Exercices

Algèbre

Cette première section ne contient que quelques questions diverses.

Exercice

Soient \(A\) un anneau et \({\mathfrak m}\) un idéal maximal. Dans \(A[X]\), posons \(\tilde {\mathfrak m}_1 = ({\mathfrak m}, X)\) et \(\tilde {\mathfrak m}_2 = ({\mathfrak m}, X-1)\). Montrer que \[A[X]_{\tilde {\mathfrak m}_1} \cong A[X]_{\tilde {\mathfrak m}_2}.\]

Exercice

Trouver un exemple d’anneau non noethérien \(R\) tel que tout idéal de type fini de \(R\) soit de présentation finie comme \(R\)-module. (On dit qu’un anneau est cohérent si cette dernière propriété est vérifiée.)

Exercice

Supposons que \((A, {\mathfrak m}, k)\) soit un anneau local noethérien. Pour tout \(A\)-module de type fini \(M\), notons \(r(M)\) le nombre minimal de générateurs de \(M\) comme \(A\)-module. D’après le lemme de Nakayama, ce nombre vaut \(\dim_k M/{\mathfrak m} M = \dim_k M \otimes_A k\).

1. Montrer que \(r(M \otimes_A N) = r(M)r(N)\).

2. Soit \(I\subset A\) un idéal tel que \(r(I) > 1\). Montrer que \(r(I^2) < r(I)^2\).

3. En déduire que, si tout idéal de \(A\) est un module plat, alors \(A\) est un anneau principal (ou un corps).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Montrer que les paires suivantes de \(k\)-algèbres ne sont pas isomorphes :

1. \(k[x_1, \ldots, x_n]\) et \(k[x_1, \ldots, x_{n + 1}]\) pour tout \(n\geq 1\).

2. \(k[a, b, c, d, e, f]/(ab + cd + ef)\) et \(k[x_1, \ldots, x_n]\) pour \(n = 5\).

3. \(k[a, b, c, d, e, f]/(ab + cd + ef)\) et \(k[x_1, \ldots, x_n]\) pour \(n = 6\).

Remarque

L’idée de cet exercice est bien entendu de trouver, dans chaque cas, un argument simple plutôt que d’appliquer un « gros » théorème. Il est néanmoins utile de se laisser guider par des principes généraux.

Exercice

Algèbre. (Exercice un peu futile, qui devrait être facile.)

1. Donner un exemple d’un anneau \(A\) et d’une suite exacte courte non scindée de \(A\)-modules \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0.\]

2. Donner un exemple d’une suite non scindée de \(A\)-modules comme ci-dessus et d’un homomorphisme fidèlement plat \(A \to B\) tel que \[0 \to M_1\otimes_A B \to M_2\otimes_A B \to M_3\otimes_A B \to 0.\] soit scindée comme suite de \(B\)-modules.

Exercice

Supposons que le corps \(k\) contienne une racine primitive \(n\)-ième de l’unité \(\zeta\). Cela signifie que \(\zeta^n = 1\), mais que \(\zeta^m\not = 1\) pour \(0 < m < n\).

1. Montrer que la caractéristique de \(k\) est première à \(n\).

2. Supposons que \(a \in k\) soit un élément de \(k\) qui ne soit une puissance \(d\)-ième dans \(k\) pour aucun diviseur \(d\) de \(n\) tel que \(n \geq d > 1\). Montrer que \(k[x]/(x^n-a)\) est un corps. (Indication : considérer un corps de décomposition de \(x^n-a\) et utiliser la théorie de Galois.)

Exercice

Soit \(\nu : k[x]\setminus \{0\} \to {\mathbf Z}\) une application ayant les propriétés suivantes : \(\nu(fg) = \nu(f) + \nu(g)\) lorsque \(f\), \(g\) sont non nuls, et \(\nu(f + g) \geq min(\nu(f), \nu(g))\) lorsque \(f\), \(g\) et \(f + g\) sont non nuls, et \(\nu(c) = 0\) pour tout \(c\in k^*\).

1. Montrer que, si \(f\), \(g\) et \(f + g\) sont non nuls et si \(\nu(f) \not = \nu(g)\), alors \(\nu(f + g) = min(\nu(f), \nu(g))\).

2. Montrer que, si \(f = \sum a_i x^i\), \(f\not = 0\), alors \(\nu(f) \geq min(\{i\nu(x)\}_{a_i\not = 0})\). Quand a-t-on égalité ?

3. Montrer que, si \(\nu\) prend une valeur négative, alors \(\nu(f) = -n \deg(f)\) pour un certain \(n\in {\mathbf N}\).

4. Supposons que \(\nu(x) \geq 0\). Montrer que \(\{f \mid f = 0, \ \text{ou}\ \nu(f) > 0\}\) est un idéal premier de \(k[x]\).

5. Décrire toutes les applications \(\nu\) possibles.

Soit \(A\) un anneau. Un idempotent est un élément \(e \in A\) tel que \(e^2 = e\). Les éléments \(1\) et \(0\) sont toujours idempotents. Un idempotent non trivial est un idempotent distinct de zéro. Deux idempotents \(e, e' \in A\) sont dits orthogonaux si \(ee' = 0\).

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Montrer que \(A\) est un produit de deux anneaux non nuls si et seulement si \(A\) possède un idempotent non trivial.

Exercice

Soient \(A\) un anneau et \(I \subset A\) un idéal localement nilpotent. Montrer que l’application \(A \to A/I\) induit une bijection sur les idempotents. (Indication : il peut être plus facile de commencer par le cas où \(I\) est nilpotent. Utiliser ensuite la « réduction noethérienne absolue » pour se ramener à ce cas.)

Limites inductives

Définition

Un ensemble préordonné filtrant est un ensemble non vide \(I\) muni d’un préordre \(\leq\) tel que, pour toute paire \(i, j \in I\), il existe un \(k \in I\) tel que \(i \leq k\) et \(j \leq k\). Un système inductif d’anneaux indexé par \(I\) est la donnée d’un anneau \(A_i\) pour chaque \(i \in I\) et d’un homomorphisme d’anneaux \(\varphi_{ij} : A_i \to A_j\) dès que \(i \leq j\), de sorte que le composé \(A_i \to A_j \to A_k\) soit égal à \(A_i \to A_k\) dès que \(i \leq j \leq k\).

On définit de même les systèmes inductifs de groupes, de modules sur un anneau fixé, d’espaces vectoriels sur un corps, etc.

Exercice

Soit \(I\) un ensemble préordonné filtrant et soit \((A_i, \varphi_{ij})\) un système inductif d’anneaux indexé par \(I\). Montrer qu’il existe un anneau \(A\) et des homomorphismes \(\varphi_i : A_i \to A\) tels que \(\varphi_j \circ \varphi_{ij} = \varphi_i\) pour tous \(i \leq j\) et possédant la propriété universelle suivante : étant donnés un anneau \(B\) et des homomorphismes \(\psi_i : A_i \to B\) tels que \(\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i\) pour tous \(i \leq j\), il existe un unique homomorphisme d’anneaux \(\psi : A \to B\) tel que \(\psi_i = \psi \circ \varphi_i\).

Définition

L’anneau \(A\) construit dans l’exercice 078J est appelé la limite inductive du système. Notation : \(\colim A_i\).

Exercice

Soit \((I, \geq)\) un ensemble préordonné filtrant et soit \((A_i, \varphi_{ij})\) un système inductif d’anneaux indexé par \(I\), de limite inductive \(A\). Montrer qu’il existe une bijection \[\Spec(A) = \{(\mathfrak p_i)_{i \in I} \mid \mathfrak p_i \subset A_i \text{ et } \mathfrak p_i = \varphi_{ij}^{-1}(\mathfrak p_j)\ \forall i \leq j\} \subset \prod\nolimits_{i \in I} \Spec(A_i)\] L’ensemble figurant au membre de droite de l’égalité est la limite projective des ensembles \(\Spec(A_i)\). Notation : \(\lim \Spec(A_i)\).

Exercice

Soit \((I, \geq)\) un ensemble préordonné filtrant et soit \((A_i, \varphi_{ij})\) un système inductif d’anneaux indexé par \(I\), de limite inductive \(A\). Supposons que l’application \(\Spec(A_j) \to \Spec(A_i)\) soit surjective pour tous \(i \leq j\). Montrer que \(\Spec(A) \to \Spec(A_i)\) est surjective pour tout \(i\). (Indication : on peut essayer d’utiliser le théorème de Tychonoff, mais il existe aussi une démonstration algébrique directe essentiellement triviale fondée sur Algèbre, lemme 00E7.)

Exercice

Soit une extension entière d’anneaux \(A \subset B\). Montrer que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) est surjective. Utiliser les exercices ci-dessus, le fait que l’assertion est vraie pour une extension finie d’anneaux (ce qui a été démontré dans les cours), et montrer que \(B = \colim B_i\) est une limite inductive filtrante d’extensions finies \(A \subset B_i\).

Exercice

Soit \((I, \geq)\) un ensemble préordonné filtrant. Soit \(A\) un anneau et soit \((N_i, \varphi_{i, i'})\) un système inductif de \(A\)-modules indexé par \(I\). Soit en outre \(M\) un \(A\)-module. Montrer que \[\colim_{i\in I} M \otimes_A N_i\cong M \otimes_A \Big( \colim_{i\in I} N_i\Big).\]

Définition

Un module \(M\) sur \(R\) est dit de présentation finie sur \(R\) s’il est isomorphe au conoyau d’un homomorphisme de modules libres de type fini \(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\).

Exercice

Montrer que tout module sur un anneau quelconque est

1. la limite inductive de ses sous-modules de type fini, et

2. , d’une certaine manière, une limite inductive de modules de présentation finie.

Catégories additives et abéliennes

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des espaces vectoriels filtrés sur \(k\) ; voir Homologie, définition 0121 pour la définition d’un objet filtré d’une catégorie quelconque.

1. Montrer que c’est une catégorie additive (expliquer soigneusement ce qu’est la somme directe de deux objets).

2. Soit \(f : (V, F) \to (W, F)\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Montrer que \(f\) possède un noyau et un conoyau (expliquer précisément ce que sont le noyau et le conoyau de \(f\)).

3. Donner un exemple d’un morphisme de \(\mathcal{C}\) tel que le morphisme canonique \(\Coim(f) \to \Im(f)\) ne soit pas un isomorphisme.

Exercice

Soit \(R\) un anneau intègre noethérien. Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des \(R\)-modules sans torsion de type fini.

1. Montrer que c’est une catégorie additive.

2. Soit \(f : N \to M\) un morphisme de \(\mathcal{C}\). Montrer que \(f\) possède un noyau et un conoyau (veiller à définir précisément ce que sont le noyau et le conoyau de \(f\)).

3. Donner un exemple d’un anneau intègre noethérien \(R\) et d’un morphisme de \(\mathcal{C}\) tel que le morphisme canonique \(\Coim(f) \to \Im(f)\) ne soit pas un isomorphisme.

Exercice

Donner un exemple d’une catégorie additive qui possède des noyaux et des conoyaux, mais qui soit autre que celles des exercices 057Y et 057Z.

Produit tensoriel

Les produits tensoriels sont introduits dans Algèbre, section 00CV. Soit \(R\) un anneau. Soit \(\text{Mod}_R\) la catégorie des \(R\)-modules. Nous dirons qu’un foncteur \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\)

1. est additif si \(F : \Hom_R(M, N) \to \Hom_R(F(M), F(N))\) est un homomorphisme de groupes abéliens pour tous \(R\)-modules \(M, N\) ; voir Homologie, définition 00ZY ;

2. est \(R\)-linéaire si \(F : \Hom_R(M, N) \to \Hom_R(F(M), F(N))\) est \(R\)-linéaire pour tous \(R\)-modules \(M, N\) ;

3. est exact à droite si, pour toute suite exacte courte \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\), la suite \(F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0\) est exacte ;

4. est exact à gauche si, pour toute suite exacte courte \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\), la suite \(0 \to F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3)\) est exacte ;

5. commute aux sommes directes si, étant donnés un ensemble \(I\) et des \(R\)-modules \(M_i\), les homomorphismes \(F(M_i) \to F(\bigoplus M_i)\) induisent un isomorphisme \(\bigoplus F(M_i) = F(\bigoplus M_i)\).

Exercice

Soit \(R\) un anneau. On conserve les notations ci-dessus.

1. Donner un exemple d’un anneau \(R\) et d’un foncteur additif \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) qui ne soit pas \(R\)-linéaire.

2. Soit \(N\) un \(R\)-module. Montrer que le foncteur \(F(M) = M \otimes_R N\) est \(R\)-linéaire, exact à droite et commute aux sommes directes.

3. Réciproquement, montrer que tout foncteur \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) qui est \(R\)-linéaire, exact à droite et commute aux sommes directes est de la forme \(F(M) = M \otimes_R N\) pour un certain \(R\)-module \(N\).

4. Montrer que, si dans (3) on supprime l’hypothèse selon laquelle \(F\) commute aux sommes directes, la conclusion n’est plus vraie.

Homomorphismes plats d’anneaux

Exercice

Soit \(S\) une partie multiplicative de l’anneau \(A\).

1. Pour un \(A\)-module \(M\), montrer que \(S^{-1}M = S^{-1}A \otimes_A M\).

2. Montrer que \(S^{-1}A\) est plat sur \(A\).

Exercice

Trouver une injection \(M_1 \to M_2\) de \(A\)-modules telle que \(M_1\otimes N \to M_2 \otimes N\) ne soit pas injective dans les cas suivants :

1. \(A = k[x, y]\) et \(N = (x, y) \subset A\). (Ici et ci-dessous, \(k\) est un corps.)

2. \(A = k[x, y]\) et \(N = A/(x, y)\).

Exercice

Donner un exemple d’un anneau \(A\) et d’un \(A\)-module de type fini \(M\) qui soit plat mais non projectif comme \(A\)-module.

Remarque

Si \(M\) est de présentation finie et plat sur \(A\), alors \(M\) est projectif sur \(A\). L’exemple devra donc faire intervenir un anneau \(A\) qui ne soit pas noethérien. Je connais un exemple où \(A\) est l’anneau des fonctions de classe \({\mathcal C}^\infty\) sur \({\mathbf R}\).

Exercice

Trouver un module plat mais non libre sur \({\mathbf Z}_{(2)}\).

Exercice

Déformations plates.

1. Supposons que \(k\) soit un corps et que \(k[\epsilon]\) soit l’algèbre des nombres duaux \(k[\epsilon] = k[x]/(x^2)\), avec \(\epsilon = \bar x\). Montrer que, pour toute \(k\)-algèbre \(A\), il existe une \(k[\epsilon]\)-algèbre plate \(B\) telle que \(A\) soit isomorphe à \(B/\epsilon B\).

2. Supposons que \(k = {\mathbf F}_p = {\mathbf Z}/p{\mathbf Z}\) et \[A = k[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6]/ (x_1^p, x_2^p, x_3^p, x_4^p, x_5^p, x_6^p).\] Montrer qu’il existe une \({\mathbf Z}/p^2{\mathbf Z}\)-algèbre plate \(B\) telle que \(B/pB\) soit isomorphe à \(A\). (Ainsi, \(p\) joue ici le rôle de \(\epsilon\).)

3. Posons maintenant \(p = 2\) et considérons la même question pour \(k = {\mathbf F}_2 = {\mathbf Z}/2{\mathbf Z}\) et \[A = k[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6]/ (x_1^2, x_2^2, x_3^2, x_4^2, x_5^2, x_6^2, x_1x_2 + x_3x_4 + x_5x_6).\] Cependant, montrer que dans ce cas il n’existe pas de \({\mathbf Z}/4{\mathbf Z}\)-algèbre plate \(B\) telle que \(B/2B\) soit isomorphe à \(A\). (Trouver l’astuce ! Le même exemple fonctionne en toute caractéristique \(p > 0\), mais le calcul est plus difficile.)

Exercice

Soit \((A, {\mathfrak m}, k)\) un anneau local et soit \(k'/k\) une extension finie de corps. Montrer qu’il existe un homomorphisme local et plat d’anneaux locaux \(A \to B\) tel que \({\mathfrak m}_B = {\mathfrak m} B\) et que \(B/{\mathfrak m} B\) soit isomorphe à \(k'\) comme \(k\)-algèbre. (Indication : commencer par le cas où l’extension \(k \subset k'\) est engendrée par un seul élément.)

Remarque

Le même résultat vaut pour toute extension de corps \(K/k\).

Le spectre d’un anneau

Exercice

Déterminer \(\Spec(\mathbf{Z})\) en tant qu’ensemble et décrire sa topologie.

Exercice

Soit \(A\) un anneau quelconque. Pour \(f\in A\), on définit \(D(f):= \{\mathfrak p \subset A \mid f \not \in \mathfrak p\}\). Montrer que les ouverts \(D(f)\) forment une base de la topologie de \(\Spec(A)\).

Exercice

Montrer que l’application \(I\mapsto V(I)\) définit une bijection naturelle \[\{I\subset A\text{ tel que }I = \sqrt{I}\} \longrightarrow \{T\subset \Spec(A)\text{ fermée}\}\]

Définition

Un espace topologique \(X\) est dit quasi-compact si, pour tout recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\), il existe une partie finie \(\{i_1, \ldots, i_n\}\subset I\) telle que \(X = U_{i_1}\cup\ldots U_{i_n}\).

Exercice

Montrer que \(\Spec(A)\) est quasi-compact pour tout anneau \(A\).

Définition

On dit qu’un espace topologique \(X\) vérifie l’axiome de séparation \(T_0\) si, pour tout couple de points \(x, y\in X\) tels que \(x\not = y\), il existe un ouvert de \(X\) qui contient l’un mais pas l’autre. On dit que \(X\) est séparé si, pour tout couple \(x, y\in X\) tel que \(x\not = y\), il existe des ouverts disjoints \(U, V\) tels que \(x\in U\) et \(y\in V\).

Exercice

Montrer que \(\Spec(A)\) n’est pas séparé en général. Montrer que \(\Spec(A)\) est \(T_0\). Donner un exemple d’espace topologique \(X\) qui n’est pas \(T_0\).

Remarque

En général, on réserve le mot compact aux espaces quasi-compacts et séparés.

Définition

Un espace topologique \(X\) est dit irréductible si \(X\) est non vide et si \(X = Z_1\cup Z_2\), avec \(Z_1, Z_2\subset X\) fermés, alors soit \(Z_1 = X\), soit \(Z_2 = X\). Une partie \(T\subset X\) d’un espace topologique est dite irréductible si elle est un espace topologique irréductible pour la topologie induite par \(X\). Cette définition implique que \(T\) est irréductible si et seulement si l’adhérence \(\bar T\) de \(T\) dans \(X\) est irréductible.

Exercice

Montrer que \(\Spec(A)\) est irréductible si et seulement si \(Nil(A)\) est un idéal premier et que, dans ce cas, c’est l’unique idéal premier minimal de \(A\).

Exercice

Montrer qu’une partie fermée \(T\subset \Spec(A)\) est irréductible si et seulement si elle est de la forme \(T = V({\mathfrak p})\) pour un idéal premier \({\mathfrak p}\subset A\).

Définition

Un point \(x\) d’un espace topologique irréductible \(X\) est appelé un point générique de \(X\) si \(X\) est égal à l’adhérence de la partie \(\{x\}\).

Exercice

Montrer que, dans un espace \(T_0\) \(X\), toute partie fermée irréductible admet au plus un point générique.

Exercice

Montrer que, dans \(\Spec(A)\), toute partie fermée irréductible admet bien un point générique. Montrer en fait que l’application \({\mathfrak p} \mapsto \overline{\{{\mathfrak p}\}}\) est une bijection de \(\Spec(A)\) sur l’ensemble des parties fermées irréductibles de \(X\).

Exercice

Donner un exemple montrant qu’une partie irréductible de \(\Spec(\mathbf{Z})\) ne possède pas nécessairement de point générique.

Définition

Un espace topologique \(X\) est dit noethérien si toute suite décroissante \(Z_1\supset Z_2 \supset Z_3\supset \ldots\) de parties fermées de \(X\) est stationnaire. (Il est dit artinien si toute suite croissante de parties fermées est stationnaire.)

Exercice

Montrer que, si l’anneau \(A\) est noethérien, alors l’espace topologique \(\Spec(A)\) est noethérien. Donner un exemple montrant que la réciproque est fausse. (Même question dans le cas artinien, si vous le souhaitez.)

Définition

Une partie irréductible maximale \(T\subset X\) est appelée une composante irréductible de l’espace \(X\). Une telle composante irréductible de \(X\) est automatiquement une partie fermée de \(X\).

Exercice

Montrer que toute partie irréductible de \(X\) est contenue dans une composante irréductible de \(X\).

Exercice

Montrer qu’un espace topologique noethérien \(X\) n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles, disons \(X_1, \ldots, X_n\), et que \(X = X_1\cup X_2\cup\ldots\cup X_n\). (Noter que tout \(X\) est toujours la réunion de ses composantes irréductibles, mais que, si \(X = {\mathbf R}\) est par exemple muni de sa topologie usuelle, les composantes irréductibles de \(X\) sont les parties réduites à un point. Ce n’est guère intéressant.)

Exercice

Montrer que les composantes irréductibles de \(\Spec(A)\) correspondent aux idéaux premiers minimaux de \(A\).

Définition

Un point \(x\in X\) est dit fermé si \(\overline{\{x\}} = \{ x\}\). Soient \(x, y\) des points de \(X\). On dit que \(x\) est une spécialisation de \(y\), ou que \(y\) est une générisation de \(x\), si \(x\in \overline{\{y\}}\).

Exercice

Montrer que les points fermés de \(\Spec(A)\) correspondent aux idéaux maximaux de \(A\).

Exercice

Montrer que \({\mathfrak p}\) est une générisation de \({\mathfrak q}\) dans \(\Spec(A)\) si et seulement si \({\mathfrak p}\subset {\mathfrak q}\). Caractériser les points fermés, les idéaux maximaux, les points génériques et les idéaux premiers minimaux en termes de générisation et de spécialisation. (On utilise ici la terminologie selon laquelle un point d’un espace topologique éventuellement réductible \(X\) est appelé point générique s’il est un point générique de l’une des composantes irréductibles de \(X\).)

Exercice

Soient \(I\) et \(J\) des idéaux de \(A\). À quelle condition \(V(I)\) et \(V(J)\) sont-ils disjoints ?

Définition

Un espace topologique \(X\) est dit connexe s’il est non vide et n’est pas la réunion de deux ouverts non vides et disjoints. Une composante connexe de \(X\) est une partie connexe maximale. Tout point de \(X\) est contenu dans une composante connexe de \(X\), et toute composante connexe de \(X\) est fermée dans \(X\). (Mais, en général, une composante connexe n’est pas nécessairement ouverte dans \(X\).)

Exercice

Soit \(A\) un anneau non nul. Montrer que \(\Spec(A)\) est non connexe si et seulement si \(A\cong B \times C\) pour certains anneaux non nuls \(B, C\).

Exercice

Soit \(T\) une composante connexe de \(\Spec(A)\). Montrer que \(T\) est stable par générisation. Montrer que \(T\) est une partie ouverte de \(\Spec(A)\) si \(A\) est noethérien. (Remarque : cette assertion est fausse lorsque \(A\) est, par exemple, un produit infini de copies de \({\mathbf F}_2\). Le spectre de cet anneau est constitué d’une infinité de points fermés.)

Exercice

Déterminer \(\Spec(k[x])\), c’est-à-dire décrire les idéaux premiers de cet anneau, décrire les spécialisations possibles et décrire la topologie. (Traiter le cas où \(k\) est algébriquement clos, mais aussi celui où \(k\) ne l’est pas.)

Exercice

Déterminer \(\Spec(k[x, y])\), où \(k\) est algébriquement clos. [Indication : utiliser le morphisme \(\varphi : \Spec(k[x, y]) \to \Spec(k[x])\) ; si \(\varphi({\mathfrak p}) = (0)\), alors localiser suivant \(S = \{f\in k[x] \mid f \not = 0\}\) et utiliser le résultat du cours sur la localisation et \(\Spec\).] (Pourquoi, à votre avis, les géomètres algébristes appellent-ils cet espace l’espace affine de dimension 2 ?)

Exercice

Déterminer \(\Spec(\mathbf{Z}[y])\). [Indication : procéder comme ci-dessus.] (Espace affine de dimension 1 sur \(\mathbf{Z}\).)

Localisation

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(S \subset A\) une partie multiplicative. Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(N \subset S^{-1}M\) un \(S^{-1}A\)-sous-module. Montrer qu’il existe un \(A\)-sous-module \(N' \subset M\) tel que \(N = S^{-1}N'\). (Ce résultat utile s’applique en particulier aux idéaux de \(S^{-1}A\).)

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(m \in M\).

1. Montrer que \(I = \{a \in A \mid am = 0\}\) est un idéal de \(A\).

2. Pour un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\), montrer que l’image de \(m\) dans \(M_\mathfrak p\) est nulle si et seulement si \(I \not \subset \mathfrak p\).

3. Montrer que \(m\) est nul si et seulement si l’image de \(m\) est nulle dans \(M_\mathfrak p\) pour tout idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\).

4. Montrer que \(m\) est nul si et seulement si l’image de \(m\) est nulle dans \(M_\mathfrak m\) pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(A\).

5. Montrer que \(M = 0\) si et seulement si \(M_{\mathfrak m}\) est nul pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\).

Exercice

Trouver un couple \((A, f)\) où \(A\) est un anneau intègre possédant au moins trois idéaux premiers deux à deux distincts et où \(f \in A\) est tel que le localisé principal \(A_f = \{1, f, f^2, \ldots \}^{-1}A\) soit un corps.

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(M\) un \(A\)-module de type fini. Soit \(S \subset A\) une partie multiplicative. Supposons que \(S^{-1}M = 0\). Montrer qu’il existe \(f \in S\) tel que le localisé principal \(M_f = \{1, f, f^2, \ldots \}^{-1}M\) soit nul.

Exercice

Donner un exemple de triplet \((A, I, S)\) où \(A\) est un anneau, \(0 \not = I \not = A\) est un idéal propre non nul et \(S \subset A\) est une partie multiplicative telle que \(A/I \cong S^{-1}A\) comme \(A\)-algèbres.

Lemme de Nakayama

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I\) un idéal de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module. Soient \(x_1, \ldots, x_n \in M\). Supposons satisfaites les conditions suivantes :

1. \(M/IM\) est engendré par \(x_1, \ldots, x_n\),

2. \(M\) est un \(A\)-module de type fini,

3. \(I\) est contenu dans tout idéal maximal de \(A\).

Montrer que \(x_1, \ldots, x_n\) engendrent \(M\). (Solution suggérée : se ramener, par localisation, au cas d’un idéal maximal de \(A\) à l’aide de l’exercice 0768 et de l’exactitude de la localisation. Se ramener ensuite à l’énoncé du lemme de Nakayama donné dans le cours en considérant le quotient de \(M\) par le sous-module engendré par \(x_1, \ldots, x_n\).)

Longueur

Définition

Soient \(A\) un anneau et \(M\) un \(A\)-module. La longueur de \(M\) comme \(R\)-module est \[\text{longueur}_A(M) = \sup \{ n \mid \exists\ 0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M, \text{ }M_i \not = M_{i + 1} \}.\] Autrement dit, c’est la borne supérieure des longueurs des chaînes de sous-modules.

Exercice

Montrer qu’un module \(M\) sur un anneau \(A\) est de longueur \(1\) si et seulement s’il est isomorphe à \(A/\mathfrak m\) pour un idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(A\).

Exercice

Calculer la longueur des modules suivants sur les anneaux indiqués. Expliquer brièvement (!) chaque réponse. (On pourra utiliser librement l’additivité de la fonction longueur dans les suites exactes courtes ; voir Algèbre, lemme 00IV.)

1. La longueur de \(\mathbf{Z}/120\mathbf{Z}\) sur \(\mathbf{Z}\).

2. La longueur de \(\mathbf{C}[x]/(x^{100} + x + 1)\) sur \(\mathbf{C}[x]\).

3. La longueur de \(\mathbf{R}[x]/(x^4 + 2x^2 + 1)\) sur \(\mathbf{R}[x]\).

Exercice

Soit \(A = k[x, y]_{(x, y)}\) l’anneau local du plan affine en l’origine. On pourra imposer au corps \(k\) toute hypothèse que l’on souhaite. Supposons que \(f = x^3 + x^2y^2 + y^{100}\) et \(g = y^3 - x^{999}\). Quelle est la longueur de \(A/(f, g)\) comme \(A\)-module ? (Une démarche possible consiste à considérer l’idéal engendré par \(f\) et \(g\) dans les quotients de la forme \(A/{\mathfrak m}_A^n= k[x, y]/(x, y)^n\), où \(n\) varie. Essayer de trouver \(n\) tel que \(A/(f, g)+{\mathfrak m}_A^n \cong A/(f, g)+{\mathfrak m}_A^{n + 1}\) et utiliser NAK.)

Idéaux premiers associés

Les idéaux premiers associés sont étudiés dans Algèbre, section 00L9.

Exercice

Calculer l’ensemble des idéaux premiers associés à chacun des modules suivants.

1. \(R = k[x, y]\) et \(M = R/(xy(x + y))\),

2. \(R = \mathbf{Z}[x]\) et \(M = R/(300x + 75)\), et

3. \(R = k[x, y, z]\) et \(M = R/(x^3, x^2y, xz)\).

Comme d’habitude, \(k\) désigne un corps.

