사상 심화

들어가며

이 장에서는 스킴의 사상이 갖는 성질을 계속 연구한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다.

비후화

다음 용어들은 완전히 표준적이지 않을 수 있지만 편리하다.

정의

비후화(thickening).

1. 스킴 \(X\)가 \(X'\)의 닫힌 부분스킴이고 두 스킴의 바탕 위상공간이 같으면, 스킴 \(X'\)을 스킴 \(X\)의 비후화라 한다.

2. \(X\)가 \(X'\)의 닫힌 부분스킴이고 \(X\)를 정의하는 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\)의 제곱이 영이면, 스킴 \(X'\)을 스킴 \(X\)의 1차 비후화라 한다.

3. \(X\)가 \(X'\)의 닫힌 부분스킴이고 \(X\)를 정의하는 준연접 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\)이 멱영, 즉 \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\)을 만족하는 정수 \(n \geq 0\)이 존재하면, 스킴 \(X'\)을 스킴 \(X\)의 유한 차수 비후화라 한다.

4. \(X\)가 \(X\)의 닫힌 부분스킴이고 \(\mathcal{I}^{n + 1} = 0\)이며, 여기서 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\)가 \(X\)를 정의하는 준연접 아이디얼층이면, 스킴 \(X'\)을 스킴 \(X\)의 \(n\)차 비후화라 한다.

5. 두 비후화 \(X \subset X'\)과 \(Y \subset Y'\)이 주어졌다고 하자. 비후화의 사상은 \(f'(X) \subset Y\), 즉 \(f'|_X\)가 닫힌 부분스킴 \(Y\)를 통해 분해되는 사상 \(f' : X' \to Y'\)이다. 이 상황에서 \(f = f'|_X : X \to Y\)로 놓고, \((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 비후화의 사상이라 한다.

6. \(S\)를 스킴이라 하자. 마찬가지로 \(S\) 위의 비후화와 \(S\) 위의 비후화의 사상을 정의한다. 이는 위의 스킴 \(X, X', Y, Y'\)이 \(S\) 위의 스킴이고 사상 \(X \to X'\), \(Y \to Y'\), \(f' : X' \to Y'\)이 \(S\) 위의 사상이라는 뜻이다.

\(i_X : X \to X'\)를 비후화라 하자. 핵 \(\mathcal{I} = \Ker(i_X^\sharp)\)의 모든 국소 절단은 국소적으로 멱영이다. 이로부터 \(\mathcal{O}_{X'}\)의 구조층을 어느 정도 제어할 수 있지만, 기술적으로는 유한 차수 비후화 \(X \subset X'\)의 부류를 다루기가 훨씬 쉽다.

구체적으로 \(X'\)이 \(n\)차 비후화이면 여과 \[0 = \mathcal{I}^{n + 1} \subset \mathcal{I}^n \subset \mathcal{I}^{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\] 가 존재하며, \(X'\)은 닫힌 부분공간들의 여과 \[X = X_1 \subset X_2 \subset \ldots \subset X_n \subset X_{n + 1} = X'\] 를 갖는다. 각 쌍 \(X_i \subset X_{i + 1}\)은 \(S\) 위의 1차 비후화이다. 간단한 귀납 논증을 사용하면 1차 비후화에 대해 증명된 많은 결과를 유한 차수 비후화에 관한 결과로 다시 서술할 수 있다.

1차 비후화는 다음과 같이 기술된다(Modules, Lemma 01UP을 보라).

보조정리

\(X\)를 기저 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(X\) 위의 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{A} \to \mathcal{O}_X \to 0\] 을 생각하자. 여기서 \(\mathcal{A}\)는 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수층이고, \(\mathcal{A} \to \mathcal{O}_X\)는 \(f^{-1}\mathcal{O}_S\)-대수층의 전사이며, \(\mathcal{I}\)는 그 핵이다. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{A}\) 안에서 제곱이 영인 아이디얼이다.

2. \(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 준연접이다.

그러면 \(X' = (X, \mathcal{A})\)는 스킴이고 \(X \to X'\)는 \(S\) 위의 1차 비후화이다. 또한 \(S\) 위의 모든 1차 비후화는 이 꼴이다.

증명

\(X'\)이 국소 환 달린 공간임은 분명하다. \(U = \Spec(B)\)를 \(X\)의 아핀 열린집합이라 하고 \(A = \Gamma(U, \mathcal{A})\)로 놓자. \(H^1(U, \mathcal{I}) = 0\)이므로(Cohomology of Schemes, Lemma 01XB) 사상 \(A \to B\)는 전사이다. 가정에 의해 핵 \(I = \mathcal{I}(U)\)는 환 \(A\) 안에서 제곱이 영인 아이디얼이다. Schemes, Lemma 01I1에 의해 국소 환 달린 공간의 표준 사상 \[(U, \mathcal{A}|_U) \longrightarrow \Spec(A)\] 이 존재하며, 이는 사상 \(B \to \Gamma(U, \mathcal{A})\)에서 온다.

이 사상은 가환도식 \[\xymatrix{ (U, \mathcal{O}_X|_U) \ar[d] \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ (U, \mathcal{A}|_U) \ar[r] & \Spec(A) }\] 에 들어맞으므로 바탕 위상공간 위의 위상동형이다. 따라서 이 사상이 동형사상임을 보이려면 국소환 위에 동형사상을 유도함을 확인하면 충분하다. 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대응하는 \(u \in U\)에 대해 짧은 완전열들의 가환도식 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & A_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & B_{\mathfrak p} \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{I}_u \ar[r] & \mathcal{A}_u \ar[r] & \mathcal{O}_{X, u} \ar[r] & 0. }\] 을 얻는다. \(\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{O}_X\)가 준연접층이므로 왼쪽과 오른쪽 수직 화살표는 동형사상이다. 따라서 가운데 사상도 동형사상이다. 그러므로 \(X' = (X, \mathcal{A})\)의 모든 점은 아핀 근방을 가지며, \(X'\)은 원하는 대로 스킴이다.

보조정리

아핀 스킴의 모든 비후화는 아핀이다.

증명

이는 Limits, Proposition 05YU의 특수한 경우이다.

증명

\(X \subset X'\)이 유한 차수 비후화이고 \(X\)가 아핀이라고 하자. 세르의 판정법을 사용하여 \(X'\)이 아핀임을 증명할 수 있다. 더 정확히는 Cohomology of Schemes, Lemma 01XF을 사용하겠다. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군이라 하자. \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\)임을 보이면 충분하다. 주어진 닫힌 몰입을 \(i : X \to X'\)로 나타내고 \(\mathcal{I} = \Ker(i^\sharp : \mathcal{O}_{X'} \to i_*\mathcal{O}_X)\). 로 나타내자. Definition 04EX 뒤의 유한 차수 비후화에 관한 논의에 의해 \(n \geq 0\)과 준연접 부분가군들의 여과 \[0 = \mathcal{F}_{n + 1} \subset \mathcal{F}_n \subset \mathcal{F}_{n - 1} \subset \ldots \subset \mathcal{F}_0 = \mathcal{F}\] 가 존재하며, \(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}\)은 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸한다. 실제로 \(\mathcal{F}_a = \mathcal{I}^a\mathcal{F}\)로 취할 수 있다. 그러면 어떤 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}_a\)에 대해 \(\mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1} = i_*\mathcal{G}_a\)이다. Morphisms, Lemma 01QY를 보라. 따라서 \[H^1(X', \mathcal{F}_a/\mathcal{F}_{a + 1}) = H^1(X', i_*\mathcal{G}_a) = H^1(X, \mathcal{G}_a) = 0\] 을 얻는다. 두 번째 등식은 Cohomology of Schemes, Lemma 089W에서, 마지막 등식은 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB에서 따른다. 따라서 \(\mathcal{F}\)는 모든 연속 몫의 1차 코호몰로지가 소멸하는 유한 여과를 가지며, 간단한 귀납 논증으로 \(H^1(X', \mathcal{F}) = 0\)이다.

보조정리

\(S \subset S'\)을 스킴의 비후화라 하자. 사상 \(X' \to S'\)이 주어졌다고 하고 \(X = S \times_{S'} X'\)로 놓자. 그러면 \((X \subset X') \to (S \subset S')\)은 비후화의 사상이다. \(S \subset S'\)이 1차 비후화(각각 유한 차수 비후화)이면 \(X \subset X'\)도 1차 비후화(각각 유한 차수 비후화)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S \subset S'\)과 \(S' \subset S''\)이 비후화이면 \(S \subset S''\)도 비후화이다.

증명

생략한다.

보조정리

비후화라는 성질은 fpqc-국소적이다. 1차 비후화에 대해서도 마찬가지이다.

증명

이 명제의 뜻은 다음과 같다. \(X \to X'\)을 스킴의 사상이라 하고, \(\{g_i : X'_i \to X'\}\)를 모든 \(i\)에 대해 기저변환 \(X_i \to X'_i\)가 비후화인 fpqc 덮개라 하자. 그러면 \(X \to X'\)은 비후화이다. 사상들 \(g_i\)가 함께 전사이므로 \(X \to X'\)이 전사임을 알 수 있다. Descent, Lemma 02L6에 의해 \(X \to X'\)은 닫힌 몰입이다. 따라서 \(X \to X'\)은 비후화이다. 1차 비후화의 경우에 대한 증명은 생략한다.

비후화의 사상

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)가 스킴의 비후화들 사이의 사상이면, 흔히 사상 \(f\)의 성질이 \(f'\)에도 계승된다. 여기에는 여러 변형이 있다.

보조정리

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\)를 비후화들의 사상이라 하자. 그러면

1. \(f\)가 아핀 사상일 필요충분조건은 \(f'\)이 아핀 사상인 것이다.

2. \(f\)가 전사 사상일 필요충분조건은 \(f'\)이 전사 사상인 것이다.

3. \(f\)가 준콤팩트일 필요충분조건은 \(f'\)이 준콤팩트인 것이다.

4. \(f\)가 보편 닫힌 사상일 필요충분조건은 \(f'\)이 보편 닫힌 사상인 것이다.

5. \(f\)가 정수적일 필요충분조건은 \(f'\)이 정수적인 것이다.

6. \(f\)가 (준)분리일 필요충분조건은 \(f'\)이 (준)분리인 것이다.

7. \(f\)가 보편 단사일 필요충분조건은 \(f'\)이 보편 단사인 것이다.

8. \(f\)가 보편 열린 사상일 필요충분조건은 \(f'\)이 보편 열린 사상인 것이다.

9. \(f\)가 준아핀일 필요충분조건은 \(f'\)이 준아핀인 것이다.

10. 여기에 더 추가할 것.

증명

\(S \to S'\)과 \(X \to X'\)은 보편 위상동형사상임에 유의하자(예를 들어 Morphisms, Lemma 054M 참조). 이로부터 (2), (3), (4), (7), (8)이 즉시 따른다. (1)은 \(S\)와 \(S'\)의 아핀 열린집합들 사이 및 \(X\)와 \(X'\)의 아핀 열린집합들 사이에 일대일 대응이 있음을 알려 주는 Lemma 06AD에서 따른다. (9)는 Limits, Lemma 0B7L와 방금 언급한 \(S\)와 \(S'\)의 아핀 열린집합에 관한 사실에서 따른다. (5)는 Morphisms, Lemma 01WM에 의해 (1)과 (4)에서 따른다. 마지막으로 다음 사상이

\[S \times_X S = S \times_{X'} S \to S \times_{X'} S' \to S' \times_{X'} S'\] 비후화임에 유의하자(두 화살표는 Lemma 09ZU에 의해 비후화이다). 따라서 비후화의 사상 \((S \subset S') \to (S \times_X S \to S' \times_{X'} S')\)에 (3)과 (4)를 적용하면 (6)을 얻는다.

보조정리

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\)를 비후화들의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}'\)을 \(X'\) 위의 가역층이라 하고, \(\mathcal{L}\)로 \(X\)에 대한 그 제한을 나타내자. 그러면 \(\mathcal{L}'\)이 \(f'\)-풍부일 필요충분조건은 \(\mathcal{L}\)이 \(f\)-풍부인 것이다.

증명

상대적으로 풍부하다는 것은 밑의 각 아핀 열린집합에 대한 조건임을 상기하자. Morphisms, Definition 01VH을 보라. Lemma 06AD에 의해 \(S\)와 \(S'\)의 아핀 열린집합들 사이에는 일대일 대응이 있다. 따라서 \(S\)와 \(S'\)이 아핀이라고 가정할 수 있고, \(\mathcal{L}'\)이 풍부일 필요충분조건은 \(\mathcal{L}\)이 풍부인 것임을 증명하는 문제로 환원된다. 이는 Limits, Lemma 09MW이다.

보조정리

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\)를 \(X = S \times_{S'} X'\)을 만족하는 비후화들의 사상이라 하자. \(S \subset S'\)이 유한 차수 비후화이면 다음이 성립한다.

1. \(f\)가 닫힌 몰입일 필요충분조건은 \(f'\)이 닫힌 몰입인 것이다.

2. \(f\)가 국소 유한형일 필요충분조건은 \(f'\)이 국소 유한형인 것이다.

3. \(f\)가 국소 준유한일 필요충분조건은 \(f'\)이 국소 준유한인 것이다.

4. \(f\)가 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형일 필요충분조건은 \(f'\)이 상대 차원 \(d\)인 국소 유한형인 것이다.

5. \(\Omega_{X/S} = 0\)일 필요충분조건은 \(\Omega_{X'/S'} = 0\)인 것이다.

6. \(f\)가 비분기일 필요충분조건은 \(f'\)이 비분기인 것이다.

7. \(f\)가 고유일 필요충분조건은 \(f'\)이 고유인 것이다.

8. \(f\)가 유한일 필요충분조건은 \(f'\)이 유한인 것이다.

9. \(f\)가 모노사상일 필요충분조건은 \(f'\)이 모노사상인 것이다.

10. \(f\)가 몰입일 필요충분조건은 \(f'\)이 몰입인 것이다.

11. 여기에 더 추가할 것.

증명

보조정리에 열거된 성질 \(\mathcal{P}\)는 모두 밑변환에 안정적이다. 따라서 \(f'\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(f\)도 그러하다. Schemes, Lemmas 01JY 및 02YC, 그리고 Morphisms, Lemmas 01T4, 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4, 01WL을 보라.

그러므로 각 경우에서 실질적인 방향은 \(f\)가 그 성질을 가진다고 가정하고 \(f'\)도 그 성질을 가짐을 도출하는 것이다. 비후화의 차수에 대한 귀납법에 의해 \(S \subset S'\)이 1차 비후화라고 가정할 수 있다. Definition 04EX 바로 뒤의 논의를 보라.

대부분의 증명에서는 아핀 경우로의 환원을 사용한다. \(U' \subset S'\)을 아핀 열린집합이라 하고, \(V' \subset X'\)을 \(U'\) 위에 놓인 아핀 열린집합이라 하자. \(U' = \Spec(A')\)이라 하고, 닫힌 부분스킴 \(U' \cap S\)를 정의하는 아이디얼을 \(I \subset A'\)로 나타내자.

\(V' = \Spec(B')\)이라 하자. 그러면 \(V' \cap X = \Spec(B'/IB')\)이다. \(A = A'/I\), \(B = B'/IB'\)로 놓으면 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 두 행은 완전하고 \(I^2 = 0\)이다.

(1)을 대수학으로 옮기면 다음과 같다. \(A \to B\)가 전사이면 \(A' \to B'\)도 전사이다. 이는 Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에서 따른다.

(2)를 대수학으로 옮기면 다음과 같다. \(A \to B\)가 유한형 환 사상이면 \(A' \to B'\)도 유한형 환 사상이다. 이는 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)가 전사이도록 택한 사상 \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B'\)에 Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)를 적용하여 얻는다.

(3)의 증명. (2), 그리고 국소 유한형인 사상의 준유한성은 올에서 확인할 수 있다는 사실에서 따른다. Morphisms, Lemma 01TH를 보라.

(4)의 증명. (2), 그리고 “상대 차원 \(d\)이다”라는 추가 성질은 올에서 확인할 수 있다는 사실에서 따른다(정의에 의해 그렇다. Morphisms, Definition 02NJ 참조).

(5)를 대수학으로 옮기면 다음과 같다. \(\Omega_{B/A} = 0\)이면 \(\Omega_{B'/A'} = 0\)이다. Algebra, Lemma 00RV에 의해 \(0 = \Omega_{B/A} = \Omega_{B'/A'}/I\Omega_{B'/A'}\)이다. 따라서 Nakayama 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(\Omega_{B'/A'} = 0\)이다.

(6)을 대수학으로 옮기면 다음과 같다. \(A \to B\)가 비분기 사상이면 \(A' \to B'\)도 비분기이다. \(A \to B\)가 유한형이므로 위의 (2)에 의해 \(A' \to B'\)도 유한형이다. \(A \to B\)가 비분기이므로 \(\Omega_{B/A} = 0\)이고, (5)에 의해 \(\Omega_{B'/A'} = 0\)이다. 따라서 \(A' \to B'\)는 비분기이다.

(7)의 증명. (2), Lemma 09ZV의 결과, 그리고 고유가 준콤팩트 \(+\) 분리 \(+\) 국소 유한형 \(+\) 보편 닫힌과 같다는 사실을 결합하면 된다.

(8)의 증명. (2)와 Lemma 09ZV의 결과를 결합하고, 유한이 정수적 \(+\) 국소 유한형과 같다는 사실(Morphisms, Lemma 01WJ)을 사용하면 된다.

(9)의 증명. \(f\)가 모노사상이므로 \(X = X \times_S X\)이다. 지금까지 증명한 결과들을 비후화의 사상 \((X \subset X') \to (X \times_S X \subset X' \times_{S'} X')\)에 적용할 수 있다. (1)에 의해 \(X' \to X' \times_{S'} X'\)은 닫힌 몰입이다. 사실 이는 1차 비후화이다. 닫힌 몰입 \(X' \to X' \times_{S'} X'\)을 정의하는 아이디얼은 \(S'\) 안에서 \(S\)를 잘라내는 아이디얼 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{S'}\)의 역상에 포함되기 때문이다. 실제로 \(X = X \times_S X = (X' \times_{S'} X') \times_{S'} S\)는 \(X'\)에 포함된다. 따라서 Morphisms, Lemma 08S2에 의해 \(\Omega_{X'/S'} = 0\)임을 보이면 충분한데, 이는 (5)와 \(X/S\)에 대한 대응하는 명제에서 따른다.

(10)의 증명. \(f : X \to S\)가 몰입이면, \(U \to S\)는 열린 몰입이고 \(X \to U\)는 닫힌 몰입인 \(X \to U \to S\)로 인수분해된다. \(U' \subset S'\)을 그 바탕 위상공간이 \(U\)와 같은 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 \(X' \to S'\)은 \(U'\)을 통하여 인수분해되고, (1)에 의해 \(X' \to U'\)이 닫힌 몰입이라고 결론짓는다. 이것으로 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 앞의 보조정리의 변형이다. 여기서는 관련된 비후화들이 유한 차수라고 가정하여 국소 유한형이라는 성질을 \(f\)에서 \(f'\)으로 옮기는 대신, \(f\)와 \(f'\)이 각각 국소 유한형이라는 것을 가정한다.

보조정리

\((f, f') : (X \subset X') \to (Y \to Y')\)를 비후화들의 사상이라 하자. \(f\)와 \(f'\)이 국소 유한형이고 \(X = Y \times_{Y'} X'\)이라고 가정하자. 그러면

1. \(f\)가 국소 준유한일 필요충분조건은 \(f'\)이 국소 준유한인 것이다.

2. \(f\)가 유한일 필요충분조건은 \(f'\)이 유한인 것이다.

3. \(f\)가 닫힌 몰입일 필요충분조건은 \(f'\)이 닫힌 몰입인 것이다.

4. \(\Omega_{X/Y} = 0\)일 필요충분조건은 \(\Omega_{X'/Y'} = 0\)인 것이다.

5. \(f\)가 비분기일 필요충분조건은 \(f'\)이 비분기인 것이다.

6. \(f\)가 모노사상일 필요충분조건은 \(f'\)이 모노사상인 것이다.

7. \(f\)가 몰입일 필요충분조건은 \(f'\)이 몰입인 것이다.

8. \(f\)가 고유일 필요충분조건은 \(f'\)이 고유인 것이다.

9. 여기에 더 추가할 것.

증명

보조정리에 열거된 성질 \(\mathcal{P}\)는 모두 밑변환에 안정적이다. 따라서 \(f'\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(f\)도 그러하다. Schemes, Lemmas 01JY 및 02YC, 그리고 Morphisms, Lemmas 01TM, 02NK, 01V0, 02GA, 01W4, 01WL을 보라. 따라서 각 경우에는 \(f\)가 원하는 성질을 가지면 \(f'\)도 그러함만 증명하면 된다.

사상이 국소 준유한일 필요충분조건은 그것이 국소 유한형이고 그 스킴론적 올들이 이산공간인 것이다. Morphisms, Lemma 06RT를 보라. 비후화로 넘어갈 때 바탕 위상공간은 변하지 않으므로, \(f'\)이 국소 준유한일 필요충분조건은 \(f\)가 국소 준유한인 것임을 알 수 있다. 이것으로 (1)이 증명된다.

(2)는 Lemma 09ZV의 (5)와, 유한 사상은 정확히 국소 유한형인 정수적 사상이라는 사실(Morphisms, Lemma 01WJ)에서 따른다.

(3)은 Morphisms, Lemma 0896에서 즉시 따른다.

(4)는 다음 대수학 명제에서 따른다. \(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 국소 멱영 아이디얼이라 하자. \(B\)를 유한형 \(A\)-대수라 하자. \(\Omega_{(B/IB)/(A/I)} = 0\)이면 \(\Omega_{B/A} = 0\)이다. 실제로 이 가정은 \(I\Omega_{B/A} = 0\)임을 뜻한다. Algebra, Lemma 00RV를 보라.

한편 \(\Omega_{B/A}\)는 유한 \(B\)-가군이다. Algebra, Lemma 00RZ를 보라. 따라서 \(IB\)가 \(B\)의 Jacobson 근기에 포함된다는 사실과 Nakayama 보조정리 (Algebra, Lemma 00DV)로부터 \(\Omega_{B/A}\)의 소멸이 따른다.

(5)는 (4)와 Morphisms, Lemma 02G5에서 즉시 따른다.

(6)의 증명. \(f\)가 모노사상이므로 \(X = X \times_Y X\)이다. 지금까지 증명한 결과를 비후화의 사상 \((X \subset X') \to (X \times_Y X \subset X' \times_{Y'} X')\)에 적용할 수 있다. (3)에 의해 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)은 닫힌 몰입이다. 실제로 \(\Delta_{X'/Y'}\)는 바탕 집합들 위에서 전단사이므로 \(\Delta_{X'/Y'}\)는 비후화이다. 한편 Morphisms, Lemma 0818에 의해 \(\Delta_{X'/Y'}\)는 국소 유한표현이다. 달리 말해, \(\Delta_{X'/Y'}(X')\)는 유한형 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{X' \times_{Y'} X'}\)에 의해 잘려 나온다. (5)에 의해 \(\Omega_{X'/Y'} = 0\)이므로, Morphisms, Lemma 08S2에 의해 \(X' \to X' \times_{Y'} X'\)의 conormal 층이 영이다. 달리 말해 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\)이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00EH에 의해 이로부터 \(\Delta_{X'/Y'}\)가 동형임이 따른다.

(7)의 증명. \(f : X \to Y\)가 몰입이면, \(V \to Y\)는 열린 몰입이고 \(X \to V\)는 닫힌 몰입인 \(X \to V \to Y\)로 인수분해된다. \(V' \subset Y'\)을 그 바탕 위상공간이 \(V\)와 같은 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 \(X' \to V'\)은 \(V'\)을 통하여 인수분해되고, (3)에 의해 \(X' \to V'\)이 닫힌 몰입이라고 결론짓는다.

(8)은 Lemma 09ZV와, 고유 사상은 국소 유한형이면서 준콤팩트이고 보편 닫힌이며 분리인 사상이라는 정의에서 따른다.

비후화의 Picard 군

비후화의 Picard 군에 관한 몇 가지 내용을 다룬다.

보조정리

\(X \subset X'\)을 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)를 갖는 1차 비후화라 하자. 그러면 다음과 같은 아벨 군의 표준 완전열이 존재한다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{I}) \ar[r] & H^0(X', \mathcal{O}_{X'}^*) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}^*_X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^1(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \Pic(X') \ar[r] & \Pic(X) \ar `r[d] `d[l] `l[llld] `d[dll] [dll] \\ & H^2(X, \mathcal{I}) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \ldots }\]

증명

이는 다음 아벨 군 층의 짧은 완전열에 결부된 긴 코호몰로지 완전열이다. \[0 \to \mathcal{I} \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] 여기서 첫째 사상은 \(\mathcal{I}\)의 국소 절단 \(f\)를 \(\mathcal{O}_{X'}\)의 가역 절단 \(1 + f\)로 보낸다. 또한 환 달린 공간의 Picard 군을 가역함수 층의 첫째 코호몰로지 군과 동일시하는 사실을 사용한다. Cohomology, Lemma 09NU을 보라.

보조정리

\(X \subset X'\)을 비후화라 하자. \(n\)을 \(\mathcal{O}_X\)에서 가역인 정수라 하자. 그러면 사상 \(\Pic(X')[n] \to \Pic(X)[n]\)은 전단사이다.

증명

Definition 04EX 뒤에서 설명한 일반 원리에 의해 1차 비후화의 경우로 환원된다. 그러면 Lemma 0C6R을 사용하여 \(H^1(X, \mathcal{I})[n]\), \(H^1(X, \mathcal{I})/n\) 및 \(H^2(X, \mathcal{I})[n]\)이 영임을 보이면 충분함을 알 수 있다.

\(\mathcal{I}\)는 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고 그 위에서 \(n\)배 사상이 동형이므로 이 소멸이 따른다.

증명

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_{X'}\)을 \(X\)를 잘라내는 준연접 아이디얼 층이라 하자. 그러면 다음 아벨 군의 짧은 완전열이 있다. \[0 \to (1 + \mathcal{I})^* \to \mathcal{O}_{X'}^* \to \mathcal{O}_X^* \to 0\] Lemma 0C6R의 명제에서 \(H^i(X, \mathcal{I})\)를 \(H^i(X, (1 + \mathcal{I})^*)\)로 바꾼 것과 같은 긴 코호몰로지 완전열을 얻는다. 따라서 \(n\)제곱 사상이 \((1 + \mathcal{I})^* \to (1 + \mathcal{I})^*\)의 동형임을 보이면 충분하다. 아핀 열린집합 위의 절단을 취하면 이는 Algebra, Lemma 0CAP에서 따른다.

무한소 근방

유한 차수 비후화를 자연스럽게 구성하는 방법은 다음과 같다. \(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자.

\(i\)가 \(Z\)를 닫힌 부분스킴 \(Z \subset U\)와 동일시하도록 하는 열린 부분스킴 \(U \subset X\)를 택하자. \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\)를 \(U\) 안의 \(Z\)를 정의하는 준연접 아이디얼 층이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}^{n + 1}\)로 정의되는 닫힌 부분스킴 \(Z_n \subset U\)를 생각할 수 있다.

정의

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자.

1. \(X\) 안의 \(Z\)의 1차 무한소 근방은 위에서 설명한 \(X\) 위의 1차 비후화 \(Z \subset Z_1\)이다.

2. \(X\) 안의 \(Z\)의 \(n\)차 무한소 근방은 위에서 설명한 \(X\) 위의 \(n\)차 비후화 \(Z \subset Z_n\)이다.

이 비후화들은 다음 보편 성질을 갖는다(따라서 위의 구성이 열린집합 \(U\)의 선택에 의존할지 모른다는 우려가 사라진다).

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자.

1. \(X\) 안의 \(Z\)의 1차 무한소 근방 \(Z'\)은 다음 보편 성질을 갖는다. 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(X\) 위의 1차 비후화이면, \(X\) 위의 비후화의 사상 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\)가 유일하게 존재한다.

2. \(n \geq 1\)에 대해 \(X\) 안의 \(Z\)의 \(n\)차 무한소 근방 \(Z_n\)은 다음 보편 성질을 갖는다. 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[d]_i & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(X\) 위의 \(n\)차 비후화이면, \(X\) 위의 비후화의 사상 \((a', a) : (T \subset T') \to (Z \subset Z_n)\)가 유일하게 존재한다.

증명

(1)만 증명한다. \(U \subset X\)를 \(Z'\)의 구성에 사용한 열린집합, 즉 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)에 의해 잘려 나오는 \(U\)의 닫힌 부분스킴과 \(Z\)가 동일시되도록 하는 열린집합이라 하자. \(|T| = |T'|\)이므로 \(b(T') \subset U\)임을 알 수 있다. 따라서 \(b\)를 \(U\)로 가는 사상으로 생각할 수 있다. \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_{T'}\)를 \(T\)를 잘라내는 아이디얼이라 하자. 위 도식에 의해 \(b(T) \subset Z\)이므로 \(b^\sharp(b^{-1}\mathcal{I}) \subset \mathcal{J}\)이다. \(T'\)이 \(T\)의 1차 비후화이므로 \(\mathcal{J}^2 = 0\)이고, 따라서 \(b^\sharp(b^{-1}(\mathcal{I}^2)) = 0\)이다. Schemes, Lemma 01HP에 의해 이로부터 \(b\)가 \(Z'\)을 통하여 인수분해됨이 따른다. 이 인수분해를 \(a' : T' \to Z'\)로 나타내면 나머지는 명백하다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하고, \(Z \subset Z'\)을 \(X\) 안의 \(Z\)의 1차 무한소 근방이라 하자. 그러면 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r] \ar[d] & Z' \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 은 Morphisms, Lemma 01R4에 의해 conormal 층의 사상 \(\mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\)를 유도한다. 이 사상은 동형이다.

증명

이는 위의 \(Z'\)의 구성에서 명백하다.

형식적으로 비분기인 사상

환 사상 \(R \to A\)가 형식적으로 비분기라 함은, 가환인 실선 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] 마다, 여기서 \(I \subset B\)는 제곱이 영인 아이디얼이며, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 많아야 하나 존재하는 것임을 상기하자(Algebra, Definition 00UN 참조). 이는 스킴의 사상에 대한 다음 유사 개념의 동기가 된다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 임의의 가환인 실선 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 1차 비후화일 때, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 많아야 하나 존재하면 \(f\)가 형식적으로 비분기라고 한다.

먼저 몇 가지 형식적인 보조정리, 즉 대응하는 도식을 그려서 증명할 수 있는 보조정리들을 증명한다.

보조정리

\(f : X \to S\)가 형식적으로 비분기인 사상이라고 하자. 임의의 가환인 실선 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(S\) 위의 스킴들의 1차 비후화이면, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 많아야 하나 존재한다. 달리 말해 Definition 02H8에서 \(T\)가 아핀이라는 조건을 버려도 된다.

증명

사상은 아핀 열린집합들에 대한 제한들로 결정되기 때문이다.

보조정리

형식적으로 비분기인 사상들의 합성은 형식적으로 비분기이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

형식적으로 비분기인 사상의 밑변환은 형식적으로 비분기이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)인 열린집합들이라 하자. \(f\)가 형식적으로 비분기이면 \(f|_U : U \to V\)도 형식적으로 비분기이다.

증명

Definition 02H8에서와 같은 실선 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. \(f\)가 형식적으로 분기이면 \(a'|_T = a\)를 만족하는 \(S\)-사상 \(a' : T' \to X\)가 많아야 하나 존재한다. 따라서 그러한 \(U\)로 가는 사상도 많아야 하나 존재함이 명백하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 \(f\)가 형식적으로 비분기일 필요충분조건은 환 사상 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\)가 형식적으로 비분기인 것이다.

증명

환의 범주와 아핀 스킴의 범주 사이의 동치에 의해 정의들(Definition 02H8 및 Algebra, Definition 00UN)에서 즉시 따른다. Schemes, Lemma 01I2를 보라.

미분층을 이용한 다음 특징짓기가 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 형식적으로 비분기일 필요충분조건은 \(\Omega_{X/S} = 0\)인 것이다.

증명

Morphisms, Lemma 01UT의 증명에 나오는 논증의 일부를 상기한다. \(W \subset X \times_S X\)를 \(\Delta : X \to X \times_S X\)가 \(W\)로의 닫힌 몰입을 유도하도록 하는 열린집합이라 하자. \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_W\)를 이 닫힌 몰입의 아이디얼 층이라 하자. \(X' \subset W\)를 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{J}^2\)으로 정의되는 닫힌 부분스킴이라 하자. 두 사영 \(X \times_S X \to X\)가 유도하는 두 사상 \(p_1, p_2 : X' \to X\)를 생각하자. \(p_1\)과 \(p_2\)는 \(\Delta : X \to X'\)와 합성하면 일치하고, \(X \to X'\)은 제곱이 영인 아이디얼로 정의되는 닫힌 몰입임에 유의하자.

더욱이 다음 짧은 완전열이 있고 \[0 \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{O}_{X'} \to \mathcal{O}_X \to 0\] \(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\)이다. 또한 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\)는 \(\mathcal{O}_X\)의 국소 절단 \(f\)에 대한 국소 절단 \(p_1^\sharp(f) - p_2^\sharp(f)\)들로 생성된다.

\(f : X \to S\)가 형식적으로 비분기라고 가정하자. 가정에 의해 이는 임의의 아핀 열린집합 \(T' \subset X'\)에 제한하면 \(p_1 = p_2\)라는 뜻이다. 따라서 \(p_1 = p_2\)이다. 위에서 말한 것으로부터 \(\Omega_{X/S} = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 = 0\)이라고 결론짓는다.

거꾸로 \(\Omega_{X/S} = 0\)이라고 가정하자. 그러면 \(X' = X\)이다. Definition 02H8의 도식에서 점선 화살표로 들어맞는 임의의 두 사상 \(f'_1, f'_2 : T' \to X\)를 택하자. 이들은 사상 \((f'_1, f'_2) : T' \to X \times_S X\)를 준다. \(f'_1|_T = f'_2|_T\)이고 \(|T| =|T'|\)이므로 \((f'_1, f'_2)\)에 의한 \(T'\)의 상은 위에서 택한 열린집합 \(W\)에 포함된다. 또한 \((f'_1, f'_2)(T) \subset \Delta(X)\)이고 \(T\)는 \(T'\) 안에서 제곱이 영인 아이디얼로 정의되므로, \((f'_1, f'_2)\)는 \(X'\)을 통하여 인수분해된다. \(X' = X\)이므로 원하는 대로 \(f_1' = f'_2\)라고 결론짓는다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 비분기이다.

2. 모든 \(x \in X\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이고 \(f|_U : U \to V\)가 형식적으로 비분기인 열린집합 \(x \in U \subset X\)와 \(f(x) \in V \subset Y\)가 존재한다.

3. \(f(U) \subset V\)인 모든 아핀 열린집합 쌍 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)에 대해 환 사상 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 형식적으로 비분기이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(Y = \bigcup V_j\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대해 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\)가 존재하여 모든 \(j\)와 \(i\)에 대해 환 사상 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 형식적으로 비분기이다.

증명

Lemmas 02HC와 02HD를 결합하면 (1) \(\Rightarrow\) (3)을 얻는다. (3) \(\Rightarrow\) (4)는 즉시 따른다. Lemma 02HD에 의해 (4) \(\Rightarrow\) (2)이다. (2)가 성립하면 Lemma 02H9에 의해 모든 점의 근방에서 \(\Omega_{X/S}\)가 소멸하고(여기서는 Morphisms, Lemma 01US도 사용한다), 다시 Lemma 02H9에 의해 \(f\)가 형식적으로 비분기임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 비분기이다(각각 G-비분기이다).

2. 사상 \(f\)는 국소 유한형(각각 국소 유한표현)이고 형식적으로 비분기이다.

