국소 코호몰로지

서론

이 장에서는 국소 코호몰로지에 대한 연구를 계속한다. 참고문헌으로는 [SGA2]가 있다. 국소 코호몰로지의 정의는 쌍대화 복합체의 절 0952에서 찾을 수 있다. 뇌터 환의 경우 국소 코호몰로지를 취하는 것은 적절한 꼬임 함자의 유도 함자를 취하는 것과 같으며, 이는 쌍대화 복합체의 절 0BJD에서 증명한다. 깊이와의 관계는 쌍대화 복합체의 절 0AVY에서 찾을 수 있다.

국소 코호몰로지의 유한성 성질을 논의하고, 이를 바탕으로 상당히 일반적인 형태의 Grothendieck 유한성 정리를 증명한다. 정리 0BJV와 보조정리 0BJY (열린 몰입에 따른 연접 가군의 고차 직접상)을 보라. 여기서 사용하는 방법에는 Faltings의 논문에서 볼 수 있는 몇 가지 매우 간결한 논증이 포함된다. [Faltings-annulators]와 [Faltings-finiteness]를 보라.

응용으로 Hartshorne–Lichtenbaum 소멸을 논의한다. 또한 국소 코호몰로지에 대한 프로베니우스와 미분 연산자의 작용을 다룬다.

일반 사항

다음 보조정리는 함자 \(R\Gamma_Z\)가 지지집합을 갖는 코호몰로지와 관련됨을 말해 준다.

보조정리

환 \(A\)와 유한 생성 아이디얼 \(I\)를 잡자. \(Z = V(I) \subset X = \Spec(A)\)로 놓자. 스킴의 유도 범주의 보조정리 06Z0에 의해 \(K \in D(A)\)에 대응하는 \(\widetilde{K} \in D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 함자적 동형 \[R\Gamma_Z(K) = R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})\] 이 있다. 왼쪽은 쌍대화 복합체의 식 (0A6Q)이고, 오른쪽은 층 코호몰로지의 절 0G6Y의 함자이다.

증명

층 코호몰로지의 보조정리 0G71에 의해 완전 삼각형 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(X, \widetilde{K}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{K})[1]\] 이 존재하며, 여기서 \(U = X \setminus Z\)이다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 06Z0에 의해 \(R\Gamma(X, \widetilde{K}) = K\)임을 안다. \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)라 하자. 그러면 유한 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_r)\)를 얻는다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 08D2에 의하면 교대 Čech 복합체 \(\text{Tot}(\check{\mathcal{C}}_{alt}^\bullet(\mathcal{U}, \widetilde{K^\bullet}))\) 가 \(R\Gamma(U, \widetilde{K})\)를 계산한다. 여기서 \(K^\bullet\)은 \(A\)-가군으로 이루어진, \(K\)를 나타내는 임의의 복합체이다. 정의를 풀어 쓰면 \[R\Gamma(U, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (\prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] 분명히 \(K^\bullet = R\Gamma(X, \widetilde{K^\bullet}) \to R\Gamma(U, \widetilde{K}^\bullet)\) 는 \(A\)에서 \(\prod A_{f_i}\)로 가는 대각 사상이 유도한다. 따라서 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}) = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right)\] 쌍대화 복합체의 보조정리 0A6R에 의해 오른쪽 복합체는 \(R\Gamma_Z(K)\)를 계산하므로, 주어진 \(K\)에 대해 보조정리가 성립한다.

끝으로 이 동형을 \(K\)에 대해 함자적으로 택할 수 있음을 보이자. 다음 \(A\)-가군 복합체의 사상을 생각하자. \[M^\bullet = \text{Tot}\left( K^\bullet \otimes_A (A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r})\right) \longrightarrow K^\bullet\] 위의 논증에 따르면 이 화살표에 함자 \(R\Gamma_Z(X, \widetilde{\ })\)를 적용하면 동형이 되고, \(R\Gamma(U, \widetilde{M}^\bullet) = 0\)이다(세부사항은 생략한다). 따라서 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{K}^\bullet) \leftarrow R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}^\bullet) \rightarrow R\Gamma(X, \widetilde{M}^\bullet) = M^\bullet = R\Gamma_Z(K^\bullet)\] 를 얻으며, 모든 사상은 \(D(A)\)에서 동형이고 원하는 대로 \(K^\bullet\)에 대해 함자적이다.

보조정리

환 \(A\)와 유한 생성 아이디얼 \(I \subset A\)를 잡자. \(X = \Spec(A)\), \(Z = V(I)\), \(U = X \setminus Z\)로 놓고, \(j : U \to X\)를 포함 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 그러면

1. \(A\)-가군 \(M\)이 존재하여 \(\mathcal{F}\)가 \(\widetilde{M}\)을 \(U\)에 제한한 것이 되고,

2. \(M\)이 주어지면 완전열 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] 과 동형 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\)이 모든 \(p \geq 1\)에 대해 있으며,

3. \(M = H^0(U, \mathcal{F})\)로 택할 수 있고, 이 경우 \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\)이다.

증명

\(M\)의 존재성은 스킴의 성질의 보조정리 01PE와 \(X\) 위의 준연접 층이 \(A\)-가군에 대응한다는 사실(스킴의 보조정리 01IB)에서 따른다. 이제 완전 삼각형 \[R\Gamma_Z(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(X, \widetilde{M}) \to R\Gamma(U, \widetilde{M}|_U) \to R\Gamma_Z(X, \widetilde{M})[1]\] 을 생각하자. 이는 층 코호몰로지의 보조정리 0G71의 삼각형이다. \(X\)가 아핀이므로 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XB에 의해 \(R\Gamma(X, \widetilde{M}) = M\)이다. \(M\)을 택한 방식에 의해 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}|_U\)이므로, 이로부터 완전열 \[0 \to H^0_Z(X, \widetilde{M}) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(X, \widetilde{M}) \to 0\] 과 동형 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(X, \widetilde{M})\)을 모든 \(p \geq 1\)에 대해 얻는다. 보조정리 0A6T에 의해 \(H^i_Z(M) = H^i_Z(X, \widetilde{M})\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 따라서 (1)과 (2)가 성립한다. 끝으로 \(M' = H^0(U, \mathcal{F})\)로 놓으면 \(M \to M'\)의 핵과 여핵은 \(I\)-거듭제곱 꼬임이다. 따라서 \(\widetilde{M}|_U \to \widetilde{M'}|_U\)는 동형이고, 실제로 (3)에서 말한 대로 \(M'\)을 사용할 수 있다. 또한 \(H^0_Z(M')\)와 \(H^0_Z(M')\)가 모두 영임은 말할 필요도 없다.

보조정리

\(I, J \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(M\)이 \(I\)-거듭제곱 꼬임 가군이면 표준 사상 \[H^i_{V(I) \cap V(J)}(M) \to H^i_{V(J)}(M)\] 은 모든 \(i\)에 대해 동형이다.

증명

쌍대화 복합체의 보조정리 0BJC의 스펙트럼 수열을 사용하면 \(R\Gamma_I(M) = M\)이라는 명제로 귀착된다. 이는 쌍대화 복합체의 절 0952에 나오는 국소 코호몰로지의 구성에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S \subset A\)를 환 \(A\)의 곱셈적 집합이라 하자. \(M\)을 \(A\)-가군으로서 \(S^{-1}M = 0\)인 것이라 하자. 그러면 \(\colim_{f \in S} H^0_{V(f)}(M) = M\)이고 \(\colim_{f \in S} H^1_{V(f)}(M) = 0\).

증명

\(H^0\)에 관한 명제는 정의에서 바로 따른다. \(H^1\)에 관한 명제를 보기 위해 \(R\Gamma_{V(f)}\)와 \(H^1_{V(f)}\)가 여극한과 가환함에 유의하자. 따라서 \(M\)이 어떤 \(f \in S\)에 의해 소멸한다고 가정해도 된다. 그러면 \(H^1_{V(ff')}(M) = 0\)가 모든 \(f' \in S\)에 대해 성립한다(예를 들어 보조정리 0DWS에 따른다).

보조정리

\(I \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p\)를 소 아이디얼이라 하고, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. 정수 \(i \geq 0\)에 대해 사상 \[\Psi : \colim_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} H^i_{V((I, f))}(M) \longrightarrow H^i_{V(I)}(M)\] 을 생각하자. 그러면

1. \(\Im(\Psi)\)는 \(H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p\)에서 영으로 사상되는 원소들의 집합이고,

2. \(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\)이면 \(\Psi\)는 단사이며,

3. \(H^{i - 1}_{V(I)}(M)_\mathfrak p = H^i_{V(I)}(M)_\mathfrak p = 0\)이면 \(\Psi\)는 동형이다.

증명

\(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)에 대해 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJC의 스펙트럼 수열은 퇴화하여 짧은 완전열 \[0 \to H^1_{V(f)}(H^{i - 1}_{V(I)}(M)) \to H^i_{V((I, f))}(M) \to H^0_{V(f)}(H^i_{V(I)}(M)) \to 0\] 을 준다. 이로써 (1)이 증명되고, (2)는 이 사실과 보조정리 0DWT에서 따른다. (3)은 형식적인 귀결이다.

보조정리

\(I \subset I' \subset A\)를 뇌터 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(M\)을 \(A\)-가군이라 하고 \(i \geq 0\)을 정수라 하자. 사상 \[\Psi : H^i_{V(I')}(M) \to H^i_{V(I)}(M)\] 을 생각하자. 다음이 성립한다.

1. \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)가 모든 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\)에 대해 성립하면 \(\Psi\)는 전사이고,

2. \(H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)가 모든 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\)에 대해 성립하면 \(\Psi\)는 단사이며,

3. \(H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)가 모든 \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\)에 대해 성립하면 \(\Psi\)는 동형이다.

증명

(1)의 증명. \(\xi \in H^i_{V(I)}(M)\)라 하자. \(A\)가 뇌터 환이므로, 아이디얼 \(I \subset I'' \subset I'\) 가운데 \(\xi\)가 어떤 \(\xi'' \in H^i_{V(I'')}(M)\)의 상이 되게 하는 가장 큰 것이 존재한다. \(V(I'') = V(I')\)이면 끝난다. 그렇지 않으면 일반점 \(\mathfrak p \in V(I'')\)으로서 \(V(I')\)에 속하지 않는 것을 택하자. 그러면 가정에 의해 \(H^i_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^i_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)이다. 보조정리 0DWU에 의해 \(I''\)을 더 크게 할 수 있으므로, 이는 최대성에 모순이다.

(2)의 증명. \(\xi' \in H^i_{V(I')}(M)\)이 \(\Psi\)의 핵에 속한다고 하자. \(A\)가 뇌터 환이므로, 아이디얼 \(I \subset I'' \subset I'\) 가운데 \(\xi'\)이 \(H^i_{V(I'')}(M)\)에서 영으로 사상되게 하는 가장 큰 것이 존재한다. \(V(I'') = V(I')\)이면 끝난다. 그렇지 않으면 일반점 \(\mathfrak p \in V(I'')\)으로서 \(V(I')\)에 속하지 않는 것을 택하자. 그러면 가정에 의해 \(H^{i - 1}_{V(I'')}(M)_\mathfrak p = H^{i - 1}_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) = 0\)이다. 보조정리 0DWU에 의해 \(I''\)을 더 크게 할 수 있으므로, 이는 최대성에 모순이다.

(3)은 (1)과 (2)에서 형식적으로 따른다.

하츠혼의 연결성 보조정리

이 절의 제목은 다음 결과를 가리킨다.

보조정리

\(A\)를 깊이가 \(\geq 2\)인 뇌터 국소환이라 하자. 그러면 \(A\), \(A^h\), \(A^{sh}\)의 천공 스펙트럼은 연결이다.

증명

\(U\)를 \(A\)의 천공 스펙트럼이라 하자. \(U\)가 비연결이면 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)가 자명하지 않은 멱등원을 가짐을 알 수 있다. 그러나 \(A\)는 국소환이므로 자명하지 않은 멱등원을 갖지 않는다. 따라서 \(A \to \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\)는 동형이 아니다. 보조정리 0DWR에 의해 \(H^0_\mathfrak m(A)\) 또는 \(H^1_\mathfrak m(A)\) 중 하나는 영이 아니다. 그러므로 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ에 의해 \(\text{깊이}(A) \leq 1\)이다. \(A^h\)와 \(A^{sh}\)에 대한 결과는 대수학의 추가 주제의 보조정리 06LL를 사용한다.

보조정리

\(A\)를 카테너리이고 \((S_2)\)인 뇌터 국소환이라 하자. 그러면 \(\Spec(A)\)는 등차원이다.

증명

\(X = \Spec(A)\)로 놓자. \(d = \dim(A) = \dim(X)\)라 하자. \(X\) 안에서 \(X_1\)을 차원이 \(d\)인 기약 성분들의 합집합이라 하고, \(X_2\)를 차원이 \(< d\)인 기약 성분들의 합집합이라 하자. 물론 \(X = X_1 \cup X_2\)이다. \(X_2 = \emptyset\)이면 보조정리가 성립한다. 그렇지 않으면 \(Z = X_1 \cap X_2\)는 \(X\)의 공집합이 아닌 닫힌 부분집합이다. 실제로 \(X\)의 닫힌점을 적어도 포함하기 때문이다. 따라서 한 기약 성분의 일반점 \(z \in Z\)를 택할 수 있으며, 이 기약 성분은 \(Z\)의 성분이다. \(\mathcal{O}_{Z, z}\)의 스펙트럼은 \(X\)의 점들 중 \(z\)로 특수화되는 점들의 집합임을 상기하자. \(z\)는 차원이 \(d\)인 기약 성분과 차원이 \(< d\)인 기약 성분 양쪽에 속하므로, 자명하지 않은 특수화 \(x_1 \leadsto z\)와 \(x_2 \leadsto z\)를 얻는다. 이때 \(x_1\)의 폐포와 \(x_2\)의 폐포는 서로 다른 차원을 가진다. \(X\)가 카테너리이므로, 이는 특수화 \(x_1 \leadsto z\)와 \(x_2 \leadsto z\) 중 적어도 하나가 직접적이지 않을 때에만 가능하다. 따라서 \(\dim(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\)이다. \(\text{깊이}(\mathcal{O}_{Z, z}) \geq 2\)인 것은 \(A\)가 \((S_2)\)이기 때문이다. 그러나 천공 스펙트럼 \(U\), 즉 \(\mathcal{O}_{Z, z}\)의 천공 스펙트럼은 비연결이다. 실제로 닫힌 부분집합 \(U \cap X_1\)과 \(U \cap X_2\)는 (우리가 \(z\)를 택한 방식에 의해) 서로소이고 \(U\)를 덮는다. 이는 보조정리 0BLR와 모순이며, 증명이 끝난다.

코호몰로지 차원

코호몰로지 차원을 간단히 다룬다.

보조정리

\(I \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(Y = V(I) \subset X = \Spec(A)\)로 놓고, \(d \geq -1\)을 정수라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(H^i_Y(A) = 0\)가 \(i > d\)일 때 성립한다.

2. \(H^i_Y(M) = 0\)가 \(i > d\)일 때 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 성립한다.

3. \(d = -1\)이면 \(Y = \emptyset\)이고, \(d = 0\)이면 \(Y\)는 \(X\)에서 열린닫힌 집합이며, \(d > 0\)이면 \(H^i(X \setminus Y, \mathcal{F}) = 0\)가 \(i \geq d\)일 때 모든 준연접 \(\mathcal{O}_{X \setminus Y}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다.

증명

예를 들어 쌍대화 복합체의 보조정리 0A6R에 의해 \(R\Gamma_Y(-)\)는 유한 코호몰로지 차원을 가진다. 따라서 정수 \(i_0\)가 존재하여 \(H^i_Y(M) = 0\)가 모든 \(A\)-가군 \(M\)과 \(i \geq i_0\)에 대해 성립한다.

(1)과 (2)가 동치임을 증명하자. (2)가 (1)을 함의함은 즉시 알 수 있다. (1)을 가정한다. \(i > d\)에 대한 내림 귀납법으로 \(H^i_Y(M) = 0\)가 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 성립함을 보이겠다. \(i \geq i_0\)인 경우는 위에서 보았다. 귀납 단계를 위해 \(i_0 > i > d\)라 하자. 임의의 \(A\)-가군 \(M\)을 택하여 짧은 완전열 \(0 \to N \to F \to M \to 0\)에 넣는데, 여기서 \(F\)는 자유 \(A\)-가군이다. \(R\Gamma_Y\)는 오른쪽 수반함자이므로 \(H^i_Y(-)\)는 직합과 가환한다. 따라서 \(H^i_Y(F) = 0\)이다. 이는 가정 (1)과 \(i > d\)에 따른다. 그러면 원하는 대로 \(H^i_Y(M) = H^{i + 1}_Y(N) = 0\)이다.

\(d = -1\)이고 (2)가 성립한다고 가정하자. 그러면 \(0 = H^0_Y(A/I) = A/I \Rightarrow A = I \Rightarrow Y = \emptyset\)이다. 따라서 (3)이 성립한다. 역의 증명은 생략한다.

\(d = 0\)이고 (2)가 성립한다고 가정하자. \(J = H^0_I(A) = \{x \in A \mid I^nx = 0 \text{인 어떤 }n > 0\}\)로 놓자. 그러면 \[H^1_Y(A) = \Coker(A \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y})) \quad\text{이고}\quad H^1_Y(I) = \Coker(I \to \Gamma(X \setminus Y, \mathcal{O}_{X \setminus Y}))\] 이고, 첫 번째 사상의 핵은 \(J\)와 같다. 보조정리 0DWR를 보라. (2)에서 \(I(A/J) = A/J\)를 얻는다. 따라서 \(f \in I\)를 택하여 \(1\)이 \(A/J\)에서 그 상이 되게 할 수 있다. 그러면 \(1 - f \in J\)이므로 \(I^n(1 - f) = 0\)가 어떤 \(n > 0\)에 대해 성립한다. 따라서 \(f^n = f^{n + 1}\)이다. 이제 \(e = f^n \in I\)는 멱등원이다. 상보적 멱등원 \(e' = 1 - f^n \in J\)를 생각하자. 임의의 원소 \(g \in I\)에 대해 \(g^m e' = 0\)인 어떤 \(m > 0\)가 존재한다. 따라서 \(I\)는 아이디얼 \((e) \subset I\)의 근기에 포함된다. 이는 (3)에서 예견한 대로 \(Y = V(I) = V(e)\)가 \(X\)에서 열린닫힌 집합이라는 뜻이다. 반대로 \(Y = V(I)\)가 열린닫힌 집합이면 함자 \(H^0_Y(-)\)는 완전하고 그 고차 유도 함자들은 소멸한다.

\(d > 0\)이면 보조정리 0DWR에서 (2)와 (3)이 동치임을 즉시 알 수 있다.

정의

\(I \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. 보조정리 0DX7의 동치 조건들을 만족하는 가장 작은 정수 \(d \geq -1\)을 \(I\)가 \(A\) 안에서 갖는 코호몰로지 차원이라 하고 \(\text{cd}(A, I)\)로 쓴다.

따라서 \(\text{cd}(A, I) = -1\)은 \(I = A\)일 때 성립하고, \(\text{cd}(A, I) = 0\)은 \(I\)가 국소적으로 멱영이거나 멱등원으로 생성될 때 성립한다. 다음 보조정리에 의해 \(\text{cd}(A, I)\)가 존재함에 유의하자.

보조정리

\(I \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. 그러면

1. \(\text{cd}(A, I)\)는 \(I\)의 생성원 수 이하이다.

2. \(\text{cd}(A, I) \leq r\)인 것은 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)가 존재하여 \(V(f_1, \ldots, f_r) = V(I)\)가 성립할 때이다.

3. \(\text{cd}(A, I) \leq c\)인 것은 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)를 \(c\)개의 아핀 열린집합으로 덮을 수 있을 때이다.

증명

쌍대화 복합체의 보조정리 0A6R에 주어진 \(R\Gamma_Y(-)\)의 명시적 기술로부터 (1)이 성립한다. \(R\Gamma_Z\)는 닫힌 부분집합 \(Z\)에만 의존하고, \(I \subset A\) 가운데 \(V(I) = Z\)를 만족하는 유한 생성 아이디얼의 선택에는 의존하지 않는다는 사실을 사용하면 (1)에서 (2)를 얻는다. 이는 쌍대화 복합체의 절 0952에 나오는 국소 코호몰로지의 구성과 대수학 심화의 보조정리 0953를 함께 사용하거나, 보조정리 0A6T를 사용하면 따른다. (3)은 보조정리 0DX7와 스킴의 코호몰로지의 소멸 결과인 보조정리 01XI를 사용한다.

보조정리

\(I, J \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\text{cd}(A, I + J) \leq \text{cd}(A, I) + \text{cd}(A, J)\)이다.

증명

정의와 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJC를 사용한다.

보조정리

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하고, \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\text{cd}(B, IB) \leq \text{cd}(A, I)\)이다. \(A \to B\)가 충실히 평탄하면 등호가 성립한다.

증명

정의와 쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ를 사용한다.

보조정리

\(I \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\text{cd}(A, I) = \max \text{cd}(A_\mathfrak p, I_\mathfrak p)\)이다.

증명

\(Y = V(I)\) 및 \(Y' = V(I_\mathfrak p) \subset \Spec(A_\mathfrak p)\)로 놓자. 다음을 상기하자. \(R\Gamma_Y(A) \otimes_A A_\mathfrak p = R\Gamma_{Y'}(A_\mathfrak p)\) 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ에 따른다. 따라서 가환대수의 보조정리 00HN에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(I \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(M\)이 유한 \(A\)-가군이면 \(H^i_{V(I)}(M) = 0\)가 \(i > \dim(\text{Supp}(M))\)에 대해 성립한다. 특히 \(\text{cd}(A, I) \leq \dim(A)\)이다.

증명

먼저 두 번째 명제를 증명한다. \(\dim(A)\)는 크룰 차원을 뜻함을 상기하자. 보조정리 0DXB에 의해 \(A\)가 국소환이라고 가정해도 된다. \(V(I) = \emptyset\)이면 결과가 성립한다. \(V(I) \not = \emptyset\)이면 닫힌점이 빠져 있으므로 \(\dim(\Spec(A) \setminus V(I)) < \dim(A)\)이다. \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\)는 스펙트럴 공간 \(\Spec(A)\)의 준콤팩트 열린집합이므로 그 자체가 스펙트럴 공간이다. 가환대수의 보조정리 090M와 위상수학의 보조정리 0902를 보라. 따라서 층 코호몰로지의 명제 0A3G에 의해 \(H^i(U, \mathcal{F}) = 0\)가 \(i \geq \dim(A)\)에 대해 성립하고, 보조정리 0DX7에 의해 원하는 결론이 따른다. 뇌터 경우에는 그로텐디크 코호몰로지의 명제 02UZ를 사용할 수도 있다.

첫 번째 명제를 두 번째 명제에서 도출하자. \(\mathfrak a\)를 유한 \(A\)-가군 \(M\)의 소멸자라 하고, \(B = A/\mathfrak a\)로 놓자. \(\Spec(B) = \text{Supp}(M)\)임을 상기하자. 가환대수의 보조정리 00L2를 보라. \(J = IB\)로 놓자. 그러면 \(M\)은 \(B\)-가군이고 \(H^i_{V(I)}(M) = H^i_{V(J)}(M)\)이다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJB를 보라. 첫 번째 부분에 의해 \(\text{cd}(B, J) \leq \dim(B) = \dim(\text{Supp}(M))\)이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(I \subset A\)를 환 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(\text{cd}(A, I) = 1\)이면 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)는 공집합이 아닌 아핀 스킴이다.

증명

이는 보조정리 0DX7와 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XF에서 따른다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 차원이 \(d\)인 뇌터 국소환이라 하자. 그러면 \(H^d_\mathfrak m(A)\)는 영이 아니고 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\)이다.

증명

차원의 한 특징화에 의해 \(A\)에는 \(d\)개의 원소로 생성되는 정의 아이디얼이 존재한다. 가환대수의 명제 00KQ를 보라. 따라서 보조정리 0DX9에 의해 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \leq d\)이다. 그러므로 \(H^d_\mathfrak m(A)\)가 영이 아닌 것과 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) = d\)인 것과 \(\text{cd}(A, \mathfrak m) \geq d\)인 것은 서로 동치이다.

\(A \to A^\wedge\)를 \(A\)에서 그 완비화로 가는 사상이라 하자. \(A^\wedge\)는 \(A\)와 차원이 같은 뇌터 국소환이고 극대 아이디얼은 \(\mathfrak m A^\wedge\)이다. 가환대수의 보조정리 0316, 031C, 00MC 및 대수학 심화의 보조정리 07NV를 보라. 보조정리 0DXA에 의해 \(A^\wedge\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다.

앞 문단에 의해 \(A\)가 완비 국소환이라고 가정해도 된다. 그러면 \(A\)는 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 가진다(쌍대화 복합체의 보조정리 0BFR). 국소 쌍대성 정리, 즉 쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK에 의해 \(H^d_\mathfrak m(A)\)는 \(\text{Ext}^{-d}(A, \omega_A^\bullet) = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\)의 맷리스 쌍대이다. 마지막 가군은 예를 들어 쌍대화 복합체의 보조정리 0A7V에 의해 영이 아니다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 진 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 \(V(\mathfrak p) \cap V(I) = \{\mathfrak m\}\)를 만족하는 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\dim(A/\mathfrak p) \leq \text{cd}(A, I)\)이다.

증명

보조정리 0DXA에 의해 \(\text{cd}(A, I) \geq \text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p))\). \(V(I) \cap V(\mathfrak p) = \{\mathfrak m\}\)이므로 \(\text{cd}(A/\mathfrak p, I(A/\mathfrak p)) = \text{cd}(A/\mathfrak p, \mathfrak m/\mathfrak p)\). 보조정리 0DXE에 의해 이는 \(\dim(A/\mathfrak p)\)와 같다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(b : X' \to X = \Spec(A)\)를 \(I\)의 블로업이라 하자. \(b\)의 올들이 차원 \(\leq d - 1\)이면 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)이다.

증명

\(U = X \setminus V(I)\)로 놓자. \(j : U \to X'\)를 표준 열린 몰입이라 쓰자. 인자의 절 01OF을 보라. 예외 인자는 유효 카르티에 인자이므로(인자의 보조정리 02OS), \(j\)는 아핀이다. 인자의 보조정리 07ZT를 보라. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 그러면 \(R^pj_*\mathcal{F} = 0\)가 \(p > 0\)에 대해 성립한다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XC를 보라. 한편 \(R^qb_*(j_*\mathcal{F}) = 0\)가 \(q \geq d\)에 대해 성립한다. 이는 스킴의 극한의 보조정리 0E7D에 따른다. 따라서 르레 스펙트럼 수열(층 코호몰로지의 보조정리 01F6)에 의해 \(R^n(b \circ j)_*\mathcal{F} = 0\)가 \(n \geq d\)에 대해 성립한다. 그러므로 \(H^n(U, \mathcal{F}) = 0\)가 \(n \geq d\)에 대해 성립한다(층 코호몰로지의 보조정리 01F4). 이는 정의에 의해 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)라는 뜻이다.

더 일반적인 지지집합

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(M\)을 \(A\)-가군이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자(위상수학의 정의 0061). 다음과 같이 정의한다. \[H^0_T(M) = \colim_{Z \subset T} H^0_Z(M)\] 여기서 여극한은 닫힌 부분집합 \(Z\)가 \(\Spec(A)\) 안에서 \(T\)에 포함되는 것들의 유향 부분순서집합에 걸쳐 취한다¹. 다시 말해, 원소 \(m\)이 \(M\)에 속할 때 \(H^0_T(M) \subset M\)에 속할 필요충분조건은 지지집합 \(V(\text{Ann}_R(m))\), 즉 \(m\)의 지지집합이 \(T\)에 포함되는 것이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(A\)-가군 \(M\)에 대해 다음은 동치이다.

1. \(H^0_T(M) = M\)이다.

2. \(\text{Supp}(M) \subset T\)이다.

이러한 \(A\)-가군들의 범주는 \(A\)-가군 범주의 세르 부분범주이며 직합에 대해 닫혀 있다.

증명

\(M\)의 한 원소의 지지집합은 \(M\)의 지지집합에 포함되고, 역으로 \(M\)의 지지집합은 그 원소들의 지지집합들의 합집합이므로 동치가 성립한다. 이러한 가군들의 범주는 \(\text{Mod}_A\)의 세르 부분범주이다(호몰로지 대수의 정의 02MO). 이는 가환대수의 보조정리 00L3에 따른다. 직합에 관한 명제의 증명은 생략한다.

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. 보조정리 0EEZ에서 기술한 세르 부분범주를 \(\text{Mod}_{A, T} \subset \text{Mod}_A\)로 쓰자. \(D_T(A) \subset D(A)\)를 \(D(A)\)의 엄밀히 충만한 포화 삼각 부분범주로 쓰는데(유도 범주의 보조정리 06UQ), 이는 \(A\)-가군 복합체들 중 코호몰로지 가군들이 \(\text{Mod}_{A, T}\)에 속하는 것들로 이루어진다. 다음 함자들을 얻는다. \[D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A) \to D(A)\] 유도 범주의 절 06UP의 논의를 보라. \(RH^0_T : D(A) \to D(\text{Mod}_{A, T})\)를 \(H^0_T\)의 오른쪽 유도 확장이라 하자. 다음과 같이 쓰겠다. \[R\Gamma_T : D^+(A) \to D^+_T(A),\] 이는 \(RH^0_T : D^+(A) \to D^+(\text{Mod}_{A, T})\)와 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\)의 합성이다. \(A\)의 차원이 유한하면² 다음과 같이 쓰겠다. \[R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\] 이는 \(RH^0_T\)와 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\)의 합성이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. 함자 \(RH^0_T\)는 함자 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D(A)\)의 오른쪽 수반함자이다.

