준군 스킴 심화

서론

이 장에서는 준군 스킴에 관한 심화 주제를 다룬다. 결과들은 준군 스킴의 용어로 진술되지만, 독자는 다음 \(2\)-카르테시안 도식을 염두에 두어야 한다. [04LC]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] } } \end{equation}\] 여기서 \([U/R]\)는 몫 스택이다. Groupoids in Spaces, Remark 04M7를 보라. 많은 결과는 이 도식을 고찰하는 데서 동기를 얻는다. 예를 들어 Keel과 Mori의 훌륭한 논문 [K-M]을 보라.

표기법

앞서 Groupoids, Section 022N에서 도입한 관례와 표기법을 계속 따른다.

유용한 도식

이 장에서 쉽게 참조할 수 있도록 Groupoids, Lemmas 02YE 및 03C6의 결과를 간단히 다시 적는다. \(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. 다음 가환도식에서 [04LF]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U } } \end{equation}\] 아래쪽 두 정사각형은 섬유곱 정사각형이다. 더욱이 위쪽 삼각형(실제로는 정사각형)도 카르테시안이다.

도식 [04LG]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } } \end{equation}\] 은 가환이다. 위쪽 두 행은 주어진 수직 사상들을 통해 서로 동형이다. 왼쪽 아래의 두 정사각형은 카르테시안이다.

미분층

다음 보조정리는 Groupoids, Lemma 047I와 유사한 결과이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(t\)를 통해 \(U\) 위의 스킴으로 본 \(R\)의 미분층은 몰입 \(e : U \to R\)의 코노멀 층을 \(t\)로 당긴 층의 몫이다. 식으로 쓰면 정준 전사 \(t^*\mathcal{C}_{U/R} \to \Omega_{R/U}\)가 존재한다. \(s\)가 평탄하면 이 사상은 동형이다.

증명

\(e : U \to R\)는 사상 \(s\)의 단면이므로 몰입이다. Schemes, Lemma 01KT를 보라. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R \ar[r]_-{(1, i)} \ar[d]_t & R \times_{s, U, t} R \ar[d]^c \ar[rr]_{(\text{pr}_0, i \circ \text{pr}_1)} & & R \times_{t, U, t} R \\ U \ar[r]^e & R }\] \(a \circ b = e\)이면 \(b = i(a)\)이므로 왼쪽 정사각형은 카르테시안이다. 가로사상들의 합성은 \(t : R \to U\)의 대각사상이다. 오른쪽 위 가로화살표는 동형이다. 따라서 \(\Omega_{R/U}\)는 이 합성의 코노멀 층이므로 \((1, i)\)의 코노멀 층과 동형이다. Morphisms, Lemma 0473에 의해 전사 \(t^*\mathcal{C}_{U/R} \to \Omega_{R/U}\)를 얻으며, \(c\)가 평탄하면 이 사상은 동형이다. 도식 (04LG)의 성질에 의해 \(c\)는 \(s\)의 밑변환이므로, \(s\)가 평탄하면 \(c\)도 평탄하다. Morphisms, Lemma 01U9를 보라.

국소 구조

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(u \in U\)를 한 점이라 하자. 이 절에서는 국소환 \[A = \mathcal{O}_{U, u} \quad\text{and}\quad B = \mathcal{O}_{R, e(u)}\] 에 어떤 구조가 생기는지 설명한다. 사상 \(s, t, c, e, i\)가 유도하는 국소환 준동형은 각각 같은 문자로 나타내기로 한다. 특히 국소환들의 가환도식 \[\xymatrix{ A \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & B \ar[r]^e & A \\ A \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] 을 얻는다. 따라서 \(I \subset B\)가 \(e : B \to A\)의 핵이면 \(B = s(A) \oplus I = t(A) \oplus I\)이다. 다음과 같이 쓰자. \[C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e(u), e(u))}\] 그러면 \[C = (B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}\] 이다. \(J \subset C\)를 \(I \otimes B + B \otimes I\)가 생성하는 \(C\)의 아이디얼이라 하자. 그러면 \(J\)는 국소환 준동형 \[(e, e) : C \longrightarrow A\] 의 핵이기도 하다. 합성법칙 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)에는 \(I\)를 \(J\)로 보내는 환 준동형 \[c : B \longrightarrow C\] 가 대응한다.

보조정리

\(c\)가 유도하는 사상 \(I/I^2 \to J/J^2\)는 합성 \[I/I^2 \xrightarrow{(1, 1)} I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\] 이다. 여기서 두 번째 화살표는 등식 \(J = (I \otimes B + B \otimes I)C\)에서 나온다. 사상 \(i : B \to B\)는 사상 \(-1 : I/I^2 \to I/I^2\)을 유도한다.

증명

\(C\)에서 다른 국소환으로 가는 국소 준동형을 기술하려면 \(b_1 \otimes b_2\) 꼴의 원소가 어디로 가는지만 밝히면 충분하다. 이를 염두에 두면 다음 두 정준 사상이 있다. \[e_2 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto b_1s(e(b_2)),\quad e_1 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto t(e(b_1))b_2\] 이들은 각각 \(r \mapsto (r, e(s(r)))\) 및 \(r \mapsto (e(t(r)), r)\)로 주어지는 매장 \(R \to R \times_{s, U, t} R\)에 대응한다. 이 사상들은 \(J/J^2 \to I/I^2\)인 두 사상을 정하며, 이 둘을 합치면 보조정리의 사상 \(I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\)의 역을 얻는다. 따라서 \(e_1 \circ c : B \to B\) 및 \(e_2 \circ c : B \to B\)가 항등사상임을 보이면 충분하다. 이는 두 합성 \(R \to R \times_{s, U, t} R \to R\)이 모두 항등사상이라는 사실에서 따른다.

\(i\)에 관한 명제는 \(c\)에 관한 명제와 등식 \(c \circ (1, i) = e \circ t\)에서 따른다. 세부사항은 생략한다.

준군의 성질

\((U, R, s, t, c)\)를 준군 스킴이라 하자. 이 절의 결과들에 깔린 생각은 \(s: R \to U\)가 사상 \(U \to [U/R]\)의 밑변환이라는 것이다(도식 (04LC)을 보라). 따라서 \(s : R \to U\)의 국소 성질은 사상 \(U \to [U/R]\)의 국소 성질을 반영해야 한다. 그러나 \([U/R]\)가 항상 대수 스택인 것은 아니므로 \(U \to [U/R]\)의 기하학적 또는 대수적 성질을 말할 수 없고, 이 논리는 그대로는 성립하지 않는다. 그럼에도 몫 스택을 전혀 언급하지 않고도 이 생각의 일부를 구현할 수 있다.

다음은 그러한 결과의 첫 예이다. 보조정리에서 얻는 열린부분 \(W \subset U'\)는 대략 사상 \(U' \to [U/R]\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지는 자취이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 합성을 \(h\)라 쓰자. \[\xymatrix{ h : U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} & R \ar[r]_s & U. }\] \(\mathcal{P}, \mathcal{Q}, \mathcal{R}\)를 스킴 사상의 성질이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{R} \Rightarrow \mathcal{Q}\),

2. \(\mathcal{Q}\)는 밑변환과 합성으로 보존된다.

3. \(\mathcal{Q}\)를 가지는 임의의 사상 \(f : X \to Y\)에 대해 \(f|_{W(\mathcal{P}, f)}\)가 \(\mathcal{P}\)를 가지도록 하는 가장 큰 열린부분 \(W(\mathcal{P}, f) \subset X\)가 존재한다.

4. \(\mathcal{Q}\)를 가지는 임의의 사상 \(f : X \to Y\)와 \(\mathcal{R}\)를 가지는 임의의 사상 \(Y' \to Y\)에 대해 \(Y' \times_Y W(\mathcal{P}, f) = W(\mathcal{P}, f')\)이다. 여기서 \(f' : X_{Y'} \to Y'\)는 \(f\)의 밑변환이다.

\(s, t\)가 \(\mathcal{R}\)를 가지고 \(g\)가 \(\mathcal{Q}\)를 가지면 \(W \times_{g, U, t} R = W(\mathcal{P}, h)\)인 열린부분스킴 \(W \subset U'\)가 존재한다.

증명

다음 도식은 가환한다. \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R \ar[rr]_-{\text{pr}_{12}} \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_{02}} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_{01}} & & R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_0} \\ U' \times_{g, U, t} R \ar[rr]^{\text{pr}_1} & & R }\] 두 정사각형은 모두 카르테시안이다. 여기에는 두 사상 \(t \circ \text{pr}_i : R \times_{t, U, t} R \to U\)가 같다는 사실을 썼다. 이를 도식 (04LG)의 성질과 결합하면 다음 가환도식을 얻는다. \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R \ar[rr]_-{c \circ (i, 1)} \ar@<1ex>[d]^-{\text{pr}_{02}} \ar@<-1ex>[d]_-{\text{pr}_{01}} & & R \ar@<1ex>[d]^-{s} \ar@<-1ex>[d]_-{t} \\ U' \times_{g, U, t} R \ar[rr]^h & & U }\] 여기서 두 정사각형은 모두 카르테시안이다.

\(s, t\)가 \(\mathcal{R}\)를 가지고 \(g\)가 \(\mathcal{Q}\)를 가진다고 하자. \(h\)는 \(s\)와 \(g\)의 밑변환의 합성이므로 \(\mathcal{Q}\)를 가진다. 실제로 전자는 \(\mathcal{R}\)를 가지므로 \(\mathcal{Q}\)를 가지며, 후자도 \(\mathcal{Q}\)를 가진다. 따라서 \(W(\mathcal{P}, h) \subset U' \times_{g, U, t} R\)가 존재한다. 가정에 의해 \(\text{pr}_{01}^{-1}(W(\mathcal{P}, h)) = \text{pr}_{02}^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\) 이다. 두 집합 모두 \(c \circ (i, 1)\)이 \(\mathcal{P}\)를 가지는 가장 큰 열린부분이기 때문이다. 사영 \(U' \times_{g, U, t} R \to U'\)에는 단면 \(\sigma : U' \to U' \times_{g, U, t} R\), \(u' \mapsto (u', e(g(u')))\)가 있다. 또한 동형 \[(U' \times_{g, U, t} R) \times_{U'} (U' \times_{g, U, t} R) = U' \times_{g, U, t} R \times_{t, U, t} R\] 을 통하여 왼쪽에서 \(U' \times_{g, U, t} R\)로 가는 두 사영은 오른쪽의 사상 \(\text{pr}_{01}\) 및 \(\text{pr}_{02}\)와 일치한다. 따라서 \(\text{pr}_{01}^{-1}(W(\mathcal{P}, h)) = \text{pr}_{02}^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\)이므로 \(W(\mathcal{P}, h)\)는 \(U\)의 어떤 부분집합의 역상이다. 그 부분집합은 반드시 열린집합 \(W = \sigma^{-1}(W(\mathcal{P}, h))\)이다.

주

경고: Lemma 04LH는 주의해서 사용해야 한다. 예를 들어 이 보조정리는 \(\mathcal{P}=\)“flat”, \(\mathcal{Q}=\)“empty”, \(\mathcal{R}=\)“flat and locally of finite presentation”인 경우에 적용된다. 그러나 스킴의 사상 \(f : X \to Y\)가 주어졌을 때 \(f|_W\)가 평탄하도록 하는 가장 큰 열린부분 \(W \subset X\)는 \(f\)가 평탄한 점들의 집합이 아니다!

주

Remark 04LI의 경고에도 불구하고 Lemma 04LH를 큰 모호성 없이 사용할 수 있는 경우들이 있다. 그 목록을 제시한다. 각 경우에 가정 (1), (2)의 확인은 생략하고, (3), (4)를 함의하는 참고문헌을 제시한다. 목록은 다음과 같다.

1. \(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“locally of finite type”, 그리고 \(\mathcal{P} =\)“relative dimension \(\leq d\)”. Morphisms, Definition 02NJ 및 Morphisms, Lemmas 02FZ 및 02FY를 보라.

2. \(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“locally of finite type”, 그리고 \(\mathcal{P} =\)“locally quasi-finite”. 이는 앞 항목에서 \(d = 0\)인 경우이다. Morphisms, Lemma 0397을 보라.

3. \(\mathcal{Q} = \mathcal{R} =\)“locally of finite type”, 그리고 \(\mathcal{P} =\)“unramified”. Morphisms, Lemmas 02G6 및 0475를 보라.

위 경우들의 흥미로운 점은 사상 \(h\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지는 자취에 관한 결론을 얻기 위해 \(s, t\)가 평탄하다고 가정할 필요가 없다는 것이다. 목록을 계속한다.

1. \(\mathcal{Q} =\)“locally of finite presentation”, \(\mathcal{R} =\)“flat and locally of finite presentation”, 그리고 \(\mathcal{P} =\)“flat”. More on Morphisms, Theorem 0399 및 Lemma 047C를 보라.

2. \(\mathcal{Q} =\)“locally of finite presentation”, \(\mathcal{R} =\)“flat and locally of finite presentation”, 그리고 \(\mathcal{P}=\)“Cohen-Macaulay”. More on Morphisms, Definition 045R 및 More on Morphisms, Lemmas 045T 및 045U을 보라.

3. \(\mathcal{Q} =\)“locally of finite presentation”, \(\mathcal{R} =\)“flat and locally of finite presentation”, 그리고 \(\mathcal{P}=\)“syntomic”인 경우에는 Morphisms, Lemma 02V3를 사용한다. 이때 자취는 자동으로 열린다.

4. \(\mathcal{Q} =\)“locally of finite presentation”, \(\mathcal{R} =\)“flat and locally of finite presentation”, 그리고 \(\mathcal{P}=\)“smooth”. Morphisms, Lemma 02V4를 보라. 이때 자취는 자동으로 열린다.

5. \(\mathcal{Q} =\)“locally of finite presentation”, \(\mathcal{R} =\)“flat and locally of finite presentation”, 그리고 \(\mathcal{P}=\)“étale”. Morphisms, Lemma 0476를 보라. 이때 자취는 자동으로 열린다.

다음은 두 번째 결과이다. \(R\)-불변 열린부분 \(W \subset U\)는 사상 \(U \to [U/R]\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지게 되는 \([U/R]\)의 가장 큰 열린부분의 역상으로 생각해야 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\)라 하자¹. \(\mathcal{P}\)를 목표에서 \(\tau\)-국소적인 스킴 사상의 성질이라 하자(Descent, Definition 02KO). \(\{s : R \to U\}\)와 \(\{t : R \to U\}\)가 \(\tau\)-위상의 덮개라고 하자. \(s|_{s^{-1}(W)} : s^{-1}(W) \to W\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지도록 하는 극대 열린부분스킴을 \(W \subset U\)라 하자. 그러면 \(W\)는 \(R\)-불변이다. Groupoids, Definition 03BC을 보라.

증명

열린부분 \(W \subset U\)의 존재와 성질은 Descent, Lemma 06QP에 서술되어 있다. 도식 (04LF)에서 사상 \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지게 되는 극대 열린부분스킴을 \(W_1 \subset R\)이라 하자. 앞서 인용한 Descent, Lemma 06QP와 \(\{s : R \to U\}\) 및 \(\{t : R \to U\}\)가 \(\tau\)-위상의 덮개라는 가정에 의해, 원하는 대로 \(t^{-1}(W) = W_1 = s^{-1}(W)\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. \(G \to U\)를 그 안정자 군 스킴이라 하자. \(\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\)라 하자. \(\mathcal{P}\)를 목표에서 \(\tau\)-국소적인 사상의 성질이라 하자. \(\{s : R \to U\}\)와 \(\{t : R \to U\}\)가 \(\tau\)-위상의 덮개라고 하자. \(G_W \to W\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 가지도록 하는 극대 열린부분스킴을 \(W \subset U\)라 하자. 그러면 \(W\)는 \(R\)-불변이다 (Groupoids, Definition 03BC을 보라).

증명

열린부분 \(W \subset U\)의 존재와 성질은 Descent, Lemma 06QP에 서술되어 있다. 사상 \[G \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} G, \quad (g, r) \longmapsto (r, r^{-1} \circ g \circ r)\] 은 \(R\) 위의 동형이다. 여기서 \(\circ\)는 준군에서의 합성을 뜻한다. 따라서 앞서 인용한 Descent, Lemma 06QP에서 증명한 \(W\)의 성질에 의해 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)이다.

섬유의 비교

\((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. 도식 (04LF)을 이용하면 준군에서 사상 \(s : R \to U\)의 섬유들을 비교할 수 있다. 점 \(u \in U\)에 대해 \(s : R \to U\)의 \(u\) 위 스킴론적 섬유를 \(F_u = s^{-1}(u)\)로 쓰겠다. 예를 들어 이 도식에 따르면 \(s(r) = u\)이고 \(t(r) = u'\)인 점 \(u, u' \in U\)가 있으면 \((F_u)_{\kappa(r)} \cong (F_{u'})_{\kappa(r)}\)이다. 이는 아래의 더 일반적이고 정밀한 Lemma 02YF의 특수한 경우이다. 이를 보려면 \(r' = i(r)\)로 두면 된다.

