인자

서론

이 장에서는 인자의 정의 등과 관련된 몇 가지 매우 기본적인 문제를 연구한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다.

연관점

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)가 \(M\)에 연관된다는 것은 \(M\)의 어떤 원소의 소멸자가 \(\mathfrak p\)라는 뜻임을 상기하자. Algebra, Definition 00LA을 보라. 다음은 [EGA, IV Definition 3.1.1]에 주어진 스킴 위의 준연접층에 대한 연관점의 정의이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자.

1. \(x \in X\)가 \(\mathcal{F}\)에 연관되어 있다고 함은 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_x\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 \(\mathcal{F}_x\)에 연관되어 있다는 뜻이다.

2. \(\text{Ass}(\mathcal{F})\) 또는 \(\text{Ass}_X(\mathcal{F})\)로 \(\mathcal{F}\)의 연관점들의 집합을 나타낸다.

3. \(X\)의 연관점은 \(\mathcal{O}_X\)의 연관점이다.

이 정의들은 \(X\)가 국소 뇌터이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형일 때 가장 유용하다. 예를 들어 \(X\)의 한 기약 성분의 일반점이 \(X\)에 연관되지 않을 수도 있다. Example 05AI을 보라. 비뇌터인 경우에는 약연관점을 사용하는 편이 더 편리할 수 있다. Section 056K를 보라. 스킴론적 개념과 아핀 열린집합 위의 대수적 개념을 연결해 보자. 이 대응은 국소 뇌터 스킴에 대해서만 완전하게 작동함을 주의하자.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(\Spec(A) = U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하고 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)로 놓자. \(x \in U\)라 하고 \(\mathfrak p \subset A\)를 이에 대응하는 소 아이디얼이라 하자.

1. \(\mathfrak p\)가 \(M\)에 연관되어 있으면 \(x\)는 \(\mathcal{F}\)에 연관되어 있다.

2. \(\mathfrak p\)가 유한 생성이면 그 역도 성립한다.

특히 \(X\)가 국소 뇌터이면 위와 같은 모든 쌍 \((\mathfrak p, x)\)에 대해 동치 \[\mathfrak p \in \text{Ass}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\] 가 성립한다.

증명

이는 Algebra, Lemma 0310에서 따른다. 다음과 같이 직접 논증할 수도 있다. \(\mathfrak p\)가 \(M\)에 연관되어 있다고 하자. 그러면 \(m \in M\) 가운데 소멸자가 \(\mathfrak p\)인 것이 존재한다. 국소화가 완전하므로 \(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\)는 \(m/1 \in M_{\mathfrak p}\)의 소멸자이다. 또한 \(M_{\mathfrak p} = \mathcal{F}_x\)이므로 (Schemes, Lemma 01HV) \(x\)가 \(\mathcal{F}\)에 연관되어 있다는 결론을 얻는다.

역으로 \(x\)가 \(\mathcal{F}\)에 연관되어 있고 \(\mathfrak p\)가 유한 생성이라고 가정하자. \(x\)가 \(\mathcal{F}\)에 연관되어 있으므로 소멸자가 \(m' \in M_{\mathfrak p}\)인 원소가 존재하고, 그 소멸자는 \(\mathfrak pA_{\mathfrak p}\)이다. \(m' = m/f\)로 쓰되, 여기서 \(f \in A\)이고 \(f \not \in \mathfrak p\)이다. \(I\)를 \(m\)의 소멸자라 하자. 그러면 이는 \(A\)의 아이디얼이며 \(IA_{\mathfrak p} = \mathfrak pA_{\mathfrak p}\)를 만족한다. 따라서 \(I \subset \mathfrak p\)이고 \((\mathfrak p/I)_{\mathfrak p} = 0\)이다. \(\mathfrak p\)가 유한 생성이므로 어떤 \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\)가 존재하여 \(g(\mathfrak p/I) = 0\)이다. 따라서 \(gm\)의 소멸자는 \(\mathfrak p\)이고 원하는 결론을 얻는다.

\(X\)가 국소 뇌터이면 \(A\)는 뇌터 환이고 (Properties, Lemma 01OW) \(\mathfrak p\)는 항상 유한 생성이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F})\)이다.

증명

이는 정의에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)을 \(X\) 위의 준연접층들의 짧은 완전열이라 하자. 그러면 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_2) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_1) \cup \text{Ass}(\mathcal{F}_3)\) 이고 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_1) \subset \text{Ass}(\mathcal{F}_2)\)이다.

증명

모든 점 \(x \in X\)에 대해 줄기들의 열 \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) 은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군들의 짧은 완전열이다. 따라서 이 보조정리는 Algebra, Lemma 02M3에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \cap U\)는 모든 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 유한이다.

증명

뇌터 환 위의 유한 가군의 연관 소 아이디얼들의 집합은 유한하므로 참이다. Algebra, Lemma 00LC를 보라. 스킴의 언어에서 대수의 언어로 옮기려면 \(U\)가 아핀 열린집합들의 유한 합집합이고, 각 열린집합은 뇌터 환의 스펙트럼이며 (Properties, Lemma 01OW), \(\mathcal{F}\)는 이 환 위의 유한 가군에 대응한다는 사실 (Cohomology of Schemes, Lemma 01XZ)과 마지막으로 Lemma 02OK을 사용한다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\mathcal{F} = 0 \Leftrightarrow \text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset.\]

증명

\(\mathcal{F} = 0\)이면 정의에 의해 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\)이다. 역으로 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \emptyset\)이면 Algebra, Lemma 0587에 의해 \(\mathcal{F} = 0\)이다. 스킴의 언어에서 대수의 언어로 옮기려면 임의의 아핀 열린집합에 제한한 뒤 Lemma 02OK을 사용한다.

예

\(k\)를 체라 하자. 환 \(R = k[x_1, x_2, x_3, \ldots]/(x_i^2)\)는 국소 멱영 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는 국소환이다. \(R\)에는 소멸자가 \(\mathfrak m\)인 원소가 존재하지 않는다. 따라서 \(\text{Ass}(R) = \emptyset\)이고, \(X = \Spec(R)\)은 연관점이 없는 스킴의 예이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)가 열린집합이고 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset U\)이면 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\)는 단사이다.

증명

\(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\)를 \(U\)에 제한하면 영이 되는 절단이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)의 상이라 하자. 이 사상은 \(s\)가 정의한다. 그러면 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\)이다. 한편 Lemma 05AE에 의해 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Ass}(\mathcal{F})\)이다. 또한 \(\text{Ass}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\)이므로 (Lemma 05AD) \(\text{Ass}(\mathcal{F}') = \emptyset\)이라는 결론을 얻는다. 따라서 Lemma 05AG에 의해 \(\mathcal{F}' = 0\)이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)를 \(\mathcal{F}\)의 지지에 속하면서 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 다른 점의 특수화가 아닌 점이라 하자. 그러면 \(x \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)이다. 특히 \(X\)의 한 기약 성분의 모든 일반점은 \(X\)의 연관점이다.

증명

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)이므로 가군 \(\mathcal{F}_x\)는 영이 아니다. 따라서 Algebra, Lemma 0587에 의해 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)는 공집합이 아니다. 한편 가정에 의해 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\)이다. 또 \(\text{Ass}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\)이므로 (Algebra, Lemma 0586) \(\mathfrak m_x\)가 \(\mathcal{F}_x\)에 연관되어 있음을 알 수 있고 원하는 결론을 얻는다.

다음 보조정리는 More on Algebra, Lemma 0AV7의 유사물이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상이라 하자. 모든 \(x \in X\)에 대해 다음 중 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)가 단사이거나,

2. \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{F})\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 단사이다.

증명

가정에 의해 \(\text{Ass}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)이고, 따라서 Lemma 05AG에 의해 \(\Ker(\varphi) = 0\)이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 연접이고 모든 \(x \in X\)에 대해 다음 중 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)가 동형사상이거나,

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이고 \(x \not \in \text{Ass}(\mathcal{G})\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 동형사상이다.

증명

이는 More on Algebra, Lemma 0AV8를 스킴의 언어로 옮긴 것이다.

사상과 연관점

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군층이라 하자. \(s \in S\)가 점이면, \(\mathcal{F}_s\)로 \(\mathcal{O}_{X_s}\)-가군을 나타내는 것이 흔히 편리하다. 이는 \(\mathcal{F}\)를 사상 \(i_s : X_s \to X\)에 따라 당겨 얻는다. 여기서 \(X_s\)는 \(f\)의 \(s\) 위 스킴론적 올이다. 식으로 쓰면 \[\mathcal{F}_s = i_s^*\mathcal{F}\] 이다. 물론 이 표기는 \(\mathcal{F}\)의 점 \(x \in X\)에서의 줄기에 이미 쓰이는 표기와 충돌하는데, 이는 \(f = \text{id}_X\)일 때 발생한다. 그러나 다음 보조정리의 서술에서처럼 이 표기가 편리한 경우가 많다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층으로서 \(S\) 위 평탄인 것이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 \(S\) 위의 준연접층이라 하자. 그러면 \[\text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}) \supset \bigcup\nolimits_{s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] 이고, \(S\)가 국소 뇌터이면 등호가 성립한다(\(\mathcal{F}_s\)의 표기는 위에서 설명하였다).

증명

\(x \in X\)라 하고 \(s = f(x) \in S\)라 하자. \(B = \mathcal{O}_{X, x}\), \(A = \mathcal{O}_{S, s}\), \(N = \mathcal{F}_x\), \(M = \mathcal{G}_s\)로 놓자. \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G}\)의 \(x\)에서의 줄기는 \(B\)-가군 \(M \otimes_A N\)과 같음을 주의하자. 따라서 \(x \in \text{Ass}_X(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} f^*\mathcal{G})\) 일 필요충분조건은 \(\mathfrak m_B\)가 \(\text{Ass}_B(M \otimes_A N)\)에 속하는 것이다. 마찬가지로 \(s \in \text{Ass}_S(\mathcal{G})\)이고 \(x \in \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\)일 필요충분조건은 \(\mathfrak m_A \in \text{Ass}_A(M)\)이고 \(\mathfrak m_B/\mathfrak m_A B \in \text{Ass}_{B \otimes \kappa(\mathfrak m_A)}(N \otimes \kappa(\mathfrak m_A))\) 인 것이다. 그러므로 이 보조정리는 Algebra, Lemma 05C2에서 따른다.

매장점

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)가 \(M\)의 매장된 연관 소아이디얼이라는 것은 그것이 \(M\)의 연관 소아이디얼이지만 \(M\)의 연관 소아이디얼들 가운데 극소가 아니라는 뜻임을 상기하자. Algebra, Definition 02M5을 보라. 다음은 [EGA, IV Definition 3.1.1]에 주어진 스킴 위의 준연접층에 대한 매장된 연관점의 정의이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)의 매장된 연관점이란 \(\mathcal{F}\)의 연관점들 가운데 극대가 아닌 연관점, 즉 \(\mathcal{F}\)의 다른 연관점의 특수화인 점을 말한다.

2. \(x\)를 \(X\)의 점이라 하자. \(x\)가 \(\mathcal{O}_X\)의 매장된 연관점이면 매장점이라 한다.

3. \(X\)의 매장 성분이란 기약 닫힌집합 \(Z = \overline{\{x\}}\)인데, 여기서 \(x\)는 \(X\)의 매장점인 것을 말한다.

뇌터인 경우 \(\mathcal{F}\)가 연접이면 다음이 성립한다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면

1. \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 기약 성분들의 일반점은 \(\mathcal{F}\)의 연관점이고,

2. \(\mathcal{F}\)의 한 연관점이 매장되어 있을 필요충분조건은 그것이 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 한 기약 성분의 일반점이 아닌 것이다.

특히 \(X\)의 매장점은 \(X\)의 한 기약 성분의 일반점이 아닌 \(X\)의 연관점이다.

증명

이 경우 \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\)가 닫혀 있음을 상기하자. Morphisms, Lemma 056J을 보라. 또한 \(Z\)의 기약 성분들의 일반점은 \(\mathcal{F}\)의 연관점이다. Lemma 05AH을 보라. 끝으로 Lemma 05AD에 의해 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset Z\)이다. 이 결과들을 \(Z\)가 소버 위상공간이고 따라서 \(Z\)의 모든 점이 \(Z\)의 한 일반점의 특수화라는 사실과 결합하면 (1)과 (2)를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)에는 매장된 연관점이 없고,

2. \(\mathcal{F}\)는 성질 \((S_1)\)을 갖는다.

증명

이는 Algebra, Lemma 031Q와 위의 Lemma 02OK을 결합한 것이다.

보조정리

\(X\)를 차원이 \(\leq 1\)인 국소 뇌터 스킴이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(X\)는 Cohen–Macaulay이고,

2. \(X\)에는 매장점이 없다.

증명

Lemma 0346과 정의들에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 열린 부분스킴이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(U\)는 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀하고 (Morphisms, Definition 01RB),

2. \(U\)는 \(X\)에서 조밀하며 \(U\)는 \(X\)의 모든 매장점을 포함하고,

3. \(U\)는 \(X\)의 모든 연관점을 포함한다.

증명

문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X = \Spec(A)\)이고 \(A\)가 뇌터 환이라고 가정해도 된다. 그러면 \(U\)는 준콤팩트이고 (Properties, Lemma 01OX), 따라서 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)이다 (Algebra, Lemma 00F6). 이 상황에서 \(U\)가 \(X\)에서 스킴론적으로 조밀할 필요충분조건은 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\)이 단사인 것이다. Morphisms, Example 056C를 보라. 조건 (3)을 대수로 옮기면 \(\mathfrak p\)를 \(A\)의 임의 연관 소아이디얼이라 할 때 \(i\)가 존재하여 \(f_i \not \in \mathfrak p\)라는 뜻이다.

(1), 즉 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\)이 단사라고 가정하자. \(a \in A\)의 소멸자가 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)라고 하자. \(a\)가 어떤 \(A_{f_i}\)의 영이 아닌 원소로 가게 되는 \(i\)가 존재하므로 \(f_i \not \in \mathfrak p\)이다. 따라서 (3)이 성립한다.

\(U\)가 \(\Spec(A)\)에서 조밀할 필요충분조건은 모든 극소 소아이디얼을 포함하는 것임을 주의하자. \(A\)의 연관 소아이디얼들의 집합은 극소 소아이디얼들의 집합과 매장된 연관 소아이디얼들의 집합의 합집합이므로 (Algebra, Proposition 02CE), (2)와 (3)은 동치이다.

(3)을 가정하자. 이는 임의의 연관 소아이디얼 \(\mathfrak p\)가 \(A\)의 것일 때 \(A_{f_i}\)의 한 소아이디얼에 대응하게 되는 \(i\)가 존재한다는 뜻이다. 그러면 \(A \to A_{f_1} \times \ldots \times A_{f_n}\)은 단사이다. 실제로 \(A \to \prod_{\mathfrak p \in \text{Ass}(A)} A_\mathfrak p\)가 Algebra, Lemma 0311에 의해 단사이다. 이로써 (3)이 (1)을 함의함을 알 수 있다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접층이라 하자. 다음 연접 부분층들의 집합은 \[\{ \mathcal{K} \subset \mathcal{F} \mid \text{Supp}(\mathcal{K})\text{ is nowhere dense in }\text{Supp}(\mathcal{F}) \}\] 극대 원소 \(\mathcal{K}\)를 갖는다. \(\mathcal{F}' = \mathcal{F}/\mathcal{K}\)로 놓으면 다음이 성립한다.

1. \(\text{Supp}(\mathcal{F}') = \text{Supp}(\mathcal{F})\),

2. \(\mathcal{F}'\)에는 매장된 연관점이 없고,

3. 조밀한 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(U \cap \text{Supp}(\mathcal{F})\)는 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)에서 조밀하고 \(\mathcal{F}'|_U \cong \mathcal{F}|_U\)이다.

증명

이는 Algebra, Lemmas 02M6와 02M7에서 따른다. \(U\)는 \(\mathcal{F}\)의 매장된 연관점들의 집합의 폐포의 여집합으로 택할 수 있음을 주의하자.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 매장된 연관점이 없는 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음과 같이 놓자. \[\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{O}_X \longrightarrow \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{F})).\] 이는 매장점이 없는 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)를 정의하는 연접 아이디얼층이다. 또한 연접층 \(\mathcal{G}\)가 \(Z\) 위에 존재하여 (a) \(\mathcal{F} = (Z \to X)_*\mathcal{G}\)이고, (b) \(\mathcal{G}\)에는 매장된 연관점이 없으며, (c) \(\text{Supp}(\mathcal{G}) = Z\)이다(집합으로서).

증명

몇몇 명제는 Cohomology of Schemes, Lemma 01Y5의 증명에서 이미 보았다. 나머지는 Algebra, Lemma 02M8에서 따른다.

약연관점

\(R\)을 환이라 하고 \(M\)을 \(R\)-가군이라 하자. 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset R\)가 \(M\)에 약연관된다는 것은 어떤 원소 \(m\)이 \(M\) 안에 존재하여, \(\mathfrak p\)가 \(m\)의 소멸자를 포함하는 소 아이디얼들 가운데 극소라는 뜻임을 상기하자. Algebra, Definition 0547을 보라. \(R\)이 극대 아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는 국소환이면, \(\mathfrak m\)이 \(M\)에 약연관될 필요충분조건은 원소 \(m \in M\)이 존재하여 그 소멸자의 근기가 \(\mathfrak m\)인 것이다. Algebra, Lemma 0566을 보라.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자.

1. \(x \in X\)가 \(\mathcal{F}\)에 약연관되어 있다고 함은 극대 아이디얼 \(\mathfrak m_x\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군 \(\mathcal{F}_x\)에 약연관되어 있다는 뜻이다.

2. \(\text{WeakAss}(\mathcal{F})\)로 \(\mathcal{F}\)의 약연관점들의 집합을 나타낸다.

3. \(X\)의 약연관점은 \(\mathcal{O}_X\)의 약연관점이다.

이 경우 임의의 아핀 열린집합 위에서 위 개념은 앞서 정의한 약연관 소아이디얼과 정확히 대응한다. 정확한 명제는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(\Spec(A) = U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하고 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)로 놓자. \(x \in U\)라 하고 \(\mathfrak p \subset A\)를 이에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathfrak p\)는 \(M\)에 약연관되고,

2. \(x\)는 \(\mathcal{F}\)에 약연관된다.

증명

Algebra, Lemma 0566에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\text{Ass}(\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}).\]

증명

이는 정의들에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)을 \(X\) 위의 준연접층들의 짧은 완전열이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_2) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \cup \text{WeakAss}(\mathcal{F}_3)\) 이고 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_1) \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F}_2)\)이다.

증명

모든 점 \(x \in X\)에 대해 줄기들의 열 \(0 \to \mathcal{F}_{1, x} \to \mathcal{F}_{2, x} \to \mathcal{F}_{3, x} \to 0\) 은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군들의 짧은 완전열이다. 따라서 이 보조정리는 Algebra, Lemma 0548에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\mathcal{F} = (0) \Leftrightarrow \text{WeakAss}(\mathcal{F}) = \emptyset\] 이다.

증명

Lemma 056M과 Algebra, Lemma 0588에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)가 열린집합이고 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}) \subset U\)이면 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\)는 단사이다.

증명

\(s \in \Gamma(X, \mathcal{F})\)를 \(U\)에 제한하면 영이 되는 절단이라 하자. \(\mathcal{F}' \subset \mathcal{F}\)를 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\)의 상이라 하자. 이 사상은 \(s\)가 정의한다. 그러면 \(\text{Supp}(\mathcal{F}') \cap U = \emptyset\)이다. 한편 Lemma 05AN에 의해 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다. 또한 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') \subset \text{Supp}(\mathcal{F}')\)이므로 (Lemma 05AM) \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}') = \emptyset\)이라는 결론을 얻는다. 따라서 Lemma 05AP에 의해 \(\mathcal{F}' = 0\)이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)를 \(\mathcal{F}\)의 지지에 속하면서 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)의 다른 점의 특수화가 아닌 점이라 하자. 그러면 \(x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다. 특히 \(X\)의 한 기약 성분의 임의의 일반점은 \(\mathcal{O}_X\)에 약연관된다.

증명

\(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)이므로 가군 \(\mathcal{F}_x\)는 영이 아니다. 따라서 Algebra, Lemma 0588에 의해 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, x})\)는 공집합이 아니다. 한편 가정에 의해 \(\text{Supp}(\mathcal{F}_x) = \{\mathfrak m_x\}\)이다. 또한 \(\text{WeakAss}(\mathcal{F}_x) \subset \text{Supp}(\mathcal{F}_x)\)이므로 (Algebra, Lemma 0589) \(\mathfrak m_x\)가 \(\mathcal{F}_x\)에 약연관되어 있음을 알 수 있고 원하는 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathfrak m_x\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 유한 생성 아이디얼이면 \[x \in \text{Ass}(\mathcal{F}) \Leftrightarrow x \in \text{WeakAss}(\mathcal{F}).\] 이다. 특히 \(X\)가 국소 뇌터이면 \(\text{Ass}(\mathcal{F}) = \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다.

증명

Algebra, Lemma 058A을 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)를 \(f\)의 상에 속하지 않는 점이라 하자. 그러면 \(s\)는 \(f_*\mathcal{F}\)에 약연관되지 않는다.

증명

\(f' : X' \to \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)를 \(f\)를 사상 \(g : \Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \to S\)에 따라 바꾼 밑이라 하고, 다른 사영을 \(g' : X' \to X\)로 나타내자. 그러면 \[(f_*\mathcal{F})_s = (g^*f_*\mathcal{F})_s = (f'_*(g')^*\mathcal{F})_s\] 이다. 첫째 등식은 \(g\)가 \(s\)에서 국소환의 동형사상을 유도하기 때문이고, 둘째 등식은 평탄 밑변환 때문이다(Cohomology of Schemes, Lemma 02KH). 물론 \(s \in \Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)는 \(f'\)의 상에 속하지 않는다. 따라서 \(S\)가 국소환 \((A, \mathfrak m)\)의 스펙트럼이고 \(s\)가 \(\mathfrak m\)에 대응한다고 가정해도 된다. Schemes, Lemma 01LC에 의해 층 \(f_*\mathcal{F}\)는 준연접이므로, \(A\)-가군 \(M\)에 대응한다고 하자. \(s\)가 \(f\)의 상에 속하지 않으므로 \(X = \bigcup_{a \in \mathfrak m} f^{-1}D(a)\)는 열린 덮개이다. \(X\)가 준콤팩트이므로 \(a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak m\)을 택하여 \(X = f^{-1}D(a_1) \cup \ldots \cup f^{-1}D(a_n)\)으로 만들 수 있다. 따라서 \[M \to M_{a_1} \oplus \ldots \oplus M_{a_r}\] 는 단사이다. 그러므로 영이 아닌 임의의 원소 \(m\)을 줄기 \(M_\mathfrak p\)에서 택하면 \(i\)가 존재하여 \(a_i^n m\)은 모든 \(n \geq 0\)에 대해 영이 아니다. 따라서 \(\mathfrak m\)은 \(M\)에 약연관되지 않는다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 사상이라 하자. 모든 \(x \in X\)에 대해 다음 중 적어도 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)가 단사이거나,

2. \(x \not \in \text{WeakAss}(\mathcal{F})\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 단사이다.

증명

가정에 의해 \(\text{WeakAss}(\Ker(\varphi)) = \emptyset\)이고, 따라서 Lemma 05AP에 의해 \(\Ker(\varphi) = 0\)이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(j : U \to X\)를 열린 부분스킴이라 하되, \(x \in X \setminus U\)이면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)라고 하자. 그러면 \[\mathcal{F} \longrightarrow j_*(\mathcal{F}|_U)\] 는 동형사상이고, 따라서 \(\Gamma(X, \mathcal{F}) \to \Gamma(U, \mathcal{F})\)도 동형사상이다.

증명

Lemma 0AVM을 보조정리에 표시된 사상에 적용할 수 있다고 주장한다. \(x \in X\)라 하자. \(x \in U\)이면 \(j_*(\mathcal{F}|_U)|_U = \mathcal{F}|_U\)이므로 이 사상은 줄기 위에서 동형사상이다. \(x \in X \setminus U\)이면 \(x \not \in \text{Ass}(j_*(\mathcal{F}|_U))\)이다 (Lemmas 0AVN와 05AM). \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)를 가정했으므로 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 축약 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)의 약연관점은 정확히 \(X\)의 기약 성분들의 일반점이다.

증명

Algebra, Lemma 0EMA에서 따른다.

사상과 약연관점

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] 이다.

증명

\(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 되며, 이때 \(X \to S\)는 환 준동형 \(A \to B\)에서 온다. 그러면 \(\mathcal{F} = \widetilde M\)로 쓸 수 있는데, 여기서 어떤 \(B\)-가군을 \(M\)이라 하였다. Lemma 056M에 의해 \(\mathcal{F}\)의 약연관점은 \(M\)의 약연관 소아이디얼과 정확히 대응한다. 마찬가지로 \(f_*\mathcal{F}\)의 약연관점은 \(M\)을 \(A\)-가군으로 보았을 때의 약연관 소아이디얼과 정확히 대응한다. 따라서 이 보조정리는 Algebra, Lemma 05C6에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 아핀 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(X\)가 국소 뇌터이면 \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) = \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) = \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] 이다.

증명

\(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 되며, 이때 \(X \to S\)는 환 준동형 \(A \to B\)에서 온다. \(X\)가 국소 뇌터이므로 환 \(B\)는 뇌터이다. Properties, Lemma 01OW을 보라. \(\mathcal{F} = \widetilde M\)로 쓰자. 여기서 어떤 \(B\)-가군을 \(M\)이라 하였다. Lemma 02OK에 의해 \(\mathcal{F}\)의 연관점은 \(M\)의 연관 소아이디얼과 정확히 대응하고, \(M\)을 \(A\)-가군으로 보았을 때의 모든 연관 소아이디얼은 \(f_*\mathcal{F}\)의 연관점이다. 따라서 포함관계 \[f(\text{Ass}_X(\mathcal{F})) \subset \text{Ass}_S(f_*\mathcal{F})\] 는 Algebra, Lemma 05DZ에서 따른다. 또 포함관계 \[\text{Ass}_S(f_*\mathcal{F}) \subset \text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F})\] 는 Lemma 05AM에서 따른다. 포함관계 \[\text{WeakAss}_S(f_*\mathcal{F}) \subset f(\text{WeakAss}_X(\mathcal{F}))\] 는 Lemma 05EX에서 따른다. 양끝 집합은 Lemma 05AR에 의해 같으므로 모든 곳에서 등호를 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 유한 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}(f_*\mathcal{F}) = f(\text{WeakAss}(\mathcal{F}))\)이다.

증명

\(X\)와 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 되며, 이때 \(X \to S\)는 유한 환 준동형 \(A \to B\)에서 온다. \(\mathcal{F} = \widetilde M\)로 쓰자. 여기서 어떤 \(B\)-가군을 \(M\)이라 하였다. Lemma 056M에 의해 \(\mathcal{F}\)의 약연관점은 \(M\)의 약연관 소아이디얼과 정확히 대응한다. 마찬가지로 \(f_*\mathcal{F}\)의 약연관점은 \(M\)을 \(A\)-가군으로 보았을 때의 약연관 소아이디얼과 정확히 대응한다. 따라서 이 보조정리는 Algebra, Lemma 05E1에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. \(x \in X\)이고 \(s = f(x)\)라 하자. \(f\)가 \(x\)에서 평탄하고, 점 \(x\)가 올 \(X_s\)의 일반점이며, \(s \in \text{WeakAss}_S(\mathcal{G})\)이면 \(x \in \text{WeakAss}(f^*\mathcal{G})\)이다.

증명

\(A = \mathcal{O}_{S, s}\), \(B = \mathcal{O}_{X, x}\), \(M = \mathcal{G}_s\)로 놓자. \(m \in M\)을 그 소멸자 \(I = \{a \in A \mid am = 0\}\)의 근기가 \(\mathfrak m_A\)인 원소라 하자. 그러면 \(m \otimes 1\)의 소멸자는 \(I B\)인데, 이는 \(A \to B\)가 충실히 평탄하기 때문이다. 따라서 \(\sqrt{I B} = \mathfrak m_B\)임을 보이면 충분하다. 이는 \(B/\mathfrak m_AB\)의 극대 아이디얼이 국소 멱영이라는 사실 (Algebra, Lemma 00EU)과 가정 \(\sqrt{I} = \mathfrak m_A\)에서 따른다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(K/k\)를 체 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(y \in X_K\)의 상이 \(x \in X\)라고 하자. \(y\)가 역상 \(\mathcal{F}_K\)의 약연관점이면 \(x\)는 \(\mathcal{F}\)의 약연관점이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 0CUB를 스킴의 언어로 옮긴 것이다.

다음은 직상이 흔히 깊이 적어도 2를 가짐을 보여 주는 간단한 보조정리이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 준콤팩트 준분리 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자.

1. \(s \not \in f(X)\)이면 \(s\)는 \(f_*\mathcal{F}\)에 약연관되지 않는다.

2. \(s \not \in f(X)\)이고 \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 뇌터이면 \(s\)는 \(f_*\mathcal{F}\)에 연관되지 않는다.

3. \(s \not \in f(X)\)이고 \((f_*\mathcal{F})_s\)가 유한 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군이며 \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 뇌터이면 \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq 2\)이다.

4. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하고 \(a \in \mathfrak m_s\)가 영인자가 아니면 \(a\)는 \((f_*\mathcal{F})_s\) 위에서도 영인자가 아니다.

5. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하고 \(a, b \in \mathfrak m_s\)가 정칙열이면 \(a\)는 \((f_*\mathcal{F})_s\) 위에서 영인자가 아니고 \(b\)는 \((f_*\mathcal{F})_s/a(f_*\mathcal{F})_s\) 위에서 영인자가 아니다.

6. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하고 \((f_*\mathcal{F})_s\)가 유한 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군이면 \(\text{depth}((f_*\mathcal{F})_s) \geq \min(2, \text{depth}(\mathcal{O}_{S, s}))\)이다.

증명

(1)은 Lemma 0AVN이다. (2)는 (1)과 Lemma 05AR에서 따른다.

(3)의 증명. 깊이가 \(\geq 2\)임을 보이려면 \(\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\)이고 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_{S, s}}(\kappa(s), (f_*\mathcal{F})_s) = 0\)임을 보이면 충분하다. Algebra, Lemma 00LW를 보라. 완전열 \(0 \to \mathfrak m_s \to \mathcal{O}_{S, s} \to \kappa(s) \to 0\)을 사용하면 사상 \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathcal{O}_{S, s}, (f_*\mathcal{F})_s) \to \Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s)\] 이 동형사상임을 증명하면 충분하다. 평탄 밑변환에 의해(Cohomology of Schemes, Lemma 02KH) \(S\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s})\)로, \(X\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{S, s}) \times_S X\)로 바꾸어도 된다. \(\mathfrak m \subset \mathcal{O}_S\)로 \(s\)의 아이디얼층을 나타내자. 그러면 \[\Hom_{\mathcal{O}_{S, s}}(\mathfrak m_s, (f_*\mathcal{F})_s) = \Hom_{\mathcal{O}_S}(\mathfrak m, f_*\mathcal{F}) = \Hom_{\mathcal{O}_X}(f^*\mathfrak m, \mathcal{F})\] 이다. 첫째 등식은 \(S\)가 닫힌점 \(s\)를 갖는 국소 스킴이기 때문이고, 둘째 등식은 준연접 가군 위의 \(f^*, f_*\)에 대한 수반에서 따른다. 그런데 \(s \not \in f(X)\)이므로 \(f^*\mathfrak m = \mathcal{O}_X\)이다. 논증을 거꾸로 따라가면 원하는 등식을 얻는다.

(4), (5), (6)을 증명하기 위해 평탄 밑변환을 사용하여(Cohomology of Schemes, Lemma 02KH) \(S\)가 \(\mathcal{O}_{S, s}\)의 스펙트럼인 경우로 환원한다. 그러면 영인자가 아닌 \(a \in \mathcal{O}_{S, s}\)는 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_S \xrightarrow{a} \mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_S/a \mathcal{O}_S \to 0\] 을 결정한다. \(\mathcal{F}\)가 \(S\) 위에서 평탄하므로 완전열 \[0 \to \mathcal{F} \xrightarrow{a} \mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to 0\] 을 얻는다. 이를 직상하면 완전열 \[0 \to f_*\mathcal{F} \xrightarrow{a} f_*\mathcal{F} \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] 을 얻는다. 이는 (4)를 증명하고 \(f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \subset f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\)임을 보여 준다. \(b\)가 \(\mathcal{O}_{S, s}/a\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 영인자가 아니면, 똑같은 논증으로 \(b : \mathcal{F}/a\mathcal{F} \to \mathcal{F}/a\mathcal{F}\)가 단사임을 알 수 있다. 이를 직상하면 \[b : f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F}) \to f_*(\mathcal{F}/a\mathcal{F})\] 가 단사이고, 따라서 \(b : f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F} \to f_*\mathcal{F}/ af_*\mathcal{F}\)도 단사이다. 이는 (5)를 증명한다. (6)은 (4), (5), 그리고 정의들에서 따른다.

상대 연관점 집합

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. \(N\)을 \(B\)-가군이라 하자. 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)가 \(N\)의, \(B/A\) 위 상대 연관점 집합에 속한다는 것은 \(\mathfrak q\)가 \(N \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)의 연관 소아이디얼이라는 뜻임을 상기하자. 여기서 \(\mathfrak p = A \cap \mathfrak q\)이다. Algebra, Definition 05GC을 보라. 다음은 스킴의 사상 위에서 준연접층의 상대 연관점 집합을 정의한다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의, \(X\) 안에서 \(S\) 위의 상대 연관점 집합은 다음 집합이다. \[\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{Ass}_{X_s}(\mathcal{F}_s)\] 여기서 \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}\)를 \(f\)의 \(s\) 위 올에 제한한 것이다.

다시 말하지만 이는 \(f\)의 올들이 국소 뇌터이고 \(\mathcal{F}\)가 유한형일 때 사용하는 것이 가장 좋다는 단서가 있다. 일반적인 경우에는 아마 다음 절에서 정의할 상대 약연관점 집합을 사용해야 할 것이다. 스킴론적 개념과 아핀 열린집합 위의 대수적 개념을 연결해 보자. 이 대응은 올들이 국소 뇌터인 스킴의 사상에 대해서만 완전하게 작동함을 주의하자.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 준연접층이라 하자. \(U \subset X\)와 \(V \subset S\)를 \(f(U) \subset V\)인 아핀 열린집합들이라 하자. \(U = \Spec(A)\), \(V = \Spec(R)\)로 쓰고 \(M = \Gamma(U, \mathcal{F})\)로 놓자. \(x \in U\)라 하고 \(\mathfrak p \subset A\)를 이에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \[\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Rightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\] 이다. 모든 올 \(X_s\)가 \(f\)의 올로서 국소 뇌터이면 \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M) \Leftrightarrow x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)가 위와 같은 모든 쌍 \((\mathfrak p, x)\)에 대해 성립한다.