증명

Lemma 02H9와 Morphisms, Lemma 02G5을 사용하라.

보편 1차 비후화

\(h : Z \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화란 다음 성질을 갖는 \(X\) 위의 1차 비후화 \(Z \subset Z'\)이다. \(X\) 위의 임의의 1차 비후화 \(T \subset T'\)과 가환인 실선 도식 \[\xymatrix{ & Z \ar[ld] & & T \ar[rd] \ar[ll]^a \\ Z' \ar[rrd] & & & & T' \ar@{..>}[llll]_{a'} \ar[lld]^b \\ & & X }\] 이 주어지면 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 유일하게 존재한다. 이 상황에서 \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\)는 \(X\) 위의 비후화의 사상임에 유의하자. 따라서 보편 1차 비후화가 존재하면 그것은 유일한 동형을 제외하고 유일하다. 일반적으로 보편 1차 비후화는 존재하지 않지만, \(h\)가 형식적으로 비분기이면 존재한다.

보조정리

\(h : Z \to X\)를 형식적으로 비분기인 스킴의 사상이라 하자. \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화 \(Z \subset Z'\)이 존재한다.

증명

이 증명에서는 \(Z \subset Z'\)이 보조정리의 조건을 만족하면 그것을 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라고 하겠다. 먼저 Algebra, Lemma 04EB인 아핀 경우에서 시작하여 붙이기로 \(X\) 위의 보편 1차 비후화 \(Z \subset Z'\)을 구성할 것이다. 몇 가지 일반적인 언급으로 시작한다.

\(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화가 존재하면, 그것은 유일한 동형을 제외하고 유일하다. 또한 \(V \subset Z\)와 \(U \subset X\)를 \(h(V) \subset U\)인 열린 부분스킴들이라 하자. \(Z \subset Z'\)을 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라 하고, \(V' \subset Z'\)을 \(V = Z \cap V'\)인 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 \(V \subset V'\)이 \(U\) 위의 \(V\)의 보편 1차 비후화라고 주장한다. 실제로 임의의 도식 \[\xymatrix{ V \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ U & T' \ar[l]_b }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(U\) 위의 1차 비후화라고 하자. \(Z'\)의 보편 성질에 의해 \((a, a') : (T \subset T') \to (Z \subset Z')\)를 얻는다. 그런데 바탕 위상공간들의 등식 \(|T| = |T'|\)이 있으므로 \(a'(T') \subset V'\)임을 알 수 있다. 따라서 \((a, a')\)를 \(U\) 위의 비후화의 사상 \((a, a') : (T \subset T') \to (V \subset V')\)로 생각할 수 있다. 유일성도 명백하다. 완전히 같은 방식으로, \(h(Z) \subset U\)이고 \(Z \subset Z'\)이 \(U\) 위의 보편 1차 비후화이면 \(Z \subset Z'\)이 \(X\) 위의 보편 1차 비후화임을 증명한다.

아핀 조각들을 붙이기 전에 \(Z\)와 \(X\)가 아핀일 때 보조정리가 성립함을 보이자. \(X = \Spec(R)\)이고 \(Z = \Spec(S)\)라 하자. Algebra, Lemma 04EB에 의해 다음과 같은 도식에 대해 보조정리의 보편 성질을 갖는 \(X\) 위의 1차 비후화 \(Z \subset Z'\)이 존재한다. \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 여기서 \(T, T'\)은 아핀이다. 일반적인 도식이 주어지면 아핀 열린 덮개 \(T' = \bigcup T'_i\)를 택할 수 있고, \(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\)를 만족하는 \(X\) 위의 사상 \(a'_i : T'_i \to Z'\)를 얻는다. 유일성에 의해 \(a'_i\)와 \(a'_j\)는 \(T'_i \cap T'_j\)의 임의의 아핀 열린집합 위에서 일치한다. 따라서 사상들 \(a'_i\)는 원하는 \(X\) 위의 전역 사상 \(a' : T' \to Z'\)로 붙는다. 그러므로 \(X\)와 \(Z\)가 아핀이면 보조정리가 성립한다.

각 \(Z_i\)가 \(X\)의 어떤 아핀 열린집합 \(U_i\)로 가도록 하는 아핀 열린 덮개 \(Z = \bigcup Z_i\)를 택하자. Lemma 02HC에 의해 사상 \(Z_i \to U_i\)는 형식적으로 비분기이다. 따라서 아핀 경우에 의해 \(U_i\) 위의 보편 1차 비후화 \(Z_i \subset Z_i'\)을 얻는다. 위의 일반적인 언급에 의해 \(Z_i \subset Z_i'\)은 \(X\) 위의 \(Z_i\)의 보편 1차 비후화이기도 하다. \(Z'_{i, j} \subset Z'_i\)를 \(Z_i \cap Z_j = Z'_{i, j} \cap Z_i\)인 열린 부분스킴이라 하자. 일반적인 언급에 의해 \(Z'_{i, j}\)와 \(Z'_{j, i}\)는 모두 \(X\) 위의 \(Z_i \cap Z_j\)의 보편 1차 비후화이다. 따라서 첫째 일반적인 언급에 의해 \(Z_i \cap Z_j\) 위에서 항등사상을 유도하는 표준 동형 \(\varphi_{ij} : Z'_{i, j} \to Z'_{j, i}\)가 존재한다. 이 사상들이 Schemes, Section 01JA의 코사이클 조건을 만족한다고 주장한다. (검증은 생략한다. 힌트: 위에서 말한 것에 의해 유일한 동형을 제외하고 결정되는 \(Z_i \cap Z_j \cap Z_k\)의 보편 1차 비후화가 \(Z'_{i, j} \cap Z'_{i, k}\)라는 사실을 사용하라.) 따라서 Schemes, Section 01JA의 결과를 사용하여 \(Z_i = Z'_i \cap Z\)인 열린 부분스킴 \(Z'_i \subset Z'\)이 \(X\) 위의 \(Z_i\)의 보편 1차 비후화라는 성질을 갖는 \(X\) 위의 1차 비후화 \(Z \subset Z'\)을 얻는다.

이로부터 형식적으로 \(Z'\)이 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화임이 따른다. 실제로 다음 도식에서 \(a(T)\)가 어떤 \(Z_i\)에 포함될 때에는 보편 성질이 성립한다. \[\xymatrix{ Z \ar[d]_h & T \ar[l]^a \ar[d] \\ X & T' \ar[l]_b }\] 일반적인 도식이 주어지면 \(a(T_i) \subset Z_i\)가 되도록 하는 열린 덮개 \(T' = \bigcup T'_i\)를 택할 수 있다. \(a'_i|_{T_i} = a|_{T_i}\)를 만족하는 \(X\) 위의 사상 \(a'_i : T'_i \to Z'\)를 얻는다. \(a'_i|_{T'_i \cap T'_j}\)와 \(a'_j|_{T'_i \cap T'_j}\)는 모두 \(X\) 위의 \(Z_i \cap Z_j\)의 보편 1차 비후화 \(Z'_i \cap Z'_j\)로 사상하는 문제의 해이므로, \(a'_i\)와 \(a'_j\)는 \(T'_i \cap T'_j\) 위에서 반드시 일치한다. 따라서 사상들 \(a'_i\)는 원하는 \(X\) 위의 전역 사상 \(a' : T' \to Z'\)로 붙는다. 이것으로 증명이 끝난다.

정의

\(h : Z \to X\)를 형식적으로 비분기인 스킴의 사상이라 하자.

1. \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화는 Lemma 04F3에서 구성한 비후화 \(Z \subset Z'\)이다.

2. \(X\) 위의 \(Z\)의 conormal 층은 \(X\) 위의 보편 1차 비후화 \(Z'\) 안의 \(Z\)의 conormal 층이다.

이 상황에서 conormal 층을 흔히 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)로 나타낸다.

따라서 \(Z\) 위에 다음 층들의 짧은 완전열이 있음을 알 수 있다. \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{O}_{Z'} \to \mathcal{O}_Z \to 0\] 다음 보조정리는 이 정의가 \(Z \to X\)가 몰입일 때의 정의와 충돌하지 않음을 증명한다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 그러면

1. \(i\)는 형식적으로 비분기이다.

2. \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화는 Definition 04EY의 \(X\) 안의 \(Z\)의 1차 무한소 근방이다.

3. Morphisms, Definition 01R2의 의미에서 \(i\)의 conormal 층은 Definition 04F4의 의미에서 \(i\)의 conormal 층과 일치한다.

증명

Morphisms, Lemmas 02GB와 02GC에 의해 몰입은 비분기이고, 따라서 Lemma 02HE에 의해 형식적으로 비분기이다. 나머지 주장들은 Lemmas 04EZ와 04F0 및 정의들을 결합하면 따른다.

보조정리

\(Z \to X\)를 형식적으로 비분기인 스킴의 사상이라 하자. 그러면 보편 1차 비후화 \(Z'\)은 \(X\) 위에서 형식적으로 비분기이다.

증명

두 가지 증명이 있다. 첫째 증명은 아핀 국소적으로 작업하고 Algebra, Lemma 04EF을 적용하여 \(\Omega_{Z'/X} = 0\)임을 보이는 것이다. 그러면 Lemma 02H9에서 원하는 결론이 따른다. 둘째 증명은 다음의 직접적인 논증이다.

\(T \subset T'\)을 1차 비후화라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ Z' \ar[d] & T \ar[l]^c \ar[d] \\ X & T' \ar[l] \ar[lu]^{a, b} }\] 을 생각하고, 이 도식에 들어맞는 두 사상 \(a, b : T' \to Z'\)를 생각하자. \(T_0 = c^{-1}(Z) \subset T\) 및 \(T'_a = a^{-1}(Z)\)로 놓자(스킴론적으로). \(Z'\)이 \(Z\)의 1차 비후화이므로 \(T'\)은 \(T'_a\)의 1차 비후화이다. 또한 \(c = a|_T\)이므로 \(T_0 = T \cap T'_a\)이다(스킴론적으로). \(T'\)이 \(T\)의 1차 비후화이므로 \(T'_a\)는 \(T_0\)의 1차 비후화이다. 이제 \(a|_{T'_a}\)와 \(b|_{T'_a}\)는 \(X\) 위에서 \(T'_a\)에서 \(Z'\)으로 가는 사상들이며, \(T_0\) 위에서는 \(Z\)로 가는 사상으로서 일치한다. 따라서 \(Z'\)의 보편 성질에 의해 \(a|_{T'_a} = b|_{T'_a}\)이다. 그러므로 \(a\)와 \(b\)는 \(T'_a\)의 1차 비후화 \(T'\)에서 출발하는 사상들이고, 그 제한들은 \(T'_a\) 위에서 \(Z\)로 가는 사상으로서 일치한다.

\(Z'\)의 보편 성질을 한 번 더 사용하면 \(a = b\)라고 결론짓는다. 달리 말해 형식적으로 비분기인 사상의 정의 성질이 원하는 대로 \(Z' \to X\)에 대해 성립한다.

보조정리

스킴의 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 을 생각하고 \(h\)와 \(h'\)이 형식적으로 비분기라고 하자. \(Z \subset Z'\)을 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라 하고, \(W \subset W'\)을 \(Y\) 위의 \(W\)의 보편 1차 비후화라 하자. 다음 가환 도식에 들어맞는 \(Y\) 위의 비후화의 표준 사상 \((f, f') : (Z, Z') \to (W, W')\)가 존재한다.

\[\xymatrix{ & & & Z' \ar[ld] \ar[d]^{f'} \\ Z \ar[rr] \ar[d]_f \ar[rrru] & & X \ar[d] & W' \ar[ld] \\ W \ar[rrru]|!{[rr];[rruu]}\hole \ar[rr] & & Y }\] 특히 비후화의 사상 \((f, f')\)는 conormal 층의 사상 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)를 유도한다.

증명

첫째 주장은 \(W'\)의 보편 성질에서 명백하다. 유도된 conormal 층의 사상은 Morphisms, Lemma 01R4의 사상을 \((Z \subset Z') \to (W \subset W')\)에 적용한 것이다.

보조정리

다음 도식이 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 스킴의 범주에서 올곱 도식이고 \(h'\)이 형식적으로 비분기라고 하자. 그러면 \(h\)는 형식적으로 비분기이고, \(W \subset W'\)이 \(Y\) 위의 \(W\)의 보편 1차 비후화이면 \(Z = X \times_Y W \subset X \times_Y W'\)은 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화이다. 특히 Lemma 04F7의 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 전사이다.

증명

Lemma 02HB에 의해 사상 \(h\)는 형식적으로 비분기이다. \(X \times_Y W'\)이 1차 비후화임은 명백하다. \(W'\)이 보편 성질을 가지므로(올곱의 사상 성질에 의해) 이것도 보편 성질을 가짐을 곧바로 확인할 수 있다. 이로부터 conormal 층의 사상이 전사임이 따르는 이유는 Morphisms, Lemma 0473을 보라.

보조정리

다음 도식이 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_h \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ W \ar[r]^{h'} & Y }\] 스킴의 범주에서 올곱 도식이고, \(h'\)은 형식적으로 비분기이며 \(g\)는 평탄하다고 하자. 이 경우 대응하는 보편 1차 비후화들의 사상 \(Z' \to W'\)은 평탄하고, \(f^*\mathcal{C}_{W/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X}\)는 동형이다.

증명

평탄성은 밑변환에 의해 보존된다. Morphisms, Lemma 01U9을 보라. 따라서 첫째 명제는 Lemma 04F8의 \(W'\)의 서술에서 따른다.

\(X \times_Y W'\)이 1차 비후화임은 명백하다. \(W'\)이 보편 성질을 가지므로(올곱의 사상 성질에 의해) 이것도 보편 성질을 가짐을 곧바로 확인할 수 있다. 이로부터 conormal 층의 사상이 동형임이 따르는 이유는 Morphisms, Lemma 0473을 보라.

보조정리

보편 1차 비후화를 취하는 것은 열린부분을 취하는 것과 가환한다. 더 정확히, \(h : Z \to X\)를 형식적으로 비분기인 스킴의 사상이라 하자. \(V \subset Z\), \(U \subset X\)를 \(h(V) \subset U\)인 열린집합들이라 하고, \(Z'\)을 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라 하자. 그러면 \(h|_V : V \to U\)는 형식적으로 비분기이고, \(U\) 위의 \(V\)의 보편 1차 비후화는 \(V = Z \cap V'\)인 열린 부분스킴 \(V' \subset Z'\)이다. 특히 \(\mathcal{C}_{Z/X}|_V = \mathcal{C}_{V/U}\)이다.

증명

첫째 명제는 Lemma 02HC이다. 보편 비후화의 호환성은 Lemma 04F3의 증명에서, 또는 Algebra, Lemma 04EE에서, 또는 Lemma 04F9에서 도출할 수 있다.

보조정리

\(h : Z \to X\)를 \(S\) 위에서 형식적으로 비분기인 스킴의 사상이라 하자. \(Z \subset Z'\)을 구조 사상 \(h' : Z' \to X\)를 갖는 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라 하자. 표준 사상 \[c_{h'} : (h')^*\Omega_{X/S} \longrightarrow \Omega_{Z'/S}\] 은 동형 \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\)를 유도한다.

증명

사상 \(c_{h'}\)은 Morphisms, Lemma 01UV에서 정의한 사상이다. \(i : Z \to Z'\)이 주어진 닫힌 몰입이면 \(i^*c_{h'}\)은 사상 \(h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z\)이다. 국소화에 의해 이것이 동형인지 확인하는 문제는 아핀 경우로 환원된다. Lemma 04FA와 Morphisms, Lemma 01US을 보라. 이 경우 결과는 Algebra, Lemma 04EF이다.

보조정리

\(h : Z \to X\)를 \(S\) 위에서 형식적으로 비분기인 스킴의 사상이라 하자. 다음 표준 완전열이 있다. \[\mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] 첫째 화살표는 \(\text{d}_{Z'/S}\)에 의해 유도되며, 여기서 \(Z'\)은 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 근방이다.

증명

다음 표준 완전열이 있음을 안다. \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] Morphisms, Lemma 01UZ을 보라. 따라서 Lemma 04FB를 적용하면 결과가 따른다.

보조정리

다음 스킴의 도식이 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d] \\ & Y }\] 가환이고 \(i\)와 \(j\)가 형식적으로 비분기라고 하자. 그러면 다음 표준 완전열이 있다. \[\mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] 여기서 첫째 화살표는 Lemma 04F7에서, 둘째 화살표는 Lemma 04FC에서 온다.

증명

\(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화를 \(Z \to Z'\)로 나타내고, \(Y\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화를 \(Z \to Z''\)로 나타내자.

Lemma 04FC에 의해 다음 가환 도식을 주는 표준 사상 \(Z' \to Z''\)가 있다.

\[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ & Z'' \ar[r] & Y }\] 왼쪽 삼각형에 Morphisms, Lemma 067L를 적용하여 완전열 \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] 을 얻는다. \(Z''\)은 \(Y\) 위에서 형식적으로 비분기이므로(Lemma 04F6 참조), Lemma 02H9와 Morphisms, Lemma 01UX를 결합하여 \(\Omega_{Z'/Z''} = \Omega_{Z/Y}\)를 얻는다.

그런 다음 Lemma 04FB에 의해 \((i')^*\Omega_{Z'/Y} = i^*\Omega_{X/Y}\)를 얻는다.

보조정리

\(Z \to Y \to X\)를 형식적으로 비분기인 스킴의 사상들이라 하자.

1. \(Z \subset Z'\)이 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화이고 \(Y \subset Y'\)이 \(X\) 위의 \(Y\)의 보편 1차 비후화이면, 사상 \(Z' \to Y'\)가 존재하고 \(Y \times_{Y'} Z'\)은 \(Y\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화이다.

2. 다음 표준 완전열이 있다. \[i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 여기서 사상들은 Lemma 04F7에서 오고, \(i : Z \to Y\)는 첫째 사상이다.

증명

(1)의 사상 \(h : Z' \to Y'\)은 Lemma 04F7에서 온다. \(Y \times_{Y'} Z'\)이 \(Y\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라는 주장은 \(Z'\)과 \(Y'\)의 보편 성질에서 명백하다. Morphisms, Lemma 062S에 의해 완전열 \[(i')^*\mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} \to 0\] 이 있고, 여기서 \(i' : Z \to Y \times_{Y'} Z'\)은 주어진 사상이다. Morphisms, Lemma 0473에 의해 전사 \(h^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{Y \times_{Y'} Z'/Z'}\)가 존재한다. 이를 등식들 \(\mathcal{C}_{Y/Y'} = \mathcal{C}_{Y/X}\), \(\mathcal{C}_{Z/Z'} = \mathcal{C}_{Z/X}\), 그리고 \(\mathcal{C}_{Z/Y \times_{Y'} Z'} = \mathcal{C}_{Z/Y}\) 과 결합하면 보조정리가 증명된다.

형식적으로 에탈인 사상

환 사상 \(R \to A\)가 형식적으로 에탈이라 함은, 가환인 실선 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] 마다, 여기서 \(I \subset B\)는 제곱이 영인 아이디얼이며, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 정확히 하나 존재하는 것임을 상기하자(Algebra, Definition 00UQ 참조). 이는 스킴의 사상에 대한 다음 유사 개념의 동기가 된다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 임의의 가환인 실선 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 1차 비후화일 때, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 정확히 하나 존재하면 \(f\)가 형식적으로 에탈이라고 한다.

형식적으로 에탈인 사상이 형식적으로 비분기임은 명백하다. 따라서 \(f : X \to S\)가 형식적으로 에탈이면 \(\Omega_{X/S}\)는 영이다. Lemma 02H9를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)가 형식적으로 에탈인 사상이라고 하자. 임의의 가환인 실선 도식 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 이 주어지고 \(T \subset T'\)이 \(S\) 위의 스킴들의 1차 비후화이면, 도식을 가환으로 만드는 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다. 달리 말해 Definition 02HG에서 \(T\)가 아핀이라는 조건을 버려도 된다.

증명

\(T' = \bigcup T'_i\)를 아핀 열린 덮개라 하고 \(T_i = T \cap T'_i\)로 놓자. 그러면 도식에 들어맞는 사상 \(a'_i : T'_i \to X\)를 얻는다. 유일성에 의해 \(a'_i\)와 \(a'_j\)는 \(T'_i \cap T'_j\)의 임의의 아핀 열린 부분스킴 위에서 일치한다. 따라서 \(a'_i\)와 \(a'_j\)는 \(T'_i \cap T'_j\) 위에서 일치한다. 그러므로 사상들 \(a'_i\)는 전역 사상 \(a' : T' \to X\)로 붙는다. \(a'\)의 유일성은 Lemma 04F1에서 보았다.

보조정리

형식적으로 에탈인 사상들의 합성은 형식적으로 에탈이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

형식적으로 에탈인 사상의 밑변환은 형식적으로 에탈이다.

증명

이는 형식적이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)인 열린 부분스킴들이라 하자. \(f\)가 형식적으로 에탈이면 \(f|_U : U \to V\)도 형식적으로 에탈이다.

증명

Definition 02HG에서와 같은 실선 도식 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. \(f\)가 형식적으로 분기이면 \(a'|_T = a\)를 만족하는 \(S\)-사상 \(a' : T' \to X\)가 정확히 하나 존재한다.

\(|T'| = |T|\)이므로 \(a'(T') \subset U\)라고 결론짓고, 이로써 \(T'\)에서 \(U\)로 가는 유일한 사상을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 에탈이다.

2. \(f\)는 형식적으로 비분기이고 \(S\) 위의 \(X\)의 보편 1차 비후화는 \(X\)와 같다.

3. \(f\)는 형식적으로 비분기이고 \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\)이다.

4. \(\Omega_{X/S} = 0\)이고 \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\)이다.

증명

실제로 마지막 주장이 뜻을 갖는 것은 \(\Omega_{X/S} = 0\)으로부터 Lemma 02H9와 Definition 04F4을 통해 \(\mathcal{C}_{X/S}\)가 정의되기 때문이다. 이로부터 (3)과 (4)가 동치임도 명백해진다.

가정 (1), (2), (3) 가운데 어느 것이든 \(f\)가 형식적으로 비분기임을 함의한다. 따라서 \(f\)가 형식적으로 비분기라고 가정할 수 있다.

(1), (2), (3)의 동치는 \(S\) 위의 \(X\)의 보편 1차 비후화 \(X'\)의 보편 성질과 \(X = X' \Leftrightarrow \mathcal{C}_{X/S} = 0\)이라는 사실에서 따른다. 왜냐하면 결국 정의에 의해 \(\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_{X/X'}\)는 \(X'\) 안의 \(X\)의 아이디얼 층이기 때문이다.

보조정리

비분기이고 평탄한 사상은 형식적으로 에탈이다.

증명

\(X \to S\)가 비분기이고 평탄하다고 하자. 그러면 \(\Delta : X \to X \times_S X\)는 열린 몰입이다. Morphisms, Lemma 02GE을 보라. \(\mathcal{C}_{X/S}\)가 영임을 보여야 한다. 두 사영 \(p, q : X \times_S X \to X\)를 생각하자. \(f\)가 형식적으로 비분기이므로(Lemma 02HE 참조), \(q\)는 형식적으로 비분기이다(Lemma 02HB 참조). \(f\)가 평탄하므로 \(p\)는 평탄하다. Morphisms, Lemma 01U9을 보라. 따라서 Lemma 04F9에 의해 \(p^*\mathcal{C}_{X/S} = \mathcal{C}_q\)이며, 여기서 \(\mathcal{C}_q\)는 형식적으로 비분기인 사상 \(q : X \times_S X \to X\)의 conormal 층을 나타낸다. 그런데 \(\Delta(X) \subset X \times_S X\)는 \(q\)에 의해 \(X\)로 동형사상되는 열린 부분스킴이다. 따라서 Lemma 04FA에 의해 \(\mathcal{C}_q|_{\Delta(X)} = \mathcal{C}_{X/X} = 0\)이다. 달리 말해 항등사상에 의한 \(\mathcal{C}_{X/S}\)의 \(X\)로의 역상은 영이다. 즉 \(\mathcal{C}_{X/S} = 0\)이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 \(f\)가 형식적으로 에탈일 필요충분조건은 환 사상 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\)가 형식적으로 에탈인 것이다.

증명

환의 범주와 아핀 스킴의 범주 사이의 동치에 의해 정의들(Definition 02HG 및 Algebra, Definition 00UQ)에서 즉시 따른다. Schemes, Lemma 01I2를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 에탈이다.

2. 모든 \(x \in X\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이고 \(f|_U : U \to V\)가 형식적으로 에탈인 열린집합 \(x \in U \subset X\)와 \(f(x) \in V \subset Y\)가 존재한다.

3. \(f(U) \subset V\)인 모든 아핀 열린집합 쌍 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)에 대해 환 사상 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 형식적으로 에탈이다.

4. 아핀 열린 덮개 \(Y = \bigcup V_j\)가 존재하고, 각 \(j\)에 대해 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\)가 존재하여 모든 \(j\)와 \(i\)에 대해 환 사상 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 형식적으로 에탈이다.

증명

Lemmas 02HK와 02HL를 결합하면 (1) \(\Rightarrow\) (3)을 얻는다. (3) \(\Rightarrow\) (4)는 즉시 따른다. Lemma 02HL에 의해 (4) \(\Rightarrow\) (2)이다. (2)가 성립하면 Lemma 04FE에 의해 모든 점의 근방에서 \(\Omega_{X/S}\)와 \(\mathcal{C}_{X/S}\)가 소멸하고(여기서는 Morphisms, Lemma 01US과 Lemma 04FA도 사용한다), 다시 Lemma 04FE에 의해 \(f\)가 형식적으로 비분기임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 에탈이다.

2. 사상 \(f\)는 국소 유한표현이고 형식적으로 에탈이다.

증명

\(f\)가 에탈이라고 가정하자. 에탈 사상은 국소 유한표현이고 평탄하며 비분기이다. Morphisms, Section 02GH을 보라. 따라서 \(f\)는 국소 유한표현이고 형식적으로 에탈이다. Lemma 04FF를 보라.

거꾸로 \(f\)가 국소 유한표현이고 형식적으로 에탈이라고 가정하자. 에탈인 것은 \(X\)와 \(S\) 위의 Zariski 위상에서 국소적이다. Morphisms, Lemma 02GJ를 보라. Lemma 02HK에 의해 \(X\)를 다음과 같은 아핀 열린집합 \(U\)들로 덮을 수 있다. 각 열린집합은 어떤 아핀 열린집합 \(V\)로 가고, \(U \to V\)는 형식적으로 에탈이다(또한 유한표현이다. Morphisms, Lemma 01TQ 참조). Lemma 02HL에 의해 환 사상 \(\mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U)\)는 형식적으로 에탈이다(또한 유한표현이다). Algebra, Lemma 00UR에 의해 결론을 얻는다. (형식적으로 매끄러운 사상을 논의할 때 이 함의의 다른 증명을 제시할 것이다.)

사상의 무한소 변형

이 절에서는 미분을 사용하여 사상을 무한소적으로 움직이는 방법을 설명한다. 이 절 전체에서 \(X\)의 비후화 \(X'\) 위의 층을 \(X\) 위의 층으로 볼 수 있다는 사실을 사용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)와 \(Y \subset Y'\)를 \(S\) 위의 두 1차 비후화라 하자. \((a, a'), (b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(S\) 위의 비후화의 두 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(a = b\)이고,

2. 두 사상 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) (Morphisms, Lemma 01R4)가 같다.

그러면 사상 \((a')^\sharp - (b')^\sharp\)는 다음과 같이 인수분해된다. \[\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_Y \xrightarrow{D} a_*\mathcal{C}_{X/X'} \to a_*\mathcal{O}_{X'}\] 여기서 \(D\)는 \(\mathcal{O}_S\)-미분이다.

증명

\(Y\) 위에서 작업하는 대신 \(X\) 위에서 작업한다. 그러면 당김 함자 \(a^{-1}\)가 완전하다는 이점이 있다. (1)과 (2)를 사용하면 각 행이 완전한 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{C}_{X/X'} \ar[r] & \mathcal{O}_{X'} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & a^{-1}\mathcal{C}_{Y/Y'} \ar[r] \ar[u] & a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \ar[r] \ar@<1ex>[u]^{(a')^\sharp} \ar@<-1ex>[u]_{(b')^\sharp} & a^{-1}\mathcal{O}_Y \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 이제 이러한 상황에서 \(\mathcal{O}_S\)-대수 사상 \((a')^\sharp\)와 \((b')^\sharp\)의 차는 \(a^{-1}\mathcal{O}_Y\)에서 \(\mathcal{C}_{X/X'}\)로 가는 \(\mathcal{O}_S\)-미분이라는 일반적인 사실이 있다. 함자 \(a^{-1}\)와 \(a_*\)의 수반성에 의해 이는 \(\mathcal{O}_Y\)에서 \(a_*\mathcal{C}_{X/X'}\)로 가는 \(\mathcal{O}_S\)-미분과 같은 것이다. 일부 세부사항은 생략한다.

위 보조정리의 상황에서 \(D\)를 다음과 같이 쓸 수 있음에 유의하자. [04BV]\[\begin{equation} D = \text{d}_{Y/S} \circ \theta \end{equation}\] 여기서 \(\theta\)는 \(\mathcal{O}_Y\)-선형 사상 \(\theta : \Omega_{Y/S} \to a_*\mathcal{C}_{X/X'}\)이다. 물론 다시 수반성을 사용하면 \(\theta\)를 \(\mathcal{O}_X\)-선형 사상 \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)로 볼 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((a, a') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)를 \(S\) 위의 1차 비후화의 사상이라 하자. \[\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\] 를 \(\mathcal{O}_X\)-선형 사상이라 하자. 그러면 Lemma 04FG의 (1)과 (2)를 만족하고 미분 \(D\)와 \(\theta\)가 Equation (04BV)로 관계되는 쌍의 사상 \((b, b') : (X \subset X') \to (Y \subset Y')\)가 유일하게 존재한다.

증명

\(b = a\)로 두고 \((b')^\sharp\)를 다음 사상으로 정의하면 된다. \[(a')^\sharp + D : a^{-1}\mathcal{O}_{Y'} \to \mathcal{O}_{X'}\] 여기서 \(D\)는 Equation (04BV)의 미분이다. \((b')^\sharp\)가 \(\mathcal{O}_S\)-대수 층의 사상이고 Lemma 04FG의 (1)과 (2)가 성립한다는 확인은 생략한다. Equation (04BV)는 구성에 의해 성립한다.

주

가정과 표기는 Lemma 02H5와 같다고 하자. 국소 단면 \(\theta\)의 \(a'\)에 대한 작용을 때때로 \(\theta \cdot a'\)로 나타낸다. 이는 \((a')^\sharp\)와 \((\theta \cdot a')^\sharp\)의 차가 Equation (04BV)에 의해 \(\theta\)와 관계되는 미분 \(D\)라는 뜻일 뿐이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)와 \(Y \subset Y'\)를 \(S\) 위의 1차 비후화라 하자. 사상 \(a : X \to Y\)와 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)가 주어졌다고 하자. 열린 부분스킴 \(U' \subset X'\)에 대하여 다음을 만족하는 사상 \(a' : U' \to Y'\)를 생각하자.

1. \(a'\)는 \(S\) 위의 사상이고,

2. \(a'|_U = a|_U\)이며,

3. 유도된 사상 \(a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}|_U \to \mathcal{C}_{X/X'}|_U\) 는 \(A\)를 \(U\)에 제한한 것이다.

여기서 \(U = X \cap U'\)이다. 그러면 규칙 [04FI]\[\begin{equation} U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{이며 (1), (2), (3)을 만족하는 것}\} \end{equation}\] 은 \(X'\) 위의 집합의 층을 정의한다.

증명

보조정리의 규칙을 \(\mathcal{F}\)라 하자. \(V' \subset U' \subset X'\)에 대한 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상 \(\mathcal{F}(U') \to \mathcal{F}(V')\)는 바로 제한 사상 \(a' \mapsto a'|_{V'}\)이다. 사상은 국소적으로 정의되므로 이 정의 아래 \(\mathcal{F}\)가 층이라는 것은 명백하다.

다음 보조정리에서는 \(X\) 위의 층과 \(X\)의 임의의 비후화 위의 층을 동일시한다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 04FH와 같다고 하자. 층 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\] 은 층 (04FI)에 작용한다. 더욱이 층 (04FI)가 단면을 갖는 임의의 열린 부분스킴 \(U' \subset X'\) 위에서 이 작용은 단순추이적이다.

증명

이는 Lemmas 04FG, 02H5, 그리고 04FH를 결합한 것이다.

주

Lemmas 04FG, 02H5, 04FH, 그리고 04FJ의 한 특수한 경우는 \(Y = Y'\)인 경우이다. 이 경우 사상 \(A\)는 항상 영이다. Lemma 04FH의 층은 단순히 다음 규칙으로 주어진다. \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y\text{는 }S\text{ 위이고 } a'|_U = a|_U\text{를 만족한다}\}\] 그리고 층 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/S}, \mathcal{C}_{X/X'})\)가 이에 작용한다.

주

Lemmas 04FG, 02H5, 04FH, 그리고 04FJ의 또 다른 특수한 경우는 \(S\) 자체가 비후화 \(Z \subset Z' = S\)이고 \(Y = Z \times_{Z'} Y'\)인 경우이다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar@{..>}[rr]_{(a, ?)} \ar[rd]_{(g, g')} & & (Y \subset Y') \ar[ld]^{(h, h')} \\ & (Z \subset Z') }\] 이 경우 사상 \(A : a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)는 \(a\)에 의해 결정된다. 실제로 사상 \(h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \mathcal{C}_{Y/Y'}\)는 전사이다 (\(Y = Z \times_{Z'} Y'\)라고 가정했기 때문이다). 따라서 당김 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} = a^*h^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'}\)는 전사이고, 합성 \(g^*\mathcal{C}_{Z/Z'} \to a^*\mathcal{C}_{Y/Y'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\) 은 \(g'\)에 의해 유도되는 표준 사상이어야 한다. 그러므로 Lemma 04FH의 층은 단순히 다음 규칙으로 주어진다. \[U' \mapsto \{a' : U' \to Y'\text{는 }Z'\text{ 위이고 } a'|_U = a|_U\text{를 만족한다}\}\] 그리고 층 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(a^*\Omega_{Y/Z}, \mathcal{C}_{X/X'})\)가 이에 작용한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \subset X'\)를 \(S\) 위의 1차 비후화라 하고, \(Y\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(a = a'|_X = b'|_X\)를 만족하는 \(S\) 위의 두 사상 \(a', b' : X' \to Y\)를 택하자. 이로부터 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_a & X' \ar[d]^{(b', a')} \\ Y \ar[r]^-{\Delta_{Y/S}} & Y \times_S Y }\] 을 얻는다. 가로 화살표들은 각각 conormal 층 \(\mathcal{C}_{X/X'}\)와 \(\Omega_{Y/S}\)를 갖는 몰입이므로, Morphisms, Lemma 01R4에 의해 사상 \(\theta : a^*\Omega_{Y/S} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)를 얻는다. 이 \(\theta\)와 Lemma 04FG의 미분 \(D\)는 Equation (04BV)로 관계된다.

증명

생략한다. 힌트: 이 등식은 아핀 열린 부분스킴 위에서 확인할 수 있으며, 그곳에서는 다음 계산으로부터 따른다. \(f\)가 \(\mathcal{O}_Y\)의 국소 단면이면 \(1 \otimes f - f \otimes 1\)은 \(\text{d}_{Y/S}(f)\)에 대응하는 \(\mathcal{C}_{Y/(Y \times_S Y)}\)의 국소 단면이다. 이는 \(\mathcal{C}_{X/X'}\)의 국소 단면 \((a')^\sharp(f) - (b')^\sharp(f) = D(f)\)로 보내진다. 다시 말해 \(\theta(\text{d}_{Y/S}(f)) = D(f)\)이다.

