射についてさらに

序論

本章では、スキームの射の性質に関する研究を続ける。 基本的な参考文献は [EGA] である。

肥厚化

以下の用語法は必ずしも完全に標準的ではないが、便利である。

定義

肥厚化について次のように定める。

1. スキーム \(X'\) がスキーム \(X\) の 肥厚化 であるとは、 \(X\) が \(X'\) の閉部分スキームであり、両者の基礎位相空間が 等しいことをいう。

2. スキーム \(X'\) がスキーム \(X\) の 一次肥厚化 であるとは、 \(X\) が \(X'\) の閉部分スキームであり、\(X\) を定める準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) の平方が零であることをいう。

3. スキーム \(X'\) がスキーム \(X\) の 有限次肥厚化 であるとは、 \(X\) が \(X'\) の閉部分スキームであり、\(X\) を定める準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) が冪零、すなわち \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\) を満たす整数 \(n \geq 0\) が存在することをいう。

4. スキーム \(X'\) がスキーム \(X\) の \(n\) 次肥厚化 であるとは、 \(X\) が \(X\) の閉部分スキームであり、\(X\) を定める準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) に対して \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\) が成り立つことをいう。

5. 二つの肥厚化 \(X \subset X'\) および \(Y \subset Y'\) が与えられたとき、 肥厚化の射 とは、\(f'(X) \subset Y\) を満たす射 \(f' : X' \to Y'\)、すなわち \(f'|_X\) が閉部分スキーム \(Y\) を経由する ような射をいう。この状況では \(f = f'|_X : X \to Y\) とおき、 \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を肥厚化の射と呼ぶ。

6. \(S\) をスキームとする。同様に \(S\) 上の肥厚化 および \(S\) 上の肥厚化の射 を定める。これは、上のスキーム \(X, X', Y, Y'\) が \(S\) 上のスキームであり、射 \(X \to X'\)、\(Y \to Y'\) および \(f' : X' \to Y'\) が \(S\) 上の射であることを意味する。

\(i_X : X \to X'\) を肥厚化とする。核 \(\mathcal{I} = \Ker(i_X^\sharp)\) の任意の局所切断は局所的に冪零である。 これにより \(\mathcal{O}_{X'}\) の構造をある程度制御できるが、技術的には 有限次肥厚化 \(X \subset X'\) の類の方がはるかに扱いやすい。

実際、\(X'\) が \(n\) 次肥厚化なら、フィルトレーション \[0 = \mathcal{I}^{n + 1} \subset \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\] があり、\(X'\) は閉部分空間の列 \[X = X_1 \subset X_2 \subset \ldots \subset X_n \subset X_{n + 1} = X'\] でフィルター付けされ、各対 \(X_i \subset X_{i + 1}\) は \(S\) 上の 一次肥厚化となる。簡単な帰納法を用いれば、一次肥厚化について証明された 多くの結果を有限次肥厚化についての結果として言い換えることができる。

一次肥厚化は次のように記述される （Modules, Lemma 01UP を参照）。

補題

\(X\) を基礎 \(S\) 上のスキームとする。\(X\) 上の層の短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] を考える。ここで \(\mathcal{A}\) は \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数の層、 \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\) は \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-代数の層の全射であり、\(\mathcal{I}\) はその核である。 次を仮定する。

1. \(\mathcal{I}\) は \(\mathcal{A}\) の平方零イデアルである。

2. \(\mathcal{I}\) は \(\mathcal{O}_X\)-加群として準連接である。

このとき \(X' = (X, \mathcal{A})\) はスキームであり、\(X \to X'\) は \(S\) 上の一次肥厚化である。さらに、\(S\) 上の任意の一次肥厚化は この形をしている。

証明

\(X'\) が局所環付き空間であることは明らかである。\(U = \Spec(B)\) を \(X\) のアフィン開集合とし、\(A = \Gamma(U, \mathcal{A})\) とおく。 \(H^1(U, \mathcal{I}) = 0\) であるから （Cohomology of Schemes, Lemma 01XB) \(A \to B\) は全射である。仮定により、その核 \(I = \mathcal{I}(U)\) は環 \(A\) の平方零イデアルである。 Schemes, Lemma 01I1 により、局所環付き空間の標準的な射 \[(U, \mathcal{A}|_U) \longrightarrow \Spec(A)\]

が写像 \(B \to \Gamma(U, \mathcal{A})\) から得られる。この射は可換図式 \[\xymatrix{ (U, \mathcal{O}_X|_U) \ar[d] \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ (U, \mathcal{A}|_U) \ar[r] & \Spec(A) }\] に入るので、基礎位相空間上の同相写像であることが分かる。 したがって、これが同型であることを示すには、局所環上に同型を 誘導することを確かめれば十分である。 素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に対応する \(u \in U\) に対し、 短完全列の可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & A_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & B_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}_u \ar[r] & \mathcal{A}_u \ar[r] & \mathcal{O}_{X, u} \ar[r] & 0. }\] を得る。\(\mathcal{I}\) と \(\mathcal{O}_X\) は準連接層なので、 左右の縦矢印は同型である。したがって中央の写像も同型である。 ゆえに \(X' = (X, \mathcal{A})\) の各点はアフィン近傍をもち、 \(X'\) は所望のスキームである。

補題

アフィンスキームの任意の肥厚化はアフィンである。

証明

これは Limits, Proposition 05YU の特別な場合である。

証明

\(X \subset X'\) を、\(X\) がアフィンである有限次肥厚化とする。 このとき Serre の判定法を用いて \(X'\) がアフィンであることを示せる。 より正確には、Cohomology of Schemes, Lemma 01XF を用いる。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_{X'}\)-加群とする。 \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\) を示せば十分である。与えられた閉埋め込みを \(i : X \to X'\) と書き、 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to i_*\mathcal{O}_X)\) とおく。有限次肥厚化についての先の議論 （Definition 04EX の直後）により、 ある \(n \geq 0\) と、準連接部分加群によるフィルトレーション \[0 = \mathcal{F}_{n + 1} \subset \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}_0 = \mathcal{F}\] が存在し、\(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}\) は \(\mathcal{I}\) によって零化される。実際、 \(\mathcal{F}_a = \mathcal{I}^a\mathcal{F}\) ととれる。このとき、ある準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{G}_a\) に対して \(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1} = i_*\mathcal{G}_a\) となる。 Morphisms, Lemma 01QY を参照せよ。 したがって \[H^1(X', \mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}) = H^1(X', i_*\mathcal{G}_a) = H^1(X, \mathcal{G}_a) = 0\] を得る。第二の等号は Cohomology of Schemes, Lemma 089W から、最後の等号は Cohomology of Schemes, Lemma 01XB から従う。 ゆえに \(\mathcal{F}\) は、各逐次商の第一コホモロジーが消える 有限フィルトレーションをもつので、簡単な帰納法により \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\) が従う。

補題

\(S \subset S'\) をスキームの肥厚化とする。射 \(X' \to S'\) をとり、 \(X = S \times_{S'} X'\) とおく。このとき \((X \subset X') \to (S \subset S')\) は肥厚化の射である。 \(S \subset S'\) が一次（それぞれ有限次）肥厚化ならば、 \(X \subset X'\) も一次（それぞれ有限次）肥厚化である。

証明

省略する。

補題

\(S \subset S'\) および \(S' \subset S''\) が肥厚化ならば、 \(S \subset S''\) も肥厚化である。

証明

省略する。

補題

肥厚化であるという性質は fpqc 局所的である。 一次肥厚化についても同様である。

証明

主張の意味は次の通りである。\(X \to X'\) をスキームの射とし、 \(\{g_i : X'_i \to X'\}\) を fpqc 被覆で、任意の \(i\) に対して 基底変換 \(X_i \to X'_i\) が肥厚化であるものとする。 このとき \(X \to X'\) は肥厚化である。射 \(g_i\) は共同全射なので、 \(X \to X'\) は全射である。さらに Descent, Lemma 02L6 により \(X \to X'\) は閉埋め込みである。したがって \(X \to X'\) は肥厚化である。一次肥厚化の場合の証明は省略する。

肥厚化の射

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) がスキームの肥厚化の射ならば、 射 \(f\) の性質が \(f'\) に受け継がれることが多い。いくつかの型がある。

補題

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) を肥厚化の射とする。このとき

1. \(f\) がアフィン射であることと \(f'\) がアフィン射であることは同値である。

2. \(f\) が全射であることと \(f'\) が全射であることは同値である。

3. \(f\) が準コンパクトであることと \(f'\) が準コンパクトであることは同値である。

4. \(f\) が普遍閉であることと \(f'\) が普遍閉であることは同値である。

5. \(f\) が整であることと \(f'\) が整であることは同値である。

6. \(f\) が（準）分離的であることと \(f'\) が（準）分離的であることは同値である。

7. \(f\) が普遍単射であることと \(f'\) が普遍単射であることは同値である。

8. \(f\) が普遍開であることと \(f'\) が普遍開であることは同値である。

9. \(f\) が準アフィンであることと \(f'\) が準アフィンであることは同値である。

10. ここにさらに追加する。

証明

\(S \to S'\) と \(X \to X'\) は普遍同相写像であることに注意する （例えば Morphisms, Lemma 054M を参照）。 これから直ちに (2), (3), (4), (7), (8) が従う。 (1) は Lemma 06AD から従う。実際この補題は、 \(S\) と \(S'\) のアフィン開集合の間、および \(X\) と \(X'\) のアフィン開集合の間に 一対一対応があることを述べている。(9) は Limits, Lemma 0B7L と、いま述べた \(S\) と \(S'\) のアフィン開集合に関する注意から従う。 (5) は (1), (4) と Morphisms, Lemma 01WM から従う。 最後に

\[S \times_X S = S \times_{X'} S \to S \times_{X'} S' \to S' \times_{X'} S'\] が肥厚化であることに注意する（二つの矢印は Lemma 09ZU により肥厚化である）。 したがって、肥厚化の射 \((S \subset S') \to (S \times_X S \to S' \times_{X'} S')\) に (3), (4) を適用すると (6) を得る。

補題

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) を肥厚化の射とする。 \(\mathcal{L}'\) を \(X'\) 上の可逆層とし、その \(X\) への制限を \(\mathcal{L}\) と書く。このとき、\(\mathcal{L}'\) が \(f'\)-豊富であることと \(\mathcal{L}\) が \(f\)-豊富であることは同値である。

証明

相対的豊富性は基礎の各アフィン開集合上の条件であることを思い出そう。 Morphisms, Definition 01VH を参照せよ。 Lemma 06AD により、\(S\) と \(S'\) の アフィン開集合の間には一対一対応がある。したがって \(S\) と \(S'\) は アフィンであると仮定してよく、\(\mathcal{L}'\) が豊富であることと \(\mathcal{L}\) が豊富であることが同値であると示すことに帰着する。 これは Limits, Lemma 09MW である。

補題

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) を \(X = S \times_{S'} X'\) を満たす肥厚化の射とする。 \(S \subset S'\) が有限次肥厚化ならば、次が成り立つ。

1. \(f\) が閉埋め込みであることと \(f'\) が閉埋め込みであることは同値である。

2. \(f\) が局所有限型であることと \(f'\) が局所有限型であることは同値である。

3. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは同値である。

4. \(f\) が相対次元 \(d\) の局所有限型であることと、\(f'\) が 相対次元 \(d\) の局所有限型であることは同値である。

5. \(\Omega_{X/S} = 0\) であることと \(\Omega_{X'/S'} = 0\) であることは 同値である。

6. \(f\) が不分岐であることと \(f'\) が不分岐であることは同値である。

7. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。

8. \(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値である。

9. \(f\) がモノ射であることと \(f'\) がモノ射であることは同値である。

10. \(f\) が埋め込みであることと \(f'\) が埋め込みであることは同値である。

11. ここにさらに追加する。

証明

補題に挙げた性質 \(\mathcal{P}\) はすべて基底変換で安定である。 したがって \(f'\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもてば \(f\) もこれをもつ。 Schemes, Lemmas 01JY および 02YC および Morphisms, Lemmas 01T4, 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4, および 01WL を参照せよ。

したがって各場合に本質的なのは、\(f\) がその性質をもつと仮定し、 \(f'\) もそれをもつと導く向きである。肥厚化の次数に関する帰納法により、 \(S \subset S'\) は一次肥厚化であると仮定してよい。 Definition 04EX 直後の議論を参照せよ。

証明の大部分ではアフィンの場合への帰着を用いる。

\(U' \subset S'\) をアフィン開集合、\(V' \subset X'\) を \(U'\) の上にある アフィン開集合とする。\(U' = \Spec(A')\) とし、閉部分スキーム \(U' \cap S\) を定めるイデアルを \(I \subset A'\) と書く。 \(V' = \Spec(B')\) とする。このとき \(V' \cap X = \Spec(B'/IB')\) である。 \(A = A'/I\) および \(B = B'/IB'\) とおくと、完全な行をもつ可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得て、\(I^2 = 0\) である。

(1) を代数に翻訳すると次のようになる。\(A \to B\) が全射ならば \(A' \to B'\) も全射である。これは Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）から従う。

(2) を代数に翻訳すると次のようになる。\(A \to B\) が有限型の環準同型ならば、 \(A' \to B'\) も有限型の環準同型である。これは \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) が全射となるような写像 \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B'\) に Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）を適用すれば従う。

(3) の証明。(2) と、局所有限型射の準有限性はファイバー上で 判定できることから従う。Morphisms, Lemma 01TH を参照せよ。

(4) の証明。(2) と、「相対次元 \(d\) である」という付加的性質が ファイバー上で判定できることから従う （定義により、Morphisms, Definition 02NJ を参照）。

(5) を代数に翻訳すると次のようになる。\(\Omega_{B/A} = 0\) ならば \(\Omega_{B'/A'} = 0\) である。 Algebra, Lemma 00RV により \(0 = \Omega_{B/A} = \Omega_{B'/A'}/I\Omega_{B'/A'}\) である。 したがって Nakayama の補題（Algebra, Lemma 00DV）により \(\Omega_{B'/A'} = 0\) となる。

(6) を代数に翻訳すると次のようになる。\(A \to B\) が不分岐ならば \(A' \to B'\) も不分岐である。\(A \to B\) は有限型なので、上の (2) により \(A' \to B'\) も有限型である。\(A \to B\) は不分岐だから \(\Omega_{B/A} = 0\) であり、(5) により \(\Omega_{B'/A'} = 0\) である。 したがって \(A' \to B'\) は不分岐である。

(7) の証明。(2)、Lemma 09ZV の結果、 および「固有」が 準コンパクト \(+\) 分離的 \(+\) 局所有限型 \(+\) 普遍閉 と同値であることを組み合わせれば従う。

(8) の証明。(2)、Lemma 09ZV の結果、 および「有限」が 整 \(+\) 局所有限型 と同値であることを用いれば従う （Morphisms, Lemma 01WJ）。

(9) の証明。\(f\) はモノ射なので \(X = X \times_S X\) である。 これまでに示した結果を肥厚化の射 \((X \subset X') \to (X \times_S X \subset X' \times_{S'} X')\) に適用できる。(1) により \(X' \to X' \times_{S'} X'\) は閉埋め込みである。 実際、これは一次肥厚化である。というのも、閉埋め込み \(X' \to X' \times_{S'} X'\) を定めるイデアルは、\(S'\) 内で \(S\) を 切り出すイデアル \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{S'}\) の引き戻しに 含まれるからである。実際、 \(X = X \times_S X = (X' \times_{S'} X') \times_{S'} S\) は \(X'\) に含まれる。したがって Morphisms, Lemma 08S2 により、\(\Omega_{X'/S'} = 0\) を示せば十分である。これは (5) と \(X/S\) に対する対応する主張から従う。

(10) の証明。\(f : X \to S\) が埋め込みならば、 \(X \to U \to S\) と分解する。ここで \(U \to S\) は開埋め込み、 \(X \to U\) は閉埋め込みである。\(U' \subset S'\) を、その基礎位相空間が \(U\) と同じである開部分スキームとする。このとき \(X' \to S'\) は \(U'\) を経由し、(1) により \(X' \to U'\) は閉埋め込みである。 これで証明が完了する。

次の補題は直前の補題の変種である。関係する肥厚化が有限次であると 仮定する代わりに（この仮定なら局所有限型という性質を \(f\) から \(f'\) へ移せる）、ここでは \(f\) と \(f'\) がともに局所有限型であることを 仮定する。

補題

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \to Y')\) を肥厚化の射とする。 \(f\) と \(f'\) は局所有限型であり、\(X = Y \times_{Y'} X'\) であると仮定する。 このとき次が成り立つ。

1. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは同値である。

2. \(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値である。

3. \(f\) が閉埋め込みであることと \(f'\) が閉埋め込みであることは同値である。

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\) であることと \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) であることは 同値である。

5. \(f\) が不分岐であることと \(f'\) が不分岐であることは同値である。

6. \(f\) がモノ射であることと \(f'\) がモノ射であることは同値である。

7. \(f\) が埋め込みであることと \(f'\) が埋め込みであることは同値である。

8. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。

9. ここにさらに追加する。

証明

補題に挙げた性質 \(\mathcal{P}\) はすべて基底変換で安定であるから、 \(f'\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもてば \(f\) もこれをもつ。 Schemes, Lemmas 01JY および 02YC ならびに Morphisms, Lemmas 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4, および 01WL を参照せよ。したがって各場合、\(f\) が所望の性質をもてば \(f'\) も それをもつことだけを示せばよい。

射が局所準有限であることと、それが局所有限型でありスキーム論的 ファイバーが離散空間であることは同値である。Morphisms, Lemma 06RT を参照せよ。 肥厚化へ移っても基礎位相空間は変わらないので、\(f'\) が局所準有限である ことと \(f\) が局所準有限であることは同値である。これで (1) が示された。

(2) は Lemma 09ZV の (5) と、 有限射が局所有限型の整射にほかならないことから従う （Morphisms, Lemma 01WJ）。

(3)。これは Morphisms, Lemma 0896 から直ちに従う。

(4) は次の代数的主張から従う。\(A\) を環、\(I \subset A\) を 局所的に冪零なイデアル、\(B\) を有限型 \(A\)-代数とする。 \(\Omega_{(B/IB)/(A/I)} = 0\) ならば \(\Omega_{B/A} = 0\) である。

実際、仮定は \(I\Omega_{B/A} = 0\) を意味する。 Algebra, Lemma 00RV を参照せよ。一方、\(\Omega_{B/A}\) は有限 \(B\)-加群である。 Algebra, Lemma 00RZ を参照せよ。したがって \(\Omega_{B/A}\) の消滅は Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）と、\(IB\) が \(B\) の Jacobson 根基に含まれることから従う。

(5) は (4) と Morphisms, Lemma 02G5 から直ちに従う。

(6) の証明。\(f\) はモノ射なので \(X = X \times_Y X\) である。 これまでに示した結果を肥厚化の射 \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\) に適用する。(3) により \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) は閉埋め込みである。 実際 \(\Delta_{X'/Y'}\) は基礎集合上の全単射なので、 \(\Delta_{X'/Y'}\) は肥厚化である。 一方、\(\Delta_{X'/Y'}\) は Morphisms, Lemma 0818 により局所有限表示である。言い換えると、 \(\Delta_{X'/Y'}(X')\) は有限型の準連接イデアル層 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{X' \times_{Y'} X'}\) によって 切り出される。(5) により \(\Omega_{X'/Y'} = 0\) なので、 \(X' \to X' \times_{Y'} X'\) の余法層は Morphisms, Lemma 08S2 により零である。すなわち \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\) である。 これから \(\Delta_{X'/Y'}\) は同型であることが従う。例えば Algebra, Lemma 00EH を用いればよい。

(7) の証明。\(f : X \to Y\) が埋め込みならば、 \(X \to V \to Y\) と分解する。ここで \(V \to Y\) は開埋め込み、 \(X \to V\) は閉埋め込みである。\(V' \subset Y'\) を、その基礎位相空間が \(V\) と同じである開部分スキームとする。

このとき \(X' \to V'\) は \(V'\) を経由し、(3) により \(X' \to V'\) は閉埋め込みである。

(8) は Lemma 09ZV と、 固有射とは準コンパクト、普遍閉かつ分離的な局所有限型射であるという 定義から従う。

肥厚化の Picard 群

肥厚化の Picard 群に関するいくつかの事実を述べる。

補題

\(X \subset X'\) をイデアル層 \(\mathcal{I}\) をもつ一次肥厚化とする。 このときアーベル群の標準的完全列 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}^*_X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^1(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \Pic(X') \ar[r] & \Pic(X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^2(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \ldots }\] がある。

証明

これはアーベル群の層の短完全列 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] に付随する長完全コホモロジー列である。ここで最初の写像は、 \(\mathcal{I}\) の局所切断 \(f\) を \(\mathcal{O}_{X'}\) の可逆切断 \(1 + f\) に送る。また、環付き空間の Picard 群と可逆関数の層の 第一コホモロジー群との同一視を用いる。Cohomology, Lemma 09NU を参照せよ。

補題

\(X \subset X'\) を肥厚化とし、\(n\) を \(\mathcal{O}_X\) において 可逆な整数とする。このとき写像 \(\Pic(X')[n] \to \Pic(X)[n]\) は全単射である。

証明

Definition 04EX の後で説明した一般原理により、 一次肥厚化の場合に帰着する。

Lemma 0C6R を用いると、 \(H^1(X, \mathcal{I})[n]\), \(H^1(X, \mathcal{I})/n\), および \(H^2(X, \mathcal{I})[n]\) が零であることを示せば十分だと分かる。 これは \(\mathcal{I}\) 上の \(n\) 倍写像が \(\mathcal{O}_X\)-加群としての同型であることから従う。

証明

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\) を \(X\) を切り出す 準連接イデアル層とする。このときアーベル群の短完全列 \[0 \to (1 + \mathcal{I})^* \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] がある。Lemma 0C6R の主張において \(H^i(X, \mathcal{I})\) を \(H^i(X, (1 + \mathcal{I})^*)\) で置き換えた 長完全コホモロジー列を得る。したがって \(n\) 乗写像が 同型 \((1 + \mathcal{I})^* \to (1 + \mathcal{I})^*\) であると示せばよい。 アフィン開集合上の切断をとれば、これは Algebra, Lemma 0CAP から従う。

無限小近傍

有限次肥厚化の自然な構成は次の通りである。

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。\(i\) によって \(Z\) が 閉部分スキーム \(Z \subset U\) と同一視されるような開部分スキーム \(U \subset X\) を選ぶ。\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) を \(U\) 内で \(Z\) を定める準連接イデアル層とする。\(n \geq 1\) に対し、 準連接イデアル層 \(\mathcal{I}^{n + 1}\) によって定まる閉部分スキーム \(Z_n \subset U\) を考えることができる。

定義

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。

1. \(X\) における \(Z\) の 一次無限小近傍 とは、上で記述した \(X\) 上の一次肥厚化 \(Z \subset Z_1\) のことである。

2. \(X\) における \(Z\) の \(n\) 次無限小近傍 とは、上で記述した \(X\) 上の \(n\) 次肥厚化 \(Z \subset Z_n\) のことである。

これらの肥厚化は次の普遍性をもつ（これにより、上の構成が開集合 \(U\) の選択に依存するのではないかという懸念は解消される）。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。

1. \(X\) における \(Z\) の一次無限小近傍 \(Z'\) は次の普遍性をもつ。 任意の可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] で \(T \subset T'\) が \(X\) 上の一次肥厚化であるものが与えられたとき、

   \(X\) 上の肥厚化の射 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) が一意に存在する。

2. \(n \geq 1\) に対し、\(X\) における \(Z\) の \(n\) 次無限小近傍 \(Z_n\) は 次の普遍性をもつ。任意の可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] で \(T \subset T'\) が \(X\) 上の \(n\) 次肥厚化であるものが与えられたとき、 \(X\) 上の肥厚化の射 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z_n)\) が一意に存在する。

証明

(1) のみを証明する。\(U \subset X\) を \(Z'\) の構成に用いた開集合、 すなわち \(Z\) が準連接イデアル層 \(\mathcal{I}\) で切り出される \(U\) の閉部分スキームと同一視されるような開集合とする。 \(|T| = |T'|\) なので \(b(T') \subset U\) である。したがって \(b\) を \(U\) への射とみなせる。\(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{T'}\) を \(T\) を切り出すイデアルとする。上の図式により \(b(T) \subset Z\) なので \(b^\sharp(b^{-1}\mathcal{I}) \subset \mathcal{J}\) である。 \(T'\) は \(T\) の一次肥厚化だから \(\mathcal{J}^2 = 0\) であり、 したがって \(b^\sharp(b^{-1}(\mathcal{I}^2)) = 0\) となる。 Schemes, Lemma 01HP により \(b\) は \(Z'\) を経由する。

この分解を \(a' : T' \to Z'\) と書けば、すべて明らかである。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとし、\(Z \subset Z'\) を \(X\) における \(Z\) の一次無限小近傍とする。このとき図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] は Morphisms, Lemma 01R4 により 余法層の写像 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) を誘導する。 この写像は同型である。

証明

これは上の \(Z'\) の構成から明らかである。

形式的不分岐射

環準同型 \(R \to A\) が 形式的不分岐 であるとは、任意の可換な実線図式 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] で \(I \subset B\) が平方零イデアルであるものに対し、図式を可換にする 点線矢印が高々一つ存在することをいう （Algebra, Definition 00UN を参照）。 これに動機づけられて、スキームの射に対する次の類似概念を定める。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。任意の可換な実線図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] で \(T \subset T'\) が \(S\) 上のアフィンスキームの一次肥厚化であるものに対し、 図式を可換にする点線矢印が高々一つ存在するとき、\(f\) は 形式的不分岐 であるという。

まず、対応する図式を描くだけで証明できるいくつかの形式的な補題を示す。

補題

\(f : X \to S\) を形式的不分岐射とする。このとき、任意の可換な実線図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] で \(T \subset T'\) が \(S\) 上のスキームの一次肥厚化であるものに対し、 図式を可換にする点線矢印は高々一つ存在する。言い換えると、 Definition 02H8 において \(T\) がアフィンであるという条件を除いてよい。

証明

射はアフィン開集合への制限によって決定されるからである。

補題

形式的不分岐射の合成は形式的不分岐である。

証明

これは形式的である。

補題

形式的不分岐射の基底変換は形式的不分岐である。

証明

これは形式的である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(U \subset X\) と \(V \subset S\) を \(f(U) \subset V\) を満たす開集合とする。\(f\) が形式的不分岐ならば、 \(f|_U : U \to V\) も形式的不分岐である。

証明

Definition 02H8 に現れる実線図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。

\(f\) が形式的に分岐しているならば、\(a'|_T = a\) を満たす \(S\)-射 \(a' : T' \to X\) は高々一つ存在する。 したがって、そのような \(U\) への射も明らかに高々一つしか存在しない。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定する。 このとき \(f\) が形式的不分岐であることと、環準同型 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) が形式的不分岐であることは 同値である。

証明

環の圏とアフィンスキームの圏の同値により、これは定義 （Definition 02H8 および Algebra, Definition 00UN） から直ちに従う。Schemes, Lemma 01I2 を参照せよ。

微分層による特徴づけは次の通りである。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。このとき \(f\) が形式的不分岐で あることと \(\Omega_{X/S} = 0\) であることは同値である。

証明

Morphisms, Lemma 01UT の証明の 議論の一部を思い出そう。\(W \subset X \times_S X\) を、 \(\Delta : X \to X \times_S X\) が \(W\) への閉埋め込みを誘導するような 開集合とする。\(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_W\) をこの閉埋め込みの イデアル層とし、\(X' \subset W\) を準連接イデアル層 \(\mathcal{J}^2\) によって定まる閉部分スキームとする。二つの射影 \(X \times_S X \to X\) によって誘導される二つの射 \(p_1, p_2 : X' \to X\) を考える。\(p_1\) と \(p_2\) は \(\Delta : X \to X'\) と合成すると一致すること、また

\(X \to X'\) は平方が零であるイデアルによって定まる閉埋め込みであることに 注意する。さらに短完全列 \[0 \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] があり、\(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) である。 さらに \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) は、\(\mathcal{O}_X\) の局所切断 \(f\) に対する局所切断 \(p_1^\sharp(f) - p_2^\sharp(f)\) で生成される。

\(f : X \to S\) が形式的不分岐であると仮定する。仮定により、 任意のアフィン開集合 \(T' \subset X'\) への制限上で \(p_1 = p_2\) である。 したがって \(p_1 = p_2\) であり、上の議論から \(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\) と結論できる。

逆に \(\Omega_{X/S} = 0\) と仮定する。このとき \(X' = X\) である。 Definition 02H8 の図式に点線矢印として 入る任意の二つの射 \(f'_1, f'_2 : T' \to X\) をとる。これらは射 \((f'_1, f'_2) : T' \to X \times_S X\) を与える。 \(f'_1|_T = f'_2|_T\) かつ \(|T| =|T'|\) なので、 \((f'_1, f'_2)\) による \(T'\) の像は上で選んだ開集合 \(W\) に含まれる。 \((f'_1, f'_2)(T) \subset \Delta(X)\) であり、\(T\) は \(T'\) 内で 平方零イデアルにより定まるので、\((f'_1, f'_2)\) は \(X'\) を経由する。 \(X' = X\) だから、所望の通り \(f_1' = f'_2\) を得る。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は形式的不分岐である。

2. 任意の \(x \in X\) に対し、\(f(U) \subset V\) かつ \(f|_U : U \to V\) が形式的不分岐となるような開集合 \(x \in U \subset X\) および \(f(x) \in V \subset Y\) が存在する。

3. \(f(U) \subset V\) を満たす任意のアフィン開集合の対 \(U \subset X\), \(V \subset Y\) に対し、環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は形式的不分岐である。

4. アフィン開被覆 \(Y = \bigcup V_j\) と、各 \(j\) に対するアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\) が存在して、すべての \(j\), \(i\) に対し

   環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) が形式的不分岐である。

証明

Lemmas 02HC と 02HD を組み合わせると (1) \(\Rightarrow\) (3) が分かる。(3) \(\Rightarrow\) (4) は明らかであり、 Lemma 02HD により (4) \(\Rightarrow\) (2) である。(2) が成り立つとする。このとき

Lemma 02H9 により \(\Omega_{X/S}\) は各点の近傍で消える （ここでは Morphisms, Lemma 01US も用いる）。 そこで Lemma 02H9 により \(f\) は形式的不分岐である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) は不分岐（それぞれ G-不分岐）である。

2. 射 \(f\) は局所有限型（それぞれ局所有限表示）かつ形式的不分岐である。

証明

Lemma 02H9 および Morphisms, Lemma 02G5 を用いる。

普遍一次肥厚化

\(h : Z \to X\) をスキームの射とする。\(X\) 上の \(Z\) の 普遍一次肥厚化 とは \(X\) 上の一次肥厚化 \(Z \subset Z'\) であって、 \(X\) 上の任意の一次肥厚化 \(T \subset T'\) と可換な実線図式 \[\xymatrix{ & Z \ar[ld] & & T \ar[rd] \ar[ll]^a \\ Z' \ar[rrd] & & & & T' \ar@{..>}[llll]_{a'} \ar[lld]^b \\ & & X }\] が与えられたとき、図式を可換にする点線矢印が一意に存在するものをいう。 この状況では \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) は \(X\) 上の肥厚化の射であることに注意する。したがって普遍一次肥厚化が 存在すれば、一意的同型を除いて一意である。一般には普遍一次肥厚化は 存在しないが、\(h\) が形式的不分岐ならば存在する。

