모듈라이 스택

서론

이 장에서는 \(\mathit{Hom}\), \(\mathit{Isom}\), \(\Cohstack_{X/B}\), \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\), \(\Hilbfunctor_{X/B}\), \(\Picardstack_{X/B}\), \(\Picardfunctor_{X/B}\), \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\), \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\), \(\Polarizedstack\), 그리고 \(\Complexesstack_{X/B}\)와 같은 모듈라이 공간과 모듈라이 스택의 기본 성질을 확인한다. 적절한 가정 아래에서 이들이 대수공간 또는 대수적 스택임은 이미 보였다. 『몫』의 절 08JS, 08K7, 08KA, 08WB, 09TQ, 0CZX, 0D02, 0D24, 0D19, 0D1D, 0D1L, 그리고 0DLB를 보라. 곡선의 스택은 \(\textit{Curves}\)로 표기하며 『몫』의 절 0D4Y에서 도입했다. 이에 대해서는 곡선의 모듈라이를 다루는 장, 즉 『곡선의 모듈라이』의 절 0DMJ에서 논한다.

어떤 의미에서 이 장은 Grothendieck의 강의 [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V], 그리고 [Gr-VI]의 발자취를 따른다.

규약과 용어의 관용적 사용

『스택의 성질』의 절 04XA에서 도입한 규약과 용어의 관용적 사용을 계속 따른다. 달리 언급하지 않는 한 바탕 스킴은 \(\Spec(\mathbf{Z})\)이다.

Hom과 Isom의 성질

\(f : X \to B\)를 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 하자. \(\mathcal{G}\)가 유한 표시이고 \(B\) 위에서 평탄하며 그 지지가 \(B\) 위에서 고유이면, 다음으로 정의되는 함자 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) \[T/B \longmapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T)\] 는 \(B\) 위의 아핀 대수공간이다. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to B\)는 유한 표시이다. 『몫』의 명제 08K6을 보라.

\(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 모두 유한 표시이고 \(B\) 위에서 평탄하며 그 지지가 \(B\) 위에서 고유이면, 부분함자 \[\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] 는 \(B\) 위에서 유한 표시인 아핀 대수공간이다. 『몫』의 명제 08K9을 보라.

연접층의 스택의 성질

\(f : X \to B\)를 분리이고 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 고유 지지를 갖는 연접 가군의 평탄한 족을 매개화하는 스택 \(\Cohstack_{X/B}\)는 대수적이다. 『몫』의 정리 09DS를 보라.

보조정리

\(B\) 위에서 \(\Cohstack_{X/B}\)의 대각사상은 아핀이며 유한 표시이다.

증명

대각사상이 대수공간으로 표현가능함은 『몫』의 보조정리 08W6에서 보였다. 그 증명을 살펴보면, \(T\) 위에서 평탄하고 지지가 \(T\) 위에서 고유인 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X_T}\)-가군의 쌍 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)에 대해 \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to T\)가 아핀이며 유한 표시임을 보이면 된다. 이는 절 0DLW에서 논했다.

보조정리

사상 \(\Cohstack_{X/B} \to B\)는 준분리이고 국소적으로 유한 표시이다.

증명

\(\Cohstack_{X/B} \to B\)가 준분리임을 확인하려면 그 대각사상이 준콤팩트이고 준분리임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DLY에서 즉시 따른다. \(\Cohstack_{X/B} \to B\)가 국소적으로 유한 표시임을 보이려면 \(\Cohstack_{X/B} \to B\)가 극한을 보존함을 보이면 된다. 『스택의 극한』의 명제 0CMY를 보라. 이는 『몫』의 보조정리 08KD에서 따른다 (작은 세부사항은 생략한다).

보조정리

\(X \to B\)가 유한 표시일 뿐 아니라 고유라고 하자. 그러면 \(\Cohstack_{X/B} \to B\)는 값매김 판정법의 존재 부분을 만족한다 (『스택의 사상』의 정의 0CLK).

증명

밑변환을 취하면 곧바로 다음 문제로 귀착된다. 분수체가 \(K\)인 값매김환 \(R\), \(R\) 위에서 고유인 대수공간 \(X\), 그리고 연접 \(\mathcal{O}_{X_K}\)-가군 \(\mathcal{F}_K\)가 주어졌을 때, 일반 섬유가 \(\mathcal{F}_K\)인, \(R\) 위에서 평탄한 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재함을 보여라. 『대수공간 위의 평탄성』의 정리 0DLR에 의해 \(R\) 위에서 평탄한 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)는 모두 유한 표시임에 유의하자. 일반 섬유의 매장을 \(j : X_K \to X\)로 표기하자. 아핀 사상 \(\Spec(K) \to \Spec(R)\)의 밑변환이므로 \(j\)는 아핀이다. 따라서 \(j_*\mathcal{F}_K\)는 준연접이다. 이를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군들의 여과 쌍대극한 \[j_*\mathcal{F}_K = \colim \mathcal{F}_i\] 으로 쓰자. 『대수공간의 극한』의 보조정리 0829를 보라. \(j_*\mathcal{F}_K\)는 \(X\) 위의 \(K\)-벡터공간 층이므로 \(\Spec(R)\) 위에서 평탄하다. 값매김환 위에서 평탄하다는 것은 꼬임이 없다는 것과 같고 (『대수학 더 보기』의 보조정리 0539), 부분가군은 꼬임 없음 성질을 물려받으므로 각 \(\mathcal{F}_i\)는 \(R\) 위에서 평탄하다. 마지막으로 어떤 \(i\)에 대해 사상 \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\)가 동형임을 보여야 한다. \(j^*j_*\mathcal{F}_K = \mathcal{F}_K\)이고(작은 세부사항은 생략한다) \(j^*\)는 완전하므로, 모든 \(i\)에 대해 \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\)가 단사임을 알 수 있다. \(j^*\)는 쌍대극한과 가환하므로 \(\mathcal{F}_K = j^*j_*\mathcal{F}_K = \colim j^*\mathcal{F}_i\)이다. \(\mathcal{F}_K\)는 연접, 즉 유한 표시이므로 어떤 \(i\)가 존재하여 \(j^*\mathcal{F}_i\)가 \(X\)의 어떤 아핀 에탈 덮개 위에서 모든 (유한 개의) 생성원을 포함한다. 따라서 충분히 큰 \(i\)에 대해 \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\)가 전사임을 얻는다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들 사이의 준유한 사상이라 하자. 그러면 \(\pi_*\)는 사상 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)를 유도한다.

증명

\((T \to B, \mathcal{F})\)를 \(\Cohstack_{X/B}\)의 대상이라 하자. 다음을 주장한다.

1. \((T \to B, \pi_{T, *}\mathcal{F})\)는 \(\Cohstack_{Y/B}\)의 대상이고,

2. \(T' \to T\)에 대해 \(\pi_{T', *}(X_{T'} \to X_T)^*\mathcal{F} = (Y_{T'} \to Y_T)^*\pi_{T, *}\mathcal{F}\)이다.

(b)는 이 구성이 원하는 함자 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)를 정의함을 보장한다.

\(\mathcal{F}\)의 영 번째 맞춤 아이디얼로 잘라낸 닫힌 부분공간을 \(i : Z \to X_T\)라 하자 (『대수공간 위의 인자』의 절 0CZ3). 그러면 가정에 의해 \(Z \to B\)는 고유이다(『대수공간의 유도 범주』의 절 0CZB을 보라). 한편 \(i\)는 유한 표시이다 (『대수공간 위의 인자』의 보조정리 0CZ5와 『대수공간의 사상』의 보조정리 084Q). \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)를 만족하는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재한다 (『대수공간 위의 인자』의 보조정리 0CZ6). 실제로 『대수공간 위의 내림』의 보조정리 0610에 의해 \(\mathcal{G}\)는 \(\mathcal{O}_Z\)-가군으로서 유한 표시이다. 예를 들어 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{F}\)의 줄기가 일치하므로 (『대수공간의 사상』의 보조정리 0DK1), \(\mathcal{G}\)는 \(B\) 위에서 평탄하다. \(\pi_T \circ i : Z \to Y_T\)는 준유한 사상들의 합성이므로 준유한이고 \(\pi_{T, *}\mathcal{F} = (\pi_T \circ i)_*\mathcal{G})\)임에 유의하자. \(i\)는 아핀이므로 \(i_*\)의 형성은 밑변환과 가환한다 (『대수공간의 코호몰로지』의 보조정리 07U8). 따라서 \(B\)를 \(T\)로, \(X\)를 \(Z\)로, \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{G}\)로, \(Y\)를 \(Y_T\)로 바꾸어 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착시킬 수 있다.

\(X \to B\)가 고유라고 하자. 그러면 『대수공간의 사상』의 보조정리 04NX에 의해 \(\pi\)는 고유이고, 따라서 『대수공간의 사상 더 보기』의 보조정리 0A4X에 의해 유한이다. 유한 사상은 아핀이므로 『대수공간의 코호몰로지』의 보조정리 07U8에 의해 (b)가 성립한다. 한편 『대수공간의 사상』의 보조정리 05WT에 의해 \(\pi\)는 유한 표시이다. 따라서 『대수공간 위의 내림』의 보조정리 0610에 의해 \(\pi_{T, *}\mathcal{F}\)는 유한 표시이다. 마지막으로 예를 들어 『대수공간의 코호몰로지』의 보조정리 0DK3를 사용하여 줄기를 보면 \(\pi_{T, *}\mathcal{F}\)는 \(B\) 위에서 평탄하다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들의 열린 몰입이라 하자. 그러면 보조정리 0DN9의 사상 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)는 열린 몰입이다.