증명

함자 \(H^0_T(-)\)가 포함 함자 \(\text{Mod}_{A, T} \to \text{Mod}_A\)의 오른쪽 수반함자라는 사실에서 따른다. 유도 범주의 보조정리 09T5를 보라.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(K\)를 \(D(A)\)의 임의의 대상이라 하면 \[H^i(RH^0_T(K)) = \colim_{Z \subset T\text{ 닫힘}} H^i_Z(K)\] 이다.

증명

\(J^\bullet\)을 \(K\)를 나타내는 K-단사 복합체라 하자. 정의에 의해 \(RH^0_T\)는 다음 복합체로 나타난다. \[H^0_T(J^\bullet) = \colim H^0_Z(J^\bullet)\] 여기서 등식은 \(H^0_T\)의 정의에서 따른다. 여과 여극한은 완전하므로 이 복합체의 차수 \(i\) 코호몰로지는 원하는 대로 \(\colim H^i(H^0_Z(J^\bullet)) = \colim H^i_Z(K)\) 이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. 함자 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\)는 동치이다.

증명

\(M\)을 \(\text{Mod}_{A, T}\)의 대상이라 하자. 매입 \(M \to J\)를 택하는데, 그 공역은 단사 \(A\)-가군이다. 쌍대화 복합체의 명제 08YA에 의해 \(J\)는 잉여류체들의 단사 포락들의 직합이다. \(E\)를 \(\mathfrak p\)의 잉여류체의 단사 포락이라 하자. \(E\)는 \(\mathfrak p\)-거듭제곱 꼬임이므로 \(H^0_T(E) = 0\)은 \(\mathfrak p \not \in T\)일 때 성립하고, \(H^0_T(E) = E\)는 \(\mathfrak p \in T\)일 때 성립한다. 따라서 명제에 의해 \(H^0_T(J)\)는 단사 포락들의 직합이므로 단사이고, 매입 \(M \to H^0_T(J)\)가 존재한다. 따라서 모든 대상 \(M\)은 \(\text{Mod}_{A, T}\) 안에서 단사 분해 \(M \to J^\bullet\)을 가지며, 각 \(J^n\)도 \(\text{Mod}_{A, T}\)에 속한다. 따라서 \(RH^0_T(M) = M\)이다.

이제 \(K \in D_T^+(A)\)라고 가정하자. 그러면 스펙트럼 수열 \[R^qH^0_T(H^p(K)) \Rightarrow R^{p + q}H^0_T(K)\] 은 수렴하고(유도 범주의 보조정리 015J), 위에서 \(q = 0\)인 항들만 영이 아님을 보았다. 따라서 \(RH^0_T(K) \to K\)는 동형이다. 그러므로 함자 \(D^+(\text{Mod}_{A, T}) \to D^+_T(A)\)는 동치이며 준역함자는 \(RH^0_T\)이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(\dim(A) < \infty\)이면 함자 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\)는 동치이다.

증명

\(\dim(A) = d\)라 하자. 그러면 \(H^i_Z(M) = 0\)가 \(i > d\)일 때 모든 닫힌 부분집합 \(Z\), 즉 \(\Spec(A)\)의 닫힌 부분집합에 대해 성립함을 알 수 있다. 보조정리 0DXC를 보라. 보조정리 0EF1에 의해 \(H^0_T\)는 유계 코호몰로지 차원을 가진다.

\(K \in D_T(A)\)라 하자. \(RH^0_T(K) \to K\)가 동형이라고 주장한다. \(K\)가 아래로 유계이면 이것이 참임을 안다. 보조정리 0EF2를 보라. 그러나 \(H^0_T\)는 유계 코호몰로지 차원을 가지므로 \(i\)번째 코호몰로지는 \(RH_T^0(K)\)에 대해 \(\tau_{\geq -d + i}K\)에만 의존하며, 이로부터 결론이 따른다. 따라서 \(D(\text{Mod}_{A, T}) \to D_T(A)\)는 동치이고 준역함자는 \(RH^0_T\)이다.

주

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. 위 논의의 결론은 \(R\Gamma_T : D^+(A) \to D_T^+(A)\)가 포함 함자 \(D_T^+(A) \to D^+(A)\)의 오른쪽 수반함자라는 것이다. \(\dim(A) < \infty\)이면 \(R\Gamma_T : D(A) \to D_T(A)\)는 포함 함자 \(D_T(A) \to D(A)\)의 오른쪽 수반함자이다. 두 경우 모두 \[H^i_T(K) = H^i(R\Gamma_T(K)) = R^iH^0_T(K) = \colim_{Z \subset T\text{ 닫힘}} H^i_Z(K)\] 이다. 이는 보조정리 0EF0, 0EF1, 0EF2, 0EF3을 결합하면 따른다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 환들의 평탄 준동형이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하고, \(T' \subset \Spec(B)\)를 \(T\)의 역상이라 하자. 그러면 표준 사상 \[R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \longrightarrow R\Gamma_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\] 은 \(K \in D^+(A)\)에 대해 동형이다. \(A\)와 \(B\)의 차원이 유한하면 이는 \(K \in D(A)\)에 대해서도 참이다.

증명

사상 \(R\Gamma_T(K) \to K\)로부터 사상 \(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B \to K \otimes_A^\mathbf{L} B\). 을 얻는다. \(R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} B\)의 코호몰로지 가군들은 \(T'\) 위에 지지되므로 보조정리의 화살표를 얻는다. \(T\)가 \(\Spec(A)\)의 닫힌 부분집합이면 쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ에 의해 이 화살표는 동형이다. \(H^i_T(K)\)는 \(H^i_Z(K)\)들의 여극한이며, 여기서 \(Z\)는 \(T\)의 닫힌 부분집합들의 유향 집합을 달림을 상기하자. 보조정리 0EF1를 보라. 이에 대응하여 \(H^i_{T'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B) = \colim H^i_{Z'}(K \otimes_A^\mathbf{L} B)\)이고, 여기서 \(Z'\)는 \(Z\)의 역상이다. 이제 \(\otimes_A B\)가 여과 여극한과 가환하고 고차 Tor가 없으므로 결과가 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고, \(T, T' \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합들이라 하자. \(K \in D^+(A)\)에 대해 스펙트럼 수열 \[E_2^{p, q} = H^p_T(H^p_{T'}(K)) \Rightarrow H^{p + q}_{T \cap T'}(K)\] 이 존재한다. 유도 범주의 보조정리 015N와 같다.

증명

\(E\)를 \(D_{T \cap T'}(A)\)의 대상이라 하자. 그러면 \[\Hom(E, R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))) = \Hom(E, R\Gamma_{T'}(K)) = \Hom(E, K)\] 이다. 첫 번째 등식은 \(R\Gamma_T\)의 수반 성질에, 두 번째 등식은 \(R\Gamma_{T'}\)의 수반 성질에 따른다. 한편 \(J^\bullet\)이 \(K\)를 나타내는 아래로 유계인 단사 복합체이면, \(H^0_{T'}(J^\bullet)\)은 단사 \(A\)-가군들의 복합체로서 \(R\Gamma_{T'}(K)\)를 나타낸다. 따라서 \(H^0_T(H^0_{T'}(J^\bullet))\)은 \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\)를 나타내는 복합체이다. 그러므로 \(R\Gamma_T(R\Gamma_{T'}(K))\)는 \(D^+_{T \cap T'}(A)\)의 대상이다. 이 두 사실을 결합하면 \(R\Gamma_{T \cap T'} = R\Gamma_T \circ R\Gamma_{T'}\)를 얻는다. 명제에서 인용한 보조정리가 이제 스펙트럼 수열을 준다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고, \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(A\)의 차원이 유한하다고 가정한다. 그러면 \[R\Gamma_T(K) = R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\] 가 \(K \in D(A)\)에 대해 성립한다. \(K, L \in D(A)\)에 대해서는 \[R\Gamma_T(K \otimes_A^\mathbf{L} L) = K \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L) = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} L = R\Gamma_T(K) \otimes_A^\mathbf{L} R\Gamma_T(L)\] 이다. \(K\) 또는 \(L\)이 \(D_T(A)\)에 속하면 \(K \otimes_A^\mathbf{L} L\)도 그러하다.

증명

구성에 의해 \(R\Gamma_T(A)\)를 복합체 \(J^\bullet\)로 나타낼 수 있으며, 이 복합체는 \(\text{Mod}_{A, T}\)에 속한다. 따라서 \(K\)를 K-평탄 복합체 \(K^\bullet\)로 나타내면 \(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\)는 복합체 \(\text{Tot}(J^\bullet \otimes_A K^\bullet)\)로 나타나며, 이 복합체는 \(\text{Mod}_{A, T}\)에 속한다. 사상 \(R\Gamma_T(A) \to A\)를 사용하면 사상 \(R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K\to K\)를 얻는다. 따라서 \(R\Gamma_T\)의 수반 성질에 의해 표준 사상 \[R\Gamma_T(A) \otimes_A^\mathbf{L} K \longrightarrow R\Gamma_T(K)\] 을 얻으며, 이는 방금 구성한 사상을 통하여 분해한다. 예를 들어 보조정리 0EF1, 유향 여극한이 직합과 가환한다는 사실, 그리고 통상적인 국소 코호몰로지가 직합과 가환한다는 사실(예를 들어 쌍대화 복합체의 보조정리 0A6R)에 의해 \(R\Gamma_T\)는 \(D(A)\)에서 직합과 가환한다. 따라서 대수학 심화의 주석 09PB에 의해 \(K = A[k]\)인 경우를 확인하면 충분하며, 여기서 \(k \in \mathbf{Z}\)이다. 이는 분명하다.

마지막 명제들은 방금 보인 결과와 유도 텐서곱의 추이성에서 따른다.

국소 코호몰로지의 여과

보조정리 0EF6의 스펙트럼 수열과 관련된 몇 가지 기법을 다룬다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(T' \subset T\)를 \(T\)의 비극소 소아이디얼들의 집합이라 하자. 그러면 \(T'\)는 \(\Spec(A)\)에서 특수화 아래 안정적인 부분집합이고, 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 완전열 \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 이 존재한다. 여기서 여극한은 닫힌 부분집합 \(Z \subset T\)와 \(f \in A\) 가운데 \(V(f) \cap Z \subset T'\)를 만족하는 것들에 걸쳐 취한다.

증명

모든 \(Z\)와 \(f\)에 대해 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJC의 스펙트럼 수열은 퇴화하여 짧은 완전열 \[0 \to H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{Z \cap V(f)}(M) \to H^0_f(H^i_Z(M)) \to 0\] 을 준다. 아래에서는 이를 더 언급하지 않고 사용한다.

\(\xi \in H^i_T(M)\)가 직합에서 영으로 사상된다고 하자. 먼저 \(\xi\)를 어떤 \(\xi' \in H^i_Z(M)\)의 상으로 쓰는데, 여기서 \(Z \subset T\)는 닫힌 부분집합이다. 보조정리 0EF1를 보라. 그러면 \(\xi'\)은 \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\)에서 영으로 사상된다. 이는 모든 \(\mathfrak p \in Z\), \(\mathfrak p \not \in T'\)에 대해 성립한다. 이러한 소아이디얼은 유한 개이므로, 그 어느 것에도 속하지 않는 \(f \in A\)를 택할 수 있는데, 이 \(f\)는 \(\xi'\)을 소멸시킨다. 그러면 \(\xi'\)은 어떤 \(\xi'' \in H^i_{Z'}(M)\)의 상이며, 여기서 \(Z' = Z \cap V(f)\)이다. \(f\)를 택한 방식에 의해 \(Z' \subset T'\)이고, 끝에서 두 번째 자리에서 완전성을 얻는다.

\(\xi \in H^i_{T'}(M)\)가 \(H^i_T(M)\)에서 영으로 사상된다고 하자. 닫힌 부분집합 \(Z' \subset Z\)를 택하되 \(Z' \subset T'\)이고 \(Z \subset T\)이며, \(\xi\)가 어떤 \(\xi' \in H^i_{Z'}(M)\)에서 오고 \(H^i_Z(M)\)에서 영으로 사상되게 한다. 그러면 \(f \in A\)를 찾아 \(V(f) \cap Z = Z'\)가 되게 할 수 있으며, 결론이 따른다.

보조정리

\(A\)를 유한 차원 뇌터 환이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(\{M_n\}_{n \geq 0}\)을 \(A\)-가군들의 역계라 하고, \(i \geq 0\)을 정수라 하자. 모든 \(m\)에 대해 정수 \(m'(m) \geq m\)가 존재하여 모든 \(\mathfrak p \in T\)에 대해 유도 사상 \[H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \longrightarrow H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\] 이 \(k \geq m'(m)\)에 대해 영이라고 가정하자. \(m'' : \mathbf{N} \to \mathbf{N}\)을 \(2^{\dim(T)}\)회 자기합성이라 하되, 합성하는 함수는 \(m'\)으로 하자. 그러면 사상 \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\)은 모든 \(k \geq m''(m)\)에 대해 영이다.

증명

먼저 일반적인 관찰을 하자. 아벨군 역계들의 완전열 \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n)\] 이 있다고 하자. 모든 \(m\)에 대해 정수 \(m'(m) \geq m\)가 존재하여 사상 \[A_k \to A_m \quad\text{및}\quad C_k \to C_m\] 이 \(k \geq m'(m)\)에 대해 영이라고 가정하자. 그러면 \(k \geq m'(m'(m))\)에 대해 사상 \(B_k \to B_m\)은 영이다.

\(\dim(T)\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다. 이는 \(\dim(A)\)가 유한하므로 유한하다. \(T' \subset T\)를 \(T\)의 비극소 소아이디얼들의 집합이라 하자. 그러면 \(T'\)는 \(\Spec(A)\)에서 특수화 아래 안정적인 부분집합이고 보조정리의 가정들이 \(T'\)에 적용된다. \(\dim(T') < \dim(T)\)이므로 \(T'\)에 대해 보조정리가 성립함을 안다. 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 완전열 \[H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 이 보조정리 0EF8에 의해 존재한다. 따라서 증명 처음의 관찰로부터 결론을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(\{M_n\}_{n \geq 0}\)을 \(A\)-가군들의 역계라 하고, \(i \geq 0\)을 정수라 하자. \(A\)의 차원이 유한하고, 모든 \(m\)에 대해 정수 \(m'(m) \geq m\)가 존재하여 모든 \(\mathfrak p \in T\)에 대해 다음이 성립한다고 가정하자.

1. \(H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^{i - 1}_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) 는 \(k \geq m'(m)\)에 대해 영이다.

2. \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{k, \mathfrak p}) \to H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{m, \mathfrak p})\) 의 상 \(G(\mathfrak p, m)\)은 \(k \geq m'(m)\)에 독립이고, 더 나아가 \(G(\mathfrak p, m)\)은 \(H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_{0, \mathfrak p})\)로 단사적으로 사상된다.

그러면 정수 \(m_0\)가 존재하여 모든 \(m \geq m_0\)에 대해 정수 \(m''(m) \geq m\)가 존재하고, \(k \geq m''(m)\)일 때 사상 \(H^i_T(M_k) \to H^i_T(M_m)\)의 상은 \(H^i_T(M_{m_0})\)로 단사적으로 사상된다.

증명

먼저 일반적인 관찰을 하자. 아벨군 역계들의 완전열 \[(A_n) \to (B_n) \to (C_n) \to (D_n)\] 이 있다고 하자. 정수 \(m_0\)가 존재하여 모든 \(m \geq m_0\)에 대해 정수 \(m'(m) \geq m\)가 존재하고, 사상 \[\Im(B_k \to B_m) \longrightarrow B_{m_0} \quad\text{및}\quad \Im(D_k \to D_m) \longrightarrow D_{m_0}\] 이 \(k \geq m'(m)\)에 대해 단사이고, \(A_k \to A_m\)이 \(k \geq m'(m)\)에 대해 영이라고 가정하자. 그러면 \(m \geq m'(m_0)\) 및 \(k \geq m'(m'(m))\)에 대해 사상 \[\Im(C_k \to C_m) \to C_{m'(m_0)}\] 은 단사이다. 실제로 \(c_0 \in C_m\)을 \(c_3 \in C_k\)의 상이라 하고, \(c_0\)가 \(C_{m'(m_0)}\)에서 영으로 사상된다고 하자. 다음 그림을 보라. \[C_k \to C_{m'(m'(m))} \to C_{m'(m)} \to C_m \to C_{m'(m_0)},\quad c_3 \mapsto c_2 \mapsto c_1 \mapsto c_0 \mapsto 0\] \(c_0 = 0\)임을 보여야 한다. 그 상 \(d_3\), 즉 \(c_3\)의 상은 \(C_{m_0}\)에서 영으로 사상되므로, 그 상 \(d_1 \in D_{m'(m)}\)이 영임을 알 수 있다. 따라서 \(b_1 \in B_{m'(m)}\)을 택하여 그 상이 \(c_1\)이 되게 할 수 있다. \(c_3\)가 \(C_{m'(m_0)}\)에서 영으로 사상되므로 원소 \(a_{-1} \in A_{m'(m_0)}\)을 찾아, 그 상이 \(b_{-1} \in B_{m'(m_0)}\), 즉 \(b_1\)의 상이 되게 할 수 있다. \(a_{-1}\)은 \(A_{m_0}\)에서 영으로 사상되므로 \(b_1\)이 \(B_{m_0}\)에서 영으로 사상된다는 결론을 얻는다. 따라서 그 상 \(b_0 \in B_m\)은 영이고, 이는 물론 원하는 대로 \(c_0 = 0\)을 함의한다.

\(\dim(T)\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다. 이는 \(\dim(A)\)가 유한하므로 유한하다. \(T' \subset T\)를 \(T\)의 비극소 소아이디얼들의 집합이라 하자. 그러면 \(T'\)는 \(\Spec(A)\)에서 특수화 아래 안정적인 부분집합이고 보조정리의 가정들이 \(T'\)에 적용된다. \(\dim(T') < \dim(T)\)이므로 \(T'\)에 대해 보조정리가 성립함을 안다. 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 완전열 \[0 \to \colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M)) \to H^i_{T'}(M) \to H^i_T(M) \to \bigoplus\nolimits_{\mathfrak p \in T \setminus T'} H^i_{\mathfrak p A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 이 보조정리 0EF8에 의해 존재한다. 따라서 증명 처음의 관찰과, 군들의 계 \[\left\{\colim_{Z, f} H^1_f(H^{i - 1}_Z(M_n))\right\}_{n \geq 0}\] 가 보조정리 0EF9에서 프로-영임을 보았다는 사실로부터 결론을 얻는다. 여기서는 그 보조정리의 함수 \(m''(m)\)이 \(H^{i - 1}_Z(M)\)에 대해 \(Z\)에 독립이라는 점을 사용한다.

국소 코호몰로지의 유한성, I

국소 코호몰로지 가군의 유한성에 대한 Faltings의 방법을 따르겠다. [Faltings-annulators]와 [Faltings-finiteness]를 보라. 다음 보조정리는 국소 코호몰로지 가군들이 유한 가군임을 증명하기 위해서는 이 가군들이 소멸자를 가짐을 증명하면 충분하다는 것을 보여 준다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하고 \(n \geq 0\)이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(H^i_T(M)\)은 \(i \leq n\)에 대해 유한하다.

2. 아이디얼 \(J \subset A\)가 존재하여 \(V(J) \subset T\)이고 \(J\)가 \(H^i_T(M)\)을 \(i \leq n\)에 대해 소멸시킨다.

\(T = V(I) = Z\)이고 \(I \subset A\)인 경우, 이 조건들은 다음 조건과도 동치이다.

1. \(e \geq 0\)이 존재하여 \(I^e\)가 \(H^i_Z(M)\)을 \(i \leq n\)에 대해 소멸시킨다.

증명

\(n\)에 대한 귀납법으로 (1)과 (2)의 동치를 증명한다. \(n = 0\)이면 \(H^0_T(M) \subset M\)은 유한하므로 (1)이 참이다. \(H^0_T(M) = \colim H^0_{V(J)}(M)\)이고 여기서 \(J\)는 (2)와 같으므로 (2)도 참이다. \(n > 0\)이라고 가정하자.

(1)이 참이라고 가정하자. \(H^i_J(M) = H^i_{V(J)}(M)\)임을 상기하자. 쌍대화 복합체의 보조정리 0955를 보라. 따라서 \(H^i_T(M) = \colim H^i_J(M)\)이고, 여기서 여극한은 아이디얼 \(J \subset A\) 가운데 \(V(J) \subset T\)인 것들에 걸쳐 취한다. 보조정리 0EF1를 보라. \(H^i_T(M)\)이 \(i \leq n\)에 대해 유한 생성이므로, (2)와 같은 \(J \subset A\)를 찾아 사상 \(H^i_J(M) \to H^i_T(M)\)이 \(i \leq n\)에 대해 전사가 되게 할 수 있다. 따라서 유한 개 생성원들은 \(J\)-거듭제곱 꼬임 원소이고, \(J\)를 어떤 거듭제곱으로 바꾸면 (2)가 성립함을 알 수 있다.

(2)와 같은 \(J\)가 있다고 가정하자. \(N = H^0_T(M)\) 및 \(M' = M/N\)으로 놓자. \(R\Gamma_T\)의 구성에 의해 \(H^i_T(N) = 0\)이 \(i > 0\)에 대해 성립하고 \(H^0_T(N) = N\)이다. 주석 0EF4을 보라. 따라서 \(H^0_T(M') = 0\)이고 \(H^i_T(M') = H^i_T(M)\)이 \(i > 0\)에 대해 성립한다. 그러므로 \(M\)을 \(M'\)으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(H^0_T(M) = 0\)이라고 가정할 수 있다. 이는 \(M\)의 유한한 소속 소아이디얼 집합이 \(T\)에 속하지 않는다는 뜻이다. 소아이디얼 회피(가환대수의 보조정리 00DS)에 의해 \(f \in J\)를 찾을 수 있는데, 이는 \(M\)의 어느 소속 소아이디얼에도 속하지 않는다. 이제 짧은 완전열 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] 에 대응하는 국소 코호몰로지 긴 완전열은 짧은 완전열 \[0 \to H^i_T(M) \to H^i_T(M/fM) \to H^{i + 1}_T(M) \to 0\] 로 바뀌며, 이는 \(i < n\)에 대해 성립한다. 따라서 \(J^2\)는 \(H^i_T(M/fM)\)을 \(i < n\)에 대해 소멸시킨다. 귀납 가정에 의해 \(H^i_T(M/fM)\)은 \(i < n\)에 대해 유한하다. 짧은 완전열을 다시 한 번 사용하면 원하는 대로 \(H^{i + 1}_T(M)\)이 \(i < n\)에 대해 유한함을 안다.

\(T = V(I)\)인 경우 (2)와 (3)의 동치에 대한 증명은 생략한다.

다음 Faltings의 결과를 사용하면 국소환 수준에서 국소 코호몰로지의 유한성을 증명할 수 있다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환, \(I \subset A\)를 아이디얼, \(M\)을 유한 \(A\)-가군, \(n \geq 0\)을 정수라 하자. \(Z = V(I)\)로 놓자. 다음은 동치이다.

1. 가군 \(H^i_Z(M)\)은 \(i \leq n\)에 대해 유한하다.

2. 모든 \(\mathfrak p \in \Spec(A)\)에 대해 가군 \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\)는 \(i \leq n\)일 때 유한 \(A_\mathfrak p\)-가군이다.

증명

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 즉시 알 수 있다. 역은 \(n\)에 대한 귀납법으로 증명한다. \(n = 0\)인 경우에는 (1)과 (2)가 모두 항상 참이므로 분명하다.

\(n > 0\)이고 (2)가 참이라고 가정하자. \(N = H^0_Z(M)\) 및 \(M' = M/N\)으로 놓자. 쌍대화 복합체의 보조정리 0AW0에 의해 \(M\)을 \(M'\)으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(H^0_Z(M) = 0\)이라고 가정할 수 있다. 이는 \(\text{depth}_I(M) > 0\)이라는 뜻이다(쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ). \(f \in I\)를 \(M\) 위의 영인자가 아닌 원소로 택하고 짧은 완전열 \[0 \to M \to M \to M/fM \to 0\] 을 생각하자. 이는 긴 완전열 \[0 \to H^0_Z(M/fM) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M) \to H^1_Z(M/fM) \to H^2_Z(M) \to \ldots\] 을 주며, 국소화한 뒤에도 마찬가지이다. 따라서 가정 (2)에 의해 가군 \(H^i_Z(M/fM)_\mathfrak p\)는 \(i < n\)에 대해 유한하다. 그러므로 귀납 가정에 의해 \(H^i_Z(M/fM)\)은 \(i < n\)에 대해 유한하다.

\(\mathfrak p\)를 \(A\)의 소아이디얼로서 \(H^i_Z(M)\)에 어떤 \(i \leq n\)에 대해 소속된 것이라 하자. \(\mathfrak p\)가 원소 \(x \in H^i_Z(M)\)의 소멸자라고 하자. 그러면 \(\mathfrak p \in Z\)이므로 \(f \in \mathfrak p\)이다. 따라서 \(fx = 0\)이고, 이에 따라 \(x\)는 \(H^{i - 1}_Z(M/fM)\)의 한 원소에서 위 긴 완전열의 경계 사상 \(\delta\)에 의해 온다. 그러므로 \(\mathfrak p\)는 유한 가군 \(\Im(\delta)\)의 소속 소아이디얼이다. 따라서 \(\text{Ass}(H^i_Z(M))\)은 \(i \leq n\)에 대해 유한하다. 가환대수의 보조정리 00LC를 보라.

다음을 상기하자. \[H^i_Z(M) \subset \prod\nolimits_{\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))} H^i_Z(M)_\mathfrak p\] 이는 가환대수의 보조정리 0311에 따른다. 가정에 의해 오른쪽 가군들은 유한하고 \(I\)-거듭제곱 꼬임이므로, 정수 \(e_{\mathfrak p, i} \geq 0\)을 \(i \leq n\) 및 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(H^i_Z(M))\)에 대해 찾아 \(I^{e_{\mathfrak p, i}}\)가 \(H^i_Z(M)_\mathfrak p\)를 소멸시키게 할 수 있다. 따라서 \(I^e\)는, 여기서 \(e = \max\{e_{\mathfrak p, i}\}\)로 놓으면, \(H^i_Z(M)\)을 \(i \leq n\)에 대해 소멸시킨다. 보조정리 0AW8에 의해 \(H^i_Z(M)\)은 \(i \leq n\)에 대해 유한하다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(J \subset I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼들이라 하자. \(i \geq 0\)을 정수라 하고 \(Z = V(I)\)로 놓자. \(H^i_Z(A)\)가 \(J^n\)에 의해 어떤 \(n\)에 대해 소멸되면, \(H^i_Z(M)\)은 \(J^m\)에 의해 어떤 \(m = m(M)\)에 대해 소멸된다. 이는 모든 유한 표시 \(A\)-가군 \(M\) 중 \(M_f\)가 유한 국소 자유 \(A_f\)-가군인 것이 모든 \(f \in I\)에 대해 성립하는 것에 대하여 참이다.

증명

\(\mathfrak a\)를 \(H^i_Z(M)\)의 소멸자라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)이고 \(\mathfrak p \not \in Z\)라 하자. 가정에 의해 \(f \in I\), \(f \not \in \mathfrak p\)인 원소와 동형 \(\varphi : A_f^{\oplus r} \to M_f\)가 존재하며, 이는 \(A_f\)-가군들의 동형이다. 분모를 없애고(\(M\)이 유한 표시라는 점도 사용하여) 사상 \[a : A^{\oplus r} \longrightarrow M \quad\text{및}\quad b : M \longrightarrow A^{\oplus r}\] 을 찾는데, \(a_f = f^N \varphi\)이고 \(b_f = f^N \varphi^{-1}\)인 어떤 \(N\)이 존재한다. 더 나아가 \(a \circ b\)와 \(b \circ a\)가 \(f^{2N}\)에 의한 곱셈과 같다고 가정할 수 있다. 따라서 \(H^i_Z(M)\)은 \(f^{2N}J^n\)에 의해 소멸된다. 즉 \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\)이다.

\(U = \Spec(A) \setminus Z\)는 준콤팩트이므로 유한 개의 \(f_1, \ldots, f_t\)와 \(N_1, \ldots, N_t\)를 찾아 \(U = \bigcup D(f_j)\) 및 \(f_j^{2N_j}J^n \subset \mathfrak a\)가 성립하게 할 수 있다. 그러면 \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\)이고, \(I\)가 유한 생성이므로 \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\)인 어떤 \(M\)이 존재한다는 결론을 얻는다. 종합하면 \(J^m \subset \mathfrak a\)가 \(m \gg 0\)에 대해 성립함을 안다. 예를 들어 \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\)이면 충분하다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I)\)로 놓자. \(n \geq 0\)을 정수라 하자. \(H^i_Z(A)\)가 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 유한하면, \(H^i_Z(M)\)도 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 유한하다. 여기서 이는 임의의 유한 \(A\)-가군 \(M\)으로서 \(M_f\)가 유한 국소 자유 \(A_f\)-가군인 것이 모든 \(f \in I\)에 대해 성립하는 것에 대하여 참이다.

