스킴의 극한

서론

이 장에서는 스킴의 극한과 관련된 내용을 다룬다. 주로 아핀 전이 사상을 갖는 유향 집합 위의 역계(Categories, Definition 00D3)의 극한을 연구한다. 절대 뇌터 근사를 논의한다. 기저 위에서 국소적으로 유한표현인 스킴을 그에 딸린 점 함자가 극한을 보존하는 스킴으로 특징짓는다. 절대 뇌터 근사의 응용으로, 정수적 사상 아래에서 아핀 스킴의 상이 아핀임을 증명한다. 또한 Chow 보조정리의 매우 일반적인 몇 가지 변형을 증명한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다.

아핀 전이 사상을 갖는 스킴의 유향 역극한

이 절에서는 극한을 구성한다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하자. \((S_i, f_{ii'})\)를 \(I\) 위의 스킴의 역계라 하자. 모든 스킴 \(S_i\)가 아핀이면 극한 \(S = \lim_i S_i\)는 스킴의 범주에서 존재한다. 실제로 \(S\)는 아핀이고 \(S = \Spec(\colim_i R_i)\)이며, 여기서 \(R_i = \Gamma(S_i, \mathcal{O})\)이다.

증명

\(S = \Spec(\colim_i R_i)\)로 정의하면 된다. Schemes, Lemma 01I1에 의해 \(S\)는 국소환 달린 공간의 범주에서도 극한이다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하자. \((S_i, f_{ii'})\)를 \(I\) 위의 스킴의 역계라 하자. 모든 사상 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\)가 아핀이면 극한 \(S = \lim_i S_i\)는 스킴의 범주에서 존재한다. 또한

1. 각 사상 \(f_i : S \to S_i\)는 아핀이고,

2. 원소 \(0 \in I\)와 임의의 열린 부분스킴 \(U_0 \subset S_0\)에 대해 \[f_0^{-1}(U_0) = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_0)\] 가 스킴의 범주에서 성립한다.

증명

원소 \(0 \in I\)를 택한다. 극한이 유향이므로 \(I\)는 공집합이 아니다. 각 \(i \geq 0\)에 대해 \(\mathcal{O}_{S_0}\)-대수의 준연접층 \(\mathcal{A}_i = f_{i0, *}\mathcal{O}_{S_i}\)를 생각한다. Morphisms, Lemma 01S8에 의해 \(S_i = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A}_i)\)이다. \(\mathcal{A} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{A}_i\)로 놓는다. 이는 \(\mathcal{O}_{S_0}\)-대수의 준연접층이다. Schemes, Section 01LA을 보라. \(S = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A})\)로 놓는다. Morphisms, Lemma 01SA에 의해 \(i \geq 0\)마다 전이 사상들과 양립하는 사상 \(f_i : S \to S_i\)를 얻는다. 예를 들어 Morphisms, Lemma 01SG에 의해 사상 \(f_i\)는 아핀이다. 위의 Lemma 01YW에 의해 임의의 아핀 열린집합 \(U_0 \subset S_0\)에 대해 역상 \(U = f_0^{-1}(U_0) \subset S\)는 열린집합들의 계 \(U_i = f_{i0}^{-1}(U_0)\), \(i \geq 0\)의 스킴 범주에서의 극한이다.

\(T\)를 스킴이라 하자. \(g_i : T \to S_i\)를 양립하는 사상들의 계라 하자. \(S = \lim_i S_i\)임을 보이려면 유일한 사상 \(g : T \to S\)가 존재하여 \(g_i = f_i \circ g\)를 모든 \(i \in I\)에 대해 만족함을 증명해야 한다. 각 \(t \in T\)에 대해 아핀 열린집합 \(U_0 \subset S_0\) 가운데 \(g_0(t)\)를 포함하는 것이 존재한다. 아핀 열린 근방 \(V \subset g_0^{-1}(U_0)\) 가운데 \(t\)를 포함하는 것을 택한다. 위의 논의로부터 유일한 사상 \(g_V : V \to U = f_0^{-1}(U_0)\)로서 \(f_i \circ g_V = g_i|_{U_i}\)를 모든 \(i\)에 대해 만족하는 것을 얻는다. 이렇게 구성한 열린집합 \(V \subset T\)들은 \(T\)의 위상의 기저를 이룬다. 유일성 때문에 사상 \(g_V\)들은 사상 \(g : T \to S\)로 붙는다. 이것이 원하는 사상 \(g : T \to S\)를 준다.

마지막 주장은 위의 극한 구성에서 명백하다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하자. \((S_i, f_{ii'})\)를 \(I\) 위의 스킴의 역계라 하자. 모든 사상 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\)가 아핀이라고 가정하자. \(S = \lim_i S_i\)라 하고 \(0 \in I\)라 하자. \(T\)가 \(S_0\) 위의 스킴이라고 하자. 그러면 \[T \times_{S_0} S = \lim_{i \geq 0} T \times_{S_0} S_i\] 이다.

증명

오른쪽은 Lemma 01YX에 의해 스킴이다. 등식은 형식적으로 성립한다. Categories, Lemma 002M를 보라.

무한곱

스킴의 무한곱은 일반적으로 존재하지 않는다. 예를 들어 Examples, Section 078E에서는 \(\mathbf{P}^1\)의 복사본들의 무한곱이 대수공간조차 아님을 보인다.

한편 아핀 스킴의 무한곱은 존재하며 아핀이다. Schemes, Lemma 01I1를 사용하면 이는 환의 범주에 무한 쌍대곱이 존재한다는 사실에 대응한다. 즉 \(I\)가 집합이고 \(R_i\)가 각 \(i\)에 대한 환이면 다음 환을 생각할 수 있다. \[R = \otimes R_i = \colim_{\{i_1, \ldots, i_n\} \subset I} R_{i_1} \otimes_\mathbf{Z} \ldots \otimes_\mathbf{Z} R_{i_n}\] 다른 환 \(A\)가 주어졌을 때 사상 \(R \to A\)는 환 사상 \(R_i \to A\)들의 모음, 즉 모든 \(i \in I\)에 대한 모음과 같다. 이는 유한 텐서곱의 대응하는 성질에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 집합이라 하고, 각 \(i \in I\)에 대해 \(f_i : T_i \to S\)를 아핀 사상이라 하자. 그러면 곱 \(T = \prod T_i\)는 \(S\) 위의 스킴의 범주에서 존재한다. 실제로 \[T = \lim_{\{i_1, \ldots, i_n\} \subset I} T_{i_1} \times_S \ldots \times_S T_{i_n}\] 이고, 사영 사상 \(T \to T_{i_1} \times_S \ldots \times_S T_{i_n}\)들은 아핀이다.

증명

생략한다. 힌트: 보조정리 앞의 논의처럼 논하고, 극한의 존재에는 Lemma 01YX를 사용하라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 집합이라 하고, 각 \(i \in I\)에 대해 \(f_i : T_i \to S\)를 전사 아핀 사상이라 하자. 그러면 곱 \(T = \prod T_i\)(Lemma 0CNI)는 \(S\) 위의 스킴 범주에서 존재하며 \(S\)로 전사적으로 사상된다.

증명

\(s \in S\)라 하자. 점 \(t_i \in T_i\) 가운데 \(s\)로 가는 것을 택한다. 매우 큰 체 확대 \(K/\kappa(s)\)로서 \(\kappa(s_i)\)가 \(K\)에 각 \(i\)에 대해 매장되는 것을 택한다. 그러면 사상 \(\Spec(K) \to T_i\) 가운데 상이 \(s_i\)이고 \(S\)로 가는 사상으로서 서로 일치하는 것들을 얻는다. 따라서 사상 \(\Spec(K) \to T\)를 얻으며, 이는 \(T\)의 점 가운데 \(s\)로 가는 것이 존재함을 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(I\)를 집합이라 하고, 각 \(i \in I\)에 대해 \(f_i : T_i \to S\)를 정수적 사상이라 하자. 그러면 곱 \(T = \prod T_i\)(Lemma 0CNI)는 \(S\) 위의 스킴 범주에서 존재하며 \(S\) 위에서 정수적이다.

증명

생략한다. 힌트: 아핀 조각에서는 다음 대수적 사실로 환원된다. 사상 \(A \to B_i\)가 모든 \(i\)에 대해 정수적이면 \(A \to \otimes_A B_i\)도 정수적이다.

성질의 강하

먼저 극한의 위상을 기술하는 몇 가지 기본 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(S = \lim S_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 스킴의 유향 역계의 극한 (Lemma 01YX)이라 하자. 그러면 \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\)이다. 여기서 \(S_{set}\)은 스킴 \(S\)의 바탕 집합을 뜻한다.

증명

\(i \in I\)를 택한다. 아핀 열린집합 \(U_i \subset S_i\)를 택한다. \(U_{i'} = f_{i'i}^{-1}(U_i)\) 및 \(U = f_i^{-1}(U_i)\)로 쓴다. 여기서 \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\)는 전이 사상이고, \(f_i : S \to S_i\)는 사영이다. Lemma 01YX에 의해 \(U = \lim_{i' \geq i} U_i\)이다. \(U_{set} = \lim_{i' \geq i} U_{i', set}\)임을 보일 수 있다고 하자. 그러면 \(S_i\)의 아핀 덮개를 쓰는 간단한 논증으로 보조정리가 따른다. 따라서 모든 \(S_i\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이는 다음 문단에서 다룰 대수적 문제로 환원한다.

환의 계 \((A_i, \varphi_{ii'})\)가 \(I\) 위에서 주어졌다고 하자. \(A = \colim_i A_i\)로 놓고 표준 사상을 \(\varphi_i : A_i \to A\)라 한다. 그러면 \[\Spec(A) = \lim_i \Spec(A_i)\] 이다. 실제로 소 아이디얼 \(\mathfrak p_i \subset A_i\)들이 주어지고 \(\mathfrak p_i = \varphi_{ii'}^{-1}(\mathfrak p_{i'})\)가 모든 \(i' \geq i\)에 대해 성립한다고 하자. 그러면 단순히 \[\mathfrak p = \{x \in A \mid \exists i, x_i \in \mathfrak p_i \text{ with }\varphi_i(x_i) = x\}\] 로 놓는다. 이것이 아이디얼이며 \(\varphi_i^{-1}(\mathfrak p) = \mathfrak p_i\)라는 성질을 갖는 것은 명백하다. 또한 이것이 소 아이디얼임도 쉽게 따른다.

보조정리

\(S = \lim S_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 스킴의 유향 역계의 극한 (Lemma 01YX)이라 하자. 그러면 \(S_{top} = \lim_i S_{i, top}\)이다. 여기서 \(S_{top}\)은 스킴 \(S\)의 바탕 위상공간을 뜻한다.

증명

Topology, Lemma 0A2Q의 판정법을 사용한다. Lemma 0CUE에서 \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\)임을 보았다. 사상 \(f_i : S \to S_i\)는 스킴의 사상이므로 연속이다. 따라서 \(f_i^{-1}(U_i)\)는 각 열린집합 \(U_i \subset S_i\)에 대해 열린집합이다. 마지막으로 \(s \in S\)라 하고 \(s \in V \subset S\)를 열린 근방이라 하자. \(0 \in I\)를 택하고 아핀 열린 근방 \(U_0 \subset S_0\) 가운데 \(s\)의 상을 포함하는 것을 택한다. 그러면 \(f_0^{-1}(U_0) = \lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_0)\)이다. Lemma 01YX를 보라. 또한 \(f_0^{-1}(U_0)\)와 \(f_{i0}^{-1}(U_0)\)는 아핀이고 \[\mathcal{O}_S(f_0^{-1}(U_0)) = \colim_{i \geq 0} \mathcal{O}_{S_i}(f_{i0}^{-1}(U_0))\] 이다. 이는 Lemma 01YX의 증명이나 Lemma 01YW에서 따른다. \(a \in \mathcal{O}_S(f_0^{-1}(U_0))\) 가운데 \(s \in D(a) \subset V\)를 만족하는 것을 택한다. 아핀 스킴 \(f_0^{-1}(U_0)\)의 위상에서 주 열린집합들이 기저를 이루므로 가능하다. 그런 다음 \(i \geq 0\)과 \(a_i \in \mathcal{O}_{S_i}(f_{i0}^{-1}(U_0))\) 가운데 \(a\)로 가는 것을 택할 수 있다. 따라서 \(D(a_i) \subset f_{i0}^{-1}(U_0) \subset S_i\)는 \(S\)에서의 역상이 \(D(a)\)인 열린 부분집합이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(S = \lim S_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 스킴의 유향 역계의 극한 (Lemma 01YX)이라 하자. 모든 스킴 \(S_i\)가 공집합이 아니고 준콤팩트이면 극한 \(S = \lim_i S_i\)도 공집합이 아니다.

증명

\(0 \in I\)를 택한다. 극한이 유향이므로 \(I\)는 공집합이 아니다. 아핀 열린 덮개 \(S_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)를 택한다. \(I\)가 유향이므로 어떤 \(j \in \{1, \ldots, m\}\)가 존재하여 \(f_{i0}^{-1}(U_j) \not = \emptyset\)가 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립한다. 따라서 \(\lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_j)\)는 공집합이 아니다. 실제로 영이 아닌 환들의 유향 여극한은 영이 아니다 (\(1 \not = 0\)이기 때문이다). 또한 \(\lim_{i \geq 0} f_{i0}^{-1}(U_j)\)는 극한의 열린 부분스킴이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(S = \lim S_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 스킴의 유향 역계의 극한 (Lemma 01YX)이라 하자. \(s \in S\)라 하고 그 상들을 \(s_i \in S_i\)라 하자. 그러면

1. 스킴으로서 \(s = \lim s_i\), 즉 \(\kappa(s) = \colim \kappa(s_i)\)이고,

2. 집합으로서 \(\overline{\{s\}} = \lim \overline{\{s_i\}}\)이며,

3. 스킴으로서 \(\overline{\{s\}} = \lim \overline{\{s_i\}}\)이다. 여기서 \(\overline{\{s\}}\)와 \(\overline{\{s_i\}}\)에는 축약 유도 스킴 구조를 준다.

증명

\(0 \in I\)와 아핀 열린 덮개 \(S_0 = \bigcup_{j \in J} U_{0, j}\)를 택한다. \(i \geq 0\)에 대해 \(U_{i, j} = f_{i, 0}^{-1}(U_{0, j})\)로 놓고 \(U_j = f_0^{-1}(U_{0, j})\)로 놓는다. 여기서 \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\)는 전이 사상이고, \(f_i : S \to S_i\)는 사영이다. \(j \in J\)에 대해 다음은 동치이다. (a) \(s \in U_j\), (b) \(s_0 \in U_{0, j}\), (c) \(s_i \in U_{i, j}\)가 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립한다. (a), (b), (c)가 참인 첨자들의 집합을 \(J' \subset J\)라 하자. 그러면 \(\overline{\{s\}} = \bigcup_{j \in J'} (\overline{\{s\}} \cap U_j)\)이고, \(\overline{\{s_i\}}\)도 \(i \geq 0\)에 대해 마찬가지이다. \(\overline{\{s\}} \cap U_j\)는 집합 \(\{s\}\)의 위상공간 \(U_j\)에서의 폐포이다. 마찬가지로 \(\overline{\{s_i\}} \cap U_{i, j}\)도 \(i \geq 0\)에 대해 그러하다. 따라서 \(S\)와 \(S_i\)가 모든 \(i\)에 대해 아핀인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다. 이는 다음 문단의 대수적 문제로 환원한다.

환의 계 \((A_i, \varphi_{ii'})\)가 \(I\) 위에서 주어졌다고 하자. \(A = \colim_i A_i\)로 놓고 표준 사상을 \(\varphi_i : A_i \to A\)라 한다. 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)를 택하고 \(\mathfrak p_i = \varphi_i^{-1}(\mathfrak p)\)로 놓는다. 그러면 \[V(\mathfrak p) = \lim_i V(\mathfrak p_i)\] 이다. 이는 \(A/\mathfrak p = \colim A_i/\mathfrak p_i\)이므로 Lemma 0CUE에서 따른다. 이 환들의 등식은 축약 유도 스킴 구조에 관한 마지막 주장도 참임을 보인다. 등식 \(\kappa(\mathfrak p) = \colim \kappa(\mathfrak p_i)\)도 이 주장으로부터 따른다.

이 절의 나머지에서는 다음 상황에서 작업한다.

설정

\(S = \lim_{i \in I} S_i\)를 아핀 전이 사상 \(f_{i'i} : S_{i'} \to S_i\)를 갖는 스킴의 유향 계의 극한 (Lemma 01YX)이라 하자. \(S_i\)가 모든 \(i \in I\)에 대해 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. \(f_i : S \to S_i\)를 사영이라 한다. 또한 원소 \(0 \in I\)를 택한다.

이 상황에서 사상 \(S \to S_0\)는 아핀이다. 따라서 \(S\)는 준콤팩트이고 준분리이다¹. 우리가 찾는 결과의 유형은 다음과 같다. \(S\) 위의 대상이 있으면 어떤 \(i\)에 대해 \(S_i\) 위에 비슷한 대상이 있다.

보조정리

Situation 086P에서 다음이 성립한다.

1. \(S_{set} = \lim_i S_{i, set}\)이다. 여기서 \(S_{set}\)은 스킴 \(S\)의 바탕 집합을 뜻한다.

2. \(S_{top} = \lim_i S_{i, top}\)이다. 여기서 \(S_{top}\)은 스킴 \(S\)의 바탕 위상공간을 뜻한다.

3. \(s, s' \in S\)이고 \(s'\)가 \(s\)의 특수화가 아니면, 어떤 \(i \in I\)에 대해 상 \(s'_i \in S_i\)(즉 \(s'\)의 상)는 상 \(s_i \in S_i\)(즉 \(s\)의 상)의 특수화가 아니다.

4. 여기에 \(S\)의 위상에 관한 쉬운 사실을 더 추가하라. (요건: 추가되는 것은 아핀인 경우에 쉬워야 한다.)

증명

(1)은 Lemma 0CUE의 특수한 경우이다.

(2)는 Lemma 0CUF의 특수한 경우이다.

(3)은 Lemma 0CUG의 특수한 경우이다.

보조정리

Situation 086P에서 생각하자. \(\mathcal{F}_0\)를 \(S_0\) 위의 준연접층이라 하자. \(\mathcal{F}_i = f_{i0}^*\mathcal{F}_0\)로 \(i \geq 0\)에 대해 놓고 \(\mathcal{F} = f_0^*\mathcal{F}_0\)로 놓는다. 그러면 \[\Gamma(S, \mathcal{F}) = \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_i, \mathcal{F}_i)\] 이다.

증명

\(\mathcal{A}_j = f_{i0, *} \mathcal{O}_{S_i}\)로 쓴다. 이는 \(\mathcal{O}_{S_0}\)-대수의 준연접층이고(Morphisms, Lemma 01SA를 보라), \(S_i\)는 \(\mathcal{A}_i\)의 \(S_0\) 위 상대 스펙트럼이다. Lemma 01YX의 증명에서 \(S\)를 \(\mathcal{A} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{A}_i\)의 \(S_0\) 위 상대 스펙트럼으로 구성하였다. 다음과 같이 놓는다. \[\mathcal{M}_i = \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{A}_i\] 그리고 \[\mathcal{M} = \mathcal{F}_0 \otimes_{\mathcal{O}_{S_0}} \mathcal{A}.\] 그러면 \(f_{i0, *} \mathcal{F}_i = \mathcal{M}_i\)이고 \(f_{0, *}\mathcal{F} = \mathcal{M}\)이다. \(\mathcal{A}\)는 층 \(\mathcal{A}_i\)들의 여극한이고 텐서곱은 유향 여극한과 가환하므로 \(\mathcal{M} = \colim_{i \geq 0} \mathcal{M}_i\)이다. \(S_0\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 \[\begin{eqnarray*} \Gamma(S, \mathcal{F}) & = & \Gamma(S_0, \mathcal{M}) \\ & = & \Gamma(S_0, \colim_{i \geq 0} \mathcal{M}_i) \\ & = & \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_0, \mathcal{M}_i) \\ & = & \colim_{i \geq 0} \Gamma(S_i, \mathcal{F}_i) \end{eqnarray*}\] 이다. 중간 등식에는 Sheaves, Lemma 009F 및 Topology, Lemma 0069를 보라.

보조정리

Situation 086P에서 생각하자. 각 \(i\)에 대해 공집합이 아닌 닫힌 부분집합 \(Z_i \subset S_i\)가 주어지고, \(f_{i'i}(Z_{i'}) \subset Z_i\)가 모든 \(i' \geq i\)에 대해 성립한다고 하자. 그러면 점 \(s \in S\)가 존재하여 \(f_i(s) \in Z_i\)가 모든 \(i\)에 대해 성립한다.

증명

\(Z_i \subset S_i\)에 딸린 축약 닫힌 부분스킴도 \(Z_i\)로 쓴다. Schemes, Definition 01J4을 보라. 닫힌 몰입은 아핀이고 아핀 사상의 합성은 아핀이므로 (Morphisms, Lemmas 01SE 및 01SC를 보라), \(Z_{i'} \to S_i\)는 \(i' \geq i\)이면 아핀이다. 따라서 Morphisms, Lemma 01SG에 의해 \(f_{i'i} : Z_{i'} \to Z_i\)는 아핀이다. 각 스킴 \(Z_i\)는 준콤팩트 스킴의 닫힌 부분스킴이므로 준콤팩트이다. 따라서 Lemma 01Z2를 적용하면 \(Z = \lim_i Z_i\)가 공집합이 아님을 알 수 있다. 표준 사상 \(Z \to S\)가 있으므로 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 086P에서 생각하자. 어떤 \(i\)와 사상 \(T \to S_i\)가 주어지고 다음을 만족한다고 하자.

1. \(T \times_{S_i} S = \emptyset\)이고,

2. \(T\)는 준콤팩트이다.

그러면 \(T \times_{S_i} S_{i'} = \emptyset\)가 충분히 큰 모든 \(i'\)에 대해 성립한다.

증명

Lemma 01YZ에 의해 \(T \times_{S_i} S = \lim_{i' \geq i} T \times_{S_i} S_{i'}\)이다. 따라서 결과는 Lemma 01Z2에서 따른다.

보조정리

Situation 086P에서 생각하자. 어떤 \(i\)와 국소 구성가능 부분집합 \(E \subset S_i\)가 주어지고 \(f_i(S) \subset E\)라고 하자. 그러면 \(f_{i'i}(S_{i'}) \subset E\)가 충분히 큰 모든 \(i'\)에 대해 성립한다.

증명

\(S_i\)를 유한 개의 아핀 열린 부분스킴의 합집합으로 쓰면 \(S_i\)가 아핀이고 \(E\)가 구성가능인 경우로 환원된다. Lemma 01YX 및 Properties, Lemma 054C을 보라. 이 경우 여집합 \(S_i \setminus E\)도 구성가능하다. 따라서 아핀 스킴 \(T\)와 사상 \(T \to S_i\)가 존재하며 그 상은 \(S_i \setminus E\)이다. Algebra, Lemma 00F8를 보라. Lemma 05F3에 의해 \(T \times_{S_i} S_{i'}\)는 충분히 큰 모든 \(i'\)에 대해 공집합이고, 따라서 \(f_{i'i}(S_{i'}) \subset E\)가 충분히 큰 모든 \(i'\)에 대해 성립한다.

보조정리

Situation 086P에서 다음이 성립한다.

1. 임의의 준콤팩트 열린집합 \(V \subset S = \lim_i S_i\)가 주어지면 어떤 \(i \in I\)와 준콤팩트 열린집합 \(V_i \subset S_i\)가 존재하여 \(f_i^{-1}(V_i) = V\)이다.

2. 준콤팩트 열린집합 \(V_i \subset S_i\) 및 \(V_{i'} \subset S_{i'}\)가 주어지고 \(f_i^{-1}(V_i) = f_{i'}^{-1}(V_{i'})\)라고 하자. 그러면 어떤 첨자 \(i'' \geq i, i'\)가 존재하여 \(f_{i''i}^{-1}(V_i) = f_{i''i'}^{-1}(V_{i'})\)이다.

3. \(V_{1, i}, \ldots, V_{n, i} \subset S_i\)가 준콤팩트 열린집합들이고 \(S = f_i^{-1}(V_{1, i}) \cup \ldots \cup f_i^{-1}(V_{n, i})\)이면 \(S_{i'} = f_{i'i}^{-1}(V_{1, i}) \cup \ldots \cup f_{i'i}^{-1}(V_{n, i})\)가 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 성립한다.

증명

\(i_0 \in I\)를 택한다. 극한이 유향이므로 \(I\)는 공집합이 아니다. 편의상 \(S_0 = S_{i_0}\) 및 \(i_0 = 0\)으로 쓴다. 아핀 열린 덮개 \(S_0 = U_{1, 0} \cup \ldots \cup U_{m, 0}\)을 택한다. \(U_{j, i} \subset S_i\)를 \(U_{j, 0}\)의 전이 사상 아래 역상으로 \(i \geq 0\)에 대해 정의한다. \(U_j\)를 \(U_{j, 0}\)의 \(S\)에서의 역상이라 한다. \(U_j = \lim_i U_{j, i}\)는 아핀 스킴들의 극한이다.

먼저 유일성 주장을 증명한다. 준콤팩트 열린집합 \(V_i \subset S_i\)와 \(V_{i'} \subset S_{i'}\)가 \(f_i^{-1}(V_i) = f_{i'}^{-1}(V_{i'})\)를 만족한다고 하자. \(f_{i''i}^{-1}(V_i \cap U_{j, i''})\)와 \(f_{i''i'}^{-1}(V_{i'} \cap U_{j, i''})\)가 충분히 큰 \(i''\)에 대해 같아짐을 보이면 충분하다. 따라서 아핀 스킴들의 극한인 경우로 환원된다. 이 경우 \(S = \Spec(R)\) 및 \(S_i = \Spec(R_i)\)로 모든 \(i \in I\)에 대해 쓴다. \(V_i = S_i \setminus V(h_1, \ldots, h_m)\) 및 \(V_{i'} = S_{i'} \setminus V(g_1, \ldots, g_n)\)로 쓸 수 있다. 가정은 아이디얼 \(\sum g_jR\)과 \(\sum h_jR\)의 \(R\)에서의 근기가 같다는 뜻이다. 이는 \(g_j^N = \sum a_{jj'}h_{j'}\) 및 \(h_j^N = \sum b_{jj'} g_{j'}\)가 어떤 \(N \gg 0\)과 \(a_{jj'}\) 및 \(b_{jj'}\)(이들은 \(R\)의 원소이다)에 대해 성립한다는 뜻이다. \(R = \colim_i R_i\)이므로 어떤 첨자 \(i'' \geq i\)를 택하여 등식 \(g_j^N = \sum a_{jj'}h_{j'}\) 및 \(h_j^N = \sum b_{jj'} g_{j'}\)가 \(R_{i''}\)에서 어떤 \(a_{jj'}\)와 \(b_{jj'}\)(이들은 \(R_{i''}\)의 원소이다)에 대해 성립하게 할 수 있다. 이는 아이디얼 \(\sum g_jR_{i''}\)과 \(\sum h_jR_{i''}\)가 \(R_{i''}\)에서 같은 근기를 가짐을 뜻하며, 이것이 원하는 바이다.

존재성을 증명한다. \(S_0\)가 아핀이면 \(S_i = \Spec(R_i)\)가 모든 \(i \geq 0\)에 대해 성립하고, \(S = \Spec(R)\)이며 \(R = \colim R_i\)이다. 이때 \(V = S \setminus V(g_1, \ldots, g_n)\)가 어떤 \(g_1, \ldots, g_n \in R\)에 대해 성립한다. 충분히 큰 임의의 \(i\)를 택하여 각 \(g_j\)가 어떤 원소 \(g_{j, i} \in R_i\)에서 오게 하고 \(V_i = S_i \setminus V(g_{1, i}, \ldots, g_{n, i})\)로 놓는다. \(S_0\)가 일반적이면 열린집합 \(V \cap U_j\)는 \(S\)가 준분리이므로 준콤팩트이다. 따라서 아핀인 경우에 의해 각 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 어떤 \(i_j \in I\)와 준콤팩트 열린집합 \(V_{i_j} \subset U_{j, i_j}\)가 존재하며, \(U_j\)에서의 그 역상은 \(V \cap U_j\)이다. \(i = \max(i_1, \ldots, i_m)\)로 놓고 \(V_i = \bigcup f_{ii_j}^{-1}(V_{i_j})\)로 놓는다.

덮개에 관한 주장은 열린집합 \(V_{1, i} \cup \ldots \cup V_{n, i}\)와 \(S_i\)에, 즉 \(S_i\)의 두 열린집합에 유일성 주장을 적용하면 따른다.

보조정리

Situation 086P에서 \(S\)가 준아핀이면 어떤 \(i_0 \in I\)가 존재하여 스킴 \(S_i\)들은 \(i \geq i_0\)에 대해 준아핀이다.

증명

\(i_0 \in I\)를 택한다. 극한이 유향이므로 \(I\)는 공집합이 아니다. 편의상 \(S_0 = S_{i_0}\) 및 \(i_0 = 0\)으로 쓴다. \(s \in S\)라 하자. 아핀 열린집합 \(U_0 \subset S_0\) 가운데 \(f_0(s)\)를 포함하는 것을 택할 수 있다. \(S\)가 준아핀이므로 \(a \in \Gamma(S, \mathcal{O}_S)\)를 택하여 \(s \in D(a) \subset f_0^{-1}(U_0)\)이고 \(D(a)\)가 아핀이 되게 할 수 있다. Lemma 01Z0에 의해 어떤 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(a\)는 어떤 원소 \(a_i \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\)에서 온다. 임의의 첨자 \(j \geq i\)에 대해 \(a_j\)를 \(a_i\)의 \(S_j\) 구조층 대역 단면에서의 상이라 한다. 열린집합 \(D(a_j) \subset S_j\)와 \(U_j = f_{j0}^{-1}(U_0)\)를 생각하자. \(U_j\)는 아핀이고 \(D(a_j)\)는 \(S_j\)의 준콤팩트 열린집합이다. 예를 들어 Properties, Lemma 01PV을 보라. 따라서 열린집합 \(U_j\)와 \(U_j \cup D(a_j)\)에 Lemma 01Z4를 적용하면 \(D(a_j) \subset U_j\)가 어떤 \(j \geq i\)에 대해 성립함을 얻는다. 이러한 첨자 \(j\)에 대해 \(D(a_j) \subset S_j\)는 아핀 열린집합이다 (\(D(a_j)\)는 아핀 열린집합 \(U_j\)의 표준 아핀 열린집합이기 때문이다). 이 열린집합은 \(f_j(s)\)를 포함한다.

따라서 모든 \(s \in S\)에 대해 첨자 \(i \in I\)와 대역 단면 \(a \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\)가 존재하여 \(D(a) \subset S_i\)는 \(f_i(s)\)를 포함하는 아핀 열린집합이다. \(S\)가 준콤팩트이므로 하나의 첨자 \(i \in I\)와 대역 단면들 \(a_1, \ldots, a_m \in \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i})\)을 택하여 각 \(D(a_j) \subset S_i\)가 아핀 열린집합이고 사상 \(f_i : S \to S_i\)의 상이 합집합 \(W_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(a_j)\)에 포함되게 할 수 있다. \(i' \geq i\)에 대해 \(W_{i'} = f_{i'i}^{-1}(W_i)\)로 놓는다. \(f_i^{-1}(W_i)\)는 \(S\) 전체이므로(다시 Lemma 01Z4에 의해) 적당한 \(i' \geq i\)에 대해 \(S_{i'} = W_{i'}\)이다. 따라서 \(i\)를 \(i'\)로 바꾸어 \(S_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} D(a_j)\)라고 가정할 수 있다. 이는 \(\mathcal{O}_{S_i}\)가 \(S_i\) 위의 풍부한 가역층임을 뜻한다 (Properties, Definition 01PS을 보라). 따라서 Properties, Lemma 01QE에 의해 \(S_i\)는 준아핀이고, 결론을 얻는다.

