코탄젠트 복합체

서론

이 장의 목표는 환 준동형, 스킴의 사상, 그리고 대수공간의 사상에 대한 코탄젠트 복합체를 구성하는 것이다. 참고 문헌으로는 노트 [quillenhomology], 논문 [quillencohomology], 그리고 저서 [Andre]와 [cotangent]가 있다.

독자에게 드리는 조언

이 장을 쓰면서 우리는 단체적 기법의 사용을 최소화하려고 했다. 환 \(A\) 위의 환 \(B\)의 분해 \(P_\bullet\)을 택하는 일을 범주 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위 아벨 군층의 호몰로지를 계산하는 도구로 본다. 주 08QI을 보라. 이는 Čech 복합체로 코호몰로지를 계산할 때 “좋은 덮개”가 하는 역할과 비슷하다. 범주 위의 호몰로지에 관해 간단히 읽으려면 사이트 코호몰로지, 절 08RW를 보라. 유도 하방 느낌표 함자 \(L\pi_!\)가 호몰로지에 대하여 하는 역할은 \(R\Gamma(\mathcal{C}_{B/A}, -)\)가 코호몰로지에 대하여 하는 역할과 같다. 절 08PQ에서 연구하는 범주 \(\mathcal{C}_{B/A}\)는 \(P\)가 \(A\) 위의 다항식 대수인 인수분해 \(A \to P \to B\)들의 범주의 반대 범주이다. 이 범주에는 다음 환층의 사상들이 있다. \[\underline{A} \longrightarrow \mathcal{O} \longrightarrow \underline{B}\] 그리고 대상 \(U=(P\to B)\) 위에서 \(\mathcal{O}(U)=P\)이다. \(A\) 위의 \(B\)의 코탄젠트 복합체는 다음과 같이 얻어진다. \[L_{B/A} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{B})\] 보조정리 08PU를 보라. 우리는 환 준동형의 코탄젠트 복합체의 기본 성질들을 증명할 때 일관되게 이 관점을 사용하려고 했다. 특히 표준 분해의 존재에 의존하지 않고도 모든 결과를 증명할 수 있지만, 여기서는 그렇게 하지 않았다. 이 이론은 상당히 만족스럽다. 다만 기본 삼각형(명제 08QX)의 증명에는 유도 하방 느낌표 함자에 관한 이론이 조금 더 필요할 수도 있다. 다른 방법도 제시하기 위하여 주 08SD과 08SE에서 표준 분해의 간단한 성질들에 바탕을 둔 이 결과의 접근법을 상당히 완전하게 개괄한다.

환 달린 토포스의 사상, 스킴의 사상, 대수공간의 사상 등에 대한 코탄젠트 복합체는 위에서 논의한 “보통의 환 준동형”인 경우로부터 가능한 한 많은 결과를 이끌어 내는 방식으로 다룬다.

환 준동형의 코탄젠트 복합체

\(A\)를 환이라 하자. \(\textit{Alg}_A\)를 \(A\)-대수의 범주라 하자. 수반 함자의 쌍 \((U,V)\)를 생각하자. 여기서 \(V:\textit{Alg}_A\to\textit{Sets}\)는 망각 함자이고, \(U:\textit{Sets}\to\textit{Alg}_A\)는 집합 \(E\)를 \(A\) 위에서 \(E\)를 변수집합으로 갖는 다항식 대수 \(A[E]\)로 보낸다. \(X_\bullet\)을 단체적 방법, 절 08N8에서 구성한 \(\text{Fun}(\textit{Alg}_A,\textit{Alg}_A)\)의 단체 대상으로 두자.

\(A\)-대수 \(B\)를 생각하자. 이렇게 얻은 단체 \(A\)-대수를 \(P_\bullet=X_\bullet(B)\)로 쓰자. \(P_0=A[B]\), \(P_1=A[A[B]]\) 등임을 상기하자. 특히 각 항 \(P_n\)은 다항식 \(A\)-대수이다. 또한 다음 증강이 있다. \[\epsilon : P_\bullet \longrightarrow B\] 여기서 \(B\)는 상수 단체 \(A\)-대수로 본다.

정의

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하자. \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해는 각 항이 \[P_0 = A[B],\quad P_1 = A[A[B]],\quad \ldots\] 이고 사상들이 단체적 방법, 예 09CB에서 구성한 것인 증강 \(\epsilon:P_\bullet\to B\)이다.

특정한 상황에서는 표준 분해를 사용하여 왼쪽 유도 함자를 계산할 수 있음을 보게 될 것이다.

정의

환 준동형 \(A\to B\)의 코탄젠트 복합체 \(L_{B/A}\)는 다음 단체 \(B\)-가군에 딸린 \(B\)-가군의 복합체이다. \[\Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} B\] 여기서 \(\epsilon:P_\bullet\to B\)는 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해이다.

단체적 방법, 절 0194에서는 단체 가군에 사슬 복합체를 대응시키지만, 여기서는 공사슬 복합체를 사용한다. 따라서 차수 \(-n\)에서 항 \(L_{B/A}^{-n}\)은 \(B\)-가군 \(\Omega_{P_n/A}\otimes_{P_n,\epsilon_n}B\)이고, \(m>0\)이면 \(L_{B/A}^m=0\)이다.

주

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(A\)-대수의 화살표 \(\psi:C\to B\)들의 범주라 하고, \(\mathcal{S}\)를 \(E\)가 집합인 사상 \(E\to B\)들의 범주라 하자. 수반 함자 \(V:\mathcal{A}\to\mathcal{S}\)와 \(U:\mathcal{S}\to\mathcal{A}\)가 있다. 앞의 것은 망각 함자이고, 뒤의 것은 \(E\to B\)를 \(A[E]\to B\)로 보낸다. \(X_\bullet\)을 단체적 방법, 절 08N8에서 구성한 \(\text{Fun}(\mathcal{A},\mathcal{A})\)의 단체 대상으로 두자. 다음 도표는 가환한다. \[\xymatrix{ \mathcal{A} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{S} \ar@<1ex>[l] \ar[d] \\ \textit{Alg}_A \ar[r] & \textit{Sets} \ar@<1ex>[l] }\] 따라서 \(X_\bullet(\text{id}_B:B\to B)\)는 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해와 같다.

보조정리

유향 지표집합 \(I\) 위의 환 준동형 계 \(A_i\to B_i\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(\colim L_{B_i/A_i}=L_{\colim B_i/\colim A_i}\)이다.

증명

이는 망각 함자 \(V:A\textit{-Alg}\to\textit{Sets}\)와 그 수반 함자 \(U:\textit{Sets}\to A\textit{-Alg}\)가 여과 쌍대극한과 가환하기 때문이다. 또한 함자 \(B/A\mapsto\Omega_{B/A}\)도 마찬가지이다(가환대수학, 보조정리 031G).

단체 분해와 유도 하방 느낌표 함자

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하자. 다음 범주를 생각하자. 그 대상은 \(A\)-대수 준동형 \(\alpha:P\to B\)인데, 여기서 \(P\)는 어떤 변수집합 ¹에 대한 \(A\) 위의 다항식 대수이다. 사상 \(s:(\alpha:P\to B)\to(\alpha':P'\to B)\)는 \(\alpha'\circ s=\alpha\)를 만족하는 \(A\)-대수 준동형 \(s:P\to P'\)이다. 이 범주의 반대 범주를 \(\mathcal{C}=\mathcal{C}_{B/A}\)로 쓰자. 반대 범주를 택하는 이유는 대상 \((P,\alpha)\)를 다음 아핀 스킴의 도표에 대응하는 것으로 생각하고자 하기 때문이다. \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & \Spec(P) \ar[ld] \\ \Spec(A) }\] \(\mathcal{C}\)에 비이산 위상(사이트, 예 07GE)을 주자. 즉 항등사상들이 덮개를 주어서 모든 준층이 층이 되는 사이트의 구조를 \(\mathcal{C}\)에 준다. 또한 \(\mathcal{C}\)에 두 환층을 준다. 첫 번째는 대상 \((P,\alpha)\)를 \(P\)로 보내는 층 \(\mathcal{O}\)이다. 두 번째는 상수층 \(B\)이며 이를 \(\underline{B}\)로 쓰겠다. 다음 환 달린 토포스의 사상 도표를 얻는다. [08PR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \underline{B}) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(*), B) } } \end{equation}\] \(i\)는 바탕 토포스에서 항등사상이고 \(i^\sharp:\mathcal{O}\to\underline{B}\)는 명백한 사상이다. \(\pi\)는 사이트 코호몰로지, 예 08PF의 사상이다. 다음 두 유도 함자가 아래에서 중요한 역할을 한다. \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{B})\) 이는 \(Ri_*=i_*:D(\underline{B})\to D(\mathcal{O})\)의 왼쪽 수반이고, \(L\pi_! : D(\underline{B}) \longrightarrow D(B)\) 이는 \(\pi^*=\pi^{-1}:D(B)\to D(\underline{B})\)의 왼쪽 수반이다.

보조정리

위의 표기 아래에서 \(P_\bullet\)을 증강 \(\epsilon:P_\bullet\to B\)가 주어진 단체 \(A\)-대수라 하자. 각 \(P_n\)이 \(A\) 위의 다항식 대수이고 \(\epsilon\)이 바탕 단체집합에서 자명한 Kan 올뭉치라고 가정하자. 그러면 \[L\pi_!(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(P_\bullet, \epsilon)\] 가 각각 \(D(\textit{Ab})\)와 \(D(B)\)에서 성립하고, 각각 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)와 \(\textit{Mod}(\underline{B})\)의 \(\mathcal{F}\)에 대하여 함자적이다.

증명

사이트 코호몰로지, 보조정리 08Q9의 판정법을 사용하겠다. \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U=(Q,\beta)\)가 주어졌을 때 다음 단체집합이 한원소 집합과 호모토피 동치임을 보이면 된다. \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{C}((P_\bullet, \epsilon), (Q, \beta))\] \(Q=A[E]\)로 쓰자. 여기서 \(E\)는 어떤 집합이다(\(\mathcal{C}\)를 택한 방식 때문에 이렇게 쓸 수 있다). 그러면 \[S_\bullet = \Mor_{\textit{Sets}}((E, \beta|_E), (P_\bullet, \epsilon))\] \(*\)를 한원소 집합 위의 상수 단체집합이라 하자. \(b\in B\)에 대하여 다음 데카르트 도표로 정의되는 단체집합을 \(F_{b,\bullet}\)이라 하자. \[\xymatrix{ F_{b, \bullet} \ar[r] \ar[d] & P_\bullet \ar[d]_\epsilon \\ {*} \ar[r]^b & B }\] 이 표기에서 \(S_\bullet=\prod_{e\in E}F_{\beta(e),\bullet}\)이다. \(\epsilon\)이 자명한 Kan 올뭉치라고 가정했으므로 \(F_{b,\bullet}\to *\)도 자명한 Kan 올뭉치이다(단체적 방법, 보조정리 08NN). 따라서 \(S_\bullet\to *\)도 자명한 Kan 올뭉치이고(단체적 방법, 보조정리 08NR), 그러므로 \(S_\bullet\)은 \(*\)와 호모토피 동치이다(단체적 방법, 보조정리 08NS).

특히 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해를 사용하여 유도 하방 느낌표 함자를 계산할 수 있다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하자. \(\epsilon:P_\bullet\to B\)를 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해라 하고, \(\pi\)를 (08PR)와 같이 두자. 그러면 \[L\pi_!(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(P_\bullet, \epsilon)\] 가 각각 \(D(\textit{Ab})\)와 \(D(B)\)에서 성립하고, 각각 \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\)와 \(\textit{Mod}(\underline{B})\)의 \(\mathcal{F}\)에 대하여 함자적이다.

증명

보조정리 08PS를 적용하겠다. 각 항 \(P_n\)이 다항식 대수이므로 그 보조정리의 첫 번째 가정은 만족된다. 두 번째 가정은 다음과 같이 증명한다. 단체적 방법, 보조정리 08ND에 의해 \(\epsilon\)은 바탕 단체집합의 호모토피 동치이다. 단체적 방법, 보조정리 08P2에 의해 이는 \(\epsilon\)이 딸린 아벨 군의 복합체들 사이에 준동형사상을 유도함을 뜻한다. 단체적 방법, 보조정리 08P1에 의해 이는 \(\epsilon\)이 바탕 단체집합의 자명한 Kan 올뭉치임을 뜻한다.

증명

사이트 코호몰로지, 보조정리 08Q9의 판정법을 사용하겠다. \(U=(Q,\beta)\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 다음 단체집합이 한원소 집합과 호모토피 동치임을 보이면 된다. \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{C}((P_\bullet, \epsilon), (Q, \beta))\] \(Q=A[E]\)로 쓰자. 여기서 \(E\)는 어떤 집합이다(\(\mathcal{C}\)를 택한 방식 때문에 이렇게 쓸 수 있다). 주 08PP의 표기를 사용하면 \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{S}((E \to B), i(P_\bullet \to B))\] 단체적 방법, 보조정리 08ND에 의해 사상 \(i(P_\bullet\to B)\to i(B\to B)\)는 \(\mathcal{S}\)에서 호모토피 동치이다. 따라서 \(S_\bullet\)은 다음과 호모토피 동치이다. \[\Mor_\mathcal{S}((E \to B), (B \to B)) = \{*\}\] 이는 원하는 결론이다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하고 \(\pi\)와 \(i\)를 (08PR)와 같이 두자. \(D(B)\)에서 다음 표준 동형사상이 있다. \[L_{B/A} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/A}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/A}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B})\]

증명

범주 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(\alpha:P\to B\)에 대하여 가군 \(\Omega_{P/A}\)는 자유 \(P\)-가군이다. 따라서 \(\Omega_{\mathcal{O}/A}\)는 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군이다. 그러므로 \(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/A}=i^*\Omega_{\mathcal{O}/A}\)는 \(\alpha:P\to A\)에 \(B\)-가군 \(\Omega_{P/A}\otimes_{P,\alpha}B\)를 대응시키는 \(\underline{B}\)-가군층이다. 보조정리 08PT에 의해 우변은 이 층을 표준 분해에서 취한 값으로 계산된다. 이것이 바로 좌변의 정의이다(정의 08PN).

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)가 주어지고 \(\pi\)를 (08PR)와 같이 두면 \(L\pi_!(\pi^{-1}M)=M\)이다.

증명

보조정리 08PS에 의해 \(L\pi_!(\pi^{-1}M)\)은 \((\pi^{-1}M)(P_\bullet,\epsilon)\)으로 계산되는데, 이는 \(M\) 위의 상수 단체 대상이다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)가 주어지면 \(H^0(L_{B/A})=\Omega_{B/A}\)이다.

증명

직접 계산하여 증명하겠다. 보조정리 08PU의 동일시를 사용한다. \(\Omega_{\mathcal{O}/A}\otimes\underline{B}\)에서 값이 \(\Omega_{B/A}\)인 상수층으로 가는 명백한 사상이 있다. 따라서 이 사상은 다음 사상을 유도한다. \[H^0(L_{B/A}) = H^0(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B})) = \pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B}) \to \Omega_{B/A}\] \(P\to B\)가 전사인 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 대상 \(P\to B\)를 택하면 이 사상이 전사임을 알 수 있다(가환대수학, 보조정리 00RR). 단사임을 보이기 위하여 \(P\to B\)가 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 대상이고 \(\xi\in\Omega_{P/A}\otimes_PB\)가 \(\Omega_{B/A}\)에서 영으로 가는 원소라고 하자. 먼저 \(P'\to B\)가 전사이고 \(P'\)가 \(A\) 위의 다항식 대수가 되도록 분해 \(P\to P'\to B\)를 택한다. \(P\)를 \(P'\)로 바꾸어도 된다. \(B=P/I\)이면, 준동형 \(\Omega_{P/A}\otimes_PB\to\Omega_{B/A}\)의 핵은 \(I/I^2\)의 상이다 (가환대수학, 보조정리 00RU). \(\xi\)가 \(f\in I\)의 상이라고 하자. 이제 두 사상 \(a,b:P'=P[x]\to P\)를 생각하자. 첫 번째는 \(x\)를 \(0\)으로 보내고 두 번째는 \(x\)를 \(f\)로 보낸다(두 경우 모두 \(P[x]\to B\)는 \(x\)를 영으로 보낸다). 그러면 \(\xi\)와 \(0\)은 \(\Omega_{P'/A}\otimes_{P'}B\)의 원소 \(\text{d}x\otimes1\)의 두 상이다. 따라서 원하는 대로 \(\xi\)와 \(0\)은 쌍대극한(사이트 코호몰로지, 예 08PF 참조) \(\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A}\otimes\underline{B})\)에서 같은 상을 갖는다.

보조정리

\(B\)가 환 \(A\) 위의 다항식 대수이면, \(\pi\)를 (08PR)와 같이 둘 때 \(\pi_!\)는 완전하고 \(\pi_!\mathcal{F}=\mathcal{F}(B\to B)\)이다.

증명

보조정리 08PS에 의해 \(B\) 위의 상수 단체 대수를 사용하여 \(L\pi_!\)를 계산할 수 있으므로 성립한다.

보조정리

\(B\)가 환 \(A\) 위의 다항식 대수이면 \(L_{B/A}\)는 \(\Omega_{B/A}[0]\)과 준동형사상이다.

증명

보조정리 08PU과 08QG에서 바로 따른다.

분해의 구성

뇌터 유한형인 경우에는 유한형 환 준동형에 대한 “작은” 단체 분해를 구성할 수 있다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(A\to B\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(\mathcal{A}\)를 \(A\)-대수 준동형 \(C\to B\)들의 범주라 하자. \(n\geq0\)이고 \(P_\bullet\)이 다음 조건을 만족하는 \(\mathcal{A}\)의 단체 대상이라 하자.

1. \(P_\bullet\to B\)는 단체집합의 자명한 Kan 올뭉치이다.

2. \(k\leq n\)이면 \(P_k\)는 \(A\) 위의 유한형이다.

3. \(\mathcal{A}\)의 단체 대상으로서 \(P_\bullet=\text{cosk}_n\text{sk}_nP_\bullet\)이다.

그러면 \(P_{n+1}\)은 유한형 \(A\)-대수이다.

증명

이 보조정리의 증명은 직접적이지만 다소 번잡하다. 착상을 분명히 하기 위하여 일반적인 증명에 앞서 작은 \(n\)에서 무슨 일이 일어나는지 설명한다. 예를 들어 \(n=0\)이면 (3)은 \(P_1=P_0\times_BP_0\)임을 뜻한다. 환 준동형 \(P_0\to B\)가 전사이므로, 대수학 심화, 보조정리 00IT에 의해 이는 \(A\) 위의 유한형이다.

\(n=1\)이면 (3)은 다음을 뜻한다. \[P_2 = \{(f_0, f_1, f_2) \in P_1^3 \mid d_0f_0 = d_0f_1,\ d_1f_0 = d_0f_2,\ d_1f_1 = d_1f_2 \}\] 여기서 등식들은 \(P_0\)에서 성립한다. 다음 삼중항은 \(B\) 위의 섬유곱 \(P_0\times_BP_0\times_BP_0\)의 원소임을 관찰하자. \[(d_0f_0, d_1f_0, d_1f_1) = (d_0f_1, d_0f_2, d_1f_2)\] 실제로 사상 \(d_i:P_1\to P_0\)은 \(B\) 위의 사상이다. 따라서 다음 사상을 얻는다. \[\psi : P_2 \longrightarrow P_0 \times_B P_0 \times_B P_0\] 원소 \((g_0,g_1,g_2)\in P_0\times_BP_0\times_BP_0\) 위의 \(\psi\)의 섬유는 다음을 만족하는 \(1\)-단체들의 삼중항 \((f_0,f_1,f_2)\)의 집합이다. \((d_0,d_1)(f_0)=(g_0,g_1)\), \((d_0,d_1)(f_1)=(g_0,g_2)\), 그리고 \((d_0,d_1)(f_2)=(g_1,g_2)\). \(P_\bullet\to B\)가 자명한 Kan 올뭉치이므로 사상 \((d_0,d_1):P_1\to P_0\times_BP_0\)은 전사이다. 따라서 \(P_2\)는 다음 데카르트 도표에 들어간다. \[\xymatrix{ P_2 \ar[d] \ar[r] & P_1^3 \ar[d] \\ P_0 \times_B P_0 \times_B P_0 \ar[r] & (P_0 \times_B P_0)^3 }\] 대수학 심화, 보조정리 08NI에서 결론이 따른다. 일반적인 경우도 비슷하지만 표기가 조금 더 필요하다.

\(n>1\)인 경우를 보자. 단체적 방법, 보조정리 08NJ에 의해 조건 \(P_\bullet=\text{cosk}_n\text{sk}_nP_\bullet\)은 같은 등식이 단체 \(A\)-대수의 범주에서, 따라서 집합의 범주에서 성립함을 뜻한다(\(A\)-대수에서 집합으로 가는 망각 함자는 극한과 가환한다). 그러므로 단체적 방법, 보조정리 0177과 등식 (0181)에 의해 \[P_{n + 1} = \Mor(\Delta[n + 1], P_\bullet) = \Mor(\text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_n P_\bullet)\] 이다. \(1\leq k<m\leq n+1\)에 관하여 귀납하여 다음 환이 \(A\) 위의 유한형임을 보이겠다. \[Q_{k, m} = \Mor(\text{sk}_k \Delta[m], \text{sk}_k P_\bullet)\] \(k=1\), \(1<m\leq n+1\)인 경우는 위에서 \(n=1\)인 경우에 한 논의와 완전히 같다. 즉 다음 데카르트 도표가 있다. \[\xymatrix{ Q_{1, m} \ar[d] \ar[r] & P_1^N \ar[d] \\ P_0 \times_B \ldots \times_B P_0 \ar[r] & (P_0 \times_B P_0)^N }\] 여기서 \(N={m+1\choose2}\)이다. 앞에서와 같이 결론을 얻는다.

\(1\leq k_0\leq n\)이라 하고, 모든 \(1\leq k\leq k_0\)와 \(k<m\leq n+1\)에 대하여 \(Q_{k,m}\)이 \(A\) 위의 유한형이라고 가정하자. \(k_0+1<m\leq n+1\)에 대하여 다음 데카르트 정사각형이 있다고 주장한다. \[\xymatrix{ Q_{k_0 + 1, m} \ar[d] \ar[r] & P_{k_0 + 1}^N \ar[d] \\ Q_{k_0, m} \ar[r] & Q_{k_0, k_0 + 1}^N }\] 여기서 \(N\)은 \(\Delta[m]\)의 비퇴화 \((k_0+1)\)-단체의 개수이다. 이를 보려면 \(Q_{k_0+1,m}\)의 원소를 \(\Delta[m]\)의 \((k_0+1)\)-골격에서 \(P_\bullet\)로 가는 함수 \(f\)로 생각하자. \(f\)를 \(k_0\)-골격에 제한하면 도표의 왼쪽 세로 사상을 얻고, 각 비퇴화 \((k_0+1)\)-단체에 제한하면 위쪽 가로 사상을 얻는다. 또한 이러한 \(f\)를 주는 것은 \(k_0\)-골격과 각 비퇴화 \((k_0+1)\)-면 위의 제한들을 주되 이들이 겹치는 부분에서 일치하게 하는 것과 같다. 이것이 바로 도표의 내용이다. 더 나아가 \(P_\bullet\to B\)가 자명한 Kan 올뭉치이므로 다음 사상은 전사이다. \[P_{k_0} \to Q_{k_0, k_0 + 1} = \Mor(\partial \Delta[k_0 + 1], P_\bullet)\] 실제로 \(k_0\geq1\)이면 모든 사상 \(\partial\Delta[k_0+1]\to B\)를 \(\Delta[k_0+1]\to B\)로 연장할 수 있다 (상수 단체집합에 관한 짧은 논증은 생략한다). 귀납가정에 의해 환 \(Q_{k_0,m}\)과 \(Q_{k_0,k_0+1}\)은 유한형 \(A\)-대수이므로, 대수학 심화, 보조정리 08NI를 다시 적용하면 \(Q_{k_0+1,m}\)도 그러하다.

