연습문제

대수

이 첫 절에는 여러 가지 잡다한 문제를 모아 두었다.

연습문제

\(A\)를 환, \({\mathfrak m}\)을 극대 아이디얼이라 하자. \(A[X]\)에서 \(\tilde {\mathfrak m}_1 = ({\mathfrak m}, X)\) 및 \(\tilde {\mathfrak m}_2 = ({\mathfrak m}, X-1)\)이라 하자. 다음을 보여라. \[A[X]_{\tilde {\mathfrak m}_1} \cong A[X]_{\tilde {\mathfrak m}_2}.\]

연습문제

뇌터 환이 아닌 환 \(R\)로서, \(R\)의 모든 유한 생성 아이디얼이 \(R\)-가군으로서 유한 표시되는 예를 찾아라. (마지막 성질이 성립하는 환을 코히어런트라고 한다.)

연습문제

\((A, {\mathfrak m}, k)\)가 뇌터 국소환이라고 하자. 임의의 유한 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 \(r(M)\)을 \(A\)-가군으로서 \(M\)을 생성하는 생성원의 최소 개수라 정의하자. NAK에 의하여 이 수는 \(\dim_k M/{\mathfrak m} M = \dim_k M \otimes_A k\)와 같다.

1. \(r(M \otimes_A N) = r(M)r(N)\)임을 보여라.

2. \(r(I) > 1\)인 아이디얼 \(I\subset A\)를 잡자. 다음을 보여라. \(r(I^2) < r(I)^2\).

3. \(A\)의 모든 아이디얼이 평탄 가군이면 \(A\)가 주 아이디얼 정역 (또는 체)임을 결론지어라.

연습문제

\(k\)를 체라 하자. 다음 \(k\)-대수의 각 쌍이 동형이 아님을 보여라.

1. 임의의 \(n\geq 1\)에 대하여 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)과 \(k[x_1, \ldots, x_{n + 1}]\).

2. \(k[a, b, c, d, e, f]/(ab + cd + ef)\)와 \(k[x_1, \ldots, x_n]\), 여기서 \(n = 5\).

3. \(k[a, b, c, d, e, f]/(ab + cd + ef)\)와 \(k[x_1, \ldots, x_n]\), 여기서 \(n = 6\).

주

물론 이 연습문제의 취지는 각 경우에 “큰” 정리를 적용하기보다 간단한 논증을 찾는 데 있다. 그럼에도 일반 원리를 지침으로 삼는 것은 좋다.

연습문제

대수. (사소하며 쉬워야 한다.)

1. 환 \(A\)와, 분할되지 않는 다음과 같은 \(A\)-가군의 짧은 완전열의 예를 들어라. \[0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0.\]

2. 위와 같이 분할되지 않는 \(A\)-가군의 열과 충실히 평탄한 \(A \to B\)의 예로서, 다음 열이 \(B\)-가군의 열로서는 분할되는 예를 들어라. \[0 \to M_1\otimes_A B \to M_2\otimes_A B \to M_3\otimes_A B \to 0.\]

연습문제

\(k\)가 1의 원시 \(n\)제곱근 \(\zeta\)를 갖는 체라고 하자. 이는 \(\zeta^n = 1\)이지만 \(0 < m < n\)이면 \(\zeta^m\not = 1\)이라는 뜻이다.

1. \(k\)의 표수가 \(n\)과 서로소임을 보여라.

2. \(a \in k\)가 \(k\)의 원소이고, \(n \geq d > 1\)인 \(n\)의 임의의 약수 \(d\)에 대하여 \(k\)에서 \(d\)제곱이 아니라고 하자. \(k[x]/(x^n-a)\)가 체임을 보여라. (힌트: \(x^n-a\)의 분해체를 생각하고 Galois 이론을 사용하라.)

연습문제

\(\nu : k[x]\setminus \{0\} \to {\mathbf Z}\)가 다음 성질을 갖는 사상이라고 하자. \(f\), \(g\)가 영이 아니면 \(\nu(fg) = \nu(f) + \nu(g)\)이고, \(f\), \(g\), \(f + g\)가 영이 아니면 \(\nu(f + g) \geq min(\nu(f), \nu(g))\)이며, 모든 \(c\in k^*\)에 대하여 \(\nu(c) = 0\)이다.

1. \(f\), \(g\), \(f + g\)가 영이 아니고 \(\nu(f) \not = \nu(g)\)이면 \(\nu(f + g) = min(\nu(f), \nu(g))\)임을 보여라.

2. \(f = \sum a_i x^i\), \(f\not = 0\)이면 \(\nu(f) \geq min(\{i\nu(x)\}_{a_i\not = 0})\)임을 보여라. 언제 등호가 성립하는가?

3. \(\nu\)가 음의 값을 취하면 어떤 \(n\in {\mathbf N}\)에 대하여 \(\nu(f) = -n \deg(f)\)임을 보여라.

4. \(\nu(x) \geq 0\)이라고 하자. 다음 집합이 \(k[x]\)의 소 아이디얼임을 보여라. \(\{f \mid f = 0, \ or\ \nu(f) > 0\}\).

5. 가능한 모든 \(\nu\)를 기술하라.

\(A\)를 환이라 하자. 멱등원은 \(e^2 = e\)를 만족하는 원소 \(e \in A\)이다. 원소 \(1\)과 \(0\)은 언제나 멱등원이다. 비자명한 멱등원은 영과 같지 않은 멱등원이다. 두 멱등원 \(e, e' \in A\)가 직교한다는 것은 \(ee' = 0\)이라는 뜻이다.

연습문제

\(A\)를 환이라 하자. \(A\)가 두 영이 아닌 환의 곱일 필요충분조건은 \(A\)가 비자명한 멱등원을 갖는 것임을 보여라.

연습문제

\(A\)를 환, \(I \subset A\)를 국소 멱영 아이디얼이라 하자. 사상 \(A \to A/I\)가 멱등원들 사이의 전단사를 유도함을 보여라. (힌트: 먼저 \(I\)가 멱영인 경우를 증명하는 편이 더 쉬울 수 있다. 그런 다음 “절대 뇌터 축소”를 사용하여 멱영인 경우로 귀착하라.)

여극한

정의

유향 집합이란 준순서 \(\leq\)를 갖춘 공집합이 아닌 집합 \(I\)으로서, 임의의 쌍 \(i, j \in I\)에 대해, \(i \leq k\) 및 \(j \leq k\)를 만족하는 \(k \in I\)가 존재하는 것을 말한다. \(I\) 위의 환의 계란, 각 \(i \in I\)에 대한 환 \(A_i\)과, \(i \leq j\)일 때의 환 준동형 \(\varphi_{ij} : A_i \to A_j\)로서, \(i \leq j \leq k\)일 때 합성 \(A_i \to A_j \to A_k\)가 \(A_i \to A_k\)와 같아지는 것들로 이루어진 것이다.

마찬가지로 군의 계, 고정된 환 위의 가군의 계, 체 위의 벡터 공간의 계 등을 정의한다.

연습문제

\(I\)를 유향 집합, \((A_i, \varphi_{ij})\)를 \(I\) 위의 환의 계라고 한다. 환 \(A\)과 사상 \(\varphi_i : A_i \to A\)가 있으며, 모든 \(i \leq j\)에 대해 \(\varphi_j \circ \varphi_{ij} = \varphi_i\)가 되고, 또한 다음과 같은 보편성을 가지는 것이 존재함을 보이라: 임의의 환 \(B\)과, 모든 \(i \leq j\)에 대해 \(\psi_j \circ \varphi_{ij} = \psi_i\)를 만족하는 사상 \(\psi_i : A_i \to B\)이 주어졌을 때, \(\psi_i = \psi \circ \varphi_i\)를 만족하는 유일한 환 준동형 \(\psi : A \to B\)가 존재한다.

정의

연습 078J 으로 구성한 환 \(A\)을, 이 계의 여극한 이라고 한다. 표기는 \(\colim A_i\)로 한다.

연습문제

\((I, \geq)\)을 유향 집합, \((A_i, \varphi_{ij})\)을 \(I\) 위의 환의 계로 하고, 그 여극한을 \(A\) 라 하자. 다음 전단사가 존재함을 증명하라: \[\Spec(A) = \{(\mathfrak p_i)_{i \in I} \mid \mathfrak p_i \subset A_i \text{ 이고 } \mathfrak p_i = \varphi_{ij}^{-1}(\mathfrak p_j)\ \forall i \leq j\} \subset \prod\nolimits_{i \in I} \Spec(A_i)\] 오른쪽 집합은 집합들 \(\Spec(A_i)\)의 역극한이다. 표기는 \(\lim \Spec(A_i)\)로 한다.

연습문제

\((I, \geq)\)를 유향 집합으로 하고, \((A_i, \varphi_{ij})\)를 \(I\) 위의 환의 계로 하며, 그 여극한을 \(A\)라고 하자. 모든 \(i \leq j\)에 대해 \(\Spec(A_j) \to \Spec(A_i)\)가 전사라고 가정하자. 이때, 모든 \(i\)에 대해 \(\Spec(A) \to \Spec(A_i)\)가 전사임을 보이라. (힌트: Tychonoff 정리를 사용해도 되지만, 대수, 보조정리 00E7에 근거한 본질적으로 자명한 직접적인 대수적 증명도 있다.)

연습문제

\(A \subset B\)를 정수적 환 확대라 하자. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 전사임을 증명하라. 위 연습문제와, 유한 환 확대의 경우에 이 명제가 성립한다는 강의의 결과, 그리고 \(B = \colim B_i\)가 유한 확대 \(A \subset B_i\)들의 유향 여극한이라는 사실을 사용하라.

연습문제

\((I, \geq)\)를 유향 집합으로 하자. \(A\)를 환으로 하고, \((N_i, \varphi_{i, i'})\)를 \(I\)로 첨자 붙은 \(A\)-가군의 유향계로 하자. \(M\)를 다른 \(A\)-가군으로 하자. 다음을 증명하라: \[\colim_{i\in I} M \otimes_A N_i\cong M \otimes_A \Big( \colim_{i\in I} N_i\Big).\]

정의

\(R\) 위의 가군 \(M\)가 \(R\) 위에서 유한 표현이라는 것은 유한 자유 가군의 사상 \(R^{\oplus n} \to R^{\oplus m}\)의 여핵과 동형임을 의미한다.

연습문제

임의의 환 위의 임의의 가군이 다음과 같이 표현될 수 있음을 증명하라:

1. 그 유한 생성 부분 가군들의 여극한,

2. 어떤 방식으로든 유한 표현 가군들의 여극한.

가법 범주와 Abel 범주

연습문제

\(k\)을 체로 한다.\(\mathcal{C}\)를 \(k\) 위의 여과 벡터 공간의 범주로 한다. 임의의 범주의 여과 대상의 정의에 대해서는 호몰로지, 정의 0121 를 참조하라.

1. 이것이 가법 범주임을 보여라(두 대상의 직접 합이 무엇인지를 주의 깊게 설명하라).

2. \(f : (V, F) \to (W, F)\)를 \(\mathcal{C}\)의 사상으로 하자. \(f\)가 핵과 여핵을 가짐을 보여라(\(f\)의 핵과 여핵이 무엇인지를 정확히 설명하라).

3. 표준 사상 \(\Coim(f) \to \Im(f)\)가 동형이 아닌 \(\mathcal{C}\)의 사상의 예를 들어라.

연습문제

\(R\)를 뇌터 정역으로 하자. \(\mathcal{C}\)를 유한 생성 비틀림 없는 \(R\)-가군의 범주로 하자.

1. 이것이 가법 범주임을 증명하라.

2. \(f : N \to M\)를 \(\mathcal{C}\)의 사상으로 하자. \(f\)가 핵과 여핵을 가진다는 것을 보이라(\(f\)의 핵과 여핵을 반드시 정확히 정의하라).

3. 표준 사상 \(\Coim(f) \to \Im(f)\)이 동형이 아닌 뇌터 정역 \(R\)와 \(\mathcal{C}\)의 사상의 예를 들라.

연습문제

가법적이며 핵과 여핵을 가지지만, 연습 057Y 및 057Z 의 것과는 다른 범주의 예를 들어라.

텐서곱

텐서곱은 대수, 절 00CV에서 도입하였다. \(R\)를 환으로 하고, \(\text{Mod}_R\)를 \(R\)-가군의 범주로 한다. 함자 \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\)에 대해 다음과 같이 말한다:

1. 임의의 \(R\)-가군 \(M, N\)에 대해 \(F : \Hom_R(M, N) \to \Hom_R(F(M), F(N))\)가 아벨 군의 준동형일 때, 가법적이라고 한다. 호몰로지, 정의 00ZY를 참조하라.

2. 임의의 \(R\)-가군 \(M, N\)에 대하여 \(F : \Hom_R(M, N) \to \Hom_R(F(M), F(N))\)가 \(R\)-선형일 때, \(R\)-선형이라고 한다.

3. 임의의 짧은 완전열 \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\)에 대하여 열 \(F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3) \to 0\)가 완전할 때, 오른쪽 완전하다고 한다.

4. 임의의 짧은 완전열 \(0 \to M_1 \to M_2 \to M_3 \to 0\)에 대해 열 \(0 \to F(M_1) \to F(M_2) \to F(M_3)\)가 완전할 때, 왼쪽 완전하다고 한다.

5. 집합 \(I\)과 \(R\)-가군 \(M_i\)이 주어졌을 때, 사상 \(F(M_i) \to F(\bigoplus M_i)\)이 동형 \(\bigoplus F(M_i) = F(\bigoplus M_i)\)을 유도한다면, 직합과 가환한다고 한다.

연습문제

\(R\)를 환으로 하고, 위의 표기법을 사용한다.

1. \(R\)-선형이 아닌 가법적 함자를 \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\) 갖는 환 \(R\)의 예를 들어라.

2. \(N\)를 \(R\)-가군이라고 하자. 함자 \(F(M) = M \otimes_R N\)가 \(R\)-선형이며 오른쪽 완전임을 보이고, 직합과 가환함을 증명하라.

3. 반대로, \(R\)-선형이며 오른쪽 완전이고, 직합과 가환하는 임의의 함자 \(F : \text{Mod}_R \to \text{Mod}_R\)는, 어떤 \(R\)-가군 \(N\)에 의해 \(F(M) = M \otimes_R N\)의 형태로 나타낼 수 있음을 증명하라.

4. (3)에서, \(F\)가 직합과 가환한다는 가정을 제거하면, 결론이 더 이상 성립하지 않음을 보여라.

평탄한 환 사상

연습문제

\(S\)를 환 \(A\)의 곱셈적 부분집합으로 하자.

1. \(A\)-가군 \(M\)에 대해서 \(S^{-1}M = S^{-1}A \otimes_A M\)를 증명하라.

2. \(S^{-1}A\)가 \(A\) 위에서 평탄함을 증명하라.

연습문제

다음 각 경우에, \(A\)-가군의 단사 \(M_1 \to M_2\) 이면서 \(M_1\otimes N \to M_2 \otimes N\)가 단사가 아닌 것을 찾아라:

1. \(A = k[x, y]\) 그리고 \(N = (x, y) \subset A\). (여기서도, 이하에서도 \(k\)는 체로 한다.)

2. \(A = k[x, y]\) 그리고 \(N = A/(x, y)\).

연습문제

환 \(A\)과 유한 \(A\)-가군 \(M\) 중 평탄하지만 사영적이지 않은 \(A\)-가군의 예를 들어라.

주

\(M\)가 유한 표현을 가지며, \(A\) 위에서 평탄하다면, \(M\)는 \(A\) 위에서 사영적이다. 따라서, 요구하는 예에서는 환 \(A\)은 뇌터 환이 아닐 필요가 있다. 나는 \({\mathbf R}\) 위의 \({\mathcal C}^\infty\)-함수의 환을 \(A\)로 하는 예를 알고 있다.

연습문제

\({\mathbf Z}_{(2)}\) 위의 평탄하지만 자유롭지 않은 가군을 찾아라.

연습문제

평탄 변형.

1. \(k\)를 체로 하고, \(k[\epsilon]\)를 쌍대수 환 \(k[\epsilon] = k[x]/(x^2)\)로 하고, \(\epsilon = \bar x\)로 한다. 임의의 \(k\)-대수 \(A\)에 대해, \(A\)가 \(B/\epsilon B\)와 동형이 되도록 하는 평탄 \(k[\epsilon]\)-대수 \(B\)가 존재함을 보여라.

2. \(k = {\mathbf F}_p = {\mathbf Z}/p{\mathbf Z}\)로 하고, \[A = k[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6]/ (x_1^p, x_2^p, x_3^p, x_4^p, x_5^p, x_6^p).\] \(B/pB\)가 \(A\)와 동형이 되도록 하는 평탄 \({\mathbf Z}/p^2{\mathbf Z}\)-대수 \(B\)가 존재함을 보여라. (여기서 \(p\)는 \(\epsilon\)의 역할을 한다.)

3. 이번에는 \(p = 2\)로 하고, \(k = {\mathbf F}_2 = {\mathbf Z}/2{\mathbf Z}\) 및 \[A = k[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6]/ (x_1^2, x_2^2, x_3^2, x_4^2, x_5^2, x_6^2, x_1x_2 + x_3x_4 + x_5x_6).\]에 대해 같은 문제를 생각한다. 그러나 이 경우에는, \(B/2B\)가 \(A\)와 동형이 되도록 하는 평탄 \({\mathbf Z}/4{\mathbf Z}\)-대수 그러한 \(B\)는 존재하지 않음을 보여라. (장치를 간파하라! 같은 예는 임의의 표수 \(p > 0\)에서 성립하지만, 계산은 더 어려워진다.)

연습문제

\((A, {\mathfrak m}, k)\)를 국소환으로 하고, \(k'/k\)를 유한 차수 체 확대으로 한다. 국소환의 평탄한 국소 준동형 \(A \to B\)이 존재함을 보여라. \({\mathfrak m}_B = {\mathfrak m} B\)가 되며, 또한 \(B/{\mathfrak m} B\)가 \(k\)-대수로서 \(k'\)와 동형이 되는 경우이다. (힌트: 먼저 \(k \subset k'\)가 하나의 원소로 생성되는 경우를 다루어라.)

주

동일한 결과는 임의의 체 확장 \(K/k\)에 대하여 성립한다.

환의 스펙트럼

연습문제

\(\Spec(\mathbf{Z})\)을 집합으로 계산하고, 그 위상을 서술하시오.

연습문제

\(A\)을 임의의 환으로 하자. \(f\in A\)에 대해 \(D(f):= \{\mathfrak p \subset A \mid f \not \in \mathfrak p\}\)로 정한다. 열린 집합 \(D(f)\)가 \(\Spec(A)\)의 위상의 기저를 이룬다는 것을 증명하시오.

연습문제

함수 \(I\mapsto V(I)\)가 자연스러운 전단사 \[\{I\subset A\text{ 이고 }I = \sqrt{I}\} \longrightarrow \{T\subset \Spec(A)\text{ 는 닫힌 집합}\}\]를 정의한다는 것을 증명하시오.

정의

위상 공간 \(X\)가 준콤팩트 이라는 것은, 임의의 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i\in I} U_i\)에 대해, 유한한 부분 집합 \(\{i_1, \ldots, i_n\}\subset I\)가 존재하여 \(X = U_{i_1}\cup\ldots U_{i_n}\)가 되도록 하는 것을 말한다.

연습문제

임의의 환 \(A\)에 대해 \(\Spec(A)\)가 준콤팩트임을 증명하시오.

정의

위상 공간 \(X\)가 분리공리 \(T_0\)를 만족한다는 것은, 임의의 서로 다른 두 점 \(x, y\in X\), \(x\not = y\)에 대해, 그 중 한 점을 포함하고 다른 점을 포함하지 않는 \(X\)의 열린 부분 집합이 존재하는 것을 말한다. \(X\)가 Hausdorff 라는 것은, 임의의 서로 다른 두 점 \(x, y\in X\), \(x\not = y\)에 대해, \(x\in U\) 및 \(y\in V\)를 만족하는 서로소인 열린 부분집합 \(U, V\)가 존재함을 말한다.

연습문제

\(\Spec(A)\)가 일반적으로 Hausdorff 가 아님 을 보여라. \(\Spec(A)\)가 \(T_0\) 임을 증명하라. \(T_0\)가 아닌 위상 공간 \(X\)의 예를 들어라.

주

보통, ’콤팩트’라는 용어는 준콤팩트이면서 Hausdorff인 공간에 대해 사용한다.

정의

위상 공간 \(X\)가 기약 이라는 것은, \(X\)가 비어있지 않고, 닫힌 부분집합 \(Z_1, Z_2\subset X\)에 의해 \(X = Z_1\cup Z_2\)로 쓸 수 있을 때, \(Z_1 = X\) 또는 \(Z_2 = X\) 중 하나가 성립함을 말한다. 위상 공간의 부분집합 \(T\subset X\)가 기약 이라는 것은, \(X\)에서 유도된 위상에 관해 기약 위상 공간임을 말한다. 이 정의로부터, \(T\)가 기약인 필요충분조건은 \(X\)에서 \(T\)의 닫힘 \(\bar T\)가 기약인 것이다.

연습문제

\(\Spec(A)\)가 기약인 필요충분조건은 \(Nil(A)\)가 소 아이디얼인 것이며, 이 경우 그것이 \(A\)의 유일한 극소 소 아이디얼임을 증명하라.

연습문제

닫힌 부분집합 \(T\subset \Spec(A)\)가 기약인 필요충분조건은 어떤 소 아이디얼 \({\mathfrak p}\subset A\)에 대하여 \(T = V({\mathfrak p})\)로 쓸 수 있다는 것을 증명하라.

정의

기약 위상공간 \(X\)의 점 \(x\)가 \(X\)의 일반점 이란, \(X\)가 부분집합 \(\{x\}\)의 닫힘과 같음을 의미한다.

연습문제

\(T_0\) 공간 \(X\)에서 임의의 기약 닫힌 부분집합이 많아야 하나의 일반점만 가짐을 보여라.

연습문제

\(\Spec(A)\) 에서는 임의의 기약 닫힌 부분집합이 일반점을 실제로 갖는다는 것을 증명하라. 실제로, 사상 \({\mathfrak p} \mapsto \overline{\{{\mathfrak p}\}}\)이 \(\Spec(A)\)와 \(X\)의 기약 닫힌 부분집합 전체 사이의 전단사임을 보이시오.

연습문제

\(\Spec(\mathbf{Z})\)의 기약 부분집합 중 일반점을 갖지 않는 예를 들어라.

정의

위상공간 \(X\)가 뇌터 라는 것은, \(X\)의 닫힌 부분집합의 임의 감소열 \(Z_1\supset Z_2 \supset Z_3\supset \ldots\)이 정지함을 의미한다. (닫힌 부분집합의 임의 증가열이 정지할 때, Artin 이라고 한다.)

연습문제

환 \(A\)가 뇌터 이라면, 위상공간 \(\Spec(A)\)가 뇌터 임을 보이시오. 반대가 거짓임을 보이는 예를 들시오. (원하면 Artin의 경우에도 마찬가지로 하시오.)

정의

극대 기약 부분집합 \(T\subset X\)을, 공간 \(X\)의 기약 성분 라 한다. \(X\)의 그러한 기약 성분은 자동으로 \(X\)의 닫힌 부분집합이 된다.

연습문제

\(X\)의 임의 기약 부분집합이 \(X\)의 어떤 기약 성분에 포함됨을 증명하시오.

연습문제

뇌터 위상 공간 \(X\)가 유한 개의 기약 성분, 예를 들어 \(X_1, \ldots, X_n\) 만을 가지며, \(X = X_1\cup X_2\cup\ldots\cup X_n\)가 됨을 증명하라. (임의의 \(X\)는 항상 그 기약 성분의 합집합임에 주의하라. 그러나 예를 들어 \(X = {\mathbf R}\)에 일반적인 위상을 넣으면, \(X\)의 기약 성분은 한 점 부분집합이다. 이는 별로 흥미롭지 않다.)

연습문제

\(\Spec(A)\)의 기약 성분이 \(A\)의 극소 소 아이디얼에 대응함을 보여라.

정의

점 \(x\in X\)이 닫힌 점 이라는 것은, \(\overline{\{x\}} = \{ x\}\) 임을 의미한다. \(x, y\)를 \(X\)의 점으로 하자. \(x\in \overline{\{y\}}\) 일 때, \(x\)은 \(y\)의 특수화 이거나, 또는 \(y\)은 \(x\)의 일반화 라고 한다.

연습문제

\(\Spec(A)\)의 닫힌 점이 \(A\)의 극대 아이디얼에 대응함을 보여라.

연습문제

\({\mathfrak p}\)가 \(\Spec(A)\) 에서의 \({\mathfrak q}\)의 일반화가 되기 위한 필요충분조건은 \({\mathfrak p}\subset {\mathfrak q}\) 임을 보여라. 닫힌 점, 극대 아이디얼, 일반점, 극소 소아이디얼을 일반화와 특수화를 이용하여 특징지어라. (여기서는, 기약이 아닐 수도 있는 위상공간 \(X\)의 점이 \(X\)의 기약 성분 중 하나의 일반점일 때, 그것을 일반점이라고 부르는 용어를 채택한다.)

연습문제

\(I\)와 \(J\)을 \(A\)의 아이디얼로 하자. \(V(I)\)와 \(V(J)\)가 서로 소가 되기 위한 조건은 무엇인가.

정의

위상공간 \(X\)가 연결 이라는 것은, 공집합이 아니고 두 개의 공집합이 아닌 서로 소인 열린 부분집합의 합집합이 아님을 의미한다. \(X\)의 극대 연결 부분집합을 연결 성분 이라고 한다. \(X\)의 임의의 점은 \(X\)의 어떤 연결 성분에 포함되며, \(X\)의 임의의 연결 성분은 \(X\)에서 닫혀 있다. (그러나 일반적으로 연결 성분은 \(X\)에서 열린 것은 아니다.)

연습문제

\(A\)를 0이 아닌 환으로 하자. \(\Spec(A)\)가 비연결이기 위한 필요충분조건은, 어떤 영이 아닌 환 \(B, C\)에 대해 \(A\cong B \times C\)가 되는 것임을 보여라.

연습문제

\(T\)를 \(\Spec(A)\)의 연결 성분으로 하자. \(T\)가 일반화 아래에서 안정적임을 증명하라. \(A\)가 뇌터라면, \(T\)가 \(\Spec(A)\)의 열린 부분집합임을 증명하라. (주의: 예를 들어 \(A\)가 \({\mathbf F}_2\)의 복사본의 무한 곱일 경우, 이는 잘못된 것임. 이 환의 스펙트럼은 무한 개의 닫힌 점으로 이루어져 있음.)

연습문제

\(\Spec(k[x])\)를 계산하라. 즉, 이 환의 소 아이디얼, 가능한 특수화, 그리고 위상을 기술하라. (\(k\)가 대수적으로 닫힌 체인 경우뿐만 아니라, \(k\)가 대수적으로 닫혀 있지 않은 경우도 구하라.)

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 하고, \(\Spec(k[x, y])\)를 계산하라. [힌트: 사상 \(\varphi : \Spec(k[x, y]) \to \Spec(k[x])\)를 사용하라. \(\varphi({\mathfrak p}) = (0)\)라면, \(S = \{f\in k[x] \mid f \not = 0\}\)에 관해서 국소화하고, 국소화와 \(\Spec\)에 관한 강의 결과를 사용하라.] (왜 대수기하학자들은 이것을 아핀 2-공간이라고 부르는가?)

연습문제

\(\Spec(\mathbf{Z}[y])\)를 계산하라. ［힌트: 위와 동일하다.］(\(\mathbf{Z}\) 위의 아핀 1-공간.)

국소화

연습문제

\(A\)를 환으로, \(S \subset A\)를 곱셈적 부분집합으로 하자. \(M\)를 \(A\)-가군, \(N \subset S^{-1}M\)를 \(S^{-1}A\)-부분가군으로 하자. \(N = S^{-1}N'\)가 되는 \(A\)-부분가군 \(N' \subset M\)가 존재함을 보이라. (이 유용한 결과는, 특히 \(S^{-1}A\)의 아이디얼에 적용할 수 있다.)

연습문제

\(A\)를 환, \(M\)를 \(A\)-가군, \(m \in M\)로 하자.

1. \(I = \{a \in A \mid am = 0\}\)가 \(A\)의 아이디얼임을 보이라.

2. \(A\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여, \(M_\mathfrak p\)에서 \(m\)의 상이 0이 되기 위한 필요충분조건이 \(I \not \subset \mathfrak p\)임을 보이시오.

3. \(m\)이 영일 필요충분조건은 모든 \(A\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(M_\mathfrak p\)에서 \(m\)의 상이 영인 것임을 보여라.

4. \(m\)이 영일 필요충분조건은 모든 \(A\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대하여 \(M_\mathfrak m\)에서 \(m\)의 상이 영인 것임을 보여라.

5. \(M = 0\)일 필요충분조건은 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대하여 \(M_{\mathfrak m}\)이 영인 것임을 보여라.

연습문제

\(A\)가 서로 다른 소 아이디얼을 세 개 이상 가진 정역이며, \(f \in A\)가 주 국소화 \(A_f = \{1, f, f^2, \ldots \}^{-1}A\)를 체로 만드는 원소인 조 \((A, f)\)를 찾아라.

연습문제

\(A\)을 환이라 하고, \(M\)을 유한 \(A\)-가군, \(S \subset A\)를 곱셈 집합으로 하자. \(S^{-1}M = 0\)라고 가정하자. 주 국소화 \(M_f = \{1, f, f^2, \ldots \}^{-1}M\)가 0이 되는 \(f \in S\)가 존재함을 보여라.

연습문제

\(A\)가 환이고, \(0 \not = I \not = A\)가 0이 아닌 진 아이디얼이며, \(S \subset A\)가 곱셈적 부분집합이고, \(A\)-대수로서 \(A/I \cong S^{-1}A\)이 되는 세 쌍 \((A, I, S)\)의 예를 들어라.

Nakayama의 보조정리

연습문제

\(A\)를 환으로 한다. \(I\)를 \(A\)의 아이디얼로 한다. \(M\)를 \(A\)-가군으로 한다. \(x_1, \ldots, x_n \in M\)로 한다. 다음을 가정하자:

1. \(M/IM\)은 \(x_1, \ldots, x_n\)에서 생성되며,

2. \(M\)은 유한 \(A\)-가군이다,

3. \(I\)은 \(A\)의 모든 극대 아이디얼에 포함된다.

\(x_1, \ldots, x_n\)가 \(M\)를 생성함을 보이라. (해법 제안: 연습 0768과 국소화의 완전성을 이용하여, \(A\)의 극대 아이디얼에서의 국소화로 귀결시켜라. 다음으로, \(M\)를 \(x_1, \ldots, x_n\)로 생성되는 부분가군으로 나눈 몫을 고려하고, 강의에서의 Nakayama 보조정리의 주장으로 귀결시켜라.)

길이

정의

\(A\)를 환, \(M\)를 \(A\)-가군으로 하자. \(M\)의 \(R\)-가군으로서의 길이 란, \[\text{length}_A(M) = \sup \{ n \mid \exists\ 0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M, \text{ }M_i \not = M_{i + 1} \}.\]를 의미한다. 다시 말하면, 부분가군 사슬의 길이의 상한이다.

연습문제

환 \(A\) 위의 가군 \(M\)의 길이가 \(1\)인 필요충분조건은, \(A\)의 어떤 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대해 \(A/\mathfrak m\)와 동형임을 보이는 것이다.

연습문제

다음 각 환 위의 각 가군의 길이를 계산하라. 답은 간결하게 (!) 설명하라. (짧은 완전열에서의 길이 함수의 덧셈성을 자유롭게 사용해도 좋다. 대수, 보조정리 00IV 참조.)

1. \(\mathbf{Z}\) 위의 \(\mathbf{Z}/120\mathbf{Z}\)의 길이.

2. \(\mathbf{C}[x]\) 위의 \(\mathbf{C}[x]/(x^{100} + x + 1)\)의 길이.

3. \(\mathbf{R}[x]\) 위의 \(\mathbf{R}[x]/(x^4 + 2x^2 + 1)\)의 길이.

연습문제

\(A = k[x, y]_{(x, y)}\)를 원점에서의 아핀 평면의 국소환으로 하자. 체 \(k\)에 대해서는 원하는 가정을 둘 수 있다. \(f = x^3 + x^2y^2 + y^{100}\) 및 \(g = y^3 - x^{999}\)로 한다. \(A\)-가군으로서 \(A/(f, g)\)의 길이는 얼마인가. (진행 방법의 한 예: 다양한 \(n\)에 대해, \(A/{\mathfrak m}_A^n= k[x, y]/(x, y)^n\) 형태의 몫에서 \(f\)와 \(g\)가 생성하는 아이디얼을 생각하라. \(A/(f, g)+{\mathfrak m}_A^n \cong A/(f, g)+{\mathfrak m}_A^{n + 1}\)가 되는 \(n\)를 찾아 NAK를 사용하라.)

수반 소 아이디얼

수반 소 아이디얼은 대수, 절 00L9에서 논의한다.

