Le complexe cotangent

Introduction

Le but de ce chapitre est de construire le complexe cotangent d’un homomorphisme d’anneaux, d’un morphisme de schémas et d’un morphisme d’espaces algébriques. On pourra consulter les notes [quillenhomology], l’article [quillencohomology], ainsi que les livres [Andre] et [cotangent].

Conseils au lecteur

En rédigeant ce chapitre, nous avons cherché à réduire au minimum l’emploi des techniques simpliciales. Nous considérons le choix d’une résolution \(P_\bullet\) d’un anneau \(B\) sur un anneau \(A\) comme un outil pour calculer l’homologie des faisceaux abéliens sur la catégorie \(\mathcal{C}_{B/A}\) ; voir la remarque 08QI. Ce rôle est analogue à celui d’un “bon recouvrement” dans le calcul de la cohomologie au moyen du complexe de Čech. Pour quelques notions d’homologie sur les catégories, voir Cohomologie sur les sites, section 08RW. Le foncteur dérivé gauche \(L\pi_!\) joue pour l’homologie le rôle que \(R\Gamma(\mathcal{C}_{B/A}, -)\) joue pour la cohomologie. La catégorie \(\mathcal{C}_{B/A}\), étudiée dans la section 08PQ, est l’opposée de la catégorie des factorisations \(A \to P \to B\), où \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(A\). Cette catégorie est munie d’homomorphismes de faisceaux d’anneaux \[\underline{A} \longrightarrow \mathcal{O} \longrightarrow \underline{B}\] où, sur l’objet \(U = (P \to B)\), on a \(\mathcal{O}(U) = P\). On obtient alors le complexe cotangent de \(B\) sur \(A\) sous la forme \[L_{B/A} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{B})\] voir le lemme 08PU. Nous nous sommes efforcés d’adopter systématiquement ce point de vue pour démontrer les propriétés élémentaires des complexes cotangents d’homomorphismes d’anneaux. Tous les résultats peuvent notamment se démontrer sans recourir à l’existence de résolutions standard, bien que nous ne l’ayons pas fait. La théorie est tout à fait satisfaisante, à ceci près que la démonstration du triangle fondamental (proposition 08QX) utilise peut-être un peu plus de théorie des foncteurs dérivés gauches. Afin d’offrir une autre voie au lecteur, nous donnons dans les remarques 08SD et 08SE une esquisse assez complète d’une approche fondée sur des propriétés simples des résolutions standard.

Pour traiter le complexe cotangent des morphismes de topos annelés, des morphismes de schémas, des morphismes d’espaces algébriques, etc., notre méthode consiste à déduire autant que possible du cas des “simples homomorphismes d’anneaux” étudié ci-dessus.

Le complexe cotangent d’un homomorphisme d’anneaux

Soit \(A\) un anneau. Notons \(\textit{Alg}_A\) la catégorie des \(A\)-algèbres. Considérons le couple de foncteurs adjoints \((U, V)\) où \(V : \textit{Alg}_A \to \textit{Ensembles}\) est le foncteur d’oubli et où \(U : \textit{Ensembles} \to \textit{Alg}_A\) associe à un ensemble \(E\) l’algèbre polynomiale \(A[E]\) sur \(E\) au-dessus de \(A\). Soit \(X_\bullet\) l’objet simplicial de \(\text{Fun}(\textit{Alg}_A, \textit{Alg}_A)\) construit dans Objets simpliciaux, section 08N8.

Considérons une \(A\)-algèbre \(B\). Notons \(P_\bullet = X_\bullet(B)\) la \(A\)-algèbre simpliciale ainsi obtenue. Rappelons que \(P_0 = A[B]\), \(P_1 = A[A[B]]\), et ainsi de suite. En particulier, chaque terme \(P_n\) est une \(A\)-algèbre polynomiale. Rappelons aussi qu’il existe une augmentation \[\epsilon : P_\bullet \longrightarrow B\] où l’on considère \(B\) comme une \(A\)-algèbre simpliciale constante.

Définition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. La résolution standard de \(B\) sur \(A\) est l’augmentation \(\epsilon : P_\bullet \to B\) dont les termes sont \[P_0 = A[B],\quad P_1 = A[A[B]],\quad \ldots\] et dont les applications sont construites dans Objets simpliciaux, exemple 09CB.

Nous verrons que la résolution standard permet, dans certaines situations, de calculer les foncteurs dérivés gauches.

