因子

序論

本章では、因子の定義などに関わるいくつかの非常に基本的な問題を扱う。 基本的な参考文献は [EGA] である。

随伴点

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。 素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) が \(M\) に 随伴する とは、 \(M\) の元で、その零化イデアルが \(\mathfrak p\) であるものが存在することをいう。 Algebra, Definition 00LA を参照せよ。 [EGA, IV Definition 3.1.1] に従い、スキーム上の準連接層に対する 随伴点を次のように定義する。

定義

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。

1. \(x \in X\) が \(\mathcal{F}\) に 随伴する とは、極大イデアル \(\mathfrak m_x\) が \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群 \(\mathcal{F}_x\) に随伴することをいう。

2. \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) または \(\text{Ass}_X(\mathcal{F})\) と書くものを、 \(\mathcal{F}\) の随伴点全体の集合とする。

3. \(X\) の随伴点 とは、\(\mathcal{O}_X\) の随伴点のことである。

これらの定義は、\(X\) が局所 Noether であり、 \(\mathcal{F}\) が有限型である場合に最も有用である。 たとえば、\(X\) の既約成分の生成点が \(X\) に随伴しないこともあり得る。 Example 05AI を参照せよ。 非 Noether の場合には弱随伴点を用いる方が便利なことがある。 Section 056K を参照せよ。 ここで、スキーム論的概念とアフィン開集合上の代数的概念との関係を示す。 ただし、この対応が完全に機能するのは局所 Noether スキームの場合に限られる。

補題

\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(\Spec(A) = U \subset X\) をアフィン開集合とし、 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\) とおく。 \(x \in U\) とし、対応する素イデアルを \(\mathfrak p \subset A\) とする。

1. \(\mathfrak p\) が \(M\) に随伴するならば、 \(x\) は \(\mathcal{F}\) に随伴する。

2. \(\mathfrak p\) が有限生成ならば、逆も成り立つ。

特に \(X\) が局所 Noether ならば、上のようなすべての組 \((\mathfrak p, x)\) に対して同値 \[\mathfrak p \in \text{Ass}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\] が成り立つ。

証明

これは Algebra, Lemma 0310 から従うが、次のように直接論じることもできる。 \(\mathfrak p\) が \(M\) に随伴すると仮定する。 このとき \(m \in M\) が存在し、その零化イデアルは \(\mathfrak p\) である。 局所化は完全なので、\(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\) は \(m/1 \in M_{\mathfrak p}\) の零化イデアルである。 \(M_{\mathfrak p} = \mathcal{F}_x\) （Schemes, Lemma 01HV）であるから、 \(x\) は \(\mathcal{F}\) に随伴する。

逆に、\(x\) が \(\mathcal{F}\) に随伴し、 \(\mathfrak p\) が有限生成であると仮定する。 \(x\) が \(\mathcal{F}\) に随伴するので、元 \(m' \in M_{\mathfrak p}\) が存在し、その零化イデアルは \(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\) である。 \(m' = m/f\) と書く。ただし \(f \in A\), \(f \not \in \mathfrak p\) とする。 零化イデアル \(I\) を \(m\) のものとする。これは \(A\) のイデアルであり、 \(IA_{\mathfrak p} = \mathfrak pA_{\mathfrak p}\) を満たす。したがって \(I \subset \mathfrak p\) かつ \((\mathfrak p/I)_{\mathfrak p} = 0\) である。 \(\mathfrak p\) は有限生成なので、ある \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\) が存在して \(g(\mathfrak p/I) = 0\) となる。 従って \(gm\) の零化イデアルは \(\mathfrak p\) であり、結論を得る。

\(X\) が局所 Noether ならば、\(A\) は Noether であり （Properties, Lemma 01OW）、 \(\mathfrak p\) は常に有限生成である。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\) である。

証明

定義から直ちに従う。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) を \(X\) 上の準連接層の短完全列とする。このとき \(\text{Ass}(\mathcal{F}_2) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_1) \cup \text{Ass}(\mathcal{F}_3)\) かつ \(\text{Ass}(\mathcal{F}_1) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_2)\) である。

証明

任意の点 \(x \in X\) に対し、茎の列 \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群の短完全列である。 したがって補題は Algebra, Lemma 02M3 から従う。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 このとき \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \cap U\) は、 任意の準コンパクト開集合 \(U \subset X\) に対して有限である。

証明

Noether 環上の有限加群の随伴素イデアル全体は有限であるからである。 Algebra, Lemma 00LC を参照せよ。 スキームから代数へ移すには、\(U\) が有限個のアフィン開集合の和であり、 各開集合が Noether 環のスペクトルであること （Properties, Lemma 01OW）、 \(\mathcal{F}\) がこの環上の有限加群に対応すること （Cohomology of Schemes, Lemma 01XZ）、 および最後に Lemma 02OK を用いればよい。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[\mathcal{F} = 0 \Leftrightarrow \text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset.\]

証明

\(\mathcal{F} = 0\) ならば、定義により \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\) である。 逆に \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\) ならば、 Algebra, Lemma 0587 により \(\mathcal{F} = 0\) である。 スキームから代数へ移すには、任意のアフィン開集合へ制限し、 Lemma 02OK を用いればよい。

例

\(k\) を体とする。環 \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\) は局所環であり、 その極大イデアル \(\mathfrak m\) は局所冪零である。 \(R\) の元で、その零化イデアルが \(\mathfrak m\) となるものは存在しない。 したがって \(\text{Ass}(R) = \emptyset\) であり、 \(X = \Spec(R)\) は随伴点をもたないスキームの例である。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(U \subset X\) が開であり \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset U\) ならば、 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) は単射である。

証明

\(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) を、\(U\) 上への制限が零となる切断とする。 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) を写像 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) の像とする。この写像は \(s\) により定まる。このとき \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\) である。一方、 Lemma 05AE により \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\) である。 さらに \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\) （Lemma 05AD）でもあるから、 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \emptyset\) を得る。 従って Lemma 05AG により \(\mathcal{F}' = 0\) である。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) を \(\mathcal{F}\) の台の点で、 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の他の点の特殊化ではないものとする。 このとき \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) である。 特に、\(X\) の任意の既約成分の生成点は \(X\) の随伴点である。

証明

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) なので、加群 \(\mathcal{F}_x\) は零でない。 したがって Algebra, Lemma 0587 により \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) は空でない。一方、仮定により \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\) である。 また \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\) （Algebra, Lemma 0586）なので、 \(\mathfrak m_x\) は \(\mathcal{F}_x\) に随伴し、結論を得る。

次の補題は More on Algebra, Lemma 0AV7 の類似である。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像とする。 任意の \(x \in X\) に対して次の少なくとも一方が成り立つと仮定する。

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) は単射である、または

2. \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{F})\) である。

このとき \(\varphi\) は単射である。

証明

仮定から \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\) が従い、 したがって Lemma 05AG により \(\Ker(\varphi) = 0\) である。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像とする。 \(\mathcal{F}\) は連接であり、任意の \(x \in X\) に対して 次のいずれか一方が成り立つと仮定する。

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) は同型である、または

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) かつ \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{G})\) である。

このとき \(\varphi\) は同型である。

証明

これは More on Algebra, Lemma 0AV8 をスキームの言葉へ移したものである。

射と随伴点

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。 \(s \in S\) が点であるとき、\(\mathcal{F}_s\) で、 \(\mathcal{O}_{X_s}\)-加群、すなわち \(\mathcal{F}\) を射 \(i_s : X_s \to X\) によって引き戻して得られるものを表すのがしばしば便利である。 ここで \(X_s\) は \(f\) の \(s\) 上のスキーム論的ファイバーである。 式で書けば \[\mathcal{F}_s = i_s^*\mathcal{F}\] である。もちろん、この記法は \(\mathcal{F}\) の点 \(x \in X\) における茎について 既に用いている記法と、\(f = \text{id}_X\) の場合に衝突する。 しかし、次の補題の定式化のように、この記法はしばしば便利である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層で \(S\) 上平坦なものとする。 \(\mathcal{G}\) を \(S\) 上の準連接層とする。このとき \[\text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \supset \bigcup\nolimits_{s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] であり、\(S\) が局所 Noether ならば等号が成り立つ （記法 \(\mathcal{F}_s\) については上を参照）。

証明

\(x \in X\) とし、\(s = f(x) \in S\) とする。 \(B = \mathcal{O}_{X, x}\), \(A = \mathcal{O}_{S, s}\), \(N = \mathcal{F}_x\), \(M = \mathcal{G}_s\) とおく。 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\) の \(x\) における茎は \(B\)-加群 \(M \otimes_A N\) に等しいことに注意する。したがって \(x \in \text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) であることと \(\mathfrak m_B\) が \(\text{Ass}_B(M \otimes_A N)\) に属することは同値である。 同様に、\(s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})\) かつ \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\) であることと \(\mathfrak m_A \in \text{Ass}_A(M)\) かつ \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_A B \in \text{Ass}_{B \otimes \kappa(\mathfrak m_A)}(N \otimes \kappa(\mathfrak m_A))\) であることは同値である。従って補題は Algebra, Lemma 05C2 から従う。

埋め込まれた点

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。 素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) が \(M\) の 埋め込まれた随伴素イデアルであるとは、それが \(M\) の随伴素イデアルで、 \(M\) の随伴素イデアルの中で極小でないことをいう。 Algebra, Definition 02M5 を参照せよ。 [EGA, IV Definition 3.1.1] に従い、スキーム上の準連接層に対する 埋め込まれた随伴点を次のように定義する。

定義

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。

1. \(\mathcal{F}\) の 埋め込まれた随伴点とは、 \(\mathcal{F}\) の随伴点の中で極大でないもの、すなわち \(\mathcal{F}\) の別の随伴点の特殊化であるものをいう。

2. \(x\) を \(X\) の点とする。これが 埋め込まれた点であるとは、 \(x\) が \(\mathcal{O}_X\) の埋め込まれた随伴点であることをいう。

3. \(X\) の 埋め込まれた成分とは、既約閉集合 \(Z = \overline{\{x\}}\) で、その生成点 \(x\) が \(X\) の埋め込まれた点であるものをいう。

Noether の場合に \(\mathcal{F}\) が連接ならば、次が成り立つ。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき

1. \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の既約成分の生成点は \(\mathcal{F}\) の随伴点であり、

2. \(\mathcal{F}\) の随伴点が埋め込まれていることと、 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の既約成分の生成点でないことは同値である。

特に、\(X\) の埋め込まれた点とは、\(X\) の随伴点であって \(X\) の既約成分の生成点でないものである。

証明

この場合 \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\) が閉であることを思い出そう。 Morphisms, Lemma 056J を参照せよ。 また \(Z\) の既約成分の生成点は \(\mathcal{F}\) の随伴点である。 Lemma 05AH を参照せよ。 最後に Lemma 05AD により \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset Z\) である。 これらの結果と、\(Z\) がソバー位相空間であり、従って \(Z\) の任意の点が \(Z\) の生成点の特殊化であるという事実を合わせると、 (1) と (2) が従う。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の連接層とする。このとき次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は埋め込まれた随伴点をもたず、

2. \(\mathcal{F}\) は性質 \((S_1)\) をもつ。

証明

これは Algebra, Lemma 031Q と 上の Lemma 02OK を合わせたものである。

補題

\(X\) を次元 \(\leq 1\) の局所 Noether スキームとする。次は同値である。

1. \(X\) は Cohen–Macaulay であり、

2. \(X\) は埋め込まれた点をもたない。

証明

Lemma 0346 と定義から従う。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(U \subset X\) を開部分スキームとする。 次は同値である。

1. \(U\) は \(X\) においてスキーム論的に稠密である （Morphisms, Definition 01RB）。

2. \(U\) は \(X\) において稠密であり、\(U\) は \(X\) のすべての 埋め込まれた点を含む。

3. \(U\) は \(X\) のすべての随伴点を含む。

証明

問題は \(X\) 上局所的なので、\(X = \Spec(A)\) で \(A\) が Noether 環であると仮定してよい。このとき \(U\) は準コンパクトであり （Properties, Lemma 01OX）、 従って \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\) である（Algebra, Lemma 00F6）。 この状況で \(U\) が \(X\) においてスキーム論的に稠密であることと \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) が単射であることは同値である。 Morphisms, Example 056C を参照せよ。 条件 (3) を代数へ移すと、任意の随伴素イデアル \(\mathfrak p\)（\(A\) のもの）に対して、ある \(i\) が存在し、 \(f_i \not \in \mathfrak p\) となるという意味になる。

(1)、すなわち \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) が単射であると仮定する。 \(a \in A\) の零化イデアルが素イデアル \(\mathfrak p\) であるとする。 \(a\) は \(A_{f_i}\) の零でない元へ写り、そのような \(i\) が存在するので、 \(f_i \not \in \mathfrak p\) である。従って (3) が成り立つ。

\(U\) が \(\Spec(A)\) で稠密であることと、すべての極小素イデアルを 含むことは同値である。\(A\) の随伴素イデアル全体は、 極小素イデアル全体と埋め込まれた随伴素イデアル全体との和に等しい （Algebra, Proposition 02CE を参照）。 従って (2) と (3) は同値である。

(3) を仮定する。これは、任意の随伴素イデアル \(\mathfrak p\)（\(A\) のもの）が \(A_{f_i}\) の素イデアルに対応し、 そのような \(i\) が存在することを意味する。 このとき \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\) は単射である。実際、 Algebra, Lemma 0311 により \(A \to \prod_{\mathfrak p \in \text{Ass}(A)} A_\mathfrak p\) は単射である。このようにして (3) から (1) が従う。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の連接層とする。連接部分層全体の集合 \[\{ \mathcal{K} \subset \mathcal{F} \mid \text{Supp}(\mathcal{K})\text{ is nowhere dense in }\text{Supp}(\mathcal{F}) \}\] は最大元 \(\mathcal{K}\) をもつ。 \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}/\mathcal{K}\) とおくと、次が成り立つ。

1. \(\text{Supp}(\mathcal{F}') = \text{Supp}(\mathcal{F})\)。

2. \(\mathcal{F}'\) は埋め込まれた随伴点をもたない。

3. 稠密開集合 \(U \subset X\) が存在し、 \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\) は \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) で稠密であり、 \(\mathcal{F}'|_U \cong \mathcal{F}|_U\) である。

証明

これは Algebra, Lemmas 02M6 および 02M7 から従う。 \(U\) は \(\mathcal{F}\) の埋め込まれた随伴点全体の閉包の補集合として 取れることに注意する。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を埋め込まれた随伴点をもたない連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次のようにおく。 \[\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})).\] これは埋め込まれた点をもたない閉部分スキーム \(Z \subset X\) を定める連接イデアル層である。さらに 連接層 \(\mathcal{G}\) が \(Z\) 上に存在し、 (a) \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{G}\)、 (b) \(\mathcal{G}\) は埋め込まれた随伴点をもたず、 (c) \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)（集合として） を満たすものが存在する。

証明

いくつかの主張は Cohomology of Schemes, Lemma 01Y5 の証明で既に見た。 残りは Algebra, Lemma 02M8 から従う。

弱随伴点

\(R\) を環、\(M\) を \(R\)-加群とする。 素イデアル \(\mathfrak p \subset R\) が \(M\) に 弱随伴する とは、 ある元 \(m\) が \(M\) に存在し、\(\mathfrak p\) が \(m\) の零化イデアルを含む 素イデアルの中で極小となるものが存在することをいう。 Algebra, Definition 0547 を参照せよ。 \(R\) が極大イデアル \(\mathfrak m\) をもつ局所環ならば、 \(\mathfrak m\) が \(M\) に弱随伴することと、元 \(m \in M\) が存在し、 その零化イデアルの根基が \(\mathfrak m\) であることは同値である。 Algebra, Lemma 0566 を参照せよ。

定義

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。

1. \(x \in X\) が \(\mathcal{F}\) に 弱随伴する とは、極大イデアル \(\mathfrak m_x\) が \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群 \(\mathcal{F}_x\) に弱随伴することをいう。

2. \(\text{WeakAss}(\mathcal{F})\) で \(\mathcal{F}\) の弱随伴点全体の集合を表す。

3. \(X\) の弱随伴点とは、\(\mathcal{O}_X\) の弱随伴点のことである。

この場合、任意のアフィン開集合上で、この定義は上で定義した 弱随伴素イデアルと正確に対応する。正確には次の通りである。

補題

\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(\Spec(A) = U \subset X\) をアフィン開集合とし、 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\) とおく。 \(x \in U\) とし、対応する素イデアルを \(\mathfrak p \subset A\) とする。 次は同値である。

1. \(\mathfrak p\) は \(M\) に弱随伴し、

2. \(x\) は \(\mathcal{F}\) に弱随伴する。

証明

Algebra, Lemma 0566 から従う。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}).\]

証明

定義から直ちに従う。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\) を \(X\) 上の準連接層の短完全列とする。このとき \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_2) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \cup \text{WeakAss}(\mathcal{F}_3)\) かつ \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_2)\) である。

証明

任意の点 \(x \in X\) に対し、茎の列 \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群の短完全列である。 したがって補題は Algebra, Lemma 0548 から従う。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[\mathcal{F} = (0) \Leftrightarrow \text{WeakAss}(\mathcal{F}) = \emptyset\] である。

証明

Lemma 056M および Algebra, Lemma 0588 から従う。

補題

\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(U \subset X\) が開であり \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset U\) ならば、 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) は単射である。

証明

\(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\) を、\(U\) 上への制限が零となる切断とする。 \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\) を写像 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\) の像とする。この写像は \(s\) により定まる。このとき \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\) である。一方、 Lemma 05AN により \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F})\) である。 さらに \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\) （Lemma 05AM）なので、 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') = \emptyset\) を得る。 従って Lemma 05AP により \(\mathcal{F}' = 0\) である。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) を \(\mathcal{F}\) の台の点で、 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\) の他の点の特殊化ではないものとする。このとき \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\) である。 特に、\(X\) の任意の既約成分の生成点は \(\mathcal{O}_X\) に弱随伴する。

証明

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\) なので、加群 \(\mathcal{F}_x\) は零でない。 したがって \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\) は Algebra, Lemma 0588 により空でない。 一方、仮定により \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\) である。 また \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\) であるから （Algebra, Lemma 0589）、 \(\mathfrak m_x\) は \(\mathcal{F}_x\) に弱随伴し、結論を得る。

補題

\(X\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathfrak m_x\) が \(\mathcal{O}_{X, x}\) の有限生成イデアルならば \[x \in \text{Ass}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F}).\] である。特に \(X\) が局所 Noether ならば \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{WeakAss}(\mathcal{F})\) である。

証明

Algebra, Lemma 058A を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの準コンパクトかつ準分離な射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in S\) を \(f\) の像に属さない点とする。このとき \(s\) は \(f_*\mathcal{F}\) に弱随伴しない。

証明

\(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) を、 \(f\) を射 \(g : \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \to S\) で基底変換して得られるものとして考え、 もう一方の射影を \(g' : X' \to X\) と書く。このとき \[(f_*\mathcal{F})_s = (g^*f_*\mathcal{F})_s = (f'_*(g')^*\mathcal{F})_s\] である。最初の等号は \(g\) が \(s\) における局所環上に同型を誘導することから、 二つ目は平坦基底変換 （Cohomology of Schemes, Lemma 02KH）から従う。 もちろん \(s \in \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) は \(f'\) の像に属さない。 従って \(S\) は局所環 \((A, \mathfrak m)\) のスペクトルであり、 \(s\) は \(\mathfrak m\) に対応すると仮定してよい。 Schemes, Lemma 01LC により 層 \(f_*\mathcal{F}\) は準連接であり、\(A\)-加群 \(M\) に対応するとしよう。 \(s\) は \(f\) の像に属さないので、 \(X = \bigcup_{a \in \mathfrak m} f^{-1}D(a)\) は開被覆である。\(X\) は準コンパクトなので、 \(a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak m\) で \(X = f^{-1}D(a_1) \cup \ldots \cup f^{-1}D(a_n)\) となるものを取れる。従って \[M \to M_{a_1} \oplus \ldots \oplus M_{a_r}\] は単射である。このため、任意の非零元 \(m\)（茎 \(M_\mathfrak p\) のもの）に対し、 ある \(i\) が存在して \(a_i^n m\) はすべての \(n \geq 0\) について 非零となる。従って \(\mathfrak m\) は \(M\) に弱随伴しない。

補題

\(X\) をスキームとし、 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像とする。任意の \(x \in X\) に対して 次の少なくとも一方が成り立つと仮定する。

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) は単射である、または

2. \(x \not \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\) である。

このとき \(\varphi\) は単射である。

証明

仮定から \(\text{WeakAss}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\) が従い、 従って Lemma 05AP により \(\Ker(\varphi) = 0\) である。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(j : U \to X\) を、 \(x \in X \setminus U\) に対して \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) となる開部分スキームとする。このとき \[\mathcal{F} \longrightarrow j_*(\mathcal{F}|_U)\] は同型であり、従って \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\) も同型である。

証明

Lemma 0AVM が 補題に表示された写像へ適用できることを示す。 \(x \in X\) とする。\(x \in U\) ならば \(j_*(\mathcal{F}|_U)|_U = \mathcal{F}|_U\) なので、この写像は茎上の同型である。 \(x \in X \setminus U\) ならば \(x \not \in \text{Ass}(j_*(\mathcal{F}|_U))\) である （Lemmas 0AVN および 05AM）。 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) を仮定しているので、証明は完了する。

補題

\(X\) を被約スキームとする。このとき \(X\) の弱随伴点は、 \(X\) の既約成分の生成点にちょうど一致する。

証明

Algebra, Lemma 0EMA から従う。

射と弱随伴点

補題

\(f : X \to S\) をスキームのアフィン射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] である。

証明

\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。このとき \(X \to S\) は環準同型 \(A \to B\) から得られる。\(\mathcal{F} = \widetilde M\) と書く。 ただしこれはある \(B\)-加群 \(M\) に対するものとする。 Lemma 056M により、 \(\mathcal{F}\) の弱随伴点は \(M\) の弱随伴素イデアルと正確に対応する。 同様に、\(f_*\mathcal{F}\) の弱随伴点は、\(M\)（\(A\)-加群としてのもの）の 弱随伴素イデアルと正確に対応する。 従って補題は Algebra, Lemma 05C6 から従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームのアフィン射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(X\) が局所 Noether ならば \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) = \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) = \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] である。

証明

\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。このとき \(X \to S\) は環準同型 \(A \to B\) から得られる。\(X\) は局所 Noether なので、環 \(B\) は Noether である。 Properties, Lemma 01OW を参照せよ。 \(\mathcal{F} = \widetilde M\) と書く。ただしこれはある \(B\)-加群 \(M\) に対するものとする。 Lemma 02OK により、 \(\mathcal{F}\) の随伴点は \(M\) の随伴素イデアルと正確に対応し、 \(M\)（\(A\)-加群としてのもの）の任意の随伴素イデアルは \(f_*\mathcal{F}\) の随伴点となる。従って包含 \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) \subset \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F})\] は Algebra, Lemma 05DZ から従う。また包含 \[\text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F})\] は Lemma 05AM から従う。さらに包含 \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] は Lemma 05EX から従う。 外側の集合は Lemma 05AR により等しいので、 すべての箇所で等号が成り立つ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの有限射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \(\text{WeakAss}(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}(\mathcal{F}))\) である。

証明

\(X\) と \(S\) はアフィンであると仮定してよい。このとき \(X \to S\) は有限環準同型 \(A \to B\) から得られる。\(\mathcal{F} = \widetilde M\) と書く。 ただしこれはある \(B\)-加群 \(M\) に対するものとする。 Lemma 056M により、 \(\mathcal{F}\) の弱随伴点は \(M\) の弱随伴素イデアルと正確に対応する。 同様に、\(f_*\mathcal{F}\) の弱随伴点は、\(M\)（\(A\)-加群としてのもの）の 弱随伴素イデアルと正確に対応する。 従って補題は Algebra, Lemma 05E1 から従う。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。\(x \in X\) とし、\(s = f(x)\) とする。 \(f\) が \(x\) において平坦で、点 \(x\) がファイバー \(X_s\) の生成点であり、 \(s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})\) ならば \(x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G})\) である。

証明

\(A = \mathcal{O}_{S, s}\), \(B = \mathcal{O}_{X, x}\), \(M = \mathcal{G}_s\) とする。 \(m \in M\) を、その零化イデアル \(I = \{a \in A \mid am = 0\}\) の根基が \(\mathfrak m_A\) となる元とする。 \(m \otimes 1\) の零化イデアルは \(I B\) である。これは \(A \to B\) が忠実平坦だからである。従って \(\sqrt{I B} = \mathfrak m_B\) を示せば十分である。 これは、\(B/\mathfrak m_AB\) の極大イデアルが局所冪零であること （Algebra, Lemma 00EU を参照） と、\(\sqrt{I} = \mathfrak m_A\) という仮定から従う。 いくつかの詳細は省略する。

補題

\(K/k\) を体拡大とし、\(X\) を \(k\) 上のスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(y \in X_K\) の像を \(x \in X\) とする。 \(y\) が引き戻し \(\mathcal{F}_K\) の弱随伴点ならば、 \(x\) は \(\mathcal{F}\) の弱随伴点である。

証明

これは Algebra, Lemma 0CUB をスキームの言葉へ移したものである。

次は、順像の深さがしばしば 2 以上となることを示す簡単な補題である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの準コンパクトかつ準分離な射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in S\) とする。

1. \(s \not \in f(X)\) ならば、\(s\) は \(f_*\mathcal{F}\) に弱随伴しない。

2. \(s \not \in f(X)\) かつ \(\mathcal{O}_{S, s}\) が Noether ならば、 \(s\) は \(f_*\mathcal{F}\) に随伴しない。

3. \(s \not \in f(X)\) であり、\((f_*\mathcal{F})_s\) が有限 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-加群で、かつ \(\mathcal{O}_{S, s}\) が Noether ならば \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq 2\) である。

4. \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦で、\(a \in \mathfrak m_s\) が非零因子ならば、 \(a\) は \((f_*\mathcal{F})_s\) 上の非零因子である。

5. \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦で、\(a, b \in \mathfrak m_s\) が正則列ならば、 \(a\) は \((f_*\mathcal{F})_s\) 上の非零因子であり、 \(b\) は \((f_*\mathcal{F})_s/a(f_*\mathcal{F})_s\) 上の非零因子である。

6. \(\mathcal{F}\) が \(S\) 上平坦で、\((f_*\mathcal{F})_s\) が有限 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-加群ならば \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq \min(2, \text{depth}(\mathcal{O}_{S, s}))\) である。

証明

(1) は Lemma 0AVN である。 (2) は (1) と Lemma 05AR から従う。

(3) の証明。深さが \(\geq 2\) であることを示すには \(\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\) および \(\Ext^1_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\) を示せば十分である。 Algebra, Lemma 00LW を参照せよ。 完全列 \(0 \to \mathfrak m_s \to \mathcal{O}_{S, s} \to \kappa(s) \to 0\) を用いると、写像 \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathcal{O}_{S, s}, (f_*\mathcal{F})_s) \to \Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s)\] が同型であることを示せば十分である。 平坦基底変換 （Cohomology of Schemes, Lemma 02KH）により、 \(S\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\) で置き換え、 \(X\) を \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \times_S X\) で置き換えてよい。 \(\mathfrak m \subset \mathcal{O}_S\) で \(s\) のイデアル層を表す。このとき \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s) = \Hom_{\mathcal{O}_S}(\mathfrak m, f_*\mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathfrak m, \mathcal{F})\] である。最初の等号は \(S\) が閉点 \(s\) をもつ局所スキームだからであり、 二つ目は準連接加群上の \(f^*, f_*\) に対する随伴から従う。 しかし \(s \not \in f(X)\) なので \(f^*\mathfrak m = \mathcal{O}_X\) である。 議論を逆向きにたどれば、求める等号を得る。

(4), (5), (6) の証明には平坦基底変換 （Cohomology of Schemes, Lemma 02KH）を用いて、 \(S\) が \(\mathcal{O}_{S, s}\) のスペクトルである場合へ帰着する。 このとき非零因子 \(a \in \mathcal{O}_{S, s}\) は短完全列 \[0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{a} \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S/a \mathcal{O}_S \to 0\] を定める。\(\mathcal{F}\) は \(S\) 上平坦なので、完全列 \[0 \to \mathcal{F} \xrightarrow{a} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to 0\] を得る。順像を取ると完全列 \[0 \to f_*\mathcal{F} \xrightarrow{a} f_*\mathcal{F} \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] を得る。これにより (4) が証明され、また \(f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \subset f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\) であることが分かる。\(b\) が \(\mathcal{O}_{S, s}/a\mathcal{O}_{S, s}\) 上の非零因子ならば、 全く同じ議論により \(b : \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F}\) は単射である。順像を取ると \[b : f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F}) \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] は単射であり、従って \(b : f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F}\) も単射である。これで (5) が証明された。(6) は (4), (5) と定義から従う。

相対随伴点集合

\(A \to B\) を環準同型とし、\(N\) を \(B\)-加群とする。素イデアル \(\mathfrak q \subset B\) が \(N\) の \(B/A\) 上の相対随伴素イデアル集合に属するとは、 \(\mathfrak q\) が \(N \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) の随伴素イデアルであることをいう。 ここで \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\) である。 Algebra, Definition 05GC を参照せよ。 以下では、スキームの射上の準連接層に対する相対随伴点集合を定義する。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{F}\) の、\(X\) における \(S\) 上の相対随伴点集合とは、集合 \[\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] をいう。ここで \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\) は、 \(\mathcal{F}\) を \(f\) の \(s\) におけるファイバーへ制限したものである。

ここでも、この概念は \(f\) のファイバーが局所 Noether で、 \(\mathcal{F}\) が有限型である場合に最もよく用いられるという注意がある。 一般の場合には、次節で定義する相対弱随伴点集合を用いるべきであろう。 アフィン開集合上でスキーム論的概念を代数的概念と結び付けよう。 この対応が完全に成り立つのは、ファイバーが局所 Noether である スキームの射についてだけであることに注意せよ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を \(X\) 上の準連接層とする。 \(U \subset X\) と \(V \subset S\) を、\(f(U) \subset V\) を満たすアフィン開集合とする。 \(U = \Spec(A)\), \(V = \Spec(R)\) と書き、 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\) と置く。 \(x \in U\) とし、\(\mathfrak p \subset A\) を対応する素イデアルとする。このとき \[\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Rightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\] である。すべてのファイバー \(X_s\)（\(f\) のファイバー）が局所 Noether ならば、 \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) が上のすべての対 \((\mathfrak p, x)\) について成り立つ。

