곡선의 모듈라이

서론

이 장에서는 잘 알려진 몇몇 곡선의 모듈라이 스택을 다룬다. 참고문헌으로는 Deligne과 Mumford의 유명한 논문 [DM]이 있다.

규약과 용어의 관용적 사용

『스택의 성질』의 절 04XA에서 도입한 규약과 용어의 관용적 사용을 계속 따른다. 달리 언급하지 않는 한 바탕 스킴은 \(\Spec(\mathbf{Z})\)이다.

곡선의 스택

이 절은 『몫』의 절 0D4Y에 이어지는 내용이다. \(\Curvesstack\)을, 스킴 \(S\) 위의 절단 범주가 \(S\) 위의 곡선족들의 범주인 스택이라 하자. 여기서 곡선족은 \(X\)가 대수공간(!)이고 \(f\)가 평탄하고, 고유하고, 유한 표시이며, 상대 차원이 \(\leq 1\)인 사상 \(f : X \to S\)임을 기억하는 것이 다소 중요하다. 우리는 이미 \(\Curvesstack\)이 \(\mathbf{Z}\) 위의 대수적 스택임을 안다. 『몫』의 정리 0D5A을 보라. 스택의 정의에서 대수공간을 허용하지 않았다면 이 정리는 거짓이 된다.

흔히 밑변환은 아래첨자로 나타내지만, \(\Curvesstack_S\)는 이미 \(S\) 위의 섬유 범주를 뜻하는 표기이므로 \(\Curvesstack\)에는 이 표기를 쓸 수 없다. 이 때문에 『몫』의 주석 0D54에서는 대수공간 \(B\)로의 밑변환을 \[B\text{-}\Curvesstack = \Curvesstack \times B\] 와 같이 \(B\text{-}\Curvesstack\)으로 썼다. 오른쪽 곱은 최종 대상, 즉 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에서 취한 것이다. 왼쪽 대상은 \(B\) 위의 스킴들의 범주에서 곡선족을 분류하는 스택이다. 특히 \(k\)가 체이면 \[k\text{-}\Curvesstack = \Curvesstack \times \Spec(k)\] 는 \(k\) 위의 스킴들의 범주에서 곡선족을 분류하는 모듈라이 스택이다. 계속하기 전에 다음과 같이 타당성을 점검해 보자.

보조정리

\(T \to B\)를 대수공간의 사상이라 하자. 범주 \[\Mor_B(T, B\text{-}\Curvesstack) = \Mor(T, \Curvesstack)\] 는 \(T\) 위의 곡선족들의 범주이다.

증명

\(T\) 위의 곡선족은 평탄하고, 고유하고, 유한 표시이며, 상대 차원이 \(\leq 1\)인 대수공간의 사상 \(f : X \to T\)이다(『대수공간의 사상』의 정의 06LR). 이는 바탕 \(T\)가 대수공간이어도 된다는 점만 빼면 『몫』의 상황 0D4Z에 있는 정의와 정확히 같다. 대수적 스택과 대수공간에 대한 기본 바탕 범주는 스킴의 범주이므로, 이 보조정리는 정의만으로 즉시 따라오지는 않는다. 그렇기는 하지만 독자에게 이 증명은 건너뛰기를 권한다.

위에서 준 \(B\text{-}\Curvesstack\)의 곱 표현에 의해 절대적인 경우만 증명하면 충분하다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(p : U \to T\)를 택하자. 사영 \(s, t : R \to U\)를 갖는 \(R = U \times_T U\)라 두자.

\(v : T \to \Curvesstack\)을 사상이라 하자. 그러면 \(v \circ p\)는 곡선족 \(X_U \to U\)에 대응한다. 표준 \(2\)-사상 \(v \circ p \circ t \to v \circ p \circ s\)는 동형사상 \(\varphi : X_U \times_{U, s} R \to X_U \times_{U, t} R\)이다. 이 동형사상은 \(R \times_{s, t} R\) 위에서 코사이클 조건을 만족한다. 『부트스트랩』의 보조정리 0ADV에 의해, \(U\)로의 당김이 \(\varphi\)와 양립하는 \(X_U\)와 같은 대수공간의 사상 \(X \to T\)를 얻는다. \(\{U \to T\}\)가 에탈 덮개이므로 『대수공간에서의 내림』의 보조정리 041W, 0422, 041V에 의해 \(X \to T\)는 평탄하고, 고유하고, 유한 표시이다. 또한 상대 차원이 \(\leq 1\)이라는 것은 에탈 국소 성질이므로 \(X \to T\)도 이 조건을 만족한다. 따라서 \(X \to T\)는 \(T\) 위의 곡선족이다.

거꾸로 \(X \to T\)를 곡선족이라 하자. 그러면 밑변환 \(X_U\)는 사상 \(w : U \to \Curvesstack\)을 정하고, 표준 동형사상 \(X_U \times_{U, s} R \to X_U \times_{U, t} R\)는 코사이클 조건을 만족하는 \(2\)-화살표 \(w \circ s \to w \circ t\)를 정한다. 따라서 몫 \([U/R]\)의 보편 성질에 의해 사상 \(v : T = [U/R] \to \Curvesstack\)을 얻는다. 『대수공간의 준군』의 보조정리 044U를 보라. (사실 이 경우에는 용어를 관용적으로 사용하기 이전으로 돌아가서, 사상 \(T \to \Curvesstack\)인 함자 \(\Sch/T \to \Curvesstack\)을 직접 구성하는 편이 훨씬 쉽다.)

위의 구성들이 대상 사이의 사상으로 확장되며 서로 준역임을 확인하는 과정은 생략한다.

편극 곡선의 스택

이 절에서는 『몫』의 주석 0D5C에서 논의한 내용 일부를 상세히 전개한다. 다음 \(2\)-섬유곱을 생각하자. \[\xymatrix{ \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack \ar[r] \ar[d] & \Polarizedstack \ar[d] \\ \Curvesstack \ar[r] & \Spacesstack'_{fp, flat, proper} }\] 이 \(2\)-섬유곱을 \[\textit{PolarizedCurves} = \Curvesstack \times_{\Spacesstack'_{fp, flat, proper}} \Polarizedstack\] 로 나타낸다. 이 섬유곱은 편극 곡선, 즉 상대적으로 풍부한 가역층을 갖춘 곡선족을 매개화한다. 더 정확히 말해 \(\textit{PolarizedCurves}\)의 대상은 다음 조건을 만족하는 쌍 \((X \to S, \mathcal{L})\)이다.

1. \(X \to S\)는 고유하고, 평탄하고, 유한 표시이며, 상대 차원이 \(\leq 1\)인 스킴의 사상이고,

2. \(\mathcal{L}\)은 \(X/S\) 위에서 상대적으로 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이다.

\(\textit{PolarizedCurves}\)의 대상들 사이의 사상 \((X' \to S', \mathcal{L}') \to (X \to S, \mathcal{L})\)은 삼중항 \((f, g, \varphi)\)로 주어진다. 여기서 \(f : X' \to X\)와 \(g : S' \to S\)는 가환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_f & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] 에 들어가는 스킴의 사상들이며, 이 도식은 동형사상 \(X' \to S' \times_S X\)를 유도한다. 다시 말해 이 도식은 카르테시안이다. 또한 \(\varphi : f^*\mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)는 동형사상이다. 합성은 자명한 방식으로 정의한다.

보조정리

사상 \(\textit{PolarizedCurves} \to \Polarizedstack\)은 열린 동시에 닫힌 몰입이다.

증명

이는 \(1\)-사상 \(\Curvesstack \to \Spacesstack'_{fp, flat, proper}\)이 열린 동시에 닫힌 몰입으로 표현가능하기 때문이다. 『몫』의 보조정리 0D5B를 보라.

보조정리

사상 \(\textit{PolarizedCurves} \to \Curvesstack\)은 매끄럽고 전사이다.

증명

전사성. \(k\)를 체라 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 대수공간, 즉 \(k\) 위의 \(\Curvesstack\)의 대상이라 하자. 『체 위의 대수공간』의 보조정리 0ADD에 의해 대수공간 \(X\)는 스킴이다. 따라서 \(X\)는 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴이다. 『다양체』의 보조정리 0A26에 의해 \(X\)는 \(\kappa\) 위에서 H-사영이다. 특히 \(X\) 위에는 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \(\mathcal{L}\)이 존재한다. 그러면 \((X, \mathcal{L})\)은 \(X\)로 사상되는 \(k\) 위의 \(\textit{PolarizedCurves}\)의 대상이다.

매끄러움. \(X \to S\)를 \(\Curvesstack\)의 대상, 즉 사상 \(S \to \Curvesstack\)이라 하자. 다음이 성립함은 분명하다. \[\textit{PolarizedCurves} \times_{\Curvesstack} S \subset \Picardstack_{X/S}\] 이는 \(\mathcal{L}\)이 \(X_T/T\) 위에서 풍부한 대상 \((T/S, \mathcal{L}/X_T)\)들로 이루어진 부분스택이다. 『대수공간에서의 내림』의 보조정리 0D3D에 의해 이는 열린 부분스택이다. 『모듈라이 스택』의 보조정리 0DPJ에 의해 \(\Picardstack_{X/S} \to S\)가 매끄러우므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(X \to S\)를 곡선족이라 하자. 그러면 \(X_i = X \times_S S_i\)가 스킴이 되는 에탈 덮개 \(\{S_i \to S\}\)가 존재한다. 나아가 \(X_i\)가 \(S_i\) 위에서 H-사영이라고 가정할 수 있다.

증명

이는 보조정리 0DQ0의 즉각적인 따름정리이다. 실제로 정의를 풀어 쓰면 이 보조정리는 \(X' = X \times_S S'\)가 \(X'/S'\) 위에서 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_{X'}\)-모듈 \(\mathcal{L}'\)을 갖도록 하는 매끄러운 전사 사상 \(S' \to S\)가 있음을 준다. 그런 다음 매끄러운 덮개 \(\{S' \to S\}\)를 에탈 덮개 \(\{S_i \to S\}\)로 세분할 수 있다. 『사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 055V를 보라. \(S_i\)를 적당한 열린 덮개로 바꾸면 \(X_i \to S_i\)가 H-사영이라고 가정할 수 있다. 『사상』의 보조정리 0B5N와 01WB를 보라 (이는 『사상에 관한 추가 내용』의 절 0B44에서도 자세히 논의한다).

곡선 스택의 성질

다음 보조정리는 곡면의 모듈라이에 대해서는 참이 아니다. 주석 0DSR를 보라.

보조정리

\(\Curvesstack\)의 대각사상은 분리이고 유한 표시이다.

증명

\(\Curvesstack\)이 극한을 보존하는 대수적 스택임을 상기하자. 『몫』의 보조정리 0D55를 보라. 『스택의 극한』의 보조정리 0CMW에 의해 이는 \(\Delta : \Polarizedstack \to \Polarizedstack \times \Polarizedstack\) 가 극한을 보존함을 뜻한다. 따라서 『스택의 극한』의 명제 0CMY에 의해 \(\Delta\)는 국소 유한 표시이다.

\(\Delta\)가 분리임을 증명하자. 이를 위해서는 스킴 \(U\)와 \(U\) 위의 \(\Curvesstack\)의 두 대상 \(Y \to U\), \(X \to U\)가 주어졌을 때 대수공간 \[\mathit{Isom}_U(Y, X)\] 이 분리임을 보이면 충분하다. 『모듈라이 스택』의 보조정리 0DPN와 0DPP에서 그 대상이 분리 대수공간임을 보았다.

증명을 끝내기 위해 \(\Delta\)가 준콤팩트임을 보이자. \(\Delta\)가 대수공간으로 표현가능하므로, 전사 매끄러운 사상 \(U \to \Curvesstack \times \Curvesstack\)에 의한 \(\Delta\)의 밑변환이 준콤팩트인지 확인하면 충분하다(예를 들어 『스택의 성질』의 보조정리 04XD를 보라). 아핀 열린집합들의 서로소 합 \(U = \coprod U_i\)와 전사 매끄러운 사상 \[U \longrightarrow \textit{PolarizedCurves} \times \textit{PolarizedCurves}\] 을 택한다. 보조정리 0DQ0에 의해 \(\textit{PolarizedCurves} \to \Curvesstack\)이 전사이고 매끄러우므로 \(U \to \Curvesstack \times \Curvesstack\)도 전사이고 매끄럽다. \(\textit{PolarizedCurves}\)가 극한을 보존하므로(『Artin의 공리』의 보조정리 07XM와 『몫』의 보조정리 0D55, 0D43, 0D1I에 의한다), \(\textit{PolarizedCurves} \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 국소 유한 표시이고, 따라서 \(U_i \to \Spec(\mathbf{Z})\)도 국소 유한 표시이다 (『스택의 극한』의 명제 0CMY와 『스택의 사상』의 보조정리 06Q3, 0DNP에 의한다). 특히 \(U_i\)는 뇌터 아핀이다. 이로써 다음 문단에서 다루는 경우로 귀착된다.

이 문단에서는 뇌터 아핀 스킴 \(U\)와 \(U\) 위의 \(\textit{PolarizedCurves}\)의 두 대상 \((Y, \mathcal{N})\), \((X, \mathcal{L})\)이 주어졌을 때 대수공간 \[\mathit{Isom}_U(Y, X)\] 이 준콤팩트임을 보인다. \(U\)의 연결성분들이 열린 동시에 닫혀 있으므로 \(U\)를 이들로 바꿀 수 있다. 따라서 \(U\)가 연결이라고 가정한다. \(u \in U\)를 한 점이라 하자. 이 곡선족들의 힐베르트 다항식, 즉 \[Q(n) = \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n}) \quad\text{그리고}\quad P(n) = \chi(X_u, \mathcal{L}_u^{\otimes n})\] 를 각각 \(Q\), \(P\)라 하자. 『다양체』의 보조정리 0BEM를 보라. \(U\)가 연결이고 함수 \(u \mapsto \chi(Y_u, \mathcal{N}_u^{\otimes n})\)와 \(u \mapsto \chi(X_u, \mathcal{L}_u^{\otimes n})\)가 국소 상수이므로 (『스킴의 유도 범주』의 보조정리 0B9T를 보라), \(U\)의 모든 점에서 같은 힐베르트 다항식을 얻는다. \(Y \times_U X\) 위에서 \[\mathcal{M} = \text{pr}_1^*\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_{Y \times_U X}} \text{pr}_2^*\mathcal{L}\] 라 두자. \(U\) 위의 어떤 스킴 \(T\)에 대해 \((f, \varphi) \in \mathit{Isom}_U(Y, X)(T)\)가 주어지면 모든 \(t \in T\)에 대해 \[\begin{align*} \chi(Y_t, (\text{id} \times f)^*\mathcal{M}^{\otimes n}) & = \chi(Y_t, \mathcal{N}_t^{\otimes n} \otimes_{\mathcal{O}_{Y_t}} f_t^*\mathcal{L}_t^{\otimes n}) \\ & = n\deg(\mathcal{N}_t) + n\deg(f_t^*\mathcal{L}_t) + \chi(Y_t, \mathcal{O}_{Y_t}) \\ & = Q(n) + n\deg(\mathcal{L}_t) \\ & = Q(n) + P(n) - P(0) \end{align*}\] 이다. 이는 고유 곡선에 대한 리만–로흐 정리, 더 정확히는 『다양체』의 정의 0AYR와 보조정리 0AYX, 그리고 \(f_t\)가 동형사상이라는 사실에 따른다. \(P'(t) = Q(t) + P(t) - P(0)\)라 두면 \[\mathit{Isom}_U(Y, X) = \mathit{Isom}_U(Y, X) \cap \mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\] 를 얻는다. 이 교집합은 \(\mathit{Mor}_U(Y, X)\)의 열린 부분공간들의 교집합이다. 『모듈라이 스택』의 보조정리 0DPP와 주석 0DPQ을 보라. 이제 \(\mathit{Mor}^{P', \mathcal{M}}_U(Y, X)\)는 『모듈라이 스택』의 보조정리 0DPR에 의해 \(U\) 위에서 유한 표시이므로 뇌터 대수공간이다. 따라서 그 교집합도 뇌터 대수공간이고 증명이 끝난다.

