Modules de courbes

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions quelques-uns des champs de modules de courbes classiques. L’article célèbre de Deligne et Mumford constitue une référence, voir [DM].

Conventions et abus de langage

Nous continuons d’employer les conventions et les abus de langage introduits dans Propriétés des champs, section 04XA. Sauf mention contraire, notre schéma de base sera \(\Spec(\mathbf{Z})\).

Le champ des courbes

Cette section fait suite à Quot, section 0D4Y. Soit \(\Curvesstack\) le champ dont la catégorie des sections au-dessus d’un schéma \(S\) est la catégorie des familles de courbes sur \(S\). Il importe de garder à l’esprit qu’une famille de courbes est un morphisme \(f : X \to S\), où \(X\) est un espace algébrique (!) et où \(f\) est plat, propre, de présentation finie et de dimension relative \(\leq 1\). Nous savons déjà que \(\Curvesstack\) est un champ algébrique sur \(\mathbf{Z}\), voir Quot, théorème 0D5A. Si nous n’autorisions pas les espaces algébriques dans la définition de notre champ, ce théorème serait faux.

On note souvent un changement de base par un indice, mais nous ne pouvons pas employer cette notation pour \(\Curvesstack\), car \(\Curvesstack_S\) désigne chez nous la catégorie fibre au-dessus de \(S\). C’est pourquoi, dans Quot, remarque 0D54, nous avons noté \(B\text{-}\Curvesstack\) le changement de base \[B\text{-}\Curvesstack = \Curvesstack \times B\] à l’espace algébrique \(B\). Le produit de droite est pris au-dessus de l’objet final, c’est-à-dire au-dessus de \(\Spec(\mathbf{Z})\). L’objet de gauche est le champ classifiant les familles de courbes sur la catégorie des schémas sur \(B\). En particulier, si \(k\) est un corps, alors \[k\text{-}\Curvesstack = \Curvesstack \times \Spec(k)\] est le champ de modules classifiant les familles de courbes sur la catégorie des schémas sur \(k\). Avant de poursuivre, effectuons une vérification de cohérence.

Lemme

Soit \(T \to B\) un morphisme d’espaces algébriques. La catégorie \[\Mor_B(T, B\text{-}\Curvesstack) = \Mor(T, \Curvesstack)\] est la catégorie des familles de courbes sur \(T\).

Démonstration

Une famille de courbes sur \(T\) est un morphisme \(f : X \to T\) d’espaces algébriques, qui est plat, propre, de présentation finie et de dimension relative \(\leq 1\) (Morphismes d’espaces, définition 06LR). C’est exactement la même définition que dans Quot, situation 0D4Z, si ce n’est que la base \(T\) peut être un espace algébrique. Notre catégorie de base par défaut pour les champs et espaces algébriques est la catégorie des schémas ; le lemme ne découle donc pas immédiatement des définitions. Cela étant dit, nous invitons le lecteur à sauter la démonstration.

D’après la description de \(B\text{-}\Curvesstack\) comme produit donnée ci-dessus, il suffit de démontrer le lemme dans le cas absolu. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(p : U \to T\). Posons \(R = U \times_T U\), avec projections \(s, t : R \to U\).

Soit \(v : T \to \Curvesstack\) un morphisme. Alors \(v \circ p\) correspond à une famille de courbes \(X_U \to U\). Le \(2\)-morphisme canonique \(v \circ p \circ t \to v \circ p \circ s\) est un isomorphisme \(\varphi : X_U \times_{U, s} R \to X_U \times_{U, t} R\). Cet isomorphisme satisfait à la condition de cocycle sur \(R \times_{s, t} R\). D’après Amorçage, lemme 0ADV, nous obtenons un morphisme d’espaces algébriques \(X \to T\) dont l’image inverse sur \(U\) est égale à \(X_U\), compatiblement avec \(\varphi\). Puisque \(\{U \to T\}\) est un recouvrement étale, le morphisme \(X \to T\) est plat, propre et de présentation finie d’après Descente pour les espaces, lemmes 041W, 0422 et 041V. De plus, \(X \to T\) est de dimension relative \(\leq 1\), car cette propriété est locale pour la topologie étale. Ainsi, \(X \to T\) est une famille de courbes sur \(T\).

Réciproquement, soit \(X \to T\) une famille de courbes. Alors le changement de base \(X_U\) détermine un morphisme \(w : U \to \Curvesstack\), et l’isomorphisme canonique \(X_U \times_{U, s} R \to X_U \times_{U, t} R\) détermine une \(2\)-flèche \(w \circ s \to w \circ t\) satisfaisant à la condition de cocycle. On obtient ainsi un morphisme \(v : T = [U/R] \to \Curvesstack\) par la propriété universelle du quotient \([U/R]\) ; voir Groupoïdes dans les espaces, lemme 044U. (En fait, il est ici bien plus simple de revenir à la situation antérieure à l’introduction de notre abus de langage et de construire directement le foncteur \(\Sch/T \to \Curvesstack\) qui « est » le morphisme \(T \to \Curvesstack\).)

Nous omettons de vérifier que les constructions ci-dessus s’étendent aux morphismes entre objets et sont quasi-inverses l’une de l’autre.

Le champ des courbes polarisées

Dans cette section, nous développons une partie des considérations de Quot, remarque 0D5C. Considérons le \(2\)-produit fibré \[\xymatrix{ \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack \ar[r] \ar[d] & \Polarizedstack \ar[d] \\ \Curvesstack \ar[r] & \Spacesstack'_{fp, flat, proper} }\] Nous notons ce \(2\)-produit fibré \[\textit{PolarizedCurves} = \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack\] Ce produit fibré paramètre les courbes polarisées, c’est-à-dire les familles de courbes munies d’un faisceau inversible relativement ample. Plus précisément, un objet de \(\textit{PolarizedCurves}\) est un couple \((X \to S, \mathcal{L})\) tel que

1. \(X \to S\) est un morphisme de schémas propre, plat, de présentation finie et de dimension relative \(\leq 1\), et

2. \(\mathcal{L}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible qui est relativement ample sur \(X/S\).

Un morphisme \((X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\) entre objets de \(\textit{PolarizedCurves}\) est donné par un triplet \((f, g, \varphi)\), où \(f : X' \to X\) et \(g : S' \to S\) sont des morphismes de schémas s’inscrivant dans un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] qui induit un isomorphisme \(X' \to S' \times_S X\) ; autrement dit, le diagramme est cartésien, et \(\varphi : f^*\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) est un isomorphisme. La composition se définit de manière évidente.

Lemme

Le morphisme \(\textit{PolarizedCurves} \to \Polarizedstack\) est une immersion ouverte et fermée.

Démonstration

Cela résulte de ce que le \(1\)-morphisme \(\Curvesstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\) est représentable par des immersions ouvertes et fermées ; voir Quot, lemme 0D5B.

Lemme

Le morphisme \(\textit{PolarizedCurves} \to \Curvesstack\) est lisse et surjectif.

Démonstration

Surjectivité. Soient \(k\) un corps et \(X\) un espace algébrique propre sur \(k\), de dimension \(\leq 1\), c’est-à-dire un objet de \(\Curvesstack\) sur \(k\). D’après Espaces sur les corps, lemme 0ADD l’espace algébrique \(X\) est un schéma. Ainsi, \(X\) est un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). D’après Variétés, lemme 0A26, \(X\) est H-projectif sur \(\kappa\). Il existe en particulier un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible ample \(\mathcal{L}\) sur \(X\). Alors \((X, \mathcal{L})\) est un objet de \(\textit{PolarizedCurves}\) sur \(k\) dont l’image est \(X\).

Lissité. Soit \(X \to S\) un objet de \(\Curvesstack\), c’est-à-dire un morphisme \(S \to \Curvesstack\). Il est clair que \[\textit{PolarizedCurves} \times_{\Curvesstack} S \subset \Picardstack_{X/S}\] est le sous-champ des objets \((T/S, \mathcal{L}/X_T)\) tels que \(\mathcal{L}\) soit ample sur \(X_T/T\). C’est un sous-champ ouvert d’après Descente pour les espaces, lemme 0D3D. Puisque \(\Picardstack_{X/S} \to S\) est lisse d’après Champs de modules, lemme 0DPJ, la conclusion s’ensuit.

Lemme

Soit \(X \to S\) une famille de courbes. Il existe alors un recouvrement étale \(\{S_i \to S\}\) tel que \(X_i = X \times_S S_i\) soit un schéma. Nous pouvons même supposer \(X_i\) H-projectif sur \(S_i\).

Démonstration

Il s’agit d’un corollaire immédiat du lemme 0DQ0. En effet, l’explicitation des définitions montre que ce lemme fournit un morphisme lisse surjectif \(S' \to S\) tel que \(X' = X \times_S S'\) soit muni d’un \(\mathcal{O}_{X'}\)-module inversible \(\mathcal{L}'\) qui est ample sur \(X'/S'\). Nous pouvons ensuite raffiner le recouvrement lisse \(\{S' \to S\}\) par un recouvrement étale \(\{S_i \to S\}\) ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 055V. Après remplacement de \(S_i\) par un recouvrement ouvert convenable, nous pouvons supposer \(X_i \to S_i\) H-projectif ; voir Morphismes, lemmes 0B5N et 01WB (ce point est aussi étudié en détail dans Compléments sur les morphismes, section 0B44).

Propriétés du champ des courbes

Le lemme suivant n’est pas vrai pour les modules de surfaces ; voir la remarque 0DSR.

Lemme

La diagonale de \(\Curvesstack\) est séparée et de présentation finie.

Démonstration

Rappelons que \(\Curvesstack\) est un champ algébrique qui préserve les limites ; voir Quot, lemme 0D55. D’après Limites de champs, lemme 0CMW, cela implique que \(\Delta : \Polarizedstack \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\) préserve les limites. Par conséquent, \(\Delta\) est localement de présentation finie d’après Limites de champs, proposition 0CMY.

Montrons que \(\Delta\) est séparée. Pour cela, il suffit de montrer que, pour un schéma \(U\) et deux objets \(Y \to U\) et \(X \to U\) de \(\Curvesstack\) au-dessus de \(U\), l’espace algébrique \[\mathit{Isom}_U(Y, X)\] est séparé. Il résulte en effet de Champs de modules, lemmes 0DPN et 0DPP, que cet espace algébrique est séparé.

Pour achever la démonstration, montrons que \(\Delta\) est quasi-compacte. Puisque \(\Delta\) est représentable par des espaces algébriques, il suffit de vérifier que le changement de base de \(\Delta\) par un morphisme lisse surjectif \(U \to \Curvesstack \times \Curvesstack\) est quasi-compact (voir, par exemple, Propriétés des champs, lemme 04XD). Choisissons pour \(U = \coprod U_i\) une réunion disjointe d’ouverts affines, munie d’un morphisme lisse surjectif \[U \longrightarrow \textit{PolarizedCurves} \times \textit{PolarizedCurves}\] Alors \(U \to \Curvesstack \times \Curvesstack\) est surjectif et lisse, car \(\textit{PolarizedCurves} \to \Curvesstack\) est surjectif et lisse d’après le lemme 0DQ0. Comme \(\textit{PolarizedCurves}\) préserve les limites (d’après Axiomes d’Artin, lemme 07XM, et Quot, lemmes 0D55, 0D43 et 0D1I), le morphisme \(\textit{PolarizedCurves} \to \Spec(\mathbf{Z})\) est localement de présentation finie. Il en va donc de même de \(U_i \to \Spec(\mathbf{Z})\) (Limites de champs, proposition 0CMY et Morphismes de champs, lemmes 06Q3 et 0DNP). En particulier, \(U_i\) est affine noethérien. Nous sommes ainsi ramenés au cas étudié dans le paragraphe suivant.

Dans ce paragraphe, étant donnés un schéma affine noethérien \(U\) et deux objets \((Y, \mathcal{N})\) et \((X, \mathcal{L})\) de \(\textit{PolarizedCurves}\) au-dessus de \(U\), nous montrons que l’espace algébrique \[\mathit{Isom}_U(Y, X)\] est quasi-compact. Comme les composantes connexes de \(U\) sont ouvertes et fermées, nous pouvons remplacer \(U\) par celles-ci. Nous supposons donc désormais \(U\) connexe. Soit \(u \in U\) un point. Soient \(Q\) et \(P\) les polynômes de Hilbert de ces familles, c’est-à-dire \[Q(n) = \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n}) \quad\text{et}\quad P(n) = \chi(X_u, \mathcal{L}_u^{\otimes n})\] voir Variétés, lemme 0BEM. Comme \(U\) est connexe et que les fonctions \(u \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\) et \(u \mapsto \chi(X_u, \mathcal{L}_u^{\otimes n})\) sont localement constantes (voir Catégories dérivées de schémas, lemme 0B9T) nous obtenons le même polynôme de Hilbert en tout point de \(U\). Posons \[\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_U X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\] sur \(Y \times_U X\). Pour \((f, \varphi) \in \mathit{Isom}_U(Y, X)(T)\), où \(T\) est un schéma sur \(U\), et pour tout \(t \in T\), on a \[\begin{align*} \chi(Y_t, (\text{id} \times f)^*\mathcal{M}^{\otimes n}) & = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_t}} f_t^*\mathcal{L}_t^{\otimes n}) \\ & = n\deg(\mathcal{N}_t) + n\deg(f_t^*\mathcal{L}_t) + \chi(Y_t, \mathcal{O}_{Y_t}) \\ & = Q(n) + n\deg(\mathcal{L}_t) \\ & = Q(n) + P(n) - P(0) \end{align*}\] d’après Riemann–Roch pour les courbes propres, plus précisément d’après Variétés, définition 0AYR, lemme 0AYX, et le fait que \(f_t\) est un isomorphisme. En posant \(P'(t) = Q(t) + P(t) - P(0)\), nous obtenons \[\mathit{Isom}_U(Y, X) = \mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] Cette intersection est une intersection de sous-espaces ouverts de \(\mathit{Mor}_U(Y, X)\) ; voir Champs de modules, lemme 0DPP et remarque 0DPQ. Or \(\mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\) est un espace algébrique noethérien, puisqu’il est de présentation finie sur \(U\) d’après Champs de modules, lemme 0DPR. L’intersection est donc elle aussi un espace algébrique noethérien, ce qui achève la démonstration.