명제

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(A\to B\)를 유한형 환 준동형이라 하자. 각 \(P_n\)이 \(A\) 위의 유한형 다항식 대수이고 \(\epsilon\)이 단체집합의 자명한 Kan 올뭉치가 되도록, 증강 \(\epsilon:P_\bullet\to B\)를 갖는 단체 \(A\)-대수 \(P_\bullet\)이 존재한다.

증명

\(\mathcal{A}\)를 \(A\)-대수 준동형 \(C\to B\)들의 범주라 하자. 이 증명에서 단체 대상과 골격 및 쌍대골격 함자는 이 범주에서 취한다.

\(A\) 위의 유한형 다항식 대수 \(P_0\)과 전사 준동형 \(P_0\to B\)를 택한다. 첫 번째 근사로 \(P_\bullet=\text{cosk}_0(P_0)\)를 취한다. 다시 말해 \(P_\bullet\)은 각 항이 \(P_n=P_0\times_A\ldots\times_AP_0\)인 단체 \(A\)-대수이다. (증명의 마지막 문단에서는 이 단체 대상을 \(P^0_\bullet\)로 쓸 것이다.) 단체적 방법, 보조정리 01AB에 의해 사상 \(P_\bullet\to B\)는 단체집합의 자명한 Kan 올뭉치이다. 또한 \(P_\bullet=\text{cosk}_0\text{sk}_0P_\bullet\)임을 관찰하자.

어떤 \(n\geq0\)에 대하여 다음을 만족하는 \(P_\bullet\)을 구성했다고 하자 (증명의 마지막 문단에서는 이를 \(P^n_\bullet\)로 쓸 것이다).

1. \(P_\bullet\to B\)는 단체집합의 자명한 Kan 올뭉치이다.

2. \(0\leq k\leq n\)이면 \(P_k\)는 유한 생성 다항식 대수이다.

3. \(P_\bullet = \text{cosk}_n \text{sk}_n P_\bullet\)

보조정리 08PW에 의해 \(A\) 위의 유한 생성 다항식 대수 \(Q\)와 전사 준동형 \(Q\to P_{n+1}\)을 찾을 수 있다. \(P_n\)이 다항식 대수이므로 \(A\)-대수 준동형 \(s_i:P_n\to P_{n+1}\)은 \(s'_i:P_n\to Q\)로 올려진다. \(d'_j:Q\to P_n\)을 \(Q\to P_{n+1}\)과 \(d_j:P_{n+1}\to P_n\)의 합성으로 둔다. \(k\leq n\)이면 \(P'_k=P_k\), \(P'_{n+1}=Q\)로 두고, 차수 \(k\leq n-1\)에서는 사상 \(d'_i=d_i\)와 \(s'_i=s_i\)를, 차수 \(n\)에서는 사상 \(d'_j\)와 \(s'_i\)를 사용하면 \(\mathcal{A}\)의 절단 단체 대상 \(P'_\bullet\)을 얻는다. \(\text{cosk}_{n+1}\)을 사용하여 이를 \(\mathcal{A}\)의 완전한 단체 대상 \(P'_\bullet\)로 연장한다. 쌍대골격 함자의 함자성에 의해, 주어진 \((n+1)\)-절단 단체 대상의 사상을 연장하는 단체 대상의 사상 \(P'_\bullet\to P_\bullet\)이 있다. (증명의 마지막 문단에서는 이 사상을 \(P^{n+1}_\bullet\to P^n_\bullet\)로 쓸 것이다.)

\(n\)을 \(n+1\)로 바꾸면 \(P'_\bullet\)이 조건 (b)와 (c)를 만족함에 유의하자. 사상 \(P'_\bullet\to P_\bullet\)이 단체적 방법, 보조정리 01A6에서 \(n\) 대신 \(n+1\)로 둔 가정 (1), (2), (3), (4)를 만족한다고 주장한다. 조건 (1)과 (2)는 구성에 의해 성립한다. 단체적 방법, 보조정리 08NJ에 의해 \(P_\bullet = \text{cosk}_{n + 1}\text{sk}_{n + 1}P_\bullet\) 및 \(P'_\bullet = \text{cosk}_{n + 1}\text{sk}_{n + 1}P'_\bullet\) 가 \(\mathcal{A}\)에서뿐만 아니라 \(A\)-대수의 범주에서, 따라서 집합의 범주에서도 성립한다(\(A\)-대수에서 집합으로 가는 망각 함자는 모든 극한과 가환한다). 이것으로 (3)과 (4)가 증명된다. 따라서 그 보조정리를 적용할 수 있고 \(P'_\bullet\to P_\bullet\)은 자명한 Kan 올뭉치이다. 단체적 방법, 보조정리 08NP에 의해 \(P'_\bullet\to B\)도 자명한 Kan 올뭉치이므로 (a)도 성립한다.

증명을 끝내기 위하여 위에서 구성한 단체 대수의 열 \[\ldots \to P^2_\bullet \to P^1_\bullet \to P^0_\bullet\] 의 역극한 \(P_\bullet=\lim P^n_\bullet\)을 취한다. 단체적 방법, 보조정리 08NQ에 의해 사상 \(P_\bullet\to B\)는 자명한 Kan 올뭉치이다. 한편 위의 구성은 각 차수에서 고정된 유한 생성 다항식 대수로 안정된다. 이것이 원하는 결론이다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(A\to B\)를 유한형 환 준동형이라 하자. \(\pi\)와 \(\underline{B}\)를 (08PR)와 같이 두자. 모든 \(\alpha:P=A[x_1,\ldots,x_n]\to B\)에 대하여 \(\mathcal{F}(P,\alpha)\)가 유한 \(B\)-가군이 되는 \(\underline{B}\)-가군 \(\mathcal{F}\)가 주어지면, \(L\pi_!(\mathcal{F})\)의 코호몰로지 가군들은 유한 \(B\)-가군이다.

증명

보조정리 08PS와 명제 08PX에 의해, 유한형 다항식 대수에서의 \(\mathcal{F}\)의 값들로 구성한 복합체로 \(L\pi_!(\mathcal{F})\)를 계산할 수 있다.

보조정리

\(A\)를 뇌터 환이라 하고 \(A\to B\)를 유한형 환 준동형이라 하자. 모든 \(n\in\mathbf{Z}\)에 대하여 \(H^n(L_{B/A})\)는 유한 \(B\)-가군이다.

증명

보조정리 08PU과 08PY를 적용한다.

주

임의의 환 준동형 \(A\to B\)를 잡자. 증강된 단체 \(A\)-대수 \(\epsilon:P_\bullet\to B\)에서 각 \(P_n\)이 다항식 대수이고 \(\epsilon\)이 단체집합의 자명한 Kan 올뭉치이면 이를 \(A\) 위의 \(B\)의 분해라 부르자. \(P_\bullet\to B\)가 단체 \(A\)-대수의 증강이고 각 \(P_n\)이 \(B\)로 전사하는 다항식 대수이면 다음 조건들은 동치이다.

1. \(\epsilon:P_\bullet\to B\)는 \(A\) 위의 \(B\)의 분해이다.

2. \(\epsilon:P_\bullet\to B\)는 딸린 복합체들 사이의 준동형사상이다.

3. \(\epsilon:P_\bullet\to B\)는 단체집합의 호모토피 동치를 유도한다.

이를 보려면 단체적 방법의 보조정리 08NS, 08P2, 그리고 08P1를 사용한다. \(A\) 위의 \(B\)의 분해 \(P_\bullet\)은 사이트 코호몰로지, 보조정리 08Q9 에서와 같은 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 쌍대단체 대상 \(U_\bullet\)을 주며, 따라서 \[L\pi_!\mathcal{F} = \mathcal{F}(P_\bullet)\] \(\mathcal{F}\)에 대하여 함자적으로 성립한다. 보조정리 08PS를 보라. 명제 08PX 증명의 형식적인 부분은 분해가 존재함을 보인다. 또한 보조정리 08PT의 첫 번째 증명에서 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해가 분해임을 보았다(따라서 이 용어법은 충돌을 일으키지 않는다). 그러나 명제 08PX의 증명에 나오는 논증은 단체적 방법, 절 08N8의 단체 계산을 사용하지 않고도 분해의 존재를 보인다. 더 나아가 분해를 어떻게 택하든 보조정리 08PU에 의해 \(D(B)\)에서 표준 동형사상 \[L_{B/A} = \Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} B\] 을 얻는다. 임의의 분해를 택할 수 있다는 자유는 상당히 유용할 수 있다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하고 \(\pi\), \(\mathcal{O}\), \(\underline{B}\)를 (08PR)와 같이 두자. 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(D(\textit{Ab})\)에서 \[L\pi_!(\mathcal{F}) = L\pi_!(Li^*\mathcal{F}) = L\pi_!(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B})\] 이다.

증명

\(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 \(\mathcal{O}\to\underline{B}\)가 사이트 코호몰로지, 보조정리 08RX의 가정들을 만족함을 확인하면 충분하다. 더 언급하지 않고 주 08QI의 결과들을 사용하겠다. \(A\) 위의 \(B\)의 분해 \(P_\bullet\)을 택하여 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 적절한 쌍대단체 대상 \(U_\bullet\)을 얻는다. \(P_\bullet\to B\)는 딸린 아벨 군의 복합체들 사이의 준동형사상을 유도하므로 \(L\pi_!\mathcal{O}=B\)이다. 한편 \(L\pi_!\underline{B}\)는 \(\underline{B}(U_\bullet)=B\)로 계산된다. 이로써 사이트 코호몰로지, 보조정리 08RX의 두 번째 가정이 확인되어 증명이 끝난다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하고 \(\pi\), \(\mathcal{O}\), \(\underline{B}\)를 (08PR)와 같이 두자. \(D(\textit{Ab})\)에서 \[L\pi_!(\mathcal{O}) = L\pi_!(\underline{B}) = B \quad\text{그리고}\quad L_{B/A} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A})\] 이다.

증명

보조정리 08QJ를 적용하면 된다(오른쪽의 첫 등식은 보조정리 08PU이다).

다음은 쉽게 증명할 수 있는 기본 삼각형의 특수한 경우이다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\to C\)가 주어졌다고 하자. \(B\)가 \(A\) 위의 다항식 대수이면 \(D(C)\)에 완전 삼각형 \(L_{B/A}\otimes_B^\mathbf{L}C\to L_{C/A}\to L_{C/B}\to L_{B/A}\otimes_B^\mathbf{L}C[1]\)이 있다.

증명

더 언급하지 않고 주 08QI의 관찰들을 사용하겠다. \(B\) 위의 \(C\)의 분해 \(\epsilon:P_\bullet\to C\)를 택한다(예를 들어 표준 분해). \(B\)가 \(A\) 위의 다항식 대수이므로 \(P_\bullet\)은 \(A\) 위의 \(C\)의 분해이기도 하다. 따라서 \(L_{C/A}\)는 \(\Omega_{P_\bullet/A}\otimes_{P_\bullet,\epsilon}C\)로 계산되고 \(L_{C/B}\)는 \(\Omega_{P_\bullet/B}\otimes_{P_\bullet,\epsilon}C\)로 계산된다. 각 \(n\)에 대하여 짧은 완전열 \(0\to\Omega_{B/A}\otimes_BP_n\to\Omega_{P_n/A}\to \Omega_{P_n/B}\to0\)이 있고(가환대수학, 보조정리 031K), \(L_{B/A}=\Omega_{B/A}[0]\)이므로(보조정리 08QH) 결론을 얻는다.

예

환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하자. 이 예에서는 길이가 \(2\)인 \(A\) 위의 \(B\)의 “명시적” 분해 \(P_\bullet\)을 구성한다. 이를 위하여 명제 08PX 증명의 절차를 따른다. 주 08QI의 논의도 보라.

\(u_i\)가 변수집합인 전사 준동형 \(P_0=A[u_i]\to B\)를 택한다. 아이디얼 \(\Ker(P_0\to B)\)의 생성원 \(f_t\in P_0\), \(t\in T\)를 택한다. \(P_1=A[u_i,x_t]\)로 두고, 면 사상 \(d_0\)과 \(d_1\)을 \(d_j(u_i)=u_i\), \(d_0(x_t)=0\), \(d_1(x_t)=f_t\)를 만족하는 유일한 \(A\)-대수 준동형으로 둔다. 사상 \(s_0:P_0\to P_1\)은 \(s_0(u_i)=u_i\)를 만족하는 유일한 \(A\)-대수 준동형이다. 다음 열이 완전함은 명백하다. \[P_1 \xrightarrow{d_0 - d_1} P_0 \to B \to 0\] 특히 사상 \((d_0,d_1):P_1\to P_0\times_BP_0\)은 전사이다. 따라서 \(P_\bullet\)이 \(P_0\), \(P_1\), \(d_0\), \(d_1\), \(s_0\)로 주어지는 \(1\)-절단 단체 \(A\)-대수를 나타내면, 증강 \(\text{cosk}_1(P_\bullet)\to B\)는 자명한 Kan 올뭉치이다. 명제 08PX 증명의 절차에서 다음 단계는 다항식 대수 \(P_2\)와 전사 준동형 \[P_2 \longrightarrow \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\] 를 택하는 것이다. 다음을 상기하자. \[\text{cosk}_1(P_\bullet)_2 = \{(g_0, g_1, g_2) \in P_1^3 \mid d_0(g_0) = d_0(g_1), d_1(g_0) = d_0(g_2), d_1(g_1) = d_1(g_2)\}\] \(g_i\in P_1\)을 \(x_t\)에 관한 다항식으로 생각하면 조건들은 다음과 같다. \[g_0(0) = g_1(0),\quad g_0(f_t) = g_2(0),\quad g_1(f_t) = g_2(f_t)\] 따라서 \(\text{cosk}_1(P_\bullet)_2\)는 원소 \(y_t=(x_t,x_t,f_t)\)와 \(z_t=(0,x_t,x_t)\)를 포함한다. \(\text{cosk}_1(P_\bullet)_2\)의 모든 원소 \(G\)는 \(G=H+(0,0,g)\) 꼴이다. 여기서 \(H\)는 \(A[u_i,y_t,z_t]\to\text{cosk}_1(P_\bullet)_2\)의 상에 속하고, \(g\in P_1\)은 상수항이 영이며 \(P_0\)에서 \(g(f_t)=0\)을 만족하는 다항식이다. 다음 두 종류의 원소가 원하는 꼴의 \(P_1\)의 원소임을 관찰하자.

1. \(g=x_tx_{t'}-f_tx_{t'}\), 그리고

2. \(P_0\)에서 \(\sum r_tf_t=0\)일 때 \(r_t\in P_0\)인 \(g=\sum r_tx_t\).

다음과 같이 두자. \[Rel = \Ker(\bigoplus\nolimits_{t \in T} P_0 \longrightarrow P_0),\quad (r_t) \longmapsto \sum r_tf_t\] \(r=(r_t)\in Rel\)에 대하여 \(P_2=A[u_i,y_t,z_t,v_r,w_{t,t'}]\)로 두고, 다음 사상을 준다. \[P_2 \longrightarrow \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\] 이는 \(y_t\mapsto(x_t,x_t,f_t)\), \(z_t\mapsto(0,x_t,x_t)\), \(v_r\mapsto(0,0,\sum r_tx_t)\), 그리고 \(w_{t,t'}\mapsto(0,0,x_tx_{t'}-f_tx_{t'})\)로 주어진다. 계산(생략한다)하면 이 사상이 전사임을 알 수 있다. 위에 표시한 사상을 택하면 사상 \(d_0,d_1,d_2:P_2\to P_1\)이 정해진다. 끝으로 명제 08PX 증명의 절차에 따라 두 사상 \(P_1\to\text{cosk}_1(P_\bullet)_2\)의 올림인 사상 \(s_0,s_1:P_1\to P_2\)를 택한다. \(s_0(x_t)=y_t\)와 \(s_1(x_t)=z_t\)로 정해지는 유일한 \(A\)-대수 준동형들을 \(s_i\)로 취할 수 있음은 명백하다.

함자성

이 절에서는 다음 환 준동형의 가환 정사각형을 생각한다. [08QM]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ B \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] } } \end{equation}\] 이 도표에 딸린 다음 표준적인 복합체의 \(B\)-선형 사상이 있다고 주장한다. \[L_{B/A} \longrightarrow L_{B'/A'}\] 실제로 \(P_\bullet\to B\)가 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해이고 \(P'_\bullet\to B'\)가 \(A'\) 위의 \(B'\)의 표준 분해이면, 증강 \(P_\bullet\to B\) 및 \(P'_\bullet\to B'\)와 양립하는 표준적인 단체 \(A\)-대수의 사상 \(P_\bullet\to P'_\bullet\)이 있다. 이는 단체적 방법, 절 08N8의 표준 분해 구성으로부터 볼 수 있다. 그러나 지금의 특수한 경우에는 사상 \[P_0 = A[B] \longrightarrow A'[B'] = P'_0,\quad P_1 = A[A[B]] \longrightarrow A'[A'[B']] = P'_1,\] 등이 주어진 사상 \(A\to A'\)와 \(B\to B'\)에 의해 정해진다고 말하는 것으로 충분할 것이다. 원하는 사상 \(L_{B/A}\to L_{B'/A'}\)는 이제 딸린 사상 \(\Omega_{P_n/A}\to\Omega_{P'_n/A'}\)에서 얻어진다.

함자성 사상을 다음과 같이 달리 기술할 수도 있다. \(\mathcal{C}=\mathcal{C}_{B/A}\)와 \(\mathcal{C}'=\mathcal{C}_{B'/A}'\)를 절 08PQ에서 생각한 범주들이라 하자. 다음 함자가 있다. \[u : \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}',\quad (P, \alpha) \longmapsto (P \otimes_A A', c \circ (\alpha \otimes 1))\] 여기서 \(c:B\otimes_AA'\to B'\)는 명백한 사상이다. 사이트 코호몰로지, 예 08PH에서 논의한 대로 토포스의 사상 \(g:\Sh(\mathcal{C})\to\Sh(\mathcal{C}')\)와 다음 환 달린 토포스의 사상들의 가환 도표를 얻는다. [08QN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \underline{B}) \ar[d]_{\pi'} & (\Sh(\mathcal{C}'), \underline{B'}) \ar[d]_{\pi'} \ar[l]^h & (\Sh(\mathcal{C}), \underline{B'}) \ar[d]_\pi \ar[l]^g \\ (\Sh(*), B) & (\Sh(*), B') \ar[l]_f & (\Sh(*), B') \ar[l] } } \end{equation}\] 여기서 \(h\)는 바탕 토포스에서 항등사상이고, 환층에서는 환 준동형 \(B\to B'\)로 주어진다. 사이트 코호몰로지, 주 08PD에 의해 \(\mathcal{C}\) 위의 \(\mathcal{F}\), \(\mathcal{C}'\) 위의 \(\mathcal{F}'\), 그리고 변환 \(t:\mathcal{F}\to g^{-1}\mathcal{F}'\)가 주어지면 표준 사상 \(L\pi_!(\mathcal{F})\to L\pi'_!(\mathcal{F}')\)을 얻는다. 이를 층 \[\mathcal{F} : (P, \alpha) \mapsto \Omega_{P/A} \otimes_P B,\quad \mathcal{F}' : (P', \alpha') \mapsto \Omega_{P'/A'} \otimes_{P'} B',\] 과 다음 표준 사상들로 주어지는 변환 \(t\)에 적용하자. \[\Omega_{P/A} \otimes_P B \longrightarrow \Omega_{P \otimes_A A'/A'} \otimes_{P \otimes_A A'} B'\] 그러면 표준 사상 \[L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) \longrightarrow L\pi'_!(\Omega_{\mathcal{O}'/A'} \otimes_{\mathcal{O}'} \underline{B'})\] 을 얻는다. 보조정리 08PU에 의해 이는 \(L_{B/A}\to L_{B'/A'}\)를 준다. 이 사상이 위에서 단체 분해로 정의한 사상과 일치한다는 확인은 생략한다.

보조정리

(08QM)가 준동형사상 \(B\otimes_A^\mathbf{L}A'=B'\)을 유도한다고 가정하자. (08QN)의 표기와 \(\mathcal{F}'\in\textit{Ab}(\mathcal{C}')\)에 대하여 \(L\pi_!(g^{-1}\mathcal{F}')=L\pi'_!(\mathcal{F}')\)이다.

증명

더 언급하지 않고 주 08QI의 결과들을 사용한다. 사이트 코호몰로지, 보조정리 08QA를 적용하겠다. \(P_\bullet\to B\)를 분해라 하자. \(u(P_\bullet)=P_\bullet\otimes_AA'\to B'\)가 준동형사상임을 보이면 증명이 끝난다. \(P_\bullet\)을 단체 \(A\)-가군으로 보았을 때 이에 딸린 \(A\)-가군의 복합체 \(s(P_\bullet)\)은 \(B\)의 자유 \(A\)-가군 분해이다. 실제로 \(P_n\)은 자유 \(A\)-가군이고 \(s(P_\bullet)\to B\)는 준동형사상이다. 따라서 \(B\otimes_A^\mathbf{L}A'\)은 \(s(P_\bullet)\otimes_AA'=s(P_\bullet\otimes_AA')\)로 계산된다. 그러므로 보조정리의 가정은 \(\epsilon':P_\bullet\otimes_AA'\to B'\)가 준동형사상임을 뜻한다.

특히 \(A\to A'\)가 평탄하고 \(B'=B\otimes_AA'\)일 때(평탄한 밑변환) 다음 보조정리를 적용할 수 있다.

보조정리

(08QM)가 준동형사상 \(B\otimes_A^\mathbf{L}A'=B'\)을 유도하면, 함자성 사상은 동형사상 \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B' \longrightarrow L_{B'/A'}\] 을 유도한다.