나중에 사용하기 위해 Lemma 02H5의 구성이 에탈 국소화와 양립함을 대략적으로 말해 주는 결과가 필요하다.

보조정리

다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ X_1 \ar[d] & X_2 \ar[l]^f \ar[d] \\ S_1 & S_2 \ar[l] }\] \(X_2 \to X_1\)과 \(S_2 \to S_1\)은 에탈이라고 하자. 그러면 Morphisms, Lemma 01UV의 사상 \(c_f : f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_2}\)는 동형이다.

증명

에탈 사상 \(U \to V\)는 \(\Omega_{U/V} = 0\)을 만족하는 매끄러운 사상임을 상기하자. 이를 사용하면 Morphisms, Lemma 01UX로부터 \(\Omega_{X_2/S_2} = \Omega_{X_2/S_1}\)을 얻고, Morphisms, Lemma 02K4로부터 사상 \(f^*\Omega_{X_1/S_1} \to \Omega_{X_2/S_1}\)이 동형임을 얻는다 (\(f\)를 \(S_1\) 위의 사상으로 본다). 따라서 보조정리가 따른다.

보조정리

1차 비후화의 가환 그림 \[\vcenter{ \xymatrix{ (T_2 \subset T_2') \ar[d]_{(h, h')} \ar[rr]_{(a_2, a_2')} & & (X_2 \subset X_2') \ar[d]^{(f, f')} \\ (T_1 \subset T_1') \ar[rr]^{(a_1, a_1')} & & (X_1 \subset X_1') } } \quad \begin{matrix} \text{그리고 스킴의} \\ \text{가환 그림} \end{matrix} \quad \vcenter{ \xymatrix{ X_2' \ar[r] \ar[d] & S_2 \ar[d] \\ X_1' \ar[r] & S_1 } }\] 을 생각하고, \(X_2 \to X_1\)과 \(S_2 \to S_1\)은 에탈이라고 하자. 임의의 \(\mathcal{O}_{T_1}\)-선형 사상 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\)에 대해 \(\theta_2\)를 다음 합성으로 정의하자. \[\xymatrix{ a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \ar@{=}[r] & h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \ar[r]^-{h^*\theta_1} & h^*\mathcal{C}_{T_1/T'_1} \ar[r] & \mathcal{C}_{T_2/T'_2} }\] (등호는 증명에서 설명한다). 그러면 그림 \[\xymatrix{ T_2' \ar[rr]_{\theta_2 \cdot a_2'} \ar[d] & & X'_2 \ar[d] \\ T_1' \ar[rr]^{\theta_1 \cdot a_1'} & & X'_1 }\] 은 가환이다. 여기서 작용 \(\theta_2 \cdot a_2'\)와 \(\theta_1 \cdot a_1'\)는 Remark 0CK1의 작용이다.

증명

등호는 Lemma 04BX의 동일시 \(f^*\Omega_{X_1/S_1} = \Omega_{X_2/S_2}\)에서 온다. 즉, 이를 사용하면 \(f \circ a_2 = a_1 \circ h\)이므로 \(a_2^*\Omega_{X_2/S_2} = a_2^*f^*\Omega_{X_1/S_1} = h^*a_1^*\Omega_{X_1/S_1}\)이다. 이를 확인했으므로 그림의 가환성은 아핀 열린 부분스킴 위에서 검사할 수 있다. 따라서 처음의 큰 그림에 나타나는 스킴들이 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 다음 가환 그림들을 얻는다. \[\vcenter{ \xymatrix{ (B'_2, I_2) & & (A'_2, J_2) \ar[ll]^{a_2'} \\ (B'_1, I_1) \ar[u]^{h'} & & (A'_1, J_1) \ar[ll]_{a_1'} \ar[u]_{f'} } } \quad\text{그리고}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A'_2 & & R_2 \ar[ll] \\ A'_1 \ar[u] & & R_1 \ar[ll] \ar[u] } }\] 이 표기는 \(I_1, I_2, J_1, J_2\)가 제곱영 아이디얼이고 쌍의 사상은 아이디얼을 아이디얼로 보내는 환 사상임을 뜻한다. \(A_1 = A'_1/J_1\), \(A_2 = A'_2/J_2\), \(B_1 = B'_1/I_1\), 그리고 \(B_2 = B'_2/I_2\)로 두자. 사상 \[A_2 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \longrightarrow \Omega_{A_2/R_2}\] 이 동형이라고 주어져 있다. 그러면 \(\theta_1 : B_1 \otimes_{A_1} \Omega_{A_1/R_1} \to I_1\)은 \(B_1\)-선형이다. 이로부터 \(R_1\)-미분 \(D_1 = \theta_1 \circ \text{d}_{A_1/R_1} : A_1 \to I_1\)을 얻는다. 마찬가지로 \(\theta_2 : B_2 \otimes_{A_2} \Omega_{A_2/R_2} \to I_2\)로부터 \(R_2\)-미분 \(D_2 = \theta_2 \circ \text{d}_{A_2/R_2} : A_2 \to I_2\)를 얻는다. \(\theta_2\)의 구성은 \(\theta_1\)과 \(\theta_2\) 사이의 다음 양립성을 함의한다. 모든 \(x \in A_1\)에 대해 \[h'(D_1(x)) = D_2(f'(x))\] \(I_2\)의 원소로서 등식이 성립한다. \(D_1\)은 사상

\(A'_1 \to A_1 \xrightarrow{D_1} I_1 \to B_1\)을 사용하여 \(A'_1 \to B'_1\)인 사상으로 볼 수 있고, 마찬가지로 \(D_2\)를 \(A'_2 \to B'_2\)인 사상으로 볼 수 있다. 그러면 위 등식은 \(x \in A'_1\)에 대해 성립한다. Lemma 02H5와 Remark 0CK1에서의 작용의 구성에 의해 \(\theta_1 \cdot a_1'\)는 환 사상 \(a_1' + D_1 : A'_1 \to B'_1\)에 대응하고, \(\theta_2 \cdot a_2'\)는 환 사상 \(a_2' + D_2 : A'_2 \to B'_2\)에 대응한다. 위 등식으로부터 \(h' \circ (a_1' + D_1) = (a_2' + D_2) \circ f'\) 를 얻는다. 이것이 원하는 결과이다.

주

Lemma 04BY는 다음과 같이 개선할 수 있다. Lemma 04BY와 같은 가환 그림들이 있지만 \(X_2 \to X_1\)과 \(S_2 \to S_1\)이 에탈이라고 가정하지는 않자. 다음으로 \(\theta_1 : a_1^*\Omega_{X_1/S_1} \to \mathcal{C}_{T_1/T'_1}\) 과 \(\theta_2 : a_2^*\Omega_{X_2/S_2} \to \mathcal{C}_{T_2/T'_2}\) 가 있어서 \[\xymatrix{ f_*\mathcal{O}_{X_2} \ar[rr]_{f_*D_2} & & f_*a_{2, *}\mathcal{C}_{T_2/T_2'} \\ \mathcal{O}_{X_1} \ar[rr]^{D_1} \ar[u]^{f^\sharp} & & a_{1, *}\mathcal{C}_{T_1/T_1'} \ar[u]_{\text{다음에 의해 유도됨: }(h')^\sharp} }\] 가환이라고 하자. 여기서 \(D_i\)는 Equation (04BV)에서와 같이 \(\theta_i\)에 대응한다. 그러면 Lemma 04BY의 결론이 성립한다. \(X_2 \to X_1\)과 \(S_2 \to S_1\)이 모두 에탈이라는 조건의 중요성은 \(\theta_1\)로부터 \(\theta_2\)를 구성할 수 있게 한다는 데 있다.

스킴의 무한소 변형

다음의 간단한 보조정리는 사상의 무한소 변형이 평탄한지 검사하는 데 흔히 편리한 도구가 된다.

보조정리

\((f, f') : (X \subset X') \to (S \subset S')\)를 1차 비후화의 사상이라 하자. \(f\)가 평탄하다고 가정하자. 그러면 다음은 동치이다.

1. \(f'\)가 평탄하고 \(X = S \times_{S'} X'\)이다.

2. 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{S/S'} \to \mathcal{C}_{X/X'}\)가 동형이다.

증명

문제는 \(X'\) 위에서 국소적이므로 \(X, X', S, S'\)가 아핀 스킴이라고 가정해도 된다. \(S' = \Spec(A')\), \(X' = \Spec(B')\), \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\)라 쓰자. 여기서 어떤 제곱영 아이디얼에 대해 \(A = A'/I\)이고 \(B = B'/J\)이다. 그러면 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & J \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 각 행은 완전하다. 보조정리의 표준 사상은 다음 사상이다. \[I \otimes_A B = I \otimes_{A'} B' \longrightarrow J.\] \(f\)가 평탄하다는 가정은 \(A \to B\)가 평탄하다는 뜻이다.

(1)을 가정하자. 그러면 \(A' \to B'\)는 평탄하고 \(J = IB'\)이다. 평탄성으로부터 \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A) = 0\)을 얻는다 (Algebra, Lemma 00M5 참조). 이는 \(I \otimes_{A'} B' \to B'\)가 단사라는 뜻이다 (Algebra, Remark 00M6 참조). 따라서 \(I \otimes_A B \to J\)는 동형이다.

(2)를 가정하자. 그러면 \(J = IB'\)이고 따라서 \(X = S \times_{S'} X'\)이다. 더욱이 앞 단락의 함의를 거꾸로 적용하면 \(\text{Tor}_1^{A'}(B', A'/I) = 0\)을 얻는다. 그러므로 Algebra, Lemma 051C에 의해 \(B'\)는 \(A'\) 위에서 평탄하다.

다음 보조정리는 “critère de platitude par fibres”의 “멱영” 판이다. Section 039A를 보라.

보조정리

비후화의 가환 그림 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] 을 생각하자. 다음을 가정하자.

1. \(X'\)는 \(S'\) 위에서 평탄하다.

2. \(f\)는 평탄하다.

3. \(S \subset S'\)는 유한 차수 비후화이다.

4. \(X = S \times_{S'} X'\)이고 \(Y = S \times_{S'} Y'\)이다.

그러면 \(f'\)는 평탄하고, \(f'\)의 상에 있는 모든 점에서 \(Y'\)는 \(S'\) 위에서 평탄하다.

증명

Algebra, Lemma 06A5의 직접적인 귀결이다.

스킴의 사상이 갖는 많은 성질은 평탄 변형 아래에서 보존된다.

보조정리

비후화의 가환 그림 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] 을 생각하자. \(S \subset S'\)는 유한 차수 비후화이고, \(X'\)는 \(S'\) 위에서 평탄하며, \(X = S \times_{S'} X'\)이고 \(Y = S \times_{S'} Y'\)라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(f\)가 평탄일 필요충분조건은 \(f'\)가 평탄인 것이다. [06AH]

2. \(f\)가 동형일 필요충분조건은 \(f'\)가 동형인 것이다. [06AI]

3. \(f\)가 열린 몰입일 필요충분조건은 \(f'\)가 열린 몰입인 것이다. [06AJ]

4. \(f\)가 준콤팩트일 필요충분조건은 \(f'\)가 준콤팩트인 것이다. [06AK]

5. \(f\)가 보편적으로 닫혔을 필요충분조건은 \(f'\)가 보편적으로 닫힌 것이다. [06AL]

6. \(f\)가 (준)분리일 필요충분조건은 \(f'\)가 (준)분리인 것이다. [06AM]

7. \(f\)가 모노사상일 필요충분조건은 \(f'\)가 모노사상인 것이다. [06AN]

8. \(f\)가 전사일 필요충분조건은 \(f'\)가 전사인 것이다. [06AP]

9. \(f\)가 보편 단사일 필요충분조건은 \(f'\)가 보편 단사인 것이다. [06AQ]

10. \(f\)가 아핀일 필요충분조건은 \(f'\)가 아핀인 것이다. [06AR]

11. \(f\)가 국소 유한형일 필요충분조건은 \(f'\)가 국소 유한형인 것이다.

12. \(f\)가 국소 준유한일 필요충분조건은 \(f'\)가 국소 준유한인 것이다. [06AT]

13. \(f\)가 국소 유한표현일 필요충분조건은 \(f'\)가 국소 유한표현인 것이다.

14. \(f\)가 상대차원 \(d\)인 국소 유한형일 필요충분조건은 \(f'\)가 상대차원 \(d\)인 국소 유한형인 것이다.

15. \(f\)가 보편적으로 열렸을 필요충분조건은 \(f'\)가 보편적으로 열린 것이다. [06AW]

16. \(f\)가 신토믹일 필요충분조건은 \(f'\)가 신토믹인 것이다. [06AX]

17. \(f\)가 매끄러울 필요충분조건은 \(f'\)가 매끄러운 것이다. [06AY]

18. \(f\)가 비분기일 필요충분조건은 \(f'\)가 비분기인 것이다. [06AZ]

19. \(f\)가 에탈일 필요충분조건은 \(f'\)가 에탈인 것이다. [06B0]

20. \(f\)가 고유일 필요충분조건은 \(f'\)가 고유인 것이다. [06B1]

21. \(f\)가 정수일 필요충분조건은 \(f'\)가 정수인 것이다. [06B2]

22. \(f\)가 유한일 필요충분조건은 \(f'\)가 유한인 것이다. [06B3]

23. \(f\)가 (계수 \(d\)의) 유한 국소 자유일 필요충분조건은 \(f'\)가 (계수 \(d\)의) 유한 국소 자유인 것이고,

24. 여기에 더 추가할 것.

증명

\(X\)와 \(Y\)에 대한 가정은 \(f\)가 \(X \to X'\)에 의한 \(f'\)의 밑변환이라는 뜻이다. 위 (1) – (23)에 열거한 성질 \(\mathcal{P}\)는 모두 밑변환 아래에서 안정적이므로, \(f'\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(f\)도 그 성질을 갖는다. 다음을 보라. Schemes, Lemmas 01JY, 01K5, 01KU, 그리고 02YC 그리고 Morphisms, Lemmas 01S1, 0472, 01SD, 01T4, 01TM, 01TS, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL, 그리고 02KD.

따라서 각 경우에 흥미로운 방향은 \(f\)가 그 성질을 갖는다고 가정하고 \(f'\)도 그 성질을 가짐을 보이는 방향이다. 비후화의 차수에 관한 귀납법으로 \(S \subset S'\)가 1차 비후화라고 가정해도 된다. Definition 04EX 바로 뒤의 논의를 보라. 아래의 논증에서 더 언급하지 않고 사용할 몇 가지 일반적인 주의를 먼저 둔다. (I) \(W' \subset S'\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하고, \(U' \subset X'\)와 \(V' \subset Y'\)를 \(W'\) 위에 놓인 아핀 열린 부분스킴으로서 \(f'(U') \subset V'\)를 만족한다고 하자. \(W' = \Spec(R')\)라 하고,

\(I \subset R'\)를 닫힌 부분스킴 \(W' \cap S\)를 정의하는 아이디얼이라 하자. \(U' = \Spec(B')\)와 \(V' = \Spec(A')\)라 쓰자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 얻고 각 행은 완전하다. 또한 \(IB' \cong I \otimes_R B\)이다. Lemma 063Y의 증명을 보라. (II) 사상 \(X \to X'\)와 \(Y \to Y'\)는 보편 위상동형이다. 따라서 임의의 밑변환 뒤에도 사상 \(f\)와 \(f'\)의 위상은 동일하다. (III) \(f\)가 평탄하면 \(f'\)도 평탄하고, \(f'\)의 상에 있는 모든 점에서 \(Y' \to S'\)가 평탄하다. Lemma 06AF를 보라.

(06AH)에 관하여. 이는 일반 주의 (III)이다.

(06AI)에 관하여. \(f\)가 동형이라고 가정하자. (III)에 의해 \(Y' \to S'\)는 평탄하다. 아핀 열린 부분스킴 \(V' \subset Y'\)를 택하고 \(U' = (f')^{-1}(V')\)로 두자. 그러면 \(V = Y \cap V'\)는 아핀이고, 따라서 \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\)도 아핀이다. Lemma 06AD에 의해 \(U'\)는 아핀이다. 그러므로 일반 주의 (I)의 그림을 얻으며, \(R' \to A'\)가 평탄하므로 또한 \(IA \cong I \otimes_R A\)이다. 이제 \(IB' \cong I \otimes_R B \cong I \otimes_R A \cong IA'\) 이고 \(A \cong B\)이다. 위 그림의 각 행이 완전하므로 \(A' \cong B'\), 즉 \(U' \cong V'\)임을 알 수 있다. 따라서 \(f'\)는 동형이다.

(06AJ)에 관하여. \(f\)가 열린 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 \(X\)와 어떤 열린 부분스킴 \(V \subset Y\) 사이의 동형이다. \(V' \subset Y'\)를 바탕 위상공간이 \(V\)인 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 \(f'\)는 \(X'\)에서 \(V'\)로 가는 사상이고 (06AI)에 의해 동형이다. 따라서 \(f'\)는 열린 몰입이다.

(06AK)에 관하여. 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06AL)에 관하여. 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06AM)에 관하여. 다음에 유의하자. \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\)이므로 \(X' \times_{Y'} X'\)는 \(X \times_Y X\)의 비후화이다. 따라서 사상 \(\Delta_{X/Y}\)와 \(\Delta_{X'/Y'}\)의 위상이 일치하므로 결론을 얻는다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06AN)에 관하여. \(f\)가 모노사상이라고 가정하자. 대각 사상 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)를 생각하자. \(S \to S'\)에 의한 \(\Delta_{X'/Y'}\)의 밑변환은 \(\Delta_{X/Y}\)이고, 이는 가정에 의해 동형이다. (06AI)에 의해 \(\Delta_{X'/Y'}\)도 동형이다.

(06AP)에 관하여. 이는 명백하다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06AQ)에 관하여. 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06AR)에 관하여. \(f\)가 아핀이라고 가정하자. 아핀 열린 부분스킴 \(V' \subset Y'\)를 택하고 \(U' = (f')^{-1}(V')\)로 두자. 그러면 \(V = Y \cap V'\)가 아핀이므로 \(U = Y \times_{Y'} U'\)도 아핀이다. Lemma 06AD에 의해 \(U'\)는 아핀이다. 따라서 \(f'\)는 아핀이다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06AS)에 관하여. 주의 (I)에 의해 \(A \to B\)가 유한형일 때 \(A' \to B'\)도 유한형임을 보이는 문제로 귀착된다. \(x_1, \ldots, x_n \in B'\)의 \(B\)에서의 상들이 \(B\)를 \(A\)-대수로서 생성한다고 하자. 그러면

\(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\)는 전사이다. 실제로 \(A'[x_1, \ldots, x_n] \to B\)와 \(I \otimes_R A[x_1, \ldots, x_n] \to I \otimes_R B\)가 모두 전사이기 때문이다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZW도 보라.

(06AT)에 관하여. (06AS) 및 유한형 사상의 준유한성은 올 위에서 검사할 수 있다는 사실로부터 따른다. Morphisms, Lemma 01TH를 보라. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZW도 보라.

(06AU)에 관하여. 주의 (I)에 의해 \(A \to B\)가 유한표현일 때 \(A' \to B'\)도 유한표현임을 보이는 문제로 귀착된다. (06AS)에 의해 어떤 아이디얼 \(K'\)에 대해 \(B' = A'[x_1, \ldots, x_n]/K'\)라고 가정해도 된다. 짧은 완전열 \[0 \to K' \to A'[x_1, \ldots, x_n] \to B' \to 0\] 을 얻는다. \(B'\)가 \(R'\) 위에서 평탄하므로 \(K' \otimes_{R'} R\)은 전사 \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)의 핵이다. \(A \to B\)에 대한 가정에 의해 \(A[x_1, \ldots, x_n]\)에서의 상들이 이 핵을 생성하는 유한 개의 원소 \(f'_1, \ldots, f'_m \in K'\)가 존재한다. \(I\)가 멱영이므로 Nakayama의 보조정리에 의해 \(f'_1, \ldots, f'_m\)이 \(K'\)를 생성한다. Algebra, Lemma 00DV를 보라.

(06AV)에 관하여. (06AS)와 일반 주의 (II)로부터 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZW도 보라.

(06AW)에 관하여. 일반 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06AX)에 관하여. \(f\)가 신토믹이라고 가정하자. (06AU)에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이고, 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하며, \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01UF에 의해 \(f'\)는 신토믹이다.

(06AY)에 관하여. \(f\)가 매끄럽다고 가정하자. (06AU)에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이고, 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하며, \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01V8에 의해 \(f'\)는 매끄럽다.

(06AZ)에 관하여. \(f\)가 비분기라고 가정하자. (06AS)에 의해 \(f'\)는 국소 유한형이고 \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02G8에 의해 \(f'\)는 비분기이다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZW도 보라.

(06B0)에 관하여. \(f\)가 에탈이라고 가정하자. (06AU)에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이고, 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하며, \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02GM에 의해 \(f'\)는 에탈이다.

(06B1)에 관하여. (06AM), (06AS), (06AK), 그리고 (06AL)를 결합하면 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZW도 보라.

(06B2)에 관하여. (06AL)와 (06AR)를 Morphisms, Lemma 01WM와 결합한다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(06B3)에 관하여. (06B2)과 (06AS)를 Morphisms, Lemma 01WJ과 결합한다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZW도 보라.

(06B4)에 관하여. \(f\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. (06B3)에 의해 \(f'\)는 유한이고, 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하며, (06AU)에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02KB에 의해 \(f'\)는 유한 국소 자유이다.

다음 보조정리는 “critère de platitude par fibres”의 “국소 멱영” 판이다. Section 039A를 보라.

보조정리

비후화의 가환 그림 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] 을 생각하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y' \to S'\)는 국소 유한형이다.

2. \(X' \to S'\)는 평탄하고 국소 유한표현이다.

3. \(f\)는 평탄하다.

4. \(X = S \times_{S'} X'\)이고 \(Y = S \times_{S'} Y'\)이다.

그러면 \(f'\)는 평탄하고, \(f'\)의 상에 있는 모든 \(y' \in Y'\)에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_{Y', y'}\)는 \(\mathcal{O}_{S', s'}\) 위에서 평탄하고 본질적으로 유한표현이다.

증명

Algebra, Lemma 0CEL의 직접적인 귀결이다.

스킴의 사상이 갖는 많은 성질은 위 보조정리와 같은 평탄 변형 아래에서 보존된다.

보조정리

비후화의 가환 그림 \[\xymatrix{ (X \subset X') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (Y \subset Y') \ar[ld] \\ & (S \subset S') }\] 을 생각하자. \(Y' \to S'\)는 국소 유한형이고, \(X' \to S'\)는 평탄하고 국소 유한표현이며, \(X = S \times_{S'} X'\)이고 \(Y = S \times_{S'} Y'\)라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(f\)가 평탄일 필요충분조건은 \(f'\)가 평탄인 것이다. [0CF5]

2. \(f\)가 동형일 필요충분조건은 \(f'\)가 동형인 것이다. [0CF6]

3. \(f\)가 열린 몰입일 필요충분조건은 \(f'\)가 열린 몰입인 것이다. [0CF7]

4. \(f\)가 준콤팩트일 필요충분조건은 \(f'\)가 준콤팩트인 것이다. [0CF8]

5. \(f\)가 보편적으로 닫혔을 필요충분조건은 \(f'\)가 보편적으로 닫힌 것이다. [0CF9]

6. \(f\)가 (준)분리일 필요충분조건은 \(f'\)가 (준)분리인 것이다. [0CFA]

7. \(f\)가 모노사상일 필요충분조건은 \(f'\)가 모노사상인 것이다. [0CFB]

8. \(f\)가 전사일 필요충분조건은 \(f'\)가 전사인 것이다. [0CFC]

9. \(f\)가 보편 단사일 필요충분조건은 \(f'\)가 보편 단사인 것이다. [0CFD]

10. \(f\)가 아핀일 필요충분조건은 \(f'\)가 아핀인 것이다. [0CFE]

11. \(f\)가 국소 준유한일 필요충분조건은 \(f'\)가 국소 준유한인 것이다. [0CFF]

12. \(f\)가 상대차원 \(d\)인 국소 유한형일 필요충분조건은 \(f'\)가 상대차원 \(d\)인 국소 유한형인 것이다.

13. \(f\)가 보편적으로 열렸을 필요충분조건은 \(f'\)가 보편적으로 열린 것이다. [0CFH]

14. \(f\)가 신토믹일 필요충분조건은 \(f'\)가 신토믹인 것이다. [0CFI]

15. \(f\)가 매끄러울 필요충분조건은 \(f'\)가 매끄러운 것이다. [0CFJ]

16. \(f\)가 비분기일 필요충분조건은 \(f'\)가 비분기인 것이다. [0CFK]

17. \(f\)가 에탈일 필요충분조건은 \(f'\)가 에탈인 것이다. [0CFL]

18. \(f\)가 고유일 필요충분조건은 \(f'\)가 고유인 것이다. [0CFM]

19. \(f\)가 유한일 필요충분조건은 \(f'\)가 유한인 것이다. [0CFN]

20. \(f\)가 (계수 \(d\)의) 유한 국소 자유일 필요충분조건은 \(f'\)가 (계수 \(d\)의) 유한 국소 자유인 것이고,

21. 여기에 더 추가할 것.

증명

\(X\)와 \(Y\)에 대한 가정은 \(f\)가 \(X \to X'\)에 의한 \(f'\)의 밑변환이라는 뜻이다. 위 (1) – (20)에 열거한 성질 \(\mathcal{P}\)는 모두 밑변환 아래에서 안정적이므로, \(f'\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지면 \(f\)도 그 성질을 갖는다. 다음을 보라. Schemes, Lemmas 01JY, 01K5, 01KU, 그리고 02YC 그리고 Morphisms, Lemmas 01S1, 0472, 01SD, 01TM, 02NK, 01UI, 01VB, 02GA, 02GO, 01W4, 01WL, 그리고 02KD.

따라서 각 경우에 흥미로운 방향은 \(f\)가 그 성질을 갖는다고 가정하고 \(f'\)도 그 성질을 가짐을 보이는 방향이다. 아래의 논증에서 더 언급하지 않고 사용할 몇 가지 일반적인 주의를 먼저 둔다. (I) \(W' \subset S'\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하고, \(U' \subset X'\)와 \(V' \subset Y'\)를 \(W'\) 위에 놓인 아핀 열린 부분스킴으로서 \(f'(U') \subset V'\)를 만족한다고 하자. \(W' = \Spec(R')\)라 하고,

\(I \subset R'\)를 닫힌 부분스킴 \(W' \cap S\)를 정의하는 아이디얼이라 하자. \(U' = \Spec(B')\)와 \(V' = \Spec(A')\)라 쓰자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & IB' \ar[r] & B' \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & IA' \ar[r] \ar[u] & A' \ar[r] \ar[u] & A \ar[r] \ar[u] & 0 }\] 을 얻고 각 행은 완전하다. (II) 사상 \(X \to X'\)와 \(Y \to Y'\)는 보편 위상동형이다. 따라서 임의의 밑변환 뒤에도 사상 \(f\)와 \(f'\)의 위상은 동일하다. (III) \(f\)가 평탄하면 \(f'\)도 평탄하고, \(f'\)의 상에 있는 모든 점에서 \(Y' \to S'\)가 평탄하다. 다음을 보라.

Lemma 06AF.

(0CF5)에 관하여. 이는 일반 주의 (III)이다.

(0CF6)에 관하여. \(f\)가 동형이라고 가정하자. 아핀 열린 부분스킴 \(V' \subset Y'\)를 택하고 \(U' = (f')^{-1}(V')\)로 두자. 그러면 \(V = Y \cap V'\)가 아핀이므로 \(V \cong f^{-1}(V) = U = Y \times_{Y'} U'\)도 아핀이다. Lemma 06AD에 의해 \(U'\)는 아핀이다. 따라서 일반 주의 (I)의 그림을 얻는다. Algebra, Lemma 07RE에 의해 \(A' \to B'\)는 동형, 즉 \(U' \cong V'\)이다. 따라서 \(f'\)는 동형이다.

(0CF7)에 관하여. \(f\)가 열린 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(f\)는 \(X\)와 어떤 열린 부분스킴 \(V \subset Y\) 사이의 동형이다. \(V' \subset Y'\)를 바탕 위상공간이 \(V\)인 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 \(f'\)는 \(X'\)에서 \(V'\)로 가는 사상이고 (0CF6)에 의해 동형이다. 따라서 \(f'\)는 열린 몰입이다.

(0CF8)에 관하여. 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(0CF9)에 관하여. 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(0CFA)에 관하여. 다음에 유의하자. \(X \times_Y X = Y \times_{Y'} (X' \times_{Y'} X')\)이므로 \(X' \times_{Y'} X'\)는 \(X \times_Y X\)의 비후화이다. 따라서 사상 \(\Delta_{X/Y}\)와 \(\Delta_{X'/Y'}\)의 위상이 일치하므로 결론을 얻는다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(0CFB)에 관하여. \(f\)가 모노사상이라고 가정하자. 대각 사상 \(\Delta_{X'/Y'} : X' \to X' \times_{Y'} X'\)를 생각하자. \(X' \times_{Y'} X' \to S'\)는 국소 유한형임에 유의하자. \(S \to S'\)에 의한 \(\Delta_{X'/Y'}\)의 밑변환은 \(\Delta_{X/Y}\)이고, 이는 가정에 의해 동형이다. (0CF6)에 의해 \(\Delta_{X'/Y'}\)도 동형이다.

(0CFC)에 관하여. 이는 명백하다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(0CFD)에 관하여. 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(0CFE)에 관하여. \(f\)가 아핀이라고 가정하자. 아핀 열린 부분스킴 \(V' \subset Y'\)를 택하고 \(U' = (f')^{-1}(V')\)로 두자. 그러면 \(V = Y \cap V'\)가 아핀이므로 \(U = Y \times_{Y'} U'\)도 아핀이다. Lemma 06AD에 의해 \(U'\)는 아핀이다. 따라서 \(f'\)는 아핀이다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(0CFF)에 관하여. Morphisms, Lemma 01T8에 의해 \(f'\)가 국소 유한형이라는 사실과, 유한형 사상의 준유한성은 올 위에서 검사할 수 있다는 사실로부터 따른다. Morphisms, Lemma 01TH를 보라.

(0CFG)에 관하여. 일반 주의 (II)와 \(f'\)가 국소 유한형이라는 사실(Morphisms, Lemma 01T8)로부터 따른다.

(0CFH)에 관하여. 일반 주의 (II)에서 바로 따른다. 더 일반적인 명제는 Lemma 09ZV도 보라.

(0CFI)에 관하여. \(f\)가 신토믹이라고 가정하자. Morphisms, Lemma 02FV에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이다. 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하다. \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01UF에 의해 \(f'\)는 신토믹이다.

(0CFJ)에 관하여. \(f\)가 매끄럽다고 가정하자. Morphisms, Lemma 02FV에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이다. 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하다. \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01V8에 의해 \(f'\)는 매끄럽다.

(0CFK)에 관하여. \(f\)가 비분기라고 가정하자. Morphisms, Lemma 01T8에 의해 \(f'\)는 국소 유한형이다. \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02G8에 의해 \(f'\)는 비분기이다.

(0CFL)에 관하여. \(f\)가 에탈이라고 가정하자. Morphisms, Lemma 02FV에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이다. 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하다. \(f'\)의 올들은 \(f\)의 올들이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02GM에 의해 \(f'\)는 에탈이다.

(0CFM)에 관하여. (0CFA), \(f\)가 국소 유한형이라는 사실 (Morphisms, Lemma 01T8), (0CF8), 그리고 (0CF9)를 결합하면 따른다.

(0CFN)에 관하여. (0CF9), (0CFE), Morphisms, Lemma 01WM, \(f\)가 국소 유한형이라는 사실(Morphisms, Lemma 01T8), 그리고 Morphisms, Lemma 01WJ을 결합한다.

(0CFP)에 관하여. \(f\)가 유한 국소 자유라고 가정하자. (0CFN)에 의해 \(f'\)는 유한이다. 일반 주의 (III)에 의해 \(f'\)는 평탄하다. Morphisms, Lemma 02FV에 의해 \(f'\)는 국소 유한표현이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02KB에 의해 \(f'\)는 유한 국소 자유이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 고유이고 평탄하며 유한표현인 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)이 \(f\)-풍부라고 하자. \(S\)가 준콤팩트라고 가정하자. 다음을 만족하는 \(d_0 \geq 0\)이 존재한다. 모든 데카르트 그림 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r]_{i'} \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ S \ar[r]^i & S' } } \quad\text{그리고}\quad \begin{matrix} \text{가역 }\mathcal{O}_{X'}\text{-가군}\\ \mathcal{L}'\text{이며 }\mathcal{L} \cong (i')^*\mathcal{L}' \end{matrix}\] 에 대해, 여기서 \(S \subset S'\)는 비후화이고 \(f'\)는 고유이고 평탄하며 유한표현이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(R^p(f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\) 는 모든 \(p > 0\)과 \(d \geq d_0\)에 대해 성립한다.

2. \(\mathcal{A}'_d = (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) 는 \(d \geq d_0\)에 대해 유한 국소 자유이다.

3. \(\mathcal{A}' = \mathcal{O}_{S'} \oplus \bigoplus_{d \geq d_0} \mathcal{A}'_d\) 는 유한표현인 준연접 \(\mathcal{O}_{S'}\)-대수이다.

4. 표준 동형 \(r' : X' \to \underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')\)이 존재한다.

5. 표준 동형 \(\theta' : (r')^*\mathcal{O}_{\underline{\text{Proj}}_{S'}(\mathcal{A}')}(1) \to \mathcal{L}'\)이 존재한다.

\(\mathcal{A}'\), \(r'\), \(\theta'\)의 구성은 자료 \((X', S', i, i', f', \mathcal{L}')\)에 관하여 함자적이다.

증명

먼저 사상 \(r'\)와 \(\theta'\)를 설명한다. \(\mathcal{L}'\)은 \(f'\)-풍부임에 유의하자. Lemma 0D2R를 보라. 준연접 등급 \(\mathcal{O}_{S'}\)-대수의 표준 사상 \(\mathcal{A}' \to \bigoplus_{d \geq 0} (f')_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\) 이 존재하며 차수 \(\geq d_0\)에서는 동형이다. 따라서 이는 구조층의 Serre 꼬임과 양립하는 상대 Proj 위의 동형을 유도한다. Constructions, Lemma 07ZJ를 보라. 그러므로 Morphisms, Lemma 01VJ에 의해 사상 \(r'\)를 얻고 (이 보조정리는 다시 Constructions, Lemma 01O9의 구성을 사용한다), Morphisms, Lemma 0C6J에 의해 이는 동형이다. 사상 \(\theta'\)는 Constructions, Lemma 01O9에서 얻는다. Properties, Lemma 01QI에 의해 \(\theta'\)가 동형임을 알 수 있다(여기서는 \(S'\)의 아핀 열린 부분스킴 위의 사상 \(r'\)가 Properties, Lemma 01PZ의 사상과 같다는 사실도 사용한다. 이는 Morphisms, Lemma 0C6J의 증명에서 설명되어 있다).

(1)과 (2)에 서술된 소멸과 국소 자유성을 가정하면, 구성의 함자성은 다음과 같이 볼 수 있다. \(h : T \to S'\)가 스킴의 사상이라고 하자. \(f'\)의 밑변환을 \(f_T : X'_T \to T\)라 하고,

\(\mathcal{L}\)의 \(X'_T\)로의 당김을 \(\mathcal{L}_T\)라 하자. 코호몰로지와 밑변환에 의해(예를 들어 Derived Categories of Schemes, Lemma 08IB의 정식화를 사용하면) \(T\) 위에서도 대응하는 소멸이 성립하고, 더욱이 \(h^*\mathcal{A}'_d = f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d}\) 이다(따라서 밀어앞선 것들의 국소 자유성과 대응하는 등급 \(\mathcal{O}_T\)-대수 \(\mathcal{A}_T\)의 유한 생성성도 성립한다). 그러므로 사상

\(r_T : X_T \to \underline{\text{Proj}}_T(\bigoplus f_{T, *}\mathcal{L}_T^{\otimes d})\) 은 단순히 \(r'\)의 \(T\)로의 밑변환이고, \(\theta'\)의 당김은 사상 \(\theta_T\)이다.

