Champs de modules

Introduction

Dans ce chapitre, nous vérifions des propriétés élémentaires d’espaces et de champs de modules tels que \(\mathit{Hom}\), \(\mathit{Isom}\), \(\Cohstack_{X/B}\), \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\), \(\Hilbfunctor_{X/B}\), \(\Picardstack_{X/B}\), \(\Picardfunctor_{X/B}\), \(\mathit{Mor}_B(Z, X)\), \(\Spacesstack'_{fp, flat, proper}\), \(\Polarizedstack\) et \(\Complexesstack_{X/B}\). Nous avons déjà montré, sous des hypothèses convenables, qu’il s’agit d’espaces algébriques ou de champs algébriques ; voir Quotients, sections 08JS, 08K7, 08KA, 08WB, 09TQ, 0CZX, 0D02, 0D24, 0D19, 0D1D, 0D1L et 0DLB. Le champ des courbes, noté \(\textit{Curves}\) et introduit dans Quotients, section 0D4Y, est étudié au chapitre sur les modules de courbes ; voir Modules des courbes, section 0DMJ.

En un certain sens, ce chapitre suit les traces des exposés de Grothendieck [Gr-I], [Gr-II], [Gr-III], [Gr-IV], [Gr-V] et [Gr-VI].

Conventions et abus de langage

Nous continuons d’employer les conventions et les abus de langage introduits dans Propriétés des champs, section 04XA. Sauf mention contraire, notre schéma de base sera \(\Spec(\mathbf{Z})\).

Propriétés de Hom et Isom

Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques de présentation finie. Supposons que \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) soient des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Si \(\mathcal{G}\) est de présentation finie, plat sur \(B\) et à support propre sur \(B\), alors le foncteur \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) défini par \[T/B \longmapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_T}}(\mathcal{F}_T, \mathcal{G}_T)\] est un espace algébrique affine sur \(B\). Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(\mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to B\) est de présentation finie. Voir Quotients, proposition 08K6.

Si \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont tous deux de présentation finie, plats sur \(B\) et à support propre sur \(B\), alors le sous-foncteur \[\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \subset \mathit{Hom}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\] est un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(B\). Voir Quotients, proposition 08K9.

Propriétés du champ des faisceaux cohérents

Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques séparé et de présentation finie. Alors le champ \(\Cohstack_{X/B}\) qui paramètre les familles plates de modules cohérents à support propre est algébrique. Voir Quotients, théorème 09DS.

Lemme

La diagonale de \(\Cohstack_{X/B}\) sur \(B\) est affine et de présentation finie.

Démonstration

La représentabilité de la diagonale par des espaces algébriques a été établie dans Quotients, lemme 08W6. Il ressort de la démonstration qu’il nous faut montrer que \(\mathit{Isom}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \to T\) est affine et de présentation finie pour une paire de \(\mathcal{O}_{X_T}\)-modules de présentation finie \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\), plats sur \(T\) et à support propre sur \(T\). C’est précisément ce qui a été étudié à la section 0DLW.

Lemme

Le morphisme \(\Cohstack_{X/B} \to B\) est quasi-séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\Cohstack_{X/B} \to B\) est quasi-séparé, il faut montrer que sa diagonale est quasi-compacte et quasi-séparée. Cela résulte immédiatement du lemme 0DLY. Pour prouver que \(\Cohstack_{X/B} \to B\) est localement de présentation finie, il faut montrer que \(\Cohstack_{X/B} \to B\) préserve les limites ; voir Limites de champs, proposition 0CMY. Cela découle de Quotients, lemme 08KD (un petit détail est omis).

Lemme

Supposons que \(X \to B\) soit propre ainsi que de présentation finie. Alors \(\Cohstack_{X/B} \to B\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif (Morphismes de champs, définition 0CLK).

Démonstration

Après changement de base, on se ramène immédiatement au problème suivant : étant donnés un anneau de valuation \(R\) de corps des fractions \(K\), un espace algébrique \(X\) propre sur \(R\) et un \(\mathcal{O}_{X_K}\)-module cohérent \(\mathcal{F}_K\), montrer qu’il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\) de présentation finie, plat sur \(R\), dont la fibre générique est \(\mathcal{F}_K\). Remarquons que, d’après Platitude sur les espaces, théorème 0DLR, tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de type fini et plat sur \(R\) est de présentation finie. Notons \(j : X_K \to X\) l’immersion de la fibre générique. Puisqu’il est obtenu par changement de base à partir du morphisme affine \(\Spec(K) \to \Spec(R)\), le morphisme \(j\) est affine. Ainsi, \(j_*\mathcal{F}_K\) est quasi-cohérent. Écrivons \[j_*\mathcal{F}_K = \colim \mathcal{F}_i\] comme limite inductive filtrante de ses sous-\(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents de type fini ; voir Limites d’espaces, lemme 0829. Comme \(j_*\mathcal{F}_K\) est un faisceau de \(K\)-espaces vectoriels sur \(X\), il est plat sur \(\Spec(R)\). Chaque \(\mathcal{F}_i\) est donc plat sur \(R\), car, sur un anneau de valuation, la platitude équivaut à l’absence de torsion (Compléments d’algèbre, lemme 0539) et l’absence de torsion passe aux sous-modules. Enfin, nous devons montrer que l’application \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\) est un isomorphisme pour un certain \(i\). Puisque \(j^*j_*\mathcal{F}_K = \mathcal{F}_K\) (un petit détail est omis) et que \(j^*\) est exact, on voit que \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\) est injective pour tout \(i\). Comme \(j^*\) commute aux limites inductives, on a \(\mathcal{F}_K = j^*j_*\mathcal{F}_K = \colim j^*\mathcal{F}_i\). Puisque \(\mathcal{F}_K\) est cohérent (c’est-à-dire de présentation finie), il existe un \(i\) tel que \(j^*\mathcal{F}_i\) contienne tous les générateurs, en nombre fini, sur un recouvrement affine étale de \(X\). On obtient ainsi la surjectivité de \(j^*\mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_K\) pour \(i\) assez grand.

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme quasi-fini d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Alors \(\pi_*\) induit un morphisme \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\).

Démonstration

Soit \((T \to B, \mathcal{F})\) un objet de \(\Cohstack_{X/B}\). Nous affirmons que

1. \((T \to B, \pi_{T, *}\mathcal{F})\) est un objet de \(\Cohstack_{Y/B}\), et que

2. pour \(T' \to T\), on a \(\pi_{T', *}(X_{T'} \to X_T)^*\mathcal{F} = (Y_{T'} \to Y_T)^*\pi_{T, *}\mathcal{F}\).

La partie (b) garantit que cette construction définit bien le foncteur \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\) recherché.

Soit \(i : Z \to X_T\) le sous-espace fermé défini par le zéro-ième idéal de Fitting de \(\mathcal{F}\) (Diviseurs sur les espaces, section 0CZ3). Alors \(Z \to B\) est propre par hypothèse (voir Catégories dérivées des espaces, section 0CZB). D’autre part, \(i\) est de présentation finie (Diviseurs sur les espaces, lemme 0CZ5, et Morphismes d’espaces, lemme 084Q). Il existe un \(\mathcal{O}_Z\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\) de type fini tel que \(i_*\mathcal{G} = \mathcal{F}\) (Diviseurs sur les espaces, lemme 0CZ6). En fait, \(\mathcal{G}\) est de présentation finie comme \(\mathcal{O}_Z\)-module, d’après Descente sur les espaces, lemme 0610. Remarquons que \(\mathcal{G}\) est plat sur \(B\), par exemple parce que les germes de \(\mathcal{G}\) et de \(\mathcal{F}\) coïncident (Morphismes d’espaces, lemme 0DK1). Remarquons que \(\pi_T \circ i : Z \to Y_T\) est quasi-fini comme composée de morphismes quasi-finis et que \(\pi_{T, *}\mathcal{F} = (\pi_T \circ i)_*\mathcal{G})\). Puisque \(i\) est affine, la formation de \(i_*\) commute au changement de base (Cohomologie des espaces, lemme 07U8). Nous pouvons donc remplacer \(B\) par \(T\), \(X\) par \(Z\), \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{G}\) et \(Y\) par \(Y_T\) pour nous ramener au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(X \to B\) soit propre. Alors \(\pi\) est propre d’après Morphismes d’espaces, lemme 04NX, donc fini d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0A4X. Comme un morphisme fini est affine, la partie (b) résulte de Cohomologie des espaces, lemme 07U8. D’autre part, \(\pi\) est de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, lemme 05WT. Ainsi, \(\pi_{T, *}\mathcal{F}\) est de présentation finie d’après Descente sur les espaces, lemme 0610. Enfin, \(\pi_{T, *}\mathcal{F}\) est plat sur \(B\), comme on le voit par exemple sur les germes en utilisant Cohomologie des espaces, lemme 0DK3.

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) une immersion ouverte d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Alors le morphisme \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\) du lemme 0DN9 est une immersion ouverte.

Démonstration

Omis. Indication : si \(\mathcal{F}\) est un objet de \(\Cohstack_{Y/B}\) sur \(T\) et si, pour \(t \in T\), on a \(\text{Supp}(\mathcal{F}_t) \subset |X_t|\), alors il en va de même pour \(t' \in T\) dans un voisinage de \(t\).

