局所コホモロジー

序論

本章では局所コホモロジーの研究を続ける。参考文献として [SGA2] がある。局所コホモロジーの定義は Dualizing Complexes, 第 0952 節にある。 Noether 環について局所コホモロジーを取ることは、適切な捩れ関手を導来することと同じである。これは Dualizing Complexes, 第 0BJD 節で示されている。深さとの関係については Dualizing Complexes, 第 0AVY 節を参照されたい。

局所コホモロジーの有限性を論じ、それを用いて Grothendieck の有限性定理のかなり一般的な形を証明する。定理 0BJV および補題 0BJY（開埋め込みに沿う連接加群の高次順像）を参照されたい。我々の方法には、Faltings の論文に見られるいくつかの非常に洗練された議論を取り入れる。[Faltings-annulators] および [Faltings-finiteness] を参照されたい。

応用として Hartshorne–Lichtenbaum 消滅を論じる。また、局所コホモロジーに対する Frobenius および微分作用素の作用も扱う。

一般事項

次の補題は、関手 \(R\Gamma_Z\) が台付きコホモロジーと関係することを述べる。

補題

\(A\) を環、\(I\) を有限生成イデアルとする。 \(Z = V(I) \subset X = \Spec(A)\) とおく。\(K \in D(A)\) が Derived Categories of Schemes, 補題 06Z0 を通じて \(\widetilde{K} \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\) に対応するとき、関手的同型 \[R\Gamma_Z(K) = R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})\] がある。左辺は Dualizing Complexes, 式 (0A6Q) のものであり、右辺は Cohomology, 第 0G6Y 節の関手である。

証明

Cohomology, 補題 0G71 により、区別三角形 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})[1]\] が存在する。ここで \(U = X \setminus Z\) である。Derived Categories of Schemes, 補題 06Z0 により \(R\Gamma(X, \widetilde{K}) = K\) であることが分かっている。 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) と書く。このとき有限アフィン開被覆 \(\mathcal{U} : U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\) を得る。 Derived Categories of Schemes, 補題 08D2 により、交代 Čech 複体 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \widetilde{K^\bullet}))\) は \(R\Gamma(U, \widetilde{K})\) を計算する。ここで \(K^\bullet\) は任意の \(A\)-加群の複体であって \(K\) を表す。定義を展開すると \[R\Gamma(U, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (\prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] を得る。 \(K^\bullet = R\Gamma(X, \widetilde{K^\bullet}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}^\bullet)\) は、\(A\) から \(\prod A_{f_i}\) への対角写像によって誘導されることが明らかである。したがって \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] を得る。Dualizing Complexes, 補題 0A6R により、右辺の複体は \(R\Gamma_Z(K)\) を計算するので、与えられた \(K\) に対して補題が成り立つ。

最後に、この同型を \(K\) について関手的に選べることを示す。 \(A\)-加群の複体の写像 \[M^\bullet = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right) \longrightarrow K^\bullet\] を考える。上の議論により、この矢印は関手 \(R\Gamma_Z(X, \widetilde{\ })\) を適用すると同型になり、また \(R\Gamma(U, \widetilde{M}^\bullet) = 0\) である（詳細は省略する）。すると \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}^\bullet) \leftarrow R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}^\bullet) \rightarrow R\Gamma(X, \widetilde{M}^\bullet) = M^\bullet = R\Gamma_Z(K^\bullet)\] を得る。すべての写像は \(D(A)\) における同型であり、所望どおり \(K^\bullet\) について関手的である。

補題

\(A\) を環、\(I \subset A\) を有限生成イデアルとする。 \(X = \Spec(A)\)、\(Z = V(I)\)、\(U = X \setminus Z\) とおき、\(j : U \to X\) を包含射とする。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。このとき

\(A\)-加群 \(M\) が存在し、\(\mathcal{F}\) は \(\widetilde{M}\) の \(U\) への制限である。

\(M\) が与えられると完全列 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] および同型 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\) が \(p \geq 1\) に対してある。

\(M = H^0(U, \mathcal{F})\) と取ることができ、この場合 \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\) である。

証明

\(M\) の存在は Properties, 補題 01PE と、 \(X\) 上の準連接層が \(A\)-加群に対応するという事実（Schemes, 補題 01IB）から従う。次に区別三角形 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(U, \widetilde{M}|_U) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{M})[1]\] を考える。これは Cohomology, 補題 0G71 の三角形である。 \(X\) はアフィンなので、Cohomology of Schemes, 補題 01XB により \(R\Gamma(X, \widetilde{M}) = M\) である。\(M\) の選び方から \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\) であり、したがって完全列 \[0 \to H^0_Z(X, \widetilde{M}) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(X, \widetilde{M}) \to 0\] および同型 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(X, \widetilde{M})\) を \(p \geq 1\) に対して得る。補題 0A6T により \(H^i_Z(M) = H^i_Z(X, \widetilde{M})\) であり、これはすべての \(i\) に対して成り立つ。したがって (1) と (2) が成り立つ。最後に \(M' = H^0(U, \mathcal{F})\) とおくと、\(M \to M'\) の核と余核は \(I\)-冪捩れである。よって \(\widetilde{M}|_U \to \widetilde{M'}|_U\) は同型であり、(3) のとおり \(M'\) を用いることができる。もちろん、このとき \(H^0_Z(M')\) と \(H^0_Z(M')\) はともに零となる。

補題

\(I, J \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。 \(M\) が \(I\)-冪捩れ加群ならば、標準写像 \[H^i_{V(I) \cap V(J)}(M) \to H^i_{V(J)}(M)\] はすべての \(i\) に対して同型である。

証明

Dualizing Complexes, 補題 0BJC のスペクトル系列を用いると、主張は \(R\Gamma_I(M) = M\) に帰着する。これは Dualizing Complexes, 第 0952 節における局所コホモロジーの構成から直ちに従う。

補題

\(S \subset A\) を環 \(A\) の乗法的集合とする。 \(M\) を \(A\)-加群とし、\(S^{-1}M = 0\) と仮定する。このとき \(\colim_{f \in S} H^0_{V(f)}(M) = M\) および \(\colim_{f \in S} H^1_{V(f)}(M) = 0\) である。

証明

\(H^0\) に関する主張は定義から直ちに従う。\(H^1\) に関する主張については、 \(R\Gamma_{V(f)}\) と \(H^1_{V(f)}\) が余極限と可換であることに注意する。したがって、\(M\) はある \(f \in S\) により零化されると仮定してよい。このとき \(H^1_{V(ff')}(M) = 0\) がすべての \(f' \in S\) に対して成り立つ（例えば補題 0DWS による）。

補題

\(I \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。\(\mathfrak p\) を素イデアル、 \(M\) を \(A\)-加群とする。整数 \(i \geq 0\) に対して写像 \[\Psi : \colim_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} H^i_{V((I, f))}(M) \longrightarrow H^i_{V(I)}(M)\] を考える。このとき

\(\Im(\Psi)\) は \(H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p\) において零に写る元の集合である。

\(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\) ならば \(\Psi\) は単射である。

\(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\) ならば \(\Psi\) は同型である。

証明

\(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\) に対して、Dualizing Complexes, 補題 0BJC のスペクトル系列は退化し、短完全列 \[0 \to H^1_{V(f)}(H^{i - 1}_{V(I)}(M)) \to H^i_{V((I, f))}(M) \to H^0_{V(f)}(H^i_{V(I)}(M)) \to 0\] を与える。これで (1) が証明され、(2) はこのことと補題 0DWT から従う。(3) は形式的な帰結である。

補題

\(I \subset I' \subset A\) を Noether 環 \(A\) の有限生成イデアルとする。 \(M\) を \(A\)-加群とし、\(i \geq 0\) を整数とする。写像 \[\Psi : H^i_{V(I')}(M) \to H^i_{V(I)}(M)\] を考える。このとき次が成り立つ。

\(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) がすべての \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\) に対して成り立つならば、 \(\Psi\) は全射である。

\(H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) がすべての \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\) に対して成り立つならば、 \(\Psi\) は単射である。

\(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) がすべての \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\) に対して成り立つならば、 \(\Psi\) は同型である。

証明

(1) を証明する。\(\xi \in H^i_{V(I)}(M)\) とする。\(A\) は Noether 環なので、最大のイデアル \(I \subset I'' \subset I'\) が存在し、\(\xi\) はある \(\xi'' \in H^i_{V(I'')}(M)\) の像である。 \(V(I'') = V(I')\) ならば証明は終わる。そうでなければ、生成点 \(\mathfrak p \in V(I'')\) で \(V(I')\) に属さないものを選ぶ。仮定により \(H^i_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) である。補題 0DWU により \(I''\) を大きくできるが、これは最大性に反する。

(2) を証明する。\(\xi' \in H^i_{V(I')}(M)\) を \(\Psi\) の核の元とする。 \(A\) は Noether 環なので、最大のイデアル \(I \subset I'' \subset I'\) が存在し、 \(\xi'\) は \(H^i_{V(I'')}(M)\) において零に写る。 \(V(I'') = V(I')\) ならば証明は終わる。そうでなければ、生成点 \(\mathfrak p \in V(I'')\) で \(V(I')\) に属さないものを選ぶ。仮定により \(H^{i - 1}_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\) である。補題 0DWU により \(I''\) を大きくできるが、これは最大性に反する。

(3) は (1) と (2) から形式的に従う。

Hartshorne の連結性補題

この節の表題は次の結果を指す。

補題

\(A\) を深さ \(\geq 2\) の Noether 局所環とする。このとき \(A\)、\(A^h\)、 \(A^{sh}\) の穴あきスペクトルは連結である。

証明

\(U\) を \(A\) の穴あきスペクトルとする。\(U\) が非連結ならば、 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) は非自明な冪等元をもつ。しかし \(A\) は局所環なので非自明な冪等元をもたない。したがって \(A \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) は同型でない。補題 0DWR により、\(H^0_\mathfrak m(A)\) または \(H^1_\mathfrak m(A)\) のいずれかは零でない。ゆえに Dualizing Complexes, 補題 0AVZ により \(\text{depth}(A) \leq 1\) となる。 \(A^h\) と \(A^{sh}\) に対する結果には More on Algebra, 補題 06LL を用いればよい。

補題

\(A\) を鎖状かつ \((S_2)\) である Noether 局所環とする。このとき \(\Spec(A)\) は等次元である。

証明

\(X = \Spec(A)\) とおき、\(d = \dim(A) = \dim(X)\) とする。\(X\) の中で、 \(X_1\) を次元 \(d\) の既約成分の合併、\(X_2\) を次元 \(< d\) の既約成分の合併とする。もちろん \(X = X_1 \cup X_2\) である。\(X_2 = \emptyset\) ならば補題が成り立つ。そうでなければ \(Z = X_1 \cap X_2\) は \(X\) の閉点を少なくとも含むので、\(X\) の空でない閉部分集合である。したがって、\(z \in Z\) を \(Z\) のある既約成分の生成点として選べる。\(\mathcal{O}_{Z, z}\) のスペクトルは、\(X\) の点で \(z\) に特殊化するものの集合であることを思い出そう。\(z\) は次元 \(d\) の既約成分と次元 \(< d\) の既約成分の両方に含まれるので、非自明な特殊化 \(x_1 \leadsto z\) と \(x_2 \leadsto z\) を得て、\(x_1\) と \(x_2\) の閉包の次元は異なる。 \(X\) は鎖状なので、これは特殊化 \(x_1 \leadsto z\) と \(x_2 \leadsto z\) の少なくとも一方が直近でない場合にしか起こらない。したがって \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\) である。よって \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\) である。これは \(A\) が \((S_2)\) だからである。しかし \(U\) を \(\mathcal{O}_{Z, z}\) の穴あきスペクトルとすると非連結である。実際、閉部分集合 \(U \cap X_1\) と \(U \cap X_2\) は（\(z\) の選び方により）互いに素であり、\(U\) を被覆する。これは補題 0BLR に反し、証明が完了する。

コホモロジー次元

コホモロジー次元について簡単に述べる。

補題

\(I \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。 \(Y = V(I) \subset X = \Spec(A)\) とおき、\(d \geq -1\) を整数とする。次の条件は同値である。

\(H^i_Y(A) = 0\) が \(i > d\) に対して成り立つ。

\(H^i_Y(M) = 0\) が \(i > d\) に対して、任意の \(A\)-加群 \(M\) について成り立つ。

\(d = -1\) ならば \(Y = \emptyset\) であり、\(d = 0\) ならば \(Y\) は \(X\) の開かつ閉な部分集合であり、\(d > 0\) ならば \(H^i(X \setminus Y, \mathcal{F}) = 0\) が \(i \geq d\) に対して、任意の準連接 \(\mathcal{O}_{X \setminus Y}\)-加群 \(\mathcal{F}\) について成り立つ。

証明

\(R\Gamma_Y(-)\) のコホモロジー次元が有限であることに注意する。これは例えば Dualizing Complexes, 補題 0A6R による。したがって整数 \(i_0\) が存在し、\(H^i_Y(M) = 0\) がすべての \(A\)-加群 \(M\) および \(i \geq i_0\) に対して成り立つ。

(1) と (2) が同値であることを示す。(2) から (1) が従うことは明らかである。 (1) を仮定する。\(i > d\) に関する降下帰納法により、\(H^i_Y(M) = 0\) がすべての \(A\)-加群 \(M\) に対して成り立つことを示す。 \(i \geq i_0\) の場合は既に上で示した。帰納段階として \(i_0 > i > d\) とする。任意の \(A\)-加群 \(M\) を取り、これを短完全列 \(0 \to N \to F \to M \to 0\) に組み込む。ここで \(F\) は自由 \(A\)-加群である。 \(R\Gamma_Y\) は右随伴なので、\(H^i_Y(-)\) は直和と可換である。したがって仮定 (1) により \(H^i_Y(F) = 0\) である。実際、\(i > d\) である。すると所望どおり \(H^i_Y(M) = H^{i + 1}_Y(N) = 0\) を得る。

\(d = -1\) で (2) が成り立つと仮定する。このとき \(0 = H^0_Y(A/I) = A/I \Rightarrow A = I \Rightarrow Y = \emptyset\) である。したがって (3) が成り立つ。逆の証明は省略する。

\(d = 0\) で (2) が成り立つと仮定する。 \(J = H^0_I(A) = \{x \in A \mid I^nx = 0 \text{ を満たす }n > 0\text{ が存在する}\}\) とおく。このとき \[H^1_Y(A) = \Coker(A \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y})) \quad\text{および}\quad H^1_Y(I) = \Coker(I \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y}))\] であり、最初の写像の核は \(J\) に等しい。補題 0DWR を参照せよ。(2) から \(I(A/J) = A/J\) を得る。よって \(f \in I\) を選び、その像が \(1\) となるようにできる。ここで像は \(A/J\) において取る。すると \(1 - f \in J\) なので、\(I^n(1 - f) = 0\) となる \(n > 0\) が存在する。したがって \(f^n = f^{n + 1}\) であり、\(e = f^n \in I\) は冪等元である。補元となる冪等元 \(e' = 1 - f^n \in J\) を考える。任意の元 \(g \in I\) に対して \(g^m e' = 0\) となる \(m > 0\) がある。したがって \(I\) はイデアル \((e) \subset I\) の根基に含まれる。これは (3) のとおり \(Y = V(I) = V(e)\) が \(X\) において開かつ閉であることを意味する。逆に \(Y = V(I)\) が開かつ閉ならば、関手 \(H^0_Y(-)\) は完全であり、その高次導来関手は消滅する。

\(d > 0\) ならば、補題 0DWR から直ちに (2) と (3) が同値であることが分かる。

定義

\(I \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。整数 \(d \geq -1\) のうち補題 0DX7 の同値な条件を満たす最小のものを、 \(I\) の \(A\) におけるコホモロジー次元と呼び、\(\text{cd}(A, I)\) と書く。

したがって \(\text{cd}(A, I) = -1\) となるのは \(I = A\) の場合であり、 \(\text{cd}(A, I) = 0\) となるのは \(I\) が局所冪零であるか冪等元で生成される場合である。次の補題により \(\text{cd}(A, I)\) が存在することに注意する。

補題

\(I \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。このとき

\(\text{cd}(A, I)\) は \(I\) の生成元の個数以下である。

\(\text{cd}(A, I) \leq r\) は、\(f_1, \ldots, f_r \in A\) で \(V(f_1, \ldots, f_r) = V(I)\) を満たすものが存在するとき成り立つ。

\(\text{cd}(A, I) \leq c\) は、\(\Spec(A) \setminus V(I)\) が \(c\) 個のアフィン開集合で被覆できるとき成り立つ。

証明

\(R\Gamma_Y(-)\) の明示的な記述が Dualizing Complexes, 補題 0A6R にあり、これから (1) が従う。 (2) は、\(R\Gamma_Z\) が閉部分集合 \(Z\) のみに依存し、有限生成イデアル \(I \subset A\) で \(V(I) = Z\) を満たすものの選択には依存しないことを用いて (1) から導ける。この事実は、Dualizing Complexes, 第 0952 節における局所コホモロジーの構成と More on Algebra, 補題 0953 を組み合わせるか、補題 0A6T を用いれば従う。(3) には補題 0DX7 と Cohomology of Schemes, 補題 01XI の消滅結果を用いる。

補題

\(I, J \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。このとき \(\text{cd}(A, I + J) \leq \text{cd}(A, I) + \text{cd}(A, J)\) である。

証明

定義と Dualizing Complexes, 補題 0BJC を用いる。

補題

\(A \to B\) を環準同型、\(I \subset A\) を有限生成イデアルとする。このとき \(\text{cd}(B, IB) \leq \text{cd}(A, I)\) である。\(A \to B\) が忠実平坦ならば等号が成り立つ。

証明

定義と Dualizing Complexes, 補題 0ALZ を用いる。

補題

\(I \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。このとき \(\text{cd}(A, I) = \max \text{cd}(A_\mathfrak p, I_\mathfrak p)\) である。

証明

\(Y = V(I)\) および \(Y' = V(I_\mathfrak p) \subset \Spec(A_\mathfrak p)\) とする。等式 \(R\Gamma_Y(A) \otimes_A A_\mathfrak p = R\Gamma_{Y'}(A_\mathfrak p)\) が Dualizing Complexes, 補題 0ALZ により成り立つことを思い出そう。Algebra, 補題 00HN により結論を得る。

補題

\(I \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。\(M\) が有限 \(A\)-加群ならば、 \(H^i_{V(I)}(M) = 0\) が \(i > \dim(\text{Supp}(M))\) に対して成り立つ。特に \(\text{cd}(A, I) \leq \dim(A)\) である。

証明

まず第二の主張を証明する。\(\dim(A)\) は Krull 次元を表すことを思い出そう。補題 0DXB により \(A\) は局所環であると仮定してよい。 \(V(I) = \emptyset\) ならば結果は成り立つ。\(V(I) \not = \emptyset\) ならば、 \(\dim(\Spec(A) \setminus V(I)) < \dim(A)\) である。これは閉点を取り除いているからである。 \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\) はスペクトル空間 \(\Spec(A)\) の準コンパクト開部分集合なので、それ自身スペクトル空間であることに注意する。 Algebra, 補題 090M および Topology, 補題 0902 を参照せよ。したがって Cohomology, 命題 0A3G により \(H^i(U, \mathcal{F}) = 0\) が \(i \geq \dim(A)\) に対して成り立つ。補題 0DX7 により所望の結論が従う。Noether の場合には、読者は Grothendieck による Cohomology, 命題 02UZ を用いてもよい。

第二の主張から第一の主張を導く。\(\mathfrak a\) を有限 \(A\)-加群 \(M\) の零化イデアルとし、 \(B = A/\mathfrak a\) とおく。\(\Spec(B) = \text{Supp}(M)\) であることを思い出そう。 Algebra, 補題 00L2 を参照せよ。 \(J = IB\) とおく。このとき \(M\) は \(B\)-加群であり、 \(H^i_{V(I)}(M) = H^i_{V(J)}(M)\) である。Dualizing Complexes, 補題 0BJB を参照せよ。 \(\text{cd}(B, J) \leq \dim(B) = \dim(\text{Supp}(M))\) が前半で示したことから成り立つので、結論を得る。

補題

\(I \subset A\) を環 \(A\) の有限生成イデアルとする。 \(\text{cd}(A, I) = 1\) ならば \(\Spec(A) \setminus V(I)\) は空でないアフィンスキームである。

証明

これは補題 0DX7 と Cohomology of Schemes, 補題 01XF から従う。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を次元 \(d\) の Noether 局所環とする。このとき \(H^d_\mathfrak m(A)\) は零でなく、\(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\) である。

証明

次元の特徴付けの一つにより、\(A\) の定義イデアルで \(d\) 個の元で生成されるものが存在する。Algebra, 命題 00KQ を参照せよ。したがって \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \leq d\) が補題 0DX9 により成り立つ。よって \(H^d_\mathfrak m(A)\) が零でないこと、 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\) であること、および \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \geq d\) であることは互いに同値である。

\(A \to A^\wedge\) を \(A\) からその完備化への写像とする。 \(A^\wedge\) は \(A\) と同じ次元の Noether 局所環であり、極大イデアルは \(\mathfrak m A^\wedge\) であることに注意する。Algebra, 補題 0316, 031C、 00MC および More on Algebra, 補題 07NV を参照せよ。補題 0DXA により、\(A^\wedge\) に対して補題を示せば十分である。

前段落により \(A\) は完備局所環であると仮定してよい。このとき \(A\) は正規化された双対化複体 \(\omega_A^\bullet\) をもつ（Dualizing Complexes, 補題 0BFR）。局所双対定理（Dualizing Complexes, 補題 0AAK の形）により、\(H^d_\mathfrak m(A)\) は \(\text{Ext}^{-d}(A, \omega_A^\bullet) = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\) の Matlis 双対である。後者は例えば Dualizing Complexes, 補題 0A7V により零でない。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を Noether 局所環とする。\(I \subset A\) を真のイデアル、 \(\mathfrak p \subset A\) を素イデアルで \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\) を満たすものとする。このとき \(\dim(A/\mathfrak p) \leq \text{cd}(A, I)\) である。

証明

補題 0DXA により \(\text{cd}(A, I) \geq \text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p))\) である。 \(V(I) \cap V(\mathfrak p) = \{\mathfrak m\}\) なので \(\text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p)) = \text{cd}(A/\mathfrak p, \mathfrak m/\mathfrak p)\) である。補題 0DXE により、これは \(\dim(A/\mathfrak p)\) に等しい。

補題

\(A\) を Noether 環、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(b : X' \to X = \Spec(A)\) を \(I\) の爆破とする。\(b\) のファイバーの次元が \(\leq d - 1\) ならば、\(\text{cd}(A, I) \leq d\) である。

証明

\(U = X \setminus V(I)\) とおく。\(j : U \to X'\) を標準的な開埋め込みと書く。 Divisors, 第 01OF 節を参照せよ。例外因子は有効 Cartier 因子なので（Divisors, 補題 02OS）、\(j\) はアフィンである。 Divisors, 補題 07ZT を参照せよ。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。このとき \(R^pj_*\mathcal{F} = 0\) が \(p > 0\) に対して成り立つ。Cohomology of Schemes, 補題 01XC を参照せよ。一方、 \(R^qb_*(j_*\mathcal{F}) = 0\) が \(q \geq d\) に対して、Limits, 補題 0E7D により成り立つ。したがって Leray スペクトル系列（Cohomology, 補題 01F6）により \(R^n(b \circ j)_*\mathcal{F} = 0\) が \(n \geq d\) に対して成り立つ。ゆえに \(H^n(U, \mathcal{F}) = 0\) が \(n \geq d\) に対して成り立つ（Cohomology, 補題 01F4 による）。定義により、これは \(\text{cd}(A, I) \leq d\) を意味する。

より一般の台

\(A\) を Noether 環、\(M\) を \(A\)-加群とする。 \(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする（Topology, 定義 0061）。次のように定義する： \[H^0_T(M) = \colim_{Z \subset T} H^0_Z(M)\] ここで余極限は、閉部分集合 \(Z\)（空間 \(\Spec(A)\) の閉部分集合であって \(T\)¹ に含まれるもの）からなる有向半順序集合にわたって取る。言い換えると、元 \(m\)（加群 \(M\) の元）が \(H^0_T(M) \subset M\) に属することと、その台 \(V(\text{Ann}_R(m))\)（元 \(m\) の台）が \(T\) に含まれることは同値である。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(A\)-加群 \(M\) について、次の条件は同値である。

\(H^0_T(M) = M\) である。

\(\text{Supp}(M) \subset T\) である。

このような \(A\)-加群の圏は、\(A\)-加群の圏の Serre 部分圏であり、直和を取る操作で閉じている。

証明

この同値性は、\(M\) の元の台が \(M\) の台に含まれ、逆に \(M\) の台がその各元の台の和集合に等しいことによる。これらの加群の圏は Serre 部分圏（Homology, 定義 02MO）を \(\text{Mod}_A\) の中でなす。これは Algebra, 補題 00L3 による。直和についての主張の証明は省略する。