証明

集合 \(\text{Ass}_{A/R}(M)\) は Algebra, Definition 05GC で定義される。 対 \((\mathfrak p, x)\) を一つ取り、\(s = f(x)\) と置く。 \(\mathfrak r \subset R\) を \(\mathfrak p\) の下にある素イデアル、 すなわち \(s\) に対応する素イデアルとする。 \(\mathfrak p' \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) を、 その逆像が \(\mathfrak p\) となる素イデアル、すなわち \(x\) をそのファイバー \(X_s\) の点と見たときに対応する素イデアルとする。 このとき \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M)\) であることと、 \(\mathfrak p'\) が \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) の随伴素イデアルであることは同値である。 Algebra, Lemma 05GB を参照せよ。 環 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) は \(U_s\) に対応し、 加群 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\) は準連接層 \(\mathcal{F}_s|_{U_s}\) に対応することに注意せよ。 従って Lemma 02OK により、 \(x\) は \(\mathcal{F}_s\) の随伴点である。 \(\mathfrak p'\) が有限生成ならば逆向きも成り立ち、 これにより最後の文が正しいことが分かる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(g : S' \to S\) をスキームの射とする。基底変換図 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] を考え、\(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\) と置く。 \(x' \in X'\) を、その像が \(x \in X\), \(s' \in S'\), \(s \in S\) となる点とする。 \(f\) は局所有限型であると仮定する。このとき \(x' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\) であることと、 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) であり、かつ \(x'\) が \(\Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\) の不可約成分の 生成点に対応することは同値である。

証明

ファイバーの射 \(X'_{s'} \to X_s\) を考える。 \(X_{s'} = X_s \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\) なので、これは平坦射である。さらに \(\mathcal{F}'_{s'}\) はこの射による \(\mathcal{F}_s\) の引き戻しである。\(X_s\) は Noether スキーム \(\Spec(\kappa(s))\) 上局所有限型なので、\(X_s\) は局所 Noether である。 Morphisms, Lemma 01T6 を参照せよ。 従って Lemma 05DB を適用でき、 \[\text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) = \bigcup\nolimits_{x \in \text{Ass}(\mathcal{F}_s)} \text{Ass}((X'_{s'})_x).\] を得る。従って補題を証明するには、ファイバー \((X'_{s'})_x\)、 すなわち射 \(X'_{s'} \to X_s\) の \(x\) 上のファイバーの随伴点が その生成点であることを示せば十分である。 スキームとして \((X'_{s'})_x = \Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\) であることに注意せよ。 Algebra, Lemma 045M により、環 \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) は Noether Cohen–Macaulay 環である。 従ってその随伴素イデアルは極小素イデアルである。 Algebra, Proposition 02CE （極小素イデアルは随伴素イデアルである）および Algebra, Lemma 031Q （埋め込まれた素イデアルはない）を参照せよ。

注意

Lemma 05DC と同じ記号と仮定の下では、常に \((g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \supset \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\) である。射 \(S' \to S\) が局所準有限ならば、実際 \[(g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) = \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\] である。これは、この場合、体拡大 \(\kappa(s')/\kappa(s)\) が常に有限だからである。 実際、任意の射 \(g : S' \to S\) に対して、すべての体拡大 \(\kappa(s')/\kappa(s)\) が代数的ならば、より一般にこのことが成り立つ。この場合、 \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\) のすべての素イデアルが 極大（かつ極小）素イデアルだからである。 Algebra, Lemma 00GS を参照せよ。

相対弱随伴点集合

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{F}\) の、\(X\) における \(S\) 上の相対弱随伴点集合とは、集合 \[\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{WeakAss}(\mathcal{F}_s)\] をいう。ここで \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\) は、 \(\mathcal{F}\) を \(f\) の \(s\) におけるファイバーへ制限したものである。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型のスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \(\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\) である。

証明

これは \(f\) のファイバーが局所 Noether スキームであり、 局所 Noether スキーム上では随伴点と弱随伴点が一致するためである。 Lemma 05AR を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。 \(i : Z \to X\) を有限射とする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群とする。このとき \(\text{WeakAss}_{X/S}(i_*\mathcal{F}) = i(\text{WeakAss}_{Z/S}(\mathcal{F}))\) である。

証明

\(i_s : Z_s \to X_s\) をファイバー間に誘導される射とする。このとき \((i_*\mathcal{F})_s = i_{s, *}(\mathcal{F}_s)\) である。 これは Cohomology of Schemes, Lemma 02KG と \(i\) がアフィンであることから従う。従って Lemma 05EZ を適用すれば結論を得る。

Fitting イデアル

この節は More on Algebra, Section 07Z6 における議論の続きである。 \(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。この状況では Fitting イデアル \[0 = \text{Fit}_{-1}(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_0(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_1(\mathcal{F}) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_S\] を、次の性質によって特徴づけられる準連接イデアルの列として構成できる。 アフィン開集合 \(U = \Spec(A)\)（\(S\) のもの）を任意に取り、 \(\mathcal{F}|_U\) が \(A\)-加群 \(M\) に対応するならば、 \(\text{Fit}_i(\mathcal{F})|_U\) はイデアル \(\text{Fit}_i(M) \subset A\) に対応する。この構成は well-defined であり、準連接イデアル層となる。 実際、\(f \in A\) ならば、第 \(i\) Fitting イデアル、すなわち \(M_f\) を \(A_f\)-加群と見たときのものは、 More on Algebra, Lemma 07ZA により \(\text{Fit}_i(M) A_f\) に等しい。

別の方法として、\(\mathcal{F}\) の局所表示を用いて Fitting イデアルを構成できる。 すなわち、\(U \subset X\) が開で、 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] が \(\mathcal{F}\) の \(U\) 上での表示ならば、 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})|_U\) は、その表示の最初の矢印を定める行列の \((n - r) \times (n - r)\) 小行列式によって生成される。 これは上の構成と両立する。環上の加群の Fitting イデアルは、 まさにこの方法で定義されるからである。いくつかの詳細は省略する。

補題

\(f : T \to S\) をスキームの射とする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。このとき \(f^{-1}\text{Fit}_i(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \text{Fit}_i(f^*\mathcal{F})\) である。

証明

More on Algebra, Lemma 07ZA の (3) から直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を有限表示 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。このとき \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) は有限型準連接イデアルである。

証明

More on Algebra, Lemma 07ZA の (4) から直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとする。 \(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。 \(Z_0 \subset S\) を \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\) によって切り出される閉部分スキームとする。 \(Z \subset S\) を \(\mathcal{F}\) のスキーム論的台とする。このとき

1. 閉部分スキームとして \(Z \subset Z_0 \subset S\) である。

2. 閉部分集合として \(Z = Z_0 = \text{Supp}(\mathcal{F})\) である。

3. 有限型準連接 \(\mathcal{O}_{Z_0}\)-加群 \(\mathcal{G}_0\) で \[(Z_0 \to X)_*\mathcal{G}_0 = \mathcal{F}.\] を満たすものが存在する。

証明

\(Z\) は局所的には \(\mathcal{F}\) の零化イデアルによって切り出されることを思い出そう。 Morphisms, Definition 05JV を参照せよ（これは \(Z\) を定義するために Morphisms, Lemma 05JU を用いる）。 従って More on Algebra, Lemma 07ZA の (6) により、 スキーム論的に \(Z \subset Z_0\) である。一方、Morphisms, Lemma 05JU により集合論的に \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\) であり、More on Algebra, Lemma 07ZA の (7) により集合論的に \(Z_0 = Z\) である。最後に (3) のような \(\mathcal{G}_0\) を得るには、 Morphisms, Lemma 05JU における \(\mathcal{G}\)（\(Z\) 上のもの）を用いて \(\mathcal{G}_0 = (Z \to Z_0)_*\mathcal{G}\) と置いてもよいし、 Morphisms, Lemma 01QY と、 More on Algebra, Lemma 07ZA の (6) により \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\) が \(\mathcal{F}\) を零化することを用いてもよい。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。\(s \in S\) とする。このとき、 \(\mathcal{F}\) が \(r\) 個の元により生成されるような \(s\) の近傍が存在することと \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})_s = \mathcal{O}_{S, s}\) であることは同値である。

証明

More on Algebra, Lemma 07ZC から直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。\(r \geq 0\) とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は階数 \(r\) の有限局所自由加群である。

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) = 0\) かつ \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\) である。

3. \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = 0\) が \(k < r\) に対して成り立ち、 \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\) が \(k \geq r\) に対して成り立つ。

証明

More on Algebra, Lemma 07ZD から直ちに従う。

補題

\(S\) をスキームとし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。\(\mathcal{F}\) の Fitting イデアルによって定義される閉部分スキーム \[S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \ldots\] は次の性質を持つ。

1. 共通部分 \(\bigcap Z_r\) は空である。

2. 規則 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ is locally generated by } \leq r\text{ sections} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] によって定義される関手は、開部分スキーム \(S \setminus Z_r\) により表現される。

3. 規則によって定義される関手 \(F_r : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\) \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ locally free rank }r\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] は、\(Z_{r - 1} \setminus Z_r\)（\(S\) の局所閉部分スキーム）により表現される。

\(\mathcal{F}\) が有限表示ならば、\(Z_r \to S\), \(S \setminus Z_r \to S\), \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to S\) は有限表示である。

証明

(1) は、任意のアフィン開集合 \(U\) 上で、ある整数 \(n\) が存在して \(\text{Fit}_n(\mathcal{F})|_U = \mathcal{O}_U\) となるため正しい。 実際、\(n\) として \(\mathcal{F}\) の \(U\) 上での生成元の個数を取れる。 More on Algebra, Section 07Z6 を参照せよ。

任意の射 \(g : T \to S\) に対し、Lemmas 0C3D および 0C3F により、 \(\mathcal{F}_T\) が局所的に \(\leq r\) 個の切断で生成されることと \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\) であることは同値である。これで (2) が証明された。

任意の射 \(g : T \to S\) に対し、Lemmas 0C3D および 0C3G により、 \(\mathcal{F}_T\) が階数 \(r\) の自由加群であることと \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\) かつ \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = 0\) であることは同値である。これで (3) が証明された。

\(\mathcal{F}\) が有限表示であると仮定する。このとき射 \(Z_r \to S\) はそれぞれ有限表示である。実際、 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\) は有限型である （Lemma 0C3E および Morphisms, Lemma 01TV）。 これは \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\) が \(Z_r\) における逆コンパクトな開集合であることを含意する （Properties, Lemma 01PH）。 従って射 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to Z_r\) も有限表示である。

Lemma 05P8 にもかかわらず、 次の補題は \(\mathcal{F}\) が有限型準連接加群である場合には成り立たない。 すなわち層別化はなお存在するが、それが一般に関手 \(F_{flat}\) を表すことは正しくない。

補題

\(S\) をスキームとする。\(\mathcal{F}\) を有限表示 \(\mathcal{O}_S\)-加群とする。Lemma 05P8 と同様に \(S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\) とする。 \(S_r = Z_{r - 1} \setminus Z_r\) と置く。このとき \(S' = \coprod_{r \geq 0} S_r\) は関手 \[F_{flat} : \Sch/S \longrightarrow \textit{Sets},\quad\quad T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ flat over }T\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] を表現する。さらに、\(\mathcal{F}|_{S_r}\) は階数 \(r\) の局所自由加群であり、 射 \(S_r \to S\) と \(S' \to S\) は有限表示である。

証明

\(g : T \to S\) を、引き戻し \(\mathcal{F}_T = g^*\mathcal{F}\) が平坦となる スキームの射と仮定する。このとき \(\mathcal{F}_T\) は有限表示の平坦な \(\mathcal{O}_T\)-加群である。従って \(\mathcal{F}_T\) は有限局所自由である。 Properties, Lemma 05P2 を参照せよ。 ゆえに \(T = \coprod_{r \geq 0} T_r\) と書け、\(\mathcal{F}_T|_{T_r}\) は局所自由かつ 階数 \(r\) である。このことから \[F_{flat} = \coprod\nolimits_{r \geq 0} F_r\] を得る。これは \(\Sch/S\) 上の Zariski 層の圏における等式であり、 \(F_r\) は Lemma 05P8 のものである。 従って \(F_{flat}\) は \(\coprod_{r \geq 0} (Z_{r - 1} \setminus Z_r)\) により表現される。 ここで \(Z_r\) は Lemma 05P8 のものである。 他の主張もこの補題から従う。

例

\(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\) とし、\(I \subset R\) を、 ほとんどすべての成分が零である元 \(a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}\) のイデアルとする。 \(\mathfrak m\) を \(I\) を含む極大イデアルとする。このとき \(M = R/\mathfrak m\) は有限平坦 \(R\)-加群である。実際、\(R\) は絶対平坦である （More on Algebra, Lemma 092G）。 \(S = \Spec(R)\), \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) と置く。 Lemma 05P8 の閉部分スキームは \(S = Z_{-1}\), \(Z_0 = \Spec(R/\mathfrak m)\), \(Z_i = \emptyset\)（\(i > 0\)）である。 しかし \(\text{id} : S \to S\) は \((S \setminus Z_0) \amalg Z_0\) を経由しない。これは \(\mathfrak m\) が \(S\) の孤立していない点だからである。従って Lemma 05P9 は有限型加群については成り立たない。

射の特異点集合

\(f : X \to S\) をスキームの有限型射とする。点の集合 \(U\)、すなわち \(f\) が滑らかである点全体は \(X\) の開集合である（Morphisms, Definition 01V5 による）。 多くの状況では、標準的な閉部分スキーム \(\text{Sing}(f) \subset X\) であって、 その補集合が \(U\) であり、その形成が任意の基底変換と可換するものがあると便利である。

\(f\) が有限表示ならば、一つの選択肢は、Smoothing Ring Maps, Definition 07C7 の意味でアフィン局所的に 「strictly standard」である関数によって切り出される閉部分スキーム \(Z\) を考えることである。 Smoothing Ring Maps, Lemma 07CC から次が従う。 \(f' : X' \to S'\) が \(f\) の、射 \(S' \to S\) による基底変換ならば \(Z' \subset S' \times_S Z\) である。ここで \(Z'\) は、アフィン局所的に strictly standard である関数によって \(X'\) から切り出される閉部分スキームである。 しかし等号は明らかでない。strictly standard な元という概念は Popescu の定理の章で有用であった。これらの元により定義される閉部分スキームは、 我々の知る限り文献では用いられていない¹。

\(f\) が平坦かつ有限表示で、その \(f\) のファイバーがすべて次元 \(d\) の等次元ならば、 第 \(d\) Fitting イデアル（\(\Omega_{X/S}\) のもの）を用いると、よい閉部分スキームが得られる。 任意の有限型射について、\(X\) の閉部分スキームであって \(\Omega_{X/S}\) の Fitting イデアルで定義されるものは、\(X\) の層別化を \(\Omega_{X/S}\) の階数によって定め、 その形成は基底変換と可換する。これは役立つことがある。 これはファイバーの埋め込み次元と関係している。 Varieties, Section 0C2G を参照せよ。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型のスキームの射とする。 \(X = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\) を \(\Omega_{X/S}\) の Fitting イデアルで定義される閉部分スキームとする。 このとき \(Z_i\) の形成は任意の基底変換と可換する。

証明

\(\Omega_{X/S}\) は有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群である （Morphisms, Lemma 01V2）。 従って Fitting イデアルは定義される。 \(f' : X' \to S'\) が \(f\) の、\(g : S' \to S\) による基底変換ならば \(\Omega_{X'/S'} = (g')^*\Omega_{X/S}\) である。ここで \(g' : X' \to X\) は射影である （Morphisms, Lemma 01V0）。 従って \((g')^{-1}\text{Fit}_i(\Omega_{X/S}) \cdot \mathcal{O}_{X'} = \text{Fit}_i(\Omega_{X'/S'})\) である。これは、スキーム論的に \[Z'_i = (g')^{-1}(Z_i) = Z_i \times_X X'\] であることを意味し、これが補題の主張の意味である。

第 \(0\) Fitting イデアル（\(\Omega\) のもの）は、射の「分岐点集合」を切り出す。

補題

\(f : X \to S\) を局所有限型のスキームの射とする。 閉部分スキーム \(Z \subset X\) であって、第 \(0\) Fitting イデアル （\(\Omega_{X/S}\) のもの）により切り出されるものは、 ちょうど \(f\) が非分岐でない点の集合である。

証明

Lemma 0CYX により、\(Z\) の補集合は \(\Omega_{X/S}\) が零となる点の集合にちょうど等しい。これは Morphisms, Lemma 02G5 により、 \(f\) が非分岐である点の集合にちょうど等しい。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(d \geq 0\) を整数とする。次を仮定する。

1. \(f\) は平坦である。

2. \(f\) は局所有限表示である。

3. \(f\) の空でない各ファイバーは次元 \(d\) の等次元である。

閉部分スキーム \(Z \subset X\) を、第 \(d\) Fitting イデアル （\(\Omega_{X/S}\) のもの）により切り出されるものとする。 このとき \(Z\) は、ちょうど \(f\) が滑らかでない点の集合である。

証明

Lemma 05P8 により、\(Z\) の補集合は \(\Omega_{X/S}\) が高々 \(d\) 個の元で生成される点の集合にちょうど等しい。 従って補題は Morphisms, Lemma 01V9 から従う。

捩れなし加群

この節は準連接加群に対する More on Algebra, Section 0549 の類似である。

補題

\(X\) を生成点 \(\eta\) をもつ整スキームとする。\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(U \subset X\) を空でない開集合とし、 \(s \in \mathcal{F}(U)\) とする。次は同値である。

1. ある \(x \in U\) に対し、\(s\) の \(\mathcal{F}_x\) における像は捩れ元である。

2. すべての \(x \in U\) に対し、\(s\) の \(\mathcal{F}_x\) における像は捩れ元である。

3. \(s\) の \(\mathcal{F}_\eta\) における像は零である。

4. \(s\) の \(j_*\mathcal{F}_\eta\) における像は零である。ここで \(j : \eta \to X\) は包含射である。

証明

省略する。

定義

\(X\) を整スキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. \(\mathcal{F}\) の局所切断が Lemma 0AXR の同値な条件を満たすとき、それを 捩れ切断という。

2. \(\mathcal{F}\) を 捩れなしというのは、\(\mathcal{F}\) の すべての捩れ切断が \(0\) であるときである。

次は、これを通常の代数的概念と比較するための当然の補題である。

補題

\(X\) を整スキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は捩れなしである。

2. アフィン開集合 \(U \subset X\) に対し、\(\mathcal{F}(U)\) は 捩れなし \(\mathcal{O}(U)\)-加群である。

証明

省略する。

補題

\(X\) を整スキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{F}\) の捩れ切断は準連接 \(\mathcal{O}_X\)-部分加群 \(\mathcal{F}_{tors} \subset \mathcal{F}\) をなす。商加群 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}_{tors}\) は捩れなしである。

証明

省略する。代数的類似については More on Algebra, Lemma 0537 を参照せよ。

補題

\(X\) を整スキームとする。任意の平坦な準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群は捩れなしである。

証明

省略する。More on Algebra, Lemma 0538 を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) を整スキームの平坦射とする。 \(\mathcal{G}\) を捩れなし準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。このとき \(f^*\mathcal{G}\) は捩れなし \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

証明

省略する。代数的類似については More on Algebra, Lemma 0AXM を参照せよ。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの平坦射とする。\(Y\) が整であり、 \(f\) の生成ファイバーが整ならば、\(X\) は整である。

証明

代数的類似は次である。\(A\) を分数体 \(K\) をもつ整域とし、 \(B\) を平坦 \(A\)-代数で、\(B \otimes_A K\) が整域となるものとする。 このとき \(B\) は整域である。実際、More on Algebra, Lemma 0538 により \(B\) は捩れなしであり、 従って \(B \subset B \otimes_A K\) である。

補題

\(X\) を整スキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \(\mathcal{F}\) が捩れなしであるための必要十分条件は、 \(\mathcal{F}_x\) が捩れなし \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群であることが、 すべての \(x \in X\) に対して成り立つことである。

証明

省略する。More on Algebra, Lemma 0AUT を参照せよ。

補題

\(X\) を整スキームとする。短完全列 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) （準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群のもの） を取る。\(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{F}''\) が捩れなしならば、 \(\mathcal{F}'\) も捩れなしである。

証明

省略する。代数的類似については More on Algebra, Lemma 0AUS を参照せよ。

補題

\(X\) を生成点 \(\eta\) をもつ局所 Noether 整スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を零でない連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は捩れなしである。

2. \(\eta\) は \(\mathcal{F}\) の唯一の随伴素イデアルである。

3. \(\eta\) は \(\mathcal{F}\) の台に含まれ、\(\mathcal{F}\) は性質 \((S_1)\) をもつ。

4. \(\eta\) は \(\mathcal{F}\) の台に含まれ、\(\mathcal{F}\) は 埋め込まれた随伴素イデアルをもたない。

証明

これは More on Algebra, Lemma 0AUV を スキームの言葉に移したものである。その翻訳は省略する。

補題

\(X\) を次元 \(\leq 1\) の整正則スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は捩れなしである。

2. \(\mathcal{F}\) は有限局所自由である。

証明

有限局所自由加群が捩れなしであることは明らかである。 逆向きには、\(\mathcal{F}\) が捩れなしならば、\(\mathcal{F}_x\) が自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群であることを、すべての \(x \in X\) に対して示す。Algebra, Lemma 00NX と \(\mathcal{F}\) が連接であることにより、 これで十分である。\(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\) ならば \(\mathcal{O}_{X, x}\) は体なので、主張は明らかである。 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) ならば \(\mathcal{O}_{X, x}\) は離散付値環である （Algebra, Lemma 00PD）。 また \(\mathcal{F}_x\) は捩れなしである。従って More on Algebra, Lemma 0AUW により \(\mathcal{F}_x\) は自由である。

補題

\(X\) を整スキームとし、\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{G}\) が捩れなしで \(\mathcal{F}\) が有限表示ならば、 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) は捩れなしである。

証明

\(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) は Schemes, Section 01LA により準連接なので、 この主張には意味がある。主張が正しいことについては More on Algebra, Lemma 0AUX を参照せよ。 いくつかの詳細は省略する。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとする。\(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の写像とする。 \(\mathcal{F}\) は連接、\(\mathcal{G}\) は捩れなしであり、 各 \(x \in X\) に対して次のいずれかが起こると仮定する。

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\) は同型である。

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) である。

このとき \(\varphi\) は同型である。

証明

これは More on Algebra, Lemma 0AV9 を スキームの言葉に移したものである。

加群の階数

この節は準連接加群に対する More on Algebra, Section 0H9T の類似である。 \(X\) が生成点 \(\eta\) をもつ整スキームならば、局所環 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) は剰余体 \(\kappa(\eta)\) に等しいことを思い出そう。 Morphisms, Lemma 01RV を参照せよ。

定義

\(X\) を生成点 \(\eta\) をもつ整スキームとする。 \(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\mathcal{F}\) の 階数とは \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{F}_\eta\) である。

これは、両方の定義を適用できる場合、局所自由加群の階数の定義と矛盾しない。 スキーム \(X\) が既約でない場合や、生成点における局所環 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) が体でない場合に、準連接加群の階数を定義するのは よい考えではないように思われる²。

補題

\(X\) を整スキームとし、\(\mathcal{F}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(r\) を基数とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) の階数は \(r\) である。

2. すべての空でないアフィン開集合 \(U \subset X\) に対し、 \(\mathcal{F}(U)\) は \(\mathcal{O}_X(U)\)-加群で、その階数は \(r\) である。

3. ある空でないアフィン開集合 \(U \subset X\) に対し、 \(\mathcal{F}(U)\) は \(\mathcal{O}_X(U)\)-加群で、その階数は \(r\) である。

証明

省略する。

補題

\(f : X \to Y\) を整スキームの支配的射とする。 \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。このとき \(\mathcal{G}\) の \(Y\) 上での階数は、\(f^*\mathcal{G}\) の \(X\) 上での階数に等しい。

証明

Lemma 0HAG, Morphisms, Lemma 0CC1, および More on Algebra, Lemma 0H9Y を用いる。

補題

\(X\) を整スキームとする。短完全列 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) （準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群のもの）を取る。このとき \(\mathcal{F}'\) の階数は \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{F}''\) の階数の和である。

証明

省略する。More on Algebra, Lemma 0H9W を参照せよ。

補題

\(X\) を整スキームとする。\(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) を準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\) の階数は、 \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) の階数の積である。

2. \(\mathcal{F}\) が有限表示ならば、 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) の階数は、 \(\mathcal{F}\) と \(\mathcal{G}\) の階数の積である。

証明

省略する。(2) に意味があるのは \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) が Schemes, Section 01LA の項目 (10) により 準連接だからである。この補題の代数版は More on Algebra, Lemma 0H9X である。

補題

\(X\) を整スキームとし、\(\mathcal{F}\) を有限型準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき

1. \(\mathcal{F}\) は有限な階数 \(r \geq 0\) をもつ。

2. 空でない開集合 \(U \subset X\) であって、 \(\mathcal{F}|_U\) が階数 \(r\) の自由加群となるものが存在する。

証明

代数版については More on Algebra, Lemma 0H9Z を参照せよ。

反射的加群

本節では、局所 Noether スキーム上の連接加群について、 More on Algebra, Section 0AUY の類似を述べる。連接加群を扱う理由は、 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) が任意の連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の組 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) に対して連接だからである。 Modules, Lemma 01CQ を参照せよ。

定義

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{F}\) の 反射包 とは \(\mathcal{O}_X\)-加群 \[\mathcal{F}^{**} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X), \mathcal{O}_X)\] のことである。\(\mathcal{F}\) が 反射的 であるとは、自然な写像 \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\) が同型であることをいう。

Lemma 0AY4 より、反射包は反射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。より一般の状況でも同じ定義によって 反射的加群を定義できるが、これはあまり有用ではないように思われる。 以下は、この定義と通常の代数的概念とを比較する標準的な補題である。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は反射的である。

2. アフィン開集合 \(U \subset X\) に対して \(\mathcal{F}(U)\) は 反射的 \(\mathcal{O}(U)\)-加群である。

証明

省略する。

注意

\(X\) が体上有限型のスキームであるとき、反射的加群について異なる概念が 用いられることがある（例えば [HL, bottom of page 5 and Definition 1.1.9] を参照せよ）。 この別の概念では、\(R\SheafHom\) を双対化複体 \(\omega_X^\bullet\) に取り、\(\mathcal{O}_X\) への Hom の代わりに用いる。\(X\) が Gorenstein でない場合には両者が異なりうるので、これは別の名称をもつべきであろう。 例えば \(X = \Spec(k[t^3, t^4, t^5])\) とすると、計算により双対化層 \(\omega_X\) は本節の意味では反射的でないことが分かる。しかし、 \(\omega_X \to \SheafHom(\SheafHom(\omega_X, \omega_X), \omega_X)\) が同型なので、もう一つの意味では反射的である。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. \(\mathcal{F}\) が反射的ならば、\(\mathcal{F}\) は捩れなしである。

2. 写像 \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\) が単射であることと、 \(\mathcal{F}\) が捩れなしであることは同値である。

証明

省略する。More on Algebra, Lemma 0AV0 を参照せよ。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は反射的である。

2. \(\mathcal{F}_x\) は反射的 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群である （すべての \(x \in X\) について）。

3. \(\mathcal{F}_x\) は反射的 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群である （すべての閉点 \(x \in X\) について）。

証明

Modules, Lemma 01CP により、 (1) と (2) は同値である。\(X\) の各点は閉点へ特殊化するので （Properties, Lemma 02IL）、 (2) と (3) も同値である。

補題

\(f : X \to Y\) を整局所 Noether スキームの間の平坦射とし、 \(\mathcal{G}\) を連接反射的 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。このとき \(f^*\mathcal{G}\) は連接反射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

証明

省略する。代数版については More on Algebra, Lemma 0EB9 を参照せよ。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとする。 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の完全列とする。 \(\mathcal{F}'\) が反射的であり、\(\mathcal{F}''\) が捩れなしならば、 \(\mathcal{F}\) は反射的である。

証明

省略する。More on Algebra, Lemma 0EB8 を参照せよ。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) を 連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(\mathcal{G}\) が反射的ならば、 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) は反射的である。

証明

Cohomology of Schemes, Lemma 01Y2 により \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\) は連接なので、 主張は意味をもつ。主張の証明については More on Algebra, Lemma 0AV3 を参照せよ。細部は省略する。

注意

\(X\) を整局所 Noether スキームとする。Lemma 0AY4 により、反射包 \(\mathcal{F}^{**}\) は連接反射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。連接反射的加群の圏を \(\mathcal{C}\) とする。 ここで加群は \(\mathcal{O}_X\)-加群である。 反射包を取ることは、包含函手 \(\mathcal{C} \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\) の左随伴を与える。 \(\mathcal{C}\) は核と余核をもつ加法圏であることに注意せよ。実際、 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\) が \(\mathcal{C}\) における射ならば、 通常の核 \(\Ker(\varphi)\) は反射的であり （Lemma 0EBG）、通常の余核の反射包 \(\Coker(\varphi)^{**}\) が \(\mathcal{C}\) における余核である。 さらに \(\mathcal{C}\) はテンソル積 \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} = (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})^{**}\] を受け継ぎ、これは結合的かつ対称的である。また内部 Hom が存在する。 すなわち、\(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\) を \(\mathcal{C}\) の 任意の三対象とすると、恒等式 \[\Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] が成り立つ。Modules, Lemma 01CN を参照せよ。 \(\mathcal{C}\) の各対象 \(\mathcal{F}\) は 双対対象 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\) をもつ。 \(X\) にさらに条件を課さなければ、\(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) が階数 \(1\) の \(\mathcal{C}\) の対象であるときにも \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \not \cong \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} \quad\text{and}\quad \mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \not \cong \mathcal{O}_X\] となることがある。例を作るには、\(X = \Spec(R)\) とおき、\(R\) を More on Algebra, Example 0EBB の環とする。 また \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\) を \(M\) に対応する加群とすればよい。 計算は省略する。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は反射的である。