연습문제

다음 각 가군에 대해, 수반 소 아이디얼의 집합을 계산하라.

1. \(R = k[x, y]\) 및 \(M = R/(xy(x + y))\),

2. \(R = \mathbf{Z}[x]\) 및 \(M = R/(300x + 75)\),

3. \(R = k[x, y, z]\) 및 \(M = R/(x^3, x^2y, xz)\).

여기서도 통상대로 \(k\)는 체로 한다.

연습문제

뇌터 환 \(R\)와 소 아이디얼 \(\mathfrak p\) 중, \(\mathfrak p\)가 \(R/\mathfrak p^2\)의 유일한 수반 소 아이디얼이 아닌 것을 예로 들라.

연습문제

\(R\)을, 포함 관계가 없는 소 아이디얼 \(\mathfrak p\), \(\mathfrak q\)를 가진 뇌터 환으로 하자. 즉, \(\mathfrak p \not \subset \mathfrak q\) 및 \(\mathfrak q \not \subset \mathfrak p\)로 하자.

1. \(N = R/(\mathfrak p \cap \mathfrak q)\)에 대해 \(\text{Ass}(N) = \{\mathfrak p, \mathfrak q\}\)가 됨을 보이시오.

2. 가군 \(M = R/\mathfrak p \mathfrak q\)가 \(\mathfrak p\)와도 \(\mathfrak q\)와도 다른 수반 소 아이디얼을 가질 수 있음을, 예를 들어 보이시오.

Ext 군

Ext 군은 대수, 절 00LO에서 정의한다.

연습문제

주어진 가군의 모든 Ext 군 \(\Ext^i(M, N)\)을 \(\mathbf{Z}\)-가군의 범주(Abel 군의 범주라고도 불림)에서 계산하라.

1. \(M = \mathbf{Z}\) 그리고 \(N = \mathbf{Z}\),

2. \(M = \mathbf{Z}/4\mathbf{Z}\) 그리고 \(N = \mathbf{Z}/8\mathbf{Z}\),

3. \(M = \mathbf{Q}\) 그리고 \(N = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\),

4. \(M = \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\) 그리고 \(N = \mathbf{Q}/\mathbf{Z}\).

연습문제

\(R = k[x, y]\)으로 하고, \(k\)를 체로 한다.

1. Koszul 복합체 \[0 \to R \xrightarrow{ \left( \begin{matrix} y \\ -x \end{matrix} \right) } R^{\oplus 2} \xrightarrow{(x, y)} R \xrightarrow{f \mapsto f(0, 0)} k \to 0\]가 완전함을 손으로 계산해 보이라.

2. \(k = R/(x, y)\)를 \(R\)-가군으로 생각하고, \(\Ext^i_R(k, k)\)를 계산하라.

연습문제

모든 \(i \geq 0\)에 대해 \(\Ext^i_R(M, N)\)가 0이 아닌, 뇌터 환 \(R\)과 유한 가군 \(M\), \(N\)의 예를 들어라.

연습문제

\(\Ext^1_R(R/I, R/I)\)가 유한 \(R\)-가군이 아닌 그런 환 \(R\)과 아이디얼 \(I\)의 예를 들어라. (\(R\)가 뇌터라면, 대수, 보조정리 08YR에 의해, 이것은 일어날 수 없는 것으로 알려져 있다.)

깊이

깊이는 대수학, 절 00LE에서 정의하고, 쌍대화 복합체, 절 0AVY에서 더욱 연구한다.

연습문제

\(R\)를 환, \(I \subset R\)를 아이디얼, \(M\)를 \(R\)-가군으로 한다. 다음 각 경우에 \(\text{depth}_I(M)\)를 계산하라.

1. \(R = \mathbf{Z}\), \(I = (30)\), \(M = \mathbf{Z}\),

2. \(R = \mathbf{Z}\), \(I = (30)\), \(M = \mathbf{Z}/(300)\),

3. \(R = \mathbf{Z}\), \(I = (30)\), \(M = \mathbf{Z}/(7)\),

4. \(R = k[x, y, z]/(x^2 + y^2 + z^2)\), \(I = (x, y, z)\), \(M = R\),

5. \(R = k[x, y, z, w]/(xz, xw, yz, yw)\), \(I = (x, y, z, w)\), \(M = R\).

여기서 \(k\)는 체라 한다. 마지막 두 경우에는, 극대 아이디얼 \(I\)에서 자유롭게 국소화해도 좋다.

연습문제

깊이 \(\geq 1\)의 뇌터 국소환 \((R, \mathfrak m, \kappa)\)과, 다음을 만족하는 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)의 예를 들라:

1. \(\text{depth}_\mathfrak m(R) \geq 1\),

2. \(\text{depth}_\mathfrak p(R_\mathfrak p) = 0\),

3. \(\dim(R_\mathfrak p) \geq 1\).

(3)을 요구하지 않으면, 이 연습문제는 너무 쉽다. 왜인가?

연습문제

\((R, \mathfrak m)\)를 뇌터 국소 정역으로 하고, \(M\)를 유한 \(R\)-가군으로 하자.

1. \(M\)가 비틀림이 없다면, \(M\)의 \(R\) 위의 깊이가 적어도 \(1\) 임을 보이시오.

2. 깊이가 \(1\)인 예를 들어라.

연습문제

임의의 \(m \geq n \geq 0\)에 대해, \(\dim(R) = m\)이고 \(\text{depth}(R) = n\)가 되는 뇌터 국소환 \(R\)의 예를 들어라.

연습문제

\((R, \mathfrak m)\)를 뇌터 국소환으로 하고, \(M\)를 유한 \(R\)-가군으로 한다. 다음 성질을 가진 표준적인 짧은 완전열 \[0 \to K \to M \to Q \to 0\]가 존재함을 보여라:

1. \(\text{depth}(Q) \geq 1\),

2. \(K\)는 0이거나, \(\text{Supp}(K) = \{\mathfrak m\}\),

3. \(\text{length}_R(K) < \infty\).

힌트: 뇌터 성질을 사용하여 (2)와 같은 극대 부분 가군 \(K\)가 존재함을 보여주고, 그 다음 \(Q = M/K\)가 (1)을 만족하고, \(K\)가 (3)을 만족함을 보여라.

연습문제

\((R, \mathfrak m)\)를 뇌터 국소환, \(M\)를 깊이 \(\geq 2\)의 유한 \(R\)-가군, \(N \subset M\)를 0이 아닌 부분가군으로 두자.

1. \(\text{depth}(N) \geq 1\) 임을 보이라.

2. \(\text{depth}(N) = 1\) 임을 위한 필요충분조건은, 몫가군 \(M/N\)가 \(\text{depth}(M/N) = 0\)를 만족함임을 보이라.

3. \(N \subset N'\)이 유한 여길이, 즉 \(\text{length}_R(N'/N) < \infty\)이며, 또한 \(N'\)의 깊이가 \(\geq 2\)가 되는 부분 가군 \(N' \subset M\)이 존재함을 보여라. 힌트: 연습 0CSZ를 \(M/N\)에 적용하고, \(N'\)를 \(K\)의 역상으로 선택하라.

연습문제

\((R, \mathfrak m)\)를 뇌터 국소환으로 하자. \(R\)가 축소환이라고 가정하자. 즉, \(R\)는 영이 아닌 멱영원을 가지지 않는다고 가정한다. 또한, \(R\)는 서로 다른 두 개의 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak q\)를 가진다고 가정한다.

1. \(R\)-가군의 열 \[0 \to R \to R/\mathfrak p \oplus R/\mathfrak q \to R/\mathfrak p + \mathfrak q \to 0\]가 완전함을 보이자(모든 경우에 확인하라). 사상은 \(x \mapsto (x \bmod \mathfrak p, x \bmod \mathfrak q)\) 및 \((y \bmod \mathfrak p, z \bmod \mathfrak q) \mapsto (y - z \bmod \mathfrak p + \mathfrak q)\)이다.

2. \(\text{depth}(R) \geq 2\)라면, \(\dim(R/\mathfrak p + \mathfrak q) \geq 1\)임을 보이자.

3. \(\text{depth}(R) \geq 2\)라면, \(U = \Spec(R) \setminus \{\mathfrak m\}\)가 연결 위상 공간임을 보이라.

이는 Hartshorne의 연결성 정리의 매우 특별한 경우를 증명하고 있다. 같은 정리는 \(\text{depth} \geq 2\)의 뇌터 국소환의 뚫린 스펙트럼 \(U\)가 연결되어 있음을 말한다.

연습문제

\((R, \mathfrak m)\)를 뇌터 국소환으로 하고, \(x, y \in \mathfrak m\)를 길이 \(2\)의 정칙열로 하자. 임의의 \(n \geq 2\)에 대해, \[x^{n - 1}y^{n - 1} = a x^n + b y^n\]를 만족하는 \(a, b \in R\)가 존재하지 않음을 보이라. 제안: 먼저 \(n = 2\)의 경우를 시도하고, 논의하는 방법을 찾아라. 주의: 이 결과에는 단항식 추측이라고 불리는 대폭적인 일반화가 있다.

Cohen–Macaulay 가군과 환

Cohen–Macaulay 가군은 대수, 장 00N2에서 연구하고, Cohen–Macaulay 환은 대수, 장 00N7에서 연구한다.

연습문제

다음 각 경우에 대해, 예 또는 아니오로 답하시오. 설명이나 증명은 필요 없다.

1. \(p\)를 소수라 하자. 국소환 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)은 Cohen–Macaulay 국소환인가?

2. \(p\)을 소수라 하자. 국소환 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)은 정칙 국소환인가?

3. \(k\)를 체라 하자. 국소환 \(k[x]_{(x)}\)은 Cohen–Macaulay 국소환인가?

4. \(k\)을 체라 하자. 국소환 \(k[x]_{(x)}\)은 정칙 국소환인가?

5. \(k\)을 체라 하자. 국소환 \((k[x, y]/(y^2 - x^3))_{(x, y)} = k[x, y]_{(x, y)}/(y^2 - x^3)\)은 Cohen–Macaulay 국소환인가?

6. \(k\)을 체라 하자. 국소환 \((k[x, y]/(y^2, xy))_{(x, y)} = k[x, y]_{(x, y)}/(y^2, xy)\)은 Cohen–Macaulay 국소환인가?

특이점

연습문제

\(k\)를 임의의 체로 한다. \(A = k[[x, y]]/(f)\) 및 \(B = k[[u, v]]/(g)\) 라 하고, 여기서 \(f = xy\), \(g = uv + \delta\), \(\delta \in (u, v)^3\) 라 하자. \(A\)와 \(B\)가 동형인 환임을 보여라.

주

체 \(k\) 위의 곡선의 특이점이 보통 이중점이라는 것은, 그 점에서의 곡선의 완비 국소환이 \(k'[[x, y]]/(f)\)의 형태이고, 다음을 만족함을 의미한다: (a) \(k'\)는 \(k\)의 유한 차 분리 확장이다; (b) \(f\)의 초기항은 차수 2, 즉 모두 영인 것은 아닌 \(a, b, c\in k'\)에 대하여 \(q = ax^2 + bxy + cy^2\)의 형태를 가진다; (c) \(q\)는 \(k'\) 위의 비퇴화 2차 형식이다 (특성 2에서는, 이는 \(b\)가 0이 아님을 의미한다). 일반적으로, 조합 \((k', q)\)의 각 동형류마다, 그러한 환의 동형류가 하나 존재한다.

연습문제

\(R\)를 환, \(n \geq 1\) 라 하자. \(A\), \(B\)를, 계수가 \(R\)에 속하는 \(n \times n\) 행렬이라 하고, \(R\)의 어떤 영인자가 아닌 원소 \(f\)에 대해 \(AB = f 1_{n \times n}\)를 만족한다고 하자. \(S = R/(f)\)라 하자. \[\ldots \to S^{\oplus n} \xrightarrow{B} S^{\oplus n} \xrightarrow{A} S^{\oplus n} \xrightarrow{B} S^{\oplus n} \to \ldots\]가 완전함을 보여라.

구성가능집합

\(k\)를 대수폐쇄체, 예를 들어 복소수체 \(\mathbf{C}\)로 하자. \(n \geq 0\)로 둔다. 다항식 \(f \in k[x_1, \ldots, x_n]\)는 값을 대입함으로써 함수 \(f : k^n \to k\)를 정한다. 부분집합 \(Z \subset k^n\)가 대수집합 이라는 것은, 다항식족의 공통 영점집합임을 의미한다.

연습문제

대수집합이 항상 유한 개의 다항식의 영점집합으로 쓸 수 있음을 증명하라.

위의 표기법 아래에서, 부분집합 \(E \subset k^n\)가 구성가능 이라는 것은, 다항식 \(f\)에 의한 \(Z \cap \{f \not = 0\}\)의 형태의 집합의 유한합집합임을 의미한다.

연습문제

다음을 보이라:

1. 구성가능집합의 여집합은 구성가능집합이다,

2. 구성가능집합의 유한합집합은 구성가능집합이다,

3. 구성가능집합의 유한교집합은 구성가능집합이다,

4. 임의의 구성가능집합 \(E\)는 유한한 서로소 합집합 \(E = \coprod E_i\)로 쓸 수 있다. 여기서 각 \(E_i\)는 \(Z \cap \{f \not = 0\}\)의 형태이며, \(Z\)는 대수집합, \(f\)는 다항식이다.

연습문제

\(R\)를 환으로 하고, \(f = a_d x^d + a_{d - 1} x^{d - 1} + \ldots + a_0 \in R[x]\)로 한다. (보통대로, 이 표기는 \(a_0, \ldots, a_d \in R\)를 의미한다.) \(g \in R[x]\)로 한다. \[a_d^N g = q f + r\]이고 \(\deg(r) < d\), 즉 어떤 \(c_i \in R\)에 대해 \(r = c_0 + c_1 x + \ldots + c_{d - 1}x^{d - 1}\)가 되는 \(N \geq 0\) 및 \(r, q \in R[x]\)를 찾을 수 있음을 증명하라.

힐베르트의 영점 정리

연습문제

복소수를 사용한 사소한 논의! \({\mathbf C}\)를 복소수체로 하고, \(V\)를 \({\mathbf C}\) 위의 벡터 공간으로 하자. 선형 작용소 \(T : V \to V\)의 스펙트럼이란, 작용소 \(T - \lambda \text{id}_V\)가 가역이 아닌 복소수 \(\lambda \in {\mathbf C}\)의 집합이다.

1. \(\mathbf{C}(X)\)의 \({\mathbf C}\) 위의 차원이 비가산임을 보이라.

2. \(V\)의 차원이 유한하거나 가산이면, \(V\) 위의 임의의 선형 작용소가 공집합이 아닌 스펙트럼을 가짐을 보이라.

3. 유한 생성 \({\mathbf C}\)-대수 \(R\)가 체라면, 사상 \({\mathbf C}\to R\)이 동형임을 보이라.

4. \({\mathbf C}[x_1, \ldots, x_n]\)의 임의의 극대 아이디얼 \({\mathfrak m}\)은, 어떤 \(\alpha_i \in {\mathbf C}\)에 의해 \((x_1-\alpha_1, \ldots, x_n-\alpha_n)\)의 형태로 쓸 수 있음을 보이라.

주

\(k\)를 체로 하자. 이때, 임의의 정수 \(n\in {\mathbf N}\)와 임의의 극대 아이디얼 \({\mathfrak m} \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)에 대해, 몫 \(k[x_1, \ldots, x_n]/{\mathfrak m}\)는 \(k\)의 유한 차수 체 확장이다. 이는 강의 후반에 보일 것이다. 물론, (확인해 보라), 여기서 유한 생성 \(k\)-대수의 극대 아이디얼에 대해서도 유사한 주장이 도출된다. 위의 연습은 \(k = {\mathbf C}\)의 경우에 이를 증명한다.

연습문제

\(k\)를 체라 하자. 참고: 027M를 사용하라.

1. \(R\)를 \(k\)-대수라고 하자. \(\dim_k R < \infty\)이고 \(R\)가 정역이라고 가정하자. \(R\)가 체임을 보여라.

2. \(R\)가 유한 생성 \(k\)-대수이고 \(f\in R\)가 멱영원이 아니라고 하자. 극대 아이디얼 \({\mathfrak m} \subset R\)가 존재하여 \(f\not\in {\mathfrak m}\)가 됨을 보여라.

3. \(R\)가 체 위의 유한형 대수가 아닐 때 이 명제가 거짓임을 예로 보여라.

4. 모든 근기 아이디얼 \(I \subset {\mathbf C}[x_1, \ldots, x_n]\)가 이를 포함하는 극대 아이디얼들의 교집합임을 보여라.

주

이것이 Hilbert 영점정리이다. 즉, \(\Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\)의 닫힌 부분집합(앞서 언급한 근기 아이디얼에 해당)은 그 안에 포함된 닫힌 점들에 의해 결정된다.

연습문제

\(A = {\mathbf C}[x_{11}, x_{12}, x_{21}, x_{22}, y_{11}, y_{12}, y_{21}, y_{22}]\) \(I\)을 \(A\)의 아이디얼로, 행렬 \(XY\)의 성분으로 생성되는 것으로 하자. 여기서 \[X = \left( \begin{matrix} x_{11} & x_{12}\\ x_{21} & x_{22} \end{matrix} \right) \quad\text{그리고}\quad Y = \left( \begin{matrix} y_{11} & y_{12}\\ y_{21} & y_{22} \end{matrix} \right).\] \(\Spec(A)\)의 닫힌 부분집합 \(V(I)\)의 기약 성분을 찾아라. (그것들을 서술하고, 각각을 정하는 방정식을 제시하라는 의미이다. 쓴 방정식이 소아이디얼을 정함을 증명할 필요는 없다.) 힌트:

1. Hilbert의 영점 정리를 사용해도 된다. \(V(I)\)의 닫힌 점 전체를 덮는 기약 국소 닫힌 부분집합을 찾으면 충분하다.

2. 쉬운 성분이 두 개 있다.

3. 연속사상에 의한 기약 집합의 상은 약분이다.

차원

연습문제

소 아이디얼이 유한 개이고, 차원이 \(> 1\)인 환 \(A\)를 구성하라.

연습문제

\(f \in \mathbf{C}[x, y]\)를 상수가 아닌 다항식이라고 하자. \(\mathbf{C}[x, y]/(f)\)의 차원이 \(1\)임을 보여라.

연습문제

\((R, \mathfrak m)\)를 뇌터 국소환으로 하고, \(n \geq 1\)로 하자. 다항식환 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)에서 \(\mathfrak m' = (\mathfrak m, x_1, \ldots, x_n)\)로 두자. 다음을 보여라: \[\dim(R[x_1, \ldots, x_n]_{\mathfrak m'}) = \dim(R) + n.\]

사슬형 환

정의

뇌터 환 \(A\)가 사슬형이라는 것은, 임의의 세 개의 소 아이디얼 \({\mathfrak p}_1 \subset {\mathfrak p}_2 \subset {\mathfrak p}_3\)에 대해 \[ht({\mathfrak p}_3 / {\mathfrak p}_1) = ht({\mathfrak p}_3/{\mathfrak p}_2) + ht({\mathfrak p}_2/{\mathfrak p}_1).\]가 성립함을 의미한다. 여기서 \(ht(\mathfrak p/\mathfrak q)\)는, 환 \(A/\mathfrak q\)에서 \(\mathfrak p/\mathfrak q\)의 높이를 뜻한다. 식으로 쓰면, \[ht(\mathfrak p/\mathfrak q) = \dim(A_\mathfrak p/\mathfrak qA_\mathfrak p) = \dim((A/\mathfrak q)_\mathfrak p) = \dim((A/\mathfrak q)_{\mathfrak p/\mathfrak q})\] 위상 공간 \(X\)가 사슬형이라는 것은, \(T\)과 \(T'\)가 닫혀 있고 기약인 \(T \subset T' \subset X\)가 주어졌을 때, 기약 닫힌 부분 집합의 극대 사슬 \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_n = T'\]가 존재하며, 그러한 모든 사슬이 동일한 (유한한) 길이를 가진다는 것을 말한다.

연습문제

대수, 정의 00NI 로 정의한 사슬형 개념이, 뇌터 환에 대해서는 정의 027O 의 개념과 일치함을 보이라.

연습문제

차원 \(2\)의 뇌터 국소 정역이 사슬형임을 보여라.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. 유한형 \(k\)-대수가 사슬형임을 보여라.

연습문제

차원 함수 \(\delta : X \to \mathbf{Z}\)를 가지지 않는, 유한하고, sober하며, 사슬형인 위상 공간 \(X\)의 예를 들어라. 여기서 \(\delta : X \to \mathbf{Z}\)가 차원 함수라는 것은, \(x, y \in X\)에 대해 다음이 성립함을 의미한다:

1. \(x \leadsto y\) 그리고 \(x \not = y\) 라면 \(\delta(x) > \delta(y)\),

2. \(x \leadsto y\) 그리고 \(\delta(x) \geq \delta(y) + 2\) 라면, \(x \leadsto z \leadsto y\) 및 \(\delta(x) > \delta(z) > \delta(y)\)를 만족하는 \(z \in X\)가 존재한다.

공간을 명확히 기술하고, 차원 함수가 존재할 수 없는 이유를 간단히 설명하라.

분수체

연습문제

정역 \[{\mathbf Q}[r, s, t]/(s^2-(r-1)(r-2)(r-3), t^2-(r + 1)(r + 2)(r + 3)).\]를 생각한다. 이것과 동형인 분수체를 가지는 \({\mathbf Q}[x, y]/(f)\) 형태의 정역을 찾아라.

초월 차수

연습문제

\(K'/K/k\)를 체 확장으로 하고, \(K'\)는 \(K\) 위에서 대수적이라고 하자. \(\text{trdeg}_k(K) = \text{trdeg}_k(K')\)를 증명하라. (힌트: \(x_1, \ldots, x_d \in K\)가 \(k\) 위에서 대수적 독립이며, \(d < \text{trdeg}_k(K')\) 라면, \(k(x_1, \ldots, x_d) \subset K\)는 대수 확장이 될 수 없음을 보여라.)

연습문제

\(k\)를 체로 하고, \(K/k\)를 초월 차수 \(d\)의 유한 생성 확장으로 하자. \(V, W \subset K\)가 유한 차원의 \(k\)-부분 벡터 공간일 때, \[VW = \{f \in K \mid f = \sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} v_i w_i \text{인 어떤 }n\text{과 }v_i \in V, w_i \in W\}\]로 쓴다. 이는 유한 차원의 \(k\)-부분 벡터 공간이다. \(V^2 = VV\), \(V^3 = V V^2\) 등으로 둔다.

1. 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\dim V^n \geq \epsilon n^d\)가 되도록 하는 \(V \subset K\) 및 \(\epsilon > 0\)를 찾을 수 있음을 보이라.

2. 반대로, 임의의 유한 차원 \(V \subset K\)에 대해, 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\dim V^n \leq C n^d\)가 되도록 하는 \(C > 0\)가 존재함을 보이라. (진행 방법의 한 예: 먼저 \(k[x_1, \ldots, x_d]\)의 부분 벡터 공간에 대해 보이라. 다음으로 \(k(x_1, \ldots, x_d)\)의 부분 벡터 공간에 대해 보이라. 마지막으로, \(K/k(x_1, \ldots, x_d)\)가 유한 확장인 경우, \(K\)의 \(k(x_1, \ldots, x_d)\) 위의 기저를 선택하고, 이 기저에 의한 전개를 사용하여 논의하라.)

3. \(K\)의 유한 차원 부분 벡터 공간의 거듭제곱 증가를 통해, 초월 차수를 재정의할 수 있음을 유도하라.

이것은 \(k\) 위의 (비가환) 대수의 Gelfand–Kirillov 차원과 관계가 있다.

올의 차원

차원 공식에 관한 문제를 몇 가지 제시한다. 대수, 절 02II를 참조하라.

연습문제

\(k\)를 임의의 대수적으로 닫힌 체로 하자. 이하, \(k[x]\)와 \(k[x, y]\)는 다항식환을 나타낸다.

1. 임의의 정수 \(n \geq 0\)에 대해, \(A/xA\)의 스펙트럼이 정확히 \(n\) 개의 기약 성분을 갖도록 하는, 정역의 유한형 확장 \(k[x] \subset A\)를 찾아라.

2. 모든 \(\alpha \in k\)에 대해 \(A/(x - \alpha)A\)의 스펙트럼이 공집합이 아니고 기약이 되도록 하는, 정역의 유한형 확장 \(k[x] \subset A\)의 예를 만들어라.

3. 모든 \((\alpha, \beta) \in k^2 \setminus \{(0, 0)\}\)에 대해 \(A/(x - \alpha, y - \beta)A\)의 스펙트럼이 기약¹이며, \(A/(x, y)A\)의 스펙트럼이 공집합이 아니고 기약이 아니게이 되도록 하는 정역의 유한형 확장 \(k[x, y] \subset A\)의 예를 만들어라.

연습문제

\(k\)를 원하는 대수폐쇄체로 한다. \(n \geq 1\)로 한다. \(k[x_1, \ldots, x_n]\)를 다항식환으로 하고, \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_n)\)로 둔다. \(k[x_1, \ldots, x_n] \subset A\)를 정역의 유한형 확장으로 한다. \(d = \dim(A)\)로 둔다.

1. \(A/\mathfrak mA \not = 0\)이면 \(d - 1 \geq \dim(A/\mathfrak m A) \geq d - n\) 임을 보여라.

2. 각 값이 실제로 나타날 수 있음을 예를 들어 보여라.

3. \(\Spec(A/\mathfrak m A)\)이 서로 다른 차원의 기약 성분을 가질 수 있음을 예를 들어 보여라.

유한 국소 자유 가군

정의

\(A\)를 환으로 한다. 유한 국소 자유 \(A\)-가군 \(M\)이란, 임의의 \({\mathfrak p} \in \Spec(A)\)에 대하여, \(M_f\)가 유한 자유 \(A_f\)-가군이 되는 \(f\in A\),\(f \not \in {\mathfrak p}\)이 존재하는 그러한 가군임을 기억하자. \(M\)이 계수 \(1\)의 유한 국소 자유 가군일 때, \(M\)를 가역 가군이라고 한다. 즉, 임의의 \({\mathfrak p} \in \Spec(A)\)에 대해, \(A_f\)-가군으로서 \(M_f \cong A_f\)가 되는 \(f\in A\), \(f \not \in \mathfrak p\)가 존재한다.

연습문제

유한 국소 자유 가군의 텐서곱이 유한 국소 자유임을 증명하라. 두 가역 가군의 텐서곱이 가역임을 증명하라.

정의

\(A\)를 환으로 한다. \(A\)의 유군, 때로는 \(A\)의 Picard 군이라고도 불리는 것은, 가역 \(A\)-가군의 동형류 전체의 집합 \(\Pic(A)\)에 텐서곱으로 정의되는 군 연산을 가진 것이다 (연습 078P 참조).

\(A\)의 유군이 자명하기 위한 필요충분조건은 모든 가역 가군이 계수 1짜리 자유 가군과 동형이라는 것임에 주의하라.

연습문제

다음 각 환의 군이 자명함을 보여라:

1. 체 \(k\) 위의 다항식환 \(A = k[x]\),

2. 정수환 \(A = \mathbf{Z}\),

3. 체 \(k\) 위의 다항식환 \(A = k[x, y]\),

4. 체 \(k\) 위의 몫 \(k[x, y]/(xy)\).

연습문제

\(k\)를 표수가 \(2\)가 아닌 체로 하고, \(t_1, \ldots, t_n \in k\)는 서로 다르며, \(n \geq 3\)는 홀수이고, \(f(x) = (x - t_1) \ldots (x - t_n)\)라고 하자. 환 \(A = k[x, y]/(y^2 - f(x))\)의 유군이 자명하지 않음을 보이라. (힌트: 아이디얼 \((y, x - t_1)\)이 \(\Pic(A)\)의 비자명한 원을 정함을 보이라.)

연습문제

\(A\)을 환으로 한다.

1. \(M\)를 유한 국소 자유 \(A\)-가군으로 하고, \(\varphi : M \to M\)를 자기준동형으로 한다. \(\varphi\)의 트레이스와 행렬식을 정의·구성하고, 이 구성이 ’삼중항 \((A, M, \varphi)\)에 관하여 함자적’임을 증명하시오.

2. \(M, N\)가 유한 국소 자유 \(A\)-가군이며, \(\varphi : M \to N\) 및 \(\psi : N \to M\)라면, \(\text{Trace}(\varphi \circ \psi) = \text{Trace}(\psi \circ \varphi)\) 및 \(\det(\varphi \circ \psi) = \det(\psi \circ \varphi)\) 임을 보이라.

3. \(M\)가 유한 국소 자유인 경우, \(\text{Trace}\)가 \(A\)-선형 사상 \(\text{End}_A(M) \to A\)를 정의하고, \(\det\)가 곱셈 사상 \(\text{End}_A(M) \to A\)를 정의함을 보이라.

연습문제

이번에는 \(B\)를, \(A\)-가군으로서 유한 국소 자유인 \(A\)-대수로 한다. 다시 말하면, \(B\)은 유한 국소 자유 \(A\)-대수이다.

1. 연습 02DU 의 \(\text{Trace}\)와 \(\det\)을 사용하여, \(\text{Trace}_{B/A}\)와 \(\text{Norm}_{B/A}\)를 정의하라.

2. \(b\in B\)로 하고, \(\pi : \Spec(B) \to \Spec(A)\)를 유도되는 사상으로 하자. \(\pi(V(b)) = V(\text{Norm}_{B/A}(b))\)를 증명하라. (\(V(f) = \{ {\mathfrak p} \mid f \in {\mathfrak p}\}\)를 떠올려라.)

3. (기저 변환. )\(i : A \to A'\)를 환 준동형이라 하고, \(B' = B \otimes_A A'\)라고 둔다. \(i(\text{Norm}_{B/A}(b))\)가 \(\text{Norm}_{B'/A'}(b \otimes 1)\)와 같은 이유를 설명하시오.

4. \(B = A \times A \times A \times \ldots \times A\) 및 \(b = (a_1, \ldots, a_n)\)의 경우, \(\text{Norm}_{B/A}(b)\)를 계산하시오.

5. 유한 평탄 사상 \({\mathbf Q}[x] \to {\mathbf Q}[y]\), \(x \to y^n\)에 관한 \(y-y^3\)의 놈을 계산하시오. (힌트: "기저 변환" \(A = {\mathbf Q}[x] \subset A' = {\mathbf Q}(\zeta_n)(x^{1/n})\)을 사용하라.)

이어붙이기

연습문제

\(A\)를 환으로 하고, \(M\)를 \(A\)-가군으로 한다. \(f_i\), \(i \in I\)를, 다음을 만족하는 \(A\)의 원소들의 집합으로 한다: \[\Spec(A) = \bigcup D(f_i).\]

1. \(M_{f_i}\)가 유한 \(A_{f_i}\)-가군이면, \(M\)가 유한 \(A\)-가군임을 보이라.

2. \(M_{f_i}\)가 평탄 \(A_{f_i}\)-가군이면, \(M\)가 평탄 \(A\)-가군임을 보여라. (올바른 방식으로 생각하면, 이것은 다소 사소한 일이다.)

주

대수기하학의 언어로 말하면, 이것은 ’유한 생성’이거나 ’평탄’이라는 성질이 (적절한 의미에서) Zariski 위상에 대해 국소적임을 의미한다. ’유한 표현’이라는 성질에 대해서도 같은 것을 보일 수 있다.

연습문제

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. \(f_i \in A\), \(i \in I\) 및 \(g_j \in B\), \(j \in J\)를 다음을 만족하는 원들의 집합으로 하자: \[\Spec(A) = \bigcup D(f_i) \quad\text{그리고}\quad \Spec(B) = \bigcup D(g_j).\] 모든 \(i, j\)에 대해 \(A_{f_i} \to B_{f_ig_j}\)가 유한형이면, \(A \to B\)가 유한형임을 보이라.

상승정리와 하강정리

정의

\(\phi : A \to B\)를 환 준동형이라고 하자. 다음 조건을 만족할 때, \(\phi\)에 대해 상승정리 가 성립한다고 한다:

• \({\mathfrak p} \subset {\mathfrak p}'\)를 만족하는 임의의 \({\mathfrak p}, {\mathfrak p}' \in \Spec(A)\)와, \({\mathfrak p}\) 위에 있는 임의의 \(P \in \Spec(B)\)에 대해, \(P \subset P'\)를 만족하고 \({\mathfrak p}'\) 위에 있는 \(P'\in \Spec(B)\)가 존재한다.

마찬가지로, 다음 조건을 만족할 때, \(\phi\)에 대해 하강정리 가 성립한다고 한다:

• \({\mathfrak p} \subset {\mathfrak p}'\)를 만족하는 임의의 \({\mathfrak p}, {\mathfrak p}' \in \Spec(A)\)와, \({\mathfrak p}'\) 위에 있는 임의의 \(P' \in \Spec(B)\)에 대해, \(P \subset P'\)를 만족하고 \({\mathfrak p}\) 위에 있는 \(P\in \Spec(B)\)가 존재한다.