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(\text{Mod}_{A, T} \subset \text{Mod}_A\) により補題 0EEZ の Serre 部分圏を表す。 \(D_T(A) \subset D(A)\) は、\(D(A)\) の狭義充満かつ飽和した三角部分圏（Derived Categories, 補題 06UQ）であって、\(A\)-加群の複体のうち、そのコホモロジー加群が \(\text{Mod}_{A, T}\) に属するものからなる圏を表す。このとき関手 \[D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A) \to D(A)\] を得る。Derived Categories, 第 06UP 節の議論を参照せよ。 \(RH^0_T : D(A) \to D(\text{Mod}_{A, T})\) により \(H^0_T\) の右導来拡張を表す。また \[R\Gamma_T : D^+(A) \to D^+_T(A),\] により、\(RH^0_T : D^+(A) \to D^+(\text{Mod}_{A, T})\) と \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) の合成を表す。\(A\) の次元が有限である場合²には、 \[R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\] により、\(RH^0_T\) と \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) の合成を表す。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。関手 \(RH^0_T\) は、関手 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D(A)\) の右随伴である。

証明

関手 \(H^0_T(-)\) が包含関手 \(\text{Mod}_{A, T} \to \text{Mod}_A\) の右随伴であることから従う。 Derived Categories, 補題 09T5 を参照せよ。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。任意の対象 \(K\)（圏 \(D(A)\) の対象）に対して、次が成り立つ。 \[H^i(RH^0_T(K)) = \colim_{Z \subset T\text{ 閉集合}} H^i_Z(K)\]

証明

\(J^\bullet\) を \(K\) を表す K-入射的複体とする。定義により \(RH^0_T\) は複体 \[H^0_T(J^\bullet) = \colim H^0_Z(J^\bullet)\] で表される。等式は \(H^0_T\) の定義から従う。フィルター余極限は完全なので、この複体の次数 \(i\) のコホモロジーは \(\colim H^i(H^0_Z(J^\bullet)) = \colim H^i_Z(K)\) であり、所望の結論を得る。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。関手 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) は同値である。

証明

\(M\) を \(\text{Mod}_{A, T}\) の対象とする。埋め込み \(M \to J\) を取り、その行き先を入射的 \(A\)-加群とする。 Dualizing Complexes, 命題 08YA により、加群 \(J\) は剰余体の入射包絡の直和である。 \(E\) を素イデアル \(\mathfrak p\) の剰余体の入射包絡とする。 \(E\) は \(\mathfrak p\)-冪捩れなので、 \(H^0_T(E) = 0\) が \(\mathfrak p \not \in T\) の場合に成り立ち、 \(H^0_T(E) = E\) が \(\mathfrak p \in T\) の場合に成り立つ。したがって \(H^0_T(J)\) は入射包絡の直和として入射的であり（上の命題による）、埋め込み \(M \to H^0_T(J)\) を得る。よって任意の対象 \(M\)（圏 \(\text{Mod}_{A, T}\) の対象）は入射分解 \(M \to J^\bullet\) であって、各 \(J^n\) も \(\text{Mod}_{A, T}\) に属するものをもつ。したがって \(RH^0_T(M) = M\) である。

次に \(K \in D_T^+(A)\) と仮定する。このときスペクトル系列 \[R^qH^0_T(H^p(K)) \Rightarrow R^{p + q}H^0_T(K)\] (Derived Categories, 補題 015J) は収束し、上で見たように \(q = 0\) の項だけが零でない。したがって \(RH^0_T(K) \to K\) は同型である。よって関手 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\) は同値であり、その擬逆は \(RH^0_T\) で与えられる。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(\dim(A) < \infty\) ならば、関手 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) は同値である。

証明

\(\dim(A) = d\) とおく。このとき \(H^i_Z(M) = 0\) が \(i > d\) に対して、任意の閉部分集合 \(Z\)（空間 \(\Spec(A)\) の閉部分集合）について成り立つ。補題 0DXC を参照せよ。補題 0EF1 により、\(H^0_T\) のコホモロジー次元は有界である。

\(K \in D_T(A)\) とする。\(RH^0_T(K) \to K\) が同型であることを示す。 \(K\) が下に有界の場合は既に分かっている。補題 0EF2 を参照せよ。一方、\(H^0_T\) のコホモロジー次元は有界なので、次数 \(i\) のコホモロジー（複体 \(RH_T^0(K)\) のもの）は \(\tau_{\geq -d + i}K\) のみに依存し、結論を得る。したがって \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\) は同値であり、その擬逆は \(RH^0_T\) である。

注意

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。以上の議論の結論は、 \(R\Gamma_T : D^+(A) \to D_T^+(A)\) が包含関手 \(D_T^+(A) \to D^+(A)\) の右随伴である、ということである。 \(\dim(A) < \infty\) ならば、 \(R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\) は包含関手 \(D_T(A) \to D(A)\) の右随伴である。いずれの場合にも次が成り立つ： \[H^i_T(K) = H^i(R\Gamma_T(K)) = R^iH^0_T(K) = \colim_{Z \subset T\text{ 閉集合}} H^i_Z(K)\] これは補題 0EF0, 0EF1, 0EF2 および 0EF3 を組み合わせれば従う。

補題

\(A \to B\) を Noether 環の平坦準同型とする。 \(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とし、 \(T' \subset \Spec(B)\) を \(T\) の逆像とする。このとき標準的な写像 \[R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \longrightarrow R\Gamma_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] は \(K \in D^+(A)\) に対して同型である。\(A\) と \(B\) の次元が有限ならば、これは \(K \in D(A)\) に対しても成り立つ。

証明

写像 \(R\Gamma_T(K) \to K\) から写像 \(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \to K \otimes_A^\mathbf{L} B\). を得る。\(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B\) のコホモロジー加群は \(T'\) に台をもつので、補題の射を得る。この射は、\(T\) が \(\Spec(A)\) の閉部分集合である場合には Dualizing Complexes, 補題 0ALZ により同型である。 \(H^i_T(K)\) は \(H^i_Z(K)\) の余極限であることを思い出そう。ここで \(Z\) は \(T\) の閉部分集合からなる有向集合を動く。補題 0EF1 を参照せよ。これに対応して \(H^i_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B) = \colim H^i_{Z'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\) である。ここで \(Z'\) は \(Z\) の逆像である。したがって、\(\otimes_A B\) がフィルター余極限と可換であり、高次 Tor が消滅することから結論が従う。

補題

\(A\) を環とし、\(T, T' \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(K \in D^+(A)\) に対してスペクトル系列 \[E_2^{p, q} = H^p_T(H^p_{T'}(K)) \Rightarrow H^{p + q}_{T \cap T'}(K)\] が存在する。これは Derived Categories, 補題 015N にある形のものである。

証明

\(E\) を \(D_{T \cap T'}(A)\) の対象とする。このとき \[\Hom(E, R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))) = \Hom(E, R\Gamma_{T'}(K)) = \Hom(E, K)\] である。最初の等式は \(R\Gamma_T\) の随伴性により、二つ目は \(R\Gamma_{T'}\) の随伴性による。一方、\(J^\bullet\) が下に有界な入射的対象の複体であって \(K\) を表すならば、\(H^0_{T'}(J^\bullet)\) は入射的 \(A\)-加群の複体であり、\(R\Gamma_{T'}(K)\) を表す。したがって \(H^0_T(H^0_{T'}(J^\bullet))\) は \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\) を表す複体である。よって \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\) は \(D^+_{T \cap T'}(A)\) の対象である。この二つの事実を組み合わせると、 \(R\Gamma_{T \cap T'} = R\Gamma_T \circ R\Gamma_{T'}\) を得る。主張で引用した補題により、これからスペクトル系列が得られる。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(A\) の次元は有限であると仮定する。このとき \[R\Gamma_T(K) = R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\] が \(K \in D(A)\) に対して成り立つ。\(K, L \in D(A)\) に対しては \[R\Gamma_T(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L) = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} L = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L)\] が成り立つ。\(K\) または \(L\) が \(D_T(A)\) に属すれば、\(K \otimes_A^\mathbf{L} L\) もそうである。

証明

構成により \(R\Gamma_T(A)\) は、複体 \(J^\bullet\) であって \(\text{Mod}_{A, T}\) に属するものにより表せる。したがって \(K\) を K-平坦複体 \(K^\bullet\) で表すと、\(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\) は複体 \(\text{Tot}(J^\bullet \otimes_A K^\bullet)\)（圏 \(\text{Mod}_{A, T}\) 内の複体）で表される。写像 \(R\Gamma_T(A) \to A\) を用いて、写像 \(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\to K\) を得る。したがって \(R\Gamma_T\) の随伴性により、標準的な写像 \[R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Gamma_T(K)\] を得て、先ほど構成した写像はこれを経由する。\(R\Gamma_T\) が \(D(A)\) 内の直和と可換であることに注意する。これは例えば補題 0EF1、有向余極限が直和と可換であること、および通常の局所コホモロジーが直和と可換であること（例えば Dualizing Complexes, 補題 0A6R）による。したがって More on Algebra, 注意 09PB により、この写像が \(K = A[k]\)（ただし \(k \in \mathbf{Z}\)）に対して同型であることを確かめれば十分であり、これは明らかである。

最後の主張は、導来テンソル積の推移性により、今示した結果から従う。

局所コホモロジーのフィルトレーション

補題 0EF6 のスペクトル系列に関連するいくつかの手法を述べる。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(T' \subset T\) を \(T\) の極小でない素イデアルの集合とする。このとき \(T'\) は \(\Spec(A)\) の特殊化で安定な部分集合であり、任意の \(A\)-加群 \(M\) に対して完全列 \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] が存在する。ここで余極限は、閉部分集合 \(Z \subset T\) および元 \(f \in A\) であって \(V(f) \cap Z \subset T'\) を満たすものにわたって取る。

証明

各 \(Z\) と \(f\) に対して、 Dualizing Complexes, 補題 0BJC のスペクトル系列は退化し、短完全列 \[0 \to H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{Z \cap V(f)}(M) \to H^0_f(H^i_Z(M)) \to 0\] を与える。以下ではこの事実を断りなく用いる。

\(\xi \in H^i_T(M)\) の直和への像が零であるとする。まず \(\xi\) を、ある \(\xi' \in H^i_Z(M)\) の像として表す。ここで \(Z \subset T\) はある閉部分集合である。補題 0EF1 を参照せよ。このとき \(\xi'\) は \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) において零に写る。これは任意の \(\mathfrak p \in Z\)、\(\mathfrak p \not \in T'\) に対して成り立つ。このような素イデアルは有限個しかないので、 \(f \in A\) をいずれの素イデアルにも属さないように選び、しかも \(f\) が \(\xi'\) を零化するようにできる。このとき \(\xi'\) はある \(\xi'' \in H^i_{Z'}(M)\) の像である。ここで \(Z' = Z \cap V(f)\) とおく。\(f\) の選び方により \(Z' \subset T'\) であり、最後から二番目の項での完全性を得る。

\(\xi \in H^i_{T'}(M)\) が \(H^i_T(M)\) において零に写るとする。閉部分集合 \(Z' \subset Z\) を、\(Z' \subset T'\) かつ \(Z \subset T\) であり、\(\xi\) が \(\xi' \in H^i_{Z'}(M)\) から来て、その元が \(H^i_Z(M)\) において零に写るように選ぶ。このとき \(f \in A\) で \(V(f) \cap Z = Z'\) を満たすものが存在し、結論を得る。

補題

\(A\) を有限次元の Noether 環とする。 \(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(\{M_n\}_{n \geq 0}\) を \(A\)-加群の逆系とし、 \(i \geq 0\) を整数とする。任意の \(m\) に対して整数 \(m'(m) \geq m\) が存在し、すべての \(\mathfrak p \in T\) について誘導される写像 \[H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \longrightarrow H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\] が \(k \geq m'(m)\) のとき零であると仮定する。\(m'' : \mathbf{N} \to \mathbf{N}\) を、\(2^{\dim(T)}\) 回の自己合成で \(m'\) から得られる写像とする。このとき写像 \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\) は、すべての \(k \geq m''(m)\) に対して零である。

証明

まず一般的な注意を述べる。完全列 \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n)\] がアーベル群の逆系の間に与えられているとする。任意の \(m\) に対して整数 \(m'(m) \geq m\) が存在し、 \[A_k \to A_m \quad\text{および}\quad C_k \to C_m\] が \(k \geq m'(m)\) のとき零であると仮定する。このとき \(k \geq m'(m'(m))\) ならば、写像 \(B_k \to B_m\) は零である。

補題を \(\dim(T)\) に関する帰納法で証明する。この次元は \(\dim(A)\) が有限なので有限である。\(T' \subset T\) を \(T\) の極小でない素イデアルの集合とする。このとき \(T'\) は \(\Spec(A)\) の特殊化で安定な部分集合であり、補題の仮定は \(T'\) に対しても成り立つ。 \(\dim(T') < \dim(T)\) なので、\(T'\) に対して補題が成り立つ。任意の \(A\)-加群 \(M\) に対し、完全列 \[H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] が補題 0EF8 により存在する。したがって証明冒頭の注意により結論を得る。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(\{M_n\}_{n \geq 0}\) を \(A\)-加群の逆系とし、\(i \geq 0\) を整数とする。 \(A\) の次元は有限であり、任意の \(m\) に対して整数 \(m'(m) \geq m\) が存在し、すべての \(\mathfrak p \in T\) について次が成り立つと仮定する。

\(H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) は \(k \geq m'(m)\) のとき零である。

\(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) の像 \(G(\mathfrak p, m)\) は \(k \geq m'(m)\) に依存せず、さらに \(G(\mathfrak p, m)\) から \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{0, \mathfrak p})\) への写像は単射である。

このとき整数 \(m_0\) が存在し、任意の \(m \geq m_0\) に対して整数 \(m''(m) \geq m\) が存在して、 \(k \geq m''(m)\) ならば \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\) の像から \(H^i_T(M_{m_0})\) への写像は単射である。

証明

まず一般的な注意を述べる。完全列 \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n) \to (D_n)\] がアーベル群の逆系の間に与えられているとする。整数 \(m_0\) が存在し、任意の \(m \geq m_0\) に対して整数 \(m'(m) \geq m\) が存在して、写像 \[\Im(B_k \to B_m) \longrightarrow B_{m_0} \quad\text{および}\quad \Im(D_k \to D_m) \longrightarrow D_{m_0}\] が \(k \geq m'(m)\) のとき単射であり、\(A_k \to A_m\) が \(k \geq m'(m)\) のとき零であると仮定する。このとき \(m \geq m'(m_0)\) かつ \(k \geq m'(m'(m))\) ならば、写像 \[\Im(C_k \to C_m) \to C_{m'(m_0)}\] は単射である。実際、\(c_0 \in C_m\) を \(c_3 \in C_k\) の像とし、 \(c_0\) が \(C_{m'(m_0)}\) において零に写るとする。次の図式を考える： \[C_k \to C_{m'(m'(m))} \to C_{m'(m)} \to C_m \to C_{m'(m_0)},\quad c_3 \mapsto c_2 \mapsto c_1 \mapsto c_0 \mapsto 0\] \(c_0 = 0\) を示せばよい。像 \(d_3\)（元 \(c_3\) の像）は \(C_{m_0}\) において零に写るので、像 \(d_1 \in D_{m'(m)}\) は零である。したがって \(b_1 \in B_{m'(m)}\) を、その像が \(c_1\) となるように選べる。\(c_3\) は \(C_{m'(m_0)}\) において零に写るので、元 \(a_{-1} \in A_{m'(m_0)}\) で、像 \(b_{-1} \in B_{m'(m_0)}\)（元 \(b_1\) の像）に写るものが存在する。 \(a_{-1}\) は \(A_{m_0}\) において零に写るので、 \(b_1\) は \(B_{m_0}\) において零に写る。したがって像 \(b_0 \in B_m\) は零であり、もちろんこれから所望の \(c_0 = 0\) が従う。

補題を \(\dim(T)\) に関する帰納法で証明する。この次元は \(\dim(A)\) が有限なので有限である。\(T' \subset T\) を \(T\) の極小でない素イデアルの集合とする。このとき \(T'\) は \(\Spec(A)\) の特殊化で安定な部分集合であり、補題の仮定は \(T'\) に対しても成り立つ。\(\dim(T') < \dim(T)\) なので、 \(T'\) に対して補題が成り立つ。任意の \(A\)-加群 \(M\) に対して完全列 \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] が補題 0EF8 により存在する。したがって証明冒頭の注意と、群の系 \[\left\{\colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M_n))\right\}_{n \geq 0}\] が補題 0EF9 により pro-零であることから結論を得る。ここでは、その補題の関数 \(m''(m)\)（加群 \(H^{i - 1}_Z(M)\) に対するもの）が \(Z\) に依存しないことを用いている。

局所コホモロジーの有限性 I

局所コホモロジー加群の有限性に関する Faltings の方法に従う。 [Faltings-annulators] および [Faltings-finiteness] を参照せよ。次の補題は、局所コホモロジー加群が有限加群であることを示すには、適切な零化イデアルをもつことを示せば十分であることを述べる。

補題

\(A\) を Noether 環、\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(M\) を有限 \(A\)-加群とし、\(n \geq 0\) とする。次の条件は同値である。

\(H^i_T(M)\) は \(i \leq n\) に対して有限である。

イデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T\) を満たすものが存在し、 \(J\) は \(H^i_T(M)\) を \(i \leq n\) に対して零化する。

もし \(T = V(I) = Z\) があるイデアル \(I \subset A\) に対して成り立つならば、これらはさらに次の条件とも同値である。

ある \(e \geq 0\) が存在し、\(I^e\) は \(H^i_Z(M)\) を \(i \leq n\) に対して零化する。

証明

(1) と (2) の同値性を \(n\) に関する帰納法で証明する。 \(n = 0\) のとき \(H^0_T(M) \subset M\) は有限なので、(1) が成り立つ。 \(H^0_T(M) = \colim H^0_{V(J)}(M)\) であり、ここで \(J\) は (2) のようなものを動くので、 (2) も成り立つ。以下、\(n > 0\) と仮定する。

(1) が成り立つと仮定する。\(H^i_J(M) = H^i_{V(J)}(M)\) であることを思い出そう。 Dualizing Complexes, 補題 0955 を参照せよ。したがって \(H^i_T(M) = \colim H^i_J(M)\) である。ここで余極限はイデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T\) を満たすものにわたって取る。補題 0EF1 を参照せよ。\(H^i_T(M)\) は有限生成であり、これは \(i \leq n\) に対して成り立つので、(2) のような \(J \subset A\) を選び、 \(H^i_J(M) \to H^i_T(M)\) が \(i \leq n\) に対して全射となるようにできる。したがって有限個の生成元はいずれも \(J\)-冪捩れ元であり、 \(J\) をその適当な冪に置き換えると (2) が成り立つ。

(2) のような \(J\) が存在すると仮定する。\(N = H^0_T(M)\) および \(M' = M/N\) とおく。 \(R\Gamma_T\) の構成により、 \(H^i_T(N) = 0\) が \(i > 0\) に対して成り立ち、\(H^0_T(N) = N\) である。注意 0EF4 を参照せよ。したがって \(H^0_T(M') = 0\) であり、\(H^i_T(M') = H^i_T(M)\) が \(i > 0\) に対して成り立つ。ゆえに \(M\) を \(M'\) に置き換えてよい。したがって \(H^0_T(M) = 0\) と仮定してよい。これは、\(M\) の随伴素イデアルからなる有限集合が \(T\) と交わらないことを意味する。素イデアル回避補題（Algebra, 補題 00DS）により、\(f \in J\) を \(M\) のいずれの随伴素イデアルにも属さないように選べる。このとき短完全列 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] に付随する局所コホモロジーの長完全列は、短完全列 \[0 \to H^i_T(M) \to H^i_T(M/fM) \to H^{i + 1}_T(M) \to 0\] に分かれる。ただし \(i < n\) である。したがって \(J^2\) は \(H^i_T(M/fM)\) を \(i < n\) に対して零化する。帰納法の仮定により、\(H^i_T(M/fM)\) は \(i < n\) に対して有限である。短完全列をもう一度用いると、 \(H^{i + 1}_T(M)\) が \(i < n\) に対して有限であることを得る。これが所望の結論である。

\(T = V(I)\) の場合の (2) と (3) の同値性の証明は省略する。

次の Faltings の結果により、局所コホモロジーの有限性を局所環の段階で証明することができる。

補題

\(A\) を Noether 環、\(I \subset A\) をイデアル、\(M\) を有限 \(A\)-加群、\(n \geq 0\) を整数とする。\(Z = V(I)\) とおく。次の条件は同値である。

加群 \(H^i_Z(M)\) は \(i \leq n\) に対して有限である。

すべての \(\mathfrak p \in \Spec(A)\) に対して、加群 \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\)（\(i \leq n\)）は有限 \(A_\mathfrak p\)-加群である。

証明

(1) \(\Rightarrow\) (2) は直ちに従う。逆を \(n\) に関する帰納法で証明する。\(n = 0\) の場合には (1) と (2) が常に成り立つので明らかである。

\(n > 0\) とし、(2) が成り立つと仮定する。\(N = H^0_Z(M)\) および \(M' = M/N\) とおく。 Dualizing Complexes, 補題 0AW0 により \(M\) を \(M'\) に置き換えてよい。したがって \(H^0_Z(M) = 0\) と仮定してよい。これは \(\text{depth}_I(M) > 0\) を意味する（Dualizing Complexes, 補題 0AVZ）。 \(f \in I\) を \(M\) 上の非零因子として選び、短完全列 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] を考える。これから長完全列 \[0 \to H^0_Z(M/fM) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M/fM) \to H^2_Z(M) \to \ldots\] を得て、局所化後にも同様の列を得る。したがって仮定 (2) により、加群 \(H^i_Z(M/fM)_\mathfrak p\) は \(i < n\) に対して有限である。よって帰納法の仮定により \(H^i_Z(M/fM)\) は \(i < n\) に対して有限である。

\(\mathfrak p\) を \(A\) の素イデアルであって、 \(H^i_Z(M)\) の随伴素イデアルとなるものとする。ここで \(i \leq n\) とする。 \(\mathfrak p\) は元 \(x \in H^i_Z(M)\) の零化イデアルであるとする。このとき \(\mathfrak p \in Z\) なので、 \(f \in \mathfrak p\) である。したがって \(fx = 0\) であり、\(x\) は \(H^{i - 1}_Z(M/fM)\) のある元から、上の長完全列の境界写像 \(\delta\) により得られる。ゆえに \(\mathfrak p\) は有限加群 \(\Im(\delta)\) の随伴素イデアルである。したがって \(\text{Ass}(H^i_Z(M))\) は \(i \leq n\) に対して有限である。 Algebra, 補題 00LC を参照せよ。

次を思い出そう： \[H^i_Z(M) \subset \prod\nolimits_{\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))} H^i_Z(M)_\mathfrak p\] これは Algebra, 補題 0311 による。仮定により右辺の加群は有限かつ \(I\)-冪捩れなので、整数 \(e_{\mathfrak p, i} \geq 0\)（\(i \leq n\)、 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))\)）を選び、 \(I^{e_{\mathfrak p, i}}\) が \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\) を零化するようにできる。したがって \(I^e\)（ただし \(e = \max\{e_{\mathfrak p, i}\}\)）は \(H^i_Z(M)\) を \(i \leq n\) に対して零化する。補題 0AW8 により、\(H^i_Z(M)\) は \(i \leq n\) に対して有限である。

補題

\(A\) を環とし、\(J \subset I \subset A\) を有限生成イデアルとする。 \(i \geq 0\) を整数とし、\(Z = V(I)\) とおく。 \(H^i_Z(A)\) が \(J^n\) によって、ある \(n\) に対して零化されるならば、 \(H^i_Z(M)\) は \(J^m\) によって、ある \(m = m(M)\) に対して零化される。これは任意の有限表示 \(A\)-加群 \(M\) であって、 \(M_f\) が有限局所自由 \(A_f\)-加群であることがすべての \(f \in I\) に対して成り立つものについて成り立つ。