Remarque

L’argument de bornitude employé dans la démonstration du lemme 0DSQ ne fonctionne pas pour les modules de surfaces ; de fait, le résultat est faux, notamment parce que des surfaces K3 sur des corps peuvent avoir des groupes discrets d’automorphismes infinis. La « raison » pour laquelle l’argument ne fonctionne pas est que, sur une surface projective \(S\) sur un corps, étant donnés des faisceaux inversibles amples \(\mathcal{N}\) et \(\mathcal{L}\) de polynômes de Hilbert \(Q\) et \(P\), il n’existe aucune borne a priori pour le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}\). En termes de théorie de l’intersection, si \(H_1\) et \(H_2\) sont des diviseurs de Cartier effectifs et amples sur \(S\), il n’existe aucune borne (supérieure) pour le nombre d’intersection \(H_1 \cdot H_2\) en fonction de \(H_1 \cdot H_1\) et de \(H_2 \cdot H_2\).

Lemme

Le morphisme \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est quasi-séparé et localement de présentation finie.

Démonstration

Pour vérifier que \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est quasi-séparé, il faut montrer que sa diagonale est quasi-compacte et quasi-séparée. Cela résulte immédiatement du lemme 0DSQ. Pour montrer que \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est localement de présentation finie, il suffit de montrer que \(\Curvesstack\) préserve les limites ; voir Limites de champs, proposition 0CMY. C’est Quot, lemme 0D55.

Sous-champs ouverts du champ des courbes

Dans la suite, nous caractériserons souvent un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) au moyen d’une propriété \(P\) des morphismes d’espaces algébriques. Pour voir que \(P\) définit un sous-champ ouvert, il suffit de vérifier la condition suivante :

1. pour toute famille de courbes \(f : X \to S\), il existe un plus grand sous-schéma ouvert \(S' \subset S\) tel que \(f|_{f^{-1}(S')} : f^{-1}(S') \to S'\) possède \(P\) et tel que la formation de \(S'\) commute à tout changement de base.

Supposons en effet que (o) soit satisfaite. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(m : U \to \Curvesstack\). Posons \(R = U \times_{\Curvesstack} U\) et notons \(t, s : R \to U\) les projections. Rappelons que \(\Curvesstack = [U/R]\) est une présentation ; voir Champs algébriques, lemme 04T5 et définition 04TI. Par construction de \(\Curvesstack\) comme champ des courbes, le morphisme \(m\) est le morphisme classifiant d’une famille de courbes \(C \to U\). La \(2\)-commutativité du diagramme \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d] \\ U \ar[r] & \Curvesstack }\] implique que \(C \times_{U, s} R \cong C \times_{U, t} R\) (isomorphisme de familles de courbes sur \(R\)). Soit \(W \subset U\) le plus grand sous-schéma ouvert tel que \(f|_{f^{-1}(W)} : f^{-1}(W) \to W\) possède \(P\), comme dans (o). Puisque, d’après (o), la formation de \(W\) commute aux changements de base, l’isomorphisme ci-dessus donne \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\). Ainsi, \(W \subset U\) correspond à un sous-champ ouvert \[\Curvesstack^P \subset \Curvesstack\] d’après Propriétés des champs, lemme 04YN.

En conservant les notations du paragraphe précédent, nous affirmons que le sous-champ ouvert \(\Curvesstack^P\) possède les deux propriétés universelles suivantes :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^P\),

   2. le morphisme \(X \to S\) possède \(P\) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^P\),

   2. le morphisme \(X \to \Spec(k)\) possède \(P\).

Cela résulte de la considération du \(2\)-produit fibré \[\xymatrix{ T \ar[r]_p \ar[d]_q & U \ar[d] \\ S \ar[r] & \Curvesstack }\] Observons que \(T \to S\) est surjectif et lisse, car il se déduit de \(U \to \Curvesstack\) par changement de base. L’ouvert \(S' \subset S\) donné par (o) est donc déterminé par son image inverse dans \(T\). Or, par l’invariance des ouverts de (o) sous changement de base et puisque \(X \times_S T \cong C \times_U T\) par \(2\)-commutativité, nous obtenons \(q^{-1}(S') = p^{-1}(W)\) comme ouverts de \(T\). Cela implique immédiatement (1). La partie (2) est un cas particulier de (1).

Étant données deux propriétés \(P\) et \(Q\) des morphismes d’espaces algébriques, supposons que nous ayons déjà établi que \(\Curvesstack^Q\) est un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\). La même méthode permet alors de démontrer que \(\Curvesstack^{Q, P} \subset \Curvesstack^Q\) est ouvert. Nous omettons les détails.

Courbes à groupes d’automorphismes finis et réduits

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\), c’est-à-dire un objet de \(\Curvesstack\) sur \(k\). D’après le lemme 0DSQ, l’espace algébrique des automorphismes \(\mathit{Aut}(X)\) est de type fini et séparé sur \(k\). En particulier, \(\mathit{Aut}(X)\) est un schéma en groupes ; voir Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, lemme 0B8F. Si la caractéristique de \(k\) est nulle, alors \(\mathit{Aut}(X)\) est réduit et même lisse sur \(k\) (Groupoïdes, lemme 047N). Toutefois, en général, \(\mathit{Aut}(X)\) n’est pas réduit, même si \(X\) est géométriquement réduit.

Exemple

Soit \(k\) un corps algébriquement clos de caractéristique \(2\). Posons \(Y = Z = \mathbf{P}^1_k\). Choisissons trois points \(k\)-rationnels deux à deux distincts \(a, b, c\) dans \(\mathbf{A}^1_k\). En considérant \(\mathbf{A}^1_k \subset \mathbf{P}^1_k = Y = Z\) comme un sous-schéma ouvert, nous obtenons une immersion fermée \[T = \Spec(k[t]/(t - a)^2) \amalg \Spec(k[t]/(t - b)^2) \amalg \Spec(k[t]/(t - c)^2) \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] Soit \(X\) la somme amalgamée dans le diagramme \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] Soit \(U \subset X\) la partie ouverte affine qui est l’image de \(\mathbf{A}^1_k \amalg \mathbf{A}^1_k\). Nous avons alors un diagramme égalisateur \[\xymatrix{ \mathcal{O}_X(U) \ar[r] & k[t] \times k[t] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & k[t]/(t - a)^2 \times k[t]/(t - b)^2 \times k[t]/(t - c)^2 }\] Sur l’algèbre des nombres duaux \(A = k[\epsilon]\), ce diagramme égalisateur admet un automorphisme non trivial envoyant \(t\) sur \(t + \epsilon\). Nous laissons au lecteur le soin de voir que cet automorphisme s’étend en un automorphisme de \(X\) sur \(A\). D’autre part, le lecteur vérifie aisément que le groupe d’automorphismes de \(X\) sur \(k\) est fini. Ainsi, \(\mathit{Aut}(X)\) est nécessairement non réduit.

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\), c’est-à-dire un objet de \(\Curvesstack\) sur \(k\). Même si \(\mathit{Aut}(X)\) est géométriquement réduit, il n’est pas nécessairement de dimension \(0\), quand bien même \(X\) est lisse et géométriquement connexe.

Exemple

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Si \(X\) est une courbe lisse de genre \(0\), resp. \(1\), alors son groupe d’automorphismes est de dimension \(3\), resp. \(1\). En effet, dans le cas du genre \(0\), on a \(X \cong \mathbf{P}^1_k\) d’après Courbes algébriques, proposition 0C6U. Puisque \[\mathit{Aut}(\mathbf{P}^1_k) = \text{PGL}_{2, k}\] comme foncteurs, sa dimension est \(3\). D’autre part, si le genre de \(X\) est \(1\), alors l’application \(X = \underline{\Hilbfunctor}^1_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^1_{X/k}\) est un isomorphisme ; voir Schémas de Picard des courbes, lemme 0BA0, et Courbes algébriques, théorème 0BY1. Ainsi, \(X\) possède une structure de variété abélienne (puisque \(\underline{\Picardfunctor}^1_{X/k} \cong \underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\)). En particulier, les fibrés tangent et cotangent de \(X\) sont triviaux (Groupoïdes, lemme 047I). Nous en concluons que \(\dim_k H^0(X, T_X) = 1\), donc que \(\dim \mathit{Aut}(X) \leq 1\). D’autre part, les translations (en considérant \(X\) comme un schéma en groupes) fournissent une partie de dimension \(1\) de \(\text{Aut}(X)\) ; sa dimension vaut donc bien \(1\).

Il existe en fait un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui paramètre les courbes dont le groupe d’automorphismes est géométriquement réduit et fini. En voici un énoncé précis.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{DM} \subset \Curvesstack\) possédant les propriétés suivantes :

1. \(\Curvesstack^{DM} \subset \Curvesstack\) est le plus grand sous-champ ouvert qui soit DM ;

2. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{DM}\),

   2. l’espace algébrique en groupes \(\mathit{Aut}_S(X)\) est non ramifié sur \(S\) ;

3. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{DM}\) ;

   2. \(\mathit{Aut}(X)\) est géométriquement réduit sur \(k\) et de dimension \(0\) ;

   3. \(\mathit{Aut}(X) \to \Spec(k)\) est non ramifié.

Démonstration

L’existence d’un sous-champ ouvert ayant la propriété (1) résulte de Morphismes de champs, lemme 0DSM. Les points de ce sous-champ ouvert sont caractérisés par (3)(c) d’après Morphismes de champs, lemme 0DSN. L’équivalence de (3)(b) et (3)(c) affirme qu’un espace algébrique \(G\), localement de type fini, géométriquement réduit et de dimension \(0\) sur un corps \(k\), est non ramifié sur \(k\). Tout d’abord, \(G\) est un schéma d’après Espaces sur les corps, lemme 06LZ. Nous pouvons ensuite prendre un ouvert affine de \(G\), observer qu’il est propre sur \(k\), puis appliquer Variétés, lemme 0BUG. Nous omettons les détails mineurs.

La partie (2) est vraie parce que (3) l’est. En effet, le morphisme \(\mathit{Aut}_S(X) \to S\) est localement de type fini. Nous pouvons donc vérifier si \(\mathit{Aut}_S(X) \to S\) est non ramifié en tout point de \(\mathit{Aut}_S(X)\) en le vérifiant sur les fibres aux points du schéma \(S\) ; voir Morphismes d’espaces, lemme 05W2. Mais, après changement de base en un point de \(S\), nous nous ramenons à l’équivalence de (3)(a) et (3)(c).

Lemme

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\). Alors les propriétés (3)(a), (b), (c) sont également équivalentes à \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\).

Démonstration

Dans la discussion précédente, nous avons vu que \(G = \mathit{Aut}(X)\) est un schéma en groupes de type fini et séparé sur \(\Spec(k)\) ; on utilise ici le lemme 0DSQ et Compléments sur les groupoïdes dans les espaces, lemme 0B8F. Alors \(G\) est non ramifié sur \(k\) si et seulement si \(\Omega_{G/k} = 0\) (Morphismes, lemme 02G5). D’après Groupoïdes, lemme 047I, cette annulation a lieu si \(T_{G/k, e} = 0\), où \(T_{G/k, e}\) est l’espace tangent à \(G\) en l’élément neutre \(e \in G(k)\) ; voir Variétés, définition 0B2C, ainsi que la formule de Variétés, lemme 0B2D. Puisque \(\kappa(e) = k\), l’espace tangent se décrit au moyen des morphismes \(\alpha : \Spec(k[\epsilon]) \to G = \mathit{Aut}(X)\) dont la restriction à \(\Spec(k)\) est \(e\). On est ainsi ramené à considérer les automorphismes \[\alpha : X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon]) \longrightarrow X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon])\] sur \(\Spec(k[\epsilon])\) dont la restriction à \(\Spec(k)\) est \(\text{id}_X\). De tels automorphismes sont appelés automorphismes infinitésimaux.

Les automorphismes infinitésimaux de \(X\) correspondent bijectivement aux dérivations de \(\mathcal{O}_X\) sur \(k\). Cela résulte de Compléments sur les morphismes, lemmes 04FG et 02H5 (nous n’avons besoin que du premier, puisque le sens réciproque ne nous intéresse pas ; consulter aussi Compléments sur les morphismes, remarque 0CK2, pour une explication). Pour un autre argument établissant cette égalité, nous renvoyons le lecteur à Problèmes de déformation, lemme 0DY9.

Courbes de Cohen-Macaulay

Il existe un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui paramètre les « courbes » de Cohen-Macaulay.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{CM} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{CM}\),

   2. le morphisme \(X \to S\) est Cohen-Macaulay ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{CM}\),

   2. \(X\) est Cohen-Macaulay.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E10, l’ensemble \[W = \{x \in |X| : f \text{ est Cohen-Macaulay au point }x\}\] est ouvert dans \(|X|\), et la formation de cet ouvert commute à tout changement de base. Puisque \(f\) est propre, le sous-ensemble \[S' = S \setminus f(|X| \setminus W)\] de \(S\) est ouvert, et \(X \times_S S' \to S'\) est Cohen-Macaulay. De plus, la formation de \(S'\) commute à tout changement de base, car il en est ainsi de \(W\). La méthode exposée à la section 0E0E fournit donc le sous-champ ouvert possédant les propriétés voulues.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{CM, 1} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{CM, 1}\),

   2. le morphisme \(X \to S\) est Cohen-Macaulay et de dimension relative \(1\) (Morphismes d’espaces, définition 06LR) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{CM, 1}\),

   2. \(X\) est Cohen-Macaulay et \(X\) est équidimensionnel de dimension \(1\).