이상을 모두 확인했으므로 (1), (2), (3)을 증명하면 충분하다. \(R^pf_*\mathcal{L}^{\otimes d} = 0\)을 모든 \(d \geq d_0\)과 \(p > 0\)에 대해 만족하는 \(d_0\)를 택하자. Cohomology of Schemes, Lemma 0B5T를 보라. 이 \(d_0\)가 원하는 것이라고 주장한다.

코호몰로지와 밑변환(Derived Categories of Schemes, Lemma 0B91)에 의해 \(E'_d = Rf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d}\)는 \(D(\mathcal{O}_{S'})\)의 완전 대상이고 그 구성은 임의의 밑변환과 가환한다. 특히 \(E_d = Li^*E'_d = Rf_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)이다. Derived Categories of Schemes, Lemma 0D4E에 의해 \(d \geq d_0\)일 때 복합체 \(E_d\)는 코호몰로지 차수 \(0\)에 놓인 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-가군 \(f_*\mathcal{L}^{\otimes d}\)와 동형이다. 그러면 Derived Categories of Schemes, Lemma 0BDK에 의해 \(E'_d\)는 코호몰로지 차수 \(0\)에 놓인 유한 국소 자유 가군과 동형이다. 물론 이는 \(E'_d = \mathcal{A}'_d[0]\)이고, \(R^pf'_*(\mathcal{L}')^{\otimes d} = 0\)이 \(p > 0\)에 대해 성립하며, \(\mathcal{A}'_d\)가 유한 국소 자유라는 뜻이다. 이로써 (1)과 (2)를 증명했다.

마지막으로 보여야 할 것은 \(\mathcal{A}'\)가 \(\mathcal{O}_{S'}\)-대수의 층으로서 유한표현이라는 것이다(이 개념은 Properties, Section 01PD에서 도입했다). \(U' = \Spec(R') \subset S'\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 \(A' = \mathcal{A}'(U')\)는 등급 \(R'\)-대수이고 그 등급 성분들은 유한 사영 \(R'\)-가군이다. \(A'\)가 유한표현 \(R'\)-대수임을 보여야 한다. 이를 Noetherian 경우로 환원하여 증명하겠다. 즉, 밑변환이 \((X'_{U'}, \mathcal{L}'|_{X'_{U'}})\)인 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수 \(R'_0 \subset R'\)와 \(R'_0\) 위의 쌍¹ \((X'_0, \mathcal{L}'_0)\)를 찾을 수 있다. 다음을 보라. Limits, Lemmas 01ZR, 0B8W, 081F, 04AI, 그리고 09MT. Cohomology of Schemes, Lemma 0B5T에 의해 \(A'_0 = \bigoplus_{d \geq 0} H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d})\) 는 유한 생성 등급 \(R'_0\)-대수이고, 다음을 만족하는 \(d'_0\)이 존재한다. \(H^p(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) = 0\), \(p > 0\)이고 \(d \geq d'_0\)일 때. 위의 논증을 \(X'_0 \to \Spec(R'_0)\)와 \(\mathcal{L}'_0\)에 적용하면 \((A'_0)_d\)가 유한 사영 \(R'_0\)-가군이고 다음 등식이 성립함을 알 수 있다. \[A'_d = \mathcal{A}'_d(U') = H^0(X'_{U'}, (\mathcal{L}')^{\otimes d}|_{X'_{U'}}) = H^0(X'_0, (\mathcal{L}'_0)^{\otimes d}) \otimes_{R'_0} R' = (A'_0)_d \otimes_{R'_0} R'\] 이는 \(d \geq d'_0\)에 대해 성립한다. 이제 논증에 한 가지 작은 문제가 있다. \(d'_0\)를 \(d_0\)와 같게 택할 수 있는지 알 수 없다는 점이다². 이를 피하기 위해 다음 일련의 논증으로 증명을 마무리한다.

1. 대수 \(B = R'_0 \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} (A'_0)_d\) 는 유한형 \(R'_0\)-대수이다. \(B \subset A'_0\)에 Artin–Tate 보조정리를 적용하라. Algebra, Lemma 00IS를 보라.

2. \(R'_0\)가 Noetherian이므로 \(B\)는 유한표현 \(R'_0\)-대수이다.

3. 텐서곱의 오른쪽 완전성에 의해 \(B \otimes_{R'_0} R'\)는 유한표현 \(R'\)-대수이다.

4. 위에 표시한 등식들에 의해 이는 정확히 \(C = R' \oplus \bigoplus_{d \geq \max(d_0, d'_0)} A'_d\) 가 유한표현 \(R'\)-대수라는 뜻이다.

5. 몫 \(A'/C\)는 유한 사영 \(R'\)-가군 \(A'_d\), \(d_0 \leq d \leq \max(d_0, d'_0)\)의 직합이므로 유한표현 \(R'\)-가군이다.

6. Algebra, Lemma 0561에 의해 몫 \(A'/C\)는 유한표현 \(C\)-가군이다.

7. 따라서 Algebra, Lemma 0519에 의해 \(A'\)는 유한표현 \(C\)-가군이다.

8. Algebra, Lemma 0D46에 의해 이는 \(A'\)가 유한표현 \(C\)-대수임을 함의한다.

9. 마지막으로 Algebra, Lemma 00F4을 \(R' \to C \to A'\)에 적용하면 \(A'\)가 유한표현 \(R'\)-대수임을 얻는다.

이로써 증명이 끝난다.

형식적으로 매끄러운 사상

매끄러움의 미분 판정법(예를 들어 Morphisms, Lemma 01V9)에 대한 Michael Artin의 입장은 그것들이 (실제로는) 기본적으로 쓸모없다는 것이다. 이 절에서는 형식적으로 매끄러운 사상 \(X \to S\)의 개념을 도입한다. 이러한 사상은 \(T\)가 아핀일 때 \(X\)의 \(T\)-값 점들이 \(T\)의 무한소 비후화로 올라간다는 성질로 특징지어진다. 주요 결과는 형식적으로 매끄럽고 국소 유한표현인 사상은 매끄럽다는 것이다. Lemma 02H6를 보라. 이 판정법은 위에서 언급한 미분 판정법보다 흔히 사용하기 쉽다는 것이 밝혀진다.

환 사상 \(R \to A\)가 형식적으로 매끄럽다는 것은 다음과 같은 모든 실선으로 이루어진 가환 그림에 대해 \[\xymatrix{ A \ar[r] \ar@{-->}[rd] & B/I \\ R \ar[r] \ar[u] & B \ar[u] }\] \(I \subset B\)가 제곱영 아이디얼일 때 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재한다는 뜻임을 상기하자(Algebra, Definition 00TI 참조). 이는 스킴의 사상에 대한 다음 유사 개념의 동기가 된다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음과 같은 임의의 실선 가환 그림에 대해 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l] \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] \(T \subset T'\)가 \(S\) 위의 아핀 스킴의 1차 비후화일 때 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재하면 \(f\)가 형식적으로 매끄럽다고 한다.

형식적으로 비분기인 사상과 형식적으로 에탈인 사상의 경우에는 \(T'\)가 아핀이라는 조건을 없앨 수 있었다. Lemmas 04F1와 04FD를 보라. 형식적으로 매끄러운 사상의 경우에는 더 이상 그렇지 않다. 사실 점선 화살표를 \(T'\) 위에서 Zariski 국소적으로 채울 수 있어야 한다는 조건이 조금 더 자연스러울 것이다. Lemma 0D0F의 증명을 분석하면 이것이 현재의 정의와 동치임을 알 수 있다. 특히 형식적으로 매끄러운 것은 시작점 위에서 Zariski 국소적이다(사실 시작점 위에서 매끄러운 위상에 관하여 국소적이다.

여기에 미래의 참고문헌을 삽입할 것).

보조정리

형식적으로 매끄러운 사상들의 합성은 형식적으로 매끄럽다.

증명

생략한다.

보조정리

형식적으로 매끄러운 사상의 밑변환은 형식적으로 매끄럽다.

증명

생략한다. 다만 대수적 판은 Algebra, Lemma 00TJ를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(f\)가 형식적으로 에탈일 필요충분조건은 \(f\)가 형식적으로 매끄럽고 형식적으로 비분기인 것이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)를 만족하는 열린 부분스킴이라 하자. \(f\)가 형식적으로 매끄러우면 \(f|_U : U \to V\)도 형식적으로 매끄럽다.

증명

Definition 02H0에서와 같은 실선 그림 \[\xymatrix{ U \ar[d]_{f|_U} & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ V & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. \(f\)가 형식적으로 매끄러우면 \(a'|_T = a\)를 만족하는 \(S\)-사상 \(a' : T' \to X\)가 존재한다. \(T\)와 \(T'\)의 바탕 집합은 같으므로 \(a'\)가 \(U\)로 가는 사상임을 알 수 있다(Schemes, Section 01HD 참조). 또한 이는 분명히 \(V\)-사상이다. 따라서 원하는 위 점선 화살표를 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 \(f\)가 형식적으로 매끄러울 필요충분조건은 \(\mathcal{O}_S(S) \to \mathcal{O}_X(X)\)가 형식적으로 매끄러운 환 사상인 것이다.

증명

환과 아핀 스킴의 범주의 동치에 의해 이는 정의들(Definition 02H0와 Algebra, Definition 00TI)에서 바로 따른다. Schemes, Lemma 01I2를 보라.

다음 보조정리가 이 절의 주요 결과이다. 이는 함수자적 관점의 승리라고 할 수 있다. 실제로 이 결과를 Limits, Proposition 01ZC과 결합하면 사상 \(f : X \to S\)가 매끄러운지를 함수자 \(h_X : \Sch/S \to \textit{Sets}\)의 “단순한” 성질들로 판별할 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 매끄럽다.

2. 사상 \(f\)는 국소 유한표현이고 형식적으로 매끄럽다.

증명

\(f : X \to S\)가 국소 유한표현이고 형식적으로 매끄럽다고 가정하자. \(f(U) \subset V\)를 만족하는 한 쌍의 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)와 \(\Spec(R) = V \subset S\)를 생각하자. Lemma 02H3에 의해 \(U \to V\)는 형식적으로 매끄럽다. Lemma 02H4에 의해 \(R \to A\)는 형식적으로 매끄럽다. Morphisms, Lemma 01TQ에 의해 \(R \to A\)는 유한표현이다. Algebra, Proposition 00TN에 의해 \(R \to A\)는 매끄럽다. 따라서 매끄러운 사상의 정의에 의해 \(X \to S\)는 매끄럽다.

역으로 \(f : X \to S\)가 매끄럽다고 가정하자. Definition 02H0에서와 같은 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ S & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. 점선 화살표가 존재함을 보여 \(f\)가 형식적으로 매끄러움을 증명할 것이다.

Remark 04FK에서 논의한 특별한 경우에 Lemma 04FH가 주는 \(T'\) 위의 집합의 층을 \(\mathcal{F}\)라 하자. 또한 \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\] 를 Lemma 04FJ에서와 같은 작용 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)을 갖는 \(\mathcal{O}_T\)-가군의 층이라 하자. 목표는 단지 \(\mathcal{F}(T) \not = \emptyset\)임을 보이는 것이다. 달리 말해 \(\mathcal{F}\)가 \(T\) 위의 자명한 \(\mathcal{H}\)-토서임을 보이고자 한다 (Cohomology, Section 02FN 참조). 두 단계가 있다. (I) \(\mathcal{F}\)가 토서임을 보이려면 모든 \(t \in T\)에 대해 \(\mathcal{F}_t \not = \emptyset\)임을 보여야 한다(Cohomology, Definition 02FO 참조). (II) \(\mathcal{F}\)가 자명한 토서임을 보이려면 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)임을 보이면 충분하다 (Cohomology, Lemma 02FQ 참조. \(\mathcal{H}\)를 아벨 층으로 보아도, \(\mathcal{O}_T\)-가군으로 보아도 그 코호몰로지를 사용할 수 있다. Cohomology, Lemma 01F1 참조).

먼저 (I)을 증명하자. 각 \(t \in T\)에 대해 \(a(U)\)가 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = W \subset X\)에 포함되고 그 열린집합이 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = V \subset S\)로 사상되도록 하는 \(t\)의 아핀 열린 근방 \(U \subset T\)를 택할 수 있다. Morphisms, Lemma 01V6에 의해 환 사상 \(R \to A\)는 매끄럽다. 따라서 Algebra, Proposition 00TN에 의해 환 사상 \(R \to A\)는 형식적으로 매끄럽다. 그러면 Lemma 02H4에 의해 \(W \to V\)는 형식적으로 매끄럽다. 따라서 \(a|_U : U \to W\)를 \(V\)-사상 \(a' : U' \to W \subset X\)로 올릴 수 있고, 이는 \(\mathcal{F}(U) \not = \emptyset\)임을 보인다.

끝으로 (II)를 증명하자. Morphisms, Lemma 01V3에 의해 \(\Omega_{X/S}\)는 유한표현이다(사실 Morphisms, Lemma 02G1에 의해 유한 국소 자유이기도 하다). 따라서 \(a^*\Omega_{X/S}\)는 유한표현이다(Modules, Lemma 01BQ 참조). 그러므로 층 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/S}, \mathcal{C}_{T/T'})\) 는 Schemes, Section 01LA의 논의에 의해 준연접이다. 따라서 Cohomology of Schemes, Lemma 01XB에 의해 원하는 대로 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)이다.

국소 사영 준연접 가군은 Properties, Section 05JN에서 정의한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 형식적으로 매끄러운 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(\Omega_{X/Y}\)는 \(X\) 위에서 국소 사영이다.

증명

\(f(U) \subset V\)를 만족하는 아핀 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)를 택하자. Lemma 02H3에 의해 \(f|_U : U \to V\)는 형식적으로 매끄럽다. 따라서 Lemma 02H4에 의해 \(\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)는 형식적으로 매끄러운 환 사상이다. 그러므로 Algebra, Lemma 031I에 의해 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)-가군 \(\Omega_{\Gamma(U, \mathcal{O}_U)/\Gamma(V, \mathcal{O}_V)}\) 은 사영이다. 따라서 \(\Omega_{U/V}\)는 국소 사영이다(Properties, Section 05JN 참조).

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_T\)-가군이라 하고 \(\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 국소 사영이면 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)이다.

증명

스킴 위의 국소 사영 층의 정의(Properties, Definition 05JP 참조)에 의해 \(\mathcal{F}\)는 자유 \(\mathcal{O}_T\)-가군의 직합인자이다. 따라서 \(\mathcal{F} = \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_T\)가 자유 가군이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(\mathcal{H} = \prod_{i \in I} \mathcal{G}\)는 준연접 가군들의 곱이다. 아핀 스킴 위의 준연접층의 코호몰로지는 영이므로 (Cohomology of Schemes, Lemma 01XB 참조), Cohomology, Lemma 0D0A에 의해 \(H^1 = 0\)이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 매끄럽다.

2. 모든 \(x \in X\)에 대해 \(f(U) \subset V\)이고 \(f|_U : U \to V\)가 형식적으로 매끄럽도록 하는 열린집합 \(x \in U \subset X\)와 \(f(x) \in V \subset Y\)가 존재한다.

3. \(f(U) \subset V\)를 만족하는 모든 아핀 열린집합의 쌍 \(U \subset X\), \(V \subset Y\)에 대해 환 사상 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)는 형식적으로 매끄럽다.

4. 아핀 열린 덮개 \(Y = \bigcup V_j\)와 각 \(j\)에 대한 아핀 열린 덮개 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup U_{ji}\)가 존재하여, 모든 \(j\)와 \(i\)에 대해 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 형식적으로 매끄러운 환 사상이다.

증명

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2), (1) \(\Rightarrow\) (3), (2) \(\Rightarrow\) (4)는 Lemma 02H3에서 따른다.

함의 (3) \(\Rightarrow\) (4)는 즉시 성립한다.

(4)를 가정하자. \(f\)가 형식적으로 매끄럽다는 증명은 Lemma 02H6의 증명 후반부와 같다. Definition 02H0에서와 같은 실선 가환 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & T \ar[d]^i \ar[l]^a \\ Y & T' \ar[l] \ar@{-->}[lu] }\] 을 생각하자. 점선 화살표가 존재함을 보여 \(f\)가 형식적으로 매끄러움을 증명할 것이다. Remark 04FK에서 논의한 특별한 경우에 Lemma 04FH가 주는 \(T'\) 위의 집합의 층을 \(\mathcal{F}\)라 하자. 또한 \[\mathcal{H} = \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})\] 를 Lemma 04FJ에서와 같은 작용 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)을 갖는 \(T\) 위의 \(\mathcal{O}_T\)-가군의 층이라 하자. 작용 \(\mathcal{H} \times \mathcal{F} \to \mathcal{F}\)은 \(\mathcal{F}\)를 유사 \(\mathcal{H}\)-토서로 만든다(Cohomology, Definition 02FO 참조). 목표는 \(\mathcal{F}\)가 자명한 \(\mathcal{H}\)-토서임을 보이는 것이다. 두 단계가 있다. (I) \(\mathcal{F}\)가 토서임을 보이려면 \(\mathcal{F}\)가 국소적으로 단면을 가짐을 보여야 한다. (II) \(\mathcal{F}\)가 자명한 토서임을 보이려면 \(H^1(T, \mathcal{H}) = 0\)임을 보이면 충분하다(Cohomology, Lemma 02FQ 참조).

먼저 (I)을 증명하자. 각 \(t \in T\)에 대해 어떤 \(i, j\)에 대하여 \(a(W)\)가 \(U_{ji}\)에 포함되도록 하는 \(t\)의 아핀 열린 근방 \(W \subset T\)를 택할 수 있다. 대응하는 열린 부분스킴을 \(W' \subset T'\)이라 하자. 가정 (4)에 의해 \(a|_W : W \to U_{ji}\)를 \(V_j\)-사상 \(a' : W' \to U_{ji}\)로 올릴 수 있고, 이는 \(\mathcal{F}(W')\)가 공집합이 아님을 보인다.

끝으로 (II)를 증명하자. Lemma 06B5에 의해

\(\Omega_{U_{ji}/V_j}\)는 국소 사영이다. 따라서 Properties, Lemma 05JQ에 의해 \(\Omega_{X/Y}\)는 국소 사영이다. 그러므로 Properties, Lemma 060M에 의해 \(a^*\Omega_{X/Y}\)는 국소 사영이다. 따라서 \[H^1(T, \mathcal{H}) = H^1(T, \SheafHom_{\mathcal{O}_T}(a^*\Omega_{X/Y}, \mathcal{C}_{T/T'})) = 0\] 이고, 이는 Lemma 0D0E에 의한 원하는 결론이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 형식적으로 매끄럽다고 가정하자. 그러면 \[0 \to f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] 은 짧은 완전열이다(Morphisms, Lemma 01UX 참조).

증명

이 보조정리의 대수적 판은 다음과 같다. 환 사상 \(A \to B \to C\)가 주어지고 \(B \to C\)가 형식적으로 매끄러우면 열 \[0 \to C \otimes_B \Omega_{B/A} \to \Omega_{C/A} \to \Omega_{C/B} \to 0\] 은 완전하다(Algebra, Lemma 00RS). 이것이 Algebra, Lemma 031K이다.

보조정리

\(h : Z \to X\)를 \(S\) 위의 형식적으로 비분기인 스킴의 사상이라 하자. \(Z\)가 \(S\) 위에서 형식적으로 매끄럽다고 가정하자. 그러면 Lemma 04FC의 표준 완전열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/X} \to h^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{Z/S} \to 0\] 은 짧은 완전열이다.

증명

\(Z \to Z'\)을 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라 하자. Lemma 04FC의 증명에서 우리의 열은 다음 열과 동일시됨을 알 수 있다. \[\mathcal{C}_{Z/Z'} \to \Omega_{Z'/S} \otimes \mathcal{O}_Z \to \Omega_{Z/S} \to 0.\] \(Z \to S\)가 형식적으로 매끄러우므로 \(Z'\) 위에서 국소적으로 포함 사상 \(Z \to Z'\)의 \(S\) 위 왼쪽 역사상 \(Z' \to Z\)를 찾을 수 있다. 따라서 이 열은 국소적으로 분할된다(Morphisms, Lemma 0474 참조).

보조정리

다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[rd]_j & X \ar[d]^f \\ & Y }\] \(i\)와 \(j\)가 형식적으로 비분기이고 \(f\)가 형식적으로 매끄럽다고 하자. 그러면 Lemma 067V의 표준 완전열 \[0 \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to i^*\Omega_{X/Y} \to 0\] 은 완전하고 국소적으로 분할된다.

증명

\(Z \to Z'\)을 \(X\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라 하고, \(Z \to Z''\)을 \(Y\) 위의 \(Z\)의 보편 1차 비후화라 하자.

Lemma 04FC에 의해 표준 사상 \(Z' \to Z''\)이 존재하여 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_{i'} \ar[rd]_{j'} & Z' \ar[r]_a \ar[d]^k & X \ar[d]^f \\ & Z'' \ar[r]^b & Y }\] Lemma 067V의 증명에서 위의 열을 다음 열과 동일시했다. \[\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'} \to (i')^*\Omega_{Z'/Z''} \to 0\] \(U'' \subset Z''\)을 아핀 열린집합이라 하자. 대응하는 아핀 열린 부분스킴을 \(U \subset Z\)와 \(U' \subset Z'\)이라 하자. \(f\)가 형식적으로 매끄러우므로 \(U\) 위에서 \(i\)와 일치하고 \(f \circ h\)가 \(b|_{U''}\)와 같은 사상 \(h : U'' \to X\)가 존재한다. \(Z'\)이 보편 1차 비후화이므로

\(g = a \circ h\)를 만족하는 유일한 사상 \(g : U'' \to Z'\)을 얻는다. \(Z''\)의 보편 성질에 의해 \(k \circ g\)는 포함 사상 \(U'' \to Z''\)이다. 따라서 \(g\)는 \(k\)의 왼쪽 역사상이다. 그림으로 쓰면 \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & Z' \ar[d]^k \\ U'' \ar[r] \ar[ru]^g & Z'' }\] 이다. 따라서 \(g\)는 사상 \(\mathcal{C}_{Z/Z'}|_U \to \mathcal{C}_{Z/Z''}|_U\)를 유도하며, 이는 \(U\) 위의 사상 \(\mathcal{C}_{Z/Z''} \to \mathcal{C}_{Z/Z'}\)의 왼쪽 역사상이다.

Noetherian 밑 위의 매끄러움

밑이 Noetherian이면 형식적 매끄러움의 정식화에서 더 약한 조건으로도 충분하다는 것이 밝혀진다. 어떤 의미에서 다음 보조정리들은 변형 이론의 출발점이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(S\)가 국소 Noetherian이고 \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자.

다음은 동치이다.

1. \(f\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

2. 다음과 같은 모든 실선 가환 그림에 대해 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] 여기서 \(B' \to B\)는 국소환의 전사이고 \(\Ker(B' \to B)\)는 제곱영이며, \(\alpha\)는 \(\Spec(B)\)의 닫힌점을 \(x\)로 보낸다. 이때 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재한다.

3. (2)와 같되 \(B' \to B\)가 작은 확대 전체를 움직인다(Algebra, Definition 02HS 참조).

4. (2)와 같되 \(B' \to B\)는, \(\mathfrak m \subset B\)가 극대 아이디얼일 때 \(\alpha\)가 동형사상 \(\kappa(x) \to \kappa(\mathfrak m)\)을 유도하는 작은 확대 전체를 움직인다.

증명

\(f(x)\)의 아핀 근방 \(V \subset S\)와 \(f(U) \subset V\)를 만족하는 \(x\)의 아핀 근방 \(U \subset X\)를 택하자. (2)에서와 같은 임의의 “시험” 그림에 대해 사상 \(\alpha\)는 \(\Spec(B)\)를 \(U\) 안으로 보내고, 사상 \(\beta\)는 \(\Spec(B')\)를 \(V\) 안으로 보낸다(Schemes, Section 01J5 참조). 따라서 이 보조정리는 아핀 스킴 사이의 사상 \(f|_U : U \to V\)의 경우로 환원된다. (실제로 \(V\)는 Noetherian이고 \(f|_U\)는 유한형이다. Properties, Lemma 01OW과 Morphisms, Lemma 01T2를 보라.) 이 아핀의 경우 보조정리는 Algebra, Lemma 02HT와 동일하다.

때로는 유한형인 점을 “중심으로 하는” 작은 확대에 대해서만 올림 판정법을 확인하면 충분하다는 사실이 유용하다(Morphisms, Section 01T9 참조).

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(S\)가 국소 Noetherian이고 \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자.

다음은 동치이다.

1. \(f\)는 매끄럽다.

2. 다음과 같은 모든 실선 가환 그림에 대해 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f & \Spec(B) \ar[d]^i \ar[l]^-\alpha \\ S & \Spec(B') \ar[l]_-{\beta} \ar@{-->}[lu] }\] 여기서 \(B' \to B\)는 Artin 국소환의 작은 확대이고 \(\beta\)는 유한형이다 (!). 이때 그림을 가환으로 만드는 점선 화살표가 존재한다.

증명

\(f\)가 매끄러우면 무한소 올림 판정법(Lemma 02H6)에 의해 \(f\)는 형식적으로 매끄럽고 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하자. \(f\)가 매끄럽지 않은 점 \(x \in X\)들의 집합은 \(X\)의 닫힌 부분집합 \(T\)를 이룬다. Morphisms, Section 01T9의 논의에 의해 \(T \not = \emptyset\)이면 사상 \[\Spec(\kappa(x)) \to X \to S\] 이 유한형이 되는 점 \(x \in T \subset X\)가 존재한다(즉 \(X\)의 어떤 아핀 열린집합에서 닫혀 있는 \(T\)의 임의의 점 \(x\)를 택한다). Morphisms, Lemma 02HV에 의해, 잉여체가 \(\kappa(x)\)인 임의의 Artin 국소환 \(B'\)에 대해 모든 사상 \(\beta : \Spec(B') \to S\)는 유한형이다. 따라서 Lemma 02HX의 (4)에서 사용하는 모든 그림은 현재 보조정리의 (2)에서와 같은 그림에 대응한다. 그러므로 \(X \to S\)는 \(x\)에서 매끄러우며, 이는 모순이다.

다음은 유용한 응용이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 Noetherian 스킴 사이의 유한형 사상이라 하자. \(Z \subset S\)를 닫힌 부분스킴이라 하고, 그 \(n\)차 무한소 근방을 \(Z_n \subset S\)라 하자. \(X_n = Z_n \times_S X\)라 두자.

1. 모든 \(n\)에 대해 \(X_n \to Z_n\)가 매끄러우면 \(f\)는 \(f^{-1}(Z)\)의 모든 점에서 매끄럽다.

2. 모든 \(n\)에 대해 \(X_n \to Z_n\)가 에탈이면 \(f\)는 \(f^{-1}(Z)\)의 모든 점에서 에탈이다.

증명

모든 \(n\)에 대해 \(X_n \to Z_n\)가 매끄럽다고 가정하자. \(x \in X\)를 \(Z\)의 한 점 위에 놓인 점이라 하자. Lemma 02HX의 (3)에서와 같은 작은 확대 \(B' \to B\)와 사상 \(\alpha\), \(\beta\)가 주어졌다고 하자. \(B'\)의 극대 아이디얼은 멱영이다(\(B'\)가 Artin 환이므로). 따라서 적절한 \(n\)에 대해 사상 \(\beta\)는 \(Z_n\)을 경유하고 \(\alpha\)는 \(X_n\)을 경유한다. 이제 \(X_n \to Z_n\)의 올림 성질을 적용하면 그림에서 원하는 점선 화살표를 얻는다. 이로써 (1)을 증명했다. (2)는 (1)과, 사상이 에탈일 필요충분조건은 상대차원 \(0\)인 매끄러운 사상이라는 사실에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 Noetherian 스킴 사이의 사상이라 하자. \(Z \subset S\)를 닫힌 부분스킴이라 하고, 그 \(n\)차 무한소 근방을 \(Z_n \subset S\)라 하자. \(X_n = Z_n \times_S X\)라 두자. 모든 \(n\)에 대해 \(X_n \to Z_n\)가 평탄하면 \(f\)는 \(f^{-1}(Z)\)의 모든 점에서 평탄하다.

증명

이는 Algebra, Lemma 0523를 스킴의 언어로 옮긴 것이다.

소박한 여접 복합체

이 절은 Modules, Section 08TG의 연속이며, 그 절은 다시 Algebra, Section 00S0의 논의를 이어간다.

정의

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)의 소박한 여접 복합체는 Modules, Definition 08TN에서 정의한 복합체이다. 기호는 \(\NL_f\) 또는 \(\NL_{X/Y}\)를 쓴다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)와

\(\Spec(R) = V \subset S\)가 \(f(U) \subset V\)를 만족한다고 하자. 복합체의 표준 사상 \[\widetilde{\NL_{A/R}} \longrightarrow \NL_{X/Y}|_U\] 이 존재하며, 이는 \(D(\mathcal{O}_U)\)에서 동형사상이다.

증명

Modules, Section 08TG의 \(\NL_{X/Y}\) 구성에서 복합체의 표준 사상 \(\NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)} \to \NL_{X/Y}(U)\) 이 있음을 알 수 있다. 이는 \(A = \mathcal{O}_X(U)\)-가군의 사상이며 더 제한하는 것과 양립한다. 표준 사상 \(R \to f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)\)를 사용하면 복합체의 표준 사상 \(\NL_{A/R} \to \NL_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)}\) 을 얻으며, 이는 \(A\)-가군 복합체의 사상이다. \(\widetilde{\ }\) 함수자의 보편 성질(Schemes, Lemma 01I7 참조)을 사용하면 보조정리의 명제에 있는 사상을 얻는다. 이 사상이 코호몰로지층에서 동형사상인지는 줄기에서 동형사상을 유도하는지를 확인하여 검사할 수 있다. 이는 Algebra, Lemmas 07BS와 00S7, 그리고 Modules, Lemma 0D09에서 따른다. 여기서는 점 \(\mathfrak p \in \Spec(A)\)에서 \(\mathcal{O}_X\)와 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)의 줄기가 각각 \(A_\mathfrak p\)와 \(R_\mathfrak q\)이고 \(\mathfrak q = R \cap \mathfrak p\)라는 기술도 사용한다. 이에 대한 참조는 Schemes, Lemma 01HV와 Sheaves, Lemma 008H이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 복합체 \(\NL_{X/Y}\)의 코호몰로지층은 준연접이고 차수 \(-1\), \(0\) 밖에서는 영이며, 차수 \(0\)에서는 \(\Omega_{X/Y}\)와 같다.

증명

Modules, Section 08TG의 소박한 여접 복합체 구성에 의해 \(\NL_{X/Y}\)는 차수 \(-1\), \(0\)에 놓인 복합체이고 차수 \(0\)의 코호몰로지는 \(\Omega_{X/Y}\)이다. 미분의 층은 준연접이다(Morphisms, Lemma 08S2). 증명을 끝내려면 \(H^{-1}(\NL_{X/Y})\)가 준연접임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 0D0I를 사용하여 아핀 위에서 확인하면 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한표현이면 \(\NL_{X/Y}\)는 \(X\) 위에서 국소적으로 다음 복합체와 준동형이다. \[\ldots \to 0 \to \mathcal{F}^{-1} \to \mathcal{F}^0 \to 0 \to \ldots\] 이는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 복합체이며, \(\mathcal{F}^0\)는 유한표현이고 \(\mathcal{F}^{-1}\)은 유한형이다.

증명

Lemma 0D0I에 의해 \(R \to A\)가 유한표현 환 사상일 때 \(\NL_{A/R}\)가 이 꼴임을 보이면 충분하다. \(I\)가 유한생성이고 \(A = R[x_1, \ldots, x_n]/I\)라고 쓰자. 그러면 \(I/I^2\)은 유한 \(A\)-가군이고 \(\NL_{A/R}\)는 \[\ldots \to 0 \to I/I^2 \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, n} A\text{d}x_i \to 0 \to \ldots\] 와 준동형이다. 이는 Algebra, Section 00S0, 특히 Algebra, Lemma 00S1에 의한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 매끄럽다.

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)이고 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\)는 국소 사영이다.

증명

이는 Algebra, Proposition 031J과 Lemma 0D0F에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 형식적으로 에탈이다.

2. \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\)이다.

증명

형식적으로 에탈인 사상은 형식적으로 매끄러우므로 Lemma 0D0L에 의해 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)이다. 한편 Lemma 04FE에 의해 \(\Omega_{X/Y} = 0\)이다. 역으로 (2)가 성립하면 Lemma 0D0L에 의해 \(f\)는 형식적으로 매끄럽고, Lemma 02H9에 의해 형식적으로 비분기이다. 따라서 Lemma

02HH에 의해 형식적으로 에탈이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 매끄럽다.

2. \(f\)는 국소 유한표현이고 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)이며 \(H^0(\NL_{X/Y}) = \Omega_{X/Y}\)는 유한 국소 자유이다.

증명

이는 매끄러운 환 준동형의 정의(Algebra, Definition 00T2), Lemma 0D0I, 그리고 스킴의 매끄러운 사상의 정의(Morphisms, Definition 01V5)에서 따른다. 환 위의 가군에 대해서 유한 국소 자유와 유한 사영이 같다는 사실도 사용한다(Algebra, Lemma 00NX).

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 에탈이다.

2. \(f\)는 국소 유한표현이고 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = H^0(\NL_{X/Y}) = 0\)이다.

증명

이는 에탈 환 준동형의 정의(Algebra, Definition 00U1), Lemma 0D0I, 그리고 스킴의 에탈 사상의 정의(Morphisms, Definition 02GI)에서 따른다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 그러면 \(\NL_{Z/X}\)는 \(D(\mathcal{O}_Z)\)에서 \(\mathcal{C}_{Z/X}[1]\)과 동형이다. 여기서 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)는 \(X\) 안의 \(Z\)의 conormal 층이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 07BP, Morphisms, Lemma 01R3, 그리고 Lemma 0D0I에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 스킴의 사상이라 하자. 코호몰로지층의 표준 6항 완전열 \[H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Y}) \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0\] 이 존재한다.

증명

Modules, Lemma 0E1Z의 특별한 경우이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(Y \to Z\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X \to Y\)가 완전교차 사상이라고 가정하자. 그러면 표준 구별 삼각형 \[f^*\NL_{Y/Z} \to \NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y} \to f^*\NL_{Y/Z}[1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 존재하며, 이는 Lemma 0E44의 \(6\)항 완전열을 복원한다.

증명

Modules, Lemma 0E1Z의 표준 사상 \[f^*\NL_{Y/Z} \to \text{Cone}(\NL_{X/Z} \to \NL_{X/Y})[-1]\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 동형사상임을 보이면 충분하다. 이를 보이려면 \(6\)항 열의 왼쪽에 영이 있음을, 즉 \(H^{-1}(f^*\NL_{Y/Z}) \to H^{-1}(\NL_{X/Z})\)가 단사임을 보이면 충분하다. 이는 아핀 국소적으로 More on Algebra, Lemma 07D4의 대응하는 대수적 결과에서 따른다. 대수로 옮길 때에는 Lemma 0D0I를 사용한다.

보조정리

\(X \to Y \to Z\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X \to Z\)가 매끄럽고 \(Y \to Z\)가 에탈이라고 가정하자. 그러면 \(X \to Y\)는 매끄럽다.

