Compléments sur les schémas en groupoïdes

Introduction

Ce chapitre est consacré à des sujets avancés sur les schémas en groupoïdes. Bien que les résultats soient énoncés en termes de schémas en groupoïdes, le lecteur doit garder à l’esprit le diagramme \(2\)-cartésien [04LC]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] } } \end{equation}\] où \([U/R]\) est le champ quotient, voir Groupoïdes dans les espaces, Remarque 04M7. Nombre de résultats sont motivés par la considération de ce diagramme. Voir par exemple le très bel article [K-M] de Keel et Mori.

Notations

Nous continuons à suivre les conventions et les notations introduites dans Groupoïdes, section 022N.

Diagrammes utiles

Nous rappelons brièvement les résultats des Lemmes 02YE et 03C6 de Groupoïdes, afin de pouvoir nous y référer aisément dans ce chapitre. Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Dans le diagramme commutatif [04LF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U } } \end{equation}\] les deux carrés inférieurs sont des carrés de produit fibré. De plus, le triangle supérieur (qui est en réalité un carré) est lui aussi cartésien.

Le diagramme [04LG]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } } \end{equation}\] est commutatif. Les deux lignes supérieures sont isomorphes par les applications verticales indiquées. Les deux carrés inférieurs de gauche sont cartésiens.

Faisceau des différentielles

Le lemme suivant est l’analogue du Lemme 047I de Groupoïdes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Le faisceau des différentielles de \(R\), considéré comme un schéma sur \(U\) par \(t\), est un quotient de l’image réciproque par \(t\) du faisceau conormal de l’immersion \(e : U \to R\). En formule : il existe une surjection canonique \(t^*\mathcal{C}_{U/R} \to \Omega_{R/U}\). Si \(s\) est plat, alors cette application est un isomorphisme.

Démonstration

Notons que \(e : U \to R\) est une immersion, puisqu’il s’agit d’une section du morphisme \(s\), voir Schémas, Lemme 01KT. Considérons le diagramme suivant \[\xymatrix{ R \ar[r]_-{(1, i)} \ar[d]_t & R \times_{s, U, t} R \ar[d]^c \ar[rr]_{(\text{pr}_0, i \circ \text{pr}_1)} & & R \times_{t, U, t} R \\ U \ar[r]^e & R }\] Le carré de gauche est cartésien, car si \(a \circ b = e\), alors \(b = i(a)\). La composée des applications horizontales est le morphisme diagonal de \(t : R \to U\). La flèche horizontale supérieure droite est un isomorphisme. Puisque \(\Omega_{R/U}\) est le faisceau conormal de la composée, il est isomorphe au faisceau conormal de \((1, i)\). Par le Lemme 0473 de Morphismes, nous obtenons la surjection \(t^*\mathcal{C}_{U/R} \to \Omega_{R/U}\), et, si \(c\) est plat, il s’agit d’un isomorphisme. Puisque \(c\) est un changement de base de \(s\) d’après les propriétés du Diagramme (04LG), nous concluons que, si \(s\) est plat, alors \(c\) est plat, voir Morphismes, Lemme 01U9.

Structure locale

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(u \in U\) un point. Dans cette section, nous expliquons quelle structure nous obtenons sur les anneaux locaux \[A = \mathcal{O}_{U, u} \quad\text{et}\quad B = \mathcal{O}_{R, e(u)}\] Nous conviendrons de désigner les homomorphismes d’anneaux locaux induits par les morphismes \(s, t, c, e, i\) par les lettres correspondantes. En particulier, nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ A \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & B \ar[r]^e & A \\ A \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] d’anneaux locaux. Ainsi, si \(I \subset B\) désigne le noyau de \(e : B \to A\), alors \(B = s(A) \oplus I = t(A) \oplus I\). Notons \[C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e(u), e(u))}\] Nous avons alors \[C = (B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}\] Soit \(J \subset C\) l’idéal de \(C\) engendré par \(I \otimes B + B \otimes I\). Alors \(J\) est également le noyau de l’homomorphisme d’anneaux locaux \[(e, e) : C \longrightarrow A\] La loi de composition \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) correspond à un homomorphisme d’anneaux \[c : B \longrightarrow C\] envoyant \(I\) dans \(J\).

Lemme

L’application \(I/I^2 \to J/J^2\) induite par \(c\) est la composée \[I/I^2 \xrightarrow{(1, 1)} I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\] où la seconde flèche provient de l’égalité \(J = (I \otimes B + B \otimes I)C\). L’application \(i : B \to B\) induit l’application \(-1 : I/I^2 \to I/I^2\).

Démonstration

Pour décrire un homomorphisme local de \(C\) vers un autre anneau local, il suffit d’indiquer ce qu’il advient des éléments de la forme \(b_1 \otimes b_2\). En gardant cela à l’esprit, nous avons les deux applications canoniques \[e_2 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto b_1s(e(b_2)),\quad e_1 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto t(e(b_1))b_2\] correspondant aux applications \(R \to R \times_{s, U, t} R\) données par \(r \mapsto (r, e(s(r)))\) et \(r \mapsto (e(t(r)), r)\). Ces applications définissent des applications \(J/J^2 \to I/I^2\) qui, ensemble, donnent un inverse de l’application \(I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\) du lemme. Ainsi, pour démontrer l’assertion, il nous suffit de montrer que \(e_1 \circ c : B \to B\) et \(e_2 \circ c : B \to B\) sont les applications identiques. Cela résulte du fait que les deux composées \(R \to R \times_{s, U, t} R \to R\) sont des identités.

L’assertion concernant \(i\) résulte de celle concernant \(c\) et du fait que \(c \circ (1, i) = e \circ t\). Nous omettons quelques détails.

Propriétés des groupoïdes

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes. L’idée qui sous-tend les résultats de cette section est que \(s: R \to U\) est un changement de base du morphisme \(U \to [U/R]\) (voir le Diagramme (04LC)). Les propriétés locales de \(s : R \to U\) devraient donc refléter les propriétés locales du morphisme \(U \to [U/R]\). Cela ne fonctionne pas, car \([U/R]\) n’est pas toujours un champ algébrique et nous ne pouvons donc pas parler des propriétés géométriques ou algébriques de \(U \to [U/R]\). Il s’avère toutefois que nous pouvons en récupérer une partie sans même faire référence au champ quotient.

Voici un premier exemple d’un tel résultat. Grosso modo, l’ouvert \(W \subset U'\) trouvé dans le lemme est le lieu où le morphisme \(U' \to [U/R]\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un groupoïde sur \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Notons \(h\) la composée \[\xymatrix{ h : U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} & R \ar[r]_s & U. }\] Soient \(\mathcal{P}, \mathcal{Q}, \mathcal{R}\) des propriétés de morphismes de schémas. Supposons que

1. \(\mathcal{R} \Rightarrow \mathcal{Q}\),

2. \(\mathcal{Q}\) est préservée par changement de base et par composition,

3. pour tout morphisme \(f : X \to Y\) qui possède \(\mathcal{Q}\), il existe un plus grand ouvert \(W(\mathcal{P}, f) \subset X\) tel que \(f|_{W(\mathcal{P}, f)}\) possède \(\mathcal{P}\), et

4. pour tout morphisme \(f : X \to Y\) qui possède \(\mathcal{Q}\), et tout morphisme \(Y' \to Y\) qui possède \(\mathcal{R}\), nous avons \(Y' \times_Y W(\mathcal{P}, f) = W(\mathcal{P}, f')\), où \(f' : X_{Y'} \to Y'\) est le changement de base de \(f\).

Si \(s, t\) possèdent \(\mathcal{R}\) et si \(g\) possède \(\mathcal{Q}\), alors il existe un sous-schéma ouvert \(W \subset U'\) tel que \(W \times_{g, U, t} R = W(\mathcal{P}, h)\).

Démonstration

Notons que le diagramme suivant est commutatif \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R \ar[rr]_-{\text{pr}_{12}} \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_{02}} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_{01}} & & R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_0} \\ U' \times_{g, U, t} R \ar[rr]^{\text{pr}_1} & & R }\] dont les deux carrés sont cartésiens (on utilise ici que les deux applications \(t \circ \text{pr}_i : R \times_{t, U, t} R \to U\) sont égales). En combinant ceci avec les propriétés du diagramme (04LG), nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R \ar[rr]_-{c \circ (i, 1)} \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_{02}} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_{01}} & & R \ar@<1ex>[d]^-{s} \ar@<-1ex>[d]_-{t} \\ U' \times_{g, U, t} R \ar[rr]^h & & U }\] dont les deux carrés sont cartésiens.

Supposons que \(s, t\) possèdent \(\mathcal{R}\) et que \(g\) possède \(\mathcal{Q}\). Alors \(h\) possède \(\mathcal{Q}\), car il est la composée de \(s\) (qui possède \(\mathcal{R}\), donc \(\mathcal{Q}\)) et d’un changement de base de \(g\) (qui possède \(\mathcal{Q}\)). Ainsi, \(W(\mathcal{P}, h) \subset U' \times_{g, U, t} R\) existe. D’après nos hypothèses, nous avons \(\text{pr}_{01}^{-1}(W(\mathcal{P}, h)) = \text{pr}_{02}^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\) car ce sont tous deux le plus grand ouvert sur lequel \(c \circ (i, 1)\) possède \(\mathcal{P}\). Notons que la projection \(U' \times_{g, U, t} R \to U'\) possède une section, à savoir \(\sigma : U' \to U' \times_{g, U, t} R\), \(u' \mapsto (u', e(g(u')))\). De plus, par l’isomorphisme \[(U' \times_{g, U, t} R) \times_{U'} (U' \times_{g, U, t} R) = U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R\] les deux projections du membre de gauche vers \(U' \times_{g, U, t} R\) coïncident avec les morphismes \(\text{pr}_{01}\) et \(\text{pr}_{02}\) du membre de droite. Puisque \(\text{pr}_{01}^{-1}(W(\mathcal{P}, h)) = \text{pr}_{02}^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\) nous concluons que \(W(\mathcal{P}, h)\) est l’image réciproque d’un sous-ensemble de \(U\), qui est nécessairement l’ouvert \(W = \sigma^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\).

Remarque

Avertissement : le Lemme 04LH doit être utilisé avec précaution. Il s’applique par exemple à \(\mathcal{P}=\)“plat”, \(\mathcal{Q}=\)“sans condition”, et \(\mathcal{R}=\)“plat et localement de présentation finie”. Toutefois, pour un morphisme de schémas \(f : X \to Y\), le plus grand ouvert \(W \subset X\) tel que \(f|_W\) soit plat n’est pas l’ensemble des points où \(f\) est plat !

Remarque

Malgré l’avertissement de la Remarque 04LI, il existe certains cas où le Lemme 04LH peut être utilisé sans introduire trop d’ambiguïté. Nous en donnons une liste. Dans chaque cas, nous omettons la vérification des hypothèses (1) et (2) et donnons des références qui impliquent (3) et (4). Voici la liste :

1. \(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“localement de type fini”, et \(\mathcal{P} =\)“de dimension relative \(\leq d\)”. Voir Morphismes, Définition 02NJ et Morphismes, Lemmes 02FZ et 02FY.

2. \(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“localement de type fini”, et \(\mathcal{P} =\)“localement quasi-fini”. C’est le cas \(d = 0\) du point précédent, voir Morphismes, Lemme 0397.

3. \(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“localement de type fini”, et \(\mathcal{P} =\)“non ramifié”. Voir Morphismes, Lemmes 02G6 et 0475.

L’intérêt des cas énumérés ci-dessus est qu’il n’est pas nécessaire de supposer que \(s, t\) sont plats pour obtenir une conclusion sur le lieu où le morphisme \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Poursuivons la liste :

1. \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P} =\)“plat”. Voir Compléments sur les morphismes, Théorème 0399 et Lemme 047C.

2. \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P}=\)“de Cohen-Macaulay”. Voir Compléments sur les morphismes, Définition 045R et Compléments sur les morphismes, Lemmes 045T et 045U.

3. \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P}=\)“syntomique” ; voir Morphismes, Lemme 02V3 (le lieu est automatiquement ouvert).

4. \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P}=\)“lisse”. Voir Morphismes, Lemme 02V4 (le lieu est automatiquement ouvert).

5. \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P}=\)“étale”. Voir Morphismes, Lemme 0476 (le lieu est automatiquement ouvert).

Voici le second résultat. Il faut penser à l’ouvert \(W \subset U\) invariant par \(R\) comme à l’image réciproque du plus grand ouvert de \([U/R]\) au-dessus duquel le morphisme \(U \to [U/R]\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\)¹. Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes de schémas qui est \(\tau\)-locale sur la base (Descente, Définition 02KO). Supposons que \(\{s : R \to U\}\) et \(\{t : R \to U\}\) soient des recouvrements pour la topologie \(\tau\). Soit \(W \subset U\) le sous-schéma ouvert maximal tel que \(s|_{s^{-1}(W)} : s^{-1}(W) \to W\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Alors \(W\) est invariant par \(R\), voir Groupoïdes, Définition 03BC.

Démonstration

L’existence et les propriétés de l’ouvert \(W \subset U\) sont décrites dans Descente, Lemme 06QP. Dans le Diagramme (04LF), soit \(W_1 \subset R\) le sous-schéma ouvert maximal au-dessus duquel le morphisme \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Il résulte du Lemme 06QP de Descente déjà cité et de l’hypothèse que \(\{s : R \to U\}\) et \(\{t : R \to U\}\) sont des recouvrements pour la topologie \(\tau\) que \(t^{-1}(W) = W_1 = s^{-1}(W)\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Soit \(G \to U\) son schéma en groupes stabilisateur. Soit \(\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes qui est \(\tau\)-locale sur la base. Supposons que \(\{s : R \to U\}\) et \(\{t : R \to U\}\) soient des recouvrements pour la topologie \(\tau\). Soit \(W \subset U\) le sous-schéma ouvert maximal tel que \(G_W \to W\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Alors \(W\) est invariant par \(R\) (voir Groupoïdes, Définition 03BC).

Démonstration

L’existence et les propriétés de l’ouvert \(W \subset U\) sont décrites dans Descente, Lemme 06QP. Le morphisme \[G \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} G, \quad (g, r) \longmapsto (r, r^{-1} \circ g \circ r)\] est un isomorphisme au-dessus de \(R\) (où \(\circ\) désigne la composition dans le groupoïde). Ainsi, \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\) par les propriétés de \(W\) démontrées dans le Lemme 06QP de Descente déjà cité.

Comparaison des fibres

Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Le Diagramme (04LF) nous fournit un moyen de comparer les fibres de l’application \(s : R \to U\) dans un groupoïde. Pour un point \(u \in U\), nous noterons \(F_u = s^{-1}(u)\) la fibre schématique de \(s : R \to U\) au-dessus de \(u\). Par exemple, le diagramme implique que, si \(u, u' \in U\) sont des points tels que \(s(r) = u\) et \(t(r) = u'\), alors \((F_u)_{\kappa(r)} \cong (F_{u'})_{\kappa(r)}\). C’est un cas particulier du résultat plus général et plus précis du Lemme 02YF ci-dessous. Pour le voir, prenons \(r' = i(r)\).

Un couple \((X, x)\) formé d’un schéma \(X\) et d’un point \(x \in X\) est parfois appelé le germe de \(X\) en \(x\). Un morphisme de germes \(f : (X, x) \to (S, s)\) est un morphisme \(f : U \to S\) défini sur un voisinage ouvert de \(x\) et tel que \(f(x) = s\). Deux tels \(f\), \(f'\) sont dits définir le même morphisme de germes si et seulement si \(f\) et \(f'\) coïncident sur un voisinage ouvert de \(x\). Soit \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\). Introduisons provisoirement la notion suivante : nous disons que deux morphismes de germes \(f : (X, x) \to (S, s)\) et \(f' : (X', x') \to (S', s')\) sont localement isomorphes sur la base pour la topologie \(\tau\), s’il existe un schéma pointé \((S'', s'')\) et des morphismes de germes \(g : (S'', s'') \to (S, s)\) et \(g' : (S'', s'') \to (S', s')\) tels que

1. \(g\) et \(g'\) sont des immersions ouvertes (resp. étales, lisses, syntomiques, plates et localement de présentation finie) en \(s''\),

2. il existe un isomorphisme \[(S'' \times_{g, S, f} X, \tilde x) \cong (S'' \times_{g', S', f'} X', \tilde x')\] de germes au-dessus du germe \((S'', s'')\), pour un certain choix de points \(\tilde x\) et \(\tilde x'\) situés au-dessus de \((s'', x)\) et \((s'', x')\).