증명

등식 (08QN)에서 도입한 표기를 사용하겠다. 다음이 성립한다. \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B' = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) \otimes_B^\mathbf{L} B' = L\pi_!(Lh^*(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}))\] 첫 등식은 보조정리 08PU에서, 둘째 등식은 사이트 코호몰로지, 보조정리 08Q8에서 따른다. \(\Omega_{\mathcal{O}/A}\)는 평탄 \(\mathcal{O}\)-가군이므로 \(\Omega_{\mathcal{O}/A}\otimes_\mathcal{O}\underline{B}\)는 평탄 \(\underline{B}\)-가군이다. 따라서 \(Lh^*(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B'}\) 이고, 이는 직접 확인하면 \(g^{-1}(\Omega_{\mathcal{O}'/A'} \otimes_{\mathcal{O}'} \underline{B'})\) 와 같다. 보조정리 08QP와 \(L_{B'/A'}\)가 \(L\pi'_!(\Omega_{\mathcal{O}'/A'}\otimes_{\mathcal{O}'}\underline{B'})\)로 계산된다는 사실로부터 결론이 따른다.

주

정사각형 (08QM)가 주어지고 다음 도표를 가환시키는 화살표 \(\kappa:B\to A'\)가 존재한다고 하자. \[\xymatrix{ B \ar[r]_\beta \ar[rd]_\kappa & B' \\ A \ar[u] \ar[r]^\alpha & A' \ar[u] }\] 이 경우 함자성 사상 \(P_\bullet\to P'_\bullet\)은 합성 \(P_\bullet\to B\to A'\to P'_\bullet\)과 호모토픽이라고 주장한다. 실제로 \(\kappa\)를 사용하면 함자성 사상은 다음과 같이 분해된다. \[P_\bullet \to P_{A'/A', \bullet} \to P'_\bullet\] 여기서 \(P_{A'/A',\bullet}\)은 \(A'\) 위의 \(A'\)의 표준 분해이다. \(A'\)는 \(A'\) 위에서 공집합을 변수집합으로 하는 다항식 대수이므로, 단체적 방법, 보조정리 08ND에 의해 증강 \(\epsilon_{A'/A'}:P_{A'/A',\bullet}\to A'\)은 단체 환의 호모토피 동치이다. 그 보조정리의 증명에서 구성한 호모토피 역 사상 \(c:A'\to P_{A'/A',\bullet}\)은 바로 구조사상임을 관찰하자. 그러므로 다음 두 합성이 위에서 논의한 두 사상이고 서로 호모토픽이므로 원하는 결론을 얻는다. \[\xymatrix{ P_\bullet \ar[r] & P_{A'/A', \bullet} \ar@<1ex>[rr]^{\text{id}} \ar@<-1ex>[rr]_{c \circ \epsilon_{A'/A'}} & & P_{A'/A', \bullet} \ar[r] & P'_\bullet }\] (단체적 방법, 주 08RJ). 두 번째 사상 \(P_\bullet\to P'_\bullet\)은 영 사상 \(\Omega_{P_\bullet/A}\to\Omega_{P'_\bullet/A'}\)을 유도하므로, 이 경우 함자성 사상 \(L_{B/A}\to L_{B'/A'}\)은 영과 호모토픽이다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)와 \(A\to C\)가 주어졌다고 하자. 그러면 사상 \(L_{B\times C/A}\to L_{B/A}\oplus L_{C/A}\)는 \(D(B\times C)\)에서 동형사상이다.

증명

이 보조정리는 기본 삼각형에서 유도할 수 있지만, 여기서는 직접적이고 기본적인 증명을 주겠다. 환 준동형 \(A\to B\times C\)를 \(x\mapsto(1,0)\)인 \(A\to A[x]\to B\times C\)로 분해한다. 보조정리 08SA에 의해 \(D(B\times C)\)에 완전 삼각형 \[L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} (B \times C) \to L_{B \times C/A} \to L_{B \times C/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} (B \times C)[1]\] 이 있다. 마찬가지로 다음 완전 삼각형들이 있다. \[\begin{matrix} L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} B[1] \\ L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} C[1] \end{matrix}\] 따라서 \(A[x]\) 위의 \(B\times C\)에 대하여 결과를 증명하면 충분하다. \(A[x]\to A[x,x^{-1}]\)은 평탄하고, \((B\times C)\otimes_{A[x]}A[x,x^{-1}] =B\otimes_{A[x]}A[x,x^{-1}]\)이며, \(C\otimes_{A[x]}A[x,x^{-1}]=0\)임에 유의하자. 따라서 밑변환(보조정리 08QQ)에 의해 사상 \(L_{B\times C/A[x]}\to L_{B/A[x]}\oplus L_{C/A[x]}\)는 \(x\)를 가역화한 뒤 동형사상이 된다. 같은 방식으로 이 사상이 \(x-1\)을 가역화한 뒤에도 동형사상이 됨을 보일 수 있다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

기본 삼각형

이 절에서는 환 준동형의 열 \(A\to B\to C\)를 생각한다. 우리의 목표는 이 삼각형이 \(D(C)\)의 다음 완전 삼각형을 준다는 것을 보이는 것이다. [08QS]\[\begin{equation} L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1] \end{equation}\] 이는 명제 08QX에서 증명한다. 다른 접근법은 주 08SD을 보라.

다음을 대상으로 하는 범주의 반대 범주 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)를 생각하자. 대상은 \((P\to B,Q\to C)\)이고,

1. \(P\)는 \(A\) 위의 다항식 대수이다.

2. \(P\to B\)는 \(A\)-대수 준동형이다.

3. \(Q\)는 \(P\) 위의 다항식 대수이다.

4. \(Q\to C\)는 \(P\)-대수 준동형이다.

반대 범주를 택하는 까닭은 \((P\to B,Q\to C)\)를 다음 가환 도표에 대응하는 것으로 생각하고자 하기 때문이다. \[\xymatrix{ \Spec(C) \ar[d] \ar[r] & \Spec(Q) \ar[d] \\ \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & \Spec(P) \ar[dl] \\ \Spec(A) }\] \(\mathcal{C}_{B/A}\), \(\mathcal{C}_{C/A}\), \(\mathcal{C}_{C/B}\)를 절 08PQ에서 생각한 범주들이라 하자. 다음 함자들이 있다. \[\begin{matrix} u_1 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{B/A}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (P \to B) \\ u_2 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{C/A}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (Q \to C) \\ u_3 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{C/B}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (Q \otimes_P B \to C) \end{matrix}\] 이 함자들은 대응하는 토포스의 사상 \(g_i\)를 유도한다. \(\mathcal{O}_i=g_i^{-1}\mathcal{O}\)로 쓰면 다음 환 달린 토포스의 사상들을 얻는다. [08QT]\[\begin{equation} \begin{matrix} g_1 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_1) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{B/A}), \mathcal{O}) \\ g_2 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_2) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{C/A}), \mathcal{O}) \\ g_3 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_3) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{C/B}), \mathcal{O}) \end{matrix} \end{equation}\] \(\pi:\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A})\to\Sh(*)\), \(\pi_1:\Sh(\mathcal{C}_{B/A})\to\Sh(*)\), \(\pi_2:\Sh(\mathcal{C}_{C/A})\to\Sh(*)\), \(\pi_3:\Sh(\mathcal{C}_{C/B})\to\Sh(*)\)로 쓰자. 그러면 \(\pi=\pi_i\circ g_i\)이다. 보조정리 08PU의 코탄젠트 복합체 동일시와 다음 보조정리들로부터 원하는 완전 삼각형을 얻을 것이다.

보조정리

(08QT)의 표기 아래에서 다음과 같이 두자. \[\begin{matrix} \Omega_1 = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B} \text{는 }\mathcal{C}_{B/A}\text{ 위에서} \\ \Omega_2 = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{C} \text{는 }\mathcal{C}_{C/A}\text{ 위에서} \\ \Omega_3 = \Omega_{\mathcal{O}/B} \otimes_\mathcal{O} \underline{C} \text{는 }\mathcal{C}_{C/B}\text{ 위에서} \end{matrix}\] 그러면 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) 위에 다음 표준적인 \(\underline{C}\)-가군층의 짧은 완전열이 있다. \[0 \to g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C} \to g_2^{-1}\Omega_2 \to g_3^{-1}\Omega_3 \to 0\]

증명

\(g_i^{-1}\)은 단순히 \(u_i\)와 미리 합성하여 얻는다는 것을 상기하자. 대상 \(U=(P\to B,Q\to C)\)가 주어지면, 예를 들어 가환대수학, 보조정리 031K에 의해 분할 짧은 완전열 \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes Q \to \Omega_{Q/A} \to \Omega_{Q/P} \to 0\] 이 있다. \(Q\) 위에서 \(C\)와 텐서곱하면 짧은 완전열 \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes C \to \Omega_{Q/A} \otimes C \to \Omega_{Q/P} \otimes C \to 0\] 을 얻는다. \(\Omega_{P/A}\otimes C=\Omega_{P/A}\otimes B\otimes C\)이므로 이는 \(U\)에서 \(g_1^{-1}\Omega_1\otimes_{\underline{B}}\underline{C}\)의 값이다. 가군 \(\Omega_{Q/A}\otimes C\)는 \(U\)에서 \(g_2^{-1}\Omega_2\)의 값이다. 가환대수학, 보조정리 00RV에 의해 \(\Omega_{Q/P}\otimes C=\Omega_{Q\otimes_PB/B}\otimes C\)이므로 이는 \(U\)에서 \(g_3^{-1}\Omega_3\)의 값이다. 따라서 보조정리의 짧은 완전열은 \(U\)에 마지막으로 표시한 짧은 완전열을 대응시켜 얻는다.

보조정리

(08QT)의 표기 아래에서 \(C\)가 \(B\) 위의 다항식 대수라고 하자. 그러면 \(\mathcal{C}_{C/B}\) 위의 임의의 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(L\pi_!(g_3^{-1}\mathcal{F}) = L\pi_{3, !}\mathcal{F} = \pi_{3, !}\mathcal{F}\) 이다.

증명

어떤 집합 \(E\)에 대하여 \(C=B[E]\)로 쓰자. \(A\) 위의 \(B\)의 분해 \(P_\bullet\to B\)를 택한다. 모든 \(n\)에 대하여 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)의 대상 \(U_n=(P_n\to B,P_n[E]\to C)\)를 생각하자. 그러면 \(U_\bullet\)은 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)의 쌍대단체 대상이다. \(u_3(U_\bullet)\)은 값이 \((C\to C)\)인 \(\mathcal{C}_{C/B}\)의 상수 쌍대단체 대상임에 유의하자. \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)의 대상 \(U_\bullet\)이 사이트 코호몰로지, 보조정리 08Q9의 가정들을 만족함을 보이겠다. 그러면 \(L\pi_!(g_3^{-1}\mathcal{F})\)가 상수 단체 아벨 군 \(\mathcal{F}(C\to C)\)로 계산됨을 알 수 있다. 보조정리 08QG에 의해 이것은 \(L\pi_{3,!}\mathcal{F}=\pi_{3,!}\mathcal{F}\)의 값이므로 보조정리가 따른다.

\(U=(\beta:P\to B,\gamma:Q\to C)\)를 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)의 대상이라 하자. 범주 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)의 정의에 의해 \(P=A[S]\), \(Q=A[S\amalg T]\)로 쓸 수 있다. 다음 단체집합이 한원소 단체집합 \(*\)와 호모토피 동치임을 보여야 한다. \[\Mor_{\mathcal{C}_{C/B/A}}(U_\bullet, U)\] 이 단체집합은 다음 곱임을 관찰하자. \[\prod\nolimits_{s \in S} F_s \times \prod\nolimits_{t \in T} F'_t\] 여기서 \(F_s\)는 \(U_s=(A[\{s\}]\to B,A[\{s\}]\to C)\)에 대응하는 단체집합이고, \(F'_t\)는 \(U_t=(A\to B,A[\{t\}]\to C)\)에 대응하는 단체집합이다. 실제로 대상 \(U\)는 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)에서 곱 \(\prod U_s\times\prod U_t\)이다. 각 \(F_s\)와 \(F'_t\)가 \(*\)와 호모토피 동치임을 보이면 충분하다. 단체적 방법, 보조정리 08Q4를 보라. \(F_s\)의 경우는 \(P_\bullet\to B\)가 분해이므로 자명한 Kan 올뭉치이고 \(F_s\)가 이 사상의 \(\beta(s)\) 위의 섬유이므로 따른다. (단체적 방법의 보조정리 08NN와 08NS를 사용한다.) \(F'_t\)의 경우는 조금 더 흥미롭다. 여기서는 다음 사상의 \(\gamma(t)\in C\) 위의 섬유가 한 점과 호모토피 동치라고 말하고 있다. \[P_\bullet[E] \longrightarrow C = B[E]\] 실제로 이 사상이 자명한 Kan 올뭉치임을 보이겠다. \(P_\bullet\to B\)는 자명한 Kan 올뭉치이다. 임의의 환 \(R\)에 대하여 \[R[E] = \colim_{\Sigma \subset \text{Map}(E, \mathbf{Z}_{\geq 0})\text{ 유한}} \prod\nolimits_{I \in \Sigma} R\] (여과 쌍대극한)이다. 따라서 위에 표시한 단체집합의 사상은 자명한 Kan 올뭉치들의 여과 쌍대극한이므로, 단체적 방법, 보조정리 08Q5에 의해 자명한 Kan 올뭉치이다.

보조정리

(08QT)의 표기 아래에서 \(Lg_{i,!}\circ g_i^{-1}=\text{id}\)가 \(i=1,2,3\)에 대하여 성립하고, 따라서 \(L\pi_!\circ g_i^{-1}=L\pi_{i,!}\)도 \(i=1,2,3\)에 대하여 성립한다.

증명

\(i=1\)인 경우를 증명하자. 함자 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)는 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 섬유화 범주라고 주장한다. 실제로 \((P\to B,Q\to C)\)와 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 사상 \((P'\to B)\to(P\to B)\)가 주어졌다고 하자. 이는 \(B\)로 가는 사상들과 양립하는 \(A\)-대수 준동형 \(P\to P'\)가 있다는 뜻임을 상기하자. \(Q'=Q\otimes_PP'\)로 두고 유도된 \(C\)로 가는 사상과 다음 사상을 취한다. \[(P' \to B, Q' \to C) \longrightarrow (P \to B, Q \to C)\] 이는 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)의 사상이며 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위에서 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) 안의 강하게 데카르트인 사상이다(화살표가 다시 반대임에 유의하라). 또한 \(P\to B\) 위의 \(u_1\)의 섬유범주는 \(\mathcal{C}_{C/P}\)임을 관찰하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 아벨 층이라 하자. 섬유화 범주가 있으므로 사이트 코호몰로지, 보조정리 08PJ를 적용할 수 있다. 따라서 \(L_ng_{1,!}g_1^{-1}\mathcal{F}\)는 \(U\in\Ob(\mathcal{C}_{B/A})\)에 \(U\) 위의 섬유범주로 제한한 \(g_1^{-1}\mathcal{F}\)의 \(n\)차 호몰로지를 대응시키는 (준)층이다. 이 제한들은 상수이므로 위의 섬유범주 동일시와 보조정리 08QE에서 원하는 결과가 따른다.

\(i=2\)인 경우를 보자. \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)는 \(\mathcal{C}_{C/A}\) 위의 섬유화 범주라고 주장한다. 실제로 \((P\to B,Q\to C)\)와 \(\mathcal{C}_{C/A}\)의 사상 \((Q'\to C)\to(Q\to C)\)가 주어졌다고 하자. 이는 \(C\)로 가는 사상들과 양립하는 \(B\)-대수 준동형 \(Q\to Q'\)가 있다는 뜻임을 상기하자. 그러면 \[(P \to B, Q' \to C) \longrightarrow (P \to B, Q \to C)\] 은 \(\mathcal{C}_{C/A}\) 위에서 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) 안의 강하게 데카르트인 사상이다. \(Q\to C\) 위의 \(u_2\)의 섬유범주는 끝 대상 \((A\to B,Q\to C)\)를 갖는다는 점에 유의하자(화살표가 반대임을 주의하라). \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{C}_{C/A}\) 위의 아벨 층이라 하자. 섬유화 범주가 있으므로 사이트 코호몰로지, 보조정리 08PJ를 적용할 수 있다. 따라서 \(L_ng_{2,!}g_2^{-1}\mathcal{F}\)는 \(U\in\Ob(\mathcal{C}_{C/A})\)에 \(U\) 위의 섬유범주로 제한한 \(g_1^{-1}\mathcal{F}\)의 \(n\)차 호몰로지를 대응시키는 (준)층이다. 이 제한들은 상수이고 모든 섬유범주가 끝 대상을 가지므로, 사이트 코호몰로지, 보조정리 08Q7에서 원하는 결과가 따른다.

\(i=3\)인 경우를 보자. 이 경우에는 \(\mathcal{C}_{C/B}\) 위의 어떤 아벨 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \(u=u_3:\mathcal{C}_{C/B/A}\to\mathcal{C}_{C/B}\)와 \(\mathcal{F}'=g_3^{-1}\mathcal{F}\)에 사이트 코호몰로지, 보조정리 08PK를 적용하겠다. \(U=(\overline{Q}\to C)\)가 \(\mathcal{C}_{C/B}\)의 대상이라고 하자. 그러면 \(\mathcal{I}_U=\mathcal{C}_{\overline{Q}/B/A}\)이다(화살표가 다시 반대임에 주의하라). 층 \(\mathcal{F}'_U\)는 \((P\to B,Q\to\overline{Q})\mapsto \mathcal{F}(Q\otimes_PB\to C)\)로 주어진다. 다시 말해 이 층은 사상 \(\Sh(\mathcal{C}_{\overline{Q}/B/A})\to \Sh(\mathcal{C}_{\overline{Q}/B})\)에 따른 \(\mathcal{C}_{\overline{Q}/C}\) 위 층의 당김이다. 따라서 보조정리 08QV에 의해 \(n>0\)이면 \(H_n(\mathcal{I}_U,\mathcal{F}'_U)=0\)이고, \(n=0\)이면 이는 \(\mathcal{F}(\overline{Q}\to C)\)와 같다. 앞서 말한 사이트 코호몰로지, 보조정리 08PK에 의해 \(Lg_{3,!}(g_3^{-1}\mathcal{F})=\mathcal{F}\)이므로 증명이 끝난다.

명제

환 준동형 \(A\to B\to C\)가 주어졌다고 하자. \(D(C)\)에 표준적인 완전 삼각형 \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1]\] 이 있다.

증명

보조정리 08QU의 층의 짧은 완전열에 유도 함자 \(L\pi_!\)를 적용하여 \(D(C)\)의 완전 삼각형 \[L\pi_!(g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C}) \to L\pi_!(g_2^{-1}\Omega_2) \to L\pi_!(g_3^{-1}\Omega_3) \to L\pi_!(g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C})[1]\] 을 얻는다. 보조정리 08QW와 08PU을 사용하면 둘째 항과 셋째 항이 각각 \(L_{C/A}\)와 \(L_{C/B}\)와 일치하고 첫째 항은 \[L\pi_{1, !}(\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C}) = L\pi_{1, !}(\Omega_1) \otimes_B^\mathbf{L} C = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C\] 와 같다. 첫 등식은 사이트 코호몰로지, 보조정리 08Q8와 \(\underline{B}\)-가군층으로서 \(\Omega_1\)의 평탄성에서 따르고, 둘째 등식은 보조정리 08PU에서 따른다.

주

기본 삼각형의 존재에 대한, 어쩌면 더 간단한 다른 증명을 개괄한다. 환 준동형 \(A\to B\to C\)가 주어지고 \(B\to C\)가 단사라고 가정하자. \(P_\bullet\to B\)를 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해라 하고 \(Q_\bullet\to C\)를 \(B\) 위의 \(C\)의 표준 분해라 하자. 다음을 그려 보자. \[\xymatrix{ P_\bullet : & A[A[A[B]]] \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[B]] \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[B] \ar[d] \ar@<0ex>[l] \ar[r] & B \\ Q_\bullet : & A[A[A[C]]] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[C]] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[C] \ar@<0ex>[l] \ar[r] & C }\] \(B\to C\)가 단사이므로 모든 \(n\)에 대하여 환 \(Q_n\)은 \(P_n\) 위의 다항식 대수임을 관찰하자. 따라서 \(\mathcal{C}_{C/B/A}\)의 쌍대단체 대상을 얻는다(화살표가 반대임을 주의하라). 이제 \(\overline{Q}_\bullet=Q_\bullet\otimes_{P_\bullet}B\)로 두자. 명제 08QX 증명의 핵심은 \(\overline{Q}_\bullet\)이 \(B\) 위의 \(C\)의 분해임을 보이는 것이다. 이는 \(\mathcal{C}=\Delta\), \(\mathcal{O}=P_\bullet\), \(\mathcal{O}'=B\), \(\mathcal{F}=Q_\bullet\)로 두고 사이트 코호몰로지, 보조정리 08RX를 적용하면 따른다(여기서는 \(Q_n\)이 \(P_n\) 위에서 평탄하다는 것을 사용한다. 단체 가군과 층을 관련시키려면 사이트 코호몰로지, 주 08QD를 보라). 이 핵심 사실에 의해 명제 08QX의 완전 삼각형은 다음 단체 \(C\)-가군의 짧은 완전열에 딸린 완전 삼각형이다. \[0 \to \Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet} C \to \Omega_{Q_\bullet/A} \otimes_{Q_\bullet} C \to \Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet} C \to 0\] 이는 가환대수학, 보조정리 031K의 짧은 완전열 \(0\to\Omega_{P_n/A}\otimes_{P_n}Q_n\to\Omega_{Q_n/A}\to \Omega_{Q_n/P_n}\to0\)에서 유도된다. 실제로 주 08QI과 핵심 사실에 의해 우변의 복합체는 \(D(C)\)에서 \(L_{C/B}\)를 나타낸다.

\(B\to C\)가 단사가 아니면 위의 결과를 사용하여 \(A\to B\to B\times C\)의 기본 삼각형을 얻을 수 있다. 사상 \(L_{B\times C/B}\to L_{B/B}\oplus L_{C/B}\)와 \(L_{B\times C/A}\to L_{B/A}\oplus L_{C/A}\)는 \(D(B\times C)\)에서 준동형사상이므로(보조정리 08SC), 평탄 환 준동형 \(B\times C\to C\)와 텐서곱하면 \(D(C)\)에서 원하는 완전 삼각형을 얻는다.

