Algèbre à puissances divisées

Introduction

Dans ce chapitre, nous étudions les algèbres à puissances divisées et les constructions qu’elles permettent. Une référence est l’ouvrage [Berthelot].

Puissances divisées

Dans cette section, nous rassemblons quelques résultats sur les anneaux à puissances divisées. Nous adoptons la convention \(0! = 1\) (un produit vide devant valoir \(1\)).

Définition

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I\) un idéal de \(A\). Une famille d’applications \(\gamma_n : I \to I\), \(n > 0\), est appelée une structure d’idéal à puissances divisées sur \(I\) si, pour tous \(n \geq 0\), \(m > 0\), \(x, y \in I\) et \(a \in A\), on a

1. \(\gamma_1(x) = x\) ; on pose aussi \(\gamma_0(x) = 1\),

2. \(\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n! m!} \gamma_{n + m}(x)\),

3. \(\gamma_n(ax) = a^n \gamma_n(x)\),

4. \(\gamma_n(x + y) = \sum_{i = 0, \ldots, n} \gamma_i(x)\gamma_{n - i}(y)\),

5. \(\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x)\).

Remarquons que les nombres rationnels \(\frac{(n + m)!}{n! m!}\) et \(\frac{(nm)!}{n! (m!)^n}\) qui interviennent dans la définition sont en réalité des entiers : le premier est le nombre de façons de choisir \(n\) éléments parmi \(n + m\), et le second compte les façons de répartir \(nm\) objets en \(n\) groupes de \(m\) objets. Voici quelques remarques sur la définition qui montrent que \(\gamma_n(x)\) remplace \(x^n/n!\) dans \(I\).

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I\) un idéal de \(A\).

1. Si \(\gamma\) est une structure de puissances divisées¹ sur \(I\), alors \(n! \gamma_n(x) = x^n\) pour \(n \geq 1\), \(x \in I\).

Supposons que \(A\) soit sans torsion en tant que \(\mathbf{Z}\)-module.

1. Une structure de puissances divisées sur \(I\), si elle existe, est unique.

2. Si \(\gamma_n : I \to I\) sont des applications, alors \[\gamma\text{ est une structure de puissances divisées} \Leftrightarrow n! \gamma_n(x) = x^n\ \forall x \in I, n \geq 1.\]

3. L’idéal \(I\) admet une structure de puissances divisées si et seulement s’il existe des éléments \(x_i\) qui engendrent \(I\) comme idéal et tels que, pour tout \(n \geq 1\), on ait \(x_i^n \in (n!)I\).

Démonstration

Démonstration de (1). Si \(\gamma\) est une structure de puissances divisées, alors la condition (2) (appliquée à \(1\) et \(n-1\) à la place de \(n\) et \(m\)) entraîne que \(n \gamma_n(x) = \gamma_1(x)\gamma_{n - 1}(x)\). Par récurrence et grâce à la condition (1), on obtient donc \(n! \gamma_n(x) = x^n\).

Supposons que \(A\) soit sans torsion en tant que \(\mathbf{Z}\)-module. Démonstration de (2). Cela résulte immédiatement de (1).

Démonstration de (3). Supposons que \(n! \gamma_n(x) = x^n\) pour tout \(x \in I\) et tout \(n \geq 1\). Comme \(A \subset A \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\), il suffit de démontrer les axiomes (1) – (5) de la définition 07GL lorsque \(A\) est une \(\mathbf{Q}\)-algèbre. Dans ce cas, \(\gamma_n(x) = x^n/n!\), et la vérification de (1) – (5) est immédiate ; par exemple, (4) correspond à la formule du binôme \[(x + y)^n = \sum_{i = 0, \ldots, n} \frac{n!}{i!(n - i)!} x^iy^{n - i}\] Nous laissons au lecteur le soin d’effectuer ces vérifications afin de s’assurer que les coefficients sont corrects.

Démonstration de (4). Supposons que des éléments \(x_i\) engendrent \(I\) comme idéal et vérifient \(x_i^n \in (n!)I\) pour tout \(n \geq 1\). Nous affirmons que, pour tout \(x \in I\), on a \(x^n \in (n!)I\). Si cette assertion est vraie, on peut poser \(\gamma_n(x) = x^n/n!\), ce qui définit une structure de puissances divisées d’après (3). Pour démontrer l’assertion, remarquons qu’elle est vraie pour \(x = ax_i\). Elle est donc vraie pour un ensemble d’éléments qui engendre \(I\) comme groupe abélien. Par récurrence sur la longueur d’une expression en fonction de ces générateurs, il suffit de la vérifier pour \(x + y\) lorsqu’elle est vraie pour \(x\) et \(y\). Cela découle immédiatement de la formule du binôme.

Exemple

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau dans lequel tout entier \(n\) non divisible par \(p\) est inversible, autrement dit, \(A\) est une \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-algèbre. Alors \(I = pA\) admet une structure canonique de puissances divisées. Plus précisément, pour \(x = pa \in I\), on pose \[\gamma_n(x) = \frac{p^n}{n!} a^n\] On vérifie immédiatement que \(p^n/n! \in p\mathbf{Z}_{(p)}\) pour \(n \geq 1\) (cela découle par exemple du fait que l’exposant de \(p\) dans la décomposition en facteurs premiers de \(n!\) est \(\left\lfloor n/p \right\rfloor + \left\lfloor n/p^2 \right\rfloor + \left\lfloor n/p^3 \right\rfloor + \ldots\)), de sorte que la définition a un sens et fournit une suite d’applications \(\gamma_n : I \to I\). Il est immédiat de vérifier que les conditions (1) – (5) de la définition 07GL sont satisfaites. On peut aussi observer que la définition convient manifestement à \(A_0 = \mathbf{Z}_{(p)}\), puis appliquer le lemme 07H1.

On remarque que \(\gamma_n\left(0\right) = 0\) pour tout idéal \(I\) de \(A\) et toute structure de puissances divisées \(\gamma\) sur \(I\). (Cela résulte de l’axiome (3) de la définition 07GL, en prenant \(a=0\).)

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(I\) un idéal de \(A\). Soit \(\gamma_n : I \to I\), \(n \geq 1\), une suite d’applications. Supposons que

1. les propriétés (1), (3) et (4) de la définition 07GL soient vérifiées pour tous \(x, y \in I\), et

2. les propriétés (2) et (5) soient vérifiées pour tout \(x\) appartenant à un ensemble d’éléments qui engendre \(I\) comme idéal.

Alors \(\gamma\) est une structure de puissances divisées sur \(I\).

Démonstration

Dans cette démonstration, les numéros (1), (2), (3), (4), (5) renvoient aux conditions énoncées dans la définition 07GL. Il résulte de (3) que, si (2) et (5) sont vérifiées pour \(x\), elles le sont pour \(ax\), quel que soit \(a \in A\). L’hypothèse (b) entraîne donc que (2) et (5) sont vérifiées pour un ensemble d’éléments qui engendre \(I\) comme groupe abélien. Par récurrence sur la longueur d’une expression en fonction de ces générateurs, il suffit par conséquent de montrer que, si \(x, y \in I\) et si (2) et (5) sont vérifiées pour \(x\) et \(y\), alors elles le sont pour \(x + y\).

Démonstration de (2) pour \(x + y\). D’après (4), on a \[\gamma_n(x + y)\gamma_m(x + y) = \sum\nolimits_{i + j = n,\ k + l = m} \gamma_i(x)\gamma_k(x)\gamma_j(y)\gamma_l(y)\] En utilisant (2) pour \(x\) et \(y\), ceci vaut \[\sum\frac{(i + k)!}{i!k!}\frac{(j + l)!}{j!l!} \gamma_{i + k}(x)\gamma_{j + l}(y)\] En comparant avec le développement \[\gamma_{n + m}(x + y) = \sum\gamma_a(x)\gamma_b(y)\] on voit qu’il faut démontrer que, pour \(a + b = n + m\), on a \[\sum\nolimits_{i + k = a,\ j + l = b,\ i + j = n,\ k + l = m} \frac{(i + k)!}{i!k!}\frac{(j + l)!}{j!l!} = \frac{(n + m)!}{n!m!}.\] Plutôt que de démontrer directement cette identité, remarquons qu’elle est vraie pour l’idéal \(I = (x, y)\) de l’anneau de polynômes \(\mathbf{Q}[x, y]\), car \(\gamma_n(f) = f^n/n!\), \(f \in I\), définit une structure de puissances divisées sur \(I\). L’identité entre nombres rationnels ci-dessus est donc vraie.

Démonstration de (5) pour \(x + y\), sachant que (1) – (4) sont vérifiées et que (5) l’est pour \(x\) et \(y\). Nous nous ramenons de nouveau à une identité entre nombres rationnels. En effet, (4) permet d’écrire \(\gamma_n(\gamma_m(x + y)) = \gamma_n(\sum\gamma_i(x)\gamma_j(y))\). Une nouvelle application de (4) permet d’écrire \(\gamma_n(\gamma_m(x + y))\) comme une somme de termes qui sont des produits de facteurs de la forme \(\gamma_k(\gamma_i(x)\gamma_j(y))\). Si \(i > 0\), alors \[\begin{align*} \gamma_k(\gamma_i(x)\gamma_j(y)) & = \gamma_j(y)^k\gamma_k(\gamma_i(x)) \\ & = \frac{(ki)!}{k!(i!)^k} \gamma_j(y)^k \gamma_{ki}(x) \\ & = \frac{(ki)!}{k!(i!)^k} \frac{(kj)!}{(j!)^k} \gamma_{ki}(x) \gamma_{kj}(y) \end{align*}\] où l’on a utilisé (3) dans la première égalité, (5) pour \(x\) dans la deuxième et (2) exactement \(k\) fois dans la troisième. En utilisant (5) pour \(y\), on voit que la même égalité vaut lorsque \(i = 0\). En poursuivant ainsi et en utilisant tous les axiomes sauf (5), on obtient \[\gamma_n(\gamma_m(x + y)) = \sum\nolimits_{i + j = nm} c_{ij}\gamma_i(x)\gamma_j(y)\] où les \(c_{ij} \in\mathbf{Z}\) sont certaines constantes universelles. Comme précédemment, le fait que l’égalité soit valable dans l’anneau de polynômes \(\mathbf{Q}[x, y]\) implique que tous les coefficients \(c_{ij}\) sont égaux à \((nm)!/n!(m!)^n\), comme souhaité.

Lemme

Soit \(A\) un anneau muni de deux idéaux \(I, J \subset A\). Soit \(\gamma\) une structure de puissances divisées sur \(I\), et soit \(\delta\) une structure de puissances divisées sur \(J\). Alors

1. \(\gamma\) et \(\delta\) coïncident sur \(IJ\),

2. si \(\gamma\) et \(\delta\) coïncident sur \(I \cap J\), alors elles sont les restrictions d’une unique structure de puissances divisées \(\epsilon\) sur \(I + J\).

Démonstration

Soient \(x \in I\) et \(y \in J\). Alors \[\gamma_n(xy) = y^n\gamma_n(x) = n! \delta_n(y) \gamma_n(x) = \delta_n(y) x^n = \delta_n(xy).\] Par conséquent, \(\gamma\) et \(\delta\) coïncident sur un ensemble de générateurs (additifs) de \(IJ\). D’après la propriété (4) de la définition 07GL, elles coïncident donc sur tout \(IJ\).

Supposons que \(\gamma\) et \(\delta\) coïncident sur \(I \cap J\). Soit \(z \in I + J\). Écrivons \(z = x + y\) avec \(x \in I\) et \(y \in J\). On pose alors \[\epsilon_n(z) = \sum\gamma_i(x)\delta_{n - i}(y)\] pour tout \(n \geq 1\). Pour vérifier que cette définition ne dépend pas du choix, supposons que \(z = x' + y'\) soit une autre écriture avec \(x' \in I\) et \(y' \in J\). Alors \(w = x - x' = y' - y \in I \cap J\). Par conséquent, \[\begin{align*} \sum\nolimits_{i + j = n} \gamma_i(x)\delta_j(y) & = \sum\nolimits_{i + j = n} \gamma_i(x' + w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + l + j = n} \gamma_{i'}(x')\gamma_l(w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + l + j = n} \gamma_{i'}(x')\delta_l(w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + j' = n} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y + w) \\ & = \sum\nolimits_{i' + j' = n} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y') \end{align*}\] comme souhaité. Nous avons donc défini des applications \(\epsilon_n : I + J \to I + J\) pour tout \(n \geq 1\); il est immédiat que \(\epsilon_n \mid_{I} = \gamma_n\) et \(\epsilon_n \mid_{J} = \delta_n\). Montrons ensuite les conditions (1) – (5) de la définition 07GL pour la famille d’applications \(\epsilon_n\). Les propriétés (1) et (3) sont immédiates. Pour vérifier (4), supposons que \(z = x + y\) et \(z' = x' + y'\) avec \(x, x' \in I\) et \(y, y' \in J\), et calculons \[\begin{align*} \epsilon_n(z + z') & = \sum\nolimits_{a + b = n} \gamma_a(x + x')\delta_b(y + y') \\ & = \sum\nolimits_{i + i' + j + j' = n} \gamma_i(x) \gamma_{i'}(x')\delta_j(y)\delta_{j'}(y') \\ & = \sum\nolimits_{k = 0, \ldots, n} \sum\nolimits_{i+j=k} \gamma_i(x)\delta_j(y) \sum\nolimits_{i'+j'=n-k} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y') \\ & = \sum\nolimits_{k = 0, \ldots, n}\epsilon_k(z)\epsilon_{n-k}(z') \end{align*}\] ce qui donne le résultat voulu. Il suffit maintenant de vérifier (2) et (5) sur les éléments de \(I\) ou de \(J\), voir le lemme 07GP. Cela est immédiat puisque \(\gamma\) et \(\delta\) sont des structures de puissances divisées.

Nous avons ainsi démontré l’existence d’une structure de puissances divisées \(\epsilon\) sur \(I+J\) dont les restrictions à \(I\) et à \(J\) sont \(\gamma\) et \(\delta\) ; son unicité est immédiate.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau, soit \(I \subset A\) un idéal, et soit \(\gamma\) une structure de puissances divisées sur \(I\). Supposons que \(p\) soit nilpotent dans \(A/I\). Alors \(I\) est localement nilpotent si et seulement si \(p\) est nilpotent dans \(A\).

Démonstration

Si \(p^N = 0\) dans \(A\), alors, pour \(x \in I\), on a \(x^{pN} = (pN)!\gamma_{pN}(x) = 0\), car \((pN)!\) est divisible par \(p^N\). Réciproquement, supposons que \(I\) soit localement nilpotent. Comme nous avons aussi supposé que \(p\) est nilpotent dans \(A/I\), on a \(p^r \in I\) pour un certain \(r\); ainsi \(p^r\) est nilpotent, et donc \(p\) est nilpotent.

Anneaux à puissances divisées

Les anneaux à puissances divisées forment une catégorie. En voici la définition.

Définition

Un anneau à puissances divisées est un triplet \((A, I, \gamma)\), où \(A\) est un anneau, \(I \subset A\) est un idéal et \(\gamma = (\gamma_n)_{n \geq 1}\) est une structure de puissances divisées sur \(I\). Un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées \(\varphi : (A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) est un homomorphisme d’anneaux \(\varphi : A \to B\) tel que \(\varphi(I) \subset J\) et \(\delta_n(\varphi(x)) = \varphi(\gamma_n(x))\) pour tout \(x \in I\) et tout \(n \geq 1\).

Nous dirons parfois « soit \((B, J, \delta)\) une algèbre à puissances divisées sur \((A, I, \gamma)\) » pour indiquer que \((B, J, \delta)\) est un anneau à puissances divisées muni d’un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées \((A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\).

Lemme

La catégorie des anneaux à puissances divisées admet toutes les limites, et celles-ci coïncident avec les limites calculées dans la catégorie des anneaux.