Enfin, nous disons simplement que les morphismes de germes \(f : (X, x) \to (S, s)\) et \(f' : (X', x') \to (S', s')\) sont isomorphes après des changements de base plats s’il existe \(S'', s'', g, g'\) comme ci-dessus, mais en remplaçant (1) par la condition que \(g\) et \(g'\) soient plats en \(s''\) (celle-ci est bien plus faible que toutes les conditions \(\tau\) ci-dessus, car un morphisme plat n’est pas nécessairement ouvert).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde sur \(S\). Soient \(r, r' \in R\) tels que \(t(r) = t(r')\) dans \(U\). Posons \(u = s(r)\), \(u' = s(r')\). Notons \(F_u = s^{-1}(u)\) et \(F_{u'} = s^{-1}(u')\) les fibres schématiques.

1. Il existe une extension de corps commune \(\kappa(u) \subset k\), \(\kappa(u') \subset k\) et un isomorphisme \((F_u)_k \cong (F_{u'})_k\).

2. On peut choisir l’isomorphisme de (1) de telle sorte qu’un point situé au-dessus de \(r\) s’envoie sur un point situé au-dessus de \(r'\).

3. Si les morphismes \(s\), \(t\) sont plats, alors les morphismes de germes \(s : (R, r) \to (U, u)\) et \(s : (R, r') \to (U, u')\) sont localement isomorphes sur la base pour la topologie plate.

4. Si les morphismes \(s\), \(t\) sont étales (resp. lisses, syntomiques, ou plats et localement de présentation finie), alors les morphismes de germes \(s : (R, r) \to (U, u)\) et \(s : (R, r') \to (U, u')\) sont localement isomorphes sur la base pour la topologie étale (resp. lisse, syntomique, ou fppf).

Démonstration

Nous utilisons à plusieurs reprises les propriétés et l’existence du diagramme (04LF). D’après les propriétés du diagramme (et Schémas, lemme 01JT), il existe un point \(\xi\) de \(R \times_{s, U, t} R\) tel que \(\text{pr}_0(\xi) = r\) et \(c(\xi) = r'\). Posons \(\tilde r = \text{pr}_1(\xi) \in R\).

Démonstration de (1). Posons \(k = \kappa(\tilde r)\). Puisque \(t(\tilde r) = u\) et \(s(\tilde r) = u'\), nous voyons que \(k\) est une extension commune de \(\kappa(u)\) et de \(\kappa(u')\) et, en fait, que \((F_u)_k\) et \((F_{u'})_k\) sont tous deux isomorphes à la fibre de \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\) au-dessus de \(\tilde r\). Ainsi, (1) est démontré.

L’assertion (2) en résulte, puisque le point \(\xi\) s’envoie sur \(r\), resp. \(r'\).

L’assertion (3) découle clairement de ce qui précède (en utilisant le point \(\xi\) pour \(\tilde u\) et \(\tilde u'\)) et des définitions.

Si \(s\) et \(t\) sont plats et de présentation finie, alors ce sont des morphismes ouverts (Morphismes, lemme 01UA). L’image d’un certain voisinage ouvert affine \(V''\) de \(\tilde r\) recouvrira donc un voisinage ouvert \(V\) de \(u\), resp. \(V'\) de \(u'\). On peut les utiliser pour montrer que les propriétés (1) et (2) de la définition de “localement isomorphes sur la base pour la topologie \(\tau\)”.

Présentations de Cohen-Macaulay

Étant donné un groupoïde \((U, R, s, t, c)\) avec \(s, t\) plats et localement de présentation finie, il existe un groupoïde “équivalent” \((U', R', s', t', c')\) tel que \(s'\) et \(t'\) soient des morphismes de Cohen-Macaulay (et localement de présentation finie). Voir Compléments sur les morphismes, section 045Q, pour plus de renseignements sur les morphismes de Cohen-Macaulay. Ici, “équivalent” peut signifier que les champs quotients \([U/R]\) et \([U'/R']\) sont des champs équivalents, voir Groupoïdes dans les espaces, section 044O et la section 046R.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde au-dessus de \(S\). Supposons \(s\) et \(t\) plats et localement de présentation finie. Alors il existe un ouvert \(U' \subset U\) tel que

1. \(t^{-1}(U') \subset R\) est le plus grand sous-schéma ouvert de \(R\) sur lequel le morphisme \(s\) est de Cohen-Macaulay,

2. \(s^{-1}(U') \subset R\) est le plus grand sous-schéma ouvert de \(R\) sur lequel le morphisme \(t\) est de Cohen-Macaulay,

3. le morphisme \(t|_{s^{-1}(U')} : s^{-1}(U') \to U\) est surjectif,

4. le morphisme \(s|_{t^{-1}(U')} : t^{-1}(U') \to U\) est surjectif, et

5. la restriction \(R' = s^{-1}(U') \cap t^{-1}(U')\) de \(R\) à \(U'\) définit un groupoïde \((U', R', s', t', c')\) qui a la propriété que les morphismes \(s'\) et \(t'\) sont de Cohen-Macaulay et localement de présentation finie.

Démonstration

Appliquons le lemme 04LH avec \(g = \text{id}\) et \(\mathcal{Q} =\)“localement de présentation finie”, \(\mathcal{R} =\)“plat et localement de présentation finie”, et \(\mathcal{P}=\)“de Cohen-Macaulay”, voir la remarque 047W. Cela nous donne un ouvert \(U' \subset U\) tel que Alors \(t^{-1}(U') \subset R\) est le plus grand sous-schéma ouvert de \(R\) sur lequel le morphisme \(s\) est de Cohen-Macaulay. Ceci prouve (1). Soit \(i : R \to R\) l’inverse du groupoïde. Puisque \(i\) est un isomorphisme, et \(s \circ i = t\) et \(t \circ i = s\), nous voyons que \(s^{-1}(U')\) est aussi le plus grand ouvert de \(R\) sur lequel \(t\) est de Cohen-Macaulay. Ceci prouve (2). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 045U, l’ouvert \(t^{-1}(U')\) est dense dans chaque fibre de \(s : R \to U\). Ceci prouve (3). Même argument pour (4). L’assertion (5) est une conséquence formelle de (1) et (2) et de la discussion sur les restrictions dans Groupoïdes, section 02VA.

Restriction des groupoïdes

Dans cette section, nous rassemblons plusieurs lemmes sur les propriétés des groupoïdes qui se transmettent aux restrictions. La plupart de ces lemmes se démontrent en considérant le diagramme qui définit [04MN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U } } \end{equation}\] une restriction. Voir Groupoïdes, lemme 02VB.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(g\).

1. Si \(s, t\) sont localement de type fini et \(g\) est localement de type fini, alors \(s', t'\) sont localement de type fini.

2. Si \(s, t\) sont localement de présentation finie et \(g\) est localement de présentation finie, alors \(s', t'\) sont localement de présentation finie.

3. Si \(s, t\) sont plats et \(g\) est plat, alors \(s', t'\) sont plats.

4. Ajouter ici.

Démonstration

La propriété d’être localement de type fini est stable par composition et par changement de base arbitraire, voir Morphismes, lemmes 01T3 et 01T4. Par conséquent, (1) résulte clairement du diagramme (04MN). Pour les autres cas, voir Morphismes, lemmes 01TR, 01TS, 01U7, et 01U9.

Le lemme suivant aurait pu servir à démontrer les résultats du lemme précédent de manière plus uniforme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(g\), et soit \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\). Si \(\mathcal{P}\) est une propriété des morphismes de schémas telle que

1. \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), et

2. \(\mathcal{P}\) est préservée par changement de base,

alors \(s', t'\) possèdent la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Cela est clair, puisque \(s'\) est le changement de base de \(h\) d’après le diagramme (04MN) et que \(t'\) est isomorphe à \(s'\) en tant que morphisme de schémas.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Soient \(g : U' \to U\) et \(g' : U'' \to U'\) des morphismes de schémas. Posons \(g'' = g \circ g'\). Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \(R\) à \(U'\). Soit \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\), soit \(h' = s' \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g', U', t} R \to U'\), et soit \(h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \to U\). Le diagramme suivant est commutatif \[\xymatrix{ U'' \times_{g', U', t} R' \ar[d]^{h'} & (U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R) \ar[l] \ar[r] \ar[d] & U'' \times_{g'', U, t} R \ar[d]_{h''} \\ U' & U' \times_{g, U, t} R \ar[l]_{\text{pr}_0} \ar[r]^h & U }\] ses deux carrés étant cartésiens, et la flèche horizontale supérieure gauche étant donnée par la règle \[\begin{matrix} (U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R) & \longrightarrow & U'' \times_{g', U', t} R' \\ ((u', r_0), (u'', r_1)) & \longmapsto & (u'', (c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))) \end{matrix}\] avec les notations expliquées dans la démonstration.

Démonstration

Nous allons expliciter ceci en exploitant le point de vue fonctoriel et en ramenant le lemme à un énoncé sur les flèches dans les restrictions d’une catégorie groupoïde. Dans la dernière formule du lemme, la notation \(((u', r_0), (u'', r_1))\) désigne un point à valeurs dans \(T\) de \((U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R)\). Cela signifie que \(u', u'', r_0, r_1\) sont des points à valeurs dans \(T\) de \(U', U'', R, R\) et que \(g(u') = t(r_0)\), \(g(g'(u'')) = g''(u'') = t(r_1)\), et \(s(r_0) = s(r_1)\). Il serait plus correct d’écrire ici \(g \circ u' = t \circ r_0\) et ainsi de suite, mais cela rend la notation encore plus illisible. Si nous considérons \(r_1\) et \(r_0\) comme des flèches dans une catégorie groupoïde, nous pouvons représenter ceci par le diagramme \[\xymatrix{ t(r_0) = g(u') & s(r_0) = s(r_1) \ar[l]_{r_0} \ar[r]^-{r_1} & t(r_1) = g(g'(u'')) }\] Ce diagramme montre notamment que la composition \(c(r_1, i(r_0))\) a un sens. Rappelons que \[R' = R \times_{(t, s), U \times_S U, g \times g} U' \times_S U'\] ainsi, un point à valeurs dans \(T\) de \(R'\) s’écrit \((r, (u'_0, u'_1))\) avec \(t(r) = g(u'_0)\) et \(s(r) = g(u'_1)\). En particulier, étant donné \(((u', r_0), (u'', r_1))\) comme ci-dessus, on obtient le point à valeurs dans \(T\) \((c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))\) de \(R'\), car \(t(c(r_1, i(r_0))) = t(r_1) = g(g'(u''))\) et \(s(c(r_1, i(r_0))) = s(i(r_0)) = t(r_0) = g(u')\). Nous laissons au lecteur le soin de montrer que le carré gauche commute avec cette définition.

Pour montrer que le carré gauche est cartésien, supposons donnés \((v'', p')\) et \((v', p)\) qui sont des points à valeurs dans \(T\) de \(U'' \times_{g', U', t} R'\) et \(U' \times_{g, U, t} R\) avec \(v' = s'(p')\). Cela signifie aussi que \(g'(v'') = t'(p')\) et \(g(v') = t(p)\). D’après la discussion ci-dessus, nous savons que nous pouvons écrire \(p' = (r, (u_0', u_1'))\) avec \(t(r) = g(u'_0)\) et \(s(r) = g(u'_1)\). Avec cette notation, nous voyons que \(v' = s'(p') = u_1'\) et \(g'(v'') = t'(p') = u_0'\). Voici un diagramme \[\xymatrix{ s(p) \ar[r]^-p & g(v') = g(u'_1) \ar[r]^-r & g(u'_0) = g(g'(v'')) }\] Il s’agit de montrer qu’il existe un unique point à valeurs dans \(T\) \(((u', r_0), (u'', r_1))\) comme ci-dessus tel que \(v' = u'\), \(p = r_0\), \(v'' = u''\) et \(p' = (c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))\). En comparant les deux diagrammes ci-dessus, il est clair que nous n’avons pas d’autre choix que de poser \[((u', r_0), (u'', r_1)) = ((v', p), (v'', c(r, p))\] Quelques détails sont omis.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Soient \(g : U' \to U\) et \(g' : U'' \to U'\) des morphismes de schémas. Posons \(g'' = g \circ g'\). Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \(R\) à \(U'\). Soit \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\), soit \(h' = s' \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g', U', t} R \to U'\), et soit \(h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \to U\). Soit \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] fpqc\}\). Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes de schémas qui est préservée par changement de base et qui est locale sur la base pour la topologie \(\tau\). Si

1. \(h(U' \times_U R)\) est ouvert dans \(U\),

2. \(\{h : U' \times_U R \to h(U' \times_U R)\}\) est un \(\tau\)-recouvrement,

3. \(h'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\),

alors \(h''\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Réciproquement, si

1. \(\{t : R \to U\}\) est un \(\tau\)-recouvrement,

2. \(h''\) possède la propriété \(\mathcal{P}\),

alors \(h'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Cela résulte formellement des propriétés du diagramme du lemme 04MW. Dans le premier cas, remarquons que l’image du morphisme \(h''\) est contenue dans l’image de \(h\), puisque \(g'' = g \circ g'\). On peut donc remplacer le \(U\) situé dans le coin inférieur droit du diagramme par \(h(U' \times_U R)\). Cela explique l’importance des conditions (1) et (2) du lemme. Dans le second cas, remarquons que \(\{\text{pr}_0 : U' \times_{g, U, t} R \to U'\}\) est un \(\tau\)-recouvrement en tant que changement de base de \(\tau\) et de la condition (a).

Propriétés des groupoïdes sur les corps

Un “groupoïde sur un corps” désigne un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) où \(U\) est le spectre d’un corps. Cela ne signifie pas que \((U, R, s, t, c)\) est défini sur un corps; plus précisément, cela ne signifie pas que les morphismes \(s, t : R \to U\) sont égaux. Étant donné un corps \(k\), un groupe abstrait \(G\) et un homomorphisme de groupes \(\varphi : G \to \text{Aut}(k)\), on obtient un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) au-dessus de \(\mathbf{Z}\) en posant \[\begin{align*} U & = \Spec(k) \\ R & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(k) \\ s & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\text{id}_k) \\ t & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\varphi(g)) \\ c & = \text{composition dans }G \end{align*}\] Cet exemple est encore un schéma en groupoïdes au-dessus de \(\Spec(k^G)\). Par conséquent, si \(G\) est fini, alors \(U = \Spec(k)\) est fini sur \(\Spec(k^G)\). En un certain sens, notre but dans cette section est de montrer que des conditions de finitude convenables sur \(s, t\) imposent à tout groupoïde sur un corps d’être défini sur un sous-corps d’indice fini \(k' \subset k\).

Si \(k\) est un corps et \((G, m)\) un schéma en groupes sur \(k\), de morphisme structural \(p : G \to \Spec(k)\), alors \((\Spec(k), G, p, p, m)\) est un exemple de groupoïde sur un corps (et, dans ce cas, bien entendu, toute la structure est définie sur un corps). Ainsi, cette section peut être considérée comme l’analogue de Groupoïdes, section 047J.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Si \(U\) est le spectre d’un corps, alors le morphisme de composition \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) est ouvert.

Démonstration

La composition est isomorphe à la projection \(\text{pr}_1 : R \times_{t, U, t} R \to R\) d’après le diagramme (04LG). La projection est ouverte d’après Morphismes, lemme 0383.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Si \(U\) est le spectre d’un corps, alors \(R\) est un schéma séparé.