証明

零化イデアル \(\mathfrak a\)（加群 \(H^i_Z(M)\) の零化イデアル）を考える。 \(\mathfrak p \subset A\) を \(\mathfrak p \not \in Z\) となる素イデアルとする。仮定により \(f \in I\)、\(f \not \in \mathfrak p\) および同型 \(\varphi : A_f^{\oplus r} \to M_f\) が存在し、これは \(A_f\)-加群の同型である。分母を払うと（さらに \(M\) が有限表示であることを用いると）、写像 \[a : A^{\oplus r} \longrightarrow M \quad\text{および}\quad b : M \longrightarrow A^{\oplus r}\] であって、\(a_f = f^N \varphi\) および \(b_f = f^N \varphi^{-1}\) がある \(N\) に対して成り立つものを得る。さらに \(a \circ b\) と \(b \circ a\) は \(f^{2N}\) 倍写像に等しいと仮定してよい。したがって \(H^i_Z(M)\) は \(f^{2N}J^n\) により零化される。すなわち \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\) である。

\(U = \Spec(A) \setminus Z\) は準コンパクトなので、有限個の元 \(f_1, \ldots, f_t\) と整数 \(N_1, \ldots, N_t\) を選び、\(U = \bigcup D(f_j)\) かつ \(f_j^{2N_j}J^n \subset \mathfrak a\) とできる。このとき \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\) であり、 \(I\) は有限生成なので、 \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\) がある \(M\) に対して成り立つ。以上から \(J^m \subset \mathfrak a\) が \(m \gg 0\) に対して成り立つ。例えば \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\) と取ればよい。

補題

\(A\) を Noether 環、\(I \subset A\) をイデアルとし、\(Z = V(I)\) とおく。 \(n \geq 0\) を整数とする。\(H^i_Z(A)\) が \(0 \leq i \leq n\) に対して有限ならば、同じことが \(H^i_Z(M)\)（\(0 \leq i \leq n\)）についても成り立つ。ここで任意の有限 \(A\)-加群 \(M\) であって、\(M_f\) が有限局所自由 \(A_f\)-加群であることがすべての \(f \in I\) に対して成り立つものを考える。

証明

\(H^i_Z(A)\) が \(0 \leq i \leq n\) に対して有限であるという仮定から、ある \(e \geq 0\) が存在し、\(I^e\) が \(H^i_Z(A)\) を \(0 \leq i \leq n\) に対して零化することが従う。補題 0AW8 を参照せよ。すると補題 0BPX により、 \(H^i_Z(M)\)（\(0 \leq i \leq n\)）は \(I^m\) によって、ある \(m = m(M, i)\) に対して零化される。同じ \(m\) をすべての \(0 \leq i \leq n\) に対して取ってよい。したがって補題 0AW8 により、 \(H^i_Z(M)\) は \(0 \leq i \leq n\) に対して有限であり、所望の結論を得る。

順像の有限性 I

本節では有限性定理の最も易しい非自明な場合を論じる。すなわち、第一局所コホモロジーの有限性、あるいは同値なこととして \(j_*\mathcal{F}\) の有限性を扱う。ここで \(j : U \to X\) は開浸入、 \(X\) は局所 Noether、\(\mathcal{F}\) は \(U\) 上の連接層である。 Kollár の方法（[Kollar-variants] および [Kollar-local-global-hulls]）に従い、必要十分条件を得る。命題 0BK3 を参照せよ。高次順像または高次局所コホモロジー群に関心のある読者は、第 0BJX 節または第 0BJQ 節へ進むとよい（これらは本節の残りとは独立に展開される）。

補題

\(X\) を局所 Noether 概形とし、\(j : U \to X\) を、補集合が \(Z\) である開部分概形の包含とする。\(x \in U\) に対して、 \(i_x : W_x \to U\) を、生成点が \(x\) である整閉部分概形とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。次の条件は同値である。

すべての \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) に対して、 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) は連接である。

\(j_*\mathcal{F}\) は連接である。

証明

まず (1) が (2) を含意することを示す。(1) を仮定する。主張は \(X\) 上局所的なので、\(X\) はアフィンであると仮定してよい。このとき \(U\) は準コンパクトであり、したがって \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) は有限である（Divisors, 補題 05AF）。よって随伴点の個数に関する帰納法を用いてよい。\(x \in U\) を \(\mathcal{F}\) の台の既約成分の生成点とする。 Divisors, 補題 05AF により \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) である。\(x\) の選び方により、 \(\dim(\mathcal{F}_x) = 0\) である。ここで次元は \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群としての次元である。したがって \(\mathcal{F}_x\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群として有限長である（Algebra, 補題 00L5）。そこでこの長さに関する帰納法を用いる。

\(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) とおく。これは仮定により連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。 \(\mathcal{G}_x = \kappa(x)\) が成り立つ。非零写像 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \kappa(x) = \mathcal{G}_x\) を選ぶ。 Cohomology of Schemes, 補題 01Y4 により、開集合 \(x \in V \subset U\) と写像 \(\varphi_V : \mathcal{F}|_V \to \mathcal{G}|_V\) が存在し、その \(x\) における茎は \(\varphi_x\) である。 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) を \(x\) で消えず、 \(D(f) \subset V\) となるように選ぶ。例えば Cohomology of Schemes, 補題 01YB により、 \(\varphi_V\) は写像 \(f^n\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\) へ拡張される。ここで \(n\) はある整数である。 \(f^n\) 倍写像を前合成すると、写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\) で、その \(x\) における茎が非零なものを得る。 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) をその核とする。 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\) であることに注意する。 Divisors, 補題 05AE を参照せよ。 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) - 1\) なので、帰納法の仮定を適用し、\(j_*\mathcal{F}'\) が連接であることを得る。 \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_U) = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) は連接なので、完全列 \[0 \to j_*\mathcal{F}' \to j_*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\] を考えることができる。Schemes, 補題 01LC により、層 \(j_*\mathcal{F}\) は準連接である。したがって \(j_*\mathcal{F}\) の \(j_*(\mathcal{G}|_U)\) における像は、 Cohomology of Schemes, 補題 01Y1 により連接である。最後に Cohomology of Schemes, 補題 01Y0 により、\(j_*\mathcal{F}\) は連接である。

(2) が成り立つと仮定する。上とまったく同様にして、 \(X\) がアフィンである場合に帰着する。\(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) を選び、 \(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) とおく。次に非零写像 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x = \kappa(x) \to \mathcal{F}_x\) を選ぶ。これはまさに \(x\) が \(\mathcal{F}\) の随伴点であるために存在する。上とまったく同様に議論して、\(\varphi_x\) は \(\mathcal{O}_U\)-加群の写像 \(\varphi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}\) に拡張されると仮定してよい。このとき \(\varphi\) は単射であり（例えば Divisors, 補題 0AVL による）、単射 \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_V) \to j_*\mathcal{F}\) を得る。したがって (1) が成り立つ。

補題

\(A\) を Noether 環、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(X = \Spec(A)\)、\(Z = V(I)\)、\(U = X \setminus Z\) とおき、 \(j : U \to X\) を包含射とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。このとき

有限 \(A\)-加群 \(M\) が存在し、\(\mathcal{F}\) は \(\widetilde{M}\) の \(U\) への制限である。

\(M\) が与えられると完全列 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] と、同型 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\) が \(p \geq 1\) に対して存在する。

\(M\) および \(p \geq 0\) が与えられると、次の条件は同値である。

\(R^pj_*\mathcal{F}\) は連接である。

\(H^p(U, \mathcal{F})\) は有限 \(A\)-加群である。

\(H^{p + 1}_Z(M)\) は有限 \(A\)-加群である。

(3) の同値な条件が \(p = 0\) に対して成り立つならば、 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\) と取ることができ、この場合 \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\) である。

証明

Properties, 補題 0G41 により、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}'\) であって、その \(U\) への制限が \(\mathcal{F}\) と同型であるものが存在する。 \(\mathcal{F}'\) は (1) の有限 \(A\)-加群 \(M\) に対応するとする。 \(R^pj_*\mathcal{F}\) は準連接であり（Cohomology of Schemes, 補題 01XJ）、 \(A\)-加群 \(H^p(U, \mathcal{F})\) に対応することに注意する。補題 0A6T と Cohomology, 第 0A39 節および第 0G6Y 節の議論により、完全列 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] と、同型 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\) を \(p \geq 1\) に対して得る。ここで \(H^j(X, \mathcal{F}') = 0\) が \(j > 0\) に対して成り立つことを用いた。実際、\(X\) はアフィンかつ \(\mathcal{F}'\) は準連接である（Cohomology of Schemes, 補題 01XB）。これで (2) が示された。 (3) と (4) は (2) から直ちに従う。補題 0DWR も参照せよ。

補題

\(X\) を局所 Noether 概形とする。 \(j : U \to X\) を、補集合が \(Z\) である開部分概形の包含とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。次を仮定する。

\(X\) は Nagata である。

\(X\) は普遍鎖状である。

\(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) および \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\) に対して \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\) である。

このとき \(j_*\mathcal{F}\) は連接である。

証明

補題 0BJZ により、 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) が連接であることを \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) に対して示せば十分である。 \(\pi : Y \to X\) を、\(X\) の \(\Spec(\kappa(x))\) における正規化とする。 Morphisms, 第 035E 節を参照せよ。 Morphisms, 補題 0AVK により、射 \(\pi\) は有限である。\(\pi\) が有限なので、 \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{O}_Y\) は Cohomology of Schemes, 補題 01Y6 により連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。 \(W_x = U \cap \pi(Y)\) であることに注意する。したがって \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\) は \(i_x : W_x \to U\) を経由し、標準的な写像 \[i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \longrightarrow (\pi|_{\pi^{-1}(U)})_*(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}) = (\pi_*\mathcal{O}_Y)|_U = \mathcal{G}|_U\] を得る。この写像は単射である（例えば Divisors, 補題 0AVL による）。したがって \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \subset j_*\mathcal{G}|_U\) であり、 \(j_*\mathcal{G}|_U\) が連接であることを示せば十分である。

\(j_*(\mathcal{G}|_U)\) が連接であることを示せばよい。 Divisors, 補題 0E9I を \[\mathcal{G} \longrightarrow j_*(\mathcal{G}|_U)\] に適用できると主張する。これで証明は終わる。 \(\text{depth}(\mathcal{G}_z) \geq 2\) を \(z \in Z\) に対して示せば十分である。 \(y_1, \ldots, y_n \in Y\) を \(z\) に写る点とする。 Algebra, 補題 0AUK により、 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y_i}) \geq 2\) が \(i = 1, \ldots, n\) に対して成り立つことを示せば十分である。もしそうでなければ、 Properties, 補題 0345 により、 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y_i}) = 1\) となる \(i\) が存在する。これは \(\pi : Y \to \overline{\{x\}}\) に対する次元公式（Morphisms, 補題 02JU）と仮定 (3) に反する。

補題

\(X\) を整局所 Noether 概形とする。\(j : U \to X\) を、補集合が \(Z\) である空でない開部分概形の包含とする。すべての \(z \in Z\) と、\(\mathfrak p\) を \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\) の任意の随伴素イデアルとして、 \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\) であると仮定する。このとき \(j_*\mathcal{O}_U\) は連接である。

証明

\(X\) はアフィンであると仮定してよい。補題 0AW9 および 0BK0 を用いると、 \(X = \Spec(A)\) で、\((A, \mathfrak m)\) は Noether 局所整域、 \(\mathfrak m \in Z\) である場合に帰着する。そこで \(d = \dim(A)\) に関する帰納法を用いる。（基底の場合は \(d = 0, 1\) だが、局所環に関する仮定によりこれらは起こらない。） \(V = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\) とおく。 \(V\) の局所環の次元は \(d\) より真に小さいことに注意する。 \(j' : U \to V\) に対して同じ議論を繰り返し、帰納法を用いると、\(j'_*\mathcal{O}_U\) は連接 \(\mathcal{O}_V\)-加群であることが分かる。 \(f \in A\) を非零元として選び、これは \(Z\) 上で消えるものとする。 \(D(f) \cap V \subset U\) なので、ある \(n\) が存在して、 \(f^n\) 倍写像が \(U\) 上で写像 \(f^n : j'_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_V\) へ拡張される。これは \(V\) 上の写像である（例えば Cohomology of Schemes, 補題 01YB による）。この写像は単射なので、単射 \[j_*\mathcal{O}_U = j''_* j'_* \mathcal{O}_U \to j''_*\mathcal{O}_V\] を \(X\) 上で得る。ここで \(j'' : V \to X\) は包含射である。したがって \(j''_*\mathcal{O}_V\) が連接であることを示せば十分である。言い換えると、\(X\) は Noether 局所整域のスペクトルであり、 \(Z\) はその閉点のみからなると仮定してよい。

\(X = \Spec(A)\)、\((A, \mathfrak m)\) は局所環、 \(Z = \{\mathfrak m\}\) と仮定する。 \(A^\wedge\) を \(A\) の完備化とし、 \(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\)、\(Z^\wedge = \{\mathfrak m^\wedge\}\)、 \(U^\wedge = X^\wedge \setminus Z^\wedge\)、 \(\mathcal{F}^\wedge = \mathcal{O}_{U^\wedge}\) とおく。環 \(A^\wedge\) は普遍鎖状かつ Nagata である（Algebra, 注意 032C および補題 032W）。さらに \(X^\wedge, Z^\wedge, U^\wedge, \mathcal{F}^\wedge\) に対する補題 0AWA の条件 (3) は仮定により成り立つ。したがって \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\) は連接である。射 \(c : X^\wedge \to X\) は平坦なので、 \(j_*\mathcal{O}_U\) の引き戻しは \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\) である（Cohomology of Schemes, 補題 02KH）。最後に \(c\) は忠実平坦なので、 Descent, 補題 05AZ により \(j_*\mathcal{O}_U\) は連接である。

注意

\(j : U \to X\) を局所 Noether 概形の開浸入とする。 \(x \in U\) とする。\(i_x : W_x \to U\) を生成点 \(x\) をもつ整閉部分概形とし、 \(\overline{\{x\}}\) を \(X\) における閉包とする。このとき可換図式 \[\xymatrix{ W_x \ar[d]_{i_x} \ar[r]_{j'} & \overline{\{x\}} \ar[d]^i \\ U \ar[r]^j & X }\] を得る。\(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} = i_*j'_*\mathcal{O}_{W_x}\) である。左の垂直射は閉浸入なので、 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) が連接であることと \(j'_*\mathcal{O}_{W_x}\) が連接であることは同値である。

注意

\(X\) を局所 Noether 概形とし、\(j : U \to X\) を、補集合が \(Z\) である開部分概形の包含とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) と \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\) が存在し、 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \leq 1\) ならば、 \(j_*\mathcal{F}\) は連接ではない。これを証明するため、 \(\mathcal{O}_{X, z}\) のスペクトルへの平坦基底変換を行ってよい。 \(X' = \overline{\{x\}}\) とおく。仮定から \(\mathcal{O}_{X' \cap U} \subset \mathcal{F}\) が従う。したがって \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\) が連接でないことを示せば十分である。これは \(X' = \{x, z\}\) なので明らかである。実際、 \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\) は \(\kappa(x)\) に対応し、 \(\mathcal{O}_{X, z}\)-加群としては、\(x\) が閉点でないため有限ではあり得ない。

実際、補題 0BK1 の逆も成り立つ。整 Noether 概形の開浸入 \(j : U \to X\) が与えられ、 \(z \in X \setminus U\) と随伴素イデアル \(\mathfrak p\) が存在し、後者が完備化 \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\) のものであり、 \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) = 1\) を満たすものが存在するならば、 \(j_*\mathcal{O}_U\) は連接ではない。実際、局所環へ移り、\(U\) を穴あきスペクトルまで拡大し、完備化へ移れば、上の議論が有限でないことを与える。

命題

\(j : U \to X\) を局所 Noether 概形の開浸入とし、その補集合を \(Z\) とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。次の条件は同値である。

\(j_*\mathcal{F}\) は連接である。

\(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)、 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)、および任意の随伴素イデアル \(\mathfrak p\) で、完備化 \(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge\) のものに対して \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\) である。

証明

(2) が成り立つならば、補題 0BJZ、注意 0BK2、および補題 0BK1 を組み合わせて (1) を得る。 (2) が成り立たないならば、注意 0AWC の議論（および注意 0BK2）により、 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\) は、ある \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) に対して有限でない。したがって補題 0BJZ により、 \(j_*\mathcal{F}\) は連接でない。

補題

\(A\) を Noether 環、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(Z = V(I)\) とおき、\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。次の条件は同値である。

\(H^1_Z(M)\) は有限 \(A\)-加群である。

すべての \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) で \(\mathfrak p \not \in Z\) であるもの、およびすべての \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p + I)\) に対して、 \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) の完備化は次元 \(1\) の随伴素イデアルをもたない。

証明

命題 0BK3 から、補題 0BK0 を介して直ちに従う。

次の補題の定式化には、条件 (1) と (2) が \(X\) 上有限型の概形に継承されるという利点がある。さらに、これは第 0BJX 節で高次順像へ一般化する有限性の形である。

補題

\(X\) を局所 Noether 概形とする。 \(j : U \to X\) を、補集合が \(Z\) である開部分概形の包含とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。次を仮定する。

\(X\) は普遍鎖状である。

すべての \(z \in Z\) に対して、\(\mathcal{O}_{X, z}\) の形式的ファイバーは \((S_1)\) を満たす。

この状況で、次の条件は同値である。

\(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) および \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\) に対して \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\) である。

\(j_*\mathcal{F}\) は連接である。

証明

\(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) とする。命題 0BK3 により、\(A = \mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}\) が、その完備化の随伴素イデアルに関する同命題の条件を満たすことと \(\dim(A) \geq 2\) であることが同値であると示せば十分である。 \(A\) は普遍鎖状であり（これは明らかである）、その形式的ファイバーは \((S_1)\) を満たす。後者は More on Algebra, 補題 0BIX および命題 0BIV から従う。 \(\mathfrak p' \subset A^\wedge\) を随伴素イデアルとする。 \(A \to A^\wedge\) は平坦なので、 Algebra, 補題 0312 により、 \(\mathfrak p'\) は \((0) \subset A\) の上にある。形式的ファイバー \(A^\wedge \otimes_A F\) は \((S_1)\) を満たす。ここで \(F\) は \(A\) の分数体である。したがって \(\mathfrak p'\) は極小素イデアルである。 Algebra, 補題 031Q を参照せよ。 \(A\) は普遍鎖状なので、More on Algebra, 命題 0AW6 により形式的に鎖状である。したがって \(\dim(A^\wedge/\mathfrak p') = \dim(A)\) となり、同値性が示された。

深さと次元

いくつかの補助補題を与える。

補題

\(A\) を Noether 環とし、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(M\) を有限 \(A\)-加群とし、\(\mathfrak p \in V(I)\) を素イデアルとする。 \(e = \text{depth}_{IA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\) と仮定する。このとき空でない開集合 \(U \subset V(\mathfrak p)\) が存在して、 \(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) がすべての \(\mathfrak q \in U\) に対して成り立つ。

証明

深さの定義により \(IM_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\) であり、 \(M_\mathfrak p\)-正則列 \(f_1, \ldots, f_e \in IA_\mathfrak p\) が存在する。\(A\) を主局所化で置き換えると、\(f_1, \ldots, f_e \in I\) が \(M\)-正則列をなすと仮定してよい。 Algebra, 補題 061L を参照せよ。加群 \(M' = M/IM\) を考える。\(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\) であり、有限加群の台は閉だから、\(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\) を得る。したがって \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\) に対して \(IM_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\) である。ゆえに局所化が完全であることと深さの定義から、\(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) が任意の \(\mathfrak q \in V(I)\) に対して成り立つ。

補題

\(A\) を Noether 環とし、\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。 \(\mathfrak p\) を素イデアルとし、 \(e = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\) と仮定する。このとき空でない開集合 \(U \subset V(\mathfrak p)\) が存在して、 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) がすべての \(\mathfrak q \in U\) に対して成り立ち、さらに有限個を除くすべての \(\mathfrak q \in U\) に対して \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) > e\) が成り立つ。

証明

深さの定義により \(\mathfrak p M_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\) であり、 \(M_\mathfrak p\)-正則列 \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p A_\mathfrak p\) が存在する。\(A\) を主局所化で置き換えると、\(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p\) が \(M\)-正則列をなすと仮定してよい。Algebra, 補題 061L を参照せよ。加群 \(M' = M/(f_1, \ldots, f_e)M\) を考える。 \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\) であり、有限加群の台は閉だから、 \(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\) を得る。したがって \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\) に対して \(\mathfrak q M_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\) である。ゆえに局所化が完全であることと深さの定義から、 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\) が任意の \(\mathfrak q \in V(I)\) に対して成り立つ。さらに \(\mathfrak q\) が加群 \(M'\) の随伴素イデアルでなければ、深さは増加する。したがって最後の主張は Algebra, 補題 00LC から従う。

補題

\(X\) を双対化複体 \(\omega_X^\bullet\) をもつ Noether 概形とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(k \geq 0\) を整数とする。 \(\mathcal{F}\) が \((S_k)\) を満たすと仮定する。このとき次を満たす点 \(x \in X\) は有限個しかない。 \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) = k \quad\text{かつ}\quad \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_x)) > k\]

証明

この補題を \(k\) に関する帰納法で証明する。基底の場合 \(k = 0\) は、 \(\mathcal{F}\) の埋め込まれた随伴点が有限個であるという主張であり、これは Divisors, 補題 05AF から従う。

\(k > 0\) とし、より小さいすべての \(k\) に対して結果が成り立つと仮定する。 \(X\) は有限個のアフィン開集合で被覆できるので、 \(X = \Spec(A)\) はアフィンであると仮定してよい。このとき \(\mathcal{F}\) は、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、有限 \(A\)-加群 \(M\) に付随する。この加群は \((S_k)\) を満たす。以下では Algebra, 補題 0B52 および 090R を断りなく用いる。

\(f \in A\) を \(M\) 上の非零因子とする。このとき \(M/fM\) は \((S_{k - 1})\) を満たす。帰納法により、素イデアル \(\mathfrak p \in V(f)\) で、 \(\text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) = k - 1\) かつ \(\dim(\text{Supp}((M/fM)_\mathfrak p)) > k - 1\) を満たすものは有限個しかない。これらはちょうど、素イデアル \(\mathfrak p \in V(f)\) で、 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = k\) かつ \(\dim(\text{Supp}(M_\mathfrak p)) > k\) を満たすものである。したがって有限性を証明する際に、 \(A\) を \(A_f\) で、\(M\) を \(M_f\) で置き換えてよい。

\(M\) は \((S_k)\) を満たし、\(k > 0\) だから、\(M\) は埋め込まれた随伴素イデアルをもたない（Algebra, 補題 031Q）。したがって \(\text{Ass}(M)\) は \(M\) の台の生成点全体である。ゆえに Dualizing Complexes, 補題 0EHS により、集合 \(U = \{\mathfrak q \mid M_\mathfrak q\text{ は Cohen--Macaulay である}\}\) は \(\text{Ass}(M)\) を含む開集合である。素イデアル回避（Algebra, 補題 00DS）により、 \(f \in A\) を、\(f \not \in \mathfrak p\) が \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) に対して成り立ち、かつ \(D(f) \subset U\) となるように選べる。すると \(f\) は \(M\) 上の非零因子である（Algebra, 補題 00LD）。上で述べたように \(A\) を \(A_f\) で、\(M\) を \(M_f\) で置き換えると、\(M\) は Cohen–Macaulay であることが分かる。したがってすべての \(\mathfrak q \subset A\) に対して \(\dim(M_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak q)\) である。ゆえに補題で記述した集合は空であり、まして有限である。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を正規化された双対化複体 \(\omega_A^\bullet\) をもつ Noether 局所環とする。\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。 \(E^i = \text{Ext}_A^{-i}(M, \omega_A^\bullet)\) とおく。このとき次が成り立つ。

\(E^i\) は有限 \(A\)-加群であり、 \(0 \leq i \leq \dim(\text{Supp}(M))\) の場合にのみ零でない。

\(\dim(\text{Supp}(E^i)) \leq i\),

\(\text{depth}(M)\) は、整数 \(\delta \geq 0\) で \(E^\delta \not = 0\) を満たすもののうち最小である。

\(\mathfrak p \in \text{Supp}(E^0 \oplus \ldots \oplus E^i) \Leftrightarrow \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) \leq i\),

\(E^i\) の零化イデアルは \(H^i_\mathfrak m(M)\) の零化イデアルに等しい。

証明

(1)、(2)、(3) は Dualizing Complexes, 補題 0A7U の主張そのものである。素イデアル \(\mathfrak p\) を \(A\) のものとすると、 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)]\) は \(A_\mathfrak p\) の正規化された双対化複体である。Dualizing Complexes, 補題 0A7Z を参照せよ。したがって \[E^i_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i + \dim(A/\mathfrak p)}_{A_\mathfrak p} (M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)])\] は、\(i - \dim(A/\mathfrak p) < \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) ならば零であり、\(i = \dim(A/\mathfrak p) + \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) ならば零でない。これは \(A_\mathfrak p\) 上で (3) を用いることによる。これで (4) が示された。 \(E\) を \(A\) の剰余体の入射包絡とすると、 \[\Hom_A(H^i_\mathfrak m(M), E) = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)^\wedge = (E^i)^\wedge = E^i \otimes_A A^\wedge\] を得る。これは局所双対定理（Dualizing Complexes, 補題 0AAK の形）による。 \(A \to A^\wedge\) は忠実平坦だから、Matlis 双対性（Dualizing Complexes, 命題 08Z9）により (5) が従う。