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) une immersion fermée d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Alors le morphisme \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\) du lemme 0DN9 est une immersion fermée.

Démonstration

Soit \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\) le faisceau d’idéaux qui définit \(X\) comme sous-espace fermé de \(Y\). Rappelons que \(\pi_*\) induit une équivalence entre la catégorie des \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents et celle des \(\mathcal{O}_Y\)-modules quasi-cohérents annulés par \(\mathcal{I}\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 04CJ. Il en va de même, mutatis mutandis, après changement de base par \(T \to B\), en remplaçant \(\mathcal{I}\) par le faisceau d’idéaux \(\mathcal{I}_T = \Im((Y_T \to Y)^*\mathcal{I} \to \mathcal{O}_{Y_T})\). L’analyse de la démonstration du lemme 0DN9 montre que l’image essentielle de \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\) est exactement formée des objets \(\xi = (T \to B, \mathcal{F})\) pour lesquels \(\mathcal{F}\) est annulé par \(\mathcal{I}_T\). Autrement dit, \(\xi\) appartient à l’image essentielle si et seulement si l’application de multiplication \[\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_T}} (Y_T \to Y)^*\mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{F}\] est nulle, de même qu’après tout changement de base ultérieur \(T' \to T\). Notons que \[(Y_{T'} \to Y_T)^*( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_T}} (Y_T \to Y)^*\mathcal{I}) = (Y_{T'} \to Y_T)^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_{T'}}} (Y_{T'} \to Y)^*\mathcal{I})\] La nullité de l’application de multiplication sur \(T'\) est donc représentable par un sous-espace fermé de \(T\), d’après Platitude sur les espaces, lemme 083M.

Situation

Soit \(f : X \to B\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(I\) un ensemble et, pour \(i \in I\), soit \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Étant donné un objet \((T \to B, \mathcal{F})\) de \(\Cohstack_{X/B}\), notons \(E_{i, T}\) l’image inverse dérivée de \(E_i\) sur \(X_T\). L’objet \[K_i = Rf_{T, *}(E_{i, T} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}}^\mathbf{L} \mathcal{F})\] de \(D(\mathcal{O}_T)\) est parfait et sa formation commute au changement de base ; voir Catégories dérivées des espaces, lemme 0A1P. La fonction \[\chi_i : |T| \longrightarrow \mathbf{Z},\quad \chi_i(t) = \chi(X_t, E_{i, t} \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}}^\mathbf{L} \mathcal{F}_t) = \chi(K_i \otimes_{\mathcal{O}_T}^\mathbf{L} \kappa(t))\] est donc localement constante d’après Catégories dérivées des espaces, lemme 0D1Z. Soit \(P : I \to \mathbf{Z}\) une application. Considérons le sous-champ \[\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\] formé des familles plates de faisceaux cohérents à support propre dont les invariants numériques coïncident avec \(P\). Plus précisément, un objet \((T \to B, \mathcal{F})\) de \(\Cohstack_{X/B}\) appartient à \(\Cohstack^P_{X/B}\) si et seulement si \(\chi_i(t) = P(i)\) pour tout \(i \in I\) et tout \(t \in T\).

Lemme

Dans la situation 0DNC, le champ \(\Cohstack^P_{X/B}\) est algébrique et \[\Cohstack^P_{X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] est une immersion fermée plate. Si \(I\) est fini ou si \(B\) est localement noethérien, alors \(\Cohstack^P_{X/B}\) est un sous-champ ouvert et fermé de \(\Cohstack_{X/B}\).

Démonstration

C’est immédiat si \(I\) est fini, puisque les fonctions \(t \mapsto \chi_i(t)\) sont localement constantes. Si \(I\) est infini, écrivons \[I = \bigcup\nolimits_{I' \subset I\text{ fini}} I'\] et notons \(P' = P|_{I'}\). On a alors \[\Cohstack^P_{X/B} = \bigcap\nolimits_{I' \subset I\text{ fini}} \Cohstack^{P'}_{X/B}\] Ainsi, \(\Cohstack^P_{X/B}\) est toujours un champ algébrique et le morphisme \(\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\) est toujours une immersion fermée plate, mais il peut cesser d’être un sous-champ ouvert. (Nous laissons au lecteur le soin de construire des exemples.) Toutefois, si \(B\) est localement noethérien, alors \(\Cohstack_{X/B}\) l’est aussi, d’après le lemme 0DLZ et Morphismes de champs, lemme 06R6. Par conséquent, si \(U \to \Cohstack_{X/B}\) est un morphisme lisse surjectif, où \(U\) est un schéma localement noethérien, les images inverses des sous-champs ouverts et fermés \(\Cohstack^{P'}_{X/B}\) ont dans \(U\) une intersection ouverte (car les composantes connexes des espaces topologiques localement noethériens sont ouvertes). D’où le résultat dans ce cas.

Lemme

Soit \(f : X \to B\) comme dans l’introduction de cette section. Soient \(E_1, \ldots, E_r \in D(\mathcal{O}_X)\) parfaits. Soit \(I = \mathbf{Z}^{\oplus r}\) et considérons l’application \[I \longrightarrow D(\mathcal{O}_X),\quad (n_1, \ldots, n_r) \longmapsto E_1^{\otimes n_1} \otimes \ldots \otimes E_r^{\otimes n_r}\] Soit \(P : I \to \mathbf{Z}\) une application. Alors \(\Cohstack^P_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\), tel qu’il est défini dans la situation 0DNC, est un sous-champ ouvert et fermé.

Démonstration

Nous pouvons travailler localement pour la topologie étale sur \(B\) et donc supposer \(B\) affine. Dans ce cas, nous pouvons effectuer une réduction noethérienne absolue ; nous suggérons au lecteur de sauter la démonstration. Écrivons en effet \(B = \Spec(\Lambda)\). Écrivons \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) comme limite inductive filtrante, chaque \(\Lambda_i\) étant de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour un certain \(i\), on peut trouver un morphisme d’espaces algébriques \(X_i \to \Spec(\Lambda_i)\) séparé et de présentation finie, dont le changement de base à \(\Lambda\) est \(X\). Voir Limites d’espaces, lemmes 07SK et 0851. Après avoir augmenté \(i\), on peut alors supposer qu’il existe des objets parfaits \(E_{1, i}, \ldots, E_{r, i}\) dans \(D(\mathcal{O}_{X_i})\) dont les images inverses dérivées sur \(X\) sont respectivement isomorphes à \(E_1, \ldots, E_r\) ; voir Catégories dérivées des espaces, lemme 09RJ. On a manifestement un carré cartésien \[\xymatrix{ \Cohstack^P_{X/B} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack_{X/B} \ar[d] \\ \Cohstack^P_{X_i/\Spec(\Lambda_i)} \ar[r] & \Cohstack_{X_i/\Spec(\Lambda_i)} }\] et l’on peut donc appliquer le lemme 0DND pour achever la démonstration.

Exemple

Soit \(f : X \to B\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soit \(P : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\) un polynôme numérique. On peut alors considérer le sous-champ algébrique ouvert et fermé \[\Cohstack^P_{X/B} = \Cohstack^{P, \mathcal{L}}_{X/B} \subset \Cohstack_{X/B}\] formé des familles plates de faisceaux cohérents à support propre dont les invariants numériques coïncident avec \(P\) : un objet \((T \to B, \mathcal{F})\) de \(\Cohstack_{X/B}\) appartient à \(\Cohstack^P_{X/B}\) si et seulement si \[P(n) = \chi(X_t, \mathcal{F}_t \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}} \mathcal{L}_t^{\otimes n})\] pour tout \(n \in \mathbf{Z}\) et tout \(t \in T\). Il s’agit bien sûr d’un cas particulier de la situation 0DNC, où \(I = \mathbf{Z} \to D(\mathcal{O}_X)\) est donné par \(n \mapsto \mathcal{L}^{\otimes n}\). Il résulte du lemme 0DNE qu’il s’agit d’un sous-champ ouvert et fermé. Comme les fonctions \(n \mapsto \chi(X_t, \mathcal{F}_t \otimes_{\mathcal{O}_{X_t}} \mathcal{L}_t^{\otimes n})\) sont toujours des polynômes numériques (Espaces sur les corps, lemme 0DN4), on conclut que \[\Cohstack_{X/B} = \coprod\nolimits_{P\text{ polynôme numérique}} \Cohstack^P_{X/B}\] est une décomposition en union disjointe.

Propriétés de Quot

Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques séparé et de présentation finie. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) est un espace algébrique. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, alors \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) est localement de présentation finie. Voir Quotients, proposition 09TU.

Lemme

La diagonale de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) est une immersion fermée. Si \(\mathcal{F}\) est de type fini, la diagonale est une immersion fermée de présentation finie.

Démonstration

Supposons donnés un schéma \(T/B\) et deux quotients \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}_i\), \(i = 1, 2\), correspondant à des points à valeurs dans \(T\) de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\) au-dessus de \(B\). Notons \(\mathcal{K}_1\) le noyau du premier et soit \(u : \mathcal{K}_1 \to \mathcal{Q}_2\) le morphisme composé. D’après Platitude sur les espaces, lemme 083M, il existe un sous-espace fermé de \(T\) tel que \(T' \to T\) se factorise par lui si et seulement si l’image inverse \(u_{T'}\) est nulle. Cela montre que la diagonale est une immersion fermée. De plus, si \(\mathcal{F}\) est de type fini, alors \(\mathcal{K}_1\) est de type fini (Modules sur les sites, lemme 082T) et le même lemme montre que la diagonale est de présentation finie.