Démonstration

La limite du diagramme vide est l’anneau nul (ce qui est étrange, mais nécessaire ici). Le produit d’une famille d’anneaux à puissances divisées \((A_t, I_t, \gamma_t)\), \(t \in T\), est \((\prod A_t, \prod I_t, \gamma)\), où \(\gamma_n((x_t)) = (\gamma_{t, n}(x_t))\). L’égalisateur de \(\alpha, \beta : (A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) est simplement \(C = \{a \in A \mid\alpha(a) = \beta(a)\}\), muni de l’idéal \(C \cap I\) et des puissances divisées induites. Il en résulte que toutes les limites existent ; voir Catégories, lemme 002N.

Le lemme suivant illustre, dans le cas des algèbres à puissances divisées, un phénomène très général de théorie des catégories.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des anneaux à puissances divisées. Soit \(F : \mathcal{C} \to\textit{Ensembles}\) un foncteur. Supposons que

1. il existe un cardinal \(\kappa\) tel que, pour tout \(f \in F(A, I, \gamma)\), il existe un morphisme \((A', I', \gamma') \to (A, I, \gamma)\) de \(\mathcal{C}\) tel que \(f\) soit l’image d’un élément \(f' \in F(A', I', \gamma')\) et que \(|A'| \leq\kappa\);

2. \(F\) commute aux limites.

Alors \(F\) est représentable, c’est-à-dire qu’il existe un objet \((B, J, \delta)\) de \(\mathcal{C}\) tel que \[F(A, I, \gamma) = \Hom_\mathcal{C}((B, J, \delta), (A, I, \gamma))\] fonctoriellement en \((A, I, \gamma)\).

Démonstration

C’est un cas particulier de Catégories, lemme 0AHN.

Lemme

La catégorie des anneaux à puissances divisées admet toutes les colimites.

Démonstration

La colimite du diagramme vide est \(\mathbf{Z}\), muni de l’idéal à puissances divisées \((0)\). Considérons maintenant une colimite quelconque. Soit \(\mathcal{C}\) une catégorie et soit \(c \mapsto (A_c, I_c, \gamma_c)\) un diagramme. Considérons le foncteur \[F(B, J, \delta) = \lim_{c \in\mathcal{C}} Hom((A_c, I_c, \gamma_c), (B, J, \delta))\] Tout élément \(f = (f_c)_{c \in C} \in F(B, J, \delta)\) possède la propriété suivante : les images \(f_c(A_c)\) engendrent un sous-anneau \(B'\) de \(B\) dont le cardinal est borné par un cardinal \(\kappa\), et les images \(f_c(I_c)\) engendrent un idéal à puissances divisées \(J'\) de \(B'\). On obtient ainsi une factorisation de \(f\) par un élément \(f'\) de \(F(B')\), suivie de l’inclusion \(B' \to B\). En outre, \(F\) commute aux limites. Nous pouvons donc appliquer le lemme 07GW pour conclure que \(F\) est représentable.

Remarque

Soit \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] un carré cocartésien dans la catégorie des anneaux à puissances divisées (les sommes amalgamées existent d’après le lemme 07GX). Alors

1. \(B''/J'' = B/J \otimes_{A/I} B'/J'\),

2. l’application \(\varphi : B \otimes_A B' \to B''\) est surjective, et

3. l’application \(J \otimes_A B' + B \otimes_A J' \to J''\) induite par \(\varphi\) est surjective.

Pour démontrer (1), considérons les applications \((B'', J'', \delta'') \to (C, (0), \emptyset)\) et appliquons la définition d’un carré cocartésien. Pour démontrer (2), considérons l’image \(\tilde B = \varphi(B \otimes_A B')\) et l’idéal \(\tilde J = \varphi(J \otimes_A B' + B \otimes_A J')\). Alors il est clair que \(\delta''_n(\tilde J) \subset\tilde J\) pour tous \(n \geq 1\) par compatibilité de \(\delta''\) avec \(\delta\) et \(\delta'\). On a donc \(\tilde B = B''\) et \(\tilde J = J''\) par la propriété universelle du carré cocartésien.

Remarque

Le foncteur d’oubli \((A, I, \gamma) \mapsto A\) ne commute pas aux colimites. Par exemple, soit \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] un carré cocartésien dans la catégorie des anneaux à puissances divisées, comme dans la remarque 0H86. En général, l’application \(B \otimes_A B' \to B''\) n’est pas un isomorphisme. Un exemple explicite est fourni par \((A, I, \gamma) = (\mathbf{Z}, (0), \emptyset)\), \((B, J, \delta) = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, 2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, \delta)\), et \((B', J', \delta') = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, 2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, \delta')\) où \(\delta_2(2) = 2\) et \(\delta'_2(2) = 0\). Plus précisément, en appliquant le lemme 07GS, on prend pour \(\delta\), respectivement \(\delta'\), l’unique structure de puissances divisées sur \(J\), respectivement \(J'\), telle que \(\delta_2 : J \to J\), respectivement \(\delta'_2 : J' \to J'\), soit l’application \(0 \mapsto 0, 2 \mapsto 2\), respectivement \(0 \mapsto 0, 2 \mapsto 0\). Alors \((B'', J'', \delta'') = (\mathbf{F}_2, (0), \emptyset)\), ce qui ne coïncide pas avec le produit tensoriel.

Prolongement des puissances divisées

Voici la définition.

Définition

Étant donnés un anneau à puissances divisées \((A, I, \gamma)\) et un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), nous disons que \(\gamma\) se prolonge à \(B\) s’il existe une structure de puissances divisées \(\bar\gamma\) sur \(IB\) telle que \((A, I, \gamma) \to (B, IB, \bar\gamma)\) soit un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Si \(\gamma\) se prolonge à \(B\), ce prolongement est unique. Supposons que l’une au moins des conditions suivantes soit vérifiée :

1. \(IB = 0\),

2. \(I\) est principal, ou

3. \(A \to B\) est plat.

Alors \(\gamma\) se prolonge à \(B\).

Démonstration

Tout élément de \(IB\) s’écrit comme une somme finie \(\sum\nolimits_{i=1}^t b_ix_i\), avec \(b_i \in B\) et \(x_i \in I\). Si \(\gamma\) admet un prolongement \(\bar\gamma\) à \(IB\), alors \(\bar\gamma_n(x_i) = \gamma_n(x_i)\). Les conditions (3) et (4) de la définition 07GL impliquent donc que \[\bar\gamma_n(\sum\nolimits_{i=1}^t b_ix_i) = \sum\nolimits_{n_1 + \ldots + n_t = n} \prod\nolimits_{i = 1}^t b_i^{n_i}\gamma_{n_i}(x_i)\] On voit ainsi que \(\bar\gamma\), si elle existe, est unique.

Si \(IB = 0\), il suffit de poser \(\bar\gamma_n(0) = 0\). Si \(I = (x)\), nous définissons \(\bar\gamma_n(bx) = b^n\gamma_n(x)\). Cette définition ne dépend pas du coefficient choisi : si \(b'x = bx\), c’est-à-dire si \((b - b')x = 0\), alors \[\begin{align*} b^n\gamma_n(x) - (b')^n\gamma_n(x) & = (b^n - (b')^n)\gamma_n(x) \\ & = (b^{n - 1} + \ldots + (b')^{n - 1})(b - b')\gamma_n(x) = 0 \end{align*}\] car \(\gamma_n(x)\) est divisible par \(x\) (puisque \(\gamma_n(I) \subset I\)) et est donc annulé par \(b - b'\). Vérifions maintenant les conditions (1) – (5) de la définition 07GL. Les conditions (1), (2), (3) et (5) découlent immédiatement de la construction. Pour (4), soient \(y, z \in IB\), disons \(y = bx\) et \(z = cx\). Alors \(y + z = (b + c)x\). Par conséquent, \[\begin{align*} \bar\gamma_n(y + z) & = (b + c)^n\gamma_n(x) \\ & = \sum\frac{n!}{i!(n - i)!}b^ic^{n -i}\gamma_n(x) \\ & = \sum b^ic^{n - i}\gamma_i(x)\gamma_{n - i}(x) \\ & = \sum\bar\gamma_i(y)\bar\gamma_{n -i}(z) \end{align*}\] comme voulu.

Supposons enfin que \(A \to B\) soit plat. Soient \(b_1, \ldots, b_r \in B\) et \(x_1, \ldots, x_r \in I\). Alors \[\bar\gamma_n(\sum b_ix_i) = \sum b_1^{e_1} \ldots b_r^{e_r} \gamma_{e_1}(x_1) \ldots\gamma_{e_r}(x_r)\] où la somme porte sur les \(e_1 + \ldots + e_r = n\), si \(\bar\gamma_n\) existe. Supposons ensuite donnés \(c_1, \ldots, c_s \in B\) et \(a_{ij} \in A\) tels que \(b_i = \sum a_{ij}c_j\). En posant \(y_j = \sum a_{ij}x_i\), nous affirmons que \[\sum b_1^{e_1} \ldots b_r^{e_r} \gamma_{e_1}(x_1) \ldots\gamma_{e_r}(x_r) = \sum c_1^{d_1} \ldots c_s^{d_s} \gamma_{d_1}(y_1) \ldots\gamma_{d_s}(y_s)\] dans \(B\), où, au membre de droite, la somme porte sur les \(d_1 + \ldots + d_s = n\). En effet, les axiomes d’une structure de puissances divisées permettent de développer les deux membres en sommes, à coefficients dans \(\mathbf{Z}[a_{ij}]\), de termes de la forme \(c_1^{d_1} \ldots c_s^{d_s}\gamma_{e_1}(x_1) \ldots\gamma_{e_r}(x_r)\). Pour vérifier l’égalité des coefficients, il suffit de remarquer que le résultat est vrai dans \(\mathbf{Q}[x_1, \ldots, x_r, c_1, \ldots, c_s, a_{ij}]\), muni de l’unique structure de puissances divisées \(\gamma\) sur \((x_1, \ldots, x_r)\). D’après le théorème de Lazard (Algèbre, théorème 058G), \(B\) est une colimite filtrante de \(A\)-modules libres de type fini. En particulier, si \(z \in IB\) s’écrit à la fois \(z = \sum x_ib_i\) et \(z = \sum x'_{i'}b'_{i'}\), alors nous pouvons trouver \(c_1, \ldots, c_s \in B\) et \(a_{ij}, a'_{i'j} \in A\) tels que \(b_i = \sum a_{ij}c_j\) et \(b'_{i'} = \sum a'_{i'j}c_j\), et tels que \(y_j = \sum x_ia_{ij} = \sum x'_{i'}a'_{i'j}\)². La procédure ci-dessus définit donc une application \(\bar\gamma_n\) sur \(IB\), indépendante de l’écriture choisie. Par construction, \(\bar\gamma\) satisfait les conditions (1), (3) et (4). De plus, pour \(x \in I\), on a \(\bar\gamma_n(x) = \gamma_n(x)\). Le lemme 07GP montre alors que \(\bar\gamma\) est une structure de puissances divisées sur \(IB\).

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées.

1. Si \(\varphi : (A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\) est un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées, alors \(\Ker(\varphi) \cap I\) est préservé par \(\gamma_n\) pour tous \(n \geq 1\).

2. Soit \(\mathfrak a \subset A\) un idéal et posons \(I' = I \cap\mathfrak a\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(I'\) est préservé par \(\gamma_n\) pour tous \(n > 0\),

   2. \(\gamma\) se prolonge à \(A/\mathfrak a\),

   3. il existe une famille de générateurs \(x_i\) de l’idéal \(I'\) telle que \(\gamma_n(x_i) \in I'\) pour tout \(n > 0\).

Démonstration

Démonstration de (1). C’est immédiat. Supposons (2)(a). Posons \(\bar\gamma_n(x \bmod I') = \gamma_n(x) \bmod I'\) pour \(x \in I\). Cette définition est indépendante du représentant, car on a \(\gamma_n(x + y) = \gamma_n(x) \bmod I'\) pour \(y \in I'\) d’après la définition 07GL, (4), et l’hypothèse \(\gamma_j(y) \in I'\). Il est clair que \(\bar\gamma\) est une structure de puissances divisées puisque \(\gamma\) en est une. Ainsi, (2)(b) est vérifiée. Réciproquement, (2)(b) implique (2)(a) d’après (1). Il est clair que (2)(a) implique (2)(c). Supposons (2)(c). Notons que \(\gamma_n(x) = a^n\gamma_n(x_i) \in I'\) lorsque \(x = ax_i\). Ainsi, \(\gamma_n(x) \in I'\) pour une famille de générateurs de \(I'\) comme groupe abélien. Par récurrence sur la longueur d’une expression en ces générateurs, il suffit de montrer que \(\forall n : \gamma_n(x + y) \in I'\) dès que \(\forall n : \gamma_n(x), \gamma_n(y) \in I'\). Cela résulte immédiatement du quatrième axiome d’une structure de puissances divisées.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées et soit \(E \subset I\) une partie. Le plus petit idéal \(J \subset I\) stable par \(\gamma\) et contenant tous les \(f \in E\) est l’idéal \(J\) engendré par les \(\gamma_n(f)\), pour \(n \geq 1\) et \(f \in E\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 07H2.

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Soit \(p\) un nombre premier. Si \(p\) est nilpotent dans \(A/I\), alors

1. l’application canonique du complété \(p\)-adique \(A^\wedge = \lim_e A/p^eA\) vers \(A/I\) est surjective ;

2. le noyau de cette application est le complété \(p\)-adique \(I^\wedge\) de \(I\);

3. chaque application \(\gamma_n\) est continue pour la topologie \(p\)-adique et se prolonge en une application \(\gamma_n^\wedge : I^\wedge\to I^\wedge\), les applications ainsi obtenues définissant une structure de puissances divisées sur \(I^\wedge\).

Si, de plus, \(A\) est une \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-algèbre, alors

1. pour \(e\) assez grand, l’idéal \(p^eA \subset I\) est stable par la structure de puissances divisées \(\gamma\), et \[(A^\wedge, I^\wedge, \gamma^\wedge) = \lim_e (A/p^eA, I/p^eA, \bar\gamma)\] dans la catégorie des anneaux à puissances divisées.

Démonstration

Soit \(t \geq 1\) un entier tel que \(p^tA/I = 0\), c’est-à-dire \(p^tA \subset I\). L’application \(A^\wedge\to A/I\) est la composée \(A^\wedge\to A/p^tA \to A/I\), qui est surjective (par exemple d’après Algèbre, lemme 0315). Comme \(p^eI \subset p^eA \cap I \subset p^{e - t}I\) pour \(e \geq t\), le noyau de la composée \(A^\wedge\to A/I\) est le complété \(p\)-adique de \(I\). L’application \(\gamma_n\) est continue, car \[\gamma_n(x + p^ey) = \sum\nolimits_{i + j = n} p^{je}\gamma_i(x)\gamma_j(y) = \gamma_n(x) \bmod p^eI\] par les axiomes d’une structure de puissances divisées. Il est clair que les applications \(\gamma_n^\wedge\) satisfont aux mêmes axiomes que les applications \(\gamma_n\). Enfin, pour démontrer la dernière assertion, prenons \(e > t\). Alors \(p^eA \subset I\) et \(\gamma_1(p^eA) \subset p^eA\) ; pour \(n > 1\), on a \[\gamma_n(p^ea) = p^n \gamma_n(p^{e - 1}a) = \frac{p^n}{n!} p^{n(e - 1)}a^n \in p^e A\] car \(p^n/n! \in\mathbf{Z}_{(p)}\) et, puisque \(n \geq 2\) et \(e \geq 2\), \(n(e - 1) \geq e\). Cela prouve que \(\gamma\) se prolonge à \(A/p^eA\); voir le lemme 07H2. L’assertion relative aux limites découle immédiatement de la construction des limites donnée dans la démonstration du lemme 07GV.