Définition

Le complexe cotangent \(L_{B/A}\) d’un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\) est le complexe de \(B\)-modules associé au \(B\)-module simplicial \[\Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} B\] où \(\epsilon : P_\bullet \to B\) est la résolution standard de \(B\) sur \(A\).

Dans Objets simpliciaux, section 0194, nous associons un complexe de chaînes à un module simplicial ; ici, toutefois, nous travaillons avec des complexes de cochaînes. Ainsi, le terme \(L_{B/A}^{-n}\) en degré \(-n\) est le \(B\)-module \(\Omega_{P_n/A} \otimes_{P_n, \epsilon_n} B\), et \(L_{B/A}^m = 0\) pour \(m > 0\).

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie des flèches \(\psi : C \to B\) de \(A\)-algèbres, et soit \(\mathcal{S}\) la catégorie des applications \(E \to B\), où \(E\) est un ensemble. On dispose de foncteurs adjoints \(V : \mathcal{A} \to \mathcal{S}\) (le foncteur d’oubli) et \(U : \mathcal{S} \to \mathcal{A}\), qui envoie \(E \to B\) sur \(A[E] \to B\). Soit \(X_\bullet\) l’objet simplicial de \(\text{Fun}(\mathcal{A}, \mathcal{A})\) construit dans Objets simpliciaux, section 08N8. Le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{S} \ar@<1ex>[l] \ar[d] \\ \textit{Alg}_A \ar[r] & \textit{Ensembles} \ar@<1ex>[l] }\] est commutatif. Il en résulte que \(X_\bullet(\text{id}_B : B \to B)\) est égal à la résolution standard de \(B\) sur \(A\).

Lemme

Soit \(A_i \to B_i\) un système d’homomorphismes d’anneaux indexé par un ensemble ordonné filtrant \(I\). Alors \(\colim L_{B_i/A_i} = L_{\colim B_i/\colim A_i}\).

Démonstration

Cela est vrai parce que le foncteur d’oubli \(V : A\textit{-Alg} \to \textit{Ensembles}\) et son adjoint \(U : \textit{Ensembles} \to A\textit{-Alg}\) commutent aux colimites filtrantes. Il en va de même du foncteur \(B/A \mapsto \Omega_{B/A}\) (Algèbre, lemme 031G).

Résolutions simpliciales et foncteur dérivé gauche

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Considérons la catégorie dont les objets sont les homomorphismes de \(A\)-algèbres \(\alpha : P \to B\), où \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(A\) (en un certain ensemble de variables¹), et dont les morphismes \(s : (\alpha : P \to B) \to (\alpha' : P' \to B)\) sont les homomorphismes de \(A\)-algèbres \(s : P \to P'\) tels que \(\alpha' \circ s = \alpha\). Notons \(\mathcal{C} = \mathcal{C}_{B/A}\) la catégorie opposée de cette catégorie. Ce passage à l’opposée vient de ce que nous voulons considérer les objets \((P, \alpha)\) comme correspondant au diagramme de schémas affines \[\xymatrix{ \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & \Spec(P) \ar[ld] \\ \Spec(A) }\] Munissons \(\mathcal{C}\) de la topologie chaotique (Sites, exemple 07GE), c’est-à-dire munissons \(\mathcal{C}\) de la structure de site dans laquelle les recouvrements sont donnés par les identités, de sorte que tout préfaisceau est un faisceau. Munissons en outre \(\mathcal{C}\) de deux faisceaux d’anneaux. Le premier est le faisceau \(\mathcal{O}\) qui associe \(P\) à l’objet \((P, \alpha)\). Le second est le faisceau constant \(B\), que nous noterons \(\underline{B}\). On obtient le diagramme suivant de morphismes de topos annelés [08PR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}), \underline{B}) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(*), B) } } \end{equation}\] Le morphisme \(i\) est l’identité sur les topos sous-jacents, et \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{B}\) est l’homomorphisme évident. L’application \(\pi\) est celle de Cohomologie sur les sites, exemple 08PF. Les foncteurs dérivés suivants joueront un rôle important : \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{B})\) adjoint à gauche de \(Ri_* = i_* : D(\underline{B}) \to D(\mathcal{O})\), et \(L\pi_! : D(\underline{B}) \longrightarrow D(B)\) adjoint à gauche de \(\pi^* = \pi^{-1} : D(B) \to D(\underline{B})\).