Exercice

Donner un exemple d’anneau noethérien \(R\) et d’idéal premier \(\mathfrak p\) tel que \(\mathfrak p\) ne soit pas le seul idéal premier associé à \(R/\mathfrak p^2\).

Exercice

Soit \(R\) un anneau noethérien possédant deux idéaux premiers incomparables \(\mathfrak p\), \(\mathfrak q\), c’est-à-dire \(\mathfrak p \not \subset \mathfrak q\) et \(\mathfrak q \not \subset \mathfrak p\).

1. Montrer que, pour \(N = R/(\mathfrak p \cap \mathfrak q)\), on a \(\text{Ass}(N) = \{\mathfrak p, \mathfrak q\}\).

2. Montrer par un exemple que le module \(M = R/\mathfrak p \mathfrak q\) peut avoir un idéal premier associé distinct de \(\mathfrak p\) et de \(\mathfrak q\).

Groupes d’Ext

Les groupes d’Ext sont définis dans Algèbre, section 00LO.

Exercice

Calculer tous les groupes d’Ext \(\Ext^i(M, N)\) des modules donnés dans la catégorie des \(\mathbf{Z}\)-modules (appelée aussi catégorie des groupes abéliens).

1. \(M = \mathbf{Z}\) et \(N = \mathbf{Z}\),

2. \(M = \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\) et \(N = \mathbf{Z}/8\mathbf{Z}\),

3. \(M = \mathbf{Q}\) et \(N = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\), et

4. \(M = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) et \(N = \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\).

Exercice

Soit \(R = k[x, y]\), où \(k\) est un corps.

1. Montrer directement que le complexe de Koszul \[0 \to R \xrightarrow{ \left( \begin{matrix} y \\ -x \end{matrix} \right) } R^{\oplus 2} \xrightarrow{(x, y)} R \xrightarrow{f \mapsto f(0, 0)} k \to 0\] est exact.

2. Calculer \(\Ext^i_R(k, k)\), où \(k = R/(x, y)\) est considéré comme un \(R\)-module.

Exercice

Donner un exemple d’anneau noethérien \(R\) et de modules de type fini \(M\), \(N\) tels que \(\Ext^i_R(M, N)\) soit non nul pour tout \(i \geq 0\).

Exercice

Donner un exemple d’anneau \(R\) et d’idéal \(I\) tels que \(\Ext^1_R(R/I, R/I)\) ne soit pas un \(R\)-module de type fini. (On sait que cela ne peut pas se produire si \(R\) est noethérien, d’après Algèbre, lemme 08YR.)

Profondeur

La profondeur est définie dans Algèbre, section 00LE, et étudiée plus avant dans Complexes dualisants, section 0AVY.

Exercice

Soient \(R\) un anneau, \(I \subset R\) un idéal et \(M\) un \(R\)-module. Calculer \(\text{prof}_I(M)\) dans les cas suivants.

1. \(R = \mathbf{Z}\), \(I = (30)\), \(M = \mathbf{Z}\),

2. \(R = \mathbf{Z}\), \(I = (30)\), \(M = \mathbf{Z}/(300)\),

3. \(R = \mathbf{Z}\), \(I = (30)\), \(M = \mathbf{Z}/(7)\),

4. \(R = k[x, y, z]/(x^2 + y^2 + z^2)\), \(I = (x, y, z)\), \(M = R\),

5. \(R = k[x, y, z, w]/(xz, xw, yz, yw)\), \(I = (x, y, z, w)\), \(M = R\).

Ici, \(k\) est un corps. Dans les deux derniers cas, on pourra localiser en l’idéal maximal \(I\).

Exercice

Donner un exemple d’anneau local noethérien \((R, \mathfrak m, \kappa)\) de profondeur \(\geq 1\) et d’idéal premier \(\mathfrak p\) tels que

1. \(\text{prof}_\mathfrak m(R) \geq 1\),

2. \(\text{prof}_\mathfrak p(R_\mathfrak p) = 0\), et

3. \(\dim(R_\mathfrak p) \geq 1\).

Si l’on ne demande pas (3), l’exercice est trop facile. Pourquoi ?

Exercice

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien intègre. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini.

1. Si \(M\) est sans torsion, montrer que \(M\) est de profondeur au moins \(1\) sur \(R\).

2. Donner un exemple où la profondeur vaut \(1\).

Exercice

Pour tous \(m \geq n \geq 0\), donner un exemple d’anneau local noethérien \(R\) tel que \(\dim(R) = m\) et \(\text{prof}(R) = n\).

Exercice

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini. Montrer qu’il existe une suite exacte courte canonique \[0 \to K \to M \to Q \to 0\] ayant les propriétés suivantes :

1. \(\text{prof}(Q) \geq 1\),

2. \(K\) est nul ou \(\text{Supp}(K) = \{\mathfrak m\}\), et

3. \(\text{longueur}_R(K) < \infty\).

Indication : en utilisant la propriété noethérienne, montrer qu’il existe un sous-module \(K\) maximal parmi ceux qui vérifient (2), puis que \(Q = M/K\) vérifie (1) et que \(K\) vérifie (3).

Exercice

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(M\) un \(R\)-module de type fini et de profondeur \(\geq 2\). Soit \(N \subset M\) un sous-module non nul.

1. Montrer que \(\text{prof}(N) \geq 1\).

2. Montrer que \(\text{prof}(N) = 1\) si et seulement si le module quotient \(M/N\) vérifie \(\text{prof}(M/N) = 0\).

3. Montrer qu’il existe un sous-module \(N' \subset M\) tel que \(N \subset N'\) et que le quotient soit de longueur finie, c’est-à-dire que \(\text{longueur}_R(N'/N) < \infty\), et tel que \(N'\) soit de profondeur \(\geq 2\). Indication : appliquer l’exercice 0CSZ à \(M/N\) et prendre pour \(N'\) l’image inverse de \(K\).

Exercice

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Supposons \(R\) réduit, c’est-à-dire que \(R\) ne possède aucun élément nilpotent non nul. Supposons en outre que \(R\) possède deux idéaux premiers minimaux distincts \(\mathfrak p\) et \(\mathfrak q\).

1. Montrer que la suite de \(R\)-modules \[0 \to R \to R/\mathfrak p \oplus R/\mathfrak q \to R/\mathfrak p + \mathfrak q \to 0\] est exacte (le vérifier en chaque terme). Les applications sont \(x \mapsto (x \bmod \mathfrak p, x \bmod \mathfrak q)\) et \((y \bmod \mathfrak p, z \bmod \mathfrak q) \mapsto (y - z \bmod \mathfrak p + \mathfrak q)\).

2. Montrer que si \(\text{prof}(R) \geq 2\), alors \(\dim(R/\mathfrak p + \mathfrak q) \geq 1\).

3. Montrer que si \(\text{prof}(R) \geq 2\), alors \(U = \Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\) est un espace topologique connexe.

Cela démontre un cas très particulier du théorème de connexité de Hartshorne, selon lequel le spectre épointé \(U\) d’un anneau local noethérien de \(\text{prof} \geq 2\) est connexe.

Exercice

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Supposons que \(x, y \in \mathfrak m\) forment une suite régulière de longueur \(2\). Pour tout \(n \geq 2\), montrer qu’il n’existe pas de \(a, b \in R\) tels que \[x^{n - 1}y^{n - 1} = a x^n + b y^n\] Indication : commencer par traiter le cas \(n = 2\) afin de voir comment procéder. Remarque : ce résultat admet une vaste généralisation appelée la conjecture des monômes.

Modules et anneaux de Cohen-Macaulay

Les modules de Cohen-Macaulay sont étudiés dans Algèbre, section 00N2, et les anneaux de Cohen-Macaulay sont étudiés dans Algèbre, section 00N7.

Exercice

Dans chacun des cas suivants, répondre par oui ou par non. Aucune explication ni démonstration n’est nécessaire.

1. Soit \(p\) un nombre premier. L’anneau local \(\mathbf{Z}_{(p)}\) est-il un anneau local de Cohen-Macaulay ?

2. Soit \(p\) un nombre premier. L’anneau local \(\mathbf{Z}_{(p)}\) est-il un anneau local régulier ?

3. Soit \(k\) un corps. L’anneau local \(k[x]_{(x)}\) est-il un anneau local de Cohen-Macaulay ?

4. Soit \(k\) un corps. L’anneau local \(k[x]_{(x)}\) est-il un anneau local régulier ?

5. Soit \(k\) un corps. L’anneau local \((k[x, y]/(y^2 - x^3))_{(x, y)} = k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3)\) est-il un anneau local de Cohen-Macaulay ?

6. Soit \(k\) un corps. L’anneau local \((k[x, y]/(y^2, xy))_{(x, y)} = k[x, y]_{(x, y)}/(y^2, xy)\) est-il un anneau local de Cohen-Macaulay ?

Singularités

Exercice

Soit \(k\) un corps quelconque. Supposons que \(A = k[[x, y]]/(f)\) et \(B = k[[u, v]]/(g)\), où \(f = xy\) et \(g = uv + \delta\) avec \(\delta \in (u, v)^3\). Montrer que \(A\) et \(B\) sont des anneaux isomorphes.

Remarque

Une singularité d’une courbe sur un corps \(k\) est appelée point double ordinaire si l’anneau local complété de la courbe au point est de la forme \(k'[[x, y]]/(f)\), où (a) \(k'\) est une extension finie séparable de \(k\), (b) le terme initial de \(f\) est de degré deux, c’est-à-dire qu’il est de la forme \(q = ax^2 + bxy + cy^2\) pour des \(a, b, c\in k'\) non tous nuls, et (c) \(q\) est une forme quadratique non dégénérée sur \(k'\) (en caractéristique 2, cela signifie que \(b\) est non nul). En général, il y a une classe d’isomorphisme de tels anneaux pour chaque classe d’isomorphisme de couples \((k', q)\).

Exercice

Soit \(R\) un anneau. Soit \(n \geq 1\). Soient \(A\), \(B\) des matrices \(n \times n\) à coefficients dans \(R\) telles que \(AB = f 1_{n \times n}\) pour un non-diviseur de zéro \(f\) de \(R\). Posons \(S = R/(f)\). Montrer que \[\ldots \to S^{\oplus n} \xrightarrow{B} S^{\oplus n} \xrightarrow{A} S^{\oplus n} \xrightarrow{B} S^{\oplus n} \to \ldots\] est exacte.

Ensembles constructibles

Soit \(k\) un corps algébriquement clos, par exemple le corps \(\mathbf{C}\) des nombres complexes. Soit \(n \geq 0\). Un polynôme \(f \in k[x_1, \ldots, x_n]\) définit par évaluation une fonction \(f : k^n \to k\). Un sous-ensemble \(Z \subset k^n\) est appelé un ensemble algébrique s’il est l’ensemble des zéros communs d’une famille de polynômes.

Exercice

Démontrer qu’un ensemble algébrique peut toujours s’écrire comme l’ensemble des zéros d’un nombre fini de polynômes.

Avec les notations ci-dessus, un sous-ensemble \(E \subset k^n\) est dit constructible s’il est une réunion finie d’ensembles de la forme \(Z \cap \{f \not = 0\}\), où \(f\) est un polynôme.

Exercice

Montrer les assertions suivantes :

1. le complémentaire d’un ensemble constructible est constructible,

2. une réunion finie d’ensembles constructibles est constructible,

3. une intersection finie d’ensembles constructibles est constructible, et

4. tout ensemble constructible \(E\) peut s’écrire comme une réunion disjointe finie \(E = \coprod E_i\), chaque \(E_i\) étant de la forme \(Z \cap \{f \not = 0\}\), où \(Z\) est un ensemble algébrique et \(f\) un polynôme.

Exercice

Soit \(R\) un anneau. Soit \(f = a_d x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0 \in R[x]\). (Comme d’habitude, cette notation signifie que \(a_0, \ldots, a_d \in R\).) Soit \(g \in R[x]\). Démontrer qu’il existe \(N \geq 0\) et \(r, q \in R[x]\) tels que \[a_d^N g = q f + r\] avec \(\deg(r) < d\), c’est-à-dire que, pour certains \(c_i \in R\), on a \(r = c_0 + c_1 x + \ldots + c_{d - 1}x^{d - 1}\).

Nullstellensatz de Hilbert

Exercice

Un argument saugrenu utilisant les nombres complexes ! Soit \({\mathbf C}\) le corps des nombres complexes. Soit \(V\) un espace vectoriel sur \({\mathbf C}\). Le spectre d’un opérateur linéaire \(T : V \to V\) est l’ensemble des nombres complexes \(\lambda \in {\mathbf C}\) tels que l’opérateur \(T - \lambda \text{id}_V\) ne soit pas inversible.

1. Montrer que \(\mathbf{C}(X)\) est de dimension non dénombrable sur \({\mathbf C}\).

2. Montrer que tout opérateur linéaire sur \(V\) possède un spectre non vide si la dimension de \(V\) est finie ou dénombrable.

3. Montrer que si une \({\mathbf C}\)-algèbre de type fini \(R\) est un corps, alors l’application \({\mathbf C}\to R\) est un isomorphisme.

4. Montrer que tout idéal maximal \({\mathfrak m}\) de \({\mathbf C}[x_1, \ldots, x_n]\) est de la forme \((x_1-\alpha_1, \ldots, x_n-\alpha_n)\) pour certains \(\alpha_i \in {\mathbf C}\).

Remarque

Soit \(k\) un corps. Alors, pour tout entier \(n\in {\mathbf N}\) et tout idéal maximal \({\mathfrak m} \subset k[x_1, \ldots, x_n]\), le quotient \(k[x_1, \ldots, x_n]/{\mathfrak m}\) est une extension finie de \(k\). Ce résultat sera démontré plus loin dans le cours. Bien entendu (le vérifier), il entraîne un énoncé analogue pour les idéaux maximaux des \(k\)-algèbres de type fini. L’exercice précédent le démontre dans le cas \(k = {\mathbf C}\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Utiliser la remarque 027M.

1. Soit \(R\) une \(k\)-algèbre. Supposons que \(\dim_k R < \infty\) et que \(R\) soit intègre. Montrer que \(R\) est un corps.

2. Supposons que \(R\) soit une \(k\)-algèbre de type fini et que \(f\in R\) ne soit pas nilpotent. Montrer qu’il existe un idéal maximal \({\mathfrak m} \subset R\) tel que \(f\not\in {\mathfrak m}\).

3. Montrer par un exemple que cette assertion est fausse lorsque \(R\) n’est pas de type fini sur un corps.

4. Montrer que tout idéal radical \(I \subset {\mathbf C}[x_1, \ldots, x_n]\) est l’intersection des idéaux maximaux qui le contiennent.

Remarque

C’est le Nullstellensatz de Hilbert. Il affirme en effet que les parties fermées de \(\Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\) (qui correspondent aux idéaux radicaux d’après un exercice précédent) sont déterminées par les points fermés qu’elles contiennent.

Exercice

Soit \(A = {\mathbf C}[x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}, y_{11}, y_{12}, y_{21}, y_{22}]\). Soit \(I\) l’idéal de \(A\) engendré par les coefficients de la matrice \(XY\), où \[X = \left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} \right) \quad\text{et}\quad Y = \left( \begin{matrix} y_{11} & y_{12}\\ y_{21} & y_{22} \end{matrix} \right).\] Déterminer les composantes irréductibles du sous-ensemble fermé \(V(I)\) de \(\Spec(A)\). (Il s’agit de les décrire et de donner des équations pour chacune. Il n’est pas nécessaire de démontrer que les équations écrites définissent des idéaux premiers.) Indications :

1. On peut utiliser le Nullstellensatz de Hilbert, et il suffit de déterminer des sous-ensembles localement fermés irréductibles qui recouvrent l’ensemble des points fermés de \(V(I)\).

2. Il y a deux composantes faciles à trouver.

3. L’image d’un ensemble irréductible par une application continue est irréductible.

Dimension

Exercice

Construire un anneau \(A\) de dimension \(> 1\) qui n’a qu’un nombre fini d’idéaux premiers.

Exercice

Soit \(f \in \mathbf{C}[x, y]\) un polynôme non constant. Montrer que \(\mathbf{C}[x, y]/(f)\) est de dimension \(1\).

Exercice

Soit \((R, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(n \geq 1\). Soit \(\mathfrak m' = (\mathfrak m, x_1, \ldots, x_n)\) dans l’anneau de polynômes \(R[x_1, \ldots, x_n]\). Montrer que \[\dim(R[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak m'}) = \dim(R) + n.\]

Anneaux caténaires

Définition

On dit qu’un anneau noethérien \(A\) est caténaire si, pour tout triplet d’idéaux premiers \({\mathfrak p}_1 \subset {\mathfrak p}_2 \subset {\mathfrak p}_3\), on a \[ht({\mathfrak p}_3 / {\mathfrak p}_1) = ht({\mathfrak p}_3/{\mathfrak p}_2) + ht({\mathfrak p}_2/{\mathfrak p}_1).\] Ici, \(ht(\mathfrak p/\mathfrak q)\) désigne la hauteur de \(\mathfrak p/\mathfrak q\) dans l’anneau \(A/\mathfrak q\). Autrement dit, \[ht(\mathfrak p/\mathfrak q) = \dim(A_\mathfrak p/\mathfrak qA_\mathfrak p) = \dim((A/\mathfrak q)_\mathfrak p) = \dim((A/\mathfrak q)_{\mathfrak p/\mathfrak q})\] Un espace topologique \(X\) est caténaire si, étant donnés \(T \subset T' \subset X\) avec \(T\) et \(T'\) fermés et irréductibles, il existe une chaîne maximale de parties fermées irréductibles \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_n = T'\] et toutes ces chaînes ont la même longueur (finie).

Exercice

Montrer que la notion d’anneau caténaire définie dans Algèbre, définition 00NI coïncide avec celle de la définition 027O pour les anneaux noethériens.

Exercice

Montrer qu’un anneau local noethérien intègre de dimension \(2\) est caténaire.

Exercice

Soit \(k\) un corps. Montrer qu’une \(k\)-algèbre de type fini est caténaire.

Exercice

Donner un exemple d’espace topologique fini, sobre et caténaire \(X\) qui n’admette aucune fonction de dimension \(\delta : X \to \mathbf{Z}\). Ici, \(\delta : X \to \mathbf{Z}\) est une fonction de dimension si, pour \(x, y \in X\), on a

1. \(x \leadsto y\) et \(x \not = y\) implique \(\delta(x) > \delta(y)\),

2. \(x \leadsto y\) et \(\delta(x) \geq \delta(y) + 2\) implique qu’il existe \(z \in X\) tel que \(x \leadsto z \leadsto y\) et \(\delta(x) > \delta(z) > \delta(y)\).

Décrire clairement cet espace et expliquer brièvement pourquoi il ne peut admettre de fonction de dimension.

Corps des fractions

Exercice

Considérer l’anneau intègre \[{\mathbf Q}[r, s, t]/(s^2-(r-1)(r-2)(r-3), t^2-(r + 1)(r + 2)(r + 3)).\] Trouver un anneau intègre de la forme \({\mathbf Q}[x, y]/(f)\) dont le corps des fractions soit isomorphe à celui de l’anneau ci-dessus.

Degré de transcendance

Exercice

Soient \(K'/K/k\) des extensions de corps telles que \(K'\) soit algébrique sur \(K\). Montrer que \(\text{deg.tr.}_k(K) = \text{deg.tr.}_k(K')\). (Indication : montrer que si \(x_1, \ldots, x_d \in K\) sont algébriquement indépendants sur \(k\) et si \(d < \text{deg.tr.}_k(K')\), alors l’extension \(k(x_1, \ldots, x_d) \subset K\) ne peut être algébrique.)

Exercice

Soient \(k\) un corps et \(K/k\) une extension de type fini de degré de transcendance \(d\). Si \(V, W \subset K\) sont des sous-espaces vectoriels sur \(k\) de dimension finie, posons \[VW = \{f \in K \mid f = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} v_i w_i \text{ pour un certain }n\text{ et }v_i \in V, w_i \in W\}\] C’est un sous-espace vectoriel sur \(k\) de dimension finie. Posons \(V^2 = VV\), \(V^3 = V V^2\), etc.

1. Montrer qu’on peut trouver \(V \subset K\) et \(\epsilon > 0\) tels que \(\dim V^n \geq \epsilon n^d\) pour tout \(n \geq 1\).

2. Réciproquement, montrer que, pour tout sous-espace \(V \subset K\) de dimension finie, il existe \(C > 0\) tel que \(\dim V^n \leq C n^d\) pour tout \(n \geq 1\). (Une démarche possible consiste à procéder comme suit : établir d’abord le résultat pour les sous-espaces vectoriels de \(k[x_1, \ldots, x_d]\), puis pour ceux de \(k(x_1, \ldots, x_d)\). Enfin, si \(K/k(x_1, \ldots, x_d)\) est une extension finie, choisir une base de \(K\) sur \(k(x_1, \ldots, x_d)\) et raisonner en développant les éléments sur cette base.)

3. En déduire que l’on peut redéfinir le degré de transcendance en fonction de la croissance des puissances des sous-espaces vectoriels de dimension finie de \(K\).

Cela est lié à la dimension de Gelfand–Kirillov des algèbres (non commutatives) sur \(k\).

Dimension des fibres

Quelques questions liées à la formule de dimension ; voir Algèbre, section 02II.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos quelconque. Dans la suite, \(k[x]\) et \(k[x, y]\) désignent les anneaux de polynômes.

1. Pour tout entier \(n \geq 0\), trouver une extension de type fini \(k[x] \subset A\) d’anneaux intègres telle que le spectre de \(A/xA\) ait exactement \(n\) composantes irréductibles.

2. Construire un exemple d’extension de type fini \(k[x] \subset A\) d’anneaux intègres telle que le spectre de \(A/(x - \alpha)A\) soit non vide et réductible pour tout \(\alpha \in k\).

3. Construire un exemple d’extension de type fini \(k[x, y] \subset A\) d’anneaux intègres telle que le spectre de \(A/(x - \alpha, y - \beta)A\) soit irréductible¹ pour tout \((\alpha, \beta) \in k^2 \setminus \{(0, 0)\}\) et que le spectre de \(A/(x, y)A\) soit non vide et réductible.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos quelconque. Soit \(n \geq 1\). Soit \(k[x_1, \ldots, x_n]\) l’anneau de polynômes. Posons \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_n)\). Soit \(k[x_1, \ldots, x_n] \subset A\) une extension de type fini d’anneaux intègres. Posons \(d = \dim(A)\).

1. Montrer que \(d - 1 \geq \dim(A/\mathfrak m A) \geq d - n\) si \(A/\mathfrak mA \not = 0\).

2. Montrer par des exemples que toutes les valeurs peuvent se produire.

3. Montrer par un exemple que \(\Spec(A/\mathfrak m A)\) peut avoir des composantes irréductibles de dimensions différentes.

Modules localement libres de type fini

Définition

Soit \(A\) un anneau. Rappelons qu’un \(A\)-module \(M\) est localement libre de type fini si, pour tout \({\mathfrak p} \in \Spec(A)\), il existe un \(f\in A\), \(f \not \in {\mathfrak p}\), tel que \(M_f\) soit un \(A_f\)-module libre de type fini. On dit que \(M\) est un module inversible si \(M\) est localement libre de type fini et de rang \(1\), c’est-à-dire si, pour tout \({\mathfrak p} \in \Spec(A)\), il existe un \(f\in A\), \(f \not \in \mathfrak p\), tel que \(M_f \cong A_f\) comme \(A_f\)-module.

Exercice

Montrer que le produit tensoriel de modules localement libres de type fini est localement libre de type fini. Montrer que le produit tensoriel de deux modules inversibles est inversible.

Définition

Soit \(A\) un anneau. Le groupe des classes de \(A\), parfois appelé groupe de Picard de \(A\), est l’ensemble \(\Pic(A)\) des classes d’isomorphie de \(A\)-modules inversibles, muni de la loi de groupe définie par le produit tensoriel (voir l’exercice 078P).

Notons que le groupe des classes de \(A\) est trivial si et seulement si tout module inversible est isomorphe à un module libre de rang 1.

Exercice

Montrer que les groupes des classes des anneaux suivants sont triviaux :

1. un anneau de polynômes \(A = k[x]\), où \(k\) est un corps,

2. l’anneau des entiers \(A = \mathbf{Z}\),

3. un anneau de polynômes \(A = k[x, y]\), où \(k\) est un corps, et

4. l’anneau quotient \(k[x, y]/(xy)\), où \(k\) est un corps.

Exercice

Montrer que le groupe des classes de l’anneau \(A = k[x, y]/(y^2 - f(x))\), où \(k\) est un corps de caractéristique différente de \(2\) et où \(f(x) = (x - t_1) \ldots (x - t_n)\) avec \(t_1, \ldots, t_n \in k\) distincts et \(n \geq 3\) impair, n’est pas trivial. (Indication : montrer que l’idéal \((y, x - t_1)\) définit un élément non trivial de \(\Pic(A)\).)

Exercice

Soit \(A\) un anneau.

1. Supposons que \(M\) soit un \(A\)-module localement libre de type fini et que \(\varphi : M \to M\) soit un endomorphisme. Définir/construire la trace et le déterminant de \(\varphi\), et montrer que cette construction est « fonctorielle par rapport au triplet \((A, M, \varphi)\) ».

2. Montrer que, si \(M, N\) sont des \(A\)-modules localement libres de type fini, et si \(\varphi : M \to N\) et \(\psi : N \to M\), alors \(\text{Trace}(\varphi \circ \psi) = \text{Trace}(\psi \circ \varphi)\) et \(\det(\varphi \circ \psi) = \det(\psi \circ \varphi)\).

3. Lorsque \(M\) est localement libre de type fini, montrer que \(\text{Trace}\) définit une application \(A\)-linéaire \(\text{End}_A(M) \to A\) et que \(\det\) définit une application multiplicative \(\text{End}_A(M) \to A\).

Exercice

Supposons maintenant que \(B\) soit une \(A\)-algèbre localement libre de type fini comme \(A\)-module ; autrement dit, \(B\) est une \(A\)-algèbre localement libre de type fini.

1. Définir \(\text{Trace}_{B/A}\) et \(\text{Norme}_{B/A}\) au moyen de \(\text{Trace}\) et de \(\det\) dans l’exercice 02DU.

2. Soit \(b\in B\) et soit \(\pi : \Spec(B) \to \Spec(A)\) le morphisme induit. Montrer que \(\pi(V(b)) = V(\text{Norme}_{B/A}(b))\). (Rappelons que \(V(f) = \{ {\mathfrak p} \mid f \in {\mathfrak p}\}\).)

3. (Changement de base.) Supposons que \(i : A \to A'\) soit un homomorphisme d’anneaux. Posons \(B' = B \otimes_A A'\). Indiquer pourquoi \(i(\text{Norme}_{B/A}(b))\) est égal à \(\text{Norme}_{B'/A'}(b \otimes 1)\).

4. Calculer \(\text{Norme}_{B/A}(b)\) lorsque \(B = A \times A \times A \times \ldots \times A\) et \(b = (a_1, \ldots, a_n)\).

5. Calculer la norme de \(y-y^3\) pour l’homomorphisme fini et plat \({\mathbf Q}[x] \to {\mathbf Q}[y]\), \(x \to y^n\). (Indication : utiliser le « changement de base » \(A = {\mathbf Q}[x] \subset A' = {\mathbf Q}(\zeta_n)(x^{1/n})\).)

Recollement

Exercice

Supposons que \(A\) soit un anneau et que \(M\) soit un \(A\)-module. Soit donnée une famille d’éléments \(f_i\), \(i \in I\), de \(A\) telle que \[\Spec(A) = \bigcup D(f_i).\]

1. Montrer que, si \(M_{f_i}\) est un \(A_{f_i}\)-module de type fini, alors \(M\) est un \(A\)-module de type fini.

2. Montrer que, si \(M_{f_i}\) est un \(A_{f_i}\)-module plat, alors \(M\) est un \(A\)-module plat. (C’est presque tautologique lorsqu’on y réfléchit.)

Remarque

Dans le langage de la géométrie algébrique, cela signifie que la propriété d’« être de type fini » ou d’« être plat » est locale pour la topologie de Zariski (en un sens approprié). On peut aussi le montrer pour la propriété d’« être de présentation finie ».

Exercice

Supposons que \(A \to B\) soit un homomorphisme d’anneaux. Soient \(f_i \in A\), \(i \in I\), et \(g_j \in B\), \(j \in J\), deux familles d’éléments telles que \[\Spec(A) = \bigcup D(f_i) \quad\text{et}\quad \Spec(B) = \bigcup D(g_j).\] Montrer que, si \(A_{f_i} \to B_{f_ig_j}\) est de type fini pour tous \(i, j\), alors \(A \to B\) est de type fini.

Montée et descente

Définition

Soit \(\phi : A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. On dit que le théorème de montée est valable pour \(\phi\) si la condition suivante est satisfaite :

• pour tous \({\mathfrak p}, {\mathfrak p}' \in \Spec(A)\) tels que \({\mathfrak p} \subset {\mathfrak p}'\), et pour tout \(P \in \Spec(B)\) situé au-dessus de \({\mathfrak p}\), il existe \(P'\in \Spec(B)\) situé au-dessus de \({\mathfrak p}'\) tel que \(P \subset P'\).

De même, on dit que le théorème de descente est valable pour \(\phi\) si la condition suivante est satisfaite :

• pour tous \({\mathfrak p}, {\mathfrak p}' \in \Spec(A)\) tels que \({\mathfrak p} \subset {\mathfrak p}'\), et pour tout \(P' \in \Spec(B)\) situé au-dessus de \({\mathfrak p}'\), il existe \(P\in \Spec(B)\) situé au-dessus de \({\mathfrak p}\) tel que \(P \subset P'\).