연습문제

다음 각 경우에 (GU), (GD) 가 성립하는지 판단하고 그 이유를 설명하라. (찾을 수 있는 어떤 명제·정리·보조정리를 사용해도 좋지만, 각 경우에 가정을 확인하라.)

1. \(k\)는 체이며, \(A = k\), \(B = k[x]\).

2. \(k\)는 체이며, \(A = k[x]\), \(B = k[x, y]\).

3. \(A = {\mathbf Z}\), \(B = {\mathbf Z}[1/11]\).

4. \(k\)는 대수적으로 닫힌 체이며, \(A = k[x, y]\), \(B = k[x, y, z]/(x^2-y, z^2-x)\).

5. \(A = {\mathbf Z}\), \(B = {\mathbf Z}[i, 1/(2 + i)]\).

6. \(A = {\mathbf Z}\), \(B = {\mathbf Z}[i, 1/(14 + 7i)]\).

7. \(k\)는 대수적으로 닫힌 체이며, \(A = k[x]\), \(B = k[x, y, 1/(xy-1)]/(y^2-y)\).

연습문제

\(A\)를 환으로 하고, \(B = A[x]\)를 \(A\) 상의 일변수 다항식 대수로 한다. \(f = a_0 + a_1 x + \ldots + a_r x^r \in B = A[x]\)로 한다. \(\Spec(A)\) 에서의 \(D(f)\)의 상이 \(D(a_0) \cup \ldots \cup D(a_r)\)와 같음을 자세히 증명하라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 한다. 다음 각 사상의 \(\Spec(k[x, y])\) 에서의 상을 계산하라:

1. \(\Spec(k[x, yx^{-1}]) \to \Spec(k[x, y])\), 여기서 \(k[x, y] \subset k[x, yx^{-1}] \subset k[x, y, x^{-1}]\). (힌트: 혼동을 피하기 위해, 원소 \(yx^{-1}\)에 다른 이름을 붙여라.)

2. \(\Spec(k[x, y, a, b]/(ax-by-1))\to \Spec(k[x, y])\).

3. \(x \mapsto t^2\) 및 \(y \mapsto t^3\)에 의해 유도되는 \(\Spec(k[t, 1/(t-1)]) \to \Spec(k[x, y])\).

4. \(k = {\mathbf C}\)(복소수), \(\Spec(k[s, t]/(s^3 + t^3-1)) \to \Spec(k[x, y])\), 여기서 \(x\mapsto s^2\), \(y \mapsto t^2\).

주

위와 같이 상을 구하려면, 일반적으로 소거법을 사용한다.

Fitting 아이디얼

연습문제

\(R\)를 환, \(M\)를 유한 \(R\)-가군으로 하자. \(M\)의 표현 \[\bigoplus\nolimits_{j \in J} R \longrightarrow R^{\oplus n} \longrightarrow M \longrightarrow 0.\]를 선택하라. 사상 \(R^{\oplus n} \to M\)는 \(M\)의 원소 열 \(x_1, \ldots, x_n\)에 의해 주어진다는 것에 주의하라. 원소 \(x_i\)는 \(M\)의 생성원이다. 사상 \(\bigoplus_{j \in J} R \to R^{\oplus n}\)은 계수가 \(R\)에 속하는 \(n \times J\) 행렬 \(A\)에 의해 주어진다. 다시 말해, \(A = (a_{ij})_{i = 1, \ldots, n, j \in J}\)이다. \(A\)의 열 \((a_{1j}, \ldots, a_{nj})\),\(j \in J\)을 관계식이라고 한다. \(\sum r_i x_i = 0\)을 만족하는 임의의 벡터 \((r_i) \in R^{\oplus n}\)는 \(A\)의 열의 선형 결합이다. 물론, 임의의 유한 \(R\)-가군은 많은 서로 다른 표현을 가진다.

1. \(A\)의 \((n - k) \times (n - k)\) 소행렬식으로 생성되는 아이디얼이, 표현의 선택에 의존하지 않음을 보이라. 이 아이디얼을 \(M\)의 제 \(k\) Fitting 아이디얼이라고 하며, \(Fit_k(M)\)라고 쓴다.

2. \(Fit_0(M) \subset Fit_1(M) \subset Fit_2(M) \subset \ldots\)를 보이라. (힌트: 행렬식은 한 열을 따라 전개하여 계산할 수 있다는 점을 이용하라.)

3. 다음이 동치임을 보이라:

   1. \(Fit_{r - 1}(M) = (0)\) 그리고 \(Fit_r(M) = R\),

   2. \(M\)는 계수 \(r\)의 국소 자유 가군이다.

Hilbert 함수

정의

정수값 다항식이란, 임의의 정수 \(n\)에 대해 \(f(n) \in {\mathbf Z}\)가 되는 다항식 \(f(x) \in {\mathbf Q}[x]\)을 말한다.

정의

환 \(A\) 위의 등급 가군 \(M\) 이란, \(A\)-부분가군으로의 직합 분해 \(\bigoplus\nolimits_{n \in {\mathbf Z}} M_n\)를 갖춘 \(A\)-가군 \(M\)을 말한다. 모든 \(M_n\)가 유한 \(A\)-가군일 때, \(M\)는 국소유한이라고 한다. \(A\)를 뇌터 환이라고 하고, \(\varphi\)를 유한 \(A\)-가군 위의 Euler–Poincaré 함수라고 한다. 이것은, 임의의 유한 생성 \(A\)-가군 \(M\)에 정수 \(\varphi(M) \in {\mathbf Z}\)가 주어지고, 임의의 짧은 완전 열 \[0 \longrightarrow M' \longrightarrow M \longrightarrow M'' \longrightarrow 0\]에 대하여 \(\varphi(M) = \varphi(M') + \varphi(M'')\)이 됨을 의미한다. 국소 유한 등급 가군 \(M\)의 (\(\varphi\)에 관한) Hilbert 함수란, 함수 \(\chi_\varphi(M, n) = \varphi(M_n)\)을 뜻한다. 충분히 큰 모든 정수 \(n\)에 대해 \(\chi_\varphi(M, n) = P_\varphi(n)\)가 되는 정수값 다항식 \(P_\varphi\)가 존재할 때, \(M\)은 Hilbert 다항식 을 가진다고 한다.

정의

차수 있는 \(A\)-대수란, 차수 있는 \(A\)-가군 \(B = \bigoplus_{n \geq 0} B_n\)과, \(A\)-쌍선형 사상 \[B \times B \longrightarrow B, \ (b, b') \longmapsto bb'\]으로서, \(B\)를 \(A\)-대수로 만들고, \(B_n \cdot B_m \subset B_{n + m}\)를 만족하는 것을 말한다. 마지막으로, 등급 \(A\)-대수 \(B\) 위의 등급 모듈 \(M\)란, 등급 \(A\)-모듈 \(M\)에 (양립하는) \(B\)-모듈 구조로 \(B_n \cdot M_d \subset M_{n + d}\)를 만족시키는 것을 부여한 것이다. 이것으로, 등급 가군·환의 준동형, 등급 부분가군, 등급 아이디얼, 등급 가군의 완전열 등등을 정의할 수 있다.

연습문제

\(A = k\)를 체로 한다. 이 경우, 유한 \(A\)-가군 위의 Euler–Poincaré 함수로서 어떤 것이 있는지, 모두 구하라.

연습문제

\(A ={\mathbf Z}\)라고 하자. 이 경우, 유한 \(A\)-가군 위의 Euler–Poincaré 함수로서 어떤 것이 있는지, 모두 구하라.

연습문제

\(A = k[x, y]/(xy)\)로 하고, \(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 하자. 이 경우, 유한 \(A\)-가군 위의 Euler–Poincaré 함수로서 어떤 것이 있는지 모두 구하시오.

연습문제

\(A\)를 뇌터 환이라고 하자. 국소 유한한 \(A\)-가군 사상의 핵이 국소 유한임을 보이라.

연습문제

\(k\)를 체라고 하고, \(A = k\) 및 \(B = k[x, y]\)라고 하자. 등급은 \(\deg(x) = 2\)와 \(\deg(y) = 3\)에 의해 정해진다. \(\varphi(M) = \dim_k(M)\)로 한다. 등급 \(k\)-모듈로서 \(B\)의 Hilbert 함수를 계산하라. 이 경우, Hilbert 다항식이 존재하는가.

연습문제

\(k\)를 체로 하고, \(A = k\) 및 \(B = k[x, y]/(x^2, xy)\)로 둔다. 등급은 \(\deg(x) = 2\)와 \(\deg(y) = 3\)에 의해 정해진다. \(\varphi(M) = \dim_k(M)\)라고 하자. 등급 \(k\)-가군으로서 \(B\)의 Hilbert 함수를 계산하라. 이 경우, Hilbert 다항식이 존재하는가.

연습문제

\(k\)를 체로 하고, \(A = k\)라고 하자. \(\varphi(M) = \dim_k(M)\)라고 한다. \(d\in {\mathbf N}\)을 고정한다. 등급 \(A\)-대수 \(B = k[x, y, z]/(x^d + y^d + z^d)\)를 생각한다. 여기서 \(x, y, z\)는 각각 차수 \(1\)를 가진다. \(B\)의 Hilbert 함수를 계산하라. 이 경우, Hilbert 다항식은 존재하는가.

환의 Proj

정의

\(R\)을 등급환이라 하자. 동차 아이디얼이란 \(R\)의 등급 부분가군이기도 한 아이디얼 \(I \subset R\)을 말한다. 동치로, 동차 원소들로 생성되는 아이디얼이다. 또 동치로, \(f \in I\)이고 \[f = f_0 + f_1 + \ldots + f_n\] 가 \(R\)에서 \(f\)를 동차 성분들로 분해한 것이면 각 \(i\)에 대해 \(f_i \in I\)이다.

정의

등급환 \(R\)의 동차 스펙트럼 \(\text{Proj}(R)\)을 \(R_{+} \not \subset {\mathfrak p}\)를 만족하는 \(R\)의 동차 소 아이디얼 \({\mathfrak p}\)들의 집합으로 정의한다. \(\text{Proj}(R)\)는 \(\Spec(R)\)의 부분집합이므로 자연스러운 유도 위상을 갖는다.

정의

\(R = \oplus_{d \geq 0} R_d\)를 등급환이라 하고, \(f\in R_d\)이며 \(d \geq 1\)이라고 하자. \(R_{(f)}\)를, \(r\)가 동차이고 \(\deg(r) = nd\)인 \(r/f^n\) 꼴의 원소들로 이루어진 \(R_f\)의 부분환으로 정의한다. 또한 \[D_{+}(f) = \{ {\mathfrak p} \in \text{Proj}(R) | f \not\in {\mathfrak p} \}.\] 로 정의한다. 마지막으로 동차 아이디얼 \(I \subset R\)에 대해 \(V_{+}(I) = V(I) \cap \text{Proj}(R)\)로 정의한다.

연습문제

\(\text{Proj}(R)\)의 위상에 관하여. 위의 정의와 표기 아래 다음 명제들을 증명하라.

1. \(D_{+}(f)\)가 \(\text{Proj}(R)\)에서 열린집합임을 보여라.

2. \(D_{+}(ff') = D_{+}(f) \cap D_{+}(f')\)임을 보여라.

3. \(g = g_0 + \ldots + g_m\)를 \(g_i \in R_i\)인 \(R\)의 원소라 하자. \(D(g) \cap \text{Proj}(R)\)를 \(D_{+}(g_i)\), \(i \geq 1\)과 \(D(g_0) \cap \text{Proj}(R)\)를 사용하여 나타내라. 증명은 필요 없다.

4. \(g\in R_0\)를 차수 \(0\)의 동차 원소라 하자. \(D(g) \cap \text{Proj}(R)\)를 양의 차수를 갖는 적절한 동차 원소족 \(f_\alpha \in R\)에 대한 \(D_{+}(f_\alpha)\)들로 나타내라.

5. 열린집합들의 모임 \(\{D_{+}(f)\}\)가 \(\text{Proj}(R)\)의 위상의 기저를 이룸을 보여라.

6. 표준적인 전단사 \(D_{+}(f) \to \Spec(R_{(f)})\)가 존재함을 보여라.

   (힌트: \(\Spec\)의 경우의 증명을 모방하되, 어느 지점에서 아이디얼의 근기를 끼워 넣어라.)

7. (078U)의 사상이 위상동형임을 보여라.

8. \(\text{Proj}(R)\)가 준콤팩트가 아닌 \(R\)의 예를 들어라. 증명은 필요 없다.

9. 임의의 닫힌 부분집합 \(T \subset \text{Proj}(R)\)가 어떤 동차 아이디얼 \(I \subset R\)에 대한 \(V_{+}(I)\) 꼴임을 보여라.

주

연속사상 \(\text{Proj}(R) \longrightarrow \Spec(R_0)\)가 존재한다.

연습문제

\(R = A[X]\)이고 \(\deg(X) = 1\)이면 자연스러운 사상 \(\text{Proj}(R) \to \Spec(A)\)가 전단사이고, 실제로 위상동형임을 보여라.

연습문제

블로업: 제I부. 이 연습에서는 \(R = Bl_I(A) = A \oplus I \oplus I^2 \oplus \ldots\)로 둔다. 자연스러운 사상 \(b : \text{Proj}(R) \to \Spec(A)\)를 생각하자. \(U = \Spec(A) - V(I)\)로 두어라. \[b : b^{-1}(U) \longrightarrow U\] 가 위상동형임을 보여라. 따라서 \(U\)를 \(\text{Proj}(R)\)의 열린 부분집합으로 생각할 수 있다. \(Z \subset \Spec(A)\)를 일반점 \(\xi \in Z\)를 갖는 기약 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\xi \not\in V(I)\), 다시 말해 \(Z \not\subset V(I)\), 다시 말해 \(\xi \in U\), 다시 말해 \(Z\cap U \not = \emptyset\)이라고 가정하자. \(Z\)의 고유 변환 \(Z'\)을 \(\xi\) 위에 놓이는 유일한 점 \(\xi'\)의 폐포로 정의한다. 달리 말하면, \(Z'\)은 국소 닫힌 부분집합 \(Z\cap U \subset U \subset \text{Proj}(R)\)의 \(\text{Proj}(R)\) 안에서의 폐포이다.

연습문제

블로업: 제II부. \(A = k[x, y]\)이고 \(k\)가 체라 하며, \(I = (x, y)\)라 하자. \(R\)을 \(A\)와 \(I\)의 블로업 대수라 하자.

1. \(Z_1 = V(\{x\})\)와 \(Z_2 = V(\{y\})\)의 고유 변환들이 서로소임을 보여라.

2. \(Z_1 = V(\{x\})\)와 \(Z_2 = V(\{x-y^2\})\)의 고유 변환들이 서로소가 아님을 보여라.

3. \(V(J) = V(I)\)를 만족하고, \(J\)를 따라 블로업했을 때 \(Z_1 = V(\{x\})\)와 \(Z_2 = V(\{x-y^2\})\)의 고유 변환들이 서로소가 되게 하는 아이디얼 \(J \subset A\)를 찾아라.

연습문제

\(R\)을 등급환이라 하자.

1. 모든 \(n >> 0\)에 대해 \(R_n = (0)\)이면 \(\text{Proj}(R)\)가 공집합임을 보여라.

2. \(R\)이 정역이고 \(R_{+}\)가 영이 아니면 \(\text{Proj}(R)\)가 기약 위상 공간임을 보여라. (공집합인 위상 공간은 기약이 아님을 상기하라.)

연습문제

블로업: 제III부. 고유 변환의 정의에서와 같은 \(A\), \(I\), \(U\), \(Z\)를 생각하자. 어떤 소 아이디얼 \({\mathfrak p}\)에 대해 \(Z = V({\mathfrak p})\)라 하자. \(\bar A = A/{\mathfrak p}\)라 하고, \(\bar I\)를 \(\bar A\)에서 \(I\)의 상이라 하자.

1. 전사 환 준동형 \(R: = Bl_I(A) \to \bar R: = Bl_{\bar I}(\bar A)\)가 존재함을 보여라.

2. 위의 환 준동형이 \(\text{Proj}(\bar R)\)에서 \(Z\)의 고유 변환 \(Z'\) 위로 가는 전단사 사상을 유도함을 보여라. (이는 그리 쉽지 않다. 힌트: 위의 5(b)를 사용하라.)

3. 고유 변환이 \(Z' = V_{+}(P)\)임을 결론지어라. 여기서 \(P \subset R\)는 \(P_d = I^d \cap {\mathfrak p}\)로 정의되는 동차 아이디얼이다.

4. \(Z_1 = V({\mathfrak p})\)와 \(Z_2 = V({\mathfrak q})\)가 소 아이디얼들로 정의된 기약 닫힌 부분집합들이고 \(Z_1 \not \subset Z_2\)이며 \(Z_2 \not \subset Z_1\)이라고 하자. 아이디얼 \(I = {\mathfrak p} + {\mathfrak q}\)의 블로업이 \(Z_1\)과 \(Z_2\)의 고유 변환들을 분리함을, 즉 \(Z_1' \cap Z_2' = \emptyset\)임을 보여라. (힌트: (c)의 동차 아이디얼 \(P\)와 \(Q\)를 생각하고 \(V(P + Q)\)를 생각하라.)

차원 1인 Cohen–Macaulay 환

정의

뇌터 국소환 \(A\)가 차원 \(d\)인 Cohen–Macaulay 환이라는 것은, 그 차원이 \(d\)이고 \(A\)의 매개변수계 \(x_1, \ldots, x_d\)가 존재하여 각 \(i = 1, \ldots, d\)에 대해 \(x_i\)가 \(A/(x_1, \ldots, x_{i-1})\)에서 영인자가 아닌 원소가 되는 것을 말한다.

연습문제

차원 1인 Cohen–Macaulay 환. 제I부: 이론.

1. \((A, {\mathfrak m})\)을 \(\dim A = 1\)인 뇌터 국소환이라 하자. \(x\in {\mathfrak m}\)이 영인자가 아니면 다음을 보여라.

   1. \(\dim A/xA = 0\), 다시 말해 \(A/xA\)는 아르틴 환이고, 다시 말해 \(\{x\}\)는 \(A\)의 매개변수계이다.

   2. \(A\)에는 매장 소 아이디얼이 없다.

2. 반대로, \((A, {\mathfrak m})\)을 차원 \(1\)인 뇌터 국소환이라 하자. \(A\)에 매장 소 아이디얼이 없으면 \({\mathfrak m}\) 안에 영인자가 아닌 원소가 존재함을 보여라.

연습문제

차원 1인 Cohen–Macaulay 환. 제II부: 예.

1. \(A\)를 \(k[x, y]/(x^2, xy)\)의 \((x, y)\)에서의 국소환이라 하자.

   1. \(A\)의 차원이 1임을 보여라.

   2. \({\mathfrak m}\subset A\)의 모든 원소가 영인자임을 증명하라.

   3. \(\dim A/zA = 0\)을 만족하는 \(z\in {\mathfrak m}\)을 찾아라(증명은 필요 없다).

2. \(A\)를 \(k[x, y]/(x^2)\)의 \((x, y)\)에서의 국소환이라 하자. \({\mathfrak m}\)에서 영인자가 아닌 원소를 찾아라(증명은 필요 없다).

연습문제

매장 차원 \(1\)인 국소환. \((A, {\mathfrak m}, k)\)를 매장 차원 \(1\)인 뇌터 국소환, 즉 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 1.\] 을 만족하는 환이라 하자. 함수 \(f(n) = \dim_k {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\)가 값 \(1\)인 상수함수이거나 그 값들이 \[1, 1, \ldots, 1, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots\] 임을 보여라.

연습문제

차원 \(1\)인 정칙 국소환. \((A, {\mathfrak m}, k)\)를 차원 \(1\)인 정칙 뇌터 국소환이라 하자. 이는 \(A\)의 차원이 \(1\)이고 매장 차원도 \(1\), 즉 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 1.\] 임을 뜻한다는 것을 상기하라. \(x\in{\mathfrak m}\)를 \({\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2\)에서의 동치류가 영이 아닌 임의의 원소라 하자.

1. \({\mathfrak m}\)의 모든 원소 \(y\)에 대해 정수 \(n\)이 존재하여 \(y\)를 \(y = ux^n\)로 쓸 수 있음을 보여라. 여기서 \(u\in A^\ast\)는 단위원이다.

2. \(x\)가 \(A\)에서 영인자가 아닌 원소임을 보여라.

3. \(A\)가 정역임을 결론지어라.

연습문제

\((A, {\mathfrak m}, k)\)를 수반 등급환 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\)을 갖는 뇌터 국소환이라 하자.

1. \(x\in {\mathfrak m}^d\)가 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\)의 차수 \(d\)에서 영인자가 아닌 원소 \(\bar x \in {\mathfrak m}^d/{\mathfrak m}^{d + 1}\)로 사상된다고 하자. \(x\)가 영인자가 아님을 보여라.

2. \(A\)의 깊이가 적어도 \(1\)이라고 하자. 즉, 영인자가 아닌 원소 \(y \in {\mathfrak m}\)이 존재한다고 하자. 이 경우에는 더 강한 결론을 얻을 수 있다. \(x\in {\mathfrak m}^d\)가 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\)의 차수 \(d\)인 원소 \(\bar x \in {\mathfrak m}^d/{\mathfrak m}^{d + 1}\)로 사상되고, 이것이 충분히 높은 차수들에서 영인자가 아니라고만 가정하자. 즉, \(\exists N\)이 있어서 모든 \(n \geq N\)에 대해 \(\bar x\)의 곱셈 사상 \[{\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1} \longrightarrow {\mathfrak m}^{n + d}/{\mathfrak m}^{n + d + 1}\] 이 단사라고 하자. 그러면 \(x\)가 영인자가 아님을 보여라.

연습문제

\((A, {\mathfrak m}, k)\)를 차원 \(1\)인 뇌터 국소환이라 하자. 또한 \(A\)의 매장 차원이 \(2\), 즉 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 2.\] 라고 가정하자. 표기: \(f(n) = \dim_k {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\). 생성원 \(x, y \in {\mathfrak m}\)을 택하고, 어떤 동차 아이디얼 \(I\)에 대해 \(Gr_{\mathfrak m}(A) = k[\bar x, \bar y]/I\)로 쓰자.

1. 동차 원소 \(F\in k[\bar x, \bar y]\)가 존재하여 \(I \subset (F)\)이고 충분히 높은 모든 차수에서는 등호가 성립함을 보여라.

2. \(f(n) \leq n + 1\)임을 보여라.

3. \(f(n) < n + 1\)이면 \(n \geq \deg(F)\)임을 보여라.

4. \(f(n) < n + 1\)이면 \(f(n + 1) \leq f(n)\)임을 보여라.

5. 모든 \(n >> 0\)에 대해 \(f(n) = \deg(F)\)임을 보여라.

연습문제

차원 1, 매장 차원 2인 Cohen–Macaulay 환. \((A, {\mathfrak m}, k)\)를 차원 \(1\)인 Cohen–Macaulay 뇌터 국소환이라 하자. 또한 \(A\)의 매장 차원이 \(2\), 즉 \[\dim_k {\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2 = 2.\] 라고 가정하자. 표기: \(f\), \(F\), \(x, y\in {\mathfrak m}\), \(I\)는 연습문제 02EL에서와 같다. 위 문제들의 결과는 어느 것이든 사용해도 좋다.

1. \(z\in {\mathfrak m}\)의 \({\mathfrak m}/{\mathfrak m}^2\)에서의 동치류가 \(F\)와 서로소인 일차형식 \(\alpha \bar x + \beta \bar y \in k[\bar x, \bar y]\)이라고 하자.

   1. \(z\)가 \(A\)에서 영인자가 아닌 원소임을 보여라.

   2. \(d = \deg(F)\)라 하자. 충분히 큰 모든 \(n\)에 대해 \({\mathfrak m}^n = z^{n + 1-d}{\mathfrak m}^{d-1}\)임을 보여라. (힌트: 먼저 \(Gr_{\mathfrak m}(A)\)에 관해 아는 사실을 이용하여 \(z^{n + 1-d}{\mathfrak m}^{d-1} \to {\mathfrak m}^n/{\mathfrak m}^{n + 1}\)가 전사임을 보여라. 그런 다음 NAK를 사용하라.)

2. 이러한 \(z\)의 존재를 보장하는 \(k\)에 관한 조건은 무엇인가? (증명은 필요 없다. 너무 쉽기 때문이다.)

   이제 위와 같은 \(z\)가 존재한다고 가정하겠다. 이는 해롭지 않은 가정임이 드러난다(아래의 (d)와 (e)의 결과를 얻기 위해 이 조건이 성립하는 상황으로 귀착할 수 있다는 뜻이다).

3. 모든 \(\ell \geq d\)에 대해 \({\mathfrak m}^\ell = z^{\ell - d + 1} {\mathfrak m}^{d-1}\)임을 보여라.

4. \(I = (F)\)임을 결론지어라.

5. 함수 \(f\)의 값들이 \[2, 3, 4, \ldots, d-1, d, d, d, d, d, d, d, \ldots\] 임을 결론지어라.

주

이는 차원 1, 매장 차원 2인 뇌터 국소 Cohen–Macaulay 환이 \(B/FB\) 꼴임을 시사한다. 여기서 \(B\)는 2차원 정칙 국소환이다. 이는 (환에 적절한 “좋은 성질”을 가정하면) 거의 참이다.

무한히 많은 소수

무한히 많은 소수가 가역원이 아닌 환들에 관한 기묘한 문제들을 모은 절이다.

연습문제

다음 두 성질을 갖는 유한형 \({\mathbf Z}\)-대수 \(R\)의 예를 들어라.

1. 환 준동형 \(R \to {\mathbf Q}\)는 존재하지 않는다.

2. 모든 소수 \(p\)에 대해 \(R/{\mathfrak m} \cong {\mathbf F}_p\)를 만족하는 극대 아이디얼 \({\mathfrak m} \subset R\)이 존재한다.

연습문제

\(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)에 대해 \(f_p(x) = f(x, x^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x]\)로 정의한다. 다음 두 성질을 만족하는 \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)의 예를 들어라.

1. \(f_p\)가 \({\mathbf F}_p\)에서 영점을 갖지 않는 \(p\)가 무한히 많이 존재한다.

2. 모든 \(p >> 0\)에 대해 다항식 \(f_p\)는 일차 또는 이차 인수를 갖는다.

연습문제

\(f \in {\mathbf Z}[x, y, u, v]\)에 대해 \(f_p(x, y) = f(x, y, x^p, y^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x, y]\)로 정의한다. 모든 \(p >> 0\)에 대해 \(f_p\)가 가약인 “흥미로운” \(f\)의 예를 들어라. 예를 들어 \(f = xv-yu\)이면 \(f_p = xy^p-x^py = xy(x^{p-1}-y^{p-1})\)이므로 “흥미롭지 않다”. \(x, u\)에만 의존하는 임의의 \(f\)도 “흥미롭지 않다” 등등.

주

\(h \in {\mathbf Z}[y]\)를 차수 \(d\)인 일계수 다항식이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 사상 \(A = {\mathbf Z}[x] \to B ={\mathbf Z}[y]\), \(x \mapsto h\)는 계수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상이다.

2. 모든 소수 \(p\)에 대해 사상 \(A_p = {\mathbf F}_p[x]\to B_p = {\mathbf F}_p[y]\), \(y \mapsto h(y) \bmod p\)는 계수 \(d\)인 유한 국소 자유 사상이다.

연습문제

\(h, A, B, A_p, B_p\)를 위 주석에서와 같이 두자. \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)에 대해 \(f_p(x) = f(x, x^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[x]\)로 정의한다. \(g \in {\mathbf Z}[y, v]\)에 대해서는 \(g_p(y) = g(y, y^p) \bmod p \in {\mathbf F}_p[y]\)로 정의한다.

1. 다음 성질을 갖는 \(f\)가 존재하지 않게 하는 \(h\)와 \(g\)의 예를 들어라. \[f_p = Norm_{B_p/A_p}(g_p).\]

2. 위와 같은 \(h\)와 \(g\)를 어떻게 택하더라도, 영이 아닌 \(f\)가 존재하여 모든 \(p\)에 대해 \[Norm_{B_p/A_p}(g_p)\quad\text{가 다음을 나눈다}\quad f_p .\] 가 성립함을 보여라. 원한다면 \(h = y^n\), 심지어 \(n = 2\)인 경우로 제한해도 되지만, 이는 일반적으로 참이다.

3. 이것이 앞 문제 모음의 연습문제 6과 7에 어떤 관련이 있는지 논하라.

연습문제

미해결 문제. 매우 어려울 수도 있고 쉬울 수도 있다. 나도 모른다.

1. 무한히 많은 \(p\)에 대해 \(f_p\)가 기약이 되는 \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)가 존재하는가? (힌트: 그렇다. \(f(x, u) = u - x - 1\)과 \(f(x, u) = u^2 - x^2 + 1\)이 그 예이다.)

2. \(f \in {\mathbf Z}[x, u]\)가 영이 아니고, 충분히 큰 모든 \(p\)에 대해 \(\deg_x(f_p) = dp + d'\)라고 하자. (다시 말해 \(\deg_u(f) = d\)이고, \(f\)에서 \(u^d\)의 계수 \(c\)가 \(\deg_x(c) = d'\)를 만족한다.) \(d_1, d_2 > 0\)이고 \(d'_1, d'_2 \geq 0\)인 수들을 택하여 \(d = d_1 + d_2\)와 \(d' = d'_1 + d'_2\)로 쓸 수 있으며, 충분히 큰 모든 \(p\)에 대해 인수분해 \[f_p = f_{1, p} f_{2, p}\] 가 존재하여 \(\deg_x(f_{1, p}) = d_1p + d'_1\)가 된다고 하자. 그렇다면 \(f\)는 연습문제 4에서와 같은 노름 구성에서 얻어지는가? (더 정확히 말해, 모든 \(p >> 0\)에 대해 \(Norm_{B_p/A_p}(g_p)\)가 \(f_p\)를 나누게 하는 \(h\)와 \(g\)가 존재하는가?)

3. (b)와 비슷한 문제를 생각하되, 이제 \(f \in {\mathbf Z}[x_1, x_2, u_1, u_2]\)가 기약이고 모든 \(p >> 0\)에 대해 \(f_p(x_1, x_2) = f(x_1, x_2, x_1^p, x_2^p) \bmod p\)가 인수분해된다고만 가정하라.

여과 유도 범주

이 절의 연습문제를 풀기 위해서는 호몰로지, 제0120절의 내용을 읽어라. \(A\)가 \(\mathcal{A}\)의 여과 대상이라고 말할 때에는, 표기에서는 생략한 여과 \(F\)가 \(A\)에 주어져 있다는 뜻으로 사용하겠다.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(I\)를 \(\mathcal{A}\)의 여과 대상이라 하자. \(I\)의 여과가 유한하고 각 \(\text{gr}^p(I)\)가 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이라고 가정하자. 여과 \(F^p(I)\)가 \(\bigoplus_{p' \geq p} \text{gr}^p(I)\)에 대응하는 동형사상 \(I \cong \bigoplus \text{gr}^p(I)\)이 존재함을 보여라.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(I\)를 \(\mathcal{A}\)의 여과 대상이라 하자. \(I\)의 여과가 유한하다고 가정하자. 다음 두 조건이 동치임을 보여라.

1. 여과 대상들의 임의의 실선 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r]_\alpha \ar[d] & B \ar@{-->}[ld] \\ I & }\] 에서 (i) \(A\)와 \(B\)의 여과가 유한하고, (ii) \(\text{gr}(\alpha)\)가 단사이면 도식을 가환하게 만드는 점선 화살표가 존재한다.

2. 각 \(\text{gr}^p I\)가 단사 대상이다.

유한 여과를 갖는 여과 대상들의 사상 \(\alpha : A \to B\)가 주어졌을 때 \(\text{gr}(\alpha)\)가 단사라는 것은 \(\alpha\)가 범주 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\)에서 엄밀 단사 사상이라는 것과 같다. 실제로 단사 사상이라는 것은 \(\Ker(\alpha) = 0\)이라는 뜻이고, 엄밀하다는 것은 이것이 \(\Ker(\text{gr}(\alpha)) = 0\)도 함의한다는 뜻이다. 호몰로지, 보조정리 0127를 보라. (단사라는 말은 아벨 범주의 사상에 대해서만 사용하겠다. 다만 핵을 갖는 임의의 가법 범주에서도 이 말은 의미가 있다.) 위 연습문제들은 다음 정의를 정당화한다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(I\)를 \(\mathcal{A}\)의 여과 대상이라 하자. \(I\)의 여과가 유한하다고 가정하자. 각 \(\text{gr}^p(I)\)가 \(\mathcal{A}\)의 단사 대상이면 \(I\)를 여과 단사 대상이라고 한다.