局所コホモロジーの零化イデアル I

この節では Faltings による結果を論じる。 [Faltings-annulators] を参照せよ。

命題

\(A\) を双対化複体をもつ Noether 環とする。 \(T \subset T' \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(s \geq 0\) を整数とし、\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。次の条件は同値である。

イデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T'\) を満たし、 \(J\) が \(H^i_T(M)\) を \(i \leq s\) に対して零化するものが存在する。

すべての \(\mathfrak p \not \in T'\) と、 \(\mathfrak q \in T\) で \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) を満たすものに対して、 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

証明

\(\omega_A^\bullet\) を双対化複体とし、\(\delta\) をその次元関数とする。 Dualizing Complexes, 第 0A7W 節を参照せよ。以下では有限 \(A\)-加群 \[E^i = \Ext_A^i(M, \omega_A^\bullet)\] が重要な役割を果たす。\(\mathfrak p \subset A\) に対し、\(H^i_\mathfrak p\) により \(A_\mathfrak p\)-加群の \(\mathfrak pA_\mathfrak p\) に関する局所コホモロジーを表すことにする。このとき \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-進完備化を考えると、 \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] は \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] の Matlis 双対である。これは Dualizing Complexes, 補題 0AAK による。特に次の事実が従う。イデアル \(J \subset A\) が \((E^i)_\mathfrak p\) を零化することと、\(J\) が \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\) を零化することは同値である。

\(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\) とおく。 \(\delta\) は有界関数だから、\(T_a = \emptyset\) が \(a \ll 0\) に対して成り立ち、 \(T_b = T\) が \(b \gg 0\) に対して成り立つ。

(2) を仮定し、(1) のような \(J\) の存在を示そう。そのため二重帰納法を用いる。 \(i \leq s\) に対して、帰納法の仮定 \(IH_i\) を次のように取る。 \(H^a_T(M)\) は、ある \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T'\) を満たすものにより、 \(0 \leq a \leq i\) に対して零化される。\(IH_0\) の場合は明らかである。実際、\(H^0_T(M)\) は \(M\) の部分加群だから有限であり、したがってあるイデアル \(J\) で \(V(J) \subset T\) を満たすものにより零化される。

帰納段階を考える。\(IH_{i - 1}\) がある \(0 < i \leq s\) に対して成り立つと仮定する。 \(J'\) を、\(V(J') \subset T'\) を満たし、\(H^a_T(M)\) を \(0 \leq a \leq i - 1\) に対して零化するものとして選ぶ（帰納法の仮定により可能である）。 \(n\) に関する降下帰納法により、イデアル \(J\) で \(V(J) \subset T'\) を満たし、 \(J H^i_T(M)\) の随伴素イデアルが \(T_n\) に属するものが存在することを示す。 \(n \ll 0\) なら、これは \(JH^i_T(M) = 0\) を意味する（Algebra, 補題 0587）。したがって \(IH_i\) が成り立つ。基底の場合 \(n \gg 0\) は明らかである。この場合 \(T = T_n\) であり、 \(H^i_T(M)\) のすべての随伴素イデアルは \(T\) に属するからである。

そこで \(J\) が \(n\) に対する性質をもつものとして与えられたと仮定する。 \(\mathfrak q \in T_n\) とし、\(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\) を \(T\) の逆像とする。補題 0EF5 により \(H^j_T(M)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)\) である。補題 0EF6 のスペクトル系列 \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\] を考える。以下で、イデアル \(J'' \subset A\) で \(V(J'') \subset T'\) を満たし、 \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\) を \(J''\) により、すべての \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) に対して零化するものを見いだす。 \(J (J')^i J''\) が \(n - 1\) に対して使えると主張する。実際、\(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) とする。上のスペクトル系列はフィルトレーション \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q))\] を定める。加群 \(E_\infty^{0, i}\) は \(J''\) により零化される。部分商 \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\) は \(i + 1 \geq j \geq 2\) に対して \(J'\) により零化される。実際、\(d_j^{0, i}\) の標的は \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q)\] の部分商であり、\(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q\) は \(J'\) の選び方により \(J'\) によって零化される。最後に \(J\) の選び方から \(J H^i_T(M)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(M)_\mathfrak q)\) である。なぜなら \(\Spec(A_\mathfrak q)\) の閉点でない点では \(\delta\) の値がより大きいからである。したがって望みどおり、 \(\mathfrak q\) は \(J(J')^iJ'' H^i_T(M)\) の随伴素イデアルではあり得ない。

冒頭の注意から、\(J''\) は \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] をすべての \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) に対して零化すべきである。しかし \(J''\) が一つの \(\mathfrak q\) に対して使えるなら、その \(\mathfrak q\) のある開近傍内のすべての \(\mathfrak q\) に対して使える。これは加群 \(E^{-n - i}\) が有限だからである。 \(\Spec(A)\) の任意の部分集合は誘導位相に関して Noether である（Topology, 補題 0052）から、 \(J''\) の存在を一つの \(\mathfrak q\) に対して示せば十分である。

Ext 加群は有限だから、\(J''\) の存在は \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] と同値である。これは、\(E^{-n - i}\) の局所化が、すべての \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)、\(\mathfrak p \not \in T'\) において零であることと同値である。 \(A_\mathfrak p\) 上の局所双対性を用いると、 \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\] が零であることを示せばよい（ここで \(\delta\) が次元関数であることを用いた）。これは命題の仮定、\(i \leq s\)、および Dualizing Complexes, 補題 0AVZ により消滅する。

逆向きの含意を示すため、(2) が成り立たないと仮定し、上の議論を逆にたどる。まず \(\mathfrak q \in T\)、\(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)、 \(\mathfrak p \not \in T'\) を、 \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] が最小となるように選ぶ。このとき \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\) は零でない。これは Dualizing Complexes, 補題 0AVZ の非消滅による。\(n = \delta(\mathfrak q)\) とおく。するとイデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T'\) を満たし、 \(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\) となるものは存在しない。したがって \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\) は、イデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T'\) を満たすものにより零化されない。\(i\) の最小性と上に表示したスペクトル系列から、加群 \(H^i_T(M)_\mathfrak q\) はイデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T'\) を満たすものにより零化されない。したがって \(H^i_T(M)\) はイデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T'\) を満たすものにより零化されない。これで命題の証明が終わる。

補題

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとする。\(M\) を有限 \(A\)-加群、 \(\mathfrak p \subset A\) を素イデアル、\(s \geq 0\) を整数とする。次を仮定する。

\(A\) は双対化複体をもつ。

\(\mathfrak p \not \in V(I)\) である。

すべての素イデアル \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\) と、 \(\mathfrak q \in V(I)\) で \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q\) を満たすものに対して、 \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_\mathfrak q) > s\]

このとき \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\) であって、 \(H^i_{V(I)}(M)\) を \(i \leq s\) に対して零化するものが存在する。

証明

集合 \[T = V(I) \quad\text{および}\quad T' = \bigcup\nolimits_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} V(f)\] を考える。これらは \(\Spec(A)\) の特殊化で安定な部分集合である。 \(T \subset T'\) かつ \(\mathfrak p \not \in T'\) であることに注意する。仮定 (3) は命題 0EFC の仮定 (2) が成り立つことを述べている。したがって \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T'\) を満たし、 \(J H^i_{V(I)}(M) = 0\) が \(i \leq s\) に対して成り立つものを取れる。 \(f \in A\)、\(f \not \in \mathfrak p\) を \(V(J) \subset V(f)\) となるように選ぶ。 \(f\) のある冪は \(H^i_{V(I)}(M)\) を \(i \leq s\) に対して零化する。

局所コホモロジーの有限性 II

第 0AW7 節で始めた局所コホモロジーの有限性の議論を続ける。 Faltings 零化イデアル定理を用いると、次の基本的結果が容易に証明できる。

命題

\(A\) を双対化複体をもつ Noether 環とする。 \(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(s \geq 0\) を整数とし、\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。次の条件は同値である。

\(H^i_T(M)\) は有限 \(A\)-加群である（\(i \leq s\)）。

すべての \(\mathfrak p \not \in T\) と、\(\mathfrak q \in T\) で \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) を満たすものに対して、 \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

証明

命題 0EFC と補題 0AW8 の形式的帰結である。

後で用いるいくつかの補題のほか、この節の残りでは、命題 0EFD における「\(A\) が双対化複体をもつ」という条件をどの程度弱められるかを論じる。大まかに言えば、\(A\) の形式的ファイバーが \((S_n)\) を満たすと仮定する必要があり、ここで \(n\) は十分大きい。

\(A\) を Noether 環、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(X = \Spec(A)\) および \(Z = V(I) \subset X\) とおき、\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。次のように定義する。 [0BJR]\[\begin{equation} s_{A, I}(M) = \min \{ \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \mid \mathfrak p \in X \setminus Z, \mathfrak q \in Z, \mathfrak p \subset \mathfrak q \} \end{equation}\] 深さに関する規約では \(0\) の深さは \(\infty\) であるから、素イデアル \(\mathfrak p\) のうち \(M\) の台に属するものだけを考えればよい。\(s_{A, I}(M)\) はこの状況の重要な不変量であることが後に分かる。

補題

\(A \to B\) を Noether 環の有限準同型とする。\(I \subset A\) をイデアルとし、 \(J = IB\) とおく。\(M\) を有限 \(B\)-加群とする。\(A\) が普遍鎖状ならば \(s_{B, J}(M) = s_{A, I}(M)\) である。

証明

\(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\) を、\(I \subset \mathfrak q\) かつ \(I \not \subset \mathfrak p\) を満たす素イデアルとする。\(A \to B\) は有限なので、 \(\mathfrak p_i\) を \(\mathfrak p\) の上にある素イデアルとすれば、その個数は有限である。 Algebra, 補題 0AUK により \[\text{depth}(M_\mathfrak p) = \min \text{depth}(M_{\mathfrak p_i})\] である。\(\mathfrak p_i \subset \mathfrak q_{ij}\) を \(\mathfrak q\) の上にある素イデアルとする。\(A \to B\) に対する上昇定理（Algebra, 補題 00GU）により、少なくとも一つの \(\mathfrak q_{ij}\) が存在し、これは各 \(i\) について成り立つ。このとき \[\dim((B/\mathfrak p_i)_{\mathfrak q_{ij}}) = \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\] が次元公式により成り立つ。Algebra, 補題 02IJ を参照せよ。したがって、\(s_{B, J}(M)\) の定義に用いる量を組 \((\mathfrak p_i, \mathfrak q_{ij})\) にわたって最小化した値は、組 \((\mathfrak p, \mathfrak q)\) に対する量に等しい。これで補題が従う。

補題

\(A\) を双対化複体をもつ Noether 環とし、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(M\) を有限 \(A\)-加群とする。\(A', M'\) を \(I\)-進完備化とし、それぞれ \(A, M\) から得られるものとする。 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\) を \(A'\) の素イデアルで、 \(\mathfrak q' \in V(IA')\) を満たし、\(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) の上にあるものとする。ここで後者は \(A\) の素イデアルである。このとき \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] かつ \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\]

証明

次が成り立つ。 \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\] これは \(A \to A'\) の平坦性による。Algebra, 補題 0338 を参照せよ。 \(A \to A'\) のファイバーは Cohen–Macaulay である（Dualizing Complexes, 補題 0AWY および More on Algebra, 第 0BIR 節）から、 \(\text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) = \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'})\)。したがって \[\begin{align*} \text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \end{align*}\] を得る。第2の等号は \(A'\) が鎖状であることによる。第3の等号は More on Algebra, 補題 07NV による。実際、\((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\) と \((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}\) は同じ \(I\)-進完備化をもつ。

補題

\(A\) を普遍鎖状 Noether 局所環とする。 \(I \subset A\) をイデアルとし、\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。このとき \[s_{A, I}(M) \geq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\] \(A\) の形式的ファイバーが \((S_n)\) を満たすならば、 \(\min(n + 1, s_{A, I}(M)) \leq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\) である。

証明

\(X = \Spec(A)\)、\(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\)、\(Z = V(I) \subset X\) および \(Z^\wedge = V(I^\wedge)\) とおく。 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q' \subset A^\wedge\) を \(\mathfrak p' \not \in Z^\wedge\) かつ \(\mathfrak q' \in Z^\wedge\) を満たす素イデアルとする。 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) を対応する \(A\) の素イデアルとする。このとき \(\mathfrak p \not \in Z\) かつ \(\mathfrak q \in Z\) である。図式は \[\xymatrix{ \mathfrak p' \ar[r] & \mathfrak q' \ar[r] & A^\wedge \\ \mathfrak p \ar[r] \ar@{-}[u] & \mathfrak q \ar[r] \ar@{-}[u] & A \ar[u] }\] 次のようにおく。 \[\begin{align*} a & = \dim(A/\mathfrak p) = \dim(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge),\\ b & = \dim(A/\mathfrak q) = \dim(A^\wedge/\mathfrak qA^\wedge),\\ a' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak p'),\\ b' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak q') \end{align*}\] これらの等式は More on Algebra, 補題 07NV による。また \[\begin{align*} p & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak p A^\wedge)_{\mathfrak p'}) \\ q & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak q'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak q'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak q A^\wedge)_{\mathfrak q'}) \end{align*}\] とおく。\(A\) は普遍鎖状であるから、 \(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge = (A/\mathfrak p)^\wedge\) は次元 \(a\) の等次元環である（More on Algebra, 命題 0AW6）。したがって \(a = a' + p\) である。同様に \(b = b' + q\) である。 Algebra, 補題 0338 を平坦な局所環準同型 \(A_\mathfrak p \to A^\wedge_{\mathfrak p'}\) に適用すると、 \[\text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})\] を得る。\(s_{A, I}(M)\) の定義で最小化している量は \[s(\mathfrak p, \mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + a - b\] である（最後の等号は \(A\) が鎖状であることによる）。 \(s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\) の定義で最小化している量は \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + a' - b'\] である（最後の等号は \(A^\wedge\) が鎖状であることによる）。以上で証明を始めるための記号が整った。

\(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\) を、 \(\mathfrak p \not \in Z\) かつ \(\mathfrak q \in Z\) を満たし、 \(s_{A, I}(M) = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\) となる素イデアルとする。 \(\mathfrak q'\) を \(\mathfrak q A^\wedge\) の上で極小に選び、 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\) を \(\mathfrak p A^\wedge\) の上で極小に選べる（\(A \to A^\wedge\) に対する下降定理を用いる）。すると上のような四つの素イデアルが得られ、\(p = 0\) かつ \(q = 0\) である。さらに \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})=0\) も \(p = 0\) から従う。したがって \(s(\mathfrak p', \mathfrak q') = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\)。これにより最初の不等式を得る。

次に、\(A\) の形式的ファイバーが \((S_n)\) を満たすと仮定する。このとき \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) \geq \min(n, p)\)。したがって \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') \geq s(\mathfrak p, \mathfrak q) + q + \min(n, p) - p \geq s_{A, I}(M) + q + \min(n, p) - p\] である。問題が生じ得るのは \(p > n\) の場合だけである。この場合は \[\begin{align*} s(\mathfrak p', \mathfrak q') & = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & \geq 0 + n + 1 \end{align*}\] となる。実際、\((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}\) は少なくとも二つの素イデアルをもつ。これで第二の不等式が証明された。

次の補題の証明法はより一般的な状況にも適用できるが、そこから得られるより強い結果は、後の定理 0BJV に含まれる。

補題

\(A\) を Gorenstein Noether 局所環とする。\(I \subset A\) をイデアルとし、 \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\) とおく。 \(M\) を有限 \(A\)-加群とする。(0BJR) のように \(s = s_{A, I}(M)\) とおく。このとき \(H^i_Z(M)\) は \(i < s\) に対して有限であるが、 \(H^s_Z(M)\) は有限でない。

証明

Gorenstein 局所環は双対化複体をもつので、これは命題 0EFD の特殊な場合である。後で一般の有限性定理を証明する際に用いるため、この特殊な場合の短い証明があれば有用であろう。

次の定理の仮定は、優秀 Noether 環については定義により、双対化複体をもつ Noether 環については Dualizing Complexes, 補題 0A80 および Dualizing Complexes, 補題 0AWY により、また正則 Noether 環の商についても満たされることに注意する。

定理

\(A\) を Noether 環とし、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\) とおく。\(M\) を有限 \(A\)-加群とする。 (0BJR) のように \(s = s_{A, I}(M)\) とおく。次を仮定する。

\(A\) は普遍鎖状である。

\(A\) の局所環の形式的ファイバーは Cohen–Macaulay である。

このとき \(H^i_Z(M)\) は \(0 \leq i < s\) に対して有限であり、 \(H^s_Z(M)\) は有限でない。

証明

補題 0AW9 により、 \(A\) は局所環であると仮定してよい。

\(A\) が Noether 完備局所環ならば、Cohen の構造定理（Algebra, 定理 032A）により、 \(A\) を正則完備局所環 \(B\) の商として書ける。補題 0BJS と Dualizing Complexes, 補題 0BJB を用いると、正則局所環の場合に帰着する。この場合は補題 0BJU から従う。実際、正則局所環は Gorenstein である（Dualizing Complexes, 補題 0AWX）。

\(A\) を Noether 局所環とし、\(\mathfrak m\) をその極大イデアルとする。 \(I \subset \mathfrak m\) と仮定してよい。そうでなければこの主張は自明である。 \(A^\wedge\) を \(A\) の完備化とし、\(Z^\wedge = V(IA^\wedge)\) とおく。また \(M^\wedge = M \otimes_A A^\wedge\) を \(M\) の完備化とする（Algebra, 補題 00MA）。このとき \(H^i_Z(M) \otimes_A A^\wedge = H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\) である。これは Dualizing Complexes, 補題 0ALZ と \(A \to A^\wedge\) の平坦性（Algebra, 補題 00MB）による。したがって、\(H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\) が \(i < s\) に対して有限であり、 \(i = s\) に対して有限でないことを示せば十分である。Algebra, 補題 03C4 を参照せよ。結論が \(A^\wedge\) に対して成り立つことは既知なので、 \(s_{A, I}(M) = s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\) を示せば十分である。これは補題 0BJT から従う。

注意

注意深い読者は、\(A\) の局所環の形式的ファイバーに課す条件をわずかに弱められることに気づいたであろう。すなわち、定理 0BJV の状況で、\(A\) は普遍鎖状であると仮定する一方、形式的ファイバーには何も仮定しないとする。整数 \(n\) が与えられ、 \(H^i_Z(M)\) が \(i \leq n\) に対して有限であることを示したいとする。まったく同じ証明から、\(s_{A, I}(M) > n\) であり、かつ \(A\) の局所環の形式的ファイバーが \((S_n)\) を満たせば十分であると分かる。一方、\(H^s_Z(M)\) が有限でないことを示したいとし、ここで \(s = s_{A, I}(M)\) とする。この場合、形式的ファイバーが \((S_{s - 1})\) を満たせば、上の議論によって結論が得られる。

順像の有限性 II

この節は第 0BL8 節の続きである。ここでは、第 0BJQ 節で行った仕事の成果を得る。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。\(j : U \to X\) を、補集合が \(Z\) である開部分スキームの包含とする。\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群とし、\(n \geq 0\) を整数とする。次を仮定する。

\(X\) は普遍鎖状である。

すべての \(z \in Z\) に対して、\(\mathcal{O}_{X, z}\) の形式的ファイバーは \((S_n)\) を満たす。

このとき、次の条件は同値である。

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) および \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\) に対して \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > n\) である。

\(R^pj_*\mathcal{F}\) は \(0 \leq p < n\) に対して連接である。

証明

この主張は \(X\) 上局所的なので、\(X\) はアフィンであると仮定してよい。 \(X = \Spec(A)\) および \(Z = V(I)\) と書く。\(M\) を有限 \(A\)-加群とし、それに対応する連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群は \(\mathcal{F}\) の \(U\) からの延長であるとする。補題 0BK0 を参照せよ。この補題から、\(R^pj_*\mathcal{F}\) が連接であることと \(H^{p + 1}_Z(M)\) が有限 \(A\)-加群であることも同値である。さらに、式 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z})\) の最小値は、(0BJR) の数 \(s_{A, I}(M)\) であることに注意する。以上から、定理 0BJV により補題が従う。この適用については注意 0BJW を参照せよ。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。\(j : U \to X\) を、補集合が \(Z\) である開部分スキームの包含とし、\(n \geq 0\) を整数とする。 \(R^pj_*\mathcal{O}_U\) が \(0 \leq p < n\) に対して連接ならば、 \(R^pj_*\mathcal{F}\) も \(0 \leq p < n\) に対して連接である。これは任意の有限局所自由 \(\mathcal{O}_U\)-加群 \(\mathcal{F}\) について成り立つ。

証明

問題は \(X\) 上局所的なので、\(X\) はアフィンであると仮定してよい。 \(X = \Spec(A)\) および \(Z = V(I)\) と書く。補題 0BK0 を介して、本補題は補題 0BPY から従う。

補題

\(A\) を環とし、\(J \subset I \subset A\) を有限生成イデアルとする。 \(p \geq 0\) を整数とし、\(U = \Spec(A) \setminus V(I)\) とおく。 \(H^p(U, \mathcal{O}_U)\) が \(J^n\) で零化されるような \(n\) が存在するならば、 \(H^p(U, \mathcal{F})\) は \(J^m\) で零化される。ここで、そのような \(m = m(\mathcal{F})\) が存在し、これは任意の有限局所自由 \(\mathcal{O}_U\)-加群 \(\mathcal{F}\) について成り立つ。

証明

まず、\(\mathfrak a\) を \(H^p(U, \mathcal{F})\) の零化イデアルとする。 \(u \in U\) とする。開近傍 \(u \in U' \subset U\) と同型 \(\varphi : \mathcal{O}_{U'}^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_{U'}\) が存在する。\(f \in A\) を \(u \in D(f) \subset U'\) となるように選ぶ。次の射が存在する。 \[a : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F} \quad\text{および}\quad b : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{O}_U^{\oplus r}\] これらの \(D(f)\) 上の制限は、それぞれ \(f^N \varphi\) および \(f^N \varphi^{-1}\) に等しく、これはある \(N\) に対して成り立つ。さらに、 \(a \circ b\) と \(b \circ a\) はともに \(f^{2N}\) 倍写像であると仮定してよい。これは Properties, 補題 01XQ から従う。実際、\(U\) は準コンパクトであり（\(I\) は有限生成である）、分離的で、かつ \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{O}_U^{\oplus r}\) は有限表示である。したがって、\(H^p(U, \mathcal{F})\) は \(f^{2N}J^n\) で零化される。すなわち \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\) である。

\(U\) は準コンパクトなので、有限個の \(f_1, \ldots, f_t\) と \(N_1, \ldots, N_t\) を、\(U = \bigcup D(f_i)\) かつ \(f_i^{2N_i}J^n \subset \mathfrak a\) となるように取れる。すると \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\) である。\(I\) は有限生成なので、 \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\) となる \(M\) が存在する。以上より、\(J^m \subset \mathfrak a\) が \(m \gg 0\) に対して成り立つ。例えば \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\) とすればよい。

局所コホモロジーの零化イデアル II

第 0EFB 節における局所コホモロジーの零化イデアルの議論を、有限なコホモロジー加群をもつ下に有界な複体へ拡張する。

定義

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとし、 \(K \in D^+_{\textit{Coh}}(A)\) とする。\(I\)-深さを \(K\) に対して定義し、 \(\text{depth}_I(K)\) と書く。それは、\(m \in \mathbf{Z} \cup \{\infty\}\) のうち、 \(H^i_I(K) = 0\) がすべての \(i < m\) に対して成り立つ最大のものとする。 \(A\) が極大イデアル \(\mathfrak m\) をもつ局所環ならば、 \(\text{depth}_\mathfrak m(K)\) を単に \(K\) の深さと呼ぶ。

この定義は Algebra, 定義 00LI と矛盾しない。これは Dualizing Complexes, 補題 0AVZ による。

命題

\(A\) を双対化複体をもつ Noether 環とする。 \(T \subset T' \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(s \in \mathbf{Z}\) とし、\(K\) を \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\) の対象とする。次の条件は同値である。

イデアル \(J \subset A\) が存在し、\(V(J) \subset T'\) を満たして、 \(J\) は \(H^i_T(K)\) を \(i \leq s\) に対して零化する。