증명

생략한다. 도움말: \(\mathcal{F}\)가 \(T\) 위의 \(\Cohstack_{Y/B}\)의 대상이고 \(t \in T\)에 대해 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_t) \subset |X_t|\)이면, \(t\)의 어떤 근방에 있는 모든 \(t' \in T\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들의 닫힌 몰입이라 하자. 그러면 보조정리 0DN9의 사상 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)는 닫힌 몰입이다.

증명

\(X\)를 \(Y\)의 닫힌 부분공간으로 잘라내는 아이디얼 층을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)라 하자. \(\pi_*\)가 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주와 \(\mathcal{I}\)에 의해 소멸되는 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 범주 사이의 동치를 유도함을 상기하자. 『대수공간의 사상』의 보조정리 04CJ를 보라. \(T \to B\)로 밑변환한 뒤에도 필요한 수정을 가하면 같은 명제가 성립한다. 이때 \(\mathcal{I}\)는 아이디얼 층 \(\mathcal{I}_T = \Im((Y_T \to Y)^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_{Y_T})\)로 대체된다. 보조정리 0DN9의 증명을 분석하면 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)의 본질적 상은 정확히 \(\mathcal{F}\)가 \(\mathcal{I}_T\)에 의해 소멸되는 대상 \(\xi = (T \to B, \mathcal{F})\)임을 알 수 있다. 다시 말해, \(\xi\)가 본질적 상에 속할 필요충분조건은 곱셈 사상 \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_T}} (Y_T \to Y)^*\mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{F}\] 이 영이고, 임의의 추가 밑변환 \(T' \to T\) 뒤에도 마찬가지인 것이다. 다음에 유의하자. \[(Y_{T'} \to Y_T)^*( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_T}} (Y_T \to Y)^*\mathcal{I}) = (Y_{T'} \to Y_T)^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_{T'}}} (Y_{T'} \to Y)^*\mathcal{I})\] 따라서 \(T'\) 위에서 곱셈 사상이 영이 되는 조건은 『대수공간 위의 평탄성』의 보조정리 083M에 의해 \(T\)의 닫힌 부분공간으로 표현가능하다.

설정

\(f : X \to B\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(I\)를 집합이라 하고, 각 \(i \in I\)에 대해 \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전하다고 하자. \(\Cohstack_{X/B}\)의 대상 \((T \to B, \mathcal{F})\)가 주어졌을 때, \(X_T\)로의 \(E_i\)의 유도 당김을 \(E_{i, T}\)로 표기하자. \(D(\mathcal{O}_T)\)의 대상 \[K_i = Rf_{T, *}(E_{i, T} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}}^\mathbf{L} \mathcal{F})\] 는 완전하고 그 형성은 밑변환과 가환한다. 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0A1P를 보라. 따라서 함수 \[\chi_i : |T| \longrightarrow \mathbf{Z},\quad \chi_i(t) = \chi(X_t, E_{i, t} \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_t) = \chi(K_i \otimes_{\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} \kappa(t))\] 는 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0D1Z에 의해 국소 상수이다. \(P : I \to \mathbf{Z}\)를 사상이라 하자. 수치 불변량이 \(P\)와 일치하는, 고유 지지를 갖는 연접층의 평탄한 족으로 이루어진 부분스택 \[\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\] 을 생각하자. 더 정확히 말해 \(\Cohstack_{X/B}\)의 대상 \((T \to B, \mathcal{F})\)가 \(\Cohstack^P_{X/B}\)에 속할 필요충분조건은 모든 \(i \in I\)와 \(t \in T\)에 대해 \(\chi_i(t) = P(i)\)인 것이다.

보조정리

상황 0DNC에서 스택 \(\Cohstack^P_{X/B}\)는 대수적이고 \[\Cohstack^P_{X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] 는 평탄한 닫힌 몰입이다. \(I\)가 유한이거나 \(B\)가 국소 뇌터이면, \(\Cohstack^P_{X/B}\)는 \(\Cohstack_{X/B}\)의 열린 동시에 닫힌 부분스택이다.

증명

\(I\)가 유한이면 함수 \(t \mapsto \chi_i(t)\)들이 국소 상수이므로 이는 즉시 명백하다. \(I\)가 무한이면 \[I = \bigcup\nolimits_{I' \subset I\text{ finite}} I'\] 로 쓰고 \(P' = P|_{I'}\)로 표기한다. 그러면 \[\Cohstack^P_{X/B} = \bigcap\nolimits_{I' \subset I\text{ finite}} \Cohstack^{P'}_{X/B}\] 이다. 따라서 \(\Cohstack^P_{X/B}\)는 항상 대수적 스택이고 사상 \(\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\)는 항상 평탄한 닫힌 몰입이지만, 더 이상 열린 부분스택이 아닐 수도 있다(예를 구성하는 일은 독자에게 맡긴다). 하지만 \(B\)가 국소 뇌터이면 보조정리 0DLZ와 『스택의 사상』의 보조정리 06R6에 의해 \(\Cohstack_{X/B}\)도 국소 뇌터이다. 따라서 \(U\)가 국소 뇌터 스킴이고 \(U \to \Cohstack_{X/B}\)가 매끄러운 전사 사상이면, 열린 동시에 닫힌 부분스택 \(\Cohstack^{P'}_{X/B}\)들의 역상은 \(U\)에서 열린 교집합을 갖는다 (국소 뇌터 위상공간의 연결 성분은 열려 있기 때문이다). 이로써 이 경우의 결과를 얻는다.

보조정리

\(f : X \to B\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(E_1, \ldots, E_r \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전하다고 하자. \(I = \mathbf{Z}^{\oplus r}\)라 하고 다음 사상을 생각하자. \[I \longrightarrow D(\mathcal{O}_X),\quad (n_1, \ldots, n_r) \longmapsto E_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes E_r^{\otimes n_r}\] \(P : I \to \mathbf{Z}\)를 사상이라 하자. 상황 0DNC에서 정의한 \(\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\)는 열린 동시에 닫힌 부분스택이다.

증명

\(B\) 위에서 에탈 국소적으로 작업해도 되므로 \(B\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 이 경우 절대 뇌터 축소를 수행할 수 있다. 독자는 이 증명을 건너뛰어도 좋다. 구체적으로 \(B = \Spec(\Lambda)\)라 하자. \(\Lambda = \colim \Lambda_i\)를 각 \(\Lambda_i\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형인 여과 쌍대극한으로 쓰자. 어떤 \(i\)에 대해 분리이고 유한 표시인 대수공간의 사상 \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\)를 찾아, 이를 \(\Lambda\)로 밑변환하면 \(X\)가 되게 할 수 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 07SK과 0851을 보라. 그런 다음 \(i\)를 키우면, \(D(\mathcal{O}_{X_i})\)의 완전 대상 \(E_{1, i}, \ldots, E_{r, i}\)가 존재하여 \(X\)로 유도 당김한 것이 각각 \(E_1, \ldots, E_r\)과 동형이라고 가정할 수 있다. 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 09RJ를 보라. 명백히 다음 정사각형은 카르테시안이다. \[\xymatrix{ \Cohstack^P_{X/B} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B} \ar[d] \\ \Cohstack^P_{X_i/\Spec(\Lambda_i)} \ar[r] & \Cohstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)} }\] 따라서 보조정리 0DND를 적용하면 증명이 끝난다.

예

\(f : X \to B\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(P : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\)를 수치 다항식이라 하자. 그러면 수치 불변량이 \(P\)와 일치하는, 고유 지지를 갖는 연접층의 평탄한 족으로 이루어진 열린 동시에 닫힌 대수적 부분스택 \[\Cohstack^P_{X/B} = \Cohstack^{P, \mathcal{L}}_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\] 을 생각할 수 있다. \(\Cohstack_{X/B}\)의 대상 \((T \to B, \mathcal{F})\)가 \(\Cohstack^P_{X/B}\)에 속할 필요충분조건은 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)와 \(t \in T\)에 대해 \[P(n) = \chi(X_t, \mathcal{F}_t \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}} \mathcal{L}_t^{\otimes n})\] 인 것이다. 물론 이는 \(I = \mathbf{Z} \to D(\mathcal{O}_X)\)가 \(n \mapsto \mathcal{L}^{\otimes n}\)으로 주어진 상황 0DNC의 특수한 경우이다. 보조정리 0DNE에서 이것이 열린 동시에 닫힌 부분스택임이 따른다. 함수 \(n \mapsto \chi(X_t, \mathcal{F}_t \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}} \mathcal{L}_t^{\otimes n})\) 는 항상 수치 다항식이므로(『체 위의 대수공간』의 보조정리 0DN4), \[\Cohstack_{X/B} = \coprod\nolimits_{P\text{ numerical polynomial}} \Cohstack^P_{X/B}\] 가 서로소 합 분해임을 얻는다.

Quot의 성질

\(f : X \to B\)를 분리이고 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)는 대수공간이다. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\)는 국소적으로 유한 표시이다. 『몫』의 명제 09TU를 보라.

보조정리

\(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\)의 대각사상은 닫힌 몰입이다. \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 이 대각사상은 유한 표시인 닫힌 몰입이다.

증명

스킴 \(T/B\)와 \(B\) 위의 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)의 \(T\)-값 점들에 대응하는 두 몫 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}_i\), \(i = 1, 2\)가 주어졌다고 하자. 첫 번째 사상의 핵을 \(\mathcal{K}_1\)로 표기하고, 합성 사상을 \(u : \mathcal{K}_1 \to \mathcal{Q}_2\)라 두자. 『대수공간 위의 평탄성』의 보조정리 083M에 의해 \(T\)의 닫힌 부분공간이 존재하여, \(T' \to T\)가 이를 통해 분해될 필요충분조건은 당김 \(u_{T'}\)가 영인 것이다. 이는 대각사상이 닫힌 몰입임을 증명한다. 더 나아가 \(\mathcal{F}\)가 유한형이면 \(\mathcal{K}_1\)도 유한형이고 (『사이트 위의 가군』의 보조정리 082T), 같은 보조정리에 의해 대각사상이 유한 표시임을 알 수 있다.