2. 各 \(x \in X\) に対して、次のいずれかが成り立つ。

   1. \(\mathcal{F}_x\) は反射的 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群である。

   2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) である。

証明

省略する。More on Algebra, Lemma 0AVA を参照せよ。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接反射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(x \in X\) とする。

1. \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) ならば、 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\) である。

2. \(X\) が \((S_2)\) ならば、\(\mathcal{F}\) は \((S_2)\) である。

証明

省略する。More on Algebra, Lemma 0EBA を参照せよ。

補題

\(X\) を整局所 Noether スキームとし、\(j : U \to X\) を補集合 \(Z\) をもつ 開部分スキームとする。\(\mathcal{O}_{X, z}\) の深さが \(\geq 2\) であると、 すべての \(z \in Z\) について仮定する。このとき \(j^*\) と \(j_*\) は、連接反射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群の圏と 連接反射的 \(\mathcal{O}_U\)-加群の圏との間の圏同値を定める。

証明

\(\mathcal{F}\) を連接反射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(z \in Z\) に対して、Lemma 0EBI により茎 \(\mathcal{F}_z\) の深さは \(\geq 2\) である。したがって Lemma 0E9I により \(\mathcal{F} \to j_*j^*\mathcal{F}\) は同型である。逆に、 \(\mathcal{G}\) を連接反射的 \(\mathcal{O}_U\)-加群とする。 \(j_*\mathcal{G}\) が連接反射的 \(\mathcal{O}_X\)-加群であることを示せば十分である。 この証明では \(X\) がアフィンであると仮定してよい。Properties, Lemma 0G41 により、連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) であって \(\mathcal{G} = j^*\mathcal{F}\) を満たすものが存在する。\(\mathcal{F}\) をその反射包で置き換えることにより、 \(\mathcal{F}\) は反射的であると仮定してよい （上の議論、とくに Lemma 0AY4 を参照せよ）。 先に示したことから \(j_*\mathcal{G} = j_*j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\) であり、これが求める結論である。

スキームが正規ならば、反射的であることは、捩れなしで \((S_2)\) であることと同値である。

補題

\(X\) を整局所 Noether 正規スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は反射的である。

2. \(\mathcal{F}\) は捩れなしで、性質 \((S_2)\) をもつ。

3. 次を満たす開部分スキーム \(j : U \to X\) が存在する。

   1. \(X \setminus U\) のすべての既約成分は余次元が \(\geq 2\) である （\(X\) において）。

   2. \(j^*\mathcal{F}\) は有限局所自由である。

   3. \(\mathcal{F} = j_*j^*\mathcal{F}\) である。

証明

Lemma 0AY0 を用いると、(1) と (2) の同値は More on Algebra, Lemma 0AVB から従う。\(U \subset X\) が (3) の条件を満たすとする。Properties, Lemma 0345 により、 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) が \(x \not \in U\) に対して成り立つ。有限局所自由加群は 反射的なので、Lemma 0EBJ により (3) から (1) が従う。

(1) を仮定する。\(U \subset X\) を、\(j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}|_U\) が有限局所自由となるような最大の開部分スキームとする。すると (3)(b) が成り立つ。 \(x \in X\) を一点とする。\(\mathcal{F}_x\) が自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群ならば \(x \in U\) である。Modules, Lemma 0B8J を参照せよ。 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq 1\) ならば、\(\mathcal{O}_{X, x}\) は体または 離散付値環であり（Properties, Lemma 0345）、したがって \(\mathcal{F}_x\) は自由である （More on Algebra, Lemma 0AUW）。ゆえに \(x \not \in U \Rightarrow \dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) である。 Properties, Lemma 02IZ により (3)(a) が従う。また、先に用いた Properties, Lemma 0345 により、 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\) が \(x \not \in U\) に対しても成り立つから、Lemma 0EBJ により (3)(c) が従う。

補題

\(X\) を生成点 \(\eta\) をもつ整局所 Noether 正規スキームとする。 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、 \(T : \mathcal{G}_\eta \to \mathcal{F}_\eta\) を線形写像とする。このとき、 \(T\) が写像 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}^{**}\) に \(\mathcal{O}_X\)-加群の 写像として延長されるための必要十分条件は 次である。

• すべての \(x \in X\) で \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) を満たすものに対して \[T\left(\Im(\mathcal{G}_x \to \mathcal{G}_\eta)\right) \subset \Im(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_\eta).\]

証明

\(\mathcal{F}^{**}\) は捩れなしであり、 \(\mathcal{F}_\eta = \mathcal{F}^{**}_\eta\) であるから、延長が存在すれば一意である。 したがって補題を \(X\) の開被覆の各要素上で証明すれば十分であり、 \(X\) はアフィンであると仮定してよい。この場合、問題は次の代数の問題になる。 \(R\) を分数体 \(K\) をもつ Noether 正規整域とし、\(M\), \(N\) を有限 \(R\)-加群とし、\(T : M \otimes_R K \to N \otimes_R K\) を \(K\)-線形写像とする。 \(T\) が写像 \(N \to M^{**}\) に延長されるのはいつか。More on Algebra, Lemma 0AVC により、これは \(N_\mathfrak p\) が \((M/M_{tors})_\mathfrak p\) に写されることが、高さ \(1\) の 各素イデアル \(\mathfrak p\)（\(R\) の素イデアル）について成り立つことと同値である。これはまさに 補題の条件 \((*)\) である。

補題

\(X\) を次元 \(\leq 2\) の正則スキームとし、\(\mathcal{F}\) を連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次は同値である。

1. \(\mathcal{F}\) は反射的である。

2. \(\mathcal{F}\) は有限局所自由である。

証明

有限局所自由加群が反射的であることは明らかである。逆を示すため、 \(\mathcal{F}\) が反射的ならば、\(\mathcal{F}_x\) が自由 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-加群であることを、すべての \(x \in X\) に対して示す。 \(\mathcal{F}\) が連接であることと Algebra, Lemma 00NX により、これで十分である。 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\) ならば、\(\mathcal{O}_{X, x}\) は体なので 主張は明らかである。\(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\) ならば、 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は離散付値環であり （Algebra, Lemma 00PD）、 \(\mathcal{F}_x\) は捩れなしである。したがって More on Algebra, Lemma 0AUW により \(\mathcal{F}_x\) は自由である。 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 2\) ならば、\(\mathcal{O}_{X, x}\) は次元 \(2\) の 正則局所環である。More on Algebra, Lemma 0AVB により \(\mathcal{F}_x\) の深さは \(\geq 2\) である。ゆえに Algebra, Lemma 00NT により \(\mathcal{F}_x\) は自由である。

有効 Cartier 因子

ほかの種類の因子に先立って、有効 Cartier 因子の概念を定義する。

定義

\(S\) をスキームとする。

1. \(S\) の 局所単項閉部分スキーム とは、そのイデアル層が 局所的に一つの元で生成される閉部分スキームをいう。

2. \(S\) 上の 有効 Cartier 因子 とは、閉部分スキーム \(D \subset S\) であって、そのイデアル層 \(\mathcal{I}_D \subset \mathcal{O}_S\) が可逆 \(\mathcal{O}_S\)-加群であるものをいう。

したがって、有効 Cartier 因子は局所単項閉部分スキームであるが、逆は常には 成り立たない。有効 Cartier 因子は、最も強い意味で純余次元 \(1\) の閉部分スキーム である。すなわち、局所的には一つの非零因子によって切り出される。とくに疎である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(D \subset S\) を閉部分スキームとする。次は同値である。

1. 部分スキーム \(D\) は \(S\) 上の有効 Cartier 因子である。

2. すべての \(x \in D\) に対して、アフィン開近傍 \(\Spec(A) = U \subset S\) が \(x\) の近傍として存在し、 \(U \cap D = \Spec(A/(f))\) であって \(f \in A\) は非零因子である。

証明

(1) を仮定する。すべての \(x \in D\) に対して、アフィン開近傍 \(\Spec(A) = U \subset S\) が \(x\) の近傍として存在し、 \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\) となるものが存在する。言い換えると、 切断 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{I}_D)\) であって、制限 \(\mathcal{I}_D|_U\) を自由に生成するものが存在する。したがって \(f \in A\) であり、 乗法写像 \(f : A \to A\) は単射である。また \(\mathcal{I}_D\) は準連接だから、 \(D \cap U = \Spec(A/(f))\) である。

(2) を仮定し、\(x \in D\) とする。仮定により、アフィン開近傍 \(\Spec(A) = U \subset S\) が \(x\) の近傍として存在し、 \(U \cap D = \Spec(A/(f))\) であって \(f \in A\) は非零因子である。このとき \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\) である。実際、これは \(\widetilde{(f)} \cong \widetilde{A} \cong \mathcal{O}_U\) に等しい。 もちろん、\(\mathcal{I}_D\) の開部分スキーム \(S \setminus D\) への制限は \(\mathcal{O}_{S \setminus D}\) と同型である。したがって \(\mathcal{I}_D\) は 可逆 \(\mathcal{O}_S\)-加群である。

補題

\(S\) をスキームとし、\(Z \subset S\) を局所単項閉部分スキームとする。 \(U = S \setminus Z\) とおく。このとき \(U \to S\) はアフィン射である。

証明

問題は \(S\) 上局所的である。Morphisms, Lemmas 01S8 を参照せよ。したがって \(S = \Spec(A)\) および \(Z = V(f)\) と、ある \(f \in A\) に対して仮定してよい。 この場合 \(U = D(f) = \Spec(A_f)\) はアフィンなので、\(U \to S\) はアフィンである。

補題

\(S\) をスキームとし、\(D \subset S\) を有効 Cartier 因子とする。 \(U = S \setminus D\) とおく。このとき \(U \to S\) はアフィン射であり、\(U\) は \(S\) においてスキーム論的に稠密である。

証明

アフィン性は Lemma 07ZT である。稠密性の問題は \(S\) 上局所的である。Morphisms, Lemma 01RE を参照せよ。 したがって \(S = \Spec(A)\) と仮定してよく、Lemma 01WS により \(D\) は非零因子 \(f \in A\) に対応するとしてよい。すると \(A \subset A_f\) であり、これから \(U \subset S\) がスキーム論的に稠密であることが従う。Morphisms, Example 056C を参照せよ。

補題

\(S\) をスキームとし、\(D \subset S\) を有効 Cartier 因子とする。 \(s \in D\) とする。\(\dim_s(S) < \infty\) ならば \(\dim_s(D) < \dim_s(S)\) である。

証明

\(\dim_s(S) < \infty\) を仮定する。アフィン開近傍 \(U = \Spec(A) \subset S\) を \(s\) の近傍として取り、\(\dim(U) = \dim_s(S)\) かつ \(D = V(f)\) であって \(f \in A\) は非零因子であるようにする （Lemma 01WS を参照）。 \(\dim(U)\) は環 \(A\) の Krull 次元であり、\(\dim(U \cap D)\) は環 \(A/(f)\) の Krull 次元であることを思い出す。\(f\) は \(A\) のいかなる極小素イデアルにも 含まれない。したがって、\(A/(f)\) の素イデアルの任意の極大鎖は、\(A\) の 素イデアルの鎖とみなすと、極小素イデアルを加えることによって延長できる。

定義

\(S\) をスキームとする。有効 Cartier 因子 \(D_1\), \(D_2\) が \(S\) 上に与えられたとき、 \(D = D_1 + D_2\) を、準連接イデアル層 \(S\) の閉部分スキームであって \(\mathcal{I}_{D_1}\mathcal{I}_{D_2} \subset \mathcal{O}_S\) に対応するものとして定める。 これを 有効 Cartier 因子 \(D_1\) と \(D_2\) の和 と呼ぶ。

和 \(\sum n_iD_i\) は、有限個の有効 Cartier 因子 \(D_i\) が \(X\) 上にあり、 \(n_i\) が非負整数であるときにも定義できることは明らかである。

補題

二つの有効 Cartier 因子の和は有効 Cartier 因子である。

証明

省略する。局所的には \(f_1, f_2 \in A\) が非零因子であり、そのとき \(f_1f_2 \in A\) も非零因子である。

補題

\(X\) をスキームとし、\(D, D'\) を \(X\) 上の二つの有効 Cartier 因子とする。 \(D \subset D'\) が \(X\) の閉部分スキームとして成り立つならば、有効 Cartier 因子 \(D''\) が存在して \(D' = D + D''\) となる。

証明

省略する。

補題

\(X\) をスキームとし、\(Z, Y\) を \(X\) の二つの閉部分スキームであって、 イデアル層 \(\mathcal{I}\) および \(\mathcal{J}\) をもつものとする。 \(\mathcal{I}\mathcal{J}\) が有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) を定めるならば、 \(Z\) と \(Y\) は有効 Cartier 因子であり、\(D = Z + Y\) である。

証明

Lemma 01WS を適用すると、次の代数的状況を得る。 \(A\) は環、\(I, J \subset A\) はイデアル、\(f \in A\) は非零因子であり、 \(IJ = (f)\) である。したがって結果は Algebra, Lemma 09ME から従う。

補題

\(X\) をスキームとし、\(D, D' \subset X\) を有効 Cartier 因子とする。 スキーム論的交叉 \(D \cap D'\) が \(D'\) 上の有効 Cartier 因子であると仮定する。 このとき \(D + D'\) は \(D\) と \(D'\) のスキーム論的和である。

証明

スキーム論的交叉と和の定義については Morphisms, Definition 0C4H を参照せよ。 補題を証明するため局所的に議論すると （Lemma 01WS を用いる）、 次の代数問題を得る。環 \(A\) と非零因子 \(f_1, f_2 \in A\) が与えられ、 \(f_1\) の \(A/f_2A\) における像も非零因子であるとき、 \(f_1A \cap f_2A = f_1f_2A\) を示せ。直接的な議論は省略する。

Schemes, Definition 01JV において、任意のスキームの射による閉部分スキームの逆像を定義したことを思い出す。

補題

\(f : S' \to S\) をスキームの射とし、\(Z \subset S\) を局所単項閉部分スキームとする。 このとき逆像 \(f^{-1}(Z)\) は \(S'\) の局所単項閉部分スキームである。

証明

省略する。

定義

\(f : S' \to S\) をスキームの射とし、\(D \subset S\) を有効 Cartier 因子とする。 \(D\) の \(f\) による引き戻しが定義される とは、閉部分スキーム \(f^{-1}(D) \subset S'\) が有効 Cartier 因子であることをいう。この場合、それを \(f^*D\) または \(f^{-1}(D)\) と表し、有効 Cartier 因子の引き戻し と呼ぶ。

\(f^{-1}(D)\) が有効 Cartier 因子であるという条件は、実際にはしばしば満たされる。 一例となる補題を挙げる。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とし、\(D \subset Y\) を有効 Cartier 因子とする。 \(D\) の \(f\) による引き戻しは、次の各場合に定義される。

1. \(f(x) \not \in D\) が任意の弱随伴点 \(x\)（\(X\) の点）に対して成り立つ。

2. \(X\), \(Y\) は整スキームであり、\(f\) は支配的である。

3. \(X\) は被約であり、\(f(\xi) \not \in D\) が任意の生成点 \(\xi\)、すなわち \(X\) の任意の既約成分の生成点に対して成り立つ。

4. \(X\) は局所 Noether であり、\(f(x) \not \in D\) が任意の随伴点 \(x\)、 すなわち \(X\) の随伴点に対して成り立つ。

5. \(X\) は局所 Noether で埋め込まれた点をもたず、\(f(\xi) \not \in D\) が 任意の生成点 \(\xi\)、すなわち \(X\) の既約成分の生成点に対して成り立つ。

6. \(f\) は平坦である。

7. 必要に応じてここにさらに追加する。

証明

問題は \(X\) 上局所的である。したがって、\(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(R)\) であり、\(f\) は \(\varphi : R \to A\) によって与えられ、 \(D = \Spec(R/(t))\) であって \(t \in R\) は非零因子である場合に帰着する。 各場合の目標は、\(\varphi(t) \in A\) が非零因子であることを示すことである。

場合 (1) は Algebra, Lemma 05C3 から従う。場合 (4) は Lemma 05AR により (1) の特殊な場合である。 場合 (5) は (4) と定義から従う。場合 (3) は Lemma 0EME により (1) の特殊な場合である。場合 (2) は (3) の 特殊な場合である。\(R \to A\) が平坦ならば、\(t : R \to R\) が単射であることから \(t : A \to A\) も単射である。これで (6) が証明された。

補題

\(f : S' \to S\) をスキームの射とし、\(D_1\), \(D_2\) を \(S\) 上の有効 Cartier 因子とする。 \(D_1\) と \(D_2\) の引き戻しが定義されるならば、\(D = D_1 + D_2\) の引き戻しも 定義され、\(f^*D = f^*D_1 + f^*D_2\) である。

証明

省略する。

有効 Cartier 因子と可逆層

有効 Cartier 因子は可逆なイデアル層をもつので （Definition 01WR）、次の定義には意味がある。

定義

\(S\) をスキームとし、\(D \subset S\) をイデアル層 \(\mathcal{I}_D\) をもつ 有効 Cartier 因子とする。

1. 可逆層 \(\mathcal{O}_S(D)\)（\(D\) に付随するもの） を \[\mathcal{O}_S(D) = \SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{I}_D, \mathcal{O}_S) = \mathcal{I}_D^{\otimes -1}.\] により定義する。

2. 標準切断とは、通常 \(1\) または \(1_D\) と表される \(\mathcal{O}_S(D)\) の大域切断であって、包含写像 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{O}_S\) に対応するものである。

3. \(\mathcal{O}_S(-D) = \mathcal{O}_S(D)^{\otimes -1} = \mathcal{I}_D\) と書く。

4. 第二の有効 Cartier 因子 \(D' \subset S\) が与えられたとき、 \(\mathcal{O}_S(D - D') = \mathcal{O}_S(D) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(-D')\) と定義する。

いくつか補足する。下で見るように、対応 \(D \mapsto \mathcal{O}_S(D)\) は 有効 Cartier 因子の加法（Definition 01WT）を \(S\) の Picard 群における 加法へ移す（Lemma 02OP）。 しかし、上の定義における式 \(D - D'\) 自体には幾何学的意味はない。 より正確には、\(S\) 上の有効 Cartier 因子全体を、空の有効 Cartier 因子を零元とする 可換モノイド \(\text{EffCart}(S)\) とみなせる。このとき対応 \((D, D') \mapsto \mathcal{O}_S(D - D')\) は群準同型 \[\text{EffCart}(S)^{gp} \longrightarrow \Pic(S)\] を定める。ここで左辺は \(\text{EffCart}(S)\) の群完備化である。言い換えると、 \(\mathcal{O}_S(D - D')\) と書くとき、\(D - D'\) を \(\text{EffCart}(S)^{gp}\) の元とみなしてよい。

補題

\(S\) をスキームとし、\(D \subset S\) を有効 Cartier 因子とする。このとき余法線層は \(\mathcal{C}_{D/S} = \mathcal{I}_D|_D = \mathcal{O}_S(-D)|_D\) であり、法線層は \(\mathcal{N}_{D/S} = \mathcal{O}_S(D)|_D\) である。

証明

これは Morphisms, Lemma 01R3 から従う。

補題

\(X\) をスキームとし、\(D, D' \subset X\) を \(D \subset D'\) を満たす有効 Cartier 因子とする。また \(C \subset X\) を、 \(D' = D + C\) を満たす有効 Cartier 因子とする（これは Lemma 02ON により存在する）。このとき \(\mathcal{O}_X\)-加群の短完全列 \[0 \to \mathcal{O}_X(-D)|_C \to \mathcal{O}_{D'} \to \mathcal{O}_D \to 0\] が存在する。

証明

補題の主張と証明では Morphisms, Lemma 01QY の圏同値を用いて、\(X\) の閉部分スキーム上の 準連接加群を \(X\) 上の準連接加群とみなす。\(\mathcal{I}\) を \(D\) の \(D'\) における イデアル層とし、\(\mathcal{I}_D = \mathcal{O}_X(-D)\) を \(D\) の \(X\) における イデアル層とする。このとき標準的な全射 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{I}\) が存在する。したがって、この写像の核が \(\mathcal{I}_C\mathcal{I}_D\) に等しいことを示せば十分である （記号の意味は明らかであろう）。これは局所的に確認できるので、 \(X = \Spec(A)\), \(D = \Spec(A/fA)\), \(C = \Spec(A/gA)\) であり、 \(f, g \in A\) は非零因子であると仮定してよい （Lemma 01WS）。このとき \(\mathcal{I}_D\) は \(fA\) に対応し、非零因子 \(fg \in A\) は \(D'\) のイデアルを生成し、 \(\mathcal{I}\) は \(I = fA/fgA\) に対応する。したがって結果は明らかである。

補題

\(S\) をスキームとし、\(D_1\), \(D_2\) を \(S\) 上の有効 Cartier 因子とする。 \(D = D_1 + D_2\) とおく。このとき一意な同型 \[\mathcal{O}_S(D_1) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(D_2) \longrightarrow \mathcal{O}_S(D)\] であって、\(1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\) を \(1_D\) に写すものが存在する。

証明

省略する。

補題

\(f : S' \to S\) をスキームの射とし、\(D\) を \(S\) 上の有効 Cartier 因子とする。 \(D\) の引き戻しが定義されるならば \(f^*\mathcal{O}_S(D) = \mathcal{O}_{S'}(f^*D)\) であり、標準切断 \(1_D\) の引き戻しは標準切断 \(1_{f^*D}\) である。

証明

省略する。

定義

\((X, \mathcal{O}_X)\) を局所環付き空間とし、\(\mathcal{L}\) を \(X\) 上の可逆層とする。 大域切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) が 正則切断 であるとは、写像 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\), \(f \mapsto fs\) が単射であることをいう。

補題

\(X\) を局所環付き空間とし、\(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) とする。 次は同値である。

1. \(f\) は正則切断である。

2. 任意の \(x \in X\) に対して、像 \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) は非零因子である。

\(X\) がスキームならば、これらは次とも同値である。

1. 任意のアフィン開集合 \(\Spec(A) = U \subset X\) に対して、像 \(f \in A\) は非零因子である。

2. アフィン開被覆 \(X = \bigcup \Spec(A_i)\) であって、像 \(f\) が \(A_i\) において非零因子となるものが、すべての \(i\) に対して存在する。

証明

省略する。

\(s\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) の大域切断とすると、これは \(\mathcal{O}_X\)-加群写像 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\) とみなせることに注意する。 したがって、その双対は写像 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\) である。 （双対可逆層の定義については Modules, Definition 01CU を参照せよ。）

定義

\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{L}\) を可逆層とする。 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) を大域切断とする。\(s\) の 零点スキーム とは、 閉部分スキーム \(Z(s) \subset X\) であって、準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)、すなわち写像 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\) の像によって定義されるものをいう。

補題

\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{L}\) を可逆層とし、 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) とする。

1. 閉埋め込み \(i : Z \to X\) であって \(i^*s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L})\) が零となるもの全体を包含関係で順序付ける。 零点スキーム \(Z(s)\) はこの順序集合の最大元である。

2. 任意のスキームの射 \(f : Y \to X\) に対して、 \(f^*s = 0\) が \(\Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\) において成り立つことと、 \(f\) が \(Z(s)\) を経由することは同値である。

3. 零点スキーム \(Z(s)\) は局所単項閉部分スキームである。

4. 零点スキーム \(Z(s)\) が有効 Cartier 因子であることと、\(s\) が \(\mathcal{L}\) の正則切断であることは同値である。

証明

省略する。

補題

\(X\) をスキームとする。

1. \(D \subset X\) が有効 Cartier 因子ならば、標準切断 \(1_D\)、すなわち \(\mathcal{O}_X(D)\) の標準切断は正則である。

2. 逆に、\(s\) が可逆層 \(\mathcal{L}\) の正則切断ならば、一意な有効 Cartier 因子 \(D = Z(s) \subset X\) と、一意な同型 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\) が存在し、 この同型は \(1_D\) を \(s\) に写す。

構成 \(D \mapsto (\mathcal{O}_X(D), 1_D)\) と \((\mathcal{L}, s) \mapsto Z(s)\) は互いに逆な写像 \[\left\{ \begin{matrix} \text{effective Cartier divisors on }X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{isomorphism classes of pairs }(\mathcal{L}, s)\\ \text{consisting of an invertible } \mathcal{O}_X\text{-module}\\ \mathcal{L}\text{ and a regular global section }s \end{matrix} \right\}\] を与える。

証明

省略する。

注意

\(X\) をスキーム、\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群、\(s\) を \(\mathcal{L}\) の正則切断とする。このとき零点スキーム \(D = Z(s)\) は \(X\) 上の 有効 Cartier 因子であり、短完全列 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to i_*(\mathcal{L}|_D) \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_D \to 0.\] が存在する。有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) が与えられたとき、Lemmas 01X0 および 0B3P を用いると \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(D) \to i_*(\mathcal{N}_{D/X}) \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to i_*(\mathcal{O}_D) \to 0\] を得る。

Noether スキーム上の有効 Cartier 因子

局所 Noether の状況では、有効 Cartier 因子と正則切断に関する議論の多くが いくらか簡単になる。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) とする。このとき \(s\) が正則切断であることと、\(s\) が \(X\) の随伴点で消えないことは同値である。

証明

省略する。ヒント：アフィンの場合で \(\mathcal{L}\) が自明な場合に帰着し、 Lemma 01WZ と Algebra, Lemma 00LD を用いる。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(D \subset X\) を準連接イデアル層 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) に対応する閉部分スキームとする。

1. すべての \(x \in D\) に対してイデアル \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) が一つの元で生成できるならば、 \(D\) は局所単項である。

2. すべての \(x \in D\) に対してイデアル \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) が一つの非零因子で生成できるならば、 \(D\) は有効 Cartier 因子である。

証明

\(\Spec(A)\) を一点 \(x \in D\) のアフィン近傍とし、\(\mathfrak p \subset A\) を \(x\) に対応する素イデアルとする。\(I \subset A\) を、\(D\) の \(\Spec(A)\) 上の 跡を定義するイデアルとする。\(A\) は Noether 環なので（\(X\) が局所 Noether だからである）、イデアル \(I\) は有限個の元で生成される。これを \(I = (f_1, \ldots, f_r)\) とする。(1) の仮定の下では \(I_\mathfrak p = (f)\) であり、ここで \(f \in A_\mathfrak p\) である。したがって \(f_i = g_i f\) であり、ここで \(g_i \in A_\mathfrak p\) である。さらに \(g_i = a_i/h_i\) および \(f = f'/h\) と書くことができ、ここで \(a_i, h_i, f', h \in A\) かつ \(h_i, h \not \in \mathfrak p\) である。このとき \(I_{h_1 \ldots h_r h} \subset A_{h_1 \ldots h_r h}\) は \(f'\) で生成されるため 単項である。これで (1) が証明された。(2) については \(I = (f)\) と仮定してよい。 仮定により、\(f\) の \(A_\mathfrak p\) における像は非零因子である。すると Algebra, Lemma 061L により、 \(f\) は \(x\) の近傍上で非零因子である。これで (2) が証明された。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。

1. \(D \subset X\) を局所単項閉部分スキームとし、\(\xi \in D\) を \(D\) の 既約成分の生成点とする。このとき \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\) である。

2. \(D \subset X\) を有効 Cartier 因子とし、\(\xi \in D\) を \(D\) の 既約成分の生成点とする。このとき \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\) である。

証明

(1) を証明する。仮定により、\(X = \Spec(A)\) および \(D = \Spec(A/(f))\) と仮定してよい。ここで \(A\) は Noether 環、\(f \in A\) である。 \(\xi\) が素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に対応するとする。 \(\xi\) が \(D\) の既約成分の生成点であるという仮定は、\(\mathfrak p\) が \((f)\) 上極小であることを意味する。したがって Algebra, Lemma 00KV により \(\dim(A_\mathfrak p) \leq 1\) である。

(2) を証明する。(1) により \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\) である。 一方、Lemma 01WS により局所方程式 \(f\) は \(A_\mathfrak p\) における非零因子である。したがって次元は少なくとも \(1\) である（初等的な Algebra, Lemma 00E0 により、\(A_\mathfrak p\) には \(f\) を含まない 素イデアルが存在しなければならない）。

補題

\(X\) を Noether スキームとし、\(D \subset X\) を整閉部分スキームであって、同時に 有効 Cartier 因子であるものとする。このとき \(X\) の局所環で \(D\) の生成点におけるものは 離散付値環である。

証明

Lemma 01WS により、 \(X = \Spec(A)\) および \(D = \Spec(A/(f))\) と仮定してよい。ここで \(A\) は Noether 環であり、\(f \in A\) は非零因子である。\(D\) が整であるという仮定は、\((f)\) が 素イデアルであることを意味する。したがって生成点における \(X\) の局所環は \(A_{(f)}\) である。これは極大イデアルが非零因子で生成される Noether 局所環である。 ゆえに Algebra, Lemma 00PD により離散付値環である。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(D \subset X\) を有効 Cartier 因子とする。 \(X\) が \((S_k)\) ならば、\(D\) は \((S_{k - 1})\) である。

証明

\(x \in D\) とする。このとき \(\mathcal{O}_{D, x} = \mathcal{O}_{X, x}/(f)\) であり、ここで \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\) は非零因子である。仮定により \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{X, x}), k)\) である。Algebra, Lemma 090R により \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) = \text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\) であり、Algebra, Lemma 00KW により \(\dim(\mathcal{O}_{D, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\) である。したがって \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{D, x}), k - 1)\) となり、主張を得る。

補題

\(X\) を局所 Noether 正規スキームとし、\(D \subset X\) を有効 Cartier 因子とする。 このとき \(D\) は \((S_1)\) である。

証明

Properties, Lemma 0345 により \(X\) は \((S_2)\) である。したがって Lemma 0B3R から結論を得る。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(D \subset X\) を整閉部分スキームとする。 次を仮定する。

1. \(D\) の余次元は \(1\) である（\(X\) において）。

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\) はすべての \(x \in D\) に対して UFD である。

このとき \(D\) は有効 Cartier 因子である。

証明

\(x \in D\) とし、\(A = \mathcal{O}_{X, x}\) とおく。\(\mathfrak p \subset A\) を \(D\) の生成点に対応する素イデアルとする。仮定 (1) により \(A_\mathfrak p\) は次元 \(1\) である。したがって \(\mathfrak p\) は高さ \(1\) の素イデアルである。\(A\) は UFD なので \(\mathfrak p = (f)\) となり、ここで \(f \in A\) である。当然 \(f\) は 非零因子であり、Lemma 0AG8 により結論を得る。