주

보조정리 0DSQ의 증명에서 쓴 유계성 논증은 곡면의 모듈라이에는 적용되지 않으며, 실제로 그 결과는 틀리다. 예를 들어 체 위의 K3 곡면은 무한 이산 자기동형군을 가질 수 있기 때문이다. 이 논증이 적용되지 않는 “이유”는 다음과 같다. 체 위의 사영 곡면 \(S\)에서, 힐베르트 다항식이 각각 \(Q\), \(P\)인 풍부한 가역층 \(\mathcal{N}\)과 \(\mathcal{L}\)이 주어졌을 때 \(\mathcal{N} \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{L}\)의 힐베르트 다항식에는 선험적 상계가 없다. 교차 이론의 말로 표현하면 \(H_1\), \(H_2\)가 \(S\)의 풍부한 유효 카르티에 인자일 때, 교차수 \(H_1 \cdot H_2\)에는 \(H_1 \cdot H_1\)과 \(H_2 \cdot H_2\)로 주어지는 (위쪽) 상계가 없다.

보조정리

사상 \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 준분리이고 국소 유한 표시이다.

증명

\(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 준분리인지 확인하려면 그 대각사상이 준콤팩트이고 준분리임을 보여야 한다. 이는 보조정리 0DSQ에서 즉시 따른다. \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 국소 유한 표시임을 보이려면 \(\Curvesstack\)이 극한을 보존함을 보이면 충분하다. 『스택의 극한』의 명제 0CMY를 보라. 이는 『몫』의 보조정리 0D55이다.

곡선 스택의 열린 부분스택

이하에서는 흔히 대수공간의 사상이 갖는 성질 \(P\)를 이용하여 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택을 특징짓는다. \(P\)가 열린 부분스택을 정의함을 보이려면 다음을 확인하는 것으로 충분하다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때, \(f|_{f^{-1}(S')} : f^{-1}(S') \to S'\)가 \(P\)를 만족하는 가장 큰 열린 부분스킴 \(S' \subset S\)가 존재하고, \(S'\)의 형성이 임의의 밑변환과 가환한다.

실제로 (o)가 성립한다고 하자. 스킴 \(U\)와 전사 매끄러운 사상 \(m : U \to \Curvesstack\)을 택하자. \(R = U \times_{\Curvesstack} U\)라 두고 사영을 \(t, s : R \to U\)로 나타내자. \(\Curvesstack = [U/R]\)이 표시임을 상기하자. 『대수적 스택』의 보조정리 04T5와 정의 04TI를 보라. \(\Curvesstack\)을 곡선의 스택으로 구성한 방식에 의해 사상 \(m\)은 곡선족 \(C \to U\)의 분류 사상이다. 도식 \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d] \\ U \ar[r] & \Curvesstack }\] 의 \(2\)-가환성은 \(C \times_{U, s} R \cong C \times_{U, t} R\)임을 뜻한다 (\(R\) 위의 곡선족의 동형사상이다). (o)에서처럼 \(f|_{f^{-1}(W)} : f^{-1}(W) \to W\)가 \(P\)를 만족하는 가장 큰 열린 부분스킴을 \(W \subset U\)라 하자. (o)에 의해 \(W\)의 형성은 밑변환과 가환하므로, 위의 동형사상에서 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)를 얻는다. 따라서 『스택의 성질』의 보조정리 04YN에 의해 \(W \subset U\)는 열린 부분스택 \[\Curvesstack^P \subset \Curvesstack\] 에 대응한다.

앞 문단의 설정을 계속 사용하자. 열린 부분스택 \(\Curvesstack^P\)는 다음 두 가지 보편 성질을 갖는다고 주장한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^P\)를 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to S\)가 \(P\)를 만족한다.

2. 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^P\)를 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 \(P\)를 만족한다.

이를 위해 \(2\)-섬유곱 \[\xymatrix{ T \ar[r]_p \ar[d]_q & U \ar[d] \\ S \ar[r] & \Curvesstack }\] 을 생각하면 된다. \(T \to S\)는 \(U \to \Curvesstack\)의 밑변환이므로 전사이고 매끄럽다. 따라서 (o)가 주는 열린집합 \(S' \subset S\)는 \(T\)에서의 역상으로 결정된다. 한편 (o)에 있는 이 열린집합들이 밑변환에 불변이고, \(2\)-가환성에 의해 \(X \times_S T \cong C \times_U T\)이므로 \(T\)의 열린집합으로서 \(q^{-1}(S') = p^{-1}(W)\)를 얻는다. 이로부터 (1)이 즉시 따르고, (2)는 (1)의 특수한 경우이다.

대수공간의 사상들이 갖는 두 성질 \(P\), \(Q\)가 주어졌고 \(\Curvesstack^Q\)가 이미 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택임을 보였다고 하자. 그러면 완전히 같은 방법으로 \(\Curvesstack^{Q, P} \subset \Curvesstack^Q\)가 열려 있음을 증명할 수 있다. 자세한 설명은 생략한다.

유한 축약 자기동형군을 갖는 곡선

\(X\)를 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴, 즉 \(k\) 위의 \(\Curvesstack\)의 대상이라 하자. 보조정리 0DSQ에 의해 자기동형군 대수공간 \(\mathit{Aut}(X)\)는 \(k\) 위에서 유한형이고 분리이다. 특히 \(\mathit{Aut}(X)\)는 군 스킴이다. 『대수공간의 준군에 관한 추가 내용』의 보조정리 0B8F를 보라. \(k\)의 표수가 영이면 \(\mathit{Aut}(X)\)는 축약이고, 나아가 \(k\) 위에서 매끄럽다(『준군』의 보조정리 047N). 그러나 일반적으로는 \(X\)가 기하적으로 축약인 경우에도 \(\mathit{Aut}(X)\)가 축약일 필요가 없다.

예

\(k\)를 표수가 \(2\)인 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(Y = Z = \mathbf{P}^1_k\)라 두자. \(\mathbf{A}^1_k\)에서 서로 다른 세 \(k\)-값 점 \(a, b, c\)를 택하자. \(\mathbf{A}^1_k \subset \mathbf{P}^1_k = Y = Z\)를 열린 부분스킴으로 생각하면 닫힌 몰입 \[T = \Spec(k[t]/(t - a)^2) \amalg \Spec(k[t]/(t - b)^2) \amalg \Spec(k[t]/(t - c)^2) \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] 을 얻는다. \(X\)를 도식 \[\xymatrix{ T \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ Z \ar[r] & X }\] 에서의 밂이라 하자. \(U \subset X\)를 \(\mathbf{A}^1_k \amalg \mathbf{A}^1_k\)의 상인 아핀 열린부분이라 하자. 그러면 다음 등화 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ \mathcal{O}_X(U) \ar[r] & k[t] \times k[t] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & k[t]/(t - a)^2 \times k[t]/(t - b)^2 \times k[t]/(t - c)^2 }\] 쌍대수 \(A = k[\epsilon]\) 위에서 이 등화 도식에는 \(t\)를 \(t + \epsilon\)으로 보내는 자명하지 않은 자기동형사상이 있다. 이 자기동형사상이 \(A\) 위의 \(X\)의 자기동형사상으로 확장됨은 독자가 확인하도록 남긴다. 한편 \(k\) 위의 \(X\)의 자기동형군이 유한임은 쉽게 보일 수 있다. 따라서 \(\mathit{Aut}(X)\)는 비축약이어야 한다.

\(X\)를 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴, 즉 \(k\) 위의 \(\Curvesstack\)의 대상이라 하자. \(\mathit{Aut}(X)\)가 기하적으로 축약이더라도, \(X\)가 매끄럽고 기하적으로 연결인 경우조차 그 차원이 \(0\)일 필요는 없다.

예

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)가 종수 \(0\), 각각 종수 \(1\)인 매끄러운 곡선이면 그 자기동형군의 차원은 각각 \(3\), \(1\)이다. 실제로 종수 \(0\)인 경우 『대수곡선』의 명제 0C6U에 의해 \(X \cong \mathbf{P}^1_k\)이다. 함자로서 \[\mathit{Aut}(\mathbf{P}^1_k) = \text{PGL}_{2, k}\] 이므로 그 차원은 \(3\)이다. 한편 \(X\)의 종수가 \(1\)이면 사상 \(X = \underline{\Hilbfunctor}^1_{X/k} \to \underline{\Picardfunctor}^1_{X/k}\)가 동형사상임을 알 수 있다. 『곡선의 피카르 스킴』의 보조정리 0BA0와 『대수곡선』의 정리 0BY1를 보라. 따라서 \(X\)는 아벨 다양체의 구조를 갖는다 (\(\underline{\Picardfunctor}^1_{X/k} \cong \underline{\Picardfunctor}^0_{X/k}\)이기 때문이다). 특히 \(X\)의 (쌍대)접다발은 자명하다(『준군』의 보조정리 047I). 그러므로 \(\dim_k H^0(X, T_X) = 1\)이고, 따라서 \(\dim \mathit{Aut}(X) \leq 1\)이다. 다른 한편 \(X\)를 군 스킴으로 보아 얻는 평행이동들은 \(\text{Aut}(X)\)의 \(1\)차원 부분을 이루므로, 그 차원은 실제로 \(1\)이다.

자기동형군이 기하적으로 축약이고 유한인 곡선들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이 실제로 존재한다. 정확한 명제는 다음과 같다.

보조정리

다음 성질을 갖는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{DM} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. \(\Curvesstack^{DM} \subset \Curvesstack\)은 DM인 가장 큰 열린 부분스택이다.

2. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{DM}\)을 통해 인수분해된다.

   2. 군 대수공간 \(\mathit{Aut}_S(X)\)가 \(S\) 위에서 비분기이다.

3. 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{DM}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(\mathit{Aut}(X)\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이고 차원이 \(0\)이다.

   3. \(\mathit{Aut}(X) \to \Spec(k)\)가 비분기이다.

증명

성질 (1)을 갖는 열린 부분스택의 존재는 『스택의 사상』의 보조정리 0DSM이다. 『스택의 사상』의 보조정리 0DSN에 의해 이 열린 부분스택의 점들은 (3)(c)로 특징지어진다. (3)(b)와 (3)(c)의 동치는 다음 명제이다. 체 \(k\) 위에서 국소 유한형이고, 기하적으로 축약이며, 차원이 \(0\)인 대수공간 \(G\)는 \(k\) 위에서 비분기이다. 먼저 『체 위의 대수공간』의 보조정리 06LZ에 의해 \(G\)는 스킴이다. 그런 다음 \(G\)에서 아핀 열린집합을 택하면 이는 \(k\) 위에서 고유하므로 『다양체』의 보조정리 0BUG를 적용할 수 있다. 사소한 세부사항은 생략한다.

(3)이 성립하므로 (2)도 참이다. 실제로 사상 \(\mathit{Aut}_S(X) \to S\)는 국소 유한형이다. 따라서 『대수공간의 사상』의 보조정리 05W2에 따라 스킴 \(S\)의 점에서의 섬유를 조사함으로써 \(\mathit{Aut}_S(X) \to S\)가 \(\mathit{Aut}_S(X)\)의 모든 점에서 비분기인지 확인할 수 있다. 그런데 \(S\)의 한 점으로 밑변환한 뒤에는 (3)(a)와 (3)(c)의 동치로 돌아간다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴이라 하자. 그러면 성질 (3)(a), (b), (c)는 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\)과도 동치이다.

증명

위의 논의에서 \(G = \mathit{Aut}(X)\)가 \(\Spec(k)\) 위의 유한형 분리 군 스킴임을 보았다. 여기에는 보조정리 0DSQ와 『대수공간의 준군에 관한 추가 내용』의 보조정리 0B8F를 썼다. 그러면 \(G\)가 \(k\) 위에서 비분기인 것과 \(\Omega_{G/k} = 0\)은 동치이다(『사상』의 보조정리 02G5). 『준군』의 보조정리 047I에 의해 \(T_{G/k, e} = 0\)이면 이 소멸이 성립한다. 여기서 \(T_{G/k, e}\)는 항등원 \(e \in G(k)\)에서 \(G\)의 접공간이다. 『다양체』의 정의 0B2C와 보조정리 0B2D의 공식을 보라. \(\kappa(e) = k\)이므로 접공간은 \(\Spec(k)\)로의 제한이 \(e\)인 사상 \(\alpha : \Spec(k[\epsilon]) \to G = \mathit{Aut}(X)\)로 정의된다. 따라서 \(\Spec(k)\)로 제한했을 때 \(\text{id}_X\)가 되는 \(\Spec(k[\epsilon])\) 위의 다음 자기동형사상을 보이면 충분하다. \[\alpha : X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon]) \longrightarrow X \times_{\Spec(k)} \Spec(k[\epsilon])\] 이러한 자기동형사상을 무한소 자기동형사상이라 한다.

\(X\)의 무한소 자기동형사상은 \(k\) 위의 \(\mathcal{O}_X\)의 미분들과 \(1\)-대-\(1\)로 대응한다. 이는 『사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 04FG와 02H5에서 따른다 (역방향은 필요하지 않으므로 첫 번째 보조정리만 있으면 된다. 설명을 위해서는 『사상에 관한 추가 내용』의 주석 0CK2도 보라). 이 등식을 증명하는 다른 논증은 『변형 문제』의 보조정리 0DY9에서 찾을 수 있다.

코언–매콜리 곡선

코언–매콜리 “곡선”들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이 존재한다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{CM} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{CM}\)을 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to S\)가 코언–매콜리이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{CM}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 코언–매콜리이다.

증명

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E10에 의해 집합 \[W = \{x \in |X| : f \text{는 다음 점에서 코언--매콜리이다: }x\}\] 는 \(|X|\)에서 열려 있고, 이 열린집합의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. \(f\)가 고유이므로 \(S\)의 부분집합 \[S' = S \setminus f(|X| \setminus W)\] 은 열려 있고 \(X \times_S S' \to S'\)는 코언–매콜리이다. 또한 \(W\)에 대해 그러하므로 \(S'\)의 형성도 임의의 밑변환과 가환한다. 따라서 절 0E0E에서 논의한 방법으로 원하는 성질을 갖는 열린 부분스택을 얻는다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{CM, 1} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{CM, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to S\)가 코언–매콜리이고 상대 차원이 \(1\)이다 (『대수공간의 사상』의 정의 06LR).