매번 “유한 여과를 갖는”이라고 말하지 않아도 되도록 다음을 정의한다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\text{Fil}(\mathcal{A})\)의 대상 중 여과가 유한한 \(A \in \Ob(\text{Fil}(\mathcal{A}))\)들로 이루어진 충만 부분범주를 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)로 나타낸다.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)에 단사 대상이 충분히 많다고 가정하자. \(A\)를 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(A\)에서 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 여과 단사 대상 \(I\)로 가는 엄밀 단사 사상 \(\alpha : A \to I\)가 존재함을 보여라.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)를 \(\text{Fil}(\mathcal{A})\)의 복합체들의 사상이라 하자. 각 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 사상 \(\text{gr}^p(K^\bullet) \to \text{gr}^p(L^\bullet)\)가 준동형이면 \(\alpha\)를 여과 준동형이라고 한다.

정의

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(K^\bullet\)을 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 복합체라 하자. 각 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 복합체 \(\text{gr}^p(K^\bullet)\)이 비순환이면 \(K^\bullet\)을 여과 비순환이라고 한다.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\alpha : K^\bullet \to L^\bullet\)를 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 아래로 유계인 복합체들의 사상이라 하자. (위 첨자 \(f\)에 주의하라.) 다음 조건들이 동치임을 보여라.

1. \(\alpha\)는 여과 준동형이다.

2. 각 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 사상 \(\alpha : F^pK^\bullet \to F^pL^\bullet\)은 준동형이다.

3. 각 \(p \in \mathbf{Z}\)에 대해 사상 \(\alpha : K^\bullet/F^pK^\bullet \to L^\bullet/F^pL^\bullet\)은 준동형이다.

4. \(\alpha\)의 원뿔(유도 범주, 정의 014E 참조)은 여과 비순환 복합체이다.

또한 \(\alpha\)가 여과 준동형이면 \(\alpha\)가 보통 의미에서도 준동형임을 보여라.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)에 단사 대상이 충분히 많다고 가정하자. \(A\)를 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 대상이라 하자. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 복합체 \(I^\bullet\)과 사상 \(A[0] \to I^\bullet\)이 존재하여 다음을 만족함을 보여라.

1. 각 \(I^p\)는 여과 단사 대상이다.

2. \(p < 0\)이면 \(I^p = 0\)이다.

3. \(A[0] \to I^\bullet\)은 여과 준동형이다.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\mathcal{A}\)에 단사 대상이 충분히 많다고 가정하자. \(K^\bullet\)을 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 대상들로 이루어진 아래로 유계인 복합체라 하자. 여과 준동형 \(\alpha : K^\bullet \to I^\bullet\)이 존재하되, \(I^\bullet\)은 여과 단사 항 \(I^n\)을 갖는 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 아래로 유계인 복합체임을 보여라. 실제로 각 \(\alpha^n\)이 엄밀 단사 사상이 되도록 \(\alpha\)를 택할 수 있다.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 복합체들로 이루어진 실선 도식 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^\beta \\ I^\bullet }\] 을 생각하자. \(K^\bullet\), \(L^\bullet\), \(I^\bullet\)이 아래로 유계이고 각 \(I^n\)이 여과 단사 대상이라고 가정하자. 또한 \(\alpha\)가 여과 준동형이라고 가정하자.

1. 호모토피까지 도식을 가환하게 만드는 복합체 사상 \(\beta\)가 존재한다.

2. \(\alpha\)가 각 차수에서 엄밀 단사 사상이면 도식을 가환하게 만드는 \(\beta\)를 찾을 수 있다.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자.

\(K^\bullet\), \(K^\bullet\)을 \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 복합체들이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(K^\bullet\)은 아래로 유계이고 여과 비순환이다.

2. \(I^\bullet\)은 아래로 유계이고 여과 단사 대상들로 이루어져 있다.

그러면 임의의 사상 \(K^\bullet \to I^\bullet\)은 영 사상과 호모토픽이다.

연습문제

\(\mathcal{A}\)를 아벨 범주라 하자. \(\text{Fil}^f(\mathcal{A})\)의 복합체들로 이루어진 실선 도식 \[\xymatrix{ K^\bullet \ar[r]_\alpha \ar[d]_\gamma & L^\bullet \ar@{-->}[dl]^{\beta_i} \\ I^\bullet }\] 을 생각하자. \(K^\bullet\), \(L^\bullet\), \(I^\bullet\)이 아래로 유계이고 각 \(I^n\)이 여과 단사 대상이라고 가정하자. 또한 \(\alpha\)가 여과 준동형이라고 가정하자. 호모토피까지 도식을 가환하게 만드는 임의의 두 사상 \(\beta_1, \beta_2\)는 서로 호모토픽이다.

정칙 함수

연습문제

좌표 \(s, t\)를 갖는 \(\mathbf{C}^2\)에서 방정식 \(t^2 = s^5 + 8\)로 주어지는 아핀 곡선 \(X\)를 생각하자. \(x \in X\)를 좌표가 \((1, 3)\)인 점이라 하고 \(U = X \setminus \{x\}\)로 두자. \(U\) 위의 정칙 함수 가운데 \(\mathbf{C}^2\) 위의 정칙 함수의 제한이 아닌 것, 즉 \(s\)와 \(t\)에 관한 다항식의 \(U\)로의 제한이 아닌 것이 존재함을 증명하라.

연습문제

\(n \geq 2\)라고 하자. \(E \subset \mathbf{C}^n\)를 유한 부분집합으로 하자. \(\mathbf{C}^n \setminus E\) 위의 임의의 정칙 함수가 다항식임을 보이라.

연습문제

\(X \subset \mathbf{C}^n\)을 아핀 다양체라고 한다. \(x = (a_1, \ldots, a_n) \in X\) 및 \(\lambda \in \mathbf{C}\)로부터 \((\lambda a_1, \ldots, \lambda a_n) \in X\)가 따를 때, \(X\)는 원뿔이라고 한다. 물론, \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_n]\)가 \(x_1, \ldots, x_n\)의 동차 다항식으로 생성된 소 아이디얼이라면, 아핀 다양체 \(X = V(\mathfrak p) \subset \mathbf{C}^n\)는 원뿔이다. 반대로, 원뿔에 대응하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x_1, \ldots, x_n]\)은 \(x_1, \ldots, x_n\)의 동차 다항식으로 생성할 수 있음을 보여라.

연습문제

원뿔인 아핀 다양체 \(X \subset \mathbf{C}^n\)(연습문제 0E9F 참조)와, \(U = X \setminus \{(0, \ldots, 0)\}\) 위의 정칙 함수 \(f\) 중 \(\mathbf{C}^n\) 위의 다항식 함수의 제한이 아닌 것의 예를 제시하라.

연습문제

이 연습에서는, 대수적으로 닫히지 않은 체 위의 정칙 함수에 무슨 일이 일어나는지 조사한다. \(k\)을 체로 하자. \(Z \subset k^n\)를 Zariski 국소 닫힌 부분집합, 즉 아이디얼 \(I \subset J \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)가 존재하여 \[Z = \{a \in k^n \mid f(a) = 0\ \forall\ f \in I,\ \exists\ g \in J,\ g(a) \not = 0\}.\]가 되도록 하는 것으로 하자. 함수 \(\varphi : Z \to k\)가 정칙이라는 것은, 각 \(z \in Z\)에 대해 Zariski 열린근방 \(z \in U \subset Z\)과 다항식 \(f, g \in k[x_1, \ldots, x_n]\)이 존재하여, 모든 \(u \in U\)에 대해 \(g(u) \not = 0\)이며, 모든 \(u \in U\)에 대해 \(\varphi(u) = f(u)/g(u)\)가 됨을 말한다.

1. \(k = \bar k\)이고 \(Z = k^n\)라면, 정칙 함수는 다항식으로 주어짐을 보이시오. (이 논의를 이전에 본 적이 없다면 시도하면 된다.)

2. \(k\)가 유한하다면, (a) 모든 함수 \(\varphi\)는 정칙 함수이며, (b) 정칙 함수의 환은 \(k\) 위에서 유한 차원임을 보이라. (원한다면 \(Z = k^n\), 나아가 \(n = 1\)로도 좋다.)

3. \(k = \mathbf{R}\)의 경우, \(Z = \mathbf{R}\) 위의 정칙 함수 중 다항식으로 주어지지 않은 예를 제시하라.

4. \(k = \mathbf{Q}_p\)의 경우, \(Z = \mathbf{Q}_p\) 위의 정칙 함수로, 다항식으로 주어지지 않는 것의 예를 들어라.

층

범주 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X \to Y\)가 단사 사상이라는 것은, 임의의 두 사상 \(a, b : W \to X\)에 대해 \(f \circ a = f \circ b \Rightarrow a = b\)가 성립하는 것을 말한다. 집합의 범주에서 단사 사상은 집합 사이의 단사 함수이다.

연습문제

집합층의 사상이 (집합층의 범주에서) 단사 사상인 것과 모든 줄기에 유도되는 사상이 단사인 것이 서로 동치임을, 자세히 증명하라.

범주 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X \to Y\)가 동형사상이라는 것은, 사상 \(g : Y \to X\)가 존재하여 \(f \circ g = \text{id}_Y\) 및 \(g \circ f = \text{id}_X\)가 되는 것을 말한다. 집합의 범주에서 동형사상은 집합 사이의 전단사 함수이다.

연습문제

집합층의 사상이 (집합층의 범주에서) 동형인 것과, 모든 줄기(stalk)에 유도되는 사상이 전단사인 것이 동치임을, 정성껏 증명하시오.

범주 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(f : X \to Y\)가 전사 사상이라는 것은, 임의의 두 사상 \(a, b : Y \to Z\)에 대해 \(a \circ f = b \circ f \Rightarrow a = b\)가 성립하는 것을 말한다. 집합의 범주에서 전사 사상은 집합 사이의 전사 함수이다.

연습문제

집합의 층의 사상이 (집합의 층의 범주에서) 전사 사상인 것과 모든 줄기에 유도되는 사상이 전사인 것이 서로 동치임을 자세히 증명하라.

연습문제

\(f : X \to Y\)를 위상 공간들의 사상이라 하자. 집합의 층에 대한 직접상 \(f_\ast\)와 역상 \(f^{-1}\)이 한 쌍의 수반 함자를 이룸을 증명하라.

연습문제

\(j : U \to X\)를 열 포함으로 한다. 다음을 보이라.

1. 역상 \(j^{-1} : \Sh(X) \to \Sh(U)\)은, 공집합에 의한 확장이라고 불리는 좌수반 \(j_{!} : \Sh(U) \to \Sh(X)\)를 가진다.

2. \(\mathcal{G} \in \Sh(U)\)에 대해 \(j_{!}({\mathcal G})\)의 줄기를 특징지어라.

3. 역상 \(j^{-1} : \textit{Ab}(X) \to \textit{Ab}(U)\)은, 영에 의한 연장이라고 불리는 좌수반 \(j_{!} : \textit{Ab}(U) \to \textit{Ab}(X)\)을 가진다.

4. \(\mathcal{G} \in \textit{Ab}(U)\)에 대해 \(j_{!}({\mathcal G})\)의 줄기를 특징짓는다.

영에 의한 연장은 공집합에 의한 연장과 다르다는 점을 주의하라!

연습문제

\(X = \mathbf{R}\)에 보통 위상을 주자. \(\mathcal{O}_X = \underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_X\)로 두자. \(i : Z = \{0\} \to X\)를 포함사상이라 하고, \(\mathcal{O}_Z = \underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_Z\)로 두자. 다음을 증명하라(처음 세 명제는 정의에서 따르지만, 정의가 분명하지 않다면 이 명제들을 통해 분명히 해야 한다).

1. \(i_*\mathcal{O}_Z\)는 마천루층이다.

2. 표준적인 전사 사상 \(\underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_X \to i_*\underline{\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}}_Z\)가 존재한다. 그 핵을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 나타내자.

3. \(\mathcal{I}\)은 \(\mathcal{O}_X\)의 아이디얼층이다.

4. \(X\) 위의 층 \(\mathcal{I}\)은 (가군, 정의 01B2의 의미에서) 단면들로 국소 생성될 수 없다.

연습문제

\(X\)를 위상 공간으로 하자. \({\mathcal F}\)를 \(X\) 위의 아벨 군 층으로 하자. \({\mathcal F}\)가 각 항이 \[j_{!}(\underline{{\mathbf Z}}_U)\] 형태인 층들의 (매우 클 수도 있는) 직합의 몫임을 보여라. 여기서 \(U \subset X\)는 열린집합이고, \(\underline{{\mathbf Z}}_U\)는 \(U\) 위에서 값이 \({\mathbf Z}\)인 상수층을 나타낸다.

주

\(X\)를 위상 공간으로 한다. 아벨 군의 층 범주에서 층들의 가족 \(\{{\mathcal F}_i\}_{i\in I}\)의 직합은 전층 \(U \mapsto \oplus {\mathcal F}_i(U)\)에 수반된 층이다. 따라서 직합의 점 \(x\)에서의 줄기는 \({\mathcal F}_i\)의 \(x\)에서의 줄기의 직합이다.

연습문제

\(X\)를 위상 공간으로 한다. \(x \in X\)에서 첨자가 붙은 아벨 군들의 모임 \(A_x\)가 주어졌다고 가정하자. 대응 \(U \mapsto \prod_{x \in U} A_x\)와 명백한 제한 사상에 의해 아벨 군의 층 \(\mathcal{G}\)가 정의됨을 보이라. 일반적으로 \(x \in X\)에 대해 \(\mathcal{G}_x = A_x\)이 되는 것은 아님을 예를 들어 보이라.

연습문제

\(X\), \(A_x\), \(\mathcal{G}\)는 연습문제 078Z에서와 같이 두자. \(\mathcal{B}\)를 \(X\)의 위상의 기저라 하자. 위상, 정의 004P를 참조하라. \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(A_U\)를 부분군 \(A_U \subset \mathcal{G}(U) = \prod_{x \in U} A_x\)라 하자. \(U, V \in \mathcal{B}\)이고 \(U \subset V\)이면 제한 사상이 \(A_V\)를 \(A_U\)로 보낸다고 가정하자. 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \[\mathcal{F}(U) = \left\{ (s_x)_{x \in U} \middle| \begin{matrix} \text{모든 }x\text{에 대해, }U\text{의 원소라면 다음과 같은 원소가 존재한다: } V \in \mathcal{B} \\ x \in V \subset U\text{이고 } (s_y)_{y \in V} \in A_V \end{matrix} \right\}\]라고 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위의 아벨 군 층을 정의함을 보이라. 보통은 \(U \in \mathcal{B}\)에 대해 \(\mathcal{F}(U) = A_U\)가 되지 않는다는 것을 예로 보여주라.

연습문제

위상 공간 \(X\)와 함자 \[F : \Sh(X) \longrightarrow \textit{Sets}\]를 찾아라. 이 함자는 완전(유한곱 및 등화자와 가환하고 유한 쌍대곱 및 쌍대등화자와 가환함; 범주, 제0033절 참조)이지만, \(F\)가 줄기 함자 \(\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}_x\)와 동형이 되는 점 \(x \in X\)는 존재하지 않아야 한다.

스킴

\(LRS\)를 국소환 달린 공간들의 범주라 하자. 아핀 스킴이란 \(LRS\)에서 \((\Spec(A), {\mathcal O}_{\Spec(A)})\) 꼴의 쌍과 동형인 \(LRS\)의 대상을 말한다. 스킴이란 \(LRS\)의 대상 \((X, {\mathcal O}_X)\)으로서, 모든 점 \(x\in X\)가 쌍 \((U, {\mathcal O}_X|_U)\)이 아핀 스킴이 되는 열린 근방 \(U \subset X\)를 갖는 것을 말한다.

연습문제

스킴이 아닌 \(1\) 점의 국소환을 가진 공간을 찾아라.

연습문제

\(X\)을, 그 기저위상 공간이 2개의 점을 가진 스킴이라고 하자. \(X\)가 아핀 스킴임을 보여라.

연습문제

\(X\)을, 그 기저위상 공간이 유한 이산 집합인 스킴이라고 하자. \(X\)가 아핀 스킴임을 보이라.

연습문제

세 점을 가지는 비아핀 스킴이 존재함을 보이라.

연습문제

\(X\)을 공집합이 아닌 준콤팩트 스킴이라고 하자. \(X\)가 닫힌 점을 가짐을 보이라.

주

\((X, {\mathcal O}_X)\)는 환 구조를 가진 공간이고, \(U \subset X\)가 열린 부분집합이라면, \((U, {\mathcal O}_X|_U)\)은 환 구조를 가진 공간이다. 표기법: \({\mathcal O}_U = {\mathcal O}_X|_U\). 환 구조를 가진 공간의 표준 사상 \[j : (U, {\mathcal O}_U) \longrightarrow (X, {\mathcal O}_X).\]가 존재한다. \((X, {\mathcal O}_X)\)가 국소 환 구조를 가진 공간이라면, \((U, {\mathcal O}_U)\)도 그렇고, \(j\)는 국소 환 구조를 가진 공간의 사상이다. \((X, {\mathcal O}_X)\)가 스킴이라면, \((U, {\mathcal O}_U)\)도 그렇고, \(j\)는 스킴의 사상이다. \((U, {\mathcal O}_U)\)는 \((X, {\mathcal O}_X)\)의 열린 부분 스킴이라고 하며, \(j\)는 열린 포함이라고 한다. 보다 일반적으로, 위와 같은 사상 \(j : (U, {\mathcal O}_U) \to (X, {\mathcal O}_X)\)과 동형인 임의의 사상 \(j' : (V, {\mathcal O}_V) \to (X, {\mathcal O}_X)\)을 열린 포함이라고 부른다.

연습문제

아핀 스킴 \((X, {\mathcal O}_X)\)과 열린 집합 \(U \subset X\)에 대해, \((U, {\mathcal O}_X|U)\)이 아핀 스킴이 아닌 경우의 예를 제시하라.

연습문제

아핀 스킴 쌍 \((X, {\mathcal O}_X)\),\((Y, {\mathcal O}_Y)\), \(X\)의 열린 부분 스킴 \((U, {\mathcal O}_X|_U)\), 및 스킴의 사상 \((U, {\mathcal O}_X|_U) \to (Y, {\mathcal O}_Y)\) 이며, 스킴의 사상 \((X, {\mathcal O}_X) \to (Y, {\mathcal O}_Y)\)에 연장할 수 없는 사례를 제시하시오.

연습문제

(이것은 꽤 어렵다.) 스킴 \(X\), 열린 부분 스킴 \(U \subset X\), 및 닫힌 부분 스킴 \(Z \subset U\) 이며, \(Z\)가 \(X\)의 닫힌 부분 스킴으로 연장될 수 없는 사례를 제시하시오.

연습문제

스킴 \(X\), 체 \(K\), 및 환이 있는 공간의 사상 \(\Spec(K) \to X\) 중 스킴의 사상이 아닌 것의 예를 들어라.

연습문제

[H, Chapter II] 1, 2장의 연습 문제를 모두 풀어라……  농담이다!

정의

스킴 \(X\)가 정이라는 것은, \(X\)가 공집합이 아니고 공집합이 아닌 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 환 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_X(U)\)가 정역인 것을 말한다.

연습문제

정 스킴의 사상 \(f : X \to Y\) 중에서, 유도되는 함수 \({\mathcal O}_{Y, f(x)} \to {\mathcal O}_{X, x}\)가 모든 \(x\in X\)에 대해 전사이지만, \(f\)가 닫힌 포함이 아닌 예를 들어라.

연습문제

섬유곱 \(X \times_S Y\)에서 \(X\)와 \(Y\)는 아핀이지만 \(X \times_S Y\)는 아핀이 아닌 예를 들어라.

주

\(S\)가 분리 스킴이면 이런 일은 일어날 수 없음이 밝혀진다. 그 이유를 아는가?

연습문제

\({\mathbf Q}\) 위의 유한형인 1차원 정 스킴 \(V\)로서, \(\Spec({\mathbf C}) \times_{\Spec({\mathbf Q})} V\)가 정 스킴이 아닌 것의 예를 들어라.

연습문제

체 \(k\) 위의 유한형인 1차원 정 스킴 \(V\)로서, 어떤 유한 체확장 \(k'/k\)에 대해 \(\Spec(k') \times_{\Spec(k)} V\)가 축소 스킴이 아닌 것의 예를 들어라.

주

스킴이 아핀이라면, 차원은 대응하는 환의 Krull 차원과 같다. 따라서 지난 학기 결과를 차원 계산에 사용할 수 있다.

사상

사상 \(\pi : X \to S\)가 주어졌을 때 이 사상이 단면 또는 유리 단면을 갖는지는 중요한 문제이다. 다음은 몇 가지 예시 연습문제이다.

연습문제

스킴의 사상 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, t, 1/xt]) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\]을 생각하자.

1. \(\pi \circ \sigma = \text{id}_S\) 되는 사상 \(\sigma : S \to X\)은 존재하지 않음을 보이시오.

2. 공집합이 아닌 열린 집합 \(U \subset S\)과 사상 \(\sigma : U \to X\)이 있어서, \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)가 되는 것이 존재함을 보이라.

연습문제

스킴의 사상 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, t]/(x^2 + t)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\]을 고려한다. 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset S\)과 사상 \(\sigma : U \to X\)이 있어서, \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)가 되는 것은 존재하지 않음을 보이라.

연습문제

\(A, B, C \in \mathbf{C}[t]\)를 0이 아닌 다항식으로 하자. 스킴의 사상 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, y, t]/(A + Bx^2 + Cy^2)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t]).\]을 생각하라. 비어 있지 않은 열린 집합 \(U \subset S\)과 사상 \(\sigma : U \to X\)에 대하여, \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)가 되는 것이 존재함을 보이라. (힌트: 형식적으로, 어떤 \(d\)에 대해 차수 \(\leq d\)의 \(X, Y, Z \in \mathbf{C}[t]\)를 사용하여 \(x = X/Z\), \(y = Y/Z\)로 쓴다, 이것이 방정식의 해가 되는 조건을 구하시오. 다음으로 차원론을 사용하여, \(d >> 0\) 라면 방정식을 만족하는 0이 아닌 \(X, Y, Z\)를 찾을 수 있음을 보이시오. )

주

연습문제 0296은 “Tsen의 정리”의 특별한 경우이다. 연습문제 0297는 이 방법이 낮은 차수의 방정식에 한정됨을 보여준다(밑과 올의 차원이 1일 때에는 이차 곡선까지이다).

연습문제

스킴의 사상 \[\pi : X = \Spec(\mathbf{C}[x, y, t] /(1 + t x^3 + t^2 y^3)) \longrightarrow S = \Spec(\mathbf{C}[t])\]을 생각한다. 공집합이 아닌 열린 집합 \(U \subset S\)과 사상 \(\sigma : U \to X\)에 대해, \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)가 되는 것이 존재하지 않음을 보이라.

연습문제

스킴 \[X = \Spec(\mathbf{C}[\{x_i\}_{i = 1}^{8}, s, t] /(1 + s x_1^3 + s^2 x_2^3 + t x_3^3 + st x_4^3 + s^2t x_5^3 + t^2 x_6^3 + st^2 x_7^3 + s^2t^2 x_8^3))\] 및 \[S = \Spec(\mathbf{C}[s, t])\] 그리고 스킴의 사상 \[\pi : X \longrightarrow S\]을 생각한다. 공집합이 아닌 열린 집합 \(U \subset S\)과 사상 \(\sigma : U \to X\)이 있어, \(\pi \circ \sigma = \text{id}_U\)이 되는 것이 존재하지 않음을 증명하시오.

연습문제

(수론을 배우는 사람을 위한. ) 닫힌 부분 스킴 \[Z \subset \Spec\left({\mathbf Z}[x, \frac{1 }{ x(x-1)(2x-1)}]\right)\]으로서, 사상 \(Z \to \Spec({\mathbf Z})\)이 유한하고 전단사인 경우의 예를 들어라.

연습문제

수론을 선호하지 않는다면, 다음을 보는 변형에 도전해도 좋다. \[\Spec\left({\mathbf F}_p[t, x, \frac{1 }{ x(x-t)(tx-1)}]\right) \longrightarrow \Spec({\mathbf F}_p[t])\] 위의 스킴의 닫힌 부분 스킴 중에서, 아래 스킴으로 유한 전사 사상으로 사상되는 것을 찾아라. (여기서 기초체가 유한하다는 것에는 이론적인 이유가 있다. 다만, 이 특별한 경우에는 필요하지 않을 수도 있다. )

주

연습문제 0299과 029A에서는 사상 \(f : X \to S\)가 주어져 있다. 여기서 \(S\)는 Dedekind 환 \(A\)의 스펙트럼이고, \(f\)는 평탄하고 전사이며 일반 올은 기하학적으로 기약이다. 두 경우 모두 유한 전사 사상 \(S' \to S\)가 존재하여 밑변환 \(X_{S'} \to S'\)이 단면을 갖게 된다는 결론을 얻는다. \(A\)가 excellent이고 극대 아이디얼에서의 잉여체들이 유한체의 대수적 확대이며, \(A'\)이 \(A\)의 분수체의 유한 확대 안에서 그 정수적 폐포일 때 \(\Pic(A')\)이 비틀림군이면 이 결론이 성립함이 밝혀진다. [MB1]을 참조하라. 예를 들어 \(A = \mathbf{Z}\) 또는 \(A = \mathbf{F}_p[x]\)이거나 이들의 유한 확대인 경우이다. 그러나 극대 아이디얼에서의 잉여체들이 유한하면서 Picard 군이 비비틀림 원소를 갖는 Dedekind 환 \(A\)가 존재함이 알려져 있다. [Goldman]을 참조하라. 그러한 환의 스펙트럼에 대해서는 이 결론이 거짓이다. 연습문제 029B은 이 결론이 성립하지 않는 기하학적 예를 준다.

연습문제

어떤 \(\alpha \in \mathbf{C}\)에 대해서도 \(t - \alpha\)로 나누어지지 않는 \(f \in \mathbf{C}[x, t]\)이며, \(\Spec(\mathbf{C}[t])\)에 유한 전사로 사상되는 \(Z \subset \Spec(\mathbf{C}[x, t, 1/f])\)가 존재하지 않는 것이 있음을 증명하라. (\(f(x, t) = (xt - 2)(x - t + 3)\)에서는 잘 될 것 같다. 어떤 후보에 대해서도, 원하는 성질을 가진다는 것을 보이는 것은 그리 쉽지 않을 것 같다. )

연습문제

\(A \to B\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 어떤 \(n\)에 대한 닫힌 몰입 \(\Spec(B) \to \mathbf{P}^n_A\)을 통해 분해된다고 가정하자. \(A \to B\)가 유한 환 준동형임을, 즉 \(B\)가 \(A\)-가군으로서 유한함을 증명하라. 힌트: \(A\)가 뇌터 환이라면(그렇게 가정해도 좋다), 모든 닫힌 부분스킴 \(Z \subset \mathbf{P}^n_A\)와 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^i(Z, \mathcal{O}_Z)\)가 유한 \(A\)-가군이라는 사실을 이용하여 논증할 수 있다.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 한다. \(f : X \to Y\)를 사영 다양체의 사상으로 하고, 모든 닫힌 점 \(y \in Y\)에 대해 \(f^{-1}(\{y\})\)가 유한하다고 하자. \(f\)가 스킴의 사상으로서 유한함을 증명하시오. 힌트: (a) 유한함은 국소적인 성질이다. (b) 연습 문제 0EG6 로 환원해 보라. (c) 폐포함 \(X \to \mathbf{P}^n_k\)을 이용하여, \(Y\) 위의 폐포함 \(X \to \mathbf{P}^n_Y\)을 얻어라.

접공간

정의

임의의 환 \(R\)에 대해 쌍대수의 환을 \(R[\epsilon]\)로 나타낸다. 이는 \(R\)-가군으로서 기저 \(1\), \(\epsilon\)을 갖는 자유 가군이다. 환 구조는 \(\epsilon^2 = 0\)으로 정의된다.

연습문제

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상으로 한다. \(x \in X\)를 점으로 하고, \(s = f(x)\)로 한다. 실선의 가환 도식 \[\xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[dr] \ar@/^1pc/[rr] & \Spec(\kappa(x)[\epsilon]) \ar@{.>}[r] \ar[d]& X \ar[d] \\ & \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S }\]를 생각한다. 여기서 굽은 화살표는 \(\Spec(\kappa(x))\)에서 \(X\) 로의 표준적인 사상이다. \(\kappa(x) = \kappa(s)\) 라면, 도식을 가환하게 하는 점선 사상의 집합이 선형 사상의 집합 \[\Hom_{\kappa(x)}( \frac{\mathfrak m_x}{\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}}, \kappa(x))\]와 일대일로 대응함을 보이라. 다시 말하면, 그러한 전단사를 기술하라. (보다 일반적으로, \(\kappa(x) \supset \kappa(s)\)가 분리대수 확대인 경우에도 성립한다.)

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하자. 연습문제 029E의 점선 사상들의 집합을 \(S\) 위에서 \(X\)의 접공간이라 부르고 \(T_{X/S, x}\)로 나타낸다. 이 공간의 원소를 \(X/S\)의 \(x\)에서의 접벡터라 부른다.

연습문제

임의의 체 \(K\)에 대해, 도식 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \Spec(K[\epsilon_1]) \ar[d] \\ \Spec(K[\epsilon_2]) \ar[r] & \Spec(K[\epsilon_1, \epsilon_2]/(\epsilon_1\epsilon_2)) }\]이 스킴 범주에서의 pushout 도식임을 증명하시오. (여기서도 이전과 마찬가지로 \(\epsilon_i^2 = 0\)이다.)

연습문제

\(f : X \to S\)을 스킴의 사상으로 하자. \(x \in X\)로 하자. 연습문제 029G 과 적절한 사상 \[\Spec(K[\epsilon]) \longrightarrow \Spec(K[\epsilon_1, \epsilon_2]/(\epsilon_1\epsilon_2)).\]을 이용하여, 접벡터의 덧셈을 정의하시오. 마찬가지로 접벡터의 스칼라 배를 정의하라(이쪽이 더 쉽다). 이러한 구성으로 \(T_{X/S, x}\)가 \(\kappa(x)\)-벡터 공간이 됨을 보여라.

연습문제

\(k\)를 체라 하자. 구조 사상 \(f : X = \mathbf{A}^1_k \to \Spec(k) = S\)를 생각하라.

1. \(x \in X\)를 닫힌 점이라 하자. \(T_{X/S, x}\)의 차원은 얼마인가?

2. \(\eta \in X\)를 일반점이라 하자. \(T_{X/S, \eta}\)의 차원은 얼마인가?

3. 이제 \(X\)를 \(\Spec(\mathbf{Z})\) 위의 스킴으로 보자. \(T_{X/\mathbf{Z}, x}\)와 \(T_{X/\mathbf{Z}, \eta}\)의 차원은 얼마인가?

주

연습 029I 은, 좋은 개념을 얻기 위해 \(S\) 위의 \(X\)의 접공간을 고려할 필요가 있는 이유를 설명하고 있다.

연습문제

스킴의 사상 \[f : X = \Spec(\mathbf{F}_p(t)) \longrightarrow \Spec(\mathbf{F}_p(t^p)) = S\]을 생각하라. \(X\)의 유일한 점에서 \(X/S\)의 접공간을 계산하라. 이상하지 않은가. \(\mathbf{F}_p[t^p] \to \mathbf{F}_p[t]\)에 대응하는 스킴의 사상을 취하면 어떤 일이 일어날 것 같는가.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(X = \Spec(k[x, y]/(x^2 - y^3))\)였을 때, 점 \(x = (0, 0)\)에서의 \(X/k\)의 접공간을 계산하라.

연습문제

\(f : X \to Y\)을 \(S\) 위의 스킴 사상으로 하자. \(x \in X\)를 점으로 하여, \(y = f(x)\)라 하자. 자연스러운 사상 \(\kappa(y) \to \kappa(x)\)가 전단사라고 가정하자. 정의를 이용하여, \(f\)가 자연스러운 선형 사상 \[\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}.\]를 유도함을 보이라. \(\kappa(x) = \kappa(s)\)의 경우에, 연습 029E을 통해, 이것이 국소환 위에서 일어나는 것과 대응함을 확인하라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. \[\begin{eqnarray*} f : \mathbf{A}_k^n & \longrightarrow & \mathbf{A}^m_k \\ (x_1, \ldots, x_n) & \longmapsto & (f_1(x_i), \ldots, f_m(x_i)) \end{eqnarray*}\]을 \(k\) 위의 스킴 사상이라고 하자. 이것은 \(n\) 개 변수의 \(m\) 개 다항식 \(f_1, \ldots, f_m\)으로 주어진다. 행렬 \[A = \left( \frac{\partial f_j}{\partial x_i} \right)\]을 생각하라. \(x \in \mathbf{A}^n_k\)을 고정점으로 한다. \(y = f(x)\)라고 한다. 접공간의 사상 \(T_{\mathbf{A}^n_k/k, x} \to T_{\mathbf{A}^m_k/k, y}\)은 점 \(x\)에서의 행렬 \(A\)의 값으로 주어짐을 보여라.

준연접 층

정의

\(X\)을 스킴으로 한다. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)이 준연접이라는 것은, 임의의 아핀 열린 집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)에 대해, 제한 \(\mathcal{F}|_U\)가 어떤 \(R\)-가군 \(M\)을 사용하여 \(\widetilde M\)의 형태가 되는 것을 말한다.