補題

\(X\) を Noether スキームとし、\(Z \subset X\) を閉部分スキームとする。次が存在すると仮定する。

1. 整有効 Cartier 因子の族 \(D_i \subset X\), \(i \in I\)、

2. 閉部分集合 \(Z' \subset X\) であって、そのすべての既約成分の余次元が \(\geq 2\) であるもの（\(X\) において） （Topology, Definition 02I3）。

さらに集合論的に \(Z \subset Z' \cup \bigcup_{i \in I} D_i\) とする。このとき \(a_i \geq 0\) かつ \(a_i = 0\) がほとんどすべての \(i \in I\) に対して成り立つ整数が存在し、 有効 Cartier 因子 \[D = \sum a_i D_i\] は \(Z\) に含まれ、包含射 \(D \to Z\) は余次元 \(2\) の外で同型である （\(X\) において）。 すなわち、開集合 \(U \subset Z\) であって \(D \cap U \to Z \cap U\) が同型となり、 \(Z \setminus U\) のすべての既約成分の余次元が \(\geq 2\) となるものが存在する （\(X\) において）。\(Z\) が \(X\) において疎であるとき、 \(D_i\), \(i \in I\) および \(Z'\) の存在は、\(\mathcal{O}_{X, x}\) がすべての \(x \in Z\) に対して UFD であるか、または \(X\) が正則ならば保証される。

証明

\(\xi_i \in D_i\) を生成点とし、\(\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\) を 局所環とする。これは Lemma 0AG9 により離散付値環である。\(a_i \geq 0\) を \(\mathcal{I}_{Z, \xi_i} \subset \mathcal{O}_i\) の元の付値の最小値とする。 もちろん \(a_i > 0\) となりうるのは \(D_i\) が \(Z\) の既約成分である場合だけであり、 したがって \(a_i > 0\) となる \(i \in I\) は有限個だけである。有効 Cartier 因子 \(D = \sum a_i D_i\) が求める性質をもつと主張する。

\(x \in X\) とし、\(A = \mathcal{O}_{X, x}\) とおく。\(D_1, \ldots, D_n\) を、因子 \(D_i\) のうち \(x \in D_i\) かつ \(a_i > 0\) を満たす相異なるものとする。 \(1 \leq i \leq n\) に対して \(f_i \in A\) を \(D_i\) の局所方程式とする。 このとき \(f_i\) は \(A\) の素元であり、\(\mathcal{O}_i = A_{(f_i)}\) である。 \(I = \mathcal{I}_{Z, x} \subset A\) を \(Z\) のイデアル層の茎とする。 \(a_i\) の選び方により \(I A_{(f_i)} = f_i^{a_i}A_{(f_i)}\) である。次を主張する。 \(I \subset (\prod_{i = 1, \ldots, n} f_i^{a_i})\)。

主張を証明する。局所化写像 \(\varphi : A/(f_i) \to A_{(f_i)}/f_iA_{(f_i)}\) は単射である。実際、素イデアル \((f_i)\) は極大イデアル \(f_iA_{(f_i)}\) の逆像である。\(n\) に関する帰納法により \(\varphi_n : A/(f_i^n)\to A_{(f_i)}/f_i^nA_{(f_i)}\) も単射である。 \(\varphi_{a_i}(I) = 0\) だから \(I \subset (f_i^{a_i})\) である。したがって任意の \(x \in I\) に対して \(x = f_1^{a_1}x_1\) と書け、ここで \(x_1 \in A\) である。 \(D_1, \ldots, D_n\) は相異なるので、\(f_i\) は \(A_{(f_j)}\) における単元である （\(i \not = j\) のとき）。\(x\) と \(x_1\) を \(A_{(f_i)}\) において \(n \geq i > 1\) に対して比較すると、なお \(x_1 \in (f_i^{a_i})\) である。 この過程を繰り返すと、帰納的に \(x_i = f_{i + 1}^{a_{i + 1}}x_{i + 1}\) と書ける（任意の \(n > i \geq 1\) に対して）。 結局、\(x \in (\prod_{i = 1, \ldots n} f_i^{a_i})\) が任意の \(x \in I\) に対して 成り立ち、主張が証明された。

この主張から \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{I}_D\)、すなわち \(D \subset Z\) が従う。さらに \(D\) と \(Z\) は \(\xi_i\) において一致するので、 \(D \to Z\) は余次元 \(2\) の外で同型である（\(X\) 上で）。

最後の諸主張を見るには次のように論じる。正則局所環は UFD である （More on Algebra, Lemma 0AG0）。したがって UFD の場合を論じれば十分である。その場合、\(D_i\) を \(Z\) の既約成分であって 余次元が \(1\) のものとする（\(X\) において）。Lemma 0AGA により各 \(D_i\) は有効 Cartier 因子である。

補題

\(Z \subset X\) を Noether スキームの閉部分スキームとする。次を仮定する。

1. \(Z\) は埋め込まれた点をもたない。

2. \(Z\) のすべての既約成分は余次元 \(1\) をもつ（\(X\) において）。

3. 各局所環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は \(x \in Z\) に対して UFD であるか、 または \(X\) は正則である。

このとき \(Z\) は有効 Cartier 因子である。

証明

\(D = \sum a_i D_i\) を Lemma 0AGB のものとする。ここで \(D_i \subset Z\) は \(Z\) の既約成分である。\(D \to Z\) が同型でなければ、 \(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_D\) は余次元 \(\geq 2\) に台をもつ非零な核をもつ。 これは \(Z\) が埋め込まれた点をもつことを意味し、仮定 (1) に反する。 したがって望み通り \(D \cong Z\) である。

補題

\(R\) を Noether UFD とし、\(I \subset R\) をイデアルとする。\(R/I\) は埋め込まれた 素イデアルをもたず、\(I\) 上の各極小素イデアルの高さが \(1\) であると仮定する。 このとき \(I = (f)\) であり、ここで \(f \in R\) である。

証明

Lemma 0BXH により、イデアル層 \(\tilde I\) は \(\Spec(R)\) 上で可逆である。More on Algebra, Lemma 0BCH により、一つの元で生成される。

補題

\(X\) を Noether スキームとし、\(D \subset X\) を有効 Cartier 因子とする。 整有効 Cartier 因子 \(D_i \subset X\) であって、集合論的に \(D \subset \bigcup D_i\) となるものが存在すると仮定する。このとき \(D = \sum a_i D_i\) であり、ここで \(a_i \geq 0\) である。\(D_i\) の存在は、 \(\mathcal{O}_{X, x}\) がすべての \(x \in D\) に対して UFD であるか、または \(X\) が正則ならば保証される。

証明

Lemma 0AGB のように \(a_i\) を選び、 \(D' = \sum a_i D_i\) とおく。このとき \(D' \to D\) は有効 Cartier 因子の包含であり、 余次元 \(2\) の外で同型である（\(X\) 上で）。\(x \in X\) を取り、 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\) とおく。\(f, f' \in A\) を、\(D, D'\) のイデアルを \(A\) において生成する非零因子とする。このとき \(f = gf'\) であり、ここで \(g \in A\) である。さらに、任意の素イデアル \(\mathfrak p\) で、高さ \(\leq 1\) のもの（\(A\) の素イデアル）に対して、\(g\) は \(A_\mathfrak p\) の単元に写る。 これは \(g\) が単元であることを意味する。実際、\((g)\) 上の極小素イデアルは高さ \(1\) である（Algebra, Lemma 00KV）。

補題

\(X\) を豊富な可逆層をもつ Noether スキームとする。このとき、すべての可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群は \[\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\] と同型である。ここで \(D, D'\) は \(X\) の有効 Cartier 因子である。さらに、 有限部分集合 \(E \subset X\) が与えられたとき、\(D, D'\) を \(E \cap D = \emptyset\) および \(E \cap D' = \emptyset\) となるように 選べる。\(X\) が準アフィンならば \(D' = \emptyset\) と選べる。

証明

\(x_1, \ldots, x_n\) を \(X\) の随伴点とする （Lemma 05AF）。

\(X\) が準アフィンで、\(\mathcal{N}\) が任意の可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群ならば、 切断 \(t\)、すなわち \(\mathcal{N}\) の切断であって、\(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\) のどの点でも 消えないものを取れる。Properties, Lemma 0F20 を参照せよ。 すると Lemma 0AYL により \(t\) は \(\mathcal{N}\) の正則切断である。したがって \(\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\) であり、ここで \(D = Z(t)\) は \(t\) に対応する有効 Cartier 因子である。Lemma 01X0 を参照せよ。構成により \(E \cap D = \emptyset\) なので、 この場合の証明は完了する。

一般の場合に戻り、\(\mathcal{L}\) を \(X\) 上の豊富な可逆層とする。ある \(m > 0\) と切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m})\) が存在して、\(X_s\) は アフィンであり、\(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\} \subset X_s\) となる （Properties, Lemma 09NV）。

\(\mathcal{N}\) を任意の可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。準アフィンの場合により、切断 \(t \in \mathcal{N}(X_s)\) であって、\(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\) のどの点でも 消えないものを取れる。Properties, Lemma 01PW により、ある \(e \geq 0\) に対して切断 \(s^e|_{X_s} t\) は大域切断 \(\tau\)、すなわち \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\) の大域切断に延長される。したがって \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\) と \(\mathcal{L}^{\otimes me}\) はともに可逆層であり、 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\) のどの点でも消えない大域切断をもつ。ゆえに Lemma 0AYL により、これらは正則切断である。 したがって \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\) および \(\mathcal{L}^{\otimes me} \cong \mathcal{O}_X(D')\) であり、ここで \(D\) と \(D'\) は 有効 Cartier 因子である。Lemma 01X0 を参照せよ。構成により \(E \cap D = \emptyset\) および \(E \cap D' = \emptyset\) であり、証明が完了する。

補題

\(X\) を次元 \(2\) の整正則スキームとし、\(i : D \to X\) を有効 Cartier 因子の 埋め込みとする。完全列 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to i_*\mathcal{G} \to 0\) を 連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の列として考える。次を仮定する。

1. \(\mathcal{F}, \mathcal{F}'\) は階数 \(r\) の局所自由加群である （\(X\) の空でない開集合上で）。

2. \(D\) は整スキームである。

3. \(\mathcal{G}\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_D\)-加群であり、階数は \(s\) である。

このとき \(\mathcal{L} = (\wedge^r\mathcal{F})^{**}\) および \(\mathcal{L}' = (\wedge^r \mathcal{F}')^{**}\) は可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群であり、 \(\mathcal{L}' \cong \mathcal{L}(k D)\) である。ここで \(k \in \{0, \ldots, \min(s, r)\}\) である。

証明

最初の主張は Lemma 0B3N から従う。実際、仮定 (1) により \(\mathcal{L}\) と \(\mathcal{L}'\) は階数 \(1\) である。 \(\wedge^r\) と二重双対を取る操作は函手なので、標準的な写像 \(\sigma : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) を得る。これは (1) の空でない開集合上で 同型であり、したがって非零である。証明を終えるには、\(\sigma\) を \(\mathcal{L}' \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}\) の大域切断とみたとき、それが \(X\) の任意の余次元の点では消えず、ただし \(D\) の生成点では例外で、そこでの 消滅次数が高々 \(\min(s, r)\) であることを見れば十分である。

代数に移すと、次の問題を得る。\((A, \mathfrak m, \kappa)\) を分数体 \(K\) をもつ 離散付値環とする。\(M \to M' \to N \to 0\) を有限 \(A\)-加群の完全列であって、 \(\dim_K(M \otimes K) = \dim_K(M' \otimes K) = r\) かつ \(N \cong \kappa^{\oplus s}\) となるものとする。誘導される写像 \(L = \wedge^r(M)^{**} \to L' = \wedge^r(M')^{**}\) の消滅次数が高々 \(\min(s, r)\) であることを示せ。\(A\) 上の加群の構造定理を用いる。More on Algebra, Lemma 0ASP または 0ASV を参照せよ。有限 \(A\)-加群をその捩れ部分加群で 割っても二重双対は変わらない。したがって \(M\) を \(M/M_{tors}\) で、\(M'\) を \(M'/\Im(M_{tors} \to M')\) で置き換え、\(M\) は捩れなしであると仮定してよい。 すると \(M \to M'\) は単射であり、\(M'_{tors} \to N\) も単射である。ゆえに \(M'\) を \(M'/M'_{tors}\) で、\(N\) を \(N/M'_{tors}\) で置き換えてよい。 こうして \(M\) と \(M'\) が階数 \(r\) の自由加群であり、 \(N \cong \kappa^{\oplus s}\) である場合に帰着する。この場合 \(\sigma\) は \(M \to M'\) の行列式であり、その消滅次数は \(s\) である。例えば Algebra, Lemma 02MI を参照せよ。

アフィン開集合の補集合

本節では、多様体のアフィン開集合の補集合が純余次元 \(1\) をもつという結果を論じる。

補題

\((A, \mathfrak m)\) を Noether 局所環とする。穿孔スペクトル \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\)、すなわち \(A\) のスペクトルから閉点を除いた部分が アフィンであるための必要十分条件は \(\dim(A) \leq 1\) である。

証明

\(\dim(A) = 0\) ならば \(U\) は空であり、したがってアフィンである （\(0\) 環のスペクトルに等しい）。\(\dim(A) = 1\) ならば、元 \(f \in \mathfrak m\) で、 \(A\) の有限個の極小素イデアルのいずれにも含まれないものを選べる （Algebra, Lemmas 00FR および 00DS）。すると \(U = \Spec(A_f)\) はアフィンである。

逆はより興味深い。ここではやや非標準的な証明を与え、標準的な議論は下の注意で論じる。 \(U = \Spec(B)\) がアフィンであると仮定する。被約化してもアフィン性と次元は変わらない ので、\(A\) をその冪零元イデアルによる商に置き換え、\(A\) は被約であると仮定してよい。 \(Q = B/A\) を \(A\)-加群とみなす。\(Q\) の台は \(\{\mathfrak m\}\) である。実際、 \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak p\) は、\(\mathfrak p\) が \(A\) の非極大素イデアルである限り成り立つ。 \(\dim(A) \geq 1\) と仮定してよいから、上と同様に \(f \in \mathfrak m\) を選べる。この元は \(A\) の極小イデアルのいずれにも含まれない。\(A\) は被約なので、これは \(f\) が \(A\) の 非零因子であることを意味する。同じ議論により \(f : B \to B\) は単射である。実際、 \(\Spec(B)\) は \(\Spec(A)\) の開集合である。Algebra, Lemma 00KW により \(\dim(A/fA) = \dim(A) - 1\) であることに注意する。 \(f\) による乗法を短完全列 \(0 \to A \to B \to Q \to 0\) に適用して蛇の補題を用いると \[0 \to Q[f] \to A/fA \to B/fB \to Q/fQ \to 0\] を得る。ここで \(Q[f] = \Ker(f : Q \to Q)\) である。これは \(Q[f]\) が有限 \(A\)-加群であることを意味する。\(Q[f]\) の台は \(\{\mathfrak m\}\) なので \(l = \text{length}_A(Q[f]) < \infty\) である （Algebra, Lemma 00L5）。 \(l_n = \text{length}_A(Q[f^n])\) とおく。完全列 \[0 \to Q[f^n] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f^n} Q[f]\] から、帰納的に \(l_n < \infty\) および \(l_n \leq l_{n + 1}\) が分かる。完全列 \[0 \to Q[f] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f} Q[f^n] \to Q/fQ\] を考えると、\(Q[f^n]\) の \(Q/fQ\) における像の長さは \(l_n - l_{n + 1} + l \leq l\) である。\(Q = \bigcup Q[f^n]\) なので、 \(Q/fQ\) の長さは高々 \(l\)、すなわち有界である。したがって \(Q/fQ\) は有限 \(A\)-加群である。ゆえに \(A/fA \to B/fB\) は有限環写像であり、とくにスペクトル上の 閉写像を誘導する（Algebra, Lemmas 00GU および 00HZ）。一方、\(\Spec(B/fB)\) は \(\Spec(A/fA)\) の穿孔スペクトルである。これは \(\Spec(B/fB) = \emptyset\) でない限り 矛盾であり、したがって望み通り \(\dim(A/fA) = 0\) である。

注意

\((A, \mathfrak m)\) を次元 \(\geq 2\) の Noether 局所正規整域とし、\(U\) を \(A\) の 穿孔スペクトルとすると、\(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\) である。この Hartogs の定理の代数版は、Algebra, Lemma 031T で見た \(A = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} A_\mathfrak p\) から従う。 したがってこの場合 \(U\) はアフィンではありえない（そうであれば \(\mathfrak m\) が \(U\) の点であることを強制する）。これはしばしば Lemma 0BCR の証明の出発点として用いられる。一般の Noether 局所環の場合をこれに帰着するには、まず完備化し（Nagata 局所環を得るため）、次に 適当な極小素イデアルに対して \(A\) を \(A/\mathfrak q\) で置き換え、その後正規化する。 これらの各段階は次元を変えず、矛盾を得る。完備化の段階を省くこともできるが、その場合、 一般に正規化は Noether 整域ではない。しかし、それでも同じ次元の Krull 整域であり （これは Krull–Akizuki を用いて証明される）、同じ議論を適用できる。

注意

穿孔スペクトルがアフィンとなる非 Noether 局所環 \((A, \mathfrak m)\) をどのように 特徴付けるかは明らかでない。そのような環は、有限生成イデアル \(I\) で \(\mathfrak m = \sqrt{I}\) を満たすものをもつ。もちろん、\(I\) を \(1\) 個の元で生成されるものに取れれば、 \(A\) はアフィンな穿孔スペクトルをもつ。これにより多数の非 Noether の例が得られる。 逆に、Lemma 0BCR の証明の議論から、そのような環は \(f \in \mathfrak m\) で \(H^0_I(A/fA) = 0\) を満たす非零因子をもつことができない （したがって \(A\) は長さ \(2\) の正則列をもてない）。さらに、局所環の局所準同型 の終域となる任意の環 \(A'\) についても同じことが成り立つ。ただし、その準同型は \(A \to A'\) であり、\(\mathfrak m_{A'} = \sqrt{\mathfrak mA'}\) を満たすものとする。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(U \subset X\) を、包含射 \(U \to X\) がアフィンとなる 開部分スキームとする。生成点 \(\xi\) を任意に取る。ただし、これは \(X \setminus U\) の既約成分の 生成点とする。このとき、 局所環 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) の次元は \(\leq 1\) である。\(U\) が稠密であるか、または \(\xi\) が \(U\) の閉包に含まれるならば、\(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\) である。

証明

\(\xi\) は \(X \setminus U\) の生成点なので、 \[U_\xi = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\] は \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) の穿孔スペクトルである （ヒント：Schemes, Lemma 01J7 を用いる）。 \(U \to X\) はアフィンなので、\(U_\xi \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) もアフィンであり （Morphisms, Lemma 01SD）、したがって \(U_\xi\) は アフィンである。ゆえに Lemma 0BCR により \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\) である。\(\xi \in \overline{U}\) ならば、 特殊化 \(\eta \to \xi\) で \(\eta \in U\) を満たすものが存在する。実際、\(\eta\) を \(\overline{U}\) の既約成分で \(\xi\) を含むものの生成点に取ればよい。\(\overline{U}\) は局所 Noether であり、したがって局所的に有限個の既約成分しかもたないので、 \(\eta \in U\) である。このとき \(\eta \in \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\) であり、 次元は \(0\) ではありえない。

補題

\(X\) を分離的局所 Noether スキームとし、\(U \subset X\) をアフィン開集合とする。 生成点 \(\xi\) を任意に取る。ただし、これは \(X \setminus U\) の既約成分の生成点とする。このとき局所環 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) の次元は \(\leq 1\) である。\(U\) が稠密であるか、または \(\xi\) が \(U\) の閉包に含まれるならば、\(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\) である。

証明

これは Lemma 0BCU から従う。実際、Morphisms, Lemma 01SG により射 \(U \to X\) はアフィンである。

次の補題は、有効 Cartier 因子を構成するために使えることがある。

補題

\(X\) を Noether 分離スキームとし、\(U \subset X\) を稠密アフィン開集合とする。 \(\mathcal{O}_{X, x}\) がすべての \(x \in X \setminus U\) に対して UFD ならば、 有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) で \(U = X \setminus D\) を満たすものが存在する。

証明

\(X\) は Noether なので、補集合 \(X \setminus U\) は有限個の既約成分 \(D_1, \ldots, D_r\) をもつ（\(X \setminus U\) 上の被約な誘導部分スキーム構造に Properties, Lemma 0BA8 を適用する）。 各 \(D_i \subset X\) は Lemma 0BCV により余次元 \(1\) である（Properties, Lemma 02IZ も参照）。 したがって Lemma 0AGA により \(D_i\) は有効 Cartier 因子である。ゆえに \(D = D_1 + \ldots + D_r\) と取れる。

補題

\(X\) をアフィン対角射をもつ Noether スキームとし、\(U \subset X\) を稠密アフィン 開集合とする。\(\mathcal{O}_{X, x}\) がすべての \(x \in X \setminus U\) に対して UFD ならば、有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) で \(U = X \setminus D\) を満たすものが存在する。

証明

\(X\) は Noether なので、補集合 \(X \setminus U\) は有限個の既約成分 \(D_1, \ldots, D_r\) をもつ（\(X \setminus U\) 上の被約な誘導部分スキーム構造に Properties, Lemma 0BA8 を適用する）。 \(D_i\) を \(X\) の被約閉部分スキームとみなす。\(X = \bigcup_{j \in J} X_j\) を \(X\) の アフィン開被覆とし、添字 \(j\) を \(J\) から任意に取り、\(U_j = U \cap X_j\) とおく。 \(X\) はアフィン対角射をもつので、スキーム \[U_j = X \times_{(X \times X)} (U \times X_j)\] はアフィンである。したがって \(X_j\) は分離的なので、Lemma 0BCW とその証明により、 すべての \(j \in J\) および \(1 \leq i \leq r\) に対して交叉 \(D_i \cap X_j\) は空であるか、\(X_j\) における有効 Cartier 因子である。 ゆえに \(D_i \subset X\) は有効 Cartier 因子である（これは局所的な性質である）。 したがって \(D = D_1 + \ldots + D_r\) と取れる。

補題

\(X\) をアフィン対角射をもつ準コンパクト正則スキームとする。このとき \(X\) は可逆加群の 豊富な族をもつ（Morphisms, Definition 0FXR）。

証明

\(X\) は有限個の整スキームの非交和であることに注意する （Properties, Lemmas 0569 および 033M）。したがって \(X\) は整かつ Noether で、 正則かつアフィン対角射をもつと仮定してよい。\(x \in X\) とする。アフィン開集合 \(U \subset X\) で \(x\) を含むものを選ぶ。\(X\) は整なので、\(U\) は \(X\) において稠密である。 More on Algebra, Lemma 0AG0 により \(X\) の局所環は UFD である。したがって Lemma 0EGJ により、有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) で、その補集合が \(U\) となるものを取れる。このとき標準切断 \(s = 1_D\) は、\(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\) の切断であり、 （Definition 01WX を参照）、 \(D\) に沿ってちょうど消えるので \(U = X_s\) である。したがって Morphisms, Definition 0FXR の両条件が成り立ち、証明が完了する。

ノルム

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限射とし、\(d \geq 1\) を整数とする。乗法的写像 \[\text{Norm}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\] であって次を満たすものが存在するとき、次数 \(d\) の \(\pi\) に対する ノルム³が存在するという。

1. 合成 \(\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\pi^\sharp} \pi_*\mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{Norm}_\pi} \mathcal{O}_Y\) は \(g \mapsto g^d\) に等しい。

2. 開集合 \(V \subset Y\) に対し、\(f \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V)\) が \(x \in \pi^{-1}(V)\) において零ならば、\(\text{Norm}_\pi(f)\) は \(\pi(x)\) において零である。

条件 (1) から \(\pi\) が全射であることに注意する。\(\text{Norm}_\pi\) は乗法的なので 単元を単元に送る。したがって、\(y \in Y\) を与え、\(f\) が \(X\) 上の正則函数で、 \(x \in X\) のうち \(\pi(x) = y\) を満たす任意の点で定義され、かつ消えないならば、 \(\text{Norm}_\pi(f)\) は定義されており、\(y\) において消えない。これは (2) を仮定 しなくても成り立つ。実際、本節の構成には条件 (1) だけを用い、特定の消滅性質 （とくに Lemma 0BD0 の証明で用いる）にのみ性質 (2) が必要となる。

補題

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限射とする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とし、\(y \in Y\) とする。このとき開近傍 \(V \subset Y\) で、\(y\) を含み、\(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}(V)}\) が自明となるものが存在する。

証明

\(Y\)、したがって \(X\) がアフィンであると仮定してよい。\(\pi\) は有限なので、ファイバー \(\pi^{-1}(\{y\})\) は \(y\) 上で有限である。\(X\) はアフィンだから、 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) を \(\pi^{-1}(\{y\})\) のどの点でも消えないように 選べる。これは Properties, Lemma 0F20 から従うが、直接の議論も与える。すなわち、閉点の有限集合 \(E \subset X\) を、 各 \(x \in \pi^{-1}(\{y\})\) が \(E\) のある点へ特殊化するように選べる。 \(x \in E\) に対し、閉埋入を \(i_x : x \to X\) と書く。このとき \(\mathcal{L} \to \bigoplus_{x \in E} i_{x, *}i_x^*\mathcal{L}\) は準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の全射である。したがって写像 \[\Gamma(X, \mathcal{L}) \to \bigoplus\nolimits_{x \in E} \mathcal{L}_x/\mathfrak m_x\mathcal{L}_x\] は全射である（準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群の圏では大域切断を取る函数が完全だから である。Schemes, Lemma 01IB を参照）。 ゆえに、\(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\) を、\(E\) の点へ特殊化するどの点でも 消えないように選べる。このとき \(X_s \subset X\) は \(\pi^{-1}(\{y\})\) の開近傍である。 \(\pi\) は有限、したがって閉であるから、開近傍 \(V \subset Y\) で \(y\) を含み、その逆像が \(X_s\) に含まれるものが存在し、これが求めるものである。

補題

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限射とする。次数 \(d\) の \(\pi\) に対するノルムが存在する ならば、アーベル群の準同型 \[\text{Norm}_\pi : \Pic(X) \to \Pic(Y)\] で、等式 \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\) が、任意の可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群 \(\mathcal{N}\) に対して成り立つものが存在する。

証明

可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群の同型類と \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\) の元との対応（Cohomology, Lemma 09NU）を、以下では断りなく用いる。可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{L}\) のノルムの取り方を説明する。Lemma 0BUT により、開被覆 \(Y = \bigcup V_j\) で \(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}V_j}\) が自明となるものが存在する。 生成切断 \(s_j \in \mathcal{L}(\pi^{-1}V_j)\) を各 \(j\) について選ぶ。重なり \(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'}\) 上では \[s_j = u_{jj'} s_{j'}\] と書ける。ここで \(u_{jj'} \in \mathcal{O}^*_X(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'})\) は一意である。 したがって元 \[v_{jj'} = \text{Norm}_\pi(u_{jj'}) \in \mathcal{O}_Y^*(V_j \cap V_{j'})\] を考えられる。これらの元はコサイクル条件を満たす（\(u_{jj'}\) がそうであり、 \(\text{Norm}_\pi\) が乗法的だからである）。ゆえに可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群を定める。 これが良定義であること、Picard 群上で加法的であること、および等式 \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\) が任意の可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群 \(\mathcal{N}\) に対して成り立つことの確認は省略する。

補題

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限射とする。次数 \(d\) の \(\pi\) に対するノルムが存在すると 仮定する。可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群の間の任意の写像 \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\) が \(\mathcal{O}_X\)-線形ならば、\(\mathcal{O}_Y\)-線形写像 \[\text{Norm}_\pi(\varphi) : \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}) \longrightarrow \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\] が存在する。ここで \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\) と \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\) は Lemma 0BCY のものとする。 さらに、\(y \in Y\) に対して次は同値である。

1. \(\varphi\) はある点 \(x \in X\) において零であり、その点は \(\pi(x) = y\) を満たす。

2. \(\text{Norm}_\pi(\varphi)\) は \(y\) において零である。

証明

開被覆 \(Y = \bigcup V_j\) を、\(\mathcal{L}\) と \(\mathcal{L}'\) が各開集合 \(\pi^{-1}V_j\) 上で自明となるように選ぶ。これは Lemma 0BUT により可能である。 生成切断 \(s_j\) と \(s'_j\) を、それぞれ \(\mathcal{L}\) と \(\mathcal{L}'\) について、開集合 \(\pi^{-1}V_j\) 上で選ぶ。このとき \(\varphi(s_j) = f_js'_j\) であり、ある \(f_j \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V_j)\) が存在する。\(\text{Norm}_\pi(\varphi)\) を、 \(\text{Norm}_\pi(f_j)\) による \(V_j\) 上の乗法として定める。Lemma 0BCY の証明で \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\) と \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\) の構成に用いたコサイクルについて簡単な計算をすれば、 これが補題に述べた写像を定めることが分かる。最後の主張は、次数 \(d\) のノルム写像の 定義における条件 (2) から従う。細部は省略する。

補題

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限射とする。\(X\) が豊富な可逆層をもち、次数 \(d\) の \(\pi\) に対するノルムが存在すると仮定する。このとき \(Y\) は豊富な可逆層をもつ。

証明

\(\mathcal{L}\) を、仮定で与えられた \(X\) 上の豊富な可逆層とする。 \(\mathcal{N} = \text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\) が \(Y\) 上で豊富であることを示す。

\(X\) は準コンパクトであり（Properties, Definition 01PS）、\(X \to Y\) は全射である （\(\text{Norm}_\pi\) の存在による）から、\(Y\) は準コンパクトである。 点 \(y \in Y\) を取る。証明を終えるため、切断 \(t\) で、\(\mathcal{N}\) のある正の テンソル冪に属し、\(y\) において消えず、かつ \(Y_t\) がアフィンとなるものが存在することを示す。 そのため、アフィン開近傍 \(V \subset Y\) で \(y\) を含むものを選ぶ。\(n \gg 0\) と切断 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\) を、 \[\pi^{-1}(\{y\}) \subset X_s \subset \pi^{-1}V\] となるように選ぶ。これは Properties, Lemma 09NV による。このとき \(t = \text{Norm}_\pi(s)\) は \(\mathcal{N}^{\otimes n}\) の切断で、\(x\) において消えず、 \(Y_t \subset V\) を満たす。Lemma 0BCZ を参照。すると \(Y_t\) は Properties, Lemma 01PV によりアフィンである。