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{CM, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 코언–매콜리이고 \(X\)가 차원 \(1\)의 등차원 스킴이다.

증명

보조정리 0E0I에 의해, 이 스택이 존재한다면 \(\Curvesstack^{CM, 1} \subset \Curvesstack^{CM}\)임이 분명하다. \(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. \(f\)가 코언–매콜리 사상이라고 가정하자. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E11에 의해 열린 동시에 닫힌 부분공간들로의 분해 \[X = X_0 \amalg X_1\] 가 있어서 \(X_0 \to S\)의 상대 차원은 \(0\)이고 \(X_1 \to S\)의 상대 차원은 \(1\)이다. \(f\)가 고유이므로 \(S\)의 부분집합 \[S' = S \setminus f(|X_0|)\] 은 열려 있고 \(X \times_S S' \to S'\)는 코언–매콜리이며 상대 차원이 \(1\)이다. 또한 위의 분해에 대해 그러하므로 \(S'\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다(상대 차원은 밑변환에 대해 잘 행동한다. 『대수공간의 사상』의 보조정리 04NS를 보라). 따라서 절 0E0E에서 논의한 방법으로 원하는 성질을 갖는 열린 부분스택을 얻는다.

주어진 종수의 곡선

스택 프로젝트에서는 체 \(k\) 위의 고유 \(1\)차원 스킴 \(X\)의 종수 \(g\)를 \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)일 때에만 정의한다. 이 경우 \(g = \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)이다. 『대수곡선』의 절 0BY6를 보라. 종수를 정의하는 데 필요한 조건들은 열린 부분스택을 정의하고, 이 부분스택은 각 종수에 하나씩 대응하는 열린 부분스택들의 서로소 합이다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{h0, 1} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{h0, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이고, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립하며, \(f\)의 섬유들은 차원이 \(1\)이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{h0, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)이고 \(\dim(X) = 1\)이다.

증명

곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때, 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0E0R에 의해 \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\)가 되는 \(s \in S\)들의 집합은 \(S\)에서 열려 있다. 또한 섬유의 차원이 \(1\)인 \(S\)의 점들의 집합은 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0D4R에 의해 열려 있다. 더 나아가 \(f : X \to S\)가 모든 섬유의 차원이 \(1\)인 곡선족이면(특히 \(f\)는 전사이다), 조건 (1)(b)는 모든 \(s \in S\)에 대해 \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\)인 것과 동치이다. 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0E6B를 보라. 따라서 이 보조정리는 절 0E0E의 일반적인 논의에서 따른다.

보조정리

\(\Curvesstack\)의 열린 부분스택으로서 \(\Curvesstack^{h0, 1} \subset \Curvesstack^{CM, 1}\)이다.

증명

『대수곡선』의 보조정리 0BY5과 보조정리 0E6I, 0E1F를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 모든 \(s \in S\)에 대해 \(\kappa(s) = H^0(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\)인 곡선족이라 하자. 즉 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{h0, 1}\)을 통해 인수분해된다고 하자(보조정리 0E6I). 그러면

1. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이고 이는 보편적으로 성립한다.

2. \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

3. 임의의 사상 \(h : S' \to S\)에 대해 \(f' : X' \to S'\)가 밑변환이면 \(h^*(R^1f_*\mathcal{O}_X) = R^1f'_*\mathcal{O}_{X'}\)이다.

증명

『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0E6B를 적용한다. 이로써 (1)을 증명한다. 또한 이 보조정리에 의해 \(S\) 위에서 국소적으로 \(Rf_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S \oplus P\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(P\)는 토르 진폭이 \([1, \infty)\)에 있는 완전 대상이다. \(Rf_*\mathcal{O}_X\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환함을 상기하자 (『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0CTM). 따라서 \(s \in S\)에 대해 \[H^i(P \otimes_{\mathcal{O}_S}^\mathbf{L} \kappa(s)) = H^i(X_s, \mathcal{O}_{X_s}) \text{ 단, }i \geq 1\] 이다. \(X_s\)가 \(1\)차원 뇌터 스킴이므로 이는 \(i = 1\)이 아니면 영이다. 『코호몰로지』의 명제 02UZ을 보라. 그러면 \(P = H^1(P)[-1]\)이고, 예를 들어 『대수학에 관한 추가 내용』의 보조정리 0BCD에 의해 \(H^1(P)\)는 유한 국소 자유이다. 모든 것이 밑변환과 양립하므로 (3)도 성립한다.

보조정리

열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해 \[\Curvesstack^{h0, 1} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack_g\] 가 있고, 각 \(\Curvesstack_g\)는 다음과 같이 특징지어진다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이고, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립하며, \(f\)의 섬유들은 차원이 \(1\)이고, \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)는 계수가 \(g\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(\dim(X) = 1\), \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고 \(X\)의 종수가 \(g\)이다.

증명

보조정리 0E6I에서 이미 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{h0, 1}\)의 존재와, 보조정리의 조건들 중 \(R^1f_*\) 또는 \(H^1\)을 포함하지 않는 조건에 의한 특징화를 얻었다. 절 0E0E의 논의와 보조정리 0E1J에서 열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해가 즉시 따라온다. 이로써 (1)의 특징화를 증명한다. (2)의 특징화는 『대수곡선』의 정의 0BY7에 있는 종수의 정의에서 따른다.

기하적으로 축약인 곡선

기하적으로 축약인 “곡선”들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이 존재한다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{geomred} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{geomred}\)를 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to S\)의 섬유들이 기하적으로 축약이다 (『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 정의 0E08).

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{geomred}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다.

증명

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E0C에 의해 집합 \[E = \{s \in S : \text{사상 }X \to S\text{의 점 }s \text{에서의 섬유가 기하적으로 축약이다}\}\] 는 \(S\)에서 열려 있다. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E09에 의해 이 열린집합의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. 따라서 절 0E0E에서 논의한 방법으로 원하는 성질을 갖는 열린 부분스택을 얻는다.

보조정리

\(\Curvesstack\)의 열린 부분스택으로서 \(\Curvesstack^{geomred} \subset \Curvesstack^{CM}\)이다.

증명

이는 차원이 \(\leq 1\)인 축약 뇌터 스킴이 코언–매콜리이기 때문이다. 『대수학』의 보조정리 031R를 보라.

기하적으로 축약이고 연결인 곡선

기하적으로 축약이고 연결인 “곡선”들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이 존재한다. 먼저 \(0\)차원 대상들을 곧바로 제외하겠다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{grc, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to S\)의 기하적 섬유들이 축약이고, 연결이며, 차원이 \(1\)이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{grc, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 기하적으로 축약이고, 기하적으로 연결이며, 차원이 \(1\)이다.

증명

보조정리 0E0G, 0E1G, 0E0I, 0E1F에 의해, 이 스택이 존재한다면 \[\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack^{geomred} \cap \Curvesstack^{CM, 1}\] 임이 분명하다. \(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. \(f\)는 코언–매콜리이고, 섬유들은 기하적으로 축약이며, 상대 차원은 \(1\)이라고 하자. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E0D에 의해 슈타인 인수분해 \[X \to T \to S\] 에서 사상 \(T \to S\)는 에탈이다. 이는 \(X \times_S S' \to S'\)의 섬유들이 기하적으로 연결이 되게 하는 열린 동시에 닫힌 부분스킴 \(S' \subset S\)가 있음을 뜻한다 (『사상』의 보조정리 04MH에 있는 유한 국소 자유 사상 \(T \to S\)의 분해에서 이는 \(S_1\)에 대응한다). 기하적 섬유의 연결성분 수는 밑변환에 대해 불변이므로 이 열린집합의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다(이 특수한 경우 슈타인 인수분해도 밑변환과 가환하지만, 결론을 위해 그 사실까지는 필요하지 않다). 따라서 절 0E0E에서 논의한 방법으로 원하는 성질을 갖는 열린 부분스택을 얻는다.

보조정리

\(\Curvesstack\)의 열린 부분스택으로서 \(\Curvesstack^{grc, 1} \subset \Curvesstack^{h0, 1}\)이다. 특히 기하적 섬유들이 축약이고, 연결이며, 차원이 \(1\)인 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어지면 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)는 그 형성이 임의의 밑변환과 가환하는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

증명

이는 『다양체』의 보조정리 0BUG와 보조정리 0E6I, 0E1I에서 따른다. 마지막 명제는 보조정리 0E1J에서 따른다.

보조정리

열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해 \[\Curvesstack^{grc, 1} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack^{grc, 1}_g\] 가 있고, 각 \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\)는 다음과 같이 특징지어진다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(f : X \to S\)의 기하적 섬유들이 축약이고, 연결이며, 차원이 \(1\)이고, \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)는 계수가 \(g\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{grc, 1}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 기하적으로 축약이고, 기하적으로 연결이며, 차원이 \(1\)이고, 종수가 \(g\)이다.

증명

첫 번째 증명: \(\Curvesstack^{grc, 1}_g = \Curvesstack^{grc, 1} \cap \Curvesstack_g\)라 두고 보조정리 0E6L과 0E6K를 결합한다. 두 번째 증명: 절 0E0E의 논의와 보조정리 0E6L에서 열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해의 존재가 즉시 따라온다. 이로써 (1)의 특징화를 증명한다. 기하적으로 축약이고 연결인 고유 \(1\)차원 스킴 \(X/k\)의 종수는 정의되며(『대수곡선』의 정의 0BY7과 『다양체』의 보조정리 0BUG), \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)와 같으므로 (2)의 특징화도 따른다.

고렌슈타인 곡선

고렌슈타인 “곡선”들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이 존재한다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{Gorenstein} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{Gorenstein}\)을 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to S\)가 고렌슈타인이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{Gorenstein}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 고렌슈타인이다.

증명

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E19에 의해 집합 \[W = \{x \in |X| : f \text{는 다음 점에서 고렌슈타인이다: }x\}\] 는 \(|X|\)에서 열려 있고, 이 열린집합의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. \(f\)가 고유이므로 \(S\)의 부분집합 \[S' = S \setminus f(|X| \setminus W)\] 은 열려 있고 \(X \times_S S' \to S'\)는 고렌슈타인이다. 또한 \(W\)에 대해 그러하므로 \(S'\)의 형성도 임의의 밑변환과 가환한다. 따라서 절 0E0E에서 논의한 방법으로 원하는 성질을 갖는 열린 부분스택을 얻는다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. 사상 \(X \to S\)가 고렌슈타인이고 상대 차원이 \(1\)이다 (『대수공간의 사상』의 정의 06LR).

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 고렌슈타인이고 \(X\)가 차원 \(1\)의 등차원 스킴이다.

증명

고렌슈타인 스킴은 코언–매콜리이고(『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0C00), 고렌슈타인 사상은 코언–매콜리 사상임을 상기하자(『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0C06. 따라서 \(\Curvesstack^{Gorenstein, 1}\)을 \(\Curvesstack\) 안에서 \(\Curvesstack^{Gorenstein}\)과 \(\Curvesstack^{CM, 1}\)의 교집합으로 두고 보조정리 0E1M와 0E1F를 적용하면 된다.

국소 완전 교차 곡선

국소 완전 교차 “곡선”들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이 존재한다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{lci} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{lci}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 국소 완전 교차 사상이다.

   3. \(X \to S\)가 신토믹 사상이다.

2. 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{lci}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 \(k\) 위의 국소 완전 교차이다.

증명

신토믹 사상이라는 것은 평탄한 국소 완전 교차 사상이라는 것과 같다. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 06C9를 보라. 따라서 (1)(b)와 (1)(c)는 동치이다. 절 0E0E에서 다음을 보이면 충분하다는 것을 확인했다. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때, \(S' \times_S X \to S'\)가 국소 완전 교차 사상이 되며 \(S'\)의 형성이 임의의 밑변환과 가환하도록 하는 열린 부분스킴 \(S' \subset S\)가 존재해야 한다. 이는 더 일반적인 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 06CE에서 따른다.

고립 특이점을 갖는 곡선

특이점이 유한 개뿐인 “곡선”들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택을 살펴볼 수 있다(우리의 설정에서는 이 점들이 \(0\)차원 성분에 대응할 수도 있다).

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{+} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{+}\)를 통해 인수분해된다.

   2. 임의의/어떤 닫힌 부분공간 구조를 부여한 \(X \to S\)의 특이 자취가 \(S\) 위에서 유한이다.

2. 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{+}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to \Spec(k)\)는 유한 개의 점을 제외하면 매끄럽다.

증명

이 보조정리를 증명하려면 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 \(S' \times_S X \to S'\)의 섬유가 성질 (2)를 갖도록 하는 열린 부분스킴 \(S' \subset S\)가 있음을 보이면 충분하다 (이 열린집합의 형성은 자동으로 밑변환과 가환한다). 정의상 \(X \to S\)가 매끄럽지 않은 점들의 자취 \(T \subset |X|\)는 닫혀 있다. \(T\) 위의 축약 유도 대수공간 구조로 주어지는 닫힌 부분공간을 \(Z \subset X\)라 하자(『대수공간의 성질』의 정의 047X). 이제 \(s \in S\)가 \(Z_s\)가 유한인 점이면 \(s\)의 열린 근방 \(U_s \subset S\)가 있어서 \(Z \cap f^{-1}(U_s) \to U_s\)가 유한이다. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0A4Y를 보라. 이로써 보조정리가 증명된다.

곡선 스택의 매끄러운 자취

사상 \[\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\] 은 어떤 가장 큰 열린 부분스택 위에서 매끄럽다. 『스택의 사상』의 보조정리 0DZR를 보라. 곡선이 언제 이 자취에 속하는지 판정하는 조건을 제시하고자 한다. 이를 위해 약간의 변형 이론을 사용한다.

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴이라 하자. \(k\)의 코언 환 \(\Lambda\)를 택하자. 『대수학』의 보조정리 0328를 보라. 그러면 『변형 문제』의 예제 0DY7와 보조정리 0DY8에서 설명한 상황에 놓인다. 따라서 잉여체가 \(k\)인 아르틴 국소 \(\Lambda\)-대수들의 범주 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 위에서 변형 범주 \(\Deformationcategory_X\)를 얻는다.

보조정리

위의 상황에서 다음은 서로 동치이다.

1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 매끄러운 열린집합을 통해 인수분해된다.

2. 변형 범주 \(\Deformationcategory_X\)에는 장애가 없다.

증명

\(\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\)가 국소 유한 표시이므로(보조정리 0DSS), \(\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\mathbf{Z})\)가 매끄러운 열린 부분스택의 형성은 평탄 밑변환과 가환한다(『스택의 사상』의 보조정리 0DZR). 코언 환 \(\Lambda\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 평탄하므로 \(\Lambda\) 위에서 작업해도 된다. 다시 말해 \(X/k\)가 정하는 점 \(x_0 : \Spec(k) \to \Lambda\text{-}\Curvesstack\)의 열린 근방에서 \[\Lambda\text{-}\Curvesstack \longrightarrow \Spec(\Lambda)\] 가 매끄러운 것과 \(\Deformationcategory_X\)에 장애가 없는 것이 동치임을 증명하려는 것이다.