증명

\(H^i_Z(A)\)가 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 유한하다는 가정은 어떤 \(e \geq 0\)가 존재하여 \(I^e\)가 \(H^i_Z(A)\)를 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 소멸시킴을 뜻한다. 보조정리 0AW8를 보라. 그러면 보조정리 0BPX에 의해 \(H^i_Z(M)\)은 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 \(I^m\)에 의해 소멸되며, 여기서 \(m = m(M, i)\)이다. \(m\)은 모든 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 같게 택할 수 있다. 그러면 보조정리 0AW8에 의해 원하는 대로 \(H^i_Z(M)\)은 \(0 \leq i \leq n\)에 대해 유한하다.

직접상의 유한성, I

이 절에서는 유한성 정리의 가장 쉬운 비자명한 경우, 곧 제1 국소 코호몰로지의 유한성을 다룬다. 이는 \(j_*\mathcal{F}\)의 유한성과 동치이다. 여기서 \(j : U \to X\)는 열린 몰입이고, \(X\)는 국소 뇌터이며, \(\mathcal{F}\)는 \(U\) 위의 연접층이다. Kollár의 방법 ([Kollar-variants]와 [Kollar-local-global-hulls])을 따라 필요충분조건을 얻는다. 명제 0BK3를 보라. 고차 직접상이나 고차 국소 코호몰로지 군에 관심 있는 독자는 절 0BJX 또는 절 0BJQ로 바로 넘어가도 된다. 이 두 절은 이 절의 나머지 부분과 독립적으로 전개된다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 열린 부분스킴의 포함 사상이라 하자. \(x \in U\)에 대해 \(i_x : W_x \to U\)를 일반점이 \(x\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 모든 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)에 대해 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)가 연접이다.

2. \(j_*\mathcal{F}\)가 연접이다.

증명

먼저 (1)이 (2)를 함의함을 증명하자. (1)이 성립한다고 가정하자. 명제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 \(U\)가 준콤팩트이므로 \(\text{Ass}(\mathcal{F})\)는 유한하다 (인자의 보조정리 05AF). 따라서 소속점의 개수에 대한 귀납법을 쓸 수 있다. \(x \in U\)를 \(\mathcal{F}\)의 지지집합의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. 인자의 보조정리 05AF에 의해 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)이다. \(x\)의 선택에 의해 \(\dim(\mathcal{F}_x) = 0\)이며, 이는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군으로서의 차원이다. 따라서 \(\mathcal{F}_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군으로서 유한 길이를 갖는다(가환대수의 보조정리 00L5). 이제 이 길이에 대한 귀납법을 쓸 수 있다.

\(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)로 놓자. 가정에 의해 이는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 또한 \(\mathcal{G}_x = \kappa(x)\)이다. 영이 아닌 사상 \(\varphi_x : \mathcal{F}_x \to \kappa(x) = \mathcal{G}_x\)를 택하자. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01Y4에 의해 열린집합 \(x \in V \subset U\)와 사상 \(\varphi_V : \mathcal{F}|_V \to \mathcal{G}|_V\)가 존재하여, 그 \(x\)에서의 줄기는 \(\varphi_x\)이다. \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 \(x\)에서 영이 되지 않도록 택하되 \(D(f) \subset V\)가 되게 하자. 예를 들어 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해 \(\varphi_V\)는 \(f^n\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\)로 어떤 \(n\)에 대해 연장된다. 앞에 \(f^n\)에 의한 곱셈을 합성하면 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{G}|_U\)를 얻으며, 그 \(x\)에서의 줄기는 영이 아니다. 그 핵을 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)라 하자. 인자의 보조정리 05AE에 의해 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\)임을 유의하라. 또한 \(\text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) = \text{length}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) - 1\) 이므로 귀납 가정을 적용하여 \(j_*\mathcal{F}'\)가 연접임을 알 수 있다. \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_U) = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)가 연접이므로 완전열 \[0 \to j_*\mathcal{F}' \to j_*\mathcal{F} \to \mathcal{G}\] 을 생각할 수 있다. 스킴의 보조정리 01LC에 의해 층 \(j_*\mathcal{F}\)는 준연접이다. 따라서 \(j_*\mathcal{F}\)의 \(j_*(\mathcal{G}|_U)\) 안에서의 상은 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01Y1에 의해 연접이다. 마지막으로 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01Y0에 의해 \(j_*\mathcal{F}\)가 연접이다.

(2)가 성립한다고 가정하자. 위와 꼭 같은 방법으로 \(X\)가 아핀인 경우로 줄인다. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)를 택하고 \(\mathcal{G} = j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)로 놓자. 그러면 영이 아닌 사상 \(\varphi_x : \mathcal{G}_x = \kappa(x) \to \mathcal{F}_x\)를 택할 수 있는데, 이는 정확히 \(x\)가 \(\mathcal{F}\)의 소속점이기 때문이다. 위와 꼭 같이 논증하면 \(\varphi_x\)가 \(\mathcal{O}_U\)-가군 사상 \(\varphi : \mathcal{G}|_U \to \mathcal{F}\)로 연장된다고 가정할 수 있다. 그러면 \(\varphi\)는 단사이고(예를 들어 인자의 보조정리 0AVL에 의해), 단사 사상 \(\mathcal{G} = j_*(\mathcal{G}|_V) \to j_*\mathcal{F}\)를 얻는다. 따라서 (1)이 성립한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(X = \Spec(A)\), \(Z = V(I)\), \(U = X \setminus Z\)로 놓고 \(j : U \to X\)를 포함 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 유한 \(A\)-가군 \(M\)이 존재하여 \(\mathcal{F}\)가 \(\widetilde{M}\)의 \(U\)로의 제한이다.

2. \(M\)이 주어지면 완전열 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] 과 동형 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\)이 \(p \geq 1\)에 대해 있다.

3. \(M\)과 \(p \geq 0\)이 주어졌을 때 다음은 동치이다.

   1. \(R^pj_*\mathcal{F}\)가 연접이다.

   2. \(H^p(U, \mathcal{F})\)가 유한 \(A\)-가군이다.

   3. \(H^{p + 1}_Z(M)\)이 유한 \(A\)-가군이다.

4. (3)의 동치 조건들이 \(p = 0\)에 대해 성립하면 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)로 택할 수 있고, 이 경우 \(H^0_Z(M) = H^1_Z(M) = 0\)이다.

증명

성질의 보조정리 0G41에 의해 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}'\)가 존재하여 그 \(U\)로의 제한이 \(\mathcal{F}\)와 동형이다. (1)에서처럼 \(\mathcal{F}'\)가 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 대응한다고 하자. \(R^pj_*\mathcal{F}\)는 준연접이고(스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XJ), \(A\)-가군 \(H^p(U, \mathcal{F})\)에 대응함을 유의하라. 보조정리 0A6T와 코호몰로지의 절 0A39 및 0G6Y의 논의에 의해 완전열 \[0 \to H^0_Z(M) \to M \to H^0(U, \mathcal{F}) \to H^1_Z(M) \to 0\] 과 동형 \(H^p(U, \mathcal{F}) = H^{p + 1}_Z(M)\)을 \(p \geq 1\)에 대해 얻는다. 여기서는 \(H^j(X, \mathcal{F}') = 0\)이 \(j > 0\)에 대해 성립한다는 사실을 사용한다. 실제로 \(X\)가 아핀이고 \(\mathcal{F}'\)가 준연접이다 (스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XB). 이로써 (2)가 증명된다. (3)과 (4)는 (2)에서 바로 따른다. 보조정리 0DWR도 보라.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 열린 부분스킴의 포함 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 나가타이다.

2. \(X\)는 보편 사슬적이다.

3. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) 및 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\)이다.

그러면 \(j_*\mathcal{F}\)는 연접이다.

증명

보조정리 0BJZ에 의해 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)가 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)에 대해 연접임을 증명하면 충분하다. \(\pi : Y \to X\)를 \(X\)의 \(\Spec(\kappa(x))\) 안에서의 정규화라 하자. 사상의 절 035E을 보라. 사상의 보조정리 0AVK에 의해 사상 \(\pi\)는 유한하다. \(\pi\)가 유한하므로 \(\mathcal{G} = \pi_*\mathcal{O}_Y\)는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01Y6에 의해 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. \(W_x = U \cap \pi(Y)\)임을 관찰하라. 따라서 \(\pi|_{\pi^{-1}(U)} : \pi^{-1}(U) \to U\)는 \(i_x : W_x \to U\)를 통해 분해되고, 표준 사상 \[i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \longrightarrow (\pi|_{\pi^{-1}(U)})_*(\mathcal{O}_{\pi^{-1}(U)}) = (\pi_*\mathcal{O}_Y)|_U = \mathcal{G}|_U\] 을 얻는다. 이 사상은 단사이다(예를 들어 인자의 보조정리 0AVL에 의해). 따라서 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} \subset j_*\mathcal{G}|_U\)이고, \(j_*\mathcal{G}|_U\)가 연접임을 보이면 충분하다.

\(j_*(\mathcal{G}|_U)\)가 연접임을 증명하는 일만 남았다. 인자의 보조정리 0E9I를 \[\mathcal{G} \longrightarrow j_*(\mathcal{G}|_U)\] 에 적용할 수 있다고 주장한다. 그러면 증명이 끝난다. 이를 위해서는 \(\text{depth}(\mathcal{G}_z) \geq 2\)임을 \(z \in Z\)에 대해 보이면 충분하다. \(y_1, \ldots, y_n \in Y\)를 \(z\)로 가는 점들이라 하자. 가환대수의 보조정리 0AUK에 의해 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{Y, y_i}) \geq 2\)임을 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 보이면 충분하다. 그렇지 않다면 성질의 보조정리 0345에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y_i}) = 1\)인 어떤 \(i\)가 존재한다. 이는 \(\pi : Y \to \overline{\{x\}}\)에 대한 차원 공식(사상의 보조정리 02JU)과 가정 (3)에 모순된다.

보조정리

\(X\)를 정역인 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 공집합이 아닌 열린 부분스킴의 포함 사상이라 하자. 모든 \(z \in Z\)와 임의의 소속 소아이디얼 \(\mathfrak p\), 곧 완비화 \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\)의 소속 소아이디얼에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\)라고 가정하자. 그러면 \(j_*\mathcal{O}_U\)는 연접이다.

증명

\(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 보조정리 0AW9와 0BK0을 사용하면 \(X = \Spec(A)\)이고 \((A, \mathfrak m)\)이 뇌터 국소 정역이며 \(\mathfrak m \in Z\)인 경우로 줄어든다. 이제 \(d = \dim(A)\)에 대한 귀납법을 쓸 수 있다. 기초 단계는 \(d = 0, 1\)이지만 국소환들에 대한 가정 때문에 이 경우는 일어나지 않는다. \(V = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)로 놓자. \(V\)의 국소환들은 \(d\)보다 엄밀히 작은 차원을 가짐을 관찰하라. \(j' : U \to V\)에 대해 위의 논증을 되풀이하고 귀납법을 쓰면 \(j'_*\mathcal{O}_U\)가 연접 \(\mathcal{O}_V\)-가군임을 알 수 있다. 영이 아닌 \(f \in A\)를 택하여 \(Z\) 위에서 영이 되게 하자. \(D(f) \cap V \subset U\)이므로 어떤 \(n\)을 찾아 \(f^n\)에 의한 곱셈이 \(U\) 위에서 사상 \(f^n : j'_*\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_V\)로 \(V\) 위에서 연장되게 할 수 있다(예를 들어 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YB에 의해). 이 사상은 단사이므로 단사 사상 \[j_*\mathcal{O}_U = j''_* j'_* \mathcal{O}_U \to j''_*\mathcal{O}_V\] 이 \(X\) 위에 존재하며, 여기서 \(j'' : V \to X\)는 포함 사상이다. 따라서 \(j''_*\mathcal{O}_V\)가 연접임을 보이면 충분하다. 달리 말하면 \(X\)가 뇌터 국소 정역의 스펙트럼이고 \(Z\)가 닫힌점 하나로 이루어진다고 가정해도 된다.

\(X = \Spec(A)\)이고 \((A, \mathfrak m)\)이 국소이며 \(Z = \{\mathfrak m\}\)라고 가정하자. \(A^\wedge\)를 \(A\)의 완비화라 하자. \(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\), \(Z^\wedge = \{\mathfrak m^\wedge\}\), \(U^\wedge = X^\wedge \setminus Z^\wedge\), 그리고 \(\mathcal{F}^\wedge = \mathcal{O}_{U^\wedge}\)로 놓자. 환 \(A^\wedge\)는 보편 사슬적이고 나가타이다(가환대수의 주석 032C와 보조정리 032W). 더구나 \(X^\wedge, Z^\wedge, U^\wedge, \mathcal{F}^\wedge\)에 대해서는 가정에 의해 보조정리 0AWA의 조건 (3)이 성립한다. 따라서 \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\)는 연접이다. 사상 \(c : X^\wedge \to X\)가 평탄하므로 \(j_*\mathcal{O}_U\)의 당김은 \((U^\wedge \to X^\wedge)_*\mathcal{O}_{U^\wedge}\)이다(스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH). 마지막으로 \(c\)가 충실히 평탄하므로 내림의 보조정리 05AZ에 의해 \(j_*\mathcal{O}_U\)가 연접이다.

주

\(j : U \to X\)를 국소 뇌터 스킴들의 열린 몰입이라 하자. \(x \in U\)라 하자. \(i_x : W_x \to U\)를 일반점이 \(x\)인 정역 닫힌 부분스킴이라 하고, \(\overline{\{x\}}\)를 \(X\) 안에서의 폐포라 하자. 그러면 가환 그림 \[\xymatrix{ W_x \ar[d]_{i_x} \ar[r]_{j'} & \overline{\{x\}} \ar[d]^i \\ U \ar[r]^j & X }\] 을 갖는다. \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x} = i_*j'_*\mathcal{O}_{W_x}\)이다. 왼쪽 세로 화살표가 닫힌 몰입이므로 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)가 연접일 필요충분조건은 \(j'_*\mathcal{O}_{W_x}\)가 연접인 것이다.

주

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 열린 부분스킴의 포함 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)와 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)가 존재하여 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \leq 1\)이면 \(j_*\mathcal{F}\)는 연접이 아니다. 이를 증명하기 위해 \(\mathcal{O}_{X, z}\)의 스펙트럼으로 평탄 밑변환을 할 수 있다. \(X' = \overline{\{x\}}\)로 놓자. 가정에 의해 \(\mathcal{O}_{X' \cap U} \subset \mathcal{F}\)이다. 따라서 \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\)가 연접이 아님을 보이면 충분하다. 이는 \(X' = \{x, z\}\)이므로 분명하다. 실제로 \(j_*\mathcal{O}_{X' \cap U}\)는 \(\kappa(x)\)에 대응하는 \(\mathcal{O}_{X, z}\)-가군이며, \(x\)가 닫힌점이 아니므로 이 가군은 유한일 수 없다.

사실 보조정리 0BK1의 역도 성립한다. 정역 뇌터 스킴들의 열린 몰입 \(j : U \to X\)가 주어지고 \(z \in X \setminus U\) 및 소속 소아이디얼 \(\mathfrak p\), 곧 완비화 \(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge\)의 소속 소아이디얼이 존재하여 \(\dim(\mathcal{O}_{X, z}^\wedge/\mathfrak p) = 1\)이면 \(j_*\mathcal{O}_U\)는 연접이 아니다. 실제로 국소환으로 옮기고, \(U\)를 뚫린 스펙트럼으로 확대하고, 완비화로 옮기면 위의 논증이 비유한성을 준다.

명제

\(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 국소 뇌터 스킴들의 열린 몰입이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(j_*\mathcal{F}\)가 연접이다.

2. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\), \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\), 그리고 임의의 소속 소아이디얼 \(\mathfrak p\), 곧 완비화 \(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge\)의 소속 소아이디얼에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}^\wedge/\mathfrak p) \geq 2\)이다.

증명

(2)가 성립하면 보조정리 0BJZ, 주석 0BK2, 보조정리 0BK1를 결합하여 (1)을 얻는다. (2)가 성립하지 않으면 주석 0AWC의 논의(및 주석 0BK2)에 의해 \(j_*i_{x, *}\mathcal{O}_{W_x}\)가 어떤 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)에 대해 유한이 아니다. 따라서 보조정리 0BJZ에 의해 \(j_*\mathcal{F}\)는 연접이 아니다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I)\)로 놓자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(H^1_Z(M)\)은 유한 \(A\)-가군이다.

2. 모든 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\) 중 \(\mathfrak p \not \in Z\)인 것과 모든 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p + I)\)에 대해 \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\)의 완비화는 차원 \(1\)인 소속 소아이디얼을 갖지 않는다.

증명

명제 0BK3에서 보조정리 0BK0을 거쳐 즉시 따른다.

다음 보조정리의 정식화는 조건 (1)과 (2)가 \(X\) 위의 유한형 스킴들에 유전된다는 장점이 있다. 더구나 이것은 절 0BJX에서 고차 직접상으로 일반화할 유한성의 형태이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 열린 부분스킴의 포함 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 보편 사슬적이다.

2. 모든 \(z \in Z\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, z}\)의 형식적 올들은 \((S_1)\)이다.

이 상황에서 다음은 동치이다.

1. \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) 및 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)에 대해 \(\dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) \geq 2\)이다.

2. \(j_*\mathcal{F}\)가 연접이다.

증명

\(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)라 하자. 명제 0BK3에 의해 \(A = \mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}\)의 완비화의 소속 소아이디얼들에 대한 명제의 조건이 성립할 필요충분조건이 \(\dim(A) \geq 2\)임을 확인하면 충분하다. \(A\)는 보편 사슬적이고(이는 분명하다), 가환대수 심화의 보조정리 0BIX와 명제 0BIV에 의해 그 형식적 올들은 \((S_1)\)임을 관찰하라. \(\mathfrak p' \subset A^\wedge\)를 소속 소아이디얼이라 하자. \(A \to A^\wedge\)가 평탄하므로 가환대수의 보조정리 0312에 의해 \(\mathfrak p'\)는 \((0) \subset A\) 위에 놓인다. 형식적 올 \(A^\wedge \otimes_A F\)는 \((S_1)\)이고, 여기서 \(F\)는 \(A\)의 분수체이다. 따라서 \(\mathfrak p'\)는 극소 소아이디얼이다. 가환대수의 보조정리 031Q를 보라. \(A\)가 보편 사슬적이므로 가환대수 심화의 명제 0AW6에 의해 형식적으로 사슬적이다. 따라서 \(\dim(A^\wedge/\mathfrak p') = \dim(A)\)이고, 이로써 동치가 증명된다.

깊이와 차원

몇 가지 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(\mathfrak p \in V(I)\)를 소아이디얼이라 하자. \(e = \text{depth}_{IA_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\)라고 가정하자. 그러면 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset V(\mathfrak p)\)가 존재하여 \(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\)가 모든 \(\mathfrak q \in U\)에 대해 성립한다.

증명

깊이의 정의에 의해 \(IM_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\)이고 \(M_\mathfrak p\)-정칙 수열 \(f_1, \ldots, f_e \in IA_\mathfrak p\)가 존재한다. \(A\)를 한 주원소 국소화로 바꾸면 \(f_1, \ldots, f_e \in I\)가 \(M\)-정칙 수열을 이룬다고 가정할 수 있다. 가환대수의 보조정리 061L를 보라. 가군 \(M' = M/IM\)을 생각하자. \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\)이고 유한 가군의 지지집합은 닫혀 있으므로 \(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\)이다. 따라서 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\)에 대해 \(IM_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\)를 얻는다. 그러므로 국소화가 완전함을 사용하고 깊이의 정의를 적용하면 \(\text{depth}_{IA_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\)가 임의의 \(\mathfrak q \in V(I)\)에 대해 성립함을 안다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(\mathfrak p\)를 소아이디얼이라 하자. \(e = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) < \infty\)라고 가정하자. 그러면 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset V(\mathfrak p)\)가 존재하여 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\)가 모든 \(\mathfrak q \in U\)에 대해 성립하고, 유한 개를 제외한 모든 \(\mathfrak q \in U\)에 대해 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) > e\)이다.

증명

깊이의 정의에 의해 \(\mathfrak p M_\mathfrak p \not = M_\mathfrak p\)이고 \(M_\mathfrak p\)-정칙 수열 \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p A_\mathfrak p\)가 존재한다. \(A\)를 한 주원소 국소화로 바꾸면 \(f_1, \ldots, f_e \in \mathfrak p\)가 \(M\)-정칙 수열을 이룬다고 가정할 수 있다. 가환대수의 보조정리 061L를 보라. 가군 \(M' = M/(f_1, \ldots, f_e)M\)을 생각하자. \(\mathfrak p \in \text{Supp}(M')\)이고 유한 가군의 지지집합은 닫혀 있으므로 \(V(\mathfrak p) \subset \text{Supp}(M')\)이다. 따라서 \(\mathfrak q \in V(\mathfrak p)\)에 대해 \(\mathfrak q M_\mathfrak q \not = M_\mathfrak q\)를 얻는다. 그러므로 국소화가 완전함을 사용하고 깊이의 정의를 적용하면 \(\text{depth}_{A_\mathfrak q}(M_\mathfrak q) \geq e\)가 임의의 \(\mathfrak q \in V(I)\)에 대해 성립함을 안다. 더구나 \(\mathfrak q\)가 가군 \(M'\)의 소속 소아이디얼이 아니게 되는 순간 깊이는 증가한다. 따라서 마지막 명제는 가환대수의 보조정리 00LC에 의해 성립한다.

보조정리

\(X\)를 쌍대화 복합체 \(\omega_X^\bullet\)을 갖는 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(k \geq 0\)을 정수라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \((S_k)\)라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 점 \(x \in X\)는 유한 개뿐이다. \[\text{depth}(\mathcal{F}_x) = k \quad\text{이고}\quad \dim(\text{Supp}(\mathcal{F}_x)) > k\]

증명

\(k\)에 대한 귀납법으로 이 보조정리를 증명한다. 기초 단계 \(k = 0\)은 \(\mathcal{F}\)가 매장된 소속점을 유한 개만 갖는다는 명제이며, 이는 인자의 보조정리 05AF에서 따른다.

\(k > 0\)이고 더 작은 모든 \(k\)에 대해 결과가 성립한다고 가정하자. \(X\)를 유한 개의 아핀 열린집합으로 덮을 수 있으므로 \(X = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 \(\mathcal{F}\)는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로서 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하고, 이 가군은 \((S_k)\)를 만족한다. 아래에서는 가환대수의 보조정리 0B52와 090R를 더 언급하지 않고 사용한다.

\(f \in A\)를 \(M\) 위의 영인자가 아닌 원소라 하자. 그러면 \(M/fM\)은 \((S_{k - 1})\)을 갖는다. 귀납법에 의해 다음을 만족하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \in V(f)\)는 유한 개뿐이다. \(\text{depth}((M/fM)_\mathfrak p) = k - 1\)이고 \(\dim(\text{Supp}((M/fM)_\mathfrak p)) > k - 1\)이다. 이들은 정확히 \(\mathfrak p \in V(f)\) 중 \(\text{depth}(M_\mathfrak p) = k\)이고 \(\dim(\text{Supp}(M_\mathfrak p)) > k\)인 것들이다. 따라서 유한성 명제를 증명할 때 \(A\)를 \(A_f\)로, \(M\)을 \(M_f\)로 바꾸어도 된다.

\(M\)이 \((S_k)\)를 만족하고 \(k > 0\)이므로 \(M\)은 매장된 소속 소아이디얼을 갖지 않는다(가환대수의 보조정리 031Q). 따라서 \(\text{Ass}(M)\)은 \(M\)의 지지집합의 일반점들의 집합이다. 그러므로 쌍대화 복합체의 보조정리 0EHS에 의해 집합 \(U = \{\mathfrak q \mid M_\mathfrak q\text{ is Cohen-Macaulay}\}\) 은 \(\text{Ass}(M)\)을 포함하는 열린집합이다. 소아이디얼 회피(가환대수의 보조정리 00DS)에 의해 \(f \in A\)를 택하여 \(f \not \in \mathfrak p\)가 모든 \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 성립하고 \(D(f) \subset U\)가 되게 할 수 있다. 그러면 \(f\)는 \(M\) 위의 영인자가 아닌 원소이다(가환대수의 보조정리 00LD). \(A\)를 \(A_f\)로, \(M\)을 \(M_f\)로 바꾸면(위를 보라) \(M\)이 코언–매콜리임을 알 수 있다. 따라서 모든 \(\mathfrak q \subset A\)에 대해 \(\dim(M_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak q)\)이고, 그러므로 보조정리에서 서술한 집합은 공집합이며 특히 유한하다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 뇌터 국소환이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(E^i = \text{Ext}_A^{-i}(M, \omega_A^\bullet)\)로 놓자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(E^i\)는 유한 \(A\)-가군이고 \(0 \leq i \leq \dim(\text{Supp}(M))\)일 때만 영이 아닐 수 있다.

2. \(\dim(\text{Supp}(E^i)) \leq i\)이다.

3. \(\text{depth}(M)\)은 가장 작은 정수 \(\delta \geq 0\)이며, \(E^\delta \not = 0\)을 만족한다.

4. \(\mathfrak p \in \text{Supp}(E^0 \oplus \ldots \oplus E^i) \Leftrightarrow \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim(A/\mathfrak p) \leq i\),

5. \(E^i\)의 소멸자는 \(H^i_\mathfrak m(M)\)의 소멸자와 같다.

증명

(1), (2), (3)은 쌍대화 복합체의 보조정리 0A7U의 명제들을 그대로 옮긴 것이다. \(\mathfrak p\)를 \(A\)의 소아이디얼이라 하자. 그러면 \((\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)]\)는 \(A_\mathfrak p\)의 정규화된 쌍대화 복합체이다. 쌍대화 복합체의 보조정리 0A7Z를 보라. 따라서 \[E^i_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)_\mathfrak p = \text{Ext}^{-i + \dim(A/\mathfrak p)}_{A_\mathfrak p} (M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\dim(A/\mathfrak p)])\] 는 \(i - \dim(A/\mathfrak p) < \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\)일 때 영이고, \(i = \dim(A/\mathfrak p) + \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\)일 때 영이 아니다. 이는 \(A_\mathfrak p\) 위에서의 (3)에 따른다. 이로써 (4)가 증명된다. \(E\)가 \(A\)의 잉여체의 단사 포락이면 다음을 갖는다. \[\Hom_A(H^i_\mathfrak m(M), E) = \text{Ext}^{-i}_A(M, \omega_A^\bullet)^\wedge = (E^i)^\wedge = E^i \otimes_A A^\wedge\] 이는 국소 쌍대성 정리, 곧 쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK의 형태에 따른다. \(A \to A^\wedge\)가 충실히 평탄하므로 Matlis 쌍대성(쌍대화 복합체의 명제 08Z9)에 의해 (5)가 성립한다.

국소 코호몰로지의 소멸자, I

이 절에서는 Faltings의 결과를 다룬다. [Faltings-annulators]를 보라.

명제

\(A\)를 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 환이라 하자. \(T \subset T' \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합들이라 하자. \(s \geq 0\)을 정수라 하고 \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 아이디얼 \(J \subset A\)가 존재하여 \(V(J) \subset T'\)이고 \(J\)가 \(H^i_T(M)\)을 \(i \leq s\)에 대해 소멸시킨다.

2. 모든 \(\mathfrak p \not \in T'\)와 \(\mathfrak q \in T\) 중 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)인 것에 대해 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

증명

\(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하자. \(\delta\)를 그 차원 함수라 하자. 쌍대화 복합체의 절 0A7W을 보라. 유한 \(A\)-가군 \[E^i = \Ext_A^i(M, \omega_A^\bullet)\] 들이 중요한 역할을 한다. \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 \(H^i_\mathfrak p\)는 \(A_\mathfrak p\)-가군의 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)에 관한 국소 코호몰로지를 나타낸다고 쓰겠다. 그러면 다음 가군의 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-진 완비화는 \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] 다음 가군과 Matlis 쌍대이다. \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK에 따른다. 특히 다음 사실을 얻는다. 아이디얼 \(J \subset A\)가 \((E^i)_\mathfrak p\)를 소멸시킬 필요충분조건은 \(J\)가 \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\)를 소멸시키는 것이다.

\(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\)으로 놓자. \(\delta\)가 유계 함수이므로 \(T_a = \emptyset\)가 \(a \ll 0\)에 대해 성립하고 \(T_b = T\)가 \(b \gg 0\)에 대해 성립한다.

(2)를 가정하자. (1)과 같은 \(J\)의 존재를 증명하겠다. 이를 위해 이중 귀납법을 사용한다. \(i \leq s\)에 대해 다음 귀납 가정 \(IH_i\)를 생각하자. \(H^a_T(M)\)은 어떤 \(J \subset A\)에 의해 소멸되고 \(V(J) \subset T'\)이며, 이는 \(0 \leq a \leq i\)에 대해 성립한다. \(IH_0\)인 경우는 자명하다. 실제로 \(H^0_T(M)\)은 \(M\)의 부분가군이므로 유한하고, 따라서 어떤 아이디얼 \(J\)에 의해 소멸되며 \(V(J) \subset T\)이다.