증명

Morphisms, Lemma 02FV에 의해 사상 \(X \to Y\)는 국소 유한표현이다. Lemma 0D0N에 의해 \(H^{-1}(\NL_{X/Z}) = 0\)이고 가군 \(\Omega_{X/Z}\)는 유한 국소 자유이다. Lemma 0G7Z에 의해 \(H^{-1}(\NL_{Y/Z}) = H^0(\NL_{Y/Z}) = 0\)이다. Lemma 0E44에 의해 \(H^{-1}(\NL_{X/Y}) = 0\)이고 \(\Omega_{X/Y} \cong \Omega_{X/Z}\)는 유한 국소 자유이다. Lemma 0D0N에 의해 사상 \(X \to Y\)는 매끄럽다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(i\)는 몰입이고 \(g : P \to Y\)는 형식적으로 매끄러우며(예를 들어 매끄러우며), \(f = g \circ i\)로 분해된다고 하자. 그러면 표준 동형사상 \[\NL_{X/Y} \cong \left(\mathcal{C}_{X/P} \to i^*\Omega_{P/Y}\right)\] 이 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 존재한다. 여기서 conormal 층 \(\mathcal{C}_{X/P}\)는 차수 \(-1\)에 놓인다.

증명

(괄호 안의 명제는 Lemma 02H6를 보라.) Lemmas 0FV2와 0D0L에 의해 \(\NL_{X/P} = \mathcal{C}_{X/P}[1]\)이고 \(\NL_{P/Y} = \Omega_{P/Y}\)이며, \(\Omega_{P/Y}\)는 국소 사영이다. 따라서 \(i^*\NL_{P/Y} \to i^*\Omega_{P/Y}\)도 준동형이다. 작은 세부사항은 생략한다. 그 이유는 \(i^*\NL_{P/Y}\)가 \(\tau_{\geq -1}Li^*\NL_{P/Y}\)와 같기 때문이다(More on Algebra, Lemma 0FUY 참조). 따라서 Modules, Lemma 0E1Z의 표준 사상 \[i^*\NL_{P/Y} \to \text{Cone}(\NL_{X/Y} \to \NL_{X/P})[-1]\] 은 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 동형사상이다. 실제로 위에서 말했듯이 코호몰로지군 \(H^{-1}(i^*\NL_{P/Y})\)은 영이다. 달리 말해 구별 삼각형 \[i^*\NL_{P/Y} \to \NL_{X/Y} \to \NL_{X/P} \to i^*\NL_{P/Y}[1]\] 을 얻는다. 분명히 이는 \(\NL_{X/Y}\)가 사상 \(\NL_{X/P}[-1] \to i^*\NL_{P/Y}\)의 원뿔이라는 뜻이다. 위에서 유도범주에 있는 이 대상들의 코호몰로지층을 계산했으므로 이는 보조정리의 명제와 동치이다.

보조정리

스킴의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. 표준 사상 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\)은 \(H^0\)에서 동형사상을, \(H^{-1}\)에서 전사를 유도한다.

증명

이를 대수로 옮기면 More on Algebra, Lemma 0FUZ이다. 옮길 때에는 Lemma 0D0I를 사용한다.

보조정리

스킴의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. \(Y' \to Y\)가 평탄하면 표준 사상 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\)은 준동형이다.

증명

이는 Lemma 0D0I와 Algebra, Lemma 00S4에서 따른다.

보조정리

스킴의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 을 생각하자. \(X \to Y\)가 평탄하면 표준 사상 \((g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\)은 준동형이다. 또한 \(\NL_{X/Y}\)가 \([-1, 0]\)에서 Tor 진폭을 가지면 \(L(g')^*\NL_{X/Y} \to \NL_{X'/Y'}\)도 준동형이다.

증명

이를 대수로 옮기면 More on Algebra, Lemma 0FJU이다. 옮길 때에는 Lemma 0D0I와 Derived Categories of Schemes, Lemmas 06Z0 및 08E9를 사용한다.

스킴의 범주에서의 밀어내기, I

이 절에서는 \(X \to Y\)가 아핀이고 \(X \to X'\)이 비후화인 경우에 \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\)의 밀어내기를 구성한다. 이는 실제로 우리에게 중요한 경우이므로 자세히 논의할 가치가 있다. Section 0ECH에서는 더 흥미롭고 더 어려운 경우를 논의한다. 임의의 범주에서 밀어내기에 관한 일반적인 논의는 Categories, Section 0025를 보라.

보조정리

\(A' \to A\)를 환의 전사라 하고 \(B \to A\)를 환 사상이라 하자. \(B' = B \times_A A'\)을 환의 섬유곱이라 하자. \(S = \Spec(A)\), \(S' = \Spec(A')\), \(T = \Spec(B)\), \(T' = \Spec(B')\)라 두자. 그러면 \[\vcenter{ \xymatrix{ S \ar[r]_i \ar[d]_f & S' \ar[d]^{f'} \\ T \ar[r]^{i'} & T' } } \quad\text{다음에 대응하는}\quad \vcenter{ \xymatrix{ A & A' \ar[l] \\ B \ar[u] & B' \ar[l] \ar[u] } }\] 은 스킴의 밀어내기이다.

증명

More on Algebra, Lemma 0B7J에 의해 위상공간으로서 \(T' = T \amalg_S S'\)이다. 즉 이 도식은 위상공간의 범주에서 밀어내기이다. 다음 사상을 생각하자. \[((i')^\sharp, (f')^\sharp) : \mathcal{O}_{T'} \longrightarrow i'_*\mathcal{O}_T \times_{g_*\mathcal{O}_S} f'_*\mathcal{O}_{S'}\] 여기서 \(g = i' \circ f = f' \circ i\)이다. 이 사상이 환의 층의 동형사상이라고 주장한다. 실제로 양변을 준연접 \(\mathcal{O}_{T'}\)-가군으로 볼 수 있고 (우변에는 Schemes,

Lemma 01LC를 사용한다), 이 사상은 \(\mathcal{O}_{T'}\)-선형이다. 따라서 전역절단에서 이 사상이 동형사상임을 보이면 충분하다(Schemes, Lemma 01IB). 전역절단에서는 보조정리의 명제에 있는 동일시 \(B' \to B \times_A A'\)를 되찾는다(이것이 우리가 \(B'\)을 택한 방식이다).

\(X\)를 스킴이라 하자. \(m' \circ i = n \circ f\)를 만족하는 스킴의 사상 \(m' : S' \to X\)와 \(n : T \to X\)가 주어졌다고 하자(이 공통 사상을 \(m\)이라 하자). 위에서 보았듯이 \(T' = T \amalg_S S'\)이므로 \(m'\) 및 \(n\)과 양립하는 유일한 위상공간의 사상 \(n' : T' \to X\)를 얻는다. 앞 문단의 \(\mathcal{O}_{T'}\)에 대한 기술에 의해 환의 층의 유일한 준동형

\[(n')^\sharp : \mathcal{O}_X \longrightarrow (n')_*\mathcal{O}_{T'} = m'_*\mathcal{O}_T \times_{m_*\mathcal{O}_T} n_*\mathcal{O}_S\] 을 얻으며, 이는 \((m')^\sharp\)와 \(n^\sharp\)로 주어진다. 따라서 \((n', (n')^\sharp)\)는 \(m'\) 및 \(n\)과 양립하는 환 달린 공간의 유일한 사상 \(T' \to X\)이다. 증명을 끝내려면 \(n'\)가 스킴의 사상, 즉 국소환 달린 공간의 사상임을 보이면 충분하다.

\(t' \in T'\)의 상을 \(x \in X\)라 하자. \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'}\)가 국소임을 보여야 한다. \(t' \not \in T\)이면 \(t'\)은 유일한 점 \(s' \in S'\)의 상이고 \(\mathcal{O}_{T', t'} = \mathcal{O}_{S', s'}\)이다. 실제로 \(B' \to A'\)은 동형사상 \(\Ker(B' \to B) = \Ker(A' \to A)\)를 유도하므로 \(S' \setminus S \to T' \setminus T\)는 스킴의 동형사상이다. \(t'\)이 \(t \in T\)의 상이면 합성 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{T', t'} \to \mathcal{O}_{T, t}\)가 국소임을 알고 있으므로 이 경우에도 국소임을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{I} \to (\Sch/S)_{fppf}\), \(i \mapsto X_i\)를 스킴의 도식이라 하자. \((W, X_i \to W)\)를 스킴의 범주에서 이 도식의 쌍대원뿔이라 하자 (Categories, Remark 0G2U). 다음을 만족하는 스킴의 fpqc 덮개 \(\{W_a \to W\}_{a \in A}\)가 존재한다고 하자.

1. 모든 \(a \in A\)에 대해 스킴의 범주에서 \(W_a = \colim X_i \times_W W_a\) 이다.

2. 모든 \(a, b \in A\)에 대해 스킴의 범주에서 \(W_a \times_W W_b = \colim X_i \times_W W_a \times_W W_b\) 이다.

그러면 스킴의 범주에서 \(W = \colim X_i\)이다.

증명

실제로 스킴 \(T\)에 대해 사상 \(W \to T\)는 겹침 \(W_a \times_W W_b\)에서 일치하는 사상들의 모음 \(W_a \to T\), \(a \in A\)와 같은 것이다. Descent, Lemma 023Q를 보라.

보조정리

\(X \to X'\)을 스킴의 비후화라 하고 \(X \to Y\)를 스킴의 아핀 사상이라 하자. 그러면 스킴의 범주에서 밀어내기 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X' \ar[d]^{f'} \\ Y \ar[r] & Y' }\] 가 존재한다. 더욱이 \(Y \subset Y'\)은 비후화이고 \(X = Y \times_{Y'} X'\)이며, \(|Y| = |Y'|\) 위의 층으로서 \[\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \times_{f_*\mathcal{O}_X} f'_*\mathcal{O}_{X'}\] 이다.

증명

먼저 \(Y'\)을 환 달린 공간으로 구성한다. 위상공간으로는 \(Y' = Y\)라 둔다.

\(f\)와 같은 위상공간의 사상을 \(f' : X' \to Y'\)라 하자. 구조층 \(\mathcal{O}_{Y'}\)로는 보조정리의 등식 우변을 취한다. \(Y'\)이 스킴임을 보이려면 모든 점이 아핀 근방을 가짐을 보여야 한다. 층의 섬유곱을 형성하는 것은 열린집합으로 제한하는 것과 가환하므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 \(f\)가 아핀이므로 \(X\)는 아핀이고, \(X'\)도 아핀이다(Lemma 06AD 참조). \(Y \leftarrow X \rightarrow X'\)이 \(B \rightarrow A \leftarrow A'\)에 대응한다고 하자. \(B' = B \times_A A'\)라 두자. 이는 \(\mathcal{O}_{Y'}\)의 전역절단이다. \(A' \to A\)가 국소 멱영인 핵을 갖는 전사이므로 \(B' \to B\)도 국소 멱영인 핵을 갖는 전사이다. 따라서 위상공간으로서 \(\Spec(B') = \Spec(B)\)이다. \(Y' = \Spec(B')\)라고 주장한다. 이를 보이기 위해 상이 \(g \in B\)인 \(g' \in B'\)에 대해 \(\mathcal{O}_{Y'}(D(g)) = B'_{g'}\)임을 보이겠다. More on Algebra, Lemma 01Z8에 의해 \[(B')_{g'} = B_g \times_{A_h} A'_{h'}\] 이다. 여기서 \(h \in A\), \(h' \in A'\)은 \(g'\)의 상이다. \(B_g\), 각각 \(A_h\), 각각 \(A'_{h'}\)는 \(\mathcal{O}_Y(D(g))\), 각각 \(f_*\mathcal{O}_X(D(g))\), 각각 \(f'_*\mathcal{O}_{X'}(D(g))\)와 같으므로 주장이 따른다.

이제 \(Y'\)이 밀어내기임을 보이면 된다. 위의 논의에 의해 스킴 \(Y'\)에는 아핀 열린 덮개 \(Y' = \bigcup W'_i\)가 있어서 대응하는 열린집합 \(U'_i \subset X'\), \(W_i \subset Y\), 그리고 \(U_i \subset X\)은 아핀이다. 더욱이 \(A'_i\), \(B_i\), \(A_i\)가 각각 \(U'_i\), \(W_i\), \(U_i\)에 대응하는 환이면 \(W'_i\)는 \(B_i \times_{A_i} A'_i\)에 대응한다. 따라서 Lemmas 0ET0와 0BMP를 적용하면 우리의 구성이 스킴의 범주에서 밀어내기라는 결론을 얻는다.

다음 보조정리에서는 Categories, Example 003R에서 정의한 범주들의 올곱을 사용한다.

보조정리

\(X \to X'\)를 스킴의 비후화라 하고 \(X \to Y\)를 스킴의 아핀 사상이라 하자. \(Y' = Y \amalg_X X'\)가 밀어내기라 하자(Lemma 07RT 참조). 밑변환은 함자 \[F : (\Sch/Y') \longrightarrow (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X')\] 를 주는데, 이는 \(V' \longmapsto (V' \times_{Y'} Y, V' \times_{Y'} X', 1)\)로 주어지고 왼쪽 수반 \[G : (\Sch/Y) \times_{(\Sch/X)} (\Sch/X') \longrightarrow (\Sch/Y')\] 을 가진다. 이 수반은 삼중항 \((V, U', \varphi)\)를 밀어내기 \(V \amalg_{(V \times_Y X)} U'\)로 보낸다. 끝으로 \(F \circ G\)는 항등함자와 동형이다.

증명

\((V, U', \varphi)\)를 올곱 범주의 대상으로 두자. \(U = U' \times_{X'} X\)라 놓는다. \(U \to U'\)가 비후화임에 유의하자. \(\varphi : V \times_Y X \to U' \times_{X'} X = U\)가 동형이므로, \(U\)를 올곱 \(X \times_Y V\)와 동일시하는 \(X \to Y\) 위의 사상 \(U \to V\)가 있다. 특히 \(U \to V\)는 아핀이다. Morphisms, Lemma 01SD를 보라. 따라서 Lemma 07RT을 적용하여 밀어내기 \(V' = V \amalg_U U'\)를 얻을 수 있다.

\(V'\)가 밀어내기라는 사실과, \(Y'\)로 가는 사상으로 보았을 때 \(U\) 위에서 일치하는 사상 \(V \to Y\) 및 \(U' \to X'\)가 주어졌다는 사실로부터 얻는 사상을 \(V' \to Y'\)로 나타내자. \(G(V, U', \varphi) = V'\)로 놓으면 함자 \(G\)를 얻는다.

\(G\)가 \(F\)의 왼쪽 수반임을 보이자. \(Z\)를 \(Y'\) 위의 스킴이라 하자. 다음을 보이면 된다. \[\Mor(V', Z) = \Mor((V, U', \varphi), F(Z))\] 여기서 사상들의 집합은 각각 해당 범주에서 취한다.

\(g' : V' \to Z\)를 사상이라 하자. \(g'\)와 사상 \(V \to V'\), 각각 \(U' \to V'\)의 합성을 \(\tilde g\), 각각 \(\tilde f'\)로 나타내자.

\(\tilde g\), 각각 \(\tilde f'\)를 \(Y \to Y'\), 각각 \(X' \to Y'\)로 밑변환하면 사상 \(g : V \to Z \times_{Y'} Y\), 각각 \(f' : U' \to Z \times_{Y'} X'\)를 얻는다. 그러면 \((g, f')\)는 위 등식의 우변의 원소이다(세부사항은 생략한다). 반대로 \((g, f') : (V, U', \varphi) \to F(Z)\)가 우변의 원소라고 하자.

\(g\), 각각 \(f\)를 \(Z \times_{Y'} X' \to Z\), 각각 \(Z \times_{Y'} Y \to Z\)와 합성하여 \(\tilde g : V \to Z\), 각각 \(\tilde f' : U' \to Z\)를 생각할 수 있다.

그러면 \(\tilde g\)와 \(\tilde f'\)는 \(U\)에서 \(Z\)로 가는 사상으로서 일치한다. 밀어내기의 보편 성질에 의해 사상 \(g' : V' \to Z\), 즉 좌변의 원소를 얻는다. 이 구성들이 서로 역이라는 확인은 생략한다.

\(F \circ G\)가 항등함자와 동형임을 보이려면 수반 사상 \((V, U', \varphi) \to F(G(V, U', \varphi))\)이 동형임을 보이면 된다. 이를 위해 아핀 국소적으로 논할 수 있다. \(X = \Spec(A)\), \(X' = \Spec(A')\), 그리고 \(Y = \Spec(B)\)라 하자. 그러면 \(A' \to A\)와 \(B \to A\)는 More on Algebra, Lemma 07RU에서와 같은 환 사상이고, \(B' = B \times_A A'\)인 \(Y' = \Spec(B')\)를 얻는다. 다음으로 \(V = \Spec(D)\), \(U' = \Spec(C')\)이고 \(\varphi\)가 \(A\)-대수 동형 \(D \otimes_B A \to C' \otimes_{A'} A = C'/IC'\)로 주어진다고 하자. \(D' = D \times_{C'/IC'} C'\)라 놓는다. 이 경우 보여야 할 주장은 \(D' \otimes_{B'} B \cong D\) 및 \(D' \otimes_{B'} A' \cong C'\)이다. 이는 More on Algebra, Lemma 07RU의 특수한 경우이다.

보조정리

\(X \to X'\)를 스킴의 비후화라 하고 \(X \to Y\)를 스킴의 아핀 사상이라 하자. \(Y' = Y \amalg_X X'\)가 밀어내기라 하자(Lemma 07RT 참조). \(V' \to Y'\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음과 같이 놓는다. \(V = Y \times_{Y'} V'\), \(U' = X' \times_{Y'} V'\), 그리고 \(U = X \times_{Y'} V'\). 다음 두 범주는 서로 동치이다.

1. \(Y'\) 위에서 평탄한 준연접 \(\mathcal{O}_{V'}\)-가군들의 범주,

2. 다음 조건들을 만족하는 삼중항 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\)의 범주:

   1. \(\mathcal{G}\)는 \(Y\) 위에서 평탄한 준연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군이다.

   2. \(\mathcal{F}'\)는 \(X'\) 위에서 평탄한 준연접 \(\mathcal{O}_{U'}\)-가군이다.

   3. \(\varphi : (U \to V)^*\mathcal{G} \to (U \to U')^*\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 동형이다.

이 동치는 \(\mathcal{G}'\)를 \(((V \to V')^*\mathcal{G}', (U' \to V')^*\mathcal{G}', can)\)으로 보낸다. \(\mathcal{G}'\)가 삼중항 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\)에 대응한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{G}'\)가 유한형 \(\mathcal{O}_{V'}\)-가군일 필요충분조건은 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}'\)가 각각 유한형 \(\mathcal{O}_Y\)-가군과 \(\mathcal{O}_{U'}\)-가군인 것이다.

2. \(V' \to Y'\)가 국소 유한 표시이면, \(\mathcal{G}'\)가 유한 표시 \(\mathcal{O}_{V'}\)-가군일 필요충분조건은 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}'\)가 각각 유한 표시 \(\mathcal{O}_Y\)-가군과 \(\mathcal{O}_{U'}\)-가군인 것이다.

증명

준역함자는 삼중항 \((\mathcal{G}, \mathcal{F}', \varphi)\)에 올곱 \[(V \to V')_*\mathcal{G} \times_{(U \to V')_*\mathcal{F}} (U' \to V')_*\mathcal{F}'\] 을 대응시킨다. 여기서 \(\mathcal{F} = (U \to U')^*\mathcal{F}'\)이다. 실제로 아핀 위에서는 More on Algebra, Lemma 07RW의 동치를 되찾기 때문에 이 구성은 잘 작동한다. 일부 세부사항은 생략한다.

(a)와 (b)는 More on Algebra, Lemmas 08IH 및 08KP에서 따른다.

보조정리

Lemma 07RV의 상황을 생각하자. 어떤 삼중항 \((V, U', \varphi)\)에 대해 \(V' = G(V, U', \varphi)\)이면 다음이 성립한다.

1. \(V' \to Y'\)가 국소 유한형일 필요충분조건은 \(V \to Y\)와 \(U' \to X'\)가 국소 유한형인 것이다.

2. \(V' \to Y'\)가 평탄할 필요충분조건은 \(V \to Y\)와 \(U' \to X'\)가 평탄한 것이다.

3. \(V' \to Y'\)가 평탄하고 국소 유한 표시일 필요충분조건은 \(V \to Y\)와 \(U' \to X'\)가 평탄하고 국소 유한 표시인 것이다.

4. \(V' \to Y'\)가 매끄러울 필요충분조건은 \(V \to Y\)와 \(U' \to X'\)가 매끄러운 것이다.

5. \(V' \to Y'\)가 étale일 필요충분조건은 \(V \to Y\)와 \(U' \to X'\)가 étale인 것이다.

6. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

\(W'\)가 \(Y'\) 위에서 평탄하면 수반 사상 \(G(F(W')) \to W'\)는 동형이다. 따라서 \(F\)와 \(G\)는 \(Y'\) 위에서 평탄한 스킴들의 범주와 \(V \to Y\) 및 \(U' \to X'\)가 평탄한 삼중항 \((V, U', \varphi)\)의 범주 사이의 서로 준역인 함자를 정의한다.

증명

아핀 조각들 위에서 보면 이 보조정리의 주장들은 More on Algebra, Lemma 08KQ의 대응하는 주장들과 동치이다.

평탄 자취의 열림성

이 결과를 증명하려면 다소 수고가 필요하고, (어쩌면) 독립된 절을 할애할 가치가 있다. 그 결과는 다음과 같다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 국소 유한 표시인 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 국소 유한 표시인 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{가 }S\text{ 위에서 }x\text{에서 평탄하다}\}\] 는 \(X\)에서 열린집합이다.

증명

열림성은 \(X\) 위에서 국소적으로 검사할 수 있으므로 \(f\)가 아핀 스킴들의 사상이라고 가정할 수 있다. 이 경우 정리는 정확히 Algebra, Theorem 00RC이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, 다음을 스킴들의 데카르트 그림이라 하자. \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x' \in X'\)의 상들이 \(x = g'(x')\) 및 \(s' = f'(x')\)라고 하자.

1. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위에서 평탄하면, \((g')^*\mathcal{F}\)는 \(x'\)에서 \(S'\) 위에서 평탄하다.

2. \(g\)가 \(s'\)에서 평탄하고 \((g')^*\mathcal{F}\)가 \(x'\)에서 \(S'\) 위에서 평탄하면, \(\mathcal{F}\)는 \(x\)에서 \(S\) 위에서 평탄하다.

특히 \(g\)가 평탄하고 \(f\)가 국소 유한 표시이며 \(\mathcal{F}\)가 국소 유한 표시이면, Theorem 0399의 열린부분집합의 구성은 밑변환과 가환한다.

증명

국소환들의 가환 그림 \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{S', s'} \ar[u] & \mathcal{O}_{S, s} \ar[l] \ar[u] }\] 을 생각하자. \(\mathcal{O}_{X', x'}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{S, s}} \mathcal{O}_{S', s'}\)의 국소화이고, \(((g')^*\mathcal{F})_{x'}\)는 \(\mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{O}_{X', x'}\)와 같음에 유의하자. 따라서 보조정리는 Algebra, Lemma 00MQ에서 따른다.

올에 의한 평탄성 판정법

스킴들의 가환 그림(왼쪽 그림) \[\xymatrix{ X \ar[rr]_f \ar[dr] & & Y \ar[dl] \\ & S } \quad \xymatrix{ X_s \ar[rr]_{f_s} \ar[rd] & & Y_s \ar[dl] \\ & \Spec(\kappa(s)) }\] 과 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)를 생각하자. 점 \(x \in X\)가 \(s \in S\) 위에 놓이고 상이 \(y = f(x)\)라고 하자. \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄한가라는 질문을 생각한다. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 \(x\)에서 평탄하면, 아래 정리는 이 질문이 \(\mathcal{F}\)의 올에 대한 제한 \[\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\] 이 \(Y_s\) 위에서 \(x\)에서 평탄한가라는 질문과 밀접하게 관련됨을 말해 준다. 아래에는 “뇌터” 버전과 “유한 표시” 버전이 있으며, 앞에서는 “멱영” 버전을 다루었다. Lemma 06AF를 보라.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)라 하자. \(y = f(x)\)라 놓고, \(s \in S\)를 \(x\)의 \(S\)에서의 상이라 하자.

\(S\), \(X\), \(Y\)가 국소 뇌터이고 \(\mathcal{F}\)가 연접이며 \(\mathcal{F}_x \not = 0\)이라고 가정하자. 그러면 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 \(x\)에서 평탄하고, \(\mathcal{F}_s\)는 \(Y_s\) 위에서 \(x\)에서 평탄하다.

2. \(Y\)는 \(S\) 위에서 \(y\)에서 평탄하고, \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄하다.

증명

환 사상들 \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 과 가군 \(\mathcal{F}_x\)를 생각하자. \(\mathcal{F}_s\)의 \(x\)에서의 줄기는 가군 \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\)이고, \(Y_s\)의 \(y\)에서의 국소환은 \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\)이다. 따라서 함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 Algebra, Lemma 00MP이다. (2)가 성립하면 첫 번째 환 사상은 충실 평탄이고 \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 위에서 평탄하므로, Algebra, Lemma 00HC에 의해 \(\mathcal{F}_x\)가 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 평탄함을 알 수 있다. 더욱이 \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\)는 평탄 가군 \(\mathcal{F}_x\)를 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\)로 밑변환한 것이므로, Algebra, Lemma 00HI에 의해 평탄하다.

다음은 비뇌터 버전이다.

정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 \(S\) 위에서 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(Y\)는 \(S\) 위에서 국소 유한형이다.

\(x \in X\)라 하자. \(y = f(x)\)라 놓고, \(s \in S\)를 \(x\)의 \(S\)에서의 상이라 하자. \(\mathcal{F}_x \not = 0\)이면 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 \(x\)에서 평탄하고, \(\mathcal{F}_s\)는 \(Y_s\) 위에서 \(x\)에서 평탄하다.

2. \(Y\)는 \(S\) 위에서 \(y\)에서 평탄하고, \(\mathcal{F}\)는 \(Y\) 위에서 \(x\)에서 평탄하다.

더욱이 (1)과 (2)가 성립하는 점 \(x\)들의 집합은 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)에서 열린집합이다.

증명

환 사상들 \[\mathcal{O}_{S, s} \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 과 가군 \(\mathcal{F}_x\)를 생각하자. \(\mathcal{F}_s\)의 \(x\)에서의 줄기는 가군 \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\)이고, \(Y_s\)의 \(y\)에서의 국소환은 \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\)이다. 따라서 함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 Algebra, Lemma 05UV이다. (2)가 성립하면 첫 번째 환 사상은 충실 평탄이고 \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 위에서 평탄하므로, Algebra, Lemma 00HC에 의해 \(\mathcal{F}_x\)가 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 평탄함을 알 수 있다. 더욱이 \(\mathcal{F}_x/\mathfrak m_s \mathcal{F}_x\)는 평탄 가군 \(\mathcal{F}_x\)를 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_s \mathcal{O}_{Y, y}\)로 밑변환한 것이므로, Algebra, Lemma 00HI에 의해 평탄하다.

Morphisms, Lemma 02FV에 의해 사상 \(f\)는 국소 유한 표시이다. 집합 [05VI]\[\begin{equation} U = \{x \in X \mid \mathcal{F} \text{는 }x\text{에서 } Y\text{와 }S\text{ 모두의 위에서 평탄하다}\}. \end{equation}\] 이 집합은 Theorem 0399에 의해 \(X\)에서 열린집합이다. \(x \in U\)이면 \(\mathcal{F}_s\)는 \(x\)에서 \(Y_s\) 위에서 평탄한데, 이는 평탄 가군을 사상 \(Y_s \to Y\) 아래에서 밑변환한 것이다. Morphisms, Lemma 01U8를 보라. 따라서 \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\)의 모든 점에서 조건 (1)이 성립한다. 한편 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)가 (1)과 (2)를 만족하면 \(x \in U\)임은 명백하다. 따라서 우리가 찾는 열린집합은 \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\)이다.

이 정리들은 흔히 다음과 같은 단순화된 형태로 사용된다. 여기서는 대역적 진술만 제시하지만, 물론 점별 버전들도 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(S\), \(X\), \(Y\)는 국소 뇌터이다.

2. \(X\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

3. 모든 \(s \in S\)에 대해 사상 \(f_s : X_s \to Y_s\)는 평탄하다.

그러면 \(f\)는 평탄하다. \(f\)가 전사이기도 하면 \(Y\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

증명

이는 Theorem 039B의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 \(S\) 위에서 국소 유한 표시이다.

2. \(X\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

3. 모든 \(s \in S\)에 대해 사상 \(f_s : X_s \to Y_s\)는 평탄하다.

4. \(Y\)는 \(S\) 위에서 국소 유한형이다.

그러면 \(f\)는 평탄하다. \(f\)가 전사이기도 하면 \(Y\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

증명

이는 Theorem 039C의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 \(S\) 위에서 국소 유한 표시이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

3. \(\mathcal{F}\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

4. \(Y\)는 \(S\) 위에서 국소 유한형이다.

그러면 집합

\[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}\text{는 }x\text{에서 }Y\text{ 위에서 평탄하다}\}.\] 은 \(X\)에서 열려 있고 그 구성은 임의의 밑변환과 가환한다. 즉, \(S' \to S\)가 스킴의 사상이고 \(U'\)가 \(X' = X \times_S S'\)의 점들 가운데 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F} \times_S S'\)가 \(Y' = Y \times_S S'\) 위에서 평탄한 점들의 집합이면, \(U' = U \times_S S'\)이다.

증명

Morphisms, Lemma 02FV에 의해 사상 \(f\)는 국소 유한 표시이다. 따라서 Theorem 0399에 의해 \(U\)는 열려 있다. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하다고 가정했으므로, Theorem 039C에서 다음이 따른다.

\[U = \{x \in X \mid \mathcal{F}_s\text{는 }x\text{에서 }Y_s\text{ 위에서 평탄하다}\}.\] 여기서 \(s\)는 언제나 \(x\)의 \(S\)에서의 상을 뜻한다. (이 기술은 \(\mathcal{F}_x = 0\)일 때도 자명하게 성립한다.) 더욱이 보조정리의 가정들은 사상 \(f' : X' \to Y'\)와 층 \(\mathcal{F}'\)에 대해서도 계속 성립한다. 따라서 \(U'\)도 비슷하게 기술된다. 다시 말해 \(s \in S\)로 가는 \(s' \in S'\)가 주어졌을 때, \[\{x' \in X'_{s'} \mid \mathcal{F}'_{s'}\text{는 }x'\text{에서 }Y'_{s'}\text{ 위에서 평탄하다}\}\] 가 \(X_s\)에서 대응하는 자취의 역상임을 보이면 충분하다. 이는 Lemma 047C에 의해 참이다. 실제로 데카르트 그림 \[\xymatrix{ X'_{s'} \ar[d] \ar[r] & X_s \ar[d] \\ Y'_{s'} \ar[r] & Y_s }\] 에서 수평 사상들은 평탄 사상 \(\Spec(\kappa(s')) \to \Spec(\kappa(s))\)에 의한 밑변환이므로 평탄하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 \(S\) 위에서 국소 유한 표시이다.

2. \(X\)는 \(S\) 위에서 평탄하다.

3. \(Y\)는 \(S\) 위에서 국소 유한형이다.

그러면 집합

\[U = \{x \in X \mid X\text{는 }x\text{에서 }Y\text{ 위에서 평탄하다}\}.\] 은 \(X\)에서 열려 있고 그 구성은 임의의 밑변환과 가환한다.

증명

이는 Lemma 05VJ의 특수한 경우이다.

다음 보조정리는 Algebra, Lemma 00MH의 변형이다. \((\mathcal{F}_s)_x\)가 평탄 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-가군이라는 가정은 \((\mathcal{F}_s)_x\)가 자유 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-가군이라는 뜻임에 유의하자. \(x \in X_s\)가 \(X_s\)의 기약 성분의 일반점이고 \(X_s\)가 축약이면 이는 언제나 성립한다(실제로 이 경우 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)는 체이다. Algebra, Lemma 00EU 참조).

보조정리

\(f : X \to S\)를 유한 표시인 스킴의 사상이라 하고, \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)의 상이 \(s \in S\)라고 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위에서 평탄하고 \((\mathcal{F}_s)_x\)가 평탄 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)-가군이면, \(\mathcal{F}\)는 \(x\)의 한 근방에서 유한 자유이다.

증명

\(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\)가 영이면 나카야마 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(\mathcal{F}_x = 0\)이고, 따라서 \(\mathcal{F}\)는 \(x\)의 한 근방에서 영이다(Modules, Lemma 01B9). 그러므로 보조정리가 성립한다. 따라서 \(\mathcal{F}_x \otimes \kappa(x)\)가 영이 아니라고 가정할 수 있고, \(f = \text{id} : X \to X\)에 Theorem 039C를 적용할 수 있다. 그 결과 \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 위에서 평탄하다. 따라서 \(\mathcal{F}_x\)는 자유이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00NZ를 보라. 열린 근방 \(x \in U \subset X\)와 단면들 \(s_1, \ldots, s_r \in \mathcal{F}(U)\)를 택하되, 이들이 \(\mathcal{F}_x\)에서 기저로 가게 하자. 대응하는 사상 \(\psi : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_U\)는 \(U\)를 줄인 뒤 전사이다(Modules, Lemma 01B9). 그러면 \(\Ker(\psi)\)는 유한형이고(Modules, Lemma 01BP 참조), \(\Ker(\psi)_x = 0\)이다. 따라서 \(U\)를 한 번 더 줄이면 \(\psi\)는 동형이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한 표시인 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이며 \(S\) 위에서 평탄하다고 하자. 그러면 집합 \[\{x \in X : \mathcal{F}\text{는 }x\text{의 한 근방에서 자유이다}\}\] 은 \(X\)에서 열려 있고 그 구성은 임의의 밑변환 \(S' \to S\)와 가환한다.

증명

열림성은 자명하다. \(x \in X\)의 상이 \(s \in S\)라고 하자. Lemma 080Q에 의해 \(x\)가 이 집합에 속할 필요충분조건은 \(\mathcal{F}|_{X_s}\)가 \(x\)에서 \(X_s\) 위에서 평탄한 것이다. 이는 또한 \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(X\) 위에서 평탄한 것과 동치임이 명백하다(이 진술은 \(\mathcal{F}_x\)의 자유성으로부터 따르고, \(\mathcal{F}|_{X_s}\)가 \(x\)에서 \(X_s\) 위에서 평탄함을 함의하기 때문이다). 따라서 밑변환 진술은 Lemma 05VJ를 \(\text{id} : X \to X\)에 \(S\) 위에서 적용하여 따른다.

매끄러운 스킴 사이의 닫힌 몰입

다른 곳에는 잘 들어맞지 않는 몇 가지 결과를 모은다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Y \to X\)를 \(S\) 위에서 매끄러운 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. 모든 \(y \in Y\)에 대해 정수 \(0 \leq m, n\)과 가환 그림 \[\xymatrix{ Y \ar[d] & V \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathbf{A}^m_S \ar[d]^{(a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0 \ldots, 0)} \\ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^{m + n}_S }\] 이 존재하여 \(U \subset X\)는 열려 있고, \(V = Y \cap U\)이며, \(\pi\)는 étale이고, \(V = \pi^{-1}(\mathbf{A}^m_S)\)이며, \(y \in V\)이다.

