극한이다.

증명

이는 『스킴의 성질』의 보조정리 01PG와 중복된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 사상 \(\{\Spec(k) \to X \text{ 단사 사상}\} \to |X|\)은 단사이다.

증명

이는 『공간의 성질』의 보조정리 03E1과 중복된다.

정리

\(K\)가 체이고 \(S = \Spec(K)\)라 하자. \(\overline{s}\)를 \(S\)의 기하학적 점이라 하자. \(G = \text{Gal}_{\kappa(s)}\)를 절대 Galois 군이라 하자. 그러면 범주의 동치 \(\Sh(S_\etale) \to G\textit{-Sets}\), \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_{\overline{s}}\)가 있다.

증명

이는 『에탈 코호몰로지』의 정리 03QT와 중복된다.

주

중복된 태그 때문에 이곳에 도착했다. 실제 내용은 『형식 변형 이론』의 절 06I1을 보라.

보조정리

\(X\)를 국소 환 달린 공간이라 하자. 유한 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 직합인자는 유한 국소 자유이다.

증명

이는 『가군층』의 보조정리 0BCI와 중복된다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(E\)를 \(R\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(E\)는 단사 \(R\)-가군이고,

2. 아이디얼 \(I \subset R\)와 가군 준동형 \(\varphi : I \to E\)가 주어지면 \(\varphi\)를 확장하는 \(R\)-가군 준동형 \(R \to E\)가 존재한다.

증명

이는 Baer 판정법이다. 『단사 대상』의 보조정리 05NU를 보라.

보조정리

\(R\)을 국소환이라 하자.

1. \((M, N, \varphi, \psi)\)가 \(2\)-주기 복합체이고 \(M\), \(N\)의 길이가 유한이면 \(e_R(M, N, \varphi, \psi) = \text{length}_R(M) - \text{length}_R(N)\)이다.

2. \((M, \varphi, \psi)\)가 \((2, 1)\)-주기 복합체이고 \(M\)의 길이가 유한이면 \(e_R(M, \varphi, \psi) = 0\)이다.

3. \(2\)-주기 복합체의 짧은 완전열 \[0 \to (M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) \to (M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) \to (M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3) \to 0\] 이 주어졌다고 하자. 셋 가운데 둘의 코호몰로지 가군이 유한 길이를 가지면 셋째도 그러하며 \[e_R(M_2, N_2, \varphi_2, \psi_2) = e_R(M_1, N_1, \varphi_1, \psi_1) + e_R(M_3, N_3, \varphi_3, \psi_3).\] 이다.

증명

이는 『Chow 호몰로지』의 보조정리 0EA7와 0EA8에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I\)를 \(A\)-가군이라 하자.

1. \(I\)가 제곱 영 아이디얼인 환의 확대 \(0 \to I \to A' \to A \to 0\)들의 집합은 표준적으로 \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\)와 전단사이다.

2. 환 준동형 \(A \to B\), \(B\)-가군 \(N\), \(A\)-가군 준동형 \(c : I \to N\)과 다음 제곱 영 핵을 갖는 환의 확대들이 주어졌다고 하자.

   1. \(\alpha \in \Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, I)\)에 대응하는 \(0 \to I \to A' \to A \to 0\),

   2. \(\beta \in \Ext^1_B(\NL_{B/\mathbf{Z}}, N)\)에 대응하는 \(0 \to N \to B' \to B \to 0\).

   그러면 『변형 이론』의 등식 (08S4)에 들어가는 사상 \(A' \to B'\)가 존재할 필요충분조건은 \(\beta\)와 \(\alpha\)가 \(\Ext^1_A(\NL_{A/\mathbf{Z}}, N)\)의 같은 원소로 사상되는 것이다.

증명

이는 『변형 이론』의 보조정리 0GPT와 0GPV에서 따른다.

보조정리

\((S, \mathcal{O}_S)\)를 환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{J}\)를 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{J}\)가 제곱 영 아이디얼인 환의 층의 확대 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\)들의 집합은 표준적으로 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\)와 전단사이다.