보조정리

사상 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\)는 분리이다. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 이 사상은 국소적으로도 유한 표시이다.

증명

\(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\)가 분리임을 확인하려면 그 대각사상이 닫힌 몰입임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DM2에 의해 참이다. 두 번째 명제는 『몫』의 명제 09TU의 일부이다.

보조정리

\(X \to B\)가 유한 표시일 뿐 아니라 고유이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형 준연접 가군이라고 하자. 그러면 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\)는 값매김 판정법의 존재 부분을 만족한다(『대수공간의 사상』의 정의 03IX).

증명

밑변환을 취하면 곧바로 다음 문제로 귀착된다. 분수체가 \(K\)인 값매김환 \(R\), \(R\) 위에서 고유인 대수공간 \(X\), 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\), 그리고 연접 몫 \(\mathcal{F}_K \to \mathcal{Q}_K\)가 주어졌을 때, \(R\) 위에서 평탄하고 일반 섬유가 \(\mathcal{Q}_K\)인 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{Q}\)로 가는 몫 \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\)가 존재함을 보여라. 『대수공간 위의 평탄성』의 정리 0DLR에 의해 \(R\) 위에서 평탄한 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)는 모두 유한 표시임에 유의하자. 먼저 \(\mathcal{Q}\)의 존재를 아핀 국소적으로 해결한다.

아핀 국소적으로 다음 문제에 이른다. \(R \to A\)를 유한 표시인 환 준동형, \(M\)을 유한 \(A\)-가군, \(\varphi : M_K \to N_K\)를 \(A_K\)-몫가군이라 하자. 그러면 \[L = \{x \in M \mid \varphi(x \otimes 1) = 0 \}\] 을 생각할 수 있다. \(M \to M/L\)은 \(A\)-가군의 몫이고, 이 몫은 \(R\)-가군으로서 꼬임이 없다. 따라서 \(R\)-가군으로서 평탄하다 (『대수학 더 보기』의 보조정리 0539). \(M\)이 유한 \(A\)-가군이므로 \(L\)도 그러하며, 위의 참고문헌에 의해 \(L\)은 유한 표시 \(A\)-가군이라고 결론 내린다. 명백히 \(M/L\)은 \((M/L)_K = N_K\)를 만족하는 이러한 몫으로서 유일하다.

앞 문단의 구성에서의 유일성은 이 몫들이 이어붙여져 원하는 \(\mathcal{Q}\)를 줌을 보장한다. 조금 더 자세히 설명하자. \(U\)가 아핀 스킴인 전사 에탈 사상 \(U \to X\)를 택하자. 위의 구성을 써서 준연접이고 \(R\) 위에서 평탄하며 일반 섬유에서 \(\mathcal{Q}_K|U\)를 되찾는 몫 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{Q}_U\)를 구성한다. \(X\)가 분리이므로 \(U \times_X U\) 역시 \(X\) 위에서 에탈인 아핀 스킴이다. 그러면 구성의 유일성에 의해 몫 \(\mathcal{F}|_{U \times_X U} \to \text{pr}_1^*\mathcal{Q}_U\)와 \(\mathcal{F}|_{U \times_X U} \to \text{pr}_2^*\mathcal{Q}_U\)는 일치한다. 따라서 원하는 대로 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{Q}_U\)를 전사 \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\)로 내릴 수 있다 (『대수공간의 성질』의 명제 03M3).

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들 사이의 아핀 준유한 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\pi_*\)는 사상 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\)를 유도한다.

증명

\(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{F}\)라 두자. \(\pi\)가 아핀이므로 \(B\) 위의 임의의 스킴 \(T\)에 대해 『대수공간의 코호몰로지』의 보조정리 07U8에 의해 \(\mathcal{G}_T = \pi_{T, *}\mathcal{F}_T\)이다. 또한 \(\pi_T\)가 아핀이므로 \(\pi_{T, *}\)는 완전하고 몫을 몫으로 보낸다. 준연접 몫 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)가 \(\Quotfunctor_{X/B}\)의 점을 정의할 필요충분조건은 \(\mathcal{Q}\)가 \(T\) 위의 \(\Cohstack_{X/B}\)의 대상을 정의하는 것이다 (\(\mathcal{G}\)와 \(Y\)에 대해서도 마찬가지이다). 보조정리 0DN9에서 \(\pi_*\)가 사상 \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\)를 유도함을 보았으므로, \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)가 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\)에 속하면 \(\mathcal{G}_T \to \pi_{T, *}\mathcal{Q}\)는 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}(T)\)에 속한다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들의 아핀 열린 몰입이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 보조정리 0DP1의 사상 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\)는 열린 몰입이다.

증명

생략한다. 도움말: \((\pi_*\mathcal{F})_T \to \mathcal{Q}\)가 \(\Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}(T)\)의 원소이고 \(t \in T\)에 대해 \(\text{Supp}(\mathcal{Q}_t) \subset |X_t|\)이면, \(t\)의 어떤 근방에 있는 모든 \(t' \in T\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(j : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들의 열린 몰입이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하고 \(\mathcal{F} = j^*\mathcal{G}\)라 두자. 그러면 \(B\) 위의 대수공간들의 열린 몰입 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}\] 이 존재한다.

증명

\(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)가 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\)의 원소이면 \(\mathcal{G}_T \to j_{T, *}\mathcal{F}_T \to j_{T, *}\mathcal{Q}\)를 생각할 수 있다. 줄기를 살펴보면 이것이 전사임을 알 수 있다. 보조정리 0DN9에 의해 \(j_{T, *}\mathcal{Q}\)는 유한 표시이고 \(B\) 위에서 평탄하며 그 지지가 \(B\) 위에서 고유이다. 따라서 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}\)의 \(T\)-값 점을 얻는다. 이는 보조정리의 사상을 정의한다. 이것이 열린 몰입이라는 증명은 생략한다. 도움말: \(\mathcal{G}_T \to \mathcal{Q}\)가 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}(T)\)의 원소이고 \(t \in T\)에 대해 \(\text{Supp}(\mathcal{Q}_t) \subset |X_t|\)이면, \(t\)의 어떤 근방에 있는 모든 \(t' \in T\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들의 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 보조정리 0DP1의 사상 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\)는 동형이다.

증명

\(B\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 사상 \(\pi_T : X_T \to Y_T\)는 닫힌 몰입이다. 그러면 \(\pi_{T, *}\)는 \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_T})\)와, \(X_T\)의 아이디얼 층에 의해 소멸되는 준연접 가군들을 대상으로 하는 \(\QCoh(\mathcal{O}_{Y_T})\)의 충만한 부분범주 사이의 동치이다. 『대수공간의 사상』의 보조정리 04CJ를 보라. \((\pi_*\mathcal{F})_T\)의 몫은 이 아이디얼에 의해 소멸되므로 모든 \(T\)에 대해 사상 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T) \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}(T)\)가 전단사임을 얻는다.

보조정리

\(X \to B\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 전사라 하자. 그러면 표준적인 닫힌 몰입 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/X/B} \to \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)가 존재한다.

증명

\(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to \mathcal{G})\)라 하자. 당김의 오른쪽 완전성에 의해 \(B\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 \(\mathcal{K}_T \to \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T \to 0\)은 완전열이다. 특히 \(\mathcal{G}_T\)의 몫은 \(\mathcal{F}_T\)의 몫을 결정하므로 함자들의 변환 \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/X/B} \to \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\)를 얻는다. 이 변환은 『대수공간 위의 평탄성』의 보조정리 083M에 의해 닫힌 몰입이다. 구체적으로 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\)의 원소 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)가 주어지면, \(T'/T\)로의 당김이 이 변환의 상에 속할 필요충분조건은 \(\mathcal{K}_{T'} \to \mathcal{Q}_{T'}\)가 영인 것이다.

주

\(f : X \to B\)와 \(\mathcal{F}\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(I\)를 집합이라 하고 각 \(i \in I\)에 대해 \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전하다고 하자. \(P : I \to \mathbf{Z}\)를 함수라 하자. 다음 사상이 있음을 상기하자. \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] 이 사상은 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\)의 원소 \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)를 \(T\) 위의 \(\Cohstack_{X/B}\)의 대상 \(\mathcal{Q}\)로 보낸다. 『몫』의 명제 09TU의 증명을 보라. 따라서 섬유곱 도식 \[\xymatrix{ \Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack^P_{X/B} \ar[d] \\ \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \ar[r] & \Cohstack_{X/B} }\] 을 만들 수 있다. 이는 왼쪽 위의 대수공간을 정의하는 도식이다. 왼쪽 수직 화살표는 평탄한 닫힌 몰입이며, 예를 들어 \(I\)가 유한이거나, \(B\)가 국소 뇌터이거나, 어떤 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(I = \mathbf{Z}\)이고 \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\)이면 열린 동시에 닫힌 몰입이다 (마지막 경우에는 때때로 \(\Quotfunctor^{P, \mathcal{L}}_{\mathcal{F}/X/B}\)라는 표기를 쓴다). 상황 0DNC, 보조정리 0DND와 0DNE, 그리고 예 0DNF을 보라.

보조정리

\(f : X \to B\)와 \(\mathcal{F}\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{L}\)과의 텐서곱은 동형 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}\] 을 정의한다. 수치 다항식 \(P(t)\)가 주어졌을 때 \(P'(t) = P(t + 1)\)로 두면, 이 사상은 열린 동시에 닫힌 부분스택들의 동형 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor^{P'}_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}\)를 유도한다.