Démonstration

D’après Groupoïdes, lemme 047L, le schéma en groupes stabilisateur \(G \to U\) est séparé. D’après Groupoïdes, lemme 02YI, le morphisme \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\) est séparé. Comme \(U\) est le spectre d’un corps, le schéma \(U \times_S U\) est affine (par la construction des produits fibrés dans Schémas, section 01JO). Par conséquent, \(R\) est un schéma séparé, voir Schémas, lemme 01KU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Supposons \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Pour tous points \(r, r' \in R\), il existe une extension de corps \(k'/k\) et des points \(r_1, r_2 \in R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k')\) et un diagramme \[\xymatrix{ R & R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k') \ar[l]_-{\text{pr}_0} \ar[r]^\varphi & R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k') \ar[r]^-{\text{pr}_0} & R }\] tel que \(\varphi\) soit un isomorphisme de schémas au-dessus de \(\Spec(k')\), et que l’on ait \(\varphi(r_1) = r_2\), \(\text{pr}_0(r_1) = r\), et \(\text{pr}_0(r_2) = r'\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 02YF, parties (1) et (2).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Supposons \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Soit \(k'/k\) une extension de corps, \(U' = \Spec(k')\), et soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(U' \to U\). Dans le diagramme qui la définit \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'} \ar@{..>}[rd] & R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r] & U }\] tous les morphismes sont surjectifs, plats et universellement ouverts. La flèche pointillée \(R' \to R\) est en outre affine.

Démonstration

Le morphisme \(U' \to U\) est égal à \(\Spec(k') \to \Spec(k)\); il est donc affine, surjectif et plat. Les morphismes \(s, t : R \to U\) ainsi que le morphisme \(U' \to U\) sont universellement ouverts d’après Morphismes, lemme 0383. Comme \(R\) n’est pas vide et que \(U\) est le spectre d’un corps, les morphismes \(s, t : R \to U\) sont surjectifs et plats. On conclut alors à l’aide de Morphismes, lemmes 01S1, 01S0, 02V2, 01SD, 01SC, 01U9, et 01U7.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\). Supposons \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Pour tout point \(r \in R\), il existe

1. une extension de corps \(k'/k\) avec \(k'\) algébriquement clos,

2. un point \(r' \in R'\) où \((U', R', s', t', c')\) est la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)

de telle sorte que

1. le point \(r'\) a pour image \(r\) par le morphisme \(R' \to R\), et

2. les applications \(s', t' : R' \to \Spec(k')\) induisent des isomorphismes \(k' \to \kappa(r')\).

Démonstration

En traduisant l’énoncé géométrique en un énoncé sur les corps, cela signifie que nous pouvons trouver un diagramme \[\xymatrix{ k' & k' \ar[l]^1 & \\ k' \ar[u]^\tau & \kappa(r) \ar[lu]^\sigma & k \ar[l]^-s \ar[lu]_i \\ & k \ar[lu]^i \ar[u]_t }\] où \(i : k \to k'\) est le plongement de \(k\) dans \(k'\), les applications \(s, t : k \to \kappa(r)\) sont induites par \(s, t : R \to U\), et l’application \(\tau : k' \to k'\) est un automorphisme. Pour construire un tel diagramme, on peut procéder comme suit :

1. Choisir un homomorphisme de corps \(i : k \to k'\), avec \(k'\) algébriquement clos et de très grand degré de transcendance sur \(k\).

2. Choisir un plongement \(\sigma : \kappa(r) \to k'\) tel que \(\sigma \circ s = i\). Un tel \(\sigma\) existe, car il suffit de choisir une base de transcendance \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) de \(\kappa(r)\) sur \(k\) et des \(y_\alpha \in k'\), \(\alpha \in A\), qui soient algébriquement indépendants sur \(i(k)\), puis d’envoyer \(s(k)(\{x_\alpha\})\) dans \(k'\) selon les règles \(s(\lambda) \mapsto i(\lambda)\) pour \(\lambda \in k\) et \(x_\alpha \mapsto y_\alpha\) pour \(\alpha \in A\). Prolonger ensuite en \(\tau : \kappa(\alpha) \to k'\) en utilisant le fait que \(k'\) est algébriquement clos.

3. Choisir un automorphisme \(\tau : k' \to k'\) tel que \(\tau \circ i = \sigma \circ t\). Pour cela, choisir une base de transcendance \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\) de \(k\) sur son sous-corps premier. D’une part, compléter \(\{i(x_\alpha)\}\) en une base de transcendance de \(k'\) en ajoutant \(\{y_\beta\}_{\beta \in B}\), et compléter \(\{\sigma(t(x_\alpha))\}\) en une base de transcendance de \(k'\) en ajoutant \(\{z_\gamma\}_{\gamma \in C}\). Comme \(k'\) est algébriquement clos, nous pouvons prolonger l’isomorphisme \(\sigma \circ t \circ i^{-1} : i(k) \to \sigma(t(k))\) en un isomorphisme \(\tau' : \overline{i(k)} \to \overline{\sigma(t(k))}\) entre leurs clôtures algébriques dans \(k'\). Comme \(k'\) a un grand degré de transcendance, nous voyons que les ensembles \(B\) et \(C\) ont le même cardinal. Ainsi, nous pouvons utiliser une bijection \(B \to C\) pour prolonger \(\tau'\) en un isomorphisme \[\overline{i(k)}(\{y_\beta\}) \longrightarrow \overline{\sigma(t(k))}(\{z_\gamma\})\] et alors, puisque \(k'\) est la clôture algébrique des deux membres, nous voyons que cela se prolonge en un automorphisme \(\tau : k' \to k'\) comme souhaité.

Cela démontre le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Si \(r \in R\) est un point tel que \(s, t\) induisent des isomorphismes \(k \to \kappa(r)\), alors l’application \[R \longrightarrow R, \quad x \longmapsto c(r, x)\] (voir la démonstration pour une notation précise) est un automorphisme \(R \to R\) qui envoie \(e\) sur \(r\).

Démonstration

Cela est tout à fait évident si l’on envisage les groupoïdes de manière fonctorielle. Mais nous allons aussi l’expliciter entièrement. Notons \(a : U \to R\) le morphisme d’image \(r\) tel que \(s \circ a = \text{id}_U\), qui existe par l’hypothèse selon laquelle \(s : k \to \kappa(r)\) est un isomorphisme. De même, notons \(b : U \to R\) le morphisme d’image \(r\) tel que \(t \circ b = \text{id}_U\). Remarquons que \(b = a \circ (t \circ a)^{-1}\), et, en particulier, \(a \circ s \circ b = b\).

Considérons le morphisme \(\Psi : R \to R\) défini sur les points à valeurs dans \(T\) par \[(f : T \to R) \longmapsto (c(a \circ t \circ f, f) : T \to R)\] Pour voir qu’il est défini, nous devons vérifier que \(s \circ a \circ t \circ f = t \circ f\), ce qui est évident puisque \(s \circ a = 1\). Remarquons que \(\Phi(e) = a\) ; ainsi, pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que \(\Phi\) est un automorphisme de \(R\). Soit \(\Phi : R \to R\) le morphisme défini sur les points à valeurs dans \(T\) par \[(g : T \to R) \longmapsto (c(i \circ b \circ t \circ g, g) : T \to R).\] Il est défini car \(s \circ i \circ b \circ t \circ g = t \circ b \circ t \circ g = t \circ g\). Nous affirmons que \(\Phi\) et \(\Psi\) sont inverses l’un de l’autre. Pour le voir, calculons \[\begin{align*} & c(a \circ t \circ c(i \circ b \circ t \circ g, g), c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(a \circ t \circ i \circ b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(a \circ s \circ b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(c(b \circ t \circ g, i \circ b \circ t \circ g), g)) \\ & = c(e, g) \\ & = g \end{align*}\] où nous avons utilisé la relation \(a \circ s \circ b = b\) établie ci-dessus. Dans l’autre sens, nous avons \[\begin{align*} & c(i \circ b \circ t \circ c(a \circ t \circ f, f), c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ b \circ t \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ a \circ (t \circ a)^{-1} \circ t \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(c(i \circ a \circ t \circ f, a \circ t \circ f), f) \\ & = c(e, f) \\ & = f \end{align*}\] Le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Si \(U\) est le spectre d’un corps, si \(W \subset R\) est ouvert et si \(Z \to R\) est un morphisme de schémas, alors l’image de la composée \(Z \times_{s, U, t} W \to R \times_{s, U, t} R \to R\) est ouverte.

Démonstration

Écrivons \(U = \Spec(k)\). Considérons une extension de corps \(k'/k\). Notons \(U' = \Spec(k')\). Soit \(R'\) la restriction de \(R\) par \(U' \to U\). Posons \(Z' = Z \times_R R'\) et \(W' = R' \times_R W\). Considérons un point \(\xi = (z, w)\) de \(Z \times_{s, U, t} W\). Soit \(r \in R\) l’image de \(z\) par \(Z \to R\). Choisissons \(k' \supset k\) et \(r' \in R'\) comme dans le lemme 04LR. Nous pouvons choisir \(z' \in Z'\) se projetant sur \(z\) et sur \(r'\). Nous pouvons alors trouver \(\xi' \in Z' \times_{s', U', t'} W'\) se projetant sur \(z'\) et sur \(\xi\). L’ouvert \(c(r', W')\) (lemme 04LS) est contenu dans l’image de \(Z' \times_{s', U', t'} W' \to R'\). Observons que \(Z' \times_{s', U', t'} W' = (Z \times_{s, U, t} W) \times_{R \times_{s, U, t} R} (R' \times_{s', U', t'} R')\). Par conséquent, l’image de \(Z' \times_{s', U', t'} W' \to R' \to R\) est contenue dans l’image de \(Z \times_{s, U, t} W \to R\). Comme le morphisme \(R' \to R\) est ouvert (lemme 04LQ), nous concluons que l’image contient un voisinage ouvert de l’image de \(\xi\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Par abus de notation, notons \(e \in R\) l’image du morphisme identité \(e : U \to R\). Alors :

1. tout anneau local \(\mathcal{O}_{R, r}\) de \(R\) possède un unique idéal premier minimal ;

2. il existe exactement une composante irréductible \(Z\) de \(R\) passant par \(e\) ;

3. \(Z\) est géométriquement irréductible sur \(k\) pour l’un ou l’autre des morphismes \(s\) et \(t\).

Démonstration

Soit \(r \in R\) un point. Dans cette démonstration, nous utiliserons sans autre mention la correspondance entre les composantes irréductibles de \(R\) passant par un point \(r\) et les idéaux premiers minimaux de l’anneau local \(\mathcal{O}_{R, r}\). Choisissons \(k \subset k'\) et \(r' \in R'\) comme dans le lemme 04LR. Remarquons que \(\mathcal{O}_{R, r} \to \mathcal{O}_{R', r'}\) est fidèlement plat et local, voir le lemme 04LQ. Ainsi, le résultat pour \(r' \in R'\) entraîne le résultat pour \(r \in R\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(s, t : k \to \kappa(r)\) sont des isomorphismes. D’après le lemme 04LS, il existe un automorphisme envoyant \(e\) sur \(r\). Nous pouvons donc supposer \(r = e\), c’est-à-dire que (1) découle de (2).

Démontrons d’abord (2) dans le cas où \(k\) est séparablement clos. Soient en effet \(X, Y \subset R\) des composantes irréductibles passant par \(e\). Alors, d’après Variétés, lemme 038F et 020J, le schéma \(X \times_{s, U, t} Y\) est lui aussi irréductible. Ainsi, \(c(X \times_{s, U, t} Y) \subset R\) est un sous-ensemble irréductible. Nous affirmons qu’il contient à la fois \(X\) et \(Y\) (comme sous-ensembles de \(R\)). En effet, soit \(T\) le spectre d’un corps. Si \(x : T \to X\) est un \(T\)-point de \(X\), alors \(c(x, e \circ s \circ x) = x\) et \(e \circ s \circ x\) se factorise par \(Y\) puisque \(e \in Y\). Il en va de même pour les points de \(Y\). Cela implique manifestement que \(X = Y\), c’est-à-dire qu’il existe une unique composante irréductible de \(R\) passant par \(e\).

Démonstration de (2) et (3) dans le cas général. Soit \(k \subset k'\) une clôture séparable, et soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par \(\Spec(k') \to \Spec(k)\). D’après le paragraphe précédent, il existe exactement une composante irréductible \(Z'\) de \(R'\) passant par \(e'\). Notons \(e'' \in R \times_{s, U} U'\) le changement de base de \(e\). Comme \(R' \to R \times_{s, U} U'\) est fidèlement plat, voir le lemme 04LQ, et que \(e' \mapsto e''\), il existe exactement une composante irréductible \(Z''\) de \(R \times_{s, k} k'\) passant par \(e''\). Comme \(R \times_k k' \to R\) est fidèlement plat, cela implique qu’il existe exactement une composante irréductible \(Z\) de \(R\) passant par \(e\). Cela démontre (2).

Pour démontrer (3), soit \(Z''' \subset R \times_k k'\) une composante irréductible quelconque de \(Z \times_k k'\). D’après Variétés, lemme 04KY, nous avons \(Z''' = \sigma(Z'')\) pour un certain \(\sigma \in \text{Gal}(k'/k)\). Comme \(\sigma(e'') = e''\), nous avons \(e'' \in Z'''\), et donc \(Z''' = Z''\). Cela signifie que \(Z\) est géométriquement irréductible sur \(\Spec(k)\) pour le morphisme \(s\). Le même argument montre que \(Z\) est géométriquement irréductible sur \(\Spec(k)\) pour le morphisme \(t\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Supposons que \(s, t\) soient localement de type fini. Alors :

1. \(R\) est équidimensionnel ;

2. \(\dim(R) = \dim_r(R)\) pour tout \(r \in R\) ;

3. pour tout \(r \in R\), nous avons \(\text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(r)) = \text{trdeg}_{t(k)}(\kappa(r))\) ; et

4. pour tout point fermé \(r \in R\), nous avons \(\dim(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, r})\).

Démonstration

Soient \(r, r' \in R\). Alors \(\dim_r(R) = \dim_{r'}(R)\) d’après le lemme 04LP et Morphismes, lemme 02FY. D’après Morphismes, lemme 02FX, nous avons \[\dim_r(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, r}) + \text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(r)) = \dim(\mathcal{O}_{R, r}) + \text{trdeg}_{t(k)}(\kappa(r)).\] D’autre part, la dimension de \(R\) (ou de tout ouvert de \(R\)) est la borne supérieure des dimensions des anneaux locaux de \(R\), voir Propriétés, lemme 02IZ. La dimension de l’anneau local est manifestement maximale aux points fermés \(r\), auquel cas \(\text{trdeg}_k(\kappa(r)) = 0\) (par le théorème des zéros de Hilbert, voir Morphismes, section 01T9). Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps. Supposons que \(s, t\) soient localement de type fini. Alors \(\dim(R) = \dim(G)\), où \(G\) est le schéma en groupes stabilisateur de \(R\).

Démonstration

Soit \(Z \subset R\) la composante irréductible passant par \(e\) (voir le lemme 04LT), considérée comme un sous-schéma fermé intègre de \(R\). Soit \(k'_s\), resp. \(k'_t\), la clôture intégrale de \(s(k)\), resp. \(t(k)\), dans \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\). Rappelons que \(k'_s\) et \(k'_t\) sont des corps, voir Variétés, lemme 04MI. D’après Variétés, proposition 04MK, nous avons \(k'_s = k'_t\) comme sous-anneaux de \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\). Comme \(e\) se factorise par \(Z\), nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ k \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) \ar[r]^e & k \\ k \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] Cela montre d’une part que \(k'_s = s(k)\) et \(k'_t = t(k)\), donc que \(s(k) = t(k)\), ce qui, combiné au diagramme ci-dessus, implique que \(s = t\) ! Autrement dit, nous concluons que \(Z\) est un sous-schéma fermé de \(G = R \times_{(t, s), U \times_S U, \Delta} U\). Le lemme en résulte, car \(G\) et \(R\) sont tous deux équidimensionnels, voir lemme 04LU et Groupoïdes, lemme 045X.