귀납 단계를 보자. \(IH_{i - 1}\)이 어떤 \(0 < i \leq s\)에 대해 성립한다고 가정하자. \(J'\)를 택하여 \(V(J') \subset T'\)이고 \(H^a_T(M)\)을 \(0 \leq a \leq i - 1\)에 대해 소멸시키게 하자. 귀납 가정에 의해 이렇게 할 수 있다. \(n\)에 대한 내림 귀납법으로, 아이디얼 \(J\)가 존재하고 \(V(J) \subset T'\)이며 \(J H^i_T(M)\)의 소속 소아이디얼들이 \(T_n\)에 속함을 보이겠다. \(n \ll 0\)이면 이는 \(JH^i_T(M) = 0\)을 함의하며 (가환대수의 보조정리 0587), 따라서 \(IH_i\)가 성립한다. 기초 단계 \(n \gg 0\)인 경우에는 \(T = T_n\)이고 \(H^i_T(M)\)의 모든 소속 소아이디얼이 \(T\)에 속하므로 자명하다.

따라서 \(J\)가 주어져 \(n\)에 대한 성질을 갖는다고 가정하자. \(\mathfrak q \in T_n\)이라 하자. \(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\)를 \(T\)의 역상이라 하자. 보조정리 0EF5에 의해 \(H^j_T(M)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)\) 이다. 스펙트럼 수열 \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\] 을 생각하자. 이는 보조정리 0EF6의 스펙트럼 수열이다. 아래에서 아이디얼 \(J'' \subset A\)를 찾아 \(V(J'') \subset T'\)이고, \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\)가 \(J''\)에 의해 소멸되며 이것이 모든 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)에 대해 성립하게 하겠다. 주장: \(J (J')^i J''\)는 \(n - 1\)에 대해 원하는 성질을 갖는다. 실제로 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)라 하자. 위 스펙트럼 수열은 여과 \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q))\] 를 정의한다. 가군 \(E_\infty^{0, i}\)는 \(J''\)에 의해 소멸된다. \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\)는 \(i + 1 \geq j \geq 2\)에 대해 \(J'\)에 의해 소멸된다. 실제로 \(d_j^{0, i}\)의 공역은 다음 가군의 부분몫이다. \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(M_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q)\] 그리고 \(H^{i - j + 1}_T(M)_\mathfrak q\)는 \(J'\)에 의해 소멸된다. 이는 \(J'\)의 선택에 따른다. 마지막으로 \(J\)의 선택에 의해 \(J H^i_T(M)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(M)_\mathfrak q)\) 이다. 실제로 \(\Spec(A_\mathfrak q)\)의 닫히지 않은 점들은 더 큰 \(\delta\) 값을 갖는다. 따라서 원하는 대로 \(\mathfrak q\)는 \(J(J')^iJ'' H^i_T(M)\)의 소속 소아이디얼일 수 없다.

처음의 논의에 의해 \(J''\)는 \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] 을 모든 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)에 대해 소멸시켜야 한다. 그런데 \(J''\)가 하나의 \(\mathfrak q\)에 대해 작용하면, \(\mathfrak q\)의 한 열린 근방에 있는 모든 \(\mathfrak q\)에 대해서도 작용한다. 이는 가군 \(E^{-n - i}\)가 유한하기 때문이다. \(\Spec(A)\)의 모든 부분집합은 유도된 위상으로 뇌터이므로(위상론의 보조정리 0052), \(J''\)의 존재를 하나의 \(\mathfrak q\)에 대해 증명하면 충분하다는 결론을 얻는다.

Ext 가군들이 유한하므로 \(J''\)의 존재는 다음과 동치이다. \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] 이는 \(E^{-n - i}\)의 국소화가 모든 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 중 \(\mathfrak p \not \in T'\)인 것에서 영임을 보이는 것과 동치이다. \(A_\mathfrak p\) 위의 국소 쌍대성을 사용하면 다음이 영임을 증명해야 한다. \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\] 여기서는 \(\delta\)가 차원 함수임을 사용했다. 이 가군은 보조정리의 가정, \(i \leq s\), 그리고 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ에 의해 영이다.

역함의를 증명하기 위해 (2)가 성립하지 않는다고 가정하고 위 논증을 거꾸로 따라간다. 먼저 \(\mathfrak q \in T\)와 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 중 \(\mathfrak p \not \in T'\)인 것을 택하여 \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] 가 최소가 되게 하자. 그러면 \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(M_\mathfrak p)\) 은 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ의 비소멸성에 의해 영이 아니다. \(n = \delta(\mathfrak q)\)으로 놓자. 그러면 \(J \subset A\)이고 \(V(J) \subset T'\)이며 \(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\)인 그런 아이디얼은 존재하지 않는다. 따라서 \(H^i_\mathfrak q(M_\mathfrak q)\)는 \(J \subset A\)인 아이디얼에 의해 소멸되지 않으며, 이때 \(V(J) \subset T'\)이다. \(i\)의 최소성과 위에 표시한 스펙트럼 수열에 의해 가군 \(H^i_T(M)_\mathfrak q\)는 아이디얼 \(J \subset A\)에 의해 소멸되지 않으며, 이때 \(V(J) \subset T'\)이다. 따라서 \(H^i_T(M)\)는 아이디얼 \(J \subset A\)에 의해 소멸되지 않으며, 이때 \(V(J) \subset T'\)이다. 이로써 명제의 증명이 끝난다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군, \(\mathfrak p \subset A\)를 소아이디얼, \(s \geq 0\)을 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 쌍대화 복합체를 갖는다.

2. \(\mathfrak p \not \in V(I)\)이다.

3. 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak p\)와, \(\mathfrak q \in V(I)\) 중 \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q\)인 것에 대해 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M_{\mathfrak p'}) + \dim((A/\mathfrak p')_\mathfrak q) > s\]

그러면 \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)인 원소가 존재하여 \(H^i_{V(I)}(M)\)을 \(i \leq s\)에 대해 소멸시킨다.

증명

집합 \[T = V(I) \quad\text{및}\quad T' = \bigcup\nolimits_{f \in A, f \not \in \mathfrak p} V(f)\] 들을 생각하자. 이들은 \(\Spec(A)\)의 특수화 아래 안정적인 부분집합들이다. \(T \subset T'\)이고 \(\mathfrak p \not \in T'\)임을 관찰하라. 가정 (3)은 명제 0EFC의 가정 (2)가 성립한다는 뜻이다. 따라서 \(J \subset A\)이고 \(V(J) \subset T'\)인 것을 찾아 \(J H^i_{V(I)}(M) = 0\)이 \(i \leq s\)에 대해 성립하게 할 수 있다. \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)인 것을 \(V(J) \subset V(f)\)가 되도록 택하자. \(f\)의 한 거듭제곱은 \(H^i_{V(I)}(M)\)을 \(i \leq s\)에 대해 소멸시킨다.

국소 코호몰로지의 유한성, II

절 0AW7에서 시작한 국소 코호몰로지의 유한성에 관한 논의를 계속한다. Faltings 소멸자 정리를 사용하면 다음 기본 결과를 쉽게 증명할 수 있다.

명제

\(A\)를 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 환이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(s \geq 0\)을 정수라 하고 \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(H^i_T(M)\)은 유한 \(A\)-가군이며, 이는 \(i \leq s\)에 대해 성립한다.

2. 모든 \(\mathfrak p \not \in T\)와 \(\mathfrak q \in T\) 중 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)인 것에 대해 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

증명

명제 0EFC와 보조정리 0AW8의 형식적 귀결이다.

나중에 사용할 몇 가지 보조정리를 제외하면, 이 절의 나머지 부분에서는 명제 0EFD의 조건, 즉 \(A\)가 쌍대화 복합체를 갖는다는 조건을 어느 정도 약화할 수 있는지를 다룬다. 대략적인 답은 \(A\)의 형식적 섬유들이 \((S_n)\)이라는 조건을 충분히 큰 \(n\)에 대해 가정해야 한다는 것이다.

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(X = \Spec(A)\) 및 \(Z = V(I) \subset X\)로 놓자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 다음과 같이 정의한다. [0BJR]\[\begin{equation} s_{A, I}(M) = \min \{ \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \mid \mathfrak p \in X \setminus Z, \mathfrak q \in Z, \mathfrak p \subset \mathfrak q \} \end{equation}\] 깊이에 관한 우리의 규약에서는 \(0\)의 깊이가 \(\infty\)이므로 소아이디얼 \(\mathfrak p\) 가운데 \(M\)의 지지집합에 속하는 것만 고려하면 된다. \(s_{A, I}(M)\)이 이 상황의 중요한 불변량임이 드러날 것이다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 환의 유한 준동형이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하고 \(J = IB\)로 놓자. \(M\)을 유한 \(B\)-가군이라 하자. \(A\)가 보편적으로 쇄상이라면 \(s_{B, J}(M) = s_{A, I}(M)\)이다.

증명

\(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\)를 \(I \subset \mathfrak q\)이고 \(I \not \subset \mathfrak p\)인 소아이디얼들이라 하자. \(A \to B\)가 유한이므로 유한 개의 소아이디얼 \(\mathfrak p_i\)가 \(\mathfrak p\) 위에 놓인다. 가환대수의 보조정리 0AUK에 의해 \[\text{depth}(M_\mathfrak p) = \min \text{depth}(M_{\mathfrak p_i})\] \(\mathfrak p_i \subset \mathfrak q_{ij}\)를 \(\mathfrak q\) 위에 놓이는 소아이디얼들이라 하자. \(A \to B\)에 대한 상승 정리에 의해(가환대수의 보조정리 00GU) 적어도 하나의 \(\mathfrak q_{ij}\)가 각 \(i\)마다 존재한다. 그러면 \[\dim((B/\mathfrak p_i)_{\mathfrak q_{ij}}) = \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\] 이다. 이는 차원 공식에 따른다. 가환대수의 보조정리 02IJ을 보라. 따라서 \(s_{B, J}(M)\)을 정의할 때 쓰이는 양들 가운데 쌍 \((\mathfrak p_i, \mathfrak q_{ij})\)에 대한 최솟값은 쌍 \((\mathfrak p, \mathfrak q)\)에 대한 양과 같다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(A\)를 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(A', M'\)를 \(I\)-진 완비화라 하되 각각 \(A, M\)의 완비화라 하자. \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\)를 \(A'\)의 소아이디얼들로서 \(\mathfrak q' \in V(IA')\)이고 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)는 \(A\)의 소아이디얼들이며 그 위에 놓인다고 하자. 그러면 \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p)\] 그리고 \[\text{depth}_{A_{\mathfrak p'}}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)\]

증명

다음이 성립한다. \[\text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) \geq \text{depth}(M_\mathfrak p)\] \(A \to A'\)의 평탄성에 따른다. 가환대수의 보조정리 0338을 보라. \(A \to A'\)의 섬유들은 Cohen–Macaulay이므로(쌍대화 복합체의 보조정리 0AWY 및 가환대수 심화의 절 0BIR), 다음을 얻는다. \(\text{depth}(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) = \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'})\). 따라서 \[\begin{align*} \text{depth}(M'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim(A'_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A'_{\mathfrak p'}) + \dim((A'/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \end{align*}\] 두 번째 등식은 \(A'\)가 쇄상이기 때문에 성립하고, 세 번째 등식은 \((A/\mathfrak p)_\mathfrak q\)와 \((A'/\mathfrak p A')_{\mathfrak q'}\)가 같은 \(I\)-진 완비화를 가지므로 가환대수 심화의 보조정리 07NV에 의해 성립한다.

보조정리

\(A\)를 보편적으로 쇄상인 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하고 \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. 그러면 \[s_{A, I}(M) \geq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\] \(A\)의 형식적 섬유들이 \((S_n)\)이면 \(\min(n + 1, s_{A, I}(M)) \leq s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\)이다.

증명

\(X = \Spec(A)\), \(X^\wedge = \Spec(A^\wedge)\), \(Z = V(I) \subset X\), \(Z^\wedge = V(I^\wedge)\)로 쓰자. \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q' \subset A^\wedge\)를 \(\mathfrak p' \not \in Z^\wedge\)이고 \(\mathfrak q' \in Z^\wedge\)인 소아이디얼들이라 하자. \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)를 이에 대응하는 \(A\)의 소아이디얼들이라 하자. 그러면 \(\mathfrak p \not \in Z\)이고 \(\mathfrak q \in Z\)이다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ \mathfrak p' \ar[r] & \mathfrak q' \ar[r] & A^\wedge \\ \mathfrak p \ar[r] \ar@{-}[u] & \mathfrak q \ar[r] \ar@{-}[u] & A \ar[u] }\] 다음과 같이 쓰자. \[\begin{align*} a & = \dim(A/\mathfrak p) = \dim(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge),\\ b & = \dim(A/\mathfrak q) = \dim(A^\wedge/\mathfrak qA^\wedge),\\ a' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak p'),\\ b' & = \dim(A^\wedge/\mathfrak q') \end{align*}\] 등식들은 가환대수 심화의 보조정리 07NV에 따른다. 또한 다음과 같이 쓴다. \[\begin{align*} p & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak p'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak p A^\wedge)_{\mathfrak p'}) \\ q & = \dim(A^\wedge_{\mathfrak q'}/\mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak q'}) = \dim((A^\wedge/\mathfrak q A^\wedge)_{\mathfrak q'}) \end{align*}\] \(A\)가 보편적으로 쇄상이므로 \(A^\wedge/\mathfrak pA^\wedge = (A/\mathfrak p)^\wedge\)는 차원이 \(a\)인 등차원 환이다(가환대수 심화의 명제 0AW6). 따라서 \(a = a' + p\)이다. 마찬가지로 \(b = b' + q\)이다. 평탄 국소환 사상 \(A_\mathfrak p \to A^\wedge_{\mathfrak p'}\)에 가환대수의 보조정리 0338을 적용하면 \[\text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})\] \(s_{A, I}(M)\)에 대해 최소화하는 양은 \[s(\mathfrak p, \mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) = \text{depth}(M_\mathfrak p) + a - b\] 이다. 마지막 등식은 \(A\)가 쇄상이므로 성립한다. \(s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\)에 대해 최소화하는 양은 \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + a' - b'\] 이다. 마지막 등식은 \(A^\wedge\)가 쇄상이므로 성립한다. 이제 증명을 시작할 만큼 기호를 충분히 마련했다.

\(\mathfrak p \subset \mathfrak q \subset A\)를 \(\mathfrak p \not \in Z\)이고 \(\mathfrak q \in Z\)이며 \(s_{A, I}(M) = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\)인 소아이디얼들이라 하자. 그러면 \(\mathfrak q'\)를 택하여 \(\mathfrak q A^\wedge\) 위에서 극소이게 할 수 있고, \(\mathfrak p' \subset \mathfrak q'\)를 택하여 \(\mathfrak p A^\wedge\) 위에서 극소이게 할 수 있다. 여기서는 \(A \to A^\wedge\)에 대한 하강 정리를 사용했다. 그러면 위와 같은 네 소아이디얼에 대해 \(p = 0\) 및 \(q = 0\)이다. 더구나 \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'})=0\) 이기도 한데, 이는 또한 \(p = 0\)이기 때문이다. 따라서 \(s(\mathfrak p', \mathfrak q') = s(\mathfrak p, \mathfrak q)\)라는 뜻이다. 따라서 첫 번째 부등식을 얻는다.

이제 \(A\)의 형식적 섬유들이 \((S_n)\)이라고 가정하자. 그러면 \(\text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) \geq \min(n, p)\). 따라서 \[s(\mathfrak p', \mathfrak q') \geq s(\mathfrak p, \mathfrak q) + q + \min(n, p) - p \geq s_{A, I}(M) + q + \min(n, p) - p\] 따라서 문제가 생길 수 있는 유일한 경우는 \(p > n\)일 때이다. 이 경우 \[\begin{align*} s(\mathfrak p', \mathfrak q') & = \text{depth}(M^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & = \text{depth}(M_\mathfrak p) + \text{depth}(A^\wedge_{\mathfrak p'} / \mathfrak p A^\wedge_{\mathfrak p'}) + \dim((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}) \\ & \geq 0 + n + 1 \end{align*}\] 이다. 왜냐하면 \((A^\wedge/\mathfrak p')_{\mathfrak q'}\)에는 적어도 두 개의 소아이디얼이 있기 때문이다. 이로써 두 번째 부등식이 증명되었다.

다음 보조정리의 증명 방법은 더 일반적인 경우에도 작동하지만, 그로부터 얻는 더 강한 결과들은 아래의 정리 0BJV에 포함된다.

보조정리

\(A\)를 Gorenstein 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하고 \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)로 놓자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. (0BJR)에서와 같이 \(s = s_{A, I}(M)\)로 놓자. 그러면 \(H^i_Z(M)\)은 \(i < s\)에 대해 유한하지만 \(H^s_Z(M)\)은 유한하지 않다.

증명

Gorenstein 국소환은 쌍대화 복합체를 가지므로 이는 명제 0EFD의 특수한 경우이다. 아래의 일반적인 유한성 정리를 증명할 때 사용할 이 특수한 경우에 대한 짧은 증명이 있으면 유용할 것이다.

다음 정리의 가정은 우수한 뇌터 환에서는 정의에 의해 성립하고, 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 환에서는 쌍대화 복합체의 보조정리 0A80 및 보조정리 0AWY에 의해 성립하며, 정칙 뇌터 환의 몫에서도 성립함을 관찰하라.

정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I) \subset \Spec(A)\)로 놓자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. (0BJR)에서와 같이 \(s = s_{A, I}(M)\)로 놓자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 보편적으로 쇄상이다.

2. \(A\)의 국소환들의 형식적 섬유들은 Cohen–Macaulay이다.

그러면 \(H^i_Z(M)\)은 \(0 \leq i < s\)에 대해 유한하고 \(H^s_Z(M)\)은 유한하지 않다.

증명

보조정리 0AW9에 의해 \(A\)가 국소환이라고 가정해도 된다.

\(A\)가 뇌터 완비 국소환이면 Cohen 구조 정리에 의해(가환대수의 정리 032A) \(A\)를 정칙 완비 국소환 \(B\)의 몫으로 쓸 수 있다. 보조정리 0BJS와 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJB을 사용하면 정칙 국소환인 경우로 귀착된다. 이 경우는 보조정리 0BJU의 귀결인데, 정칙 국소환은 Gorenstein이기 때문이다(쌍대화 복합체의 보조정리 0AWX).

\(A\)를 뇌터 국소환이라 하고 \(\mathfrak m\)을 극대 아이디얼이라 하자. \(I \subset \mathfrak m\)이라고 가정해도 된다. 그렇지 않으면 보조정리는 자명하다. \(A^\wedge\)를 \(A\)의 완비화라 하고 \(Z^\wedge = V(IA^\wedge)\)로 놓으며, \(M^\wedge = M \otimes_A A^\wedge\)를 \(M\)의 완비화라 하자(가환대수의 보조정리 00MA). 그러면 쌍대화 복합체의 \(H^i_Z(M) \otimes_A A^\wedge = H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\)이다. 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ과 \(A \to A^\wedge\)의 평탄성에 따른다(가환대수의 보조정리 00MB). 따라서 \(H^i_{Z^\wedge}(M^\wedge)\)이 \(i < s\)에 대해 유한하고 \(i = s\)에 대해 유한하지 않음을 보이면 충분하다. 가환대수의 보조정리 03C4을 보라. \(A^\wedge\)에 대해서는 결과가 참임을 아니까 \(s_{A, I}(M) = s_{A^\wedge, I^\wedge}(M^\wedge)\)임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0BJT에 따른다.

주

주의 깊은 독자는 \(A\)의 국소환들의 형식적 섬유에 관해 조금 더 약한 조건으로도 충분하다는 사실을 알아차렸을 것이다. 구체적으로 정리 0BJV의 상황에서 \(A\)가 보편적으로 쇄상이라고 가정하되 형식적 섬유에는 아무 가정도 하지 말자. 어떤 \(n\)이 주어졌고 \(H^i_Z(M)\)이 \(i \leq n\)에 대해 유한함을 증명하려 한다고 하자. 그러면 똑같은 증명으로 \(s_{A, I}(M) > n\)이고 \(A\)의 국소환들의 형식적 섬유가 \((S_n)\)이면 충분함을 알 수 있다. 한편 \(H^s_Z(M)\)이 유한하지 않음을 보이려 하는데 여기서 \(s = s_{A, I}(M)\)라면, 우리의 논증은 형식적 섬유가 \((S_{s - 1})\)일 때 이를 증명한다.

직접상의 유한성, II

이 절은 절 0BL8의 연속이다. 여기서는 절 0BJQ에서 수행한 작업의 결실을 거둔다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 열린 부분스킴의 포함사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하고 \(n \geq 0\)을 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 보편적으로 쇄상이다.

2. 모든 \(z \in Z\)에 대해 \(\mathcal{O}_{X, z}\)의 형식적 섬유들은 \((S_n)\)이다.

이 상황에서 다음은 동치이다.

1. \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) 및 \(z \in Z \cap \overline{\{x\}}\)에 대해 다음이 성립한다. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z}) > n\),

2. \(R^pj_*\mathcal{F}\)는 \(0 \leq p < n\)에 대해 연접이다.

증명

명제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X = \Spec(A)\) 및 \(Z = V(I)\)라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군으로서 이에 대응하는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이 \(\mathcal{F}\)로 제한되게 하되, 그 제한은 \(U\) 위에서 취하자. 보조정리 0BK0을 보라. 이 보조정리에 따르면 \(R^pj_*\mathcal{F}\)가 연접일 필요충분조건은 \(H^{p + 1}_Z(M)\)이 유한 \(A\)-가군인 것이다. 다음 식들의 최솟값이 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}_x) + \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x\}}, z})\) (0BJR)의 수 \(s_{A, I}(M)\)임을 관찰하라. 이제 보조정리는 정리 0BJV에 따르며, 이는 주해 0BJW에서 설명한 바와 같다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 열린 부분스킴의 포함사상이라 하고 \(n \geq 0\)을 정수라 하자. \(R^pj_*\mathcal{O}_U\)가 \(0 \leq p < n\)에 대해 연접이면, \(R^pj_*\mathcal{F}\)도 \(0 \leq p < n\)에 대해 연접이다. 이는 임의의 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다.

증명

문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(X = \Spec(A)\) 및 \(Z = V(I)\)라 하자. 보조정리 0BK0을 통하면 우리의 보조정리는 보조정리 0BPY에 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(J \subset I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼들이라 하자. \(p \geq 0\)을 정수라 하고 \(U = \Spec(A) \setminus V(I)\)로 놓자. \(H^p(U, \mathcal{O}_U)\)가 \(J^n\)에 의해 소멸되는 어떤 \(n\)이 존재하면, \(H^p(U, \mathcal{F})\)는 \(J^m\)에 의해 소멸되는 어떤 \(m = m(\mathcal{F})\)을 갖는다. 이는 모든 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다.

증명

\(\mathfrak a\)를 \(H^p(U, \mathcal{F})\)의 소멸자라 하자. \(u \in U\)라 하자. 열린 근방 \(u \in U' \subset U\)와 동형사상 \(\varphi : \mathcal{O}_{U'}^{\oplus r} \to \mathcal{F}|_{U'}\)가 존재한다. \(f \in A\)를 \(u \in D(f) \subset U'\)가 되도록 택하자. 다음 사상들이 존재한다. \[a : \mathcal{O}_U^{\oplus r} \longrightarrow \mathcal{F} \quad\text{및}\quad b : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{O}_U^{\oplus r}\] \(D(f)\)로 제한하면 이들은 각각 \(f^N \varphi\) 및 \(f^N \varphi^{-1}\)와 같으며, 이는 어떤 \(N\)에 대해 성립한다. 더구나 \(a \circ b\)와 \(b \circ a\)가 모두 \(f^{2N}\)을 곱하는 사상이라고 가정해도 된다. 이는 성질의 보조정리 01XQ에 따른다. 실제로 \(U\)는 준콤팩트이고(\(I\)가 유한 생성이다) 분리이며, \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{O}_U^{\oplus r}\)는 유한 표시된다. 따라서 \(H^p(U, \mathcal{F})\)는 \(f^{2N}J^n\)에 의해 소멸된다. 즉 \(f^{2N}J^n \subset \mathfrak a\)이다.

\(U\)가 준콤팩트이므로 유한 개의 \(f_1, \ldots, f_t\)와 \(N_1, \ldots, N_t\)를 찾아 \(U = \bigcup D(f_i)\)이고 \(f_i^{2N_i}J^n \subset \mathfrak a\)가 되게 할 수 있다. 그러면 \(V(I) = V(f_1, \ldots, f_t)\)이다. \(I\)가 유한 생성이므로 \(I^M \subset (f_1, \ldots, f_t)\)라는 결론을 어떤 \(M\)에 대해 얻는다. 결국 \(J^m \subset \mathfrak a\)가 \(m \gg 0\)에 대해 성립함을 알 수 있다. 예를 들어 \(m = M (2N_1 + \ldots + 2N_t) n\)이면 된다.

국소 코호몰로지의 소멸자, II

절 0EFB의 국소 코호몰로지 소멸자에 관한 논의를, 아래로 유계이고 코호몰로지 가군들이 유한한 복합체로 확장한다.

정의

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(K \in D^+_{\textit{Coh}}(A)\)라 하자. \(I\)-깊이를 \(K\)에 대해 정의하고 \(\text{depth}_I(K)\)로 나타내자. 이는 \(m \in \mathbf{Z} \cup \{\infty\}\) 가운데 모든 \(H^i_I(K) = 0\)이 \(i < m\)에 대해 성립하는 최대의 값이다. \(A\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는 국소환이면 \(\text{depth}_\mathfrak m(K)\)를 간단히 \(K\)의 깊이라 부른다.

이 정의는 가환대수의 정의 00LI와 모순되지 않는다. 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0AVZ에 따른다.

명제

\(A\)를 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 환이라 하자. \(T \subset T' \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합들이라 하자. \(s \in \mathbf{Z}\)라 하고 \(K\)를 \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\)의 대상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 아이디얼 \(J \subset A\)가 존재하여 \(V(J) \subset T'\)이고, \(J\)가 \(H^i_T(K)\)를 \(i \leq s\)에 대해 소멸시킨다.

2. 모든 \(\mathfrak p \not \in T'\)와 \(\mathfrak q \in T\) 중 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)인 것에 대해 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

증명

이 명제는 명제 0EFC의 자연스러운 일반화이다. 독자는 먼저 그 증명을 읽어야 한다. \(\omega_A^\bullet\)을 쌍대화 복합체라 하고 \(\delta\)를 그 차원 함수라 하자. 쌍대화 복합체의 절 0A7W을 보라. 다음 유한 \(A\)-가군들이 중요한 역할을 한다. \[E^i = \Ext_A^i(K, \omega_A^\bullet)\] \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 \(H^i_\mathfrak p\)는 \(D(A_\mathfrak p)\)의 대상의 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)에 관한 국소 코호몰로지를 나타낸다고 쓰겠다. 그러면 다음 가군의 \(\mathfrak pA_\mathfrak p\)-진 완비화는 \[(E^i)_\mathfrak p = \Ext^{\delta(\mathfrak p) + i}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p, (\omega_A^\bullet)_\mathfrak p[-\delta(\mathfrak p)])\] 다음 가군과 Matlis 쌍대이다. \[H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\] 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0AAK에 따른다. 특히 다음 사실을 얻는다. 아이디얼 \(J \subset A\)가 \((E^i)_\mathfrak p\)를 소멸시킬 필요충분조건은 \(J\)가 \(H^{-\delta(\mathfrak p) - i}_{\mathfrak p}(K_\mathfrak p)\)를 소멸시키는 것이다.

\(T_n = \{\mathfrak p \in T \mid \delta(\mathfrak p) \leq n\}\)으로 놓자. \(\delta\)가 유계 함수이므로 \(T_a = \emptyset\)가 \(a \ll 0\)에 대해 성립하고 \(T_b = T\)가 \(b \gg 0\)에 대해 성립한다.

(2)를 가정하자. (1)과 같은 \(J\)의 존재를 증명하겠다. 이를 위해 이중 귀납법을 사용한다. \(i \leq s\)에 대해 다음 귀납 가정 \(IH_i\)를 생각하자. \(H^a_T(K)\)는 어떤 \(J \subset A\)에 의해 소멸되고 \(V(J) \subset T'\)이며, 이는 \(a \leq i\)에 대해 성립한다. \(IH_i\)인 경우는 \(i\)가 충분히 작으면 \(K\)가 아래로 유계이므로 자명하다.

귀납 단계를 보자. \(IH_{i - 1}\)이 어떤 \(i \leq s\)에 대해 성립한다고 가정하자. \(J'\)를 택하여 \(V(J') \subset T'\)이고 \(H^a_T(K)\)를 \(a \leq i - 1\)에 대해 소멸시키게 하자. 귀납 가정에 의해 이렇게 할 수 있다. \(n\)에 대한 내림 귀납법으로 아이디얼 \(J\)가 존재하고 \(V(J) \subset T'\)이며, \(J H^i_T(K)\)의 소속 소아이디얼들이 \(T_n\)에 속함을 보이겠다. \(n \ll 0\)이면 이는 \(JH^i_T(K) = 0\)을 함의하며(가환대수의 보조정리 0587), 따라서 \(IH_i\)가 성립한다. 기초 단계 \(n \gg 0\)인 경우에는 \(T = T_n\)이고 \(H^i_T(K)\)의 모든 소속 소아이디얼이 \(T\)에 속하므로 자명하다.