이제 이 보조정리는 『스택의 기하』의 보조정리 0DZS와 등식 \[\Deformationcategory_X = \mathcal{F}_{\Lambda\text{-}\Curvesstack, k, x_0}\] 에서 따른다. 이 등식의 증명은 완전히 자명하지 않다. 왼쪽에는 \(A \in \Ob(\mathcal{C}_\Lambda)\) 위의 스킴으로서 \(X\)의 모든 평탄 변형 \(Y \to \Spec(A)\)를 분류하는 변형 범주가 있다. 오른쪽에는 특수 섬유가 \(X\)이고, \(Y\)가 대수공간이며, \(Y \to \Spec(A)\)가 고유이고 유한 표시이며 상대 차원이 \(\leq 1\)인 모든 평탄 사상 \(Y \to \Spec(A)\)를 분류하는 변형 범주가 있다. \(A\)가 아르틴 환이므로, 예를 들어 『체 위의 대수공간』의 보조정리 0ADD에 의해 \(Y\)는 스킴이다. 따라서 다음을 보이는 일만 남는다. 잉여체가 \(k\)인 아르틴 국소환 \(A\) 위의 스킴으로서 \(X\)의 평탄 변형 \(Y \to \Spec(A)\)는 고유이고, 유한 표시이며, 상대 차원이 \(\leq 1\)이다. 상대 차원은 섬유로 정의되므로 \(X/k\)에 대해 성립한다는 사실에서 \(Y/A\)에 대해서도 자동으로 성립한다. \(X \to \Spec(k)\)에 대해 그러하므로 \(Y \to \Spec(A)\)는 고유이고 국소 유한 표시이다. 『사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 06AG를 보라.

다음은 매끄러운 자취에 포함되는 곡선 스택의 “큰” 열린집합이다.

보조정리

열린 부분스택 \[\Curvesstack^{lci+} = \Curvesstack^{lci} \cap \Curvesstack^{+} \subset \Curvesstack\] 은 다음 성질을 갖는다.

1. \(\Curvesstack^{lci+} \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 매끄럽다.

2. 곡선족 \(X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{lci+}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 국소 완전 교차 사상이고, 임의의/어떤 닫힌 부분공간 구조를 부여한 \(X \to S\)의 특이 자취가 \(S\) 위에서 유한이다.

3. 체 \(k\) 위의 차원이 \(\leq 1\)인 고유 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{lci+}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 \(k\) 위의 국소 완전 교차이고 \(X \to \Spec(k)\)가 유한 개의 점을 제외하면 매끄럽다.

증명

점들이 (2)에 의해 특징지어지는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{lci+}\)가 있음을 보일 수 있다면, 보조정리 0DZU와 『변형 문제』의 보조정리 0DZQ를 결합하여 (1)이 성립함을 알 수 있다. \(\Curvesstack\) 안에서 \[\Curvesstack^{lci+} = \Curvesstack^{lci} \cap \Curvesstack^{+}\] 이므로 보조정리 0DZV와 0DZW에서 결론이 따른다.

매끄러운 곡선

이 절에서는 매끄러운 “곡선”들을 매개화하는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택들을 연구한다.

보조정리

다음을 만족하는 열린 부분스택들이 존재한다. \[\Curvesstack^{smooth, 1} \subset \Curvesstack^{smooth} \subset \Curvesstack\]

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 각각 \(\Curvesstack^{smooth}\), \(\Curvesstack^{smooth, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(f\)가 각각 매끄럽거나, 상대 차원 \(1\)의 매끄러운 사상이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 각각 \(\Curvesstack^{smooth}\), \(\Curvesstack^{smooth, 1}\)을 통해 인수분해된다.

   2. 각각 \(X\)가 \(k\) 위에서 매끄럽거나, \(X\)가 \(k\) 위에서 매끄럽고 \(X\)가 차원 \(1\)의 등차원 스킴이다.

증명

\(\Curvesstack^{smooth}\)에 관한 명제를 증명하려면 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때, \(S' \times_S X \to S'\)가 매끄럽고 이 열린집합의 형성이 밑변환과 가환하도록 하는 열린 부분스킴 \(S' \subset S\)가 있음을 보이면 충분하다. \(U \to S\)가 매끄럽게 되는 가장 큰 열린집합 \(U \subset X\)가 있고, \(U\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환함을 안다. 『대수공간의 사상』의 보조정리 0DZI를 보라. \(T = |X| \setminus |U|\)이면 \(f\)가 고유이므로 \(f(T)\)는 \(S\)에서 닫혀 있다. \(S' = S \setminus f(T)\)라 두면 원하는 열린집합을 얻는다.

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하고 \(f\)가 매끄럽다고 하자. 그러면 섬유 \(X_s\)는 \(\kappa(s)\) 위에서 매끄럽고, 따라서 코언–매콜리이다(예를 들어 『대수학』의 보조정리 00T5와 00SB을 사용하여 볼 수 있다). 따라서 \[\Curvesstack^{smooth, 1} = \Curvesstack^{smooth} \cap \Curvesstack^{CM, 1}\] 로 둘 수 있고, 원하는 동치들은 \(\Curvesstack^{smooth}\)에 관해 이미 보인 사실과 보조정리 0E1F에서 따른다.

보조정리

사상 \(\Curvesstack^{smooth} \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 매끄럽다.

증명

\(\Curvesstack^{smooth} \subset \Curvesstack^{lci+}\)라는 관찰과 보조정리 0DZX에서 즉시 따른다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{smooth, h0} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{smooth}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이고, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립하며, \(f\)는 상대 차원 \(1\)의 매끄러운 사상이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{smooth, h0}\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 매끄럽고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이다.

   3. \(X\)가 매끄럽고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(X\)가 기하적으로 연결이다.

   4. \(X\)가 매끄럽고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(X\)가 기하적으로 정역이다.

   5. \(X_{\overline{k}}\)가 매끄러운 곡선이다.

증명

\[\Curvesstack^{smooth, h0} = \Curvesstack^{smooth} \cap \Curvesstack^{h0, 1}\] 로 두면 보조정리 0E6I와 0DZZ에 의해 (1)이 성립한다. 실제로 이로부터 (2)(a)와 (2)(b)의 동치도 얻는다. 증명을 끝내려면 (2)(b)가 (2)(c), (2)(d), (2)(e) 각각과 동치임을 보이면 된다.

체 위의 매끄러운 스킴은 기하적으로 정규이고(『다양체』의 보조정리 056T), 매끄러움은 밑변환 아래 보존되며(『사상』의 보조정리 01VB), 매끄럽다는 성질은 공역에서 fpqc 국소적이다(『내림』의 보조정리 02VL). 이를 염두에 두면 (2)(b), (2)(c), 2(d), (2)(e)의 동치는 『다양체』의 보조정리 0FD3에서 따른다.

정의

보조정리 0E81에서 도입한 곡선족들을 매개화하는 대수적 스택 \(\Curvesstack^{smooth, h0}\)를 \(\mathcal{M}\)으로 나타내고 매끄러운 고유 곡선의 모듈라이 스택이라 부른다. \(g \geq 0\)에 대해 보조정리 0E83에서 도입한 대수적 스택을 \(\mathcal{M}_g\)로 나타내고 종수 \(g\)인 매끄러운 고유 곡선의 모듈라이 스택이라 부른다.

다음은 빠뜨릴 수 없는 보조정리이다.

보조정리

열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해 \[\mathcal{M} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \mathcal{M}_g\] 가 있고, 각 \(\mathcal{M}_g\)는 다음과 같이 특징지어진다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\mathcal{M}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 매끄럽고, \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이며, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립하고, \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)는 계수가 \(g\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\mathcal{M}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)가 매끄럽고, \(\dim(X) = 1\)이고, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이며, \(X\)의 종수가 \(g\)이다.

   3. \(X\)가 매끄럽고, \(\dim(X) = 1\)이고, \(X\)가 기하적으로 연결이며, \(X\)의 종수가 \(g\)이다.

   4. \(X\)가 매끄럽고, \(\dim(X) = 1\)이고, \(X\)가 기하적으로 정역이며, \(X\)의 종수가 \(g\)이다.

   5. \(X_{\overline{k}}\)가 종수 \(g\)인 매끄러운 곡선이다.

증명

보조정리 0E81와 0E6K를 결합하면 된다. 그 대신 보조정리 0E1K를 사용해도 된다.

보조정리

사상 \(\mathcal{M} \to \Spec(\mathbf{Z})\)와 \(\mathcal{M}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 매끄럽다.

증명

\(\mathcal{M}\)이 \(\Curvesstack^{lci+}\)의 열린 부분스택이므로 보조정리 0DZX에서 따른다.

매끄러운 곡선의 조밀성

\(\Curvesstack^{smooth}\)가 \(\Curvesstack\)에서 조밀하다고 주장하는 것은 아니므로 이 절의 제목은 오해를 부를 수 있다. 실제로 Mumford가 [PathologiesIV]에서 보였듯 이는 거짓이다. 그러나 매끄러운 “곡선”들이 어떤 큰 열린집합에서 조밀함을 보일 것이다.

보조정리

포함관계 \[|\Curvesstack^{smooth}| \subset |\Curvesstack^{lci+}|\] 의 왼쪽은 열린 조밀 부분집합이다.

증명

『스택의 성질』의 절 04XE에서 \(|\Curvesstack^{lci+}|\)의 위상을 구성한 방식 자체로부터 \(|\Curvesstack^{smooth}|\)가 열린 부분집합임을 안다. \(\xi \in |\Curvesstack^{lci+}|\)를 한 점이라 하자. 그러면 체 \(k\)와 \(k\) 위의 스킴 \(X\)가 있어서 \(X\)는 \(k\) 위에서 고유이고, \(\dim(X) \leq 1\)이며, \(X\)는 \(k\) 위의 국소 완전 교차이고, \(X\)는 유한 개의 점을 제외하면 \(k\) 위에서 매끄러우며, \(\xi\)는 \(X\)가 정하는 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack^{lci+}\)의 동치류이다. 보조정리 0DZX를 보라. 『변형 문제』의 보조정리 0E7Y에 의해 일반 섬유가 매끄럽고 특수 섬유가 \(X\)와 동형인 평탄 사영 사상 \(Y \to \Spec(k[[t]])\)가 존재한다. \(Y\)가 정하는 분류 사상 \[\Spec(k[[t]]) \longrightarrow \Curvesstack^{lci+}\] 을 생각하자. 닫힌점의 상은 \(\xi\)이고 일반점의 상은 \(|\Curvesstack^{smooth}|\)에 속한다. \(|\Spec(k[[t]])|\)에서 일반점이 닫힌점으로 특수화하므로, 원하는 대로 \(\xi\)는 \(|\Curvesstack^{smooth}|\)의 폐포에 속한다.

절점 곡선

대수기하학에서 절점 곡선은 특별한 역할을 한다. 독자에게 『대수곡선』의 절 0C46, 0C58과 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 절 0DSD에 있는 논의를 잠깐 살펴보기를 권한다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{nodal} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{nodal}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(f\)가 상대 차원 \(1\)이고, 특이점이 많아야 절점이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{nodal}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고 \(X\)는 차원 \(1\)의 등차원 스킴이다.

증명

실제로 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때, \(S' \times_S X \to S'\)가 상대 차원 \(1\)이고 특이점이 많아야 절점이며 \(S'\)의 형성이 임의의 밑변환과 가환하도록 하는 열린 부분스킴 \(S' \subset S\)가 있음을 보이면 충분하다. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0DSH에 의해 \(f|_{X'} : X' \to S\)가 상대 차원 \(1\)이고 특이점이 많아야 절점이 되도록 하는 가장 큰 열린 부분공간 \(X' \subset X\)가 있다. 더 나아가 \(X'\)의 형성은 밑변환과 가환한다. 따라서 \[S' = S \setminus |f|(|X| \setminus |X'|)\] 로 둘 수 있다. 고유 사상은 정의상 보편적으로 닫힌 사상이므로 이는 열린집합이다.

보조정리

사상 \(\Curvesstack^{nodal} \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 매끄럽다.

증명

\(\Curvesstack^{nodal} \subset \Curvesstack^{lci+}\)라는 관찰과 보조정리 0DZX에서 즉시 따른다.

상대 쌍대화 층

이 절의 주된 목적은 곡선족의 경우에 쓸 표기를 도입하는 것이다. 필요한 작업 대부분은 쌍대성에 관한 장에서 이미 이루어졌다.

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에는 상대 쌍대화 복합체라고 하는 대상 \(\omega_{X/S}^\bullet\)가 있어서 다음 성질을 갖는다. \(U = \Spec(A)\)가 아핀인 모든 밑변환 도식 \[\xymatrix{ X_U \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ U \ar[r]^g & S }\] 에 대해 복합체 \(\omega_{X_U/U}^\bullet = L(g')^*\omega_{X/S}^\bullet\)는 함자 \[D_\QCoh(\mathcal{O}_{X_U}) \longrightarrow \text{Mod}_A,\quad K \longmapsto \Hom_U(Rf_*K, \mathcal{O}_U)\] 를 표현한다. 더 정확히 말해 \((\omega_{X/S}^\bullet, \tau)\)를 『대수공간의 쌍대성』의 정의 0E5X에서 정의한 이 곡선족의 상대 쌍대화 복합체라 하자. 그 존재는 『대수공간의 쌍대성』의 보조정리 0E61에서 보인다. 또한 \((\omega_{X/S}^\bullet, \tau)\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다(본질적으로 정의에서 따르며, 정확한 참고문헌은 『대수공간의 쌍대성』의 보조정리 0E6C이다). 이제부터 \(\omega_{X/S}^\bullet\)의 밑변환을 더 언급하지 않고 밑변환한 곡선족의 상대 쌍대화 복합체와 동일시한다.

\(S_i\)가 아핀이며 \(X_i = X \times_S S_i\)가 스킴이 되도록 하는 에탈 덮개 \(\{S_i \to S\}\)를 택하자. 보조정리 0E6F를 보라. 『대수공간의 쌍대성』의 보조정리 0E6E에 의해 \(\omega_{X_i/S_i}^\bullet\)는 『스킴의 쌍대성』의 주석 0B6S에서 논의한, 스킴의 고유 평탄 유한 표시 사상 \(f_i : X_i \to S_i\)에 대한 상대 쌍대화 복합체와 일치한다. 따라서 에탈 국소적인 \(\omega_{X/S}^\bullet\)의 성질을 증명할 때는 \(X \to S\)가 스킴의 사상이라고 가정하고 스킴의 쌍대성에 관한 장에서 전개한 이론을 사용해도 된다. 더 일반적으로 \(X\)의 어떤 밑변환이 스킴이면 그 상대 쌍대화 복합체는 『스킴의 쌍대성』의 주석 0B6S에 있는 상대 쌍대화 복합체와 일치한다. 이제부터 이 동일시를 더 언급하지 않고 사용한다.