Remarque

Avertissement : Le lemme 04MQ est faux sans la condition que \(s\) et \(t\) soient localement de type fini. Un exemple simple consiste à partir de l’action \[\mathbf{G}_{m, \mathbf{Q}} \times_{\mathbf{Q}} \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}} \to \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\] et à restreindre le schéma en groupoïdes correspondant au point générique de \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\). Autrement dit, effectuons la restriction suivant le morphisme \(\Spec(\mathbf{Q}(x)) \to \Spec(\mathbf{Q}[x]) = \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\). On obtient alors un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) avec \(U = \Spec(\mathbf{Q}(x))\) et \[R = \Spec\left( \mathbf{Q}(x)[y]\left[ \frac{1}{P(xy)}, P \in \mathbf{Q}[T], P \not = 0 \right] \right)\] Dans ce cas, \(\dim(R) = 1\) et \(\dim(G) = 0\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que les conditions suivantes soient satisfaites :

1. \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps ;

2. \(s, t\) sont localement de type fini ; et

3. la caractéristique de \(k\) est nulle.

Alors \(s, t : R \to U\) sont lisses.

Démonstration

D’après le lemme 04R9, le faisceau des différentielles de \(R \to U\) est libre. La lissité résulte donc de Variétés, lemme 04QN.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que les conditions suivantes soient satisfaites :

1. \(U = \Spec(k)\), où \(k\) est un corps ;

2. \(s, t\) sont localement de type fini ;

3. \(R\) est réduit ; et

4. \(k\) est parfait.

Alors \(s, t : R \to U\) sont lisses.

Démonstration

D’après le lemme 04R9, le faisceau \(\Omega_{R/U}\) est libre. Le lemme résulte donc de Variétés, lemme 04QP.

Morphismes de groupoïdes sur des corps

Cette section étudie les morphismes entre groupoïdes sur des corps. C’est légèrement plus général, mais très proche de l’étude des morphismes de schémas en groupes sur un corps.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \(U = \Spec(k)\) un schéma sur \(S\), où \(k\) est un corps. Soient \((U, R_1, s_1, t_1, c_1)\) et \((U, R_2, s_2, t_2, c_2)\) des schémas en groupoïdes sur \(S\) ayant la même première composante. Soit \(a : R_1 \to R_2\) un morphisme tel que \((\text{id}_U, a)\) définisse un morphisme de schémas en groupoïdes sur \(S\), voir Groupoïdes, définition 0231. En particulier, les diagrammes suivants sont commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ R_1 \ar[rrd]^{t_1} \ar[rdd]_{s_1} \ar[rd]_a \\ & R_2 \ar[d]^{t_2} \ar[r]_{s_2} & U \\ & U } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r]_-{c_1} \ar[d]_{a \times a} & R_1 \ar[d]^a \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r]^-{c_2} & R_2 } }\]

Le lemme suivant généralise Groupoïdes, lemme 047S.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 04Q5. Si \(a(R_1)\) est ouvert dans \(R_2\), alors \(a(R_1)\) est fermé dans \(R_2\).

Démonstration

Soit \(r_2 \in R_2\) un point appartenant à l’adhérence de \(a(R_1)\). Nous voulons montrer que \(r_2 \in a(R_1)\). Choisissons \(k \subset k'\) et \(r_2' \in R'_2\) adapté à \((U, R_2, s_2, t_2, c_2)\) et à \(r_2\) comme dans le lemme 04LR. Soit \(R_i'\) la restriction de \(R_i\) par le morphisme \(U' = \Spec(k') \to U = \Spec(k)\). Soit \(a' : R'_1 \to R_2'\) le changement de base de \(a\). Le diagramme \[\xymatrix{ R'_1 \ar[r]_{a'} \ar[d]_{p_1} & R'_2 \ar[d]^{p_2} \\ R_1 \ar[r]^a & R_2 }\] est un carré cartésien. L’image de \(a'\) est donc l’image réciproque de l’image de \(a\) par le morphisme \(p_2 : R'_2 \to R_2\). D’après le lemme 04LQ, l’application \(p_2\) est surjective et ouverte. Ainsi, d’après Topologie, lemme 02YB, nous voyons que \(r_2'\) appartient à l’adhérence de \(a'(R'_1)\). Cela signifie que nous pouvons supposer que \(r_2 \in R_2\) vérifie que les applications \(k \to \kappa(r_2)\) induites par \(s_2\) et \(t_2\) sont des isomorphismes.

Dans ce cas, nous pouvons utiliser le lemme 04LS. Ce lemme implique que \(c(r_2, a(R_1))\) est un voisinage ouvert de \(r_2\). Ainsi, \(a(R_1) \cap c(r_2, a(R_1)) \not = \emptyset\), puisque nous avons supposé que \(r_2\) appartenait à l’adhérence de \(a(R_1)\). En utilisant les morphismes d’inversion de \(R_2\) et de \(R_1\), nous voyons que cela signifie que \(c_2(a(R_1), a(R_1))\) contient \(r_2\). Comme \(c_2(a(R_1), a(R_1)) \subset a(c_1(R_1, R_1)) = a(R_1)\), nous concluons que \(r_2 \in a(R_1)\), comme souhaité.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 04Q5. Soit \(Z \subset R_2\) le sous-schéma fermé réduit (voir Schémas, définition 01J4) dont l’espace topologique sous-jacent est l’adhérence de l’image de \(a : R_1 \to R_2\). Alors \(c_2(Z \times_{s_2, U, t_2} Z) \subset Z\) ensemblistement.

Démonstration

Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r] \ar[d] & R_1 \ar[d] \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r] & R_2 }\] D’après Variétés, lemme 04Q0, l’adhérence de l’image de la flèche verticale de gauche est (ensemblistement) \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\). Le résultat en découle.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 04Q5. Supposons que \(k\) soit parfait. Soit \(Z \subset R_2\) le sous-schéma fermé réduit (voir Schémas, définition 01J4) dont l’espace topologique sous-jacent est l’adhérence de l’image de \(a : R_1 \to R_2\). Alors \[(U, Z, s_2|_Z, t_2|_Z, c_2|_Z)\] est un schéma en groupoïdes sur \(S\).

Démonstration

Expliquons d’abord pourquoi l’énoncé a un sens. Puisque \(U\) est le spectre d’un corps parfait \(k\), le schéma \(Z\) est géométriquement réduit sur \(k\) (pour l’une ou l’autre projection), voir Variétés, lemme 020I. Ainsi, le schéma \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z \subset Z\) est réduit, voir Variétés, lemme 035Z. Par conséquent, d’après le lemme 04Q7, nous voyons que \(c\) induit un morphisme \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z \to Z\). Enfin, il est clair que \(e_2\) se factorise par \(Z\) et que le morphisme \(i_2 : R_2 \to R_2\) préserve \(Z\). Puisque les morphismes du septuple \((U, R_2, s_2, t_2, c_2, e_2, i_2)\) satisfont aux axiomes d’un groupoïde, il s’ensuit qu’après restriction à \(Z\), ils satisfont encore à ces axiomes.

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 04Q5. Si l’image \(a(R_1)\) est un sous-ensemble localement fermé de \(R_2\), alors c’est un sous-ensemble fermé.

Démonstration

Soit \(k \subset k'\) une clôture parfaite du corps \(k\). Soit \(R_i'\) la restriction de \(R_i\) par le morphisme \(U' = \Spec(k') \to \Spec(k)\). Remarquons que les morphismes \(R_i' \to R_i\) sont des homéomorphismes universels, car ce sont des composés de changements de base de l’homéomorphisme universel \(U' \to U\) (voir le diagramme dans l’énoncé du lemme 04LQ). Il suffit donc de démontrer que l’image \(a'(R_1')\) est fermée dans \(R_2'\). Autrement dit, nous pouvons supposer que \(k\) est parfait.

Si \(k\) est parfait, l’adhérence de l’image est un schéma en groupoïdes \(Z \subset R_2\), d’après le lemme 04Q8. En appliquant le même lemme à \(\text{id}_{R_1} : R_1 \to R_1\), nous voyons que \((R_2)_{red}\) est un schéma en groupoïdes. Nous pouvons donc appliquer le lemme 04Q6 au morphisme \(a|_{(R_2)_{red}} : (R_2)_{red} \to Z\) pour conclure que \(Z\) est égal à l’image de \(a\).

Lemme

Notations et hypothèses comme dans la situation 04Q5. Supposons que \(a : R_1 \to R_2\) soit un morphisme quasi-compact. Soit \(Z \subset R_2\) l’image schématique (voir Morphismes, définition 01R7) de \(a : R_1 \to R_2\). Alors \[(U, Z, s_2|_Z, t_2|_Z, c_2|_Z)\] est un schéma en groupoïdes sur \(S\).

Démonstration

La principale difficulté consiste à montrer que \(c_2|_{Z \times_{s_2, U, t_2} Z}\) a son image dans \(Z\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r] \ar[d]^{a \times a} & R_1 \ar[d] \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r] & R_2 }\] D’après le lemme 04Q1 du chapitre Variétés, nous voyons que l’image schématique de \(a \times a\) est \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\). Par commutativité du diagramme, nous concluons que \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\) a son image dans \(Z\) par la flèche horizontale inférieure. Comme dans la démonstration du lemme 04Q8, on a aussi \(i_2(Z) \subset Z\) et \(e_2\) se factorise par \(Z\). Nous concluons donc comme dans la démonstration de ce lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U\) soit le spectre d’un corps. Soit \(Z \subset U \times_S U\) le sous-schéma fermé réduit (voir Schémas, définition 01J4) dont l’espace topologique sous-jacent est l’adhérence de l’image de \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\). Alors \(\text{pr}_{02}(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z) \subset Z\) ensemblistement.

Démonstration

Puisque \((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\) est un schéma en groupoïdes sur \(S\), c’est un cas particulier du lemme 04Q7. Mais nous pouvons aussi le démontrer directement comme suit.

Écrivons \(U = \Spec(k)\). Notons \(R_s\) (resp. \(Z_s\), resp. \(U^2_s\)) le schéma \(R\) (resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)) considéré comme un schéma sur \(k\) au moyen de \(s\) (resp. \(\text{pr}_1|_Z\), resp. \(\text{pr}_1\)). De même, notons \({}_tR\) (resp. \({}_tZ\), resp. \({}_tU^2\)) le schéma \(R\) (resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)) considéré comme un schéma sur \(k\) au moyen de \(t\) (resp. \(\text{pr}_0|_Z\), resp. \(\text{pr}_0\)). Le morphisme \(j\) induit des morphismes de schémas \(j_s : R_s \to U^2_s\) et \({}_tj : {}_tR \to {}_tU^2\) sur \(k\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R_s \times_k {}_tR \ar[r]^c \ar[d]_{j_s \times {}_tj} & R \ar[d]^j \\ U^2_s \times_k {}_tU^2 \ar[r] & U \times_S U }\] D’après le lemme 04Q0 du chapitre Variétés, nous voyons que l’adhérence de l’image de \(j_s \times {}_tj\) est \(Z_s \times_k {}_tZ\). Par commutativité du diagramme, nous concluons que \(Z_s \times_k {}_tZ\) a son image dans \(Z\) par la flèche horizontale inférieure.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U\) soit le spectre d’un corps parfait. Soit \(Z \subset U \times_S U\) le sous-schéma fermé réduit (voir Schémas, définition 01J4) dont l’espace topologique sous-jacent est l’adhérence de l’image de \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\). Alors \[(U, Z, \text{pr}_0|_Z, \text{pr}_1|_Z, \text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z})\] est un schéma en groupoïdes sur \(S\).

Démonstration

Puisque \((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\) est un schéma en groupoïdes sur \(S\), c’est un cas particulier du lemme 04Q8. Mais nous pouvons aussi le démontrer directement comme suit.

Expliquons d’abord pourquoi l’énoncé a un sens. Puisque \(U\) est le spectre d’un corps parfait \(k\), le schéma \(Z\) est géométriquement réduit sur \(k\) (au moyen de l’une ou l’autre projection), voir Variétés, lemme 020I. Le schéma \(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z \subset Z\) est donc réduit, voir Variétés, lemme 035Z. Ainsi, d’après le lemme 04QB, nous voyons que \(\text{pr}_{02}\) induit un morphisme \(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z \to Z\). Enfin, il est clair que \(\Delta_{U/S}\) se factorise par \(Z\) et que l’application \(\sigma : U \times_S U \to U \times_S U\), \((x, y) \mapsto (y, x)\) préserve \(Z\). Puisque \((U, U \times_S U, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02}, \Delta_{U/S}, \sigma)\) satisfait aux axiomes d’un groupoïde, il s’ensuit qu’après restriction à \(Z\), ces morphismes satisfont aux axiomes.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Supposons que \(U\) soit le spectre d’un corps et supposons que \(R\) soit quasi-compact (de manière équivalente, \(s, t\) sont quasi-compacts). Soit \(Z \subset U \times_S U\) l’image schématique (voir Morphismes, définition 01R7) de \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\). Alors \[(U, Z, \text{pr}_0|_Z, \text{pr}_1|_Z, \text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z})\] est un schéma en groupoïdes sur \(S\).

Démonstration

Puisque \((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\) est un schéma en groupoïdes sur \(S\), c’est un cas particulier du lemme 04QA. Mais nous pouvons aussi le démontrer directement comme suit.

La difficulté principale consiste à montrer que \(\text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z}\) a son image dans \(Z\). Écrivons \(U = \Spec(k)\). Notons \(R_s\) (resp. \(Z_s\), resp. \(U^2_s\)) le schéma \(R\) (resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)) considéré comme un schéma sur \(k\) au moyen de \(s\) (resp. \(\text{pr}_1|_Z\), resp. \(\text{pr}_1\)). De même, notons \({}_tR\) (resp. \({}_tZ\), resp. \({}_tU^2\)) le schéma \(R\) (resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)) considéré comme un schéma sur \(k\) au moyen de \(t\) (resp. \(\text{pr}_0|_Z\), resp. \(\text{pr}_0\)). Le morphisme \(j\) induit des morphismes de schémas \(j_s : R_s \to U^2_s\) et \({}_tj : {}_tR \to {}_tU^2\) sur \(k\). Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ R_s \times_k {}_tR \ar[r]^c \ar[d]_{j_s \times {}_tj} & R \ar[d]^j \\ U^2_s \times_k {}_tU^2 \ar[r] & U \times_S U }\] D’après le lemme 04Q1 du chapitre Variétés, nous voyons que l’image schématique de \(j_s \times {}_tj\) est \(Z_s \times_k {}_tZ\). Par commutativité du diagramme, nous concluons que \(Z_s \times_k {}_tZ\) a son image dans \(Z\) par la flèche horizontale inférieure. Comme dans la démonstration du lemme 04QC, on a aussi \(\sigma(Z) \subset Z\) et \(\Delta_{U/S}\) se factorise par \(Z\). Nous concluons donc comme dans la démonstration de ce lemme.

Tranches de schémas en groupoïdes

Le lemme suivant montre que nous pouvons prendre une tranche d’un schéma en groupoïdes de Cohen-Macaulay afin de réduire la dimension des fibres, pourvu que la dimension du stabilisateur soit petite. C’est une étape essentielle du processus d’amélioration d’une présentation donnée d’un champ quotient.