증명

집합 \(\text{Ass}_{A/R}(M)\)은 Algebra, Definition 05GC에서 정의된다. 한 쌍 \((\mathfrak p, x)\)를 택하자. \(s = f(x)\)라 하자. \(\mathfrak r \subset R\)를 \(\mathfrak p\) 아래에 있는 소 아이디얼, 즉 \(s\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak p' \subset A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\)를 그 역상이 \(\mathfrak p\)인 소 아이디얼, 즉 \(x\)를 그 올 \(X_s\)의 점으로 보았을 때 이에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\mathfrak p \in \text{Ass}_{A/R}(M)\)일 필요충분조건은 \(\mathfrak p'\)가 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\)의 연관 소아이디얼인 것이다. Algebra, Lemma 05GB를 보라. 환 \(A \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\)은 \(U_s\)에 대응하고, 가군 \(M \otimes_R \kappa(\mathfrak r)\)은 준연접층 \(\mathcal{F}_s|_{U_s}\)에 대응함을 주의하자. 따라서 Lemma 02OK에 의해 \(x\)는 \(\mathcal{F}_s\)의 연관점이다. \(\mathfrak p'\)가 유한 생성이면 역함의도 성립하며, 이로써 마지막 문장이 참임을 알 수 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(g : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. 밑변환 도식 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r]_{g'} & X \ar[d] \\ S' \ar[r]^g & S }\] 을 생각하고 \(\mathcal{F}' = (g')^*\mathcal{F}\)로 놓자. \(x' \in X'\)의 상들이 \(x \in X\), \(s' \in S'\), \(s \in S\)라고 하자. \(f\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(x' \in \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\)일 필요충분조건은 \(x \in \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이고 \(x'\)가 \(\Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\)의 한 기약 성분의 일반점에 대응하는 것이다.

증명

올들의 사상 \(X'_{s'} \to X_s\)를 생각하자. \(X_{s'} = X_s \times_{\Spec(\kappa(s))} \Spec(\kappa(s'))\)이므로 이는 평탄 사상이다. 또한 \(\mathcal{F}'_{s'}\)는 이 사상을 따른 \(\mathcal{F}_s\)의 역상이다. \(X_s\)는 뇌터 스킴 \(\Spec(\kappa(s))\) 위에서 국소 유한형이므로 \(X_s\)는 국소 뇌터이다. Morphisms, Lemma 01T6을 보라. 따라서 Lemma 05DB를 적용하면 \[\text{Ass}_{X'_{s'}}(\mathcal{F}'_{s'}) = \bigcup\nolimits_{x \in \text{Ass}(\mathcal{F}_s)} \text{Ass}((X'_{s'})_x).\] 를 얻는다. 그러므로 보조정리를 증명하려면 올 \((X'_{s'})_x\), 즉 사상 \(X'_{s'} \to X_s\)의 \(x\) 위 올의 연관점들이 그 일반점들임을 보이면 충분하다. 스킴으로서 \((X'_{s'})_x = \Spec(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x))\)임을 주의하자. Algebra, Lemma 045M에 의해 환 \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\)은 뇌터 Cohen–Macaulay 환이다. 따라서 그 연관 소아이디얼들은 극소 소아이디얼들이다. Algebra, Proposition 02CE (극소 소아이디얼은 연관된다)와 Algebra, Lemma 031Q(매장된 소아이디얼이 없다)를 보라.

주

Lemma 05DC과 같은 표기와 가정 아래에서 항상 \((g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) \supset \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\)임을 알 수 있다. 사상 \(S' \to S\)가 국소 준유한이면 실제로 \[(g')^{-1}(\text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})) = \text{Ass}_{X'/S'}(\mathcal{F}')\] 인데, 이 경우 체 확대 \(\kappa(s')/\kappa(s)\)들이 항상 유한하기 때문이다. 사실 이는 임의의 사상 \(g : S' \to S\)에 대해 더 일반적으로 성립하는데, 모든 체 확대 \(\kappa(s')/\kappa(s)\)가 대수적인 경우가 그렇다. 이 경우 \(\kappa(s') \otimes_{\kappa(s)} \kappa(x)\)의 모든 소아이디얼은 극대 (그리고 극소) 소아이디얼이기 때문이다. Algebra, Lemma 00GS를 보라.

상대 약연관점 집합

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의, \(X\) 안에서 \(S\) 위의 상대 약연관점 집합은 다음 집합이다. \[\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \bigcup\nolimits_{s \in S} \text{WeakAss}(\mathcal{F}_s)\] 여기서 \(\mathcal{F}_s = (X_s \to X)^*\mathcal{F}\)는 \(\mathcal{F}\)를 \(f\)의 \(s\) 위 올에 제한한 것이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}_{X/S}(\mathcal{F}) = \text{Ass}_{X/S}(\mathcal{F})\)이다.

증명

\(f\)의 올들은 국소 뇌터 스킴이고, 국소 뇌터 스킴에서는 연관점과 약연관점이 일치하므로 참이다. Lemma 05AR을 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(i : Z \to X\)를 유한 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{WeakAss}_{X/S}(i_*\mathcal{F}) = i(\text{WeakAss}_{Z/S}(\mathcal{F}))\)이다.

증명

\(i_s : Z_s \to X_s\)를 올 사이의 유도된 사상이라 하자. 그러면 \((i_*\mathcal{F})_s = i_{s, *}(\mathcal{F}_s)\)이다. 이는 Cohomology of Schemes, Lemma 02KG과 \(i\)가 아핀이라는 사실에서 따른다. 따라서 Lemma 05EZ를 적용하여 결론을 얻는다.

피팅 아이디얼

이 절은 More on Algebra, Section 07Z6의 논의를 이어 간다. \(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. 이 상황에서 피팅 아이디얼 \[0 = \text{Fit}_{-1}(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_0(\mathcal{F}) \subset \text{Fit}_1(\mathcal{F}) \subset \ldots \subset \mathcal{O}_S\] 을 다음 성질로 특징지어지는 준연접 아이디얼들의 열로 구성할 수 있다. 모든 아핀 열린집합 \(U = \Spec(A)\)가 \(S\)에 있을 때 \(\mathcal{F}|_U\)가 \(A\)-가군 \(M\)에 대응하면 \(\text{Fit}_i(\mathcal{F})|_U\)는 아이디얼 \(\text{Fit}_i(M) \subset A\)에 대응한다. 이는 잘 정의되며 준연접 아이디얼층이다. 실제로 \(f \in A\)이면 \(i\)번째 피팅 아이디얼, 즉 \(M_f\)의 \(A_f\) 위 피팅 아이디얼은 More on Algebra, Lemma 07ZA에 의해 \(\text{Fit}_i(M) A_f\)와 같다.

또는 \(\mathcal{F}\)의 국소 표시를 이용하여 피팅 아이디얼을 구성할 수 있다. 구체적으로 \(U \subset X\)가 열려 있고 \[\bigoplus\nolimits_{i \in I} \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U^{\oplus n} \to \mathcal{F}|_U \to 0\] 이 \(\mathcal{F}\)의 표시로서 \(U\) 위에 놓이면, \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})|_U\)는 이 표시의 첫째 화살표를 정의하는 행렬의 \((n - r) \times (n - r)\) 소행렬식들로 생성된다. 이것은 환 위 가군의 피팅 아이디얼을 실제로 정의하는 방법이므로 위 구성과 양립한다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(f : T \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. 그러면 \(f^{-1}\text{Fit}_i(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \text{Fit}_i(f^*\mathcal{F})\)이다.

증명

More on Algebra, Lemma 07ZA의 (3)에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. 그러면 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\)는 유한형 준연접 아이디얼이다.

증명

More on Algebra, Lemma 07ZA의 (4)에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. \(Z_0 \subset S\)를 \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\)가 정의하는 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Z \subset S\)를 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지라 하자. 그러면

1. 닫힌 부분스킴으로서 \(Z \subset Z_0 \subset S\)이고,

2. 닫힌 부분집합으로서 \(Z = Z_0 = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이며,

3. 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_{Z_0}\)-가군 \(\mathcal{G}_0\)가 존재하여 \[(Z_0 \to X)_*\mathcal{G}_0 = \mathcal{F}.\]

증명

\(Z\)는 국소적으로 \(\mathcal{F}\)의 소멸자가 정의함을 상기하자. Morphisms, Definition 05JV를 보라(여기서는 Morphisms, Lemma 05JU을 사용하여 \(Z\)를 정의한다). 따라서 More on Algebra, Lemma 07ZA의 (6)에 의해 스킴론적으로 \(Z \subset Z_0\)임을 알 수 있다. 한편 Morphisms, Lemma 05JU에 의해 집합론적으로 \(Z = \text{Supp}(\mathcal{F})\)이고, More on Algebra, Lemma 07ZA의 (7)에 의해 집합론적으로 \(Z_0 = Z\)이다. 끝으로 (3)의 \(\mathcal{G}_0\)를 얻기 위해 Morphisms, Lemma 05JU에서와 같이 \(\mathcal{G}\)를 \(Z\) 위에서 사용하여 \(\mathcal{G}_0 = (Z \to Z_0)_*\mathcal{G}\)로 놓아도 되고, Morphisms, Lemma 01QY 및 More on Algebra, Lemma 07ZA의 (6)에 의해 \(\text{Fit}_0(\mathcal{F})\)가 \(\mathcal{F}\)를 소멸시킨다는 사실을 사용해도 된다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. \(s \in S\)라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(r\)개의 원소로 \(s\)의 한 근방에서 생성될 필요충분조건은 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})_s = \mathcal{O}_{S, s}\)인 것이다.

증명

More on Algebra, Lemma 07ZC에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. \(r \geq 0\)이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 계수 \(r\)인 유한 국소 자유이고,

2. \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) = 0\)이고 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\)이며,

3. \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = 0\)은 \(k < r\)일 때 성립하고, \(\text{Fit}_k(\mathcal{F}) = \mathcal{O}_S\)는 \(k \geq r\)일 때 성립한다.

증명

More on Algebra, Lemma 07ZD에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 피팅 아이디얼들이 정의하는 닫힌 부분스킴들 \[S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset Z_2 \ldots\] 은 다음 성질들을 갖는다.

1. 교집합 \(\bigcap Z_r\)은 공집합이다.

2. 규칙 \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ is locally generated by } \leq r\text{ sections} \\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 으로 정의되는 함자 \((\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)는 열린 부분스킴 \(S \setminus Z_r\)로 표현된다.

3. 규칙 \[T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ locally free rank }r\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 으로 정의되는 함자 \(F_r : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)는 국소 닫힌 부분스킴 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\)로 표현되며, 이는 \(S\)의 부분스킴이다.

\(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 \(Z_r \to S\), \(S \setminus Z_r \to S\), \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to S\)는 유한 표시이다.

증명

(1)은 모든 아핀 열린집합 \(U\) 위에서 어떤 정수 \(n\)이 존재하여 \(\text{Fit}_n(\mathcal{F})|_U = \mathcal{O}_U\)이므로 참이다. 실제로 \(n\)을 \(\mathcal{F}\)의, \(U\) 위 생성원 수로 택할 수 있다. More on Algebra, Section 07Z6를 보라.

임의의 사상 \(g : T \to S\)에 대해 Lemmas 0C3D과 0C3F에서 다음을 알 수 있다. \(\mathcal{F}_T\)가 국소적으로 \(\leq r\)개의 절단으로 생성될 필요충분조건은 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\)인 것이다. 이는 (2)를 증명한다.

임의의 사상 \(g : T \to S\)에 대해 Lemmas 0C3D과 0C3G에서 다음을 알 수 있다. \(\mathcal{F}_T\)가 계수 \(r\)인 자유 가군일 필요충분조건은 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = \mathcal{O}_T\)이고 \(\text{Fit}_{r - 1}(\mathcal{F}) \cdot \mathcal{O}_T = 0\)인 것이다. 이는 (3)을 증명한다.

\(\mathcal{F}\)가 유한 표시라고 가정하자. 그러면 각 사상 \(Z_r \to S\)는 \(\text{Fit}_r(\mathcal{F})\)가 유한형이므로 유한 표시이다(Lemma 0C3E와 Morphisms, Lemma 01TV). 이는 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r\)가 \(Z_r\) 안에서 역콤팩트 열린집합임을 함의하고 (Properties, Lemma 01PH), 따라서 사상 \(Z_{r - 1} \setminus Z_r \to Z_r\)도 유한 표시이다.

Lemma 05P8에도 불구하고 다음 보조정리는 \(\mathcal{F}\)가 유한형 준연접 가군일 때에는 성립하지 않는다. 즉 층화는 여전히 존재하지만 일반적으로 함자 \(F_{flat}\)을 표현하지는 않는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한 표시 \(\mathcal{O}_S\)-가군이라 하자. Lemma 05P8에서와 같이 \(S = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\)라 하자. \(S_r = Z_{r - 1} \setminus Z_r\)로 놓자. 그러면 \(S' = \coprod_{r \geq 0} S_r\)는 함자 \[F_{flat} : \Sch/S \longrightarrow \textit{Sets},\quad\quad T \longmapsto \left\{ \begin{matrix} \{*\} & \text{if }\mathcal{F}_T\text{ flat over }T\\ \emptyset & \text{otherwise} \end{matrix} \right.\] 를 표현한다. 또한 \(\mathcal{F}|_{S_r}\)는 계수 \(r\)인 국소 자유이고, 사상 \(S_r \to S\)와 \(S' \to S\)는 유한 표시이다.

증명

\(g : T \to S\)를 역상 \(\mathcal{F}_T = g^*\mathcal{F}\)가 평탄인 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}_T\)는 유한 표시 평탄 \(\mathcal{O}_T\)-가군이다. 따라서 \(\mathcal{F}_T\)는 유한 국소 자유이다. Properties, Lemma 05P2를 보라. 그러므로 \(T = \coprod_{r \geq 0} T_r\)이고, 여기서 \(\mathcal{F}_T|_{T_r}\)는 계수 \(r\)인 국소 자유이다. 이는 \[F_{flat} = \coprod\nolimits_{r \geq 0} F_r\] 임을 \(\Sch/S\) 위의 Zariski 층들의 범주에서 함의한다. 여기서 \(F_r\)은 Lemma 05P8에서와 같다. 따라서 \(F_{flat}\)은 \(\coprod_{r \geq 0} (Z_{r - 1} \setminus Z_r)\)로 표현된다. 여기서 \(Z_r\)은 Lemma 05P8에서와 같다. 나머지 명제들도 그 보조정리에서 따른다.

예

\(R = \prod_{n \in \mathbf{N}} \mathbf{F}_2\)라 하자. \(I \subset R\)을 성분이 거의 모두 영인 원소 \(a = (a_n)_{n \in \mathbf{N}}\)들의 아이디얼이라 하자. \(\mathfrak m\)을 \(I\)를 포함하는 극대 아이디얼이라 하자. 그러면 \(M = R/\mathfrak m\)은 유한 평탄 \(R\)-가군이다. 실제로 \(R\)은 절대 평탄이다(More on Algebra, Lemma 092G). \(S = \Spec(R)\)와 \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)로 놓자. Lemma 05P8의 닫힌 부분스킴들은 \(S = Z_{-1}\), \(Z_0 = \Spec(R/\mathfrak m)\), 그리고 \(Z_i = \emptyset\)이며 이는 \(i > 0\)일 때 성립한다. 그러나 \(\text{id} : S \to S\)는 \((S \setminus Z_0) \amalg Z_0\)를 통해 분해되지 않는데, \(\mathfrak m\)이 \(S\)의 고립점이 아니기 때문이다. 따라서 Lemma 05P9은 유한형 가군에 대해 성립하지 않는다.

사상의 특이 궤적

\(f : X \to S\)를 스킴의 유한형 사상이라 하자. 점들의 집합 \(U\)를 \(f\)가 매끄러운 점들의 집합이라 하자. 이는 \(X\)의 열린집합이다(Morphisms, Definition 01V5에 의해). 여러 상황에서 표준적인 닫힌 부분스킴 \(\text{Sing}(f) \subset X\)를 갖는 것이 유용하다. 그 여집합은 \(U\)이고 그 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

\(f\)가 유한 표시이면 한 선택으로 아핀 국소적으로 Smoothing Ring Maps, Definition 07C7의 의미에서 “엄밀히 표준적인” 함수들이 정의하는 닫힌 부분스킴 \(Z\)를 생각할 수 있다. Smoothing Ring Maps, Lemma 07CC에 의해 다음을 알 수 있다. \(f' : X' \to S'\)가 \(f\)의 밑변환이고 이 밑변환이 사상 \(S' \to S\)에 따른 것이면 \(Z' \subset S' \times_S Z\)이다. 여기서 \(Z'\)은 \(X'\) 위에서 아핀 국소적으로 엄밀히 표준적인 함수들이 정의하는 닫힌 부분스킴이다. 하지만 등호인지는 분명하지 않다. 엄밀히 표준적인 원소라는 개념은 Popescu의 정리에 관한 장에서 유용했다. 이 원소들이 정의하는 닫힌 부분스킴은 (우리가 아는 한) 문헌에서 사용되지 않는다¹.

\(f\)가 평탄하고 유한 표시이며 \(f\)의 올들이 모두 차원 \(d\)인 등차원이면, \(d\)번째 피팅 아이디얼을 사용하는데, 이는 \(\Omega_{X/S}\)의 피팅 아이디얼이며 좋은 닫힌 부분스킴을 준다. 임의의 유한형 사상에 대해 \(X\)의 닫힌 부분스킴들을 생각하자. 이들은 \(\Omega_{X/S}\)의 피팅 아이디얼들이 정의하며, \(X\)의 층화를 \(\Omega_{X/S}\)의 계수에 따라 정의한다. 그 형성은 밑변환과 가환한다. 이는 유용할 수 있으며 올들의 매장 차원과 관련된다. Varieties, Section 0C2G을 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. \(X = Z_{-1} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots\)를 \(\Omega_{X/S}\)의 피팅 아이디얼들이 정의하는 닫힌 부분스킴들이라 하자. 그러면 \(Z_i\)의 형성은 임의의 밑변환과 가환한다.

증명

\(\Omega_{X/S}\)는 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이므로(Morphisms, Lemma 01V2) 피팅 아이디얼들이 정의된다. \(f' : X' \to S'\)가 \(f\)의 밑변환이고 그 밑변환 사상이 \(g : S' \to S\)이면, \(\Omega_{X'/S'} = (g')^*\Omega_{X/S}\)이다. 여기서 \(g' : X' \to X\)는 사영이다(Morphisms, Lemma 01V0). 따라서 \((g')^{-1}\text{Fit}_i(\Omega_{X/S}) \cdot \mathcal{O}_{X'} = \text{Fit}_i(\Omega_{X'/S'})\)이다. 이는 스킴론적으로 \[Z'_i = (g')^{-1}(Z_i) = Z_i \times_X X'\] 라는 뜻이며, 이것이 보조정리의 명제의 의미이다.

\(0\)번째 피팅 아이디얼, 즉 \(\Omega\)의 그것은 사상의 “분기 궤적”을 정의한다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 국소 유한형인 스킴의 사상이라 하자. 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)를 택하되, \(0\)번째 피팅 아이디얼, 즉 \(\Omega_{X/S}\)의 그것이 정의한다고 하자. 이는 정확히 \(f\)가 비분기이지 않은 점들의 집합이다.

증명

Lemma 0CYX에 의해 \(Z\)의 여집합은 정확히 \(\Omega_{X/S}\)가 영인 궤적이다. 이는 Morphisms, Lemma 02G5에 의해 정확히 \(f\)가 비분기인 점들의 집합이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(d \geq 0\)을 정수라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(f\)는 평탄하고,

2. \(f\)는 국소 유한 표시이며,

3. \(f\)의 모든 공집합이 아닌 올은 차원 \(d\)인 등차원이다.

\(Z \subset X\)를 \(d\)번째 피팅 아이디얼이 정의하는 닫힌 부분스킴이라 하자. 이 아이디얼은 \(\Omega_{X/S}\)의 피팅 아이디얼이다. 그러면 \(Z\)는 정확히 \(f\)가 매끄럽지 않은 점들의 집합이다.

증명

Lemma 05P8에 의해 \(Z\)의 여집합은 정확히 \(\Omega_{X/S}\)가 많아야 \(d\)개의 원소로 생성될 수 있는 궤적이다. 따라서 이 보조정리는 Morphisms, Lemma 01V9에서 따른다.

꼬임 없는 가군

이 절은 준연접 가군에 대한 More on Algebra, Section 0549의 대응물이다.

보조정리

\(X\)를 일반점이 \(\eta\)인 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(U \subset X\)를 공집합이 아닌 열린집합이라 하고 \(s \in \mathcal{F}(U)\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 어떤 \(x \in U\)에 대해 \(s\)의 상이 \(\mathcal{F}_x\)에서 꼬임이다.

2. 모든 \(x \in U\)에 대해 \(s\)의 상이 \(\mathcal{F}_x\)에서 꼬임이다.

3. \(s\)의 상이 \(\mathcal{F}_\eta\)에서 영이다.

4. \(s\)의 상이 \(j_*\mathcal{F}_\eta\)에서 영이다. 여기서 \(j : \eta \to X\)는 포함 사상이다.

증명

생략한다.

정의

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)의 국소 절단이 Lemma 0AXR의 서로 동치인 조건들을 만족하면 이를 꼬임이라고 한다.

2. \(\mathcal{F}\)가 꼬임이 없다고 하는 것은 \(\mathcal{F}\)의 모든 꼬임 절단이 \(0\)일 때이다.

통상적인 대수적 개념과 이를 비교하는 필수 보조정리는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)에는 꼬임이 없다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(\mathcal{F}(U)\)는 꼬임이 없는 \(\mathcal{O}(U)\)-가군이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 꼬임 절단들은 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-부분가군 \(\mathcal{F}_{tors} \subset \mathcal{F}\) 을 이룬다. 몫가군 \(\mathcal{F}/\mathcal{F}_{tors}\)에는 꼬임이 없다.

증명

생략한다. 대수적 대응물은 More on Algebra, Lemma 0537을 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. 임의의 평탄 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군에는 꼬임이 없다.

증명

생략한다. More on Algebra, Lemma 0538를 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 정역 스킴들의 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 꼬임이 없는 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \(f^*\mathcal{G}\)는 꼬임이 없는 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

생략한다. 대수적 대응물은 More on Algebra, Lemma 0AXM을 보라.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 평탄 사상이라 하자. \(Y\)가 정역이고 \(f\)의 일반 올이 정역이면 \(X\)는 정역이다.

증명

대수적 대응물은 다음과 같다. \(A\)를 분수체가 \(K\)인 정역이라 하고 \(B\)를 평탄 \(A\)-대수라 하되 \(B \otimes_A K\)가 정역이라고 하자. 그러면 \(B\)는 정역이다. 실제로 More on Algebra, Lemma 0538에 의해 \(B\)에는 꼬임이 없고, 따라서 \(B \subset B \otimes_A K\)이기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)에 꼬임이 없는 것과 \(\mathcal{F}_x\)가 꼬임이 없는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군인 것은 모든 \(x \in X\)에 대해 서로 동치이다.

증명

생략한다. More on Algebra, Lemma 0AUT을 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) 을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}''\)에 꼬임이 없으면 \(\mathcal{F}'\)에도 꼬임이 없다.

증명

생략한다. 대수적 대응물은 More on Algebra, Lemma 0AUS를 보라.

보조정리

\(X\)를 일반점이 \(\eta\)인 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 영이 아닌 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)에는 꼬임이 없다.

2. \(\eta\)는 \(\mathcal{F}\)의 유일한 연관 소아이디얼이다.

3. \(\eta\)는 \(\mathcal{F}\)의 지지집합에 속하고 \(\mathcal{F}\)는 성질 \((S_1)\)을 가진다.

4. \(\eta\)는 \(\mathcal{F}\)의 지지집합에 속하고 \(\mathcal{F}\)는 매장된 연관 소아이디얼을 갖지 않는다.

증명

이는 More on Algebra, Lemma 0AUV을 스킴의 언어로 옮긴 것이다. 그 번역은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 차원이 \(\leq 1\)인 정칙 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)에는 꼬임이 없다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 국소 자유이다.

증명

유한 국소 자유 가군에 꼬임이 없다는 것은 자명하다. 역으로, \(\mathcal{F}\)에 꼬임이 없으면 \(\mathcal{F}_x\)가 자유 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군임을 모든 \(x \in X\)에 대해 보이겠다. 이는 Algebra, Lemma 00NX와 \(\mathcal{F}\)가 응집이라는 사실에 의해 충분하다. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\)이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 체이므로 명제는 자명하다. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 이산 부치환이다 (Algebra, Lemma 00PD). 또한 \(\mathcal{F}_x\)에는 꼬임이 없다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0AUW에 의해 \(\mathcal{F}_x\)는 자유이다.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G}\)에 꼬임이 없고 \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)에는 꼬임이 없다.

증명

\(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)가 Schemes, Section 01LA에 의해 준연접이므로 명제는 의미가 있다. 명제가 참임을 보려면 More on Algebra, Lemma 0AUX를 보라. 일부 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)는 응집이고, \(\mathcal{G}\)에는 꼬임이 없으며, 모든 \(x \in X\)에 대해 다음 중 하나가 성립한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{F}_x \to \mathcal{G}_x\)는 동형이다.

2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이다.

그러면 \(\varphi\)는 동형이다.

증명

이는 More on Algebra, Lemma 0AV9를 스킴의 언어로 옮긴 것이다.

가군의 계수

이 절은 준연접 가군에 대한 More on Algebra, Section 0H9T의 대응물이다. \(X\)가 일반점이 \(\eta\)인 정역 스킴이면 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\)는 잉여체 \(\kappa(\eta)\)와 같다는 것을 상기하자. Morphisms, Lemma 01RV를 보라.

정의

\(X\)를 일반점이 \(\eta\)인 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 계수는 \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{F}_\eta\)이다.

이는 두 정의를 모두 적용할 수 있을 때 국소 자유 가군의 계수 정의와 충돌하지 않는다. 스킴 \(X\)가 기약이 아니거나 일반점에서의 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\)가 체가 아닐 때 준연접 가군의 계수를 정의하는 것은 좋은 생각으로 보이지 않는다²

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(r\)을 기수라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)의 계수는 \(r\)이다.

2. 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(\mathcal{F}(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군이고 그 계수는 \(r\)이다.

3. 어떤 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(\mathcal{F}(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)-가군이고 그 계수는 \(r\)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 정역 스킴들의 우세 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{G}\)가 \(Y\) 위에서 갖는 계수는 \(f^*\mathcal{G}\)가 \(X\) 위에서 갖는 계수와 같다.

증명

Lemma 0HAG, Morphisms, Lemma 0CC1, 그리고 More on Algebra, Lemma 0H9Y을 사용하라.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) 을 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}'\)의 계수는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{F}''\)의 계수의 합이다.

증명

생략한다. More on Algebra, Lemma 0H9W을 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G}\)의 계수는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 계수의 곱이다.

2. \(\mathcal{F}\)가 유한 표시이면 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)의 계수는 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 계수의 곱이다.

증명

생략한다. (2)가 의미를 갖는 것은 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)가 Schemes, Section 01LA의 항목 (10)에 의해 준연접이기 때문이다. 이 보조정리의 대수적 판본은 More on Algebra, Lemma 0H9X이다.

보조정리

\(X\)를 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 유한형 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{F}\)는 유한 계수 \(r \geq 0\)을 갖는다.

2. 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)가 존재하여 \(\mathcal{F}|_U\)는 계수 \(r\)인 자유 가군이다.

증명

대수적 판본은 More on Algebra, Lemma 0H9Z을 보라.

반사적 가군

이 절은 국소 뇌터 스킴 위의 응집 가군에 대한 More on Algebra, Section 0AUY의 대응물이다. 응집 가군을 다루는 이유는 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)가 임의의 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\)에 대해 응집이기 때문이다. Modules, Lemma 01CQ을 보라.

정의

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{F}\)의 반사적 포락은 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \[\mathcal{F}^{**} = \SheafHom_{\mathcal{O}_X}( \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X), \mathcal{O}_X)\] 이다. \(\mathcal{F}\)가 반사적이라고 하는 것은 자연스러운 사상 \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\)이 동형일 때이다.

Lemma 0AY4에 의해 반사적 포락은 반사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다. 더 일반적인 상황에서 같은 정의를 사용하여 반사적 가군을 정의할 수도 있지만, 이는 그다지 유용해 보이지 않는다. 통상적인 대수적 개념과 이를 비교하는 필수 보조정리는 다음과 같다.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 반사적이다.

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 \(\mathcal{F}(U)\)는 반사적 \(\mathcal{O}(U)\)-가군이다.

증명

생략한다.

주

\(X\)가 체 위의 유한형 스킴이면 때때로 반사적 가군에 다른 개념을 사용한다 (예를 들어 [HL, bottom of page 5 and Definition 1.1.9]를 보라). 이 다른 개념은 \(R\SheafHom\)을 쌍대화 복합체 \(\omega_X^\bullet\)로 가도록 사용하며 \(\mathcal{O}_X\)로 가게 하지 않는다. \(X\)가 고렌슈타인이 아닐 때 두 개념은 다를 수 있으므로 아마 다른 이름을 붙여야 한다. 예를 들어 \(X = \Spec(k[t^3, t^4, t^5])\)이면, 계산에 의해 쌍대화 층 \(\omega_X\)는 우리의 의미에서는 반사적이 아니지만 다른 의미에서는 반사적이다. 실제로 \(\omega_X \to \SheafHom(\SheafHom(\omega_X, \omega_X), \omega_X)\)는 동형이다.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. \(\mathcal{F}\)가 반사적이면 \(\mathcal{F}\)에는 꼬임이 없다.

2. 사상 \(j : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}^{**}\)이 단사일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}\)에 꼬임이 없는 것이다.

증명

생략한다. More on Algebra, Lemma 0AV0를 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 반사적이다.

2. \(\mathcal{F}_x\)는 반사적 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이다. 이는 모든 \(x \in X\)에 대해 성립한다.

3. \(\mathcal{F}_x\)는 반사적 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이다. 이는 모든 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 성립한다.

증명

Modules, Lemma 01CP에 의해 (1)과 (2)는 동치이다. \(X\)의 모든 점은 닫힌점으로 특수화되므로(Properties, Lemma 02IL) (2)와 (3)도 동치이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 정역 국소 뇌터 스킴들의 평탄 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 응집 반사적 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \(f^*\mathcal{G}\)는 응집 반사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

생략한다. 대수적 대응물은 More on Algebra, Lemma 0EB9를 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}''\)을 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 완전열이라 하자. \(\mathcal{F}'\)가 반사적이고 \(\mathcal{F}''\)에 꼬임이 없으면 \(\mathcal{F}\)는 반사적이다.

증명

생략한다. More on Algebra, Lemma 0EB8를 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\mathcal{G}\)가 반사적이면 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)는 반사적이다.

증명

\(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G})\)가 Cohomology of Schemes, Lemma 01Y2에 의해 응집이므로 명제는 의미가 있다. 명제가 참임을 보려면 More on Algebra, Lemma 0AV3를 보라. 일부 세부사항은 생략한다.

주

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. Lemma 0AY4 덕분에 반사적 포락 \(\mathcal{F}^{**}\)은 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군에 대해 응집 반사적임을 안다. 범주 \(\mathcal{C}\)를 응집 반사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주라 하자. 반사적 포락을 취하는 것은 포함 함자 \(\mathcal{C} \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_X)\)의 왼쪽 수반을 준다. \(\mathcal{C}\)가 핵과 여핵을 갖는 가법 범주임에 유의하자. 실제로 \(\varphi : \mathcal{F} \to \mathcal{G}\)가 \(\mathcal{C}\) 안에서 주어지면, 통상적인 핵 \(\Ker(\varphi)\)은 반사적이고(Lemma 0EBG), 통상적인 여핵의 반사적 포락 \(\Coker(\varphi)^{**}\)은 \(\mathcal{C}\)에서의 여핵이다. 더욱이 \(\mathcal{C}\)는 텐서곱 \[\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} = (\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{G})^{**}\] 을 물려받으며, 이는 결합적이고 대칭적이다. 임의의 세 대상 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}\)가 \(\mathcal{C}\)에 속할 때 항등식 \[\Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G}, \mathcal{H}) = \Hom_\mathcal{C}(\mathcal{F}, \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{G}, \mathcal{H}))\] 을 갖는다는 의미에서 내부 Hom이 있다. Modules, Lemma 01CN을 보라. \(\mathcal{C}\)에서 모든 대상 \(\mathcal{F}\)는 쌍대 대상 \(\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X)\)을 갖는다. \(X\)에 추가 조건을 주지 않으면 \[\SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{G}) \not \cong \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \otimes_\mathcal{C} \mathcal{G} \quad\text{and}\quad \mathcal{F} \otimes_\mathcal{C} \SheafHom_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{F}, \mathcal{O}_X) \not \cong \mathcal{O}_X\] 가 \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\)의 계수가 \(1\)이고 이들이 \(\mathcal{C}\)에 속할 때 성립할 수 있다. 예를 만들기 위해 \(X = \Spec(R)\)라 하자. 여기서 \(R\)은 More on Algebra, Example 0EBB에서와 같고, \(\mathcal{F}, \mathcal{G}\)는 \(M\)에 대응하는 가군들이라 하자. 계산은 생략한다.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 반사적이다.

2. 각 \(x \in X\)에 대해 다음 중 하나가 성립한다.

   1. \(\mathcal{F}_x\)는 반사적 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이다.

   2. \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이다.

증명

생략한다. More on Algebra, Lemma 0AVA를 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 반사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(x \in X\)라 하자.

1. \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)이면 \(\text{depth}(\mathcal{F}_x) \geq 2\)이다.

2. \(X\)가 \((S_2)\)이면 \(\mathcal{F}\)도 \((S_2)\)이다.

증명

생략한다. More on Algebra, Lemma 0EBA를 보라.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(j : U \to X\)를 여집합이 \(Z\)인 열린 부분스킴이라 하자. \(\mathcal{O}_{X, z}\)의 깊이가 \(\geq 2\)라고 모든 \(z \in Z\)에 대해 가정하자. 그러면 \(j^*\)와 \(j_*\)는 응집 반사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 범주와 응집 반사적 \(\mathcal{O}_U\)-가군들의 범주 사이의 범주 동치를 정의한다.

증명

\(\mathcal{F}\)를 응집 반사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(z \in Z\)에 대해 줄기 \(\mathcal{F}_z\)의 깊이는 Lemma 0EBI에 의해 \(\geq 2\)이다. 따라서 Lemma 0E9I에 의해 \(\mathcal{F} \to j_*j^*\mathcal{F}\)는 동형이다. 역으로 \(\mathcal{G}\)를 응집 반사적 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라 하자. \(j_*\mathcal{G}\)가 응집 반사적 \(\mathcal{O}_X\)-가군임을 보이면 충분하다. 이를 증명하기 위해 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. Properties, Lemma 0G41에 의해 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 존재하여 \(\mathcal{G} = j^*\mathcal{F}\)이다. \(\mathcal{F}\)를 그 반사적 포락으로 바꾼 뒤 \(\mathcal{F}\)가 반사적이라고 가정해도 된다(위의 논의, 특히 Lemma 0AY4를 보라). 위에 의해 \(j_*\mathcal{G} = j_*j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\)이며, 원하는 바이다.