특히 \(k\)가 체인 사상 \(\Spec(k) \to S\)를 생각하자. 그 밑변환을 \(X_k\)로 나타내자(『체 위의 대수공간』의 보조정리 0ADD에 의해 이는 스킴이다). 그러면 \(\omega_{X_k/k}^\bullet\)는 『대수곡선』의 보조정리 0BS2에 있는 복합체 \(\omega_{X_k}^\bullet\)와 동형이다(둘 다 같은 함자를 표현하므로 요네다 보조정리를 쓸 수 있지만, 실제로는 위의 주석들 때문에 성립한다). 따라서 코호몰로지 층 \(H^i(\omega_{X_k/k}^\bullet)\)는 \(i = 0, -1\)일 때에만 영이 아닐 수 있다. \(X_k\)가 코언–매콜리이고 차원 \(1\)의 등차원 스킴이면 \(H^{-1}\)만 남고, \(X_k\)가 또한 고렌슈타인이면 \(H^{-1}(\omega_{X_k/k})\)는 가역이다. 『대수곡선』의 보조정리 0BS3과 0BS6을 보라.

보조정리

\(X \to S\)를 차원 \(1\)의 등차원 코언–매콜리 섬유들을 갖는 곡선족이라 하자(보조정리 0E1F). 그러면 \(\omega_{X/S}^\bullet = \omega_{X/S}[1]\)이다. 여기서 \(\omega_{X/S}\)는 그 형성이 임의의 밑변환과 가환하는, \(S\) 위에서 평탄한 유사코히런트 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이다.

증명

체로 밑변환한 뒤 일어나는 일에 관한 위의 논의에서 이를 직접 유도해 보기를 독자에게 강력히 권한다. 여기서는 다소 번거롭게 뇌터 스킴의 경우로 환원하는 증명을 제시한다.

\(\omega_{X/S}^\bullet = \omega_{X/S}[1]\)이고 \(\omega_{X/S}\)가 \(S\) 위에서 평탄임을 보이고 나면, \(\omega_{X/S}^\bullet\)의 형성이 임의의 밑변환과 가환함을 이미 알고 있으므로 밑변환에 관한 명제가 따른다. 또한 \(\omega_{X/S}^\bullet\)가 정의상 유사코히런트이므로 유사코히런트성은 자동이다. 다른 코호몰로지 층들의 소멸과 평탄성은 에탈 국소적으로 확인할 수 있다. 따라서 \(S\)가 아핀이고 \(f : X \to S\)가 스킴의 사상이라고 가정해도 된다(위의 논의를 보라). 이를 \(\mathbf{Z}\) 위의 유한형 아핀 스킴 \(S_i\)들의 여과역극한 \(S = \lim S_i\)로 쓰자. \(\Curvesstack^{CM, 1}\)은 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이므로 \(\mathbf{Z}\) 위에서 국소 유한 표시이다(보조정리 0E1F와 0DSS를 보라). 따라서 당김이 \(X \to S\)인 곡선족 \(X_i \to S_i\)와 지표 \(i\)를 찾을 수 있다(『스택의 극한』의 보조정리 0CMV). 필요하면 \(i\)를 증가시켜 \(X_i\)가 스킴이라고 가정할 수 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 07SR를 보라. \(\omega_{X/S}^\bullet\)의 형성이 임의의 밑변환과 가환하므로 \(S\)를 \(S_i\)로 바꿀 수 있다. 이렇게 하여 \(S_i\)가 뇌터라고 가정한다. 그러면 섬유에 대한 가정에 의해 \(f\)는 명백히 코언–매콜리 사상이다 (『사상에 관한 추가 내용』의 정의 045R). 또한 『스킴의 쌍대성』의 절 0A9Y에서 \(f^!\)를 구성한 바로 그 방식에 의해 \(\omega_{X/S}^\bullet = f^!\mathcal{O}_S\)이다. 따라서 보조정리는 『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0C0Z에서 따른다.

정의

\(f : X \to S\)를 차원 \(1\)의 등차원 코언–매콜리 섬유들을 갖는 곡선족이라 하자(보조정리 0E1F). 보조정리 0E6P에서 연구한 \(\mathcal{O}_X\)-모듈 \[\omega_{X/S} = H^{-1}(\omega_{X/S}^\bullet)\] 을 \(f\)의 상대 쌍대화 층이라 한다.

정의 0E6Q의 상황에서 상대 쌍대화 층 \(\omega_{X/S}\)는 다음 성질을 갖는다(나아가 이 성질은 \(S\) 위에서 국소적으로 이를 특징짓는다). \(U = \Spec(A)\)가 아핀인 모든 밑변환 도식 \[\xymatrix{ X_U \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ U \ar[r]^g & S }\] 에 대해 모듈 \(\omega_{X_U/U} = (g')^*\omega_{X/S}\)는 함자 \[\QCoh(\mathcal{O}_{X_U}) \longrightarrow \text{Mod}_A,\quad \mathcal{F} \longmapsto \Hom_A(H^1(X, \mathcal{F}), A)\] 를 표현한다. 이는 위에서 준 상대 쌍대화 복합체의 해당 성질에서 즉시 따른다. 특히 \(A = k\)가 체이면 『대수곡선』의 보조정리 0BS2, 0BS3, 0BS6에서 도입하고 연구한 \(X_k\)의 쌍대화 모듈을 다시 얻는다.

보조정리

\(X \to S\)를 차원 \(1\)의 등차원 고렌슈타인 섬유들을 갖는 곡선족이라 하자(보조정리 0E6M). 그러면 상대 쌍대화 층 \(\omega_{X/S}\)는 그 형성이 임의의 밑변환과 가환하는 가역 \(\mathcal{O}_X\)-모듈이다.

증명

이는 위의 논의에 의해 상대 쌍대화 모듈을 섬유에 당긴 것이 가역이기 때문이다. 또는 보조정리 0E6P의 증명과 똑같이 논증하여 『스킴의 쌍대성』의 보조정리 0C08로부터 결과를 유도할 수 있다.

전안정 곡선

다음 정의는 일반적으로 받아들여지는 전안정 곡선족의 개념과 동치이다.

정의

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. 다음 조건을 만족하면 \(f\)를 전안정 곡선족이라 한다.

1. \(f\)는 상대 차원 \(1\)이고 특이점이 많아야 절점이다.

2. \(f_*\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_S\)이고, 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립한다¹.

\(X\)를 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴이라 하자. 그러면 \(X \to \Spec(k)\)는 곡선족이므로 정의의 의미에서 전안정인지 물을 수 있다². 정의를 풀어 쓰면 다음이 서로 동치이다.

1. \(X\)가 전안정이다.

2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이다.

3. \(X_{\overline{k}}\)가 연결이고 유한 개의 절점을 제외하면 \(\overline{k}\) 위에서 매끄럽다(『대수곡선』의 정의 0C1W).

이는 우리의 정의가 문헌에서 찾아볼 수 있는 대부분의 정의와 일치함을 보여 준다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{prestable} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{prestable}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 전안정 곡선족이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{prestable}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이다.

증명

곡선족 \(X \to S\)가 전안정인 것과 그 분류 사상이 \(\Curvesstack^{nodal}\)과 \(\Curvesstack^{h0, 1}\) 둘 모두를 통해 인수분해되는 것은 동치이다. 그 대신 \(\Curvesstack^{grc, 1}\)을 사용할 수도 있다(절점 곡선은 기하적으로 축약이므로 \(H^0\)가 바탕 체와 같은 것과 연결인 것이 동치이기 때문이다). 식으로 쓰면 \[\Curvesstack^{prestable} = \Curvesstack^{nodal} \cap \Curvesstack^{h0, 1} = \Curvesstack^{nodal} \cap \Curvesstack^{grc, 1}\] 이다. 따라서 보조정리 0E6I와 0DSY에서 결론이 따른다.

각 종수 \(g \geq 0\)에 대해 종수 \(g\)인 전안정 곡선을 분류하는 대수적 스택이 있다. 실제로 이제부터는 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 보조정리 0E6V의 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{prestable}_g\)를 통해 인수분해될 때, 그리고 그때에만 \(X \to S\)를 종수 \(g\)인 전안정 곡선족이라 하겠다.

보조정리

열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해 \[\Curvesstack^{prestable} = \coprod\nolimits_{g \geq 0} \Curvesstack^{prestable}_g\] 가 있고, 각 \(\Curvesstack^{prestable}_g\)는 다음과 같이 특징지어진다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{prestable}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 전안정 곡선족이고 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)가 계수 \(g\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{prestable}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수가 \(g\)이다.

증명

\(\Curvesstack^{prestable}\)이 \(\Curvesstack^{h0, 1}\)에 포함됨을 이미 보았으므로, 이는 보조정리 0E6U와 0E6K에서 따른다.

보조정리

사상 \(\Curvesstack^{prestable} \to \Spec(\mathbf{Z})\)와 \(\Curvesstack^{prestable}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 매끄럽다.

증명

\(\Curvesstack^{prestable}\)이 \(\Curvesstack^{nodal}\)의 열린 부분스택이므로 보조정리 0E00에서 따른다.

반안정 곡선

다음 보조정리는 반안정 곡선족을 이해하는 데 도움이 된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 종수 \(g \geq 1\)인 전안정 곡선족이라 하자. \(s \in S\)를 바탕 스킴의 한 점이라 하고 \(m \geq 2\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X_s\)는 유리 꼬리를 갖지 않는다 (『대수곡선』의 예제 0E3H).

2. 어떤 열린집합 \(s \in U \subset S\)에 대해 \(f^{-1}(U)\) 위에서 \(f^*f_*\omega_{X/S}^{\otimes m} \to \omega_{X/S}^{\otimes m}\)이 전사이다.

증명

(2)를 가정하자. 절 0E6N의 내용을 이용하면 \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\)이 대역적으로 생성됨을 알 수 있다. 그러나 \(C \subset X_s\)가 유리 꼬리이면 『대수곡선』의 보조정리 0E63에 의해 \(\deg(\omega_{X_s}|_C) < 0\)이고, 따라서 『다양체』의 보조정리 0B40에 의해 \(H^0(C, \omega_{X_s}|_C) = 0\)이다. 이는 대역적으로 생성된다는 사실과 모순이다. 이로써 (1)을 증명한다.

(1)을 가정하자. 먼저 \(g \geq 2\)라 하자. (1)에 의해 \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\)은 대역적으로 생성된다. 『대수곡선』의 보조정리 0E3L를 보라. 또한 쌍대성에 의해 \[\Hom_{\kappa(s)}(H^1(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes m}), \kappa(s)) = H^0(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes 1 - m})\] 이다. 『대수곡선』의 보조정리 0BS3을 보라. \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\)이 대역적으로 생성되므로 각 기약성분으로의 제한은 음이 아닌 차수를 갖는다. 따라서 \(\omega_{X_s}^{\otimes 1 - m}\)을 각 기약성분에 제한하면 차수가 양이 아니다. 리만–로흐 정리에 의해 \(\deg(\omega_{X_s}^{\otimes 1 - m}) = (1 - m)(2g - 2) < 0\)이므로 (『대수곡선』의 보조정리 0BS6), 『다양체』의 보조정리 0E22에 의해 위의 \(H^0\)는 영이다. 코호몰로지와 밑변환에 의해 \[E = Rf_*\omega_{X/S}^{\otimes m}\] 은 그 형성이 임의의 밑변환과 가환하는 완전 복합체이다 (『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0CTM). 위에서 증명한 소멸은 \(E \otimes^\mathbf{L} \kappa(s)\)가 차수 \(0\)에 놓인 \(H^0(X_s, \omega_{X_s}^{\otimes m})\)과 같다는 것을 말해 준다. \(S\)를 축소하면 \(E = f_*\omega_{X/S}^{\otimes m}\)은 차수 \(0\)에 놓인 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이고, 앞서 말했듯 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. 『대수공간의 유도 범주』의 보조정리 0E6A를 보라. 사상 \(f^*f_*\omega_{X/S}^{\otimes m} \to \omega_{X/S}^{\otimes m}\)은 \(X_s\)에 제한한 뒤 전사이다. 따라서 \(X_s\)의 어떤 열린 근방에서 전사이다. \(f\)가 고유이므로 이 열린 근방은 \(S\)에서 \(s\)의 어떤 열린 근방 \(U\)에 대한 \(f^{-1}(U)\)를 포함한다.

(1)과 \(g = 1\)을 가정하자. 『대수곡선』의 보조정리 0E3L에 의해 (1)은 \(\omega_{X_s}\)가 \(\mathcal{O}_{X_s}\)와 동형임을 뜻한다. \(S\)를 축소한 뒤 가역층 \(\omega_{X/S}\)가 자명해짐을 보일 수 있다면 끝난다. \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(S\)를 더 축소하면 더 이상의 밑변환과 양립하도록, 차수 \(0\)과 \(1\)에 놓인 복합체로 \[Rf_*\mathcal{O}_X = (\mathcal{O}_S \xrightarrow{0} \mathcal{O}_S)\] 라고 쓸 수 있다. 보조정리 0E1J를 보라. 쌍대성에 의해 이는 차수 \(0\)과 \(1\)에 놓인 복합체로 \[Rf_*\omega_{X/S} = (\mathcal{O}_S \xrightarrow{0} \mathcal{O}_S)\] 임을 뜻한다³. 특히 \(Rf_*\omega_{X/S}\)의 형성이 밑변환과 양립하므로(위에 준 참고문헌을 보라), 밑변환과 양립하는 동형사상 \(\mathcal{O}_S \to f_*\omega_{X/S}\)를 얻는다. 수반성에 의해 대역 절단 \(\sigma \in \Gamma(X, \omega_{X/S})\)를 얻는다. 이 절단을 섬유 \(X_s\)에 제한하면 영이 아니고(실제로 기저 원소이다), 섬유에서 \(\omega_{X_s}\)가 자명이므로 이 절단은 \(X_s\) 어디에서도 영이 아니다. 따라서 \(X_s\)의 어떤 열린 근방에서도 어디에서도 영이 아니다. \(f\)가 고유이므로 이 열린 근방은 \(S\)에서 \(s\)의 어떤 열린 근방 \(U\)에 대한 \(f^{-1}(U)\)를 포함한다.

보조정리 0E6Y에 착안하여 다음과 같이 정의한다.

정의

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. 다음 조건을 만족하면 \(f\)를 반안정 곡선족이라 한다.

1. \(X \to S\)가 전안정 곡선족이다.

2. 모든 \(s \in S\)에 대해 \(X_s\)의 종수가 \(\geq 1\)이고 유리 꼬리가 없다.

특히 종수 \(0\)인 전안정 곡선족은 반안정일 수 없다. \(X\)를 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴이라 하자. 그러면 \(X \to \Spec(k)\)는 곡선족이므로 반안정인지 물을 수 있다. 정의를 풀어 쓰면 다음이 서로 동치이다.

1. \(X\)가 반안정이다.

2. \(X\)가 전안정이고, 종수가 \(\geq 1\)이며, 유리 꼬리를 갖지 않는다.

3. \(X_{\overline{k}}\)가 연결이고, 유한 개의 절점을 제외하면 \(\overline{k}\) 위에서 매끄럽고, 종수가 \(\geq 1\)이며, \(X_{\overline{k}}\)의 나머지 부분과 오직 한 점에서 만나는 \(\mathbf{P}^1_{\overline{k}}\)와 동형인 기약성분을 갖지 않는다.