따라서 \(J\)가 주어져 \(n\)에 대한 성질을 갖는다고 가정하자. \(\mathfrak q \in T_n\)이라 하자. \(T_\mathfrak q \subset \Spec(A_\mathfrak q)\)를 \(T\)의 역상이라 하자. 보조정리 0EF5에 의해 \(H^j_T(K)_\mathfrak q = H^j_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)\)이다. 스펙트럼 수열 \[H_\mathfrak q^p(H^q_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) \Rightarrow H^{p + q}_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\] 을 생각하자. 이는 보조정리 0EF6의 스펙트럼 수열이다. 아래에서 아이디얼 \(J'' \subset A\)를 찾아 \(V(J'') \subset T'\)이고, \(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\)가 \(J''\)에 의해 소멸되며 이것이 모든 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)에 대해 성립하게 하겠다. 주장: \(J (J')^i J''\)는 \(n - 1\)에 대해 원하는 성질을 갖는다. 실제로 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)라 하자. 위 스펙트럼 수열은 여과 \[E_\infty^{0, i} = E_{i + 2}^{0, i} \subset \ldots \subset E_3^{0, i} \subset E_2^{0, i} = H^0_\mathfrak q(H^i_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q))\] 를 정의한다. 가군 \(E_\infty^{0, i}\)는 \(J''\)에 의해 소멸된다. \(E_j^{0, i}/E_{j + 1}^{0, i}\)는 \(i + 1 \geq j \geq 2\)에 대해 \(J'\)에 의해 소멸된다. 실제로 \(d_j^{0, i}\)의 공역은 다음 가군의 부분몫이다. \[H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_{T_\mathfrak q}(K_\mathfrak q)) = H^j_\mathfrak q(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q)\] 그리고 \(H^{i - j + 1}_T(K)_\mathfrak q\)는 \(J'\)에 의해 소멸된다. 이는 \(J'\)의 선택에 따른다. 마지막으로 \(J\)의 선택에 의해 \(J H^i_T(K)_\mathfrak q \subset H^0_\mathfrak q(H^i_T(K)_\mathfrak q)\) 이다. 실제로 \(\Spec(A_\mathfrak q)\)의 닫히지 않은 점들은 더 큰 \(\delta\) 값을 갖는다. 따라서 원하는 대로 \(\mathfrak q\)는 \(J(J')^iJ'' H^i_T(K)\)의 소속 소아이디얼일 수 없다.

처음의 논의에 의해 \(J''\)는 \[(E^{-\delta(\mathfrak q) - i})_\mathfrak q = (E^{-n - i})_\mathfrak q\] 을 모든 \(\mathfrak q \in T_n \setminus T_{n - 1}\)에 대해 소멸시켜야 한다. 그런데 \(J''\)가 하나의 \(\mathfrak q\)에 대해 작용하면, \(\mathfrak q\)의 한 열린 근방에 있는 모든 \(\mathfrak q\)에 대해서도 작용한다. 이는 가군 \(E^{-n - i}\)가 유한하기 때문이다. \(\Spec(A)\)의 모든 부분집합은 유도된 위상으로 뇌터이므로(위상론의 보조정리 0052), \(J''\)의 존재를 하나의 \(\mathfrak q\)에 대해 증명하면 충분하다는 결론을 얻는다.

Ext 가군들이 유한하므로 \(J''\)의 존재는 다음과 동치이다. \[\text{Supp}(E^{-n - i}) \cap \Spec(A_\mathfrak q) \subset T'.\] 이는 \(E^{-n - i}\)의 국소화가 모든 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 중 \(\mathfrak p \not \in T'\)인 것에서 영임을 보이는 것과 동치이다. \(A_\mathfrak p\) 위의 국소 쌍대성을 사용하면 다음이 영임을 증명해야 한다. \[H^{i + n - \delta(\mathfrak p)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p) = H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\] 여기서는 \(\delta\)가 차원 함수임을 사용했다. 이 대상은 명제의 가정, \(i \leq s\), 그리고 정의 0EHY의 깊이 정의에 의해 영이다.

역함의를 증명하기 위해 (2)가 성립하지 않는다고 가정하고 위 논증을 거꾸로 따라간다. 먼저 \(\mathfrak q \in T\)와 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\) 중 \(\mathfrak p \not \in T'\)인 것을 택하여 \[i = \text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) \leq s\] 가 최소가 되게 하자. 그러면 \(H^{i - \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q)}_\mathfrak p(K_\mathfrak p)\) 은 정의 0EHY의 깊이 정의에 의해 영이 아니다. \(n = \delta(\mathfrak q)\)으로 놓자. 그러면 \(J \subset A\)이고 \(V(J) \subset T'\)이며 \(J(E^{-n - i})_\mathfrak q = 0\)인 아이디얼은 존재하지 않는다. 따라서 \(H^i_\mathfrak q(K_\mathfrak q)\)는 아이디얼 \(J \subset A\)에 의해 소멸되지 않으며 이때 \(V(J) \subset T'\)이다. \(i\)의 최소성과 위에 표시한 스펙트럼 수열에 의해 가군 \(H^i_T(K)_\mathfrak q\)는 아이디얼 \(J \subset A\)에 의해 소멸되지 않으며, 이때 \(V(J) \subset T'\)이다. 따라서 \(H^i_T(K)\)는 아이디얼 \(J \subset A\)에 의해 소멸되지 않으며, 이때 \(V(J) \subset T'\)이다. 이로써 명제의 증명이 끝난다.

국소 코호몰로지의 유한성, III

절 0AW7와 절 0BJQ의 국소 코호몰로지 유한성에 관한 논의를, 아래로 유계이고 코호몰로지 가군들이 유한한 복합체로 확장한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(K\)를 \(D_{\textit{Coh}}^+(A)\)의 대상이라 하고 \(n \in \mathbf{Z}\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(H^i_T(K)\)는 \(i \leq n\)에 대해 유한하다.

2. 아이디얼 \(J \subset A\)가 존재하여 \(V(J) \subset T\)이고, \(J\)가 \(H^i_T(K)\)를 \(i \leq n\)에 대해 소멸시킨다.

\(T = V(I) = Z\)이고 \(I \subset A\)가 아이디얼이면, 이들은 다음과도 동치이다.

1. 어떤 \(e \geq 0\)이 존재하여 \(I^e\)가 \(H^i_Z(K)\)를 \(i \leq n\)에 대해 소멸시킨다.

증명

이 보조정리는 보조정리 0AW8의 자연스러운 일반화이다. 독자는 먼저 그 증명을 읽어야 한다. (1)이 참이라고 가정하자. \(H^i_J(K) = H^i_{V(J)}(K)\)임을 상기하라. 쌍대화 복합체의 보조정리 0955을 보라. 따라서 \(H^i_T(K) = \colim H^i_J(K)\)이며, 여기서 여극한은 \(J \subset A\)이고 \(V(J) \subset T\)인 아이디얼들에 걸친다. 보조정리 0EF1를 보라. \(H^i_T(K)\)가 \(i \leq n\)에 대해 유한 생성이므로 (2)와 같은 \(J \subset A\)를 찾아 \(H^i_J(K) \to H^i_T(K)\)가 \(i \leq n\)에 대해 전사이게 할 수 있다. 따라서 유한한 생성원 목록은 \(J\)-멱 영인 원소들이다. 그러므로 \(J\)를 어떤 멱으로 바꾸면 (2)가 성립한다.

\(a \in \mathbf{Z}\)를 \(H^i(K) = 0\)이 \(i < a\)에 대해 성립하는 정수라 하자. (2) \(\Rightarrow\) (1)을 \(a\)에 대한 내림 귀납법으로 증명한다. \(a > n\)이면 \(H^i_T(K) = 0\)이 \(i \leq n\)에 대해 성립하므로 (1)과 (2)가 모두 참이며 증명할 것이 없다.

(2)와 같은 \(J\)가 있다고 가정하자. \(N = H^a_T(K) = H^0_T(H^a(K))\)은 유한 \(A\)-가군 \(H^a(K)\)의 부분가군이므로 유한임을 관찰하라. \(n = a\)이면 끝났으므로 이제부터 \(a < n\)이라고 가정하자. \(R\Gamma_T\)의 구성에 의해 \(H^i_T(N) = 0\)이 \(i > 0\)에 대해 성립하고 \(H^0_T(N) = N\)이다. 주해 0EF4을 보라. 완전 삼각형 \[N[-a] \to K \to K' \to N[-a + 1]\] 을 택하자. 그러면 \(H^a_T(K') = 0\)이고 \(H^i_T(K) = H^i_T(K')\)가 \(i > a\)에 대해 성립한다. 따라서 \(K\)를 \(K'\)로 바꾸어도 된다. 그러므로 \(H^a_T(K) = 0\)이라고 가정해도 된다. 이는 \(H^a(K)\)의 유한한 소속 소아이디얼 집합이 \(T\)에 속하지 않는다는 뜻이다. 소아이디얼 회피에 의해 (가환대수의 보조정리 00DS) \(f \in J\)를 찾을 수 있으며, 이 원소는 \(H^a(K)\)의 어떤 소속 소아이디얼에도 속하지 않는다. 완전 삼각형 \[L \to K \xrightarrow{f} K \to L[1]\] 을 택하자. 구성에 의해 \(H^i(L) = 0\)이 \(i \leq a\)에 대해 성립한다. 한편 다음 긴 완전 코호몰로지 수열이 있다. \[0 \to H^{a + 1}_T(L) \to H^{a + 1}_T(K) \xrightarrow{f} H^{a + 1}_T(K) \to H^{a + 2}_T(L) \to H^{a + 2}_T(K) \xrightarrow{f} \ldots\] 이는 동일시 \(H^{a + 1}_T(L) = H^{a + 1}_T(K)\)와 다음 짧은 완전 수열들로 분해된다. \[0 \to H^{i - 1}_T(K) \to H^i_T(L) \to H^i_T(K) \to 0\] \(i \leq n\)에 대해 그러한데, 이는 \(f \in J\)이기 때문이다. 따라서 \(J^2\)이 \(H^i_T(L)\)을 \(i \leq n\)에 대해 소멸시킨다. 귀납 가정을 \(L\)에 적용하면 \(H^i_T(L)\)이 \(i \leq n\)에 대해 유한함을 알 수 있다. 짧은 완전 수열을 다시 한 번 사용하면 원하는 대로 \(H^i_T(K)\)가 \(i \leq n\)에 대해 유한함을 알 수 있다.

\(T = V(I)\)인 경우 (2)와 (3)의 동치에 대한 증명은 생략한다.

명제

\(A\)를 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 환이라 하자. \(T \subset \Spec(A)\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(s \in \mathbf{Z}\)라 하고 \(K \in D_{\textit{Coh}}^+(A)\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(H^i_T(K)\)는 유한 \(A\)-가군이며, 이는 \(i \leq s\)에 대해 성립한다.

2. 모든 \(\mathfrak p \not \in T\)와 \(\mathfrak q \in T\) 중 \(\mathfrak p \subset \mathfrak q\)인 것에 대해 다음이 성립한다. \[\text{depth}_{A_\mathfrak p}(K_\mathfrak p) + \dim((A/\mathfrak p)_\mathfrak q) > s\]

증명

명제 0EHZ와 보조정리 0EI1의 형식적 귀결이다.

연접 가군의 개선

비슷한 구성은 [EGA]에서 찾을 수 있고, 더 최근에는 [Kollar-local-global-hulls]와 [Kollar-variants]에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(T \subset X\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 다음을 만족하는 유일한 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)가 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사이에 존재한다.

1. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)는 전사이다.

2. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}'_x\)는 \(x \not \in T\)에 대해 동형사상이다.

3. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 1\)이 \(x \in T\)에 대해 성립한다.

\(f : Y \to X\)가 평탄 사상이고 \(Y\)가 뇌터이면, \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\)는 \(f^{-1}(T) \subset Y\)와 \(f^*\mathcal{F}\)에 대응하는 몫이다.

증명

조건 (3)은 정확히 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \cap T = \emptyset\)이라는 뜻이다. 따라서 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{F}\)를 지지집합이 \(T\)에 포함되는 단면들의 부분층으로 나눈 몫이다. 이로써 유일성이 증명된다. 당김에 관한 명제는 인자의 보조정리 05DB와 유일성에 따른다.

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)의 존재를 보이자. 유일성에 의해 존재성과 유일성을 \(X\) 위에서 국소적으로 증명하면 충분하다. 작은 세부사항은 생략한다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(\mathcal{F}\)가 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하는 연접 가군이라고 가정해도 된다. 절 0EEY에서와 같이 \(M' = M / H^0_T(M)\)로 놓자. 여기서 \(H^0_T(M)\)을 사용한다. 그러면 \(M_\mathfrak p = M'_\mathfrak p\)가 \(\mathfrak p \not \in T\)에 대해 성립하므로 (1)이 증명된다. 한편 \(H^0_T(M) = \colim H^0_Z(M)\)이며 여기서 \(Z\)는 \(X\)의 닫힌 부분집합 중 \(T\)에 포함되는 것들을 돈다. 따라서 쌍대화 복합체의 보조정리 0AW0에 의해 \(H^0_T(M') = 0\)이다. 즉 \(M'\)의 어떤 소속 소아이디얼도 \(T\)에 속하지 않는다. 그러므로 \(\text{depth}(M'_\mathfrak p) \geq 1\)이 \(\mathfrak p \in T\)에 대해 성립한다.

보조정리

\(j : U \to X\)를 뇌터 스킴의 열린 몰입이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}' = j_*(\mathcal{F}|_U)\)가 연접이라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)는 다음을 만족하는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 유일한 사상이다.

1. \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}'|_U\)는 동형사상이다.

2. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\) \(x \in X\), \(x \not \in U\)에 대해 성립한다.

\(f : Y \to X\)가 평탄 사상이고 \(Y\)가 뇌터이면, \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}'\)는 \(f^{-1}(U) \subset Y\)에 대응하는 사상이다.

증명

인자의 보조정리 0EY0의 (3)에 의해 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}'_x) \geq 2\)이다. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)의 유일성은 인자의 보조정리 0E9I에 따른다. 평탄 당김과의 양립성은 평탄 기저변환에 따른다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02KH을 보라.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하고 \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\)가 보편적으로 쇄상이고 국소환들의 형식적 섬유가 \((S_1)\)이라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 유일한 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)가 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사이에 존재한다.

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\)는 \(x \in X \setminus Z\)에 대해 동형사상이다.

2. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\)는 전사이고 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) = 1\) \(x \in Z\) 중 \(x' \leadsto x\)인 직계 특수화가 존재하여 \(x' \not \in Z\)이고 \(x' \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)인 것에 대해 성립한다.

3. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) 가 나머지 \(x \in Z\)에 대해 성립한다.

\(f : Y \to X\)가 Cohen–Macaulay 사상이고 \(Y\)가 뇌터이면, \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\)는 \(f^{-1}(Z) \subset Y\)에 대해 같은 성질들을 만족한다.

증명

\(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)를 보조정리 0DX3에서 부분집합 \(Z\)에 대해 구성한 사상이라 하자. 이 부분집합은 \(X\) 안에 있다. \(\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{F}\)를 \(Z\) 위에 지지되는 단면들의 부분층으로 나눈 몫임을 상기하라.

먼저 유일성을 증명하자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)가 보조정리에서와 같다고 하자. 인수분해 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\)를 얻는다. 실제로 조건 (2)와 (3)에 의해 \(\text{Ass}(\mathcal{F}'') \cap Z = \emptyset\)이다. \(U \subset X\)를 \(\mathcal{F}'|_U \to \mathcal{F}''|_U\)가 동형사상이 되는 극대 열린 부분스킴이라 하자. \(U\)는 (2)에서와 같은 모든 점을 포함한다. 그러면 인자의 보조정리 0E9I에 의해 \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_U)\)라는 결론을 얻는다. 이로써 유일성을 얻는다. 작은 세부사항으로, 이러한 \(\mathcal{F}''\)가 두 개 있으면 각각에서 얻는 열린집합 \(U\)들의 교집합을 취한다.

존재를 증명하자. \(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \{x_1, \ldots, x_n\}\)가 유한하고 \(x_i \not \in Z\)임을 상기하라. \(Y_i\)를 \(\{x_i\}\)의 폐포라 하고, \(Z_{i, j}\)를 \(Z \cap Y_i\)의 기약 성분들이라 하자. \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap Z = \bigcup Z_{i, j}\)임을 관찰하라. \(z_{i, j} \in Z_{i, j}\)를 일반점이라 하자. 다음과 같이 놓자. \[d_{i, j} = \dim(\mathcal{O}_{\overline{\{x_i\}}, z_{i, j}})\] \(d_{i, j} = 1\)이면 \(z_{i, j}\)는 (2)에서와 같은 점들 가운데 하나이다. 따라서 이 점들에서는 \(\mathcal{F}'\)를 수정할 필요가 없다. 더 나아가 여전히 \(d_{i, j} = 1\)이라고 가정하면, 보조정리 0DWY을 사용하여 열린 근방 \(z_{i, j} \in V_{i, j} \subset X\)를 찾아 다음이 성립하게 할 수 있다. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, z}}(\mathcal{F}'_z) \geq 2\) \(z \in Z_{i, j} \cap V_{i, j}\)이고 \(z \not = z_{i, j}\)인 경우에 그러하다. 다음과 같이 놓자. \[Z' = X \setminus \left( X \setminus Z \cup \bigcup\nolimits_{d_{i, j} = 1} V_{i, j}) \right)\] \(j' : X \setminus Z' \to X\)로 나타내자. \(Z'\)의 선택에 의해 보조정리 0AWB의 가정들이 성립한다. \(\mathcal{F}'' = j'_*(\mathcal{F}'|_{X \setminus Z'})\)로 놓고 보조정리 0DX4을 적용하면 결론을 얻는다.

마지막 명제는 평탄 국소 준동형을 따르는 깊이 변화 공식과(가환대수의 보조정리 0338을 보라), \(f\)가 Cohen–Macaulay라는 사실에 내재된 \(f\)의 섬유에 관한 가정에 따른다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 국소적으로 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 스킴이라 하자. \(T' \subset X\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 직계 특수화 \(x \leadsto x'\)가 주어지고 그 점들이 \(X\)에 속할 때, \(x' \in T'\)이고 \(x \not \in T'\)이면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 1\)이라고 가정하자. 그러면 다음을 만족하는 유일한 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)가 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사이에 존재한다.

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\)는 \(x \not \in T'\)에 대해 동형사상이다.

2. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) \(x \in T'\)에 대해 성립한다.

\(f : Y \to X\)가 Cohen–Macaulay 사상이고 \(Y\)가 뇌터이면, \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\)는 \(f^{-1}(T') \subset Y\)에 대해 같은 성질들을 만족한다.

증명

유일성을 증명하자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)가 보조정리에서와 같다고 하자. \(U \subset X\)를 \(\mathcal{F}|_U \to \mathcal{F}''|_U\)가 동형사상이 되는 극대 열린 부분스킴이라 하자. (1)에 의해 \(U\)는 집합 \(X \setminus T'\)를 포함한다. (2)와 인자의 보조정리 0E9I에 의해 \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}|_U)\)라는 결론을 얻는다. 여기서 \(j : U \to X\)는 포함사상이다. 이로써 유일성을 얻는다. 작은 세부사항으로, 이러한 \(\mathcal{F}''\)가 두 개 있으면 각각에서 얻는 열린집합 \(U\)들의 교집합을 취한다.

존재를 증명하자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{F}\)의 몫으로서 보조정리 0DX3에서 \(T'\)를 사용해 구성한 것이라 하자. \(\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{F}\)를 \(T'\) 위에 지지되는 단면들의 부분층으로 나눈 몫임을 상기하라. 다음과 같이 정의하겠다. \[\mathcal{F}'' = \colim j_*(\mathcal{F}'|_V)\] 여기서 \(j : V \to X\)는 \(X \setminus V \subset T'\)인 열린 부분스킴들을 돈다. \(T'\)가 특수화 아래 안정적이므로 이 여극한은 여과됨을 관찰하라. 각 사상 \(\mathcal{F}' \to j_*(\mathcal{F}'|_V)\)는 단사인데, 이는 \(\text{Ass}(\mathcal{F}')\)가 \(T'\)와 서로소이기 때문이다. 따라서 \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\)는 단사이다.

\(X = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(\mathcal{F}\)가 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(\mathcal{F}'\)는 \(M' = M / H^0_{T'}(M)\)에 대응한다. 보조정리 0DX3의 증명을 보라. 보조정리 0DWR와 보조정리 0EF1를 적용하면, \(\mathcal{F}''\)가 어떤 \(A\)-가군 \(M''\)에 대응하며 이 가군은 다음 짧은 완전 수열에 놓임을 알 수 있다. \[0 \to M' \to M'' \to H^1_{T'}(M') \to 0\] 명제 0EFD와 보조정리의 명제에 있는 직계 특수화에 관한 조건에 의해 \(M''\)은 유한 \(A\)-가군임을 알 수 있다. 따라서 \(\mathcal{F}''\)는 연접이다.

\(\mathcal{F}''\)의 연접성과 위에 표시한 여과 여극한에서 전이 사상들이 단사라는 사실로부터, \(\mathcal{F}'' = j_*(\mathcal{F}'|_V)\)라는 결론을 위와 같이 충분히 작은 임의의 \(V\)에 대해 얻는다. 그러면 조건 (1)과 (2)는 보조정리 0DX4에 따른다.

마지막 명제는 평탄 국소 준동형을 따르는 깊이 변화 공식과(가환대수의 보조정리 0338을 보라), \(f\)가 Cohen–Macaulay라는 사실에 내재된 \(f\)의 섬유에 관한 가정에 따른다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 국소적으로 쌍대화 복합체를 갖는 뇌터 스킴이라 하자. \(T' \subset T \subset X\)를 특수화 아래 안정적인 부분집합들이라 하자. 직계 특수화 \(x \leadsto x'\)가 주어지고 그 점들이 \(X\)에 속하며 \(x' \in T'\)이면 \(x \in T\)가 되게 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 다음을 만족하는 유일한 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)가 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사이에 존재한다.

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\)는 \(x \not \in T\)에 대해 동형사상이다.

2. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}''_x\)는 전사이고 \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 1\)이 \(x \in T\), \(x \not \in T'\)에 대해 성립한다.

3. \(\text{depth}_{\mathcal{O}_{X, x}}(\mathcal{F}''_x) \geq 2\) \(x \in T'\)에 대해 성립한다.

\(f : Y \to X\)가 Cohen–Macaulay 사상이고 \(Y\)가 뇌터이면, \(f^*\mathcal{F} \to f^*\mathcal{F}''\)는 \(f^{-1}(T') \subset f^{-1}(T) \subset Y\)에 대해 같은 성질들을 만족한다.

증명

먼저 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{F}\)의 몫으로서 보조정리 0DX3에서 \(T\)를 사용해 구성한 것이라 하자. 둘째, \(\mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\)를 보조정리 0EI3에서 \(T'\)를 사용해 구성한 연접 가군의 유일한 사상이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}''\)는 원하는 사상이다.

Hartshorne–Lichtenbaum 소멸

이 소멸 결과는 스킴의 쌍대성의 절 0G5D에서 찾을 수 있는 Lichtenbaum 정리의 국소적 대응물이다. 이 결과를 비롯한 많은 내용을 [CD]에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(A\)를 차원 \(d\)인 뇌터 환이라 하고 \(I \subset I' \subset A\)를 아이디얼들이라 하자. \(I'\)가 \(A\)의 야코브슨 근기에 포함되고 \(\text{cd}(A, I') < d\)이면 \(\text{cd}(A, I) < d\)이다.

증명

보조정리 0DXC에 의해 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)임을 안다. 보조정리 0DWV을 사용하여 \[H^d_{V(I')}(A) \to H^d_{V(I)}(A)\] 가 전사임을 보이면 증명이 끝난다. \(\mathfrak p \in V(I) \setminus V(I')\)를 택하자. \(I'\)에 대한 가정에 의해 \(\mathfrak p\)는 \(A\)의 극대 아이디얼이 아니다. 따라서 \(\dim(A_\mathfrak p) < d\)이다. 그러면 보조정리 0DXC에 의해 \(H^d_{\mathfrak pA_\mathfrak p}(A_\mathfrak p) = 0\)이다.

보조정리

\(A\)를 차원 \(d\)인 뇌터 환이라 하고 \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(H^d_{V(I)}(M) = 0\)을 만족하는 어떤 유한 \(A\)-가군의 지지집합이 차원 \(d\)인 모든 기약 성분을 포함하면 \(\text{cd}(A, I) < d\)이다.

증명

보조정리 0DXC에 의해 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)임을 안다. 따라서 임의의 유한 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 \(H^i_{V(I)}(N) = 0\)이 \(i > d\)일 때 성립한다. 성질 \(\mathcal{P}\)가 유한 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 성립한다는 것을 \(H^d_{V(I)}(N) = 0\)으로 정의하자. 가정 중 하나는 \(\mathcal{P}(M)\)이 성립한다는 것이다. 다음을 관찰하라. \(\mathcal{P}(N_1 \oplus N_2) \Leftrightarrow (\mathcal{P}(N_1) \wedge \mathcal{P}(N_2))\). \(N \to N'\)가 전사이면 \(\mathcal{P}(N) \Rightarrow \mathcal{P}(N')\)임도 관찰하라. 위에서 본 것처럼 \(H^{d + 1}_{V(I)}\)가 소멸하기 때문이다. \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\)을 \(A\)의 극소 소아이디얼들 가운데 \(\dim(A/\mathfrak p_i) = d\)인 것들이라 하자. 차원상의 이유로 \(\mathcal{P}(N)\)은 \(N\)의 지지집합이 \(\{\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\}\)과 서로소이면 성립함을 관찰하라. 보조정리 0DXC을 보라. 각 \(i\)에 대해 \(M_i = M/\mathfrak p_i M\)로 놓자. 이는 유한 \(A\)-가군이고 \(\mathfrak p_i\)에 의해 소멸되며 그 지지집합은 \(V(\mathfrak p_i)\)와 같다. 여기서는 \(M\)의 지지집합에 대한 가정을 사용했다. 마지막으로 \(J \subset A\)가 아이디얼이면 \(\mathcal{P}(JM_i)\)가 성립한다. 실제로 \(JM_i\)는 \(M\)의 복사본들의 직합의 몫이다. 따라서 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01YM에 의해 \(\mathcal{P}\)는 모든 유한 \(A\)-가군에 대해 성립한다.

보조정리

\(A\)를 차원 \(d\)인 뇌터 국소환이라 하자. \(f \in A\)를 차원 \(d\)인 어떤 극소 소아이디얼에도 속하지 않는 원소라 하자. 그러면 \(f : H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(M)\)는 임의의 유한 \(A\)-가군 \(M\)과 임의의 아이디얼 \(I \subset A\)에 대해 전사이다.

증명

\(M/fM\)의 지지집합은 차원이 \(< d\)이다. 이는 \(f\)에 대한 가정에 따른다. 따라서 보조정리 0DXC에 의해 \(H^d_{V(I)}(M/fM) = 0\)이다. 그러므로 \(H^d_{V(I)}(fM) \to H^d_{V(I)}(M)\)는 전사이다. 보조정리 0DXC에 의해 \(\text{cd}(A, I) \leq d\)임을 아니까, 전사 \(M \to fM\), \(x \mapsto fx\)가 전사 \(H^d_{V(I)}(M) \to H^d_{V(I)}(fM)\)를 유도함도 알 수 있다.

보조정리

\(A\)를 정규화된 쌍대화 복합체 \(\omega_A^\bullet\)을 갖는 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(H^0_{V(I)}(\omega_A^\bullet) = 0\)이면 \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\)이다.

증명

\(d = \dim(A)\)로 놓자. \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\)를 차원 \(d\)인 극소 소아이디얼들이라 하자. 유한 \(A\)-가군 \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\)은 \(i \in \{0, \ldots, d\}\)일 때만 영이 아니며, \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\)의 지지집합은 차원이 \(\leq i\)임을 상기하라. 보조정리 0DWZ를 보라. \(\omega_A = H^{-d}(\omega_A^\bullet)\)로 놓자. 소아이디얼 회피에 의해 (가환대수의 보조정리 00DS) \(f \in A\)이고 \(f \not \in \mathfrak p_i\)인 것을 찾아 \(H^{-i}(\omega_A^\bullet)\)을 \(i < d\)에 대해 소멸시키게 할 수 있다. 완전 삼각형 \[\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet \to \tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet \to \omega_A[d + 1]\] 을 생각하자. 유도 범주의 주해 08J5를 보라. 유도 범주의 보조정리 08Q2에 의해 \(f^d\)가 \(\tau_{\geq -d + 1}\omega_A^\bullet\)의 영 자기준동형을 유도함을 알 수 있다. 삼각 범주의 공리들을 사용하면 사상 \[\omega_A^\bullet \to \omega_A[d]\] 을 찾을 수 있다. 이를 \(\omega_A[d] \to \omega_A^\bullet\)와 합성하면 \(f^d\)을 곱하는 사상이 되며, 이는 \(\omega_A[d]\) 위에서 작용한다. 따라서 \(f^d\)은 \(H^d_{V(I)}(\omega_A)\)를 소멸시킨다. 보조정리 0EB3에 의해 \(H^d_{V(I)}(\omega_A) = 0\)이라는 결론을 얻는다. 이제 보조정리 0EB2와 \((\omega_A)_{\mathfrak p_i}\)가 영이 아니라는 사실로부터 결론을 얻는다. 예를 들어 쌍대화 복합체의 보조정리 0A7V을 보라.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 완비 뇌터 국소 정역이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 차원 \(1\)인 소아이디얼이라 하자. 모든 \(n \geq 1\)에 대해 어떤 \(m \geq n\)이 존재하여 \(\mathfrak p^{(m)} \subset \mathfrak p^n\)이 성립한다.