Situation

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(g : U' \to U\) un morphisme de schémas. Soit \(u \in U\) un point, et soit \(u' \in U'\) un point tel que \(g(u') = u\). Ces données étant fixées, notons \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \((U, R, s, t, c)\) par le morphisme \(g\). Notons \(G \to U\) le schéma en groupes stabilisateur de \(R\), qui est un sous-schéma localement fermé de \(R\). Notons \(h\) la composée \[h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U.\] Notons \(F_u = s^{-1}(u)\) (fibre schématique), et \(G_u\) la fibre schématique de \(G\) au-dessus de \(u\). De même, pour \(R'\), notons \(F'_{u'} = (s')^{-1}(u')\). Comme \(g(u') = u\), on a \[F'_{u'} = h^{-1}(u) \times_{\Spec(\kappa(u))} \Spec(\kappa(u')).\] Le point \(e(u) \in R\) peut être considéré comme un point de \(G_u\) et de \(F_u\), et \(e'(u')\) est un point de \(R'\) (resp. \(G'_{u'}\), resp. \(F'_{u'}\)) qui s’envoie sur \(e(u)\) dans \(R\) (resp. \(G_u\), resp. \(F_u\)).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(G \to U\) le schéma en groupes stabilisateur. Supposons que \(s\) et \(t\) soient de Cohen-Macaulay et localement de présentation finie. Soit \(u \in U\) un point de type fini du schéma \(U\), voir Morphismes, définition 02J1. Avec les notations de la situation 04MY, posons \[d_1 = \dim(G_u), \quad d_2 = \dim_{e(u)}(F_u).\] Si \(d_2 > d_1\), alors il existe un schéma affine \(U'\) et un morphisme \(g : U' \to U\) tels que (avec les notations de la situation 04MY)

1. \(g\) est une immersion,

2. \(u \in U'\),

3. \(g\) est localement de présentation finie,

4. le morphisme \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\) est de Cohen-Macaulay au point \((u, e(u))\), et

5. on a \(\dim_{e'(u)}(F'_u) = d_2 - 1\).

Démonstration

Soit \(\Spec(A) \subset U\) un voisinage affine de \(u\) tel que \(u\) corresponde à un point fermé de \(U\), voir Morphismes, lemme 02J2. Soit \(\Spec(B) \subset R\) un voisinage affine de \(e(u)\) dont l’image par \(j\) est contenue dans l’ouvert \(\Spec(A) \times_S \Spec(A) \subset U \times_S U\). Soit \(\mathfrak m \subset A\) l’idéal maximal correspondant à \(u\). Soit \(\mathfrak q \subset B\) l’idéal premier correspondant à \(e(u)\). Diagrammes : \[\vcenter{ \xymatrix{ B & A \ar[l]^s \\ A \ar[u]^t } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B_{\mathfrak q} & A_{\mathfrak m} \ar[l]^s \\ A_{\mathfrak m} \ar[u]^t } }\] Notons que les deux applications induites \(s, t : \kappa(\mathfrak m) \to \kappa(\mathfrak q)\) sont égales et sont des isomorphismes puisque \(s \circ e = t \circ e = \text{id}_U\). En particulier, nous voyons que \(\mathfrak q\) est aussi un idéal maximal. Les homomorphismes d’anneaux \(s, t : A \to B\) sont de présentation finie et plats. Par hypothèse, l’anneau \[\mathcal{O}_{F_u, e(u)} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\] est de Cohen-Macaulay de dimension \(d_2\). L’égalité des dimensions résulte de Morphismes, lemme 02FX.

Soit \(R''\) la restriction de \(R\) à \(u = \Spec(\kappa(u))\) par le morphisme \(\Spec(\kappa(u)) \to U\). Comme \(u \to U\) est localement de type fini, nous voyons que \((\Spec(\kappa(u)), R'', s'', t'', c'')\) est un schéma en groupoïdes avec \(s'', t''\) localement de type fini, voir le lemme 04MP. D’après le lemme 04MQ, cela implique que \(\dim(G'') = \dim(R'')\). On a aussi \(\dim(R'') = \dim_{e''}(R'') = \dim(\mathcal{O}_{R'', e''})\), voir le lemme 04LU. D’après Groupoïdes, lemme 04ML, on a \(G'' = G_u\). Nous concluons donc que \(\dim(\mathcal{O}_{R'', e''}) = d_1\).

En tant que schéma, \(R''\) est \[R'' = R \times_{(U \times_S U)} \Big( \Spec(\kappa(\mathfrak m)) \times_S \Spec(\kappa(\mathfrak m)) \Big)\] Par conséquent, un voisinage ouvert affine de \(e''\) est le spectre de l’anneau \[B \otimes_{(A \otimes A)} (\kappa(\mathfrak m) \otimes \kappa(\mathfrak m)) = B/s(\mathfrak m)B + t(\mathfrak m)B\] Nous en concluons que \[\mathcal{O}_{R'', e''} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\] et nous savons donc maintenant que cet anneau est de dimension \(d_1\).

Nous affirmons que cela implique que l’on peut trouver un élément \(f \in \mathfrak m\) tel que \[\dim(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + fB_{\mathfrak q}) < d_2\] En effet, supposons que \(\mathfrak n_j \supset s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\), \(j = 1, \ldots, m\), correspondent aux idéaux premiers minimaux de l’anneau local \(B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\). Ils sont en nombre fini puisque cet anneau est noethérien (car il est essentiellement de type fini sur un corps – mais aussi parce qu’un anneau de Cohen-Macaulay est noethérien). Par la propriété de Cohen-Macaulay, on a \(\dim(B_{\mathfrak q}/\mathfrak n_j) = d_2\), par exemple d’après Algèbre, lemme 00NA. Notons que \(\dim(B_{\mathfrak q}/(\mathfrak n_j + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q})) \leq d_1\) car c’est un quotient de l’anneau \(\mathcal{O}_{R'', e''} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\) qui est de dimension \(d_1\). Comme \(d_1 < d_2\), cela implique que \(\mathfrak m \not \subset t^{-1}(\mathfrak n_i)\). Par le lemme d’évitement des idéaux premiers, voir Algèbre, lemme 00DS, nous pouvons trouver \(f \in \mathfrak m\) tel que \(t(f) \not \in \mathfrak n_j\) pour \(j = 1, \ldots, m\). Pour ce choix de \(f\), on a l’inégalité affichée ci-dessus, voir Algèbre, lemme 00KW.

Posons \(A' = A/fA\) et \(U' = \Spec(A')\). Il est alors clair que \(U' \to U\) est une immersion, localement de présentation finie, et que \(u \in U'\). Ainsi, les assertions (1), (2) et (3) du lemme sont vérifiées. Le morphisme \[U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\] se factorise par \(\Spec(A)\) et correspond à l’homomorphisme d’anneaux \[\xymatrix{ B/t(f)B \ar@{=}[r] & A/(f) \otimes_{A, t} B & A \ar[l]_-s }\] Nous voyons maintenant que \(t(f)\) n’est pas un diviseur de zéro dans \(B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\), car c’est un anneau de Cohen-Macaulay de dimension positive et \(f\) n’appartient à aucun idéal premier minimal, voir par exemple Algèbre, lemme 02JN. Par conséquent, d’après Algèbre, lemme 046Z, nous concluons que \(s : A_{\mathfrak m} \to B_{\mathfrak q}/t(f)B_{\mathfrak q}\) est plat et a pour anneau de la fibre \(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(f)B_{\mathfrak q})\), qui est de Cohen-Macaulay, encore d’après Algèbre, lemme 02JN. Cela implique l’assertion (4) du lemme. Pour voir l’assertion (5), notons que, d’après le diagramme (04MN), la fibre \(F'_u\) est égale à la fibre de \(h\) au-dessus de \(u\). Par conséquent, \(\dim_{e'(u)}(F'_u) = \dim(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(f)B_{\mathfrak q}))\) d’après Morphismes, lemme 02FX, et la dimension de cet anneau est \(d_2 - 1\) d’après Algèbre, lemme 02JN, une fois encore. Cela démontre la dernière assertion du lemme et achève la démonstration.

Maintenant que nous savons prendre une tranche, nous pouvons combiner ce résultat avec ce qui précède pour obtenir le résultat “optimal” suivant. Il est optimal au sens où, puisque \(G_u\) est un sous-schéma localement fermé de \(F_u\), on a toujours l’inégalité \(\dim(G_u) = \dim_{e(u)}(G_u) \leq \dim_{e(u)}(F_u)\) ; il n’est donc pas possible de pousser plus loin la prise d’une tranche que dans le lemme.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(G \to U\) le schéma en groupes stabilisateur. Supposons que \(s\) et \(t\) soient de Cohen-Macaulay et localement de présentation finie. Soit \(u \in U\) un point de type fini du schéma \(U\), voir Morphismes, définition 02J1. Avec les notations de la situation 04MY, il existe un schéma affine \(U'\) et un morphisme \(g : U' \to U\) tels que

1. \(g\) est une immersion,

2. \(u \in U'\),

3. \(g\) est localement de présentation finie,

4. le morphisme \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\) est de Cohen-Macaulay et localement de présentation finie,

5. les morphismes \(s', t' : R' \to U'\) sont de Cohen-Macaulay et localement de présentation finie, et

6. \(\dim_{e(u)}(F'_u) = \dim(G'_u)\).

Démonstration

Comme \(s\) est localement de présentation finie, le schéma \(F_u\) est localement de type fini sur \(\kappa(u)\). Par conséquent, \(\dim_{e(u)}(F_u) < \infty\) et nous pouvons raisonner par récurrence sur \(\dim_{e(u)}(F_u)\).

Si \(\dim_{e(u)}(F_u) = \dim(G_u)\), il n’y a rien à démontrer. Supposons \(\dim_{e(u)}(F_u) > \dim(G_u)\). Cela signifie que le lemme 0461 s’applique, et nous trouvons un morphisme \(g : U' \to U\) qui possède les propriétés (1), (2), (3), tandis qu’au lieu de (6), nous avons \(\dim_{e(u)}(F'_u) < \dim_{e(u)}(F_u)\), et qu’au lieu de (4) et (5), nous savons que la composée \[h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\] est de Cohen-Macaulay au point \((u, e(u))\). Nous appliquons la remarque 047W et obtenons un sous-schéma ouvert \(U'' \subset U'\) tel que \(U'' \times_{g, U, t} R \subset U' \times_{g, U, t} R\) soit le plus grand sous-schéma ouvert sur lequel \(h\) est de Cohen-Macaulay. Puisque \((u, e(u)) \in U'' \times_{g, U, t} R\), nous voyons que \(u \in U''\). Nous pouvons donc remplacer \(U'\) par \(U''\) et supposer qu’en fait \(h\) est de Cohen-Macaulay partout ! D’après le lemme 04MV, nous concluons que \(s', t'\) sont localement de présentation finie et de Cohen-Macaulay (utiliser Morphismes, lemme 01TS, et Compléments sur les morphismes, lemme 045T).

Par construction, \(\dim_{e'(u)}(F'_u) < \dim_{e(u)}(F_u)\), de sorte que nous pouvons appliquer l’hypothèse de récurrence à \((U', R', s', t', c')\) et au point \(u \in U'\). Notons que \(u\) est également un point de type fini de \(U'\) (on peut par exemple le voir en utilisant la caractérisation des points de type fini donnée dans Morphismes, lemme 02J2). Soient \(g' : U'' \to U'\) et \((U'', R'', s'', t'', c'')\) la solution du problème correspondant partant de \((U', R', s', t', c')\) et du point \(u \in U'\). Nous affirmons que la composée \[g'' = g \circ g' : U'' \longrightarrow U\] est une solution du problème initial. Les propriétés (1), (2), (3), (5) et (6) sont immédiates. Pour voir (4), notons que le morphisme \[h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \longrightarrow U\] est localement de présentation finie et de Cohen-Macaulay par application du lemme 04MX (utiliser Compléments sur les morphismes, lemme 045V, pour voir que la propriété d’être de Cohen-Macaulay est locale pour la topologie fppf sur la base).

Lorsque les fibres du schéma en groupes stabilisateur sont de dimension 0, cela donne le lemme de tranche suivant.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c, e, i)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(G \to U\) le schéma en groupes stabilisateur. Supposons que \(s\) et \(t\) soient de Cohen-Macaulay et localement de présentation finie. Soit \(u \in U\) un point de type fini du schéma \(U\), voir Morphismes, définition 02J1. Supposons que \(G \to U\) soit localement quasi-fini. Avec les notations de la situation 04MY, il existe un schéma affine \(U'\) et un morphisme \(g : U' \to U\) tels que

1. \(g\) est une immersion,

2. \(u \in U'\),

3. \(g\) est localement de présentation finie,

4. le morphisme \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\) est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, et

5. les morphismes \(s', t' : R' \to U'\) sont plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis.

Démonstration

Prenons \(g : U' \to U\) comme dans le lemme 04MZ. Puisque \(h^{-1}(u) = F'_u\), nous voyons que \(h\) est de dimension relative \(\leq 0\) en \((u, e(u))\). Par conséquent, d’après la remarque 047W, nous obtenons un sous-schéma ouvert \(U'' \subset U'\) tel que \(u \in U''\) et que \(U'' \times_{g, U, t} R\) soit le plus grand sous-schéma ouvert de \(U' \times_{g, U, t} R\) sur lequel \(h\) est de dimension relative \(\leq 0\). Après avoir remplacé \(U'\) par \(U''\), nous voyons que \(h\) est de dimension relative \(\leq 0\). Cela implique que \(h\) est localement quasi-fini d’après Morphismes, lemme 0397. Comme il est encore localement de présentation finie et de Cohen-Macaulay, nous voyons qu’il est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, c’est-à-dire que (4) ci-dessus est vérifiée. Cela implique que \(s'\) est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini en tant que changement de base de \(h\), voir le lemme 04MV.

Localisation étale des schémas en groupoïdes

Dans cette section, nous commençons à appliquer aux schémas en groupoïdes les techniques de localisation étale de Compléments sur les morphismes, section 04HF. On trouvera des résultats plus avancés de ce type dans Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, section 04RJ. Le lemme 03X5 sera utilisé pour démontrer des résultats sur les espaces algébriques séparés et quasi-finis sur un schéma, à savoir Morphismes d’espaces, proposition 03XX et son corollaire Morphismes d’espaces, lemme 0418.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soit \(p \in S\) un point, et soit \(u \in U\) un point situé au-dessus de \(p\). Supposons que

1. \(U \to S\) soit localement de type fini,

2. \(U \to S\) soit quasi-fini en \(u\),

3. \(U \to S\) soit séparé,

4. \(R \to S\) soit séparé,

5. \(s\), \(t\) soient plats et localement de présentation finie, et

6. \(s^{-1}(\{u\})\) soit fini.

Alors il existe un voisinage étale \((S', p') \to (S, p)\) tel que \(\kappa(p) = \kappa(p')\) et un diagramme de changement de base \[\xymatrix{ R' \amalg W' \ar@{=}[r] & S' \times_S R \ar[r] \ar@<2ex>[d]^{s'} \ar@<-2ex>[d]_{t'} & R \ar@<1ex>[d]^s \ar@<-1ex>[d]_t \\ U' \amalg W \ar@{=}[r] & S' \times_S U \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ & S' \ar[r] & S }\] où les signes d’égalité sont des décompositions en sous-schémas ouverts et fermés telles que

1. il existe un point \(u'\) de \(U'\) qui s’envoie sur \(u\) dans \(U\),

2. la fibre \((U')_{p'}\) est égale à \(t'\big((s')^{-1}(\{u'\})\big)\) ensemblistement,

3. la fibre \((R')_{p'}\) est égale à \((s')^{-1}\big((U')_{p'}\big)\) ensemblistement,

4. les schémas \(U'\) et \(R'\) sont finis sur \(S'\),

5. on a \(s'(R') \subset U'\) et \(t'(R') \subset U'\),

6. on a \(c'(R' \times_{s', U', t'} R') \subset R'\) où \(c'\) est le changement de base de \(c\), et

7. les morphismes \(s', t', c'\) déterminent une structure de groupoïde en prenant le système \((U', R', s'|_{R'}, t'|_{R'}, c'|_{R' \times_{s', U', t'} R'})\).