(2)와 (3)의 동치를 보려면 『대수곡선』의 보조정리 0E3L에 의해 \(X\)에 유리 꼬리가 없는 것과 \(X_{\overline{k}}\)에 유리 꼬리가 없는 것이 동치임을 사용한다. 이는 우리의 정의가 문헌에서 찾아볼 수 있는 대부분의 정의와 일치함을 보여 준다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{semistable} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{semistable}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 반안정 곡선족이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{semistable}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수가 \(\geq 1\)이며, \(X\)에는 유리 꼬리가 없다.

   3. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(m \geq 2\)에 대해 \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\)이 대역적으로 생성된다.

증명

(2)(b)와 (2)(c)의 동치는 『대수곡선』의 보조정리 0E3L이다. 나머지 증명에서는 정의 0E6Z에 따라 (2)(b)를 사용한다.

절 0E0E의 논의에 의해 전안정 곡선족 \(f : X \to S\)만 살펴보면 충분하다. 보조정리 0E6Y에서 해당 자취가 원하는 대로 열려 있음을 얻는다. 『대수곡선』의 보조정리 0E3L에 의해 유리 꼬리의 (비)존재 여부는 바탕 체의 확대에 영향을 받지 않으므로 이 열린집합의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

보조정리

열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해 \[\Curvesstack^{semistable} = \coprod\nolimits_{g \geq 1} \Curvesstack^{semistable}_g\] 가 있고, 각 \(\Curvesstack^{semistable}_g\)는 다음과 같이 특징지어진다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{semistable}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 반안정 곡선족이고 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)는 계수 \(g\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{semistable}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수가 \(g\)이며, \(X\)에는 유리 꼬리가 없다.

   3. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수가 \(g\)이며, \(m \geq 2\)에 대해 \(\omega_{X_s}^{\otimes m}\)이 대역적으로 생성된다.

증명

보조정리 0E70와 0E6V를 결합하면 된다.

보조정리

사상 \(\Curvesstack^{semistable} \to \Spec(\mathbf{Z})\)와 \(\Curvesstack^{semistable}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 매끄럽다.

증명

\(\Curvesstack^{semistable}\)이 \(\Curvesstack^{nodal}\)의 열린 부분스택이므로 보조정리 0E00에서 따른다.

안정 곡선

다음 보조정리는 안정 곡선족을 이해하는 데 도움이 된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 종수 \(g \geq 2\)인 전안정 곡선족이라 하자. \(s \in S\)를 바탕 스킴의 한 점이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(X_s\)는 유리 꼬리도 유리 다리도 갖지 않는다 (『대수곡선』의 예제 0E3H과 0E3M).

2. 어떤 열린집합 \(s \in U \subset S\)에 대해 \(\omega_{X/S}\)가 \(f^{-1}(U)\) 위에서 풍부하다.

증명

(2)를 가정하자. 그러면 \(\omega_{X_s}\)는 \(X_s\) 위에서 풍부하다. 『대수곡선』의 보조정리 0E63와 0E64에 의해 (1)이 성립한다 (『다양체』의 보조정리 0B5Y에 있는 풍부한 가역층의 특징화도 사용한다).

(1)을 가정하자. 그러면 『대수곡선』의 보조정리 0E3Q에 의해 \(\omega_{X_s}\)는 \(X_s\) 위에서 풍부하다. 『대수공간에서의 내림』의 보조정리 0D3D에서 결론이 따른다.

보조정리 0E74에 착안하여 다음과 같이 정의한다.

정의

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하자. 다음 조건을 만족하면 \(f\)를 안정 곡선족이라 한다.

1. \(X \to S\)가 전안정 곡선족이다.

2. 모든 \(s \in S\)에 대해 \(X_s\)의 종수가 \(\geq 2\)이고 유리 꼬리나 다리를 갖지 않는다.

특히 종수 \(0\) 또는 \(1\)인 전안정 곡선족은 안정일 수 없다. \(X\)를 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴이라 하자. 그러면 \(X \to \Spec(k)\)는 곡선족이므로 안정인지 물을 수 있다. 정의를 풀어 쓰면 다음이 서로 동치이다.

1. \(X\)가 안정이다.

2. \(X\)가 전안정이고, 종수가 \(\geq 2\)이며, 유리 꼬리도 유리 다리도 갖지 않는다.

3. \(X\)가 기하적으로 연결이고, 유한 개의 절점을 제외하면 \(k\) 위에서 매끄러우며, \(\omega_X\)가 풍부하다.

(2)와 (3)의 동치를 보려면 위의 보조정리 0E74을 사용한다. 이는 우리의 정의가 문헌에서 찾아볼 수 있는 대부분의 정의와 일치함을 보여 준다.

보조정리

다음 조건을 만족하는 열린 부분스택 \(\Curvesstack^{stable} \subset \Curvesstack\)이 존재한다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{stable}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 안정 곡선족이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{stable}\)을 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수가 \(\geq 2\)이며, \(X\)에는 유리 꼬리나 다리가 없다.

   3. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(\omega_{X_s}\)가 풍부하다.

증명

절 0E0E의 논의에 의해 전안정 곡선족 \(f : X \to S\)만 살펴보면 충분하다. 보조정리 0E74에서 해당 자취가 원하는 대로 열려 있음을 얻는다. 이 열린집합의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다. 실제로 『대수곡선』의 보조정리 0E3L와 0E3Q에 의해 유리 꼬리나 다리의 (비)존재 여부는 바탕 체의 확대에 영향을 받지 않으며, 또는 『내림』의 보조정리 0D2P에 의해 풍부성은 바탕 체의 확대에 영향을 받지 않는다.

정의

보조정리 0E76에서 도입한 안정 곡선족들을 매개화하는 대수적 스택 \(\Curvesstack^{stable}\)을 \(\overline{\mathcal{M}}\)으로 나타내고 안정 곡선의 모듈라이 스택이라 부른다. \(g \geq 2\)에 대해 보조정리 0E78에서 도입한 대수적 스택을 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)로 나타내고 종수 \(g\)인 안정 곡선의 모듈라이 스택이라 부른다.

다음은 빠뜨릴 수 없는 보조정리이다.

보조정리

열린 동시에 닫힌 부분스택들로의 분해 \[\overline{\mathcal{M}} = \coprod\nolimits_{g \geq 2} \overline{\mathcal{M}}_g\] 가 있고, 각 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 다음과 같이 특징지어진다.

1. 곡선족 \(f : X \to S\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(S \to \Curvesstack\)이 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X \to S\)가 안정 곡선족이고 \(R^1f_*\mathcal{O}_X\)는 계수 \(g\)인 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이다.

2. 체 \(k\) 위에서 고유하고 \(\dim(X) \leq 1\)인 스킴 \(X\)가 주어졌을 때 다음은 서로 동치이다.

   1. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \Curvesstack\)이 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)를 통해 인수분해된다.

   2. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수가 \(g\)이며, \(X\)에는 유리 꼬리나 다리가 없다.

   3. \(X\)의 특이점들이 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수가 \(g\)이며, \(\omega_{X_s}\)가 풍부하다.

증명

보조정리 0E76와 0E6V를 결합하면 된다.

보조정리

사상 \(\overline{\mathcal{M}} \to \Spec(\mathbf{Z})\)와 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 매끄럽다.

증명

\(\overline{\mathcal{M}}\)이 \(\Curvesstack^{nodal}\)의 열린 부분스택이므로 보조정리 0E00에서 따른다.

보조정리

스택 \(\overline{\mathcal{M}}\)과 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 \(\Curvesstack^{DM}\)의 열린 부분스택이다. 특히 \(\overline{\mathcal{M}}\)과 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 DM이고 (『스택의 사상』의 정의 050D), 들리뉴–멈퍼드 스택이기도 하다(『대수적 스택』의 정의 03YO).

증명

첫 번째 명제를 증명하자. \(X\)를 체 \(k\) 위에서 고유인 스킴이라 하자. 그 특이점들은 많아야 절점이고, \(\dim(X) = 1\)이며, \(k = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)이고, \(X\)의 종수는 \(\geq 2\)이며, \(X\)에는 유리 꼬리나 다리가 없다고 하자. 분류 사상 \(\Spec(k) \to \overline{\mathcal{M}} \to \Curvesstack\)이 \(\Curvesstack^{DM}\)을 통해 인수분해됨을 보여야 한다. 먼저 \(k\)를 그 대수적 폐포로 바꾸어도 된다(관련 스택들이 대수적 스택 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택임을 이미 알고 있기 때문이다). 보조정리 0E76, 0DSW, 0E6G에 의해 \(\text{Der}_k(\mathcal{O}_X, \mathcal{O}_X) = 0\)임을 보이면 충분하다. 이는 『대수곡선』의 보조정리 0E69에서 증명된다.

\(\Curvesstack^{DM}\)은 \(\Curvesstack\)의 DM인 가장 큰 열린 부분스택이므로, \(\Curvesstack^{DM}\)의 열린 부분스택 \(\overline{\mathcal{M}}\)에 대해서도 이것이 참임을 알 수 있다. 마지막으로 『스택의 사상』의 정리 06N3에 의해 DM 대수적 스택은 들리뉴–멈퍼드이다.

보조정리

\(g \geq 2\)라 하자. 포함관계 \[|\mathcal{M}_g| \subset |\overline{\mathcal{M}}_g|\] 의 왼쪽은 열린 조밀 부분집합이다.

증명

\(\overline{\mathcal{M}}_g \subset \Curvesstack^{lci+}\)가 열려 있고 \(\Curvesstack^{smooth} \cap \overline{\mathcal{M}}_g = \mathcal{M}_g\) 이므로 보조정리 0E86에서 즉시 따른다.

축약 사상

여기서 계속하기 전에 『대수곡선』의 절 0E3G, 0E7M, 0E7N의 내용에 익숙해지기를 독자에게 강력히 권한다. 이 절의 주된 결과는 “안정화” 사상 \[\Curvesstack^{prestable}_g \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g\] 의 존재이다. 보조정리 0E8B을 보라. 대략 말하면 이 사상은 종수 \(g\)인 절점 곡선의 모듈라이 점을 『대수곡선』의 보조정리 0E7Q에서 구성한 연관된 안정 곡선의 모듈라이 점으로 보낸다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(s \in S\)를 한 점이라 하자. \(f : X \to S\)와 \(g : Y \to S\)를 곡선족이라 하자. \(c : X \to Y\)를 \(S\) 위의 사상이라 하자. 만일 \(c_{s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_s}\)이고 \(R^1c_{s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\)이면, \(S\)를 \(s\)의 어떤 열린 근방으로 바꾼 뒤 \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\)이고 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)이며, 이는 임의의 사상 \(S' \to S\)로 밑변환한 뒤에도 참이다.

증명

에탈 근방 \((U, u) \to (S, s)\)을 택하여 \(\mathcal{O}_{Y_U} = (X_U \to Y_U)_*\mathcal{O}_{X_U}\)이고 \(R^1(X_U \to Y_U)_*\mathcal{O}_{X_U} = 0\)이며, \(U' \to U\)로 밑변환한 뒤에도 같은 사실이 참이라고 하자. 이제 \(S\)를 \(U \to S\)의 열린 상으로 바꾼다. \(S' \to S\)가 주어지면 \(U' = U \times_S S'\)라 두고 에탈 덮개 \(\{U' \to S'\}\)와 \(\{Y_{U'} \to Y_{S'}\}\)를 얻는다. 따라서 \(S' \to S\)에 의한 \(c\)의 밑변환에 대해 명제가 참이라는 사실은 \(U' \to U\)에 의한 \(X_U \to Y_U\)의 밑변환에 대해 명제가 참이라는 사실에서 따른다. 다시 말해 이 문제는 \(S\)의 에탈 위상에서 국소적이다. 그러므로 보조정리 0E6F에 의해 \(X\)와 \(Y\)가 스킴이라고 가정해도 된다. 『사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E7L에 의해 \(Y_s\)를 포함하는 열린 부분스킴 \(V \subset Y\)가 있어서 \(c_*\mathcal{O}_X|_V = \mathcal{O}_V\)이고 \(R^1c_*\mathcal{O}_X|_V = 0\)이며, 이는 임의의 \(S' \to S\)로 밑변환한 뒤에도 참이다. \(g : Y \to S\)가 고유이므로 \(g^{-1}(U) \subset V\)가 되는 \(s\)의 열린 근방 \(U \subset S\)를 찾을 수 있다. 이 \(U\)가 원하는 근방이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(s \in S\)를 한 점이라 하자. \(f : X \to S\)와 \(g_i : Y_i \to S\), \(i = 1, 2\)를 곡선족이라 하자. \(c_i : X \to Y_i\)를 \(S\) 위의 사상이라 하자. \(c_{1, s}\)와 \(c_{2, s}\)에 양립하는 섬유의 동형사상 \(Y_{1, s} \cong Y_{2, s}\)가 있다고 하자. 만일 \(c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_{1, s}}\)이고 \(R^1c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\)이면, \(s\)의 열린 근방 \(U\)와 \(U\) 위의 곡선족들의 동형사상 \(Y_{1, U} \cong Y_{2, U}\)가 존재하며, 이 동형사상은 주어진 섬유의 동형사상 및 \(c_1\), \(c_2\)와 양립한다.

증명

\(s\)의 아핀 근방 \(U\)들의 계에 대해 \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_S(U)\)임을 상기하자. 따라서 이 국소환 위의 유한 표시 대수공간들의 범주는 \(s\)의 아핀 근방 위의 유한 표시 대수공간들의 범주의 여과귀납극한이다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 07SK을 보라. 이렇게 하여 \(S\)가 국소환의 스펙트럼이고 \(s\)가 닫힌점인 경우로 환원한다.

\(S = \Spec(A)\)이고 \(A\)는 국소환이며 \(s\)는 닫힌점이라고 하자. 국소 뇌터 환 \(A_j\)(이를테면 \(\mathbf{Z}\) 위에서 본질적으로 유한형인 것)와 국소 전이 준동형을 사용하여 \(A = \colim A_j\)로 쓰자. 닫힌점 \(s_j\)를 갖는 \(S_j = \Spec(A_j)\)라 두자. 보조정리 0DSS와 『스택의 극한』의 보조정리 0CMV에 의해 어떤 \(j\)와 곡선족 \(X_j \to S_j\), \(Y_{j, i} \to S_j\)를 찾을 수 있다. 필요하면 \(j\)를 증가시켜, \(s\)로 밑변환했을 때 \(c_i\)가 되는 사상 \(c_{j, i} : X_j \to Y_{j, i}\)를 찾을 수 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 07SK을 보라. \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_j)\)이므로 마찬가지로 \(c_{j, 1, s_j}\)와 \(c_{j, 2, s_j}\)에 양립하는 동형사상 \(Y_{j, 1, s_j} \cong Y_{j, 2, s_j}\)가 있다고 가정해도 된다. 마지막으로 \(\{s_j \to s\}\)가 fpqc 덮개이고 이 덮개에 의한 \(c_{j, 1, s_j}\)의 바탕이 \(c_{1, s}\)이므로, 가정 \(c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_{1, s}}\)와 \(R^1c_{1, s, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\)은 \(c_{j, 1, s_j}\)에 유전된다 (세부사항은 생략한다). 이렇게 하여 다음 문단에서 논의할 경우로 보조정리를 환원한다.