보조정리

Situation 086P에서 \(S\)가 아핀이면 어떤 \(i_0 \in I\)가 존재하여 스킴 \(S_i\)들은 \(i \geq i_0\)에 대해 아핀이다.

증명

Lemma 01Z5에 의해 \(S_0\)가 어떤 \(0 \in I\)에 대해 준아핀이라고 가정할 수 있다. \(R_0 = \Gamma(S_0, \mathcal{O}_{S_0})\)로 놓는다. 그러면 \(S_0\)는 \(T_0 = \Spec(R_0)\)의 준콤팩트 열린집합이다. 대응하는 준콤팩트 열린 몰입을 \(j_0 : S_0 \to T_0\)라 한다. \(i \geq 0\)에 대해 \(\mathcal{A}_i = f_{i0, *}\mathcal{O}_{S_i}\)로 놓는다. \(f_{i0}\)가 아핀이므로 \(S_i = \underline{\Spec}_{S_0}(\mathcal{A}_i)\)이다. \(T_i = \underline{\Spec}_{T_0}(j_{0, *}\mathcal{A}_i)\)로 놓는다. 그러면 \(T_i \to T_0\)는 아핀이고, 따라서 \(T_i\)는 아핀이다. 즉 \(T_i\)는 다음 환의 스펙트럼이다. \[R_i = \Gamma(T_0, j_{0, *}\mathcal{A}_i) = \Gamma(S_0, \mathcal{A}_i) = \Gamma(S_i, \mathcal{O}_{S_i}).\] \(S = \Spec(R)\)로 쓴다. Lemma 01Z0에 의해 \(R = \colim_i R_i\)이다. 따라서 또한 \(S = \lim_i T_i\)이다. 상대 스펙트럼의 형성은 기저변환과 가환하므로 열린집합 \(S_0 \subset T_0\)의 \(T_i\)에서의 역상은 \(S_i\)이다. \(Z_0 = T_0 \setminus S_0\)라 하고 \(Z_i \subset T_i\)를 \(Z_0\)의 역상이라 하자. \(S_i = T_i \setminus Z_i\)이므로 \(Z_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 공집합임을 보이면 충분하다. 모순을 위해 \(Z_i\)가 모든 \(i\)에 대해 공집합이 아니라고 하자. Lemma 01Z3에 의해 점 \(s\)가 \(S = \lim T_i\)에 존재하여 \(Z_i\)의 한 점으로 모든 \(i\)에 대해 간다. 그러나 \(S = \lim_i S_i\)이므로 Lemma 01YY에 의해 모순이다.

보조정리

Situation 086P에서 \(S\)가 분리이면 어떤 \(i_0 \in I\)가 존재하여 스킴 \(S_i\)들은 \(i \geq i_0\)에 대해 분리이다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(S_0 = U_{0, 1} \cup \ldots \cup U_{0, m}\)을 택한다. \(U_{i, j} \subset S_i\) 및 \(U_j \subset S\)를 \(U_{0, j}\)의 역상으로 놓는다. \(U_{i, j}\)와 \(U_j\)는 아핀이다. \(S\)가 분리이므로 교집합 \(U_{j_1} \cap U_{j_2}\)는 아핀이다. \(U_{j_1} \cap U_{j_2} = \lim_{i \geq 0} U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2}\)이므로 Lemma 01Z6에 의해 \(U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2}\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀이다. 이제 \(S_i\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 분리임을 보이려면 다음 사상이 \[\mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_1}) \otimes_{\mathcal{O}_S(S)} \mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_2}) \longrightarrow \mathcal{O}_{S_i}(U_{i, j_1} \cap U_{i, j_2})\] 충분히 큰 \(i\)에 대해 전사임을 보이면 충분하다 (Schemes, Lemma 01KP).

번거로운 첨자를 없애기 위해 아핀 열린집합 \(U, V \subset S_0\)가 주어지고 \(U \cap V\)도 아핀이라고 가정하자. \(U_i, V_i \subset S_i\), 각각 \(U, V \subset S\)를 역상이라 하자. \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i) \to \mathcal{O}(U_i \cap V_i)\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 전사임을 보여야 하고, \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U \cap V)\)가 전사임을 알고 있다. 사상 \(\mathcal{O}(U_0) \otimes \mathcal{O}(V_0) \to \mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\)는 유한형이다. 실제로 대각 사상 \(S_i \to S_i \times S_i\)는 몰입이므로(Schemes, Lemma 01KJ) 국소적으로 유한형이다 (Morphisms, Lemmas 01T2 및 01T5). 따라서 원소 \(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, n} \in \mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\)로서 \(\mathcal{O}(U_0 \cap V_0)\)를 \(\mathcal{O}(U_0) \otimes \mathcal{O}(V_0)\) 위에서 생성하는 것들을 택할 수 있다. \(i \geq 0\)에 대해 스킴의 그림 \[\xymatrix{ U_i \cap V_i \ar[r] \ar[d] & U_i \ar[d] \\ U_0 \cap V_0 \ar[r] & U_0 }\] 은 데카르트이다. 따라서 상 \(f_{i, 1}, \ldots, f_{i, n} \in \mathcal{O}(U_i \cap V_i)\)는 \(\mathcal{O}(U_i \cap V_i)\)를 \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_0)\) 위에서 생성하고, 더욱이 \(\mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i)\) 위에서도 생성한다. 가정에 의해 상 \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{O}(U \otimes V)\)는 사상 \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) \to \mathcal{O}(U \cap V)\)의 상에 속한다. 다음 등식이 성립하므로 \(\mathcal{O}(U) \otimes \mathcal{O}(V) = \colim \mathcal{O}(U_i) \otimes \mathcal{O}(V_i)\) 이므로 이들은 어떤 유한 단계에서 사상의 상에 속하며, 보조정리가 증명되었다.

보조정리

Situation 086P에서 \(\mathcal{L}_0\)를 \(S_0\) 위의 가역 가군층이라 하자. 당김 \(\mathcal{L}\)(즉 \(S\)로의 당김)이 풍부하면 어떤 \(i \in I\)에 대해 당김 \(\mathcal{L}_i\)(즉 \(S_i\)로의 당김)가 풍부하다.

증명

가정은 유한 개의 단면 \(s_1, \ldots, s_m \in \Gamma(S, \mathcal{L})\)가 존재하여 \(S_{s_j}\)가 아핀이고 \(S = \bigcup S_{s_j}\)임을 뜻한다. Properties, Definition 01PS을 보라. Lemma 01Z0에 의해 어떤 \(i \in I\)와 단면 \(s_{i, j} \in \Gamma(S_i, \mathcal{L}_i)\) 가운데 \(s_j\)로 가는 것을 찾을 수 있다. Lemma 01Z6에 의해 \(i\)를 키운 뒤 \((S_i)_{s_{i, j}}\)가 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 아핀이라고 가정할 수 있다. Lemma 01Z4에 의해 마지막으로 \(i\)를 한 번 더 키운 뒤 \(S_i = \bigcup (S_i)_{s_{i, j}}\)라고 가정할 수 있다. 그러면 정의에 의해 \(\mathcal{L}_i\)는 풍부하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 \(S\) 위 스킴들의 유향 극한이라 하자. \(Y \to X\)를 \(S\) 위 스킴의 사상이라 하자.

1. \(Y \to X\)가 닫힌 몰입이고 \(X_i\)가 준콤팩트이며 \(Y\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이면, \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다.

2. \(Y \to X\)가 몰입이고 \(X_i\)가 준분리이며 \(Y \to S\)가 국소적으로 유한형이고 \(Y\)가 준콤팩트이면, \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 몰입이다.

3. \(Y \to X\)가 동형사상이고 \(X_i\)가 준콤팩트이며 \(X_i \to S\)가 국소적으로 유한형이고, 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)가 닫힌 몰입이며 \(Y \to S\)가 국소적으로 유한표현이면 \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 동형사상이다.

증명

(1)의 증명. \(0 \in I\)와 유한 아핀 열린 덮개 \(X_0 = U_{0, 1} \cup \ldots \cup U_{0, m}\)을 택하되, \(U_{0, j}\)가 아핀 열린집합 \(W_j \subset S\)로 사상되게 한다. \(V_j \subset Y\), 각각 \(U_{i, j} \subset X_i\), \(i \geq 0\), 각각 \(U_j \subset X\)를 \(U_{0, j}\)의 역상이라 하자. \(V_j \to U_{i, j}\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입임을 보이면 충분하며, \(V_j \to U_j\)가 닫힌 몰입임을 알고 있다. 따라서 다음 대수적 사실로 환원된다. \(A = \colim A_i\)가 \(R\)-대수들의 유향 여극한이고, \(A \to B\)가 \(R\)-대수의 전사이며, \(B\)가 유한생성 \(R\)-대수이면 \(A_i \to B\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 전사이다.

(2)의 증명. \(0 \in I\)를 택한다. 준콤팩트 열린집합 \(X'_0 \subset X_0\)를 택하여 \(Y \to X_0\)가 \(X'_0\)를 통과하게 한다. \(X_i\)를 \(X'_0\)의 역상으로 \(i \geq 0\)에 대해 바꾼 뒤 모든 \(X_i'\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정할 수 있다. \(U \subset X\)를 준콤팩트 열린집합으로 택하여 \(Y \to X\)가 닫힌 몰입 \(Y \to U\)를 통과하게 한다(\(U\)는 \(Y\)가 준콤팩트이므로 존재한다). Lemma 01Z4에 의해 \(U = \lim U_i\)이고 \(U_i \subset X_i\)가 준콤팩트 열린집합이라고 가정할 수 있다. (1)에 의해 \(Y \to U_i\)는 어떤 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다. 따라서 (2)가 성립한다.

(3)의 증명. (1)의 증명에서처럼 \(X_0\) 위에서 어떤 \(0 \in I\)에 대해 아핀 국소적으로 작업하면 다음 대수적 사실로 환원된다. \(A = \lim A_i\)가 전사 전이 사상을 갖는 \(R\)-대수들의 유향 여극한이고 \(A\)가 \(A_0\) 위에서 유한표현이면 \(A = A_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 성립한다. 실제로 \(A = A_0/(f_1, \ldots, f_n)\)로 쓴다. \(i\)를 택하여 \(f_1, \ldots, f_n\)이 전사 \(A_0 \to A_i\) 아래에서 영으로 가게 한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 \(S\) 위 스킴들의 유향 극한이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(S\)는 준분리이고,

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

3. \(X \to S\)는 분리이다.

그러면 \(X_i \to S\)는 충분히 큰 모든 \(i\)에 대해 분리이다.

증명

\(0 \in I\)라 하자. 극한이 유향이므로 \(I\)는 공집합이 아니다. \(X_0\)가 준콤팩트이므로 유한 개의 아핀 열린집합 \(U_1, \ldots, U_n \subset S\)를 찾아 \(X_0 \to S\)의 상이 \(U_1 \cup \ldots \cup U_n\)에 포함되게 할 수 있다. \(h_i : X_i \to S\)를 구조 사상이라 한다. 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 사상 \(h_i^{-1}(U_j) \to U_j\)들이 \(j = 1, \ldots, n\)에 대해 분리임을 확인하면 충분하다. \(S\)가 준분리이므로 사상 \(U_j \to S\)는 준콤팩트이다. 따라서 \(h_i^{-1}(U_j)\)는 준콤팩트이고 준분리이다. 이렇게 \(S\)가 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우 \(X_i\)가 분리임을 보여야 하며 \(X\)가 분리임을 알고 있다. 따라서 보조정리는 Lemma 086Q에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 \(S\) 위 스킴들의 유향 극한이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(S\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이고,

3. \(X \to S\)는 아핀이다.

그러면 \(X_i \to S\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀이다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\)를 택한다. \(f : X \to S\) 및 \(f_i : X_i \to S\)를 구조 사상이라 한다. 각 \(j\)에 대해 스킴 \(f^{-1}(V_j) = \lim_i f_i^{-1}(V_j)\)는 아핀이다(유한 사상은 정의에 의해 아핀이기 때문이다). 따라서 Lemma 01Z6에 의해 어떤 \(i \in I\)가 존재하여 각 \(f_i^{-1}(V_j)\)가 아핀이다. 다시 말해 \(f_i : X_i \to S\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀이다. Morphisms, Lemma 01S8을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 \(S\) 위 스킴들의 유향 극한이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(S\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이고,

3. 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 유한이며,

4. \(X_i \to S\)는 국소적으로 유한형이고,

5. \(X \to S\)는 정수적이다.

그러면 \(X_i \to S\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 유한이다.

증명

Lemma 09ZM에 의해 \(X_i \to S\)가 모든 \(i\)에 대해 아핀이라고 가정할 수 있다. 유한 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\)를 택한다. \(f : X \to S\) 및 \(f_i : X_i \to S\)를 구조 사상이라 한다. 어떤 \(i\)가 존재하여 \(f_i^{-1}(V_j)\)가 \(V_j\) 위에서 유한임을 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 보이면 충분하다 (Morphisms, Lemma 01WI). 실제로 \(i' \geq i\)이면 합성 \(X_{i'} \to X_i \to S\)는 유한 사상들의 합성이므로 유한이다(Morphisms, Lemma 01WK). 이는 아핀인 경우로 환원한다. \(R\)을 환이라 하고 \(A = \colim A_i\)라 하자. \(R \to A\)는 정수적이고 \(A_i \to A_{i'}\)는 모든 \(i \leq i'\)에 대해 유한이라고 하자. 또한 \(R \to A_i\)는 모든 \(i\)에 대해 유한형이라고 하자. 목표는 \(A_i\)가 \(R\) 위에서 유한임을 어떤 \(i\)에 대해 보이는 것이다. 이를 위해 \(i \in I\)를 택하고 생성원 \(x_1, \ldots, x_m \in A_i\)를 \(A_i\)의 \(R\)-대수 생성원으로 택한다. \(A\)가 \(R\) 위에서 정수적이므로 단일 다항식 \(P_j \in R[T]\)를 찾아 \(P_j(x_j) = 0\)이 \(A\)에서 성립하게 할 수 있다. 따라서 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(P_j(x_j) = 0\)이 \(A_{i'}\)에서 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 성립한다. \(A'_i\)를 \(A_i\)의 \(A_{i'}\)에서의 상이라 하자. 이는 \(R\) 위에서 유한이다(Algebra, Lemma 02JJ). \(A'_i \subset A_{i'}\)도 유한이므로 \(A_{i'}\)가 \(R\) 위에서 유한임을 Algebra, Lemma 00GL에 의해 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 \(S\) 위 스킴들의 유향 극한이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(S\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이고,

3. 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 닫힌 몰입이며,

4. \(X_i \to S\)는 국소적으로 유한형이고,

5. \(X \to S\)는 닫힌 몰입이다.

그러면 \(X_i \to S\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다.

증명

Lemma 09ZM에 의해 \(X_i \to S\)가 모든 \(i\)에 대해 아핀이라고 가정할 수 있다. 유한 아핀 열린 덮개 \(S = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} V_j\)를 택한다. \(f : X \to S\) 및 \(f_i : X_i \to S\)를 구조 사상이라 한다. 어떤 \(i\)가 존재하여 \(f_i^{-1}(V_j)\)가 \(V_j\)의 닫힌 부분스킴임을 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 보이면 충분하다 (Morphisms, Lemma 01QO). 이는 아핀인 경우로 환원한다. \(R\)을 환이라 하고 \(A = \colim A_i\)라 하자. \(R \to A\)는 전사이고 \(A_i \to A_{i'}\)는 모든 \(i \leq i'\)에 대해 전사라고 하자. 또한 \(R \to A_i\)는 모든 \(i\)에 대해 유한형이라고 하자. 목표는 \(R \to A_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 전사임을 보이는 것이다. 이를 위해 \(i \in I\)를 택하고 생성원 \(x_1, \ldots, x_m \in A_i\)를 \(A_i\)의 \(R\)-대수 생성원으로 택한다. \(R \to A\)가 전사이므로 \(r_j \in R\)를 찾아 \(r_j\)가 \(x_j\)로 \(A\)에서 가게 할 수 있다. 따라서 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(r_j\)가 \(x_j\)의 상으로 \(A_{i'}\)에서 \(j = 1, \ldots, m\)에 대해 간다. \(A_i \to A_{i'}\)가 전사이므로 이는 \(R \to A_{i'}\)가 전사임을 뜻한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 \(S\) 위 스킴들의 유향 극한이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(S\)는 준분리이고,

2. \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

3. 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 닫힌 몰입이고,

4. \(X_i \to S\)는 국소적으로 유한형이며,

5. \(X \to S\)는 몰입이다.

그러면 \(X_i \to S\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 몰입이다.

증명

열린 부분스킴 \(U \subset S\)를 택하여 \(X \to S\)가 닫힌 몰입 \(X \to U\)와 포함 사상 \(U \to S\)의 합성으로 분해되게 한다. \(X\)가 준콤팩트이므로 \(U\)를 줄여 \(U\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다. \(V_i \subset X_i\)를 \(U\)의 역상이라 한다. \(V_i\)를 당기면 \(X\)가 되므로 Lemma 01Z4에 의해 \(V_i = X_i\)가 충분히 큰 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 따라서 \(X = \lim X_i\)라고 \(U\) 위 스킴의 범주에서 가정할 수 있다. 그러면 Lemma 0A0N에 의해 \(X_i \to U\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 닫힌 몰입이다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

절대 뇌터 근사

이 절에 대한 좋은 참고문헌은 Thomason과 Trobaugh의 논문 [TT]의 Appendix C이다. 유향계에 관한 우리의 규약은 Categories, Section 002Z을 보라. 이하에서는 Section 01YV의 극한 존재 결과와 성질을 별도의 언급 없이 사용한다.

보조정리

\(W\)를 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형인 준아핀 스킴이라 하자. \(W \to \Spec(R)\)가 아핀 스킴으로의 열린 몰입이라고 가정하자. 그러면 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수 \(A \subset R\)가 존재하며, 이는 열린 몰입 \(W \to \Spec(A)\)를 유도한다. 더 나아가 \(R\)은 이러한 부분대수들의 유향 여극한이다.

증명

아핀 열린 덮개 \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\)를 택하되, 각 \(W_i\)가 \(\Spec(R)\)의 표준 아핀 열린집합이 되게 한다. 다시 말해 \(W_i = \Spec(R_i)\)로 쓰면 \(R_i = R_{f_i}\)이고, 여기서 \(f_i \in R\)이다. 유한 개의 \(x_{ij} \in R_i\)를 택하여 이들이 \(R_i\)를 \(\mathbf{Z}\) 위에서 생성하게 한다. \(N \gg 0\)을 택하여 각 \(f_i^Nx_{ij}\)가 \(R\)의 원소에서 오게 하고, 그 원소를 \(y_{ij} \in R\)라 하자. \(A\)를 \(\mathbf{Z}\)-대수 중 \(f_i\)와 \(y_{ij}\) 및 (선택적으로) \(R\)의 유한 개의 추가 원소로 생성되는 것으로 두자. 그러면 \(A\)가 원하는 성질을 갖는다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

환들의 데카르트 도식 \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ B'\ar[u] \ar[r] & R' \ar[u]_t }\] 이 주어졌다고 하자. \(W' \subset \Spec(R')\)를 \(W' = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) 꼴의 열린집합이라 하자. \(t(f_i) = s(g_i)\)를 만족하는 어떤 \(g_i \in B\)에 대해 \(B_{g_i} \cong R_{s(g_i)}\)라고 가정한다. 그러면 \(B' \to R'\)는 \(W'\)에서 \(\Spec(B')\)로의 열린 몰입을 유도한다.

증명

\(h_i = (g_i, f_i) \in B'\)라 두자. More on Algebra, Lemma 01Z8에 의해 원하는 대로 \((B')_{h_i} \cong (R')_{f_i}\)이다.

다음 보조정리는 뇌터 근사의 정확한 진술이다.

보조정리

\(S\)를 준콤팩트이고 준분리인 스킴이라 하자. \(V \subset S\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(I\)를 유향 집합이라 하고 \((V_i, f_{ii'})\)를 \(I\) 위 스킴들의 역계라 하자. 전이 사상은 아핀이고, 각 \(V_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이며, \(V = \lim V_i\)라고 가정한다. 그러면 다음이 존재한다.

1. 유향 집합 \(J\),

2. 스킴들의 역계 \((S_j, g_{jj'})\) (첨자 집합은 \(J\)),

3. 순서 보존 사상 \(\alpha : J \to I\),

4. 열린 부분스킴 \(V'_j \subset S_j\), 그리고

5. 동형사상 \(V'_j \to V_{\alpha(j)}\).

이들은 다음을 만족한다.

1. 전이 사상 \(g_{jj'} : S_j \to S_{j'}\)는 아핀이고,

2. 각 \(S_j\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이고,

3. \(g_{jj'}^{-1}(V'_{j'}) = V'_j\)이고,

4. \(S = \lim S_j\)이고 \(V = \lim V'_j\)이며,

5. 도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ V \ar[d] \ar[rd] \\ V'_j \ar[r] & V_{\alpha(j)} } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ V'_j \ar[r] \ar[d] & V_{\alpha(j)} \ar[d] \\ V'_{j'} \ar[r] & V_{\alpha(j')} } }\] 은 가환이다.

증명

\(Z = S \setminus V\)라 두자. 아핀 열린집합 \(U_1, \ldots, U_m \subset S\)를 \(Z \subset \bigcup_{l = 1, \ldots, m} U_l\)이 되도록 택한다. 열린집합들 \[V \subset V \cup U_1 \subset V \cup U_1 \cup U_2 \subset \ldots \subset V \cup \bigcup\nolimits_{l = 1, \ldots, m} U_l = S\] 을 생각하자. 각각의 경우 \[V \cup U_1 \cup \ldots \cup U_l \subset V \cup U_1 \cup \ldots \cup U_{l + 1}\] 에 대해 보조정리를 차례로 증명할 수 있다면 \(V \subset S\)에 대한 보조정리가 따라온다. 각 경우에는 아핀 열린집합 하나를 더한다. 따라서 다음을 가정해도 된다.

1. \(S = U \cup V\),

2. \(U\)는 \(S\)의 아핀 열린집합,

3. \(V\)는 \(S\)의 준콤팩트 열린집합, 그리고

4. \(V = \lim_i V_i\)이고 \((V_i, f_{ii'})\)는 유향 집합 \(I\) 위의 역계이며, 각 \(f_{ii'}\)는 아핀이고 각 \(V_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이다.

사영을 \(f_i : V \to V_i\)라 쓰자. \(W = U \cap V\)라 두자. \(S\)가 준분리이므로 이는 \(V\)의 준콤팩트 열린집합이다. Lemma 01Z4에 의해 (\(I\)를 축소한 뒤) 열린집합 \(W_i \subset V_i\)가 존재하여 \(f_{ii'}^{-1}(W_{i'}) = W_i\)이고 \(f_i^{-1}(W_i) = W\)라고 가정할 수 있다. \(W\)는 \(U\)의 준콤팩트 열린집합이므로 준아핀이다. 따라서 다시 \(I\)를 축소한 뒤 \(W_i\)가 모든 \(i\)에 대해 준아핀이라고 가정할 수 있다. Lemma 01Z5를 보라.

\(U = \Spec(B)\)라 쓰자. \(R = \Gamma(W, \mathcal{O}_W)\)라 두고, \(R_i = \Gamma(W_i, \mathcal{O}_{W_i})\)라 두자. Lemma 01Z0에 의해 \(R = \colim_i R_i\)이다. 이제 환의 사상 \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ & R_i \ar[u]_{t_i} }\] 이 있다. \(B_i = \{(b, r) \in B \times R_i \mid s(b) = t_i(r)\}\)라 두면 각 \(i\)에 대해 데카르트 도식 \[\xymatrix{ B \ar[r]_s & R \\ B_i \ar[u] \ar[r] & R_i \ar[u]_{t_i} }\] 을 얻는다. 전이 사상 \(R_i \to R_{i'}\)는 사상 \(B_i \to B_{i'}\)를 유도한다. \(B = \colim_i B_i\)임은 분명하다. 다음 문단에서는 충분히 큰 모든 \(i\)에 대해 합성 \(W_i \to \Spec(R_i) \to \Spec(B_i)\)가 열린 몰입임을 보인다.

\(W\)는 \(U = \Spec(B)\)의 준콤팩트 열린집합이므로, 유한 개의 원소 \(g_l \in B\), \(l = 1, \ldots, m\)을 택하여 \(D(g_l) \subset W\)이고 \(W = \bigcup_{l = 1, \ldots, m} D(g_l)\)이 되게 할 수 있다. 이는 \(D(g_l) = W_{s(g_l)}\)가 \(U\)의 열린 부분집합으로서 성립함을 뜻한다. 여기서 \(W_{s(g_l)}\)는 \(W\)의 가장 큰 열린 부분집합이며, 그 위에서 \(s(g_l)\)이 가역이다. 그러므로 \[B_{g_l} = \Gamma(D(g_l), \mathcal{O}_U) = \Gamma(W_{s(g_l)}, \mathcal{O}_W) = R_{s(g_l)},\] 이고, 마지막 등식은 Properties, Lemma 01P7에서 온다. \(W_{s(g_l)}\)가 아핀이므로 이는 또한 \(D(s(g_l)) = W_{s(g_l)}\)가 \(\Spec(R)\)의 열린 부분집합으로서 성립함을 뜻한다. \(R = \colim_i R_i\)이므로 (\(I\)를 축소한 뒤) \(g_{l, i} \in R_i\)가 모든 \(i \in I\)에 대해 존재하고 \(s(g_l) = t_i(g_{l, i})\)라고 가정할 수 있다. 물론 \(g_{l, i}\)를 택할 때, \(g_{l, i}\)가 \(g_{l, i'}\)로 전이 사상 \(R_i \to R_{i'}\) 아래에서 가도록 한다. 그러면 Lemma 01Z4에 의해 (다시 \(I\)를 축소한 뒤) 대응하는 열린집합 \(D(g_{l, i}) \subset \Spec(R_i)\)가 \(W_i\)에 \(l = 1, \ldots, m\)에 대해 포함되고 \(W_i\)를 덮는다고 가정할 수 있다. Lemma 01Z9에 의해 사상 \(W_i \to \Spec(R_i) \to \Spec(B_i)\)는 열린 몰입이다.

Lemma 01Z7에 의해 \(B_i\)는 부분대수 \(A_{i, p} \subset B_i\), \(p \in P_i\)들의 유향 여극한으로 쓸 수 있다. 각 부분대수는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이고 \(W_i\)는 \(\Spec(A_{i, p})\)의 열린 부분스킴과 동일시된다. \(S_{i, p}\)를 \(V_i\)와 \(\Spec(A_{i, p})\)를 열린집합 \(W_i\)를 따라 붙여서 얻는 스킴이라 하자. Schemes, Section 01JA을 보라. 그 결과 얻는 스킴들의 가환 도식은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & & V \ar[lld] \ar[d] & W \ar[l] \ar[lld] \ar[d] \\ V_i \ar[d] & W_i \ar[l] \ar[d] & S \ar[lld] & U \ar[lld] \ar[l] \\ S_{i, p} & \Spec(A_{i, p}) \ar[l] }\] 오른쪽 위 정사각형이 스킴 범주에서의 밀어내기이므로 사상 \(S \to S_{i, p}\)가 생긴다. \(S_{i, p}\)가 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이라는 점에 유의하자. 실제로 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수들의 스펙트럼으로 이루어진 유한 아핀 열린 덮개를 갖는다. \(J = \coprod_{i \in I} P_i\) 위에 전순서를 다음 규칙으로 정의한다. \((i', p') \geq (i, p)\)일 필요충분조건은 \(i' \geq i\)이고 사상 \(B_i \to B_{i'}\)가 \(A_{i, p}\)를 \(A_{i', p'}\) 안으로 보내는 것이다. 이는 사상 \(S_{i', p'} \to S_{i, p}\)를 정의하는 데 정확히 필요한 조건이다. 즉, 전이 사상 \(V_{i'} \to V_i\)와 \(W_{i'} \to W_i\) 및 사상 \(\Spec(A_{i', p'}) \to \Spec(A_{i, p})\)를 써서 위와 같은 가환 도식을 만든다. 마지막 사상은 환 사상 \(A_{i, p} \to A_{i', p'}\)가 유도한다. 관련된 가환성은 구성에 이미 들어 있다. \(S\)가 스킴 \(S_{i, p}\)들의 유향 극한이라고 주장한다. 구성상 스킴 \(V_i\)들의 극한은 \(V\)이므로, 이는 \(B\)가 환 \(A_{i, p}\)들의 극한이라는 사실로 귀착되며, 그 사실은 구성에서 명백하다. 사상 \(\alpha : J \to I\)는 규칙 \(j = (i, p) \mapsto i\)로 주어진다. 열린 부분스킴 \(V'_j\)는 위의 \(V_i \to S_{i, p}\)의 상이다. (5)의 도식들의 가환성은 구성에서 명백하다. 이것으로 보조정리의 증명이 끝난다.

명제

\(S\)를 준콤팩트이고 준분리인 스킴이라 하자. 유향 집합 \(I\)와 스킴들의 역계 \((S_i, f_{ii'})\) (첨자 집합은 \(I\))가 존재하여 다음을 만족한다.

1. 전이 사상 \(f_{ii'}\)는 아핀이고,

2. 각 \(S_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이며,

3. \(S = \lim_i S_i\)이다.

증명

이는 \(V = \emptyset\)인 Lemma 07RN의 특수한 경우이다.

극한과 유한 표시 사상

다음은 Algebra, Lemma 00QO의 일반화이다.

명제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 국소적으로 유한 표시이다.

2. 임의의 유향 집합 \(I\) 및 임의의 역계 \((T_i, f_{ii'})\)가 \(S\)-스킴들로 이루어지고 \(I\) 위에서 첨자화되며 각 \(T_i\)가 아핀이면 \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X)\] 이다.

3. 임의의 유향 집합 \(I\) 및 임의의 역계 \((T_i, f_{ii'})\)가 \(S\)-스킴들로 이루어지고 \(I\) 위에서 첨자화되며 각 \(f_{ii'}\)가 아핀이고 모든 \(T_i\)가 스킴으로서 준콤팩트이고 준분리이면 \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X)\] 이다.

증명

(3)이 (2)를 함의함은 분명하다.