증명

\(\mathcal{G} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\)이라 두자. \(\mathcal{G}_T = \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{L}_T\) 임에 유의하자. \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\)가 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\)의 원소이면, 이를 \(\mathcal{G}_T \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{L}_T\)라는 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}(T)\)의 원소로 보낸다. 이는 당김과 호환되므로 원하는 함자들의 변환을 정의한다. 명백한 역변환이 있으므로 동형이다. 마지막 명제의 증명은 생략한다.

보조정리

\(f : X \to B\)와 \(\mathcal{F}\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\Quotfunctor^{P, \mathcal{L}}_{\mathcal{F}/X/B} = \Quotfunctor^{P', \mathcal{L}^{\otimes n}}_{\mathcal{F}/X/B}\] 이며, 여기서 \(P'(t) = P(nt)\)이다.

증명

모든 정의를 풀어 쓰면 즉시 따른다.

Quot의 유계성

고전적인 상황과 달리 Quot 함자가 대수공간이라는 것은 이미 알지만, 그것이 유한형 대수공간으로 표현되는 경우가 있는지는 아직 모른다.

보조정리

\(n \geq 0\), \(r \geq 1\), \(P \in \mathbf{Q}[t]\)라 하자. 힐베르트 다항식이 \(P\)인 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}}^{\oplus r}\)의 몫을 매개화하는 대수공간 \[X = \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}^{\oplus r}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}}/ \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}/\mathbf{Z}}\] 는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에서 고유이다.

증명

\(X \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 분리이고 국소적으로 유한 표시임은 이미 안다(보조정리 0DM3). 또한 \(X \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 값매김 판정법의 존재 부분을 만족함도 안다. 보조정리 0DM4를 보라. 고유성에 대한 값매김 판정법에 의해 우리의 Quot 공간이 준콤팩트임을 보이면 충분하다. 『대수공간의 사상』의 보조정리 0A40를 보라. 따라서 준콤팩트 스킴 \(T\)와 전사 사상 \(T \to X\)를 찾으면 충분하다. 『다양체』의 보조정리 08AG에서 찾은 정수를 \(m\)이라 하자. 다음과 같이 두자. \[N = r{m + n \choose n} - P(m)\] \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n])\)를 \(\mathbf{P}^n\)으로 쓰고, 장식이 없는 곱은 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 곱을 뜻하게 하겠다. 증명의 발상은 아핀 스킴 \(T\) 위에서 “보편적인” 사상 \[\Psi : \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}(-m)^{\oplus N} \longrightarrow \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}^{\oplus r}\] 을 구성하고, \(X\)의 모든 점이 \(T\)의 어떤 점에서 이 사상의 여핵에 대응함을 보이는 것이다.

\(T\)와 \(\Psi\)의 정의. \(T = \Spec(A)\)로 두는데, 여기서 \[A = \mathbf{Z}[a_{i, j, E}]\] 이고 \(i \in \{1, \ldots, r\}\), \(j \in \{1, \ldots, N\}\)이며 \(E = (e_0, \ldots, e_n)\)는 전차수가 \(|E| = \sum_{k = 0, \ldots n} e_k = m\)인 다중지표를 달린다. 그런 다음 \(\Psi\)를 그 \((i, j)\) 행렬 성분이 사상 \[\sum\nolimits_{E = (e_0, \ldots, e_n)} a_{i, j, E} T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n} : \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}(-m) \longrightarrow \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}\] 이 되도록 정의한다. 여기서 합은 위와 같은 \(E\)에 걸쳐 취한다 (물론 \(i\)와 \(j\)는 고정되어 있다).

\(T \times \mathbf{P}^n\) 위의 몫 \(\mathcal{Q} = \Coker(\Psi)\)를 생각하자. 『사상 더 보기』의 보조정리 0ASY에 의해 \(t \geq 0\)와 닫힌 부분스킴들 \[T = T_0 \supset T_1 \supset \ldots \supset T_t = \emptyset\] 이 존재하여, \(\mathcal{Q}\)를 \((T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n\)으로 당긴 \(\mathcal{Q}_p\)는 \(T_p \setminus T_{p + 1}\) 위에서 평탄하다. \(\mathcal{Q} = \Coker(\Psi)\)를 정의하는 완전열을 당기면 완전열 \[\mathcal{O}_{(T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n}(-m)^{\oplus N} \to \mathcal{O}_{(T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n}^{\oplus r} \to \mathcal{Q}_p \to 0\] 을 얻는다. 따라서 사상 \[\coprod (T_p \setminus T_{p + 1}) \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{O}^{\oplus r}/\mathbf{P}/\mathbf{Z}} \supset \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}^{\oplus r}/\mathbf{P}/\mathbf{Z}} = X\] 을 얻는다. 왼쪽은 뇌터 스킴이고 오른쪽의 포함은 열려 있으므로, \(X\)의 임의의 점이 이 사상의 상에 속함을 보이면 충분하다.

\(k\)를 체라 하고 \(x \in X(k)\)라 하자. 그러면 \(x\)는 힐베르트 다항식이 \(P\)인 연접 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}\)-가군 \(\mathcal{F}\)로의 전사 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r} \to \mathcal{F}\)에 대응한다. 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r} \to \mathcal{F} \to 0\] 을 생각하자. 『다양체』의 보조정리 08AG와 \(m\)의 선택에 의해 \(\mathcal{K}\)는 \(m\)-정칙이다. 『다양체』의 보조정리 08A8에 의해 \(\mathcal{K}(m)\)은 대역적으로 생성된다. 『다양체』의 보조정리 08A6과 \(m\)-정칙성의 정의에 의해 \(i > 0\)이면 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m)) = 0\)이다. 따라서 \(N\)의 선택에 의해 \[\dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m)) = \chi(\mathcal{K}(m)) = \chi(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(m)^{\oplus r}) - \chi(\mathcal{F}(m)) = N\] 임을 알 수 있다. 이로부터 전사 \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus N} \longrightarrow \mathcal{K}(m)\] 를 얻는다. 다시 아래로 꼬고 위의 짧은 완전열을 사용하면 \(\mathcal{F}\)가 사상 \[\Psi_x : \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(-m)^{\oplus N} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r}\] 의 여핵임을 알 수 있다. 대응하는 사상 \(t = \Spec(\tau) : \Spec(k) \to T\)에 의한 \(\Psi\)의 밑변환이 \(\Psi_x\)가 되게 하는 환 준동형 \(\tau : A \to k\)가 유일하게 존재한다. 이는 \(\Psi_x\)를 정의하는 \(N \times r\) 행렬의 성분들이 \(T_0, \ldots, T_n\)에 관한 차수 \(m\)의 동차다항식 \(\sum \lambda_{i, j, E} T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\)이고 계수들이 \(\lambda_{i, j, E} \in k\)이므로 \(\tau(a_{i, j, E}) = \lambda_{i, j, E}\)로 둘 수 있기 때문이다. 그러면 어떤 \(p\)에 대해 \(t \in T_p \setminus T_{p + 1}\)이고, 위의 사상 아래에서 \(t\)의 상은 원하는 대로 \(x\)이다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하고 \(X = B \times \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\)라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1)\)의 \(X\)로의 당김이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)에 관해 힐베르트 다항식이 \(P\)인 \(\mathcal{F}\)의 몫을 매개화하는 대수공간 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)는 \(B\) 위에서 고유이다.

증명

이 문제는 \(B\) 위에서 에탈 국소적이다. 『대수공간의 사상』의 보조정리 083R을 보라. 따라서 \(B\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 이 경우 \(\mathcal{L}\)은 \(X\) 위의 풍부한 가역 가군이다(『구성』의 보조정리 01MW와 『성질』의 정의 01PS에 나오는 풍부한 가역 가군의 정의에 의한다). 따라서 『성질』의 명제 01Q3에 의해 \(r' \geq 0\)와 \(r \geq 0\) 및 전사 \[\mathcal{O}_X^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes r'}\] 를 찾을 수 있다. 보조정리 0DP7에 의해 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes r'}\)로, \(P(t)\)를 \(P(t + r')\)로 바꿀 수 있다. 보조정리 0DP5에 의해 닫힌 몰입 \[\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X^{\oplus r}/X/B}\] 을 얻는다. 보조정리 0DPA에서 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X^{\oplus r}/X/B} \to B\)가 고유임을 보였으므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to B\)를 대수공간의 고유 유한 표시 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X/B\) 위에서 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 『대수공간 위의 인자』의 정의 0D31를 보라. \(\mathcal{L}\)에 관해 힐베르트 다항식이 \(P\)인 \(\mathcal{F}\)의 몫을 매개화하는 대수공간 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)는 \(B\) 위에서 고유이다.

증명

이 문제는 \(B\) 위에서 에탈 국소적이다. 『대수공간의 사상』의 보조정리 083R을 보라. 따라서 \(B\)가 아핀 스킴이라고 가정할 수 있다. 그러면 어떤 \(d \geq 1\)에 대해 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_B}(1) \cong \mathcal{L}^{\otimes d}\)를 만족하는 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^n_B\)를 찾을 수 있다. 『사상』의 보조정리 01VS를 보라. \(\mathcal{L}\)을 \(\mathcal{L}^{\otimes d}\)로, 수치 다항식 \(P(t)\)를 \(P(dt)\)로 바꾸어도 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)는 변하지 않는다. 일부 세부사항은 생략한다. 따라서 \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_B}(1)\)이라 가정할 수 있다. 그러면 보조정리 0DP4의 동형 \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\)는 동형 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \cong \Quotfunctor^P_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\)를 유도한다. 보조정리 0DPB에 의해 \(\Quotfunctor^P_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\)가 \(B\) 위에서 고유이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to B\)를 대수공간의 분리 유한 표시 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X/B\) 위에서 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 『대수공간 위의 인자』의 정의 0D31를 보라. \(\mathcal{L}\)에 관해 힐베르트 다항식이 \(P\)인 \(\mathcal{F}\)의 몫을 매개화하는 대수공간 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)는 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시이다.

