분할 거듭제곱 대수

서론

이 장에서는 분할 거듭제곱 대수와 그것으로 할 수 있는 일을 논한다. 참고문헌은 [Berthelot]이다.

분할 거듭제곱

이 절에서는 분할 거듭제곱 환에 관한 몇 가지 결과를 모은다. 빈 곱은 \(1\)이어야 하므로 \(0! = 1\)이라는 관례를 사용한다.

정의

\(A\)를 환이라 하고 \(I\)를 \(A\)의 아이디얼이라 하자. 사상들의 모음 \(\gamma_n : I \to I\), \(n > 0\)을 \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조라 함은 모든 \(n \geq 0\), \(m > 0\), \(x, y \in I\), \(a \in A\)에 대해 다음이 성립한다는 뜻이다.

1. \(\gamma_1(x) = x\)이고, 또한 \(\gamma_0(x) = 1\)로 놓는다.

2. \(\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n! m!} \gamma_{n + m}(x)\)이다.

3. \(\gamma_n(ax) = a^n \gamma_n(x)\)이다.

4. \(\gamma_n(x + y) = \sum_{i = 0, \ldots, n} \gamma_i(x)\gamma_{n - i}(y)\)이다.

5. \(\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x)\)이다.

정의에 나타나는 유리수 \(\frac{(n + m)!}{n! m!}\)과 \(\frac{(nm)!}{n! (m!)^n}\)은 사실 정수이다. 첫째 것은 \(n + m\)개 가운데 \(n\)개를 고르는 방법의 수이고, 둘째 것은 \(nm\)개의 대상들로 이루어진 한 무리를 \(m\)개씩인 \(n\)개의 무리로 나누는 방법의 수이다. 다음은 \(\gamma_n(x)\)가 \(I\)에서 \(x^n/n!\)을 대신한다는 것을 보여 주는 정의에 관한 몇 가지 관찰이다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(I\)를 \(A\)의 아이디얼이라 하자.

1. \(\gamma\)가 \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조이면¹, \(n \geq 1\), \(x \in I\)에 대해 \(n! \gamma_n(x) = x^n\)이다.

\(A\)가 \(\mathbf{Z}\)-가군으로서 비틀림이 없다고 가정하자.

1. \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조가 존재하면 유일하다.

2. \(\gamma_n : I \to I\)들이 사상들이면 \[\gamma\text{ is a divided power structure} \Leftrightarrow n! \gamma_n(x) = x^n\ \forall x \in I, n \geq 1.\]

3. 아이디얼 \(I\)가 분할 거듭제곱 구조를 갖기 위한 필요충분조건은, 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(x_i^n \in (n!)I\)인 아이디얼로서의 \(I\)의 생성자 집합 \(x_i\)가 존재하는 것이다.

증명

(1)의 증명. \(\gamma\)가 분할 거듭제곱 구조이면, 조건 (2)를 \(n\)과 \(m\) 대신 \(1\)과 \(n-1\)에 적용하여 \(n \gamma_n(x) = \gamma_1(x)\gamma_{n - 1}(x)\)를 얻는다. 따라서 귀납법과 조건 (1)에 의해 \(n! \gamma_n(x) = x^n\)이다.

\(A\)가 \(\mathbf{Z}\)-가군으로서 비틀림이 없다고 가정하자. (2)의 증명. 이는 (1)에서 자명하다.

(3)의 증명. 모든 \(x \in I\)와 \(n \geq 1\)에 대해 \(n! \gamma_n(x) = x^n\)이라고 가정하자. \(A \subset A \otimes_{\mathbf{Z}} \mathbf{Q}\)이므로 \(A\)가 \(\mathbf{Q}\)-대수인 경우에 Definition 07GL의 공리 (1)–(5)를 증명하면 충분하다. 이 경우 \(\gamma_n(x) = x^n/n!\)이고 (1)–(5)는 곧바로 확인된다. 예를 들어 (4)는 이항공식 \[(x + y)^n = \sum_{i = 0, \ldots, n} \frac{n!}{i!(n - i)!} x^iy^{n - i}\] 에 대응한다. 계수들이 올바른지 확인하기 위해 독자가 직접 이 검산을 해 보기를 권한다.

(4)의 증명. 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(x_i^n \in (n!)I\)인 아이디얼로서의 \(I\)의 생성자 \(x_i\)가 주어졌다고 하자. 모든 \(x \in I\)에 대해 \(x^n \in (n!)I\)라고 주장한다. 이 주장이 성립하면 \(\gamma_n(x) = x^n/n!\)로 놓을 수 있고, 이는 (3)에 의해 분할 거듭제곱 구조이다. 주장을 증명하기 위해 먼저 \(x = ax_i\)일 때 성립함을 관찰한다. 따라서 이 주장은 아벨군으로서의 \(I\)의 생성자 집합에서 성립한다. 그 생성자들로 쓴 식의 길이에 관한 귀납법에 의해, \(x\)와 \(y\)에 대해 주장이 성립할 때 \(x + y\)에 대해서도 성립함을 보이면 충분하다. 이는 이항정리에서 즉시 따른다.

예

\(p\)를 소수라 하자. \(p\)로 나누어지지 않는 모든 정수 \(n\)이 가역인 환 \(A\), 즉 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-대수 \(A\)를 생각하자. 그러면 \(I = pA\)는 표준적인 분할 거듭제곱 구조를 갖는다. 실제로 \(x = pa \in I\)가 주어지면 \[\gamma_n(x) = \frac{p^n}{n!} a^n\] 으로 놓는다. \(n \geq 1\)에 대해 \(p^n/n! \in p\mathbf{Z}_{(p)}\)임을 독자는 즉시 확인할 수 있다 (예를 들어 \(n!\)의 소인수분해에서 \(p\)의 지수가 \(\left\lfloor n/p \right\rfloor + \left\lfloor n/p^2 \right\rfloor + \left\lfloor n/p^3 \right\rfloor + \ldots\)라는 사실에서 이를 얻을 수 있다). 따라서 이 정의는 의미가 있으며 사상들의 열 \(\gamma_n : I \to I\)를 준다. Definition 07GL의 조건 (1)–(5)가 성립한다는 것은 곧바로 확인할 수 있는 연습문제이다. 다른 방법으로는 \(A_0 = \mathbf{Z}_{(p)}\)에 대해 이 정의가 성립함이 자명하고, 그 결과가 Lemma 07H1에서 따름을 사용할 수 있다.

\(A\)의 임의의 아이디얼 \(I\)와 \(I\) 위의 임의의 분할 거듭제곱 구조 \(\gamma\)에 대해 \(\gamma_n\left(0\right) = 0\)임을 관찰한다. (이는 Definition 07GL의 공리 (3)에 \(a=0\)을 적용하면 따른다.)

보조정리

\(A\)를 환, \(I\)를 \(A\)의 아이디얼이라 하자. \(\gamma_n : I \to I\), \(n \geq 1\)을 사상들의 열이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 모든 \(x, y \in I\)에 대해 Definition 07GL의 (1), (3), (4)가 성립한다.

2. 아이디얼로서의 \(I\)의 어떤 생성자 집합에 속하는 \(x\)에 대해 성질 (2)와 (5)가 성립한다.

그러면 \(\gamma\)는 \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조이다.

증명

이 증명에서 번호 (1), (2), (3), (4), (5)는 Definition 07GL에 열거된 조건들을 가리킨다. (3)을 적용하면, (2)와 (5)가 \(x\)에 대해 성립할 때 모든 \(a \in A\)에 대해 \(ax\)에 대해서도 성립한다. 따라서 (b)는 (2)와 (5)가 아벨군으로서의 \(I\)의 생성자 집합에서 성립함을 함의한다. 이제 \(x, y \in I\)라 하자. 그 생성자들로 쓴 식의 길이에 관한 귀납법에 의해, (2)와 (5)가 \(x\)와 \(y\)에 대해 성립한다고 할 때 \(x + y\)에 대해서도 성립함을 보이면 충분하다.

\(x + y\)에 대한 (2)의 증명. (4)에 의해 \[\gamma_n(x + y)\gamma_m(x + y) = \sum\nolimits_{i + j = n,\ k + l = m} \gamma_i(x)\gamma_k(x)\gamma_j(y)\gamma_l(y)\] 이다. \(x\)와 \(y\)에 대해 (2)를 사용하면 이는 \[\sum \frac{(i + k)!}{i!k!}\frac{(j + l)!}{j!l!} \gamma_{i + k}(x)\gamma_{j + l}(y)\] 와 같다. 이를 전개식 \[\gamma_{n + m}(x + y) = \sum \gamma_a(x)\gamma_b(y)\] 와 비교하면, \(a + b = n + m\)이 주어졌을 때 \[\sum\nolimits_{i + k = a,\ j + l = b,\ i + j = n,\ k + l = m} \frac{(i + k)!}{i!k!}\frac{(j + l)!}{j!l!} = \frac{(n + m)!}{n!m!}.\] 임을 증명해야 한다. 이를 직접 논증하는 대신, 다항식환 \(\mathbf{Q}[x, y]\)의 아이디얼 \(I = (x, y)\)에 대해서는 \(\gamma_n(f) = f^n/n!\), \(f \in I\)가 \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조를 정의하므로 결과가 성립함을 관찰한다. 따라서 위 유리수들의 등식은 참이다.

(1)–(4)가 성립하고 (5)가 \(x\)와 \(y\)에 대해 성립한다고 할 때 \(x + y\)에 대한 (5)의 증명. 다시 유리수들의 등식으로 환원한다. 실제로 (4)를 사용하여 \(\gamma_n(\gamma_m(x + y)) = \gamma_n(\sum \gamma_i(x)\gamma_j(y))\)로 쓸 수 있다. (4)를 사용하면 \(\gamma_n(\gamma_m(x + y))\)를 \(\gamma_k(\gamma_i(x)\gamma_j(y))\) 꼴 인자들의 곱인 항들의 합으로 쓸 수 있다. \(i > 0\)이면 \[\begin{align*} \gamma_k(\gamma_i(x)\gamma_j(y)) & = \gamma_j(y)^k\gamma_k(\gamma_i(x)) \\ & = \frac{(ki)!}{k!(i!)^k} \gamma_j(y)^k \gamma_{ki}(x) \\ & = \frac{(ki)!}{k!(i!)^k} \frac{(kj)!}{(j!)^k} \gamma_{ki}(x) \gamma_{kj}(y) \end{align*}\] 이다. 첫째 등식에서는 (3), 둘째 등식에서는 \(x\)에 대한 (5), 셋째 등식에서는 (2)를 정확히 \(k\)번 사용했다. \(y\)에 대한 (5)를 사용하면 \(i = 0\)일 때도 같은 등식이 성립한다. 이와 같이 (5)를 제외한 모든 공리를 계속 사용하면 \[\gamma_n(\gamma_m(x + y)) = \sum\nolimits_{i + j = nm} c_{ij}\gamma_i(x)\gamma_j(y)\] 로 쓸 수 있으며, 여기서 \(c_{ij} \in \mathbf{Z}\)는 어떤 보편 상수들이다. 다시 이 등식이 다항식환 \(\mathbf{Q}[x, y]\)에서 성립한다는 사실로부터 모든 계수 \(c_{ij}\)가 원하는 대로 \((nm)!/n!(m!)^n\)과 같음을 얻는다.

보조정리

\(A\)를 두 아이디얼 \(I, J \subset A\)를 갖는 환이라 하자. \(\gamma\)를 \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조, \(\delta\)를 \(J\) 위의 분할 거듭제곱 구조라 하자. 그러면

1. \(\gamma\)와 \(\delta\)는 \(IJ\) 위에서 일치한다.

2. \(\gamma\)와 \(\delta\)가 \(I \cap J\) 위에서 일치하면, 이들은 \(I + J\) 위의 유일한 분할 거듭제곱 구조 \(\epsilon\)의 제한이다.

증명

\(x \in I\), \(y \in J\)라 하자. 그러면 \[\gamma_n(xy) = y^n\gamma_n(x) = n! \delta_n(y) \gamma_n(x) = \delta_n(y) x^n = \delta_n(xy).\] 따라서 \(\gamma\)와 \(\delta\)는 \(IJ\)의 (가법적) 생성자 집합 위에서 일치한다. Definition 07GL의 성질 (4)에 의해 이들은 \(IJ\) 전체에서 일치한다.

\(\gamma\)와 \(\delta\)가 \(I \cap J\) 위에서 일치한다고 가정하자. \(z \in I + J\)라 하고, \(x \in I\), \(y \in J\)를 택하여 \(z = x + y\)로 쓰자. 그러면 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \[\epsilon_n(z) = \sum \gamma_i(x)\delta_{n - i}(y)\] 로 놓는다. 이것이 잘 정의됨을 보기 위해 \(x' \in I\), \(y' \in J\)이고 \(z = x' + y'\)인 다른 표현이 주어졌다고 하자. 그러면 \(w = x - x' = y' - y \in I \cap J\)이다. 따라서 원하는 대로 \[\begin{align*} \sum\nolimits_{i + j = n} \gamma_i(x)\delta_j(y) & = \sum\nolimits_{i + j = n} \gamma_i(x' + w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + l + j = n} \gamma_{i'}(x')\gamma_l(w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + l + j = n} \gamma_{i'}(x')\delta_l(w)\delta_j(y) \\ & = \sum\nolimits_{i' + j' = n} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y + w) \\ & = \sum\nolimits_{i' + j' = n} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y') \end{align*}\] 이다. 이로써 모든 \(n \geq 1\)에 대해 사상 \(\epsilon_n : I + J \to I + J\)를 정의했다. \(\epsilon_n \mid_{I} = \gamma_n\)과 \(\epsilon_n \mid_{J} = \delta_n\)임은 쉽게 알 수 있다. 이제 사상들의 모음 \(\epsilon_n\)에 대해 Definition 07GL의 조건 (1)–(5)를 증명한다. 성질 (1)과 (3)은 자명하다. (4)를 보기 위해 \(x, x' \in I\), \(y, y' \in J\)이고 \(z = x + y\), \(z' = x' + y'\)라고 하여 계산하면 \[\begin{align*} \epsilon_n(z + z') & = \sum\nolimits_{a + b = n} \gamma_a(x + x')\delta_b(y + y') \\ & = \sum\nolimits_{i + i' + j + j' = n} \gamma_i(x) \gamma_{i'}(x')\delta_j(y)\delta_{j'}(y') \\ & = \sum\nolimits_{k = 0, \ldots, n} \sum\nolimits_{i+j=k} \gamma_i(x)\delta_j(y) \sum\nolimits_{i'+j'=n-k} \gamma_{i'}(x')\delta_{j'}(y') \\ & = \sum\nolimits_{k = 0, \ldots, n}\epsilon_k(z)\epsilon_{n-k}(z') \end{align*}\] 을 얻는다. 이제 Lemma 07GP에 의해 \(I\) 또는 \(J\)의 원소들에 대해 (2)와 (5)를 증명하는 것으로 충분하다. \(\gamma\)와 \(\delta\)가 분할 거듭제곱 구조이므로 이는 자명하다.

이로써 \(I+J\) 위에, \(I\)와 \(J\)로 제한하면 각각 \(\gamma\)와 \(\delta\)가 되는 분할 거듭제곱 구조 \(\epsilon\)의 존재가 증명되었다. 그 유일성은 상당히 자명하다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하자. \(A\)를 환, \(I \subset A\)를 아이디얼, \(\gamma\)를 \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조라 하자. \(A/I\)에서 \(p\)가 멱영이라고 가정하자. 그러면 \(I\)가 국소 멱영이기 위한 필요충분조건은 \(A\)에서 \(p\)가 멱영인 것이다.

증명

\(A\)에서 \(p^N = 0\)이면, \(x \in I\)에 대해 \((pN)!\)이 \(p^N\)으로 나누어지므로 \(x^{pN} = (pN)!\gamma_{pN}(x) = 0\)이다. 거꾸로 \(I\)가 국소 멱영이라고 가정하자. 또한 \(A/I\)에서 \(p\)가 멱영이라고 가정했으므로, 어떤 \(r\)에 대해 \(p^r \in I\)이다. 따라서 \(p^r\)이 멱영이고, 따라서 \(p\)도 멱영이다.

분할 거듭제곱 환

분할 거듭제곱 환들의 범주가 있다. 그 정의는 다음과 같다.

정의

분할 거듭제곱 환은 삼중항 \((A, I, \gamma)\)로서, \(A\)는 환이고 \(I \subset A\)는 아이디얼이며 \(\gamma = (\gamma_n)_{n \geq 1}\)은 \(I\) 위의 분할 거듭제곱 구조인 것이다. 분할 거듭제곱 환의 준동형 \(\varphi : (A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\)은 \(\varphi(I) \subset J\)이고 모든 \(x \in I\)와 \(n \geq 1\)에 대해 \(\delta_n(\varphi(x)) = \varphi(\gamma_n(x))\)인 환 준동형 \(\varphi : A \to B\)이다.

때때로 “\((B, J, \delta)\)를 \((A, I, \gamma)\) 위의 분할 거듭제곱 대수라 하자”라고 말한다. 이는 \((B, J, \delta)\)가 분할 거듭제곱 환이고 분할 거듭제곱 환의 준동형 \((A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\)이 함께 주어졌음을 뜻한다.

보조정리

분할 거듭제곱 환의 범주는 모든 극한을 가지며, 이 극한들은 환의 범주에서의 극한들과 일치한다.