Démonstration

D’après le lemme 0E0I, il est clair que l’on a \(\Curvesstack^{CM, 1} \subset \Curvesstack^{CM}\) si ce sous-champ existe. Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes telle que \(f\) soit Cohen-Macaulay. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E11, nous avons une décomposition \[X = X_0 \amalg X_1\] en sous-espaces ouverts et fermés telle que \(X_0 \to S\) soit de dimension relative \(0\) et \(X_1 \to S\) de dimension relative \(1\). Puisque \(f\) est propre, le sous-ensemble \[S' = S \setminus f(|X_0|)\] de \(S\) est ouvert, et \(X \times_S S' \to S'\) est Cohen-Macaulay et de dimension relative \(1\). De plus, la formation de \(S'\) commute à tout changement de base, car il en est ainsi de la décomposition précédente (la dimension relative se comportant bien par changement de base ; voir Morphismes d’espaces, lemme 04NS). La méthode exposée à la section 0E0E fournit donc le sous-champ ouvert possédant les propriétés voulues.

Courbes de genre donné

Dans le projet Champs, on convient que le genre \(g\) d’un schéma \(X\) propre de dimension \(1\) sur un corps \(k\) n’est défini que si \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\). Dans ce cas, \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\). Voir Courbes algébriques, section 0BY6. Les conditions nécessaires pour définir le genre définissent un sous-champ ouvert, qui est alors réunion disjointe de sous-champs ouverts, un pour chaque genre.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{h0, 1} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(f : X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{h0, 1}\),

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), cette égalité reste vraie après tout changement de base, et les fibres de \(f\) sont de dimension \(1\) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{h0, 1}\),

   2. \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et \(\dim(X) = 1\).

Démonstration

Pour une famille de courbes \(X \to S\), l’ensemble des \(s \in S\) tels que \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) est ouvert dans \(S\) d’après Catégories dérivées des espaces, lemme 0E0R. De même, l’ensemble des points de \(S\) où la fibre est de dimension \(1\) est ouvert d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0D4R. En outre, si \(f : X \to S\) est une famille de courbes dont toutes les fibres sont de dimension \(1\) (et, en particulier, \(f\) est surjectif), alors la condition (1)(b) équivaut à \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) pour tout \(s \in S\) ; voir Catégories dérivées des espaces, lemme 0E6B. Le lemme résulte donc de la discussion générale de la section 0E0E.

Lemme

On a \(\Curvesstack^{h0, 1} \subset \Curvesstack^{CM, 1}\) en tant que sous-champs ouverts de \(\Curvesstack\).

Démonstration

Voir Courbes algébriques, lemme 0BY5, ainsi que les lemmes 0E6I et 0E1F.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes telle que \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) pour tout \(s \in S\), c’est-à-dire que le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{h0, 1}\) (lemme 0E6I). Alors :

1. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), et cette égalité subsiste après tout changement de base ;

2. \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module fini localement libre ;

3. pour tout morphisme \(h : S' \to S\), si \(f' : X' \to S'\) est obtenu par changement de base, alors \(h^*(R^1f_*\mathcal{O}_X) = R^1f'_*\mathcal{O}_{X'}\).

Démonstration

Appliquons Catégories dérivées des espaces, lemme 0E6B. Cela prouve l’assertion (1). Cela implique aussi que, localement sur \(S\), on peut écrire \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S \oplus P\), où \(P\) est parfait et de Tor-amplitude contenue dans \([1, \infty)\). Rappelons que la formation de \(Rf_*\mathcal{O}_X\) commute à tout changement de base (Catégories dérivées des espaces, lemme 0CTM). Ainsi, pour \(s \in S\), on a \[H^i(P \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \kappa(s)) = H^i(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \text{ pour }i \geq 1\] Ce groupe est nul sauf si \(i = 1\), car \(X_s\) est un schéma noethérien de dimension \(1\) ; voir Cohomologie, proposition 02UZ. On a alors \(P = H^1(P)[-1]\), et \(H^1(P)\) est fini localement libre, par exemple d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0BCD. Comme tout est compatible avec le changement de base, on voit également que l’assertion (3) est vraie.

Lemme

Il existe une décomposition en sous-champs ouverts et fermés \[\Curvesstack^{h0, 1} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack_g\] où chaque \(\Curvesstack_g\) se caractérise comme suit :

1. pour une famille de courbes \(f : X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack_g\),

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), cette égalité reste vraie après tout changement de base, les fibres de \(f\) sont de dimension \(1\), et \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(g\) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack_g\),

   2. \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\) et le genre de \(X\) est \(g\).

Démonstration

Nous disposons déjà de \(\Curvesstack^{h0, 1}\) comme sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\), caractérisé par les conditions du lemme qui ne font intervenir ni \(R^1f_*\) ni \(H^1\) ; voir le lemme 0E6I. L’existence de la décomposition en sous-champs ouverts et fermés résulte immédiatement de la discussion de la section 0E0E et du lemme 0E1J. Cela prouve la caractérisation de (1). La caractérisation de (2) résulte de la définition du genre donnée dans Courbes algébriques, définition 0BY7.

Courbes géométriquement réduites

Il existe un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui paramètre les « courbes » géométriquement réduites.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{geomred} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{geomred}\),

   2. les fibres du morphisme \(X \to S\) sont géométriquement réduites (Compléments sur les morphismes d’espaces, définition 0E08) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{geomred}\),

   2. \(X\) est géométriquement réduit sur \(k\).

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E0C, l’ensemble \[E = \{s \in S : \text{la fibre de }X \to S\text{ en }s \text{ est géométriquement réduite}\}\] est ouvert dans \(S\). La formation de cet ouvert commute à tout changement de base d’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E09. La méthode exposée à la section 0E0E fournit donc le sous-champ ouvert possédant les propriétés voulues.

Lemme

On a \(\Curvesstack^{geomred} \subset \Curvesstack^{CM}\) en tant que sous-champs ouverts de \(\Curvesstack\).

Démonstration

Cela tient à ce qu’un schéma noethérien réduit de dimension \(\leq 1\) est Cohen-Macaulay. Voir Algèbre, lemme 031R.

Courbes géométriquement réduites et connexes

Il existe un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui paramètre les « courbes » géométriquement réduites et connexes. Nous éliminons d’emblée les objets de dimension \(0\).

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{grc, 1}\),

   2. les fibres géométriques du morphisme \(X \to S\) sont réduites, connexes et de dimension \(1\) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{grc, 1}\),

   2. \(X\) est géométriquement réduit, géométriquement connexe et de dimension \(1\).

Démonstration

D’après les lemmes 0E0G, 0E1G, 0E0I et 0E1F, il est clair que l’on a \[\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack^{geomred} \cap \Curvesstack^{CM, 1}\] si ce sous-champ existe. Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes telle que \(f\) soit Cohen-Macaulay, ait des fibres géométriquement réduites et soit de dimension relative \(1\). D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E0D, dans la factorisation de Stein \[X \to T \to S\] le morphisme \(T \to S\) est étale. Il en résulte qu’il existe un sous-schéma ouvert et fermé \(S' \subset S\) tel que \(X \times_S S' \to S'\) ait des fibres géométriquement connexes (dans la décomposition de Morphismes, lemme 04MH, appliquée au morphisme fini localement libre \(T \to S\), cela correspond à \(S_1\)). La formation de cet ouvert commute à tout changement de base, car le nombre de composantes connexes des fibres géométriques est invariant par changement de base (il est également vrai que la factorisation de Stein commute au changement de base dans notre cas particulier, mais nous n’en avons pas besoin pour conclure). La méthode exposée à la section 0E0E fournit donc le sous-champ ouvert possédant les propriétés voulues.

Lemme

On a \(\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack^{h0, 1}\) en tant que sous-champs ouverts de \(\Curvesstack\). En particulier, pour toute famille de courbes \(f : X \to S\) dont les fibres géométriques sont réduites, connexes et de dimension \(1\), \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module fini localement libre dont la formation commute à tout changement de base.

Démonstration

Cela résulte de Variétés, lemme 0BUG, ainsi que des lemmes 0E6I et 0E1I. La dernière assertion résulte du lemme 0E1J.

Lemme

Il existe une décomposition en sous-champs ouverts et fermés \[\Curvesstack^{grc, 1} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack^{grc, 1}_g\] où chaque \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\) se caractérise comme suit :

1. pour une famille de courbes \(f : X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\),

   2. les fibres géométriques du morphisme \(f : X \to S\) sont réduites, connexes, de dimension \(1\), et \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(g\) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\),

   2. \(X\) est géométriquement réduit, géométriquement connexe, de dimension \(1\) et de genre \(g\).

Démonstration

Première démonstration : posons \(\Curvesstack^{grc, 1}_g = \Curvesstack^{grc, 1} \cap \Curvesstack_g\) et combinons les lemmes 0E6L et 0E6K. Seconde démonstration : L’existence de la décomposition en sous-champs ouverts et fermés résulte immédiatement de la discussion de la section 0E0E et du lemme 0E6L. Cela prouve la caractérisation de (1). La caractérisation de (2) en résulte également, car le genre d’un schéma \(X/k\) propre de dimension \(1\), géométriquement réduit et connexe, est défini (Courbes algébriques, définition 0BY7, et Variétés, lemme 0BUG) et vaut \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\).

Courbes de Gorenstein

Il existe un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui paramètre les « courbes » de Gorenstein.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{Gorenstein} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{Gorenstein}\),

   2. le morphisme \(X \to S\) est de Gorenstein ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{Gorenstein}\),

   2. \(X\) est de Gorenstein.

Démonstration

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0E19, l’ensemble \[W = \{x \in |X| : f \text{ est de Gorenstein au point }x\}\] est ouvert dans \(|X|\), et la formation de cet ouvert commute à tout changement de base. Puisque \(f\) est propre, le sous-ensemble \[S' = S \setminus f(|X| \setminus W)\] de \(S\) est ouvert, et \(X \times_S S' \to S'\) est de Gorenstein. De plus, la formation de \(S'\) commute à tout changement de base, car il en est ainsi de \(W\). La méthode exposée à la section 0E0E fournit donc le sous-champ ouvert possédant les propriétés voulues.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\),

   2. le morphisme \(X \to S\) est de Gorenstein et de dimension relative \(1\) (Morphismes d’espaces, définition 06LR) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) et tel que \(\dim(X) \leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\),

   2. \(X\) est de Gorenstein et \(X\) est équidimensionnel de dimension \(1\).

Démonstration

Rappelons qu’un schéma de Gorenstein est Cohen-Macaulay (Dualité pour les schémas, lemme 0C00) et rappelons qu’un morphisme de Gorenstein est un morphisme de Cohen-Macaulay (Dualité pour les schémas, lemme 0C06). Nous pouvons donc prendre \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\) égale à l’intersection de \(\Curvesstack^{Gorenstein}\) et de \(\Curvesstack^{CM, 1}\) dans \(\Curvesstack\), et appliquer les lemmes 0E1M et 0E1F.

Courbes d’intersection complète locale

Il existe un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui paramètre les « courbes » qui sont des intersections complètes locales.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{lci} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{lci}\),

   2. \(X \to S\) est un morphisme d’intersection complète locale, et

   3. \(X \to S\) est un morphisme syntomique.

2. pour un schéma propre \(X\) sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{lci}\),

   2. \(X\) est une intersection complète locale sur \(k\).

Démonstration

Rappelons qu’être un morphisme syntomique revient à être plat et à être un morphisme d’intersection complète locale ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 06C9. Ainsi, (1)(b) est équivalente à (1)(c). À la section 0E0E, nous avons vu qu’il suffit de montrer que, pour toute famille de courbes \(f : X \to S\), il existe un sous-schéma ouvert \(S' \subset S\) tel que \(S' \times_S X \to S'\) soit un morphisme d’intersection complète locale et que la formation de \(S'\) commute à tout changement de base. Cela découle du résultat plus général Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 06CE.

Courbes à singularités isolées

Nous pouvons considérer le sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui paramètre les « courbes » n’ayant qu’un nombre fini de points singuliers (ceux-ci peuvent correspondre à des composantes de dimension \(0\) dans notre cadre).

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{+} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{+}\),

   2. le lieu singulier de \(X \to S\), muni d’une quelconque/certaine structure de sous-espace fermé, est fini sur \(S\).

2. pour un schéma propre \(X\) sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{+}\),

   2. \(X \to \Spec(k)\) est lisse sauf en un nombre fini de points.

Démonstration

Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que, pour toute famille de courbes \(f : X \to S\), il existe un sous-schéma ouvert \(S' \subset S\) tel que la fibre de \(S' \times_S X \to S'\) possède la propriété (2). (La formation de l’ouvert commutera alors automatiquement au changement de base.) Par définition, le lieu \(T \subset |X|\) des points où \(X \to S\) n’est pas lisse est fermé. Soit \(Z \subset X\) le sous-espace fermé défini en munissant \(T\) de la structure réduite induite d’espace algébrique (Propriétés des espaces, définition 047X). Si maintenant \(s \in S\) est un point tel que \(Z_s\) soit fini, il existe un voisinage ouvert \(U_s \subset S\) de \(s\) tel que \(Z \cap f^{-1}(U_s) \to U_s\) soit fini ; voir Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0A4Y. Cela démontre le lemme.

Le lieu lisse du champ des courbes

Le morphisme \[\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] est lisse au-dessus d’un sous-champ ouvert maximal ; voir Morphismes de champs, lemme 0DZR. Nous voulons donner un critère pour qu’une courbe appartienne à ce lieu. Pour cela, nous utiliserons un peu de théorie des déformations.

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(\leq 1\) sur \(k\). Choisissons un anneau de Cohen \(\Lambda\) pour \(k\) ; voir Algèbre, lemme 0328. Nous sommes alors dans la situation décrite dans Problèmes de déformation, exemple 0DY7 et lemme 0DY8. Nous obtenons ainsi une catégorie de déformations \(\Deformationcategory_X\) sur la catégorie \(\mathcal{C}_\Lambda\) des \(\Lambda\)-algèbres artiniennes locales de corps résiduel \(k\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, les assertions suivantes sont équivalentes :

1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par l’ouvert où \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\) est lisse,

2. la catégorie de déformations \(\Deformationcategory_X\) est sans obstruction.