Démonstration

Notons \(f : U \to S\) le morphisme structural de \(U\). D’après l’hypothèse (6), on peut écrire \(s^{-1}(\{u\}) = \{r_1, \ldots, r_n\}\). Comme cet ensemble est fini, on voit que \(s\) est quasi-fini en chacun de ces antécédents, en nombre fini, voir Morphismes, Lemme 02NG. On voit donc que \(f \circ s : R \to S\) est quasi-fini en chaque \(r_i\) (Morphismes, Lemme 01TL). Ainsi, \(r_i\) est isolé dans la fibre \(R_p\), voir Morphismes, Lemme 01TH. Écrivons \(t(\{r_1, \ldots, r_n\}) = \{u_1, \ldots, u_m\}\). Notons qu’il peut arriver que \(m < n\) et que \(u \in \{u_1, \ldots, u_m\}\). Comme \(t\) est plat et localement de présentation finie, le morphisme de fibres \(t_p : R_p \to U_p\) est plat et localement de présentation finie (Morphismes, Lemmes 01U9 et 01TS), donc ouvert (Morphismes, Lemme 01UA). Le fait que chaque \(r_i\) soit isolé dans \(R_p\) implique que chaque \(u_j = t(r_i)\) est isolé dans \(U_p\). En utilisant de nouveau Morphismes, Lemme 01TH, on voit que \(f\) est quasi-fini en \(u_1, \ldots, u_m\).

Notons \(F_u = s^{-1}(u)\) et \(F_{u_j} = s^{-1}(u_j)\) les fibres schématiques. Notons que \(F_u\) est fini sur \(\kappa(u)\), car il est localement de type fini sur \(\kappa(u)\) et possède un nombre fini de points (cela résulte par exemple du résultat beaucoup plus général Morphismes, Lemme 03JA). D’après le Lemme 02YF, on voit que \(F_u\) et \(F_{u_j}\) deviennent isomorphes après extension à un corps qui est une extension commune de \(\kappa(u)\) et \(\kappa(u_j)\). On voit donc que \(F_{u_j}\) est fini sur \(\kappa(u_j)\). En particulier, on voit que \(s^{-1}(\{u_j\})\) est un ensemble fini pour chaque \(j = 1, \ldots, m\). Ainsi, les hypothèses (2) et (6) sont aussi vérifiées pour chaque \(u_j\) (on a vu plus haut que \(U \to S\) est quasi-fini en \(u_j\)). L’argument du premier paragraphe s’applique donc à chaque \(u_j\), et l’on voit que \(R \to U\) est quasi-fini en chacun des points de \[\{r_1, \ldots, r_N\} = s^{-1}(\{u_1, \ldots, u_m\})\] Notons que \(t(\{r_1, \ldots, r_N\}) = \{u_1, \ldots, u_m\}\) et \(t^{-1}(\{u_1, \ldots, u_m\}) = \{r_1, \ldots, r_N\}\) car \(R\) est un groupoïde². De plus, on a \(\text{pr}_0(c^{-1}(\{r_1, \ldots, r_N\})) = \{r_1, \ldots, r_N\}\) et \(\text{pr}_1(c^{-1}(\{r_1, \ldots, r_N\})) = \{r_1, \ldots, r_N\}\). De même, on obtient \(e(\{u_1, \ldots, u_m\}) \subset \{r_1, \ldots, r_N\}\) et \(i(\{r_1, \ldots, r_N\}) = \{r_1, \ldots, r_N\}\).

On peut appliquer Compléments sur les morphismes, Lemme 02LN aux couples \((U \to S, \{u_1, \ldots, u_m\})\) et \((R \to S, \{r_1, \ldots, r_N\})\) pour obtenir un voisinage étale \((S', p') \to (S, p)\) qui induit une identification \(\kappa(p) = \kappa(p')\) tel que \(S' \times_S U\) et \(S' \times_S R\) se décomposent sous la forme \[S' \times_S U = U' \amalg W, \quad S' \times_S R = R' \amalg W'\] où \(U' \to S'\) est fini et \((U')_{p'}\) s’envoie bijectivement sur \(\{u_1, \ldots, u_m\}\), et où \(R' \to S'\) est fini et \((R')_{p'}\) s’envoie bijectivement sur \(\{r_1, \ldots, r_N\}\). De plus, aucun point de \(W_{p'}\) (resp. de \((W')_{p'}\)) n’a pour image aucun des points \(u_j\) (resp. \(r_i\)). À ce stade, (a), (b), (c) et (d) du lemme sont satisfaites. En outre, les inclusions de (e) et (f) valent sur les fibres au-dessus de \(p'\), c’est-à-dire \(s'((R')_{p'}) \subset (U')_{p'}\), \(t'((R')_{p'}) \subset (U')_{p'}\), et \(c'((R' \times_{s', U', t'} R')_{p'}) \subset (R')_{p'}\).

Nous affirmons que l’on peut remplacer \(S'\) par un voisinage ouvert de Zariski de \(p'\) de sorte que les inclusions de (e) et (f) soient vérifiées. Considérons par exemple l’ensemble \(E = (s'|_{R'})^{-1}(W)\). Il est ouvert et fermé dans \(R'\) et ne contient aucun point de \(R'\) situé au-dessus de \(p'\). Comme \(R' \to S'\) est fermé, après avoir remplacé \(S'\) par \(S' \setminus (R' \to S')(E)\), on arrive à une situation où \(E\) est vide. Autrement dit, \(s'\) envoie \(R'\) dans \(U'\). Notons que cette propriété est conservée lorsque l’on rétrécit encore \(S'\). De même, on peut faire en sorte que \(t'\) envoie \(R'\) dans \(U'\). À ce stade, (e) est vérifiée. De la même manière, considérons l’ensemble \(E = (c'|_{R' \times_{s', U', t'} R'})^{-1}(W')\). Il est ouvert et fermé dans le schéma \(R' \times_{s', U', t'} R'\), qui est fini sur \(S'\), et ne contient aucun point situé au-dessus de \(p'\). Après avoir remplacé \(S'\) par \(S' \setminus (R' \times_{s', U', t'} R' \to S')(E)\), on arrive donc à une situation où \(E\) est vide. Autrement dit, on obtient l’inclusion de (f). On peut répéter l’argument avec l’identité \(e' : S' \times_S U \to S' \times_S R\) et l’inverse \(i' : S' \times_S R \to S' \times_S R\), afin de pouvoir supposer (après avoir encore rétréci \(S'\)) que \((e'|_{U'})^{-1}(W') = \emptyset\) et \((i'|_{R'})^{-1}(W') = \emptyset\).

À ce stade, on voit que l’on peut considérer la structure \[(U', R', s'|_{R'}, t'|_{R'}, c'|_{R' \times_{t', U', s'} R'}, e'|_{U'}, i'|_{R'}).\] Les axiomes d’un schéma en groupoïdes sur \(S'\) sont vérifiés parce qu’ils le sont pour le schéma en groupoïdes \((S' \times_S U, S' \times_S R, s', t', c', e', i')\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur \(S\). Soient \(p \in S\) un point et \(u \in U\) un point situé au-dessus de \(p\). Supposons que les hypothèses (1) – (6) du Lemme 03FL soient vérifiées, ainsi que

1. \(j : R \to U \times_S U\) est universellement fermé³.

Alors on peut choisir \((S', p') \to (S, p)\), des décompositions \(S' \times_S U = U' \amalg W\) et \(S' \times_S R = R' \amalg W'\) et \(u' \in U'\) tels que (a) – (g) du Lemme 03FL soient vérifiées, ainsi que

1. \(R'\) est la restriction de \(S' \times_S R\) à \(U'\).

Démonstration

On applique le Lemme 03FL au groupoïde \((U, R, s, t, c)\) sur le schéma \(S\), avec les points \(p\) et \(u\). On obtient donc un voisinage étale \((S', p') \to (S, p)\) et des décompositions en unions disjointes \[S' \times_S U = U' \amalg W, \quad S' \times_S R = R' \amalg W'\] ainsi que \(u' \in U'\) satisfaisant les conclusions (a), (b), (c), (d), (e), (f) et (g). On peut rétrécir \(S'\) à un voisinage plus petit de \(p'\) sans affecter les conclusions (a) – (g). Nous allons montrer que, pour un rétrécissement convenable, la conclusion (h) est également vérifiée. Notons \(j'\) le changement de base de \(j\) à \(S'\). D’après la conclusion (e), il est clair que \[j'^{-1}(U' \times_{S'} U') = R' \amalg Rest\] pour une certaine partie \(Rest\) ouverte et fermée. Comme \(U' \to S'\) est fini d’après la conclusion (d), on voit que \(U' \times_{S'} U'\) est fini sur \(S'\). Comme \(j\) est universellement fermé, \(j'\) l’est aussi, et donc \(j'|_{Rest}\) est lui aussi universellement fermé. D’après les conclusions (b) et (c), on voit que la fibre de \[(U' \times_{S'} U' \to S') \circ j'|_{Rest} : Rest \longrightarrow S'\] au-dessus de \(p'\) est vide. Ainsi, puisque \(Rest \to S'\) est fermé comme composé de morphismes fermés, après avoir remplacé \(S'\) par \(S' \setminus \Im(Rest \to S')\), on peut supposer que \(Rest = \emptyset\). C’est exactement la condition disant que \(R'\) est la restriction de \(S' \times_S R\) au sous-schéma ouvert \(U' \subset S' \times_S U\), voir Groupoïdes, Lemme 02VD et sa démonstration.

Groupoïdes finis

Un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) est parfois dit fini si les morphismes \(s\) et \(t\) sont finis. Cette terminologie peut prêter à confusion, car elle n’implique pas que \(U\), \(R\) ou le faisceau quotient \(U/R\) soient finis sur quoi que ce soit.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur un schéma \(S\). Supposons \(s, t\) finis. Il existe une suite de sous-schémas fermés invariants par \(R\) \[U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\] telle que \(\bigcap Z_r = \emptyset\) et que \(s^{-1}(Z_{r - 1}) \setminus s^{-1}(Z_r) \to Z_{r - 1} \setminus Z_r\) soit fini localement libre de rang \(r\).

Démonstration

Soit \(\{Z_r\}\) la stratification de \(U\) donnée par les idéaux de Fitting du module quasi-cohérent de type fini \(s_*\mathcal{O}_R\). Voir Diviseurs, Lemme 05P8. Comme l’identité \(e : U \to R\) est une section de \(s\), on voit que \(s_*\mathcal{O}_R\) contient \(\mathcal{O}_S\) comme facteur direct. Ainsi \(U = Z_{-1} = Z_0\) (détails omis). Comme la formation des idéaux de Fitting commute au changement de base (Compléments sur l’algèbre, Lemme 07ZA), on trouve que \(s^{-1}(Z_r)\) correspond au \(r\)-ième idéal de Fitting de \(\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\), car le carré inférieur droit du diagramme (04LF) est cartésien. En utilisant le fait que le carré inférieur gauche est lui aussi cartésien, on conclut que \(s^{-1}(Z_r) = t^{-1}(Z_r)\) ; autrement dit, \(Z_r\) est invariant par \(R\). Le morphisme \(s^{-1}(Z_{r - 1}) \setminus s^{-1}(Z_r) \to Z_{r - 1} \setminus Z_r\) est fini localement libre de rang \(r\), car le module \(s_*\mathcal{O}_R\) se restreint en un module fini localement libre de rang \(r\) sur \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\), d’après Diviseurs, Lemme 05P8.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur un schéma \(S\). Supposons \(s, t\) finis. Il existe un sous-schéma ouvert \(W \subset U\) et un sous-schéma fermé \(W' \subset W\) tels que

1. \(W\) et \(W'\) soient invariants par \(R\),

2. \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\) ensemblistement,

3. \(W\) soit un épaississement de \(W'\), et

4. les morphismes \(s'\), \(t'\) de la restriction \((W', R', s', t', c')\) soient finis localement libres.

Démonstration

Considérons la stratification \(U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\) du Lemme 0AB9.

Nous allons construire des unions disjointes \(W = \coprod_{r \geq 1} W_r\) et \(W' = \coprod_{r \geq 1} W'_r\), chaque \(W'_r \to W_r\) étant un épaississement entre des sous-schémas invariants par \(R\) de \(U\), de sorte que les morphismes \(s_r', t_r'\) des restrictions \((W_r', R_r', s_r', t_r', c_r')\) soient finis localement libres de rang \(r\). Pour commencer, posons \(W_1 = W'_1 = U \setminus Z_1\). C’est un sous-schéma ouvert invariant par \(R\) de \(U\) ; il est vrai que \(W_0\) est un épaississement de \(W'_0\), et les morphismes \(s_1'\), \(t_1'\) de la restriction \((W_1', R_1', s_1', t_1', c_1')\) sont des isomorphismes, c’est-à-dire finis localement libres de rang \(1\). De plus, tout point de \(U \setminus Z_1\) appartient à \(t(s^{-1}(\overline{W_1}))\).

Supposons avoir trouvé des sous-schémas \(W'_r \subset W_r \subset U\) pour \(r \leq n\) tels que

1. \(W_1, \ldots, W_n\) soient disjoints,

2. \(W_r\) et \(W_r'\) soient invariants par \(R\),

3. \(U \setminus Z_n \subset \bigcup_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\) ensemblistement,

4. \(W_r\) soit un épaississement de \(W'_r\),

5. les morphismes \(s_r'\), \(t_r'\) de la restriction \((W_r', R_r', s_r', t_r', c_r')\) soient finis localement libres de rang \(r\).

Posons alors \[W_{n + 1} = Z_n \setminus \left( Z_{n + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] ensemblistement et \[W'_{n + 1} = Z_n \setminus \left( Z_{n + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] schématiquement. Alors \(W_{n + 1}\) est un sous-schéma ouvert invariant par \(R\) de \(U\), car \(Z_{n + 1} \setminus \overline{U \setminus Z_{n + 1}}\) est ouvert dans \(U\) et \(\overline{U \setminus Z_{n + 1}}\) est contenu dans le fermé \(\bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\) que l’on retire, par la propriété (3) et le fait que \(t\) est un morphisme fermé. Il est clair que \(W'_{n + 1}\) est un sous-schéma fermé de \(W_{n + 1}\) ayant le même espace topologique sous-jacent. Enfin, les propriétés (1), (2) et (3) sont claires, et la propriété (5) résulte du Lemme 0AB9.

D’après le Lemme 0AB9, on a \(\bigcap Z_r = \emptyset\). Tout point de \(U\) est donc contenu dans \(U \setminus Z_n\) pour un certain \(n\). On voit ainsi que \(U = \bigcup_{r \geq 1} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\) ensemblistement, et l’on voit que (2) est vérifiée. Ainsi, les sous-schémas \(W' \subset W\) satisfont (1), (2), (3) et (4).

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes. Étant donné un point \(u \in U\), l’orbite sous \(R\) de \(u\) est le sous-ensemble \(t(s^{-1}(\{u\}))\) de \(U\).

Lemme

Dans le Lemme 0ABA, supposons en outre que \(s\) et \(t\) soient de présentation finie. Alors

1. le morphisme \(W' \to W\) est de présentation finie, et

2. si \(u \in U\) est un point dont l’orbite sous \(R\) est constituée de points génériques de composantes irréductibles de \(U\), alors \(u \in W\).