증명

\(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\)가 분리이고 국소적으로 유한 표시임은 이미 보았다. 보조정리 0DM3를 보라. 따라서 주석 0DP6의 열린 부분공간 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)가 \(B\) 위에서 준콤팩트임을 보이면 충분하다.

이 문제는 \(B\) 위에서 에탈 국소적이다 (『대수공간의 사상』의 보조정리 03KG). 따라서 \(B\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

\(B = \Spec(\Lambda)\)라 하자. \(\Lambda = \colim \Lambda_i\)를 그 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수들의 쌍대극한으로 쓰자. 그러면 어떤 \(i\)에 대해 \(B_i = \Spec(\Lambda_i)\) 위에서 보조정리의 조건을 만족하는 계 \(X_i, \mathcal{F}_i, \mathcal{L}_i\)를 찾아, 이를 \(B\)로 밑변환하면 \(X, \mathcal{F}, \mathcal{L}\)이 되게 할 수 있다. 이는 『대수공간의 극한』의 보조정리 07SK(\(X_i\)를 찾는 데), 07V7 (\(\mathcal{F}_i\)를 찾는 데), 0D2X (\(\mathcal{L}_i\)를 찾는 데), 그리고 084T(\(X_i\)를 분리로 만드는 데)에서 따른다. 다음 등식과 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)에 대한 같은 등식에 의해 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착된다. \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} = B \times_{B_i} \Quotfunctor_{\mathcal{F}_i/X_i/B_i}\]

\(B\)가 뇌터 아핀 스킴이라고 하자. 보조정리 0DP8에 따라 \(\mathcal{L}\)을 양의 거듭제곱으로 바꿀 수 있다. 따라서 \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) = \mathcal{L}\)을 만족하는 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^n_B\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 『사상』의 보조정리 01RG에 의해 \(i\)가 열린 몰입 \(j : X \to X'\)를 통해 분해되는 닫힌 부분스킴 \(X' \subset \mathbf{P}^n_B\)가 존재한다. 『성질』의 보조정리 0G41에 의해 \(j^*\mathcal{G} = \mathcal{F}\)를 만족하는 유한 표시 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{G}\)가 존재한다. 따라서 보조정리 0DP3에 의해 열린 몰입 \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{G}/X'/B}\] 을 얻는다. 명백히 이 열린 몰입은 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\)를 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{G}/X'/B}\) 안으로 보낸다. 이제 보조정리 0DPC에 의해 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{G}/X'/B}\)는 \(B\) 위에서 고유이다. 따라서 이 공간은 뇌터이고, 뇌터 대수공간의 임의의 열린 부분공간은 준콤팩트이므로 결론을 얻는다.

힐베르트 함자의 성질

\(f : X \to B\)를 분리이고 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 \(\Hilbfunctor_{X/B}\)는 \(B\) 위에서 국소적으로 유한 표시인 대수공간이다. 『몫』의 명제 0D01를 보라.

보조정리

\(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\)의 대각사상은 유한 표시인 닫힌 몰입이다.

증명

『몫』의 보조정리 0D00에서 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)임을 보았다. 따라서 이는 보조정리 0DM2에서 따른다.

보조정리

사상 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\)는 분리이고 국소적으로 유한 표시이다.

증명

\(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\)가 분리임을 확인하려면 그 대각사상이 닫힌 몰입임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DM6에 의해 참이다. 두 번째 명제는 『몫』의 명제 0D01의 일부이다.

보조정리

\(X \to B\)가 유한 표시일 뿐 아니라 고유라고 하자. 그러면 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\)는 값매김 판정법의 존재 부분을 만족한다 (『대수공간의 사상』의 정의 03IX).

증명

『몫』의 보조정리 0D00에서 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)임을 보았다. 따라서 이는 보조정리 0DM4에서 따른다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들의 열린 몰입이라 하자. 그러면 \(\pi\)는 열린 몰입 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)를 유도한다.

증명

생략한다. 도움말: \(Z \subset X_T\)가 \(T\) 위에서 고유인 닫힌 부분스킴이면 \(Z\)는 \(Y_T\)에서도 닫혀 있다. 따라서 변환 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)를 얻는다. \(Z \subset Y_T\)가 \(\Hilbfunctor_{Y/B}(T)\)의 원소이고 \(t \in T\)에 대해 \(|Z_t| \subset |X_t|\)이면, \(t\)의 어떤 근방에 있는 모든 \(t' \in T\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

보조정리

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(\pi : X \to Y\)를 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시인 대수공간들의 닫힌 몰입이라 하자. 그러면 \(\pi\)는 닫힌 몰입 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)를 유도한다.

증명

\(\pi\)가 닫힌 몰입이므로, 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X_T\)가 주어지면 \(Z\)를 \(X_T\)의 닫힌 부분스킴으로 볼 수 있음은 즉시 알 수 있다. 따라서 변환 \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\)를 얻는다. 이 변환이 단사 사상임도 즉시 알 수 있다. 이것이 닫힌 몰입임을 증명하려면 사상 \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\)에 보조정리 0DP5을 적용하고, 『몫』의 보조정리 0D00의 식별 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\), \(\Hilbfunctor_{Y/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_Y/Y/B}\)를 사용하면 된다.

주

\(f : X \to B\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(I\)를 집합이라 하고 각 \(i \in I\)에 대해 \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\)가 완전하다고 하자. \(P : I \to \mathbf{Z}\)를 함수라 하자. 『몫』의 보조정리 0D00에서 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)임을 상기하자. 따라서 \[\Hilbfunctor^P_{X/B} = \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X/X/B}\] 로 정의할 수 있으며, 여기서 \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X/X/B}\)는 주석 0DP6에서와 같다. 사상 \[\Hilbfunctor^P_{X/B} \longrightarrow \Hilbfunctor_{X/B}\] 은 평탄한 닫힌 몰입이며, 예를 들어 \(I\)가 유한이거나 \(B\)가 국소 뇌터이거나 어떤 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(I = \mathbf{Z}\)이고 \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\)이면 열린 동시에 닫힌 몰입이다. 마지막 경우에는 때때로 \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{L}}_{X/B}\)라는 표기를 쓴다.

보조정리

\(f : X \to B\)를 대수공간의 고유 유한 표시 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X/B\) 위에서 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 『대수공간 위의 인자』의 정의 0D31를 보라. \(\mathcal{L}\)에 관해 힐베르트 다항식이 \(P\)인 닫힌 부분스킴을 매개화하는 대수공간 \(\Hilbfunctor^P_{X/B}\)는 \(B\) 위에서 고유이다.

증명

『몫』의 보조정리 0D00에서 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)임을 상기하자. 따라서 이 보조정리는 보조정리 0DPC의 직접적인 귀결이다.

보조정리

\(f : X \to B\)를 대수공간의 분리 유한 표시 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X/B\) 위에서 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 『대수공간 위의 인자』의 정의 0D31를 보라. \(\mathcal{L}\)에 관해 힐베르트 다항식이 \(P\)인 닫힌 부분스킴을 매개화하는 대수공간 \(\Hilbfunctor^P_{X/B}\)는 \(B\) 위에서 분리이고 유한 표시이다.

증명

『몫』의 보조정리 0D00에서 \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\)임을 상기하자. 따라서 이 보조정리는 보조정리 0DPD의 직접적인 귀결이다.

피카르 스택의 성질

\(f : X \to B\)를 평탄하고 고유이며 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 \(X/B\) 위의 가역층을 매개화하는 스택 \(\Picardstack_{X/B}\)는 대수적이다. 『몫』의 명제 0D04을 보라.

보조정리

\(B\) 위에서 \(\Picardstack_{X/B}\)의 대각사상은 아핀이며 유한 표시이다.

증명

『몫』의 보조정리 0D03에서 \(\Picardstack_{X/B}\)가 \(\Cohstack_{X/B}\)의 열린 부분스택임을 보았다. 따라서 이는 보조정리 0DLY에서 따른다.

보조정리

사상 \(\Picardstack_{X/B} \to B\)는 준분리이고 국소적으로 유한 표시이다.

증명

『몫』의 보조정리 0D03에서 \(\Picardstack_{X/B}\)가 \(\Cohstack_{X/B}\)의 열린 부분스택임을 보았다. 따라서 이는 보조정리 0DLZ에서 따른다.

보조정리

\(X \to B\)가 고유일 뿐 아니라 매끄럽다고 하자. 그러면 \(\Picardstack_{X/B} \to B\)는 값매김 판정법의 존재 부분을 만족한다 (『스택의 사상』의 정의 0CLK).

증명

밑변환을 취하면 곧바로 다음 문제로 귀착된다. 분수체가 \(K\)인 값매김환 \(R\), \(R\) 위에서 고유하고 매끄러운 대수공간 \(X\), 그리고 가역 \(\mathcal{O}_{X_K}\)-가군 \(\mathcal{L}_K\)가 주어졌을 때, 일반 섬유가 \(\mathcal{L}_K\)인 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 존재함을 보여라. \(X_K\)는 뇌터이고 분리이며 정칙임에 유의하자 (『대수공간의 사상』의 보조정리 04ZL과 『체 위의 대수공간』의 보조정리 06M1를 사용하라). 따라서 \(X_K\) 안의 두 유효 카르티에 인자 \(D_K, D'_K\)에 대해 \(\mathcal{L}_K\)를 피카르 군에서 \(\mathcal{O}_{X_K}(D_K)\)와 \(\mathcal{O}_{X_K}(D'_K)\)의 차로 쓸 수 있다. 『대수공간 위의 인자』의 보조정리 0DMM를 보라. 마지막으로 \(D_K\)와 \(D'_K\)가 유효 카르티에 인자 \(D, D' \subset X\)의 제한임을 안다. 『대수공간 위의 인자』의 보조정리 0DMC를 보라.