스킴이 정규이면 반사적인 것은 꼬임이 없고 \((S_2)\)인 것과 같다.

보조정리

\(X\)를 정역 국소 뇌터 정규 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 반사적이다.

2. \(\mathcal{F}\)에는 꼬임이 없고 성질 \((S_2)\)를 가진다.

3. 다음을 만족하는 열린 부분스킴 \(j : U \to X\)가 존재한다.

   1. \(X \setminus U\)의 모든 기약 성분은 여차원이 \(\geq 2\)이며, 이는 \(X\) 안에서의 여차원이다.

   2. \(j^*\mathcal{F}\)는 유한 국소 자유이다.

   3. \(\mathcal{F} = j_*j^*\mathcal{F}\)이다.

증명

Lemma 0AY0을 사용하면 (1)과 (2)의 동치는 More on Algebra, Lemma 0AVB에서 따른다. \(U \subset X\)가 (3)에서와 같다고 하자. Properties, Lemma 0345에 의해 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)임을 모든 \(x \not \in U\)에 대해 안다. 유한 국소 자유 가군은 반사적이므로 Lemma 0EBJ에 의해 (3)은 (1)을 함의한다.

(1)을 가정하자. \(U \subset X\)를 \(j^*\mathcal{F} = \mathcal{F}|_U\)가 유한 국소 자유가 되게 하는 최대 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 (3)(b)가 성립한다. \(x \in X\)를 한 점이라 하자. \(\mathcal{F}_x\)가 자유 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군이면 \(x \in U\)이다. Modules, Lemma 0B8J를 보라. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq 1\)이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 체이거나 이산 부치환이다(Properties, Lemma 0345). 따라서 \(\mathcal{F}_x\)는 자유이다(More on Algebra, Lemma 0AUW). 그러므로 \(x \not \in U \Rightarrow \dim(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)이다. 이제 Properties, Lemma 02IZ에 의해 (3)(a)가 성립한다. 앞에서 이미 사용한 Properties, Lemma 0345에 의해 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq 2\)임도 \(x \not \in U\)에 대해 알 수 있으므로 (3)(c)는 Lemma 0EBJ에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 일반점이 \(\eta\)인 정역 국소 뇌터 정규 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{G}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(T : \mathcal{G}_\eta \to \mathcal{F}_\eta\)를 선형 사상이라 하자. 그러면 \(T\)가 사상 \(\mathcal{G} \to \mathcal{F}^{**}\), 즉 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 사상으로 확장될 필요충분조건은 다음과 같다.

• 모든 \(x \in X\) 중 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)인 것에 대해 \[T\left(\Im(\mathcal{G}_x \to \mathcal{G}_\eta)\right) \subset \Im(\mathcal{F}_x \to \mathcal{F}_\eta).\]

증명

\(\mathcal{F}^{**}\)에는 꼬임이 없고 \(\mathcal{F}_\eta = \mathcal{F}^{**}_\eta\)이므로 확장이 존재한다면 유일하다. 따라서 \(X\)의 열린 덮개의 각 원소 위에서 보조정리를 증명하면 충분하다. 즉 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 다음 대수 문제를 묻는 것이다. \(R\)을 분수체가 \(K\)인 뇌터 정규 정역이라 하고 \(M\), \(N\)을 유한 \(R\)-가군이라 하며, \(T : M \otimes_R K \to N \otimes_R K\)를 \(K\)-선형 사상이라 하자. 언제 \(T\)가 사상 \(N \to M^{**}\)으로 확장되는가? More on Algebra, Lemma 0AVC에 의해 이는 \(N_\mathfrak p\)가 \((M/M_{tors})_\mathfrak p\) 안으로 사상될 필요충분조건이다. 여기서 높이가 \(1\)인 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)를 취하며 이들은 \(R\)의 소아이디얼이다. 이는 정확히 보조정리의 조건 \((*)\)이다.

보조정리

\(X\)를 차원이 \(\leq 2\)인 정칙 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\mathcal{F}\)는 반사적이다.

2. \(\mathcal{F}\)는 유한 국소 자유이다.

증명

유한 국소 자유 가군이 반사적이라는 것은 자명하다. 역으로, \(\mathcal{F}\)가 반사적이면 \(\mathcal{F}_x\)가 자유 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-가군임을 모든 \(x \in X\)에 대해 보이겠다. 이는 Algebra, Lemma 00NX와 \(\mathcal{F}\)가 응집이라는 사실에 의해 충분하다. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 0\)이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 체이므로 명제는 자명하다. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 이산 부치환이다 (Algebra, Lemma 00PD). 또한 \(\mathcal{F}_x\)에는 꼬임이 없다. 따라서 More on Algebra, Lemma 0AUW에 의해 \(\mathcal{F}_x\)는 자유이다. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 2\)이면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 차원 \(2\)인 정칙 국소환이다. More on Algebra, Lemma 0AVB에 의해 \(\mathcal{F}_x\)의 깊이는 \(\geq 2\)이다. 따라서 Algebra, Lemma 00NT에 의해 \(\mathcal{F}_x\)는 자유이다.

유효 카르티에 인자

다른 유형의 인자를 정의하기 전에 유효 카르티에 인자의 개념을 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자.

1. \(S\)의 국소 주인 닫힌 부분스킴은 그 아이디얼 층이 국소적으로 한 원소에 의해 생성되는 닫힌 부분스킴이다.

2. \(S\) 위의 유효 카르티에 인자는 닫힌 부분스킴 \(D \subset S\) 중 그 아이디얼 층 \(\mathcal{I}_D \subset \mathcal{O}_S\)가 가역 \(\mathcal{O}_S\)-가군인 것이다.

따라서 유효 카르티에 인자는 국소 주인 닫힌 부분스킴이지만 그 역은 항상 참은 아니다. 유효 카르티에 인자는 가능한 가장 강한 의미에서 순수 여차원 \(1\)인 닫힌 부분스킴이다. 즉 국소적으로 영인자가 아닌 하나의 원소에 의해 잘려 나온다. 특히 어디에서도 조밀하지 않다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(D \subset S\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. 부분스킴 \(D\)는 \(S\) 위의 유효 카르티에 인자이다.

2. 모든 \(x \in D\)에 대해 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset S\)가 \(x\)의 근방으로 존재하여, \(U \cap D = \Spec(A/(f))\)이다. 여기서 \(f \in A\)는 영인자가 아닌 원소이다.

증명

(1)을 가정하자. 모든 \(x \in D\)에 대해 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset S\)가 \(x\)의 근방으로 존재하여 \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\)이다. 다시 말해 제한 \(f \in \Gamma(U, \mathcal{I}_D)\)가 존재하여 \(\mathcal{I}_D|_U\)를 자유롭게 생성한다. 따라서 \(f \in A\)이고 곱셈 사상 \(f : A \to A\)는 단사이다. 또한 \(\mathcal{I}_D\)가 준연접이므로 \(D \cap U = \Spec(A/(f))\)임을 안다.

(2)를 가정하자. \(x \in D\)라 하자. 가정에 의해 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset S\)가 \(x\)의 근방으로 존재하여, \(U \cap D = \Spec(A/(f))\)이다. 여기서 \(f \in A\)는 영인자가 아닌 원소이다. 그러면 \(\mathcal{I}_D|_U \cong \mathcal{O}_U\)이다. 실제로 이는 \(\widetilde{(f)} \cong \widetilde{A} \cong \mathcal{O}_U\)와 같다. 물론 \(\mathcal{I}_D\)를 열린 부분스킴 \(S \setminus D\)로 제한한 것은 \(\mathcal{O}_{S \setminus D}\)와 동형이다. 따라서 \(\mathcal{I}_D\)는 가역 \(\mathcal{O}_S\)-가군이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(Z \subset S\)를 국소 주인 닫힌 부분스킴이라 하자. \(U = S \setminus Z\)라 하자. 그러면 \(U \to S\)는 아핀 사상이다.

증명

이 문제는 \(S\) 위에서 국소적이다. Morphisms, Lemmas 01S8를 보라. 따라서 \(S = \Spec(A)\)이고 \(Z = V(f)\)이며 \(f \in A\)라고 가정해도 된다. 이 경우 \(U = D(f) = \Spec(A_f)\)는 아핀이므로 \(U \to S\)는 아핀이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(D \subset S\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(U = S \setminus D\)라 하자. 그러면 \(U \to S\)는 아핀 사상이고 \(U\)는 \(S\)에서 스킴론적으로 조밀하다.

증명

아핀성은 Lemma 07ZT이다. 조밀성 문제는 \(S\) 위에서 국소적이다. Morphisms, Lemma 01RE를 보라. 따라서 \(S = \Spec(A)\)이고 \(D\)가 영인자가 아닌 원소 \(f \in A\)에 대응한다고 가정해도 된다. Lemma 01WS를 보라. 따라서 \(A \subset A_f\)이고, 이는 \(U \subset S\)가 스킴론적으로 조밀함을 함의한다. Morphisms, Example 056C를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(D \subset S\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(s \in D\)라 하자. \(\dim_s(S) < \infty\)이면 \(\dim_s(D) < \dim_s(S)\)이다.

증명

\(\dim_s(S) < \infty\)라고 가정하자. 아핀 열린 근방 \(U = \Spec(A) \subset S\)를 \(s\)에 대해 택하되, \(\dim(U) = \dim_s(S)\)이고 \(D = V(f)\)가 되게 하자. 여기서 \(f \in A\)는 영인자가 아닌 원소이다(Lemma 01WS를 보라). \(\dim(U)\)는 환 \(A\)의 크룰 차원이고 \(\dim(U \cap D)\)는 환 \(A/(f)\)의 크룰 차원임을 상기하자. 그러면 \(f\)는 \(A\)의 어떤 극소 소아이디얼에도 속하지 않는다. 따라서 \(A/(f)\) 안의 소아이디얼들의 임의의 극대 사슬을 \(A\) 안의 소아이디얼들의 사슬로 보면 극소 소아이디얼을 덧붙여 연장할 수 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. 유효 카르티에 인자 \(D_1\), \(D_2\)가 \(S\) 위에 주어졌을 때 \(D = D_1 + D_2\)를 \(S\)의 닫힌 부분스킴으로 두되, 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I}_{D_1}\mathcal{I}_{D_2} \subset \mathcal{O}_S\)에 대응하게 한다. 이를 유효 카르티에 인자 \(D_1\)과 \(D_2\)의 합이라고 한다.

합 \(\sum n_iD_i\)를 정의할 수 있음은 분명하다. 여기서 유한 개의 유효 카르티에 인자 \(D_i\)는 \(X\) 위에 있고 \(n_i\)는 음이 아닌 정수이다.

보조정리

두 유효 카르티에 인자의 합은 유효 카르티에 인자이다.

증명

생략한다. 국소적으로 \(f_1, f_2 \in A\)는 영인자가 아닌 원소들이며, 그러면 \(f_1f_2 \in A\)도 영인자가 아닌 원소이다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(D, D'\)을 \(X\) 위의 두 유효 카르티에 인자라 하자. \(D \subset D'\)이면(\(X\)의 닫힌 부분스킴으로서) 유효 카르티에 인자 \(D''\)이 존재하여 \(D' = D + D''\)이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(Z, Y\)를 \(X\)의 두 닫힌 부분스킴이라 하고 그 아이디얼 층을 \(\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{J}\)라 하자. \(\mathcal{I}\mathcal{J}\)가 유효 카르티에 인자 \(D \subset X\)를 정의하면 \(Z\)와 \(Y\)는 유효 카르티에 인자이고 \(D = Z + Y\)이다.

증명

Lemma 01WS를 적용하면 다음 대수적 상황을 얻는다. \(A\)는 환이고 \(I, J \subset A\)는 아이디얼들이며, \(f \in A\)는 영인자가 아닌 원소로서 \(IJ = (f)\)를 만족한다. 따라서 결과는 Algebra, Lemma 09ME에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(D, D' \subset X\)를 유효 카르티에 인자들이라 하되, 스킴론적 교집합 \(D \cap D'\)이 \(D'\) 위의 유효 카르티에 인자라고 하자. 그러면 \(D + D'\)은 \(D\)와 \(D'\)의 스킴론적 합집합이다.

증명

스킴론적 교집합과 합집합의 정의는 Morphisms, Definition 0C4H을 보라. 이 보조정리를 국소적으로 증명하면(Lemma 01WS를 사용하여) 다음 대수 문제를 얻는다. 환 \(A\)와 영인자가 아닌 원소들 \(f_1, f_2 \in A\)가 주어지고 \(f_1\)이 \(A/f_2A\)에서 영인자가 아닌 원소로 사상된다고 하자. \(f_1A \cap f_2A = f_1f_2A\)임을 보여라. 직접적인 논증은 생략한다.

스킴의 임의의 사상 아래에서 닫힌 부분스킴의 역상을 Schemes, Definition 01JV에서 정의했음을 상기하자.

보조정리

\(f : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Z \subset S\)를 국소 주인 닫힌 부분스킴이라 하자. 그러면 역상 \(f^{-1}(Z)\)는 \(S'\)의 국소 주인 닫힌 부분스킴이다.

증명

생략한다.

정의

\(f : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D \subset S\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(D\)의 \(f\)에 의한 당김이 정의된다고 하는 것은 닫힌 부분스킴 \(f^{-1}(D) \subset S'\)이 유효 카르티에 인자일 때이다. 이 경우 이를 \(f^*D\) 또는 \(f^{-1}(D)\)로 표기하고 유효 카르티에 인자의 당김이라 한다.

\(f^{-1}(D)\)가 유효 카르티에 인자라는 조건은 실제로 흔히 만족된다. 한 예가 되는 보조정리는 다음과 같다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D \subset Y\)를 유효 카르티에 인자라 하자. 다음 각 경우에 \(D\)의 \(f\)에 의한 당김이 정의된다.

1. \(f(x) \not \in D\)이다. 여기서 \(x\)는 \(X\)의 임의의 약연관점이다.

2. \(X\), \(Y\)는 정역이고 \(f\)는 우세이다.

3. \(X\)는 축약이고 \(f(\xi) \not \in D\)이다. 여기서 \(\xi\)는 \(X\)의 임의의 기약 성분의 임의의 일반점이다.

4. \(X\)는 국소 뇌터이고 \(f(x) \not \in D\)이다. 여기서 \(x\)는 \(X\)의 임의의 연관점이다.

5. \(X\)는 국소 뇌터이고 매장점이 없으며 \(f(\xi) \not \in D\)이다. 여기서 \(\xi\)는 \(X\)의 기약 성분의 임의의 일반점이다.

6. \(f\)는 평탄하다.

7. 필요에 따라 여기에 더 추가한다.

증명

이 문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(R)\)이고 \(f\)가 \(\varphi : R \to A\)에 의해 주어지며, \(D = \Spec(R/(t))\)이고 \(t \in R\)가 영인자가 아닌 원소인 경우로 환원한다. 각 경우의 목표는 \(\varphi(t) \in A\)가 영인자가 아닌 원소임을 보이는 것이다.

경우 (1)은 Algebra, Lemma 05C3에서 따른다. 경우 (4)는 Lemma 05AR에 의해 (1)의 특수한 경우이다. 경우 (5)는 (4)와 정의들에서 따른다. 경우 (3)은 Lemma 0EME에 의해 (1)의 특수한 경우이다. 경우 (2)는 (3)의 특수한 경우이다. \(R \to A\)가 평탄이면 \(t : R \to R\)가 단사라는 사실로부터 \(t : A \to A\)가 단사임을 얻는다. 이는 (6)을 증명한다.

보조정리

\(f : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D_1\), \(D_2\)를 \(S\) 위의 유효 카르티에 인자들이라 하자. \(D_1\)과 \(D_2\)의 당김들이 정의되면 \(D = D_1 + D_2\)의 당김도 정의되고 \(f^*D = f^*D_1 + f^*D_2\)이다.

증명

생략한다.

유효 카르티에 인자와 가역층

유효 카르티에 인자는 가역 아이디얼 층을 가지므로(Definition 01WR) 다음 정의는 의미가 있다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(D \subset S\)를 아이디얼 층이 \(\mathcal{I}_D\)인 유효 카르티에 인자라 하자.

1. 가역층 \(\mathcal{O}_S(D)\), 즉 \(D\)에 결부된 것을 다음과 같이 정의한다. \[\mathcal{O}_S(D) = \SheafHom_{\mathcal{O}_S}(\mathcal{I}_D, \mathcal{O}_S) = \mathcal{I}_D^{\otimes -1}.\]

2. 보통 \(1\) 또는 \(1_D\)로 표기하는 표준 절단은 \(\mathcal{O}_S(D)\)의 전역 절단 중 포함 사상 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{O}_S\)에 대응하는 것이다.

3. 다음과 같이 쓴다. \(\mathcal{O}_S(-D) = \mathcal{O}_S(D)^{\otimes -1} = \mathcal{I}_D\).

4. 두 번째 유효 카르티에 인자 \(D' \subset S\)가 주어지면 다음과 같이 정의한다. \(\mathcal{O}_S(D - D') = \mathcal{O}_S(D) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(-D')\).

몇 가지 설명을 덧붙이자. 대응 \(D \mapsto \mathcal{O}_S(D)\)은 유효 카르티에 인자들의 덧셈(Definition 01WT)을 \(S\)의 피카르 군에서의 덧셈으로 보낸다는 것을 아래에서 볼 것이다(Lemma 02OP). 그러나 위 정의의 표현 \(D - D'\)은 기하학적 의미를 갖지 않는다. 더 정확히 말해, \(S\) 위의 유효 카르티에 인자들의 집합을 영원이 공인 유효 카르티에 인자인 가환 모노이드 \(\text{EffCart}(S)\)로 생각할 수 있다. 그러면 대응 \((D, D') \mapsto \mathcal{O}_S(D - D')\)은 군 준동형 \[\text{EffCart}(S)^{gp} \longrightarrow \Pic(S)\] 을 정의하며, 여기서 왼쪽은 \(\text{EffCart}(S)\)의 군 완성이다. 다시 말해 \(\mathcal{O}_S(D - D')\)라고 쓸 때 \(D - D'\)을 \(\text{EffCart}(S)^{gp}\)의 원소로 생각할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(D \subset S\)를 유효 카르티에 인자라 하자. 그러면 여법선층은 \(\mathcal{C}_{D/S} = \mathcal{I}_D|_D = \mathcal{O}_S(-D)|_D\)이고 법선층은 \(\mathcal{N}_{D/S} = \mathcal{O}_S(D)|_D\)이다.

증명

이는 Morphisms, Lemma 01R3에서 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(D, D' \subset X\)를 \(D \subset D'\)인 유효 카르티에 인자들이라 하고, \(C \subset X\)를 \(D' = D + C\)가 되게 하는 유효 카르티에 인자라 하자(이는 Lemma 02ON에 의해 존재한다). 그러면 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{O}_X(-D)|_C \to \mathcal{O}_{D'} \to \mathcal{O}_D \to 0\] 이 존재한다.

증명

보조정리의 명제와 증명에서 Morphisms, Lemma 01QY의 동치를 사용하여 \(X\)의 닫힌 부분스킴 위의 준연접 가군을 \(X\) 위의 준연접 가군으로 생각한다. \(\mathcal{I}\)를 \(D\)의 \(D'\) 안에서의 아이디얼 층이라 하고 \(\mathcal{I}_D = \mathcal{O}_X(-D)\)를 \(D\)의 \(X\) 안에서의 아이디얼 층이라 하자. 그러면 표준 전사 \(\mathcal{I}_D \to \mathcal{I}\)가 존재한다. 따라서 이 사상의 핵이 \(\mathcal{I}_C\mathcal{I}_D\)와 같음을 보이면 충분하다(표기는 자명하다). 이는 국소적으로 확인할 수 있으므로, \(X = \Spec(A)\), \(D = \Spec(A/fA)\), \(C = \Spec(A/gA)\)이고 \(f, g \in A\)가 영인자가 아닌 원소들이라고 가정해도 된다(Lemma 01WS). 그러면 \(\mathcal{I}_D\)는 \(fA\)에 대응하고, 영인자가 아닌 원소 \(fg \in A\)는 \(D'\)의 아이디얼을 생성하며, \(\mathcal{I}\)는 \(I = fA/fgA\)에 대응한다. 따라서 결과는 분명하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(D_1\), \(D_2\)를 \(S\) 위의 유효 카르티에 인자들이라 하자. \(D = D_1 + D_2\)라 하자. 그러면 \(1_{D_1} \otimes 1_{D_2}\)를 \(1_D\)로 보내는 유일한 동형 \[\mathcal{O}_S(D_1) \otimes_{\mathcal{O}_S} \mathcal{O}_S(D_2) \longrightarrow \mathcal{O}_S(D)\] 이 존재한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(f : S' \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D\)를 \(S\) 위의 유효 카르티에 인자라 하자. \(D\)의 당김이 정의되면 \(f^*\mathcal{O}_S(D) = \mathcal{O}_{S'}(f^*D)\)이고 표준 절단 \(1_D\)은 표준 절단 \(1_{f^*D}\)로 당겨진다.

증명

생략한다.

정의

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 국소 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 가역층이라 하자. 전역 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)이 정칙 절단이라고 하는 것은 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\), \(f \mapsto fs\)가 단사일 때이다.

보조정리

\(X\)를 국소 환 달린 공간이라 하자. \(f \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(f\)는 정칙 절단이다.

2. 임의의 \(x \in X\)에 대해 상 \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\)는 영인자가 아닌 원소이다.

\(X\)가 스킴이면 이들은 다음과도 동치이다.

1. 임의의 아핀 열린집합 \(\Spec(A) = U \subset X\)에 대해 상 \(f \in A\)는 영인자가 아닌 원소이다.

2. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup \Spec(A_i)\)가 존재하여 \(f\)의 상은 \(A_i\)에서 영인자가 아닌 원소이다. 이는 모든 \(i\)에 대해 성립한다.

증명

생략한다.

\(s\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)의 전역 절단이면 이를 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사상 \(s : \mathcal{O}_X \to \mathcal{L}\)로 볼 수 있음에 유의하자. 따라서 그 쌍대는 사상 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)이다. 쌍대 가역층의 정의는 Modules, Definition 01CU를 보라.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역층이라 하자. 전역 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 택하자. \(s\)의 영점 스킴은 닫힌 부분스킴 \(Z(s) \subset X\)이며, 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\), 즉 사상 \(s : \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X\)의 상에 의해 정의된다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역층이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자.

1. 닫힌 몰입 \(i : Z \to X\) 중 \(i^*s \in \Gamma(Z, i^*\mathcal{L})\)가 영이 되게 하는 것들을 포함관계로 순서 짓자. 영점 스킴 \(Z(s)\)은 이 순서집합의 최대 원소이다.

2. 스킴의 임의의 사상 \(f : Y \to X\)에 대해, \(f^*s = 0\)이 \(\Gamma(Y, f^*\mathcal{L})\)에서 성립할 필요충분조건은 \(f\)가 \(Z(s)\)를 경유하는 것이다.

3. 영점 스킴 \(Z(s)\)은 국소 주인 닫힌 부분스킴이다.

4. 영점 스킴 \(Z(s)\)이 유효 카르티에 인자일 필요충분조건은 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 정칙 절단인 것이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자.

1. \(D \subset X\)가 유효 카르티에 인자이면 표준 절단 \(1_D\), 즉 \(\mathcal{O}_X(D)\)의 표준 절단은 정칙이다.

2. 역으로 \(s\)가 가역층 \(\mathcal{L}\)의 정칙 절단이면, 유일한 유효 카르티에 인자 \(D = Z(s) \subset X\)와 유일한 동형 \(\mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{L}\)이 존재하며, 그 동형은 \(1_D\)를 \(s\)로 보낸다.

구성 \(D \mapsto (\mathcal{O}_X(D), 1_D)\)와 \((\mathcal{L}, s) \mapsto Z(s)\)은 서로 역인 사상 \[\left\{ \begin{matrix} \text{effective Cartier divisors on }X \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{isomorphism classes of pairs }(\mathcal{L}, s)\\ \text{consisting of an invertible } \mathcal{O}_X\text{-module}\\ \mathcal{L}\text{ and a regular global section }s \end{matrix} \right\}\] 을 준다.

증명

생략한다.

주

\(X\)를 스킴, \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군, \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 절단이라 하자. 그러면 영점 스킴 \(D = Z(s)\)은 \(X\) 위의 유효 카르티에 인자이고 짧은 완전열들 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{L} \to i_*(\mathcal{L}|_D) \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to \mathcal{L}^{\otimes -1} \to \mathcal{O}_X \to i_*\mathcal{O}_D \to 0.\] 이 존재한다. 유효 카르티에 인자 \(D \subset X\)가 주어지면 Lemmas 01X0와 0B3P를 사용하여 \[0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(D) \to i_*(\mathcal{N}_{D/X}) \to 0 \quad\text{and}\quad 0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to i_*(\mathcal{O}_D) \to 0\] 을 얻는다.

뇌터 스킴 위의 유효 카르티에 인자

국소 뇌터인 상황에서는 유효 카르티에 인자와 정칙 절단에 관한 논의의 대부분이 다소 단순해진다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)라 하자. 그러면 \(s\)가 정칙 절단일 필요충분조건은 \(s\)가 \(X\)의 연관점들에서 사라지지 않는 것이다.

증명

생략한다. 힌트: \(\mathcal{L}\)이 자명한 아핀 경우로 환원한 뒤 Lemma 01WZ와 Algebra, Lemma 00LD를 사용하라.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 준연접 아이디얼 층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)에 대응하는 닫힌 부분스킴이라 하자.

1. 모든 \(x \in D\)에 대해 아이디얼 \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)이 한 원소에 의해 생성될 수 있으면 \(D\)는 국소 주이다.

2. 모든 \(x \in D\)에 대해 아이디얼 \(\mathcal{I}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)이 영인자가 아닌 하나의 원소에 의해 생성될 수 있으면 \(D\)는 유효 카르티에 인자이다.

증명

\(\Spec(A)\)를 한 점 \(x \in D\)의 아핀 근방이라 하자. 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)가 \(x\)에 대응한다고 하자. 아이디얼 \(I \subset A\)가 \(D\)의 \(\Spec(A)\) 위 자취를 정의한다고 하자. \(A\)는 뇌터이므로 (\(X\)가 국소 뇌터이기 때문에) 아이디얼 \(I\)는 유한 개의 원소에 의해 생성된다. 이를 \(I = (f_1, \ldots, f_r)\)라 하자. (1)의 가정 아래 \(I_\mathfrak p = (f)\)이며 어떤 \(f \in A_\mathfrak p\)가 이를 생성한다. 따라서 \(f_i = g_i f\)이며 어떤 \(g_i \in A_\mathfrak p\)가 존재한다. \(g_i = a_i/h_i\) 및 \(f = f'/h\)로 쓰자. 여기서 \(a_i, h_i, f', h \in A\)이고 \(h_i, h \not \in \mathfrak p\)이다. 그러면 \(I_{h_1 \ldots h_r h} \subset A_{h_1 \ldots h_r h}\)는 주아이디얼이다. 실제로 \(f'\)에 의해 생성된다. 이는 (1)을 증명한다. (2)를 위해 \(I = (f)\)라고 가정해도 된다. 가정은 \(f\)의 상이 \(A_\mathfrak p\)에서 영인자가 아닌 원소임을 함의한다. 그러면 Algebra, Lemma 061L에 의해 \(f\)는 \(x\)의 한 근방에서 영인자가 아닌 원소이다. 이는 (2)를 증명한다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자.

1. \(D \subset X\)를 국소 주인 닫힌 부분스킴이라 하자. \(\xi \in D\)를 \(D\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. 그러면 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\)이다.

2. \(D \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(\xi \in D\)를 \(D\)의 한 기약 성분의 일반점이라 하자. 그러면 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)이다.

증명

(1)의 증명. 가정에 의해 \(X = \Spec(A)\)이고 \(D = \Spec(A/(f))\)이며 \(A\)는 뇌터 환이고 \(f \in A\)라고 가정해도 된다. \(\xi\)에 대응하는 소아이디얼을 \(\mathfrak p \subset A\)라 하자. \(\xi\)가 \(D\)의 한 기약 성분의 일반점이라는 가정은 \(\mathfrak p\)가 \((f)\) 위에서 극소임을 뜻한다. 따라서 Algebra, Lemma 00KV에 의해 \(\dim(A_\mathfrak p) \leq 1\)이다.

(2)의 증명. (1)에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\)임을 안다. 한편 국소 방정식 \(f\)는 Lemma 01WS에 의해 \(A_\mathfrak p\)에서 영인자가 아닌 원소이다. 이는 차원이 적어도 \(1\)임을 함의한다(초등적인 Algebra, Lemma 00E0에 의해 \(A_\mathfrak p\) 안에는 \(f\)를 포함하지 않는 소아이디얼이 있어야 하기 때문이다).

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 정역인 닫힌 부분스킴이면서 유효 카르티에 인자인 것이라 하자. 그러면 \(X\)의 국소환은 \(D\)의 일반점에서 국소환은 이산 부치환이다.

증명

Lemma 01WS에 의해 \(X = \Spec(A)\)이고 \(D = \Spec(A/(f))\)이며, \(A\)는 뇌터 환이고 \(f \in A\)는 영인자가 아닌 원소라고 가정해도 된다. \(D\)가 정역이라는 가정은 \((f)\)가 소아이디얼임을 뜻한다. 따라서 일반점에서 \(X\)의 국소환은 \(A_{(f)}\)이고, 이는 극대 아이디얼이 영인자가 아닌 원소 하나에 의해 생성되는 뇌터 국소환이다. 그러므로 Algebra, Lemma 00PD에 의해 이산 부치환이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. \(X\)가 \((S_k)\)이면 \(D\)는 \((S_{k - 1})\)이다.

증명

\(x \in D\)라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}_{D, x} = \mathcal{O}_{X, x}/(f)\)이며, \(f \in \mathcal{O}_{X, x}\)는 영인자가 아닌 원소이다. 가정에 의해 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{X, x}), k)\)이다. Algebra, Lemma 090R에 의해 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) = \text{depth}(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\)이고, Algebra, Lemma 00KW에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{D, x}) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) - 1\)이다. 따라서 \(\text{depth}(\mathcal{O}_{D, x}) \geq \min(\dim(\mathcal{O}_{D, x}), k - 1)\)이며, 이는 원하는 바이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정규 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. 그러면 \(D\)는 \((S_1)\)이다.

증명

Properties, Lemma 0345에 의해 \(X\)는 \((S_2)\)이다. 따라서 Lemma 0B3R로 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 정역인 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(D\)의 여차원은 \(1\)이고, 이는 \(X\) 안에서의 여차원이다.

2. \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 모든 \(x \in D\)에 대해 UFD이다.

그러면 \(D\)는 유효 카르티에 인자이다.

증명

\(x \in D\)라 하고 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)로 두자. \(\mathfrak p \subset A\)를 \(D\)의 일반점에 대응하는 것이라 하자. 가정 (1)에 의해 \(A_\mathfrak p\)의 차원은 \(1\)이다. 따라서 \(\mathfrak p\)는 높이 \(1\)인 소아이디얼이다. \(A\)가 UFD이므로 \(\mathfrak p = (f)\)이고 어떤 \(f \in A\)가 존재한다. 물론 \(f\)는 영인자가 아닌 원소이고 Lemma 0AG8에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음이 존재한다고 가정하자.

1. 정역인 유효 카르티에 인자들의 모음 \(D_i \subset X\), \(i \in I\),

2. 닫힌 부분집합 \(Z' \subset X\)로서 그 모든 기약 성분은 여차원 \(\geq 2\)이며, 이는 \(X\) 안에서의 여차원이다(Topology, Definition 02I3).

또한 집합론적으로 \(Z \subset Z' \cup \bigcup_{i \in I} D_i\)라고 하자. 그러면 \(a_i \geq 0\)이고 거의 모든 경우 \(a_i = 0\)이며, 여기서 \(i \in I\)인 정수들이 존재하여 유효 카르티에 인자 \[D = \sum a_i D_i\] 는 \(Z\)에 포함되고, 포함 사상 \(D \to Z\)는 여차원 \(2\)인 부분을 \(X\)에서 부분을 제외하면 동형이다(즉 열린집합 \(U \subset Z\)가 존재하여 \(D \cap U \to Z \cap U\)가 동형이고 \(Z \setminus U\)의 모든 기약 성분은 여차원 \(\geq 2\)이며, 이는 \(X\) 안에서의 여차원이다). \(Z\)가 \(X\)의 어디에서도 조밀하지 않을 때 \(D_i\), \(i \in I\)와 \(Z'\)의 존재가 보장된다. 그 조건은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 모든 \(x \in Z\)에 대해 UFD이거나 \(X\)가 정칙인 것이다.

증명

\(\xi_i \in D_i\)를 일반점이라 하고 \(\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\)를 국소환이라 하자. 이는 Lemma 0AG9에 의해 이산 부치환이다. \(a_i \geq 0\)을 \(\mathcal{I}_{Z, \xi_i} \subset \mathcal{O}_i\)의 원소가 갖는 최소 부치로 두자. 물론 \(a_i > 0\)일 수 있는 것은 \(D_i\)가 \(Z\)의 기약 성분일 때뿐이므로, \(a_i > 0\)인 것은 유한 개의 \(i \in I\)에 대해서뿐이다. 유효 카르티에 인자 \(D = \sum a_i D_i\)가 원하는 것이라고 주장한다.

실제로 \(x \in X\)라고 하자. \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)로 두자. \(D_1, \ldots, D_n\)을 서로 다른 인자 \(D_i\) 중 \(x \in D_i\)이고 \(a_i > 0\)인 것들이라 하자. \(1 \leq i \leq n\)에 대해 \(f_i \in A\)를 \(D_i\)의 국소 방정식이라 하자. 그러면 \(f_i\)는 \(A\)의 소원소이고 \(\mathcal{O}_i = A_{(f_i)}\)이다. \(I = \mathcal{I}_{Z, x} \subset A\)를 \(Z\)의 아이디얼 층의 줄기라 하자. \(a_i\)의 선택에 의해 \(I A_{(f_i)} = f_i^{a_i}A_{(f_i)}\)이다. 다음을 주장한다. \(I \subset (\prod_{i = 1, \ldots, n} f_i^{a_i})\).

주장의 증명. 국소화 사상 \(\varphi : A/(f_i) \to A_{(f_i)}/f_iA_{(f_i)}\)는 단사이다. 실제로 소아이디얼 \((f_i)\)는 극대 아이디얼 \(f_iA_{(f_i)}\)의 역상이다. \(n\)에 대한 귀납법에 의해 \(\varphi_n : A/(f_i^n)\to A_{(f_i)}/f_i^nA_{(f_i)}\)도 단사임을 얻는다. \(\varphi_{a_i}(I) = 0\)이므로 \(I \subset (f_i^{a_i})\)이다. 따라서 임의의 \(x \in I\)에 대해 \(x = f_1^{a_1}x_1\)로 쓸 수 있으며, 여기서 어떤 \(x_1 \in A\)가 존재한다. \(D_1, \ldots, D_n\)은 서로 다르므로 \(f_i\)는 \(A_{(f_j)}\)에서 단위원이다. 이는 \(i \not = j\)일 때이다. \(x\)와 \(x_1\)을 \(A_{(f_i)}\)에서, \(n \geq i > 1\)인 경우에 비교하면 여전히 \(x_1 \in (f_i^{a_i})\)이다. 앞의 과정을 반복하면 귀납적으로 \(x_i = f_{i + 1}^{a_{i + 1}}x_{i + 1}\)로 쓸 수 있다. 이는 임의의 \(n > i \geq 1\)에 대해 성립한다. 결론적으로 \(x \in (\prod_{i = 1, \ldots n} f_i^{a_i})\)이며, 이는 임의의 \(x \in I\)에 대해 성립하고, 이는 원하는 바이다.