Lemme

Le morphisme \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) est séparé. Si \(\mathcal{F}\) est de présentation finie, il est aussi localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) est séparé, il faut montrer que sa diagonale est une immersion fermée. Cela résulte du lemme 0DM2. La seconde assertion fait partie de Quotients, proposition 09TU.

Lemme

Supposons que \(X \to B\) soit propre ainsi que de présentation finie et que \(\mathcal{F}\) soit quasi-cohérent de type fini. Alors \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif (Morphismes d’espaces, définition 03IX).

Démonstration

Après changement de base, on se ramène immédiatement au problème suivant : étant donnés un anneau de valuation \(R\) de corps des fractions \(K\), un espace algébrique \(X\) propre sur \(R\), un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de type fini et un quotient cohérent \(\mathcal{F}_K \to \mathcal{Q}_K\), montrer qu’il existe un quotient \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\) où \(\mathcal{Q}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie, plat sur \(R\), dont la fibre générique est \(\mathcal{Q}_K\). Remarquons que, d’après Platitude sur les espaces, théorème 0DLR, tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) de type fini et plat sur \(R\) est de présentation finie. Nous établissons d’abord l’existence de \(\mathcal{Q}\) localement sur les ouverts affines.

Localement sur les ouverts affines, on aboutit au problème suivant : soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux de présentation finie, soit \(M\) un \(A\)-module fini et soit \(\varphi : M_K \to N_K\) un \(A_K\)-module quotient. On peut alors considérer \[L = \{x \in M \mid \varphi(x \otimes 1) = 0 \}\] Le morphisme \(M \to M/L\) définit un \(A\)-module quotient qui est sans torsion comme \(R\)-module. Il est donc plat comme \(R\)-module (Compléments d’algèbre, lemme 0539). Puisque \(M\) est fini comme \(A\)-module, il en va de même de \(L\), et l’on conclut que \(L\) est de présentation finie comme \(A\)-module (par la référence précédente). Manifestement, \(M/L\) est l’unique quotient de ce type tel que \((M/L)_K = N_K\).

L’unicité dans la construction du paragraphe précédent garantit que ces quotients se recollent et donnent le \(\mathcal{Q}\) recherché. Donnons un peu plus de détails. Choisissons un morphisme étale surjectif \(U \to X\), où \(U\) est un schéma affine. La construction précédente donne un quotient \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{Q}_U\) qui est quasi-cohérent, plat sur \(R\) et redonne \(\mathcal{Q}_K|U\) sur la fibre générique. Comme \(X\) est séparé, on voit que \(U \times_X U\) est lui aussi un schéma affine étale sur \(X\). Les quotients \(\mathcal{F}|_{U \times_X U} \to \text{pr}_1^*\mathcal{Q}_U\) et \(\mathcal{F}|_{U \times_X U} \to \text{pr}_2^*\mathcal{Q}_U\) coïncident alors par unicité de la construction. On peut donc descendre \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{Q}_U\) en une surjection \(\mathcal{F} \to \mathcal{Q}\), comme voulu (Propriétés des espaces, proposition 03M3).

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme quasi-fini affine d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors \(\pi_*\) induit un morphisme \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\).

Démonstration

Posons \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{F}\). Puisque \(\pi\) est affine, pour tout schéma \(T\) sur \(B\), on a \(\mathcal{G}_T = \pi_{T, *}\mathcal{F}_T\), d’après Cohomologie des espaces, lemme 07U8. De plus, \(\pi_T\) est affine, donc \(\pi_{T, *}\) est exact et transforme les quotients en quotients. Remarquons qu’un quotient quasi-cohérent \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) définit un point de \(\Quotfunctor_{X/B}\) si et seulement si \(\mathcal{Q}\) définit un objet de \(\Cohstack_{X/B}\) sur \(T\) (et de même pour \(\mathcal{G}\) et \(Y\)). Comme nous avons vu au lemme 0DN9 que \(\pi_*\) induit un morphisme \(\Cohstack_{X/B} \to \Cohstack_{Y/B}\), on voit que si \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) appartient à \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\), alors \(\mathcal{G}_T \to \pi_{T, *}\mathcal{Q}\) appartient à \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}(T)\).

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) une immersion ouverte affine d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors le morphisme \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\) du lemme 0DP1 est une immersion ouverte.

Démonstration

Omis. Indication : si \((\pi_*\mathcal{F})_T \to \mathcal{Q}\) est un élément de \(\Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}(T)\) et si, pour \(t \in T\), on a \(\text{Supp}(\mathcal{Q}_t) \subset |X_t|\), alors il en va de même pour \(t' \in T\) dans un voisinage de \(t\).

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(j : X \to Y\) une immersion ouverte d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Soit \(\mathcal{G}\) un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent et posons \(\mathcal{F} = j^*\mathcal{G}\). Il existe alors une immersion ouverte \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}\] d’espaces algébriques sur \(B\).

Démonstration

Si \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) est un élément de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\), on peut considérer \(\mathcal{G}_T \to j_{T, *}\mathcal{F}_T \to j_{T, *}\mathcal{Q}\). L’examen des germes montre que ce morphisme est surjectif. D’après le lemme 0DN9, \(j_{T, *}\mathcal{Q}\) est de présentation finie, plat sur \(B\) et à support propre sur \(B\). On obtient ainsi un point à valeurs dans \(T\) de \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}\). Cela définit le morphisme du lemme. Nous omettons la démonstration du fait qu’il s’agit d’une immersion ouverte. Indication : si \(\mathcal{G}_T \to \mathcal{Q}\) est un élément de \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/Y/B}(T)\) et si, pour \(t \in T\), on a \(\text{Supp}(\mathcal{Q}_t) \subset |X_t|\), alors il en va de même pour \(t' \in T\) dans un voisinage de \(t\).

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) une immersion fermée d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent. Alors le morphisme \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}\) du lemme 0DP1 est un isomorphisme.

Démonstration

Pour tout schéma \(T\) sur \(B\), le morphisme \(\pi_T : X_T \to Y_T\) est une immersion fermée. Le foncteur \(\pi_{T, *}\) est donc une équivalence de catégories entre \(\QCoh(\mathcal{O}_{X_T})\) et la sous-catégorie pleine de \(\QCoh(\mathcal{O}_{Y_T})\) formée des modules quasi-cohérents annulés par le faisceau d’idéaux de \(X_T\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 04CJ. Puisqu’un quotient de \((\pi_*\mathcal{F})_T\) est annulé par cet idéal, on obtient la bijectivité de l’application \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T) \to \Quotfunctor_{\pi_*\mathcal{F}/Y/B}(T)\) pour tout \(T\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X \to B\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}\) une surjection de \(\mathcal{O}_X\)-modules quasi-cohérents. Il existe alors une immersion fermée canonique \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/X/B} \to \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{K} = \Ker(\mathcal{F} \to \mathcal{G})\). Par exactitude à droite des images inverses, on obtient une suite exacte \(\mathcal{K}_T \to \mathcal{F}_T \to \mathcal{G}_T \to 0\) pour tout schéma \(T\) sur \(B\). En particulier, un quotient de \(\mathcal{G}_T\) détermine un quotient de \(\mathcal{F}_T\), et l’on obtient notre transformation de foncteurs \(\Quotfunctor_{\mathcal{G}/X/B} \to \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}\). Cette transformation est une immersion fermée d’après Platitude sur les espaces, lemme 083M. En effet, étant donné un élément \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\), son image inverse à \(T'/T\) appartient à l’image de la transformation si et seulement si \(\mathcal{K}_{T'} \to \mathcal{Q}_{T'}\) est nul.

Remarque

Soient \(f : X \to B\) et \(\mathcal{F}\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(I\) un ensemble et, pour \(i \in I\), soit \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Soit \(P : I \to \mathbf{Z}\) une fonction. Rappelons que nous avons un morphisme \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Cohstack_{X/B}\] qui envoie l’élément \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\) sur l’objet \(\mathcal{Q}\) de \(\Cohstack_{X/B}\) au-dessus de \(T\) ; voir la démonstration de Quotients, proposition 09TU. On peut donc former le diagramme de produit fibré \[\xymatrix{ \Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \ar[r] \ar[d] & \Cohstack^P_{X/B} \ar[d] \\ \Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \ar[r] & \Cohstack_{X/B} }\] Il s’agit du diagramme qui définit l’espace algébrique situé en haut à gauche. La flèche verticale de gauche est une immersion fermée plate qui est une immersion ouverte et fermée, par exemple si \(I\) est fini, si \(B\) est localement noethérien, ou si \(I = \mathbf{Z}\) et \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\) pour un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) (dans ce dernier cas, nous employons parfois la notation \(\Quotfunctor^{P, \mathcal{L}}_{\mathcal{F}/X/B}\)). Voir la situation 0DNC, les lemmes 0DND et 0DNE, ainsi que l’exemple 0DNF.

Lemme

Soient \(f : X \to B\) et \(\mathcal{F}\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Le produit tensoriel par \(\mathcal{L}\) définit alors un isomorphisme \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}\] Étant donné un polynôme numérique \(P(t)\), posons \(P'(t) = P(t + 1)\) ; cette application induit alors un isomorphisme \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor^{P'}_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}\) de sous-champs ouverts et fermés.