補題

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限射とする。\(X\) が準アフィンで、次数 \(d\) の \(\pi\) に対するノルムが存在すると仮定する。このとき \(Y\) は準アフィンである。

証明

Properties, Lemma 01QE により \(\mathcal{O}_X\) は \(X\) 上の豊富な可逆層である。Lemma 0BD0 の証明から \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y\) は豊富な可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群である。したがって Properties, Lemma 01QE により \(Y\) は準アフィンである。

補題

\(\pi : X \to Y\) を次数 \(d \geq 1\) の有限局所自由射とする。このとき、任意の基底変換と 可換する次数 \(d\) の標準的なノルムが存在する。

証明

\(V \subset Y\) を、\((\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\) が階数 \(d\) の有限自由となるアフィン開集合 とする。基底を選ぶと同型 \[\mathcal{O}_V^{\oplus d} \cong (\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\] を得る。任意の \(f \in \pi_*\mathcal{O}_X(V) = \mathcal{O}_X(\pi^{-1}(V))\) に対し、 \(f\) による乗法は、表示された自由ベクトル束の \(\mathcal{O}_V\)-線形自己準同型 \(m_f\) を定める。したがって \(d \times d\) 行列 \(M_f \in \text{Mat}(d \times d, \mathcal{O}_Y(V))\) を得て、 \[\text{Norm}_\pi(f) = \det(M_f)\] とおける。行列の行列式は選んだ基底に依存しないので、これは良定義であり、この構成が 貼り合わさって所望の大域写像を与えることも分かる。基底変換との両立性は構成から直ちに従う。

性質 (1) は、\(d \times d\) 対角行列で成分が \(g, g, \ldots, g\) であるものの行列式が \(g^d\) であることから従う。性質 (2) を見るため、基底変換を行い、\(Y\) が体 \(k\) の スペクトルであると仮定してよい。このとき \(X = \Spec(A)\) であり、\(A\) は \(k\)-代数で、\(\dim_k(A) = d\) を満たす。\(x \in X\) が存在し、\(f \in A\) が \(x\) で 消えるならば、体への写像 \(A \to \kappa\) で \(f\) が \(\kappa\) において零へ写るものが 存在する。このとき \(f : A \to A\) は全射ではありえず、したがって \(\det(f : A \to A) = 0\) となり、求める主張を得る。

補題

\(\pi : X \to Y\) を有限全射とし、\(X\) と \(Y\) は整で、\(Y\) は正規であるとする。 このとき次数 \([R(X) : R(Y)]\) の \(\pi\) に対するノルムが存在する。

証明

\(\Spec(B) \subset Y\) をアフィン開部分集合とし、その逆像を \(\Spec(A) \subset X\) とする。このとき \(A\) と \(B\) は整域である。 \(K\) を \(A\) の分数体とし、\(L\) を \(B\) の分数体とする。図式は次である。 \[\xymatrix{ L \ar[r] & K \\ B \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] \(K/L\) は有限拡大なので、ノルム写像 \(\text{Norm}_{K/L} : K^* \to L^*\) が存在し、その次数は \(d = [K : L]\) である。これは Lemma 0BD2 の証明と同様に、\(f \in K\) を \(\det_L(f : K \to K)\) へ写すことで与えられる。\(f : K \to K\) の特性多項式は \(f\) の \(L\) 上の最小多項式の冪であることに注意する。とくに \(\text{Norm}_{K/L}(f)\) は、\(f\) の \(L\) 上の最小多項式の定数項の冪である。 したがって Algebra, Lemma 00H7 により \(\text{Norm}_{K/L}\) は \(A\) を \(B\) の中へ写す。これによりアフィン開上の切断について 両立する写像系が定まり、したがって大域ノルム写像 \(\text{Norm}_\pi\) が定まる。その次数は \(d\) である。

性質 (1) は構成から直ちに従う。性質 (2) を見るため、\(f \in A\) を取り、これは素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に含まれるとする。多項式 \(f^m + b_1 f^{m - 1} + \ldots + b_m\) を、\(f\) の \(L\) 上の最小多項式とする。Algebra, Lemma 00H7 により \(b_i \in B\) である。 したがって \(b_0 \in B \cap \mathfrak p\) である。上で見たように \(\text{Norm}_{K/L}(f) = b_0^{d/m}\) だから、ノルムは \(\mathfrak p\) の像の点で 消えることが分かる。

補題

\(X\) を Noether スキームとする。\(p\) を \(p\mathcal{O}_X = 0\) を満たす素数とする。 このとき、ある \(e > 0\) に対して、次数 \(p^e\) の \(X_{red} \to X\) に対するノルムが 存在する。ここで \(X_{red}\) は \(X\) の被約化である。

証明

\(A\) を \(pA = 0\) を満たす Noether 環とする。\(I \subset A\) を冪零元のイデアルとする。 このとき \(I^n = 0\) となる \(n\) が存在する（Algebra, Lemma 00IM）。\(e\) を \(p^e \geq n\) となるように選ぶ。このとき \[A/I \longrightarrow A,\quad f \bmod I \longmapsto f^{p^e}\] は良定義である。これにより次数 \(p^e\) の \(\Spec(A/I) \to \Spec(A)\) に対するノルムを 得る。ここで \(X\) がアフィンスキーム \(\Spec(A_i)\) をいくつか貼り合わせて得られる ならば、ある \(e \gg 0\) に対してこれらの写像は貼り合わさり、 \(X_{red} \to X\) に対するノルム写像を与える。細部は省略する。

命題

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限全射とする。\(X\) が豊富な可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群をもつと仮定する。次のいずれかが成り立つとする。

1. \(\pi\) は有限局所自由である。

2. \(Y\) は整正規スキームである。

3. \(Y\) は Noether で、\(p\mathcal{O}_Y = 0\) かつ \(X = Y_{red}\) である。

このとき \(Y\) は豊富な可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群をもつ。

証明

場合 (1) は Lemmas 0BD2 と 0BD0 を組み合わせれば従う。場合 (3) は Lemmas 0BDZ と 0BD0 を組み合わせれば従う。場合 (2) では、まず \(X\) を、\(X\) の 既約成分で \(Y\) を支配するものに置き換える（これを \(X\) の被約閉部分スキームとみなす）。 その後 Lemma 0BD3 を適用できる。

補題

\(\pi : X \to Y\) をスキームの有限全射とする。\(X\) が準アフィンであると仮定する。 次のいずれかが成り立つとする。

1. \(\pi\) は有限局所自由である。

2. \(Y\) は整正規スキームである。

このとき \(Y\) は準アフィンである。

証明

場合 (1) は Lemmas 0BD2 と 0BD1 を組み合わせれば従う。場合 (2) では、まず \(X\) を、\(X\) の 既約成分で \(Y\) を支配するものに置き換える（これを \(X\) の被約閉部分スキームとみなす）。 その後 Lemma 0BD3 を適用できる。

相対有効 Cartier 因子

次の補題は、基底上平坦な有効 Cartier 因子が、実際に基底上の 「有効 Cartier 因子の族」であることを示す。たとえば、任意のファイバーへの制限は 有効 Cartier 因子である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(D \subset X\) を閉部分スキームとする。 次を仮定する。

1. \(D\) は有効 Cartier 因子である。

2. \(D \to S\) は平坦射である。

このとき、スキームの任意の射 \(g : S' \to S\) に対して、引き戻し \((g')^{-1}D\) は \(X' = S' \times_S X\) 上の有効 Cartier 因子である。ここで \(g' : X' \to X\) は射影である。

証明

Lemma 01WS を用いて、これを次のように代数へ 翻訳する。\(A \to B\) を環写像とし、\(h \in B\) とする。\(h\) が非零因子であり、 \(B/hB\) が \(A\) 上平坦であると仮定する。このとき \[0 \to B \xrightarrow{h} B \to B/hB \to 0\] は \(A\)-加群の短完全列であり、\(B/hB\) は \(A\) 上平坦である。Algebra, Lemma 00HL により、この列は任意の加群との \(A\) 上の テンソル積を取っても完全である。とくに、任意の \(A\)-代数 \(A'\) について完全である。

この補題が次の定義の動機である。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子とは、 有効 Cartier 因子 \(D \subset X\) であって、\(D \to S\) がスキームの平坦射となるものをいう。

これは標準的でない用語法かもしれないので注意する。とくに [EGA, IV, Section 21.15] では、\(X \to S\) が平坦かつ局所有限表示である場合に 限って相対因子の概念を論じている。本書の定義は少し一般的である。しかし多くの場合 （常にではない）、\(x \in D\) ならば \(X \to S\) は \(x\) において平坦であることが分かる。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(D_1, D_2 \subset X\) が \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子ならば、\(D_1 + D_2\) もそうである （Definition 01WT）。

証明

これは次の代数的事実に翻訳される。\(A \to B\) を環写像とし、 \(h_1, h_2 \in B\) とする。\(h_i\) が非零因子で、\(B/h_iB\) が \(A\) 上平坦であると仮定する。 このとき \(h_1h_2\) は非零因子で、\(B/h_1h_2B\) は \(A\) 上平坦である。その理由は、短完全列 \[0 \to B/h_1B \to B/h_1h_2B \to B/h_2B \to 0\] が存在し、最初の矢印が \(h_2\) による乗法で与えられるからである。外側の二項は \(A\) 上平坦なので、中央の項も平坦である。Algebra, Lemma 00HM を参照。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(D_1, D_2 \subset X\) が \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子で、閉部分スキームとして \(D_1 \subset D_2\) であるとする。このとき 有効 Cartier 因子 \(D\) で \(D_2 = D_1 + D\) を満たすもの （Lemma 02ON）は \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子である。

証明

これは次の代数的事実に翻訳される。\(A \to B\) を環写像とし、 \(h_1, h_2 \in B\) とする。\(h_i\) が非零因子で、\(B/h_iB\) が \(A\) 上平坦であり、 \((h_2) \subset (h_1)\) であると仮定する。このとき \(h_2 = h h_1\) と書ける。ここで \(h \in B\) は非零因子である。短完全列 \[0 \to B/hB \to B/h_2B \to B/h_1B \to 0\] を得る。最初の矢印は \(h_1\) による乗法で与えられる。右側の二項は \(A\) 上平坦なので、 中央の項も平坦である。Algebra, Lemma 00HM を参照。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(D \subset X\) を \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子とする。\(x \in D\) かつ \(\mathcal{O}_{X, x}\) が Noether 環ならば、\(f\) は \(x\) において平坦である。

証明

\(A = \mathcal{O}_{S, f(x)}\) および \(B = \mathcal{O}_{X, x}\) とおく。 \(h \in B\) を \(D\) のイデアルを生成する元とする。このとき \(h\) は \(B\) の非零因子で、 \(B/hB\) は平坦な局所 \(A\)-代数である。\(I \subset A\) を有限生成イデアルとする。 可換図式 \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & B \ar[r]_h & B \ar[r] & B/hB \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & B \otimes_A I \ar[r]^h \ar[u] & B \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & B/hB \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & 0 }\] を考える。\(B/hB\) は \(A\) 上平坦なので、下の列は短完全である。Algebra, Lemma 00HL を参照。\(B/hB\) は \(A\) 上平坦なので、右端の 垂直矢印は単射である。Algebra, Lemma 00HD を参照。 したがって、\(h\) による乗法は中央の垂直矢印の核 \(K\) 上で全射である。 中山の補題（Algebra, Lemma 00DV）により \(K= 0\) と分かる。 したがって \(B\) は \(A\) 上平坦である。Algebra, Lemma 00HD を参照。

次の補題は、平坦性の軌跡が開であることの代数版に依拠する。スキーム論的な版は More on Morphisms, Section 0398 にある。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(D \subset X\) を相対有効 Cartier 因子とする。 \(f\) が局所有限表示ならば、開部分スキーム \(U \subset X\) で、\(D \subset U\) かつ \(f|_U : U \to S\) が平坦となるものが存在する。

証明

\(x \in D\) を取る。開近傍 \(U \subset X\) で \(x\) を含み、\(f|_U\) が平坦となるものを見つければ 十分である。したがって、補題は \(X = \Spec(B)\) と \(S = \Spec(A)\) がアフィンで、 \(D\) が非零因子 \(h \in B\) により与えられる場合に帰着する。仮定により \(B\) は有限表示 \(A\)-代数で、\(B/hB\) は平坦な \(A\)-代数である。絶対 Noether 近似を用いる。

\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\) と書く。\(h\) が \(h' \in A[x_1, \ldots, x_n]\) の像であると仮定する。有限型 \(\mathbf{Z}\)-部分代数 \(A_0 \subset A\) を、多項式 \(h', g_1, \ldots, g_m\) のすべての係数が \(A_0\) に属するように選ぶ。このとき \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\) とおき、\(h_0\) を \(h'\) の \(B_0\) における像とおける。このとき \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\) かつ \(B/hB = B_0/h_0B_0 \otimes_{A_0} A\) である。Algebra, Lemma 02JO により、\(A_0\) を拡大した後、 \(B_0/h_0B_0\) が \(A_0\) 上平坦であると仮定してよい。 \(K_0 = \Ker(h_0 : B_0 \to B_0)\) とおく。\(B_0\) は \(\mathbf{Z}\) 上有限型なので、 \(K_0\) は有限生成イデアルである。\(A_1 \subset A\) を有限型 \(\mathbf{Z}\)-部分代数で \(A_0\) を含むものとし、対応する対象 \(B_1\)、\(h_1\)、\(K_1\) を \(A_1\) 上のものとする。 More on Algebra, Lemma 063Q により、写像 \(K_0 \otimes_{A_0} A_1 \to K_1\) は全射である。一方、仮定により \(h : B \to B\) の核は零である。したがって \(K_0\) の各元は \(K_1\) において零へ写る。 これは十分大きい部分環 \(A_1 \subset A\) に対して成り立つ。\(K_0\) は有限生成なので、 \(K_1 = 0\) となるように適当な \(A_1\) を選べる。

\(f_1 : X_1 \to S_1\) を、\(\Spec\) を環写像 \(A_1 \to B_1\) に適用して得られる射とおく。 \(D_1 = \Spec(B_1/h_1B_1)\) とおく。\(B = B_1 \otimes_{A_1} A\)、すなわち \(X = X_1 \times_{S_1} S\) なので、\(X_1 \to S_1\) と相対有効 Cartier 因子 \(D_1\) について補題を証明すれば十分である。Morphisms, Lemma 01U8 を参照。したがって \(A\) が Noether 環である場合に帰着した。この場合、環写像 \(A \to B\) は、素イデアル \(\mathfrak q\) が \(V(h)\) の点であれば、その点で平坦であることが Lemma 062U から分かる。 この場合に平坦性の軌跡が開であること（Algebra, Theorem 00RC）と組み合わせれば証明が終わる。

有限性の仮定をまったく必要としない次の補題もある（着想は Michael Artin によるもの らしい。[Nobile] を参照）。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とする。\(D \subset X\) を \(X/S\) 上の相対有効 Cartier 因子とする。\(f\) が \(X \setminus D\) のすべての点で平坦ならば、\(f\) は平坦である。

証明

これは次の代数的事実に翻訳される。\(A \to B\) を環写像とし、\(h \in B\) とする。 \(h\) が非零因子で、\(B/hB\) が \(A\) 上平坦であり、局所化 \(B_h\) が \(A\) 上平坦であると 仮定する。このとき \(B\) は \(A\) 上平坦である。その理由は短完全列 \[0 \to B \to B_h \to \colim_n (1/h^n)B/B \to 0\] があり、第二項と第三項が \(A\) 上平坦であるため、\(B\) も \(A\) 上平坦となるからである （Algebra, Lemma 00HM を参照）。平坦加群のフィルター余極限は 平坦であること（Algebra, Lemma 05UT）と、各 \(n\) に関する帰納法により、各 \((1/h^n)B/B \cong B/h^nB\) が \(A\) 上平坦であることに 注意する。後者は短完全列 \[0 \to B/h^{n - 1}B \xrightarrow{h} B/h^nB \to B/hB \to 0\] に入ることから従う。細部は省略する。

例

相対有効 Cartier 因子 \(D\) で、その近傍において周囲のスキームが平坦でない例を与える。 この \(D\) の具体例として、\(A = k[t]\) とし、 \[B = k[t, x, y, x^{-1}y, x^{-2}y, \ldots]/(ty, tx^{-1}y, tx^{-2}y, \ldots)\] とおく。このとき \(B\) は \(A\) 上平坦でないが、\(B/xB \cong A\) は \(A\) 上平坦である。 さらに \(x\) は非零因子なので、\(\Spec(B)\) の中で \(\Spec(A)\) 上の相対有効 Cartier 因子を定める。

周囲のスキームが基底上平坦かつ局所有限表示ならば、相対有効 Cartier 因子をその ファイバーにより特徴付けられる。この補題の少し異なる扱いについては More on Morphisms, Lemma 056Y も参照。

補題

\(\varphi : X \to S\) を平坦かつ局所有限表示な射とする。\(Z \subset X\) を閉部分スキーム とし、\(x \in Z\) の像を \(s \in S\) とする。

1. \(Z_s \subset X_s\) が \(x\) の近傍で Cartier 因子ならば、開集合 \(U \subset X\) と 相対有効 Cartier 因子 \(D \subset U\) で、\(Z \cap U \subset D\) かつ \(Z_s \cap U = D_s\) を満たすものが存在する。

2. \(Z_s \subset X_s\) が \(x\) の近傍で Cartier 因子で、射 \(Z \to X\) が有限表示、 \(Z \to S\) が \(x\) において平坦ならば、\(U\) と \(D\) を \(Z \cap U = D\) となるように選べる。

3. \(Z_s \subset X_s\) が \(x\) の近傍で Cartier 因子で、\(Z\) が \(X\) の局所単項 閉部分スキームとして \(x\) の近傍で与えられるならば、\(U\) と \(D\) を \(Z \cap U = D\) となるように選べる。

とくに、\(Z \to S\) が局所有限表示かつ平坦で、すべてのファイバー \(Z_s \subset X_s\) が有効 Cartier 因子ならば、\(Z\) は相対有効 Cartier 因子である。 同様に、\(Z\) が \(X\) の局所単項閉部分スキームで、すべてのファイバー \(Z_s \subset X_s\) が有効 Cartier 因子ならば、\(Z\) は相対有効 Cartier 因子である。

証明

\(\Spec(A)\) を \(s\) のアフィン開近傍、\(\Spec(B)\) を \(x\) のアフィン開近傍として、 \(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\) となるように選ぶ。素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に \(s\) が対応するとする。素イデアル \(\mathfrak q \subset B\) に \(x\) が対応するとし、イデアル \(I \subset B\) を \(Z\) に対応するものとする。 補題の最初の仮定により、\(A \to B\) は平坦かつ有限表示である。(1) の仮定は、 \(\Spec(B)\) を縮小した後、\(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) が \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) の非零因子である一つの元により生成されると仮定 できることを意味する。\(f \in I\) がこの生成元へ写るとする。ある元 \(g \in B\) で \(g \not \in \mathfrak q\) を満たすものを可逆にした後、閉部分スキーム \(D = V(f) \subset \Spec(B_g)\) が相対有効 Cartier 因子であると主張する。

Algebra, Lemma 02JO により、 Noether 環の平坦有限型環写像 \(A_0 \to B_0\)、元 \(f_0 \in B_0\)、環写像 \(A_0 \to A\)、および同型 \(A \otimes_{A_0} B_0 \cong B\) を見つけられる。 \(\mathfrak p_0 = A_0 \cap \mathfrak p\) ならば \[B \otimes_A \kappa(\mathfrak p) = \left(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\right) \otimes_{\kappa(\mathfrak p_0))} \kappa(\mathfrak p)\] である。したがって \(f_0\) は \(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\) の非零因子である。 Algebra, Lemma 00MF により、\(f_0\) は \((B_0)_{\mathfrak q_0}\) の非零因子である。ここで \(\mathfrak q_0 = B_0 \cap \mathfrak q\) であり、さらに \((B_0/f_0B_0)_{\mathfrak q_0}\) は \(A_0\) 上平坦である。したがって Algebra, Lemma 061L および Algebra, Theorem 00RC により、 \(g_0 \in B_0\) かつ \(g_0 \not \in \mathfrak q_0\) となるものが存在し、 \(f_0\) は \((B_0)_{g_0}\) の非零因子で、 \((B_0/f_0B_0)_{g_0}\) は \(A_0\) 上平坦となる。ゆえに \(D_0 = V(f_0) \subset \Spec((B_0)_{g_0})\) は相対有効 Cartier 因子である。 この性質は基底変換で保たれることが Lemma 056Q から分かるので、 上の主張を得る。このとき \(g\) は \(g_0\) の \(B\) における像とする。

ここまでで (1) を証明した。(2) を見るため閉埋入 \(Z \to D\) を考える。全射環写像 \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\) は、平坦な局所 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-代数の間の写像である。これらは本質的有限表示であり、 \(\mathfrak m_s\) で割った後に同型となる。したがってこの写像は同型である。Algebra, Lemma 046Y を参照。ゆえに \(Z \to D\) は \(x\) の近傍で同型である。Algebra, Lemma 00QR を参照。 (3) を見るため、必要なら \(U\) を縮小し、\(D\) のイデアルが一つの非零因子 \(f\) により 生成され、\(Z\) のイデアルが元 \(g\) により生成されると仮定してよい。このとき \(f = gh\) である。しかし \(g|_{U_s}\) と \(f|_{U_s}\) は \(x\) の近傍で同じ有効 Cartier 因子を切り出す。したがって \(h|_{X_s}\) は \(\mathcal{O}_{X_s, x}\) の単元であり、 \(h\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の単元であり、したがって \(h\) は \(x\) のある開近傍で 単元である。すなわち \(Z \cap U = D\) となるように \(U\) を縮小できる。

補題の最後の主張は、(2) と (3)、および \(Z \to S\) が局所有限表示であることと \(Z \to X\) が有限表示であることが同値であるという事実を組み合わせれば直ちに従う。 Morphisms, Lemmas 01TR および 02FV を参照。

埋め込みの法錐

\(i : Z \to X\) を閉埋め込みとし、\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を対応する 準連接イデアル層とする。次数付き \(\mathcal{O}_X\)-代数の準連接層 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) を考える。各層 \(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) は \(\mathcal{I}\) により零化されるので、この 次数付き代数は Morphisms, Lemma 01QY により、 次数付き \(\mathcal{O}_Z\)-代数の準連接層に対応する。この次数付き \(\mathcal{O}_Z\)-代数の準連接層を\(Z\) の \(X\) における余法代数と呼び、 Morphisms, Section 01QX で述べた 記法の濫用により、しばしば単に \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) と書く。

\(f : Z \to X\) を埋め込みとする。\(f\) の余法代数を、閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) の余法代数として定義する。ここで \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\) である。これはしばしば \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) と書かれる。ここで \(\mathcal{I}\) は閉埋め込み \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) のイデアル層である。

定義

\(f : Z \to X\) を埋め込みとする。余法代数 \(\mathcal{C}_{Z/X, *}\)（\(Z\) の \(X\) におけるもの）、または\(f\) の余法代数とは、 上で述べた次数付き \(\mathcal{O}_Z\)-代数の準連接層 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) をいう。

したがって \(\mathcal{C}_{Z/X, 1} = \mathcal{C}_{Z/X}\) は埋め込みの余法層である。 また \(\mathcal{C}_{Z/X, 0} = \mathcal{O}_Z\) であり、 \(\mathcal{C}_{Z/X, n}\) は次の性質で特徴付けられる準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-加群である。 [0631]\[\begin{equation} i_*\mathcal{C}_{Z/X, n} = \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \end{equation}\] ここで \(i : Z \to X \setminus \partial Z\) であり、\(\mathcal{I}\) は上と同じく \(i\) のイデアル層である。最後に、次数付き準連接 \(\mathcal{O}_Z\)-代数の標準全射 [0632]\[\begin{equation} \text{Sym}^*(\mathcal{C}_{Z/X}) \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *} \end{equation}\] が存在し、次数 \(0\) および \(1\) では同型であることに注意する。

補題

\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。\(i\) の余法代数は次の性質をもつ。

1. \(U \subset X\) を、\(i(Z)\) が \(U\) の閉部分集合となる任意の開集合とする。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) を、閉部分スキーム \(i(Z) \subset U\) に対応する イデアル層とする。このとき \[\mathcal{C}_{Z/X, *} = i^*\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\right) = i^{-1}\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \right)\]

2. 任意のアフィン開集合 \(\Spec(R) = U \subset X\) で \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) を満たすものに対して、標準同型 \(\Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *}) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) が存在する。

証明

大部分は定義から明らかである。環 \(R\) とイデアル \(I\) を与え、後者が \(R\) のイデアルならば、 \(I^n/I^{n + 1} = I^n \otimes_R R/I\) であることに注意する。細部は省略する。

補題

スキームの圏における可換図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を考える。\(i\) と \(i'\) は埋め込みであると仮定する。このとき次数付き \(\mathcal{O}_Z\)-代数の標準写像 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *}\] が存在し、次の性質で特徴付けられる。アフィン開集合の任意の組 \((\Spec(R) = U \subset X, \Spec(R') = U' \subset X')\) で \(g(U) \subset U'\) を満たし、かつ \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) および \(Z' \cap U' = \Spec(R'/I')\) となるものに対し、 誘導写像 \[\Gamma(Z' \cap U', \mathcal{C}_{Z'/X', *}) = \bigoplus\nolimits (I')^n/(I')^{n + 1} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1} = \Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *})\] は環写像 \(f^\sharp : R' \to R\) から誘導される写像である。この環写像は \(f^\sharp(I') \subset I\) を満たす。

証明

\(\partial Z' = \overline{Z'} \setminus Z'\) および \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\) とおく。これらはそれぞれ \(X'\) と \(X\) の 閉部分集合である。\(X'\) を \(X' \setminus \partial Z'\) で、\(X\) を \(X \setminus \big(g^{-1}(\partial Z') \cup \partial Z\big)\) で置き換えると、 \(i\) と \(i'\) は閉埋め込みであると仮定してよい。

\(g \circ i\) が \(i'\) を経由して分解することから、\(g^*\mathcal{I}'\) は \(\mathcal{I}\) の中へ写る。これは標準写像 \(g^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_X\) のもとでの 主張である。Schemes, Lemmas 01HP および 01HQ を参照。したがって準連接層の誘導写像 \(g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\) を得る。\(i\) で引き戻すと \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1})\) を得る。 \(i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}) = \mathcal{C}_{Z/X, n}\) であることに注意する。 一方、 \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*(i')^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*\mathcal{C}_{Z'/X', n}\) である。これが所望の写像を与える。

この写像が局所的に与えられた写像 \((I')^n/(I')^{n + 1} \to I^n/I^{n + 1}\) で記述されることの確認は、定義を展開 するだけであり、省略する。もう一つ注意しておくと、任意の \(x \in i(Z)\) に対して、 アフィン開近傍 \(U\) と \(U'\) で、\(f(U) \subset U'\) を満たし、 \(Z \cap U\) および \(U' \cap Z'\) が閉であり、かつ \(x \in U\) となるものが実際に 存在する。証明は省略する。したがって補題の条件は確かにこの写像を特徴付け （また、この条件を用いて写像を定義することもできた）。

補題

スキームの圏におけるファイバー積図式 \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] を考え、\(i\) と \(i'\) は埋め込みであるとする。このとき Lemma 0634 の標準写像 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \to \mathcal{C}_{Z/X, *}\) は全射である。 \(g\) が平坦ならば、これは同型である。

証明

\(R' \to R\) を環写像とし、\(I' \subset R'\) をイデアルとする。\(I = I'R\) とおく。 このとき \((I')^n/(I')^{n + 1} \otimes_{R'} R \to I^n/I^{n + 1}\) は全射である。 \(R' \to R\) が平坦ならば、\(I^n = (I')^n \otimes_{R'} R\) であり、この写像は同型である。

定義

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。法錐 \(C_ZX\)（\(Z\) の \(X\) におけるもの）とは \[C_ZX = \underline{\Spec}_Z(\mathcal{C}_{Z/X, *})\] をいう。Constructions, Definitions 062Q および 062R を参照。\(Z\) の \(X\) における 法束とは、ベクトル束 \[N_ZX = \underline{\Spec}_Z(\text{Sym}(\mathcal{C}_{Z/X}))\] をいう。Constructions, Definitions 01M2 および 062M を参照。

したがって \(C_ZX \to Z\) は \(Z\) 上の錐であり、\(N_ZX \to Z\) は \(Z\) 上のベクトル束 である（本書の用語法では、これは余法層が有限局所自由層であることを意味しない）。 さらに、次数付き代数の標準全射 (0632) は \(Z\) 上の錐の標準閉埋め込み [0637]\[\begin{equation} C_ZX \longrightarrow N_ZX \end{equation}\] を定める。

正則イデアル層

本節では、有効 Cartier 因子の概念をより高い余次元へ一般化する。列 \(f_1, \ldots, f_r\) が環 \(R\) の元からなるとする。これが正則列であるとは、 各 \(i = 1, \ldots, r\) に対して \(f_i\) が \(R/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\) 上の非零因子であり、かつ \(R/(f_1, \ldots, f_r) \not = 0\) となることだった。Algebra, Definition 00LF を参照。これに近い三つの弱い条件を課すことも できる。第一は、\(f_1, \ldots, f_r\) がKoszul 正則列、すなわち \(H_i(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\) が \(i > 0\) に対して成り立つと仮定することである。 More on Algebra, Definition 062E を参照。列が \(H_1\)-正則列であるとは、\(H_1(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\) となることをいう。 もう一つ課せる条件は、\(J = (f_1, \ldots, f_r)\) とおいたとき、写像 \[R/J[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} J^n/J^{n + 1}\] が同型となることである。この写像は \(T_i\) を \(f_i \bmod J^2\) へ送る。この場合、 \(f_1, \ldots, f_r\) を準正則列という。Algebra, Definition 061P を参照。\(R\)-加群 \(M\) を与えたときには、 \(M\)-正則列および \(M\)-準正則列という概念もある。