Exercice

Dans chacun des cas suivants, déterminer lesquelles des conditions (GU) et (GD) sont satisfaites, et expliquer pourquoi. (Utiliser toute proposition, tout théorème ou tout lemme disponible, mais vérifier les hypothèses dans chaque cas.)

1. \(k\) est un corps, \(A = k\), \(B = k[x]\).

2. \(k\) est un corps, \(A = k[x]\), \(B = k[x, y]\).

3. \(A = {\mathbf Z}\), \(B = {\mathbf Z}[1/11]\).

4. \(k\) est un corps algébriquement clos, \(A = k[x, y]\), \(B = k[x, y, z]/(x^2-y, z^2-x)\).

5. \(A = {\mathbf Z}\), \(B = {\mathbf Z}[i, 1/(2 + i)]\).

6. \(A = {\mathbf Z}\), \(B = {\mathbf Z}[i, 1/(14 + 7i)]\).

7. \(k\) est un corps algébriquement clos, \(A = k[x]\), \(B = k[x, y, 1/(xy-1)]/(y^2-y)\).

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(B = A[x]\) l’algèbre polynomiale à une indéterminée sur \(A\). Soit \(f = a_0 + a_1 x + \ldots + a_r x^r \in B = A[x]\). Démontrer soigneusement que l’image de \(D(f)\) dans \(\Spec(A)\) est égale à \(D(a_0) \cup \ldots \cup D(a_r)\).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Calculer l’image dans \(\Spec(k[x, y])\) des morphismes suivants :

1. \(\Spec(k[x, yx^{-1}]) \to \Spec(k[x, y])\), où \(k[x, y] \subset k[x, yx^{-1}] \subset k[x, y, x^{-1}]\). (Indication : pour éviter toute confusion, donner un autre nom à l’élément \(yx^{-1}\).)

2. \(\Spec(k[x, y, a, b]/(ax-by-1))\to \Spec(k[x, y])\).

3. \(\Spec(k[t, 1/(t-1)]) \to \Spec(k[x, y])\), induit par \(x \mapsto t^2\), et \(y \mapsto t^3\).

4. \(k = {\mathbf C}\) (corps des nombres complexes), \(\Spec(k[s, t]/(s^3 + t^3-1)) \to \Spec(k[x, y])\), où \(x\mapsto s^2\), \(y \mapsto t^2\).

Remarque

La détermination de l’image comme ci-dessus se fait habituellement au moyen de la théorie de l’élimination.

Idéaux de Fitting

Exercice

Soient \(R\) un anneau et \(M\) un \(R\)-module de type fini. Choisir une présentation \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0.\] de \(M\). Noter que l’homomorphisme \(R^{\oplus n} \to M\) est défini par une famille d’éléments \(x_1, \ldots, x_n\) de \(M\). Les éléments \(x_i\) sont des générateurs de \(M\). L’homomorphisme \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus n}\) est défini par une matrice \(n \times J\) notée \(A\), à coefficients dans \(R\). Autrement dit, \(A = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J}\). Les colonnes \((a_{1j}, \ldots, a_{nj})\), \(j \in J\), de \(A\) sont appelées les relations. Tout vecteur \((r_i) \in R^{\oplus n}\) tel que \(\sum r_i x_i = 0\) est une combinaison linéaire des colonnes de \(A\). Bien entendu, tout \(R\)-module de type fini possède de nombreuses présentations différentes.

1. Montrer que l’idéal engendré par les mineurs \((n - k) \times (n - k)\) de \(A\) est indépendant du choix de la présentation. Cet idéal est l’idéal de Fitting d’indice \(k\) de \(M\). On le note \(Fit_k(M)\).

2. Montrer que \(Fit_0(M) \subset Fit_1(M) \subset Fit_2(M) \subset \ldots\). (Indication : utiliser le développement d’un déterminant suivant une colonne.)

3. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(Fit_{r - 1}(M) = (0)\) et \(Fit_r(M) = R\), et

   2. \(M\) est localement libre de rang \(r\).

Fonctions de Hilbert

Définition

Un polynôme numérique est un polynôme \(f(x) \in {\mathbf Q}[x]\) tel que \(f(n) \in {\mathbf Z}\) pour tout entier \(n\).

Définition

Un module gradué \(M\) sur un anneau \(A\) est un \(A\)-module \(M\) muni d’une décomposition en somme directe de la forme \(\bigoplus\nolimits_{n \in {\mathbf Z}} M_n\) en sous-\(A\)-modules. On dit que \(M\) est localement fini si tous les \(M_n\) sont des \(A\)-modules de type fini. Supposons que \(A\) soit un anneau noethérien et que \(\varphi\) soit une fonction d’Euler-Poincaré sur les \(A\)-modules de type fini. Cela signifie que, pour tout \(A\)-module de type fini \(M\), on se donne un entier \(\varphi(M) \in {\mathbf Z}\) et que, pour toute suite exacte courte \[0 \longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0\] on a \(\varphi(M) = \varphi(M') + \varphi(M'')\). La fonction de Hilbert d’un module gradué localement fini \(M\) (relativement à \(\varphi\)) est la fonction \(\chi_\varphi(M, n) = \varphi(M_n)\). On dit que \(M\) admet un polynôme de Hilbert s’il existe un polynôme numérique \(P_\varphi\) tel que \(\chi_\varphi(M, n) = P_\varphi(n)\) pour tout entier \(n\) assez grand.

Définition

Une \(A\)-algèbre graduée est un \(A\)-module gradué \(B = \bigoplus_{n \geq 0} B_n\) muni d’une application \(A\)-bilinéaire \[B \times B \longrightarrow B, \ (b, b') \longmapsto bb'\] qui munit \(B\) d’une structure de \(A\)-algèbre telle que \(B_n \cdot B_m \subset B_{n + m}\). Enfin, un module gradué \(M\) sur une \(A\)-algèbre graduée \(B\) est la donnée d’un \(A\)-module gradué \(M\) muni d’une structure (compatible) de \(B\)-module telle que \(B_n \cdot M_d \subset M_{n + d}\). On peut alors définir les homomorphismes de modules/anneaux gradués, les sous-modules gradués, les idéaux gradués, les suites exactes de modules gradués, etc.

Exercice

Soit le corps \(A = k\). Quelles sont toutes les fonctions d’Euler-Poincaré possibles sur les \(A\)-modules de type fini dans ce cas ?

Exercice

Soit \(A ={\mathbf Z}\). Quelles sont toutes les fonctions d’Euler-Poincaré possibles sur les \(A\)-modules de type fini dans ce cas ?

Exercice

Soit \(A = k[x, y]/(xy)\), où \(k\) est un corps algébriquement clos. Quelles sont, dans ce cas, toutes les fonctions d’Euler-Poincaré possibles sur les \(A\)-modules de type fini ?

Exercice

Supposons que \(A\) soit noethérien. Montrer que le noyau d’un homomorphisme de \(A\)-modules gradués localement finis est localement fini.

Exercice

Soit \(k\) un corps, posons \(A = k\) et munissons \(B = k[x, y]\) de la graduation déterminée par \(\deg(x) = 2\) et \(\deg(y) = 3\). Soit \(\varphi(M) = \dim_k(M)\). Calculer la fonction de Hilbert de \(B\) comme \(k\)-module gradué. Existe-t-il un polynôme de Hilbert dans ce cas ?

Exercice

Soit \(k\) un corps, posons \(A = k\) et munissons \(B = k[x, y]/(x^2, xy)\) de la graduation déterminée par \(\deg(x) = 2\) et \(\deg(y) = 3\). Soit \(\varphi(M) = \dim_k(M)\). Calculer la fonction de Hilbert de \(B\) comme \(k\)-module gradué. Existe-t-il un polynôme de Hilbert dans ce cas ?

Exercice

Soit \(k\) un corps et posons \(A = k\). Soit \(\varphi(M) = \dim_k(M)\). Fixons \(d\in {\mathbf N}\). Considérons l’algèbre graduée sur \(A\) \(B = k[x, y, z]/(x^d + y^d + z^d)\), où \(x, y, z\) sont tous de degré \(1\). Calculer la fonction de Hilbert de \(B\). Existe-t-il un polynôme de Hilbert dans ce cas ?

Proj d’un anneau

Définition

Soit \(R\) un anneau gradué. Un idéal homogène est simplement un idéal \(I \subset R\) qui est en outre un sous-module gradué de \(R\). De manière équivalente, c’est un idéal engendré par des éléments homogènes. De manière équivalente, si \(f \in I\) et si \[f = f_0 + f_1 + \ldots + f_n\] est la décomposition de \(f\) en composantes homogènes dans \(R\), alors \(f_i \in I\) pour tout \(i\).

Définition

On définit le spectre homogène \(\text{Proj}(R)\) de l’anneau gradué \(R\) comme l’ensemble des idéaux premiers homogènes \({\mathfrak p}\) de \(R\) tels que \(R_{+} \not \subset {\mathfrak p}\). Noter que \(\text{Proj}(R)\) est une partie de \(\Spec(R)\) et porte donc naturellement la topologie induite.

Définition

Soit \(R = \oplus_{d \geq 0} R_d\) un anneau gradué, soit \(f\in R_d\) et supposons que \(d \geq 1\). On définit \(R_{(f)}\) comme le sous-anneau de \(R_f\) formé des éléments de la forme \(r/f^n\), où \(r\) est homogène et \(\deg(r) = nd\). On définit en outre \[D_{+}(f) = \{ {\mathfrak p} \in \text{Proj}(R) | f \not\in {\mathfrak p} \}.\] Enfin, pour un idéal homogène \(I \subset R\), on définit \(V_{+}(I) = V(I) \cap \text{Proj}(R)\).

Exercice

Sur la topologie de \(\text{Proj}(R)\). Avec les définitions et les notations ci-dessus, démontrer les assertions suivantes.

1. Montrer que \(D_{+}(f)\) est ouvert dans \(\text{Proj}(R)\).

2. Montrer que \(D_{+}(ff') = D_{+}(f) \cap D_{+}(f')\).

3. Soit \(g = g_0 + \ldots + g_m\) un élément de \(R\) avec \(g_i \in R_i\). Exprimer \(D(g) \cap \text{Proj}(R)\) en fonction des \(D_{+}(g_i)\), \(i \geq 1\), et de \(D(g_0) \cap \text{Proj}(R)\). Aucune démonstration n’est nécessaire.

4. Soit \(g\in R_0\) un élément homogène de degré \(0\). Exprimer \(D(g) \cap \text{Proj}(R)\) en fonction des \(D_{+}(f_\alpha)\) pour une famille convenable d’éléments homogènes \(f_\alpha \in R\) de degré strictement positif.

5. Montrer que la famille \(\{D_{+}(f)\}\) d’ouverts forme une base de la topologie de \(\text{Proj}(R)\).

6. Montrer qu’il existe une bijection canonique \(D_{+}(f) \to \Spec(R_{(f)})\). (Indication : imiter la démonstration pour \(\Spec\), mais, à un certain stade, faire intervenir le radical d’un idéal.)

7. Montrer que l’application définie en (078U) est un homéomorphisme.

8. Donner un exemple d’un anneau \(R\) tel que \(\text{Proj}(R)\) ne soit pas quasi-compact. Aucune démonstration n’est nécessaire.

9. Montrer que toute partie fermée \(T \subset \text{Proj}(R)\) est de la forme \(V_{+}(I)\) pour un idéal homogène \(I \subset R\).

Remarque

Il existe une application continue \(\text{Proj}(R) \longrightarrow \Spec(R_0)\).

Exercice

Si \(R = A[X]\) avec \(\deg(X) = 1\), montrer que l’application naturelle \(\text{Proj}(R) \to \Spec(A)\) est une bijection et même un homéomorphisme.

Exercice

Éclatement : première partie. Dans cet exercice, \(R = Bl_I(A) = A \oplus I \oplus I^2 \oplus \ldots\). Considérer l’application naturelle \(b : \text{Proj}(R) \to \Spec(A)\). Poser \(U = \Spec(A) - V(I)\). Montrer que \[b : b^{-1}(U) \longrightarrow U\] est un homéomorphisme. On peut donc identifier \(U\) à une partie ouverte de \(\text{Proj}(R)\). Soit \(Z \subset \Spec(A)\) un sous-schéma fermé irréductible de point générique \(\xi \in Z\). Supposer que \(\xi \not\in V(I)\), autrement dit \(Z \not\subset V(I)\), autrement dit \(\xi \in U\), autrement dit \(Z\cap U \not = \emptyset\). On définit le transformé pur \(Z'\) de \(Z\) comme l’adhérence de l’unique point \(\xi'\) situé au-dessus de \(\xi\). Autrement dit, \(Z'\) est l’adhérence dans \(\text{Proj}(R)\) de la partie localement fermée \(Z\cap U \subset U \subset \text{Proj}(R)\).

Exercice

Éclatement : deuxième partie. Soit \(A = k[x, y]\), où \(k\) est un corps, et soit \(I = (x, y)\). Soit \(R\) l’algèbre d’éclatement associée à \(A\) et \(I\).

1. Montrer que les transformés purs de \(Z_1 = V(\{x\})\) et de \(Z_2 = V(\{y\})\) sont disjoints.

2. Montrer que les transformés purs de \(Z_1 = V(\{x\})\) et de \(Z_2 = V(\{x-y^2\})\) ne sont pas disjoints.

3. Trouver un idéal \(J \subset A\) tel que \(V(J) = V(I)\) et tel que les transformés purs de \(Z_1 = V(\{x\})\) et de \(Z_2 = V(\{x-y^2\})\) dans l’éclatement le long de \(J\) soient disjoints.

Exercice

Soit \(R\) un anneau gradué.

1. Montrer que \(\text{Proj}(R)\) est vide si \(R_n = (0)\) pour tout \(n >> 0\).

2. Montrer que \(\text{Proj}(R)\) est un espace topologique irréductible si \(R\) est intègre et si \(R_{+}\) n’est pas nul. (Rappelons que l’espace topologique vide n’est pas irréductible.)

Exercice

Éclatement : troisième partie. On reprend \(A\), \(I\), \(U\) et \(Z\) comme dans la définition du transformé pur. Soit \(Z = V({\mathfrak p})\) pour un idéal premier \({\mathfrak p}\). Poser \(\bar A = A/{\mathfrak p}\) et noter \(\bar I\) l’image de \(I\) dans \(\bar A\).

1. Montrer qu’il existe un homomorphisme d’anneaux surjectif \(R: = Bl_I(A) \to \bar R: = Bl_{\bar I}(\bar A)\).

2. Montrer que l’homomorphisme d’anneaux ci-dessus induit une application bijective de \(\text{Proj}(\bar R)\) sur le transformé pur \(Z'\) de \(Z\). (Cette question n’est pas si facile. Indication : utiliser 5(b) ci-dessus.)

3. En déduire que le transformé pur \(Z' = V_{+}(P)\), où \(P \subset R\) est l’idéal homogène défini par \(P_d = I^d \cap {\mathfrak p}\).

4. Supposer que \(Z_1 = V({\mathfrak p})\) et \(Z_2 = V({\mathfrak q})\) sont des parties fermées irréductibles définies par des idéaux premiers, que \(Z_1 \not \subset Z_2\) et que \(Z_2 \not \subset Z_1\). Montrer que l’éclatement de l’idéal \(I = {\mathfrak p} + {\mathfrak q}\) sépare les transformés purs de \(Z_1\) et de \(Z_2\), c’est-à-dire \(Z_1' \cap Z_2' = \emptyset\). (Indication : considérer les idéaux homogènes \(P\) et \(Q\) de la partie (c), puis \(V(P + Q)\).)

Anneaux de Cohen-Macaulay de dimension 1

Définition

On dit qu’un anneau local noethérien \(A\) est un anneau de Cohen-Macaulay de dimension \(d\) s’il est de dimension \(d\) et s’il existe un système de paramètres \(x_1, \ldots, x_d\) pour \(A\) tel que \(x_i\) soit un non-diviseur de zéro dans \(A/(x_1, \ldots, x_{i-1})\) pour \(i = 1, \ldots, d\).

Exercice

Anneaux de Cohen-Macaulay de dimension 1. Première partie : théorie.

1. Soit \((A, {\mathfrak m})\) un anneau local noethérien tel que \(\dim A = 1\). Montrer que, si \(x\in {\mathfrak m}\) n’est pas un diviseur de zéro, alors

   1. \(\dim A/xA = 0\), autrement dit \(A/xA\) est artinien, autrement dit \(\{x\}\) est un système de paramètres pour \(A\).

   2. \(A\) n’a aucun idéal premier associé immergé.

2. Réciproquement, soit \((A, {\mathfrak m})\) un anneau local noethérien de dimension \(1\). Montrer que, si \(A\) n’a aucun idéal premier associé immergé, il existe un non-diviseur de zéro dans \({\mathfrak m}\).

Exercice

Anneaux de Cohen-Macaulay de dimension 1. Deuxième partie : exemples.

1. Soit \(A\) l’anneau local en \((x, y)\) de \(k[x, y]/(x^2, xy)\).

   1. Montrer que \(A\) est de dimension 1.

   2. Démontrer que tout élément de \({\mathfrak m}\subset A\) est un diviseur de zéro.

   3. Trouver \(z\in {\mathfrak m}\) tel que \(\dim A/zA = 0\) (aucune démonstration n’est nécessaire).

2. Soit \(A\) l’anneau local en \((x, y)\) de \(k[x, y]/(x^2)\). Trouver un non-diviseur de zéro dans \({\mathfrak m}\) (aucune démonstration n’est nécessaire).

Exercice

Anneaux locaux de dimension de plongement \(1\). Supposer que \((A, {\mathfrak m}, k)\) soit un anneau local noethérien de dimension de plongement \(1\), c’est-à-dire \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 1.\] Montrer que la fonction \(f(n) = \dim_k {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\) est soit constante de valeur \(1\), soit telle que ses valeurs soient \[1, 1, \ldots, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots\]

Exercice

Anneaux locaux réguliers de dimension \(1\). Supposer que \((A, {\mathfrak m}, k)\) soit un anneau local noethérien régulier de dimension \(1\). Rappelons que cela signifie que \(A\) est de dimension \(1\) et de dimension de plongement \(1\), c’est-à-dire \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 1.\] Soit \(x\in{\mathfrak m}\) un élément dont la classe dans \({\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2\) n’est pas nulle.

1. Montrer que, pour tout élément \(y\) de \({\mathfrak m}\), il existe un entier \(n\) tel que \(y\) puisse s’écrire \(y = ux^n\), où \(u\in A^\ast\) est une unité.

2. Montrer que \(x\) est un non-diviseur de zéro dans \(A\).

3. En déduire que \(A\) est intègre.

Exercice

Soit \((A, {\mathfrak m}, k)\) un anneau local noethérien, et soit \(Gr_{\mathfrak m}(A)\) son gradué associé.

1. Supposer que \(x\in {\mathfrak m}^d\) a pour image un non-diviseur de zéro \(\bar x \in {\mathfrak m}^d/{\mathfrak m}^{d + 1}\) dans la composante de degré \(d\) de \(Gr_{\mathfrak m}(A)\). Montrer que \(x\) est un non-diviseur de zéro.

2. Supposer que la profondeur de \(A\) est au moins \(1\). Autrement dit, supposer qu’il existe un non-diviseur de zéro \(y \in {\mathfrak m}\). Dans ce cas, on peut améliorer le résultat : supposer seulement que \(x\in {\mathfrak m}^d\) a pour image l’élément \(\bar x \in {\mathfrak m}^d/{\mathfrak m}^{d + 1}\) de degré \(d\) de \(Gr_{\mathfrak m}(A)\), lequel est un non-diviseur de zéro en degrés assez élevés : \(\exists N\) tel que, pour tout \(n \geq N\), l’application de multiplication par \(\bar x\) \[{\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1} \longrightarrow {\mathfrak m}^{n + d}/{\mathfrak m}^{n + d + 1}\] soit injective. Montrer alors que \(x\) est un non-diviseur de zéro.

Exercice

Supposer que \((A, {\mathfrak m}, k)\) soit un anneau local noethérien de dimension \(1\). Supposer également que la dimension de plongement de \(A\) soit \(2\), c’est-à-dire supposer que \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 2.\] Notation : \(f(n) = \dim_k {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\). Choisir des générateurs \(x, y \in {\mathfrak m}\) et écrire \(Gr_{\mathfrak m}(A) = k[\bar x, \bar y]/I\) pour un certain idéal homogène \(I\).

1. Montrer qu’il existe un élément homogène \(F\in k[\bar x, \bar y]\) tel que \(I \subset (F)\), avec égalité en tout degré assez élevé.

2. Montrer que \(f(n) \leq n + 1\).

3. Montrer que, si \(f(n) < n + 1\), alors \(n \geq \deg(F)\).

4. Montrer que, si \(f(n) < n + 1\), alors \(f(n + 1) \leq f(n)\).

5. Montrer que \(f(n) = \deg(F)\) pour tout \(n >> 0\).

Exercice

Anneaux de Cohen-Macaulay de dimension 1 et de dimension de plongement 2. Supposer que \((A, {\mathfrak m}, k)\) soit un anneau local noethérien de Cohen-Macaulay et de dimension \(1\). Supposer également que la dimension de plongement de \(A\) soit \(2\), c’est-à-dire supposer que \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 2.\] Notations : \(f\), \(F\), \(x, y\in {\mathfrak m}\) et \(I\) comme dans l’exercice 02EL. On pourra utiliser librement tous les résultats des problèmes ci-dessus.

1. Supposer que \(z\in {\mathfrak m}\) est un élément dont la classe dans \({\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2\) est la forme linéaire \(\alpha \bar x + \beta \bar y \in k[\bar x, \bar y]\) qui est première à \(F\).

   1. Montrer que \(z\) est un non-diviseur de zéro dans \(A\).

   2. Poser \(d = \deg(F)\). Montrer que \({\mathfrak m}^n = z^{n + 1-d}{\mathfrak m}^{d-1}\) pour tout \(n\) assez grand. (Indication : montrer d’abord que \(z^{n + 1-d}{\mathfrak m}^{d-1} \to {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\) est surjective en utilisant ce que l’on sait de \(Gr_{\mathfrak m}(A)\). Puis utiliser le lemme de Nakayama.)

2. Quelle condition sur \(k\) garantit l’existence d’un tel \(z\) ? (Aucune démonstration n’est nécessaire; c’est trop facile.)

   Supposons désormais qu’il existe un \(z\) comme ci-dessus. Cette hypothèse est en fait sans restriction essentielle (au sens où l’on peut se ramener à la situation où elle est satisfaite afin d’obtenir les résultats des parties (d) et (e) ci-dessous).

3. Montrer maintenant que \({\mathfrak m}^\ell = z^{\ell - d + 1} {\mathfrak m}^{d-1}\) pour tout \(\ell \geq d\).

4. En déduire que \(I = (F)\).

5. En déduire que la fonction \(f\) prend les valeurs \[2, 3, 4, \ldots, d-1, d, d, d, d, d, d, d, \ldots\]

Remarque

Cela donne à penser qu’un anneau local noethérien de Cohen-Macaulay de dimension 1 et de dimension de plongement 2 est de la forme \(B/FB\), où \(B\) est un anneau local régulier de dimension 2. C’est à peu près exact (sous des hypothèses convenables de “bonne tenue” de l’anneau).

Une infinité de nombres premiers

section regroupant des questions singulières sur les anneaux dans lesquels les nombres premiers non inversibles sont en nombre infini.

Exercice

Donner un exemple d’une \({\mathbf Z}\)-algèbre \(R\) de type fini possédant les deux propriétés suivantes :

1. Il n’existe aucun homomorphisme d’anneaux \(R \to {\mathbf Q}\).

2. Pour tout nombre premier \(p\), il existe un idéal maximal \({\mathfrak m} \subset R\) tel que \(R/{\mathfrak m} \cong {\mathbf F}_p\).

Exercice

Pour \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\), on pose \(f_p(x) = f(x, x^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x]\). Donner un exemple d’un \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\) tel que les deux propriétés suivantes soient satisfaites :

1. Il existe une infinité de nombres premiers \(p\) tels que \(f_p\) n’ait pas de racine dans \({\mathbf F}_p\).

2. Pour tout \(p >> 0\), le polynôme \(f_p\) possède un facteur linéaire ou quadratique.

Exercice

Pour \(f \in {\mathbf Z}[x, y, u, v]\), on pose \(f_p(x, y) = f(x, y, x^p, y^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x, y]\). Donner un exemple « intéressant » d’un \(f\) tel que \(f_p\) soit réductible pour tout \(p >> 0\). Par exemple, \(f = xv-yu\) avec \(f_p = xy^p-x^py = xy(x^{p-1}-y^{p-1})\) est « sans intérêt » ; tout \(f\) ne dépendant que de \(x, u\) est « sans intérêt », etc.

Remarque

Soit \(h \in {\mathbf Z}[y]\) un polynôme unitaire de degré \(d\). Alors :

1. L’homomorphisme \(A = {\mathbf Z}[x] \to B ={\mathbf Z}[y]\), \(x \mapsto h\) est fini et localement libre de rang \(d\).

2. Pour tout nombre premier \(p\), l’homomorphisme \(A_p = {\mathbf F}_p[x]\to B_p = {\mathbf F}_p[y]\), \(y \mapsto h(y) \bmod p\) est fini et localement libre de rang \(d\).

Exercice

Soient \(h, A, B, A_p, B_p\) comme dans la remarque. Pour \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\), on pose \(f_p(x) = f(x, x^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x]\). Pour \(g \in {\mathbf Z}[y, v]\), on pose \(g_p(y) = g(y, y^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[y]\).

1. Donner un exemple de \(h\) et de \(g\) pour lesquels il n’existe aucun \(f\) ayant la propriété \[f_p = Norm_{B_p/A_p}(g_p).\]

2. Montrer que, quels que soient \(h\) et \(g\) comme ci-dessus, il existe un \(f\) non nul tel que, pour tout \(p\), on ait \[Norm_{B_p/A_p}(g_p)\quad\text{divides}\quad f_p .\] On peut, si on le souhaite, se restreindre au cas \(h = y^n\), même avec \(n = 2\), mais l’énoncé est vrai en général.

3. Discuter le rapport avec les exercices 6 et 7 de la série précédente.

Exercice

Problèmes non résolus. Ils sont peut-être très difficiles ou peut-être faciles. Je l’ignore.

1. Existe-t-il un \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\) tel que \(f_p\) soit irréductible pour une infinité de \(p\) ? (Indication : oui, c’est le cas pour \(f(x, u) = u - x - 1\) ainsi que pour \(f(x, u) = u^2 - x^2 + 1\).)

2. Soit \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\) non nul, et supposons que \(\deg_x(f_p) = dp + d'\) pour tout \(p\) assez grand. (Autrement dit, \(\deg_u(f) = d\) et le coefficient \(c\) de \(u^d\) dans \(f\) vérifie \(\deg_x(c) = d'\).) Supposons que l’on puisse écrire \(d = d_1 + d_2\) et \(d' = d'_1 + d'_2\) avec \(d_1, d_2 > 0\) et \(d'_1, d'_2 \geq 0\), de telle sorte que, pour tout \(p\) assez grand, il existe une factorisation \[f_p = f_{1, p} f_{2, p}\] avec \(\deg_x(f_{1, p}) = d_1p + d'_1\). Est-il vrai que \(f\) provient d’une construction par la norme comme dans l’exercice 4 ? (Plus précisément, existe-t-il \(h\) et \(g\) tels que \(Norm_{B_p/A_p}(g_p)\) divise \(f_p\) pour tout \(p >> 0\) ?)

3. Question analogue à celle de (b), mais avec cette fois \(f \in {\mathbf Z}[x_1, x_2, u_1, u_2]\) irréductible et en supposant seulement que \(f_p(x_1, x_2) = f(x_1, x_2, x_1^p, x_2^p) \bmod p\) se factorise pour tout \(p >> 0\).

Catégorie dérivée filtrée

Pour traiter les exercices de cette section, lire au préalable les développements d’Homologie, section 0120. Nous dirons que \(A\) est un objet filtré de \(\mathcal{A}\) pour signifier que \(A\) est muni d’une filtration \(F\), que nous omettons de la notation.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I\) un objet filtré de \(\mathcal{A}\). Supposons que la filtration de \(I\) soit finie et que chaque \(\text{gr}^p(I)\) soit un objet injectif de \(\mathcal{A}\). Montrer qu’il existe un isomorphisme \(I \cong \bigoplus \text{gr}^p(I)\) respectant les filtrations, la filtration \(F^p(I)\) correspondant à \(\bigoplus_{p' \geq p} \text{gr}^p(I)\).

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I\) un objet filtré de \(\mathcal{A}\). Supposons que la filtration de \(I\) soit finie. Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :

1. Pour tout diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ A \ar[r]_\alpha \ar[d] & B \ar@{-->}[ld] \\ I & }\] d’objets filtrés, si (i) les filtrations de \(A\) et de \(B\) sont finies, et (ii) \(\text{gr}(\alpha)\) est injectif, alors la flèche en pointillé existe et rend le diagramme commutatif.