Démonstration

Posons \(\mathcal{G} = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}\). Remarquons que \(\mathcal{G}_T = \mathcal{F}_T \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{L}_T\). Si \(\mathcal{F}_T \to \mathcal{Q}\) est un élément de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B}(T)\), on l’envoie sur l’élément \(\mathcal{G}_T \to \mathcal{Q} \otimes_{\mathcal{O}_{X_T}} \mathcal{L}_T\) de \(\Quotfunctor_{\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}/X/B}(T)\). Cette construction est compatible aux images inverses et définit donc la transformation de foncteurs voulue. Comme il existe une transformation inverse évidente, c’est un isomorphisme. Nous omettons la démonstration de la dernière assertion.

Lemme

Soient \(f : X \to B\) et \(\mathcal{F}\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Alors \[\Quotfunctor^{P, \mathcal{L}}_{\mathcal{F}/X/B} = \Quotfunctor^{P', \mathcal{L}^{\otimes n}}_{\mathcal{F}/X/B}\] où \(P'(t) = P(nt)\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du développement des définitions.

Bornitude pour Quot

Contrairement à ce qui se passe dans la situation classique, nous savons déjà que le foncteur Quot est un espace algébrique, mais nous ignorons s’il est jamais représenté par un espace algébrique de type fini.

Lemme

Soient \(n \geq 0\), \(r \geq 1\) et \(P \in \mathbf{Q}[t]\). L’espace algébrique \[X = \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}^{\oplus r}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}}/ \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}/\mathbf{Z}}\] qui paramètre les quotients de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}}^{\oplus r}\) de polynôme de Hilbert \(P\) est propre sur \(\Spec(\mathbf{Z})\).

Démonstration

Nous savons déjà que \(X \to \Spec(\mathbf{Z})\) est séparé et localement de présentation finie (lemme 0DM3). Nous savons aussi que \(X \to \Spec(\mathbf{Z})\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif ; voir le lemme 0DM4. D’après le critère valuatif de propreté, il suffit de montrer que notre espace Quot est quasi-compact ; voir Morphismes d’espaces, lemme 0A40. Il suffit donc de trouver un schéma quasi-compact \(T\) et un morphisme surjectif \(T \to X\). Soit \(m\) l’entier fourni par Variétés, lemme 08AG. Posons \[N = r{m + n \choose n} - P(m)\] Nous écrirons \(\mathbf{P}^n\) pour \(\mathbf{P}^n_\mathbf{Z} = \text{Proj}(\mathbf{Z}[T_0, \ldots, T_n])\), et les produits dépourvus d’indice seront pris sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). L’idée de la démonstration consiste à construire une application « universelle » \[\Psi : \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}(-m)^{\oplus N} \longrightarrow \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}^{\oplus r}\] sur un schéma affine \(T\), puis à montrer que tout point de \(X\) correspond au conoyau de cette application en un certain point de \(T\).

Définition de \(T\) et de \(\Psi\). Prenons \(T = \Spec(A)\), où \[A = \mathbf{Z}[a_{i, j, E}]\] avec \(i \in \{1, \ldots, r\}\), \(j \in \{1, \ldots, N\}\) et où \(E = (e_0, \ldots, e_n)\) parcourt les multi-indices de degré total \(|E| = \sum_{k = 0, \ldots n} e_k = m\). Nous définissons alors \(\Psi\) comme l’application dont l’entrée de matrice \((i, j)\) est l’application \[\sum\nolimits_{E = (e_0, \ldots, e_n)} a_{i, j, E} T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n} : \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}(-m) \longrightarrow \mathcal{O}_{T \times \mathbf{P}^n}\] où la somme porte sur les \(E\) ci-dessus (\(i\) et \(j\) étant bien entendu fixés).

Considérons le quotient \(\mathcal{Q} = \Coker(\Psi)\) sur \(T \times \mathbf{P}^n\). D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0ASY, il existe un \(t \geq 0\) et des sous-schémas fermés \[T = T_0 \supset T_1 \supset \ldots \supset T_t = \emptyset\] tels que l’image inverse \(\mathcal{Q}_p\) de \(\mathcal{Q}\) sur \((T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n\) soit plate sur \(T_p \setminus T_{p + 1}\). Remarquons que l’on a une suite exacte \[\mathcal{O}_{(T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n}(-m)^{\oplus N} \to \mathcal{O}_{(T_p \setminus T_{p + 1}) \times \mathbf{P}^n}^{\oplus r} \to \mathcal{Q}_p \to 0\] en prenant l’image inverse de la suite exacte qui définit \(\mathcal{Q} = \Coker(\Psi)\). Nous obtenons donc un morphisme \[\coprod (T_p \setminus T_{p + 1}) \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{O}^{\oplus r}/\mathbf{P}/\mathbf{Z}} \supset \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}^{\oplus r}/\mathbf{P}/\mathbf{Z}} = X\] Puisque le membre de gauche est un schéma noethérien et que l’inclusion du membre de droite est ouverte, il suffit de montrer que tout point de \(X\) appartient à l’image de ce morphisme.

Soit \(k\) un corps et soit \(x \in X(k)\). Alors \(x\) correspond à une surjection \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r} \to \mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}\)-modules cohérents telle que le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}\) soit \(P\). Considérons la suite exacte courte \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r} \to \mathcal{F} \to 0\] D’après Variétés, lemme 08AG, et le choix de \(m\), le faisceau \(\mathcal{K}\) est \(m\)-régulier. D’après Variétés, lemme 08A8, \(\mathcal{K}(m)\) est engendré par ses sections globales. D’après Variétés, lemme 08A6, et la définition de la \(m\)-régularité, on a \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m)) = 0\) pour \(i > 0\). Il vient donc \[\dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m)) = \chi(\mathcal{K}(m)) = \chi(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(m)^{\oplus r}) - \chi(\mathcal{F}(m)) = N\] par le choix de \(N\). Cela donne une surjection \[\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus N} \longrightarrow \mathcal{K}(m)\] Après torsion en sens inverse et en utilisant la suite exacte courte ci-dessus, on voit que \(\mathcal{F}\) est le conoyau d’une application \[\Psi_x : \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(-m)^{\oplus N} \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}^{\oplus r}\] Il existe un unique homomorphisme d’anneaux \(\tau : A \to k\) tel que le changement de base de \(\Psi\) par le morphisme correspondant \(t = \Spec(\tau) : \Spec(k) \to T\) soit \(\Psi_x\). En effet, les entrées de la matrice \(N \times r\) qui définit \(\Psi_x\) sont des polynômes homogènes \(\sum \lambda_{i, j, E} T_0^{e_0} \ldots T_n^{e_n}\) de degré \(m\) en \(T_0, \ldots, T_n\), à coefficients \(\lambda_{i, j, E} \in k\), et l’on peut poser \(\tau(a_{i, j, E}) = \lambda_{i, j, E}\). Alors \(t \in T_p \setminus T_{p + 1}\) pour un certain \(p\), et l’image de \(t\) par le morphisme ci-dessus est \(x\), comme voulu.

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(X = B \times \mathbf{P}^n_\mathbf{Z}\). Soit \(\mathcal{L}\) l’image inverse de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1)\) sur \(X\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. L’espace algébrique \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) qui paramètre les quotients de \(\mathcal{F}\) de polynôme de Hilbert \(P\) relativement à \(\mathcal{L}\) est propre sur \(B\).

Démonstration

La question est locale pour la topologie étale sur \(B\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 083R. Nous pouvons donc supposer que \(B\) est un schéma affine. Dans ce cas, \(\mathcal{L}\) est un module inversible ample sur \(X\) (d’après Constructions, lemme 01MW, et la définition des modules inversibles amples dans Propriétés, définition 01PS). On peut donc trouver \(r' \geq 0\) et \(r \geq 0\), ainsi qu’une surjection \[\mathcal{O}_X^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes r'}\] d’après Propriétés, proposition 01Q3. En vertu du lemme 0DP7, on peut remplacer \(\mathcal{F}\) par \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes r'}\) et \(P(t)\) par \(P(t + r')\). Le lemme 0DP5 fournit une immersion fermée \[\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X^{\oplus r}/X/B}\] Comme nous avons montré que \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X^{\oplus r}/X/B} \to B\) est propre au lemme 0DPA, on conclut.

Lemme

Soit \(f : X \to B\) un morphisme propre et de présentation finie d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample sur \(X/B\) ; voir Diviseurs sur les espaces, définition 0D31. L’espace algébrique \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) qui paramètre les quotients de \(\mathcal{F}\) de polynôme de Hilbert \(P\) relativement à \(\mathcal{L}\) est propre sur \(B\).

Démonstration

La question est locale pour la topologie étale sur \(B\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 083R. Nous pouvons donc supposer que \(B\) est un schéma affine. Il existe alors une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{P}^n_B\) telle que \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_B}(1) \cong \mathcal{L}^{\otimes d}\) pour un certain \(d \geq 1\). Voir Morphismes, lemme 01VS. Remplacer \(\mathcal{L}\) par \(\mathcal{L}^{\otimes d}\) et le polynôme numérique \(P(t)\) par \(P(dt)\) ne modifie pas \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) ; certains détails sont omis. Nous pouvons donc supposer \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_B}(1)\). L’isomorphisme \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to \Quotfunctor_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\) du lemme 0DP4 induit alors un isomorphisme \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B} \cong \Quotfunctor^P_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\). Comme \(\Quotfunctor^P_{i_*\mathcal{F}/\mathbf{P}^n_B/B}\) est propre sur \(B\) d’après le lemme 0DPB, on conclut.