증명

빈 극한은 영환이다(이상하지만 우리에게는 이것이 필요하다). 분할 거듭제곱 환들의 모음 \((A_t, I_t, \gamma_t)\), \(t \in T\)의 곱은 \((\prod A_t, \prod I_t, \gamma)\)로 주어지며, 여기서 \(\gamma_n((x_t)) = (\gamma_{t, n}(x_t))\)이다. \(\alpha, \beta : (A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\)의 등화자는 아이디얼 \(C \cap I\)와 유도된 분할 거듭제곱을 갖는 \(C = \{a \in A \mid \alpha(a) = \beta(a)\}\)이다. 따라서 모든 극한이 존재한다. Categories, Lemma 002N를 보라.

다음 보조정리는 분할 거듭제곱 대수의 경우에 매우 일반적인 범주론적 현상을 보여 준다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 분할 거듭제곱 환의 범주라 하고 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. 다음을 가정하자.

1. 어떤 기수 \(\kappa\)가 존재하여, 모든 \(f \in F(A, I, \gamma)\)에 대해 \(\mathcal{C}\)의 사상 \((A', I', \gamma') \to (A, I, \gamma)\)과 \(f' \in F(A', I', \gamma')\)가 존재하고, \(f\)는 이 원소의 상이며 \(|A'| \leq \kappa\)이다.

2. \(F\)는 극한과 가환한다.

그러면 \(F\)는 표현가능하다. 즉 \(\mathcal{C}\)의 객체 \((B, J, \delta)\)가 존재하여 \((A, I, \gamma)\)에 관해 함자적으로 \[F(A, I, \gamma) = \Hom_\mathcal{C}((B, J, \delta), (A, I, \gamma))\] 이다.

증명

이는 Categories, Lemma 0AHN의 특수한 경우이다.

보조정리

분할 거듭제곱 환의 범주는 모든 여극한을 갖는다.

증명

빈 여극한은 분할 거듭제곱 아이디얼 \((0)\)을 갖는 \(\mathbf{Z}\)이다. 일반적인 여극한을 논하자. \(\mathcal{C}\)를 범주라 하고 \(c \mapsto (A_c, I_c, \gamma_c)\)를 도식이라 하자. 함자 \[F(B, J, \delta) = \lim_{c \in \mathcal{C}} Hom((A_c, I_c, \gamma_c), (B, J, \delta))\] 를 생각하자. 임의의 \(f = (f_c)_{c \in C} \in F(B, J, \delta)\)는 다음 성질을 갖는다. 모든 상 \(f_c(A_c)\)는 \(B\)의 유계 기수 \(\kappa\)인 부분환 \(B'\)을 생성하고, 모든 상 \(f_c(I_c)\)는 \(B'\)의 분할 거듭제곱 부분아이디얼 \(J'\)을 생성한다. 그리고 \(f\)는 \(F(B')\)의 원소 \(f'\) 뒤에 포함 \(B' \to B\)를 합성하는 것으로 분해된다. 또한 \(F\)는 극한과 가환한다. 따라서 Lemma 07GW을 적용하면 \(F\)가 표현가능함을 알 수 있고, 이로써 끝난다.

주

분할 거듭제곱 환의 범주에서 다음 도식이 밂이라고 하자 (Lemma 07GX에 의해 밂은 존재한다). \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] 그러면

1. \(B''/J'' = B/J \otimes_{A/I} B'/J'\)이다.

2. 사상 \(\varphi : B \otimes_A B' \to B''\)는 전사이다.

3. \(\varphi\)가 유도하는 사상 \(J \otimes_A B' + B \otimes_A J' \to J''\)는 전사이다.

(1)을 보려면 사상 \((B'', J'', \delta'') \to (C, (0), \emptyset)\)을 생각하고 밂의 정의를 적용한다. (2)를 보려면 상 \(\tilde B = \varphi(B \otimes_A B')\)와 아이디얼 \(\tilde J = \varphi(J \otimes_A B' + B \otimes_A J')\)을 생각한다. \(\delta''\)가 \(\delta\) 및 \(\delta'\)와 양립하므로, 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\delta''_n(\tilde J) \subset \tilde J\)임은 자명하다. 따라서 밂의 보편성에 의해 \(\tilde B = B''\)와 \(\tilde J = J''\)이어야 한다.

주

망각 함자 \((A, I, \gamma) \mapsto A\)는 여극한과 가환하지 않는다. 예를 들어 Remark 0H86에서 논한 것처럼, 분할 거듭제곱 환의 범주에서 다음 도식이 밂이라고 하자. \[\xymatrix{ (B, J, \delta) \ar[r] & (B'', J'', \delta'') \\ (A, I, \gamma) \ar[r] \ar[u] & (B', J', \delta') \ar[u] }\] 그러면 일반적으로 사상 \(B \otimes_A B' \to B''\)은 동형이 아니다. 구체적인 예는 \((A, I, \gamma) = (\mathbf{Z}, (0), \emptyset)\), \((B, J, \delta) = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, 2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, \delta)\), 그리고 \((B', J', \delta') = (\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, 2\mathbf{Z}/4\mathbf{Z}, \delta')\)로 주어지며, 여기서 \(\delta_2(2) = 2\)이고 \(\delta'_2(2) = 0\)이다. 더 정확히 말하면 Lemma 07GS를 사용하여, \(\delta\)와 각각 \(\delta'\)을 \(J\)와 각각 \(J'\) 위의 유일한 분할 거듭제곱 구조로 잡는다. 이때 \(\delta_2 : J \to J\)와 각각 \(\delta'_2 : J' \to J'\)는 사상 \(0 \mapsto 0, 2 \mapsto 2\)와 각각 \(0 \mapsto 0, 2 \mapsto 0\)이다. 그러면 \((B'', J'', \delta'') = (\mathbf{F}_2, (0), \emptyset)\)이고, 이는 텐서곱과 일치하지 않는다.

분할 거듭제곱의 연장

정의는 다음과 같다.

정의

분할 거듭제곱 환 \((A, I, \gamma)\)과 환 사상 \(A \to B\)가 주어졌다고 하자. \(IB\) 위에 분할 거듭제곱 구조 \(\bar \gamma\)가 존재하여 \((A, I, \gamma) \to (B, IB, \bar\gamma)\)가 분할 거듭제곱 환의 준동형이 되면, \(\gamma\)가 \(B\)로 연장된다고 한다.

보조정리

\((A, I, \gamma)\)를 분할 거듭제곱 환이라 하고, \(A \to B\)를 환 사상이라 하자. \(\gamma\)가 \(B\)로 연장된다면 그 연장은 유일하다. 다음 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(IB = 0\),

2. \(I\)가 주 아이디얼이다. 또는

3. \(A \to B\)가 평탄하다.

그러면 \(\gamma\)는 \(B\)로 연장된다.

증명

\(IB\)의 임의의 원소는 \(b_i \in B\) 및 \(x_i \in I\)를 써서 유한합 \(\sum\nolimits_{i=1}^t b_ix_i\)로 나타낼 수 있다. \(\gamma\)가 \(IB\) 위의 \(\bar\gamma\)로 연장된다면 \(\bar\gamma_n(x_i) = \gamma_n(x_i)\)이다. 따라서 정의 07GL의 조건 (3)과 (4)에 의해 \[\bar\gamma_n(\sum\nolimits_{i=1}^t b_ix_i) = \sum\nolimits_{n_1 + \ldots + n_t = n} \prod\nolimits_{i = 1}^t b_i^{n_i}\gamma_{n_i}(x_i)\] 이다. 그러므로 \(\bar\gamma\)가 존재한다면 유일하다.

\(IB = 0\)이면 \(\bar\gamma_n(0) = 0\)으로 놓으면 된다. \(I = (x)\)이면 \(\bar\gamma_n(bx) = b^n\gamma_n(x)\)로 정의한다. 이는 잘 정의된다. 실제로 \(b'x = bx\), 즉 \((b - b')x = 0\)이면 \[\begin{align*} b^n\gamma_n(x) - (b')^n\gamma_n(x) & = (b^n - (b')^n)\gamma_n(x) \\ & = (b^{n - 1} + \ldots + (b')^{n - 1})(b - b')\gamma_n(x) = 0 \end{align*}\] 이다. 이는 \(\gamma_n(I) \subset I\)이므로 \(\gamma_n(x)\)가 \(x\)로 나누어지고, 따라서 \(b - b'\)에 의해 영이 되기 때문이다. 이제 정의 07GL의 조건 (1)–(5)를 증명하자. (1), (2), (3), (5)는 구성으로부터 명백하다. (4)에 대해서는 \(y, z \in IB\), 이를테면 \(y = bx\) 및 \(z = cx\)라 하자. 그러면 \(y + z = (b + c)x\)이므로 \[\begin{align*} \bar\gamma_n(y + z) & = (b + c)^n\gamma_n(x) \\ & = \sum \frac{n!}{i!(n - i)!}b^ic^{n -i}\gamma_n(x) \\ & = \sum b^ic^{n - i}\gamma_i(x)\gamma_{n - i}(x) \\ & = \sum \bar\gamma_i(y)\bar\gamma_{n -i}(z) \end{align*}\] 를 얻으며, 이는 원하는 바이다.

\(A \to B\)가 평탄하다고 가정하자. \(b_1, \ldots, b_r \in B\) 및 \(x_1, \ldots, x_r \in I\)라 하자. \(\bar\gamma_n\)이 존재한다면 \[\bar\gamma_n(\sum b_ix_i) = \sum b_1^{e_1} \ldots b_r^{e_r} \gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_r}(x_r)\] 이며, 여기서 합은 \(e_1 + \ldots + e_r = n\)인 경우를 모두 돈다. 이제 \(b_i = \sum a_{ij}c_j\)를 만족하는 \(c_1, \ldots, c_s \in B\)와 \(a_{ij} \in A\)가 있다고 하자. \(y_j = \sum a_{ij}x_i\)로 놓으면 \[\sum b_1^{e_1} \ldots b_r^{e_r} \gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_r}(x_r) = \sum c_1^{d_1} \ldots c_s^{d_s} \gamma_{d_1}(y_1) \ldots \gamma_{d_s}(y_s)\] 가 \(B\)에서 성립한다고 주장한다. 여기서 오른쪽 합은 \(d_1 + \ldots + d_s = n\)인 경우를 모두 돈다. 실제로 분할 거듭제곱 구조의 공리를 사용하면 양변을 \(\mathbf{Z}[a_{ij}]\)에 속하는 계수와 \(c_1^{d_1} \ldots c_s^{d_s}\gamma_{e_1}(x_1) \ldots \gamma_{e_r}(x_r)\) 꼴의 항들로 이루어진 합으로 전개할 수 있다. 계수들이 일치함을 보려면, \(\gamma\)가 \((x_1, \ldots, x_r)\) 위의 유일한 분할 거듭제곱 구조일 때 이 결과가 \(\mathbf{Q}[x_1, \ldots, x_r, c_1, \ldots, c_s, a_{ij}]\)에서 성립한다는 점에 주목하면 된다. Lazard 정리(Algebra, Theorem 058G)에 의해 \(B\)를 유한 자유 \(A\)-가군들의 유향 여극한으로 나타낼 수 있다. 특히 \(z \in IB\)가 \(z = \sum x_ib_i\) 및 \(z = \sum x'_{i'}b'_{i'}\)로 나타난다면, \(b_i = \sum a_{ij}c_j\) 및 \(b'_{i'} = \sum a'_{i'j}c_j\)를 만족하고 \(y_j = \sum x_ia_{ij} = \sum x'_{i'}a'_{i'j}\)가 성립하도록 하는 \(c_1, \ldots, c_s \in B\)와 \(a_{ij}, a'_{i'j} \in A\)를 찾을 수 있다 ². 그러므로 위 절차는 \(IB\) 위의 잘 정의된 사상 \(\bar\gamma_n\)을 준다. 구성에 의해 \(\bar\gamma\)는 조건 (1), (3), (4)를 만족한다. 더욱이 \(x \in I\)에 대해 \(\bar\gamma_n(x) = \gamma_n(x)\)이다. 따라서 보조정리 07GP에 의해 \(\bar\gamma\)는 \(IB\) 위의 분할 거듭제곱 구조이다.

보조정리

\((A, I, \gamma)\)를 분할 거듭제곱 환이라 하자.

1. \(\varphi : (A, I, \gamma) \to (B, J, \delta)\)가 분할 거듭제곱 환의 준동형이면, 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\Ker(\varphi) \cap I\)는 \(\gamma_n\)에 의해 보존된다.

2. \(\mathfrak a \subset A\)를 아이디얼이라 하고 \(I' = I \cap \mathfrak a\)로 놓자. 다음 조건들은 동치이다.

   1. 모든 \(n > 0\)에 대해 \(I'\)는 \(\gamma_n\)에 의해 보존된다.

   2. \(\gamma\)는 \(A/\mathfrak a\)로 연장된다.

   3. 아이디얼로서 \(I'\)의 생성원 집합 \(x_i\)가 존재하여, 모든 \(n > 0\)에 대해 \(\gamma_n(x_i) \in I'\)이다.

증명

(1)의 증명. 이는 명백하다. (2)(a)를 가정하자. \(x \in I\)에 대해 \(\bar\gamma_n(x \bmod I') = \gamma_n(x) \bmod I'\)로 정의한다. 가정에 의해 \(\gamma_j(y) \in I'\)이고 정의 07GL (4)가 성립하므로, \(y \in I'\)에 대해 \(\gamma_n(x + y) = \gamma_n(x) \bmod I'\)이다. 따라서 이는 잘 정의된다. \(\gamma\)가 분할 거듭제곱 구조이므로 \(\bar\gamma\)도 그러한 구조임이 명백하다. 따라서 (2)(b)가 성립한다. 또한 (1)에 의해 (2)(b)는 (2)(a)를 함의한다. (2)(a)가 (2)(c)를 함의함은 명백하다. (2)(c)를 가정하자. \(x = ax_i\)일 때 \(\gamma_n(x) = a^n\gamma_n(x_i) \in I'\)임에 주목하자. 따라서 아벨군으로서 \(I'\)의 한 생성원 집합에 대해 \(\gamma_n(x) \in I'\)임을 알 수 있다. 이 생성원들로 된 표현의 길이에 대한 귀납법에 의해, \(\forall n : \gamma_n(x), \gamma_n(y) \in I'\)이면 \(\forall n : \gamma_n(x + y) \in I'\)임을 보이는 것으로 충분하다. 이는 분할 거듭제곱 구조의 네 번째 공리에서 곧바로 따른다.

보조정리

\((A, I, \gamma)\)를 분할 거듭제곱 환이라 하고, \(E \subset I\)를 부분집합이라 하자. \(\gamma\)에 의해 보존되고 모든 \(f \in E\)를 포함하는 가장 작은 아이디얼 \(J \subset I\)는 \(\gamma_n(f)\), \(n \geq 1\), \(f \in E\)로 생성되는 아이디얼 \(J\)이다.

증명

보조정리 07H2에서 곧바로 따른다.

보조정리

\((A, I, \gamma)\)를 분할 거듭제곱 환이라 하고 \(p\)를 소수라 하자. \(p\)가 \(A/I\)에서 멱영이면 다음이 성립한다.

1. \(p\)-진 완비화 \(A^\wedge = \lim_e A/p^eA\)는 \(A/I\)로 전사한다.

2. 이 사상의 핵은 \(I\)의 \(p\)-진 완비화 \(I^\wedge\)이다.

3. 각 \(\gamma_n\)은 \(p\)-진 위상에 관해 연속이고 \(\gamma_n^\wedge : I^\wedge \to I^\wedge\)로 연장되어, \(I^\wedge\) 위의 분할 거듭제곱 구조를 정의한다.

더 나아가 \(A\)가 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-대수이면 다음도 성립한다.

1. 충분히 큰 \(e\)에 대해 아이디얼 \(p^eA \subset I\)는 분할 거듭제곱 구조 \(\gamma\)에 의해 보존되고, \[(A^\wedge, I^\wedge, \gamma^\wedge) = \lim_e (A/p^eA, I/p^eA, \bar\gamma)\] 가 분할 거듭제곱 환의 범주에서 성립한다.

증명

\(p^tA/I = 0\), 즉 \(p^tA \subset I\)가 되도록 하는 정수 \(t \geq 1\)을 택하자. 사상 \(A^\wedge \to A/I\)는 합성 \(A^\wedge \to A/p^tA \to A/I\)이며, 이는 전사이다(예를 들어 Algebra, Lemma 0315에 의한다). \(e \geq t\)에 대해 \(p^eI \subset p^eA \cap I \subset p^{e - t}I\)이므로, 합성 \(A^\wedge \to A/I\)의 핵은 \(I\)의 \(p\)-진 완비화이다. 사상 \(\gamma_n\)은 다음 식과 분할 거듭제곱 구조의 공리에 의해 연속이다. \[\gamma_n(x + p^ey) = \sum\nolimits_{i + j = n} p^{je}\gamma_i(x)\gamma_j(y) = \gamma_n(x) \bmod p^eI\] 사상 \(\gamma_n^\wedge\)들이 \(\gamma_n\)들로부터 분할 거듭제곱 구조의 공리들을 물려받는다는 것은 명백하다. 마지막 주장을 보이기 위해 \(e > t\)라 하자. 그러면 \(p^eA \subset I\)이고 \(\gamma_1(p^eA) \subset p^eA\)이며, \(n > 1\)에 대해 \[\gamma_n(p^ea) = p^n \gamma_n(p^{e - 1}a) = \frac{p^n}{n!} p^{n(e - 1)}a^n \in p^e A\] 이다. 이는 \(p^n/n! \in \mathbf{Z}_{(p)}\)이고 \(n \geq 2\) 및 \(e \geq 2\)이므로 \(n(e - 1) \geq e\)이기 때문이다. 이로써 \(\gamma\)가 \(A/p^eA\)로 연장됨을 증명했으며, 보조정리 07H2을 보라. 극한에 관한 주장은 보조정리 07GV의 증명에 나오는 극한의 구성으로부터 명백하다.