이 조건은 \(X\)이 있는 아핀 열림 덮개의 각 요소에 대해 조사하면 충분하다. 더 많은 결과에 대해서는 스킴, 절 01LA를 참조하라.

정의

\(X\)를 위상 공간으로 한다.\(x, x' \in X\)로 한다.\(x \in \overline{\{x'\}}\)일 때, 또한 그때에 한하여, \(x\)는 \(x'\)의 특수화라고 한다.

연습문제

\(X\)를 스킴으로 한다.\(x, x' \in X\)라고 한다. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접 층으로 한다. (a) \(x\)은 \(x'\)의 특수화이며, (b) \(\mathcal{F}_{x'} \not = 0\)라고 가정한다. \(\mathcal{F}_x \not = 0\)를 증명하라.

연습문제

스킴 \(X\), 점 \(x, x' \in X\), 그리고 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층 \(\mathcal{F}\)으로서, (a) \(x\)는 \(x'\)의 특수화이며, (b) \(\mathcal{F}_{x'} \not = 0\) 그리고 \(\mathcal{F}_x = 0\)인 것의 예를 찾아라.

정의

스킴 \(X\)이 국소 뇌터 이라는 것은, 각 점 \(x \in X\)에 대해 아핀 열린 집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)이 존재하고, \(R\)가 뇌터 환이 되는 것을 말한다. 스킴이 국소 뇌터 이고 준콤팩트일 때, 뇌터 라고 한다.

\(X\)가 국소 뇌터라면, \(X\)의 임의의 아핀 열린 집합은 뇌터 환의 스펙트럼이다. 성질, 보조정리 01OW 를 참조.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 스킴으로 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접 층으로 하자. \(\mathcal{F}\)가 연접이라는 것은, 각 점 \(x \in X\)에 대해 아핀 열린 집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)가 존재하고, \(\mathcal{F}|_U\)이 어떤 유한 \(R\)-가군 \(M\)을 사용하여 \(\widetilde M\)와 동형이 됨을 의미한다.

연습문제

\(X = \Spec(R)\)를 아핀 스킴이라고 하자.

1. \(f \in R\)라고 하자. \(\mathcal{G}\)를 열린 부분 스킴 \(D(f)\) 위의 \(\mathcal{O}_{D(f)}\)-가군의 준연접 층으로 한다. 어떤 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_{D(f)}\)가 됨을 보이시오.

2. \(I \subset R\)를 아이디얼로 한다. \(i : Z \to X\)를 \(I\)에 대응하는 \(X\)의 닫힌 부분 스킴으로 한다. \(\mathcal{G}\)를 닫힌 부분 스킴 \(Z\) 위의 \(\mathcal{O}_Z\)-가군의 준연접 층으로 한다. 어떤 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{F}\)가 됨을 보여라. (왜 이것이 사소한 문제인지.)

3. \(R\)가 뇌터 환이라고 가정한다. \(f \in R\)라고 하자. \(\mathcal{G}\)를 열린 부분 스킴 \(D(f)\) 위의 \(\mathcal{O}_{D(f)}\)-가군의 연접층이라고 하자. 어떤 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 연접층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(\mathcal{G} = \mathcal{F}|_{D(f)}\)가 됨을 보여라.

주

\(U \to X\)가 준콤팩트 몰입이면 \(U\) 위의 임의의 준연접 층은 \(X\) 위의 준연접 층의 제한이다. \(X\)가 뇌터 스킴이고 \(U \subset X\)가 열려 있으면 \(U\) 위의 임의의 연접층은 \(X\) 위의 연접층의 제한이다. 물론 위 연습문제는 더 쉬우므로 이러한 일반적인 사실들을 사용해서는 안 된다.

Proj와 사영 스킴

연습문제

다음을 만족하는 등급환 \(S\)의 예들을 들어라.

1. \(\text{Proj}(S)\)는 아핀이고 공집합이 아니다.

2. \(\text{Proj}(S)\)는 정 스킴이고 공집합이 아니지만, 어떤 \(n\geq 0\)와 어떤 환 \(A\)에 대해서도 \({\mathbf P}^n_A\)와 동형이 아니다.

연습문제

\(\Spec({\mathbf C})\) 위의 스킴의 상수 사상이 아닌 사상 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C} \to {\mathbf P}^5_{\mathbf C}\)의 예를 들어라.

연습문제

스킴의 동형 \[{\mathbf P}^1_{\mathbf C} \to \text{Proj}({\mathbf C}[X_0, X_1, X_2]/(X_0^2 + X_1^2 + X_2^2))\]의 예를 제시하라.

연습문제

다음 성질을 갖는 스킴의 사상 \(f : X \to {\mathbf A}^1_{\mathbf C} = \Spec({\mathbf C}[T])\)의 예를 들어라. \(t \in {\mathbf A}^1_{\mathbf C}\) 위에서 \(f\)의 스킴론적 올 \(X_t\)는 (a) \(t\)가 \(0\)이 아닌 닫힌 점이면 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\)와 동형이고, (b) \(t = 0\)이면 \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\)와 동형이 아니다. \(X_0\)을 이 사상의 특수 올이라 부르겠다. 이는 매우 많은 방법으로 할 수 있다. 다음 추가 조건들을 각각 만족하는 예를 (불가능한 경우를 제외하고) 찾아보라.

1. 특수 올이 사영이 되게 할 수 있는가?

2. 특수 올이 기약이고 사영이 되게 할 수 있는가?

3. 특수 올이 정 스킴이고 사영이 되게 할 수 있는가?

4. 특수 올이 매끄럽고 사영이 되게 할 수 있는가?

5. \(f\)를 평탄 사상이 되게 할 수 있는가? 이는 모든 아핀 열린집합 \(\Spec(A) \subset X\)에 대해 유도되는 환 준동형 \(\mathbf{C}[t] \to A\)가 평탄하다는 뜻이고, 이 경우에는 \(t\)에 관한 임의의 영이 아닌 다항식이 \(A\)에서 영인자가 아닌 원소라는 뜻이다.

6. \(f\)가 평탄 사영 사상이 되게 할 수 있는가?

7. \(f\)가 평탄 사영 사상이고 특수 올이 축소 스킴이 되게 할 수 있는가?

8. \(f\)가 평탄 사영 사상이고 특수 올이 기약이 되게 할 수 있는가?

9. \(f\)가 평탄 사영 사상이고 특수 올이 정 스킴이 되게 할 수 있는가?

\({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\)을 \({\mathbf C}\) 위의 다른 다양체로 바꾸면 어떻게 될 것 같은가? (위 변형 중 어느 것을 묻느냐에 따라 매우 어려워질 수 있다.)

연습문제

\(n \geq 1\)를 임의의 양의 정수라고 하자. \(X\)가 아핀인 전사 \(X \to {\mathbf P}^n_{\mathbf C}\)의 예를 제시하시오.

연습문제

\(\text{Proj}\)의 사상.\(R\)과 \(S\)를 등급환으로 한다. 환준동형 \[\psi : R \to S\]과 정수 \(e \geq 1\)가 주어지고, 모든 \(d \geq 0\)에 대해 \(\psi(R_d) \subset S_{de}\)가 성립한다고 가정한다. (우리의 규약에서는, \(e = 1\)가 아닌 한 이것은 등급환의 준동형이 아니다. )

1. 어느 원소 \(\mathfrak p \in \text{Proj}(S)\)에 대해, \(\text{Proj}(R)\)의 대응하는 점이 올바르게 정해지는가. 바꾸어 말하면, \(\psi\)가 연속 사상 \(r_\psi : U \to \text{Proj}(R)\)를 정의하도록 하는, 적절한 열린 집합 \(U \subset \text{Proj}(S)\)을 구하시오.

2. \(U \not = \text{Proj}(S)\)이 되는 예를 제시하라.

3. \(U = \text{Proj}(S)\)이 되는 예를 제시하라.

4. (적어 쓰지 않아도 좋다.) 연속 사상 \(U \to \text{Proj}(R)\)에는 표준적으로 층의 사상이 부속되며, \(r_\psi\)가 스킴의 사상 \[\text{Proj}(S) \supset U \longrightarrow \text{Proj}(R).\]이 되는 것을 납득하라.

5. \(R = \bigoplus_{d \geq 0} S_{de}\) (\(S_e\), \(S_{2e}\) 등등을 차수 \(1\), \(2\) 등등으로 가지는 등급환으로)에서, \(\psi\)가 포함 사상일 경우, 이 사상에 대해 무엇을 말할 수 있는가.

표기법. \(R\)을 위와 같은 등급환이라 하고 \(n \geq 0\)을 정수라 하자. \(X = \text{Proj}(R)\)로 두자. 이때 \(X\) 위에는 유일한 준연접 \({\mathcal O}_X\)-가군 \({\mathcal O}_X(n)\)이 존재하여, 양의 차수인 모든 동차 원소 \(f \in R\)에 대해, \({\mathcal O}_X |_{D_{+}(f)}\)는 \(R_{(f)} = (R_f)_0\)-가군 \((R_f)_n\)에 수반되는 준연접 층이다. (\(=\) \(R_f = R[1/f]\)에서 차수가 \(n\)인 동차 원소들.) [H, page 116+]을 참조하라. 자연스러운 사상 \[{\mathcal O}_X(n_1) \otimes_{{\mathcal O}_X} {\mathcal O}_X(n_2) \longrightarrow {\mathcal O}_X(n_1 + n_2)\]가 존재함에 주의하라.

연습문제

\(\text{Proj}\) 에서의 병리. 위와 같은 \(R\)에서, 다음을 만족하는 것의 예를 제시하라.

1. \({\mathcal O}_X(1)\)는 가역 \({\mathcal O}_X\)-가군이 아니다.

2. \({\mathcal O}_X(1)\)는 가역이지만, 자연스러운 사상 \({\mathcal O}_X(1) \otimes_{{\mathcal O}_X} {\mathcal O}_X(1) \to {\mathcal O}_X(2)\)는 동형이 아니다.

연습문제

\(S\)를 등급환으로 하자. \(X = \text{Proj}(S)\)로 하자. \(X\)의 임의의 유한한 점 집합이 표준 아핀 열린 집합에 포함됨을 보이라.

연습문제

\(S\)를 등급환으로 한다. \(X = \text{Proj}(S)\)로 한다. \(Z, Z' \subset X\)를 두 개의 닫힌 부분 스킴으로 한다. \(\varphi : Z \to Z'\)를 동형으로 한다. \(Z \cap Z' = \emptyset\)라고 가정한다. 임의의 \(z \in Z\)에 대해 아핀 열린 집합 \(U \subset X\)가 존재하고, \(z \in U\), \(\varphi(z) \in U\), 및 \(\varphi(Z \cap U) = Z' \cap U\)이 됨을 보여라. (힌트: 연습 02A4과 스킴, 보조정리 01IW과 유사한 것을 사용하라.)

사영 직선에서 나오는 사상

이 절에서는 \(\mathbf{P}^1\)에서 사영 스킴으로 가는 사상들을 살펴본다.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(k[t] \subset k(t)\)를 다항식 환에서 그 분수체로의 포함이라고 하자. \(X\)를 \(k\) 위 유한형 스킴이라고 하자. \(k\) 위의 임의의 사상 \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow X\]에 대해, 0이 아닌 \(f \in k[t]\)과 \(k\) 위의 사상 \(\psi : \Spec(k[t, 1/f]) \to X\)이 존재하고, \(\varphi\)가 합성 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t, 1/f]) \longrightarrow X\]가 됨을 보이라.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(k[t] \subset k(t)\)를 다항식 환에서 그 분수체로의 포함으로 한다. \(k\) 위의 임의의 사상 \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\]에 대해, \(k\) 위의 사상 \(\psi : \Spec(k[t]) \to \mathbf{P}^n_k\)가 존재하며, \(\varphi\)가 합성 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t]) \longrightarrow \mathbf{P}^n_k\]가 됨을 증명하라. 힌트: \(\varphi\)의 상은 어떤 \(i\)에 대해 표준 열린집합 \(D_+(T_i)\)에 포함된다. 따라서 ’분모를 없앨 수 있음’을 보이라.

연습문제

\(k\)를 체로 하자. \(k[t] \subset k(t)\)를 다항식 환에서 그 분수체로의 포함이라고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 사영 스킴이라고 하자. \(k\) 위의 임의의 사상 \[\varphi : \Spec(k(t)) \longrightarrow X\]에 대해, \(k\) 위의 사상 \(\psi : \Spec(k[t]) \to X\)가 존재하여, \(\varphi\)가 합성 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \Spec(k[t]) \longrightarrow X\]가 됨을 보이시오. 힌트: 연습 0DJ2를 사용하라.

연습문제

\(k\)를 체라고 하자. \(X\)을 \(k\) 위의 사영 스킴으로 하자. \(K\)을 \(\mathbf{P}^1_k\)의 함수체로 하자(아래의 힌트를 참조). \(k\) 위의 임의의 사상 \[\varphi : \Spec(K) \longrightarrow X\]에 대해, \(k\) 위의 사상 \(\psi : \mathbf{P}^1_k \to X\)가 존재하여, \(\varphi\)가 합성 \[\Spec(k(t)) \longrightarrow \mathbf{P}^1_k \longrightarrow X\]가 됨을 보이라. 힌트: 아핀 열림 덮개 \(\mathbf{P}^1_k = D_+(T_0) \cup D_+(T_1)\)의 두 부분 각각에 대해, 연습 0DJ3을 사용하라. \(D_+(T_0)\)는 다항식 환의 스펙트럼이며, \(K\)는 이 다항식 환의 분수체임을 이용하라.

곡면에서 곡선으로의 사상

연습문제

\(R\)를 환으로 한다. \(R \to k\)를 \(R\)에서 체로 가는 사상이라고 하자. \(n \geq 0\)라고 하자. \[\Mor_{\Spec(R)}(\Spec(k), \mathbf{P}^n_R) = (k^{n + 1} \setminus \{0\})/k^*\]를 증명하라. 여기서 \(k^*\)는 \(k^{n + 1}\)에 스칼라 곱으로 작용한다. 이후, 원소 \((x_0, \ldots, x_n) \in k^{n + 1} \setminus \{0\}\)의 동치류에 대응하는 사상 \(\Spec(k) \to \mathbf{P}^n_k\)를 \((x_0 : \ldots : x_n)\)로 나타낸다.

연습문제

\(k\)를 체라 하자. \(Z \subset \mathbf{P}^2_k\)를 기약이고 축소인 닫힌 부분스킴이라 하자. (a) \(Z\)가 닫힌 점이거나, (b) 차수 \(> 0\)인 동차 기약 다항식 \(F \in k[X_0, X_1, X_2]\)가 존재하여 \(Z = V_{+}(F)\)이거나, (c) \(Z = \mathbf{P}^2_k\)임을 증명하라. (힌트: 표준 아핀 열린집합 위에서 생각하라.)

연습문제

\(k\)를 체라 하자. \(Z_1, Z_2 \subset \mathbf{P}^2_k\)를, 어떤 차수 \(> 0\)인 동차 기약 다항식 \(F_i \in k[X_0, X_1, X_2]\)에 대해 \(V_{+}(F)\) 꼴인 기약 닫힌 부분스킴들이라 하자. \(Z_1 \cap Z_2\)가 공집합이 아님을 증명하라. (힌트: 차원론을 사용하여 \(k[X_0, X_1, X_2]/(F_1, F_2)\)의 \(0\)에서의 국소환의 차원을 평가하라.)

연습문제

\(\Spec(\mathbf{C})\) 위에서 상수 사상이 아닌 스킴의 사상 \(\mathbf{P}^2_{\mathbf{C}} \to \mathbf{P}^1_{\mathbf{C}}\)은 존재하지 않음을 보여라. 여기서 상수 사상이란 상이 한 점인 사상을 말한다. (힌트: 사상이 상수 사상이 아니면 \(0\)과 \(\infty\) 위의 올들을 생각하고, 이들이 만나야 함을 보여 모순을 얻어라.)

연습문제

\(k\)을 체로 하자. \(X \subset \mathbf{P}^3_k\)을 하나의 동차방정식 \(F \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]\)으로 주어진 닫힌 부분 스킴으로 하자. 다시 말하면, 강의에서 설명한 것처럼 \[X = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3]/(F)) \subset \mathbf{P}^3_k\]이다. 양의 차수를 갖는 어떤 동차 다항식 \(G, H \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]\)에 대해 \[F = X_0 G + X_1 H\]가 된다고 가정하자. \(X_0, X_1, G, H\)가 공통 영점을 갖지 않는다면, \(\Spec(k)\) 위에서 상수 사상이 아닌 스킴의 사상 \[X \longrightarrow \mathbf{P}^1_k\] 중 체 값을 갖는 점들에서(연습문제 02A7 참조), \(x_0\) 또는 \(x_1\)이 영이 아닐 때 \((x_0 : x_1 : x_2 : x_3) \mapsto (x_0 : x_1)\)의 꼴인 것이 존재함을 보여라.

가역층

정의

\(X\)을 국소환 달린 공간으로 하자. \(X\) 위의 가역 \({\mathcal O}_X\)-가군이란, \({\mathcal O}_X\)-가군의 층 \({\mathcal L}\)으로서, 각 점이 열린 근방 \(U \subset X\)을 갖고, \({\mathcal L}|_U\)이 \({\mathcal O}_U\)-가군으로서 \({\mathcal O}_U\)과 동형이 되는 것을 말한다. \({\mathcal L}\)가 \({\mathcal O}_X\)-가군으로서 \({\mathcal O}_X\)와 동형일 때, 자명하다고 한다.

연습문제

일반적인 사실.

1. 스킴 \(X\) 위의 가역 \({\mathcal O}_X\)-가군이 준연접임을 보이시오.

2. \(X\to Y\)를 국소환이 달린 공간의 사상이라고 하고, \({\mathcal L}\)를 가역 \({\mathcal O}_Y\)-가군이라고 하자. \(f^\ast {\mathcal L}\)가 가역 \({\mathcal O}_X\) 가군임을 증명하라.

연습문제

대수.

1. 아핀 스킴 \(\Spec(A)\) 위의 가역 \({\mathcal O}_X\)-가군은 (i) 유한, (ii) 사영적, (iii) 계수 1의 국소 자유이므로, 따라서 (iv) 평탄, (v) 유한 표현인 \(A\)-가군 \(M\)에 대응함을 증명하라. (지난 학기의 강의나 대수학 책의 결과는 자유롭게 인용해도 된다.)

2. \(A\)을 정역으로 하고, \(M\)을 (a)와 같은 가군으로 한다. \(M\)는 \(A\)-가군으로서, 임의의 소 아이디얼 \({\mathfrak p}\)에 대해 \(IA_{\mathfrak p}\)가 주 아이디얼이 되도록 하는 아이디얼 \(I \subset A\)과 동형임을 보이라.

정의

\(R\)을 환으로 한다. 가역 가군 \(M\)이란, \(R\)-가군 \(M\)으로서, \(\widetilde M\)가 \(R\)의 스펙트럼 위의 가역층인 것을 말한다. \(R\)-가군으로서 \(M \cong R\)일 때, \(M\)는 자명이라고 한다.

바꿔 말하면, \(M\)가 가역적이라는 것은 평탄, 유한 표현, 사영, 계수 1의 국소 자유 조건을 모두 만족하는 것과 동치이다. (물론, 계수 1의 국소 자유이면 충분하다.)

연습문제

간단한 예.

1. \(k\)를 체로 한다.\(A = k[x]\)라고 하자. \(X = \Spec(A)\) 위의 가역 \({\mathcal O}_X\)-가군은 모두 자명함을 보이라. 다시 말하면, 임의의 가역 \(A\)-가군은 계수 1의 자유 가군임을 보이라.

2. \(A\)를 환 \[A = \{ f\in k[x] \mid f(0) = f(1) \}.\]라고 하자. \(k = {\mathbf F}_2\)가 아닐 경우, 비자명한 가역 \(A\)-가군이 존재함을 보이라. (힌트: \(\Spec(A)\)는 \({\mathbf A}^1_k = \Spec(k[x])\)의 \(0\)와 \(1\)을 동일시한 것으로 생각하라. )

3. 환 \(A = k[x^2, x^3] \subset k[x]\)에 대해서 (02AJ) 와 같은 질문을 생각하라 (단, 이번에는 \(k = {\mathbf F}_2\)의 경우에도 성립한다).

연습문제

고차원 경우.

1. 2차원 아핀 공간 위의 임의의 가역 층이 자명함을 증명하라. 더 정확히 말하면, \(k\)를 체로 하고, \({\mathbf A}^2_k = \Spec(k[x, y])\)로 한다. \({\mathbf A}^2_k\) 위의 임의의 가역 층이 자명함을 증명하라. (힌트: 한 가지 방법은 대응하는 가군 \(M\)을 생각하고, \(M \otimes_{k[x, y]} k(x)[y]\)을 조사하며, 연습문제 02AH (02AI)를 통해 그 생성원을 찾는 것이다. 그 후에도 생각할 필요가 있다. 다른 방법은 연습문제 02AF와 다항식환의 아이디얼에 대해 알고 있는 것, 즉 높이 1의 소 아이디얼은 기약 다항식으로 생성됨을 이용하는 방법이다. 그 후에도 생각할 필요가 있다. )

2. 2차원 아핀 공간의 임의의 열린 부분 스킴 위의 가역층이 모두 자명함을 증명하라. 보다 정확히 말하면, \(k\)를 체로 하고, \(U \subset {\mathbf A}^2_k\)를 열린 부분 스킴으로 하자. \(U\) 위의 임의의 가역층이 자명함을 보이자. 힌트: \(U\) 위의 임의의 가역층이 \({\mathbf A}^2_k\) 위의 가역층으로 연장될 수 있음을 보이라. 쉽지 않지만, [H] 에서 찾을 수 있다.

3. 체 위에서 꼭짓점을 제외한 원뿔 위에서 비자명한 가역층의 예를 찾아라. 보다 정확하게는, \(k\)를 체로 하고, \(C = \Spec(k[x, y, z]/(xy-z^2))\)로 한다. \(U = C \setminus \{ (x, y, z) \}\)로 한다. \(U\) 위의 비자명한 가역층을 찾아라. 힌트: 하나만 찾는 것보다, \(U\) 위의 가역층의 동형류 군을 계산하는 것이 더 쉬울 수 있다. \(U\)가 "다루기 쉬운" 열린 집합 \(\Spec(k[x, y, z, 1/x]/(xy-z^2))\)와 \(\Spec(k[x, y, z, 1/y]/(xy-z^2))\)로 덮여 있다는 것에 주의하라.

정의

\(X\)을 국소환 달린 공간이라고 하자. \(X\)의 Picard 군은 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 동형류 집합 \(\Pic(X)\)에 텐서곱으로 주어지는 덧셈을 넣은 것이다. 가군, 정의 01CX를 참조하라. 환 \(R\)에 대해서는 \(\Pic(R) = \Pic(\Spec(R))\)라 하자.

연습문제

\(R\)을 환으로 한다.

1. \(R\)이 뇌터 정규 정역이라면 \(\Pic(R) = \Pic(R[t])\)임을 증명하라. [힌트: 사상 \(R \to R[t]\)의 왼쪽 역이 되는 사상 \(R[t] \to R\), \(t \mapsto 0\)이 존재한다. 따라서, \(M/tM \cong R\)를 만족하는 임의의 가역 \(R[t]\)-가군 \(M\)이 계수 \(1\)의 자유 가군임을 증명하면 충분하다. \(K\)를 \(R\)의 분수체라고 하자. 자명화 \(K[t] \to M \otimes_{R[t]} K[t]\)를 선택하라. 이는 연습문제 02AH (02AI)에 의해 가능하다. 이를 조정하여 위의 \(M/tM\)의 자명화와 일치하도록 하라. 실제로 이것이 \(R[t]\) 상에서의 \(M\)의 자명화임을 보이라 (여기서 정규성이 사용된다).

2. \(k\)를 체로 한다. \(\Pic(k[x^2, x^3, t]) \not = \Pic(k[x^2, x^3])\)를 보이라.

Čech 코호몰로지

연습문제

Čech 코호몰로지. 여기서 \(k\)는 체로 한다.

1. \(X\)를 열린 덮개 \({\mathcal U} : X = U_1 \cup U_2\)을 가지는 스킴으로 한다. 여기서 \(U_1 = \Spec(k[x])\), \(U_2 = \Spec(k[y])\), \(U_1 \cap U_2 = \Spec(k[z, 1/z])\) 이며, 열린 몰입 \(U_1 \cap U_2 \to U_1\) 및 \(U_1 \cap U_2 \to U_2\)는 각각 \(x \mapsto z\) 및 \(y \mapsto z\)에 의해 정해진다 (여기는 문자 그대로의 의미이다). (강의에서 이러한 \(X\)가 존재함을 보았다. 이것은 원점을 두 배로 한 아핀 선이다.) \({\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\)를 계산하라. 예를 들어, \(k\)-벡터 공간으로서의 기저를 제시하라.

2. \({\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\)의 각 원소에 대하여, \({\mathcal O}_X\)-가군의 층의 완전열 \[0 \to {\mathcal O}_X \to E \to {\mathcal O}_X \to 0\]로서, 경계 \(\delta(1) \in {\check H}^1({\mathcal U}, {\mathcal O})\)가 주어진 원소와 같아지도록 하는 것을 구성하라. (이 주장을 의미 있는 것으로 만드는 것도 문제의 일부이다. 아래도 참고하라. 이러한 것이 존재하지 않을 수 없음을 추상적으로 보여주어도 좋다. )

정의

(delta의 정의.)임의의 위상 공간 \(X\) 위의 아벨 군 층의 짧은 완전열 \[0 \to {\mathcal F}_1 \to {\mathcal F}_2 \to {\mathcal F}_3 \to 0\]이 주어졌다고 하자. 경계 사상 \(\delta : H^0(X, {\mathcal F}_3) \to {\check H}^1(X, {\mathcal F}_1)\)을 다음과 같이 정의한다. 원소 \(\tau \in H^0(X, {\mathcal F}_3)\)를 가져온다. 각 \(i\)에 대해, \(\tau\)의 \(U_i\)에 대한 제한을 올리는 단면 \(\tilde \tau_i \in {\mathcal F}_2\)이 존재하는 열린 덮개 \({\mathcal U} : X = \bigcup_{i\in I} U_i\)를 선택한다. 이때, 대응 \[(i_0, i_1) \longmapsto \tilde \tau_{i_0}|_{U_{i_0i_1}} - \tilde \tau_{i_1}|_{U_{i_0i_1}}.\]를 고려한다. 이것은 명백히 Čech 복체 \({\check C}^\ast({\mathcal U}, {\mathcal F}_2)\)의 1-코바운더리이다. 그러나 (\({\mathcal F}_1\)를 \({\mathcal F}_2\)의 부분층으로 간주하면), 우변은 항상 \(U_{i_0i_1}\) 위의 \({\mathcal F}_1\)의 단면임에 주의한다. 따라서, 이 대응은 복합체 \({\check C}^\ast({\mathcal U}, {\mathcal F}_2)\)의 1-코체인을 정한다. 이 1-코체인의 코호몰로지류를 정의에 따라 \(\delta(\tau)\) 라고 한다.

코호몰로지

연습문제

\(X = \mathbf{R}\)에 보통 유클리드 위상을 넣는다. 코호몰로지의 형식적 성질(함자성 및 긴 완전 코호몰로지 열)만을 사용하여, \(H^1(X, \mathcal{F})\)가 0이 아닌 \(X\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)가 존재함을 보여라.

연습문제

위상 공간 \(X = U \cup V\)가 두 개의 열린집합의 합으로 쓰여 있다고 가정하자. 이때, 긴 완전 Mayer–Vietoris 열 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}) \to H^0(U, \mathcal{F}) \oplus H^0(V, \mathcal{F}) \to H^0(U \cap V, \mathcal{F}) \to H^1(X, \mathcal{F}) \to \ldots\]이 있다. Mayer–Vietoris 긴 완전열의 구성에서 본질적인 단사층의 성질은 무엇인가. 왜 그 성질이 성립하는가.

연습문제

\(X\)을 위상 공간으로 하자.

1. \(X\)의 점이 \(2\) 개 이하이면, \(i > 0\)에 대하여 \(H^i(X, \mathcal{F})\)이 0임을 보이라.

2. \(X\) 점이 \(3\) 개라면 어떻게 되는가.

연습문제

\(X\)를 국소 환의 스펙트럼으로 한다. 임의의 아벨 군 층 \(\mathcal{F}\)와 \(i > 0\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{F})\)이 0임을 보여라.

연습문제

\(f : X \to Y\)를 스킴의 아핀 사상으로 한다. 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{F}) = H^i(Y, f_*\mathcal{F})\)임을 증명하라. 필요하다면 \(X\)와 \(Y\)에 추가적으로 몇 가지 조건을 부과하고, 분리 스킴의 아핀 열린 덮개와 준연접 층에 대해, Čech 코호몰로지와 코호몰로지가 일치함을 이용해도 좋다.

연습문제

\(A\)를 환으로 한다. \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\)를 \(A\) 위의 사영 공간으로 한다. \(\mathbf{A}^{n + 1}_A = \Spec(A[T_0, \ldots, T_n])\)로 하고, \[U = \bigcup\nolimits_{i = 0, \ldots, n} D(T_i) \subset \mathbf{A}^{n + 1}_A\]을 닫힌 몰입 \(0 : \Spec(A) \to \mathbf{A}^{n + 1}_A\)의 상의 여집합으로 하자. 아핀 전사 \[f : U \longrightarrow \mathbf{P}^n_A\]를 구성하고, \(f_*\mathcal{O}_U = \bigoplus_{d \in \mathbf{Z}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\)임을 증명하라. 더 일반적으로, 등급 \(A[T_0, \ldots, T_n]\)-가군 \(M\)에 대해 \[f_*(\widetilde{M}|_U) = \bigoplus\nolimits_{d \in \mathbf{Z}} \widetilde{M(d)}\]임을 보이라. 여기서 좌변에서는 \(\mathbf{A}^{n + 1}_A\) 위에서 \(M\)에 부속된 준연접 층 \(\widetilde{M}\)을 사용하고, 우변에서는 등급 가군 \(M(d)\)에 부속된 준연접 층 \(\widetilde{M(d)}\)을 사용한다.

연습문제

\(A\)을 환으로 하고, \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\)를 \(A\) 위의 사영 공간으로 한다. \(\mathbf{P}^n_A\) 위의 구조층의 Serre 꼬임 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_A}(d)\)의 코호몰로지를 자세히 계산하라. 분리 스킴의 아핀 열린 덮개와 준연접 층에 대해, Čech 코호몰로지와 코호몰로지가 일치함, 또한 Čech 코호몰로지를 사용할 수 있다.

연습문제

\(A\)를 환으로 하고, \(\mathbf{P}^n_A = \text{Proj}(A[T_0, \ldots, T_n])\)를 \(A\) 위의 사영 공간이라고 하자. \(F \in A[T_0, \ldots, T_n]\)를 차수 \(d\)의 동차식이라고 하자. \(X \subset \mathbf{P}^n_A\)를 \(A[T_0, \ldots, T_n]\)의 등급 아이디얼 \((F)\)에 대응하는 닫힌 부분 스킴이라고 하자. \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\)에 대해 무엇을 말할 수 있는가.

연습문제

\(R\)를, 임의의 좌완전 함자 \(F : \text{Mod}_R \to \textit{Ab}\)에 대하여 \(i > 0\)라면 \(R^iF = 0\)가 되는 환으로 하자. \(R\)가 유한 개 체의 직접곱임을 보이라.

추가적인 코호몰로지

연습문제

\(k\)를 체라 하자. \(X \subset \mathbf{P}^n_k\)를 「좌표 십자」라고 한다.즉, \(X\)는 동차 방정식 \[T_i T_j = 0\text{, 여기서 }i > j > 0\]로 정의된 것으로 한다.여기서 평소와 같이 \(\mathbf{P}^n_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\)라고 쓴다. 다시 말하면, \(X\)는 다항식 환의 몫 \(k[T_0, \ldots, T_n]/(T_iT_j; i > j > 0)\)에 대응하는 닫힌 부분 스킴이다. 모든 \(i\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{O}_X)\)를 계산하시오. 힌트: Čech 코호몰로지를 사용하라.

연습문제

\(A\)를 환으로 한다. \(I = (f_1, \ldots, f_t)\)를 \(A\)의 유한 생성 아이디얼로 한다. \(U \subset \Spec(A)\)를 \(V(I)\)의 여집합으로 한다. 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대해, 그 코호몰로지 군이 \(H^n(U, \widetilde{M})\)를 주는 \(A\)-가군의 복체를 (\(A\), \(f_1, \ldots, f_t\), \(M\)를 사용하여) 적어라.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(U \subset \mathbf{A}^d_k\)를 \(\mathbf{A}^d_k\)의 닫힌 점 \(0\)의 여집합으로 한다. 모든 \(n\)에 대해 \(H^n(U, \mathcal{O}_U)\)를 계산하라.

연습문제

\(k\)을 체로 한다. \(k\) 위 사영적이고 차원 \(1\)의 스킴 \(X\)으로서, \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\) 및 \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X) = 100\)를 만족하는 것을 구체적으로 찾아라.