補題

\(h : Z \to X\) をスキームの形式的不分岐射とする。このとき \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化 \(Z \subset Z'\) が存在する。

証明

この証明では、\(Z \subset Z'\) が補題の条件を満たすとき、 \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化であるという。まず Algebra, Lemma 04EB である アフィンの場合から始め、貼り合わせによって \(X\) 上の普遍一次肥厚化 \(Z \subset Z'\) を構成する。いくつかの一般的注意から始めよう。

\(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化が存在すれば、一意的同型を除いて一意である。 さらに \(V \subset Z\) と \(U \subset X\) を \(h(V) \subset U\) を満たす 開部分スキームとし、\(Z \subset Z'\) を \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化とする。 \(V' \subset Z'\) を \(V = Z \cap V'\) を満たす開部分スキームとする。 このとき \(V \subset V'\) は \(U\) 上の \(V\) の普遍一次肥厚化であると主張する。 実際、任意の図式 \[\xymatrix{ V \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ U & T' \ar[l]_b }\] で \(T \subset T'\) が \(U\) 上の一次肥厚化であるものを考える。 \(Z'\) の普遍性により \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\) を得る。 基礎位相空間の等式 \(|T| = |T'|\) があるので \(a'(T') \subset V'\) である。 したがって \((a, a')\) を \(U\) 上の肥厚化の射 \((a, a') : (T \subset T') \to (V \subset V')\) とみなせる。 一意性も明らかである。まったく同様に、\(h(Z) \subset U\) であり \(Z \subset Z'\) が \(U\) 上の普遍一次肥厚化ならば、\(Z \subset Z'\) は \(X\) 上の普遍一次肥厚化でもあることが示される。

アフィン部分を貼り合わせる前に、\(Z\) と \(X\) がアフィンの場合に 補題を示そう。\(X = \Spec(R)\), \(Z = \Spec(S)\) とする。 Algebra, Lemma 04EB により、図式 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] で \(T, T'\) がアフィンであるものに対して補題の普遍性をもつ \(X\) 上の一次肥厚化 \(Z \subset Z'\) が存在する。一般の図式に対しては アフィン開被覆 \(T' = \bigcup T'_i\) を選べば、 \(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\) を満たす \(X\) 上の射 \(a'_i : T'_i \to Z'\) を得る。一意性により \(a'_i\) と \(a'_j\) は \(T'_i \cap T'_j\) の任意のアフィン開集合上で一致する。 したがって射 \(a'_i\) は所望の \(X\) 上の大域射 \(a' : T' \to Z'\) に貼り合わさる。ゆえに \(X\) と \(Z\) がアフィンなら 補題は成り立つ。

\(Z_i\) がそれぞれ \(X\) のアフィン開集合 \(U_i\) に写るような アフィン開被覆 \(Z = \bigcup Z_i\) を選ぶ。 Lemma 02HC により射 \(Z_i \to U_i\) は形式的不分岐である。したがってアフィンの場合から、 \(U_i\) 上の普遍一次肥厚化 \(Z_i \subset Z_i'\) を得る。 上の一般的注意により、\(Z_i \subset Z_i'\) は \(X\) 上の \(Z_i\) の 普遍一次肥厚化でもある。\(Z'_{i, j} \subset Z'_i\) を \(Z_i \cap Z_j = Z'_{i, j} \cap Z_i\) を満たす開部分スキームとする。 一般的注意により、\(Z'_{i, j}\) と \(Z'_{j, i}\) はともに \(X\) 上の \(Z_i \cap Z_j\) の普遍一次肥厚化である。したがって最初の一般的注意から、 \(Z_i \cap Z_j\) 上に恒等写像を誘導する標準的同型 \(\varphi_{ij} : Z'_{i, j} \to Z'_{j, i}\) がある。 これらの射は Schemes, Section 01JA の コサイクル条件を満たすと主張する （確認は省略する。ヒント：\(Z'_{i, j} \cap Z'_{i, k}\) は \(Z_i \cap Z_j \cap Z_k\) の普遍一次肥厚化であり、上の議論により 一意的同型を除いて一意に定まることを用いる）。 したがって Schemes, Section 01JA の結果から、

\(Z_i = Z'_i \cap Z\) を満たす開部分スキーム \(Z'_i \subset Z'\) が \(X\) 上の \(Z_i\) の普遍一次肥厚化となるという性質をもつ \(X\) 上の一次肥厚化 \(Z \subset Z'\) を得る。

これから形式的に \(Z'\) が \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化であることが従う。 実際、図式 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] で \(a(T)\) がある \(Z_i\) に含まれるものに対しては普遍性が成り立つ。 一般の図式に対し、\(a(T_i) \subset Z_i\) となるような開被覆 \(T' = \bigcup T'_i\) を選べる。\(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\) を満たす \(X\) 上の射 \(a'_i : T'_i \to Z'\) を得る。\(a'_i|_{T'_i \cap T'_j}\) と \(a'_j|_{T'_i \cap T'_j}\) はともに、\(X\) 上の \(Z_i \cap Z_j\) の 普遍一次肥厚化 \(Z'_i \cap Z'_j\) への射を求める問題の解なので、 \(a'_i\) と \(a'_j\) は \(T'_i \cap T'_j\) 上で必ず一致する。 したがって射 \(a'_i\) は所望の \(X\) 上の大域射 \(a' : T' \to Z'\) に貼り合わさる。これで証明が完了する。

定義

\(h : Z \to X\) をスキームの形式的不分岐射とする。

1. \(X\) 上の \(Z\) の 普遍一次肥厚化 とは、 Lemma 04F3 で構成した肥厚化 \(Z \subset Z'\) のことである。

2. \(X\) 上の \(Z\) の余法層 とは、\(X\) 上の普遍一次肥厚化 \(Z'\) における \(Z\) の余法層のことである。

この状況では余法層をしばしば \(\mathcal{C}_{Z/X}\) と書く。

したがって \(Z\) 上の層の短完全列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] がある。次の補題は、この定義と \(Z \to X\) が埋め込みの場合の定義との間に 矛盾がないことを示す。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。このとき

1. \(i\) は形式的不分岐である。

2. \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化は、Definition 04EY における \(X\) 内の \(Z\) の一次無限小近傍である。

3. Morphisms, Definition 01R2 の意味での \(i\) の余法層は、Definition 04F4 の意味での \(i\) の余法層と一致する。

証明

Morphisms, Lemmas 02GB および 02GC により埋め込みは不分岐であり、したがって Lemma 02HE により形式的不分岐である。 他の主張は Lemmas 04EZ および 04F0 を定義と組み合わせれば従う。

補題

\(Z \to X\) をスキームの形式的不分岐射とする。このとき普遍一次肥厚化 \(Z'\) は \(X\) 上形式的不分岐である。

証明

二つの証明がある。第一の証明では、アフィン局所的に議論して Algebra, Lemma 04EF を適用し、\(\Omega_{Z'/X} = 0\) を示す。その後 Lemma 02H9 により所望の結果を得る。 第二の証明は次の直接的議論である。

\(T \subset T'\) を一次肥厚化とし、可換図式 \[\xymatrix{ Z' \ar[d] & T \ar[l]^c \ar[d] \\ X & T' \ar[l] \ar[lu]^{a, b} }\] をとる。図式に入る二つの射 \(a, b : T' \to Z'\) を考える。 \(T_0 = c^{-1}(Z) \subset T\) および \(T'_a = a^{-1}(Z)\) （スキーム論的に）とおく。\(Z'\) は \(Z\) の一次肥厚化なので、 \(T'\) は \(T'_a\) の一次肥厚化である。さらに \(c = a|_T\) だから \(T_0 = T \cap T'_a\)（スキーム論的に）である。\(T'\) は \(T\) の 一次肥厚化なので、\(T'_a\) は \(T_0\) の一次肥厚化である。 \(a|_{T'_a}\) と \(b|_{T'_a}\) は \(T'_a\) から \(Z'\) への \(X\) 上の射であり、 \(T_0\) 上では \(Z\) への射として一致する。したがって \(Z'\) の普遍性により \(a|_{T'_a} = b|_{T'_a}\) である。

ゆえに \(a\) と \(b\) は、\(T'_a\) の一次肥厚化 \(T'\) からの射であって、 \(T'_a\) への制限が \(Z\) への射として一致する。そこで \(Z'\) の普遍性を もう一度用いると \(a = b\) を得る。言い換えると、形式的不分岐射の 定義条件が所望の通り \(Z' \to X\) に対して成り立つ。

補題

スキームの可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] を考え、\(h\) と \(h'\) は形式的不分岐であるとする。\(Z \subset Z'\) を \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化、\(W \subset W'\) を \(Y\) 上の \(W\) の 普遍一次肥厚化とする。

次の可換図式に入る \(Y\) 上の肥厚化の標準的射 \((f, f') : (Z, Z') \to (W, W')\) が存在する。 \[\xymatrix{ & & & Z' \ar[ld] \ar[d]^{f'} \\ Z \ar[rr] \ar[d]_f \ar[rrru] & & X \ar[d] & W' \ar[ld] \\ W \ar[rrru]|!{[rr];[rruu]}\hole \ar[rr] & & Y }\] 特に、肥厚化の射 \((f, f')\) は余法層の射 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) を誘導する。

証明

第一の主張は \(W'\) の普遍性から明らかである。余法層上に誘導される写像は、 Morphisms, Lemma 01R4 を \((Z \subset Z') \to (W \subset W')\) に適用して得られる写像である。

補題

図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] をスキームの圏におけるファイバー積図式とし、\(h'\) は形式的不分岐であるとする。 このとき \(h\) は形式的不分岐である。また \(W \subset W'\) が \(Y\) 上の \(W\) の普遍一次肥厚化ならば、 \(Z = X \times_Y W \subset X \times_Y W'\) は \(X\) 上の \(Z\) の 普遍一次肥厚化である。特に Lemma 04F7 の標準的写像 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) は全射である。

証明

\(h\) は Lemma 02HB により 形式的不分岐である。\(X \times_Y W'\) が一次肥厚化であることは明らかである。 \(W'\) が普遍性をもつこととファイバー積の写像性質から、 これが普遍性をもつことも直ちに確かめられる。余法層の写像が 全射になることについては Morphisms, Lemma 0473 を参照せよ。

補題

図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] をスキームの圏におけるファイバー積図式とし、\(h'\) は形式的不分岐、 \(g\) は平坦であるとする。このとき、対応する普遍一次肥厚化の写像 \(Z' \to W'\) は平坦であり、 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\) は同型である。

証明

平坦性は基底変換で保たれる。Morphisms, Lemma 01U9 を参照せよ。したがって第一の主張は、

Lemma 04F8 における \(W'\) の記述から従う。\(X \times_Y W'\) が一次肥厚化であることは明らかである。 \(W'\) が普遍性をもつこととファイバー積の写像性質から、 これが普遍性をもつことも直ちに確かめられる。 これにより余法層の写像が同型となる理由については Morphisms, Lemma 0473 を参照せよ。

補題

普遍一次肥厚化をとる操作は開部分をとる操作と可換である。 より正確には、\(h : Z \to X\) をスキームの形式的不分岐射とし、 \(V \subset Z\), \(U \subset X\) を \(h(V) \subset U\) を満たす開集合とする。 \(Z'\) を \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化とする。このとき \(h|_V : V \to U\) は形式的不分岐であり、\(U\) 上の \(V\) の普遍一次肥厚化は \(V = Z \cap V'\) を満たす開部分スキーム \(V' \subset Z'\) である。 特に \(\mathcal{C}_{Z/X}|_V = \mathcal{C}_{V/U}\) である。

証明

第一の主張は Lemma 02HC である。 普遍肥厚化の整合性は Lemma 04F3 の証明、 Algebra, Lemma 04EE、 または Lemma 04F9 から導ける。

補題

\(h : Z \to X\) を \(S\) 上のスキームの形式的不分岐射とする。 \(Z \subset Z'\) を \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化とし、その構造射を \(h' : Z' \to X\) とする。標準的写像 \[c_{h'} : (h')^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{Z'/S}\] は同型 \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\) を誘導する。

証明

写像 \(c_{h'}\) は Morphisms, Lemma 01UV で定義された写像である。 \(i : Z \to Z'\) を与えられた閉埋め込みとすると、\(i^*c_{h'}\) は写像 \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\) である。 これが同型であることの確認は、局所化によりアフィンの場合に帰着する。 Lemma 04FA および Morphisms, Lemma 01US を参照せよ。この場合の結果は Algebra, Lemma 04EF である。

補題

\(h : Z \to X\) を \(S\) 上のスキームの形式的不分岐射とする。 標準的完全列 \[\mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] がある。ここで第一の矢印は \(\text{d}_{Z'/S}\) によって誘導され、 \(Z'\) は \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次近傍である。

証明

標準的完全列 \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] があることが分かっている。Morphisms, Lemma 01UZ を参照せよ。 したがって Lemma 04FB を適用すれば結果が従う。

補題

図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] をスキームの可換図式とし、\(i\) と \(j\) は形式的不分岐であるとする。 このとき標準的完全列 \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] がある。第一の矢印は Lemma 04F7 から、第二の矢印は Lemma 04FC から得られる。

証明

\(Z \to Z'\) を \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化、 \(Z \to Z''\) を \(Y\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化と書く。

Lemma 04FC により標準的射 \(Z' \to Z''\) があり、可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ & Z'' \ar[r] & Y }\] を得る。左の三角形に Morphisms, Lemma 067L を適用すると完全列 \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] を得る。\(Z''\) は \(Y\) 上形式的不分岐なので （Lemma 04F6 を参照）、

\(\Omega_{Z'/Z''} = \Omega_{Z/Y}\) と分かる（Lemma 02H9 と Morphisms, Lemma 01UX を 組み合わせる）。さらに Lemma 04FB により \((i')^*\Omega_{Z'/Y} = i^*\Omega_{X/Y}\) である。

補題

\(Z \to Y \to X\) をスキームの形式的不分岐射とする。

1. \(Z \subset Z'\) が \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化であり、 \(Y \subset Y'\) が \(X\) 上の \(Y\) の普遍一次肥厚化ならば、 射 \(Z' \to Y'\) が存在し、\(Y \times_{Y'} Z'\) は \(Y\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化である。

2. 標準的完全列 \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] がある。ここで写像は Lemma 04F7 から得られ、 \(i : Z \to Y\) は最初の射である。

証明

(1) の写像 \(h : Z' \to Y'\) は Lemma 04F7 から得られる。 \(Y \times_{Y'} Z'\) が \(Y\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化であることは、 \(Z'\) と \(Y'\) の普遍性から明らかである。 Morphisms, Lemma 062S により完全列 \[(i')^*\mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} \to 0\] がある。ここで \(i' : Z \to Y \times_{Y'} Z'\) は与えられた射である。 Morphisms, Lemma 0473 により全射 \(h^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'}\) が存在する。これを等式 \(\mathcal{C}_{Y/Y'} = \mathcal{C}_{Y/X}\), \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = \mathcal{C}_{Z/X}\), および \(\mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} = \mathcal{C}_{Z/Y}\) と組み合わせれば補題が従う。

形式的エタール射

環準同型 \(R \to A\) が 形式的エタール であるとは、任意の可換な実線図式 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] で \(I \subset B\) が平方零イデアルであるものに対し、図式を可換にする 点線矢印がちょうど一つ存在することをいう （Algebra, Definition 00UQ を参照）。 これに動機づけられて、スキームの射に対する次の類似概念を定める。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。任意の可換な実線図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] で \(T \subset T'\) が \(S\) 上のアフィンスキームの一次肥厚化であるものに対し、 図式を可換にする点線矢印がちょうど一つ存在するとき、\(f\) は 形式的エタール であるという。

形式的エタール射が形式的不分岐であることは明らかである。 したがって \(f : X \to S\) が形式的エタールならば \(\Omega_{X/S}\) は零である。Lemma 02H9 を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) を形式的エタール射とする。このとき任意の可換な実線図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] で \(T \subset T'\) が \(S\) 上のスキームの一次肥厚化であるものに対し、 図式を可換にする点線矢印がちょうど一つ存在する。言い換えると、 Definition 02HG において \(T\) がアフィンであるという条件を除いてよい。

証明

\(T' = \bigcup T'_i\) をアフィン開被覆とし、\(T_i = T \cap T'_i\) とおく。 図式に入る射 \(a'_i : T'_i \to X\) を得る。一意性により \(a'_i\) と \(a'_j\) は \(T'_i \cap T'_j\) の任意のアフィン開部分スキーム上で 一致する。したがって \(a'_i\) と \(a'_j\) は \(T'_i \cap T'_j\) 上で一致するので、 射 \(a'_i\) は 大域射 \(a' : T' \to X\) に貼り合わさる。\(a'\) の一意性は Lemma 04F1 で示した。

補題

形式的エタール射の合成は形式的エタールである。

証明

これは形式的である。

補題

形式的エタール射の基底変換は形式的エタールである。

証明

これは形式的である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(U \subset X\) と \(V \subset S\) を \(f(U) \subset V\) を満たす開部分スキームとする。\(f\) が形式的エタールならば、 \(f|_U : U \to V\) も形式的エタールである。

証明

Definition 02HG に現れる実線図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。

\(f\) が形式的に分岐しているならば、\(a'|_T = a\) を満たす \(S\)-射 \(a' : T' \to X\) がちょうど一つ存在する。 \(|T'| = |T|\) なので \(a'(T') \subset U\) となり、\(T'\) から \(U\) への 一意な射が得られる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は形式的エタールである。

2. \(f\) は形式的不分岐であり、\(S\) 上の \(X\) の普遍一次肥厚化は \(X\) に等しい。

3. \(f\) は形式的不分岐であり、\(\mathcal{C}_{X/S} = 0\) である。

4. \(\Omega_{X/S} = 0\) かつ \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\) である。

証明

実際、最後の主張が意味をなすのは、\(\Omega_{X/S} = 0\) ならば Lemma 02H9 および Definition 04F4 によって \(\mathcal{C}_{X/S}\) が定義されるからである。これから (3) と (4) が 同値であることも明らかになる。

(1), (2), (3) のいずれの仮定からも \(f\) が形式的不分岐であることが従う。 したがって \(f\) は形式的不分岐であると仮定してよい。

(1), (2), (3) の同値性は、\(S\) 上の \(X\) の普遍一次肥厚化 \(X'\) の普遍性と \(X = X' \Leftrightarrow \mathcal{C}_{X/S} = 0\) という事実から従う。 実際、定義により \(\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_{X/X'}\) は \(X'\) における \(X\) のイデアル層である。

補題

不分岐平坦射は形式的エタールである。

証明

\(X \to S\) は不分岐かつ平坦であるとする。このとき \(\Delta : X \to X \times_S X\) は開埋め込みである。Morphisms, Lemma 02GE を参照せよ。 \(\mathcal{C}_{X/S}\) が零であることを示さなければならない。 二つの射影 \(p, q : X \times_S X \to X\) を考える。 \(f\) は形式的不分岐なので （Lemma 02HE を参照）、 \(q\) も形式的不分岐である （Lemma 02HB を参照）。 \(f\) は平坦なので \(p\) も平坦である。Morphisms, Lemma 01U9 を参照せよ。したがって Lemma 04F9 により \(p^*\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_q\) である。ここで \(\mathcal{C}_q\) は形式的不分岐射 \(q : X \times_S X \to X\) の余法層を表す。 しかし \(\Delta(X) \subset X \times_S X\) は \(q\) によって \(X\) に 同型に写る開部分スキームである。したがって Lemma 04FA により \(\mathcal{C}_q|_{\Delta(X)} = \mathcal{C}_{X/X} = 0\) である。 言い換えると、恒等射による \(\mathcal{C}_{X/S}\) の \(X\) への引き戻しは 零である。すなわち \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\) である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定する。 このとき \(f\) が形式的エタールであることと、環準同型 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) が形式的エタールであることは 同値である。

証明

環の圏とアフィンスキームの圏の同値により、これは定義 （Definition 02HG および Algebra, Definition 00UQ）から直ちに従う。 Schemes, Lemma 01I2 を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は形式的エタールである。

2. 任意の \(x \in X\) に対し、\(f(U) \subset V\) を満たす開部分スキーム \(x \in U \subset X\) と \(f(x) \in V \subset Y\) が存在して、 \(f|_U : U \to V\) は形式的エタールである。

3. \(f(U) \subset V\) を満たす任意のアフィン開部分スキームの組 \(U \subset X\) と \(V \subset Y\) に対し、環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は形式的エタールである。

4. アフィン開被覆 \(Y = \bigcup V_j\) が存在し、各 \(j\) に対して \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\) はアフィン開被覆であり、すべての \(j\) と \(i\) に

   対して環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は形式的エタールである。

証明

Lemmas 02HK と 02HL を合わせると (1) \(\Rightarrow\) (3) を得る。 (3) \(\Rightarrow\) (4) は直ちに分かる。 Lemma 02HL により (4) \(\Rightarrow\) (2) である。 (2) が成り立つならば、Lemma 04FE （ここでは Morphisms, Lemma 01US および Lemma 04FA も用いる）により、

\(\Omega_{X/S}\) と \(\mathcal{C}_{X/S}\) は各点の近傍で消える。そこで

Lemma 04FE により \(f\) は形式的不分岐である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) はエタールである。

2. 射 \(f\) は局所有限表示かつ形式的エタールである。

証明

\(f\) がエタールであると仮定する。エタール射は局所有限表示、平坦、かつ 不分岐である。Morphisms, Section 02GH を参照せよ。 したがって \(f\) は局所有限表示かつ形式的エタールである。Lemma 04FF を参照せよ。

逆に、\(f\) は局所有限表示かつ形式的エタールであると仮定する。 エタールであることは \(X\) と \(S\) 上の Zariski 位相に関して局所的である。 Morphisms, Lemma 02GJ を参照せよ。 Lemma 02HK により、\(X\) をアフィン開部分スキーム \(U\) で被覆でき、各々はアフィン開部分スキーム \(V\) に写り、 \(U \to V\) は形式的エタールである（また有限表示でもある。Morphisms, Lemma 01TQ を参照せよ）。 Lemma 02HL により、環準同型 \(\mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U)\) は形式的エタールである （また有限表示でもある）。したがって Algebra, Lemma 00UR から結論を得る。 （この含意については、形式的滑らかな射を論じる際に別の証明も与える。）

写像の無限小変形

本節では、導分を用いて写像を無限小に動かす方法を説明する。 本節を通して、\(X\) の肥厚化 \(X'\) 上の層を \(X\) 上の層とみなせることを用いる。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(X \subset X'\) と \(Y \subset Y'\) を \(S\) 上の二つの一次肥厚化とする。 \((a, a'), (b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(S\) 上の肥厚化の二つの射とする。次を仮定する。

1. \(a = b\) である。

2. 二つの写像 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) （Morphisms, Lemma 01R4） は等しい。

このとき写像 \((a')^\sharp - (b')^\sharp\) は \[\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \xrightarrow{D} a_*\mathcal{C}_{X/X'} \to a_*\mathcal{O}_{X'}\] と因子分解する。ここで \(D\) は \(\mathcal{O}_S\)-導分である。

証明

\(Y\) 上ではなく \(X\) 上で考える。こうすると引き戻し関手 \(a^{-1}\) が完全であるという利点がある。(1) と (2) を用いると、 各行が完全な可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{X/X'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & a^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] \ar[u] & a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r] \ar@<1ex>[u]^{(a')^\sharp} \ar@<-1ex>[u]_{(b')^\sharp} & a^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得る。このような状況では、\(\mathcal{O}_S\)-代数準同型 \((a')^\sharp\) と \((b')^\sharp\) の差が \(a^{-1}\mathcal{O}_Y\) から \(\mathcal{C}_{X/X'}\) への \(\mathcal{O}_S\)-導分になるという一般的事実がある。 関手 \(a^{-1}\) と \(a_*\) の随伴性により、これは \(\mathcal{O}_Y\) から \(a_*\mathcal{C}_{X/X'}\) への \(\mathcal{O}_S\)-導分と同じものである。詳細の一部は省略する。

上の補題の状況では、\(D\) を [04BV]\[\begin{equation} D = \text{d}_{Y/S} \circ \theta \end{equation}\] と書けることに注意する。ここで \(\theta\) は \(\mathcal{O}_Y\)-線形写像 \(\theta : \Omega_{Y/S} \to a_*\mathcal{C}_{X/X'}\) である。 もちろん、このとき再び随伴性により \(\theta\) を \(\mathcal{O}_X\)-線形写像 \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) とみなせる。

補題

\(S\) をスキームとする。 \((a, a') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) を \(S\) 上の一次肥厚化の射とする。 \[\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\] を \(\mathcal{O}_X\)-線形写像とする。このとき、Lemma 04FG の (1) と (2) を満たし、 導分 \(D\) と \(\theta\) が Equation (04BV) で関係づけられるような 対の射 \((b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\) が一意に存在する。

証明

\(b = a\) とおき、\((b')^\sharp\) を写像 \[(a')^\sharp + D : a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] と定めればよい。ここで \(D\) は Equation (04BV) のものである。 \((b')^\sharp\) が \(\mathcal{O}_S\)-代数の層の写像であり、Lemma 04FG の (1) と (2) が成り立つことの確認は省略する。 Equation (04BV) は構成により成り立つ。

注意

仮定と記法は Lemma 02H5 と同じとする。 局所切断 \(\theta\) の \(a'\) への作用を \(\theta \cdot a'\) と表すことがある。 これは、\((a')^\sharp\) と \((\theta \cdot a')^\sharp\) の差が、 Equation (04BV) により \(\theta\) と関係づけられる導分 \(D\) であることを 意味するにすぎない。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(X \subset X'\) と \(Y \subset Y'\) を \(S\) 上の一次肥厚化とする。 射 \(a : X \to Y\) と \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) が与えられているとする。 開部分スキーム \(U' \subset X'\) に対し、次を満たす射 \(a' : U' \to Y'\) を考える。

1. \(a'\) は \(S\) 上の射である。

2. \(a'|_U = a|_U\) である。

3. 誘導される写像 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}|_U \to \mathcal{C}_{X/X'}|_U\) は \(A\) の \(U\) への制限である。

ここで \(U = X \cap U'\) とする。このとき規則 [04FI]\[\begin{equation} U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ で (1), (2), (3) を満たすもの}\} \end{equation}\] は \(X'\) 上の集合の層を定める。

証明

補題の規則を \(\mathcal{F}\) と表す。 \(V' \subset U' \subset X'\) に対する \(\mathcal{F}\) の制限写像 \(\mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(V')\) は、まさに制限写像 \(a' \mapsto a'|_{V'}\) である。この定義の下で、射は局所的に定まるので \(\mathcal{F}\) が層であることは明らかである。

次の補題では、\(X\) 上の層と \(X\) の任意の肥厚化上の層とを同一視する。

補題

記法と仮定は Lemma 04FH と同じとする。 層 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\] は層 (04FI) に作用する。さらに、層 (04FI) が切断をもつ任意の開部分スキーム \(U' \subset X'\) 上で、この作用は単純推移的である。

証明

これは Lemmas 04FG, 02H5, および 04FH を合わせたものである。

注意

Lemmas 04FG, 02H5, 04FH, および 04FJ の特別な場合として \(Y = Y'\) の場合がある。この場合、写像 \(A\) は常に零である。 Lemma 04FH の層は単に規則 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y\text{ は }S\text{ 上で } a'|_U = a|_U\text{ を満たす}\}\] で与えられ、層 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\) がこれに作用する。

注意

Lemmas 04FG, 02H5, 04FH, および 04FJ のもう一つの特別な場合として、\(S\) 自身が肥厚化 \(Z \subset Z' = S\) であり、 \(Y = Z \times_{Z'} Y'\) である場合がある。図式は \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar@{..>}[rr]_{(a, ?)} \ar[rd]_{(g, g')} & & (Y \subset Y') \ar[ld]^{(h, h')} \\ & (Z \subset Z') }\] この場合、写像 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) は \(a\) によって決まる。実際、写像 \(h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Y/Y'}\) は全射である （\(Y = Z \times_{Z'} Y'\) と仮定したためである）。したがって引き戻し \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} = a^*h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}\) は全射であり、合成 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) は \(g'\) によって誘導される標準写像でなければならない。したがって Lemma 04FH の層は単に規則 \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{ は }Z'\text{ 上で } a'|_U = a|_U\text{ を満たす}\}\] で与えられ、層 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/Z}, \mathcal{C}_{X/X'})\) がこれに作用する。

補題

\(S\) をスキームとする。\(X \subset X'\) を \(S\) 上の一次肥厚化とし、 \(Y\) を \(S\) 上のスキームとする。\(a', b' : X' \to Y\) を、 \(a = a'|_X = b'|_X\) を満たす \(S\) 上の二つの射とする。これにより可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_a & X' \ar[d]^{(b', a')} \\ Y \ar[r]^-{\Delta_{Y/S}} & Y \times_S Y }\] を得る。横の矢印は余法層がそれぞれ \(\mathcal{C}_{X/X'}\) と \(\Omega_{Y/S}\) である埋め込みなので、 Morphisms, Lemma 01R4 により写像 \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) を得る。この \(\theta\) と Lemma 04FG の導分 \(D\) は Equation (04BV) により関係づけられる。

証明

省略する。ヒント：等式はアフィン開部分スキーム上で確認でき、そこでは 次の計算から従う。\(f\) を \(\mathcal{O}_Y\) の局所切断とすると、 \(1 \otimes f - f \otimes 1\) は \(\text{d}_{Y/S}(f)\) に対応する \(\mathcal{C}_{Y/(Y \times_S Y)}\) の局所切断である。これは \(\mathcal{C}_{X/X'}\) の局所切断 \((a')^\sharp(f) - (b')^\sharp(f) = D(f)\) に写る。言い換えると、 \(\theta(\text{d}_{Y/S}(f)) = D(f)\) である。

後で用いるため、Lemma 02H5 の構成が エタール局所化と両立することを大まかに述べる結果が必要である。

補題

可換図式 \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] & X_2 \ar[l]^f \ar[d] \\ S_1 & S_2 \ar[l] }\] を考え、\(X_2 \to X_1\) と \(S_2 \to S_1\) はエタールであるとする。 このとき Morphisms, Lemma 01UV の写像 \(c_f : f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_2}\) は同型である。

証明

エタール射 \(U \to V\) は \(\Omega_{U/V} = 0\) を満たす滑らかな射であることを 思い出す。これを用いると、Morphisms, Lemma 01UX から \(\Omega_{X_2/S_2} = \Omega_{X_2/S_1}\) が従い、Morphisms, Lemma 02K4 から写像 \(f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_1}\) が同型であることが従う （ここで射 \(f\) は \(S_1\) 上の射とみなす）。よって補題が従う。