Démonstration

Puisque \(\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\) est localement de présentation finie (lemme 0DSS), la formation du sous-champ ouvert où \(\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\) est lisse commute au changement de base plat (Morphismes de champs, lemme 0DZR). Puisque l’anneau de Cohen \(\Lambda\) est plat sur \(\mathbf{Z}\), nous pouvons travailler sur \(\Lambda\). Autrement dit, il s’agit de montrer que \[\Lambda\text{-}\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\Lambda)\] est lisse dans un voisinage ouvert du point \(x_0 : \Spec(k) \to \Lambda\text{-}\Curvesstack\) défini par \(X/k\) si et seulement si \(\Deformationcategory_X\) est sans obstruction.

Le lemme résulte maintenant de Géométrie des champs, lemme 0DZS, et de l’égalité \[\Deformationcategory_X = \mathcal{F}_{\Lambda\text{-}\Curvesstack, k, x_0}\] Cette égalité n’est pas tout à fait triviale à établir. En effet, dans le membre de gauche, la catégorie de déformations classifie toutes les déformations plates \(Y \to \Spec(A)\) de \(X\) comme schéma sur \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\). Dans le membre de droite, la catégorie de déformations classifie tous les morphismes plats \(Y \to \Spec(A)\) de fibre spéciale \(X\), où \(Y\) est un espace algébrique et où \(Y \to \Spec(A)\) est propre, de présentation finie et de dimension relative \(\leq 1\). Puisque \(A\) est artinien, nous voyons que \(Y\) est un schéma, par exemple d’après Espaces sur les corps, lemme 0ADD. Il reste donc à montrer ceci : une déformation plate \(Y \to \Spec(A)\) de \(X\) comme schéma sur un anneau local artinien \(A\) de corps résiduel \(k\) est propre, de présentation finie et de dimension relative \(\leq 1\). La dimension relative se définit en termes des fibres et cette propriété vaut donc automatiquement pour \(Y/A\) puisqu’elle vaut pour \(X/k\). Le morphisme \(Y \to \Spec(A)\) est propre et localement de présentation finie, car c’est vrai pour \(X \to \Spec(k)\) ; voir Compléments sur les morphismes, lemme 06AG.

Voici un « grand » ouvert du champ des courbes qui est contenu dans le lieu lisse.

Lemme

Le sous-champ ouvert \[\Curvesstack^{lci+} = \Curvesstack^{lci} \cap \Curvesstack^{+} \subset \Curvesstack\] possède les propriétés suivantes :

1. \(\Curvesstack^{lci+} \to \Spec(\mathbf{Z})\) est lisse,

2. pour une famille de courbes \(X \to S\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{lci+}\),

   2. \(X \to S\) est un morphisme d’intersection complète locale et le lieu singulier de \(X \to S\), muni d’une quelconque/certaine structure de sous-espace fermé, est fini sur \(S\) ;

3. pour un schéma propre \(X\) sur un corps \(k\), de dimension \(\leq 1\), les assertions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{lci+}\),

   2. \(X\) est une intersection complète locale sur \(k\) et \(X \to \Spec(k)\) est lisse sauf en un nombre fini de points.

Démonstration

Si nous pouvons montrer qu’il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{lci+}\) dont les points sont caractérisés par (2), nous voyons alors que (1) résulte de la combinaison du lemme 0DZU avec Problèmes de déformation, lemme 0DZQ. Puisque \[\Curvesstack^{lci+} = \Curvesstack^{lci} \cap \Curvesstack^{+}\] dans \(\Curvesstack\), on conclut par les lemmes 0DZV et 0DZW.

Courbes lisses

Dans cette section, nous étudions les sous-champs ouverts de \(\Curvesstack\) qui paramètrent les “courbes” lisses.

Lemme

Il existe des sous-champs ouverts \[\Curvesstack^{smooth, 1} \subset \Curvesstack^{smooth} \subset \Curvesstack\] tels que

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{smooth}\), respectivement par \(\Curvesstack^{smooth, 1}\),

   2. \(f\) est lisse, respectivement lisse de dimension relative \(1\),

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{smooth}\), respectivement par \(\Curvesstack^{smooth, 1}\),

   2. \(X\) est lisse sur \(k\), respectivement \(X\) est lisse sur \(k\) et \(X\) est équidimensionnel de dimension \(1\).

Démonstration

Pour démontrer les assertions concernant \(\Curvesstack^{smooth}\), il suffit de montrer qu’étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), il existe un sous-schéma ouvert \(S' \subset S\) tel que \(S' \times_S X \to S'\) soit lisse et que la formation de cet ouvert commute au changement de base. Nous savons qu’il existe un plus grand ouvert \(U \subset X\) tel que \(U \to S\) soit lisse et que la formation de \(U\) commute à tout changement de base, voir Morphismes d’espaces, lemme 0DZI. Si \(T = |X| \setminus |U|\), alors \(f(T)\) est fermé dans \(S\) puisque \(f\) est propre. En posant \(S' = S \setminus f(T)\), on obtient l’ouvert voulu.

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes telle que \(f\) soit lisse. Alors les fibres \(X_s\) sont lisses sur \(\kappa(s)\) et sont donc de Cohen-Macaulay (on peut le voir, par exemple, en utilisant Algèbre, lemmes 00T5 et 00SB). Ainsi, on voit que l’on peut poser \[\Curvesstack^{smooth, 1} = \Curvesstack^{smooth} \cap \Curvesstack^{CM, 1}\] et les équivalences voulues résultent de ce qui a déjà été montré pour \(\Curvesstack^{smooth}\) et du lemme 0E1F.

Lemme

Le morphisme \(\Curvesstack^{smooth} \to \Spec(\mathbf{Z})\) est lisse.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de l’observation que \(\Curvesstack^{smooth} \subset \Curvesstack^{lci+}\) et du lemme 0DZX.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{smooth, h0} \subset \Curvesstack\) tel que

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{smooth}\),

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), cette égalité reste vraie après tout changement de base, et \(f\) est lisse de dimension relative \(1\),

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{smooth, h0}\),

   2. \(X\) est lisse, \(\dim(X) = 1\), et \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\),

   3. \(X\) est lisse, \(\dim(X) = 1\), et \(X\) est géométriquement connexe,

   4. \(X\) est lisse, \(\dim(X) = 1\), et \(X\) est géométriquement intègre, et

   5. \(X_{\overline{k}}\) est une courbe lisse.

Démonstration

Si l’on pose \[\Curvesstack^{smooth, h0} = \Curvesstack^{smooth} \cap \Curvesstack^{h0, 1}\] on voit alors que (1) résulte des lemmes 0E6I et 0DZZ. En fait, cela donne aussi l’équivalence de (2)(a) et (2)(b). Pour achever la démonstration, il reste à montrer que (2)(b) est équivalent à chacune des conditions (2)(c), (2)(d) et (2)(e).

Un schéma lisse sur un corps est géométriquement normal (Variétés, lemme 056T), la lissité est préservée par changement de base (Morphismes, lemme 01VB), et la propriété d’être lisse est locale pour la topologie fpqc sur le but (Descente, lemme 02VL). Compte tenu de cela, l’équivalence de (2)(b), (2)(c), 2(d) et (2)(e) résulte de Variétés, lemme 0FD3.

Définition

Nous notons \(\mathcal{M}\) et appelons champ de modules des courbes propres et lisses le champ algébrique \(\Curvesstack^{smooth, h0}\) paramétrant les familles de courbes introduit au lemme 0E81. Pour \(g \geq 0\), nous notons \(\mathcal{M}_g\) et appelons champ de modules des courbes propres et lisses de genre \(g\) le champ algébrique introduit au lemme 0E83.

Voici l’inévitable lemme.

Lemme

Il existe une décomposition en sous-champs ouverts et fermés \[\mathcal{M} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \mathcal{M}_g\] où chaque \(\mathcal{M}_g\) se caractérise comme suit :

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\mathcal{M}_g\),

   2. \(X \to S\) est lisse, \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), cette égalité reste vraie après tout changement de base, et \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(g\),

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\mathcal{M}_g\),

   2. \(X\) est lisse, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), et \(X\) est de genre \(g\),

   3. \(X\) est lisse, \(\dim(X) = 1\), \(X\) est géométriquement connexe, et \(X\) est de genre \(g\),

   4. \(X\) est lisse, \(\dim(X) = 1\), \(X\) est géométriquement intègre, et \(X\) est de genre \(g\), et

   5. \(X_{\overline{k}}\) est une courbe lisse de genre \(g\).

Démonstration

Combiner les lemmes 0E81 et 0E6K. On peut aussi utiliser le lemme 0E1K à la place.

Lemme

Les morphismes \(\mathcal{M} \to \Spec(\mathbf{Z})\) et \(\mathcal{M}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) sont lisses.

Démonstration

Comme \(\mathcal{M}\) est un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack^{lci+}\), cela résulte du lemme 0DZX.

Densité des courbes lisses

Le titre de cette section est trompeur, car nous n’affirmons pas que \(\Curvesstack^{smooth}\) est dense dans \(\Curvesstack\). En fait, cela est faux, comme Mumford l’a montré dans [PathologiesIV]. Cependant, nous verrons que les “courbes” lisses sont denses dans un grand ouvert.

Lemme

L’inclusion \[|\Curvesstack^{smooth}| \subset |\Curvesstack^{lci+}|\] est celle d’un sous-ensemble ouvert dense.

Démonstration

Par la construction même de la topologie sur \(|\Curvesstack^{lci+}|\) dans Propriétés des champs, section 04XE, on constate que \(|\Curvesstack^{smooth}|\) est un sous-ensemble ouvert. Soit \(\xi \in |\Curvesstack^{lci+}|\) un point. Il existe alors un corps \(k\) et un schéma \(X\) sur \(k\) tel que \(X\) soit propre sur \(k\), que \(\dim(X) \leq 1\), que \(X\) soit localement d’intersection complète sur \(k\), et que \(X\) soit lisse sur \(k\) sauf en un nombre fini de points, et que \(\xi\) soit la classe d’équivalence du morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack^{lci+}\) déterminé par \(X\). Voir le lemme 0DZX. D’après Problèmes de déformation, lemme 0E7Y, il existe un morphisme plat et projectif \(Y \to \Spec(k[[t]])\) dont la fibre générique est lisse et la fibre spéciale est isomorphe à \(X\). Considérons le morphisme classifiant \[\Spec(k[[t]]) \longrightarrow \Curvesstack^{lci+}\] déterminé par \(Y\). L’image du point fermé est \(\xi\) et l’image du point générique appartient à \(|\Curvesstack^{smooth}|\). Comme le point générique se spécialise au point fermé dans \(|\Spec(k[[t]])|\), on conclut que \(\xi\) appartient à l’adhérence de \(|\Curvesstack^{smooth}|\), comme voulu.

Courbes nodales

En géométrie algébrique, les courbes nodales jouent un rôle particulier. Nous suggérons au lecteur de jeter un rapide coup d’œil à certaines des discussions de Courbes algébriques, sections 0C46 et 0C58, ainsi que de Compléments sur les morphismes d’espaces, section 0DSD.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{nodal} \subset \Curvesstack\) tel que

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{nodal}\),

   2. \(f\) est au plus nodal de dimension relative \(1\),

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{nodal}\),

   2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales et \(X\) est équidimensionnel de dimension \(1\).

Démonstration

En fait, il suffit de montrer qu’étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), il existe un sous-schéma ouvert \(S' \subset S\) tel que \(S' \times_S X \to S'\) soit au plus nodal de dimension relative \(1\) et que la formation de \(S'\) commute à tout changement de base. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0DSH, il existe un plus grand sous-espace ouvert \(X' \subset X\) tel que \(f|_{X'} : X' \to S\) soit au plus nodal de dimension relative \(1\). De plus, la formation de \(X'\) commute au changement de base. On peut donc prendre \[S' = S \setminus |f|(|X| \setminus |X'|)\] Cet ensemble est ouvert, car un morphisme propre est universellement fermé par définition.

Lemme

Le morphisme \(\Curvesstack^{nodal} \to \Spec(\mathbf{Z})\) est lisse.

Démonstration

Cela résulte immédiatement de l’observation que \(\Curvesstack^{nodal} \subset \Curvesstack^{lci+}\) et du lemme 0DZX.

Le faisceau dualisant relatif

Cette section sert principalement à introduire des notations dans le cas des familles de courbes. La majeure partie du travail a déjà été faite dans le chapitre sur la dualité.

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. Il existe un objet \(\omega_{X/S}^\bullet\) de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\), appelé le complexe dualisant relatif, qui possède la propriété suivante : pour tout diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X_U \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ U \ar[r]^g & S }\] où \(U = \Spec(A)\) est affine, le complexe \(\omega_{X_U/U}^\bullet = L(g')^*\omega_{X/S}^\bullet\) représente le foncteur \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_U}) \longrightarrow \text{Mod}_A,\quad K \longmapsto \Hom_U(Rf_*K, \mathcal{O}_U)\] Plus précisément, soit \((\omega_{X/S}^\bullet, \tau)\) le complexe dualisant relatif de la famille défini dans Dualité pour les espaces, définition 0E5X. Son existence est démontrée dans Dualité pour les espaces, lemme 0E61. De plus, la formation de \((\omega_{X/S}^\bullet, \tau)\) commute à tout changement de base (essentiellement par définition ; une référence précise est Dualité pour les espaces, lemme 0E6C). Dorénavant, nous identifierons le changement de base de \(\omega_{X/S}^\bullet\) au complexe dualisant relatif de la famille obtenue par changement de base, sans plus le préciser.