すべての \(\mathfrak p \not \in T'\) と、 \(\mathfrak q \in T\) で \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) を満たすものに対して \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\] である。

証明

この結果は命題 0EFC の自然な一般化であり、読者はまず同命題の証明を読むべきである。 \(\omega_A^\bullet\) を双対化複体とし、\(\delta\) をその次元関数とする。 Dualizing Complexes, 第 0A7W 節を参照せよ。次の有限 \(A\)-加群が重要な役割を果たす。 \[E^i = \Ext_A^i(K, \omega_A^\bullet)\] \(\mathfrak p \subset A\) に対し、\(H^i_\mathfrak p\) と書いて、 \(D(A_\mathfrak p)\) の対象の \(\mathfrak pA_\mathfrak p\) に関する局所コホモロジーを表す。このとき、次の加群の \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-進完備化は \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] 次の加群の Matlis 双対である。 \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\] これは Dualizing Complexes, 補題 0AAK による。とくに、次の事実を得る。イデアル \(J \subset A\) が \((E^i)_\mathfrak p\) を零化することと、\(J\) が \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\) を零化することは同値である。

\(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\) とおく。 \(\delta\) は有界関数なので、\(T_a = \emptyset\) は \(a \ll 0\) に対して成り立ち、 \(T_b = T\) は \(b \gg 0\) に対して成り立つ。

(2) を仮定し、(1) のような \(J\) の存在を示そう。そのために二重帰納法を用いる。 \(i \leq s\) に対して、次の帰納法の仮定 \(IH_i\) を考える。 \(H^a_T(K)\) は、\(J \subset A\) かつ \(V(J) \subset T'\) を満たすあるイデアルで \(a \leq i\) に対して零化される。\(IH_i\) は、\(i\) が十分小さければ自明である。実際、\(K\) は下に有界である。

帰納段階に移る。\(IH_{i - 1}\) が成り立つと仮定し、\(i \leq s\) とする。 \(J'\) を、\(V(J') \subset T'\) を満たし、\(H^a_T(K)\) を \(a \leq i - 1\) に対して零化するように選ぶ（帰納法の仮定により、このように選べる）。\(n\) に関する下降帰納法により、イデアル \(J\) が存在し、\(V(J) \subset T'\) を満たし、 \(J H^i_T(K)\) の随伴素イデアルが \(T_n\) に属することを示す。 \(n \ll 0\) に対して、これは \(JH^i_T(K) = 0\) を意味する（Algebra, 補題 0587）。したがって \(IH_i\) が成り立つ。初期段階 \(n \gg 0\) は自明である。この場合は \(T = T_n\) であり、 \(H^i_T(K)\) のすべての随伴素イデアルが \(T\) に属するからである。

そこで、上の性質をもつ \(J\) が \(n\) に対して与えられたと仮定する。 \(\mathfrak q \in T_n\) とする。\(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\) を \(T\) の逆像とする。このとき \(H^j_T(K)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)\) である。これは補題 0EF5 による。補題 0EF6 のスペクトル系列 \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\] を考える。以下で、イデアル \(J'' \subset A\) で \(V(J'') \subset T'\) を満たし、 \(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\) が \(J''\) で零化されるものを見つける。これはすべての \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) に対して成り立つ。主張：\(J (J')^i J''\) は \(n - 1\) に対して求める性質をもつ。実際、\(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) とする。上のスペクトル系列はフィルトレーション \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q))\] を定める。加群 \(E_\infty^{0, i}\) は \(J''\) で零化される。部分商 \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\) は \(i + 1 \geq j \geq 2\) に対して \(J'\) で零化される。実際、\(d_j^{0, i}\) の終域は次の加群の部分商である。 \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q)\] また、\(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q\) は \(J'\) の選び方により \(J'\) で零化される。最後に、\(J\) の選び方により \(J H^i_T(K)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(K)_\mathfrak q)\) である。これは \(\Spec(A_\mathfrak q)\) の非閉点における \(\delta\) の値がより大きいからである。したがって、望みどおり \(\mathfrak q\) は \(J(J')^iJ'' H^i_T(K)\) の随伴素イデアルではない。

冒頭の考察により、\(J''\) は \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] を零化すべきであり、これはすべての \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\) に対して必要である。しかし、\(J''\) が一つの \(\mathfrak q\) に対して有効ならば、 \(\mathfrak q\) のある開近傍に属するすべての \(\mathfrak q\) に対して有効である。加群 \(E^{-n - i}\) が有限だからである。 \(\Spec(A)\) の任意の部分集合は誘導位相について Noether である（Topology, 補題 0052）。したがって、 \(J''\) が一つの \(\mathfrak q\) に対して存在することを示せば十分である。

Ext 加群は有限なので、\(J''\) の存在は \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] と同値である。これは、\(E^{-n - i}\) の局所化が、すべての \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) かつ \(\mathfrak p \not \in T'\) において零であることと同値である。\(A_\mathfrak p\) 上の局所双対性を用いると、次を示せばよいと分かる。 \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\] これは零である（ここでは \(\delta\) が次元関数であることを用いる）。補題の仮定、\(i \leq s\)、および定義 0EHY における深さの定義により、実際に零となる。

逆の含意を証明するため、(2) が成り立たないと仮定し、上の議論を逆にたどる。まず、\(\mathfrak q \in T\) と \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) を \(\mathfrak p \not \in T'\) となるように選び、 \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] が最小となるようにする。このとき \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\) は、定義 0EHY における深さの定義により零でない。 \(n = \delta(\mathfrak q)\) とおく。このとき、\(J \subset A\) かつ \(V(J) \subset T'\) を満たし、\(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\) となるイデアルは存在しない。したがって、\(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\) は \(J \subset A\) かつ \(V(J) \subset T'\) を満たすイデアルでは零化されない。 \(i\) の最小性と上で表示したスペクトル系列から、加群 \(H^i_T(K)_\mathfrak q\) は \(J \subset A\) かつ \(V(J) \subset T'\) を満たすイデアルでは零化されない。したがって、\(H^i_T(K)\) は \(J \subset A\) かつ \(V(J) \subset T'\) を満たすイデアルでは零化されない。これで命題が証明された。

局所コホモロジーの有限性 III

第 0AW7 節および第 0BJQ 節における局所コホモロジーの有限性の議論を、有限なコホモロジー加群をもつ下に有界な複体へ拡張する。

補題

\(A\) を Noether 環とする。\(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(K\) を \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\) の対象とし、\(n \in \mathbf{Z}\) とする。次の条件は同値である。

\(H^i_T(K)\) は \(i \leq n\) に対して有限である。

イデアル \(J \subset A\) が存在し、\(V(J) \subset T\) を満たして、 \(J\) は \(H^i_T(K)\) を \(i \leq n\) に対して零化する。

\(T = V(I) = Z\) があるイデアル \(I \subset A\) に対して成り立つならば、これらはさらに次の条件とも同値である。

\(e \geq 0\) が存在し、\(I^e\) は \(H^i_Z(K)\) を \(i \leq n\) に対して零化する。

証明

この補題は補題 0AW8 の自然な一般化であり、読者はまず同補題の証明を読むべきである。 (1) が成り立つと仮定する。\(H^i_J(K) = H^i_{V(J)}(K)\) であることを思い出そう。 Dualizing Complexes, 補題 0955 を参照せよ。したがって \(H^i_T(K) = \colim H^i_J(K)\) であり、ここで余極限はイデアル \(J \subset A\) で \(V(J) \subset T\) を満たすもの全体にわたる。補題 0EF1 を参照せよ。\(H^i_T(K)\) は \(i \leq n\) に対して有限生成なので、(2) のような \(J \subset A\) を、写像 \(H^i_J(K) \to H^i_T(K)\) が \(i \leq n\) に対して全射となるように選べる。したがって、その有限個の生成元は \(J\) のある冪で零化される元であり、 \(J\) をある冪で置き換えれば (2) が成り立つことが分かる。

\(a \in \mathbf{Z}\) を、\(H^i(K) = 0\) が \(i < a\) に対して成り立つ整数として取る。 (2) \(\Rightarrow\) (1) を \(a\) に関する下降帰納法により証明する。 \(a > n\) ならば、\(H^i_T(K) = 0\) が \(i \leq n\) に対して成り立つ。したがって (1) と (2) はともに真であり、証明すべきことはない。

(2) のような \(J\) があると仮定する。 \(N = H^a_T(K) = H^0_T(H^a(K))\) は、有限 \(A\)-加群 \(H^a(K)\) の部分加群として有限である。\(n = a\) ならば証明は終わるので、以下では \(a < n\) と仮定する。\(R\Gamma_T\) の構成により、\(H^i_T(N) = 0\) が \(i > 0\) に対して成り立ち、\(H^0_T(N) = N\) である。注意 0EF4 を参照せよ。区別三角形 \[N[-a] \to K \to K' \to N[-a + 1]\] を選ぶ。このとき、\(H^a_T(K') = 0\) であり、\(H^i_T(K) = H^i_T(K')\) が \(i > a\) に対して成り立つことが分かる。したがって、\(K\) を \(K'\) で置き換えてよい。ゆえに \(H^a_T(K) = 0\) と仮定してよい。これは \(H^a(K)\) の有限個の随伴素イデアルが \(T\) に属さないことを意味する。素イデアル回避（Algebra, 補題 00DS）により、\(f \in J\) を、 \(H^a(K)\) のどの随伴素イデアルにも含まれないように選べる。区別三角形 \[L \to K \xrightarrow{f} K \to L[1]\] を選ぶ。構成により \(H^i(L) = 0\) が \(i \leq a\) に対して成り立つ。一方、コホモロジーの長完全列 \[0 \to H^{a + 1}_T(L) \to H^{a + 1}_T(K) \xrightarrow{f} H^{a + 1}_T(K) \to H^{a + 2}_T(L) \to H^{a + 2}_T(K) \xrightarrow{f} \ldots\] があり、これは同一視 \(H^{a + 1}_T(L) = H^{a + 1}_T(K)\) と短完全列 \[0 \to H^{i - 1}_T(K) \to H^i_T(L) \to H^i_T(K) \to 0\] へ分かれる。これは \(i \leq n\) に対して成り立つ。実際、\(f \in J\) である。したがって \(J^2\) は \(H^i_T(L)\) を \(i \leq n\) に対して零化する。 \(L\) に帰納法の仮定を適用すると、\(H^i_T(L)\) は \(i \leq n\) に対して有限である。短完全列をもう一度用いれば、望みどおり \(H^i_T(K)\) が \(i \leq n\) に対して有限であることが分かる。

\(T = V(I)\) の場合に (2) と (3) が同値であることの証明は省略する。

命題

\(A\) を双対化複体をもつ Noether 環とする。 \(T \subset \Spec(A)\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(s \in \mathbf{Z}\) とし、\(K \in D_{\textit{Coh}}^+(A)\) とする。次の条件は同値である。

\(H^i_T(K)\) は有限 \(A\)-加群である（\(i \leq s\) に対して）。

\(\mathfrak p \not \in T\)、\(\mathfrak q \in T\)、かつ \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) を満たすすべてのものに対して \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\] である。

証明

命題 0EHZ と補題 0EI1 の形式的帰結である。

連接加群の改善

同様の構成は [EGA] に見いだされ、より最近では [Kollar-local-global-hulls] および [Kollar-variants] に見いだされる。

補題

\(X\) を Noether スキームとする。\(T \subset X\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき、一意な写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) が存在する。これは連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像であり、次を満たす。

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) は全射である。

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}'_x\) は \(x \not \in T\) に対して同型である。

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 1\) が \(x \in T\) に対して成り立つ。

\(f : Y \to X\) が平坦射で \(Y\) が Noether ならば、 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\) は \(f^{-1}(T) \subset Y\) と \(f^*\mathcal{F}\) に対応する商である。

証明

条件 (3) はちょうど \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \cap T = \emptyset\) を意味する。したがって \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) は、\(\mathcal{F}\) の、台が \(T\) に含まれる切断の部分層による商である。これで一意性が証明される。引き戻しに関する主張は Divisors, 補題 05DB と一意性から従う。

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) の存在を示す。一意性により、\(X\) 上局所的に存在と一意性を証明すれば十分である。細部は省略する。したがって \(X = \Spec(A)\) はアフィンであり、\(\mathcal{F}\) は有限 \(A\)-加群 \(M\) に付随する連接加群であると仮定してよい。 \(M' = M / H^0_T(M)\) とおく。ここで \(H^0_T(M)\) は第 0EEY 節で定めたものである。このとき \(M_\mathfrak p = M'_\mathfrak p\) が \(\mathfrak p \not \in T\) に対して成り立ち、これで (1) が証明される。一方、 \(H^0_T(M) = \colim H^0_Z(M)\) であり、ここで \(Z\) は \(X\) の閉部分集合で \(T\) に含まれるもの全体を走る。したがって Dualizing Complexes, 補題 0AW0 により \(H^0_T(M') = 0\)、すなわち \(M'\) の随伴素イデアルはどれも \(T\) に属さない。ゆえに \(\text{depth}(M'_\mathfrak p) \geq 1\) が \(\mathfrak p \in T\) に対して成り立つ。

補題

\(j : U \to X\) を Noether スキームの開埋め込みとする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{F}' = j_*(\mathcal{F}|_U)\) が連接であると仮定する。このとき \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) は連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像のうち、次を満たす一意なものである。

\(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}'|_U\) は同型である。

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\) が \(x \in X\)、\(x \not \in U\) に対して成り立つ。

\(f : Y \to X\) が平坦射で \(Y\) が Noether ならば、 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\) は \(f^{-1}(U) \subset Y\) に対応する写像である。

証明

Divisors, 補題 0EY0 の (3) により \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\) である。 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) の一意性は Divisors, 補題 0E9I から従う。平坦引き戻しとの両立性は平坦基底変換から従う。Cohomology of Schemes, 補題 02KH を参照せよ。

補題

\(X\) を Noether スキームとし、\(Z \subset X\) を閉部分スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(X\) は普遍鎖状であり、局所環の形式的ファイバーは \((S_1)\) を満たすと仮定する。このとき、一意な写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) が存在する。これは連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像であり、次を満たす。

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) は \(x \in X \setminus Z\) に対して同型である。

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) は全射であり、 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) = 1\) が、\(x \in Z\) のうち、直接特殊化 \(x' \leadsto x\) で \(x' \not \in Z\) かつ \(x' \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) を満たすものが存在する点に対して成り立つ。

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) が残りの \(x \in Z\) に対して成り立つ。

\(f : Y \to X\) が Cohen–Macaulay 射で \(Y\) が Noether ならば、 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) は \(f^{-1}(Z) \subset Y\) に関して同じ性質を満たす。

証明

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) を、補題 0DX3 で \(Z\) という \(X\) の部分集合に対して構成した写像とする。\(\mathcal{F}'\) は \(\mathcal{F}\) を、台が \(Z\) に含まれる切断の部分層で割った商であることを思い出そう。

まず一意性を証明する。\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) を補題のような写像とする。分解 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) を得る。実際、条件 (2) と (3) により \(\text{Ass}(\mathcal{F}'') \cap Z = \emptyset\) である。 \(U \subset X\) を、\(\mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}''|_U\) が同型となる最大の開部分スキームとする。\(U\) は (2) のような点をすべて含む。そこで Divisors, 補題 0E9I により \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_U)\) と結論できる。これで一意性を得る（細部として、このような \(\mathcal{F}''\) が二つあるなら、それぞれから得られる開集合 \(U\) の共通部分を取る）。

存在を証明する。\(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \{x_1, \ldots, x_n\}\) は有限であり、 \(x_i \not \in Z\) であることを思い出そう。\(Y_i\) を \(\{x_i\}\) の閉包とする。 \(Z_{i, j}\) を \(Z \cap Y_i\) の既約成分とする。 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap Z = \bigcup Z_{i, j}\) であることに注意する。 \(z_{i, j} \in Z_{i, j}\) を生成点とする。次のようにおく。 \[d_{i, j} = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x_i\}}, z_{i, j}})\] \(d_{i, j} = 1\) ならば、\(z_{i, j}\) は (2) のような点の一つである。したがって、これらの点では \(\mathcal{F}'\) を変更する必要がない。さらに、依然として \(d_{i, j} = 1\) と仮定すると、補題 0DWY により、開近傍 \(z_{i, j} \in V_{i, j} \subset X\) を、 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, z}}(\mathcal{F}'_z) \geq 2\) が \(z \in Z_{i, j} \cap V_{i, j}\)、\(z \not = z_{i, j}\) に対して成り立つように選べる。次のようにおく。 \[Z' = X \setminus \left( X \setminus Z \cup \bigcup\nolimits_{d_{i, j} = 1} V_{i, j}) \right)\] \(j' : X \setminus Z' \to X\) と書く。\(Z'\) の選び方により、補題 0AWB の仮定は満たされる。 \(\mathcal{F}'' = j'_*(\mathcal{F}'|_{X \setminus Z'})\) とおき、補題 0DX4 を適用すれば結論を得る。

最後の主張は、平坦局所準同型に沿う深さの変化の公式（Algebra, 補題 0338 を参照せよ）と、 \(f\) が Cohen–Macaulay であることに内在する \(f\) のファイバーに関する仮定から従う。細部は省略する。

補題

\(X\) を局所的に双対化複体をもつ Noether スキームとする。 \(T' \subset X\) を特殊化で安定な部分集合とする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(x \leadsto x'\) が \(X\) の点の直接特殊化であり、\(x' \in T'\) かつ \(x \not \in T'\) ならば、 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\) であると仮定する。このとき、一意な写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) が存在する。これは連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像であり、次を満たす。

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) は \(x \not \in T'\) に対して同型である。

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) が \(x \in T'\) に対して成り立つ。

\(f : Y \to X\) が Cohen–Macaulay 射で \(Y\) が Noether ならば、 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) は \(f^{-1}(T') \subset Y\) に関して同じ性質を満たす。

証明

一意性を証明する。\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) を補題のような写像とする。 \(U \subset X\) を、\(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}''|_U\) が同型となる最大の開部分スキームとする。(1) により \(U\) は集合 \(X \setminus T'\) を含む。 (2) と Divisors, 補題 0E9I により、 \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}|_U)\) と結論できる。ここで \(j : U \to X\) は包含射である。これで一意性を得る（細部として、このような \(\mathcal{F}''\) が二つあるなら、それぞれから得られる開集合 \(U\) の共通部分を取る）。

存在を証明する。\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) を、\(\mathcal{F}\) に補題 0DX3 を \(T'\) を用いて適用して構成した商とする。 \(\mathcal{F}'\) は \(\mathcal{F}\) を、台が \(T'\) に含まれる切断の部分層で割った商であることを思い出そう。次で定義する。 \[\mathcal{F}'' = \colim j_*(\mathcal{F}'|_V)\] ここで \(j : V \to X\) は、\(X \setminus V \subset T'\) を満たす開部分スキーム全体を走る。\(T'\) は特殊化で安定なので、この余極限はフィルター付きである。写像 \(\mathcal{F}' \to j_*(\mathcal{F}'|_V)\) はそれぞれ単射である。実際、\(\text{Ass}(\mathcal{F}')\) は \(T'\) と交わらない。したがって \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) は単射である。

\(X = \Spec(A)\) がアフィンであり、\(\mathcal{F}\) が有限 \(A\)-加群 \(M\) に対応すると仮定する。このとき \(\mathcal{F}'\) は \(M' = M / H^0_{T'}(M)\) に対応する。補題 0DX3 の証明を参照せよ。補題 0DWR および 0EF1 を適用すると、 \(\mathcal{F}''\) は \(A\)-加群 \(M''\) に対応し、これは短完全列 \[0 \to M' \to M'' \to H^1_{T'}(M') \to 0\] に入る。命題 0EFD と、補題の主張にある直接特殊化に関する条件により、\(M''\) は有限 \(A\)-加群である。これにより \(\mathcal{F}''\) は連接であることが分かる。

\(\mathcal{F}''\) の連接性と、上に表示したフィルター余極限における遷移写像の単射性から、\(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_V)\) が上のような十分小さい \(V\) のすべてに対して成り立つと結論する。このとき条件 (1) と (2) は補題 0DX4 から従う。

最後の主張は、平坦局所準同型に沿う深さの変化の公式（Algebra, 補題 0338 を参照せよ）と、 \(f\) が Cohen–Macaulay であることに内在する \(f\) のファイバーに関する仮定から従う。細部は省略する。

補題

\(X\) を局所的に双対化複体をもつ Noether スキームとする。 \(T' \subset T \subset X\) を特殊化で安定な部分集合とし、\(x \leadsto x'\) が \(X\) の点の直接特殊化で \(x' \in T'\) ならば \(x \in T\) であると仮定する。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき、一意な写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) が存在する。これは連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像であり、次を満たす。

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) は \(x \not \in T\) に対して同型である。

\(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\) は全射であり、 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 1\) が \(x \in T\)、\(x \not \in T'\) に対して成り立つ。

\(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) が \(x \in T'\) に対して成り立つ。

\(f : Y \to X\) が Cohen–Macaulay 射で \(Y\) が Noether ならば、 \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\) は \(f^{-1}(T') \subset f^{-1}(T) \subset Y\) に関して同じ性質を満たす。

証明

まず \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\) を、\(\mathcal{F}\) に補題 0DX3 を \(T\) を用いて適用して構成した商とする。次に \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) を、補題 0EI3 で \(T'\) を用いて構成した連接加群の一意な写像とする。このとき \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\) は求める写像である。

Hartshorne–Lichtenbaum 消滅

この消滅結果は Lichtenbaum の定理の局所版である。同定理については Duality for Schemes, 第 0G5D 節を参照せよ。この結果を含むさらに多くの事項は [CD] に見いだされる。

補題

\(A\) を次元 \(d\) の Noether 環とする。\(I \subset I' \subset A\) をイデアルとする。 \(I'\) が \(A\) の Jacobson 根基に含まれ、\(\text{cd}(A, I') < d\) ならば、 \(\text{cd}(A, I) < d\) である。

証明

補題 0DXC により \(\text{cd}(A, I) \leq d\) である。補題 0DWV を用いて、写像 \[H^d_{V(I')}(A) \to H^d_{V(I)}(A)\] が全射であることを示す。これで証明は終わる。 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\) を取る。\(I'\) に関する仮定により、 \(\mathfrak p\) は \(A\) の極大イデアルではない。したがって \(\dim(A_\mathfrak p) < d\) である。すると \(H^d_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(A_\mathfrak p) = 0\) が補題 0DXC により成り立つ。

補題

\(A\) を次元 \(d\) の Noether 環とし、\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(H^d_{V(I)}(M) = 0\) がある有限 \(A\)-加群について成り立ち、その台が次元 \(d\) の既約成分をすべて含むならば、\(\text{cd}(A, I) < d\) である。

証明

補題 0DXC により \(\text{cd}(A, I) \leq d\) である。したがって、任意の有限 \(A\)-加群 \(N\) に対して \(H^i_{V(I)}(N) = 0\) が \(i > d\) において成り立つ。性質 \(\mathcal{P}\) が有限 \(A\)-加群 \(N\) に対して成り立つとは、\(H^d_{V(I)}(N) = 0\) であることだとしよう。仮定の一つは \(\mathcal{P}(M)\) が成り立つことである。次に注意する。 \(\mathcal{P}(N_1 \oplus N_2) \Leftrightarrow (\mathcal{P}(N_1) \wedge \mathcal{P}(N_2))\). また、\(N \to N'\) が全射ならば、 \(\mathcal{P}(N) \Rightarrow \mathcal{P}(N')\) である。実際、上で見たように \(H^{d + 1}_{V(I)}\) は消滅する。 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) を、\(A\) の極小素イデアルで \(\dim(A/\mathfrak p_i) = d\) を満たすものとする。次元に関する理由から、\(\mathcal{P}(N)\) は \(N\) の台が \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\) と交わらなければ成り立つ。補題 0DXC を参照せよ。各 \(i\) に対して \(M_i = M/\mathfrak p_i M\) とおく。これは有限 \(A\)-加群であり、 \(\mathfrak p_i\) で零化され、その台は \(V(\mathfrak p_i)\) に等しい（ここで \(M\) の台に関する仮定を用いる）。最後に、\(J \subset A\) がイデアルならば \(\mathcal{P}(JM_i)\) が成り立つ。実際、\(JM_i\) は \(M\) のコピーの直和の商である。したがって Cohomology of Schemes, 補題 01YM により、 \(\mathcal{P}\) はすべての有限 \(A\)-加群に対して成り立つ。

補題

\(A\) を次元 \(d\) の Noether 局所環とする。\(f \in A\) を、次元 \(d\) のどの極小素イデアルにも含まれない元とする。このとき \(f : H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(M)\) は、任意の有限 \(A\)-加群 \(M\) と任意のイデアル \(I \subset A\) に対して全射である。