補題

一次肥厚化の可換図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ (T_2 \subset T_2') \ar[d]_{(h, h')} \ar[rr]_{(a_2, a_2')} & & (X_2 \subset X_2') \ar[d]^{(f, f')} \\ (T_1 \subset T_1') \ar[rr]^{(a_1, a_1')} & & (X_1 \subset X_1') } } \quad \begin{matrix} \text{およびスキームの} \\ \text{可換図式} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ X_2' \ar[r] \ar[d] & S_2 \ar[d] \\ X_1' \ar[r] & S_1 } }\] を考え、\(X_2 \to X_1\) と \(S_2 \to S_1\) はエタールであるとする。 任意の \(\mathcal{O}_{T_1}\)-線形写像 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\) に対し、 \(\theta_2\) を合成 \[\xymatrix{ a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \ar@{=}[r] & h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \ar[r]^-{h^*\theta_1} & h^*\mathcal{C}_{T_1/T'_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{T_2/T'_2} }\] とする（等号は証明で説明する）。このとき図式 \[\xymatrix{ T_2' \ar[rr]_{\theta_2 \cdot a_2'} \ar[d] & & X'_2 \ar[d] \\ T_1' \ar[rr]^{\theta_1 \cdot a_1'} & & X'_1 }\] は可換である。ここで作用 \(\theta_2 \cdot a_2'\) と \(\theta_1 \cdot a_1'\) は Remark 0CK1 のものである。

証明

等号は Lemma 04BX の同一視 \(f^*\Omega_{X_1/S_1} = \Omega_{X_2/S_2}\) から来る。すなわち、これを用いると \(a_2^*\Omega_{X_2/S_2} = a_2^*f^*\Omega_{X_1/S_1} = h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1}\) である。なぜなら \(f \circ a_2 = a_1 \circ h\) だからである。以上を踏まえると、図式の可換性は アフィン開部分スキーム上で確認できる。したがって、冒頭の大きな図式に現れる スキームはアフィンであると仮定してよい。こうして可換図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ (B'_2, I_2) & & (A'_2, J_2) \ar[ll]^{a_2'} \\ (B'_1, I_1) \ar[u]^{h'} & & (A'_1, J_1) \ar[ll]_{a_1'} \ar[u]_{f'} } } \quad\text{および}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A'_2 & & R_2 \ar[ll] \\ A'_1 \ar[u] & & R_1 \ar[ll] \ar[u] } }\] を得る。この記法は、\(I_1, I_2, J_1, J_2\) が平方零イデアルであり、 対の写像がイデアルをイデアルへ送る環準同型であることを表す。 \(A_1 = A'_1/J_1\), \(A_2 = A'_2/J_2\), \(B_1 = B'_1/I_1\), および \(B_2 = B'_2/I_2\) とおく。写像 \[A_2 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \longrightarrow \Omega_{A_2/R_2}\] が同型であることが与えられている。このとき \(\theta_1 : B_1 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \to I_1\) は \(B_1\)-線形である。これにより \(R_1\)-導分 \(D_1 = \theta_1 \circ \text{d}_{A_1/R_1} : A_1 \to I_1\) を得る。 同様に、 \(\theta_2 : B_2 \otimes_{A_2} \Omega_{A_2/R_2} \to I_2\) から \(R_2\)-導分 \(D_2 = \theta_2 \circ \text{d}_{A_2/R_2} : A_2 \to I_2\) を得る。 \(\theta_2\) の構成から \(\theta_1\) と \(\theta_2\) の間に次の両立性が従う。 任意の \(x \in A_1\) に対して \[h'(D_1(x)) = D_2(f'(x))\] \(I_2\) の元として等しい。\(D_1\) は、写像

\(A'_1 \to A_1 \xrightarrow{D_1} I_1 \to B_1\) を用いて \(A'_1 \to B'_1\) なる写像とみなせる。同様に \(D_2\) を \(A'_2 \to B'_2\) なる写像とみなせる。このとき表示した等式は \(x \in A'_1\) に対して成り立つ。 Lemma 02H5 および Remark 0CK1 における作用の構成により、 \(\theta_1 \cdot a_1'\) は環準同型 \(a_1' + D_1 : A'_1 \to B'_1\) に対応し、 \(\theta_2 \cdot a_2'\) は環準同型 \(a_2' + D_2 : A'_2 \to B'_2\) に対応する。 表示した等式により \(h' \circ (a_1' + D_1) = (a_2' + D_2) \circ f'\) を得る。これが求めるものである。

注意

Lemma 04BY は 次のように改良できる。Lemma 04BY と同じ可換図式があるが、 \(X_2 \to X_1\) と \(S_2 \to S_1\) がエタールであるとは仮定しないとする。 さらに、 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\) および \(\theta_2 : a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \to \mathcal{C}_{T_2/T'_2}\) があり、 \[\xymatrix{ f_*\mathcal{O}_{X_2} \ar[rr]_{f_*D_2} & & f_*a_{2, *}\mathcal{C}_{T_2/T_2'} \\ \mathcal{O}_{X_1} \ar[rr]^{D_1} \ar[u]^{f^\sharp} & & a_{1, *}\mathcal{C}_{T_1/T_1'} \ar[u]_{\text{次により誘導：}(h')^\sharp} }\] が可換であるとする。ここで \(D_i\) は Equation (04BV) と同様に \(\theta_i\) に対応する。このとき Lemma 04BY の結論が成り立つ。 \(X_2 \to X_1\) と \(S_2 \to S_1\) の両方がエタールであるという条件の重要性は、 \(\theta_1\) から \(\theta_2\) を構成できるようにする点にある。

スキームの無限小変形

次の簡単な補題は、写像の無限小変形が平坦かどうかを確認する際に 便利な道具となることが多い。

補題

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\) を一次肥厚化の射とする。 \(f\) は平坦であると仮定する。このとき次は同値である。

1. \(f'\) は平坦であり、\(X = S \times_{S'} X'\) である。

2. 標準写像 \(f^*\mathcal{C}_{S/S'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) は同型である。

証明

問題は \(X'\) 上で局所的なので、\(X, X', S, S'\) はアフィンスキームであると 仮定してよい。\(S' = \Spec(A')\), \(X' = \Spec(B')\), \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\) とし、ある平方零イデアルに対して \(A = A'/I\) および \(B = B'/J\) であるとする。このとき可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得、その各行は完全である。補題の標準写像は写像 \[I \otimes_A B = I \otimes_{A'} B' \longrightarrow J.\] である。\(f\) が平坦であるという仮定は、\(A \to B\) が平坦であることを意味する。

(1) を仮定する。このとき \(A' \to B'\) は平坦であり、\(J = IB'\) である。 平坦性から \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A) = 0\) が従う （Algebra, Lemma 00M5 を参照）。 これは \(I \otimes_{A'} B' \to B'\) が単射であることを意味する （Algebra, Remark 00M6 を参照）。 したがって \(I \otimes_A B \to J\) は同型である。

(2) を仮定する。このとき \(J = IB'\) が従うので \(X = S \times_{S'} X'\) である。さらに、前段落の含意を逆にたどると \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A'/I) = 0\) を得る。したがって Algebra, Lemma 051C により \(B'\) は \(A'\) 上平坦である。

次の補題は「ファイバーによる平坦性判定法」の「冪零」版である。 Section 039A を参照せよ。

補題

肥厚化の可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] を考える。次を仮定する。

1. \(X'\) は \(S'\) 上平坦である。

2. \(f\) は平坦である。

3. \(S \subset S'\) は有限次肥厚化である。

4. \(X = S \times_{S'} X'\) かつ \(Y = S \times_{S'} Y'\) である。

このとき \(f'\) は平坦であり、\(Y'\) は \(f'\) の像に属するすべての点で \(S'\) 上平坦である。

証明

Algebra, Lemma 06A5 の直ちに分かる帰結である。

スキームの射の多くの性質は平坦変形で保たれる。

補題

肥厚化の可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] を考える。\(S \subset S'\) は有限次肥厚化、\(X'\) は \(S'\) 上平坦、 \(X = S \times_{S'} X'\), かつ \(Y = S \times_{S'} Y'\) であると仮定する。 このとき次が成り立つ。

1. \(f\) が平坦であることと \(f'\) が平坦であることは同値である。 [06AH]

2. \(f\) が同型であることと \(f'\) が同型であることは同値である。 [06AI]

3. \(f\) が開埋め込みであることと \(f'\) が開埋め込みであることは同値である。 [06AJ]

4. \(f\) が準コンパクトであることと \(f'\) が準コンパクトであることは同値である。 [06AK]

5. \(f\) が普遍閉であることと \(f'\) が普遍閉であることは同値である。 [06AL]

6. \(f\) が（準）分離的であることと \(f'\) が（準）分離的であることは同値である。 [06AM]

7. \(f\) がモノ射であることと \(f'\) がモノ射であることは同値である。 [06AN]

8. \(f\) が全射であることと \(f'\) が全射であることは同値である。 [06AP]

9. \(f\) が普遍単射であることと \(f'\) が普遍単射であることは同値である。 [06AQ]

10. \(f\) がアフィンであることと \(f'\) がアフィンであることは同値である。 [06AR]

11. \(f\) が局所有限型であることと \(f'\) が局所有限型であることは同値である。

12. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは同値である。 [06AT]

13. \(f\) が局所有限表示であることと \(f'\) が局所有限表示であることは同値である。

14. \(f\) が相対次元 \(d\) の局所有限型であることと \(f'\) が相対次元 \(d\) の局所有限型であることは同値である。

15. \(f\) が普遍開であることと \(f'\) が普遍開であることは同値である。 [06AW]

16. \(f\) がシントミックであることと \(f'\) がシントミックであることは同値である。 [06AX]

17. \(f\) が滑らかであることと \(f'\) が滑らかであることは同値である。 [06AY]

18. \(f\) が不分岐であることと \(f'\) が不分岐であることは同値である。 [06AZ]

19. \(f\) がエタールであることと \(f'\) がエタールであることは同値である。 [06B0]

20. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。 [06B1]

21. \(f\) が整であることと \(f'\) が整であることは同値である。 [06B2]

22. \(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値である。 [06B3]

23. \(f\) が（階数 \(d\) の）有限局所自由であることと \(f'\) が（階数 \(d\) の）有限局所自由であることは同値である。

24. ここにさらに追加する。

証明

仮定された \(X\) と \(Y\) の条件は、\(f\) が \(f'\) の \(X \to X'\) による 基底変換であることを意味する。上の (1) – (23) に挙げた性質 \(\mathcal{P}\) はすべて基底変換で安定である。したがって \(f'\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもてば \(f\) もそれをもつ。次を参照せよ。 Schemes, Lemmas 01JY, 01K5, 01KU, および 02YC ならびに Morphisms, Lemmas 01S1, 0472, 01SD, 01T4, 01TM, 01TS, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL, および 02KD.

したがって各場合で興味深い向きは、\(f\) がその性質をもつと仮定して \(f'\) もそれをもつことを導く向きである。肥厚化の次数に関する帰納法により、 \(S \subset S'\) は一次肥厚化であると仮定してよい。Definition 04EX の直後の議論を参照せよ。以下の議論で断りなく用いる 一般的注意を二つ述べる。 (I) \(W' \subset S'\) をアフィン開部分スキームとし、 \(U' \subset X'\) と \(V' \subset Y'\) を \(W'\) 上にあり \(f'(U') \subset V'\) を満たすアフィン開部分スキームとする。 \(W' = \Spec(R')\) とおき、

\(I \subset R'\) を閉部分スキーム \(W' \cap S\) を定義するイデアルと表す。 \(U' = \Spec(B')\) および \(V' = \Spec(A')\) とする。このとき可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得、その各行は完全である。さらに \(IB' \cong I \otimes_R B\) である。 Lemma 063Y の証明を参照せよ。 (II) 射 \(X \to X'\) と \(Y \to Y'\) は普遍同相である。したがって写像 \(f\) と \(f'\) の位相は（任意の基底変換の後でも）同一である。 (III) \(f\) が平坦ならば \(f'\) は平坦であり、\(Y' \to S'\) は \(f'\) の像に属する すべての点で平坦である。Lemma 06AF を参照せよ。

(06AH) について。これは一般的注意 (III) である。

(06AI) について。\(f\) は同型であると仮定する。 (III) により \(Y' \to S'\) は平坦である。アフィン開部分スキーム \(V' \subset Y'\) を選び、\(U' = (f')^{-1}(V')\) とおく。このとき \(V = Y \cap V'\) はアフィンであるから \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\) はアフィンである。Lemma 06AD により \(U'\) はアフィンである。 したがって一般的注意 (I) のような図式を得る。さらに \(R' \to A'\) が平坦なので \(IA \cong I \otimes_R A\) である。よって \(IB' \cong I \otimes_R B \cong I \otimes_R A \cong IA'\) かつ \(A \cong B\) である。上の図式の各行の完全性から \(A' \cong B'\)、すなわち \(U' \cong V'\) を得る。したがって \(f'\) は同型である。

(06AJ) について。\(f\) は開埋め込みであると仮定する。 このとき \(f\) は \(X\) と開部分スキーム \(V \subset Y\) との同型である。 \(V' \subset Y'\) を、その台となる位相空間が \(V\) である開部分スキームとする。 すると \(f'\) は \(X'\) から \(V'\) への写像であり、 (06AI) により同型である。したがって \(f'\) は開埋め込みである。

(06AK) について。注意 (II) から直ちに従う。 より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06AL) について。注意 (II) から直ちに従う。 より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06AM) について。 \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\) なので \(X' \times_{Y'} X'\) は \(X \times_Y X\) の肥厚化であることに注意する。 したがって写像 \(\Delta_{X/Y}\) と \(\Delta_{X'/Y'}\) の位相は一致し、 結論を得る。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06AN) について。\(f\) はモノ射であると仮定する。 対角射 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) を考える。 \(\Delta_{X'/Y'}\) の \(S \to S'\) による基底変換は \(\Delta_{X/Y}\) であり、 仮定により同型である。(06AI) により \(\Delta_{X'/Y'}\) は同型であると結論する。

(06AP) について。これは明らかである。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06AQ) について。注意 (II) から直ちに従う。 より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06AR) について。\(f\) はアフィンであると仮定する。 アフィン開部分スキーム \(V' \subset Y'\) を選び、 \(U' = (f')^{-1}(V')\) とおく。このとき \(V = Y \cap V'\) はアフィンなので \(U = Y \times_{Y'} U'\) もアフィンである。Lemma 06AD により \(U'\) はアフィンである。 したがって \(f'\) はアフィンである。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06AS) について。注意 (I) により、\(A \to B\) が有限型ならば \(A' \to B'\) も有限型であることを示す問題に帰着する。 \(x_1, \ldots, x_n \in B'\) を、その \(B\) における像が \(A\)-代数として \(B\) を生成する元とする。

このとき \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\) は全射である。なぜなら \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\) と \(I \otimes_R A[x_1, \ldots, x_n] \to I \otimes_R B\) がともに全射だからである。 より一般的な主張については Lemma 09ZW も参照せよ。

(06AT) について。(06AS) と、 有限型射の準有限性はファイバー上で確認できるという事実から従う。 Morphisms, Lemma 01TH を参照せよ。より一般的な主張については Lemma 09ZW も参照せよ。

(06AU) について。注意 (I) により、 \(A \to B\) が有限表示ならば \(A' \to B'\) も有限表示であることを示す問題に帰着する。 (06AS) により、あるイデアル \(K'\) に対して \(B' = A'[x_1, \ldots, x_n]/K'\) であると仮定してよい。短完全列 \[0 \to K' \to A'[x_1, \ldots, x_n] \to B' \to 0\] を得る。\(B'\) は \(R'\) 上平坦なので、\(K' \otimes_{R'} R\) は全射 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) の核である。\(A \to B\) に関する仮定により、 \(A[x_1, \ldots, x_n]\) における像がこの核を生成する有限個の元 \(f'_1, \ldots, f'_m \in K'\) が存在する。\(I\) は冪零なので、Nakayama の補題により \(f'_1, \ldots, f'_m\) は \(K'\) を生成する。Algebra, Lemma 00DV を参照せよ。

(06AV) について。(06AS) と 一般的注意 (II) から従う。より一般的な主張については Lemma 09ZW も参照せよ。

(06AW) について。一般的注意 (II) から直ちに従う。 より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06AX) について。\(f\) はシントミックであると仮定する。 (06AU) により \(f'\) は局所有限表示であり、 一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦であり、\(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。したがって Morphisms, Lemma 01UF により \(f'\) はシントミックである。

(06AY) について。\(f\) は滑らかであると仮定する。 (06AU) により \(f'\) は局所有限表示であり、 一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦であり、\(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。したがって Morphisms, Lemma 01V8 により \(f'\) は滑らかである。

(06AZ) について。\(f\) は不分岐であると仮定する。 (06AS) により \(f'\) は局所有限型であり、 \(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。したがって Morphisms, Lemma 02G8 により \(f'\) は不分岐である。 より一般的な主張については Lemma 09ZW も参照せよ。

(06B0) について。\(f\) はエタールであると仮定する。 (06AU) により \(f'\) は局所有限表示であり、 一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦であり、\(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。したがって Morphisms, Lemma 02GM により \(f'\) はエタールである。

(06B1) について。これは (06AM), (06AS), (06AK), および (06AL) を合わせると従う。より一般的な主張については Lemma 09ZW も参照せよ。

(06B2) について。(06AL) と (06AR) を Morphisms, Lemma 01WM と合わせる。 より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(06B3) について。(06B2) と (06AS) を Morphisms, Lemma 01WJ と合わせる。より一般的な主張については Lemma 09ZW も参照せよ。

(06B4) について。\(f\) は有限局所自由であると仮定する。 (06B3) により \(f'\) は有限であり、一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦であり、(06AU) により \(f'\) は 局所有限表示である。したがって Morphisms, Lemma 02KB により \(f'\) は有限局所自由である。

次の補題は「ファイバーによる平坦性判定法」の「局所冪零」版である。 Section 039A を参照せよ。

補題

肥厚化の可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] を考える。次を仮定する。

1. \(Y' \to S'\) は局所有限型である。

2. \(X' \to S'\) は平坦かつ局所有限表示である。

3. \(f\) は平坦である。

4. \(X = S \times_{S'} X'\) かつ \(Y = S \times_{S'} Y'\) である。

このとき \(f'\) は平坦であり、\(f'\) の像に属するすべての \(y' \in Y'\) に対して、局所環 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\) は \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 上平坦かつ本質的有限表示である。

証明

Algebra, Lemma 0CEL の直ちに分かる帰結である。

スキームの射の多くの性質は、上の補題のような平坦変形で保たれる。

補題

肥厚化の可換図式 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] を考える。\(Y' \to S'\) は局所有限型、\(X' \to S'\) は平坦かつ局所有限表示、 \(X = S \times_{S'} X'\), かつ \(Y = S \times_{S'} Y'\) であると仮定する。 このとき次が成り立つ。

1. \(f\) が平坦であることと \(f'\) が平坦であることは同値である。 [0CF5]

2. \(f\) が同型であることと \(f'\) が同型であることは同値である。 [0CF6]

3. \(f\) が開埋め込みであることと \(f'\) が開埋め込みであることは同値である。 [0CF7]

4. \(f\) が準コンパクトであることと \(f'\) が準コンパクトであることは同値である。 [0CF8]

5. \(f\) が普遍閉であることと \(f'\) が普遍閉であることは同値である。 [0CF9]

6. \(f\) が（準）分離的であることと \(f'\) が（準）分離的であることは同値である。 [0CFA]

7. \(f\) がモノ射であることと \(f'\) がモノ射であることは同値である。 [0CFB]

8. \(f\) が全射であることと \(f'\) が全射であることは同値である。 [0CFC]

9. \(f\) が普遍単射であることと \(f'\) が普遍単射であることは同値である。 [0CFD]

10. \(f\) がアフィンであることと \(f'\) がアフィンであることは同値である。 [0CFE]

11. \(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは同値である。 [0CFF]

12. \(f\) が相対次元 \(d\) の局所有限型であることと \(f'\) が相対次元 \(d\) の局所有限型であることは同値である。

13. \(f\) が普遍開であることと \(f'\) が普遍開であることは同値である。 [0CFH]

14. \(f\) がシントミックであることと \(f'\) がシントミックであることは同値である。 [0CFI]

15. \(f\) が滑らかであることと \(f'\) が滑らかであることは同値である。 [0CFJ]

16. \(f\) が不分岐であることと \(f'\) が不分岐であることは同値である。 [0CFK]

17. \(f\) がエタールであることと \(f'\) がエタールであることは同値である。 [0CFL]

18. \(f\) が固有であることと \(f'\) が固有であることは同値である。 [0CFM]

19. \(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値である。 [0CFN]

20. \(f\) が（階数 \(d\) の）有限局所自由であることと \(f'\) が（階数 \(d\) の）有限局所自由であることは同値である。

21. ここにさらに追加する。

証明

仮定された \(X\) と \(Y\) の条件は、\(f\) が \(f'\) の \(X \to X'\) による 基底変換であることを意味する。上の (1) – (20) に挙げた性質 \(\mathcal{P}\) はすべて基底変換で安定である。したがって \(f'\) が性質 \(\mathcal{P}\) をもてば \(f\) もそれをもつ。次を参照せよ。 Schemes, Lemmas 01JY, 01K5, 01KU, および 02YC ならびに Morphisms, Lemmas 01S1, 0472, 01SD, 01TM, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL, および 02KD.

したがって各場合で興味深い向きは、\(f\) がその性質をもつと仮定して \(f'\) もそれをもつことを導く向きである。以下の議論で断りなく用いる 一般的注意を二つ述べる。 (I) \(W' \subset S'\) をアフィン開部分スキームとし、 \(U' \subset X'\) と \(V' \subset Y'\) を \(W'\) 上にあり \(f'(U') \subset V'\) を満たすアフィン開部分スキームとする。 \(W' = \Spec(R')\) とおき、

\(I \subset R'\) を閉部分スキーム \(W' \cap S\) を定義するイデアルと表す。 \(U' = \Spec(B')\) および \(V' = \Spec(A')\) とする。このとき可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を得、その各行は完全である。 (II) 射 \(X \to X'\) と \(Y \to Y'\) は普遍同相である。したがって写像 \(f\) と \(f'\) の位相は（任意の基底変換の後でも）同一である。 (III) \(f\) が平坦ならば \(f'\) は平坦であり、\(Y' \to S'\) は \(f'\) の像に属する すべての点で平坦である。次を参照せよ。

Lemma 06AF.

(0CF5) について。これは一般的注意 (III) である。

(0CF6) について。\(f\) は同型であると仮定する。 アフィン開部分スキーム \(V' \subset Y'\) を選び、 \(U' = (f')^{-1}(V')\) とおく。このとき \(V = Y \cap V'\) はアフィンであるから \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\) はアフィンである。Lemma 06AD により \(U'\) はアフィンである。 したがって一般的注意 (I) のような図式を得る。Algebra, Lemma 07RE により \(A' \to B'\) は同型、すなわち \(U' \cong V'\) である。 よって \(f'\) は同型である。

(0CF7) について。 \(f\) は開埋め込みであると仮定する。このとき \(f\) は \(X\) と 開部分スキーム \(V \subset Y\) との同型である。\(V' \subset Y'\) を、 その台となる位相空間が \(V\) である開部分スキームとする。 すると \(f'\) は \(X'\) から \(V'\) への写像であり、 (0CF6) により同型である。 したがって \(f'\) は開埋め込みである。

(0CF8) について。注意 (II) から直ちに従う。 より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(0CF9) について。 注意 (II) から直ちに従う。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(0CFA) について。 \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\) なので \(X' \times_{Y'} X'\) は \(X \times_Y X\) の肥厚化であることに注意する。 したがって写像 \(\Delta_{X/Y}\) と \(\Delta_{X'/Y'}\) の位相は一致し、 結論を得る。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(0CFB) について。\(f\) はモノ射であると仮定する。 対角射 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\) を考える。 \(X' \times_{Y'} X' \to S'\) は局所有限型であることに注意する。 \(\Delta_{X'/Y'}\) の \(S \to S'\) による基底変換は \(\Delta_{X/Y}\) であり、 仮定により同型である。(0CF6) により \(\Delta_{X'/Y'}\) は同型であると結論する。

(0CFC) について。これは明らかである。 より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(0CFD) について。 注意 (II) から直ちに従う。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(0CFE) について。\(f\) はアフィンであると仮定する。 アフィン開部分スキーム \(V' \subset Y'\) を選び、 \(U' = (f')^{-1}(V')\) とおく。このとき \(V = Y \cap V'\) はアフィンなので \(U = Y \times_{Y'} U'\) もアフィンである。Lemma 06AD により \(U'\) はアフィンである。 したがって \(f'\) はアフィンである。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(0CFF) について。\(f'\) が局所有限型であること （Morphisms, Lemma 01T8 による）と、 有限型射の準有限性はファイバー上で確認できることから従う。 Morphisms, Lemma 01TH を参照せよ。

(0CFG) について。 一般的注意 (II) と \(f'\) が局所有限型であること （Morphisms, Lemma 01T8） から従う。

(0CFH) について。 一般的注意 (II) から直ちに従う。より一般的な主張については Lemma 09ZV も参照せよ。

(0CFI) について。\(f\) はシントミックであると仮定する。 Morphisms, Lemma 02FV により \(f'\) は局所有限表示である。一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦である。 \(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。したがって Morphisms, Lemma 01UF により \(f'\) はシントミックである。

(0CFJ) について。\(f\) は滑らかであると仮定する。 Morphisms, Lemma 02FV により \(f'\) は局所有限表示である。一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦である。 \(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。したがって Morphisms, Lemma 01V8 により \(f'\) は滑らかである。

(0CFK) について。\(f\) は不分岐であると仮定する。 Morphisms, Lemma 01T8 により \(f'\) は局所有限型である。\(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。 したがって Morphisms, Lemma 02G8 により \(f'\) は不分岐である。

(0CFL) について。\(f\) はエタールであると仮定する。 Morphisms, Lemma 02FV により \(f'\) は局所有限表示である。一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦である。 \(f'\) のファイバーは \(f\) のファイバーである。したがって Morphisms, Lemma 02GM により \(f'\) はエタールである。

(0CFM) について。これは (0CFA)、\(f\) が局所有限型であるという事実 （Morphisms, Lemma 01T8）、 (0CF8)、および (0CF9) を合わせると従う。

(0CFN) について。 (0CF9), (0CFE), Morphisms, Lemma 01WM, \(f\) が局所有限型であるという事実 （Morphisms, Lemma 01T8）、および Morphisms, Lemma 01WJ を合わせる。

(0CFP) について。 \(f\) は有限局所自由であると仮定する。 (0CFN) により \(f'\) は有限である。 一般的注意 (III) により \(f'\) は平坦である。Morphisms, Lemma 02FV により \(f'\) は局所有限表示である。したがって Morphisms, Lemma 02KB により \(f'\) は有限局所自由である。

補題

\(f : X \to S\) を固有、平坦、かつ有限表示なスキームの射とする。 \(\mathcal{L}\) を \(f\)-豊富とし、\(S\) は準コンパクトであると仮定する。 ある \(d_0 \geq 0\) が存在して、任意の Cartesian 図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r]_{i'} \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ S \ar[r]^i & S' } } \quad\text{および}\quad \begin{matrix} \text{可逆 }\mathcal{O}_{X'}\text{-加群}\\ \mathcal{L}'\text{ で }\mathcal{L} \cong (i')^*\mathcal{L}'\text{ を満たすもの} \end{matrix}\] で、\(S \subset S'\) が肥厚化であり、\(f'\) が固有、平坦、かつ有限表示であるものに 対して、次が成り立つ。

1. すべての \(p > 0\) と \(d \geq d_0\) に対して \(R^p(f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\) である。

2. \(\mathcal{A}'_d = (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) は \(d \geq d_0\) に対して有限局所自由である。

3. \(\mathcal{A}' = \mathcal{O}_{S'} \oplus \bigoplus_{d \geq d_0} \mathcal{A}'_d\) は有限表示な準連接 \(\mathcal{O}_{S'}\)-代数である。

4. 標準同型 \(r' : X' \to \underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')\) が存在する。

5. 標準同型 \(\theta' : (r')^*\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')}(1) \to \mathcal{L}'\) が存在する。

\(\mathcal{A}'\), \(r'\), \(\theta'\) の構成は、データ \((X', S', i, i', f', \mathcal{L}')\) に関して関手的である。

証明

まず写像 \(r'\) と \(\theta'\) を記述する。 \(\mathcal{L}'\) は \(f'\)-豊富であることに注意する。Lemma 0D2R を参照せよ。 準連接次数付き \(\mathcal{O}_{S'}\)-代数の標準写像 \(\mathcal{A}' \to \bigoplus_{d \geq 0} (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) があり、これは次数 \(\geq d_0\) で同型である。 したがって、これは構造層の Serre 捻りと整合する相対 Proj 上の同型を誘導する。 Constructions, Lemma 07ZJ を参照せよ。ゆえに Morphisms, Lemma 01VJ （これはさらに Constructions, Lemma 01O9 で与えられる構成を用いる）により射 \(r'\) を得る。そしてこれは Morphisms, Lemma 0C6J により同型である。写像 \(\theta'\) は Constructions, Lemma 01O9 から得られる。 Properties, Lemma 01QI により \(\theta'\) は同型であることが分かる（ここではさらに、Morphisms, Lemma 0C6J の証明で説明されているように、 \(S'\) のアフィン開集合上の射 \(r'\) が Properties, Lemma 01PZ の射と同じであることを用いる）。

(1) と (2) で述べた消滅と局所自由性を仮定すれば、構成の関手性は 次のように分かる。\(h : T \to S'\) をスキームの射とし、 \(f_T : X'_T \to T\) を \(f'\) の基底変換、

\(\mathcal{L}_T\) を \(X'_T\) への \(\mathcal{L}\) の引き戻しと書く。 コホモロジーと基底変換（例えば Derived Categories of Schemes, Lemma 08IB の形）により、\(T\) 上でも 対応する消滅が成り立ち、さらに \(h^*\mathcal{A}'_d = f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d}\) である（したがって、押し出しの局所自由性と、対応する次数付き \(\mathcal{O}_T\)-代数 \(\mathcal{A}_T\) の有限生成性も成り立つ）。 ゆえに射

\(r_T : X_T \to \underline{\text{Proj}}_T(\bigoplus f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d})\) は単に \(r'\) の \(T\) への基底変換であり、\(\theta'\) の引き戻しは写像 \(\theta_T\) である。

以上から、(1)、(2)、(3) を証明すれば十分である。 すべての \(d \geq d_0\) と \(p > 0\) に対して \(R^pf_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\) となるように \(d_0\) を選ぶ。 Cohomology of Schemes, Lemma 0B5T を参照せよ。 この \(d_0\) が条件を満たすと主張する。

コホモロジーと基底変換（Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91）により、 \(E'_d = Rf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) は \(D(\mathcal{O}_{S'})\) の完全対象であり、その形成は任意の基底変換と可換である。 特に \(E_d = Li^*E'_d = Rf_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) である。 Derived Categories of Schemes, Lemma 0D4E により、\(d \geq d_0\) に対して 複体 \(E_d\) は、コホモロジー次数 \(0\) に置かれた有限局所自由 \(\mathcal{O}_S\)-加群 \(f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\) と同型である。 すると Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDK により、 \(E'_d\) はコホモロジー次数 \(0\) に置かれた有限局所自由加群と同型である。 もちろん、これは \(E'_d = \mathcal{A}'_d[0]\)、 \(p > 0\) に対して \(R^pf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\)、かつ \(\mathcal{A}'_d\) が有限局所自由であることを意味する。 これで (1) と (2) が証明された。