\(S\)가 뇌터 국소환 \(\Lambda\)의 스펙트럼이고 \(s\)가 닫힌점이라고 하자. 다음 사상의 스킴론적 상 \(Z\)를 생각하자. \[(c_1, c_2) : X \longrightarrow Y_1 \times_S Y_2\] 보조정리의 명제는 사영 사상을 통해 \(Z\)가 \(Y_1\), \(Y_2\) 각각으로 동형적으로 사상된다는 주장과 동치이다. 이 사상의 스킴론적 상을 취하는 일은 평탄 밑변환과 가환하므로(『대수공간의 사상』의 보조정리 089E, \(\Lambda\)를 그 완비화로 바꿔도 된다(『대수학에 관한 추가 내용』의 절 07NU).

\(S\)가 완비 뇌터 국소환 \(\Lambda\)의 스펙트럼이라고 하자. 이 경우 \(X\), \(Y_1\), \(Y_2\)는 스킴이다(『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0AE7). \(X\), \(Y_1\), \(Y_2\)를 \(\Spec(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1})\)로 밑변환한 것을 각각 \(X_n\), \(Y_{1, n}\), \(Y_{2, n}\)으로 나타내자. 화살표 \[\Deformationcategory_{X_s \to Y_{2, s}} \cong \Deformationcategory_{X_s \to Y_{1, s}} \longrightarrow \Deformationcategory_{X_s}\] 가 동치임을 상기하자. 『변형 문제』의 보조정리 0E3X를 보라. 따라서 \(\Deformationcategory_{X_s \to Y_{1, s}}\)의 형식적 대상들의 동형사상 \((X_n \to Y_{1, n}) \cong (X_n \to Y_{2, n})\)이 있다. 마지막으로 그로텐디크의 대수화 정리(『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 0A42)에 의해 이는 \(c_1\), \(c_2\)와 양립하는 동형사상 \(Y_1 \to Y_2\)를 준다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 곡선족이라 하고 \(s \in S\)를 한 점이라 하자. \(h_0 : X_s \to Y_0\)를 \(\kappa(s)\) 위의 고유 스킴 \(Y_0\)로 가는 사상이라 하자. 만일 \(h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = \mathcal{O}_{Y_0}\)이고 \(R^1h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = 0\)이면, 기본 에탈 근방 \((U, u) \to (S, s)\), 곡선족 \(Y \to U\), 그리고 \(u\)에서의 섬유가 \(h_0\)와 동형인 \(U\) 위의 사상 \(h : X_U \to Y\)가 존재한다.

증명

먼저 몇 가지 환원을 하겠다. 독자에게 뒤로 건너뛰기를 권한다. 문제는 \(S\)에서 국소적이므로 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이를 \(\mathbf{Z}\) 위의 유한형 아핀 스킴 \(S_i\)들의 여과역극한 \(S = \lim S_i\)로 쓰자. 어떤 \(i\)에 대해 당김이 \(X \to S\)인 곡선족 \(X_i \to S_i\)를 찾을 수 있다. 이는 보조정리 0DSS와 『스택의 극한』의 보조정리 0CMV에서 따른다. \(s\)의 상을 \(s_i \in S_i\)라 하자. \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_i)\)이고 \(X_s\)가 스킴임을 관찰하자 (『체 위의 대수공간』의 보조정리 0ADD). \(i\)를 증가시키면 \(\kappa(s_i)\) 위의 유한형 스킴의 사상 \(h_{i, 0} : X_{i, s_i} \to Y_i\)가 존재하고, 이를 \(\kappa(s)\)로 밑변환하면 \(h_0\)가 된다고 가정할 수 있다. 『극한』의 보조정리 01ZM을 보라. \(i\)를 더 증가시켜 \(Y_i\)가 \(\kappa(s_i)\) 위에서 고유라고 가정할 수 있다. 『극한』의 보조정리 081F를 보라. 사영을 \(g_{i, 0} : Y_0 \to Y_{i, 0}\)이라 하자. 이는 \(\Spec(\kappa(s)) \to \Spec(\kappa(s_i))\)의 밑변환이므로 충실히 평탄한 사상이다. 평탄 밑변환에 의해 \[h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = g_{i, 0}^*h_{i, 0, *}\mathcal{O}_{X_{i, s_i}} \quad\text{그리고}\quad R^1h_{0, *}\mathcal{O}_{X_s} = g_{i, 0}^*Rh_{i, 0, *}\mathcal{O}_{X_{i, s_i}}\] 이다. 『스킴의 코호몰로지』의 보조정리 02KH를 보라. 충실한 평탄성에 의해 \(X_i \to S_i\), \(s_i \in S_i\), \(X_{i, s_i} \to Y_i\)는 보조정리의 모든 가정을 만족한다. 이로써 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원된다.

\(S\)가 \(\mathbf{Z}\) 위의 유한형 아핀 스킴이라고 하자. \(S\)의 \(s\)에서의 국소환의 헨젤화를 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)로 나타내자. 『대수학에 관한 추가 내용』의 보조정리 07QR과 명제 07PX에 의해 \(\mathcal{O}_{S, s}^h\)는 G-환이다. 곡선족 \(Y' \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\)와, 닫힌점으로 밑변환하면 \(h_0\)가 되는 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h)\) 위의 사상 \[h' : X \times_S \Spec(\mathcal{O}_{S, s}^h) \longrightarrow Y'\] 을 구성할 수 있다고 하자. 그러면 충분하다. 실제로 먼저 기본 에탈 근방들의 여과 범주에 대한 귀납극한으로 \[\mathcal{O}_{S, s}^h = \colim_{(U, u)} \mathcal{O}_U(U)\] 임을 사용한다(『사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 05KS). 그다음 위에서 준 참고문헌을 다시 사용하여, 주어진 \(Y'\)을 어떤 \(U\) 위의 \(Y \to U\)로 내릴 수 있다. 그런 다음 『극한』의 보조정리 01ZM을 사용하여 \(h'\)을 어떤 \(h\)로 내린다. 이로써 다음 문단에서 논의하는 경우로 환원된다.

\(S = \Spec(\Lambda)\)이고 \((\Lambda, \mathfrak m, \kappa)\)가 헨젤 뇌터 국소 G-환이며 \(s\)가 \(S\)의 닫힌점이라고 하자. 사상 \[\Deformationcategory_{X_s \to Y_0} \to \Deformationcategory_{X_s}\] 가 동치임을 상기하자. 『변형 문제』의 보조정리 0E3X를 보라. (이는 증명에서 유일하게 중요한 단계이고 나머지는 모두 기법이다.) 그 \(\mathfrak m\)-진 완비화를 \(\Lambda^\wedge\)로 나타내자. \(X\)를 \(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1}\)로 당긴 \(X_n\)들은 \(\Lambda^\wedge\) 위의 \(\Deformationcategory_{X_s}\)의 형식적 대상 \(\xi\)를 정의한다. 위의 동치에서 \(\Lambda^\wedge\) 위의 \(\Deformationcategory_{X_s \to Y_0}\)의 형식적 대상 \(\xi'\)을 얻는다. 따라서 다음과 같은 커다란 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & X_n \ar[r] \ar[d] & X_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & X_s \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & Y_n \ar[r] \ar[d] & Y_{n - 1} \ar[r] \ar[d] & \ldots \ar[r] & Y_0 \ar[d] \\ \ldots \ar[r] & \Spec(\Lambda/\mathfrak m^{n + 1}) \ar[r] & \Spec(\Lambda/\mathfrak m^n) \ar[r] & \ldots \ar[r] & \Spec(\kappa) }\] 『몫』의 보조정리 0D58에 의해 형식적 대상 \((Y_n)\)은 곡선족 \(Y' \to \Spec(\Lambda^\wedge)\)에서 온다. 『대수공간의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0A4Z에 의해 모든 \(n\)에 대해 주어진 사상 \(X_n \to Y_n\), 특히 주어진 사상 \(X_s \to Y_0\)를 유도하는 사상 \(h' : X_{\Lambda^\wedge} \to Y'\)을 얻는다.

증명을 끝내기 위해 표준적인 대수화/근사 논증을 사용한다. 먼저 유한 생성 \(\Lambda\)-부분대수 \(\Lambda \subset A \subset \Lambda^\wedge\), 곡선족 \(Y'' \to \Spec(A)\), 그리고 \(\Lambda^\wedge\)로의 밑변환이 \(h'\)인 \(A\) 위의 사상 \(h'' : X_A \to Y''\)를 찾을 수 있음을 관찰한다. 이는 \(\Lambda^\wedge\)가 이러한 환 \(A\)들의 여과귀납극한이기 때문이다. 앞에서와 같이 \(\Curvesstack\)이 국소 유한 표시라는 사실을 사용하여 논증할 수 있다(『스택의 극한』의 보조정리 0CMV는 \(A\) 위의 \(Y''\)을 준다). 그리고 『대수공간의 극한』의 보조정리 07SK을 사용하여 \(h'\)을 어떤 \(h''\)로 내린다. 그런 다음 G-환의 근사 성질을 『매끄러운 환 사상』의 정리 07QY의 형태로 적용하여, \(A \to \Lambda^\wedge\)에서 얻는 \(A \to \kappa\)와 같은 사상을 유도하는 사상 \(A \to \Lambda\)를 찾는다. \(h''\)을 \(\Lambda\)로 밑변환하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 종수 \(g \geq 2\)인 전안정 곡선족이라 하자. \(f\)의 인수분해 \(X \to Y \to S\)가 있어서 \(g : Y \to S\)는 안정 곡선족이고 \(c : X \to Y\)는 다음 성질을 갖는다.

1. \(\mathcal{O}_Y = c_*\mathcal{O}_X\)이고 \(R^1c_*\mathcal{O}_X = 0\)이며, 이는 임의의 사상 \(S' \to S\)로 밑변환한 뒤에도 참이다.

2. 임의의 \(s \in S\)에 대해 사상 \(c_s : X_s \to Y_s\)는 『대수곡선』의 절 0E7N에서 논의한 유리 꼬리와 다리의 축약이다.

더 나아가 \(c : X \to Y\)는 유일한 동형사상 아래 유일하다.

증명

\(s \in S\)라 하자. \(c_0 : X_s \to Y_0\)를 『대수곡선』의 절 0E7N의 축약이라 하자(더 정확히는 『대수곡선』의 보조정리 0E7Q). 보조정리 0E7C에 의해 기본 에탈 근방 \((U, u)\)와 \(U\) 위의 곡선족들의 사상 \(c : X_U \to Y\)가 존재하여 \(u\)에서의 섬유로 \(c_0\)를 되찾는다. \(\omega_{Y_0}\)가 풍부하므로, 필요하면 \(U\)를 축소하여 \(Y \to U\)가 종수 \(g\)인 안정 곡선족이라고 할 수 있다. 이는 보조정리 0E76와 0E78에 내재한 열린성에 따른다. 필요하면 \(U\)를 한 번 더 축소하여, 보조정리 0E88에 의해 \(c : X_U \to Y\)에 대해 이 보조정리의 주장 (1)이 성립하게 할 수 있다. 또한 『대수곡선』의 보조정리 0E7Q의 유일성에 의해 (2)도 성립한다. 따라서 보조정리와 같은 사상 \(c\)는 \(S\) 위에서 에탈 국소적으로 존재한다. 더 정확히 말해 에탈 덮개 \(\{U_i \to S\}\)와 \(U_i\) 위의 사상 \(c_i : X_{U_i} \to Y_i\)가 존재하며, \(Y_i \to U_i\)는 이 보조정리에 명시한 성질 (1), (2)를 갖는 안정 곡선족이다.

증명을 끝내려면 \(c : X \to Y\)가 유일한 동형사상 아래 유일함을 보이면 충분하다. 실제로 이를 보이면 동형사상 \[\varphi_{ij} : Y_i \times_{U_i} (U_i \times_S U_j) \longrightarrow Y_i \times_{U_j} (U_i \times_S U_j)\] 을 얻고, 이들은 \(U_i \times U_j \times U_k\) 위에서 유일성에 의해 코사이클 조건을 만족한다. \(\overline{\mathcal{M}_g}\)가 대수적 스택이므로 내림 데이터의 유효성이 성립하고 \(Y \to S\)를 얻는다. 사상 \(c_i\)들은 \(S\) 위의 사상 \(c : X \to Y\)로 내려간다. 마지막으로 \(c\)에 대한 성질 (1), (2)는 \(c_i\)에 대한 성질 (1), (2)에서 즉시 따른다.

마지막으로 \(c_1 : X \to Y_i\), \(i = 1, 2\)가 \(S\) 위의 안정 곡선족을 향하는, (1), (2)를 만족하는 두 사상이면 보조정리 0E89에 의해 적어도 \(S\) 위에서 국소적으로 \(c_1\), \(c_2\)와 양립하는 사상 \(Y_1 \to Y_2\)를 얻는다. 이 사상들이 유일함을 확인하는 과정은 생략한다(힌트: \(c_1\)의 스킴론적 상이 \(Y_1\)이라는 사실에서 따른다). 따라서 국소적으로 주어진 이 사상들은 붙고 증명이 끝난다.

보조정리

\(g \geq 2\)라 하자. \(\mathbf{Z}\) 위의 대수적 스택의 사상 \[stabilization : \Curvesstack^{prestable}_g \longrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g\] 이 존재하며, 이는 종수 \(g\)인 전안정 곡선족 \(X \to S\)를 보조정리 0E8A에서 연관시킨 안정 곡선족 \(Y \to S\)로 보낸다.

증명

이를 보이려면 보조정리 0E8A의 구성이 밑변환과 양립함을 확인하면 충분하다(동형사상과의 양립성은 즉시 알 수 있다). 『스택의 성질』의 절 04XA에서 도입한 대수적 스택에 관한 (관용적) 용어 사용을 보라. 이를 위해서는 보조정리 0E8A의 성질 (1), (2)가 밑변환 아래 안정적임을 확인하면 충분하다. (1)에 대해서는 즉시 분명하다. (2)에 대해서는 『대수곡선』의 보조정리 0E3L와 0E3Q의 축약이 바탕 체의 확대 아래 안정적이라는 사실에서 따르거나, 『대수곡선』의 보조정리 0E7Q에서 섬유 위의 사상을 특징짓는 조건들이 바탕 체의 확대 아래 보존된다는 사실에서 따른다.

안정 축소 정리

반안정 축소에 관한 장에서 곡선의 반안정 축소에 관한 유명한 정리를 증명했다. \(K\)를 이산 값매김환 \(R\)의 분수체라 하자. \(C\)를 \(K\) 위의 사영 매끄러운 곡선이고 \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)인 것이라 하자. 『반안정 축소』의 정의 0CDH에 따라, 일반 섬유가 \(C\)인 \(R\) 위의 전안정 곡선족이 존재하거나, \(R\) 위의 \(C\)의 어떤(동치이게는 모든) 최소 정칙 모형이 전안정이면 \(C\)가 반안정 축소를 갖는다고 한다. 이 절에서는 종수 \(g \geq 2\)인 곡선에 대해 이것이 안정 축소와도 동치임을 보인다.

보조정리

\(R\)을 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이라 하자. \(C\)를 \(K\) 위의 매끄러운 사영 곡선이고 \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)이며 종수가 \(g \geq 2\)인 것이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(C\)가 반안정 축소를 갖는다 (『반안정 축소』의 정의 0CDH).