스킴 \(X\)와 점 \(x \in X\)로 이루어진 쌍 \((X, x)\)를 때때로 \(x\)에서의 \(X\)의 싹이라 한다. 싹의 사상 \(f : (X, x) \to (S, s)\)은 \(x\)의 한 열린근방에서 정의되고 \(f(x) = s\)를 만족하는 사상 \(f : U \to S\)이다. 그러한 두 사상 \(f\), \(f'\)가 \(x\)의 어떤 열린근방에서 일치할 필요충분조건은 \(f\)와 \(f'\)가 같은 싹의 사상을 정하는 것이다. \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. 다음 개념을 임시로 도입한다. 싹의 두 사상 \(f : (X, x) \to (S, s)\)와 \(f' : (X', x') \to (S', s')\)에 대해, 점을 가진 스킴 \((S'', s'')\)와 싹의 사상 \(g : (S'', s'') \to (S, s)\) 및 \(g' : (S'', s'') \to (S', s')\)가 존재하여 다음을 만족하면 두 사상이 바닥의 \(\tau\)-위상에서 국소적으로 동형이라고 한다.

1. \(g\)와 \(g'\)는 \(s''\)에서 열린 몰입(resp. étale, smooth, syntomic, flat and locally of finite presentation)이다.

2. \((s'', x)\) 및 \((s'', x')\) 위에 놓이는 점 \(\tilde x\)와 \(\tilde x'\)를 적절히 택했을 때, 싹 \((S'', s'')\) 위 싹들의 동형 \[(S'' \times_{g, S, f} X, \tilde x) \cong (S'' \times_{g', S', f'} X', \tilde x')\] 이 존재한다.

끝으로 위와 같은 \(S'', s'', g, g'\)가 존재하되 (1) 대신 \(g\)와 \(g'\)가 \(s''\)에서 평탄하다는 조건을 만족하면 싹의 사상 \(f : (X, x) \to (S, s)\)와 \(f' : (X', x') \to (S', s')\)가 바닥에서 평탄 국소적으로 동형이라고 한다. 평탄사상이 열린사상일 필요는 없으므로 이 조건은 위의 어느 \(\tau\) 조건보다도 훨씬 약하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. \(U\)에서 \(t(r) = t(r')\)인 \(r, r' \in R\)를 택하자. \(u = s(r)\), \(u' = s(r')\)로 두고, 스킴론적 섬유를 \(F_u = s^{-1}(u)\) 및 \(F_{u'} = s^{-1}(u')\)로 쓰자.

1. 공통 체 확대 \(\kappa(u) \subset k\), \(\kappa(u') \subset k\)와 동형 \((F_u)_k \cong (F_{u'})_k\)가 존재한다.

2. (1)의 동형은 \(r\) 위의 한 점을 \(r'\) 위의 한 점으로 보내도록 택할 수 있다.

3. 사상 \(s\), \(t\)가 평탄하면 싹의 사상 \(s : (R, r) \to (U, u)\)와 \(s : (R, r') \to (U, u')\)는 바닥에서 평탄 국소적으로 동형이다.

4. 사상 \(s\), \(t\)가 étale (resp. smooth, syntomic, or flat and locally of finite presentation)이면 싹의 사상 \(s : (R, r) \to (U, u)\)와 \(s : (R, r') \to (U, u')\)는 étale (resp. smooth, syntomic, or fppf) 위상에서 바닥에 관해 국소적으로 동형이다.

증명

도식 (04LF)의 존재와 성질을 반복해서 사용한다. 이 도식의 성질과 Schemes, Lemma 01JT에 의해 \(\text{pr}_0(\xi) = r\) 및 \(c(\xi) = r'\)인 \(R \times_{s, U, t} R\)의 점 \(\xi\)가 존재한다. \(\tilde r = \text{pr}_1(\xi) \in R\)로 두자.

(1)의 증명. \(k = \kappa(\tilde r)\)로 두자. \(t(\tilde r) = u\)이고 \(s(\tilde r) = u'\)이므로 \(k\)는 \(\kappa(u)\)와 \(\kappa(u')\)의 공통 확대이다. 더욱이 \((F_u)_k\)와 \((F_{u'})_k\)는 모두 \(\text{pr}_1 : R \times_{s, U, t} R \to R\)의 \(\tilde r\) 위 섬유와 동형이다. 따라서 (1)이 증명된다.

점 \(\xi\)가 각각 \(r\), resp. \(r'\)로 가므로 (2)가 따른다.

(3)은 위의 논의와 정의에서 바로 따른다. 이때 \(\tilde u\)와 \(\tilde u'\)에는 점 \(\xi\)를 사용한다.

\(s\)와 \(t\)가 평탄하고 유한 표시이면 이들은 열린사상이다 (Morphisms, Lemma 01UA). 따라서 \(\tilde r\)의 어떤 아핀 열린근방 \(V''\)의 상은 \(u\)의 한 열린근방 \(V\), resp. \(u'\)의 한 열린근방 \(V'\)를 덮는다. 이를 사용하면 “바닥의 \(\tau\)-위상에서 국소적으로 동형”이라는 정의의 성질 (1), (2)를 확인할 수 있다.

Cohen–Macaulay 표현

\(s, t\)가 평탄하고 국소 유한 표시인 임의의 준군 \((U, R, s, t, c)\)에 대해, \(s'\)와 \(t'\)가 Cohen–Macaulay 사상이며 국소 유한 표시인 “동치인” 준군 \((U', R', s', t', c')\)가 존재한다. Cohen–Macaulay 사상에 관한 자세한 내용은 More on Morphisms, Section 045Q을 보라. 여기서 “동치인”은 몫 스택 \([U/R]\)와 \([U'/R']\)가 동치인 스택이라는 뜻으로 취할 수 있다. Groupoids in Spaces, Section 044O 및 Section 046R를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군이라 하자. \(s\)와 \(t\)가 평탄하고 국소 유한 표시라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 열린부분 \(U' \subset U\)가 존재한다.

1. \(t^{-1}(U') \subset R\)는 사상 \(s\)가 Cohen–Macaulay인 \(R\)의 가장 큰 열린부분스킴이다.

2. \(s^{-1}(U') \subset R\)는 사상 \(t\)가 Cohen–Macaulay인 \(R\)의 가장 큰 열린부분스킴이다.

3. 사상 \(t|_{s^{-1}(U')} : s^{-1}(U') \to U\)는 전사이다.

4. 사상 \(s|_{t^{-1}(U')} : t^{-1}(U') \to U\)는 전사이다.

5. \(R\)을 \(U'\)로 제한한 \(R' = s^{-1}(U') \cap t^{-1}(U')\)는 준군 \((U', R', s', t', c')\)를 정하며, 사상 \(s'\)와 \(t'\)는 Cohen–Macaulay이고 국소 유한 표시이다.

증명

\(g = \text{id}\), \(\mathcal{Q} =\)“locally of finite presentation”, \(\mathcal{R} =\)“flat and locally of finite presentation”, \(\mathcal{P}=\)“Cohen-Macaulay”로 놓고 Lemma 04LH를 적용한다. Remark 047W를 보라. 그러면 사상 \(s\)가 Cohen–Macaulay인 \(R\)의 가장 큰 열린부분스킴이 \(t^{-1}(U') \subset R\)가 되도록 하는 열린부분 \(U' \subset U\)를 얻는다. 이로써 (1)이 증명된다. 준군의 역을 \(i : R \to R\)라 하자. \(i\)는 동형이고 \(s \circ i = t\), \(t \circ i = s\)이므로 \(s^{-1}(U')\)도 \(t\)가 Cohen–Macaulay인 \(R\)의 가장 큰 열린부분이다. 이로써 (2)가 증명된다. More on Morphisms, Lemma 045U에 의해 열린부분 \(t^{-1}(U')\)는 \(s : R \to U\)의 모든 섬유에서 조밀하다. 이로써 (3)이 증명된다. (4)도 같은 논증으로 따른다. (5)는 (1), (2)와 Groupoids, Section 02VA의 제한에 관한 논의에서 형식적으로 따른다.

준군의 제한

이 절에서는 제한으로 유전되는 준군의 성질에 관한 여러 보조정리를 모은다. 이 보조정리들의 대부분은 제한을 정의하는 도식 [04MN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U } } \end{equation}\] 을 살펴보면 증명할 수 있다. Groupoids, Lemma 02VB를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. \((U', R', s', t', c')\)를 \(g\)에 의한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라 하자.

1. \(s, t\)가 국소 유한형이고 \(g\)가 국소 유한형이면 \(s', t'\)도 국소 유한형이다.

2. \(s, t\)가 국소 유한 표시이고 \(g\)가 국소 유한 표시이면 \(s', t'\)도 국소 유한 표시이다.

3. \(s, t\)가 평탄하고 \(g\)가 평탄하면 \(s', t'\)도 평탄하다.

4. 여기에 더 추가할 것.

증명

국소 유한형이라는 성질은 합성과 임의의 밑변환으로 보존된다. Morphisms, Lemmas 01T3 및 01T4를 보라. 따라서 (1)은 도식 (04MN)에서 바로 따른다. 나머지 경우에는 Morphisms, Lemmas 01TR, 01TS, 01U7, 및 01U9을 보라.

앞 보조정리의 결과들은 다음 보조정리를 사용하여 더 통일된 방식으로 증명할 수도 있었다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. \((U', R', s', t', c')\)를 \(g\)에 의한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라 하고, \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\)라 하자. \(\mathcal{P}\)가 다음을 만족하는 스킴 사상의 성질이라고 하자.

1. \(h\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 가진다.

2. \(\mathcal{P}\)는 밑변환으로 보존된다.

그러면 \(s', t'\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 가진다.

증명

도식 (04MN)에 의해 \(s'\)는 \(h\)의 밑변환이고, 스킴의 사상으로서 \(t'\)는 \(s'\)와 동형이므로 명백하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(g : U' \to U\)와 \(g' : U'' \to U'\)를 스킴의 사상이라 하고 \(g'' = g \circ g'\)로 두자. \((U', R', s', t', c')\)를 \(R\)의 \(U'\)로의 제한이라 하자. \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\), \(h' = s' \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g', U', t} R \to U'\), \(h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \to U\)라 하자. 다음 도식은 가환한다. \[\xymatrix{ U'' \times_{g', U', t} R' \ar[d]^{h'} & (U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R) \ar[l] \ar[r] \ar[d] & U'' \times_{g'', U, t} R \ar[d]_{h''} \\ U' & U' \times_{g, U, t} R \ar[l]_{\text{pr}_0} \ar[r]^h & U }\] 두 정사각형은 모두 카르테시안이고, 왼쪽 위 가로화살표는 다음 규칙으로 주어진다. \[\begin{matrix} (U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R) & \longrightarrow & U'' \times_{g', U', t} R' \\ ((u', r_0), (u'', r_1)) & \longmapsto & (u'', (c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))) \end{matrix}\] 표기법은 증명에서 설명한다.

증명

함자적 관점을 활용하여 이 보조정리를 준군 범주의 제한에서 화살표에 관한 명제로 환원한다. 보조정리 마지막 식의 표기 \(((u', r_0), (u'', r_1))\)는 \((U' \times_{g, U, t} R) \times_U (U'' \times_{g'', U, t} R)\)의 \(T\)-값 점을 뜻한다. 즉 \(u', u'', r_0, r_1\)는 각각 \(U', U'', R, R\)의 \(T\)-값 점이고, \(g(u') = t(r_0)\), \(g(g'(u'')) = g''(u'') = t(r_1)\), \(s(r_0) = s(r_1)\)이다. 엄밀히는 \(g \circ u' = t \circ r_0\) 등으로 써야 하지만 그렇게 하면 표기가 더욱 읽기 어려워진다. \(r_1\)과 \(r_0\)를 준군 범주의 화살표로 생각하면 다음 그림으로 나타낼 수 있다. \[\xymatrix{ t(r_0) = g(u') & s(r_0) = s(r_1) \ar[l]_{r_0} \ar[r]^-{r_1} & t(r_1) = g(g'(u'')) }\] 특히 이 도식은 합성 \(c(r_1, i(r_0))\)가 정의됨을 보여준다. 등식 \[R' = R \times_{(t, s), U \times_S U, g \times g} U' \times_S U'\] 을 상기하자. 따라서 \(R'\)의 \(T\)-값 점은 \(t(r) = g(u'_0)\) 및 \(s(r) = g(u'_1)\)을 만족하는 \((r, (u'_0, u'_1))\) 꼴이다. 특히 위와 같은 \(((u', r_0), (u'', r_1))\)가 주어지면 \(t(c(r_1, i(r_0))) = t(r_1) = g(g'(u''))\) 및 \(s(c(r_1, i(r_0))) = s(i(r_0)) = t(r_0) = g(u')\)이므로 \(R'\)의 \(T\)-값 점 \((c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))\)를 얻는다. 이 정의로 왼쪽 정사각형이 가환함을 보이는 일은 독자에게 맡긴다.

왼쪽 정사각형이 카르테시안임을 보이기 위해, \(v' = s'(p')\)을 만족하는 \(U'' \times_{g', U', t} R'\)의 \(T\)-값 점 \((v'', p')\)와 \(U' \times_{g, U, t} R\)의 점 \((v', p)\)가 주어졌다고 하자. 이는 \(g'(v'') = t'(p')\) 및 \(g(v') = t(p)\)이라는 뜻이기도 하다. 앞 논의에 의해 \(t(r) = g(u'_0)\) 및 \(s(r) = g(u'_1)\)을 만족하도록 \(p' = (r, (u_0', u_1'))\)로 쓸 수 있다. 이 표기에서 \(v' = s'(p') = u_1'\)이고 \(g'(v'') = t'(p') = u_0'\)이다. 그림으로 쓰면 \[\xymatrix{ s(p) \ar[r]^-p & g(v') = g(u'_1) \ar[r]^-r & g(u'_0) = g(g'(v'')) }\] 이다. 이제 위와 같은 \(T\)-값 점 \(((u', r_0), (u'', r_1))\)가 유일하게 존재하여 \(v' = u'\), \(p = r_0\), \(v'' = u''\) 및 \(p' = (c(r_1, i(r_0)), (g'(u''), u'))\)을 만족함을 보여야 한다. 위의 두 도식을 비교하면 다음과 같이 택할 수밖에 없음이 명백하다. \[((u', r_0), (u'', r_1)) = ((v', p), (v'', c(r, p))\] 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(g : U' \to U\)와 \(g' : U'' \to U'\)를 스킴의 사상이라 하고, \(g'' = g \circ g'\)로 두자. \((U', R', s', t', c')\)를 \(R\)의 \(U'\)로의 제한이라 하자. \(h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \to U\), \(h' = s' \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g', U', t} R \to U'\), \(h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \to U\)라 하자. \(\tau \in \{Zariski, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic, \linebreak[0] fppf, \linebreak[0] fpqc\}\)라 하자. \(\mathcal{P}\)를 밑변환으로 보존되고 목표 위에서 \(\tau\)-위상에 대해 국소적인 스킴 사상의 성질이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(h(U' \times_U R)\)은 \(U\)에서 열린집합이다.

2. \(\{h : U' \times_U R \to h(U' \times_U R)\}\)은 \(\tau\)-덮개이다.

3. \(h'\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 가진다.

그러면 \(h''\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 가진다. 역으로 다음을 가정하자.

1. \(\{t : R \to U\}\)는 \(\tau\)-덮개이다.

2. \(h''\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 가진다.

그러면 \(h'\)는 성질 \(\mathcal{P}\)를 가진다.

증명

이는 Lemma 04MW의 도식이 가지는 성질에서 형식적으로 따른다. 첫 번째 경우에는 \(g'' = g \circ g'\)이므로 사상 \(h''\)의 상이 \(h\)의 상에 포함됨에 유의하자. 따라서 도식 오른쪽 아래의 \(U\)를 \(h(U' \times_U R)\)로 바꿀 수 있다. 이것이 보조정리의 조건 (1)과 (2)가 필요한 이유이다. 두 번째 경우에는 \(\{\text{pr}_0 : U' \times_{g, U, t} R \to U'\}\)가 \(\tau\)-덮개임에 유의하자. 이는 \(\tau\)의 밑변환이고 조건 (a)가 성립하기 때문이다.

체 위 준군의 성질

“체 위의 준군”이란 \(U\)가 체의 스펙트럼인 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)를 뜻한다. 이것은 \((U, R, s, t, c)\)가 체 위에서 정의된다는 뜻이 아니며, 더 정확히 말하면 사상 \(s, t : R \to U\)가 같다는 뜻도 아니다. 임의의 체 \(k\), 추상군 \(G\), 군 준동형 \(\varphi : G \to \text{Aut}(k)\)가 주어지면 다음과 같이 두어 \(\mathbf{Z}\) 위의 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)를 얻는다. \[\begin{align*} U & = \Spec(k) \\ R & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(k) \\ s & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\text{id}_k) \\ t & = \coprod\nolimits_{g \in G} \Spec(\varphi(g)) \\ c & = \text{composition in }G \end{align*}\] 이 예는 여전히 \(\Spec(k^G)\) 위의 준군 스킴이다. 따라서 \(G\)가 유한이면 \(U = \Spec(k)\)는 \(\Spec(k^G)\) 위에서 유한이다. 이 절의 목표는 어떤 의미에서 \(s, t\)에 대한 적절한 유한성 조건이 체 위의 임의의 준군을 유한 지수 부분체 \(k' \subset k\) 위에서 정의되도록 강제함을 보이는 것이다.