주

\(B\to C\)가 단사인 환 준동형 \(A\to B\to C\)가 주어졌다고 하자. 주 08SD의 표기 \(P_\bullet\), \(Q_\bullet\), \(\overline{Q}_\bullet\)을 상기하자. \(R_\bullet\)을 \(B\) 위의 \(C\)의 표준 분해라 하자. 이 주에서는 \(\Omega_{\overline{Q}_\bullet/B}\otimes_{\overline{Q}_\bullet}C\)와 \(L_{C/B}=\Omega_{R_\bullet/B}\otimes_{R_\bullet}C\)의 표준 동일시를 얻는 방법을 설명한다. \(S_\bullet\to B\)를 \(B\) 위의 \(B\)의 표준 분해라 하자. \(B\to C\)가 단사이므로 함자성 사상 \(S_\bullet\to R_\bullet\)은 \(R_n\)을 \(S_n\) 위의 다항식 대수로 나타냄에 유의하자. 예를 들어 차수 \(0\)에서는 사상 \(B[B]\to B[C]\)가 있고 차수 \(1\)에서는 사상 \(B[B[B]]\to B[B[C]]\)가 있으며, 이후도 마찬가지이다. 따라서 \(\overline{R}_\bullet=R_\bullet\otimes_{S_\bullet}B\)도 \(B\) 위의 단체 다항식 대수이고, 주 08SD에서와 같이 사이트 코호몰로지, 보조정리 08RX에 의해 \(\overline{R}_\bullet\to C\)는 분해이다. 다음 가환 도표가 있으므로 \[\xymatrix{ Q_\bullet \ar[r] & R_\bullet \\ P_\bullet \ar[u] \ar[r] & S_\bullet \ar[u] \ar[r] & B }\] 표준 사상 \(\overline{Q}_\bullet=Q_\bullet\otimes_{P_\bullet}B\to \overline{R}_\bullet\)을 얻는다. 따라서 사상들 \[L_{C/B} = \Omega_{R_\bullet/B} \otimes_{R_\bullet} C \longrightarrow \Omega_{\overline{R}_\bullet/B} \otimes_{\overline{R}_\bullet} C \longleftarrow \Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet} C\] 은 준동형사상이고(주 08QI), 하나와 다른 하나의 역을 합성하면 원하는 동일시를 얻는다.

국소화와 에탈 환 준동형

이 절에서는 환들을 국소화할 때 무슨 일이 일어나는지 연구한다. \(B=B\otimes_A^\mathbf{L}A'\)을 만족하는 환 준동형 \(A\to A'\to B\)가 주어졌다고 하자. 예를 들어 \(S\subset A\)가 곱셈적 부분집합이고 \(A'=S^{-1}A\)가 그 부분집합에서 \(A\)를 국소화한 환이면 이러한 상황이 생긴다. 이 경우 \(\mathcal{C}_{B/A'}\) 위의 아벨 층 \(\mathcal{F}'\)에 대하여 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 \(g^{-1}\mathcal{F}'\)의 호몰로지는 \(\mathcal{C}_{B/A'}\) 위의 \(\mathcal{F}'\)의 호몰로지와 일치한다. 정확한 명제는 보조정리 08QP를 보라.

보조정리

\(B=B\otimes_A^\mathbf{L}A'\)을 만족하는 환 준동형 \(A\to A'\to B\)가 주어지면 \(D(B)\)에서 \(L_{B/A}=L_{B/A'}\)이다.

증명

위의 논의(즉 보조정리 08QP)와 보조정리 08PU에 따르면, \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위에서 규칙 \((P\to B)\mapsto\Omega_{P/A}\otimes_PB\)로 주어지는 층이 규칙 \((P\to B)\mapsto\Omega_{P/A'}\otimes_PB\)로 주어지는 층의 당김임을 보여야 한다. 당김 함자 \(g^{-1}\)은 함자 \(u:\mathcal{C}_{B/A}\to\mathcal{C}_{B/A'}\), \((P\to B)\mapsto(P\otimes_AA'\to B)\)와 미리 합성하여 주어진다. 따라서 다음을 보여야 한다. \[\Omega_{P/A} \otimes_P B = \Omega_{P \otimes_A A'/A'} \otimes_{(P \otimes_A A')} B\] 가환대수학, 보조정리 00RV에 의해 우변은 \[(\Omega_{P/A} \otimes_A A') \otimes_{(P \otimes_A A')} B\] 와 같다. \(P\)가 \(A\) 위의 다항식 대수이므로 가군 \(\Omega_{P/A}\)는 자유이고, 등식은 명백하다.

보조정리

\(B=B\otimes_A^\mathbf{L}B\)를 만족하는 환 준동형 \(A\to B\)가 주어지면 \(D(B)\)에서 \(L_{B/A}=0\)이다.

증명

보조정리 08QZ과 08QH에 의해 \(L_{B/A}=L_{B/B}=0\)이므로 성립한다.

보조정리

\(i>0\)에 대하여 \(\text{Tor}^A_i(B,B)=0\)이고 \(L_{B/B\otimes_AB}=0\)인 환 준동형 \(A\to B\)가 주어지면 \(D(B)\)에서 \(L_{B/A}=0\)이다.

증명

보조정리 08QQ에 의해 \(L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} (B \otimes_A B) = L_{B \otimes_A B/B}\). 이제 환 준동형 \(B\to B\otimes_AB\to B\)에 딸린 완전 삼각형 (08QS) \[L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B \to L_{B/B} \to L_{B/B \otimes_A B} \to L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B[1]\] 과 \(L_{B/B}\)의 소멸(보조정리 08QH) 및 가정한 \(L_{B/B\otimes_AB}\)의 소멸을 사용하면 \[0 = L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} (B \otimes_A B) \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B = L_{B/A}\] 를 얻는다. 이것이 원하는 결론이다.

보조정리

다음 각 경우에 코탄젠트 복합체 \(L_{B/A}\)는 영이다.

1. \(A\to B\)와 \(B\otimes_AB\to B\)가 평탄하다. 즉 \(A\to B\)가 약 에탈이다(대수학 심화, 정의 092B).

2. \(A\to B\)가 환의 평탄한 전사 사상이다.

3. 어떤 곱셈적 부분집합 \(S\subset A\)에 대하여 \(B=S^{-1}A\)이다.

4. \(A\to B\)가 비분기이고 평탄하다.

5. \(A\to B\)가 에탈이다.

6. \(A\to B\)가 코탄젠트 복합체가 소멸하는 환 준동형들의 여과 쌍대극한이다.

7. \(B\)가 \(A\)의 한 국소환의 헨젤화이다.

8. \(B\)가 \(A\)의 한 국소환의 엄밀 헨젤화이다. 그리고

9. 여기에 더 추가한다.

증명

(1)의 경우 전사 평탄 환 준동형 \(B\otimes_AB\to B\)에 보조정리 08R0을 적용하여 \(L_{B/B\otimes_AB}=0\)을 얻고, 보조정리 08R1을 사용하여 결론을 얻는다. (2)–(5)는 각각 (1)의 특수한 경우이다. (6)은 보조정리 08S9에서 따른다. (7)과 (8)은 (엄밀) 헨젤화가 \(A\)의 에탈 환 확대들의 여과 쌍대극한이라는 사실에서 따른다. 가환대수학의 보조정리 04GV와 04GW를 보라.

보조정리

\(L_{C/B}=0\)인 환 준동형 \(A\to B\to C\)가 주어지면 \(L_{C/A}=L_{B/A}\otimes_B^\mathbf{L}C\)이다.

증명

완전 삼각형 (08QS)에서 바로 따른다.

보조정리

환 준동형 \(A\to B\)와 곱셈적 부분집합 \(S\subset A\), \(T\subset B\)가 주어지고 \(S\)가 \(T\) 안으로 간다고 하자. 그러면 \(D(T^{-1}B)\)에서 \(L_{T^{-1}B/S^{-1}A}=L_{B/A}\otimes_BT^{-1}B\)이다.

증명

보조정리 08R3에 의해 \(L_{T^{-1}B/A}=L_{B/A}\otimes_BT^{-1}B\)이고, 보조정리 08QZ에 의해 \(L_{T^{-1}B/A}=L_{T^{-1}B/S^{-1}A}\)이다.

보조정리

\(A\to B\)를 국소환들의 국소 환 준동형이라 하자. \(A^h\to B^h\)와 \(A^{sh}\to B^{sh}\)를 각각 유도된 헨젤화와 엄밀 헨젤화의 사상이라 하자. 그러면 각각 \(D(B^h)\)와 \(D(B^{sh})\)에서 \[L_{B^h/A^h} = L_{B^h/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^h \quad\text{각각}\quad L_{B^{sh}/A^{sh}} = L_{B^{sh}/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^{sh}\] 이다.

증명

보조정리 08R2에 의해 복합체 \(L_{A^h/A}\), \(L_{A^{sh}/A}\), \(L_{B^h/B}\), \(L_{B^{sh}/B}\)는 모두 영이다. \(A\to B\to B^h\)에 기본 완전 삼각형 (08QS)을 사용하면 \(L_{B^h/A}=L_{B/A}\otimes_B^\mathbf{L}B^h\)을 얻는다. \(A\to A^h\to B^h\)에 기본 삼각형을 사용하면 \(L_{B^h/A^h}=L_{B^h/A}\)를 얻는다. 엄밀 헨젤화도 마찬가지이다.

매끄러운 환 준동형

\(C\to B\)를 핵이 \(I\)인 전사 환 준동형이라 하자. \(I/I^2\)이 평탄 \(B\)-가군이고 \(\text{Tor}_*^C(B,B)\)가 \(I/I^2\) 위의 외대수이면 이러한 환 준동형을 “약 준정칙”이라고 부르자. 보조정리 08R2에서 “에탈 환 준동형”에 대하여 한 일을 “매끄러운 환 준동형”으로 일반화하려면, 곱셈 사상 \(B\otimes_AB\to B\)가 약 준정칙인 평탄 환 준동형 \(A\to B\)를 살펴보아야 한다. 당분간은 매끄러운 환 준동형만 다룬다.

보조정리

\(A\to B\)가 매끄러운 환 준동형이면 \(L_{B/A}=\Omega_{B/A}[0]\)이다.

증명

보조정리 08QF에 의해 코호몰로지 차수 \(0\)에서는 일치한다. 따라서 다른 코호몰로지 군들이 영임을 보이면 충분하다. 보조정리 08R3에 의해 \(g\in B\)에 대하여 \(L_{B_g/A}=(L_{B/A})_g\)이므로 이를 \(\Spec(B)\) 위에서 국소적으로 증명하면 충분하다. 따라서 \(A\to B\)가 표준 매끄러운 환 준동형이라고 가정해도 된다 (가환대수학, 보조정리 00TA). 즉 \(A[x_1,\ldots,x_n]\to B\)가 에탈이 되도록 \(A\to B\)를 \(A\to A[x_1,\ldots,x_n]\to B\)로 분해할 수 있다. 이 경우 보조정리 08R2와 08R3에 의해 \(L_{B/A}=L_{A[x_1,\ldots,x_n]/A}\otimes B\)이고, 보조정리 08QH에서 결론이 따른다.

양의 표수

이 절에서는 소수 \(p\)를 고정한다. 환 \(A\)가 주어지고 \(p=0\)이 \(A\)에서 성립하면 \(F_A:A\to A\)는 Frobenius 자기준동형 \(a\mapsto a^p\)를 나타낸다.

보조정리

\(A\)에서 \(p=0\)인 환 준동형 \(A\to B\)가 주어졌다고 하자. \(P_\bullet\)을 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해라 하자. 절 08QL에서 논의한 다음 도표가 유도하는 사상 \(P_\bullet\to P_\bullet\)은 각 \(P_n\)에서 Frobenius로 주어지는 Frobenius 자기준동형 \(P_\bullet\to P_\bullet\)과 호모토픽이다. \[\xymatrix{ B \ar[r]_{F_B} & B \\ A \ar[u] \ar[r]^{F_A} & A \ar[u] }\]

증명

\(\mathcal{A}\)를 \(\mathbf{F}_p\)-대수 준동형 \(A\to B\)들의 범주라 하자. \(\mathcal{S}\)를 \(A\)가 \(\mathbf{F}_p\)-대수이고 \(E\)가 집합인 쌍 \((A,E)\)들의 범주라 하자. 다음 수반 함자들을 생각한다. \[V : \mathcal{A} \to \mathcal{S}, \quad (A \to B) \mapsto (A, B)\] 그리고 \[U : \mathcal{S} \to \mathcal{A}, \quad (A, E) \mapsto (A \to A[E])\] \(X\)를 단체적 방법, 절 08N8에서 구성한, \(\mathcal{A}\)에서 \(\mathcal{A}\)로 가는 함자들의 범주의 단체 대상이라 하자. \(P_\bullet=X(A\to B)\)임은 명백하다. 실제로 \(A\)를 고정하면 ….

\(Y=U\circ V\)로 두자. \(X\)는 \(Y\)와 특정 사상들로 구성되고, 그 항은 \(n+1\)개의 인자를 갖는 \(X_n=Y\circ\ldots\circ Y\)임을 상기하자. 이 구성은 단체적 방법, 예 0G5M에 주어져 있으며, 자세한 내용은 단체적 방법, 보조정리 08NC의 증명을 보라.

\(f:\text{id}_\mathcal{A}\to\text{id}_\mathcal{A}\)를 항등 함자의 Frobenius 자기준동형이라 하자. 다시 말해 \(f_{A\to B}=(F_A,F_B):(A\to B)\to(A\to B)\)로 둔다. 그러면 \(X(A\to B)\) 위의 두 사상은 자연변환 \(f\star1_X\)와 \(1_X\star f\)로 주어진다. 자세한 내용은 생략한다. 따라서 단체적 방법, 보조정리 0G5S에서 결론이 따른다.

보조정리

\(p\)를 소수라 하고 \(A\to B\)를 환 준동형이라 하며, \(A\)에서 \(p=0\)이라고 가정하자. Frobenius 사상 \(F_A\)와 \(F_B\)가 유도하는 절 08QL의 사상 \(L_{B/A}\to L_{B/A}\)은 영과 호모토픽이다.

증명

\(P_\bullet\)을 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해라 하자. 보조정리 0G5Y에 의해 \(F_A\)와 \(F_B\)가 유도하는 사상 \(P_\bullet\to P_\bullet\)은 각 항에서 Frobenius로 주어지는 사상 \(F_{P_\bullet}:P_\bullet\to P_\bullet\)과 호모토픽이다. 그런데 \(F_{P_\bullet}\)은 명백히 영 사상 \(\Omega_{P_n/A}\to\Omega_{P_n/A}\)을 유도하므로 원하는 결론을 얻는다 (\(p\)제곱의 미분은 영이다).

보조정리

\(p\)를 소수라 하고 \(A\to B\)를 환 준동형이라 하며, \(A\)에서 \(p=0\)이라고 가정하자. \(A\)와 \(B\)가 완전환이면 \(D(B)\)에서 \(L_{B/A}\)는 영이다.

증명

사상 \((F_A,F_B):(A\to B)\to(A\to B)\)는 동형사상이므로 \(L_{B/A}\)에서 동형사상을 유도한다. 한편 보조정리 0G5Z에 의해 \(L_{B/A}\)에서 영을 유도한다.

소박한 코탄젠트 복합체와의 비교

소박한 코탄젠트 복합체는 가환대수학, 절 00S0에서 도입했다.

주

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. 절 08PQ에서처럼 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위에서 작업하고, \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}\)를 \(\mathcal{O} \to \underline{B}\)의 핵이라 하자. 보조정리 08QK에 의해 \(L\pi_!(\mathcal{J}) = 0\)임에 유의하자. 다음과 같이 두자. \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}\) 그러면 보조정리 08PU에 의해 \(L_{B/A} = L\pi_!(\Omega)\)이다. 따라서 \(L\pi_!(\mathcal{J} \to \Omega) = L\pi_!(\Omega) = L_{B/A}\)이다. 그러므로 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 임의의 대상 \(U = (P \to B)\)에 대하여 다음 사상을 얻는다. [08R8]\[\begin{equation} (J \to \Omega_{P/A} \otimes_P B) \longrightarrow L_{B/A} \end{equation}\] 여기서 \(D(A)\)에서 \(J = \Ker(P \to B)\)이다. 사이트 위의 코호몰로지, 주 08Q6를 보라. 이 과정을 계속하자. 보조정리 08QJ에 의해 \(L\pi_!(\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B}) = L\pi_!(\mathcal{J}) = 0\)임에 유의하자. \(\text{Tor}_0^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}) = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\)이므로 스펙트럼 열 \[H_p(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_q^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B})) \Rightarrow H_{p + q}(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B}) = 0\] (유도 범주, 보조정리 015J의 쌍대)에서 \(H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) = 0\) 및 \(H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) = 0\)이 따른다. 따라서 \(\underline{B}\)-가군 복합체 \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega\)는 \(\tau_{\geq -1}L\pi_!(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega) = \tau_{\geq -1}L_{B/A}\)을 만족한다. 그러므로 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 임의의 대상 \(U = (P \to B)\)에 대하여 다음 사상을 얻는다. [08R9]\[\begin{equation} (J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B) \longrightarrow \tau_{\geq -1}L_{B/A} \end{equation}\] 이는 \(D(B)\) 안의 사상이다. 사이트 위의 코호몰로지, 주 08Q6를 보라.

첫 번째 경우는 환의 전사가 주어진 경우이다.

보조정리

\(A \to B\)를 핵이 \(I\)인 전사 환 준동형이라 하자. 그러면 \(H^0(L_{B/A}) = 0\)이고 \(H^{-1}(L_{B/A}) = I/I^2\)이다. 이 동형사상은 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 대상 \((A \to B)\)에 대한 사상 (08R9)에서 나온다.

증명

아래에서 (\(A \to B\)의 전사성을 이용하여) \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 짧은 완전열 \[0 \to \pi^{-1}(I/I^2) \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega \to 0\] 이 존재함을 보이겠다. 여기에 \(L\pi_!\)를 취하고, 그에 딸린 호몰로지 긴 완전열과 주 08R7에서 보인 \(H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2)\) 및 \(H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2)\) 의 소멸을 이용하면, 보조정리 08QE에 의해 원하는 결론을 얻는다.

남은 것은 위에서 언급한 국소 명제를 확인하는 일이다. \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 모든 대상 \(U = (P \to B)\)에 대하여, 사상 \(P \to B\)가 각 \(e \in E\)를 영으로 보내도록 하는 동형사상 \(P = A[E]\)를 택할 수 있다. 그러면 \(J = \mathcal{J}(U) \subset P = \mathcal{O}(U)\) 이고 \(J = IP + (e; e \in E)\)이다. 위의 짧은 층 완전열을 \(U\)에서 평가한 것은 다음 열이다. \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B \to 0\] 확인은 생략한다. (힌트: 까다로운 점은 \(IP \cap J^2 = IJ\)뿐이며, 이는 예를 들어 대수학 심화, 보조정리 0666에서 따른다.)

보조정리

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. 그러면 \(\tau_{\geq -1}L_{B/A}\)는 소박한 코탄젠트 복합체와 표준적으로 준동형이다.

증명

핵이 \(I\)인 \(P = A[B] \to B\)를 생각하자. \(A\) 위의 \(B\)의 소박한 코탄젠트 복합체 \(\NL_{B/A}\)는 복합체 \(I/I^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B\), 이다. 가환대수학, 정의 07BN를 보라. 사상 (08R9)에서 이미 표준 사상 \[c : \NL_{B/A} \longrightarrow \tau_{\geq -1}L_{B/A}\] 을 구성했음에 유의하자. 환 준동형 \(A \to A[B] \to B\)에 딸린 완전 삼각형 (08QS) \[L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/P} \to (L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B)[1]\] 을 생각하자. 보조정리 08QH와 가환대수학, 보조정리 08Q1에 의해 \(D(P)\)에서 \(L_{P/A} = \Omega_{P/A}[0] = \NL_{P/A}\) 이고, 보조정리 08RA과 가환대수학, 보조정리 07BP에 의해 \(D(B)\)에서 \(\tau_{\geq -1}L_{B/P} = I/I^2[1] = \NL_{B/P}\) 임을 알고 있다. 가환대수학, 보조정리 00S2와 완전 삼각형에 딸린 코호몰로지 긴 완전열에 의해, \(c\)가 준동형임을 보이려면 사상 \(L_{P/A} \to L_{B/A} \to L_{B/P}\)가 코호몰로지 군 위에서 소박한 코탄젠트 복합체의 대응하는 사상 \(\NL_{P/A} \to \NL_{B/A} \to \NL_{B/P}\) 와 양립함을 보이면 충분하다. 확인은 생략한다.

주

보조정리 08RB의 비교 사상을 다음과 같이 명시적으로 나타낼 수 있다. \(P_\bullet\)을 \(A\) 위의 \(B\)의 표준 분해라 하고 \(I = \Ker(A[B] \to B)\)로 두자. \(P_0 = A[B]\)임을 상기하자. 이 보조정리의 사상은 다음 가환 도표로 주어진다. \[\xymatrix{ L_{B/A} \ar[d] & \ldots \ar[r] & \Omega_{P_2/A} \otimes_{P_2} B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B \ar[d] \\ \NL_{B/A} & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & I/I^2 \ar[r] & \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B }\] 표적이 \(I/I^2\)인 아래쪽 화살표는 \(\text{d}f \otimes b\)를 \(I/I^2\)에서 \((d_0(f) - d_1(f))b\)의 동치류로 보내어 구성한다. 여기서 \(d_i : P_1 \to P_0\), \(i = 0, 1\)은 단체 구조의 두 면 사상이다. \(d_0 - d_1\)이 \(P_1\)을 \(I = \Ker(P_0 \to B)\) 안으로 보내므로 이는 의미가 있다. 이 규칙이 잘 정의됨은 확인을 생략한다. 미분 \(\Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B \to \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B\) 이 \(\text{d}f \otimes b\)를 \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f)) \otimes b\)로 보내므로 우리 사상은 이 미분과 양립한다. 또한 미분 \(\Omega_{P_2/A} \otimes_{P_2} B \to \Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B\) 은 \(\text{d}f \otimes b\)를 \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f) + d_2(f)) \otimes b\)로 보내며, 이것은 우리 아래쪽 화살표에 의해 영이 된다. 따라서 복합체의 사상을 얻는다. 이것이 보조정리 08RB의 사상과 같다는 확인은 생략한다.

주

주 08R7의 표기를 사용하자. 거기서 제시한 논증은 스펙트럼 열의 미분 \[H_2(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \longrightarrow H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}))\] 이 동형사상임을 보인다. \(\mathcal{C}'_{B/A}\)를 전사 사상 \(P \to B\)로 이루어진 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 충만한 부분범주라 하자. 코탄젠트 복합체와 소박한 코탄젠트 복합체의 일치(보조정리 08RB)에 의해 \(\mathcal{C}'_{B/A}\) 위에 다음 층 완전열이 있다. \[0 \to \underline{H_1(L_{B/A})} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \xrightarrow{\text{d}} \Omega \to \underline{H_2(L_{B/A})} \to 0\] 따라서 전체 범주 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 \(\Ker(d)\)와 \(\Coker(d)\)는 고차 호몰로지 군이 소멸한다. 실제로 보조정리 08PS에 의해 이들은 상수 단체 아벨 군의 호몰로지 군으로 계산된다. 그러므로 모든 \(n \geq 2\)에 대하여 \[H_n(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \to H_n(L_{B/A})\] 가 동형사상이다. 이를 위의 주와 결합하면 다음 공식을 얻는다.

\(H_2(L_{B/A}) = H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}))\)

Quillen의 스펙트럼 열

이 절에서는 유도 텐서곱과 코탄젠트 복합체를 연결하는 스펙트럼 열을 논의한다.