2. 일반 섬유가 \(C\)인 \(R\) 위의 안정 곡선족이 존재한다.

증명

안정 곡선족은 전안정이기도 하므로 (2)에서 (1)이 즉시 따른다. 거꾸로 일반 섬유가 \(C\)인 \(R\) 위의 전안정 곡선족이 주어지면, 보조정리 0E8A에 의해 이를 안정 곡선족으로 축약할 수 있다. 일반 섬유는 이미 안정이므로 이 절차에서 변하지 않으며 증명이 끝난다.

다음 보조정리는 보조정리 0E8D에서 약속한 \(R\) 위의 안정 곡선족이 유일한 동형사상 아래 유일함을 말해 준다.

보조정리

\(R\)을 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이라 하자. \(C\)를 \(K\) 위의 매끄러운 고유 곡선이고 \(K = H^0(C, \mathcal{O}_C)\)이며 종수가 \(g\)인 것이라 하자. \(X\)와 \(X'\)이 \(C\)의 모형이고(『반안정 축소』의 절 0C2R), \(X\)와 \(X'\)이 \(R\) 위의 종수 \(g\)인 안정 곡선족이면, 모형의 유일한 동형사상 \(X \to X'\)이 존재한다.

증명

\(Y\)를 \(C\)의 최소 모형이라 하자. \(Y\)는 존재하고 유일하며 \(R\) 위에서 상대 차원 \(1\)이고 특이점이 많아야 절점임을 상기하자. 『반안정 축소』의 명제 0C2W과 보조정리 0C6B, 0CDG을 보라(마지막 보조정리는 \(X\)가 있으므로 적용할 수 있다). 축약 사상 \[Y \longrightarrow Z\] 이 있어서 \(Z\)는 \(R\) 위의 종수 \(g\)인 안정 곡선족이다 (보조정리 0E8A). 모형의 유일한 동형사상 \(X \to Z\)가 있다고 주장한다. 대칭성에 의해 \(X'\)에 대해서도 같고, 이로써 증명이 끝난다.

『반안정 축소』의 보조정리 0CDE에 의해 사상들의 열 \[X_m \to \ldots \to X_1 \to X_0 = X\] 이 존재한다. 여기서 \(X_{i + 1} \to X_i\)는 \(X_i\)가 특이인 닫힌점 \(x_i\)에서의 부풀리기이고, \(X_i \to \Spec(R)\)은 상대 차원 \(1\)이며 특이점이 많아야 절점이고, \(X_m\)은 정칙이다. 『반안정 축소』의 보조정리 0CD9에 의해 \(C\)의 고유 정칙 모형들의 열 \[X_m = Y_n \to Y_{n - 1} \to \ldots \to Y_1 \to Y_0 = Y\] 이 존재하며, 각 사상은 제1종 예외곡선의 축약이다⁴. 『반안정 축소』의 보조정리 0CDF에 의해 각 \(Y_i\)는 \(R\) 위에서 상대 차원 \(1\)이고 특이점이 많아야 절점이다. 이 주장을 증명하려면 사상 \(X_m \to X\) 및 \(X_m = Y_n \to Y \to Z\)와 양립하는 동형사상 \(X \to Z\)가 있음을 보이면 충분하다. \(s \in \Spec(R)\)을 닫힌점이라 하자. 보조정리 0E89 또는 보조정리 0E8A에 의해, 사상 \(X_{m, s} \to X_s\)와 \(X_{m, s} \to Z_s\)가 둘 다 『대수곡선』의 보조정리 0E7Q에 있는 표준 사상과 같음을 증명하는 문제로 환원된다.

\(\kappa(s)\) 위의 스킴의 사상 \(c : U \to V\)가 \(v \in V\)에 대해 \(\dim(U_v) \leq 1\)이고, \(\mathcal{O}_V = c_*\mathcal{O}_U\)이며, \(R^1c_*\mathcal{O}_U = 0\)이면 \(c\)가 성질 (*)를 갖는다고 하자. 이 성질은 합성 아래 안정적이다. \(X_s\)와 \(Z_s\)는 둘 다 \(\kappa(s)\) 위의 종수 \(g\)인 안정 곡선이므로, 각 사상 \(Y_s \to Z_s\), \(X_{i + 1, s} \to X_{i, s}\), \(Y_{i + 1, s} \to Y_{i, s}\)가 성질 (*)를 만족함을 보이면 충분하다. 『대수곡선』의 보조정리 0E7Q를 보라.

\(Y_s \to Z_s\)는 구성에 의해 성질 (*)를 갖는다.

사상 \(c : X_{i + 1, s} \to X_{i, s}\)는 『반안정 축소』의 보조정리 0CDE의 증명에서 구성하고 연구했다. (*)는 \(X_{i, s}\) 위에서 에탈 국소적으로 확인하면 충분하다. 따라서 『반안정 축소』의 예제 0CDC에 있는 사상 “\(X_1 \to X_0\)”을 \(R/\pi R\)로 밑변환한 것에 대해 (*)를 확인하면 충분하다. 구체적인 계산은 독자에게 남긴다.

사상 \(c : Y_{i + 1, s} \to Y_{i, s}\)는 제1종 예외곡선 \(E \subset Y_{i + 1}\)의 내리불기의 제한이다. 즉 \(b : Y_{i + 1} \to Y_i\)는 \(E\)의 축약이며, 다시 말해 \(b\)는 곡면 \(Y_i\)의 정칙점에서의 부풀리기이다(『곡면의 특이점 해소』의 절 0C2I). 그러면 예를 들어 『곡면의 특이점 해소』의 보조정리 0AGS에 의해 \(\mathcal{O}_{Y_i} = b_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1}}\)이고 \(R^1b_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1}} = 0\)이다. 『사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E7F, 0E7G, 0E7I에 의해 \(\mathcal{O}_{Y_{i, s}} = c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}}\)이고 \(R^1c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}} = 0\)이라고 결론 내린다 (마지막 보조정리는 \(\mathcal{O}_{Y_{i, s}} \to c_*\mathcal{O}_{Y_{i + 1, s}}\)의 전사성만 주지만, \(Y_{i, s}\)가 축약이고 \(c\)가 한 닫힌점 위에서만 대상을 바꾼다는 사실로부터 단사성은 쉽게 따른다). 이로써 증명이 끝난다.

보조정리 0E8D과 『반안정 축소』의 정리 0CDN에서 안정 축소 정리를 즉시 얻는다.

정리

\(R\)을 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이라 하자. \(C\)를 \(K\) 위의 매끄러운 사영 곡선이고 \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = K\)이며 종수가 \(g \geq 2\)인 것이라 하자. 그러면

1. 분수체의 유한 분리 확대 \(K'/K\)를 유도하는 이산 값매김환의 확대 \(R \subset R'\)과, \(K'\) 위에서 \(Y_{K'} \cong C_{K'}\)인 종수 \(g\)의 안정 곡선족 \(Y \to \Spec(R')\)가 존재한다.

2. 유한 분리 확대 \(L/K\)와 종수 \(g\)의 안정 곡선족 \(Y \to \Spec(A)\)가 존재한다. 여기서 \(A \subset L\)은 \(L\) 안에서 \(R\)의 정수적 폐포이고, \(L\) 위에서 \(Y_L \cong C_L\)이다.

증명

(1)은 보조정리 0E8D과 『반안정 축소』의 정리 0CDN의 즉각적인 귀결이다.

(2)를 증명하자. \(L/K\)를 『반안정 축소』의 정리 0CDN의 (3)에서 찾은 유한 분리 확대라 하자. \(A \subset L\)을 \(R\)의 정수적 폐포라 하자. \(A\)는 \(R\) 위에서 유한이고 극대 아이디얼이 유한 개 \(\mathfrak m_1, \ldots, \mathfrak m_n\)인 데데킨트 정역임을 상기하자. 『대수학에 관한 추가 내용』의 주석 09E8을 보라. \(S = \Spec(A)\), \(S_i = \Spec(A_{\mathfrak m_i})\), \(U = \Spec(L)\), \(U_i = S_i \setminus \{\mathfrak m_i\}\)라 두자. \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(U \cong U_i\)임을 관찰하자. \(X = C_L\)을 \(S\)의 열린 부분스킴 \(U\) 위의 스킴으로 보자. \(L\)과 \(A\)를 택한 방식 및 보조정리 0E8D에 의해 안정 곡선족 \(X_i \to S_i\)와 동형사상 \(X \times_U U_i \cong X_i \times_{S_i} U_i\)가 있다. 『대수공간의 극한』의 보조정리 0E92에 의해 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(S_i\)로 밑변환하면 \(X_i\)와 동형이 되는 유한 표시 사상 \(Y \to S\)를 찾을 수 있다. 또는 \(S = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} S_i\)가 \(S\)의 열린 덮개이고 \(i \not = j\)에 대해 \(S_i \cap S_j = U\)임을 사용하여, 『대수공간의 극한』의 보조정리 0E8Z을 \(n - 1\)번 적용하면 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(S_i\)로 밑변환한 것이 \(X_i\)와 동형인 \(Y \to S\)를 얻는다. 분명히 \(Y \to S\)가 찾던 안정 곡선족이다.

안정 곡선 스택의 성질

이 절에서는 \(g \geq 2\)에 대해 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)의 기본 구조 정리를 증명한다.

보조정리

\(g \geq 2\)라 하자. 스택 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 분리이다.

증명

이 명제는 사상 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 분리라는 뜻이다. 이를 『스택의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E95에 서술된 정교한 뇌터 값매김 판정법을 사용하여 증명한다.

\(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 \(\Curvesstack\)의 열린 부분스택이므로 보조정리 0DSS에 의해 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)는 준분리이고 국소 유한 표시이다. 특히 스택 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 국소 뇌터이다 (『스택의 사상』의 보조정리 06R6). 보조정리 0E87에 의해 열린 몰입 \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\)의 상은 조밀하다. 또한 \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\)는 준콤팩트이고 (『스택의 사상』의 보조정리 0CPM), 따라서 유한형이다. 그러므로 『스택의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0E95의 모든 예비 가정은 사상 \[\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g \quad\text{그리고}\quad \overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\] 에 대해 만족된다. 따라서 다음을 확인하면 충분하다. 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환 \(R\)을 포함하는 임의의 \(2\)-가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{M}_g \ar[r] & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(R) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 이 주어졌을 때, 점선 화살표들의 범주는 공집합이거나 정확히 하나의 동형사상류를 갖는 세토이드이다(\(2\)-화살표에 관해서는 크게 걱정할 필요가 없음에 유의하라. 『스택의 사상』의 보조정리 0CLD를 보라). \(\mathcal{M}_g\), 각각 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)가 종수 \(g\)인 매끄러운, 각각 안정 곡선족을 매개화하는 대수적 스택임을 사용하여 이 명제의 뜻을 풀어 쓰면, 증명해야 할 것은 보조정리 0E97에 서술하고 증명한 유일성 결과와 정확히 같음을 알 수 있다.

보조정리

\(g \geq 2\)라 하자. 스택 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 준콤팩트이다.

증명

절 0DPY의 표기를 사용하겠다. 다음 두 성질을 만족하며 \(\xi\)를 표현하는 체 \(k\)와 \(k\) 위의 쌍 \((X, \mathcal{L})\)이 존재하는 점 \(\xi\)들의 부분집합을 \[T \subset |\textit{PolarizedCurves}|\] 라 하자.

1. \(X\)가 종수 \(g\)인 안정 곡선이다.

2. \(\mathcal{L} = \omega_X^{\otimes 3}\)이다.

분명히 연속 사상 \[|\textit{PolarizedCurves}| \longrightarrow |\Curvesstack|\] 아래에서 집합 \(T\)의 상은 정확히 열린 부분집합 \[|\overline{\mathcal{M}}_g| \subset |\Curvesstack|\] 이다. 따라서 \(T\)가 준콤팩트임을 보이면 충분하다. 보조정리 0DPZ에 의해 \[|\textit{PolarizedCurves}| \subset |\Polarizedstack|\] 은 열린 동시에 닫힌 몰입이다. 따라서 \(|\Polarizedstack|\)의 부분집합으로서 \(T\)가 준콤팩트임을 증명하면 충분하다. 이를 위해 『모듈라이 스택』의 보조정리 0E96의 판정법을 사용한다. 먼저 위와 같은 \((X, \mathcal{L})\)에 대해 힐베르트 다항식 \(P\)는 리만–로흐 정리에 의해 \(P(t) = (6g - 6)t + (1 - g)\)임을 관찰하자. 『대수곡선』의 보조정리 0BS6을 보라. 다음으로 『대수곡선』의 보조정리 0E8X에 의해 \(H^1(X, \mathcal{L}) = 0\)이고 \(\mathcal{L}\)이 매우 풍부함을 관찰하자. 이는 정확히 \(n = P(3) - 1\)일 때 닫힌 몰입 \[i : X \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] 이 있어서 원하는 대로 \(\mathcal{L} = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(1)\)임을 뜻한다.

다음은 이 절의 주정리이다.

정리

\(g \geq 2\)라 하자. 대수적 스택 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)는 들리뉴–멈퍼드 스택이고 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위에서 고유하고 매끄럽다. 또한 매끄러운 곡선을 매개화하는 자취 \(\mathcal{M}_g\)는 조밀한 열린 부분스택이다.

증명

명제에서 언급한 성질 대부분은 이미 증명했다. 매끄러움은 보조정리 0E79이고, 들리뉴–멈퍼드라는 사실은 보조정리 0E7A이며, \(\mathcal{M}_g\)의 열린성은 보조정리 0E87이다. 보조정리 0E9A에 의해 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 분리임을 알고, 보조정리 0E9B에 의해 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)가 준콤팩트임을 안다. 따라서 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 고유임을 보여 증명을 끝내기 위해, 『스택의 사상에 관한 추가 내용』의 보조정리 0CQM를 사상 \(\mathcal{M}_g \to \overline{\mathcal{M}}_g\)와 \(\overline{\mathcal{M}}_g \to \Spec(\mathbf{Z})\)에 적용할 수 있다. 따라서 다음을 확인하면 충분하다. 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환 \(A\)를 포함하는 임의의 \(2\)-가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d]_j & \mathcal{M}_g \ar[r] & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] & & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 이 주어졌을 때, 체의 확대 \(K'/K\)와 \(A\)를 지배하는 값매김환 \(A' \subset K'\)이 존재하여 유도된 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r] \ar[d]_{j'} & \overline{\mathcal{M}}_g \ar[d] \\ \Spec(A') \ar[r] \ar@{..>}[ru] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 의 점선 화살표들의 범주가 공집합이 아니다(『스택의 사상』의 정의 0CLA). (\(2\)-화살표에 관해서는 크게 걱정할 필요가 없음에 유의하라. 『스택의 사상』의 보조정리 0CLD를 보라.) \(\mathcal{M}_g\), 각각 \(\overline{\mathcal{M}}_g\)가 종수 \(g\)인 매끄러운, 각각 안정 곡선족을 매개화하는 대수적 스택임을 사용하여 이 명제의 뜻을 풀어 쓰면, 증명해야 할 것은 안정 축소 정리, 즉 정리 0E98에 포함된 결과와 정확히 같음을 알 수 있다.