Lemme

Soit \(f : X \to B\) un morphisme séparé et de présentation finie d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module de présentation finie. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample sur \(X/B\) ; voir Diviseurs sur les espaces, définition 0D31. L’espace algébrique \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) qui paramètre les quotients de \(\mathcal{F}\) de polynôme de Hilbert \(P\) relativement à \(\mathcal{L}\) est séparé et de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Nous avons déjà vu que \(\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \to B\) est séparé et localement de présentation finie ; voir le lemme 0DM3. Il suffit donc de montrer que le sous-espace ouvert \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) de la remarque 0DP6 est quasi-compact sur \(B\).

La question est locale pour la topologie étale sur \(B\) (Morphismes d’espaces, lemme 03KG). Nous pouvons donc supposer \(B\) affine.

Supposons \(B = \Spec(\Lambda)\). Écrivons \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) comme limite inductive de ses sous-algèbres de type fini sur \(\mathbf{Z}\). On peut alors trouver un \(i\) et un système \(X_i, \mathcal{F}_i, \mathcal{L}_i\) comme dans le lemme sur \(B_i = \Spec(\Lambda_i)\), dont le changement de base à \(B\) donne \(X, \mathcal{F}, \mathcal{L}\). Cela résulte de Limites d’espaces, lemmes 07SK (pour trouver \(X_i\)), 07V7 (pour trouver \(\mathcal{F}_i\)), 0D2X (pour trouver \(\mathcal{L}_i\)) et 084T (pour rendre \(X_i\) séparé). Comme \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} = B \times_{B_i} \Quotfunctor_{\mathcal{F}_i/X_i/B_i}\] et qu’il en va de même de \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\), on se ramène au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons \(B\) affine et noethérien. Nous pouvons remplacer \(\mathcal{L}\) par une puissance positive ; voir le lemme 0DP8. Nous pouvons ainsi supposer qu’il existe une immersion \(i : X \to \mathbf{P}^n_B\) telle que \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) = \mathcal{L}\). D’après Morphismes, lemme 01RG, il existe un sous-schéma fermé \(X' \subset \mathbf{P}^n_B\) tel que \(i\) se factorise par une immersion ouverte \(j : X \to X'\). D’après Propriétés, lemme 0G41, il existe un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module \(\mathcal{G}\) de présentation finie tel que \(j^*\mathcal{G} = \mathcal{F}\). On obtient donc une immersion ouverte \[\Quotfunctor_{\mathcal{F}/X/B} \longrightarrow \Quotfunctor_{\mathcal{G}/X'/B}\] par le lemme 0DP3. Manifestement, cette immersion ouverte envoie \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{F}/X/B}\) dans \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{G}/X'/B}\). Or \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{G}/X'/B}\) est propre sur \(B\) d’après le lemme 0DPC. Il est donc noethérien et, puisque tout ouvert d’un espace algébrique noethérien est quasi-compact, la démonstration est achevée.

Propriétés du foncteur de Hilbert

Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques séparé et de présentation finie. Alors \(\Hilbfunctor_{X/B}\) est un espace algébrique localement de présentation finie sur \(B\). Voir Quotients, proposition 0D01.

Lemme

La diagonale de \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) est une immersion fermée de présentation finie.

Démonstration

Dans Quotients, lemme 0D00, nous avons vu que \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\). L’assertion résulte donc du lemme 0DM2.

Lemme

Le morphisme \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) est séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) est séparé, il faut montrer que sa diagonale est une immersion fermée. Cela résulte du lemme 0DM6. La seconde assertion fait partie de Quotients, proposition 0D01.

Lemme

Supposons que \(X \to B\) soit propre ainsi que de présentation finie. Alors \(\Hilbfunctor_{X/B} \to B\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif (Morphismes d’espaces, définition 03IX).

Démonstration

Dans Quotients, lemme 0D00, nous avons vu que \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\). L’assertion résulte donc du lemme 0DM4.

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) une immersion ouverte d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Alors \(\pi\) induit une immersion ouverte \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\).

Démonstration

Omis. Indication : si \(Z \subset X_T\) est un sous-schéma fermé propre sur \(T\), alors \(Z\) est aussi fermé dans \(Y_T\). On obtient ainsi la transformation \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\). Si \(Z \subset Y_T\) est un élément de \(\Hilbfunctor_{Y/B}(T)\) et si, pour \(t \in T\), on a \(|Z_t| \subset |X_t|\), alors il en va de même pour \(t' \in T\) dans un voisinage de \(t\).

Lemme

Soit \(B\) un espace algébrique. Soit \(\pi : X \to Y\) une immersion fermée d’espaces algébriques séparés et de présentation finie sur \(B\). Alors \(\pi\) induit une immersion fermée \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\).

Démonstration

Puisque \(\pi\) est une immersion fermée, il est immédiat qu’étant donné un sous-schéma fermé \(Z \subset X_T\), on peut voir \(Z\) comme un sous-schéma fermé de \(X_T\). On obtient ainsi la transformation \(\Hilbfunctor_{X/B} \to \Hilbfunctor_{Y/B}\). On voit immédiatement que cette transformation est un monomorphisme. Pour prouver qu’elle est une immersion fermée, on peut appliquer le lemme 0DP5 à l’application \(\mathcal{O}_Y \to \mathcal{O}_X\) et aux identifications \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\), \(\Hilbfunctor_{Y/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_Y/Y/B}\) de Quotients, lemme 0D00.

Remarque

Soit \(f : X \to B\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(I\) un ensemble et, pour \(i \in I\), soit \(E_i \in D(\mathcal{O}_X)\) parfait. Soit \(P : I \to \mathbf{Z}\) une fonction. Rappelons que \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\) ; voir Quotients, lemme 0D00. On peut donc définir \[\Hilbfunctor^P_{X/B} = \Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X/X/B}\] où \(\Quotfunctor^P_{\mathcal{O}_X/X/B}\) est comme dans la remarque 0DP6. Le morphisme \[\Hilbfunctor^P_{X/B} \longrightarrow \Hilbfunctor_{X/B}\] est une immersion fermée plate qui est une immersion ouverte et fermée, par exemple si \(I\) est fini, si \(B\) est localement noethérien, ou si \(I = \mathbf{Z}\) et \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\) pour un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\). Dans ce dernier cas, nous employons parfois la notation \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{L}}_{X/B}\).

Lemme

Soit \(f : X \to B\) un morphisme propre et de présentation finie d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample sur \(X/B\) ; voir Diviseurs sur les espaces, définition 0D31. L’espace algébrique \(\Hilbfunctor^P_{X/B}\) qui paramètre les sous-schémas fermés de polynôme de Hilbert \(P\) relativement à \(\mathcal{L}\) est propre sur \(B\).

Démonstration

Rappelons que \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\) ; voir Quotients, lemme 0D00. Le présent lemme est donc une conséquence immédiate du lemme 0DPC.

Lemme

Soit \(f : X \to B\) un morphisme séparé et de présentation finie d’espaces algébriques. Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample sur \(X/B\) ; voir Diviseurs sur les espaces, définition 0D31. L’espace algébrique \(\Hilbfunctor^P_{X/B}\) qui paramètre les sous-schémas fermés de polynôme de Hilbert \(P\) relativement à \(\mathcal{L}\) est séparé et de présentation finie sur \(B\).

Démonstration

Rappelons que \(\Hilbfunctor_{X/B} = \Quotfunctor_{\mathcal{O}_X/X/B}\) ; voir Quotients, lemme 0D00. Le présent lemme est donc une conséquence immédiate du lemme 0DPD.

Propriétés du champ de Picard

Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques plat, propre et de présentation finie. Alors le champ \(\Picardstack_{X/B}\) qui paramètre les faisceaux inversibles sur \(X/B\) est algébrique ; voir Quotients, proposition 0D04.

Lemme

La diagonale de \(\Picardstack_{X/B}\) sur \(B\) est affine et de présentation finie.

Démonstration

Dans Quotients, lemme 0D03, nous avons vu que \(\Picardstack_{X/B}\) est un sous-champ ouvert de \(\Cohstack_{X/B}\). L’assertion résulte donc du lemme 0DLY.

Lemme

Le morphisme \(\Picardstack_{X/B} \to B\) est quasi-séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Dans Quotients, lemme 0D03, nous avons vu que \(\Picardstack_{X/B}\) est un sous-champ ouvert de \(\Cohstack_{X/B}\). L’assertion résulte donc du lemme 0DLZ.

Lemme

Supposons en outre que \(X \to B\) soit lisse, en plus d’être propre. Alors \(\Picardstack_{X/B} \to B\) satisfait la partie d’existence du critère valuatif (Morphismes de champs, définition 0CLK).