연습문제

\(f : X \to Y\)를 차수 \(2\)의 유한 국소 자유 사상이라고 하자. \(X\)와 \(Y\)는 정 스킴이며, \(2\)는 \(Y\)의 구조층에서 가역적, 즉 \(2 \in \Gamma(Y, \mathcal{O}_Y)\)는 가역적이라고 가정한다. \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 사상 \[f^\sharp : \mathcal{O}_Y \longrightarrow f_*\mathcal{O}_X\]이 왼쪽 역을 갖는 것, 즉 \(\tau \circ f^\sharp = \text{id}\)를 만족하는 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 사상 \(\tau : f_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\)이 존재함을 보여라. \(H^n(Y, \mathcal{O}_Y) \to H^n(X, \mathcal{O}_X)\)이 단사임을 이끌어라².

연습문제

\(X\)를 스킴(또는 국소 환을 가진 공간)이라고 하자. 대응 \(U \mapsto \mathcal{O}_X(U)^*\)는 \(\mathcal{O}_X^*\)로 쓰이는 군의 층을 정의한다. \(X\)의 Picard 군(정의 02AM)이 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)와 같은 이유를 간단히 설명하라.

연습문제

\(\Pic(X)\)가 자명하지 않은 아핀 스킴 \(X\)의 예를 들어라. 연습 0DAP를 사용하여, 그러한 임의의 \(X\)에 대해 \(H^1(X, -)\)가 영 사상이 아님을 이끌어라.

연습문제

\(A\)를 환으로 하자. \(I = (f_1, \ldots, f_t)\)를 \(A\)의 유한 생성 아이디얼로 하자. \(U \subset \Spec(A)\)을 \(V(I)\)의 여집합으로 한다. 준연접 \(\mathcal{O}_{\Spec(A)}\)-가군 \(\mathcal{F}\)과, \(p > 0\)을 만족하는 \(\xi \in H^p(U, \mathcal{F})\)가 주어졌을 때, 모든 \(i = 1, \ldots, t\)에 대하여 \(f_i^n \xi = 0\)가 되는 \(n > 0\)가 존재함을 증명하라. 힌트: 연습 0DAK에서 얻은 복체를 사용하는 것이 한 가지 방법이다.

연습문제

\(A\)를 환으로 한다. \(I = (f_1, \ldots, f_t)\)를 \(A\)의 유한 생성 아이디얼이라고 하자. \(U \subset \Spec(A)\)를 \(V(I)\)의 여집합이라고 하자. \(M\)를 \(I\)-비틀림이 0인 \(A\)-가군이라고 하자, 즉 \(0 = \Ker((f_1, \ldots, f_t) : M \to M^{\oplus t})\)를 만족하는 것으로 한다. 표준 동형 \[H^0(U, \widetilde{M}) = \colim \Hom_A(I^n, M).\]가 존재함을 보여라. 주의: 이는 자명하지 않다.

연습문제

\(A\)를 뇌터 환이라고 하자. \(I\)를 \(A\)의 아이디얼로 한다. \(M\)를 \(A\)-가군으로 한다. \(M[I^\infty]\)를, 다음과 같이 정의되는 \(I\)-거듭제곱 비틀림 원소들의 집합으로 한다: \[M[I^\infty] = \{x \in M \mid \text{어떤 }n \geq 1\text{이 존재하여 }I^nx = 0\}\] \(M' = M/M[I^\infty]\)라고 하자. 이때 \(M'\)의 \(I\)-거듭제곱 꼬임은 0이다. \[\colim \Hom_A(I^n, M) = \colim \Hom_A(I^n, M').\]임을 보이라. 주의: 이는 자명하지 않다. 힌트: (1) \(M\)가 유한한 경우로 귀결되도록 시도하라, (2) \(M\)가 유한하고 \(N = M[I^\infty]\)일 때, \(\Ext^1_A(I^n, N)\)의 임의의 원소는 어떤 \(m > 0\)에 대한 \(\Ext^1_A(I^{n + m}, N)\)로의 사상에서 0이 됨을 보여라, (3) \(\Hom_A(I^n, N)\)에 대해 (2)와 동일한 것을 보여라, (3) \(M\)가 유한한 경우에 긴 완전열 \[0 \to \Hom_A(I^n, M[I^\infty]) \to \Hom_A(I^n, M) \to \Hom_A(I^n, M') \to \Ext^1_A(I^n, M[I^\infty])\]를 고려하고, \(I^{n + m}\)에 대한 열과 비교하여 결론을 도출하라.

코호몰로지 재방문

연습문제

체 \(k\),\(k\) 위의 곡선 \(X\),가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\),및 코호몰로지 클래스 \(\xi \in H^1(X, \mathcal{L})\) 로서, 다음 성질을 가지는 것의 예를 만들어라: 스킴의 임의의 전사 유한 사상 \(\pi : Y \to X\)에 대해, 원소 \(\xi\)의 끌어옴은 \(H^1(Y, \pi^*\mathcal{L})\)의 0이 아닌 원소이다. 힌트: 닫힌 부분 스킴 \(Z \subset X\)가 \(1\)개보다 많은 닫힌 점으로 이루어지고, 짧은 완전 열 \(0 \to \mathcal{L} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_Z \to 0\)이 존재하도록 \(X\), \(k\), \(\mathcal{L}\)를 구성하라. 그 후, 당겨올렸을 때 무슨 일이 일어나는지 조사하라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 한다. \(X\)를 사영적인 \(1\)차원 스킴으로 한다. \(X\)이 곡선들의 순환을 포함한다고 가정한다. 즉, \(n \geq 2\), 서로 다른 \(1\) 차원 정 닫힌 부분스킴 \(C_1, \ldots, C_n\), 그리고 서로 다른 닫힌 점 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)가 존재하여, \(x_n \in C_n \cap C_1\), 그리고 \(i = 1, \ldots, n - 1\)에 대하여 \(x_i \in C_i \cap C_{i + 1}\)이라고 하자. \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)이 0이 아님을 증명하라. 힌트: \(\mathcal{F}\)을 사상 \(\mathcal{O}_X \to \bigoplus \mathcal{O}_{C_i}\)의 상으로 하고, \(\kappa(x_i) = k\) 및 \(H^0(C_i, \mathcal{O}_{C_i}) = k\)을 이용하여 \(H^1(X, \mathcal{F})\)가 영이 아님을 증명하라. 또한, Grothendieck의 정리에 따라 \(H^2(X, -) = 0\)임을 이용하라.

연습문제

\(X\)을 대수폐포체 \(k\) 위의 사영면으로 하자. \(H^1(Z, \mathcal{O}_Z)\)가 0이 아닌 진 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)이 존재함을 증명하시오. 힌트: 연습문제 0DB5를 사용하시오.

연습문제

\(X\)을 대수적으로 닫힌 체 \(k\) 위의 사영곡면으로 하자. 임의의 \(n \geq 0\)에 대하여, \(\dim_k H^1(Z, \mathcal{O}_Z) > n\)가 되는 진 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)이 존재함을 보이시오. 연습문제 0DB6 및 0DB5의 논의를 어떻게 수정하면 좋은지에 대해서만 설명하고, 세부 사항을 모두 제시할 필요는 없다.

연습문제

\(X\)를 대수적으로 닫힌 체 \(k\) 위의 사영 곡면이라고 하자. \(H^2(X, \mathcal{F})\)이 0이 아닌 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)이 존재함을 증명하라. 힌트: 연습문제 0DB7의 결과와,교묘하게 선택한 완전 열을 사용하라.

연습문제

\(X\)와 \(Y\)를 체 \(k\) 위의 스킴으로 한다 (필요하다면 \(X\)와 \(Y\)는 좋은 스킴, 예를 들어 qcqs 또는 \(k\) 위 사영적이라고 가정해도 좋다). \(X \times Y = X \times_{\Spec(k)} Y\)라고 두고, 사영을 \(p : X \times Y \to X\) 및 \(q : X \times Y \to Y\)로 한다. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)과 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{G}\)에 대해 \[H^n(X \times Y, p^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} q^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{a + b = n} H^a(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^b(Y, \mathcal{G})\]를 증명하시오. 또는, 차원을 취했을 때 이것이 성립함만을 보여도 좋다. ’간결한’ 답변에는 추가 점수를 부여한다.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(X = \mathbf{P}|^1 \times \mathbf{P}^1\)을 \(k\) 위의 사영 직선과 그것 자체의 곱으로 하고, 사영을 \(p : X \to \mathbf{P}^1_k\) 및 \(q : X \to \mathbf{P}^1_k\)로 한다. \[\mathcal{O}(a, b) = p^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(a) \otimes_{\mathcal{O}_X} q^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(b)\]라고 한다. 모든 \(i, a, b\)에 대해 \(H^i(X, \mathcal{O}(a, b))\)의 차원을 계산하라. 힌트: 연습문제 0DB9을 사용하라.

코호몰로지와 Hilbert 다항식

설정

\(k\)을 체로 한다. \(X = \mathbf{P}^n_k\)을 \(n\)차원 사영 공간으로 한다. \(\mathcal{F}\)을 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 한다. \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_{i = 0}^n (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F})\]였음을 상기하라. \(\mathcal{F}\)의 Hilbert 다항식이란, 함수 \[t \longmapsto \chi(X, \mathcal{F}(t))\]였던 것이다. 또한, \(\mathcal{F}(t) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(t)\)이며, 여기서 \(\mathcal{O}_X(t)\)은 구성, 정의 01MN에서의 구조 층의 \(t\) 차 꼬임이었다. 다양체, 08A9 절에서, Hilbert 다항식이 \(t\)의 다항식임을 증명하였다.

연습문제

설정 0DCE 하에서 고려한다.

1. \(P(t)\)가 \(\mathcal{F}\)의 Hilbert 다항식이라면, \(\mathcal{F}(-13)\)의 Hilbert 다항식은 무엇인가.

2. \(P_i\)가 \(\mathcal{F}_i\)의 Hilbert 다항식이라면, \(\mathcal{F}_1 \oplus \mathcal{F}_2\)의 Hilbert 다항식은 무엇인가.

3. \(P_i\)가 \(\mathcal{F}_i\)의 Hilbert 다항식이고, \(\mathcal{F}\)가 전사 \(\mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2\)의 핵일 때, \(\mathcal{F}\)의 Hilbert 다항식은 무엇인가.

연습문제

설정 0DCE에서 \(n \geq 1\)라고 가정하자. Hilbert 다항식이 \(t - 101\)인 연접층을 찾아라.

연습문제

설정 0DCE 에서 \(n \geq 2\)라고 가정한다. 힐베르트 다항식이 \(t^2/2 + t/2 - 1\)인 연접층을 찾아라. (이는 조금 어렵다. 그러한 연접층이 존재함만 보이면 충분하다.)

연습문제

설정 0DCE 에서 \(n \geq 2\) 및 \(k\)은 대수적으로 닫힌 체라고 가정한다. \(C \subset X\)을 차원 \(1\)의 정 닫힌 부분스킴으로 한다. 다시 말해, \(C\)은 사영 곡선이다. \(X\) 위의 연접층으로 간주한 \(\mathcal{O}_C\)의 Hilbert 다항식을 \(d t + e\)이라고 한다.

1. \(e\)의 상한을 제시하라. (힌트: \(\mathcal{O}_C(t)\)은 차수 \(0\)와 \(1\)에 대해서만 코호몰로지를 가지는 것을 이용하여, \(H^0(C, \mathcal{O}_C)\)을 조사하라. )

2. \(C\)와 횡단적으로 교차하는 \(\mathcal{O}_X(1)\)의 대역 단면 \(s\), 즉 서로 다른 닫힌 점 \(c_1, \ldots, c_r \in C\)과 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_C \xrightarrow{s} \mathcal{O}_C(1) \to \bigoplus\nolimits_{i = 1, \ldots, r} k_{c_i} \to 0\]이 존재하는 것을 선택하라. 여기서 \(k_{c_i}\)은 \(c_i\)에서 값이 \(k\)인 마천루 층이다. (이러한 \(s\)는 존재한다. 여기서는 그 사실을 사용해도 좋다.) \(r = d\)임을 증명하라. (힌트: 이 열을 비틀어서 무엇을 얻을 수 있는지 살펴보라. )

3. 짧은 완전열을 꼬면, 임의의 \(t\)에 대해 \(k\)-선형 사상 \(\varphi_t : \Gamma(C, \mathcal{O}_C(t)) \to \bigoplus_{i = 1, \ldots, d} k\)을 얻을 수 있다. \(t \geq d - 1\)이라면 이 사상이 전사임을 보이라.

4. \(d\)을 사용하여 \(e\)의 하한을 제시하라. (힌트: (3)의 결과를 사용하여 \(H^1(C, \mathcal{O}_C(d - 2)) = 0\)임을 보이고, 소멸을 이용하라. )

연습문제

설정 0DCE 에서 \(n = 2\)라고 가정한다. \(s_1, s_2, s_3 \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X(2))\)를 세 개의 이차방정식으로 한다. 연접층 \[\mathcal{F} = \Coker\left(\mathcal{O}_X(-2)^{\oplus 3} \xrightarrow{s_1, s_2, s_3} \mathcal{O}_X\right)\]를 생각한다. 이러한 \(\mathcal{F}\)가 가질 수 있는 Hilbert 다항식을 나열하라. (사영평면 내의 이차곡선의 교점을 시각화해보라.)

곡선

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 사영 곡선이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{L})\)을 \(\mathcal{L}\)의 대역 단면이라 하자. 닫힌 점 \(((\lambda_0 : \ldots : \lambda_n), x)\)가 \(Z\)에 속할 필요충분조건이 단면 \(\lambda_0 s_0 + \ldots + \lambda_n s_n\)가 \(x\)에서 영이 되는 것인, 자연스러운 닫힌 부분스킴 \[Z \subset \mathbf{P}^n \times X\] 이 존재함을 증명하라. (힌트: \(Z\)를 아핀 국소적으로 기술하라.)

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 곡선이라 하자. \(r \geq 1\)이라 하자. 닫힌 점들이 어떤 \(i\)에 대하여 \(x = x_i\)를 만족하는 튜플 \((x, x_1, \ldots, x_r)\)인 닫힌 부분집합 \[D \subset X \times X^r = X^{r + 1}\] 이 가역 아이디얼층을 가짐을 보여라. 달리 말해 \(D\)가 유효 Cartier 인자임을 보여라. 힌트: \(r = 1\)로 귀착하고, \(X\)가 매끄러운 곡선이라는 사실을 써서 대각선에 관하여 무언가를 말하라(이에 대해서는 책을 찾아보라).

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 곡선이라 하자. \(T\)를 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하고, \[D_1 \subset X \times T \quad\text{and}\quad D_2 \subset X \times T\] 를 두 유효 Cartier 인자라 하자. 각 \(t \in T\)에 대하여 올 \(D_{i, t} \subset X_t\)가 조밀하지 않다고 하자(즉, 곡선 \(X_t\)의 일반점을 포함하지 않는다고 하자). 닫힌 점 \(t \in T\)가 \(Z\)에 속할 필요충분조건이 \(D_1\), \(D_2\)의 스킴론적 올 \(D_{1, t}\), \(D_{2, t}\)가 \(X_t\)의 닫힌 부분스킴으로서 \[D_{1, t} \subset D_{2, t}\] 를 만족하는 것인 표준적인 닫힌 부분스킴 \(Z \subset T\)가 존재함을 증명하라. 힌트: 필요하면 \(T\)를 축소하여 \(T = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(D_i \subset U \times T\)가 되는 아핀 열린집합 \(U \subset X\)가 있다고 가정해도 됨을 보여라. 그런 다음 \(M_1 = \Gamma(D_1, \mathcal{O}_{D_1})\)이 유한 국소 자유 \(A\)-가군임을 보여라(여기서는 자명하지 않은 대수학이 필요하므로 친구들에게 물어보라). \(T\)를 축소하여 \(M_1\)이 자유 \(A\)-가군이라고 가정해도 된다. 이제 \[\Gamma(U \times T, \mathcal{I}_{D_2}) \to M_1 = A^{\oplus N}\] 을 살펴보고, 이 사상의 상에 속하는 벡터들의 계수들이 생성하는 아이디얼로 잘라 낸 닫힌 부분스킴으로 \(Z\)를 정의하라. 이것이 성립하는 이유를 설명하라(아마 가환대수학이 조금 더 필요할 것이다).

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 곡선이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s_0, \ldots, s_n \in H^0(X, \mathcal{L})\)을 \(\mathcal{L}\)의 대역 단면이라 하자. \(r \geq 1\)이라 하자. 닫힌 점 \(((\lambda_0 : \ldots : \lambda_n), x_1, \ldots, x_r)\)가 \(Z\)에 속할 필요충분조건이 단면 \(s_\lambda = \lambda_0 s_0 + \ldots + \lambda_n s_n\)가 인자 \(D = x_1 + \ldots + x_r\) 위에서 영이 되는 것, 즉 단면 \(s_\lambda\)가 \(\mathcal{L}(-D)\)에 속하는 것인 자연스러운 닫힌 부분스킴 \[Z \subset \mathbf{P}^n \times X \times \ldots \times X = \mathbf{P}^n \times X^r\] 이 존재함을 증명하라. 힌트: 연습문제 0EGA와 0EGB의 결과를 결합하면 이를 얻는다는 것을 설명하라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 곡선이라 하고, \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X^r\)의 닫힌 점 \((x_1, \ldots, x_r)\)가 \(Z\)에 속할 필요충분조건이 \(\mathcal{L}(-x_1 - \ldots -x_r)\)이 영이 아닌 대역 단면을 갖는 것인 자연스러운 닫힌 부분집합 \[Z \subset X^r\] 이 존재함을 보여라. 힌트: 연습문제 0EGC을 사용하라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 매끄러운 사영 곡선이라 하자. \(r \geq s\)를 정수라 하자. \(X^r \times X^s\)의 닫힌 점 \((x_1, \ldots, x_r, y_1, \ldots, y_s)\)가 \(Z\)에 속할 필요충분조건이 \(x_1 + \ldots + x_r - y_1 - \ldots - y_s\)가 유효 인자와 선형 동치인 것인 자연스러운 닫힌 부분집합 \[Z \subset X^r \times X^s\] 이 존재함을 보여라. 힌트: 차수가 매우 큰 보조 가역 가군 \(\mathcal{L}\)을 택하여, 차수 \(r\)인 모든 유효 인자 \(D\)에 대하여 \(\mathcal{L}(-D)\)가 영이 되지 않는 단면을 갖게 하라. 그런 다음 연습문제 0EGD의 결과를 두 번 사용하라.

연습문제

좋아하는 대수적으로 닫힌 체 \(k\)를 택하라. 종수 \(7\)인 어떤 곡선 위에 존재할 수 있는 모든 \(\mathfrak g^r_d\)를 가능한 한 잘 결정하라. 이 과정에서 다음도 해 보라.

1. 어떤 경우에 \(\mathfrak g^r_d\)가 밑점을 갖지 않는지 결정하라.

2. 어떤 경우에 \(\mathfrak g^r_d\)가 \(\mathbf{P}^r\)로의 닫힌 몰입을 주는지 결정하라.

곡선이 “일반적”이라고 가정한 경우에도 같은 일을 하라(일반적이라는 개념은 스스로 정해도 되며, 이는 위 문제보다 쉬울 수 있다). 곡선이 초타원 곡선이라고 가정한 경우에도 같은 일을 하라. 곡선이 삼각 곡선이고 (초타원 곡선은 아니라고) 가정한 경우에도 같은 일을 하라. 기타 등등.

모듈라이

이 절에서는, 대수기하학적 대상의 모듈라이에 대한 소박한 취급을 몇 가지 생각해본다.

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라고 하자.\(M\)를 \(k\) 위의 모듈라이 문제라고 하자. 이것이 정확히 무엇을 의미하는지는 여기서 정의하지 않지만, 각 연습에서 의도는 명확할 것이다. 이하를 이해하려면, \(k\) 위의 \(M\) 대상, \(k\) 위의 \(M\) 대상 간의 동형, 그리고 다양체 위의 \(M\) 대상의 족이 무엇인지 알면 충분하다. 이때, 다음 조건이 성립할 경우, \(M\)의 모듈라이 수는 \(d \geq 0\)라고 한다:

1. 유한 개의 족 \(X_i \to V_i\), \(i = 1, \ldots, n\)가 존재하며, \(k\) 위의 \(M\)의 임의의 대상은 그것들 중 어느 하나의 올와 동형이며, 또한 \(\max \dim(V_i) = d\)이다.

2. 이것을 더 작은 \(d\)으로 수행할 수 없다.

이는 실제로 문헌에 있는 더 나은 개념의 매우 거친 근사에 지나지 않는다.

연습문제

\(k\)을 대수적으로 닫힌 체로 하자. \(d \geq 1\) 및 \(n \geq 1\)으로 한다. \(P^n\) 내의 차수 \(d\)의 초곡면의 모듈라이를 다음과 같이 정한다:

1. 대상은 차수 \(d\)의 초곡면 \(X \subset \mathbf{P}^n_k\)이다.

2. 두 대상 \(X \subset \mathbf{P}^n_k\)과 \(Y \subset \mathbf{P}^n_k\) 사이의 동형은, \(g(X) = Y\)을 만족하는 원소 \(g \in \text{PGL}_n(k)\)이다.

3. 다양체 \(V\) 위의 초곡면들의 족은 닫힌 부분 스킴 \(X \subset \mathbf{P}^n_V\)이며, 임의의 \(v \in V\)에 대해, \(X \to V\)의 스킴론적 올 \(X_v\)가 \(\mathbf{P}^n_v\) 내의 초곡면인 것이다.

다음 모듈라이 수를 계산하라 (가능하다면). 나중으로 갈수록 어려워진다)：

1. \(n = 1\)에서 \(d\)가 임의인 경우,

2. \(n = 2\) 및 \(d = 1\)의 경우,

3. \(n = 2\) 및 \(d = 2\)의 경우,

4. \(n \geq 1\) 및 \(d = 2\)의 경우,

5. \(n = 2\) 및 \(d = 3\)의 경우,

6. \(n = 3\) 및 \(d = 3\)의 경우, 및

7. \(n = 2\) 그리고 \(d = 4\)의 경우.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 한다. \(g \geq 2\)라고 한다. 종수 \(g\)의 초타원곡선의 모듈라이를 다음과 같이 정의한다:

1. 대상은 종수 \(g\)의 매끄러운 사영 초타원곡선 \(X\)이다.

2. 두 대상 \(X\)과 \(Y\) 사이의 동형은, \(k\) 위의 스킴 동형 \(X \to Y\)이다.

3. 다양체 \(V\) 위의 종수 \(g\) 초타원 곡선의 가족은, 고유 평탄 ³ 사상 \(X \to Y\)으로서, \(X \to V\)의 모든 스킴론적 올가 종수 \(g\)의 매끄러운 사영 초타원 곡선인 것이다.

모듈라이 수가 \(2g - 1\) 임을 보여라.

대역 Ext

연습문제

\(k\)를 체라 하고 \(X = \mathbf{P}^3_k\)라 하자. \(L \subset X\)와 \(P \subset X\)를 각각 \(1\)개와 \(2\)개의 일차방정식으로 잘라낸 닫힌 부분스킴으로 본 직선과 평면이라 하자. 모든 \(i\)에 대해 \[\Ext^i_X(\mathcal{O}_L, \mathcal{O}_P)\]의 차원을 계산하라. \(L\)가 \(P\)에 포함되는 경우와, \(L\)가 \(P\)에 포함되지 않는 경우의 양쪽을 반드시 다루어야 한다.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(X = \mathbf{P}^n_k\)로 한다. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분 스킴으로 간주한 닫힌 \(k\)-유리점으로 한다. 예를 들어 동차 좌표 \((1 : 0 : \ldots : 0)\)를 가진 점이다. 모든 \(i\)에 대해 \[\Ext^i_X(\mathcal{O}_Z, \mathcal{O}_Z)\]의 차원을 계산하라.

연습문제

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\)에 대해 컵곱 사상 \[\Ext^i_X(\mathcal{G}, \mathcal{H}) \times \Ext^j_X(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^{i + j}_X(\mathcal{F}, \mathcal{H})\]을 정의하라. (힌트: 이것은 매우 일반적인 구성이다.)

연습문제

\(X\)를 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{E}\)를 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, 그 쌍대를 \(\mathcal{E}^\vee = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{E}, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음을 증명하라.

1. \(\SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}, \mathcal{G}) = \SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}) = \SheafExt^i_{\mathcal{O}_X}( \mathcal{F}, \mathcal{G}) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}^\vee\), 그리고

2. \(\Ext^i_X( \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{E}, \mathcal{G}) = \Ext^i_X(\mathcal{F}, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\).

여기서 \(\mathcal{F}\)과 \(\mathcal{G}\)은 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 다음을 이끌어라: \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{G}) = H^i(X, \mathcal{E}^\vee \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})\]

연습문제

\(X\)를 환이 있는 공간으로 하자. \(\mathcal{E}\)을 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 하자. 모든 \(i\)에 대해 트레이스 사상 \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{E}) \to H^i(X, \mathcal{O}_X)\]을 구성하라. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대한 트레이스 사상 \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{F}) \to H^i(X, \mathcal{F})\]으로 일반화하라.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(X = \mathbf{P}^d_k\)라고 한다. \(\omega_{X/k} = \mathcal{O}_X(-d - 1)\)라고 둔다. 유한 국소 자유 가군 \(\mathcal{E}\), \(\mathcal{F}\)에 대해, Ext 위의 컵 곱과 Ext 위의 트레이스 사상을 결합한 사상 \[\Ext^i_X(\mathcal{E}, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_{X/k}) \times \Ext^{d - i}_X(\mathcal{F}, \mathcal{E}) \to \Ext_X^d(\mathcal{F}, \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \omega_{X/k}) \to H^d(X, \omega_{X/k}) = k\]이 비퇴화 쌍을 준다는 것을 증명하라. 힌트: 이 설정에서 쌍대성을 새로이 증명해도 좋고, 층의 코호몰로지로 환원하여 강의에서 증명한 Serre 쌍대 정리를 적용해도 좋다.

인자

편의를 위해, 관련된 모든 정의를 여기 한 곳에 모은다.

정의

이하 \(S\)를 임의의 스킴이라 하고 \(X\)를 뇌터 정 스킴이라 하자.

1. \(X\) 위의 Weil 인자란 소인자 \(Z_i\)들의 정수 계수 형식적 선형 결합 \(\Sigma n_i[Z_i]\)을 말한다.

2. 소인자란 정 스킴인 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)로서, 그 일반점 \(\xi \in Z\)에서 \({\mathcal O}_{X, \xi}\)의 차원이 \(1\)인 것을 말한다. 위와 같은 \(\xi \in Z \subset X\)에 대해 기호 \({\mathcal O}_{X, Z} = {\mathcal O}_{X, \xi}\)를 사용한다. \({\mathcal O}_{X, Z} \subset K(X)\)는 \(X\)의 함수체의 부분환임에 주의하라.

3. 유리 함수 \(f \in K(X)^\ast\)에 수반되는 Weil 인자란 합 \(\Sigma v_Z(f)[Z]\)를 말한다. 여기서 \(v_Z(f)\)를 다음과 같이 정의한다.

   1. \(f \in {\mathcal O}_{X, Z}^\ast\)이면 \(v_Z(f) = 0\)으로 둔다.

   2. \(f \in {\mathcal O}_{X, Z}\)이면 \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(f)).\]로 한다.

   3. \(a, b \in {\mathcal O}_{X, Z}\)를 사용하여 \(f = \frac{a}{b}\)로 쓸 수 있다면 \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(a)) - \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(b)).\]로 한다.

4. 스킴 \(S\) 위의 유효 Cartier 인자란, 임의의 점 \(d\in D\)이 \(S\) 내에 아핀 열린 근방 \(\Spec(A) = U \subset S\)을 가지며, 그곳에서 \(D \cap U = \Spec(A/(f))\)이 영인자가 아닌 원소 \(f \in A\)에 의해 정해지는 닫힌 부분 스킴 \(D \subset S\)을 말한다.

5. 뇌터 정 스킴 \(X\)의 유효 Cartier 인자 \(D \subset X\)에 수반하는 Weil 인자 \([D]\)란, 합 \(\Sigma v_Z(D)[Z]\)을 의미한다. 여기서 \(v_Z(D)\)을 다음과 같이 정의한다:

   1. \(Z\)의 일반점 \(\xi\)이 \(D\)에 속하지 않는다면 \(v_Z(D) = 0\)로 한다.

   2. \(Z\)의 일반 점 \(\xi\)이 \(D\)에 속한다면 \[v_Z(D) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(f))\]라고 한다. 여기서 \(f \in {\mathcal O}_{X, Z} = {\mathcal O}_{X, \xi}\)는 \(\xi\)의 아핀 근방에서 \(D\)를 정의하는 영인자가 아닌 원소(위의 (4) 의 의미에서의 것)이다.

6. \(S\)를 스킴으로 한다. 전분수환층 \({\mathcal K}_S\)이란, 다음과 같이 정의되는 전층 \({\mathcal K}'\)을 층화하여 얻어지는 \({\mathcal O}_S\)-대수의 층을 말한다. 열린 집합 \(U \subset S\)에 대해 \({\mathcal K}'(U) = S_U^{-1}{\mathcal O}_S(U)\)라고 하자. 여기서 \(S_U \subset {\mathcal O}_S(U)\)는, 단면 \(f \in {\mathcal O}_S(U)\)으로서 모든 \(u\in U\)에 대해 \({\mathcal O}_{S, u}\)에서의 \(f\)의 싹이 영인자가 아닌 원소가 되는 곱셈적 부분집합으로 구성된다. 특히, \(S_U\)의 모든 원소는 영인자가 아닌 원소이다. 따라서 \({\mathcal O}_S\)는 \({\mathcal K}_S\)의 부분층이며, 짧은 완전열 \[0 \to {\mathcal O}_S^\ast \to {\mathcal K}_S^\ast \to {\mathcal K}_S^\ast/{\mathcal O}_S^\ast \to 0.\]을 얻는다.

7. 스킴 \(S\) 위의 Cartier 인자란, 몫층 \({\mathcal K}_S^\ast/{\mathcal O}_S^\ast\)의 전역 단면을 의미한다.

8. 뇌터 정 스킴 \(X\) 위의 Cartier 인자 \(\tau \in \Gamma(X, {\mathcal K}_X^\ast/{\mathcal O}_X^\ast)\)에 부속된 Weil 인자란, 합 \(\Sigma v_Z(\tau)[Z]\)을 의미한다. 여기서 \(v_Z(\tau)\)는 다음 절차로 정의된다:

   1. \(Z\)의 일반점 \(\xi\)에서 \(\tau\)의 싹이 0인 경우, 다시 말해 줄기 \(({\mathcal K}^\ast/{\mathcal O}^\ast)_\xi\)에서 \(\tau\)의 상이 ’0’이라면, \(v_Z(\tau) = 0\)라고 한다.

   2. \(\tau|_U\)이 단면 \(f \in {\mathcal K}(U)\)의 상이며, 게다가 \(a, b \in A\)을 사용하여 \(f = a/b\)로 쓸 수 있는 아핀 열린 이웃 \(\Spec(A) = U \subset X\)을 찾아라. 이때 \[v_Z(f) = \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(a)) - \text{length}_{{\mathcal O}_{X, Z}}({\mathcal O}_{X, Z}/(b)).\]이라 하자.

주

자명한 주의를 몇 가지 언급한다.

1. 뇌터 정 스킴 \(X\) 위에서는, 층 \({\mathcal K}_X\)은 함수체 \(K(X)\)를 값으로 가지는 상수층이다.

2. 위의 정의를 의미 있게 만들기 위해서는, 1차원 뇌터 국소 정역 \({\mathcal O}\)의 임의의 0이 아닌 원소의 쌍 \((a, b)\)에 대해 \[\text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(ab)) = \text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(a)) + \text{length}_{\mathcal O}({\mathcal O}/(b))\]를 보여야 한다. 이는 강의에서 다룬다.

연습문제

(임의의 스킴 위에서.) 유효한 Cartier 인자에 Cartier 인자를 대응시키는 방법을 기술하라.

연습문제

(정 스킴 위에서.) 유리함수 \(f\)에 Cartier 인자 \(D\)를 대응시키고, \(D\)와 \(f\)에 수반되는 Weil 인자가 일치하도록 하는 방법을 기술하라. (이는 시시한 것이다. )

연습문제

어떤 Cartier 인자에도 부속되지 않는, 다양체 위의 Weil 인자의 예를 들어라.

연습문제

어떤 Cartier 인자에도 부속되지 않는 다양체 위의 Weil 인자 \(D\) 로서, 어떤 \(n > 1\)에 대해 \(nD\)가 Cartier 인자에 부속되는 Weil 인자가 되는 예를 들어라.