最後に示すべきことは、\(\mathcal{A}'\) が \(\mathcal{O}_{S'}\)-代数の層として 有限表示であることである（この概念は Properties, Section 01PD で導入された）。 \(U' = \Spec(R') \subset S'\) をアフィン開集合とする。 このとき \(A' = \mathcal{A}'(U')\) は次数付き \(R'\)-代数であり、 各次数部分は有限射影 \(R'\)-加群である。 \(A'\) が有限表示 \(R'\)-代数であることを示さなければならない。 これを Noetherian の場合への帰着によって証明する。実際、有限型 \(\mathbf{Z}\)-部分代数 \(R'_0 \subset R'\) と、\(R'_0\) 上の組 ¹ \((X'_0, \mathcal{L}'_0)\) で、その基底変換が \((X'_{U'}, \mathcal{L}'|_{X'_{U'}})\) となるものを見つけられる。Limits, Lemmas 01ZR, 0B8W, 081F, 04AI, および 09MT を参照せよ。 Cohomology of Schemes, Lemma 0B5T により \(A'_0 = \bigoplus_{d \geq 0} H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d})\) は有限生成次数付き \(R'_0\)-代数であり、さらに、\(d \geq d'_0\) に対する \(p > 0\) について \(H^p(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) = 0\) となる \(d'_0\) が存在する。 上の議論を \(X'_0 \to \Spec(R'_0)\) と \(\mathcal{L}'_0\) に適用すると、 \((A'_0)_d\) は有限射影 \(R'_0\)-加群であり、 \[A'_d = \mathcal{A}'_d(U') = H^0(X'_{U'}, (\mathcal{L}')^{\otimes d}|_{X'_{U'}}) = H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) \otimes_{R'_0} R' = (A'_0)_d \otimes_{R'_0} R'\] が \(d \geq d'_0\) に対して成り立つことが分かる。ここで議論上の小さな注意は、 \(d'_0\) を \(d_0\) に等しく選べるかどうかが分からないことである ²。 これを回避するため、次の一連の議論で証明を終える。

1. 代数 \(B = R'_0 \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} (A'_0)_d\) は有限型 \(R'_0\)-代数である。\(B \subset A'_0\) に Artin–Tate の補題を適用する。 Algebra, Lemma 00IS を参照せよ。

2. \(R'_0\) は Noetherian なので、\(B\) は有限表示 \(R'_0\)-代数である。

3. テンソル積の右完全性により、\(B \otimes_{R'_0} R'\) は 有限表示 \(R'\)-代数である。

4. 表示した等式により、これはちょうど \(C = R' \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} A'_d\) が有限表示 \(R'\)-代数であるということである。

5. 商 \(A'/C\) は有限射影 \(R'\)-加群 \(A'_d\)、 \(d_0 \leq d \leq \max(d_0, d'_0)\) の直和であるから、 \(R'\)-加群として有限表示である。

6. Algebra, Lemma 0561 により、商 \(A'/C\) は \(C\)-加群として有限表示である。

7. したがって Algebra, Lemma 0519 により、 \(A'\) は \(C\)-加群として有限表示である。

8. Algebra, Lemma 0D46 により、 これは \(A'\) が有限表示 \(C\)-代数であることを意味する。

9. 最後に、Algebra, Lemma 00F4 を \(R' \to C \to A'\) に適用すると、 \(A'\) は有限表示 \(R'\)-代数であると分かる。

これで証明が完了する。

形式的滑らかな射

滑らかさの微分判定法（例えば Morphisms, Lemma 01V9）に対する Michael Artin の立場は、 それらは（実際上）基本的に役に立たない、というものである。 この節では、形式的滑らかな射 \(X \to S\) の概念を導入する。 このような射は、\(T\) がアフィンならば \(X\) の \(T\)-値点が \(T\) の 無限小肥厚化へ持ち上がるという性質によって特徴づけられる。 主結果は、形式的滑らかかつ局所有限表示な射が滑らかであるというものである。 Lemma 02H6 を参照せよ。 この判定法は、上で述べた微分判定法よりもしばしば使いやすいことが分かる。

環準同型 \(R \to A\) が 形式的滑らか であるとは、任意の実線からなる可換図式 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] で \(I \subset B\) が平方零イデアルであるものに対し、図式を可換にする点線矢印が 存在することをいう（Algebra, Definition 00TI を参照）。これはスキームの射に対する 次の類似概念を動機づける。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。任意の実線からなる可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] で \(T \subset T'\) が \(S\) 上のアフィンスキームの一次肥厚化であるものに対し、 図式を可換にする点線矢印が存在するとき、\(f\) は 形式的滑らか であるという。

形式的不分岐射および形式的エタール射の場合には、\(T'\) がアフィンであるという 条件を外すことができた。Lemmas 04F1 および 04FD を参照せよ。 形式的滑らかな射の場合、これはもはや正しくない。 実際、点線矢印を \(T'\) 上 Zariski 局所的に補えるという条件の方が少し自然であろう。 Lemma 0D0F の証明を解析すると、この条件は現在の定義と 同値であることが分かる。特に、形式的滑らかであることは始域上 Zariski 局所的である （実際には始域上で滑らか局所的である。

ここに将来の参照を挿入する）。

補題

形式的滑らかな射の合成は形式的滑らかである。

証明

省略する。

補題

形式的滑らかな射の基底変換は形式的滑らかである。

証明

省略する。ただし代数版については Algebra, Lemma 00TJ を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。このとき \(f\) が形式的エタールであることと、 \(f\) が形式的滑らかかつ形式的不分岐であることは同値である。

証明

省略する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(U \subset X\) と \(V \subset S\) を、 \(f(U) \subset V\) を満たす開部分スキームとする。\(f\) が形式的滑らかならば、 \(f|_U : U \to V\) も形式的滑らかである。

証明

Definition 02H0 にあるような実線図式 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。\(f\) が形式的滑らかならば、\(a'|_T = a\) を満たす \(S\)-射 \(a' : T' \to X\) が存在する。\(T\) と \(T'\) の基礎集合は同じなので、 \(a'\) は \(U\) への射である（Schemes, Section 01HD を参照）。また、これは明らかに \(V\)-射でもある。したがって望ましい上の点線矢印を得る。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定する。 このとき \(f\) が形式的滑らかであることと、 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\) が形式的滑らかな環準同型であることは 同値である。

証明

環とアフィンスキームの圏の同値により、これは定義（Definition 02H0 および Algebra, Definition 00TI）から直ちに従う。 Schemes, Lemma 01I2 を参照せよ。

次の補題はこの節の主結果である。これは、Limits, Proposition 01ZC と合わせると、 射 \(f : X \to S\) が滑らかであるかどうかを関手 \(h_X : \Sch/S \to \textit{Sets}\) の「単純な」性質によって認識できることを 意味するという点で、関手的観点の勝利である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. 射 \(f\) は滑らかである。

2. 射 \(f\) は局所有限表示かつ形式的滑らかである。

証明

\(f : X \to S\) は局所有限表示かつ形式的滑らかであると仮定する。 \(f(U) \subset V\) を満たすアフィン開集合の組 \(\Spec(A) = U \subset X\) と \(\Spec(R) = V \subset S\) を考える。 Lemma 02H3 により \(U \to V\) は形式的滑らかである。 Lemma 02H4 により \(R \to A\) は形式的滑らかである。 Morphisms, Lemma 01TQ により \(R \to A\) は有限表示である。Algebra, Proposition 00TN により \(R \to A\) は滑らかである。 したがって滑らかな射の定義により \(X \to S\) は滑らかである。

逆に、\(f : X \to S\) は滑らかであると仮定する。Definition 02H0 にあるような実線からなる可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。点線矢印が存在することを示し、それにより \(f\) が形式的滑らかであることを 証明する。

Remark 04FK で論じた特別な場合について、 \(\mathcal{F}\) を Lemma 04FH の \(T'\) 上の集合の層とする。 また \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\] を、Lemma 04FJ の作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) をもつ \(\mathcal{O}_T\)-加群の層とする。目標は単に \(\mathcal{F}(T) \not = \emptyset\) を示すことである。言い換えれば、 \(\mathcal{F}\) が \(T\) 上の自明な \(\mathcal{H}\)-捩子であることを示そうとしている （Cohomology, Section 02FN を参照）。 二つの段階がある。(I) \(\mathcal{F}\) が捩子であることを示すには、すべての \(t \in T\) に対して \(\mathcal{F}_t \not = \emptyset\) を示さなければならない （Cohomology, Definition 02FO を参照）。 (II) \(\mathcal{F}\) が自明な捩子であることを示すには、 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\) を示せば十分である（Cohomology, Lemma 02FQ を参照。ここでは \(\mathcal{H}\) を Abel 層として みたコホモロジーと \(\mathcal{O}_T\)-加群としてみたコホモロジーのどちらを用いてもよい。 Cohomology, Lemma 01F1 を参照せよ）。

まず (I) を証明する。各 \(t \in T\) に対し、\(a(U)\) が、あるアフィン開集合 \(\Spec(R) = V \subset S\) へ写るアフィン開集合 \(\Spec(A) = W \subset X\) に含まれるような、\(t\) のアフィン開近傍 \(U \subset T\) を選べる。Morphisms, Lemma 01V6 により環準同型 \(R \to A\) は滑らかである。 したがって Algebra, Proposition 00TN により環準同型 \(R \to A\) は 形式的滑らかである。さらに Lemma 02H4 により \(W \to V\) は形式的滑らかである。ゆえに \(a|_U : U \to W\) を \(V\)-射 \(a' : U' \to W \subset X\) に持ち上げることができ、 \(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\) が示される。

最後に (II) を証明する。Morphisms, Lemma 01V3 により \(\Omega_{X/S}\) は有限表示である（実際、Morphisms, Lemma 02G1 により有限局所自由でさえある）。 したがって \(a^*\Omega_{X/S}\) は有限表示である（Modules, Lemma 01BQ を参照）。ゆえに層 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\) は、Schemes, Section 01LA の議論により準連接である。 したがって Cohomology of Schemes, Lemma 01XB により、望み通り \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\) である。

局所射影準連接加群は Properties, Section 05JN で定義される。

補題

\(f : X \to Y\) を形式的滑らかなスキームの射とする。 このとき \(\Omega_{X/Y}\) は \(X\) 上局所射影である。

証明

アフィン開集合 \(U \subset X\) と \(V \subset Y\) を、 \(f(U) \subset V\) となるように選ぶ。Lemma 02H3 により \(f|_U : U \to V\) は形式的滑らかである。したがって Lemma 02H4 により \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) は形式的滑らかな 環準同型である。ゆえに Algebra, Lemma 031I により、 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-加群 \(\Omega_{\Gamma(U, \mathcal{O}_U)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V)}\) は射影的である。したがって \(\Omega_{U/V}\) は局所射影である。 Properties, Section 05JN を参照せよ。

補題

\(T\) をアフィンスキームとする。\(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_T\)-加群とする。 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\). を考える。\(\mathcal{F}\) が局所射影ならば \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\) である。

証明

スキーム上の局所射影層の定義（Properties, Definition 05JP を参照）により、 \(\mathcal{F}\) は自由 \(\mathcal{O}_T\)-加群の直和因子である。 したがって \(\mathcal{F} = \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_T\) は自由加群であると 仮定してよい。この場合 \(\mathcal{H} = \prod_{i \in I} \mathcal{G}\) は 準連接加群の積である。Cohomology, Lemma 0D0A により \(H^1 = 0\) と結論する。 実際、アフィンスキーム上の準連接層のコホモロジーは零である。 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は形式的滑らかである。

2. すべての \(x \in X\) に対し、\(f(U) \subset V\) かつ \(f|_U : U \to V\) が形式的滑らかとなるような開集合 \(x \in U \subset X\) と \(f(x) \in V \subset Y\) が存在する。

3. \(f(U) \subset V\) を満たす任意のアフィン開集合の組 \(U \subset X\) と \(V \subset Y\) に対し、環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は形式的滑らかである。

4. アフィン開被覆 \(Y = \bigcup V_j\) と、各 \(j\) に対するアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\) が存在し、すべての \(j\) と \(i\) に対して

   \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) が形式的滑らかな環準同型である。

証明

含意 (1) \(\Rightarrow\) (2)、(1) \(\Rightarrow\) (3)、および (2) \(\Rightarrow\) (4) は Lemma

02H3 から従う。 含意 (3) \(\Rightarrow\) (4) は直ちに従う。

(4) を仮定する。\(f\) が形式的滑らかであることの証明は Lemma 02H6 の証明の後半と同じである。 Definition 02H0 にあるような実線からなる可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] を考える。点線矢印が存在することを示し、それにより \(f\) が形式的滑らかであることを 証明する。Remark 04FK で論じた特別な場合について、 \(\mathcal{F}\) を Lemma 04FH の \(T'\) 上の集合の層とする。また \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] を、Lemma 04FJ の作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) をもつ \(T\) 上の \(\mathcal{O}_T\)-加群の層とする。作用 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\) によって \(\mathcal{F}\) は擬 \(\mathcal{H}\)-捩子となる。Cohomology, Definition 02FO を参照せよ。 目標は \(\mathcal{F}\) が自明な \(\mathcal{H}\)-捩子であることを示すことである。 二つの段階がある。(I) \(\mathcal{F}\) が捩子であることを示すには、 \(\mathcal{F}\) が局所的に切断をもつことを示さなければならない。 (II) \(\mathcal{F}\) が自明な捩子であることを示すには、 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\) を示せば十分である。Cohomology, Lemma 02FQ を参照せよ。

まず (I) を証明する。各 \(t \in T\) に対し、ある \(i,j\) について \(a(W)\) が \(U_{ji}\) に含まれるような \(t\) のアフィン開近傍 \(W \subset T\) を選べる。\(W' \subset T'\) を対応する開部分スキームとする。 仮定 (4) により \(a|_W : W \to U_{ji}\) を \(V_j\)-射 \(a' : W' \to U_{ji}\) に持ち上げることができ、 \(\mathcal{F}(W')\) が空でないことが示される。

最後に (II) を証明する。Lemma 06B5 により、 \(\Omega_{U_{ji}/V_j}\) は局所射影である。

したがって Properties, Lemma 05JQ により \(\Omega_{X/Y}\) は局所射影である。さらに Properties, Lemma 060M により \(a^*\Omega_{X/Y}\) は局所射影である。ゆえに望み通り、Lemma 0D0E により \[H^1(T, \mathcal{H}) = H^1(T, \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})) = 0\] である。

補題

\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to S\) をスキームの射とする。 \(f\) は形式的滑らかであると仮定する。このとき \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] は短完全列である（Morphisms, Lemma 01UX を参照）。

証明

この補題の代数版は次の通りである。環準同型 \(A \to B \to C\) で \(B \to C\) が形式的滑らかなものが与えられたとき、Algebra, Lemma 00RS の列 \[0 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to \Omega_{C/B} \to 0\] は完全である。これは Algebra, Lemma 031K である。

補題

\(h : Z \to X\) を \(S\) 上の形式的不分岐なスキームの射とする。 \(Z\) は \(S\) 上形式的滑らかであると仮定する。このとき Lemma 04FC の標準完全列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] は短完全列である。

証明

\(Z \to Z'\) を \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化とする。 Lemma 04FC の証明から、 上の列は列 \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] と同一視される。\(Z \to S\) は形式的滑らかなので、\(Z'\) 上局所的に、 包含写像 \(Z \to Z'\) の \(S\) 上の左逆 \(Z' \to Z\) を見つけられる。 したがってこの列は局所分裂する。Morphisms, Lemma 0474 を参照せよ。

補題

可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d]^f \\ & Y }\] で \(i\) と \(j\) が形式的不分岐、\(f\) が形式的滑らかであるものを考える。 このとき Lemma 067V の標準完全列 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] は完全かつ局所分裂する。

証明

\(Z \to Z'\) を \(X\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化、 \(Z \to Z''\) を \(Y\) 上の \(Z\) の普遍一次肥厚化と書く。

Lemma 04FC により、 標準射 \(Z' \to Z''\) があり、可換図式

\[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r]_a \ar[d]^k & X \ar[d]^f \\ & Z'' \ar[r]^b & Y }\] を得る。Lemma 067V の証明において、 上の列を列 \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] と同一視した。\(U'' \subset Z''\) をアフィン開集合とする。 \(U \subset Z\) と \(U' \subset Z'\) を対応するアフィン開部分スキームと書く。 \(f\) は形式的滑らかなので、\(U\) 上で \(i\) と一致し、 \(f \circ h\) が \(b|_{U''}\) に等しい射 \(h : U'' \to X\) が存在する。 \(Z'\) は普遍一次肥厚化なので、

\(g = a \circ h\) を満たす一意な射 \(g : U'' \to Z'\) を得る。 \(Z''\) の普遍性により \(k \circ g\) は包含写像 \(U'' \to Z''\) である。 したがって \(g\) は \(k\) の左逆である。図式で表すと \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Z' \ar[d]^k \\ U'' \ar[r] \ar[ru]^g & Z'' }\] である。したがって \(g\) は写像 \(\mathcal{C}_{Z/Z'}|_U \to \mathcal{C}_{Z/Z''}|_U\) を誘導し、これは \(U\) 上の写像 \(\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\) の左逆である。

Noetherian 基底上の滑らかさ

基底が Noetherian ならば、形式的滑らかさの定式化における条件を弱められることが 分かる。ある意味で、次の補題群は変形理論の始まりである。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(x \in X\) とする。 \(S\) は局所 Noetherian であり、\(f\) は局所有限型であると仮定する。

次は同値である。

1. \(f\) は \(x\) において滑らかである。

2. 任意の実線からなる可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] で、\(B' \to B\) が局所環の全射、\(\Ker(B' \to B)\) が平方零、かつ \(\alpha\) が \(\Spec(B)\) の閉点を \(x\) に写すものに対し、図式を可換にする 点線矢印が存在する。

3. (2) と同じだが、\(B' \to B\) は小拡大全体を動く （Algebra, Definition 02HS を参照）。

4. (2) と同じだが、\(B' \to B\) は、\(\mathfrak m \subset B\) を極大イデアルとして \(\alpha\) が同型 \(\kappa(x) \to \kappa(\mathfrak m)\) を誘導するような小拡大全体を 動く。

証明

\(f(x)\) のアフィン近傍 \(V \subset S\) と、\(f(U) \subset V\) を満たす \(x\) のアフィン近傍 \(U \subset X\) を選ぶ。(2) にある任意の「試験」図式について、 射 \(\alpha\) は \(\Spec(B)\) を \(U\) に写し、射 \(\beta\) は \(\Spec(B')\) を \(V\) に写す （Schemes, Section 01J5 を参照）。 したがって、この補題はアフィン間の射 \(f|_U : U \to V\) に帰着する。 （実際、\(V\) は Noetherian で \(f|_U\) は有限型である。Properties, Lemma 01OW および Morphisms, Lemma 01T2 を参照せよ。） このアフィンの場合、補題は Algebra, Lemma 02HT と同一である。

持ち上げ判定法を、有限型点を「中心とする」小拡大についてだけ確認すればよいと 知ることが有用な場合がある（Morphisms, Section 01T9 を参照）。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(S\) は局所 Noetherian であり、 \(f\) は局所有限型であると仮定する。次は同値である。

1. \(f\) は滑らかである。

2. 任意の実線からなる可換図式 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] で、\(B' \to B\) が Artin 局所環の小拡大、かつ \(\beta\) が有限型（！）であるものに 対し、図式を可換にする点線矢印が存在する。

証明

\(f\) が滑らかならば、無限小持ち上げ判定法（Lemma 02H6）により \(f\) は形式的滑らかであり、(2) が成り立つ。

(2) を仮定する。\(f\) が滑らかでない点 \(x \in X\) の集合は \(X\) の閉部分集合 \(T\) をなす。Morphisms, Section 01T9 の議論により、 \(T \not = \emptyset\) ならば射 \[\Spec(\kappa(x)) \to X \to S\] が有限型となる点 \(x \in T \subset X\) が存在する（すなわち、\(X\) のあるアフィン開集合で 閉じている \(T\) の任意の点 \(x\) を選ぶ）。Morphisms, Lemma 02HV により、剰余体が \(\kappa(x)\) である 任意の Artin 局所環 \(B'\) に対し、任意の射 \(\beta : \Spec(B') \to S\) は有限型である。したがって Lemma 02HX の (4) で用いるすべての図式は、 現在の補題の (2) にある図式に対応することが分かる。 ゆえに \(X \to S\) は \(x\) において滑らかであり、矛盾する。

次は有用な応用である。

補題

\(f : X \to S\) を局所 Noetherian スキームの有限型射とする。 \(Z \subset S\) を閉部分スキームとし、その \(n\) 次無限小近傍を \(Z_n \subset S\) とする。\(X_n = Z_n \times_S X\) とおく。

1. すべての \(n\) に対して \(X_n \to Z_n\) が滑らかならば、\(f\) は \(f^{-1}(Z)\) のすべての点で滑らかである。

2. すべての \(n\) に対して \(X_n \to Z_n\) がエタールならば、\(f\) は \(f^{-1}(Z)\) のすべての点でエタールである。

証明

すべての \(n\) に対して \(X_n \to Z_n\) は滑らかであると仮定する。 \(x \in X\) を \(Z\) のある点の上にある点とする。Lemma 02HX の (3) にある小拡大 \(B' \to B\) と射 \(\alpha\), \(\beta\) が与えられたとする。 \(B'\) の極大イデアルは冪零である（\(B'\) は Artin 環なので）。したがって、適当な \(n\) に対し 射 \(\beta\) は \(Z_n\) を経由し、\(\alpha\) は \(X_n\) を経由する。 そこで \(X_n \to Z_n\) の持ち上げ性を使えば、図式内の望ましい点線矢印を得る。 これで (1) が証明された。(2) は (1) と、射がエタールであることと相対次元 \(0\) で 滑らかであることが同値であるという事実から従う。

補題

\(f : X \to S\) を局所 Noetherian スキームの射とする。 \(Z \subset S\) を閉部分スキームとし、その \(n\) 次無限小近傍を \(Z_n \subset S\) とする。\(X_n = Z_n \times_S X\) とおく。 すべての \(n\) に対して \(X_n \to Z_n\) が平坦ならば、\(f\) は \(f^{-1}(Z)\) のすべての点で平坦である。

証明

これは Algebra, Lemma 0523 を スキームの言葉に翻訳したものである。

素朴な余接複体

この節は Modules, Section 08TG の続きであり、 その節はさらに Algebra, Section 00S0 の議論を 継続するものである。

定義

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) の素朴な余接複体とは、 Modules, Definition 08TN で定義された 複体をいう。記法は \(\NL_f\) または \(\NL_{X/Y}\) とする。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(\Spec(A) = U \subset X\) と

\(\Spec(R) = V \subset S\) を \(f(U) \subset V\) を満たすアフィン開集合とする。 複体の標準写像 \[\widetilde{\NL_{A/R}} \longrightarrow \NL_{X/Y}|_U\] があり、これは \(D(\mathcal{O}_U)\) で同型である。

証明

Modules, Section 08TG における \(\NL_{X/Y}\) の構成から、\(A = \mathcal{O}_X(U)\)-加群の複体の標準写像 \(\NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)} \to \NL_{X/Y}(U)\) があり、さらなる制限と整合することが分かる。標準写像 \(R \to f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)\) を用いて、\(A\)-加群の複体の標準写像 \(\NL_{A/R} \to \NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)}\) を得る。関手 \(\widetilde{\ }\) の普遍性（Schemes, Lemma 01I7 を参照）を用いると、補題の主張にある 写像を得る。この写像がコホモロジー層上で同型であることは、茎上で同型を誘導することを 確認すれば判定できる。これは Algebra, Lemmas 07BS および 00S7、ならびに Modules, Lemma 0D09 から従う（また、点 \(\mathfrak p \in \Spec(A)\) における \(\mathcal{O}_X\) と \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\) の茎はそれぞれ \(A_\mathfrak p\) と \(R_\mathfrak q\) である。ここで \(\mathfrak q = R \cap \mathfrak p\) であり、 用いる参照は Schemes, Lemma 01HV および Sheaves, Lemma 008H である）。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。複体 \(\NL_{X/Y}\) のコホモロジー層は 準連接であり、次数 \(-1\), \(0\) 以外では零であり、次数 \(0\) では \(\Omega_{X/Y}\) に等しい。

証明

Modules, Section 08TG における素朴な余接複体の 構成により、\(\NL_{X/Y}\) は次数 \(-1\), \(0\) にある複体であり、その次数 \(0\) の コホモロジーは \(\Omega_{X/Y}\) である。微分層は準連接である （Morphisms, Lemma 08S2 による）。 証明を終えるには \(H^{-1}(\NL_{X/Y})\) が準連接であることを示せば十分である。 これは Lemma 0D0I を用いてアフィン上で確認すれば従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) が局所有限表示ならば、 \(\NL_{X/Y}\) は \(X\) 上局所的に準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の複体 \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F}^{-1} \to \mathcal{F}^0 \to 0 \to \ldots\] で、\(\mathcal{F}^0\) が有限表示、\(\mathcal{F}^{-1}\) が有限型であるものと 擬同型である。

証明

Lemma 0D0I により、\(R \to A\) が有限表示な環準同型ならば \(\NL_{A/R}\) がこの形をもつことを示せば十分である。 \(I\) が有限生成となるように \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\) と書く。 このとき \(I/I^2\) は有限 \(A\)-加群であり、Algebra, Section 00S0、特に Algebra, Lemma 00S1 により \(\NL_{A/R}\) は \[\ldots \to 0 \to I/I^2 \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A\text{d}x_i \to 0 \to \ldots\] と擬同型である。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は形式的滑らかである。

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) であり、 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) は局所射影である。

証明

これは Algebra, Proposition 031J および Lemma 0D0F から従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は形式的エタールである。

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\).

証明

形式的エタール射は形式的滑らかなので、Lemma 0D0L により \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) である。一方、Lemma 04FE により \(\Omega_{X/Y} = 0\) である。 逆に (2) が成り立つならば、\(f\) は Lemma 0D0L により形式的滑らかであり、Lemma 02H9 により形式的不分岐である。 したがって Lemmas

02HH により形式的エタールである。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) は滑らかである。

2. \(f\) は局所有限表示であり、\(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) であり、 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\) は有限局所自由である。

証明

これは滑らかな環準同型の定義（Algebra, Definition 00T2）、Lemma 0D0I、および 滑らかなスキームの射の定義（Morphisms, Definition 01V5）から従う。また、環上の加群について 有限局所自由と有限射影が同じであることも用いる（Algebra, Lemma 00NX）。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次は同値である。

1. \(f\) はエタールである。

2. \(f\) は局所有限表示であり、 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\).