분할 거듭제곱 다항식 대수

매우 유용한 예로 분할 거듭제곱 다항식 대수가 있다. \(A\)를 환이라 하고 \(t \geq 1\)이라 하자. 다음 \(A\)-대수를 \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle\)로 나타내기로 한다. \(A\)-가군으로서는 \[A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle = \bigoplus\nolimits_{n_1, \ldots, n_t \geq 0} A x_1^{[n_1]} \ldots x_t^{[n_t]}\] 로 놓고, 곱셈은 \[x_i^{[n]}x_i^{[m]} = \frac{(n + m)!}{n!m!}x_i^{[n + m]}.\] 로 주어진다. 또한 \(x_i = x_i^{[1]}\)로 놓는다. \(1 = x_1^{[0]} \ldots x_t^{[0]}\)임에 유의하라. 비슷한 구성으로 무한히 많은 변수의 분할 거듭제곱 다항식 대수를 얻을 수 있다. \(n > 0\)일 때 \(x_i^{[n]}\)을 영으로 보내는 표준 \(A\)-대수 사상 \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle \to A\)가 있다. 이 사상의 핵을 \(A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle_{+}\)로 나타낸다.

보조정리

\((A, I, \gamma)\)를 분할 거듭제곱 환이라 하자. 다음 아이디얼 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조 \(\delta\)가 존재한다. \[J = IA\langle x_1, \ldots, x_t \rangle + A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle_{+}\] 이 구조는 다음을 만족한다.

1. \(\delta_n(x_i) = x_i^{[n]}\).

2. \((A, I, \gamma) \to (A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta)\) 는 분할 거듭제곱 환의 준동형이다.

더욱이 \((A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta)\)는 다음 보편 성질을 갖는다. 분할 거듭제곱 환의 준동형 \(\varphi : (A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle, J, \delta) \to (C, K, \epsilon)\)를 주는 것은 분할 거듭제곱 환의 준동형 \(A \to C\)와 원소 \(k_1, \ldots, k_t \in K\)를 주는 것과 같다.

증명

변수가 하나인 분할 거듭제곱 다항식 대수의 경우에 보조정리를 증명하겠다. 일반적인 경우도 정확히 같은 방법으로 논증할 수 있으며, 또는 \(A\langle x_1, \ldots, x_t\rangle\)가 분할 거듭제곱 변수 \(x_1, \ldots, x_t\)를 하나씩 첨가하여 얻은 환과 동형임을 이용할 수 있다.

\(A\langle x \rangle_{+}\)를 \(x, x^{[2]}, x^{[3]}, \ldots\)로 생성되는 아이디얼이라 하자. \(J = IA\langle x \rangle + A\langle x \rangle_{+}\)이고 \[IA\langle x \rangle \cap A\langle x \rangle_{+} = IA\langle x \rangle \cdot A\langle x \rangle_{+}\] 임에 유의하라. 따라서 보조정리 07GQ에 의해, 아이디얼 \(IA\langle x \rangle\)과 \(A\langle x \rangle_{+}\) 위에 분할 거듭제곱 구조가 존재함을 보이면 충분하다. \(A \to A\langle x \rangle\)가 평탄하므로 첫 번째 구조의 존재는 보조정리 07H1에서 따른다. 두 번째 구조에 대해서는 \(A\)가 비틀림이 없으면 보조정리 07GM (4)를 적용하여 \(\delta\)가 존재함을 알 수 있다. 실제로 원소 \(x^{[m]}\)들을 생성원으로 택하면 \((x^{[m]})^n = \frac{(nm)!}{(m!)^n} x^{[nm]}\) 이고, \(n!\)은 정수 \(\frac{(nm)!}{(m!)^n}\)을 나눈다. 일반적으로 \(A = R/\mathfrak a\)라 쓰자. 여기서 \(R\)은 비틀림이 없는 어떤 환이다(예를 들어 \(\mathbf{Z}\) 위의 다항식 환). \(R\langle x \rangle \to A\langle x \rangle\)의 핵은 \(\bigoplus \mathfrak a x^{[m]}\)이다. 보조정리 07H2의 판정법 (2)(c)를 적용하면 \(R\langle x \rangle_{+}\) 위의 분할 거듭제곱 구조가 원하는 대로 \(A\langle x \rangle\)로 연장됨을 알 수 있다.

보편 성질의 증명. 분할 거듭제곱 환의 준동형 \(\varphi : A \to C\)와 \(k_1, \ldots, k_t \in K\)가 주어지면 \[A\langle x_1, \ldots, x_t \rangle \to C,\quad x_1^{[n_1]} \ldots x_t^{[n_t]} \longmapsto \epsilon_{n_1}(k_1) \ldots \epsilon_{n_t}(k_t)\] 를 생각하되 계수에는 \(\varphi\)를 사용한다. 확인할 것은 이것이 \(A\)-대수 준동형이라는 사실뿐이다 (세부 사항은 생략한다). 역구성은 명백하다.

주

\((A, I, \gamma)\)를 분할 거듭제곱 환이라 하자. 무한히 많은 변수에 대한 보조정리 07H5의 변형이 있다. 먼저 \(s < t\)이면 표준 사상 \[A\langle x_1, \ldots, x_s \rangle \to A\langle x_1, \ldots, x_t\rangle\] 이 있음에 유의하라. 따라서 \(W\)가 임의의 집합이면 \[A\langle x_w: w \in W\rangle = \colim_{E \subset W} A\langle x_e:e \in E\rangle\] 로 놓는다(여극한은 \(W\)의 유한 부분집합 \(E\)들을 돌며, 전이 사상들은 위와 같다). 여극한의 정의에 의해 \(A\langle x_w: w \in W\rangle\)의 보편 사상 성질은 보조정리 07H5에서 서술한 사상 성질과 완전히 유사하다.

다음 보조정리는 [BO]에서 찾을 수 있다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하자. \(p\)로 나누어지지 않는 모든 정수 \(n\)이 가역인 환을 \(A\)라 하자. 즉, \(A\)는 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)-대수이다. \(I \subset A\)를 아이디얼이라 하자. \(I\) 위의 두 분할 거듭제곱 구조 \(\gamma, \gamma'\)가 같은 것은 \(\gamma_p = \gamma'_p\)인 것과 동치이다. 더욱이 사상 \(\delta : I \to I\)가 주어져 다음을 만족한다고 하자.

1. 모든 \(x \in I\)에 대해 \(p!\delta(x) = x^p\)이다³.

2. 모든 \(a \in A\), \(x \in I\)에 대해 \(\delta(ax) = a^p\delta(x)\)이다.

3. \(\delta(x + y) = \delta(x) + \sum\nolimits_{i + j = p, i,j \geq 1} \frac{1}{i!j!} x^i y^j + \delta(y)\)가 모든 \(x, y \in I\)에 대해 성립한다.

그러면 \(\gamma_p = \delta\)를 만족하는 \(I\) 위의 유일한 분할 거듭제곱 구조 \(\gamma\)가 존재한다.

증명

\(n\)이 \(p\)로 나누어지지 않으면 \(\gamma_n(x) = c x \gamma_{n - 1}(x)\)이며, 여기서 \(c\)는 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)의 단위원이다. 또한 \[\gamma_{pm}(x) = c \gamma_m(\gamma_p(x))\] 이며, 여기서도 \(c\)는 \(\mathbf{Z}_{(p)}\)의 단위원이다. 따라서 첫 번째 주장은 명백하다. 두 번째 주장을 위해서는 이 등식들을 거꾸로 사용하여 모든 \(\gamma_n\)을 정의할 수 있다. 더 정확히 말해 \(n = a_0 + a_1p + \ldots + a_e p^e\)이고 \(a_i \in \{0, \ldots, p - 1\}\)이면 \[\gamma_n(x) = c_n x^{a_0} \delta(x)^{a_1} \ldots \delta^e(x)^{a_e}\] 로 놓는다. 여기서 \(c_n \in \mathbf{Z}_{(p)}\)는 \[c_n = {(p!)^{a_1 + a_2(1 + p) + \ldots + a_e(1 + \ldots + p^{e - 1})}}/{n!}.\] 로 정의된다. 이제 분할 거듭제곱 구조의 공리 (1)–(5)를 보여야 한다. 정의 07GL를 보라. (1)과 (3)은 즉시 성립한다. (2)와 (5)는 직접 계산으로 확인할 수 있으며, 그 계산은 생략한다. \(x, y \in I\)라 하자. 다음과 같은 환 사상이 있다고 주장한다. \[\varphi : \mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v \rangle \longrightarrow A\] 이 사상은 \(u^{[n]}\)을 \(\gamma_n(x)\)로, \(v^{[n]}\)을 \(\gamma_n(y)\)로 보낸다. \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v \rangle\)의 구성에 따라 확인해야 할 것은 \[\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n!m!} \gamma_{n + m}(x)\] 가 \(A\)에서 성립하는지와 \(y\)에 대한 같은 등식이다. 이는 \(\gamma\)에 대해 (2)가 성립하므로 참이다. \(\epsilon\)을 \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle\)의 아이디얼 \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle_{+}\) 위의 분할 거듭제곱 구조라 하자. 다음으로 모든 \(n\) 및 \(f \in \mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle_{+}\)에 대해 \(\varphi(\epsilon_n(f)) = \gamma_n(\varphi(f))\)라고 주장한다. \(n = 0, 1, \ldots, p - 1\)인 경우에는 명백하다. \(n = p\)인 경우에는 아이디얼 \(\mathbf{Z}_{(p)}\langle u, v\rangle_{+}\)의 생성원 집합에 대해 이를 증명하면 충분하다. 이는 \(\epsilon_p\)와 \(\gamma_p = \delta\)가 모두 보조정리의 성질 (1), (3)을 만족하기 때문이다. 따라서 \(\gamma_p(\gamma_n(x)) = \frac{(pn)!}{p!(n!)^p}\gamma_{pn}(x)\)와 \(y\)에 대한 같은 등식을 증명하면 충분하며, 이는 \(\gamma\)에 대해 (5)가 성립하므로 따른다. 이제 \(n = a_0 + a_1p + \ldots + a_e p^e\)가 위와 같은 \(p\)-진 전개로 쓰인 임의의 정수이면 \[\epsilon_n(f) = c_n f^{a_0} \gamma_p(f)^{a_1} \ldots \gamma_p^e(f)^{a_e}\] 이다. 이는 \(\epsilon\)이 분할 거듭제곱 구조이기 때문이다. 따라서 모든 \(n\)에 대해 \(\varphi(\epsilon_n(f)) = \gamma_n(\varphi(f))\)임을 알 수 있다. 이를 \(f = u + v\)에 적용하면, \(\epsilon\)이 분할 거듭제곱 구조라는 사실로부터 \(\gamma\)에 대한 공리 (4)가 따름을 알 수 있다.

주

보조정리 07GS에서처럼 \(A \supset I\)라 하고, \(\delta : I \to I\)를 그 보조정리의 (2), (3)을 만족하는 사상이라 하자. 그러면 (1)도 성립한다. 먼저 \(n\)에 대한 귀납법으로 모든 \(n \geq 1\)에 대해 \(\delta(nx) = n\delta(x) + \frac{n^p - n}{p!}x^p\)임을 증명하자. \(n = 1\)인 경우에는 성립한다. 어떤 \(n\)에 대해 성립한다고 가정하면 \(\delta((n + 1)x) = \delta(nx) + \delta(x) + (\sum_{i = 1}^{p - 1} \frac{n^i}{i!(p - i)!})x^p = (n + 1)\delta(x) + \left( \frac{n^p - n}{p!} + \frac{(n + 1)^p}{p!} - \frac{n^p + 1}{p!} \right)x^p = (n + 1)\delta(x) + \frac{(n + 1)^p - (n + 1)}{p!}x^p\), 이므로 \(n + 1\)에 대해서도 성립한다. 한편 \(\delta(nx) = n^p\delta(x)\)이므로 \((n^p - n)\delta(x) = \frac{n^p - n}{p!}x^p\)이다. 그런데 임의의 \(p\)에 대해 \(p^2 \not \mid n^p - n\)을 만족하는 \(n\)이 존재한다. 실제로 \((\mathbf{Z}/p^2\mathbf{Z})^\times \cong \mathbf{Z}/p(p-1)\mathbf{Z}\). 따라서 \(n^{p-1} \not \equiv 1 \mod p^2\)인 \(n\)이 존재한다. 그러므로 \(p!\delta(x)=x^p\)을 얻는다.

Tate 분해

이 절에서는 분할 거듭제곱 구조와 미분 등급 대수를 결합하여 [Tate-homology]와 [AH]에서 구성한 분해를 간략히 논한다. 이 절에서는 미분 등급 대수에 대해 호몰로지 표기를 사용한다. 우리의 미분 등급 대수는 음이 아닌 호몰로지 차수에 놓인다. 따라서 미분 등급 대수 \((A, \text{d})\)는 곱셈을 갖춘 사슬 복합체 \[\ldots \to A_2 \to A_1 \to A_0 \to 0 \to \ldots\] 로 주어진다.

\(R\)을 환이라 하자(평소와 같이 가환환이다). 이 절에서는 음의 차수 성분이 영인 등급 \(R\)-대수 \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\)를 자주 다룬다. \(A_+ = \bigoplus_{d > 0} A_d\)로 놓고, \(A_{even} = \bigoplus_{d \geq 0} A_{2d}\) 및 \(A_{odd} = \bigoplus_{d \geq 0} A_{2d + 1}\)로 쓴다. 동차 원소 \(x, y\)에 대해 \(x y = (-1)^{\deg(x)\deg(y)} y x\)이면 \(A\)가 등급 가환임을 상기하자. 더 나아가 홀수 차수의 동차 원소 \(x\)에 대해 \(x^2 = 0\)이면 \(A\)는 엄격히 등급 가환이다. 마지막으로 다음 정의를 이해하기 위해, \(A\)가 \(\mathbf{Q}\)-대수이면 \(\gamma_n(x) = x^n/n!\)임을 염두에 두자.

정의

\(R\)을 환이라 하고, \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\)를 엄격히 등급 가환인 등급 \(R\)-대수라 하자. 모든 \(n > 0\)에 대해 정의된 사상들의 모음 \(\gamma_n : A_{even, +} \to A_{even, +}\)가 다음을 만족하면, 이를 \(A\) 위의 분할 거듭제곱 구조라 한다.

1. \(x \in A_{2d}\)이면 \(\gamma_n(x) \in A_{2nd}\)이다.

2. 임의의 \(x\)에 대해 \(\gamma_1(x) = x\)이고, 또한 \(\gamma_0(x) = 1\)로 놓는다.

3. \(\gamma_n(x)\gamma_m(x) = \frac{(n + m)!}{n! m!} \gamma_{n + m}(x)\),

4. 모든 \(x \in A_{even}\) 및 \(y \in A_{even, +}\)에 대해 \(\gamma_n(xy) = x^n \gamma_n(y)\)이다.

5. \(x, y \in A_{odd}\)가 동차이고 \(n > 1\)이면 \(\gamma_n(xy) = 0\)이다.

6. \(x, y \in A_{even, +}\)이면 \(\gamma_n(x + y) = \sum_{i = 0, \ldots, n} \gamma_i(x)\gamma_{n - i}(y)\),

7. \(x \in A_{even, +}\)에 대해 \(\gamma_n(\gamma_m(x)) = \frac{(nm)!}{n! (m!)^n} \gamma_{nm}(x)\)이다.

조건 (2), (3), (4), (6), (7)에 의해 \(\gamma\)는 (가환)환 \(A_{even}\)의 아이디얼 \(A_{even, +}\) 위의 통상적인 분할 거듭제곱 구조임에 유의하라. Sections 07GK, 07GT, 07GZ, and 07H4을 보라. 특히 모든 \(x \in A_{even, +}\)에 대해 \(n! \gamma_n(x) = x^n\)이다. 조건 (1)은 \(\gamma\)가 등급과 양립함을 말하고, 조건 (5)는 \(n > 1\)일 때 \(\gamma_n\)이 홀수 차수 동차 원소들의 곱에서 영이 됨을 말한다. 그러나 홀수 차수의 동차 원소 \(z_1, z_2, z_3, z_4\)에 대해 \[\gamma_2(z_1 z_2 + z_3 z_4) = z_1z_2z_3z_4\] 가 영이 아닐 수도 있음에 유의하라.

예

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \gamma)\)를 위 정의와 같은 분할 거듭제곱 구조를 갖춘 엄격히 등급 가환인 등급 \(R\)-대수라 하자. \(d > 0\)을 홀수라 하자. 이 상황에서는 차수가 \(d\)인 변수 \(T\)를 \(A\)에 첨가할 수 있다. 즉, \[A\langle T \rangle = A \oplus AT\] 로 놓고, 등급은 \(A\langle T \rangle_m = A_m \oplus A_{m - d}T\)로 준다. \(A\langle T \rangle\) 위에는 \(A\)의 주어진 분할 거듭제곱 구조와 양립하는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 있다고 주장한다. 즉, \[\gamma_n(x + yT) = \gamma_n(x) + \gamma_{n - 1}(x)yT\] 로 놓는다. 여기서 \(x \in A_{even, +}\)이고 \(y \in A_{odd}\)이다.