証明

\(M/fM\) の台の次元は \(< d\) である。これは \(f\) に関する仮定による。したがって補題 0DXC により \(H^d_{V(I)}(M/fM) = 0\) である。ゆえに \(H^d_{V(I)}(fM) \to H^d_{V(I)}(M)\) は全射である。補題 0DXC により \(\text{cd}(A, I) \leq d\) なので、全射 \(M \to fM\)、\(x \mapsto fx\) が全射 \(H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(fM)\) を誘導することも分かる。

補題

\(A\) を正規化された双対化複体 \(\omega_A^\bullet\) をもつ Noether 局所環とする。 \(I \subset A\) をイデアルとする。 \(H^0_{V(I)}(\omega_A^\bullet) = 0\) ならば、\(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\) である。

証明

\(d = \dim(A)\) とおく。\(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\) を次元 \(d\) の極小素イデアルとする。有限 \(A\)-加群 \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) は \(i \in \{0, \ldots, d\}\) に対してのみ零でなく、 \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) の台の次元は \(\leq i\) であることを思い出そう。補題 0DWZ を参照せよ。 \(\omega_A = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\) とおく。素イデアル回避（Algebra, 補題 00DS）により、\(f \in A\)、 \(f \not \in \mathfrak p_i\) であって、\(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\) を \(i < d\) に対して零化するものを選べる。区別三角形 \[\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet \to \tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet \to \omega_A[d + 1]\] を考える。Derived Categories, 注意 08J5 を参照せよ。 Derived Categories, 補題 08Q2 により、 \(f^d\) が \(\tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet\) の零自己準同型を誘導することが分かる。三角圏の公理を用いると、写像 \[\omega_A^\bullet \to \omega_A[d]\] であって、\(\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet\) との合成が \(f^d\) 倍写像となるものを得る。この倍写像は \(\omega_A[d]\) 上のものである。したがって \(f^d\) は \(H^d_{V(I)}(\omega_A)\) を零化する。補題 0EB3 により \(H^d_{V(I)}(\omega_A) = 0\) と結論する。あとは補題 0EB2 と、 \((\omega_A)_{\mathfrak p_i}\) が零でないという事実から結論が従う（例えば Dualizing Complexes, 補題 0A7V を参照せよ）。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を完備 Noether 局所整域とする。 \(\mathfrak p \subset A\) を次元 \(1\) の素イデアルとする。すべての \(n \geq 1\) に対して \(m \geq n\) が存在し、 \(\mathfrak p^{(m)} \subset \mathfrak p^n\) を満たす。

証明

記号冪 \(\mathfrak p^{(m)}\) は写像 \(A \to A_\mathfrak p/\mathfrak p^mA_\mathfrak p\) の核として定義されることを思い出そう。局所化は完全なので、短完全列 \[0 \to \mathfrak a_n \to A/\mathfrak p^n \to A/\mathfrak p^{(n)} \to 0\] において \(\mathfrak a_n\) の台が \(\{\mathfrak m\}\) に含まれると結論する。とくに逆系 \((\mathfrak a_n)\) は Mittag–Leffler である。実際、各 \(\mathfrak a_n\) は Artin \(A\)-加群である。したがって補題は \(\lim \mathfrak a_n = 0\) という要請と同値である。 \(f \in \lim \mathfrak a_n\) とする。このとき \(f\) は \(A = \lim A/\mathfrak p^n\) の元である（ここで \(A\) が完備であることを用いる）。この元は完備化 \(A_\mathfrak p^\wedge\) において零に写る。これは \(A_\mathfrak p\) の完備化である。 \(A_\mathfrak p \to A_\mathfrak p^\wedge\) は忠実平坦なので、\(f\) は \(A_\mathfrak p\) において零に写る。\(A\) は整域だから、望みどおり \(f\) は零である。

命題

\(A\) を、完備化が \(A^\wedge\) である Noether 局所環とする。 \(I \subset A\) を、次を満たすイデアルとする。 \[\dim V(IA^\wedge + \mathfrak p) \geq 1\] これはすべての極小素イデアル \(\mathfrak p \subset A^\wedge\) のうち、次元 \(\dim(A)\) のものに対して成り立つ。このとき \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\) である。

証明

\(A \to A^\wedge\) は忠実平坦なので \(H^d_{V(I)}(A) \otimes_A A^\wedge = H^d_{V(IA^\wedge)}(A^\wedge)\) が Dualizing Complexes, 補題 0ALZ により成り立つ。したがって \(A\) は完備であると仮定してよい。

\(A\) は完備であると仮定する。\(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\) を次元 \(d\) の極小素イデアルとする。完備局所環 \(A_i = A/\mathfrak p_i\) を考える。Dualizing Complexes, 補題 0BJB により \(H^d_{V(I)}(A_i) = H^d_{V(IA_i)}(A_i)\) である。補題 0EB2 により、\((A_i, IA_i)\) について本補題を証明すれば十分である。したがって \(A\) は完備局所整域であると仮定してよい。

\(A\) は完備局所整域であると仮定する。素イデアル \(\mathfrak p \supset I\) を \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\) となるように選べる。補題 0EB1 により、\(\mathfrak p\) について本補題を証明すれば十分である。

補題 0EB4 により \(H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = 0\) を示せば十分である。次を思い出そう。 \[H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = \colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^n, \omega_A^\bullet)\] 補題 0EB5 により、この余極限は次と同じである。 \[\colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^{(n)}, \omega_A^\bullet)\] \(\text{depth}(A/\mathfrak p^{(n)}) = 1\) なので、補題 0DWZ により、これらの Ext 群は望みどおり零である。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を Noether 局所環とする。\(I \subset A\) をイデアルとする。 \(A\) は優秀かつ正規であり、\(\dim V(I) \geq 1\) であると仮定する。このとき \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\) である。とくに \(\dim(A) = 2\) ならば、 \(\Spec(A) \setminus V(I)\) はアフィンである。

証明

More on Algebra, 補題 0C23 により、完備化 \(A^\wedge\) は正規であり、したがって整域である。ゆえに命題 0EB6 の仮定が成り立ち、結論を得る。アフィン性に関する主張は補題 0DXD から従う。

Frobenius 作用

\(p\) を素数とする。\(A\) を、\(p = 0\) が \(A\) において成り立つ環とする。 \(A\) のFrobenius 自己準同型とは、写像 \[F : A \longrightarrow A, \quad a \longmapsto a^p\] のことである。この節では、Frobenius 作用をもつ加群についての補題を証明する。

補題

\(p\) を素数とする。\((A, \mathfrak m, \kappa)\) を、\(p = 0\) が \(A\) において成り立つ Noether 局所環とする。\(M\) を有限 \(A\)-加群で \(M \otimes_{A, F} A \cong M\) を満たすものとする。このとき \(M\) は有限自由である。

証明

表示 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\) を、同型 \(\kappa^{\oplus n} \to M/\mathfrak m M\) を誘導するように選ぶ。 \(T = (a_{ij})\) を写像 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\) の行列とする。 \(a_{ij} \in \mathfrak m\) であることに注意する。\(F\) による基底変換を適用し、基底変換の右完全性を用いると、表示 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\) を得る。その行列は \(T = (a_{ij}^p)\) である。したがって \(a_{ij} \in \mathfrak m^p\) となる表示がある。この構成を反復すると、各 \(e \geq 1\) に対し \(a_{ij} \in \mathfrak m^e\) となる表示が存在する。これは、Fitting イデアル \(\text{Fit}_k(M)\)（More on Algebra, 定義 07Z9）が \(k < n\) に対して \(\bigcap_{e \geq 1} \mathfrak m^e\) に含まれることを意味する。 Krull の共通部分定理（Algebra, 補題 00IP）によりこれは零なので、 More on Algebra, 補題 07ZD により \(M\) は階数 \(n\) の自由加群であると結論する。

この節では、\(f_1, \ldots, f_r\) を環 \(A\) の元とするとき、 \(\sum a_if_i = 0\) ならば \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\) となる場合に、これらを独立と呼ぶ。言い換えると、\(I = (f_1, \ldots, f_r)\) とおけば、 \(I/I^2\) は \(A/I\) 上自由であり、基底 \(f_1, \ldots, f_r\) をもつ。

補題

\(A\) を環とする。\(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\) が独立ならば、 \(f_1, \ldots, f_r\) は独立である。

証明

\(\sum a_if_i = 0\) とする。このとき \(\sum a_ig_rf_i = 0\) である。したがって \(a_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) である。 \(a_r = \sum_{i < r} b_i f_i + b f_rg_r\) と書く。このとき \(0 = \sum_{i < r} (a_i + b_if_r)f_i + bf_r^2g_r\) である。ゆえに \(a_i + b_i f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) であり、これは望みどおり \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\) を含意する。

補題

\(A\) を環とする。\(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\) が独立であり、かつ \(A\)-加群 \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) の長さが有限ならば、 \[\begin{align*} & \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)) \\ & = \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r)) + \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)) \end{align*}\]

証明

次の完全列が存在すると主張する。 \[0 \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r) \xrightarrow{f_r} A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r) \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r) \to 0\] 実際、\(a f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) ならば、 \(\sum_{i < r} a_i f_i + (a + bg_r)f_r = 0\) が、ある \(b, a_i \in A\) に対して成り立つ。したがって \(\sum_{i < r} a_i g_r f_i + (a + bg_r)g_rf_r = 0\) であり、これは \(a + bg_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\) を含意する。ゆえに \(a\) は \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)\) において零に写る。これで主張が証明された。最後に長さの加法性（Algebra, 補題 00IV）を用いればよい。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を局所環とする。\(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\) であり、 \(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r}\) がある \(e_i > 0\) に対して独立ならば、 \(\text{length}_A(A/(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r})) = e_1\ldots e_r\) である。

証明

補題 0EBW と補題 0EBX および帰納法を用いる。

補題

\(\varphi : A \to B\) を平坦な環準同型とする。 \(f_1, \ldots, f_r \in A\) が独立ならば、 \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_r) \in B\) は独立である。

証明

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\) および \(J = \varphi(I)B\) とおく。平坦性により \(I/I^2 \otimes_A B = J/J^2\) である。したがって \(I/I^2\) が \(A/I\) 上自由ならば、 \(J/J^2\) は \(B/J\) 上自由である。

補題

\(p\) を素数とする。\(A\) を \(p = 0\) を満たす Noether 環とする。次の条件は同値である。

\(A\) は正則である。

\(F : A \to A\)、\(a \mapsto a^p\) は平坦である。

証明

\(\Spec(F) : \Spec(A) \to \Spec(A)\) は恒等写像であることに注意する。正則性は局所環を用いて定義され、平坦性も局所環に関する性質である。 Algebra, 補題 00HT を参照せよ。したがって \(A\) は極大イデアル \(\mathfrak m\) をもつ Noether 局所環であると仮定してよく、実際そう仮定する。

\(A\) は正則であると仮定する。\(x_1, \ldots, x_d\) を \(A\) のパラメータ系とする。 \(F\) を適用すると \(F(x_1), \ldots, F(x_d) = x_1^p, \ldots, x_d^p\) を得る。これは \(A\) のパラメータ系である。したがって \(F\) は平坦である。Algebra, 補題 00R4 および 00NQ を参照せよ。

逆に \(F\) は平坦であると仮定する。\(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\) と書き、 \(r\) は最小であるとする。このとき \(x_1, \ldots, x_r\) は上で定義した意味で独立である。\(F\) は平坦なので、\(x_1^p, \ldots, x_r^p\) は独立である。補題 0EBZ を参照せよ。したがって補題 0EBY により \(\text{length}_A(A/(x_1^p, \ldots, x_r^p)) = p^r\) である。 \(\chi(n) = \text{length}_A(A/\mathfrak m^n)\) とおく。これは次数 \(\dim(A)\) の数値多項式であることを思い出そう。Algebra, 命題 00KQ を参照せよ。\(n \gg 0\) を選ぶ。次に注意する。 \[\mathfrak m^{pn + pr} \subset F(\mathfrak m^n)A \subset \mathfrak m^{pn}\] これは \(x_1, \ldots, x_r\) の単項式を見れば分かる。また、 \[A/F(\mathfrak m^n)A = A/\mathfrak m^n \otimes_{A, F} A\] \(F\) の平坦性により、これは長さ \(\chi(n) \text{length}_A(A/F(\mathfrak m)A)\) をもつ（Algebra, 補題 02M1）。上で見たことにより、これは \(p^r\chi(n)\) に等しい。したがって \[\chi(pn + pr) \geq p^r\chi(n) \geq \chi(pn)\] 最高次項を見れば、これは \(r = \dim(A)\)、すなわち \(A\) が正則であることを含意する。

ある種の加群の構造

正則局所環上のある種の加群の構造について、いくつかの結果を述べる。この種の結果、およびさらに多くの結果は [Huneke-Sharp], [Lyubeznik], [Lyubeznik2] に見いだせる。

補題

\(k\) を標数 \(0\) の体とし、\(d \geq 1\) とする。 \(A = k[[x_1, \ldots, x_d]]\) とし、その極大イデアルを \(\mathfrak m\) とする。 \(M\) を \(\mathfrak m\)-冪捩れ \(A\)-加群とし、加法的作用素 \(D_1, \ldots, D_d\) が備わっているとする。これらは Leibniz 則 \[D_i(fz) = \partial_i(f) z + f D_i(z)\] を \(f \in A\) および \(z \in M\) に対して満たす。ここで \(\partial_i\) は \(x_i\) に関する微分である。このとき \(M\) は、\(E\)（\(k\) の入射包絡）のコピーの直和と同型である。

証明

集合 \(J\) と同型 \(M[\mathfrak m] \to \bigoplus_{j \in J} k\) を選ぶ。 \(\bigoplus_{j \in J} E\) は入射的なので（Dualizing Complexes, 補題 08XV）、この同型を \(A\)-加群準同型 \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\) に延長できる。 \(\varphi\) は同型、すなわち全単射であると主張する。

単射性。\(z \in M\) を零でない元とする。\(M\) は \(\mathfrak m\)-冪捩れなので、元 \(f \in A\) であって \(fz \in M[\mathfrak m]\) かつ \(fz \not = 0\) となるものを選べる。このとき \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\) は零でないから、 \(\varphi(z)\) も零でない。

全射性。\(z \in M\) とする。このとき \(x_1^n z = 0\) となる \(n \geq 0\) がある。\(z \in x_1M\) を \(n\) に関する帰納法で証明する。 \(n = 0\) ならば \(z = 0\) なので主張は成り立つ。 \(n > 0\) ならば、\(D_1\) を作用させて \(0 = n x_1^{n - 1} z + x_1^nD_1(z)\) を得る。したがって \(x_1^{n - 1}(nz + x_1D_1(z)) = 0\) である。帰納法により \(nz + x_1D_1(z) \in x_1M\) となる。\(n\) は可逆なので、 \(z \in x_1M\) と結論する。よって \(M\) は \(x_1\)-可除である。 \(\varphi\) が全射でないならば、元 \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\) であって \(M\) に属さないものを選べる。上と同様に議論すれば \(\mathfrak m e \subset M\) と仮定してよく、特に \(x_1 e \in M\) である。元 \(z_1 \in M\) で \(x_1 z_1 = x_1 e\) を満たすものが存在する。したがって \(x_1(z_1 - e) = 0\) である。\(e\) を \(e - z_1\) で置き換えることにより、 \(e\) は \(x_1\) で零化されると仮定してよい。したがって、 \[\varphi[x_1] : M[x_1] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x_1] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x_1]\] が全射であることを証明すれば十分である。\(d = 1\) ならば、これは \(\varphi\) の構成から成り立つ。\(d > 1\) ならば、\(E[x_1]\) は \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\) の剰余体の入射包絡であることに注意する。 Dualizing Complexes, 補題 08Z2 を参照せよ。 \(M[x_1]\) は \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\) 上の加群として \(\mathfrak m/(x_1)\)-冪捩れであり、上に表示した Leibniz 則を満たす作用素 \(D_2, \ldots, D_d\) が備わっていることに注意する。したがって \(d\) に関する帰納法により、望みどおり \(\varphi[x_1]\) は全射であると結論する。

補題

\(p\) を素数とする。\((A, \mathfrak m, k)\) を \(p = 0\) を満たす正則局所環とする。\(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) を Frobenius 自己準同型とする。\(M\) を \(\mathfrak m\)-冪捩れ加群であって \(M \otimes_{A, F} A \cong M\) を満たすものとする。このとき \(M\) は、 \(E\)（\(k\) の入射包絡）のコピーの直和と同型である。

証明

集合 \(J\) と \(A\)-加群準同型 \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\) であって、 \(M[\mathfrak m]\) を \((\bigoplus_{j \in J} E)[\mathfrak m] = \bigoplus_{j \in J} k\) へ同型に写すものを選ぶ。 \(\varphi\) は同型、すなわち全単射であると主張する。

単射性。\(z \in M\) を零でない元とする。\(M\) は \(\mathfrak m\)-冪捩れなので、元 \(f \in A\) であって \(fz \in M[\mathfrak m]\) かつ \(fz \not = 0\) となるものを選べる。このとき \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\) は零でないから、 \(\varphi(z)\) も零でない。

全射性。補題 0EC0 により \(F\) は平坦であることを思い出そう。 \(x_1, \ldots, x_d\) を \(\mathfrak m\) の極小生成系とする。 \[M_n = M[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}]\] を、\(M\) の部分加群であって \(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}\) で零化される元からなるものとする。したがって \(M_0 = M[\mathfrak m]\) は \(k\) 上のベクトル空間である。また、\(M = \bigcup M_n\) である。これは \(M\) が \(\mathfrak m\)-冪捩れであるという仮定による。 \(F^n\) は平坦であり、 \(F^n(x_i) = x_i^{p^n}\) なので、 \[M_n \cong (M \otimes_{A, F^n} A)[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}] = M[x_1, \ldots, x_d] \otimes_{A, F^n} A = M_0 \otimes_k A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\] を得る。したがって \(M_n\) は \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) 上自由である。計算により、\(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) の任意の元で \(x_1^{p^n - 1}\) により零化されるものは \(x_1\) で割り切れることが分かる。例えば、Algebra, 補題 0C0S による同型 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}) \cong k[x_1, \ldots, x_d]/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) を用いればよい。よって同じことが \(M_n\) の任意の元について成り立つ。 \(M\) の各元は \(M_n\) にすべての \(n \gg 0\) に対して属し、また \(M\) の各元は \(x_1\) のある冪で零化されるので、\(M\) は \(x_1\)-可除であると結論する。

\(x = x_1\) とおく。上で \(M\) は \(x\)-可除であることを見た。 \(\varphi\) が全射でないならば、元 \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\) であって \(M\) に属さないものを選べる。上と同様に議論すれば \(\mathfrak m e \subset M\) と仮定してよく、特に \(x e \in M\) である。元 \(z_1 \in M\) で \(x z_1 = x e\) を満たすものが存在する。したがって \(x(z_1 - e) = 0\) である。\(e\) を \(e - z_1\) で置き換えることにより、 \(e\) は \(x\) で零化されると仮定してよい。したがって、 \[\varphi[x] : M[x] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x]\] が全射であることを証明すれば十分である。\(d = 1\) ならば、これは \(\varphi\) の構成から成り立つ。\(d > 1\) ならば、\(E[x]\) は正則環 \(A/xA\) の剰余体の入射包絡であることに注意する。 Dualizing Complexes, 補題 08Z2 を参照せよ。 \(M[x]\) は \(A/xA\) 上の加群として \(\mathfrak m/(x)\)-冪捩れであり、次が成り立つことに注意する。 \[\begin{align*} M[x] \otimes_{A/xA, F} A/xA & = M[x] \otimes_{A, F} A \otimes_A A/xA \\ & = (M \otimes_{A, F} A)[x^p] \otimes_A A/xA \\ & \cong M[x^p] \otimes_A A/xA \end{align*}\] 前と同様に \(F\) の平坦性を用いて議論する。 \(M[x^p] \otimes_A A/xA \to M[x]\)、 \(z \otimes 1 \mapsto x^{p - 1}z\) は同型であると主張する。これは、上で定義した各加群 \(M_n\)（\(n > 0\)）について証明すれば分かる。その場合には \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) と \(x = x_1\) に対する同じ結果から従う。したがって \(\dim(A)\) に関する帰納法により、望みどおり \(\varphi[x]\) は全射であると結論する。

局所コホモロジー上の追加構造

一つの結果例を挙げる。

補題

\(A\) を環とし、\(I \subset A\) を有限生成イデアルとする。 \(Z = V(I)\) とおく。各導分 \(\theta : A \to A\) に対し、標準的な加法的作用素 \(D\) が局所コホモロジー加群 \(H^i_Z(A)\) 上に存在し、\(\theta\) に関する Leibniz 則を満たす。

証明

\(f_1, \ldots, f_r\) を \(I\) の生成元とする。 \(R\Gamma_Z(A)\) は複体 \[A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}\] で計算されることを思い出そう。Dualizing Complexes, 補題 0A6R を参照せよ。 \(\theta\) は \(A\) の任意の局所化上の、\(\theta\) に関する Leibniz 則を満たす加法的作用素へ一意的に延長されるので、補題は明らかである。

補題

\(p\) を素数とする。\(A\) を \(p = 0\) を満たす環とする。 \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) を Frobenius 自己準同型とする。 \(I \subset A\) を有限生成イデアルとし、\(Z = V(I)\) とおく。同型 \(R\Gamma_Z(A) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma_Z(A)\) が存在する。

証明

Dualizing Complexes, 補題 0ALZ および、\(Z = V(f_1^p, \ldots, f_r^p)\) であるという事実から従う（ここで \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) とした）。

補題

\(A\) を環とする。\(V \to \Spec(A)\) を準コンパクト、準分離的かつ étale とする。各導分 \(\theta : A \to A\) に対し、標準的な加法的作用素 \(D\) が \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) 上に存在し、\(\theta\) に関する Leibniz 則を満たす。

証明

\(V\) が分離的ならば、アフィン開被覆 \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots m} V_j\) を用いて議論できる。実際、\(V\) は分離的なので \(V_{j_0 \ldots j_p} = \Spec(B_{j_0 \ldots j_p})\) と書ける。 Schemes, 補題 01KP を参照せよ。すると、\(A\)-加群 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) は第 \(i\) コホモロジー群であり、対応する Čech 複体は \[\prod B_{j_0} \to \prod B_{j_0j_1} \to \prod B_{j_0j_1j_2} \to \ldots\] であることが分かる。Cohomology of Schemes, 補題 01XD を参照せよ。各 \(B = B_{j_0 \ldots j_p}\) は étale \(A\)-代数である。したがって \(\Omega_B = \Omega_A \otimes_A B\) であり、\(\theta\) は導分 \(\theta_B : B \to B\) に一意的に延長されると結論する。これらの写像は Čech 複体の自己準同型を定め、コホモロジー群上に所望の作用素を定める。

一般の場合には、Cohomology of Schemes, 補題 01XN の証明の前半とまったく同様に、アフィン開部分による \(V\) の超被覆を用いる。詳細は省略する。

注意

補題 0EC5 および 0EC7 は、 Algebra, 補題 0H94 および注意 0H95 を用いれば、高階微分作用素も含むように強められる。これが必要になったならば、ここで正確な補題を述べて証明することにする。

補題

\(p\) を素数とする。\(A\) を \(p = 0\) を満たす環とする。 \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\) を Frobenius 自己準同型とする。 \(V \to \Spec(A)\) が準コンパクト、準分離的かつ étale ならば、同型 \(R\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\) が存在する。

証明

相対 Frobenius 射 \[V \longrightarrow V \times_{\Spec(A), \Spec(F)} \Spec(A)\] は \(V\) の \(A\) 上のものであり、同型であることに注意する。 Étale Morphisms, 補題 0EBS を参照せよ。したがって補題はコホモロジーと基底変換から従う。Derived Categories of Schemes, 補題 08IB を参照せよ。 \(V\) は \(A\) 上 étale なので、\(A\) 上平坦であることに注意する。

一様性について I

この節の主な目的は、補題 0G9V を定式化し証明することである。

補題

\(R\) を環とする。\(M \to M'\) を \(R\)-加群の写像とし、 \(M\) は有限表示であり、\(\text{Tor}_1^R(M, N) \to \text{Tor}_1^R(M', N)\) は任意の \(R\)-加群 \(N\) に対して零であるとする。このとき \(M \to M'\) は自由 \(R\)-加群を経由する。