2. Chaque \(\text{gr}^p I\) est injectif.

Notons que, si \(\alpha : A \to B\) est un morphisme d’objets filtrés à filtrations finies, dire que \(\text{gr}(\alpha)\) est injectif revient à dire que \(\alpha\) est un monomorphisme strict dans la catégorie \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). En effet, être un monomorphisme signifie que \(\Ker(\alpha) = 0\), tandis qu’être strict signifie que cela entraîne aussi \(\Ker(\text{gr}(\alpha)) = 0\). Voir Homologie, lemme 0127. (Nous n’employons le terme « injectif » pour un morphisme que dans une catégorie abélienne, bien qu’il ait un sens dans toute catégorie additive admettant des noyaux.) Les exercices ci-dessus justifient la définition suivante.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(I\) un objet filtré de \(\mathcal{A}\). Supposons que la filtration de \(I\) soit finie. Nous dirons que \(I\) est injectif filtré si chaque \(\text{gr}^p(I)\) est un objet injectif de \(\mathcal{A}\).

Nous adoptons la définition suivante afin de ne pas avoir à répéter partout « muni d’une filtration finie ».

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Nous noterons \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) la sous-catégorie pleine de \(\text{Fil}(\mathcal{A})\) formée des objets \(A \in \Ob(\text{Fil}(\mathcal{A}))\) dont la filtration est finie.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) admette suffisamment d’injectifs. Soit \(A\) un objet de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Montrer qu’il existe un monomorphisme strict \(\alpha : A \to I\) de \(A\) dans un objet injectif filtré \(I\) de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\).

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) un morphisme de complexes de \(\text{Fil}(\mathcal{A})\). Nous dirons que \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme filtré si, pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), le morphisme \(\text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(L^\bullet)\) est un quasi-isomorphisme.

Définition

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(K^\bullet\) un complexe de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Nous dirons que \(K^\bullet\) est acyclique filtré si, pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), le complexe \(\text{gr}^p(K^\bullet)\) est acyclique.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soit \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\) un morphisme de complexes bornés inférieurement de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). (Noter l’exposant \(f\).) Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :

1. \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme filtré,

2. pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), l’application \(\alpha : F^pK^\bullet \to F^pL^\bullet\) est un quasi-isomorphisme,

3. pour tout \(p \in \mathbf{Z}\), l’application \(\alpha : K^\bullet/F^pK^\bullet \to L^\bullet/F^pL^\bullet\) est un quasi-isomorphisme, et

4. le cône de \(\alpha\) (voir Catégories dérivées, définition 014E) est un complexe acyclique filtré.

Montrer de plus que, si \(\alpha\) est un quasi-isomorphisme filtré, alors \(\alpha\) est aussi un quasi-isomorphisme au sens usuel.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) admette suffisamment d’injectifs. Soit \(A\) un objet de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Montrer qu’il existe un complexe \(I^\bullet\) de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\), et un morphisme \(A[0] \to I^\bullet\) tels que

1. chaque \(I^p\) est injectif filtré,

2. \(I^p = 0\) pour \(p < 0\), et

3. \(A[0] \to I^\bullet\) est un quasi-isomorphisme filtré.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Supposons que \(\mathcal{A}\) admette suffisamment d’injectifs. Soit \(K^\bullet\) un complexe borné inférieurement d’objets de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Montrer qu’il existe un quasi-isomorphisme filtré \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\) où \(I^\bullet\) est un complexe de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\) dont les termes \(I^n\) sont injectifs filtrés et qui est borné inférieurement. En fait, on peut choisir \(\alpha\) de sorte que chaque \(\alpha^n\) soit un monomorphisme strict.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^\beta \\ I^\bullet }\] de complexes de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Supposons que \(K^\bullet\), \(L^\bullet\) et \(I^\bullet\) soient bornés inférieurement et que chaque \(I^n\) soit un objet injectif filtré. Supposons aussi que \(\alpha\) soit un quasi-isomorphisme filtré.

1. Il existe un morphisme de complexes \(\beta\) rendant le diagramme commutatif à homotopie près.

2. Si \(\alpha\) est un monomorphisme strict en chaque degré, on peut trouver un \(\beta\) rendant le diagramme commutatif.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Soient \(K^\bullet\), \(K^\bullet\) des complexes de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Supposons que

1. \(K^\bullet\) soit borné inférieurement et acyclique filtré, et

2. \(I^\bullet\) soit borné inférieurement et formé d’objets injectifs filtrés.

Alors tout morphisme \(K^\bullet \to I^\bullet\) est homotope à zéro.

Exercice

Soit \(\mathcal{A}\) une catégorie abélienne. Considérons un diagramme dont les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^{\beta_i} \\ I^\bullet }\] de complexes de \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\). Supposons que \(K^\bullet\), \(L^\bullet\) et \(I^\bullet\) soient bornés inférieurement et que chaque \(I^n\) soit un objet injectif filtré. Supposons aussi que \(\alpha\) soit un quasi-isomorphisme filtré. Deux morphismes quelconques \(\beta_1, \beta_2\) rendant le diagramme commutatif à homotopie près sont homotopes.

Fonctions régulières

Exercice

Considérons la courbe affine \(X\) définie par l’équation \(t^2 = s^5 + 8\) dans \(\mathbf{C}^2\) muni des coordonnées \(s, t\). Soit \(x \in X\) le point de coordonnées \((1, 3)\). Posons \(U = X \setminus \{x\}\). Montrer qu’il existe une fonction régulière sur \(U\) qui ne soit pas la restriction d’une fonction régulière sur \(\mathbf{C}^2\), autrement dit qui ne soit pas la restriction d’un polynôme en \(s\) et \(t\) à \(U\).

Exercice

Soit \(n \geq 2\). Soit \(E \subset \mathbf{C}^n\) une partie finie. Montrer que toute fonction régulière sur \(\mathbf{C}^n \setminus E\) est un polynôme.

Exercice

Soit \(X \subset \mathbf{C}^n\) une variété affine. Disons que \(X\) est un cône si \(x = (a_1, \ldots, a_n) \in X\) et \(\lambda \in \mathbf{C}\) entraînent \((\lambda a_1, \ldots, \lambda a_n) \in X\). Bien entendu, si \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_n]\) est un idéal premier engendré par des polynômes homogènes en \(x_1, \ldots, x_n\), alors la variété affine \(X = V(\mathfrak p) \subset \mathbf{C}^n\) est un cône. Montrer que, réciproquement, l’idéal premier \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_n]\) correspondant à un cône peut être engendré par des polynômes homogènes en \(x_1, \ldots, x_n\).

Exercice

Donner un exemple d’une variété affine \(X \subset \mathbf{C}^n\) qui soit un cône (voir l’exercice 0E9F) et d’une fonction régulière \(f\) sur \(U = X \setminus \{(0, \ldots, 0)\}\) qui ne soit pas la restriction d’une fonction polynomiale sur \(\mathbf{C}^n\).

Exercice

Dans cet exercice, nous cherchons à comprendre le comportement des fonctions régulières sur des corps non algébriquement clos. Soit \(k\) un corps. Soit \(Z \subset k^n\) une partie localement fermée pour la topologie de Zariski, c’est-à-dire qu’il existe des idéaux \(I \subset J \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) tels que \[Z = \{a \in k^n \mid f(a) = 0\ \forall\ f \in I,\ \exists\ g \in J,\ g(a) \not = 0\}.\] Une fonction \(\varphi : Z \to k\) est dite régulière si, pour tout \(z \in Z\), il existe un voisinage ouvert de Zariski \(z \in U \subset Z\) et des polynômes \(f, g \in k[x_1, \ldots, x_n]\) tels que \(g(u) \not = 0\) pour tout \(u \in U\) et que \(\varphi(u) = f(u)/g(u)\) pour tout \(u \in U\).

1. Si \(k = \bar k\) et \(Z = k^n\), montrer que les fonctions régulières sont données par des polynômes. (Ne traiter ceci que si vous n’avez pas déjà vu cet argument.)

2. Si \(k\) est fini, montrer que (a) toute fonction \(\varphi\) est régulière, (b) l’anneau des fonctions régulières est de dimension finie sur \(k\). (Si vous le souhaitez, vous pouvez prendre \(Z = k^n\), voire \(n = 1\).)

3. Si \(k = \mathbf{R}\), donner un exemple d’une fonction régulière sur \(Z = \mathbf{R}\) qui ne soit pas donnée par un polynôme.

4. Si \(k = \mathbf{Q}_p\), donner un exemple d’une fonction régulière sur \(Z = \mathbf{Q}_p\) qui ne soit pas donnée par un polynôme.

Faisceaux

Un morphisme \(f : X \to Y\) dans une catégorie \(\mathcal{C}\) est un monomorphisme si, pour tout couple de morphismes \(a, b : W \to X\), on a \(f \circ a = f \circ b \Rightarrow a = b\). Dans la catégorie des ensembles, un monomorphisme est une application injective.

Exercice

Démontrer soigneusement qu’un morphisme de faisceaux d’ensembles est un monomorphisme (dans la catégorie des faisceaux d’ensembles) si et seulement si les applications induites sur toutes les fibres sont injectives.

Un morphisme \(f : X \to Y\) dans une catégorie \(\mathcal{C}\) est un isomorphisme s’il existe un morphisme \(g : Y \to X\) tel que \(f \circ g = \text{id}_Y\) et \(g \circ f = \text{id}_X\). Dans la catégorie des ensembles, un isomorphisme est une application bijective.

Exercice

Démontrer soigneusement qu’un morphisme de faisceaux d’ensembles est un isomorphisme (dans la catégorie des faisceaux d’ensembles) si et seulement si les applications induites sur toutes les fibres sont bijectives.

Un morphisme \(f : X \to Y\) dans une catégorie \(\mathcal{C}\) est un épimorphisme si, pour tout couple de morphismes \(a, b : Y \to Z\), on a \(a \circ f = b \circ f \Rightarrow a = b\). Dans la catégorie des ensembles, un épimorphisme est une application surjective.

Exercice

Démontrer soigneusement qu’un morphisme de faisceaux d’ensembles est un épimorphisme (dans la catégorie des faisceaux d’ensembles) si et seulement si les applications induites sur toutes les fibres sont surjectives.

Exercice

Soit \(f : X \to Y\) une application d’espaces topologiques. Montrer que l’image directe \(f_\ast\) et l’image réciproque \(f^{-1}\) des faisceaux d’ensembles forment un couple de foncteurs adjoints.

Exercice

Soit \(j : U \to X\) une immersion ouverte. Montrer que

1. L’image réciproque \(j^{-1} : \Sh(X) \to \Sh(U)\) admet un adjoint à gauche \(j_{!} : \Sh(U) \to \Sh(X)\) appelé prolongement par le vide.

2. Caractériser les fibres de \(j_{!}({\mathcal G})\) pour \(\mathcal{G} \in \Sh(U)\).

3. L’image réciproque \(j^{-1} : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(U)\) admet un adjoint à gauche \(j_{!} : \textit{Ab}(U) \to \textit{Ab}(X)\) appelé prolongement par zéro.

4. Caractériser les fibres de \(j_{!}({\mathcal G})\) pour \(\mathcal{G} \in \textit{Ab}(U)\).

Observer que le prolongement par zéro diffère du prolongement par le vide !

Exercice

Soit \(X = \mathbf{R}\) muni de la topologie usuelle. Soit \(\mathcal{O}_X = \underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_X\). Soit \(i : Z = \{0\} \to X\) l’inclusion et soit \(\mathcal{O}_Z = \underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_Z\). Démontrer les assertions suivantes (les trois premières découlent des définitions, mais, si celles-ci ne vous sont pas claires, il convient de les expliciter) :

1. \(i_*\mathcal{O}_Z\) est un faisceau gratte-ciel.

2. Il existe un morphisme surjectif canonique \(\underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_X \to i_*\underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_Z\). Noter \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) le noyau de ce morphisme.

3. \(\mathcal{I}\) est un faisceau d’idéaux de \(\mathcal{O}_X\).

4. Le faisceau \(\mathcal{I}\) sur \(X\) ne peut pas être localement engendré par des sections (au sens de Modules, définition 01B2.)

Exercice

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \({\mathcal F}\) un faisceau abélien sur \(X\). Montrer que \({\mathcal F}\) est le quotient d’une somme directe (éventuellement très grande) de faisceaux dont tous les termes sont de la forme \[j_{!}(\underline{{\mathbf Z}}_U)\] où \(U \subset X\) est ouvert et où \(\underline{{\mathbf Z}}_U\) désigne le faisceau constant de valeur \({\mathbf Z}\) sur \(U\).

Remarque

Soit \(X\) un espace topologique. Dans la catégorie des faisceaux abéliens, la somme directe d’une famille de faisceaux \(\{{\mathcal F}_i\}_{i\in I}\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto \oplus {\mathcal F}_i(U)\). Par conséquent, la fibre de la somme directe en un point \(x\) est la somme directe des fibres des \({\mathcal F}_i\) en \(x\).

Exercice

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons donnée une famille de groupes abéliens \(A_x\) indexée par \(x \in X\). Montrer que la règle \(U \mapsto \prod_{x \in U} A_x\), munie des applications de restriction évidentes, définit un faisceau \(\mathcal{G}\) de groupes abéliens. Montrer, à l’aide d’un exemple, que l’on n’a généralement pas \(\mathcal{G}_x = A_x\) pour \(x \in X\).

Exercice

Soient \(X\), \(A_x\), \(\mathcal{G}\) comme dans l’exercice 078Z. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\), voir Topologie, définition 004P. Pour \(U \in \mathcal{B}\), soit \(A_U\) un sous-groupe \(A_U \subset \mathcal{G}(U) = \prod_{x \in U} A_x\). Supposons que, si \(U \subset V\) avec \(U, V \in \mathcal{B}\), les applications de restriction envoient \(A_V\) dans \(A_U\). Pour tout ouvert \(U \subset X\), posons \[\mathcal{F}(U) = \left\{ (s_x)_{x \in U} \middle| \begin{matrix} \text{ pour tout }x\text{ dans }U\text{ il existe } V \in \mathcal{B} \\ x \in V \subset U\text{ tel que } (s_y)_{y \in V} \in A_V \end{matrix} \right\}\] Montrer que \(\mathcal{F}\) définit un faisceau de groupes abéliens sur \(X\). Montrer, à l’aide d’un exemple, que l’on n’a généralement pas \(\mathcal{F}(U) = A_U\) pour \(U \in \mathcal{B}\).

Exercice

Donner un exemple d’un espace topologique \(X\) et d’un foncteur \[F : \Sh(X) \longrightarrow \textit{Ensembles}\] qui soit exact (c’est-à-dire qui commute aux produits finis et aux égaliseurs, ainsi qu’aux coproduits finis et aux coégaliseurs ; voir Catégories, section 0033), mais pour lequel il n’existe aucun point \(x \in X\) tel que \(F\) soit isomorphe au foncteur fibre \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\).

Schémas

Soit \(LRS\) la catégorie des espaces localement annelés. Un schéma affine est un objet de \(LRS\) isomorphe dans \(LRS\) à une paire de la forme \((\Spec(A), {\mathcal O}_{\Spec(A)})\). Un schéma est un objet \((X, {\mathcal O}_X)\) de \(LRS\) tel que tout point \(x\in X\) possède un voisinage ouvert \(U \subset X\) pour lequel la paire \((U, {\mathcal O}_X|_U)\) est un schéma affine.

Exercice

Trouver un espace localement annelé ayant \(1\) point qui ne soit pas un schéma.

Exercice

Supposons que \(X\) soit un schéma dont l’espace topologique sous-jacent possède 2 points. Montrer que \(X\) est un schéma affine.

Exercice

Supposons que \(X\) soit un schéma dont l’espace topologique sous-jacent est un ensemble discret fini. Montrer que \(X\) est un schéma affine.

Exercice

Montrer qu’il existe un schéma non affine possédant trois points.

Exercice

Supposons que \(X\) soit un schéma quasi-compact non vide. Montrer que \(X\) possède un point fermé.

Remarque

Si \((X, {\mathcal O}_X)\) est un espace annelé et si \(U \subset X\) est une partie ouverte, alors \((U, {\mathcal O}_X|_U)\) est un espace annelé. Notation : \({\mathcal O}_U = {\mathcal O}_X|_U\). Il existe un morphisme canonique d’espaces annelés \[j : (U, {\mathcal O}_U) \longrightarrow (X, {\mathcal O}_X).\] Si \((X, {\mathcal O}_X)\) est un espace localement annelé, il en est de même de \((U, {\mathcal O}_U)\), et \(j\) est un morphisme d’espaces localement annelés. Si \((X, {\mathcal O}_X)\) est un schéma, il en est de même de \((U, {\mathcal O}_U)\), et \(j\) est un morphisme de schémas. On dit que \((U, {\mathcal O}_U)\) est un sous-schéma ouvert de \((X, {\mathcal O}_X)\) et que \(j\) est une immersion ouverte. Plus généralement, tout morphisme \(j' : (V, {\mathcal O}_V) \to (X, {\mathcal O}_X)\) qui est isomorphe à un morphisme \(j : (U, {\mathcal O}_U) \to (X, {\mathcal O}_X)\) comme ci-dessus est appelé une immersion ouverte.

Exercice

Donner un exemple d’un schéma affine \((X, {\mathcal O}_X)\) et d’un ouvert \(U \subset X\) tels que \((U, {\mathcal O}_X|U)\) ne soit pas un schéma affine.

Exercice

Donner un exemple d’une paire de schémas affines \((X, {\mathcal O}_X)\), \((Y, {\mathcal O}_Y)\), d’un sous-schéma ouvert \((U, {\mathcal O}_X|_U)\) de \(X\) et d’un morphisme de schémas \((U, {\mathcal O}_X|_U) \to (Y, {\mathcal O}_Y)\) qui ne se prolonge pas en un morphisme de schémas \((X, {\mathcal O}_X) \to (Y, {\mathcal O}_Y)\).

Exercice

(Cet exercice est assez difficile.) Donner un exemple d’un schéma \(X\), d’un sous-schéma ouvert \(U \subset X\) et d’un sous-schéma fermé \(Z \subset U\) tel que \(Z\) ne se prolonge pas en un sous-schéma fermé de \(X\).

Exercice

Donner un exemple d’un schéma \(X\), d’un corps \(K\) et d’un morphisme d’espaces annelés \(\Spec(K) \to X\) qui N’EST PAS un morphisme de schémas.

Exercice

Faire tous les exercices de [H, chapitre II], sections 1 et 2...  Je plaisante !

Définition

Un schéma \(X\) est dit intègre si \(X\) est non vide et si, pour tout ouvert affine non vide \(U \subset X\), l’anneau \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_X(U)\) est intègre.

Exercice

Donner un exemple d’un morphisme de schémas intègres \(f : X \to Y\) tel que les homomorphismes induits \({\mathcal O}_{Y, f(x)} \to {\mathcal O}_{X, x}\) soient surjectifs pour tout \(x\in X\), mais que \(f\) ne soit pas une immersion fermée.

Exercice

Donner un exemple d’un produit fibré \(X \times_S Y\) tel que \(X\) et \(Y\) soient affines, mais que \(X \times_S Y\) ne le soit pas.

Remarque

Cela ne peut en fait pas se produire lorsque \(S\) est séparé. Savez-vous pourquoi ?

Exercice

Donner un exemple d’un schéma \(V\) qui soit un schéma intègre de dimension 1 et de type fini sur \({\mathbf Q}\) tel que \(\Spec({\mathbf C}) \times_{\Spec({\mathbf Q})} V\) ne soit pas intègre.

Exercice

Donner un exemple d’un schéma \(V\) qui soit un schéma intègre de dimension 1 et de type fini sur un corps \(k\) tel que \(\Spec(k') \times_{\Spec(k)} V\) ne soit pas réduit pour une certaine extension finie de corps \(k'/k\).

Remarque

Si votre schéma est affine, sa dimension est égale à la dimension de Krull de l’anneau sous-jacent. Vous pouvez donc utiliser les résultats du semestre dernier pour calculer la dimension.

Morphismes

Une question importante est de savoir, étant donné un morphisme \(\pi : X \to S\), si ce morphisme possède une section ou une section rationnelle. Voici quelques exercices à titre d’exemple.

Exercice

Considérons le morphisme de schémas \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, t, 1/xt]) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\]

1. Montrer qu’il n’existe aucun morphisme \(\sigma : S \to X\) tel que \(\pi \circ \sigma = \text{id}_S\).

2. Montrer qu’il existe un ouvert non vide \(U \subset S\) et un morphisme \(\sigma : U \to X\) tel que \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\).

Exercice

Considérons le morphisme de schémas \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, t]/(x^2 + t)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\] Montrer qu’il n’existe aucun ouvert non vide \(U \subset S\) et aucun morphisme \(\sigma : U \to X\) tel que \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\).

Exercice

Soient \(A, B, C \in \mathbf{C}[t]\) des polynômes non nuls. Considérons le morphisme de schémas \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, y, t]/(A + Bx^2 + Cy^2)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\] Montrer qu’il existe un ouvert non vide \(U \subset S\) et un morphisme \(\sigma : U \to X\) tel que \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\). (Indication : symboliquement, écrire \(x = X/Z\), \(y = Y/Z\) avec \(X, Y, Z \in \mathbf{C}[t]\) de degré \(\leq d\), pour un certain \(d\), et déterminer la condition pour que cela résolve l’équation. Montrer ensuite, au moyen de la théorie de la dimension, que si \(d >> 0\), on peut trouver des \(X, Y, Z\) non nuls qui résolvent l’équation.)

Remarque

L’exercice 0296 est un cas particulier du « théorème de Tsen ». L’exercice 0297 montre que la méthode est limitée aux équations de faible degré (aux coniques lorsque la base et la fibre sont de dimension 1).

Exercice

Considérons le morphisme de schémas \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, y, t] /(1 + t x^3 + t^2 y^3)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t])\] Montrer qu’il n’existe aucun ouvert non vide \(U \subset S\) et aucun morphisme \(\sigma : U \to X\) tel que \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\).

Exercice

Considérons les schémas \[X = \Spec(\mathbf{C}[\{x_i\}_{i = 1}^{8}, s, t] /(1 + s x_1^3 + s^2 x_2^3 + t x_3^3 + st x_4^3 + s^2t x_5^3 + t^2 x_6^3 + st^2 x_7^3 + s^2t^2 x_8^3))\] et \[S = \Spec(\mathbf{C}[s, t])\] ainsi que le morphisme de schémas \[\pi : X \longrightarrow S\] Montrer qu’il n’existe aucun ouvert non vide \(U \subset S\) et aucun morphisme \(\sigma : U \to X\) tel que \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\).

Exercice

(Pour les théoriciens des nombres.) Donner un exemple d’un sous-schéma fermé \[Z \subset \Spec\left({\mathbf Z}[x, \frac{1 }{ x(x-1)(2x-1)}]\right)\] tel que le morphisme \(Z \to \Spec({\mathbf Z})\) soit fini et surjectif.

Exercice

Si la théorie des nombres ne vous plaît pas, vous pouvez essayer la variante où l’on considère \[\Spec\left({\mathbf F}_p[t, x, \frac{1 }{ x(x-t)(tx-1)}]\right) \longrightarrow \Spec({\mathbf F}_p[t])\] et chercher un sous-schéma fermé du schéma supérieur dont le morphisme vers celui du bas soit fini et surjectif. (Il existe une raison théorique de supposer ici le corps de base fini, bien que cela ne soit peut-être pas nécessaire dans ce cas particulier.)

Remarque

Dans les exercices 0299 et 029A, on considère un morphisme \(f : X \to S\) où \(S\) est le spectre d’un anneau de Dedekind \(A\), le morphisme \(f\) étant plat et surjectif, à fibre générique géométriquement irréductible. Dans les deux cas, on conclut qu’il existe un morphisme fini et surjectif \(S' \to S\) tel qu’après changement de base, \(X_{S'} \to S'\) possède une section. Ce résultat vaut lorsque \(A\) est excellent, que ses corps résiduels aux idéaux maximaux sont des extensions algébriques de corps finis, et que \(\Pic(A')\) est de torsion lorsque \(A'\) est la clôture intégrale de \(A\) dans une extension finie de son corps des fractions; voir [MB1]. C’est par exemple le cas si \(A = \mathbf{Z}\) ou \(A = \mathbf{F}_p[x]\), ou pour une extension finie de l’un de ces anneaux. Cependant, il existe un anneau de Dedekind \(A\) dont les corps résiduels aux idéaux maximaux sont finis et dont le groupe de Picard possède un élément non de torsion; voir [Goldman], et le résultat est faux pour le spectre d’un tel anneau. L’exercice 029B donne un exemple géométrique où cela ne fonctionne pas.

Exercice

Démontrer qu’il existe un \(f \in \mathbf{C}[x, t]\) qui n’est divisible par \(t - \alpha\) pour aucun \(\alpha \in \mathbf{C}\) et tel qu’il n’existe aucun \(Z \subset \Spec(\mathbf{C}[x, t, 1/f])\) dont le morphisme vers \(\Spec(\mathbf{C}[t])\) soit fini et surjectif. (Je pense que \(f(x, t) = (xt - 2)(x - t + 3)\) convient. Il n’est pas si facile, me semble-t-il, de montrer que ce candidat possède la propriété requise.)

Exercice

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Supposons que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) se factorise par une immersion fermée \(\Spec(B) \to \mathbf{P}^n_A\) pour un certain \(n\). Démontrer que \(A \to B\) est un homomorphisme fini, c’est-à-dire que \(B\) est un \(A\)-module de type fini. Indication : si \(A\) est noethérien (supposez-le simplement), on peut utiliser le fait que \(H^i(Z, \mathcal{O}_Z)\), pour \(i \in \mathbf{Z}\), est un \(A\)-module de type fini pour tout sous-schéma fermé \(Z \subset \mathbf{P}^n_A\).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de variétés projectives tel que \(f^{-1}(\{y\})\) soit fini pour tout point fermé \(y \in Y\). Démontrer que \(f\) est fini en tant que morphisme de schémas. Indications : (a) la finitude est une propriété locale, (b) essayer de se ramener à l’exercice 0EG6, et (c) utiliser une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}^n_k\) pour obtenir une immersion fermée \(X \to \mathbf{P}^n_Y\) au-dessus de \(Y\).

Espaces tangents

Définition

Pour tout anneau \(R\), nous notons \(R[\epsilon]\) l’anneau des nombres duaux. Comme \(R\)-module, il est libre de base \(1\), \(\epsilon\). La structure d’anneau s’obtient en posant \(\epsilon^2 = 0\).

Exercice

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\) un point, et soit \(s = f(x)\). Considérer le diagramme commutatif suivant, où les flèches pleines sont données \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[dr] \ar@/^1pc/[rr] & \Spec(\kappa(x)[\epsilon]) \ar@{.>}[r] \ar[d]& X \ar[d] \\ & \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S }\] où la flèche courbe est le morphisme canonique de \(\Spec(\kappa(x))\) vers \(X\). Si \(\kappa(x) = \kappa(s)\), montrer que l’ensemble des flèches pointillées qui rendent le diagramme commutatif est en bijection avec l’ensemble des applications linéaires \[\Hom_{\kappa(x)}( \frac{\mathfrak m_x}{\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}}, \kappa(x))\] Autrement dit, décrire une telle bijection. (Cela vaut plus généralement si \(\kappa(x) \supset \kappa(s)\) est une extension algébrique séparable.)

Définition

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Nous appelons l’ensemble des flèches pointillées de l’exercice 029E l’espace tangent de \(X\) sur \(S\) et nous le notons \(T_{X/S, x}\). Un élément de cet espace est appelé vecteur tangent à \(X/S\) en \(x\).

Exercice

Pour tout corps \(K\), démontrer que le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \Spec(K[\epsilon_1]) \ar[d] \\ \Spec(K[\epsilon_2]) \ar[r] & \Spec(K[\epsilon_1, \epsilon_2]/(\epsilon_1\epsilon_2)) }\] est cocartésien dans la catégorie des schémas. (Ici \(\epsilon_i^2 = 0\) comme précédemment.)

Exercice

Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Soit \(x \in X\). Définir l’addition des vecteurs tangents, à l’aide de l’exercice 029G et d’un morphisme convenable \[\Spec(K[\epsilon]) \longrightarrow \Spec(K[\epsilon_1, \epsilon_2]/(\epsilon_1\epsilon_2)).\] Définir de même la multiplication des vecteurs tangents par les scalaires (c’est plus simple). Montrer que vos constructions munissent \(T_{X/S, x}\) d’une structure d’espace vectoriel sur \(\kappa(x)\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Considérer le morphisme structural \(f : X = \mathbf{A}^1_k \to \Spec(k) = S\).

1. Soit \(x \in X\) un point fermé. Quelle est la dimension de \(T_{X/S, x}\) ?

2. Soit \(\eta \in X\) le point générique. Quelle est la dimension de \(T_{X/S, \eta}\) ?

3. Considérer maintenant \(X\) comme un schéma sur \(\Spec(\mathbf{Z})\). Quelles sont les dimensions de \(T_{X/\mathbf{Z}, x}\) et de \(T_{X/\mathbf{Z}, \eta}\) ?

Remarque

L’exercice 029I explique pourquoi il est nécessaire de considérer l’espace tangent à \(X\) relativement à \(S\) pour obtenir une bonne notion.

Exercice

Considérer le morphisme de schémas \[f : X = \Spec(\mathbf{F}_p(t)) \longrightarrow \Spec(\mathbf{F}_p(t^p)) = S\] Calculer l’espace tangent de \(X/S\) à l’unique point de \(X\). N’est-ce pas étrange ? Que se passe-t-il, à votre avis, si l’on considère le morphisme de schémas correspondant à \(\mathbf{F}_p[t^p] \to \mathbf{F}_p[t]\) ?