이 주장은 \(\mathcal{I}_Z \subset \mathcal{I}_D\), 즉 \(D \subset Z\)임을 보인다. 더욱이 \(D\)와 \(Z\)가 \(\xi_i\)에서 일치함도 알 수 있으므로 \(D \to Z\)는 여차원 \(2\)인 부분을 \(X\) 위에서 제외하면 동형이다.

마지막 명제들을 보이기 위해 다음과 같이 논증한다. 정칙 국소환은 UFD이므로(More on Algebra, Lemma 0AG0) UFD인 경우를 논증하면 충분하다. 그 경우 \(D_i\)를 \(Z\)의 기약 성분들 중 여차원이 \(1\)이고 이것이 \(X\) 안에서의 여차원인 것들이라 하자. Lemma 0AGA에 의해 각 \(D_i\)는 유효 카르티에 인자이다.

보조정리

\(Z \subset X\)를 뇌터 스킴의 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(Z\)는 매장점을 갖지 않는다.

2. \(Z\)의 모든 기약 성분의 여차원은 \(1\)이고, 이는 \(X\) 안에서의 여차원이다.

3. 각 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\), \(x \in Z\)는 UFD이거나 \(X\)가 정칙이다.

그러면 \(Z\)는 유효 카르티에 인자이다.

증명

Lemma 0AGB에서와 같이 \(D = \sum a_i D_i\)라 하자. 여기서 \(D_i \subset Z\)는 \(Z\)의 기약 성분들이다. \(D \to Z\)가 동형이 아니면 \(\mathcal{O}_Z \to \mathcal{O}_D\)는 여차원 \(\geq 2\)인 부분에 놓이는 영이 아닌 핵을 갖는다. 이는 \(Z\)가 매장점을 갖는다는 뜻인데, 가정 (1)에 어긋난다. 따라서 원하는 대로 \(D \cong Z\)이다.

보조정리

\(R\)을 뇌터 UFD라 하자. \(I \subset R\)을 아이디얼이라 하되, \(R/I\)는 매장된 소아이디얼을 갖지 않고 \(I\) 위의 모든 극소 소아이디얼은 높이 \(1\)이라고 하자. 그러면 \(I = (f)\)이고 어떤 \(f \in R\)가 존재한다.

증명

Lemma 0BXH에 의해 아이디얼 층 \(\tilde I\)는 \(\Spec(R)\) 위에서 가역이다. More on Algebra, Lemma 0BCH에 의해 이는 한 원소로 생성된다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(D \subset X\)를 유효 카르티에 인자라 하자. 정역인 유효 카르티에 인자들 \(D_i \subset X\)가 존재하여 집합론적으로 \(D \subset \bigcup D_i\)라고 가정하자. 그러면 \(D = \sum a_i D_i\)이며 어떤 \(a_i \geq 0\)가 존재한다. \(D_i\)의 존재는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 모든 \(x \in D\)에 대해 UFD이거나 \(X\)가 정칙이면 보장된다.

증명

Lemma 0AGB에서처럼 \(a_i\)를 택하고 \(D' = \sum a_i D_i\)로 두자. 그러면 \(D' \to D\)는 유효 카르티에 인자들의 포함으로, 여차원 \(2\)인 부분을 \(X\) 위에서 제외하면 동형이다. \(x \in X\)를 택하자. \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)로 두고 \(f, f' \in A\)를 \(D, D'\)의 아이디얼을 \(A\)에서 생성하는 영인자가 아닌 원소들이라 하자. 그러면 \(f = gf'\)이며 어떤 \(g \in A\)가 존재한다. 더욱이 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\) 중 높이가 \(\leq 1\)이고 \(A\)의 소아이디얼인 것에 대해 \(g\)는 \(A_\mathfrak p\)의 단위원으로 사상된다. 이는 \(g\)가 단위원임을 함의한다. 실제로 \((g)\) 위의 극소 소아이디얼들의 높이는 \(1\)이다(Algebra, Lemma 00KV).

보조정리

\(X\)를 풍부한 가역층을 갖는 뇌터 스킴이라 하자. 그러면 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군은 어떤 유효 카르티에 인자 \(D, D'\)에 대해, 이들이 \(X\) 안에 있을 때, \[\mathcal{O}_X(D - D') = \mathcal{O}_X(D) \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X(D')^{\otimes -1}\] 과 동형이다. 더욱이 유한 부분집합 \(E \subset X\)가 주어지면 \(D, D'\)을 택하여 \(E \cap D = \emptyset\)이고 \(E \cap D' = \emptyset\)이 되게 할 수 있다. \(X\)가 준아핀이면 \(D' = \emptyset\)으로 택할 수 있다.

증명

\(x_1, \ldots, x_n\)을 \(X\)의 연관점들이라 하자(Lemma 05AF).

\(X\)가 준아핀이고 \(\mathcal{N}\)이 임의의 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이면, 절단 \(t\)를 \(\mathcal{N}\)에서 택하되 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\)의 어떤 점에서도 사라지지 않게 할 수 있다. Properties, Lemma 0F20을 보라. 그러면 Lemma 0AYL에 의해 \(t\)는 \(\mathcal{N}\)의 정칙 절단이다. 따라서 \(\mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\)이며, 여기서 \(D = Z(t)\)는 \(t\)에 대응하는 유효 카르티에 인자이다. Lemma 01X0를 보라. 구성에 의해 \(E \cap D = \emptyset\)이므로 이 경우에는 끝났다.

일반적인 경우로 돌아가서 \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 풍부한 가역층이라 하자. 어떤 \(m > 0\)과 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes m})\)가 존재하여 \(X_s\)는 아핀이고 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\} \subset X_s\)이다(Properties, Lemma 09NV).

\(\mathcal{N}\)을 임의의 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 준아핀인 경우에 의해 절단 \(t \in \mathcal{N}(X_s)\)를 찾되 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\)의 어떤 점에서도 사라지지 않게 할 수 있다. Properties, Lemma 01PW에 의해 어떤 \(e \geq 0\)에 대해 절단 \(s^e|_{X_s} t\)는 전역 절단 \(\tau\), 즉 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\)의 전역 절단으로 확장된다. 따라서 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N}\)과 \(\mathcal{L}^{\otimes me}\)은 모두 가역층이고, 각각 \(E \cup \{x_1, \ldots, x_n\}\)의 어떤 점에서도 사라지지 않는 전역 절단을 갖는다. 따라서 이들은 Lemma 0AYL에 의해 정칙 절단이다. 그러므로 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \otimes \mathcal{N} \cong \mathcal{O}_X(D)\)이고 \(\mathcal{L}^{\otimes me} \cong \mathcal{O}_X(D')\)이다. 여기서 어떤 유효 카르티에 인자 \(D\)와 \(D'\)이 존재한다. Lemma 01X0를 보라. 구성에 의해 \(E \cap D = \emptyset\)이고 \(E \cap D' = \emptyset\)이며, 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 차원 \(2\)인 정역 정칙 스킴이라 하자. \(i : D \to X\)를 유효 카르티에 인자의 몰입이라 하자. \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to i_*\mathcal{G} \to 0\)을 응집 \(\mathcal{O}_X\)-가군들의 완전열이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{F}, \mathcal{F}'\)은 계수 \(r\)인 국소 자유이고, 이는 \(X\)의 공집합이 아닌 열린집합 위에서 성립한다.

2. \(D\)는 정역 스킴이다.

3. \(\mathcal{G}\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_D\)-가군이고 그 계수는 \(s\)이다.

그러면 \(\mathcal{L} = (\wedge^r\mathcal{F})^{**}\)와 \(\mathcal{L}' = (\wedge^r \mathcal{F}')^{**}\)은 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, \(\mathcal{L}' \cong \mathcal{L}(k D)\)이며 어떤 \(k \in \{0, \ldots, \min(s, r)\}\)가 존재한다.

증명

첫 명제는 Lemma 0B3N에서 따른다. 실제로 가정 (1)은 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{L}'\)의 계수가 \(1\)임을 함의한다. \(\wedge^r\)와 이중 쌍대를 취하는 것은 함자들이므로 표준 사상 \(\sigma : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)을 얻는다. 이는 (1)의 공집합이 아닌 열린집합 위에서 동형이므로 영이 아니다. 증명을 마치려면 \(\sigma\)를 \(\mathcal{L}' \otimes \mathcal{L}^{\otimes -1}\)의 전역 절단으로 볼 때, \(X\)의 어떤 여차원점에서도 사라지지 않음을 보이면 충분하다. 단 \(D\)의 일반점에서는 예외이고, 거기에서의 영점 차수는 많아야 \(\min(s, r)\)이어야 한다.

대수로 옮기면 다음 문제에 이른다. \((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 분수체가 \(K\)인 이산 부치환이라 하자. \(M \to M' \to N \to 0\)을 유한 \(A\)-가군들의 완전열이라 하되, \(\dim_K(M \otimes K) = \dim_K(M' \otimes K) = r\)이고 \(N \cong \kappa^{\oplus s}\)라고 하자. 유도된 사상 \(L = \wedge^r(M)^{**} \to L' = \wedge^r(M')^{**}\)의 영점 차수가 많아야 \(\min(s, r)\)임을 보여야 한다. \(A\) 위 가군의 구조 정리를 사용하겠다. More on Algebra, Lemma 0ASP 또는 0ASV를 보라. 유한 \(A\)-가군을 꼬임 부분가군으로 나누어도 이중 쌍대는 변하지 않는다. 따라서 \(M\)을 \(M/M_{tors}\)로, \(M'\)을 \(M'/\Im(M_{tors} \to M')\)로 바꾸어 \(M\)에 꼬임이 없다고 가정해도 된다. 그러면 \(M \to M'\)은 단사이고 \(M'_{tors} \to N\)도 단사이다. 따라서 \(M'\)을 \(M'/M'_{tors}\)로, \(N\)을 \(N/M'_{tors}\)로 바꾸어도 된다. 이로써 \(M\)과 \(M'\)이 계수 \(r\)인 자유 가군이고 \(N \cong \kappa^{\oplus s}\)인 경우로 환원된다. 이 경우 \(\sigma\)는 \(M \to M'\)의 행렬식이고, 그 영점 차수는 \(s\)이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 02MI를 보라.

아핀 열린집합의 여집합

이 절에서는 다형체의 아핀 열린집합의 여집합이 순수 여차원 \(1\)을 갖는다는 결과를 논의한다.

보조정리

\((A, \mathfrak m)\)을 뇌터 국소환이라 하자. 뚫린 스펙트럼 \(U = \Spec(A) \setminus \{\mathfrak m\}\), 즉 \(A\)의 뚫린 스펙트럼이 아핀일 필요충분조건은 \(\dim(A) \leq 1\)인 것이다.

증명

\(\dim(A) = 0\)이면 \(U\)는 공집합이므로 아핀이다(\(0\)인 환의 스펙트럼과 같다). \(\dim(A) = 1\)이면 원소 \(f \in \mathfrak m\)을 택하되, 그것이 \(A\)의 유한 개의 극소 소아이디얼 중 어느 것에도 속하지 않게 할 수 있다(Algebra, Lemmas 00FR와 00DS). 그러면 \(U = \Spec(A_f)\)는 아핀이다.

역은 더 흥미롭다. 다소 비표준적인 증명을 제시하고 아래의 remark에서 표준적인 논증을 논의하겠다. \(U = \Spec(B)\)가 아핀이라고 가정하자. 축약으로 바꾸어도 아핀성과 차원은 변하지 않으므로, \(A\)를 그 멱영원들의 아이디얼에 의한 몫으로 바꾸어 \(A\)가 축약이라고 가정해도 된다. \(Q = B/A\)로 두고 이를 \(A\)-가군으로 보자. \(Q\)의 지지집합은 \(\{\mathfrak m\}\)이다. 실제로 \(A_\mathfrak p = B_\mathfrak p\)는 모든 극대가 아닌 소아이디얼 \(\mathfrak p\)와 환 \(A\)에 대해 성립한다. \(\dim(A) \geq 1\)이라고 가정해도 되므로, 위와 같이 원소 \(f \in \mathfrak m\)을 택하되 그것이 \(A\)의 어느 극소 아이디얼에도 속하지 않게 할 수 있다. \(A\)가 축약이므로 이는 \(f\)가 \(A\)에서 영인자가 아닌 원소임을 함의한다. 같은 논증은 \(f : B \to B\)가 단사임을 보인다. 실제로 \(\Spec(B)\)는 \(\Spec(A)\)에서 열려 있다. Algebra, Lemma 00KW에 의해 \(\dim(A/fA) = \dim(A) - 1\)임에 유의하자. 짧은 완전열 \(f\)에 의한 곱셈을 짧은 완전열 \(0 \to A \to B \to Q \to 0\)에 적용하고 뱀 보조정리를 쓰면 \[0 \to Q[f] \to A/fA \to B/fB \to Q/fQ \to 0\] 을 얻는다. 여기서 \(Q[f] = \Ker(f : Q \to Q)\)이다. 이는 \(Q[f]\)가 유한 \(A\)-가군임을 함의한다. \(Q[f]\)의 지지집합이 \(\{\mathfrak m\}\)이므로 \(l = \text{length}_A(Q[f]) < \infty\)임을 안다(Algebra, Lemma 00L5). \(l_n = \text{length}_A(Q[f^n])\)으로 두자. 완전열 \[0 \to Q[f^n] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f^n} Q[f]\] 은 귀납적으로 \(l_n < \infty\)이고 \(l_n \leq l_{n + 1}\)임을 보인다. 완전열 \[0 \to Q[f] \to Q[f^{n + 1}] \xrightarrow{f} Q[f^n] \to Q/fQ\] 을 생각하면 \(Q[f^n]\)이 \(Q/fQ\)에서 갖는 상의 길이는 \(l_n - l_{n + 1} + l \leq l\)을 가짐을 안다. \(Q = \bigcup Q[f^n]\)이므로 \(Q/fQ\)의 길이는 많아야 \(l\), 즉 유계임을 얻는다. 따라서 \(Q/fQ\)는 유한 \(A\)-가군이다. 그러므로 \(A/fA \to B/fB\)는 유한 환 사상이고, 특히 스펙트럼 사이의 닫힌 사상을 유도한다(Algebra, Lemmas 00GU과 00HZ). 한편 \(\Spec(B/fB)\)는 \(\Spec(A/fA)\)의 뚫린 스펙트럼이다. \(\Spec(B/fB) = \emptyset\)이 아니면 이는 모순이다. 따라서 원하는 대로 \(\dim(A/fA) = 0\)이다.

주

\((A, \mathfrak m)\)이 차원 \(\geq 2\)인 뇌터 국소 정규 정역이고 \(U\)가 \(A\)의 뚫린 스펙트럼이면 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U) = A\)이다. 하르톡스 정리의 이 대수적 판본은 Algebra, Lemma 031T에서 본 사실 \(A = \bigcap_{\text{height}(\mathfrak p) = 1} A_\mathfrak p\)에서 따른다. 따라서 이 경우 \(U\)는 아핀일 수 없다(아핀이면 \(\mathfrak m\)이 \(U\)의 점이어야 하기 때문이다). 이는 Lemma 0BCR의 증명의 출발점으로 흔히 사용된다. 일반적인 뇌터 국소환의 경우를 이 경우로 환원하려면 먼저 완비화하고(나가타 국소환을 얻기 위해), 적절한 극소 소아이디얼을 택해 \(A\)를 \(A/\mathfrak q\)로 바꾼 뒤 정규화한다. 이 각 단계는 차원을 바꾸지 않으며 모순을 얻는다. 완비화 단계를 생략할 수도 있지만 그러면 일반적으로 정규화는 뇌터 정역이 아니다. 그럼에도 이는 같은 차원의 크룰 정역이다(이는 크룰–아키즈키를 사용하여 증명된다). 따라서 같은 논증을 적용할 수 있다.

주

뚫린 스펙트럼이 아핀인 비뇌터 국소환 \((A, \mathfrak m)\)을 어떻게 특징지어야 할지는 분명하지 않다. 이러한 환은 \(I\)라는 유한 생성 아이디얼을 가지며 \(\mathfrak m = \sqrt{I}\)이다. 물론 \(I\)를 \(1\)개의 원소로 생성되도록 택할 수 있으면 \(A\)는 아핀인 뚫린 스펙트럼을 갖는다. 이는 비뇌터 예를 많이 준다. 역으로 Lemma 0BCR의 증명에 있는 논증에 의해, 이러한 환은 원소 \(f \in \mathfrak m\) 중 영인자가 아니면서 \(H^0_I(A/fA) = 0\)을 만족하는 것을 가질 수 없다(따라서 \(A\)는 길이 \(2\)인 정칙열을 가질 수 없다). 더욱이 같은 것은 임의의 환 \(A'\)에 대해서도 성립한다. 여기서 \(A \to A'\)는 국소환들의 국소 준동형이고 \(\mathfrak m_{A'} = \sqrt{\mathfrak mA'}\)라고 가정한다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 포함 사상 \(U \to X\)가 아핀인 열린 부분스킴이라 하자. 모든 일반점 \(\xi\), 즉 \(X \setminus U\)의 한 기약 성분의 일반점에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 차원은 \(\leq 1\)이다. \(U\)가 조밀하거나 \(\xi\)가 \(U\)의 폐포에 속하면 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)이다.

증명

\(\xi\)가 \(X \setminus U\)의 일반점이므로 \[U_\xi = U \times_X \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi}) \subset \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\] 는 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 뚫린 스펙트럼이다(힌트: Schemes, Lemma 01J7를 사용하라). \(U \to X\)가 아핀이므로 \(U_\xi \to \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\)도 아핀이고(Morphisms, Lemma 01SD), 따라서 \(U_\xi\)는 아핀이다. 그러므로 Lemma 0BCR에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) \leq 1\)이다. \(\xi \in \overline{U}\)이면 특수화 \(\eta \to \xi\)가 존재하고 여기서 \(\eta \in U\)이다(\(\eta\)를 \(\overline{U}\)의 한 기약 성분 중 \(\xi\)를 포함하는 성분의 일반점으로 택하면 된다. \(\overline{U}\)가 국소 뇌터이므로 국소적으로 유한 개의 기약 성분을 가지며, 따라서 \(\eta \in U\)임을 안다). 그러면 \(\eta \in \Spec(\mathcal{O}_{X, \xi})\)이고 차원은 \(0\)일 수 없다.

보조정리

\(X\)를 분리된 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. 모든 일반점 \(\xi\), 즉 \(X \setminus U\)의 한 기약 성분의 일반점에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 차원은 \(\leq 1\)이다. \(U\)가 조밀하거나 \(\xi\)가 \(U\)의 폐포에 속하면 \(\dim(\mathcal{O}_{X, \xi}) = 1\)이다.

증명

이는 Lemma 0BCU에서 따른다. 실제로 사상 \(U \to X\)는 Morphisms, Lemma 01SG에 의해 아핀이다.

다음 보조정리는 때때로 유효 카르티에 인자를 만드는 데 사용할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 분리 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 조밀한 아핀 열린집합이라 하자. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대해 UFD이면, 유효 카르티에 인자 \(D \subset X\)가 존재하여 \(U = X \setminus D\)를 만족한다.

증명

\(X\)가 뇌터이므로 여집합 \(X \setminus U\)는 유한 개의 기약 성분 \(D_1, \ldots, D_r\)을 갖는다(Properties, Lemma 0BA8를 \(X \setminus U\)의 축약 유도 부분스킴 구조에 적용하라). 각 \(D_i \subset X\)는 Lemma 0BCV에 의해 여차원 \(1\)이다(Properties, Lemma 02IZ도 보라). 따라서 Lemma 0AGA에 의해 \(D_i\)는 유효 카르티에 인자이다. 그러므로 \(D = D_1 + \ldots + D_r\)로 택할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 대각선이 아핀인 뇌터 스킴이라 하자. \(U \subset X\)를 조밀한 아핀 열린집합이라 하자. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 모든 \(x \in X \setminus U\)에 대해 UFD이면, 유효 카르티에 인자 \(D \subset X\)가 존재하여 \(U = X \setminus D\)를 만족한다.

증명

\(X\)가 뇌터이므로 여집합 \(X \setminus U\)는 유한 개의 기약 성분 \(D_1, \ldots, D_r\)을 갖는다(Properties, Lemma 0BA8를 \(X \setminus U\)의 축약 유도 부분스킴 구조에 적용하라). \(D_i\)를 \(X\)의 축약 닫힌 부분스킴으로 보자. \(X = \bigcup_{j \in J} X_j\)를 \(X\)의 아핀 열린 덮개라 하자. \(j\)가 \(J\)를 달릴 때마다 \(U_j = U \cap X_j\)로 두자. \(X\)의 대각선이 아핀이므로 스킴 \[U_j = X \times_{(X \times X)} (U \times X_j)\] 는 아핀이다. 따라서 \(X_j\)가 분리되어 있으므로 Lemma 0BCW와 그 증명에 의해 모든 \(j \in J\) 및 \(1 \leq i \leq r\)에 대해 교집합 \(D_i \cap X_j\)는 공집합이거나 \(X_j\) 안의 유효 카르티에 인자이다. 따라서 \(D_i \subset X\)는 유효 카르티에 인자이다(이는 국소적 성질이기 때문이다). 그러므로 \(D = D_1 + \ldots + D_r\)로 택할 수 있다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 정칙 스킴이라 하되 대각선은 아핀이라고 하자. 그러면 \(X\)는 풍부한 가역 가군족을 갖는다(Morphisms, Definition 0FXR).

증명

\(X\)가 정역 스킴들의 유한 서로소 합집합임에 유의하자(Properties, Lemmas 0569과 033M). 따라서 \(X\)가 정역이면서 뇌터, 정칙이고 대각선이 아핀이라고 가정해도 된다. \(x \in X\)라 하자. 아핀 열린 근방 \(U \subset X\)를 택하되 \(x\)를 포함하게 하자. \(X\)가 정역이므로 \(U\)는 \(X\)에서 조밀하다. More on Algebra, Lemma 0AG0에 의해 \(X\)의 국소환들은 UFD이다. 따라서 Lemma 0EGJ에 의해 유효 카르티에 인자 \(D \subset X\)를 찾을 수 있고 그 여집합은 \(U\)이다. 그러면 \(s = 1_D\)는 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(D)\)의 표준 절단이고(Definition 01WX를 보라) 정확히 \(D\)를 따라 사라지므로 \(U = X_s\)이다. 따라서 Morphisms, Definition 0FXR의 두 조건이 모두 성립하며 끝난다.

노름

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 사상이라 하고 \(d \geq 1\)을 정수라 하자. 다음 조건을 만족하는 곱셈적 사상이 존재할 때, 차수 \(d\)이고 \(\pi\)에 대한 노름 ³이 존재한다고 하자. \[\text{Norm}_\pi : \pi_*\mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_Y\] 그 조건은 다음과 같다.

1. 합성 \(\mathcal{O}_Y \xrightarrow{\pi^\sharp} \pi_*\mathcal{O}_X \xrightarrow{\text{Norm}_\pi} \mathcal{O}_Y\)는 \(g \mapsto g^d\)와 같고,

2. 열린집합 \(V \subset Y\)에 대해 \(f \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V)\)가 \(x \in \pi^{-1}(V)\)에서 영이면, \(\text{Norm}_\pi(f)\)는 \(\pi(x)\)에서 영이다.

조건 (1)은 \(\pi\)가 전사이도록 강제함에 유의하자. \(\text{Norm}_\pi\)는 곱셈적이므로 단원을 단원으로 보낸다. 따라서 \(y \in Y\)가 주어졌을 때, \(f\)가 \(X\) 위의 정칙 함수이고 정의되어 있으며, 어떤 \(x \in X\)에서도 사라지지 않되 그 점이 \(\pi(x) = y\)를 만족하면 \(\text{Norm}_\pi(f)\)는 정의되어 있고 \(y\)에서 사라지지 않는다. 이는 (2)를 요구하지 않고도 성립한다. 실제로 이 절의 구성은 조건 (1)만을 요구하며, 특정한 소멸 성질들만이 성질 (2)를 요구한다(특히 Lemma 0BD0의 증명에서 사용된다).

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고 \(y \in Y\)라 하자. 열린 근방 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(y\)를 포함하고 \(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}(V)}\)는 자명하다.

증명

\(Y\)와 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 됨은 분명하다. \(\pi\)가 유한이므로 올 \(\pi^{-1}(\{y\})\)는 \(y\) 위에서 유한하다. \(X\)가 아핀이므로 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 택하되 \(\pi^{-1}(\{y\})\)의 어느 점에서도 사라지지 않게 할 수 있다. 이는 Properties, Lemma 0F20에서 따르지만 직접적인 논증도 제시하겠다. 즉, 닫힌점들의 유한 집합 \(E \subset X\)를 택하여 모든 \(x \in \pi^{-1}(\{y\})\)가 \(E\)의 어떤 점으로 특수화되게 할 수 있다. \(x \in E\)에 대해 닫힌 몰입을 \(i_x : x \to X\)로 나타내자. 그러면 \(\mathcal{L} \to \bigoplus_{x \in E} i_{x, *}i_x^*\mathcal{L}\)은 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 전사 사상이고, 따라서 사상 \[\Gamma(X, \mathcal{L}) \to \bigoplus\nolimits_{x \in E} \mathcal{L}_x/\mathfrak m_x\mathcal{L}_x\] 도 전사이다(준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주에서 대역 절단을 취하는 함자는 완전하기 때문이다. Schemes, Lemma 01IB를 보라). 따라서 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 찾아 \(E\)의 한 점으로 특수화되는 어느 점에서도 사라지지 않게 할 수 있다. 그러면 \(X_s \subset X\)는 \(\pi^{-1}(\{y\})\)의 열린 근방이다. \(\pi\)는 유한이고 따라서 닫힌 사상이므로, 열린 근방 \(V \subset Y\)가 존재하여 \(y\)를 포함하고 그 역상이 원하는 대로 \(X_s\)에 포함됨을 얻는다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 사상이라 하자. 차수 \(d\)이고 \(\pi\)에 대한 노름이 존재하면 아벨 군의 준동형 \[\text{Norm}_\pi : \Pic(X) \to \Pic(Y)\] 이 존재하며 \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\)가 성립한다. 이는 모든 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{N}\)에 대한 말이다.

증명

Cohomology, Lemma 09NU에서 주어진 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 동형류와 \(H^1(X, \mathcal{O}_X^*)\)의 원소 사이의 대응을 더 언급하지 않고 사용하겠다. 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{L}\)의 노름을 취하는 법을 설명하자. Lemma 0BUT에 의해 열린 덮개 \(Y = \bigcup V_j\)가 존재하여 \(\mathcal{L}|_{\pi^{-1}V_j}\)는 자명하다. 생성 절단 \(s_j \in \mathcal{L}(\pi^{-1}V_j)\)를 각 \(j\)에 대해 택하자. 겹침 \(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'}\) 위에서 \[s_j = u_{jj'} s_{j'}\] 로 쓸 수 있으며, 여기서 \(u_{jj'} \in \mathcal{O}^*_X(\pi^{-1}V_j \cap \pi^{-1}V_{j'})\)는 유일하다. 따라서 원소 \[v_{jj'} = \text{Norm}_\pi(u_{jj'}) \in \mathcal{O}_Y^*(V_j \cap V_{j'})\] 를 생각할 수 있다. 이 원소들은 코사이클 조건을 만족하고(\(u_{jj'}\)가 그렇고 \(\text{Norm}_\pi\)가 곱셈적이기 때문이다), 따라서 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군을 정의한다. 이것이 잘 정의되고, 피카르 군 위에서 가법적이며, \(\text{Norm}_\pi(\pi^*\mathcal{N}) \cong \mathcal{N}^{\otimes d}\)를 만족한다는 확인은 생략한다. 마지막 성질은 모든 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{N}\)에 대한 것이다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 사상이라 하자. 차수 \(d\)이고 \(\pi\)에 대한 노름이 존재한다고 가정하자. 임의의 \(\mathcal{O}_X\)-선형 사상 \(\varphi : \mathcal{L} \to \mathcal{L}'\)가 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군 사이에 주어졌다고 하자. 이에 대해 \(\mathcal{O}_Y\)-선형 사상 \[\text{Norm}_\pi(\varphi) : \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}) \longrightarrow \text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\] 이 존재한다. 여기서 \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\)과 \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\)은 Lemma 0BCY에서와 같다. 더욱이 \(y \in Y\)에 대해 다음은 동치이다.

1. \(\varphi\)는 어떤 점 \(x \in X\)에서 영이고 그 점은 \(\pi(x) = y\)를 만족하며,

2. \(\text{Norm}_\pi(\varphi)\)는 \(y\)에서 영이다.

증명

열린 덮개 \(Y = \bigcup V_j\)를 택하여 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{L}'\)이 열린집합 \(\pi^{-1}V_j\) 위에서 자명하게 하자. 이는 Lemma 0BUT에 의해 가능하다. 생성 절단 \(s_j\)와 \(s'_j\)를 각각 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{L}'\)에 대해 \(\pi^{-1}V_j\) 위에서 택하자. 그러면 \(\varphi(s_j) = f_js'_j\)이고, 여기서 \(f_j \in \mathcal{O}_X(\pi^{-1}V_j)\)이다. \(\text{Norm}_\pi(\varphi)\)를 \(\text{Norm}_\pi(f_j)\)에 의한 곱셈으로 \(V_j\) 위에서 정의하자. Lemma 0BCY의 증명에서 \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\), \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{L}')\)을 구성하는 데 사용한 코사이클에 대한 간단한 계산으로 이것이 보조정리에 진술된 사상을 정의함을 알 수 있다. 마지막 명제는 차수 \(d\)인 노름 사상의 정의에 있는 조건 (2)에서 따른다. 몇몇 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 사상이라 하자. \(X\)가 풍부한 가역층을 가지며 차수 \(d\)이고 \(\pi\)에 대한 노름이 존재한다고 가정하자. 그러면 \(Y\)는 풍부한 가역층을 갖는다.

증명

가정으로 주어진 풍부한 가역층을 \(\mathcal{L}\)이라 하며 이는 \(X\) 위에 있다. \(\mathcal{N} = \text{Norm}_\pi(\mathcal{L})\)이 \(Y\) 위에서 풍부함을 보이겠다.

\(X\)는 준콤팩트이고(Properties, Definition 01PS) \(X \to Y\)는 전사이므로 (\(\text{Norm}_\pi\)의 존재에 의해) \(Y\)는 준콤팩트이다. 점 \(y \in Y\)를 택하자. 증명을 끝내기 위해 절단 \(t\)가 \(\mathcal{N}\)의 어떤 양의 텐서 거듭제곱에 존재하여 \(y\)에서 사라지지 않고 \(Y_t\)가 아핀임을 보이겠다. 이를 위해 아핀 열린 근방 \(V \subset Y\)를 택하여 \(y\)를 포함하게 하자. \(n \gg 0\)과 절단 \(s \in \Gamma(X, \mathcal{L}^{\otimes n})\)을 택하여 \[\pi^{-1}(\{y\}) \subset X_s \subset \pi^{-1}V\] 가 되게 할 수 있다. 이는 Properties, Lemma 09NV에서 따른다. 그러면 \(t = \text{Norm}_\pi(s)\)는 \(\mathcal{N}^{\otimes n}\)의 절단이며 \(x\)에서 사라지지 않고 \(Y_t \subset V\)를 만족한다. Lemma 0BCZ를 보라. 그러면 \(Y_t\)는 Properties, Lemma 01PV에 의해 아핀이다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 사상이라 하자. \(X\)가 준아핀이고 차수 \(d\)이고 \(\pi\)에 대한 노름이 존재한다고 가정하자. 그러면 \(Y\)는 준아핀이다.

증명

Properties, Lemma 01QE에 의해 \(\mathcal{O}_X\)는 \(X\) 위의 풍부한 가역층이다. Lemma 0BD0의 증명은 \(\text{Norm}_\pi(\mathcal{O}_X) = \mathcal{O}_Y\)가 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군임을 보인다. 따라서 Properties, Lemma 01QE에 의해 \(Y\)는 준아핀이다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 차수 \(d \geq 1\)인 유한 국소 자유 사상이라 하자. 그러면 임의의 밑변환과 가환하는 차수 \(d\)의 표준 노름이 존재한다.

증명

\(V \subset Y\)를 아핀 열린집합이라 하되 \((\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\)가 계수 \(d\)인 유한 자유 가군이게 하자. 기저를 택하면 동형 \[\mathcal{O}_V^{\oplus d} \cong (\pi_*\mathcal{O}_X)|_V\] 을 얻는다. 모든 \(f \in \pi_*\mathcal{O}_X(V) = \mathcal{O}_X(\pi^{-1}(V))\)에 대해 \(f\)에 의한 곱셈은 표시된 자유 벡터 다발의 \(\mathcal{O}_V\)-선형 자기준동형 \(m_f\)를 정의한다. 따라서 \(d \times d\) 행렬 \(M_f \in \text{Mat}(d \times d, \mathcal{O}_Y(V))\)를 얻고 다음과 같이 둘 수 있다. \[\text{Norm}_\pi(f) = \det(M_f)\] 행렬의 행렬식은 택한 기저와 무관하므로 이는 잘 정의된다. 이는 또한 이 구성이 서로 붙어 원하는 대역 사상을 이룸을 뜻한다. 밑변환과의 가환성은 구성에서 곧바로 따른다.

성질 (1)은 \(d \times d\) 대각행렬의 대각 성분이 \(g, g, \ldots, g\)일 때 행렬식이 \(g^d\)라는 사실에서 따른다. 성질 (2)를 보이기 위해 밑변환하여 \(Y\)가 체 \(k\)의 스펙트럼이라고 가정해도 된다. 그러면 \(X = \Spec(A)\)이고 \(A\)는 \(k\)-대수이며 \(\dim_k(A) = d\)이다. \(x \in X\)가 존재하여 \(f \in A\)가 \(x\)에서 사라지면, 어떤 체로 가는 사상 \(A \to \kappa\)가 존재하여 \(f\)를 \(\kappa\)의 영으로 보낸다. 따라서 \(f : A \to A\)는 전사일 수 없고, 그러므로 원하는 대로 \(\det(f : A \to A) = 0\)이다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 유한 전사 사상이라 하되 \(X\)와 \(Y\)는 정역이고 \(Y\)는 정규라고 하자. 그러면 차수 \([R(X) : R(Y)]\)이고 \(\pi\)에 대한 노름이 존재한다.