보조정리

표기와 가정은 사이트 위의 코호몰로지, 예 08PF과 같다고 하자. \(\mathcal{C}\)가 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 08Q9에서와 같은 쌍대단체 대상을 갖는다고 가정하자. \(\mathcal{F}\)를 \(H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = 0\)을 만족하는 평탄 \(\underline{B}\)-가군이라 하자. 그러면 \(l < k\)에 대하여 \(H_l(\mathcal{C}, \text{Sym}_{\underline{B}}^k(\mathcal{F})) = 0\)이다.

증명

텐서곱, 외승, 대칭 거듭제곱에서 아래첨자 \({}_{\underline{B}}\)를 생략한다. \(k\)에 대한 귀납법으로 보조정리를 증명하겠다. \(k = 0, 1\)인 경우는 가정에서 따른다. \(k > 1\)이면 Koszul 복합체에서와 같은 미분을 갖는 완전 복합체 \[\ldots \to \wedge^2\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - 2}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - 1}\mathcal{F} \to \text{Sym}^k\mathcal{F} \to 0\] 를 생각하자. 이를 \(\text{Sym}^k\mathcal{F}\)의 분해로 보면 제1사분면 스펙트럼 열 \[E_1^{p, q} = H_p(\mathcal{C}, \wedge^{q + 1}\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}) \Rightarrow H_{p + q}(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F}))\] 을 얻는다. 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 08QC에 의해 \[L\pi_!(\wedge^{q + 1}\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}) = L\pi_!(\wedge^{q + 1}\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}))\] 이다. 유도 텐서곱의 구성에서, 귀납 가정과 \(H_0(\mathcal{C}, \wedge^{q + 1}(\mathcal{F})) = 0\)의 소멸을 결합하면 원하는 결론을 얻는다. 실제로 \(\wedge^{q + 1}(\mathcal{F})\)는 \(\mathcal{F}^{\otimes q + 1}\)의 몫이고, \(H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F}^{\otimes q + 1})\) 는 영인 \(H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F})^{\otimes q + 1}\)의 몫이기 때문이다.

주

보조정리 08RD의 상황에서 \(H_k(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F})) = \wedge^k_B(H_1(\mathcal{C}, \mathcal{F}))\)임을 보일 수 있다. 실제로 위 증명에서 \(H_k(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F}))\)가 다음 것의 \(S_k\)-여불변량임을 추론할 수 있다. \[H^{-k}(L\pi_!(\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} \ldots \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\mathcal{F})) = H_1(\mathcal{C}, \mathcal{F})^{\otimes k}\] 따라서 우리의 주장은 이 작용이 텐서곱 위의 \(S_k\)의 통상적인 작용에 부호 지표를 곱한 것으로 주어진다는 것이다. 이를 증명하려면 다중 복합체에 딸린 전체 복합체의 정의에서 부호 규약을 하나씩 확인해야 한다. 확인은 생략한다.

보조정리

\(A\)를 환이라 하고 \(P = A[E]\)를 다항식환이라 하자. \(I = (e; e \in E) \subset P\)로 두자. 모든 \(i\)와 \(n\)에 대하여 사상 \(\text{Tor}_i^P(A, I^{n + 1}) \to \text{Tor}_i^P(A, I^n)\) 은 영이다.

증명

\(e \in E\)에 대응하는 변수를 \(x_e \in P\)로 나타내자. \(P\) 위의 \(A\)의 자유 분해는 \(x_e\)들에 대한 Koszul 복합체 \(K_\bullet\)로 주어진다. 여기서 \(K_i\)는 \(e_1, \ldots, e_i \in E\)에 대한 쐐기곱 \(e_1 \wedge \ldots \wedge e_i\)를 기저로 가지며 \(d(e) = x_e\)이다. 따라서 \(K_\bullet \otimes_P I^n = I^nK_\bullet\)는 \(\text{Tor}_i^P(A, I^n)\)을 계산한다. 모든 것에 \(\deg(x_e) = 1\), \(\deg(e) = 1\), 그리고 \(a \in A\)에 대하여 \(\deg(a) = 0\)인 등급이 매겨져 있음에 유의하자. \(\xi \in I^{n + 1}K_i\)가 차수 \(m\)인 동차 순환원이라고 하자. \(m \geq i + 1 + n\)임에 유의하자. \(K_\bullet\)는 차수 \(> 0\)에서 완전하므로 어떤 \(\eta \in K_{i + 1}\)에 대하여 \(\xi = \text{d}\eta\)이다. (\(i = 0\)인 경우는 독자에게 맡긴다.) 이제 \(\deg(\eta) = m \geq i + 1 + n\)이다. 따라서 \(\eta\)를 이 기저로 표현하면 그 좌표들이 \(I^n\)에 속함을 알 수 있다. 그러므로 원하는 대로 \(\xi\)는 \(I^nK_\bullet\)의 호몰로지에서 영으로 간다.

정리

\(A \to B\)를 전사 환 준동형이라 하자. 절 08PQ에서처럼 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 \(\underline{B}\)-가군 층 \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}\) 을 생각하자. 그러면 \(E_1\)-쪽이 \[E_1^{p, q} = H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^p_{\underline{B}}(\Omega)) \Rightarrow \text{Tor}^A_{- p - q}(B, B)\] 이고 \(d_r\)의 쌍차수가 \((r, -r + 1)\)인 스펙트럼 열이 있다. 또한 \(i < k\)에 대하여 \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k_{\underline{B}}(\Omega)) = 0\)이다.

증명

\(I \subset A\)를 \(A \to B\)의 핵이라 하고, \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}\)를 \(\mathcal{O} \to \underline{B}\)의 핵이라 하자. 그러면 \(I\mathcal{O} \subset \mathcal{J}\)이다. 다음과 같이 두자. \(\mathcal{K} = \mathcal{J}/I\mathcal{O}\) 그리고 \(\overline{\mathcal{O}} = \mathcal{O}/I\mathcal{O}\).

\(\mathcal{C}_{B/A}\)의 모든 대상 \(U = (P \to B)\)에 대하여, 사상 \(P \to B\)가 각 \(e \in E\)를 영으로 보내도록 하는 동형사상 \(P = A[E]\)를 택할 수 있다. 그러면 \(J = \mathcal{J}(U) \subset P = \mathcal{O}(U)\) 이고 \(J = IP + (e; e \in E)\)이다. 또한 \(\overline{\mathcal{O}}(U) = B[E]\)이고 \(K = \mathcal{K}(U) = (e; e \in E)\) 이며, 후자는 다항식환 \(B[E]\)에서 변수들로 생성되는 아이디얼이다. 특히 \[K/K^2 \xrightarrow{\text{d}} \Omega_{P/A} \otimes_P B\] 가 전단사임은 명백하다. 다시 말해 \(\Omega = \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\)이고 \(\text{Sym}_B^k(\Omega) = \mathcal{K}^k/\mathcal{K}^{k + 1}\)이다. \(\pi_!(\Omega) = \Omega_{B/A} = 0\)임에 유의하자(보조정리 08QF). 이는 \(A \to B\)가 전사이기 때문이다(가환대수학, 보조정리 00RP). 보조정리 08RD에 의해 \[H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^k/\mathcal{K}^{k + 1}) = H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k_{\underline{B}}(\Omega)) = 0\] 이 \(i < k\)에 대하여 성립한다. 이로써 정리의 마지막 명제를 증명했다.

이 정리에 접근하기 위해 다음 등식에 유의하자. \[B \otimes_A^\mathbf{L} B = L\pi_!(\mathcal{O}) \otimes_A^\mathbf{L} B = L\pi_!(\mathcal{O} \otimes_{\underline{A}}^\mathbf{L} \underline{B}) = L\pi_!(\overline{\mathcal{O}})\] 첫 번째 등식은 보조정리 08QK, 두 번째 등식은 사이트 위의 코호몰로지, 보조정리 08Q8에서 따르고, 세 번째 등식은 \(\mathcal{O}\)가 \(\underline{A}\) 위에서 평탄하기 때문에 성립한다. 층 \(\overline{\mathcal{O}}\)에는 여과 \[\ldots \subset \mathcal{K}^3 \subset \mathcal{K}^2 \subset \mathcal{K} \subset \overline{\mathcal{O}}\] 가 있다. 이는 \(L\pi_!(\overline{\mathcal{O}})\)를 나타내는 복합체 \(C\)에 여과 \(F\)를 유도하며, \(F^pC\)는 \(L\pi_!(\mathcal{K}^p)\)를 나타낸다 (\(C\)와 \(F\)의 구성은 생략한다). \((C, F)\)에 딸린 호몰로지, 절 012K의 스펙트럼 열을 생각하자. 그 \(E_1\)-쪽은 \[E_1^{p, q} = H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^p/\mathcal{K}^{p + 1}) \quad\Rightarrow\quad H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \overline{\mathcal{O}}) = \text{Tor}_{- p - q}^A(B, B)\] 이고 미분은 \(E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\)이다. 수렴을 보이기 위하여, 모든 \(k\)에 대하여 다음 조건을 만족하는 \(c\)가 존재함을 보이겠다. \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n) = 0\) 이는 \(i < k\) 및 \(n > c\)일 때 성립한다².

\(k \geq 0\)이 주어졌을 때 \(c = k^2\)로 두자. \(i < k\)이고 \(n \geq 0\)이면 사상 \[H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) \to H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n)\] 이 영이라고 주장한다. \(\mathcal{K}^n/\mathcal{K}^{n + c}\)에는 연속한 몫이 \(\mathcal{K}^m/\mathcal{K}^{m + 1}\), \(n \leq m < n + c\)인 유한 여과가 있음에 유의하자. 위에서 보았듯이 이 몫들은 \(i < n\)에 대하여 \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^m/\mathcal{K}^{m + 1}) = 0\)을 만족한다. 따라서 이 주장에서 모든 \(n \geq k\)와 \(i < k\)에 대하여 \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) = 0\)이 따르며, 이것이 우리가 보여야 할 명제이다.

주장의 증명. 임의의 \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{F}\)에 대하여 사상 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\)는 \(L\pi_!\)를 적용하면 동형사상을 유도함을 상기하자. 보조정리 08QJ를 보라. 다음 사상을 생각하자. \[\mathcal{K}^{n + k} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B \longrightarrow \mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\] 이 사상이 차수 \(0, -1, \ldots, - k + 1\)의 코호몰로지 층 위에서 영 사상을 유도한다고 주장한다. 이 두 번째 주장이 성립하면 \(k\)중 합성 \[\mathcal{K}^{n + c} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B \longrightarrow \mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\] 은 \(\tau_{\leq -k}\mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\)를 통하여 분해된다. 따라서 \(i < k\)일 때 \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, -) = L_i\pi_!( - )\) 위에서 영을 유도한다. 유도 범주, 보조정리 08Q2를 보라. 위의 주에 의해 이는 사상 \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) \to H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n)\) 에도 같은 명제가 성립함을 뜻하며, 이로써 첫 번째 주장이 증명된다.

두 번째 주장의 증명. 이 명제는 국소적이므로 위와 같은 대상 \(U = (P \to B)\) 위에서 작업해도 된다. \(i < k\)에 대하여 사상 \[\text{Tor}_i^P(B, K^{n + k}) \to \text{Tor}_i^P(B, K^n)\] 이 영임을 보여야 한다. 스펙트럼 열 \[\text{Tor}_a^P(P/IP, \text{Tor}_b^{P/IP}(B, K^n)) \Rightarrow \text{Tor}_{a + b}^P(B, K^n),\] 이 있다. 대수학 심화, 예 068F를 보라. 따라서 모든 \(i\)에 대하여 사상 \[\text{Tor}_i^{P/IP}(B, K^{n + 1}) \to \text{Tor}_i^{P/IP}(B, K^n)\] 이 영임을 보이면 충분하다. 이것이 보조정리 08RE이다.

주

정리 08RF의 상황에서 \(I = \Ker(A \to B)\)로 두자. 그러면 \(H^{-1}(L_{B/A}) = H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \Omega) = I/I^2\)이다. 보조정리 08RA를 보라. 따라서 주 08SG에 의해 \(H_k(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k(\Omega)) = \wedge^k_B(I/I^2)\)이다. 그러므로 \(E_1\)-쪽은 다음과 같다. \[\begin{matrix} B \\ 0 \\ 0 & I/I^2 \\ 0 & H^{-2}(L_{B/A}) \\ 0 & H^{-3}(L_{B/A}) & \wedge^2(I/I^2) \\ 0 & H^{-4}(L_{B/A}) & H_3(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^2(\Omega)) \\ 0 & H^{-5}(L_{B/A}) & H_4(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^2(\Omega)) & \wedge^3(I/I^2) \end{matrix}\] 미분은 수평 방향이다. 따라서 가장자리 사상 \(\text{Tor}_i^A(B, B) \to H^{-i}(L_{B/A})\), \(i > 0\) 및 \(\wedge^i_B(I/I^2) \to \text{Tor}_i^A(B, B)\)를 얻는다. 끝으로 \(\text{Tor}_1^A(B, B) = I/I^2\)이고, 낮은 차수의 항들로 이루어진 5항 완전열 \[\text{Tor}_3^A(B, B) \to H^{-3}(L_{B/A}) \to \wedge^2_B(I/I^2) \to \text{Tor}_2^A(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] 이 있다.

주

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. \(P_\bullet\)을 \(A\) 위의 \(B\)의 분해라 하자(주 08QI). \(J_n = \Ker(P_n \to B)\)로 두자. 다음에 유의하자. \[\text{Tor}_2^{P_n}(B, B) = \text{Tor}_1^{P_n}(J_n, B) = \Ker(J_n \otimes_{P_n} J_n \to J_n^2).\] 따라서 주 09D5에 의해 \(H_2(L_{B/A})\)는 표준적으로 \[\Coker(\text{Tor}_2^{P_1}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B))\] 와 같다. 이를 더 명시적으로 나타내기 위하여 예 09D4에서와 같이 \(P_2\), \(P_1\), \(P_0\)을 택한다. 다음과 같다고 주장한다. \[\text{Tor}_2^{P_1}(B, B) = \wedge^2(\bigoplus\nolimits_{t \in T} B)\ \oplus \ \bigoplus\nolimits_{t \in T} J_0\ \oplus \ \text{Tor}_2^{P_0}(B, B)\] 실제로 첫 번째 직합항의 기저 원소 \(x_t \wedge x_{t'}\)는 \(J_1 \otimes_{P_1} J_1\)의 원소 \(x_t \otimes x_{t'} - x_{t'} \otimes x_t\)에 대응한다. \(f \in J_0\)에 대하여 두 번째 직합항의 원소 \(x_t \otimes f\)는 \(J_1 \otimes_{P_1} J_1\)의 원소 \(x_t \otimes s_0(f) - s_0(f) \otimes x_t\)에 대응한다. 끝으로 사상 \(\text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_1}(B, B)\)은 \(s_0\)로 주어진다. 사상 \(d_0 - d_1 : \text{Tor}_2^{P_1}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B)\) 은 마지막 직합항에서 영이고, \(x_t \otimes f\)를 \(f \otimes f_t - f_t \otimes f\)로 보내며, \(x_t \wedge x_{t'}\)를 \(f_t \otimes f_{t'} - f_{t'} \otimes f_t\)로 보낸다. 종합하면 완전열 \[\wedge^2_B(J_0/J_0^2) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] 이 있다. 이와 같이 주 08RG에서 논의한 Quillen 스펙트럼 열의 한 귀결을 직접 증명한다.

Lichtenbaum–Schlessinger와의 비교

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. [Lichtenbaum-Schlessinger]에는 \(\tau_{\geq -2}L_{B/A}\)를 상당히 명시적으로 결정하는 방법이 있으며, 이는 특이점의 versal 변형 공간을 계산할 때 자주 쓰인다. 그 구성은 다음과 같다. \(A\) 위의 다항식 대수 \(P\)와 핵이 \(I\)인 전사 \(P \to B\)를 택하자. \(I\)의 생성원 \(f_t\), \(t \in T\)를 택하여, \(F\)가 자유 \(P\)-가군인 전사 \(F = \bigoplus_{t \in T} P \to I\)를 얻는다. \(Rel \subset F\)를 \(F \to I\)의 핵이라 하자. 다시 말해 \(Rel\)은 \(f_t\)들 사이의 관계식들의 집합이다. \(TrivRel \subset Rel\)을 자명한 관계식들의 부분가군, 즉 원소 \((\ldots, f_{t'}, 0, \ldots, 0, -f_t, 0, \ldots)\)들로 생성되는 \(Rel\)의 부분가군이라 하자. 다음 \(B\)-가군 복합체를 생각하자. [09CD]\[\begin{equation} Rel/TrivRel \longrightarrow F \otimes_P B \longrightarrow \Omega_{P/A} \otimes_P B \end{equation}\] 여기서 마지막 항은 차수 \(0\)에 놓인다. 첫 번째 사상은 명백한 사상이고, 두 번째 사상은 \(t \in T\)에 대응하는 기저 원소를 \(\text{d}f_t \otimes 1\)로 보낸다.

정의

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하자. \(M\)을 \(A\) 위의 \((B, B)\)-쌍가군이라 하자. \(A\)-쌍미분이란 \(\lambda(xy) = x\lambda(y) + \lambda(x)y\)를 만족하는 \(A\)-선형 사상 \(\lambda : B \to M\)이다.

다항식 대수의 쌍미분은 쉽게 기술할 수 있다.

보조정리

\(P = A[S]\)를 \(A\) 위의 다항식환이라 하고, \(M\)을 \(A\) 위의 \((P, P)\)-쌍가군이라 하자. \(s \in S\)에 대하여 \(m_s \in M\)이 주어지면, 각 \(s \in S\)에 대하여 \(s\)를 \(m_s\)로 보내는 유일한 \(A\)-쌍미분 \(\lambda : P \to M\)이 존재한다.

증명

다음과 같이 두자. \[\lambda(s_1 \ldots s_t) = \sum s_1 \ldots s_{i - 1} m_{s_i} s_{i + 1} \ldots s_t\] 이는 \(M\)의 원소이다. 이를 \(A\)-선형으로 연장하면 쌍미분을 얻는다.

이제 비교 명제를 제시한다. 독자는 [Andre-Homologie, 206쪽, 명제 12] 또는 복합체 (09CD)에 한 항을 덧붙이고 비교를 \(\tau_{\geq -3}\)까지 확장하는 논문 [Doncel]도 참고할 수 있다.

보조정리

위 상황에서 복합체 (09CD)를 \(L\)로 나타내자. \(D(B)\)에 표준 사상 \(L_{B/A} \to L\)이 있으며, 이 사상은 \(D(B)\)에서 동형사상 \(\tau_{\geq -2}L_{B/A} \to L\)을 유도한다.

증명

\(P_\bullet \to B\)를 \(A\) 위의 \(B\)의 분해라 하자(주 08QI). \(L_{B/A}\)를 \(\Omega_{P_\bullet/A} \otimes B\)와 동일시하겠다. 사상을 구성하기 위하여 몇 가지를 선택한다.

주어진 사상 \(P_0 \to B\) 및 \(P \to B\)와 양립하는 \(A\)-대수 준동형 \(\psi : P_0 \to P\)를 택하자.

어떤 집합 \(S\)에 대하여 \(P_1 = A[S]\)로 쓰자. \(s \in S\)에 대하여 \[\psi(d_0(s) - d_1(s)) = \sum p_{s, t} f_t\] 인 \(p_{s, t} \in P\)들이 존재한다. 사상 \((\psi \circ d_0, \psi \circ d_1)\)을 통하여 \(F = \bigoplus_{t \in T} P\)를 \((P_1, P_1)\)-쌍가군으로 생각하자. 보조정리 09CF에 의해 \(s\)를 좌표가 \(p_{s, t}\)인 벡터로 보내는 유일한 \(A\)-쌍미분 \(\lambda : P_1 \to F\)를 얻는다. 구성상 합성 \[P_1 \longrightarrow F \longrightarrow P\] 은 \(f \in P_1\)을 \(\psi(d_0(f) - d_1(f))\)로 보낸다. 실제로 사상 \(f \mapsto \psi(d_0(f) - d_1(f))\)는 생성원 위에서 이 합성과 일치하는 \(A\)-쌍미분이다.

\(g \in P_2\)에 대하여 \(\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))\)가 \(Rel\)의 원소라고 주장한다. 실제로 앞 문단의 마지막 관찰에 의해 \(\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))\)의 \(P\)에서의 상은 \[\psi((d_0 - d_1)(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g)))\] 이며, 이는 단체적 방법, 절 0194에 의해 영이다).

\(\psi\)의 선택은 사상 \[\text{d}\psi \otimes 1 : \Omega_{P_0/A} \otimes B \longrightarrow \Omega_{P/A} \otimes B\] 을 결정한다. \(F \otimes B\) 위의 두 \(P_1\)-가군 구조가 일치하므로 \(\lambda\)를 사상 \(F \to F \otimes B\)와 합성하면 통상적인 \(A\)-미분을 얻는다. 따라서 \(\lambda\)는 사상 \[\overline{\lambda} : \Omega_{P_1/A} \otimes B \longrightarrow F \otimes B\] 을 결정한다. 끝으로 \(\text{d}g\)를 몫에서 \(\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))\)의 동치류로 보내어 \(B\)-선형 사상 \[q : \Omega_{P_2/A} \otimes B \longrightarrow Rel/TrivRel\] 을 얻는다.

도표 \[\xymatrix{ \Omega_{P_3/A} \otimes B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_2/A} \otimes B \ar[r] \ar[d]_q & \Omega_{P_1/A} \otimes B \ar[r] \ar[d]_{\overline{\lambda}} & \Omega_{P_0/A} \otimes B \ar[d]_{\text{d}\psi \otimes 1} \\ 0 \ar[r] & Rel/TrivRel \ar[r] & F \otimes B \ar[r] & \Omega_{P/A} \otimes B }\] 는 가환한다(계산은 생략한다). 따라서 보조정리의 사상을 얻는다. 주 08UP와 보조정리 08RB에 의해 이 사상은 동형사상 \(H_1(L_{B/A}) \to H_1(L)\) 및 \(H_0(L_{B/A}) \to H_0(L)\)을 유도한다.

이제 우리 사상 \(L_{B/A} \to L\)이 동형사상 \(H_2(L_{B/A}) \to H_2(L)\)을 유도함을 보이면 된다. \(P_0 = P = A[u_i]\)인 \(A\) 위의 \(B\)의 분해를 택하고, 이어서 예 09D4에서처럼 \(P_1\)과 \(P_2\)를 택하자. 주 09D6에서 완전열 \[\wedge^2_B(J_0/J_0^2) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] 을 구성했다. 여기서 \(P_0 = P\)이고 \(J_0 = \Ker(P \to B) = I\)이다. 짧은 완전열 \(0 \to I \to P \to B \to 0\)과 \(0 \to Rel \to F \to I \to 0\)을 이용하여 Tor 군을 계산하면 \(\text{Tor}_2^P(B, B) = \Ker(Rel \otimes B \to F \otimes B)\). 이 동일시 아래에서 사상 \(\wedge^2_B(I/I^2) \to \text{Tor}_2^P(B, B)\)의 상은 정확히 \(TrivRel \otimes B\)의 상이다. 따라서 \(H_2(L_{B/A}) \cong H_2(L)\)임을 알 수 있다.