증명

기호적 멱 \(\mathfrak p^{(m)}\)은 \(A \to A_\mathfrak p/\mathfrak p^mA_\mathfrak p\)의 핵으로 정의됨을 상기하라. 국소화가 완전하므로 짧은 완전 수열 \[0 \to \mathfrak a_n \to A/\mathfrak p^n \to A/\mathfrak p^{(n)} \to 0\] 에서 \(\mathfrak a_n\)의 지지집합이 \(\{\mathfrak m\}\)에 포함된다는 결론을 얻는다. 특히 역계 \((\mathfrak a_n)\)은 미타그레플러 조건을 만족한다. 실제로 각 \(\mathfrak a_n\)은 아르틴 \(A\)-가군이다. 따라서 보조정리는 \(\lim \mathfrak a_n = 0\)이라는 요구와 동치이다. \(f \in \lim \mathfrak a_n\)라 하자. 그러면 \(f\)는 \(A = \lim A/\mathfrak p^n\)의 원소이고, 여기서는 \(A\)가 완비임을 사용했다. 이 원소는 완비화 \(A_\mathfrak p^\wedge\)에서 영으로 가는데, 이는 \(A_\mathfrak p\)의 완비화이다. \(A_\mathfrak p \to A_\mathfrak p^\wedge\)가 충실하게 평탄이므로 \(f\)는 \(A_\mathfrak p\)에서 영으로 간다. \(A\)가 정역이므로 원하는 대로 \(f\)는 영이다.

명제

\(A\)를 완비화가 \(A^\wedge\)인 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 다음을 만족하는 아이디얼이라 하자. \[\dim V(IA^\wedge + \mathfrak p) \geq 1\] 이는 모든 극소 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A^\wedge\) 중 차원이 \(\dim(A)\)인 것에 대해 성립한다. 그러면 \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\)이다.

증명

\(A \to A^\wedge\)가 충실하게 평탄이므로 쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ에 의해 \(H^d_{V(I)}(A) \otimes_A A^\wedge = H^d_{V(IA^\wedge)}(A^\wedge)\)이다. 따라서 \(A\)가 완비라고 가정해도 된다.

\(A\)가 완비라고 가정하자. \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset A\)를 차원 \(d\)인 극소 소아이디얼들이라 하자. 완비 국소환 \(A_i = A/\mathfrak p_i\)를 생각하자. 쌍대화 복합체의 보조정리 0BJB에 의해 \(H^d_{V(I)}(A_i) = H^d_{V(IA_i)}(A_i)\)이다. 보조정리 0EB2에 의해 보조정리를 \((A_i, IA_i)\)에 대해 증명하면 충분하다. 따라서 \(A\)가 완비 국소 정역이라고 가정해도 된다.

\(A\)가 완비 국소 정역이라고 가정하자. 소아이디얼 \(\mathfrak p \supset I\)를 택하여 \(\dim(A/\mathfrak p) = 1\)이 되게 할 수 있다. 보조정리 0EB1에 의해 보조정리를 \(\mathfrak p\)에 대해 증명하면 충분하다.

보조정리 0EB4에 의해 \(H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = 0\)임을 보이면 충분하다. 다음을 상기하라. \[H^0_{V(\mathfrak p)}(\omega_A^\bullet) = \colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^n, \omega_A^\bullet)\] 보조정리 0EB5에 의해 이 여극한은 다음과 같음을 알 수 있다. \[\colim \text{Ext}^0_A(A/\mathfrak p^{(n)}, \omega_A^\bullet)\] \(\text{depth}(A/\mathfrak p^{(n)}) = 1\)이므로 보조정리 0DWZ에 의해 이 Ext 군들은 원하는 대로 영이다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(A\)가 우수하고 정규이며 \(\dim V(I) \geq 1\)이라고 가정하자. 그러면 \(\text{cd}(A, I) < \dim(A)\)이다. 특히 \(\dim(A) = 2\)이면 \(\Spec(A) \setminus V(I)\)는 아핀이다.

증명

가환대수 심화의 보조정리 0C23에 의해 완비화 \(A^\wedge\)는 정규이고 따라서 정역이다. 그러므로 명제 0EB6의 가정이 성립하여 결론을 얻는다. 아핀성에 관한 명제는 보조정리 0DXD에 따른다.

프로베니우스 작용

\(p\)를 소수라 하고 \(A\)를 \(p = 0\)이 \(A\) 안에서 성립하는 환이라 하자. \(A\)의 프로베니우스 자기준동형은 다음 사상이다. \[F : A \longrightarrow A, \quad a \longmapsto a^p\] 이 절에서는 프로베니우스 작용을 갖는 가군에 관한 보조정리들을 증명한다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하자. \((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 \(p = 0\)이 \(A\) 안에서 성립하는 뇌터 국소환이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군으로서 \(M \otimes_{A, F} A \cong M\)을 만족한다고 하자. 그러면 \(M\)은 유한 자유 가군이다.

증명

\(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\)인 표시를 택하자. 이는 동형사상 \(\kappa^{\oplus n} \to M/\mathfrak m M\)을 유도한다. \(T = (a_{ij})\)를 사상 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n}\)의 행렬이라 하자. \(a_{ij} \in \mathfrak m\)임을 관찰하라. \(F\)에 의한 기저변환을 적용하고 기저변환의 오른쪽 완전성을 사용하면, 표시 \(A^{\oplus m} \to A^{\oplus n} \to M\)을 얻는데 그 행렬은 \(T = (a_{ij}^p)\)이다. 따라서 \(a_{ij} \in \mathfrak m^p\)인 표시가 있다. 이 구성을 반복하면 각 \(e \geq 1\)에 대해 \(a_{ij} \in \mathfrak m^e\)인 표시가 존재한다. 이는 피팅 아이디얼 \(\text{Fit}_k(M)\)이 \(k < n\)에 대해 \(\bigcap_{e \geq 1} \mathfrak m^e\)에 포함됨을 함의한다. 가환대수 심화의 정의 07Z9을 보라. 크룰 교차 정리에 의해 이 교집합은 영이다(가환대수의 보조정리 00IP). 따라서 가환대수 심화의 보조정리 07ZD에 의해 \(M\)은 계수 \(n\)인 자유 가군이다.

이 절에서는 원소 \(f_1, \ldots, f_r\)가 환 \(A\)에 속하고 \(\sum a_if_i = 0\)이면 \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\)를 함의할 때 독립이라고 한다. 달리 말하면 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)로 놓을 때 \(I/I^2\)은 \(A/I\) 위에서 \(f_1, \ldots, f_r\)를 기저로 하는 자유 가군이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\)가 독립이면 \(f_1, \ldots, f_r\)도 독립이다.

증명

\(\sum a_if_i = 0\)이라 하자. 그러면 \(\sum a_ig_rf_i = 0\)이다. 따라서 \(a_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)이다. \(a_r = \sum_{i < r} b_i f_i + b f_rg_r\)로 쓰자. 그러면 \(0 = \sum_{i < r} (a_i + b_if_r)f_i + bf_r^2g_r\)이다. 따라서 \(a_i + b_i f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)이고, 이는 원하는 \(a_i \in (f_1, \ldots, f_r)\)를 함의한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r\)가 독립이고 \(A\)-가군 \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)의 길이가 유한하면 \[\begin{align*} & \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)) \\ & = \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r)) + \text{length}_A(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)) \end{align*}\]

증명

다음 완전 수열이 있다고 주장한다. \[0 \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r) \xrightarrow{f_r} A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r) \to A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_r) \to 0\] 실제로 \(a f_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)이면 \(\sum_{i < r} a_i f_i + (a + bg_r)f_r = 0\)이다. 여기서 어떤 \(b, a_i \in A\)를 택할 수 있다. 따라서 \(\sum_{i < r} a_i g_r f_i + (a + bg_r)g_rf_r = 0\) 이고, 이는 \(a + bg_r \in (f_1, \ldots, f_{r - 1}, f_rg_r)\)를 함의한다. 이는 \(a\)가 \(A/(f_1, \ldots, f_{r - 1}, g_r)\)에서 영으로 간다는 뜻이다. 이로써 주장이 증명되었다. 끝으로 길이의 가법성을 사용한다(가환대수의 보조정리 00IV).

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 국소환이라 하자. \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\)이고 \(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r}\)가 독립이며 이것이 어떤 \(e_i > 0\)에 대해 성립하면 \(\text{length}_A(A/(x_1^{e_1}, \ldots, x_r^{e_r})) = e_1\ldots e_r\)이다.

증명

보조정리 0EBW, 보조정리 0EBX, 그리고 귀납법을 사용한다.

보조정리

\(\varphi : A \to B\)를 평탄 환 사상이라 하자. \(f_1, \ldots, f_r \in A\)가 독립이면 \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_r) \in B\)도 독립이다.

증명

\(I = (f_1, \ldots, f_r)\) 및 \(J = \varphi(I)B\)로 놓자. 평탄성에 의해 \(I/I^2 \otimes_A B = J/J^2\)이다. 따라서 \(I/I^2\)이 \(A/I\) 위에서 자유이면 \(J/J^2\)도 \(B/J\) 위에서 자유이다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하고 \(A\)를 \(p = 0\)인 뇌터 환이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(A\)는 정칙이다.

2. \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\)는 평탄이다.

증명

\(\Spec(F) : \Spec(A) \to \Spec(A)\)가 항등사상임을 관찰하라. 정칙성은 국소환으로 정의되고 평탄성도 국소환에 관한 성질이다. 가환대수의 보조정리 00HT을 보라. 따라서 \(A\)가 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는 뇌터 국소환이라고 가정하겠다.

\(A\)가 정칙이라고 가정하자. \(x_1, \ldots, x_d\)를 \(A\)의 매개변수계라 하자. \(F\)를 적용하면 \(F(x_1), \ldots, F(x_d) = x_1^p, \ldots, x_d^p\)를 얻으며, 이는 \(A\)의 매개변수계이다. 따라서 \(F\)는 평탄이다. 가환대수의 보조정리 00R4와 00NQ을 보라.

역으로 \(F\)가 평탄이라고 가정하자. \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_r)\)로 쓰되 \(r\)이 최소가 되게 하자. 그러면 \(x_1, \ldots, x_r\)는 위에서 정의한 의미로 독립이다. \(F\)가 평탄이므로 \(x_1^p, \ldots, x_r^p\)도 독립이다. 보조정리 0EBZ를 보라. 따라서 보조정리 0EBY에 의해 \(\text{length}_A(A/(x_1^p, \ldots, x_r^p)) = p^r\)이다. \(\chi(n) = \text{length}_A(A/\mathfrak m^n)\)로 놓자. 이는 차수가 \(\dim(A)\)인 수치 다항식임을 상기하라. 가환대수의 명제 00KQ을 보라. \(n \gg 0\)을 택하자. 다음을 관찰하라. \[\mathfrak m^{pn + pr} \subset F(\mathfrak m^n)A \subset \mathfrak m^{pn}\] \(x_1, \ldots, x_r\)의 단항식들을 살펴보면 이를 알 수 있다. 또한 \[A/F(\mathfrak m^n)A = A/\mathfrak m^n \otimes_{A, F} A\] \(F\)의 평탄성에 의해 이 가군의 길이는 \(\chi(n) \text{length}_A(A/F(\mathfrak m)A)\)이다(가환대수의 보조정리 02M1). 위 결과에 의해 이는 \(p^r\chi(n)\)과 같다. 따라서 \[\chi(pn + pr) \geq p^r\chi(n) \geq \chi(pn)\] 이다. 최고차항을 살펴보면 이는 \(r = \dim(A)\)를 함의한다. 즉 \(A\)는 정칙이다.

특정 가군들의 구조

정칙 국소환 위의 특정 유형 가군들의 구조에 관한 몇 가지 결과를 다룬다. 이러한 결과들과 그 밖의 많은 내용을 [Huneke-Sharp], [Lyubeznik], [Lyubeznik2]에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(k\)를 표수가 \(0\)인 체라 하고 \(d \geq 1\)이라 하자. \(A = k[[x_1, \ldots, x_d]]\)를 극대 아이디얼이 \(\mathfrak m\)인 환이라 하자. \(M\)을 \(\mathfrak m\)-멱 영인 \(A\)-가군으로서 가법 작용소 \(D_1, \ldots, D_d\)가 주어져 있고 라이프니츠 법칙 \[D_i(fz) = \partial_i(f) z + f D_i(z)\] 을 만족하는 것이라 하자. 이는 \(f \in A\)와 \(z \in M\)에 대해 성립한다. 여기서 \(\partial_i\)는 \(x_i\)에 관한 미분이다. 그러면 \(M\)은 단사 포락 \(E\)의 복사본들의 직합과 동형이며, 이 포락은 \(k\)의 것이다.

증명

집합 \(J\)와 동형사상 \(M[\mathfrak m] \to \bigoplus_{j \in J} k\)를 택하자. \(\bigoplus_{j \in J} E\)는 단사이므로(쌍대화 복합체의 보조정리 08XV), 이 동형사상을 \(A\)-가군 준동형 \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\)로 확장할 수 있다. \(\varphi\)가 동형사상, 즉 전단사라고 주장한다.

단사성을 보이자. \(z \in M\)이 영이 아니라고 하자. \(M\)이 \(\mathfrak m\)-멱 영이므로 \(f \in A\)를 택하여 \(fz \in M[\mathfrak m]\)이고 \(fz \not = 0\)이 되게 할 수 있다. 그러면 \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\)는 영이 아니므로 \(\varphi(z)\)도 영이 아니다.

전사성을 보이자. \(z \in M\)라 하자. \(x_1^n z = 0\)이 어떤 \(n \geq 0\)에 대해 성립한다. \(z \in x_1M\)임을 \(n\)에 대한 귀납법으로 증명하겠다. \(n = 0\)이면 \(z = 0\)이므로 결과는 참이다. \(n > 0\)이면 \(D_1\)을 적용하여 \(0 = n x_1^{n - 1} z + x_1^nD_1(z)\)를 얻는다. 따라서 \(x_1^{n - 1}(nz + x_1D_1(z)) = 0\)이다. 귀납법에 의해 \(nz + x_1D_1(z) \in x_1M\)이다. \(n\)이 가역이므로 \(z \in x_1M\)이라는 결론을 얻는다. 따라서 \(M\)은 \(x_1\)-가분이다. \(\varphi\)가 전사가 아니면 \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\)를 \(M\)에 속하지 않도록 택할 수 있다. 위와 같이 논증하여 \(\mathfrak m e \subset M\)이라고 가정해도 되고, 특히 \(x_1 e \in M\)이다. 어떤 원소 \(z_1 \in M\)이 존재하여 \(x_1 z_1 = x_1 e\)이다. 따라서 \(x_1(z_1 - e) = 0\)이다. \(e\)를 \(e - z_1\)로 바꾸면 \(e\)가 \(x_1\)에 의해 소멸된다고 가정해도 된다. 그러므로 다음이 전사임을 증명하면 충분하다. \[\varphi[x_1] : M[x_1] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x_1] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x_1]\] \(d = 1\)이면 이는 \(\varphi\)의 구성에 의해 참이다. \(d > 1\)이면 \(E[x_1]\)이 \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\)의 잉여체의 단사 포락임을 관찰하라. 쌍대화 복합체의 보조정리 08Z2을 보라. \(M[x_1]\)은 \(k[[x_2, \ldots, x_d]]\) 위의 가군으로서 \(\mathfrak m/(x_1)\)-멱 영이고, 위에 표시한 라이프니츠 법칙을 만족하는 작용소 \(D_2, \ldots, D_d\)가 주어져 있음도 관찰하라. 따라서 \(d\)에 대한 귀납법으로 \(\varphi[x_1]\)가 원하는 대로 전사라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하고 \((A, \mathfrak m, k)\)를 \(p = 0\)인 정칙 국소환이라 하자. \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\)를 프로베니우스 자기준동형이라 하자. \(M\)을 \(\mathfrak m\)-멱 영인 가군으로서 \(M \otimes_{A, F} A \cong M\)을 만족한다고 하자. 그러면 \(M\)은 단사 포락 \(E\)의 복사본들의 직합과 동형이며, 이 포락은 \(k\)의 것이다.

증명

집합 \(J\)와 \(A\)-가군 준동형 \(\varphi : M \to \bigoplus_{j \in J} E\)를 택하여 \(M[\mathfrak m]\)을 \((\bigoplus_{j \in J} E)[\mathfrak m] = \bigoplus_{j \in J} k\) 위로 동형적으로 보내게 하자. \(\varphi\)가 동형사상, 즉 전단사라고 주장한다.

단사성을 보이자. \(z \in M\)이 영이 아니라고 하자. \(M\)이 \(\mathfrak m\)-멱 영이므로 \(f \in A\)를 택하여 \(fz \in M[\mathfrak m]\)이고 \(fz \not = 0\)이 되게 할 수 있다. 그러면 \(\varphi(fz) = f\varphi(z)\)는 영이 아니므로 \(\varphi(z)\)도 영이 아니다.

전사성을 보이자. \(F\)가 평탄임을 상기하라. 보조정리 0EC0을 보라. \(x_1, \ldots, x_d\)를 \(\mathfrak m\)의 극소 생성원계라 하자. 다음과 같이 나타내자. \[M_n = M[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}]\] 이는 \(M\)의 부분가군으로서 \(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}\)에 의해 소멸되는 원소들로 이루어진다. 따라서 \(M_0 = M[\mathfrak m]\)은 \(k\) 위의 벡터 공간이다. 또한 \(M = \bigcup M_n\)이고, 이는 \(M\)이 \(\mathfrak m\)-멱 영이라는 가정에 따른다. \(F^n\)이 평탄이고 \(F^n(x_i) = x_i^{p^n}\)이므로 \[M_n \cong (M \otimes_{A, F^n} A)[x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}] = M[x_1, \ldots, x_d] \otimes_{A, F^n} A = M_0 \otimes_k A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\] 이다. 따라서 \(M_n\)은 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\) 위에서 자유이다. 계산에 따르면 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\)의 원소 중 \(x_1^{p^n - 1}\)에 의해 소멸되는 것은 모두 \(x_1\)로 나누어진다. 예를 들어 가환대수의 보조정리 0C0S에 따른 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n}) \cong k[x_1, \ldots, x_d]/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\)를 사용할 수 있다. 따라서 \(M_n\)의 모든 원소에도 같은 명제가 성립한다. \(M\)의 모든 원소는 \(M_n\)에 속하며, 이는 모든 \(n \gg 0\)에 대해 그러하다. 또한 \(M\)의 모든 원소는 \(x_1\)의 어떤 멱에 의해 소멸되므로 \(M\)이 \(x_1\)-가분이라는 결론을 얻는다.

\(x = x_1\)로 놓자. 위에서 \(M\)이 \(x\)-가분임을 보았다. \(\varphi\)가 전사가 아니면 \(e \in \bigoplus_{j \in J} E\)를 \(M\)에 속하지 않도록 택할 수 있다. 위와 같이 논증하여 \(\mathfrak m e \subset M\)이라고 가정해도 되고, 특히 \(x e \in M\)이다. 어떤 원소 \(z_1 \in M\)이 존재하여 \(x z_1 = x e\)이다. 따라서 \(x(z_1 - e) = 0\)이다. \(e\)를 \(e - z_1\)로 바꾸면 \(e\)가 \(x\)에 의해 소멸된다고 가정해도 된다. 그러므로 다음이 전사임을 증명하면 충분하다. \[\varphi[x] : M[x] \longrightarrow \left(\bigoplus\nolimits_{j \in J} E\right)[x] = \bigoplus\nolimits_{j \in J} E[x]\] \(d = 1\)이면 이는 \(\varphi\)의 구성에 의해 참이다. \(d > 1\)이면 \(E[x]\)가 정칙환 \(A/xA\)의 잉여체의 단사 포락임을 관찰하라. 쌍대화 복합체의 보조정리 08Z2을 보라. \(M[x]\)는 \(A/xA\) 위의 가군으로서 \(\mathfrak m/(x)\)-멱 영이고 다음이 성립함도 관찰하라. \[\begin{align*} M[x] \otimes_{A/xA, F} A/xA & = M[x] \otimes_{A, F} A \otimes_A A/xA \\ & = (M \otimes_{A, F} A)[x^p] \otimes_A A/xA \\ & \cong M[x^p] \otimes_A A/xA \end{align*}\] 앞에서처럼 \(F\)의 평탄성을 사용하여 논증하라. 사상 \(M[x^p] \otimes_A A/xA \to M[x]\), \(z \otimes 1 \mapsto x^{p - 1}z\)가 동형사상이라고 주장한다. 위에서 정의한 각 가군 \(M_n\), \(n > 0\)에 대해 이를 증명하면 알 수 있는데, 그 경우에는 \(A/(x_1^{p^n}, \ldots, x_d^{p^n})\)와 \(x = x_1\)에 대한 같은 결과에서 따른다. 따라서 \(\dim(A)\)에 대한 귀납법으로 \(\varphi[x]\)가 원하는 대로 전사라는 결론을 얻는다.

국소 코호몰로지의 추가 구조

다음은 한 가지 예시 결과이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. \(Z = V(I)\)로 놓자. 각 미분 \(\theta : A \to A\)에 대해 표준적인 가법 작용소 \(D\)가 국소 코호몰로지 가군 \(H^i_Z(A)\) 위에 존재하며, 이는 \(\theta\)에 관한 라이프니츠 법칙을 만족한다.

증명

\(f_1, \ldots, f_r\)를 \(I\)를 생성하는 원소들이라 하자. \(R\Gamma_Z(A)\)는 다음 복합체로 계산됨을 상기하라. \[A \to \prod\nolimits_{i_0} A_{f_{i_0}} \to \prod\nolimits_{i_0 < i_1} A_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \ldots \to A_{f_1\ldots f_r}\] 쌍대화 복합체의 보조정리 0A6R을 보라. \(\theta\)는 \(A\)의 임의의 국소화 위에 가법 작용소로 유일하게 연장되며 \(\theta\)에 관한 라이프니츠 법칙을 만족하므로 보조정리는 자명하다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하고 \(A\)를 \(p = 0\)인 환이라 하자. \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\)를 프로베니우스 자기준동형이라 하자. \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하고 \(Z = V(I)\)로 놓자. 동형사상 \(R\Gamma_Z(A) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma_Z(A)\). 이 존재한다.

증명

쌍대화 복합체의 보조정리 0ALZ과, \(Z = V(f_1^p, \ldots, f_r^p)\)이며 이는 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)일 때 성립한다는 사실에서 따른다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하자. \(V \to \Spec(A)\)가 준콤팩트이고 준분리이며 에탈이라고 하자. 각 미분 \(\theta : A \to A\)에 대해 표준적인 가법 작용소 \(D\)가 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\) 위에 존재하며, 이는 \(\theta\)에 관한 라이프니츠 법칙을 만족한다.

증명

\(V\)가 분리이면 아핀 열린 덮개 \(V = \bigcup_{j = 1, \ldots m} V_j\)를 사용하여 논증할 수 있다. 실제로 \(V\)가 분리이므로 \(V_{j_0 \ldots j_p} = \Spec(B_{j_0 \ldots j_p})\)로 쓸 수 있다. 스킴의 보조정리 01KP를 보라. 그러면 \(A\)-가군 \(H^i(V, \mathcal{O}_V)\)가 다음 체흐 복합체의 \(i\)번째 코호몰로지 군임을 알 수 있다. \[\prod B_{j_0} \to \prod B_{j_0j_1} \to \prod B_{j_0j_1j_2} \to \ldots\] 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XD을 보라. 각 \(B = B_{j_0 \ldots j_p}\)는 에탈 \(A\)-대수이다. 따라서 \(\Omega_B = \Omega_A \otimes_A B\)이고, \(\theta\)가 미분 \(\theta_B : B \to B\)로 유일하게 연장된다는 결론을 얻는다. 이 사상들은 체흐 복합체의 자기준동형을 정의하고 코호몰로지 군들 위의 원하는 작용소들을 정의한다.

일반적인 경우에는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XN의 증명 첫 부분에서와 정확히 같이, \(V\)의 아핀 열린집합들에 의한 초덮개를 사용한다. 세부사항은 생략한다.

주

보조정리 0EC5와 보조정리 0EC7를 가환대수의 보조정리 0H94와 주해 0H95를 사용하여 고차 미분 작용소까지 포함하도록 강화할 수 있다. 이것이 필요해지면 여기에 정확한 보조정리를 명시하고 증명하겠다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하고 \(A\)를 \(p = 0\)인 환이라 하자. \(F : A \to A\), \(a \mapsto a^p\)를 프로베니우스 자기준동형이라 하자. \(V \to \Spec(A)\)가 준콤팩트이고 준분리이며 에탈이면 동형사상 \(R\Gamma(V, \mathcal{O}_V) \otimes_{A, F}^\mathbf{L} A \cong R\Gamma(V, \mathcal{O}_V)\). 이 존재한다.

증명

상대 프로베니우스 사상 \[V \longrightarrow V \times_{\Spec(A), \Spec(F)} \Spec(A)\] 이 \(V\)의 \(A\) 위 상대 사상으로서 동형사상임을 관찰하라. 에탈 사상의 보조정리 0EBS을 보라. 따라서 보조정리는 코호몰로지와 기저변환에서 따른다. 스킴의 유도 범주의 보조정리 08IB를 보라. \(V\)는 \(A\) 위에서 에탈이므로 \(A\) 위에서 평탄임을 관찰하라.

약간의 균일성, I

이 절의 주된 과제는 보조정리 0G9V를 정식화하고 증명하는 것이다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(M \to M'\)를 \(R\)-가군의 사상이라 하고 \(M\)은 유한 표시라고 하자. 사상 \(\text{Tor}_1^R(M, N) \to \text{Tor}_1^R(M', N)\)이 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대해 영사상이라고 하자. 그러면 \(M \to M'\)는 자유 \(R\)-가군을 통하여 인수분해된다.

증명

다음과 같은 짧은 완전열의 사상을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] 여기서 오른쪽 수직 화살표는 주어진 사상이다. 이 사상은 다음 짧은 완전열을 통하여 인수분해할 수 있다. [0G9U]\[\begin{equation} 0 \to K' \to E \to M \to 0 \end{equation}\] 이는 첫 번째 짧은 완전열을 \(K \to K'\)에 따라 밀어내어 얻은 것이다. 도표 추적을 하면 보조정리의 가정으로부터 (0G9U)이 유도하는 경계사상 \(\text{Tor}_1^R(M, N) \to K' \otimes_R N\)이 영사상임을 알 수 있다. 다시 말해 완전열 (0G9U)은 보편적으로 완전하다. 따라서 가환대수의 보조정리 058L에 의해 (0G9U)은 분할된다(여기서 \(M\)이 유한 표시라는 사실을 사용한다). 따라서 사상 \(M \to M'\)는 \(\bigoplus_{i \in I} R\)을 통하여 인수분해되며, 이로써 결론을 얻는다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \(\alpha : M \to M'\)를 \(R\)-가군의 사상이라 하자. \(P_\bullet \to M\)과 \(P'_\bullet \to M'\)를 사영 \(R\)-가군들로 이루어진 분해라 하자. \(e \geq 0\)을 정수라 하자. 다음 조건들을 생각하자.

1. 복합체의 사상 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)을 찾아 코호몰로지 위에서 \(\alpha\)를 유도하게 하고, \(a_i = 0\)이 \(i > e\)일 때 성립하게 할 수 있다.

2. 복합체의 사상 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)을 찾아 코호몰로지 위에서 \(\alpha\)를 유도하게 하고 \(a_{e + 1} = 0\)이 되게 할 수 있다.

3. 사상 \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\)은 모든 \(R\)-가군 \(N\)과 \(i > e\)에 대해 영사상이다.

4. 사상 \(\Ext^{e + 1}_R(M', N) \to \Ext^{e + 1}_R(M, N)\)은 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대해 영사상이다.

5. \(N = \Im(P'_{e + 1} \to P'_e)\)로 놓고 표준 원소(증명을 보라)를 \(\xi \in \Ext^{e + 1}_R(M', N)\)로 나타내자. 그러면 \(\xi\)는 \(\Ext^{e + 1}_R(M, N)\)에서 영으로 보내진다.

6. 사상 \(\text{Tor}_i^R(M, N) \to \text{Tor}_i^R(M', N)\)은 모든 \(R\)-가군 \(N\)과 \(i > e\)에 대해 영사상이다.

7. 사상 \(\text{Tor}_{e + 1}^R(M, N) \to \text{Tor}_{e + 1}^R(M', N)\)은 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대해 영사상이다.

그러면 항상 다음 함의들이 성립한다. \[(1) \Leftrightarrow (2) \Leftrightarrow (3) \Leftrightarrow (4) \Leftrightarrow (5) \Rightarrow (6) \Leftrightarrow (7)\] \(M\)이 \((-e - 1)\)-의사준연접이면(예를 들어 \(R\)이 뇌터 환이고 \(M\)이 유한 \(R\)-가군이면), 모든 조건은 서로 동치이다.