보조정리

\(B\) 위의 모든 스킴 \(T\)에 대해 \(f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T} \cong \mathcal{O}_T\)라고 하자. 그러면 \(\Picardstack_{X/B}\)의 관성 스택은 \(\mathbf{G}_m \times \Picardstack_{X/B}\)와 같다.

증명

이는 『스택의 예』의 예 0375에서 설명한다.

보조정리

이 절의 다른 가정들에 더하여 \(f : X \to B\)의 상대 차원이 \(\leq 1\)이라고 하자. 그러면 \(\Picardstack_{X/B} \to B\)는 매끄럽다.

증명

\(\Picardstack_{X/B} \to B\)가 국소적으로 유한 표시임은 이미 안다. 보조정리 0DMB를 보라. 따라서 『스택의 사상 더 보기』의 보조정리 0DP0에 의해 \(\Picardstack_{X/B} \to B\)가 형식적으로 매끄러움을 보이면 충분하다. 밑변환을 취하면 곧바로 다음 문제로 귀착된다. 아핀 스킴의 일차 두꺼워짐 \(T \subset T'\), 고유하고 평탄하며 유한 표시이고 상대 차원이 \(\leq 1\)인 사상 \(X' \to T'\), 그리고 \(X = T \times_{T'} X'\) 위의 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)이 주어졌을 때, \(X\)로 제한하면 \(\mathcal{L}\)이 되는 가역 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{L}'\)이 존재함을 증명하라. \(T \subset T'\)가 일차 두꺼워짐이므로 \(X \subset X'\)도 그러하다. 『대수공간의 사상 더 보기』의 보조정리 09ZX을 보라. 『대수공간의 사상 더 보기』의 보조정리 0DNM에 의해 \(X\)를 \(X'\)에서 잘라내는 준연접 아이디얼을 \(\mathcal{I}\)라 할 때 \(H^2(X, \mathcal{I}) = 0\)임을 보이면 충분하다. 구조 사상을 \(f : X \to T\)로 표기하자. 『대수공간의 코호몰로지』의 보조정리 0A4T에 의해 \(p > 1\)이면 \(R^pf_*\mathcal{I} = 0\)이다. 따라서 『대수공간의 코호몰로지』의 보조정리 08EX에 의해 원하는 소멸을 얻는다(여기서 마침내 \(T\)가 아핀이라는 사실을 쓴다).

피카르 함자의 성질

\(f : X \to B\)를 평탄하고 고유이며 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하고, 더 나아가 모든 \(T/B\)에 대해 표준 사상 \[\mathcal{O}_T \longrightarrow f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\] 이 동형이라고 하자. 그러면 피카르 함자 \(\Picardfunctor_{X/B}\)는 대수공간이다. 『몫』의 명제 0D2C를 보라. 피카르 스택과는 밀접한 관계가 있다.

보조정리

사상 \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\)는 피카르 스택을 피카르 함자 위의 gerbe로 만든다.

증명

\(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\)가 gerbe라는 정의는 『스택의 사상』의 정의 06QC에 주어져 있고, 이는 다시 『스택』의 정의 06P2를 참조한다. 이를 증명하기 위해 『스택』의 보조정리 06P1의 조건 (2)(a)와 (2)(b)를 확인하겠다. 이는 『몫』의 보조정리 0D26에서 즉시 따른다. 자세히 설명하자.

조건 (2)(a). \(B\) 위의 어떤 스킴 \(U\)에 대해 \(\xi \in \Picardfunctor_{X/B}(U)\)라고 하자. \(\Picardfunctor_{X/B}\)는 \(B\) 위의 스킴에 주어진 규칙 \(T \mapsto \Pic(X_T)\)의 fppf 층화이므로 (『몫』의 상황 0D25), fppf 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재하여 \(\xi|_{U_i}\)는 \(X_{U_i}\) 위의 어떤 가역 가군 \(\mathcal{L}_i\)에 대응한다. 그러면 \((U_i \to B, \mathcal{L}_i)\)는 \(U_i\) 위의 \(\Picardstack_{X/B}\)의 대상이고 \(\xi|_{U_i}\)로 사상된다.

조건 (2)(b). \(U\)가 \(B\) 위의 스킴이고 \(\mathcal{L}, \mathcal{N}\)이 \(X_U\) 위의 가역 가군으로서 \(\Picardfunctor_{X/B}(U)\)의 같은 원소로 사상된다고 하자. 그러면 fppf 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재하여 \(\mathcal{L}|_{X_{U_i}}\)는 \(\mathcal{N}|_{X_{U_i}}\)와 동형이다. 따라서 원하는 대로 \((U \to B, \mathcal{L})|_{U_i} \to (U \to B, \mathcal{N})|_{U_i}\)인 동형들을 찾는다.

보조정리

\(B\) 위에서 \(\Picardfunctor_{X/B}\)의 대각사상은 준콤팩트 몰입이다.

증명

『몫』의 보조정리 0D2D에 의해 대각사상은 몰입이다. 마무리를 위해 대각사상이 준콤팩트임을 보이자. 보조정리 0DMA에 의해 \(\Picardstack_{X/B}\)의 대각사상은 준콤팩트이고, 보조정리 0DME에 의해 \(\Picardstack_{X/B}\)는 \(\Picardfunctor_{X/B}\) 위의 gerbe이다. 『스택의 사상』의 보조정리 0DQL로 결론을 얻는다.

보조정리

사상 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\)는 준분리이고 국소적으로 유한 표시이다.

증명

\(\Picardfunctor_{X/B} \to B\)가 준분리임을 확인하려면 그 대각사상이 준콤팩트임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DMF에서 즉시 따른다. 사상 \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\)는 전사이고 평탄하며 국소적으로 유한 표시이므로(보조정리 0DME와 『스택의 사상』의 보조정리 06QI), 『스택의 사상』의 보조정리 06Q9에 의해 \(\Picardstack_{X/B} \to B\)가 국소적으로 유한 표시임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0DMB에서 따른다.

보조정리

이 절의 다른 가정들에 더하여 \(X \to B\)의 기하적 섬유들이 정역이라고 하자. 그러면 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\)는 분리이다.

증명

\(\Picardfunctor_{X/B} \to B\)가 준분리이므로 값매김 판정법의 유일성 부분을 확인하면 충분하다. 『대수공간의 사상』의 보조정리 03KV를 보라. 이는 곧바로 다음 문제로 귀착된다. 다음이 주어졌다고 하자.

1. 분수체가 \(K\)인 값매김환 \(R\),

2. \(R\) 위에서 고유하고 평탄하며 기하적 섬유가 정역인 대수공간 \(X\),

3. \(a|_{\Spec(K)} = 0\)을 만족하는 원소 \(a \in \Picardfunctor_{X/R}(R)\).

이때 \(a = 0\)임을 증명해야 한다. 전사 평탄 사상 \(\Picardstack_{X/R} \to \Picardfunctor_{X/R}\)에 『스택의 사상』의 보조정리 0DN5을 적용하자(전사성과 평탄성은 보조정리 0DME와 『스택의 사상』의 보조정리 06QI에서 따른다). \(R\)을 한 확대환으로 바꾼 뒤에는 \(a\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)로 주어진다고 가정할 수 있다. \(a|_{\Spec(K)} = 0\)이므로 『몫』의 보조정리 0D27에 의해 \(\mathcal{L}_K \cong \mathcal{O}_{X_K}\)이다.

구조 사상을 \(f : X \to \Spec(R)\)로 표기하자. \(\eta, 0 \in \Spec(R)\)를 각각 일반점과 닫힌점이라 하자. \(\Spec(R)\) 위의 완전 복합체 \(K = Rf_*\mathcal{L}\)과 \(M = Rf_*(\mathcal{L}^{\otimes -1})\)을 생각하자. 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0CTM를 보라. \(K\)와 \(M\)에 딸린 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0D1Y의 함수 \(\beta_{K, i}, \beta_{M, i} : \Spec(R) \to \mathbf{Z}\)를 생각하자. \(K\)와 \(M\)의 형성은 밑변환과 가환하므로(위에서 인용한 보조정리를 보라), 『체 위의 대수공간』의 보조정리 0DMY와 \(f\)의 섬유에 대한 가정에 의해 \(\beta_{K, 0}(\eta) = \beta_{M, 0}(\eta) = 1\)이다. 위 반연속성에 의해 \(\beta_{K, 0}(0) \geq 1\)이고 \(\beta_{M, 0}(0) \geq 1\)이다. 『체 위의 대수공간』의 보조정리 0DMZ에 의해 \(\mathcal{L}\)을 특수 섬유 \(X_0\)에 제한한 것은 자명하다고 결론 내린다. 그러면 다시 위와 같이 \(\beta_{K, 0}(0) = \beta_{M, 0} = 1\)이다. 이제 『대수학 더 보기』의 보조정리 0BCC에 의해 \(K\)를 다음 형태의 복합체로 나타낼 수 있다. \[\ldots \to 0 \to R \to R^{\oplus \beta_{K, 1}(0)} \to R^{\oplus \beta_{K, 2}(0)} \to \ldots\] \(\beta_{K, 0}(\eta) = 1\)이므로 \(R \to R^{\oplus \beta_{K, 1}(0)}\)은 영이다. 다시 말해 \(D(R)\)에서 \(K = R \oplus \tau_{\geq 1}(K)\)이고, 어떤 \(b \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\tau_{\geq 1}(K)\)의 토르 진폭은 \([1, b]\) 안에 있다. 따라서 \(X_0\)로의 제한 \(s_0\)이 소멸하지 않는 대역 단면 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)이 존재한다 (\(K\)의 형성이 밑변환과 가환하기 때문이다). 그러면 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)은 그 \(X_0\)로의 제한이 동형인 가역층들의 사상이므로, 원하는 대로 그 자체가 동형이다.