예

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \gamma)\)를 위 정의와 같은 분할 거듭제곱 구조를 갖춘 엄격히 등급 가환인 등급 \(R\)-대수라 하자. \(d > 0\)을 짝수라 하자. 이 상황에서는 차수가 \(d\)인 변수 \(T\)를 \(A\)에 첨가할 수 있다. 즉, \[A\langle T \rangle = A \oplus AT \oplus AT^{(2)} \oplus AT^{(3)} \oplus \ldots\] 로 놓고, 곱셈은 \[T^{(n)} T^{(m)} = \frac{(n + m)!}{n!m!} T^{(n + m)}\] 로, 등급은 \[A\langle T \rangle_m = A_m \oplus A_{m - d}T \oplus A_{m - 2d}T^{(2)} \oplus \ldots\] 로 준다. \(A\langle T \rangle\) 위에는 \(A\)의 주어진 분할 거듭제곱 구조와 양립하고 \(\gamma_n(T^{(i)}) = T^{(ni)}\)를 만족하는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 있다고 주장한다. 이를 정의하기 위해 먼저 \[\gamma_n\left(\sum\nolimits_{i > 0} x_i T^{(i)}\right) = \sum \prod\nolimits_{n = \sum e_i} x_i^{e_i} T^{(ie_i)}\] 로 놓는다. 여기서 \(x_i\)는 \(A_{even}\)에 속한다. \(x_0 \in A_{even, +}\)이면 \[\gamma_n\left(\sum\nolimits_{i \geq 0} x_i T^{(i)}\right) = \sum\nolimits_{a + b = n} \gamma_a(x_0)\gamma_b\left(\sum\nolimits_{i > 0} x_iT^{(i)}\right)\] 로 놓는다. 여기서 \(\gamma_b\)는 위에서 정의한 바와 같다.

주

Examples 09PH와 09PI에서처럼 하나의 생성원만 첨가하는 대신, 주어진 차수 \(d > 0\)의 외대수 생성원 또는 분할 거듭제곱 생성원으로 이루어진 집합(무한일 수도 있다)을 첨가할 수도 있다. 구체적으로 Remark 07H6를 따라, 위와 같은 \((A,\gamma)\)와 집합 \(J\)에 대해 \(A\langle T_j:j\in J\rangle\)를 \(J\)의 모든 유한 부분집합 \(S\)에 걸친 대수 \(A\langle T_j:j\in S\rangle\)들의 유향 여극한으로 놓는다. 이 대수에는 \(A\)의 주어진 구조 및 각 생성원 \(T_j\) 위의 구조와 양립하는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 있음이 즉시 따른다.

이제 분할 거듭제곱 구조의 정의를 미분과 연결한다. 정의를 이해하기 위해 \(A\)가 \(\mathbf{Q}\)-대수이고 \(x \in A_{even, +}\)이면 \(\text{d}(x^n/n!) = \text{d}(x) x^{n - 1}/(n - 1)!\)임에 유의하라.

정의

\(R\)을 환이라 하자. \(A = \bigoplus_{d \geq 0} A_d\)를 엄격히 등급 가환인 미분 등급 \(R\)-대수라 하자. \(A\) 위의 분할 거듭제곱 구조 \(\gamma\)가 모든 \(x \in A_{even, +}\)에 대해 \(\text{d}(\gamma_n(x)) = \text{d}(x) \gamma_{n - 1}(x)\)를 만족하면, 이 구조는 미분 등급 구조와 양립한다고 한다.

주의: \((A, \text{d}, \gamma)\)가 정의 09PJ에서와 같다고 하자. \(x\)가 경계이더라도 \(\gamma_n(x)\)가 경계라는 보장은 없다. 따라서 일반적으로 \(\gamma\)는 호몰로지 대수 \(H(A)\) 위에 분할 거듭제곱 구조를 유도하지 않는다. 일부 논문에서는 이를 보장하기 위해 양립 조건을 하나 더 두지만, 여기서는 그렇게 하지 않기로 한다.

보조정리

\((A, \text{d}, \gamma)\)와 \((B, \text{d}, \gamma)\)가 정의 09PJ에서와 같다고 하자. \(f : A \to B\)를 분할 거듭제곱 구조와 양립하는 미분 등급 대수의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(k > 0\)에 대해 \(H_k(A) = 0\)이다.

2. \(f\)는 전사이다.

그러면 \(\gamma\)는 등급 \(R\)-대수 \(H(B)\) 위에 분할 거듭제곱 구조를 유도한다.

증명

\(x\)와 \(x'\)가 같은 차수 \(2d\)의 동차 원소이고 \(H(B)\)에서 같은 호몰로지류를 정의한다고 하자. \(x' - x = \text{d}(w)\)라 쓰자. \(x\)의 올림 \(y \in A_{2d}\)와 \(w\)의 올림 \(z \in A_{2d + 1}\)을 택하자. 그러면 \(y' = y + \text{d}(z)\)는 \(x'\)의 올림이다. 따라서 \[\gamma_n(y') = \sum \gamma_i(y) \gamma_{n - i}(\text{d}(z)) = \gamma_n(y) + \sum\nolimits_{i < n} \gamma_i(y) \gamma_{n - i}(\text{d}(z))\] \(A\)가 양의 차수에서 비순환이고 모든 \(j\)에 대해 \(\text{d}(\gamma_j(\text{d}(z))) = 0\)이므로, 이를 \[\gamma_n(y') = \gamma_n(y) + \sum\nolimits_{i < n} \gamma_i(y) \text{d}(z_i)\] 와 같이 쓸 수 있다. 여기서 \(z_i\)는 \(A\)의 원소이다. 더욱이 \(0 < i < n\)에 대해 \[\text{d}(\gamma_i(y) z_i) = \text{d}(\gamma_i(y))z_i + \gamma_i(y)\text{d}(z_i) = \text{d}(y) \gamma_{i - 1}(y) z_i + \gamma_i(y)\text{d}(z_i)\] 이다. \(\text{d}(y)\)가 \(B\)에서 영으로 가므로 첫 번째 항도 \(B\)에서 영으로 간다. 따라서 \(\gamma_n(x')\)와 \(\gamma_n(x)\)는 \(H(B)\)의 같은 원소로 간다. 이로써 모든 \(d > 0\) 및 \(n > 0\)에 대해 잘 정의된 사상 \(\gamma_n : H_{2d}(B) \to H_{2nd}(B)\)를 얻는다. 이것이 \(H(B)\) 위의 분할 거듭제곱 구조를 정의한다는 확인은 생략한다.

보조정리

\((A, \text{d}, \gamma)\)가 정의 09PJ에서와 같다고 하자. \(R \to R'\)를 환 사상이라 하자. 그러면 \(\text{d}\)와 \(\gamma\)는 \(A' = A \otimes_R R'\) 위에 같은 종류의 구조를 유도하며, \((A', \text{d}, \gamma)\)는 정의 09PJ에서와 같은 대상이 된다.

증명

\(A'_{even} = A_{even} \otimes_R R'\)이고 \(A'_{even, +} = A_{even, +} \otimes_R R'\)임에 유의하라. 따라서 보일 것은 분할 거듭제곱 \(\gamma\)가 \(A'_{even}\)으로 연장된다는 것이다(용어는 정의 07H0와 같다). \(\gamma\)가 연장됨을 보이고 나면, 이 연장이 원하는 모든 성질을 갖는다는 것은 쉽게 따른다.

임의의 생성원 집합을 갖는 다항식 \(R\)-대수 \(P\)와 전사인 \(R\)-대수 사상 \(P \to R'\)를 택하자. 환 사상 \(A_{even} \to A_{even} \otimes_R P\)는 평탄하므로, 보조정리 07H1에 의해 분할 거듭제곱 \(\gamma\)는 \(A_{even} \otimes_R P\)로 유일하게 연장된다. \(J = \Ker(P \to R')\)라 하자. \(\gamma\)가 \(A \otimes_R R'\)로 연장됨을 보이려면 \(I' = \Ker(A_{even, +} \otimes_R P \to A_{even, +} \otimes_R R')\) 가 모든 \(n > 0\)에 대해 \(\gamma_n(z) \in I'\)인 원소 \(z\)들로 생성됨을 보이면 충분하다. 이는 \(I'\)가 \(x \in A_{even, +}\) 및 \(f \in \Ker(P \to R')\)에 대해 \(x \otimes f\) 꼴의 원소들로 생성되므로 명백하다.

보조정리

\((A, \text{d}, \gamma)\)가 정의 09PJ에서와 같다고 하자. \(d \geq 1\)을 정수라 하자. \(A\langle T \rangle\)를 Example 09PH 또는 09PI에서 구성한, \(\deg(T) = d\)인 \(T\)에 관한 등급 분할 거듭제곱 다항식 대수라 하자. \(f \in A_{d - 1}\)가 \(\text{d}(f) = 0\)을 만족한다고 하자. 그러면 \(A\langle T\rangle\) 위에는 \(\text{d}(T) = f\)를 만족하는 유일한 미분 \(\text{d}\)가 존재하며, 이 \(\text{d}\)는 \(A\langle T \rangle\)의 분할 거듭제곱 구조와 양립한다.

증명

직접 계산으로 증명할 수 있으며, 그 계산은 생략한다.

보조정리 0GZ6에서는 몇 가지 특별한 경우에 \(A\langle T \rangle\)의 호몰로지를 계산할 것이다. 다음은 Avramov와 Halperin이 확장한 Tate의 구성이다.

보조정리

\(R \to S\)를 가환환의 준동형이라 하자. 다음 분해가 존재한다. \[R \to A \to S\] 이는 다음 성질들을 갖는다.

1. \((A, \text{d}, \gamma)\)는 정의 09PJ에서와 같다.

2. \(S\)에 영 미분을 주면 \(A \to S\)는 유사동형이다.

3. \(A_0 = R[x_j: j\in J] \to S\)는 다항식 환에서 \(S\)로 가는 임의의 전사이다.

4. \(A\)는 \(R\) 위의 등급 분할 거듭제곱 다항식 대수이다.

마지막 조건은 Example 09PH 또는 09PI에서처럼 각 차수 \(> 0\)마다 변수 \(T\)의 집합을 차례로 첨가하여 \(A_0\)에서 \(A\)를 구성한다는 뜻이다. 더욱이 \(R\)이 뇌터이고 \(R\to S\)가 유한형이면, 각 차수에서 \(A\)의 생성원을 유한 개만 택할 수 있다.

증명

\(R\)이 뇌터이고 \(R\to S\)가 유한형인 경우의 구성을 적어 보겠다. 이 가정들이 없어도 증명은 같지만, 각 차수에서 어떤 생성원 집합 (무한일 수도 있다)을 사용해야 한다.

구성의 시작: \(A(0) = R[x_1, \ldots, x_n]\)을 (보통의) 다항식 환이라 하고 \(A(0) \to S\)를 전사라 하자. 등급은 \(A(0)_0 = A(0)\) 및 \(d \not = 0\)일 때 \(A(0)_d = 0\)으로 준다. 따라서 \(\text{d} = 0\)이고, \(n > 0\)일 때 \(\gamma_n\)도 영이다.

주어진 사상 \(A(0) = R[x_1, \ldots, x_n] \to S\)의 핵의 생성원 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\)을 택하자. Example 09PH를 \(m\)번 적용하여 \[A(1) = A(0)\langle T_1, \ldots, T_m\rangle\] 을 얻는다. 이는 \(\deg(T_i) = 1\)인 등급 분할 거듭제곱 다항식 대수이다. \(\text{d}(T_i) = f_i\)로 놓는다. \(A(1)\)은 \(A(0)\) 위의 분할 거듭제곱 다항식 대수이고 \(\text{d}(f_i) = 0\)이므로, 보조정리 09PM에 의해 이는 \(A(1)\) 위의 미분으로 유일하게 연장된다.

귀납 가정: 다음과 같은 분해들이 주어졌다고 하자. \[R \to A(0) \to A(1) \to \ldots \to A(m) \to S\] 여기서 \(A(0)\)과 \(A(1)\)은 위와 같고, \(2 \leq m' \leq m\)인 각 \(R \to A(m') \to S\)는 보조정리 명제의 성질 (1), (4)를 만족하며, (2)는 \(m' > i \geq 0\)일 때 \(H_i(A(m')) \to H_i(S)\)가 동형이라는 조건으로 바꾼다. 기초 단계는 \(m = 1\)이다.

귀납 단계: 귀납 가정과 같은 \(R \to A(m) \to S\)가 있다고 하자. 군 \(H_m(A(m))\)을 생각하자. 이는 \(H_0(A(m)) = S\) 위의 가군이다. 실제로 이는 \(A(m)_0 = R[x_1, \ldots, x_n]\) 위의 유한형 가군인 \(A(m)_m\)의 부분몫이다. 따라서 이 가군의 생성원으로 가는 유한 개의 원소 \[e_1, \ldots, e_t \in \Ker(\text{d} : A(m)_m \to A(m)_{m - 1})\] 를 택할 수 있다. Example 09PH 또는 09PI를 \(t\)번 적용하여 \[A(m + 1) = A(m)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\] 을 얻는다. 이는 \(\deg(T_i) = m + 1\)인 등급 분할 거듭제곱 대수이다. \(\text{d}(T_i) = e_i\)로 놓는다. \(A(m+1)\)은 \(A(m)\) 위의 분할 거듭제곱 다항식 대수이고 \(\text{d}(e_i) = 0\)이므로, 이는 분할 거듭제곱 구조와 양립하는 \(A(m + 1)\) 위의 미분으로 유일하게 연장된다. 차수 \(m + 1\) 이상에만 항들을 첨가했으므로 \(i < m\)에 대해 \(H_i(A(m + 1)) = H_i(A(m))\)이다. 또한 구성에 의해 \(H_m(A(m + 1)) = 0\)임이 명백하다.

증명을 마치기 위해, 다음 사상열이 존재함을 보였다는 데 유의하자. \[R \to A(0) \to A(1) \to \ldots \to A(m) \to A(m + 1) \to \ldots \to S\] 이제 \(A = \colim A(m)\)로 놓으면 증명이 끝난다.

보조정리

\(R \to S\)를 유사코히런트 환 사상이라 하자(More on Algebra, Definition 067H). 그러면 Lemma 09PN가 성립하며, \(S\)의 분해 \(A\)는 각 차수마다 유한 개의 생성원만 갖도록 택할 수 있다.

증명

이는 Lemma 09PN와 완전히 같은 방식으로 증명된다. 유일한 추가점은 \(A(m) \to S\)가 주어졌을 때 \(H_m = H_m(A(m))\)가 유한 \(R[x_1, \ldots, x_m]\)-가군임을 보여야 한다는 것이다(그러면 다음 단계에서는 유한 개의 변수만 첨가하면 된다). 다음 복합체를 생각하자. \[\ldots \to A(m)_{m - 1} \to A(m)_m \to A(m)_{m - 1} \to \ldots \to A(m)_0 \to S \to 0\] \(S\)는 유사코히런트 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-가군이고 \(A(m)_i\)는 유한 자유 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)-가군이므로, 이는 유사코히런트 복합체이다. More on Algebra, Lemma 064Y를 보라. 이 복합체는 (호몰로지) 차수 \(> m\)에서 완전하므로, More on Algebra, Lemma 064S에 의해 \(H_m\)은 유한 \(R\)-가군이다.

보조정리

\(R\)을 가환환이라 하자. \((A, \text{d}, \gamma)\)와 \((B, \text{d}, \gamma)\)가 Definition 09PJ에서와 같다고 하자. \(\overline{\varphi} : H_0(A) \to H_0(B)\)를 \(R\)-대수 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 \(R\) 위의 등급 분할 거듭제곱 다항식 대수이다.

2. \(k > 0\)일 때 \(H_k(B) = 0\)이다.

그러면 \(\overline{\varphi}\)를 올리는, 분할 거듭제곱과 양립하는 미분 등급 \(R\)-대수 사상 \(\varphi : A \to B\)가 존재한다.

증명

이 가정은 차수 영의 어떤 다항식 생성원 집합, 양의 홀수 차수의 외대수 생성원, 양의 짝수 차수의 분할 거듭제곱 생성원을 \(R\)에 차례로 첨가하여 \(A\)를 얻는다는 뜻이다. 따라서 \(A\)에는 여과 \(R \subset A(0) \subset A(1) \subset \ldots\)가 있으며, \(A(m + 1)\)은 \(A(m)\)에 차수 \(m + 1\)의 적절한 유형의 생성원 (이를 간단히 ‘분할 거듭제곱 생성원’이라 부른다)을 첨가하여 얻는다. 특히 \(A(0) \to H_0(A)\)는 \(R\) 위의 (보통) 다항식 대수에서 \(H_0(A)\)로 가는 전사이다. 따라서 \(\overline{\varphi}\)를 \(R\)-대수 사상 \(\varphi(0) : A(0) \to B_0\)로 올릴 수 있다.

\(A(1) = A(0)\langle T_j:j\in J\rangle\)라 쓰자. 여기서 \(J\)는 차수 \(1\)의 분할 거듭제곱 변수 \(T_j\)들의 어떤 집합이다. \(f_j \in B_0\)를 \(f_j = \varphi(0)(\text{d}(T_j))\)로 놓자. \(\text{d}T_j\)가 \(H_0(A)\)에서 영으로 가므로 \(f_j\)는 \(H_0(B)\)에서 영으로 간다. 따라서 \(\text{d}(b_j) = f_j\)인 \(b_j \in B_1\)을 찾을 수 있다. Lemma 07H5의 분할 거듭제곱 다항식 대수의 보편 성질에 의해, \(T_j\)를 \(f_j\)로 보내는 \(\varphi(0)\)의 올림 \(\varphi(1) : A(1) \to B\)를 얻는다.

어떤 \(m \geq 1\)에 대해 \(\varphi(m)\)을 구성했다면, 완전히 같은 방식으로 \(\varphi(m + 1) : A(m + 1) \to B\)를 구성할 수 있다. 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(R\)을 가환환이라 하자. \(S\)와 \(T\)를 가환 \(R\)-대수라 하자. 그러면 \[\operatorname{Tor}_*^R(S, T).\] 위에는 분할 거듭제곱을 갖춘 엄격히 등급 가환 \(R\)-대수의 표준 구조가 있다.