증명

이 문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)를 \(y\)의 열린 근방으로 바꿀 수 있다. Divisors, Lemma 067U에 의해 \(Y \to X\)가 정칙 몰입이므로, \(X = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(Y = V(f_1, \ldots, f_n)\)가 되게 하는 정칙열 \(f_1, \ldots, f_n \in A\)가 존재한다고 가정할 수 있다. \(X\)를 (따라서 \(Y\)도) 더 줄이면 étale 사상 \(Y \to \mathbf{A}^m_S\)가 존재한다고 가정할 수 있다. Morphisms, Lemma 054L를 보라. \(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\)을 \(\mathcal{O}_Y(Y)\)에 속하는 이 étale 사상의 좌표함수들이라 하자. 이 함수들의 올림 \(g_1, \ldots, g_m \in A\)를 택하고 사상 \[(g_1, \ldots, g_m, f_1, \ldots, f_n) : X \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S\] 을 \(S\) 위에서 생각하자. 이는 \(S\) 위에서 국소 유한 표시인 스킴들의 사상이므로 국소 유한 표시이다(Morphisms, Lemma 02FV). 이 사상을 \(\mathbf{A}^m_S \subset \mathbf{A}^{m + n}_S\)에 제한하면 구성에 의해 étale이다. 따라서 \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\)가 \(y\)에서 étale임을 보이려면 \(X \to \mathbf{A}^{m + n}_S\)가 \(y\)에서 평탄함을 보이면 충분하다. Morphisms, Lemma 02GU를 보라. \(s \in S\)를 \(y\)의 상이라 하자. \(X_s \to \mathbf{A}^{m + n}_s\)가 \(y\)에서 평탄함을 확인하면 충분하다. Theorem 039C를 보라. \(z \in \mathbf{A}^{m + n}_s\)를 \(y\)의 상이라 하자. 국소환 사상 \[\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_s, y}\] 은 Algebra, Lemma 00R4에 의해 평탄하다. 실제로 체 위에서 매끄러운 스킴은 정칙이고 정칙환은 코언–매콜리이다. Varieties, Lemma 056S 및 Algebra, Lemma 00NQ를 보라. 따라서 정의역과 공역은 모두 정칙 국소환이다(따라서 CM이다). 정의역과 공역의 차원은 같다. 실제로 \(\dim(\mathcal{O}_{Y_s, y}) = \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\) 가 More on Algebra, Lemma 07QP에 의해 성립하고, \(\dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{m + n}_s, z}) = n + \dim(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^m_s, z})\)이며, \(\dim(\mathcal{O}_{X_s, y}) = n + \dim(\mathcal{O}_{Y_s, y})\) 이다. 마지막 등식은 \(\mathcal{O}_{Y_s, y}\)가 \(\mathcal{O}_{X_s, y}\)를 길이 \(n\)의 정칙열 \(f_1, \ldots, f_n\)로 나눈 몫이기 때문이다(Divisors, Remark 0FUD 참조). 끝으로 \(Y_s \to \mathbf{A}^m_s\)가 \(y\)에서 étale이므로 위에 표시된 화살표의 올환은 \(\kappa(z)\) 위에서 유한이다. 이것으로 증명이 끝난다.

주

환 \(R\)을 고정하고 \(S = \Spec(R)\)라 놓자. 정수 \(0 \leq m\)과 \(1 \leq n\)을 고정하자. 닫힌 몰입

\[Z = \mathbf{A}^m_S \longrightarrow \mathbf{A}^{m + n}_S = X,\quad (a_1, \ldots, a_m) \mapsto (a_1, \ldots, a_m, 0, \ldots 0).\] 을 생각하자. 닫힌 부분스킴 \(Z\)를 중심으로 한 \(X\)의 블로업을 \(X'\)이라 하자. 다음과 같이 쓰자. \[X = \Spec(A) \quad\text{with}\quad A = R[x_1, \ldots, x_m, y_1, \ldots, y_n]\] 그러면 \(X'\)은 아이디얼 \((y_1, \ldots, y_n)\)에 관한 \(A\)의 리스 대수의 Proj이다. 이 리스 대수는 \(B = A[T_1, \ldots, T_n]/(y_iT_j - y_jT_i)\)와 같다. 세부사항은 생략한다. 따라서 \(X' = \text{Proj}(B)\)는 다음 아핀 열린집합들로 덮이므로 \(S\) 위에서 매끄럽다.

\[\begin{align*} D_+(T_i) & = \Spec(B_{(T_i)}) \\ & = \Spec(A[t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots t_n]/(y_j - y_i t_j)) \\ & = \Spec(R[x_1, \ldots, x_m, y_i, t_1, \ldots, \hat t_i, \ldots, t_n]) \end{align*}\] 이들은 \(\mathbf{A}^{n + m}_S\)와 동형이다. 이 좌표도표에서 예외 인자는 \(y_i = 0\)으로 잘려 나오므로 예외 인자도 \(S\) 위에서 매끄럽다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \to X\)를 \(S\) 위에서 매끄러운 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(b : X' \to X\)를 \(Z\)의 블로업이라 하고 예외 인자를 \(E \subset X'\)라 하자. 그러면 \(X'\)과 \(E\)는 \(S\) 위에서 매끄럽다. 사상 \(p : E \to Z\)는 사영공간 다발 \[\mathbf{P}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2) \longrightarrow Z\] 과 표준적으로 동형이다. 여기서 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)는 \(Z\)의 아이디얼 층이다. 사영공간 다발 구조에서 오는 상대 \(\mathcal{O}_E(1)\)은 \(\mathcal{O}_{X'}(-E)\)를 \(E\)로 제한한 것과 동형이다.

증명

Divisors, Lemma 067U에 의해

몰입 \(Z \to X\)는 정칙 몰입이다. 따라서 아이디얼 층 \(\mathcal{I}\)는 유한형이고, 따라서 \(b\)는 상대 풍부 가역층 \(\mathcal{O}_{X'}(1) = \mathcal{O}_{X'}(-E)\)을 가진 사영 사상이다. Divisors, Lemmas 02OS 및 02NS를 보라. 표준 사상 \(\mathcal{I} \to b_*\mathcal{O}_{X'}(1)\)은 닫힌 몰입 \[X' \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{I})\right)\] 을 주는데, 이는 바로 블로업의 구성에서 따른다. 이 사상을 \(E\)로 제한하면 표준 사상 \[E \longrightarrow \mathbf{P}\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \text{Sym}^n_{\mathcal{O}_Z}(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2)\right)\] 을 \(Z\) 위에서 얻는다. \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)는 유한 국소 자유이다.

이 표준 사상이 동형이면 보조정리의 마지막 부분이 성립한다. 이제 이 모든 사실을 말했으므로 문제는 \(X\) 위에서 étale 국소적이다. 실제로 Divisors, Lemma 0805에 의해 블로업은 평탄 밑변환과 가환하고, 전사 étale 사상과 앞합성한 뒤 매끄러움을 검사할 수 있다. 따라서 Lemma 0FUE에 주어진 \(S\) 위 스킴의 닫힌 몰입의 étale 국소 구조에 의해, Remark 0H1H에서 논한 경우로 환원된다.

평탄 가군과 상대 동반점

이 절에서는 기하학적 상황에서 평탄 가군의 받침이 (어떤 의미에서) 밑공간 위에서 등차원임을 증명한다. 뇌터인 경우에 대해서는 [EGA, IV Proposition 12.1.1.5]를 보라. 먼저 두 개의 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(A\)를 값매김환이라 하자.

\(A \to B\)를 본질적 유한형인 국소환의 국소 준동형이라 하자. \(u : N \to M\)을 유한 \(B\)-가군의 사상이라 하자. \(M\)이 \(A\) 위에서 평탄하고 \(\overline{u} : N/\mathfrak m_A N \to M/\mathfrak m_A M\)이 단사라고 가정하자. 그러면 \(u\)는 단사이고 \(M/u(N)\)은 \(A\) 위에서 평탄하다.

증명

이 보조정리를 Algebra, Lemma 046Y에서 도출하겠다(\(M\)과 \(N\)의 역할을 바꾸었음에 유의하자). 이 환원을 위해 More on Algebra, Lemma 0GSE를 사용하여 유한 표시인 경우로 환원한다.

가정에 의해 \(B\)를 다항식 대수 \(P = A[x_1, \ldots, x_n]\)을 소아이디얼 \(\mathfrak q\)에서 국소화한 것의 몫으로 쓸 수 있다. 그러면 \(u : N \to M\)을 유한 \(P_\mathfrak q\)-가군의 사상으로 생각할 수 있다. 따라서 \(B\)가 \(A\) 위에서 본질적 유한 표시라고 가정할 수 있고 그렇게 가정한다.

다음으로 \(B\)-가군 \(N\)은 유한이지만 유한 표시가 아닐 수도 있다. \(N = \colim N_\lambda\)를 전이 사상이 전사인 유한 표시 \(B\)-가군들의 여과 쌍극한으로 쓰자. 예를 들어 표시 \(0 \to K \to B^{\oplus r} \to N \to 0\)을 택하고, \(K\)를 유한 부분가군들 \(K_\lambda\)의 합집합으로 쓴 뒤, \(N_\lambda = \Coker(K_\lambda \to B^{\oplus r})\)라 놓는다. 가군 \(N/\mathfrak m_A N\)은 뇌터환 \(B/\mathfrak m_A B\) 위에서 유한 표시이다. 따라서 충분히 큰 \(\lambda\)에 대해 \(N_\lambda/\mathfrak m_A N_\lambda = N/\mathfrak m_A N\)이다. 이제 합성 \(u_\lambda : N_\lambda \to M\)에 대해 보조정리를 보일 수 있으면 \(N_\lambda = N\)이고 결과가 \(u\)에 대해 성립한다고 결론지을 수 있다. 따라서 \(N\)이 \(B\) 위에서 유한 표시라고 가정할 수 있고 그렇게 가정한다.

More on Algebra, Lemma 0GSE에 의해 가군 \(M\)은 \(B\) 위에서 유한 표시이다. 따라서 Algebra, Lemma 046Y의 모든 가정이 성립하므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(y \in X\)를 상이 \(t \in S\)인 점이라 하자.

\(Y \subset X\)를 \(X\)의 정수적 닫힌 부분스킴으로 본 \(\{y\}\)의 폐포라 하자. \(s \in S\)라 하고, \(x \in Y_s\)를 \(Y_s\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. 다음 성질들을 가진 데카르트 그림 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 이 존재한다.

1. \(S'\)은 일반점이 \(t'\)이고 닫힌점이 \(s'\)인 값매김환의 스펙트럼이다.

2. \(g(t') = t\)이고 \(g(s') = s\)이다.

3. \((S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\)의 한 기약 성분의 일반점이며 \(g'(y') = y\)를 만족하는 점 \(y' \in X'_{t'}\)가 존재한다.

4. \(Y' \subset X'\)를 \(X'\)의 정수적 닫힌 부분스킴으로 본 \(\{y'\}\)의 폐포라 하면, \(Y'_{s'}\)의 한 기약 성분의 일반점이며 \(g'(x') = x\)를 만족하는 점 \(x' \in Y'_{s'}\)가 존재한다.

증명

값매김환 \(R\)을 택하고, 일반점이 \(t'\)이고 닫힌점이 \(s'\)인 \(S' = \Spec(R)\)라 놓은 뒤, \(h(t') = y\) 및 \(h(s') = x\)를 만족하는 사상 \(h : S' \to X\)를 택한다. Schemes, Lemma 01J8를 보라. \(g(t') = t\) 및 \(g(s') = s\)가 되도록 \(g = f \circ h\)라 놓는다. 밑변환 \[\xymatrix{ X' \ar[r]_{g'} \ar[d] & X \ar[d] \\ S' \ar@/^1em/[u]^\sigma \ar[r]^-g & S }\] 을 생각하자. \(h = g' \circ \sigma\)를 만족하는 이 밑변환의 단면 \(\sigma\)를 얻는다.

물론 \(h\)가 \(Y\)를 통하여 인수분해되므로 \(\sigma\)는 \(Y\)의 밑변환 \(S' \times_S Y\)를 통하여 인수분해된다. \(y' \in X'_{t'} \subset X'\)를 올 \[(S' \times_S Y)_{t'} = Y_t \times_t t'\] 에서 점 \(\sigma(t')\)를 포함하는 한 기약 성분의 일반점, 즉 \(y' \leadsto \sigma(t')\)를 만족하는 점이라 하자.

\(g'(y') \in Y_t\)이고 \(g(y') \leadsto g(\sigma(t')) = y\)이므로, \(y\)가 올 \(Y_t\)의 일반점이라는 사실에서 \(g'(y') = y\)를 얻는다.

\(Y' \subset X'\)를 \(\{y'\}\)의 \(X'\)에서의 폐포에 주는 정수적 닫힌 부분스킴 구조라 하자. \(\sigma(t') \in Y'\)이므로 \(\sigma\)는 \(Y'\)를 통하여 인수분해된다. \(x' \in Y'_{s'}\)를 \(\sigma(s')\)를 포함하는 \(Y'_{s'}\)의 한 기약 성분의 일반점으로 택하자. 즉, \(x' \leadsto \sigma(s')\)를 얻고, 따라서 \(g'(x') \leadsto g'(\sigma(s')) = x\)이다. 다시 말해 가정에 의해 \(x\)가 \(Y_s\)의 한 기약 성분의 일반점이고 \(g'(Y') \subset Y\)이므로 \(g'(x') = x\)라고 결론짓는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 상이 \(t \in S\)인 \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라 하자.

\(Y \subset X\)를 \(\{y\}\)의 \(X\)에서의 폐포에 주는 정수적 닫힌 부분스킴 구조라 하자. \(s \in S\)라 하고, \(x \in Y_s\)를 \(Y_s\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 \(x\)에서 평탄하면, \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이고 \(\dim_x(Y_s) = \dim(Y_t)\)이다.

증명

Lemma 0GSH에서와 같은 그림을 택하자. \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)라 놓는다. Divisors, Lemma 05DC에 의해 \(y' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\)이다. \(y'\)의 선택에 의해 또한 \(\dim(Y'_{t'}) = \dim(Y_t)\)임을 알 수 있다. 예를 들어 Algebra, Lemma 0CWE을 보라. Algebra, Lemma 00QK에 의해 \(Y'_{s'}\)는 차원이 \(\dim(Y_t)\)와 같은 등차원 스킴이다. \(\mathcal{F}\)가 \(x\)에서 \(S\) 위에서 평탄하므로 \(\mathcal{F}'\)는 \(x'\)에서 \(S'\) 위에서 평탄하다. Morphisms, Lemma 01U8를 보라.

\(x' \in \text{Ass}_{X'/S}(\mathcal{F}')\)임을 보일 수 있다고 하자. 그러면 Divisors, Lemma 05DC에 의해 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이고, \(x'\)를 포함하는 \(Y'_{s'}\)의 기약 성분 \(C'\)은 \(x\)를 포함하는 기약 성분 \(C \subset Y_s\)에 대한 \(C \times_s s'\)의 한 기약 성분이다. 따라서 \(\dim(C) = \dim(C') = \dim(Y_t)\)이고(위를 보라) 증명이 완성된다. 이로써 다음 단락에서 논할 경우로 환원된다.

\(A\)가 값매김환인 \(S = \Spec(A)\)라고 가정하고, \(t\)와 \(s\)를 \(S\)의 일반점과 닫힌점이라 하자. 모순을 얻기 위해 \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라고 가정하겠다. 다시 말해, \(\mathcal{F}_s\)가 \(\mathcal{F}\)를 \(X_s\)로 당긴 것일 때 \(x \not \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)라고 가정한다. 환 사상 \[A \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x} = B\] 과 \(B = \mathcal{O}_{X, x}\) 위의 가군 \(N = \mathcal{F}_x\)를 생각하자. 그러면 \(B/\mathfrak m_A B = \mathcal{O}_{X_s, x}\)이고 \(N/\mathfrak m_A N\)은 점 \(x\)에서 \(\mathcal{F}_s\)의 줄기이다.

\(\mathfrak q \subset B\)를 점 \(y\)에 대응하는 소아이디얼이라 하자. Schemes, Lemma 01J7를 보라. \(x\)가 \(Y_s\)의 일반점이므로 \(\mathfrak q + \mathfrak m_A B\)의 근기는 \(\mathfrak m_B\)이다. 그러면 \(\text{Ass}_{B/\mathfrak m_A B}(N/\mathfrak m_A N)\)은 소아이디얼들의 유한집합인데(Algebra, Lemma 00LC), \(x \not \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이므로 \(B/\mathfrak m_A B\)의 극대아이디얼을 포함하지 않는다.

따라서 \(B/\mathfrak m_A B\)에서 \(\mathfrak q\)의 상은 이 소아이디얼들 중 어느 것에도 포함되지 않는다. 그러므로 소아이디얼 회피(Algebra, Lemma 00DS)에 의해, \(B/\mathfrak m_A B\)에서의 상이 \(N/\mathfrak m_A N\) 위의 영인자가 아닌 원소 \(g \in \mathfrak q\)를 찾을 수 있다(이는 Algebra, Lemma 00LD의 영인자에 대한 기술을 사용한다).

\(N = \mathcal{F}_x\)는 Lemma 0GSG에 의해 \(A\)-평탄이므로 다음 사상은 단사이다. \[g : N \longrightarrow N\] 특히 \(K = \text{Frac}(A)\)가 \(A\)의 분수체이면 다음 사상이 단사임을 알 수 있다. \[g : N \otimes_A K \longrightarrow N \otimes_A K\] \(\mathfrak q\)가 \(B \otimes_A K\)의 소아이디얼에 대응함에 유의하자.

\(\mathcal{F}_t\)를 \(\mathcal{F}\)의 일반올 \(X_t\)로의 제한이라 하자. \((B \otimes_A K)_{\mathfrak q} = \mathcal{O}_{X_t, y}\)이고, \((N \otimes_A K)_\mathfrak q\)는 \(y\)에서 \(\mathcal{F}_t\)의 줄기이다. 따라서 \(g \in \mathfrak m_y \subset \mathcal{O}_{X_t, y}\)가 줄기 \((\mathcal{F}_t)_y\) 위의 영인자가 아님을 얻는다. 이는 \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라는 가정과 모순이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(S\) 위에서 평탄한 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(S\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이라고 가정하자. \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)) \leq r\)이면 모든 \(s \in S\)에 대해 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)) \leq r\)이다.

증명

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)를 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_s)\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. Algebra, Lemma 080T에 의해 \(f(y) = \eta\)를 만족하는 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)에서의 특수화 \(y \leadsto x\)를 찾을 수 있다. 물론 \(y\)가 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_\eta)\)의 한 기약 성분의 일반점이라고 가정할 수 있다. Lemma 0GSI로부터 \(\overline{\{x\}}\)의 차원이 \(r\) 이하라고 결론짓는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라 하자.

\(Y \subset X\)를 \(\{y\}\)의 \(X\)에서의 폐포에 주는 정수적 닫힌 부분스킴 구조라 하고, \(T \subset S\)를 정수적 닫힌 부분스킴으로 본 \(\{f(y)\}\)의 폐포라 하자. 가환 그림 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ T \ar[r] & S }\] 을 얻으며, 여기서 \(Y \to T\)는 우세하다. \(\mathcal{F}\)가 \(Y \to T\)의 올의 기약 성분들의 모든 일반점에서 \(S\) 위에서 평탄하다고 가정하자 (예를 들어 \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하면 그러하다). 그러면

1. \(s \in S\)이고 \(x \in Y_s\)가 \(Y_s\)의 한 기약 성분의 일반점이면 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이다.

2. \(Y \to T\)의 상대차원이 \(d\)가 되게 하는 정수 \(d \geq 0\)이 존재한다. Morphisms, Definition 02NJ를 보라.

증명

이는 Lemma 0GSI의 점별 버전으로부터 즉시 따른다. 국소 대수적 스킴 \(Y_s\)의 차원을 계산하려면 일반점들의 근방을 살펴보면 충분함에 유의하자. Varieties, Section 06LF을 보라.

주

위의 내용, 특히 Lemma 0GSJ를 이용하여 스킴의 사상 \(f : X \to S\)가 Morphisms, Definition 02NJ에서 정의한 상대차원 \(d\)를 가진다고 결론지을 수 있는 몇 가지 경우를 제시한다. 예를 들어 다음이 성립하면 그러하다.

1. \(X\)는 일반점 \(\xi\)를 가진 정수적 스킴이다.

2. \(\kappa(f(\xi))\) 위의 \(\kappa(\xi)\)의 초월차수는 \(d\)이다.

3. \(f\)는 국소 유한형이다.

4. \(S\) 위에서 평탄하고 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)를 만족하는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재한다.

다음과 같은 또 다른 가정들도 충분하다.

1. \(S\)는 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이다.

2. \(X_\eta\)는 \(X\)에서 조밀하다.

3. \(X_\eta\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(d\)이다.

4. \(f\)는 국소 유한형이다.

5. \(S\) 위에서 평탄하고 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)를 만족하는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재한다.

물론 \(\mathcal{F}\)에 대한 평탄성 조건을 완화하여 \(\mathcal{F}\)가 여차원 \(0\)에서 \(S\) 위에서 평탄하다는 것, 즉 \(\mathcal{F}\)가 모든 올의 모든 일반점에서 \(S\) 위에서 평탄하다는 것만 요구할 수도 있다.

이 결과들이 필요해지면 여기에 주의 깊게 진술하고 증명할 것이다.

정규화 다시 보기

정규화는 매끄러운 밑변환과 가환한다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴의 매끄러운 사상이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-대수층이라 하자. \(f^*\mathcal{A}\)에서 \(\mathcal{O}_Y\)의 정수적 폐포는 \(f^*\mathcal{A}'\)와 같다. 여기서 \(\mathcal{A}' \subset \mathcal{A}\)은 \(\mathcal{A}\)에서 \(\mathcal{O}_X\)의 정수적 폐포이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 03GG를 스킴의 언어로 옮긴 것이다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

다음을 스킴의 범주에서의 올곱 그림이라 하자. \[\xymatrix{ Y_2 \ar[r] \ar[d]_{f_2} & Y_1 \ar[d]^{f_1} \\ X_2 \ar[r]^\varphi & X_1 }\] \(f_1\)이 준콤팩트이고 준분리이며, \(\varphi\)가 매끄럽다고 가정하자. \(Y_i \to X_i' \to X_i\)를 \(Y_i\)에서 \(X_i\)의 정규화라 하자. 그러면 \(X_2' \cong X_2 \times_{X_1} X_1'\)이다.

증명

인수분해 \(Y_1 \to X_1' \to X_1\)을 \(X_2\)로 밑변환하면 인수분해 \(Y_2 \to X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\)가 되고, \(X_2 \times_{X_1} X_1' \to X_2\)는 정수적이다(Morphisms, Lemma 01WL). 따라서 Morphisms, Lemma 035I의 보편 성질에 의해 사상 \(h : X_2' \to X_2 \times_{X_1} X_1'\)를 얻는다. \(X_2'\)은 \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2}\)에서 \(\mathcal{O}_{X_2}\)의 정수적 폐포의 상대 스펙트럼임에 유의하자. \(\mathcal{A}' \subset f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\)가 \(\mathcal{O}_{X_1}\)의 정수적 폐포를 나타내면, \(X_2 \times_{X_1} X_1'\)은 \(\varphi^*\mathcal{A}'\)의 상대 스펙트럼이다. Constructions, Lemma 01LX를 보라. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의해 \(f_{2, *}\mathcal{O}_{Y_2} = \varphi^*f_{1, *}\mathcal{O}_{Y_1}\)임을 안다. 따라서 결과는 Lemma 081K에서 따른다.

보조정리

\(X \to Y\)를 스킴의 매끄러운 사상이라 하자. \(Y\)의 모든 준콤팩트 열린집합이 유한 개의 기약 성분을 가진다고 가정하자. 그러면 \(X\)에 대해서도 마찬가지이고, \(X^\nu\), \(Y^\nu\)가 각각 \(X\), \(Y\)의 정규화일 때 \(X\) 위의 유일한 동형 \(X^\nu = X \times_Y Y^\nu\)가 존재한다.

증명

Descent, Lemma 0BAL에 의해 \(X\)의 모든 준콤팩트 열린집합은 유한 개의 기약 성분을 가진다. 축약 스킴 위에서 매끄러운 스킴은 축약이므로 \(X_{red} = X \times_Y Y_{red}\)임에 유의하자. Descent, Lemma 034E을 보라. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 축약이라고 가정할 수 있다(정의에 의해 스킴의 정규화는 그 축약의 정규화와 같기 때문이다). 다음으로 Descent, Lemma 034F에 의해 \(X' = X \times_Y Y^\nu\)가 정규 스킴임에 유의하자. 사상 \(X' \to Y^\nu\)는 매끄럽고(따라서 평탄하고), 그러므로 \(X'\)의 기약 성분의 일반점들은 \(Y^\nu\)의 기약 성분의 일반점들 위에 놓인다. \(Y^\nu \to Y\)가 쌍유리이므로 \(X' \to X\)도 쌍유리라고 결론짓는다 (\(X' \to Y^\nu\)가 \(Y\)의 일반점들 위의 올에서 동형을 유도하기 때문이다). 따라서 인수분해 \(X^\nu \to X' \to X\)가 존재한다. Morphisms, Lemma 035Q를 보라. \(X'\)이 정규이고 \(X\) 위에서 정수적이므로 이 인수분해는 동형이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(\nu : X^\nu \to X\)를 정규화 사상이라 하자. 그러면 임의의 점 \(x \in X\)에 대해 밑변환 \[X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h), \quad\text{resp.}\quad X^\nu \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh}) \to \Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\] 은 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^h)\), 각각 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}^{sh})\)의 정규화이다.

증명

\(\eta_1, \ldots, \eta_r\)를 \(x\)를 지나는 \(X\)의 기약 성분들의 일반점들이라 하자. 정규화를 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)로 밑변환한 것은 \(\prod \kappa(\eta_i)\)에서 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 정수적 폐포의 스펙트럼이다. 이는 Morphisms, Definition 035N과 Morphisms, Lemma 035F에서 \(X\)의 정규화를 구성한 방식에서 따른다. Morphisms, Lemma 035P의 정규화 기술을 사용해도 된다. 따라서 다음 대수 문제로 환원된다. \(A\)를 뇌터 국소환이라 하자. 그러면 헨젤화 \(A^h\)와 강한 헨젤화 \(A^{sh}\)도 뇌터임을 상기하자(More on Algebra, Lemma 06LJ). \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_r\)을 그 극소 소아이디얼들이라 하자. \(A'\)을 \(\prod \kappa(\mathfrak p_i)\)에서 \(A\)의 정수적 폐포라 하자. 문제는 \(A' \otimes_A A^h\), 각각 \(A' \otimes_A A^{sh}\)가 뇌터 국소환 \(A^h\), 각각 \(A^{sh}\)로부터 같은 방식으로 구성됨을 보이는 것이다.

\(A^h\), 각각 \(A^{sh}\)는 étale \(A\)-대수들의 쌍극한이므로,

\(A\)와 \(A^{sh}\)의 극소 소아이디얼들은 정확히 \(A\)의 극소 소아이디얼들 위에 놓이는 \(A^h\), 각각 \(A^{sh}\)의 소아이디얼들임을 알 수 있다 (하강정리에 의한다. Algebra, Lemmas 00HS 및 0CAN 참조). 따라서 More on Algebra, Lemma 07QQ에 의해 \(A^h \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\), 각각 \(A^{sh} \otimes_A \prod \kappa(\mathfrak p_i)\) 가 \(A^h\), 각각 \(A^{sh}\)의 극소 소아이디얼에서의 잉여체들의 곱임을 알 수 있다. 과환에서 정수적 폐포를 취하는 것은 étale 밑변환과 가환한다. Algebra, Lemma 03GE를 보라.

\(A^h\)와 \(A^{sh}\)를 étale \(A\)-대수들의 극한으로 쓰면 \(A^h\)와 \(A^{sh}\)로의 밑변환에 대해서도 같은 것이 참임을 알 수 있다(더 일반적인 Algebra, Lemma 0CBF를 사용해도 된다).

정규 사상

Deligne와 Mumford의 논문 [DM]에는 정규 사상의 개념이 언급된다. 이는 일련의 사상 유형들 가운데 하나일 뿐이다³ 이 유형들은 모두 비슷하게 정의할 수 있다.

앞으로 필요에 따라 각 유형을 별도의 절에서 추가할 것이다.

정의

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 모든 올 \(X_y\)가 국소 뇌터 스킴이라고 가정하자.

1. \(x \in X\)라 하고 \(y = f(x)\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고 스킴 \(X_y\)가 \(\kappa(y)\) 위에서 \(x\)에서 기하학적으로 정규이면 \(f\)가 \(x\)에서 정규이다라고 한다(Varieties, Definition 038M 참조).

2. \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 정규이면 \(f\)를 정규 사상이라 한다.

따라서 사상 \(X \to Y\)가 정규라는 조건은 모든 올이 정규인 국소 뇌터 스킴이라고만 요구하는 것보다 강하다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)의 모든 올이 국소 뇌터라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 정규이다.

2. \(f\)는 평탄하고 그 올들은 기하학적으로 정규인 스킴이다.

증명

이는 정의에서 바로 따른다.

보조정리

매끄러운 사상은 정규이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 매끄러운 사상이라 하자. Morphisms, Lemma 01VE에 따라 \(f\)는 국소 유한 표시이므로 올 \(X_y\)는 체 위의 국소 유한형이고, 따라서 국소 뇌터이다. 또한 Morphisms, Lemma 01VF에 따라 \(f\)는 평탄하다. 끝으로 올 \(X_y\)는 체 위에서 매끄럽고(Morphisms, Lemma 01VB), 따라서 Varieties, Lemma 056T에 의해 기하학적으로 정규이다. 그러므로 Lemma 0391에 따라 \(f\)는 정규이다.

이 개념이 매끄러운 위상에 관하여 정의역과 공역에서 국소적임을 보이고자 한다. 먼저 국소 뇌터 올을 갖는 성질을 다룬다.

보조정리

성질 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\)의 올들은 국소 뇌터이다”는 정의역과 공역의 fppf 위상에서 국소적이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\)를 \(Y\)의 fppf 덮개라 하자.

\(f_i : X_i \to Y_i\)를 \(\varphi_i\)에 의한 \(f\)의 밑변환이라 쓰자. \(i \in I\)이고 \(y_i \in Y_i\)가 한 점이라고 하자. \(y = \varphi_i(y_i)\)라 놓자. 다음에 유의하라. \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] 더욱이 \(\varphi_i\)는 유한 표시이므로 체 확대 \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\)는 유한 생성이다. 따라서 이 상황에서 \(X_y\)가 국소 뇌터일 필요충분조건은 \(X_{i, y_i}\)가 국소 뇌터인 것이다(Varieties, Lemma 038R 참조). 이 사실은 공역에서의 국소성을 함의한다.

\(\{X_i \to X\}\)를 \(X\)의 fppf 덮개라 하자. \(y \in Y\)라 하자. 이 경우 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\)는 올의 fppf 덮개이다. 따라서 정의역에서의 국소성은 Descent, Lemma 034C에서 따른다.

보조정리

성질 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\)의 올들은 국소 뇌터이고 \(f\)는 정규이다”는 공역의 fppf 위상에서 국소적이고 정의역의 매끄러운 위상에서 국소적이다.

증명

다음과 같이 쓸 수 있다. \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\) 여기서 \(\mathcal{P}_1(f)=\)“\(f\)의 올들은 국소 뇌터이다”, \(\mathcal{P}_2(f)=\)“\(f\)는 평탄하다”, 그리고 \(\mathcal{P}_3(f)=\)“\(f\)의 올들은 기하학적으로 정규이다”이다. Lemma 0392와 Descent, Lemmas 02L2, 036K에서 이미 \(\mathcal{P}_1\)과 \(\mathcal{P}_2\)가 정의역과 공역의 fppf 위상에서 국소적임을 보았다. 따라서 \(\mathcal{P}_3\)를 다루면 된다.

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\)를 \(Y\)의 fpqc 덮개라 하자.

\(f_i : X_i \to Y_i\)를 \(\varphi_i\)에 의한 \(f\)의 밑변환이라 쓰자. \(i \in I\)이고 \(y_i \in Y_i\)가 한 점이라고 하자. \(y = \varphi_i(y_i)\)라 놓자. 다음에 유의하라. \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] 따라서 이 상황에서 \(X_y\)가 기하학적으로 정규일 필요충분조건은 \(X_{i, y_i}\)가 기하학적으로 정규인 것이다(Varieties, Lemma 038P 참조). 이 사실은 \(\mathcal{P}_3\)가 공역에서 fpqc 국소적임을 함의한다.

\(\{X_i \to X\}\)를 \(X\)의 매끄러운 덮개라 하자. \(y \in Y\)라 하자. 이 경우 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\)는 올의 매끄러운 덮개이다. 따라서 정의역의 매끄러운 위상에 관한 \(\mathcal{P}_3\)의 국소성은 Descent, Lemma 034F에서 따른다. 위의 결과들을 결합하면 보조정리가 따른다.

정칙 사상

Section 038Z과 비교하라. 이 개념의 대수적 판본은 More on Algebra, Section 07BY에서 논의한다.

정의

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 모든 올 \(X_y\)가 국소 뇌터 스킴이라고 가정하자.

1. \(x \in X\)라 하고 \(y = f(x)\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고 스킴 \(X_y\)가 \(\kappa(y)\) 위에서 \(x\)에서 기하학적으로 정칙이면 \(f\)가 \(x\)에서 정칙이다라고 한다(Varieties, Definition 038T 참조).

2. \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 정칙이면 \(f\)를 정칙 사상이라 한다.

사상 \(X \to Y\)가 정칙이라는 조건은 모든 올이 정칙인 국소 뇌터 스킴이라고만 요구하는 것보다 강하다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)의 모든 올이 국소 뇌터라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 정칙이다.

2. \(f\)는 평탄하고 그 올들은 기하학적으로 정칙인 스킴이다.

3. \(f(U) \subset V\)를 만족하는 모든 아핀 열린집합의 쌍 \(U \subset X\), \(V \subset Y\)에 대하여 환 준동형 \(\mathcal{O}_Y(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 정칙이다.

4. 열린 덮개 \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 열린 덮개들 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 각 사상 \(U_i \to V_j\)가 정칙이다.

5. 아핀 열린 덮개 \(Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)와 아핀 열린 덮개들 \(f^{-1}(V_j) = \bigcup_{i \in I_j} U_i\)가 존재하여 환 준동형 \(\mathcal{O}_Y(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_i)\)가 정칙이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의에서 바로 따른다. \(y = f(x)\)인 \(x \in X\)를 잡자. 정의에 따라 \(f\)가 \(x\)에서 평탄일 필요충분조건은 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)가 평탄한 환 준동형인 것이고, \(X_y\)가 \(\kappa(y)\) 위에서 \(x\)에서 기하학적으로 정칙일 필요충분조건은 \(\mathcal{O}_{X_y, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\) 가 \(\kappa(y)\) 위의 기하학적으로 정칙인 대수인 것이다. 따라서

\(f\)가 \(x\)에서 정칙인지 여부는 국소환의 국소 준동형 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)에만 의존한다. 그러므로 (1)과 (4)의 동치는 분명하다.

환 준동형 \(A \to B\)가 정칙일 필요충분조건은 그것이 평탄하고, 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대하여 올환 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)가 뇌터이면서 기하학적으로 정칙인 것임을 상기하라(More on Algebra, Definition 07BZ). Varieties, Lemma 038V에 따라 이는 \(\Spec(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)가 \(\kappa(\mathfrak p)\) 위에서 기하학적으로 정칙인 스킴인 것과 동치이다. 따라서 (2)는 (3)을 함의한다. (3)이 (5)를 함의함은 분명하다. 끝으로 (5)를 가정하자. 그러면 \(f\)는 평탄하다(Morphisms, Lemma 01U5 참조). 더욱이 \(y \in Y\)이면 어떤 \(j\)에 대하여 \(y \in V_j\)이고, \(X_y = \bigcup_{i \in I_j} U_{i, y}\)이다. Varieties, Lemma 038V에 따라 각 \(U_{i, y}\)는 \(\kappa(y)\) 위에서 기하학적으로 정칙이다. Varieties, Lemma 038V를 다시 적용하면 \(X_y\)가 기하학적으로 정칙임을 알 수 있다. 따라서 (2)가 성립하고 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

매끄러운 사상은 정칙이다.