証明

短完全列の間の写像 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] であって、その右の縦射が与えられた写像となるものを選べる。この写像を短完全列 [0G9U]\[\begin{equation} 0 \to K' \to E \to M \to 0 \end{equation}\] を経由して分解できる。この列は、最初の短完全列を \(K \to K'\) に沿って押し出したものである。図式追跡により、補題の仮定は境界写像 \(\text{Tor}_1^R(M, N) \to K' \otimes_R N\) であって（0G9U）から誘導されるものが零であること、すなわち列（0G9U）が普遍完全であることを含意すると分かる。 Algebra, 補題 058L により、これは（0G9U）が分裂することを含意する（ここで \(M\) が有限表示であることを用いる）。したがって写像 \(M \to M'\) は \(\bigoplus_{i \in I} R\) を経由し、主張が従う。

補題

\(R\) を環とする。\(\alpha : M \to M'\) を \(R\)-加群の写像とする。 \(P_\bullet \to M\) および \(P'_\bullet \to M'\) を射影 \(R\)-加群による分解とする。\(e \geq 0\) を整数とする。次の条件を考える。

複体の写像 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) であって、コホモロジー上で \(\alpha\) を誘導し、\(a_i = 0\) が \(i > e\) に対して成り立つものが存在する。

複体の写像 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) であって、コホモロジー上で \(\alpha\) を誘導し、\(a_{e + 1} = 0\) となるものが存在する。

写像 \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\) は、任意の \(R\)-加群 \(N\) および \(i > e\) に対して零である。

写像 \(\Ext^{e + 1}_R(M', N) \to \Ext^{e + 1}_R(M, N)\) は、任意の \(R\)-加群 \(N\) に対して零である。

\(N = \Im(P'_{e + 1} \to P'_e)\) とおき、 \(\xi \in \Ext^{e + 1}_R(M', N)\) を標準元とする（証明を参照）。このとき \(\xi\) は \(\Ext^{e + 1}_R(M, N)\) において零に写る。

写像 \(\text{Tor}_i^R(M, N) \to \text{Tor}_i^R(M', N)\) は、任意の \(R\)-加群 \(N\) および \(i > e\) に対して零である。

写像 \(\text{Tor}_{e + 1}^R(M, N) \to \text{Tor}_{e + 1}^R(M', N)\) は、任意の \(R\)-加群 \(N\) に対して零である。

このとき常に次の含意が成り立つ。 \[(1) \Leftrightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Leftrightarrow (4) \Leftrightarrow (5) \Rightarrow (6) \Leftrightarrow (7)\] \(M\) が \((-e - 1)\)-擬連接ならば（例えば \(R\) が Noether 環で、 \(M\) が有限 \(R\)-加群ならば）、すべての条件は同値である。

証明

(2) が (1) を含意することは明らかである。\(a_\bullet\) が (1) のとおりならば、複体の写像 \(a'_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) であって、 \(a'_i = a_i\) が \(i \leq e + 1\) に対して成り立ち、\(a'_i = 0\) が \(i \geq e + 1\) に対して成り立つものを考えれば、(2) のとおりの複体の写像を得る。したがって (1) と (2) は同値である。

分解を用いた \(\Ext\) 関手および \(\text{Tor}\) 関手の構成（Algebra, 節 00LO および 00LY）から、(1) と (2) は他のすべての条件を含意することが分かる。

(3) が (4) を、(4) が (5) を含意することは明らかである。 \(N\) を (5) のとおりとする。標準写像 \(\tilde \xi : P'_{e + 1} \to N\) に \(P'_{e + 2} \to P'_{e + 1}\) を前合成したものは零である。したがって \(\xi\) を \(\tilde \xi\) の次の群における類として考えられる。 \[\Ext^{e + 1}_R(M', N) = \frac{\Ker(\Hom(P'_{e + 1}, N \to \Hom(P'_{e + 2}, N)}{ \Im(\Hom(P'_e, N \to \Hom(P'_{e + 1}, N)}\] 複体の写像 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\) であって \(\alpha\) を持ち上げるものを選ぶ。 Derived Categories, 補題 0649 を参照せよ。 \(\xi\) が \(\Ext^{e + 1}_R(M', N)\) において零に写るならば、写像 \(\varphi : P_e \to N\) であって \(\tilde \xi \circ a_{e + 1} = \varphi \circ d\) を満たすものが存在する。したがって、複体の写像 \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & P_{e + 1} \ar[r] \ar[d]^0 & P_e \ar[r] \ar[d]^{a_e - \varphi} & P_{e - 1} \ar[r] \ar[d]^{a_{e - 1}} & \ldots \\ \ldots \ar[r] & P'_{e + 1} \ar[r] & P'_e \ar[r] & P'_{e - 1} \ar[r] & \ldots }\] であって (2) のとおりのものを得る。ゆえに (1) – (5) は同値である。

(6) と (7) の同値性は次元移動から従う。詳細は省略する。

\(M\) は \((-e - 1)\)-擬連接であると仮定する（補題中の括弧内の主張は More on Algebra, 補題 066E から従う）。 (7) が (4) を含意することを示せば証明が完了する。\(e\) に関する帰納法を用いる。基底の場合は \(e = 0\) である。このとき \(M\) は有限表示である。 More on Algebra, 補題 064T を参照せよ。さらに補題 0G9T から、\(M \to M'\) は自由加群を経由すると結論する。もちろん \(M \to M'\) が自由加群を経由するならば、 \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\) はすべての \(i > 0\) に対して望みどおり零である。 \(e > 0\) と仮定する。短完全列の間の写像 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] であって、その右の縦射が与えられた写像となるものを選べる。すると、 \(\text{Tor}_{i + 1}^R(M, N) = \text{Tor}^R_i(K, N)\) および \(\Ext^{i + 1}_R(M, N) = \Ext^i_R(K, N)\) を \(i \geq 1\) と任意の \(R\)-加群 \(N\) に対して得る。\(M', K'\) についても同様である。したがって \(\text{Tor}_e^R(K, N) \to \text{Tor}_e^R(K', N)\) は任意の \(R\)-加群 \(N\) に対して零である。More on Algebra, 補題 064R により、\(K\) は \((-e)\)-擬連接であることが分かる。帰納法により \(\Ext^e(K', N) \to \Ext^e(K, N)\) は任意の \(R\)-加群 \(N\) に対して零であると結論し、所望の結果を得る。

補題

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとする。任意の \(n \geq 1\) に対し、ある \(m > n\) が存在して、写像 \(A/I^m \to A/I^n\) は補題 0G9V の同値な条件を \(e = \text{cd}(A, I)\) として満たす。

証明

\(\xi \in \Ext^{e + 1}_A(A/I^n, N)\) を、補題 0G9V の (5) で構成された元とする。 \(e = \text{cd}(A, I)\) なので、 \(0 = H^{e + 1}_Z(N) = H^{e + 1}_I(N) = \colim \Ext^{e + 1}(A/I^m, N)\) が成り立つ。これは Dualizing Complexes, 補題 0955 および 0954 による。したがって、\(m \geq n\) であって、\(\xi\) が \(\Ext^{e + 1}_A(A/I^m, N)\) において零に写るようなものを選べ、所望の結果を得る。

一様性について II

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとする。\(M\) を有限 \(A\)-加群とし、\(i > 0\) とする。More on Algebra, 補題 0911 により、ある \(c = c(A, I, M, i)\) が存在して、 \(\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\) はすべての \(n \geq c\) に対して零となる。この節では、場合によっては定数 \(c\) であって、すべての \(A\)-加群 \(M\) に同時に通用するものを選べること（しかも \(i\) のある範囲にわたって選べること）を示す結果を論じる。この内容は、[Huneke-uniform] および [AHS] で論じられる一様 Artin–Rees と関係している。

注意 0GA5 では、これを応用して、導来完備化に関係する種々の pro 系が強い意味で pro 同型であること（またはそうでないこと）を示す。

次の補題は大幅に強めることができる。

補題

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとする。任意の \(m \geq 0\) および \(i > 0\) に対し、ある \(c = c(A, I, m, i) \geq 0\) が存在して、任意の \(A\)-加群 \(M\) であって \(I^m\) で零化されるものに対し、写像 \[\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\] はすべての \(n \geq c\) に対して零である。

証明

\(i\) に関する帰納法による。基底の場合は \(i = 1\) である。短完全列 \(0 \to I^n \to A \to A/I^n \to 0\) は単射 \(\text{Tor}_1^A(M, A/I^n) \subset I^n \otimes_A M\) を定める。 Algebra, 注意 00M6 を参照せよ。 \(M\) は \(I^m\) で零化されるので、写像 \(I^n \otimes_A M \to I^{n - m} \otimes_A M\) は \(n \geq m\) に対して零であると分かる。したがって \(c = m\) とすればよい。

帰納段階。\(i > 1\) とし、\(c\) は \(i - 1\) に対して通用すると仮定する。 More on Algebra, 補題 0911 を \(M = A/I^m\) に適用すると、ある \(c' \geq 0\) を選んで、 \(\text{Tor}_i(A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i(A/I^m, A/I^{n - c'})\) が \(n \geq c'\) に対して零となるようにできる。\(M\) は \(I^m\) で零化されるとする。短完全列 \[0 \to S \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m \to M \to 0\] を選ぶ。対応する Tor の長完全列から完全列 \[\text{Tor}_i^A(\bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n)\] をすべての整数 \(n \geq 0\) に対して得る。\(n \geq c + c'\) ならば、写像 \(\text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^{n - c})\) は零であり、写像 \(\text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c}) \to \text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c - c'})\) も零である。これを短完全列と組み合わせると、\(i\) に対する結果が定数 \(c + c'\) で成り立つ。

補題

\(I = (a_1, \ldots, a_t)\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとする。 \(a = a_1\) とおき、\(B = A[\frac{I}{a}]\) をアフィン・ブローアップ代数とする。ある \(c > 0\) が存在して、\(\text{Tor}_i^A(B, M)\) は \(I^c\) で零化される。これは任意の \(A\)-加群 \(M\) および \(i \geq t\) に対して成り立つ。

証明

\(B\) は \(A[x_2, \ldots, x_t]/(a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t)\) をその \(a_1\)-捩れで割った商であることを思い出そう。Algebra, 補題 0G8S を参照せよ。 \[B_\bullet = \text{次の列に関する Koszul 複体：}a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t \text{、係数環は }A[x_2, \ldots, x_t]\] を、次数 \((t - 1), \ldots, 0\) に置かれた鎖複体とみなす。複体 \(B_\bullet[1/a_1]\) は、列 \(x_2 - a_2/a_1, \ldots, x_t - a_t/a_1\) に関する Koszul 複体と同型であり、この列は \(A[1/a_1][x_2, \ldots, x_t]\) における正則列である。正則列は Koszul 正則なので、増大写像 \[\epsilon : B_\bullet \longrightarrow B\] は \(a_1\) を可逆化すると擬同型になる。錐 \(C_\bullet\)（\(\epsilon\) に関するもの）のホモロジー加群は有限 \(A[x_2, \ldots, x_n]\)-加群であり、\(C_\bullet\) は有界なので、ある \(c \geq 0\) が存在して、\(a_1^c\) がそれらすべてを零化すると結論する。Derived Categories, 補題 08Q2 により、必要ならば \(c\) をより大きな整数で置き換えることで、\(a_1^c\) は \(C_\bullet\) 上、\(D(A)\) において零であると分かる。区別三角形 \[B_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M \to B \otimes_A^\mathbf{L} M \to C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M\] を考えれば証明は完了する。実際、第 1 項は \(B_\bullet \otimes_A M\) で表され、ホモロジー次数 \((t - 1), \ldots, 0\) に置かれている。これは Koszul 複体 \(B_\bullet\) の各項が自由な（したがって平坦な）\(A\)-加群だからである。よって \(\text{Tor}_i^A(B, M) = H_i(C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M)\) が \(i > t - 1\) に対して成り立ち、これは \(a_1^c\) で零化される。 \(a_1^cB = I^cB\) であり、この Tor 加群は \(B\) 上の加群なので、結論を得る。

この節の残りでは、Noether 環 \(A\) とイデアル \(I \subset A\) を固定する。 \[p : X \to \Spec(A)\] を、\(\Spec(A)\) のイデアル \(I\) に沿うブローアップとする。言い換えると、\(X\) は \(\text{Proj}\)、すなわち Rees 代数 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\) の射影スキームである。 Cohomology of Schemes, 補題 0AG6 および 0AG7 により、整数 \(q(A, I) \geq 0\) を選んで、任意の \(q \geq q(A, I)\) に対し \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\) が \(i > 0\) について成り立ち、かつ \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\) となるようにできる。

補題

上の状況で、\(q \geq q(A, I)\) および任意の \(A\)-加群 \(M\) に対して \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) \cong M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] が \(D(A)\) において成り立つ。

証明

自由分解 \(F_\bullet \to M\) を選ぶ。このとき \(\widetilde{F}_\bullet\) は \(\widetilde{M}\) の平坦分解である。したがって \(Lp^*\widetilde{M}\) は複体 \(p^*\widetilde{F}_\bullet\) で与えられる。よって \(Lp^*\widetilde{M}(q)\) は複体 \(p^*\widetilde{F}_\bullet(q)\) で与えられる。\(p^*\widetilde{F}_i(q)\) は、 \(\Gamma(X, -)\) に関して非輪状である。これは \(q \geq q(A, I)\) の選び方による。また \(\Gamma(X, p^*\widetilde{F}_i(q)) = I^qF_i\) が \(q \geq q(A, I)\) の選び方により成り立つ。したがって \(R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q))\) は、各項が \(I^qF_i\) である複体で与えられる。Derived Categories of Schemes, 補題 0G9P を参照せよ。複体 \(I^qF_\bullet\) は定義により \(M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\) を計算するので、結果が従う。

補題

上の状況において、\(t\) を \(I\) の生成元数の上界とする。このとき整数 \(c = c(A, I) \geq 0\) が存在し、任意の \(A\)-加群 \(M\) に対してコホモロジー層 \(H^j(Lp^*\widetilde{M})\) は \(I^c\) により零化される（\(j \leq -t\) のとき）。

証明

\(I = (a_1, \ldots, a_t)\) とする。この問題は \(X\) 上アフィン局所的である。 \(1 \leq i \leq t\) に対して、\(B_i = A[\frac{I}{a_i}]\) をアフィン・ブローアップ代数とする。このとき \(X\) は、環 \(B_i\) のスペクトルによるアフィン開被覆をもつ（Divisors, 補題 0804 を参照）。 Derived Categories of Schemes, 補題 08DW に与えられた導来引戻しの記述により、各 \(i\) に対してある \(c \geq 0\) が存在し、 \[\text{Tor}_j^A(B_i, M)\] が \(I^c\) により零化されること（\(j \geq t\) のとき）を示せば十分である。これは補題 0G9Y である。

補題

上の状況において、\(t\) を \(I\) の生成元数の上界とする。このとき整数 \(c = c(A, I) \geq 0\) が存在し、任意の \(A\)-加群 \(M\) に対して Tor 加群 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\) は \(I^c\) により零化される（\(i > t\) かつ任意の \(q \geq 0\) について）。

証明

\(q(A, I)\) を上のものとする。\(q \geq q(A, I)\) に対して、補題 0G9Z により \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] である。Derived Categories of Schemes, 補題 0G9Q により、有界で収束するスペクトル系列 \[H^a(X, H^b(Lp^*\widetilde{M}(q))) \Rightarrow \text{Tor}_{-a - b}^A(M, I^q)\] がある。\(d\) を Cohomology of Schemes, 補題 071L における整数とする（実際には \(d = t\) と取れる。Cohomology of Schemes, 補題 01XI を参照）。すると \(H^{-i}(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = \text{Tor}_i^A(M, I^q)\) は長さが高々 \(d\) の有限フィルトレーションをもち、その次数付き加群は次の加群の部分商である： \[H^a(X, H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})(q)),\quad a = 0, 1, \ldots, d - 1\] \(i \geq t\) ならば、これらの加群はすべて \(I^c\) で零化される。ここで \(c = c(A, I)\) は補題 0GA0 におけるものである。実際、同補題によりコホモロジー層 \(H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})\) はすべて \(I^c\) で零化される。したがって \(\text{Tor}_i^A(M, I^q)\) は \(I^{dc}\) により零化される（\(q \geq q(A, I)\) かつ \(i \geq t\) のとき）。短完全系列 \(0 \to I^q \to A \to A/I^q \to 0\) を用いると、\(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\) は \(I^{dc}\) により零化される（\(q \geq q(A, I)\) かつ \(i > t\) のとき）。以上より \(I^m\) は、\(m = \max(dc, q(A, I) - 1)\) とおけば、 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\) を任意の \(q \geq 0\) と \(i > t\) に対して望みどおり零化する。

補題

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとし、\(t \geq 0\) を \(I\) の生成元数の上界とする。このとき \(N, c \geq 0\) が存在し、写像 \[\text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^{n - c})\] は、任意の \(A\)-加群 \(M\) とすべての \(n \geq N\) に対して零となる。

証明

\(c_1\) を補題 0GA1 で得た定数とする。この定数 \(c_1\) は \(\text{Tor}_i\) に、すべての \(i > t\) について同時に使えることに注意する。

\(I = (a_1, \ldots, a_t)\) とする。\(A\)-加群 \(M\) に対して \[\ell(M) = \#\{i \mid 1 \leq i \leq t,\ a_i^{c_1}\text{ は }M\text{ 上でゼロである}\}\] と置く。これは \(\{0, 1, \ldots, t\}\) の元である。\(0 \leq s \leq t\) に関する降下帰納法により、次の主張 \(H_s\) を証明する：ある \(N, c \geq 0\) が存在して、すべての加群 \(M\) で \(\ell(M) \geq s\) を満たすものに対し、写像 \[\text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^{n - c})\] は \(i = 0, \ldots, s\) およびすべての \(n \geq N\) に対して零である。

基底段階：\(s = t\) とする。\(\ell(M) = t\) ならば \(M\) は \((a_1^{c_1}, \ldots, a_t^{c_1}\}\) により、したがって \(I^{t(c_1 - 1) + 1}\) により零化される。補題 0G9X より、\(H_t\) は、\(c = N\) を補題で得られる整数 \(c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, t + 1), \ldots, c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, 2t + 1)\) の最大値に取れば成り立つ。

帰納段階。\(0 \leq s < t\) とし、\(N, c\) は \(H_{s + 1}\) におけるものとする。加群 \(M\) で \(\ell(M) = s\) を満たすものを考える。このとき、ある \(i\) を選んで \(a_i^{c_1}\) が \(M\) 上で非零となるようにできる。したがって \(\ell(M[a_i^c]) \geq s + 1\) および \(\ell(M/a_i^{c_1}M) \geq s + 1\) であり、これらに帰納法の仮定を適用できる。完全系列 \[0 \to M[a_i^{c_1}] \to M \xrightarrow{a_i^{c_1}} M \to M/a_i^{c_1}M \to 0\] を考える。中央の矢印の像を \(E \subset M\) と記す。対応する Tor 加群の図式 \[\xymatrix{ & & \text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q) \ar[d] \\ \text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q) \ar[r] & \text{Tor}_i(M, A/I^q) \ar[r] \ar[rd]^0 & \text{Tor}_i(E, A/I^q) \ar[d] \\ & & \text{Tor}_i(M, A/I^q) }\] を得る。その行と列は（任意の \(q\) に対して）完全である。南東向きの矢印は \(c_1\) の選び方により零である。したがって加群 \(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\) は、\(\text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q)\) のある商加群と \(\text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q)\) のある部分加群との間に挟まれる。ゆえに \(H_s\) は、\(N\) を \(N + c\) で、\(c\) を \(2c\) で置き換えれば成り立つ。細部の一部は省略する。

命題

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとし、\(t \geq 0\) を \(I\) の生成元数の上界とする。このとき \(N, c \geq 0\) が存在し、\(n \geq N\) に対して写像 \[A/I^n \to A/I^{n - c}\] は、\(e = t\) とした補題 0G9V の同値な条件を満たす。

証明

補題 0GA2 と 0G9V から直ちに従う。

注意

論文 [AHS] は、ほかにも多くのことを示すとともに、\(A\) が局所環ならば命題 0GA3 において \(e = t\) を \(e = \dim(A)\) で置き換えても成り立つことを示している。補題 0EH1 を見ると、命題 0GA3 において \(e = t\) を \(e = \text{cd}(A, I)\) で置き換えても成り立つかを問うのは自然である。これは分かっていない。

注意

\(I\) を Noether 環 \(A\) のイデアルとする。\(I = (f_1, \ldots, f_r)\) とする。 \(K_n^\bullet\) を More on Algebra, 状況 0BKC における \(f_1^n, \ldots, f_r^n\) 上の Koszul 複体と記し、対応する対象を \(K_n \in D(A)\) と記す。 \(M^\bullet\) を有限 \(A\)-加群からなる有界複体とし、対応する対象を \(M \in D(A)\) と記す。\(D(A)\) における次の逆系を考える：

\(M^\bullet/I^nM^\bullet\)、すなわち各項が \(M^i/I^nM^i\) である複体、

\(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n\),

\(M \otimes_A^\mathbf{L} K_n\)、および

\(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\)（下を参照）。

これらの逆系はすべて pro 対象として同型である。(2) と (3) の間の同型は More on Algebra, 補題 0921 から従う。(1) と (2) の間の同型は More on Algebra, 補題 0G9M に与えられている。最後のものについては下を参照されたい。

しかし、これら pro 系の同型が「強い」ものであるかを問うこともできる。この用語と問いは [quillenhomology, 61, 62 頁] の議論に関係している。すなわち、圏 \(\mathcal{C}\) が与えられたとき、対象を逆系 \((X_n)\) とし、射 \((X_n) \to (Y_n)\) を組 \((c, \varphi_n)\) により表す。この組は \(c \geq 0\) と、射 \(\varphi_n : X_n \to Y_{n - c}\) （すべての \(n \geq c\) について）からなり、明らかな両立条件を満たし、ある同値関係（本質的には \(c\) を大きくすることで与えられる）で同一視する。これにより「強い pro 圏」を定義できる。そこで、上の逆系がこの強い pro 圏で同型であるかを問う。

これは、\(M = A[0]\) の場合でさえ (1) と (3) については明らかに成り立ちえない。実際、系 \(H^0(K_n) = A/(f_1^n, \ldots, f_r^n)\) は一般に、加群の圏において系 \(A/I^n\) と強い意味で pro 同型ではない。例えば \(A = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\) および \(f_i = x_i\) と取れば、 \(H^0(K_n)\) は \(I^{r(n - 1)}\) により零化されない。³

実際、上の結果から、More on Algebra, 補題 0G9M で論じた (2) から (1) への自然な写像は、強い意味で pro 同型であることが分かる。証明を概説する。愚鈍切断を用いる標準的な議論により、まず \(M^\bullet\) が一つの有限 \(A\)-加群 \(M\) を次数 \(0\) に置いて得られる場合に帰着する。命題 0GA3 における \(N, c \geq 0\) を選ぶ。同命題より、 \(n \geq N\) に対して系 (2) の遷移写像の分解 \[M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n) \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] を得る。一方、More on Algebra, 補題 0911 により、別の定数 \(c' = c'(M) \geq 0\) であって、写像 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^{n'}) \to \text{Tor}_i(M, A/I^{n' - c'})\) が \(i = 1, 2, \ldots, t\) および \(n' \geq c'\) に対して零となるものを見つけられる。すると Derived Categories, 補題 08Q2 より、写像 \[\tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n + tc'}) \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n)\] は \(M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M\) を経由する。これを先の結果と合わせると、分解 \[M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] を得るので、望むことが従う。この結果が必要になったときには、改めて注意深く定式化し、詳細な証明を与えることにする。

(4) については、Noether 環 \(P\)、環準同型 \(P \to A\)、およびイデアル \(J \subset P\) で \(I = JA\) を満たすものがあるとする。More on Algebra, 第 06Y5 節により、関手 \(M \otimes_P^\mathbf{L} - : D(P) \to D(A)\) と、(4) における逆系 \(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\) を \(D(A)\) 内に得る。\(P\) が Noether 環ならば、Koszul 複体と比較できるため、(4) の系は (1) の系と pro 同型である。\(P \to A\) が有限ならば、 (4) の系は (2) の系と強い意味で pro 同型である。実際、逆系 \(A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\) は、上の議論により逆系 \(A/I^n\) と強い意味で pro 同型であり、さらに \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n)\] が More on Algebra, 補題 06Y6 により成り立つからである。

(4) の標準的な例は、\(P = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\)、写像 \(P \to A\) で \(x_i\) を \(f_i\) に送るもの、および \(J = (x_1, \ldots, x_r)\) を取るものである。この場合、 \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_{A[x_1, \ldots, x_r]}^\mathbf{L} A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\] が成り立つことを示し、上で論じた場合の一つに帰着する（ただしこの場合は、 \(A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\) が高々 \(r\) の Tor 次元をすべての \(n\) に対してもつので、命題 0GA3 を用いる段階を避けられ、実際にはより容易である）。この場合は [BS, 命題 3.5.1] の証明で論じられている。