\(k\)가 체이고 \((G, m)\)이 \(k\) 위의 군 스킴이며 구조 사상이 \(p : G \to \Spec(k)\)이면, \((\Spec(k), G, p, p, m)\)은 체 위 준군의 한 예이다. 물론 이 경우 전체 구조가 체 위에서 정의된다. 따라서 이 절은 Groupoids, Section 047J의 준군판으로 볼 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U\)가 체의 스펙트럼이면 합성 사상 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)은 열린 사상이다.

증명

Diagram (04LG)에 의해 합성은 사영 사상 \(\text{pr}_1 : R \times_{t, U, t} R \to R\)과 동형이다. 이 사영은 Morphisms, Lemma 0383에 의해 열린 사상이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U\)가 체의 스펙트럼이면 \(R\)은 분리 스킴이다.

증명

Groupoids, Lemma 047L에 의해 안정자 군 스킴 \(G \to U\)는 분리이다. Groupoids, Lemma 02YI에 의해 사상 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\)도 분리이다. \(U\)가 체의 스펙트럼이므로 \(U \times_S U\)는 아핀이다(Schemes, Section 01JO의 올곱 구성 참조). 따라서 Schemes, Lemma 01KU에 의해 \(R\)은 분리 스킴이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라고 가정하자. 임의의 점 \(r, r' \in R\)에 대해 체 확대 \(k'/k\), 점 \(r_1, r_2 \in R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k')\), 그리고 도식 \[\xymatrix{ R & R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k') \ar[l]_-{\text{pr}_0} \ar[r]^\varphi & R \times_{s, \Spec(k)} \Spec(k') \ar[r]^-{\text{pr}_0} & R }\] 이 존재한다. 여기서 \(\varphi\)는 \(\Spec(k')\) 위 스킴의 동형이고, \(\varphi(r_1) = r_2\), \(\text{pr}_0(r_1) = r\), \(\text{pr}_0(r_2) = r'\)이 성립한다.

증명

이는 Lemma 02YF의 (1), (2)의 특수한 경우이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라고 가정하자. \(k'/k\)를 체 확대, \(U' = \Spec(k')\)라 하고, \((U', R', s', t', c')\)를 \(U' \to U\)를 통한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라 하자. 정의 도식 \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'} \ar@{..>}[rd] & R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r] & U }\] 의 모든 사상은 전사이고 평탄이며 보편적으로 열린 사상이다. 점선 화살표 \(R' \to R\)은 더 나아가 아핀이다.

증명

사상 \(U' \to U\)는 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)와 같으므로 아핀이고 전사이며 평탄하다. 사상 \(s, t : R \to U\)와 \(U' \to U\)는 Morphisms, Lemma 0383에 의해 보편적으로 열린 사상이다. \(R\)은 공집합이 아니고 \(U\)는 체의 스펙트럼이므로 \(s, t : R \to U\)는 전사이고 평탄하다. 이제 Morphisms, Lemmas 01S1, 01S0, 02V2, 01SD, 01SC, 01U9, 01U7을 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라고 가정하자. 임의의 점 \(r \in R\)에 대해 다음이 존재한다.

1. \(k'\)가 대수적으로 닫혀 있는 체 확대 \(k'/k\),

2. \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)를 통한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한을 \((U', R', s', t', c')\)라 할 때의 점 \(r' \in R'\).

이들은 다음 조건을 만족한다.

1. 점 \(r'\)은 사상 \(R' \to R\) 아래에서 \(r\)로 간다.

2. 사상 \(s', t' : R' \to \Spec(k')\)는 동형 \(k' \to \kappa(r')\)을 유도한다.

증명

기하학적 명제를 체에 관한 명제로 옮기면, 다음 도식을 찾으면 된다는 뜻이다. \[\xymatrix{ k' & k' \ar[l]^1 & \\ k' \ar[u]^\tau & \kappa(r) \ar[lu]^\sigma & k \ar[l]^-s \ar[lu]_i \\ & k \ar[lu]^i \ar[u]_t }\] 여기서 \(i : k \to k'\)는 \(k\)를 \(k'\)에 매장하는 사상이고, \(s, t : k \to \kappa(r)\)는 \(s, t : R \to U\)가 유도하는 사상이며, \(\tau : k' \to k'\)는 자기동형이다. 이러한 도식은 다음과 같이 구성한다.

1. \(k'\)가 대수적으로 닫혀 있고 \(k\) 위의 초월차수가 매우 크도록 체 사상 \(i : k \to k'\)를 택한다.

2. \(\sigma \circ s = i\)를 만족하는 매장 \(\sigma : \kappa(r) \to k'\)를 택한다. 실제로 \(k\) 위의 \(\kappa(r)\)의 초월기저 \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\)를 택하고, \(i(k)\) 위에서 대수적으로 독립인 \(y_\alpha \in k'\), \(\alpha \in A\)를 찾은 뒤, \(\lambda \in k\)에 대해 \(s(\lambda) \mapsto i(\lambda)\), \(\alpha \in A\)에 대해 \(x_\alpha \mapsto y_\alpha\)라는 규칙으로 \(s(k)(\{x_\alpha\})\)를 \(k'\) 안으로 보낼 수 있으므로 이러한 \(\sigma\)가 존재한다. 이제 \(k'\)가 대수적으로 닫혀 있음을 이용하여 \(\tau : \kappa(\alpha) \to k'\)로 확장한다.

3. \(\tau \circ i = \sigma \circ t\)를 만족하는 자기동형 \(\tau : k' \to k'\)를 택한다. 이를 위해 \(k\)의 소체 위 초월기저 \(\{x_\alpha\}_{\alpha \in A}\)를 택한다. 한편으로 \(\{y_\beta\}_{\beta \in B}\)를 추가하여 \(\{i(x_\alpha)\}\)를 \(k'\)의 초월기저로 확장하고, 다른 한편으로 \(\{z_\gamma\}_{\gamma \in C}\)를 추가하여 \(\{\sigma(t(x_\alpha))\}\)를 \(k'\)의 초월기저로 확장한다. \(k'\)가 대수적으로 닫혀 있으므로 동형 \(\sigma \circ t \circ i^{-1} : i(k) \to \sigma(t(k))\)을 \(k'\) 안에서 각각의 대수적 폐포 사이의 동형 \(\tau' : \overline{i(k)} \to \overline{\sigma(t(k))}\)로 확장할 수 있다. \(k'\)의 초월차수가 크므로 집합 \(B\)와 \(C\)의 기수는 같다. 따라서 전단사 \(B \to C\)를 사용하여 \(\tau'\)를 동형 \[\overline{i(k)}(\{y_\beta\}) \longrightarrow \overline{\sigma(t(k))}(\{z_\gamma\})\] 으로 확장할 수 있다. \(k'\)는 양변의 대수적 폐포이므로, 이는 원하는 자기동형 \(\tau : k' \to k'\)로 다시 확장된다.

이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라고 가정하자. \(r \in R\)이 점이고 \(s, t\)가 동형 \(k \to \kappa(r)\)을 유도하면, 사상 \[R \longrightarrow R, \quad x \longmapsto c(r, x)\] (정확한 표기는 증명 참조)은 \(e\)를 \(r\)로 보내는 자기동형 \(R \to R\)이다.

증명

준군을 함자적으로 생각하면 이는 자명하지만, 내용을 모두 적어 보자. \(s \circ a = \text{id}_U\)이고 상이 \(r\)인 사상을 \(a : U \to R\)라 하자. 이 사상은 \(s : k \to \kappa(r)\)이 동형이라는 가정에 의해 존재한다. 마찬가지로 \(t \circ b = \text{id}_U\)이고 상이 \(r\)인 사상을 \(b : U \to R\)라 하자. 다음에 유의하자. \(b = a \circ (t \circ a)^{-1}\), 특히 \(a \circ s \circ b = b\).

\(T\)-값 점 위에서 다음과 같이 주어지는 사상 \(\Psi : R \to R\)를 생각하자. \[(f : T \to R) \longmapsto (c(a \circ t \circ f, f) : T \to R)\] 이것이 정의됨을 보이려면 \(s \circ a = 1\)에서 자명한 등식 \(s \circ a \circ t \circ f = t \circ f\)를 확인하면 된다. \(\Phi(e) = a\)이므로 보조정리를 증명하려면 \(\Phi\)가 \(R\)의 자기동형임을 보이면 충분하다. \(T\)-값 점 위에서 다음과 같이 주어지는 사상을 \(\Phi : R \to R\)라 하자. \[(g : T \to R) \longmapsto (c(i \circ b \circ t \circ g, g) : T \to R).\] 이는 \(s \circ i \circ b \circ t \circ g = t \circ b \circ t \circ g = t \circ g\)이므로 정의된다. \(\Phi\)와 \(\Psi\)가 서로 역임을 주장한다. 실제로 다음과 같이 계산된다. \[\begin{align*} & c(a \circ t \circ c(i \circ b \circ t \circ g, g), c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(a \circ t \circ i \circ b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(a \circ s \circ b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(b \circ t \circ g, c(i \circ b \circ t \circ g, g)) \\ & = c(c(b \circ t \circ g, i \circ b \circ t \circ g), g)) \\ & = c(e, g) \\ & = g \end{align*}\] 여기서는 위에서 보인 관계 \(a \circ s \circ b = b\)를 사용하였다. 반대 방향으로는 다음을 얻는다. \[\begin{align*} & c(i \circ b \circ t \circ c(a \circ t \circ f, f), c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ b \circ t \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ a \circ (t \circ a)^{-1} \circ t \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(i \circ a \circ t \circ f, c(a \circ t \circ f, f)) \\ & = c(c(i \circ a \circ t \circ f, a \circ t \circ f), f) \\ & = c(e, f) \\ & = f \end{align*}\] 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U\)가 체의 스펙트럼이고 \(W \subset R\)이 열린집합이며 \(Z \to R\)이 스킴의 사상이면, 합성 \(Z \times_{s, U, t} W \to R \times_{s, U, t} R \to R\)의 상은 열린집합이다.

증명

\(U = \Spec(k)\)로 쓰자. 체 확대 \(k'/k\)를 생각하고 \(U' = \Spec(k')\)라 하자. \(R'\)을 \(U' \to U\)를 통한 \(R\)의 제한이라 하고, \(Z' = Z \times_R R'\) 및 \(W' = R' \times_R W\)로 두자. \(Z \times_{s, U, t} W\)의 점 \(\xi = (z, w)\)를 생각하고, \(r \in R\)을 \(Z \to R\) 아래에서의 \(z\)의 상이라 하자. Lemma 04LR에서와 같은 \(k' \supset k\)와 \(r' \in R'\)을 택한다. \(z\)와 \(r'\)로 가는 \(z' \in Z'\)을 택할 수 있다. 그러면 \(z'\)와 \(\xi\)로 가는 \(\xi' \in Z' \times_{s', U', t'} W'\)을 찾을 수 있다. 열린집합 \(c(r', W')\)(Lemma 04LS)은 \(Z' \times_{s', U', t'} W' \to R'\)의 상에 포함된다. 등식 \(Z' \times_{s', U', t'} W' = (Z \times_{s, U, t} W) \times_{R \times_{s, U, t} R} (R' \times_{s', U', t'} R')\)에 유의하자. 따라서 \(Z' \times_{s', U', t'} W' \to R' \to R\)의 상은 \(Z \times_{s, U, t} W \to R\)의 상에 포함된다. \(R' \to R\)은 열린 사상이므로(Lemma 04LQ), 이 상은 원하는 대로 \(\xi\)의 상의 열린 근방을 포함한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라고 가정하자. 표기를 조금 남용하여 항등 사상 \(e : U \to R\)의 상을 \(e \in R\)로 나타내자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(R\)의 모든 국소환 \(\mathcal{O}_{R, r}\)은 유일한 극소 소아이디얼을 가진다.

2. \(e\)를 지나는 \(R\)의 기약 성분 \(Z\)는 정확히 하나이다.

3. \(Z\)는 \(s\) 또는 \(t\)를 통해 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

증명

\(r \in R\)을 점이라 하자. 이 증명에서는 점 \(r\)을 지나는 \(R\)의 기약 성분과 국소환 \(\mathcal{O}_{R, r}\)의 극소 소아이디얼 사이의 대응을 더 언급하지 않고 사용한다. Lemma 04LR에서와 같은 \(k \subset k'\)와 \(r' \in R'\)을 택하자. Lemma 04LQ에 의해 \(\mathcal{O}_{R, r} \to \mathcal{O}_{R', r'}\)은 충실히 평탄한 국소 사상이다. 따라서 \(r' \in R'\)에 대한 결과가 \(r \in R\)에 대한 결과를 함의한다. 즉 \(s, t : k \to \kappa(r)\)가 동형이라고 가정해도 된다. Lemma 04LS에 의해 \(e\)를 \(r\)로 보내는 자기동형이 존재한다. 따라서 \(r = e\)라고 가정해도 되며, 곧 (1)은 (2)에서 따른다.

먼저 \(k\)가 분리 대수적으로 닫혀 있는 경우에 (2)를 증명하자. \(X, Y \subset R\)을 \(e\)를 지나는 기약 성분이라 하자. 그러면 Varieties, Lemma 038F와 020J에 의해 \(X \times_{s, U, t} Y\)도 기약이다. 따라서 \(c(X \times_{s, U, t} Y) \subset R\)은 기약 부분집합이다. 이 부분집합이 \(X\)와 \(Y\)를 모두 포함함을 보이자(\(R\)의 부분집합으로서). \(T\)를 체의 스펙트럼이라 하자. \(x : T \to X\)가 \(X\)의 \(T\)-값 점이면 \(c(x, e \circ s \circ x) = x\)이고, \(e \in Y\)이므로 \(e \circ s \circ x\)는 \(Y\)를 경유한다. \(Y\)의 점에 대해서도 마찬가지이다. 이는 명백히 \(X = Y\)를 함의한다. 즉 \(e\)를 지나는 \(R\)의 기약 성분은 유일하다.

이제 일반적인 경우에 (2)와 (3)을 증명하자. \(k \subset k'\)를 분리 대수적 폐포라 하고, \((U', R', s', t', c')\)를 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)를 통한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라 하자. 앞 문단에 의해 \(e'\)를 지나는 \(R'\)의 기약 성분 \(Z'\)는 정확히 하나이다. \(e\)의 밑변환을 \(e'' \in R \times_{s, U} U'\)로 나타내자. Lemma 04LQ에 의해 \(R' \to R \times_{s, U} U'\)은 충실히 평탄하고 \(e' \mapsto e''\)이므로, \(e''\)를 지나는 \(R \times_{s, k} k'\)의 기약 성분 \(Z''\)는 정확히 하나이다. 또 \(R \times_k k' \to R\)이 충실히 평탄하므로 \(e\)를 지나는 \(R\)의 기약 성분 \(Z\)도 정확히 하나이다. 이로써 (2)가 증명되었다.

(3)을 증명하기 위해 \(Z''' \subset R \times_k k'\)를 \(Z \times_k k'\)의 임의의 기약 성분이라 하자. Varieties, Lemma 04KY에 의해 어떤 \(\sigma \in \text{Gal}(k'/k)\)에 대해 \(Z''' = \sigma(Z'')\)이다. \(\sigma(e'') = e''\)이므로 \(e'' \in Z'''\)이고, 따라서 \(Z''' = Z''\)이다. 이는 \(Z\)가 사상 \(s\)를 통해 \(\Spec(k)\) 위에서 기하적으로 기약이라는 뜻이다. 같은 논법으로 \(Z\)는 사상 \(t\)를 통해서도 \(\Spec(k)\) 위에서 기하적으로 기약이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라고 가정하자. \(s, t\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(R\)은 등차원이다.

2. 모든 \(r \in R\)에 대해 \(\dim(R) = \dim_r(R)\)이다.

3. 임의의 \(r \in R\)에 대해 \(\text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(r)) = \text{trdeg}_{t(k)}(\kappa(r))\)이다.

4. 임의의 닫힌점 \(r \in R\)에 대해 \(\dim(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, r})\)이다.

증명

\(r, r' \in R\)이라 하자. Lemma 04LP와 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 \(\dim_r(R) = \dim_{r'}(R)\)이다. Morphisms, Lemma 02FX에 의해 \[\dim_r(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, r}) + \text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(r)) = \dim(\mathcal{O}_{R, r}) + \text{trdeg}_{t(k)}(\kappa(r)).\] 한편 \(R\)(또는 \(R\)의 임의의 열린 부분집합)의 차원은 \(R\)의 국소환들의 차원의 상한이다. Properties, Lemma 02IZ를 참조하라. 이는 닫힌점 \(r\)에서 분명 최댓값을 가지며, 이 경우 힐베르트 영점정리에 의해 \(\text{trdeg}_k(\kappa(r)) = 0\)이다(Morphisms, Section 01T9 참조). 따라서 결론이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)가 체라고 가정하자. \(s, t\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(R\)의 안정자 군 스킴을 \(G\)라 할 때 \(\dim(R) = \dim(G)\)이다.