Exercice

Soit \(k\) un corps. Calculer l’espace tangent de \(X/k\) au point \(x = (0, 0)\) où \(X = \Spec(k[x, y]/(x^2 - y^3))\).

Exercice

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas au-dessus de \(S\). Soit \(x \in X\) un point. Poser \(y = f(x)\). Supposons que l’application naturelle \(\kappa(y) \to \kappa(x)\) soit bijective. Montrer, à partir de la définition, que \(f\) induit une application linéaire naturelle \[\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}.\] Identifier celle-ci à l’application obtenue sur les anneaux locaux à l’aide de l’exercice 029E lorsque \(\kappa(x) = \kappa(s)\).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \[\begin{eqnarray*} f : \mathbf{A}_k^n & \longrightarrow & \mathbf{A}^m_k \\ (x_1, \ldots, x_n) & \longmapsto & (f_1(x_i), \ldots, f_m(x_i)) \end{eqnarray*}\] un morphisme de schémas au-dessus de \(k\). Il est défini par \(m\) polynômes \(f_1, \ldots, f_m\) en \(n\) variables. Considérer la matrice \[A = \left( \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \right)\] Soit \(x \in \mathbf{A}^n_k\) un point fermé. Poser \(y = f(x)\). Montrer que l’application sur les espaces tangents \(T_{\mathbf{A}^n_k/k, x} \to T_{\mathbf{A}^m_k/k, y}\) est donnée par la valeur de la matrice \(A\) au point \(x\).

Faisceaux quasi-cohérents

Définition

Soit \(X\) un schéma. Un faisceau \(\mathcal{F}\) de \(\mathcal{O}_X\)-modules est quasi-cohérent si, pour tout ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\), la restriction \(\mathcal{F}|_U\) est de la forme \(\widetilde M\) pour un certain \(R\)-module \(M\).

Il suffit de vérifier cette condition sur les membres d’un recouvrement ouvert affine de \(X\). Voir Schémas, section 01LA pour davantage de résultats.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soient \(x, x' \in X\). On dit que \(x\) est une spécialisation de \(x'\) si et seulement si \(x \in \overline{\{x'\}}\).

Exercice

Soit \(X\) un schéma. Soient \(x, x' \in X\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. Supposons que (a) \(x\) soit une spécialisation de \(x'\) et que (b) \(\mathcal{F}_{x'} \not = 0\). Montrer que \(\mathcal{F}_x \not = 0\).

Exercice

Trouver un exemple d’un schéma \(X\), de points \(x, x' \in X\) et d’un faisceau de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\) tels que (a) \(x\) soit une spécialisation de \(x'\) et que (b) \(\mathcal{F}_{x'} \not = 0\) et \(\mathcal{F}_x = 0\).

Définition

Un schéma \(X\) est dit localement noethérien si et seulement si, pour tout point \(x \in X\), il existe un ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) tel que \(R\) soit noethérien. Un schéma est noethérien s’il est localement noethérien et quasi-compact.

Si \(X\) est localement noethérien, tout ouvert affine de \(X\) est le spectre d’un anneau noethérien, voir Propriétés, lemme 01OW.

Définition

Soit \(X\) un schéma localement noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules. On dit que \(\mathcal{F}\) est cohérent si, pour tout point \(x \in X\), il existe un ouvert affine \(\Spec(R) = U \subset X\) tel que \(\mathcal{F}|_U\) soit isomorphe à \(\widetilde M\) pour un \(R\)-module \(M\) de type fini.

Exercice

Soit \(X = \Spec(R)\) un schéma affine.

1. Soit \(f \in R\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_{D(f)}\)-modules sur le sous-schéma ouvert \(D(f)\). Montrer que \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_{D(f)}\) pour un certain faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\).

2. Soit \(I \subset R\) un idéal. Soit \(i : Z \to X\) le sous-schéma fermé de \(X\) correspondant à \(I\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_Z\)-modules sur le sous-schéma fermé \(Z\). Montrer que \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{F}\) pour un certain faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\). (Pourquoi cela est-il trivial ?)

3. Supposons que \(R\) soit noethérien. Soit \(f \in R\). Soit \(\mathcal{G}\) un faisceau cohérent de \(\mathcal{O}_{D(f)}\)-modules sur le sous-schéma ouvert \(D(f)\). Montrer que \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_{D(f)}\) pour un certain faisceau cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}\).

Remarque

Si \(U \to X\) est une immersion quasi-compacte, tout faisceau quasi-cohérent sur \(U\) est la restriction d’un faisceau quasi-cohérent sur \(X\). Si \(X\) est un schéma noethérien et si \(U \subset X\) est ouvert, tout faisceau cohérent sur \(U\) est la restriction d’un faisceau cohérent sur \(X\). L’exercice ci-dessus est bien sûr plus facile et ne devrait pas faire appel à ces résultats généraux.

Proj et schémas projectifs

Exercice

Donner des exemples d’anneaux gradués \(S\) tels que

1. \(\text{Proj}(S)\) soit affine et non vide, et

2. \(\text{Proj}(S)\) soit intègre, non vide, mais non isomorphe à \({\mathbf P}^n_A\) pour aucun \(n\geq 0\) ni aucun anneau \(A\).

Exercice

Donner un exemple de morphisme non constant de schémas \({\mathbf P}^1_{\mathbf C} \to {\mathbf P}^5_{\mathbf C}\) au-dessus de \(\Spec({\mathbf C})\).

Exercice

Donner un exemple d’isomorphisme de schémas \[{\mathbf P}^1_{\mathbf C} \to \text{Proj}({\mathbf C}[X_0, X_1, X_2]/(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2))\]

Exercice

Donner un exemple de morphisme de schémas \(f : X \to {\mathbf A}^1_{\mathbf C} = \Spec({\mathbf C}[T])\) tel que la fibre (schématique) \(X_t\) de \(f\) au-dessus de \(t \in {\mathbf A}^1_{\mathbf C}\) soit (a) isomorphe à \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\) lorsque \(t\) est un point fermé distinct de \(0\), et (b) non isomorphe à \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\) lorsque \(t = 0\). Nous appellerons \(X_0\) la fibre spéciale du morphisme. On peut le faire de très nombreuses façons. Essayer de donner des exemples qui satisfassent (chacune des) contraintes supplémentaires suivantes (à moins que cela ne soit impossible) :

1. Peut-on le faire avec une fibre spéciale projective ?

2. Peut-on le faire avec une fibre spéciale irréductible et projective ?

3. Peut-on le faire avec une fibre spéciale intègre et projective ?

4. Peut-on le faire avec une fibre spéciale lisse et projective ?

5. Peut-on le faire avec \(f\) plat ? Cela signifie simplement que, pour tout ouvert affine \(\Spec(A) \subset X\), l’homomorphisme d’anneaux induit \(\mathbf{C}[t] \to A\) est plat, ce qui signifie ici que tout polynôme non nul en \(t\) est un non-diviseur de zéro dans \(A\).

6. Peut-on le faire avec \(f\) plat et projectif ?

7. Peut-on le faire avec \(f\) plat et projectif et avec une fibre spéciale réduite ?

8. Peut-on le faire avec \(f\) plat et projectif et avec une fibre spéciale irréductible ?

9. Peut-on le faire avec \(f\) plat et projectif et avec une fibre spéciale intègre ?

Que se passe-t-il, selon vous, lorsque l’on remplace \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\) par une autre variété sur \({\mathbf C}\) ? (Cela peut devenir très difficile selon celle des variantes ci-dessus que l’on demande.)

Exercice

Soit \(n \geq 1\) un entier positif quelconque. Donner un exemple de morphisme surjectif \(X \to {\mathbf P}^n_{\mathbf C}\) avec \(X\) affine.

Exercice

Morphismes de \(\text{Proj}\). Soient \(R\) et \(S\) des anneaux gradués. Supposons donné un homomorphisme d’anneaux \[\psi : R \to S\] et un entier \(e \geq 1\) tel que \(\psi(R_d) \subset S_{de}\) pour tout \(d \geq 0\). (Selon nos conventions, ce n’est pas un homomorphisme d’anneaux gradués, sauf si \(e = 1\).)

1. Pour quels éléments \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\) existe-t-il un point correspondant bien défini dans \(\text{Proj}(R)\) ? Autrement dit, trouver un ouvert convenable \(U \subset \text{Proj}(S)\) tel que \(\psi\) définisse une application continue \(r_\psi : U \to \text{Proj}(R)\).

2. Donner un exemple où \(U \not = \text{Proj}(S)\).

3. Donner un exemple où \(U = \text{Proj}(S)\).

4. (Ne pas rédiger ceci.) Se convaincre que l’application continue \(U \to \text{Proj}(R)\) est canoniquement munie d’un morphisme de faisceaux qui fait de \(r_\psi\) un morphisme de schémas : \[\text{Proj}(S) \supset U \longrightarrow \text{Proj}(R).\]

5. Que peut-on dire de ce morphisme si \(R = \bigoplus_{d \geq 0} S_{de}\) (considéré comme anneau gradué où \(S_e\), \(S_{2e}\), etc. sont respectivement de degrés \(1\), \(2\), etc.) et si \(\psi\) est l’inclusion ?

Notation. Soit \(R\) un anneau gradué comme ci-dessus et soit \(n \geq 0\) un entier. Soit \(X = \text{Proj}(R)\). Il existe alors un unique \({\mathcal O}_X\)-module quasi-cohérent \({\mathcal O}_X(n)\) sur \(X\) tel que, pour tout élément homogène \(f \in R\) de degré positif, la restriction \({\mathcal O}_X |_{D_{+}(f)}\) soit le faisceau quasi-cohérent associé au \(R_{(f)} = (R_f)_0\)-module \((R_f)_n\) (\(=\) les éléments homogènes de degré \(n\) dans \(R_f = R[1/f]\)). Voir [H, page 116+]. Noter qu’il existe des morphismes naturels \[{\mathcal O}_X(n_1) \otimes_{{\mathcal O}_X} {\mathcal O}_X(n_2) \longrightarrow {\mathcal O}_X(n_1 + n_2)\]

Exercice

Pathologies dans \(\text{Proj}\). Donner des exemples de \(R\) comme ci-dessus tels que

1. \({\mathcal O}_X(1)\) ne soit pas un \({\mathcal O}_X\)-module inversible.

2. \({\mathcal O}_X(1)\) soit inversible, mais que le morphisme naturel \({\mathcal O}_X(1) \otimes_{{\mathcal O}_X} {\mathcal O}_X(1) \to {\mathcal O}_X(2)\) ne soit PAS un isomorphisme.

Exercice

Soit \(S\) un anneau gradué. Soit \(X = \text{Proj}(S)\). Montrer que tout ensemble fini de points de \(X\) est contenu dans un ouvert affine standard.

Exercice

Soit \(S\) un anneau gradué. Soit \(X = \text{Proj}(S)\). Soient \(Z, Z' \subset X\) deux sous-schémas fermés. Soit \(\varphi : Z \to Z'\) un isomorphisme. Supposons que \(Z \cap Z' = \emptyset\). Montrer que, pour tout \(z \in Z\), il existe un ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(z \in U\), \(\varphi(z) \in U\) et \(\varphi(Z \cap U) = Z' \cap U\). (Indication : utiliser l’exercice 02A4 et un argument analogue à celui de Schémas, lemme 01IW.)

Morphismes de la droite projective

Dans cette section, nous étudions les morphismes de \(\mathbf{P}^1\) vers des schémas projectifs.

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(k[t] \subset k(t)\) l’inclusion de l’anneau de polynômes dans son corps des fractions. Soit \(X\) un schéma de type fini sur \(k\). Montrer que, pour tout morphisme \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow X\] au-dessus de \(k\), il existe un élément non nul \(f \in k[t]\) et un morphisme \(\psi : \Spec(k[t, 1/f]) \to X\) au-dessus de \(k\) tels que \(\varphi\) soit la composée \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t, 1/f]) \longrightarrow X\]

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(k[t] \subset k(t)\) l’inclusion de l’anneau de polynômes dans son corps des fractions. Montrer que, pour tout morphisme \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] au-dessus de \(k\), il existe un morphisme \(\psi : \Spec(k[t]) \to \mathbf{P}^n_k\) au-dessus de \(k\) tel que \(\varphi\) soit la composée \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t]) \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\] Indication : l’image de \(\varphi\) est contenue dans un ouvert standard \(D_+(T_i)\) pour un certain \(i\) ; montrer alors que l’on peut “chasser les dénominateurs”.

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(k[t] \subset k(t)\) l’inclusion de l’anneau de polynômes dans son corps des fractions. Soit \(X\) un schéma projectif sur \(k\). Montrer que, pour tout morphisme \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow X\] au-dessus de \(k\), il existe un morphisme \(\psi : \Spec(k[t]) \to X\) au-dessus de \(k\) tel que \(\varphi\) soit la composée \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t]) \longrightarrow X\] Indication : utiliser l’exercice 0DJ2.

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma projectif sur \(k\). Soit \(K\) le corps des fonctions rationnelles de \(\mathbf{P}^1_k\) (voir l’indication ci-dessous). Montrer que, pour tout morphisme \[\varphi : \Spec(K) \longrightarrow X\] au-dessus de \(k\), il existe un morphisme \(\psi : \mathbf{P}^1_k \to X\) au-dessus de \(k\) tel que \(\varphi\) soit la composée \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \mathbf{P}^1_k \longrightarrow X\] Indication : utiliser l’exercice 0DJ3 pour chacun des deux ouverts du recouvrement affine \(\mathbf{P}^1_k = D_+(T_0) \cup D_+(T_1)\), et utiliser le fait que \(D_+(T_0)\) est le spectre d’un anneau de polynômes et que \(K\) est le corps des fractions de cet anneau de polynômes.

Morphismes de surfaces vers des courbes

Exercice

Soit \(R\) un anneau. Soit \(R \to k\) un homomorphisme de \(R\) dans un corps. Soit \(n \geq 0\). Montrer que \[\Mor_{\Spec(R)}(\Spec(k), \mathbf{P}^n_R) = (k^{n + 1} \setminus \{0\})/k^*\] où \(k^*\) agit sur \(k^{n + 1}\) par multiplication scalaire. Désormais, nous noterons \((x_0 : \ldots : x_n)\) le morphisme \(\Spec(k) \to \mathbf{P}^n_k\) correspondant à la classe d’équivalence de l’élément \((x_0, \ldots, x_n) \in k^{n + 1} \setminus \{0\}\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\) un sous-schéma fermé irréductible et réduit. Montrer que soit (a) \(Z\) est un point fermé, soit (b) il existe un polynôme homogène irréductible \(F \in k[X_0, X_1, X_2]\) de degré \(> 0\) tel que \(Z = V_{+}(F)\), soit (c) \(Z = \mathbf{P}^2_k\). (Indication : se placer sur un ouvert affine standard.)

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soient \(Z_1, Z_2 \subset \mathbf{P}^2_k\) des sous-schémas fermés irréductibles de la forme \(V_{+}(F)\) pour certains polynômes homogènes irréductibles \(F_i \in k[X_0, X_1, X_2]\) de degré \(> 0\). Montrer que \(Z_1 \cap Z_2\) est non vide. (Indication : utiliser la théorie de la dimension pour estimer la dimension de l’anneau local de \(k[X_0, X_1, X_2]/(F_1, F_2)\) au point \(0\).)

Exercice

Montrer qu’il n’existe aucun morphisme non constant de schémas \(\mathbf{P}^2_{\mathbf{C}} \to \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}\) au-dessus de \(\Spec(\mathbf{C})\). Ici, un morphisme constant est un morphisme dont l’image est réduite à un seul point. (Indication : si le morphisme n’est pas constant, considérer les fibres au-dessus de \(0\) et de \(\infty\), puis montrer qu’elles doivent se rencontrer, ce qui donne une contradiction.)

Exercice

Soit \(k\) un corps. Supposons que \(X \subset \mathbf{P}^3_k\) soit un sous-schéma fermé défini par une seule équation homogène \(F \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]\). En d’autres termes, \[X = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3]/(F)) \subset \mathbf{P}^3_k\] comme cela a été expliqué dans le cours. Supposons que \[F = X_0 G + X_1 H\] pour des polynômes homogènes \(G, H \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]\) de degré positif. Montrer que, si \(X_0, X_1, G, H\) n’ont aucun zéro commun, alors il existe un morphisme non constant \[X \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] de schémas au-dessus de \(\Spec(k)\) qui, sur les points à valeurs dans un corps (voir l’exercice 02A7), s’écrit \((x_0 : x_1 : x_2 : x_3) \mapsto (x_0 : x_1)\) lorsque \(x_0\) ou \(x_1\) est non nul.

Faisceaux inversibles

Définition

Soit \(X\) un espace localement annelé. Un \({\mathcal O}_X\)-module inversible sur \(X\) est un faisceau de \({\mathcal O}_X\)-modules \({\mathcal L}\) tel que tout point possède un voisinage ouvert \(U \subset X\) tel que \({\mathcal L}|_U\) soit isomorphe à \({\mathcal O}_U\) comme \({\mathcal O}_U\)-module. On dit que \({\mathcal L}\) est trivial s’il est isomorphe à \({\mathcal O}_X\) comme \({\mathcal O}_X\)-module.

Exercice

Généralités.

1. Montrer qu’un \({\mathcal O}_X\)-module inversible sur un schéma \(X\) est quasi-cohérent.

2. Supposons que \(X\to Y\) soit un morphisme d’espaces localement annelés, et que \({\mathcal L}\) soit un \({\mathcal O}_Y\)-module inversible. Montrer que \(f^\ast {\mathcal L}\) est un \({\mathcal O}_X\)-module inversible.

Exercice

Algèbre.

1. Montrer qu’un \({\mathcal O}_X\)-module inversible sur un schéma affine \(\Spec(A)\) correspond à un \(A\)-module \(M\) qui est (i) de type fini, (ii) projectif, (iii) localement libre de rang 1, et par conséquent (iv) plat et (v) de présentation finie. (On pourra citer librement des résultats du cours du semestre dernier ou de livres d’algèbre.)

2. Supposons que \(A\) soit un anneau intègre et que \(M\) soit un module comme en (a). Montrer que \(M\) est isomorphe, comme \(A\)-module, à un idéal \(I \subset A\) tel que \(IA_{\mathfrak p}\) soit principal pour tout idéal premier \({\mathfrak p}\).

Définition

Soit \(R\) un anneau. Un module inversible \(M\) est un \(R\)-module \(M\) tel que \(\widetilde M\) soit un faisceau inversible sur le spectre de \(R\). On dit que \(M\) est trivial si \(M \cong R\) comme \(R\)-module.

Autrement dit, \(M\) est inversible si et seulement s’il satisfait à toutes les conditions suivantes : il est plat, de présentation finie, projectif et localement libre de rang 1. (Il suffit bien entendu qu’il soit localement libre de rang 1.)

Exercice

Exemples simples.

1. Soit \(k\) un corps. Soit \(A = k[x]\). Montrer que \(X = \Spec(A)\) ne possède que des \({\mathcal O}_X\)-modules inversibles triviaux. Autrement dit, montrer que tout \(A\)-module inversible est libre de rang 1.

2. Soit \(A\) l’anneau \[A = \{ f\in k[x] \mid f(0) = f(1) \}.\] Montrer qu’il existe un \(A\)-module inversible non trivial, sauf si \(k = {\mathbf F}_2\). (Indication : voir \(\Spec(A)\) comme obtenu en identifiant \(0\) et \(1\) dans \({\mathbf A}^1_k = \Spec(k[x])\).)

3. Même question qu’en (02AJ) pour l’anneau \(A = k[x^2, x^3] \subset k[x]\) (cette fois, \(k = {\mathbf F}_2\) convient également).

Exercice

Dimensions supérieures.

1. Prouver que tout faisceau inversible sur l’espace affine de dimension deux est trivial. Plus précisément, soit \({\mathbf A}^2_k = \Spec(k[x, y])\) où \(k\) est un corps. Montrer que tout faisceau inversible sur \({\mathbf A}^2_k\) est trivial. (Indication : une méthode consiste à considérer le module \(M\) correspondant, à examiner \(M \otimes_{k[x, y]} k(x)[y]\), puis à utiliser l’exercice 02AH (02AI) pour lui trouver un générateur ; il reste alors encore à réfléchir. Une autre méthode consiste à utiliser l’exercice 02AF et ce que l’on sait des idéaux de l’anneau de polynômes : les idéaux premiers de hauteur un sont engendrés par un polynôme irréductible ; il reste alors encore à réfléchir.)

2. Prouver que tout faisceau inversible sur tout sous-schéma ouvert de l’espace affine de dimension deux est trivial. Plus précisément, soit \(U \subset {\mathbf A}^2_k\) un sous-schéma ouvert, où \(k\) est un corps. Montrer que tout faisceau inversible sur \(U\) est trivial. Indication : montrer que tout faisceau inversible sur \(U\) se prolonge à \({\mathbf A}^2_k\). Ce n’est pas facile, mais on peut le trouver dans [H].

3. Trouver un exemple de faisceau inversible non trivial sur un cône épointé au-dessus d’un corps. Plus précisément, soit \(k\) un corps et soit \(C = \Spec(k[x, y, z]/(xy-z^2))\). Soit \(U = C \setminus \{ (x, y, z) \}\). Trouver un faisceau inversible non trivial sur \(U\). Indication : il peut être plus facile de calculer le groupe des classes d’isomorphisme de faisceaux inversibles sur \(U\) que d’en trouver simplement un. Noter que \(U\) est recouvert par les ouverts \(\Spec(k[x, y, z, 1/x]/(xy-z^2))\) et \(\Spec(k[x, y, z, 1/y]/(xy-z^2))\), qui sont « faciles » à traiter.

Définition

Soit \(X\) un espace localement annelé. Le groupe de Picard de \(X\) est l’ensemble \(\Pic(X)\) des classes d’isomorphisme de \(\mathcal{O}_X\)-modules inversibles, la loi d’addition étant donnée par le produit tensoriel. Voir Modules, définition 01CX. Pour un anneau \(R\), on pose \(\Pic(R) = \Pic(\Spec(R))\).

Exercice

Soit \(R\) un anneau.

1. Montrer que si \(R\) est un anneau intègre normal noethérien, alors \(\Pic(R) = \Pic(R[t])\). [Indication : il existe un homomorphisme \(R[t] \to R\), \(t \mapsto 0\) qui est un inverse à gauche de l’homomorphisme \(R \to R[t]\). Il suffit donc de montrer que tout \(R[t]\)-module inversible \(M\) tel que \(M/tM \cong R\) est libre de rang \(1\). Soit \(K\) le corps des fractions de \(R\). Choisir une trivialisation \(K[t] \to M \otimes_{R[t]} K[t]\), ce qui est possible par l’exercice 02AH (02AI). L’ajuster pour qu’elle induise la trivialisation ci-dessus de \(M/tM\). Montrer qu’elle est en fait une trivialisation de \(M\) sur \(R[t]\) (c’est ici qu’intervient la normalité).]

2. Soit \(k\) un corps. Montrer que \(\Pic(k[x^2, x^3, t]) \not = \Pic(k[x^2, x^3])\).

Cohomologie de Čech

Exercice

Cohomologie de Čech. Ici, \(k\) est un corps.

1. Soit \(X\) un schéma muni d’un recouvrement ouvert \({\mathcal U} : X = U_1 \cup U_2\), avec \(U_1 = \Spec(k[x])\), \(U_2 = \Spec(k[y])\), \(U_1 \cap U_2 = \Spec(k[z, 1/z])\) et les immersions ouvertes \(U_1 \cap U_2 \to U_1\) resp. \(U_1 \cap U_2 \to U_2\) étant déterminées par \(x \mapsto z\) resp. \(y \mapsto z\) (et c’est bien ce que je veux dire). (Nous avons vu en cours qu’un tel \(X\) existe ; c’est la droite affine à origine dédoublée.) Calculer \({\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\) ; par exemple, en donner une base comme espace vectoriel sur \(k\).

2. Pour chaque élément de \({\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\), construire une suite exacte de faisceaux de \({\mathcal O}_X\)-modules \[0 \to {\mathcal O}_X \to E \to {\mathcal O}_X \to 0\] telle que le cobord \(\delta(1) \in {\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\) soit l’élément donné. (Il faut notamment donner un sens à cet énoncé. Voir aussi ci-dessous. On peut également montrer abstraitement qu’un tel objet doit exister.)

Définition

(Définition de delta.) Supposons que \[0 \to {\mathcal F}_1 \to {\mathcal F}_2 \to {\mathcal F}_3 \to 0\] soit une suite exacte courte de faisceaux abéliens sur un espace topologique \(X\). L’application cobord \(\delta : H^0(X, {\mathcal F}_3) \to {\check H}^1(X, {\mathcal F}_1)\) est définie comme suit. Soit un élément \(\tau \in H^0(X, {\mathcal F}_3)\). Choisir un recouvrement ouvert \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i\in I} U_i\) tel que, pour tout \(i\), il existe une section \(\tilde \tau_i \in {\mathcal F}_2\) relevant la restriction de \(\tau\) à \(U_i\). Considérer alors la correspondance \[(i_0, i_1) \longmapsto \tilde \tau_{i_0}|_{U_{i_0i_1}} - \tilde \tau_{i_1}|_{U_{i_0i_1}}.\] C’est clairement un 1-cobord dans le complexe de Čech \({\check C}^\ast({\mathcal U}, {\mathcal F}_2)\). Mais on observe que (en considérant \({\mathcal F}_1\) comme un sous-faisceau de \({\mathcal F}_2\)) le membre de droite est toujours une section de \({\mathcal F}_1\) sur \(U_{i_0i_1}\). On voit donc que cette correspondance définit une 1-cochaîne dans le complexe \({\check C}^\ast({\mathcal U}, {\mathcal F}_2)\). La classe de cohomologie de cette 1-cochaîne est par définition \(\delta(\tau)\).

Cohomologie

Exercice

Soit \(X = \mathbf{R}\) muni de la topologie euclidienne usuelle. En utilisant seulement les propriétés formelles de la cohomologie (fonctorialité et suite exacte longue de cohomologie), montrer qu’il existe un faisceau \(\mathcal{F}\) sur \(X\) tel que \(H^1(X, \mathcal{F})\) soit non nul.

Exercice

Soit \(X = U \cup V\) un espace topologique écrit comme la réunion de deux ouverts. On a alors une suite exacte longue de Mayer–Vietoris \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\] Quelle propriété des faisceaux injectifs est essentielle à la construction de la suite exacte longue de Mayer–Vietoris ? Pourquoi est-elle satisfaite ?

Exercice

Soit \(X\) un espace topologique.

1. Montrer que \(H^i(X, \mathcal{F})\) est nul pour \(i > 0\) si \(X\) possède au plus \(2\) points.

2. Que se passe-t-il si \(X\) possède \(3\) points ?

Exercice

Soit \(X\) le spectre d’un anneau local. Montrer que \(H^i(X, \mathcal{F})\) est nul pour \(i > 0\) et pour tout faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\).

Exercice

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme affine de schémas. Prouver que \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(Y, f_*\mathcal{F})\) pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\). On pourra imposer des conditions supplémentaires à \(X\) et à \(Y\) et utiliser la coïncidence de la cohomologie de Čech et de la cohomologie pour les faisceaux quasi-cohérents et les recouvrements ouverts affines des schémas séparés.

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\) l’espace projectif sur \(A\). Soit \(\mathbf{A}^{n + 1}_A = \Spec(A[T_0, \ldots, T_n])\) et soit \[U = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D(T_i) \subset \mathbf{A}^{n + 1}_A\] le complémentaire de l’image de l’immersion fermée \(0 : \Spec(A) \to \mathbf{A}^{n + 1}_A\). Construire un morphisme affine surjectif \[f : U \longrightarrow \mathbf{P}^n_A\] et prouver que \(f_*\mathcal{O}_U = \bigoplus_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\). Plus généralement, montrer que, pour un \(A[T_0, \ldots, T_n]\)-module gradué \(M\), on a \[f_*(\widetilde{M}|_U) = \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \widetilde{M(d)}\] où, au membre de gauche, figure le faisceau quasi-cohérent \(\widetilde{M}\) associé à \(M\) sur \(\mathbf{A}^{n + 1}_A\) et, au membre de droite, les faisceaux quasi-cohérents \(\widetilde{M(d)}\) associés au module gradué \(M(d)\).

Exercice

Soit \(A\) un anneau et soit \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\) l’espace projectif sur \(A\). Calculer soigneusement la cohomologie des tordus de Serre \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\) du faisceau structural sur \(\mathbf{P}^n_A\). On pourra utiliser la cohomologie de Čech et la coïncidence de la cohomologie de Čech et de la cohomologie pour les faisceaux quasi-cohérents et les recouvrements ouverts affines des schémas séparés.

Exercice

Soit \(A\) un anneau et soit \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\) l’espace projectif sur \(A\). Soit \(F \in A[T_0, \ldots, T_n]\) homogène de degré \(d\). Soit \(X \subset \mathbf{P}^n_A\) le sous-schéma fermé correspondant à l’idéal gradué \((F)\) de \(A[T_0, \ldots, T_n]\). Que peut-on dire de \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\) ?

Exercice

Soit \(R\) un anneau tel que, pour tout foncteur exact à gauche \(F : \text{Mod}_R \to \textit{Ab}\), on ait \(R^iF = 0\) pour \(i > 0\). Montrer que \(R\) est un produit fini de corps.