보조정리

이 절의 다른 가정들에 더하여 \(f : X \to B\)의 상대 차원이 \(\leq 1\)이라고 하자. 그러면 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\)는 매끄럽다.

증명

보조정리 0DPJ에 의해 \(\Picardstack_{X/B} \to B\)가 매끄러움을 안다. 보조정리 0DME와 『스택의 사상』의 보조정리 0DN8를 결합하면 사상 \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\)는 전사이고 매끄럽다. 따라서 \(U\)가 스킴이고 \(U \to \Picardstack_{X/B}\)가 전사이고 매끄러우면, \(U \to \Picardfunctor_{X/B}\)는 전사이고 매끄러우며 \(U \to B\)도 전사이고 매끄럽다(이 성질들은 합성에 의해 보존되기 때문이다). 그러므로 예를 들어 『대수공간 위의 내림』의 보조정리 0AHD에 의해 \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\)는 매끄럽다.

상대 사상의 성질

\(B\)를 대수공간이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하고, \(Y \to B\)는 평탄하고 고유이며 유한 표시이고 \(X \to B\)는 분리이고 유한 표시라고 하자. 그러면 상대 사상의 함자 \(\mathit{Mor}_B(Y, X)\)는 \(B\) 위에서 국소적으로 유한 표시인 대수공간이다. 『몫』의 명제 0D1C를 보라.

보조정리

\(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\)의 대각사상은 유한 표시인 닫힌 몰입이다.

증명

열린 몰입 \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to \Hilbfunctor_{Y \times_B X/B}\)가 존재한다. 『몫』의 보조정리 0D1B을 보라. 따라서 이 보조정리는 보조정리 0DM6에서 따른다.

보조정리

사상 \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\)는 분리이고 국소적으로 유한 표시이다.

증명

\(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\)가 분리임을 확인하려면 그 대각사상이 닫힌 몰입임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DPM에 의해 참이다. 두 번째 명제는 『몫』의 명제 0D1C의 일부이다.

보조정리

\(B, X, Y\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두고, 추가로 \(X \to B\)가 고유라고 하자. 그러면 동형들로 이루어진 부분함자 \(\mathit{Isom}_B(Y, X) \subset \mathit{Mor}_B(Y, X)\)는 열린 부분공간이다.

증명

『대수공간의 사상 더 보기』의 보조정리 05XD에서 즉시 따른다.

주

\(B, X, Y\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두자. \(I\)를 집합이라 하고 각 \(i \in I\)에 대해 \(E_i \in D(\mathcal{O}_{Y \times_B X})\)가 완전하다고 하자. \(P : I \to \mathbf{Z}\)를 함수라 하자. \[\mathit{Mor}_B(Y, X) \subset \Hilbfunctor_{Y \times_B X/B}\] 가 열린 부분공간임을 상기하자. 『몫』의 보조정리 0D1B을 보라. 따라서 \[\mathit{Mor}^P_B(Y, X) = \mathit{Mor}_B(Y, X) \cap \Hilbfunctor^P_{Y \times_B X/B}\] 로 정의할 수 있으며, 여기서 \(\Hilbfunctor^P_{Y \times_B X/B}\)는 주석 0DPG에서와 같다. 사상 \[\mathit{Mor}^P_B(Y, X) \longrightarrow \mathit{Mor}_B(Y, X)\] 은 평탄한 닫힌 몰입이며, 예를 들어 \(I\)가 유한이거나 \(B\)가 국소 뇌터이거나 어떤 가역 \(\mathcal{O}_{Y \times_B X}\)-가군 \(\mathcal{L}\)에 대해 \(I = \mathbf{Z}\)이고 \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\)이면 열린 동시에 닫힌 몰입이다. 마지막 경우에는 때때로 \(\mathit{Mor}^{P, \mathcal{L}}_B(Y, X)\)라는 표기를 쓴다.

보조정리

\(B, X, Y\)를 이 절의 도입부에서와 같이 두고, \(\mathcal{L}\)은 \(X/B\) 위에서 풍부하고 \(\mathcal{N}\)은 \(Y/B\) 위에서 풍부하다고 하자. 『대수공간 위의 인자』의 정의 0D31를 보라. \(P\)를 수치 다항식이라 하자. 그러면 \[\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X) \longrightarrow B\] 는 분리이고 유한 표시이며, 여기서 \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_B X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\)이다.

증명

보조정리 0DPN에 의해 사상 \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\)는 분리이고 국소적으로 유한 표시이다. 따라서 주석 0DPQ의 열린 동시에 닫힌 부분공간 \(\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X)\)가 \(B\) 위에서 준콤팩트임을 보이면 충분하다.

이 문제는 \(B\) 위에서 에탈 국소적이다 (『대수공간의 사상』의 보조정리 03KG). 따라서 \(B\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

\(B = \Spec(\Lambda)\)라 하자. \(X\)와 \(Y\)는 스킴이고 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)은 각각 \(X\)와 \(Y\) 위의 풍부한 가역층임에 유의하자(이는 정의에서 즉시 따른다). \(\Lambda = \colim \Lambda_i\)를 그 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수들의 쌍대극한으로 쓰자. 그러면 어떤 \(i\)에 대해 \(B_i = \Spec(\Lambda_i)\) 위에서 보조정리의 조건을 만족하는 계 \(X_i, Y_i, \mathcal{L}_i, \mathcal{N}_i\)를 찾아, 이를 \(B\)로 밑변환하면 \(X, Y, \mathcal{L}, \mathcal{N}\)이 되게 할 수 있다. 이는 『극한』의 보조정리 01ZM(\(X_i\), \(Y_i\)를 찾는 데), 0B8W (\(\mathcal{L}_i\), \(\mathcal{N}_i\)를 찾는 데), 01ZQ (\(X_i \to B_i\)를 분리로 만드는 데), 081F(\(Y_i \to B_i\)를 고유로 만드는 데), 그리고 09MT (\(\mathcal{L}_i\), \(\mathcal{N}_i\)를 풍부하게 만드는 데)에서 따른다. 다음 등식과 \(\mathit{Mor}^P_B(Y, X)\)에 대한 같은 등식에 의해 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착된다. \[\mathit{Mor}_B(Y, X) = B \times_{B_i} \mathit{Mor}_{B_i}(Y_i, X_i)\]

\(B\)가 뇌터 아핀 스킴이라고 하자. 『성질』의 보조정리 0DNK에 의해 \(\mathcal{M}\)은 풍부하다. 보조정리 0DPI에 의해 \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\)는 \(B\) 위에서 유한 표시이고, 따라서 뇌터이다. 구성에 의해 \[\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X) = \mathit{Mor}_B(Y, X) \cap \Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\] 는 \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\)의 열린 부분공간이고, 따라서 준콤팩트이다(뇌터 대수공간의 열린 부분공간은 준콤팩트이므로).

편극된 고유 스킴의 스택의 성질

이 절에서는 모듈라이 스택 \[\Polarizedstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] 의 성질을 논한다. 스킴 \(S\) 위의 이 스택의 단면 범주는 상대적으로 풍부한 가역층이 주어진, \(S\) 위에서 고유하고 평탄하며 유한 표시인 스킴의 범주이다. 이는 『몫』의 정리 0D4X에 의해 대수적 스택이다.

보조정리

\(\Polarizedstack\)의 대각사상은 분리이고 유한 표시이다.

증명

\(\Polarizedstack\)가 극한을 보존하는 대수적 스택임을 상기하자. 『몫』의 보조정리 0D43를 보라. 『스택의 극한』의 보조정리 0CMW에 의해 이는 \(\Delta : \Polarizedstack \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\)가 극한을 보존함을 뜻한다. 따라서 『스택의 극한』의 명제 0CMY에 의해 \(\Delta\)는 국소적으로 유한 표시이다.

\(\Delta\)가 분리임을 증명하자. 이를 위해서는 아핀 스킴 \(U\)와 \(U\) 위의 \(\Polarizedstack\)의 두 대상 \(\upsilon = (Y, \mathcal{N})\)과 \(\chi = (X, \mathcal{L})\)이 주어졌을 때 대수공간 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)\] 가 분리임을 보이면 충분하다. 동형 \(\upsilon_T \to \chi_T\)에 그 기저 동형 \(Y_T \to X_T\)를 대응시키는 규칙은 사상 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X)\] 을 정의한다. 보조정리 0DPN와 0DPP에서 표적이 분리 대수공간임을 보았으므로, 이 사상이 분리임을 증명하면 충분하다. 어떤 스킴 \(T/U\) 위의 동형 \(f : Y_T \to X_T\)가 주어지면 명백히 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \times_{\mathit{Isom}_U(Y, X), [f]} T = \mathit{Isom}(\mathcal{N}_T, f^*\mathcal{L}_T)\] 이다. 여기서 \([f] : T \to \mathit{Isom}_U(Y, X)\)는 \(f\)에 대응하는 \(T\)-값 점을 나타내고, \(\mathit{Isom}(\mathcal{N}_T, f^*\mathcal{L}_T)\)는 절 0DLW에서 논한 대수공간이다. 이 대수공간은 \(U\) 위에서 아핀이므로, 이 주장은 \(\Delta\)가 분리임을 함의한다.

증명을 마치기 위해 \(\Delta\)가 준콤팩트임을 보이자. \(\Delta\)는 대수공간으로 표현가능하므로, 전사 매끄러운 사상 \(U \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\)에 의한 \(\Delta\)의 밑변환이 준콤팩트임을 확인하면 충분하다(예를 들어 『스택의 성질』의 보조정리 04XD를 보라). \(U = \coprod U_i\)가 아핀 열린 부분들의 서로소 합이라고 가정할 수 있다. \(\Polarizedstack\)는 극한을 보존하므로(위를 보라), \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 국소적으로 유한 표시이고, 따라서 \(U_i \to \Spec(\mathbf{Z})\)도 국소적으로 유한 표시이다 (『스택의 극한』의 명제 0CMY과 『스택의 사상』의 보조정리 06Q3 및 0DNP). 특히 \(U_i\)는 뇌터 아핀이다. 이로써 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착된다.