증명

위와 같은 분해 \(R \to A \to S\)를 택하자. \(A \to S\)가 유사동형이고 \(A_d\)가 자유 \(R\)-가군이므로, 미분 등급 대수 \(B = A \otimes_R T\)가 Lemma에 표시된 Tor 군을 계산함을 알 수 있다. 전사 \(R[y_j:j\in J] \to T\)를 택하자. 그러면 \(B\)는 미분 등급 대수 \(A[y_j:j\in J]\)의 몫이며, 후자의 호몰로지는 차수 \(0\)에 놓인다 (이는 \(S[y_j:j\in J]\)와 같다). Lemma 09PL에 의해 미분 등급 대수 \(B\)와 \(A[y_j:j\in J]\)는 미분과 양립하는 분할 거듭제곱 구조를 갖는다. 따라서 Lemma 09PK에 의해 \(H(B)\) 위에 원하는 분할 거듭제곱 구조를 얻는다.

이렇게 구성한 분할 거듭제곱 대수 구조는 \(A\)의 선택과 무관하다. 실제로 \(A'\)이 두 번째 선택이면, Lemma 09PP에 의해 모든 구조와 \(S\)로 가는 증대 사상을 보존하는 사상 \(A \to A'\)이 존재한다. 그러면 유도된 사상

\(B = A \otimes_R T \to A' \otimes_R T' = B'\)도 모든 구조를 보존하며 유사동형이다. 따라서 유도된 Tor 대수의 동형은 곱과 분할 거듭제곱과 양립한다.

완전교차에의 응용

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d}, \gamma)\)가 Definition 09PJ에서와 같다고 하자. 차수 \(2\)의 미분이란 다음 성질을 갖는 \(R\)-선형 사상 \(\theta : A \to A\)를 말한다.

1. \(\theta(A_d) \subset A_{d - 2}\),

2. \(\theta(xy) = \theta(x)y + x\theta(y)\),

3. \(\theta\)는 \(\text{d}\)와 가환한다,

4. 모든 \(x \in A_{2d}\)와 모든 \(d\)에 대해 \(\theta(\gamma_n(x)) = \theta(x) \gamma_{n - 1}(x)\)이다.

다음 Lemma에서 미분을 하나 구성한다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하자. \((A, \text{d}, \gamma)\)가 Definition 09PJ에서와 같다고 하자. \(R' \to R\)을 그 핵의 제곱이 영이고 한 원소 \(f\)로 생성되는 환의 전사라 하자. \(A\)가 \(R\) 위의 등급 분할 거듭제곱 다항식 대수이고 각 차수마다 변수가 유한 개이면, 미분 \(\theta : A/IA \to A/IA\)를 얻는다. 여기서 \(I\)는 \(R\)에서 \(f\)의 소멸자이다.

증명

\(A\)가 분할 거듭제곱 다항식 대수이므로, \(A = A' \otimes_{R'} R\)가 되는 \(R'\) 위의 분할 거듭제곱 다항식 대수 \(A'\)을 찾을 수 있다. 또한

\(\text{d}\)를 다음을 만족하는 \(A'\) 위의 \(R\)-선형 연산자 \(\text{d}\)로 올릴 수 있다.

1. 동차원 \(x, y \in A'\)에 대해 \(\text{d}(xy) = \text{d}(x)y + (-1)^{\deg(x)}x \text{d}(y)\)이고,

2. \(x \in A'_{even, +}\)에 대해 \(\text{d}(\gamma_n(x)) = \text{d}(x) \gamma_{n - 1}(x)\)이다.

세부 사항은 생략한다(힌트: 한 번에 변수 하나씩 진행하라). 그러나 \(A'\) 위에서 \(\text{d}^2\)이 영일 필요는 없다. \(\text{d}^2\)이 \(A'\)을 \(fA' \cong A/IA\)로 보냄은 명백하다. 따라서 \(\text{d}^2\)은 \(fA'\)을 소멸시키며 사상 \(A \to A/IA\)를 통해 인수분해된다. \(\text{d}^2\)이 \(R\)-선형이므로 원하는 사상 \(\theta : A/IA \to A/IA\)를 얻는다. 미분의 성질들은 즉시 확인된다.

보조정리

가정과 표기는 Lemma 09PS에서와 같다고 하자. 어떤 \(n\), \(m\), \(f_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\)에 대해 \(S = H_0(A)\)가 \(R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\) 와 동형이라고 하자. 또한 관계식 \[\sum r_j f_j = 0\] 이 주어졌다고 하자. 여기서 \(r_j \in R[x_1, \ldots, x_n]\)이다. \(r_j, f_j\)의 올림 \(r'_j, f'_j \in R'[x_1, \ldots, x_n]\)을 택하자. 어떤 \(g \in R/I[x_1, \ldots, x_n]\)에 대해 \(\sum r'_j f'_j = gf\)라 쓰자. \(H_1(A) = 0\)이고 각 \(r_j\)의 모든 계수가 \(I\)에 속하면, \(S/IS\)에서 \(\theta(\xi) = g\)를 만족하는 원소 \(\xi \in H_2(A/IA)\)가 존재한다.

증명

\(A(0) \subset A(1) \subset A(2) \subset \ldots\)를 \(A\)의 여과라 하자. 여기서 \(A(m)\)은 \(A(m - 1)\)에 차수 \(m\)의 분할 거듭제곱 변수를 첨가하여 얻는다. 그러면 \(A(0)\)은 \(R\) 위의 다항식 대수이고 \(R\)-대수 전사 \(A(0) \to S\)를 갖는다. 따라서 \(S\)로 가는 증대 사상들을 올리는 사상 \[\varphi : R[x_1, \ldots, x_n] \to A(0)\] 을 택할 수 있다. 다음으로, 어떤 차수 \(1\)의 분할 거듭제곱 변수 \(T_i\)들에 대해 \(A(1) = A(0)\langle T_1, \ldots, T_t \rangle\)이다. \(H_0(A) = S\)이므로, \(\text{d}(\xi_j) = \varphi(f_j)\)인 \(\xi_j \in \sum A(0)T_i\)를 택할 수 있다. 그러면 \[\text{d}\left(\sum \varphi(r_j) \xi_j\right) = \sum \varphi(r_j) \varphi(f_j) = \sum \varphi(r_jf_j) = 0\] 이다. \(H_1(A) = 0\)이므로, \(\text{d}(\xi) = \sum \varphi(r_j) \xi_j\)인 \(\xi \in A_2\)를 택할 수 있다. \(r_j\)의 계수가 \(I\)에 속하면 \(\varphi(r_j)\)도 그러하다. 이 경우 \(\text{d}(\xi)\)는 \(A_1/IA_1\)에서 사라지므로, \(\xi\)는 \(H_2(A/IA)\)에서 한 류를 정의한다.

Lemma 09PS의 증명에서 \(\theta\)를 구성할 때는 \(A(i)\)를 \(A'(i)\)로 차례로 올리고 미분 \(\text{d}\)도 올린다. \(\varphi\)를 \(\varphi' : R'[x_1, \ldots, x_n] \to A'(0)\)로 올리자. 다음으로 \(A'(1) = A'(0)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\)이다. 또한 \(\xi_j\)를 \(\xi'_j \in \sum A'(0)T_i\)로 올릴 수 있다. 그러면 어떤 \(a_j \in A'(0)\)에 대해 \(\text{d}(\xi'_j) = \varphi'(f'_j) + f a_j\)이다. \(\xi\)의 올림 \(\xi' \in A'_2\)을 생각하자. 그러면 \[\text{d}(\xi') = \sum \varphi'(r'_j)\xi'_j + \sum fb_iT_i\] 이다.

여기서 \(b_i \in A(0)\)이다. \(\text{d}\)를 다시 적용하면 \[\theta(\xi) = \sum \varphi'(r'_j)\varphi'(f'_j) + \sum f \varphi'(r'_j) a_j + \sum fb_i \text{d}(T_i)\] 을 얻는다. 첫 번째 항이 원하는 것을 준다. 두 번째 항은 \(r_j\)의 계수들이 \(I\)에 속하여 \(f\)에 의해 소멸되므로 영이다. 세 번째 항은 \(\text{d}(T_i)\)가 영으로 가므로 \(H_0\)에서 영으로 간다.

다음 Lemma의 증명 방법은 Gulliksen에 의한 것으로 보인다.

보조정리

\(R' \to R\)을 그 핵의 제곱이 영이고 한 원소 \(f\)로 생성되는 뇌터 환의 전사라 하자. \(S = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\)라 하자. \(\sum r_j f_j = 0\)을 \(R[x_1, \ldots, x_n]\)의 관계식이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 각 \(r_j\)의 계수는 \(R\)에서 \(f\)의 소멸자 \(I\)에 속한다,

2. 어떤 올림 \(r'_j, f'_j \in R'[x_1, \ldots, x_n]\)에 대해 \(\sum r'_j f'_j = gf\)이고, \(g\)는 \(S/IS\)에서 멱영이 아니다.

그러면 \(S\)는 \(R\) 위에서 유한 Tor 차원을 갖지 않는다 (즉, \(S\)는 완전 \(R\)-대수가 아니다).

증명

Lemma 09PN에서와 같은 Tate 분해 \(R \to A \to S\)를 택하자. \(\xi \in H_2(A/IA)\)와 \(\theta : A/IA \to A/IA\)를 Lemma 09PS과 09PT에서 얻은 원소와 미분이라 하자. 다음이 성립함에 유의하자. \[\theta^n(\gamma_n(\xi)) = g^n\] 이는 \(H_0(A/IA) = S/IS\)에서의 등식이다.

따라서 \(g\)가 \(S/IS\)에서 멱영이 아니면, 모든 \(n > 0\)에 대해 \(\xi^n\)은 \(H_{2n}(A/IA)\)에서 영이 아니다. \(H_{2n}(A/IA) = \text{Tor}^R_{2n}(S, R/I)\)이므로 결론을 얻는다.

다음 결과는 [Rodicio]에서 찾을 수 있다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset J \subset A\)를 진아이디얼이라 하자. \(A/J\)가 \(A/I\) 위에서 유한 Tor 차원을 가지면 \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\)는 단사이다.

증명

\(f \in I\)를 \(I/\mathfrak m I\)에서의 상은 영이 아니지만 \(J/\mathfrak m J\)에서는 영으로 가는 원소라 하자. \(\mathfrak mI \subset I' \subset I\)이고 \(I/I'\)이 \(f\)의 상으로 생성되도록 아이디얼 \(I'\)을 택할 수 있다. \(R = A/I\)와 \(R' = A/I'\)로 놓자. 어떤 \(a_j \in A\)에 대해 \(J = (a_1, \ldots, a_m)\)라 하자. 그러면 어떤 \(b_j \in \mathfrak m\)에 대해 \(f = \sum b_j a_j\)이다. \(r_j, f_j \in R\)와 \(r'_j, f'_j \in R'\)를 각각 \(b_j, a_j\)의 상이라 하자. 그러면 Lemma 09PU의 상황에 놓인다 (그 Lemma의 아이디얼 \(I\)는 \(\mathfrak m_R\)과 같다). 따라서 Lemma가 증명되었다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset J \subset A\)를 진아이디얼이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(A/J\)는 \(A/I\) 위에서 유한 Tor 차원을 갖는다,

2. \(J\)는 정칙열로 생성된다.

그러면 \(I\)는 정칙열로 생성되고 \(J/I\)도 정칙열로 생성된다.

증명

Lemma 09PV에 의해 \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\)가 단사임을 알 수 있다. 따라서 \(s \leq r\)와 \(J\)의 최소 생성계 \(f_1, \ldots, f_r\)를 택하여, \(f_1, \ldots, f_s\)가 \(I\)에 속하고 \(I\)의 최소 생성계를 이루게 할 수 있다. More on Algebra, Lemmas 066A와 09CC에 의해 \(J\)의 모든 최소 생성계가 정칙열이므로 결론이 따른다.

보조정리

\(R \to S\)를 뇌터 국소환들의 국소 환 사상이라 하자. \(I \subset R\)와 \(J \subset S\)를 \(IS \subset J\)인 아이디얼이라 하자. \(R \to S\)가 평탄하고 \(S/\mathfrak m_RS\)가 정칙이면, 다음은 동치이다.

1. \(J\)는 정칙열로 생성되고 \(S/J\)는 \(R/I\) 위의 가군으로서 유한 Tor 차원을 갖는다,

2. \(J\)는 정칙열로 생성되고 \(\text{Tor}^{R/I}_p(S/J, R/\mathfrak m_R)\)가 영이 아닌 \(p\)는 유한 개뿐이다,

3. \(I\)는 정칙열로 생성되고 \(J/IS\)는 \(S/IS\)에서 정칙열로 생성된다.

증명

(3)이 성립하면 \(J\)는 정칙열로 생성된다. 예를 들어 More on Algebra, Lemmas 0669와 09CC를 보라. 또한 (3)이 성립하면 Koszul 복합체가 \(S/IS\) 위의 \(S/J\)의 유한 자유 분해가 되므로

\(S/J = (S/I)/(J/I)\)는 \(S/IS\) 위에서 유한 사영 차원을 갖는다. \(R/I \to S/IS\)가 평탄하므로, More on Algebra, Lemma 066J에 의해 \(S/J\)는 \(R/I\) 위에서 유한 Tor 차원을 갖는다. 따라서 (3)은 (1)을 함의한다.

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 자명하다. (2)를 가정하자. More on Algebra, Lemma 09PC에 의해 \(S/J\)는 \(S/IS\) 위에서 유한 Tor 차원을 갖는다. 따라서 Lemma 09PW를 적용하면 \(IS\)와 \(J/IS\)가 정칙열로 생성됨을 알 수 있다. \(f_1, \ldots, f_r \in I\)를 \(I\)의 최소 생성계라 하자. \(R \to S\)가 평탄하므로, \(f_1, \ldots, f_r\)는 \(S\)에서 \(IS\)의 최소 생성계를 이룬다. 따라서 \(f_1, \ldots, f_r \in R\)은 그 상들이 \(S\)에서 정칙열을 이루는 원소열이다. More on Algebra, Lemmas 066A와 09CC를 보라. 그러므로 Algebra, Lemma 00LM에 의해 \(f_1, \ldots, f_r\)는 \(R\)에서 정칙열이다.

국소 완전교차환

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 완비 국소환이라 하자. Cohen 구조 정리(Algebra, Theorem 032A 참조)에 의해 \(A\)를 어떤 정칙 뇌터 완비 국소환 \(R\)의 상환으로 쓸 수 있다. \(R\)가 정칙 국소환이고 핵이 정칙열로 생성되는 어떤 전사 \(R \to A\)가 존재하면 \(A\)를 완전교차라고 하자. 다음 Lemma는 이 개념이 전사의 선택과 무관함을 보인다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 완비 국소환이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(R\)가 정칙 국소환인 모든 국소환의 전사 \(R \to A\)에 대해 \(R \to A\)의 핵은 정칙열로 생성된다,

2. \(R\)가 정칙 국소환인 어떤 국소환의 전사 \(R \to A\)에 대해 \(R \to A\)의 핵은 정칙열로 생성된다.

증명

\(k\)를 \(A\)의 잉여체라 하자. \(k\)의 표수가 \(p > 0\)이면,

\(\Lambda\)를 잉여체가 \(k\)인 Cohen 환(Algebra, Definition 0327 및 Algebra, Lemma 0328)이라 하자. \(k\)의 표수가 \(0\)이면 \(\Lambda = k\)로 놓는다. 임의의 \(n\)에 대해 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]]\)은 \(\mathfrak m\)-진 위상에서 각각 \(\mathbf{Z}\) 또는 \(\mathbf{Q}\) 위에 형식적으로 매끄럽다는 것을 상기하자. More on Algebra, Lemma 07NL를 보라. Cohen 구조 정리(Algebra, Theorem 032A)에서와 같은 전사 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to A\)를 하나 고정하자.

\(R \to A\)를 정칙 국소환 \(R\)에서 나오는 전사라 하자. \(f_1, \ldots, f_r\)를 \(\Ker(R \to A)\)의 최소 생성계라 하자. 뇌터 국소환의 한 아이디얼이 정칙열로 생성될 필요충분조건은 그 임의의 최소 생성계가 정칙열인 것이라는 사실을 이하에서 별도의 언급 없이 사용한다. Algebra, Lemmas 00LM와 00MB에 의해, \(f_1, \ldots, f_r\)가 \(R\)에서 정칙열일 필요충분조건은 \(f_1, \ldots, f_r\)가 완비화 \(R^\wedge\)에서 정칙열인 것이다. 또한 다음이 성립한다.

\[R^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge = (R/(f_1, \ldots, f_n))^\wedge = A^\wedge = A\] 왜냐하면 \(A\)가 \(\mathfrak m_A\)-진 완비이기 때문이다 (첫 번째 등식은 Algebra, Lemma 00MA에 의한다). 마지막으로 \(R\)가 정칙이므로 환 \(R^\wedge\)도 정칙이다 (More on Algebra, Lemma 07NY). 따라서 \(R\)가 완비라고 가정해도 된다.

\(R\)가 완비이면 주어진 사상 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to A\)를 올리는 사상 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to R\)을 택할 수 있다. More on Algebra, Lemma 07NJ를 보라. \(R \to A\)의 핵의 생성원들로 가는 변수 \(y_1, \ldots, y_m\)을 더 첨가하면 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]] \to R\)이 전사라고 가정할 수 있다(몇몇 세부 사항은 생략한다). 그러면 다음 가환 도식을 생각할 수 있다. \[\xymatrix{ \Lambda[[x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_m]] \ar[r] \ar[d] & R \ar[d] \\ \Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \ar[r] & A }\] Algebra, Lemma 00SE에 의해, \(R \to A\)에 대한 조건은 고정해 둔 사상 \(\Lambda[[x_1, \ldots, x_n]] \to A\)에 대한 조건과 동치이다. 이로써 Lemma의 증명이 끝난다.