Compléments de cohomologie

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X \subset \mathbf{P}^n_k\) la « croix des axes de coordonnées ». Autrement dit, soit \(X\) défini par les équations homogènes \[T_i T_j = 0\text{ pour }i > j > 0\] où, comme d’habitude, on écrit \(\mathbf{P}^n_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\). Autrement dit, \(X\) est le sous-schéma fermé correspondant au quotient \(k[T_0, \ldots, T_n]/(T_iT_j; i > j > 0)\) de l’anneau de polynômes. Calculer \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\) pour tout \(i\). Indication : utiliser la cohomologie de Čech.

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I = (f_1, \ldots, f_t)\) un idéal de type fini de \(A\). Soit \(U \subset \Spec(A)\) le complémentaire de \(V(I)\). Pour tout \(A\)-module \(M\), écrire un complexe de \(A\)-modules (en fonction de \(A\), \(f_1, \ldots, f_t\), \(M\)) dont les groupes de cohomologie donnent \(H^n(U, \widetilde{M})\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(U \subset \mathbf{A}^d_k\) le complémentaire du point fermé \(0\) de \(\mathbf{A}^d_k\). Calculer \(H^n(U, \mathcal{O}_U)\) pour tout \(n\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Trouver explicitement un schéma \(X\) projectif sur \(k\), de dimension \(1\), tel que \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) et \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) = 100\).

Exercice

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme fini localement libre de degré \(2\). Supposons que \(X\) et \(Y\) soient des schémas intègres et que \(2\) soit inversible dans le faisceau structural de \(Y\), c’est-à-dire que \(2 \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\) soit inversible. Montrer que l’homomorphisme de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \[f^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow f_*\mathcal{O}_X\] possède un inverse à gauche, c’est-à-dire qu’il existe un homomorphisme de \(\mathcal{O}_Y\)-modules \(\tau : f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\) tel que \(\tau \circ f^\sharp = \text{id}\). En déduire que \(H^n(Y, \mathcal{O}_Y) \to H^n(X, \mathcal{O}_X)\) est injectif².

Exercice

Soit \(X\) un schéma (ou un espace localement annelé). La règle \(U \mapsto \mathcal{O}_X(U)^*\) définit un faisceau de groupes noté \(\mathcal{O}_X^*\). Expliquer brièvement pourquoi le groupe de Picard de \(X\) (définition 02AM) est égal à \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\).

Exercice

Donner un exemple de schéma affine \(X\) tel que \(\Pic(X)\) soit non trivial. En déduire, à l’aide de l’exercice 0DAP, que \(H^1(X, -)\) n’est pas le foncteur nul pour un tel \(X\).

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I = (f_1, \ldots, f_t)\) un idéal de type fini de \(A\). Soit \(U \subset \Spec(A)\) le complémentaire de \(V(I)\). Étant donnés un \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) et \(\xi \in H^p(U, \mathcal{F})\) avec \(p > 0\), montrer qu’il existe \(n > 0\) tel que \(f_i^n \xi = 0\) pour \(i = 1, \ldots, t\). Indication : une méthode possible consiste à utiliser le complexe trouvé dans l’exercice 0DAK.

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I = (f_1, \ldots, f_t)\) un idéal de type fini de \(A\). Soit \(U \subset \Spec(A)\) le complémentaire de \(V(I)\). Soit \(M\) un \(A\)-module dont la \(I\)-torsion est nulle, c’est-à-dire \(0 = \Ker((f_1, \ldots, f_t) : M \to M^{\oplus t})\). Montrer qu’il existe un isomorphisme canonique \[H^0(U, \widetilde{M}) = \colim \Hom_A(I^n, M).\] Attention : ce n’est pas trivial.

Exercice

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(I\) un idéal de \(A\). Soit \(M\) un \(A\)-module. Soit \(M[I^\infty]\) l’ensemble des éléments de torsion annulés par une puissance de \(I\), défini par \[M[I^\infty] = \{x \in M \mid \text{ il existe un }n \geq 1\text{ tel que }I^nx = 0\}\] Posons \(M' = M/M[I^\infty]\). La torsion annulée par une puissance de \(I\) dans \(M'\) est alors nulle. Montrer que \[\colim \Hom_A(I^n, M) = \colim \Hom_A(I^n, M').\] Attention : ce n’est pas trivial. Indications : (1) essayer de se ramener au cas où \(M\) est de type fini, (2) montrer que tout élément de \(\Ext^1_A(I^n, N)\) s’envoie sur zéro dans \(\Ext^1_A(I^{n + m}, N)\) pour un certain \(m > 0\) si \(N = M[I^\infty]\) et si \(M\) est de type fini, (3) montrer la même assertion comme en (2) pour \(\Hom_A(I^n, N)\), (3) considérer la suite exacte longue de cohomologie \[0 \to \Hom_A(I^n, M[I^\infty]) \to \Hom_A(I^n, M) \to \Hom_A(I^n, M') \to \Ext^1_A(I^n, M[I^\infty])\] pour \(M\) de type fini et la comparer à la suite relative à \(I^{n + m}\) pour conclure.

Retour sur la cohomologie

Exercice

Construire un exemple d’un corps \(k\), d’une courbe \(X\) sur \(k\), d’un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible \(\mathcal{L}\) et d’une classe de cohomologie \(\xi \in H^1(X, \mathcal{L})\) vérifiant la propriété suivante : pour tout morphisme fini surjectif \(\pi : Y \to X\) de schémas, l’élément \(\xi\) a pour image réciproque un élément non nul de \(H^1(Y, \pi^*\mathcal{L})\). Indication : construire \(X\), \(k\), \(\mathcal{L}\) de telle sorte que l’on ait une suite exacte courte \(0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\) où \(Z \subset X\) soit un sous-schéma fermé constitué de plus de \(1\) point fermé. Examiner ensuite ce qui se passe par image réciproque.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma projectif de dimension \(1\). Supposons que \(X\) contienne un cycle de courbes, c’est-à-dire qu’il existe un \(n \geq 2\), des sous-schémas fermés intègres de dimension \(1\) deux à deux distincts \(C_1, \ldots, C_n\), ainsi que des points fermés deux à deux distincts \(x_1, \ldots, x_n \in X\), tels que \(x_n \in C_n \cap C_1\) et \(x_i \in C_i \cap C_{i + 1}\) pour \(i = 1, \ldots, n - 1\). Démontrer que \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\) est non nul. Indication : soit \(\mathcal{F}\) l’image du morphisme \(\mathcal{O}_X \to \bigoplus \mathcal{O}_{C_i}\), et montrer que \(H^1(X, \mathcal{F})\) est non nul en utilisant \(\kappa(x_i) = k\) et \(H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) = k\). Utiliser aussi \(H^2(X, -) = 0\), d’après le théorème de Grothendieck.

Exercice

Soit \(X\) une surface projective sur un corps algébriquement clos \(k\). Démontrer qu’il existe un sous-schéma fermé strict \(Z \subset X\) tel que \(H^1(Z, \mathcal{O}_Z)\) soit non nul. Indication : utiliser l’exercice 0DB5.

Exercice

Soit \(X\) une surface projective sur un corps algébriquement clos \(k\). Montrer que, pour tout \(n \geq 0\), il existe un sous-schéma fermé strict \(Z \subset X\) tel que \(\dim_k H^1(Z, \mathcal{O}_Z) > n\). Indiquer seulement comment procéder en modifiant les arguments de l’exercice 0DB6 et de 0DB5 ; ne pas donner tous les détails.

Exercice

Soit \(X\) une surface projective sur un corps algébriquement clos \(k\). Démontrer qu’il existe un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\) tel que \(H^2(X, \mathcal{F})\) soit non nul. Indication : utiliser le résultat de l’exercice 0DB7 ainsi qu’une suite exacte judicieusement choisie.

Exercice

Soient \(X\) et \(Y\) des schémas sur un corps \(k\) (on pourra supposer \(X\) et \(Y\) suffisamment raisonnables, par exemple qcqs ou projectifs sur \(k\)). Posons \(X \times Y = X \times_{\Spec(k)} Y\) et notons \(p : X \times Y \to X\) et \(q : X \times Y \to Y\) les projections. Pour un \(\mathcal{O}_X\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) et un \(\mathcal{O}_Y\)-module quasi-cohérent \(\mathcal{G}\), démontrer que \[H^n(X \times Y, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{a + b = n} H^a(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^b(Y, \mathcal{G})\] ou montrer seulement que l’égalité vaut après passage aux dimensions. Des points supplémentaires seront accordés aux solutions « élégantes ».

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \mathbf{P}|^1 \times \mathbf{P}^1\) le produit de la droite projective sur \(k\) par elle-même, muni des projections \(p : X \to \mathbf{P}^1_k\) et \(q : X \to \mathbf{P}^1_k\). Posons \[\mathcal{O}(a, b) = p^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(a) \otimes_{\mathcal{O}_X} q^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(b)\] Calculer les dimensions de \(H^i(X, \mathcal{O}(a, b))\) pour tous \(i, a, b\). Indication : utiliser l’exercice 0DB9.

Cohomologie et polynômes de Hilbert

Situation

Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \mathbf{P}^n_k\) l’espace projectif de dimension \(n\). Soit \(\mathcal{F}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent. Rappelons que \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F})\] Rappelons que le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}\) est la fonction \[t \longmapsto \chi(X, \mathcal{F}(t))\] Rappelons aussi que \(\mathcal{F}(t) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(t)\) où \(\mathcal{O}_X(t)\) est le \(t\)-ième tordu du faisceau structural comme dans Constructions, définition 01MN. Dans Variétés, sous-section 08A9, nous avons démontré que le polynôme de Hilbert est un polynôme en \(t\).

Exercice

Dans la situation 0DCE.

1. Si \(P(t)\) est le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}\), quel est le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}(-13)\) ?

2. Si \(P_i\) est le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}_i\), quel est le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}_1 \oplus \mathcal{F}_2\) ?

3. Si \(P_i\) est le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}_i\) et si \(\mathcal{F}\) est le noyau d’un morphisme surjectif \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2\), quel est le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{F}\) ?

Exercice

Dans la situation 0DCE, supposons \(n \geq 1\). Trouver un faisceau cohérent dont le polynôme de Hilbert est \(t - 101\).

Exercice

Dans la situation 0DCE, supposons \(n \geq 2\). Trouver un faisceau cohérent dont le polynôme de Hilbert est \(t^2/2 + t/2 - 1\). (Cet exercice est assez délicat ; il suffit de montrer qu’un tel faisceau cohérent existe.)

Exercice

Dans la situation 0DCE, supposons \(n \geq 2\) et que \(k\) soit algébriquement clos. Soit \(C \subset X\) un sous-schéma fermé intègre de dimension \(1\). Autrement dit, \(C\) est une courbe projective. Soit \(d t + e\) le polynôme de Hilbert de \(\mathcal{O}_C\) considéré comme faisceau cohérent sur \(X\).

1. Donner une borne supérieure de \(e\). (Indications : utiliser le fait que \(\mathcal{O}_C(t)\) n’a de cohomologie qu’aux degrés \(0\) et \(1\) et étudier \(H^0(C, \mathcal{O}_C)\).)

2. Choisir une section globale \(s\) de \(\mathcal{O}_X(1)\) qui coupe \(C\) transversalement, c’est-à-dire telle qu’il existe des points fermés deux à deux distincts \(c_1, \ldots, c_r \in C\) et une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_C \xrightarrow{s} \mathcal{O}_C(1) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} k_{c_i} \to 0\] où \(k_{c_i}\) est le faisceau gratte-ciel de valeur \(k\) en \(c_i\). (Une telle section \(s\) existe ; on l’admettra.) Montrer que \(r = d\). (Indication : tordre la suite et examiner ce que l’on obtient.)

3. En tordant la suite exacte courte, on obtient une application \(k\)-linéaire \(\varphi_t : \Gamma(C, \mathcal{O}_C(t)) \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, d} k\) pour tout \(t\). Montrer que cette application est surjective si \(t \geq d - 1\).

4. Donner une borne inférieure de \(e\) en fonction de \(d\). (Indication : montrer que \(H^1(C, \mathcal{O}_C(d - 2)) = 0\) à l’aide du résultat de (3), puis utiliser un résultat d’annulation.)

Exercice

Dans la situation 0DCE, supposons \(n = 2\). Soient \(s_1, s_2, s_3 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(2))\) trois équations quadratiques. Considérons le faisceau cohérent \[\mathcal{F} = \Coker\left(\mathcal{O}_X(-2)^{\oplus 3} \xrightarrow{s_1, s_2, s_3} \mathcal{O}_X\right)\] Énumérer les polynômes de Hilbert possibles d’un tel \(\mathcal{F}\). (Essayer de visualiser les intersections de quadriques dans le plan projectif.)

Courbes

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soient \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{L})\) des sections globales de \(\mathcal{L}\). Démontrer qu’il existe un sous-schéma fermé naturel \[Z \subset \mathbf{P}^n \times X\] tel que le point fermé \(((\lambda_0 : \ldots : \lambda_n), x)\) appartienne à \(Z\) si et seulement si la section \(\lambda_0 s_0 + \ldots + \lambda_n s_n\) s’annule en \(x\). (Indication : décrire \(Z\) localement sur des ouverts affines.)

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe lisse sur \(k\). Soit \(r \geq 1\). Montrer que le sous-ensemble fermé \[D \subset X \times X^r = X^{r + 1}\] dont les points fermés sont les uplets \((x, x_1, \ldots, x_r)\) tels que \(x = x_i\) pour un certain \(i\), possède un faisceau d’idéaux inversible. Autrement dit, montrer que \(D\) est un diviseur de Cartier effectif. Indications : se ramener au cas \(r = 1\) et utiliser le fait que \(X\) est une courbe lisse pour obtenir une propriété de la diagonale (consulter les ouvrages sur ce point).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\). Soit \(T\) un schéma de type fini sur \(k\) et soient \[D_1 \subset X \times T \quad\text{et}\quad D_2 \subset X \times T\] deux diviseurs de Cartier effectifs tels que, pour \(t \in T\), les fibres \(D_{i, t} \subset X_t\) ne soient pas denses (c’est-à-dire ne contiennent pas le point générique de la courbe \(X_t\)). Démontrer qu’il existe un sous-schéma fermé canonique \(Z \subset T\) tel qu’un point fermé \(t \in T\) appartienne à \(Z\) si et seulement si, pour les fibres schématiques \(D_{1, t}\), \(D_{2, t}\) de \(D_1\), \(D_2\), on a \[D_{1, t} \subset D_{2, t}\] comme sous-schémas fermés de \(X_t\). Indications : montrer que, quitte à restreindre \(T\), on peut supposer \(T = \Spec(A)\) affine et qu’il existe un ouvert affine \(U \subset X\) tel que \(D_i \subset U \times T\). Puis montrer que \(M_1 = \Gamma(D_1, \mathcal{O}_{D_1})\) est un \(A\)-module localement libre de rang fini (il faudra ici un peu d’algèbre non triviale — demander à vos amis). Après avoir restreint \(T\), on peut supposer que \(M_1\) est un \(A\)-module libre. Considérer alors \[\Gamma(U \times T, \mathcal{I}_{D_2}) \to M_1 = A^{\oplus N}\] et définir \(Z\) comme le sous-schéma fermé découpé par l’idéal engendré par les coordonnées des vecteurs de l’image de ce morphisme. Expliquer pourquoi cela fonctionne (cela demandera peut-être encore un peu d’algèbre commutative).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Soient \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{L})\) des sections globales de \(\mathcal{L}\). Soit \(r \geq 1\). Démontrer qu’il existe un sous-schéma fermé naturel \[Z \subset \mathbf{P}^n \times X \times \ldots \times X = \mathbf{P}^n \times X^r\] tel que le point fermé \(((\lambda_0 : \ldots : \lambda_n), x_1, \ldots, x_r)\) appartienne à \(Z\) si et seulement si la section \(s_\lambda = \lambda_0 s_0 + \ldots + \lambda_n s_n\) s’annule sur le diviseur \(D = x_1 + \ldots + x_r\), c’est-à-dire que la section \(s_\lambda\) appartient à \(\mathcal{L}(-D)\). Indication : expliquer comment cela résulte de la combinaison des résultats des exercices 0EGA et 0EGB.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\). Soit \(\mathcal{L}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible. Montrer qu’il existe un sous-ensemble fermé naturel \[Z \subset X^r\] tel qu’un point fermé \((x_1, \ldots, x_r)\) de \(X^r\) appartienne à \(Z\) si et seulement si \(\mathcal{L}(-x_1 - \ldots -x_r)\) admet une section globale non nulle. Indication : utiliser l’exercice 0EGC.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective lisse sur \(k\). Soient \(r \geq s\) des entiers. Montrer qu’il existe un sous-ensemble fermé naturel \[Z \subset X^r \times X^s\] tel qu’un point fermé \((x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s)\) de \(X^r \times X^s\) appartienne à \(Z\) si et seulement si \(x_1 + \ldots + x_r - y_1 - \ldots - y_s\) est linéairement équivalent à un diviseur effectif. Indication : choisir un module inversible auxiliaire \(\mathcal{L}\) de degré suffisamment grand pour que \(\mathcal{L}(-D)\) admette une section non nulle pour tout diviseur effectif \(D\) de degré \(r\). Utiliser ensuite deux fois le résultat de l’exercice 0EGD.

Exercice

Choisir un corps algébriquement clos \(k\) de son choix. Déterminer aussi complètement que possible tous les \(\mathfrak g^r_d\) susceptibles d’exister sur une courbe de genre \(7\). Au cours de cette étude, essayer aussi de

1. déterminer dans quels cas le \(\mathfrak g^r_d\) est sans point de base, et

2. déterminer dans quels cas le \(\mathfrak g^r_d\) définit une immersion fermée dans \(\mathbf{P}^r\).

Faire de même si l’on suppose la courbe « générale » (adopter la notion de généralité de son choix – cela peut être plus facile que la question précédente). Faire de même si l’on suppose la courbe hyperelliptique. Faire de même si l’on suppose la courbe trigonale (et non hyperelliptique). Etc.

Modules

Dans cette section, nous examinons quelques approches naïves des problèmes de modules d’objets de géométrie algébrique.

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Supposons que \(M\) soit un problème de modules sur \(k\). Nous ne définirons pas ici avec précision ce que cela signifie, mais le sens devrait être clair dans chaque exercice. Pour comprendre ce qui suit, il suffit de connaître les objets de \(M\) sur \(k\), les isomorphismes entre ces objets de \(M\) sur \(k\), et les familles d’objets de \(M\) sur une variété. On dit alors que le nombre de modules de \(M\) est \(d \geq 0\) si les conditions suivantes sont vérifiées :

1. il existe un nombre fini de familles \(X_i \to V_i\), \(i = 1, \ldots, n\) telles que tout objet de \(M\) sur \(k\) soit isomorphe à une fibre de l’une d’entre elles et que \(\max \dim(V_i) = d\), et

2. il est impossible de le faire avec une valeur plus petite de \(d\).

Il ne s’agit en réalité que d’une approximation très grossière de notions meilleures que l’on trouve dans la littérature.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soient \(d \geq 1\) et \(n \geq 1\). Convenons que le problème de modules des hypersurfaces de degré \(d\) dans \(P^n\) est donné par

1. un objet est une hypersurface \(X \subset \mathbf{P}^n_k\) de degré \(d\),

2. un isomorphisme entre deux objets \(X \subset \mathbf{P}^n_k\) et \(Y \subset \mathbf{P}^n_k\) est un élément \(g \in \text{PGL}_n(k)\) tel que \(g(X) = Y\), et

3. une famille d’hypersurfaces sur une variété \(V\) est un sous-schéma fermé \(X \subset \mathbf{P}^n_V\) tel que, pour tout \(v \in V\), la fibre schématique \(X_v\) de \(X \to V\) soit une hypersurface dans \(\mathbf{P}^n_v\).

Calculer (si possible – les questions deviennent de plus en plus difficiles)

1. le nombre de modules lorsque \(n = 1\) et \(d\) est arbitraire,

2. le nombre de modules lorsque \(n = 2\) et \(d = 1\),

3. le nombre de modules lorsque \(n = 2\) et \(d = 2\),

4. le nombre de modules lorsque \(n \geq 1\) et \(d = 2\),

5. le nombre de modules lorsque \(n = 2\) et \(d = 3\),

6. le nombre de modules lorsque \(n = 3\) et \(d = 3\), et

7. le nombre de modules lorsque \(n = 2\) et \(d = 4\).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(g \geq 2\). Convenons que le problème de modules des courbes hyperelliptiques de genre \(g\) est donné par

1. un objet est une courbe hyperelliptique projective lisse \(X\) de genre \(g\),

2. un isomorphisme entre deux objets \(X\) et \(Y\) est un isomorphisme \(X \to Y\) de schémas sur \(k\), et

3. une famille de courbes hyperelliptiques de genre \(g\) sur une variété \(V\) est un morphisme propre et plat³ \(X \to Y\) tel que toutes les fibres schématiques de \(X \to V\) soient des courbes hyperelliptiques projectives lisses de genre \(g\).

Montrer que le nombre de modules est \(2g - 1\).

Ext globaux

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \mathbf{P}^3_k\). Soient \(L \subset X\) et \(P \subset X\) respectivement une droite et un plan, considérés comme des sous-schémas fermés définis respectivement par \(1\) et par \(2\) équations linéaires. Calculer les dimensions de \[\Ext^i_X(\mathcal{O}_L, \mathcal{O}_P)\] pour tout \(i\). Traiter à la fois le cas où \(L\) est contenu dans \(P\) et celui où \(L\) n’est pas contenu dans \(P\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \mathbf{P}^n_k\). Soit \(Z \subset X\) un point fermé rationnel sur \(k\), considéré comme un sous-schéma fermé. Par exemple, le point de coordonnées homogènes \((1 : 0 : \ldots : 0)\). Calculer les dimensions de \[\Ext^i_X(\mathcal{O}_Z, \mathcal{O}_Z)\] pour tout \(i\).

Exercice

Soit \(X\) un espace annelé. Définir les applications de cup-produit \[\Ext^i_X(\mathcal{G}, \mathcal{H}) \times \Ext^j_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^{i + j}_X(\mathcal{F}, \mathcal{H})\] pour des \(\mathcal{O}_X\)-modules \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\). (Indication : il s’agit d’une construction extrêmement générale.)

Exercice

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang fini, de dual \(\mathcal{E}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\). Démontrer les assertions suivantes

1. \(\SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}, \mathcal{G}) = \SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) = \SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}^\vee\), et

2. \(\Ext^i_X( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}, \mathcal{G}) = \Ext^i_X(\mathcal{F}, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\).

Ici, \(\mathcal{F}\) et \(\mathcal{G}\) sont des \(\mathcal{O}_X\)-modules. En déduire que \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{G}) = H^i(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\]

Exercice

Soit \(X\) un espace annelé. Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang fini. Construire un homomorphisme trace \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{E}) \to H^i(X, \mathcal{O}_X)\] pour tout \(i\). Le généraliser en un homomorphisme trace \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) \to H^i(X, \mathcal{F})\] pour tout \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{F}\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \mathbf{P}^d_k\). Posons \(\omega_{X/k} = \mathcal{O}_X(-d - 1)\). Démontrer que, pour des modules localement libres de rang fini \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\), le cup-produit sur les Ext composé avec l’homomorphisme trace sur les Ext \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_{X/k}) \times \Ext^{d - i}_X(\mathcal{F}, \mathcal{E}) \to \Ext_X^d(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_{X/k}) \to H^d(X, \omega_{X/k}) = k\] définit un accouplement non dégénéré. Indication : on peut soit redémontrer la dualité dans ce cadre, soit se ramener à la cohomologie des faisceaux et appliquer le théorème de dualité de Serre démontré dans le cours.

Diviseurs

Nous rassemblons ici, pour plus de commodité, toutes les définitions utiles.

Définition

Dans toute cette définition, soit \(S\) un schéma quelconque et soit \(X\) un schéma noethérien intègre.

1. Un diviseur de Weil sur \(X\) est une combinaison linéaire formelle \(\Sigma n_i[Z_i]\) de diviseurs premiers \(Z_i\) à coefficients entiers.

2. Un diviseur premier est un sous-schéma fermé \(Z \subset X\), intègre et de point générique \(\xi \in Z\), tel que \({\mathcal O}_{X, \xi}\) soit de dimension \(1\). Nous utiliserons la notation \({\mathcal O}_{X, Z} = {\mathcal O}_{X, \xi}\) lorsque \(\xi \in Z \subset X\) est comme ci-dessus. Noter que \({\mathcal O}_{X, Z} \subset K(X)\) est un sous-anneau du corps des fonctions de \(X\).

3. Le diviseur de Weil associé à une fonction rationnelle \(f \in K(X)^\ast\) est la somme \(\Sigma v_Z(f)[Z]\). Ici, \(v_Z(f)\) est défini comme suit

   1. Si \(f \in {\mathcal O}_{X, Z}^\ast\), alors \(v_Z(f) = 0\).

   2. Si \(f \in {\mathcal O}_{X, Z}\), alors \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(f)).\]

   3. Si \(f = \frac{a}{b}\) avec \(a, b \in {\mathcal O}_{X, Z}\), alors \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(a)) - \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(b)).\]

4. Un diviseur de Cartier effectif sur un schéma \(S\) est un sous-schéma fermé \(D \subset S\) tel que tout point \(d\in D\) possède un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset S\) dans \(S\) tel que \(D \cap U = \Spec(A/(f))\), où \(f \in A\) est un élément régulier.

5. Le diviseur de Weil \([D]\) associé à un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) de notre schéma noethérien intègre \(X\) est défini comme la somme \(\Sigma v_Z(D)[Z]\), où \(v_Z(D)\) est défini comme suit

   1. Si le point générique \(\xi\) de \(Z\) n’appartient pas à \(D\), alors \(v_Z(D) = 0\).

   2. Si le point générique \(\xi\) de \(Z\) appartient à \(D\), alors \[v_Z(D) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(f))\] où \(f \in {\mathcal O}_{X, Z} = {\mathcal O}_{X, \xi}\) est l’élément régulier qui définit \(D\) dans un voisinage affine de \(\xi\) (comme en (4) ci-dessus).

6. Soit \(S\) un schéma. Le faisceau des anneaux totaux de fractions \({\mathcal K}_S\) est le faisceau de \({\mathcal O}_S\)-algèbres obtenu par le faisceau associé au préfaisceau \({\mathcal K}'\) défini comme suit. Pour \(U \subset S\) ouvert, posons \({\mathcal K}'(U) = S_U^{-1}{\mathcal O}_S(U)\), où \(S_U \subset {\mathcal O}_S(U)\) est la partie multiplicative formée des sections \(f \in {\mathcal O}_S(U)\) telles que le germe de \(f\) dans \({\mathcal O}_{S, u}\) soit régulier pour tout \(u\in U\). En particulier, tous les éléments de \(S_U\) sont réguliers. Ainsi, \({\mathcal O}_S\) est un sous-faisceau de \({\mathcal K}_S\), et l’on obtient une suite exacte \[0 \to {\mathcal O}_S^\ast \to {\mathcal K}_S^\ast \to {\mathcal K}_S^\ast/{\mathcal O}_S^\ast \to 0.\]

7. Un diviseur de Cartier sur un schéma \(S\) est une section globale du faisceau quotient \({\mathcal K}_S^\ast/{\mathcal O}_S^\ast\).

8. Le diviseur de Weil associé à un diviseur de Cartier \(\tau \in \Gamma(X, {\mathcal K}_X^\ast/{\mathcal O}_X^\ast)\) sur notre schéma noethérien intègre \(X\) est la somme \(\Sigma v_Z(\tau)[Z]\), où \(v_Z(\tau)\) est défini par la procédure suivante

   1. Si le germe de \(\tau\) au point générique \(\xi\) de \(Z\) est nul – autrement dit, si l’image de \(\tau\) dans la fibre \(({\mathcal K}^\ast/{\mathcal O}^\ast)_\xi\) est “nulle” –, alors \(v_Z(\tau) = 0\).

   2. Choisir un voisinage ouvert affine \(\Spec(A) = U \subset X\) tel que \(\tau|_U\) soit l’image d’une section \(f \in {\mathcal K}(U)\) et que, de plus, \(f = a/b\) avec \(a, b \in A\). On pose alors \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(a)) - \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(b)).\]

Remarques

Voici quelques remarques immédiates.

1. Sur un schéma noethérien intègre \(X\), le faisceau \({\mathcal K}_X\) est constant de valeur le corps des fonctions \(K(X)\).

2. Pour que les définitions ci-dessus aient un sens, il faut montrer que \[\text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(ab)) = \text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(a)) + \text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(b))\] pour toute paire \((a, b)\) d’éléments non nuls d’un anneau local noethérien intègre de dimension 1, noté \({\mathcal O}\). Cela sera démontré dans le cours.

Exercice

(Sur un schéma quelconque.) Décrire comment associer un diviseur de Cartier à un diviseur de Cartier effectif.

Exercice

(Sur un schéma intègre.) Décrire comment associer un diviseur de Cartier \(D\) à une fonction rationnelle \(f\) de telle sorte que les diviseurs de Weil associés à \(D\) et à \(f\) coïncident. (C’est tautologique.)

Exercice

Donner un exemple de diviseur de Weil sur une variété qui ne soit associé à aucun diviseur de Cartier.

Exercice

Donner un exemple de diviseur de Weil \(D\) sur une variété qui ne soit associé à aucun diviseur de Cartier, mais tel que \(nD\) soit associé à un diviseur de Cartier pour un certain \(n > 1\).