증명

\(Z \subset R\)을 \(e\)를 지나는 기약 성분으로 보고(Lemma 04LT 참조), \(R\)의 정수적 닫힌 부분스킴으로 생각하자. \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\) 안에서 \(s(k)\), resp. \(t(k)\)의 정수적 폐포를 \(k'_s\), resp. \(k'_t\)라 하자. Varieties, Lemma 04MI에서 보았듯이 \(k'_s\)와 \(k'_t\)는 체이다. Varieties, Proposition 04MK에 의해 \(\Gamma(Z, \mathcal{O}_Z)\)의 부분환으로서 \(k'_s = k'_t\)이다. \(e\)가 \(Z\)를 경유하므로 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ k \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & \Gamma(Z, \mathcal{O}_Z) \ar[r]^e & k \\ k \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] 이는 한편으로 \(k'_s = s(k)\), \(k'_t = t(k)\)이고 따라서 \(s(k) = t(k)\)임을 보인다. 이를 위 도식과 결합하면 \(s = t\)임을 얻는다! 다시 말해 \(Z\)는 \(G = R \times_{(t, s), U \times_S U, \Delta} U\)의 닫힌 부분스킴이다. \(G\)와 \(R\)은 모두 등차원이므로 결론이 따른다. Lemma 04LU과 Groupoids, Lemma 045X를 참조하라.

주

주의: Lemma 04MQ는 \(s\)와 \(t\)가 국소 유한형이라는 조건이 없으면 거짓이다. 간단한 예로 작용 \[\mathbf{G}_{m, \mathbf{Q}} \times_{\mathbf{Q}} \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}} \to \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\] 에서 시작하여 그에 대응하는 준군 스킴을 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\)의 일반점으로 제한하자. 다시 말해 사상 \(\Spec(\mathbf{Q}(x)) \to \Spec(\mathbf{Q}[x]) = \mathbf{A}^1_{\mathbf{Q}}\)를 통해 제한한다. 그러면 \(U = \Spec(\mathbf{Q}(x))\)이고 \[R = \Spec\left( \mathbf{Q}(x)[y]\left[ \frac{1}{P(xy)}, P \in \mathbf{Q}[T], P \not = 0 \right] \right)\] 인 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)를 얻는다. 이 경우 \(\dim(R) = 1\)이고 \(\dim(G) = 0\)이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)는 체이다.

2. \(s, t\)는 국소 유한형이다.

3. \(k\)의 표수는 영이다.

그러면 \(s, t : R \to U\)는 매끄럽다.

증명

Lemma 04R9에 의해 \(R \to U\)의 미분층은 자유이다. 따라서 Varieties, Lemma 04QN에서 매끄러움이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(U = \Spec(k)\)이고 \(k\)는 체이다.

2. \(s, t\)는 국소 유한형이다.

3. \(R\)은 축약이다.

4. \(k\)는 완전체이다.

그러면 \(s, t : R \to U\)는 매끄럽다.

증명

Lemma 04R9에 의해 미분층 \(\Omega_{R/U}\)는 자유이다. 따라서 Varieties, Lemma 04QP에서 결론이 따른다.

체 위 준군의 사상

이 절에서는 체 위 준군 사이의 사상을 연구한다. 이는 조금 더 일반적이지만, 체 위 군 스킴의 사상을 연구하는 것과 매우 유사하다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하자. \(k\)를 체라 하고 \(U = \Spec(k)\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. 첫 번째 성분이 같은 \(S\) 위의 준군 스킴 \((U, R_1, s_1, t_1, c_1)\), \((U, R_2, s_2, t_2, c_2)\)를 잡자. \((\text{id}_U, a)\)가 \(S\) 위 준군 스킴의 사상을 정의하도록 하는 사상 \(a : R_1 \to R_2\)를 잡자. Groupoids, Definition 0231를 참조하라. 특히 다음 도식들이 가환한다. \[\vcenter{ \xymatrix{ R_1 \ar[rrd]^{t_1} \ar[rdd]_{s_1} \ar[rd]_a \\ & R_2 \ar[d]^{t_2} \ar[r]_{s_2} & U \\ & U } } \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r]_-{c_1} \ar[d]_{a \times a} & R_1 \ar[d]^a \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r]^-{c_2} & R_2 } }\]

다음 보조정리는 Groupoids, Lemma 047S의 일반화이다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 04Q5와 같다. \(a(R_1)\)이 \(R_2\)에서 열린집합이면 \(a(R_1)\)은 \(R_2\)에서 닫힌집합이다.

증명

\(r_2 \in R_2\)를 \(a(R_1)\)의 폐포에 속하는 점이라 하자. \(r_2 \in a(R_1)\)임을 보이고자 한다. Lemma 04LR에서와 같이 \((U, R_2, s_2, t_2, c_2)\) 및 \(r_2\)에 맞춘 \(k \subset k'\)와 \(r_2' \in R'_2\)를 택하자. \(R_i'\)을 사상 \(U' = \Spec(k') \to U = \Spec(k)\)를 통한 \(R_i\)의 제한이라 하고, \(a' : R'_1 \to R_2'\)을 \(a\)의 밑변환이라 하자. 도식 \[\xymatrix{ R'_1 \ar[r]_{a'} \ar[d]_{p_1} & R'_2 \ar[d]^{p_2} \\ R_1 \ar[r]^a & R_2 }\] 은 올곱 정사각형이다. 따라서 \(a'\)의 상은 사상 \(p_2 : R'_2 \to R_2\) 아래에서 \(a\)의 상의 역상이다. Lemma 04LQ에 의해 \(p_2\)는 전사인 열린 사상이다. 그러므로 Topology, Lemma 02YB에 의해 \(r_2'\)은 \(a'(R'_1)\)의 폐포에 속한다. 즉 \(s_2\)와 \(t_2\)가 유도하는 사상 \(k \to \kappa(r_2)\)이 동형이라는 성질을 \(r_2 \in R_2\)가 가진다고 가정해도 된다.

이 경우 Lemma 04LS를 사용할 수 있다. 이 보조정리에 의해 \(c(r_2, a(R_1))\)은 \(r_2\)의 열린 근방이다. \(r_2\)가 \(a(R_1)\)의 폐포에 속한다고 가정했으므로 \(a(R_1) \cap c(r_2, a(R_1)) \not = \emptyset\)이다. \(R_2\)와 \(R_1\)의 역원을 사용하면 이는 \(c_2(a(R_1), a(R_1))\)이 \(r_2\)를 포함한다는 뜻이다. 또 \(c_2(a(R_1), a(R_1)) \subset a(c_1(R_1, R_1)) = a(R_1)\)이므로 원하는 대로 \(r_2 \in a(R_1)\)이다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 04Q5와 같다. \(Z \subset R_2\)를, 그 바탕 위상공간이 \(a : R_1 \to R_2\)의 상의 폐포인 축약 닫힌 부분스킴이라 하자(Schemes, Definition 01J4 참조). 그러면 집합론적으로 \(c_2(Z \times_{s_2, U, t_2} Z) \subset Z\)이다.

증명

다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r] \ar[d] & R_1 \ar[d] \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r] & R_2 }\] Varieties, Lemma 04Q0에 의해 왼쪽 세로화살표의 상의 폐포는 집합론적으로 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\)이다. 따라서 결론이 따른다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 04Q5와 같다. \(k\)가 완전체라고 가정하자. \(Z \subset R_2\)를, 그 바탕 위상공간이 \(a : R_1 \to R_2\)의 상의 폐포인 축약 닫힌 부분스킴이라 하자 (Schemes, Definition 01J4 참조). 그러면 \[(U, Z, s_2|_Z, t_2|_Z, c_2|_Z)\] 는 \(S\) 위의 준군 스킴이다.

증명

먼저 명제가 의미를 가짐을 설명하자. \(U\)는 완전체 \(k\)의 스펙트럼이므로 \(Z\)는 어느 사영을 통해서든 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다. Varieties, Lemma 020I를 참조하라. 따라서 스킴 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z \subset Z\)는 축약이다. Varieties, Lemma 035Z를 참조하라. 따라서 Lemma 04Q7에 의해 \(c\)는 사상 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z \to Z\)를 유도한다. 끝으로 \(e_2\)가 \(Z\)를 경유하고 사상 \(i_2 : R_2 \to R_2\)가 \(Z\)를 보존함은 명백하다. 칠중항 \((U, R_2, s_2, t_2, c_2, e_2, i_2)\)의 사상들이 준군 공리를 만족하므로, \(Z\)로 제한한 뒤에도 이 공리들을 만족한다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 04Q5와 같다. 상 \(a(R_1)\)이 \(R_2\)의 국소 닫힌 부분집합이면 닫힌 부분집합이다.

증명

\(k \subset k'\)를 체 \(k\)의 완전폐포라 하자. \(R_i'\)을 사상 \(U' = \Spec(k') \to \Spec(k)\)를 통한 \(R_i\)의 제한이라 하자. 사상 \(R_i' \to R_i\)은 보편 위상동형 \(U' \to U\)의 밑변환들의 합성이므로 보편 위상동형이다(Lemma 04LQ의 명제에 있는 도식 참조). 따라서 \(a'(R_1')\)이 \(R_2'\)에서 닫혔음을 보이면 충분하다. 즉 \(k\)가 완전체라고 가정해도 된다.

\(k\)가 완전체이면 Lemma 04Q8에 의해 상의 폐포는 준군 스킴 \(Z \subset R_2\)이다. 같은 보조정리를 \(\text{id}_{R_1} : R_1 \to R_1\)에 적용하면 \((R_2)_{red}\)가 준군 스킴임을 알 수 있다. 따라서 사상 \(a|_{(R_2)_{red}} : (R_2)_{red} \to Z\)에 Lemma 04Q6를 적용하면 \(Z\)가 \(a\)의 상과 같다는 결론을 얻는다.

보조정리

표기와 가정은 Situation 04Q5와 같다. \(a : R_1 \to R_2\)가 준콤팩트 사상이라고 가정하자. \(Z \subset R_2\)를 \(a : R_1 \to R_2\)의 스킴론적 상이라 하자(Morphisms, Definition 01R7 참조). 그러면 \[(U, Z, s_2|_Z, t_2|_Z, c_2|_Z)\] 는 \(S\) 위의 준군 스킴이다.

증명

주된 어려움은 \(c_2|_{Z \times_{s_2, U, t_2} Z}\)가 \(Z\) 안으로 감을 보이는 것이다. 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R_1 \times_{s_1, U, t_1} R_1 \ar[r] \ar[d]^{a \times a} & R_1 \ar[d] \\ R_2 \times_{s_2, U, t_2} R_2 \ar[r] & R_2 }\] Varieties, Lemma 04Q1에 의해 \(a \times a\)의 스킴론적 상은 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\)이다. 도식의 가환성에 의해 \(Z \times_{s_2, U, t_2} Z\)는 아래 가로화살표 아래에서 \(Z\) 안으로 간다. Lemma 04Q8의 증명에서와 같이 \(i_2(Z) \subset Z\)이고 \(e_2\)는 \(Z\)를 경유한다. 따라서 그 보조정리의 증명에서와 같이 결론을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U\)가 체의 스펙트럼이라고 가정하자. \(Z \subset U \times_S U\)를, 그 바탕 위상공간이 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\)의 상의 폐포인 축약 닫힌 부분스킴이라 하자(Schemes, Definition 01J4 참조). 그러면 집합론적으로 \(\text{pr}_{02}(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z) \subset Z\)이다.

증명

\((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\)가 \(S\) 위의 준군 스킴이므로 이는 Lemma 04Q7의 특수한 경우이다. 다음과 같이 직접 증명할 수도 있다.

\(U = \Spec(k)\)로 쓰자. \(R\), resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)를 각각 \(s\), resp. \(\text{pr}_1|_Z\), resp. \(\text{pr}_1\)을 통해 \(k\) 위의 스킴으로 본 것을 \(R_s\), resp. \(Z_s\), resp. \(U^2_s\)라 하자. 마찬가지로 \(R\), resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)를 각각 \(t\), resp. \(\text{pr}_0|_Z\), resp. \(\text{pr}_0\)을 통해 \(k\) 위의 스킴으로 본 것을 \({}_tR\), resp. \({}_tZ\), resp. \({}_tU^2\)라 하자. 사상 \(j\)는 \(k\) 위 스킴의 사상 \(j_s : R_s \to U^2_s\)와 \({}_tj : {}_tR \to {}_tU^2\)를 유도한다. 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R_s \times_k {}_tR \ar[r]^c \ar[d]_{j_s \times {}_tj} & R \ar[d]^j \\ U^2_s \times_k {}_tU^2 \ar[r] & U \times_S U }\] Varieties, Lemma 04Q0에 의해 \(j_s \times {}_tj\)의 상의 폐포는 \(Z_s \times_k {}_tZ\)이다. 도식의 가환성에 의해 \(Z_s \times_k {}_tZ\)는 아래 가로화살표 아래에서 \(Z\) 안으로 간다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U\)가 완전체의 스펙트럼이라고 가정하자. \(Z \subset U \times_S U\)를, 그 바탕 위상공간이 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\)의 상의 폐포인 축약 닫힌 부분스킴이라 하자(Schemes, Definition 01J4 참조). 그러면 \[(U, Z, \text{pr}_0|_Z, \text{pr}_1|_Z, \text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z})\] 는 \(S\) 위의 준군 스킴이다.

증명

\((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\)가 \(S\) 위의 준군 스킴이므로 이는 Lemma 04Q8의 특수한 경우이다. 다음과 같이 직접 증명할 수도 있다.

먼저 명제가 의미를 가짐을 설명하자. \(U\)가 완전체 \(k\)의 스펙트럼이므로 \(Z\)는 어느 사영을 통해서든 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다. Varieties, Lemma 020I를 참조하라. 따라서 스킴 \(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z \subset Z\)는 축약이다. Varieties, Lemma 035Z를 참조하라. 따라서 Lemma 04QB에 의해 \(\text{pr}_{02}\)는 사상 \(Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z \to Z\)를 유도한다. 끝으로 \(\Delta_{U/S}\)가 \(Z\)를 경유하고 사상 \(\sigma : U \times_S U \to U \times_S U\), \((x, y) \mapsto (y, x)\)가 \(Z\)를 보존함은 명백하다. \((U, U \times_S U, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02}, \Delta_{U/S}, \sigma)\)가 준군 공리를 만족하므로 \(Z\)로 제한한 뒤에도 이 공리들을 만족한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(U\)가 체의 스펙트럼이고 \(R\)이 준콤팩트라고 가정하자(동치로 \(s, t\)가 준콤팩트이다). \(Z \subset U \times_S U\)를 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\)의 스킴론적 상이라 하자 (Morphisms, Definition 01R7 참조). 그러면 \[(U, Z, \text{pr}_0|_Z, \text{pr}_1|_Z, \text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z})\] 는 \(S\) 위의 준군 스킴이다.

증명

\((U, U \times_S U, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\)가 \(S\) 위의 준군 스킴이므로 이는 Lemma 04QA의 특수한 경우이다. 다음과 같이 직접 증명할 수도 있다.

주된 어려움은 \(\text{pr}_{02}|_{Z \times_{\text{pr}_1, U, \text{pr}_0} Z}\)가 \(Z\) 안으로 감을 보이는 것이다. \(U = \Spec(k)\)로 쓰자. \(R\), resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)를 각각 \(s\), resp. \(\text{pr}_1|_Z\), resp. \(\text{pr}_1\)을 통해 \(k\) 위의 스킴으로 본 것을 \(R_s\), resp. \(Z_s\), resp. \(U^2_s\)라 하자. 마찬가지로 \(R\), resp. \(Z\), resp. \(U \times_S U\)를 각각 \(t\), resp. \(\text{pr}_0|_Z\), resp. \(\text{pr}_0\)을 통해 \(k\) 위의 스킴으로 본 것을 \({}_tR\), resp. \({}_tZ\), resp. \({}_tU^2\)라 하자. 사상 \(j\)는 \(k\) 위 스킴의 사상 \(j_s : R_s \to U^2_s\)와 \({}_tj : {}_tR \to {}_tU^2\)를 유도한다. 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R_s \times_k {}_tR \ar[r]^c \ar[d]_{j_s \times {}_tj} & R \ar[d]^j \\ U^2_s \times_k {}_tU^2 \ar[r] & U \times_S U }\] Varieties, Lemma 04Q1에 의해 \(j_s \times {}_tj\)의 스킴론적 상은 \(Z_s \times_k {}_tZ\)이다. 도식의 가환성에 의해 \(Z_s \times_k {}_tZ\)는 아래 가로화살표 아래에서 \(Z\) 안으로 간다. Lemma 04QC의 증명에서와 같이 \(\sigma(Z) \subset Z\)이고 \(\Delta_{U/S}\)는 \(Z\)를 경유한다. 따라서 그 보조정리의 증명에서와 같이 결론을 얻는다.

준군의 절단

다음 보조정리는 안정자의 차원이 작을 때 Cohen–Macaulay 준군 스킴을 절단하여 올의 차원을 낮출 수 있음을 보인다. 이는 몫 스택의 주어진 표현을 개선하는 과정에서 핵심 단계이다.