연습문제

어떤 Cartier 인자에도 수반되지 않고, 또한 임의의 \(n > 1\)에 대해 \(nD\)도 Cartier 인자에 수반되지 않는 Weil 인자인, 다양체 위의 Weil 인자 \(D\)의 예를 들어라. (힌트: 원뿔, 예를 들어 \(\mathbf{A}^4_k\) 내의 \(X : xy - zw = 0\)를 생각해 보라. \(D = [x = 0, z = 0]\)이 조건을 만족함을 보여 보라. )

연습문제

체상 유한형 분리 스킴 \(X\)에 대하여: 두 개의 유효한 Cartier 인자의 차이가 아닌 Cartier 인자의 예를 들어라. 힌트: 공집합이 아닌 유효한 Cartier 인자를 하나도 가지지 않는 \(X\), 예를 들어 [H, III Exercise 5.9]로 구성된 스킴을 찾아라. \(X\)가 다양체인 예시도 존재한다. 즉, 연습 02AS의 다양체이다.

연습문제

비사영적 고유 다양체의 예. \(k\)를 체로 한다. \(L \subset \mathbf{P}^3_k\)를 직선으로, \(C \subset \mathbf{P}^3_k\)를 비특이 이차 곡선으로 한다. \(C \cap L = \emptyset\)라고 가정한다. 동형 \(\varphi : L \to C\)를 선택한다. \(C\)와 \(L\)를 \(\varphi\)에 의해 붙여서 얻어지는 \(k\)-다양체를 \(X\)라고 한다. 다시 말하면, 전사 고유 쌍유리 사상 \[\pi : \mathbf{P}^3_k \longrightarrow X\]과 열린 집합 \(U \subset X\)이 존재하며, \(\pi : \pi^{-1}(U) \to U\)은 동형이고, \(\pi^{-1}(U) = \mathbf{P}^3_k \setminus (L \cup C)\)이며, \(\pi|_L = \pi|_C \circ \varphi\)을 만족한다. (이 조건들만으로는 아직 \(X\)을 유일하게 정하지 않는다. 유일하게 정하려면, \(Z = X \setminus U\)의 점을 따라 \(X\)의 구조층을 지정할 필요가 있다.) \(X\)이 존재하며, 고유 다양체이지만 사영이 아님을 증명하라. (힌트: 존재에 대해서는 연습문제 02A5의 결과를 사용하라. 비사영성에 대해서는 \(\Pic(\mathbf{P}^3_k) = \mathbf{Z}\)을 사용하여, \(X\)가 풍부한 가역 층을 가질 수 없음을 보일 수 있다.)

미분

정의와 결과. Kähler 미분.

1. \(R \to A\)를 환 준동형으로 한다. \(R\) 위의 \(A\)의 Kähler 미분 가군을 \(\Omega_{A/R}\)라고 쓴다. 이것은 원래 \(\text{d}a\),\(a \in A\)에서 생성되었으며, 다음 관계를 만족한다： \[\text{d}(a_1 + a_2) = \text{d}a_1 + \text{d}a_2,\quad \text{d}(a_1a_2) = a_1\text{d}a_2 + a_2\text{d}a_1,\quad \text{d}r = 0\] 표준적인 보편 \(R\)-도함 \(\text{d} : A \to \Omega_{A/R}\)는 \(a\mapsto \text{d}a\)로 사상된다.

2. 아이디얼 \(I\)를 정의하는 짧은 완전열 \[0 \to I \to A \otimes_R A \to A \to 0\]을 생각한다. \(a\)를 \(a \otimes 1 - 1 \otimes a\)의 동치류로 사상하는 표준적인 도함 \(\text{d} : A \to I/I^2\)가 있다. 이것은 \(R\) 위의 \(A\) 도함 가군의 또 다른 표현이다. 다시 말하면 \[(I/I^2, \text{d}) \cong (\Omega_{A/R}, \text{d}).\]

3. \(S_R\)의 상이 \(S_A\)에 포함되는 곱셈적 부분집합 \(S_R \subset R\)과 \(S_A \subset A\)에 대해 \[\Omega_{S_A^{-1}A / S_R^{-1}R} = S_A^{-1}\Omega_{A/R}.\]가 성립한다.

4. \(A\)이 유한 표현 \(R\)-대수라면, \(\Omega_{A/R}\)은 유한 표현 \(A\)-가군이다. 따라서 이 경우, \(\Omega_{A/R}\)의 Fitting 아이디얼이 정의된다.

5. \(f : X \to S\)를 스킴의 사상으로 한다. 준연접 \({\mathcal O}_X\)-가군의 층 \(\Omega_{X/S}\)과 \({\mathcal O}_S\)-선형 도함 \[\text{d} : {\mathcal O}_X \longrightarrow \Omega_{X/S}\]이 존재하며, \(f(U) \subset V\)을 만족하는 임의의 아핀 열린 집합 \(\Spec(A) = U \subset X\), \(\Spec(R) = V \subset S\)에 대해 \[\Gamma(\Spec(A), \Omega_{X/S}) = \Omega_{A/R}\]이며, 이는 \(\text{d}\)와 양립한다.

연습문제

\(k[\epsilon]\)를 체 \(k\) 상의 쌍대수의 환, 즉 \(\epsilon^2 = 0\)로 하자.

1. 환 준동형 \[R = k[\epsilon] \to A = k[x, \epsilon]/(\epsilon x)\]를 생각하자. \(\Omega_{A/R}\)의 Fitting 아이디얼이 (제로 번째 Fitting 아이디얼부터 시작하여) \[(\epsilon), A, A, \ldots\] 임을 보이라.

2. 사상 \(R = k[t] \to A = k[x, y, t]/(x(y-t)(y-1), x(x-t))\)을 생각하자. 간단하게 하기 위해 \(k\)의 표수는 0이라고 가정하고, \(A\)에서의 \(\Omega_{A/R}\)의 Fitting 아이디얼이 \[x(2x-t)(2y-t-1)A, \ (x, y, t)\cap (x, y-1, t), \ A, \ A, \ldots\]임을 보여라. 따라서, 제 \(0\) Fitting 아이디얼은 \(A\)의 한 원소로 잘라지며, 제 \(1\) Fitting 아이디얼은 \(\Spec(A)\)의 두 닫힌 점을 정의하며, 나머지는 모두 자명하다.

3. 사상 \(R = k[t] \to A = k[x, y, t]/(xy-t^n)\)을 고려한다. \(\Omega_{A/R}\)의 Fitting 아이디얼을 계산하라.

주

\(X\)가 \(S\) 위에서 상대 차원 \(k\)을 가질 때, \(\Omega_{X/S}\)의 제 \(k\) Fitting 아이디얼은 사상 \(X \to S\)의 특이 스킴을 정의하기 위해 일반적으로 사용된다. 그러나 (a)에서 보이듯이, 족의 올 차원이 ’일정’하지 않은 경우, 예를 들어 평탄하지 않은 경우에는 이를 수행할 때 주의가 필요하다. (b)에서 보이듯이, 평탄성도 이것이 잘 될 것을 보장하지 않는다 (실제로, 이것은 평탄한 족이다). (c)와 같은 ’좋은 경우’에는, 곡선의 족에 대해, 제 \(0\) Fitting 아이디얼은 0이며, 제 \(1\) Fitting 아이디얼은 특이점 집합을 (스킴론적으로) 정의할 것으로 기대된다.

연습문제

\(R\)을 환이라 하고, \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_n).\]로 한다. \(A\)은 변수와 같은 수의 방정식으로 표현되어 있음을 주의하라. 따라서 편도함수의 행렬 \[( \partial f_i / \partial x_j )\]은 \(n \times n\) 행렬, 즉 정방행렬이다. 그 행렬식이 \(A\)의 원소로서 가역적이라고 가정한다. 이것은, \(n\) 개의 생성원과 \(n\) 개의 관계식을 갖는 이 경우에 \(\Omega_{A/R} = (0)\) 임을 의미하는 조건이다. \(\pi : B' \to B\)를 \(R\)-대수의 전사로 하고, 그 핵 \(J\)은 (\(B'\)의 아이디얼로서) 제곱이 0이라고 하자. \(\varphi : A \to B\)을 \(R\)-대수의 준동형으로 하자. \(\varphi = \pi \circ \varphi'\)을 만족하는 \(R\)-대수의 준동형 \(\varphi' : A \to B'\)가 유일하게 존재함을 증명하라.

연습문제

\(A = R[x, y]/(f)\)의 경우에, 연습 02FE의 결과를 일반화하라.

연습문제

\(k\)를 체로 하고, \(f_1, \ldots, f_c \in k[x_1, \ldots, x_n]\)로 하며, \(A = k[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_c)\)로 한다. \(f_j(0, \ldots, 0) = 0\)라고 가정한다. 이는 \(\mathfrak m = (x_1, \ldots, x_n)A\)가 극대 아이디얼임을 의미한다. 행렬 \[(\partial f_j/ \partial x_i)|_{(x_1, \ldots, x_n) = (0, \ldots, 0)}\]의 계수가 \(c\)라면, 국소환 \(A_\mathfrak m\)가 정칙임을 증명하라. 이 경우의 \(A_\mathfrak m\)의 차원은 무엇인가. \(A_\mathfrak m\)는 정칙이지만 계수가 \(c\) 미만이 되는 예를 들어, 역이 거짓임을 보여라. 그 예에서 \(A_\mathfrak m\)의 차원은 무엇인가.

스킴론, 2007년 가을 학기 기말시험

다음은 Columbia 대학교에서 2007년 봄에 진행된 스킴론 강의의 기말시험 문제이다.

연습문제

다음 개념을 정의하라.

1. \(X\)는 스킴이다.

2. 스킴의 사상 \(f : X \to Y\)은 유한이다.

3. 스킴의 사상 \(f : X \to Y\)은 유한형이다.

4. 스킴 \(X\)은 뇌터이다.

5. 스킴 \(X\) 위의 \({\mathcal O}_X\)-가군 \({\mathcal L}\)은 가역이다.

6. 대수적 폐체 위의 비특이 사영 곡선의 종수.

연습문제

\(X = \Spec({\mathbf Z}[x, y])\)으로 하며, \({\mathcal F}\)를 준연접 \({\mathcal O}_X\)-가군으로 한다. \({\mathcal F}\)의 표준 아핀 열린 집합 \(D(x)\)에 대한 제한이 0이라고 가정한다.

1. \({\mathcal F}\)의 임의의 대역 단면 \(s\)은 \(x\)의 어떤 거듭제곱으로 사라짐을, 즉, 어떤 \(n\in {\mathbf N}\)에 대해 \(x^ns = 0\)가 됨을 보이라.

2. \({\mathcal F}\)이 준연접이라고 가정하지 않는다면 동일한 주장이 성립한다고 생각하는가.

연습문제

\(X \to \Spec(R)\)를 고유 사상으로 하고, \(R\)를 잉여체 \(k\)를 갖는 이산 값매김환으로 한다. \(X \times_{\Spec(R)} \Spec(k)\)가 공집합 스킴이라고 가정한다. \(X\)가 공집합 스킴임을 보이라.

연습문제

복소수체 \({\mathbf C}\) 위의 사영 다양체 ⁴ \[{\mathbf P}^1 \times {\mathbf P}^1 = {\mathbf P}^1_{{\mathbf C}} \times_{\Spec({\mathbf C})} {\mathbf P}^1_{\mathbf C}\]를 생각한다. 이것은, \({\mathbf P}^1_{\mathbf C}\)의 표준 아핀 부분들의 조합에 대응하는 네 개의 아핀 부분으로 덮여 있다. 예를 들어, 첫 번째 인자에 동차 좌표 \(X_0, X_1\), 두 번째 인자에 \(Y_0, Y_1\)을 사용한다고 하자. \(x = X_1/X_0\), \(y = Y_1/Y_0\)라고 둔다. 이때 네 개의 아핀 열린 부분은 다음 환들의 스펙트럼이다: \[{\mathbf C}[x, y], \quad {\mathbf C}[x^{-1}, y], \quad {\mathbf C}[x, y^{-1}], \quad {\mathbf C}[x^{-1}, y^{-1}].\] \(X \subset {\mathbf P}^1 \times {\mathbf P}^1\), 첫 번째 아핀 부분 내의 방정식 \[y^3(x^4 + 1) = x^4 -1.\]으로 주어지는 닫힌 부분집합의 폐포인 닫힌 부분 스킴으로 하자.

1. \(X\)가 네 개의 아핀 열린 부분 중 첫 번째와 마지막 합에 포함됨을 보이라.

2. \(X\)가 비특이 사영 곡선임을 보이라.

3. 사상 \(pr_2 : X \to {\mathbf P}^1\)(첫 번째 인자로의 사상)을 고려하라. 첫 번째 아핀 부분에서는, 이것은 사상 \((x, y) \mapsto x\)이다. 이것이 차수 \(3\)를 가지는 이유를 간략히 설명하라.

4. 사상 \(pr_2 : X \to {\mathbf P}^1\)의 분기점과 분기 지수를 계산하라.

5. \(X\)의 종수를 계산하라.

연습문제

\(X \to \Spec({\mathbf Z})\)를 유한형 사상으로 한다. \(X \times_{\Spec({\mathbf Z})} \Spec({\mathbf F}_p)\)이 공집합이 아닌 소수 \(p\)가 무한히 존재한다고 가정한다.

1. \(X \times_{\Spec({\mathbf Z})}\Spec(\mathbf{Q})\)가 비어 있지 않음을 보여라.

2. 조건 ’유한형’을 조건 ’국소유한형’으로 대체한 경우에도, 같은 주장이 성립한다고 생각하는가.

스킴론, 2009년 봄 학기말 시험

아래는 Columbia 대학교에서 2009년 봄에 진행된 스킴론 강의의 학기말 시험 문제이다.

연습문제

\(X\)를 뇌터 스킴이라고 한다. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라고 한다. \(x \in X\)을 한 점이라고 한다. \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = \{ x \}\)이라고 가정한다.

1. \(x\)가 \(X\)의 닫힌 점임을 보여라.

2. \(H^0(X, \mathcal{F})\)가 0이 아님을 보여라.

3. \(\mathcal{F}\)가 대역 단면으로 생성됨을 보여라.

4. \(p > 0\)에 대해 \(H^p(X, \mathcal{F}) = 0\)임을 보여라.

주

\(k\)를 체로 한다. \(\mathbf{P}^2_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2])\)라 하자. \(\mathbf{P}^2_k\) 위의 임의의 가역층은 어떤 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대한 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)\)와 동형이다. 다음을 기억하자: \[\Gamma(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)) = k[X_0, X_1, X_2]_n\]는 다항식환의 차수 \(n\)의 부분이다. \(\mathbf{P}^2_k\) 위의 준연접 층 \(\mathcal{F}\)에 대해, 통상대로 \(\mathcal{F}(n) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}} \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(n)\)라고 놓자.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(\mathcal{E}\)를 \(\mathbf{P}^2_k\) 위의 벡터 다발, 즉 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\)-가군이라고 하자. \(\mathcal{E}\)가 가역 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}\)-가군의 직합과 동형일 때, \(\mathcal{E}\)를 분해된다고 한다.

1. \(\mathcal{E}\)가 분해됨과 \(\mathcal{E}(n)\)가 분해됨이 동치임을 보이라.

2. \(\mathcal{E}\)이 분해된다면, 모든 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(H^1({\mathbf{P}^2_k}, \mathcal{E}(n)) = 0\)임을 보여라.

3. 선형형식 \(L_0, L_1, L_2 \in \Gamma(\mathbf{P}^2_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1))\)에 의해 주어지는 \[\varphi : \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \longrightarrow \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(1)\]를 고려한다. 어떤 \(i\)에 대해 \(L_i \not = 0\)라고 가정한다. \(\varphi\)의 여핵이 벡터다발이 되기 위한 \(L_0, L_1, L_2\)에 관한 조건은 무엇인가. 또한, 그것은 왜인가.

4. 그러한 \(\varphi\)의 예를 하나 들어라.

5. \(\Coker(\varphi)\)이 벡터 다발이라면, 그것이 분해되지 않음을 보이시오.

주

다음 차원론의 사실들을 자유롭게 사용해도 좋다 (필요하다면, 추가적인 사실을 더해도 좋다).

1. 스킴의 차원은, 기약 닫힌 부분집합 사슬의 길이의 상한이다.

2. 체 위 유한 형식 스킴의 차원은, 그것의 아핀 열린집합의 차원의 최댓값이다.

3. 뇌터 스킴의 차원은 그 기약 성분들의 차원의 최댓값이다.

4. 아핀 스킴의 차원은 대응하는 환의 차원과 일치한다.

5. \(k\)를 체로 하고, \(A\)을 유한형 \(k\)-대수라고 하자. \(A\)가 정역이고 \(x \not = 0\)라면, \(\dim(A) = \dim(A/xA) + 1\)이다.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(X\)을 \(k\) 위의 사영 축소 스킴이라고 한다. \(f : X \to \mathbf{P}^1_k\)을 \(k\) 위의 스킴의 사상이라고 한다. 모든 점 \(t \in \mathbf{P}^1_k\)에 대해, 올 \(X_t = f^{-1}(t)\)가 차원 \(d\)인 기약 공간이 되도록 하는 정수 \(d \geq 0\)가 존재한다고 가정한다 (기약 공간은 공집합이 아님을 기억하자).

1. \(\dim(X) = d + 1\)임을 보여라.

2. \(X_0 \subset X\)를 차원 \(d + 1\)의 \(X\)의 기약 성분이라고 하자. 모든 \(t \in \mathbf{P}^1_k\)에 대해, 올 \(X_{0, t}\)의 차원이 \(d\)임을 증명하라.

3. 위의 결과로부터 \(X_t\)와 \(X_{0, t}\)에 대해 어떤 결론을 내릴 수 있는가.

4. \(X\)가 기약임을 보여라.

주

체 \(k\) 위의 사영 스킴 \(X\)과 \(X\) 위의 연접층 \(\mathcal{F}\)에 대해 \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_{i \geq 0} (-1)^i\dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\]로 둔다.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(\mathbf{P}^3_k = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3])\)라고 쓴다. \(C \subset \mathbf{P}^3_k\)을 형 \((5, 6)\)의 완전 교차 곡선으로 한다. 이것은 \(F \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]_5\)과 \(G \in k[X_0, X_1, X_2, X_3]_6\)이 존재하며, \[C = \text{Proj}(k[X_0, X_1, X_2, X_3]/(F, G))\]가 차원 \(1\)의 다양체가 됨을 의미한다 (다양체이므로 축소이고 기약하지만, 필요하다면 \(C\)가 비특이적이라고 가정할 수 있다). \(i : C \to \mathbf{P}^3_k\)을 대응하는 닫힌 몰입으로 한다. 완전 교차이므로, 추가로 층의 완전 열 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-11) \ar[r]^-{ \left( \begin{matrix} -G \\ F \end{matrix} \right) } & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-5) \oplus \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(-6) \ar[r]^-{(F, G)} & \mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k} \ar[r] & i_*\mathcal{O}_C \ar[r] & 0 }\]도 얻을 수 있다. 이 사실들을 사용하여 다음을 수행하라:

1. 임의의 \(n \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\chi(C, i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^3_k}(n))\)를 계산하라;

2. \(H^1(C, \mathcal{O}_C)\)의 차원을 계산하라.

연습문제

\(k\)를 체로 하자. 환 \[\begin{align*} A & = k[x, y]/(xy) \\ B & = k[u, v]/(uv) \\ C & = k[t, t^{-1}] \times k[s, s^{-1}] \end{align*}\]과, \(k\)-대수 준동형 \[\begin{matrix} A \longrightarrow C, & x \mapsto (t, 0), & y \mapsto (0, s) \\ B \longrightarrow C, & u \mapsto (t^{-1}, 0), & v \mapsto (0, s^{-1}) \end{matrix}\]를 고려하라. 이들 사상은 동형 \(A_{x + y} \to C\) 및 \(B_{u + v} \to C\)를 유도한다. 따라서, 사상 \(A \to C\) 및 \(B \to C\)는 \(\Spec(C)\)를 \(\Spec(A)\) 및 \(\Spec(B)\)의 열린 부분집합으로 동일시한다. \(\Spec(A)\)과 \(\Spec(B)\)를 \(\Spec(C)\)에 따라 붙여 얻어지는 스킴을 \(X\) 라 하자: \[X = \Spec(A) \amalg_{\Spec(C)} \Spec(B).\] 강의에서 본 것처럼, 이러한 스킴은 존재하며, 거기에는 아핀 열린 집합 \(\Spec(A) \subset X\)와 \(\Spec(B) \subset X\)가 있고, 그것들의 공통 부분은 정확히 \(\Spec(C)\)이며, 위의 사상을 사용하여 각각의 열린 부분과 동일시된다.

1. 왜 \(X\)는 분리되어 있는가.

2. 왜 \(X\)는 \(k\) 위에서 유한형인가.

3. \(H^1(X, \mathcal{O}_X)\)를 계산하라. 또는, 그 차원은 몇인가.

4. \(X\)를 기술하는, 더 기하학적인 방법은 무엇인가.

스킴 이론, 2010년 가을 학기 기말시험

아래는 콜럼비아 대학교에서 2010년 가을에 진행된 스킴 이론 강의의 기말시험 문제이다.

연습문제

다음 개념을 정의하라.

1. 분리 스킴,

2. 스킴의 준콤팩트 사상,

3. 스킴의 아핀 사상,

4. 환의 곱셈적 부분집합,

5. 뇌터 스킴,

6. 다양체.

연습문제

소 아이디얼 회피.

1. \(A\)을 환으로 한다. \(I \subset A\)를 아이디얼로 하고, \(\mathfrak q_1\), \(\mathfrak q_2\)를 \(I \not \subset \mathfrak q_i\)를 만족하는 소아이디얼로 하자. \(I \not \subset \mathfrak q_1 \cup \mathfrak q_2\)임을 보이라.

2. (1)의 기하학적 해석은 무엇인가.

3. \(X = \text{Proj}(S)\)라 하고, \(S\)를 어떤 등급환이라고 하자. \(x_1, x_2 \in X\)라 하자. \(x_1\)와 \(x_2\)를 모두 포함하는 표준 열린 집합 \(D_{+}(F)\)가 존재함을 보이시오.

연습문제

아핀 사상의 합성이 아핀인 이유는 무엇인가.

연습문제

다음 예를 들어라:

1. 체 \(k\) 위의 가약 사영 스킴.

2. 100개의 점을 가진 스킴.

3. 스킴의 아핀이 아닌 사상.

연습문제

Chevalley의 정리와 Hilbert의 영점 정리.

1. \(\mathfrak p \subset \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]\)를 극대 아이디얼이라고 하자. 셰발리의 정리는 \(\mathfrak p \cap \mathbf{Z}\)에 대해 무엇을 의미하는가.

2. 또한, 힐베르트의 영점 정리는 \(\kappa(\mathfrak p)\)에 대해 무엇을 의미하는가.

연습문제

\(A\)을 환으로 한다. \(X\)의 차수를 \(1\)라고 하여 등급 \(A\)-대수로서 \(S = A[X]\)라고 둔다. \(A\) 위의 스킴으로서 \(\text{Proj}(S) \cong \Spec(A)\)임을 보여라.

연습문제

\(A \to B\)을 유한한 환 준동형으로 하자. \(\Spec(B)\)가 \(\Spec(A)\) 위의 H-프로젝티브 스킴임을 보여라.

연습문제

체 \(k\) 위의 스킴 \(X\)이고, \(X\)는 기약이지만, 어떤 유한 확장 \(k'/k\)에 대한 밑변환 \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\)이 연결이고 가약이 되는 예를 제시하라.

스킴 이론, 2011년 봄 학기말 시험

이하 내용은 컬럼비아 대학교에서 2011년 봄에 진행된 스킴 이론 강의의 학기말 시험 문제이다.

연습문제

이탤릭체로 표시된 개념을 정의하시오.

1. 분리된 스킴,

2. 스킴의 보편적 폐포 사영,

3. 공통의 체에 포함된 국소 환 \(A, B\)에 대한 \(A\)은 \(B\)을 지배하는,

4. 스킴 \(X\)의 차원,

5. 스킴 \(X\)의 기존 닫힌 부분 스킴 \(Y\)의 여차원.

연습문제

강의에서 논의한 사실과 형식적으로 동등한 명제를 서술하라.

1. 예를 들어, 다양체의 사상 \(X \to Y\)에 대한 고유성의 부여 판정법.

2. 체 \(k\) 위의 다양체 \(X\)에 대한 \(\dim(X)\)과 \(X\)의 함수체 \(k(X)\)의 관계.

3. 빈칸을 채우세요: \(k\) 위의 비특이 사영 곡선과 비상수 사상의 범주는, \(\ldots\ldots\ldots\)와 반동등이다.

4. 뇌터 정규화.

5. Jacobian 판정법.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(F \in k[X_0, X_1, X_2]\)를 차수 \(d\)의 동차 형식으로 한다. \(C = V_{+}(F) \subset \mathbf{P}^2_k\)를 \(k\) 위의 매끄러운 곡선이라고 가정한다. \(i : C \to \mathbf{P}^2_k\)를 대응하는 닫힌 매입으로 한다.

1. \(\mathbf{P}^2_k\) 위의 연접층의 짧은 완전 열 \[0 \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(-d) \to \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k} \to i_*\mathcal{O}_C \to 0\]이 존재함을 보여라: 사상이 무엇인지 말하고, 왜 완전한지 간단히 설명하라.

2. \(H^0(C, \mathcal{O}_C) = k\)임을 결론지어라.

3. \(C\)의 종 수를 계산하라.

4. 이번에는 \(P = (0 : 0 : 1)\)가 \(C\) 위에 없다고 가정한다. \((a_0 : a_1 : a_2) \mapsto (a_0 : a_1)\)로 주어지는 \(\pi : C \to \mathbf{P}^1_k\)의 차수가 \(d\)임을 증명하라.

5. \(k\)은 대수적으로 닫혀 있고, 모든 분기 지수(「\(e_i\)」)는 \(1\) 또는 \(2\)이며, \(k\)의 특성은 \(2\)가 아니라고 가정한다. \(\pi : C \to \mathbf{P}^1_k\)은 분기점을 몇 개 가지고 있는가.

6. \(F\)를 사용하여, \(\pi\)의 분기점 집합을 정하는 방정식계는 무엇이라고 생각하는가.

7. \(K_C\)를 추측할 수 있는가.

연습문제

\(k\)를 몸으로 한다. \(X\)를 \(k\) 위의 ’삼각형’으로 한다. 즉, \(\mathbf{A}^1_k\)의 세 개의 복사본을, 첫 번째 복사본의 \(0\)와 두 번째 복사본의 \(1\), 두 번째 복사본의 \(0\)과 세 번째 복사본의 \(1\), 세 번째 복사본의 \(0\)과 첫 번째 복사본의 \(1\)을 각각 동일시하여 서로 맞붙임으로써 \(X\)를 얻는다. \(X\)는 \(\Spec(k[x, y]/(xy(x + y + 1)))\)와 동형이 된다; 이는 자유롭게 사용할 수 있다. \(X\)의 Picard 군을 계산하라.

연습문제

\(k\)를 몸체로 한다. \(\pi : X \to Y\)를 곡선의 유한 쌍유리사상으로 하고, \(X\)는 \(k\) 위의 비특이 사영 곡선으로 한다. 강의 내용으로부터, \(Y\)는 고유곡선이며, \(\pi\)는 \(Y\)의 정규화 사상이다. 또한, 조밀 열린 집합 \(V \subset Y\)가 존재하며, \(U = \pi^{-1}(V)\)은 \(X\)의 조밀 열린 집합이고 \(\pi : U \to V\)는 동형이 되는 것이 존재한다는 것도 강의에서 보았다.

1. 유효 Cartier 인자 \(D \subset X\)이고, \(D \subset U\) 및 \(\mathcal{O}_X(D)\)가 \(X\) 위에서 풍부한 것이 존재함을 보이라.

2. \(D\)를 (1)과 같은 것으로 하자. \(E = \pi(D)\)가 \(Y\) 위의 유효 Cartier 인자임을 보이라.

3. 다음 이유를 간단히 서술하라：

   1. 사상 \(\mathcal{O}_Y \to \pi_*\mathcal{O}_X\)은 \(Y \setminus V\)에 지지를 가진 연결된 여핵 \(Q\)을 가진다；

   2. 모든 \(n\)에 대하여, 여핵이 \(Q\)와 동형이 되는 대응 사상 \(\mathcal{O}_Y(nE) \to \pi_*\mathcal{O}_X(nD)\)이 존재한다.

4. \(\dim_k H^0(X, \mathcal{O}_X(nD)) - \dim_k H^0(Y, \mathcal{O}_Y(nE))\)가 유계임을 (무엇에 의하여) 보이고, \(n\)가 충분히 클 때 가역층 \(\mathcal{O}_Y(nE)\)은 여러 단절을 가지고 있음을 결론지어라(왜인가).

스킴론, 2011년 가을 학기말 시험

다음은 콜럼비아 대학교에서 2011년 가을에 진행된 가환대수 강의의 학기말 시험 문제이다.

연습문제

이탤릭체로 표시된 개념을 정의하시오.

1. 뇌터 환,

2. 뇌터 스킴,

3. 유한한 환 준동형,

4. 스킴의 유한 사상,

5. 환의 차원.

연습문제

강의에서 논한 사실과 형식적으로 동치인 명제를 서술하시오.

1. Zariski의 주정리.

2. 뇌터 정규화.

3. 중국 나머지 정리.

4. 유한한 환 준동형에 대한 상승 정리.

연습문제

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를, 나머지 체의 특징이 \(2\)이 아닌 뇌터 국소환으로 한다. \(\mathfrak m\)는 세 개의 원소 \(x, y, z\)로 생성되며, \(A\)에서 \(x^2 + y^2 + z^2 = 0\)이라고 가정한다.

1. \(\dim(A)\)의 가능한 값은 무엇인가.

2. 각 값이 가능함을 보여주는 예를 제시하라.

3. \(\dim(A) = 2\)라면 \(A\)이 정역(domain)임을 보여라. (힌트: \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)를 조사하라. )

연습문제

\(A\)를 환으로 한다. \(S \subset T \subset A\)를 곱셈적 부분집합으로 한다. \[\{\mathfrak q \mid \mathfrak q \cap S = \emptyset\} = \{\mathfrak q \mid \mathfrak q \cap T = \emptyset\}.\]라고 가정한다. \(S^{-1}A \to T^{-1}A\)가 동형임을 보이라.

연습문제

\(k\)를 대수적 폐체로 한다. \[V_0 = \{ A \in \text{Mat}(3 \times 3, k) \mid \text{rank}(A) = 1\} \subset \text{Mat}(3 \times 3, k) = k^9.\]라 하자.

1. \(V_0\)가, (Zariski) 국소폐포집합 \(V \subset \mathbf{A}^9_k\)의 폐점 전체임을 보여라.

2. \(V\)은(는) 이미약한가.

3. \(\dim(V)\)은 무엇인가.

연습문제

\(\mathbf{C}[x, y]\)의 아이디얼 \((x^2, xy, y^2)\)이 \(2\) 개의 원소로 생성될 수 없음을 증명하라.

연습문제

\(f \in \mathbf{C}[x, y]\)를 비정수 다항식이라고 하자. 어떤 \(\alpha, \beta \in \mathbf{C}\)에 대하여 \(\mathbf{C}\)-대수 준동형 \[\mathbf{C}[t] \longrightarrow \mathbf{C}[x, y]/(f),\quad t \longmapsto \alpha x + \beta y\]가 유한함을 보여라.

연습문제

유한한 수의 점 \(p_1, \ldots, p_n \in \mathbf{C}^2\)이 주어졌을 때, 스킴 \(\mathbf{A}^2_\mathbf{C} \setminus \{p_1, \ldots, p_n\}\)이 두 개의 아핀 열린 집합의 합임을 보여라.

연습문제

스킴의 전사 \(\mathbf{A}^1_\mathbf{C} \to \mathbf{P}^1_\mathbf{C}\)가 존재함을 보이시오. (전사란 단순히 기반이 되는 점 집합 위에서 전사임을 의미한다.)

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. \(A \subset B\)를, 둘 다 유한형 \(k\)-대수인 정역의 확장으로 하자. 다음 절차를 사용하여, \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)의 상이 \(\Spec(A)\)의 공집합이 아닌 열린 부분집합을 포함함을 증명하라:

1. \(A \to B\)도 유한한 경우에 증명하라.

2. \(B\)의 분수체가 \(A\)의 분수체의 유한 확장인 경우에 증명하라.

3. 주장을 이전 경우로 귀착시켜라.

스킴, 2013년 가을학기 기말시험

다음은 Columbia 대학교에서 2013년 가을에 열린 가환대수학 강의의 기말시험 문제들이다.

연습문제

이탤릭체로 표시한 개념들을 정의하라.

1. 환의 근기 아이디얼,

2. 유한형 환 준동형,

3. Weil 미분,

4. 스킴.

연습문제

강의에서 논의한 각 사실과 형식적으로 동치인 명제를 진술하라.

1. 등급 가군의 Hilbert 다항식에 관한 결과.

2. 뇌터 국소환 \((R, \mathfrak m)\)과 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1}\)의 차원.