증명

\(\Spec(B) \subset Y\)를 아핀 열린 부분집합이라 하고 그 역상을 \(\Spec(A) \subset X\)라 하자. 그러면 \(A\)와 \(B\)는 정역이다. \(K\)를 \(A\)의 분수체라 하고 \(L\)을 \(B\)의 분수체라 하자. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ L \ar[r] & K \\ B \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] }\] \(K/L\)은 유한 확대이므로 노름 사상 \(\text{Norm}_{K/L} : K^* \to L^*\)가 존재하며 그 차수는 \(d = [K : L]\)이다. 이는 Lemma 0BD2의 증명에서처럼 \(f \in K\)를 \(\det_L(f : K \to K)\)로 보냄으로써 주어진다. \(f : K \to K\)의 특성 다항식은 \(f\)의 \(L\) 위 극소 다항식의 거듭제곱임에 유의하자. 특히 \(\text{Norm}_{K/L}(f)\)는 \(f\)의 \(L\) 위 극소 다항식의 상수항의 거듭제곱이다. 따라서 Algebra, Lemma 00H7에 의해 \(\text{Norm}_{K/L}\)는 \(A\)를 \(B\) 안으로 보낸다. 이는 아핀 열린집합 위의 절단들에 대한 가환하는 사상계를 결정하며, 따라서 대역 노름 사상 \(\text{Norm}_\pi\)를 결정하고 그 차수는 \(d\)이다.

성질 (1)은 구성에서 바로 따른다. 성질 (2)를 보기 위해 \(f \in A\)가 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 속한다고 하자. \(f^m + b_1 f^{m - 1} + \ldots + b_m\)을 \(f\)의 \(L\) 위 극소 다항식이라 하자. Algebra, Lemma 00H7에 의해 \(b_i \in B\)이다. 따라서 \(b_0 \in B \cap \mathfrak p\)이다. \(\text{Norm}_{K/L}(f) = b_0^{d/m}\)이므로(위 참조), 노름은 \(\mathfrak p\)의 상인 점에서 사라진다고 결론짓는다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(p\)를 \(p\mathcal{O}_X = 0\)을 만족하는 소수라 하자. 그러면 어떤 \(e > 0\)에 대해 차수 \(p^e\)이고 \(X_{red} \to X\)에 대한 노름이 존재하며, 여기서 \(X_{red}\)는 \(X\)의 축약이다.

증명

\(A\)를 \(pA = 0\)인 뇌터 환이라 하자. \(I \subset A\)를 멱영원들의 아이디얼이라 하자. 그러면 \(I^n = 0\)인 어떤 \(n\)이 존재한다(Algebra, Lemma 00IM). \(e\)를 택하여 \(p^e \geq n\)이 되게 하자. 그러면 \[A/I \longrightarrow A,\quad f \bmod I \longmapsto f^{p^e}\] 는 잘 정의된다. 이는 차수 \(p^e\)이고 \(\Spec(A/I) \to \Spec(A)\)에 대한 노름을 준다. 이제 \(X\)가 아핀 스킴들 \(\Spec(A_i)\)을 붙여서 얻어진다면, 어떤 \(e \gg 0\)에 대해 이 사상들이 서로 붙어 \(X_{red} \to X\)에 대한 노름 사상을 이룬다. 세부사항은 생략한다.

명제

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 전사 사상이라 하자. \(X\)가 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군을 갖는다고 가정하자. 다음 중 하나가 성립한다고 하자.

1. \(\pi\)가 유한 국소 자유이거나,

2. \(Y\)가 정역 정규 스킴이거나,

3. \(Y\)가 뇌터이고 \(p\mathcal{O}_Y = 0\)이며 \(X = Y_{red}\)이다.

그러면 \(Y\)는 풍부한 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군을 갖는다.

증명

경우 (1)은 Lemmas 0BD2와 0BD0의 결합에서 따른다. 경우 (3)은 Lemmas 0BDZ와 0BD0의 결합에서 따른다. 경우 (2)에서는 먼저 \(X\)를 \(X\)의 한 기약 성분 중 \(Y\)를 지배하는 것으로 바꾼다(이를 \(X\)의 축약 닫힌 부분스킴으로 본다). 그런 다음 Lemma 0BD3를 적용할 수 있다.

보조정리

\(\pi : X \to Y\)를 스킴의 유한 전사 사상이라 하자. \(X\)가 준아핀이라고 가정하자. 다음 중 하나가 성립한다고 하자.

1. \(\pi\)가 유한 국소 자유이거나,

2. \(Y\)가 정역 정규 스킴이다.

그러면 \(Y\)는 준아핀이다.

증명

경우 (1)은 Lemmas 0BD2와 0BD1의 결합에서 따른다. 경우 (2)에서는 먼저 \(X\)를 \(X\)의 한 기약 성분 중 \(Y\)를 지배하는 것으로 바꾼다(이를 \(X\)의 축약 닫힌 부분스킴으로 본다). 그런 다음 Lemma 0BD3를 적용할 수 있다.

상대 유효 카르티에 인자

다음 보조정리는 밑 위에서 평탄한 유효 카르티에 인자가 실제로 밑 위의 “유효 카르티에 인자들의 족”임을 보인다. 예를 들어 임의의 올에 제한하면 유효 카르티에 인자가 된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(D \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(D\)는 유효 카르티에 인자이고,

2. \(D \to S\)는 평탄 사상이다.

그러면 스킴의 모든 사상 \(g : S' \to S\)에 대해 당김 \((g')^{-1}D\)는 \(X' = S' \times_S X\) 위의 유효 카르티에 인자이다. 여기서 \(g' : X' \to X\)는 사영이다.

증명

Lemma 01WS를 사용하여 이를 다음 대수 명제로 옮긴다. \(A \to B\)를 환 사상이라 하고 \(h \in B\)라 하자. \(h\)가 영인자가 아닌 원소이고 \(B/hB\)가 \(A\) 위에서 평탄하다고 가정하자. 그러면 \[0 \to B \xrightarrow{h} B \to B/hB \to 0\] 은 \(A\)-가군의 짧은 완전열이고 \(B/hB\)는 \(A\) 위에서 평탄하다. Algebra, Lemma 00HL에 의해 이 열은 임의의 가군과 \(A\) 위에서 텐서한 뒤에도 완전하며, 특히 임의의 \(A\)-대수 \(A'\)과 텐서한 뒤에도 그러하다.

이 보조정리는 다음 정의의 동기이다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(X/S\) 위의 상대 유효 카르티에 인자란 유효 카르티에 인자 \(D \subset X\) 중 \(D \to S\)가 스킴의 평탄 사상인 것을 말한다.

이 표기는 표준적이지 않을 수 있음을 독자에게 경고한다. 특히 [EGA, IV, Section 21.15]에서는 상대 인자의 개념을 \(X \to S\)가 평탄하고 국소 유한 표시인 경우에만 논의한다. 우리의 정의는 조금 더 일반적이다. 그러나 많은 경우(항상은 아니지만) \(x \in D\)이면 \(X \to S\)는 \(x\)에서 평탄임이 드러난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D_1, D_2 \subset X\)가 \(X/S\) 위의 상대 유효 카르티에 인자이면 \(D_1 + D_2\)도 그러하다(Definition 01WT).

증명

이는 다음 대수 명제로 옮겨진다. \(A \to B\)를 환 사상이라 하고 \(h_1, h_2 \in B\)라 하자. \(h_i\)들이 영인자가 아닌 원소이고 \(B/h_iB\)가 \(A\) 위에서 평탄하다고 가정하자. 그러면 \(h_1h_2\)는 영인자가 아닌 원소이고 \(B/h_1h_2B\)는 \(A\) 위에서 평탄하다. 그 이유는 짧은 완전열 \[0 \to B/h_1B \to B/h_1h_2B \to B/h_2B \to 0\] 이 있고 첫째 화살표가 \(h_2\)에 의한 곱셈으로 주어지기 때문이다. 양 끝의 두 가군이 \(A\) 위에서 평탄하므로 가운데 것도 그러하다. Algebra, Lemma 00HM를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D_1, D_2 \subset X\)가 \(X/S\) 위의 상대 유효 카르티에 인자이고 닫힌 부분스킴으로서 \(D_1 \subset D_2\)이면, \(D\)라는 유효 카르티에 인자 중 \(D_2 = D_1 + D\)를 만족하는 것은(Lemma 02ON) \(X/S\) 위의 상대 유효 카르티에 인자이다.

증명

이는 다음 대수 명제로 옮겨진다. \(A \to B\)를 환 사상이라 하고 \(h_1, h_2 \in B\)라 하자. \(h_i\)들이 영인자가 아닌 원소이고 \(B/h_iB\)가 \(A\) 위에서 평탄하며 \((h_2) \subset (h_1)\)이라고 가정하자. 그러면 \(h_2 = h h_1\)로 쓸 수 있고 여기서 \(h \in B\)는 영인자가 아닌 원소이다. 짧은 완전열 \[0 \to B/hB \to B/h_2B \to B/h_1B \to 0\] 을 얻으며, 첫째 화살표는 \(h_1\)에 의한 곱셈으로 주어진다. 오른쪽 두 가군이 \(A\) 위에서 평탄하므로 가운데 것도 그러하다. Algebra, Lemma 00HM를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D \subset X\)를 \(X/S\) 위의 상대 유효 카르티에 인자라 하자. \(x \in D\)이고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 뇌터이면 \(f\)는 \(x\)에서 평탄하다.

증명

\(A = \mathcal{O}_{S, f(x)}\)와 \(B = \mathcal{O}_{X, x}\)로 두자. \(h \in B\)를 택하여 \(D\)의 아이디얼을 생성하게 하자. 그러면 \(h\)는 \(B\)에서 영인자가 아닌 원소이고 \(B/hB\)는 평탄한 국소 \(A\)-대수이다. \(I \subset A\)를 유한 생성 아이디얼이라 하자. 다음 가환 그림을 생각하자. \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & B \ar[r]_h & B \ar[r] & B/hB \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & B \otimes_A I \ar[r]^h \ar[u] & B \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & B/hB \otimes_A I \ar[r] \ar[u] & 0 }\] \(B/hB\)가 \(A\) 위에서 평탄하므로 아래 열은 짧은 완전열이다. Algebra, Lemma 00HL를 보라. 오른쪽 수직 화살표는 \(B/hB\)가 \(A\) 위에서 평탄하므로 단사이다. Algebra, Lemma 00HD을 보라. 따라서 \(h\)에 의한 곱셈은 가운데 수직 화살표의 핵 \(K\) 위에서 전사이다. 나카야마 보조정리, 즉 Algebra, Lemma 00DV에 의해 \(K= 0\)임을 얻는다. 따라서 \(B\)는 \(A\) 위에서 평탄하다. Algebra, Lemma 00HD을 보라.

다음 보조정리는 평탄 궤적의 열린성의 대수적 판본에 의존한다. 스킴론적 판본은 More on Morphisms, Section 0398에 있다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D \subset X\)를 상대 유효 카르티에 인자라 하자. \(f\)가 국소 유한 표시이면 열린 부분스킴 \(U \subset X\)가 존재하여 \(D \subset U\)이고 \(f|_U : U \to S\)는 평탄하다.

증명

\(x \in D\)를 택하자. 열린 근방 \(U \subset X\) 중 \(x\)를 포함하고 \(f|_U\)가 평탄한 것을 찾으면 충분하다. 따라서 보조정리는 \(X = \Spec(B)\)와 \(S = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(D\)가 영인자가 아닌 원소 \(h \in B\)로 주어진 경우로 환원된다. 가정에 의해 \(B\)는 유한 표시 \(A\)-대수이고 \(B/hB\)는 평탄한 \(A\)-대수이다. 절대 뇌터 근사를 사용하겠다.

\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)로 쓰자. \(h\)가 \(h' \in A[x_1, \ldots, x_n]\)의 상이라고 가정하자. 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수 \(A_0 \subset A\)를 택하여 다항식 \(h', g_1, \ldots, g_m\)의 모든 계수가 \(A_0\)에 속하게 하자. 그러면 \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)로 둘 수 있고, \(h_0\)를 \(h'\)의 \(B_0\) 안의 상으로 둘 수 있다. 그러면 \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\)이고 \(B/hB = B_0/h_0B_0 \otimes_{A_0} A\)이다. Algebra, Lemma 02JO에 의해 \(A_0\)를 확대하고 나면 \(B_0/h_0B_0\)가 \(A_0\) 위에서 평탄하다고 가정해도 된다. \(K_0 = \Ker(h_0 : B_0 \to B_0)\)라 하자. \(B_0\)가 \(\mathbf{Z}\) 위에서 유한형이므로 \(K_0\)는 유한 생성 아이디얼이다. \(A_1 \subset A\)를 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수라 하되 \(A_0\)를 포함하게 하고, 대응하는 대상들을 \(B_1\), \(h_1\), \(K_1\)으로 나타내되 모두 \(A_1\) 위에서 취한다. More on Algebra, Lemma 063Q에 의해 사상 \(K_0 \otimes_{A_0} A_1 \to K_1\)은 전사이다. 한편 가정에 의해 \(h : B \to B\)의 핵은 영이다. 따라서 \(K_0\)의 모든 원소는 \(K_1\)에서 영으로 가며 이는 충분히 큰 부분환 \(A_1 \subset A\)에 대해 성립한다. \(K_0\)가 유한 생성이므로 \(K_1 = 0\)이 되는 적절한 \(A_1\)을 택할 수 있다.

\(f_1 : X_1 \to S_1\)을 \(\Spec\)과 같게 두되, 여기서 환 사상은 \(A_1 \to B_1\)이다. \(D_1 = \Spec(B_1/h_1B_1)\)로 두자. \(B = B_1 \otimes_{A_1} A\), 즉 \(X = X_1 \times_{S_1} S\)이므로, 이제 \(X_1 \to S_1\)과 상대 유효 카르티에 인자 \(D_1\)에 대해 보조정리를 보이면 충분하다. Morphisms, Lemma 01U8를 보라. 따라서 \(A\)가 뇌터 환인 경우로 환원했다. 이 경우 환 사상 \(A \to B\)는 모든 소아이디얼 \(\mathfrak q\), 즉 \(V(h)\)의 소아이디얼에서 평탄임을 Lemma 062U에 의해 안다. 이 경우 평탄 궤적이 열린집합이라는 사실, 즉 Algebra, Theorem 00RC과 결합하면 끝난다.

아무런 유한성 가정도 필요로 하지 않는 다음 보조정리도 있다. 그 아이디어는 Michael Artin에게서 나온 것으로 보인다. [Nobile]을 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(D \subset X\)를 \(X/S\) 위의 상대 유효 카르티에 인자라 하자. \(f\)가 \(X \setminus D\)의 모든 점에서 평탄하면 \(f\)는 평탄하다.

증명

이는 다음 대수 명제로 옮겨진다. \(A \to B\)를 환 사상이라 하고 \(h \in B\)라 하자. \(h\)가 영인자가 아닌 원소이고 \(B/hB\)가 \(A\) 위에서 평탄하며 국소화 \(B_h\)가 \(A\) 위에서 평탄하다고 가정하자. 그러면 \(B\)는 \(A\) 위에서 평탄하다. 그 이유는 짧은 완전열 \[0 \to B \to B_h \to \colim_n (1/h^n)B/B \to 0\] 이 있고 둘째와 셋째 항이 \(A\) 위에서 평탄하여 \(B\)도 \(A\) 위에서 평탄하기 때문이다(Algebra, Lemma 00HM를 보라). 평탄 가군의 여과 여극한은 평탄하고(Algebra, Lemma 05UT를 보라), \(n\)에 관한 귀납법으로 각 \((1/h^n)B/B \cong B/h^nB\)는 짧은 완전열 \[0 \to B/h^{n - 1}B \xrightarrow{h} B/h^nB \to B/hB \to 0\] 에 들어가므로 \(A\) 위에서 평탄함에 유의하자. 세부사항은 생략한다.

예

다음은 상대 유효 카르티에 인자 \(D\)의 예인데, 주위 스킴은 \(D\)의 한 근방에서 평탄하지 않다. 즉, \(A = k[t]\)라 하고 \[B = k[t, x, y, x^{-1}y, x^{-2}y, \ldots]/(ty, tx^{-1}y, tx^{-2}y, \ldots)\] 라 하자. 그러면 \(B\)는 \(A\) 위에서 평탄하지 않지만 \(B/xB \cong A\)는 \(A\) 위에서 평탄하다. 또한 \(x\)는 영인자가 아닌 원소이므로 \(\Spec(B)\) 안에서 \(\Spec(A)\) 위의 상대 유효 카르티에 인자를 정의한다.

주위 스킴이 밑 위에서 평탄하고 국소 유한 표시이면, 올을 사용하여 상대 유효 카르티에 인자를 특징지을 수 있다. 이 보조정리에 대한 조금 다른 관점은 More on Morphisms, Lemma 056Y도 보라.

보조정리

\(\varphi : X \to S\)를 국소 유한 표시인 평탄 사상이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하고 \(x \in Z\)를 택하자. 그 상을 \(s \in S\)라 하자.

1. \(Z_s \subset X_s\)가 \(x\)의 한 근방에서 카르티에 인자이면, 열린집합 \(U \subset X\)와 상대 유효 카르티에 인자 \(D \subset U\)가 존재하여 \(Z \cap U \subset D\)이고 \(Z_s \cap U = D_s\)이다.

2. \(Z_s \subset X_s\)가 \(x\)의 한 근방에서 카르티에 인자이고, 사상 \(Z \to X\)가 유한 표시이며 \(Z \to S\)가 \(x\)에서 평탄하면, \(U\)와 \(D\)를 택하여 \(Z \cap U = D\)가 되게 할 수 있다.

3. \(Z_s \subset X_s\)가 \(x\)의 한 근방에서 카르티에 인자이고 \(Z\)가 \(X\)의 국소 주인 닫힌 부분스킴이며 이 성질이 \(x\)의 한 근방에서 성립하면, \(U\)와 \(D\)를 택하여 \(Z \cap U = D\)가 되게 할 수 있다.

특히 \(Z \to S\)가 국소 유한 표시이고 평탄하며 모든 올 \(Z_s \subset X_s\)가 유효 카르티에 인자이면 \(Z\)는 상대 유효 카르티에 인자이다. 마찬가지로 \(Z\)가 \(X\)의 국소 주인 닫힌 부분스킴이고 모든 올 \(Z_s \subset X_s\)가 유효 카르티에 인자이면 \(Z\)는 상대 유효 카르티에 인자이다.

증명

아핀 열린 근방 \(\Spec(A)\)를 택하여 \(s\)를 포함하게 하고, 아핀 열린 근방 \(\Spec(B)\)를 택하여 \(x\)를 포함하게 하며 \(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\)가 되게 하자. 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)를 택하여 \(s\)에 대응하게 하고, 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)를 택하여 \(x\)에 대응하게 하자. 아이디얼 \(I \subset B\)를 택하여 \(Z\)에 대응하게 하자. 보조정리의 첫 가정에 의해 \(A \to B\)가 평탄하고 유한 표시임을 안다. (1)의 가정은 \(\Spec(B)\)를 줄인 뒤 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)가 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)에서 영인자가 아닌 하나의 원소로 생성된다고 가정해도 된다는 뜻이다. \(f \in I\)가 이 생성원으로 간다고 하자. 어떤 원소 \(g \in B\)를 역으로 만들되 \(g \not \in \mathfrak q\)가 되게 하면, 닫힌 부분스킴 \(D = V(f) \subset \Spec(B_g)\)가 상대 유효 카르티에 인자라고 주장한다.

Algebra, Lemma 02JO에 의해 뇌터 환의 평탄 유한형 환 사상 \(A_0 \to B_0\), 원소 \(f_0 \in B_0\), 환 사상 \(A_0 \to A\), 그리고 동형 \(A \otimes_{A_0} B_0 \cong B\)를 찾을 수 있다. \(\mathfrak p_0 = A_0 \cap \mathfrak p\)이면 \[B \otimes_A \kappa(\mathfrak p) = \left(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\right) \otimes_{\kappa(\mathfrak p_0))} \kappa(\mathfrak p)\] 임을 안다. 따라서 \(f_0\)는 \(B_0 \otimes_{A_0} \kappa(\mathfrak p_0)\)에서 영인자가 아닌 원소이다. Algebra, Lemma 00MF에 의해 \(f_0\)는 \((B_0)_{\mathfrak q_0}\)에서 영인자가 아닌 원소이고, 여기서 \(\mathfrak q_0 = B_0 \cap \mathfrak q\)이다. 또한 \((B_0/f_0B_0)_{\mathfrak q_0}\)는 \(A_0\) 위에서 평탄하다. 따라서 Algebra, Lemma 061L와 Algebra, Theorem 00RC에 의해 \(g_0 \in B_0\), \(g_0 \not \in \mathfrak q_0\)가 존재하여 \(f_0\)는 \((B_0)_{g_0}\)에서 영인자가 아닌 원소이고 \((B_0/f_0B_0)_{g_0}\)는 \(A_0\) 위에서 평탄하다. 따라서 \(D_0 = V(f_0) \subset \Spec((B_0)_{g_0})\)는 상대 유효 카르티에 인자이다. 이 성질은 밑변환 아래 보존되므로(Lemma 056Q 참조), 위 주장은 \(g\)를 \(g_0\)의 \(B\) 안의 상으로 택하면 성립한다.

이제 (1)을 증명했다. (2)를 보기 위해 닫힌 몰입 \(Z \to D\)를 생각하자. 전사 환 사상 \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\)는 본질적으로 유한 표시인 평탄한 국소 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-대수 사이의 사상이고, \(\mathfrak m_s\)로 나눈 뒤 동형이 된다. 따라서 이는 동형이다. Algebra, Lemma 046Y를 보라. 그러므로 \(Z \to D\)는 \(x\)의 한 근방에서 동형이다. Algebra, Lemma 00QR를 보라. (3)을 보기 위해 필요하면 \(U\)를 줄여 \(D\)의 아이디얼이 영인자가 아닌 한 원소 \(f\)로 생성되고 \(Z\)의 아이디얼이 원소 \(g\)로 생성된다고 가정해도 된다. 그러면 \(f = gh\)이다. 그러나 \(g|_{U_s}\)와 \(f|_{U_s}\)는 \(x\)의 한 근방에서 같은 유효 카르티에 인자를 잘라낸다. 따라서 \(h|_{X_s}\)는 \(\mathcal{O}_{X_s, x}\)의 단원이고, 따라서 \(h\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 단원이며, 따라서 \(h\)는 \(x\)의 열린 근방에서 단원이다. 즉, \(Z \cap U = D\)이고 이는 \(U\)를 줄인 뒤 성립한다.

보조정리의 마지막 명제들은 (2), (3)과 다음 사실을 결합하면 바로 따른다. \(Z \to S\)가 국소 유한 표시일 필요충분조건은 \(Z \to X\)가 유한 표시인 것이다. Morphisms, Lemmas 01TR와 02FV를 보라.

몰입의 법선 원뿔

\(i : Z \to X\)를 닫힌 몰입이라 하자. 대응하는 준연접 아이디얼층을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)라 하자. 등급 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접층 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)을 생각하자. 각 층 \(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)은 \(\mathcal{I}\)에 의해 영이 되므로 이 등급 대수는 Morphisms, Lemma 01QY에 의해 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수의 준연접층에 대응한다. 이 준연접 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수를 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 여법선 대수라 부른다. Morphisms, Section 01QX에서 언급한 표기의 남용으로 흔히 단순히 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)로 나타낸다.

\(f : Z \to X\)를 몰입이라 하자. \(f\)의 여법선 대수를 닫힌 몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 여법선 대수로 정의한다. 여기서 \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\)이다. 이를 흔히 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)로 나타내며, \(\mathcal{I}\)는 닫힌 몰입 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)의 아이디얼층이다.

정의

\(f : Z \to X\)를 몰입이라 하자. 여법선 대수 \(\mathcal{C}_{Z/X, *}\), 즉 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 여법선 대수 또는 \(f\)의 여법선 대수란 위에서 설명한 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수의 준연접층 \(\bigoplus_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)을 말한다.

따라서 \(\mathcal{C}_{Z/X, 1} = \mathcal{C}_{Z/X}\)은 몰입의 여법선층이다. 또한 \(\mathcal{C}_{Z/X, 0} = \mathcal{O}_Z\)이고, \(\mathcal{C}_{Z/X, n}\)은 다음 성질로 특징지어지는 준연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이다. [0631]\[\begin{equation} i_*\mathcal{C}_{Z/X, n} = \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \end{equation}\] 여기서 \(i : Z \to X \setminus \partial Z\)이고 \(\mathcal{I}\)는 위와 같은 \(i\)의 아이디얼층이다. 끝으로, 준연접 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수의 표준 전사 사상 [0632]\[\begin{equation} \text{Sym}^*(\mathcal{C}_{Z/X}) \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *} \end{equation}\] 이 있으며 차수 \(0\)과 \(1\)에서는 동형임에 유의하자.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자. \(i\)의 여법선 대수는 다음 성질을 갖는다.

1. \(U \subset X\)를 \(i(Z)\)가 \(U\)의 닫힌 부분집합이 되는 임의의 열린집합이라 하자. 아이디얼층을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\)라 하되 대응하는 닫힌 부분스킴이 \(i(Z) \subset U\)가 되게 하자. 그러면 \[\mathcal{C}_{Z/X, *} = i^*\left(\bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n\right) = i^{-1}\left( \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1} \right)\] 이다.

2. 임의의 아핀 열린집합 \(\Spec(R) = U \subset X\)가 \(Z \cap U = \Spec(R/I)\)를 만족하면 표준 동형 \(\Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *}) = \bigoplus_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1}\) 이 있다.

증명

대부분 정의에서 분명하다. 환 \(R\)과 아이디얼 \(I\)가 주어지고 이 아이디얼이 \(R\)의 것이면 \(I^n/I^{n + 1} = I^n \otimes_R R/I\)임에 유의하자. 세부사항은 생략한다.

보조정리

스킴의 범주에서 다음 가환 그림이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] \(i\), \(i'\)이 몰입이라고 가정하자. 그러면 등급 \(\mathcal{O}_Z\)-대수의 표준 사상 \[f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \longrightarrow \mathcal{C}_{Z/X, *}\] 이 존재하며 다음 성질로 특징지어진다. 아핀 열린집합의 모든 쌍 \((\Spec(R) = U \subset X, \Spec(R') = U' \subset X')\)가 \(g(U) \subset U'\)를 만족하고 \(Z \cap U = \Spec(R/I)\) 및 \(Z' \cap U' = \Spec(R'/I')\)를 만족하면, 유도 사상 \[\Gamma(Z' \cap U', \mathcal{C}_{Z'/X', *}) = \bigoplus\nolimits (I')^n/(I')^{n + 1} \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} I^n/I^{n + 1} = \Gamma(Z \cap U, \mathcal{C}_{Z/X, *})\] 은 환 사상 \(f^\sharp : R' \to R\)에서 유도된 것이며, 이 환 사상은 \(f^\sharp(I') \subset I\)를 만족한다.

증명

\(\partial Z' = \overline{Z'} \setminus Z'\) 및 \(\partial Z = \overline{Z} \setminus Z\)라 하자. 이들은 각각 \(X'\)와 \(X\)의 닫힌 부분집합이다. \(X'\)를 \(X' \setminus \partial Z'\)로 바꾸고 \(X\)를 \(X \setminus \big(g^{-1}(\partial Z') \cup \partial Z\big)\)로 바꾸면 \(i\)와 \(i'\)이 닫힌 몰입이라고 가정해도 된다.

\(g \circ i\)가 \(i'\)을 통해 분해된다는 사실은 \(g^*\mathcal{I}'\)이 \(\mathcal{I}\) 안으로 사상됨을 함의하며, 이는 표준 사상 \(g^*\mathcal{I}' \to \mathcal{O}_X\) 아래에서의 말이다. Schemes, Lemmas 01HP와 01HQ를 보라. 따라서 준연접층의 유도 사상 \(g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to \mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}\)을 얻는다. \(i\)로 당기면 \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) \to i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1})\)를 얻는다. 다음에 유의하자. \(i^*(\mathcal{I}^n/\mathcal{I}^{n + 1}) = \mathcal{C}_{Z/X, n}\). 한편 \(i^*g^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*(i')^*((\mathcal{I}')^n/(\mathcal{I}')^{n + 1}) = f^*\mathcal{C}_{Z'/X', n}\)이다. 이것이 원하는 사상을 준다.

그 사상이 국소적으로 주어진 사상 \((I')^n/(I')^{n + 1} \to I^n/I^{n + 1}\)로 기술됨을 확인하려면 정의를 풀어 쓰면 되므로 생략한다. 또 하나 유의할 점은 임의의 \(x \in i(Z)\)에 대해 \(U\), \(U'\)라는 아핀 열린 근방들이 실제로 존재하여 \(f(U) \subset U'\)이고, \(Z \cap U\)와 \(U' \cap Z'\)가 모두 닫히며, \(x \in U\)가 된다는 것이다. 증명은 생략한다. 따라서 보조정리의 요건은 실제로 사상을 특징짓고, 그 요건을 정의로 사용할 수도 있었다.

보조정리

다음 그림이 스킴의 범주에서의 올곱 그림이라고 하자. \[\xymatrix{ Z \ar[r]_i \ar[d]_f & X \ar[d]^g \\ Z' \ar[r]^{i'} & X' }\] \(i\), \(i'\)은 몰입이라 하자. 그러면 Lemma 0634의 표준 사상 \(f^*\mathcal{C}_{Z'/X', *} \to \mathcal{C}_{Z/X, *}\)은 전사이다. \(g\)가 평탄하면 이는 동형이다.

증명

\(R' \to R\)을 환 사상이라 하고 \(I' \subset R'\)을 아이디얼이라 하자. \(I = I'R\)로 두자. 그러면 \((I')^n/(I')^{n + 1} \otimes_{R'} R \to I^n/I^{n + 1}\)은 전사이다. \(R' \to R\)이 평탄하면 \(I^n = (I')^n \otimes_{R'} R\)이고 이 사상은 동형임을 안다.

정의

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 법선 원뿔 \(C_ZX\), 즉 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 법선 원뿔은 \[C_ZX = \underline{\Spec}_Z(\mathcal{C}_{Z/X, *})\] 이다. Constructions, Definitions 062Q와 062R를 보라. \(Z\)의 \(X\) 안에서의 법선 다발은 벡터 다발 \[N_ZX = \underline{\Spec}_Z(\text{Sym}(\mathcal{C}_{Z/X}))\] 이다. Constructions, Definitions 01M2와 062M을 보라.

따라서 \(C_ZX \to Z\)는 \(Z\) 위의 원뿔이고 \(N_ZX \to Z\)는 \(Z\) 위의 벡터 다발이다(우리의 용어에서 이것은 여법선층이 유한 국소 자유층임을 함의하지 않음을 상기하라). 또한 등급 대수의 표준 전사 (0632)는 \(Z\) 위의 원뿔의 표준 닫힌 몰입 [0637]\[\begin{equation} C_ZX \longrightarrow N_ZX \end{equation}\] 을 정의한다.

정칙 아이디얼층

이 절에서는 유효 카르티에 인자의 개념을 더 높은 여차원으로 일반화한다. 원소열 \(f_1, \ldots, f_r\)이 환 \(R\)에서 정칙열이라는 것은 각 \(i = 1, \ldots, r\)에 대해 원소 \(f_i\)가 \(R/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\) 위에서 영인자가 아니고 \(R/(f_1, \ldots, f_r) \not = 0\)인 것을 뜻한다. Algebra, Definition 00LF을 보라. 이와 밀접하게 관련된 더 약한 조건 세 가지를 부과할 수 있다. 첫째 조건은 \(f_1, \ldots, f_r\)이 코쥘 정칙열, 즉 \(H_i(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\)이 \(i > 0\)에 대해 성립한다고 가정하는 것이다. More on Algebra, Definition 062E을 보라. 이 열을 \(H_1\)-정칙열이라 부르는 것은 \(H_1(K_\bullet(f_1, \ldots, f_r)) = 0\)일 때이다. 또 다른 조건은 \(J = (f_1, \ldots, f_r)\)로 둘 때 사상 \[R/J[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{n \geq 0} J^n/J^{n + 1}\] 이 \(T_i\)를 \(f_i \bmod J^2\)로 보내며 동형인 것이다. 이 경우 \(f_1, \ldots, f_r\)을 준정칙열이라 한다. Algebra, Definition 061P을 보라. \(R\)-가군 \(M\)이 주어지면 \(M\)-정칙열과 \(M\)-준정칙열이라는 개념도 있다.

이를 환 달린 공간의 경우에 다음과 같이 일반화할 수 있다. \(X\)를 환 달린 공간이라 하고 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. \(f_1, \ldots, f_r\)이 정칙열이라는 것은 각 \(i = 1, \ldots, r\)에 대해 사상 [0639]\[\begin{equation} f_i : \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_X/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \end{equation}\] 이 층의 단사 사상인 것을 뜻한다. \(f_1, \ldots, f_r\)이 코쥘 정칙열이라는 것은 코쥘 복합체 [063A]\[\begin{equation} K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet), \end{equation}\] 즉 Modules, Definition 062L의 복합체가 차수 \(> 0\)에서 비순환인 것을 뜻한다. \(f_1, \ldots, f_r\)이 \(H_1\)-정칙열이라는 것은 코쥘 복합체 \(K_\bullet(\mathcal{O}_X, f_\bullet)\)가 차수 \(1\)에서 완전한 것을 뜻한다. 끝으로 \(f_1, \ldots, f_r\)이 준정칙열이라는 것은 사상 [063B]\[\begin{equation} \mathcal{O}_X/\mathcal{J}[T_1, \ldots, T_r] \longrightarrow \bigoplus\nolimits_{d \geq 0} \mathcal{J}^d/\mathcal{J}^{d + 1} \end{equation}\] 이 층의 동형인 것을 뜻한다. 여기서 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)는 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성되는 아이디얼층이다. (\(\mathcal{F}\)-정칙열과 \(\mathcal{F}\)-준정칙열의 개념도 있으며, 이는 주어진 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대한 것이다. 필요해지면 여기서 도입할 것이다.)

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)라 하자. 다음 함의들이 성립한다. \(f_1, \ldots, f_r\)이 정칙열 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\)이 코쥘 정칙열 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\)이 \(H_1\)-정칙열 \(\Rightarrow\) \(f_1, \ldots, f_r\)이 준정칙열.

증명

완전성은 줄기에서 확인할 수 있으므로, 열 \(f_1, \ldots, f_r\)이 정칙열일 필요충분조건은 사상 \[f_i : \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\] 이 모든 \(x \in X\)에 대해 단사인 것이다. 다른 정칙성의 종류도 줄기별로 확인할 수 있다(세부사항은 생략한다). 따라서 함의들은 More on Algebra, Lemmas 062F, 0CEM, 및 062I에서 따른다.

정의

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 아이디얼층이라 하자.

1. \(\mathcal{J}\)가 정칙이라는 것은 모든 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)에 대해 열린 근방 \(x \in U \subset X\)와 정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 존재하여 \(\mathcal{J}|_U\)가 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성되는 것이다.

2. \(\mathcal{J}\)가 코쥘 정칙이라는 것은 모든 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)에 대해 열린 근방 \(x \in U \subset X\)와 코쥘 정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 존재하여 \(\mathcal{J}|_U\)가 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성되는 것이다.