다음 두 Lemma는 위 정의가 자연스러운지를 확인한다.

보조정리

\(R\)을 정칙환이라 하고 \(\mathfrak p \subset R\)를 소 아이디얼이라 하자. \(f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak p\)를 정칙열이라 하자. 그러면 \[A = (R/(f_1, \ldots, f_r))_\mathfrak p = R_\mathfrak p/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak p\] 의 완비화는 위에서 정의한 의미의 완전교차이다.

증명

\(A\)의 완비화는 \(A^\wedge = R_\mathfrak p^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak p^\wedge\) 와 같다. 뇌터 환 \(R_\mathfrak p\) 위의 유한 가군에 대한 완비화가 완전함자이기 때문이다(Algebra, Lemma 00MA). Algebra, Lemmas 00MB와 00LM에 의해 열 \(f_1, \ldots, f_r\)의 \(R_\mathfrak p\)에서의 상은 정칙열이다. 또한 More on Algebra, Lemma 07NY에 의해 \(R_\mathfrak p^\wedge\)은 정칙 국소환이다. 따라서 완비 국소환에 대한 완전교차의 정의로부터 결론이 따른다.

다음 Lemma는 Algebra, Lemma 00SC의 유사이다.

보조정리

\(R\)을 정칙환이라 하고 \(\mathfrak p \subset R\)를 소 아이디얼이라 하자. \(I \subset \mathfrak p\)를 아이디얼이라 하자. \(A = (R/I)_\mathfrak p = R_\mathfrak p/I_\mathfrak p\)로 놓자. 다음은 동치이다.

1. \(A\)의 완비화는 위의 의미에서 완전교차이다,

2. \(I_\mathfrak p \subset R_\mathfrak p\)는 정칙열로 생성된다,

3. 가군 \((I/I^2)_\mathfrak p\)는 \(\dim(R_\mathfrak p) - \dim(A)\)개의 원소로 생성될 수 있다,

4. 여기에 더 추가할 것.

증명

\(R\)을 \(\mathfrak p\)에서의 국소화로 바꾸어도 되며 실제로 그렇게 한다. 그러면 \(\mathfrak p = \mathfrak m\)은 \(R\)의 극대 아이디얼이고 \(A = R/I\)이다. \(f_1, \ldots, f_r \in I\)를 최소 생성계라 하자. \(A\)의 완비화는 \(A^\wedge = R^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge\) 와 같다. 뇌터 환 \(R_\mathfrak p\) 위의 유한 가군에 대한 완비화가 완전함자이기 때문이다(Algebra, Lemma 00MA).

(1)이 성립하면 가정에 의해 열 \(f_1, \ldots, f_r\)의 \(R^\wedge\)에서의 상은 정칙열이다. 따라서 Algebra, Lemmas 00MB와 00LM에 의해 이는 \(R\)에서도 정칙열이다. 그러므로 (1)은 (2)를 함의한다.

(3)이 성립한다고 하자. \(c = \dim(R) - \dim(A)\)로 놓고, \(I/I^2\)의 생성원들로 가는 \(f_1, \ldots, f_c \in I\)를 택하자.

Nakayama의 Lemma(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(I = (f_1, \ldots, f_c)\)임을 알 수 있다. \(R\)는 정칙이고 따라서 Cohen–Macaulay이므로 (Algebra, Proposition 00N6), Algebra, Proposition 00N6에 의해 \(f_1, \ldots, f_c\)는 정칙열이다. 따라서 (3)은 (2)를 함의한다. 마지막으로 Lemma 09Q0에 의해 (2)는 (1)을 함의한다.

다음 결과는 Avramov에 의한다. [Avramov]를 보라.

명제

\(A \to B\)를 뇌터 국소환들 사이의 평탄한 국소 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(B^\wedge\)은 완전교차이다,

2. \(A^\wedge\)과 \((B/\mathfrak m_A B)^\wedge\)은 완전교차이다.

증명

다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ B \ar[r] & B^\wedge \\ A \ar[u] \ar[r] & A^\wedge \ar[u] }\] 수평 사상들은 충실히 평탄하므로(Algebra, Lemma 00MC), 오른쪽 수직 화살표는 평탄하다(예를 들어 Algebra, Lemma 00MP에 의한다). 또한 \((B/\mathfrak m_A B)^\wedge = B^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge} B^\wedge\) 이 Algebra, Lemma 00MA에 의해 성립한다. 따라서 \(A\)와 \(B\)가 완비 뇌터 국소환이라고 가정해도 된다.

\(A\)와 \(B\)가 완비 뇌터 국소환이라고 하자. More on Algebra, Lemma 07NN에서와 같은 도식 \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] 을 택하자. \(I = \Ker(R \to A)\)와 \(J = \Ker(S \to B)\)로 놓자. \(R/I = A \to B = S/J\)가 평탄하므로 사상

\(J/IS \otimes_R R/\mathfrak m_R \to J/J \cap \mathfrak m_R S\) 은 동형이다. 따라서 \(J/IS\)의 최소 생성계는 \(\Ker(S/\mathfrak m_R S \to B/\mathfrak m_A B)\)의 최소 생성계로 간다. 마지막으로 \(S/\mathfrak m_R S\)는 정칙 국소환이다.

(1)이 성립한다고 하자. 즉, \(J\)는 정칙열로 생성된다고 하자. \(A = R/I \to B = S/J\)가 평탄하므로 Lemma 09PX를 적용할 수 있고, \(I\)와 \(J/IS\)가 정칙열로 생성됨을 얻는다. Algebra, Lemma 00ON에 의해 \(\dim(B) = \dim(A) + \dim(B/\mathfrak m_A B)\) 및 \(\dim(S/IS) = \dim(A) + \dim(S/\mathfrak m_R S)\) 가 성립한다. 따라서 \(J/IS\)는 \[\dim(S/IS) - \dim(S/J) = \dim(S/\mathfrak m_R S) - \dim(B/\mathfrak m_A B)\] 개의 원소로 생성된다(Algebra, Lemma 00KW). 따라서 위에서 본 바와 같이 \(\Ker(S/\mathfrak m_R S \to B/\mathfrak m_A B)\)도 같은 수의 원소로 생성된다. 그러므로 \(\Ker(S/\mathfrak m_R S \to B/\mathfrak m_A B)\)은 정칙열로 생성된다. 예를 들어 Lemma 09Q1를 보라. 이로써 (2)가 성립함을 알 수 있다.

(2)가 성립하면 \(I\)와 \(J/J \cap \mathfrak m_RS\)는

정칙열로 생성된다. 이 생성원들을 올리고(위 참조), \(R/I \to S/IS\)의 평탄성과 Grothendieck의 Lemma (Algebra, Lemma 00MG)를 사용하면 \(J/IS\)가 \(S/IS\)에서 정칙열로 생성됨을 알 수 있다. 따라서 Lemma 09PX에 의해 \(J\)는 정칙열로 생성되고, 이에 따라 (1)이 성립한다.

정의

\(A\)를 뇌터 환이라 하자.

1. \(A\)가 국소환일 때 그 완비화가 위의 의미에서 완전교차이면 \(A\)를 완전교차라고 한다.

2. 일반적으로 모든 국소환이 완전교차이면 \(A\)를 국소 완전교차라고 한다.

이것이 Algebra, Definitions 00S9와 00SD에서 도입한 용어와 충돌하지 않음을 아래에서 확인할 것이다. 그러나 먼저 \(A\)가 뇌터 국소 완전교차이면 \(A\)는 국소 완전교차, 즉 그 모든 국소환이 완전교차임을 보임으로써 이 정의가 “말이 됨”을 보인다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하고 \(\mathfrak p \subset A\)를 소 아이디얼이라 하자. \(A\)가 완전교차이면 \(A_\mathfrak p\)도 완전교차이다.

증명

\(\mathfrak p\) 위에 놓이는 \(A^\wedge\)의 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)를 택하자(Algebra, Lemma 00MC에 의해 \(A \to A^\wedge\)이 충실히 평탄하므로 이는 가능하다). 그러면 \(A_\mathfrak p \to (A^\wedge)_\mathfrak q\)는 평탄한 국소 환 준동형이다. 따라서 Proposition 09Q2에 의해 \(A_\mathfrak p\)가 완전교차일 필요충분조건은 \((A^\wedge)_\mathfrak q\)가 완전교차인 것이다. 그러므로 \(A\)가 완비인 경우에 Lemma를 증명하면 충분하다 (이것이 증명의 핵심 단계이다).

\(A\)가 완비라고 하자. 정의에 의해 어떤 정칙 국소환 \(R\)의 정칙열 \(f_1, \ldots, f_r\)에 대해 \(A = R/(f_1, \ldots, f_r)\)로 쓸 수 있다. \(\mathfrak q \subset R\)를 \(\mathfrak p\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(f_1, \ldots, f_r \in \mathfrak q\)이고 \(A_\mathfrak p = R_\mathfrak q/(f_1, \ldots, f_r)R_\mathfrak q\). 따라서 Lemma 09Q0에 의해 \(A_\mathfrak p\)는 완전교차이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(A\)가 국소 완전교차일 필요충분조건은 \(A\)의 모든 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)에 대해 \(A_\mathfrak m\)이 완전교차인 것이다.

증명

이는 Lemma 09Q4와 정의들로부터 바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 체 \(k\) 위의 유한형 대수라 하자.

1. 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset S\)에 대해 국소환 \(S_\mathfrak q\)가 Algebra, Definition 00SD의 의미에서 완전교차일 필요충분조건은 \(S_\mathfrak q\)가 Definition 09Q3의 의미에서 완전교차인 것이다,

2. \(S\)가 Algebra, Definition 00S9의 의미에서 국소 완전교차일 필요충분조건은 \(S\)가 Definition 09Q3의 의미에서 국소 완전교차인 것이다.

증명

(1)을 증명하자. \(k[x_1, \ldots, x_n] \to S\)를 전사라 하자. \(\mathfrak p \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)를 \(\mathfrak q\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(I \subset k[x_1, \ldots, x_n]\)를 이 전사의 핵이라 하자. \(k[x_1, \ldots, x_n]_\mathfrak p \to S_\mathfrak q\)는 핵이 \(I_\mathfrak p\)인 전사이다. Algebra, Proposition 00OQ에 의해 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)은 정칙환이다. 따라서 Lemma 09Q1과 Algebra, Lemma 00SF을 결합하면 (1)의 두 개념이 동치임을 얻는다.

(1)을 증명했으므로 (2)의 동치는 정의와 Algebra, Lemma 00SH에서 따른다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 국소환들 사이의 평탄한 국소 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(B\)는 완전교차이다,

2. \(A\)와 \(B/\mathfrak m_A B\)는 완전교차이다.

증명

이제 정의가 말이 됨을 알았으므로, 이는 비자명한 Proposition 09Q2의 자명한 재정식화이다.

국소 완전교차 준동형

\(A \to B\)를 뇌터 완비 국소환들 사이의 국소 준동형이라 하자. Cohen 구조 정리의 한 귀결로서 다음과 같은 뇌터 완비 국소환들의 가환 도식을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ & A \ar[lu] \ar[u] }\] 여기서 \(S \to B\)는 전사이고, \(A \to S\)는 평탄하며, \(S/\mathfrak m_A S\)는 정칙 국소환이다. 이는 More on Algebra, Lemma 07NN에서 따른다. \(S\)가 뇌터 국소환이고, \(A \to S \to B\)가 국소 환 준동형들이며, \(S \to B\)가 전사이고, \(A \to S\)가 평탄하며, \(S/\mathfrak m_AS\)가 정칙이면 (잠정적으로) \(A \to S \to B\)를 \(A \to B\)의 좋은 인수분해라고 하자. \(S \to B\)의 핵이 정칙열로 생성되는 어떤 좋은 인수분해 \(A \to S \to B\)가 존재하면 \(A \to B\)를 완전교차 준동형이라고 하자. 다음 Lemma는 이 개념이 도식의 선택과 무관함을 보인다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 완비 국소환들 사이의 국소 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. 어떤 좋은 인수분해 \(A \to S \to B\)에 대해 \(S \to B\)의 핵은 정칙열로 생성된다,

2. 모든 좋은 인수분해 \(A \to S \to B\)에 대해 \(S \to B\)의 핵은 정칙열로 생성된다.

증명

\(A \to S \to B\)를 좋은 인수분해라 하자. \(B\)가 완비이므로 \(S^\wedge\)을 \(S\)의 완비화라 할 때 인수분해 \(A \to S^\wedge \to B\)를 얻는다. 이것도 좋은 인수분해임에 유의하자. 환 준동형 \(S \to S^\wedge\)은 평탄하므로(Algebra, Lemma 00MB), \(A \to S^\wedge\)은 평탄하다. \(S/\mathfrak m_A S\)가 정칙이므로 환 \(S^\wedge/\mathfrak m_A S^\wedge = (S/\mathfrak m_A S)^\wedge\)도 정칙이다(More on Algebra, Lemma 07NY). \(f_1, \ldots, f_r\)를 \(\Ker(S \to B)\)의 최소 생성계라 하자. 뇌터 국소환의 한 아이디얼이 정칙열로 생성될 필요충분조건은 그 임의의 최소 생성계가 정칙열인 것이라는 사실을 이하에서 별도의 언급 없이 사용한다. Algebra, Lemma 00LM에 의해 \(f_1, \ldots, f_r\)가 \(S\)에서 정칙열일 필요충분조건은 \(f_1, \ldots, f_r\)가 완비화 \(S^\wedge\)에서 정칙열인 것이다. 또한 다음이 성립한다.

\[S^\wedge/(f_1, \ldots, f_r)R^\wedge = (S/(f_1, \ldots, f_n))^\wedge = B^\wedge = B\] \(B\)가 \(\mathfrak m_B\)-진 완비이기 때문이다(첫 번째 등식은 Algebra, Lemma 00MA에 의한다). 따라서 \(S \to B\)의 핵이 정칙열로 생성될 필요충분조건은 \(S^\wedge \to B\)의 핵이 정칙열로 생성되는 것이다. 그러므로 \(S\)가 완비인 좋은 인수분해들만 생각하면 충분하다.

두 인수분해 \(A \to S \to B\)와 \(A \to S' \to B\)가 있고 \(S\)와 \(S'\)가 완비라고 하자. More on Algebra, Lemma 09Q8에 의해 환 \(S \times_B S'\)는 뇌터 완비 국소환이다. 따라서 More on Algebra, Lemma 07NN를 사용하여 \(S''\)가 완비인 좋은 인수분해 \(A \to S'' \to S \times_B S'\)를 택할 수 있다. 그러므로 다음을 보이면 충분하다. \(A \to S' \to S \to B\)가 비교 가능한 좋은 인수분해들이면, \(\Ker(S \to B)\)가 정칙열로 생성될 필요충분조건은 \(\Ker(S' \to B)\)가 정칙열로 생성되는 것이다.

\(A \to S' \to S \to B\)를 비교 가능한 좋은 인수분해들이라 하자. 먼저 \(S'/\mathfrak m_R S' \to S/\mathfrak m_R S\)가 정칙 국소환들의 전사이므로 그 핵은 정칙열 \(\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_c \in \mathfrak m_{S'}/\mathfrak m_R S'\) 로 생성되며, 이는 정칙 국소환 \(S'/\mathfrak m_R S'\)의 정칙 매개변수계로 연장될 수 있다(Algebra, Lemma 00NR 참조). \(I = \Ker(S' \to S)\)로 놓자. \(S\)의 \(R\) 위 평탄성에 의해 \[I/\mathfrak m_R I = \Ker(S'/\mathfrak m_R S' \to S/\mathfrak m_R S) = (\overline{x}_1, \ldots, \overline{x}_c).\] 올림 \(x_1, \ldots, x_c \in I\)를 택하자. \(S'\)가 \(R\) 위에서 평탄하므로 이 올림들은 \(I\)를 생성하는 정칙열을 이룬다. Algebra, Lemma 00MG를 보라.

따라서 \(\Ker(S \to B)\)도 정칙열로 생성되면 \(\Ker(S' \to B)\)도 그러하다. More on Algebra, Lemmas 0669와 09CC를 보라.

역으로 \(J = \Ker(S' \to B)\)가 정칙열로 생성된다고 하자. \(I\)의 생성원 \(x_1, \ldots, x_c\)가 \(\mathfrak m_{S'}/\mathfrak m_{S'}^2\)의 선형 독립인 원소들로 가므로 \(I/\mathfrak m_{S'}I \to J/\mathfrak m_{S'}J\)는 단사이다. 따라서 \(J\)의 최소 생성계 \(x_1, \ldots, x_c, y_1, \ldots, y_d\)가 존재한다. 그러면 \(x_1, \ldots, x_c, y_1, \ldots, y_d\)는 정칙열이고, \(y_1, \ldots, y_d\)의 \(S\)에서의 상들은 \(\Ker(S \to B)\)를 생성하는 정칙열을 이룬다. 이로써 Lemma의 증명이 끝난다.

다음 Proposition에서 Tor의 소멸에 관한 조건은 특히 \(B\)가 \(A\) 위에서 유한 Tor 차원을 가지는 경우, 따라서 특히 \(B\)가 \(A\) 위에서 평탄한 경우에 성립함에 유의하자.

명제

\(A \to B\)를 뇌터 국소환들 사이의 국소 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(B\)는 완전교차이고 \(\text{Tor}^A_p(B, A/\mathfrak m_A)\)가 영이 아닌 \(p\)는 유한 개뿐이다,

2. \(A\)는 완전교차이고 \(A^\wedge \to B^\wedge\)은 위에서 정의한 의미의 완전교차 준동형이다.