2. 환 달린 공간의 사상 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\), \(f\)-사상 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)와 다음 제곱 영 핵을 갖는 환의 층의 확대들이 주어졌다고 하자.

   1. \(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_S}(\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\)에 대응하는 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S \to 0\),

   2. \(\beta \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(\NL_{X/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\)에 대응하는 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\).

   그러면 『변형 이론』의 등식 (08U7)에 들어가는 사상 \(X' \to S'\)이 존재할 필요충분조건은 \(\beta\)와 \(\alpha\)가 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\)의 같은 원소로 사상되는 것이다.

증명

이는 『변형 이론』의 보조정리 0GPZ와 0GQ1에서 따른다.

보조정리

\((\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)를 환 달린 토포스라 하고 \(\mathcal{J}\)를 \(\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{J}\)가 제곱 영 아이디얼인 환의 층의 확대 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\)들의 집합은 표준적으로 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\)와 전단사이다.

2. 환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}\), \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-가군 준동형 \(c : f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\)와 다음 제곱 영 핵을 갖는 환의 층의 확대들이 주어졌다고 하자.

   1. \(\alpha \in \Ext^1_{\mathcal{O}_\mathcal{B}}( \NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{J})\)에 대응하는 \(0 \to \mathcal{J} \to \mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \to \mathcal{O}_\mathcal{B} \to 0\),

   2. \(\beta \in \Ext^1_\mathcal{O}(\NL_{\mathcal{O}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\)에 대응하는 \(0 \to \mathcal{G} \to \mathcal{O}' \to \mathcal{O} \to 0\).

   그러면 『변형 이론』의 등식 (08UF)에 들어가는 사상 \((\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}') \to (\Sh(\mathcal{B}, \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\)가 존재할 필요충분조건은 \(\beta\)와 \(\alpha\)가 \(\Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathbf{Z}}, \mathcal{G})\)의 같은 원소로 사상되는 것이다.

증명

이는 『변형 이론』의 보조정리 0GQ5와 0GQ7에서 따른다.

주

이 태그는 전에는 변형 문제의 여러 예를 기술하는 한 절을 가리켰다. 이제는 각 예마다 독립된 절이 있다. 『변형 문제』의 절 0DVN, 0DVR, 0DVU, 0DVX를 보라.

보조정리

『변형 문제』의 예 0D3I, 0D3J, 0D3K, 0D3L는 Rim–Schlessinger 조건 (RS)를 만족한다.

증명

이는 『변형 문제』의 보조정리 0DVP, 0DVS, 0DVV, 0DVY에서 따른다.

보조정리

다음과 같은 표준 \(k\)-벡터 공간의 동일시들이 있다.

1. 『변형 문제』의 예 0D3I에서 \(x_0 = (k, V)\)이면 \(T_{x_0}\mathcal{F} = (0)\)이고 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{End}_k(V)\)이며, 이들은 유한 차원이다.

2. 『변형 문제』의 예 0D3J에서 \(x_0 = (k, V, \rho_0)\)이면 \(T_{x_0}\mathcal{F} = \Ext^1_{k[\Gamma]}(V, V) = H^1(\Gamma, \text{End}_k(V))\)이고 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0(\Gamma, \text{End}_k(V))\)이다. \(\Gamma\)가 유한 생성이면 이들은 유한 차원이다.

3. 『변형 문제』의 예 0D3K에서 \(x_0 = (k, V, \rho_0)\)이면 \(T_{x_0}\mathcal{F} = H^1_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\)이고 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = H^0_{cont}(\Gamma, \text{End}_k(V))\)이다. \(\Gamma\)가 위상적으로 유한 생성이면 이들은 유한 차원이다.

4. 『변형 문제』의 예 0D3L에서 \(x_0 = (k, P)\)이면 \(T_{x_0}\mathcal{F}\)와 \(\text{Inf}_{x_0}(\mathcal{F}) = \text{Der}_k(P, P)\)는 \(P\)가 \(k\) 위에서 유한 생성일 때 유한 차원이다.

증명

이는 『변형 문제』의 보조정리 0DVQ, 0DVT, 0DVW, 0DVZ에서 따른다.