3. Riemann–Roch 정리.

4. Clifford 정리.

5. Chevalley 정리.

연습문제

\(A \to B\)를 환 사상이라 하고, \(S \subset A\)를 곱셈적 부분집합이라 하자. \(A \to B\)가 유한형이고 \(S^{-1}A \to S^{-1}B\)가 전사라고 가정하자. \(A_f \to B_f\)가 전사가 되는 \(f \in S\)가 존재함을 보여라.

연습문제

국소환들의 단사 국소 준동형 \(A \to B\)로서 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)가 전사가 아닌 예를 들어라.

설정

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(F(X_0, X_1, X_2) \in k[X_0, X_1, X_2]\)를 차수 \(d\)인 기약 동차 다항식이라 하자. \[D = V(F) \subset \mathbf{P}^2\] 를 \(F\)가 영이 되는 것으로 주어지는 사영 평면 곡선이라 하자. \(x = X_1/X_0\), \(y = X_2/X_0\)라 놓고 \(f(x, y) = X_0^{-d}F(X_0, X_1, X_2) = F(1, x, y)\)라 놓자.

\(K\)를 정역 \(k[x, y]/(f)\)의 분수체라 하자. \(C\)를 \(K\)에 대응하는 추상 곡선이라 하자. 강의에서 보았듯이 전사 사상 \(C \to D\)가 존재하며, 이는 \(D\)의 비특이 궤적 위에서 전단사이고 \(D\)가 비특이면 동형이다. \(f_x = \partial f/\partial x\), \(f_y = \partial f/\partial y\)라 놓자.

마지막으로 강의에서 논의한 \(\Omega_{K/k}\)의 원소 \(\omega = \text{d}x/f_y = - \text{d}y/f_x\)를 생각하자. \(K_C\)를 \(\omega\)의 영점과 극점의 인자라 하자.

연습문제

상황 09U0에서 \(d \geq 3\)이고, 곡선 \(D\)가 특이점 하나, 즉 \(P = (1 : 0 : 0)\)만을 갖는다고 하자. 더 나아가 \(P = (0, 0)\) 근방에서 전개식 \[f(x, y) = xy + h.o.t\] 를 갖는다고 하자. 그러면 \(C\)는 \(P\) 위에 두 점 \(v\), \(w\)를 가지며, 이들은 \[v(x) = 1, v(y) > 1 \quad\text{and}\quad w(x) > 1, w(y) = 1\] 로 특징지어진다.

1. \(\Omega_{K/k}\)의 원소 \(\omega = \text{d}x/f_y = - \text{d}y/f_x\)가 \(v\)와 \(w\) 모두에서 1차 극을 가짐을 보여라. (\(\omega\)가 비특이점에서 보이는 거동은 강의에서 논의한 바와 같다.)

2. 강의에서 \(C \to D\)를 따라 \(C\)로 당겨 온 인자 \(X_0 = 0\)에서 \(\omega\)가 차수 \(d - 3\)으로 영이 됨을 보였다. 이 사실과 (1)의 정보를 합치면 \(C\) 위에서 \(\omega\)의 영점과 극점으로 이루어진 인자의 차수는 얼마인가?

3. 곡선 \(C\)의 종수는 얼마인가?

연습문제

상황 09U0에서 \(d = 5\)이고 곡선 \(C = D\)가 비특이라고 하자. 강의에서 \(C\)의 종수가 \(6\)이고 선형계 \(K_C\)가 \[L(K_C) = \{h\omega \mid h \in k[x, y],\ \deg(h) \leq 2\}\] 로 주어짐을 보였다. 여기서 \(\deg\)는 전체 차수를 뜻한다 ⁵. \(P_1, P_2, P_3, P_4, P_5 \in D\)를 아핀 열린집합 \(X_0 \not = 0\)에 속하는 서로 다른 점들이라 하자.

\(\sum P_i = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5\)를 \(C\)의 대응하는 인자라 하자.

1. \(L(K_C - \sum P_i)\)를 다항식으로 기술하라.

2. \(l(\sum P_i)\)에는 어떤 가능성이 있는가?

연습문제

상황 09U0에서와 같은 \(F\) 중에서 \(d = 100\)이고 \(C\)의 종수가 \(0\)이 되는 것을 하나 써라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자.

\(K/k\)를 초월차수가 \(1\)인 유한 생성 체 확대라 하자. \(C\)를 \(K\)에 대응하는 추상 곡선이라 하자. \(V \subset K\)를 \(g^r_d\)라 하고, \(\Phi : C \to \mathbf{P}^r\)를 이에 대응하는 사상이라 하자. \(V\)가 완전 선형계이고 \(d\)가 \(C\)의 종수에 비하여 충분히 크면 \(C\)의 상이 이차곡면 ⁶에 포함됨을 보여라. (추가 점수: 필요한 차수에 대한 좋은 상계를 구하라.)

연습문제

상황 09U0의 표기를 사용하자. \(U \subset \mathbf{P}^2_k\)를 여집합이 \(D\)인 열린 부분스킴이라 하자. \(k\)-대수 \(A = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2_k}(U)\)를 기술하라. \(k\)-대수로서 \(A\)를 생성하는 데 필요한 생성원 개수의 상계를 주어라.

스킴 논, 2014년 봄 학기 기말 시험

아래는 콜럼비아 대학교에서 2014년 봄에 진행된 스킴 논 강의의 기말 시험 문제이다.

연습문제

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 스킴으로 한다. 이탤릭체로 표시된 개념을 정의하시오.

1. 점 \(x\)에서의 \(X\) 국소환,

2. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 준연접층,

3. \(\mathcal{O}_X\)-가군의 연결층 (\(X\)은 국소 뇌터인 것으로 가정해도 좋다),

4. \(X\)의 아핀 열린 집합,

5. 스킴의 유한 사상 \(X \to Y\).

연습문제

각 항목과 관련된, 강의에서 논의한 비자명한 사실을 정확히 서술하라.

1. 다양체의 다중종 수의 쌍유리 불변성에 대하여,

2. 아핀 사상임이 국소적 성질임에 대하여,

3. 사상의 스킴론적 섬유의 위상에 대하여,

4. 고유성의 값 판단법.

연습문제

\(\mathbf{C}\)을 복소수체로 하고, \(X = \mathbf{A}^2_\mathbf{C}\)라 하자. 직선이란, 어떤 \(a, b, c \in \mathbf{C}\)에 대해 \((a, b) \not = (0, 0)\)를 만족하는 것에 대해, 하나의 일차 방정식 \(ax + by + c = 0\)로 정의되는 \(X\)의 닫힌 부분 스킴을 의미하는 것으로 하자. 곡선이란, 차원 \(1\)의 기약(따라서 비어 있지 않은) 닫힌 부분 스킴 \(C \subset X\)을 의미하는 것으로 하자. 이차 곡선이란, 어떤 \(a, b, c, d, e, f \in \mathbf{C}\)에서 \((a, b, c) \not = (0, 0, 0)\)을 만족하는 것에 대해, 하나의 이차 방정식 \(ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0\)으로 정의되는 곡선을 의미하는 것으로 하자.

1. 모든 직선과 \(C\)의 공통 부분이 비어 있지 않은 곡선 \(C\)을 찾아라.

2. 모든 직선 및 모든 이차곡선과 \(C\)의 공통 부분이 공집합이 아닌 곡선 \(C\)를 찾아라.

3. 모든 곡선 \(C\)에 대하여, \(C \cap C' = \emptyset\)가 되는 다른 곡선이 존재함을 증명하라.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(b : X \to \mathbf{A}^2_k\)를 아핀 평면의 원점에서의 블로우업으로 한다. 다시 말하면, \(\mathbf{A}^2_k = \Spec(k[x, y])\)라면, \(X = \text{Proj}(\bigoplus_{n \geq 0} \mathfrak m^n)\)이다. 여기서 \(\mathfrak m = (x, y) \subset k[x, y]\)라 하자. 다음 주장을 증명하라:

1. 원점 위의 \(b\)의 스킴 이론적 섬 \(E\)은 \(\mathbf{P}^1_k\)와 동형이다;

2. \(E\)은 \(X\) 위의 유효한 Cartier 인자이다;

3. \(\mathcal{O}_X(-E)\)의 \(E\)에 대한 제한은 차수 \(1\)의 직선 다발이다.

(\(\mathcal{O}_X(-E)\)가 \(X\)에서 \(E\)의 아이디어 층임을 상기하자.)

연습문제

\(k\)를 체라고 하고, \(X\)를 \(k\) 위의 사영 다양체라고 하자. \(k\) 위의 아핀 다양체 \(U\)와 다양체의 전사 \(U \to X\)가 존재함을 보이라.

연습문제

\(k\)을 표수 \(p > 0\)의 체로 하고, 이는 \(2,3\)와 다르다고 한다. \(\mathbf{P}^n_k\)의 닫힌 부분 스킴 \(X\)을 \[\sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i = 0,\quad \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i^2 = 0,\quad \sum\nolimits_{i = 0, \ldots, n} X_i^3 = 0\]에 의해 정의한다. 의 쌍 \((n, p)\)에 대해 이 닫힌 부분 스킴은 특이한가.

가환대수, 2016년 가을 학기 기말시험

이하 내용은 Columbia 대학에서 2016년 가을에 진행된 가환대수 강의의 기말시험 문제이다.

연습문제

\(R\)를 환으로 하자. 이탤릭체로 표시된 개념을 정의하시오.

1. 소이데알 \(\mathfrak p\)에서의 \(R\)의 국소환,

2. 유한 \(R\)-가군,

3. 유한 표현 \(R\)-가군,

4. \(R\)는 정칙이다,

5. \(R\)는 사슬형이다,

6. \(R\)는 Cohen–Macaulay 이다.

연습문제

각 항목과 관련된, 강의에서 논의한 비자명한 사실을 정확하게 서술하시오.

1. 정칙환,

2. Cohen–Macaulay 가군의 수반소 아이디얼,

3. 체 위 유한형 적분영역의 차원,

4. Chevalley의 정리.

연습문제

\(A \to B\)을 다음 조건을 만족하는 환 준동형으로 한다:

1. \(A\)은 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 가진 국소환이고;

2. \(A \to B\)은 유한한 ⁷ 환경 준동형이다；

3. \(A \to B\)는 단사이다 (\(A\)를 \(B\)의 부분환으로 간주한다).

\(\mathfrak m = A \cap \mathfrak q\)가 되는 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)가 존재함을 보이라.

연습문제

\(k\)를 체로 하고, \(R = k[x, y, z, w]\)라고 하자. 아이디얼 \(I = (xy, xz, xw)\)를 생각한다. \(V(I) \subset \Spec(R)\)의 기약 성분은 무엇인가. 또한 그것들의 차원은 얼마인가.

연습문제

\(k\)를 체로 하고, \(A = k[x, x^{-1}]\) 및 \(B = k[y]\)라고 하자. 임의의 \(k\)-대수 준동형 \(\varphi : A \to B\)이 \(x\)를 상수로 보낸다는 것을 보이라.

연습문제

환 \(R = \mathbf{Z}[x, y]/(xy - 7)\)를 생각하자. \(R\)이 정칙임을 증명하라.

뇌터 국소환 \((R, \mathfrak m, \kappa)\)가 주어졌을 때, \(n \geq 0\)에 대해 \(\varphi_R(n) = \dim_\kappa(\mathfrak m^n/\mathfrak m^{n + 1})\)라고 둔다.

연습문제

모든 \(n \geq 0\)에 대해 \(\varphi_R(n) = n + 1\)가 되는 뇌터 국소환 \(R\)은 존재하는가.

연습문제

\(R\)를 뇌터 국소환으로 한다. \(\varphi_R(0) = 1\),\(\varphi_R(1) = 3\), \(\varphi_R(2) = 5\)라고 가정하자. \(\varphi_R(3) \leq 7\)임을 보여라.

스킴론, 2017년 봄학기 기말시험

다음은 컬럼비아 대학교에서 2017년 봄에 진행된 스킴론 강의의 기말시험 문제이다.

연습문제

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상으로 한다. 이탤릭체로 표시된 개념을 간단히 정의하라.

1. \(y \in Y\)에서 \(f\)의 스킴론적 섬유,

2. \(f\)는 유한사상이다,

3. 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군,

4. \(X\)는 다양체이다,

5. \(f\)는 매끄러운 사상이다,

6. \(f\)는 고유 사상이다.

연습문제

각 항목과 관련된, 강의에서 논의한 자명하지 않은 사실을 정확하고 간결하게 서술하라.

1. 준연접 층의 순상,

2. 사영 다양체 위의 연접층의 코호몰로지,

3. 체 위의 사영 스킴에 대한 Serre 쌍대,

4. Riemann–Hurwitz 공식.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 하자. \(\ell > 100\)을, \(k\)의 특성과 다른 소수로 하자. \(X\)을 \(\mathbf{A}^2_k\)에서의 방정식 \[y^\ell = x(x - 1)^3\]로 주어지는 아핀 곡선의 비특이 사영 모델로 하자. 다음 질문에 답하라:

1. \(X\)의 종수는 무엇인가.

2. \(X\)의 구너리티 ⁸의 상한을 하나 제시하라.

연습문제

\(k\)을 대수폐쇄체라고 하자. \(X\)을 \(k\) 위의 가환사상 사영 스킴라고 하고, 그 모든 가환 성분은 같은 차원 \(1\)을 가진다고 하자. \(\omega_{X/k}\)을 상대 쌍대화 모듈이라고 하자. \(\dim_k H^1(X, \omega_{X/k}) > 1\)라면 \(X\)이 비연결임을 보여라.

연습문제

스킴 \(X\)과 비자명한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)이고, \(H^0(X, \mathcal{L})\)과 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\) 모두가 0이 아닌 것의 예를 들어라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 하고, \(g \geq 3\)으로 한다. \(X\)과 \(X'\)을 각각 종수 \(g\)과 \(g + 1\)을 가진 \(k\) 위의 매끄러운 사영 곡선으로 하자. \(Y \subset X \times X'\)을 곡선이라고 하고, 사영 \(Y \to X\)과 \(Y \to X'\)는 비상수라고 하자. \(Y\)의 비특이 사영 모델의 종수가 \(\geq 2g + 1\)임을 증명하라.

연습문제

\(k\)을 유한체라고 하고, \(g > 1\)라고 하자. 다음 주장 증명의 개요를 서술하라: \(k\) 위의 종수 \(g\)의 매끄러운 사영 곡선의 동형류는 유한개뿐이다. (시도만 해도 점수가 주어진다.)

가환대수, 2017년 가을 학기 기말시험

다음은 콜럼비아 대학교에서 2017년 가을에 진행된 가환대수 강의의 기말시험 문제이다.

연습문제

이탤릭체로 표시된 개념을 간결하게 정의하시오.

1. 준동형 \(F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}\)의 왼쪽 수반,

2. 체의 확대 \(L/K\)의 초월 차수,

3. 고전적 아핀 다양체 \(X \subset k^n\) 위의 정칙 함수,

4. 위상 공간 위의 층,

5. 국소환,

6. 스킴 사상 \(f : X \to Y\)이 아파인임.

연습문제

각 항목에 관련된, 강의에서 논의한 비자명한 사실을 정확하고 간결하게 서술하라 (여러 개가 있는 경우에는 그 중 하나를 선택하면 된다).

1. Yoneda 보조정리,

2. Mayer–Vietoris,

3. 차원과 코호몰로지,

4. Hilbert 다항식,

5. 사영 공간에 대한 쌍대성.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. Zariski 위상과 좌표 \(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\)를 가진 \(k^5\)의 닫힌 부분집합 \(X\)을 방정식 \[x_1^2 - x_4 = 0,\quad x_2^5 - x_5 = 0,\quad x_3^2 + x_3 + x_4 + x_5 = 0\]으로 정의한다. \(X\)의 차원은 무엇인가. 또한, 그것은 왜 그런가.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(X = \mathbf{P}^1_k\)을 \(k\) 위의 차원 \(1\)의 사영 공간으로 하자. \(\mathcal{E}\)을 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X\)-가군으로 하자. \(d \in \mathbf{Z}\)에 대하여, \(\mathcal{E}(d) = \mathcal{E} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(d)\)을 \(\mathcal{E}\)의 제 \(d\) Serre 꼬임이라 하고, \(h^i(X, \mathcal{E}(d)) = \dim_k H^i(X, \mathcal{E}(d))\)이라 하자.

1. \(h^0(X, \mathcal{E}) = 5\) 및 \(h^0(X, \mathcal{E}(1)) = 4\)를 만족하는 \(\mathcal{E}\)이 존재하지 않는 이유는 무엇인가.

2. \(h^1(X, \mathcal{E}(1)) = 5\) 그리고 \(h^1(X, \mathcal{E}) = 4\)을 만족하는 \(\mathcal{E}\)가 존재하지 않는 이유는 무엇인가.

3. 어떤 \(a \in \mathbf{Z}\)에 대해, \(X\) 위의 벡터 다발 \(\mathcal{E}\) 중 \[\begin{matrix} h^0(X, \mathcal{E})\phantom{(1)} = 1 & h^1(X, \mathcal{E})\phantom{(1)} = 1 \\ h^0(X, \mathcal{E}(1)) = 2 & h^1(X, \mathcal{E}(1)) = 0 \\ h^0(X, \mathcal{E}(2)) = 4 & h^1(X, \mathcal{E}(2)) = a \end{matrix}\]을 만족하는 것이 존재할 수 있는가.

부분적인 답변도 환영하며, 권장한다.

연습문제

\(X\)을, 두 개의 닫힌 부분집합 \(Y\)과 \(Z\)의 합 \(X = Y \cup Z\)인 위상 공간으로 하고, 그들의 공통 부분을 \(W = Y \cap Z\)라고 쓴다. 포함 사상을 \(i : Y \to X\), \(j : Z \to X\), \(k : W \to X\)라고 쓴다.

1. 층의 짧은 완전열 \[0 \to \underline{\mathbf{Z}}_X \to i_*(\underline{\mathbf{Z}}_Y) \oplus j_*(\underline{\mathbf{Z}}_Z) \to k_*(\underline{\mathbf{Z}}_W) \to 0\]가 존재함을 보이시오. 여기서 \(\underline{\mathbf{Z}}_X\)는 \(X\) 위의 값 \(\mathbf{Z}\)의 상수층을 나타내며, 다른 것도 마찬가지이다.

2. \(\mathbf{Z}\)-계수의 \(X\), \(Y\), \(Z\), \(W\)의 코호몰로지 군의 관계에 대해 무엇을 결론지을 수 있는가.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(A = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]\)을 무한 개의 변수의 다항식환으로 한다. \(\mathfrak m\)를, 모든 변수에서 생성되는 \(A\)의 극대 아이디어로 하자. \(X = \Spec(A)\), \(U = X \setminus \{\mathfrak m\}\)라고 두자.

1. \(H^1(U, \mathcal{O}_U) = 0\)임을 보이라. 힌트: Čech 코호몰로지에 의한 계산.

2. \(i \geq 1\)에 대한 \(H^i(U, \mathcal{O}_U)\)를 무엇으로 예상하는가.

연습문제

\(A\)을 국소환으로 하고, \(a \in A\)를 영이 아닌 인자로 한다. \(I, J \subset A\)를 \(IJ = (a)\)를 만족하는 아이디어로 한다. 아이디어 \(I\)가 단항, 즉 하나의 원소로 생성됨을 보이라 (그 원소는 영이 아닌 인자가 된다).

스킴론, 2018년 봄 학기 기말 시험

다음은 콜럼비아 대학교에서 2018년 봄에 진행된 스킴론 강의의 기말 시험 문제이다.

연습문제

이탤릭체로 표시된 개념을 간결하게 정의하시오. \(k\)를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 사영 곡선이라고 하자.

1. \(k\) 위의 매끄러운 대수,

2. \(X\) 위의 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 횟수,

3. \(X\)의 종수,

4. \(X\)의 Weil 인자류군,

5. \(X\)은 초타원적이며,

6. \(k\) 위의 매끄러운 사상 곡면 위의 두 곡선의 교점 수.

연습문제

각 항목과 관련된, 강의에서 논의한 자명하지 않은 사실을 정확하고 간결하게 서술하라 (여러 개가 있는 경우에는 그 중 하나를 선택하면 된다).

1. 리만–허비츠 정리,

2. 클리포드의 정리,

3. 매끄러운 사영 곡면 사이의 사상의 분해,

4. 호지의 지수 정리, 그리고

5. 유한체 위의 곡선에 대한 Riemann 추측.

연습문제

\(k\)을 대수적 폐체로 하자. \(X \subset \mathbf{P}^3_k\)를 차수 \(d\), 종수 \(\geq 2\)의 매끄러운 곡선으로 하자. \(X\)은 평면에 포함되지 않으며, \(\mathbf{P}^3_k\) 내에서 \(X\)과 \(d - 2\) 개의 점에서 교차하는 직선 \(\ell\)이 존재한다고 가정하자. \(X\)가 초타원적임을 보이라.

연습문제

\(k\)을 대수적으로 닫힌 체라고 하자. \(X\)를 서로 다른 특이점 \(p_1, \ldots, p_n\)를 가지는 사영 곡선이라고 하자. \(X\)의 정규화의 종수가 많아야 \(-n + \dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)인 이유를 설명하라.

연습문제

\(k\)를 몸체로 한다.\(X = \Spec(k[x, y])\)를 아핀 \(2\) 차원 공간으로 한다. \[I = (x^3, x^2y, xy^2, y^3) \subset k[x, y].\] 라 하자. \(Y \subset X\)를 \(I\)에 대응하는 닫힌 부분 스킴으로 한다. \(b : X' \to X\)을 아이디얼 \((x, y)\)의 블로업, 즉 원점에서의 아핀 공간의 블로업으로 한다.

1. 스킴론적 역상 \(b^{-1}Y \subset X'\)이 유효 카르티에르 인자임을 보이라.

2. \(I \subset J \subset (x, y)\)을 만족하는 아이디얼 \(J \subset k[x, y]\)로서, \(J\)에 대응하는 닫힌 부분 스킴을 \(Z \subset X\)라고 하면, 스킴론적 역상 \(b^{-1}Z\)가 유효 카르티에 인자가 되지 않는 예를 들어라.

연습문제

\(k\)를 대수폐체로 하자. 다음과 같은 형태의 곡면을 고려한다:

1. \(C_1\)과 \(C_2\)가 매끄러운 사영 곡선인 \(S = C_1 \times C_2\),

2. \(C_1\) 그리고 \(C_2\)이 매끄러운 사영 곡선이며, 또한 \(C_1\)의 종수가 \(> 0\)인 \(S = C_1 \times C_2\),

3. 차수 \(4\)의 초곡면 \(S \subset \mathbf{P}^3_k\), 그리고

4. 차수 \(4\)의 매끄러운 초곡면 \(S \subset \mathbf{P}^3_k\).

각 형에 대해, 그 형의 곡면류가 유리 곡면을 포함하는지 여부와 그 이유를 간단히 서술하라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 한다. \(S \subset \mathbf{P}^3_k\)을 차수 \(d\)의 매끄러운 초곡면으로 한다. \(S\)이 직선 \(\ell\)을 포함한다고 가정한다. \(S\) 위의 인수로 본 \(\ell\)의 자가 교차점 수는 얼마인가.

가환대수, 2019년 가을 학기 기말 시험

다음은 콜럼비아 대학교에서 2019년 가을에 진행된 가환대수 강의의 기말 시험 문제이다.

연습문제

이탤릭체로 표시된 개념을 간결하게 정의하라.

1. 뇌터 정리 공간의 구성 가능한 부분집합,

2. 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에서의 \(R\)-가군 \(M\)의 국소화,

3. 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 위의 가군의 길이,

4. 환 \(R\) 위의 사영 가군, 그리고

5. 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m, \kappa)\) 위의 Cohen–Macaulay 가군.

연습문제

각 항목과 관련된, 강의에서 논의한 비자명한 사실을 정확하고 간결하게 서술하라 (복수인 경우에는 그 중 하나를 선택하면 된다).

1. 구성 가능한 집합의 상,

2. Hilbert의 영점 정리,

3. 체 위의 유한형 대수의 차원,

4. 뇌터의 정규화, 그리고

5. 정칙 국소환.

환 \(R\)과 아이디얼 \(I \subset R\)에 대하여, \(V(I)\)이 \(I \subset \mathfrak p\)을 만족하는 \(\mathfrak p \in \Spec(R)\)의 집합을 나타내는 것을 상기하자.

연습문제

\(V(\mathfrak p)\)이 \((x, y)\)과 \((x - 1, y - 1)\)를 포함하도록 서로 다른 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset \mathbf{C}[x, y]\)을 무한히 구성하라.

연습문제

\(R = \mathbf{C}[x, y, z]/(xy)\)라고 하자. \(V(\mathfrak p)\)이 \((x, y - 1, z - 5)\)과 \((x - 1, y, z - 7)\)를 포함하도록 하는 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)은 존재하지 않음을 간결하게 논하라.

연습문제

\(p\)를 소수라고 하자 (식을 단순하게 하기 위해 \(p = 2\)라고 가정해도 좋다). 환 \(R\)를 취하고, \(R\)에서 \(p = 0\)라고 가정한다.

1. 사상 \(F : R \to R\), \(x \mapsto x^p\)가 환 준동형임을 보여라.

2. \(\Spec(F) : \Spec(R) \to \Spec(R)\)이 항등 사상임을 보여라.

위상 공간의 점의 특수화 \(x \leadsto y\)란 단순히 \(y\)가 \(x\)의 폐포에 속함을 의미한다는 것을 기억하자. \(x\) 및 \(y\)와 다른 \(z\)에서, \(x \leadsto z\)이고 \(z \leadsto y\)인 것이 존재하지 않을 때, \(x \leadsto y\)를 직전 특수화라고 한다.

연습문제

\(5\) 개의 서로 다른 점 \(x, y, z, u, v\)을 포함하는 sober 위상 공간 \(X\)이 있고, 그 특수화가 다음과 같다고 하자: \[\xymatrix{ x \ar[d] \ar[r] & u & v \ar[l] \ar[dl] \\ y \ar[r] & z }\] 이러한 \(X\)가 가질 수 있는 최소 차원은 얼마인가. \(X\)가 체 위에서 유한형인 대수의 스펙트럼이고, \(x \leadsto u\)가 바로 이전 특수화라면, 특수화 \(v \leadsto z\)에 대해 무엇을 말할 수 있는가.

연습문제

\(R = \mathbf{C}[x, y, z]\)로 하자. \(M = R/(x, z)\) 및 \(N = R/(y, z)\)로 두자. 어떤 \(i \in \mathbf{Z}\)에 대해 \(\text{Tor}_i^R(M, N)\)은 0이 아닌가.

연습문제

\(A \to B\)를 뇌터 국소환의 평탄한 국소 준동형으로 하자. \(A\)의 깊이가 \(k\)라면, \(B\)의 깊이는 \(k\) 이상임을 보여라.

대수기하, 2020년 봄 학기말 시험

아래는 콜럼비아 대학교에서 2020년 봄에 진행된 대수기하 강의의 학기말 시험 문제이다.

연습문제

이탤릭체로 표시된 개념을 간단히 정의하라.

1. 스킴,

2. 스킴의 사상,

3. 스킴 위의 준연접 가군,

4. 체 \(k\) 위의 다양체,

5. 체 \(k\) 위의 곡선,

6. 스킴의 유한 사상,

7. 위상 공간 \(X\) 위의 Abel 군의 층 \(\mathcal{F}\)의 코호몰로지,

8. 체 \(k\) 위 특이적이고 차원 \(d\)의 스킴 \(X\) 위의 쌍대화 층, 및

9. 다양체 \(X\)에서 다양체 \(Y\)로의 유리 사상.

연습문제

각 항목과 관련된, 강의에서 논의한 비자명한 사실을 정확하고 간결하게 서술하라 (복수인 경우에는 그 중 하나를 선택하면 된다).

1. 차원 \(d\)의 뇌터 위상 공간 \(X\) 위의 Abel 층의 코호몰로지,

2. 체 \(k\) 위의 부드러운 다양체의 미분층 \(\Omega^1_{X/k}\),

3. 체 \(k\) 위의 매끄러운 사영 다양체 \(X\)의 쌍대화 층 \(\omega_X\),

4. 대수적 닫힌 체 \(k\) 위의 매끄럽고 고유한 종수 \(0\)의 곡선, 그리고

5. 차수 \(d\)의 평면 곡선의 종수.

연습문제

\(k\)를 체로 한다. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴으로 한다. \(X = X_1 \cup X_2\)는 개피복이며, \(X_1\)과 \(X_2\)는 모두 \(\mathbf{P}^1_k\)와 동형이고, \(X_1 \cap X_2\)는 \(\mathbf{A}^1_k\)와 동형이라고 가정한다 (이러한 스킴은 존재한다. 예를 들어 \(\mathbf{P}^1_k\)의 \(\infty\)을 이중화하면 된다). \(\dim_k H^1(X, \mathcal{O}_X)\)가 무한함을 증명하라.

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라고 하자. \(Y\)를 종수 \(10\)의 매끄러운 사영 곡선이라고 하자. 동형이 아닌 비상수 사상 \(f : X \to Y\)이 존재하는 매끄러운 사영 곡선 \(X\)의 종수에 대해, 좋은 하한을 구하라.

연습문제

\(k\)을 특성 \(0\)의 대수적으로 닫힌 체라고 하자. \[X : T_0^d + T_1^d - T_2^d = 0 \subset \mathbf{P}^2_k\]을 차수 \(d \geq 3\)의 페르마 곡선이라고 하자. \(X\) 위의 닫힌 점 \(p = [1 : 0 : 1]\)과 \(q = [0 : 1 : 1]\)를 생각하고, \(D = [p] - [q]\)라고 두자.

1. \(D\)가 Weil 유수군에서 비자명함을 증명하시오.

2. \(d D\)가 Weil 유수군에서 자명함을 증명하시오. (힌트: \(d[p]\)과 \(d[q]\)가 모두 \(X\)와 평면 내의 어떤 직선과의 교점을 이루는 것을 증명해 보시오.) )

연습문제

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체로 하자. \(2\) 다음 Veronese 매핑 \[\varphi : \mathbf{P}^2 \longrightarrow \mathbf{P}^5\]을 고려한다. 강의 내용과 표기법에 따르면, 이는 사상 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(2)} : \mathbf{P}^2 \longrightarrow \mathbf{P}(\Gamma(\mathbf{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^2}(2)))\]이다. 동차 좌표로는, 이는 \[[a_0 : a_1 : a_2] \longmapsto [a_0^2 : a_0a_1 : a_0a_2 : a_1^2 : a_1a_2 : a_2^2]\]로 주어진다. 이는 닫힌 매핑이다(이 사실은 그대로 사용해도 된다). \(I \subset k[T_0, \ldots, T_5]\)를 \(\varphi(\mathbf{P}^2)\)의 동차 아이디얼이라 하자. 즉, 동차 부분 \(I_d\)의 원소는, 닫힌 부분 스킴 \(\varphi(\mathbf{P}^2)\) 위에서 0으로 제한되는 차수 \(d\)의 동차 다항식 \(F(T_0, \ldots, T_5)\)이다. \(\dim_k I_d\)를 \(d\)의 함수로 계산하라.

연습문제

\(k\)를 대수 닫힌 체로 한다. \(X\)를, \(k\) 위의 차원 \(d\)의 유한 스킴으로, 쌍대화 모듈 \(\omega_X\)을 갖는 것으로 한다. 다음 정보가 주어져 있다:

1. 임의의 \(i\) 및 임의의 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대해, \(\text{Ext}^i_X(\mathcal{F}, \omega_X) \times H^{d - i}(X, \mathcal{F}) \to H^d(X, \omega_X) \xrightarrow{t} k\)는 비퇴화이며, 그리고

2. \(\omega_X\)는 어떤 계수 \(r\)를 갖는 유한 국소 자유 가군이다.

\(r = 1\)임을 보여라 (힌트: 닫힌 점에 지지점을 갖는 적절한 가군 \(\mathcal{F}\)을 선택했을 때 무슨 일이 일어나는지 조사하라).

가환대수, 2021년 가을 학기 기말 시험

다음은 콜럼비아 대학교에서 2021년 가을에 진행된 가환대수 강의의 기말 시험 문제이다.

연습문제

이탤릭체로 표시된 개념을 간결하게 정의하시오.

1. 환 \(A\)의 곱셈적 부분집합,

2. Artin 환 \(A\),

3. 위상 공간으로서의 환 \(A\)의 스펙트럼,

4. 평탄한 환 준동형 \(A \to B\),

5. \(A\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)의 높이, 및

6. 환 \(A\) 상의 함자 \(\text{Tor}^A_i(-, -)\).

연습문제

각 항목에 관련된, 강의에서 논의한 비자명한 사실을 정확하고 간결하게 서술하시오 (여러 가지가 있는 경우에는 그중 하나를 선택하면 된다).

1. Artin 환,

2. 평탄성과 소 아이디얼,

3. 뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m)\)에 대한 \(A/\mathfrak m^n\)의 길이,

4. 보편 사슬형 뇌터 환에 대한 차원 공식,

5. 뇌터 국소환의 완비화, 그리고

6. Artin 국소환에 대한 Matlis 쌍대성.