설정

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(g : U' \to U\)를 스킴의 사상이라 하자. \(u \in U\)를 점이라 하고, \(g(u') = u\)를 만족하는 \(u' \in U'\)를 점이라 하자. 이 데이터가 주어졌을 때 \((U', R', s', t', c')\)를 사상 \(g\)를 통한 \((U, R, s, t, c)\)의 제한이라 하자. \(G \to U\)를 \(R\)의 안정자 군 스킴이라 하자. 이는 \(R\)의 국소 닫힌 부분스킴이다. 합성을 \(h\)라 하자. \[h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U.\] \(F_u = s^{-1}(u)\)를 스킴론적 올이라 하고, \(G_u\)를 \(u\) 위에서의 \(G\)의 스킴론적 올이라 하자. 마찬가지로 \(R'\)에 대해서는 \(F'_{u'} = (s')^{-1}(u')\)라 하자. \(g(u') = u\)이므로 \[F'_{u'} = h^{-1}(u) \times_{\Spec(\kappa(u))} \Spec(\kappa(u')).\] 점 \(e(u) \in R\)은 \(G_u\)와 \(F_u\)의 점으로도 볼 수 있다. 또한 \(e'(u')\)은 \(R'\) (resp. \(G'_{u'}\), resp. \(F'_{u'}\))의 점으로서 \(R\) (resp. \(G_u\), resp. \(F_u\)) 안의 \(e(u)\)로 간다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(G \to U\)를 안정자 군 스킴이라 하자. \(s\)와 \(t\)가 Cohen–Macaulay이고 국소 유한 표시라고 가정하자. \(u \in U\)를 스킴 \(U\)의 유한형 점이라 하자. Morphisms, Definition 02J1를 참조하라. Situation 04MY의 표기로 \[d_1 = \dim(G_u), \quad d_2 = \dim_{e(u)}(F_u).\] 라 두자. \(d_2 > d_1\)이면 다음을 만족하는 아핀 스킴 \(U'\)과 사상 \(g : U' \to U\)가 존재한다(Situation 04MY의 표기 사용).

1. \(g\)는 몰입이다.

2. \(u \in U'\)이다.

3. \(g\)는 국소 유한 표시이다.

4. 사상 \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\)는 \((u, e(u))\)에서 Cohen–Macaulay이다.

5. \(\dim_{e'(u)}(F'_u) = d_2 - 1\)이다.

증명

\(\Spec(A) \subset U\)를 \(u\)의 아핀 근방으로 택하되 \(u\)가 \(U\)의 닫힌점에 대응하도록 하자. Morphisms, Lemma 02J2를 참조하라. \(\Spec(B) \subset R\)을 \(e(u)\)의 아핀 근방으로 택하되, \(j\) 아래에서 열린집합 \(\Spec(A) \times_S \Spec(A) \subset U \times_S U\) 안으로 가도록 하자. \(\mathfrak m \subset A\)를 \(u\)에 대응하는 극대 아이디얼, \(\mathfrak q \subset B\)를 \(e(u)\)에 대응하는 소아이디얼이라 하자. 그림으로는 \[\vcenter{ \xymatrix{ B & A \ar[l]^s \\ A \ar[u]^t } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ B_{\mathfrak q} & A_{\mathfrak m} \ar[l]^s \\ A_{\mathfrak m} \ar[u]^t } }\] 이다. \(s \circ e = t \circ e = \text{id}_U\)이므로 유도된 두 사상 \(s, t : \kappa(\mathfrak m) \to \kappa(\mathfrak q)\)는 같고 동형이다. 특히 \(\mathfrak q\)도 극대 아이디얼이다. 환 사상 \(s, t : A \to B\)는 유한 표시이고 평탄하다. 가정에 의해 환 \[\mathcal{O}_{F_u, e(u)} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\] 은 차원이 \(d_2\)인 Cohen–Macaulay 환이다. 차원의 등식은 Morphisms, Lemma 02FX에 의해 성립한다.

\(R''\)을 사상 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)를 통한 \(u = \Spec(\kappa(u))\)로의 \(R\)의 제한이라 하자. \(u \to U\)가 국소 유한형이므로 \((\Spec(\kappa(u)), R'', s'', t'', c'')\)는 \(s'', t''\)가 국소 유한형인 준군 스킴이다. Lemma 04MP를 참조하라. Lemma 04MQ에 의해 \(\dim(G'') = \dim(R'')\)이다. 또한 Lemma 04LU에 의해 \(\dim(R'') = \dim_{e''}(R'') = \dim(\mathcal{O}_{R'', e''})\)이다. Groupoids, Lemma 04ML에 의해 \(G'' = G_u\)이다. 따라서 \(\dim(\mathcal{O}_{R'', e''}) = d_1\)이다.

스킴으로서 \(R''\)은 \[R'' = R \times_{(U \times_S U)} \Big( \Spec(\kappa(\mathfrak m)) \times_S \Spec(\kappa(\mathfrak m)) \Big)\] 이다. 따라서 \(e''\)의 한 아핀 열린 근방은 환 \[B \otimes_{(A \otimes A)} (\kappa(\mathfrak m) \otimes \kappa(\mathfrak m)) = B/s(\mathfrak m)B + t(\mathfrak m)B\] 의 스펙트럼이다. 그러므로 \[\mathcal{O}_{R'', e''} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\] 이고, 이제 이 환의 차원이 \(d_1\)임을 안다.

이로부터 다음을 만족하는 원소 \(f \in \mathfrak m\)을 찾을 수 있다고 주장한다. \[\dim(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + fB_{\mathfrak q}) < d_2\] 실제로 \(\mathfrak n_j \supset s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\), \(j = 1, \ldots, m\)이 국소환 \(B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\)의 극소 소아이디얼에 대응한다고 하자. 이 환은 체 위에서 본질적으로 유한형이므로 뇌터 환이고, 따라서 이러한 소아이디얼은 유한 개이다. Cohen–Macaulay 환이 뇌터 환이기 때문이라고 해도 된다. Cohen–Macaulay 조건과 예컨대 Algebra, Lemma 00NA에 의해 \(\dim(B_{\mathfrak q}/\mathfrak n_j) = d_2\)이다. 한편 \(\dim(B_{\mathfrak q}/(\mathfrak n_j + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q})) \leq d_1\)임에 유의하자. 이는 차원이 \(d_1\)인 환 \(\mathcal{O}_{R'', e''} = B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\)의 몫이기 때문이다. \(d_1 < d_2\)이므로 \(\mathfrak m \not \subset t^{-1}(\mathfrak n_i)\)이다. 소아이디얼 회피와 Algebra, Lemma 00DS에 의해, 모든 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 \(t(f) \not \in \mathfrak n_j\)인 \(f \in \mathfrak m\)을 찾을 수 있다. 이 \(f\)에 대해 위의 표시된 부등식이 성립한다. Algebra, Lemma 00KW을 참조하라.

\(A' = A/fA\) 및 \(U' = \Spec(A')\)로 두자. 그러면 \(U' \to U\)가 국소 유한 표시인 몰입이고 \(u \in U'\)임은 명백하다. 따라서 보조정리의 (1), (2), (3)이 성립한다. 사상 \[U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\] 은 \(\Spec(A)\)를 경유하고 다음 환 사상에 대응한다. \[\xymatrix{ B/t(f)B \ar@{=}[r] & A/(f) \otimes_{A, t} B & A \ar[l]_-s }\] 이제 \(B_{\mathfrak q}/s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q}\)는 양의 차원을 가진 Cohen–Macaulay 환이고 \(f\)는 어느 극소 소아이디얼에도 속하지 않으므로, \(t(f)\)는 이 환의 영인자가 아니다. 예컨대 Algebra, Lemma 02JN를 참조하라. 따라서 Algebra, Lemma 046Z에 의해 \(s : A_{\mathfrak m} \to B_{\mathfrak q}/t(f)B_{\mathfrak q}\)는 평탄하고, 그 올환 \(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(f)B_{\mathfrak q})\)은 다시 Algebra, Lemma 02JN에 의해 Cohen–Macaulay이다. 이는 보조정리의 (4)를 함의한다. (5)를 보려면 Diagram (04MN)에 의해 올 \(F'_u\)가 \(u\) 위에서의 \(h\)의 올과 같음에 유의하자. 따라서 Morphisms, Lemma 02FX에 의해 \(\dim_{e'(u)}(F'_u) = \dim(B_{\mathfrak q}/(s(\mathfrak m)B_{\mathfrak q} + t(f)B_{\mathfrak q}))\)이다. 이 환의 차원은 다시 Algebra, Lemma 02JN에 의해 \(d_2 - 1\)이다. 이로써 마지막 주장까지 증명되었다.

이제 절단 방법을 알았으므로 앞의 결과들과 결합하여 다음의 “최적” 결과를 얻을 수 있다. \(G_u\)가 \(F_u\)의 국소 닫힌 부분스킴이므로 항상 부등식 \(\dim(G_u) = \dim_{e(u)}(G_u) \leq \dim_{e(u)}(F_u)\)가 성립한다는 의미에서 최적이다. 따라서 다음 보조정리보다 더 절단할 수는 없다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(G \to U\)를 안정자 군 스킴이라 하자. \(s\)와 \(t\)가 Cohen–Macaulay이고 국소 유한 표시라고 가정하자. \(u \in U\)를 스킴 \(U\)의 유한형 점이라 하자. Morphisms, Definition 02J1를 참조하라. Situation 04MY의 표기로, 다음을 만족하는 아핀 스킴 \(U'\)과 사상 \(g : U' \to U\)가 존재한다.

1. \(g\)는 몰입이다.

2. \(u \in U'\)이다.

3. \(g\)는 국소 유한 표시이다.

4. 사상 \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\)는 Cohen–Macaulay이고 국소 유한 표시이다.

5. 사상 \(s', t' : R' \to U'\)는 Cohen–Macaulay이고 국소 유한 표시이다.

6. \(\dim_{e(u)}(F'_u) = \dim(G'_u)\)이다.

증명

\(s\)가 국소 유한 표시이므로 스킴 \(F_u\)는 \(\kappa(u)\) 위에서 국소 유한형이다. 따라서 \(\dim_{e(u)}(F_u) < \infty\)이고 \(\dim_{e(u)}(F_u)\)에 관해 귀납할 수 있다.

\(\dim_{e(u)}(F_u) = \dim(G_u)\)이면 증명할 것이 없다. \(\dim_{e(u)}(F_u) > \dim(G_u)\)라고 가정하자. 그러면 Lemma 0461를 적용하여 성질 (1), (2), (3)을 만족하는 사상 \(g : U' \to U\)를 얻는다. (6) 대신 \(\dim_{e(u)}(F'_u) < \dim_{e(u)}(F_u)\)가 성립하고, (4), (5) 대신 합성 \[h = s \circ \text{pr}_1 : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\] 이 점 \((u, e(u))\)에서 Cohen–Macaulay이다. Remark 047W를 적용하면 \(U'' \times_{g, U, t} R \subset U' \times_{g, U, t} R\)이 \(h\)가 Cohen–Macaulay인 가장 큰 열린 부분스킴이 되도록 하는 열린 부분스킴 \(U'' \subset U'\)를 얻는다. \((u, e(u)) \in U'' \times_{g, U, t} R\)이므로 \(u \in U''\)이다. 따라서 \(U'\)을 \(U''\)로 바꾸어 \(h\)가 모든 곳에서 Cohen–Macaulay라고 가정할 수 있다. Lemma 04MV에 의해 \(s', t'\)는 국소 유한 표시이고 Cohen–Macaulay이다(Morphisms, Lemma 01TS과 More on Morphisms, Lemma 045T 사용).

구성에 의해 \(\dim_{e'(u)}(F'_u) < \dim_{e(u)}(F_u)\)이므로 \((U', R', s', t', c')\) 및 점 \(u \in U'\)에 귀납 가정을 적용할 수 있다. \(u\)는 \(U'\)의 유한형 점이기도 하다. 예컨대 Morphisms, Lemma 02J2의 유한형 점의 특성화를 사용하면 이를 알 수 있다. \(g' : U'' \to U'\)와 \((U'', R'', s'', t'', c'')\)를 \((U', R', s', t', c')\) 및 점 \(u \in U'\)에서 시작한 대응 문제의 해라 하자. 합성 \[g'' = g \circ g' : U'' \longrightarrow U\] 이 원래 문제의 해임을 주장한다. 성질 (1), (2), (3), (5), (6)은 즉시 따른다. (4)를 보려면 Lemma 04MX를 적용하여 사상 \[h'' = s \circ \text{pr}_1 : U'' \times_{g'', U, t} R \longrightarrow U\] 이 국소 유한 표시이고 Cohen–Macaulay임에 유의하자. Cohen–Macaulay 사상이 목표에서 fppf 국소적임을 보려면 More on Morphisms, Lemma 045V를 사용한다.

안정자 군 스킴의 올들이 차원 영인 경우에는 다음 절단 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(G \to U\)를 안정자 군 스킴이라 하자. \(s\)와 \(t\)가 Cohen–Macaulay이고 국소 유한 표시라고 가정하자. \(u \in U\)를 스킴 \(U\)의 유한형 점이라 하자. Morphisms, Definition 02J1를 참조하라. \(G \to U\)가 국소 준유한이라고 가정하자. Situation 04MY의 표기로, 다음을 만족하는 아핀 스킴 \(U'\)과 사상 \(g : U' \to U\)가 존재한다.

1. \(g\)는 몰입이다.

2. \(u \in U'\)이다.

3. \(g\)는 국소 유한 표시이다.

4. 사상 \(h : U' \times_{g, U, t} R \longrightarrow U\)는 평탄하고, 국소 유한 표시이며, 국소 준유한이다.

5. 사상 \(s', t' : R' \to U'\)는 평탄하고, 국소 유한 표시이며, 국소 준유한이다.

증명

Lemma 04MZ에서와 같은 \(g : U' \to U\)를 택하자. \(h^{-1}(u) = F'_u\)이므로 \(h\)는 \((u, e(u))\)에서 상대차원 \(\leq 0\)이다. 따라서 Remark 047W에 의해 \(u \in U''\)이고 \(U'' \times_{g, U, t} R\)이 \(h\)의 상대차원이 \(\leq 0\)인 \(U' \times_{g, U, t} R\)의 극대 열린 부분스킴이 되도록 하는 열린 부분스킴 \(U'' \subset U'\)를 얻는다. \(U'\)을 \(U''\)로 바꾸면 \(h\)의 상대차원은 \(\leq 0\)이다. 따라서 Morphisms, Lemma 0397에 의해 \(h\)는 국소 준유한이다. 여전히 국소 유한 표시이고 Cohen–Macaulay이므로 평탄하고, 국소 유한 표시이며, 국소 준유한이다. 즉 (4)가 성립한다. 사상 \(s'\)은 \(h\)의 밑변환이므로 평탄하고, 국소 유한 표시이며, 국소 준유한이다. Lemma 04MV를 참조하라.

준군의 Étale 국소화

이 절에서는 More on Morphisms, Section 04HF의 étale 국소화 기법을 준군 스킴에 적용하기 시작한다. 이 종류의 더 고급 내용은 More on Groupoids in Spaces, Section 04RJ에서 찾을 수 있다. Lemma 03X5는 스킴 위에서 분리이고 준유한인 대수적 공간에 관한 결과, 즉 Morphisms of Spaces, Proposition 03XX과 그 따름정리인 Morphisms of Spaces, Lemma 0418를 증명하는 데 사용된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(p \in S\)를 점이라 하고 \(u \in U\)를 \(p\) 위에 놓인 점이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(U \to S\)는 국소 유한형이다.

2. \(U \to S\)는 \(u\)에서 준유한이다.

3. \(U \to S\)는 분리이다.

4. \(R \to S\)는 분리이다.

5. \(s\), \(t\)는 평탄하고 국소 유한 표시이다.

6. \(s^{-1}(\{u\})\)는 유한하다.

그러면 \(\kappa(p) = \kappa(p')\)인 étale 근방 \((S', p') \to (S, p)\)와 다음 밑변환 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ R' \amalg W' \ar@{=}[r] & S' \times_S R \ar[r] \ar@<2ex>[d]^{s'} \ar@<-2ex>[d]_{t'} & R \ar@<1ex>[d]^s \ar@<-1ex>[d]_t \\ U' \amalg W \ar@{=}[r] & S' \times_S U \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ & S' \ar[r] & S }\] 여기서 등호들은 다음을 만족하는 열린 닫힌 부분스킴으로의 분해이다.

1. \(U\) 안의 \(u\)로 가는 \(U'\)의 점 \(u'\)이 존재한다.

2. 집합론적으로 올 \((U')_{p'}\)는 \(t'\big((s')^{-1}(\{u'\})\big)\)와 같다.

3. 집합론적으로 올 \((R')_{p'}\)는 \((s')^{-1}\big((U')_{p'}\big)\)와 같다.

4. 스킴 \(U'\)과 \(R'\)은 \(S'\) 위에서 유한이다.

5. \(s'(R') \subset U'\) 및 \(t'(R') \subset U'\)이다.

6. \(c'\)가 \(c\)의 밑변환일 때 \(c'(R' \times_{s', U', t'} R') \subset R'\)이다.

7. 사상 \(s', t', c'\)는 계 \((U', R', s'|_{R'}, t'|_{R'}, c'|_{R' \times_{s', U', t'} R'})\)를 취함으로써 준군 구조를 정한다.