증명

(2)가 (1)을 함의함은 자명하다. \(a_\bullet\)이 (1)에서와 같다면, 복합체의 사상 \(a'_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)을 생각하되, \(a'_i = a_i\)는 \(i \leq e + 1\)일 때, \(a'_i = 0\)은 \(i \geq e + 1\)일 때로 정한다. 그러면 (2)에서와 같은 복합체의 사상을 얻는다. 따라서 (1)과 (2)는 동치이다.

분해를 이용한 \(\Ext\)와 \(\text{Tor}\) 함자의 구성(가환대수의 절 00LO와 절 00LY)으로부터 (1)과 (2)가 나머지 조건을 모두 함의함을 알 수 있다.

(3)이 (4)를 함의하고 (4)가 (5)를 함의함은 자명하다. \(N\)을 (5)에서와 같이 잡자. 표준 사상 \(\tilde \xi : P'_{e + 1} \to N\)을 \(P'_{e + 2} \to P'_{e + 1}\)과 미리 합성하면 영사상이 된다. 따라서 다음 안에서 동치류 \(\xi\)를 생각할 수 있는데, 이는 \(\tilde \xi\)의 동치류이다. \[\Ext^{e + 1}_R(M', N) = \frac{\Ker(\Hom(P'_{e + 1}, N \to \Hom(P'_{e + 2}, N)}{ \Im(\Hom(P'_e, N \to \Hom(P'_{e + 1}, N)}\] 복합체의 사상 \(a_\bullet : P_\bullet \to P'_\bullet\)을 택하여 \(\alpha\)를 올리자. 유도 범주의 보조정리 0649를 보라. \(\xi\)가 \(\Ext^{e + 1}_R(M', N)\)에서 영으로 보내진다면, 사상 \(\varphi : P_e \to N\)을 찾아 \(\tilde \xi \circ a_{e + 1} = \varphi \circ d\)를 만족하게 할 수 있다. 따라서 다음 복합체의 사상을 얻는다. \[\xymatrix{ \ldots \ar[r] & P_{e + 1} \ar[r] \ar[d]^0 & P_e \ar[r] \ar[d]^{a_e - \varphi} & P_{e - 1} \ar[r] \ar[d]^{a_{e - 1}} & \ldots \\ \ldots \ar[r] & P'_{e + 1} \ar[r] & P'_e \ar[r] & P'_{e - 1} \ar[r] & \ldots }\] 이는 (2)에서와 같다. 따라서 (1)–(5)는 서로 동치이다.

(6)과 (7)의 동치는 차원 이동에서 따른다. 자세한 내용은 생략한다.

\(M\)이 \((-e - 1)\)-의사준연접이라고 가정하자. (보조정리의 괄호 안 명제는 더 많은 가환대수의 보조정리 066E에서 따른다.) (7)이 (4)를 함의함을 보이면 증명이 끝난다. \(e\)에 대한 귀납법을 사용하겠다. 기초 단계는 \(e = 0\)인 경우이다. 그러면 \(M\)은 유한 표시이다. 이는 더 많은 가환대수의 보조정리 064T에서 따른다. 또한 보조정리 0G9T로부터 \(M \to M'\)가 자유 가군을 통하여 인수분해됨을 알 수 있다. 물론 \(M \to M'\)가 자유 가군을 통하여 인수분해되면 \(\Ext^i_R(M', N) \to \Ext^i_R(M, N)\)은 모든 \(i > 0\)에 대해 원하는 대로 영사상이다. 이제 \(e > 0\)이라고 가정하자. 다음 짧은 완전열의 사상을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & K \ar[r] \ar[d] & R^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & M \ar[r] \ar[d] & 0 \\ 0 \ar[r] & K' \ar[r] & \bigoplus_{i \in I} R \ar[r] & M' \ar[r] & 0 }\] 여기서 오른쪽 수직 화살표는 주어진 사상이다. 다음을 얻는다. \(\text{Tor}_{i + 1}^R(M, N) = \text{Tor}^R_i(K, N)\) 이고 \(\Ext^{i + 1}_R(M, N) = \Ext^i_R(K, N)\)이며, 이는 모든 \(i \geq 1\)과 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대해 성립한다. \(M', K'\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(\text{Tor}_e^R(K, N) \to \text{Tor}_e^R(K', N)\)은 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대해 영사상이다. 더 많은 가환대수의 보조정리 064R에 의해 \(K\)는 \((-e)\)-의사준연접이다. 귀납 가정에 의해 \(\Ext^e(K', N) \to \Ext^e(K, N)\)은 모든 \(R\)-가군 \(N\)에 대해 영사상이며, 이는 원하는 결론을 준다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(m > n\)인 정수가 존재하여 사상 \(A/I^m \to A/I^n\)이 보조정리 0G9V의 동치 조건들을 \(e = \text{cd}(A, I)\)에 대하여 만족한다.

증명

\(\xi \in \Ext^{e + 1}_A(A/I^n, N)\)를 보조정리 0G9V의 (5)에서 구성한 원소라 하자. \(e = \text{cd}(A, I)\)이므로 다음이 성립한다. \(0 = H^{e + 1}_Z(N) = H^{e + 1}_I(N) = \colim \Ext^{e + 1}(A/I^m, N)\) 이는 쌍대화 복합체의 보조정리 0955와 0954에서 따른다. 따라서 \(m \geq n\)으로 택하여 \(\xi\)가 \(\Ext^{e + 1}_A(A/I^m, N)\)에서 영으로 보내지게 할 수 있으며, 이것이 원하는 바이다.

약간의 균일성, II

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(M\)을 유한 \(A\)-가군이라 하자. \(i > 0\)이라 하자. 더 많은 가환대수의 보조정리 0911 에 의해 다음을 만족하는 \(c = c(A, I, M, i)\)가 존재한다. \(\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\) 이 사상은 모든 \(n \geq c\)에 대해 영사상이다. 이 절에서는 때때로 상수 \(c\)를 택하여 모든 \(A\)-가군 \(M\)에 동시에(그리고 지표 \(i\)의 일정 범위에 대해) 통하게 할 수 있음을 보이는 몇 가지 결과를 논한다. 이 내용은 [Huneke-uniform]와 [AHS]에서 논의한 균일 아르틴–리스와 관련된다.

주해 0GA5에서는 이를 적용하여 유도 완비화와 관련된 여러 프로계가 엄밀한 프로동형인지(또는 아닌지)를 보일 것이다.

다음 보조정리는 훨씬 더 강화할 수 있다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. 모든 \(m \geq 0\)과 \(i > 0\)에 대해 \(c = c(A, I, m, i) \geq 0\)인 수가 존재하여, 모든 \(A\)-가군 \(M\)이 \(I^m\)에 의해 소멸될 때 다음 사상이 \[\text{Tor}^A_i(M, A/I^n) \to \text{Tor}^A_i(M, A/I^{n - c})\] 모든 \(n \geq c\)에 대해 영사상이 된다.

증명

\(i\)에 대한 귀납법을 사용한다. 기초 단계는 \(i = 1\)인 경우이다. 짧은 완전열 \(0 \to I^n \to A \to A/I^n \to 0\)은 단사 사상 \(\text{Tor}_1^A(M, A/I^n) \subset I^n \otimes_A M\)을 결정한다. 가환대수의 주해 00M6를 보라. \(M\)이 \(I^m\)에 의해 소멸되므로 사상 \(I^n \otimes_A M \to I^{n - m} \otimes_A M\)은 \(n \geq m\)일 때 영사상이다. 따라서 결과는 \(c = m\)으로 성립한다.

귀납 단계로 넘어가자. \(i > 1\)이라 하고 \(c\)가 \(i - 1\)에 대해 통한다고 가정하자. 더 많은 가환대수의 보조정리 0911를 \(M = A/I^m\)에 적용하여 다음을 만족하는 \(c' \geq 0\)을 택할 수 있다. \(\text{Tor}_i(A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i(A/I^m, A/I^{n - c'})\) 이 사상은 \(n \geq c'\)일 때 영사상이다. \(M\)이 \(I^m\)에 의해 소멸된다고 하자. 다음 짧은 완전열을 택하자. \[0 \to S \to \bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m \to M \to 0\] 이에 대응하는 Tor의 긴 완전열은 다음 완전열을 준다. \[\text{Tor}_i^A(\bigoplus\nolimits_{i \in I} A/I^m, A/I^n) \to \text{Tor}_i^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n)\] 이는 모든 정수 \(n \geq 0\)에 대해 성립한다. \(n \geq c + c'\)이면 사상 \(\text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^n) \to \text{Tor}_{i - 1}^A(S, A/I^{n - c})\) 은 영사상이고, 사상 \(\text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c}) \to \text{Tor}_i^A(A/I^m, A/I^{n - c - c'})\)도 영사상이다. 이를 짧은 완전열들과 결합하면 결과가 \(i\)에 대해 상수 \(c + c'\)으로 성립함을 알 수 있다.

보조정리

\(I = (a_1, \ldots, a_t)\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(a = a_1\)로 놓고 \(B = A[\frac{I}{a}]\)를 아핀 블로업 대수라 하자. 어떤 \(c > 0\)이 존재하여 \(\text{Tor}_i^A(B, M)\)가 \(I^c\)에 의해 모든 \(A\)-가군 \(M\)과 \(i \geq t\)에 대해 소멸된다.

증명

다음을 상기하라. \(B\)는 \(A[x_2, \ldots, x_t]/(a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t)\) 를 그 \(a_1\)-꼬임으로 나눈 몫이다. 가환대수의 보조정리 0G8S를 보라. 다음과 같이 놓자. \[B_\bullet = \text{코쥘 복합체: }a_1x_2 - a_2, \ldots, a_1x_t - a_t \text{, 바탕환 }A[x_2, \ldots, x_t]\] 이를 차수 \((t - 1), \ldots, 0\)에 놓인 사슬 복합체로 본다. 복합체 \(B_\bullet[1/a_1]\)은 \(x_2 - a_2/a_1, \ldots, x_t - a_t/a_1\)에 대한 코쥘 복합체와 동형이며, 이 원소들은 \(A[1/a_1][x_2, \ldots, x_t]\)에서 정칙열을 이룬다. 정칙열은 코쥘 정칙이므로 확대 사상 \[\epsilon : B_\bullet \longrightarrow B\] 은 \(a_1\)을 가역화한 뒤 준동형사상이 된다. \(C_\bullet\)을 \(\epsilon\)의 원뿔이라 하자. 그 호몰로지 가군들은 유한 \(A[x_2, \ldots, x_n]\)-가군이고 \(C_\bullet\)은 유계이므로, 어떤 \(c \geq 0\)이 존재하여 \(a_1^c\)가 이들을 모두 소멸시킨다. 유도 범주의 보조정리 08Q2에 의해, 필요하다면 \(c\)를 더 큰 정수로 바꾼 뒤 \(a_1^c\)가 \(C_\bullet\) 위에서 \(D(A)\) 안의 영사상이 되도록 할 수 있다. 이제 다음 구별 삼각형을 살펴보면 증명이 끝난다. \[B_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M \to B \otimes_A^\mathbf{L} M \to C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M\] 실제로 첫째 항은 \(B_\bullet \otimes_A M\)으로 표현되며 호몰로지 차수 \((t - 1), \ldots, 0\)에 놓인다. 이는 코쥘 복합체 \(B_\bullet\)의 각 항이 자유(따라서 평탄) \(A\)-가군이기 때문이다. 따라서 \(\text{Tor}_i^A(B, M) = H_i(C_\bullet \otimes_A^\mathbf{L} M)\) 이고, \(i > t - 1\)일 때 이것은 \(a_1^c\)에 의해 소멸된다. \(a_1^cB = I^cB\)이고 이 Tor 가군이 \(B\) 위의 가군이므로 결론을 얻는다.

이 절의 나머지 논의에서는 뇌터 환 \(A\)와 아이디얼 \(I \subset A\)를 고정한다. 다음과 같이 나타내자. \[p : X \to \Spec(A)\] 이는 \(\Spec(A)\)를 아이디얼 \(I\)에 따라 블로업한 것이다. 다시 말해 \(X\)는 \(\text{Proj}\)로 주어지며, 여기서 사용하는 리스 대수는 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\)이다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0AG6와 0AG7 에 의해 정수 \(q(A, I) \geq 0\)을 택하여 모든 \(q \geq q(A, I)\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\)이 \(i > 0\)일 때 성립하고 \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\)가 성립하게 할 수 있다.

보조정리

위 상황에서 \(q \geq q(A, I)\)이고 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 다음이 성립한다. \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) \cong M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] 이는 \(D(A)\) 안에서의 동형사상이다.

증명

자유 분해 \(F_\bullet \to M\)을 택하자. 그러면 \(\widetilde{F}_\bullet\)은 \(\widetilde{M}\)의 평탄 분해이다. 따라서 \(Lp^*\widetilde{M}\)은 복합체 \(p^*\widetilde{F}_\bullet\)로 주어진다. 그러므로 \(Lp^*\widetilde{M}(q)\)은 복합체 \(p^*\widetilde{F}_\bullet(q)\)로 주어진다. \(p^*\widetilde{F}_i(q)\)는 \(\Gamma(X, -)\)에 관하여 오른쪽 비순환이며, 이는 \(q \geq q(A, I)\)의 선택에서 따른다. 또한 \(\Gamma(X, p^*\widetilde{F}_i(q)) = I^qF_i\)이고, 이 역시 \(q \geq q(A, I)\)의 선택에서 따른다. 그러므로 \(R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q))\)는 각 항이 \(I^qF_i\)인 복합체로 주어진다. 이는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0G9P에서 따른다. 정의에 따라 복합체 \(I^qF_\bullet\)이 \(M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\)를 계산하므로 결과가 따른다.

보조정리

위 상황에서 \(t\)를 \(I\)의 생성원 수의 상계라 하자. 어떤 정수 \(c = c(A, I) \geq 0\)이 존재하여, 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 코호몰로지 층 \(H^j(Lp^*\widetilde{M})\)은 \(I^c\)에 의해 소멸되며, 이는 \(j \leq -t\)일 때 성립한다.

증명

\(I = (a_1, \ldots, a_t)\)라고 하자. 문제는 \(X\) 위에서 아핀 국소적이다. \(1 \leq i \leq t\)에 대해 \(B_i = A[\frac{I}{a_i}]\)를 아핀 블로업 대수라 하자. 그러면 \(X\)는 환 \(B_i\)들의 스펙트럼들로 이루어진 아핀 열린 덮개를 갖는다. 인자의 보조정리 0804를 보라. 스킴의 유도 범주의 보조정리 08DW 에 주어진 유도 역상의 묘사에 의해, 각 \(i\)에 대해 어떤 \(c \geq 0\)이 존재하여 다음을 만족함을 보이면 충분하다. \[\text{Tor}_j^A(B_i, M)\] 이것은 \(I^c\)에 의해 \(j \geq t\)일 때 소멸된다. 이는 보조정리 0G9Y이다.

보조정리

위 상황에서 \(t\)를 \(I\)의 생성원 수의 상계라 하자. 어떤 정수 \(c = c(A, I) \geq 0\)이 존재하여, 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해 Tor 가군 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\)은 \(I^c\)에 의해 \(i > t\)이고 모든 \(q \geq 0\)일 때 소멸된다.

증명

\(q(A, I)\)를 위와 같이 잡자. \(q \geq q(A, I)\)에 대해 다음이 성립한다. \[R\Gamma(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = M \otimes_A^\mathbf{L} I^q\] 이는 보조정리 0G9Z에서 따른다. 유계이고 수렴하는 스펙트럼 열 \[H^a(X, H^b(Lp^*\widetilde{M}(q))) \Rightarrow \text{Tor}_{-a - b}^A(M, I^q)\] 을 갖는다. 이는 스킴의 유도 범주의 보조정리 0G9Q에서 따른다. \(d\)를 스킴의 코호몰로지의 보조정리 071L 에서와 같은 정수라 하자(실제로 \(d = t\)로 택할 수 있다. 스킴의 코호몰로지의 보조정리 01XI를 보라). 그러면 \(H^{-i}(X, Lp^*\widetilde{M}(q)) = \text{Tor}_i^A(M, I^q)\)는 길이가 많아야 \(d\)인 유한 여과를 가지며, 그 등급몫들은 다음 가군들의 부분몫이다. \[H^a(X, H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})(q)),\quad a = 0, 1, \ldots, d - 1\] \(i \geq t\)이면 이 가군들은 모두 \(I^c\)에 의해 소멸된다. 여기서 \(c = c(A, I)\)는 보조정리 0GA0에서와 같다. 실제로 그 보조정리에 의해 코호몰로지 층 \(H^{- i - a}(Lp^*\widetilde{M})\)들은 모두 \(I^c\)에 의해 소멸된다. 따라서 \(\text{Tor}_i^A(M, I^q)\)는 \(I^{dc}\)에 의해 \(q \geq q(A, I)\)이고 \(i \geq t\)일 때 소멸된다. 짧은 완전열 \(0 \to I^q \to A \to A/I^q \to 0\)을 사용하면 \(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\)가 \(I^{dc}\)에 의해 \(q \geq q(A, I)\)이고 \(i > t\)일 때 소멸됨을 알 수 있다. 따라서 \(I^m\)은, 여기서 \(m = \max(dc, q(A, I) - 1)\)이고, \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^q)\)를 모든 \(q \geq 0\)과 \(i > t\)에 대해 소멸시키며, 이것이 원하는 바이다.

보조정리

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(t \geq 0\)을 \(I\)의 생성원 수의 상계라 하자. 어떤 \(N, c \geq 0\)이 존재하여 다음 사상들이 \[\text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1}^A(M, A/I^{n - c})\] 임의의 \(A\)-가군 \(M\)과 모든 \(n \geq N\)에 대해 영사상이 된다.

증명

\(c_1\)을 보조정리 0GA1에서 찾은 상수라 하자. 이 상수 \(c_1\)은 \(\text{Tor}_i\)에, 모든 \(i > t\)에 대해 동시에 통한다는 점을 명심하라.

\(I = (a_1, \ldots, a_t)\)라고 하자. \(A\)-가군 \(M\)에 대해 다음과 같이 놓자. \[\ell(M) = \#\{i \mid 1 \leq i \leq t,\ a_i^{c_1}\text{가 }M\text{ 위에서 영사상}\}\] 이는 \(\{0, 1, \ldots, t\}\)의 원소이다. \(0 \leq s \leq t\)에 대한 하강 귀납법으로 다음 명제 \(H_s\)를 증명하겠다. 어떤 \(N, c \geq 0\)이 존재하여 모든 가군 \(M\) 중 \(\ell(M) \geq s\)를 만족하는 것에 대해 사상 \[\text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^n) \to \text{Tor}_{t + 1 + i}^A(M, A/I^{n - c})\] 은 \(i = 0, \ldots, s\)와 모든 \(n \geq N\)에 대해 영사상이다.

기초 단계는 \(s = t\)인 경우이다. \(\ell(M) = t\)이면 \(M\)은 \((a_1^{c_1}, \ldots, a_t^{c_1}\}\)에 의해, 따라서 \(I^{t(c_1 - 1) + 1}\)에 의해 소멸된다. 보조정리 0G9X로부터 \(H_t\)가 성립함을 알 수 있다. 여기서는 \(c = N\)을 그 보조정리에서 얻은 정수들 \(c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, t + 1), \ldots, c(A, I, t(c_1 - 1) + 1, 2t + 1)\) 의 최댓값으로 택한다.

귀납 단계로 넘어가자. \(0 \leq s < t\)라고 하고 \(N, c\)를 \(H_{s + 1}\)에서와 같이 갖는다고 하자. 가군 \(M\)을 생각하되 \(\ell(M) = s\)라고 하자. 그러면 \(i\)를 택하여 \(a_i^{c_1}\)이 \(M\) 위에서 영이 아니게 할 수 있다. 따라서 \(\ell(M[a_i^c]) \geq s + 1\)이고 \(\ell(M/a_i^{c_1}M) \geq s + 1\)이므로 이 두 가군에 귀납 가정을 적용할 수 있다. 완전열 \[0 \to M[a_i^{c_1}] \to M \xrightarrow{a_i^{c_1}} M \to M/a_i^{c_1}M \to 0\] 을 생각하자. 가운데 화살표의 상을 \(E \subset M\)으로 나타내자. 이에 대응하는 Tor 가군의 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ & & \text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q) \ar[d] \\ \text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q) \ar[r] & \text{Tor}_i(M, A/I^q) \ar[r] \ar[rd]^0 & \text{Tor}_i(E, A/I^q) \ar[d] \\ & & \text{Tor}_i(M, A/I^q) }\] 각 \(q\)에 대해 행과 열은 완전하다. 남동쪽 화살표는 \(c_1\)의 선택에 의해 영사상이다. 따라서 가군 \(\text{Tor}_i(M, A/I^q)\)은 \(\text{Tor}_i(M[a_i^{c_1}], A/I^q)\)의 몫가군과 \(\text{Tor}_{i + 1}(M/a_i^{c_1}M, A/I^q)\)의 부분가군 사이에 끼어 있다. 따라서 \(H_s\)는 \(N\)을 \(N + c\)로, \(c\)를 \(2c\)로 바꾸면 성립한다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

명제

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(t \geq 0\)을 \(I\)의 생성원 수의 상계라 하자. 어떤 \(N, c \geq 0\)이 존재하여 \(n \geq N\)일 때 사상 \[A/I^n \to A/I^{n - c}\] 이 보조정리 0G9V의 동치 조건들을 \(e = t\)에 대해 만족한다.

증명

보조정리 0GA2와 0G9V의 즉각적인 귀결이다.

주

논문 [AHS]는 다른 많은 결과와 더불어 \(A\)가 국소이면 명제 0GA3가 \(e = t\)를 \(e = \dim(A)\)로 바꾸어도 성립함을 보인다. 보조정리 0EH1를 보면 명제 0GA3가 \(e = t\)를 \(e = \text{cd}(A, I)\)로 바꾸어도 성립하는지 묻는 것이 자연스럽다. 우리는 그 답을 모른다.

주

\(I\)를 뇌터 환 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)라고 하자. \(K_n^\bullet\)을 \(f_1^n, \ldots, f_r^n\)에 대한 코쥘 복합체라 하자. 이는 더 많은 가환대수의 상황 0BKC에서와 같다. 대응하는 대상을 \(K_n \in D(A)\)로 나타내자. \(M^\bullet\)을 유한 \(A\)-가군들로 이루어진 유계 복합체라 하고, 대응하는 대상을 \(M \in D(A)\)로 나타내자. \(D(A)\) 안의 다음 역계들을 생각하자.

1. \(M^\bullet/I^nM^\bullet\), 즉 각 항이 \(M^i/I^nM^i\)인 복합체,

2. \(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n\),

3. \(M \otimes_A^\mathbf{L} K_n\), 그리고

4. \(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\) (아래를 보라).

이 역계들은 모두 프로대상으로서 동형이다. (2)와 (3) 사이의 동형사상은 더 많은 가환대수의 보조정리 0921에서 따른다. (1)과 (2) 사이의 동형사상은 더 많은 가환대수의 보조정리 0G9M에 주어져 있다. 마지막 것에 대해서는 아래를 보라.

그러나 이 프로계의 동형사상들이 “엄밀한지” 물을 수 있다. 이 용어와 문제는 [quillenhomology, 61, 62쪽]의 논의와 관련된다. 구체적으로 범주 \(\mathcal{C}\)가 주어지면, 그 대상이 역계 \((X_n)\)이고 사상 \((X_n) \to (Y_n)\)이 순서쌍 \((c, \varphi_n)\)으로 주어지는 “엄밀 프로범주”를 정의할 수 있다. 여기서 순서쌍은 \(c \geq 0\)과 사상 \(\varphi_n : X_n \to Y_{n - c}\)으로 이루어지고, 이 사상들은 모든 \(n \geq c\)에 대해 자명한 호환 조건을 만족하며 일정한 동치관계(본질적으로 \(c\)를 늘려서 주어지는 관계)를 법으로 한다. 그런 다음 위 역계들이 이 엄밀 프로범주에서 동형인지 묻는다.

\(M = A[0]\)인 경우조차 (1)과 (3)에 대해서는 분명히 그럴 수 없다. 실제로 계 \(H^0(K_n) = A/(f_1^n, \ldots, f_r^n)\)은 일반적으로 가군의 범주에서 계 \(A/I^n\)과 엄밀 프로동형이 아니다. 예를 들어 \(A = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\)이고 \(f_i = x_i\)로 잡으면 \(H^0(K_n)\)은 \(I^{r(n - 1)}\)에 의해 소멸되지 않는다.³

위 결과들은 더 많은 가환대수의 보조정리 0G9M 에서 논의한 (2)에서 (1)로 가는 자연스러운 사상이 엄밀 프로동형임을 보인다. 증명을 개략적으로 설명하겠다. 우직한 절단을 이용하는 표준 논증으로 먼저 \(M^\bullet\)이 하나의 유한 \(A\)-가군 \(M\)으로 주어지고 그것이 차수 \(0\)에 놓인 경우로 귀착한다. \(N, c \geq 0\)을 명제 0GA3에서와 같이 택하자. 그 명제에 의해 \(n \geq N\)일 때 계 (2)의 전이사상은 다음과 같이 인수분해된다. \[M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n) \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] 한편 더 많은 가환대수의 보조정리 0911에 의해 또 다른 상수 \(c' = c'(M) \geq 0\)을 찾아 사상 \(\text{Tor}_i^A(M, A/I^{n'}) \to \text{Tor}_i(M, A/I^{n' - c'})\) 이 \(i = 1, 2, \ldots, t\)와 \(n' \geq c'\)에 대해 영사상이 되게 할 수 있다. 그러면 유도 범주의 보조정리 08Q2로부터 다음 사상이 \[\tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n + tc'}) \to \tau_{\geq -t}(M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^n)\] \(M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M\)을 통하여 인수분해됨을 알 수 있다. 이를 앞의 결과와 결합하면 인수분해 \[M \otimes_A^\mathbf{L}A/I^{n + tc'} \to M/I^{n + tc'}M \to M \otimes_A^\mathbf{L} A/I^{n - c}\] 를 얻으며, 이는 원하는 바를 준다. 이 결과가 필요해지면 명제를 주의 깊게 서술하고 자세한 증명을 제시하겠다.

(4)에 대해서는 뇌터 환 \(P\), 환 준동형사상 \(P \to A\), 그리고 아이디얼 \(J \subset P\)가 주어졌으며 \(I = JA\)를 만족한다고 하자. 더 많은 가환대수의 절 06Y5에 의해 함자 \(M \otimes_P^\mathbf{L} - : D(P) \to D(A)\)와, (4)에서와 같은 역계 \(M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\)을 \(D(A)\) 안에서 얻는다. \(P\)가 뇌터이면 코쥘 복합체와 비교할 수 있으므로 (4)의 계는 (1)의 계와 프로동형이다. \(P \to A\)가 유한이면 (4)의 계는 (2)의 계와 엄밀 프로동형이다. 실제로 역계 \(A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n\)은 위 논의에 의해 역계 \(A/I^n\)과 엄밀 프로동형이고, 다음이 성립한다. \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n)\] 이는 더 많은 가환대수의 보조정리 06Y6에서 따른다.

(4)의 표준적인 예는 \(P = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\)로 잡고, 사상 \(P \to A\)가 \(x_i\)를 \(f_i\)로 보내게 하며, \(J = (x_1, \ldots, x_r)\)로 잡는 것이다. 이 경우 다음을 보일 수 있다. \[M \otimes_P^\mathbf{L} P/J^n = M \otimes_{A[x_1, \ldots, x_r]}^\mathbf{L} A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\] 따라서 위에서 논의한 경우 가운데 하나로 귀착한다(다만 이 경우에는 \(A[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n\)의 Tor 차원이 많아야 \(r\)이며, 이는 모든 \(n\)에 대해 성립하므로 엄밀히 더 쉽고, 명제 0GA3를 사용하는 단계를 피할 수 있다). 이 경우는 [BS, 명제 3.5.1]의 증명에서 논의된다.

약간의 균일성, III

이 절에서는 뇌터 환 \(A\)와 아이디얼 \(I \subset A\)를 고정한다. 목표는 보조정리 0GAD를 증명하는 것이다. 뒤의 장에서 이를 사용하여 올림 문제를 해결할 것이다. 형식 공간의 대수화의 보조정리 0GAQ를 보라.

이 절 전체에서 다음과 같이 나타내자. \[p : X \to \Spec(A)\] 이는 \(\Spec(A)\)를 아이디얼 \(I\)에 따라 블로업한 것이다. 다시 말해 \(X\)는 \(\text{Proj}\)로 주어지며, 여기서 리스 대수는 \(\bigoplus_{n \geq 0} I^n\)이다. 또한 올곱 \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^p \\ \Spec(A/I) \ar[r] & \Spec(A) }\] 을 생각하자. 그러면 \(Y\)는 블로업의 예외 인자이고, 따라서 \(X\) 위의 유효 카르티에 인자로서 \(\mathcal{O}_X(-1) = \mathcal{O}_X(Y)\)를 만족한다. \(\text{Proj}\)를 취하는 것은 기저변환과 가환하므로 다음이 성립한다. \[Y = \text{Proj}(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}) = \text{Proj}(S)\] 여기서 \(S = \text{Gr}_I(A) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\)이다.