3. \(\mathcal{J}\)가 \(H_1\)-정칙이라는 것은 모든 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)에 대해 열린 근방 \(x \in U \subset X\)와 \(H_1\)-정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 존재하여 \(\mathcal{J}|_U\)가 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성되는 것이다.

4. \(\mathcal{J}\)가 준정칙이라는 것은 모든 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)에 대해 열린 근방 \(x \in U \subset X\)와 준정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 존재하여 \(\mathcal{J}|_U\)가 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성되는 것이다.

이 개념의 많은 성질은 환에서의 정칙열과 준정칙열에 대한 대응 개념으로부터 곧바로 따른다.

보조정리

\(X\)를 환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{J}\)를 아이디얼층이라 하자. 다음 함의들이 성립한다. \(\mathcal{J}\)가 정칙 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\)가 코쥘 정칙 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\)가 \(H_1\)-정칙 \(\Rightarrow\) \(\mathcal{J}\)가 준정칙.

증명

이는 바로 Lemma 063C로 환원된다.

보조정리

\(X\)를 국소 환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 아이디얼층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{J}\)가 준정칙일 필요충분조건은 다음 조건들이 성립하는 것이다.

1. \(\mathcal{J}\)는 유한형 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고,

2. \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\)는 유한 국소 자유 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\)-가군이며,

3. 표준 사상 \[\text{Sym}^n_{\mathcal{O}_X/\mathcal{J}}(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \longrightarrow \mathcal{J}^n/\mathcal{J}^{n + 1}\] 들은 모든 \(n \geq 0\)에 대해 동형이다.

증명

열린집합 \(U \subset X\)에서 \(\mathcal{J}|_U\)가 준정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)로 생성되면 \(\mathcal{J}|_U\)는 유한형이고, \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\)는 기저 \(f_1, \ldots, f_r\)를 갖는 자유 가군이며, (3)의 사상들은 동형임이 분명하다. 마지막 사실은 이 사상들이 (063B)의 차수 \(n\) 부분을 좌표와 무관하게 표현한 것이기 때문이다. 따라서 준정칙이면 (1), (2), (3)이 성립함이 분명하다.

역으로 (1), (2), (3)이 성립한다고 하자. 점 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)를 택하자. 그러면 근방 \(U \subset X\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고, \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\)가 계수 \(r\)인 자유 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-가군이 된다. 필요하면 \(U\)를 줄여 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\)가 존재하고 \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U\)의 기저로 가며 이를 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-가군으로 보게 할 수 있다. 특히 \(f_1, \ldots, f_r\)의 상들이 \(\mathcal{J}_x/\mathcal{J}^2_x\) 안에서 생성함을 안다. 따라서 나카야마 보조정리(Algebra, Lemma 00DV)에 의해 \(f_1, \ldots, f_r\)은 줄기 \(\mathcal{J}_x\)를 생성한다. \(\mathcal{J}\)가 유한형이므로 Modules, Lemma 01B8에 의해 \(U\)를 줄여 \(f_1, \ldots, f_r\)이 \(\mathcal{J}\)를 생성한다고 가정해도 된다. 끝으로 (3)과 동형 \(\mathcal{J}|_U/\mathcal{J}^2|_U = \bigoplus \mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U f_i\) 로부터 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 준정칙열임이 분명하다.

보조정리

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 국소 환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 아이디얼층이라 하자. \(x \in X\)라 하고 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}_x\)의 상들이 \(\kappa(x)\)-벡터 공간 \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\)의 기저를 이룬다고 하자.

1. \(\mathcal{J}\)가 준정칙이면 열린 근방이 존재하여 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 \(\mathcal{J}|_U\)를 생성하는 준정칙열을 이룬다.

2. \(\mathcal{J}\)가 \(H_1\)-정칙이면 열린 근방이 존재하여 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 \(H_1\)-정칙열을 이루고 \(\mathcal{J}|_U\)를 생성한다.

3. \(\mathcal{J}\)가 코쥘 정칙이면 열린 근방이 존재하여 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)가 \(\mathcal{J}|_U\)를 생성하는 코쥘 정칙열을 이룬다.

증명

먼저 \(\mathcal{J}\)가 준정칙이라고 가정하자. 열린 근방 \(U \subset X\)를 택하여 \(x\)를 포함하게 하고, 준정칙열 \(g_1, \ldots, g_s \in \mathcal{O}_X(U)\)를 택하여 \(\mathcal{J}|_U\)를 생성하게 할 수 있다. 이는 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2\)가 계수 \(s\)인 자유 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{J}|_U\)-가군임을 함의하므로(Lemma 063H와 그 증명을 보라) \(r = s\)이다. \(U\)를 줄여 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\)라고 가정해도 된다. 따라서 \[f_i = \sum a_{ij} g_j\] 로 쓸 수 있고, 여기서 어떤 \(a_{ij} \in \mathcal{O}_X(U)\)들이 있다. 가정에 의해 행렬 \(A = (a_{ij})\)는 \(\kappa(x)\) 위의 가역행렬로 간다. 따라서 \(U\)를 한 번 더 줄여 \((a_{ij})\)가 가역이라고 가정해도 된다. 그러므로 \(f_1, \ldots, f_r\)이 \((\mathcal{J}/\mathcal{J}^2)|_U\)의 기저를 주고, 이는 \(f_1, \ldots, f_r\)이 \(U\) 위의 준정칙열임을 증명한다.

(2)와 (3)의 가정은 (1)의 가정보다 강하므로, (2)와 (3)을 증명할 때에는 이미 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{J}(U)\)이고 \(f_i = \sum a_{ij}g_j\)이며 위와 같이 \((a_{ij})\)가 가역이라고 가정해도 됨에 유의하자. 이제 \(g_1, \ldots, g_r\)은 \(H_1\)-정칙열 또는 코쥘 정칙열이다. \(f_1, \ldots, f_r\) 위의 코쥘 복합체는 \(g_1, \ldots, g_r\) 위의 코쥘 복합체와 동형이고, 이 동형은 행렬 \((a_{ij})\)로 주어진다(More on Algebra, Lemma 0625를 보라). 따라서 원하는 대로 \(f_1, \ldots, f_r\)은 \(H_1\)-정칙 또는 코쥘 정칙이다.

보조정리

스킴 위의 정칙, 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙 또는 준정칙 아이디얼층은 모두 유한형 준연접 아이디얼층이다.

증명

이러한 아이디얼층은 국소적으로 유한 개의 절단으로 생성되므로 결론이 따른다. 스킴 위에서 절단들로 국소 생성되는 모든 아이디얼층은 준연접이다. Schemes, Lemma 01IN를 보라.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하고 \(\mathcal{J}\)를 아이디얼층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{J}\)가 정칙(각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙)일 필요충분조건은 모든 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{O}_X/\mathcal{J})\)에 대해 아핀 열린 근방 \(x \in U \subset X\), \(U = \Spec(A)\)가 존재하여 \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)이고 \(I\)가 정칙(각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙)열 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)로 생성되는 것이다.

증명

가정에 의해 열린 근방 \(U\)를 찾아 \(x\)를 포함하게 하고, 그 위에서 \(\mathcal{J}\)가 정칙 (각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙)열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_X(U)\)로 생성되게 할 수 있다. \(U\)를 줄여 \(U\)가 아핀, 즉 \(U = \Spec(A)\)라고 가정해도 된다. \(\mathcal{J}\)는 Lemma 063F에 의해 준연접이므로, \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)이고 \(I \subset A\)인 아이디얼을 택할 수 있다. 이제 함자 \[\widetilde{\ } : \text{Mod}_A \longrightarrow \QCoh(\mathcal{O}_U)\] 가 완전성을 보존하는 범주의 동치라는 사실을 사용할 수 있다. 예를 들어 함수들 \(f_i\)가 \(\mathcal{J}\)를 생성한다는 것은 \(f_i\)들을 \(A\)의 원소로 보면 \(I\)를 생성한다는 뜻이다. (0639)가 단사라는 사실 (각각 (063A)가 완전, (063A)가 차수 \(1\)에서 완전, (063B)가 동형)은 대응 사상 \(A/(f_1, \ldots, f_{i - 1}) \to A/(f_1, \ldots, f_{i - 1})\)(각각 복합체 \(K_\bullet(A, f_1, \ldots, f_r)\), 사상 \(A/I[T_1, \ldots, T_r] \to \bigoplus I^n/I^{n + 1}\))의 대응 성질을 함의한다. 따라서 \(f_1, \ldots, f_r \in A\)는 정칙(각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙)열이며, 환 \(A\)의 원소열이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하고 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 준연접 아이디얼층이라 하자. \(x\)를 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{J}\)의 지지집합의 한 점이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{J}_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 안의 정칙열로 생성되고,

2. \(\mathcal{J}_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 안의 코쥘 정칙열로 생성되고,

3. \(\mathcal{J}_x\)는 \(H_1\)-정칙열로 생성되고 그 열은 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 안에 있으며,

4. \(\mathcal{J}_x\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\) 안의 준정칙열로 생성되고,

5. 아핀 근방 \(U = \Spec(A)\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고, \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)이고 \(I\)는 \(A\) 안의 정칙열로 생성되며,

6. 아핀 근방 \(U = \Spec(A)\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고, \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)이고 \(I\)는 \(A\) 안의 코쥘 정칙열로 생성되며,

7. 아핀 근방 \(U = \Spec(A)\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고, \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)이고 \(I\)는 \(H_1\)-정칙열로 생성되며 그 열은 \(A\) 안에 있고,

8. 아핀 근방 \(U = \Spec(A)\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고, \(\mathcal{J}|_U = \widetilde{I}\)이고 \(I\)는 \(A\) 안의 준정칙열로 생성되고,

9. 근방 \(U\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고 \(\mathcal{J}|_U\)가 정칙이고,

10. 근방 \(U\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고 \(\mathcal{J}|_U\)가 코쥘 정칙이고,

11. 근방 \(U\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고 \(\mathcal{J}|_U\)가 \(H_1\)-정칙이고,

12. 근방 \(U\)가 존재하여 \(x\)를 포함하고 \(\mathcal{J}|_U\)가 준정칙이다.

특히 국소 뇌터 스킴 위에서 정칙, 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙 아이디얼층의 개념은 모두 일치한다.

증명

Lemma 063G로부터 (5) \(\Leftrightarrow\) (9), (6) \(\Leftrightarrow\) (10), (7) \(\Leftrightarrow\) (11), (8) \(\Leftrightarrow\) (12)를 얻는다. (5) \(\Rightarrow\) (1), (6) \(\Rightarrow\) (2), (7) \(\Rightarrow\) (3), (8) \(\Rightarrow\) (4)는 분명하다. Algebra, Lemma 061L에 의해 (1) \(\Rightarrow\) (5)이다. Lemma 063E에 의해 (9) \(\Rightarrow\) (10) \(\Rightarrow\) (11) \(\Rightarrow\) (12)이다. 끝으로 Algebra, Lemma 061S에 의해 (4) \(\Rightarrow\) (1)이다. 이제 열두 명제는 모두 동치이다.

정칙 몰입

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 정의에 의해 이는 열린 부분스킴 \(U \subset X\)가 존재하여 \(Z\)가 \(U\)의 닫힌 부분스킴과 동일시된다는 뜻이다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼층을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\)라 하자. \(U' \subset X\)가 이러한 두 번째 열린 부분스킴이라고 하고, 이에 대응하는 준연접 아이디얼층을 \(\mathcal{I}' \subset \mathcal{O}_{U'}\)라 쓰자. 그러면 \(\mathcal{I}|_{U \cap U'} = \mathcal{I}'|_{U \cap U'}\)이다. 또한 \(\mathcal{O}_U/\mathcal{I}\)의 지지집합은 \(Z\)이고, 이는 \(U \cap U'\)에 포함되며 \(\mathcal{O}_{U'}/\mathcal{I}'\)의 지지집합이기도 하다. 따라서 Definition 063D로부터 \(\mathcal{I}\)가 정칙 아이디얼일 필요충분조건은 \(\mathcal{I}'\)가 정칙 아이디얼인 것임을 알 수 있다. 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙 또는 준정칙인 경우도 마찬가지이다.

정의

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 열린 부분스킴 \(U \subset X\)를 택하여 \(i\)가 \(Z\)를 \(U\)의 닫힌 부분스킴과 동일시하게 하고, 이에 대응하는 준연접 아이디얼층을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_U\)라 하자.

1. \(i\)가 정칙 몰입이라는 것은 \(\mathcal{I}\)가 정칙인 것이다.

2. \(i\)가 코쥘 정칙 몰입이라는 것은 \(\mathcal{I}\)가 코쥘 정칙인 것이다.

3. \(i\)가 \(H_1\)-정칙 몰입이라는 것은 \(\mathcal{I}\)가 \(H_1\)-정칙인 것이다.

4. \(i\)가 준정칙 몰입이라는 것은 \(\mathcal{I}\)가 준정칙인 것이다.

위의 논의로부터 이 정의가 \(U\)의 선택과 무관함을 알 수 있다. 조건들은 강한 것부터 약한 것의 순서로 나열되어 있다. Lemma 063K를 보라. 코쥘 정칙 닫힌 몰입은 매끄러운 위상에서 국소적으로 정칙 몰입이다. Lemma 0692를 보라. 국소 뇌터인 경우에는 네 개념이 모두 일치한다. Lemma 063I을 보라.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 다음 함의들이 성립한다. \(i\)가 정칙 \(\Rightarrow\) \(i\)가 코쥘 정칙 \(\Rightarrow\) \(i\)가 \(H_1\)-정칙 \(\Rightarrow\) \(i\)가 준정칙.

증명

이는 바로 Lemma 063E로 환원된다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하고 \(X\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 그러면 \(i\)가 정칙 \(\Leftrightarrow\) \(i\)가 코쥘 정칙 \(\Leftrightarrow\) \(i\)가 \(H_1\)-정칙 \(\Leftrightarrow\) \(i\)가 준정칙.

증명

이는 Lemma 063K와 Lemma 063I에서 바로 따른다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 정칙(각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙) 몰입이라 하자. \(X' \to X\)를 평탄 사상이라 하자. 그러면 밑변환 \(i' : Z \times_X X' \to X'\)는 정칙(각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙) 몰입이다.

증명

Lemma 063G를 통해 이는 Algebra, Lemmas 00LM와 065L, 그리고 More on Algebra, Lemma 062H의 대수적 명제로 옮겨진다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 스킴의 몰입이라 하자. 그러면 \(i\)가 준정칙 몰입일 필요충분조건은 다음 조건들이 성립하는 것이다.

1. \(i\)는 국소 유한 표시이고,

2. 여법선층 \(\mathcal{C}_{Z/X}\)는 유한 국소 자유이며,

3. 사상 (0632)은 동형이다.

증명

열린 몰입은 국소 유한 표시이다. 따라서 \(X\)를 열린 부분스킴 \(U \subset X\)로 바꾸어 \(i\)가 \(Z\)를 \(U\)의 닫힌 부분스킴과 동일시하게 할 수 있다. 즉, \(i\)가 닫힌 몰입이라고 가정해도 된다. 이에 대응하는 준연접 아이디얼층을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)라 하자. Morphisms, Lemma 01TV를 떠올리면 \(\mathcal{I}\)가 유한형일 필요충분조건은 \(i\)가 국소 유한 표시인 것이다. 따라서 동치는 Lemma 063H와 정의를 풀어 쓰는 것으로부터 따른다.

보조정리

\(Z \to Y \to X\)를 스킴의 몰입들이라 하자. \(Z \to Y\)가 \(H_1\)-정칙이라고 가정하자. 그러면 Morphisms, Lemma 062S의 표준 열 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 은 완전하며 국소적으로 분할된다.

증명

\(\mathcal{C}_{Z/Y}\)는 유한 국소 자유이므로(Lemma 063M와 Lemma 063E를 보라), 이 열이 완전임을 보이면 충분하다. Morphisms, Lemma 062S에서 증명된 바에 따르면 첫 번째 사상이 단사임을 보이면 충분하다. 아핀 국소적으로 작업하면 이는 다음 문제로 환원된다. 환 \(A\)와 아이디얼들 \(I \subset J \subset A\)가 있다고 하자. \(J/I \subset A/I\)가 \(H_1\)-정칙열로 생성된다고 가정하자. 그러면 \(I/I^2 \otimes_A A/J \to J/J^2\)가 단사인가? 여기서 \(I/I^2 \otimes_A A/J = I/IJ\)임에 유의하자. 따라서 우리가 증명하려는 것은 \(I \cap J^2 = IJ\)이다. 이는 More on Algebra, Lemma 0666의 결과이다.

준정칙 몰입의 합성은 준정칙이 아닐 수 있다. Algebra, Remark 065M를 보라. 다른 종류의 정칙 몰입들은 합성에 대해 보존된다.

보조정리

\(i : Z \to Y\)와 \(j : Y \to X\)를 스킴의 몰입들이라 하자.

1. \(i\)와 \(j\)가 정칙 몰입이면 \(j \circ i\)도 정칙 몰입이다.

2. \(i\)와 \(j\)가 코쥘 정칙 몰입이면 \(j \circ i\)도 코쥘 정칙 몰입이다.

3. \(i\)와 \(j\)가 \(H_1\)-정칙 몰입이면 \(j \circ i\)도 그러하다.

4. \(i\)가 \(H_1\)-정칙 몰입이고 \(j\)가 준정칙 몰입이면 \(j \circ i\)는 준정칙 몰입이다.

증명

(1)의 대수적 형태는 Algebra, Lemma 065K이다. (2)의 대수적 형태는 More on Algebra, Lemma 0669이다. (3)의 대수적 형태는 More on Algebra, Lemma 0668이다. (4)의 대수적 형태는 More on Algebra, Lemma 0667이다.

보조정리

\(i : Z \to Y\)와 \(j : Y \to X\)를 스킴의 몰입들이라 하자. \(j\)가 국소 유한 표시이고 Morphisms, Lemma 062S의 열 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 이 완전하며 국소적으로 분할된다고 가정하자.

1. \(j \circ i\)가 준정칙 몰입이면 \(i\)도 준정칙 몰입이다.

2. \(j \circ i\)가 \(H_1\)-정칙 몰입이면 \(i\)도 그러하다.

3. \(j\)와 \(j \circ i\)가 모두 코쥘 정칙 몰입이면 \(i\)도 코쥘 정칙 몰입이다.

증명

\(Y\)와 \(X\)를 줄여 \(i\)와 \(j\)가 닫힌 몰입이라고 가정해도 된다. 아이디얼층 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Y\)의 것으로, 아이디얼층 \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(Z\)의 것으로 쓰자. 여법선열은 \(0 \to \mathcal{I}/\mathcal{I}\mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \mathcal{J}/(\mathcal{I} + \mathcal{J}^2) \to 0\)이다. \(z \in Z\)라 하고 \(y = i(z)\), \(x = j(y) = j(i(z))\)라 두자. \(f_1, \ldots, f_n \in \mathcal{I}_x\)를 택하여 그 상들이 \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_z\mathcal{I}_x\)의 기저를 이루게 하자. 이를 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m \in \mathcal{J}_x\)로 확장하여 그 상들이 \(\mathcal{J}_x/\mathfrak m_z\mathcal{J}_x\)의 기저를 이루게 하자. \(z\)의 한 근방에서 여법선층들의 열이 분할된다고 가정했으므로 이것은 가능하다. 실제로 \(\mathcal{I}_x/\mathfrak m_x\mathcal{I}_x \to \mathcal{J}_x/\mathfrak m_x\mathcal{J}_x\)가 단사이다.

(1)의 증명. Lemma 067N에 의해 아핀 열린 근방 \(U\)를 찾아 \(x\)를 포함하게 하고, \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\)이 \(\mathcal{J}\)를 생성하는 준정칙열을 이루게 할 수 있다. \(i\)가 국소 유한 표시이므로 추가로 \(\mathcal{I}\)가 \(f_1, \ldots, f_n\)으로 생성된다고 가정해도 된다 (Morphisms, Lemma 01TV, 나카야마 보조정리, 그리고 Modules, Lemma 01B8를 사용하라). 따라서 Algebra, Lemma 061R에 의해 \(g_1, \ldots, g_m\)은 \(Y \cap U\) 위에서 \(Z\)를 잘라내는 준정칙열을 유도한다.

(2)의 증명. More on Algebra, Lemma 068L를 사용한다는 점만 제외하면 (1)의 증명과 완전히 같다.

(3)의 증명. Lemma 067N를 두 번 적용하면 아핀 열린 근방 \(U\)를 찾아 \(x\)를 포함하게 하고 \(f_1, \ldots, f_n\)이 \(\mathcal{I}\)를 생성하는 코쥘 정칙열을 이루고, \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\)이 \(\mathcal{J}\)를 생성하는 코쥘 정칙열을 이루게 할 수 있다. 따라서 More on Algebra, Lemma 068M에 의해 \(g_1, \ldots, g_m\)은 \(Y \cap U\) 위에서 \(Z\)를 잘라내는 코쥘 정칙열을 유도한다.

보조정리

\(i : Z \to Y\)와 \(j : Y \to X\)를 스킴의 몰입들이라 하자. \(z \in Z\)를 택하고 이에 대응하는 점들을 \(y \in Y\), \(x \in X\)라 쓰자. \(X\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 다음은 동치이다.

1. \(i\)는 \(z\)의 한 근방에서 정칙 몰입이고 \(j\)는 \(y\)의 한 근방에서 정칙 몰입이다.

2. \(i\)와 \(j \circ i\)는 \(z\)의 한 근방에서 정칙 몰입이다.

3. \(j \circ i\)는 \(z\)의 한 근방에서 정칙 몰입이고, 여법선열 \[0 \to i^*\mathcal{C}_{Y/X} \to \mathcal{C}_{Z/X} \to \mathcal{C}_{Z/Y} \to 0\] 은 \(z\)의 한 근방에서 분할 완전이다.

증명

\(X\)(따라서 \(Y\)도)가 국소 뇌터이므로 네 종류의 정칙 몰입은 모두 일치한다. 또한 Lemma 063I에 의해 사상이 정칙 몰입인지 여부를 국소환의 수준에서 확인할 수 있다. 함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 Lemma 067Q이고, 함의 (2) \(\Rightarrow\) (3)은 Lemma 063N이다. 따라서 (3)이 (1)을 함의함을 보이면 충분하다.

(3)을 가정하자. \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)라 두자. \(I \subset A\)를 전사 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)의 핵이라 쓰고, \(J \subset A\)를 전사 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Z, z}\)의 핵이라 쓰자. \(J\)를 \(A\) 안에서 생성하는 임의의 극소 원소열은 준정칙열이고 따라서 정칙열이다. Lemma 067N을 보라. 가정에 의해 여법선열 \[0 \to I/IJ \to J/J^2 \to J/(I + J^2) \to 0\] 은 \(A/J\)-가군의 열로서 분할 완전이다. 따라서 극소 생성계 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\)을 \(J\)에 대해 택하되 \(f_1, \ldots, f_n \in I\)가 \(I\)의 극소 생성계가 되게 할 수 있다. 위에서 지적했듯이 \(f_1, \ldots, f_n, g_1, \ldots, g_m\)은 \(A\) 안의 정칙열이다. 정칙열의 정의로부터 \(f_1, \ldots, f_n\)은 \(A\) 안의 정칙열이고 \(\overline{g}_1, \ldots, \overline{g}_m\)은 \(A/I\) 안의 정칙열임이 바로 따른다. 따라서 \(j\)는 \(y\)에서 정칙 몰입이고 \(i\)는 \(z\)에서 정칙 몰입이다.

주

Lemma 0690의 상황에서 (1), (2), (3)은 “\(j \circ i\)와 \(j\)가 \(z\)와 \(y\)에서 정칙 몰입이다”와 동치가 아니다. 한 예는 \(X = \mathbf{A}^1_k = \Spec(k[x])\), \(Y = \Spec(k[x]/(x^2))\), \(Z = \Spec(k[x]/(x))\)이다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 코쥘 정칙 닫힌 몰입이라 하자. 그러면 전사인 매끄러운 사상 \(X' \to X\)가 존재하여 \(i' : Z \times_X X' \to X'\)가 \(i\)의 밑변환이며 정칙 몰입이 된다.

증명

\(X\)가 아핀이고 \(Z\)의 아이디얼이 코쥘 정칙열로 생성된다고 가정해도 된다. 이를 위해 \(X\)를 적절한 아핀 열린 덮개의 원소들로 바꾼다(Lemma 063G에서와 같은 아핀 열린집합을 취한다). 아핀인 경우는 More on Algebra, Lemma 068Q이다.

보조정리

\(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자. \(Z\)와 \(X\)가 정칙 스킴이면 \(i\)는 정칙 몰입이다.

증명

\(z \in Z\)라 하자. Lemma 063I에 의해 \(\mathcal{O}_{X, z} \to \mathcal{O}_{Z, z}\)의 핵이 정칙열로 생성됨을 보이면 충분하다. 이는 Algebra, Lemmas 00NR와 00NQ에서 따른다.

상대 정칙 몰입

이 절에서는 정칙 몰입의 밑변환 성질을 고찰한다. 다음 보조정리는 정칙 몰입이나 코쥘 몰입에 대해서는 성립하지 않는다. Examples, Lemma 0641를 보라.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(i : Z \subset X\)를 몰입이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(i\)는 \(H_1\)-정칙(각각 준정칙) 몰입이고,

2. \(Z \to S\)는 평탄 사상이다.

그러면 스킴의 모든 사상 \(g : S' \to S\)에 대해 밑변환 \(Z' = S' \times_S Z \to X' = S' \times_S X\)는 \(H_1\)-정칙(각각 준정칙) 몰입이다.

증명

정의를 풀어 쓰고 Lemma 063G를 사용하면 이는 More on Algebra, Lemma 0CEP로 옮겨진다.

이 보조정리가 다음 정의의 동기이다.

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(i : Z \to X\)를 몰입이라 하자.

1. \(i\)를 상대 준정칙 몰입이라 하는 것은 \(Z \to S\)가 평탄이고 \(i\)가 준정칙 몰입인 것이다.

2. \(i\)를 상대 \(H_1\)-정칙 몰입이라 하는 것은 \(Z \to S\)가 평탄이고 \(i\)가 \(H_1\)-정칙 몰입인 것이다.

이 용어법이 표준적이지 않을 수 있음을 독자에게 경고한다. Lemma 063R은 상대 준정칙(각각 \(H_1\)-정칙) 몰입이 임의의 밑변환에 대해 보존됨을 보장한다. 상대 \(H_1\)-정칙 몰입은 상대 준정칙 몰입이다. Lemma 063K를 보라. Lemma 063V(또는 Lemma 063U)를 살펴보자. 이는 \(Z \to X\)가 상대 \(H_1\)-정칙(또는 준정칙) 몰입이고 주위 스킴이 \(S\) 위에서 (평탄이며) 국소 유한 표시이면, \(Z \to X\)가 실제로 정칙 몰입이고 이 사실이 모든 밑변환 뒤에도 유지됨을 보인다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(Z \to X\)를 상대 준정칙 몰입이라 하자. \(x \in Z\)이고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 뇌터이면 \(f\)는 \(x\)에서 평탄이다.

증명

준정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}_{X, x}\)를 택하여 \(Z\)의 아이디얼을 \(x\)에서 잘라내게 하자. Algebra, Lemma 061S에 의해 \(f_1, \ldots, f_r\)은 정칙열이다. 따라서 \(f_r\)은 \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\) 위의 영인자가 아닌 원소이고, 그 몫은 평탄 \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-가군이다. Lemma 062U에 의해 \(\mathcal{O}_{X, x}/(f_1, \ldots, f_{r - 1})\)가 평탄 \(\mathcal{O}_{S, f(x)}\)-가군임을 얻는다. 귀납을 계속하면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 평탄 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-가군임을 얻는다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(Z \to X\)를 몰입이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X \to S\)는 평탄이며 국소 유한 표시이고,

2. \(Z \to X\)는 상대 준정칙 몰입이다.

그러면 \(Z \to X\)는 정칙 몰입이며, 임의의 밑변환 뒤에도 그러하다.

증명

\(x \in Z\)를 택하고 그 상을 \(s \in S\)라 하자. 이를 증명하려면 \(x\)의 아핀 근방을 찾아 \(U\) 안에 포함되게 하고 그 아핀 열린집합 위에서 결론이 성립함을 보이면 충분하다. 따라서 \(X\)가 아핀이고 준정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)가 존재하여 \(Z = V(f_1, \ldots, f_r)\)라고 가정해도 된다. More on Algebra, Lemma 0CEP에 의해 열 \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\)는 \(\Gamma(X_s, \mathcal{O}_{X_s})\) 안의 준정칙열이다. \(X_s\)가 뇌터이므로, 필요하면 \(X\)를 조금 줄인 뒤 \(f_1|_{X_s}, \ldots, f_r|_{X_s}\)가 정칙열임을 얻는다. Algebra, Lemmas 061S와 061L를 보라. Lemma 062Y에 의해 \(Z_1 = V(f_1) \subset X\)는 상대 유효 카르티에 인자이다. 여기서도 필요하면 \(X\)를 조금 줄인다. 같은 보조정리를 \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\)에 다시 적용하면 \(Z_2 \subset Z_1\)이 상대 유효 카르티에 인자임을 알 수 있다. 이 과정을 계속하여 \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\)에 이른다. 상대 유효 카르티에 인자라는 성질은 임의의 밑변환에 대해 보존되므로(Lemma 056Q를 보라), 보조정리의 마지막 명제도 따른다.

주

상대 준정칙 몰입의 여차원이 상수이면, 밑변환 뒤에도 바뀌지 않는다. 실제로 환 사상 \(A \to B\)와 준정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in B\)가 주어지고 \(B/(f_1, \ldots, f_r)\)가 \(A\) 위에서 평탄하다고 하자. 그러면 모든 환 사상 \(A \to A'\)에 대해 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\)은 \(B' = B \otimes_A A'\) 안의 준정칙열이다. 이는 More on Algebra, Lemma 0CEP로부터 따른다 (이 보조정리는 위의 Lemma 063R의 증명에서 사용되었다). 이제 Lemma 063U의 증명은 \(A \to B\)가 평탄이며 국소 유한 표시이면 모든 소 아이디얼 \(\mathfrak q' \subset B'\)에 대해 열 \(f_1 \otimes 1, \ldots, f_r \otimes 1\)이 국소환 \(B'_{\mathfrak q'}\) 안에서 실제로 정칙열임을 보인다.

보조정리

\(X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(Z \to X\)를 상대 \(H_1\)-정칙 몰입이라 하자. \(X \to S\)가 국소 유한 표시라고 가정하자. 그러면

1. 열린 부분스킴 \(U \subset X\)가 존재하여 \(Z \subset U\)이고 \(U \to S\)가 평탄이며,

2. \(Z \to X\)는 정칙 몰입이고 이는 임의의 밑변환 뒤에도 성립한다.

증명

\(x \in Z\)를 택하자. (1)을 증명하려면 열린 근방 \(U \subset X\)를 찾아 \(x\)를 포함하게 하고 \(U \to S\)가 평탄임을 보이면 충분하다. 따라서 \(X = \Spec(B)\)와 \(S = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(Z\)가 \(H_1\)-정칙열 \(f_1, \ldots, f_r \in B\)로 주어진 경우로 환원된다. 가정에 의해 \(B\)는 유한 표시 \(A\)-대수이고 \(B/(f_1, \ldots, f_r)B\)는 평탄 \(A\)-대수이다. 절대 뇌터 근사를 사용할 것이다.

\(B = A[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)로 쓰자. \(f_i\)가 \(f_i' \in A[x_1, \ldots, x_n]\)의 상이라고 가정하자. 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수 \(A_0 \subset A\)를 택하여 다항식 \(f_1', \ldots, f_r', g_1, \ldots, g_m\)의 모든 계수가 \(A_0\)에 속하게 하자. \(B_0 = A_0[x_1, \ldots, x_n]/(g_1, \ldots, g_m)\)라 두고 그 상을 \(f_{i, 0}\)라 쓰자. 여기서 이는 \(f_i'\)의 \(B_0\)에서의 상이다. 그러면 \(B = B_0 \otimes_{A_0} A\)이고 \[B/(f_1, \ldots, f_r) = B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}) \otimes_{A_0} A.\] Algebra, Lemma 02JO에 따라 \(A_0\)를 확대하여 \(B_0/(f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})\)가 \(A_0\) 위에서 평탄이라고 가정해도 된다. 이 단계에서 코쥘 코호몰로지 군 \(H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\)이 영일 필요는 없다. 한편 \(B_0\)가 뇌터이므로 이는 유한 생성 \(B_0\)-가군이다. 생성원들을 \(\xi_1, \ldots, \xi_n \in H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r}))\) 라 하자. \(A_0 \subset A_1 \subset A\)를 더 큰 유한형 \(\mathbf{Z}\)-부분대수라 하되 이는 \(A\)의 부분대수이다. 그 상을 \(f_{1, i}\)라 쓰자. 여기서 이는 \(f_{0, i}\)의 \(B_1 = B_0 \otimes_{A_0} A_1\)에서의 상이다. More on Algebra, Lemma 063Q에 의해 사상 \[H_1(K_\bullet(B_0, f_{0, 1}, \ldots, f_{0, r})) \otimes_{A_0} A_1 \longrightarrow H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\] 은 전사이다. 또한 위와 같은 모든 \(A_1\)의 선택에 대한 복합체 \(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})\)의 여극한은 복합체 \(K_\bullet(B, f_1, \ldots, f_r)\)이고 이는 차수 \(1\)에서 비순환임이 분명하다. 따라서 Algebra, Lemma 00DB에 의해 \[\colim_{A_0 \subset A_1 \subset A} H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r})) = 0\] 이다. 그러므로 \(A_1\)을 택하여 \(\xi_1, \ldots, \xi_n\)이 모두 \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\)에서 영으로 가게 할 수 있다. 다시 말해 코쥘 코호몰로지 군 \(H_1(K_\bullet(B_1, f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\)은 영이다.

아핀 스킴의 사상 \(X_1 \to S_1\)을 고찰하자. 이는 \(\Spec\)을 환 사상 \(A_1 \to B_1\)에 취한 것이다. 또한 \(Z_1 = \Spec(B_1/(f_{1, 1}, \ldots, f_{1, r}))\)라 하자. \(B = B_1 \otimes_{A_1} A\), 즉 \(X = X_1 \times_{S_1} S\)이고 마찬가지로 \(Z = Z_1 \times_S S_1\)이므로, 이제 \(X_1 \to S_1\)과 상대 \(H_1\)-정칙 몰입 \(Z_1 \to X_1\)에 대해 (1)을 증명하면 충분하다. Morphisms, Lemma 01U8를 보라. 따라서 \(X \to S\)가 뇌터 스킴들의 유한형 사상인 경우로 환원되었다. 이 경우 Lemma 063T에 의해 \(X \to S\)는 \(Z\)의 모든 점에서 평탄하다. 이 경우 평탄 자취가 열린집합이라는 사실(Algebra, Theorem 00RC를 보라)과 결합하면 (1)을 얻는다. 이제 (2)는 Lemma 063U를 적용하여 따른다.