Démonstration

Après changement de base, on se ramène immédiatement au problème suivant : étant donnés un anneau de valuation \(R\) de corps des fractions \(K\), un espace algébrique \(X\) propre et lisse sur \(R\) et un \(\mathcal{O}_{X_K}\)-module inversible \(\mathcal{L}_K\), montrer qu’il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) dont la fibre générique est \(\mathcal{L}_K\). Remarquons que \(X_K\) est noethérien, séparé et régulier (utiliser Morphismes d’espaces, lemme 04ZL, et Espaces sur les corps, lemme 06M1). On peut donc écrire \(\mathcal{L}_K\) comme la différence, dans le groupe de Picard, de \(\mathcal{O}_{X_K}(D_K)\) et \(\mathcal{O}_{X_K}(D'_K)\), pour deux diviseurs de Cartier effectifs \(D_K, D'_K\) dans \(X_K\) ; voir Diviseurs sur les espaces, lemme 0DMM. Enfin, on sait que \(D_K\) et \(D'_K\) sont les restrictions de diviseurs de Cartier effectifs \(D, D' \subset X\) ; voir Diviseurs sur les espaces, lemme 0DMC.

Lemme

Supposons \(f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T} \cong \mathcal{O}_T\) pour tout schéma \(T\) sur \(B\). Alors le champ d’inertie de \(\Picardstack_{X/B}\) est égal à \(\mathbf{G}_m \times \Picardstack_{X/B}\).

Démonstration

Ceci est expliqué dans Exemples de champs, exemple 0375.

Lemme

Supposons en outre que \(f : X \to B\) soit de dimension relative \(\leq 1\), en plus des autres hypothèses de cette section. Alors \(\Picardstack_{X/B} \to B\) est lisse.

Démonstration

Nous savons déjà que \(\Picardstack_{X/B} \to B\) est localement de présentation finie ; voir le lemme 0DMB. Il suffit donc de montrer que \(\Picardstack_{X/B} \to B\) est formellement lisse ; voir Compléments sur les morphismes de champs, lemme 0DP0. Après changement de base, on se ramène immédiatement au problème suivant : étant donné un épaississement du premier ordre \(T \subset T'\) de schémas affines, étant donné \(X' \to T'\) propre, plat, de présentation finie et de dimension relative \(\leq 1\), et étant donné sur \(X = T \times_{T'} X'\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\), prouver qu’il existe un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module inversible \(\mathcal{L}'\) dont la restriction à \(X\) est \(\mathcal{L}\). Puisque \(T \subset T'\) est un épaississement du premier ordre, il en va de même de \(X \subset X'\) ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 09ZX. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DNM, il suffit de montrer que \(H^2(X, \mathcal{I}) = 0\), où \(\mathcal{I}\) est l’idéal quasi-cohérent qui définit \(X\) dans \(X'\). Notons \(f : X \to T\) le morphisme structural. D’après Cohomologie des espaces, lemme 0A4T, on a \(R^pf_*\mathcal{I} = 0\) pour \(p > 1\). La nullité recherchée résulte donc de Cohomologie des espaces, lemme 08EX (c’est ici que nous utilisons enfin le fait que \(T\) est affine).

Propriétés du foncteur de Picard

Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques plat, propre et de présentation finie, tel que, de plus, pour tout \(T/B\), l’application canonique \[\mathcal{O}_T \longrightarrow f_{T, *}\mathcal{O}_{X_T}\] soit un isomorphisme. Alors le foncteur de Picard \(\Picardfunctor_{X/B}\) est un espace algébrique ; voir Quotients, proposition 0D2C. Il existe un lien étroit avec le champ de Picard.

Lemme

Le morphisme \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) fait du champ de Picard une gerbe au-dessus du foncteur de Picard.

Démonstration

La définition du fait que \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) soit une gerbe est donnée dans Morphismes de champs, définition 06QC, qui renvoie à son tour à Champs, définition 06P2. Pour le prouver, nous allons vérifier les conditions (2)(a) et (2)(b) de Champs, lemme 06P1. Cela résulte immédiatement de Quotients, lemme 0D26 ; voici une explication détaillée.

Condition (2)(a). Supposons que \(\xi \in \Picardfunctor_{X/B}(U)\) pour un schéma \(U\) sur \(B\). Comme \(\Picardfunctor_{X/B}\) est le faisceau associé pour la topologie fppf à la règle \(T \mapsto \Pic(X_T)\) sur les schémas au-dessus de \(B\) (Quotients, situation 0D25), il existe un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\xi|_{U_i}\) corresponde à un module inversible \(\mathcal{L}_i\) sur \(X_{U_i}\). Alors \((U_i \to B, \mathcal{L}_i)\) est un objet de \(\Picardstack_{X/B}\) sur \(U_i\) qui s’envoie sur \(\xi|_{U_i}\).

Condition (2)(b). Supposons que \(U\) soit un schéma sur \(B\) et que \(\mathcal{L}, \mathcal{N}\) soient des modules inversibles sur \(X_U\) qui s’envoient sur le même élément de \(\Picardfunctor_{X/B}(U)\). Il existe alors un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}\) tel que \(\mathcal{L}|_{X_{U_i}}\) soit isomorphe à \(\mathcal{N}|_{X_{U_i}}\). On obtient ainsi les isomorphismes recherchés entre \((U \to B, \mathcal{L})|_{U_i} \to (U \to B, \mathcal{N})|_{U_i}\).

Lemme

La diagonale de \(\Picardfunctor_{X/B}\) sur \(B\) est une immersion quasi-compacte.

Démonstration

La diagonale est une immersion d’après Quotients, lemme 0D2D. Pour conclure, montrons qu’elle est quasi-compacte. La diagonale de \(\Picardstack_{X/B}\) est quasi-compacte d’après le lemme 0DMA, et \(\Picardstack_{X/B}\) est une gerbe au-dessus de \(\Picardfunctor_{X/B}\) d’après le lemme 0DME. On conclut par Morphismes de champs, lemme 0DQL.

Lemme

Le morphisme \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) est quasi-séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) est quasi-séparé, il faut montrer que sa diagonale est quasi-compacte. Cela résulte immédiatement du lemme 0DMF. Comme le morphisme \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie (d’après le lemme 0DME et Morphismes de champs, lemme 06QI), il suffit de prouver que \(\Picardstack_{X/B} \to B\) est localement de présentation finie ; voir Morphismes de champs, lemme 06Q9. Cela résulte du lemme 0DMB.

Lemme

Supposons en outre que les fibres géométriques de \(X \to B\) soient intègres, en plus des autres hypothèses de cette section. Alors \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) est séparé.

Démonstration

Puisque \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) est quasi-séparé, il suffit de vérifier la partie d’unicité du critère valuatif ; voir Morphismes d’espaces, lemme 03KV. On se ramène immédiatement au problème suivant : étant donnés

1. un anneau de valuation \(R\) de corps des fractions \(K\),

2. un espace algébrique \(X\) propre et plat sur \(R\), à fibre géométrique intègre,

3. un élément \(a \in \Picardfunctor_{X/R}(R)\) tel que \(a|_{\Spec(K)} = 0\),

il faut prouver que \(a = 0\). Appliquons Morphismes de champs, lemme 0DN5, au morphisme plat surjectif \(\Picardstack_{X/R} \to \Picardfunctor_{X/R}\) (surjectif et plat d’après le lemme 0DME et Morphismes de champs, lemme 06QI). Après avoir remplacé \(R\) par une extension, on peut supposer que \(a\) est donné par un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\). Comme \(a|_{\Spec(K)} = 0\), on obtient \(\mathcal{L}_K \cong \mathcal{O}_{X_K}\) d’après Quotients, lemme 0D27.

Notons \(f : X \to \Spec(R)\) le morphisme structural. Soient \(\eta, 0 \in \Spec(R)\) le point générique et le point fermé. Considérons les complexes parfaits \(K = Rf_*\mathcal{L}\) et \(M = Rf_*(\mathcal{L}^{\otimes -1})\) sur \(\Spec(R)\) ; voir Catégories dérivées des espaces, lemme 0CTM. Considérons les fonctions \(\beta_{K, i}, \beta_{M, i} : \Spec(R) \to \mathbf{Z}\) de Catégories dérivées des espaces, lemme 0D1Y, associées à \(K\) et à \(M\). Comme la formation de \(K\) et de \(M\) commute au changement de base (voir le lemme cité ci-dessus), on obtient \(\beta_{K, 0}(\eta) = \beta_{M, 0}(\eta) = 1\) d’après Espaces sur les corps, lemme 0DMY, et notre hypothèse sur les fibres de \(f\). Comme ces fonctions sont semi-continues supérieurement, on obtient \(\beta_{K, 0}(0) \geq 1\) et \(\beta_{M, 0}(0) \geq 1\). D’après Espaces sur les corps, lemme 0DMZ, on conclut que la restriction de \(\mathcal{L}\) à la fibre spéciale \(X_0\) est triviale. Cela donne à son tour \(\beta_{K, 0}(0) = \beta_{M, 0} = 1\), comme ci-dessus. D’après Compléments d’algèbre, lemme 0BCC, on peut alors représenter \(K\) par un complexe de la forme \[\ldots \to 0 \to R \to R^{\oplus \beta_{K, 1}(0)} \to R^{\oplus \beta_{K, 2}(0)} \to \ldots\] Or \(R \to R^{\oplus \beta_{K, 1}(0)}\) est nul parce que \(\beta_{K, 0}(\eta) = 1\). Autrement dit, \(K = R \oplus \tau_{\geq 1}(K)\) dans \(D(R)\), où \(\tau_{\geq 1}(K)\) est d’amplitude de Tor dans \([1, b]\) pour un certain \(b \in \mathbf{Z}\). Il existe donc une section globale \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\) dont la restriction \(s_0\) à \(X_0\) ne s’annule nulle part (de nouveau parce que la formation de \(K\) commute au changement de base). Alors \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\) est une application de faisceaux inversibles dont la restriction à \(X_0\) est un isomorphisme ; c’est donc un isomorphisme, comme voulu.