다음과 같이 나타내자. \(d = d(S) = d(\text{Gr}_I(A)) = d(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) 이는 \(p\)의 올들의 차원의 최댓값이다(\(0\)으로 놓는 경우는 \(X = \emptyset\)일 때이다). 이는 잘 정의된다. 실제로 다음이 성립한다.

1. \(d \leq t - 1\)이다. 실제로 \(I = (a_1, \ldots, a_t)\)이면 \(X \subset \mathbf{P}^{t - 1}_A\)이다. 그리고

2. \(d\)는 \(\text{Proj}(S) \to \Spec(S_0)\)의 올들의 차원의 최댓값이기도 하며, 이는 \(Y\)가 공집합이 아닐 때이다. 또한 \(d = 0\)은 \(Y = \emptyset\)일 때이다(동치로 \(S = 0\)이고, 동치로 \(I = A\)이다).

따라서 \(d\)는 \(S = \text{Gr}_I(A)\)의 동형류에만 의존한다. \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\)은 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 \(i > d\)에 대해 성립한다. 이는 스킴의 코호몰로지의 보조정리 02V7와 01XK에서 따른다. 물론 \(Y\) 위의 연접 가군에 대해서도 마찬가지이다.

다음과 같이 나타내자. \(q = q(S) = q(\text{Gr}_I(A)) = q(\bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1})\) 는 다음과 같이 정의되는 정수이다. 대수 \(S = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) 는 차수 \(1\)의 원소들로 생성되는 뇌터 등급환이며 바탕 차수는 \(0\)임에 유의하라. 따라서 스킴의 코호몰로지의 보조정리 0AG6와 0AG7에 의해 \(q(S)\)를 다음을 만족하는 가장 작은 정수 \(q(S) \geq 0\)으로 정의할 수 있다. 모든 \(q \geq q(S)\)에 대해 \(H^i(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = 0\)이 \(1 \leq i \leq d\)일 때 성립하고 \(H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) = I^q/I^{q + 1}\)이다. (\(S = 0\)이면 \(q(S) = 0\)으로 놓는다.)

\(n \geq 1\)에 대해 유효 카르티에 인자 \(nY\)를 생각할 수 있으며, 이를 \(Y_n\)으로 나타내겠다.

보조정리

위와 같이 \(q_0 = q(S)\)와 \(d = d(S)\)로 놓으면 다음이 성립한다.

1. \(n \geq 1\), \(q \geq q_0\), \(i > 0\)이면 \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\),

2. \(n \geq 1\)이고 \(q \geq q_0\)이면 \(H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = I^q/I^{q + n}\),

3. \(q \geq q_0\)이고 \(i > 0\)이면 \(H^i(X, \mathcal{O}_X(q)) = 0\),

4. \(q \geq q_0\)이면 \(H^0(X, \mathcal{O}_X(q)) = I^q\).

증명

\(I = A\)이면 \(X\)는 아핀이며 명제들은 자명하다. 따라서 \(I \not = A\)라고 가정해도 좋고 실제로 그렇게 하겠다. 그러므로 \(Y\)와 \(X\)는 공집합이 아닌 스킴이다.

\(n\)에 대한 귀납법으로 (1)과 (2)를 증명하자. 기초 단계 \(n = 1\)은 \(q_0\)의 정의이며, 이는 \(Y_1 = Y\)이기 때문이다. 다음을 상기하라. \(\mathcal{O}_X(1) = \mathcal{O}_X(-Y)\). 따라서 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(1) \to \mathcal{O}_{Y_{n + 1}} \to \mathcal{O}_Y \to 0\] 을 갖는다. 따라서 \(i > 0\)에 대해 다음을 얻는다. \[H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \to H^i(X, \mathcal{O}_{Y}(q))\] 바깥 두 항의 주어진 소멸로부터 가운데 항의 원하는 소멸을 얻는다. \(i = 0\)에 대해서는 가환 도표 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & I^{q + 1}/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1 + n} \ar[d] \ar[r] & I^q/I^{q + 1} \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q + 1)) \ar[r] & H^0(X, \mathcal{O}_{Y_{n + 1}}(q)) \ar[r] & H^0(Y, \mathcal{O}_Y(q)) \ar[r] & 0 }\] 를 얻으며, \(q \geq q_0\)일 때 그 행들은 완전하다(아래 행에 대해서는 코호몰로지 긴 완전열의 다음 항이 \(q \geq q_0\)일 때 소멸함을 관찰하라). \(q \geq q_0\)이므로 왼쪽과 오른쪽 수직 화살표는 동형사상이고, 따라서 가운데 화살표도 동형사상이다.

비슷한 (3)과 (4)의 증명은 생략한다. 실제로 형식 함자에 관한 정리를 사용하여 (1)과 (2)로부터 (3)과 (4)를 도출할 수 있다(하지만 이는 지나치다).

표기를 하나 도입하자. \(n \geq c \geq 0\)이 주어졌을 때 \((A, n, c)\)-가군이란 유한 \(A\)-가군 \(M\)으로서 \(I^n\)에 의해 소멸되고, \(A/I^n\)-가군으로 볼 때 \(I^c/I^n\)-사영인 것을 말한다. 더 많은 가환대수의 절 0G8Z를 보라.

다음 표기의 남용을 사용하겠다. \(A\)-가군 \(M\)이 주어졌을 때 \(p^*M\)은 \(p\)로 역상하여 얻는 준연접 가군을 나타낸다. 여기서 역상하는 대상은 \(\widetilde{M}\)이고, 이는 \(\Spec(A)\) 위에서 \(M\)에 대응하는 준연접 가군이다. 예를 들어 \(\mathcal{O}_{Y_n} = p^*(A/I^n)\)이다. 짧은 완전열 \(0 \to K \to L \to M \to 0\)을 \(A\)-가군의 열이라 하자. 이로부터 완전열 \[p^*K \to p^*L \to p^*M \to 0\] 을 얻는다. 실제로 \(\widetilde{\ }\)는 완전 함자이고 \(p^*\)는 오른쪽 완전 함자이다.

보조정리

\(0 \to K \to L \to M \to 0\)을 \(A\)-가군의 짧은 완전열이라 하자. \(K\)와 \(L\)은 \(I^n\)에 의해 소멸되고 \(M\)은 \((A, n, c)\)-가군이라고 하자. 그러면 \(p^*K \to p^*L\)의 핵은 스킴론적으로 \(Y_c\)에 받쳐진다.

증명

\(\Spec(B) \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. 완전열을 \(\Spec(B)\) 위에 제한한 것은 다음 \(B\)-가군의 열에 대응한다. \[K \otimes_A B \to L \otimes_A B \to M \otimes_A B \to 0\] 이는 다음 열과 동형이다. \[K \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to L \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to M \otimes_{A/I^n} B/I^nB \to 0\] 따라서 첫째 사상의 핵은 가군 \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\)의 상이다. 예외 인자 \(Y\)가 \(I\mathcal{O}_X\)에 의해 정의됨을 상기하라. 그러므로 \(\text{Tor}_1^{A/I^n}(M, B/I^nB)\)가 \(I^c\)에 의해 소멸됨을 보이면 충분하다. \(a \in I^c\)를 \(M\) 위에서 곱하는 사상은 유한 자유 \(A/I^n\)-가군을 통하여 인수분해되므로 이는 자명하다.

표준 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\)을 가지며, 이는 정확히 \(Y\)를 따라 소멸한다. 따라서 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 항상 표준 사상 \(\mathcal{F}(q) \to \mathcal{F}(q + n)\)을 가지며, 이는 임의의 \(q \in \mathbf{Z}\)와 \(n \geq 0\)에 대해 주어진다.

보조정리

\(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 스킴론적으로 \(Y_c\)에 받쳐지는 것과 표준 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}(c)\)이 영사상인 것은 동치이다.

증명

\(\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(1)\)이 정확히 \(Y\)를 따라 소멸하기 때문이다.

보조정리

위와 같이 \(q_0 = q(S)\)와 \(d = d(S)\)로 놓자. 정수 \(n \geq c \geq 0\), \((A, n, c)\)-가군 \(M\), 지표 \(i \in \{0, 1, \ldots, d\}\), 그리고 정수 \(q\)가 주어졌다고 하자. 다음 경우들을 구별한다.

1. \(i = d \geq 1\)이고 \(q \geq q_0\)인 경우 \(H^d(X, p^*M(q)) = 0\).

2. \(i = d - 1 \geq 1\)이고 \(q \geq q_0\)인 경우 \(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\).

3. \(d - 1 > i > 0\)이고 \(q \geq q_0 + (d - 1 - i)c\)인 경우 사상 \(H^i(X, p^*M(q)) \to H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c))\) 은 영사상이다.

4. \(i = 0\), \(d \in \{0, 1\}\), \(q \geq q_0\)인 경우 전사 사상 \[I^qM \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\] 이 존재한다.

5. \(i = 0\), \(d > 1\), \(q \geq q_0 + (d - 1)c\)인 경우 사상 \[H^0(X, p^*M(q)) \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] 의 상은 표준 사상 \(I^{q - (d - 1)c}M \to H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\) 의 상에 포함된다.

증명

\(M\)을 \((A, n, c)\)-가군이라 하자. 짧은 완전열 \[0 \to K \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\] 을 택하자. 아래에서 \(K\)가 \((A, n, c)\)-가군이라는 사실을 사용할 것이다. 더 많은 가환대수의 보조정리 0G95를 보라. 이에 대응하는 완전열 \[p^*K \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] 을 생각하자. 이를 다음 짧은 완전열들로 나눈다. \[0 \to \mathcal{F} \to p^*K \to \mathcal{G} \to 0 \quad\text{그리고}\quad 0 \to \mathcal{G} \to (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r} \to p^*M \to 0\] 보조정리 0GA8에 의해 연접 가군 \(\mathcal{F}\)는 스킴론적으로 \(Y_c\)에 받쳐진다.

(1)의 증명. \(d > 0\)이라고 가정하자. \(H^d(X, p^*M(q)) = 0\)이 \(q \geq q_0\)일 때 성립함을 보여야 한다. \(\mathcal{G}\)의 꼬임의 코호몰로지가 차수 \(> d\)에서 소멸한다는 사실과 위 둘째 짧은 완전열에 대응하는 코호몰로지 긴 완전열에 의해 \(H^d(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q)) = 0\)임을 보이면 충분하다. 이는 보조정리 0GA7에서 따른다.

(2)의 증명. \(d > 1\)이라고 가정하자. \(H^{d - 1}(X, p^*M(q)) = 0\)이 \(q \geq q_0\)일 때 성립함을 보여야 한다. 앞 문단과 같이 논증하면 \(H^d(X, \mathcal{G}(q)) = 0\)임을 보이면 충분하다. 첫째 짧은 완전열과 \(\mathcal{F}\)의 꼬임의 코호몰로지가 차수 \(> d\)에서 소멸한다는 사실을 사용하면 \(H^d(X, p^*K(q))\)가 영임을 보이면 충분하다. 이는 (1)과 \(K\)가 \((A, n, c)\)-가군이라는 사실(위를 보라)에서 따른다.

(3)의 증명. \(0 < i < d - 1\)이라 하고 명제가 \(i + 1\)에 대해 성립한다고 가정하자. 다만 \(i = d - 2\)인 경우에는 명제 (2)를 사용한다. 위 둘째 짧은 완전열에 대응하는 코호몰로지 긴 완전열을 사용하여 단사 사상 \[H^i(X, p^*M(q - (d - 1 - i)c)) \subset H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\] 을 얻는다. 실제로 \(q - (d - 1 - i)c \geq q_0\)이면 \(H^i(X, \mathcal{O}_{Y_n}(q - (d - 1 - i)c))\)가 소멸한다(위를 보라). 따라서 사상 \(H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \to H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c))\) 이 영사상임을 보이면 충분하다. 이를 연구하기 위해 완전열들의 사상 \[\xymatrix{ H^{i + 1}(X, p^*K(q)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q)) \ar[r] \ar[d] \ar@{..>}[ld] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q)) \ar[d] \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - c)) \ar[r] \ar[d] & H^{i + 2}(X, \mathcal{F}(q - c)) \\ H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c)) \ar[r] & H^{i + 1}(X, \mathcal{G}(q - (d - 1 - i)c)) }\] 을 생각하자. \(\mathcal{F}\)는 스킴론적으로 \(Y_c\)에 받쳐지므로 표준 사상 \(\mathcal{G}(q) \to \mathcal{G}(q - c)\)이 \(p^*K(q - c)\)을 통하여 인수분해됨을 보조정리 0GA9로부터 알 수 있다. 이것이 도표의 점선 화살표를 준다. (실제로 증명을 위해서는 가장 오른쪽 수직 화살표가 영사상임을 관찰하여 점선 화살표를 집합의 사상으로 얻는 것으로 충분하다.) 따라서 \(H^{i + 1}(X, p^*K(q - c)) \to H^{i + 1}(X, p^*K(q - (d - 1 - i)c))\) 이 영사상임을 보이면 충분하다. \(i = d - 2\)이면 이 화살표의 원천은 (2)에 의해 영이다. 실제로 \(q - c \geq q_0\)이고 \(K\)는 \((A, n, c)\)-가군이다. \(i < d - 2\)이면 \(K\)가 \((A, n, c)\)-가군이므로 귀납 가정에 의해 이 사상은 실제로 영사상이다. 여기서 \(q - c - (q - (d - 1 - i)c) = (d - 2 - i)c = (d - 1 - (i + 1))c\) 이고 \(q - c \geq q_0 + (d - 1 - (i + 1))c\)이다. 이로써 (3)의 증명이 끝난다.

(4)의 증명. \(d \in \{0, 1\}\)이고 \(q \geq q_0\)이라고 가정하자. 그러면 첫째 짧은 완전열은 전사 사상 \(H^1(X, p^*K(q)) \to H^1(X, \mathcal{G}(q))\) 을 주며, 이 화살표의 원천은 경우 (1)에 의해 영이다. 따라서 모든 \(q \in \mathbf{Z}\)에 대해 사상 \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q))\] 은 전사이다. \(q \geq q_0\)이면 그 원천은 \((I^q/I^{q + n})^{\oplus r}\)와 같다. 이는 보조정리 0GA7에서 따르며 명제를 쉽게 증명한다.

(5)의 증명. \(d > 1\)이라고 가정하자. (4)의 증명과 같이 논증하면 다음 사상의 상이 \[H^0(X, p^*M(q)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] 다음 사상의 상에 포함됨을 보이면 충분하다. \[H^0(X, (\mathcal{O}_{Y_n})^{\oplus r}(q - (d - 1)c)) \longrightarrow H^0(X, p^*M(q - (d - 1)c))\] 위 포함을 보이려면 \(\sigma \in H^0(X, p^*M(q))\)를 잡고 그 경계를 \(\xi \in H^1(X, \mathcal{G}(q))\)라 할 때, \(\xi\)의 \(H^1(X, \mathcal{G}(q - (d - 1)c))\) 안에서의 상이 영임을 보이면 충분하다. 이는 (3)의 증명과 완전히 같은 논증에서 따른다.

주

순서쌍 \((M, n)\)이 주어졌다고 하자. 이는 정수 \(n \geq 0\)과 유한 \(A/I^n\)-가군 \(M\)으로 이루어진다. 이때 \(M^\vee = \Hom_{A/I^n}(M, A/I^n)\)로 놓는다. 순서쌍 \((\mathcal{F}, n)\)이 주어졌다고 하자. 이는 정수 \(n\)과 연접 \(\mathcal{O}_{Y_n}\)-가군 \(\mathcal{F}\)로 이루어진다. 이때 다음과 같이 놓는다. \[\mathcal{F}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_{Y_n}}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_{Y_n})\] 위와 같은 \((M, n)\)이 주어지면 표준 사상 \[can : p^*(M^\vee) \longrightarrow (p^*M)^\vee\] 이 존재한다. 실제로 표시 \((A/I^n)^{\oplus s} \to (A/I^n)^{\oplus r} \to M \to 0\) 를 택하면 표시 \(\mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to p^*M \to 0\)을 얻는다. 쌍대를 취하여 완전열 \[0 \to M^\vee \to (A/I^n)^{\oplus r} \to (A/I^n)^{\oplus s}\] 과 \[0 \to (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus r} \to \mathcal{O}_{Y_n}^{\oplus s}\] 을 얻는다. 첫째 열을 \(p\)로 역상하면 원하는 사상 \(can\)을 얻는다. 이 사상의 구성은 유한 \(A/I^n\)-가군 \(M\)에 대해 함자적이다. \(can\)의 핵과 여핵은 스킴론적으로 \(Y_c\)에 받쳐지며, 이는 \(M\)이 \((A, n, c)\)-가군일 때이다. 실제로 이 경우 \(a \in I^c\)에 대해 사상 \(a : M \to M\)은 유한 자유 \(A/I^n\)-가군을 통하여 인수분해되며, 그 가군에 대해서 \(can\)은 동형사상이다. 따라서 \(a\)는 \(can\)의 핵과 여핵을 소멸시킨다.

보조정리

위와 같이 \(q_0 = q(S)\)와 \(d = d(S)\)로 놓자. \(M\)을 \((A, n, c)\)-가군이라 하고 \(\varphi : M \to I^n/I^{2n}\)를 \(A\)-선형사상이라 하자. \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\)라고 가정하고, \(d = 0\)이면 \(n \geq q_0 + 2c\)라고도 가정하자. 그러면 합성사상 \[M \xrightarrow{\varphi} I^n/I^{2n} \to I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\] 은 \(\sum a_i \psi_i\) 꼴이며, 여기서 \(a_i \in I^c\)이고 \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\)이다.

증명

\(d > 1\)인 경우. 호환되는 사상들의 계 \(p^*(I^q) \to \mathcal{O}_X(q)\)를 가지며, 이는 모든 \(q \geq 0\)에 대해 주어진다. 따라서 표준 사상 \(p^*(I^q/I^{q + \nu}) \to \mathcal{O}_{Y_\nu}(q)\)를 모든 \(\nu \geq 0\)에 대해 갖는다. 이를 사용하고 \(\varphi\)를 역상하여 사상 \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n)\] 을 얻으며, 합성사상 \(M \to H^0(X, p^*M) \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\) 은 주어진 준동형사상 \(\varphi\)와 사상 \(I^n/I^{2n} \to H^0(X, \mathcal{O}_{Y_n}(n))\)의 합성이다. \(\mathcal{O}_{Y_n}(n)\)은 \(Y_n\) 위에서 가역이므로 선형사상 \(\chi\)는 절단 \[\sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n))\] 을 결정한다. 표기는 주해 0GAB에서와 같다. 주해 0GAB의 논의에 의해 \(can : p^*(M^\vee) \to (p^*M)^\vee\)의 여핵과 핵은 스킴론적으로 \(Y_c\)에 받쳐진다. 보조정리 0GA9에 의해 사상 \((p^*M)^\vee(n) \to (p^*M)^\vee(n - 2c)\)은 \(p^*(M^\vee)(n - 2c)\)을 통하여 인수분해된다. 작은 세부사항은 생략한다. 따라서 \(\sigma\)의 \(\Gamma(X, (p^*M)^\vee(n - 2c))\) 안에서의 상은 원소 \[\sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c))\] 에서 온다. 보조정리 0GAA의 (5), \(M^\vee\)가 \((A, n, c)\)-가군이라는 사실(더 많은 가환대수의 보조정리 0G96를 보라), 그리고 \(n \geq q_0 + (1 + d)c\)이므로 \(n - 2c \geq q_0 + (d - 1)c\)라는 사실에 의해, \(\sigma'\)의 \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\) 안에서의 상은 어떤 원소 \(\tau\)의 상이며, 이 원소는 \(I^{n - (1 + d)c}M^\vee\) 안에 있다. \(\tau = \sum a_i \tau_i\)로 쓰자. 여기서 \(\tau_i \in I^{n - (2 + d)c}M^\vee\)이며, \(n - (2 + d)c \geq 0\)이므로 이는 의미가 있다. 그러면 \(\tau_i\)는 가군 준동형사상 \(\psi_i : M \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\)를 결정한다. 여기서는 평가사상 \(M \otimes M^\vee \to A/I^n\)을 사용한다.

이 구성이 실제로 통함을 증명하자.⁴ \(z \in M\)을 택하고, \(\varphi(z)\)와 \(\sum a_i \psi_i(z)\)가 \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\)에서 같은 상을 가짐을 보이자. 먼저 원소 \(z\)는 사상 \(p^*z : \mathcal{O}_{Y_n} \to p^*M\)을 결정한다. 이를 \(\chi\)와 합성하면 \(\mathcal{O}_{Y_n} \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\)과 같은데, 이 사상은 \(\varphi(z)\)에 대응하며 사상 \(I^n/I^{2n} \to \Gamma(\mathcal{O}_{Y_n}(n))\)을 통해 얻어진다. 다음으로 \(z\)와 \(p^*z\)는 평가사상 \(e_z : M^\vee \to A/I^n\)과 \(e_{p^*z} : (p^*M)^\vee \to \mathcal{O}_{Y_n}\)을 결정한다. \(\chi(p^*z)\)가 \(\varphi(z)\)에 대응하는 절단이므로 \(e_{p^*z}(\sigma)\)도 \(\varphi(z)\)에 대응하는 절단이다. 여기와 아래에서는 표기를 남용한다. 가군의 사상 \(a : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)이 \(X\) 위에 주어지면, 꼬인 가군의 대응하는 사상도 \(a : \mathcal{F}(t) \to \mathcal{F}(t)\)로 나타낸다. 도표 \[\xymatrix{ p^*(M^\vee) \ar[d]_{can} \ar[r]_{p^*e_z} & \mathcal{O}_{Y_n} \ar@{=}[d] \\ (p^*M)^\vee \ar[r]^{e_{p^*z}} & \mathcal{O}_{Y_n} }\] 는 구성 \(can\)의 함자성에 의해 가환한다. 따라서 \((p^*e_z)(\sigma')\)은 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - 2c))\) 안에서 \(\varphi(z)\)의 \(I^{n - 2c}/I^{2n - 2c}\) 안에서의 상에 대응하는 절단이다. 다음 단계로, \(\sigma'\)는 \(\sum a_i \tau_i\)의 \(H^0(X, p^*M^\vee(n - (1 + d)c))\) 안에서의 상으로 보내진다. 이는 \((p^*e_z)(\sum a_i \tau_i) = \sum a_i p^*e_z(\tau_i)\)가 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\) 안에서 \(\varphi(z)\)의 \(I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) 안에서의 상에 대응하는 절단임을 뜻한다. \(\psi_i\)가 평가사상을 사용하여 \(\tau_i\)로부터 정의됨을 상기하라. 따라서 다음과 같이 나타내면 \[\chi_i : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n - (2 + d)c)\] \(\psi_i\)에서 얻는 사상이다. 위와 같은 논증으로 \(\psi_i(z)\)에 대응하는 절단은 \(\chi_i(p^*z) = e_{p^*z}(\chi_i) = p^*e_z(\tau_i)\)임을 알 수 있다. 따라서 \(\varphi(z)\)의 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c))\) 안에서의 상은 \(\sum a_i\psi_i(z)\)의 상과 같다. \(n - (1 + d)c \geq q_0\)이므로 \(\Gamma(Y_n, \mathcal{O}_{Y_n}(n - (1 + d)c)) = I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c}\) 이다. 이는 보조정리 0GA7에서 따르며, 따라서 원하는 호환성이 성립한다.

\(d = 1\)인 경우. 위와 같이 논증하여 다음을 얻는다. \[\chi : p^*M \longrightarrow \mathcal{O}_{Y_n}(n),\quad \sigma \in \Gamma(X, (p^*M)^\vee(n)),\quad \sigma' \in \Gamma(X, p^*(M^\vee)(n - 2c)),\] 그런 다음 보조정리 0GAA의 (4)를 사용하면 \(\sigma'\)가 어떤 원소 \(\tau \in I^{n - 2c}M^\vee\)의 상임을 알 수 있다. 나머지 논증은 같다.

\(d = 0\)인 경우. 논증은 \(d = 1\)인 경우와 완전히 같다.

보조정리

위와 같이 \(d = d(S)\)와 \(q_0 = q(S)\)로 놓자. 그러면

1. 정수 \(n \geq c \geq 0\)이 \(n \geq \max(q_0 + (1 + d)c, (2 + d)c)\)를 만족하고,

2. \(K\)가 \(D(A/I^n)\)의 대상이고 \(H^i(K) = 0\)이 \(i \not = -1, 0\)일 때 성립하며, \(H^i(K)\)가 \(i = -1, 0\)일 때 유한이고, 또한 \(\Ext^1_{A/I^c}(K, N)\)이 \(I^c\)에 의해, 모든 유한 \(A/I^n\)-가군 \(N\)에 대해 소멸된다고 하자.

그러면 사상 \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) \longrightarrow \Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\] 은 영사상이다.

증명

\(d > 0\)인 경우. \(K^{-1} \to K^0\)를 \(K\)를 표현하는 복합체라 하자. 더 많은 가환대수의 보조정리 0G9F의 (5)에서 아이디얼 \(I^c/I^n\)에 대해 주어진 것과 같이 택한다. 여기서 이 아이디얼은 환 \(A/I^n\) 안에 있다. 특히 \(K^{-1}\)은 \(I^c/I^n\)-사영이다. 실제로 \(I^c/I^n\)의 원소를 곱하는 사상은 심지어 \(K^0\)을 통하여 인수분해된다. 더 많은 가환대수의 보조정리 0ALN의 (1)에 의해 다음이 성립한다. \[\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n}) = \Coker(\Hom_{A/I^n}(K^0, I^n/I^{2n}) \to \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n}))\] 다른 Ext 군에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 임의의 동치류 \(\xi\)를 잡되, 이는 \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^n/I^{2n})\) 안에 있다고 하자. 이 동치류는 어떤 원소 \(\varphi \in \Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^n/I^{2n})\)에서 온다. \(\varphi'\)를 \(\varphi\)의 \(\Hom_{A/I^n}(K^{-1}, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\) 안에서의 상이라 하자. 보조정리 0GAC에 의해 \(\varphi' = \sum a_i \psi_i\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(a_i \in I^c\)이고 \(\psi_i \in \Hom_{A/I^n}(M, I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c})\)이다. \(h_i : K^0 \to K^{-1}\)를 택하여 \(a_i \text{id}_{K^{-1}} = h_i \circ d_K^{-1}\)가 성립하게 하자. 다음과 같이 놓자. \(\psi = \sum \psi_i \circ h_i : K^0 \to I^{n - (2 + d)c}/I^{2n - (2 + d)c}\). 그러면 \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\)이고, 따라서 \(\xi\)는 이미 \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - (1 + d)c})\)에서 영으로 보내지며, 더욱이 \(\Ext^1_{A/I^n}(K, I^{n - (1 + d)c}/I^{2n - 2(1 + d)c})\)에서도 영으로 보내진다.

\(d = 0\)인 경우.⁵ \(\xi\)와 \(\varphi\)를 위와 같이 잡자. 도표 \[\xymatrix{ K^0 \\ K^{-1} \ar[u] \ar[r]^\varphi & I^n/I^{2n} \ar[r] & I^{n - c}/I^{2n - c} }\] \(X\)로 역상하고 사상 \(p^*(I^n/I^{2n}) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n)\)을 사용하면 실선 도표 \[\xymatrix{ p^*K^0 \ar@{..>}[rrd] \\ p^*K^{-1} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n) \ar[r] & \mathcal{O}_{Y_n}(n - c) }\] 를 얻는다. \(X\)를 다음 성질을 갖는 아핀 열린집합 \(U = \Spec(B)\)들로 덮을 수 있다. 어떤 \(a \in I\)가 존재하여 \(IB = aB\)이고, \(a\)는 \(B\) 위에서 영인자가 아니다. 실제로 \(X\)를 아핀 블로업 대수들의 스펙트럼들로 덮을 수 있다. 인자의 보조정리 0804를 보라. 사상 \(\mathcal{O}_{Y_n}(n) \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\)을 \(U\)에 제한하면 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군의 사상과 동형이다. 이 사상은 \(B\)-가군 사상 \(a^c : B/a^nB \to B/a^nB\)에 대응한다. \(a^c : K^{-1} \to K^{-1}\)가 \(K^0\)을 통하여 인수분해되므로 점선 화살표가 \(U\) 위에서 존재함을 알 수 있다. 다시 말해 \(X\) 위에서 국소적으로 점선 화살표를 찾을 수 있다. 이제 도표에 맞는 점선 화살표들의 층은 다음 층 아래에서 주동차이다. \[\mathcal{F} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \Coker(p^*K^{-1} \to p^*K^0), \mathcal{O}_{Y_n}(n - c))\] 이는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 따라서 점선 화살표를 찾는 데 대한 장애물은 \(H^1(X, \mathcal{F})\)의 원소이다. \(1 > d = 0\)이므로 이 코호몰로지 군은 영이다. \(d = d(S)\)의 정의 뒤의 논의를 보라. 이로써 도표에 맞는 점선 화살표 \(\psi : p^*K^0 \to \mathcal{O}_{Y_n}(n - c)\) 를 찾을 수 있음이 증명된다. \(n - c \geq q_0\)이므로 \(\psi\)는 사상 \(K^0 \to I^{n - c}/I^{2n - c}\)을 유도한다. 도표를 추적하면 \(\varphi' = \psi \circ \text{d}_K^{-1}\)임을 알 수 있고, 앞에서와 같이 증명이 끝난다.