Algèbres polynomiales à puissances divisées

Un exemple très utile est celui de l’algèbre polynomiale à puissances divisées. Soit \(A\) un anneau. Soit \(t \geq 1\). On note \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle\) la \(A\)-algèbre suivante : en tant que \(A\)-module, on pose \[A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle = \bigoplus\nolimits_{n_1, \ldots, n_t \geq 0} A x_1^{[n_1]} \ldots x_t^{[n_t]}\] et la multiplication est donnée par \[x_i^{[n]}x_i^{[m]} = \frac{(n + m)!}{n!m!}x_i^{[n + m]}.\] On pose aussi \(x_i = x_i^{[1]}\). Remarquons que \(1 = x_1^{[0]} \ldots x_t^{[0]}\). Une construction analogue donne l’algèbre polynomiale à puissances divisées en une infinité de variables. Il existe un morphisme canonique de \(A\)-algèbres \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle\to A\) qui envoie \(x_i^{[n]}\) sur zéro pour \(n > 0\). Le noyau de ce morphisme est noté \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle_{+}\).

Lemme

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Il existe une unique structure de puissances divisées \(\delta\) sur \[J = IA\langle x_1, \ldots, x_t \rangle + A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle_{+}\] telle que

1. \(\delta_n(x_i) = x_i^{[n]}\), et

2. \((A, I, \gamma) \to (A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta)\) soit un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées.

De plus, \((A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta)\) possède la propriété universelle suivante : se donner un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées \(\varphi : (A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta) \to (C, K, \epsilon)\) revient à se donner un homomorphisme d’anneaux à puissances divisées \(A \to C\) et des éléments \(k_1, \ldots, k_t \in K\).

Démonstration

Nous démontrons le lemme dans le cas d’une algèbre polynomiale à puissances divisées en une variable. Le cas général se traite exactement de la même manière ; on peut aussi remarquer que \(A\langle x_1, \ldots, x_t\rangle\) est isomorphe à l’anneau obtenu en adjoignant successivement les variables à puissances divisées \(x_1, \ldots, x_t\).

Soit \(A\langle x \rangle_{+}\) l’idéal engendré par \(x, x^{[2]}, x^{[3]}, \ldots\). Remarquons que \(J = IA\langle x \rangle + A\langle x \rangle_{+}\) et que \[IA\langle x \rangle\cap A\langle x \rangle_{+} = IA\langle x \rangle\cdot A\langle x \rangle_{+}\] Par conséquent, d’après le lemme 07GQ, il suffit de montrer qu’il existe des structures de puissances divisées sur les idéaux \(IA\langle x \rangle\) et \(A\langle x \rangle_{+}\). L’existence de la première résulte du lemme 07H1, puisque \(A \to A\langle x \rangle\) est plat. Pour la seconde, si \(A\) est sans torsion, le lemme 07GM (4) montre que \(\delta\) existe. En effet, en choisissant les éléments \(x^{[m]}\) comme générateurs, on constate que \((x^{[m]})^n = \frac{(nm)!}{(m!)^n} x^{[nm]}\) et que \(n!\) divise l’entier \(\frac{(nm)!}{(m!)^n}\). Dans le cas général, écrivons \(A = R/\mathfrak a\), où \(R\) est un anneau sans torsion (par exemple un anneau de polynômes sur \(\mathbf{Z}\)). Le noyau de \(R\langle x \rangle\to A\langle x \rangle\) est \(\bigoplus\mathfrak a x^{[m]}\). En appliquant le critère (2)(c) du lemme 07H2, on voit que la structure de puissances divisées sur \(R\langle x \rangle_{+}\) se transporte à \(A\langle x \rangle\), comme souhaité.

Démontrons la propriété universelle. Étant donnés un homomorphisme \(\varphi : A \to C\) d’anneaux à puissances divisées et des éléments \(k_1, \ldots, k_t \in K\), considérons \[A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle\to C,\quad x_1^{[n_1]} \ldots x_t^{[n_t]} \longmapsto \epsilon_{n_1}(k_1) \ldots\epsilon_{n_t}(k_t)\] où l’on utilise \(\varphi\) sur les coefficients. Il reste seulement à vérifier qu’il s’agit d’un homomorphisme de \(A\)-algèbres (détails omis). La construction inverse est claire.

Remarque

Soit \((A, I, \gamma)\) un anneau à puissances divisées. Il existe une variante du lemme 07H5 pour une infinité de variables. Remarquons d’abord que, si \(s < t\), il existe un morphisme canonique \[A\langle x_1, \ldots, x_s \rangle\to A\langle x_1, \ldots, x_t\rangle\] Ainsi, si \(W\) est un ensemble quelconque, on pose \[A\langle x_w: w \in W\rangle = \colim_{E \subset W} A\langle x_e:e \in E\rangle\] (la colimite étant prise sur les sous-ensembles finis \(E\) de \(W\)), avec les morphismes de transition ci-dessus. La définition d’une colimite montre que la propriété universelle de \(A\langle x_w: w \in W\rangle\) est entièrement analogue à celle énoncée dans le lemme 07H5.

Le lemme suivant se trouve dans [BO].

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A\) un anneau dans lequel tout entier \(n\) non divisible par \(p\) est inversible, autrement dit \(A\) est une \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-algèbre. Soit \(I \subset A\) un idéal. Deux structures de puissances divisées \(\gamma, \gamma'\) sur \(I\) sont égales si et seulement si \(\gamma_p = \gamma'_p\). De plus, étant donnée une application \(\delta : I \to I\) telle que

1. \(p!\delta(x) = x^p\) pour tout \(x \in I\)³,

2. \(\delta(ax) = a^p\delta(x)\) pour tous \(a \in A\), \(x \in I\), et

3. \(\delta(x + y) = \delta(x) + \sum\nolimits_{i + j = p, i,j \geq 1} \frac{1}{i!j!} x^i y^j + \delta(y)\) pour tous \(x, y \in I\),

il existe une unique structure de puissances divisées \(\gamma\) sur \(I\) telle que \(\gamma_p = \delta\).

Démonstration

Si \(n\) n’est pas divisible par \(p\), alors \(\gamma_n(x) = c x \gamma_{n - 1}(x)\), où \(c\) est une unité de \(\mathbf{Z}_{(p)}\). De plus, \[\gamma_{pm}(x) = c \gamma_m(\gamma_p(x))\] où \(c\) est une unité de \(\mathbf{Z}_{(p)}\). La première assertion est donc claire. Pour la seconde, on peut remonter ces égalités afin de définir tous les \(\gamma_n\). Plus précisément, si \(n = a_0 + a_1p + \ldots + a_e p^e\) avec \(a_i \in\{0, \ldots, p - 1\}\), on pose \[\gamma_n(x) = c_n x^{a_0} \delta(x)^{a_1} \ldots\delta^e(x)^{a_e}\] où \(c_n \in\mathbf{Z}_{(p)}\) est défini par \[c_n = {(p!)^{a_1 + a_2(1 + p) + \ldots + a_e(1 + \ldots + p^{e - 1})}}/{n!}.\] Il faut maintenant vérifier les axiomes (1) – (5) d’une structure de puissances divisées ; voir la définition 07GL. Les axiomes (1) et (3) sont immédiats. Les axiomes (2) et (5) se vérifient par un calcul direct que nous omettons. Soient \(x, y \in I\). Nous affirmons qu’il existe un homomorphisme d’anneaux \[\varphi : \mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v \rangle\longrightarrow A\] qui envoie \(u^{[n]}\) sur \(\gamma_n(x)\) et \(v^{[n]}\) sur \(\gamma_n(y)\). D’après la construction de \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v \rangle\), il faut pour cela vérifier que \[\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n!m!} \gamma_{n + m}(x)\] dans \(A\), et de même pour \(y\). C’est vrai, puisque l’axiome (2) est vérifié par \(\gamma\). Notons \(\epsilon\) la structure de puissances divisées sur l’idéal \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle_{+}\) de \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle\). Nous affirmons ensuite que \(\varphi(\epsilon_n(f)) = \gamma_n(\varphi(f))\) pour \(f \in\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle_{+}\) et tout \(n\). C’est clair pour \(n = 0, 1, \ldots, p - 1\). Pour \(n = p\), il suffit de le vérifier sur un système de générateurs de l’idéal \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle_{+}\), car \(\epsilon_p\) et \(\gamma_p = \delta\) vérifient toutes deux les propriétés (1) et (3) du lemme. Il suffit donc d’établir \(\gamma_p(\gamma_n(x)) = \frac{(pn)!}{p!(n!)^p}\gamma_{pn}(x)\), et de même pour \(y\); cela résulte de l’axiome (5) pour \(\gamma\). Maintenant, si \(n = a_0 + a_1p + \ldots + a_e p^e\) est un entier quelconque écrit sous la forme de son développement \(p\)-adique ci-dessus, alors \[\epsilon_n(f) = c_n f^{a_0} \gamma_p(f)^{a_1} \ldots\gamma_p^e(f)^{a_e}\] car \(\epsilon\) est une structure de puissances divisées. On en déduit que \(\varphi(\epsilon_n(f)) = \gamma_n(\varphi(f))\) pour tout \(n\). En appliquant ceci à \(f = u + v\), on voit que l’axiome (4) pour \(\gamma\) découle du fait que \(\epsilon\) est une structure de puissances divisées.

Remarque

Dans la situation \(A \supset I\) du lemme 07GS, soit \(\delta : I \to I\) une application vérifiant (2) et (3) du lemme. Alors (1) est également vérifiée. Montrons d’abord que \(\delta(nx) = n\delta(x) + \frac{n^p - n}{p!}x^p\) pour \(n \geq 1\), par récurrence sur \(n\). Le cas \(n = 1\) est clair. Supposons le résultat établi pour un certain \(n\). Alors \(\delta((n + 1)x) = \delta(nx) + \delta(x) + (\sum_{i = 1}^{p - 1} \frac{n^i}{i!(p - i)!})x^p = (n + 1)\delta(x) + \left( \frac{n^p - n}{p!} + \frac{(n + 1)^p}{p!} - \frac{n^p + 1}{p!} \right)x^p = (n + 1)\delta(x) + \frac{(n + 1)^p - (n + 1)}{p!}x^p\), ce qui établit le résultat pour \(n + 1\). D’autre part, \(\delta(nx) = n^p\delta(x)\), donc \((n^p - n)\delta(x) = \frac{n^p - n}{p!}x^p\). Or, pour tout \(p\), il existe un entier \(n\) tel que \(p^2 \not\mid n^p - n\). En effet, \((\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^\times\cong\mathbf{Z}/p(p-1)\mathbf{Z}\). Il existe donc \(n\) tel que \(n^{p-1} \not\equiv 1 \mod p^2\). On obtient ainsi \(p!\delta(x)=x^p\).

Résolutions de Tate

Dans cette section, nous présentons brièvement les résolutions construites dans [Tate-homology] et [AH], qui combinent les structures de puissances divisées et les algèbres différentielles graduées. Nous utiliserons la notation homologique pour les algèbres différentielles graduées. Celles-ci seront concentrées en degrés homologiques positifs ou nuls. Ainsi, nos algèbres différentielles graduées \((A, \text{d})\) seront des complexes de chaînes \[\ldots\to A_2 \to A_1 \to A_0 \to 0 \to\ldots\] munis d’une multiplication.

Soit \(R\) un anneau (commutatif, comme toujours). Dans cette section, nous considérerons souvent des \(R\)-algèbres graduées \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\) dont les composantes de degré négatif sont nulles. On pose \(A_+ = \bigoplus_{d > 0} A_d\). On notera \(A_{even} = \bigoplus_{d \geq 0} A_{2d}\) et \(A_{odd} = \bigoplus_{d \geq 0} A_{2d + 1}\). Rappelons que \(A\) est commutative au sens gradué si \(x y = (-1)^{\deg(x)\deg(y)} y x\) pour tous éléments homogènes \(x, y\). Rappelons que \(A\) est strictement commutative au sens gradué si, de plus, \(x^2 = 0\) pour tout élément homogène \(x\) de degré impair. Enfin, pour comprendre la définition suivante, gardons à l’esprit que \(\gamma_n(x) = x^n/n!\) lorsque \(A\) est une \(\mathbf{Q}\)-algèbre.

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\) une \(R\)-algèbre graduée strictement commutative au sens gradué. Une famille d’applications \(\gamma_n : A_{even, +} \to A_{even, +}\), définies pour tout \(n > 0\), est appelée une structure de puissances divisées sur \(A\) si les conditions suivantes sont satisfaites :

1. \(\gamma_n(x) \in A_{2nd}\) si \(x \in A_{2d}\),

2. \(\gamma_1(x) = x\) pour tout \(x\); on pose aussi \(\gamma_0(x) = 1\),

3. \(\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n! m!} \gamma_{n + m}(x)\),

4. \(\gamma_n(xy) = x^n \gamma_n(y)\) pour tous \(x \in A_{even}\) et \(y \in A_{even, +}\),

5. \(\gamma_n(xy) = 0\) si \(x, y \in A_{odd}\) sont homogènes et \(n > 1\),

6. si \(x, y \in A_{even, +}\), alors \(\gamma_n(x + y) = \sum_{i = 0, \ldots, n} \gamma_i(x)\gamma_{n - i}(y)\),

7. \(\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x)\) pour \(x \in A_{even, +}\).

Remarquons que les conditions (2), (3), (4), (6) et (7) impliquent que \(\gamma\) est une structure de puissances divisées « usuelle » sur l’idéal \(A_{even, +}\) de l’anneau commutatif \(A_{even}\); voir les sections 07GK, 07GT, 07GZ et 07H4. En particulier, \(n! \gamma_n(x) = x^n\) pour tout \(x \in A_{even, +}\). La condition (1) exprime la compatibilité de \(\gamma\) avec la graduation, et la condition (5) dit que \(\gamma_n\), pour \(n > 1\), s’annule sur les produits d’éléments homogènes de degré impair. Il peut toutefois arriver que \[\gamma_2(z_1 z_2 + z_3 z_4) = z_1z_2z_3z_4\] soit non nul lorsque \(z_1, z_2, z_3, z_4\) sont des éléments homogènes de degré impair.

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \gamma)\) une \(R\)-algèbre graduée strictement commutative au sens gradué, munie d’une structure de puissances divisées comme dans la définition ci-dessus. Soit \(d > 0\) un entier impair. Dans ce cas, on peut adjoindre une variable \(T\) de degré \(d\) à \(A\). Plus précisément, on pose \[A\langle T \rangle = A \oplus AT\] avec la graduation donnée par \(A\langle T \rangle_m = A_m \oplus A_{m - d}T\). Il existe une unique structure de puissances divisées sur \(A\langle T \rangle\) compatible avec la structure donnée sur \(A\). Elle est définie par \[\gamma_n(x + yT) = \gamma_n(x) + \gamma_{n - 1}(x)yT\] pour \(x \in A_{even, +}\) et \(y \in A_{odd}\).

Exemple

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \gamma)\) une \(R\)-algèbre graduée strictement commutative au sens gradué, munie d’une structure de puissances divisées comme dans la définition ci-dessus. Soit \(d > 0\) un entier pair. Dans ce cas, on peut adjoindre une variable \(T\) de degré \(d\) à \(A\). Plus précisément, on pose \[A\langle T \rangle = A \oplus AT \oplus AT^{(2)} \oplus AT^{(3)} \oplus\ldots\] avec la multiplication donnée par \[T^{(n)} T^{(m)} = \frac{(n + m)!}{n!m!} T^{(n + m)}\] et la graduation donnée par \[A\langle T \rangle_m = A_m \oplus A_{m - d}T \oplus A_{m - 2d}T^{(2)} \oplus\ldots\] Il existe une unique structure de puissances divisées sur \(A\langle T \rangle\), compatible avec celle donnée sur \(A\), telle que \(\gamma_n(T^{(i)}) = T^{(ni)}\). Pour la définir, on pose d’abord \[\gamma_n\left(\sum\nolimits_{i > 0} x_i T^{(i)}\right) = \sum\prod\nolimits_{n = \sum e_i} x_i^{e_i} T^{(ie_i)}\] si \(x_i\) appartient à \(A_{even}\). Si \(x_0 \in A_{even, +}\), on pose ensuite \[\gamma_n\left(\sum\nolimits_{i \geq 0} x_i T^{(i)}\right) = \sum\nolimits_{a + b = n} \gamma_a(x_0)\gamma_b\left(\sum\nolimits_{i > 0} x_iT^{(i)}\right)\] où \(\gamma_b\) est défini comme ci-dessus.