(2)가 (1)을 함의함을 증명하자. (2)를 가정한다. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)가 되도록 임의로 택한다. 우리는 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 유한 표시임을 보여야 한다. \((A_i, \varphi_{ii'})\)를 \(\mathcal{O}_S(V)\)-대수들의 유향계라 하자. \(A = \colim_i A_i\)라 두자. Algebra, Lemma 00QO에 따르면 \[\Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A) = \colim_i \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A_i)\] 를 보이면 된다. 스킴 \(T_i = \Spec(A_i)\)를 생각하자. 이들은 \(V\)-스킴들의 역계를 이루며 그 첨자 집합은 \(I\)이고, 전이 사상 \(f_{ii'} : T_i \to T_{i'}\)는 \(\mathcal{O}_S(V)\)-대수 사상 \(\varphi_{i'i}\)가 유도한다. \(T := \Spec(A) = \lim_i T_i\)라 두자. 위 공식을 스킴의 사상 집합으로 쓰면 \[\Mor_V(\lim_i T_i, U) = \colim_i \Mor_V(T_i, U).\] 이다. 먼저 \(\Mor_V(T_i, U) = \Mor_S(T_i, U)\)이고 \(\Mor_V(T, U) = \Mor_S(T, U)\)임을 관찰하자. 따라서 \[\Mor_S(\lim_i T_i, U) = \colim_i \Mor_S(T_i, U)\] 를 보이면 되며, 가정에 의해 \[\Mor_S(\lim_i T_i, X) = \colim_i \Mor_S(T_i, X).\] 이다. 따라서 사상 \(g_i : T_i \to X\)가 \(S\) 위에서 주어지고 합성 \(T \to T_i \to X\)의 상이 \(U\)에 들어갈 때, 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 합성 \(g_{i'} : T_{i'} \to T_i \to X\)의 상도 \(U\)에 들어감을 보이면 충분하다. \(Z_{i'} = g_{i'}^{-1}(X \setminus U)\)라 쓰자. 모든 \(Z_{i'}\)가 공집합이 아니라고 가정하여 모순을 얻자. Lemma 01Z3에 의해 한 점 \(t\)가 \(T\)에 존재하여 \(Z_{i'}\)로 모든 \(i' \geq i\)에 대해 간다. 이러한 점은 \(U\)로 가지 않는다. 이는 모순이다.

마지막으로 (1)이 (3)을 함의함을 증명하자. (1)을 가정한다. 유향 역계 \((T_i, f_{ii'})\)가 \(S\)-스킴들로 이루어져 주어졌다고 하자. 사상 \(f_{ii'}\)가 아핀이고 각 \(T_i\)가 스킴으로서 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. \(T = \lim_i T_i\)라 두자. 사영 사상을 \(f_i : T \to T_i\)라 쓰자. 다음을 보여야 한다.

1. 사상 \(g_i, g'_i : T_i \to X\)가 \(S\) 위에서 주어지고 \(g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\)라면, 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(g_i \circ f_{i'i} = g'_i \circ f_{i'i}\)이다.

2. 임의의 사상 \(g : T \to X\)가 \(S\) 위에 있을 때, 어떤 \(i \in I\)와 사상 \(g_i : T_i \to X\)가 존재하여 \(g = f_i \circ g_i\)이다.

먼저 유일성 부분 (a)를 증명하자. 사상 \(g_i, g'_i : T_i \to X\)가 \(g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\)를 만족한다고 하자. 임의의 \(i' \geq i\)에 대해 \(g_{i'} = g_i \circ f_{i'i}\)라 두고 \(g'_{i'} = g'_i \circ f_{i'i}\)라 두자. 또한 \(g = g_i \circ f_i = g'_i \circ f_i\)라 두자. 사상 \((g_i, g'_i) : T_i \to X \times_S X\)를 생각한다. 다음과 같이 두자. \[W = \bigcup\nolimits_{U \subset X\text{ affine open}, V \subset S\text{ affine open}, f(U) \subset V} U \times_V U.\] 이는 \(X \times_S X\)의 열린집합이며 사상 \(\Delta_{X/S}\)가 \(W\) 안으로의 닫힌 몰입을 통해 분해된다는 성질을 갖는다. Schemes, Lemma 01KJ의 증명을 보라. 합성 \((g_i, g'_i) \circ f_i : T \to X \times_S X\)는 가정에 의해 대각 사상을 통해 분해되므로 \(W\)로 가는 사상이다. \(Z_{i'} = (g_{i'}, g'_{i'})^{-1}(X \times_S X \setminus W)\)라 두자. 각 \(Z_{i'}\)가 공집합이 아니라면 Lemma 01Z3에 의해 \(t \in T\)인 점이 존재하여 \(Z_{i'}\)로 모든 \(i' \geq i\)에 대해 간다. 이는 \(T\)가 \(W\)로 간다는 사실과 모순이다. 따라서 \(i\)를 키워 \((g_i, g'_i) : T_i \to X \times_S X\)가 \(W\)로 가는 사상이라고 가정할 수 있다. \(W\)의 구성과 \(T_i\)의 준콤팩트성에 의해 유한 아핀 열린 덮개 \(T_i = T_{1, i} \cup \ldots \cup T_{n, i}\)를 택하여, \((g_i, g'_i)|_{T_{j, i}}\)가 \(U \times_V U\)로 가는 사상이 되게 할 수 있다. 여기서 \((U, V)\)는 위 \(W\)의 정의에 나오는 어떤 쌍이다. \(g_{i'}\)와 \(g'_{i'}\)가 각 \(f_{i'i}^{-1}(T_{j, i})\) 위에서 일치함을 보이면 충분하므로 아핀인 경우로 환원된다. 아핀인 경우는 Algebra, Lemma 00QO 및 환 사상 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 유한 표시라는 사실에서 따라온다 (Morphisms, Lemma 01TQ 참조).

마지막으로 존재 부분 (b)를 증명한다. \(g : T \to X\)를 \(S\) 위 스킴의 사상이라 하자. 유한 아핀 열린 덮개 \(T = W_1 \cup \ldots \cup W_n\)를 택하여, 각 \(j \in \{1, \ldots, n\}\)에 대해 아핀 열린집합 \(U_j \subset X\)와 \(V_j \subset S\)가 존재하고 \(f(U_j) \subset V_j\)와 \(g(W_j) \subset U_j\)가 성립하게 할 수 있다. Lemmas 01Z4와 01Z6에 의해 (필요하다면 \(I\)를 축소한 뒤) 전이 사상들과 양립하는 아핀 열린 덮개 \(T_i = W_{1, i} \cup \ldots \cup W_{n, i}\)가 존재하고 \(W_j = \lim_i W_{j, i}\)라고 가정할 수 있다. 아핀 스킴 \(U_j\), \(V_j\), \(W_{j, i}\) 및 \(W_j\)에 대응하는 환들에 Algebra, Lemma 00QO를 적용한다. 여기서 \(\mathcal{O}_S(V_j) \to \mathcal{O}_X(U_j)\)가 유한 표시임을 쓴다 (Morphisms, Lemma 01TQ 참조). 그러므로 각 \(j\)에 대해 첨자 \(i_j \in I\)와 사상 \(g_{j, i_j} : W_{j, i_j} \to X\)를 찾아 \(g_{j, i_j} \circ f_i|_{W_j} : W_j \to W_{j, i} \to X\)가 \(g|_{W_j}\)와 같게 할 수 있다. 위에서 증명한 (a)와, \(W_{j_1, i} \cap W_{j_2, i}\)의 준콤팩트성을 사용하자. 이는 \(T_i\)가 준분리이므로 따라온다. 그러면 첨자 \(i' \in I\)를 모든 \(i_j\)보다 크게 택하여 \[g_{j_1, i_{j_1}} \circ f_{i'i_{j_1}}|_{W_{j_1, i'} \cap W_{j_2, i'}} = g_{j_2, i_{j_2}} \circ f_{i'i_{j_2}}|_{W_{j_1, i'} \cap W_{j_2, i'}}\] 가 모든 \(j_1, j_2 \in \{1, \ldots, n\}\)에 대해 성립하게 할 수 있다. 따라서 사상 \(g_{j, i_j} \circ f_{i'i_j}|_{W_{j, i'}}\)들은 붙어서 원하는 사상 \(T_{i'} \to X\)를 준다.

주

\(S\)를 스킴이라 하자. 함자 \(F : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)가 극한을 보존한다는 것은, 아핀 스킴들의 모든 유향 역계 \(\{T_i\}_{i \in I}\)가 극한 \(T\)를 가질 때 \(F(T) = \colim_i F(T_i)\)가 성립함을 뜻한다고 하자. \(X\)를 \(S\) 위 스킴이라 하고 \(h_X : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)를 그 점 함자라 하자. Schemes, Section 01JF을 보라. 이 용어로 Proposition 01ZC은 스킴 \(X\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시일 필요충분조건이 \(h_X\)가 극한을 보존하는 것이라고 말한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 아핀 스킴들의 모든 유향 극한 \(T = \lim_{i \in I} T_i\)가 \(S\) 위에 있을 때 사상 \[\colim \Mor_S(T_i, X) \longrightarrow \Mor_S(T, X)\] 이 전사이면 \(f\)는 국소적으로 유한 표시이다. 다시 말해 Proposition 01ZC의 (2)와 (3)에서는 이 사상의 전사성만 확인하면 충분하다.

증명

증명은 Proposition 01ZC에서 “(2) implies (1)”의 증명과 정확히 같다. \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)가 되도록 임의의 아핀 열린집합으로 택한다. 우리는 \(\mathcal{O}_S(V) \to \mathcal{O}_X(U)\)가 유한 표시임을 보여야 한다. \((A_i, \varphi_{ii'})\)를 \(\mathcal{O}_S(V)\)-대수들의 유향계라 하고, \(A = \colim_i A_i\)라 두자. Algebra, Lemma 00QO에 따르면 \[\colim_i \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A_i) \to \Hom_{\mathcal{O}_S(V)}(\mathcal{O}_X(U), A)\] 가 전사임을 보이면 충분하다. 스킴 \(T_i = \Spec(A_i)\)를 생각하자. 이들은 \(V\)-스킴들의 역계를 이루며 그 첨자 집합은 \(I\)이고, 전이 사상 \(f_{ii'} : T_i \to T_{i'}\)는 \(\mathcal{O}_S(V)\)-대수 사상 \(\varphi_{i'i}\)가 유도한다. \(T := \Spec(A) = \lim_i T_i\)라 두자. 위 공식을 스킴의 사상 집합으로 쓰면 \[\colim_i \Mor_V(T_i, U) \to \Mor_V(\lim_i T_i, U)\] 가 된다. 먼저 \(\Mor_V(T_i, U) = \Mor_S(T_i, U)\)이고 \(\Mor_V(T, U) = \Mor_S(T, U)\)임을 관찰하자. 따라서 \[\colim_i \Mor_S(T_i, U) \to \Mor_S(\lim_i T_i, U)\] 가 전사임을 보이면 되며, 가정에 의해 \[\colim_i \Mor_S(T_i, X) \to \Mor_S(\lim_i T_i, X)\] 는 전사이다. 따라서 사상 \(g_i : T_i \to X\)가 \(S\) 위에서 주어지고 합성 \(T \to T_i \to X\)의 상이 \(U\)에 들어갈 때, 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 합성 \(g_{i'} : T_{i'} \to T_i \to X\)의 상도 \(U\)에 들어감을 보이면 충분하다. \(Z_{i'} = g_{i'}^{-1}(X \setminus U)\)라 쓰자. 모든 \(Z_{i'}\)가 공집합이 아니라고 가정하여 모순을 얻자. Lemma 01Z3에 의해 한 점 \(t\)가 \(T\)에 존재하여 \(Z_{i'}\)로 모든 \(i' \geq i\)에 대해 간다. 이러한 점은 \(U\)로 가지 않는다. 이는 모순이다.

다음은 Proposition 01ZC의 응용 예이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자. \(Y\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시라고 가정한다. \(x \in X\)를 닫힌점이라 하고 \(U = X \setminus \{x\} \to X\)가 준콤팩트라고 가정한다. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \setminus \{x\}\)라 두면 전단사 \[\left\{ \begin{matrix} \text{morphisms }X \to Y\text{ over }S \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} (a, b)\text{ where } a : U \to Y\text{ and }b : \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to Y\\ \text{ are morphisms over }S \text{ which agree over }V \end{matrix} \right\}\] 이 존재한다.

증명

\(W \subset X\)를 \(x\)의 열린 근방이라 하자. 스킴의 붙임에 의해 (Schemes, Section 01JA 참조), 사상의 쌍 \(a : U \to Y\)와 \(c : W \to Y\)가 \(U \cap W\) 위에서 일치하는 경우를 생각하면 결과가 성립한다. \(\mathcal{O}_{X, x} = \colim \mathcal{O}_W(W)\)이고, 여기서 \(W\)는 \(x\)의 \(X\)에서의 아핀 열린 근방들을 달린다. 따라서 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) = \lim W\)이고, 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 그러므로 Proposition 01ZC에 의해 임의의 사상 \(b : \Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to Y\)가 \(S\) 위에 있으면, 사상 \(c : W \to Y\)에서 온다. 여기서 \(W\)는 위와 같이 택한다 (그리고 \(c\)는 \(W\)를 더 축소하면 유일하다). 모든 아핀 열린집합 \(x \in W\)에 대해 \(U \cap W\)는 \(U \to X\)가 준콤팩트이므로 준콤팩트이다. 따라서 \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{x\}\)는 준콤팩트이고 준분리인 스킴들의 극한이다 (Lemma 01YX 참조). 그러므로 \(a\)와 \(b\)가 \(V\) 위에서 일치하면 \(W\)를 축소한 뒤 \(a\)와 \(c\)가 \(U \cap W\) 위에서 일치함을 (같은 명제로) 알 수 있다. 보조정리가 따라온다.

상대 근사

Proposition 01ZA의 바탕 위 변형들을 논한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 준콤팩트이고 준분리인 스킴들 사이의 사상이라 하자. 그러면 유향 집합 \(I\)와 스킴 사상들의 역계 \((f_i : X_i \to S_i)\)가 \(I\) 위에서 존재하여, 전이 사상 \(X_i \to X_{i'}\)와 \(S_i \to S_{i'}\)는 아핀이고, \(X_i\)와 \(S_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이며, \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\)이다.

증명

Proposition 01ZA에서와 같이 \(X = \lim_{a \in A} X_a\) 및 \(S = \lim_{b \in B} S_b\)라 쓰자. 즉, \(X_a\)와 \(S_b\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이고 전이 사상들은 아핀이다.

\(b \in B\)를 고정하자. Proposition 01ZC을 \(S_b\)와 \(X = \lim X_a\)에 \(\mathbf{Z}\) 위에서 적용하면, 어떤 \(a \in A\)와 다음 도식을 가환이게 하는 사상 \(f_{a, b} : X_a \to S_b\)가 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & S \ar[d] \\ X_a \ar[r] & S_b }\] \(I\)를 이 방식으로 얻는 삼중항 \((a, b, f_{a, b})\)들의 집합이라 하자.

\((a, b, f_{a, b})\)와 \((a', b', f_{a', b'})\)가 \(I\)에 속한다고 하자. \(b'' \leq \min(b, b')\)라 하자. 다시 Proposition 01ZC에 의해 어떤 \(a'' \geq \max(a, a')\)가 존재하여 합성 \(X_{a''} \to X_a \to S_b \to S_{b''}\)와 \(X_{a''} \to X_{a'} \to S_{b'} \to S_{b''}\)가 같다. \(I\)에 다음 전순서를 준다. \[(a, b, f_{a, b}) \geq (a', b', f_{a', b'}) \Leftrightarrow a \geq a',\ b \geq b',\text{ and } g_{b, b'} \circ f_{a, b} = f_{a', b'} \circ h_{a, a'}\] 여기서 \(h_{a, a'} : X_a \to X_{a'}\)와 \(g_{b, b'} : S_b \to S_{b'}\)는 전이 사상이다. 위의 논의는 \(I\)가 유향이고 사상 \(I \to A\), \((a, b, f_{a, b}) \mapsto a\) 및 \(I \to B\), \((a, b, f_{a, b})\)가 공종임을 보인다. \(i = (a, b, f_{a, b})\)에 대해 \(X_i = X_a\), \(S_i = S_b\), 그리고 \(f_i = f_{a, b}\)라 두면 \(I\) 위 사상들의 역계를 얻고, \[\lim_{i \in I} X_i = \lim_{a \in A} X_a = X \quad\text{and}\quad \lim_{i \in I} S_i = \lim_{b \in B} S_b = S\] 이다. 이는 Categories, Lemma 002R에 따른다 (\(I\) 위 극한은 실제로 \(I\)에 결부된 반대 범주 위 극한이므로, 공종은 공초로 바뀐다는 점을 상기하라). 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

2. \(S\)는 준분리이다.

그러면 \(X = \lim X_i\)는 스킴들의 유향계 \(X_i\)의 극한으로 쓸 수 있다. 각 항은 \(S\) 위 유한 표시이고 전이 사상들은 \(S\) 위에서 아핀이다.

증명

\(f(X)\)가 준콤팩트이므로 \(S\)를 \(f(X)\)를 포함하는 준콤팩트 열린집합으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(S\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다. Lemma 0GS1에 의해, 아핀 전이 사상을 갖는 어떤 유향 역계에 대해 \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\)로 쓸 수 있다. 그 역계는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형 스킴들의 사상으로 이루어진다. 극한은 극한과 가환하므로(Categories, Lemma 002M) \(X = \lim X_i \times_{S_i} S\)이다. \(i \geq i'\)가 \(I\)에 속한다고 하자. 사상 \(X_i \times_{S_i} S \to X_{i'} \times_{S_{i'}} S\)는 다음 합성이므로 아핀이다. \[X_i \times_{S_i} S \to X_i \times_{S_{i'}} S \to X_{i'} \times_{S_{i'}} S\] 여기서 첫 번째 사상은 닫힌 몰입이고(Schemes, Lemma 01KR), 두 번째 사상은 아핀 사상의 바탕 변환이며(Morphisms, Lemma 01SD), 아핀 사상들의 합성은 아핀이기 때문이다(Morphisms, Lemma 01SC). 사상 \(f_i\)는 유한 표시이다(Morphisms, Lemmas 01TX 및 02FV). 따라서 바탕 변환 \(X_i \times_{f_i, S_i} S \to S\)는 유한 표시이다 (Morphisms, Lemma 01TS).

보조정리

\(X \to S\)를 정수적 사상이라 하고 \(S\)가 준콤팩트이고 준분리라고 하자. 그러면 \(X = \lim X_i\)이며 \(X_i \to S\)는 유한이고 유한 표시이게 할 수 있다.

증명

층 \(\mathcal{A} = f_*\mathcal{O}_X\)를 생각하자. 이는 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-대수층이다. Schemes, Lemma 01LC를 보라. Properties, Lemma 0817를 함께 사용하면 \(\mathcal{A} = \colim_i \mathcal{A}_i\)로 쓸 수 있다. 이는 유한이고 유한 표시인 \(\mathcal{O}_S\)-대수들의 여과 여극한이다. 그러면 \[X_i = \underline{\Spec}_S(\mathcal{A}_i) \longrightarrow S\] 는 유한이고 유한 표시인 스킴의 사상이다. 구성에 의해 \(X = \lim_i X_i\)이며, 이것으로 보조정리가 증명된다.

사상 성질의 하강

이 절은 \(S\) 위 사상들의 성질에 관한 Section 081A의 대응물이다. 다음 상황에서 작업한다.

설정

\(S = \lim S_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 스킴들의 유향계의 극한이라 하자 (Lemma 01YX). \(0 \in I\)라 하고 \(f_0 : X_0 \to Y_0\)를 \(S_0\) 위 스킴들의 사상이라 하자. \(S_0\), \(X_0\), \(Y_0\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. \(f_i : X_i \to Y_i\)를 \(f_0\)의 \(S_i\)로의 바탕 변환이라 하고, \(f : X \to Y\)를 \(f_0\)의 \(S\)로의 바탕 변환이라 하자.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. \(f\)가 아핀이면 어떤 첨자 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(f_i\)가 아핀이다.

증명

\(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, 0}\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. \(U_{j, 0} = f_0^{-1}(V_{j, 0})\)라 두자. \(i \geq 0\)에 대해 \(V_{j, i}\)로 \(V_{j, 0}\)의 \(Y_i\)에서의 역상을 나타내고 \(U_{j, i} = f_i^{-1}(V_{j, i})\)라 두자. 마찬가지로 \(U_j = f^{-1}(V_j)\)가 있다. 그러면 \(U_j = \lim_{i \geq 0} U_{j, i}\)이다 (Lemma 01YX 참조). 가정에 의해 \(U_j\)가 아핀이므로 각 \(U_{j, i}\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀이다. Lemma 01Z6를 보라. \(j\)가 유한 개이므로 \(i\)를 택하여 모든 \(j\)에 대해 작동하게 할 수 있다. 따라서 \(f_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 아핀이다. Morphisms, Lemma 01S8를 보라.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한 사상이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한형이다.

그러면 어떤 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(f_i\)가 유한이다.

증명

유한 사상은 아핀이다. Morphisms, Definition 01WH을 보라. 따라서 위의 Lemma 01ZN에 의해 \(0\)을 키운 뒤 \(f_0\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(Y_0\)를 유한 개의 아핀들의 합으로 쓰면 \(X_0\)와 \(Y_0\)가 아핀이고 공통의 아핀 \(W \subset S_0\)로 가는 경우로 환원된다. 이에 대응하는 대수 명제는 Algebra, Lemma 07RG에서 따라온다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 비분기이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한형이다.

그러면 어떤 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(f_i\)가 비분기이다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\)를 택하여 각 \(Y_{j, 0}\)가 아핀 열린집합 \(S_{j, 0} \subset S_0\)로 가게 한다. 각 \(j\)에 대해 \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. 비분기라는 성질은 국소적이므로, 아핀들 사이의 사상 \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\), 즉 \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\)를 \(S_i\)로 바탕 변환하여 얻는 사상들에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X_0, Y_0, S_0\)가 아핀인 경우로 환원된다.

아핀인 경우에는 다음 대수 결과로 환원된다. \(R = \colim_{i \in I} R_i\)라고 하자. 어떤 \(0 \in I\)에 대해 유한형 \(R_0\)-대수 사상 \(A_i \to B_i\)가 주어졌다고 하자. \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\)가 비분기이면, 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 사상 \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\)가 비분기이다. 이는 Algebra, Lemma 0C4F에서 따라온다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 닫힌 몰입이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한형이다.

그러면 어떤 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(f_i\)가 닫힌 몰입이다.

증명

닫힌 몰입은 아핀이다. Morphisms, Lemma 01SE을 보라. 따라서 위의 Lemma 01ZN에 의해 \(0\)을 키운 뒤 \(f_0\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. \(Y_0\)를 유한 개의 아핀들의 합으로 쓰면 \(X_0\)와 \(Y_0\)가 아핀이고 공통의 아핀 \(W \subset S_0\)로 가는 경우로 환원된다. 이에 대응하는 대수 명제는 Algebra, Lemma 07RH의 귀결이다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. \(f\)가 분리이면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 분리이다.

증명

대각 사상 \(\Delta_{X_0/S_0} : X_0 \to X_0 \times_{S_0} X_0\)에 Lemma 01ZP을 적용한다. (대각 사상들은 국소적으로 유한형이고 올곱 \(X_0 \times_{S_0} X_0\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 허용된다. Schemes, Lemma 01KJ, Morphisms, Lemma 01T5, 그리고 Schemes, Remark 0816를 보라.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 평탄하고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 평탄하다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\)를 택하여 각 \(Y_{j, 0}\)가 아핀 열린집합 \(S_{j, 0} \subset S_0\)로 가게 한다. 각 \(j\)에 대해 \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. 평탄하다는 성질은 국소적이므로, 아핀들 사이의 사상 \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\), 즉 \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\)를 \(S_i\)로 바탕 변환하여 얻는 사상들에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X_0, Y_0, S_0\)가 아핀인 경우로 환원된다.

아핀인 경우에는 다음 대수 결과로 환원된다. \(R = \colim_{i \in I} R_i\)라고 하자. 어떤 \(0 \in I\)에 대해 유한 표시 \(R_0\)-대수 사상 \(A_i \to B_i\)가 주어졌다고 하자. \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\)가 평탄하면, 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 사상 \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\)가 평탄하다. 이는 Algebra, Lemma 02JO part (3)에서 따라온다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 (계수 \(d\)인) 유한 국소 자유이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)가 (계수 \(d\)인) 유한 국소 자유인 어떤 \(i \geq 0\)가 존재한다.

증명

Lemmas 04AI와 01ZO에 의해 어떤 \(i\)를 얻어 \(f_i\)가 평탄하고 유한이게 한다. 한편 \(f_i\)는 국소적으로 유한 표시이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02KB에 의해 \(f_i\)는 유한 국소 자유이다. 더 나아가 \(f\)가 계수 \(d\)인 유한 국소 자유이면, \(Y \to Y_i\)의 상은 열린닫힌 자취 \(W_d \subset Y_i\)에 포함된다. 이 자취 위에서 \(f_i\)의 계수는 \(d\)이다. Lemma 05F4에 의해 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 \(Y_{i'} \to Y_i\)의 상이 \(W_d\)에 포함됨을 알 수 있다. 그러면 \(f_{i'}\)는 계수 \(d\)인 유한 국소 자유이다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 매끄럽고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 매끄럽다.

증명

매끄러움은 원천과 표적에서 국소적이므로(Morphisms, Lemma 01V6) \(S_0, X_0, Y_0\)가 아핀이라고 가정할 수 있다(세부사항은 생략한다). 이에 대응하는 대수적 사실은 Algebra, Lemma 0C0B이다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 étale이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 étale이다.

증명

étale이라는 것은 원천과 표적에서 국소적이므로(Morphisms, Lemma 02GJ) \(S_0, X_0, Y_0\)가 아핀이라고 가정할 수 있다(세부사항은 생략한다). 이에 대응하는 대수적 사실은 Algebra, Lemma 07RI이다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 동형사상이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 동형사상이다.

증명

Lemmas 07RP와 01ZP에 의해 어떤 \(i\)를 찾아 \(f_i\)가 평탄하고 닫힌 몰입이게 할 수 있다. 그러면 \(f_i\)는 \(X_i\)를 \(Y_i\)의 열린닫힌 부분스킴과 동일시한다. Morphisms, Lemma 0819을 보라. 가정에 의해 \(Y \to Y_i\)의 상은 \(f_i(X_i)\) 안으로 간다. 따라서 Lemma 05F4에 의해 \(Y_{i'}\)가 \(f_i(X_i)\) 안으로 가는 어떤 \(i' \geq i\)를 얻는다. 따라서 \(X_{i'} \to Y_{i'}\)는 전사이고 증명이 끝난다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 열린 몰입이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 열린 몰입이다.

증명

Lemma 07RP에 의해 어떤 \(i\)를 찾아 그 \(f_i\)가 étale이게 할 수 있다. 그러면 \(V_i = f_i(X_i)\)는 \(Y_i\)의 준콤팩트 열린 부분스킴이다(Morphisms, Lemma 03WT). \(V\)와 \(V_{i'}\)를 \(i' \geq i\)에 대해 각각 \(V_i\)의 \(Y\)와 \(Y_{i'}\)에서의 역상이라 하자. 그러면 \(f : X \to V\)는 동형사상이다 (즉, 전사 열린 몰입이다). 따라서 Lemma 081E에 의해 \(X_{i'} \to V_{i'}\)가 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 동형사상이다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 몰입이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한형이다.

그러면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 몰입이다.

증명

열린집합 \(V \subset Y\)가 존재하여 사상 \(f\)가 \(X \to V \to Y\)로 분해되고 \(X \to V\)가 닫힌 몰입이다. Schemes, Section 01IM의 논의를 보라. \(X\)가 준콤팩트이므로 \(V\)가 \(Y\)의 준콤팩트 열린집합이라고 가정할 수 있고 그렇게 한다. Lemma 01Z4에 의해 \(0\)을 키운 뒤 준콤팩트 열린집합 \(V_0 \subset Y_0\)를 찾아 \(V\)가 \(V_0\)의 역상이게 할 수 있다. 그러면 \(V_0\)의 \(X_0\)에서의 역상은 준콤팩트 열린집합이고, \(X\)에서의 그 역상은 \(X\)이다. 따라서 같은 보조정리를 \(X = \lim X_i\)에 적용하면 \(0\)을 키운 뒤 분해 \(X_0 \to V_0 \to Y_0\)를 갖는다고 가정할 수 있다. 그러면 충분히 큰 \(i \geq 0\)에 대해 사상 \(X_i \to V_i\)는 닫힌 몰입이다. 여기서 \(V_i = Y_i \times_{Y_0} V_0\)이고, 이는 Lemma 01ZP에 따른다. 증명이 끝난다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 단사 사상이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한형이다.

그러면 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 단사 사상이다.

증명

스킴의 사상 \(V \to W\)가 단사 사상일 필요충분조건은 대각 사상 \(V \to V \times_W V\)가 동형사상인 것이다 (Schemes, Lemma 01L3). 사상 \(X_0 \to X_0 \times_{Y_0} X_0\)는 Morphisms, Lemma 0818에 의해 국소적으로 유한 표시이다. \(X_0 \times_{Y_0} X_0\)는 준콤팩트이고 준분리이므로 (Schemes, Remark 0816), Lemma 081E에 의해 \(\Delta_i : X_i \to X_i \times_{Y_i} X_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 동형사상이다. 이 \(i\)에 대해 사상 \(f_i\)는 단사 사상이다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 전사이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 어떤 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(f_i\)가 전사이다.

증명

사상 \(f_0\)는 유한 표시이다. 따라서 \(E = f_0(X_0)\)는 \(Y_0\)의 구성 가능 부분집합이다. Morphisms, Lemma 054J를 보라. \(f_i\)는 \(f_0\)의 \(Y_i \to Y_0\)에 의한 바탕 변환이므로 \(f_i\)의 상은 \(E\)의 \(Y_i\)에서의 역상이다. 더 나아가 \(Y \to Y_0\)가 \(E\) 안으로 감을 알고 있다. 따라서 Lemma 05F4로 끝난다.

보조정리

기호와 가정은 Situation 081D와 같다. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 신토믹이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한 표시이다.

그러면 어떤 \(i \geq 0\)가 존재하여 \(f_i\)가 신토믹이다.

증명

유한 아핀 열린 덮개 \(Y_0 = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} Y_{j, 0}\)를 택하여 각 \(Y_{j, 0}\)가 아핀 열린집합 \(S_{j, 0} \subset S_0\)로 가게 한다. 각 \(j\)에 대해 \(f_0^{-1}Y_{j, 0} = \bigcup_{k = 1, \ldots, n_j} X_{k, 0}\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. 신토믹이라는 성질은 국소적이므로, 아핀들 사이의 사상 \(X_{k, i} \to Y_{j, i} \to S_{j, i}\), 즉 \(X_{k, 0} \to Y_{j, 0} \to S_{j, 0}\)를 \(S_i\)로 바탕 변환하여 얻는 사상들에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X_0, Y_0, S_0\)가 아핀인 경우로 환원된다.

아핀인 경우에는 다음 대수 결과로 환원된다. \(R = \colim_{i \in I} R_i\)라고 하자. 어떤 \(0 \in I\)에 대해 유한 표시 \(R_0\)-대수 사상 \(A_i \to B_i\)가 주어졌다고 하자. \(R \otimes_{R_0} A_0 \to R \otimes_{R_0} B_0\)가 신토믹이면, 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 사상 \(R_i \otimes_{R_0} A_0 \to R_i \otimes_{R_0} B_0\)가 신토믹이다. 이는 Algebra, Lemma 0C33에서 따라온다.

유한 표시 안에서 닫혀 있는 유한형

이러한 종류의 결과로 [Kiehl, Satz 2.10]이 있다. 또 다른 참고문헌은 [Conrad-Nagata]이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 사상 \(f\)는 국소적으로 유한형이다.

2. 스킴 \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 유한 표시 사상 \(f' : X' \to S\)와 몰입 \(X \to X'\)가 \(S\) 위 스킴들 사이에 존재한다.

증명

Proposition 01ZA에 의해 \(X = \lim_i X_i\)로 쓸 수 있다. 여기서 각 \(X_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형이고 전이 사상 \(f_{ii'} : X_i \to X_{i'}\)는 아핀이다. 가환 도식 \[\xymatrix{ X \ar[r] \ar[rd] & X_{i, S} \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ & S \ar[r] & \Spec(\mathbf{Z}) }\] 을 생각하자. \(X_i\)는 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위 유한 표시임에 유의하자. Morphisms, Lemma 01TX을 보라. 따라서 바탕 변환 \(X_{i, S} \to S\)는 Morphisms, Lemma 01TS에 의해 유한 표시이다. 그러므로 화살표 \(X \to X_{i, S}\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 몰입임을 보이면 충분하다.