Exercice

Donner un exemple de diviseur de Weil \(D\) sur une variété qui ne soit associé à aucun diviseur de Cartier et tel que \(nD\) NE SOIT associé à aucun diviseur de Cartier pour tout \(n > 1\). (Indication : considérer un cône, par exemple \(X : xy - zw = 0\) dans \(\mathbf{A}^4_k\). Essayer de montrer que \(D = [x = 0, z = 0]\) convient.)

Exercice

Sur un schéma séparé \(X\) de type fini sur un corps : donner un exemple de diviseur de Cartier qui ne soit pas la différence de deux diviseurs de Cartier effectifs. Indication : trouver un \(X\) qui ne possède aucun diviseur de Cartier effectif non vide, par exemple le schéma construit dans [H, III, exercice 5.9]. Il existe même un exemple où \(X\) est une variété : c’est la variété de l’exercice 02AS.

Exercice

Exemple de variété propre non projective. Soit \(k\) un corps. Soit \(L \subset \mathbf{P}^3_k\) une droite et soit \(C \subset \mathbf{P}^3_k\) une conique non singulière. Supposons que \(C \cap L = \emptyset\). Choisissons un isomorphisme \(\varphi : L \to C\). Soit \(X\) la \(k\)-variété obtenue en recollant \(C\) à \(L\) au moyen de \(\varphi\). Autrement dit, il existe un morphisme propre birationnel surjectif \[\pi : \mathbf{P}^3_k \longrightarrow X\] et un ouvert \(U \subset X\) tel que \(\pi : \pi^{-1}(U) \to U\) soit un isomorphisme, \(\pi^{-1}(U) = \mathbf{P}^3_k \setminus (L \cup C)\), et tel que \(\pi|_L = \pi|_C \circ \varphi\). (Ces conditions ne définissent pas encore \(X\) de façon unique. Pour cela, il faut préciser le faisceau structural de \(X\) au voisinage des points de \(Z = X \setminus U\).) Montrer que \(X\) existe et que c’est une variété propre, mais non projective. (Indication : pour l’existence, utiliser le résultat de l’exercice 02A5. Pour la non-projectivité, utiliser \(\Pic(\mathbf{P}^3_k) = \mathbf{Z}\) pour montrer que \(X\) ne peut pas posséder de faisceau inversible ample.)

Différentielles

Définitions et résultats. Différentielles de Kähler.

1. Soit \(R \to A\) un homomorphisme d’anneaux. Le module des différentielles de Kähler de \(A\) sur \(R\) se note \(\Omega_{A/R}\). Il est engendré par les éléments \(\text{d}a\), \(a \in A\), soumis aux relations : \[\text{d}(a_1 + a_2) = \text{d}a_1 + \text{d}a_2,\quad \text{d}(a_1a_2) = a_1\text{d}a_2 + a_2\text{d}a_1,\quad \text{d}r = 0\] La \(R\)-dérivation universelle canonique \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\) envoie \(a\mapsto \text{d}a\).

2. Considérons la suite exacte \[0 \to I \to A \otimes_R A \to A \to 0\] qui définit l’idéal \(I\). Il existe une dérivation canonique \(\text{d} : A \to I/I^2\) qui envoie \(a\) sur la classe de \(a \otimes 1 - 1 \otimes a\). C’est une autre présentation du module des différentielles de \(A\) sur \(R\); autrement dit, \[(I/I^2, \text{d}) \cong (\Omega_{A/R}, \text{d}).\]

3. Pour des parties multiplicatives \(S_R \subset R\) et \(S_A \subset A\) telles que l’image de \(S_R\) soit contenue dans \(S_A\), on a \[\Omega_{S_A^{-1}A / S_R^{-1}R} = S_A^{-1}\Omega_{A/R}.\]

4. Si \(A\) est une \(R\)-algèbre de présentation finie, alors \(\Omega_{A/R}\) est un \(A\)-module de présentation finie. Ainsi, dans ce cas, les idéaux de Fitting de \(\Omega_{A/R}\) sont définis.

5. Soit \(f : X \to S\) un morphisme de schémas. Il existe un faisceau quasi-cohérent de \({\mathcal O}_X\)-modules \(\Omega_{X/S}\) et une dérivation \({\mathcal O}_S\)-linéaire \[\text{d} : {\mathcal O}_X \longrightarrow \Omega_{X/S}\] tels que, pour tous ouverts affines \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\), avec \(f(U) \subset V\), on ait \[\Gamma(\Spec(A), \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\] d’une manière compatible avec \(\text{d}\).

Exercice

Soit \(k[\epsilon]\) l’anneau des nombres duaux sur le corps \(k\), c’est-à-dire que \(\epsilon^2 = 0\).

1. Considérons l’homomorphisme d’anneaux \[R = k[\epsilon] \to A = k[x, \epsilon]/(\epsilon x)\] Montrer que les idéaux de Fitting de \(\Omega_{A/R}\) sont (en commençant par l’idéal de Fitting d’indice zéro) \[(\epsilon), A, A, \ldots\]

2. Considérons l’homomorphisme \(R = k[t] \to A = k[x, y, t]/(x(y-t)(y-1), x(x-t))\). Montrer que les idéaux de Fitting de \(\Omega_{A/R}\) dans \(A\) sont (supposer, pour simplifier, que \(k\) est de caractéristique nulle) \[x(2x-t)(2y-t-1)A, \ (x, y, t)\cap (x, y-1, t), \ A, \ A, \ldots\] Ainsi, l’idéal de Fitting d’indice \(0\) est défini par un unique élément de \(A\), l’idéal de Fitting d’indice \(1\) définit deux points fermés de \(\Spec(A)\), et tous les autres sont triviaux.

3. Considérons l’homomorphisme \(R = k[t] \to A = k[x, y, t]/(xy-t^n)\). Calculer les idéaux de Fitting de \(\Omega_{A/R}\).

Remarque

On utilise couramment le \(k\)-ième idéal de Fitting de \(\Omega_{X/S}\) pour définir le schéma des singularités du morphisme \(X \to S\) lorsque \(X\) est de dimension relative \(k\) sur \(S\). Toutefois, comme le montre la partie (a), cette définition demande de la prudence lorsque la dimension des fibres de la famille n’est pas “constante”, par exemple lorsque la famille n’est pas plate. Comme le montre la partie (b), la platitude ne suffit pas non plus (et oui, cette famille est plate). Dans les “bons cas” – comme en (c) –, pour les familles de courbes, on s’attend à ce que l’idéal de Fitting d’indice \(0\) soit nul et que celui d’indice \(1\) définisse, schématiquement, le lieu singulier.

Exercice

Supposons que \(R\) soit un anneau et que \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n).\] Noter que nous supposons \(A\) présenté par autant d’équations que de variables. La matrice des dérivées partielles \[( \partial f_i / \partial x_j )\] est \(n \times n\), donc carrée. Supposons que son déterminant soit inversible comme élément de \(A\). Noter que c’est exactement la condition qui exprime que \(\Omega_{A/R} = (0)\) dans ce cas de \(n\) générateurs et de \(n\) relations. Soit \(\pi : B' \to B\) une surjection de \(R\)-algèbres dont le noyau \(J\) est de carré nul (comme idéal de \(B'\)). Soit \(\varphi : A \to B\) un homomorphisme de \(R\)-algèbres. Montrer qu’il existe un unique homomorphisme de \(R\)-algèbres \(\varphi' : A \to B'\) tel que \(\varphi = \pi \circ \varphi'\).

Exercice

Généraliser le résultat de l’exercice 02FE au cas où \(A = R[x, y]/(f)\).

Exercice

Soit \(k\) un corps, soient \(f_1, \ldots, f_c \in k[x_1, \ldots, x_n]\), et soit \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\). Supposons que \(f_j(0, \ldots, 0) = 0\). Cela signifie que \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_n)A\) est un idéal maximal. Démontrer que l’anneau local \(A_\mathfrak m\) est régulier si la matrice \[(\partial f_j/ \partial x_i)|_{(x_1, \ldots, x_n) = (0, \ldots, 0)}\] est de rang \(c\). Quelle est alors la dimension de \(A_\mathfrak m\) ? Montrer que la réciproque est fausse en donnant un exemple où \(A_\mathfrak m\) est régulier mais où le rang est strictement inférieur à \(c\); quelle est la dimension de \(A_\mathfrak m\) dans cet exemple ?

Schémas, examen final, automne 2007

Voici les questions de l’examen final d’un cours sur les schémas, donné au printemps 2007 à l’Université Columbia.

Exercice

Donner la définition des notions suivantes.

1. \(X\) est un schéma

2. le morphisme de schémas \(f : X \to Y\) est fini

3. le morphisme de schémas \(f : X \to Y\) est de type fini

4. le schéma \(X\) est noethérien

5. le \({\mathcal O}_X\)-module \({\mathcal L}\) sur le schéma \(X\) est inversible

6. le genre d’une courbe non singulière projective sur un corps algébriquement clos

Exercice

Soit \(X = \Spec({\mathbf Z}[x, y])\), et soit \({\mathcal F}\) un \({\mathcal O}_X\)-module quasi-cohérent. Supposons que \({\mathcal F}\) soit nul après restriction à cet ouvert affine standard \(D(x)\).

1. Montrer que toute section globale \(s\) de \({\mathcal F}\) est annulée par une puissance de \(x\), c’est-à-dire \(x^ns = 0\) pour un certain \(n\in {\mathbf N}\).

2. Pensez-vous que le même énoncé reste vrai si l’on ne suppose pas que \({\mathcal F}\) est quasi-cohérent ?

Exercice

Supposons que \(X \to \Spec(R)\) soit un morphisme propre et que \(R\) soit un anneau de valuation discrète de corps résiduel \(k\). Supposons que \(X \times_{\Spec(R)} \Spec(k)\) soit le schéma vide. Montrer que \(X\) est le schéma vide.

Exercice

Considérons la variété projective⁴ \[{\mathbf P}^1 \times {\mathbf P}^1 = {\mathbf P}^1_{{\mathbf C}} \times_{\Spec({\mathbf C})} {\mathbf P}^1_{\mathbf C}\] sur le corps des nombres complexes \({\mathbf C}\). Elle est recouverte par quatre morceaux affines, correspondant aux couples de morceaux affines standards de \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\). Par exemple, prenons les coordonnées homogènes \(X_0, X_1\) sur le premier facteur et \(Y_0, Y_1\) sur le second. Posons \(x = X_1/X_0\), et \(y = Y_1/Y_0\). Les 4 morceaux affines sont alors les spectres des anneaux \[{\mathbf C}[x, y], \quad {\mathbf C}[x^{-1}, y], \quad {\mathbf C}[x, y^{-1}], \quad {\mathbf C}[x^{-1}, y^{-1}].\] Soit \(X \subset {\mathbf P}^1 \times {\mathbf P}^1\) le sous-schéma fermé qui est l’adhérence de la partie fermée du premier morceau affine définie par l’équation \[y^3(x^4 + 1) = x^4 -1.\]

1. Montrer que \(X\) est contenu dans la réunion du premier et du dernier des 4 morceaux affines.

2. Montrer que \(X\) est une courbe projective non singulière.

3. Considérons le morphisme \(pr_2 : X \to {\mathbf P}^1\) (projection sur le premier facteur). Sur le premier morceau affine, il est donné par \((x, y) \mapsto x\). Expliquer brièvement pourquoi il est de degré \(3\).

4. Calculer les points de ramification et les indices de ramification du morphisme \(pr_2 : X \to {\mathbf P}^1\).

5. Calculer le genre de \(X\).

Exercice

Soit \(X \to \Spec({\mathbf Z})\) un morphisme de type fini. Supposons qu’il existe une infinité de nombres premiers \(p\) tels que \(X \times_{\Spec({\mathbf Z})} \Spec({\mathbf F}_p)\) ne soit pas vide.

1. Montrer que \(X \times_{\Spec({\mathbf Z})}\Spec(\mathbf{Q})\) n’est pas vide.

2. Pensez-vous que le même énoncé reste vrai si l’on remplace la condition « de type fini » par la condition « localement de type fini » ?

Schémas, examen final, printemps 2009

Voici les questions de l’examen final d’un cours sur les schémas, donné au printemps 2009 à l’Université Columbia.

Exercice

Soit \(X\) un schéma noethérien. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau cohérent sur \(X\). Soit \(x \in X\) un point. Supposons que \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = \{ x \}\).

1. Montrer que \(x\) est un point fermé de \(X\).

2. Montrer que \(H^0(X, \mathcal{F})\) n’est pas nul.

3. Montrer que \(\mathcal{F}\) est engendré par ses sections globales.

4. Montrer que \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\) pour \(p > 0\).

Remarque

Soit \(k\) un corps. Soit \(\mathbf{P}^2_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2])\). Tout faisceau inversible sur \(\mathbf{P}^2_k\) est isomorphe à \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)\) pour un certain \(n \in \mathbf{Z}\). Rappelons que \[\Gamma(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)) = k[X_0, X_1, X_2]_n\] est la composante homogène de degré \(n\) de l’anneau de polynômes. Pour un faisceau quasi-cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(\mathbf{P}^2_k\), posons \(\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)\) comme d’habitude.

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(\mathcal{E}\) un fibré vectoriel sur \(\mathbf{P}^2_k\), c’est-à-dire un \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\)-module localement libre de rang fini. On dit que \(\mathcal{E}\) est scindé si \(\mathcal{E}\) est isomorphe à une somme directe de \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\)-modules inversibles.

1. Montrer que \(\mathcal{E}\) est scindé si et seulement si \(\mathcal{E}(n)\) est scindé.

2. Montrer que, si \(\mathcal{E}\) est scindé, alors \(H^1({\mathbf{P}^2_k}, \mathcal{E}(n)) = 0\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

3. Soit \[\varphi : \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1)\] défini par les formes linéaires \(L_0, L_1, L_2 \in \Gamma(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1))\). Supposons que \(L_i \not = 0\) pour un certain \(i\). Quelle condition doivent vérifier \(L_0, L_1, L_2\) pour que le conoyau de \(\varphi\) soit un fibré vectoriel ? Pourquoi ?

4. Donner un exemple d’un tel \(\varphi\).

5. Montrer que \(\Coker(\varphi)\) n’est pas scindé (lorsqu’il s’agit d’un fibré vectoriel).

Remarque

On pourra utiliser librement les faits suivants de théorie de la dimension (et en ajouter d’autres au besoin).

1. La dimension d’un schéma est la borne supérieure des longueurs des chaînes de parties fermées irréductibles.

2. La dimension d’un schéma de type fini sur un corps est le maximum des dimensions de ses ouverts affines.

3. La dimension d’un schéma noethérien est le maximum des dimensions de ses composantes irréductibles.

4. La dimension d’un schéma affine coïncide avec la dimension de l’anneau correspondant.

5. Soit \(k\) un corps et soit \(A\) une \(k\)-algèbre de type fini. Si \(A\) est intègre et \(x \not = 0\), alors \(\dim(A) = \dim(A/xA) + 1\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma projectif réduit sur \(k\). Soit \(f : X \to \mathbf{P}^1_k\) un morphisme de schémas sur \(k\). Supposons qu’il existe un entier \(d \geq 0\) tel que, pour tout point \(t \in \mathbf{P}^1_k\), la fibre \(X_t = f^{-1}(t)\) soit irréductible de dimension \(d\). (Rappelons qu’un espace irréductible n’est pas vide.)

1. Montrer que \(\dim(X) = d + 1\).

2. Soit \(X_0 \subset X\) une composante irréductible de \(X\) de dimension \(d + 1\). Démontrer que, pour tout \(t \in \mathbf{P}^1_k\), la fibre \(X_{0, t}\) est de dimension \(d\).

3. Que peut-on déduire de ce qui précède au sujet de \(X_t\) et de \(X_{0, t}\) ?

4. Montrer que \(X\) est irréductible.

Remarque

Étant donnés un schéma projectif \(X\) sur un corps \(k\) et un faisceau cohérent \(\mathcal{F}\) sur \(X\), nous posons \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_{i \geq 0} (-1)^i\dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\]

Exercice

Soit \(k\) un corps. Écrivons \(\mathbf{P}^3_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3])\). Soit \(C \subset \mathbf{P}^3_k\) une courbe intersection complète de type \((5, 6)\). Cela signifie qu’il existe \(F \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]_5\) et \(G \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]_6\) tels que \[C = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3]/(F, G))\] soit une variété de dimension \(1\). (Une variété est en particulier réduite et irréductible, mais on peut, si on le souhaite, supposer que \(C\) est non singulière.) Soit \(i : C \to \mathbf{P}^3_k\) l’immersion fermée associée. Le fait d’être une intersection complète implique aussi que \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-11) \ar[r]^-{ \left( \begin{matrix} -G \\ F \end{matrix} \right) } & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-5) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-6) \ar[r]^-{(F, G)} & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k} \ar[r] & i_*\mathcal{O}_C \ar[r] & 0 }\] est une suite exacte de faisceaux. Utiliser ces faits pour :

1. calculer \(\chi(C, i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(n))\) pour tout \(n \in \mathbf{Z}\), et

2. calculer la dimension de \(H^1(C, \mathcal{O}_C)\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Considérons les anneaux \[\begin{align*} A & = k[x, y]/(xy) \\ B & = k[u, v]/(uv) \\ C & = k[t, t^{-1}] \times k[s, s^{-1}] \end{align*}\] et les morphismes de \(k\)-algèbres \[\begin{matrix} A \longrightarrow C, & x \mapsto (t, 0), & y \mapsto (0, s) \\ B \longrightarrow C, & u \mapsto (t^{-1}, 0), & v \mapsto (0, s^{-1}) \end{matrix}\] Ces morphismes induisent effectivement des isomorphismes \(A_{x + y} \to C\) et \(B_{u + v} \to C\). Par conséquent, les morphismes \(A \to C\) et \(B \to C\) identifient \(\Spec(C)\) à des ouverts de \(\Spec(A)\) et de \(\Spec(B)\). Soit \(X\) le schéma obtenu en recollant \(\Spec(A)\) et \(\Spec(B)\) le long de \(\Spec(C)\) : \[X = \Spec(A) \amalg_{\Spec(C)} \Spec(B).\] Comme nous l’avons vu dans le cours, un tel schéma existe et possède des ouverts affines \(\Spec(A) \subset X\) et \(\Spec(B) \subset X\) dont l’intersection est exactement \(\Spec(C)\), identifié à un ouvert de chacun d’eux au moyen des morphismes ci-dessus.

1. Pourquoi \(X\) est-il séparé ?

2. Pourquoi \(X\) est-il de type fini sur \(k\) ?

3. Calculer \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\), ou, autrement dit, quelle est sa dimension ?

4. Quelle description plus géométrique peut-on donner de \(X\) ?

Schémas, examen final, automne 2010

Voici les questions de l’examen final d’un cours sur les schémas, donné à l’automne 2010 à l’Université Columbia.

Exercice

Donner la définition des notions suivantes.

1. un schéma séparé,

2. un morphisme quasi-compact de schémas,

3. un morphisme affine de schémas,

4. une partie multiplicative d’un anneau,

5. un schéma noethérien,

6. une variété.

Exercice

Évitement des idéaux premiers.

1. Soit \(A\) un anneau. Soit \(I \subset A\) un idéal et soient \(\mathfrak q_1\), \(\mathfrak q_2\) des idéaux premiers tels que \(I \not \subset \mathfrak q_i\). Montrer que \(I \not \subset \mathfrak q_1 \cup \mathfrak q_2\).

2. Quelle est une interprétation géométrique de (1) ?

3. Soit \(X = \text{Proj}(S)\) pour un anneau gradué \(S\). Soient \(x_1, x_2 \in X\). Montrer qu’il existe un ouvert standard \(D_{+}(F)\) qui contient à la fois \(x_1\) et \(x_2\).

Exercice

Pourquoi le composé de morphismes affines est-il affine ?

Exercice

Donner des exemples des objets suivants :

1. Un schéma projectif réductible sur un corps \(k\).

2. Un schéma à 100 points.

3. Un morphisme de schémas qui n’est pas affine.

Exercice

Le théorème de Chevalley et le théorème des zéros de Hilbert.

1. Soit \(\mathfrak p \subset \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]\) un idéal maximal. Que déduit-on du théorème de Chevalley au sujet de \(\mathfrak p \cap \mathbf{Z}\) ?

2. Que déduit-on alors du théorème des zéros de Hilbert au sujet de \(\kappa(\mathfrak p)\) ?

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soit \(S = A[X]\) une \(A\)-algèbre graduée où \(X\) est de degré \(1\). Montrer que \(\text{Proj}(S) \cong \Spec(A)\) en tant que schémas sur \(A\).

Exercice

Soit \(A \to B\) un homomorphisme fini d’anneaux. Montrer que \(\Spec(B)\) est un schéma H-projectif sur \(\Spec(A)\).

Exercice

Donner un exemple d’un schéma \(X\) sur un corps \(k\) tel que \(X\) soit irréductible et que, pour une certaine extension finie \(k'/k\), le changement de base \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\) soit connexe mais réductible.

Schémas, examen final, printemps 2011

Voici les questions de l’examen final d’un cours sur les schémas, donné au printemps 2011 à l’Université Columbia.

Exercice

Donner la définition des notions en italique.

1. un schéma séparé,

2. un morphisme de schémas universellement fermé,

3. \(A\) domine \(B\) pour des anneaux locaux \(A, B\) contenus dans un même corps,

4. la dimension d’un schéma \(X\),

5. la codimension d’un sous-schéma fermé irréductible \(Y\) d’un schéma \(X\),

Exercice

Pour chacun des points suivants, énoncer un résultat formellement équivalent au fait étudié dans le cours.

1. Le critère valuatif de propreté pour un morphisme \(X \to Y\) de variétés, par exemple.

2. La relation entre \(\dim(X)\) et le corps des fonctions \(k(X)\) de \(X\) pour une variété \(X\) sur un corps \(k\).

3. Compléter : La catégorie des courbes projectives non singulières sur \(k\) et des morphismes non constants est antiéquivalente à \(\ldots\ldots\ldots\).

4. La normalisation de Noether.

5. Le critère jacobien.

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(F \in k[X_0, X_1, X_2]\) une forme homogène de degré \(d\). Supposons que \(C = V_{+}(F) \subset \mathbf{P}^2_k\) soit une courbe lisse sur \(k\). Notons \(i : C \to \mathbf{P}^2_k\) l’immersion fermée associée.

1. Montrer qu’il existe une suite exacte courte \[0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \to i_*\mathcal{O}_C \to 0\] de faisceaux cohérents sur \(\mathbf{P}^2_k\) : indiquer quelles sont les flèches et expliquer brièvement pourquoi cette suite est exacte.

2. En déduire que \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = k\).

3. Calculer le genre de \(C\).

4. Supposons maintenant que \(P = (0 : 0 : 1)\) n’appartienne pas à \(C\). Démontrer que \(\pi : C \to \mathbf{P}^1_k\) défini par \((a_0 : a_1 : a_2) \mapsto (a_0 : a_1)\) est de degré \(d\).

5. Supposons que \(k\) soit algébriquement clos, que tous les indices de ramification (les “\(e_i\)”) soient égaux à \(1\) ou \(2\), et que la caractéristique de \(k\) ne soit pas égale à \(2\). Combien de points de ramification le morphisme \(\pi : C \to \mathbf{P}^1_k\) possède-t-il ?

6. En fonction de \(F\), quelles équations proposeriez-vous pour l’ensemble des points de ramification de \(\pi\) ?

7. Pouvez-vous deviner \(K_C\) ?

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un “triangle” sur \(k\), c’est-à-dire que l’on obtient \(X\) en recollant trois copies de \(\mathbf{A}^1_k\) les unes aux autres en identifiant \(0\) de la première copie à \(1\) de la deuxième, \(0\) de la deuxième copie à \(1\) de la troisième et \(0\) de la troisième à \(1\) de la première. Il se trouve que \(X\) est isomorphe à \(\Spec(k[x, y]/(xy(x + y + 1)))\) ; on pourra utiliser ce fait. Calculer le groupe de Picard de \(X\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(\pi : X \to Y\) un morphisme fini birationnel de courbes, où \(X\) est une courbe projective non singulière sur \(k\). Il résulte du cours que \(Y\) est une courbe propre et que \(\pi\) est le morphisme de normalisation de \(Y\). Nous avons aussi vu dans le cours qu’il existe un ouvert dense \(V \subset Y\) tel que \(U = \pi^{-1}(V)\) soit un ouvert dense de \(X\) et que \(\pi : U \to V\) soit un isomorphisme.

1. Montrer qu’il existe un diviseur de Cartier effectif \(D \subset X\) tel que \(D \subset U\) et que \(\mathcal{O}_X(D)\) soit ample sur \(X\).

2. Soit \(D\) comme en (1). Montrer que \(E = \pi(D)\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(Y\).

3. Indiquer brièvement pourquoi

   1. le morphisme \(\mathcal{O}_Y \to \pi_*\mathcal{O}_X\) a un conoyau cohérent \(Q\) dont le support est contenu dans \(Y \setminus V\), et

   2. pour tout \(n\), il existe un morphisme correspondant \(\mathcal{O}_Y(nE) \to \pi_*\mathcal{O}_X(nD)\) dont le conoyau est isomorphe à \(Q\).

4. Montrer que \(\dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X(nD)) - \dim_k H^0(Y, \mathcal{O}_Y(nE))\) est bornée (par quoi ?) et en déduire que le faisceau inversible \(\mathcal{O}_Y(nE)\) possède beaucoup de sections pour \(n\) grand (pourquoi ?).

Schémas, examen final, automne 2011

Ces questions ont été posées lors de l’examen final d’un cours d’algèbre commutative, donné à l’automne 2011 à l’Université Columbia.

Exercice

Donner la définition des notions en italique.

1. un anneau noethérien,

2. un schéma noethérien,

3. un homomorphisme d’anneaux fini,

4. un morphisme de schémas fini,

5. la dimension d’un anneau.

Exercice

Énoncer un résultat formellement équivalent à celui qui a été étudié dans le cours.

1. Le théorème principal de Zariski.

2. La normalisation de Noether.

3. Le théorème chinois.

4. La montée pour les homomorphismes d’anneaux finis.

Exercice

Soit \((A, \mathfrak m, \kappa)\) un anneau local noethérien dont le corps résiduel est de caractéristique différente de \(2\). Supposons que \(\mathfrak m\) soit engendré par trois éléments \(x, y, z\) et que \(x^2 + y^2 + z^2 = 0\) dans \(A\).

1. Quelles sont les valeurs possibles de \(\dim(A)\) ?

2. Donner un exemple montrant que chacune de ces valeurs est possible.

3. Montrer que \(A\) est intègre si \(\dim(A) = 2\). (Indication : considérer \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\).)

Exercice

Soit \(A\) un anneau. Soient \(S \subset T \subset A\) des parties multiplicatives. Supposons que \[\{\mathfrak q \mid \mathfrak q \cap S = \emptyset\} = \{\mathfrak q \mid \mathfrak q \cap T = \emptyset\}.\] Montrer que \(S^{-1}A \to T^{-1}A\) est un isomorphisme.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \[V_0 = \{ A \in \text{Mat}(3 \times 3, k) \mid \text{rank}(A) = 1\} \subset \text{Mat}(3 \times 3, k) = k^9.\]

1. Montrer que \(V_0\) est l’ensemble des points fermés d’une partie localement fermée (pour la topologie de Zariski) \(V \subset \mathbf{A}^9_k\).

2. \(V\) est-il irréductible ?

3. Que vaut \(\dim(V)\) ?

Exercice

Démontrer que l’idéal \((x^2, xy, y^2)\) de \(\mathbf{C}[x, y]\) ne peut pas être engendré par \(2\) éléments.

Exercice

Soit \(f \in \mathbf{C}[x, y]\) un polynôme non constant. Montrer qu’il existe \(\alpha, \beta \in \mathbf{C}\) tels que l’homomorphisme de \(\mathbf{C}\)-algèbres \[\mathbf{C}[t] \longrightarrow \mathbf{C}[x, y]/(f),\quad t \longmapsto \alpha x + \beta y\] soit fini.

Exercice

Montrer que, pour tous points \(p_1, \ldots, p_n \in \mathbf{C}^2\), le schéma \(\mathbf{A}^2_\mathbf{C} \setminus \{p_1, \ldots, p_n\}\) est réunion de deux ouverts affines.

Exercice

Montrer qu’il existe un morphisme surjectif de schémas \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \to \mathbf{P}^1_\mathbf{C}\). (Surjectif signifie simplement surjectif sur les ensembles de points sous-jacents.)

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(A \subset B\) une extension d’anneaux intègres qui sont tous deux des \(k\)-algèbres de type fini. Montrer que l’image de \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) contient un ouvert non vide de \(\Spec(A)\) en suivant les étapes ci-dessous :

1. Le démontrer lorsque \(A \to B\) est en outre fini.

2. Le démontrer lorsque le corps des fractions de \(B\) est une extension finie du corps des fractions de \(A\).

3. Réduire l’énoncé au cas précédent.

Schémas, examen final, automne 2013

Ces questions ont été posées lors de l’examen final d’un cours d’algèbre commutative, donné à l’automne 2013 à l’Université Columbia.

Exercice

Donner la définition des notions en italique.

1. un idéal radical d’un anneau,

2. un homomorphisme d’anneaux de type fini,

3. une différentielle au sens de Weil,

4. un schéma.

Exercice

Énoncer un résultat formellement équivalent à celui qui a été étudié dans le cours.

1. un résultat sur les polynômes de Hilbert des modules gradués.

2. la dimension d’un anneau local noethérien \((R, \mathfrak m)\) et de \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\).

3. Riemann-Roch.

4. le théorème de Clifford.

5. le théorème de Chevalley.