Remarque

On peut aussi adjoindre un ensemble, éventuellement infini, de générateurs extérieurs ou à puissances divisées dans un degré donné \(d > 0\), plutôt qu’un seul comme dans les exemples 09PH et 09PI. Plus précisément, suivant la remarque 07H6, pour \((A,\gamma)\) comme ci-dessus et un ensemble \(J\), soit \(A\langle T_j:j\in J\rangle\) la colimite filtrante des algèbres \(A\langle T_j:j\in S\rangle\), où \(S\) parcourt les sous-ensembles finis de \(J\). Il est immédiat que cette algèbre possède une unique structure de puissances divisées compatible avec la structure donnée sur \(A\) et avec celle de chaque générateur \(T_j\).

Nous relions maintenant la notion de structure de puissances divisées à celle de différentielle. Pour comprendre la définition, remarquons que \(\text{d}(x^n/n!) = \text{d}(x) x^{n - 1}/(n - 1)!\) si \(A\) est une \(\mathbf{Q}\)-algèbre et si \(x \in A_{even, +}\).

Définition

Soit \(R\) un anneau. Soit \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\) une \(R\)-algèbre différentielle graduée strictement commutative au sens gradué. Une structure de puissances divisées \(\gamma\) sur \(A\) est compatible avec la structure différentielle graduée si \(\text{d}(\gamma_n(x)) = \text{d}(x) \gamma_{n - 1}(x)\) pour tout \(x \in A_{even, +}\).

Attention : soit \((A, \text{d}, \gamma)\) comme dans la définition 09PJ. Il se peut que \(\gamma_n(x)\) ne soit pas un bord, même lorsque \(x\) est un bord. Ainsi, en général, \(\gamma\) n’induit pas de structure de puissances divisées sur l’algèbre d’homologie \(H(A)\). Dans certains articles, les auteurs imposent une condition de compatibilité supplémentaire afin que ce soit le cas ; nous choisissons de ne pas le faire.

Lemme

Soient \((A, \text{d}, \gamma)\) et \((B, \text{d}, \gamma)\) comme dans la définition 09PJ. Soit \(f : A \to B\) un morphisme d’algèbres différentielles graduées compatible avec les structures de puissances divisées. Supposons que

1. \(H_k(A) = 0\) pour \(k > 0\), et

2. \(f\) soit surjectif.

Alors \(\gamma\) induit une structure de puissances divisées sur la \(R\)-algèbre graduée \(H(B)\).

Démonstration

Supposons que \(x\) et \(x'\) soient homogènes de même degré \(2d\) et représentent la même classe d’homologie dans \(H(B)\). Écrivons \(x' - x = \text{d}(w)\). Choisissons un relèvement \(y \in A_{2d}\) de \(x\) et un relèvement \(z \in A_{2d + 1}\) de \(w\). Alors \(y' = y + \text{d}(z)\) est un relèvement de \(x'\). Par conséquent, \[\gamma_n(y') = \sum\gamma_i(y) \gamma_{n - i}(\text{d}(z)) = \gamma_n(y) + \sum\nolimits_{i < n} \gamma_i(y) \gamma_{n - i}(\text{d}(z))\] Comme \(A\) est acyclique en degrés positifs et que \(\text{d}(\gamma_j(\text{d}(z))) = 0\) pour tout \(j\), on peut écrire cette égalité sous la forme \[\gamma_n(y') = \gamma_n(y) + \sum\nolimits_{i < n} \gamma_i(y) \text{d}(z_i)\] pour certains \(z_i\) dans \(A\). De plus, pour \(0 < i < n\), on a \[\text{d}(\gamma_i(y) z_i) = \text{d}(\gamma_i(y))z_i + \gamma_i(y)\text{d}(z_i) = \text{d}(y) \gamma_{i - 1}(y) z_i + \gamma_i(y)\text{d}(z_i)\] et le premier terme a une image nulle dans \(B\), car \(\text{d}(y)\) a une image nulle dans \(B\). Ainsi, \(\gamma_n(x')\) et \(\gamma_n(x)\) ont la même image dans \(H(B)\). On obtient donc une application bien définie \(\gamma_n : H_{2d}(B) \to H_{2nd}(B)\) pour tous \(d > 0\) et \(n > 0\). Nous omettons la vérification du fait qu’elle définit une structure de puissances divisées sur \(H(B)\).

Lemme

Soit \((A, \text{d}, \gamma)\) comme dans la définition 09PJ. Soit \(R \to R'\) un homomorphisme d’anneaux. Alors \(\text{d}\) et \(\gamma\) induisent des structures analogues sur \(A' = A \otimes_R R'\) telles que \((A', \text{d}, \gamma)\) soit comme dans la définition 09PJ.

Démonstration

Remarquons que \(A'_{even} = A_{even} \otimes_R R'\) et \(A'_{even, +} = A_{even, +} \otimes_R R'\). Il s’agit donc de montrer que les puissances divisées \(\gamma\) se prolongent à \(A'_{even}\) (au sens de la définition 07H0). Une fois établi que \(\gamma\) se prolonge, il est facile de voir que ce prolongement possède toutes les propriétés voulues.

Choisissons une \(R\)-algèbre polynomiale \(P\) sur un ensemble quelconque de générateurs, ainsi qu’une surjection de \(R\)-algèbres \(P \to R'\). L’homomorphisme d’anneaux \(A_{even} \to A_{even} \otimes_R P\) est plat ; les puissances divisées \(\gamma\) se prolongent donc de manière unique à \(A_{even} \otimes_R P\) par le lemme 07H1. Soit \(J = \Ker(P \to R')\). Pour montrer que \(\gamma\) se prolonge à \(A \otimes_R R'\), il suffit de montrer que \(I' = \Ker(A_{even, +} \otimes_R P \to A_{even, +} \otimes_R R')\) est engendré par des éléments \(z\) tels que \(\gamma_n(z) \in I'\) pour tout \(n > 0\). C’est clair, car \(I'\) est engendré par les éléments de la forme \(x \otimes f\), avec \(x \in A_{even, +}\) et \(f \in\Ker(P \to R')\).

Lemme

Soit \((A, \text{d}, \gamma)\) comme dans la définition 09PJ. Soit \(d \geq 1\) un entier. Soit \(A\langle T \rangle\) l’algèbre polynomiale graduée à puissances divisées en \(T\), avec \(\deg(T) = d\), construite dans l’exemple 09PH ou 09PI. Soit \(f \in A_{d - 1}\) un élément tel que \(\text{d}(f) = 0\). Il existe une unique différentielle \(\text{d}\) sur \(A\langle T\rangle\) telle que \(\text{d}(T) = f\) et telle que \(\text{d}\) soit compatible avec la structure de puissances divisées sur \(A\langle T \rangle\).

Démonstration

Cela résulte d’un calcul direct que nous omettons.

Dans le lemme 0GZ6, nous calculerons l’homologie de \(A\langle T \rangle\) dans certains cas particuliers. Voici la construction de Tate, telle qu’elle a été étendue par Avramov et Halperin.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme d’anneaux commutatifs. Il existe une factorisation \[R \to A \to S\] ayant les propriétés suivantes :

1. \((A, \text{d}, \gamma)\) est comme dans la définition 09PJ,

2. \(A \to S\) est un quasi-isomorphisme (si l’on munit \(S\) de la différentielle nulle),

3. \(A_0 = R[x_j: j\in J] \to S\) est une surjection quelconque d’un anneau de polynômes vers \(S\), et

4. \(A\) est une algèbre polynomiale graduée à puissances divisées sur \(R\).

La dernière condition signifie que \(A\) est construite à partir de \(A_0\) en adjoignant successivement un ensemble de variables \(T\) dans chaque degré \(> 0\), comme dans l’exemple 09PH ou 09PI. De plus, si \(R\) est noethérien et si \(R\to S\) est de type fini, on peut choisir \(A\) avec seulement un nombre fini de générateurs dans chaque degré.

Démonstration

Détaillons la construction lorsque \(R\) est noethérien et \(R\to S\) est de type fini. Sans ces hypothèses, la démonstration est la même, sauf qu’il faut utiliser dans chaque degré un ensemble de générateurs éventuellement infini.

Début de la construction : soit \(A(0) = R[x_1, \ldots, x_n]\) un anneau de polynômes usuel, et soit \(A(0) \to S\) une surjection. Pour la graduation, on pose \(A(0)_0 = A(0)\) et \(A(0)_d = 0\) pour \(d \not = 0\). Ainsi, \(\text{d} = 0\) et \(\gamma_n\) est également nulle pour \(n > 0\).

Choisissons des générateurs \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\) du noyau de l’homomorphisme donné \(A(0) = R[x_1, \ldots, x_n] \to S\). En appliquant l’exemple 09PH \(m\) fois, on obtient \[A(1) = A(0)\langle T_1, \ldots, T_m\rangle\] avec \(\deg(T_i) = 1\), en tant qu’algèbre polynomiale graduée à puissances divisées. Posons \(\text{d}(T_i) = f_i\). Comme \(A(1)\) est une algèbre polynomiale à puissances divisées sur \(A(0)\) et que \(\text{d}(f_i) = 0\), ceci se prolonge de manière unique en une différentielle sur \(A(1)\), d’après le lemme 09PM.

Hypothèse de récurrence : supposons données des factorisations \[R \to A(0) \to A(1) \to\ldots\to A(m) \to S\] où \(A(0)\) et \(A(1)\) sont comme ci-dessus, et telles que chaque \(R \to A(m') \to S\), pour \(2 \leq m' \leq m\), vérifie les propriétés (1) et (4) de l’énoncé du lemme, la propriété (2) étant remplacée par la condition que \(H_i(A(m')) \to H_i(S)\) est un isomorphisme pour \(m' > i \geq 0\). Le cas initial est \(m = 1\).

Étape de récurrence : supposons donné \(R \to A(m) \to S\) comme dans l’hypothèse de récurrence. Considérons le groupe \(H_m(A(m))\). C’est un module sur \(H_0(A(m)) = S\). En fait, c’est un sous-quotient de \(A(m)_m\), qui est un module de type fini sur \(A(m)_0 = R[x_1, \ldots, x_n]\). On peut donc choisir un nombre fini d’éléments \[e_1, \ldots, e_t \in\Ker(\text{d} : A(m)_m \to A(m)_{m - 1})\] dont les images engendrent ce module. En appliquant l’exemple 09PH ou 09PI \(t\) fois, on obtient \[A(m + 1) = A(m)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\] avec \(\deg(T_i) = m + 1\), en tant qu’algèbre graduée à puissances divisées. Posons \(\text{d}(T_i) = e_i\). Comme \(A(m+1)\) est une algèbre polynomiale à puissances divisées sur \(A(m)\) et que \(\text{d}(e_i) = 0\), ceci se prolonge de manière unique en une différentielle sur \(A(m + 1)\) compatible avec la structure de puissances divisées. Puisque nous n’avons ajouté des éléments qu’en degré \(m + 1\) et au-dessus, on a \(H_i(A(m + 1)) = H_i(A(m))\) pour \(i < m\). De plus, \(H_m(A(m + 1)) = 0\) par construction.

Pour achever la démonstration, remarquons que nous avons construit une suite de morphismes \[R \to A(0) \to A(1) \to\ldots\to A(m) \to A(m + 1) \to\ldots\to S\] et posons \(A = \colim A(m)\).

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme pseudo-cohérent d’anneaux (Compléments sur l’algèbre, définition 067H). Alors le lemme 09PN vaut avec une résolution \(A\) de \(S\) possédant un nombre fini de générateurs dans chaque degré.

Démonstration

La démonstration est exactement la même que celle du lemme 09PN. Le seul point supplémentaire est que, étant donné \(A(m) \to S\), il faut montrer que \(H_m = H_m(A(m))\) est un \(R[x_1, \ldots, x_m]\)-module de type fini (de sorte qu’à l’étape suivante il ne soit nécessaire d’ajouter qu’un nombre fini de variables). Considérons le complexe \[\ldots\to A(m)_{m - 1} \to A(m)_m \to A(m)_{m - 1} \to \ldots\to A(m)_0 \to S \to 0\] Comme \(S\) est un \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-module pseudo-cohérent et que \(A(m)_i\) est un \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-module libre de type fini, ce complexe est pseudo-cohérent ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 064Y. Comme le complexe est exact en degrés homologiques \(> m\), on conclut que \(H_m\) est un \(R\)-module de type fini, d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 064S.

Lemme

Soit \(R\) un anneau commutatif. Supposons que \((A, \text{d}, \gamma)\) et \((B, \text{d}, \gamma)\) soient comme dans la définition 09PJ. Soit \(\overline{\varphi} : H_0(A) \to H_0(B)\) un homomorphisme de \(R\)-algèbres. Supposons que

1. \(A\) soit une algèbre polynomiale graduée à puissances divisées sur \(R\).

2. \(H_k(B) = 0\) pour \(k > 0\).

Il existe alors un morphisme \(\varphi : A \to B\) de \(R\)-algèbres différentielles graduées, compatible avec les puissances divisées, qui relève \(\overline{\varphi}\).

Démonstration

L’hypothèse signifie que \(A\) s’obtient à partir de \(R\) en adjoignant successivement un ensemble de générateurs polynomiaux en degré zéro, des générateurs extérieurs en degrés impairs positifs et des générateurs à puissances divisées en degrés pairs positifs. On dispose donc d’une filtration \(R \subset A(0) \subset A(1) \subset\ldots\) de \(A\) telle que \(A(m + 1)\) s’obtienne à partir de \(A(m)\) en adjoignant des générateurs du type approprié (que nous appellerons simplement « générateurs à puissances divisées ») en degré \(m + 1\). En particulier, \(A(0) \to H_0(A)\) est un morphisme surjectif d’une algèbre polynomiale usuelle sur \(R\) vers \(H_0(A)\). On peut donc relever \(\overline{\varphi}\) en un homomorphisme de \(R\)-algèbres \(\varphi(0) : A(0) \to B_0\).

Écrivons \(A(1) = A(0)\langle T_j:j\in J\rangle\) pour un ensemble \(J\) de variables à puissances divisées \(T_j\) de degré \(1\). Soit \(f_j \in B_0\) défini par \(f_j = \varphi(0)(\text{d}(T_j))\). Remarquons que l’image de \(f_j\) dans \(H_0(B)\) est nulle, puisque l’image de \(\text{d}T_j\) dans \(H_0(A)\) est nulle. Il existe donc \(b_j \in B_1\) tel que \(\text{d}(b_j) = f_j\). D’après la propriété universelle des algèbres polynomiales à puissances divisées du lemme 07H5, il existe un relèvement \(\varphi(1) : A(1) \to B\) de \(\varphi(0)\) qui envoie \(T_j\) sur \(f_j\).

Après avoir construit \(\varphi(m)\) pour un certain \(m \geq 1\), on construit \(\varphi(m + 1) : A(m + 1) \to B\) exactement de la même manière. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(R\) un anneau commutatif. Soient \(S\) et \(T\) des \(R\)-algèbres commutatives. Il existe alors une structure canonique de \(R\)-algèbre strictement commutative au sens gradué et munie de puissances divisées sur \[\operatorname{Tor}_*^R(S, T).\]

Démonstration

Choisissons une factorisation \(R \to A \to S\) comme ci-dessus. Comme \(A \to S\) est un quasi-isomorphisme et que \(A_d\) est un \(R\)-module libre, l’algèbre différentielle graduée \(B = A \otimes_R T\) calcule les groupes de Tor affichés dans le lemme. Choisissons une surjection \(R[y_j:j\in J] \to T\). Alors \(B\) est un quotient de l’algèbre différentielle graduée \(A[y_j:j\in J]\), dont l’homologie est concentrée en degré \(0\) (elle est égale à \(S[y_j:j\in J]\)). D’après le lemme 09PL, les algèbres différentielles graduées \(B\) et \(A[y_j:j\in J]\) possèdent des structures de puissances divisées compatibles avec les différentielles. On obtient donc la structure de puissances divisées cherchée sur \(H(B)\) par le lemme 09PK.