주위 스킴이 밑스킴 위에서 평탄이며 국소 유한 표시이면, 상대 준정칙 몰입을 그 올들로 특징지을 수 있다.

보조정리

\(\varphi : X \to S\)를 국소 유한 표시인 평탄 사상이라 하자. \(T \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하고, \(x \in T\)의 상을 \(s \in S\)라 하자.

1. \(T_s \subset X_s\)가 \(x\)의 한 근방에서 준정칙 몰입이면, 열린집합 \(U \subset X\)와 상대 준정칙 몰입 \(Z \subset U\)가 존재하여 \(Z_s = T_s \cap U_s\)이고 \(T \cap U \subset Z\)이다.

2. \(T_s \subset X_s\)가 \(x\)의 한 근방에서 준정칙 몰입이고, 사상 \(T \to X\)가 유한 표시이며 \(T \to S\)가 \(x\)에서 평탄이면, (1)에서와 같이 \(U\)와 \(Z\)를 택하여 \(T \cap U = Z\)가 되게 할 수 있다.

3. \(T_s \subset X_s\)가 \(x\)의 한 근방에서 준정칙 몰입이고, \(T\)가 \(c\)개의 방정식으로 잘려 나오며 이는 \(x\)의 한 근방에서 성립하고, \(c = \dim_x(X_s) - \dim_x(T_s)\)이면, (1)에서와 같이 \(U\)와 \(Z\)를 택하여 \(T \cap U = Z\)가 되게 할 수 있다.

각 경우에 \(Z \to U\)는 Lemma 063U에 의해 정칙 몰입이다. 특히 \(T \to S\)가 국소 유한 표시이며 평탄이고 모든 올 \(T_s \subset X_s\)가 준정칙 몰입이면, \(T \to X\)는 상대 준정칙 몰입이다.

증명

아핀 열린 근방 \(\Spec(A)\)를 택하여 \(s\)를 포함하게 하고, 아핀 열린 근방 \(\Spec(B)\)를 택하여 \(x\)를 포함하게 하며 \(\varphi(\Spec(B)) \subset \Spec(A)\)가 되게 하자. 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)를 \(s\)에 대응하는 것으로, 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)를 \(x\)에 대응하는 것으로, 아이디얼 \(I \subset B\)를 \(T\)에 대응하는 것으로 택하자. 보조정리의 처음 가정으로부터 \(A \to B\)가 평탄이며 유한 표시임을 안다. (1)의 가정은 \(\Spec(B)\)를 줄인 뒤 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)가 어떤 준정칙 원소열로 생성된다고 가정해도 된다는 뜻이다. 필요하면 \(B\)를 어떤 \(g \in B\), \(g \not \in \mathfrak q\)에서 국소화하여, 원소들 \(f_1, \ldots, f_r \in I\)이 존재하고 그 상들이 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 안에서 준정칙열을 이루며 \(I(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p))\)를 생성한다고 가정해도 된다. Algebra, Lemmas 061S와 061L에 의해 한 번 더 국소화하여 \(f_1, \ldots, f_r \in I\)이 \(B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\) 안에서 정칙열을 이룬다고 가정해도 된다. Lemma 062Y에 의해 \(Z_1 = V(f_1) \subset \Spec(B)\)는 상대 유효 카르티에 인자이다. 여기서도 필요하면 \(B\)를 국소화한다. 같은 보조정리를 \(Z_2 = V(f_1, f_2) \subset Z_1\)에 다시 적용하면 \(Z_2 \subset Z_1\)이 상대 유효 카르티에 인자임을 알 수 있다. 이 과정을 계속하여 \(Z = Z_n = V(f_1, \ldots, f_n)\)에 이른다. 그러면 \(Z \to \Spec(B)\)는 정칙 몰입이고 \(Z\)는 \(S\) 위에서 평탄하다. 특히 \(Z \to \Spec(B)\)는 \(\Spec(A)\) 위의 상대 준정칙 몰입이다. 이로써 (1)이 증명되었다.

(2)를 보이기 위해 닫힌 몰입 \(Z \to D\)를 고찰하자. 전사 환 사상 \(u : \mathcal{O}_{D, x} \to \mathcal{O}_{Z, x}\)는 본질적 유한 표시인 평탄 국소 \(\mathcal{O}_{S, s}\)-대수들 사이의 사상이고, \(\mathfrak m_s\)로 나누면 동형이 된다. 따라서 이는 동형이다. Algebra, Lemma 046Y을 보라. 이에 따라 \(Z \to D\)는 \(x\)의 한 근방에서 동형이다. Algebra, Lemma 00QR을 보라.

(3)을 보자. 필요하면 \(U\)를 줄여 \(Z\)의 아이디얼이 정칙열 \(f_1, \ldots, f_r\)로 생성되고(위의 \(Z\)의 구성을 보라), \(T\)의 아이디얼이 \(g_1, \ldots, g_c\)로 생성된다고 가정해도 된다. \(c = r\)임을 주장한다. 실제로 \[\begin{align*} \dim_x(X_s) & = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim_x(T_s) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(s)}(\kappa(x)), \\ \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) & = \dim(\mathcal{O}_{T_s, x}) + r \end{align*}\] 이다. 앞의 두 등식은 Algebra, Lemma 00P1에서 따르고, 두 번째 등식은 Algebra, Lemma 00KW을 \(r\)번 적용하여 따른다. \(T \subset Z\)이므로 \(f_i = \sum b_{ij} g_j\)임을 안다. 그러나 \(Z\)와 \(T\)의 아이디얼들은 \(X_s\)의 같은 준정칙 닫힌 부분스킴을 잘라내며 이는 \(x\)의 한 근방에서 성립한다. 따라서 행렬 \((b_{ij}) \bmod \mathfrak m_x\)는 가역이다 (일부 세부사항은 생략한다). 그러므로 \((b_{ij})\)는 \(x\)의 한 열린 근방에서 가역이다. 다시 말해 \(T \cap U = Z\)이다. 여기서 \(U\)를 줄인다.

보조정리의 마지막 명제들은 (2)와, \(Z \to S\)가 국소 유한 표시일 필요충분조건이 \(Z \to X\)가 유한 표시인 것이라는 사실을 결합하여 바로 따른다. Morphisms, Lemmas 01TR와 02FV를 보라.

다음 보조정리는 Morphisms, Lemma 05D9을 강화한 것이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 매끄러운 사상이라 하고 \(\sigma : S \to X\)를 \(f\)의 절단이라 하자. 그러면 \(\sigma\)는 정칙 몰입이다.

증명

Schemes, Lemma 01KS에 의해 사상 \(\sigma\)는 몰입이다. \(X\)를 \(\sigma(S)\)의 열린 근방으로 바꾸어 \(\sigma\)가 닫힌 몰입이라고 가정해도 된다. 이에 대응하는 닫힌 부분스킴을 \(T = \sigma(S)\)라 하자. 이는 \(X\)의 부분스킴이다. \(T \to S\)는 동형이므로 평탄하며 유한 표시이다. 또한 매끄러운 사상은 평탄하며 국소 유한 표시이다. Morphisms, Lemmas 01VF와 01VE를 보라. 따라서 Lemma 063W에 의해 \(T_s \subset X_s\)가 준정칙 닫힌 부분스킴임을 보이면 충분하다. 이는 Morphisms, Lemma 05D9에서 바로 따르지만, 다음과 같이 직접 볼 수도 있다. \(k\)를 체라 하고 \(A\)를 매끄러운 \(k\)-대수라 하자. \(\mathfrak m \subset A\)를 잉여체가 \(k\)인 극대 아이디얼이라 하자. 그러면 \(\mathfrak m\)은 준정칙열로 생성된다. 필요하면 \(A\)를 \(A_g\)로 바꾸는데, 여기서 어떤 \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak m\)를 취한다. Algebra, Lemma 00TT에서 \(A_{\mathfrak m}\)이 정칙 국소환임을 증명했으므로 \(\mathfrak mA_{\mathfrak m}\)은 정칙열로 생성된다. 이는 실제로 \(\mathfrak m\)이 정칙열로 생성됨을 함의한다. 여기서 필요하면 \(A\)를 \(A_g\)로 바꾸는데, 어떤 \(g \in A\), \(g \not \in \mathfrak m\)를 취한다. Algebra, Lemma 061L를 보라.

다음 보조정리에는 일종의 역이 있다. Lemma 0693를 보라.

보조정리

스킴의 사상들의 가환 그림 \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(X \to S\)가 매끄럽고 \(i\), \(j\)가 몰입이라고 가정하자. \(j\)가 정칙(각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙) 몰입이면 \(i\)도 그러하다.

증명

\(i\)를 합성 \[Y \to Y \times_S X \to X\] 으로 쓸 수 있다. Lemma 067R에 의해 첫 번째 화살표는 정칙 몰입이다. 두 번째 화살표는 \(Y \to S\)의 평탄 밑변환이므로 정칙(각각 코쥘 정칙, \(H_1\)-정칙, 준정칙) 몰입이다. Lemma 067P를 보라. 이제 Lemma 067Q을 적용하면 결론을 얻는다.

보조정리

스킴의 사상들의 가환 그림 \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(Y \to S\)가 신토믹이고 \(X \to S\)가 매끄러우며 \(i\)가 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(i\)는 정칙 몰입이다.

증명

\(X\)를 \(i(Y)\)의 열린 근방으로 바꾸어 \(i\)가 닫힌 몰입이라고 가정해도 된다. 이에 대응하는 닫힌 부분스킴을 \(T = i(Y)\)라 하자. 이는 \(X\)의 부분스킴이다. \(T \cong Y\)이므로 사상 \(T \to S\)는 평탄이며 유한 표시이다(Morphisms, Lemmas 01UK와 01UL). 또한 매끄러운 사상은 평탄이며 국소 유한 표시이다(Morphisms, Lemmas 01VF와 01VE). 따라서 Lemma 063W에 의해 \(T_s \subset X_s\)가 준정칙 닫힌 부분스킴임을 보이면 충분하다. \(X_s\)는 체 위에서 국소 유한형이므로 뇌터이다(Morphisms, Lemma 01T6). 따라서 점별로 \(T_s \subset X_s\)가 준정칙 몰입인지 확인할 수 있다. Lemma 063I을 보라. \(t \in T_s\)를 택하자. Morphisms, Lemma 01UG에 의해 국소환 \(\mathcal{O}_{T_s, t}\)는 \(\kappa(s)\) 위의 국소 완전 교차이다. 국소환 \(\mathcal{O}_{X_s, t}\)는 정칙이다. Algebra, Lemma 00TT를 보라. Algebra, Lemma 00SF에 의해 전사 \(\mathcal{O}_{X_s, t} \to \mathcal{O}_{T_s, t}\)의 핵이 정칙열로 생성됨을 알 수 있고, 이것이 증명할 내용이었다.

보조정리

스킴의 사상들의 가환 그림 \[\xymatrix{ Y \ar[rd] \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(Y \to S\)와 \(X \to S\)가 매끄럽고 \(i\)가 몰입이라고 가정하자. 그러면 \(i\)는 정칙 몰입이다.

증명

이는 Lemma 067T의 특수한 경우이다. 실제로 매끄러운 사상은 신토믹이다. Morphisms, Lemma 01VD을 보라.

보조정리

스킴의 사상들의 가환 그림 \[\xymatrix{ Y \ar[rd]_j \ar[rr]_i & & X \ar[ld] \\ & S }\] 이 주어졌다고 하자. \(X \to S\)가 매끄럽고 \(i\)와 \(j\)가 몰입이라고 가정하자. \(i\)가 코쥘 정칙(각각 \(H_1\)-정칙, 준정칙) 몰입이면 \(j\)도 그러하다.

증명

이하에서 Lemma 063K을 별도의 언급 없이 사용한다. 임의의 점 \(y \in Y\)를 택하고 \(x = i(y)\), \(s = j(y)\)라 두자. \(X\)와 \(S\)를 열린 근방들 \(U\)와 \(V\)로 바꾸되 각각 \(x\)와 \(s\)를 포함하게 하고, \(Y\)를 \(y\)의 열린 근방으로 바꾸되 \(i^{-1}(U) \cap j^{-1}(V)\) 안에 놓이게 한 뒤 결론을 증명하면 충분하다.

먼저 \(X = \mathbf{A}^n_S\)인 경우를 증명한다. \(S\)를 아핀 열린집합 \(V\)로, \(Y\)를 \(j^{-1}(V)\)로 바꾸어 \(j\)가 닫힌 몰입이고 \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(S = \Spec(A)\)로 쓰자. 그러면 \(j : Y \to S\)는 \(Y\)와 닫힌 부분스킴 \(\Spec(A/I)\) 사이의 동형을 정하며, 여기서 \(I \subset A\)는 어떤 아이디얼이다. 사상 \(i : Y = \Spec(A/I) \to \mathbf{A}^n_S = \Spec(A[x_1, \ldots, x_n])\)는 \(A\)-대수 준동형 \(i^\sharp : A[x_1, \ldots, x_n] \to A/I\)에 대응한다. \(a_i \in A\)를 택하여 그 상이 \(i^\sharp(x_i)\)가 되게 하자. 이 상은 \(A/I\)에서 취한다. 닫힌 몰입 \(i\)의 아이디얼은 \[J = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) + IA[x_1, \ldots, x_n].\] 임을 관찰하자. \(K = (x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n)\)라 두자. 열 \[0 \to K/KJ \to J/J^2 \to J/(K + J^2) \to 0\] 이 분할 완전임을 주장한다. 이를 보려면 \(K/K^2\)가 기저 \(x_i - a_i\)를 갖는 자유 가군이고 그 바탕환이 \(A[x_1, \ldots, x_n]/K \cong A\)임에 유의하면 된다. 따라서 \(K/KJ\)는 환 \(A[x_1, \ldots, x_n]/J \cong A/I\) 위에서 같은 기저를 갖는 자유 가군이다. 한편 미분을 취하면 사상 \[\text{d}_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} : J/J^2 \longrightarrow \Omega_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} \otimes_{A[x_1, \ldots, x_n]} A[x_1, \ldots, x_n]/J\] 을 얻고, 이 사상은 생성원 \(x_i - a_i\)를 오른쪽 자유 가군의 기저 원소 \(\text{d}x_i\)로 보낸다. 따라서 주장이 따른다. 또한 \(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n\)은 \(A[x_1, \ldots, x_n]\) 안의 정칙열이고 그 몫환은 \(A[x_1, \ldots, x_n]/(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \cong A\)이다. 따라서 닫힌 몰입 \(i\)는 다음과 같이 분해된다. \[Y \to V(x_1 - a_1, \ldots, x_n - a_n) \to \mathbf{A}^n_S\] 여기서 합성은 코쥘 정칙(각각 \(H_1\)-정칙, 준정칙)이고, 두 번째 화살표는 정칙 몰입이며, 이에 딸린 여법선열은 분할된다. 이제 Lemma 068Z으로부터 결론이 따른다.

다음으로 \(i\)가 \(H_1\)-정칙이면 결론이 성립함을 증명한다. 증명의 첫 문단에서처럼 줄여 \(Y\), \(X\), \(S\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 닫힌 몰입 \(h : X \to \mathbf{A}^n_S\)를 \(S\) 위에서 택할 수 있으며, 이는 어떤 \(n\)에 대해 가능하다. Lemma 067U에 의해 \(h\)는 정칙 몰입이다. 따라서 \(h \circ i\)는 \(H_1\)-정칙 몰입이다. Lemma 067Q을 보라(이 단계는 “준정칙인 경우”에는 작동하지 않음에 유의하라). 이로써 위에서 증명한 \(X = \mathbf{A}^n_S\)이고 \(S\)가 아핀인 경우로 환원된다.

끝으로 \(i\)가 준정칙이라고 가정하자. 증명의 첫 문단에서처럼 줄인 뒤 Morphisms, Lemma 054L를 사용하여 \(f\)를 \(X \to \mathbf{A}^n_S \to S\)로 분해할 수 있다. 여기서 첫 번째 사상 \(X \to \mathbf{A}^n_S\)는 에탈이다. 따라서 문제는 (a) \(X = \mathbf{A}^n_S\)인 경우와 (b) \(f\)가 에탈인 경우로 환원된다. 경우 (a)는 증명의 두 번째 문단에서 다루었다. 경우 (b)는 다음 문단에서 다룬다.

\(f\)가 에탈이라고 가정하자. 줄인 뒤 \(X\), \(Y\), \(S\)가 아핀이고 \(i\)와 \(j\)가 닫힌 몰입이라고 가정해도 된다(작은 세부사항은 생략한다). \(S = \Spec(A)\), \(X = \Spec(B)\), \(Y = \Spec(B/J) = \Spec(A/I)\)라 하자. 더 줄여 \(J\)가 준정칙열로 생성된다고 가정해도 된다. 환 사상 \(A \to B\)는 에탈이므로 형식적 에탈이다(Algebra, Lemma 00UR). 따라서 Algebra, Lemma 0H1D에 의해 \(\bigoplus I^n/I^{n + 1} \cong \bigoplus J^n/J^{n + 1}\)이다. \(J\)가 준정칙열로 생성되므로 \(I\)도 그러하다. 이로써 증명이 끝난다.

유리형 함수와 절단

이 절에서는 일반적인 정의와 몇 가지 기초적인 결과만 다룬다. 생길 수 있는 몇 가지 함정에 대해서는 [misconceptions]를 보라⁴.

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 국소환 달린 공간이라 하자. 임의의 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 \(\mathcal{S}(U) \subset \mathcal{O}_X(U)\)를 \(\mathcal{O}_X\)의 \(U\) 위 정칙 절단들의 집합으로 정의했으며, Definition 01WY을 보라. 정칙 절단을 더 작은 열린집합에 제한해도 정칙이다. 따라서 \(\mathcal{S} : U \mapsto \mathcal{S}(U)\)는 \(\mathcal{O}_X\)의 (집합들의) 부분층이다. 때때로 \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_X\)로 쓰며, 이는 \(X\)에 대한 의존성을 나타내기 위해서이다. 더욱이 \(\mathcal{S}(U)\)는 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 곱셈적 부분집합이며, 이는 각 \(U\)에 대해 성립한다. 따라서 환의 준층 \[U \longmapsto \mathcal{S}(U)^{-1} \mathcal{O}_X(U),\] 을 생각할 수 있으며, Modules, Lemma 01D0를 보라.

정의

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 국소환 달린 공간이라 하자. 위에 표시한 준층에 수반되는 층을 \(X\) 위의 유리형 함수층이라 하고 \(\mathcal{K}_X\)로 쓴다. \(X\) 위의 유리형 함수란 \(\mathcal{K}_X\)의 대역 절단을 말한다.

각 \(\mathcal{S}(U)\)의 모든 원소는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 영인자가 아닌 원소이므로, 환의 층의 자연스러운 사상 \(\mathcal{O}_X \to \mathcal{K}_X\)는 단사이다.

예

\(A = \mathbf{C}[x, \{y_\alpha\}_{\alpha \in \mathbf{C}}]/ ((x - \alpha)y_\alpha, y_\alpha y_\beta)\)라 하자. \(A\)의 모든 원소는 \(f(x) + \sum \lambda_\alpha y_\alpha\)의 꼴로 유일하게 쓸 수 있다. 여기서 \(f(x) \in \mathbf{C}[x]\)이고 \(\lambda_\alpha \in \mathbf{C}\)이다. \(X = \Spec(A)\)라 하자. 이 경우 \(\mathcal{O}_X = \mathcal{K}_X\)이다. 실제로 모든 아핀 열린집합 \(D(f)\)에서 환 \(A_f\)의 영인자가 아닌 모든 원소는 가역원이다(증명은 생략한다).

\((X, \mathcal{O}_X)\)를 국소환 달린 공간이라 하고 \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하자. 준층 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\)를 생각하자. 그 층화는 층 \(\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)이며, Modules, Lemma 01D1를 보라.

정의

\(X\)를 국소환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 층이라 하자.

1. \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\)로 쓰는 층은 \(\mathcal{K}_X\)-가군의 층이며, 준층 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{F}(U)\)의 층화이다. 동치로 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)이다(위를 보라).

2. \(\mathcal{F}\)의 유리형 절단이란 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\)의 대역 절단을 말한다.

특히 임의의 점 \(x \in X\)에 대하여 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F})_x = \mathcal{F}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{K}_{X, x} = \mathcal{S}_x^{-1}\mathcal{F}_x\] 이다. 그러나 \(\mathcal{S}_x\)가 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합이 아닐 수도 있으므로 주의해야 한다. 실제로 전몫환으로 가는 단사 사상 \[\mathcal{K}_{X, x} \longrightarrow Q(\mathcal{O}_{X, x})\] 이 언제나 존재한다. 이 사상이 전사인 것은 \(\mathcal{S}_x\)가 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합일 때이며 그때에 한한다. 일반적으로 유리형 절단의 층은 준연접 가군이 아니지만, 준연접 가군과 공통으로 지니는 성질들이 있다.

정의

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 국소환 달린 공간들의 사상이라 하자. \(f\)에 대해, 모든 열린집합 \(U \subset X\), \(V \subset Y\)의 쌍이 \(f(U) \subset V\)를 만족하고 모든 절단 \(s \in \Gamma(V, \mathcal{S}_Y)\)에 대하여 당김 \(f^\sharp(s) \in \Gamma(U, \mathcal{O}_X)\)가 \(\Gamma(U, \mathcal{S}_X)\)의 원소이면, 유리형 함수의 당김이 정의된다고 한다.

이 경우 유도된 사상 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{K}_Y \to \mathcal{K}_X\)가 존재한다. 다시 말해, 환 달린 공간들의 사상으로 이루어진 가환 그림 \[\xymatrix{ (X, \mathcal{K}_X) \ar[r] \ar[d]^f & (X, \mathcal{O}_X) \ar[d]^f \\ (Y, \mathcal{K}_Y) \ar[r] & (Y, \mathcal{O}_Y) }\] 을 얻는다. 때때로 \(f^*(s) = f^\sharp(s)\)로 쓰며, 여기서 \(s \in \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y)\)는 절단이다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. 다음 각 경우에는 유리형 함수의 당김이 정의된다.

1. \(X\)의 모든 약하게 수반된 점이 \(Y\)의 어떤 기약 성분의 생성점으로 사상된다.

2. \(X\), \(Y\)가 정역 스킴이고 \(f\)가 우세하다.

3. \(X\)가 정역 스킴이고 \(X\)의 생성점이 \(Y\)의 어떤 기약 성분의 생성점으로 사상된다.

4. \(X\)가 기약원 없는 스킴이고, \(X\)의 모든 기약 성분의 모든 생성점이 \(Y\)의 어떤 기약 성분의 생성점으로 사상된다.

5. \(X\)가 국소 뇌터 스킴이고, \(X\)의 모든 수반점이 \(Y\)의 어떤 기약 성분의 생성점으로 사상된다.

6. \(X\)가 국소 뇌터 스킴이고 매장점이 없으며, \(X\)의 기약 성분의 모든 생성점이 \(Y\)의 어떤 기약 성분의 생성점으로 사상된다.

7. \(f\)가 평탄하다.

증명

문제는 \(X\)와 \(Y\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(X = \Spec(A)\), \(Y = \Spec(R)\)이고 \(f\)가 환 사상 \(\varphi : R \to A\)로 주어지는 경우로 줄일 수 있다. 구조층의 정칙 절단에 대한 Lemma 01WZ의 특징짓기에 의해, \(R \to A\)가 영인자가 아닌 원소를 영인자가 아닌 원소로 보냄을 보이면 된다. \(t \in R\)를 영인자가 아닌 원소라 하자.

\(R \to A\)가 평탄하면 \(t : R \to R\)가 단사이므로 \(t : A \to A\)도 단사이다. 이것으로 (7)이 증명된다.

나머지 경우에는 \(t\)가 \(R\)의 어떤 극소 소아이디얼에도 속하지 않음을 관찰하자(환의 극소 소아이디얼의 모든 원소는 영인자이기 때문이다). 따라서 (1)의 경우 \(\varphi(t)\)는 \(A\)의 어떤 약하게 수반된 소아이디얼에도 속하지 않는다. 그러므로 이 경우는 Algebra, Lemma 05C3에서 따른다. (5)는 Lemma 05AR에 의해 (1)의 특별한 경우이다. (6)은 (5)와 정의들에서 따른다. (4)는 Lemma 0EME에 의해 (1)의 특별한 경우이다. (2)와 (3)은 (4)의 특별한 경우이다.

보조정리

스킴 \(X\)가 다음을 만족한다고 하자.

1. \(X\)의 모든 약하게 수반된 점은 \(X\)의 어떤 기약 성분의 생성점이다.

2. 모든 준콤팩트 열린집합은 유한 개의 기약 성분을 갖는다.

\(X^0\)를 \(X\)의 기약 성분들의 생성점으로 이루어진 집합이라 하자. 그러면 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] 이다. 여기서 \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\)는 Schemes, Section 01J5의 표준 사상이다. 더욱이 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{K}_X\)는 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접층이다.

2. 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 유리형 절단의 층 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] 은 \(\mathcal{F}\)의 유리형 절단으로 이루어지며 준연접이다.

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)는 임의의 \(x \in X\)에 대하여 영인자가 아닌 원소들의 집합이다.

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 전몫환이며, 이는 임의의 \(x \in X\)에 대해 성립한다.

5. \(\mathcal{K}_X(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 전몫환과 같으며, 이는 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 성립한다.

6. \(X\)의 유리 함수환 (Morphisms, Definition 01RT)은 \(X\) 위의 유리형 함수환이며, 식으로 쓰면 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)이다.

증명

예를 들어 줄기에서 확인하면 국소 유한한 가군층의 직합은 곱과 같음을 알 수 있다. 또한 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{K}_X\)이므로 (2)는 나머지 명제들에서 따른다. 또한 \(X^0\)가 유한할 때에는 (6)이 보조정리의 첫 명제와 Morphisms, Lemma 01RV에서 따름을 관찰하자. (6)의 일반적인 경우는 이를 이어붙여서 얻는다(논증은 생략한다).

\(j : Y = \coprod\nolimits_{\eta \in X^0} \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\) 를 사상 \(j_\eta\)들의 쌍대합이라 하자. 우리는 \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\)임을 보여야 한다. 먼저 \(\mathcal{K}_Y = \mathcal{O}_Y\)임을 유의하자. 이는 \(Y\)가 차원이 \(0\)인 국소환들의 스펙트럼의 서로소 합이기 때문이다. 차원이 영인 국소환에서는 영인자가 아닌 모든 원소가 가역원이다. 다음으로 Lemma 02OU에 의해 \(j\)에 대해 유리형 함수의 당김이 정의됨을 유의하자. 이로부터 사상 \[\mathcal{K}_X \longrightarrow j_*\mathcal{O}_Y.\] 을 얻는다. \(\Spec(A) = U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 \(A\)는 유한 개의 극소 소아이디얼 \(\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\)를 가지며, \(A\)의 모든 약하게 수반된 소아이디얼은 \(\mathfrak q_i\) 중 하나이다. Algebra, Lemmas 02LX 와 05C3에 의해 \(Q(A) = \prod A_{\mathfrak q_i}\)를 얻는다. 다시 말해, 준층 \(U \mapsto \mathcal{S}(U)^{-1}\mathcal{O}_X(U)\)의 값은 이미 \(j_*\mathcal{O}_Y(U)\)와 같으며, 이는 우리의 아핀 열린집합 \(U\) 위에서 성립한다. 따라서 위에 표시한 사상은 동형이며, 이것으로 보조정리의 명제에 나오는 첫 번째 표시 등식이 증명된다.

끝으로 (1), (3), (4), (5)를 증명하자. (5)에 대해서는 증명 도중에 \(\mathcal{K}_X = j_*\mathcal{O}_Y\)임을 보았다. 사상 \(j\)는 \(X\)의 기약 성분들의 집합이 국소 유한하다는 가정에 의해 준콤팩트이다. 따라서 \(j\)는 준콤팩트이고 준분리이다(\(Y\)가 분리이기 때문이다). Schemes, Lemma 01LC에 의해 \(j_*\mathcal{O}_Y\)는 준연접이다. 이것으로 (1)이 증명된다. \(x \in X\)라 하자. 아핀 열린집합 \(U = \Spec(A)\)를 고르되, 이것이 \(x\)의 근방이고 모든 기약 성분이 \(x\)를 지나도록 할 수 있다. 그러면 \(A \subset A_\mathfrak p\)이다. 실제로 \(A\)의 모든 약하게 수반된 소아이디얼은 \(\mathfrak p\)에 포함되므로, Algebra, Lemma 05C3에 의해 \(A \setminus \mathfrak p\)의 원소들은 영인자가 아니다. \(A_\mathfrak p\)의 영인자가 아닌 모든 원소는 \(x\)의 (필요하면 더 작은) 아핀 열린 근방 위 영인자가 아닌 원소의 상임이 쉽게 따른다. 이것으로 (3)이 증명된다. (4)는 줄기를 계산하면 (3)에서 따른다.

정의

\(X\)를 국소환 달린 공간이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 유리형 절단 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 절단이라고 하고, 이 절단이 유도하는 사상 \(\mathcal{K}_X \to \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)이 단사이면 \(s\)를 정칙이라고 한다. 다시 말해, 이는 가역 \(\mathcal{K}_X\)-가군 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)의 정칙 절단이며, Definition 01WY을 보라.

(정칙) 유리형 절단을 언제 당길 수 있는지 구체적으로 적어 보자.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 국소환 달린 공간들의 사상이라 하자. \(f\)에 대해 유리형 함수의 당김이 정의된다고 가정하자 (Definition 02OT을 보라).

1. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{O}_Y\)-가군의 층이라 하자. 표준 당김 사상 \(f^* : \Gamma(Y, \mathcal{K}_Y(\mathcal{F})) \to \Gamma(X, \mathcal{K}_X(f^*\mathcal{F}))\)이 존재하며, 이는 \(\mathcal{F}\)의 유리형 절단에 대한 당김이다.

2. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 정칙 유리형 절단 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 절단이면, 그 당김 \(f^*s\)는 \(f^*\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이라 하자. 다음 규칙으로 정의되는 아이디얼층을 \(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)로 쓰자. \[\mathcal{I}(V) = \{f \in \mathcal{O}_X(V) \mid fs \in \mathcal{L}(V)\}.\] \(\mathcal{L}(V) \subset \mathcal{K}_X(\mathcal{L})(V)\)이므로 이 식은 의미가 있다. 그러면 \(\mathcal{I}\)는 준연접 아이디얼층이고 단사 사상 \[1 : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{O}_X, \quad s : \mathcal{I} \longrightarrow \mathcal{L}\] 이 존재하며, 그 여핵들은 \(X\)의 닫힌 무소조 부분집합 위에 지지된다.

증명

문제는 \(X\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)이고 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X\)라고 가정해도 된다. 더 축소하여 \(s = a/b\)이고 \(a, b \in A\)가 \(A\)에서 둘 다 영인자가 아닌 원소라고 가정해도 된다. \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\)로 놓자.

\(\mathcal{I}\)가 준연접임을 보이려면 \(I_f = \{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\)임을 모든 \(f \in A\)에 대하여 보여야 한다. \(c/f^n \in A_f\), \((c/f^n)(a/b) \in A_f\)라 하자. 그러면 어떤 \(f^mc(a/b) \in A\)이 성립하며, 여기서 \(m\)은 어떤 정수이다. 따라서 \(c/f^n \in I_f\)이다. 역으로 \(I_f\)가 \(\{x \in A_f \mid x(a/b) \in A_f\}\)에 포함됨은 쉽게 알 수 있다. 이것으로 준연접성이 증명된다.

마지막 명제를 증명하자. \((b) \subset I\)임은 명백하다. 따라서 \(V(I) \subset V(b)\)는 무소조 부분집합이다. 실제로 \(b\)는 영인자가 아니다. 그러므로 \(1\)의 여핵은 닫힌 무소조 집합 위에 지지된다. 같은 논증을 \(s\)의 여핵에도 적용할 수 있는데, 이는 \(s(b) = (a) \subset sI \subset A\)이기 때문이다.

정의

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이라 하자. Lemma 02P0에서 구성한 아이디얼층 \(\mathcal{I}\)를 \(s\)의 분모 아이디얼층이라 한다.

유리형 함수와 절단; 뇌터 경우

국소 뇌터 스킴에 대해서는 유리형 함수층에 관한 몇 가지 결과를 증명할 수 있다. 그러나 [misconceptions]에는 \(\mathcal{K}_X\)가 준연접일 필요가 없는 뇌터 스킴 \(X\)를 보이는 예가 있다.

보조정리

\(X\)를 준콤팩트 스킴이라 하자. \(h \in \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)이고 \(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)이며, \(f\)를 \(X_h\)에 제한하면 영이라고 하자. 그러면 \(h^n f = 0\)이며, 여기서 어떤 \(n \gg 0\)이다.

증명

\(X\)를 아핀 열린집합 \(U\)들로 덮되, 각 열린집합에서 \(f|_U = s^{-1}a\)이고 \(a \in \mathcal{O}_X(U)\), \(s \in \mathcal{S}(U)\)가 되도록 할 수 있다. \(X\)가 준콤팩트이므로 이 꼴의 유한 개 아핀 열린집합으로 덮을 수 있다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)이고 \(f = s^{-1}a\)인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다. \(s \in A\)는 영인자가 아니므로 \(f = a\)인 경우에 결과를 증명하면 충분함을 유의하자. 조건 \(f|_{X_h} = 0\)은 \(a\)의 \(A_h = \mathcal{O}_X(X_h)\)에서의 상이 영임을 뜻한다. 이는 \(\mathcal{O}_X \subset \mathcal{K}_X\)이기 때문이다. 따라서 원하는 대로 \(h^na = 0\)이며, 여기서 어떤 \(n > 0\)이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자.

1. 임의의 \(x \in X\)에 대하여 \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)는 영인자가 아닌 원소들의 집합이고, 따라서 \(\mathcal{K}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 전몫환이다.

2. 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대하여 환 \(\mathcal{K}_X(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 전몫환과 같다.

증명

이 보조정리를 증명할 때 \(X\)가 뇌터 환 \(A\)의 스펙트럼이라고 가정해도 된다. \(x \in X\)가 \(\mathfrak p \subset A\)에 대응한다고 하자.

(1)의 증명. \(\mathcal{S}_x\)가 \(\mathcal{O}_{X, x} = A_\mathfrak p\)의 영인자가 아닌 원소들의 집합에 포함됨은 명백하다. 역으로 \(f, g \in A\), \(g \not \in \mathfrak p\)이고 \(f/g\)가 \(A_{\mathfrak p}\)에서 영인자가 아니라고 하자. \(I = \{a \in A \mid af = 0\}\)로 놓자. 국소화의 완전성에 의해 \(I_{\mathfrak p} = 0\)이다. \(A\)가 뇌터이므로 \(I\)는 유한 생성이고, 따라서 \(g'I = 0\)이다. 여기서 어떤 \(g' \in A\)를 택할 수 있으며 \(g' \not \in \mathfrak p\)이다. 그러므로 \(f\)는 \(A_{g'}\), 즉 \(\mathfrak p\)의 자리스키 열린 근방에서 영인자가 아니다. 따라서 \(f/g\)는 \(\mathcal{S}_x\)의 원소이다.