증명

\(F_\bullet \to A/\mathfrak m_A\)를 유한 자유 \(A\)-가군들에 의한 분해라 하자. \(\text{Tor}^A_p(B, A/\mathfrak m_A)\) 가 복합체 \(F_\bullet \otimes_A B\)의 제 \(p\) 호몰로지임에 유의하자. \(F_\bullet^\wedge = F_\bullet \otimes_A A^\wedge\)을 완비화라 하자. 그러면 \(F_\bullet^\wedge\)은 유한 자유 \(A^\wedge\)-가군들에 의한 \(A^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}\)의 분해이다 (\(A \to A^\wedge\)이 평탄하고 유한 가군에 대한 완비화가 완전함자이기 때문이다. Algebra, Lemmas 00MA와 00MB을 보라). 따라서 \[F_\bullet^\wedge \otimes_{A^\wedge} B^\wedge = F_\bullet \otimes_A B \otimes_B B^\wedge\] 이고, \(B \to B^\wedge\)의 평탄성에 의해 \[\text{Tor}^{A^\wedge}_p(B^\wedge, A^\wedge/\mathfrak m_{A^\wedge}) = \text{Tor}^A_p(B, A/\mathfrak m_A) \otimes_B B^\wedge\] 를 얻는다. 이로써 국소 환 사상 \(A \to B\)에 관한 (1)의 조건은 국소 환 사상 \(A^\wedge \to B^\wedge\)에 관한 같은 조건과 동치임을 알 수 있다. 따라서 \(A\)와 \(B\)가 완비 뇌터 국소환이라고 가정해도 된다(나머지 조건들은 어느 경우든 완비화를 사용하여 정식화되어 있기 때문이다).

\(A\)와 \(B\)가 완비 뇌터 국소환이라고 하자. More on Algebra, Lemma 07NN에서와 같은 도식 \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ R \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] 을 택하자. \(I = \Ker(R \to A)\)와 \(J = \Ker(S \to B)\)로 놓자. 이제 Proposition은 Lemma 09PX에서 따른다.

주

일반 뇌터 환들 사이의 사상에 대해 “국소 완전교차 준동형”의 좋은 개념을 정의하기는 어려워 보인다. 그 이유는 뇌터 국소환 \(A\)에 대해 \(A \to A^\wedge\)의 올들이 국소 완전교차환이 아니기 때문이다. 따라서 \(A \to B\)가 뇌터 국소환들 사이의 국소 준동형이고 완비화들의 사상 \(A^\wedge \to B^\wedge\)이 위에서 정의한 의미의 완전교차 준동형이더라도, 일반적으로

\((A_\mathfrak p)^\wedge \to (B_\mathfrak q)^\wedge\)은 위에서 정의한 의미의 완전교차 준동형이 아니다. 우수 뇌터 환들만을 다루면 해법을 얻을 수 있다. 더 일반적으로는 형식적 올들이 완전교차인 뇌터 환들을 다룰 수 있다. [Rodicio-ci]를 보라. 이 이론은 Dualizing Complexes, Section 0BJM에서 전개한다.

이 절을 마치기 위해 위에서 정의한 개념을 More on Algebra, Section 09PY에서 도입한 개념과 비교한다.

보조정리

다음 뇌터 국소환들의 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ S \ar[r] & B \\ & A \ar[lu] \ar[u] }\] 여기서 \(S \to B\)는 전사이고, \(A \to S\)는 평탄하며, \(S/\mathfrak m_A S\)는 정칙 국소환이다. 다음은 동치이다.

1. \(\Ker(S \to B)\)는 정칙열로 생성된다,

2. \(A^\wedge \to B^\wedge\)은 위에서 정의한 완전교차 준동형이다.

증명

생략한다. 힌트: 증명은 Lemma 09QA의 증명 첫 문단에서 한 논증과 동일하다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(A \to B\)를 유한형 환 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(A \to B\)는 More on Algebra, Definition 07D0의 의미에서 국소 완전교차이다,

2. 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)에 대해 \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)로 놓으면, 환 준동형 \((A_\mathfrak p)^\wedge \to (B_\mathfrak q)^\wedge\)은 위에서 정의한 의미의 완전교차 준동형이다.

증명

전사 \(R = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)를 택하자. \(A \to R\)가 평탄하고 올들이 정칙임에 유의하자. \(I\)를 \(R \to B\)의 핵이라 하자. (2)를 가정하자. Lemma 09QD와 Algebra, Lemma 061L에 의해 \(I\)는 국소적으로 정칙열로 생성됨을 알 수 있다. 달리 말해 (1)이 성립한다. 역으로 (1)을 가정하자. \(R\)와 \(B\)를 국소화한 뒤에는 \(I\)가 Koszul 정칙열로 생성된다고 가정할 수 있다. More on Algebra, Lemma 09CC에 의해 \(I\)가 국소적으로 정칙열로 생성됨을 알 수 있다.

따라서 Lemma 09QD에 의해 (2)가 성립한다. 몇몇 세부 사항은 생략한다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하자. \(A \to B\)를 그 상 \(\Spec(B) \to \Spec(A)\)이 \(\Spec(A)\)의 모든 닫힌점을 포함하는 유한형 환 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(B\)는 완전교차이고 \(A \to B\)는 유한 Tor 차원을 갖는다,

2. \(A\)는 완전교차이고 \(A \to B\)는 More on Algebra, Definition 07D0의 의미에서 국소 완전교차이다.

증명

이는 Proposition 09QB을 Lemma 09QE을 통해 재정식화한 것이다. 세부 사항은 생략한다.

매끄러운 환 준동형과 대각 사상

이 절에서는 위의 내용을 사용하여 매끄러운 환 준동형을 그 대각 사상이 완전한 것들로 특징짓는다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 국소환들 사이의 국소 환 준동형이라 하자. \(B\)가 \(A\) 위에서 평탄하고 본질적으로 유한형이라고 하자. 만일 \[B \otimes_A B \longrightarrow B\] 가 완전 환 준동형, 즉 \(B\)가 \(B \otimes_A B\) 위에서 유한 Tor 차원을 가지면, \(B\)는 어떤 매끄러운 \(A\)-대수의 국소화이다.

증명

\(B\)가 \(A\) 위에서 본질적으로 유한형이므로 \(B \otimes_A B\)도 그러하며, 특히 \(B \otimes_A B\)는 뇌터 환이다. 따라서 \(B \otimes_A B\)의 상환 \(B\)는 \(B \otimes_A B\) 위에서 유사코히런트이다(More on Algebra, Lemma 066E). 이는 환 준동형의 완전성(More on Algebra, Definition 067H)이 유한 Tor 차원 조건과 일치하는 이유를 설명한다.

\(B = R/K\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(R\)은 \(A[x_1, \ldots, x_n]\)을 어떤 소 아이디얼에서 국소화한 것이고 \(K \subset R\)은 아이디얼이다.

\(\mathfrak m \subset R \otimes_A R\)을 전사 \(R \otimes_A R \to B \otimes_A B \to B\)에 의한 \(B\)의 극대 아이디얼의 역상인 극대 아이디얼이라 하자. 그러면 다음 전사들이 있다. \[(R \otimes_A R)_\mathfrak m \to (B \otimes_A B)_\mathfrak m \to B\] 따라서 Lemma 09PV에서와 같은 아이디얼 \(I \subset J \subset (R \otimes_A R)_\mathfrak m\)을 얻는다. 이로부터 \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\)가 단사임을 알 수 있다.

\(K = (f_1, \ldots, f_r)\)이고 \(r\)이 최소라고 하자. \(f_i \in R\)은 \(A[x_1, \ldots, x_n]\)의 어떤 원소의 상이라고 가정해도 되고 실제로 그렇게 하며, 그 원소도 \(f_i\)로 나타낸다. \(I\)는 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\)과 \(1 \otimes f_1, \ldots, 1 \otimes f_r\)로 생성됨에 유의하자. 우리는 이것이 \(I\)의 최소 생성계라고 주장한다. 실제로 \(\kappa\)가 \(R\), \(B\), \((R \otimes_A R)_\mathfrak m\), \((B \otimes_A B)_\mathfrak m\)의 공통 잉여체이면 다음 사상이 있다. \(R \otimes_A R \to R \otimes_A \kappa \oplus \kappa \otimes_A R\) 이 사상은 \((R \otimes_A R)_\mathfrak m\)을 통해 인수분해된다. \(B\)가 \(A\) 위에서 평탄하고 짧은 완전열 \(0 \to K \to R \to B \to 0\)이 있으므로 \(K \otimes_A \kappa \subset R \otimes_A \kappa\)임을 알 수 있다. Algebra, Lemma 00HL를 보라. 따라서 사상 \((R \otimes_A R)_\mathfrak m \to R \otimes_A \kappa \oplus \kappa \otimes_A R\) 을 \(I\)에 제한하면 다음 사상을 얻는다.

\[I \to K \otimes_A \kappa \oplus \kappa \otimes_A K \to K \otimes_B \kappa \oplus \kappa \otimes_B K.\] 원소들 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1, 1 \otimes f_1, \ldots, 1 \otimes f_r\) 은 이 사상의 공역의 한 기저로 간다. 이는 Nakayama의 Lemma (Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(f_1, \ldots, f_r\)가 \(K \otimes_B \kappa\)의 한 기저로 가기 때문이다. 이로써 주장이 증명되었다.

아이디얼 \(J\)는 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\)과 원소들 \(x_1 \otimes 1 - 1 \otimes x_1, \ldots, x_n \otimes 1 - 1 \otimes x_n\)로 생성된다(증명에는 이 원소들이 아이디얼 \(J\)에 포함됨을 아는 것으로 충분하다). 이제 다음과 같이 쓸 수 있다. \[f_i \otimes 1 - 1 \otimes f_i = \sum g_{ij} (x_j \otimes 1 - 1 \otimes x_j)\] 여기서 \(g_{ij}\)는 \((R \otimes_A R)_\mathfrak m\)의 어떤 원소이다. 이는 \(A[x_1, \ldots, x_n]\)의 원소에 관한 일반적 사실이며 증명은 생략한다. \(a_{ij} \in \kappa\)를 \(g_{ij}\)의 상이라 하자. 다른 계산에 의해 \(a_{ij}\)는 \(\partial f_i / \partial x_j\)의 \(\kappa\)에서의 상이다. \(I/\mathfrak m I \to J/\mathfrak m J\)의 단사성과 위의 관찰들로부터 행렬 \((a_{ij})\)가 최대 계수 \(r\)를 가져야 함을 알 수 있다. 다음과 같이 놓자. \[C = A[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_r)\] 그리고 소박한 여접 복합체 \(\NL_{C/A} \cong (C^{\oplus r} \to C^{\oplus n})\)를 생각하자. 여기서 사상은 편미분들의 행렬로 주어진다.

따라서 \(\NL_{C/A} \otimes_A B\)는 차수 \(0\)에 놓인 계수 \(n - r\)의 자유 \(B\)-가군과 동형이다. 그러므로 \(B\)에서 단원으로 가는 어떤 \(g \in C\)에 대해 \(C_g\)는 \(A\) 위에서 매끄럽다. Algebra, Lemma 07BU를 보라. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(A \to B\)를 뇌터 환들의 평탄한 유한형 환 준동형이라 하자. 만일 \[B \otimes_A B \longrightarrow B\] 가 완전 환 준동형, 즉 \(B\)가 \(B \otimes_A B\) 위에서 유한 Tor 차원을 가지면, \(B\)는 매끄러운 \(A\)-대수이다.

증명

이는 Lemma 0FCW와 매끄러운 환 준동형에 관한 일반적 사실들에서 따른다. Algebra, Lemmas 07BU와 00TC를 보라. 또는 독자는 Lemma 0FCW의 증명을 약간 수정하여 이 Lemma를 증명할 수 있다.

코노멀 가군의 자유성

Tate 분해와 그 위의 미분을 사용하면 이 절의 결과들의 (더 강한) 형태를 증명할 수 있다. [Iyengar]를 보라. 더 초등적인 두 참고문헌은 [Vasconcelos]와 [Ferrand-lci]이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset R\)을 \(R\) 위에서 유한 사영 차원을 갖는 아이디얼이라 하자. \(F \subset I/I^2\)가 \(R/I\)와 동형인 직합인자이면, \(x\)의 \(I/I^2\)에서의 상이 \(F\)를 생성하는 비영인자 \(x \in I\)가 존재한다.

증명

가정에 의해 다음 유한 자유 분해를 택할 수 있다. \[0 \to R^{\oplus n_e} \to R^{\oplus n_{e-1}} \to \ldots \to R^{\oplus n_1} \to R \to R/I \to 0\] 그러면 \(\varphi_1 : R^{\oplus n_1} \to R\)의 계수는 \(1\)이고, Algebra, Proposition 00N1에 의해 \(I\)가 비영인자 \(y\)를 포함함을 알 수 있다. \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n\)을 \(R\)의 연관 소아이디얼들이라 하자. Algebra, Lemma 00LC를 보라. \(J/I^2 = F\)인 아이디얼 \(I^2 \subset J \subset I\)를 택하자. \(y^2 \in J\)이고 \(y^2 \not \in \mathfrak p_i\)이므로 모든 \(i\)에 대해 \(J \not \subset \mathfrak p_i\)이다. Algebra, Lemma 00LD를 보라. Nakayama의 Lemma (Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(J \not \subset \mathfrak m J + I^2\)이다. Algebra, Lemma 00DS에 의해 \(x \in J\)를 \(x \not \in \mathfrak m J + I^2\)이고 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 \(x \not \in \mathfrak p_i\)가 되도록 택할 수 있다. 그러면 \(x\)는 비영인자이고, \(x\)의 \(I/I^2\)에서의 상은 Nakayama의 Lemma에 의해 직합인자 \(J/I^2 \cong R/I\)를 생성한다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 국소환이라 하자. \(I \subset R\)을 \(R\) 위에서 유한 사영 차원을 갖는 아이디얼이라 하자. \(F \subset I/I^2\)가 계수 \(r\)인 자유 직합인자이면, \(x_1 \bmod I^2, \ldots, x_r \bmod I^2\)가 \(F\)를 생성하는 정칙열 \(x_1, \ldots, x_r \in I\)가 존재한다.

증명

\(r = 0\)이면 증명할 것이 없다. \(r > 0\)이라고 가정하자. Lemma 0FJQ에 의해 \(x \in I\)를, \(x\)가 비영인자이고 \(x \bmod I^2\)가 \(F\)의 \(R/I\)와 동형인 한 직합인자를 생성하도록 택할 수 있다. 환 \(R' = R/(x)\)과 아이디얼 \(I' = I/(x)\)을 생각하자. 물론 \(R'/I' = R/I\)이다. 짧은 완전열 \[0 \to R/I \xrightarrow{x} I/xI \to I' \to 0\] 은 분할된다. 사상 \(I/xI \to I/I^2\)가 \(xR/xI\)를 한 직합인자로 보내기 때문이다. 이제 \(I/xI = I \otimes_R^\mathbf{L} R'\)은 \(R'\) 위에서 유한 사영 차원을 갖는다. More on Algebra, Lemmas 066Q와 066W를 보라. 따라서 직합인자 \(I'\)도 \(R'\) 위에서 유한 사영 차원을 갖는다. 한편 짧은 완전열 \(0 \to xR/xI \to I/I^2 \to I'/(I')^2 \to 0\)이 있으므로, \(I'/(I')^2\)는 계수 \(r - 1\)인 자유 직합인자 \(F' = F/(R/I \cdot x)\)를 갖는다.

\(r\)에 대한 귀납법으로 그 합동류들이 \(F'\)를 자유롭게 생성하는 정칙열 \(x'_2, \ldots, x'_r \in I'\)을 택할 수 있다.

\(x_1 = x\)이고 \(x_2, \ldots, x_r\)가 \(R\)에서 \(x'_1, \ldots, x'_r\)을 올리는 임의의 원소들이면 Lemma가 성립한다.

명제

\(R\)을 뇌터 환이라 하자. \(I \subset R\)을 유한 사영 차원을 갖고 \(I/I^2\)가 \(R/I\) 위에서 유한 국소 자유인 아이디얼이라 하자. 그러면 \(I\)는 정칙 아이디얼이다(More on Algebra, Definition 07CV).

증명

Algebra, Lemma 061L에 의해 모든 \(\mathfrak p \supset I\)에 대해 \(I_\mathfrak p \subset R_\mathfrak p\)가 정칙열로 생성됨을 보이면 충분하다. 따라서 \(R\)이 국소환이라고 가정해도 된다. \(I/I^2\)의 계수가 \(r\)이면 Lemma 0FJR에 의해 \(I/I^2\)를 생성하는 정칙열 \(x_1, \ldots, x_r \in I\)를 얻는다. Nakayama(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(I\)가 \(x_1, \ldots, x_r\)로 생성됨을 알 수 있다.

환들의 임의의 국소 완전교차 준동형 \(A \to B\)에 대해 소박한 여접 복합체 \(\NL_{B/A}\)는 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 갖는 완전 복합체이다. More on Algebra, Lemma 0FV0를 보라. 위의 결과를 사용하면 이것이 어떤 경우에는 국소 완전교차 준동형을 특징지음을 보일 수 있다.

보조정리

\(A \to B\)를 완전한(More on Algebra, Definition 067H) 뇌터 환들의 환 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\NL_{B/A}\)는 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 갖는다,

2. \(\NL_{B/A}\)는 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 갖는 \(D(B)\)의 완전 대상이다,

3. \(A \to B\)는 국소 완전교차이다(More on Algebra, Definition 07D0).