これは次のように環付き空間の場合へ一般化できる。\(X\) を環付き空間とし、 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) とする。\(f_1, \ldots, f_r\) が 正則列であるとは、各 \(i = 1, \ldots, r\) に対して写像 [0639]\[\begin{equation} f_i : \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \end{equation}\] が層の単射となることをいう。\(f_1, \ldots, f_r\) がKoszul 正則列であるとは、 Koszul 複体 [063A]\[\begin{equation} K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet), \end{equation}\] が次数 \(> 0\) で非輪状となることをいう。Modules, Definition 062L を参照。\(f_1, \ldots, f_r\) が \(H_1\)-正則列であるとは、Koszul 複体 \(K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet)\) が次数 \(1\) で完全となることをいう。最後に、 \(f_1, \ldots, f_r\) が準正則列であるとは、写像 [063B]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X/\mathcal{J}[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{J}^d/\mathcal{J}^{d + 1} \end{equation}\] が層の同型となることをいう。ここで \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) は \(f_1, \ldots, f_r\) により生成されるイデアル層である。（\(\mathcal{F}\)-正則列および \(\mathcal{F}\)-準正則列という概念もある。これは与えられた \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対するもので、必要になればここで導入する。）

補題

\(X\) を環付き空間とし、 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) とする。このとき次の含意が成り立つ。 \(f_1, \ldots, f_r\) が正則列 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) が Koszul 正則列 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) が \(H_1\)-正則列 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\) が準正則列。

証明

完全性は茎で確認できるので、列 \(f_1, \ldots, f_r\) が正則列であるための必要十分条件は、 写像 \[f_i : \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\] がすべての \(x \in X\) に対して単射となることである。他の種類の正則性も茎ごとに 確認できる（細部は省略する）。したがって含意は More on Algebra, Lemmas 062F, 0CEM, および 062I から従う。

定義

\(X\) を環付き空間とし、\(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) をイデアル層とする。

1. \(\mathcal{J}\) が正則であるとは、すべての \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) に対して、開近傍 \(x \in U \subset X\) と正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) が存在し、 \(\mathcal{J}|_U\) が \(f_1, \ldots, f_r\) により生成されることをいう。

2. \(\mathcal{J}\) がKoszul 正則であるとは、すべての \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) に対して、開近傍 \(x \in U \subset X\) と Koszul 正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) が存在し、 \(\mathcal{J}|_U\) が \(f_1, \ldots, f_r\) により生成されることをいう。

3. \(\mathcal{J}\) が\(H_1\)-正則であるとは、すべての \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) に対して、開近傍 \(x \in U \subset X\) と \(H_1\)-正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) が存在し、 \(\mathcal{J}|_U\) が \(f_1, \ldots, f_r\) により生成されることをいう。

4. \(\mathcal{J}\) が準正則であるとは、すべての \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) に対して、開近傍 \(x \in U \subset X\) と準正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) が存在し、 \(\mathcal{J}|_U\) が \(f_1, \ldots, f_r\) により生成されることをいう。

この概念の多くの性質は、環における正則列と準正則列についての対応する概念から 直ちに従う。

補題

\(X\) を環付き空間とし、\(\mathcal{J}\) をイデアル層とする。このとき次の含意が成り立つ。 \(\mathcal{J}\) が正則 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) が Koszul 正則 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) が \(H_1\)-正則 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\) が準正則。

証明

この補題は直ちに Lemma 063C に帰着する。

補題

\(X\) を局所環付き空間とし、\(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) をイデアル層とする。 このとき \(\mathcal{J}\) が準正則であるための必要十分条件は、次の条件が成り立つことである。

1. \(\mathcal{J}\) は有限型 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

2. \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) は有限局所自由 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\)-加群である。

3. 標準写像 \[\text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X/\mathcal{J}}(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \longrightarrow \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n + 1}\] はすべての \(n \geq 0\) に対して同型である。

証明

\(U \subset X\) を、\(\mathcal{J}|_U\) が準正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) により生成されるような開集合とすると、 \(\mathcal{J}|_U\) は有限型で、\(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) は \(f_1, \ldots, f_r\) を基底とする自由加群であり、(3) の写像は同型である。 これは、それらが (063B) の次数 \(n\) の部分を座標によらず 表したものだからである。したがって、準正則ならば条件 (1)、(2)、(3) が成り立つ。

逆に、(1)、(2)、(3) が成り立つと仮定する。点 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) を取る。このとき近傍 \(U \subset X\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) が階数 \(r\) の自由 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-加群となるものが存在する。 \(U\) を必要なら縮小し、基底へ写る元 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\) が存在すると仮定してよい。この基底とは、 \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\) を \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-加群とみなした ときの基底である。とくに、\(f_1, \ldots, f_r\) の \(\mathcal{J}_x/\mathcal{J}^2_x\) における像はこれを生成する。したがって中山の補題 （Algebra, Lemma 00DV）により、\(f_1, \ldots, f_r\) は茎 \(\mathcal{J}_x\) を生成する。\(\mathcal{J}\) は有限型なので、Modules, Lemma 01B8 により、\(U\) を縮小した後、 \(f_1, \ldots, f_r\) が \(\mathcal{J}\) を生成すると仮定してよい。最後に (3) と同型 \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U = \bigoplus \mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U f_i\) から、\(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) が準正則列であることは明らかである。

補題

\((X, \mathcal{O}_X)\) を局所環付き空間とし、 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) をイデアル層とする。\(x \in X\) とし、 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}_x\) の像が \(\kappa(x)\)-ベクトル空間 \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\) の基底を与えるとする。

1. \(\mathcal{J}\) が準正則ならば、開近傍が存在し、その上で \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) は \(\mathcal{J}|_U\) を生成する準正則列となる。

2. \(\mathcal{J}\) が \(H_1\)-正則ならば、開近傍が存在し、その上で \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) は \(H_1\)-正則列となり、 \(\mathcal{J}|_U\) を生成する。

3. \(\mathcal{J}\) が Koszul 正則ならば、開近傍が存在し、その上で \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) は \(\mathcal{J}|_U\) を生成する Koszul 正則列となる。

証明

まず \(\mathcal{J}\) が準正則であると仮定する。開近傍 \(U \subset X\) で \(x\) を含む ものと、準正則列 \(g_1, \ldots, g_s \in \mathcal{O}_X(U)\) で \(\mathcal{J}|_U\) を生成するものを選べる。これは \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\) が階数 \(s\) の自由 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-加群 であることを意味する（Lemma 063H とその証明を参照）。 したがって \(r = s\) である。\(U\) を縮小し、 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\) と仮定してよい。ゆえに \[f_i = \sum a_{ij} g_j\] と書ける。ここで \(a_{ij} \in \mathcal{O}_X(U)\) である。仮定により行列 \(A = (a_{ij})\) は \(\kappa(x)\) 上の可逆行列へ写る。したがって \(U\) をもう一度縮小し、 \((a_{ij})\) は可逆であると仮定してよい。ゆえに \(f_1, \ldots, f_r\) は \((\mathcal{J}/\mathcal{J}^2)|_U\) の基底を与え、このことから \(f_1, \ldots, f_r\) が \(U\) 上の準正則列であると分かる。

(2) と (3) の仮定は (1) の仮定より強いので、これらを証明する際には、すでに \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\) かつ \(f_i = \sum a_{ij}g_j\) であり、 上と同じく \((a_{ij})\) は可逆であると仮定してよい。ここで今度は \(g_1, \ldots, g_r\) が \(H_1\)-正則列または Koszul 正則列である。 \(f_1, \ldots, f_r\) 上の Koszul 複体は、\(g_1, \ldots, g_r\) 上の Koszul 複体と 行列 \((a_{ij})\) を介して同型である（More on Algebra, Lemma 0625 を参照）。したがって \(f_1, \ldots, f_r\) は所望のとおり \(H_1\)-正則または Koszul 正則である。

補題

スキーム上の正則、Koszul 正則、\(H_1\)-正則、または準正則なイデアル層は、いずれも 有限型準連接イデアル層である。

証明

このようなイデアル層は局所的に有限個の切断で生成されるので、主張は従う。 また、スキーム上で切断により局所的に生成される任意のイデアル層は準連接である。 Schemes, Lemma 01IN を参照。

補題

\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{J}\) をイデアル層とする。このとき \(\mathcal{J}\) が正則（それぞれ Koszul 正則、\(H_1\)-正則、準正則）であるための必要十分条件は、 すべての \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\) に対してアフィン開近傍 \(x \in U \subset X\)、\(U = \Spec(A)\) が存在し、\(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) かつ \(I\) が環内の正則列（それぞれ Koszul 正則列、\(H_1\)-正則列、準正則列） \(f_1, \ldots, f_r \in A\) により生成されることである。

証明

仮定により、開近傍 \(U\) で \(x\) を含み、その上で \(\mathcal{J}\) が正則列（それぞれ Koszul 正則列、\(H_1\)-正則列、準正則列） \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\) により生成されるものを見つけられる。 \(U\) を縮小し、\(U\) はアフィン、たとえば \(U = \Spec(A)\) であると仮定してよい。 Lemma 063F により \(\mathcal{J}\) は準連接なので、 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) である。ここで \(I \subset A\) はあるイデアルである。 ここで、完全性を保つ圏同値 \[\widetilde{\ } : \text{Mod}_A \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_U)\] を用いる。たとえば、函数 \(f_i\) が \(\mathcal{J}\) を生成することは、\(f_i\) を \(A\) の元とみたとき、それらが \(I\) を生成することを意味する。 (0639) が単射であること（それぞれ (063A) が完全、(063A) が次数 \(1\) で完全、 (063B) が同型であること）から、対応する写像 \(A/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \to A/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\) （それぞれ複体 \(K_\bullet(A, f_1, \ldots, f_r)\)、写像 \(A/I[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus I^n/I^{n + 1}\)）の対応する性質が従う。 したがって \(f_1, \ldots, f_r \in A\) は正則列（それぞれ Koszul 正則列、 \(H_1\)-正則列、準正則列）であり、これは環 \(A\) の列である。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとし、\(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) を準連接 イデアル層とする。\(x\) を取り、これは \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\) の台の点とする。 次は同値である。

1. \(\mathcal{J}_x\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の正則列により生成される。

2. \(\mathcal{J}_x\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の Koszul 正則列により生成される。

3. \(\mathcal{J}_x\) は \(H_1\)-正則列、すなわち \(\mathcal{O}_{X, x}\) の列により生成される。

4. \(\mathcal{J}_x\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の準正則列により生成される。

5. アフィン近傍 \(U = \Spec(A)\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) かつ \(I\) が \(A\) の正則列により生成されるものが存在する。

6. アフィン近傍 \(U = \Spec(A)\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) かつ \(I\) が \(A\) の Koszul 正則列により生成されるものが存在する。

7. アフィン近傍 \(U = \Spec(A)\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) かつ \(I\) が \(H_1\)-正則列、すなわち \(A\) の列により生成されるものが存在する。

8. アフィン近傍 \(U = \Spec(A)\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\) かつ \(I\) が \(A\) の準正則列により生成されるものが存在する。

9. 近傍 \(U\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U\) が正則となるものが存在する。

10. 近傍 \(U\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U\) が Koszul 正則となるものが存在する。

11. 近傍 \(U\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U\) が \(H_1\)-正則となるものが存在する。

12. 近傍 \(U\) で \(x\) を含み、\(\mathcal{J}|_U\) が準正則となるものが存在する。

とくに、局所 Noether スキーム上では、正則、Koszul 正則、\(H_1\)-正則、準正則の 各イデアル層の概念はすべて一致する。

証明

Lemma 063G から、 (5) \(\Leftrightarrow\) (9)、(6) \(\Leftrightarrow\) (10)、 (7) \(\Leftrightarrow\) (11)、(8) \(\Leftrightarrow\) (12) が従う。 (5) \(\Rightarrow\) (1)、(6) \(\Rightarrow\) (2)、 (7) \(\Rightarrow\) (3)、(8) \(\Rightarrow\) (4) は明らかである。 (1) \(\Rightarrow\) (5) は Algebra, Lemma 061L による。 (9) \(\Rightarrow\) (10) \(\Rightarrow\) (11) \(\Rightarrow\) (12) は Lemma 063E による。最後に、 (4) \(\Rightarrow\) (1) は Algebra, Lemma 061S による。以上で十二の主張はすべて同値である。

正則埋め込み

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。定義により、ある開部分スキーム \(U \subset X\) が存在して、\(Z\) は \(U\) の閉部分スキームと同一視される。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) を対応する準連接イデアル層とする。 \(U' \subset X\) をこの性質をもつ別の開部分スキームとし、 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{U'}\) を対応する準連接イデアル層と書く。このとき \(\mathcal{I}|_{U \cap U'} = \mathcal{I}'|_{U \cap U'}\) である。 さらに、\(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\) の台は \(Z\) であり、これは \(U \cap U'\) に含まれ、同時に \(\mathcal{O}_{U'}/\mathcal{I}'\) の台でもある。 したがって Definition 063D より、 \(\mathcal{I}\) が正則イデアルであることと \(\mathcal{I}'\) が正則イデアルであることは 同値である。Koszul 正則、\(H_1\)-正則、または準正則であることについても同様である。

定義

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。開部分スキーム \(U \subset X\) を選び、\(i\) が \(Z\) を \(U\) の閉部分スキームと同一視するものとし、 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\) を対応する準連接イデアル層と書く。

1. \(i\) を 正則埋め込みというのは、\(\mathcal{I}\) が正則であるときである。

2. \(i\) を Koszul 正則埋め込みというのは、 \(\mathcal{I}\) が Koszul 正則であるときである。

3. \(i\) を \(H_1\)-正則埋め込みというのは、 \(\mathcal{I}\) が \(H_1\)-正則であるときである。

4. \(i\) を 準正則埋め込みというのは、 \(\mathcal{I}\) が準正則であるときである。

上の議論により、これは \(U\) の選択によらない。これらの条件は強いものから順に 並べてあり、Lemma 063K を参照。 Koszul 正則閉埋め込みは平滑位相で局所的に正則埋め込みとなる。 Lemma 0692 を参照。 局所 Noether の場合には四つの概念はすべて一致する。 Lemma 063I を参照。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。このとき次の含意が成り立つ。 \(i\) が正則 \(\Rightarrow\) \(i\) が Koszul 正則 \(\Rightarrow\) \(i\) が \(H_1\)-正則 \(\Rightarrow\) \(i\) が準正則。

証明

主張は直ちに Lemma 063E に帰着する。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとし、\(X\) は局所 Noether であると仮定する。 このとき \(i\) が正則 \(\Leftrightarrow\) \(i\) が Koszul 正則 \(\Leftrightarrow\) \(i\) が \(H_1\)-正則 \(\Leftrightarrow\) \(i\) が準正則。

証明

Lemma 063K および Lemma 063I から直ちに従う。

補題

\(i : Z \to X\) を正則（それぞれ Koszul 正則、\(H_1\)-正則、準正則） 埋め込みとする。\(X' \to X\) を平坦射とする。このとき基底変換 \(i' : Z \times_X X' \to X'\) は正則（それぞれ Koszul 正則、 \(H_1\)-正則、準正則）埋め込みである。

証明

Lemma 063G を介すると、これは Algebra, Lemmas 00LM および 065L および More on Algebra, Lemma 062H の代数的主張に移される。

補題

\(i : Z \to X\) をスキームの埋め込みとする。このとき \(i\) が準正則埋め込みであるための 必要十分条件は、次の条件が成り立つことである。

1. \(i\) は局所有限表示である。

2. 余法層 \(\mathcal{C}_{Z/X}\) は有限局所自由である。

3. 写像 (0632) は同型である。

証明

開埋め込みは局所有限表示である。したがって、\(X\) を開部分スキーム \(U \subset X\) で置き換えてよい。ただし \(i\) は \(Z\) を \(U\) の閉部分スキームと 同一視するものとする。すなわち、\(i\) は閉埋め込みであると仮定してよい。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を対応する準連接イデアル層とする。 Morphisms, Lemma 01TV を参照して思い出すと、\(\mathcal{I}\) が有限型であることと \(i\) が局所有限表示であることは 同値である。したがって同値性は Lemma 063H と 定義を書き下すことから従う。

補題

\(Z \to Y \to X\) をスキームの埋め込みとする。\(Z \to Y\) は \(H_1\)-正則であると仮定する。このとき Morphisms, Lemma 062S の標準列 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] は完全であり、局所的に分裂する。

証明

\(\mathcal{C}_{Z/Y}\) は有限局所自由なので（Lemma 063M および Lemma 063E を参照）、列が完全であることを 示せば十分である。Morphisms, Lemma 062S で示されたことにより、 第一の写像が単射であることを示せば十分である。 アフィン局所で考えると、これは次の問題に帰着する。環 \(A\) とイデアル \(I \subset J \subset A\) が与えられ、\(J/I \subset A/I\) は \(H_1\)-正則列により生成されると仮定する。このとき \(I/I^2 \otimes_A A/J \to J/J^2\) は単射か。 \(I/I^2 \otimes_A A/J = I/IJ\) であることに注意せよ。したがって示そうとしているのは \(I \cap J^2 = IJ\) である。これは More on Algebra, Lemma 0666 の結果である。

準正則埋め込みの合成は準正則とは限らない。Algebra, Remark 065M を参照。 それ以外の種類の正則埋め込みは合成で保たれる。

補題

\(i : Z \to Y\) および \(j : Y \to X\) をスキームの埋め込みとする。

1. \(i\) と \(j\) が正則埋め込みならば、\(j \circ i\) もそうである。

2. \(i\) と \(j\) が Koszul 正則埋め込みならば、\(j \circ i\) もそうである。

3. \(i\) と \(j\) が \(H_1\)-正則埋め込みならば、\(j \circ i\) もそうである。

4. \(i\) が \(H_1\)-正則埋め込みで \(j\) が準正則埋め込みならば、 \(j \circ i\) は準正則埋め込みである。

証明

(1) の代数的な版は Algebra, Lemma 065K である。 (2) の代数的な版は More on Algebra, Lemma 0669 である。 (3) の代数的な版は More on Algebra, Lemma 0668 である。 (4) の代数的な版は More on Algebra, Lemma 0667 である。

補題

\(i : Z \to Y\) および \(j : Y \to X\) をスキームの埋め込みとする。 \(j\) は局所有限表示であり、Morphisms, Lemma 062S の列 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] は完全で局所的に分裂すると仮定する。

1. \(j \circ i\) が準正則埋め込みならば、\(i\) もそうである。

2. \(j \circ i\) が \(H_1\)-正則埋め込みならば、\(i\) もそうである。

3. \(j\) と \(j \circ i\) がともに Koszul 正則埋め込みならば、\(i\) もそうである。

証明

\(Y\) と \(X\) を縮小することにより、\(i\) と \(j\) は閉埋め込みであると仮定してよい。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(Y\) のイデアル層、 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\) を \(Z\) のイデアル層と書く。 余法列は \(0 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}\mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{J}/(\mathcal{I} + \mathcal{J}^2) \to 0\) である。 \(z \in Z\) とし、\(y = i(z)\)、\(x = j(y) = j(i(z))\) と置く。 \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{I}_x\) を選び、 \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_z\mathcal{I}_x\) の基底へ写るものとする。これを \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m \in \mathcal{J}_x\) へ拡張し、 \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_z\mathcal{J}_x\) の基底へ写るものとする。 これは可能である。実際、余法層の列は \(z\) の近傍で分裂すると仮定したので、 \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_x\mathcal{I}_x \to \mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\) は単射である。

(1) の証明。Lemma 067N により、アフィン開近傍 \(U\) を \(x\) について取り、そこで \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) が \(\mathcal{J}\) を生成する準正則列を なすようにできる。\(i\) は局所有限表示なので、さらに \(\mathcal{I}\) は \(f_1, \ldots, f_n\) により生成されると仮定してよい （Morphisms, Lemma 01TV、Nakayama の補題、および Modules, Lemma 01B8 を用いる）。 したがって Algebra, Lemma 061R により、 \(g_1, \ldots, g_m\) は \(Y \cap U\) 上で \(Z\) を切り出す準正則列を誘導する。

(2) の証明。More on Algebra, Lemma 068L を用いることを除けば (1) の証明とまったく同じである。

(3) の証明。Lemma 067N を（二度）適用すると、 アフィン開近傍 \(U\) を \(x\) について取り、そこで \(f_1, \ldots, f_n\) が \(\mathcal{I}\) を生成する Koszul 正則列をなし、かつ \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) が \(\mathcal{J}\) を生成する Koszul 正則列をなすようにできる。 したがって More on Algebra, Lemma 068M により、 \(g_1, \ldots, g_m\) は \(Y \cap U\) 上で \(Z\) を切り出す Koszul 正則列を誘導する。

補題

\(i : Z \to Y\) および \(j : Y \to X\) をスキームの埋め込みとする。 \(z \in Z\) を取り、対応する点を \(y \in Y\)、\(x \in X\) と書く。 \(X\) は局所 Noether であると仮定する。次は同値である。

1. \(i\) は \(z\) の近傍で正則埋め込みであり、\(j\) は \(y\) の近傍で正則埋め込みである。

2. \(i\) と \(j \circ i\) は \(z\) の近傍で正則埋め込みである。

3. \(j \circ i\) は \(z\) の近傍で正則埋め込みであり、余法列 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] は \(z\) の近傍で分裂完全である。

証明

\(X\)（したがって \(Y\)）は局所 Noether なので、四種類の正則埋め込みはすべて一致する。 さらに、ある射が正則埋め込みであるかどうかは局所環のレベルで判定できる。 Lemma 063I を参照。 (1) \(\Rightarrow\) (2) は Lemma 067Q である。 (2) \(\Rightarrow\) (3) は Lemma 063N である。 したがって (3) が (1) を含意することを示せば十分である。

(3) を仮定する。\(A = \mathcal{O}_{X, x}\) と置く。 \(I \subset A\) を全射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\) の核と書き、 \(J \subset A\) を全射 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) の核と書く。 \(J\) を \(A\) において生成する任意の極小生成列は準正則列、 したがって正則列であることに注意せよ。Lemma 067N を参照。仮定により、余法列 \[0 \to I/IJ \to J/J^2 \to J/(I + J^2) \to 0\] は \(A/J\)-加群の列として分裂完全である。したがって、極小生成系 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) を \(J\) について選べて、 \(f_1, \ldots, f_n \in I\) が \(I\) の極小生成系であるものを選べる。 上で指摘したように、\(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\) は \(A\) の正則列である。正則列の定義から直接、 \(f_1, \ldots, f_n\) は \(A\) の正則列であり、 \(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\) は \(A/I\) の正則列である。 したがって \(j\) は \(y\) における正則埋め込みであり、\(i\) は \(z\) における正則埋め込みである。

注意

Lemma 0690 の状況で、 (1)、(2)、(3) は「\(j \circ i\) と \(j\) がそれぞれ \(z\) と \(y\) における正則埋め込みである」 こととは 同値ではない。例として \(X = \mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\)、 \(Y = \Spec(k[x]/(x^2))\)、\(Z = \Spec(k[x]/(x))\) がある。

補題

\(i : Z \to X\) を Koszul 正則閉埋め込みとする。このとき、 全射平滑射 \(X' \to X\) が存在し、そのもとでの基底変換 \(i' : Z \times_X X' \to X'\)（\(i\) の基底変換）は正則埋め込みとなる。

証明

\(X\) はアフィンであり、\(Z\) のイデアルは Koszul 正則列により生成されると仮定してよい。 これは \(X\) を適当なアフィン開被覆の各要素で置き換えることによる （Lemma 063G にあるようなアフィン開集合）。 アフィンの場合は More on Algebra, Lemma 068Q である。

補題

\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。\(Z\) と \(X\) が正則スキームならば、 \(i\) は正則埋め込みである。

証明

\(z \in Z\) とする。Lemma 063I により、 \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\) の核が正則列により生成されることを 示せば十分である。これは Algebra, Lemmas 00NR および 00NQ から従う。

相対正則埋め込み

この節では正則埋め込みの基底変換に関する性質を考える。次の補題は正則埋め込み、 あるいは Koszul 埋め込みについては成り立たない。Examples, Lemma 0641 を参照。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(i : Z \subset X\) を埋め込みとする。 次を仮定する。

1. \(i\) は \(H_1\)-正則（それぞれ準正則）埋め込みである。

2. \(Z \to S\) は平坦射である。

このとき、任意のスキームの射 \(g : S' \to S\) に対し、基底変換 \(Z' = S' \times_S Z \to X' = S' \times_S X\) は \(H_1\)-正則（それぞれ準正則）埋め込みである。

証明

定義を書き下し Lemma 063G を用いると、 これは More on Algebra, Lemma 0CEP の主張に移される。

この補題が次の定義の動機である。

定義

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(i : Z \to X\) を埋め込みとする。

1. \(i\) を 相対準正則埋め込みというのは、\(Z \to S\) が平坦であり、 \(i\) が準正則埋め込みであるときである。

2. \(i\) を 相対 \(H_1\)-正則埋め込みというのは、\(Z \to S\) が平坦であり、 \(i\) が \(H_1\)-正則埋め込みであるときである。

これは標準的でない用語法かもしれないことを注意しておく。 Lemma 063R により、相対準正則（それぞれ \(H_1\)-正則）埋め込みは任意の基底変換で保たれる。相対 \(H_1\)-正則埋め込みは 相対準正則埋め込みである。Lemma 063K を参照。 Lemma 063V（または Lemma 063U）も参照されたい。 そこでは、\(Z \to X\) が相対 \(H_1\)-正則（または準正則）埋め込みであり、 周囲のスキームが \(S\) 上（平坦かつ）局所有限表示ならば、\(Z \to X\) は実際に 正則埋め込みであり、任意の基底変換後にも同じことが成り立つと示されている。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの射とし、\(Z \to X\) を相対準正則埋め込みとする。 \(x \in Z\) かつ \(\mathcal{O}_{X, x}\) が Noether ならば、\(f\) は \(x\) で平坦である。

証明

\(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X, x}\) を、\(Z\) の \(x\) におけるイデアルを 切り出す準正則列とする。Algebra, Lemma 061S により、 \(f_1, \ldots, f_r\) は正則列である。したがって \(f_r\) は \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) 上の非零因子であり、 その商は平坦な \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-加群である。 Lemma 062U により、 \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) は平坦な \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-加群である。帰納的に続ければ、 \(\mathcal{O}_{X, x}\) は平坦な \(\mathcal{O}_{S, s}\)-加群であることが分かる。

補題

\(X \to S\) をスキームの射とし、\(Z \to X\) を埋め込みとする。次を仮定する。

1. \(X \to S\) は平坦かつ局所有限表示である。

2. \(Z \to X\) は相対準正則埋め込みである。

このとき \(Z \to X\) は正則埋め込みであり、任意の基底変換後にも 同じことが成り立つ。

証明

\(x \in Z\) を取り、その像を \(s \in S\) とする。これを証明するには、 \(x\) の \(U\) に含まれるアフィン近傍で、結果がそのアフィン開集合上で 成り立つものを見つければ十分である。したがって \(X\) はアフィンであり、 ある準正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) が存在して \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\) であると仮定してよい。More on Algebra, Lemma 0CEP により、列 \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\) は \(\Gamma(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) の準正則列である。 \(X_s\) は Noether なので、必要なら \(X\) を少し縮小することにより、 \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\) は正則列となる。Algebra, Lemmas 061S および 061L を参照。 Lemma 062Y により、 \(Z_1 = V(f_1) \subset X\) は相対有効 Cartier 因子となる。ここでも必要なら \(X\) を少し縮小する。同じ補題を今度は \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\) に適用すると、\(Z_2 \subset Z_1\) は 相対有効 Cartier 因子であることが分かる。このようにして \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\) に至る。相対有効 Cartier 因子であることは 任意の基底変換で保たれるので（Lemma 056Q を参照）、 補題の最後の主張も従う。

注意

相対準正則埋め込みの余次元は、それが一定ならば、基底変換後にも変わらない。 実際、環準同型 \(A \to B\) と準正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in B\) があり、\(B/(f_1, \ldots, f_r)\) は \(A\) 上平坦であるとする。このとき任意の環準同型 \(A \to A'\) に対し、 More on Algebra, Lemma 0CEP により \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) は \(B' = B \otimes_A A'\) の準正則列である（これは上の Lemma 063R の証明で用いた）。 ここで Lemma 063U の証明から、 \(A \to B\) が平坦かつ局所有限表示ならば、任意の素イデアル \(\mathfrak q' \subset B'\) に対し、列 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\) は局所環 \(B'_{\mathfrak q'}\) において正則列でさえあることが分かる。

補題

\(X \to S\) をスキームの射とし、\(Z \to X\) を相対 \(H_1\)-正則埋め込みとする。 \(X \to S\) は局所有限表示であると仮定する。このとき次が成り立つ。

1. ある開部分スキーム \(U \subset X\) が存在して、\(Z \subset U\) かつ \(U \to S\) は平坦である。

2. \(Z \to X\) は正則埋め込みであり、任意の基底変換後にも 同じことが成り立つ。

証明

\(x \in Z\) を取る。(1) を証明するには、開近傍 \(U \subset X\) を \(x\) について取り、 \(U \to S\) が平坦となるものを見つければ十分である。したがって補題は、 \(X = \Spec(B)\) と \(S = \Spec(A)\) がアフィンであり、\(Z\) が \(H_1\)-正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in B\) により定められる場合に帰着する。 仮定により \(B\) は有限表示 \(A\)-代数であり、 \(B/(f_1, \ldots, f_r)B\) は平坦な \(A\)-代数である。 絶対 Noether 近似を用いる。