証明

これはエタール環準同型の定義（Algebra, Definition 00U1）、Lemma 0D0I、および エタールなスキームの射の定義（Morphisms, Definition 02GI）から従う。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。このとき \(\NL_{Z/X}\) は \(D(\mathcal{O}_Z)\) において \(\mathcal{C}_{Z/X}[1]\) と同型である。 ここで \(\mathcal{C}_{Z/X}\) は \(X\) における \(Z\) の余法層である。

証明

これは Algebra, Lemma 07BP、 Morphisms, Lemma 01R3、および Lemma 0D0I から従う。

補題

\(f : X \to Y\) と \(g : Y \to Z\) をスキームの射とする。 コホモロジー層の標準六項完全列 \[H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Y}) \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] が存在する。

証明

Modules, Lemma 0E1Z の特別な場合である。

補題

\(f : X \to Y\) と \(Y \to Z\) をスキームの射とする。 \(X \to Y\) は完全交叉射であると仮定する。このとき \(D(\mathcal{O}_X)\) に標準識別三角形 \[f^*\NL_{Y/Z} \to \NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y} \to f^*\NL_{Y/Z}[1]\] があり、これは Lemma 0E44 の \(6\)-項完全列を復元する。

証明

Modules, Lemma 0E1Z の標準写像 \[f^*\NL_{Y/Z} \to \text{Cone}(\NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y})[-1]\] が \(D(\mathcal{O}_X)\) で同型であることを示せば十分である。 これを示すには、\(6\)-項列の左端が零であること、すなわち \(H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z})\) が単射であることを示せば十分である。 アフィン局所的には、これは More on Algebra, Lemma 07D4 の対応する代数的結果から従う。 代数へ翻訳するには Lemma 0D0I を用いる。

補題

\(X \to Y \to Z\) をスキームの射とする。\(X \to Z\) は滑らかで、 \(Y \to Z\) はエタールであると仮定する。このとき \(X \to Y\) は滑らかである。

証明

Morphisms, Lemma 02FV により 射 \(X \to Y\) は局所有限表示である。Lemma 0D0N により \(H^{-1}(\NL_{X/Z}) = 0\) であり、加群 \(\Omega_{X/Z}\) は有限局所自由である。 Lemma 0G7Z により \(H^{-1}(\NL_{Y/Z}) = H^0(\NL_{Y/Z}) = 0\) である。 Lemma 0E44 により \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\) を得て、 \(\Omega_{X/Y} \cong \Omega_{X/Z}\) は有限局所自由である。 Lemma 0D0N により射 \(X \to Y\) は滑らかである。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とし、\(i\) は埋め込み、\(g : P \to Y\) は 形式的滑らか（例えば滑らか）であって、\(f = g \circ i\) と分解するとする。 このとき \(D(\mathcal{O}_X)\) に標準同型 \[\NL_{X/Y} \cong \left(\mathcal{C}_{X/P} \to i^*\Omega_{P/Y}\right)\] がある。ここで余法層 \(\mathcal{C}_{X/P}\) は次数 \(-1\) に置かれている。

証明

（括弧内の主張については Lemma 02H6 を参照せよ。） Lemmas 0FV2 および 0D0L により \(\NL_{X/P} = \mathcal{C}_{X/P}[1]\)、\(\NL_{P/Y} = \Omega_{P/Y}\) であり、 \(\Omega_{P/Y}\) は局所射影である。これは \(i^*\NL_{P/Y} \to i^*\Omega_{P/Y}\) も擬同型であることを意味する （細部は省略する。その理由は \(i^*\NL_{P/Y}\) が \(\tau_{\geq -1}Li^*\NL_{P/Y}\) と同じものであることにある。 More on Algebra, Lemma 0FUY を参照せよ）。 したがって Modules, Lemma 0E1Z の標準写像 \[i^*\NL_{P/Y} \to \text{Cone}(\NL_{X/Y} \to \NL_{X/P})[-1]\] は \(D(\mathcal{O}_X)\) で同型である。実際、上で述べたことによりコホモロジー群 \(H^{-1}(i^*\NL_{P/Y})\) は零である。言い換えれば、識別三角形 \[i^*\NL_{P/Y} \to \NL_{X/Y} \to \NL_{X/P} \to i^*\NL_{P/Y}[1]\] がある。明らかに、これは \(\NL_{X/Y}\) が写像 \(\NL_{X/P}[-1] \to i^*\NL_{P/Y}\) の写像錐であることを意味する。 上で与えた導来圏内のこれらの対象のコホモロジー層の計算により、これは補題の主張と 同値である。

補題

スキームの Cartesian 図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] を考える。標準写像 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) は \(H^0\) 上で同型を、\(H^{-1}\) 上で全射を誘導する。

証明

代数に翻訳すると、これは More on Algebra, Lemma 0FUZ である。 翻訳には Lemma 0D0I を用いる。

補題

スキームの Cartesian 図式 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] を考える。\(Y' \to Y\) が平坦ならば、標準写像 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) は擬同型である。

証明

Lemma 0D0I により、これは Algebra, Lemma 00S4 から従う。

補題

スキームの Cartesian 図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] を考える。\(X \to Y\) が平坦ならば、標準写像 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) は擬同型である。 さらに \(\NL_{X/Y}\) が \([-1, 0]\) に Tor 振幅をもつならば、 \(L(g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\) も擬同型である。

証明

代数に翻訳すると、これは More on Algebra, Lemma 0FJU である。 翻訳には Lemma 0D0I および Derived Categories of Schemes, Lemmas 06Z0 と 08E9 を用いる。

スキームの圏における押し出し I

この節では、\(X \to Y\) がアフィンで \(X \to X'\) が肥厚化である場合に、 \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\) の押し出しを構成する。 これは実際に重要な場合となるため、詳しく論じる価値がある。 Section 0ECH では、より興味深く、より難しい場合を論じる。 任意の圏における押し出しの一般論については Categories, Section 0025 を参照せよ。

補題

\(A' \to A\) を環の全射、\(B \to A\) を環準同型とする。 \(B' = B \times_A A'\) を環のファイバー積とし、 \(S = \Spec(A)\)、\(S' = \Spec(A')\)、\(T = \Spec(B)\)、 \(T' = \Spec(B')\) とおく。このとき \[\vcenter{ \xymatrix{ S \ar[r]_i \ar[d]_f & S' \ar[d]^{f'} \\ T \ar[r]^{i'} & T' } } \quad\text{に対応する}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] } }\] はスキームの押し出しである。

証明

More on Algebra, Lemma 0B7J により、 位相空間として \(T' = T \amalg_S S'\) である。すなわち、この図式は位相空間の圏に おける押し出しである。次に写像 \[((i')^\sharp, (f')^\sharp) : \mathcal{O}_{T'} \longrightarrow i'_*\mathcal{O}_T \times_{g_*\mathcal{O}_S} f'_*\mathcal{O}_{S'}\] を考える。ここで \(g = i' \circ f = f' \circ i\) である。この写像は環の層の同型であると 主張する。実際、両辺を準連接 \(\mathcal{O}_{T'}\)-加群とみなすことができ （右辺については Schemes,

Lemmas 01LC を用いる）、写像は \(\mathcal{O}_{T'}\)-線型である。したがって大域切断の水準で同型であることを示せば 十分である（Schemes, Lemma 01IB）。大域切断上では、補題の主張にある 同一視 \(B' \to B \times_A A'\) を復元する（これは \(B'\) の選び方そのものである）。

\(X\) をスキームとする。\(m' \circ i = n \circ f\)（これを \(m\) と呼ぶ）を満たす スキームの射 \(m' : S' \to X\) と \(n : T \to X\) が与えられたとする。 \(T' = T \amalg_S S'\) なので（上を参照）、\(m'\) と \(n\) と整合する一意な位相空間の写像 \(n' : T' \to X\) を得る。前段落の \(\mathcal{O}_{T'}\) の記述により、 \((m')^\sharp\) と \(n^\sharp\) から与えられる一意な環の層の準同型

\[(n')^\sharp : \mathcal{O}_X \longrightarrow (n')_*\mathcal{O}_{T'} = m'_*\mathcal{O}_T \times_{m_*\mathcal{O}_T} n_*\mathcal{O}_S\] を得る。したがって \((n', (n')^\sharp)\) は \(m'\) と \(n\) と整合する一意な環付き空間の射 \(T' \to X\) である。証明を終えるには、\(n'\) がスキームの射、すなわち局所環付き空間の 射であることを示せば十分である。

\(t' \in T'\) の像を \(x \in X\) とする。 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'}\) が局所的であることを示さなければならない。 \(t' \not \in T\) ならば、\(t'\) は一意な点 \(s' \in S'\) の像であり、 \(\mathcal{O}_{T', t'} = \mathcal{O}_{S', s'}\) である。実際、\(B' \to A'\) は同型 \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\) を誘導するので、 \(S' \setminus S \to T' \setminus T\) はスキームの同型である。 \(t'\) が \(t \in T\) の像ならば、合成 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'} \to \mathcal{O}_{T, t}\) は局所的であることが分かっており、同様に結論する。

補題

\(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\)、\(i \mapsto X_i\) をスキームの図式とする。 \((W, X_i \to W)\) をスキームの圏におけるこの図式の余錐とする （Categories, Remark 0G2U）。 次を満たすスキームの fpqc 被覆 \(\{W_a \to W\}_{a \in A}\) が存在するとする。

1. すべての \(a \in A\) に対して \(W_a = \colim X_i \times_W W_a\) がスキームの圏で成り立つ。

2. すべての \(a, b \in A\) に対して \(W_a \times_W W_b = \colim X_i \times_W W_a \times_W W_b\) がスキームの圏で成り立つ。

このとき \(W = \colim X_i\) がスキームの圏で成り立つ。

証明

実際、スキーム \(T\) に対し、射 \(W \to T\) を与えることは、重なり \(W_a \times_W W_b\) 上で一致する射 \(W_a \to T\)、\(a \in A\) の族を与えることと同じである。

Descent, Lemma 023Q を参照せよ。

補題

\(X \to X'\) をスキームの肥厚化、\(X \to Y\) をアフィンなスキームの射とする。 このときスキームの圏に押し出し \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r] & Y' }\] が存在する。さらに \(Y \subset Y'\) は肥厚化であり、 \(X = Y \times_{Y'} X'\) であり、 \[\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \times_{f_*\mathcal{O}_X} f'_*\mathcal{O}_{X'}\] が \(|Y| = |Y'|\) 上の層として成り立つ。

証明

まず \(Y'\) を環付き空間として構成する。位相空間としては \(Y' = Y\) とする。

\(f' : X' \to Y'\) を \(f\) と等しい位相空間の写像と書く。 構造層 \(\mathcal{O}_{Y'}\) として補題の等式の右辺をとる。 \(Y'\) がスキームであることを示すには、各点がアフィン近傍をもつことを示さなければ ならない。層のファイバー積の形成は開集合への制限と可換なので、\(Y\) はアフィンであると 仮定してよい。このとき \(f\) はアフィンなので \(X\) はアフィンであり、\(X'\) もアフィンである （Lemma 06AD を参照）。 \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\) が \(B \rightarrow A \leftarrow A'\) に対応するとする。 \(B' = B \times_A A'\) とおく。これは \(\mathcal{O}_{Y'}\) の大域切断である。 \(A' \to A\) は局所冪零な核をもつ全射なので、\(B' \to B\) も局所冪零な核をもつ全射である。 したがって位相空間として \(\Spec(B') = \Spec(B)\) である。 \(Y' = \Spec(B')\) と主張する。これを示すため、\(g' \in B'\) の像を \(g \in B\) として、\(\mathcal{O}_{Y'}(D(g)) = B'_{g'}\) を示す。 More on Algebra, Lemma 01Z8 により \[(B')_{g'} = B_g \times_{A_h} A'_{h'}\] である。ここで \(h \in A\) と \(h' \in A'\) は \(g'\) の像である。 \(B_g\)、\(A_h\)、\(A'_{h'}\) はそれぞれ \(\mathcal{O}_Y(D(g))\)、 \(f_*\mathcal{O}_X(D(g))\)、\(f'_*\mathcal{O}_{X'}(D(g))\) に等しいので、主張が従う。

残るのは \(Y'\) が押し出しであることを示すことである。上の議論により、スキーム \(Y'\) は アフィン開被覆 \(Y' = \bigcup W'_i\) をもち、対応する開集合 \(U'_i \subset X'\)、\(W_i \subset Y\)、\(U_i \subset X\) はアフィン開集合である。 さらに \(A'_i\), \(B_i\), \(A_i\) をそれぞれ \(U'_i\), \(W_i\), \(U_i\) に対応する環とすると、 \(W'_i\) は \(B_i \times_{A_i} A'_i\) に対応する。 したがって Lemmas 0ET0 および 0BMP を適用して、我々の構成がスキームの圏における押し出しで あると結論する。

次の補題では Categories, Example 003R で定義された圏のファイバー積を用いる。

補題

\(X \to X'\) をスキームの肥厚化、\(X \to Y\) をアフィンなスキームの射とする。 \(Y' = Y \amalg_X X'\) を押し出しとする（Lemma 07RT を参照）。基底変換は関手 \[F : (\Sch/Y') \longrightarrow (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X')\] を与える。これは \(V' \longmapsto (V' \times_{Y'} Y, V' \times_{Y'} X', 1)\) によって与えられ、左随伴 \[G : (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X') \longrightarrow (\Sch/Y')\] をもつ。これは三つ組 \((V, U', \varphi)\) を押し出し \(V \amalg_{(V \times_Y X)} U'\) に送る。最後に、\(F \circ G\) は恒等関手と同型である。

証明

\((V, U', \varphi)\) をファイバー積圏の対象とする。 \(U = U' \times_{X'} X\) とおく。\(U \to U'\) は肥厚化であることに注意する。 \(\varphi : V \times_Y X \to U' \times_{X'} X = U\) は同型なので、 \(X \to Y\) 上の射 \(U \to V\) があり、これは \(U\) をファイバー積 \(X \times_Y V\) と同一視する。特に \(U \to V\) はアフィンである。 Morphisms, Lemma 01SD を参照せよ。 したがって Lemma 07RT を適用して押し出し \(V' = V \amalg_U U'\) を得る。\(V'\) が押し出しであり、\(Y'\) への射として \(U\) 上で一致する 射 \(V \to Y\) と \(U' \to X'\) が与えられていることから得られる射

\(V' \to Y'\) をそのまま書く。\(G(V, U', \varphi) = V'\) とおくと関手 \(G\) を得る。

\(G\) が \(F\) の左随伴であることを証明しよう。\(Z\) を \(Y'\) 上のスキームとする。 \[\Mor(V', Z) = \Mor((V, U', \varphi), F(Z))\] を示さなければならない。ここで射集合はそれぞれの圏でとる。

射 \(g' : V' \to Z\) をとる。\(g'\) と射 \(V \to V'\)、および \(U' \to V'\) との合成を

それぞれ \(\tilde g\)、\(\tilde f'\) と書く。 \(\tilde g\)、\(\tilde f'\) をそれぞれ \(Y \to Y'\)、\(X' \to Y'\) で基底変換すると、射 \(g : V \to Z \times_{Y'} Y\)、\(f' : U' \to Z \times_{Y'} X'\) を得る。 すると \((g, f')\) は上の等式の右辺の元である（細部は省略する）。 逆に、\((g, f') : (V, U', \varphi) \to F(Z)\) が右辺の元であるとする。

\(g\)、\(f\) と、それぞれ \(Z \times_{Y'} X' \to Z\)、 \(Z \times_{Y'} Y \to Z\) との合成 \(\tilde g : V \to Z\)、\(\tilde f' : U' \to Z\) を考えられる。 このとき \(\tilde g\) と \(\tilde f'\) は \(U\) から \(Z\) への射として一致する。

押し出しの普遍性により射 \(g' : V' \to Z\)、すなわち左辺の元を得る。 これらの構成が互いに逆であることの確認は省略する。

\(F \circ G\) が恒等関手と同型であることを証明するには、随伴写像 \((V, U', \varphi) \to F(G(V, U', \varphi))\) が同型であることを示さなければならない。 これはアフィン局所的に調べてよい。\(X = \Spec(A)\)、\(X' = \Spec(A')\)、 \(Y = \Spec(B)\) とする。このとき \(A' \to A\) と \(B \to A\) は More on Algebra, Lemma 07RU にある環準同型であり、 \(B' = B \times_A A'\) として \(Y' = \Spec(B')\) である。次に \(V = \Spec(D)\)、\(U' = \Spec(C')\) とし、\(\varphi\) は \(A\)-代数同型 \(D \otimes_B A \to C' \otimes_{A'} A = C'/IC'\) から与えられるとする。 \(D' = D \times_{C'/IC'} C'\) とおく。この場合、示すべき主張は \(D' \otimes_{B'} B \cong D\) および \(D' \otimes_{B'} A' \cong C'\) である。 これは More on Algebra, Lemma 07RU の特別な場合である。

補題

\(X \to X'\) をスキームの肥厚化、\(X \to Y\) をアフィンなスキームの射とする。 \(Y' = Y \amalg_X X'\) を押し出しとする（Lemma 07RT を参照）。\(V' \to Y'\) をスキームの射とする。 \(V = Y \times_{Y'} V'\)、\(U' = X' \times_{Y'} V'\)、 \(U = X \times_{Y'} V'\) とおく。次の圏の間に同値がある。

1. \(Y'\) 上平坦な準連接 \(\mathcal{O}_{V'}\)-加群。

2. 次を満たす三つ組 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) の圏。

   1. \(\mathcal{G}\) は \(Y\) 上平坦な準連接 \(\mathcal{O}_V\)-加群である。

   2. \(\mathcal{F}'\) は \(X'\) 上平坦な準連接 \(\mathcal{O}_{U'}\)-加群である。

   3. \(\varphi : (U \to V)^*\mathcal{G} \to (U \to U')^*\mathcal{F}'\) は \(\mathcal{O}_U\)-加群の同型である。

この同値は \(\mathcal{G}'\) を \(((V \to V')^*\mathcal{G}', (U' \to V')^*\mathcal{G}', can)\) に写す。 \(\mathcal{G}'\) が三つ組 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) に対応するとする。 このとき次が成り立つ。

1. \(\mathcal{G}'\) が有限型 \(\mathcal{O}_{V'}\)-加群であることと、

   \(\mathcal{G}\) と \(\mathcal{F}'\) が有限型 \(\mathcal{O}_Y\)-加群および \(\mathcal{O}_{U'}\)-加群であることは同値である。

2. \(V' \to Y'\) が局所有限表示ならば、\(\mathcal{G}'\) が有限表示 \(\mathcal{O}_{V'}\)-加群であることと、\(\mathcal{G}\) と \(\mathcal{F}'\) が有限表示 \(\mathcal{O}_Y\)-加群および \(\mathcal{O}_{U'}\)-加群であることは同値である。

証明

擬逆関手は三つ組 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\) にファイバー積 \[(V \to V')_*\mathcal{G} \times_{(U \to V')_*\mathcal{F}} (U' \to V')_*\mathcal{F}'\] を対応させる。ここで \(\mathcal{F} = (U \to U')^*\mathcal{F}'\) である。 これがうまくいくのは、アフィン上で More on Algebra, Lemma 07RW の同値を復元するからである。 いくつかの細部は省略する。

(a) と (b) は More on Algebra, Lemmas 08IH and 08KP から従う。

補題

Lemma 07RV の状況を考える。 ある三つ組 \((V, U', \varphi)\) に対して \(V' = G(V, U', \varphi)\) ならば、

1. \(V' \to Y'\) が局所有限型であることと、\(V \to Y\) と \(U' \to X'\) が 局所有限型であることは同値である。

2. \(V' \to Y'\) が平坦であることと、\(V \to Y\) と \(U' \to X'\) が平坦であることは 同値である。

3. \(V' \to Y'\) が平坦かつ局所有限表示であることと、\(V \to Y\) と \(U' \to X'\) が 平坦かつ局所有限表示であることは同値である。

4. \(V' \to Y'\) が滑らかであることと、\(V \to Y\) と \(U' \to X'\) が滑らかであることは 同値である。

5. \(V' \to Y'\) がエタールであることと、\(V \to Y\) と \(U' \to X'\) がエタールであることは 同値である。

6. 必要に応じてここにさらに追加する。

\(W'\) が \(Y'\) 上平坦ならば、随伴写像 \(G(F(W')) \to W'\) は同型である。 したがって \(F\) と \(G\) は、\(Y'\) 上平坦なスキームの圏と、\(V \to Y\) と \(U' \to X'\) が平坦である三つ組 \((V, U', \varphi)\) の圏との間の互いに擬逆な 関手を定める。

証明

アフィン片上で調べれば、この補題の主張は More on Algebra, Lemma 08KQ の対応する主張と 同値である。

平坦軌跡の開性

この結果を証明するには多少の作業を要し、（おそらく） 独立した節を設けるに値する。以下がその結果である。

定理

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to S\) を局所有限表示な射とする。 \(\mathcal{F}\) を局所有限表示な準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{ は点 }x\text{ において }S\text{ 上平坦}\}\] は \(X\) の開集合である。

証明

開性は \(X\) 上局所的に判定できるので、\(f\) はアフィンスキームの射であると仮定してよい。 この場合、定理はちょうど Algebra, Theorem 00RC である。

補題

\(S\) をスキームとする。次の図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] がスキームのデカルト図式であるとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(x' \in X'\) とし、その像を \(x = g'(x')\) および \(s' = f'(x')\) とする。

1. \(\mathcal{F}\) が点 \(x\) において \(S\) 上平坦ならば、 \((g')^*\mathcal{F}\) は点 \(x'\) において \(S'\) 上平坦である。

2. \(g\) が点 \(s'\) において平坦であり、\((g')^*\mathcal{F}\) が点 \(x'\) において \(S'\) 上平坦ならば、\(\mathcal{F}\) は点 \(x\) において \(S\) 上平坦である。

特に、\(g\) が平坦で、\(f\) が局所有限表示であり、 \(\mathcal{F}\) が局所有限表示ならば、 Theorem 0399 の開集合の形成は基底変換と可換である。

証明

局所環の可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{S', s'} \ar[u] & \mathcal{O}_{S, s} \ar[l] \ar[u] }\] を考える。\(\mathcal{O}_{X', x'}\) は \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S', s'}\) の局所化であり、\(((g')^*\mathcal{F})_{x'}\) は \(\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\) に等しいことに注意する。したがって補題は Algebra, Lemma 00MQ から従う。

ファイバーによる平坦性判定法

スキームの可換図式（左の図式） \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[dr] & & Y \ar[dl] \\ & S } \quad \xymatrix{ X_s \ar[rr]_{f_s} \ar[rd] & & Y_s \ar[dl] \\ & \Spec(\kappa(s)) }\] と準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) を考える。 \(s \in S\) 上にある点 \(x \in X\) を取り、その像を \(y = f(x)\) とする。 ここで、\(\mathcal{F}\) は点 \(x\) において \(Y\) 上平坦か、という問題を考える。 \(\mathcal{F}\) が点 \(x\) において \(S\) 上平坦ならば、この問題は、 \(\mathcal{F}\) のファイバーへの制限 \[\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\] が点 \(x\) において \(Y_s\) 上平坦かという問題と密接に関係する、と定理は述べる。 以下では「Noetherian」版と「有限表示」版を与える。 「冪零」版は先に扱ったので、 Lemma 06AF を参照されたい。

定理

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(x \in X\) とし、\(y = f(x)\) とおき、\(s \in S\) を \(S\) における \(x\) の像とする。

\(S\), \(X\), \(Y\) は局所 Noetherian、\(\mathcal{F}\) は連接、かつ \(\mathcal{F}_x \not = 0\) と仮定する。このとき次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は点 \(x\) において \(S\) 上平坦であり、かつ \(\mathcal{F}_s\) は点 \(x\) において \(Y_s\) 上平坦である。

2. \(Y\) は点 \(y\) において \(S\) 上平坦であり、かつ \(\mathcal{F}\) は点 \(x\) において \(Y\) 上平坦である。

証明

環準同型 \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] と加群 \(\mathcal{F}_x\) を考える。点 \(x\) における \(\mathcal{F}_s\) の茎は \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) であり、点 \(y\) における \(Y_s\) の局所環は \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) である。したがって (1) \(\Rightarrow\) (2) は Algebra, Lemma 00MP である。(2) が成り立つならば、最初の環準同型は忠実平坦であり、 \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上平坦であるから、 Algebra, Lemma 00HC により \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。 さらに、\(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) は、平坦加群 \(\mathcal{F}_x\) を \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) によって基底変換したものなので、 Algebra, Lemma 00HI により平坦である。

次が非 Noetherian 版である。

定理

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(X\) は \(S\) 上局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限表示な \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

3. \(Y\) は \(S\) 上局所有限型である。

\(x \in X\) とする。\(y = f(x)\) とおき、\(s \in S\) を \(S\) における \(x\) の像とする。 \(\mathcal{F}_x \not = 0\) ならば、次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は点 \(x\) において \(S\) 上平坦であり、かつ \(\mathcal{F}_s\) は点 \(x\) において \(Y_s\) 上平坦である。

2. \(Y\) は点 \(y\) において \(S\) 上平坦であり、かつ \(\mathcal{F}\) は点 \(x\) において \(Y\) 上平坦である。

さらに、(1) と (2) が成り立つ点 \(x\) の集合は \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) において開である。

証明

環準同型 \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] と加群 \(\mathcal{F}_x\) を考える。点 \(x\) における \(\mathcal{F}_s\) の茎は \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) であり、点 \(y\) における \(Y_s\) の局所環は \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) である。したがって (1) \(\Rightarrow\) (2) は Algebra, Lemma 05UV である。(2) が成り立つならば、最初の環準同型は忠実平坦であり、 \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 上平坦であるから、 Algebra, Lemma 00HC により \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{S, s}\) 上平坦である。 さらに、\(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\) は、平坦加群 \(\mathcal{F}_x\) を \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\) によって基底変換したものなので、 Algebra, Lemma 00HI により平坦である。

Morphisms, Lemma 02FV により、射 \(f\) は局所有限表示である。集合 [05VI]\[\begin{equation} U = \{x \in X \mid \mathcal{F} \text{ は点 }x \text{ において }Y\text{ 上かつ }S\text{ 上平坦}\}. \end{equation}\] を考える。この集合は Theorem 0399 により \(X\) の開集合である。\(x \in U\) ならば、\(\mathcal{F}_s\) は 射 \(Y_s \to Y\) による平坦加群の基底変換として、点 \(x\) において \(Y_s\) 上平坦であることに注意する。これについては Morphisms, Lemma 01U8 を参照されたい。したがって \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\) の各点で 条件 (1) が成り立つ。一方、\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) が (1) と (2) を満たすならば \(x \in U\) であることは明らかである。 ゆえに求める開集合は \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\) である。

これらの定理はしばしば次の簡略化した形で用いられる。 ここでは大域的な主張だけを与えるが、もちろん各点での版もある。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。次を仮定する。

1. \(S\), \(X\), \(Y\) は局所 Noetherian である。

2. \(X\) は \(S\) 上平坦である。

3. 任意の \(s \in S\) に対して、射 \(f_s : X_s \to Y_s\) は平坦である。

このとき \(f\) は平坦である。さらに \(f\) が全射ならば、\(Y\) は \(S\) 上平坦である。

証明

これは Theorem 039B の特別な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(f : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。次を仮定する。

1. \(X\) は \(S\) 上局所有限表示である。

2. \(X\) は \(S\) 上平坦である。

3. 任意の \(s \in S\) に対して、射 \(f_s : X_s \to Y_s\) は平坦である。

4. \(Y\) は \(S\) 上局所有限型である。

このとき \(f\) は平坦である。さらに \(f\) が全射ならば、\(Y\) は \(S\) 上平坦である。

証明

これは Theorem 039C の特別な場合である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(X\) は \(S\) 上局所有限表示である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限表示な \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

3. \(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦である。

4. \(Y\) は \(S\) 上局所有限型である。

このとき集合 \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F} \text{ は点 }x \text{ において }Y\text{ 上平坦}\}.\] は \(X\) の開集合であり、その形成は任意の基底変換と可換である。 \(S' \to S\) をスキームの射とし、\(U'\) を、

\(X' = X \times_S S'\) の点のうち \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} \times_S S'\) が \(Y' = Y \times_S S'\) 上平坦である点全体とすれば、\(U' = U \times_S S'\) である。

証明

Morphisms, Lemma 02FV により、射 \(f\) は局所有限表示である。したがって Theorem 0399 により \(U\) は開である。\(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦であると仮定したので、 Theorem 039C から \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}_s \text{ は点 }x \text{ において }Y_s\text{ 上平坦}\}.\] を得る。ここで \(s\) は常に \(S\) における \(x\) の像を表す。 （この記述は \(\mathcal{F}_x = 0\) の場合にも自明に成り立つ。） さらに、射 \(f' : X' \to Y'\) と層 \(\mathcal{F}'\) に対しても 補題の仮定は保たれる。したがって \(U'\) も同様に記述される。 言い換えれば、\(s \in S\) に写る \(s' \in S'\) を与えたとき、 \[\{x' \in X'_{s'} \mid \mathcal{F}'_{s'} \text{ は点 }x' \text{ において }Y'_{s'}\text{ 上平坦}\}\] が \(X_s\) の対応する軌跡の逆像であることを示せば十分である。 これは Lemma 047C から従う。実際、デカルト図式 \[\xymatrix{ X'_{s'} \ar[d] \ar[r] & X_s \ar[d] \\ Y'_{s'} \ar[r] & Y_s }\] において、水平射は平坦射 \(\Spec(\kappa(s')) \to \Spec(\kappa(s))\) による基底変換なので平坦である。

補題

\(S\) をスキームとする。\(f : X \to Y\) を \(S\) 上のスキームの射とする。 次を仮定する。

1. \(X\) は \(S\) 上局所有限表示である。

2. \(X\) は \(S\) 上平坦である。

3. \(Y\) は \(S\) 上局所有限型である。

このとき集合 \[U = \{x \in X \mid X\text{ は点 }x \text{ において }Y\text{ 上平坦}\}.\] は \(X\) の開集合であり、その形成は任意の基底変換と可換である。

証明

これは Lemma 05VJ の特別な場合である。

次の補題は Algebra, Lemma 00MH の変形である。\((\mathcal{F}_s)_x\) が平坦な \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-加群であるという仮定は、 \((\mathcal{F}_s)_x\) が自由 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-加群であることを意味する。 \(x \in X_s\) が \(X_s\) の既約成分の一般点で、かつ \(X_s\) が被約ならば、 これは常に成り立つ（実際、この場合 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) は体である。 Algebra, Lemma 00EU を参照せよ）。

補題

\(f : X \to S\) を有限表示なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限表示な \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(x \in X\) とし、その像を \(s \in S\) とする。 \(\mathcal{F}\) が点 \(x\) において \(S\) 上平坦であり、\((\mathcal{F}_s)_x\) が平坦な \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-加群ならば、\(\mathcal{F}\) は \(x\) のある近傍上で有限自由である。

証明

\(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) が零ならば、Nakayama の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により \(\mathcal{F}_x = 0\) である。 したがって \(\mathcal{F}\) は \(x\) のある近傍で零であり （Modules, Lemma 01B9）、 補題が成り立つ。ゆえに \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\) は零でないと仮定してよい。 このとき Theorem 039C を \(f = \text{id} : X \to X\) として適用できる。したがって \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) 上平坦である。ゆえに \(\mathcal{F}_x\) は自由である。例えば Algebra, Lemma 00NZ を参照されたい。開近傍 \(x \in U \subset X\) と、\(\mathcal{F}_x\) の基底に写る切断 \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}(U)\) を選ぶ。対応する写像 \(\psi : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_U\) は、\(U\) を縮小すれば全射になる （Modules, Lemma 01B9）。 このとき \(\Ker(\psi)\) は有限型であり（Modules, Lemma 01BP 参照）、 \(\Ker(\psi)_x = 0\) である。したがって \(U\) をもう一度縮小すれば、 \(\psi\) は同型になる。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限表示なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(S\) 上平坦な有限表示 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき集合 \[\{x \in X : \mathcal{F}\text{ は }x\text{ のある近傍で自由}\}\] は \(X\) の開集合であり、その形成は任意の基底変換 \(S' \to S\) と可換である。

証明

開性は明らかである。\(x \in X\) とし、その像を \(s \in S\) とする。 Lemma 080Q により、\(x\) がこの集合に属することと、\(\mathcal{F}|_{X_s}\) が点 \(x\) において \(X_s\) 上平坦であることは同値である。これは明らかに、\(\mathcal{F}\) が点 \(x\) において \(X\) 上平坦であることとも同値である（この条件は \(\mathcal{F}_x\) の自由性から従い、 また \(\mathcal{F}|_{X_s}\) が点 \(x\) において \(X_s\) 上平坦であることを含意する）。 したがって基底変換に関する主張は、\(S\) 上の \(\text{id} : X \to X\) に Lemma 05VJ を適用して従う。

滑らかなスキーム間の閉埋め込み

他の箇所にはうまく収まらないいくつかの結果を述べる。

補題

\(S\) をスキームとする。\(Y \to X\) を、\(S\) 上滑らかなスキームの 閉埋め込みとする。任意の \(y \in Y\) に対して、整数 \(0 \leq m, n\) と可換図式

\[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^m_S \ar[d]^{(a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0 \ldots, 0)} \\ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^{m + n}_S }\] が存在し、ここで \(U \subset X\) は開、\(V = Y \cap U\)、 \(\pi\) はエタール、\(V = \pi^{-1}(\mathbf{A}^m_S)\)、かつ \(y \in V\) である。

証明

問題は \(X\) 上局所的なので、\(X\) を \(y\) の開近傍で置き換えてよい。 Divisors, Lemma 067U により \(Y \to X\) は正則埋め込みであるから、\(X = \Spec(A)\) はアフィンであり、 \(Y = V(f_1, \ldots, f_n)\) となる正則列 \(f_1, \ldots, f_n \in A\) が存在すると仮定してよい。 \(X\)（したがって \(Y\)）をさらに縮小すれば、エタール射 \(Y \to \mathbf{A}^m_S\) が存在すると仮定できる。これについては Morphisms, Lemma 054L を参照されたい。\(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\) を \(\mathcal{O}_Y(Y)\) に属するこのエタール射の座標関数とする。これらの関数の持ち上げ \(g_1, \ldots, g_m \in A\) を選び、射 \[(g_1, \ldots, g_m, f_1, \ldots, f_n) : X \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S\] を \(S\) 上で考える。これは \(S\) 上局所有限表示なスキーム間の射なので、 局所有限表示である （Morphisms, Lemma 02FV）。 構成により、この射の \(\mathbf{A}^m_S \subset \mathbf{A}^{m + n}_S\) への制限はエタールである。したがって \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\) が点 \(y\) においてエタールであることを示すには、 \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\) が点 \(y\) において平坦であることを示せば十分である。これについては Morphisms, Lemma 02GU を参照されたい。\(s \in S\) を \(y\) の像とする。 Theorem 039C により、\(X_s \to \mathbf{A}^{m + n}_s\) が点 \(y\) において平坦であることを 確認すれば十分である。\(z \in \mathbf{A}^{m + n}_s\) を \(y\) の像とする。 局所環準同型 \[\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_s, y}\] は Algebra, Lemma 00R4 により平坦である。実際、体上滑らかなスキームは正則であり、正則環は Cohen–Macaulay である。Varieties, Lemma 056S および Algebra, Lemma 00NQ を参照されたい。したがって始域と終域はいずれも正則局所環である （ゆえに CM である）。始域と終域の次元は等しい。実際、 More on Algebra, Lemma 07QP により \(\dim(\mathcal{O}_{Y_s, y}) = \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\)、 また \(\dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z}) = n + \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\) であり、さらに \(\mathcal{O}_{Y_s, y}\) は \(\mathcal{O}_{X_s, y}\) を長さ \(n\) の正則列 \(f_1, \ldots, f_n\) で割った商なので、 \(\dim(\mathcal{O}_{X_s, y}) = n + \dim(\mathcal{O}_{Y_s, y})\) である（Divisors, Remark 0FUD 参照）。 最後に、\(Y_s \to \mathbf{A}^m_s\) は点 \(y\) においてエタールなので、 表示した矢印のファイバー環は \(\kappa(z)\) 上有限である。 これで証明が完了する。