Lemme

Supposons en outre que \(f : X \to B\) soit de dimension relative \(\leq 1\), en plus des autres hypothèses de cette section. Alors \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) est lisse.

Démonstration

D’après le lemme 0DPJ, nous savons que \(\Picardstack_{X/B} \to B\) est lisse. Le morphisme \(\Picardstack_{X/B} \to \Picardfunctor_{X/B}\) est surjectif et lisse en combinant le lemme 0DME et Morphismes de champs, lemme 0DN8. Ainsi, si \(U\) est un schéma et si \(U \to \Picardstack_{X/B}\) est surjectif et lisse, alors \(U \to \Picardfunctor_{X/B}\) est surjectif et lisse, et \(U \to B\) est surjectif et lisse (car ces propriétés sont stables par composition). Le morphisme \(\Picardfunctor_{X/B} \to B\) est donc lisse, par exemple d’après Descente sur les espaces, lemme 0AHD.

Propriétés des morphismes relatifs

Soit \(B\) un espace algébrique. Soient \(X\) et \(Y\) des espaces algébriques sur \(B\) tels que \(Y \to B\) soit plat, propre et de présentation finie, et que \(X \to B\) soit séparé et de présentation finie. Alors le foncteur \(\mathit{Mor}_B(Y, X)\) des morphismes relatifs est un espace algébrique localement de présentation finie sur \(B\). Voir Quotients, proposition 0D1C.

Lemme

La diagonale de \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) est une immersion fermée de présentation finie.

Démonstration

Il existe une immersion ouverte \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to \Hilbfunctor_{Y \times_B X/B}\) ; voir Quotients, lemme 0D1B. Le lemme résulte donc du lemme 0DM6.

Lemme

Le morphisme \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) est séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) est séparé, il faut montrer que sa diagonale est une immersion fermée. Cela résulte du lemme 0DPM. La seconde assertion fait partie de Quotients, proposition 0D1C.

Lemme

Avec \(B, X, Y\) comme dans l’introduction de cette section, supposons en outre que \(X \to B\) soit propre. Alors le sous-foncteur \(\mathit{Isom}_B(Y, X) \subset \mathit{Mor}_B(Y, X)\) des isomorphismes est un sous-espace ouvert.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 05XD.

Remarque

Soient \(B, X, Y\) comme dans l’introduction de cette section. Soit \(I\) un ensemble et, pour \(i \in I\), soit \(E_i \in D(\mathcal{O}_{Y \times_B X})\) parfait. Soit \(P : I \to \mathbf{Z}\) une fonction. Rappelons que \[\mathit{Mor}_B(Y, X) \subset \Hilbfunctor_{Y \times_B X/B}\] est un sous-espace ouvert ; voir Quotients, lemme 0D1B. On peut donc définir \[\mathit{Mor}^P_B(Y, X) = \mathit{Mor}_B(Y, X) \cap \Hilbfunctor^P_{Y \times_B X/B}\] où \(\Hilbfunctor^P_{Y \times_B X/B}\) est comme dans la remarque 0DPG. Le morphisme \[\mathit{Mor}^P_B(Y, X) \longrightarrow \mathit{Mor}_B(Y, X)\] est une immersion fermée plate qui est une immersion ouverte et fermée, par exemple si \(I\) est fini, si \(B\) est localement noethérien, ou si \(I = \mathbf{Z}\), \(E_i = \mathcal{L}^{\otimes i}\) pour un \(\mathcal{O}_{Y \times_B X}\)-module inversible \(\mathcal{L}\). Dans ce dernier cas, nous employons parfois la notation \(\mathit{Mor}^{P, \mathcal{L}}_B(Y, X)\).

Lemme

Avec \(B, X, Y\) comme dans l’introduction de cette section, soit \(\mathcal{L}\) ample sur \(X/B\) et soit \(\mathcal{N}\) ample sur \(Y/B\). Voir Diviseurs sur les espaces, définition 0D31. Soit \(P\) un polynôme numérique. Alors \[\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X) \longrightarrow B\] est séparé et de présentation finie, où \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_B X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\).

Démonstration

D’après le lemme 0DPN, le morphisme \(\mathit{Mor}_B(Y, X) \to B\) est séparé et localement de présentation finie. Il suffit donc de montrer que le sous-espace ouvert et fermé \(\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X)\) de la remarque 0DPQ est quasi-compact sur \(B\).

La question est locale pour la topologie étale sur \(B\) (Morphismes d’espaces, lemme 03KG). Nous pouvons donc supposer \(B\) affine.

Supposons \(B = \Spec(\Lambda)\). Notons que \(X\) et \(Y\) sont des schémas et que \(\mathcal{L}\) et \(\mathcal{N}\) sont des faisceaux inversibles amples sur \(X\) et \(Y\) (cela résulte immédiatement des définitions). Écrivons \(\Lambda = \colim \Lambda_i\) comme limite inductive de ses sous-algèbres de type fini sur \(\mathbf{Z}\). On peut alors trouver un \(i\) et un système \(X_i, Y_i, \mathcal{L}_i, \mathcal{N}_i\) comme dans le lemme sur \(B_i = \Spec(\Lambda_i)\), dont le changement de base à \(B\) donne \(X, Y, \mathcal{L}, \mathcal{N}\). Cela résulte de Limites, lemmes 01ZM (pour trouver \(X_i\), \(Y_i\)), 0B8W (pour trouver \(\mathcal{L}_i\), \(\mathcal{N}_i\)), 01ZQ (pour rendre \(X_i \to B_i\) séparé), 081F (pour rendre \(Y_i \to B_i\) propre) et 09MT (pour rendre \(\mathcal{L}_i\), \(\mathcal{N}_i\) amples). Comme \[\mathit{Mor}_B(Y, X) = B \times_{B_i} \mathit{Mor}_{B_i}(Y_i, X_i)\] et qu’il en va de même de \(\mathit{Mor}^P_B(Y, X)\), on se ramène au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Supposons \(B\) affine et noethérien. D’après Propriétés, lemme 0DNK, \(\mathcal{M}\) est ample. D’après le lemme 0DPI, \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\) est de présentation finie sur \(B\), donc noethérien. Par construction, \[\mathit{Mor}^{P, \mathcal{M}}_B(Y, X) = \mathit{Mor}_B(Y, X) \cap \Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\] est un sous-espace ouvert de \(\Hilbfunctor^{P, \mathcal{M}}_{Y \times_B X/B}\), donc quasi-compact (puisque tout ouvert d’un espace algébrique noethérien est quasi-compact).

Propriétés du champ des schémas propres polarisés

Dans cette section, nous étudions des propriétés du champ de modules \[\Polarizedstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] dont la catégorie des sections sur un schéma \(S\) est la catégorie des schémas propres, plats et de présentation finie sur \(S\), munis d’un faisceau inversible relativement ample. C’est un champ algébrique d’après Quotients, théorème 0D4X.

Lemme

La diagonale de \(\Polarizedstack\) est séparée et de présentation finie.

Démonstration

Rappelons que \(\Polarizedstack\) est un champ algébrique qui préserve les limites ; voir Quotients, lemme 0D43. D’après Limites de champs, lemme 0CMW, cela implique que \(\Delta : \Polarizedstack \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\) préserve les limites. Ainsi, \(\Delta\) est localement de présentation finie d’après Limites de champs, proposition 0CMY.

Montrons que \(\Delta\) est séparée. Pour cela, il suffit de montrer qu’étant donnés un schéma affine \(U\) et deux objets \(\upsilon = (Y, \mathcal{N})\) et \(\chi = (X, \mathcal{L})\) de \(\Polarizedstack\) sur \(U\), l’espace algébrique \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)\] est séparé. La règle qui, à un isomorphisme \(\upsilon_T \to \chi_T\), associe l’isomorphisme sous-jacent \(Y_T \to X_T\) définit un morphisme \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X)\] Puisque nous avons vu aux lemmes 0DPN et 0DPP que le but est un espace algébrique séparé, il suffit de prouver que ce morphisme est séparé. Étant donné un isomorphisme \(f : Y_T \to X_T\) sur un schéma \(T/U\), on a manifestement \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \times_{\mathit{Isom}_U(Y, X), [f]} T = \mathit{Isom}(\mathcal{N}_T, f^*\mathcal{L}_T)\] Ici, \([f] : T \to \mathit{Isom}_U(Y, X)\) désigne le point à valeurs dans \(T\) correspondant à \(f\), et \(\mathit{Isom}(\mathcal{N}_T, f^*\mathcal{L}_T)\) est l’espace algébrique étudié à la section 0DLW. Comme cet espace algébrique est affine sur \(U\), l’assertion implique que \(\Delta\) est séparée.