La structure d’algèbre à puissances divisées ainsi construite ne dépend pas du choix de \(A\). En effet, si \(A'\) est un second choix, le lemme 09PP fournit un morphisme \(A \to A'\) qui préserve toutes les structures ainsi que les augmentations vers \(S\). Le morphisme induit \(B = A \otimes_R T \to A' \otimes_R T' = B'\) préserve alors lui aussi toutes les structures et est un quasi-isomorphisme. L’isomorphisme induit entre les algèbres de Tor est donc compatible avec les produits et les puissances divisées.

Application aux intersections complètes

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d}, \gamma)\) comme dans la définition 09PJ. Une dérivation de degré \(2\) est une application \(R\)-linéaire \(\theta : A \to A\) possédant les propriétés suivantes :

1. \(\theta(A_d) \subset A_{d - 2}\),

2. \(\theta(xy) = \theta(x)y + x\theta(y)\),

3. \(\theta\) commute avec \(\text{d}\),

4. \(\theta(\gamma_n(x)) = \theta(x) \gamma_{n - 1}(x)\) pour tout \(x \in A_{2d}\) et tout \(d\).

Dans le lemme suivant, nous construisons une dérivation.

Lemme

Soit \(R\) un anneau. Soit \((A, \text{d}, \gamma)\) comme dans la définition 09PJ. Soit \(R' \to R\) une surjection d’anneaux dont le noyau est de carré nul et engendré par un élément \(f\). Si \(A\) est une algèbre polynomiale graduée à puissances divisées sur \(R\), ayant un nombre fini de variables en chaque degré, alors on obtient une dérivation \(\theta : A/IA \to A/IA\), où \(I\) est l’annulateur de \(f\) dans \(R\).

Démonstration

Comme \(A\) est une algèbre polynomiale à puissances divisées, il existe une algèbre polynomiale à puissances divisées \(A'\) sur \(R'\) telle que \(A = A' \otimes_{R'} R\). De plus, on peut relever \(\text{d}\) en un opérateur \(R\)-linéaire \(\text{d}\) sur \(A'\) tel que

1. \(\text{d}(xy) = \text{d}(x)y + (-1)^{\deg(x)}x \text{d}(y)\) pour \(x, y \in A'\) homogènes, et

2. \(\text{d}(\gamma_n(x)) = \text{d}(x) \gamma_{n - 1}(x)\) pour \(x \in A'_{even, +}\).

Nous omettons les détails (indication : procéder une variable à la fois). Il se peut toutefois que \(\text{d}^2\) ne soit pas nul sur \(A'\). Il est clair que \(\text{d}^2\) envoie \(A'\) dans \(fA' \cong A/IA\). Par conséquent, \(\text{d}^2\) annule \(fA'\) et se factorise en une application \(A \to A/IA\). Comme \(\text{d}^2\) est \(R\)-linéaire, on obtient l’application voulue \(\theta : A/IA \to A/IA\). La vérification des propriétés d’une dérivation est immédiate.

Lemme

On conserve les hypothèses et les notations du lemme 09PS. Supposons que \(S = H_0(A)\) soit isomorphe à \(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) pour certains \(n\), \(m\) et \(f_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Supposons en outre donnée une relation \[\sum r_j f_j = 0\] avec \(r_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\). Choisissons des relèvements \(r'_j, f'_j \in R'[x_1, \ldots, x_n]\) de \(r_j, f_j\). Écrivons \(\sum r'_j f'_j = gf\) pour un certain \(g \in R/I[x_1, \ldots, x_n]\). Si \(H_1(A) = 0\) et si tous les coefficients de chaque \(r_j\) appartiennent à \(I\), alors il existe un élément \(\xi\in H_2(A/IA)\) tel que \(\theta(\xi) = g\) dans \(S/IS\).

Démonstration

Soit \(A(0) \subset A(1) \subset A(2) \subset\ldots\) la filtration de \(A\) telle que \(A(m)\) s’obtienne à partir de \(A(m - 1)\) en adjoignant des variables à puissances divisées de degré \(m\). Alors \(A(0)\) est une algèbre polynomiale sur \(R\), munie d’une surjection de \(R\)-algèbres \(A(0) \to S\). On peut donc choisir une application \[\varphi : R[x_1, \ldots, x_n] \to A(0)\] qui relève les applications d’augmentation vers \(S\). Ensuite, \(A(1) = A(0)\langle T_1, \ldots, T_t \rangle\), où les \(T_i\) sont des variables à puissances divisées de degré \(1\). Comme \(H_0(A) = S\), on peut choisir des éléments \(\xi_j \in\sum A(0)T_i\) tels que \(\text{d}(\xi_j) = \varphi(f_j)\). Alors \[\text{d}\left(\sum\varphi(r_j) \xi_j\right) = \sum\varphi(r_j) \varphi(f_j) = \sum\varphi(r_jf_j) = 0\] Comme \(H_1(A) = 0\), on peut choisir \(\xi\in A_2\) tel que \(\text{d}(\xi) = \sum\varphi(r_j) \xi_j\). Si les coefficients de \(r_j\) appartiennent à \(I\), alors \(\varphi(r_j)\) possède aussi cette propriété. Dans ce cas, \(\text{d}(\xi)\) s’annule dans \(A_1/IA_1\) et \(\xi\) définit donc une classe dans \(H_2(A/IA)\).

La construction de \(\theta\) dans la démonstration du lemme 09PS consiste à relever successivement \(A(i)\) en \(A'(i)\) ainsi qu’à relever la différentielle \(\text{d}\). On relève \(\varphi\) en \(\varphi' : R'[x_1, \ldots, x_n] \to A'(0)\). Ensuite, on a \(A'(1) = A'(0)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\). De plus, on peut relever \(\xi_j\) en \(\xi'_j \in\sum A'(0)T_i\). Alors \(\text{d}(\xi'_j) = \varphi'(f'_j) + f a_j\) pour un certain \(a_j \in A'(0)\). Considérons un relèvement \(\xi' \in A'_2\) de \(\xi\). On sait alors que \[\text{d}(\xi') = \sum\varphi'(r'_j)\xi'_j + \sum fb_iT_i\] pour certains \(b_i \in A(0)\). En appliquant de nouveau \(\text{d}\), on obtient \[\theta(\xi) = \sum\varphi'(r'_j)\varphi'(f'_j) + \sum f \varphi'(r'_j) a_j + \sum fb_i \text{d}(T_i)\] Le premier terme donne le résultat voulu. Le deuxième est nul, car les coefficients de \(r_j\) appartiennent à \(I\) et sont donc annulés par \(f\). Le troisième a une image nulle dans \(H_0\), car l’image de \(\text{d}(T_i)\) y est nulle.

La méthode de démonstration du lemme suivant semble due à Gulliksen.

Lemme

Soit \(R' \to R\) une surjection d’anneaux noethériens dont le noyau est de carré nul et engendré par un élément \(f\). Soit \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\). Soit \(\sum r_j f_j = 0\) une relation dans \(R[x_1, \ldots, x_n]\). Supposons que

1. chaque \(r_j\) ait ses coefficients dans l’annulateur \(I\) de \(f\) dans \(R\),

2. pour certains relèvements \(r'_j, f'_j \in R'[x_1, \ldots, x_n]\), on ait \(\sum r'_j f'_j = gf\), où \(g\) n’est pas nilpotent dans \(S/IS\).

Alors \(S\) n’est pas de dimension de Tor finie sur \(R\) (autrement dit, \(S\) n’est pas une \(R\)-algèbre parfaite).

Démonstration

Choisissons une résolution de Tate \(R \to A \to S\) comme dans le lemme 09PN. Soient \(\xi\in H_2(A/IA)\) et \(\theta : A/IA \to A/IA\) l’élément et la dérivation obtenus dans les lemmes 09PS et 09PT. On observe que \[\theta^n(\gamma_n(\xi)) = g^n\] dans \(H_0(A/IA) = S/IS\). Ainsi, si \(g\) n’est pas nilpotent dans \(S/IS\), alors \(\xi^n\) est non nul dans \(H_{2n}(A/IA)\) pour tout \(n > 0\). Comme \(H_{2n}(A/IA) = \text{Tor}^R_{2n}(S, R/I)\), on conclut.

Le résultat suivant se trouve dans [Rodicio].

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soient \(I \subset J \subset A\) des idéaux propres. Si \(A/J\) est de dimension de Tor finie sur \(A/I\), alors l’application \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\) est injective.

Démonstration

Soit \(f \in I\) un élément dont l’image dans \(I/\mathfrak m I\) est non nulle et dont l’image dans \(J/\mathfrak mJ\) est nulle. On peut choisir un idéal \(I'\) tel que \(\mathfrak mI \subset I' \subset I\) et que \(I/I'\) soit engendré par l’image de \(f\). Posons \(R = A/I\) et \(R' = A/I'\). Écrivons \(J = (a_1, \ldots, a_m)\) avec \(a_j \in A\). Alors \(f = \sum b_j a_j\) pour certains \(b_j \in\mathfrak m\). Soient \(r_j, f_j \in R\) resp. \(r'_j, f'_j \in R'\) les images de \(b_j, a_j\). On se trouve alors dans la situation du lemme 09PU (l’idéal \(I\) de ce lemme étant égal à \(\mathfrak m_R\)), ce qui démontre le lemme.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soient \(I \subset J \subset A\) des idéaux propres. Supposons que

1. \(A/J\) soit de dimension de Tor finie sur \(A/I\), et

2. \(J\) soit engendré par une suite régulière.

Alors \(I\) est engendré par une suite régulière et \(J/I\) est engendré par une suite régulière.

Démonstration

Le lemme 09PV montre que l’application \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\) est injective. Il existe donc \(s \leq r\) et un système minimal de générateurs \(f_1, \ldots, f_r\) de \(J\) tels que \(f_1, \ldots, f_s\) appartiennent à \(I\) et forment un système minimal de générateurs de \(I\). Le lemme en résulte, car tout système minimal de générateurs de \(J\) est une suite régulière d’après Compléments sur l’algèbre, lemmes 066A et 09CC.

Lemme

Soit \(R \to S\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. Soient \(I \subset R\) et \(J \subset S\) des idéaux tels que \(IS \subset J\). Si \(R \to S\) est plat et si \(S/\mathfrak m_RS\) est régulier, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. \(J\) est engendré par une suite régulière et \(S/J\) est de dimension de Tor finie comme module sur \(R/I\),

2. \(J\) est engendré par une suite régulière et \(\text{Tor}^{R/I}_p(S/J, R/\mathfrak m_R)\) n’est non nul que pour un nombre fini d’entiers \(p\),

3. \(I\) est engendré par une suite régulière et \(J/IS\) est engendré par une suite régulière dans \(S/IS\).

Démonstration

Si (3) est vérifiée, alors \(J\) est engendré par une suite régulière ; voir, par exemple, Compléments sur l’algèbre, lemmes 0669 et 09CC. De plus, sous cette même hypothèse, \(S/J = (S/I)/(J/I)\) est de dimension projective finie sur \(S/IS\), car le complexe de Koszul fournit une résolution libre finie de \(S/J\) sur \(S/IS\). Comme \(R/I \to S/IS\) est plat, il s’ensuit que \(S/J\) est de dimension de Tor finie sur \(R/I\), d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 066J. Ainsi, (3) implique (1).

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Supposons (2). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 09PC, \(S/J\) est de dimension de Tor finie sur \(S/IS\). On peut donc appliquer le lemme 09PW pour conclure que \(IS\) et \(J/IS\) sont engendrés par des suites régulières. Soit \(f_1, \ldots, f_r \in I\) un système minimal de générateurs de \(I\). Comme \(R \to S\) est plat, les éléments \(f_1, \ldots, f_r\) forment un système minimal de générateurs de \(IS\) dans \(S\). Ainsi, \(f_1, \ldots, f_r \in R\) est une suite d’éléments dont les images dans \(S\) forment une suite régulière, d’après Compléments sur l’algèbre, lemmes 066A et 09CC. Par conséquent, \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière dans \(R\), d’après Algèbre, lemme 00LM.

Anneaux d’intersection complète locale

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien complet. D’après le théorème de structure de Cohen (voir Algèbre, théorème 032A), on peut écrire \(A\) comme quotient d’un anneau local noethérien régulier et complet \(R\). On dit que \(A\) est une intersection complète s’il existe une surjection \(R \to A\), où \(R\) est un anneau local régulier, dont le noyau est engendré par une suite régulière. Le lemme suivant montre que cette notion ne dépend pas du choix de la surjection.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien complet. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. pour toute surjection d’anneaux locaux \(R \to A\), où \(R\) est un anneau local régulier, le noyau de \(R \to A\) est engendré par une suite régulière, et

2. pour une certaine surjection d’anneaux locaux \(R \to A\), où \(R\) est un anneau local régulier, le noyau de \(R \to A\) est engendré par une suite régulière.

Démonstration

Soit \(k\) le corps résiduel de \(A\). Si la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\), on désigne par \(\Lambda\) un anneau de Cohen (Algèbre, définition 0327) de corps résiduel \(k\) (Algèbre, lemme 0328). Si la caractéristique de \(k\) est \(0\), on pose \(\Lambda = k\). Rappelons que \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]]\), pour tout \(n\), est formellement lisse sur \(\mathbf{Z}\), resp. \(\mathbf{Q}\), pour la topologie \(\mathfrak m\)-adique ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 07NL. Fixons une surjection \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to A\) donnée par le théorème de structure de Cohen (Algèbre, théorème 032A).

Soit \(R \to A\) une surjection, où \(R\) est un anneau local régulier. Soit \(f_1, \ldots, f_r\) un système minimal de générateurs de \(\Ker(R \to A)\). Nous utiliserons sans autre mention le fait qu’un idéal d’un anneau local noethérien est engendré par une suite régulière si et seulement si tout système minimal de générateurs est une suite régulière. On observe que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière dans \(R\) si et seulement si \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière dans le complété \(R^\wedge\), d’après Algèbre, lemmes 00LM et 00MB. De plus, \[R^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge = (R/(f_1, \ldots, f_n))^\wedge = A^\wedge = A\] car \(A\) est complet pour la topologie \(\mathfrak m_A\)-adique (la première égalité résulte d’Algèbre, lemme 00MA). Enfin, l’anneau \(R^\wedge\) est régulier puisque \(R\) est régulier (Compléments sur l’algèbre, lemme 07NY). On peut donc supposer que \(R\) est complet.

Si \(R\) est complet, on peut choisir une application \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to R\) relevant l’application donnée \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to A\); voir Compléments sur l’algèbre, lemme 07NJ. En ajoutant des variables \(y_1, \ldots, y_m\) envoyées sur des générateurs du noyau de \(R \to A\), on peut supposer que \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]] \to R\) est surjective (nous omettons quelques détails). On peut alors considérer le diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Lambda[[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]] \ar[r] \ar[d] & R \ar[d] \\ \Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \ar[r] & A }\] Le lemme 00SE d’Algèbre montre que la condition relative à \(R \to A\) équivaut à celle relative à l’application fixée \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to A\). Cela achève la démonstration du lemme.

Les deux lemmes suivants constituent des vérifications de cohérence de la définition donnée ci-dessus.

Lemme

Soit \(R\) un anneau régulier. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Soit \(f_1, \ldots, f_r \in\mathfrak p\) une suite régulière. Alors le complété de \[A = (R/(f_1, \ldots, f_r))_\mathfrak p = R_\mathfrak p/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak p\] est une intersection complète au sens défini ci-dessus.