注意

環 \(R\) を固定し、\(S = \Spec(R)\) とおく。整数 \(0 \leq m\) および \(1 \leq n\) を固定する。閉埋め込み

\[Z = \mathbf{A}^m_S \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S = X,\quad (a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0, \ldots 0).\] を考える。閉部分スキーム \(Z\) に沿う \(X\) の吹き上げ \(X'\) を考える。次のように書く。 \[X = \Spec(A) \quad\text{with}\quad A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\] このとき \(X'\) はイデアル \((y_1, \ldots, y_n)\) に関する \(A\) の Rees 代数の Proj である。この Rees 代数は \(B = A[T_1, \ldots, T_n]/(y_iT_j - y_jT_i)\) に等しい。詳細は省略する。 したがって \(X' = \text{Proj}(B)\) は次のアフィン開集合で被覆されるので、 \(S\) 上滑らかである。

\[\begin{align*} D_+(T_i) & = \Spec(B_{(T_i)}) \\ & = \Spec(A[t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots t_n]/(y_j - y_i t_j)) \\ & = \Spec(R[x_1, \ldots, x_m, y_i, t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots, t_n]) \end{align*}\] これらは \(\mathbf{A}^{n + m}_S\) と同型である。 このチャートでは例外因子は \(y_i = 0\) によって切り出される。 したがって例外因子も \(S\) 上滑らかである。

補題

\(S\) をスキームとする。\(Z \to X\) を、\(S\) 上滑らかなスキームの 閉埋め込みとする。\(b : X' \to X\) を \(Z\) の吹き上げとし、その例外因子を \(E \subset X'\) とする。このとき \(X'\) と \(E\) は \(S\) 上滑らかである。 射 \(p : E \to Z\) は射影空間束 \[\mathbf{P}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2) \longrightarrow Z\] と標準的に同型である。ここで \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) は \(Z\) のイデアル層である。射影空間束の構造から得られる相対的な \(\mathcal{O}_E(1)\) は、\(\mathcal{O}_{X'}(-E)\) の \(E\) への制限と同型である。

証明

Divisors, Lemma 067U により、\(Z \to X\) は正則埋め込みである。

したがってイデアル層 \(\mathcal{I}\) は有限型であり、ゆえに \(b\) は射影的な射で、 相対的に豊富な可逆層 \(\mathcal{O}_{X'}(1) = \mathcal{O}_{X'}(-E)\) をもつ。これについては Divisors, Lemmas 02OS および 02NS を参照されたい。標準写像 \(\mathcal{I} \to b_*\mathcal{O}_{X'}(1)\) は、 吹き上げの構成そのものにより閉埋め込み \[X' \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I})\right)\] を与える。この射を \(E\) に制限すると、\(Z\) 上の標準写像 \[E \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)\right)\] を得る。\(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) は有限局所自由であるから、

この標準写像が同型ならば補題の最後の主張が成り立つ。 以上を踏まえると、問題は \(X\) 上エタール局所的である。 実際、Divisors, Lemma 0805 により吹き上げは平坦基底変換と可換であり、全射なエタール射との前合成の後で 滑らかさを判定できる。したがって Lemma 0FUE が与える \(S\) 上のスキームの閉埋め込みの エタール局所構造により、Remark 0H1H で論じた場合に帰着する。

平坦加群と相対随伴点集合

この節では、幾何学的な状況において、平坦加群の支持が基底上 （ある意味で）等次元であることを証明する。Noetherian の場合については [EGA, IV Proposition 12.1.1.5] を参照されたい。まず二つの補助補題を証明する。

補題

\(A\) を付値環とする。

\(A \to B\) を、本質的有限型な局所環の局所準同型とする。 \(u : N \to M\) を有限 \(B\)-加群の写像とする。 \(M\) は \(A\) 上平坦であり、 \(\overline{u} : N/\mathfrak m_A N \to M/\mathfrak m_A M\) は単射であると仮定する。 このとき \(u\) は単射であり、\(M/u(N)\) は \(A\) 上平坦である。

証明

この補題を Algebra, Lemma 046Y から導く（\(M\) と \(N\) の役割を入れ替えていることに注意されたい）。 この帰着には More on Algebra, Lemma 0GSE を用いて有限表示の場合に帰着する。

仮定により、\(B\) は多項式環 \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\) を 素イデアル \(\mathfrak q\) で局所化した環の商として書ける。 したがって \(u : N \to M\) を有限 \(P_\mathfrak q\)-加群の写像とみなせる。 ゆえに \(B\) は \(A\) 上本質的有限表示であると仮定する。

次に、\(B\)-加群 \(N\) は有限だが有限表示とは限らない。 \(N = \colim N_\lambda\) を、全射な遷移写像をもつ有限表示 \(B\)-加群のフィルター付き余極限として書く。例えば表示 \(0 \to K \to B^{\oplus r} \to N \to 0\) を選び、\(K\) を有限部分加群 \(K_\lambda\) の合併として書き、\(N_\lambda = \Coker(K_\lambda \to B^{\oplus r})\) とおけばよい。加群 \(N/\mathfrak m_A N\) は Noetherian 環 \(B/\mathfrak m_A B\) 上有限表示である。したがって十分大きい \(\lambda\) に対して \(N_\lambda/\mathfrak m_A N_\lambda = N/\mathfrak m_A N\) となる。 ここで合成 \(u_\lambda : N_\lambda \to M\) に対して補題を示せれば、 \(N_\lambda = N\) が従い、\(u\) に対して結果が成り立つ。 ゆえに \(N\) は \(B\) 上有限表示であると仮定してよい。

More on Algebra, Lemma 0GSE により、加群 \(M\) は \(B\) 上有限表示である。したがって Algebra, Lemma 046Y のすべての仮定が成り立ち、結論を得る。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(y \in X\) を、その像が \(t \in S\) である点とする。

\(Y \subset X\) を、\(\{y\}\) の閉包を \(X\) の整な閉部分スキームとみなしたものとする。 \(s \in S\) とし、\(x \in Y_s\) を \(Y_s\) の既約成分の一般点とする。 次の性質をもつデカルト図式 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] が存在する。

1. \(S'\) は、一般点 \(t'\) と閉点 \(s'\) をもつ付値環のスペクトルである。

2. \(g(t') = t\) かつ \(g(s') = s\) である。

3. 点 \(y' \in X'_{t'}\) が存在し、これは \((S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\) の既約成分の一般点であり、 \(g'(y') = y\) を満たす。

4. \(Y' \subset X'\) を、\(\{y'\}\) の閉包を \(X'\) の整な閉部分スキームと みなしたものとすると、点 \(x' \in Y'_{s'}\) が存在し、これは \(Y'_{s'}\) の既約成分の一般点であり、\(g'(x') = x\) を満たす。

証明

付値環 \(R\) を選び、\(S' = \Spec(R)\) とおく。その一般点を \(t'\)、閉点を \(s'\) とし、 \(h(t') = y\) および \(h(s') = x\) を満たす射 \(h : S' \to X\) を選ぶ。 Schemes, Lemma 01J8 を参照されたい。\(g = f \circ h\) とおけば、\(g(t') = t\) かつ \(g(s') = s\) である。 基底変換 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar@/^1em/[u]^\sigma \ar[r]^-g & S }\] を考える。\(h = g' \circ \sigma\) を満たすこの基底変換の切断 \(\sigma\) を得る。

もちろん \(h\) は \(Y\) を経由するので、\(\sigma\) は \(Y\) の基底変換 \(S' \times_S Y\) を経由する。\(y' \in X'_{t'} \subset X'\) を、点 \(\sigma(t')\) を含むファイバー \[(S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\] の既約成分の一般点、すなわち \(y' \leadsto \sigma(t')\) を満たす点とする。

\(g'(y') \in Y_t\) かつ \(g(y') \leadsto g(\sigma(t')) = y\) なので、 \(y\) がファイバー \(Y_t\) の一般点であることから \(g'(y') = y\) を得る。

\(Y' \subset X'\) を、\(X'\) における \(\{y'\}\) の閉包を整な閉部分スキームと みなしたものとする。\(\sigma(t') \in Y'\) なので、\(\sigma\) は \(Y'\) を経由する。 \(Y'_{s'}\) のうち \(\sigma(s')\) を含む既約成分の一般点 \(x' \in Y'_{s'}\) を選ぶ。すなわち \(x' \leadsto \sigma(s')\) であり、したがって \(g'(x') \leadsto g'(\sigma(s')) = x\) となる。仮定により \(x\) は \(Y_s\) の 既約成分の一般点であり、また \(g'(Y') \subset Y\) なので、\(g'(x') = x\) を得る。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接な有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) とし、その像を \(t \in S\) とする。

\(Y \subset X\) を、\(X\) における \(\{y\}\) の閉包を整な閉部分スキームと みなしたものとする。\(s \in S\) とし、\(x \in Y_s\) を \(Y_s\) の 既約成分の一般点とする。\(\mathcal{F}\) が点 \(x\) において \(S\) 上平坦ならば、 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) であり、 \(\dim_x(Y_s) = \dim(Y_t)\) である。

証明

Lemma 0GSH のような図式を選ぶ。 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\) とおく。 Divisors, Lemma 05DC により \(y' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\) である。 \(y'\) の選び方から \(\dim(Y'_{t'}) = \dim(Y_t)\) でもある。例えば Algebra, Lemma 0CWE. を参照されたい。Algebra, Lemma 00QK により、\(Y'_{s'}\) は次元 \(\dim(Y_t)\) の等次元スキームである。 \(\mathcal{F}\) は点 \(x\) において \(S\) 上平坦なので、\(\mathcal{F}'\) は点 \(x'\) において \(S'\) 上平坦である。Morphisms, Lemma 01U8 を参照されたい。

\(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(\mathcal{F}')\) を示せると仮定する。このとき Divisors, Lemma 05DC により \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) である。また、\(x'\) を含む \(Y'_{s'}\) の既約成分 \(C'\) は、\(x\) を含む既約成分 \(C \subset Y_s\) に対する \(C \times_s s'\) の既約成分である。 したがって \(\dim(C) = \dim(C') = \dim(Y_t)\) であり（上記参照）、 証明が完了する。ゆえに次の段落で論じる場合に帰着する。

\(S = \Spec(A)\) と仮定する。ここで \(A\) は付値環であり、\(t\) と \(s\) は \(S\) の一般点と閉点である。矛盾を導くため、 \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) と仮定する。言い換えれば、 \(x \not \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) と仮定する。ここで \(\mathcal{F}_s\) は \(\mathcal{F}\) の \(X_s\) への引き戻しである。 環準同型 \[A \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x} = B\] と、\(B = \mathcal{O}_{X, x}\) 上の加群 \(N = \mathcal{F}_x\) を考える。 このとき \(B/\mathfrak m_A B = \mathcal{O}_{X_s, x}\) であり、 \(N/\mathfrak m_A N\) は点 \(x\) における \(\mathcal{F}_s\) の茎である。

\(\mathfrak q \subset B\) を点 \(y\) に対応する素イデアルとする。Schemes, Lemma 01J7 を参照されたい。 \(x\) は \(Y_s\) の一般点なので、\(\mathfrak q + \mathfrak m_A B\) の根基は \(\mathfrak m_B\) である。ここで \(\text{Ass}_{B/\mathfrak m_A B}(N/\mathfrak m_A N)\) は素イデアルの有限集合であり （Algebra, Lemma 00LC）、 \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) なので、\(B/\mathfrak m_A B\) の 極大イデアルを含まない。

したがって \(\mathfrak q\) の \(B/\mathfrak m_A B\) における像は、これらの どの素イデアルにも含まれない。ゆえに素イデアル回避 （Algebra, Lemma 00DS）により、元 \(g \in \mathfrak q\) で、その \(B/\mathfrak m_A B\) における像が \(N/\mathfrak m_A N\) 上の非零因子となるものを 選べる（ここでは Algebra, Lemma 00LD の零因子の記述を用いた）。

\(N = \mathcal{F}_x\) は \(A\) 上平坦なので、 Lemma 0GSG により \[g : N \longrightarrow N\] は単射である。特に、\(K = \text{Frac}(A)\) を \(A\) の分数体とすれば、 \[g : N \otimes_A K \longrightarrow N \otimes_A K\] も単射である。\(\mathfrak q\) は \(B \otimes_A K\) の素イデアルに対応することに注意する。

\(\mathcal{F}_t\) を \(\mathcal{F}\) の一般ファイバー \(X_t\) への制限とする。このとき \((B \otimes_A K)_{\mathfrak q} = \mathcal{O}_{X_t, y}\) であり、\((N \otimes_A K)_\mathfrak q\) は点 \(y\) における \(\mathcal{F}_t\) の茎である。したがって \(g \in \mathfrak m_y \subset \mathcal{O}_{X_t, y}\) は茎 \((\mathcal{F}_t)_y\) 上の非零因子である。これは \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) という仮定に矛盾する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(S\) 上平坦な有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(S\) は一般点 \(\eta\) をもつ既約スキームであると仮定する。 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)) \leq r\) ならば、任意の \(s \in S\) に対して \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) \leq r\) である。

証明

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) を \(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\) の 既約成分の一般点とする。 Algebra, Lemma 080T により、\(f(y) = \eta\) を満たす \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) 内の特殊化 \(y \leadsto x\) を選べる。もちろん \(y\) は \(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)\) の既約成分の一般点であると仮定してよい。 Lemma 0GSI から、\(\overline{\{x\}}\) の次元は高々 \(r\) であると結論する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型なスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) とする。

\(Y \subset X\) を、\(X\) における \(\{y\}\) の閉包を整な閉部分スキームと みなしたものとする。\(T \subset S\) を、\(\{f(y)\}\) の閉包を整な閉部分スキームと みなしたものとする。可換図式 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ T \ar[r] & S }\] を得る。ここで \(Y \to T\) は支配的である。\(\mathcal{F}\) は、\(Y \to T\) の ファイバーの既約成分のすべての一般点において \(S\) 上平坦であると仮定する （例えば \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦ならば、この仮定は成り立つ）。このとき

1. \(s \in S\) とし、\(x \in Y_s\) が \(Y_s\) の既約成分の一般点ならば、 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) である。

2. 整数 \(d \geq 0\) が存在し、\(Y \to T\) は相対次元 \(d\) である。次を参照せよ。 Morphisms, Definition 02NJ。

証明

これは Lemma 0GSI の各点での版から直ちに従う。局所代数的スキーム \(Y_s\) の次元を計算するには、 一般点の近傍だけを調べれば十分であることに注意する。Varieties, Section 06LF を参照されたい。

注意

上の結果、とりわけ Lemma 0GSJ により、スキームの射 \(f : X \to S\) が Morphisms, Definition 02NJ で定義される相対次元 \(d\) をもつと結論できるいくつかの場合を挙げる。 例えば、次の条件のもとで成り立つ。

1. \(X\) は一般点 \(\xi\) をもつ整スキームである。

2. \(\kappa(f(\xi))\) 上の \(\kappa(\xi)\) の超越次数は \(d\) である。

3. \(f\) は局所有限型である。

4. 有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) が存在し、これは \(S\) 上平坦で、\(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\) を満たす。

別の十分な仮定は次のとおりである。

1. \(S\) は一般点 \(\eta\) をもつ既約スキームである。

2. \(X_\eta\) は \(X\) で稠密である。

3. \(X_\eta\) のすべての既約成分の次元は \(d\) である。

4. \(f\) は局所有限型である。

5. 有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) が存在し、これは \(S\) 上平坦で、\(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\) を満たす。

もちろん、\(\mathcal{F}\) に対する平坦性の条件を弱め、\(\mathcal{F}\) が \(S\) 上 余次元 \(0\) で平坦、すなわち \(\mathcal{F}\) がすべてのファイバーの各一般点において \(S\) 上平坦であることだけを要求してもよい。

これらの結果が必要になったならば、ここで注意深く定式化して証明することにする。

正規化再考

正規化は滑らかな基底変換と可換である。

補題

\(f : Y \to X\) をスキームの滑らかな射とする。\(\mathcal{A}\) を準連接な \(\mathcal{O}_X\)-代数の層とする。\(f^*\mathcal{A}\) における \(\mathcal{O}_Y\) の整閉包は \(f^*\mathcal{A}'\) に等しい。ここで \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\) は \(\mathcal{A}\) における \(\mathcal{O}_X\) の整閉包である。

証明

Algebra, Lemma 03GG をスキームの言葉に翻訳したものである。詳細は省略する。

補題

次の図式 \[\xymatrix{ Y_2 \ar[r] \ar[d]_{f_2} & Y_1 \ar[d]^{f_1} \\ X_2 \ar[r]^\varphi & X_1 }\] をスキームの圏におけるファイバー平方とする。\(f_1\) は準コンパクトかつ 準分離であり、\(\varphi\) は滑らかであると仮定する。 \(Y_i \to X_i' \to X_i\) を \(Y_i\) における \(X_i\) の正規化とする。 このとき \(X_2' \cong X_2 \times_{X_1} X_1'\) である。

証明

\(Y_1 \to X_1' \to X_1\) を \(X_2\) へ基底変換すると、分解 \(Y_2 \to X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\) が得られ、 \(X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\) は整である （Morphisms, Lemma 01WL）。 したがって Morphisms, Lemma 035I の普遍性により射 \(h : X_2' \to X_2 \times_{X_1} X_1'\) を得る。 \(X_2'\) は \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2}\) における \(\mathcal{O}_{X_2}\) の 整閉包の相対スペクトルであることに注意する。 \(\mathcal{A}' \subset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\) が \(\mathcal{O}_{X_1}\) の 整閉包を表すならば、\(X_2 \times_{X_1} X_1'\) は \(\varphi^*\mathcal{A}'\) の相対スペクトルである。Constructions, Lemma 01LX を参照されたい。 Cohomology of Schemes, Lemma 02KH により \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} = \varphi^*f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\) である。 したがって結果は Lemma 081K から従う。

補題

\(X \to Y\) をスキームの滑らかな射とする。\(Y\) の任意の準コンパクト開集合は 有限個の既約成分をもつと仮定する。このとき \(X\) に対しても同じことが成り立ち、 \(X\) 上の一意な同型 \(X^\nu = X \times_Y Y^\nu\) が存在する。ここで \(X^\nu\), \(Y^\nu\) はそれぞれ \(X\), \(Y\) の正規化である。

証明

Descent, Lemma 0BAL により、\(X\) の任意の準コンパクト開集合は有限個の既約成分をもつ。 被約スキーム上滑らかなスキームは被約なので、 \(X_{red} = X \times_Y Y_{red}\) であることに注意する。次を参照せよ。 Descent, Lemma 034E. したがって \(X\) と \(Y\) は被約であると仮定してよい（定義により、スキームの 正規化はその被約化の正規化に等しい）。次に Descent, Lemma 034F により、 \(X' = X \times_Y Y^\nu\) は正規スキームである。 射 \(X' \to Y^\nu\) は滑らか（したがって平坦）なので、\(X'\) の既約成分の一般点は \(Y^\nu\) の既約成分の一般点の上にある。\(Y^\nu \to Y\) は双有理なので、 \(X' \to X\) も双有理であると結論する（\(X' \to Y^\nu\) は \(Y\) の一般点上の ファイバーに同型を誘導するためである）。したがって分解 \(X^\nu \to X' \to X\) が存在する。次を参照せよ。 Morphisms, Lemma 035Q \(X'\) は正規であり \(X\) 上整なので、この分解は同型である。

補題

\(X\) を局所 Noetherian スキームとする。\(\nu : X^\nu \to X\) を正規化射とする。 このとき任意の点 \(x \in X\) に対して、基底変換 \[X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h), \quad\text{resp.}\quad X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\] はそれぞれ \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h)\) および \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\) の正規化である。

証明

\(\eta_1, \ldots, \eta_r\) を、\(x\) を通る \(X\) の既約成分の一般点とする。 正規化を \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) へ基底変換したものは、 \(\prod \kappa(\eta_i)\) における \(\mathcal{O}_{X, x}\) の整閉包のスペクトルである。 これは \(X\) の正規化の構成と Morphisms, Definition 035N および Morphisms, Lemma 035F から従う。Morphisms, Lemma 035P の正規化の記述を用いてもよい。したがって次の代数の問題に帰着する。 \(A\) を Noetherian 局所環とする。このとき Hensel 化 \(A^h\) と狭義 Hensel 化 \(A^{sh}\) も Noetherian であることを思い出そう（More on Algebra, Lemma 06LJ）。 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\) をその極小素イデアルとする。 \(A'\) を \(\prod \kappa(\mathfrak p_i)\) における \(A\) の整閉包とする。 問題は、\(A' \otimes_A A^h\) および \(A' \otimes_A A^{sh}\) がそれぞれ Noetherian 局所環 \(A^h\) および \(A^{sh}\) から同じ仕方で構成されることを 示すことである。

\(A^h\) および \(A^{sh}\) はエタール \(A\)-代数の余極限なので、

\(A\) および \(A^{sh}\) の極小素イデアルはちょうど、\(A\) の極小素イデアルの上にある \(A^h\) および \(A^{sh}\) の素イデアルであることが分かる（下降による。Algebra, Lemmas 00HS および 0CAN を参照せよ）。 したがって More on Algebra, Lemma 07QQ により、 \(A^h \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\), および \(A^{sh} \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\) はそれぞれ \(A^h\) および \(A^{sh}\) の極小素イデアルにおける剰余体の積である。 上環における整閉包を取る操作はエタール基底変換と可換である。Algebra, Lemma 03GE を参照されたい。

\(A^h\) と \(A^{sh}\) をエタール \(A\)-代数の極限として書けば、\(A^h\) および \(A^{sh}\) への基底変換についても同じことが成り立つと分かる （より一般的な Algebra, Lemma 0CBF を用いてもよい）。

正規射

Deligne と Mumford の論文 [DM] では正規射という概念が言及されている。 これは同様に定義できる一連の射の型の一つにすぎない³。

必要に応じて、これらを今後それぞれ独立の節として追加することにする。

定義

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。すべてのファイバー \(X_y\) は 局所 Noetherian スキームであると仮定する。

1. \(x \in X\) とし、\(y = f(x)\) とおく。\(f\) が点 \(x\) で正規であるとは、 \(f\) が点 \(x\) で平坦であり、スキーム \(X_y\) が \(\kappa(y)\) 上、点 \(x\) で 幾何学的正規であることをいう（Varieties, Definition 038M 参照）。

2. \(f\) が \(X\) のすべての点で正規であるとき、\(f\) を正規射という。

したがって射 \(X \to Y\) が正規であるという条件は、すべてのファイバーが 正規な局所 Noetherian スキームであることだけを要求する条件より強い。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) のすべてのファイバーは 局所 Noetherian であると仮定する。次は同値である。

1. \(f\) は正規である。

2. \(f\) は平坦であり、そのファイバーは幾何学的正規スキームである。

証明

定義から直ちに従う。

補題

滑らかな射は正規である。

証明

\(f : X \to Y\) を滑らかな射とする。\(f\) は局所有限表示なので（ Morphisms, Lemma 01VE 参照）、ファイバー \(X_y\) は体上局所有限型であり、したがって局所 Noetherian である。 さらに、Morphisms, Lemma 01VF により \(f\) は平坦である。最後に、ファイバー \(X_y\) は体上滑らかであり （Morphisms, Lemma 01VB）、したがって Varieties, Lemma 056T により幾何学的正規である。ゆえに Lemma 0391 により \(f\) は正規である。

この概念が滑らかな位相について始域と終域上局所的であることを示したい。 まずファイバーが局所 Noetherian であるという性質を扱う。

補題

性質 \(\mathcal{P}(f)=\)「\(f\) のファイバーは局所 Noetherian である」は、 始域と終域上の fppf 位相について局所的である。

証明

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) を \(Y\) の fppf 被覆とする。

\(f_i : X_i \to Y_i\) を \(\varphi_i\) による \(f\) の基底変換とする。 \(i \in I\) とし、\(y_i \in Y_i\) を点とする。\(y = \varphi_i(y_i)\) とおく。このとき \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] さらに \(\varphi_i\) は有限表示なので、体拡大 \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) は有限生成である。 したがってこの状況では、\(X_y\) が局所 Noetherian であることと \(X_{i, y_i}\) が局所 Noetherian であることは同値である。Varieties, Lemma 038R を参照されたい。 これにより終域上の局所性が従う。

\(\{X_i \to X\}\) を \(X\) の fppf 被覆とし、\(y \in Y\) とする。この場合 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) はファイバーの fppf 被覆である。したがって始域上の局所性は Descent, Lemma 034C から従う。

補題

性質 \(\mathcal{P}(f)=\)「\(f\) のファイバーは局所 Noetherian であり、\(f\) は正規である」は、 終域上の fppf 位相について局所的であり、始域上の滑らかな位相について局所的である。

証明

次の分解がある。 \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\) ここで、\(\mathcal{P}_1(f)=\)「\(f\) のファイバーは局所 Noetherian である」、 \(\mathcal{P}_2(f)=\)「\(f\) は平坦である」、および \(\mathcal{P}_3(f)=\)「\(f\) のファイバーは幾何学的正規である」とする。 \(\mathcal{P}_1\) と \(\mathcal{P}_2\) が始域と終域上の fppf 位相について 局所的であることはすでに見た。次を参照せよ。 Lemma 0392, および Descent, Lemmas 02L2 および 036K。したがって \(\mathcal{P}_3\) を扱えばよい。

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) を \(Y\) の fpqc 被覆とする。

\(f_i : X_i \to Y_i\) を \(\varphi_i\) による \(f\) の基底変換とする。 \(i \in I\) とし、\(y_i \in Y_i\) を点とする。\(y = \varphi_i(y_i)\) とおく。このとき \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] したがってこの状況では、\(X_y\) が幾何学的正規であることと \(X_{i, y_i}\) が幾何学的正規であることは同値である。Varieties, Lemma 038P を参照されたい。 これにより \(\mathcal{P}_3\) は終域上 fpqc 局所的である。

\(\{X_i \to X\}\) を \(X\) の滑らかな被覆とし、\(y \in Y\) とする。この場合 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) はファイバーの滑らかな被覆である。したがって 始域上の滑らかな位相に関する \(\mathcal{P}_3\) の局所性は Descent, Lemma 034F から従う。以上を合わせて補題を得る。

正則射

Section 038Z と比較せよ。この概念の代数的な版は More on Algebra, Section 07BY で論じる。

定義

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。すべてのファイバー \(X_y\) は 局所 Noetherian スキームであると仮定する。

1. \(x \in X\) とし、\(y = f(x)\) とおく。\(f\) が点 \(x\) で平坦であり、 スキーム \(X_y\) が \(\kappa(y)\) 上、点 \(x\) で幾何学的正則であるとき、 \(f\) は点 \(x\) で正則であるという（Varieties, Definition 038T 参照）。

2. \(f\) が \(X\) のすべての点で正則であるとき、\(f\) を正則射という。

射 \(X \to Y\) が正則であるという条件は、すべてのファイバーが 正則な局所 Noetherian スキームであることだけを要求する条件より強い。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) のすべてのファイバーは 局所 Noetherian であると仮定する。次は同値である。

1. \(f\) は正則である。

2. \(f\) は平坦であり、そのファイバーは幾何学的正則スキームである。

3. \(f(U) \subset V\) を満たす任意のアフィン開 \(U \subset X\)、\(V \subset Y\) に対し、環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\) は正則である。

4. 開被覆 \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) と開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) で、各射 \(U_i \to V_j\) が 正則となるものが存在する。

5. アフィン開被覆 \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\) とアフィン開被覆 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\) で、環準同型 \(\mathcal{O}_Y(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\) が正則となるものが存在する。

証明

(1) と (2) の同値性は定義から直ちに従う。 \(x \in X\) とし、\(y = f(x)\) とおく。定義により、\(f\) が点 \(x\) で 平坦であることと \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) が 平坦な環準同型であることは同値である。また、\(X_y\) が \(\kappa(y)\) 上、 点 \(x\) で幾何学的正則であることと \(\mathcal{O}_{X_y, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) が \(\kappa(y)\) 上幾何学的正則な代数であることも同値である。

したがって \(f\) が点 \(x\) で正則であるかどうかは、局所環の局所準同型 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) のみに依存する。 ゆえに (1) と (4) の同値性は明らかである。

環準同型 \(A \to B\) が正則であることと、それが平坦で、かつすべての素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に対してファイバー環 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) が Noetherian かつ幾何学的正則であることは 同値であることを思い出そう（More on Algebra, Definition 07BZ）。Varieties, Lemma 038V により、これは \(\Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) が \(\kappa(\mathfrak p)\) 上 幾何学的正則なスキームであることと同値である。したがって (2) は (3) を含意する。また (3) が (5) を含意することは明らかである。 最後に (5) を仮定する。このとき \(f\) は平坦である（Morphisms, Lemma 01U5 参照）。さらに \(y \in Y\) とすれば、 ある \(j\) に対して \(y \in V_j\) であり、 \(X_y = \bigcup_{i \in I_j} U_{i, y}\) となる。各 \(U_{i, y}\) は Varieties, Lemma 038V により \(\kappa(y)\) 上幾何学的正則である。Varieties, Lemma 038V をもう一度適用すれば \(X_y\) は幾何学的正則である。よって (2) が成り立ち、証明が完了する。

補題

滑らかな射は正則である。

証明

\(f : X \to Y\) を滑らかな射とする。\(f\) は局所有限表示なので（ Morphisms, Lemma 01VE 参照）、ファイバー \(X_y\) は体上局所有限型であり、したがって局所 Noetherian である。 さらに、Morphisms, Lemma 01VF により \(f\) は平坦である。最後に、ファイバー \(X_y\) は体上滑らかであり （Morphisms, Lemma 01VB）、したがって Varieties, Lemma 056T により幾何学的正則である。ゆえに Lemma 07R8 により \(f\) は正則である。

補題

性質 \(\mathcal{P}(f)=\)「\(f\) のファイバーは局所 Noetherian であり、\(f\) は正則である」は、 終域上の fppf 位相について局所的であり、始域上の滑らかな位相について局所的である。