一様性について III

本節では Noether 環 \(A\) とイデアル \(I \subset A\) を固定する。目標は補題 0GAD を証明することであり、この補題は後の章で持上げ問題を解くために用いる（Algebraization of Formal Spaces, 補題 0GAQ を参照）。

本節を通じて、 \[p : X \to \Spec(A)\] により \(\Spec(A)\) のイデアル \(I\) におけるブローアップを表す。言い換えると、 \(X\) は \(\text{Proj}\)、すなわち Rees 代数 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\) から得られる射影スキームである。さらにファイバー積 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^p \\ \Spec(A/I) \ar[r] & \Spec(A) }\] も考える。このとき \(Y\) はブローアップの例外因子であり、したがって \(X\) 上の有効 Cartier 因子であって \(\mathcal{O}_X(-1) = \mathcal{O}_X(Y)\) を満たす。\(\text{Proj}\) を取る操作は基底変換と可換なので、 \[Y = \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}) = \text{Proj}(S)\] を得る。ここで \(S = \text{Gr}_I(A) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) である。

次の記号を用いる： \(d = d(S) = d(\text{Gr}_I(A)) = d(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) は \(p\) のファイバーの次元の最大値を表す（\(0\) と置くのは \(X = \emptyset\) の場合である）。これは良定義である。実際、次が成り立つ。

\(d \leq t - 1\) であるのは、\(I = (a_1, \ldots, a_t)\) ならば \(X \subset \mathbf{P}^{t - 1}_A\) だからである。
\(d\) は、\(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\) のファイバーの次元の最大値でもある（\(Y\) が空でない場合）。また \(d = 0\) であるのは \(Y = \emptyset\) の場合である（同値な条件は \(S = 0\)、さらに同値な条件は \(I = A\) である）。

したがって \(d\) は \(S = \text{Gr}_I(A)\) の同型類のみに依存する。 \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\) は、任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) と \(i > d\) に対して Cohomology of Schemes, 補題 02V7 および 01XK により成り立つ。当然、\(Y\) 上の連接加群についても同じことが成り立つ。

次の記号を用いる： \(q = q(S) = q(\text{Gr}_I(A)) = q(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) は次のように定義される整数を表す。代数 \(S = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) は、次数 \(1\) で生成される Noether 次数環であり、その係数環は次数 \(0\) の部分であることに注意する。したがって Cohomology of Schemes, 補題 0AG6 および 0AG7 により、\(q(S)\) を、最小の整数 \(q(S) \geq 0\) であって、すべての \(q \geq q(S)\) に対して \(H^i(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = 0\) が \(1 \leq i \leq d\) について成り立ち、かつ \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = I^q/I^{q + 1}\) が成り立つものとして定義できる。（\(S = 0\) ならば \(q(S) = 0\) とする。）

\(n \geq 1\) に対して有効 Cartier 因子 \(nY\) を考えることができ、これを \(Y_n\) と記す。

補題

上の \(q_0 = q(S)\) と \(d = d(S)\) に対して、次が成り立つ。

\(n \geq 1\)、\(q \geq q_0\)、および \(i > 0\) ならば \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\) である。

\(n \geq 1\) かつ \(q \geq q_0\) ならば \(H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = I^q/I^{q + n}\) である。

\(q \geq q_0\) かつ \(i > 0\) ならば \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\) である。

\(q \geq q_0\) ならば \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\) である。

証明

\(I = A\) ならば \(X\) はアフィンであり、主張は自明である。したがって \(I \not = A\) と仮定してよいし、そう仮定する。このとき \(Y\) と \(X\) は空でないスキームである。

(1) と (2) を \(n\) に関する帰納法で証明する。基底段階 \(n = 1\) は、 \(q_0\) の定義そのものである（\(Y_1 = Y\) だからである）。 \(\mathcal{O}_X(1) = \mathcal{O}_X(-Y)\) であることを思い出す。したがって短完全系列 \[0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(1) \to \mathcal{O}_{Y_{n + 1}} \to \mathcal{O}_Y \to 0\] がある。したがって \(i > 0\) に対して \[H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y}(q))\] を得て、両端の項の既知の消滅から中央の項の望む消滅を得る。\(i = 0\) に対しては可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^{q + 1}/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \ar[r] & H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) \ar[r] & 0 }\] を得る。その行は \(q \geq q_0\) に対して完全である（下の行については、長完全コホモロジー系列の次の項が \(q \geq q_0\) に対して消滅することに注意する）。 \(q \geq q_0\) なので左右の垂直矢印は同型であり、中央の矢印も同型だと結論する。

同様である (3) と (4) の証明は省略する。実際、形式関手の定理を用いれば (1) と (2) から (3) と (4) を導ける（ただし、これは過剰であろう）。

記法を導入する。\(n \geq c \geq 0\) が与えられたとき、\((A, n, c)\)-加群 とは、有限 \(A\)-加群 \(M\) であって、\(I^n\) により零化され、かつ \(A/I^n\)-加群として \(I^c/I^n\)-射影的であるものをいう（More on Algebra, 第 0G8Z 節を参照）。

次の記号の濫用を用いる。\(A\)-加群 \(M\) が与えられたとき、\(p^*M\) により、 \(p\) で引き戻して得られる擬連接加群、すなわち擬連接加群 \(\widetilde{M}\) （\(\Spec(A)\) 上で \(M\) に対応するもの）の引戻しを表す。例えば \(\mathcal{O}_{Y_n} = p^*(A/I^n)\) である。短完全系列 \(0 \to K \to L \to M \to 0\) が与えられ、その各項が \(A\)-加群ならば、完全系列 \[p^*K \to p^*L \to p^*M \to 0\] を得る。実際、\(\widetilde{\ }\) は完全関手であり、\(p^*\) は右完全関手である。

補題

\(0 \to K \to L \to M \to 0\) を \(A\)-加群の短完全系列で、\(K\) と \(L\) は \(I^n\) により零化され、\(M\) は \((A, n, c)\)-加群であるものとする。このとき \(p^*K \to p^*L\) の核はスキーム論的に \(Y_c\) 上に台をもつ。

証明

\(\Spec(B) \subset X\) をアフィン開集合とする。完全系列を \(\Spec(B)\) 上に制限したものは、\(B\)-加群の系列 \[K \otimes_A B \to L \otimes_A B \to M \otimes_A B \to 0\] に対応し、これは系列 \[K \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to L \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to M \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to 0\] と同型である。したがって最初の写像の核は加群 \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\) の像である。例外因子 \(Y\) は \(I\mathcal{O}_X\) により切り出されることを思い出す。ゆえに \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\) が \(I^c\) により零化されることを示せば十分である。 \(a \in I^c\) による \(M\) 上の乗法は有限自由 \(A/I^n\)-加群を経由するので、これは明らかである。

標準写像 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\) があり、これはちょうど \(Y\) に沿って消える。したがって、任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して常に標準写像 \(\mathcal{F}(q) \to \mathcal{F}(q + n)\) があり、ここで任意の \(q \in \mathbf{Z}\) と \(n \geq 0\) を取れる。

補題

\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき、\(\mathcal{F}\) がスキーム論的に \(Y_c\) 上に台をもつことと、標準写像 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}(c)\) が零であることとは同値である。

証明

\(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\) がちょうど \(Y\) に沿って消えるからである。

補題

上の \(q_0 = q(S)\) と \(d = d(S)\) に対し、整数 \(n \geq c \geq 0\)、 \((A, n, c)\)-加群 \(M\)、添字 \(i \in \{0, 1, \ldots, d\}\)、および整数 \(q\) が与えられているとする。このとき、次の各場合に分ける。

\(i = d \geq 1\) かつ \(q \geq q_0\) の場合、 \(H^d(X, p^*M(q)) = 0\) である。

\(i = d - 1 \geq 1\) かつ \(q \geq q_0\) の場合、 \(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\) である。

\(d - 1 > i > 0\) かつ \(q \geq q_0 + (d - 1 - i)c\) の場合、写像 \(H^i(X, p^*M(q)) \to H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c))\) は零である。

\(i = 0\)、\(d \in \{0, 1\}\)、かつ \(q \geq q_0\) の場合、全射 \[I^qM \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\] がある。

\(i = 0\)、\(d > 1\)、かつ \(q \geq q_0 + (d - 1)c\) の場合、写像 \[H^0(X, p^*M(q)) \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] の像は、標準写像 \(I^{q - (d - 1)c}M \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\) の像に含まれる。

証明

\(M\) を \((A, n, c)\)-加群とする。短完全系列 \[0 \to K \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\] を選ぶ。以下では \(K\) が \((A, n, c)\)-加群であることを用いる（More on Algebra, 補題 0G95 を参照）。対応する完全系列 \[p^*K \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] を考える。これを短完全系列 \[0 \to \mathcal{F} \to p^*K \to \mathcal{G} \to 0 \quad\text{および}\quad 0 \to \mathcal{G} \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] に分ける。補題 0GA8 により、連接加群 \(\mathcal{F}\) はスキーム論的に \(Y_c\) 上に台をもつ。

(1) の証明。\(d > 0\) と仮定する。\(H^d(X, p^*M(q)) = 0\) を \(q \geq q_0\) に対して証明しなければならない。\(\mathcal{G}\) の捩りの \(> d\) 次コホモロジーが消滅することと、上の第二の短完全系列に付随する長完全コホモロジー系列とにより、\(H^d(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\) を証明すれば十分である。これは補題 0GA7 により成り立つ。

(2) の証明。\(d > 1\) と仮定する。\(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\) を \(q \geq q_0\) に対して証明しなければならない。前段落と同様に論じると、 \(H^d(X, \mathcal{G}(q)) = 0\) を示せば十分だと分かる。第一の短完全系列と、 \(\mathcal{F}\) の捩りの \(> d\) 次コホモロジーが消滅することとを用いれば、 \(H^d(X, p^*K(q))\) が零であることを示せば十分である。これは (1) と、\(K\) が \((A, n, c)\)-加群であること（上を参照）から従う。

(3) の証明。\(0 < i < d - 1\) とし、主張が \(i + 1\) に対して成り立つと仮定する。ただし \(i = d - 2\) の場合には主張 (2) がある。上の第二の短完全系列に付随する長完全コホモロジー系列を用いると、単射 \[H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c)) \subset H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\] を得る。実際、\(q - (d - 1 - i)c \geq q_0\) から \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q - (d - 1 - i)c))\) の消滅が従う（上を参照）。したがって、写像 \(H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \to H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\) が零であることを示せば十分である。これを調べるため、完全系列間の写像 \[\xymatrix{ H^{i + 1}(X, p^*K(q)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \ar[r] \ar[d] \ar@{..>}[ld] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q)) \ar[d] \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q - c)) \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c)) \ar[r] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c)) }\] を考える。\(\mathcal{F}\) はスキーム論的に \(Y_c\) 上に台をもつので、標準写像 \(\mathcal{G}(q) \to \mathcal{G}(q - c)\) は補題 0GA9 により \(p^*K(q - c)\) を経由する。これが図式の点線矢印を与える。（実際、証明のためには、最右端の垂直矢印が零であることに注意すれば、集合の写像として点線矢印を得るのに十分である。）したがって、 \(H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \to H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c))\) が零であることを示せば十分である。\(i = d - 2\) ならば、この矢印の始域は、 \(q - c \geq q_0\) であり \(K\) が \((A, n, c)\)-加群であるため、(2) により零である。 \(i < d - 2\) ならば、\(K\) が \((A, n, c)\)-加群なので、帰納法の仮定からこの写像は実際に零であることが従う。なぜなら \(q - c - (q - (d - 1 - i)c) = (d - 2 - i)c = (d - 1 - (i + 1))c\) であり、かつ \(q - c \geq q_0 + (d - 1 - (i + 1))c\) だからである。これで (3) の証明が完了する。

(4) の証明。\(d \in \{0, 1\}\) かつ \(q \geq q_0\) と仮定する。このとき第一の短完全系列から全射 \(H^1(X, p^*K(q)) \to H^1(X, \mathcal{G}(q))\) を得て、この矢印の始域は場合 (1) により零である。したがって、すべての \(q \in \mathbf{Z}\) に対して写像 \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\] は全射である。\(q \geq q_0\) に対して、その始域は補題 0GA7 により \((I^q/I^{q + n})^{\oplus r}\) に等しく、これで主張は容易に従う。

(5) の証明。\(d > 1\) と仮定する。(4) の証明と同様に論じると、 \[H^0(X, p^*M(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] の像が \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q - (d - 1)c)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] の像に含まれることを示せば十分だと分かる。上の包含を示すには、 \(\sigma \in H^0(X, p^*M(q))\) で、その境界が \(\xi \in H^1(X, \mathcal{G}(q))\) であるものに対して、\(\xi\) の \(H^1(X, \mathcal{G}(q - (d - 1)c))\) における像が零であることを示せば十分である。これは (3) の証明とまったく同じ議論から従う。

注意

組 \((M, n)\) が与えられ、それが整数 \(n \geq 0\) と有限 \(A/I^n\)-加群 \(M\) からなるとき、\(M^\vee = \Hom_{A/I^n}(M, A/I^n)\) と置く。組 \((\mathcal{F}, n)\) が与えられ、それが整数 \(n\) と連接 \(\mathcal{O}_{Y_n}\)-加群 \(\mathcal{F}\) からなるとき、 \[\mathcal{F}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_{Y_n}}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_{Y_n})\] と置く。上のような \((M, n)\) が与えられたとき、標準写像 \[can : p^*(M^\vee) \longrightarrow (p^*M)^\vee\] がある。実際、表示 \((A/I^n)^{\oplus s} \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\) を選べば、表示 \(\mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to p^*M \to 0\) を得る。双対を取ると完全系列 \[0 \to M^\vee \to (A/I^n)^{\oplus r} \to (A/I^n)^{\oplus s}\] および \[0 \to (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s}\] を得る。第一の系列を \(p\) で引き戻すと、望む写像 \(can\) を得る。この写像の構成は有限 \(A/I^n\)-加群 \(M\) に関して関手的である。\(can\) の核と余核は、スキーム論的に \(Y_c\) 上に台をもつ（\(M\) が \((A, n, c)\)-加群の場合）。実際、この場合、 \(a \in I^c\) に対して写像 \(a : M \to M\) は有限自由 \(A/I^n\)-加群を経由し、その加群に対しては \(can\) が同型である。したがって \(a\) は \(can\) の核と余核を零化する。

補題

上の \(q_0 = q(S)\) と \(d = d(S)\) に対し、\(M\) を \((A, n, c)\)-加群とし、 \(\varphi : M \to I^n/I^{2n}\) を \(A\)-線形写像とする。 \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\) と仮定し、\(d = 0\) ならばさらに \(n \geq q_0 + 2c\) と仮定する。このとき合成 \[M \xrightarrow{\varphi} I^n/I^{2n} \to I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\] は \(\sum a_i \psi_i\) の形である。ここで \(a_i \in I^c\) かつ \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\) である。

証明

\(d > 1\) の場合。写像 \(p^*(I^q) \to \mathcal{O}_X(q)\) の両立する系が \(q \geq 0\) に対してあるので、標準写像 \(p^*(I^q/I^{q + \nu}) \to \mathcal{O}_{Y_\nu}(q)\) が \(\nu \geq 0\) に対してある。これを用い、さらに \(\varphi\) を引き戻すと、写像 \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n)\] であって、合成 \(M \to H^0(X, p^*M) \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\) が、与えられた準同型 \(\varphi\) と写像 \(I^n/I^{2n} \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\) との合成であるものを得る。 \(\mathcal{O}_{Y_n}(n)\) は \(Y_n\) 上可逆なので、線形写像 \(\chi\) は切断 \[\sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n))\] を定める。記法は注意 0GAB のとおりである。注意 0GAB の議論により、\(can : p^*(M^\vee) \to (p^*M)^\vee\) の余核と核はスキーム論的に \(Y_c\) 上に台をもつ。補題 0GA9 により、写像 \((p^*M)^\vee(n) \to (p^*M)^\vee(n - 2c)\) は \(p^*(M^\vee)(n - 2c)\) を経由する。細部を一つ省略した。したがって \(\sigma\) の \(\Gamma(X, (p^*M)^\vee(n - 2c))\) における像は、ある元 \[\sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c))\] から来る。補題 0GAA の (5)、More on Algebra, 補題 0G96 により \(M^\vee\) が \((A, n, c)\)-加群であること、および \(n \geq q_0 + (1 + d)c\) なので \(n - 2c \geq q_0 + (d - 1)c\) であることから、 \(\sigma'\) の \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\) における像は、ある元 \(\tau\) の \(I^{n - (1 + d)c}M^\vee\) における像であると分かる。 \(\tau = \sum a_i \tau_i\) と書く。ここで \(\tau_i \in I^{n - (2 + d)c}M^\vee\) である。これは \(n - (2 + d)c \geq 0\) なので意味をもつ。すると \(\tau_i\) は加群の準同型 \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\) を、評価写像 \(M \otimes M^\vee \to A/I^n\) を用いて定める。

これが実際に機能することを証明しよう⁴。\(z \in M\) を選び、\(\varphi(z)\) と \(\sum a_i \psi_i(z)\) が \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) において同じ像をもつことを示す。まず元 \(z\) は写像 \(p^*z : \mathcal{O}_{Y_n} \to p^*M\) を定め、この写像と \(\chi\) との合成は、写像 \(\mathcal{O}_{Y_n} \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\)、すなわち \(\varphi(z)\) に、写像 \(I^n/I^{2n} \to \Gamma(\mathcal{O}_{Y_n}(n))\) を介して対応するものに等しい。次に \(z\) と \(p^*z\) は評価写像 \(e_z : M^\vee \to A/I^n\) および \(e_{p^*z} : (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}\) を定める。\(\chi(p^*z)\) は \(\varphi(z)\) に対応する切断なので、\(e_{p^*z}(\sigma)\) は \(\varphi(z)\) に対応する切断である。ここおよび以下では記号を濫用する。加群の写像 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) が \(X\) 上で与えられたとき、捩った加群の対応する写像も \(a : \mathcal{F}(t) \to \mathcal{F}(t)\) と記す。図式 \[\xymatrix{ p^*(M^\vee) \ar[d]_{can} \ar[r]_{p^*e_z} & \mathcal{O}_{Y_n} \ar@{=}[d] \\ (p^*M)^\vee \ar[r]^{e_{p^*z}} & \mathcal{O}_{Y_n} }\] は構成 \(can\) の関手性により可換である。したがって \((p^*e_z)(\sigma')\) は \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - 2c))\) において、 \(\varphi(z)\) の \(I^{n - 2c}/I^{2n - 2c}\) における像に対応する切断である。次に、\(\sigma'\) は \(\sum a_i \tau_i\) の \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\) における像へ写る。このことから、 \((p^*e_z)(\sum a_i \tau_i) = \sum a_i p^*e_z(\tau_i)\) は \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\) において、\(\varphi(z)\) の \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) における像に対応する切断である。 \(\psi_i\) は \(\tau_i\) から評価写像を用いて定義されることを思い出す。したがって、 \[\chi_i : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n - (2 + d)c)\] により \(\psi_i\) から得られる写像を表すと、上と同じ理由により、\(\psi_i(z)\) に対応する切断は \(\chi_i(p^*z) = e_{p^*z}(\chi_i) = p^*e_z(\tau_i)\) である。したがって、\(\varphi(z)\) の \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\) における像は、\(\sum a_i\psi_i(z)\) の像に等しい。\(n - (1 + d)c \geq q_0\) なので \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c)) = I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) であることが補題 0GA7 から従い、望む両立性が成り立つと結論する。

\(d = 1\) の場合。ここでは上と同様に論じて \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n),\quad \sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n)),\quad \sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c)),\] を得る。次に補題 0GAA の (4) を用いると、 \(\sigma'\) はある元 \(\tau \in I^{n - 2c}M^\vee\) の像であると分かる。議論の残りは同じである。

\(d = 0\) の場合。議論は \(d = 1\) の場合とまったく同じである。

補題

上の \(d = d(S)\) と \(q_0 = q(S)\) に対して、次が成り立つ。

整数 \(n \geq c \geq 0\) が \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\) を満たし、

\(K\) が \(D(A/I^n)\) の対象で、\(H^i(K) = 0\) が \(i \not = -1, 0\) に対して成り立ち、\(H^i(K)\) は \(i = -1, 0\) に対して有限であり、さらに \(\Ext^1_{A/I^c}(K, N)\) が \(I^c\) により、すべての有限 \(A/I^n\)-加群 \(N\) について零化される

ならば、写像 \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) \longrightarrow \Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\] は零である。

証明

\(d > 0\) の場合。\(K^{-1} \to K^0\) を \(K\) を表す複体であって、More on Algebra, 補題 0G9F の (5) におけるものとする。ここでは、イデアル \(I^c/I^n\) に関して、環 \(A/I^n\) 内で同補題を適用する。特に \(K^{-1}\) は \(I^c/I^n\)-射影的である。実際、\(I^c/I^n\) の元による乗法は \(K^0\) をさえ経由する。More on Algebra, 補題 0ALN の (1) により \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) = \Coker(\Hom_{A/I^n}(K^0, I^n/I^{2n}) \to \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n}))\] を得て、他の Ext 群についても同様である。したがって任意の類 \(\xi\) で \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n})\) に属するものは、ある元 \(\varphi \in \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n})\) から来る。\(\varphi'\) により \(\varphi\) の \(\Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\) における像を表す。補題 0GAC により \(\varphi' = \sum a_i \psi_i\) と書ける。ここで \(a_i \in I^c\) かつ \(\psi_i \in \Hom_{A/I^n}(M, I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c})\) である。 \(h_i : K^0 \to K^{-1}\) を、\(a_i \text{id}_{K^{-1}} = h_i \circ d_K^{-1}\) を満たすように選ぶ。 \(\psi = \sum \psi_i \circ h_i : K^0 \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\) と置く。すると \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\) であるから、\(\xi\) はすでに \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\) において零に写り、まして \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\) においても零に写る。

\(d = 0\) の場合⁵。\(\xi\) と \(\varphi\) を上のものとする。図式 \[\xymatrix{ K^0 \\ K^{-1} \ar[u] \ar[r]^\varphi & I^n/I^{2n} \ar[r] & I^{n - c}/I^{2n - c} }\] \(X\) に引き戻し、写像 \(p^*(I^n/I^{2n}) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\) を用いると、実線からなる図式 \[\xymatrix{ p^*K^0 \ar@{..>}[rrd] \\ p^*K^{-1} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n) \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n - c) }\] を得る。\(X\) はアフィン開集合 \(U = \Spec(B)\) で被覆でき、各開集合上で次の性質を満たす \(a \in I\) が存在する：\(IB = aB\) であり、\(a\) は \(B\) 上の非零因子である。実際、\(X\) はアフィン・ブローアップ代数のスペクトルで被覆できる（Divisors, 補題 0804 を参照）。写像 \(\mathcal{O}_{Y_n}(n) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\) の \(U\) への制限は、擬連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群の写像であって、\(B\)-加群写像 \(a^c : B/a^nB \to B/a^nB\) に対応するものと同型である。 \(a^c : K^{-1} \to K^{-1}\) は \(K^0\) を経由するので、点線矢印は \(U\) 上で存在する。言い換えると、\(X\) 上局所的に点線矢印を見つけられる。さて、図式に適合する点線矢印の層は \[\mathcal{F} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \Coker(p^*K^{-1} \to p^*K^0), \mathcal{O}_{Y_n}(n - c))\] のもとで主等質的であり、これは連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。したがって、点線矢印を見つけることへの障害は \(H^1(X, \mathcal{F})\) の元である。このコホモロジー群は \(1 > d = 0\) なので零である（\(d = d(S)\) の定義に続く議論を参照）。これにより、図式に適合する点線矢印 \(\psi : p^*K^0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\) を見つけられる。\(n - c \geq q_0\) なので、\(\psi\) は写像 \(K^0 \to I^{n - c}/I^{2n - c}\) を誘導する。図式を追うと \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\) と結論でき、前と同様に証明が完了する。

\(T\) は特殊化で安定なので、 \(T = \bigcup_{Z \subset T} Z\) である。 Topology, 補題 0EES を参照せよ。↩︎
\(\dim(A) = \infty\) の場合、この構成は非有界複体に対して予期しない性質をもつことがある。↩︎
もちろん、対象が逆系であり、射が組 \((r, c, \varphi_n)\) により与えられる圏において、これらの pro 系が同型であるかを問うことはできる。この組は \(r \geq 1\)、\(c \geq 0\) および写像 \(\varphi_n : X_{rn} \to Y_{n - c}\)（\(n \geq c\) に対する）からなる。↩︎
この事実について、より泥臭くない証明を読者が提案してくれることを期待する。↩︎
\(d > 0\) に対して与えた議論も機能するが、少し弱い結果を与える。↩︎