끝으로 우리 사상 \(L_{B/A} \to L\)이 실제로 이 동형사상을 유도함을 확인해야 한다. 예 09D4와 주 09D6 및 09D5에서 논의한 표기와 결과를 더 언급하지 않고 사용하겠다. \(\text{Tor}_2^{P_0}(B, B) = \Ker(I \otimes_P I \to I^2)\)의 원소 \(\xi\)를 택하자. 어떤 \(h_{t', t} \in P\)에 대하여 \(\xi = \sum h_{t', t}f_{t'} \otimes f_t\)로 쓰자. 위의 완전열들을 따라가면 \(\xi\)는 \(t\)번째 좌표가 \(r_t = \sum_{t' \in T} h_{t', t}f_{t'}\)인 원소 \(r \in Rel \subset F = \bigoplus_{t \in T} P\)의 \(Rel \otimes B\)에서의 상에 대응한다. 한편 \(\xi\)는 다음 \(2\)-확대 아래에서 \(\xi\)의 경계를 \(\text{d} : H_2(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \to H_2(\Omega)\)로 보낸 상인 \(H_2(L_{B/A}) = H_2(\Omega)\)의 원소에 대응한다. \[0 \to \text{Tor}_2^\mathcal{O}(\underline{B}, \underline{B}) \to \mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J} \to \mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to 0\] 우리 원소의 연속적인 횡단 사상을 계산하자. 먼저 \[\xi = (d_0 - d_1)(- \sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) \otimes x_t)\] 이고, 다음으로 \[\sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) x_t = d_0(v_r) - d_1(v_r) + d_2(v_r)\] 이다. 이는 예 09D4에서 변수 \(v\)를 택한 방법에 따른다. 위의 사상 \(\lambda\)를 \(\lambda(u_i) = 0\)이고 \(\lambda(x_t) = - e_t\)가 되도록 택할 수 있다. 여기서 \(e_t \in F\)는 \(t \in T\)에 대응하는 기저 벡터이다. 따라서 위의 사상 \(q\)의 구성은 \(\text{d}v_r\)를 \[\lambda(\sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) x_t) = \sum\nolimits_t \left(\sum\nolimits_{t'} h_{t', t}f_{t'}\right) e_t\] 로 보내며, 이는 \(Rel \otimes B\)에서 \(\xi\)의 상과 일치한다(위에서 얻은 두 음의 부호는 서로 상쇄된다). 이 일치로 증명이 끝난다.

주

환 준동형들의 가환 사각형 \[\xymatrix{ A' \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] 을 생각하자. 분해 \[\xymatrix{ A' \ar[r] & P' \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & P \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] \(P\)가 \(A\) 위의 다항식 대수이고 \(P'\)이 \(A'\) 위의 다항식 대수가 되도록 택하자. \(\Ker(P \to B)\)의 생성원 \(f_t\), \(t \in T\)를 택하자. \(t \in T\)에 대하여 \(P'\)에서 \(f_t\)의 상을 \(f'_t\)로 나타내자. \(t \in T' = T \amalg S\)인 원소 \(f'_t\)들이 \(P' \to B'\)의 핵을 생성하도록 \(f'_s \in P'\)을 택하자. \(F = \bigoplus_{t \in T} P\) 및 \(F' = \bigoplus_{t' \in T'} P'\)로 두자. 좌표마다 각각 \(f_t\)와 \(f'_t\)를 곱하여 주어지는 사상에 대하여 \(Rel = \Ker(F \to P)\) 및 \(Rel' = \Ker(F' \to P')\)로 두자. 끝으로 \(TrivRel\) 및 각각 \(TrivRel'\)을 \(Rel\) 및 각각 \(TrivRel\)의 다음 원소들로 생성되는 부분가군이라 하자. \((\ldots, f_{t'}, 0, \ldots, 0, -f_t, 0, \ldots)\) 여기서 \(t, t' \in T\) 및 각각 \(T'\)이다. 이들을 택하면 표준 가환 도표 \[\xymatrix{ L' : & Rel'/TrivRel' \ar[r] & F' \otimes_{P'} B' \ar[r] & \Omega_{P'/A'} \otimes_{P'} B' \\ L : \ar[u] & Rel/TrivRel \ar[r] \ar[u] & F \otimes_P B \ar[r] \ar[u] & \Omega_{P/A} \otimes_P B \ar[u] }\] 를 얻는다. 또한 보조정리 09CG의 증명에서 한 선택들을 따라가면 다음 가환 도표를 얻음을 알 수 있다. \[\xymatrix{ L_{B'/A'} \ar[r] & L' \\ L_{B/A} \ar[r] \ar[u] & L \ar[u] }\]

국소 완전 교차의 코탄젠트 복합체

\(A \to B\)가 국소 완전 교차 준동형이면 \(L_{B/A}\)는 완전 복합체이다. 이를 증명하는 핵심은 다음 보조정리이다.

보조정리

\(A = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n] \to B = \mathbf{Z}\)를 \(i = 1, \ldots, n\)에 대하여 \(x_i\)를 \(0\)으로 보내는 환 준동형이라 하자. \(I = (x_1, \ldots, x_n) \subset A\)로 두자. 그러면 \(L_{B/A}\)는 \(I/I^2[1]\)과 준동형이다.

증명

이를 증명하는 방법은 여러 가지이다. 예를 들어 \(A\) 위의 \(B\)의 분해를 명시적으로 구성하여 계산할 수 있다. 여기서는 (08QS)을 사용하겠다. 즉, 완전 삼각형 \[L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]} \mathbf{Z} \to L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}} \to L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]}\to L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]} \mathbf{Z}[1]\] 을 생각하자. 보조정리 08QH에 의해 복합체 \(L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}}\)는 \(\Omega_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}}\)와 준동형이다. 보조정리 08R2에 의해 복합체 \(L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}}\)는 \(D(\mathbf{Z})\)에서 영이다. 따라서 \(L_{B/A}\)는 영이 아닌 코호몰로지 군을 하나만 가지며, 보조정리 08RA에 의해 그것은 이 보조정리에 기술한 것과 같다.

보조정리

\(A \to B\)를 핵 \(I\)가 Koszul-정칙열(예를 들어 정칙열)로 생성되는 전사 환 준동형이라 하자. 그러면 \(L_{B/A}\)는 \(I/I^2[1]\)과 준동형이다.

증명

\(f_1, \ldots, f_r \in I\)를 \(I\)를 생성하는 Koszul 정칙열이라 하자. \(x_i\)를 \(f_i\)로 보내는 환 준동형 \(\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r] \to A\)를 생각하자. \(x_1, \ldots, x_r\)은 \(\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\)의 정칙열이므로, \(x_1, \ldots, x_r\)에 대한 Koszul 복합체는 \(\mathbf{Z} = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)\) 의 \(\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\) 위의 자유 분해이다(대수학 심화, 보조정리 062F를 보라). 따라서 \(f_1, \ldots, f_r\)이 Koszul 정칙이라는 가정은 정확히 \(B = A \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]}^\mathbf{L} \mathbf{Z}\). 를 뜻한다. 따라서 보조정리 08QQ와 08SI에 의해 \(L_{B/A} = L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]} \otimes_\mathbf{Z}^\mathbf{L} B\)이다.

보조정리

\(A \to B\)를 핵 \(I\)가 Koszul 아이디얼인 전사 환 준동형이라 하자. 그러면 \(L_{B/A}\)는 \(I/I^2[1]\)과 준동형이다.

증명

\(\Spec(A)\) 위에서 국소적으로 아이디얼 \(I\)는 Koszul 정칙열로 생성된다. 대수학 심화, 정의 07CV를 보라. 따라서 보조정리 08QQ에서 결론이 따른다.

명제

\(A \to B\)를 국소 완전 교차 준동형이라 하자. 그러면 \(L_{B/A}\)는 Tor-진폭이 \([-1, 0]\)에 놓이는 완전 복합체이다.

증명

핵이 \(J\)인 전사 \(P = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\)를 택하자. 보조정리 08RB에 의해 \(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i\)는 \(\tau_{\geq -1}L_{B/A}\)와 준동형이다. \(J/J^2\)이 유한 사영임에 유의하자 (대수학 심화, 보조정리 08RK). 따라서 \(\tau_{\geq -1}L_{B/A}\)는 Tor-진폭이 \([-1, 0]\)에 놓이는 완전 복합체이다. 그러므로 \(i \not \in [-1, 0]\)에 대하여 \(H^i(L_{B/A}) = 0\)임을 보이면 충분하다. 이는 (08QS)의 삼각형 \[L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/P} \to L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B[1]\] 과 보조정리 08SK에서 따른다. 실제로 \(i \in \{-1, 0\}\)가 아니면 \(H^i(L_{B/P})\)는 영이다. (왼쪽 항에는 보조정리 08QH도 사용한다.)

텐서곱과 코탄젠트 복합체

\(R\)을 환이라 하고 \(A\), \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. 이 절에서는 \(L_{A \otimes_R B/R}\)을 논의한다. 우리가 원하는 정보의 대부분은 다음 도표에 들어 있다. [09D9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[r] & L_{A \otimes_R B/B} \ar[r] & E \\ L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[r] \ar@{=}[u] & L_{A \otimes_R B/R} \ar[r] \ar[u] & L_{A \otimes_R B/A} \ar[u] \\ & L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[u] \ar@{=}[r] & L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[u] } } \end{equation}\] 설명: 가운데 행은 환 준동형 \(R \to A \to A \otimes_R B\)에 대한 기본 삼각형 (08QS)이다. 가운데 열은 환 준동형 \(R \to B \to A \otimes_R B\)에 대한 기본 삼각형 (08QS)이다. 다음으로 \(E\)는 오른쪽 위 모서리에 “들어맞는” \(D(A \otimes_R B)\)의 대상, 즉 위쪽 행과 오른쪽 열을 모두 완전 삼각형으로 만드는 대상이다. 이러한 \(E\)는 왼쪽 아래 사각형에 유도 범주, 명제 05R0를 적용하면 존재한다(빈 자리에 \(0\)을 놓는다). 더 명시적으로 말하면, 예를 들어 \(E\)를 다음 복합체 사상의 사상뿔로 정의할 수 있다(유도 범주, 정의 014E). \[L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \oplus L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \longrightarrow L_{A \otimes_R B/R}\] 그리고 TR3을 적용하여 표적이 \(E\)인 두 사상을 얻는다. Tor-독립인 경우 대상 \(E\)는 영이다.

보조정리

\(A\)와 \(B\)가 Tor-독립인 \(R\)-대수이면 (09D9)의 대상 \(E\)는 영이다. 이 경우 \[L_{A \otimes_R B/R} = L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \oplus L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B)\] 이고, 이는 \(A \otimes_R B\)-가군 복합체 \(L_{A/R} \otimes_R B \oplus L_{B/R} \otimes_R A\) 로 나타내어진다.

증명

첫 두 명제는 보조정리 08QQ에서 즉시 따른다. 마지막 명제는 \(L_{A/R}\)이 자유 \(A\)-가군들의 복합체이므로 \(L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B)\)가 \(L_{A/R} \otimes_A (A \otimes_R B) = L_{A/R} \otimes_R B\) 로 나타내어진다는 사실에서 따른다.

일반적으로 대상 \(E\)에 관하여 다음을 말할 수 있다.

보조정리

\(R\)을 환이라 하고 \(A\), \(B\)를 \(R\)-대수라 하자. (09D9)의 대상 \(E\)는 다음을 만족한다. \[H^i(E) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{일 때} & i \geq -1 \\ \text{Tor}_1^R(A, B) & \text{일 때} & i = -2 \end{matrix} \right.\]

증명

\(E\)를 사상 \(L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \to L_{A \otimes_R B/A}\)의 사상뿔로 기술한 것을 사용한다. 보조정리 09CG에 의해 표준 절단 \(\tau_{\geq -2}L_{B/R}\)과 \(\tau_{\geq -2}L_{A \otimes_R B/A}\)는 Lichtenbaum–Schlessinger 복합체 (09CD)로 계산된다. 이 동형사상들은 함자성과 양립한다(주 09D7). 따라서 이 증명에서는 Lichtenbaum–Schlessinger 복합체를 사용한다.

\(R\) 위의 다항식 대수 \(P\)와 전사 \(P \to B\)를 택하자. 이 전사의 핵의 생성원 \(f_t \in P\), \(t \in T\)를 택하자. \(Rel \subset F = \bigoplus_{t \in T} P\)를 \(t\)에 대응하는 기저 벡터를 \(f_t\)로 보내는 사상 \(F \to P\)의 핵이라 하자. \(P_A = A \otimes_R P\) 및 \(F_A = A \otimes_R F = P_A \otimes_P F\)로 두자. \(Rel_A\)를 사상 \(F_A \to P_A\)의 핵이라 하자. 완전열 \[0 \to Rel \to F \to P \to B \to 0\] 과 Tor에 대한 표준 짧은 완전열들을 이용하면 완전열 \[A \otimes_R Rel \to Rel_A \to \text{Tor}_1^R(A, B) \to 0\] 을 얻는다. \(P_A \to A \otimes_R B\)가 핵이 \(P_A\)의 원소 \(1 \otimes f_t\)들로 생성되는 전사임에 유의하자. \(TrivRel_A \subset Rel_A\) 를 다음 원소들로 생성되는 \(P_A\)-부분가군이라 하자. \((\ldots, 1 \otimes f_{t'}, 0, \ldots, 0, - 1 \otimes f_t \otimes 1, 0, \ldots)\). \(TrivRel \otimes_R A \to TrivRel_A\)가 전사이므로 표준 완전열 \[A \otimes_R (Rel/TrivRel) \to Rel_A/TrivRel_A \to \text{Tor}_1^R(A, B) \to 0\] 을 얻는다. Lichtenbaum–Schlessinger 복합체들의 사상은 도표 \[\xymatrix{ Rel_A/TrivRel_A \ar[r] & F_A \otimes_{P_A} (A \otimes_R B) \ar[r] & \Omega_{P_A/A \otimes_R B} \otimes_{P_A} (A \otimes_R B) \\ Rel/TrivRel \ar[r] \ar[u]_{-2} & F \otimes_P B \ar[r] \ar[u]_{-1} & \Omega_{P/A} \otimes_P B \ar[u]_0 }\] 로 주어진다. 수직 사상 \(-1\)과 \(-0\)은 원천에 함자 \(A \otimes_R - = P_A \otimes_P -\)를 적용한 뒤 동형사상을 유도하고, 수직 사상 \(-2\)는 위에서 본 대로 그 여핵이 원하는 Tor 가군인 사상을 정확히 준다.

환 준동형의 변형과 코탄젠트 복합체

이 절은 변형 이론, 절 08S3의 계속이며, 독자에게 먼저 그 절을 읽기를 권한다. 핵이 제곱이 영인 아이디얼 \(I\)인 전사 환 준동형 \(A' \to A\)에서 시작하자. 또한 환 준동형 \(A \to B\), \(B\)-가군 \(N\), 그리고 \(A\)-가군 준동형 \(c : I \to N\)이 주어졌다고 가정하자. 이 절에서는 다음 도표의 물음표에 들어갈 대상을 찾을 수 있는지 묻는다. [08SN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u]^c \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 또 그러한 해가 존재할 때 얼마나 유일한지도 묻는다. 더 정확히 말하면, 핵이 제곱이 영인 아이디얼이며 \(N\)과 동일시되고, \(A' \to B'\)가 주어진 사상 \(c\)를 유도하는 \(A'\)-대수의 전사 \(B' \to B\)를 찾는다. 이러한 \(B'\)를 (08SN)의 해라고 부른다.

보조정리

위의 상황에서 다음이 성립한다.

1. 표준 원소 \(\xi \in \Ext^2_B(L_{B/A}, N)\)가 있으며, 이 원소의 소멸은 (08SN)의 해가 존재하기 위한 필요충분조건이다.

2. 해가 존재하면 해의 동형류들의 집합은 \(\Ext^1_B(L_{B/A}, N)\) 아래의 주동차 공간이다.

3. 해 \(B'\)가 주어지면 (08SN)에 들어맞는 \(B'\)의 자기동형사상들의 집합은 \(\Ext^0_B(L_{B/A}, N)\)과 표준적으로 동형이다.

증명

동일시 \(\NL_{B/A} = \tau_{\geq -1}L_{B/A}\)(보조정리 08RB) 및 \(H^0(L_{B/A}) = \Omega_{B/A}\)(보조정리 08QF)를 통하여 (2)와 (3)은 변형 이론, 보조정리 08S5과 08S7에서 이미 보았다.

(1)의 증명. 대략 말하면, 변형 이론, 주 0GPY의 논의에서 소박한 코탄젠트 복합체를 전체 코탄젠트 복합체로 바꾸면 결론이 따른다. 더 자세히 설명하자. 변형 이론, 보조정리 0GPX와 주 0GPY에 의해 원소 \[\xi' \in \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) = \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N)\] 가 존재한다. (등식들은 변형 이론, 주 0GPY를 보고 \(\NL_{A'/A} = \tau_{\geq -1} L_{A'/A}\)임을 이용하라.) 해가 존재하는 것은 이 원소가 사상 \[\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N) = \Ext^1_B(L_{B/A'}, N) \longrightarrow \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N)\] 의 상에 속하는 것과 필요충분하다. \(A' \to A \to B\)에 대한 완전 삼각형 (08QS)은 긴 완전열 \[\ldots \to \Ext^1_B(L_{B/A'}, N) \to \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) \to \Ext^2_B(L_{B/A}, N) \to \ldots\] 을 유도한다. 따라서 \(\xi\)를 \(\xi'\)의 상으로 택하면 된다.

가군의 Atiyah 동치류

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하고 \(M\)을 \(B\)-가군이라 하자. \(P \to B\)를 \(\mathcal{C}_{B/A}\)의 대상이라 하자(절 08PQ). 주부분의 확대 \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes_P M \to P^1_{P/A}(M) \to M \to 0\] 를 생각하자. 가환대수학, 보조정리 09CN를 보라. 가환대수학, 주 09CP에 의해 이 열은 \(P\)에 대하여 함자적이다. 따라서 \(\mathcal{C}_{B/A}\) 위의 \(\mathcal{O}\)-가군 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{M} \to P^1_{\mathcal{O}/\underline{A}}(M) \to \underline{M} \to 0\] 을 얻는다. 보조정리 08PT와 \(L_{B/A}\)의 항들의 평탄성에 의해 \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{M}) = L_{B/A} \otimes_B M = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M\) 이다. 보조정리 08QE에 의해 \(L\pi_!(\underline{M}) = M\)이다. 따라서 \(D(B)\)에 완전 삼각형 [09DD]\[\begin{equation} L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M \to L\pi_!\left(P^1_{\mathcal{O}/\underline{A}}(M)\right) \to M \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M [1] \end{equation}\] 이 있다. 여기서는 단지 \(D(A)\)에서가 아니라 \(D(B)\)에서 완전 삼각형을 얻기 위하여 사이트 위의 코호몰로지, 주 09CZ를 사용한다.

정의

\(A \to B\)를 환 준동형이라 하고 \(M\)을 \(B\)-가군이라 하자. (09DD)의 사상 \(M \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M[1]\)을 \(M\)의 Atiyah 동치류라 한다.

코탄젠트 복합체

이 절에서는 사이트 위의 환의 층들의 준동형에 대한 코탄젠트 복합체를 논의한다. 이후의 절들에서는 이를 특수화하여 환 달린 토포스의 사상, 환 달린 공간의 사상, 스킴의 사상, 대수 공간의 사상 등의 코탄젠트 복합체를 얻는다.

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\Sh(\mathcal{C})\)로 그에 딸린 토포스를 나타내자. \(\mathcal{A}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층이라 하자. \(\mathcal{A}\textit{-Alg}\)를 \(\mathcal{A}\)-대수들의 범주라 하자. 수반 함자쌍 \((U, V)\)를 생각하자. 여기서 \(V : \mathcal{A}\textit{-Alg} \to \Sh(\mathcal{C})\)는 망각 함자이고, \(U : \Sh(\mathcal{C}) \to \mathcal{A}\textit{-Alg}\)는 집합의 층 \(\mathcal{E}\)에 \(\mathcal{A}\) 위에서 \(\mathcal{E}\)에 대한 다항식 대수 \(\mathcal{A}[\mathcal{E}]\)를 대응시킨다. \(X_\bullet\)을 단체적 방법, 절 08N8에서 구성한 \(\text{Fun}(\mathcal{A}\textit{-Alg}, \mathcal{A}\textit{-Alg})\)의 단체 대상이라 하자.

이제 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)가 환의 층들의 준동형이라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{B}\)는 범주 \(\mathcal{A}\textit{-Alg}\)의 대상이다. 그 결과인 단체 \(\mathcal{A}\)-대수를 \(\mathcal{P}_\bullet = X_\bullet(\mathcal{B})\)로 나타내자. \(\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}]\), \(\mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]]\) 등임을 상기하자. 또한 증강 \[\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \longrightarrow \mathcal{B}\] 이 있음을 상기하자. 여기서 \(\mathcal{B}\)는 상수 단체 \(\mathcal{A}\)-대수로 본다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 표준 분해란 항들이 \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}],\quad \mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]],\quad \ldots\] 이고 사상들이 위에서 구성한 것과 같은 증강 \(\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\)이다.

이 정의를 바탕으로 환의 층들의 준동형의 코탄젠트 복합체를 다음과 같이 정의한다. 사이트 위의 가군, 절 04BJ에서 정의한 미분 가군을 사용한다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. 코탄젠트 복합체 \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)는 단체 가군 \[\Omega_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_\bullet, \epsilon} \mathcal{B}\] 에 딸린 \(\mathcal{B}\)-가군 복합체이다. 여기서 \(\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\)는 \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 표준 분해이다. 보통 \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)를 \(D(\mathcal{B})\)의 대상으로 생각한다.

이 구성들은 절 08QL에서 논의한 것과 비슷한 함자성을 만족한다. 즉, \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 가환 도표 [08ST]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] } } \end{equation}\] 가 주어지면 복합체들의 표준 \(\mathcal{B}\)-선형 사상 \[L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] 이 있다. 이는 다음과 같이 구성한다. \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\)가 \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 표준 분해이고 \(\mathcal{P}'_\bullet \to \mathcal{B}'\)가 \(\mathcal{A}'\) 위의 \(\mathcal{B}'\)의 표준 분해이면, 증강 \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\) 및 \(\mathcal{P}'_\bullet \to \mathcal{B}'\)와 양립하는 단체 \(\mathcal{A}\)-대수들의 표준 사상 \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{P}'_\bullet\)이 있다. 사상들 \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}] \longrightarrow \mathcal{A}'[\mathcal{B}'] = \mathcal{P}'_0, \quad \mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]] \longrightarrow \mathcal{A}'[\mathcal{A}'[\mathcal{B}']] = \mathcal{P}'_1\] 등은 주어진 사상 \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) 및 \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\)로 주어진다. 그러면 원하는 사상 \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\)은 미분의 층들 위의 대응하는 사상에서 나온다.