이를 위해 유한 아핀 열린 덮개 \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_n\)를 택하여 \(f\)가 각 \(V_j\)를 아핀 열린집합 \(U_j \subset S\) 안으로 보내게 한다. \(h_{j, a} \in \mathcal{O}_X(V_j)\)를 유한 개의 원소로 택하여 이들이 \(\mathcal{O}_X(V_j)\)를 \(\mathcal{O}_S(U_j)\)-대수로서 생성하게 한다. Morphisms, Lemma 01T2를 보라. Lemmas 01Z4와 01Z6에 의해 (필요하다면 \(I\)를 축소한 뒤) 전이 사상과 양립하는 아핀 열린 덮개 \(X_i = V_{1, i} \cup \ldots \cup V_{n, i}\)가 존재하고 \(V_j = \lim_i V_{j, i}\)라고 가정할 수 있다. Lemma 01Z0에 의해 \(i\)를 충분히 크게 택하여 각 \(h_{j, a}\)가 원소 \(h_{j, a, i} \in \mathcal{O}_{X_i}(V_{j, i})\)에서 오게 할 수 있다. 따라서 다음 도식의 화살표는 닫힌 몰입이다. \[V_j \longrightarrow U_j \times_{\Spec(\mathbf{Z})} V_{j, i} = (V_{j, i})_{U_j} \subset (V_{j, i})_S \subset X_{i, S}\] \(\bigcup (V_{j, i})_{U_j}\)가 \(X_{i, S}\)의 열린집합을 이루고 \((V_{j, i})_{U_j}\)의 \(X\)에서의 역상이 \(V_j\)이므로, \(X \to X_{i, S}\)는 몰입이다.

주

\(S\)와 사상 \(f : X \to S\)에 대해 더 가정하지 않으면 이보다 더 나은 결과를 얻을 수 없다. 예를 들어 일반적으로 보조정리에서와 같은 닫힌 몰입 \(X \to X'\)를 찾을 수는 없다. 그 이유는 이것이 \(f\)가 준콤팩트임을 함의하지만 실제로 그렇지 않을 수 있기 때문이다. 예로 \(S\)를 \(0\)을 이중화한 무한 차원 아핀 공간이라 하고 \(X\)를 두 무한 차원 아핀 공간 중 하나로 택하면 된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 사상 \(f\)는 국소적으로 유한형이다.

2. 스킴 \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

3. 스킴 \(S\)는 준분리이다.

그러면 유한 표시 사상 \(f' : X' \to S\)와 닫힌 몰입 \(X \to X'\)가 \(S\) 위 스킴들 사이에 존재한다.

증명

위의 Lemma 01ZE에 의해 유한 표시 사상 \(Y \to S\)와 몰입 \(i : X \to Y\)가 \(S\) 위 스킴들 사이에 존재한다. 모든 점 \(x \in X\)에 대해 아핀 열린집합 \(V_x \subset Y\)가 존재하여 \(i^{-1}(V_x) \to V_x\)가 닫힌 몰입이다. \(X\)가 준콤팩트이므로 유한 개의 아핀 열린집합 \(V_1, \ldots, V_n \subset Y\)를 찾아 \(i(X) \subset V_1 \cup \ldots \cup V_n\)이고 \(i^{-1}(V_j) \to V_j\)가 닫힌 몰입이게 할 수 있다. 다시 말해 \(i : X \to X' = V_1 \cup \ldots \cup V_n\)는 \(S\) 위 스킴들의 닫힌 몰입이다. \(S\)가 준분리이고 \(Y\)가 \(S\) 위에서 준분리이므로 Schemes, Lemma 01KU에 의해 \(Y\)가 준분리이다. 따라서 열린 몰입 \(X' = V_1 \cup \ldots \cup V_n \to Y\)는 준콤팩트이다. 이는 \(X' \to Y\)가 유한 표시임을 뜻한다. Morphisms, Lemma 01TU을 보라. 이제 \(X' \to Y \to S\)는 유한 표시 사상들의 합성이므로 유한 표시이다 (Morphisms, Lemma 01TR 참조).

보조정리

\(X \to Y\)를 스킴들의 닫힌 몰입이라 하자. \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다. 그러면 \(X\)를 유향 극한 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있다. 이는 \(Y\) 위 스킴들로 이루어지며, 각 \(X_i \to Y\)는 유한 표시 닫힌 몰입이다.

증명

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_Y\)를 \(X\)를 \(Y\)의 닫힌 부분스킴으로 정의하는 준연접 아이디얼층이라 하자. Properties, Lemma 01PG에 의해 \(\mathcal{I}\)를 유한형 준연접 아이디얼층들의 유향 여극한 \(\mathcal{I} = \colim_{i \in I} \mathcal{I}_i\)로 쓸 수 있다. \(X_i \subset Y\)를 \(\mathcal{I}_i\)가 정의하는 닫힌 부분스킴이라 하자. 이들은 \(I\)로 첨자화된 스킴들의 역계를 이룬다. 전이 사상 \(X_i \to X_{i'}\)는 닫힌 몰입이므로 아핀이다. 각 \(X_i\)는 \(Y\)의 닫힌 부분스킴이고 가정에 의해 \(Y\)가 준콤팩트이고 준분리이므로, 이들도 준콤팩트이고 준분리이다. \(X = \lim_i X_i\)는 \(\mathcal{I} = \colim_{i \in I} \mathcal{I}_a\)라는 사실에서 바로 따라온다. 각 사상 \(X_i \to Y\)는 유한 표시이다. Morphisms, Lemma 01TV을 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 사상 \(f\)는 국소적으로 유한형이다.

2. 스킴 \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이며,

3. 스킴 \(S\)는 준분리이다.

그러면 \(X = \lim X_i\)이고, \(X_i \to S\)는 유한 표시이며, \(X_i\)는 준콤팩트이고 준분리이고, 전이 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 닫힌 몰입이게 할 수 있다 (이는 \(X \to X_i\)가 모든 \(i\)에 대해 닫힌 몰입임을 함의한다).

증명

Lemma 01ZG에 의해 닫힌 몰입 \(X \to Y\)가 존재하고 \(Y \to S\)는 유한 표시이다. 그러면 Schemes, Lemma 01KU에 의해 \(Y\)가 준분리이다. \(X\)가 준콤팩트이므로 \(Y\)가 준콤팩트라고 가정할 수 있다. 실제로 \(Y\)를 \(X\)를 포함하는 준콤팩트 열린집합으로 바꾸면 된다. Lemma 09ZP에 의해 \(X = \lim X_i\)이고 \(X_i \to Y\)가 유한 표시 닫힌 몰입이게 할 수 있다. 사상 \(X_i \to S\)는 Morphisms, Lemma 01TR에 의해 유한 표시이다.

명제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한형이고 분리이며,

2. \(S\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 분리인 유한 표시 사상 \(f' : X' \to S\)와 닫힌 몰입 \(X \to X'\)가 \(S\) 위 스킴들 사이에 존재한다.

증명

Lemma 09ZQ을 적용하고, \(X_i \to S\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 분리임에 유의한다. 이는 Lemma 01ZH과 \(X \to S\)가 분리라는 가정에 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한이고,

2. \(S\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 유한이고 유한 표시인 사상 \(f' : X' \to S\)와 닫힌 몰입 \(X \to X'\)가 \(S\) 위 스킴들 사이에 존재한다.

증명

Lemma 09ZQ에서와 같이 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있다. Lemma 09ZN을 적용하면 \(X_i \to S\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 유한임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f\)는 유한이고,

2. \(S\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

그러면 \(X\)는 유향 극한 \(X = \lim X_i\)이고, 전이 사상들은 닫힌 몰입이며 대상 \(X_i\)들은 \(S\) 위에서 유한이고 유한 표시이게 할 수 있다.

증명

Lemma 09ZQ에서와 같이 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있다. Lemma 09ZN을 적용하면 \(X_i \to S\)가 충분히 큰 \(i\)에 대해 유한임을 알 수 있다.

상대 대상의 하강

다음 보조정리는 이 절에서 다루는 결과 유형의 전형적인 예이다. “표준” 증명을 완전히 적어 보인다. 이 증명을 읽는 것보다 결과가 참임을 스스로 확인하는 편이 더 빠를 수도 있다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하자. \((S_i, f_{ii'})\)를 \(I\) 위의 스킴 역계라 하자. 다음을 가정한다.

1. 사상 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\)는 아핀이다.

2. 스킴 \(S_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

\(S = \lim_i S_i\)라 하자. 다음과 같은 결론을 얻는다.

1. 임의의 유한 표시 사상 \(X \to S\)에 대해 어떤 지표 \(i \in I\)와 유한 표시 사상 \(X_i \to S_i\)가 존재하여 \(X \cong X_{i, S}\)가 \(S\) 위의 스킴으로서 성립한다.

2. 지표 \(i \in I\)와 스킴 \(X_i\), \(Y_i\)가 \(S_i\) 위에서 유한 표시이고, 사상 \(\varphi : X_{i, S} \to Y_{i, S}\)가 \(S\) 위에 주어졌다고 하자. 그러면 어떤 지표 \(i' \geq i\)와 사상 \(\varphi_{i'} : X_{i, S_{i'}} \to Y_{i, S_{i'}}\)가 존재하여 그 \(S\)로의 바탕 변환이 \(\varphi\)이다.

3. 지표 \(i \in I\)와 스킴 \(X_i\), \(Y_i\)가 \(S_i\) 위에서 유한 표시이고, 사상 쌍 \(\varphi_i, \psi_i : X_i \to Y_i\)가 주어졌다고 하자. 그 바탕 변환 \(\varphi_{i, S} = \psi_{i, S}\)가 같다면 어떤 지표 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(\varphi_{i, S_{i'}} = \psi_{i, S_{i'}}\)이다.

다시 말해 \(S\) 위 유한 표시 스킴의 범주는 \(I\)에 대한 \(S_i\) 위 유한 표시 스킴 범주들의 여극한이다.

증명

각 스킴 \(S_i\)가 아핀이고 \(S_i\) (각각 \(S\)) 위 유한 표시인 아핀 스킴만 고려하는 경우, 이 보조정리는 Algebra의 보조정리 05N9와 동치이다. 이 아핀 경우가 일반 경우를 함의한다고 주장하자.

(3)을 증명하자. 지표 \(i \in I\)와 스킴 \(X_i\), \(Y_i\)가 \(S_i\) 위에서 유한 표시이고, 사상 쌍 \(\varphi_i, \psi_i : X_i \to Y_i\)가 주어졌다고 하자. 바탕 변환이 같다: \(\varphi_{i, S} = \psi_{i, S}\). \(X_{i'} = X_{i, S_{i'}}\)와 \(Y_{i'} = Y_{i, S_{i'}}\)로 쓰자. 이는 \(i' \geq i\)에 대해 정의한다. 또한 \(X = X_{i, S}\)와 \(Y = Y_{i, S}\)로 둔다. 보조정리 01YZ에 따라 \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\)이고 \(Y\)에 대해서도 마찬가지이다. 또한 \(\varphi_{i'}\)와 \(\psi_{i'}\)를, 그리고 \(\varphi\)와 \(\psi\)를 각각 \(\varphi_i\)와 \(\psi_i\)의 바탕 변환으로 쓰자. 앞의 쌍은 \(S_{i'}\)로, 뒤의 쌍은 \(S\)로 바탕 변환한 것이다. 따라서 가정은 \(\varphi = \psi\)라는 뜻이다. \(Y_i\)와 \(X_i\)가 \(S_i\) 위에서 유한 표시이고 \(S_i\)가 준콤팩트이며 준분리이므로, \(X_i\)와 \(Y_i\)도 준콤팩트이고 준분리이다 (Morphisms, 보조정리 01TY). 따라서 유한 아핀 열린 덮개 \(Y_i = \bigcup V_{j, i}\)를 택하여 각 \(V_{j, i}\)가 \(S_i\)의 어떤 아핀 열린집합으로 사상되게 할 수 있다. 앞과 같이 \(V_{j, i'}\)를 \(V_{j, i}\)의 \(Y_{i'}\)에서의 역상으로, \(V_j\)를 \(Y\) 안에서의 역상으로 쓰자. 몰입 \(V_{j, i'} \to Y_{i'}\)는 준콤팩트이고, 역상 \(U_{j, i'} = \varphi_i^{-1}(V_{j, i'})\) 및 \(U_{j, i'}' = \psi_i^{-1}(V_{j, i'})\)는 \(X_{i'}\)의 준콤팩트 열린집합이다. 가정에 의해 \(V_j\)의 \(\varphi\)와 \(\psi\)에 의한 \(X\)에서의 역상은 같다. 따라서 보조정리 01Z4에 의해 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(U_{j, i'} = U_{j, i'}'\)가 \(X_{i'}\)에서 성립한다. 유한 아핀 열린 덮개 \(U_{j, i'} = U_{j, i'}' = \bigcup W_{j, k, i'}\)를 택하자. 이는 덮개 \(U_{j, i''} = U_{j, i''}' = \bigcup W_{j, k, i''}\)를 유도한다 \(i'' \geq i'\)에 대해. 아핀 경우에 의해 어떤 \(i''\)가 존재하여 \(\varphi_{i''}|_{W_{j, k, i''}} = \psi_{i''}|_{W_{j, k, i''}}\)가 모든 \(j, k\)에 대해 성립한다. 그러면 어떤 \(i''\)에 대해 \(\varphi_{i''} = \psi_{i''}\)가 성립하므로 (3)이 증명된다.

(2)를 증명하자. 지표 \(i \in I\), \(X_i\), \(Y_i\)가 \(S_i\) 위에서 유한 표시이고 사상 \(\varphi : X_{i, S} \to Y_{i, S}\)가 주어졌다고 하자. \(X_{i'} = X_{i, S_{i'}}\)와 \(Y_{i'} = Y_{i, S_{i'}}\)로 쓰자 \(i' \geq i\)에 대해. 또한 \(X = X_{i, S}\)와 \(Y = Y_{i, S}\)로 둔다. 보조정리 01YZ에 따라 \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\)이고 \(Y\)에 대해서도 마찬가지이다. 앞과 같은 이유로 \(Y_i\)와 \(X_i\)는 \(S_i\) 위에서 유한 표시이고, \(S_i\)가 준콤팩트이며 준분리이므로 \(X_i\)와 \(Y_i\)도 준콤팩트이고 준분리이다 (Morphisms, 보조정리 01TY). 따라서 유한 아핀 열린 덮개 \(Y_i = \bigcup V_{j, i}\)를 택하여 각 \(V_{j, i}\)가 \(S_i\)의 어떤 아핀 열린집합으로 사상되게 할 수 있다. 앞과 같이 \(V_{j, i'}\)를 \(V_{j, i}\)의 \(Y_{i'}\)에서의 역상으로, \(V_j\)를 \(Y\)에서의 역상으로 쓰자. 몰입 \(V_j \to Y\)는 준콤팩트이고 그 역상 \(U_j = \varphi^{-1}(V_j)\)는 \(X\)의 준콤팩트 열린집합이다. 따라서 보조정리 01Z4에 의해 어떤 \(i' \geq i\)와 준콤팩트 열린집합 \(U_{j, i'}\)가 \(X_{i'}\)에 존재하여 그 역상이 \(X\)에서 \(U_j\)이다. 유한 아핀 열린 덮개 \(U_{j, i'} = \bigcup W_{j, k, i'}\)를 택하자. 이는 아핀 열린 덮개 \(U_{j, i''} = \bigcup W_{j, k, i''}\)를 모든 \(i'' \geq i'\)에 대해, 그리고 \(U_j = \bigcup W_{j, k}\)를 유도한다. 아핀 경우에 의해 어떤 \(i''\)와 사상 \(\varphi_{j, k, i''} : W_{j, k, i''} \to V_{j, i''}\)가 존재하여 \(\varphi|_{W_{j, k}} = \varphi_{j, k, i'', S}\)이다. 이는 모든 \(j, k\)에 대해 성립한다. 위에서 증명한 (3)에 의해 어떤 더 큰 지표 \(i''' \geq i''\)가 존재하여 \[\varphi_{j_1, k_1, i'', S_{i'''}}|_{W_{j_1, k_1, i'''} \cap W_{j_2, k_2, i'''}} = \varphi_{j_2, k_2, i'', S_{i'''}}|_{W_{j_1, k_1, i'''} \cap W_{j_2, k_2, i'''}}\] 가 모든 \(j_1, j_2, k_1, k_2\)에 대해 성립한다. 그러면 \(i'''\)가 지표이고 사상 \(\varphi_{i'''} : X_{i'''} \to Y_{i'''}\)가 존재하여 그 \(S\)로의 바탕 변환이 \(\varphi\)이다. 따라서 (2)가 성립한다.

(1)을 증명하자. 유한 표시인 스킴 \(X\)가 \(S\) 위에 주어졌다고 하자. \(X\)는 \(S\) 위에서 유한 표시이고, \(S\)가 준콤팩트이며 준분리이므로 \(X\)도 준콤팩트이고 준분리이다 (Morphisms, 보조정리 01TY). 유한 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_j\)를 택하자. 각 \(U_j\)가 아핀 열린집합 \(V_j \subset S\)로 사상되도록 하자. \(U_{j_1j_2} = U_{j_1} \cap U_{j_2}\) 및 \(U_{j_1j_2j_3} = U_{j_1} \cap U_{j_2} \cap U_{j_3}\)로 두자. 보조정리 01Z4와 01Z6에 의해 어떤 \(i_1\)과 아핀 열린집합 \(V_{j, i_1} \subset S_{i_1}\)를 찾아 각 \(V_j\)가 \(S\)에서 이것의 역상이 되게 할 수 있다. \(V_{j, i}\)를 \(V_{j, i_1}\)의 \(S_i\)에서의 역상으로 두자 \(i \geq i_1\)에 대해. 아핀 경우에 의해 어떤 \(i_2 \geq i_1\)와 아핀 스킴 \(U_{j, i_2} \to V_{j, i_2}\)가 존재하여 \(U_j = S \times_{S_{i_2}} U_{j, i_2}\)가 그 바탕 변환이 된다. \(U_{j, i} = S_i \times_{S_{i_2}} U_{j, i_2}\)로 두자 \(i \geq i_2\)에 대해. 보조정리 01Z4에 의해 어떤 \(i_3 \geq i_2\)와 \(W_{j_1, j_2, i_3} \subset U_{j_1, i_3}\)가 존재하여 그 \(S\)로의 바탕 변환이 \(U_{j_1j_2}\)와 같다. \(W_{j_1, j_2, i} = S_i \times_{S_{i_3}} W_{j_1, j_2, i_3}\)로 두자 \(i \geq i_3\)에 대해. 위에서 증명한 (2)에 의해 어떤 \(i_4 \geq i_3\)와 사상 \(\varphi_{j_1, j_2, i_4} : W_{j_1, j_2, i_4} \to W_{j_2, j_1, i_4}\)가 존재하여 그 \(S\)로의 바탕 변환은 항등사상 \(U_{j_1j_2} = U_{j_2j_1}\)이며 모든 \(j_1, j_2\)에 대해 성립한다. \(i \geq i_4\)에 대해 그 바탕 변환을 \(\varphi_{j_1, j_2, i} = \text{id}_S \times \varphi_{j_1, j_2, i_4}\)로 나타내자. 어떤 \(i_5 \geq i_4\)에 대해 계 \(((U_{j, i_5})_j, (W_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2}, (\varphi_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2})\) 가 Schemes, 절 01JA에서 말한 붙임 자료를 이룬다고 주장하자. 이를 보이려면 충분히 큰 \(i\)에 대해 \[\varphi_{j_1, j_2, i}^{-1}(W_{j_2, j_1, i} \cap W_{j_2, j_3, i}) = W_{j_1, j_2, i} \cap W_{j_1, j_3, i}\] 이고 충분히 큰 \(i\)에 대해 코사이클 조건이 성립함을 확인해야 한다. 첫 조건은 보조정리 01Z4와 \(U_{j_2j_1j_3} = U_{j_1j_2j_3}\)라는 사실에서 따른다. 둘째 조건은 위에서 증명한 보조정리의 (3)과 \(\text{id} : U_{j_1j_2} \to U_{j_2j_1}\)가 코사이클 조건을 만족한다는 사실에서 따른다. 이제 Schemes의 보조정리 01JC를 적용하여 계 \(((U_{j, i_5})_j, (W_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2}, (\varphi_{j_1, j_2, i_5})_{j_1, j_2})\) 를 붙이면 스킴 \(X_{i_5} \to S_{i_5}\)를 얻는다. 구성에 의해 \(X_{i_5}\)의 \(S\)로의 바탕 변환은 아핀 열린집합 \(U_j\)들을 열린집합 \(U_{j_1} \leftarrow U_{j_1j_2} \rightarrow U_{j_2}\)를 따라 붙여 얻어진다. 따라서 원하는 대로 \(S \times_{S_{i_5}} X_{i_5} \cong X\)이다.

보조정리

\(I\)를 유향 집합이라 하자. \((S_i, f_{ii'})\)를 \(I\) 위의 스킴 역계라 하자. 다음을 가정한다.

1. 모든 사상 \(f_{ii'} : S_i \to S_{i'}\)는 아핀이다.

2. 모든 스킴 \(S_i\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

\(S = \lim_i S_i\)라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 유한 표시인 \(\mathcal{O}_S\)-모듈의 층 \(\mathcal{F}\)에 대해, 어떤 지표 \(i \in I\)와 유한 표시인 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈의 층 \(\mathcal{F}_i\)가 존재하여 \(\mathcal{F} \cong f_i^*\mathcal{F}_i\)이다.

2. 지표 \(i \in I\), 유한 표시인 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈의 층 \(\mathcal{F}_i\), \(\mathcal{G}_i\), 그리고 사상 \(\varphi : f_i^*\mathcal{F}_i \to f_i^*\mathcal{G}_i\)가 \(S\) 위에 주어졌다고 하자. 그러면 어떤 \(i' \geq i\)와 사상 \(\varphi_{i'} : f_{i'i}^*\mathcal{F}_i \to f_{i'i}^*\mathcal{G}_i\)가 존재하여 그 \(S\)로의 바탕 변환이 \(\varphi\)이다.

3. 지표 \(i \in I\), 유한 표시인 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈의 층 \(\mathcal{F}_i\), \(\mathcal{G}_i\) 및 사상 쌍 \(\varphi_i, \psi_i : \mathcal{F}_i \to \mathcal{G}_i\)가 주어졌다고 하자. 그 바탕 변환이 같다고, 즉 \(f_i^*\varphi_i = f_i^*\psi_i\)라고 가정하자. 그러면 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(f_{i'i}^*\varphi_i = f_{i'i}^*\psi_i\)이다.

다시 말해, \(S\) 위 유한 표시 모듈의 범주는 \(I\)를 지표로 하는 \(S_i\) 위 유한 표시 모듈 범주들의 여극한이다.

증명

두 증명을 개략적으로 설명하되 세부사항은 생략한다.

첫 번째 증명. \(S\)와 \(S_i\)가 아핀 스킴이면 이 보조정리는 Algebra의 보조정리 05N7와 동치이다. 일반 경우에는 아핀 경우로부터 Zariski 붙임을 사용하여 얻는다.

두 번째 증명. 다음 두 사실을 사용한다.

1. 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-모듈과 \(S\) 위의 벡터 번들의 범주 사이에는 범주 동형이 있다. Constructions, 절 01M1을 보라.

2. 벡터 번들 \(\mathbf{V}(\mathcal{F}) \to S\)가 \(S\) 위에서 유한 표시인 것은 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시인 \(\mathcal{O}_S\)-모듈일 때 그리고 그때뿐이다.

따라서 보조정리 01ZM을 사용하면 \(S\) 위 유한 표시 벡터 번들의 범주가 \(I\) 위의 여극한임을 보일 수 있다. 그 도표의 항들은 \(S_i\) 위의 벡터 번들 범주이다.

보조정리

\(S = \lim S_i\)를 준콤팩트이고 준분리인 스킴 \(S_i\)들의 유향계의 극한이라 하자. 전이 사상은 아핀이라고 하자. 그러면

1. 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈은 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈의 바탕 변환이며 어떤 지표 \(i\)에 대해 성립한다.

2. 가역 \(\mathcal{O}_S\)-모듈은 가역 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈의 바탕 변환이며 어떤 지표 \(i\)에 대해 성립한다.

3. 유한형 준연접 아이디얼 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_S\)는 \(\mathcal{I}_i \cdot \mathcal{O}_S\) 꼴이며, 어떤 지표 \(i\)와 유한형 준연접 아이디얼 \(\mathcal{I}_i \subset \mathcal{O}_{S_i}\)가 존재한다.

증명

\(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이라 하자. 유한 국소 자유 모듈은 유한 표시이므로, 어떤 \(i\)와 유한 표시 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈 \(\mathcal{E}_i\)를 찾아 \(f_i^*\mathcal{E}_i \cong \mathcal{E}\)로 둘 수 있다. 보조정리 01ZR을 보라. \(i\)를 키우면 \(\mathcal{E}_i\)가 평탄한 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈이라고 가정할 수 있다. Algebra, 보조정리 02JO을 보라. (이 보조정리를 사용하는 것은 필수는 아니지만 편리하다.) 그러면 Algebra, 보조정리 00NX에 의해 \(\mathcal{E}_i\)는 유한 국소 자유이다.

\(\mathcal{L}\)이 가역 \(\mathcal{O}_S\)-모듈이면, 위 결과에 의해 어떤 \(i\)와 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈 \(\mathcal{L}_i\) 및 \(\mathcal{N}_i\)를 찾아 각각 \(\mathcal{L}\) 및 \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\)의 바탕 변환으로 삼을 수 있다. \(i\)를 필요에 따라 키우면 사상 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)는 사상 \(\mathcal{L}_i \otimes_{\mathcal{O}_{S_i}} \mathcal{N}_i \to \mathcal{O}_{S_i}\)로 하강한다. 그리고 \(i\)를 더 키우면 이것이 동형이라고 가정할 수 있다. 따라서 \(\mathcal{L}_i\)는 가역 모듈이다 (Modules, 보조정리 0B8K)이며 (2)가 증명된다.

(3)의 \(\mathcal{I}\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S/\mathcal{I}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_S\)-모듈 사이의 사상이다. 따라서 보조정리 01ZR에 의해 이는 어떤 유한 표시 모듈 사이의 사상 \(\mathcal{O}_{S_i} \to \mathcal{F}_i\)인 \(\mathcal{O}_{S_i}\)-모듈의 바탕 변환이다. \(i\)를 키운 뒤 이 사상이 전사라고 가정할 수 있다 (세부사항은 생략한다. 힌트: 아핀 열린 덮개 위에서 Algebra, 보조정리 05LI를 사용하라). 그러면 \(\mathcal{O}_{S_i} \to \mathcal{F}_i\)의 핵은 \(\mathcal{O}_{S_i}\) 안의 유한형 준연접 아이디얼이고, 그 바탕 변환이 \(\mathcal{I}\)를 준다.

보조정리

표기와 가정은 보조정리 01ZM과 같다고 하자. \(i \in I\)라 하자. \(\varphi_i : X_i \to Y_i\)가 \(S_i\) 위에서 유한 표시인 스킴들의 사상이고 \(\mathcal{F}_i\)가 유한 표시 준연접 \(\mathcal{O}_{X_i}\)-모듈이라고 하자. \(\mathcal{F}_i\)를 \(X_i \times_{S_i} S\)로 바탕 변환한 것이 \(Y_i \times_{S_i} S\) 위에서 평탄하다면, 어떤 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(\mathcal{F}_i\)를 \(X_i \times_{S_i} S_{i'}\)로 바탕 변환한 것이 \(Y_i \times_{S_i} S_{i'}\) 위에서 평탄하다.

증명

(이 보조정리는 모듈에 대한 보조정리 04AI에 해당한다.) \(i' \geq i\)에 대해 \(X_{i'} = S_{i'} \times_{S_i} X_i\)로 두고, \(\mathcal{F}_{i'} = (X_{i'} \to X_i)^*\mathcal{F}_i\)로 두며 \(Y_{i'}\)에 대해서도 같은 방식으로 쓴다. \(\varphi_{i'}\)를 \(\varphi_i\)의 \(S_{i'}\)로의 바탕 변환이라 하자. 또한 \(X = S \times_{S_i} X_i\), \(Y =S \times_{S_i} X_i\), \(\mathcal{F} = (X \to X_i)^*\mathcal{F}_i\)로 두고 \(\varphi\)를 \(\varphi_i\)의 \(S\)로의 바탕 변환이라 하자. \(Y_i = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_{j, i}\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하고 각 \(V_{j, i}\)가 \(S_i\)의 어떤 아핀 열린집합으로 사상된다고 하자. 각 \(j = 1, \ldots m\)에 대해 \(\varphi_i^{-1}(V_{j, i}) = \bigcup_{k = 1, \ldots, m(j)} U_{k, j, i}\)를 유한 아핀 열린 덮개로 택하자. \(i' \geq i\)에 대해 \(V_{j, i'}\)를 \(V_{j, i}\)의 \(Y_{i'}\)에서의 역상으로, \(U_{k, j, i'}\)를 \(U_{k, j, i}\)의 \(X_{i'}\)에서의 역상으로 쓰자. 마찬가지로 \(U_{k, j} \subset X\)와 \(V_j \subset Y\)가 있다. 그러면 \(U_{k, j} = \lim_{i' \geq i} U_{k, j, i'}\)이고 \(V_j = \lim_{i' \geq i} V_j\)이다(보조정리 01YX 참조). \(X_{i'} = \bigcup_{k, j} U_{k, j, i'}\)가 유한 열린 덮개이므로, 각 사상 \(U_{k, j, i} \to V_{j, i}\)와 층 \(\mathcal{F}_i|_{U_{k, j, i}}\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. 따라서 \(X_i\)와 \(Y_i\)가 아핀이고 \(S_i\)의 어떤 아핀 열린집합으로 사상되는 경우로 줄어든다. 즉 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다.

아핀 경우에는 다음 대수 결과로 환원된다. \(R = \colim_{i \in I} R_i\)라 하자. 어떤 \(i \in I\)에 대해 유한 표시 대수 사이의 사상 \(A_i \to B_i\)가 주어졌고, 이들은 \(R_i\)-대수라고 하자. \(N_i\)를 유한 표시 \(B_i\)-모듈이라 하자. 만일 \(R \otimes_{R_i} N_i\)가 \(R \otimes_{R_i} A_i\) 위에서 평탄하다면, 어떤 \(i' \geq i\)에 대해 모듈 \(R_{i'} \otimes_{R_i} N_i\)가 \(R_{i'} \otimes_{R_i} A\) 위에서 평탄하다. 이는 Algebra, 보조정리 02JO의 (3)에서 증명한 바로 그 결과이다.

보조정리

스킴 \(T\)에 대해 \(\mathcal{C}_T\)를 다음 조건을 만족하는 스킴 \(W\)들의 완전 부분범주라 하자. 이들은 \(T\) 위에 있고, \(W\)는 준콤팩트이고 준분리이며 구조 사상 \(W \to T\)는 국소적으로 유한 표시이다. \(S = \lim S_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 스킴들의 유향 극한이라 하자. 그러면 바탕 변환 함자가 주는 범주 동형 \[\colim \mathcal{C}_{S_i} \longrightarrow \mathcal{C}_S\] 가 존재한다.

경고: 이 보조정리와 보조정리 01ZM의 차이를 이해하지 못한다면 이 보조정리를 사용하지 말라.