Soit \(\{S_i \to S\}\) un recouvrement étale avec les \(S_i\) affines tel que \(X_i = X \times_S S_i\) soit un schéma ; voir le lemme 0E6F. D’après Dualité pour les espaces, lemme 0E6E, on constate que \(\omega_{X_i/S_i}^\bullet\) s’identifie au complexe dualisant relatif du morphisme de schémas propre, plat et de présentation finie \(f_i : X_i \to S_i\) étudié dans Dualité pour les schémas, remarque 0B6S. Ainsi, pour démontrer une propriété de \(\omega_{X/S}^\bullet\) locale pour la topologie étale, nous pouvons supposer que \(X \to S\) est un morphisme de schémas et utiliser la théorie développée dans le chapitre sur la dualité pour les schémas. Plus généralement, après tout changement de base de \(X\) qui est un schéma, le complexe dualisant relatif s’identifie au complexe dualisant relatif de Dualité pour les schémas, remarque 0B6S. Dorénavant, nous utiliserons cette identification sans plus le préciser.

En particulier, soit \(\Spec(k) \to S\) un morphisme, où \(k\) est un corps. Notons \(X_k\) le changement de base (c’est un schéma d’après Espaces sur les corps, lemme 0ADD). Alors \(\omega_{X_k/k}^\bullet\) est isomorphe au complexe \(\omega_{X_k}^\bullet\) de Courbes algébriques, lemme 0BS2 (tous deux représentent le même foncteur, de sorte que l’on peut appliquer le lemme de Yoneda, mais cela résulte en fait des remarques précédentes). On en conclut que les faisceaux de cohomologie \(H^i(\omega_{X_k/k}^\bullet)\) ne sont non nuls que pour \(i = 0, -1\). Si \(X_k\) est de Cohen-Macaulay et équidimensionnel de dimension \(1\), alors on n’a plus que \(H^{-1}\) et, si \(X_k\) est en outre de Gorenstein, \(H^{-1}(\omega_{X_k/k})\) est inversible ; voir Courbes algébriques, lemmes 0BS3 et 0BS6.

Lemme

Soit \(X \to S\) une famille de courbes dont les fibres sont de Cohen-Macaulay et équidimensionnelles de dimension \(1\) (lemme 0E1F). Alors \(\omega_{X/S}^\bullet = \omega_{X/S}[1]\), où \(\omega_{X/S}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module pseudo-cohérent et plat sur \(S\), dont la formation commute à tout changement de base.

Démonstration

Nous invitons vivement le lecteur à déduire cet énoncé directement de l’étude ci-dessus du comportement après changement de base à un corps. Notre démonstration emploiera une réduction quelque peu laborieuse au cas des schémas noethériens.

Dès que nous aurons montré \(\omega_{X/S}^\bullet = \omega_{X/S}[1]\) avec \(\omega_{X/S}\) plat sur \(S\), l’assertion relative au changement de base en découlera, puisque nous savons déjà que la formation de \(\omega_{X/S}^\bullet\) commute à tout changement de base. De plus, la pseudo-cohérence sera automatique, car \(\omega_{X/S}^\bullet\) est pseudo-cohérent par définition. L’annulation des autres faisceaux de cohomologie et la platitude peuvent se vérifier localement pour la topologie étale. Nous pouvons donc supposer que \(f : X \to S\) est un morphisme de schémas avec \(S\) affine (voir la discussion précédente). Écrivons \(S = \lim S_i\) comme limite projective filtrante de schémas affines \(S_i\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Puisque \(\Curvesstack^{CM, 1}\) est localement de présentation finie sur \(\mathbf{Z}\) (comme sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) ; voir les lemmes 0E1F et 0DSS), on peut trouver un \(i\) et une famille de courbes \(X_i \to S_i\) dont l’image réciproque est \(X \to S\) (Limites de champs, lemme 0CMV). Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer que \(X_i\) est un schéma ; voir Limites d’espaces, lemme 07SR. Puisque la formation de \(\omega_{X/S}^\bullet\) commute à tout changement de base, on peut remplacer \(S\) par \(S_i\). Après ce remplacement, nous pouvons supposer, et nous le faisons, que \(S_i\) est noethérien. Alors \(f\) est manifestement un morphisme de Cohen-Macaulay (Compléments sur les morphismes, définition 045R), en vertu de notre hypothèse sur les fibres. De plus, \(\omega_{X/S}^\bullet = f^!\mathcal{O}_S\) par la construction même de \(f^!\) dans Dualité pour les schémas, section 0A9Y. Le lemme résulte donc de Dualité pour les schémas, lemme 0C0Z.

Définition

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes dont les fibres sont de Cohen-Macaulay et équidimensionnelles de dimension \(1\) (lemme 0E1F). Le \(\mathcal{O}_X\)-module \[\omega_{X/S} = H^{-1}(\omega_{X/S}^\bullet)\] étudié dans le lemme 0E6P est appelé le faisceau dualisant relatif de \(f\).

Dans la situation de la définition 0E6Q, le faisceau dualisant relatif \(\omega_{X/S}\) possède la propriété suivante (qui le caractérise en outre localement sur \(S\)) : pour tout diagramme de changement de base \[\xymatrix{ X_U \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ U \ar[r]^g & S }\] où \(U = \Spec(A)\) est affine, le module \(\omega_{X_U/U} = (g')^*\omega_{X/S}\) représente le foncteur \[\QCoh(\mathcal{O}_{X_U}) \longrightarrow \text{Mod}_A,\quad \mathcal{F} \longmapsto \Hom_A(H^1(X, \mathcal{F}), A)\] Cela résulte immédiatement de la propriété correspondante du complexe dualisant relatif donnée ci-dessus. En particulier, si \(A = k\) est un corps, on retrouve le module dualisant de \(X_k\) introduit et étudié dans Courbes algébriques, lemmes 0BS2, 0BS3 et 0BS6.

Lemme

Soit \(X \to S\) une famille de courbes dont les fibres sont de Gorenstein et équidimensionnelles de dimension \(1\) (lemme 0E6M). Alors le faisceau dualisant relatif \(\omega_{X/S}\) est un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible dont la formation commute à tout changement de base.

Démonstration

Cela résulte de ce que l’image réciproque du module dualisant relatif sur une fibre est inversible, d’après la discussion précédente. On peut aussi raisonner exactement comme dans la démonstration du lemme 0E6P et déduire le résultat de Dualité pour les schémas, lemme 0C08.

Courbes préstables

La définition suivante est équivalente à ce qui semble être la notion généralement admise de famille préstable de courbes.

Définition

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. On dit que \(f\) est une famille préstable de courbes si

1. \(f\) est au plus nodal de dimension relative \(1\), et

2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\), et cette égalité subsiste après tout changement de base¹.

Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\). Alors \(X \to \Spec(k)\) est une famille de courbes ; on peut donc demander si elle est préstable ou non² au sens de la définition. En explicitant les définitions, on voit que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est préstable,

2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), et \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\),

3. \(X_{\overline{k}}\) est connexe et lisse sur \(\overline{k}\) en dehors d’un nombre fini de nœuds (Courbes algébriques, définition 0C1W).

Cela montre que notre définition concorde avec la plupart de celles que l’on trouve dans la littérature.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{prestable} \subset \Curvesstack\) tel que

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{prestable}\),

   2. \(X \to S\) est une famille préstable de courbes,

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{prestable}\),

   2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), et \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Étant donnée une famille de courbes \(X \to S\), elle est préstable si et seulement si le morphisme classifiant se factorise à la fois par \(\Curvesstack^{nodal}\) et \(\Curvesstack^{h0, 1}\). On peut aussi utiliser \(\Curvesstack^{grc, 1}\) (puisqu’une courbe nodale est géométriquement réduite et a donc son \(H^0\) égal au corps de base si et seulement si elle est connexe). En formule, \[\Curvesstack^{prestable} = \Curvesstack^{nodal} \cap \Curvesstack^{h0, 1} = \Curvesstack^{nodal} \cap \Curvesstack^{grc, 1}\] Le lemme résulte donc des lemmes 0E6I et 0DSY.

Pour tout genre \(g \geq 0\), nous disposons du champ algébrique classifiant les courbes préstables de genre \(g\). En fait, dorénavant, nous dirons que \(X \to S\) est une famille préstable de courbes de genre \(g\) si et seulement si le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par le sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{prestable}_g\) du lemme 0E6V.

Lemme

Il existe une décomposition en sous-champs ouverts et fermés \[\Curvesstack^{prestable} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack^{prestable}_g\] où chaque \(\Curvesstack^{prestable}_g\) est caractérisé de la manière suivante :

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{prestable}_g\),

   2. \(X \to S\) est une famille préstable de courbes et \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(g\),

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{prestable}_g\),

   2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), et le genre de \(X\) est \(g\).

Démonstration

Puisque nous avons vu que \(\Curvesstack^{prestable}\) est contenu dans \(\Curvesstack^{h0, 1}\), l’assertion résulte des lemmes 0E6U et 0E6K.

Lemme

Les morphismes \(\Curvesstack^{prestable} \to \Spec(\mathbf{Z})\) et \(\Curvesstack^{prestable}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) sont lisses.

Démonstration

Puisque \(\Curvesstack^{prestable}\) est un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack^{nodal}\), cela résulte du lemme 0E00.

Courbes semi-stables

Le lemme suivant nous aidera à comprendre les familles de courbes semi-stables.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) une famille préstable de courbes de genre \(g \geq 1\). Soit \(s \in S\) un point du schéma de base. Soit \(m \geq 2\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X_s\) n’a pas de queue rationnelle (Courbes algébriques, exemple 0E3H), et

2. \(f^*f_*\omega_{X/S}^{\otimes m} \to \omega_{X/S}^{\otimes m}\) est surjectif sur \(f^{-1}(U)\) pour un ouvert \(s \in U \subset S\).

Démonstration

Supposons (2). D’après les résultats de la section 0E6N, on en déduit que \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) est globalement engendré. Cependant, si \(C \subset X_s\) est une queue rationnelle, alors \(\deg(\omega_{X_s}|_C) < 0\) d’après Courbes algébriques, lemme 0E63, d’où \(H^0(C, \omega_{X_s}|_C) = 0\) d’après Variétés, lemme 0B40, ce qui contredit le fait qu’il soit globalement engendré. Cela prouve (1).

Supposons (1). Supposons d’abord que \(g \geq 2\). L’hypothèse (1) implique que \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) est globalement engendré ; voir Courbes algébriques, lemme 0E3L. En outre, on a \[\Hom_{\kappa(s)}(H^1(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes m}), \kappa(s)) = H^0(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes 1 - m})\] par dualité ; voir Courbes algébriques, lemme 0BS3. Puisque \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) est globalement engendré, on voit que sa restriction à chaque composante irréductible est de degré non négatif. Par conséquent, la restriction de \(\omega_{X_s}^{\otimes 1 - m}\) à chaque composante irréductible est de degré non positif. Comme \(\deg(\omega_{X_s}^{\otimes 1 - m}) = (1 - m)(2g - 2) < 0\) par Riemann–Roch (Courbes algébriques, lemme 0BS6), on conclut que ce \(H^0\) est nul d’après Variétés, lemme 0E22. Le théorème de cohomologie et changement de base montre que \[E = Rf_*\omega_{X/S}^{\otimes m}\] est un complexe parfait dont la formation commute à tout changement de base (Catégories dérivées des espaces, lemme 0CTM). L’annulation démontrée ci-dessus montre que \(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(s)\) est égal à \(H^0(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes m})\) placé en degré \(0\). Quitte à restreindre \(S\), on voit que \(E = f_*\omega_{X/S}^{\otimes m}\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre placé en degré \(0\) (et que sa formation commute à tout changement de base, comme nous l’avons déjà dit) ; voir Catégories dérivées des espaces, lemme 0E6A. Le morphisme \(f^*f_*\omega_{X/S}^{\otimes m} \to \omega_{X/S}^{\otimes m}\) devient surjectif après restriction à \(X_s\). Il est donc surjectif dans un voisinage ouvert de \(X_s\). Puisque \(f\) est propre, ce voisinage contient \(f^{-1}(U)\) pour un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) dans \(S\).

Supposons (1) et \(g = 1\). D’après Courbes algébriques, lemme 0E3L, l’hypothèse (1) signifie que \(\omega_{X_s}\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_{X_s}\). S’il est possible de montrer que, quitte à restreindre \(S\), le faisceau inversible \(\omega_{X/S}\) devient trivial, alors la preuve est achevée. On peut supposer \(S\) affine. En restreignant encore \(S\), on peut écrire \[Rf_*\mathcal{O}_X = (\mathcal{O}_S \xrightarrow{0} \mathcal{O}_S)\] placé en degrés \(0\) et \(1\), de manière compatible à tout changement de base ultérieur ; voir le lemme 0E1J. Par dualité, cela signifie que \[Rf_*\omega_{X/S} = (\mathcal{O}_S \xrightarrow{0} \mathcal{O}_S)\] placé en degrés \(0\) et \(1\)³. En particulier, on obtient un isomorphisme \(\mathcal{O}_S \to f_*\omega_{X/S}\) qui est compatible à tout changement de base, puisque la formation de \(Rf_*\omega_{X/S}\) est compatible au changement de base (voir la référence donnée ci-dessus). Par adjonction, on obtient une section globale \(\sigma \in \Gamma(X, \omega_{X/S})\). La restriction de cette section à la fibre \(X_s\) est non nulle (c’est même un élément d’une base) et, puisque \(\omega_{X_s}\) est trivial sur les fibres, cette section ne s’annule en aucun point de \(X_s\). Elle ne s’annule donc pas dans un voisinage ouvert de \(X_s\). Puisque \(f\) est propre, ce voisinage contient \(f^{-1}(U)\) pour un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) dans \(S\).

Le lemme 0E6Y motive la définition suivante.

Définition

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. On dit que \(f\) est une famille semi-stable de courbes si

1. \(X \to S\) est une famille préstable de courbes, et

2. \(X_s\) est de genre \(\geq 1\) et n’a pas de queue rationnelle pour tout \(s \in S\).