증명

\(f : U \to S\)를 \(U\)의 구조 사상이라 하자. 가정 (6)에 의해 \(s^{-1}(\{u\}) = \{r_1, \ldots, r_n\}\)로 쓸 수 있다. 이 집합이 유한하므로 \(s\)는 이 유한 개의 역상 각각에서 준유한이다. Morphisms, Lemma 02NG를 참조하라. 따라서 \(f \circ s : R \to S\)는 각 \(r_i\)에서 준유한이다(Morphisms, Lemma 01TL). 그러므로 \(r_i\)는 올 \(R_p\)에서 고립되어 있다. Morphisms, Lemma 01TH를 참조하라. \(t(\{r_1, \ldots, r_n\}) = \{u_1, \ldots, u_m\}\)로 쓰자. \(m < n\)일 수도 있고 \(u \in \{u_1, \ldots, u_m\}\)임에 유의하자. \(t\)가 평탄하고 국소 유한 표시이므로 올의 사상 \(t_p : R_p \to U_p\)는 평탄하고 국소 유한 표시이다(Morphisms, Lemmas 01U9 및 01TS). 따라서 열린 사상이다 (Morphisms, Lemma 01UA). 각 \(r_i\)가 \(R_p\)에서 고립되어 있다는 사실로부터 각 \(u_j = t(r_i)\)가 \(U_p\)에서 고립되어 있음이 따른다. Morphisms, Lemma 01TH를 다시 사용하면 \(f\)는 \(u_1, \ldots, u_m\)에서 준유한이다.

스킴론적 올을 \(F_u = s^{-1}(u)\) 및 \(F_{u_j} = s^{-1}(u_j)\)라 하자. \(F_u\)는 \(\kappa(u)\) 위에서 국소 유한형이고 점이 유한 개이므로 \(\kappa(u)\) 위에서 유한이다. 예컨대 훨씬 일반적인 Morphisms, Lemma 03JA에서 따른다. Lemma 02YF에 의해 \(F_u\)와 \(F_{u_j}\)는 \(\kappa(u)\)와 \(\kappa(u_j)\)의 공통 체 확대 위에서 동형이 된다. 따라서 \(F_{u_j}\)는 \(\kappa(u_j)\) 위에서 유한이다. 특히 각 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 \(s^{-1}(\{u_j\})\)는 유한집합이다. 따라서 각 \(u_j\)에 대해서도 가정 (2), (6)이 성립한다. 위에서 \(U \to S\)가 \(u_j\)에서 준유한임을 보았다. 그러므로 첫 문단의 논법을 각 \(u_j\)에 적용하면 \(R \to U\)는 다음 집합의 각 점에서 준유한이다. \[\{r_1, \ldots, r_N\} = s^{-1}(\{u_1, \ldots, u_m\})\] \(R\)이 준군이므로² \(t(\{r_1, \ldots, r_N\}) = \{u_1, \ldots, u_m\}\) 및 \(t^{-1}(\{u_1, \ldots, u_m\}) = \{r_1, \ldots, r_N\}\)이다. 또한 \(\text{pr}_0(c^{-1}(\{r_1, \ldots, r_N\})) = \{r_1, \ldots, r_N\}\) 및 \(\text{pr}_1(c^{-1}(\{r_1, \ldots, r_N\})) = \{r_1, \ldots, r_N\}\)이다. 마찬가지로 \(e(\{u_1, \ldots, u_m\}) \subset \{r_1, \ldots, r_N\}\) 및 \(i(\{r_1, \ldots, r_N\}) = \{r_1, \ldots, r_N\}\)이다.

More on Morphisms, Lemma 02LN를 쌍 \((U \to S, \{u_1, \ldots, u_m\})\)과 \((R \to S, \{r_1, \ldots, r_N\})\)에 적용한다. 그러면 \(\kappa(p) = \kappa(p')\)라는 식별을 유도하고 \(S' \times_S U\)와 \(S' \times_S R\)에 다음 분해들을 주는 étale 근방 \((S', p') \to (S, p)\)를 얻는다. \[S' \times_S U = U' \amalg W, \quad S' \times_S R = R' \amalg W'\] 여기서 \(U' \to S'\)은 유한이고 \((U')_{p'}\)는 \(\{u_1, \ldots, u_m\}\)에 전단사로 가며, \(R' \to S'\)은 유한이고 \((R')_{p'}\)는 \(\{r_1, \ldots, r_N\}\)에 전단사로 간다. 또한 \(W_{p'}\) (resp. \((W')_{p'}\))의 어느 점도 점 \(u_j\) (resp. \(r_i\))로 가지 않는다. 이 시점에서 보조정리의 (a), (b), (c), (d)가 성립한다. 또 (e), (f)의 포함관계는 \(p'\) 위의 올에서 성립한다. 즉 \(s'((R')_{p'}) \subset (U')_{p'}\), \(t'((R')_{p'}) \subset (U')_{p'}\), 그리고 \(c'((R' \times_{s', U', t'} R')_{p'}) \subset (R')_{p'}\)이다.

\(S'\)을 \(p'\)의 자리스키 열린 근방으로 바꾸어 (e), (f)의 포함관계가 성립하도록 할 수 있다고 주장한다. 예를 들어 집합 \(E = (s'|_{R'})^{-1}(W)\)를 생각하자. 이는 \(R'\)에서 열린 닫힌 집합이고, \(p'\) 위에 놓인 \(R'\)의 어느 점도 포함하지 않는다. \(R' \to S'\)가 닫힌 사상이므로 \(S'\)을 \(S' \setminus (R' \to S')(E)\)로 바꾸면 \(E\)가 공집합인 상황에 이른다. 다시 말해 \(s'\)은 \(R'\)을 \(U'\) 안으로 보낸다. 이 성질은 \(S'\)을 더 축소해도 보존된다. 마찬가지로 \(t'\)가 \(R'\)을 \(U'\) 안으로 보내도록 할 수 있다. 이제 (e)가 성립한다. 같은 방식으로 집합 \(E = (c'|_{R' \times_{s', U', t'} R'})^{-1}(W')\)를 생각하자. 이는 \(S'\) 위에서 유한인 스킴 \(R' \times_{s', U', t'} R'\)에서 열린 닫힌 집합이고 \(p'\) 위에 놓인 어느 점도 포함하지 않는다. 따라서 \(S'\)을 \(S' \setminus (R' \times_{s', U', t'} R' \to S')(E)\)로 바꾸면 \(E\)가 공집합인 상황에 이른다. 다시 말해 (f)의 포함관계를 얻는다. 항등 사상 \(e' : S' \times_S U \to S' \times_S R\)과 역원 사상 \(i' : S' \times_S R \to S' \times_S R\)에도 논법을 반복하면, \(S'\)을 조금 더 축소한 뒤 \((e'|_{U'})^{-1}(W') = \emptyset\) 및 \((i'|_{R'})^{-1}(W') = \emptyset\)이라고 가정할 수 있다.

이제 다음 구조를 생각할 수 있다. \[(U', R', s'|_{R'}, t'|_{R'}, c'|_{R' \times_{t', U', s'} R'}, e'|_{U'}, i'|_{R'}).\] 준군 스킴 \((S' \times_S U, S' \times_S R, s', t', c', e', i')\)에 대해 공리들이 성립하므로 \(S'\) 위 준군 스킴의 공리들이 위 구조에 대해서도 성립한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(p \in S\)를 점이라 하고 \(u \in U\)를 \(p\) 위에 놓인 점이라 하자. Lemma 03FL의 가정 (1)–(6)과 함께 다음을 가정하자.

1. \(j : R \to U \times_S U\)는 보편 닫힌 사상이다.³

그러면 Lemma 03FL의 (a)–(g)와 함께 다음이 성립하도록 \((S', p') \to (S, p)\), 분해 \(S' \times_S U = U' \amalg W\) 및 \(S' \times_S R = R' \amalg W'\), 그리고 \(u' \in U'\)을 택할 수 있다.

1. \(R'\)은 \(S' \times_S R\)의 \(U'\)로의 제한이다.

증명

스킴 \(S\) 위의 준군 \((U, R, s, t, c)\)와 점 \(p\), \(u\)에 Lemma 03FL를 적용한다. 그러면 étale 근방 \((S', p') \to (S, p)\), 서로소 합 분해 \[S' \times_S U = U' \amalg W, \quad S' \times_S R = R' \amalg W'\] 및 결론 (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g)를 만족하는 \(u' \in U'\)을 얻는다. 결론 (a)–(g)에 영향을 주지 않고 \(S'\)을 \(p'\)의 더 작은 근방으로 축소할 수 있다. 적절히 축소하면 (h)도 성립함을 보이겠다. \(j'\)을 \(S'\)로의 \(j\)의 밑변환이라 하자. 결론 (e)에 의해 어떤 열린 닫힌 조각 \(Rest\)에 대해 \[j'^{-1}(U' \times_{S'} U') = R' \amalg Rest\] 임은 명백하다. 결론 (d)에 의해 \(U' \to S'\)가 유한이므로 \(U' \times_{S'} U'\)는 \(S'\) 위에서 유한이다. \(j\)가 보편 닫힌 사상이므로 \(j'\)도 보편 닫힌 사상이고, 따라서 \(j'|_{Rest}\)도 보편 닫힌 사상이다. 결론 (b), (c)에 의해 \[(U' \times_{S'} U' \to S') \circ j'|_{Rest} : Rest \longrightarrow S'\] 의 \(p'\) 위의 올은 공집합이다. \(Rest \to S'\)는 닫힌 사상들의 합성이므로 닫힌 사상이다. 따라서 \(S'\)을 \(S' \setminus \Im(Rest \to S')\)로 바꾸어 \(Rest = \emptyset\)이라고 가정할 수 있다. 이는 정확히 \(R'\)이 열린 부분스킴 \(U' \subset S' \times_S U\)로의 \(S' \times_S R\)의 제한이라는 조건이다. Groupoids, Lemma 02VD과 그 증명을 참조하라.

유한 준군

준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)에서 사상 \(s\)와 \(t\)가 유한이면 이를 때때로 유한이라고 한다. 그러나 이것은 \(U\), \(R\), 또는 몫 층 \(U/R\)이 무언가 위에서 유한임을 함의하지 않으므로 혼동의 여지가 있다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 스킴 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(s, t\)가 유한이라고 가정하자. 다음을 만족하는 \(R\)-불변 닫힌 부분스킴의 열 \[U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\] 이 존재한다. 즉 \(\bigcap Z_r = \emptyset\)이고, \(s^{-1}(Z_{r - 1}) \setminus s^{-1}(Z_r) \to Z_{r - 1} \setminus Z_r\)은 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이다.

증명

\(\{Z_r\}\)을 유한형 준연접 가군 \(s_*\mathcal{O}_R\)의 피팅 아이디얼들이 주는 \(U\)의 층화라 하자. Divisors, Lemma 05P8를 참조하라. 항등 사상 \(e : U \to R\)이 \(s\)의 단면이므로 \(s_*\mathcal{O}_R\)은 \(\mathcal{O}_S\)를 직합인자로 포함한다. 따라서 \(U = Z_{-1} = Z_0\)이다 (세부사항 생략). 피팅 아이디얼의 형성은 밑변환과 가환하므로(More on Algebra, Lemma 07ZA), 도식 (04LF)의 오른쪽 아래 정사각형이 카르테시안이라는 사실에서 \(s^{-1}(Z_r)\)이 \(\text{pr}_{1, *}\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\)의 \(r\)번째 피팅 아이디얼에 대응함을 얻는다. 왼쪽 아래 정사각형도 카르테시안이라는 사실을 사용하면 \(s^{-1}(Z_r) = t^{-1}(Z_r)\)이고, 다시 말해 \(Z_r\)은 \(R\)-불변이다. Divisors, Lemma 05P8에 의해 가군 \(s_*\mathcal{O}_R\)을 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\)로 당기면 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 가군이 된다. 따라서 사상 \(s^{-1}(Z_{r - 1}) \setminus s^{-1}(Z_r) \to Z_{r - 1} \setminus Z_r\)은 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 스킴 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하고 \(s, t\)가 유한이라고 가정하자. 다음을 만족하는 열린 부분스킴 \(W \subset U\)와 닫힌 부분스킴 \(W' \subset W\)가 존재한다.

1. \(W\)와 \(W'\)은 \(R\)-불변이다.

2. 집합론적으로 \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\)이다.

3. \(W\)는 \(W'\)의 두꺼워짐이다.

4. 제한 \((W', R', s', t', c')\)의 사상 \(s'\), \(t'\)는 유한 국소 자유이다.

증명

Lemma 0AB9의 층화 \(U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\)를 생각하자.

\(U\)의 \(R\)-불변 부분스킴들로 이루어진 서로소 합 \(W = \coprod_{r \geq 1} W_r\) 및 \(W' = \coprod_{r \geq 1} W'_r\)를 구성하되, 각 \(W'_r \to W_r\)은 두꺼워짐이고 제한 \((W_r', R_r', s_r', t_r', c_r')\)의 사상 \(s_r', t_r'\)는 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유가 되게 하겠다. 먼저 \(W_1 = W'_1 = U \setminus Z_1\)로 둔다. 이는 \(U\)의 \(R\)-불변 열린 부분스킴이고, \(W_0\)은 \(W'_0\)의 두꺼워짐이며, 제한 \((W_1', R_1', s_1', t_1', c_1')\)의 사상 \(s_1'\), \(t_1'\)는 동형, 즉 계수가 \(1\)인 유한 국소 자유 사상이다. 또한 \(U \setminus Z_1\)의 모든 점은 \(t(s^{-1}(\overline{W_1}))\)에 속한다.

\(r \leq n\)에 대해 다음을 만족하는 부분스킴 \(W'_r \subset W_r \subset U\)를 찾았다고 가정하자.

1. \(W_1, \ldots, W_n\)은 서로소이다.

2. \(W_r\)과 \(W_r'\)은 \(R\)-불변이다.

3. 집합론적으로 \(U \setminus Z_n \subset \bigcup_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)이다.

4. \(W_r\)은 \(W'_r\)의 두꺼워짐이다.

5. 제한 \((W_r', R_r', s_r', t_r', c_r')\)의 사상 \(s_r'\), \(t_r'\)는 계수가 \(r\)인 유한 국소 자유 사상이다.

집합론적으로 \[W_{n + 1} = Z_n \setminus \left( Z_{n + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] 라 두고, 스킴론적으로 \[W'_{n + 1} = Z_n \setminus \left( Z_{n + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] 라 두자. 그러면 \(W_{n + 1}\)은 \(U\)의 \(R\)-불변 열린 부분스킴이다. 실제로 \(Z_{n + 1} \setminus \overline{U \setminus Z_{n + 1}}\)는 \(U\)에서 열리고, 성질 (3)과 \(t\)가 닫힌 사상이라는 사실에 의해 \(\overline{U \setminus Z_{n + 1}}\)는 제거하는 닫힌 부분집합 \(\bigcup\nolimits_{r \leq n} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)에 포함된다. \(W'_{n + 1}\)이 같은 바탕 위상공간을 가진 \(W_{n + 1}\)의 닫힌 부분스킴임은 명백하다. 끝으로 성질 (1), (2), (3)은 명백하고, 성질 (5)는 Lemma 0AB9에서 따른다.

Lemma 0AB9에 의해 \(\bigcap Z_r = \emptyset\)이다. 따라서 \(U\)의 모든 점은 어떤 \(n\)에 대해 \(U \setminus Z_n\)에 속한다. 그러므로 집합론적으로 \(U = \bigcup_{r \geq 1} t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)이고 (2)가 성립한다. 따라서 \(W' \subset W\)는 (1), (2), (3), (4)를 만족한다.

\((U, R, s, t, c)\)를 준군 스킴이라 하자. 점 \(u \in U\)가 주어졌을 때 \(u\)의 \(R\)-궤도는 \(U\)의 부분집합 \(t(s^{-1}(\{u\}))\)이다.

보조정리

Lemma 0ABA에서 \(s\)와 \(t\)가 유한 표시라고 더 가정하자. 그러면

1. 사상 \(W' \to W\)는 유한 표시이다.

2. \(u \in U\)가 그 \(R\)-궤도가 \(U\)의 기약 성분들의 일반점들로 이루어진 점이면 \(u \in W\)이다.