증명

완전충실성. \(i \in I\)와 대상 \(X_i\), \(Y_i\)가 \(\mathcal{C}_{S_i}\)에 주어졌다고 하자. \(X = X_i \times_{S_i} S\)와 \(Y = Y_i \times_{S_i} S\)로 둔다. 사상 \(f : X \to Y\)가 \(S\) 위에 주어졌다고 하자. 유한 아핀 열린 덮개 \(Y_i = V_{i, 1} \cup \ldots \cup V_{i, m}\)를 택하자. 각 \(V_{i, j} \to Y_i \to S_i\)가 아핀 열린집합 \(W_{i, j}\) 안으로 사상되게 할 수 있다. 이는 \(S_i\)의 아핀 열린집합이다. 유도된 아핀 열린 덮개를 \(Y = V_1 \cup \ldots \cup V_m\)인 \(Y\)의 덮개로 쓰자. \(f : X \to Y\)가 준콤팩트이므로(Schemes, 보조정리 03GI) \(i\)를 키운 뒤 준콤팩트 열린집합에 의한 유한 열린 덮개 \(X_i = U_{i, 1} \cup \ldots \cup U_{i, m}\)가 존재하여 \(U_{i, j}\)의 \(Y\)에서의 역상이 \(f^{-1}(V_j)\)가 된다고 가정할 수 있다. 보조정리 01Z4를 보라. 보조정리 01ZM을 \(f|_{f^{-1}(V_j)}\)에 \(W_j\) 위에서 적용하면 \(i\)를 키운 뒤 \(f_{i, j} : V_{i, j} \to U_{i, j}\)라는 \(S\) 위의 사상이 존재하여 그 \(S\)로의 바탕 변환이 \(f|_{f^{-1}(V_j)}\)가 된다고 가정할 수 있다. \(i\)를 더 키우면 \(f_{i, j}\)와 \(f_{i, j'}\)가 준콤팩트 열린집합 \(U_{i, j} \cap U_{i, j'}\) 위에서 일치한다고 가정할 수 있다. 그러면 이 사상들을 붙여 원하는 사상 \(f_i : X_i \to Y_i\)를 얻는다. 이 사상은 (지표 \(i\)를 키우는 것을 허용하면) 유일하다. 이는 \(f_{i, j}\)들이 그러한 유일성을 갖기 때문이다.

함자가 본질적으로 전사임을 보이려면 정확히 같은 방식으로 논증한다. \(X\)가 \(\mathcal{C}_S\)의 대상이라고 하자. \(i \in I\)를 택한다. 유한 아핀 열린 덮개 \(X = U_1 \cup \ldots \cup U_m\)를 택하자. 각 \(U_j \to X \to S \to S_i\)가 아핀 열린집합 \(W_{i, j} \subset S_i\)를 통해 분해되도록 하자. \(W_j = W_{i, j} \times_{S_i} S\)로 두자. 이는 \(S\)의 아핀 열린집합이다. 보조정리 01ZM에 의해 \(i\)를 키운 뒤, 유한 표시 사상 \(U_{i, j} \to W_{i, j}\)가 존재하여 그 \(W_j\)로의 바탕 변환이 \(U_j\)가 된다고 가정할 수 있다. 다시 \(i\)를 키운 뒤 준콤팩트 열린집합 \(U_{i, j, j'} \subset U_{i, j}\)가 존재하여 그 \(S\)로의 바탕 변환이 \(U_j \cap U_{j'}\)가 된다고 가정할 수 있다. 주장: \(i\)를 키운 뒤 사상 \(U_{i, j, j'} \to U_{i, j} \to W_{i, j}\)의 상이 \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\) 안에 들어간다고 가정할 수 있다. 실제로 \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\)의 여집합은 아핀 스킴 \(W_{i, j}\)에서 닫혀 있으므로 아핀이다. \(U_j \cap U_{j'} = \lim U_{i, j, j'}\)가 \(W_{i, j} \cap W_{i, j'}\) 안으로 사상되므로 보조정리 05F3를 적용하여 주장을 얻는다. 따라서 다음 두 대상을 \[U_{i, j, j'} \quad\text{and}\quad U_{i, j', j}\] \(W_{i, j'}\) 위의 스킴으로 볼 수 있으며, 이들의 \(W_{j'}\)로의 바탕 변환은 모두 \(U_j \cap U_{j'}\)를 회복한다. 그러므로 보조정리 01ZM을 사용하여 \(i\)를 키운 뒤 \(U_{i, j, j'} \to U_{i, j', j}\)인 \(W_{i, j'}\) 위의 동형이 존재한다고 가정할 수 있다. 이 동형은 또한 \(S_i\) 위의 동형이다. \(i\)를 더 키우면 (세부사항은 생략) 이 동형들이 Schemes, 절 01JA에서 언급한 코사이클 조건을 만족한다고 가정할 수 있다. Schemes의 보조정리 01JB를 적용하면 \(X_i\)라는 \(\mathcal{C}_{S_i}\)의 대상을 얻는다. 그 \(S\)로의 바탕 변환은 \(X\)와 동형이며, 몇 가지 검증은 생략한다.

아핀 스킴의 특성화

스킴의 전사 정수적 사상 \(f : X \to S\)가 있고 \(X\)가 아핀 스킴이면 \(S\)도 아핀이다. [Conrad-Nagata, A.2]를 보라. 우리의 증명은 Schemes의 코호몰로지에서 서술하고 증명한 뇌터 경우, 보조정리 01YQ에 의존한다. [EGA, II 6.7.1]도 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 전사이고 유한하다고 가정하고, \(X\)가 아핀이라고 가정하자. 그러면 \(S\)는 아핀이다.

증명

\(f\)가 전사이고 \(X\)가 준콤팩트이므로 \(S\)가 준콤팩트임을 알 수 있다. \(X\)가 분리이고 \(f\)가 전사이며 보편적으로 닫혀 있으므로 (Morphisms, 보조정리 01WM), \(S\)가 분리임을 알 수 있다 (Morphisms, 보조정리 09MQ).

보조정리 09YY에 의해 \(X = \lim_a X_a\)로 쓸 수 있으며, \(X_a \to S\)는 유한하고 유한 표시이다. 보조정리 01Z6에 의해 \(X_a\)가 어떤 \(a \in A\)에 대해 아핀임을 알 수 있다. \(X\)를 \(X_a\)로 바꾸면 \(X \to S\)가 전사이고 유한하며 유한 표시이고 \(X\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

명제 01ZA에 의해 \(S = \lim_{i \in I} S_i\)로 쓸 수 있으며, 이는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형 스킴들의 유향 극한이다. 보조정리 01ZM에 의해 \(I\)를 줄인 뒤 유한 표시인 스킴의 사상 \(X_i \to S_i\)가 존재하여 \(X_{i'} = X_i \times_S S_{i'}\)이고 \(i' \geq i\)이면 \(X = \lim_i X_i\)라고 가정할 수 있다. 보조정리 01ZO에 의해 \(X_i \to S_i\)가 모든 \(i \in I\)에 대해 유한하다고 가정할 수도 있다. 보조정리 01Z6를 다시 적용하면 \(X_i\)가 모든 \(i \in I\)에 대해 아핀이라고 가정할 수 있다. 따라서 결론은 뇌터 경우에서 따른다. Schemes의 코호몰로지, 보조정리 01YQ을 보라.

명제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X\)가 아핀이고 \(f\)가 전사이며 보편적으로 닫혀 있다고 가정하자². 그러면 \(S\)는 아핀이다.

증명

Morphisms, 보조정리 09MQ에 의해 스킴 \(S\)는 분리이다. 그러면 Morphisms, 보조정리 01SG에 의해 \(f\)가 아핀임을 알 수 있다. 이어서 Morphisms, 보조정리 01WM에 의해 \(f\)가 정수적임을 알 수 있다.

앞 단락에 의해 \(f : X \to S\)가 전사이고 정수적이며, \(X\)가 아핀이고 \(S\)가 분리라고 가정해도 된다. \(f\)가 전사이고 \(X\)가 준콤팩트이므로 \(S\)도 준콤팩트임을 얻는다.

보조정리 09YZ에 의해 \(X = \lim_i X_i\)로 쓸 수 있고 \(X_i \to S\)는 유한이다. 보조정리 01Z6에 의해 충분히 큰 \(i\)에 대해 스킴 \(X_i\)가 아핀이다. 더욱이 \(X \to S\)가 각 \(X_i\)를 거쳐 인수분해되므로 \(X_i \to S\)가 전사이다. 따라서 보조정리 01ZT에 의해 \(S\)가 아핀임을 결론내린다.

보조정리

\(X\)를 집합으로 보아 유한 개의 아핀 닫힌 부분스킴의 합집합인 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)는 아핀이다.

증명

\(Z_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\)을 아핀 닫힌 부분스킴으로 택하여 \(X = \bigcup Z_i\)가 집합으로 성립한다고 하자. 그러면 \(\coprod Z_i \to X\)는 전사이고, 아핀인 원천을 가진 정수적 사상이다. 따라서 명제 05YU에 의해 \(X\)는 아핀이다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 기저 위상 공간의 동형을 유도하는 스킴의 닫힌 몰입이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. 그러면 \(i^*\mathcal{L}\)이 \(Z\) 위에서 풍부한 것은 \(\mathcal{L}\)이 \(X\) 위에서 풍부한 것과 동치이다.

증명

\(\mathcal{L}\)이 풍부하면, 예를 들어 Morphisms, 보조정리 0892에 의해 \(i^*\mathcal{L}\)도 풍부하다. \(i^*\mathcal{L}\)이 풍부하다고 가정하자. 그러면 \(Z\)는 준콤팩트이고 (Properties, 정의 01PS) 분리이다 (Properties, 보조정리 09MP). \(i\)가 전사이므로 \(X\)는 준콤팩트이다. \(i\)가 보편적으로 닫혀 있고 전사이므로 \(X\)는 분리이다 (Morphisms, 보조정리 09MQ).

명제 01ZA에 의해 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있다. 이 극한은 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형 스킴들의 유향 극한이고 전이 사상들은 아핀이다. 어떤 \(i\)와 가역층 \(\mathcal{L}_i\)를 택하여 \(X_i\) 위에서 그 \(X\)로의 바탕 변환이 \(\mathcal{L}\)과 동형이 되게 할 수 있다. 보조정리 01ZR을 보라.

각 \(i\)에 대해 \(Z_i \subset X_i\)를 사상 \(Z \to X_i\)의 스킴 이론적 상이라고 하자. \(\Spec(A_i) \subset X_i\)가 \(\Spec(A)\)의 \(X\)에서의 역상을 갖는 아핀 열린 부분스킴이고, \(Z \cap \Spec(A)\)가 아이디얼 \(I \subset A\)로 정의된다고 하자. 그러면 \(Z_i \cap \Spec(A_i)\)는 아이디얼 \(I_i \subset A_i\)로 정의되며, 이는 \(I\)의 \(A_i\)에서의 역상이고 환 사상 \(A_i \to A\)에 의해 주어진다. Morphisms, 예제 056A를 보라. \(\colim A_i/I_i = A/I\)이므로 \(\lim Z_i = Z\)임을 얻는다. 보조정리 09MT에 의해 \(\mathcal{L}_i|_{Z_i}\)가 어떤 \(i\)에 대해 풍부하다. \(Z\), 따라서 \(X\)가 집합으로 \(Z_i\) 안으로 사상되므로, 어떤 지표에 대해 \(X_{i'} \to X_i\)가 집합으로 \(Z_i\) 안으로 사상되는 \(i' \geq i\)가 존재한다. 보조정리 05F4를 보라. (\(X_i\)가 뇌터이므로 \(X_i\)의 모든 닫힌 부분집합이 구성가능하다는 점에 유의하라.) \(T \subset X_{i'}\)를 \(Z_i\)의 \(X_{i'}\)에서의 스킴 이론적 역상이라고 하자. \(\mathcal{L}_{i'}|_T\)는 \(\mathcal{L}_i|_{Z_i}\)의 바탕 변환이고, 따라서 Morphisms, 보조정리 0892와 \(T \to Z_i\)가 아핀 사상이라는 사실에 의해 풍부하다. 그러므로 Cohomology of Schemes, 보조정리 09MS에 의해 \(\mathcal{L}_{i'}\)는 \(X_{i'}\) 위에서 풍부하다. 위와 같은 보조정리를 사용하여 \(X\)로 바탕 변환하면 \(\mathcal{L}\)이 풍부함을 얻는다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 기저 위상 공간의 동형을 유도하는 스킴의 닫힌 몰입이라 하자. 그러면 \(X\)가 준아핀인 것은 \(Z\)가 준아핀인 것과 동치이다.

증명

스킴이 준아핀인 것은 구조층이 풍부한 것과 동치임을 상기하자. Properties, 보조정리 01QE를 보라. 따라서 \(Z\)가 준아핀이면 \(\mathcal{O}_Z\)가 풍부하고, 보조정리 09MW에 의해 \(\mathcal{O}_X\)가 풍부하며, 따라서 \(X\)가 준아핀이다. 역의 증명은 초등적으로도 얻을 수 있으며, 방금 주어진 논증을 거꾸로 읽으면 된다.

다음 보조정리는 실제로 이 절에 속한다고 하기는 어렵다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 풍부한 가역층이라 하자. 다음과 같은 스킴의 사상들이 있다고 하자. \[\Spec(k) \leftarrow \Spec(A) \to W \subset X\] 여기서 \(k\)는 체이고 \(A\)는 정수적인 \(k\)-대수이며, \(W\)는 \(X\)에서 열린 부분집합이다. 그러면 어떤 \(n > 0\)과 단면 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)이 존재하여 \(X_s\)는 아핀이고, \(X_s \subset W\)이며, \(\Spec(A) \to W\)는 \(X_s\)를 거쳐 인수분해된다.

증명

\(\Spec(A)\)가 준콤팩트이므로, \(W\)를 \(\Spec(A) \to X\)의 상을 여전히 포함하는 준콤팩트 열린집합으로 바꾸어도 된다. \(X\)는 풍부한 가역층을 가지므로 준분리이고 준콤팩트임을 상기하자. Properties, 정의 01PS 및 보조정리 01PY를 보라. 명제 01ZA에 의해 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있으며, 이는 \(\mathbf{Z}\) 위 유한형 스킴들의 유향계의 극한이고 전이 사상들은 아핀이다. 어떤 \(i\)에 대해 풍부한 가역층 \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위에서 풍부한 가역층 \(\mathcal{L}_i\)를 \(X_i\) 위에 내려 보낼 수 있고, \(W\)는 준콤팩트 열린집합 \(W_i \subset X_i\)의 역상이다. 보조정리 09MT, 0B8W, 및 01Z4를 보라. \(X, W, \mathcal{L}\)을 \(X_i, W_i, \mathcal{L}_i\)로 바꾸어 \(X\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한 표시라고 가정할 수 있다. \(A = \colim A_j\)를 유한 \(k\)-부분대수들의 여극한으로 쓰자. 그러면 어떤 \(j\)에 대해 사상 \(\Spec(A) \to X\)가 사상 \(\Spec(A_j) \to X\)를 거쳐 인수분해된다. 명제 01ZC을 보라. \(\Spec(A_j)\)가 유한이므로, 이는 이 보조정리를 Properties, 보조정리 09NV로 환원한다.

Chow 보조정리의 변형

이 절에서는 Chow 보조정리의 여러 변형을 증명한다. 가장 흥미로운 버전은 아마 뇌터 경우 자체일 것이다. 이 경우는 Schemes의 코호몰로지, 절 02O2에서 서술하고 증명하였다.

보조정리

\(S\)를 준콤팩트이고 준분리인 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 유한형인 분리 사상이라 하자. 그러면 어떤 \(n \geq 0\)과 다음 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] 여기서 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)는 몰입이고, \(\pi : X' \to X\)는 고유하고 전사이다.

증명

명제 01ZJ에 의해 닫힌 몰입 \(X \to Y\)를 찾을 수 있으며, 여기서 \(Y\)는 \(S\) 위에서 분리이고 유한 표시이다. 분명히 \(Y\)에 대해 주장을 증명하면 결론이 \(X\)에 대해 따른다. 따라서 \(X\)가 \(S\) 위에서 유한 표시라고 가정할 수 있다.

\(S = \lim_i S_i\)를 뇌터 스킴들의 유향 극한으로 쓴다. 명제 01ZA를 보라. 보조정리 01ZM에 의해 어떤 지표 \(i \in I\)와 유한 표시인 스킴의 사상 \(X_i \to S_i\)를 찾아 \(X = S \times_{S_i} X_i\)가 되게 할 수 있다. 보조정리 01ZQ에 의해 \(X_i \to S_i\)가 분리라고 가정할 수 있다. 분명히 \(X_i\)를 \(S_i\) 위에서 증명하면 결론은 \(X\)에 대해도 성립한다. \(X_i \to S_i\)인 경우는 Schemes의 코호몰로지, 보조정리 0200에서 다룬다.

주

Chow 보조정리 0202의 상황에서 다음을 얻는다.

1. 사상 \(\pi\)는 실제로 H-사영이다 (따라서 사영이다. Morphisms, 보조정리 01W9 참조). 왜냐하면 사상 \(X' \to \mathbf{P}^n_S \times_S X = \mathbf{P}^n_X\)가 닫힌 몰입이기 때문이다 (이를 위해 \(\pi\)가 고유하다는 사실을 사용한다. Morphisms, 보조정리 01W6 참조).

2. 다른 주장들을 바꾸지 않고 \(X'\)가 축소라고 가정할 수 있다. 이는 \(X'\)를 그 축소로 바꾸면 되기 때문이다.

3. 다른 주장들을 바꾸지 않고 \(X' \to X\)가 유한 표시라고 가정할 수 있다. 이는 보조정리 0202의 증명에서 얻을 수 있지만, 다음과 같이 직접 증명할 수도 있다. (1)에 의해 \(X' \to \mathbf{P}^n_X\)는 닫힌 몰입이다. 보조정리 09ZP에 의해 \(X' = \lim X'_i\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_X\)는 유한 표시인 닫힌 몰입이다. 특히 \(X'_i \to X\)는 유한 표시이고 고유하며 전사이다. 충분히 큰 \(i\)에 대해 사상 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_S\)는 보조정리 081B에 의해 몰입이다. \(X'\)를 \(X'_i\)로 바꾸면 원하는 결론을 얻는다.

물론 일반적으로 (2)와 (3)을 동시에 달성할 수는 없다.

여기서는 위쪽 스킴이 유한 개의 기약 성분을 갖는다고 가정하는 Chow 보조정리의 한 변형을 제시한다.

보조정리

\(S\)를 준콤팩트이고 준분리인 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 유한형인 분리 사상이라 하자. \(X\)가 유한 개의 기약 성분을 갖는다고 가정하자. 그러면 어떤 \(n \geq 0\)과 다음 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ X \ar[rd] & X' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] 여기서 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)는 몰입이고, \(\pi : X' \to X\)는 고유하고 전사이다. 또한 어떤 조밀한 열린 부분스킴 \(U \subset X\)가 존재하여 \(\pi^{-1}(U) \to U\)가 스킴의 동형사상이다.

증명

\(X = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\)을 \(X\)의 기약 성분들로의 분해라고 하자. \(\eta_j \in Z_j\)를 일반점이라 하자.

증명을 진행하는 방법은 (적어도) 두 가지가 있다. 첫 번째 방법은 적절한 아핀 열린집합을 \(X\)에서 찾기 위해 Schemes의 코호몰로지, 보조정리 0200의 증명을 일반적인 Properties, 보조정리 01ZX를 사용하여 다시 수행하는 것이다. (이는 “표준” 증명이다.) 두 번째 방법은 위의 보조정리 0202의 증명에서처럼 절대 뇌터 근사를 사용하는 것이다. 여기서는 두 번째 방법을 택한다.

명제 01ZJ에 의해 \(X \to Y\)인 닫힌 몰입을 찾을 수 있으며, \(Y\)는 \(S\) 위에서 분리이고 유한 표시이다. \(S = \lim_i S_i\)를 뇌터 스킴들의 유향 극한으로 쓴다. 명제 01ZA를 보라. 보조정리 01ZM에 의해 어떤 지표 \(i \in I\)와 유한 표시인 스킴의 사상 \(Y_i \to S_i\)를 찾아 \(Y = S \times_{S_i} Y_i\)가 되게 할 수 있다. 보조정리 01ZQ에 의해 \(Y_i \to S_i\)가 분리라고 가정할 수 있다. 다음과 같은 가환 도식을 갖는다. \[\xymatrix{ \eta_j \in Z_j \ar[r] & X \ar[r] \ar[rd] & Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[d] \\ & & S \ar[r] & S_i }\] \(h : X \to Y_i\)를 이 합성으로 정의하자.

\(i' \geq i\)에 대해 \(Y_{i'} = S_{i'} \times_{S_i} Y_i\)로 쓰자. 그러면 \(Y = \lim_{i' \geq i} Y_{i'}\)이다. 보조정리 01YZ를 보라. \(j, j' \in \{1, \ldots, n\}\)을 \(j \not = j'\)가 되도록 택하자. \(\eta_j\)는 \(\eta_{j'}\)의 특수화가 아님에 유의하자. 보조정리 01YY에 의해 \(i\)를 더 큰 지표로 바꾸어 모든 위와 같은 쌍에 대해 \(h(\eta_j)\)가 \(h(\eta_{j'})\)의 특수화가 아니라고 가정할 수 있다. 이 쌍은 \((j, j')\)이다. 이러한 지표에 대해 \(Y' \subset Y_i\)를 \(h : X \to Y_i\)의 스킴 이론적 상이라고 하자. Morphisms, 정의 01R7를 보라. 사상 \(h\)는 준콤팩트이다. 이는 준콤팩트 사상 \(X \to Y\)와 \(Y \to Y_i\) (후자는 아핀)의 합성이기 때문이다. 따라서 Morphisms, 보조정리 01R8에 의해 \(X \to Y'\)는 우세 사상이다. 그러므로 \(Y'\)의 일반점들은 모두 다음 집합에 들어 있다. \(\{h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n)\}\), Morphisms, 보조정리 01RL를 보라. 어떤 \(h(\eta_j)\)도 다른 것의 특수화가 아니므로 점들 \(h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n)\)은 서로 다르고 각각 \(Y'\)의 일반점임을 알 수 있다.

위의 Schemes의 코호몰로지, 보조정리 0200를 사상 \(Y' \to S_i\)에 적용한다. 그러면 다음 도식이 주어진다. \[\xymatrix{ Y' \ar[rd] & Y^* \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{S_i} \ar[dl] \\ & S_i & }\] 여기서 \(\pi\)는 고유하고 전사이며 조밀한 열린 부분스킴 \(V \subset Y'\) 위에서 동형사상이다. 위에서 \(i\)를 선택한 방식에 의해 \(h(\eta_1), \ldots, h(\eta_n) \in V\)임을 안다. 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ X' \ar@{=}[r] & X \times_{Y'} Y^* \ar[r] \ar[d] & Y^* \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_{S_i} \ar[ddl] \\ & X \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] & \\ & S \ar[r] & S_i & }\] \(X' \to X\)가 열린 부분스킴 \(U = h^{-1}(V)\) 위에서 동형사상임에 유의하자. 이 열린집합은 각 \(\eta_j\)를 포함하므로 \(X\)에서 조밀하다. 따라서 \(X \leftarrow X' \rightarrow \mathbf{P}^n_S\)는 이 보조정리에서 제시한 문제의 해이다.

Chow 보조정리의 응용

Chow 보조정리의 첫 번째 응용을 보자.

보조정리

가정과 표기는 상황 081D와 같이 하자. 다음이 성립한다고 하자.

1. \(f\)는 고유이고,

2. \(f_0\)는 국소적으로 유한형이다.

그러면 어떤 \(i\)가 존재하여 \(f_i\)가 고유이다.

증명

보조정리 01ZQ에 의해 \(f_i\)가 어떤 \(i \geq 0\)에 대해 분리임을 알 수 있다. \(0\)을 \(i\)로 바꾸어 \(f_0\)가 분리라고 가정할 수 있다. \(f_0\)가 준콤팩트임에 유의하자. Schemes, 보조정리 03GI를 보라. 보조정리 0202에 의해 다음 도식을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ X_0 \ar[rd] & X_0' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_{Y_0} \ar[dl] \\ & Y_0 & }\] 여기서 \(X_0' \to \mathbf{P}^n_{Y_0}\)는 몰입이고, \(\pi : X_0' \to X_0\)는 고유하고 전사이다. \(X' = X_0' \times_{Y_0} Y\)와 \(X_i' = X_0' \times_{Y_0} Y_i\)를 도입하자. Morphisms, 보조정리 01W3 및 01W4에 의해 \(X' \to Y\)가 고유임을 알 수 있다. 따라서 \(X' \to \mathbf{P}^n_Y\)는 닫힌 몰입이다 (Morphisms, 보조정리 01W6). Morphisms, 보조정리 03GN에 의해 \(X'_i \to Y_i\)가 어떤 \(i\)에 대해 고유임을 보이는 것으로 충분하다. 보조정리 01ZP에 의해 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_{Y_i}\)가 닫힌 몰입임을 충분히 큰 \(i\)에 대해 얻는다. 그러면 \(X'_i \to Y_i\)가 고유이므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 고유 사상이라 하고 \(S\)가 준콤팩트이고 준분리라고 하자. 그러면 \(X = \lim X_i\)는 스킴 \(X_i\)들의 유향 극한으로 쓸 수 있으며, 이 스킴들은 \(S\) 위에서 고유하고 유한 표시이고 모든 전이 사상과 사상 \(X \to X_i\)는 닫힌 몰입이다.

증명

명제 01ZJ에 의해 \(X \to Y\)인 닫힌 몰입을 찾을 수 있으며, \(Y\)는 \(S\) 위에서 분리이고 유한 표시이다. 보조정리 0202에 의해 다음 도식을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ Y \ar[rd] & Y' \ar[d] \ar[l]^\pi \ar[r] & \mathbf{P}^n_S \ar[dl] \\ & S & }\] 여기서 \(Y' \to \mathbf{P}^n_S\)는 몰입이고, \(\pi : Y' \to Y\)는 고유하고 전사이다. 보조정리 09ZP에 의해 \(X = \lim X_i\)로 쓸 수 있으며 \(X_i \to Y\)는 유한 표시인 닫힌 몰입이다. \(X'_i \subset Y'\), 각각 \(X' \subset Y'\)를 \(X_i \subset Y\), 각각 \(X \subset Y\)의 스킴 이론적 역상이라고 하자. 그러면 \(\lim X'_i = X'\)이다. \(X' \to S\)가 고유이므로 (Morphisms, 보조정리 01W3), \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)는 닫힌 몰입이다 (Morphisms, 보조정리 01W6). 따라서 충분히 큰 \(i\)에 대해 보조정리 0A0N에 의해 \(X'_i \to \mathbf{P}^n_S\)가 닫힌 몰입임을 얻는다. 그러므로 \(X'_i\)는 \(S\) 위에서 고유이다. 이러한 \(i\)에 대해 사상 \(X_i \to S\)는 Morphisms, 보조정리 03GN에 의해 고유이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 고유 사상이라 하고 \(S\)가 준콤팩트이고 준분리라고 하자. 그러면 유향 집합 \(I\)와 스킴 사상들의 역계 \((f_i : X_i \to S_i)\)가 \(I\) 위에서 존재하여, 전이 사상 \(X_i \to X_{i'}\)와 \(S_i \to S_{i'}\)는 아핀이고, \(f_i\)는 고유이며, \(S_i\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이고, \((X \to S) = \lim (X_i \to S_i)\)이다.

증명

보조정리 09ZR에 의해 \(X = \lim_{k \in K} X_k\)로 쓸 수 있으며 \(X_k \to S\)는 고유하고 유한 표시이다. 다음으로 절대 뇌터 근사 (명제 01ZA)에 의해 \(S = \lim_{j \in J} S_j\)로 쓸 수 있으며 \(S_j\)는 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이다. 각 \(k\)에 대해 어떤 \(j\)와 유한 표시 사상 \(X_{k, j} \to S_j\)가 존재하여 \(X_k \cong S \times_{S_j} X_{k, j}\)이고 이는 \(S\) 위의 스킴의 동형사상이다. 보조정리 01ZM을 보라. \(j\)를 키우면 \(X_{k, j} \to S_j\)가 고유라고 가정할 수 있다. 보조정리 081F를 보라. 집합 \(I\)는 이러한 쌍 \((k, j)\)들로 이루어지고, 대응하는 사상은 \(X_{k, j} \to S_j\)이다. 모든 \(k' \geq k\)에 대해 어떤 \(j' \geq j\)와 사상 \(X_{j', k'} \to X_{j, k}\)를 \(S_{j'} \to S_j\) 위에서 찾을 수 있으며, 그 \(S\)로의 바탕 변환은 사상 \(X_{k'} \to X_k\)를 준다 (이는 다시 보조정리 01ZM에서 따른다). 이 사상들이 계의 전이 사상을 이룬다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X = \lim X_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 \(S\) 위 스킴들의 유향 극한이라 하자. \(Y \to X\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하자. \(Y \to X\)가 고유이고, \(X_i\)가 준콤팩트이고 준분리이며, \(Y\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이면, \(Y \to X_i\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 고유이다.

증명

\(Y \to Y'\)인 닫힌 몰입을 택하되 \(Y'\)가 \(X\) 위에서 고유하고 유한 표시이게 하자. 보조정리 09ZR을 보라. 그런 다음 어떤 \(i\)와 고유 사상 \(Y'_i \to X_i\)를 택하여 \(Y' = X \times_{X_i} Y'_i\)가 되게 하자. 이는 보조정리 01ZM 및 081F에 의해 가능하다. 그러면 \(i\)를 더 큰 지표로 바꾼 뒤 \(Y \to Y'_i\)가 닫힌 몰입이다. 보조정리 081B를 보라.

유한형 준연접 모듈의 스킴 이론적 지지를 상기하자. Morphisms, 정의 05JV를 보라.

보조정리

가정과 표기는 상황 081D와 같이 하자. \(\mathcal{F}_0\)를 준연접 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-모듈이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}_i\)를 \(\mathcal{F}_0\)의 \(X\)와 \(X_i\)로의 당김이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(f_0\)는 국소적으로 유한형이다.

2. \(\mathcal{F}_0\)는 유한형이다.

3. \(\mathcal{F}\)의 스킴 이론적 지지는 \(Y\) 위에서 고유이다.

그러면 \(\mathcal{F}_i\)의 스킴 이론적 지지가 \(Y_i\) 위에서 고유인 어떤 \(i\)가 존재한다.

증명

\(X_0\)를 \(\mathcal{F}_0\)의 스킴 이론적 지지로 바꾸어도 된다. Morphisms, 보조정리 056J에 의해 그러면 \(X_i\)는 \(\mathcal{F}_i\)의 지지이고 \(X\)는 \(\mathcal{F}\)의 지지가 된다. 이제 \(Z \subset X\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴 이론적 지지라 하면 \(Z \to X\)는 보편 위상동형이다. 그러므로 \(X \to Y\)가 고유임을 얻는다. 이는 가정에 의해 \(Z \to Y\)가 고유이기 때문이다. Morphisms, 보조정리 03GN를 보라. 보조정리 081F에 의해 \(X_i \to Y\)가 고유인 어떤 \(i\)가 존재한다. 그러면 스킴 이론적 지지 \(Z_i\), 즉 \(\mathcal{F}_i\)의 지지는 Morphisms, 보조정리 01W5 및 01W3에 의해 \(Y\) 위에서 고유이다.