Démonstration

Le complété de \(A\) est égal à \(A^\wedge = R_\mathfrak p^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak p^\wedge\), car le foncteur de complétion est exact sur les modules finis sur l’anneau noethérien \(R_\mathfrak p\) (Algèbre, lemme 00MA). L’image de la suite \(f_1, \ldots, f_r\) dans \(R_\mathfrak p\) est une suite régulière d’après Algèbre, lemmes 00MB et 00LM. De plus, \(R_\mathfrak p^\wedge\) est un anneau local régulier d’après Compléments sur l’algèbre, lemme 07NY. Le résultat découle donc de notre définition d’une intersection complète pour les anneaux locaux complets.

Le lemme suivant est l’analogue d’Algèbre, lemme 00SC.

Lemme

Soit \(R\) un anneau régulier. Soit \(\mathfrak p \subset R\) un idéal premier. Soit \(I \subset\mathfrak p\) un idéal. Posons \(A = (R/I)_\mathfrak p = R_\mathfrak p/I_\mathfrak p\). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. le complété de \(A\) est une intersection complète au sens ci-dessus,

2. \(I_\mathfrak p \subset R_\mathfrak p\) est engendré par une suite régulière,

3. le module \((I/I^2)_\mathfrak p\) peut être engendré par \(\dim(R_\mathfrak p) - \dim(A)\) éléments,

4. ajouter quelque chose ici.

Démonstration

On peut remplacer, et l’on remplace, \(R\) par son localisé en \(\mathfrak p\). Alors \(\mathfrak p = \mathfrak m\) est l’idéal maximal de \(R\) et \(A = R/I\). Soit \(f_1, \ldots, f_r \in I\) un système minimal de générateurs. Le complété de \(A\) est égal à \(A^\wedge = R^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge\), car le foncteur de complétion est exact sur les modules finis sur l’anneau noethérien \(R_\mathfrak p\) (Algèbre, lemme 00MA).

Si (1) est vérifiée, alors l’image de la suite \(f_1, \ldots, f_r\) dans \(R^\wedge\) est une suite régulière par hypothèse. C’est donc une suite régulière dans \(R\) d’après Algèbre, lemmes 00MB et 00LM. Ainsi, (1) implique (2).

Supposons (3). Posons \(c = \dim(R) - \dim(A)\) et choisissons \(f_1, \ldots, f_c \in I\) dont les images engendrent \(I/I^2\). Le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV) montre que \(I = (f_1, \ldots, f_c)\). Comme \(R\) est régulier, donc de Cohen–Macaulay (Algèbre, proposition 00N6), \(f_1, \ldots, f_c\) est une suite régulière d’après Algèbre, proposition 00N6. Ainsi, (3) implique (2). Enfin, (2) implique (1) d’après le lemme 09Q0.

Le résultat suivant est dû à Avramov ; voir [Avramov].

Proposition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. \(B^\wedge\) est une intersection complète,

2. \(A^\wedge\) et \((B/\mathfrak m_A B)^\wedge\) sont des intersections complètes.

Démonstration

Considérons le diagramme \[\xymatrix{ B \ar[r] & B^\wedge\\ A \ar[u] \ar[r] & A^\wedge\ar[u] }\] Comme les applications horizontales sont fidèlement plates (Algèbre, lemme 00MC), la flèche verticale de droite est plate (par exemple, d’après Algèbre, lemme 00MP). De plus, \((B/\mathfrak m_A B)^\wedge = B^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge} B^\wedge\) d’après Algèbre, lemme 00MA. On peut donc supposer que \(A\) et \(B\) sont des anneaux locaux noethériens complets.

Supposons que \(A\) et \(B\) soient des anneaux locaux noethériens complets. Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] comme dans Compléments sur l’algèbre, lemme 07NN. Posons \(I = \Ker(R \to A)\) et \(J = \Ker(S \to B)\). Comme \(R/I = A \to B = S/J\) est plat, l’application \(J/IS \otimes_R R/\mathfrak m_R \to J/J \cap\mathfrak m_R S\) est un isomorphisme. Par conséquent, un système minimal de générateurs de \(J/IS\) s’envoie sur un système minimal de générateurs de \(\Ker(S/\mathfrak m_R S \to B/\mathfrak m_A B)\). Enfin, \(S/\mathfrak m_R S\) est un anneau local régulier.

Supposons (1), c’est-à-dire que \(J\) soit engendré par une suite régulière. Comme \(A = R/I \to B = S/J\) est plat, le lemme 09PX s’applique et montre que \(I\) et \(J/IS\) sont engendrés par des suites régulières. On a \(\dim(B) = \dim(A) + \dim(B/\mathfrak m_A B)\) et \(\dim(S/IS) = \dim(A) + \dim(S/\mathfrak m_R S)\) (Algèbre, lemme 00ON). Ainsi, \(J/IS\) est engendré par \[\dim(S/IS) - \dim(S/J) = \dim(S/\mathfrak m_R S) - \dim(B/\mathfrak m_A B)\] éléments (Algèbre, lemme 00KW). Il s’ensuit que \(\Ker(S/\mathfrak m_R S \to B/\mathfrak m_A B)\) est engendré par le même nombre d’éléments (voir ci-dessus). Par conséquent, \(\Ker(S/\mathfrak m_R S \to B/\mathfrak m_A B)\) est engendré par une suite régulière ; voir, par exemple, le lemme 09Q1. On obtient ainsi (2).

Si (2) est vérifiée, alors \(I\) et \(J/J \cap\mathfrak m_RS\) sont engendrés par des suites régulières. En relevant ces générateurs (voir ci-dessus), puis en utilisant la platitude de \(R/I \to S/IS\) et le lemme de Grothendieck (Algèbre, lemme 00MG), on voit que \(J/IS\) est engendré par une suite régulière dans \(S/IS\). Le lemme 09PX montre alors que \(J\) est engendré par une suite régulière, d’où (1).

Définition

Soit \(A\) un anneau noethérien.

1. Si \(A\) est local, on dit que \(A\) est une intersection complète si son complété est une intersection complète au sens ci-dessus.

2. En général, on dit que \(A\) est une intersection complète locale si tous ses anneaux locaux sont des intersections complètes.

Nous vérifierons plus loin que cela ne contredit pas la terminologie introduite dans Algèbre, définitions 00S9 et 00SD. Mais montrons d’abord que cette définition est cohérente : si \(A\) est un anneau local noethérien qui est une intersection complète, alors \(A\) est une intersection complète locale, c’est-à-dire que tous ses anneaux locaux sont des intersections complètes.

Lemme

Soit \((A, \mathfrak m)\) un anneau local noethérien. Soit \(\mathfrak p \subset A\) un idéal premier. Si \(A\) est une intersection complète, alors \(A_\mathfrak p\) est aussi une intersection complète.

Démonstration

Choisissons un idéal premier \(\mathfrak q\) de \(A^\wedge\) au-dessus de \(\mathfrak p\) (cela est possible puisque \(A \to A^\wedge\) est fidèlement plat d’après Algèbre, lemme 00MC). Alors \(A_\mathfrak p \to (A^\wedge)_\mathfrak q\) est un homomorphisme local plat. La proposition 09Q2 montre donc que \(A_\mathfrak p\) est une intersection complète si et seulement si \((A^\wedge)_\mathfrak q\) est une intersection complète. Il suffit ainsi de démontrer le lemme lorsque \(A\) est complet (c’est l’étape essentielle de la démonstration).

Supposons \(A\) complet. Par définition, on peut écrire \(A = R/(f_1, \ldots, f_r)\) pour une suite régulière \(f_1, \ldots, f_r\) dans un anneau local régulier \(R\). Soit \(\mathfrak q \subset R\) l’idéal premier correspondant à \(\mathfrak p\). On observe que \(f_1, \ldots, f_r \in\mathfrak q\) et que \(A_\mathfrak p = R_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak q\). Ainsi, \(A_\mathfrak p\) est une intersection complète d’après le lemme 09Q0.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Alors \(A\) est une intersection complète locale si et seulement si \(A_\mathfrak m\) est une intersection complète pour tout idéal maximal \(\mathfrak m\) de \(A\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 09Q4 et des définitions.

Lemme

Soit \(S\) une algèbre de type fini sur un corps \(k\).

1. pour un idéal premier \(\mathfrak q \subset S\), l’anneau local \(S_\mathfrak q\) est une intersection complète au sens de la définition 00SD d’Algèbre, si et seulement si \(S_\mathfrak q\) est une intersection complète au sens de la définition 09Q3, et

2. \(S\) est une intersection complète locale au sens de la définition 00S9 d’Algèbre, si et seulement si \(S\) est une intersection complète locale au sens de la définition 09Q3.

Démonstration

Démontrons (1). Soit \(k[x_1, \ldots, x_n] \to S\) une surjection. Soit \(\mathfrak p \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) l’idéal premier correspondant à \(\mathfrak q\). Soit \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\) le noyau de cette surjection. L’application \(k[x_1, \ldots, x_n]_\mathfrak p \to S_\mathfrak q\) est surjective, de noyau \(I_\mathfrak p\). Or \(k[x_1, \ldots, x_n]\) est un anneau régulier d’après Algèbre, proposition 00OQ. L’équivalence des deux notions de (1) résulte donc de la combinaison du lemme 09Q1 avec Algèbre, lemme 00SF.

Après avoir démontré (1), l’équivalence de (2) résulte de la définition et d’Algèbre, lemme 00SH.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local plat d’anneaux locaux noethériens. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. \(B\) est une intersection complète,

2. \(A\) et \(B/\mathfrak m_A B\) sont des intersections complètes.

Démonstration

Maintenant que la définition est cohérente, il s’agit d’une reformulation immédiate de la proposition (non triviale) 09Q2.

Homomorphismes d’intersection complète locale

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens complets. Une conséquence du théorème de structure de Cohen est que l’on peut trouver un diagramme commutatif \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ & A \ar[lu] \ar[u] }\] d’anneaux locaux noethériens complets tel que \(S \to B\) soit surjectif, \(A \to S\) soit plat et que \(S/\mathfrak m_A S\) soit un anneau local régulier. Cela résulte de Compléments sur l’algèbre, lemme 07NN. Disons (provisoirement) que \(A \to S \to B\) est une bonne factorisation de \(A \to B\) si \(S\) est un anneau local noethérien, \(A \to S \to B\) sont des homomorphismes locaux d’anneaux, \(S \to B\) est surjectif, \(A \to S\) est plat et \(S/\mathfrak m_AS\) est régulier. Disons que \(A \to B\) est un homomorphisme d’intersection complète s’il existe une bonne factorisation \(A \to S \to B\) telle que le noyau de \(S \to B\) soit engendré par une suite régulière. Le lemme suivant montre que cette notion ne dépend pas du choix du diagramme.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens complets. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. pour une certaine bonne factorisation \(A \to S \to B\), le noyau de \(S \to B\) est engendré par une suite régulière, et

2. pour toute bonne factorisation \(A \to S \to B\), le noyau de \(S \to B\) est engendré par une suite régulière.

Démonstration

Soit \(A \to S \to B\) une bonne factorisation. Comme \(B\) est complet, on obtient une factorisation \(A \to S^\wedge\to B\) où \(S^\wedge\) est le complété de \(S\). Remarquons qu’il s’agit encore d’une bonne factorisation : l’homomorphisme d’anneaux \(S \to S^\wedge\) est plat (Algèbre, lemme 00MB), donc \(A \to S^\wedge\) est plat. L’anneau \(S^\wedge/\mathfrak m_A S^\wedge = (S/\mathfrak m_A S)^\wedge\) est régulier puisque \(S/\mathfrak m_A S\) est régulier (Compléments sur l’algèbre, lemme 07NY). Soit \(f_1, \ldots, f_r\) un système minimal de générateurs de \(\Ker(S \to B)\). Nous utiliserons sans autre mention le fait qu’un idéal d’un anneau local noethérien est engendré par une suite régulière si et seulement si tout système minimal de générateurs est une suite régulière. Remarquons que \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière dans \(S\) si et seulement si \(f_1, \ldots, f_r\) est une suite régulière dans le complété \(S^\wedge\), d’après Algèbre, lemme 00LM. De plus, on a \[S^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge = (S/(f_1, \ldots, f_n))^\wedge = B^\wedge = B\] car \(B\) est complet pour la topologie \(\mathfrak m_B\)-adique (la première égalité résulte d’Algèbre, lemme 00MA). Ainsi, le noyau de \(S \to B\) est engendré par une suite régulière si et seulement si le noyau de \(S^\wedge\to B\) est engendré par une suite régulière. Il suffit donc de considérer les bonnes factorisations pour lesquelles \(S\) est complet.

Supposons données deux factorisations \(A \to S \to B\) et \(A \to S' \to B\), avec \(S\) et \(S'\) complets. D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 09Q8, l’anneau \(S \times_B S'\) est un anneau local noethérien complet. Par conséquent, en appliquant Compléments sur l’algèbre, lemme 07NN, on peut choisir une bonne factorisation \(A \to S'' \to S \times_B S'\) avec \(S''\) complet. Il suffit donc de montrer ceci : si \(A \to S' \to S \to B\) sont de bonnes factorisations comparables, alors \(\Ker(S \to B)\) est engendré par une suite régulière si et seulement si \(\Ker(S' \to B)\) est engendré par une suite régulière.

Soient \(A \to S' \to S \to B\) de bonnes factorisations comparables. Tout d’abord, puisque \(S'/\mathfrak m_R S' \to S/\mathfrak m_R S\) est une surjection d’anneaux locaux réguliers, son noyau est engendré par une suite régulière \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_c \in \mathfrak m_{S'}/\mathfrak m_R S'\) que l’on peut compléter en un système régulier de paramètres de l’anneau local régulier \(S'/\mathfrak m_R S'\); voir (Algèbre, lemme 00NR). Posons \(I = \Ker(S' \to S)\). Comme \(S\) est plat sur \(R\), on a \[I/\mathfrak m_R I = \Ker(S'/\mathfrak m_R S' \to S/\mathfrak m_R S) = (\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_c).\] Choisissons des relèvements \(x_1, \ldots, x_c \in I\). Ceux-ci forment une suite régulière qui engendre \(I\), puisque \(S'\) est plat sur \(R\); voir Algèbre, lemme 00MG.

On en déduit que, si \(\Ker(S \to B)\) est lui aussi engendré par une suite régulière, il en va de même de \(\Ker(S' \to B)\); voir Compléments sur l’algèbre, lemmes 0669 et 09CC.

Réciproquement, supposons que \(J = \Ker(S' \to B)\) soit engendré par une suite régulière. Comme les générateurs \(x_1, \ldots, x_c\) de \(I\) s’envoient sur des éléments linéairement indépendants de \(\mathfrak m_{S'}/\mathfrak m_{S'}^2\), on voit que \(I/\mathfrak m_{S'}I \to J/\mathfrak m_{S'}J\) est injectif. Il existe donc un système minimal de générateurs \(x_1, \ldots, x_c, y_1, \ldots, y_d\) de \(J\). Alors \(x_1, \ldots, x_c, y_1, \ldots, y_d\) est une suite régulière, et il s’ensuit que les images de \(y_1, \ldots, y_d\) dans \(S\) forment une suite régulière qui engendre \(\Ker(S \to B)\). Ceci achève la démonstration du lemme.

Dans la proposition suivante, remarquons que la condition d’annulation des Tor est notamment satisfaite si \(B\) est de dimension de Tor finie sur \(A\), et donc, en particulier, si \(B\) est plat sur \(A\).

Proposition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens. Les assertions suivantes sont alors équivalentes :

1. \(B\) est une intersection complète et \(\text{Tor}^A_p(B, A/\mathfrak m_A)\) n’est non nul que pour un nombre fini de \(p\),

2. \(A\) est une intersection complète et \(A^\wedge\to B^\wedge\) est un homomorphisme d’intersection complète au sens défini ci-dessus.