En particulier, une famille préstable de courbes de genre \(0\) n’est jamais semi-stable. Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\). Alors \(X \to \Spec(k)\) est une famille de courbes ; on peut donc demander si elle est semi-stable ou non. En développant les définitions, on voit que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est semi-stable,

2. \(X\) est préstable, est de genre \(\geq 1\) et n’a pas de queue rationnelle,

3. \(X_{\overline{k}}\) est connexe, est lisse sur \(\overline{k}\) en dehors d’un nombre fini de nœuds, est de genre \(\geq 1\), et n’a aucune composante irréductible isomorphe à \(\mathbf{P}^1_{\overline{k}}\) qui rencontre le reste de \(X_{\overline{k}}\) en un seul point.

Pour voir l’équivalence de (2) et (3), on utilise que \(X\) n’a pas de queue rationnelle si et seulement si \(X_{\overline{k}}\) n’a pas de queue rationnelle, d’après Courbes algébriques, lemme 0E3L. Cela montre que notre définition concorde avec la plupart de celles que l’on trouve dans la littérature.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{semistable} \subset \Curvesstack\) tel que

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{semistable}\),

   2. \(X \to S\) est une famille semi-stable de courbes,

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{semistable}\),

   2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), le genre de \(X\) est \(\geq 1\), et \(X\) n’a pas de queue rationnelle,

   3. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), et \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) est globalement engendré pour \(m \geq 2\).

Démonstration

L’équivalence de (2)(b) et (2)(c) est donnée par Courbes algébriques, lemme 0E3L. Dans la suite de la démonstration, nous travaillerons avec (2)(b), conformément à la définition 0E6Z.

D’après la discussion de la section 0E0E, il suffit de considérer les familles \(f : X \to S\) de courbes préstables. Le lemme 0E6Y donne l’ouverture souhaitée du lieu en question. La formation de cet ouvert commute à tout changement de base, car l’existence ou la non-existence de queues rationnelles est invariante par extension du corps de base, d’après Courbes algébriques, lemme 0E3L.

Lemme

Il existe une décomposition en sous-champs ouverts et fermés \[\Curvesstack^{semistable} = \coprod\nolimits_{g \geq 1} \Curvesstack^{semistable}_g\] où chaque \(\Curvesstack^{semistable}_g\) est caractérisé de la manière suivante :

1. étant donnée une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{semistable}_g\),

   2. \(X \to S\) est une famille semi-stable de courbes et \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(g\),

2. étant donné un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{semistable}_g\),

   2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), le genre de \(X\) est \(g\), et \(X\) n’a pas de queue rationnelle,

   3. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), le genre de \(X\) est \(g\), et \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\) est globalement engendré pour \(m \geq 2\).

Démonstration

Combiner les lemmes 0E70 et 0E6V.

Lemme

Les morphismes \(\Curvesstack^{semistable} \to \Spec(\mathbf{Z})\) et \(\Curvesstack^{semistable}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) sont lisses.

Démonstration

Puisque \(\Curvesstack^{semistable}\) est un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack^{nodal}\), cela résulte du lemme 0E00.

Courbes stables

Le lemme suivant nous aidera à comprendre les familles de courbes stables.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) une famille préstable de courbes de genre \(g \geq 2\). Soit \(s \in S\) un point du schéma de base. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X_s\) n’a ni queue rationnelle ni pont rationnel (Courbes algébriques, exemples 0E3H et 0E3M) ;

2. \(\omega_{X/S}\) est ample sur \(f^{-1}(U)\) pour un ouvert \(s \in U \subset S\).

Démonstration

Supposons (2). Alors \(\omega_{X_s}\) est ample sur \(X_s\). D’après Courbes algébriques, lemmes 0E63 et 0E64, nous en concluons que (1) est satisfaite (nous utilisons aussi la caractérisation des faisceaux inversibles amples donnée dans Variétés, lemme 0B5Y).

Supposons (1). Alors \(\omega_{X_s}\) est ample sur \(X_s\) d’après Courbes algébriques, lemme 0E3Q. La conclusion résulte de Descente sur les espaces, lemme 0D3D.

Le lemme 0E74 motive la définition suivante.

Définition

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. On dit que \(f\) est une famille stable de courbes si

1. \(X \to S\) est une famille préstable de courbes ;

2. \(X_s\) est de genre \(\geq 2\) et ne possède ni queue rationnelle ni pont rationnel pour tout \(s \in S\).

En particulier, une famille préstable de courbes de genre \(0\) ou \(1\) n’est jamais stable. Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\). Alors \(X \to \Spec(k)\) est une famille de courbes ; on peut donc demander si elle est stable ou non. En explicitant les définitions, on voit que les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(X\) est stable ;

2. \(X\) est préstable, est de genre \(\geq 2\) et ne possède ni queue rationnelle ni pont rationnel ;

3. \(X\) est géométriquement connexe, est lisse sur \(k\) en dehors d’un nombre fini de nœuds, et \(\omega_X\) est ample.

Pour voir l’équivalence de (2) et (3), on utilise le lemme 0E74 ci-dessus. Cela montre que notre définition concorde avec la plupart de celles que l’on trouve dans la littérature.

Lemme

Il existe un sous-champ ouvert \(\Curvesstack^{stable} \subset \Curvesstack\) tel que :

1. pour une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{stable}\) ;

   2. \(X \to S\) est une famille stable de courbes ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{stable}\) ;

   2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), le genre de \(X\) est \(\geq 2\), et \(X\) n’a ni queue rationnelle ni pont rationnel ;

   3. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), et \(\omega_{X_s}\) est ample.

Démonstration

D’après la discussion de la section 0E0E, il suffit de considérer les familles \(f : X \to S\) de courbes préstables. Le lemme 0E74 donne l’ouverture souhaitée du lieu considéré. La formation de cet ouvert commute à tout changement de base, soit parce que l’existence ou la non-existence de queues ou de ponts rationnels est invariante par extension du corps de base, d’après Courbes algébriques, lemmes 0E3L et 0E3Q, soit parce que l’amplitude est invariante par extension du corps de base, d’après Descente, lemme 0D2P.

Définition

Nous notons \(\overline{\mathcal{M}}\) et appelons champ de modules des courbes stables le champ algébrique \(\Curvesstack^{stable}\) qui paramètre les familles stables de courbes introduit au lemme 0E76. Pour \(g \geq 2\), nous notons \(\overline{\mathcal{M}}_g\) et appelons champ de modules des courbes stables de genre \(g\) le champ algébrique introduit au lemme 0E78.

Voici le lemme incontournable.

Lemme

Il existe une décomposition en sous-champs ouverts et fermés \[\overline{\mathcal{M}} = \coprod\nolimits_{g \geq 2} \overline{\mathcal{M}}_g\] où chaque \(\overline{\mathcal{M}}_g\) est caractérisé comme suit :

1. pour une famille de courbes \(f : X \to S\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(S \to \Curvesstack\) se factorise par \(\overline{\mathcal{M}}_g\) ;

   2. \(X \to S\) est une famille stable de courbes et \(R^1f_*\mathcal{O}_X\) est un \(\mathcal{O}_S\)-module localement libre de rang \(g\) ;

2. pour un schéma \(X\) propre sur un corps \(k\) avec \(\dim(X) \leq 1\), les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \Curvesstack\) se factorise par \(\overline{\mathcal{M}}_g\) ;

   2. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), le genre de \(X\) est \(g\), et \(X\) n’a ni queue rationnelle ni pont rationnel ;

   3. les singularités de \(X\) sont au plus nodales, \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), le genre de \(X\) est \(g\), et \(\omega_{X_s}\) est ample.

Démonstration

Combiner les lemmes 0E76 et 0E6V.

Lemme

Les morphismes \(\overline{\mathcal{M}} \to \Spec(\mathbf{Z})\) et \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) sont lisses.

Démonstration

Puisque \(\overline{\mathcal{M}}\) est un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack^{nodal}\), cela résulte du lemme 0E00.

Lemme

Les champs \(\overline{\mathcal{M}}\) et \(\overline{\mathcal{M}}_g\) sont des sous-champs ouverts de \(\Curvesstack^{DM}\). En particulier, \(\overline{\mathcal{M}}\) et \(\overline{\mathcal{M}}_g\) sont DM (Morphismes de champs, définition 050D) ainsi que des champs de Deligne-Mumford (Champs algébriques, définition 03YO).

Démonstration

Démontrons la première assertion. Soit \(X\) un schéma propre sur un corps \(k\) dont les singularités sont au plus nodales, avec \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), tel que le genre de \(X\) soit \(\geq 2\), et tel que \(X\) n’ait ni queue rationnelle ni pont rationnel. Il faut montrer que le morphisme classifiant \(\Spec(k) \to \overline{\mathcal{M}} \to \Curvesstack\) se factorise par \(\Curvesstack^{DM}\). Nous pouvons d’abord remplacer \(k\) par sa clôture algébrique (puisque nous savons déjà que les champs considérés sont des sous-champs ouverts du champ algébrique \(\Curvesstack\)). D’après les lemmes 0E76, 0DSW et 0E6G, il suffit de montrer que \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\). Cela est démontré dans Courbes algébriques, lemme 0E69.

Puisque \(\Curvesstack^{DM}\) est le plus grand sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\) qui soit DM, il en va de même du sous-champ ouvert \(\overline{\mathcal{M}}\) de \(\Curvesstack^{DM}\). Enfin, un champ algébrique DM est de Deligne-Mumford d’après Morphismes de champs, théorème 06N3.

Lemme

Soit \(g \geq 2\). L’inclusion \[|\mathcal{M}_g| \subset |\overline{\mathcal{M}}_g|\] est celle d’un sous-ensemble ouvert dense.

Démonstration

Puisque \(\overline{\mathcal{M}}_g \subset \Curvesstack^{lci+}\) est ouvert et que \(\Curvesstack^{smooth} \cap \overline{\mathcal{M}}_g = \mathcal{M}_g\), cela résulte immédiatement du lemme 0E86.

Morphismes de contraction

Nous invitons vivement le lecteur à se familiariser avec Courbes algébriques, sections 0E3G, 0E7M et 0E7N, avant de poursuivre. Le résultat principal de cette section est l’existence d’un morphisme de « stabilisation » \[\Curvesstack^{prestable}_g \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g\] Voir le lemme 0E8B. En termes informels, ce morphisme envoie le point modulaire d’une courbe nodale de genre \(g\) sur le point modulaire de la courbe stable associée construite dans Courbes algébriques, lemme 0E7Q.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(s \in S\) un point. Soient \(f : X \to S\) et \(g : Y \to S\) des familles de courbes. Soit \(c : X \to Y\) un morphisme sur \(S\). Si \(c_{s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_s}\) et \(R^1c_{s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\), alors, après remplacement de \(S\) par un voisinage ouvert de \(s\), on a \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\), et cela reste vrai après tout changement de base par un morphisme \(S' \to S\).

Démonstration

Soit \((U, u) \to (S, s)\) un voisinage étale tel que \(\mathcal{O}_{Y_U} = (X_U \to Y_U)_*\mathcal{O}_{X_U}\) et \(R^1(X_U \to Y_U)_*\mathcal{O}_{X_U} = 0\), ces égalités restant vraies après changement de base par \(U' \to U\). Remplaçons alors \(S\) par l’image ouverte de \(U \to S\). Étant donné \(S' \to S\), posons \(U' = U \times_S S'\) ; nous obtenons les recouvrements étales \(\{U' \to S'\}\) et \(\{Y_{U'} \to Y_{S'}\}\). La validité de l’énoncé pour le changement de base de \(c\) par \(S' \to S\) résulte donc de sa validité pour le changement de base de \(X_U \to Y_U\) par \(U' \to U\). Autrement dit, la question est locale pour la topologie étale sur \(S\). Ainsi, d’après le lemme 0E6F, nous pouvons supposer que \(X\) et \(Y\) sont des schémas. D’après Compléments sur les morphismes, lemme 0E7L, il existe un sous-schéma ouvert \(V \subset Y\) contenant \(Y_s\) tel que \(c_*\mathcal{O}_X|_V = \mathcal{O}_V\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_X|_V = 0\), ces égalités restant vraies après tout changement de base par \(S' \to S\). Puisque \(g : Y \to S\) est propre, on peut trouver un voisinage ouvert \(U \subset S\) de \(s\) tel que \(g^{-1}(U) \subset V\). Alors \(U\) convient.

Lemme

Soient \(S\) un schéma et \(s \in S\) un point. Soient \(f : X \to S\) et \(g_i : Y_i \to S\), \(i = 1, 2\), des familles de courbes. Soient \(c_i : X \to Y_i\) des morphismes sur \(S\). Supposons donné un isomorphisme \(Y_{1, s} \cong Y_{2, s}\) des fibres, compatible avec \(c_{1, s}\) et \(c_{2, s}\). Si \(c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_{1, s}}\) et \(R^1c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\), alors il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(s\) et un isomorphisme \(Y_{1, U} \cong Y_{2, U}\) de familles de courbes sur \(U\), compatible avec l’isomorphisme donné des fibres ainsi qu’avec \(c_1\) et \(c_2\).

Démonstration

Rappelons que \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_S(U)\), où la limite inductive est prise sur le système des voisinages affines \(U\) de \(s\). La catégorie des espaces algébriques de présentation finie sur l’anneau local est donc la limite inductive des catégories d’espaces algébriques de présentation finie sur les voisinages affines de \(s\). Voir Limites d’espaces, lemme 07SK. On se ramène ainsi au cas où \(S\) est le spectre d’un anneau local et où \(s\) est le point fermé.