証明

次の分解がある。 \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\) ここで、\(\mathcal{P}_1(f)=\)「\(f\) のファイバーは局所 Noetherian である」、 \(\mathcal{P}_2(f)=\)「\(f\) は平坦である」、および \(\mathcal{P}_3(f)=\)「\(f\) のファイバーは幾何学的正則である」とする。 \(\mathcal{P}_1\) と \(\mathcal{P}_2\) が始域と終域上の fppf 位相について 局所的であることはすでに見た。次を参照せよ。 Lemma 0392, および Descent, Lemmas 02L2 および 036K。したがって \(\mathcal{P}_3\) を扱えばよい。

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) を \(Y\) の fpqc 被覆とする。

\(f_i : X_i \to Y_i\) を \(\varphi_i\) による \(f\) の基底変換とする。 \(i \in I\) とし、\(y_i \in Y_i\) を点とする。\(y = \varphi_i(y_i)\) とおく。このとき \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] したがってこの状況では、\(X_y\) が幾何学的正則であることと \(X_{i, y_i}\) が幾何学的正則であることは同値である。Varieties, Lemma 038W を参照されたい。 これにより \(\mathcal{P}_3\) は終域上 fpqc 局所的である。

\(\{X_i \to X\}\) を \(X\) の滑らかな被覆とし、\(y \in Y\) とする。この場合 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) はファイバーの滑らかな被覆である。したがって 始域上の滑らかな位相に関する \(\mathcal{P}_3\) の局所性は Descent, Lemma 036D から従う。以上を合わせて補題を得る。

Cohen–Macaulay 射

Section 038Z と比較せよ。Algebra, Section 045L および Varieties, Section 045O で指摘したように、「幾何学的 Cohen–Macaulay」は単に Cohen–Macaulay であることと同じである。

定義

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。すべてのファイバー \(X_y\) は 局所 Noetherian スキームであると仮定する。

1. \(x \in X\) とし、\(y = f(x)\) とおく。\(f\) が点 \(x\) で平坦であり、 スキーム \(X_y\) の点 \(x\) における局所環が Cohen–Macaulay であるとき、 \(f\) は点 \(x\) で Cohen–Macaulay であるという。

2. \(f\) が \(X\) のすべての点で Cohen–Macaulay であるとき、\(f\) を Cohen–Macaulay 射という。

この定義を言い換えると次のようになる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(f\) のすべてのファイバーは 局所 Noetherian であると仮定する。次は同値である。

1. \(f\) は Cohen–Macaulay である。

2. \(f\) は平坦であり、そのファイバーは Cohen–Macaulay スキームである。

証明

定義から直ちに従う。

補題

\(f : X \to Y\) を局所 Noetherian スキームの局所有限型かつ Cohen–Macaulay な射とする。\(X\) の任意の点 \(x\) と、その \(Y\) における像 \(y\) に対し、 \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y),\] が成り立つ。ここで \(X_y\) は \(y\) 上のファイバーを表す。

証明

\(X\) を \(x\) の開近傍で置き換えると、\(X \to Y\) のすべてのファイバーが 各点で次元 \(d\) をもつような自然数 \(d\) が存在する。Morphisms, Lemma 02NM を参照せよ。このとき \(f\) は平坦、局所有限型、かつ相対次元 \(d\) である。 したがって Morphisms, Lemma 0AFE から結論が従う。

補題

\(f : X \to Y\) および \(g : Y \to Z\) をスキームの射とする。\(f\)、\(g\)、および \(g \circ f\) のファイバーは局所 Noetherian であると仮定する。 \(x \in X\) とし、その像をそれぞれ \(y \in Y\)、\(z \in Z\) とする。

1. \(f\) が点 \(x\) で Cohen–Macaulay であり、\(g\) が点 \(f(x)\) で Cohen–Macaulay ならば、\(g \circ f\) は点 \(x\) で Cohen–Macaulay である。

2. \(f\) と \(g\) が Cohen–Macaulay ならば、\(g \circ f\) は Cohen–Macaulay である。

3. \(g \circ f\) が点 \(x\) で Cohen–Macaulay であり、\(f\) が点 \(x\) で 平坦ならば、\(f\) は点 \(x\) で Cohen–Macaulay であり、\(g\) は点 \(f(x)\) で Cohen–Macaulay である。

4. \(g \circ f\) が Cohen–Macaulay であり、\(f\) が平坦ならば、\(f\) は Cohen–Macaulay であり、\(g\) は \(f\) の像に属するすべての点で Cohen–Macaulay である。

証明

Noetherian 局所環の準同型 \[\mathcal{O}_{Y_z, y} \to \mathcal{O}_{X_z, x}\] を考える。そのファイバーは \[\mathcal{O}_{X_z, x}/\mathfrak m_{Y_z, y}\mathcal{O}_{X_z, x} = \mathcal{O}_{X_y, x}\] であることに注意せよ。

したがって補題は Algebra, Lemma 045J から従う。

補題

\(f : X \to Y\) を局所 Noetherian スキームの平坦射とする。\(X\) が Cohen–Macaulay ならば、\(f\) は Cohen–Macaulay であり、すべての \(x \in X\) に対して \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\) は Cohen–Macaulay である。

証明

代数の言葉に移せば、Algebra, Lemma 045J から従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。すべてのファイバー \(X_y\) は 局所 Noetherian スキームであると仮定する。\(Y' \to Y\) は局所有限型とし、 \(f' : X' \to Y'\) を \(f\) の基底変換とする。 \(x' \in X'\) を点とし、その像を \(x \in X\) とする。

1. \(f\) が点 \(x\) で Cohen–Macaulay ならば、\(f' : X' \to Y'\) は点 \(x'\) で Cohen–Macaulay である。

2. \(f\) が点 \(x\) で平坦であり、\(f'\) が点 \(x'\) で Cohen–Macaulay ならば、 \(f\) は点 \(x\) で Cohen–Macaulay である。

3. \(Y' \to Y\) が点 \(f'(x')\) で平坦であり、\(f'\) が点 \(x'\) で Cohen–Macaulay ならば、\(f\) は点 \(x\) で Cohen–Macaulay である。

証明

\(Y' \to Y\) に関する仮定から、\(y' \in Y'\) が \(y \in Y\) に写るとき、 体拡大 \(\kappa(y')/\kappa(y)\) は有限生成であることに注意せよ。したがって すべてのファイバー \(X'_{y'} = (X_y)_{\kappa(y')}\) も局所 Noetherian である。 Varieties, Lemma 038R を参照せよ。ゆえに補題の主張は意味をもつ。\(y' = f'(x')\) および \(y = f(x)\) とおく。このとき局所環の可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[u] & \mathcal{O}_{Y, y} \ar[l] \ar[u] }\] を得る。ここで左上の環は、右上と左下の環を右下の環上でテンソル積したものの 局所化である。

\(f\) が点 \(x\) で Cohen–Macaulay であると仮定する。 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) の平坦性から \(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) の平坦性が従う。Algebra, Lemma 00MQ を参照せよ。 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) が Cohen–Macaulay であることから \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) も Cohen–Macaulay であることが従う。Varieties, Lemma 045P を参照せよ。したがって \(f'\) は 点 \(x'\) で Cohen–Macaulay である。

\(f\) が点 \(x\) で平坦であり、\(f'\) が点 \(x'\) で Cohen–Macaulay であると仮定する。 \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) が Cohen–Macaulay であることから \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) も Cohen–Macaulay であることが従う。Varieties, Lemma 045P を参照せよ。したがって \(f\) は 点 \(x\) で Cohen–Macaulay である。

\(Y' \to Y\) が点 \(y'\) で平坦であり、\(f'\) が点 \(x'\) で Cohen–Macaulay であると仮定する。\(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\) と \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y', y'}\) の平坦性から \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\) の平坦性が従う。Algebra, Lemma 00MQ を参照せよ。 \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\) が Cohen–Macaulay であることから \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) も Cohen–Macaulay であることが従う。Varieties, Lemma 045P を参照せよ。したがって \(f\) は 点 \(x\) で Cohen–Macaulay である。

補題

\(f : X \to S\) を平坦かつ局所有限表示なスキームの射とする。次をおく。 \[W = \{x \in X \mid f\text{ は点 }x\text{ で Cohen--Macaulay である}\}\] このとき次が成り立つ。

1. \(W = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X_{f(x)}, x}\text{ は Cohen--Macaulay である}\}\)。

2. \(W\) は \(X\) の開部分集合である。

3. \(W\) は \(X \to S\) の各ファイバーで稠密である。

4. \(W\) の形成は \(f\) の任意の基底変換と可換である。任意の射 \(g : S' \to S\) に対し、\(f\) の基底変換 \(f' : X' \to S'\) と射影 \(g' : X' \to X\) を考える。

   このとき射 \(f'\) に対応する集合 \(W'\) は \(W' = (g')^{-1}(W)\) に等しい。

証明

\(f\) は平坦で、そのファイバーは局所 Noetherian なので、(1) の等式は 定義から成り立つ。(2) と (3) は Algebra, Lemma 00RI から従う。 (4) は Algebra, Lemma 00RK または Varieties, Lemma 045P から従う。

補題

\(f : X \to S\) を平坦かつ局所有限表示なスキームの射とする。 \(x \in X\) とし、その像を \(s \in S\) とする。\(d = \dim_x(X_s)\) とおく。 次は同値である。

1. \(f\) は点 \(x\) で Cohen–Macaulay である。

2. \(x\) の開近傍 \(U \subset X\) と、点 \(x\) で平坦な \(S\) 上の 局所準有限射 \(U \to \mathbf{A}^d_S\) が存在する。

3. \(x\) の開近傍 \(U \subset X\) と、\(S\) 上の局所準有限平坦射 \(U \to \mathbf{A}^d_S\) が存在する。

4. \(x\) の任意の開近傍 \(U \subset X\) と任意の \(S\)-射 \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\) に対し、次が成り立つ： \(g\) が点 \(x\) で準有限 \(\Rightarrow\) \(g\) が点 \(x\) で平坦。

証明

平坦性の開性から (2) と (3) は同値である。Theorem 0399 を参照せよ。

\(x \in U\) を満たすアフィン開 \(U = \Spec(A) \subset X\) と、 \(f(U) \subset V\) を満たすアフィン開 \(V = \Spec(R) \subset S\) を選ぶ。 このとき \(R \to A\) は有限表示な平坦環準同型である。\(x\) に対応する素イデアルを \(\mathfrak p \subset A\) とする。\(A\) を主局所化で置き換えることにより、準有限準同型 \(R[x_1, \ldots, x_d] \to A\) が存在すると仮定してよい。Algebra, Lemma 00QE を参照せよ。 したがって、\(x\) の開近傍 \(U \subset X\) と局所⁴準有限射 \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\) からなる組 \((U, g)\) が少なくとも一つ存在する。

主張：\(R \to A\) が平坦かつ有限表示で、\(\mathfrak p \subset A\) が素イデアル、 \(\varphi : R[x_1, \ldots, x_d] \to A\) が \(\mathfrak p\) で準有限ならば、 \(\Spec(\varphi)\) が \(\mathfrak p\) で平坦であることと \(\Spec(A) \to \Spec(R)\) が \(\mathfrak p\) で Cohen–Macaulay であることは 同値である。実際、Theorem 039C により平坦性はファイバー上で確認できる。Cohen–Macaulay であることについても 同じことが成り立つ（\(A\) はすでに \(R\) 上平坦と仮定されている）。したがって主張は Algebra, Lemma 00RE から従う。

この主張から (1) と (4) の同値性が従う。また第 2 段落で適切な \((U, g)\) を 構成したことと合わせれば、この主張から (1) と (2) の同値性も従う。

補題

\(f : X \to S\) を平坦かつ局所有限表示なスキームの射とする。各 \(d \geq 0\) に対し、次の性質をもつ開部分集合 \(U_d \subset X\) が存在する。

1. \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\) は \(f\) の各ファイバーで稠密である。

2. \(U_d \to S\) は相対次元 \(d\) である（Morphisms, Definition 02NJ 参照）。

証明

Lemma 045U と Morphisms, Lemma 02NM を組み合わせれば従う。

補題

\(f : X \to S\) を平坦かつ局所有限表示なスキームの射とする。 \(X\) の点の特殊化 \(x' \leadsto x\) の \(S\) における像が \(s' \leadsto s\) であると仮定する。\(x\) が \(X_s\) の既約成分の一般点ならば、 \(\dim_{x'}(X_{s'}) = \dim_x(X_s)\) である。

証明

ある \(d\) に対して点 \(x\) は \(U_d\) に含まれる。ここで \(U_d\) は Lemma 054T におけるものとする。

補題

性質 \(\mathcal{P}(f)=\)「\(f\) のファイバーは局所 Noetherian であり、\(f\) は Cohen–Macaulay である」は、終域上の fppf 位相について局所的であり、 始域上の syntomic 位相について局所的である。

証明

次の分解がある。 \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f)\) ここで、\(\mathcal{P}_1(f)=\)「\(f\) は平坦である」、および \(\mathcal{P}_2(f)=\)「\(f\) のファイバーは局所 Noetherian かつ Cohen–Macaulay である」とする。\(\mathcal{P}_1\) が始域と終域上の fppf 位相について局所的であることは分かっている。Descent, Lemmas 02L2 および 036K を参照せよ。 したがって \(\mathcal{P}_2\) を扱えばよい。

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。 \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\) を \(Y\) の fppf 被覆とする。

\(f_i : X_i \to Y_i\) を \(\varphi_i\) による \(f\) の基底変換とする。 \(i \in I\) とし、\(y_i \in Y_i\) を点とする。\(y = \varphi_i(y_i)\) とおく。このとき \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\]

また \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\) は有限生成体拡大である。したがって \(X_y\) が 局所 Noetherian ならば、\(X_{i, y_i}\) も局所 Noetherian である。Varieties, Lemma 038R を参照せよ。 さらに \(X_y\) が Cohen–Macaulay ならば、\(X_{i, y_i}\) も Cohen–Macaulay である。Varieties, Lemma 045P を参照せよ。 したがって \(\mathcal{P}_2\) は終域上 fppf 局所的である。

\(\{X_i \to X\}\) を \(X\) の syntomic 被覆とし、\(y \in Y\) とする。この場合 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\) はファイバーの syntomic 被覆である。したがって 始域上の syntomic 位相に関する \(\mathcal{P}_2\) の局所性は Descent, Lemma 036B から従う。以上を合わせて補題を得る。

Cohen–Macaulay 射の切断

この節の結果から最終的に、fppf 位相は「有限表示、平坦、準有限」位相と 同じであることが従う。次の補題は Divisors, Lemma 062Y と非常に密接に関係する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、その像を \(s \in S\) とする。\(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) とする。 次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(f\) は点 \(x\) で平坦である。

3. \(h\) の \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\) における像 \(\overline{h}\) は非零因子である。

このとき \(x\) のアフィン開近傍 \(U \subset X\) で、\(h\) が \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) から来て、\(D = V(h)\) が \(U\) の 有効 Cartier 因子となり、\(x \in D\) かつ \(D \to S\) が平坦かつ 局所有限表示となるものが存在する。

証明

Noetherian の場合に帰着して証明する。平坦性の開性（Theorem 0399 参照）により、\(X\) を \(x\) の開近傍で 置き換えれば \(X \to S\) は平坦であると仮定してよい。さらに \(X\) と \(S\) は アフィンであると仮定してよい。必要なら \(X\) を少し縮小することにより、 与えられた \(h\) に写る \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) が存在すると仮定してよい。

\(S = \Spec(A)\) と書き、\(A = \colim_i A_i\) を有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数の 有向余極限として書く。Algebra, Lemma 02JO、または Limits, Lemmas 01ZM、 01ZN、および

01ZM により、Cartesian 図式 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X_0 \ar[d]^{f_0} \\ S \ar[r] & S_0 }\] で、\(f_0\) が平坦かつ有限表示、\(X_0\) がアフィン、\(S_0\) がアフィンかつ Noetherian となるものを得る。\(x\) の像を \(x_0 \in X_0\)、\(s\) の像を \(s_0 \in S_0\) とする。また、\(X\) 上で \(h\) に制限される元 \(h_0 \in \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) が存在すると仮定してよい。 （上の代数の参照結果を用いた場合は明らかである。極限の章の参照結果を 用いた場合は、\(h\) を射 \(X \to \mathbf{A}^1_S\) と考えれば Limits, Lemma 01ZM から従う。） \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) は \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \otimes_{\kappa(s_0)} \kappa(s)\) の局所化である。 したがって \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \to \mathcal{O}_{X_s, x}\) は 平坦な局所環準同型であり、特に忠実平坦である。ゆえに像 \(\overline{h}_0 \in \mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0}\) は \(\mathfrak m_{(X_0)_{s_0}, x_0}\) に属し、非零因子である。 \(X_0\) を \(x_0\) の主開近傍で置き換えると、元 \(h_0\) は \(B_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\) の非零因子であり、かつ \(B_0/h_0B_0\) は \(A_0 = \Gamma(S_0, \mathcal{O}_{S_0})\) 上平坦になると主張する。 実際、そうであれば \[0 \to B_0 \xrightarrow{h_0} B_0 \to B_0/h_0B_0 \to 0\] は平坦 \(A_0\)-加群の短完全列である。したがって \(A\) とテンソル積しても完全性を保つ （Algebra, Lemma 00HL による）ので、補題が従う。

上の主張を証明すればよい。対応する代数の主張は次のとおりである （ここでは下添字 \({}_0\) を省く）。\(A \to B\) を Noetherian 環の有限型平坦環準同型とする。 \(\mathfrak q \subset B\) を \(\mathfrak p \subset A\) の上にある素イデアルとする。 \(h \in \mathfrak q\) の \(B_{\mathfrak q}/\mathfrak p B_{\mathfrak q}\) における像は 非零因子であると仮定する。目標は、ある \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\) に対して \(B\) を \(B_g\) で置き換えた後、\(h\) が非零因子となり、\(B/hB\) が \(A\) 上平坦となることを示すことである。

Algebra, Lemma 00MF により、\(h\) は \(B_{\mathfrak q}\) の非零因子であり、\(B_{\mathfrak q}/hB_{\mathfrak q}\) は \(A\) 上平坦である。平坦性の開性、すなわち Algebra, Theorem 00RC または Theorem 0399 により、ある \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\) に対して \(B\) を \(B_g\) で置き換えれば、\(B/hB\) は \(A\) 上平坦になる。 最後に \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\) を \(h\) の零化イデアルとする。 \(h\) は \(B_{\mathfrak q}\) の非零因子なので \(IB_{\mathfrak q} = 0\) である。 また \(B\) は Noetherian なので \(I\) は有限生成である。したがって \(IB_g = 0\) となる \(g \in B\)、\(g \not \in \mathfrak q\) が存在する。 \(B\) を \(B_g\) で置き換えれば、\(h\) が非零因子であることが分かる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、その像を \(s \in S\) とする。\(h_1, \ldots, h_r \in \mathcal{O}_{X, x}\) とする。 次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(f\) は点 \(x\) で平坦である。

3. \(h_1, \ldots, h_r\) の \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\) における像は正則列をなす。

このとき \(x\) のアフィン開近傍 \(U \subset X\) で、\(h_1, \ldots, h_r\) が \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) から来て、 \(Z = V(h_1, \ldots, h_r) \to U\) が正則埋め込みとなり、\(x \in Z\) かつ \(Z \to S\) が平坦かつ局所有限表示となるものが存在する。さらに、\(S\) 上の 任意のスキーム \(S'\) に対し、基底変換 \(Z_{S'} \to U_{S'}\) は正則埋め込みである。

証明

（正則列に関する本章の規約から、各 \(i\) に対して \(h_i \in \mathfrak m_x\) である。）\(r = 1\) の場合は Lemma 056Y と Divisors, Lemma 056Q を組み合わせ、 \(V(h_1)\) が基底変換後も有効 Cartier 因子であることを用いれば従う。 \(r > 1\) の場合は \(r\) に関する直接的な帰納法から従う（\(r = 1\) の結果を ちょうど \(r\) 回適用する。詳細は省略する）。

Divisors, Section 063P の内容を 用いて補題を証明することもできる。まず平坦性の開性（Theorem 0399 参照）により、\(X\) を \(x\) の開近傍で置き換えれば \(X \to S\) は平坦であると仮定してよい。また \(X\) と \(S\) はアフィンであると 仮定してよい。必要なら \(X\) を少し縮小して \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) と仮定する。 \(Z = V(h_1, \ldots, h_r)\) とおく。\(X_s\) は代数的 \(\kappa(s)\)-スキームなので Noetherian スキームであり（Varieties, Section 06LF 参照）、\(X_s\) の位相は \(X\) の位相から 誘導される（Schemes, Lemma 01K1 参照）。 したがって \(X\) をさらに少し縮小すれば、\(Z_s \subset X_s\) は \(r\) 個の元 \(h_i|_{X_s}\) で切り出される正則埋め込みであると仮定してよい。Divisors, Lemma 063I とその証明を参照せよ。 さらに、次の等式から \(r = \dim_x(X_s) - \dim_x(Z_s)\) は明らかである。 \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(Z_s) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + r \end{align*}\] 最初の二つの等式は Algebra, Lemma 00P1 による。

第 2 の等式は Algebra, Lemma 00KW を \(r\) 回 適用することによる。したがって Divisors, Lemma 063W の (3) を適用すると、\(X\) を Zariski 開集合に縮小した後、射 \(Z \to X\) は正則埋め込みであることが分かる。これに Divisors, Lemma 063U を適用でき、平坦性と基底変換に関する主張が得られる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、その像を \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(f\) は点 \(x\) で平坦である。

3. \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) は \(\text{depth} \geq 1\) を満たす。

このとき \(x\) のアフィン開近傍 \(U \subset X\) と、\(x\) を含む有効 Cartier 因子 \(D \subset U\) で、\(D \to S\) が平坦かつ有限表示となるものが存在する。

証明

\(\mathcal{O}_{X_s, x}\) で非零因子に写る任意の \(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) を選び、Lemma 056Y を適用する。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(x \in X\) を点とし、その像を \(s \in S\) とする。次を仮定する。

1. \(f\) は局所有限表示である。

2. \(f\) は点 \(x\) で Cohen–Macaulay である。

3. \(x\) は \(X_s\) の閉点である。

このとき \(x\) を含む正則埋め込み \(Z \to X\) で、次を満たすものが存在する。

1. \(Z \to S\) は平坦かつ局所有限表示である。

2. \(Z \to S\) は局所準有限である。

3. 集合論的に \(Z_s = \{x\}\) である。

証明

\(S\) を \(s\) のアフィン開近傍で置き換える。アフィン \(S\) に対し、 \(d = \dim_x(X_s)\) に関する帰納法で補題を証明する。

\(d = 0\) の場合。この場合、\(Z\) として \(x\) の開近傍を取れることを示す （開埋め込みは正則埋め込みであることに注意せよ）。実際、\(d = 0\) ならば \(X \to S\) は点 \(x\) で準有限である。Morphisms, Lemma 0397 を参照せよ。 したがって \(U \to S\) が準有限となるアフィン開近傍 \(U \subset X\) が存在する。 Morphisms, Lemma 01TI を参照せよ。 \(X\) を \(U\) で置き換えると、ファイバー \(X_s\) は有限離散集合である。

そこで \(X\) を \(X\) のさらなるアフィン開近傍で置き換えると、 \(f^{-1}(\{s\}) = \{x\}\) となる（\(X_s\) の位相は \(X\) の位相から誘導される。 Schemes, Lemma 01K1 を参照せよ）。 これでこの場合の補題が証明された。

次に \(d > 0\) と仮定する。\(x\) はそのファイバーの閉点なので、Hilbert の零点定理により 拡大 \(\kappa(x)/\kappa(s)\) は有限である。Morphisms, Lemma 01TF を参照せよ。 したがって \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X_s, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) = d > 0\] を得る。最初の等式は \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) が Cohen–Macaulay であることによる。 第 2 の等式は Morphisms, Lemma 02FX による。したがって Lemma 056Z を適用して図式 \[\xymatrix{ D \ar[r] \ar[rrd] & U \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d] \\ & & S }\] で \(x \in D\) となるものを得る。ある非零因子 \(\overline{h}\) に対し \(\mathcal{O}_{D_s, x} = \mathcal{O}_{X_s, x}/(\overline{h})\) である。Divisors, Lemma 056Q を参照せよ。 したがって \(\mathcal{O}_{D_s, x}\) は Cohen–Macaulay で、その次元は \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) の次元より 1 小さい。例えば Algebra, Lemma 02JN を参照せよ。ゆえに射 \(D \to S\) は平坦、 局所有限表示であり、点 \(x\) で Cohen–Macaulay であって、 \(\dim_x(D_s) = \dim_x(X_s) - 1 = d - 1\) を満たす。帰納法の仮定により、 (a)、(b)、(c) を満たす正則埋め込み \(Z \to D\) が存在する。 \(Z \to D \to U\) はともに正則埋め込みなので、Divisors, Lemma 067Q により \(Z \to U\) も 正則埋め込みである。これで証明が完了する。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限表示なスキームの平坦射とする。\(s \in S\) を \(f\) の像に属する点とする。このとき可換図式 \[\xymatrix{ S' \ar[rr] \ar[rd]_g & & X \ar[ld]^f \\ & S }\] で、\(g : S' \to S\) が平坦、局所有限表示、局所準有限であり、 \(s \in g(S')\) となるものが存在する。

証明

仮定によりファイバー \(X_s\) は空でない。したがって \(f\) が Cohen–Macaulay となる閉点 \(x \in X_s\) が存在する。Lemma 045U を参照せよ。Lemma 0570 を適用し、\(S' = Z\) とおく。

次の補題は、fppf 位相に対する層が「準有限、平坦、有限表示」位相に対する層と 同じものであることを示す。

補題

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{U} = \{S_i \to S\}_{i \in I}\) を \(S\) の fppf 被覆とする。Topologies, Definition 021M を参照せよ。このとき、 \(\mathcal{U}\) を細分する fppf 被覆 \(\mathcal{V} = \{T_j \to S\}_{j \in J}\) で、各 \(T_j \to S\) が局所準有限となるものが存在する（Sites, Definition 00VT 参照）。

証明

各 \(s \in S\) に対し、\(s\) が \(S_i \to S\) の像に属するような \(i \in I\) が存在する。 Lemma 0571 により、 \(s \in g_s(T_s)\) を満たす射 \(g_s : T_s \to S\) が存在する。この \(g_s\) は 平坦、局所有限表示、局所準有限であり、\(S_i \to S\) を経由する。したがって \(\{T_s \to S\}\) は \(\mathcal{U}\) を細分する所望の \(S\) の被覆である。

一般ファイバー

一般ファイバーと近傍のファイバーとの関係に関するいくつかの結果を示す。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限型射とする。\(Y\) は既約で、一般点を \(\eta\) と仮定する。\(X_\eta = \emptyset\) ならば、ある非空開集合 \(V \subset Y\) が存在して \(X_V = V \times_Y X = \emptyset\) となる。

証明

より一般的な Morphisms, Lemma 02NE から直ちに従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限型射とする。\(Y\) は既約で、一般点を \(\eta\) と仮定する。\(X_\eta \not = \emptyset\) ならば、ある非空開集合 \(V \subset Y\) が存在して \(X_V = V \times_Y X \to V\) は全射となる。

証明

アフィン開集合を取れば、これは Algebra, Lemma 00FH から従う。 （もちろん一般平坦性からも従う。）

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限型射とする。\(Y\) は既約で、一般点を \(\eta\) と仮定する。\(Z \subset X\) が閉部分集合で、\(Z_\eta\) が \(X_\eta\) において疎であるならば、ある非空開集合 \(V \subset Y\) が存在して、 すべての \(y \in V\) に対し \(Z_y\) は \(X_y\) において疎となる。

証明

\(Y' \subset Y\) を \(Y\) の被約化とする。 \(X' = Y' \times_Y X\) および \(Z' = Y' \times_Y Z\) とおく。 Morphisms, Lemma 054M により \(Y' \to Y\) は普遍同相なので、\(Z' \subset X' \to Y'\) について 補題を証明すれば十分である。したがって Properties, Lemma 01ON により、\(Y\) は整であると仮定してよい。 Morphisms, Proposition 052A により、 \(X_V \to V\) と \(Z_V \to V\) が平坦かつ有限表示となる非空アフィン開集合 \(V \subset Y\) が存在する。この \(V\) が所望のものであると主張する。 \(y \in V\) を取る。\(Z_y\) の内部が空でなければ、\(Z_y\) は \(X_y\) のある 既約成分の一般点 \(\xi\) を含む。\(\eta \leadsto f(\xi)\) であることに注意する。 \(Z_V \to V\) は平坦なので、\(f(\xi') = \eta\) を満たす特殊化 \(\xi' \leadsto \xi\), \(\xi' \in Z\) を選べる。Morphisms, Lemma 03HV を参照せよ。Lemma 054U により \[\dim_{\xi'}(Z_\eta) = \dim_{\xi}(Z_y) = \dim_{\xi}(X_y) = \dim_{\xi'}(X_\eta).\] したがって、\(\xi'\) を通る \(Z_\eta\) のある既約成分は次元 \(\dim_{\xi'}(X_\eta)\) をもつ。これは \(Z_\eta\) が \(X_\eta\) において疎である という仮定に反するので、証明が完了する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限型射とする。\(Y\) は既約で、一般点を \(\eta\) と仮定する。\(U \subset X\) を、\(U_\eta\) が \(X_\eta\) において スキーム論的に稠密となる開部分スキームとする。このとき、ある非空開集合 \(V \subset Y\) が存在して、すべての \(y \in V\) に対し \(U_y\) は \(X_y\) において スキーム論的に稠密となる。

証明

\(Y' \subset Y\) を \(Y\) の被約化とする。 \(X' = Y' \times_Y X\) および \(U' = Y' \times_Y U\) とおく。 \(Y' \to Y\) は点集合上の全単射を誘導し、\(U' \to U\) と \(X' \to X\) は スキーム論的ファイバーの同型を誘導するので、\(Y\) を \(Y'\) で、\(X\) を \(X'\) で置き換えてよい。したがって Properties, Lemma 01ON により、\(Y\) は整であると仮定してよい。 さらに \(Y\) を非空アフィン開集合で置き換えてよい。すなわち、\(A\) が分数体 \(K\) をもつ整域であって \(Y = \Spec(A)\) であると仮定してよい。

\(f\) は有限型なので \(X\) は準コンパクトである。あるアフィン開集合 \(X_i\) を用いて \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\) と書く。Morphisms, Definition 01RB により、 \(U_i = X_i \cap U\) は \(X_i\) の開部分スキームで、\(U_{i, \eta}\) は \(X_{i, \eta}\) においてスキーム論的に稠密である。したがって各組 \((X_i, U_i)\) について結果を証明すれば十分であり、言い換えれば \(X\) は アフィンであると仮定してよい。

\(X = \Spec(B)\) と書く。\(B_K\) は有限型 \(K\)-代数なので Noetherian であることに 注意する。したがって \(U_\eta\) は準コンパクトである。ゆえに、 \(D(g_j) \subset U\) かつ \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\) となる有限個の元 \(g_1, \ldots, g_m \in B\) を取れる。\(U_\eta\) が \(X_\eta\) において スキーム論的に稠密であるという条件は、写像 \(B_K \to \bigoplus_j (B_K)_{g_j}\) が単射であることを意味する。 Morphisms, Example 056C を参照せよ。 Algebra, Lemma 0565 により、これは写像 \(B_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B_K\), \(b \mapsto (g_1b, \ldots, g_mb)\) が単射であることと同値である。この写像を \(A\) 上で考えた余核を \(M\) とする。すなわち、完全列 \[0 \to I \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] をもつ。ある非零元 \(h\) に対して \(A\) を \(A_h\) で置き換えることにより、 \(B\) は平坦な有限表示 \(A\)-代数であり、\(M\) は \(A\) 上平坦であると仮定してよい。 Algebra, Lemma 051T を参照せよ。 \(B\) が \(A\) 上平坦であることから、\(B\) は \(A\)-加群として捩れなしである。 More on Algebra, Lemma 0538 を参照せよ。 したがって \(B \subset B_K\) である。仮定より \(I_K = 0\) であり、これから \(I = 0\) が従う（\(I \subset B \subset B_K\) は \(I_K\) の部分集合だからである）。 ゆえに、いま短完全列 \[0 \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] があり、\(M\) は \(A\) 上平坦である。したがって、\(\kappa\) が体である任意の準同型 \(A \to \kappa\) に対し、短完全列 \[0 \to B \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] を得る。Algebra, Lemma 00HL を参照せよ。 上の議論を逆にたどると、これは \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\) が \(\Spec(B \otimes_A \kappa)\) においてスキーム論的に稠密であることを意味する。 \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\) なので、 \(U_\kappa\) は \(X_\kappa\) においてスキーム論的に稠密であり、これが示すべきことである。

スキームの射 \(f : X \to Y\) と点 \(y \in Y\) が与えられたとする。 ファイバー \(X_y\) は、\(X\) の部分集合 \(f^{-1}(\{y\})\) に誘導位相を入れたものと 同相であることを思い出そう。Schemes, Lemma 01K1 を参照せよ。閉部分集合 \(T(y) \subset X_y\) が与えられたとし、\(T\) を \(X\) における \(T(y)\) の閉包とする。 \(T\) には誘導される被約スキーム構造を入れる。このとき \(T\) は \(X\) の閉部分スキームで、 集合論的に \(T_y = T(y)\) を満たす。実際、\(T\) はこの性質をもつ \(X\) の最小の閉部分スキームである。 したがって、望むなら \(X_y\) の閉部分集合を \(T_y\) と記しても「差し支えない」。 次の補題では、これを \(f\) の一般ファイバーに適用する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの有限型射とする。\(Y\) は既約で、一般点を \(\eta\) と仮定する。\(X_\eta\) の閉部分集合による一般ファイバーの被覆を \(X_\eta = Z_{1, \eta} \cup \ldots \cup Z_{n, \eta}\) とする。 \(Z_i\) を \(X\) における \(Z_{i, \eta}\) の閉包とする（上の議論を参照せよ）。 このとき、ある非空開集合 \(V \subset Y\) が存在して、すべての \(y \in V\) に対し \(X_y = Z_{1, y} \cup \ldots \cup Z_{n, y}\) となる。

証明

\(Y\) が Noetherian ならば \(U = X \setminus (Z_1 \cup \ldots \cup Z_n)\) は \(Y\) 上有限型であるから、Lemma 054W を直接適用して、 ある非空開集合 \(V \subset Y\) に対し \(U_V = \emptyset\) を得る。一般の場合は 次のように論じる。問題は位相的なので、\(Y\) をその被約化で置き換えてよい。 したがって Properties, Lemma 01ON により、 \(Y\) は整である。\(Y\) を縮小した後、\(X \to Y\) は平坦であると仮定してよい。 Morphisms, Proposition 052A を参照せよ。 この場合、Morphisms, Lemma 03HV により、\(X_y\) の各点 \(x\) は ある点 \(x' \in X_\eta\) の特殊化である。\(Z_i\) は \(X\) で閉じており一般ファイバーを 被覆するので、これは所望のとおり各 \(y \in Y\) に対し \(X_y = \bigcup Z_{i, y}\) であることを意味する。

次の補題は、始域が被約である射の一般ファイバーは被約であることを述べる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(\eta \in Y\) を \(Y\) のある既約成分の 一般点とする。このとき \((X_\eta)_{red} = (X_{red})_\eta\).