보편적으로 닫힌 사상

이 절에서는 준콤팩트 사상(반드시 분리일 필요는 없다)이 언제 보편적으로 닫혀 있는지 논한다. 먼저 국소적으로 유한 표시인 바탕 변환 뒤에 보편 폐쇄성을 확인할 수 있게 해 주는 보조정리를 증명한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 사상이라 하자. \(g : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(t \in T\)를 한 점이라 하고 \(Z \subset X_T\)를 \(Z \cap X_t = \emptyset\)인 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 열린 근방 \(V \subset T\)가 \(t\)에 대해 존재하고, 가환 도식 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 및 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset X_{T'}\)가 존재하여 다음을 만족한다.

1. 사상 \(b : T' \to S\)는 국소적으로 유한 표시이고,

2. \(t' = a(t)\)라 두면 \(Z' \cap X_{t'} = \emptyset\)이며,

3. \(Z \cap X_V\)는 \(Z'\) 안으로 사상되며 이 사상은 \(X_V \to X_{T'}\)를 통해 주어진다.

또한 \(V\)와 \(T'\)가 아핀이라고 가정할 수 있다.

증명

\(s = g(t)\)라 하자. 증명하는 동안 \(T\)를 언제나 \(t\)의 열린 근방으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(S\)도 \(s\)의 열린 근방으로 바꾸어도 된다. 그러므로 \(T\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정한다. \(S = \Spec(A)\), \(T = \Spec(B)\)이고 \(g\)가 환 사상 \(A \to B\)로 주어지며, \(t\)가 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대응한다고 하자.

\(X \to S\)가 준콤팩트이고 \(S\)가 아핀이므로 \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)를 유한 개의 아핀 열린집합의 합집합으로 쓸 수 있다. \(U_i = \Spec(C_i)\)로 쓰자. 특히 \(X_T = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_{i, T} = \bigcup_{i = 1, \ldots n} \Spec(C_i \otimes_A B)\)이다. \(I_i \subset C_i \otimes_A B\)를 닫힌 부분스킴 \(Z \cap U_{i, T}\)에 대응하는 아이디얼이라 하자. 조건 \(Z \cap X_t = \emptyset\)은 \(I_i\)가 다음 환에서 단위 아이디얼을 생성한다는 뜻이다. \[C_i \otimes_A \kappa(\mathfrak q) = (B \setminus \mathfrak q)^{-1}\left( C_i \otimes_A B/\mathfrak q C_i \otimes_A B \right)\] \(I_i (B \setminus \mathfrak q)^{-1}(C_i \otimes_A B) = (B \setminus \mathfrak q)^{-1} I_i\)이므로, 이는 \(1 = x_i/g_i\)라는 뜻이다. 여기서 어떤 \(x_i \in I_i\)와 \(g_i \in B\), \(g_i \not \in \mathfrak q\)를 택한다. 따라서 분모를 없애면 다음 꼴의 관계를 찾을 수 있다. \[x_i + \sum\nolimits_j f_{i, j}c_{i, j} = g_i\] 여기서 \(x_i \in I_i\), \(f_{i, j} \in \mathfrak q\), \(c_{i, j} \in C_i \otimes_A B\)이고 \(g_i \in B\), \(g_i \not \in \mathfrak q\)이다. \(B\)를 \(B_{g_1 \ldots g_n}\)으로 바꾸면, 즉 \(T\)를 \(t\)의 더 작은 아핀 근방으로 바꾸면, 식들이 다음과 같다고 가정할 수 있다. \[x_i + \sum\nolimits_j f_{i, j}c_{i, j} = 1\] 여기서 \(x_i \in I_i\), \(f_{i, j} \in \mathfrak q\), \(c_{i, j} \in C_i \otimes_A B\)이다.

논증을 마치기 위해 \(B\)를 유한 표시 \(A\)-대수 \(B_\lambda\)들의 여극한으로 쓰자. 첨자들은 유향 집합 \(\Lambda\)를 이룬다. 각 \(\lambda\)에 대해 \(\mathfrak q_\lambda = (B_\lambda \to B)^{-1}(\mathfrak q)\)로 두자. 충분히 큰 \(\lambda \in \Lambda\)에 대해 다음을 찾을 수 있다.

1. 원소 \(x_{i, \lambda} \in C_i \otimes_A B_\lambda\) 가운데 \(x_i\)로 사상되는 것,

2. 원소 \(f_{i, j, \lambda} \in \mathfrak q_{i, \lambda}\) 가운데 \(f_{i, j}\)로 사상되는 것, 그리고

3. 원소 \(c_{i, j, \lambda} \in C_i \otimes_A B_\lambda\) 가운데 \(c_{i, j}\)로 사상되는 것.

\(\lambda\)를 조금 더 키우면 다음 식이 성립한다. \[x_{i, \lambda} + \sum\nolimits_j f_{i, j, \lambda}c_{i, j, \lambda} = 1\] 이러한 \(\lambda\)를 고정하고 \(T' = \Spec(B_\lambda)\)로 두자. 그러면 \(t' \in T'\)는 소 아이디얼 \(\mathfrak q_\lambda\)에 대응하는 점이다. 마지막으로 \(Z' \subset X_{T'}\)를 \(Z \to X_T \to X_{T'}\)의 스킴 이론적 상이라 하자. \(X_T \to X_{T'}\)가 아핀이므로, \(Z'\)를 아핀 열린 조각 \(U_{i, T'}\)에서 다음 핵에 딸린 닫힌 부분스킴으로 계산할 수 있다. \(\Ker(C_i \otimes_A B_\lambda \to C_i \otimes_A B/I_i)\), Morphisms, 예제 056A를 보라. 따라서 \(x_{i, \lambda}\)는 \(Z'\)를 정의하는 아이디얼에 들어 있다. 그러므로 마지막 표시식은 \(Z' \cap X_{t'}\)가 공집합임을 보인다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 보편적으로 닫혀 있다.

2. 국소적으로 유한 표시인 모든 사상 \(S' \to S\)에 대해 바탕 변환 \(X_{S'} \to S'\)는 닫힌 사상이다.

3. 모든 \(n\)에 대해 사상 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\)는 닫힌 사상이다.

증명

(1)이 (2)를 함의하는 것은 명백하다. (2)가 (1)을 함의함을 증명하자. 바탕 변환 \(X_T \to T\)가 닫혀 있지 않은 스킴 \(T\)가 있고, 이 스킴은 \(S\) 위에 있다고 하자. Schemes, 보조정리 01K9에 의해 이는 어떤 특수화 \(t_1 \leadsto t\)가 \(T\) 안에 있고, 점 \(\xi \in X_T\)가 \(t_1\)로 사상되지만 \(\xi\)는 \(t\) 위의 올 속의 점으로 특수화되지 않는다는 뜻이다. \(Z = \overline{\{\xi\}} \subset X_T\)로 두자. 그러면 \(Z \cap X_t = \emptyset\)이다. 보조정리 05BD를 적용하자. \(V \subset T\)인 \(t\)의 열린 근방과 가환 도식 \[\xymatrix{ V \ar[d] \ar[r]_a & T' \ar[d]^b \\ T \ar[r]^g & S, }\] 및 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset X_{T'}\)를 얻으며, 다음이 성립한다.

1. 사상 \(b : T' \to S\)는 국소적으로 유한 표시이다.

2. \(t' = a(t)\)라 두면 \(Z' \cap X_{t'} = \emptyset\)이다.

3. \(Z \cap X_V\)는 \(Z'\) 안으로, 사상 \(X_V \to X_{T'}\)를 통해 사상된다.

이는 분명 \(X_{T'} \to T'\)가 닫힌 부분집합 \(Z'\)를 \(T'\)의 부분집합으로 사상한다는 뜻이며, 그 부분집합은 \(a(t_1)\)을 포함하지만 \(t' = a(t)\)는 포함하지 않는다. \(a(t_1) \leadsto a(t) = t'\)이므로 \(X_{T'} \to T'\)가 닫힌 사상이 아니라고 결론내린다. 따라서 \(X \to S\)가 보편적으로 닫혀 있지 않으면 \(X_{T'} \to T'\)가 닫힌 사상이 아닌 어떤 국소 유한 표시 사상 \(T' \to S\)가 존재함을 보였다. 다시 말해 (2)는 (1)을 함의한다.

사상 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\)가 모든 정수 \(n\)에 대해 닫혀 있다고 하자. \(X_T \to T\)가 닫힌 사상임을 증명하려 한다. 여기서 \(T\)는 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시인 임의의 스킴이다. 물론 \(T\)가 아핀이고 어떤 아핀 열린집합 \(V\)로 사상된다고 가정해도 된다. 이 열린집합은 \(S\)의 열린집합이다 (\(X_T \to T\)가 닫힌 사상이라는 성질은 \(T\) 위에서 국소적이기 때문이다). 이 경우 닫힌 몰입 \(T \to \mathbf{A}^n \times V\)가 존재한다. 실제로 \(\mathcal{O}_T(T)\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_S(V)\)-대수이다. Morphisms, 보조정리 01TQ를 보라. 그러면 \(T \to \mathbf{A}^n \times S\)는 국소 닫힌 몰입이다. 따라서 수평 화살표들이 국소 닫힌 몰입인 다음 스킴의 카르테시안 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ X_T \ar[d]_{f_T} \ar[r] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d]^{f_n} \\ T \ar[r] & \mathbf{A}^n \times S }\] 따라서 임의의 닫힌 부분집합 \(Z \subset X_T\)를 \(X_T \cap Z'\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(Z' \subset \mathbf{A}^n \times X\)는 어떤 닫힌 부분집합이다. 그러면 \(f_T(Z) = T \cap f_n(Z')\)이고, \(f_n\)이 닫힌 사상이면 \(f_T\)도 닫힌 사상임을 알 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 유한형인 분리 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 고유하다.

2. 국소적으로 유한형인 임의의 사상 \(S' \to S\)에 대해 바탕 변환 \(X_{S'} \to S'\)는 닫힌 사상이다.

3. 모든 \(n \geq 0\)에 대해 사상 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\)는 닫힌 사상이다.

증명

고유 사상이라는 것은 분리이고 유한형이며 보편적으로 닫힌 사상이라는 것과 같으므로, 이 보조정리는 보조정리 05JX의 특수한 경우이다.

증명

(1)이 (2)를 함의하고 (2)가 (3)을 함의하는 것은 명백하므로, (3)이 (1)을 함의함만 보이면 된다. 먼저 \(S\)가 아핀인 경우로 환원하자. 바탕이 아핀일 때 (3)이 (1)을 함의한다고 가정하자. 이제 \(f: X \to S\)를 유한형인 분리 사상이라 하자. 고유성은 바탕 위에서 국소적인 성질이므로 (Morphisms, 보조정리 01W2를 보라), \(S = \bigcup_\alpha S_\alpha\)가 아핀 열린 덮개이고 \(X_\alpha := f^{-1}(S_\alpha)\)로 쓰면, \(f|_{X_\alpha}: X_\alpha \to S_\alpha\)가 고유함을 모든 \(\alpha\)에 대해 보이는 것으로 충분하다. \(S_\alpha\)는 아핀이므로, 사상 \(f|_{X_\alpha}\)가 (3)을 만족하면 가정에 따라 (1)을 만족하며 따라서 고유하다. \(S\)가 아핀인 경우로의 환원을 끝내려면, (3)을 만족하는 유한형 분리 사상 \(f: X \to S\)에 대해 \(f|_{X_\alpha} : X_\alpha \to S_\alpha\)가 (3)을 만족하는 유한형 분리 사상임을 보여야 한다. 분리성과 유한형이라는 성질은 명백하다. (3)을 확인하기 위해 \(\mathbf{A}^n \times X_\alpha\)가 \(\mathbf{A}^n \times S_\alpha\)의, 사상 \(1 \times f\)에 대한 열린 역상임을 주목하자. 닫힌집합 \(Z \subset \mathbf A^n \times X_\alpha\)를 고정하고, \(\bar Z\)로 \(Z\)의 \(\mathbf{A}^n \times X\) 안에서의 폐포를 나타내자. 그러면 위상적인 이유로 \[1 \times f(\bar Z) \cap \mathbf{A}^n \times S_\alpha = 1 \times f(Z).\] 따라서 \(1 \times f(Z)\)는 닫혀 있고, (3) \(\Rightarrow\) (1)의 증명은 아핀인 경우로 환원되었다.

\(S\)가 아핀이고 \(f : X \to S\)가 유한형인 분리 사상이라고 하자. Chow의 보조정리 0202를 적용하면 고유 전사 \(\pi : X' \to X\)와 몰입 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)를 얻는다. \(X\)가 \(S\) 위에서 고유하면 \(X' \to S\)도 고유하다 (Morphisms, 보조정리 01W3). \(\mathbf{P}^n_S \to S\)가 분리이므로 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)가 고유하다고 결론내릴 수 있고 (Morphisms, 보조정리 01W6), 따라서 이는 닫힌 몰입이다 (Schemes, 보조정리 01IQ). 역으로 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)가 닫힌 몰입이라고 하자. 다음 도식을 생각하자. [05LZ]\[\begin{equation} \xymatrix{ X' \ar[r] \ar@{->>}[d]_{\pi} & \mathbf{P}^n_S \ar[d] \\ X \ar[r]^f & S } \end{equation}\] 선험적으로 \(X \to S\)를 제외한 모든 사상은 고유하다. 따라서 Morphisms, 보조정리 03GN에 의해 \(X \to S\)가 고유하다고 결론내린다. 이로써 \(X \to S\)가 고유일 필요충분조건은 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)가 닫힌 몰입이라는 것임을 보였다.

\(S\)가 아핀이고 (3)이 성립한다고 하며, 위와 같이 \(n, X', \pi\)를 잡자. 닫힌 사상이라는 성질은 바탕 위에서 국소적이므로, \(X \times \mathbf{P}^n \to S \times \mathbf{P}^n\)은 닫힌 사상이다. 실제로 (3)에 의해 \(X \times \mathbf{A}^n \to S \times \mathbf{A}^n\)이 닫혀 있고, 사영공간은 아핀 \(n\)-공간의 복사본들로 덮이기 때문이다. Constructions, 보조정리 01NG를 보라. Morphisms, 보조정리 01W4에 의해 사상 \[X' \times_S \mathbf{P}^n_S \to X \times_S \mathbf{P}^n_S = X \times \mathbf{P}^n\] 은 고유하다. \(\mathbf{P}^n\)이 분리이므로 사영 \[X' \times_S \mathbf{P}^n_S = \mathbf{P}^n_{X'} \to X'\] 은 분리 사상의 바탕 변환이어서 분리이다. 따라서 사상 \(X' \to X' \times_S \mathbf{P}^n_S\)는 분리 사상의 절단이므로 고유하다 (Schemes, 보조정리 01KT을 보라). 이 사상들을 합성하면 \[X' \to X' \times_S \mathbf{P}^n_S \to X \times_S \mathbf{P}^n_S = X \times \mathbf{P}^n \to S \times \mathbf{P}^n = \mathbf{P}^n_S\] 몰입 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)가 닫힌 사상이며, 따라서 닫힌 몰입임을 얻는다.

뇌터 값매김 판정법

바탕이 뇌터이면 이산 값매김환만을 사용하여 값매김 판정법이 성립함을 보일 수 있다.

이 절의 결과 가운데 다수는 다음 보조정리를 이용하여 증명할 수 있고 (아마도 그렇게 해야 하지만), 아래에서는 언제나 그렇게 하지는 않았다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 유한형이고 \(Y\)가 국소 뇌터라고 가정하자. \(y \in Y\)가 \(f\)의 상의 폐포에 속하는 점이라고 하자. 그러면 다음 가환 도식이 존재한다. \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] 여기서 \(A\)는 이산 값매김환이고 \(K\)는 그 분수체이며, \(\Spec(A)\)의 닫힌점은 \(y\)로 사상된다. 더 나아가 \(\Spec(K) \to X\)의 상점이 일반점 \(\eta\)라고 가정할 수 있으며, 이는 \(X\)의 어떤 기약 성분의 일반점이다. 또한 \(K = \kappa(\eta)\)로 가정할 수 있다.

증명

이 보조정리의 비뇌터 판본 (Morphisms, 보조정리 02JQ)에 의해 점 \(x \in X\)가 존재하여 \(f(x)\)가 \(y\)로 특수화된다. \(x\)를 \(x\)로 특수화되는 임의의 점으로 바꿀 수 있으므로, \(x\)가 \(X\)의 어떤 기약 성분의 일반점이라고 가정할 수 있다. 이로부터 환 준동형 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \kappa(x)\)를 얻는다 (Schemes, 절 01J5을 보라). \(R \subset \kappa(x)\)를 그 상이라 하자. 그러면 \(R\)은 뇌터 국소환 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)의 몫이므로 뇌터이다. 한편 확대 \(\kappa(x)\)는 \(R\)의 분수체의 유한 생성 확대이다. 이는 \(f\)가 유한형이기 때문이다. 따라서 Algebra, 보조정리 00PH에 의해 이산 값매김환 \(A \subset \kappa(x)\)가 존재하며, 그 분수체는 \(\kappa(x)\)이고 \(R\)을 지배한다. 이제 \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[d] \ar[rrr] & & & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \Spec(R) \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \ar[r] & Y }\] 가 원하는 도식을 준다.

먼저 분리성에 관한 결과를 서술한다. 다음 꼴의 스킴 사상들로 이루어진, 실선 부분이 가환하는 도식을 자주 사용할 것이다. [0206]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S } } \end{equation}\] 여기서 \(A\)는 값매김환이고 \(K\)는 그 분수체이다.

보조정리

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 분리이다.

2. 임의의 도식 (0206)에 대해 점선 화살표는 많아야 하나이다.

3. \(A\)가 이산 값매김환인 모든 도식 (0206)에 대해 점선 화살표는 많아야 하나이다.

4. \(X_0\)가 \(X\)의 임의의 기약 성분이고 그 일반점이 \(\eta \in X_0\)이며, \(A \subset K = \kappa(\eta)\)인 임의의 이산 값매김환의 분수체가 \(K\)이고, 사상 \(\Spec(K) \to X\)가 표준적인 것인 임의의 도식 (0206)에 대해 (Schemes, 절 01J5을 보라), 점선 화살표는 많아야 하나이다.

증명

(1)이 (2)를, (2)가 (3)을, (3)이 (4)를 함의하는 것은 명백하다. (4)가 (1)을 함의함을 보이는 일만 남았다. (4)를 가정하자. 먼저 \(S\)가 아핀인 경우로 환원한다. 분리성은 바탕 위에서 국소적이다 (Schemes, 보조정리 01KP를 보라). 따라서 \(X \to S\)가 (4)를 만족할 때마다 그 제한 \(X_\alpha \to S_\alpha\)도 (4)를 만족함을 보이면 충분하다. 여기서 \(S_\alpha \subset S\)는 (아핀) 열린 부분집합이고 \(X_\alpha := f^{-1}(S_\alpha)\)이다. \(X_\alpha\)는 \(X\) 안에서 열린집합이므로 \(X_\alpha\)의 기약 성분들의 일반점은 \(X\)의 기약 성분들의 일반점이다. 따라서 도식 [05M0]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_\alpha \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & S_\alpha } \end{equation}\] 에서 서로 다른 두 점선 화살표가 존재한다면, 사상 \(X_\alpha \to X\)와 \(S_\alpha \to S\)를 통해 도식 (0206)에서도 서로 다른 두 화살표를 얻게 되어 모순이다. 이로써 \(S\)가 아핀인 경우로 환원하였다. 이 환원 과정에서 \(X \to S\)가 (4)를 만족한다면 열린집합 \(U \to V\)도 (4)를 만족함을 증명했음에 유의하자. 여기서 \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)이고 \(f(U) \subset V\)이다.

다음으로 \(X \to S\)가 유한형인 경우로 환원하려 한다. \(X\)가 유한형일 때 (4)가 (1)을 함의함을 안다고 가정하자. \(S\)가 뇌터이고 \(X\)가 \(S\) 위에서 국소 유한형이므로 \(X\)도 국소 뇌터이다(Morphisms, 보조정리 01T6를 보라). 따라서 \(X \to S\)는 준분리이고(Properties, 보조정리 01OY를 보라), 그러므로 \(X\)가 분리인지 확인하는 데 값매김 판정법을 적용할 수 있다(Schemes, 보조정리 01L0를 보라). \(X = \bigcup_\alpha X_\alpha\)를 \(X\)의 아핀 열린 덮개라 하자. 도식 (0206)에서 점선 화살표 두 개가 주어지면, \(\Spec A\)의 닫힌점의 상들은 두 집합 \(X_\alpha\)와 \(X_\beta\)에 속한다. \(X_\alpha \cup X_\beta\)는 열린집합이므로, 위상적인 이유에서 두 사상 아래의 \(\Spec(A)\)의 상을 모두 포함해야 한다. 따라서 두 점선 화살표는 \(X_\alpha \cup X_\beta \to X\)를 통해 인수분해되며, 이 합집합은 \(S\) 위의 유한형 스킴이다. \(X_\alpha \cup X_\beta\)는 \(X\)의 열린 부분집합이므로 앞의 주의에 따라 \(X_\alpha \cup X_\beta\)는 (4)를 만족하고, 가정에 따라 분리이다. 따라서 주어진 두 점선 화살표는 같다. 이로써 \(X \to S\)가 유한형인 경우로 환원하였다.

\(X \to S\)가 유한형이고 (4)가 성립한다고 하자. \(X \to S\)가 유한형이고 \(S\)가 아핀 뇌터 스킴이므로 \(X\)도 뇌터이다(Morphisms, 보조정리 01T6를 보라). 따라서 \(X \to X \times_S X\)는 뇌터 스킴 사이의 준콤팩트 몰입이다. 모순을 이끌어 내자. \(X \to X \times_S X\)가 닫혀 있지 않다고 가정하자. 그러면 상에는 속하지 않지만 상의 폐포에는 속하는 어떤 점 \(y \in X \times_S X\)가 있다. \(X\)는 뇌터이므로 기약 성분이 유한 개이다. 따라서 \(y\)는 어떤 기약 성분 \(X_0 \subset X\)의 상의 폐포에 속한다. \(X_0\)에 유도된 축소 구조를 주자. 합성 \(X_0 \to X \to X \times_S X\)는 닫힌 부분스킴 \(X_0 \times_S X_0 \subset X \times_S X\)를 통해 인수분해된다. \(\Delta(X_0)\)의 \(X_0 \times_S X_0\) 안에서의 폐포를 \(\bar X_0\)로 나타내자(다시 축소 닫힌 부분스킴으로 본다). 그러면 \(y \in \bar X_0\)이다. \(X_0 \to X_0 \times_S X_0\)는 몰입이므로 \(X_0\)의 상은 \(\bar X_0\) 안에서 열린집합이다. 따라서 \(X_0\)와 \(\bar X_0\)는 쌍유리이다. \(\bar{X}_0\)는 뇌터 스킴의 닫힌 부분스킴이므로 뇌터이다. 따라서 국소환 \(\mathcal O_{{\bar X_0, y}}\)는 분수체가 \(K\)인 뇌터 국소 정역이며, 이 체는 \(X_0\)의 함수체와 같다. Krull–Akizuki 정리 (Algebra, 보조정리 00PH를 보라)에 의해 이산 값매김환 \(A\)가 존재하며, 이는 \(\mathcal O_{{\bar X_0, y}}\)를 지배하고 분수체는 \(K\)이다. 따라서 다음 도식을 구성할 수 있다. [05M1]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d]^{\Delta} \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ur]& X_0 \times_S X_0 \\ } \end{equation}\] 이 도식은 \(\Spec K\)를 \(\Delta(X_0)\)의 일반점으로 보내고 \(A\)의 닫힌점을 \(y \in X_0 \times_S X_0\)로 보낸다(화살표들의 구성에는 Schemes, 절 01J5의 내용을 사용하라). \(y\)는 그 선택에 의해 \(\Delta\)의 상에 속하지 않는다. 이는 \(y\)의 선택 때문이다. 따라서 집합론적인 점선 화살표조차 존재할 수 없다. 범주론적으로, 위 도식에서 점선 화살표가 존재하는 것은 다음 도식에서 점선 화살표가 유일한 것과 동치이다. [05M2]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X_0 \ar[d]\\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ur] & S \\ } \end{equation}\] 따라서 첫 번째 도식에서의 부존재로 인해 이 두 번째 도식에서는 유일성이 성립하지 않는다. 그러므로 \(X_0\)는 이산 값매김환에 대한 유일성을 만족하지 않는다. \(X_0\)는 \(X\)의 기약 성분이므로 \(X \to S\)는 (4)를 만족하지 않는다. 이로써 (4)가 (1)을 함의함을 보였다.

보조정리

\(S\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 유한형 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. 사상 \(f\)는 고유하다.

2. 임의의 도식 (0206)에 대해 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다.

3. \(A\)가 이산 값매김환인 모든 도식 (0206)에 대해 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다.

4. \(X_0\)가 \(X\)의 임의의 기약 성분이고 그 일반점이 \(\eta \in X_0\)이며, \(A \subset K = \kappa(\eta)\)인 임의의 이산 값매김환의 분수체가 \(K\)이고, 그리고 사상 \(\Spec(K) \to X\)가 표준적인 것인 임의의 도식 (0206)에 대해(Schemes, 절 01J5을 보라), 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다.

증명

(1)은 (2)를, (2)는 (3)을, (3)은 (4)를 함의한다. 이제 (4)가 (1)을 함의함을 보이자. 보조정리 0207의 증명에서와 같이, 고유성은 바탕 위에서 국소적이므로 \(S\)가 아핀인 경우로 환원할 수 있다. 또한 \(X \to S\)가 (4)를 만족하면 \(X_\alpha \to S_\alpha\)도 (4)를 만족한다. 여기서 \(S_\alpha \subset S\)는 열린집합이고 \(X_\alpha = f^{-1}(S_\alpha)\)이다.

이제 \(S\)는 뇌터 스킴이므로 \(X\)도 뇌터이다. 실제로 \(X \to S\)가 유한형이기 때문이다. 이제 Chow의 보조정리 (Cohomology of Schemes, 보조정리 0200)를 사용하여 전사이고 고유하며 쌍유리인 사상 \(X' \to X\)와 몰입 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)를 얻는다. \(X \to S\)가 보편적으로 닫혀 있음을 보이고자 한다. 보조정리 0205의 증명에서와 같이 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)가 닫힌 몰입인지 확인하는 것으로 충분하다. 모순을 이끌어 내기 위해 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)가 닫힌 몰입이 아니라고 가정하자. 그러면 어떤 점 \(y \in \mathbf{P}^n_S\)가 존재하며, 이는 \(X'\)의 상에는 속하지 않지만 그 상의 폐포에는 속한다. 따라서 \(y\)는 어떤 기약 성분 \(X_0'\)의 상의 폐포에 속하지만 그 상에는 속하지 않는다. 이 성분은 \(X'\)의 기약 성분이다. \(\bar X_0' \subset \mathbf{P}^n_S\)를 \(X_0'\)의 상의 폐포라 하자. \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)는 뇌터 스킴들의 몰입이므로 사상 \(X'_0 \to \bar X_0'\)는 열리고 조밀하다. Algebra, 보조정리 00PH 또는 Properties, 보조정리 054F에 의해 이산 값매김환 \(A\)를 찾을 수 있으며, 이는 \(\mathcal{O}_{\bar X_0', y}\)를 지배하고 분수체가 같다. 그 분수체를 \(K\)라 하자. \(K\)가 \(X_0'\)의 일반점에서의 잉여체임은 명백하다. 따라서 실선 부분이 가환하는 도식 [05M3]\[\begin{equation} \xymatrix{ \Spec K \ar[r] \ar[d] & X' \ar [r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_S \ar[d] \\ \Spec A \ar@{-->}[r] \ar@{-->}[ru] \ar[urr] & X \ar[r] & S\\ } \end{equation}\] 을 얻는다. \(A\)의 닫힌점이 \(y \in \mathbf{P}^n_S\)로 사상됨에 유의하자. 구성상 \(X'\)로 가는 집합론적 올림은 존재하지 않는다. \(X' \to X\)가 쌍유리이므로 \(X'_0\)의 \(X\) 안에서의 상은 기약 성분 \(X_0\)이고, 이는 \(X\)의 기약 성분이다. \(K\)는 \(X_0\)의 함수체와도 동일시된다. 따라서 \(X \to S\)가 (4)를 만족한다고 가정했으므로 점선 화살표 \(\Spec(A) \to X\)가 존재한다. \(X' \to X\)가 고유하므로 이 점선 화살표는 점선 화살표 \(\Spec(A) \to X'\)로 올라간다(Schemes, 명제 01KF를 사용하라). 이를 몰입 \(X' \to \mathbf{P}^n_S\)와 합성하여, 도식에는 표시하지 않은 또 하나의 사상 \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^n_S\)를 얻는다. \(\mathbf{P}^n_S\)는 \(S\) 위에서 고유하므로 (2)를 만족하고, 따라서 이 두 사상은 일치한다. 이는 원래의 사상 \(\Spec(A) \to \mathbf{P}^n_S\)를 \(X'\)로 올리는 금지된 사상을 구성한 것이므로 모순이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(S\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 그러면 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 보편적으로 닫혀 있다.

2. 모든 \(n\)에 대해 사상 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\)는 닫혀 있다.

3. 임의의 도식 (0206)에 대해 어떤 점선 화살표가 존재한다.

4. \(A\)가 이산 값매김환인 모든 도식 (0206)에 대해 어떤 점선 화살표가 존재한다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 보조정리 05JX의 특수한 경우이다. (1)과 (3)의 동치는 Schemes, 명제 01KF의 특수한 경우이다. (3)이 (4)를 함의하는 것은 자명하다. 따라서 (4)가 (2)를 함의함만 증명하면 된다. Schemes, 보조정리 01K9의 판정법으로 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\)가 닫혀 있음을 보이자. \(n\)을 택하고, 자명하지 않은 특수화 \(z \leadsto z'\)를 택하자. 이는 \(\mathbf{A}^n \times S\)의 점들의 특수화이다. 또한 점 \(y \in \mathbf{A}^n \times X\)를 택하되, 이 점이 \(z\) 위에 놓이게 하자. \(\kappa(y)\)는 \(\kappa(z)\)의 유한 생성 체 확대이다. 실제로 사상 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\)가 유한형이다. 따라서 Properties, 보조정리 054F 또는 Algebra, 보조정리 00PH에 의해 이산 값매김환 \(A \subset \kappa(y)\)가 존재한다. 그 분수체는 \(\kappa(z)\)이고, \(\mathcal{O}_{\mathbf{A}^n \times S, z'}\)의 \(\kappa(z)\) 안에서의 상을 지배한다. 이로부터 다음 가환 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(y)) \ar[r] \ar[d] & \mathbf{A}^n \times X \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathbf{A}^n \times S \ar[r] & S }\] 이제 성질 (4)에 의해 이 도식에 들어맞는 사상 \(\Spec(A) \to X\)가 존재한다. 왼쪽 아래 수평 화살표에서 이미 사상 \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^n\)을 얻었으므로 왼쪽 사각형에 들어맞는 사상 \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^n \times X\)도 얻는다. 따라서 닫힌점의 상 \(y' \in \mathbf{A}^n \times X\)는 \(y\)의 특수화이며 \(z'\) 위에 놓인다. 이로써 특수화가 사상 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times S\)를 따라 올라감을 보였고, 증명이 끝났다.

정제된 뇌터 값매김 판정법

값매김 판정법을 확인할 때에는 보통 값매김환을 포함하는 가능한 모든 도식을 고려할 필요가 없다. 그 한 예가 Morphisms, 보조정리 0894에 있다. 뇌터인 상황에서는 보조정리 0207 및 0208에서도 이를 보았다. 다음은 또 다른 변형이다.