Supposons \(S = \Spec(A)\), où \(A\) est un anneau local et \(s\) son point fermé. Écrivons \(A = \colim A_j\), avec les \(A_j\) locaux noethériens (par exemple essentiellement de type fini sur \(\mathbf{Z}\)) et les homomorphismes de transition locaux. Posons \(S_j = \Spec(A_j)\), de point fermé \(s_j\). On peut trouver un \(j\) et des familles de courbes \(X_j \to S_j\), \(Y_{j, i} \to S_j\) ; voir le lemme 0DSS et Limites de champs, lemme 0CMV. Quitte à augmenter \(j\), on peut trouver des morphismes \(c_{j, i} : X_j \to Y_{j, i}\) dont le changement de base à \(s\) est \(c_i\) ; voir Limites d’espaces, lemme 07SK. Puisque \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_j)\), on peut de même supposer donné un isomorphisme \(Y_{j, 1, s_j} \cong Y_{j, 2, s_j}\) compatible avec \(c_{j, 1, s_j}\) et \(c_{j, 2, s_j}\). Enfin, les hypothèses \(c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_{1, s}}\) et \(R^1c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\) sont héritées par \(c_{j, 1, s_j}\), car \(\{s_j \to s\}\) est un recouvrement fpqc et \(c_{1, s}\) est le changement de base de \(c_{j, 1, s_j}\) par ce recouvrement (nous omettons les détails). Le lemme est ainsi ramené au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons que \(S\) soit le spectre d’un anneau local noethérien \(\Lambda\) et que \(s\) soit le point fermé. Considérons l’image schématique \(Z\) de \[(c_1, c_2) : X \longrightarrow Y_1 \times_S Y_2\] L’énoncé du lemme équivaut à dire que \(Z\) s’envoie isomorphiquement sur \(Y_1\) et \(Y_2\) par les morphismes de projection. Puisque la formation de l’image schématique de ce morphisme commute au changement de base plat (Morphismes d’espaces, lemme 089E), nous pouvons remplacer \(\Lambda\) par son complété (Compléments d’algèbre, section 07NU).

Supposons que \(S\) soit le spectre d’un anneau local noethérien complet \(\Lambda\). Observons que \(X\), \(Y_1\), \(Y_2\) sont alors des schémas (Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0AE7). Notons \(X_n\), \(Y_{1, n}\), \(Y_{2, n}\) les changements de base de \(X\), \(Y_1\), \(Y_2\) à \(\Spec(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1})\). Rappelons que la flèche \[\Deformationcategory_{X_s \to Y_{2, s}} \cong \Deformationcategory_{X_s \to Y_{1, s}} \longrightarrow \Deformationcategory_{X_s}\] est une équivalence ; voir Problèmes de déformation, lemme 0E3X. Il existe donc un isomorphisme d’objets formels \((X_n \to Y_{1, n}) \cong (X_n \to Y_{2, n})\) de \(\Deformationcategory_{X_s \to Y_{1, s}}\). Enfin, le théorème d’algébrisation de Grothendieck (Cohomologie des schémas, lemme 0A42) fournit un isomorphisme \(Y_1 \to Y_2\) compatible avec \(c_1\) et \(c_2\).

Lemme

Soit \(f : X \to S\) une famille de courbes. Soit \(s \in S\) un point. Soit \(h_0 : X_s \to Y_0\) un morphisme vers un schéma propre \(Y_0\) sur \(\kappa(s)\) tel que \(h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_0}\) et \(R^1h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\). Alors il existe un voisinage étale élémentaire \((U, u) \to (S, s)\), une famille de courbes \(Y \to U\) et un morphisme \(h : X_U \to Y\) sur \(U\) dont la fibre en \(u\) est isomorphe à \(h_0\).

Démonstration

Commençons par quelques réductions ; le lecteur peut passer directement à la suite. La question est locale sur \(S\) ; on peut donc supposer \(S\) affine. Écrivons \(S = \lim S_i\) comme limite projective filtrante de schémas affines \(S_i\) de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Pour un certain \(i\), on peut trouver une famille de courbes \(X_i \to S_i\) dont le changement de base est \(X \to S\). Cela résulte du lemme 0DSS et de Limites de champs, lemme 0CMV. Soit \(s_i \in S_i\) l’image de \(s\). Observons que \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_i)\) et que \(X_s\) est un schéma (Espaces sur les corps, lemme 0ADD). Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer qu’il existe un morphisme \(h_{i, 0} : X_{i, s_i} \to Y_i\) de schémas de type fini sur \(\kappa(s_i)\) dont le changement de base à \(\kappa(s)\) est \(h_0\) ; voir Limites, lemme 01ZM. Quitte à augmenter \(i\), on peut supposer \(Y_i\) propre sur \(\kappa(s_i)\) ; voir Limites, lemme 081F. Soit \(g_{i, 0} : Y_0 \to Y_{i, 0}\) la projection. Observons qu’il s’agit d’un morphisme fidèlement plat, car il se déduit par changement de base de \(\Spec(\kappa(s)) \to \Spec(\kappa(s_i))\). Par changement de base plat, on a \[h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = g_{i, 0}^*h_{i, 0, *}\mathcal{O}_{X_{i, s_i}} \quad\text{et}\quad R^1h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = g_{i, 0}^*Rh_{i, 0, *}\mathcal{O}_{X_{i, s_i}}\] voir Cohomologie des schémas, lemme 02KH. Par fidèle platitude, on voit que \(X_i \to S_i\), \(s_i \in S_i\) et \(X_{i, s_i} \to Y_i\) satisfont à toutes les hypothèses du lemme. On est ainsi ramené au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons \(S\) affine de type fini sur \(\mathbf{Z}\). Soit \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) l’hensélisé de l’anneau local de \(S\) en \(s\). Observons que \(\mathcal{O}_{S, s}^h\) est un anneau G d’après Compléments d’algèbre, lemme 07QR et proposition 07PX. Supposons que nous puissions construire une famille de courbes \(Y' \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) et un morphisme \[h' : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h) \longrightarrow Y'\] sur \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) dont le changement de base au point fermé soit \(h_0\). Cela suffira. En effet, utilisons d’abord l’égalité \[\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(U, u)} \mathcal{O}_U(U)\] où la limite inductive est prise sur la catégorie filtrante des voisinages étales élémentaires (Compléments sur les morphismes, lemme 05KS). Utilisons ensuite de nouveau le fait que \(Y'\) descend en une famille \(Y \to U\) pour un certain \(U\) (voir les références données ci-dessus). Puis appliquons Limites, lemme 01ZM, pour faire descendre \(h'\) en un certain \(h\). On est ainsi ramené au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons \(S = \Spec(\Lambda)\), où \((\Lambda, \mathfrak m, \kappa)\) est un anneau G local noethérien hensélien et \(s\) le point fermé de \(S\). Rappelons que l’application \[\Deformationcategory_{X_s \to Y_0} \to \Deformationcategory_{X_s}\] est une équivalence ; voir Problèmes de déformation, lemme 0E3X. (C’est la seule étape importante de la démonstration ; tout le reste relève de la technique.) Notons \(\Lambda^\wedge\) le complété \(\mathfrak m\)-adique. Les images réciproques \(X_n\) de \(X\) sur \(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1}\) définissent un objet formel \(\xi\) de \(\Deformationcategory_{X_s}\) sur \(\Lambda^\wedge\). L’équivalence fournit un objet formel \(\xi'\) de \(\Deformationcategory_{X_s \to Y_0}\) sur \(\Lambda^\wedge\). On obtient ainsi un immense diagramme commutatif \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & X_s \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & Y_n \ar[r] \ar[d] & Y_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & Y_0 \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \Spec(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1}) \ar[r] & \Spec(\Lambda/\mathfrak m^n) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \Spec(\kappa) }\] L’objet formel \((Y_n)\) provient d’une famille de courbes \(Y' \to \Spec(\Lambda^\wedge)\) d’après Quot, lemme 0D58. D’après Compléments sur les morphismes d’espaces, lemme 0A4Z, on obtient un morphisme \(h' : X_{\Lambda^\wedge} \to Y'\) qui induit les morphismes donnés \(X_n \to Y_n\) pour tout \(n\), et en particulier le morphisme donné \(X_s \to Y_0\).

Pour terminer, appliquons un argument standard d’algébrisation et d’approximation. Observons d’abord que l’on peut trouver une sous-\(\Lambda\)-algèbre de type fini \(\Lambda \subset A \subset \Lambda^\wedge\), une famille de courbes \(Y'' \to \Spec(A)\) et un morphisme \(h'' : X_A \to Y''\) sur \(A\) dont le changement de base à \(\Lambda^\wedge\) est \(h'\). Cela résulte de ce que \(\Lambda^\wedge\) est la limite inductive filtrante de ces anneaux \(A\) et de ce que l’on peut raisonner comme précédemment en utilisant le fait que \(\Curvesstack\) est localement de présentation finie (ce qui fournit \(Y''\) sur \(A\) d’après Limites de champs, lemme 0CMV) et en appliquant Limites d’espaces, lemme 07SK, pour faire descendre \(h'\) en un certain \(h''\). On peut alors appliquer la propriété d’approximation des anneaux G (sous la forme du théorème de Lissage des homomorphismes d’anneaux, 07QY) afin de trouver une application \(A \to \Lambda\) qui induise la même application \(A \to \kappa\) que celle obtenue de \(A \to \Lambda^\wedge\). En changeant la base de \(h''\) à \(\Lambda\), on achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to S\) une famille préstable de courbes de genre \(g \geq 2\). Il existe une factorisation \(X \to Y \to S\) de \(f\), où \(g : Y \to S\) est une famille stable de courbes et où \(c : X \to Y\) possède les propriétés suivantes :

1. \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\), ces égalités restant vraies après tout changement de base par un morphisme \(S' \to S\) ;

2. pour tout \(s \in S\), le morphisme \(c_s : X_s \to Y_s\) est la contraction des queues et ponts rationnels étudiée dans Courbes algébriques, section 0E7N.

De plus, \(c : X \to Y\) est unique à isomorphisme unique près.

Démonstration

Soit \(s \in S\). Soit \(c_0 : X_s \to Y_0\) la contraction de Courbes algébriques, section 0E7N (plus précisément, Courbes algébriques, lemme 0E7Q). D’après le lemme 0E7C, il existe un voisinage étale élémentaire \((U, u)\) et un morphisme \(c : X_U \to Y\) de familles de courbes sur \(U\) qui redonne \(c_0\) comme fibre en \(u\). Puisque \(\omega_{Y_0}\) est ample, quitte à rétrécir \(U\), on voit que \(Y \to U\) est une famille stable de genre \(g\) par l’ouverture contenue dans les lemmes 0E76 et 0E78. Quitte à rétrécir \(U\) une nouvelle fois, l’assertion (1) du lemme pour \(c : X_U \to Y\) résulte du lemme 0E88. De plus, la partie (2) résulte de l’unicité dans Courbes algébriques, lemme 0E7Q. On en conclut qu’un morphisme \(c\) comme dans le lemme existe localement pour la topologie étale sur \(S\). Plus précisément, il existe un recouvrement étale \(\{U_i \to S\}\) et des morphismes \(c_i : X_{U_i} \to Y_i\) sur \(U_i\), où \(Y_i \to U_i\) est une famille stable de courbes possédant les propriétés (1) et (2) énoncées dans le lemme.

Pour achever la démonstration, il suffit de prouver l’unicité de \(c : X \to Y\) (à isomorphisme unique près). En effet, une fois cela établi, nous obtenons des isomorphismes \[\varphi_{ij} : Y_i \times_{U_i} (U_i \times_S U_j) \longrightarrow Y_i \times_{U_j} (U_i \times_S U_j)\] satisfaisant la condition de cocycle (par unicité) sur \(U_i \times U_j \times U_k\). Puisque \(\overline{\mathcal{M}_g}\) est un champ algébrique, les données de descente sont effectives, et nous obtenons \(Y \to S\). Les morphismes \(c_i\) descendent en un morphisme \(c : X \to Y\) sur \(S\). Enfin, les propriétés (1) et (2) pour \(c\) résultent immédiatement des propriétés (1) et (2) pour \(c_i\).

Enfin, si \(c_1 : X \to Y_i\), \(i = 1, 2\), sont deux morphismes vers des familles stables de courbes sur \(S\) satisfaisant (1) et (2), alors nous obtenons un morphisme \(Y_1 \to Y_2\) compatible avec \(c_1\) et \(c_2\), au moins localement sur \(S\), grâce au lemme 0E89. Nous omettons la vérification de l’unicité de ces morphismes (indication : elle résulte du fait que l’image schématique de \(c_1\) est \(Y_1\)). Ces morphismes définis localement se recollent donc, ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(g \geq 2\). Il existe un morphisme de champs algébriques sur \(\mathbf{Z}\) \[stabilisation : \Curvesstack^{prestable}_g \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g\] qui envoie une famille préstable de courbes \(X \to S\) de genre \(g\) sur la famille stable \(Y \to S\) qui lui est associée dans le lemme 0E8A.

Démonstration

Pour le voir, il suffit de vérifier que la construction du lemme 0E8A est compatible aux changements de base (ainsi qu’aux isomorphismes, ce qui est immédiat) ; voir l’(abus de) langage pour les champs algébriques introduit dans Propriétés des champs, section 04XA. Il suffit pour cela de vérifier que les propriétés (1) et (2) du lemme 0E8A sont stables par changement de base. C’est immédiat pour (1). Pour (2), cela résulte soit de ce que les contractions de Courbes algébriques, lemmes 0E3L et 0E3Q, sont stables par extension du corps de base, soit de ce que les conditions caractérisant les morphismes sur les fibres dans Courbes algébriques, lemme 0E7Q, sont préservées par extension du corps de base.

Théorème de réduction stable

Dans le chapitre sur la réduction semi-stable, nous avons démontré le célèbre théorème de réduction semi-stable des courbes. Soit \(K\) le corps des fractions d’un anneau de valuation discrète \(R\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\). Conformément à Réduction semi-stable, définition 0CDH, on dit que \(C\) a une réduction semi-stable si, au choix, il existe une famille préstable de courbes sur \(R\) de fibre générique \(C\), ou un (ce qui équivaut à tout) modèle régulier minimal de \(C\) sur \(R\) est préstable. Nous montrons dans cette section que, pour les courbes de genre \(g \geq 2\), cela équivaut aussi à l’existence d’une réduction stable.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\) et de genre \(g \geq 2\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(C\) a une réduction semi-stable (Réduction semi-stable, définition 0CDH) ;

2. il existe une famille stable de courbes sur \(R\) de fibre générique \(C\).