증명

\(f : X \to Y\)를 매끄러운 사상이라 하자. Morphisms, Lemma 01VE에 따라 \(f\)는 국소 유한 표시이므로 올 \(X_y\)는 체 위의 국소 유한형이고, 따라서 국소 뇌터이다. 또한 Morphisms, Lemma 01VF에 따라 \(f\)는 평탄하다. 끝으로 올 \(X_y\)는 체 위에서 매끄럽고(Morphisms, Lemma 01VB), 따라서 Varieties, Lemma 056T에 의해 기하학적으로 정칙이다. 그러므로 Lemma 07R8에 따라 \(f\)는 정칙이다.

보조정리

성질 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\)의 올들은 국소 뇌터이고 \(f\)는 정칙이다”는 공역의 fppf 위상에서 국소적이고 정의역의 매끄러운 위상에서 국소적이다.

증명

다음과 같이 쓸 수 있다. \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f) \wedge \mathcal{P}_3(f)\) 여기서 \(\mathcal{P}_1(f)=\)“\(f\)의 올들은 국소 뇌터이다”, \(\mathcal{P}_2(f)=\)“\(f\)는 평탄하다”, 그리고 \(\mathcal{P}_3(f)=\)“\(f\)의 올들은 기하학적으로 정칙이다”이다. Lemma 0392와 Descent, Lemmas 02L2, 036K에서 이미 \(\mathcal{P}_1\)과 \(\mathcal{P}_2\)가 정의역과 공역의 fppf 위상에서 국소적임을 보았다. 따라서 \(\mathcal{P}_3\)를 다루면 된다.

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\)를 \(Y\)의 fpqc 덮개라 하자.

\(f_i : X_i \to Y_i\)를 \(\varphi_i\)에 의한 \(f\)의 밑변환이라 쓰자. \(i \in I\)이고 \(y_i \in Y_i\)가 한 점이라고 하자. \(y = \varphi_i(y_i)\)라 놓자. 다음에 유의하라. \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\] 따라서 이 상황에서 \(X_y\)가 기하학적으로 정칙일 필요충분조건은 \(X_{i, y_i}\)가 기하학적으로 정칙인 것이다(Varieties, Lemma 038W 참조). 이 사실은 \(\mathcal{P}_3\)가 공역에서 fpqc 국소적임을 함의한다.

\(\{X_i \to X\}\)를 \(X\)의 매끄러운 덮개라 하자. \(y \in Y\)라 하자. 이 경우 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\)는 올의 매끄러운 덮개이다. 따라서 정의역의 매끄러운 위상에 관한 \(\mathcal{P}_3\)의 국소성은 Descent, Lemma 036D에서 따른다. 위의 결과들을 결합하면 보조정리가 따른다.

코언–매콜리 사상

Section 038Z과 비교하라. Algebra, Section 045L과 Varieties, Section 045O에서 지적했듯이 “기하학적으로 코언–매콜리”인 것은 단순히 코언–매콜리인 것과 같다.

정의

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 모든 올 \(X_y\)가 국소 뇌터 스킴이라고 가정하자.

1. \(x \in X\)라 하고 \(y = f(x)\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고 스킴 \(X_y\)의 \(x\)에서의 국소환이 코언–매콜리이면 \(f\)가 \(x\)에서 코언–매콜리이다라고 한다.

2. \(f\)가 \(X\)의 모든 점에서 코언–매콜리이면 \(f\)를 코언–매콜리 사상이라 한다.

이를 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)의 모든 올이 국소 뇌터라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 코언–매콜리이다.

2. \(f\)는 평탄하고 그 올들은 코언–매콜리 스킴이다.

증명

이는 정의에서 바로 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 국소 뇌터 스킴의 국소 유한형 코언–매콜리 사상이라 하자. \(Y\)에서의 상이 \(y\)인 \(X\)의 모든 점 \(x\)에 대하여 \[\dim_x(X) = \dim_y(Y) + \dim_x(X_y),\] 이다. 여기서 \(X_y\)는 \(y\) 위의 올을 나타낸다.

증명

\(X\)를 \(x\)의 한 열린 근방으로 바꾸면 자연수 \(d\)가 존재하여 \(X \to Y\)의 모든 올이 각 점에서 차원 \(d\)를 갖는다(Morphisms, Lemma 02NM 참조). 그러면 \(f\)는 평탄하고 국소 유한형이며 상대 차원이 \(d\)이다. 따라서 결과는 Morphisms, Lemma 0AFE에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)와 \(g : Y \to Z\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\), \(g\), \(g \circ f\)의 올들이 국소 뇌터라고 가정하자. 각각 \(y \in Y\), \(z \in Z\)로 가는 \(x \in X\)를 잡자.

1. \(f\)가 \(x\)에서 코언–매콜리이고 \(g\)가 \(f(x)\)에서 코언–매콜리이면 \(g \circ f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이다.

2. \(f\)와 \(g\)가 코언–매콜리이면 \(g \circ f\)는 코언–매콜리이다.

3. \(g \circ f\)가 \(x\)에서 코언–매콜리이고 \(f\)가 \(x\)에서 평탄이면, \(f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이고 \(g\)는 \(f(x)\)에서 코언–매콜리이다.

4. \(g \circ f\)가 코언–매콜리이고 \(f\)가 평탄이면, \(f\)는 코언–매콜리이고 \(g\)는 \(f\)의 상에 속하는 모든 점에서 코언–매콜리이다.

증명

다음 뇌터 국소환의 준동형을 생각하자. \[\mathcal{O}_{Y_z, y} \to \mathcal{O}_{X_z, x}\] 그 올은 다음과 같다. \[\mathcal{O}_{X_z, x}/\mathfrak m_{Y_z, y}\mathcal{O}_{X_z, x} = \mathcal{O}_{X_y, x}\]

따라서 보조정리는 Algebra, Lemma 045J에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 국소 뇌터 스킴의 평탄 사상이라 하자. \(X\)가 코언–매콜리이면 \(f\)는 코언–매콜리이고, 모든 \(x \in X\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{Y, f(x)}\)가 코언–매콜리이다.

증명

대수의 언어로 옮기면 이는 Algebra, Lemma 045J에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 모든 올 \(X_y\)가 국소 뇌터 스킴이라고 가정하자. \(Y' \to Y\)가 국소 유한형이라고 하자. \(f' : X' \to Y'\)를 \(f\)의 밑변환이라 하자. \(x' \in X'\)를 그 상이 \(x \in X\)인 점이라 하자.

1. \(f\)가 \(x\)에서 코언–매콜리이면 \(f' : X' \to Y'\)는 \(x'\)에서 코언–매콜리이다.

2. \(f\)가 \(x\)에서 평탄이고 \(f'\)가 \(x'\)에서 코언–매콜리이면, \(f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이다.

3. \(Y' \to Y\)가 \(f'(x')\)에서 평탄이고 \(f'\)가 \(x'\)에서 코언–매콜리이면, \(f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이다.

증명

\(Y' \to Y\)에 대한 가정은 \(y \in Y\)로 가는 \(y' \in Y'\)에 대하여 체 확대 \(\kappa(y')/\kappa(y)\)가 유한 생성임을 함의한다. 따라서 모든 올 \(X'_{y'} = (X_y)_{\kappa(y')}\)도 국소 뇌터이다 (Varieties, Lemma 038R 참조). 그러므로 보조정리의 진술은 의미가 있다. \(y' = f'(x')\)와 \(y = f(x)\)라 놓자. 그러면 다음 국소환의 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ \mathcal{O}_{X', x'} & \mathcal{O}_{X, x} \ar[l] \\ \mathcal{O}_{Y', y'} \ar[u] & \mathcal{O}_{Y, y} \ar[l] \ar[u] }\] 여기서 왼쪽 위 꼭짓점은 오른쪽 위 꼭짓점과 왼쪽 아래 꼭짓점의 오른쪽 아래 꼭짓점 위 텐서곱을 국소화한 것이다.

\(f\)가 \(x\)에서 코언–매콜리라고 가정하자. \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)의 평탄성은 \(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\)의 평탄성을 함의한다 (Algebra, Lemma 00MQ 참조). \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\)가 코언–매콜리라는 사실은 \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\)가 코언–매콜리임을 함의한다(Varieties, Lemma 045P 참조). 따라서 \(f'\)는 \(x'\)에서 코언–매콜리이다.

\(f\)가 \(x\)에서 평탄이고 \(f'\)가 \(x'\)에서 코언–매콜리라고 가정하자. \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\)가 코언–매콜리라는 사실은 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\)가 코언–매콜리임을 함의한다(Varieties, Lemma 045P 참조). 따라서 \(f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이다.

\(Y' \to Y\)가 \(y'\)에서 평탄이고 \(f'\)가 \(x'\)에서 코언–매콜리라고 가정하자. \(\mathcal{O}_{Y', y'} \to \mathcal{O}_{X', x'}\)와 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{Y', y'}\)의 평탄성은 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x}\)의 평탄성을 함의한다 (Algebra, Lemma 00MQ 참조). \(\mathcal{O}_{X', x'}/\mathfrak m_{y'}\mathcal{O}_{X', x'}\)가 코언–매콜리라는 사실은 \(\mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_y\mathcal{O}_{X, x}\)가 코언–매콜리임을 함의한다(Varieties, Lemma 045P 참조). 따라서 \(f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 평탄한 국소 유한 표시 스킴 사상이라 하자. 다음과 놓자. \[W = \{x \in X \mid f\text{ is Cohen-Macaulay at }x\}\] 그러면 다음이 성립한다.

1. \(W = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X_{f(x)}, x}\text{ is Cohen-Macaulay}\}\)이다.

2. \(W\)는 \(X\)에서 열린집합이다.

3. \(W\)는 \(X \to S\)의 모든 올에서 조밀하다.

4. \(W\)의 형성은 \(f\)의 임의의 밑변환과 가환한다. 임의의 사상 \(g : S' \to S\)에 대하여 \(f\)의 밑변환 \(f' : X' \to S'\)와 사영 \(g' : X' \to X\)를 생각하자. 그러면

   사상 \(f'\)에 대응하는 집합 \(W'\)은 \(W' = (g')^{-1}(W)\)와 같다.

증명

\(f\)는 국소 뇌터 올을 갖는 평탄 사상이므로 (1)의 등식은 정의에 따라 성립한다. (2)와 (3)은 Algebra, Lemma 00RI에서 따른다. (4)는 Algebra, Lemma 00RK 또는 Varieties, Lemma 045P에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 평탄한 국소 유한 표시 스킴 사상이라 하자. \(s \in S\)로 가는 \(x \in X\)를 잡자. \(d = \dim_x(X_s)\)라 놓자. 다음은 동치이다.

1. \(f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이다.

2. \(x\)의 열린 근방 \(U \subset X\)와 \(S\) 위의 국소 유사유한 사상 \(U \to \mathbf{A}^d_S\)가 존재하여 이 사상이 \(x\)에서 평탄하다.

3. \(x\)의 열린 근방 \(U \subset X\)와 \(S\) 위의 국소 유사유한 평탄 사상 \(U \to \mathbf{A}^d_S\)가 존재한다.

4. \(x\)의 열린 근방 \(U \subset X\)에서 정의된 임의의 \(S\)-사상 \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\)에 대하여 다음이 성립한다. \(g\)가 \(x\)에서 유사유한이다 \(\Rightarrow\) \(g\)가 \(x\)에서 평탄이다.

증명

평탄성의 열림성에 따라 (2)와 (3)은 동치이다(Theorem 0399 참조).

\(x \in U\)인 아핀 열린집합 \(U = \Spec(A) \subset X\)와 \(f(U) \subset V\)인 아핀 열린집합 \(V = \Spec(R) \subset S\)를 택하자. 그러면 \(R \to A\)는 유한 표시인 평탄 환 준동형이다. \(\mathfrak p \subset A\)를 \(x\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(A\)를 한 주 열린 국소화로 바꾸면 유사유한 준동형 \(R[x_1, \ldots, x_d] \to A\)가 존재한다고 가정할 수 있다 (Algebra, Lemma 00QE 참조). 따라서 \(x\)의 열린 근방 \(U \subset X\)와 국소적으로⁴ 유사유한인 사상 \(g : U \to \mathbf{A}^d_S\)로 이루어진 쌍 \((U, g)\)가 적어도 하나 존재한다.

주장: \(R \to A\)가 평탄하고 유한 표시이며, \(\mathfrak p \subset A\)가 소 아이디얼이고, \(\varphi : R[x_1, \ldots, x_d] \to A\)가 \(\mathfrak p\)에서 유사유한이라고 하자. 그러면 \(\Spec(\varphi)\)가 \(\mathfrak p\)에서 평탄일 필요충분조건은 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\)가 \(\mathfrak p\)에서 코언–매콜리인 것이다. 실제로 Theorem 039C에 따라 평탄성은 올에서 확인할 수 있다. 코언–매콜리라는 성질도 마찬가지이다 (\(A\)가 이미 \(R\) 위에서 평탄이라고 가정했기 때문이다). 따라서 주장은 Algebra, Lemma 00RE에서 따른다.

이 주장은 (1)과 (4)가 동치임을 보인다. 또한 둘째 문단에서 적절한 \((U, g)\)를 구성했다는 사실과 결합하면, 이 주장은 (1)과 (2)가 동치임도 보인다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 평탄한 국소 유한 표시 스킴 사상이라 하자. \(d \geq 0\)에 대하여 다음 성질을 갖는 열린집합 \(U_d \subset X\)가 존재한다.

1. \(W = \bigcup_{d \geq 0} U_d\)는 \(f\)의 모든 올에서 조밀하다.

2. \(U_d \to S\)의 상대 차원은 \(d\)이다(Morphisms, Definition 02NJ 참조).

증명

이는 Lemma 045U과 Morphisms, Lemma 02NM을 결합하면 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 평탄한 국소 유한 표시 스킴 사상이라 하자. \(x' \leadsto x\)가 \(X\)의 점들의 특수화이고 \(S\)에서의 상이 \(s' \leadsto s\)라고 하자. \(x\)가 \(X_s\)의 한 기약 성분의 일반점이면 \(\dim_{x'}(X_{s'}) = \dim_x(X_s)\)이다.

증명

점 \(x\)는 어떤 \(d\)에 대하여 \(U_d\)에 속한다. 여기서 \(U_d\)는 Lemma 054T에서와 같다.

보조정리

성질 \(\mathcal{P}(f)=\)“\(f\)의 올들은 국소 뇌터이고 \(f\)는 코언–매콜리이다”는 공역의 fppf 위상에서 국소적이고 정의역의 신토믹 위상에서 국소적이다.

증명

다음과 같이 쓸 수 있다. \(\mathcal{P}(f) = \mathcal{P}_1(f) \wedge \mathcal{P}_2(f)\) 여기서 \(\mathcal{P}_1(f)=\)“\(f\)는 평탄하다”, 그리고 \(\mathcal{P}_2(f)=\)“\(f\)의 올들은 국소 뇌터이고 코언–매콜리이다”이다. Descent, Lemmas 02L2, 036K에 따라 \(\mathcal{P}_1\)은 정의역과 공역의 fppf 위상에서 국소적이다. 따라서 \(\mathcal{P}_2\)를 다루면 된다.

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\{\varphi_i : Y_i \to Y\}_{i \in I}\)를 \(Y\)의 fppf 덮개라 하자.

\(f_i : X_i \to Y_i\)를 \(\varphi_i\)에 의한 \(f\)의 밑변환이라 쓰자. \(i \in I\)이고 \(y_i \in Y_i\)가 한 점이라고 하자. \(y = \varphi_i(y_i)\)라 놓자. 다음에 유의하라. \[X_{i, y_i} = \Spec(\kappa(y_i)) \times_{\Spec(\kappa(y))} X_y.\]

또한 \(\kappa(y_i)/\kappa(y)\)는 유한 생성 체 확대이다. 따라서 \(X_y\)가 국소 뇌터이면 \(X_{i, y_i}\)도 국소 뇌터이다 (Varieties, Lemma 038R 참조). 또한 \(X_y\)가 코언–매콜리이기까지 하면 \(X_{i, y_i}\)도 코언–매콜리이다(Varieties, Lemma 045P 참조). 따라서 \(\mathcal{P}_2\)는 공역에서 fppf 국소적이다.

\(\{X_i \to X\}\)를 \(X\)의 신토믹 덮개라 하자. \(y \in Y\)라 하자. 이 경우 \(\{X_{i, y} \to X_y\}\)는 올의 신토믹 덮개이다. 따라서 정의역의 신토믹 위상에 관한 \(\mathcal{P}_2\)의 국소성은 Descent, Lemma 036B에서 따른다. 위의 결과들을 결합하면 보조정리가 따른다.

코언–매콜리 사상의 절단

이 절의 결과들은 결국 fppf 위상이 “유한 표시, 평탄, 유사유한” 위상과 같다는 명제로 이어진다. 다음 보조정리는 Divisors, Lemma 062Y와 매우 밀접하다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 그 상이 \(s \in S\)인 점이라 하자. \(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(f\)는 \(x\)에서 평탄이다.

3. \(h\)의 다음 환에서의 상 \(\overline{h}\)는 영인자가 아닌 원소이다. \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\)

그러면 \(x\)의 아핀 열린 근방 \(U \subset X\)가 존재하여, \(h\)는 \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)에서 오고, \(D = V(h)\)는 \(U\)의 유효 Cartier 인자이며 \(x \in D\)이고, \(D \to S\)는 평탄한 국소 유한 표시 사상이다.

증명

뇌터인 경우로 환원하여 이를 증명한다. 평탄성의 열림성(Theorem 0399 참조)에 따라 \(X\)를 \(x\)의 한 열린 근방으로 바꾸어 \(X \to S\)가 평탄이라고 가정할 수 있다. 또한 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(X\)를 조금 더 줄여, 주어진 \(h\)로 가는 \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)가 존재한다고 가정할 수 있다.

\(S = \Spec(A)\)라 쓰고, \(A = \colim_i A_i\)를 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수들의 유향 쌍극한으로 쓸 수 있다.

그러면 Algebra, Lemma 02JO 또는 Limits, Lemmas 01ZM, 01ZN, 01ZM에 따라 다음 데카르트 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[d]_f & X_0 \ar[d]^{f_0} \\ S \ar[r] & S_0 }\] 여기서 \(f_0\)는 평탄하고 유한 표시이며, \(X_0\)는 아핀이고, \(S_0\)는 아핀 뇌터이다. \(x_0 \in X_0\), 각각 \(s_0 \in S_0\)를 \(x\), 각각 \(s\)의 상이라 하자. 또한 \(h_0 \in \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\)가 존재하여 \(X\)에서 \(h\)로 제한된다고 가정할 수 있다(위의 대수 참고문헌을 사용했다면 이는 분명하고, 극한 장의 참고문헌을 사용했다면 \(h\)를 사상 \(X \to \mathbf{A}^1_S\)로 생각하여 Limits, Lemma 01ZM를 적용하면 된다). \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)는 \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \otimes_{\kappa(s_0)} \kappa(s)\)의 국소화이므로 \(\mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0} \to \mathcal{O}_{X_s, x}\)는 평탄한 국소환 준동형이고, 특히 충실하게 평탄이다. 따라서 상 \(\overline{h}_0 \in \mathcal{O}_{(X_0)_{s_0}, x_0}\)는 \(\mathfrak m_{(X_0)_{s_0}, x_0}\)에 속하고 영인자가 아닌 원소이다. \(X_0\)를 \(x_0\)의 한 주 열린 근방으로 바꾸면 원소 \(h_0\)가 \(B_0 = \Gamma(X_0, \mathcal{O}_{X_0})\)에서 영인자가 아니고 \(B_0/h_0B_0\)가 \(A_0 = \Gamma(S_0, \mathcal{O}_{S_0})\) 위에서 평탄이라고 주장한다. 그렇다면 \[0 \to B_0 \xrightarrow{h_0} B_0 \to B_0/h_0B_0 \to 0\] 은 평탄한 \(A_0\)-가군의 짧은 완전열이다. 따라서 \(A\)와 텐서곱한 뒤에도 완전하며(Algebra, Lemma 00HL), 보조정리가 따른다.

위 주장을 증명하면 된다. 이에 대응하는 대수 명제는 다음과 같다 (여기서는 아래첨자 \({}_0\)을 생략한다). \(A \to B\)를 뇌터 환들의 평탄한 유한형 환 준동형이라 하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 \(\mathfrak p \subset A\) 위에 놓인 소 아이디얼이라 하자. \(h \in \mathfrak q\)의 \(B_{\mathfrak q}/\mathfrak p B_{\mathfrak q}\)에서의 상이 영인자가 아닌 원소라고 가정하자.

목표는 어떤 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)에 대하여 \(B\)를 \(B_g\)로 바꾸면 \(h\)가 영인자가 아닌 원소가 되고 \(B/hB\)가 \(A\) 위에서 평탄임을 보이는 것이다. Algebra, Lemma 00MF에 따라 \(h\)는 \(B_{\mathfrak q}\)에서 영인자가 아닌 원소이고 \(B_{\mathfrak q}/hB_{\mathfrak q}\)는 \(A\) 위에서 평탄이다. 평탄성의 열림성(Algebra, Theorem 00RC 또는 Theorem 0399 참조)에 따라 어떤 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)에 대하여 \(B\)를 \(B_g\)로 바꾸면 \(B/hB\)가 \(A\) 위에서 평탄이다. 끝으로 \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\)를 \(h\)의 소멸자라 하자. \(h\)는 \(B_{\mathfrak q}\)에서 영인자가 아닌 원소이므로 \(IB_{\mathfrak q} = 0\)이다. 또한 \(B\)는 뇌터이므로 \(I\)는 유한 생성이다. 따라서 \(IB_g = 0\)을 만족하는 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)가 존재한다. \(B\)를 \(B_g\)로 바꾸면 \(h\)가 영인자가 아닌 원소임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 그 상이 \(s \in S\)인 점이라 하자. \(h_1, \ldots, h_r \in \mathcal{O}_{X, x}\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(f\)는 \(x\)에서 평탄이다.

3. \(h_1, \ldots, h_r\)의 다음 환에서의 상들은 정칙열을 이룬다. \(\mathcal{O}_{X_s, x} = \mathcal{O}_{X, x}/\mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}\)

그러면 \(x\)의 아핀 열린 근방 \(U \subset X\)가 존재하여, \(h_1, \ldots, h_r\)는 \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)에서 오고, \(Z = V(h_1, \ldots, h_r) \to U\)는 \(x \in Z\)를 만족하는 정칙 몰입이며, \(Z \to S\)는 평탄한 국소 유한 표시 사상이다. 더욱이 \(S\) 위의 임의의 스킴 \(S'\)에 대하여 밑변환 \(Z_{S'} \to U_{S'}\)는 정칙 몰입이다.

증명

(정칙열에 대한 우리의 규약은 각 \(i\)에 대하여 \(h_i \in \mathfrak m_x\)임을 함의한다.) \(r = 1\)인 경우는 Lemma 056Y과 Divisors, Lemma 056Q를 결합하여 \(V(h_1)\)가 밑변환 뒤에도 유효 Cartier 인자로 남음을 확인하면 따른다. \(r > 1\)인 경우는 \(r\)에 대한 직접적인 귀납법으로 따른다 (\(r = 1\)인 결과를 정확히 \(r\)번 적용하며, 자세한 내용은 생략한다).

보조정리를 증명하는 다른 방법은 Divisors, Section 063P의 내용을 사용하는 것이다. 먼저 평탄성의 열림성(Theorem 0399 참조)에 따라 \(X\)를 \(x\)의 한 열린 근방으로 바꾸어 \(X \to S\)가 평탄이라고 가정할 수 있다. 또한 \(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(X\)를 조금 줄여 \(h_1, \ldots, h_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라고 가정할 수 있다. \(Z = V(h_1, \ldots, h_r)\)라 놓자. \(X_s\)는 대수적 \(\kappa(s)\)-스킴이므로 뇌터 스킴이고 (Varieties, Section 06LF 참조), \(X_s\)의 위상은 \(X\)의 위상에서 유도된다(Schemes, Lemma 01K1 참조). 따라서 \(X\)를 조금 더 줄여 \(Z_s \subset X_s\)가 \(r\)개 원소 \(h_i|_{X_s}\)로 정의되는 정칙 몰입이라고 가정할 수 있다(Divisors, Lemma 063I과 그 증명 참조). 또한 다음 때문에 \(r = \dim_x(X_s) - \dim_x(Z_s)\)임이 분명하다. \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(Z_s) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{Z_s, x}) + r \end{align*}\] 처음 두 등식은 Algebra, Lemma 00P1에서 따르고,

둘째 등식은 Algebra, Lemma 00KW을 \(r\)번 적용하면 따른다. 따라서 Divisors, Lemma 063W의 (3)을 적용하면 (Zariski 의미에서 \(X\)를 줄인 뒤) 사상 \(Z \to X\)가 정칙 몰입이고, Divisors, Lemma 063U을 적용할 수 있음을 알 수 있다(이 보조정리가 평탄성과 밑변환에 관한 진술을 준다).

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 그 상이 \(s \in S\)인 점이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(f\)는 \(x\)에서 평탄이다.

3. \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)의 \(\text{depth} \geq 1\)이다.

그러면 \(x\)의 아핀 열린 근방 \(U \subset X\)와 \(x\)를 포함하는 유효 Cartier 인자 \(D \subset U\)가 존재하여 \(D \to S\)는 평탄하고 유한 표시이다.

증명

\(\mathcal{O}_{X_s, x}\)에서 영인자가 아닌 원소로 가는 임의의 \(h \in \mathfrak m_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)를 택하고 Lemma 056Y을 적용하라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 그 상이 \(s \in S\)인 점이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 국소 유한 표시이다.

2. \(f\)는 \(x\)에서 코언–매콜리이다.

3. \(x\)는 \(X_s\)의 닫힌점이다.

그러면 \(x\)를 포함하는 정칙 몰입 \(Z \to X\)가 존재하여 다음이 성립한다.

1. \(Z \to S\)는 평탄하고 국소 유한 표시이다.

2. \(Z \to S\)는 국소 유사유한이다.

3. 집합론적으로 \(Z_s = \{x\}\)이다.

증명

\(S\)를 \(s\)의 한 아핀 열린 근방으로 바꾸자. 아핀 \(S\)에 대하여 \(d = \dim_x(X_s)\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명한다.

\(d = 0\)인 경우. 이 경우 \(Z\)를 \(x\)의 한 열린 근방으로 택할 수 있음을 보인다(열린 몰입은 정칙 몰입임에 유의하라). 실제로 \(d = 0\)이면 \(X \to S\)는 \(x\)에서 유사유한이다 (Morphisms, Lemma 0397 참조). 따라서 \(U \to S\)가 유사유한인 아핀 열린 근방 \(U \subset X\)가 존재한다 (Morphisms, Lemma 01TI 참조). 그러므로 \(X\)를 \(U\)로 바꾸면 올 \(X_s\)는 유한 이산 집합이다.

따라서 \(X\)를 \(X\)의 더 작은 아핀 열린 근방으로 바꾸면 \(f^{-1}(\{s\}) = \{x\}\)임을 알 수 있다(\(X_s\)의 위상은 \(X\)의 위상에서 유도되기 때문이다. Schemes, Lemma 01K1 참조). 이는 이 경우의 보조정리를 증명한다.

이제 \(d > 0\)이라 가정하자. \(x\)는 그 올의 닫힌점이므로 체 확대 \(\kappa(x)/\kappa(s)\)는 유한이다(Hilbert 영점정리에 의하며, Morphisms, Lemma 01TF 참조). 따라서 다음을 얻는다. \[\text{depth}(\mathcal{O}_{X_s, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) = d > 0\] 첫째 등식은 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)가 코언–매콜리이므로 성립하고, 둘째 등식은 Morphisms, Lemma 02FX에서 따른다. 따라서 Lemma 056Z을 적용하여 다음 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ D \ar[r] \ar[rrd] & U \ar[r] \ar[rd] & X \ar[d] \\ & & S }\] 여기서 \(x \in D\)이다. 어떤 영인자가 아닌 원소 \(\overline{h}\)에 대하여 \(\mathcal{O}_{D_s, x} = \mathcal{O}_{X_s, x}/(\overline{h})\)임에 유의하라 (Divisors, Lemma 056Q 참조). 따라서 \(\mathcal{O}_{D_s, x}\)는 코언–매콜리이고 그 차원은 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)의 차원보다 하나 작다(예를 들어 Algebra, Lemma 02JN 참조). 그러므로 사상 \(D \to S\)는 평탄하고 국소 유한 표시이며 \(x\)에서 코언–매콜리이고, \(\dim_x(D_s) = \dim_x(X_s) - 1 = d - 1\)이다. 귀납 가정에 따라 (a), (b), (c)의 성질을 갖는 정칙 몰입 \(Z \to D\)를 찾을 수 있다. \(Z \to D \to U\)는 둘 다 정칙 몰입이므로 Divisors, Lemma 067Q에 따라 \(Z \to U\)도 정칙 몰입이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한 표시인 평탄 스킴 사상이라 하자. \(s \in S\)를 \(f\)의 상에 속하는 점이라 하자. 그러면 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ S' \ar[rr] \ar[rd]_g & & X \ar[ld]^f \\ & S }\] 여기서 \(g : S' \to S\)는 평탄하고 국소 유한 표시이며 국소 유사유한이고, \(s \in g(S')\)이다.

증명

가정에 따라 올 \(X_s\)는 공집합이 아니다. 따라서 \(f\)가 코언–매콜리인 닫힌점 \(x \in X_s\)가 존재한다(Lemma 045U 참조). Lemma 0570을 적용하고 \(S' = Z\)라 놓자.

다음 보조정리는 fppf 위상의 층이 “유사유한, 평탄, 유한 표시” 위상의 층과 같은 것임을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{U} = \{S_i \to S\}_{i \in I}\)를 \(S\)의 fppf 덮개라 하자(Topologies, Definition 021M 참조). 그러면 \(\mathcal{U}\)를 세분하고(Sites, Definition 00VT 참조) 각 \(T_j \to S\)가 국소 유사유한인 fppf 덮개 \(\mathcal{V} = \{T_j \to S\}_{j \in J}\)가 존재한다.

증명

모든 \(s \in S\)에 대하여 \(s\)가 \(S_i \to S\)의 상에 속하는 \(i \in I\)가 존재한다. Lemma 0571에 따라 \(s \in g_s(T_s)\)를 만족하며 평탄하고 국소 유한 표시이며 국소 유사유한이고 \(g_s\)가 \(S_i \to S\)를 통해 분해되는 사상 \(g_s : T_s \to S\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(\{T_s \to S\}\)는 \(\mathcal{U}\)를 세분하는, 구하고자 한 \(S\)의 덮개이다.

일반올

일반올과 근방의 올 사이의 관계에 관한 몇 가지 결과를 제시한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이라고 가정하자. \(X_\eta = \emptyset\)이면 \(X_V = V \times_Y X = \emptyset\)을 만족하는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

더 일반적인 Morphisms, Lemma 02NE에서 즉시 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이라고 가정하자. \(X_\eta \not = \emptyset\)이면 \(X_V = V \times_Y X \to V\)가 전사인 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

아핀 열린집합들을 택하면 Algebra, Lemma 00FH에서 따른다. (물론 일반 평탄성에서도 따른다.)

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이라고 가정하자. \(Z \subset X\)가 닫힌 부분집합이고 \(Z_\eta\)가 \(X_\eta\)에서 어디에서도 조밀하지 않다면, 모든 \(y \in V\)에 대하여 \(Z_y\)가 \(X_y\)에서 어디에서도 조밀하지 않게 되는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

\(Y' \subset Y\)를 \(Y\)의 축약이라 하자. \(X' = Y' \times_Y X\) 및 \(Z' = Y' \times_Y Z\)로 놓자. Morphisms, Lemma 054M에 의해 \(Y' \to Y\)가 보편 위상동형이므로 \(Z' \subset X' \to Y'\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(Y\)가 정수적이라고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 01ON을 참조하라. Morphisms, Proposition 052A에 의해 \(X_V \to V\)와 \(Z_V \to V\)가 평탄하고 유한 표시인 비어 있지 않은 아핀 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다. 이 \(V\)가 조건을 만족한다고 주장한다. \(y \in V\)를 택하자. \(Z_y\)의 내부가 비어 있지 않다면, \(Z_y\)는 \(X_y\)의 한 기약 성분의 일반점 \(\xi\)를 포함한다. \(\eta \leadsto f(\xi)\)임에 유의하자. \(Z_V \to V\)가 평탄하므로 \(f(\xi') = \eta\)를 만족하는 특수화 \(\xi' \leadsto \xi\), \(\xi' \in Z\)를 택할 수 있다. Morphisms, Lemma 03HV을 참조하라. Lemma 054U에 의해 \[\dim_{\xi'}(Z_\eta) = \dim_{\xi}(Z_y) = \dim_{\xi}(X_y) = \dim_{\xi'}(X_\eta).\] 따라서 \(\xi'\)을 지나는 \(Z_\eta\)의 어떤 기약 성분은 차원이 \(\dim_{\xi'}(X_\eta)\)이다. 이는 \(Z_\eta\)가 \(X_\eta\)에서 어디에서도 조밀하지 않다는 가정에 모순이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이라고 가정하자. \(U_\eta\)가 \(X_\eta\)에서 스킴론적으로 조밀하도록 \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 모든 \(y \in V\)에 대하여 \(U_y\)가 \(X_y\)에서 스킴론적으로 조밀하게 되는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

\(Y' \subset Y\)를 \(Y\)의 축약이라 하자. \(X' = Y' \times_Y X\) 및 \(U' = Y' \times_Y U\)로 놓자. \(Y' \to Y\)가 점들의 전단사를 유도하고 \(U' \to U\)와 \(X' \to X\)가 스킴론적 올들의 동형을 유도하므로, \(Y\)를 \(Y'\)으로, \(X\)를 \(X'\)으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(Y\)가 정수적이라고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 01ON을 참조하라. 또한 \(Y\)를 비어 있지 않은 아핀 열린집합으로 바꾸어도 된다. 다시 말해 \(A\)가 분수체 \(K\)를 가진 정역이고 \(Y = \Spec(A)\)라고 가정할 수 있다.

\(f\)가 유한형이므로 \(X\)는 준콤팩트이다. 어떤 아핀 열린집합 \(X_i\)들에 대하여 \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\)이라 쓰자. Morphisms, Definition 01RB에 의해 \(U_i = X_i \cap U\)는 \(X_i\)의 열린 부분스킴이고 \(U_{i, \eta}\)는 \(X_{i, \eta}\)에서 스킴론적으로 조밀하다. 따라서 각 쌍 \((X_i, U_i)\)에 대하여 결과를 증명하면 충분하다. 다시 말해 \(X\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

\(X = \Spec(B)\)라 쓰자. \(B_K\)는 유한형 \(K\)-대수이므로 뇌터임에 유의하자. 따라서 \(U_\eta\)는 준콤팩트이다. 그러므로 \(D(g_j) \subset U\)이고 \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\)가 되도록 하는 유한 개의 \(g_1, \ldots, g_m \in B\)를 찾을 수 있다. \(U_\eta\)가 \(X_\eta\)에서 스킴론적으로 조밀하다는 것은 \(B_K \to \bigoplus_j (B_K)_{g_j}\)가 단사라는 뜻이다. Morphisms, Example 056C를 참조하라. Algebra, Lemma 0565에 의해 이는 다음 사상의 단사성과 동치이다. \(B_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B_K\), \(b \mapsto (g_1b, \ldots, g_mb)\). 이 사상을 \(A\) 위에서 취했을 때의 여핵을 \(M\)이라 하자. 즉, 다음 완전열이 있다. \[0 \to I \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] 어떤 영이 아닌 \(h\)에 대하여 \(A\)를 \(A_h\)로 바꾸면, \(B\)가 평탄한 유한 표시 \(A\)-대수이고 \(M\)이 \(A\) 위에서 평탄이라고 가정할 수 있다. Algebra, Lemma 051T를 참조하라. \(B\)가 \(A\) 위에서 평탄하므로 \(B\)는 \(A\)-가군으로서 꼬임이 없다. More on Algebra, Lemma 0538를 참조하라. 따라서 \(B \subset B_K\)이다. 가정에 의해 \(I_K = 0\)이고, 이는 \(I = 0\)을 함의한다(\(I \subset B \subset B_K\)가 \(I_K\)의 부분집합이기 때문이다). 그러므로 이제 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to B \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \to M \to 0\] 여기서 \(M\)은 \(A\) 위에서 평탄하다. 따라서 \(\kappa\)가 체일 때의 모든 준동형 \(A \to \kappa\)에 대하여 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to B \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} B \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] Algebra, Lemma 00HL를 참조하라. 위 논증을 거꾸로 적용하면 이는 \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\)이 \(\Spec(B \otimes_A \kappa)\)에서 스킴론적으로 조밀하다는 뜻이다. \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\)이므로 \(U_\kappa\)가 \(X_\kappa\)에서 스킴론적으로 조밀함을 얻는다. 이것이 증명하려던 바이다.