증명

이 경우 Lemma 0AB9의 층화 \(U = Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \supset \ldots\)는 유한 표시인 닫힌 몰입 \(Z_k \to U\)들로 주어진다. Divisors, Lemma 05P8를 참조하라. \(W' \to W\)가 국소적으로 열린집합 \(W\)와 \(Z_r\)의 교집합으로 주어지므로 (1)은 즉시 따른다. (2)를 보이기 위해 \(\{u_1, \ldots, u_n\}\)을 \(u\)의 궤도라 하자. 닫힌 부분스킴 \(Z_k\)들이 \(R\)-불변이고 \(\bigcap Z_k = \emptyset\)이므로, 모든 \(i\)에 대해 \(u_i \in Z_k\)이고 \(u_i \not \in Z_{k + 1}\)이 되게 하는 \(k\)를 찾을 수 있다. \(Z_k \to U\)와 \(Z_{k + 1} \to U\)의 상은 국소 구성가능이다(Morphisms, Theorem 054K). \(u_i \in U\)가 \(U\)의 한 기약 성분의 일반점이므로, 집합론적으로 \(Z_k \setminus Z_{k + 1}\)에 포함되는 \(u_i\)의 열린 근방 \(U_i\)가 존재한다(Properties, Lemma 0AAW). Lemma 0ABA의 증명에서 \(W\)를 서로소 합 \(\coprod W_r\)로 구성하였고, \(W_r \subset Z_{r - 1} \setminus Z_r\)이며 \(U = \bigcup t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)이다. \(\{u_1, \ldots, u_n\}\)이 \(R\)-궤도이므로 \(u \in t(s^{-1}(\overline{W_r}))\)이면 어떤 \(i\)에 대해 \(u_i \in \overline{W_r}\)이다. 그러면 \(U_i \cap W_r \not = \emptyset\)이고, 따라서 \(r = k\)이다. 그러므로 원하는 대로 \(u\)는 \[W_{k + 1} = Z_k \setminus \left( Z_{k + 1} \cup \bigcup\nolimits_{r \leq k} t(s^{-1}(\overline{W_r})) \right)\] 에 속한다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 스킴 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(s, t\)는 유한이고 유한 표시이며 \(U\)는 준분리라고 가정하자. \(u_1, \ldots, u_m \in U\)를 그 궤도가 \(U\)의 기약 성분들의 일반점들로 이루어진 점들이라 하자. 그러면 다음을 만족하는 \(R\)-불변 부분스킴 \(V' \subset V \subset U\)가 존재한다.

1. \(u_1, \ldots, u_m \in V'\)이다.

2. \(V\)는 \(U\)에서 열린다.

3. \(V'\)과 \(V\)는 아핀이다.

4. \(V' \subset V\)는 유한 표시인 두꺼워짐이다.

5. 제한 \((V', R', s', t', c')\)의 사상 \(s', t'\)는 유한 국소 자유이다.

증명

\(W' \subset W \subset U\)를 Lemma 0ABA에서와 같이 택하자. Lemma 0ABB에 의해 \(u_j \in W\)이고 \(W' \to W\)는 유한 표시인 두꺼워짐이다. Limits, Lemma 09NL에 의해 \(u_j\)를 포함하는 \(W'\)의 \(R\)-불변 아핀 열린 부분스킴 \(V'\)을 찾으면 충분하다. 그러면 \(V \subset W\)를 이에 대응하는 열린 부분스킴으로 잡을 수 있고 이는 아핀이다. 따라서 \((U, R, s, t, c)\)를 \(W'\)로의 제한 \((W', R', s', t', c')\)로 바꾸어도 된다. 즉 사상 \(s\)와 \(t\)가 유한 국소 자유인 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)가 주어졌다고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 01ZV에 의해 \(u_1, \ldots, u_m\)의 궤도들의 합집합을 포함하는 아핀 열린집합을 찾을 수 있다. 끝으로 Groupoids, Lemma 03JE를 적용하면 결론이 따른다.

다음 보조정리는 Lemma 0ABC의 특수한 경우이다. 그러나 이 경우 논법이 조금 더 간단하므로 다시 증명한다. 특히 Lemma 0ABB를 사용하지 않는다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 스킴 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(s, t\)는 유한이고, \(U\)는 국소 뇌터이며, \(u_1, \ldots, u_m \in U\)는 그 궤도가 \(U\)의 기약 성분들의 일반점들로 이루어진 점들이라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 \(R\)-불변 부분스킴 \(V' \subset V \subset U\)가 존재한다.

1. \(u_1, \ldots, u_m \in V'\)이다.

2. \(V\)는 \(U\)에서 열린다.

3. \(V'\)과 \(V\)는 아핀이다.

4. \(V' \subset V\)는 두꺼워짐이다.

5. 제한 \((V', R', s', t', c')\)의 사상 \(s', t'\)는 유한 국소 자유이다.

증명

\(\{u_{j1}, \ldots, u_{jn_j}\}\)를 \(u_j\)의 궤도라 하자. \(W' \subset W \subset U\)를 Lemma 0ABA에서와 같이 택하자. \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\)이므로 적어도 하나의 \(u_{ji} \in \overline{W}\)가 존재한다. \(u_{ji}\)는 한 기약 성분의 일반점이고 \(U\)는 국소 뇌터이므로 \(u_{ji} \in W\)이다. \(W\)가 \(R\)-불변이므로 \(u_j \in W\)이고, 실제로 전체 궤도가 \(W\)에 포함된다. Cohomology of Schemes, Lemma 01YQ에 의해 \(u_1, \ldots, u_m\)을 포함하는 \(W'\)의 \(R\)-불변 아핀 열린 부분스킴 \(V'\)을 찾으면 충분하다. 그러면 \(V \subset W\)를 이에 대응하는 열린 부분스킴으로 택할 수 있고 이는 아핀이다. 따라서 \((U, R, s, t, c)\)를 \(W'\)로의 제한 \((W', R', s', t', c')\)로 바꾸어도 된다. 즉 사상 \(s\)와 \(t\)가 유한 국소 자유인 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)가 주어졌다고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 01ZV에 의해 \(\{u_{ij}\}\)를 포함하는 아핀 열린집합을 찾을 수 있다. 여기서 국소 뇌터 스킴은 준분리이다(Properties, Lemma 01OY). 끝으로 Groupoids, Lemma 03JE를 적용하면 결론이 따른다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 \(s, t\)가 정수적인 스킴 \(S\) 위의 준군 스킴이라 하자. \(g : U' \to U\)를 정수적 사상이라 하고, \(U\)의 모든 \(R\)-궤도가 \(g(U')\)와 만난다고 가정하자. \((U', R', s', t', c')\)를 \(R\)의 \(U'\)로의 제한이라 하자. \(u' \in U'\)이 어떤 \(R'\)-불변 아핀 열린집합에 포함되면, 그 상 \(u \in U\)는 \(U\)의 어떤 \(R\)-불변 아핀 열린집합에 포함된다.

증명

\(W' \subset U'\)을 \(R'\)-불변 아핀 열린집합이라 하자. 사상 \(\text{pr}_0 : \tilde R \to U'\) 및 \(h = s \circ \text{pr}_1 : \tilde R \to U\)와 함께 \(\tilde R = U' \times_{g, U, t} R\)로 두자. \(\text{pr}_0\)와 \(h\)는 정수적이다. 따라서 \(\tilde W = \text{pr}_0^{-1}(W')\)는 아핀이다. \(W'\)이 \(R'\)-불변이므로 상 \(W = h(\tilde W)\)는 집합론적으로 \(R\)-불변이고 집합론적으로 \(\tilde W = h^{-1}(W)\)이다(세부사항 생략). 따라서 \(W\)가 열림을 보이면 \(W\)는 스킴이고 사상 \(\tilde W \to W\)는 정수적 전사이다. 그러면 Limits, Proposition 05YU에 의해 \(W\)는 아핀이다. 한편 모든 궤도가 \(U'\)과 만난다는 가정은 \(h : \tilde R \to U\)가 전사임을 함의한다. 정수적 전사 사상은 몫사상이므로 (Topology, Lemma 0AAU 및 Morphisms, Lemma 01WM), \(W\)는 열린다.

다음 기술적 보조정리는 준아핀 스킴 위의 유한 준군이라는 상황에서 “거의” 불변인 함수를 만든다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 \(s, t\)가 유한이고 유한 표시인 준군 스킴이라 하자. \(u_1, \ldots, u_m \in U\)를 그 \(R\)-궤도가 \(U\)의 기약 성분들의 일반점들로 이루어진 점들이라 하자. \(j : U \to \Spec(A)\)를 몰입이라 하자. \(I \subset A\)를 \(j(U) \cap V(I) = \emptyset\)이고 \(V(I) \cup j(U)\)가 \(\Spec(A)\)에서 닫히도록 하는 아이디얼이라 하자. 그러면 \(j^{-1}D(h)\)가 \(u_1, \ldots, u_m\)을 포함하는 \(U\)의 \(R\)-불변 아핀 열린 부분스킴이 되도록 하는 \(h \in I\)가 존재한다.

증명

\(u_1, \ldots, u_m \in V' \subset V \subset U\)를 Lemma 0ABC에서와 같이 택하자. \(U \setminus V\)는 \(U\)에서 닫히고 \(j\)는 몰입이며 \(V(I) \cup j(U)\)는 \(\Spec(A)\)에서 닫히므로 \(V(J) = V(I) \cup j(U \setminus V)\)가 되도록 하는 아이디얼 \(J \subset I\)를 찾을 수 있다. 예를 들어 \(j(U \setminus V)\) 위에서 영이 되는 \(I\)의 원소들의 아이디얼을 택할 수 있다. 따라서 \((U, R, s, t, c)\), \(j : U \to \Spec(A)\), \(I\)를 각각 \((V', R', s', t', c')\), \(j|_{V'} : V' \to \Spec(A)\), \(J\)로 바꾸어도 된다. 즉 \(U\)가 아핀이고 \(s\)와 \(t\)가 유한 국소 자유라고 가정해도 된다. \(u_1, \ldots, u_m\)의 \(R\)-궤도에 있는 모든 점에서 영이 되지 않는 \(f \in I\)를 택하자(Algebra, Lemma 00DS). 다음을 생각하자. \[g = \text{Norm}_s(t^\sharp(j^\sharp(f))) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\] \(f \in I\)이고 \(V(I) \cup j(U)\)가 닫혔으므로 \(U \cap D(f) \to D(f)\)는 닫힌 몰입이다. 따라서 어떤 \(n > 0\)에 대해 \(f^ng\)는 어떤 원소 \(h \in I\)의 상이다. 이 \(h\)가 원하는 원소라고 주장한다. Groupoids, Lemma 03BH에서 보았듯이 \(g\)는 \(R\)-불변 함수이고, 따라서 \(D(g) \subset U\)는 \(R\)-불변이다. \(f\)가 \(u_j\)의 궤도 위에서 영이 되지 않으므로 \(g\)는 \(u_j\)에서 영이 되지 않는다. 또한 \(V(g) \supset V(j^\sharp(f))\)이고, 따라서 \(j^{-1}D(h) = D(g)\)이다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 준군 스킴이라 하자. \(s, t\)가 유한이고 \(u, u' \in R\)이 같은 궤도의 서로 다른 점이면, \(u'\)은 \(u\)의 특수화가 아니다.

증명

\(s(r) = u\) 및 \(t(r) = u'\)인 \(r \in R\)을 택하자. \(u \leadsto u'\)이면 \(s(r') = u'\)인 자명하지 않은 특수화 \(r \leadsto r'\)을 찾을 수 있다. Schemes, Lemma 01K9를 참조하라. \(u'' = t(r')\)로 두자. 유한 사상의 올 안에는 특수화가 없으므로 \(u'' \not = u'\)이다. 따라서 계속하여 \(s(r'') = u''\)인 자명하지 않은 특수화 \(r' \leadsto r''\) 등을 찾을 수 있다. 이는 \(u\)의 궤도가 특수화의 무한열 \(u \leadsto u' \leadsto u'' \leadsto \ldots\)을 포함함을 보인다. 그러나 궤도 \(t(s^{-1}(\{u\}))\)는 유한하므로 이는 불가능하다.

보조정리

\(j : V \to \Spec(A)\)를 스킴의 준콤팩트 몰입이라 하자. \(j^{-1}D(f)\)가 아핀이고 \(j(V) \cap V(f)\)가 닫히도록 하는 \(f \in A\)가 존재하면 \(V\)는 아핀이다.

증명

이는 Morphisms, Lemma 0C3A에서 따르지만 직접 증명도 제시하겠다. \(A' = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)로 두자. 그러면 \(j' : V \to \Spec(A')\)는 준콤팩트 열린 몰입이다. Properties, Lemma 01P9를 참조하라. \(f' \in A'\)을 \(f\)의 상이라 하자. 그러면 \((j')^{-1}D(f') = j^{-1}D(f)\)는 아핀이다. 한편 \(j'(V) \cap V(f')\)는 \(\Spec(A)\)의 닫힌 부분스킴 \(j(V) \cap V(f)\)와 동형으로 가는 \(\Spec(A')\)의 부분스킴이다. 따라서 예컨대 Schemes, Lemma 01KT에 의해 이는 \(\Spec(A')\)에서 닫힌다. 그러므로 \(A\)를 \(A'\)으로 바꾸어 \(j\)가 열린 몰입이고 \(A = \Gamma(V, \mathcal{O}_V)\)라고 가정해도 된다.

이 경우 \(j(V) = \Spec(A)\)임을 주장하며, 이것으로 증명이 끝난다. 그렇지 않다면 여집합과 만나고 닫힌 부분집합 \(j(V) \cap V(f)\)를 피하는 주 아핀 열린집합 \(D(g) \subset \Spec(A)\)를 찾을 수 있다. Properties, Lemma 01P8에 의해 \(j\)는 \(j^{-1}D(f)\)를 \(D(f)\)에 동형으로 보낸다. 따라서 \(D(g)\)는 \(V(f)\)와 만난다. 한편 \(j^{-1}D(g)\)는 아핀 열린집합 \(j^{-1}D(f)\)의 주 열린집합이므로 아핀이다. 따라서 Properties, Lemma 01P8를 다시 적용하면 \(D(g)\)는 \(j^{-1}D(g) \subset j^{-1}D(f)\)와 동형이고, 이는 \(D(g) \subset D(f)\)를 함의한다. 이 모순으로 증명이 끝난다.

보조정리

\((U, R, s, t, c)\)를 준군 스킴이라 하고 \(u \in U\)라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(s, t\)는 유한 사상이다.

2. \(U\)는 분리이고 국소 뇌터이다.

3. \(u\)의 궤도에 있는 모든 점 \(u'\)에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{U, u'}) \leq 1\)이다.

그러면 \(u\)는 \(U\)의 어떤 \(R\)-불변 아핀 열린집합에 포함된다.

증명

\(u\)의 \(R\)-궤도는 유한하다. 조건 (2), (3)에 의해 이는 \(U\)의 어떤 아핀 열린집합 \(U'\)에 포함된다. Varieties, Proposition 09NN를 참조하라. 그러면 \(t(s^{-1}(U \setminus U'))\)은 \(u\)를 포함하지 않는 \(U\)의 \(R\)-불변 닫힌 부분집합이다. 따라서 \(U \setminus t(s^{-1}(U \setminus U'))\)은 \(u\)를 포함하는 \(U'\)의 \(R\)-불변 열린집합이다. \(U\)를 이 열린집합으로 바꾸어 \(U\)가 준아핀이라고 가정해도 된다.

Lemma 0ABE에 의해 \(U\)를 그 축약화로 바꾸어 \(U\)가 축약이라고 가정해도 된다. 이는 Lemma 0ABA의 \(R\)-불변 부분스킴 \(W' \subset W \subset U\)가 \(W' = W\)로 같다는 뜻이다. \(U = t(s^{-1}(\overline{W}))\)이므로 \(u\)의 \(R\)-궤도의 어떤 점 \(u'\)은 \(\overline{W}\)에 포함된다. Lemma 0ABE에 의해 \(U\)를 \(\overline{W}\)로, \(u\)를 \(u'\)으로 바꾸어도 된다. 따라서 제한 \((W, R_W, s_W, t_W, c_W)\)의 사상 \(s_W, t_W\)가 유한 국소 자유가 되도록 하는 조밀한 열린 \(R\)-불변 부분스킴 \(W \subset U\)가 존재한다고 가정할 수 있다.

\(u \in W\)이면 Groupoids, Lemma 03JE에 의해 증명이 끝난다. 실제로 \(W\)가 준아핀이므로 \(W\)의 임의의 유한 점 집합은 아핀 열린집합에 포함된다 (Properties, Lemma 01ZY). 따라서 \(u \not \in W\)라고 가정하며, 그러면 \(u\)의 궤도의 어느 점도 \(W\)에 속하지 않는다. \(u\)의 궤도에 있는 점 \(u'\)으로의 자명하지 않은 특수화를 가지는 점을 \(\xi \in U\)라 하자. \(u\)의 궤도 안의 점들 사이에는 특수화가 없으므로(Lemma 0ABG), \(\xi\)는 궤도에 속하지 않는다. 가정 (3)에 의해 \(\xi\)는 \(U\)의 일반점이고, 따라서 \(\xi \in W\)이다. \(U\)가 뇌터이므로 이러한 점은 유한 개이며 \(\xi_1, \ldots, \xi_m \in W\)로 나타내자. \(s_W, t_W\)가 평탄하므로 각 \(\xi_j\)의 궤도는 \(W\)(따라서 \(U\))의 기약 성분들의 일반점들로 이루어진다.