보조정리

\(f : X \to S\)와 \(h : U \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(S\)가 국소 뇌터이고, \(f\)와 \(h\)가 유한형이며, \(f\)가 분리이고, \(h(U)\)가 \(X\)에서 조밀하다고 가정하자. 실선 부분이 가환하는 임의의 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] 이 주어질 때마다, 여기서 \(A\)는 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이고, 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 존재한다고 하자. 그러면 \(f\)는 고유하다.

증명

\(S\)가 아핀인 경우로 곧바로 환원된다. 그러면 \(U\)는 준콤팩트이다. \(U = U_1 \cup \ldots \cup U_n\)을 아핀 열린 덮개라 하자. 가정들을 바꾸지 않고 \(U\)를 \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n\)으로 바꿀 수 있으므로 \(U\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 따라서 열린 몰입 \(U \to Y\)를 잡되, 이는 \(X\) 위의 사상이고 \(Y\)가 \(X\) 위에서 고유하게 할 수 있다. 실제로 먼저 Morphisms, 보조정리 04II를 이용해 \(U\)를 \(\mathbf{A}^n_X\) 안에 넣고 \(\mathbf{P}^n_X\) 안에서 폐포를 취하거나, Morphisms, 보조정리 07RM를 직접 사용하면 된다. 필요하다면 \(U\)가 \(Y\)에서 조밀하다고 가정할 수 있다. 이를 위해 \(Y\)를 \(U\)의 스킴론적 폐포로 바꾸면 된다(Morphisms, 절 01RA를 보라). \(g : Y \to X\)의 상은 닫혀 있고 조밀한 부분집합 \(h(U)\)를 포함하므로 이 사상이 전사임에 유의하자. \(Y \to S\)가 고유함을 보이겠다. 그러면 Morphisms, 보조정리 03GN에 의해 \(X \to S\)가 고유하여 증명이 끝난다. \(Y \to S\)가 고유함을 보이기 위해 보조정리 0208의 (4)를 사용하자. 이를 위해 다음 도식을 생각한다. \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & Y \ar[d]^{f \circ g} \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{..>}[ru] & S }\] 여기서 \(A\)는 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이고, \(y : \Spec(K) \to Y\)는 일반점의 포함이다. 점선 화살표가 유일하게 존재함을 보여야 한다. 유일성은 분리성 값매김 판정법의 역방향 (Schemes, 보조정리 01KZ)에서 따른다. 실제로 \(Y \to S\)는 분리 사상 \(Y \to X\)와 \(X \to S\)의 합성이므로 분리이다(Schemes, 보조정리 01KU). 존재성은 다음과 같이 보인다. \(y\)는 \(Y\)의 일반점이므로 \(U\)에 속한다. 보조정리의 가정에 의해 사상 \(a : \Spec(A) \to X\)가 존재하여 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & U \ar[r] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar[rru]^a & & S }\] 가 가환한다. 이제 \(Y \to X\)가 고유이므로 고유성의 값매김 판정법 (Morphisms, 보조정리 0BX5)을 적용하여 사상 \(b : \Spec(A) \to Y\)를 잡을 수 있고 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_y \ar[d] & Y \ar[d]^g \\ \Spec(A) \ar[r]^a \ar[ru]^b & X }\] 가 가환한다. \(b\)를 위 도식의 점선 화살표로 쓸 수 있으므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)와 \(h : U \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(S\)가 국소 뇌터이고, \(f\)가 국소 유한형이며, \(h\)가 유한형이고, \(h(U)\)가 \(X\)에서 조밀하다고 가정하자. 실선 부분이 가환하는 임의의 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] 이 주어질 때마다, 여기서 \(A\)는 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이고, 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 많아야 하나라고 하자. 그러면 \(f\)는 분리이다.

증명

보조정리 0CM3를 사상 \(U \to X\)와 \(\Delta : X \to X \times_S X\)에 적용하자. 조건들을 확인한다. Properties, 보조정리 01OY에 의해 \(\Delta\)는 준콤팩트이다(Schemes, 보조정리 01KV도 보라). 물론 \(\Delta\)는 국소 유한형이고 분리이다. 이는 모든 대각 사상에 대해 참이다. 마지막으로 실선 부분이 가환하는 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^{(a, b)} \ar@{-->}[rru] & & X \times_S X }\] 이 주어졌다고 하자. 여기서 \(A\)는 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이다. 그러면 \(a\)와 \(b\)는 보조정리의 도식에서 두 점선 화살표를 주므로 서로 같아야 한다. 따라서 \(a = b\)를 점선 화살표로 쓸 수 있어 존재성이 성립한다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)와 \(h : U \to X\)를 스킴의 사상이라 하자. \(S\)가 국소 뇌터이고, \(f\)와 \(h\)가 유한형이며, \(h(U)\)가 \(X\)에서 조밀하다고 가정하자. 실선 부분이 가환하는 임의의 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & U \ar[r]^h & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{-->}[rru] & & S }\] 이 주어질 때마다, 여기서 \(A\)는 분수체가 \(K\)인 이산 값매김환이고, 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 유일하게 존재한다고 하자. 그러면 \(f\)는 고유하다.

증명

보조정리 0CM4와 0CM3를 결합하면 된다.

나가타 바탕 위의 값매김 판정법

나가타 바탕 위에서 국소 유한형인 스킴들을 다룰 때에는 바탕 위에서 본질적 유한형인 이산 값매김환들로 환원할 수 있다. 다음은 이렇게 얻을 수 있는 결과의 몇 가지 예이다.

보조정리

\(S\)를 나가타 스킴이라 하자(특히 국소 뇌터이다). \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 준콤팩트 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 보편적으로 닫혀 있다.

2. 모든 \(n\)에 대해 사상 \(\mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times Y\)는 닫혀 있다.

3. \(S\) 위의 스킴들로 이루어진 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] 이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

   1. \(C\)는 \(S\) 위에서 유한형인 정규 정스킴이다.

   2. \(U = C \setminus \{c\}\)가 어떤 닫힌점 \(c \in C\)에 대해 성립한다.

   3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\)의 차원은 \(1\)이다³

   그러면 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 에서 \(K = \text{Frac}(A)\)일 때 도식을 가환하게 하는 어떤 점선 화살표가 존재한다⁴.

증명

(1)과 (2)의 동치 및 이 조건들이 (3)을 함의한다는 사실은 보조정리 05JY에서 보았다. 따라서 (3)이 (2)를 함의함만 증명하면 충분하다. \(f : X \to Y\)가 조건 (3)을 만족하면 \(1 \times f : \mathbf{A}^n \times X \to \mathbf{A}^n \times Y\)도 조건 (3)을 만족함에 유의하자(보조정리 05JY의 증명에 나온 논증을 보라). 그러므로 (3)이 \(f\)가 닫힌 사상임을 함의함만 보이면 충분하다.

\(Y\)와 \(S\)가 아핀인 경우로 환원한다. 이 문단은 건너뛰어도 좋다. \(S' \subset S\)를 아핀 열린집합이라 하고, \(Y' \subset Y\)를 \(S'\) 안으로 사상되는 아핀 열린집합이라 하자. \(X' = f^{-1}(Y')\)로 두자. 우리는 \(f' : X' \to Y'\)가 \(f\)를 \(S'\) 위 스킴들의 사상으로 보아 얻는 제한이며 성질 (3)을 갖는다고 주장한다. 세부사항은 생략한다. 이제 \(f'\)가 모든 \(S'\)와 \(Y'\)의 선택에 대해 닫힌 사상임을 증명할 수 있다면 \(f\)가 닫힌 사상임이 따른다. 이로써 다음 문단에서 다룰 경우로 환원된다.

\(S\)와 \(Y\)가 아핀이라고 가정하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(Z\)를 \(X\)의 축소 닫힌 부분스킴으로 보고 그렇게 하겠다. \(E = f(Z)\)가 닫혀 있음을 보여야 한다. \(y \in Y\)를 \(f(Z)\)의 폐포에 속하는 닫힌점으로 택하자. \(y \in E\)임을 보이면 충분하다. 모순을 얻기 위해 \(y \not \in E\)라고 가정하자. 유한형 점 \(s \in S\)는 \(y\)의 상이며, 이는 \(S\)의 유한형 점이다. Morphisms, 보조정리 02J3를 보라. \(E\)가 구성가능임을 상기하자(Morphisms, 보조정리 054J). 교집합 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \cap E\)를 생각하자. 이것은 스펙트럼의 구성가능 부분집합이며(Morphisms, 보조정리 054I), 닫힌점을 포함하지 않는다. 천공 스펙트럼 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \setminus \{y\}\)는 야콥슨이므로 (Morphisms, 보조정리 02J6), \(t \in \Spec(\mathcal{O}_{Y, y}) \setminus \{y\}\)이고 \(t \in E\)인 닫힌점을 찾을 수 있다(Topology, 보조정리 005X를 보라). 다시 말해 \(t \in E\)는 \(Y\)의 점이며 즉시 특수화 \(t \leadsto y\)를 갖는다. \(t \in E\)이므로 스킴론적 올 \(Z_t\)는 공집합이 아니다. 닫힌점 \(x \in Z_t\)를 택하자. 특히 Hilbert 영점 정리에 의해 \([\kappa(x) : \kappa(t)] < \infty\)이다(Morphisms, 보조정리 01TF).

\(T = \overline{\{t\}} \subset Y\)로 기저 위상공간이 표시된 것과 같은 정 닫힌 부분스킴을 나타내자(Schemes, 정의 01J4). 그러면 \(t \in T\)는 일반점이다. \(C \to T\)로 \(T\)의 \(\kappa(x)\) 안에서의 정규화를 나타내자. Morphisms, 절 0BAK를 보라. 더 정확히 말하면 \(C \to T\)는 \(T\)의 \(x\) 안에서의 정규화이며, 여기서 \(x = \Spec(\kappa(x)) \to T\)를 \(T\) 위의 스킴으로 본다. \(S\)가 나가타 스킴이므로 \(T\)도 나가타이다(Morphisms, 보조정리 035A). 따라서 \(C \to T\)는 유한이다 (Morphisms, 보조정리 0AVK). \(t\)가 상에 속하므로 \(C \to T\)가 전사임을 알 수 있다. 실제로 상은 닫혀 있고 \(T\)는 \(t\)의 \(Y\) 안에서의 폐포이다. \(c \in C\)를 택하되, 이는 \(y \in T\)로 사상되게 하자. \(y\)는 \(T\)의 닫힌점이므로 \(c\)는 \(C\)의 닫힌점이다. \(\dim(\mathcal{O}_{T, y}) = 1\)이므로 \(\dim(\mathcal{O}_{C, c}) = 1\)이다(차원은 적어도 \(1\)이다. \(c\)는 \(C\)의 일반점이 아니기 때문이다. 차원은 많아야 \(1\)이다. \(C \to T\)가 유한이기 때문이다). \(C\)의 함수체는 \(\kappa(x)\)이고 \(x\)는 \(X\)의 점이므로, \(Y\)-유리 사상이 \(C\)에서 \(X\)로 간다(예를 들어 Morphisms, 보조정리 0BX8를 보라). \(C \supset U \to X\)를 한 대표라 하자(특히 \(U\)는 공집합이 아니다). \(c \not \in U\)라고 가정할 수 있다. 이를 위해 \(U\)를 \(U \setminus \{c\}\)로 바꾼다. \(c\)는 정스킴의 닫힌점이고 여차원은 \(1\)이다. \(C\)에 대해 \(C = U \amalg \{c\} \amalg \Sigma\)이고, 어떤 고유 닫힌 부분집합 \(\Sigma \subset C\)가 존재한다. \(C\)를 \(C \setminus \Sigma\)로 바꾸면 (3)에서와 같은 가환 도식을 구성한 것이다. 보조정리 명제의 두 번째 각주에 의해 점선 화살표의 존재는 유리 사상을 \(C\) 전체로 확장한다. 그러면 \(c\)의 상은 \(Z\)의 점이고 그 점은 \(y\)로 사상되어 모순을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 나가타 스킴이라 하자(특히 국소 뇌터이다). \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 분리이다.

2. \(S\) 위의 스킴들로 이루어진 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] 이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

   1. \(C\)는 \(S\) 위에서 유한형인 정규 정스킴이다.

   2. \(U = C \setminus \{c\}\)가 어떤 닫힌점 \(c \in C\)에 대해 성립한다.

   3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\)의 차원은 \(1\)이다⁵

   그러면 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 에서 \(K = \text{Frac}(A)\)일 때 도식을 가환하게 하는 점선 화살표는 많아야 하나이다⁶.

증명

보조정리 0207에 의해 (1)은 (2)를 함의한다. (2)를 가정하자. \(f\)가 분리임을 보이려면 \(\Delta : X \to X \times_Y X\)가 닫혀 있음을 보여야 한다. Morphisms, 보조정리 01T7에 의해 사상 \(\Delta\)는 준콤팩트이다. 보조정리 0GWV에 의해 다음을 보이면 충분하다. \(S\) 위의 스킴들로 이루어진 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d]^\Delta \\ C \ar[rr]^{(a_1, a_2)} \ar@{..>}[rru] & & X \times_Y X }\] 이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

1. \(C\)는 \(S\) 위에서 유한형인 정규 정스킴이다.

2. \(U = C \setminus \{c\}\)가 어떤 닫힌점 \(c \in C\)에 대해 성립한다.

3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\)의 차원은 \(1\)이다.

그러면 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & X \times_Y X }\] 에서 \(K = \text{Frac}(A)\)일 때 도식을 가환하게 하는 어떤 점선 화살표가 존재한다. 보조정리 0GWT에 의해 두 번째 도식에서의 점선 화살표의 존재는 첫 번째 도식에서의 점선 화살표의 존재와 동치이다. 더 나아가 후자의 존재는 \(a_1 = a_2\)를 요구하는 것과 같다. 그런데 \(a_1|_U = a_2|_U\)이므로 유일성 가정 (2)에 의해 이 등식은 참이다. 증명이 끝났다.

보조정리

\(S\)를 나가타 스킴이라 하자(특히 국소 뇌터이다). \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 준콤팩트 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 고유이다.

2. \(S\) 위의 스킴들로 이루어진 임의의 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ C \ar[r] \ar@{..>}[ru] & Y }\] 이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

   1. \(C\)는 \(S\) 위에서 유한형인 정규 정스킴이다.

   2. \(U = C \setminus \{c\}\)가 어떤 닫힌점 \(c \in C\)에 대해 성립한다.

   3. \(A = \mathcal{O}_{C, c}\)의 차원은 \(1\)이다⁷

   그러면 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] \ar@{-->}[ru] & Y }\] 에서 \(K = \text{Frac}(A)\)일 때 도식을 가환하게 하는 점선 화살표가 정확히 하나 존재한다⁸.

증명

이는 보조정리 0GWV와 0GWW, 그리고 고유 사상은 유한형이고 분리이며 보편적으로 닫힌 사상이라는 정의에서 형식적으로 따른다.

올의 극한과 차원

다음 보조정리는 보조정리 01ZM의 상황에서 가장 자주 사용된다. 즉, 극한의 올의 차원이 \(\leq d\)이면 어떤 유한 단계에서 올의 차원도 \(\leq d\)임을 보장하기 위해 사용한다.

보조정리

\(I\)를 유도 집합이라 하자. \((f_i : X_i \to S_i)\)를 \(I\) 위의 스킴 사상의 역계라 하자. 다음을 가정하자.

1. 모든 사상 \(S_{i'} \to S_i\)는 아핀이다.

2. 모든 스킴 \(S_i\)는 준콤팩트이고 준분리적이다.

3. 사상 \(f_i\)는 유한형이다.

4. 사상 \(X_{i'} \to X_i \times_{S_i} S_{i'}\)는 닫힌 몰입이다.

\(f : X = \lim_i X_i \to S = \lim_i S_i\)를 그 극한이라 하자. \(d \geq 0\)이라 하자. \(f\)의 모든 올의 차원이 \(\leq d\)이면 어떤 \(i\)에 대해 \(f_i\)의 모든 올의 차원이 \(\leq d\)이다.

증명

각 \(i\)에 대해 \(U_i = \{x \in X_i \mid \dim_x((X_i)_{f_i(x)}) \leq d\}\)라 하자. 이것은 \(X_i\)의 열린 부분집합이다. Morphisms, Lemma 02FZ를 보라. \(Z_i = X_i \setminus U_i\)라 하자(축소 유도 스킴 구조를 부여한다). \(Z_i = \emptyset\)인 어떤 \(i\)가 존재함을 보여야 한다. 그렇지 않으면 Lemma 01Z2에 의해 \(Z = \lim Z_i \not = \emptyset\)이다. \(z \in Z\)를 한 점이라 하자. \(Z \subset X\)가 닫힌 부분스킴임에 유의하자. \(s = f(z)\)라 하자. 각 \(i\)에 대해 \(s_i \in S_i\)를 \(s\)의 상이라 하자. \(Z_s\)는 스킴 \((Z_i)_{s_i}\)의 극한이며, 또한 \(Z_s\)는 스킴 \((Z_i)_{s_i}\)를 \(\kappa(s)\)로 기저변환한 것들의 극한이다. 더 나아가 가정 (4)에 의해 모든 사상 \[Z_s \longrightarrow (Z_{i'})_{s_{i'}} \times_{\Spec(\kappa(s_{i'}))} \Spec(\kappa(s)) \longrightarrow (Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s)) \longrightarrow X_s\] 은 닫힌 몰입이다. 따라서 \(Z_s\)는 닫힌 부분스킴 \((Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s))\)들의 \(X_s\) 안에서의 스킴론적 교집합이다. \((Z_i)_{s_i} \times_{\Spec(\kappa(s_i))} \Spec(\kappa(s))\)의 모든 기약 성분은 차원이 \(> d\)이고 \(z\)를 포함하므로, \(Z_s\)는 차원이 \(> d\)인 기약 성분을 포함하고 그 성분은 \(z\)를 지난다. 이는 \(Z_s \subset X_s\)이고 \(\dim(X_s) \leq d\)라는 사실에 모순이다.

보조정리

Situation 081D와 같은 표기와 가정을 사용하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 준유한 사상이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 \(i \geq 0\)이고 \(f_i\)가 준유한인 것이 존재한다.

증명

Lemma 05M5에서 즉시 따른다.

보조정리

Situation 081D와 같은 가정과 표기를 사용하자. \(d \geq 0\)이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)의 상대 차원은 \(\leq d\)이다 (Morphisms, Definition 02NJ).

2. \(f_0\)는 국소 유한형이다.

그러면 어떤 \(i\)에 대해 \(f_i\)의 상대 차원이 \(\leq d\)이다.

증명

Lemma 05M5에서 즉시 따른다.

보조정리

Situation 081D와 같은 표기와 가정을 사용하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)의 상대 차원은 \(d\)이다.

2. \(f_0\)는 국소 유한 표시이다.

그러면 \(i \geq 0\)이고 \(f_i\)의 상대 차원이 \(d\)인 것이 존재한다.

증명

Lemma 05M5에 의해 \(f_0\)의 모든 올의 차원이 \(\leq d\)라고 가정해도 된다. Morphisms, Lemma 02G0에 의해 \(U_0 \subset X_0\)는 \(x \in X_0\) 중 \(X_0 \to Y_0\)의 \(x\)에서의 올의 차원이 \(\leq d - 1\)인 점들의 집합이며, 열린 집합이고 \(X_0\)에서 역콤팩트이다. 따라서 그 여집합 \(E = X_0 \setminus U_0\)는 구성가능하다. 또한 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 \(X \to X_0\)의 상은 \(E\)에 포함된다. 따라서 \(i \gg 0\)이면 \(X_i \to X_0\)의 상도 \(E\)에 포함된다 (Lemma 05F4). 그러면 앞에서 인용한 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 \(X_i \to Y_i\)의 모든 올의 차원은 \(d\)이다.

보조정리

\(S\)를 준콤팩트이고 준분리적인 스킴이라 하자. \(f : X \to S\)를 유한 표시 사상이라 하자. \(d \geq 0\)을 정수라 하자. \(Z \subset X\)가 닫힌 부분스킴이고 \(\dim(Z_s) \leq d\)가 모든 \(s \in S\)에 대해 성립한다고 하자. 그러면 다음을 만족하는 닫힌 부분스킴 \(Z' \subset X\)가 존재한다.

1. \(Z \subset Z'\).

2. \(Z' \to X\)는 유한 표시이다.

3. \(\dim(Z'_s) \leq d\)가 모든 \(s \in S\)에 대해 성립한다.

증명

Proposition 01ZA에 의해 \(S = \lim S_i\)를 아핀 전이 사상을 갖는 Noether 스킴의 유도 역계의 극한으로 쓸 수 있다. Lemma 01ZM에 의해 유한 표시 사상의 계 \(f_i : X_i \to S_i\)가 존재하고 \(X_{i'} = X_i \times_{S_i} S_{i'}\)가 모든 \(i' \geq i\)에 대해 성립하며 \(X = X_i \times_{S_i} S\)가 된다고 가정해도 된다. \(Z_i \subset X_i\)를 \(Z \to X \to X_i\)의 스킴론적 상이라 하자. \(i' \geq i\)이면 사상 \(X_{i'} \to X_i\)는 \(Z_{i'}\)를 \(Z_i\) 안으로 보내고, 유도 사상 \(Z_{i'} \to Z_i \times_{S_i} S_{i'}\)는 닫힌 몰입이다. Lemma 05M5에 의해 \(Z_i \to S_i\)의 모든 올의 차원이 \(\leq d\)가 되는 적절한 \(i \in I\)를 택할 수 있다. 그런 \(i\)를 고정하고 \(Z' = Z_i \times_{S_i} S \subset X\)라 하자. \(S_i\)가 Noether 스킴이므로 \(X_i\)도 Noether 스킴이고, 따라서 \(Z_i \to X_i\)는 유한 표시이다. 그러므로 그 기저변환 \(Z' \to X\)도 유한 표시이다. 또한 \(Z' \to S\)의 올은 \(Z_i \to S_i\)의 올의 기저변환이므로 차원은 \(\leq d\)이다.

최고 차수에서의 기저 변환

고유 사상과 유한형 준연접 가군에 대해 기저 변환 사상은 최고 차수에서 동형이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(d \geq 0\)이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)와 \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리적이다.

2. \(R^if_*\mathcal{F} = 0\)이 \(i > d\) 및 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 성립한다.

그러면 다음이 성립한다.

1. 임의의 기저 변환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y' \ar[r]^g & Y }\] \(R^if'_*\mathcal{F}' = 0\)이 \(i > d\) 및 모든 준연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)에 대해 성립한다.

2. \(R^df'_*(\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\mathcal{G}') = R^df'_*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{Y'}} \mathcal{G}'\) 가 모든 준연접 \(\mathcal{O}_{Y'}\)-가군 \(\mathcal{G}'\)에 대해 성립한다.

3. \(R^df'_*\mathcal{F}'\)의 구성은 임의의 추가 기저 변환과 가환한다 (설명은 증명을 보라).

증명

증명을 제시하기 전에 (c)의 의미를 설명하자. 주어진 도식에 덧붙여 다음과 같은 데카르트 정사각형이 있다고 하자. \[\xymatrix{ X'' \ar[d]_{f''} \ar[r]_{h'} & X' \ar[d]_{f'} \ar[r]_{g'} & X \ar[d]^f \\ Y'' \ar[r]^h & Y' \ar[r]^g & Y }\] (a)가 성립하면 표준 사상 \(\gamma : h^*R^df'_*\mathcal{F}' \to R^df''_*(h')^*\mathcal{F}'\)가 존재한다. 즉, \(\gamma\)는 다음 합성에 의해 차수 \(d\)의 코호몰로지 층에 유도되는 사상이다. \[Lh^*Rf'_*\mathcal{F}' \longrightarrow Rf''_*L(h')^*\mathcal{F}' \longrightarrow Rf''_*(h')^*\mathcal{F}'\] 여기서 첫 번째 화살표는 기저 변환 사상 (Cohomology, Remark 08HY)이고, 두 번째 화살표는 표준 사상 \(L(g')^*\mathcal{F} \to (g')^*\mathcal{F}\)에서 오는 복합체의 사상이다. 마찬가지로 (a)에 의해 \(Rf'_*\mathcal{F}\)는 \(> d\) 차수에 0이 아닌 코호몰로지 층을 가지지 않으므로 \(H^d(Lh^*Rf_*\mathcal{F}') = h^*R^df_*\mathcal{F}\)이다. (c)의 내용은 \(\gamma\)가 동형이라는 것이다.

이를 설명했으므로 (a), (b), (c)를 \(Y'\)와 \(Y''\) 위에서 국소적으로 확인할 수 있다. \(V \subset Y\)가 준콤팩트 열린 부분스킴이라고 하자. 그러면 \(f|_{f^{-1}(V)} : f^{-1}(V) \to V\)에 대해 (1)과 (2)가 성립한다고 주장한다. 실제로 (1)은 자명하고, (2)는 \(f^{-1}(V)\) 위의 임의의 준연접 가군이 \(X\) 위의 준연접 가군의 제한이기 때문에 성립한다 (Properties, Lemma 01PE). 또한 고차 직상은 열린집합으로 제한하는 것과 가환한다. 따라서 \(Y\) 위에서도 국소적으로 작업할 수 있다. 다시 말해 \(Y''\), \(Y'\), \(Y\)가 모두 아핀 스킴이라고 가정해도 된다.

\(Y'\)와 \(Y\)가 아핀일 때 (a)를 증명하자. 이 경우 사상 \(g\)와 \(g'\)는 아핀이다. 따라서 \(g_* = Rg_*\)이고 \(g'_* = Rg'_*\)이다 (Cohomology of Schemes, Lemma 01XC). 또한 \(g_*\)는 가군의 제한 스칼라 함수자와 동일시된다 (Schemes, Lemma 01I9). 그러면 \[g_*(R^if'_*\mathcal{F}') = H^i(Rg_*Rf'_*\mathcal{F}') = H^i(Rf_*Rg'_*\mathcal{F}') = H^i(Rf_*g'_*\mathcal{F}') = Rf^i_*g'_*\mathcal{F}'\] 이고 이는 가정 (2)에 의해 0이다. 따라서 \(g_*\)에 대한 위의 설명으로부터 (a)를 얻는다.

\(Y'\)가 아핀일 때 (b)를 증명하자. 즉 \(Y' = \Spec(R')\)라 하자. (a)에 의해 \(H^{d + 1}(X', \mathcal{F}') = 0\)이 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_{X'}\)-가군 \(\mathcal{F}'\)에 대해 성립한다. Cohomology of Schemes, Lemma 01XK을 보라. 함수자 \(F\)를 \(R'\)-가군 위에서 다음 규칙으로 정의하자. \[F(M) = H^d(X', \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M})\] Cohomology, Lemma 01FF에 의해 이 함수자는 직합과 가환한다(여기서 \(X\) 및 따라서 \(X'\)가 준콤팩트이고 준분리적이라는 사실을 사용한다). 한편 \(M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\)이 완전열이면 \[\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_1 \to \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_2 \to \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M}_3 \to 0\] 은 \(X'\) 위의 준연접 가군들의 완전열이고, 위에서 주어진 고차 코호몰로지의 소거에 의해 \[F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0\] 이라는 완전열을 얻는다. 즉 \(F\)는 오른쪽 완전하다. 직합과 가환하는 임의의 오른쪽 완전 \(R'\)-선형 함수자 \(F : \text{Mod}_{R'} \to \text{Mod}_{R'}\)는 어떤 \(R'\)-가군과의 텐서곱으로 주어진다 (생략하며 독자에게 연습문제로 남긴다). 따라서 \(F(M) = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} M\)을 얻는다. \(R^d(f')_*\mathcal{F}'\)와 \(R^d(f')_*(\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{M})\)는 준연접이다 (Cohomology of Schemes, Lemma 01XJ). 따라서 \(F(M) = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} M\)이라는 사실은 (b)에 제시된 명제로 바뀐다.

\(Y'' \to Y' \to Y\)가 아핀 스킴의 사상일 때 (c)를 증명하자. \(Y'' = \Spec(R'')\)이고 \(Y' = \Spec(R')\)라고 하자. 그러면 \(R^df''_*(h')^*\mathcal{F}'\)는 \(Y'\) 위에서 \(R''\)-가군 \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}')\)에 대응하는 준연접 가군이다. 이제 \(h' : X'' \to X'\)는 아핀이므로 이미 사용한 Cohomology of Schemes, Lemma 089W에 의해 \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}') = H^d(X, h'_*(h')^*\mathcal{F}')\)이다. \[h'_*(h')^*\mathcal{F}' = \mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X'}} (f')^*\widetilde{R''}\] 임은 아핀 열린 덮개 위에서 확인하면 된다. 따라서 \(H^d(X'', (h')^*\mathcal{F}') = H^d(X', \mathcal{F}') \otimes_{R'} R''\)이고 (b)를 \(f'\)에 적용하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(y \in Y\)라 하자. \(f\)가 고유이고 \(\dim(X_y) = d\)라고 가정하자. 그러면

1. \(\mathcal{F} \in \QCoh(\mathcal{O}_X)\)에 대해 \((R^if_*\mathcal{F})_y = 0\)이 모든 \(i > d\)에 대해 성립한다.

2. 아핀 열린 근방 \(V \subset Y\)가 \(y\)에 대해 존재하여 \(f^{-1}(V) \to V\)와 \(d\)가 보조정리 0EX3의 가정과 결론을 만족한다.

증명

Morphisms, Lemma 02FZ와 \(f\)가 닫힌 사상이라는 사실에 의해, 아핀 열린 근방 \(V\)를 \(y\)의 근방으로 잡아 \(V\)의 점 위의 모든 올의 차원이 \(\leq d\)가 되게 할 수 있다. 따라서 \(X \to Y\)가 모든 올의 차원이 \(\leq d\)인 고유 사상이고 \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. (2)가 성립함을 보이면 모든 \(y \in Y\)에 대해 (1)도 즉시 따른다.

Lemma 09ZR에 의해 \(X = \lim X_i\)를, \(X_i \to Y\)가 고유이고 유한 표시이며 \(X \to X_i\)와 전이 사상이 모두 닫힌 몰입인 여과 역극한으로 쓸 수 있다. 어떤 \(i\)에 대해 \(X_i \to Y\)의 올 차원이 \(\leq d\)이다. Lemma 05M5을 보라. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pf_{i, *}(X \to X_i)_*\mathcal{F}\)가 Cohomology of Schemes, Lemma 01XC과 Leray (Cohomology, Lemma 01F6)에 의해 성립한다. 따라서 \(X\)를 \(X_i\)로 바꾸어 다음 단락에서 다루는 경우로 환원할 수 있다.

\(Y\)가 아핀이고 \(f : X \to Y\)가 유한 표시인 고유 사상이며 모든 올의 차원이 \(\leq d\)라고 가정하자. \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)임을 \(p > d\)에 대해 보이면 충분하다. 실제로 Cohomology of Schemes, Lemma 01XK에 의해 \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^0(Y, R^pf_*\mathcal{F})\)이다. 한편 \(R^pf_*\mathcal{F}\)는 Cohomology of Schemes, Lemma 01XJ에 의해 \(Y\) 위의 준연접 가군이므로, 전역 단면의 소거는 가군 자체의 소거를 뜻한다. \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\)를 아핀 스킴들의 여과 역극한으로 쓰자. 여기서 \(Y_i\)는 뇌터 환의 스펙트럼이다 (예를 들어 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수). \(0 \in I\)와 유한형 사상 \(X_0 \to Y_0\)를 택하여 \(X \cong Y \times_{Y_0} X_0\)가 되게 할 수 있다. Lemma 01ZM을 보라. \(0\)을 키운 뒤 \(X_0 \to Y_0\)가 고유라고 가정할 수 있고 (Lemma 081F), \(X_0 \to Y_0\)의 올 차원이 \(\leq d\)라고 가정할 수 있다(Lemma 05M5). \(X \to X_0\)가 아핀이므로 \(H^p(X, \mathcal{F}) = H^p(X_0, (X \to X_0)_*\mathcal{F})\)를 얻는다. Cohomology of Schemes, Lemma 089W를 사용했다. 이로써 다음 단락에서 다루는 경우로 환원된다.