보조정리

\(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\)를 토포스의 사상이라 하고, \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. 그러면 \(f^{-1}L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = L_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}\).

증명

도표 \[\xymatrix{ \mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[d]_{f^{-1}} \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[l] \ar[d]^{f^{-1}} \\ f^{-1}\mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[r] & \Sh(\mathcal{D}) \ar@<1ex>[l] }\] 는 가환한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. 그러면 \(H^i(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})\)는 준층 \(U \mapsto H^i(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)})\)에 딸린 층이다.

증명

\(\mathcal{C}\)에 비이산 위상을 주어 얻는 사이트를 \(\mathcal{C}'\)라 하자 (준층은 층이다). 토포스의 사상 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\)이 있으며, 여기서 \(f_*\)는 층에서 준층으로의 포함이고 \(f^{-1}\)은 층화이다. 보조정리 08SV에 의해 \(\mathcal{C}'\)에 대하여, 즉 \(\mathcal{C}\)가 비이산 위상을 갖는 경우에 결과를 증명하면 충분하다.

만약 \(\mathcal{C}\)가 비이산 위상을 가지면 \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(U)\)는 \(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\)와 같다. 실제로 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[d]_{U\text{ 위의 절단}} \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[l] \ar[d]^{U\text{ 위의 절단}} \\ \mathcal{A}(U)\textit{-Alg} \ar[r] & \textit{집합} \ar@<1ex>[l] }\] 는 가환한다.

주

보조정리 08SW의 증명에서 임의의 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대하여 \(\mathcal{B}(U)\)-가군 복합체들의 표준 사상 \(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(U)\) 이 있음은 명백하다. 또한 이 사상들은 제한 사상들과 양립하고, 복합체 \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)는 규칙 \(U \mapsto L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\)의 층화이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. 그러면 \(H^0(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}) = \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\).

증명

보조정리 08SW 및 08QF, 그리고 사이트 위의 가군, 보조정리 08TP에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) 및 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}'\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. 그러면 \[L_{\mathcal{B} \times \mathcal{B}'/\mathcal{A}} \longrightarrow L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \oplus L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}}\] 는 \(D(\mathcal{B} \times \mathcal{B}')\)에서 동형사상이다.

증명

보조정리 08SW에 의해 환 준동형에 대하여 이를 증명하면 충분하다. 환의 경우에는 보조정리 08SC가 바로 이 명제이다.

환의 층들의 코탄젠트 복합체에 대한 기본 삼각형은 환 준동형에 대한 결과의 쉬운 귀결이다.

보조정리

\(\mathcal{D}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. \(D(\mathcal{C})\)에 표준 완전 삼각형 \[L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{C} \to L_{\mathcal{C}/\mathcal{A}} \to L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{C}[1]\] 이 있다.

증명

주 08SD과 08SE에 기술한 방법으로 이 삼각형을 구성하며, 거기서 언급한 결과들을 자유롭게 사용하겠다. 그 주들에서처럼 먼저 \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\)가 환의 층들의 단사 준동형인 경우에 삼각형을 구성한다. 이 경우 다음과 같이 둔다.

1. \(\mathcal{P}_\bullet\)은 \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 표준 분해이다.

2. \(\mathcal{Q}_\bullet\)은 \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{C}\)의 표준 분해이다.

3. \(\mathcal{R}_\bullet\)은 \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{C}\)의 표준 분해이다.

4. \(\mathcal{S}_\bullet\)은 \(\mathcal{B}\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 표준 분해이다.

5. \(\overline{\mathcal{Q}}_\bullet = \mathcal{Q}_\bullet \otimes_{\mathcal{P}_\bullet} \mathcal{B}\)이다.

6. \(\overline{\mathcal{R}}_\bullet = \mathcal{R}_\bullet \otimes_{\mathcal{S}_\bullet} \mathcal{B}\)이다.

이 완전 삼각형은 단체 \(\mathcal{C}\)-가군들의 짧은 완전열 \[0 \to \Omega_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_\bullet} \mathcal{C} \to \Omega_{\mathcal{Q}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{Q}_\bullet} \mathcal{C} \to \Omega_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet} \mathcal{C} \to 0\] 에 딸린 완전 삼각형이다. 첫 두 항은 보조정리의 명제에 있는 삼각형의 첫 두 항과 같다. 마지막 항을 \(L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}\)와 동일시할 때에는 복합체들의 준동형사상 \[L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}} = \Omega_{\mathcal{R}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\mathcal{R}_\bullet} \mathcal{C} \longrightarrow \Omega_{\overline{\mathcal{R}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{R}}_\bullet} \mathcal{C} \longleftarrow \Omega_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet} \mathcal{C}\] 을 사용한다. 위에서 사용한 모든 구성은 먼저 준층 수준에서 수행한 뒤 층화할 수 있다. 따라서 열들이 완전하거나 사상들이 준동형사상임을 보이려면 환 준동형 \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{B}(U) \to \mathcal{C}(U)\) 에 대한 대응하는 명제를 증명하면 충분하며, 이는 이미 알려져 있다. 이로써 \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\)가 단사인 경우의 증명이 끝난다.

일반적인 경우에는 필요하다면 \(\mathcal{C}\)를 \(\mathcal{B} \times \mathcal{C}\)로 바꾸어 \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\)가 단사인 경우로 환원한다. 이는 주 08SD에 제시한 논증과 보조정리 08SY에 의해 가능하다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. \(p\)가 \(\mathcal{C}\)의 점이면 \((L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})_p = L_{\mathcal{B}_p/\mathcal{A}_p}\).

증명

이는 보조정리 08SV의 특수한 경우이다.

소박한 코탄젠트 복합체의 구성과 그 성질에 대해서는 사이트 위의 가군, 절 08TT를 참고하라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 환의 층들의 준동형이라 하자. 표준 사상 \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 이 있으며, 이는 소박한 코탄젠트 복합체를 절단 \(\tau_{\geq -1}L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\)와 동일시한다.

증명

\(\mathcal{P}_\bullet\)을 \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 표준 분해라 하자. \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{B}] \to \mathcal{B})\)로 두자. \(\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}]\)임을 상기하자. 보조정리의 사상은 다음 가환 도표로 주어진다. \[\xymatrix{ L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \ar[d] & \ldots \ar[r] & \Omega_{\mathcal{P}_2/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_2} \mathcal{B} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B} \ar[d] \\ \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \ar[r] & \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B} }\] 표적이 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)인 아래쪽 화살표는 국소 절단 \(\text{d}f \otimes b\)를 \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\)에서 \((d_0(f) - d_1(f))b\)의 동치류로 보내어 구성한다. 여기서 \(d_i : \mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_0\), \(i = 0, 1\)은 단체 구조의 두 면 사상이다. \(d_0 - d_1\)이 \(\mathcal{P}_1\)을 \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{P}_0 \to \mathcal{B})\) 안으로 보내므로 이는 의미가 있다. 이 규칙이 잘 정의됨은 확인을 생략한다. 우리 사상은 미분 \(\Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B}\) 과 양립한다. 실제로 이 미분은 국소 절단 \(\text{d}f \otimes b\)를 \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f)) \otimes b\)로 보낸다. 또한 미분 \(\Omega_{\mathcal{P}_2/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_2} \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B}\) 은 국소 절단 \(\text{d}f \otimes b\)를 \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f) + d_2(f)) \otimes b\) 로 보내며, 이것은 우리 아래쪽 화살표에 의해 영이 된다. 따라서 복합체의 사상을 얻는다.

우리 사상이 코호몰로지 층 \(H^0\)과 \(H^{-1}\) 위에서 동형사상을 유도함을 보기 위하여 다음과 같이 논증한다. \(\mathcal{C}'\)를 바탕 범주는 \(\mathcal{C}\)와 같지만 비이산 위상을 준 사이트라 하자. 당김 함자가 층화인 토포스의 사상을 \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\)라 하자. 주어진 사상을 \(\mathcal{C}'\) 위의 환의 층들의 사상으로 생각한 것을 \(\mathcal{A}' \to \mathcal{B}'\)라 하자. 위 구성은 \(\mathcal{C}'\) 위에 사상 \(L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} \to \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\)을 주며, \(\mathcal{C}'\)의 임의의 대상 \(U\) 위에서 그 값은 바로 사상 \[L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)} \to \NL_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\] 이다. 이는 주 08UP의 사상이며 \(H^0\)과 \(H^{-1}\) 위에서 동형사상을 유도한다. 보조정리 08SV에 의해 \(f^{-1}L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} = L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 이고, 사이트 위의 가군, 보조정리 08TZ에 의해 \(f^{-1}\NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} = \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) 이므로 보조정리가 증명된다.

가군의 층의 Atiyah 동치류

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 환의 층들의 준동형이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\)-가군의 층이라 하자. \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\)를 \(\mathcal{A}\) 위의 \(\mathcal{B}\)의 표준 분해라 하자(절 08UQ). 모든 \(n \geq 0\)에 대하여 주부분의 확대 [09DG]\[\begin{equation} 0 \to \Omega_{\mathcal{P}_n/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_n} \mathcal{F} \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{P}_n/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] 를 생각하자. 사이트 위의 가군, 보조정리 09CW를 보라. 이 구성의 함자성(사이트 위의 가군, 주 09CX)에 의해 (09DG)은 단체 \(\mathcal{P}_\bullet\)-가군들의 짧은 완전열의 차수 \(n\)인 부분이다(사이트 위의 코호몰로지, 절 09D0). 사이트 위의 코호몰로지, 주 09D3의 함자 \(L\pi_! : D(\mathcal{P}_\bullet) \to D(\mathcal{B})\)를 사용하면(여기서는 \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{A}\)가 분해임을 사용한다) 완전 삼각형 [09DH]\[\begin{equation} L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F} \to L\pi_!\left(\mathcal{P}^1_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}}(\mathcal{F})\right) \to \mathcal{F} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F} [1] \end{equation}\] 을 \(D(\mathcal{B})\)에서 얻는다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\)를 환의 층들의 준동형이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathcal{B}\)-가군의 층이라 하자. (09DH)의 사상 \(\mathcal{F} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\) 을 \(\mathcal{F}\)의 Atiyah 동치류라 한다.

환 달린 공간의 사상의 코탄젠트 복합체

환 달린 공간의 사상의 코탄젠트 복합체는 위에서 정의한 코탄젠트 복합체로 정의한다.

정의

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. \(f\)의 코탄젠트 복합체 \(L_f\)는 \(L_f = L_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_S}\). 이다. 다음 표기도 사용한다. \(L_f = L_{X/S} = L_{\mathcal{O}_X/\mathcal{O}_S}\).

더 정확히 말하면, 위상 공간 \(X\)에 딸린 사이트 위의 환의 층들의 준동형 \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_X\)의 코탄젠트 복합체(정의 08SS)를 생각한다. 사이트, 예 00VJ를 보라.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 그러면 \(H^0(L_{X/S}) = \Omega_{X/S}\)이다.

증명

보조정리 08UR의 특수한 경우이다.

보조정리

\(f : X \to Y\) 및 \(g : Y \to Z\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_X)\)에 표준 완전 삼각형 \[Lf^* L_{Y/Z} \to L_{X/Z} \to L_{X/Y} \to Lf^*L_{Y/Z}[1]\] 이 있다.

증명

\(h = g \circ f\)로 두자. 그러면 \(h^{-1}\mathcal{O}_Z = f^{-1}g^{-1}\mathcal{O}_Z\)이다. 보조정리 08SV에 의해 \(f^{-1}L_{Y/Z} = L_{f^{-1}\mathcal{O}_Y/h^{-1}\mathcal{O}_Z}\) 이고, 이는 평탄한 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-가군들의 복합체이다. 따라서 위의 완전 삼각형은 보조정리 08SZ의 완전 삼각형에서 \(\mathcal{A} = h^{-1}\mathcal{O}_Z\), \(\mathcal{B} = f^{-1}\mathcal{O}_Y\), 그리고 \(\mathcal{C} = \mathcal{O}_X\)로 둔 경우이다.

보조정리

\(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\)를 환 달린 공간의 사상이라 하자. 소박한 코탄젠트 복합체를 절단 \(\tau_{\geq -1}L_{X/Y}\)와 동일시하는 표준 사상 \(L_{X/Y} \to \NL_{X/Y}\)이 있다.

증명

보조정리 08US의 특수한 경우이다.

환 달린 공간의 변형과 코탄젠트 복합체

이 절은 변형 이론, 절 08U6의 계속이며, 독자에게 먼저 그 절을 읽기를 권한다. 설정을 간단히 상기하자. \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\)인 환 달린 공간의 1차 두꺼워짐 \(t : (S, \mathcal{O}_S) \to (S', \mathcal{O}_{S'})\), 환 달린 공간의 사상 \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{G}\), 그리고 가군의 층들의 \(f\)-사상 \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\)가 주어져 있다. 다음 도표의 물음표에 들어갈 대상을 찾을 수 있는지 묻는다. [08UY]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 또 그러한 해가 존재할 때 얼마나 유일한지도 묻는다. 더 정확히 말하면, 1차 두꺼워짐 \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) 과 변형 이론, 식 (08L0)에서와 같은 두꺼워짐의 사상 \((f, f')\)을 찾는다. 여기서 \(\Ker(i^\sharp)\)은 \(\mathcal{G}\)와 동일시되고 \((f')^\sharp\)은 주어진 사상 \(c\)를 유도해야 한다. 이러한 \(X'\)를 (08UY)의 해라고 부른다.

보조정리

위의 상황에서 다음이 성립한다.

1. 표준 원소 \(\xi \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})\) 가 있으며, 이 원소의 소멸은 (08UY)의 해가 존재하기 위한 필요충분조건이다.

2. 해가 존재하면 해의 동형류들의 집합은 \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})\) 아래의 주동차 공간이다.

3. 해 \(X'\)가 주어지면 (08UY)에 들어맞는 \(X'\)의 자기동형사상들의 집합은 \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})\)와 표준적으로 동형이다.

증명

동일시 \(\NL_{X/S} = \tau_{\geq -1}L_{X/S}\)(보조정리 08UW) 및 \(H^0(L_{X/S}) = \Omega_{X/S}\)(보조정리 08UV)를 통하여 (2)와 (3)은 변형 이론, 보조정리 08U8과 08UC에서 이미 보았다.

(1)의 증명. 대략 말하면, 변형 이론, 주 0GQ4의 논의에서 소박한 코탄젠트 복합체를 전체 코탄젠트 복합체로 바꾸면 결론이 따른다. 더 자세히 설명하자. 변형 이론, 보조정리 0GQ3에 의해 원소 \[\xi' \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/S'}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G})\] 가 존재하며, 해가 존재하는 것은 이 원소가 사상 \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(NL_{X/S'}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S'}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G})\] 의 상에 속하는 것과 필요충분하다. \(X \to S \to S'\)에 대한 보조정리 08T4의 완전 삼각형은 긴 완전열 \[\ldots \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G}) \to \ldots\] 을 유도한다. 따라서 \(\xi\)를 \(\xi'\)의 상으로 택하면 된다.

환 달린 토포스의 사상의 코탄젠트 복합체

환 달린 토포스의 사상의 코탄젠트 복합체는 위에서 정의한 코탄젠트 복합체로 정의한다.

정의

\((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. \(f\)의 코탄젠트 복합체 \(L_f\)는 \(L_f = L_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}}\). 이다. 때로는 \(L_f = L_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{D}}\)로 쓴다.

이 정의는 많은 상황에 적용되지만 언제나 기대하는 대상을 주지는 않는다. 예를 들어 \(f : X \to Y\)가 스킴의 사상이면 \(f\)는 큰 에탈 사이트들의 사상 \(f_{big} : (\Sch/X)_\etale \to (\Sch/Y)_\etale\) 을 유도하며, 이는 환 달린 토포스의 사상이다(내림, 주 070R). 그러나 \((f_{big})^\sharp\)이 동형사상이므로 \(L_{f_{big}} = 0\)이다. 한편 \(f\)를 바탕 Zariski 환 달린 토포스 사이의 사상으로 생각하여 \(L_f\)를 취하면, \(L_f\)는 아래에서 정의할 코탄젠트 복합체 \(L_{X/Y}\)와 일치하며 그 0차 코호몰로지 층은 \(\Omega_{X/Y}\)이다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 그러면 \(H^0(L_f) = \Omega_f\)이다.

증명

보조정리 08UR의 특수한 경우이다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \to (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2)\) 및 \(g : (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \to (\Sh(\mathcal{C}_3), \mathcal{O}_3)\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 그러면 \(D(\mathcal{O}_1)\)에 표준 완전 삼각형 \[Lf^* L_g \to L_{g \circ f} \to L_f \to Lf^*L_g[1]\] 이 있다.

증명

\(h = g \circ f\)로 두자. 그러면 \(h^{-1}\mathcal{O}_3 = f^{-1}g^{-1}\mathcal{O}_3\)이다. 보조정리 08SV에 의해 \(f^{-1}L_g = L_{f^{-1}\mathcal{O}_2/h^{-1}\mathcal{O}_3}\) 이고, 이는 평탄한 \(f^{-1}\mathcal{O}_2\)-가군들의 복합체이다. 따라서 위의 완전 삼각형은 보조정리 08SZ의 완전 삼각형에서 \(\mathcal{A} = h^{-1}\mathcal{O}_3\), \(\mathcal{B} = f^{-1}\mathcal{O}_2\), 그리고 \(\mathcal{C} = \mathcal{O}_1\)로 둔 경우이다.

보조정리

\(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\)를 환 달린 토포스의 사상이라 하자. 소박한 코탄젠트 복합체를 절단 \(\tau_{\geq -1}L_f\)와 동일시하는 표준 사상 \(L_f \to \NL_f\)가 있다.

증명

보조정리 08US의 특수한 경우이다.

환 달린 토포스의 변형과 코탄젠트 복합체

이 절은 변형 이론, 절 08UE의 계속이며, 독자에게 먼저 그 절을 읽기를 권한다. 설정을 간단히 상기하자. 환 달린 토포스의 1차 두꺼워짐 \(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) 에서 \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\)이고, 환 달린 토포스의 사상 \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), \(\mathcal{O}\)-가군 \(\mathcal{G}\), 그리고 \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-가군의 층들의 사상 \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\)가 주어져 있다. 다음 도표의 물음표에 들어갈 대상을 찾을 수 있는지 묻는다. [08V4]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f^{-1}\mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] 또 그러한 해가 존재할 때 얼마나 유일한지도 묻는다. 더 정확히 말하면, 1차 두꺼워짐 \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) 과 변형 이론, 식 (08M8)에서와 같은 두꺼워짐의 사상 \((f, f')\)을 찾는다. 여기서 \(\Ker(i^\sharp)\)은 \(\mathcal{G}\)와 동일시되고 \((f')^\sharp\)은 주어진 사상 \(c\)를 유도해야 한다. \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\)을 (08V4)의 해라고 부른다.

보조정리

위의 상황에서 다음이 성립한다.

1. 표준 원소 \(\xi \in \Ext^2_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})\) 가 있으며, 이 원소의 소멸은 (08V4)의 해가 존재하기 위한 필요충분조건이다.

2. 해가 존재하면 해의 동형류들의 집합은 \(\Ext^1_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})\) 아래의 주동차 공간이다.

3. 해 \(X'\)가 주어지면 (08V4)에 들어맞는 \(X'\)의 자기동형사상들의 집합은 \(\Ext^0_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})\)와 표준적으로 동형이다.

증명

동일시 \(\NL_f = \tau_{\geq -1}L_f\)(보조정리 08V2) 및 \(H^0(L_f) = \Omega_f\)(보조정리 08V0)를 통하여 (2)와 (3)은 변형 이론, 보조정리 08UG과 08UK에서 이미 보았다.

(1)의 증명. 표기를 변형 이론, 절 08UE과 맞추기 위하여 \(\NL_f = \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\)이고 \(L_f = L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\)로 쓰고, 사상 \(t\)와 \(t \circ f\)에 대해서도 마찬가지로 쓰겠다. 변형 이론, 보조정리 0GQ9에 의해 원소 \[\xi' \in \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] 가 존재하며, 해가 존재하는 것은 이 원소가 사상 \[\Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] 의 상에 속하는 것과 필요충분하다. \(f\)와 \(t\)에 대한 보조정리 08V1의 완전 삼각형은 긴 완전열 \[\ldots \to \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] 을 유도한다. 따라서 \(\xi\)를 \(\xi'\)의 상으로 택하면 된다.

스킴의 사상의 코탄젠트 복합체

앞에서 약속한 대로 스킴의 사상의 코탄젠트 복합체를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(Y\) 위의 \(X\)의 코탄젠트 복합체 \(L_{X/Y}\)는 환 달린 공간의 사상으로서의 \(f\)의 코탄젠트 복합체이다 (정의 08UU).

특히 절 08UT의 결과는 스킴의 사상의 코탄젠트 복합체에 적용된다. 다음 보조정리는 이 정의가 환 준동형에 대한 정의와 양립함을 보이며, 또한 \(L_{X/Y}\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상임을 함의한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 스킴의 사상이라 하자. \(U = \Spec(B) \subset X\)와 \(V = \Spec(A) \subset Y\)를 \(f(U) \subset V\)를 만족하는 아핀 열린부분이라 하자. 다음과 같은 표준 사상이 존재한다. \[\widetilde{L_{B/A}} \longrightarrow L_{X/Y}|_U\] 이는 복합체의 사상이며 \(D(\mathcal{O}_U)\)에서 동형이다. 이 사상은 \(X\)와 \(Y\)의 더 작은 아핀 열린부분으로의 제한과 양립한다.

증명

주의 08SX에 의해 복합체의 표준 사상 \(L_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)} \to L_{X/Y}(U)\) \(B = \mathcal{O}_X(U)\)-가군의 복합체의 사상이 존재하며, 이는 더 작은 열린부분으로의 제한과 양립한다. 표준 사상 \(A \to f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)\)를 사용하면 \(B\)-가군의 복합체의 표준 사상 \(L_{B/A} \to L_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)}\) 를 얻는다. \(\widetilde{\ }\) 함자의 보편 성질을 사용하면 (스킴, 보조정리 01I7 참조) 보조정리의 명제에 나오는 사상을 얻는다. 이 사상이 줄기 위에서 동형을 유도하는지 확인함으로써, 코호몰로지 층 위에서 동형인지 확인할 수 있다. 이는 보조정리 08T0와 08SF에서 곧바로 따른다 (점 \(\mathfrak p \in \Spec(B)\)에서 \(\mathcal{O}_X\)와 \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)의 줄기는 각각 \(B_\mathfrak p\)와 \(A_\mathfrak q\)이고, 여기서 \(\mathfrak q = A \cap \mathfrak p\)이다. 사용한 참고문헌은 스킴, 보조정리 01HV와 층, 보조정리 008H이다).