이 문단에서는 뇌터 아핀 스킴 \(U\)와 \(U\) 위의 \(\Polarizedstack\)의 두 대상 \(\upsilon = (Y, \mathcal{N})\)과 \(\chi = (X, \mathcal{L})\)이 주어졌을 때 대수공간 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)\] 가 준콤팩트임을 보인다. \(U\)의 연결 성분들은 열린 동시에 닫혀 있으므로 \(U\)를 이들로 바꿀 수 있다. 따라서 \(U\)가 연결이라고 가정하며 실제로 그렇게 하겠다. \(u \in U\)를 한 점이라 하자. \(n \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\)을 힐베르트 다항식 \(P\)라 하자. 『다양체』의 보조정리 0BEM를 보라. \(U\)가 연결이고 함수 \(u \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\)들이 국소 상수이므로 (『스킴의 유도 범주』의 보조정리 0B9T를 보라), \(U\)의 모든 점에서 같은 힐베르트 다항식을 얻는다. \(Y \times_U X\) 위에서 \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_U X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\)로 두자. \(U\) 위의 어떤 스킴 \(T\)에 대해 \((f, \varphi) \in \mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)(T)\)가 주어지면 모든 \(t \in T\)에 대해 \[\chi(Y_t, (\text{id} \times f)^*\mathcal{M}^{\otimes n}) = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_t}} f_t^*\mathcal{L}_t^{\otimes n}) = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes 2n}) = P(2n)\] 이다. 가운데 등식에서는 동형 \(\varphi : f^*\mathcal{L}_T \to \mathcal{N}_T\)를 사용한다. \(P'(t) = P(2t)\)로 두면 앞서 본 사상 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X)\] 의 상은 교집합 \[\mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] 에 포함된다. 이 교집합은 \(\mathit{Mor}_U(Y, X)\)의 열린 부분공간들의 교집합이다(보조정리 0DPP와 주석 0DPQ을 보라). 이제 보조정리 0DPR에 의해 \(\mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\)는 \(U\) 위에서 유한 표시인 뇌터 대수공간이다. 따라서 이 교집합도 뇌터 대수공간이다. 사상 \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] 이 아핀이므로(위를 보라) 결론을 얻는다.

보조정리

사상 \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 준분리이고 국소적으로 유한 표시이다.

증명

\(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 준분리임을 확인하려면 그 대각사상이 준콤팩트이고 준분리임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DPT에서 즉시 따른다. \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 국소적으로 유한 표시임을 증명하려면 \(\Polarizedstack\)가 극한을 보존함을 보이면 충분하다. 『스택의 극한』의 명제 0CMY를 보라. 이는 『몫』의 보조정리 0D43이다.

보조정리

\(n \geq 1\)을 정수, \(P\)를 수치 다항식이라 하자. 부분집합 \[T \subset |\Polarizedstack|\] 이 다음 성질을 만족한다고 하자. 모든 \(\xi \in T\)에 대해 체 \(k\)와 \(\xi\)를 나타내는 \(k\) 위의 \(\Polarizedstack\)의 대상 \((X, \mathcal{L})\)이 존재하여 다음을 만족한다.

1. \(X\) 위의 \(\mathcal{L}\)의 힐베르트 다항식은 \(P\)이고,

2. \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \cong \mathcal{L}\)을 만족하는 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\)가 존재한다.

그러면 \(T\)는 뇌터 위상공간이고, 특히 준콤팩트이다.

증명

\(|\Polarizedstack|\)는 국소 뇌터 위상공간임에 유의하자. 『스택의 사상』의 보조정리 0DQI를 보라 (여기서는 \(\Spec(\mathbf{Z})\)가 뇌터라는 사실, 따라서 보조정리 0DPU와 『스택의 사상』의 보조정리 06R6에 의해 \(\Polarizedstack\)가 국소 뇌터 대수적 스택이라는 사실도 사용한다). 따라서 \(|\Polarizedstack|\)의 임의의 준콤팩트 부분집합은 뇌터 위상공간이고, 그러한 집합의 임의의 부분집합 역시 뇌터이다. 『위상수학』의 보조정리 0053과 0052을 보라. 따라서 \(T\)를 포함하는 준콤팩트 부분집합을 하나 찾기만 하면 된다.

보조정리 0DPH에 의해 대수공간 \[H = \Hilbfunctor^{P, \mathcal{O}(1)}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}/\Spec(\mathbf{Z})}\] 는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에서 고유이다. 『몫』의 보조정리 0D3W¹에 의해 \(H\)의 항등 사상은 닫힌 부분공간 \[Z \subset \mathbf{P}^n_H\] 에 대응한다. 이 부분공간은 \(H\) 위에서 고유하고 평탄하며 유한 표시이고, 제한 \(\mathcal{N} = \mathcal{O}(1)|_Z\)는 \(Z/H\) 위에서 상대적으로 풍부하며 \(Z \to H\)의 섬유들 위에서 힐베르트 다항식 \(P\)를 갖는다. 특히 쌍 \((Z \to H, \mathcal{N})\)은 사상 \[H \longrightarrow \Polarizedstack\] 을 정의한다. 이 사상은 스킴의 사상 \(U \to H\)를 족 \((Z_U \to U, \mathcal{N}_U)\)의 분류 사상으로 보낸다. 『몫』의 보조정리 0E94를 보라. \(H\)는 뇌터 대수공간이므로(\(\mathbf{Z})\) 위에서 고유이므로), \(|H|\)는 뇌터이고 따라서 준콤팩트이다. 사상 \[|H| \longrightarrow |\Polarizedstack|\] 은 연속이므로 그 상은 준콤팩트이다. 따라서 \(T\)가 \(|H| \to |\Polarizedstack|\)의 상에 포함됨을 증명하면 충분하다. 그러나 가정 (1)과 (2)는 정확히 이것이 성립한다는 사실을 표현한다. \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \cong \mathcal{L}\)을 만족하는 닫힌 몰입 \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\)를 어떻게 택하더라도 \(H\)의 모듈라이 해석에 의해 \(H\)의 \(k\)-값 점을 얻는다. 이로써 보조정리의 증명이 끝난다.

고유 사상 위의 복합체의 모듈라이의 성질

\(f : X \to B\)를 고유하고 평탄하며 유한 표시인 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 음의 자기 Ext가 소멸하는 상대 완전 복합체를 매개화하는 스택 \(\Complexesstack_{X/B}\)는 대수적이다. 『몫』의 정리 0DLN를 보라.

보조정리

\(B\) 위에서 \(\Complexesstack_{X/B}\)의 대각사상은 아핀이며 유한 표시이다.

증명

대각사상이 대수공간으로 표현가능함은 『몫』의 보조정리 0DLG에서 보였다. 그 증명을 살펴보면 다음을 보여야 함을 알 수 있다. \(B\) 위의 스킴 \(T\)와 대상 \(E, E' \in D(\mathcal{O}_{X_T})\)가 주어져서 \((T, E)\)와 \((T, E')\)가 \(T\) 위의 \(\Complexesstack_{X/B}\)의 섬유 범주의 대상이라고 하자. 그러면 \(\mathit{Isom}(E, E') \to T\)는 아핀이며 유한 표시이다. 여기서 \(\mathit{Isom}(E, E')\)는 다음 함자이다. \[(\Sch/T)^{opp} \to \textit{Sets},\quad T' \mapsto \{\varphi : E_{T'} \to E'_{T'} \text{ isomorphism in }D(\mathcal{O}_{X_{T'}})\}\] 여기서 \(E_{T'}\)와 \(E'_{T'}\)는 각각 \(E\)와 \(E'\)를 \(X_{T'}\)로 유도 당김한 것이다. 다음 규칙으로 정의되는 함자 \(H = \SheafHom(E, E')\)를 생각하자. \[(\Sch/T)^{opp} \to \textit{Sets},\quad T' \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_{T'}}}(E_T, E'_T)\] 『몫』의 보조정리 0DLC에 의해 이는 \(T\) 위에서 아핀이고 유한 표시인 대수공간이다. \(H' = \SheafHom(E', E)\), \(I = \SheafHom(E, E)\), 그리고 \(I' = \SheafHom(E', E')\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \[\mathit{Isom}(E, E') = (H' \times_T H) \times_{c, I \times_T I', \sigma} T\] 임을 알 수 있다. 여기서 \(c(\varphi', \varphi) = (\varphi \circ \varphi', \varphi' \circ \varphi)\)이고 \(\sigma = (\text{id}, \text{id})\)이다(『몫』의 명제 08K9의 증명과 비교하라). 따라서 \(\mathit{Isom}(E, E')\)는 \(T\) 위의 아핀 스킴들의 섬유곱으로서 \(T\) 위에서 아핀이다. 마찬가지로 \(\mathit{Isom}(E, E')\)는 \(T\) 위에서 유한 표시이다.

보조정리

사상 \(\Complexesstack_{X/B} \to B\)는 준분리이고 국소적으로 유한 표시이다.

증명

\(\Complexesstack_{X/B} \to B\)가 준분리임을 확인하려면 그 대각사상이 준콤팩트이고 준분리임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DPW에서 즉시 따른다. \(\Complexesstack_{X/B} \to B\)가 국소적으로 유한 표시임을 증명하려면 \(\Complexesstack_{X/B} \to B\)가 극한을 보존함을 보여야 한다. 『스택의 극한』의 명제 0CMY를 보라. 이는 『몫』의 보조정리 0DLJ에서 따른다 (작은 세부사항은 생략한다).