\(Y\)가 아핀 뇌터 스킴이고 \(f : X \to Y\)가 고유하며 모든 올의 차원이 \(\leq d\)라고 가정하자. 이 경우 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 필터 직극한으로 쓸 수 있다. Properties, Lemma 01PK을 보라. 그러면 Cohomology, Lemma 01FF에 의해 \(H^p(X, \mathcal{F}) = \colim H^p(X, \mathcal{F}_i)\)이다. 따라서 \(\mathcal{F}\)가 준연접이라고 가정해도 된다. 이 경우 Cohomology of Schemes, Lemma 02V7에 의해 \((R^pf_*\mathcal{F})_y = 0\)이 모든 \(y \in Y\)에 대해 성립한다. 그러므로 \(R^pf_*\mathcal{F} = 0\)이고, 따라서 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)이다(위의 논의를 보라). 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(d \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 모든 올의 차원이 \(\leq d\)인 고유 사상이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

그러면 \(R^df_*\mathcal{F}\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

\(R^df_*\mathcal{F}\)는 Cohomology of Schemes, Lemma 01XJ에 의해 준연접이다. 이 문제는 \(Y\) 위에서 국소적이므로 \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(Y = \Spec(R)\)이라고 하자. 그러면 \(H^d(X, \mathcal{F})\)가 유한 \(R\)-가군임을 보이면 충분하다.

Lemma 09ZR에 의해 \(X = \lim X_i\)를, \(X_i \to Y\)가 고유이고 유한 표시이며 \(X \to X_i\)와 전이 사상이 모두 닫힌 몰입인 여과 역극한으로 쓸 수 있다. 어떤 \(i\)에 대해 \(X_i \to Y\)의 올 차원이 \(\leq d\)이다. Lemma 05M5을 보라. 또한 \(R^pf_*\mathcal{F} = R^pf_{i, *}(X \to X_i)_*\mathcal{F}\)가 Cohomology of Schemes, Lemma 01XC과 Leray (Cohomology, Lemma 01F6)에 의해 성립한다. 따라서 \(X\)를 \(X_i\)로 바꾸어 다음 단락에서 다루는 경우로 환원할 수 있다.

\(Y\)가 아핀이고 \(f : X \to Y\)가 유한 표시인 고유 사상이며 모든 올의 차원이 \(\leq d\)라고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}'\)의 몫으로 쓸 수 있다. Properties, Lemma 086M를 보라. 사상 \(H^d(X, \mathcal{F}') \to H^d(X, \mathcal{F})\)는 전사이다. 왜냐하면 고차 코호몰로지의 소거와 Lemma 0E7D (또는 그 증명)에 의해 \(H^{d + 1}(X, \Ker(\mathcal{F}' \to \mathcal{F})) = 0\)이기 때문이다. 따라서 다음 단락에서 다루는 경우로 환원된다.

\(Y = \Spec(R)\)가 아핀이고 \(f : X \to Y\)가 유한 표시인 고유 사상이며 모든 올의 차원이 \(\leq d\)이고 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라고 가정하자. \(Y = \lim_{i \in I} Y_i\)를 아핀 스킴들의 여과 역극한으로 쓰자. 여기서 \(Y_i = \Spec(R_i)\)는 뇌터 환의 스펙트럼이다 (예를 들어 유한형 \(\mathbf{Z}\)-대수). \(0 \in I\)와 유한형 사상 \(X_0 \to Y_0\)를 택하여 \(X \cong Y \times_{Y_0} X_0\)가 되게 할 수 있다. Lemma 01ZM을 보라. \(0\)을 키운 뒤 \(X_0 \to Y_0\)가 고유라고 가정할 수 있고 (Lemma 081F), \(X_0 \to Y_0\)의 올 차원이 \(\leq d\)라고 가정할 수 있다(Lemma 05M5). \(0\)을 더 키운 뒤 준연접 \(\mathcal{O}_{X_0}\)-가군 \(\mathcal{F}_0\)가 \(\mathcal{F}\)로 당겨지는 것이 존재한다고 가정할 수 있다. Lemma 01ZR을 보라. Lemma 0EX3에 의해 다음이 성립한다. \[H^d(X, \mathcal{F}) = H^d(X_0, \mathcal{F}_0) \otimes_{R_0} R\] 이는 코호몰로지 가군 \(H^d(X_0, \mathcal{F}_0)\)가 유한하다는 사실로부터 증명된다. Cohomology of Schemes, Lemma 02O6를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(d \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 모든 올의 차원이 \(\leq d\)인 유한 표시 고유 사상이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

그러면 \(R^df_*\mathcal{F}\)는 유한 표시 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

증명은 Lemma 0EX4의 증명과 정확히 같다. 다만 세 번째 단락은 생략할 수 있다. 자세한 내용은 생략한다.

닫힌 올에서의 이어붙이기

앞의 이론을 국소환의 스펙트럼에 적용하면 상대 스킴에 대한 다음과 같이 아름다운 이어붙이기 결과를 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(s \in S\)를 닫힌점이라 하고 \(U = S \setminus \{s\} \to S\)가 준콤팩트라고 하자. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\)로 두면 다음 범주 동치가 있다. \[\left\{ \begin{matrix} X \to S\text{ of finite presentation} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & V \ar[l] \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) } } \right\}\] 오른쪽에서는 정사각형이 데카르트이고 수직 화살표가 유한 표시인 가환 도식을 고려한다.

증명

열린 근방 \(W \subset S\)를 \(s\)의 근방으로 잡자. 상대 스킴의 이어붙이기 (Constructions, Section 01LG)에 의해 함자 \[\left\{ \begin{matrix} X \to S\text{ of finite presentation} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & W \setminus \{s\} \ar[l] \ar[r] & W } } \right\}\] 는 범주 동치이다. 다음이 성립한다. \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\)이며, 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 따라서 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)이고, 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 그러므로 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 위의 유한 표시 스킴 범주는 \(W\) 위의 유한 표시 스킴 범주들의 극한이며, \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 보조정리 01ZM을 보라. 모든 아핀 열린 \(s \in W\)에 대해 \(U \cap W\)는 준콤팩트이다. 이는 \(U \to S\)가 준콤팩트이기 때문이다. 따라서 \(V = \lim W \cap U = \lim W \setminus \{s\}\)는 준콤팩트 준분리 스킴들의 극한이다(보조정리 01YX를 보라). 그러므로 \(V\) 위의 유한 표시 스킴 범주도 \(W \cap U\) 위의 유한 표시 스킴 범주들의 극한이며, \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 보조정리는 이 결과들을 결합하면 형식적으로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(s \in S\)를 닫힌점이라 하고 \(U = S \setminus \{s\} \to S\)가 준콤팩트라고 하자. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\)로 두면 다음 범주 동치가 있다. \[\left\{ \mathcal{O}_S\text{-modules }\mathcal{F}\text{ of finite presentation} \right\} \longrightarrow \left\{ (\mathcal{G}, \mathcal{H}, \alpha) \right\}\] 오른쪽에서는 유한 표시인 \(\mathcal{O}_U\)-가군 \(\mathcal{G}\), 유한 표시인 \(\mathcal{O}_{\Spec(\mathcal{O}_{S, s})}\)-가군 \(\mathcal{H}\), 그리고 동형 \(\alpha : \mathcal{G}|_V \to \mathcal{H}|_V\)인 \(\mathcal{O}_V\)-가군으로 이루어진 세쌍을 고려한다.

증명

보조정리 0BPA의 증명을 보조정리 01ZR을 사용하여 다시 수행해도 되고, 또는 보조정리 0BPA에서 준연접 가군과 Constructions, Section 01M1의 “벡터 다발” 사이의 동치를 사용하여 얻어도 된다. 자세한 내용은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(U \subset S\)를 역콤팩트 열린집합이라 하자. \(s \in S\)를 \(U\)의 여집합에 속하는 점이라 하자. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \cap U\)로 두면 다음 범주 동치가 있다. \[\colim_{s \in U' \supset U\text{ open}} \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] \\ U' } } \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & V \ar[l] \ar[r] & \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) } } \right\}\] 왼쪽에서는 수직 화살표가 유한 표시이고, 오른쪽에서는 정사각형이 데카르트이며 수직 화살표가 유한 표시인 가환 도식을 고려한다.

증명

열린 근방 \(W \subset S\)를 \(s\)의 근방으로 잡자. 상대 스킴의 이어붙이기 (Constructions, Section 01LG)에 의해 함자 \[\left\{ \begin{matrix} X \to U' = U \cup W \text{ of finite presentation} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \vcenter{ \xymatrix{ X' \ar[d] & Y' \ar[d] \ar[l] \ar[r] & Y \ar[d] \\ U & W \cap U \ar[l] \ar[r] & W } } \right\}\] 는 범주 동치이다. 다음이 성립한다. \(\mathcal{O}_{S, s} = \colim \mathcal{O}_W(W)\)이며, 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 따라서 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)이고, 여기서 \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 그러므로 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 위의 유한 표시 스킴 범주는 \(W\) 위의 유한 표시 스킴 범주들의 극한이며, \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 보조정리 01ZM을 보라. 모든 아핀 열린 \(s \in W\)에 대해 \(U \cap W\)는 준콤팩트이다. 이는 \(U \to S\)가 준콤팩트이기 때문이다. 따라서 \(V = \lim W \cap U\)는 준콤팩트 준분리 스킴들의 극한이다 (보조정리 01YX를 보라). 그러므로 \(V\) 위의 유한 표시 스킴 범주도 \(W \cap U\) 위의 유한 표시 스킴 범주들의 극한이며, \(W\)는 \(s\)의 아핀 열린 근방들을 달린다. 보조정리는 이 결과들을 결합하면 형식적으로 따른다.

보조정리

표기와 가정은 보조정리 0BQ5와 같다고 하자. 열린집합 \(U \subset U' \subset X\)를 \(s\)를 포함하도록 잡자.

1. 동치에 의해 \(f' : X \to U'\)가 \(f : X' \to U\) 및 \(g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)에 대응한다고 하자. \(f\)와 \(g\)가 분리, 고유, 유한, étale이면, \(U'\)를 더 작게 잡은 뒤 \(f'\)도 같은 성질을 갖는다.

2. \(a : X_1 \to X_2\)를 \(U'\) 위의 유한 표시 스킴들의 사상이라 하자. 기저 변환 \(a' : X'_1 \to X'_2\)를 \(U\) 위에 두고 사상 \(b : Y_1 \to Y_2\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) 위에 두자. \(a'\)와 \(b\)가 분리, 고유, 유한, étale이면, \(U'\)를 더 작게 잡은 뒤 \(a\)도 같은 성질을 갖는다.

증명

(1)의 증명. \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)가 \(s\)의 \(S\) 안 아핀 열린 근방들의 극한임을 상기하자. \(g\)가 문제의 성질을 가지므로, 이 아핀 열린 근방들 중 하나로의 \(f'\)의 제한도 그 성질을 갖는다. 다음 보조정리들을 보라. 01ZQ, 081F, 01ZO, 그리고 07RP. \(f'\)는 \(U\) 위에서 \(f\)가 그러하듯 주어진 성질을 가지므로, 바탕 위에서 국소적으로 성질을 확인할 수 있다는 사실로부터 결론을 얻는다.

(2)의 증명. \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) = \lim W\)로 쓰자. 여기서 \(W\)는 \(s\)의 \(S\) 안 아핀 열린 근방들을 달린다. 그러면 \(Y_i = \lim W \times_S X_i\)이다. 따라서 (1)의 증명과 정확히 같은 논의를 사용할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(s_1, \ldots, s_n \in S\)를 서로 다른 닫힌점들이라 하자. \(U = S \setminus \{s_1, \ldots, s_n\} \to S\)가 준콤팩트라고 하자. \(S_i = \Spec(\mathcal{O}_{S, s_i})\) 및 \(U_i = S_i \setminus \{s_i\}\)로 두면 다음 범주 동치가 있다. \[FP_S \longrightarrow FP_U \times_{(FP_{U_1} \times \ldots \times FP_{U_n})} (FP_{S_1} \times \ldots \times FP_{S_n})\] 여기서 \(FP_T\)는 스킴 \(T\) 위의 유한 표시 스킴 범주이다.

증명

\(n = 1\)이면 이는 보조정리 0BPA이다. \(n > 1\)이면 같은 방식으로 증명하거나 이 보조정리에서 귀결할 수 있다. 예를 들어 \(f_i : X_i \to S_i\)가 \(FP_{S_i}\)의 대상들이고 \(f : X \to U\)가 \(FP_U\)의 대상이며 \(X_i \times_{S_i} U_i = X \times_U U_i\)라는 동형들이 주어졌다고 하자. 보조정리 0BPA에 의해 유한 표시인 사상 \(f' : X' \to U' = S \setminus \{s_1, \ldots, s_{n - 1}\}\)를 찾을 수 있고, \(X_i\)와 \(S_i\) 위에서 동형이며, \(X\)와 \(U\) 위에서 동형이고, 이 동형들이 주어진 동형 \(X_i \times_{S_n} U_n = X \times_U U_n\)과 양립한다고 하자. 그런 다음 \(f_i : X_i \to S_i\), \(i \leq n - 1\), \(f' : X' \to U'\), 그리고 유도된 동형 \(X_i \times_{S_i} U_i = X' \times_{U'} U_i\), \(i \leq n - 1\)에 귀납법을 적용할 수 있다. 이로써 본질적 전사성을 얻는다. 완전 충실성의 증명은 생략한다.

변형에의 응용

절 0E8P의 결과를 사용하면 닫힌점 위의 스킴 변형 범주를 국소환의 관점에서 기술할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(s \in S\)를 닫힌점이라 하고 \(U = S \setminus \{s\} \to S\)가 준콤팩트라고 하자. \(V = \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \setminus \{s\}\)로 두자. 기저 변환 함자는 \[\left\{ \begin{matrix} f : X \to S\text{ of finite presentation} \\ f^{-1}(U) \to U\text{ is an isomorphism} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\text{ of finite presentation} \\ g^{-1}(V) \to V\text{ is an isomorphism} \end{matrix} \right\}\] 범주 동치이다.

증명

이는 보조정리 0BPA의 특수한 경우이다.

보조정리

표기와 가정은 보조정리 0B3X와 같다고 하자. 동치에 의해 \(f : X \to S\)가 \(g : Y \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)에 대응한다고 하자. 그러면 \(f\)가 분리, 고유, 유한, étale인 것은 \(g\)도 그러한 것과 동치이다.

증명

분리, 고유, 정칙, 유한 등의 성질은 기저 변환에 대해 안정적이다. 다음을 보라. Schemes, Lemma 01KU 및 Morphisms, Lemmas 01W4와 01WL. 따라서 \(f\)가 성질을 가지면 \(g\)도 가진다. 역은 보조정리 0EY3에서 따르지만 여기서 직접 증명도 제시한다. 즉, \(g\)가 성질을 가지면 \(f\)는 \(s\)의 근방에서 그 성질을 가진다. 다음을 보라. 01ZQ, 081F, 01ZO, 그리고 07RP. \(f\)는 분명히 \(S \setminus \{s\}\) 위에서 주어진 성질을 가지므로, 바탕 위에서 국소적으로 성질을 확인할 수 있다는 사실로부터 결론을 얻는다.

주

위 보조정리는 다음과 같이 일반화할 수 있다. \(S\)를 스킴이라 하고 \(T \subset S\)를 닫힌집합이라 하자. 다음을 만족하는 \(T \subset W_i\) 형태의 열린 근방들의 공종 시스템이 존재한다고 가정하자. (1) \(W_i \setminus T\)는 준콤팩트이고 (2) \(W_i \subset W_j\)는 아핀 사상이다. 그러면 \(W = \lim W_i\)는 \(T\)를 닫힌 부분스킴으로 포함하는 스킴이다. \(U = X \setminus T\) 및 \(V = W \setminus T\)로 두자. 그러면 기저 변환 함자는 \[\left\{ \begin{matrix} f : X \to S\text{ of finite presentation} \\ f^{-1}(U) \to U\text{ is an isomorphism} \end{matrix} \right\} \longrightarrow \left\{ \begin{matrix} g : Y \to W\text{ of finite presentation} \\ g^{-1}(V) \to V\text{ is an isomorphism} \end{matrix} \right\}\] 범주 동치이다. 이것이 필요해지면 이 주석을 보조정리로 바꾸고 자세한 증명을 제공할 것이다.

유한형 스킴의 하강

이 절에서는 절 01ZD의 주제를 절 01ZL에서 논의한 결과의 정신에 따라 이어간다.

설정

\(S = \lim_{i \in I} S_i\)를 뇌터 스킴들의 유향계의 극한이라 하자. 전이 사상 \(S_{i'} \to S_i\)는 \(i' \geq i\)일 때 아핀이라고 가정한다.

보조정리

상황 0CNM을 가정하자. \(X \to S\)가 준분리이고 유한형이라고 하자. 그러면 어떤 \(i \in I\)와 도식 [0CNP]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i } } \end{equation}\] 가 존재하여 \(W \to S_i\)는 유한형이고, 유도된 사상 \(X \to S \times_{S_i} W\)는 닫힌 몰입이다.

증명

보조정리 01ZG에 의해 닫힌 몰입 \(X \to X'\)를 \(S\) 위에서 찾을 수 있으며, 여기서 \(X'\)는 \(S\) 위에서 유한 표시인 스킴이다. 보조정리 01ZM에 의해 어떤 \(i\)와 유한 표시 사상 \(X'_i \to S_i\)를 찾을 수 있고, 그 당김이 \(X'\)이다. \(W = X'_i\)로 두면 된다.

보조정리

상황 0CNM을 가정하자. \(X \to S\)가 준분리이고 유한형이라고 하자. 어떤 \(i \in I\)와 도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i } }\] 이 (0CNP)과 같이 주어졌을 때, \(i' \geq i\)에 대하여 \(X_{i'}\)를 \(X \to S_{i'} \times_{S_i} W\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(X = \lim_{i' \geq i} X_{i'}\)이다.

증명

\(X\)는 준콤팩트이고 준분리이므로, \(X \to S_{i'} \times_{S_i} W\)의 스킴론적 상을 취하는 것은 열린 부분스킴으로의 제한과 가환한다 (Morphisms, Lemma 01R8). 따라서 \(W\)가 아핀이고 아핀 열린집합 \(U_i\)인 \(S_i\) 안으로 사상된다고 가정해도 된다. \(U \subset S\)와 \(U_{i'} \subset S_{i'}\)를 \(U_i\)의 역상이라 하자. 그러면 \(U\), \(U_{i'}\), \(S_{i'} \times_{S_i} W = U_{i'} \times_{U_i} W\), 그리고 \(S \times_{S_i} W = U \times_{U_i} W\)는 모두 아핀이다. \(X\)가 아핀인 것은 \(X \to S \times_{S_i} W\)가 닫힌 몰입이기 때문이다. 또한 환 준동형 \[\mathcal{O}(U) \otimes_{\mathcal{O}(U_i)} \mathcal{O}(W) \to \mathcal{O}(X)\] 은 전사이다. 그 핵을 \(I\)라 하자. 그러면 \(X_{i'}\)는 환 \[\mathcal{O}(X_{i'}) = \mathcal{O}(U_{i'}) \otimes_{\mathcal{O}(U_i)} \mathcal{O}(W)/I_{i'}\] 의 스펙트럼이며, 여기서 \(I_{i'}\)는 아이디얼 \(I\)의 역상이다 (Morphisms, Example 056A를 보라). \(\mathcal{O}(U) = \colim \mathcal{O}(U_{i'})\)이므로 \(I = \colim I_{i'}\)이고, 따라서 \(\colim \mathcal{O}(X_{i'}) = \mathcal{O}(X)\)이다.

보조정리

상황 0CNM을 가정하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위에서 준분리이고 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. 도식 \[\vcenter{ \xymatrix{ X \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_1} } } \quad\text{and}\quad \vcenter{ \xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_2} } }\] 가 (0CNP)과 같다고 하자. 또한 \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\)와 \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\)를 보조정리 0CNQ에서 얻은 극한 표현이라 하자. 그러면 어떤 \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\)와 역계의 사상 \[(f_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\] 가 \((S_i)_{i \geq i_0}\) 위에 존재하여 \(f = \lim_{i \geq i_0} f_i\)이다. 또 \((g_i)_{i \geq i_0} : (X_i)_{i \geq i_0} \to (Y_i)_{i \geq i_0}\)가 \((S_i)_{i \geq i_0}\) 위의 또 다른 역계의 사상이고 \(f = \lim_{i \geq i_0} g_i\)이면, \(f_i = g_i\)가 모든 \(i \gg i_0\)에 대해 성립한다.

증명

\(V \to S_{i_2}\)가 유한 표시이고 \(X = \lim_{i \geq i_1} X_i\)이므로, 명제 01ZC을 적용하여 어떤 \(i_0 \geq \max(i_1, i_2)\)와 사상 \(h : X_{i_0} \to V\)를 \(S_{i_2}\) 위에서 찾을 수 있으며, \(X \to X_{i_0} \to V\)는 \(X \to Y \to V\)와 같다. \(i \geq i_0\)이면 다음과 같은 가환하는 실선 도식을 얻는다. \[\xymatrix{ X \ar[d] \ar[r] & X_i \ar[r] \ar@{..>}[d] \ar@/_2pc/[dd] |!{[d];[ld]}\hole & X_{i_0} \ar[d]^h \\ Y \ar[r] \ar[d] & Y_i \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ S \ar[r] & S_i \ar[r] & S_{i_0} }\] \(X \to X_i\)의 상은 스킴론적으로 조밀하고, \(Y_i\)는 \(Y \to S_i \times_{S_{i_2}} V\)의 스킴론적 상이므로, 이 도식이 유도하는 사상 \(X_i \to S_i \times_{S_{i_2}} V\)는 \(Y_i\)를 통하여 인수분해된다 (Morphisms, Lemma 01R9). 이로써 존재성이 증명된다.

유일성. \(E_i \subset X_i\)를 \(f_i\)와 \(g_i\)의 등화자라 하되 \(i \geq i_0\)라 하자. Schemes, Lemma 01KM에 의해 \(E_i\)는 \(X_i\)의 국소 닫힌 부분스킴이다. \(X_i\)는 \(S_i \times_{S_{i_0}} X_{i_0}\)의 닫힌 부분스킴이고 \(Y_i\)도 마찬가지이므로 \[E_i = X_i \times_{(S_i \times_{S_{i_0}} X_{i_0})} (S_i \times_{S_{i_0}} E_{i_0})\] 이다. 따라서 증명을 끝내려면 \(X_i \to X_{i_0}\)가 \(E_{i_0}\)를 통하여 인수분해되는 어떤 \(i \geq i_0\)가 있음을 보이면 충분하다. 이를 위해 \(X \to X_{i_0}\)가 \(E_{i_0}\)를 통하여 인수분해된다는 사실을 사용한다. 이는 \(f_{i_0}\)와 \(g_{i_0}\)가 모두 \(f\)와 양립하기 때문이다. \(X_i\)가 뇌터이므로 위상공간 \(|E_{i_0}|\)는 \(|X_{i_0}|\)의 구성 가능 부분집합이다 (Topology, Lemma 005L). 따라서 \(X_i \to X_{i_0}\)는 집합론적으로 \(E_{i_0}\)를 통하여 인수분해되며, 보조정리 05F4에 의해 이는 충분히 큰 \(i\)에 대해 성립한다. 그런 \(i\)에 대하여 스킴론적 역상 \((X_i \to X_{i_0})^{-1}(E_{i_0})\)는 \(X_i\)의 닫힌 부분스킴이고, \(X\)가 이를 통하여 인수분해된다. 이 역상은 \(X_i\)와 같은데, 이는 구성상 \(X \to X_i\)의 상이 스킴론적으로 조밀하기 때문이다. 이로써 증명이 끝난다.

주

상황 0CNM에서 보조정리 0CNN, 0CNQ, 그리고 0CNR은 \(S\) 위에서 준분리이고 유한형인 스킴의 범주가 \((S_i)_{i \in I}\) 위의 특정한 스킴 역계들의 범주와 동치임을 말한다. 이들은 곧 보조정리 0CNQ을 (0CNP) 꼴의 도식에 적용하여 얻는 역계들이다. 예를 들어 \(X \to S\)가 유한형이고 준분리일 때 (0CNP)과 같은 서로 다른 두 도식 \(X \to V_1 \to S_{i_1}\)과 \(X \to V_2 \to S_{i_2}\)를 택하면, \(\text{id}_X\)에 보조정리 0CNR을 두 방향으로 적용하여 \(X\)의 두 극한 표현이 표준적으로 동형임을 알 수 있다 (유향집합 \(I\)를 줄이는 것까지). 이하도 마찬가지이다.

보조정리

표기와 가정은 보조정리 0CNR과 같다고 하자. \(f\)가 평탄하고 유한 표시이면, 어떤 \(i_3 \geq i_0\)가 존재하여 \(i \geq i_3\)일 때 \(f_i\)는 평탄하고, \(X_i = Y_i \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\)이며, \(X = Y \times_{Y_{i_3}} X_{i_3}\)이다.

증명

보조정리 01ZM에 의해 어떤 \(i \geq i_2\)와 유한 표시 사상 \(U \to Y_i\)를 택하여 \(X = Y \times_{Y_i} U\)가 되게 할 수 있다 (여기서 \(f\)가 유한 표시라는 사실을 사용한다). \(i\)를 늘린 뒤 \(U \to Y_i\)가 평탄하다고 가정할 수 있다. 보조정리 04AI을 보라. 주석 0CNS에서 논의했듯이, 계 \((X_i)_{i \geq i_1}\)를 정의하는 데 사용한 초기 도식을 \(X \to U \to S_i\)에 대응하는 계로 바꾸어도 된다. 따라서 \(X_{i'}\)는 \(i' \geq i\)에 대해 \(X \to S_{i'} \times_{S_i} U\)의 스킴론적 상으로 정의된다.

\(U \to Y_i\)가 평탄하고(여기서 \(f\)가 평탄하다는 사실을 사용한다), \(X = Y \times_{Y_i} U\)이며, \(Y \to Y_i\)의 스킴론적 상이 \(Y_i\)이므로, \(X \to U\)의 스킴론적 상은 \(U\)이다 (Morphisms, Lemma 081I). \(Y_{i'} \to S_{i'} \times_{S_i} Y_i\)는 \(i' \geq i\)일 때 닫힌 몰입이다. 이는 계 \(Y_j\)의 구성에서 따른다. 그러면 위와 같은 논의로 \(X \to S_{i'} \times_{S_i} U\)의 스킴론적 상은 닫힌 부분스킴 \(Y_{i'} \times_{Y_i} U\)와 같다. 따라서 \(X_{i'} = Y_{i'} \times_{Y_i} U\)가 모든 \(i' \geq i\)에 대해 성립하고, 보조정리는 \(i_3 = i\)로 성립한다.

보조정리

표기와 가정은 보조정리 0CNR과 같다고 하자. \(f\)가 매끄러우면, 어떤 \(i_3 \geq i_0\)가 존재하여 \(i \geq i_3\)일 때 \(f_i\)는 매끄럽다.

증명

보조정리 0CNT과 0C0C를 결합하면 된다.

보조정리

표기와 가정은 보조정리 0CNR과 같다고 하자. \(f\)가 고유이면, 어떤 \(i_3 \geq i_0\)가 존재하여 \(i \geq i_3\)일 때 \(f_i\)는 고유이다.

증명

주석 0CNS의 논의에 따르면 (0CNP)과 같은 도식에 들어가는 \(i_1\)과 \(W\)의 선택은 보조정리의 진위에 영향을 주지 않는다. 따라서 \(W\)를 다음과 같이 택한다. 먼저 닫힌 몰입 \(X \to X'\)를 택하되 \(X' \to S\)가 고유이고 유한 표시이게 한다. 보조정리 09ZR을 보라. 그런 다음 어떤 \(i_3 \geq i_2\)와 고유 사상 \(W \to Y_{i_3}\)를 택하여 \(X' = Y \times_{Y_{i_3}} W\)가 되게 한다. 이는 \(Y = \lim_{i \geq i_2} Y_i\)이고 보조정리 01ZM과 081F을 적용할 수 있기 때문이다. 이 \(W\)를 택하면 구성에서 곧바로 \(i \geq i_3\)에 대해 \(X_i\)는 \(Y_i \times_{Y_{i_3}} W \subset S_i \times_{S_{i_3}} W\)의 닫힌 부분스킴이고, 따라서 \(Y_i\) 위에서 고유이다.

보조정리

상황 0CNM에서 데카르트 도식 \[\xymatrix{ X^1 \ar[r]_p \ar[d]_q & X^3 \ar[d]^a \\ X^2 \ar[r]^b & X^4 }\] 이 주어졌고 모든 스킴이 \(S\) 위에서 준분리이고 유한형이라고 하자. 각 \(j = 1, 2, 3, 4\)에 대해 \(i_j \in I\)와 (0CNP)과 같은 도식 \[\xymatrix{ X^j \ar[r] \ar[d] & W^j \ar[d] \\ S \ar[r] & S_{i_j} }\] 를 택하자. \(X^j = \lim_{i \geq i_j} X^j_i\)를 보조정리 0CNR에서 얻은 극한 표현이라 하자. 또 \((a_i)_{i \geq i_5}\), \((b_i)_{i \geq i_6}\), \((p_i)_{i \geq i_7}\), 그리고 \((q_i)_{i \geq i_8}\)를 보조정리 0CNR에서 구성한 대응하는 계의 사상들이라 하자. 그러면 어떤 \(i_9 \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8)\)가 존재하여 \(i \geq i_9\)에 대해 \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\)이고 \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] 는 닫힌 몰입이다. \(a\)와 \(b\)가 평탄하고 유한 표시이면, 어떤 \(i_{10} \geq \max(i_5, i_6, i_7, i_8, i_9)\)가 존재하여 \(i \geq i_{10}\)에 대해 마지막에 표시한 사상은 동형이다.

증명

주석 0CNS의 논의에 따르면 (0CNP)과 같은 도식에 들어가는 \(W^1\)의 선택은 보조정리의 진위에 영향을 주지 않는다. 따라서 \(W^1 = W^2 \times_{W^4} W^3\)로 택할 수 있다. 그러면 \(X^1_i\)의 구성에서 곧바로 \(a_i \circ p_i = b_i \circ q_i\)이고 \[(q_i, p_i) : X^1_i \longrightarrow X^2_i \times_{b_i, X^4_i, a_i} X^3_i\] 가 닫힌 몰입임을 알 수 있다.

\(a\)와 \(b\)가 평탄하고 유한 표시이면, 그 기저 변환인 \(p\)와 \(q\)도 각각 \(a\)와 \(b\)처럼 그러하다. 따라서 보조정리 0CNT을 \(a\), \(b\), \(p\), \(q\), 그리고 \(a \circ p = b \circ q\) 각각에 적용할 수 있다. 그러면 어떤 \(i_9 \in I\)가 존재하여 \[(q_i, p_i) : X^1_i \to X^2_i \times_{X^4_i} X^3_i\] 는 \((q_{i_9}, p_{i_9})\)를 사상 \(X^4_i \to X^4_{i_9}\)로 기저 변환한 것이며, 모든 \(i \geq i_9\)에 대해 그러하다. 따라서 \((q_i, p_i)\)는 충분히 큰 \(i\)에 대해 동형임을 보조정리 081E에서 알 수 있다.