보조정리

\(\Lambda\)를 환이라 하고 \(X\)를 \(\Lambda\) 위의 스킴이라 하자. 그러면 \[L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{\mathcal{O}_X/\underline{\Lambda}}\] 여기서 \(\underline{\Lambda}\)는 \(X\) 위에서 값이 \(\Lambda\)인 상수층이다.

증명

\(p : X \to \Spec(\Lambda)\)를 구조 사상이라 하고, \(q : \Spec(\Lambda) \to (*, \Lambda)\)를 명백한 사상이라 하자. 보조정리 08T4의 완전 삼각형에 의해 \(L_q = 0\)임을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 \(\mathfrak p \in \Spec(\Lambda)\)에 대하여 \[(L_q)_\mathfrak p = L_{\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda), \mathfrak p}/\Lambda} = L_{\Lambda_\mathfrak p/\Lambda}\] (보조정리 08T0) 가 영임을 보이면 충분하며, 이는 보조정리 08R2에서 따른다.

환 위의 스킴의 코탄젠트 복합체

\(\Lambda\)를 환이라 하고 \(X\)를 \(\Lambda\) 위의 스킴이라 하자. 보조정리 08V6에 따라 \(L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{X/\Lambda}\)로 쓴다. 이 절에서는 보조정리 08PU와 비슷하게 \(L_{X/\Lambda}\)를 기술한다. 구체적으로 \(X_{Zar}\) 위에 섬유화된 범주 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)를 구성하고, 그 위에 다음을 만족하는 (다항식) \(\Lambda\)-대수의 층 \(\mathcal{O}\)를 부여한다. \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X).\] 뒤에서 범주 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)를 사용하여 연접층의 스택에 대한 소박한 장애 이론을 구성할 것이다.

\(\Lambda\)를 환이라 하고 \(X\)를 \(\Lambda\) 위의 스킴이라 하자. \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)를 그 대상이 다음 가환 도표인 범주라 하자. [08V8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(\Lambda) & \mathbf{A} \ar[l] } } \end{equation}\] 여기서 이들은 스킴의 도표이고,

1. \(U\)는 \(X\)의 열린 부분스킴이고,

2. \(P\)가 \(\Lambda\) 위의 다항식 대수(어떤 변수의 집합에 대한)일 때 \(\mathbf{A} = \Spec(P)\)라는 동형이 존재한다.

다시 말해 \(\mathbf{A}\)는 \(\Spec(\Lambda)\) 위의 (무한 차원) 아핀 공간이다. 사상은 가환 도표로 주어진다. \(X_{Zar}\)는 \(X\)의 작은 Zariski 자리를 뜻한다는 것을 상기하자. 망각 함자 \[u : \mathcal{C}_{X/\Lambda} \to X_{Zar},\ (U \to \mathbf{A}) \mapsto U\] \(U\) 위의 섬유 범주는 절 08PQ에서 도입한 범주 \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\)와 표준적으로 동치이다.

보조정리

위 상황에서 범주 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)는 \(X_{Zar}\) 위에 섬유화되어 있다.

증명

\(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 대상 \(U \to \mathbf{A}\)와 \(X_{Zar}\)의 사상 \(U' \to U\)가 주어졌다고 하자. \(U' \to \mathbf{A}\)가 \(U' \to U\)와 \(U \to \mathbf{A}\)의 합성인 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 대상 \(U' \to \mathbf{A}\)를 생각하자. 사상 \((U' \to \mathbf{A}) \to (U \to \mathbf{A})\)는 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)에서 \(X_{Zar}\) 위의 강한 데카르트 사상이다.

\(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)에 \(X_{Zar}\)에서 상속된 위상을 부여한다 (스택, 절 06NT 참조). 함자 \(u\)는 토포스의 사상 \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}) \to \Sh(X_{Zar})\)를 정의한다. 자리 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)에는 다음과 같은 환의 층들이 있다.

1. 다음 규칙으로 주어지는 층 \(\mathcal{O}\), \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \Gamma(\mathbf{A}, \mathcal{O}_\mathbf{A})\).

2. 규칙 \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{O}_X(U)\)로 주어지는 층 \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\),

3. 상수층 \(\underline{\Lambda}\).

환 달린 토포스의 사상들을 얻는다. [08VA]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] 사상 \(i\)는 바탕 토포스 위의 항등 사상이고, \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\)는 명백한 사상이다. 사상 \(\pi\)는 자리 위의 코호몰로지, 상황 08P8의 특수한 경우이다. 다음에서는 유도 함자 \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\) \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\)의 왼쪽 수반인 함자와 \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\) \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\)의 왼쪽 수반인 함자가 중요한 역할을 한다. 앞에서 한 작업 덕분에 \(L\pi_!\)를 계산할 수 있다.

주

위 상황에서 각 열린부분 \(U \subset X\)에 대하여 \(P_{\bullet, U}\)를 \(\Lambda\) 위의 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 표준 분해라 하자. \(\mathbf{A}_{n, U} = \Spec(P_{n, U})\)로 두자. 그러면 \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\) 는 \(U\) 위의 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 섬유 범주 \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\)의 쌍대단체 대상이다. 더욱이 주의 08QI에서 논의했듯이, \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\)는 자리 위의 코호몰로지, 보조정리 08Q9에 나오는 \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\)의 쌍대단체 대상이다. 구성 \(U \mapsto \mathbf{A}_{\bullet, U}\)는 \(U\)에 대하여 함자적이므로, \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) 위의 임의의 (아벨) 층 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 전층의 복합체 \[U \longmapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{\bullet, U})\] 를 얻으며, 그 코호몰로지 군은 섬유 범주 위의 \(\mathcal{F}\)의 호몰로지를 계산한다. 자리 위의 코호몰로지, 보조정리 08PJ에 의해 그 층화가 \(L_n\pi_!(\mathcal{F})\)를 계산한다. 다시 말해, 차수 \(-n\)의 항이 \(U \mapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{n, U})\)의 층화인 층의 복합체는 \(L\pi_!(\mathcal{F})\)를 계산한다.

이 주의를 바탕으로 이 절의 주요 결과를 진술할 수 있다.

보조정리

위 상황에서 다음 표준 동형이 존재한다. \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\] 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서의 동형이다.

증명

먼저 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 임의의 대상 \((U \to \mathbf{A})\)에서 층 \(\mathcal{O}\)의 값은 \(\Lambda\) 위의 다항식 대수임을 관찰하자. 따라서 \(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}\)는 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군이고, 보조정리의 명제에서 둘째와 셋째 등식이 성립한다.

주의 08VB에 의해 대상 \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) 는 다음 전층의 복합체의 층화로 계산된다. \[U \mapsto \left(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X\right)(\mathbf{A}_{\bullet, U}) = \Omega_{P_{\bullet, U}/\Lambda} \otimes_{P_{\bullet, U}} \mathcal{O}_X(U) = L_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\] 여기서는 주의 08VB의 표기를 사용했다. 이제 주의 08SX에 의해 \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) 는 \(X\) 위의 환 준동형 \(\underline{\Lambda} \to \mathcal{O}_X\)의 코탄젠트 복합체를 계산한다. 보조정리 08V6에 의해 이는 바로 원하는 결과이다.

대수공간의 사상의 코탄젠트 복합체

대응하는 작은 에탈 자리 사이의 사상을 사용하여 대수공간의 사상의 코탄젠트 복합체를 정의한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(Y\) 위의 \(X\)의 코탄젠트 복합체 \(L_{X/Y}\)는 \(X\)와 \(Y\)의 작은 에탈 자리 사이의 환 달린 토포스의 사상 \(f_{small}\)의 코탄젠트 복합체이다 (공간의 성질, 보조정리 03G8 및 정의 08SU 참조).

특히 절 08SQ의 결과는 대수공간의 사상의 코탄젠트 복합체에 적용된다. 다음 보조정리들은 이 정의가 환 준동형과 스킴에 대한 정의와 양립하고, \(L_{X/Y}\)가 \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 대상임을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. 다음과 같은 가환 도표를 생각하자. \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_g & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] 이는 \(S\) 위의 대수공간의 도표이고 \(p\)와 \(q\)는 에탈 사상이다. 그러면 \(D(\mathcal{O}_U)\)에서 표준 동일시 \(L_{X/Y}|_{U_\etale} = L_{U/V}\)가 존재한다.

증명

코탄젠트 복합체의 형성은 당김과 가환하며 (보조정리 08SV), \(p_{small}^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_U\)이고 \(g_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale} = p_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\) \(q_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \mathcal{O}_{V_\etale}\) (공간의 성질, 보조정리 03LV). 이므로 그러하다. 정의를 따라가면 \(L_{X/Y}|_{U_\etale} = L_{U/V}\)임을 얻는다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 각각 스킴 \(X_0\)와 \(Y_0\)로 표현된다고 가정하자. 그러면 표준 동일시 \(L_{X/Y} = \epsilon^*L_{X_0/Y_0}\)가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 존재한다. 여기서 \(\epsilon\)은 공간의 유도 범주, 절 071P 에 나오는 사상이고, \(L_{X_0/Y_0}\)는 정의 08T2에 나오는 복합체이다.

증명

\(f_0 : X_0 \to Y_0\)를 \(f\)에 대응하는 스킴의 사상이라 하자. 다음 표준 사상이 존재한다. \(\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0} \to f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\) 이는 \(\epsilon^\sharp : \epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0} \to \mathcal{O}_X\) 와 양립한다. 실제로 다음 가환 도표가 존재한다. \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] 공간의 유도 범주, 주의 08GH를 참조하라. 따라서 절 08UQ에서 논의한 함자성과 보조정리 08SV에 의해 표준 사상 \[\epsilon^{-1}L_{X_0/Y_0} = \epsilon^{-1}L_{\mathcal{O}_{X_0}/f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} = L_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0}/\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} \longrightarrow L_{\mathcal{O}_X/f^{-1}_{small}\mathcal{O}_Y} = L_{X/Y}\] 을 얻는다. 유도된 사상 \(\epsilon^*L_{X_0/Y_0} \to L_{X/Y}\)가 동형임을 보이려면 기하점에서의 줄기 위에서 확인하면 된다 (공간의 성질, 정리 04K5). 줄기를 계산하기 위해 보조정리 08T0를 사용할 것이다. \(\overline{x} : \Spec(k) \to X_0\)를 \(x \in X_0\) 위의 기하점이라 하고, \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\)가 \(y \in Y_0\) 위에 놓인다고 하자. 그러면 \[L_{X/Y, \overline{x}} = L_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}\] 이고 \[(\epsilon^*L_{X_0/Y_0})_{\overline{x}} = L_{X_0/Y_0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = L_{\mathcal{O}_{X_0, x}/\mathcal{O}_{Y_0, y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] 이다. 몇 가지 세부사항은 생략한다(힌트: 당김의 줄기는 상의 점에서의 줄기라는 사실을 사용하라. 자리, 보조정리 05V1 및 가군에 대한 대응 결과인 자리 위의 가군, 보조정리 05V5 참조). \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\)는 \(\mathcal{O}_{X_0, x}\)의 엄밀 헨젤화이고, \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)에 대해서도 마찬가지임을 관찰하자 (공간의 성질, 보조정리 04KF). 따라서 결과는 보조정리 08UN에서 따른다.

보조정리

\(\Lambda\)를 환이라 하고 \(X\)를 \(\Lambda\) 위의 대수공간이라 하자. 그러면 \[L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{\mathcal{O}_X/\underline{\Lambda}}\] 여기서 \(\underline{\Lambda}\)는 \(X_\etale\) 위에서 값이 \(\Lambda\)인 상수층이다.

증명

\(p : X \to \Spec(\Lambda)\)를 구조 사상이라 하고, \(q : \Spec(\Lambda)_\etale \to (*, \Lambda)\)를 명백한 사상이라 하자. 보조정리 08V1의 완전 삼각형에 의해 \(L_q = 0\)임을 보이면 충분하다. 이를 위해서는 (공간의 성질, 정리 04K5) 기하점 \(\overline{t} : \Spec(k) \to \Spec(\Lambda)\)에 대하여 \[(L_q)_{\overline{t}} = L_{\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda)_\etale, \overline{t}}/\Lambda}\] (보조정리 08T0) 가 영임을 보이면 충분하다. \(\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda)_\etale, \overline{t}}\)는 \(\Lambda\)의 한 국소환의 엄밀 헨젤화이므로 (공간의 성질, 보조정리 04KF) 이는 보조정리 08R2에서 따른다.

환 위의 대수공간의 코탄젠트 복합체

\(\Lambda\)를 환이라 하고 \(X\)를 \(\Lambda\) 위의 대수공간이라 하자. 보조정리 08VG에 따라 \(L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{X/\Lambda}\)로 쓴다. 이 절에서는 보조정리 08PU와 비슷하게 \(L_{X/\Lambda}\)를 기술한다. 구체적으로 \(X_\etale\) 위에 섬유화된 범주 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)를 구성하고, 그 위에 다음을 만족하는 (다항식) \(\Lambda\)-대수의 층 \(\mathcal{O}\)를 부여한다. \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X).\] 뒤에서 범주 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)를 사용하여 연접층의 스택에 대한 소박한 장애 이론을 구성할 것이다.

\(\Lambda\)를 환이라 하고 \(X\)를 \(\Lambda\) 위의 대수공간이라 하자. \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)를 그 대상이 다음 가환 도표인 범주라 하자. [08VI]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(\Lambda) & \mathbf{A} \ar[l] } } \end{equation}\] 여기서 이들은 스킴의 도표이고,

1. \(U\)는 스킴이고,

2. \(U \to X\)는 에탈 사상이며,

3. \(P\)가 \(\Lambda\) 위의 다항식 대수(어떤 변수의 집합에 대한)일 때 \(\mathbf{A} = \Spec(P)\)라는 동형이 존재한다.

다시 말해 \(\mathbf{A}\)는 \(\Spec(\Lambda)\) 위의 (무한 차원) 아핀 공간이다. 사상은 가환 도표로 주어진다. \(X_\etale\)는 그 대상이 \(X\) 위의 에탈 스킴인 \(X\)의 작은 에탈 자리를 뜻한다는 것을 상기하자. 망각 함자 \[u : \mathcal{C}_{X/\Lambda} \to X_\etale, \quad (U \to \mathbf{A}) \mapsto U\] \(U\) 위의 섬유 범주는 절 08PQ에서 도입한 범주 \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\)와 표준적으로 동치이다.

보조정리

위 상황에서 범주 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)는 \(X_\etale\) 위에 섬유화되어 있다.

증명

\(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 대상 \(U \to \mathbf{A}\)와 \(X_\etale\)의 사상 \(U' \to U\)가 주어졌다고 하자. \(U' \to \mathbf{A}\)가 \(U' \to U\)와 \(U \to \mathbf{A}\)의 합성인 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 대상 \(U' \to \mathbf{A}\)를 생각하자. 사상 \((U' \to \mathbf{A}) \to (U \to \mathbf{A})\)는 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)에서 \(X_\etale\) 위의 강한 데카르트 사상이다.

\(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)에 \(X_\etale\)에서 상속된 위상을 부여한다 (스택, 절 06NT 참조). 함자 \(u\)는 토포스의 사상 \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}) \to \Sh(X_\etale)\)를 정의한다. 자리 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)에는 다음과 같은 환의 층들이 있다.

1. 다음 규칙으로 주어지는 층 \(\mathcal{O}\), \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \Gamma(\mathbf{A}, \mathcal{O}_\mathbf{A})\).

2. 규칙 \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{O}_X(U)\)로 주어지는 층 \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\),

3. 상수층 \(\underline{\Lambda}\).

환 달린 토포스의 사상들을 얻는다. [08VK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] 사상 \(i\)는 바탕 토포스 위의 항등 사상이고, \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\)는 명백한 사상이다. 사상 \(\pi\)는 자리 위의 코호몰로지, 상황 08P8의 특수한 경우이다. 다음에서는 유도 함자 \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\) \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\)의 왼쪽 수반인 함자와 \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\) \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\)의 왼쪽 수반인 함자가 중요한 역할을 한다. 앞에서 한 작업 덕분에 \(L\pi_!\)를 계산할 수 있다.

주

위 상황에서 \(X_\etale\)의 각 대상 \(U \to X\)에 대하여 \(P_{\bullet, U}\)를 \(\Lambda\) 위의 \(\mathcal{O}_X(U)\)의 표준 분해라 하자. \(\mathbf{A}_{n, U} = \Spec(P_{n, U})\)로 두자. 그러면 \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\)는 \(U\) 위의 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 섬유 범주 \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\)의 쌍대단체 대상이다. 더욱이 주의 08QI에서 논의했듯이, \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\)는 자리 위의 코호몰로지, 보조정리 08Q9에 나오는 \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\)의 쌍대단체 대상이다. 구성 \(U \mapsto \mathbf{A}_{\bullet, U}\)는 \(U\)에 대하여 함자적이므로, \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) 위의 임의의 (아벨) 층 \(\mathcal{F}\)가 주어지면 전층의 복합체 \[U \longmapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{\bullet, U})\] 를 얻으며, 그 코호몰로지 군은 섬유 범주 위의 \(\mathcal{F}\)의 호몰로지를 계산한다. 자리 위의 코호몰로지, 보조정리 08PJ에 의해 그 층화가 \(L_n\pi_!(\mathcal{F})\)를 계산한다. 다시 말해, 차수 \(-n\)의 항이 \(U \mapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{n, U})\)의 층화인 층의 복합체는 \(L\pi_!(\mathcal{F})\)를 계산한다.

이 주의를 바탕으로 이 절의 주요 결과를 진술할 수 있다.

보조정리

위 상황에서 다음 표준 동형이 존재한다. \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\] 이는 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서의 동형이다.

증명

먼저 \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\)의 임의의 대상 \((U \to \mathbf{A})\)에서 층 \(\mathcal{O}\)의 값은 \(\Lambda\) 위의 다항식 대수임을 관찰하자. 따라서 \(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}\)는 평탄한 \(\mathcal{O}\)-가군이고, 보조정리의 명제에서 둘째와 셋째 등식이 성립한다.

주의 08VL에 의해 대상 \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) 는 다음 전층의 복합체의 층화로 계산된다. \[U \mapsto \left(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X\right)(\mathbf{A}_{\bullet, U}) = \Omega_{P_{\bullet, U}/\Lambda} \otimes_{P_{\bullet, U}} \mathcal{O}_X(U) = L_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\] 여기서는 주의 08VL의 표기를 사용했다. 이제 주의 08SX에 의해 \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) 는 \(X_\etale\) 위의 환 준동형 \(\underline{\Lambda} \to \mathcal{O}_X\)의 코탄젠트 복합체를 계산한다. 보조정리 08VG에 의해 이는 바로 원하는 결과이다.

대수공간의 섬유곱과 코탄젠트 복합체

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to B\)와 \(Y \to B\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. 사영 사상 \(p : X \times_B Y \to X\)와 \(q : X \times_B Y \to Y\)를 갖는 섬유곱 \(X \times_B Y\)를 생각하자. 이 절에서는 \(L_{X \times_B Y/B}\)를 논의한다. 원하는 정보의 대부분은 다음 도표에 들어 있다. [09DK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ Lp^*L_{X/B} \ar[r] & L_{X \times_B Y/Y} \ar[r] & E \\ Lp^*L_{X/B} \ar[r] \ar@{=}[u] & L_{X \times_B Y/B} \ar[r] \ar[u] & L_{X \times_B Y/X} \ar[u] \\ & Lq^*L_{Y/B} \ar[u] \ar@{=}[r] & Lq^*L_{Y/B} \ar[u] } } \end{equation}\] 설명: 가운데 행은 사상 \(X \times_B Y \to X \to B\)에 대한 보조정리 08V1의 기본 삼각형이다. 가운데 열은 사상 \(X \times_B Y \to Y \to B\)에 대한 기본 삼각형이다. 다음으로 \(E\)는 오른쪽 위 모서리에 “들어맞는” \(D(\mathcal{O}_{X \times_B Y})\)의 대상이다. 즉, 위쪽 행과 오른쪽 열을 모두 완전 삼각형으로 만든다. 이러한 \(E\)는 왼쪽 아래 정사각형에 유도 범주, 명제 05R0를 적용하면 존재한다 (빈 자리에 \(0\)을 둔다). 더 구체적으로, 예를 들어 \(E\)를 복합체의 사상 \[Lp^*L_{X/B} \oplus Lq^*L_{Y/B} \longrightarrow L_{X \times_B Y/B}\] 의 사상뿔(유도 범주, 정의 014E)로 정의하고, TR3을 적용하여 \(E\)를 공역으로 하는 두 사상을 얻을 수 있다. Tor-독립인 경우 대상 \(E\)는 영이다.

보조정리

위 상황에서 \(X\)와 \(Y\)가 \(B\) 위에서 Tor-독립이면, (09DK)의 대상 \(E\)는 영이다. 이 경우 \[L_{X \times_B Y/B} = Lp^*L_{X/B} \oplus Lq^*L_{Y/B}\]

증명

스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to B\)를 택하자. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to X \times_B W\)를 택하자. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to Y \times_B W\)를 택하자. 그러면 \(U \times_W V \to X \times_B Y\)도 전사 에탈 사상이다. 따라서 \(E\)를 \(U \times_W V\)로 제한한 것이 영임을 보이면 충분하다. 보조정리 08VF와 공간의 유도 범주, 보조정리 08IQ에 의해 스킴의 경우로 환원된다. 적절한 아핀 열린부분을 택하면 아핀 스킴의 경우로 환원된다. 보조정리 08T3를 사용하면 환의 텐서곱의 경우, 즉 보조정리 09DA로 환원된다.

일반적으로 대상 \(E\)에 관해 다음을 말할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(X \to B\)와 \(Y \to B\)를 \(S\) 위의 대수공간의 사상이라 하자. (09DK)의 대상 \(E\)는 \(i = 0, -1\)에 대하여 \(H^i(E) = 0\)을 만족하고, 기하점 \((\overline{x}, \overline{y}) : \Spec(k) \to X \times_B Y\)에 대하여 \[H^{-2}(E)_{(\overline{x}, \overline{y})} = \text{Tor}_1^R(A, B) \otimes_{A \otimes_R B} C\] 여기서 \(R = \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\), \(A = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), \(B = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\)이고 \(C = \mathcal{O}_{X \times_B Y, (\overline{x}, \overline{y})}\)이다.

증명

코탄젠트 복합체의 형성은 줄기 및 당김을 취하는 것과 가환한다. 보조정리 08T0와 08SV를 참조하라. \(C\)는 \(A \otimes_R B\)의 헨젤화임에 주의하자. \(L_{C/R} = L_{A \otimes_R B/R} \otimes_{A \otimes_R B} C\) 는 절 08QY의 결과에서 따른다. 따라서 이 기하점에서 \(E\)의 줄기는 사상 \(L_{A/R} \otimes C \to L_{A \otimes_R B/R} \otimes C\)의 사상뿔이다. 그러므로 보조정리의 결과는 환의 경우, 즉 보조정리 09DB에서 따른다.