Démonstration

Soit \(F_\bullet\to A/\mathfrak m_A\) une résolution par des \(A\)-modules libres de type fini. Remarquons que \(\text{Tor}^A_p(B, A/\mathfrak m_A)\) est la \(p\)-ième homologie du complexe \(F_\bullet\otimes_A B\). Soit \(F_\bullet^\wedge = F_\bullet\otimes_A A^\wedge\) le complété. Alors \(F_\bullet^\wedge\) est une résolution de \(A^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}\) par des \(A^\wedge\)-modules libres de type fini (car \(A \to A^\wedge\) est plat et le foncteur de complétion est exact sur les modules de type fini ; voir Algèbre, lemmes 00MA et 00MB). Il s’ensuit que \[F_\bullet^\wedge\otimes_{A^\wedge} B^\wedge = F_\bullet\otimes_A B \otimes_B B^\wedge\] La platitude de \(B \to B^\wedge\) donne alors \[\text{Tor}^{A^\wedge}_p(B^\wedge, A^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}) = \text{Tor}^A_p(B, A/\mathfrak m_A) \otimes_B B^\wedge\] On voit ainsi que la condition de (1) portant sur l’homomorphisme local \(A \to B\) est équivalente à la même condition pour l’homomorphisme local \(A^\wedge\to B^\wedge\). On peut donc supposer que \(A\) et \(B\) sont des anneaux locaux noethériens complets (puisque, de toute façon, les autres conditions sont formulées en termes des complétés).

Supposons que \(A\) et \(B\) soient des anneaux locaux noethériens complets. Choisissons un diagramme \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] comme dans Compléments sur l’algèbre, lemme 07NN. Posons \(I = \Ker(R \to A)\) et \(J = \Ker(S \to B)\). La proposition résulte alors du lemme 09PX.

Remarque

Il semble difficile de définir une bonne notion d’« homomorphismes d’intersection complète locale » pour les homomorphismes entre anneaux noethériens généraux. La raison en est que, pour un anneau local noethérien \(A\), les fibres de \(A \to A^\wedge\) ne sont pas des anneaux d’intersection complète locale. Ainsi, si \(A \to B\) est un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens et si l’homomorphisme entre les complétés \(A^\wedge\to B^\wedge\) est un homomorphisme d’intersection complète au sens défini ci-dessus, alors \((A_\mathfrak p)^\wedge\to (B_\mathfrak q)^\wedge\) n’est en général pas un homomorphisme d’intersection complète au sens défini ci-dessus. Une solution consiste à travailler exclusivement avec des anneaux noethériens excellents. Plus généralement, on pourrait travailler avec les anneaux noethériens dont les fibres formelles sont des intersections complètes ; voir [Rodicio-ci]. Nous développerons cette théorie dans Complexes dualisants, section 0BJM.

Pour terminer cette section, comparons la notion définie ci-dessus à celle introduite dans Compléments sur l’algèbre, section 09PY.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ & A \ar[lu] \ar[u] }\] d’anneaux locaux noethériens tel que \(S \to B\) soit surjectif, \(A \to S\) soit plat et que \(S/\mathfrak m_A S\) soit un anneau local régulier. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(\Ker(S \to B)\) est engendré par une suite régulière, et

2. \(A^\wedge\to B^\wedge\) est un homomorphisme d’intersection complète au sens défini ci-dessus.

Démonstration

Démonstration omise. Indication : la démonstration est identique à l’argument donné dans le premier paragraphe de la démonstration du lemme 09QA.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(A \to B\) est une intersection complète locale au sens de Compléments sur l’algèbre, définition 07D0,

2. pour tout idéal premier \(\mathfrak q \subset B\), en posant \(\mathfrak p = A \cap\mathfrak q\), l’homomorphisme d’anneaux \((A_\mathfrak p)^\wedge\to (B_\mathfrak q)^\wedge\) est un homomorphisme d’intersection complète au sens défini ci-dessus.

Démonstration

Choisissons une surjection \(R = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\). Remarquons que \(A \to R\) est plat à fibres régulières. Soit \(I\) le noyau de \(R \to B\). Supposons (2). On voit alors que \(I\) est localement engendré par une suite régulière, d’après le lemme 09QD et Algèbre, lemme 061L. Autrement dit, (1) est vérifiée. Réciproquement, supposons (1). Après localisation sur \(R\) et \(B\), on peut alors supposer que \(I\) est engendré par une suite régulière au sens de Koszul. D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 09CC, on trouve que \(I\) est localement engendré par une suite régulière. Ainsi, (2) est vérifiée d’après le lemme 09QD. Certains détails sont omis.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini tel que l’image de \(\Spec(B) \to\Spec(A)\) contienne tous les points fermés de \(\Spec(A)\). Les assertions suivantes sont alors équivalentes :

1. \(B\) est une intersection complète et \(A \to B\) est de dimension de Tor finie,

2. \(A\) est une intersection complète et \(A \to B\) est une intersection complète locale au sens de Compléments sur l’algèbre, définition 07D0.

Démonstration

Il s’agit d’une reformulation de la proposition 09QB au moyen du lemme 09QE. Nous omettons les détails.

Homomorphismes d’anneaux lisses et diagonales

Dans cette section, nous utilisons les résultats précédents pour caractériser les homomorphismes d’anneaux lisses comme ceux dont la diagonale est parfaite.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux noethériens tel que \(B\) soit plat et essentiellement de type fini sur \(A\). Si \[B \otimes_A B \longrightarrow B\] est un homomorphisme d’anneaux parfait, c’est-à-dire si \(B\) est de dimension de Tor finie sur \(B \otimes_A B\), alors \(B\) est la localisation d’une \(A\)-algèbre lisse.

Démonstration

Comme \(B\) est essentiellement de type fini sur \(A\), il en va de même de \(B \otimes_A B\), et en particulier \(B \otimes_A B\) est noethérien. Par conséquent, le quotient \(B\) de \(B \otimes_A B\) est pseudo-cohérent sur \(B \otimes_A B\) (Compléments sur l’algèbre, lemme 066E), ce qui explique pourquoi la perfection de l’homomorphisme d’anneaux (Compléments sur l’algèbre, définition 067H) équivaut à la condition de dimension de Tor finie.

On peut écrire \(B = R/K\), où \(R\) est la localisation de \(A[x_1, \ldots, x_n]\) en un idéal premier et où \(K \subset R\) est un idéal. Notons \(\mathfrak m \subset R \otimes_A R\) l’idéal maximal qui est l’image réciproque de l’idéal maximal de \(B\) par la surjection \(R \otimes_A R \to B \otimes_A B \to B\). On a alors des surjections \[(R \otimes_A R)_\mathfrak m \to (B \otimes_A B)_\mathfrak m \to B\] et donc des idéaux \(I \subset J \subset (R \otimes_A R)_\mathfrak m\) comme dans le lemme 09PV. On en déduit que \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\) est injectif.

Écrivons \(K = (f_1, \ldots, f_r)\) avec \(r\) minimal. On peut supposer, et on le fera, que \(f_i \in R\) est l’image d’un élément de \(A[x_1, \ldots, x_n]\) que l’on note également \(f_i\). Remarquons que \(I\) est engendré par \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) et \(1 \otimes f_1, \ldots, 1 \otimes f_r\). Nous affirmons que c’est un système minimal de générateurs de \(I\). En effet, si \(\kappa\) est le corps résiduel commun de \(R\), \(B\), \((R \otimes_A R)_\mathfrak m\) et \((B \otimes_A B)_\mathfrak m\), alors on dispose d’un homomorphisme \(R \otimes_A R \to R \otimes_A \kappa\oplus\kappa\otimes_A R\) qui se factorise par \((R \otimes_A R)_\mathfrak m\). Comme \(B\) est plat sur \(A\) et que l’on a la suite exacte courte \(0 \to K \to R \to B \to 0\), on voit que \(K \otimes_A \kappa\subset R \otimes_A \kappa\); voir Algèbre, lemme 00HL. En restreignant ainsi l’homomorphisme \((R \otimes_A R)_\mathfrak m \to R \otimes_A \kappa\oplus\kappa\otimes_A R\) à \(I\), on obtient un homomorphisme \[I \to K \otimes_A \kappa\oplus\kappa\otimes_A K \to K \otimes_B \kappa\oplus\kappa\otimes_B K.\] Les éléments \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1, 1 \otimes f_1, \ldots, 1 \otimes f_r\) s’envoient sur une base du but de cet homomorphisme, puisque, d’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), \(f_1, \ldots, f_r\) s’envoient sur une base de \(K \otimes_B \kappa\). Ceci démontre notre assertion.

L’idéal \(J\) est engendré par \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) et par les éléments \(x_1 \otimes 1 - 1 \otimes x_1, \ldots, x_n \otimes 1 - 1 \otimes x_n\) (pour la démonstration, il suffit de voir que ces éléments appartiennent à l’idéal \(J\)). On peut alors écrire \[f_i \otimes 1 - 1 \otimes f_i = \sum g_{ij} (x_j \otimes 1 - 1 \otimes x_j)\] pour certains \(g_{ij}\) dans \((R \otimes_A R)_\mathfrak m\). C’est un fait général concernant les éléments de \(A[x_1, \ldots, x_n]\), dont nous omettons la démonstration. Notons \(a_{ij} \in\kappa\) l’image de \(g_{ij}\). Un autre calcul montre que \(a_{ij}\) est l’image de \(\partial f_i / \partial x_j\) dans \(\kappa\). L’injectivité de \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\) et les remarques précédentes imposent à la matrice \((a_{ij})\) d’être de rang maximal \(r\). Posons \[C = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_r)\] et considérons le complexe cotangent naïf \(\NL_{C/A} \cong (C^{\oplus r} \to C^{\oplus n})\) où l’homomorphisme est donné par la matrice des dérivées partielles. Ainsi, \(\NL_{C/A} \otimes_A B\) est isomorphe à un \(B\)-module libre de rang \(n - r\) placé en degré \(0\). Ainsi, \(C_g\) est lisse sur \(A\) pour un certain \(g \in C\) dont l’image dans \(B\) est une unité ; voir Algèbre, lemme 07BU. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux noethériens, plat et de type fini. Si \[B \otimes_A B \longrightarrow B\] est un homomorphisme d’anneaux parfait, c’est-à-dire si \(B\) est de dimension de Tor finie sur \(B \otimes_A B\), alors \(B\) est une \(A\)-algèbre lisse.

Démonstration

Cela résulte du lemme 0FCW et des propriétés générales des homomorphismes d’anneaux lisses ; voir Algèbre, lemmes 07BU et 00TC. On peut aussi modifier légèrement la démonstration du lemme 0FCW pour démontrer le présent lemme.

Liberté du module conormal

Les résolutions de Tate et les dérivations sur celles-ci permettent de démontrer des versions (plus fortes) des résultats de cette section ; voir [Iyengar]. Deux références plus élémentaires sont [Vasconcelos] et [Ferrand-lci].

Lemme

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset R\) un idéal de dimension projective finie sur \(R\). Si \(F \subset I/I^2\) est un facteur direct isomorphe à \(R/I\), alors il existe un élément non diviseur de zéro \(x \in I\) tel que l’image de \(x\) dans \(I/I^2\) engendre \(F\).

Démonstration

Par hypothèse, on peut choisir une résolution libre finie \[0 \to R^{\oplus n_e} \to R^{\oplus n_{e-1}} \to\ldots\to R^{\oplus n_1} \to R \to R/I \to 0\] Alors \(\varphi_1 : R^{\oplus n_1} \to R\) est de rang \(1\), et on voit que \(I\) contient un élément non diviseur de zéro \(y\), d’après Algèbre, proposition 00N1. Soient \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\) les idéaux premiers associés à \(R\); voir Algèbre, lemme 00LC. Soit \(I^2 \subset J \subset I\) un idéal tel que \(J/I^2 = F\). Alors \(J \not\subset\mathfrak p_i\) pour tout \(i\), car \(y^2 \in J\) et \(y^2 \not\in\mathfrak p_i\); voir Algèbre, lemme 00LD. D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), on a \(J \not\subset\mathfrak m J + I^2\). D’après Algèbre, lemme 00DS, on peut choisir \(x \in J\), \(x \not\in\mathfrak m J + I^2\) et \(x \not\in\mathfrak p_i\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Alors \(x\) est un élément non diviseur de zéro, et l’image de \(x\) dans \(I/I^2\) engendre (d’après le lemme de Nakayama) le facteur direct \(J/I^2 \cong R/I\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau local noethérien. Soit \(I \subset R\) un idéal de dimension projective finie sur \(R\). Si \(F \subset I/I^2\) est un facteur direct libre de rang \(r\), alors il existe une suite régulière \(x_1, \ldots, x_r \in I\) telle que \(x_1 \bmod I^2, \ldots, x_r \bmod I^2\) engendrent \(F\).

Démonstration

Si \(r = 0\), il n’y a rien à démontrer. Supposons \(r > 0\). On peut choisir \(x \in I\) tel que \(x\) soit un élément non diviseur de zéro et que \(x \bmod I^2\) engendre un facteur direct de \(F\) isomorphe à \(R/I\); voir le lemme 0FJQ. Considérons l’anneau \(R' = R/(x)\) et l’idéal \(I' = I/(x)\). Bien entendu, \(R'/I' = R/I\). La suite exacte courte \[0 \to R/I \xrightarrow{x} I/xI \to I' \to 0\] est scindée, car l’homomorphisme \(I/xI \to I/I^2\) envoie \(xR/xI\) sur un facteur direct. Or \(I/xI = I \otimes_R^\mathbf{L} R'\) est de dimension projective finie sur \(R'\); voir Compléments sur l’algèbre, lemmes 066Q et 066W. Par conséquent, le facteur direct \(I'\) est de dimension projective finie sur \(R'\). D’autre part, on a la suite exacte courte \(0 \to xR/xI \to I/I^2 \to I'/(I')^2 \to 0\), et on en déduit que \(I'/(I')^2\) possède comme facteur direct libre \(F' = F/(R/I \cdot x)\) de rang \(r - 1\). Par récurrence sur \(r\), on peut choisir une suite régulière \(x'_2, \ldots, x'_r \in I'\) dont les classes engendrent librement \(F'\). Si \(x_1 = x\) et si \(x_2, \ldots, x_r\) sont des relèvements quelconques de \(x'_1, \ldots, x'_r\) dans \(R\), on voit alors que le lemme est vérifié.

Proposition

Soit \(R\) un anneau noethérien. Soit \(I \subset R\) un idéal de dimension projective finie tel que \(I/I^2\) soit localement libre de type fini sur \(R/I\). Alors \(I\) est un idéal régulier (Compléments sur l’algèbre, définition 07CV).

Démonstration

D’après Algèbre, lemme 061L, il suffit de montrer que \(I_\mathfrak p \subset R_\mathfrak p\) est engendré par une suite régulière pour tout \(\mathfrak p \supset I\). On peut donc supposer que \(R\) est local. Si \(I/I^2\) est de rang \(r\), alors le lemme 0FJR fournit une suite régulière \(x_1, \ldots, x_r \in I\) qui engendre \(I/I^2\). D’après le lemme de Nakayama (Algèbre, lemme 00DV), on en déduit que \(I\) est engendré par \(x_1, \ldots, x_r\).

Pour tout homomorphisme d’anneaux d’intersection complète locale \(A \to B\), le complexe cotangent naïf \(\NL_{B/A}\) est parfait d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\); voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0FV0. À l’aide de ce qui précède, on peut montrer que cela caractérise parfois les homomorphismes d’intersection complète locale.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux parfait (Compléments sur l’algèbre, définition 067H) entre anneaux noethériens. Les assertions suivantes sont alors équivalentes :

1. \(\NL_{B/A}\) est d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\),

2. \(\NL_{B/A}\) est un objet parfait de \(D(B)\) d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\), et

3. \(A \to B\) est une intersection complète locale (Compléments sur l’algèbre, définition 07D0).