Pour achever la démonstration, montrons que \(\Delta\) est quasi-compacte. Comme \(\Delta\) est représentable par des espaces algébriques, il suffit de vérifier que le changement de base de \(\Delta\) par un morphisme lisse surjectif \(U \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\) est quasi-compact (voir par exemple Propriétés des champs, lemme 04XD). Nous pouvons supposer que \(U = \coprod U_i\) est une union disjointe d’ouverts affines. Comme \(\Polarizedstack\) préserve les limites (voir ci-dessus), on voit que \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est localement de présentation finie, donc que \(U_i \to \Spec(\mathbf{Z})\) est localement de présentation finie (Limites de champs, proposition 0CMY, et Morphismes de champs, lemmes 06Q3 et 0DNP). En particulier, \(U_i\) est affine noethérien. On se ramène ainsi au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Dans ce paragraphe, étant donnés un schéma affine noethérien \(U\) et deux objets \(\upsilon = (Y, \mathcal{N})\) et \(\chi = (X, \mathcal{L})\) de \(\Polarizedstack\) sur \(U\), montrons que l’espace algébrique \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)\] est quasi-compact. Comme les composantes connexes de \(U\) sont ouvertes et fermées, on peut remplacer \(U\) par celles-ci. Nous pouvons donc supposer, et supposerons, que \(U\) est connexe. Soit \(u \in U\) un point. Soit \(P\) le polynôme de Hilbert \(n \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\) ; voir Variétés, lemme 0BEM. Puisque \(U\) est connexe et que les fonctions \(u \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\) sont localement constantes (voir Catégories dérivées des schémas, lemme 0B9T), on obtient le même polynôme de Hilbert en tout point de \(U\). Posons \(\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_U X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\) sur \(Y \times_U X\). Étant donné \((f, \varphi) \in \mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi)(T)\) pour un schéma \(T\) sur \(U\), on a pour tout \(t \in T\) \[\chi(Y_t, (\text{id} \times f)^*\mathcal{M}^{\otimes n}) = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_t}} f_t^*\mathcal{L}_t^{\otimes n}) = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes 2n}) = P(2n)\] où, dans l’égalité du milieu, nous utilisons l’isomorphisme \(\varphi : f^*\mathcal{L}_T \to \mathcal{N}_T\). Posant \(P'(t) = P(2t)\), on voit que le morphisme \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X)\] (voir plus haut) a son image contenue dans l’intersection \[\mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] Cette intersection est une intersection de sous-espaces ouverts de \(\mathit{Mor}_U(Y, X)\) (voir le lemme 0DPP et la remarque 0DPQ). Or \(\mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\) est un espace algébrique noethérien, puisqu’il est de présentation finie sur \(U\) d’après le lemme 0DPR. L’intersection est donc elle aussi un espace algébrique noethérien. Comme le morphisme \[\mathit{Isom}_{\Polarizedstack}(\upsilon, \chi) \longrightarrow \mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] est affine (voir plus haut), on conclut.

Lemme

Le morphisme \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est quasi-séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est quasi-séparé, il faut montrer que sa diagonale est quasi-compacte et quasi-séparée. Cela résulte immédiatement du lemme 0DPT. Pour prouver que \(\Polarizedstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est localement de présentation finie, il suffit de montrer que \(\Polarizedstack\) préserve les limites ; voir Limites de champs, proposition 0CMY. C’est Quotients, lemme 0D43.

Lemme

Soit \(n \geq 1\) un entier et soit \(P\) un polynôme numérique. Soit \[T \subset |\Polarizedstack|\] un sous-ensemble possédant la propriété suivante : pour tout \(\xi \in T\), il existe un corps \(k\) et un objet \((X, \mathcal{L})\) de \(\Polarizedstack\) sur \(k\) représentant \(\xi\), tels que

1. le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{L}\) sur \(X\) soit \(P\), et

2. il existe une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\) telle que \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \cong \mathcal{L}\).

Alors \(T\) est un espace topologique noethérien, en particulier quasi-compact.

Démonstration

Remarquons que \(|\Polarizedstack|\) est un espace topologique localement noethérien ; voir Morphismes de champs, lemme 0DQI (on utilise également le fait que \(\Spec(\mathbf{Z})\) est noethérien et que \(\Polarizedstack\) est donc un champ algébrique localement noethérien d’après le lemme 0DPU et Morphismes de champs, lemme 06R6). Tout sous-ensemble quasi-compact de \(|\Polarizedstack|\) est donc un espace topologique noethérien, et tout sous-ensemble d’un tel espace est lui aussi noethérien ; voir Topologie, lemmes 0053 et 0052. Il ne reste donc qu’à trouver un sous-ensemble quasi-compact contenant \(T\).

D’après le lemme 0DPH, l’espace algébrique \[H = \Hilbfunctor^{P, \mathcal{O}(1)}_{\mathbf{P}^n_\mathbf{Z}/\Spec(\mathbf{Z})}\] est propre sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). D’après Quotients, lemme 0D3W¹, le morphisme identité de \(H\) correspond à un sous-espace fermé \[Z \subset \mathbf{P}^n_H\] qui est propre, plat et de présentation finie sur \(H\), tel que la restriction \(\mathcal{N} = \mathcal{O}(1)|_Z\) soit relativement ample sur \(Z/H\) et ait le polynôme de Hilbert \(P\) sur les fibres de \(Z \to H\). En particulier, la paire \((Z \to H, \mathcal{N})\) définit un morphisme \[H \longrightarrow \Polarizedstack\] qui envoie un morphisme de schémas \(U \to H\) sur le morphisme classifiant de la famille \((Z_U \to U, \mathcal{N}_U)\) ; voir Quotients, lemme 0E94. Comme \(H\) est un espace algébrique noethérien (puisqu’il est propre sur \(\mathbf{Z})\)), on voit que \(|H|\) est noethérien, donc quasi-compact. L’application \[|H| \longrightarrow |\Polarizedstack|\] est continue ; son image est donc quasi-compacte. Il suffit ainsi de prouver que \(T\) est contenu dans l’image de \(|H| \to |\Polarizedstack|\). Or les hypothèses (1) et (2) expriment exactement ce fait : tout choix d’une immersion fermée \(i : X \to \mathbf{P}^n_k\) telle que \(i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n}(1) \cong \mathcal{L}\) fournit un point à valeurs dans \(k\) de \(H\), par l’interprétation modulaire de \(H\). Cela achève la démonstration du lemme.

Propriétés des modules de complexes sur un morphisme propre

Soit \(f : X \to B\) un morphisme d’espaces algébriques propre, plat et de présentation finie. Alors le champ \(\Complexesstack_{X/B}\) qui paramètre les complexes relativement parfaits dont les groupes d’auto-extensions de degré négatif sont nuls est algébrique. Voir Quotients, théorème 0DLN.

Lemme

La diagonale de \(\Complexesstack_{X/B}\) sur \(B\) est affine et de présentation finie.

Démonstration

La représentabilité de la diagonale par des espaces algébriques a été établie dans Quotients, lemme 0DLG. Il ressort de la démonstration qu’il faut montrer ceci : étant donnés un schéma \(T\) sur \(B\) et des objets \(E, E' \in D(\mathcal{O}_{X_T})\) tels que \((T, E)\) et \((T, E')\) soient des objets de la catégorie fibre de \(\Complexesstack_{X/B}\) sur \(T\), le morphisme \(\mathit{Isom}(E, E') \to T\) est affine et de présentation finie. Ici, \(\mathit{Isom}(E, E')\) est le foncteur \[(\Sch/T)^{opp} \to \textit{Ensembles},\quad T' \mapsto \{\varphi : E_{T'} \to E'_{T'} \text{ isomorphisme dans }D(\mathcal{O}_{X_{T'}})\}\] où \(E_{T'}\) et \(E'_{T'}\) sont les images inverses dérivées de \(E\) et de \(E'\) sur \(X_{T'}\). Considérons le foncteur \(H = \SheafHom(E, E')\) défini par la règle \[(\Sch/T)^{opp} \to \textit{Ensembles},\quad T' \mapsto \Hom_{\mathcal{O}_{X_{T'}}}(E_T, E'_T)\] D’après Quotients, lemme 0DLC, c’est un espace algébrique affine et de présentation finie sur \(T\). Il en va de même de \(H' = \SheafHom(E', E)\), \(I = \SheafHom(E, E)\) et \(I' = \SheafHom(E', E')\). On voit donc que \[\mathit{Isom}(E, E') = (H' \times_T H) \times_{c, I \times_T I', \sigma} T\] où \(c(\varphi', \varphi) = (\varphi \circ \varphi', \varphi' \circ \varphi)\) et \(\sigma = (\text{id}, \text{id})\) (comparer à la démonstration de Quotients, proposition 08K9). Ainsi, \(\mathit{Isom}(E, E')\) est affine sur \(T\) comme produit fibré de schémas affines sur \(T\). De même, \(\mathit{Isom}(E, E')\) est de présentation finie sur \(T\).

Lemme

Le morphisme \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) est quasi-séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) est quasi-séparé, il faut montrer que sa diagonale est quasi-compacte et quasi-séparée. Cela résulte immédiatement du lemme 0DPW. Pour prouver que \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) est localement de présentation finie, il faut montrer que \(\Complexesstack_{X/B} \to B\) préserve les limites ; voir Limites de champs, proposition 0CMY. Cela résulte de Quotients, lemme 0DLJ (un petit détail est omis).