Démonstration

Dans ce cas, la stratification \(U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\) du Lemme 0AB9 est donnée par des immersions fermées \(Z_k \to U\) de présentation finie, voir Diviseurs, Lemme 05P8. La partie (1) en résulte immédiatement, puisque \(W' \to W\) est localement obtenu par l’intersection de l’ouvert \(W\) avec \(Z_r\). Pour voir la partie (2), soit \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) l’orbite de \(u\). Comme les sous-schémas fermés \(Z_k\) sont invariants par \(R\) et que \(\bigcap Z_k = \emptyset\), on trouve un \(k\) tel que \(u_i \in Z_k\) et \(u_i \not \in Z_{k + 1}\) pour tout \(i\). L’image de \(Z_k \to U\) et celle de \(Z_{k + 1} \to U\) sont localement constructibles (Morphismes, Théorème 054K). Comme \(u_i \in U\) est un point générique d’une composante irréductible de \(U\), il existe un voisinage ouvert \(U_i\) de \(u_i\) qui est contenu dans \(Z_k \setminus Z_{k + 1}\) ensemblistement (Propriétés, Lemme 0AAW). Dans la démonstration du Lemme 0ABA, nous avons construit \(W\) comme une union disjointe \(\coprod W_r\), avec \(W_r \subset Z_{r - 1} \setminus Z_r\), de sorte que \(U = \bigcup t(s^{-1}(\overline{W_r}))\). Comme \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) est une orbite sous \(R\), on voit que \(u \in t(s^{-1}(\overline{W_r}))\) implique \(u_i \in \overline{W_r}\) pour un certain \(i\), ce qui implique \(U_i \cap W_r \not = \emptyset\), et donc \(r = k\). On en conclut que \(u\) appartient à \[W_{k + 1} = Z_k \setminus \left( Z_{k + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq k} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] comme voulu.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur un schéma \(S\). Supposons \(s, t\) finis et de présentation finie, et \(U\) quasi-séparé. Soient \(u_1, \ldots, u_m \in U\) des points dont les orbites sont constituées de points génériques de composantes irréductibles de \(U\). Il existe alors des sous-schémas invariants par \(R\) \(V' \subset V \subset U\) tels que

1. \(u_1, \ldots, u_m \in V'\),

2. \(V\) soit ouvert dans \(U\),

3. \(V'\) et \(V\) soient affines,

4. \(V' \subset V\) soit un épaississement de présentation finie,

5. les morphismes \(s', t'\) de la restriction \((V', R', s', t', c')\) soient finis localement libres.

Démonstration

Soient \(W' \subset W \subset U\) comme dans le Lemme 0ABA. D’après le Lemme 0ABB, on a \(u_j \in W\) pour chaque indice, et \(W' \to W\) est un épaississement de présentation finie. D’après Limites, Lemme 09NL, il suffit de trouver un sous-schéma ouvert affine invariant par \(R\) \(V'\) de \(W'\) contenant \(u_j\) (car on peut alors prendre pour \(V \subset W\) le sous-schéma ouvert correspondant, qui sera affine). On peut donc remplacer \((U, R, s, t, c)\) par la restriction \((W', R', s', t', c')\) à \(W'\). Autrement dit, on peut supposer que l’on a un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) dont les morphismes \(s\) et \(t\) sont finis localement libres. D’après Propriétés, Lemme 01ZV, on peut trouver un ouvert affine contenant la réunion des orbites de \(u_1, \ldots, u_m\). Enfin, on peut appliquer Groupoïdes, Lemme 03JE pour conclure.

Le lemme suivant est un cas particulier du Lemme 0ABC, mais nous reprenons l’argument, car il est légèrement plus simple dans ce cas (il évite d’utiliser le Lemme 0ABB).

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur un schéma \(S\). Supposons \(s, t\) finis et \(U\) localement noethérien, et soient \(u_1, \ldots, u_m \in U\) des points dont les orbites sont constituées de points génériques de composantes irréductibles de \(U\). Il existe alors des sous-schémas invariants par \(R\) \(V' \subset V \subset U\) tels que

1. \(u_1, \ldots, u_m \in V'\),

2. \(V\) soit ouvert dans \(U\),

3. \(V'\) et \(V\) soient affines,

4. \(V' \subset V\) soit un épaississement,

5. les morphismes \(s', t'\) de la restriction \((V', R', s', t', c')\) soient finis localement libres.

Démonstration

Soit \(\{u_{j1}, \ldots, u_{jn_j}\}\) l’orbite de \(u_j\). Soient \(W' \subset W \subset U\) comme dans le Lemme 0ABA. Comme \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\), on voit qu’il existe au moins un \(u_{ji} \in \overline{W}\). Comme \(u_{ji}\) est un point générique d’une composante irréductible et que \(U\) est localement noethérien, cela implique que \(u_{ji} \in W\). Comme \(W\) est invariant par \(R\), on conclut que \(u_j \in W\) et, en fait, que l’orbite entière est contenue dans \(W\). D’après Cohomologie des schémas, Lemme 01YQ, il suffit de trouver un sous-schéma ouvert affine \(V'\) invariant par \(R\) de \(W'\) contenant \(u_1, \ldots, u_m\) (car on peut alors prendre pour \(V \subset W\) le sous-schéma ouvert correspondant, qui sera affine). On peut donc remplacer \((U, R, s, t, c)\) par la restriction \((W', R', s', t', c')\) à \(W'\). Autrement dit, on peut supposer que l’on a un schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\) dont les morphismes \(s\) et \(t\) sont finis localement libres. D’après Propriétés, Lemme 01ZV, on peut trouver un ouvert affine contenant \(\{u_{ij}\}\) (un schéma localement noethérien est quasi-séparé d’après Propriétés, Lemme 01OY). Enfin, on peut appliquer Groupoïdes, Lemme 03JE pour conclure.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes sur un schéma \(S\) avec \(s, t\) intégraux. Soit \(g : U' \to U\) un morphisme intégral tel que toute orbite sous \(R\) dans \(U\) rencontre \(g(U')\). Soit \((U', R', s', t', c')\) la restriction de \(R\) à \(U'\). Si \(u' \in U'\) appartient à un ouvert affine invariant par \(R'\), alors l’image \(u \in U\) appartient à un ouvert affine de \(U\) invariant par \(R\).

Démonstration

Soit \(W' \subset U'\) un ouvert affine invariant par \(R'\). Posons \(\tilde R = U' \times_{g, U, t} R\), muni des applications \(\text{pr}_0 : \tilde R \to U'\) et \(h = s \circ \text{pr}_1 : \tilde R \to U\). Observons que \(\text{pr}_0\) et \(h\) sont intégraux. Il s’ensuit que \(\tilde W = \text{pr}_0^{-1}(W')\) est affine. Comme \(W'\) est invariant par \(R'\), l’image \(W = h(\tilde W)\) est ensemblistement invariante par \(R\) et \(\tilde W = h^{-1}(W)\) ensemblistement (détails omis). Ainsi, si l’on peut montrer que \(W\) est ouvert, alors \(W\) est un schéma et le morphisme \(\tilde W \to W\) est intégral surjectif, ce qui implique que \(W\) est affine d’après Limites, Proposition 05YU. Cependant, l’hypothèse selon laquelle les orbites rencontrent \(U'\) implique que \(h : \tilde R \to U\) est surjectif. Comme un morphisme intégral surjectif est submersif (Topologie, Lemme 0AAU et Morphismes, Lemme 01WM), il s’ensuit que \(W\) est ouvert.

Le lemme technique suivant produit des fonctions « presque » invariantes dans la situation d’un groupoïde fini sur un schéma quasi-affine.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes avec \(s, t\) finis et de présentation finie. Soient \(u_1, \ldots, u_m \in U\) des points dont les orbites sous \(R\) sont constituées de points génériques de composantes irréductibles de \(U\). Soit \(j : U \to \Spec(A)\) une immersion. Soit \(I \subset A\) un idéal tel que \(j(U) \cap V(I) = \emptyset\) et que \(V(I) \cup j(U)\) soit fermé dans \(\Spec(A)\). Il existe alors un élément \(h \in I\) tel que \(j^{-1}D(h)\) soit un sous-schéma ouvert affine de \(U\) invariant par \(R\) et contenant \(u_1, \ldots, u_m\).

Démonstration

Soient \(u_1, \ldots, u_m \in V' \subset V \subset U\) comme dans le Lemme 0ABC. Comme \(U \setminus V\) est fermé dans \(U\), que \(j\) est une immersion et que \(V(I) \cup j(U)\) est fermé dans \(\Spec(A)\), on peut trouver un idéal \(J \subset I\) tel que \(V(J) = V(I) \cup j(U \setminus V)\). On peut par exemple prendre l’idéal des éléments de \(I\) qui s’annulent sur \(j(U \setminus V)\). On peut donc remplacer \((U, R, s, t, c)\), \(j : U \to \Spec(A)\) et \(I\) par \((V', R', s', t', c')\), \(j|_{V'} : V' \to \Spec(A)\) et \(J\). Autrement dit, on peut supposer que \(U\) est affine et que \(s\) et \(t\) sont finis localement libres. Prenons un quelconque \(f \in I\) qui ne s’annule en aucun des points des orbites sous \(R\) de \(u_1, \ldots, u_m\) (Algèbre, Lemme 00DS). Considérons \[g = \text{Norm}_s(t^\sharp(j^\sharp(f))) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] Comme \(f \in I\) et que \(V(I) \cup j(U)\) est fermé, on voit que \(U \cap D(f) \to D(f)\) est une immersion fermée. Ainsi, \(f^ng\) est l’image d’un élément \(h \in I\) pour un certain \(n > 0\). Nous affirmons que \(h\) convient. En effet, nous avons vu dans Groupoïdes, Lemme 03BH, que \(g\) est une fonction invariante par \(R\) ; ainsi, \(D(g) \subset U\) est invariant par \(R\). Comme \(f\) ne s’annule pas sur l’orbite de \(u_j\), la fonction \(g\) ne s’annule pas en \(u_j\). De plus, on a \(V(g) \supset V(j^\sharp(f))\) et donc \(j^{-1}D(h) = D(g)\).

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes. Si \(s, t\) sont finis, et si \(u, u' \in R\) sont des points distincts de la même orbite, alors \(u'\) n’est pas une spécialisation de \(u\).

Démonstration

Soit \(r \in R\) tel que \(s(r) = u\) et \(t(r) = u'\). Si \(u \leadsto u'\) alors nous pouvons trouver une spécialisation non triviale \(r \leadsto r'\) telle que \(s(r') = u'\), voir Schémas, lemme 01K9. Posons \(u'' = t(r')\). Remarquons que \(u'' \not = u'\) puisqu’il n’existe pas de spécialisations dans les fibres d’un morphisme fini. Nous pouvons donc continuer et trouver une spécialisation non triviale \(r' \leadsto r''\) telle que \(s(r'') = u''\), et ainsi de suite. Cela montre que l’orbite de \(u\) contient une suite infinie \(u \leadsto u' \leadsto u'' \leadsto \ldots\) de spécialisations, ce qui est absurde puisque l’orbite \(t(s^{-1}(\{u\}))\) est finie.

Lemme

Soit \(j : V \to \Spec(A)\) une immersion quasi-compacte de schémas. Soit \(f \in A\) tel que \(j^{-1}D(f)\) soit affine et que \(j(V) \cap V(f)\) soit fermé. Alors \(V\) est affine.

Démonstration

Cela résulte de Morphismes, lemme 0C3A, mais nous allons aussi en donner une démonstration directe. Posons \(A' = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). Alors \(j' : V \to \Spec(A')\) est une immersion ouverte quasi-compacte, voir Propriétés, lemme 01P9. Soit \(f' \in A'\) l’image de \(f\). Alors \((j')^{-1}D(f') = j^{-1}D(f)\) est affine. D’autre part, \(j'(V) \cap V(f')\) est un sous-schéma de \(\Spec(A')\) qui s’envoie isomorphiquement sur le sous-schéma fermé \(j(V) \cap V(f)\) de \(\Spec(A)\). Il est donc fermé dans \(\Spec(A')\), par exemple d’après Schémas, lemme 01KT. Ainsi, nous pouvons remplacer \(A\) par \(A'\) et supposer que \(j\) est une immersion ouverte et que \(A = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\).

Dans ce cas, nous affirmons que \(j(V) = \Spec(A)\), ce qui achève la démonstration. Sinon, nous pouvons trouver un ouvert affine principal \(D(g) \subset \Spec(A)\) qui rencontre le complémentaire et évite la partie fermée \(j(V) \cap V(f)\). Remarquons que \(j\) envoie \(j^{-1}D(f)\) isomorphiquement sur \(D(f)\), voir Propriétés, lemme 01P8. Ainsi \(D(g)\) rencontre \(V(f)\). D’autre part, \(j^{-1}D(g)\) est un ouvert principal de l’ouvert affine \(j^{-1}D(f)\), donc est affine. Par conséquent, en appliquant de nouveau Propriétés, lemme 01P8, nous voyons que \(D(g)\) est isomorphe à \(j^{-1}D(g) \subset j^{-1}D(f)\), ce qui implique que \(D(g) \subset D(f)\). Cette contradiction achève la démonstration.

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un schéma en groupoïdes. Soit \(u \in U\). Supposons que

1. \(s, t\) soient des morphismes finis,

2. \(U\) soit séparé et localement noethérien,

3. \(\dim(\mathcal{O}_{U, u'}) \leq 1\) pour tout point \(u'\) de l’orbite de \(u\).

Alors \(u\) est contenu dans un ouvert affine de \(U\) invariant par \(R\).

Démonstration

L’orbite sous \(R\) de \(u\) est finie. D’après les conditions (2) et (3), elle est contenue dans un ouvert affine \(U'\) de \(U\), voir Variétés, proposition 09NN. Alors \(t(s^{-1}(U \setminus U'))\) est une partie fermée et invariante par \(R\) de \(U\) qui ne contient pas \(u\). Ainsi \(U \setminus t(s^{-1}(U \setminus U'))\) est un ouvert invariant par \(R\) de \(U'\) contenant \(u\). En remplaçant \(U\) par cet ouvert, nous pouvons supposer que \(U\) est quasi-affine.

D’après le lemme 0ABE, nous pouvons remplacer \(U\) par son réduit et supposer que \(U\) est réduit. Cela signifie que les sous-schémas invariants par \(R\) \(W' \subset W \subset U\) du lemme 0ABA sont égaux : \(W' = W\). Comme \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\), un point \(u'\) appartenant à l’orbite sous \(R\) de \(u\) est contenu dans \(\overline{W}\) et, d’après le lemme 0ABE, nous pouvons remplacer \(U\) par \(\overline{W}\) et \(u\) par \(u'\). Nous pouvons donc supposer qu’il existe un sous-schéma ouvert dense \(W \subset U\) invariant par \(R\) tel que les morphismes \(s_W, t_W\) de la restriction \((W, R_W, s_W, t_W, c_W)\) soient finis localement libres.

Si \(u \in W\), nous avons terminé d’après Groupoïdes, lemme 03JE (car \(W\) est quasi-affine, donc tout ensemble fini de points de \(W\) est contenu dans un ouvert affine, voir Propriétés, lemme 01ZY). Nous supposons donc que \(u \not \in W\) et, par suite, qu’aucun des points de l’orbite de \(u\) n’appartient à \(W\). Soit \(\xi \in U\) un point qui se spécialise non trivialement en un point \(u'\) de l’orbite de \(u\). Puisqu’il n’y a pas de spécialisations entre les points de l’orbite de \(u\) (lemme 0ABG), nous voyons que \(\xi\) n’appartient pas à l’orbite. D’après l’hypothèse (3), nous voyons que \(\xi\) est un point générique de \(U\) et donc que \(\xi \in W\). Comme \(U\) est noethérien, il n’y a qu’un nombre fini de ces points \(\xi_1, \ldots, \xi_m \in W\). Puisque \(s_W, t_W\) sont plats, l’orbite de chaque \(\xi_j\) est formée de points génériques de composantes irréductibles de \(W\) (et donc de \(U\)).

Soit \(j : U \to \Spec(A)\) une immersion de \(U\) dans un schéma affine (cela est possible puisque \(U\) est quasi-affine). Soit \(J \subset A\) un idéal tel que \(V(J) \cap j(W) = \emptyset\) et que \(V(J) \cup j(W)\) soit fermé. Appliquons le lemme 0ABF au schéma en groupoïdes \((W, R_W, s_W, t_W, c_W)\), au morphisme \(j|_W : W \to \Spec(A)\), aux points \(\xi_j\) et à l’idéal \(J\) pour trouver \(f \in J\) tel que \((j|_W)^{-1}D(f)\) soit un ouvert invariant par \(R_W\) affine contenant \(\xi_j\) pour tout \(j\). Puisque \(f \in J\), nous voyons que \(j^{-1}D(f) \subset W\), c’est-à-dire que \(j^{-1}D(f)\) est un ouvert affine de \(U\) invariant par \(R\) et contenu dans \(W\) et contenant tous les \(\xi_j\).