Démonstration

Écrivons \(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\). Alors \(\NL_{B/A}\) est représenté par le complexe \[I/I^2 \longrightarrow\bigoplus B \text{d}x_i\] de \(B\)-modules dans lequel \(I/I^2\) est placé en degré \(-1\). Puisque le terme de degré \(0\) est libre de type fini, ce complexe est d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\) si et seulement si \(I/I^2\) est un \(B\)-module plat ; voir Compléments sur l’algèbre, lemme 0653. Comme \(I/I^2\) est un \(B\)-module fini et que \(B\) est noethérien, cela équivaut à ce que \(I/I^2\) soit un \(B\)-module localement libre de type fini (Algèbre, lemme 00NX). L’équivalence de (1) et (2) est donc claire. En outre, l’équivalence de (1) et (3) résulte également de la proposition 0FJS (et du fait qu’un idéal régulier est à la fois un idéal régulier au sens de Koszul et un idéal quasi-régulier ; voir Compléments sur l’algèbre, section 07CU).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux plat et de présentation finie. Les assertions suivantes sont alors équivalentes :

1. \(\NL_{B/A}\) est d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\),

2. \(\NL_{B/A}\) est un objet parfait de \(D(B)\) d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\),

3. \(A \to B\) est syntomique (Algèbre, définition 00SL), et

4. \(A \to B\) est une intersection complète locale (Compléments sur l’algèbre, définition 07D0).

Démonstration

L’équivalence de (3) et (4) est établie dans Compléments sur l’algèbre, lemme 07D3.

Si \(A \to B\) est syntomique, on peut trouver un diagramme cocartésien \[\xymatrix{ B_0 \ar[r] & B \\ A_0 \ar[r] \ar[u] & A \ar[u] }\] tel que \(A_0 \to B_0\) soit syntomique et que \(A_0\) soit noethérien ; voir Algèbre, lemmes 00R1 et 0C33. D’après le lemme 0FJT, on voit que \(\NL_{B_0/A_0}\) est parfait d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0FJU, on en déduit qu’il en va de même de \(\NL_{B/A} = \NL_{B_0/A_0} \otimes_{B_0}^\mathbf{L} B\) (voir aussi Compléments sur l’algèbre, lemmes 066L et 066W). Ceci montre que (3) implique (2).

Supposons (1). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0FJU, pour tout homomorphisme d’anneaux \(A \to k\), où \(k\) est un corps, on voit que \(\NL_{B \otimes_A k/k}\) est d’amplitude de Tor dans \([-1, 0]\) (voir Compléments sur l’algèbre, lemme 066L). Le lemme 0FJT montre donc que \(k \to B \otimes_A k\) est un homomorphisme d’intersection complète locale. Ainsi, \(A \to B\) est syntomique par définition. Ceci montre que (1) implique (3) et achève la démonstration.

Complexes de Koszul et résolutions de Tate

Dans cette section, nous « relevons » le résultat de Compléments sur l’algèbre, lemme 0921, à la catégorie des algèbres différentielles graduées munies de puissances divisées compatibles avec la structure différentielle graduée (attention : nous représentons ici les complexes de Koszul comme des complexes de chaînes, tandis que dans la référence citée ils sont considérés comme des complexes de cochaînes).

Soit \(R\) un anneau. Soit \(I \subset R\) l’idéal engendré par \(f_1, \ldots, f_r \in R\). Pour \(n \geq 1\), nous notons \[K_n = K_{n, \bullet} = R\langle\xi_1, \ldots, \xi_r\rangle\] l’algèbre différentielle graduée de Koszul, où \(\xi_i\) est de degré \(1\) et \(\text{d}(\xi_i) = f_i^n\). Elle porte une unique structure de puissances divisées (au sens de la définition 09PJ) ; voir l’exemple 09PH. Pour \(m > n\), l’application de transition \(K_m \to K_n\) est l’homomorphisme d’algèbres différentielles graduées compatible avec les puissances divisées qui envoie \(\xi_i\) sur \(f_i^{m - n}\xi_i\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, si \(R\) est noethérien, alors, pour tout \(n\), il existe un entier \(N \geq n\) et des applications \[K_N \to A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\quad\text{et}\quad A \to K_n\] avec les propriétés suivantes

1. \((A, \text{d}, \gamma)\) est comme dans la définition 09PJ,

2. \(A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\) est un quasi-isomorphisme,

3. la composition \(K_N \to A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\) est l’application canonique,

4. la composition \(K_N \to A \to K_n\) est l’application de transition,

5. \(A_0 = R \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\) est la surjection canonique,

6. \(A\) est une algèbre polynomiale graduée à puissances divisées sur \(R\) ayant un nombre fini de générateurs dans chaque degré ;

7. \(A \to K_n\) est un homomorphisme d’algèbres différentielles graduées sur \(R\), compatible avec les puissances divisées, qui induit l’application canonique \(R/(f_1^N, \ldots, f_r^N) \to R/(f_1^n, \ldots, f_r^n)\) en homologie de degré \(0\).

La condition (6) signifie que \(A\) est construite à partir de \(A_0\) en adjoignant successivement une famille finie de variables \(T\) dans chaque degré \(> 0\), comme dans l’exemple 09PH ou 09PI.

Démonstration

Fixons \(n\). Si \(r = 0\), nous pouvons simplement prendre \(A = R\). Supposons \(r > 0\). D’après Compléments sur l’algèbre, lemme 0921 (traduit dans le langage des complexes de chaînes), nous pouvons choisir \[n_{r} > n_{r - 1} > \ldots > n_1 > n_0 = n\] de telle sorte que les applications de transition \(K_{n_{i + 1}} \to K_{n_i}\) entre algèbres de Koszul (définies ci-dessus) induisent l’application nulle en homologie dans les degrés \(> 0\). Nous démontrerons le lemme en prenant \(N = n_r\).

Nous construisons \(A\) exactement comme dans l’énoncé et la démonstration du lemme 09PN. Nous aurons donc \[A = \colim A(m),\quad\text{et}\quad A(0) \to A(1) \to A(2) \to\ldots\to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\] On obtient immédiatement les propriétés (1), (2), (5) et (6). Pour achever la démonstration, nous construirons les homomorphismes de \(R\)-algèbres \(K_N \to A \to K_n\). Pour ce faire, nous allons construire

1. un isomorphisme \(A(1) \to K_N = K_{n_r}\),

2. une application \(A(2) \to K_{n_{r - 1}}\),

3. \(\ldots\)

4. une application \(A(r) \to K_{n_1}\),

5. une application \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\),

6. une application \(A \to K_n\).

À chacune de ces étapes, l’application construite sera un homomorphisme entre algèbres différentielles graduées munies de puissances divisées compatibles ; elle sera compatible avec la précédente par l’intermédiaire des applications de transition entre algèbres de Koszul et induira l’application canonique évidente en homologie de degré \(0\).

Rappelons que \(A(0) = R\). Pour \(m = 1\), la démonstration du lemme 09PN prend \(A(1) = R\langle T_1, \ldots, T_r\rangle\), où \(T_i\) est de degré \(1\) et \(\text{d}(T_i) = f_i^N\). En effet, les \(f_i^N\) engendrent le noyau de \(A(0) \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\). Pour définir \(A(1) \to K_N = K_{n_r}\), nous utilisons donc l’application \[\varphi_1 : A(1) \longrightarrow K_{n_r},\quad T_i \longmapsto\xi_i\] qui est un isomorphisme.

Pour \(m = 2\), la construction dans la démonstration du lemme 09PN choisit des générateurs \(e_1, \ldots, e_t \in\Ker(\text{d} : A(1)_1 \to A(1)_0)\). Elle prend \(A(2) = A(1)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\) comme algèbre polynomiale à puissances divisées, avec \(T_i\) de degré \(2\) et \(\text{d}(T_i) = e_i\). Puisque \(\varphi_1(e_i)\) est un cycle de \(K_{n_r}\), son image dans \(K_{n_{r - 1}}\) est un bord, par le choix de \(n_r\) et \(n_{r - 1}\) effectué ci-dessus. Nous pouvons donc construire le diagramme commutatif \[\xymatrix{ A(1) \ar[d] \ar[r]_{\varphi_1} & K_{n_r} \ar[d] \\ A(2) \ar[r]^{\varphi_2} & K_{n_{r - 1}} }\] en envoyant \(T_i\) sur un élément de degré \(2\) dont le bord est l’image de \(\varphi_1(e_i)\). L’application \(\varphi_2\) existe et est compatible avec la différentielle et les puissances divisées grâce à la propriété universelle de l’algèbre polynomiale à puissances divisées.

L’algèbre \(A(m)\) et l’application \(\varphi_m : A(m) \to K_{n_{r + 1 - m}}\) se construisent de la même manière pour \(m = 2, \ldots, r\).

Étant donnée l’application \(A(r) \to K_{n_1}\), la composée \(H_r(A(r)) \to H_r(K_{n_1}) \to H_r(K_{n_0}) \subset (K_{n_0})_r\) est nulle. On peut donc la prolonger en une application \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\) en envoyant sur zéro les nouveaux générateurs polynomiaux de \(A(r + 1)\).

Une fois construite l’application \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\), on la prolonge de l’unique manière possible à \(A(r + 2), A(r + 3), \ldots\), en envoyant les nouveaux générateurs polynomiaux sur zéro. Ceci achève la démonstration.

Remarque

Dans la situation ci-dessus, si \(R\) est noethérien, nous pouvons choisir par récurrence une suite d’entiers \(1 = n_0 < n_1 < n_2 < \ldots\) telle que, pour \(i = 1, 2, 3, \ldots\), il existe des applications \(K_{n_i} \to A_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) et \(A_i \to K_{n_{i - 1}}\) comme dans le lemme 0GZ4. Notons \(A_{i + 1} \to A_i\) la composée \(A_{i + 1} \to K_{n_i} \to A_i\). Le diagramme \[\xymatrix{ K_{n_1} \ar[d] & K_{n_2} \ar[d] \ar[l] & K_{n_3} \ar[d] \ar[l] & \ldots\ar[l] \\ A_1 \ar[d] & A_2 \ar[l] \ar[d] & A_3 \ar[l] \ar[d] & \ldots\ar[l] \\ K_1 & K_{n_1} \ar[l] & K_{n_2} \ar[l] & \ldots\ar[l] }\] est alors commutatif. On voit ainsi que les systèmes projectifs \((K_n)\) et \((A_n)\) sont pro-isomorphes dans la catégorie des algèbres différentielles graduées sur \(R\) munies de puissances divisées compatibles.

Lemme

Soient \((A, \text{d}, \gamma)\), \(d \geq 1\), \(f \in A_{d - 1}\) et \(A\langle T \rangle\) comme dans le lemme 09PM.

1. Si \(d = 1\), il existe une suite exacte longue \[\ldots\to H_0(A) \xrightarrow{f} H_0(A) \to H_0(A\langle T \rangle) \to 0\]

2. Pour \(d = 2\), il existe une suite spectrale bornée \((E_1)_{i, j} = H_{j - i}(A) \cdot T^{[i]}\) qui converge vers \(H_{i + j}(A\langle T \rangle)\). La différentielle \((d_1)_{i, j} : H_{j - i}(A) \cdot T^{[i]} \to H_{j - i + 1}(A) \cdot T^{[i - 1]}\) envoie \(\xi\cdot T^{[i]}\) sur la classe de \(f \xi\cdot T^{[i - 1]}\).

3. On pourra compléter cet énoncé pour les autres degrés, si nécessaire.

Démonstration

Pour \(d = 1\), nous avons une suite exacte courte de complexes \[0 \to A \to A\langle T \rangle\to A \cdot T \to 0\] et (1) en résulte immédiatement. Pour \(d = 2\), nous considérons \(A\langle T \rangle\) comme un complexe de chaînes filtré par les sous-complexes \[F^pA\langle T \rangle = \bigoplus\nolimits_{i \leq p} A \cdot T^{[i]}\] En appliquant la suite spectrale de Homologie, section 012K (traduite en complexes de chaînes), on obtient (2).

Le lemme suivant sera nécessaire plus tard.

Lemme

Dans la situation ci-dessus, pour tous \(n \geq t \geq 1\) il existe un \(N > n\) et une application \[K_t \longrightarrow K_n \otimes_R K_t\] dans la catégorie dérivée des \(K_N\)-modules différentiels gradués à gauche, dont la composée avec l’application de multiplication est l’application de transition (dans l’un ou l’autre sens).

Démonstration

Commençons par le cas \(r = 1\). Posons \(f = f_1\). Écrivons \(K_t = R\langle x \rangle\), \(K_n = R\langle y \rangle\), \(K_N = R\langle z \rangle\) où \(x\), \(y\) et \(z\) sont de degré \(1\), et \(\text{d}(x) = f^t\), \(\text{d}(y) = f^n\), \(\text{d}(z) = f^N\). Pour tout \(N > t\), nous affirmons qu’il existe un quasi-isomorphisme \[B_{N, t} = R\langle x, z, u \rangle \longrightarrow K_t,\quad x \mapsto x,\quad z \mapsto f^{N - t}x,\quad u \mapsto 0\] Ici, le membre de gauche désigne l’algèbre polynomiale à puissances divisées aux variables \(x\) et \(z\) de degré \(1\) et \(u\) de degré \(2\), munie de \(\text{d}(x) = f^t\), \(\text{d}(z) = f^N\), \(\text{d}(u) = z - f^{N - t}x\). Pour démontrer l’assertion, remarquons que les trois sous-modules suivants de \(H_*(R\langle x, z\rangle)\) sont les mêmes

1. le noyau de \(H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(K_t)\),

2. l’image de \(z - f^{N - t}x : H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(R\langle x, z\rangle)\),

3. le noyau de \(z - f^{N - t}x : H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(R\langle x, z\rangle)\).

Cette observation résulte d’un calcul direct⁴, détail que nous omettons. On peut alors appliquer le lemme 0GZ6, partie (2), pour conclure.

Au moyen de l’homomorphisme \(K_N \to B_{N, t}\) d’algèbres différentielles graduées sur \(R\) qui envoie \(z\) sur \(z\), nous pouvons considérer \(B_{N, t} \to K_t\) comme un quasi-isomorphisme de \(K_N\)-modules différentiels gradués à gauche. Pour définir la flèche de l’énoncé, nous utilisons l’homomorphisme \[B_{N, t} = R\langle x, z, u \rangle\to K_n \otimes_R K_t,\quad x \mapsto 1 \otimes x,\quad z \mapsto f^{N - n}y \otimes 1,\quad u \mapsto - f^{N - n - t}y \otimes x\] Cette définition a un sens dès que \(N \geq n + t\). Un calcul simple montre que, dans l’un ou l’autre ordre de composition, la composée avec l’application de multiplication est l’application de transition.

Pour \(r > 1\), on écrit chacune des algèbres de Koszul comme un produit tensoriel d’algèbres de Koszul en \(1\) variable, puis on applique la construction précédente. Autrement dit, \[K_t = R\langle x_1, \ldots, x_r\rangle = R\langle x_1\rangle\otimes_R \ldots\otimes_R R\langle x_r\rangle\] où \(x_i\) est de degré \(1\) et \(\text{d}(x_i) = f_i^t\). Lorsque \(r > 1\), nous utilisons alors \[B_{N, t} = R\langle x_1, z_1, u_1 \rangle \otimes_R \ldots\otimes_R R\langle x_r, z_r, u_r \rangle\] où \(x_i, z_i\) sont de degré \(1\) et \(u_i\) est de degré \(2\), avec \(\text{d}(x_i) = f_i^t\), \(\text{d}(z_i) = f_i^N\), \(\text{d}(u_i) = z_i - f_i^{N - t}x_i\). L’application tensorielle \(B_{N, t} \to K_t\) est un quasi-isomorphisme, car c’est un produit tensoriel de quasi-isomorphismes entre complexes de \(R\)-modules libres bornés inférieurement. Enfin, nous définissons l’application \[B_{N, t} \to K_n \otimes_R K_t = R\langle y_1, \ldots, y_r\rangle\otimes_R R\langle x_1, \ldots, x_r\rangle\] comme le produit tensoriel des applications construites dans le cas \(r = 1\), ou directement par les règles \(x_i \mapsto 1 \otimes x_i\), \(z_i \mapsto f_i^{N - n}y_i \otimes 1\), \(u_i \mapsto - f_i^{N - n - t}y_i \otimes x_i\), ce qui a un sens dès que \(N \geq n + t\). Nous omettons les détails.