증명

\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/I\)로 쓰자. 그러면 \(\NL_{B/A}\)는 다음 \(B\)-가군들의 복합체로 표현된다. \[I/I^2 \longrightarrow \bigoplus B \text{d}x_i\] 여기서 \(I/I^2\)는 차수 \(-1\)에 놓인다. 차수 \(0\)의 항이 유한 자유이므로, 이 복합체가 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 가질 필요충분조건은 \(I/I^2\)가 평탄 \(B\)-가군인 것이다. More on Algebra, Lemma 0653를 보라. \(I/I^2\)가 유한 \(B\)-가군이고 \(B\)가 뇌터 환이므로, 이는 \(I/I^2\)가 유한 국소 자유 \(B\)-가군일 필요충분조건이기도 하다(Algebra, Lemma 00NX). 따라서 (1)과 (2)의 동치는 명백하다. 또한 Proposition 0FJS을 적용하면 (1)과 (3)의 동치도 따른다(정칙 아이디얼은 Koszul 정칙 아이디얼인 동시에 준정칙 아이디얼임을 관찰하라. More on Algebra, Section 07CU를 보라).

보조정리

\(A \to B\)를 유한 표시인 평탄 환 준동형이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\NL_{B/A}\)는 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 갖는다,

2. \(\NL_{B/A}\)는 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 갖는 \(D(B)\)의 완전 대상이다,

3. \(A \to B\)는 신토믹이다(Algebra, Definition 00SL),

4. \(A \to B\)는 국소 완전교차이다(More on Algebra, Definition 07D0).

증명

(3)과 (4)의 동치는 More on Algebra, Lemma 07D3이다.

\(A \to B\)가 신토믹이면 다음 밂 도식을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ B_0 \ar[r] & B \\ A_0 \ar[r] \ar[u] & A \ar[u] }\] 여기서 \(A_0 \to B_0\)는 신토믹이고 \(A_0\)는 뇌터 환이다. Algebra, Lemmas 00R1와 0C33를 보라. Lemma 0FJT에 의해 \(\NL_{B_0/A_0}\)는 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 갖는 완전 대상이다. More on Algebra, Lemma 0FJU에 의해 \(\NL_{B/A} = \NL_{B_0/A_0} \otimes_{B_0}^\mathbf{L} B\)에도 같은 사실이 성립함을 알 수 있다(More on Algebra, Lemmas 066L와 066W도 보라). 이는 (3)이 (2)를 함의함을 증명한다.

(1)을 가정하자. More on Algebra, Lemma 0FJU 에 의해 \(k\)가 체인 모든 환 준동형 \(A \to k\)에 대해 \(\NL_{B \otimes_A k/k}\)가 \([-1, 0]\) 안에서 Tor-진폭을 가짐을 알 수 있다 (More on Algebra, Lemma 066L를 보라). 따라서 Lemma 0FJT에 의해 \(k \to B \otimes_A k\)는 국소 완전교차 준동형이다. 그러므로 정의상 \(A \to B\)는 신토믹이다. 이는 (1)이 (3)을 함의함을 증명하며, 증명이 끝난다.

Koszul 복합체와 Tate 분해

이 절에서는 More on Algebra, Lemma 0921의 결과를 미분 등급 구조와 양립하는 분할 거듭제곱이 주어진 미분 등급 대수의 범주로 “올린다”(이 절에서는 Koszul 복합체를 사슬 복합체로 나타내지만, 인용된 곳에서는 공사슬 복합체를 사용함에 유의하라).

\(R\)을 환이라 하자. \(I \subset R\)을 \(f_1, \ldots, f_r \in R\)로 생성되는 아이디얼이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \[K_n = K_{n, \bullet} = R\langle \xi_1, \ldots, \xi_r\rangle\] 을 \(\xi_i\)가 차수 \(1\)에 있고 \(\text{d}(\xi_i) = f_i^n\)인 미분 등급 Koszul 대수라 하자. 그 위에는 유일한 분할 거듭제곱 구조가 존재한다 (Definition 09PJ에서와 같다). Example 09PH를 보라. \(m > n\)에 대해 전이 사상 \(K_m \to K_n\)은 \(\xi_i\)를 \(f_i^{m - n}\xi_i\)로 보내는, 분할 거듭제곱과 양립하는 미분 등급 대수 사상이다.

보조정리

위의 상황에서 \(R\)이 뇌터 환이면, 모든 \(n\)에 대해 \(N \geq n\)과 사상들 \[K_N \to A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\quad\text{and}\quad A \to K_n\] 이 존재하여 다음 성질들을 만족한다.

1. \((A, \text{d}, \gamma)\)는 Definition 09PJ에서와 같다,

2. \(A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\)은 유사동형이다,

3. 합성 \(K_N \to A \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\)은 표준 사상이다,

4. 합성 \(K_N \to A \to K_n\)은 전이 사상이다,

5. \(A_0 = R \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\)은 표준 전사이다,

6. \(A\)는 각 차수마다 유한 개의 생성원을 갖는 \(R\) 위의 등급 분할 거듭제곱 다항식 대수이다,

7. \(A \to K_n\)은 분할 거듭제곱과 양립하는 미분 등급 \(R\)-대수의 준동형이며, 차수 \(0\)의 호몰로지에서 표준 사상 \(R/(f_1^N, \ldots, f_r^N) \to R/(f_1^n, \ldots, f_r^n)\)을 유도한다.

조건 (4)는 Example 09PH 또는 09PI에서와 같이 각 차수 \(> 0\)마다 유한한 변수 집합 \(T\)를 차례로 첨가하여 \(A_0\)로부터 \(A\)를 구성한다는 뜻이다.

증명

\(n\)을 고정하자. \(r = 0\)이면 단순히 \(A = R\)로 택하면 된다. \(r > 0\)이라고 가정하자. More on Algebra, Lemma 0921를 사슬 복합체의 언어로 옮겨 적용하면 다음을 택할 수 있다. \[n_{r} > n_{r - 1} > \ldots > n_1 > n_0 = n\] 이때 위의 Koszul 대수들 사이의 전이 사상 \(K_{n_{i + 1}} \to K_{n_i}\)은 차수 \(> 0\)의 호몰로지에서 영사상을 유도한다. \(N = n_r\)로 놓고 Lemma를 증명하겠다.

Lemma 09PN의 명제와 증명에서와 똑같이 \(A\)를 구성한다. 따라서 다음을 얻는다. \[A = \colim A(m),\quad\text{and}\quad A(0) \to A(1) \to A(2) \to \ldots \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\] 이는 성질 (1), (2), (5), (6)을 곧바로 준다. 증명을 마치기 위해 \(R\)-대수 사상 \(K_N \to A \to K_n\)을 구성하겠다. 이를 위해 다음을 구성한다.

1. 동형 \(A(1) \to K_N = K_{n_r}\),

2. 사상 \(A(2) \to K_{n_{r - 1}}\),

3. \(\ldots\)

4. 사상 \(A(r) \to K_{n_1}\),

5. 사상 \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\),

6. 사상 \(A \to K_n\).

각 단계에서 구성되는 사상은 양립하는 분할 거듭제곱이 주어진 미분 등급 대수들 사이의 사상이다. 각 사상은 Koszul 대수들 사이의 전이 사상을 통해 앞의 사상과 양립하며, 차수 \(0\)의 호몰로지에서 명백한 표준 사상을 유도한다.

\(A(0) = R\)임을 기억하자. \(m = 1\)에 대해 Lemma 09PN의 증명은 \(T_i\)가 차수 \(1\)에 있고 \(\text{d}(T_i) = f_i^N\)인 \(A(1) = R\langle T_1, \ldots, T_r\rangle\)을 택한다. 즉, \(f_i^N\)들은 \(A(0) \to R/(f_1^N, \ldots, f_r^N)\)의 핵의 생성원들이다. 따라서 \(A(1) \to K_N = K_{n_r}\)에는 다음 사상을 사용한다. \[\varphi_1 : A(1) \longrightarrow K_{n_r},\quad T_i \longmapsto \xi_i\] 이는 동형이다.

\(m = 2\)에 대해 Lemma 09PN의 증명에 나오는 구성은 생성원 \(e_1, \ldots, e_t \in \Ker(\text{d} : A(1)_1 \to A(1)_0)\)을 택한다. 그런 다음 \(T_i\)가 차수 \(2\)에 있고 \(\text{d}(T_i) = e_i\)인 분할 거듭제곱 다항식 대수 \(A(2) = A(1)\langle T_1, \ldots, T_t\rangle\)을 취한다. \(\varphi_1(e_i)\)가 \(K_{n_r}\)의 순환원이므로, 위에서 \(n_r\)과 \(n_{r - 1}\)을 택한 방식에 의해 그 \(K_{n_{r - 1}}\)에서의 상은

쌍대경계이다. 따라서 다음 가환 도식을 구성할 수 있다. \[\xymatrix{ A(1) \ar[d] \ar[r]_{\varphi_1} & K_{n_r} \ar[d] \\ A(2) \ar[r]^{\varphi_2} & K_{n_{r - 1}} }\] \(T_i\)를 그 경계가 \(\varphi_1(e_i)\)의 상인 차수 \(2\)의 원소로 보내면 된다.

분할 거듭제곱 다항식 대수의 보편성에 의해 사상 \(\varphi_2\)가 존재하며, 이는 미분 및 분할 거듭제곱과 양립한다.

\(m = 2, \ldots, r\)에 대해 대수 \(A(m)\)과 사상 \(\varphi_m : A(m) \to K_{n_{r + 1 - m}}\)을 똑같은 방식으로 구성한다.

사상 \(A(r) \to K_{n_1}\)이 주어지면 합성 \(H_r(A(r)) \to H_r(K_{n_1}) \to H_r(K_{n_0}) \subset (K_{n_0})_r\)이 영임을 알 수 있다. 따라서 \(A(r + 1)\)의 새로운 다항식 생성원들을 영으로 보내어 이를 \(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\)으로 연장할 수 있다.

\(A(r + 1) \to K_{n_0} = K_n\)을 구성한 뒤에는 새로운 다항식 생성원들을 영으로 보내는 유일하게 가능한 방식으로 \(A(r + 2), A(r + 3), \ldots\)에 연장하면 된다. 이로써 증명이 끝난다.

주

위의 상황에서 \(R\)이 뇌터 환이면 정수열 \(1 = n_0 < n_1 < n_2 < \ldots\)을 귀납적으로 택하여 \(i = 1, 2, 3, \ldots\)에 대해 Lemma 0GZ4에서와 같은 사상들 \(K_{n_i} \to A_i \to R/(f_1^{n_i}, \ldots, f_r^{n_i})\) 과 \(A_i \to K_{n_{i - 1}}\)이 존재하도록 할 수 있다.

합성 \(A_{i + 1} \to K_{n_i} \to A_i\)를 \(A_{i + 1} \to A_i\)로 나타내자. 그러면 도식 \[\xymatrix{ K_{n_1} \ar[d] & K_{n_2} \ar[d] \ar[l] & K_{n_3} \ar[d] \ar[l] & \ldots \ar[l] \\ A_1 \ar[d] & A_2 \ar[l] \ar[d] & A_3 \ar[l] \ar[d] & \ldots \ar[l] \\ K_1 & K_{n_1} \ar[l] & K_{n_2} \ar[l] & \ldots \ar[l] }\] 은 가환한다. 이로부터 양립하는 분할 거듭제곱을 갖는 미분 등급 \(R\)-대수의 범주에서 역계 \((K_n)\)과 \((A_n)\)이 pro-동형임을 알 수 있다.

보조정리

\((A, \text{d}, \gamma)\), \(d \geq 1\), \(f \in A_{d - 1}\), \(A\langle T \rangle\)이 Lemma 09PM에서와 같다고 하자.

1. \(d = 1\)이면 다음 긴 완전열이 있다. \[\ldots \to H_0(A) \xrightarrow{f} H_0(A) \to H_0(A\langle T \rangle) \to 0\]

2. \(d = 2\)이면 \(H_{i + j}(A\langle T \rangle)\)로 수렴하는 유계 스펙트럼 열 \((E_1)_{i, j} = H_{j - i}(A) \cdot T^{[i]}\) 이 있다. 미분 \((d_1)_{i, j} : H_{j - i}(A) \cdot T^{[i]} \to H_{j - i + 1}(A) \cdot T^{[i - 1]}\) 은 \(\xi \cdot T^{[i]}\)를 \(f \xi \cdot T^{[i - 1]}\)의 류로 보낸다.

3. 필요에 따라 다른 차수의 경우를 여기에 더 추가한다.

증명

\(d = 1\)이면 다음 복합체들의 짧은 완전열이 있다. \[0 \to A \to A\langle T \rangle \to A \cdot T \to 0\] 이로부터 결과 (1)이 쉽게 따른다. \(d = 2\)이면 \(A\langle T \rangle\)을 다음 부분복합체들을 갖는 여과 사슬 복합체로 본다. \[F^pA\langle T \rangle = \bigoplus\nolimits_{i \leq p} A \cdot T^{[i]}\] Homology, Section 012K의 스펙트럼 열을 사슬 복합체로 옮겨 적용하면 (2)를 얻는다.

다음 Lemma는 뒤에서 필요하다.

보조정리

위의 상황에서 모든 \(n \geq t \geq 1\)에 대해 \(N > n\)과 사상 \[K_t \longrightarrow K_n \otimes_R K_t\] 이 왼쪽 미분 등급 \(K_N\)-가군의 유도 범주에 존재하여, 곱셈 사상과 어느 쪽 순서로 합성해도 전이 사상이 된다.

증명

먼저 \(r = 1\)인 경우를 증명하자. \(f = f_1\)로 놓고 \(K_t = R\langle x \rangle\), \(K_n = R\langle y \rangle\), \(K_N = R\langle z \rangle\)로 쓰자. 여기서 \(x\), \(y\), \(z\)는 차수 \(1\)에 있고 \(\text{d}(x) = f^t\), \(\text{d}(y) = f^n\), \(\text{d}(z) = f^N\)이다. 모든 \(N > t\)에 대해 다음 유사동형이 있다고 주장한다. \[B_{N, t} = R\langle x, z, u \rangle \longrightarrow K_t,\quad x \mapsto x,\quad z \mapsto f^{N - t}x,\quad u \mapsto 0\] 여기서 왼쪽은 변수 \(x\)와 \(z\)가 차수 \(1\)에 있고 \(u\)가 차수 \(2\)에 있으며 \(\text{d}(x) = f^t\), \(\text{d}(z) = f^N\), \(\text{d}(u) = z - f^{N - t}x\)인 분할 거듭제곱 다항식 대수를 뜻한다. 주장을 증명하기 위해 \(H_*(R\langle x, z\rangle)\)의 다음 세 부분가군이 같음을 관찰하자.

1. \(H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(K_t)\)의 핵,

2. 사상 \(z - f^{N - t}x : H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(R\langle x, z\rangle)\) 의 상,

3. 사상 \(z - f^{N - t}x : H_*(R\langle x, z\rangle) \to H_*(R\langle x, z\rangle)\). 의 핵.

이 관찰은 생략할 직접 계산으로 증명된다⁴. 이제 Lemma 0GZ6의 (2)를 적용하면 주장이 참임을 알 수 있다.

\(z\)를 \(z\)로 보내는 미분 등급 \(R\)-대수의 준동형 \(K_N \to B_{N, t}\)을 통해 \(B_{N, t} \to K_t\)를 왼쪽 미분 등급 \(K_N\)-가군의 유사동형으로 볼 수 있다. Lemma의 명제에 나오는 화살표를 정의하기 위해 다음 준동형을 사용한다. \[B_{N, t} = R\langle x, z, u \rangle \to K_n \otimes_R K_t,\quad x \mapsto 1 \otimes x,\quad z \mapsto f^{N - n}y \otimes 1,\quad u \mapsto - f^{N - n - t}y \otimes x\] \(N \geq n + t\)라고 가정하면 이는 의미가 있다. 곱셈 사상과 앞이나 뒤에서 합성한 것이 전이 사상임은 간단하고 흥미로운 계산으로 확인된다.

\(r > 1\)이면 각 Koszul 대수를 변수 \(1\)개의 Koszul 대수들의 텐서곱으로 쓰고 앞의 구성을 적용한다. 다시 말해 다음과 같이 쓴다. \[K_t = R\langle x_1, \ldots, x_r\rangle = R\langle x_1\rangle \otimes_R \ldots \otimes_R R\langle x_r\rangle\] 여기서 \(x_i\)는 차수 \(1\)에 있고 \(\text{d}(x_i) = f_i^t\)이다. \(r > 1\)인 경우에는 다음을 사용한다. \[B_{N, t} = R\langle x_1, z_1, u_1 \rangle \otimes_R \ldots \otimes_R R\langle x_r, z_r, u_r \rangle\] 여기서 \(x_i, z_i\)는 차수 \(1\)에 있고 \(u_i\)는 차수 \(2\)에 있으며 \(\text{d}(x_i) = f_i^t\), \(\text{d}(z_i) = f_i^N\), \(\text{d}(u_i) = z_i - f_i^{N - t}x_i\)이다. 텐서곱 사상 \(B_{N, t} \to K_t\)는 자유 \(R\)-가군들의 위로 유계인 복합체들 사이의

유사동형들의 텐서곱이므로 유사동형이다. 마지막으로 사상 \[B_{N, t} \to K_n \otimes_R K_t = R\langle y_1, \ldots, y_r\rangle \otimes_R R\langle x_1, \ldots, x_r\rangle\] 을 \(r = 1\)인 경우에 구성한 사상들의 텐서곱으로 정의한다. 또는 단순히 규칙 \(x_i \mapsto 1 \otimes x_i\), \(z_i \mapsto f_i^{N - n}y_i \otimes 1\), \(u_i \mapsto - f_i^{N - n - t}y_i \otimes x_i\)로 정의해도 된다. \(N \geq n + t\)이면 이는 의미가 있다. 세부 사항은 생략한다.