Exercice

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(S \subset A\) une partie multiplicative. Supposons que \(A \to B\) soit de type fini et que \(S^{-1}A \to S^{-1}B\) soit surjectif. Montrer qu’il existe \(f \in S\) tel que \(A_f \to B_f\) soit surjectif.

Exercice

Donner un exemple d’un homomorphisme local injectif \(A \to B\) d’anneaux locaux tel que \(\Spec(B) \to \Spec(A)\) ne soit pas surjectif.

Situation

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(F(X_0, X_1, X_2) \in k[X_0, X_1, X_2]\) un polynôme irréductible homogène de degré \(d\). Posons \[D = V(F) \subset \mathbf{P}^2\] la courbe plane projective définie par l’annulation de \(F\). Posons \(x = X_1/X_0\) et \(y = X_2/X_0\), ainsi que \(f(x, y) = X_0^{-d}F(X_0, X_1, X_2) = F(1, x, y)\). Notons \(K\) le corps des fractions de l’anneau intègre \(k[x, y]/(f)\). Soit \(C\) la courbe abstraite correspondant à \(K\). Rappelons (d’après le cours) qu’il existe un morphisme surjectif \(C \to D\) qui est bijectif au-dessus du lieu non singulier de \(D\) et un isomorphisme si \(D\) est non singulière. Posons \(f_x = \partial f/\partial x\) et \(f_y = \partial f/\partial y\). Enfin, notons \(\omega = \text{d}x/f_y = - \text{d}y/f_x\) cet élément de \(\Omega_{K/k}\) étudié dans le cours. Notons \(K_C\) le diviseur des zéros et des pôles de \(\omega\).

Exercice

Dans la situation 09U0, supposons \(d \geq 3\) et que la courbe \(D\) ait exactement un point singulier, à savoir \(P = (1 : 0 : 0)\). Supposons en outre que le développement \[f(x, y) = xy + h.o.t\] soit valable au voisinage de \(P = (0, 0)\). Alors \(C\) a deux points \(v\) et \(w\) au-dessus de \(P\), caractérisés par \[v(x) = 1, v(y) > 1 \quad\text{et}\quad w(x) > 1, w(y) = 1\]

1. Montrer que l’élément \(\omega = \text{d}x/f_y = - \text{d}y/f_x\) de \(\Omega_{K/k}\) a un pôle simple en \(v\) et en \(w\). (Le comportement de \(\omega\) aux points non singuliers est celui étudié dans le cours.)

2. Nous avons montré dans le cours que \(\omega\) s’annule à l’ordre \(d - 3\) le long du diviseur \(X_0 = 0\) ramené sur \(C\) par le morphisme \(C \to D\). En combinant ce fait avec l’information de (1), quel est le degré du diviseur des zéros et des pôles de \(\omega\) sur \(C\) ?

3. Quel est le genre de la courbe \(C\) ?

Exercice

Dans la situation 09U0, supposons \(d = 5\) et que la courbe \(C = D\) soit non singulière. Nous avons montré dans le cours que le genre de \(C\) vaut \(6\) et que le système linéaire \(K_C\) est donné par \[L(K_C) = \{h\omega \mid h \in k[x, y],\ \deg(h) \leq 2\}\] où \(\deg\) désigne le degré total⁵. Soient \(P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 \in D\) des points deux à deux distincts situés dans l’ouvert affine \(X_0 \not = 0\). Notons \(\sum P_i = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5\) le diviseur correspondant sur \(C\).

1. Décrire \(L(K_C - \sum P_i)\) en termes de polynômes.

2. Quelles sont les valeurs possibles de \(l(\sum P_i)\) ?

Exercice

Donner un \(F\) comme dans la situation 09U0 avec \(d = 100\) tel que le genre de \(C\) soit \(0\).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(K/k\) une extension de corps finiment engendrée de degré de transcendance \(1\). Soit \(C\) la courbe abstraite correspondant à \(K\). Soit \(V \subset K\) un \(g^r_d\) et soit \(\Phi : C \to \mathbf{P}^r\) le morphisme correspondant. Montrer que l’image de \(C\) est contenue dans une quadrique⁶ si \(V\) est un système linéaire complet et si \(d\) est assez grand par rapport au genre de \(C\). (Bonus : donner une bonne borne pour le degré nécessaire.)

Exercice

Notations de la situation 09U0. Soit \(U \subset \mathbf{P}^2_k\) le sous-schéma ouvert dont le complémentaire est \(D\). Décrire la \(k\)-algèbre \(A = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(U)\). Donner une borne supérieure du nombre de générateurs de \(A\) comme \(k\)-algèbre.

Schémas, examen final, printemps 2014

Ces questions ont été posées lors de l’examen final d’un cours sur les schémas, donné au printemps 2014 à l’Université Columbia.

Exercice

Soit \((X, \mathcal{O}_X)\) un schéma. Donner la définition des notions en italique.

1. l’anneau local de \(X\) en un point \(x\),

2. un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules,

3. un faisceau cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules (supposer que \(X\) est localement noethérien),

4. un ouvert affine de \(X\),

5. un morphisme fini de schémas \(X \to Y\).

Exercice

Énoncer précisément un résultat non trivial étudié dans le cours qui se rapporte à chacun des sujets suivants.

1. l’invariance birationnelle des plurigenres des variétés,

2. le fait que la propriété d’un morphisme d’être affine est locale,

3. la topologie d’une fibre schématique d’un morphisme, et

4. le critère valuatif de propreté.

Exercice

Soit \(X = \mathbf{A}^2_\mathbf{C}\), où \(\mathbf{C}\) est le corps des nombres complexes. Une droite désignera un sous-schéma fermé de \(X\) défini par une équation linéaire \(ax + by + c = 0\) pour certains \(a, b, c \in \mathbf{C}\) tels que \((a, b) \not = (0, 0)\). Une courbe désignera un sous-schéma fermé irréductible (donc non vide) \(C \subset X\) de dimension \(1\). Une conique désignera une courbe définie par une équation quadratique \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\) pour certains \(a, b, c, d, e, f \in \mathbf{C}\) tels que \((a, b, c) \not = (0, 0, 0)\).

1. Trouver une courbe \(C\) telle que toute droite ait une intersection non vide avec \(C\).

2. Trouver une courbe \(C\) telle que toute droite et toute conique aient une intersection non vide avec \(C\).

3. Montrer que, pour toute courbe \(C\), il existe une autre courbe telle que \(C \cap C' = \emptyset\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(b : X \to \mathbf{A}^2_k\) l’éclatement du plan affine à l’origine. Autrement dit, si \(\mathbf{A}^2_k = \Spec(k[x, y])\), alors \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n)\) où \(\mathfrak m = (x, y) \subset k[x, y]\). Démontrer les assertions suivantes :

1. la fibre schématique \(E\) de \(b\) au-dessus de l’origine est isomorphe à \(\mathbf{P}^1_k\),

2. \(E\) est un diviseur de Cartier effectif sur \(X\),

3. la restriction de \(\mathcal{O}_X(-E)\) à \(E\) est un faisceau inversible de degré \(1\).

(Rappelons que \(\mathcal{O}_X(-E)\) est le faisceau d’idéaux de \(E\) dans \(X\).)

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) une variété projective sur \(k\). Montrer qu’il existe une variété affine \(U\) sur \(k\) et un morphisme surjectif de variétés \(U \to X\).

Exercice

Soit \(k\) un corps de caractéristique \(p > 0\) différente de \(2,3\). Considérons le sous-schéma fermé \(X\) de \(\mathbf{P}^n_k\) défini par \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i = 0,\quad \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i^2 = 0,\quad \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i^3 = 0\] Pour quelles paires \((n, p)\) cette variété est-elle singulière ?

Algèbre commutative, examen final, automne 2016

Ces questions ont été posées lors de l’examen final d’un cours d’algèbre commutative, donné à l’automne 2016 à l’Université Columbia.

Exercice

Soit \(R\) un anneau. Donner la définition des notions en italique.

1. l’anneau local de \(R\) en un idéal premier \(\mathfrak p\),

2. un \(R\)-module de type fini,

3. un \(R\)-module de présentation finie,

4. \(R\) est régulier,

5. \(R\) est caténaire,

6. \(R\) est de Cohen-Macaulay.

Exercice

Énoncer précisément un résultat non trivial étudié dans le cours qui se rapporte à chacun des sujets suivants.

1. les anneaux réguliers,

2. les idéaux premiers associés des modules de Cohen-Macaulay,

3. la dimension d’un anneau intègre de type fini sur un corps, et

4. le théorème de Chevalley.

Exercice

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux tel que

1. \(A\) soit local, d’idéal maximal \(\mathfrak m\),

2. \(A \to B\) soit fini⁷,

3. \(A \to B\) soit injectif (nous considérons \(A\) comme un sous-anneau de \(B\)).

Montrer qu’il existe un idéal premier \(\mathfrak q \subset B\) tel que \(\mathfrak m = A \cap \mathfrak q\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(R = k[x, y, z, w]\). Considérons l’idéal \(I = (xy, xz, xw)\). Quelles sont les composantes irréductibles de \(V(I) \subset \Spec(R)\) et quelles sont leurs dimensions ?

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soient \(A = k[x, x^{-1}]\) et \(B = k[y]\). Montrer que tout homomorphisme de \(k\)-algèbres \(\varphi : A \to B\) envoie \(x\) sur une constante.

Exercice

Considérons l’anneau \(R = \mathbf{Z}[x, y]/(xy - 7)\). Démontrer que \(R\) est régulier.

Étant donné un anneau local noethérien \((R, \mathfrak m, \kappa)\), pour \(n \geq 0\), posons \(\varphi_R(n) = \dim_\kappa(\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1})\).

Exercice

Existe-t-il un anneau local noethérien \(R\) tel que \(\varphi_R(n) = n + 1\) pour tout \(n \geq 0\) ?

Exercice

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Supposons que \(\varphi_R(0) = 1\), \(\varphi_R(1) = 3\), \(\varphi_R(2) = 5\). Montrer que \(\varphi_R(3) \leq 7\).

Schémas, examen final, printemps 2017

Ces questions ont été posées lors de l’examen final d’un cours sur les schémas, donné au printemps 2017 à l’Université Columbia.

Exercice

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Donner une brève définition des notions en italique.

1. la fibre schématique de \(f\) en \(y \in Y\),

2. \(f\) est un morphisme fini,

3. un faisceau quasi-cohérent de \(\mathcal{O}_X\)-modules,

4. \(X\) est une variété,

5. \(f\) est un morphisme lisse,

6. \(f\) est un morphisme propre.

Exercice

Énoncer avec précision, mais brièvement, un résultat non trivial étudié dans le cours en rapport avec chacun des sujets suivants.

1. l’image directe des faisceaux quasi-cohérents,

2. la cohomologie des faisceaux cohérents sur les variétés projectives,

3. la dualité de Serre pour un schéma projectif sur un corps, et

4. la formule de Riemann-Hurwitz.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(\ell > 100\) un nombre premier différent de la caractéristique de \(k\). Soit \(X\) le modèle projectif non singulier de la courbe affine donnée par l’équation \[y^\ell = x(x - 1)^3\] dans \(\mathbf{A}^2_k\). Répondre aux questions suivantes :

1. Quel est le genre de \(X\) ?

2. Donner une borne supérieure pour la gonalité⁸ de \(X\).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma réduit, projectif sur \(k\), dont toutes les composantes irréductibles sont de même dimension \(1\). Soit \(\omega_{X/k}\) le module dualisant relatif. Montrer que, si \(\dim_k H^1(X, \omega_{X/k}) > 1\), alors \(X\) est non connexe.

Exercice

Donner un exemple d’un schéma \(X\) et d’un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible non trivial \(\mathcal{L}\) tels que \(H^0(X, \mathcal{L})\) et \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\) soient tous deux non nuls.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(g \geq 3\). Soient \(X\) et \(X'\) des courbes projectives lisses sur \(k\), de genres respectifs \(g\) et \(g + 1\). Soit \(Y \subset X \times X'\) une courbe telle que les projections \(Y \to X\) et \(Y \to X'\) soient non constantes. Démontrer que le modèle projectif non singulier de \(Y\) est de genre \(\geq 2g + 1\).

Exercice

Soit \(k\) un corps fini. Soit \(g > 1\). Esquisser une démonstration de ce qui suit : il n’existe qu’un nombre fini de classes d’isomorphisme de courbes projectives lisses sur \(k\) et de genre \(g\). (Même une simple tentative de réponse sera prise en compte.)

Algèbre commutative, examen final, automne 2017

Voici les questions posées à l’examen final d’un cours d’algèbre commutative, à l’automne 2017, à l’Université Columbia.

Exercice

Donner une brève définition de chacun des concepts en italique.

1. l’adjoint à gauche d’un foncteur \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\),

2. le degré de transcendance d’une extension de corps \(L/K\),

3. une fonction régulière sur une variété affine classique \(X \subset k^n\),

4. un faisceau sur un espace topologique,

5. un anneau local, et

6. un morphisme de schémas \(f : X \to Y\) qui est affine.

Exercice

Énoncer avec précision mais brièvement un résultat non trivial vu en cours relatif à chacun des points suivants (s’il en existe plusieurs, en choisir un seul).

1. lemme de Yoneda,

2. suite de Mayer-Vietoris,

3. dimension et cohomologie,

4. polynôme de Hilbert, et

5. dualité pour l’espace projectif.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Considérons la partie fermée \(X\) de \(k^5\) muni de la topologie de Zariski et des coordonnées \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\), définie par les équations \[x_1^2 - x_4 = 0,\quad x_2^5 - x_5 = 0,\quad x_3^2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0\] Quelle est la dimension de \(X\), et pourquoi ?

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \mathbf{P}^1_k\) l’espace projectif de dimension \(1\) sur \(k\). Soit \(\mathcal{E}\) un \(\mathcal{O}_X\)-module localement libre de rang fini. Pour \(d \in \mathbf{Z}\), notons \(\mathcal{E}(d) = \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(d)\) le tordu de Serre d’indice \(d\) de \(\mathcal{E}\) et \(h^i(X, \mathcal{E}(d)) = \dim_k H^i(X, \mathcal{E}(d))\).

1. Pourquoi n’existe-t-il pas de \(\mathcal{E}\) tel que \(h^0(X, \mathcal{E}) = 5\) et \(h^0(X, \mathcal{E}(1)) = 4\) ?

2. Pourquoi n’existe-t-il pas de \(\mathcal{E}\) tel que \(h^1(X, \mathcal{E}(1)) = 5\) et \(h^1(X, \mathcal{E}) = 4\) ?

3. Pour quels \(a \in \mathbf{Z}\) peut-il exister un fibré vectoriel \(\mathcal{E}\) sur \(X\) tel que \[\begin{matrix} h^0(X, \mathcal{E})\phantom{(1)} = 1 & h^1(X, \mathcal{E})\phantom{(1)} = 1 \\ h^0(X, \mathcal{E}(1)) = 2 & h^1(X, \mathcal{E}(1)) = 0 \\ h^0(X, \mathcal{E}(2)) = 4 & h^1(X, \mathcal{E}(2)) = a \end{matrix}\]

Les réponses partielles sont les bienvenues et vivement encouragées.

Exercice

Soit \(X\) un espace topologique qui est la réunion \(X = Y \cup Z\) de deux parties fermées \(Y\) et \(Z\), dont l’intersection est notée \(W = Y \cap Z\). Notons \(i : Y \to X\), \(j : Z \to X\) et \(k : W \to X\) les applications d’inclusion.

1. Montrer qu’il existe une suite exacte courte de faisceaux \[0 \to \underline{\mathbf{Z}}_X \to i_*(\underline{\mathbf{Z}}_Y) \oplus j_*(\underline{\mathbf{Z}}_Z) \to k_*(\underline{\mathbf{Z}}_W) \to 0\] où \(\underline{\mathbf{Z}}_X\) désigne le faisceau constant de valeur \(\mathbf{Z}\) sur \(X\), et ainsi de suite.

2. Quelle relation peut-on en déduire entre les groupes de cohomologie de \(X\), \(Y\), \(Z\) et \(W\) à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) ?

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(A = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\) l’anneau de polynômes en une infinité d’indéterminées. Notons \(\mathfrak m\) l’idéal maximal de \(A\) engendré par toutes les indéterminées. Soient \(X = \Spec(A)\) et \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\).

1. Montrer que \(H^1(U, \mathcal{O}_U) = 0\). Indication : calcul de cohomologie de Čech.

2. Quelle valeur conjecturez-vous pour \(H^i(U, \mathcal{O}_U)\) lorsque \(i \geq 1\) ?

Exercice

Soit \(A\) un anneau local. Soit \(a \in A\) un non diviseur de zéro. Soient \(I, J \subset A\) des idéaux tels que \(IJ = (a)\). Montrer que l’idéal \(I\) est principal, c’est-à-dire engendré par un seul élément (qui se révélera être un non diviseur de zéro).

Schémas, examen final, printemps 2018

Voici les questions posées à l’examen final d’un cours sur les schémas, au printemps 2018, à l’Université Columbia.

Exercice

Donner une brève définition de chacun des concepts en italique. Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective sur \(k\).

1. une algèbre lisse sur \(k\),

2. le degré d’un \(\mathcal{O}_X\)-module inversible sur \(X\),

3. le genre de \(X\),

4. le groupe des classes de diviseurs de Weil de \(X\),

5. \(X\) est hyperelliptique, et

6. le nombre d’intersection de deux courbes sur une surface projective lisse sur \(k\).

Exercice

Énoncer avec précision mais brièvement un résultat non trivial vu en cours relatif à chacun des points suivants (s’il en existe plusieurs, en choisir un seul).

1. théorème de Riemann-Hurwitz,

2. théorème de Clifford,

3. factorisation des morphismes entre surfaces projectives lisses,

4. théorème de l’indice de Hodge, et

5. hypothèse de Riemann pour les courbes sur les corps finis.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X \subset \mathbf{P}^3_k\) une courbe lisse de degré \(d\) et de genre \(\geq 2\). Supposons que \(X\) ne soit contenue dans aucun plan et qu’il existe une droite \(\ell\) de \(\mathbf{P}^3_k\) rencontrant \(X\) en \(d - 2\) points. Montrer que \(X\) est hyperelliptique.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) une courbe projective ayant pour points singuliers deux à deux distincts \(p_1, \ldots, p_n\). Expliquer pourquoi le genre de la normalisée de \(X\) est au plus \(-n + \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X = \Spec(k[x, y])\) l’espace affine de dimension \(2\). Soit \[I = (x^3, x^2y, xy^2, y^3) \subset k[x, y].\] Soit \(Y \subset X\) le sous-schéma fermé correspondant à \(I\). Soit \(b : X' \to X\) l’éclatement de l’idéal \((x, y)\), c’est-à-dire l’éclatement de l’espace affine en l’origine.

1. Montrer que l’image réciproque schématique \(b^{-1}Y \subset X'\) est un diviseur de Cartier effectif.

2. Donner un exemple d’idéal \(J \subset k[x, y]\) tel que \(I \subset J \subset (x, y)\) et que, si \(Z \subset X\) est le sous-schéma fermé correspondant à \(J\), alors l’image réciproque schématique \(b^{-1}Z\) ne soit pas un diviseur de Cartier effectif.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Considérons les types de surfaces suivants :

1. \(S = C_1 \times C_2\) où \(C_1\) et \(C_2\) sont des courbes projectives lisses,

2. \(S = C_1 \times C_2\) où \(C_1\) et \(C_2\) sont des courbes projectives lisses et le genre de \(C_1\) est \(> 0\),

3. \(S \subset \mathbf{P}^3_k\) est une hypersurface de degré \(4\), et

4. \(S \subset \mathbf{P}^3_k\) est une hypersurface lisse de degré \(4\).

Pour chaque type, indiquer brièvement si la classe des surfaces de ce type contient ou non des surfaces rationnelles, et pourquoi.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(S \subset \mathbf{P}^3_k\) une hypersurface lisse de degré \(d\). Supposons que \(S\) contienne une droite \(\ell\). Quelle est l’auto-intersection de \(\ell\) considérée comme diviseur sur \(S\) ?

Algèbre commutative, examen final, automne 2019

Voici les questions posées à l’examen final d’un cours d’algèbre commutative, à l’automne 2019, à l’Université Columbia.

Exercice

Donner une brève définition de chacun des concepts en italique.

1. une partie constructible d’un espace topologique noethérien,

2. la localisation d’un \(R\)-module \(M\) en un idéal premier \(\mathfrak p\),

3. la longueur d’un module sur un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m, \kappa)\),

4. un module projectif sur un anneau \(R\), et

5. un module de Cohen-Macaulay sur un anneau local noethérien \((A, \mathfrak m, \kappa)\).

Exercice

Énoncer avec précision mais brièvement un résultat non trivial vu en cours relatif à chacun des points suivants (s’il en existe plusieurs, en choisir un seul).

1. images de parties constructibles,

2. théorème des zéros de Hilbert,

3. dimension des algèbres de type fini sur un corps,

4. lemme de normalisation de Noether, et

5. anneaux locaux réguliers.

Pour un anneau \(R\) et un idéal \(I \subset R\), rappelons que \(V(I)\) désigne l’ensemble des \(\mathfrak p \in \Spec(R)\) tels que \(I \subset \mathfrak p\).

Exercice

Construire une infinité d’idéaux premiers distincts \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x, y]\) tels que \(V(\mathfrak p)\) contienne \((x, y)\) et \((x - 1, y - 1)\).

Exercice

Soit \(R = \mathbf{C}[x, y, z]/(xy)\). Justifier brièvement qu’il n’existe pas d’idéal premier \(\mathfrak p \subset R\) tel que \(V(\mathfrak p)\) contienne \((x, y - 1, z - 5)\) et \((x - 1, y, z - 7)\).

Exercice

Soit \(p\) un nombre premier (on pourra supposer \(p = 2\) pour simplifier les formules). Soit \(R\) un anneau tel que \(p = 0\) dans \(R\).

1. Montrer que l’application \(F : R \to R\), \(x \mapsto x^p\) est un homomorphisme d’anneaux.

2. Montrer que \(\Spec(F) : \Spec(R) \to \Spec(R)\) est l’identité.

Rappelons qu’une spécialisation \(x \leadsto y\) de points d’un espace topologique signifie simplement que \(y\) appartient à l’adhérence de \(x\). Nous disons que \(x \leadsto y\) est une spécialisation immédiate s’il n’existe aucun \(z\) distinct de \(x\) et de \(y\) tel que \(x \leadsto z\) et \(z \leadsto y\).

Exercice

Supposons que nous ayons un espace topologique sobre \(X\) contenant \(5\) points distincts \(x, y, z, u, v\) et ayant les spécialisations suivantes : \[\xymatrix{ x \ar[d] \ar[r] & u & v \ar[l] \ar[dl] \\ y \ar[r] & z }\] Quelle est la dimension minimale que peut avoir un tel \(X\) ? Si \(X\) est le spectre d’une algèbre de type fini sur un corps et si \(x \leadsto u\) est une spécialisation immédiate, que peut-on dire de la spécialisation \(v \leadsto z\) ?

Exercice

Soit \(R = \mathbf{C}[x, y, z]\). Soient \(M = R/(x, z)\) et \(N = R/(y, z)\). Pour quels \(i \in \mathbf{Z}\) le module \(\text{Tor}_i^R(M, N)\) est-il non nul ?

Exercice

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens. Montrer que, si \(A\) est de profondeur \(k\), alors \(B\) est de profondeur au moins \(k\).

Géométrie algébrique, examen final, printemps 2020

Voici les questions posées à l’examen final d’un cours de géométrie algébrique, au printemps 2020, à l’Université Columbia.

Exercice

Donner une brève définition de chacun des concepts en italique.

1. un schéma,

2. un morphisme de schémas,

3. un module quasi-cohérent sur un schéma,

4. une variété sur un corps \(k\),

5. une courbe sur un corps \(k\),

6. un morphisme fini de schémas,

7. la cohomologie d’un faisceau de groupes abéliens \(\mathcal{F}\) sur un espace topologique \(X\),

8. un faisceau dualisant sur un schéma \(X\) de dimension \(d\) propre sur un corps \(k\), et

9. une application rationnelle d’une variété \(X\) dans une variété \(Y\).

Exercice

Énoncer avec précision mais brièvement un résultat non trivial vu en cours relatif à chacun des points suivants (s’il en existe plusieurs, en choisir un seul).

1. cohomologie des faisceaux abéliens sur un espace topologique noethérien \(X\) de dimension \(d\),

2. faisceau des différentielles \(\Omega^1_{X/k}\) d’une variété lisse sur un corps \(k\),

3. faisceau dualisant \(\omega_X\) d’une variété projective lisse \(X\) sur le corps \(k\),

4. une courbe propre lisse de genre \(0\) sur un corps algébriquement clos \(k\), et

5. le genre d’une courbe plane de degré \(d\).

Exercice

Soit \(k\) un corps. Soit \(X\) un schéma sur \(k\). Supposons que \(X = X_1 \cup X_2\) soit un recouvrement ouvert, \(X_1\) et \(X_2\) étant tous deux isomorphes à \(\mathbf{P}^1_k\), et \(X_1 \cap X_2\) étant isomorphe à \(\mathbf{A}^1_k\). (Un tel schéma existe : par exemple, on peut prendre \(\mathbf{P}^1_k\) avec le point \(\infty\) dédoublé.) Montrer que \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\) est infinie.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(Y\) une courbe projective lisse de genre \(10\). Trouver une bonne borne inférieure pour le genre d’une courbe projective lisse \(X\) telle qu’il existe un morphisme non constant \(f : X \to Y\) qui ne soit pas un isomorphisme.

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos de caractéristique \(0\). Soit \[X : T_0^d + T_1^d - T_2^d = 0 \subset \mathbf{P}^2_k\] la courbe de Fermat de degré \(d \geq 3\). Considérons les points fermés \(p = [1 : 0 : 1]\) et \(q = [0 : 1 : 1]\) de \(X\). Posons \(D = [p] - [q]\).

1. Montrer que \(D\) est non trivial dans le groupe des classes de diviseurs de Weil.

2. Montrer que \(d D\) est trivial dans le groupe des classes de diviseurs de Weil. (Indication : essayer de montrer que \(d[p]\) et \(d[q]\) sont tous deux l’intersection de \(X\) avec une droite du plan.)

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Considérons le plongement \(2\)-uple \[\varphi : \mathbf{P}^2 \longrightarrow \mathbf{P}^5\] Dans la terminologie et les notations du cours, il s’agit du morphisme \[\varphi = \varphi_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(2)} : \mathbf{P}^2 \longrightarrow \mathbf{P}(\Gamma(\mathbf{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(2)))\] En coordonnées homogènes, il est donné par \[[a_0 : a_1 : a_2] \longmapsto [a_0^2 : a_0a_1 : a_0a_2 : a_1^2 : a_1a_2 : a_2^2]\] C’est une immersion fermée (on pourra simplement l’admettre). Soit \(I \subset k[T_0, \ldots, T_5]\) l’idéal homogène de \(\varphi(\mathbf{P}^2)\), c’est-à-dire que les éléments de la composante homogène \(I_d\) sont les polynômes homogènes \(F(T_0, \ldots, T_5)\) de degré \(d\) dont la restriction au sous-schéma fermé \(\varphi(\mathbf{P}^2)\) est nulle. Calculer \(\dim_k I_d\) en fonction de \(d\).

Exercice

Soit \(k\) un corps algébriquement clos. Soit \(X\) un schéma propre de dimension \(d\) sur \(k\), muni d’un module dualisant \(\omega_X\). On dispose des informations suivantes :

1. \(\text{Ext}^i_X(\mathcal{F}, \omega_X) \times H^{d - i}(X, \mathcal{F}) \to H^d(X, \omega_X) \xrightarrow{t} k\) est non dégénéré pour tout \(i\) et tout \(\mathcal{O}_X\)-module cohérent \(\mathcal{F}\), et

2. \(\omega_X\) est localement libre de rang fini, disons \(r\).

Montrer que \(r = 1\). (Indication : examiner ce qui se passe en prenant pour \(\mathcal{F}\) un module convenable dont le support est un point fermé.)

Algèbre commutative, examen final, automne 2021

Les questions suivantes ont été posées lors de l’examen final d’un cours d’algèbre commutative, donné à l’automne 2021 à l’Université Columbia.

Exercice

Donner des définitions succinctes des notions en italique.

1. une partie multiplicative d’un anneau \(A\),

2. un anneau artinien \(A\),

3. le spectre d’un anneau \(A\) en tant qu’espace topologique,

4. un homomorphisme d’anneaux plat \(A \to B\),

5. la hauteur d’un idéal premier \(\mathfrak p\) de \(A\), et

6. les foncteurs \(\text{Tor}^A_i(-, -)\) sur un anneau \(A\).

Exercice

Énoncer avec précision mais brièvement un résultat non trivial vu en cours se rapportant à chacun des points suivants (s’il y en a plusieurs, n’en choisir qu’un seul).

1. les anneaux artiniens,

2. la platitude et les idéaux premiers,

3. les longueurs des \(A/\mathfrak m^n\) lorsque \((A, \mathfrak m)\) est un anneau local noethérien,

4. la formule de dimension pour les anneaux noethériens universellement caténaires,

5. la complétion d’un anneau local noethérien, et

6. la dualité de Matlis pour les anneaux locaux artiniens.

Exercice

Quelle est la structure du groupe des unités de \(\mathbf{Z}[x, 1/x]\) en tant que groupe abélien ? Aucune justification n’est nécessaire.