스킴의 사상 \(f : X \to Y\)와 점 \(y \in Y\)가 주어졌다고 하자. 올 \(X_y\)는 유도된 위상을 가진 \(X\)의 부분집합 \(f^{-1}(\{y\})\)와 위상동형임을 상기하자. Schemes, Lemma 01K1을 참조하라. 닫힌 부분집합 \(T(y) \subset X_y\)가 주어졌다고 하자. \(T\)를 \(X\)에서 \(T(y)\)의 폐포라 하고, \(T\)에 유도된 축약 스킴 구조를 주자. 그러면 \(T\)는 집합론적으로 \(T_y = T(y)\)를 만족하는 \(X\)의 닫힌 부분스킴이다. 사실 \(T\)는 이 성질을 가진 \(X\)의 가장 작은 닫힌 부분스킴이다. 따라서 원한다면 \(X_y\)의 닫힌 부분집합을 \(T_y\)로 표기해도 “무방하다”. 다음 보조정리에서는 이를 \(f\)의 일반올에 적용한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이라고 가정하자. \(X_\eta = Z_{1, \eta} \cup \ldots \cup Z_{n, \eta}\)를 \(X_\eta\)의 닫힌 부분집합들로 이루어진 일반올의 덮개라 하자. \(Z_i\)를 \(X\)에서 \(Z_{i, \eta}\)의 폐포라 하자(위 논의를 참조하라). 그러면 모든 \(y \in V\)에 대하여 \(X_y = Z_{1, y} \cup \ldots \cup Z_{n, y}\)를 만족하는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

\(Y\)가 뇌터이면 \(U = X \setminus (Z_1 \cup \ldots \cup Z_n)\)은 \(Y\) 위에서 유한형이고, Lemma 054W를 직접 적용하여 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)에 대하여 \(U_V = \emptyset\)을 얻는다. 일반적인 경우에는 다음과 같이 논증한다. 문제는 위상적이므로 \(Y\)를 그 축약으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(Y\)는 정수적이다. Properties, Lemma 01ON을 참조하라. \(Y\)를 축소한 뒤 \(X \to Y\)가 평탄이라고 가정할 수 있다. Morphisms, Proposition 052A를 참조하라. 이 경우 Morphisms, Lemma 03HV에 의해 \(X_y\)의 모든 점 \(x\)는 어떤 점 \(x' \in X_\eta\)의 특수화이다. \(Z_i\)들이 \(X\)에서 닫혀 있고 일반올을 덮으므로, 원하는 대로 \(y \in Y\)에 대하여 \(X_y = \bigcup Z_{i, y}\)를 얻는다.

다음 보조정리는 정의역이 축약인 사상의 일반올도 축약임을 말한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\eta \in Y\)를 \(Y\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. 그러면 \((X_\eta)_{red} = (X_{red})_\eta\).

증명

\(\eta\)의 아핀 근방 \(\Spec(A) \subset Y\)를 택하자. 사상 \(f\)에 의해 \(\Spec(A)\)로 가는 아핀 열린집합 \(\Spec(B) \subset X\)를 택하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 \(\eta\)에 대응하는 극소 소 아이디얼이라 하자. \(B_{red}\)를 \(B\)를 멱영근기 \(\sqrt{(0)}\)로 나눈 몫이라 하자. 보조정리의 대수적 내용은 \(C = B_{red} \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)가 축약이라는 것이다.

\(I \subset A\)를 멱영근기라 표기하여 \(A_{red} = A/I\)로 놓자. \(\mathfrak p_{red} = \mathfrak p/I\)라 표기하자. 이는 \(A_{red}\)의 극소 소 아이디얼이고 \(\kappa(\mathfrak p) = \kappa(\mathfrak p_{red})\)를 만족한다. \(A \to B_{red}\)와 \(A \to \kappa(\mathfrak p)\)가 모두 \(A \to A_{red}\)를 통해 분해되므로 \(C = B_{red} \otimes_{A_{red}} \kappa(\mathfrak p_{red})\). 이제 Algebra, Lemma 00EU에 의해 \(\kappa(\mathfrak p_{red}) = (A_{red})_{\mathfrak p_{red}}\)는 국소화이다. 따라서 \(C\)는 \(B_{red}\)의 국소화이고 (Algebra, Lemma 00DK) 그러므로 축약이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Y\)가 기약이고 \(f\)가 유한형이라고 가정하자. 다음 조건들을 만족하는 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] 여기서

1. \(V\)는 \(Y\)의 비어 있지 않은 열린집합이고,

2. \(X_V = V \times_Y X\),

3. \(g : Y' \to V\)는 유한 보편 위상동형이며,

4. \(X' = (Y' \times_Y X)_{red} = (Y' \times_V X_V)_{red}\),

5. \(g'\)은 유한 보편 위상동형이고,

6. \(Y'\)은 정수적 아핀 스킴이며,

7. \(f'\)은 평탄하고 유한 표시이고,

8. \(f'\)의 일반올은 기하학적으로 축약이다.

증명

\(V = \Spec(A)\)를 \(Y\)의 비어 있지 않은 아핀 열린집합이라 하자. 가정에 의해 \(A\)의 멱영근기 \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\)는 소 아이디얼이다. \(K = \kappa(\mathfrak p)\)라 하자. \(K\)의 표수가 양수이면 그 표수를 \(p\)라 하고, 표수가 영이면 \(1\)이라 하자. Varieties, Lemma 04KT에 의해 \((X_{K'})_{red}\)가 \(K'\) 위에서 기하학적으로 축약이 되도록 하는 유한 순수 비분리 체 확대 \(K'/K\)가 존재한다. \(K\) 위에서 \(K'\)을 생성하고 각 \(x_i\)의 어떤 \(p\)-거듭제곱이 \(A/\mathfrak p\)에 속하도록 하는 원소 \(x_1, \ldots, x_n \in K'\)을 택하자. \(A' \subset K'\)을 \(x_1, \ldots, x_n\)으로 생성되는 \(K'\)의 유한 \(A\)-부분대수라 하자. \(A'\)은 분수체가 \(K'\)인 정역임에 유의하자. Algebra, Lemma 0BRA에 의해 \(A \to A'\)은 스펙트럼 위에서 보편 위상동형을 유도한다. \(Y' = \Spec(A')\) 및 \(X' = (Y' \times_Y X)_{red}\)로 놓자. Lemma 054Z에 의해 \(X' \to Y'\)의 일반올은 \((X_{K'})_{red}\)이고, 이는 구성상 기하학적으로 축약이다. \(X' \to X_V\)는 축약 사상 \(X' \to Y' \times_Y X\) (Morphisms, Lemma 054M 참조)과 \(g\)의 밑변환의 합성이므로 유한 보편 위상동형임에 유의하자. 이제 보조정리의 성질들은 (7)을 제외하면 모두 성립한다. \(Y'\)을, 따라서 \(V\)를 축소하면 (7)도 성립하게 할 수 있다. Morphisms, Proposition 052A를 참조하라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Y\)가 기약이고 \(f\)가 유한형이라고 가정하자. 다음 조건들을 만족하는 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] 여기서

1. \(V\)는 \(Y\)의 비어 있지 않은 열린집합이고,

2. \(X_V = V \times_Y X\),

3. \(g : Y' \to V\)는 전사 유한 에탈 사상이며,

4. \(X' = Y' \times_Y X = Y' \times_V X_V\),

5. \(g'\)은 전사 유한 에탈 사상이고,

6. \(Y'\)은 기약 아핀 스킴이며,

7. \(f'\)의 일반올의 모든 기약 성분은 기하학적으로 기약이다.

증명

\(V = \Spec(A)\)를 \(Y\)의 비어 있지 않은 아핀 열린집합이라 하자. 가정에 의해 \(A\)의 멱영근기 \(\mathfrak p = \sqrt{(0)}\)는 소 아이디얼이다. \(K = \kappa(\mathfrak p)\)라 하자. Varieties, Lemma 054R에 의해 \(X_{K'}\)의 모든 기약 성분이 \(K'\) 위에서 기하학적으로 기약이 되도록 하는 유한 분리 체 확대 \(K'/K\)가 존재한다. \(K\) 위에서 \(K'\)을 생성하는 원소 \(\alpha \in K'\)을 택하자. Fields, Lemma 030N를 참조하라.

\(P(T) \in K[T]\)를 \(K\) 위에서 \(\alpha\)의 최소다항식이라 하자. 어떤 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 대하여 \(\alpha\)를 \(f \alpha\)로 바꾼 뒤, 사상 \(A[T] \to K[T]\) 아래에서 \(P(T) \in K[T]\)로 가는 일계수 다항식 \(T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_d \in A[T]\)가 존재한다고 가정할 수 있다. \(A' = A[T]/(P)\)로 놓자. 그러면 \(A \to A'\)은 유한 자유 환 사상이고, \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 유일한 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)가 존재하여 \(K = \kappa(\mathfrak p) \subset \kappa(\mathfrak q) = K'\) 는 유한 분리 확대이고, \(\mathfrak pA'_{\mathfrak q}\)는 \(A'_{\mathfrak q}\)의 극대 아이디얼이다. 따라서 \(g : Y' = \Spec(A') \to V = \Spec(A)\)는 \(\mathfrak q\)에서 에탈이다. Algebra, Lemma 00U6을 참조하라. 이는 \(g|_W : W \to \Spec(A)\)가 에탈이 되는 열린집합 \(W \subset \Spec(A')\)가 존재한다는 뜻이다. \(g\)가 유한이고 \(\mathfrak q\)가 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 유일한 점이므로 \(Z = g(Y' \setminus W)\)는 \(\mathfrak p\)를 포함하지 않는 \(V\)의 닫힌 부분집합이다. 따라서 \(V\)를 \(Z\)와 만나지 않는 \(V\)의 주 아핀 열린집합으로 바꾼 뒤 \(g\)가 유한 에탈임을 얻는다.

상대 동반점

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\xi \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)라 하고 \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X\)로 놓자. \(f\)가 국소 유한형이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면, 모든 \(s \in f(V)\)에 대하여 \(V_s\)의 일반점들이 \(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)에 속하도록 하는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Z\)가 존재한다.

증명

\(S\)를 \(f(\xi)\)의 아핀 열린 근방으로, \(X\)를 \(\xi\)의 아핀 열린 근방으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\)이고 \(f\)가 유한형 환 사상 \(A \to B\)로 주어진다고 가정할 수 있다. Morphisms, Lemma 01T2를 참조하라. 더욱이 어떤 유한 \(B\)-가군 \(M\)에 대하여 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)이라 쓸 수 있다. Properties, Lemma 01PB을 참조하라. \(\mathfrak q \subset B\)를 \(\xi\)에 대응하는 소아이디얼이라 하고, \(\mathfrak p \subset A\)를 이에 대응하는 \(A\)의 소아이디얼이라 하자. 가정에 의해 \(\mathfrak q \in \text{Ass}_B(M \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)이다. Algebra, Remark 05E0 및 Divisors, Lemma 02OK을 참조하라. 이 표기에서 \(Z = V(\mathfrak q) \subset \Spec(B)\)이다. 특히 \(f(Z) \subset V(\mathfrak p)\)이다. 따라서 \(A\), \(B\), \(M\)을 각각 \(A/\mathfrak pA\), \(B/\mathfrak pB\), \(M/\mathfrak pM\)으로 바꾼 뒤 보조정리를 증명하면 충분함은 명백하다. 다시 말해 \(A\)가 분수체 \(K\)를 가진 정역이고 \(\mathfrak q \subset B\)가 \(M \otimes_A K\)의 동반 소아이디얼이라고 가정할 수 있다.

이제 일반 평탄성을 사용할 수 있다. 즉, Algebra, Lemma 051T에 의해 \(M_g\)가 \(A_g\)-가군으로서 평탄하게 되는 영이 아닌 \(g \in A\)가 존재한다. \(A\)를 \(A_g\)로 바꾸면 \(M\)이 \(A\)-가군으로서 평탄이라고 가정할 수 있다.

이 경우 Algebra, Lemma 05C1에 의해 \(\mathfrak q\)는 \(M\)의 동반 소아이디얼이기도 하다. 따라서 단사 \(B\)-가군 사상 \(B/\mathfrak q \to M\)을 얻는다. \(Q\)를 그 여핵이라 하면 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to B/\mathfrak q \to M \to Q \to 0\] 이는 유한 \(B\)-가군들의 완전열이다. 일반 평탄성 Algebra, Lemma 051T를 이번에는 \(B\)-가군 \(Q\)에 한 번 더 적용하면, \(Q\)가 평탄한 \(A\)-가군이라고 가정할 수 있다. 특히 위 짧은 완전열이 보편 단사라고 가정할 수 있다. Algebra, Lemma 00HL를 참조하라. 이 상황에서는 \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p') \subset M \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) 가 \(A\)의 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p'\)에 대하여 성립한다. 보조정리는 다음 사실에서 따른다. 즉, \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\) 의 받침의 극소 소아이디얼 \(\mathfrak q'\)는 Divisors, Lemma 05AH에 의해 \((B/\mathfrak q) \otimes_A \kappa(\mathfrak p')\)의 동반 소아이디얼이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(Y\)는 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이다.

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\)는 \(U_\eta\)에 포함되지 않는다.

그러면 모든 \(y \in V\)에 대하여 집합 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y)\)가 \(U_y\)에 포함되지 않도록 하는 비어 있지 않은 열린 부분스킴 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

\(Z \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 받침이라 하자. Morphisms, Definition 05JV를 참조하라. 그러면 \(Z_\eta\)는 \(\mathcal{F}_\eta\)의 스킴론적 받침이다 (Morphisms, Lemma 07T9). 따라서 Divisors, Lemma 05AH에 의해 \(Z_\eta\)의 기약 성분들의 일반점들은 \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta)\)에 포함된다. 따라서 \(Z_\eta \cap U_\eta = \emptyset\)임을 알 수 있다. 그러므로 \(T = Z \setminus U\)는 \(T_\eta = \emptyset\)을 만족하는 \(Z\)의 닫힌 부분집합이다. \(T\)에 유도된 축약 스킴 구조를 주면 \(T \to Y\)는 유한형 사상이다. Lemma 054W에 의해 \(T_V = \emptyset\)을 만족하는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다. 이 \(V\)가 조건을 만족한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형이다.

3. \(Y\)는 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이다.

4. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\).

그러면 모든 \(y \in V\)에 대하여 \(\text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\)를 만족하는 비어 있지 않은 열린 부분스킴 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

(이 증명은 Lemma 0573의 증명과 같다. 독자에게 먼저 그 증명을 읽기를 권한다.) 명제가 올에 관한 것이므로 \(Y\)를 그 축약으로 바꾸어도 됨은 명백하다. 따라서 \(Y\)가 정수적이라고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 01ON을 참조하라. 또한 \(Y = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(A\)는 분수체 \(K\)를 가진 정역이다.

\(f\)가 유한형이므로 \(X\)는 준콤팩트이다. 어떤 아핀 열린집합 \(X_i\)들에 대하여 \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\)이라 쓰고 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F}|_{X_i}\)로 놓자. 가정에 의해 \(U_i = X_i \cap U\)의 일반올은 \(\text{Ass}_{X_{i, \eta}}(\mathcal{F}_{i, \eta})\)를 포함한다. 따라서 각 삼중항 \((X_i, \mathcal{F}_i, U_i)\)에 대하여 결과를 증명하면 충분하다. 다시 말해 \(X\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

\(X = \Spec(B)\)라 쓰자. \(\mathcal{F} = \widetilde{N}\)을 만족하는 유한 \(B\)-가군을 \(N\)이라 하자. \(B_K\)는 유한형 \(K\)-대수이므로 뇌터임에 유의하자. 따라서 \(U_\eta\)는 준콤팩트이다. 그러므로 \(D(g_j) \subset U\)이고 \(U_\eta = D(g_1)_\eta \cup \ldots \cup D(g_m)_\eta\)가 되도록 하는 유한 개의 \(g_1, \ldots, g_m \in B\)를 찾을 수 있다. \(\text{Ass}_{X_\eta}(\mathcal{F}_\eta) \subset U_\eta\)이므로 \(N_K \to \bigoplus_j (N_K)_{g_j}\)는 단사이다. Algebra, Lemma 0565에 의해 이는 다음 사상의 단사성과 동치이다. \(N_K \to \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N_K\), \(n \mapsto (g_1n, \ldots, g_mn)\). 이 사상을 \(A\) 위에서 취했을 때의 핵과 여핵을 각각 \(I\)와 \(M\)이라 하자. 즉, 다음 완전열이 있다. \[0 \to I \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] 어떤 영이 아닌 \(h\)에 대하여 \(A\)를 \(A_h\)로 바꾸면, \(B\)가 평탄한 유한 표시 \(A\)-대수이고 \(M\)과 \(N\)이 모두 \(A\) 위에서 평탄이라고 가정할 수 있다. Algebra, Lemma 051T를 참조하라. \(N\)이 \(A\) 위에서 평탄하므로 \(N\)은 \(A\)-가군으로서 꼬임이 없다. More on Algebra, Lemma 0538를 참조하라. 따라서 \(N \subset N_K\)이다. 구성에 의해 \(I_K = 0\)이고, 이는 \(I = 0\)을 함의한다(\(I \subset N \subset N_K\)가 \(I_K\)의 부분집합이기 때문이다). 그러므로 이제 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to N \xrightarrow{(g_1, \ldots, g_m)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \to M \to 0\] 여기서 \(M\)은 \(A\) 위에서 평탄하다. 따라서 \(\kappa\)가 체일 때의 모든 준동형 \(A \to \kappa\)에 대하여 다음 짧은 완전열을 얻는다. \[0 \to N \otimes_A \kappa \xrightarrow{(g_1 \otimes 1, \ldots, g_m \otimes 1)} \bigoplus\nolimits_{j = 1, \ldots, m} N \otimes_A \kappa \to M \otimes_A \kappa \to 0\] Algebra, Lemma 00HL를 참조하라. 위 논증을 거꾸로 적용하면 이는 \(\bigcup D(g_j \otimes 1)\)이 \(\text{Ass}_{B \otimes_A \kappa}(N \otimes_A \kappa)\)를 포함한다는 뜻이다. \(\bigcup D(g_j \otimes 1) = \bigcup D(g_j)_\kappa \subset U_\kappa\)이므로 \(U_\kappa\)가 \(\text{Ass}_{X \otimes \kappa}(\mathcal{F} \otimes \kappa)\)를 포함함을 얻는다. 이것이 증명하려던 바이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하고, \(f' : X' = X_{S'} \to S'\)을 \(f\)의 밑변환이라 하며, \(g' : X' \to X\)를 사영이라 하자. \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\) 및 \(U' = (g')^{-1}(U)\)로 놓자. 끝으로 \(s' \in S'\)의 상이 \(s = g(s')\)라고 하자. 이 경우 \[\text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s) \subset U_s \Leftrightarrow \text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) \subset U'_{s'}.\]

증명

Divisors, Lemma 05DC에서 즉시 따른다. Divisors, Remark 05KL도 참조하라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 유한 표시인 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시인 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \to Y\)가 준콤팩트가 되도록 \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 집합 \[E = \{y \in Y \mid \text{Ass}_{X_y}(\mathcal{F}_y) \subset U_y\}\] 는 \(Y\)에서 국소 구성가능이다.

증명

\(y \in Y\)라 하자. \(E \cap V\)가 \(V\)에서 구성가능이 되도록 하는 \(Y\)에서의 \(y\)의 열린 근방 \(V\)가 존재함을 보여야 한다. 따라서 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(Y = \Spec(A)\)라 쓰자. 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수들의 유향 극한 \(A = \colim A_i\)로 쓰자. Limits, Lemma 01ZM에 의해, \(Y\)로 밑변환하면 \(f\)를 복원하는 유한 표시인 사상 \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\)와 지표 \(i\)를 찾을 수 있다. \(i\)를 필요하면 증가시켜, \(X\)로의 당김이 \(\mathcal{F}\)와 동형인 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-가군 \(\mathcal{F}_i\)가 존재한다고 가정할 수 있다. Limits, Lemma 01ZR을 참조하라. \(i\)를 필요하면 한 번 더 증가시켜, \(X\)에서의 역상이 \(U\)인 열린 부분스킴 \(U_i \subset X_i\)가 존재한다고 가정할 수 있다. Limits, Lemma 01Z4를 참조하라. Lemma 05KQ에 의해 \(f_i\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(Y\)가 뇌터환의 스펙트럼인 경우로 환원된다.

\(Y\)가 뇌터 스킴인 경우 \(E\)가 구성가능임을 증명하기 위해 Topology, Lemma 053Z의 판정법을 사용하겠다. 이를 위해 \(Z \subset Y\)를 기약 닫힌 부분스킴이라 하자. \(E \cap Z\)가 비어 있지 않은 열린 부분집합을 포함하거나 \(Z\)에서 조밀하지 않음을 보여야 한다. 이는 \(Z\) 위에서의 밑변환 \((X, \mathcal{F}, U) \times_Y Z\)에 Lemmas 05KN 및 05KP를 적용하면 따른다.

축약 올

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이고 \(f\)가 유한형이라고 가정하자. \(X_\eta\)가 축약이 아니면, 모든 \(y \in V\)에 대하여 올 \(X_y\)가 축약이 아니도록 하는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

\(Y' \subset Y\)를 \(Y\)의 축약이라 하자. \(X' \to Y'\)을 \(f\)의 밑변환이라 하자. \(Y' \to Y\)가 점들의 전단사를 유도하고 \(X' \to X\)가 올들을 식별함에 유의하자.

따라서 \(Y'\)이 축약, 즉 정수적이라고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 01ON을 참조하라. 또한 \(Y\)를 아핀 열린집합으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(A\)가 정역이고 \(Y = \Spec(A)\)라고 가정할 수 있다.

\(K\)를 \(A\)의 분수체라 하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(B) = U \subset X\)와 영이 아닌 멱영 절단 \(h_\eta \in \Gamma(U_\eta, \mathcal{O}_{U_\eta}) = B_K\)를 택하자. \(Y\)를 축소한 뒤 \(h\)가 \(h \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U) = B\)에서 온다고 가정할 수 있다. \(Y\)를 조금 더 축소하면 \(h\)가 멱영이라고 가정할 수 있다. \(I = \{b \in B \mid hb = 0\}\)를 \(h\)의 소멸자라 하자. 그러면 \(C = B/I\)는 일반올 \((B/I)_K\)가 영이 아닌 유한형 \(A\)-대수이다 (\(h_\eta \not = 0\)이므로). \(A \to C\)와 \(A \to B/hB\)에 일반 평탄성을 적용하자. Algebra, Lemma 051T를 참조하라. 그러면 \(C_g\)가 자유 \(A_g\)-가군이고 \((B/hB)_g\)가 평탄한 \(A_g\)-가군이 되도록 하는 \(g \in A\), \(g \not = 0\)을 얻는다. \(Y\)를 \(D(g) \subset Y\)로 바꾸자. 이제 다음 짧은 완전열이 있다. \[0 \to C \to B \to B/hB \to 0.\] 여기서 \(B/hB\)는 \(A\) 위에서 평탄하고 \(C\)는 영이 아닌 자유 \(A\)-가군이다. 따라서 체로 가는 임의의 준동형 \(A \to \kappa\)에 대하여 환 \(C \otimes_A \kappa\)는 영이 아니고 다음 열은 완전하다. \[0 \to C \otimes_A \kappa \to B \otimes_A \kappa \to B/hB \otimes_A \kappa \to 0\] Algebra, Lemma 00HL를 참조하라. 텐서곱의 오른쪽 완전성에 의해 \(B/hB \otimes_A \kappa = (B \otimes_A \kappa) / h(B \otimes_A \kappa)\) 임에 유의하자. 따라서 \(h\)에 의한 곱셈은 \(B \otimes_A \kappa\) 위에서 영이 아니라고 결론짓는다. 이는 모든 점 \(y \in Y\)에 대하여 원소 \(h\)의 \(U_y\)로의 제한이 영이 아님을 명백히 뜻하고, 따라서 \(X_y\)는 축약이 아니다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(g : Y' \to Y\)를 임의의 사상이라 하고, \(f' : X' \to Y'\)을 \(f\)의 밑변환이라 하자. 그러면 \[\begin{align*} \{y' \in Y' \mid X'_{y'}\text{는 기하학적으로 축약이다}\} \\ = g^{-1}(\{y \in Y \mid X_y\text{는 기하학적으로 축약이다}\}). \end{align*}\]

증명

이는 상이 \(y \in Y\)인 \(y' \in Y'\)에 대하여 올 \(X'_{y'} = X_y \times_y y'\)가 \(\kappa(y')\) 위에서 기하학적으로 축약일 필요충분조건이 \(X_y\)가 \(\kappa(y)\) 위에서 기하학적으로 축약인 것이라는 명제로 귀착된다. 이는 Varieties, Lemma 0384에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Y\)가 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이고 \(f\)가 유한형이라고 가정하자. \(X_\eta\)가 기하학적으로 축약이 아니면, 모든 \(y \in V\)에 대하여 올 \(X_y\)가 기하학적으로 축약이 아니도록 하는 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

Lemma 0550를 적용하여 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X_V \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & V \ar[r] & Y }\] 그 보조정리에서 언급한 모든 성질을 가진 도식을 얻는다. \(\eta'\)을 \(Y'\)의 일반점이라 하자. 사상 \(X' \to X_{Y'}\)(이는 축약 사상이다)과 그로부터 얻는 일반올의 사상 \(X'_{\eta'} \to X_{\eta'}\)을 생각하자. \(X'_{\eta'}\)은 기하학적으로 축약이지만 \(X_\eta\)는 그렇지 않으므로 이 사상은 동형일 수 없다. Varieties, Lemma 0384를 참조하라. 따라서 \(X_{\eta'}\)은 축약이 아니다. 그러므로 Lemma 0575에 의해, 비어 있지 않은 열린집합 \(V' \subset Y'\)의 모든 점 \(y' \in V'\)에서 \(X_{Y'} \to Y'\)의 올은 축약이 아니다. \(g : Y' \to V\)가 위상동형이므로 Lemma 0576에 의해 \(g(V')\)가 찾던 열린집합이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Y\)는 일반점 \(\eta\)를 가진 기약 스킴이다.

2. \(X_\eta\)는 기하학적으로 축약이다.

3. \(f\)는 유한형이다.

그러면 \(X_V \to V\)의 올들이 기하학적으로 축약이 되도록 하는 비어 있지 않은 열린 부분스킴 \(V \subset Y\)가 존재한다.

증명

\(Y' \subset Y\)를 \(Y\)의 축약이라 하자. \(X' \to Y'\)을 \(f\)의 밑변환이라 하자. \(Y' \to Y\)가 점들의 전단사를 유도하고 \(X' \to X\)가 올들을 식별함에 유의하자.

따라서 \(Y'\)이 축약, 즉 정수적이라고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 01ON을 참조하라. 또한 \(Y\)를 아핀 열린집합으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(A\)가 정역이고 \(Y = \Spec(A)\)라고 가정할 수 있다.

\(K\)를 \(A\)의 분수체라 하자. \(Y\)를 조금 축소하면 \(X \to Y\)가 평탄하고 유한 표시라고 가정할 수도 있다. Morphisms, Proposition 052A를 참조하라.

\(X_\eta\)가 기하학적으로 축약이므로 \(V \to \Spec(K)\)가 매끄러운 열린 조밀 부분집합 \(V \subset X_\eta\)가 존재한다. Varieties, Lemma 056V을 참조하라. \(U \subset X\)를 \(f\)가 매끄러운 점들의 집합이라 하자. Morphisms, Lemma 02V4에 의해 \(V \subset U_\eta\)임을 알 수 있다. 따라서 \(U\)의 일반올은 \(X\)의 일반올에서 조밀하다. \(X_\eta\)가 축약이므로 \(U_\eta\)는 \(X_\eta\)에서 스킴론적으로 조밀하다. Morphisms, Lemma 056D를 참조하라. \(U \to Y\)가 매끄러우므로 \(U \to Y\)의 모든 올은 기하학적으로 축약임에 유의하자. 따라서 \(Y\)를 축소한 뒤 모든 \(y \in Y\)에 대하여 스킴 \(U_y\)가 \(X_y\)에서 스킴론적으로 조밀함을 보이면 충분하다. Morphisms, Lemma 056E를 참조하라. 이는 Lemma 0573에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 준콤팩트이고 국소 유한 표시인 사상이라 하자. 그러면 집합 \[E = \{y \in Y \mid X_y\text{는 기하학적으로 축약이다}\}\] 는 \(Y\)에서 국소 구성가능이다.

증명

\(y \in Y\)라 하자. \(E \cap V\)가 \(V\)에서 구성가능이 되도록 하는 \(Y\)에서의 \(y\)의 열린 근방 \(V\)가 존재함을 보여야 한다. 따라서 \(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(X\)는 준콤팩트이다. 유한 아핀 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)을 택하자. 그러면 \(y\)에서 \(U_i \to Y\)의 올들은 \(y\)에서 \(X \to Y\)의 올의 아핀 열린 덮개를 이룬다. 따라서 \(X\)도 아핀이라고 가정할 수 있다. \(Y = \Spec(A)\)라 쓰자. 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수들의 유향 극한 \(A = \colim A_i\)로 쓰자. Limits, Lemma 01ZM에 의해, \(Y\)로 밑변환하면 \(f\)를 복원하는 유한 표시인 사상 \(f_i : X_i \to \Spec(A_i)\)와 지표 \(i\)를 찾을 수 있다. Lemma 0576에 의해 \(f_i\)에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(Y\)가 뇌터환의 스펙트럼인 경우로 환원된다.

\(Y\)가 뇌터 스킴인 경우 \(E\)가 구성가능임을 증명하기 위해 Topology, Lemma 053Z의 판정법을 사용하겠다. 이를 위해 \(Z \subset Y\)를 일반점 \(\xi\)를 가진 기약 닫힌 부분스킴이라 하자. \(E \cap Z\)가 비어 있지 않은 열린 부분집합을 포함하거나 \(Z\)에서 조밀하지 않음을 보여야 한다. \(X_\xi\)가 기하학적으로 축약이면, 사상 \(X_Z \to Z\)에 적용한 Lemma 0578에 의해 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Z\)의 모든 올 \(X_y\)가 기하학적으로 축약이다. \(X_\xi\)가 기하학적으로 축약이 아니면, 사상 \(X_Z \to Z\)에 적용한 Lemma 0577에 의해 비어 있지 않은 열린집합 \(V \subset Z\)의 모든 올 \(X_y\)가 기하학적으로 축약이 아니다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(R\)이 이산 값매김환일 때 \(f : X \to \Spec(R)\)를 고유 사상이라 하자. \(X\)의 모든 기약 성분이 \(\Spec(R)\) 위에서 우세하다고 가정하고 (예를 들어 \(f\)가 평탄이면 그러하다), 특수올이 축약이라고 가정하자. 그러면 \(X\)와 일반올 \(X_\eta\)는 모두 축약이다.

증명

(평탄 사상이 기약 성분에 관한 가정을 만족한다는 사실은 예를 들어 Divisors, Lemma 05DB 또는 평탄 환 사상에 대한 내려가기에서 따른다.) 특수올 \(X_s\)가 축약이라고 가정하자. \(x \in X\)를 임의의 점이라 하고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 축약임을 보이자. 그러면 \(X\)와 \(X_\eta\)가 축약임이 증명된다. \(x'\)이 특수올에 속하는 특수화 \(x \leadsto x'\)을 택하자. 고유 사상은 닫힌 사상이므로 이러한 특수화가 존재한다. 국소환 \(A = \mathcal{O}_{X, x'}\)를 생각하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(A\)의 국소화이므로 \(A\)가 축약임을 보이면 충분하다. \(\pi \in R\)을 균등화원이라 하자. \(a \in A\)가 영이 아니면 \(a = \pi^n a'\) 및 \(a' \not \in \pi A\)를 만족하는 \(n \geq 0\)과 원소 \(a' \in A\)가 존재한다. 이는 Krull 교차 정리 (Algebra, Lemma 00IP)에서 따른다.

\(a\)가 멱영이면 \(a\)는 \(A\)의 모든 극소 소아이디얼에 포함되고, 따라서 \(a'\)도 그러하다. \(X\)의 기약 성분에 관한 가정에 의해 \(\pi\)가 \(A\)의 어떤 극소 소아이디얼에도 포함되지 않기 때문이다. 따라서 \(a'\)는 멱영이다. 하지만 \(a'\)는 축약환 \(A/\pi A = \mathcal{O}_{X_s, x'}\)의 영이 아닌 원소로 간다. \(A\)가 축약이 아니라면 이는 모순이다. 이것이 보이려던 바이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 평탄한 유한 표시 고유 사상이라 하자. 그러면 집합 \(\{y \in Y \mid X_y\text{는 기하학적으로 축약이다}\}\)는 \(Y\)에서 열려 있다.

증명

\(Y\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(Y\)는 \(\mathbf{Z}\) 위의 유한형 아핀 스킴들의 공여과 극한이다. 따라서 \(Y_0\)가 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수의 스펙트럼이고 \(X_0 \to Y_0\)가 평탄하고 고유일 때, \(X \to Y\)가 \(X_0 \to Y_0\)의 밑변환이라고 가정할 수 있다. Limits, Lemma 01ZM, 04AI 및 081F를 참조하라. 올이 기하학적으로 축약인 점들의 집합의 형성은 밑변환과 교환하므로 (Lemma 0576), 밑스킴이 뇌터라고 가정할 수 있다.

\(Y\)가 뇌터라고 가정하자. Lemma 0579에 의해 이 집합은 구성가능이다. 따라서 일반화에 대해 안정함을 보이면 충분하다 (Topology, Lemma 0542). Properties, Lemma 054F에 의해 \(R\)이 이산 값매김환이고 \(Y = \Spec(R)\)이며 닫힌올 \(X_y\)가 기하학적으로 축약인 경우로 환원된다. 보여야 할 것은 일반올 \(X_\eta\)가 기하학적으로 축약이라는 것이다.

그렇지 않다면 \(X_L\)이 축약이 아니도록 하는 \(R\)의 분수체의 유한 확대 \(L\)이 존재한다. Varieties, Lemma 035X를 참조하라. 분수체가 \(L\)이고 \(R\)을 지배하는 이산 값매김환 \(R' \subset L\)이 존재한다. Algebra, Lemma 09IG를 참조하라. \(R\)을 \(R'\)으로 바꾸면 Lemma 0C0D로 환원된다.