(2)의 증명. \(f \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)를 유리형 함수라 하자. \(I = \{a \in A \mid af \in A\}\)로 놓자. 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)를 고정하되, 이에 대응하는 점을 \(x \in X\)라 하자. (1)에 의해 \(f\)의 \(\mathfrak p\)에서의 줄기 속 상을 \(a/b\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(a, b \in A_{\mathfrak p}\)이고 \(b \in A_{\mathfrak p}\)는 영인자가 아니다. \(b = c/d\)로 쓰자. 여기서 \(c, d \in A\)이고 \(d \not \in \mathfrak p\)이다. 그러면 \(ad - cf\)는 \(\mathcal{K}_X\)의 절단으로서 \(x\)의 어떤 열린 근방에서 영이 된다. 이 근방을 \(D(e)\)라 하자. 여기서 \(e \in A\)이고 \(e \not \in \mathfrak p\)이다. Lemma 08I7에 의해 \(e^n(ad - cf) = 0\)이며, 여기서 어떤 \(n \gg 0\)이다. 따라서 \(e^nc \in I\)이고, \(e^nc\)의 \(A_{\mathfrak p}\)에서의 상은 영인자가 아니다. \(\text{Ass}(A) = \{\mathfrak q_1, \ldots, \mathfrak q_t\}\)를 \(A\)의 수반 소아이디얼들의 집합이라 하자. \(IA_{\mathfrak q_i}\)를 살펴보고 Algebra, Lemma 0310를 사용하면 위 결과는 \(I \not \subset \mathfrak q_i\)임을 뜻하며, 이는 각 \(i\)에 대해 성립한다. Algebra, Lemma 00DS에 의해 \(z \in I\), \(z \not \in \bigcup \mathfrak q_i\)인 원소가 존재한다. Algebra, Lemma 00LD에 의해 \(z\)는 \(A\)에서 영인자가 아니다. 따라서 \(f = (zf)/z\)는 \(A\)의 전분수환의 원소이다. 이것으로 (2)가 증명된다.

보조정리

\(X\)를 매장점이 없는 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(X^0\)를 \(X\)의 기약 성분들의 생성점으로 이루어진 집합이라 하자. 그러면 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta} = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{O}_{X, \eta}\] 이다. 여기서 \(j_\eta : \Spec(\mathcal{O}_{X, \eta}) \to X\)는 Schemes, Section 01J5의 표준 사상이다. 더욱이 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{K}_X\)는 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접층이다.

2. 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 유리형 절단의 층 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] 은 \(\mathcal{F}\)의 유리형 절단으로 이루어지며 준연접이다.

3. \(X\)의 유리 함수환은 \(X\) 위의 유리형 함수환이며, 식으로 쓰면 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)이다.

증명

이 보조정리는 Lemma 0EMF의 특별한 경우이다. 실제로 국소 뇌터 경우에는 약하게 수반된 점과 수반점이 같으며, 이는 Lemma 05AR에 따른다.

보조정리

\(X\)를 매장점이 없는 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{L}\)은 정칙 유리형 절단을 갖는다.

증명

각 생성점 \(\eta\)에 대하여, 이 점이 \(X\)의 점일 때 생성원 \(s_\eta\)를 고르자. 이는 계수 \(1\) 자유 가군 \(\mathcal{L}_\eta\)의 생성원이며, 이 가군은 아르틴 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \eta}\) 위의 가군이다. Lemma 0EMH에 나오는 \(\mathcal{K}_X\)와 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)의 서술에서 곧바로 \(s = \prod s_\eta\)가 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단임이 따른다.

보조정리

다음이 주어졌다고 하자.

1. 국소 뇌터 스킴 \(X\),

2. 가역 가군 \(\mathcal{L}\)로서 \(\mathcal{O}_X\)-가군인 것,

3. 정칙 유리형 절단 \(s\)로서 \(\mathcal{L}\)의 절단인 것,

4. 연접층 \(\mathcal{F}\)로서 \(X\) 위에 있고 매장 수반점이 없으며 \(\text{Supp}(\mathcal{F}) = X\)인 것.

\(\mathcal{I} \subset \mathcal{O}_X\)를 \(s\)의 분모 아이디얼이라 하자. \(T \subset X\)를 \(\mathcal{O}_X/\mathcal{I}\)와 \(\mathcal{L}/s(\mathcal{I})\)의 지지집합들의 합집합이라 하자. Lemma 02P0에 의해 이는 무소조 닫힌 부분집합 \(T \subset X\)이다. 그러면 표준 단사 사상 \[1 : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F}, \quad s : \mathcal{I}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_X}\mathcal{L}\] 이 존재하며, 그 여핵들은 \(T\) 위에 지지된다.

증명

\(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_X\)이고 \(s = a/b\)이며 \(a, b \in A\)가 둘 다 영인자가 아닌 아핀 경우로 줄인다. 환원 단계의 증명은 생략한다. \(\mathcal{F} = \widetilde{M}\)로 쓰자. \(I = \{x \in A \mid x(a/b) \in A\}\)로 놓으면 \(\mathcal{I} = \widetilde{I}\)이다(Lemma 02P0의 증명을 보라). \(T = V(I) \cup V((a/b)I)\)임을 유의하자. 임의의 \(A\)-가군 \(M\)에 대하여 사상 \(1 : IM \to M\)을 생각하자. 이는 보조정리의 사상 \(1\)을 주는 사상이다. 한편 사상 \(\sigma : IM \to M_b, x \mapsto ax/b\)를 생각하자. \(b\)는 \(A\)에서 영인자가 아니고, \(M\)의 지지집합은 \(\Spec(A)\)이며 매장 소아이디얼이 없으므로 \(b\)는 \(M\)에서도 영인자가 아니다. 따라서 \(M \subset M_b\)이다. \(I\)의 정의에 의해 \(\sigma(IM) \subset M\)이며, 이는 \(M_b\)의 부분가군으로서의 포함이다. 따라서 \(A\)-가군 사상 \(s : IM \to M\)을 얻는다 (즉, \(s(z)/1 = \sigma(z)\)를 \(M_b\)에서 모든 \(z \in IM\)에 대하여 만족하는 유일한 사상이다). \(a\)도 영인자가 아니므로(\(A\)와 \(M\) 모두에서) 이 사상은 단사이다. \(M/IM\)은 \(I\)에 의해 소멸하고 \(M/s(IM)\)은 \((a/b)I\)에 의해 소멸함이 명백하다. 따라서 보조정리가 따른다.

유리형 함수와 절단; 기약원 없는 경우

기약원 없고 국소적으로 유한 개의 기약 성분을 갖는 스킴에서는 유리형 함수층이 준연접이다.

보조정리

\(X\)를 모든 준콤팩트 열린집합이 유한 개의 기약 성분을 갖는 기약원 없는 스킴이라 하자. \(X^0\)를 \(X\)의 기약 성분들의 생성점으로 이루어진 집합이라 하자. 그러면 \[\mathcal{K}_X = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta) = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\kappa(\eta)\] 이다. 여기서 \(j_\eta : \Spec(\kappa(\eta)) \to X\)는 Schemes, Section 01J5의 표준 사상이다. 더욱이 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{K}_X\)는 \(\mathcal{O}_X\)-대수의 준연접층이다.

2. 모든 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 유리형 절단의 층 \[\mathcal{K}_X(\mathcal{F}) = \bigoplus\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta = \prod\nolimits_{\eta \in X^0} j_{\eta, *}\mathcal{F}_\eta\] 은 \(\mathcal{F}\)의 유리형 절단으로 이루어지며 준연접이다.

3. \(\mathcal{S}_x \subset \mathcal{O}_{X, x}\)는 임의의 \(x \in X\)에 대하여 영인자가 아닌 원소들의 집합이다.

4. \(\mathcal{K}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 전몫환이며, 이는 임의의 \(x \in X\)에 대해 성립한다.

5. \(\mathcal{K}_X(U)\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 전몫환과 같으며, 이는 임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 성립한다.

6. \(X\)의 유리 함수환은 \(X\) 위의 유리형 함수환이며, 식으로 쓰면 \(R(X) = \Gamma(X, \mathcal{K}_X)\)이다.

증명

이 보조정리는 Lemma 0EMF의 특별한 경우이다. 실제로 기약원 없는 스킴에서는 약하게 수반된 점이 생성점이며, 이는 Lemma 0EME에 따른다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(X\)가 기약원 없고 모든 준콤팩트 열린집합 \(U \subset X\)가 유한 개의 기약 성분을 갖는다고 가정하자. 그러면 정규화 사상 \(\nu : X^\nu \to X\)는 사상 \[\underline{\Spec}_X(\mathcal{O}') \longrightarrow X\] 이다. 여기서 \(\mathcal{O}' \subset \mathcal{K}_X\)는 유리형 함수층 안에서 \(\mathcal{O}_X\)의 정수적 폐포이다.

증명

정규화 사상 \(\nu : X^\nu \to X\)의 정의 (Morphisms, Definition 035N을 보라)와 위 Lemma 02OW의 \(\mathcal{K}_X\)에 대한 서술을 비교하면 된다.

보조정리

\(X\)를 생성점 \(\eta\)를 갖는 정역 스킴이라 하자. 다음이 성립한다.

1. 유리형 함수층은 \(X\)의 함수체 (Morphisms, Definition 01RW을 보라)를 값으로 갖는 상수층과 동형이다.

2. 임의의 준연접층 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 주어졌을 때 층 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}_\eta\)를 값으로 갖는 상수층과 동형이다.

증명

생략한다.

몇몇 경우에는 정칙 유리형 절단이 존재함을 보일 수 있다.

보조정리

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음 각 경우에 \(\mathcal{L}\)은 정칙 유리형 절단을 갖는다.

1. \(X\)는 정역 스킴이다.

2. \(X\)는 기약원 없고 모든 준콤팩트 열린집합은 유한 개의 기약 성분을 갖는다.

3. \(X\)는 국소 뇌터이고 매장점이 없다.

증명

(1)의 경우 \(\eta \in X\)를 생성점이라 하자. Lemma 01X5에서 \(\mathcal{K}_X\)와 각각 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)가 각각 \(\kappa(\eta)\)와 \(\mathcal{L}_\eta\)를 값으로 갖는 상수층임을 보았다. \(\dim_{\kappa(\eta)} \mathcal{L}_\eta = 1\)이므로 영이 아닌 원소 \(s \in \mathcal{L}_\eta\)를 고를 수 있다. 명백히 \(s\)는 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이다. (2)의 경우 영이 아닌 \(s_\eta \in \mathcal{L}_\eta\)를 모든 생성점 \(\eta\)에 대하여 고르자. 여기서 생성점들은 \(X\)의 점들이다. 이는 \(\mathcal{L}_\eta\)가 \(1\)차원 벡터공간이고 그 기초체가 \(\kappa(\eta)\)이므로 가능하다. Lemma 02OW에 나오는 \(\mathcal{K}_X\)와 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)의 서술에서 곧바로 \(s = \prod s_\eta\)가 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단임이 따른다. (3)은 Lemma 0EMI이다.

베유 인자

국소 뇌터 정역 스킴에 대하여 베유 인자와 베유 인자의 유리 동치를 도입할 것이다. 스킴이 준콤팩트라고 가정하지 않으므로 베유 인자를 정의할 때 약간 주의해야 한다. 예를 들어 유리 함수는 극을 무한히 많이 가질 수 있으므로 소인자들의 무한합을 허용해야 한다. 준콤팩트 스킴에서는 통상과 같이 베유 인자가 유한합이다. 다음은 닫힌 부분스킴들의 모임이 국소 유한함을 증명할 때 자주 사용할 기초적인 보조정리이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(Z \subset X\)를 닫힌 부분스킴이라 하자. \(Z\)의 기약 성분들의 모임은 \(X\)에서 국소 유한하다.

증명

\(U \subset X\)를 준콤팩트 열린 부분스킴이라 하자. 그러면 \(U\)는 뇌터 스킴이고, 따라서 그 바탕 위상공간은 뇌터이다 (Properties, Lemma 01OZ). 그러므로 모든 부분공간이 뇌터이고 유한 개의 기약 성분을 갖는다 (Topology, Lemma 0052을 보라).

\(Z\)가 스킴 \(X\)의 기약 닫힌 부분집합이면 \(Z\)의 \(X\)에서의 여차원은 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)의 차원과 같음을 상기하자. 여기서 \(\xi \in Z\)는 생성점이다. Properties, Lemma 02IZ을 보라.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자.

1. 소인자란 정역 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\)로서 여차원이 \(1\)인 것을 말한다.

2. 베유 인자란 형식합 \(D = \sum n_Z Z\)를 말한다. 여기서 합은 \(X\)의 소인자들에 걸치며, 모임 \(\{Z \mid n_Z \not = 0\}\)은 국소 유한하다 (Topology, Definition 0BDS).

\(X\) 위의 모든 베유 인자로 이루어진 군을 \(\text{Div}(X)\)로 쓴다.

다음 목표는 유리 함수에 수반되는 베유 인자를 정의하는 것이다. 이를 위해 소인자를 따라 유리 함수가 소멸하는 차수를 사용하며, 이는 다음과 같이 정의한다.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. 모든 소인자 \(Z \subset X\)에 대하여 \(f\)의 \(Z\)를 따른 소멸 차수를 정수 \[\text{ord}_Z(f) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(f)\] 로 정의한다. 우변은 Algebra, Definition 02MD의 개념이고, \(\xi\)는 \(Z\)의 생성점이다.

\(f, g \in R(X)^*\)에 대하여 \[\text{ord}_Z(fg) = \text{ord}_Z(f) + \text{ord}_Z(g).\] 임을 유의하자. 물론 \(\text{ord}_Z(f) < 0\)일 수도 있다. 이 경우 \(f\)가 \(Z\)를 따라 극을 갖는다고 하고, \(-\text{ord}_Z(f) > 0\)을 \(f\)의 \(Z\)를 따른 극의 차수라고 한다. 조건 \(\text{ord}_Z(f) \geq 0\)은 조건 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi}\)와 동치가 아님에 유의하는 것이 중요하다. 단, 국소환 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)가 이산 값매김환이면 두 조건은 동치이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. 두 모임 \[\{Z \subset X \mid Z\text{ a prime divisor with generic point }\xi \text{ and }f\text{ not in }\mathcal{O}_{X, \xi}\}\] 과 \[\{Z \subset X \mid Z \text{ a prime divisor and }\text{ord}_Z(f) \not = 0\}\] 은 \(X\)에서 국소 유한하다.

증명

공집합이 아닌 열린 부분스킴 \(U \subset X\)가 존재하여 \(f\)가 \(\Gamma(U, \mathcal{O}_X^*)\)의 절단에 대응한다. 따라서 보조정리의 집합들에 나타날 수 있는 소인자들은 모두 \(X \setminus U\)의 기약 성분이다. 그러므로 Lemma 0BE1가 원하는 결과를 준다.

이 보조정리에 의해 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(f \in R(X)^*\)라 하자. \(f\)에 수반되는 주 베유 인자란 베유 인자 \[\text{div}(f) = \text{div}_X(f) = \sum \text{ord}_Z(f) [Z]\] 를 말한다. 여기서 합은 소인자들에 걸치고 \(\text{ord}_Z(f)\)는 Definition 02RJ에서와 같다. Lemma 02RL에 의해 이는 잘 정의된다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(f, g \in R(X)^*\)라 하자. 그러면 \(X\) 위의 베유 인자로서 \[\text{div}_X(fg) = \text{div}_X(f) + \text{div}_X(g)\] 이다.

증명

\(\text{ord}\) 함수들의 가법성에서 명백히 따른다.

위 보조정리에 의해 주 베유 인자들의 모임이 모든 베유 인자로 이루어진 군의 부분군임을 알 수 있다. 이로부터 다음 정의를 얻는다.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(X\)의 베유 인자류군은 베유 인자군을 주 베유 인자들의 부분군으로 나눈 몫이다. 표기는 \(\text{Cl}(X)\)이다.

구성에 의해 완전 복합체 [0BE5]\[\begin{equation} R(X)^* \xrightarrow{\text{div}} \text{Div}(X) \to \text{Cl}(X) \to 0 \end{equation}\] 를 얻으며, 이를 \(\text{Cl}(X)\)의 표시라고 생각할 수 있다. 다음 목표는 베유 인자류군을 피카르 군과 연관 짓는 것이다.

가역 가군에 수반되는 베유 인자류

이 절에서는 국소 뇌터 정역 스킴 위의 표준 사상 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)을 정의하기 위해 Section 0BE0와 정확히 같은 단계를 밟는다.

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(\xi \in X\)를 점이라 하자. \(s_\xi, s'_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)가 \(\mathcal{L}_\xi\)를 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)-가군으로서 생성하면, 가역원 \(u \in \mathcal{O}_{X, \xi}^*\)가 존재하여 \(s_\xi = u s'_\xi\)이다. 유리형 절단층 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)은 \(\mathcal{L}\)의 절단층이며, 그 \(x\)에서의 줄기는 \(\mathcal{K}_{X, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \mathcal{L}_x\)와 같다. 따라서 임의의 유리형 절단 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 절단일 때, 그 \(x\)에서의 줄기 속 상은 \(s = fs_\xi\)로 쓸 수 있으며, 여기서 \(f \in \mathcal{K}_{X, x}\)이다. 아래에서는 이를 줄여 \(f = s/s_\xi\)라고 말한다. 또한 \(X\)가 정역 스킴이면 \(\mathcal{K}_{X, x} = R(X)\)는 \(X\)의 함수체와 같으므로 \(s/s_\xi \in R(X)\)이다. \(s\)가 정칙 유리형 절단이면 실제로 \(s/s_\xi \in R(X)^*\)이다. 정역 스킴에서는 정칙 유리형 절단과 영이 아닌 유리형 절단이 같은 개념이다. 끝으로 \(s/s_\xi\)는 \(s_\xi\)의 선택에 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 가역원과의 곱을 제외하면 무관하다. 이 모든 사실을 모으면 다음 정의가 잘 정의됨을 알 수 있다.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \Gamma(X, \mathcal{K}_X(\mathcal{L}))\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이라 하자. 모든 소인자 \(Z \subset X\)에 대하여 \(s\)의 \(Z\)를 따른 소멸 차수를 정수 \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) = \text{ord}_{\mathcal{O}_{X, \xi}}(s/s_\xi)\] 로 정의한다. 우변은 Algebra, Definition 02MD의 개념이고, \(\xi \in Z\)는 생성점이며, \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)는 생성원이다.

주인자의 경우와 마찬가지로 다음 보조정리를 얻는다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 (즉, 영이 아닌) 유리형 절단이라 하자. 그러면 두 집합 \[\{Z \subset X \mid Z \text{ a prime divisor with generic point }\xi \text{ and }s\text{ not in }\mathcal{L}_\xi\}\] 과 \[\{Z \subset X \mid Z \text{ is a prime divisor and } \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) \not = 0\}\] 은 \(X\)에서 국소 유한하다.

증명

공집합이 아닌 열린 부분스킴 \(U \subset X\)가 존재하여 \(s\)가 \(\Gamma(U, \mathcal{L})\)의 절단에 대응하고, 이 절단은 \(\mathcal{L}\)을 \(U\) 위에서 생성한다. 따라서 보조정리의 집합들에 나타날 수 있는 소인자들은 모두 \(X \setminus U\)의 기약 성분이다. 그러므로 Lemma 0BE1가 원하는 결과를 준다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s, s' \in \mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)를 \(\mathcal{L}\)의 영이 아닌 유리형 절단이라 하자. 그러면 \(f = s/s'\)는 \(R(X)^*\)의 원소이고 \[\sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s)[Z] = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s')[Z] + \text{div}(f)\] 가 베유 인자의 등식으로 성립한다.

증명

정의들에서 명백히 따른다. Lemma 02SG에 의해 이 합들이 실제로 베유 인자임을 유의하자.

정의

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자.

1. 임의의 영이 아닌 유리형 절단 \(s\)가 \(\mathcal{L}\)의 절단일 때, \(s\)에 수반되는 베유 인자를 \[\text{div}_\mathcal{L}(s) = \sum \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) [Z] \in \text{Div}(X)\] 로 정의한다. 여기서 합은 소인자들에 걸친다.

2. \(\mathcal{L}\)에 수반되는 베유 인자류를 \(\text{div}_\mathcal{L}(s)\)의 \(\text{Cl}(X)\) 속 상으로 정의한다. 여기서 \(s\)는 \(\mathcal{L}\)의 임의의 영이 아닌 유리형 절단이고 \(X\) 위의 유리형 절단이다. Lemma 02SH에 의해 이는 잘 정의된다.

예상대로 이 구성은 가역 가군에 대하여 가법적이다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\), \(\mathcal{N}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(s\)와 각각 \(t\)를 \(\mathcal{L}\)과 각각 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이라 하자. 그러면 \(st\)는 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이고 \[\text{div}_{\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}_\mathcal{N}(t)\] 가 \(\text{Div}(X)\)에서 성립한다. 특히 \(\mathcal{L} \otimes_{\mathcal{O}_X} \mathcal{N}\)의 베유 인자류는 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{N}\)의 베유 인자류들의 합이다.

증명

\(s\)와 각각 \(t\)를 \(\mathcal{L}\)과 각각 \(\mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이라 하자. 그러면 \(st\)는 \(\mathcal{L} \otimes \mathcal{N}\)의 영이 아닌 유리형 절단이다. \(Z \subset X\)를 소인자라 하자. \(\xi \in Z\)를 그 생성점이라 하자. 생성원 \(s_\xi \in \mathcal{L}_\xi\)와 \(t_\xi \in \mathcal{N}_\xi\)를 고르자. 그러면 \(s_\xi t_\xi\)는 \((\mathcal{L} \otimes \mathcal{N})_\xi\)의 생성원이다. 따라서 \(st/(s_\xi t_\xi) = (s/s_\xi)(t/t_\xi)\)이다. 그러므로 \[\text{ord}_{Z, \mathcal{L} \otimes \mathcal{N}}(st) = \text{ord}_{Z, \mathcal{L}}(s) + \text{ord}_{Z, \mathcal{N}}(t)\] 이며, 이는 \(\text{ord}_Z\) 함수의 가법성에서 따른다.

이 방식으로 가역 가군에 그 베유 인자류를 대응시키는 아벨 군 준동형 [0BE7]\[\begin{equation} \Pic(X) \longrightarrow \text{Cl}(X) \end{equation}\] 을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. \(X\)가 정규이면 사상 (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)은 단사이다.

증명

\(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, 그에 수반되는 베유 인자류가 자명하다고 하자. \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이라 하자. 가정은 \(\text{div}_\mathcal{L}(s) = \text{div}(f)\)임을 뜻하며, 여기서 어떤 \(f \in R(X)^*\)가 존재한다. 그러면 \(t = f^{-1}s\)는 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단이고 \(\text{div}_\mathcal{L}(t) = 0\)이다. Lemma 02SH를 보라. \(t\)가 \(\mathcal{L}\)의 자명화를 정의함을 보일 것이며, 이것으로 보조정리의 증명이 끝난다. 이를 증명할 때 \(X\) 위에서 국소적으로 작업해도 된다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)가 아핀이고 \(\mathcal{L}\)이 자명하다고 가정해도 된다. 그러면 \(A\)는 뇌터 정규 정역이고 \(t\)는 그 분수체의 원소이며, \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(t) = 0\)이다. 이 등식은 높이 \(1\)인 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 성립하며, 이들은 \(A\)의 소아이디얼이다. 목표는 \(t\)가 \(A\)의 가역원임을 보이는 것이다. \(A_\mathfrak p\)는 \(A\)의 높이 일 소아이디얼에 대하여 이산 값매김환이므로 (Algebra, Lemma 031S), 이 조건은 \(t \in A_\mathfrak p^*\)임을 뜻한다. 이 명제는 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대해 성립하며, 그 높이는 \(1\)이다. 이로부터 Algebra, Lemma 031T에 의해 \(t \in A\)이고 \(t^{-1} \in A\)임이 따른다. 증명이 끝났다.

보조정리

\(X\)를 국소 뇌터 정역 스킴이라 하자. 사상 (0BE7) \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)을 생각하자. 다음은 동치이다.

1. \(X\)의 국소환들은 유일 인수분해 정역이다.

2. \(X\)는 정규이고 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)은 전사이다.

이 경우 \(\Pic(X) \to \text{Cl}(X)\)은 동형이다.

증명

(1)이 성립하면 Algebra, Lemma 0AFV에 의해 \(X\)는 정규이다. 따라서 사상 (0BE7)은 Lemma 0BE8에 의해 단사이다. 더욱이 모든 소인자 \(D \subset X\)는 Lemma 0AGA에 의해 유효 카르티에 인자이다. 이 경우 표준 절단 \(1_D\)는 \(\mathcal{O}_X(D)\)의 절단이며(Definition 01WX) \(D\)를 따라 정확히 소멸한다. 따라서 \(D\)의 류는 사상 (0BE7)에 의한 \(\mathcal{O}_X(D)\)의 상이다. 그러므로 이 사상은 전사이기도 하다.

(2)가 성립한다고 하자. 소인자 \(D \subset X\)를 고르자. (0BE7)이 전사이므로 가역층 \(\mathcal{L}\), 정칙 유리형 절단 \(s\), 그리고 \(f \in R(X)^*\)가 존재하여 \(\text{div}_\mathcal{L}(s) + \text{div}(f) = [D]\)이다. 다시 말해 \(\text{div}_\mathcal{L}(fs) = [D]\)이다. \(x \in X\)라 하고 \(A = \mathcal{O}_{X, x}\)라 하자. 그러면 \(A\)는 분수체 \(K = R(X)\)를 갖는 뇌터 국소 정규 정역이다. 높이 \(1\)인 \(A\)의 모든 소아이디얼은 \(X\) 위의 소인자에 대응하고, 모든 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군을 \(\Spec(A)\)에 제한하면 자명한 가역 가군을 얻는다. 따라서 높이 \(1\)인 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대하여 원소 \(f \in K\)가 존재하여 \(\text{ord}_{A_\mathfrak p}(f) = 1\)이고, \(\text{ord}_{A_{\mathfrak p'}}(f) = 0\)이다. 뒤 등식은 높이 일인 다른 모든 소아이디얼 \(\mathfrak p'\)에 대하여 성립한다. 그러면 Algebra, Lemma 031T에 의해 \(f \in A\)이다. 같은 방식으로 논증하면 모든 \(g \in \mathfrak p\)는 \(g = af\)의 꼴임을 알 수 있으며, 여기서 어떤 \(a \in A\)가 존재한다. 따라서 \(A\)의 높이 일인 모든 소아이디얼은 주아이디얼이고, Algebra, Lemma 0AFT에 의해 \(A\)는 유일 인수분해 정역이다.

가역 가군에 관한 추가 결과

이 절에서는 가역 가군의 몇 가지 성질을 논한다.

보조정리

\(\varphi : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 국소 뇌터이다.

2. \(Y\)는 국소 뇌터 정규 정역 스킴이다.

3. \(\varphi\)는 정역인 (따라서 공집합이 아닌) 섬유를 갖는 평탄 사상이다.

4. \(\varphi\)는 준콤팩트이거나 국소 유한형이다.

5. \(\mathcal{L}\)을 \(\varphi\)의 생성 섬유에 제한하면 자명하다.

그러면 \(\mathcal{L} \cong \varphi^*\mathcal{N}\)이며, 여기서 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 \(\mathcal{N}\)은 어떤 가역 가군이다.

증명

\(\xi \in Y\)를 생성점이라 하자. \(X_\xi\)를 \(\varphi\)의 \(\xi\) 위 스킴론적 섬유라 하자. \(\mathcal{L}_\xi\)로 \(\mathcal{L}\)을 \(X_\xi\)로 당긴 것을 나타내자. 가정 (5)는 \(\mathcal{L}_\xi\)가 자명하다는 뜻이다. 자명화 절단 \(s \in \Gamma(X_\xi, \mathcal{L}_\xi)\)를 고르자. Lemma 0BCM에 의해 \(X\)는 정역 스킴임을 관찰하자. 따라서 \(s\)를 \(\mathcal{L}\)의 정칙 유리형 절단으로 생각할 수 있다. Lemma 02OU에 의해 \(\varphi\)에 대해 유리형 함수의 당김이 정의된다. \(\mathcal{N} \subset \mathcal{K}_Y\)를 다음과 같은 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 열린집합 \(V \subset Y\) 위의 그 절단들은 유리형 함수 \(g \in \mathcal{K}_Y(V)\) 중 \(\varphi^*(g)s \in \mathcal{L}(\varphi^{-1}V)\)를 만족하는 것들이다. 선험적으로 \(\varphi^*(g)s\)는 \(\mathcal{K}_X(\mathcal{L})\)의 \(\varphi^{-1}V\) 위 절단이다. 우리는 \(\mathcal{N}\)이 가역 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이고 사상 \[\varphi^*\mathcal{N} \longrightarrow \mathcal{L},\quad g \longmapsto gs\] 이 동형이라고 주장한다.

먼저 다음 상황에서 주장을 증명하자. \(X\)와 \(Y\)가 아핀이고 \(\mathcal{L}\)이 자명하다. \(Y = \Spec(R)\), \(X = \Spec(A)\)이고, \(s\)가 원소 \(s \in A \otimes_R K\)로 주어진다고 하자. 여기서 \(K\)는 \(R\)의 분수체이다. \(s = a/r\)로 쓸 수 있으며, 여기서 어떤 영이 아닌 \(r \in R\)와 \(a \in A\)가 존재한다. \(s\)가 생성 섬유에서 \(\mathcal{L}\)을 생성하므로 어떤 \(s' \in A \otimes_R K\)가 존재하여 \(ss' = 1\)이다. 따라서 \(s = r'/a'\)로 쓸 수 있으며, 여기서 어떤 영이 아닌 \(r' \in R\)와 \(a' \in A\)가 존재한다. \(\mathfrak p_1, \ldots, \mathfrak p_n \subset R\)를 \(rr'\) 위의 극소 소아이디얼들이라 하자. 각 \(R_{\mathfrak p_i}\)는 이산 값매김환이다(Algebra, Lemmas 00KV과 031S). 가정에 의해 \(\mathfrak q_i = \mathfrak p_i A\)는 소아이디얼이다. 따라서 \(\mathfrak q_i A_{\mathfrak q_i}\)는 하나의 원소로 생성되고, \(A_{\mathfrak q_i}\)도 이산 값매김환임을 얻는다 (Algebra, Lemma 00PD). 물론 \(R_{\mathfrak p_i} \to A_{\mathfrak q_i}\)의 분기 지수는 \(1\)이다. \(e_i, e'_i \geq 0\)을 \(a, a'\)의 \(A_{\mathfrak q_i}\)에서의 값매김이라 하자. 그러면 \(e_i + e'_i\)는 \(rr'\)의 \(R_{\mathfrak p_i}\)에서의 값매김이다. Algebra, Lemma 031T에 의해 \(R\)에서 \[\mathfrak p_1^{(e_1 + e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n + e'_n)} = (rr')\] 이다. 다음과 같이 놓자. \[I = \mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)} \quad\text{and}\quad I' = \mathfrak p_1^{(e'_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e'_n)}\] 그러면 \(II' \subset (rr')\)이다. Algebra, Lemmas 0BC0와 0BBY에 의해 \[IA = (\mathfrak p_1^{(e_1)} \cap \ldots \cap \mathfrak p_i^{(e_n)})A = (\mathfrak p_1A)^{(e_1)} \cap \ldots \cap (\mathfrak p_i A)^{(e_n)}\] 임을 관찰하자. \(I'A\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(a \in IA\)이고 \(a' \in I'A\)이다. 이로부터 \(IA \otimes_A I'A \to rr'A\)가 전사임을 얻는다. \(R \to A\)의 충실한 평탄성에 의해 \(I \otimes_R I' \to (rr')\)도 전사이다. 따라서 \(II' = (rr')\)이고 \(I\)와 \(I'\)은 계수 \(1\)인 유한 국소 자유 가군이다. Algebra, Lemma 09ME을 보라. 그러므로 \(R\) 위에서 자리스키 국소적으로 \(I = (g)\)와 \(I' = (g')\)로 쓸 수 있고 \(gg' = rr'\)이다. 그러면 \(a = ug\)이고 \(a' = u'g'\)이며, 여기서 어떤 \(u, u' \in A\)가 존재한다. 따라서 \(u, u'\)는 가역원이다. 그러므로 \(R\) 위에서 자리스키 국소적으로 \(s = ug/r\)이고, 이 경우의 주장이 따른다.

\(y \in Y\)를 점이라 하자. \(x \in X\)를 고르되 \(y\)로 사상되게 하자. 앞 문단의 결과를 \(\Spec(\mathcal{O}_{X, x}) \to \Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)에 적용할 수 있다. 이에 따라 원소 \(g \in R(Y)^*\)가 존재하며, 이는 \(\mathcal{O}_{Y, y}^*\)의 원소와의 곱을 제외하면 잘 정의되고, \(\varphi^*(g)s\)가 \(\mathcal{L}_x\)를 생성한다. 따라서 \(\varphi^*(g)s\)는 \(\mathcal{L}\)을 근방 \(U\)에서 생성하며, 이는 \(x\)의 근방이다. \(x'\)을 \(y\) 위에 놓인 두 번째 점이라 하고, \(g' \in R(Y)^*\)가 \(\varphi^*(g')s\)가 \(\mathcal{L}\)을 열린 근방 \(U'\)에서 생성하도록 한다고 하자. 여기서 이 근방은 \(x'\)의 근방이다. 섬유가 기약이므로 점 \(x''\)을 \(U \cap U' \cap \varphi^{-1}(\{y\})\) 안에서 고를 수 있다. 환 사상 \(\mathcal{O}_{Y, y} \to \mathcal{O}_{X, x''}\)에 대한 유일성에 의해 \(g\)와 \(g'\)는 \(\mathcal{O}_{Y, y}^*\)의 원소와의 곱만큼 다르다. 따라서 \(\varphi^*(g)s\)는 \(\mathcal{L}\)의 생성원이며, 이는 \(\varphi^{-1}(y)\)의 열린 근방에서 성립한다. \(Z \subset X\)를 점 \(z \in X\)들 중 \(\varphi^*(g)s\)가 \(\mathcal{L}_z\)를 생성하지 않는 것들의 집합이라 하자. 위의 논증에 의해 \(Z\)는 닫혀 있고 \(Z = \varphi^{-1}(T)\)이며, 여기서 어떤 부분집합 \(T \subset Y\)가 존재하고 \(y \not \in T\)이다. \(T\)가 닫혀 있음을 보일 수 있다면 \(g\)는 \(\mathcal{N}\)의 \(\mathcal{O}_Y\)-가군 생성원이며, 이는 열린 근방 \(Y \setminus T\)에서 성립하고 이 근방은 \(y\)를 포함한다. 이로써 증명이 끝난다(일부 세부사항은 생략한다).

\(\varphi\)가 준콤팩트이면 Morphisms, Lemma 02JY에 의해 \(T\)는 닫혀 있다. \(\varphi\)가 국소 유한형이면 Morphisms, Lemma 01UA에 의해 \(\varphi\)는 열린 사상이다. 그러면 \(Y \setminus T\)는 열린집합 \(X \setminus Z\)의 상이므로 열려 있다.