証明

\(\eta\) のアフィン近傍 \(\Spec(A) \subset Y\) を選ぶ。射 \(f\) によって \(\Spec(A)\) に写るアフィン開集合 \(\Spec(B) \subset X\) を選ぶ。 \(\mathfrak p \subset A\) を \(\eta\) に対応する極小素イデアルとする。 \(B_{red}\) を \(B\) の冪零根基 \(\sqrt{(0)}\) による商とする。この補題の代数的内容は \(C = B_{red} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) が被約であるということである。

\(I \subset A\) を冪零根基と記せば \(A_{red} = A/I\) である。また \(\mathfrak p_{red} = \mathfrak p/I\) と記す。これは \(A_{red}\) の極小素イデアルで、 \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p_{red})\) を満たす。 \(A \to B_{red}\) と \(A \to \kappa(\mathfrak p)\) はともに \(A \to A_{red}\) を 経由するので、\(C = B_{red} \otimes_{A_{red}} \kappa(\mathfrak p_{red})\) である。 Algebra, Lemma 00EU により \(\kappa(\mathfrak p_{red}) = (A_{red})_{\mathfrak p_{red}}\) は局所化である。 したがって \(C\) は \(B_{red}\) の局所化であり（Algebra, Lemma 00DK）、ゆえに被約である。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(Y\) は既約で、\(f\) は有限型であると仮定する。 次の図式が存在する。 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] ここで

1. \(V\) は \(Y\) の非空開集合であり、

2. \(X_V = V \times_Y X\),

3. \(g : Y' \to V\) は有限普遍同相であり、

4. \(X' = (Y' \times_Y X)_{red} = (Y' \times_V X_V)_{red}\),

5. \(g'\) は有限普遍同相であり、

6. \(Y'\) は整アフィンスキームであり、

7. \(f'\) は平坦かつ有限表示であり、かつ

8. \(f'\) の一般ファイバーは幾何学的に被約である。

証明

\(V = \Spec(A)\) を \(Y\) の非空アフィン開集合とする。仮定により、\(A\) の冪零根基 \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\) は素イデアルである。\(K = \kappa(\mathfrak p)\) とおく。 \(p\) を、\(K\) の標数が正ならばその標数、零ならば \(1\) とする。 Varieties, Lemma 04KT により、有限純非分離体拡大 \(K'/K\) で、\((X_{K'})_{red}\) が \(K'\) 上 幾何学的に被約となるものが存在する。\(K'\) を \(K\) 上生成し、各 \(x_i\) のある \(p\)-冪が \(A/\mathfrak p\) に属するような元 \(x_1, \ldots, x_n \in K'\) を選ぶ。 \(A' \subset K'\) を、\(x_1, \ldots, x_n\) で生成される \(K'\) の有限 \(A\)-部分代数とする。 \(A'\) は分数体 \(K'\) をもつ整域であることに注意する。Algebra, Lemma 0BRA により、\(A \to A'\) はスペクトル上に普遍同相を誘導する。 \(Y' = \Spec(A')\) および \(X' = (Y' \times_Y X)_{red}\) とおく。Lemma 054Z により、\(X' \to Y'\) の一般ファイバーは \((X_{K'})_{red}\) であり、これは構成から幾何学的に被約である。 \(X' \to X_V\) は、被約化射 \(X' \to Y' \times_Y X\)（Morphisms, Lemma 054M を参照せよ）と \(g\) の基底変換との 合成なので、有限普遍同相であることに注意する。この時点で、(7) を除けば補題の すべての性質が成り立つ。Morphisms, Proposition 052A により、\(Y'\) とそれに応じて \(V\) を縮小すれば (7) も達成できる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(Y\) は既約で、\(f\) は有限型であると仮定する。 次の図式が存在する。 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] ここで

1. \(V\) は \(Y\) の非空開集合であり、

2. \(X_V = V \times_Y X\),

3. \(g : Y' \to V\) は全射な有限 étale 射であり、

4. \(X' = Y' \times_Y X = Y' \times_V X_V\),

5. \(g'\) は全射な有限 étale 射であり、

6. \(Y'\) は既約アフィンスキームであり、かつ

7. \(f'\) の一般ファイバーのすべての既約成分は幾何学的に既約である。

証明

\(V = \Spec(A)\) を \(Y\) の非空アフィン開集合とする。仮定により、\(A\) の冪零根基 \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\) は素イデアルである。\(K = \kappa(\mathfrak p)\) とおく。 Varieties, Lemma 054R により、有限分離体拡大 \(K'/K\) で、\(X_{K'}\) のすべての既約成分が \(K'\) 上 幾何学的に既約となるものが存在する。\(K'\) を \(K\) 上生成する元 \(\alpha \in K'\) を選ぶ。Fields, Lemma 030N を参照せよ。 \(P(T) \in K[T]\) を \(\alpha\) の \(K\) 上の最小多項式とする。ある \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\) に対して \(\alpha\) を \(f \alpha\) で 置き換えることにより、写像 \(A[T] \to K[T]\) の下で \(P(T) \in K[T]\) に写る モニック多項式 \(T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_d \in A[T]\) が存在すると 仮定してよい。

\(A' = A[T]/(P)\) とおく。このとき \(A \to A'\) は有限自由な環準同型で、 \(\mathfrak p\) の上にある素イデアル \(\mathfrak q\) がただ一つ存在し、 \(K = \kappa(\mathfrak p) \subset \kappa(\mathfrak q) = K'\) は有限分離であり、 \(\mathfrak pA'_{\mathfrak q}\) は \(A'_{\mathfrak q}\) の極大イデアルとなる。 したがって \(g : Y' = \Spec(A') \to V = \Spec(A)\) は \(\mathfrak q\) において étale である。Algebra, Lemma 00U6 を参照せよ。 これは、\(g|_W : W \to \Spec(A)\) が étale となる開集合 \(W \subset \Spec(A')\) が存在することを意味する。\(g\) は有限であり、 \(\mathfrak q\) は \(\mathfrak p\) の上にある唯一の点なので、 \(Z = g(Y' \setminus W)\) は \(\mathfrak p\) を含まない \(V\) の閉部分集合である。 したがって \(V\) を \(Z\) と交わらない \(V\) の主アフィン開集合で置き換えれば、 \(g\) は有限 étale となる。

相対随伴点

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) とし、 \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X\) とおく。\(f\) が局所有限型で、 \(\mathcal{F}\) が有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群ならば、ある非空開集合 \(V \subset Z\) が存在して、すべての \(s \in f(V)\) に対し \(V_s\) の一般点は \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) の元となる。

証明

\(S\) を \(f(\xi)\) のアフィン開近傍で、\(X\) を \(\xi\) のアフィン開近傍で 置き換えてよい。したがって \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\) で、\(f\) は 有限型環準同型 \(A \to B\) によって与えられると仮定してよい。 Morphisms, Lemma 01T2 を参照せよ。 さらに、ある有限 \(B\)-加群 \(M\) によって \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) と書ける。 Properties, Lemma 01PB を参照せよ。 \(\mathfrak q \subset B\) を \(\xi\) に対応する素イデアルとし、 \(\mathfrak p \subset A\) をそれに対応する \(A\) の素イデアルとする。仮定より \(\mathfrak q \in \text{Ass}_B(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) である。 Algebra, Remark 05E0 および Divisors, Lemma 02OK を参照せよ。この記法の下で \(Z = V(\mathfrak q) \subset \Spec(B)\) であり、特に \(f(Z) \subset V(\mathfrak p)\) である。したがって \(A\), \(B\), \(M\) をそれぞれ \(A/\mathfrak pA\), \(B/\mathfrak pB\), \(M/\mathfrak pM\) で置き換えた後に 補題を証明すれば明らかに十分である。言い換えれば、\(A\) は分数体 \(K\) をもつ 整域で、\(\mathfrak q \subset B\) は \(M \otimes_A K\) の随伴素イデアルであると 仮定してよい。

ここで一般平坦性を用いることができる。すなわち Algebra, Lemma 051T により、\(M_g\) が \(A_g\)-加群として 平坦となる非零元 \(g \in A\) が存在する。\(A\) を \(A_g\) で置き換えれば、 \(M\) は \(A\)-加群として平坦であると仮定してよい。

この場合、Algebra, Lemma 05C1 により、 \(\mathfrak q\) は \(M\) の随伴素イデアルでもある。したがって単射な \(B\)-加群写像 \(B/\mathfrak q \to M\) を得る。その余核を \(Q\) とすれば、有限 \(B\)-加群の短完全列 \[0 \to B/\mathfrak q \to M \to Q \to 0\] を得る。一般平坦性 Algebra, Lemma 051T を今度は \(B\)-加群 \(Q\) にもう一度適用すれば、 \(Q\) は平坦な \(A\)-加群であると仮定してよい。特に上の短完全列は普遍的に単射であると 仮定してよい。Algebra, Lemma 00HL を参照せよ。 この状況では、\(A\) の任意の素イデアル \(\mathfrak p'\) に対して \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p') \subset M \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) である。このとき \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) の支持の極小素イデアル \(\mathfrak q'\) は、Divisors, Lemma 05AH により \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) の随伴素イデアルであるから、 補題が従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(U \subset X\) を開部分スキームとする。次を仮定する。

1. \(f\) は有限型であり、

2. \(\mathcal{F}\) は有限型であり、

3. \(Y\) は既約で一般点を \(\eta\) とし、かつ

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\) は \(U_\eta\) に含まれない。

このとき、ある非空開部分スキーム \(V \subset Y\) が存在して、すべての \(y \in V\) に対し集合 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\) は \(U_y\) に含まれない。

証明

\(Z \subset X\) を \(\mathcal{F}\) のスキーム論的支持とする。Morphisms, Definition 05JV を参照せよ。このとき \(Z_\eta\) は \(\mathcal{F}_\eta\) のスキーム論的支持である（Morphisms, Lemma 07T9）。したがって Divisors, Lemma 05AH により、\(Z_\eta\) の既約成分の一般点は \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\) に含まれる。

ゆえに \(Z_\eta \cap U_\eta = \emptyset\) であることが分かる。したがって \(T = Z \setminus U\) は \(T_\eta = \emptyset\) を満たす \(Z\) の閉部分集合である。 \(T\) に誘導される被約スキーム構造を入れれば、\(T \to Y\) は有限型射である。 Lemma 054W により、\(T_V = \emptyset\) を満たす 非空開集合 \(V \subset Y\) が存在する。この \(V\) が所望のものである。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(U \subset X\) を開部分スキームとする。次を仮定する。

1. \(f\) は有限型であり、

2. \(\mathcal{F}\) は有限型であり、

3. \(Y\) は既約で一般点を \(\eta\) とし、かつ

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\).

このとき、ある非空開部分スキーム \(V \subset Y\) が存在して、すべての \(y \in V\) に対し \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\) となる。

証明

（この証明は Lemma 0573 の証明と 同じである。まずそちらの証明を読むことを勧める。）主張はファイバーに関するものなので、 \(Y\) をその被約化で置き換えてよいことは明らかである。したがって Properties, Lemma 01ON により、\(Y\) は整であると仮定してよい。 さらに \(Y = \Spec(A)\) はアフィンであると仮定してよい。このとき \(A\) は分数体 \(K\) をもつ整域である。

\(f\) は有限型なので \(X\) は準コンパクトである。あるアフィン開集合 \(X_i\) によって \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\) と書き、 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F}|_{X_i}\) とおく。仮定により \(U_i = X_i \cap U\) の一般ファイバーは \(\text{Ass}_{X_{i, \eta}}(\mathcal{F}_{i, \eta})\) を含む。したがって三つ組 \((X_i, \mathcal{F}_i, U_i)\) について結果を証明すれば十分であり、言い換えれば \(X\) はアフィンであると仮定してよい。

\(X = \Spec(B)\) と書く。\(\mathcal{F} = \widetilde{N}\) となる有限 \(B\)-加群 \(N\) を取る。\(B_K\) は有限型 \(K\)-代数なので Noetherian であることに 注意する。したがって \(U_\eta\) は準コンパクトである。ゆえに、 \(D(g_j) \subset U\) かつ \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\) となる有限個の元 \(g_1, \ldots, g_m \in B\) を取れる。 \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\) なので、写像 \(N_K \to \bigoplus_j (N_K)_{g_j}\) は単射である。Algebra, Lemma 0565 により、これは写像 \(N_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N_K\), \(n \mapsto (g_1n, \ldots, g_mn)\) が単射であることと同値である。この写像を \(A\) 上で考えた核と余核をそれぞれ \(I\) と \(M\) とする。すなわち、完全列 \[0 \to I \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] をもつ。ある非零元 \(h\) に対して \(A\) を \(A_h\) で置き換えることにより、 \(B\) は平坦な有限表示 \(A\)-代数で、\(M\) と \(N\) はともに \(A\) 上平坦であると 仮定してよい。Algebra, Lemma 051T を参照せよ。 \(N\) が \(A\) 上平坦であることから、\(N\) は \(A\)-加群として捩れなしである。 More on Algebra, Lemma 0538 を参照せよ。 したがって \(N \subset N_K\) である。構成より \(I_K = 0\) であり、これから \(I = 0\) が従う（\(I \subset N \subset N_K\) は \(I_K\) の部分集合だからである）。 ゆえに、いま短完全列 \[0 \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] があり、\(M\) は \(A\) 上平坦である。したがって、\(\kappa\) が体である任意の準同型 \(A \to \kappa\) に対し、短完全列 \[0 \to N \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] を得る。Algebra, Lemma 00HL を参照せよ。 上の議論を逆にたどると、これは \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\) が \(\text{Ass}_{B \otimes_A \kappa}(N \otimes_A \kappa)\) を含むことを意味する。 \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\) なので、 \(U_\kappa\) は \(\text{Ass}_{X \otimes \kappa}(\mathcal{F} \otimes \kappa)\) を含み、 これが示すべきことである。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型な射とする。\(\mathcal{F}\) を有限型の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(U \subset X\) を開部分スキームとする。 \(g : S' \to S\) をスキームの射とし、\(f' : X' = X_{S'} \to S'\) を \(f\) の 基底変換、\(g' : X' \to X\) を射影とする。また \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\) および \(U' = (g')^{-1}(U)\) とおく。 最後に、\(s' \in S'\) とし、その像を \(s = g(s')\) とする。このとき \[\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s) \subset U_s \Leftrightarrow \text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) \subset U'_{s'}.\]

証明

Divisors, Lemma 05DC から直ちに従う。 Divisors, Remark 05KL も参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) を有限表示射とする。\(\mathcal{F}\) を有限表示の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(U \subset X\) を、\(U \to Y\) が準コンパクトとなる 開部分スキームとする。このとき集合 \[E = \{y \in Y \mid \text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\}\] は \(Y\) において局所構成可能である。

証明

\(y \in Y\) とする。\(Y\) における \(y\) のある開近傍 \(V\) で、\(E \cap V\) が \(V\) において 構成可能となるものが存在することを示さなければならない。したがって \(Y\) はアフィンであると 仮定してよい。\(Y = \Spec(A)\) と書き、この環を有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数の有向余極限 \(A = \colim A_i\) として書く。Limits, Lemma 01ZM により、ある \(i\) と有限表示射 \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\) で、その \(Y\) への基底変換が \(f\) を復元するものが存在する。 \(i\) を必要なら大きくすることにより、有限表示の準連接 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-加群 \(\mathcal{F}_i\) で、その \(X\) への引き戻しが \(\mathcal{F}\) と同型になるものが存在すると 仮定してよい。Limits, Lemma 01ZR を参照せよ。さらにもう一度 \(i\) を必要なら大きくすることにより、\(X\) における逆像が \(U\) となる開部分スキーム \(U_i \subset X_i\) が存在すると仮定してよい。Limits, Lemma 01Z4 を参照せよ。Lemma 05KQ により、\(f_i\) について補題を証明すれば十分である。 したがって \(Y\) が Noetherian 環のスペクトルである場合に帰着する。

\(Y\) が Noetherian スキームの場合に \(E\) が構成可能であることを示すため、 Topology, Lemma 053Z の 判定法を用いる。実際、\(Z \subset Y\) を既約閉部分スキームとする。 \(E \cap Z\) が非空開部分集合を含むか、または \(Z\) において稠密でないことを 示さなければならない。これは、\(Z\) 上の基底変換 \((X, \mathcal{F}, U) \times_Y Z\) に Lemmas 05KN および 05KP を適用すれば従う。

被約ファイバー

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(Y\) は既約で一般点を \(\eta\) とし、 \(f\) は有限型であると仮定する。\(X_\eta\) が非被約ならば、ある非空開集合 \(V \subset Y\) が存在して、すべての \(y \in V\) に対しファイバー \(X_y\) は非被約となる。

証明

\(Y' \subset Y\) を \(Y\) の被約化とし、\(X' \to Y'\) を \(f\) の基底変換とする。 \(Y' \to Y\) は点集合上の全単射を誘導し、\(X' \to X\) はファイバーを同一視することに 注意する。

したがって \(Y'\) は被約、すなわち整であると仮定してよい。Properties, Lemma 01ON を参照せよ。さらに \(Y\) をアフィン開集合で 置き換えてよい。したがって \(A\) が整域で \(Y = \Spec(A)\) であると仮定してよい。

\(K\) を \(A\) の分数体とする。アフィン開集合 \(\Spec(B) = U \subset X\) と、 非零かつ冪零な切断 \(h_\eta \in \Gamma(U_\eta, \mathcal{O}_{U_\eta}) = B_K\) を選ぶ。 \(Y\) を縮小することにより、\(h\) は \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = B\) から 来ると仮定してよい。\(Y\) をさらに少し縮小すれば、\(h\) は冪零であると仮定してよい。 \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\) を \(h\) の零化イデアルとする。このとき \(C = B/I\) は有限型 \(A\)-代数で、その一般ファイバー \((B/I)_K\) は非零である （\(h_\eta \not = 0\) だからである）。\(A \to C\) と \(A \to B/hB\) に一般平坦性を 適用する。Algebra, Lemma 051T を参照せよ。すると \(C_g\) が自由 \(A_g\)-加群で、\((B/hB)_g\) が平坦 \(A_g\)-加群となる \(g \in A\), \(g \not = 0\) を得る。\(Y\) を \(D(g) \subset Y\) で置き換える。 いま短完全列 \[0 \to C \to B \to B/hB \to 0.\] があり、\(B/hB\) は \(A\) 上平坦で、\(C\) は非零な自由 \(A\)-加群である。 したがって、体への任意の準同型 \(A \to \kappa\) に対し、環 \(C \otimes_A \kappa\) は非零で、列 \[0 \to C \otimes_A \kappa \to B \otimes_A \kappa \to B/hB \otimes_A \kappa \to 0\] は完全である。Algebra, Lemma 00HL を参照せよ。 テンソル積の右完全性により \(B/hB \otimes_A \kappa = (B \otimes_A \kappa) / h(B \otimes_A \kappa)\) であることに注意する。したがって \(B \otimes_A \kappa\) 上の \(h\) 倍写像は零でない。 これは明らかに、任意の点 \(y \in Y\) に対して元 \(h\) の \(U_y\) への制限が非零であり、 したがって \(X_y\) が非被約であることを意味する。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(g : Y' \to Y\) を任意の射とし、 \(f' : X' \to Y'\) を \(f\) の基底変換と記す。このとき \[\begin{align*} \{y' \in Y' \mid X'_{y'}\text{ が幾何学的に被約}\} \\ = g^{-1}(\{y \in Y \mid X_y\text{ が幾何学的に被約}\}). \end{align*}\]

証明

これは、像を \(y \in Y\) とする \(y' \in Y'\) に対し、ファイバー \(X'_{y'} = X_y \times_y y'\) が \(\kappa(y')\) 上幾何学的に被約であることと、 \(X_y\) が \(\kappa(y)\) 上幾何学的に被約であることが同値だという主張に帰着する。 これは Varieties, Lemma 0384 から従う。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。\(Y\) は既約で一般点を \(\eta\) とし、 \(f\) は有限型であると仮定する。\(X_\eta\) が幾何学的に被約でないならば、 ある非空開集合 \(V \subset Y\) が存在して、すべての \(y \in V\) に対し ファイバー \(X_y\) は幾何学的に被約でない。

証明

Lemma 0550 を適用して \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] という図式を得る。これは同補題に挙げたすべての性質をもつ。\(\eta'\) を \(Y'\) の 一般点とする。射 \(X' \to X_{Y'}\)（これは被約化射である）と、それから得られる 一般ファイバーの射 \(X'_{\eta'} \to X_{\eta'}\) を考える。 \(X'_{\eta'}\) は幾何学的に被約である一方、\(X_\eta\) はそうでないので、この射は 同型ではありえない。Varieties, Lemma 0384 を参照せよ。したがって \(X_{\eta'}\) は非被約である。ゆえに Lemma 0575 により、ある非空開集合 \(V' \subset Y'\) の すべての点 \(y' \in V'\) において、\(X_{Y'} \to Y'\) のファイバーは非被約である。 \(g : Y' \to V\) は同相写像なので、Lemma 0576 により、\(g(V')\) が所望の 開集合である。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次を仮定する。

1. \(Y\) は既約で一般点を \(\eta\) とし、

2. \(X_\eta\) は幾何学的に被約であり、かつ

3. \(f\) は有限型である。

このとき、ある非空開部分スキーム \(V \subset Y\) が存在して、 \(X_V \to V\) は幾何学的に被約なファイバーをもつ。

証明

\(Y' \subset Y\) を \(Y\) の被約化とし、\(X' \to Y'\) を \(f\) の基底変換とする。 \(Y' \to Y\) は点集合上の全単射を誘導し、\(X' \to X\) はファイバーを同一視することに 注意する。

したがって \(Y'\) は被約、すなわち整であると仮定してよい。Properties, Lemma 01ON を参照せよ。さらに \(Y\) をアフィン開集合で 置き換えてよい。したがって \(A\) が整域で \(Y = \Spec(A)\) であると仮定してよい。

\(K\) を \(A\) の分数体とする。\(Y\) を少し縮小することにより、さらに \(X \to Y\) は 平坦かつ有限表示であると仮定してよい。Morphisms, Proposition 052A を参照せよ。

\(X_\eta\) は幾何学的に被約なので、\(V \to \Spec(K)\) が滑らかとなる開稠密部分集合 \(V \subset X_\eta\) が存在する。Varieties, Lemma 056V を参照せよ。 \(U \subset X\) を \(f\) が滑らかとなる点の集合とする。Morphisms, Lemma 02V4 により \(V \subset U_\eta\) である。 したがって \(U\) の一般ファイバーは \(X\) の一般ファイバーにおいて稠密である。 \(X_\eta\) は被約なので、\(U_\eta\) は \(X_\eta\) においてスキーム論的に稠密である。 Morphisms, Lemma 056D を参照せよ。 \(U \to Y\) は滑らかなので、\(U \to Y\) のすべてのファイバーは幾何学的に被約であることに注意する。 したがって \(Y\) を縮小した後、すべての \(y \in Y\) に対してスキーム \(U_y\) が \(X_y\) においてスキーム論的に稠密であることを示せば十分である。Morphisms, Lemma 056E を参照せよ。これは Lemma 0573 から従う。

補題

\(f : X \to Y\) を準コンパクトかつ局所有限表示な射とする。このとき集合 \[E = \{y \in Y \mid X_y\text{ が幾何学的に被約}\}\] は \(Y\) において局所構成可能である。

証明

\(y \in Y\) とする。\(Y\) における \(y\) のある開近傍 \(V\) で、\(E \cap V\) が \(V\) において 構成可能となるものが存在することを示さなければならない。したがって \(Y\) はアフィンであると 仮定してよい。このとき \(X\) は準コンパクトである。有限アフィン開被覆 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\) を選ぶ。このとき \(y\) における \(U_i \to Y\) の ファイバーは、\(y\) における \(X \to Y\) のファイバーのアフィン開被覆をなす。 したがって \(X\) もアフィンであると仮定してよい。\(Y = \Spec(A)\) と書く。 この環を有限型 \(\mathbf{Z}\)-代数の有向余極限 \(A = \colim A_i\) として書く。 Limits, Lemma 01ZM により、ある \(i\) と 有限表示射 \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\) で、その \(Y\) への基底変換が \(f\) を 復元するものが存在する。Lemma 0576 により、\(f_i\) について補題を 証明すれば十分である。したがって \(Y\) が Noetherian 環のスペクトルである場合に帰着する。

\(Y\) が Noetherian スキームの場合に \(E\) が構成可能であることを示すため、 Topology, Lemma 053Z の 判定法を用いる。実際、\(Z \subset Y\) を一般点 \(\xi\) をもつ既約閉部分スキームとする。 \(E \cap Z\) が非空開部分集合を含むか、または \(Z\) において稠密でないことを 示さなければならない。\(X_\xi\) が幾何学的に被約ならば、射 \(X_Z \to Z\) に適用した Lemma 0578 により、ある非空開集合 \(V \subset Z\) に対してすべてのファイバー \(X_y\) は幾何学的に被約である。 \(X_\xi\) が幾何学的に被約でないならば、射 \(X_Z \to Z\) に適用した Lemma 0577 により、ある非空開集合 \(V \subset Z\) に対してすべてのファイバー \(X_y\) は幾何学的に被約でない。 これで証明が完了する。

補題

\(R\) を離散付値環とし、\(f : X \to \Spec(R)\) を固有射とする。\(X\) の各既約成分が \(\Spec(R)\) を優越すると仮定し（例えば \(f\) が平坦ならばそうである）、特殊ファイバーは 被約であると仮定する。このとき \(X\) と一般ファイバー \(X_\eta\) はともに被約である。

証明

（平坦射が既約成分に関する仮定を満たすことは、例えば Divisors, Lemma 05DB、または平坦環準同型に対する下降定理から従う。） 特殊ファイバー \(X_s\) は被約であると仮定する。任意の点 \(x \in X\) を取り、 \(\mathcal{O}_{X, x}\) が被約であることを示そう。これにより \(X\) と \(X_\eta\) が 被約であることが分かる。\(x'\) が特殊ファイバーに属するような特殊化 \(x \leadsto x'\) を取る。固有射は閉写像なので、このような特殊化は存在する。 局所環 \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\) を考える。\(\mathcal{O}_{X, x}\) は \(A\) の 局所化なので、\(A\) が被約であることを示せば十分である。\(\pi \in R\) を一意化元とする。 \(a \in A\) が非零ならば、\(a = \pi^n a'\) かつ \(a' \not \in \pi A\) となる \(n \geq 0\) と元 \(a' \in A\) が存在する。これは Krull の交叉定理 （Algebra, Lemma 00IP）から従う。

\(a\) が冪零ならば \(a\) は \(A\) のすべての極小素イデアルに含まれ、したがって \(a'\) もそうである。実際、\(X\) の既約成分に関する仮定により \(\pi\) は \(A\) の どの極小素イデアルにも含まれないからである。ゆえに \(a'\) は冪零である。 しかし \(a'\) は被約環 \(A/\pi A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\) の非零元に写る。 \(A\) が被約でなければこれは矛盾であり、所望の結論を得る。

補題

\(f : X \to Y\) を平坦かつ固有な有限表示射とする。このとき集合 \(\{y \in Y \mid X_y\text{ が幾何学的に被約}\}\) は \(Y\) において開である。