\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\) と書く。 \(f_i\) は \(f_i' \in A[x_1, \ldots, x_n]\) の像であるとする。 有限型 \(\mathbf{Z}\)-部分代数 \(A_0 \subset A\) で、すべての多項式 \(f_1', \ldots, f_r', g_1, \ldots, g_m\) の係数が \(A_0\) に入るものを選ぶ。 \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\) と置き、 \(f_{i, 0}\) を \(f_i'\) の \(B_0\) における像と書く。このとき \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\) であり、 \[B/(f_1, \ldots, f_r) = B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}) \otimes_{A_0} A.\] Algebra, Lemma 02JO により、\(A_0\) を拡大した後、 \(B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})\) は \(A_0\) 上平坦であると仮定してよい。 この時点では Koszul コホモロジー群 \(H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\) が零とは限らない。 一方、\(B_0\) は Noether なので、これは有限生成 \(B_0\)-加群である。生成元を \(\xi_1, \ldots, \xi_n \in H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\) とする。\(A_0 \subset A_1 \subset A\) をより大きい有限型 \(\mathbf{Z}\)-部分代数で、\(A\) の部分代数であるものとする。\(f_{1, i}\) を \(f_{0, i}\) の \(B_1 = B_0 \otimes_{A_0} A_1\) における像と書く。 More on Algebra, Lemma 063Q により、写像 \[H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})) \otimes_{A_0} A_1 \longrightarrow H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\] は全射である。さらに、上のような \(A_1\) のすべての選択にわたる複体 \(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})\) の余極限は、複体 \(K_\bullet(B, f_1, \ldots, f_r)\) であり、これは次数 \(1\) で非輪状であることは 明らかである。したがって \[\colim_{A_0 \subset A_1 \subset A} H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})) = 0\] である。Algebra, Lemma 00DB を参照。 よって、\(A_1\) を、\(\xi_1, \ldots, \xi_n\) がすべて \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\) の零へ写るように選べる。 言い換えると、Koszul コホモロジー群 \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\) は零である。

アフィンスキームの射 \(X_1 \to S_1\) を考える。これは \(\Spec\) を環準同型 \(A_1 \to B_1\) に適用して得られる。さらに \(Z_1 = \Spec(B_1/(f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\) を考える。 \(B = B_1 \otimes_{A_1} A\)、すなわち \(X = X_1 \times_{S_1} S\) であり、同様に \(Z = Z_1 \times_S S_1\) であるから、今や (1) を \(X_1 \to S_1\) および相対 \(H_1\)-正則埋め込み \(Z_1 \to X_1\) について証明すれば十分である。Morphisms, Lemma 01U8 を参照。 したがって、\(X \to S\) が Noether スキーム間の有限型射である場合に帰着した。 この場合 Lemma 063T により、 \(X \to S\) は \(Z\) のすべての点で平坦である。さらにこの場合、平坦性の軌跡が 開であること（Algebra, Theorem 00RC を参照）と合わせると、(1) が従う。 (2) は Lemma 063U を適用して従う。

周囲のスキームが基底上平坦かつ局所有限表示ならば、相対準正則埋め込みを そのファイバーによって特徴づけられる。

補題

\(\varphi : X \to S\) を平坦かつ局所有限表示な射とし、 \(T \subset X\) を閉部分スキームとする。\(x \in T\) とし、その像を \(s \in S\) とする。

1. \(T_s \subset X_s\) が \(x\) の近傍で準正則埋め込みならば、開集合 \(U \subset X\) と相対準正則埋め込み \(Z \subset U\) が存在して、 \(Z_s = T_s \cap U_s\) かつ \(T \cap U \subset Z\) となる。

2. \(T_s \subset X_s\) が \(x\) の近傍で準正則埋め込みであり、射 \(T \to X\) が有限表示、\(T \to S\) が \(x\) で平坦ならば、(1) の \(U\) と \(Z\) を \(T \cap U = Z\) となるように選べる。

3. \(T_s \subset X_s\) が \(x\) の近傍で準正則埋め込みであり、\(T\) が \(c\) 個の方程式により \(x\) の近傍で切り出され、ここで \(c = \dim_x(X_s) - \dim_x(T_s)\) ならば、(1) の \(U\) と \(Z\) を \(T \cap U = Z\) となるように選べる。

いずれの場合も \(Z \to U\) は Lemma 063U により正則埋め込みである。 とくに、\(T \to S\) が局所有限表示かつ平坦で、すべてのファイバー \(T_s \subset X_s\) が準正則埋め込みならば、\(T \to X\) は相対準正則埋め込みである。

証明

アフィン開近傍 \(\Spec(A)\) を \(s\) について、またアフィン開近傍 \(\Spec(B)\) を \(x\) について、\(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\) となるように選ぶ。 素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) を \(s\) に対応するものとし、素イデアル \(\mathfrak q \subset B\) を \(x\) に対応するものとする。イデアル \(I \subset B\) を \(T\) に対応するものとする。補題の最初の仮定により、 \(A \to B\) は平坦かつ有限表示である。 (1) の仮定は、\(\Spec(B)\) を縮小した後、 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) が元の準正則列により生成されると 仮定できることを意味する。必要なら \(B\) をある \(g \in B\)、 \(g \not \in \mathfrak q\) で局所化した後、ある \(f_1, \ldots, f_r \in I\) が存在して、それらが \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) の準正則列に写り、 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\) を生成すると仮定してよい。 Algebra, Lemmas 061S および 061L により、 さらに局所化した後、\(f_1, \ldots, f_r \in I\) は \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) の正則列をなすと仮定してよい。 Lemma 062Y により、 \(Z_1 = V(f_1) \subset \Spec(B)\) は相対有効 Cartier 因子となる。ここでも必要なら \(B\) を局所化する。 同じ補題を今度は \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\) に適用すると、 \(Z_2 \subset Z_1\) は相対有効 Cartier 因子であることが分かる。 このようにして \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\) に至る。このとき \(Z \to \Spec(B)\) は正則埋め込みで、\(Z\) は \(S\) 上平坦である。 とくに \(Z \to \Spec(B)\) は \(\Spec(A)\) 上の相対準正則埋め込みである。 これで (1) が示された。

(2) を示すため、閉埋め込み \(Z \to D\) を考える。全射環準同型 \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\) は、 本質的有限表示な平坦局所 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-代数の間の写像であり、 \(\mathfrak m_s\) で割ると同型となる。したがってこれは同型である。 Algebra, Lemma 046Y を参照。 ゆえに \(Z \to D\) は \(x\) の近傍で同型である。Algebra, Lemma 00QR を参照。

(3) を示すため、必要なら \(U\) を縮小し、\(Z\) のイデアルは正則列 \(f_1, \ldots, f_r\) により生成され（上の \(Z\) の構成を参照）、\(T\) のイデアルは \(g_1, \ldots, g_c\) により生成されると仮定してよい。\(c = r\) であると主張する。 実際、 \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(T_s) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + r \end{align*}\] である。最初の二つの等式は Algebra, Lemma 00P1 により、 第二の等式は Algebra, Lemma 00KW を \(r\) 回適用することによる。\(T \subset Z\) なので \(f_i = \sum b_{ij} g_j\) と書ける。しかし \(Z\) と \(T\) のイデアルは、 \(X_s\) の、\(x\) の近傍における同じ準正則閉部分スキームを切り出す。 したがって行列 \((b_{ij}) \bmod \mathfrak m_x\) は可逆である （いくつかの細部は省略する）。ゆえに \((b_{ij})\) は \(x\) の開近傍で可逆である。 言い換えると、\(T \cap U = Z\) となり、これは \(U\) を縮小した後に成り立つ。

補題の最後の主張は、(2) と、\(Z \to S\) が局所有限表示であることと \(Z \to X\) が有限表示であることの同値性を合わせれば直ちに従う。 Morphisms, Lemmas 01TR および 02FV を参照。

次の補題は Morphisms, Lemma 05D9 の強化である。

補題

\(f : X \to S\) をスキームの平滑射とし、\(\sigma : S \to X\) を \(f\) の切断とする。このとき \(\sigma\) は正則埋め込みである。

証明

Schemes, Lemma 01KS により、射 \(\sigma\) は埋め込みである。\(X\) を \(\sigma(S)\) の開近傍で置き換え、 \(\sigma\) は閉埋め込みであると仮定してよい。\(T = \sigma(S)\) を対応する \(X\) の閉部分スキームとする。\(T \to S\) は同型なので平坦かつ有限表示である。 また平滑射は平坦かつ局所有限表示である。Morphisms, Lemmas 01VF および 01VE を参照。 したがって Lemma 063W により、 \(T_s \subset X_s\) が準正則閉部分スキームであることを示せば十分である。 これは Morphisms, Lemma 05D9 から直ちに従うが、 次のように直接見ることもできる。\(k\) を体、\(A\) を平滑 \(k\)-代数とする。 \(\mathfrak m \subset A\) を、剰余体が \(k\) である極大イデアルとする。 このとき \(\mathfrak m\) は準正則列により生成される。必要なら \(A\) を \(A_g\) で置き換える。ここで \(g \in A\)、\(g \not \in \mathfrak m\) である。 Algebra, Lemma 00TT で \(A_{\mathfrak m}\) が正則局所環であることを示したので、 \(\mathfrak mA_{\mathfrak m}\) は正則列により生成される。これは実際、 \(\mathfrak m\) が正則列により生成されることを含意する （\(A\) を \(A_g\) で置き換えた後。ここで \(g \in A\)、 \(g \not \in \mathfrak m\) である）。Algebra, Lemma 061L を参照。

次の補題にはある種の逆がある。Lemma 0693 を参照。

補題

次の可換図式 \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] をスキームの射の図式とする。\(X \to S\) は平滑で、\(i\)、\(j\) は埋め込みと仮定する。 \(j\) が正則（それぞれ Koszul 正則、\(H_1\)-正則、準正則）埋め込みならば、 \(i\) もそうである。

証明

\(i\) を合成 \[Y \to Y \times_S X \to X\] と書ける。Lemma 067R により、 第一の矢印は正則埋め込みである。第二の矢印は \(Y \to S\) の平坦基底変換なので、 正則（それぞれ Koszul 正則、\(H_1\)-正則、準正則）埋め込みである。Lemma 067P を参照。 Lemma 067Q を適用して結論を得る。

補題

次の可換図式 \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] をスキームの射の図式とする。\(Y \to S\) は syntomic、\(X \to S\) は平滑で、 \(i\) は埋め込みであると仮定する。このとき \(i\) は正則埋め込みである。

証明

\(X\) を \(i(Y)\) の開近傍で置き換え、\(i\) は閉埋め込みであると仮定してよい。 \(T = i(Y)\) を対応する \(X\) の閉部分スキームとする。\(T \cong Y\) なので、 射 \(T \to S\) は平坦かつ有限表示である（Morphisms, Lemmas 01UK および 01UL）。 また平滑射は平坦かつ局所有限表示である（Morphisms, Lemmas 01VF および 01VE）。 したがって Lemma 063W により、 \(T_s \subset X_s\) が準正則閉部分スキームであることを示せば十分である。 \(X_s\) は体上局所有限型なので Noether である（Morphisms, Lemma 01T6）。したがって \(T_s \subset X_s\) が準正則埋め込みであることは点ごとに判定できる。 Lemma 063I を参照。 \(t \in T_s\) を取る。Morphisms, Lemma 01UG により、局所環 \(\mathcal{O}_{T_s, t}\) は \(\kappa(s)\) 上の局所完全交叉である。 局所環 \(\mathcal{O}_{X_s, t}\) は正則である。Algebra, Lemma 00TT を参照。 Algebra, Lemma 00SF により、全射の核 \(\mathcal{O}_{X_s, t} \to \mathcal{O}_{T_s, t}\) は正則列により生成される。 これが示すべきことであった。

補題

次の可換図式 \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] をスキームの射の図式とする。\(Y \to S\) は平滑、\(X \to S\) は平滑で、 \(i\) は埋め込みであると仮定する。このとき \(i\) は正則埋め込みである。

証明

これは Lemma 067T の特別な場合である。 実際、平滑射は syntomic である。Morphisms, Lemma 01VD を参照。

補題

次の可換図式 \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] をスキームの射の図式とする。\(X \to S\) は平滑で、\(i\) と \(j\) は埋め込みと仮定する。 \(i\) が Koszul 正則（それぞれ \(H_1\)-正則、準正則）埋め込みならば、 \(j\) もそうである。

証明

以下では Lemma 063K を 断りなく用いる。任意の点 \(y \in Y\) を取る。\(x = i(y)\)、\(s = j(y)\) と置く。 \(X\) と \(S\) をそれぞれ開近傍 \(U\) と \(V\) で置き換える。これらは \(x\) と \(s\) の近傍である。また \(Y\) を \(y\) の、 \(i^{-1}(U) \cap j^{-1}(V)\) における開近傍で置き換えた後に 結果を証明すれば十分である。

まず \(X = \mathbf{A}^n_S\) の場合に結果を証明する。\(S\) をアフィン開集合 \(V\) で置き換え、\(Y\) を \(j^{-1}(V)\) で置き換えることにより、 \(j\) は閉埋め込みで \(S\) はアフィンであると仮定してよい。 \(S = \Spec(A)\) と書く。このとき \(j : Y \to S\) は \(Y\) を閉部分スキーム \(\Spec(A/I)\) と同一視する。ここで \(I \subset A\) はあるイデアルである。 写像 \(i : Y = \Spec(A/I) \to \mathbf{A}^n_S = \Spec(A[x_1, \ldots, x_n])\) は \(A\)-代数準同型 \(i^\sharp : A[x_1, \ldots, x_n] \to A/I\) に対応する。\(a_i \in A\) を選び、\(i^\sharp(x_i)\) の \(A/I\) における像になるものとする。 閉埋め込み \(i\) のイデアルは \[J = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) + IA[x_1, \ldots, x_n].\] であることに注意せよ。\(K = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)\) と置く。 列 \[0 \to K/KJ \to J/J^2 \to J/(K + J^2) \to 0\] は分裂完全であると主張する。これを見るため、\(K/K^2\) は基底 \(x_i - a_i\) をもち、環 \(A[x_1, \ldots, x_n]/K \cong A\) 上の自由加群であることに 注意する。したがって \(K/KJ\) は \(A[x_1, \ldots, x_n]/J \cong A/I\) 上、同じ基底をもつ自由加群である。 一方、微分を取ると写像 \[\text{d}_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} : J/J^2 \longrightarrow \Omega_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} \otimes_{A[x_1, \ldots, x_n]} A[x_1, \ldots, x_n]/J\] を得る。これは生成元 \(x_i - a_i\) を右辺の自由加群の基底元 \(\text{d}x_i\) へ写すので、主張が従う。さらに、 \(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n\) は \(A[x_1, \ldots, x_n]\) の正則列であり、その商環は \(A[x_1, \ldots, x_n]/(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \cong A\) である。 したがって閉埋め込み \(i\) は次のように分解される。 \[Y \to V(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \to \mathbf{A}^n_S\] ここで合成は Koszul 正則（それぞれ \(H_1\)-正則、準正則）、第二の矢印は 正則埋め込みで、付随する余法列は分裂する。よって Lemma 068Z から結果が従う。

次に、\(i\) が \(H_1\)-正則ならば結果が成り立つことを証明する。 すなわち、証明の第一段落のように縮小して、\(Y\)、\(X\)、\(S\) はアフィンであると 仮定してよい。この場合、閉埋め込み \(h : X \to \mathbf{A}^n_S\) を \(S\) 上で、ある \(n\) に対して選べる。Lemma 067U により、 \(h\) は正則埋め込みである。したがって \(h \circ i\) は \(H_1\)-正則埋め込みである。Lemma 067Q を参照 （この手順は「準正則の場合」には使えない）。 ゆえに、上で証明した \(X = \mathbf{A}^n_S\) かつ \(S\) がアフィンの場合に帰着する。

最後に \(i\) は準正則であると仮定する。証明の第一段落のように縮小した後、 Morphisms, Lemma 054L により、\(f\) を \(X \to \mathbf{A}^n_S \to S\) と分解でき、第一の射 \(X \to \mathbf{A}^n_S\) は étale である。これにより問題は (a) \(X = \mathbf{A}^n_S\) の場合と (b) \(f\) が étale の場合に帰着する。 (a) は証明の第二段落で扱った。(b) は次の段落で扱う。

\(f\) は étale であると仮定する。縮小した後、\(X\)、\(Y\)、\(S\) はアフィンで、 \(i\) と \(j\) は閉埋め込みであると仮定してよい（細部を一つ省略する）。 \(S = \Spec(A)\)、\(X = \Spec(B)\)、 \(Y = \Spec(B/J) = \Spec(A/I)\) とする。さらに縮小して、\(J\) は準正則列により 生成されると仮定してよい。環準同型 \(A \to B\) は étale、したがって 形式的 étale である（Algebra, Lemma 00UR）。ゆえに Algebra, Lemma 0H1D により \(\bigoplus I^n/I^{n + 1} \cong \bigoplus J^n/J^{n + 1}\) である。 \(J\) は準正則列により生成されるので、\(I\) もそうである。これで証明は終わる。

有理型関数と有理型切断

この節では一般的な定義といくつかの初等的な結果だけを扱う。起こりうる落とし穴については [misconceptions] を参照⁴。

\((X, \mathcal{O}_X)\) を局所環付き空間とする。任意の開集合 \(U \subset X\) に対し、 集合 \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\)、すなわち \(\mathcal{O}_X\) の \(U\) 上の正則切断全体を定義した。Definition 01WY を参照。正則切断をより小さい開集合へ制限しても 正則である。したがって \(\mathcal{S} : U \mapsto \mathcal{S}(U)\) は \(\mathcal{O}_X\) の（集合の）部分層である。\(\mathcal{S} = \mathcal{S}_X\) と書いて \(X\) への依存を明示することもある。さらに、\(\mathcal{S}(U)\) は環 \(\mathcal{O}_X(U)\) の乗法的部分集合であり、これは各 \(U\) について成り立つ。 したがって環の前層 \[U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1} \mathcal{O}_X(U),\] を考えられる。Modules, Lemma 01D0 を参照。

定義

\((X, \mathcal{O}_X)\) を局所環付き空間とする。\(X\) 上の有理型関数の層とは、 上に表示した前層に付随する層 \(\mathcal{K}_X\) のことである。 \(X\) 上の 有理型関数とは \(\mathcal{K}_X\) の大域切断である。

各 \(\mathcal{S}(U)\) の各元は \(\mathcal{O}_X(U)\) 上の非零因子なので、 環の層の自然な写像 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X\) は単射である。

例

\(A = \mathbf{C}[x, \{y_\alpha\}_{\alpha \in \mathbf{C}}]/ ((x - \alpha)y_\alpha, y_\alpha y_\beta)\) とする。\(A\) の任意の元は一意的に \(f(x) + \sum \lambda_\alpha y_\alpha\) と書ける。ここで \(f(x) \in \mathbf{C}[x]\) かつ \(\lambda_\alpha \in \mathbf{C}\) である。 \(X = \Spec(A)\) とする。この場合 \(\mathcal{O}_X = \mathcal{K}_X\) である。 実際、任意のアフィン開集合 \(D(f)\) 上で、環 \(A_f\) の任意の非零因子は 単元である（証明は省略する）。

\((X, \mathcal{O}_X)\) を局所環付き空間とする。\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。前層 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\) を考える。その層化は \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\) である。 Modules, Lemma 01D1 を参照。

定義

\(X\) を局所環付き空間とし、\(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_X\)-加群の層とする。

1. \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) により、\(\mathcal{K}_X\)-加群の層であって、 前層 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\) の層化であるものを表す。 同値な表示は \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\) である（上を参照）。

2. \(\mathcal{F}\) の有理型切断とは、 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) の大域切断である。

とくに、任意の点 \(x \in X\) に対し \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F})_x = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{K}_{X, x} = \mathcal{S}_x^{-1}\mathcal{F}_x\] である。しかし、\(\mathcal{S}_x\) が局所環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) の非零因子全体とは限らないので注意が必要である。 実際、全商環への単射 \[\mathcal{K}_{X, x} \longrightarrow Q(\mathcal{O}_{X, x})\] は常に存在する。これが全射であることと、\(\mathcal{S}_x\) が \(\mathcal{O}_{X, x}\) の非零因子全体であることは同値である。 有理型切断の層は一般には準連接加群ではないが、準連接加群と共通する性質を いくつかもつ。

定義

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) を局所環付き空間の射とする。 \(f\) に対して有理型関数の引き戻しが定義されているとは、 任意の開集合の組 \(U \subset X\)、\(V \subset Y\) で \(f(U) \subset V\) となるもの、および任意の切断 \(s \in \Gamma(V, \mathcal{S}_Y)\) に対し、その引き戻し \(f^\sharp(s) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\) が \(\Gamma(U, \mathcal{S}_X)\) の元となることをいう。

この場合、誘導写像 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{K}_Y \to \mathcal{K}_X\) があり、言い換えると環付き空間の射の可換図式 \[\xymatrix{ (X, \mathcal{K}_X) \ar[r] \ar[d]^f & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (Y, \mathcal{K}_Y) \ar[r] & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] を得る。\(f^*(s) = f^\sharp(s)\) と書くこともある。ここで \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y)\) は切断である。

補題

\(f : X \to Y\) をスキームの射とする。次の各場合には有理型関数の引き戻しが 定義されている。

1. \(X\) のすべての弱随伴点は \(Y\) の既約成分の一般点へ写る。

2. \(X\)、\(Y\) は整であり、\(f\) は支配的である。

3. \(X\) は整であり、\(X\) の一般点は \(Y\) の既約成分の一般点へ写る。

4. \(X\) は被約であり、\(X\) の各既約成分の各一般点は \(Y\) の既約成分の一般点へ写る。

5. \(X\) は局所 Noether であり、\(X\) の任意の随伴点は \(Y\) の既約成分の一般点へ写る。

6. \(X\) は局所 Noether で埋め込まれた点をもたず、\(X\) の既約成分の 任意の一般点は \(Y\) の既約成分の一般点へ写る。

7. \(f\) は平坦である。

証明

問題は \(X\) と \(Y\) 上局所的である。したがって、 \(X = \Spec(A)\)、\(Y = \Spec(R)\) で、\(f\) が環準同型 \(\varphi : R \to A\) により与えられる場合に帰着する。 Lemma 01WZ による構造層の正則切断の 特徴づけから、\(R \to A\) が非零因子を非零因子へ写すことを示せばよい。 \(t \in R\) を非零因子とする。

\(R \to A\) が平坦ならば、\(t : R \to R\) が単射であることから \(t : A \to A\) も単射である。これで (7) が示された。

他の場合には、\(t\) は \(R\) のどの極小素イデアルにも含まれないことに注意する （環の極小素イデアルの各元は零因子だからである）。 したがって (1) の場合、\(\varphi(t)\) は \(A\) のどの弱随伴素イデアルにも 含まれない。よってこの場合は Algebra, Lemma 05C3 から従う。 (5) は Lemma 05AR により (1) の特別な場合である。 (6) は (5) と定義から従う。(4) は Lemma 0EME により (1) の特別な場合である。 (2) と (3) は (4) の特別な場合である。

補題

\(X\) を次を満たすスキームとする。

1. \(X\) のすべての弱随伴点は \(X\) の既約成分の一般点である。

2. 任意の準コンパクト開集合は有限個の既約成分をもつ。

\(X^0\) を \(X\) の既約成分の一般点全体とする。このとき \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] である。ここで \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) は Schemes, Section 01J5 の標準写像である。さらに、

1. \(\mathcal{K}_X\) は準連接な \(\mathcal{O}_X\)-代数の層である。

2. 任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対し、 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] という \(\mathcal{F}\) の有理型切断の層は準連接である。

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) は、任意の \(x \in X\) に対し 非零因子全体である。

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の全商環であり、 これは任意の \(x \in X\) について成り立つ。

5. \(\mathcal{K}_X(U)\) は \(\mathcal{O}_X(U)\) の全商環に等しく、 これは任意のアフィン開集合 \(U \subset X\) について成り立つ。

6. \(X\) の有理関数の環（Morphisms, Definition 01RT）は \(X\) 上の有理型関数の環であり、 式で書けば \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) である。

証明

たとえば茎で確認できるので、加群の層の局所有限直和は積に等しいことに注意する。 次に \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\) なので、(2) は他の主張から従う。 また、\(X^0\) が有限ならば (6) は補題の最初の主張と Morphisms, Lemma 01RV から従い、 一般の (6) は貼り合わせによりこれから従う（議論は省略する）。

\(j : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^0} \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) を射 \(j_\eta\) の余積とする。示すべきことは \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\) である。まず \(\mathcal{K}_Y = \mathcal{O}_Y\) であることに注意する。実際、\(Y\) は次元 \(0\) の局所環のスペクトルの非交和であり、零次元局所環の任意の非零因子は 単元である。次に、\(j\) に対して Lemma 02OU により 有理型関数の引き戻しが定義されていることに注意する。これにより写像 \[\mathcal{K}_X \longrightarrow j_*\mathcal{O}_Y.\] を得る。\(\Spec(A) = U \subset X\) をアフィン開集合とする。このとき \(A\) は 有限個の極小素イデアル \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\) をもつ環であり、 \(A\) の各弱随伴素イデアルは \(\mathfrak q_i\) のいずれかである。 \(Q(A) = \prod A_{\mathfrak q_i}\) を Algebra, Lemmas 02LX および 05C3 により得る。 言い換えると、前層の値 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{O}_X(U)\) はすでに \(j_*\mathcal{O}_Y(U)\) と、このアフィン開集合 \(U\) 上で一致する。 したがって表示した写像は同型であり、 補題の主張における最初の表示等式が示された。

最後に (1)、(3)、(4)、(5) を証明する。(5) については、証明の途中で \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\) を見た。\(j\) は準コンパクトである。 実際、\(X\) の既約成分全体が局所有限であるという仮定による。 したがって \(j\) は準コンパクトかつ準分離的である（\(Y\) は分離的だからである）。 Schemes, Lemma 01LC により、 \(j_*\mathcal{O}_Y\) は準連接である。これで (1) が示された。 \(x \in X\) とする。\(U = \Spec(A)\) という \(x\) のアフィン開近傍で、そのすべての 既約成分が \(x\) を通るものを選べる。このとき \(A \subset A_\mathfrak p\) である。 実際、\(A\) の各弱随伴素イデアルは \(\mathfrak p\) に含まれるので、 \(A \setminus \mathfrak p\) の各元は Algebra, Lemma 05C3 により非零因子である。 これより、\(A_\mathfrak p\) の任意の非零因子は、（必要ならより小さい） \(x\) のアフィン開近傍上の非零因子の像であることが容易に従う。これで (3) が示された。 (4) は茎を計算することにより (3) から従う。

定義

\(X\) を局所環付き空間とし、\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。有理型切断 \(s\) が \(\mathcal{L}\) のものとして 正則であるとは、誘導写像 \(\mathcal{K}_X \to \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) が単射であることをいう。 言い換えると、\(s\) は可逆 \(\mathcal{K}_X\)-加群 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) の正則切断である。Definition 01WY を参照。

（正則）有理型切断を引き戻せる条件を詳しく述べる。

補題

\(f : X \to Y\) を局所環付き空間の射とする。\(f\) に対して有理型関数の 引き戻しが定義されていると仮定する（Definition 02OT を参照）。

1. \(\mathcal{F}\) を \(\mathcal{O}_Y\)-加群の層とする。 \(f^* : \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y(\mathcal{F})) \to \Gamma(X, \mathcal{K}_X(f^*\mathcal{F}))\) という、\(\mathcal{F}\) の有理型切断に対する標準引き戻し写像がある。

2. \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。 正則有理型切断 \(s\) が \(\mathcal{L}\) のものならば、その引き戻し \(f^*s\) は \(f^*\mathcal{L}\) の正則有理型切断である。

証明

省略する。

補題

\(X\) をスキームとする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s\) を \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断とする。 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を、規則 \[\mathcal{I}(V) = \{f \in \mathcal{O}_X(V) \mid fs \in \mathcal{L}(V)\}.\] により定まるイデアル層とする。 \(\mathcal{L}(V) \subset \mathcal{K}_X(\mathcal{L})(V)\) なので、この式には意味がある。 このとき \(\mathcal{I}\) は準連接イデアル層であり、単射 \[1 : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{O}_X, \quad s : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{L}\] をもち、それらの余核は \(X\) の閉疎部分集合上に台をもつ。

証明

問題は \(X\) 上局所的である。したがって \(X = \Spec(A)\) かつ \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\) と仮定してよい。さらに縮小して、 \(s = a/b\) かつ \(a, b \in A\) は ともに \(A\) の非零因子であると仮定してよい。 \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\) と置く。

\(\mathcal{I}\) が準連接であることを示すには、 \(I_f = \{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\) が任意の \(f \in A\) に対して成り立つことを示せばよい。 \(c/f^n \in A_f\) かつ \((c/f^n)(a/b) \in A_f\) ならば、 \(f^mc(a/b) \in A\) となる \(m\) が存在し、したがって \(c/f^n \in I_f\) である。 逆に、\(I_f\) が \(\{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\) に含まれることは容易である。 これで準連接性が示された。

最後の主張を証明する。\((b) \subset I\) は明らかである。したがって \(V(I) \subset V(b)\) は、\(b\) が非零因子なので疎部分集合である。 ゆえに \(1\) の余核は閉疎集合上に台をもつ。 \(s\) の余核についても同じ議論が使える。実際 \(s(b) = (a) \subset sI \subset A\) である。

定義

\(X\) をスキームとし、\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群、 \(s\) を \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断とする。 Lemma 02P0 で構成した イデアル層 \(\mathcal{I}\) を \(s\) の分母のイデアル層という。

有理型関数と有理型切断：Noether の場合

局所 Noether スキームについては、有理型関数の層に関するいくつかの結果を 証明できる。しかし [misconceptions] には、\(\mathcal{K}_X\) が 準連接であるとは限らない Noether スキーム \(X\) の例がある。

補題

\(X\) を準コンパクトスキームとする。\(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) および \(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) を、\(f\) の \(X_h\) への制限が零となるものとする。 このとき \(h^n f = 0\) となる \(n \gg 0\) が存在する。

証明

\(X\) のアフィン開集合 \(U\) による被覆で、 \(f|_U = s^{-1}a\)、\(a \in \mathcal{O}_X(U)\)、\(s \in \mathcal{S}(U)\) となるものを取れる。\(X\) は準コンパクトなので、この形の有限個のアフィン開集合で 被覆できる。したがって \(X = \Spec(A)\) かつ \(f = s^{-1}a\) の場合に補題を 証明すれば十分である。\(s \in A\) は非零因子であるから、\(f = a\) の場合を 証明すれば十分である。条件 \(f|_{X_h} = 0\) は、\(a\) が \(A_h = \mathcal{O}_X(X_h)\) で零に写ることを意味する。ここでは \(\mathcal{O}_X \subset \mathcal{K}_X\) を用いた。したがって、望んだとおり \(h^na = 0\) となる \(n > 0\) が存在する。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。