\(j : U \to \Spec(A)\)를 \(U\)의 아핀 스킴으로의 몰입이라 하자. \(U\)가 준아핀이므로 이러한 몰입이 존재한다. \(J \subset A\)를 \(V(J) \cap j(W) = \emptyset\)이고 \(V(J) \cup j(W)\)가 닫히도록 하는 아이디얼이라 하자. Lemma 0ABF를 준군 스킴 \((W, R_W, s_W, t_W, c_W)\), 사상 \(j|_W : W \to \Spec(A)\), 점들 \(\xi_j\), 아이디얼 \(J\)에 적용한다. 그러면 모든 \(j\)에 대해 \(\xi_j\)를 포함하고 \((j|_W)^{-1}D(f)\)가 \(R_W\)-불변 아핀 열린집합이 되도록 하는 \(f \in J\)를 얻는다. \(f \in J\)이므로 \(j^{-1}D(f) \subset W\)이다. 즉 \(j^{-1}D(f)\)는 모든 \(\xi_j\)를 포함하고 \(W\) 안에 들어 있는 \(U\)의 \(R\)-불변 아핀 열린집합이다.

\[U \setminus j^{-1}D(f) = j^{-1}V(f).\] 위에 축약 유도 닫힌 부분스킴 구조를 준 것을 \(Z\)라 하자. 그러면 \(Z\)는 집합론적으로 \(R\)-불변이지만 스킴론적으로는 \(R\)-불변이 아닐 수 있다. \((Z, R_Z, s_Z, t_Z, c_Z)\)를 \(R\)의 \(Z\)로의 제한이라 하자. \(Z \to U\)가 유한이므로 \(s_Z\)와 \(t_Z\)는 유한하다. \(u \in Z\)이므로 \(u\)의 궤도는 \(Z\)에 들어 있고, \(Z\)의 점으로 본 \(u\)의 \(R_Z\)-궤도와 일치한다. 모든 \(j\)에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{U, u'}) \leq 1\)이고 \(\xi_j \not \in Z\)이므로, \(u\)의 궤도에 있는 모든 \(u'\)에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, u'}) \leq 0\)이다. 다시 말해 \(u\)의 \(R_Z\)-궤도는 \(Z\)의 기약 성분들의 일반점들로 이루어진다.

\(I \subset A\)를 \(V(I) \cap j(U) =\emptyset\)이고 \(V(I) \cup j(U)\)가 닫히도록 하는 아이디얼이라 하자. Lemma 0ABF를 준군 스킴 \((Z, R_Z, s_Z, t_Z, c_Z)\), 제한 \(j|_Z\), 아이디얼 \(I\), 점 \(u \in Z\)에 적용한다. 그러면 \(j^{-1}D(h) \cap Z\)가 \(u\)를 포함하는 \(R_Z\)-불변 아핀 열린집합이 되도록 하는 \(h \in I\)를 얻는다.

다음 \(R_W\)-불변 함수를 생각하자(Groupoids, Lemma 03BH). \[g = \text{Norm}_{s_W}(t_W^\sharp(j^\sharp(h)|_W)) \in \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\] 다음에서는 \(g\)의 \(j^{-1}D(f)\)로의 제한만 필요하며, 이 경우 노름은 아핀 스킴들 사이의 유한 국소 자유 사상을 따라 취한다. 다음이 보조정리의 증명을 끝내는 \(U\)의 \(R\)-불변 아핀 열린집합이라고 주장한다. \[V = (W_g \cap j^{-1}D(f)) \cup (j^{-1}D(h) \cap Z)\] 구성에 의해 이는 집합론적으로 \(R\)-불변이다. \(V\)는 구성가능 집합이므로, 열림을 보이려면 \(U\)에서 일반화에 대해 닫혀 있음을 보이면 충분하다 (Topology, Lemma 0542 또는 더 일반적인 Topology, Lemma 0903). \(W_g \cap j^{-1}D(f)\)가 \(U\)에서 열리므로 \(u_2 \in j^{-1}D(h) \cap Z\)인 \(U\)의 특수화 \(u_1 \leadsto u_2\)만 생각하면 충분하다. 이는 \(h\)가 \(j(u_2)\)에서 영이 아니고 \(u_2 \in Z\)라는 뜻이다. \(u_1 \in Z\)이면 \(j(u_1) \leadsto j(u_2)\)이고, \(h\)가 \(j(u_2)\)에서 영이 아니므로 \(j(u_1)\)에서도 영이 아니다. 따라서 \(u_1 \in V\)이다. \(u_1 \not \in Z\)이고 \(W_g \cap j^{-1}D(f)\)에도 속하지 않으면, \(Z = j^{-1}V(f)\)의 여집합이 \(W \cap j^{-1}D(f)\)에 포함되므로 \(u_1 \in W\), \(u_1 \not \in W_g\)이다. 따라서 \(s(r_1) = u_1\)이고 \(h\)가 \(t(r_1)\)에서 영이 되는 점 \(r_1 \in R\)이 존재한다. \(s\)가 유한이므로 \(s(r_2) = u_2\)인 특수화 \(r_1 \leadsto r_2\)를 찾을 수 있다. 그러나 그러면 \(h\)는 \(u'_2 = t(r_2)\)에서 영이다. 이는 \(j^{-1}D(h) \cap Z\)가 \(R\)-불변이고 \(u_2\)가 그 안에 있다는 사실에 모순이다. 따라서 \(V\)는 열린다.

함수 \(h \in I\)에 대해 \(V \subset j^{-1}D(h)\)임에 유의하자. 따라서 몰입 \[j' : V \longrightarrow \Spec(A_h)\] 을 얻는다. \(f' \in A_h\)를 \(f\)의 상이라 하자. 그러면 \((j')^{-1}D(f')\)는 \(U\)의 아핀 열린집합 \(j^{-1}D(f)\) 안에서 \(g\)가 정하는 주 열린집합이다. 따라서 \((j')^{-1}D(f)\)는 아핀이다. 끝으로 \(j'(V) \cap V(f') = j'(j^{-1}D(h) \cap Z)\)는 \(h \in I\)와 아이디얼 \(I\)의 선택에 의해 \(\Spec(A_h/(f')) = \Spec((A/f)_h) = D(h) \cap V(f)\)에서 닫힌다. 따라서 Lemma 0ABH를 적용하면 위에서 주장한 대로 \(V\)는 아핀이다.

ind-준아핀 사상의 하강

ind-준아핀 사상은 More on Morphisms, Section 0AP5에서 정의하였다. 이 절은 ind-준아핀 사상에 대한 Descent, Section 0246의 유사체이다.

\(X\)를 준분리 스킴이라 하자. \(E \subset X\)를 \(X\)의 준콤팩트 열린집합들의 공집합이 아닌 족의 교집합인 부분집합이라 하자. 즉 \(I\)는 공집합이 아니고 \(U_i \subset X\)는 준콤팩트 열린집합이며 \(E = \bigcap_{i \in I} U_i\)라고 하자. 유한 교집합들을 추가하여, \(i, j \in I\)에 대해 \(U_k \subset U_i \cap U_j\)인 \(k \in I\)가 존재한다고 가정해도 된다. 이 상황에서 \(X\) 위에 정의된 임의의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해 [0APH]\[\begin{equation} \Gamma(E, \mathcal{F}|_E) = \colim \Gamma(U_i, \mathcal{F}|_{U_i}) \end{equation}\] 이다. 실제로 \(i_0 \in I\)를 고정하고 \(X\)를 \(U_{i_0}\)로, \(I\)를 \(\{i \in I \mid U_i \subset U_{i_0}\}\)로 바꾸자. 그러면 \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이므로 스펙트럴 공간이다. Properties, Lemma 094L를 참조하라. 이제 Topology, Lemma 0A31와 Sheaves, Lemma 0A33에 의해 등식이 성립한다. 실제로 \(\mathcal{F}\)가 아벨 층이면 이 공식은 고차 코호몰로지 군들에 대해서도 성립한다. Cohomology, Lemma 0A37를 참조하라.

보조정리

\(X\)를 ind-준아핀 스킴이라 하자. \(E \subset X\)를 \(X\)의 준콤팩트 열린집합들의 공집합이 아닌 족의 교집합이라 하자. \(A = \Gamma(E, \mathcal{O}_X|_E)\) 및 \(Y = \Spec(A)\)로 두자. 그러면 Schemes, Lemma 01I1의 표준 사상 \[j : (E, \mathcal{O}_X|_E) \longrightarrow (Y, \mathcal{O}_Y)\] 은 동형 \((E, \mathcal{O}_X|_E) \to (E', \mathcal{O}_Y|_{E'})\)을 정한다. 여기서 \(E' \subset Y\)는 준콤팩트 열린집합들의 교집합이다. \(W \subset E\)가 \(X\)에서 열리면 \(j(W)\)는 \(Y\)에서 열린다.

증명

\((E, \mathcal{O}_X|_E)\)는 국소환 달린 공간이므로 Schemes, Lemma 01I1를 \(A \to \Gamma(E, \mathcal{O}_X|_E)\)에 적용할 수 있다. \(I \not = \emptyset\)이고 \(U_i \subset X\)가 준콤팩트 열린집합이 되도록 \(E = \bigcap_{i \in I} U_i\)로 쓰자. \(i, j \in I\)에 대해 \(U_k \subset U_i \cap U_j\)인 \(k \in I\)가 존재한다고 가정해도 되고 그렇게 하자. \(A_i = \Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i})\)로 두면 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ (E, \mathcal{O}_X|_E) \ar[r] \ar[d] & (\Spec(A), \mathcal{O}_{\Spec(A)}) \ar[d] \\ (U_i, \mathcal{O}_{U_i}) \ar[r] & (\Spec(A_i), \mathcal{O}_{\Spec(A_i)}) }\] \(U_i\)가 준아핀이므로 \(U_i \to \Spec(A_i)\)는 준콤팩트 열린 몰입이다. 한편 \(A = \colim A_i\)이다. 따라서 위상공간으로 \(\Spec(A) = \lim \Spec(A_i)\)이다(Limits, Lemma 01YY). 또한 Topology, Lemma 0A31에 의해 \(E = \lim U_i\)이므로 \(E \to \Spec(A)\)는 그 상 \(E'\) 위의 위상동형이고, \(E'\)은 \(\Spec(A)\) 안에서 열린집합 \(U_i \subset \Spec(A_i)\)들의 역상들의 교집합이다. 임의의 \(e \in E\)에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_{X, e}\)는 \(\mathcal{O}_{U_i, e}\)의 값이고, 이는 \(\Spec(A)\) 위에서의 값과 같다.

보조정리의 마지막 주장을 증명하자. \(U_i \subset U_j\)인 \(i, j \in I\)를 택하고 다음 가환 도식들을 생각하자. \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_i) \ar[d] \\ U_i \ar[r] & \Spec(A_j) } \quad\quad \xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & \Spec(A_i) \ar[d] \\ W \ar[r] & \Spec(A_j) } \quad\quad \xymatrix{ W \ar[r] \ar[d] & \Spec(A) \ar[d] \\ W \ar[r] & \Spec(A_j) }\] Properties, Lemma 0ARY에 의해 첫 번째 도식은 카르테시안이다. 따라서 두 번째 도식도 카르테시안이다. 극한을 취하면 세 번째 도식이 카르테시안임을 얻고, 따라서 이 도식의 위쪽 가로화살표는 열린 몰입이다.

보조정리

다음 스킴의 카르테시안 도식이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r] & \Spec(B) \ar[d] \\ Y \ar[r] & \Spec(A) }\] \(E \subset Y\)를 \(Y\)의 준콤팩트 열린집합들의 공집합이 아닌 족의 교집합이라 하자. \(Y\)가 준분리이고 \(A \to B\)가 평탄이면 \[\Gamma(f^{-1}(E), \mathcal{O}_X|_{f^{-1}(E)}) = \Gamma(E, \mathcal{O}_Y|_E) \otimes_A B\] 이다.

증명

\(V_i \subset Y\)가 준콤팩트 열린집합이 되도록 \(E = \bigcap_{i \in I} V_i\)로 쓰자. \(i, j \in I\)에 대해 \(V_k \subset V_i \cap V_j\)인 \(k \in I\)가 존재한다고 가정해도 되고 그렇게 하자. 그러면 마찬가지로 \(X\) 안에서 \(f^{-1}(E) = \bigcap_{i \in I} f^{-1}(V_i)\)이다. 따라서 결과는 식 (0APH)과 \(V_i\), \(f^{-1}(V_i)\)에 대한 대응 결과인 Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\{X_i \to S\}_{i\in I}\)를 fpqc 덮개라 하자. \(\{X_i \to S\}\)에 대한 하강 데이터 \((V_i/X_i, \varphi_{ij})\)를 생각하자. Descent, Definition 023W를 참조하라. 각 사상 \(V_i \to X_i\)가 ind-준아핀이면 이 하강 데이터는 유효하다.

증명

ind-준아핀은 임의의 밑변환으로 보존되는 스킴 사상의 성질이다. More on Morphisms, Lemma 0AP7를 참조하라. 따라서 Descent, Lemma 02W3를 적용하면, fpqc 덮개가 아핀들 사이의 하나의 평탄 전사 사상 \(\{X \to S\}\)로 주어진 경우에 보조정리의 명제를 증명하는 것으로 충분하다. \(X = \Spec(A)\) 및 \(S = \Spec(R)\)로 쓰자. 그러면 \(R \to A\)는 충실 평탄 환 준동형이다. \((V, \varphi)\)를 \(S\) 위의 \(X\)에 대한 하강 데이터라 하고, \(V \to X\)가 ind-준아핀이라고 가정하자. 다시 말해 \(V\)는 ind-준아핀이다.

\(U = X\), \(R = X \times_S X\)이고 \(s\), \(t\), \(c\)가 통상적인 사상인 \(S\) 위의 준군 스킴 \((U, R, s, t, c)\)를 생각하자. Groupoids, Lemma 0APF에 의해 쌍 \((V, \varphi)\)는 준군 스킴의 카르테시안 사상 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)에 대응한다. 임의의 점 \(u' \in U'\)를 택하자. Groupoids, Lemmas 03LO, 0APA, 및 0APB에 의해 \(u' \in W \subset E \subset U'\)를 택할 수 있다. 여기서 \(W\)는 열린 \(R'\)-불변 부분집합이고, \(E\)는 집합론적으로 \(R'\)-불변이며 준콤팩트 열린집합들의 공집합이 아닌 족의 교집합이다.

이를 \((V, \varphi)\)의 언어로 다시 옮기면, 임의의 \(v \in V\)에 대해 다음 성질들을 가지는 \(v \in W \subset E \subset V\)를 찾을 수 있다. (a) \(W\)는 열리고 \(\varphi(W \times_S X) = X \times_S W\)이다. (b) \(E\)는 준콤팩트 열린집합들의 교집합이고 \(\varphi(E \times_S X) = X \times_S E\)가 집합론적으로 성립한다. 여기서 \(E \times_S X\)는 사영 사상에 의한 \(V \times_S X\) 안의 \(E\)의 역상을 뜻하며, \(X \times_S E\)도 마찬가지이다. Lemma 0APJ에 의해 이는 \(\varphi\)가 다음 \(A \otimes_R A\)-대수의 동형을 정함을 뜻한다. \[\begin{align*} \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E) \otimes_R A & = \Gamma(E \times_S X, \mathcal{O}_{V \times_S X}|_{E \times_S X}) \\ & \to \Gamma(X \times_S E, \mathcal{O}_{X \times_S V}|_{X \times_S E}) \\ & = A \otimes_R \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E) \end{align*}\] 이를 \(\psi\)라 부르자. \(\varphi\)의 코사이클 조건은 Descent, Definition 023G에서와 같이 \(\psi\)의 코사이클 조건으로 옮겨진다(세부사항은 생략한다). Descent, Proposition 023N에 의해 \(R\)-대수 \(R'\)과 \(A\)-대수의 동형 \(\chi : R' \otimes_R A \to \Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E)\) 을 얻는다. 이 동형은 \(\psi\) 및 \(R' \otimes_R A\) 위의 표준 하강 데이터와 호환된다.

Lemma 0API에 의해 국소환 달린 공간의 표준 “매장” \[j : (E, \mathcal{O}_V|_E) \longrightarrow \Spec(\Gamma(E, \mathcal{O}_V|_E)) = \Spec(R' \otimes_R A)\] 을 얻는다. 이 사상의 구성은 표준적이므로 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ & E \times_S X \ar[rr]_\varphi \ar[ld] \ar[rd]^{j'} & & X \times_S E \ar[rd] \ar[ld]_{j''} \\ E \ar[rd]^j & & \Spec(R' \otimes_R A \otimes_R A) \ar[ld] \ar[rd] & & E \ar[ld]_j \\ & \Spec(R' \otimes_R A) \ar[rd] && \Spec(R' \otimes_R A) \ar[ld] \\ & & \Spec(R') }\] 여기서 \(j'\)과 \(j''\)은 \(\chi\)와 \(\psi\)의 구성에 사용된 식별들을 통해 \(E \times_S X \subset V \times_S X\)와 \(X \times_S E \subset X \times_S V\)에 같은 구성을 적용하여 얻는다. 따라서 \(j(W)\)는 \(\Spec(R' \otimes_R A)\)의 열린 부분스킴이고, 두 사영 \(\Spec(R' \otimes_R A \otimes_R A) \to \Spec(R' \otimes_R A)\)에 의한 그 역상들은 서로 같다. Descent, Lemma 03N0에 의해 \(\Spec(A)\)로의 밑변환이 \(j(W)\)인 열린집합 \(W_0 \subset \Spec(R')\)를 얻는다. 위 도식을 살펴보면 하강 데이터 \((W, \varphi|_{W \times_S X})\)가 유효함을 알 수 있다. Descent, Lemma 0AP4에 의해 원래의 하강 데이터도 유효하다.