Démonstration

Une famille stable de courbes étant aussi préstable, il est immédiat que (2) implique (1). Réciproquement, étant donnée une famille préstable de courbes sur \(R\) de fibre générique \(C\), le lemme 0E8A permet de la contracter en une famille stable de courbes. Comme la fibre générique est déjà stable, cette opération ne la modifie pas, ce qui achève la démonstration.

Le lemme suivant affirme que la famille stable de courbes sur \(R\) promise par le lemme 0E8D est unique à isomorphisme unique près.

Lemme

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe propre et lisse sur \(K\) telle que \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\) et de genre \(g\). Si \(X\) et \(X'\) sont des modèles de \(C\) (Réduction semi-stable, section 0C2R) et si \(X\) et \(X'\) sont des familles stables de courbes de genre \(g\) sur \(R\), alors il existe un unique isomorphisme de modèles \(X \to X'\).

Démonstration

Soit \(Y\) le modèle minimal de \(C\). Rappelons que \(Y\) existe, est unique et est au plus nodal de dimension relative \(1\) sur \(R\) ; voir Réduction semi-stable, proposition 0C2W et lemmes 0C6B et 0CDG (ce dernier s’applique puisque l’on dispose de \(X\)). Il existe un morphisme de contraction \[Y \longrightarrow Z\] tel que \(Z\) soit une famille stable de courbes de genre \(g\) sur \(R\) (lemme 0E8A). Nous affirmons qu’il existe un unique isomorphisme de modèles \(X \to Z\). Par symétrie, il en va de même pour \(X'\), ce qui achèvera la démonstration.

D’après Réduction semi-stable, lemme 0CDE, il existe une suite \[X_m \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] telle que \(X_{i + 1} \to X_i\) soit l’éclatement d’un point fermé \(x_i\) où \(X_i\) est singulier, que \(X_i \to \Spec(R)\) soit au plus nodal de dimension relative \(1\), et que \(X_m\) soit régulier. D’après Réduction semi-stable, lemme 0CD9, il existe une suite \[X_m = Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\] de modèles propres réguliers de \(C\), dont chaque morphisme est une contraction d’une courbe exceptionnelle de première espèce⁴. D’après Réduction semi-stable, lemme 0CDF, chaque \(Y_i\) est au plus nodal de dimension relative \(1\) sur \(R\). Pour établir notre affirmation, il suffit de montrer qu’il existe un isomorphisme \(X \to Z\) compatible avec les morphismes \(X_m \to X\) et \(X_m = Y_n \to Y \to Z\). Soit \(s \in \Spec(R)\) le point fermé. En appliquant soit le lemme 0E89, soit le lemme 0E8A, on se ramène à démontrer que les morphismes \(X_{m, s} \to X_s\) et \(X_{m, s} \to Z_s\) sont tous deux égaux au morphisme canonique de Courbes algébriques, lemme 0E7Q.

Pour un morphisme \(c : U \to V\) de schémas sur \(\kappa(s)\), on dit que \(c\) possède la propriété (*) si \(\dim(U_v) \leq 1\) pour \(v \in V\), \(\mathcal{O}_V = c_*\mathcal{O}_U\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_U = 0\). Cette propriété est stable par composition. Puisque \(X_s\) et \(Z_s\) sont tous deux des courbes stables de genre \(g\) sur \(\kappa(s)\), il suffit de montrer que chacun des morphismes \(Y_s \to Z_s\), \(X_{i + 1, s} \to X_{i, s}\) et \(Y_{i + 1, s} \to Y_{i, s}\) possède la propriété (*) ; voir Courbes algébriques, lemme 0E7Q.

La propriété (*) est satisfaite par \(Y_s \to Z_s\) par construction.

Les morphismes \(c : X_{i + 1, s} \to X_{i, s}\) sont construits et étudiés dans la démonstration de Réduction semi-stable, lemme 0CDE. Il suffit de vérifier (*) localement pour la topologie étale sur \(X_{i, s}\). Il suffit donc de vérifier (*) pour le changement de base du morphisme « \(X_1 \to X_0\) » de Réduction semi-stable, exemple 0CDC, à \(R/\pi R\). Nous laissons le calcul explicite au lecteur.

Le morphisme \(c : Y_{i + 1, s} \to Y_{i, s}\) est la restriction de la contraction d’une courbe exceptionnelle \(E \subset Y_{i + 1}\) de première espèce ; autrement dit, \(b : Y_{i + 1} \to Y_i\) est une contraction de \(E\), c’est-à-dire que \(b\) est l’éclatement d’un point régulier de la surface \(Y_i\) (Résolution des surfaces, section 0C2I). On a alors \(\mathcal{O}_{Y_i} = b_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1}}\) et \(R^1b_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1}} = 0\) ; voir par exemple Résolution des surfaces, lemme 0AGS. Nous en concluons que \(\mathcal{O}_{Y_{i, s}} = c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}}\) et \(R^1c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}} = 0\) d’après Compléments sur les morphismes, lemmes 0E7F, 0E7G et 0E7I (ce dernier ne donne que la surjectivité de \(\mathcal{O}_{Y_{i, s}} \to c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}}\), mais l’injectivité résulte aisément de ce que \(Y_{i, s}\) est réduit et que \(c\) ne modifie la situation qu’au-dessus d’un point fermé). Cela achève la démonstration.

Du lemme 0E8D et du théorème de Réduction semi-stable 0CDN, on déduit immédiatement le théorème de réduction stable.

Théorème

Soit \(R\) un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\). Soit \(C\) une courbe projective lisse sur \(K\) telle que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\) et de genre \(g \geq 2\). Alors :

1. il existe une extension d’anneaux de valuation discrète \(R \subset R'\) induisant une extension finie séparable des corps des fractions \(K'/K\), et une famille stable de courbes \(Y \to \Spec(R')\) de genre \(g\) telle que \(Y_{K'} \cong C_{K'}\) sur \(K'\) ;

2. il existe une extension finie séparable \(L/K\) et une famille stable de courbes \(Y \to \Spec(A)\) de genre \(g\), où \(A \subset L\) est la clôture intégrale de \(R\) dans \(L\), telles que \(Y_L \cong C_L\) sur \(L\).

Démonstration

La partie (1) résulte immédiatement du lemme 0E8D et du théorème de Réduction semi-stable 0CDN.

Démontrons (2). Soit \(L/K\) l’extension finie séparable obtenue dans la partie (3) du théorème de Réduction semi-stable 0CDN. Soit \(A \subset L\) la clôture intégrale de \(R\). Rappelons que \(A\) est un anneau de Dedekind fini sur \(R\), possédant un nombre fini d’idéaux maximaux \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\) ; voir Compléments d’algèbre, remarque 09E8. Posons \(S = \Spec(A)\), \(S_i = \Spec(A_{\mathfrak m_i})\), \(U = \Spec(L)\) et \(U_i = S_i \setminus \{\mathfrak m_i\}\). Observons que \(U \cong U_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Posons \(X = C_L\), considéré comme schéma sur le sous-schéma ouvert \(U\) de \(S\). Par le choix de \(L\) et de \(A\) et par le lemme 0E8D, nous disposons de familles stables de courbes \(X_i \to S_i\) et d’isomorphismes \(X \times_U U_i \cong X_i \times_{S_i} U_i\). D’après Limites d’espaces, lemme 0E92, on peut trouver un morphisme de présentation finie \(Y \to S\) dont le changement de base à \(S_i\) est isomorphe à \(X_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\). On peut aussi utiliser le fait que \(S = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} S_i\) est un recouvrement ouvert de \(S\) et que \(S_i \cap S_j = U\) pour \(i \not = j\), puis appliquer \(n - 1\) fois Limites d’espaces, lemme 0E8Z, afin d’obtenir \(Y \to S\) dont le changement de base à \(S_i\) est isomorphe à \(X_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Il est clair que \(Y \to S\) est la famille stable de courbes recherchée.

Propriétés du champ des courbes stables

Dans cette section, nous démontrons le résultat structurel fondamental pour \(\overline{\mathcal{M}}_g\) lorsque \(g \geq 2\).

Lemme

Soit \(g \geq 2\). Le champ \(\overline{\mathcal{M}}_g\) est séparé.

Démonstration

Cet énoncé signifie que le morphisme \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) est séparé. Nous allons le démontrer au moyen du critère valuatif noethérien raffiné énoncé dans Compléments sur les morphismes de champs, lemme 0E95.

Puisque \(\overline{\mathcal{M}}_g\) est un sous-champ ouvert de \(\Curvesstack\), le morphisme \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) est quasi-séparé et localement de présentation finie d’après le lemme 0DSS. En particulier, le champ \(\overline{\mathcal{M}}_g\) est localement noethérien (Morphismes de champs, lemme 06R6). D’après le lemme 0E87, l’immersion ouverte \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\) est d’image dense. De plus, \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\) est quasi-compact (Morphismes de champs, lemme 0CPM), donc de type fini. Toutes les hypothèses préliminaires de Compléments sur les morphismes de champs, lemme 0E95, sont ainsi satisfaites pour les morphismes \[\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g \quad\text{et}\quad \overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\] et il suffit de vérifier ce qui suit : pour tout diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M}_g \ar[r] & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(R) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & \Spec(\mathbf{Z}) }\] où \(R\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), la catégorie des flèches pointillées est soit vide, soit un sétoïde ayant exactement une classe d’isomorphisme. (Observons qu’il n’est pas nécessaire de trop se soucier des \(2\)-flèches ; voir Morphismes de champs, lemme 0CLD). En explicitant cet énoncé et en utilisant le fait que \(\mathcal{M}_g\), resp. \(\overline{\mathcal{M}}_g\), sont les champs algébriques qui paramètrent les familles lisses, resp. stables, de courbes de genre \(g\), on constate que l’assertion à démontrer est exactement le résultat d’unicité énoncé et démontré dans le lemme 0E97.

Lemme

Soit \(g \geq 2\). Le champ \(\overline{\mathcal{M}}_g\) est quasi-compact.

Démonstration

Nous utiliserons les notations de la section 0DPY. Considérons le sous-ensemble \[T \subset |\textit{PolarizedCurves}|\] des points \(\xi\) pour lesquels il existe un corps \(k\) et une paire \((X, \mathcal{L})\) sur \(k\) représentant \(\xi\) et possédant les deux propriétés suivantes :

1. \(X\) est une courbe stable de genre \(g\) ;

2. \(\mathcal{L} = \omega_X^{\otimes 3}\).

Manifestement, par l’application continue \[|\textit{PolarizedCurves}| \longrightarrow |\Curvesstack|\] l’image de l’ensemble \(T\) est exactement le sous-ensemble ouvert \[|\overline{\mathcal{M}}_g| \subset |\Curvesstack|\] Il suffit donc de montrer que \(T\) est quasi-compact. D’après le lemme 0DPZ, on a une immersion ouverte et fermée \[|\textit{PolarizedCurves}| \subset |\Polarizedstack|\] Il suffit donc de démontrer la quasi-compacité de \(T\) comme sous-ensemble de \(|\Polarizedstack|\). Nous appliquons pour cela le critère de Champs de modules, lemme 0E96. Observons d’abord que, pour \((X, \mathcal{L})\) comme ci-dessus, le polynôme de Hilbert \(P\) est la fonction \(P(t) = (6g - 6)t + (1 - g)\) d’après Riemann–Roch ; voir Courbes algébriques, lemme 0BS6. Observons ensuite que \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\) et que \(\mathcal{L}\) est très ample d’après Courbes algébriques, lemme 0E8X. Cela signifie exactement que, pour \(n = P(3) - 1\), il existe une immersion fermée \[i : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] telle que \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\), comme souhaité.

Voici le théorème principal de cette section.

Théorème

Soit \(g \geq 2\). Le champ algébrique \(\overline{\mathcal{M}}_g\) est un champ de Deligne-Mumford, propre et lisse sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). De plus, le lieu \(\mathcal{M}_g\) qui paramètre les courbes lisses est un sous-champ ouvert dense.

Démonstration

La plupart des propriétés mentionnées dans l’énoncé ont déjà été démontrées. La lissité résulte du lemme 0E79. La propriété de Deligne-Mumford résulte du lemme 0E7A. L’ouverture de \(\mathcal{M}_g\) résulte du lemme 0E87. Nous savons que \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) est séparé d’après le lemme 0E9A et que \(\overline{\mathcal{M}}_g\) est quasi-compact d’après le lemme 0E9B. Ainsi, pour montrer que \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\) est propre et achever la démonstration, on peut appliquer Compléments sur les morphismes de champs, lemme 0CQM, aux morphismes \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\) et \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\). Il suffit donc de vérifier ce qui suit : pour tout diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d]_j & \mathcal{M}_g \ar[r] & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] & & \Spec(\mathbf{Z}) }\] où \(A\) est un anneau de valuation discrète de corps des fractions \(K\), il existe une extension de corps \(K'/K\) et un anneau de valuation \(A' \subset K'\) dominant \(A\), tels que la catégorie des flèches pointillées du diagramme induit \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d]_{j'} & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar@{..>}[ru] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] soit non vide (Morphismes de champs, définition 0CLA). (Observons qu’il n’est pas nécessaire de trop se soucier des \(2\)-flèches ; voir Morphismes de champs, lemme 0CLD). En explicitant cet énoncé et en utilisant le fait que \(\mathcal{M}_g\), resp. \(\overline{\mathcal{M}}_g\), sont les champs algébriques qui paramètrent les familles lisses, resp. stables, de courbes de genre \(g\), on constate que l’assertion à démontrer est exactement le résultat contenu dans le théorème de réduction stable, c’est-à-dire le théorème 0E98.