1. 任意の \(x \in X\) に対して、\(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) は 非零因子全体であり、したがって \(\mathcal{K}_{X, x}\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の全商環である。

2. 任意のアフィン開集合 \(U \subset X\) に対して、環 \(\mathcal{K}_X(U)\) は \(\mathcal{O}_X(U)\) の全商環に等しい。

証明

この補題を証明するには、\(X\) が Noether 環 \(A\) のスペクトルであると仮定してよい。 \(x \in X\) が \(\mathfrak p \subset A\) に対応するとする。

(1) の証明。\(\mathcal{S}_x\) が \(\mathcal{O}_{X, x} = A_\mathfrak p\) の非零因子全体に含まれることは明らかである。 逆に、\(f, g \in A\)、\(g \not \in \mathfrak p\) とし、 \(f/g\) が \(A_{\mathfrak p}\) の非零因子であると仮定する。 \(I = \{a \in A \mid af = 0\}\) と置く。局所化の完全性から \(I_{\mathfrak p} = 0\) である。\(A\) は Noether なので \(I\) は有限生成であり、 したがって \(g'I = 0\) となるある \(g' \in A\)、\(g' \not \in \mathfrak p\) が存在する。よって \(f\) は \(A_{g'}\)、すなわち \(\mathfrak p\) の Zariski 開近傍における非零因子である。したがって \(f/g\) は \(\mathcal{S}_x\) の元である。

(2) の証明。\(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) を有理型関数とする。 \(I = \{a \in A \mid af \in A\}\) と置く。素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) で、 点 \(x \in X\) に対応するものを固定する。(1) により、\(f\) の \(\mathfrak p\) における茎での像を \(a/b\) と書ける。ここで \(a, b \in A_{\mathfrak p}\) であり、 \(b \in A_{\mathfrak p}\) は零因子でない。\(b = c/d\) と書く。ただし \(c, d \in A\)、\(d \not \in \mathfrak p\) である。このとき \(ad - cf\) は \(\mathcal{K}_X\) の切断であり、\(x\) のある開近傍で消える。 \(D(e)\) 上で消えるとする。ここで \(e \in A\)、\(e \not \in \mathfrak p\) である。 Lemma 08I7 により、 \(e^n(ad - cf) = 0\) となる \(n \gg 0\) が存在する。 したがって \(e^nc \in I\) であり、\(e^nc\) は \(A_{\mathfrak p}\) で非零因子に写る。 \(\text{Ass}(A) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\) を \(A\) の 随伴素イデアル全体とする。\(IA_{\mathfrak q_i}\) を調べ、 Algebra, Lemma 0310 を用いると、 上の議論から \(I \not \subset \mathfrak q_i\) であり、これは各 \(i\) について成り立つ。 Algebra, Lemma 00DS により、 \(z \in I\) かつ \(z \not \in \bigcup \mathfrak q_i\) である元が存在する。 Algebra, Lemma 00LD により、 \(z\) は \(A\) 上の零因子でない。したがって \(f = (zf)/z\) は \(A\) の全商環の元である。これで (2) が示された。

補題

\(X\) を埋め込まれた点をもたない局所 Noether スキームとする。 \(X^0\) を \(X\) の既約成分の一般点全体とする。このとき \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] である。ここで \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) は Schemes, Section 01J5 の標準写像である。さらに、

1. \(\mathcal{K}_X\) は準連接な \(\mathcal{O}_X\)-代数の層である。

2. 任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対し、 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] という \(\mathcal{F}\) の有理型切断の層は準連接である。

3. \(X\) の有理関数の環は \(X\) 上の有理型関数の環であり、式で書けば \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) である。

証明

これは Lemma 0EMF の特別な場合である。 実際、局所 Noether の場合、弱随伴点と随伴点は Lemma 05AR により同じものである。

補題

\(X\) を埋め込まれた点をもたない局所 Noether スキームとする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。このとき \(\mathcal{L}\) は正則有理型切断をもつ。

証明

一般点 \(\eta\) を \(X\) の各一般点として取るごとに、生成元 \(s_\eta\) を、 自由階数 \(1\) の加群 \(\mathcal{L}_\eta\) の生成元として選ぶ。この加群は Artin 局所環 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) 上のものである。Lemma 0EMH における \(\mathcal{K}_X\) と \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) の記述から直ちに、 \(s = \prod s_\eta\) は \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断である。

補題

次が与えられているとする。

1. \(X\) は局所 Noether スキームである。

2. \(\mathcal{L}\) は可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群である。

3. \(s\) は \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断である。

4. \(\mathcal{F}\) は \(X\) 上の連接加群であり、埋め込まれた随伴点をもたず、 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\) である。

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\) を \(s\) の分母のイデアルとする。 \(T \subset X\) を \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\) と \(\mathcal{L}/s(\mathcal{I})\) の台の和集合とする。これは閉疎部分集合 \(T \subset X\) であることが Lemma 02P0 から従う。 このとき標準的な単射 \[1 : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F}, \quad s : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}\] があり、その余核は \(T\) 上に台をもつ。

証明

\(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\) かつ \(s = a/b\) で、 \(a, b \in A\) がともに非零因子であるアフィンの場合に帰着する。 帰着の証明は省略する。\(\mathcal{F} = \widetilde{M}\) と書く。 \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\) と置けば、 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\) である（Lemma 02P0 の証明を参照）。 \(T = V(I) \cup V((a/b)I)\) であることに注意する。任意の \(A\)-加群 \(M\) に対し、 写像 \(1 : IM \to M\) を考える。これが補題の写像 \(1\) を与える写像である。 一方、写像 \(\sigma : IM \to M_b, x \mapsto ax/b\) を考える。 \(b\) は \(A\) の零因子でなく、\(M\) は台 \(\Spec(A)\) をもち埋め込まれた素イデアルを もたないので、\(b\) は \(M\) 上でも非零因子である。したがって \(M \subset M_b\) である。 \(I\) の定義により、\(\sigma(IM) \subset M\) が \(M_b\) の部分加群として成り立つ。 よって \(A\)-加群写像 \(s : IM \to M\) を得る（すなわち、 \(s(z)/1 = \sigma(z)\) が \(M_b\) で成り立つ、すべての \(z \in IM\) に対する 一意的な写像）。 \(a\) も（\(A\) と \(M\) のいずれにおいても）非零因子なので、この写像は単射である。 \(M/IM\) が \(I\) で零化され、\(M/s(IM)\) が \((a/b)I\) で零化されることは明らかである。 したがって補題が従う。

有理型関数と有理型切断：被約の場合

被約であって局所的に有限個の既約成分しかもたないスキームでは、 有理型関数の層は準連接である。

補題

\(X\) を被約スキームで、任意の準コンパクト開集合が有限個の既約成分をもつものとする。 \(X^0\) を \(X\) の既約成分の一般点全体とする。このとき \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta) = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta)\] である。ここで \(j_\eta : \Spec(\kappa(\eta)) \to X\) は Schemes, Section 01J5 の標準写像である。さらに、

1. \(\mathcal{K}_X\) は準連接な \(\mathcal{O}_X\)-代数の層である。

2. 任意の準連接 \(\mathcal{O}_X\)-加群 \(\mathcal{F}\) に対して、 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] という \(\mathcal{F}\) の有理型切断の層は準連接である。

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\) は、任意の \(x \in X\) に対して 非零因子全体である。

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\) は \(\mathcal{O}_{X, x}\) の全商環であり、 これは任意の \(x \in X\) について成り立つ。

5. \(\mathcal{K}_X(U)\) は \(\mathcal{O}_X(U)\) の全商環に等しく、 これは任意のアフィン開集合 \(U \subset X\) について成り立つ。

6. \(X\) の有理関数の環は \(X\) 上の有理型関数の環であり、式で書けば \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\) である。

証明

この補題は Lemma 0EMF の特別な場合である。 実際、被約スキーム上では弱随伴点は Lemma 0EME により一般点にほかならない。

補題

\(X\) をスキームとする。\(X\) は被約であり、任意の準コンパクト開集合 \(U \subset X\) は有限個の既約成分をもつと仮定する。このとき正規化射 \(\nu : X^\nu \to X\) は射 \[\underline{\Spec}_X(\mathcal{O}') \longrightarrow X\] である。ここで \(\mathcal{O}' \subset \mathcal{K}_X\) は、有理型関数の層における \(\mathcal{O}_X\) の整閉包である。

証明

正規化射 \(\nu : X^\nu \to X\) の定義（Morphisms, Definition 035N を参照）と、上の Lemma 02OW における \(\mathcal{K}_X\) の記述を比較すればよい。

補題

\(X\) を一般点 \(\eta\) をもつ整スキームとする。次が成り立つ。

1. 有理型関数の層は、\(X\) の関数体（Morphisms, Definition 01RW を参照）を値とする定数層と同型である。

2. 任意の準連接層 \(\mathcal{F}\) で \(X\) 上のものに対して、層 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\) は \(\mathcal{F}_\eta\) を値とする定数層と同型である。

証明

省略する。

場合によっては正則有理型切断の存在を示せる。

補題

\(X\) をスキームとする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 次の各場合に \(\mathcal{L}\) は正則有理型切断をもつ。

1. \(X\) は整である。

2. \(X\) は被約であり、任意の準コンパクト開集合は有限個の既約成分をもつ。

3. \(X\) は局所 Noether であり、埋め込まれた点をもたない。

証明

(1) の場合、\(\eta \in X\) を一般点とする。Lemma 01X5 により、 \(\mathcal{K}_X\) および \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) はそれぞれ \(\kappa(\eta)\) および \(\mathcal{L}_\eta\) を値とする定数層である。 \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{L}_\eta = 1\) なので、非零元 \(s \in \mathcal{L}_\eta\) を選べる。明らかに \(s\) は \(\mathcal{L}\) の 正則有理型切断である。(2) の場合、非零な \(s_\eta \in \mathcal{L}_\eta\) を、一般点 \(\eta\)、すなわち \(X\) のすべての 一般点について選ぶ。これは \(\mathcal{L}_\eta\) が \(1\) 次元の \(\kappa(\eta)\)-ベクトル空間なので可能である。 Lemma 02OW における \(\mathcal{K}_X\) と \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) の記述から直ちに、 \(s = \prod s_\eta\) は \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断である。 (3) は Lemma 0EMI である。

Weil 因子

局所 Noether 整スキームに対して、Weil 因子および Weil 因子の有理同値を導入する。 スキームが準コンパクトであるとは仮定しないので、Weil 因子の定義には少し注意が 必要である。たとえば有理関数は無限個の極をもちうるので、素因子の無限和を 許さなければならない。準コンパクトスキームでは、通常どおり Weil 因子は有限和に なる。まず、閉部分スキームの族が局所有限であることを示す際に頻繁に用いる 基本的な補題を述べる。

補題

\(X\) を局所 Noether スキームとする。\(Z \subset X\) を閉部分スキームとする。 \(Z\) の既約成分全体は \(X\) において局所有限である。

証明

\(U \subset X\) を準コンパクトな開部分スキームとする。すると \(U\) は Noether スキームであり、したがってその基礎位相空間は Noether である （Properties, Lemma 01OZ）。 よってすべての部分空間は Noether であり、有限個の既約成分しかもたない （Topology, Lemma 0052 を参照）。

\(Z\) がスキーム \(X\) の既約閉部分集合ならば、\(Z\) の \(X\) における余次元は、 局所環 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) の次元に等しい。ここで \(\xi \in Z\) は一般点である。 このことを思い出そう。Properties, Lemma 02IZ を参照。

定義

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。

1. 素因子とは、整閉部分スキーム \(Z \subset X\) で余次元 \(1\) のものである。

2. Weil 因子とは形式和 \(D = \sum n_Z Z\) であって、和が \(X\) の 素因子全体を走り、族 \(\{Z \mid n_Z \not = 0\}\) が局所有限であるものをいう （Topology, Definition 0BDS）。

\(X\) 上の Weil 因子全体の群を \(\text{Div}(X)\) と書く。

次に、有理関数に付随する Weil 因子を定義する。そのため、素因子に沿う 有理関数の零点位数を用いる。これは次のように定義される。

定義

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。\(f \in R(X)^*\) とする。 各素因子 \(Z \subset X\) に対して、\(f\) の \(Z\) に沿う零点位数を整数 \[\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\] として定義する。右辺は Algebra, Definition 02MD の概念であり、 \(\xi\) は \(Z\) の一般点である。

\(f, g \in R(X)^*\) に対して \[\text{ord}_Z(fg) = \text{ord}_Z(f) + \text{ord}_Z(g).\] であることに注意する。もちろん \(\text{ord}_Z(f) < 0\) となることもある。 この場合、\(f\) は \(Z\) に沿って 極をもつといい、 \(-\text{ord}_Z(f) > 0\) を \(f\) の \(Z\) に沿う極の位数という。 条件 \(\text{ord}_Z(f) \geq 0\) は、条件 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\) と 同値ではないことが重要である。ただし、局所環 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\) が離散付値環である場合を除く。

補題

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。\(f \in R(X)^*\) とする。族 \[\{Z \subset X \mid Z\text{ a prime divisor with generic point }\xi \text{ and }f\text{ not in }\mathcal{O}_{X, \xi}\}\] および \[\{Z \subset X \mid Z \text{ a prime divisor and }\text{ord}_Z(f) \not = 0\}\] は \(X\) において局所有限である。

証明

空でない開部分スキーム \(U \subset X\) で、\(f\) が \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\) の切断に対応するものが存在する。 したがって補題の集合に現れうる素因子はすべて \(X \setminus U\) の既約成分である。 よって Lemma 0BE1 が望む結果を与える。

この補題により、次の定義を置くことができる。

定義

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。\(f \in R(X)^*\) とする。 \(f\) に付随する主 Weil 因子とは Weil 因子 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] である。ここで和は素因子全体を走り、\(\text{ord}_Z(f)\) は Definition 02RJ のとおりである。 Lemma 02RL によりこれは意味をもつ。

補題

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。\(f, g \in R(X)^*\) とする。このとき \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] が \(X\) 上の Weil 因子として成り立つ。

証明

\(\text{ord}\) 関数の加法性から明らかである。

上の補題から、主 Weil 因子全体は Weil 因子全体の群の部分群をなす。 これにより次の定義に至る。

定義

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。\(X\) の Weil 因子類群とは、 Weil 因子の群を主 Weil 因子の部分群で割った商である。記号は \(\text{Cl}(X)\) とする。

構成により完全複体 [0BE5]\[\begin{equation} R(X)^* \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}(X) \to \text{Cl}(X) \to 0 \end{equation}\] を得る。これは \(\text{Cl}(X)\) の表示と考えられる。次に Weil 因子類群と Picard 群を関係づける。

可逆加群に付随する Weil 因子類

この節では Section 0BE0 とまったく同じ段階をたどり、 局所 Noether 整スキーム上の標準写像 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) を定義する。

\(X\) をスキームとする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(\xi \in X\) を点とする。\(s_\xi, s'_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) が \(\mathcal{L}_\xi\) を \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-加群として生成するならば、 単元 \(u \in \mathcal{O}_{X, \xi}^*\) で \(s_\xi = u s'_\xi\) となるものが存在する。 有理型切断の層 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)、すなわち \(\mathcal{L}\) の 有理型切断の層の \(x\) における茎は \(\mathcal{K}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{L}_x\) に等しい。 したがって、任意の有理型切断 \(s\) で \(\mathcal{L}\) のものの \(x\) における 茎での像は、\(s = fs_\xi\) と書ける。ここで \(f \in \mathcal{K}_{X, x}\) である。以下ではこれを \(f = s/s_\xi\) と略記する。また、\(X\) が整ならば \(\mathcal{K}_{X, x} = R(X)\) は \(X\) の関数体に等しいので \(s/s_\xi \in R(X)\) である。\(s\) が正則有理型切断ならば、実際には \(s/s_\xi \in R(X)^*\) である。整スキーム上では、正則有理型切断であることは 非零有理型切断であることと同じである。最後に、\(s/s_\xi\) は \(s_\xi\) の選択に、 局所環 \(\mathcal{O}_{X, x}\) の単元による乗法を除いて依存しない。 以上を合わせると、次の定義には意味がある。

定義

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\) を \(\mathcal{L}\) の 正則有理型切断とする。各素因子 \(Z \subset X\) に対して、 \(s\) の \(Z\) に沿う零点位数を整数 \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(s/s_\xi)\] として定義する。右辺は Algebra, Definition 02MD の概念であり、 \(\xi \in Z\) は一般点、\(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) は生成元である。

主因子の場合と同様に、次の補題が成り立つ。

補題

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。\(s \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) を \(\mathcal{L}\) の正則（すなわち非零）有理型切断とする。このとき集合 \[\{Z \subset X \mid Z \text{ a prime divisor with generic point }\xi \text{ and }s\text{ not in }\mathcal{L}_\xi\}\] および \[\{Z \subset X \mid Z \text{ is a prime divisor and } \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) \not = 0\}\] は \(X\) において局所有限である。

証明

空でない開部分スキーム \(U \subset X\) で、\(s\) が \(\Gamma(U, \mathcal{L})\) の切断に対応し、その切断が \(\mathcal{L}\) を \(U\) 上生成するものが存在する。したがって補題の集合に現れうる素因子は すべて \(X \setminus U\) の既約成分である。よって Lemma 0BE1 が望む結果を与える。

補題

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s, s' \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) を \(\mathcal{L}\) の 非零有理型切断とする。このとき \(f = s/s'\) は \(R(X)^*\) の元であり、 \[\sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)[Z] = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s')[Z] + \text{div}(f)\] が Weil 因子として成り立つ。

証明

定義から明らかである。Lemma 02SG により、これらの和が実際に Weil 因子であることに注意する。

定義

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。 \(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。

1. 任意の非零有理型切断 \(s\) で \(\mathcal{L}\) のものに対して、 \(s\) に付随する Weil 因子を \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z] \in \text{Div}(X)\] と定義する。ここで和は素因子全体を走る。

2. \(\mathcal{L}\) に付随する Weil 因子類を、 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\) の \(\text{Cl}(X)\) における像として定義する。 ここで \(s\) は \(\mathcal{L}\) の任意の非零有理型切断で、\(X\) 上のものである。 Lemma 02SH により、これは良定義である。

予想どおり、この構成は可逆加群に関して加法的である。

補題

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。 \(\mathcal{L}\)、\(\mathcal{N}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。 \(s\) および \(t\) を、それぞれ \(\mathcal{L}\) および \(\mathcal{N}\) の 非零有理型切断とする。このとき \(st\) は \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\) の非零有理型切断であり、 \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}_\mathcal{N}(t)\] が \(\text{Div}(X)\) において成り立つ。とくに \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\) の Weil 因子類は、 \(\mathcal{L}\) と \(\mathcal{N}\) の Weil 因子類の和である。

証明

\(s\) および \(t\) を、それぞれ \(\mathcal{L}\) および \(\mathcal{N}\) の 非零有理型切断とする。このとき \(st\) は \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\) の非零有理型切断である。 \(Z \subset X\) を素因子とする。\(\xi \in Z\) をその一般点とする。 生成元 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\) および \(t_\xi \in \mathcal{N}_\xi\) を選ぶ。すると \(s_\xi t_\xi\) は \((\mathcal{L} \otimes \mathcal{N})_\xi\) の生成元である。 したがって \(st/(s_\xi t_\xi) = (s/s_\xi)(t/t_\xi)\) である。よって \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) + \text{ord}_{Z, \mathcal{N}}(t)\] であることが \(\text{ord}_Z\) 関数の加法性から分かる。

このようにして、可逆加群にその Weil 因子類を対応させる Abel 群の準同型 [0BE7]\[\begin{equation} \Pic(X) \longrightarrow \text{Cl}(X) \end{equation}\] を得る。

補題

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。\(X\) が正規ならば、写像 (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) は単射である。

証明

\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群で、付随する Weil 因子類が自明なものとする。 \(s\) を \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断とする。仮定は \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}(f)\) が、ある \(f \in R(X)^*\) に対して成り立つことを意味する。このとき \(t = f^{-1}s\) は \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断であり、 \(\text{div}_\mathcal{L}(t) = 0\) である。Lemma 02SH を参照。 \(t\) が \(\mathcal{L}\) の自明化を定めることを示す。これで補題の証明が終わる。 これを証明するため \(X\) 上局所的に議論してよい。したがって \(X = \Spec(A)\) がアフィンであり、\(\mathcal{L}\) が自明であると仮定してよい。 このとき \(A\) は Noether 正規整域であり、\(t\) はその分数体の元で、 \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(t) = 0\) が高さ \(1\) のすべての素イデアル \(\mathfrak p\) で \(A\) のものに対して成り立つ。目標は、\(t\) が \(A\) の単元であることを 示すことである。高さ一の素イデアルに対して \(A_\mathfrak p\) は 離散付値環である。ここでその素イデアルは \(A\) のものである （Algebra, Lemma 031S）。したがってこの条件は、 \(t \in A_\mathfrak p^*\) がすべての素イデアル \(\mathfrak p\) で高さ \(1\) のものに対して成り立つことを意味する。 これより Algebra, Lemma 031T によって \(t \in A\) かつ \(t^{-1} \in A\) となり、証明が完了する。

補題

\(X\) を局所 Noether 整スキームとする。写像 (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) を考える。 次は同値である。

1. \(X\) の局所環は UFD である。

2. \(X\) は正規であり、\(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) は全射である。

この場合 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\) は同型である。

証明

(1) が成り立つならば、Algebra, Lemma 0AFV により \(X\) は正規である。 したがって写像 (0BE7) は Lemma 0BE8 により単射である。さらに、各素因子 \(D \subset X\) は Lemma 0AGA により 有効 Cartier 因子である。この場合、標準切断 \(1_D\)（\(\mathcal{O}_X(D)\) のもの） （Definition 01WX）は \(D\) に沿ってちょうど消え、\(D\) の類は写像 (0BE7) による \(\mathcal{O}_X(D)\) の像である。したがって写像は全射でもある。

(2) が成り立つと仮定する。素因子 \(D \subset X\) を選ぶ。 (0BE7) は全射なので、可逆層 \(\mathcal{L}\)、正則有理型切断 \(s\)、 および \(f \in R(X)^*\) で \(\text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}(f) = [D]\) となるものが存在する。 言い換えると \(\text{div}_\mathcal{L}(fs) = [D]\) である。 \(x \in X\) とし、\(A = \mathcal{O}_{X, x}\) とする。すると \(A\) は分数体 \(K = R(X)\) をもつ Noether 局所正規整域である。高さ \(1\) の各素イデアルで \(A\) のものは \(X\) 上の素因子に対応し、すべての可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群は \(\Spec(A)\) 上で自明な可逆加群に制限される。したがって、すべての高さ \(1\) の 素イデアル \(\mathfrak p \subset A\) に対して、\(f \in K\) で \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(f) = 1\) かつ、他のすべての高さ一の素イデアル \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p'}}(f) = 0\) が成り立つ他のすべての高さ一の素イデアル \(\mathfrak p'\) があるようなものが存在する。 Algebra, Lemma 031T により \(f \in A\) である。同じように論じると、すべての元 \(g \in \mathfrak p\) は、 \(g = af\) と書ける。ここである \(a \in A\) を取れる。したがって \(A\) の高さ一の 各素イデアルは単項であり、Algebra, Lemma 0AFT により \(A\) は UFD である。

可逆加群についてさらに

この節では可逆加群のいくつかの性質を論じる。

補題

\(\varphi : X \to Y\) をスキームの射とする。\(\mathcal{L}\) を可逆 \(\mathcal{O}_X\)-加群とする。次を仮定する。

1. \(X\) は局所 Noether である。

2. \(Y\) は局所 Noether、整かつ正規である。

3. \(\varphi\) は整（したがって空でない）ファイバーをもつ平坦射である。

4. \(\varphi\) は準コンパクトまたは局所有限型である。

5. \(\mathcal{L}\) の \(\varphi\) の一般ファイバーへの制限は自明である。

このとき、\(\mathcal{L} \cong \varphi^*\mathcal{N}\) を満たす可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群 \(\mathcal{N}\) が存在する。

証明

\(\xi \in Y\) を一般点とする。\(X_\xi\) を \(\varphi\) の \(\xi\) 上の スキーム論的ファイバーとする。\(\mathcal{L}_\xi\) により \(\mathcal{L}\) の \(X_\xi\) への引き戻しを表す。仮定 (5) は \(\mathcal{L}_\xi\) が自明であることを意味する。自明化切断 \(s \in \Gamma(X_\xi, \mathcal{L}_\xi)\) を選ぶ。Lemma 0BCM により \(X\) は整であることに注意する。 したがって \(s\) を \(\mathcal{L}\) の正則有理型切断とみなせる。 Lemma 02OU により、 \(\varphi\) に対して有理型関数の引き戻しが定義されている。 \(\mathcal{N} \subset \mathcal{K}_Y\) を次の \(\mathcal{O}_Y\)-加群とする。 開集合 \(V \subset Y\) 上の切断は、有理型関数 \(g \in \mathcal{K}_Y(V)\) のうち \(\varphi^*(g)s \in \mathcal{L}(\varphi^{-1}V)\) となるものである。先験的には \(\varphi^*(g)s\) は \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\) の \(\varphi^{-1}V\) 上の切断である。\(\mathcal{N}\) は可逆 \(\mathcal{O}_Y\)-加群であり、写像 \[\varphi^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L},\quad g \longmapsto gs\] は同型であると主張する。

まず次の状況で主張を証明する。\(X\) と \(Y\) はアフィンであり、 \(\mathcal{L}\) は自明である。\(Y = \Spec(R)\)、\(X = \Spec(A)\) とし、 \(s\) は元 \(s \in A \otimes_R K\) により与えられるとする。ここで \(K\) は \(R\) の分数体である。\(s = a/r\) と書ける。ここで非零元 \(r \in R\) と元 \(a \in A\) を取れる。\(s\) は一般ファイバー上で \(\mathcal{L}\) を生成するので、 \(s' \in A \otimes_R K\) で \(ss' = 1\) となるものが存在する。したがって \(s = r'/a'\) と書ける。ここで \(r' \in R\) は非零で、\(a' \in A\) である。 \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset R\) を \(rr'\) 上の極小素イデアルとする。 各 \(R_{\mathfrak p_i}\) は離散付値環である（Algebra, Lemmas 00KV および 031S）。仮定により \(\mathfrak q_i = \mathfrak p_i A\) は素イデアルである。したがって \(\mathfrak q_i A_{\mathfrak q_i}\) は一元で生成され、\(A_{\mathfrak q_i}\) も 離散付値環であることが分かる（Algebra, Lemma 00PD）。もちろん \(R_{\mathfrak p_i} \to A_{\mathfrak q_i}\) の分岐指数は \(1\) である。 \(e_i, e'_i \geq 0\) を \(a, a'\) の \(A_{\mathfrak q_i}\) における付値とする。 すると \(e_i + e'_i\) は \(rr'\) の \(R_{\mathfrak p_i}\) における付値である。 Algebra, Lemma 031T により、\(R\) において \[\mathfrak p_1^{(e_1 + e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n + e'_n)} = (rr')\] であることに注意する。 \[I = \mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)} \quad\text{and}\quad I' = \mathfrak p_1^{(e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e'_n)}\] と置くと、\(II' \subset (rr')\) である。Algebra, Lemmas 0BC0 および 0BBY により \[IA = (\mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)})A = (\mathfrak p_1A)^{(e_1)} \cap \ldots \cap (\mathfrak p_i A)^{(e_n)}\] であることに注意する。\(I'A\) についても同様である。したがって \(a \in IA\) かつ \(a' \in I'A\) である。これより \(IA \otimes_A I'A \to rr'A\) は全射である。\(R \to A\) の忠実平坦性から \(I \otimes_R I' \to (rr')\) も全射であることが分かる。 したがって \(II' = (rr')\) であり、\(I\) と \(I'\) は有限局所自由階数 \(1\) である。 Algebra, Lemma 09ME を参照。 よって \(R\) 上 Zariski 局所的に \(I = (g)\) および \(I' = (g')\) と書け、 \(gg' = rr'\) である。このとき \(a = ug\) かつ \(a' = u'g'\) であり、 ここで \(u, u' \in A\) である。\(u, u'\) は単元であると結論する。 したがって \(R\) 上 Zariski 局所的に \(s = ug/r\) であり、この場合の主張が従う。

\(y \in Y\) を点とする。\(x \in X\) を \(y\) に写るように選ぶ。前段落の結果を \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\) に適用できる。 これより、\(g \in R(Y)^*\) で、\(\mathcal{O}_{Y, y}^*\) の元による乗法を除いて 定まり、\(\varphi^*(g)s\) が \(\mathcal{L}_x\) を生成するものが存在する。 したがって \(\varphi^*(g)s\) は \(\mathcal{L}\) をある近傍 \(U\) 上で生成し、この近傍は \(x\) を含む。 \(x'\) を \(y\) 上にある別の点とし、\(g' \in R(Y)^*\) を \(\varphi^*(g')s\) が \(\mathcal{L}\) をある開近傍 \(U'\) で生成し、その近傍が \(x'\) を含むものとする。 ファイバーは既約なので、 \(x''\) を \(U \cap U' \cap \varphi^{-1}(\{y\})\) の点として選べる。 環準同型 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x''}\) に対する一意性から、 \(g\) と \(g'\) は \(\mathcal{O}_{Y, y}^*\) の元を乗法的に掛けた分だけ異なる。 したがって \(\varphi^*(g)s\) は \(\mathcal{L}\) を \(\varphi^{-1}(y)\) のある開近傍上で生成する。\(Z \subset X\) を、点 \(z \in X\) のうち \(\varphi^*(g)s\) が \(\mathcal{L}_z\) を生成しないもの全体とする。 上の議論から \(Z\) は閉であり、\(Z = \varphi^{-1}(T)\) であるような部分集合 \(T \subset Y\) が存在して \(y \not \in T\) である。\(T\) が閉であることを示せれば、 \(g\) は \(\mathcal{N}\) を \(\mathcal{O}_Y\)-加群として、 \(Y \setminus T\) という \(y\) の開近傍上で生成し、証明が終わる （詳細の一部は省略する）。

\(\varphi\) が準コンパクトならば、Morphisms, Lemma 02JY により \(T\) は閉である。 \(\varphi\) が局所有限型ならば、Morphisms, Lemma 01UA により \(\varphi\) は開写像である。 このとき \(Y \setminus T\) は開集合 \(X \setminus Z\) の像として開である。