Soit \(Z\) le sous-schéma fermé réduit induit sur \[U \setminus j^{-1}D(f) = j^{-1}V(f).\] Alors \(Z\) est, du point de vue ensembliste, invariant par \(R\) (mais il peut ne pas être invariant par \(R\) au sens schématique). Soit \((Z, R_Z, s_Z, t_Z, c_Z)\) la restriction de \(R\) à \(Z\). Puisque \(Z \to U\) est fini, il s’ensuit que \(s_Z\) et \(t_Z\) sont finis. Puisque \(u \in Z\), l’orbite de \(u\) est contenue dans \(Z\) et coïncide avec l’orbite sous \(R_Z\) de \(u\), considéré comme un point de \(Z\). Puisque \(\dim(\mathcal{O}_{U, u'}) \leq 1\) et puisque \(\xi_j \not \in Z\) pour tout \(j\), nous voyons que \(\dim(\mathcal{O}_{Z, u'}) \leq 0\) pour tout \(u'\) de l’orbite de \(u\). Autrement dit, l’orbite sous \(R_Z\) de \(u\) est formée de points génériques de composantes irréductibles de \(Z\).

Soit \(I \subset A\) un idéal tel que \(V(I) \cap j(U) =\emptyset\) et que \(V(I) \cup j(U)\) soit fermé. Appliquons le lemme 0ABF au schéma en groupoïdes \((Z, R_Z, s_Z, t_Z, c_Z)\), à la restriction \(j|_Z\), à l’idéal \(I\) et au point \(u \in Z\), pour obtenir \(h \in I\) tel que \(j^{-1}D(h) \cap Z\) soit un ouvert affine invariant par \(R_Z\) et contenant \(u\).

Considérons la fonction invariante par \(R_W\) (Groupoïdes, lemme 03BH) \[g = \text{Norme}_{s_W}(t_W^\sharp(j^\sharp(h)|_W)) \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\] (Dans ce qui suit, nous n’avons besoin que de la restriction de \(g\) à \(j^{-1}D(f)\) et, dans ce cas, la norme est prise le long d’un morphisme fini localement libre entre schémas affines.) Nous affirmons que \[V = (W_g \cap j^{-1}D(f)) \cup (j^{-1}D(h) \cap Z)\] est un ouvert affine de \(U\) invariant par \(R\), ce qui achève la démonstration du lemme. Il est invariant par \(R\) du point de vue ensembliste par construction. Comme \(V\) est une partie constructible, pour voir qu’il est ouvert il suffit de montrer qu’il est stable par générisation dans \(U\) (Topologie, lemme 0542 ou, plus généralement, Topologie, lemme 0903). Puisque \(W_g \cap j^{-1}D(f)\) est ouvert dans \(U\), il suffit de considérer une spécialisation \(u_1 \leadsto u_2\) de \(U\) telle que \(u_2 \in j^{-1}D(h) \cap Z\). Cela signifie que \(h\) est non nul en \(j(u_2)\) et que \(u_2 \in Z\). Si \(u_1 \in Z\), alors \(j(u_1) \leadsto j(u_2)\) et, puisque \(h\) est non nul en \(j(u_2)\), il est non nul en \(j(u_1)\), ce qui implique que \(u_1 \in V\). Si \(u_1 \not \in Z\) et n’appartient pas non plus à \(W_g \cap j^{-1}D(f)\), alors \(u_1 \in W\), \(u_1 \not \in W_g\) car le complémentaire de \(Z = j^{-1}V(f)\) est contenu dans \(W \cap j^{-1}D(f)\). Il existe donc un point \(r_1 \in R\) tel que \(s(r_1) = u_1\) et tel que \(h\) soit nul en \(t(r_1)\). Puisque \(s\) est fini, nous pouvons trouver une spécialisation \(r_1 \leadsto r_2\) telle que \(s(r_2) = u_2\). Mais nous en déduisons alors que \(h\) est nul en \(u'_2 = t(r_2)\), ce qui contredit le fait que \(j^{-1}D(h) \cap Z\) est invariant par \(R\) et que \(u_2\) lui appartient. Ainsi \(V\) est ouvert.

Observons que \(V \subset j^{-1}D(h)\) pour notre fonction \(h \in I\). Nous obtenons donc une immersion \[j' : V \longrightarrow \Spec(A_h)\] Soit \(f' \in A_h\) l’image de \(f\). Alors \((j')^{-1}D(f')\) est l’ouvert principal déterminé par \(g\) dans l’ouvert affine \(j^{-1}D(f)\) de \(U\). Ainsi \((j')^{-1}D(f)\) est affine. Enfin, \(j'(V) \cap V(f') = j'(j^{-1}D(h) \cap Z)\) est fermé dans \(\Spec(A_h/(f')) = \Spec((A/f)_h) = D(h) \cap V(f)\) en vertu du choix de \(h \in I\) et de l’idéal \(I\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 0ABH pour conclure que \(V\) est affine, comme affirmé ci-dessus.

Descente des morphismes ind-quasi-affines

Les morphismes ind-quasi-affines ont été définis dans Compléments sur les morphismes, section 0AP5. Cette section est l’analogue de Descente, section 0246, pour les morphismes ind-quasi-affines.

Soit \(X\) un schéma quasi-séparé. Soit \(E \subset X\) une partie qui est l’intersection d’une famille non vide d’ouverts quasi-compacts de \(X\). Écrivons \(E = \bigcap_{i \in I} U_i\), où \(U_i \subset X\) est un ouvert quasi-compact et où \(I\) est non vide. En ajoutant les intersections finies, nous pouvons supposer que, pour \(i, j \in I\), il existe \(k \in I\) tel que \(U_k \subset U_i \cap U_j\). Dans cette situation, nous avons [0APH]\[\begin{equation} \Gamma(E, \mathcal{F}|_E) = \colim \Gamma(U_i, \mathcal{F}|_{U_i}) \end{equation}\] pour tout faisceau \(\mathcal{F}\) défini sur \(X\). En effet, fixons \(i_0 \in I\) et remplaçons \(X\) par \(U_{i_0}\) et \(I\) par \(\{i \in I \mid U_i \subset U_{i_0}\}\). Alors \(X\) est quasi-compact et quasi-séparé, donc est un espace spectral, voir Propriétés, lemme 094L. Nous voyons alors que l’égalité résulte de Topologie, lemme 0A31, et de Faisceaux, lemme 0A33. (En fait, la formule vaut aussi pour les groupes de cohomologie supérieurs lorsque \(\mathcal{F}\) est abélien, voir Cohomologie, lemme 0A37.)

Lemme

Soit \(X\) un schéma ind-quasi-affine. Soit \(E \subset X\) une intersection d’une famille non vide d’ouverts quasi-compacts de \(X\). Posons \(A = \Gamma(E, \mathcal{O}_X|_E)\) et \(Y = \Spec(A)\). Alors le morphisme canonique \[j : (E, \mathcal{O}_X|_E) \longrightarrow (Y, \mathcal{O}_Y)\] fourni par Schémas, lemme 01I1, détermine un isomorphisme \((E, \mathcal{O}_X|_E) \to (E', \mathcal{O}_Y|_{E'})\) où \(E' \subset Y\) est une intersection d’ouverts quasi-compacts. Si \(W \subset E\) est ouvert dans \(X\), alors \(j(W)\) est ouvert dans \(Y\).

Démonstration

Remarquons que \((E, \mathcal{O}_X|_E)\) est un espace localement annelé, de sorte que Schémas, lemme 01I1, s’applique à \(A \to \Gamma(E, \mathcal{O}_X|_E)\). Écrivons \(E = \bigcap_{i \in I} U_i\), avec \(I \not = \emptyset\) et \(U_i \subset X\) ouvert quasi-compact. Nous pouvons supposer, et nous le faisons, que pour \(i, j \in I\) il existe \(k \in I\) tel que \(U_k \subset U_i \cap U_j\). Posons \(A_i = \Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i})\). Nous obtenons les diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ (E, \mathcal{O}_X|_E) \ar[r] \ar[d] & (\Spec(A), \mathcal{O}_{\Spec(A)}) \ar[d] \\ (U_i, \mathcal{O}_{U_i}) \ar[r] & (\Spec(A_i), \mathcal{O}_{\Spec(A_i)}) }\] Puisque \(U_i\) est quasi-affine, nous voyons que \(U_i \to \Spec(A_i)\) est une immersion ouverte quasi-compacte. D’autre part, \(A = \colim A_i\). Ainsi \(\Spec(A) = \lim \Spec(A_i)\) comme espaces topologiques (Limites, lemme 01YY). Puisque \(E = \lim U_i\) (d’après Topologie, lemme 0A31), nous voyons que \(E \to \Spec(A)\) est un homéomorphisme sur son image \(E'\) et que \(E'\) est l’intersection des images réciproques des ouverts \(U_i \subset \Spec(A_i)\) dans \(\Spec(A)\). Pour tout \(e \in E\), l’anneau local \(\mathcal{O}_{X, e}\) est \(\mathcal{O}_{U_i, e}\), qui coïncide avec l’anneau local correspondant sur \(\Spec(A)\).

Pour démontrer la dernière assertion du lemme, raisonnons comme suit. Choisissons \(i, j \in I\) tels que \(U_i \subset U_j\). Considérons les diagrammes commutatifs suivants \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_i) \ar[d] \\ U_i \ar[r] & \Spec(A_j) } \quad\quad \xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_i) \ar[d] \\ W \ar[r] & \Spec(A_j) } \quad\quad \xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & \Spec(A) \ar[d] \\ W \ar[r] & \Spec(A_j) }\] D’après Propriétés, lemme 0ARY, le premier diagramme est cartésien. Le deuxième l’est donc aussi. En passant à la limite, nous trouvons que le troisième diagramme est cartésien, si bien que la flèche horizontale supérieure de ce diagramme est une immersion ouverte.

Lemme

Supposons donné un diagramme cartésien \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ Y \ar[r] & \Spec(A) }\] de schémas. Soit \(E \subset Y\) une intersection d’une famille non vide d’ouverts quasi-compacts de \(Y\). Alors \[\Gamma(f^{-1}(E), \mathcal{O}_X|_{f^{-1}(E)}) = \Gamma(E, \mathcal{O}_Y|_E) \otimes_A B\] pourvu que \(Y\) soit quasi-séparé et que \(A \to B\) soit plat.

Démonstration

Écrivons \(E = \bigcap_{i \in I} V_i\), où \(V_i \subset Y\) est un ouvert quasi-compact. Nous pouvons supposer, et nous le faisons, que pour \(i, j \in I\) il existe \(k \in I\) tel que \(V_k \subset V_i \cap V_j\). Nous avons alors de même \(f^{-1}(E) = \bigcap_{i \in I} f^{-1}(V_i)\) dans \(X\). Le résultat découle donc de l’équation (0APH) et du résultat correspondant pour \(V_i\) et \(f^{-1}(V_i)\), qui est Cohomologie des schémas, lemme 02KH.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(\{X_i \to S\}_{i\in I}\) un recouvrement fpqc. Soit \((V_i/X_i, \varphi_{ij})\) une donnée de descente relativement à \(\{X_i \to S\}\), voir Descente, définition 023W. Si chaque morphisme \(V_i \to X_i\) est ind-quasi-affine, alors la donnée de descente est effective.

Démonstration

Être ind-quasi-affine est une propriété des morphismes de schémas qui est préservée par tout changement de base, voir Compléments sur les morphismes, lemme 0AP7. Ainsi Descente, lemme 02W3, s’applique, et il suffit de démontrer l’énoncé du lemme dans le cas où le recouvrement fpqc est constitué du singleton \(\{X \to S\}\), formé d’un morphisme plat surjectif de schémas affines. Écrivons \(X = \Spec(A)\) et \(S = \Spec(R)\), de sorte que \(R \to A\) est un homomorphisme d’anneaux fidèlement plat. Soit \((V, \varphi)\) une donnée de descente relative à \(X\) au-dessus de \(S\) et supposons que \(V \to X\) soit ind-quasi-affine, autrement dit que \(V\) soit ind-quasi-affine.

Soit \((U, R, s, t, c)\) le schéma en groupoïdes au-dessus de \(S\) où \(U = X\) et \(R = X \times_S X\), et où \(s\), \(t\), \(c\) sont les morphismes usuels. D’après Groupoïdes, lemme 0APF, la paire \((V, \varphi)\) correspond à un morphisme cartésien \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\) de schémas en groupoïdes. Soit \(u' \in U'\) un point quelconque. D’après Groupoïdes, lemmes 03LO, 0APA et 0APB, nous pouvons choisir \(u' \in W \subset E \subset U'\) où \(W\) est ouvert et invariant par \(R'\), et où \(E\) est invariant par \(R'\) du point de vue ensembliste et est une intersection d’une famille non vide d’ouverts quasi-compacts.

En revenant à \((V, \varphi)\), pour tout \(v \in V\) nous pouvons choisir \(v \in W \subset E \subset V\) de sorte que les propriétés suivantes soient vérifiées : (a) \(W\) est ouvert et \(\varphi(W \times_S X) = X \times_S W\), et (b) \(E\) est une intersection d’ouverts quasi-compacts et \(\varphi(E \times_S X) = X \times_S E\) du point de vue ensembliste. Ici, la notation \(E \times_S X\) désigne l’image réciproque de \(E\) dans \(V \times_S X\) par le morphisme de projection, et de même pour \(X \times_S E\). D’après le lemme 0APJ, cela implique que \(\varphi\) définit un isomorphisme \[\begin{align*} \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E) \otimes_R A & = \Gamma(E \times_S X, \mathcal{O}_{V \times_S X}|_{E \times_S X}) \\ & \to \Gamma(X \times_S E, \mathcal{O}_{X \times_S V}|_{X \times_S E}) \\ & = A \otimes_R \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E) \end{align*}\] d’algèbres sur \(A \otimes_R A\), que nous appellerons \(\psi\). La condition de cocycle pour \(\varphi\) se traduit par la condition de cocycle pour \(\psi\) comme dans Descente, définition 023G (détails omis). D’après Descente, proposition 023N, nous trouvons une \(R\)-algèbre \(R'\) et un isomorphisme \(\chi : R' \otimes_R A \to \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E)\) d’\(A\)-algèbres, compatible avec \(\psi\) et avec la donnée de descente canonique sur \(R' \otimes_R A\).

D’après le lemme 0API, nous obtenons un “plongement” canonique \[j : (E, \mathcal{O}_V|_E) \longrightarrow \Spec(\Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E)) = \Spec(R' \otimes_R A)\] d’espaces localement annelés. La construction de cette application est canonique et nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ & E \times_S X \ar[rr]_\varphi \ar[ld] \ar[rd]^{j'} & & X \times_S E \ar[rd] \ar[ld]_{j''} \\ E \ar[rd]^j & & \Spec(R' \otimes_R A \otimes_R A) \ar[ld] \ar[rd] & & E \ar[ld]_j \\ & \Spec(R' \otimes_R A) \ar[rd] && \Spec(R' \otimes_R A) \ar[ld] \\ & & \Spec(R') }\] où \(j'\) et \(j''\) proviennent de la même construction appliquée à \(E \times_S X \subset V \times_S X\) et à \(X \times_S E \subset X \times_S V\) au moyen de \(\chi\) et des identifications utilisées pour construire \(\psi\). Il s’ensuit que \(j(W)\) est un sous-schéma ouvert de \(\Spec(R' \otimes_R A)\) dont les images réciproques par les deux projections \(\Spec(R' \otimes_R A \otimes_R A) \to \Spec(R' \otimes_R A)\) sont égales. D’après Descente, lemme 03N0, nous trouvons un ouvert \(W_0 \subset \Spec(R')\) dont le changement de base à \(\Spec(A)\) est \(j(W)\). En examinant le diagramme ci-dessus, nous voyons que la donnée de descente \((W, \varphi|_{W \times_S X})\) est effective. D’après Descente, lemme 0AP4, nous voyons que notre donnée de descente est effective.