Lemme

Avec les notations précédentes, soit \(P_\bullet\) une \(A\)-algèbre simpliciale munie d’une augmentation \(\epsilon : P_\bullet \to B\). Supposons que chaque \(P_n\) soit une algèbre polynomiale sur \(A\) et que \(\epsilon\) soit une fibration de Kan triviale sur les ensembles simpliciaux sous-jacents. Alors \[L\pi_!(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(P_\bullet, \epsilon)\] dans \(D(\textit{Ab})\), resp. \(D(B)\), fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\), resp. \(\textit{Mod}(\underline{B})\).

Démonstration

Nous utiliserons pour cela le critère de Cohomologie sur les sites, lemme 08Q9. Étant donné un objet \(U = (Q, \beta)\) de \(\mathcal{C}\), il faut montrer que \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{C}((P_\bullet, \epsilon), (Q, \beta))\] est homotopiquement équivalent à un singleton. Écrivons \(Q = A[E]\) pour un certain ensemble \(E\) (ce qui est possible par notre choix de la catégorie \(\mathcal{C}\)). On voit que \[S_\bullet = \Mor_{\textit{Ensembles}}((E, \beta|_E), (P_\bullet, \epsilon))\] Soit \(*\) l’ensemble simplicial constant de valeur un singleton. Pour \(b \in B\), soit \(F_{b, \bullet}\) l’ensemble simplicial défini par le diagramme cartésien \[\xymatrix{ F_{b, \bullet} \ar[r] \ar[d] & P_\bullet \ar[d]_\epsilon \\ {*} \ar[r]^b & B }\] Avec cette notation, \(S_\bullet = \prod_{e \in E} F_{\beta(e), \bullet}\). Comme \(\epsilon\) est par hypothèse une fibration de Kan triviale, \(F_{b, \bullet} \to *\) est une fibration de Kan triviale (Objets simpliciaux, lemme 08NN). Ainsi, \(S_\bullet \to *\) est une fibration de Kan triviale (Objets simpliciaux, lemme 08NR). Par conséquent, \(S_\bullet\) est homotopiquement équivalent à \(*\) (Objets simpliciaux, lemme 08NS).

En particulier, on peut employer la résolution standard de \(B\) sur \(A\) pour calculer le foncteur dérivé gauche correspondant.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(\epsilon : P_\bullet \to B\) la résolution standard de \(B\) sur \(A\). Soit \(\pi\) comme dans (08PR). Alors \[L\pi_!(\mathcal{F}) = \mathcal{F}(P_\bullet, \epsilon)\] dans \(D(\textit{Ab})\), resp. \(D(B)\), fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) dans \(\textit{Ab}(\mathcal{C})\), resp. \(\textit{Mod}(\underline{B})\).

Démonstration

Appliquons le lemme 08PS. Puisque les termes \(P_n\) sont des algèbres polynomiales, la première hypothèse de ce lemme est satisfaite. Démontrons la seconde. D’après Objets simpliciaux, lemme 08ND, l’application \(\epsilon\) est une équivalence d’homotopie des ensembles simpliciaux sous-jacents. D’après Objets simpliciaux, lemme 08P2, il en résulte que \(\epsilon\) induit un quasi-isomorphisme des complexes de groupes abéliens associés. D’après Objets simpliciaux, lemme 08P1, cela implique que \(\epsilon\) est une fibration de Kan triviale des ensembles simpliciaux sous-jacents.

Démonstration

Nous utiliserons le critère de Cohomologie sur les sites, lemme 08Q9. Soit \(U = (Q, \beta)\) un objet de \(\mathcal{C}\). Il nous faut montrer que \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{C}((P_\bullet, \epsilon), (Q, \beta))\] est homotopiquement équivalent à un singleton. Écrivons \(Q = A[E]\) pour un certain ensemble \(E\) (ce qui est possible par notre choix de la catégorie \(\mathcal{C}\)). Avec les notations de la remarque 08PP, on voit que \[S_\bullet = \Mor_\mathcal{S}((E \to B), i(P_\bullet \to B))\] D’après Objets simpliciaux, lemme 08ND, l’application \(i(P_\bullet \to B) \to i(B \to B)\) est une équivalence d’homotopie dans \(\mathcal{S}\). Par conséquent, \(S_\bullet\) est homotopiquement équivalent à \[\Mor_\mathcal{S}((E \to B), (B \to B)) = \{*\}\] comme voulu.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soient \(\pi\) et \(i\) comme dans (08PR). Il existe un isomorphisme canonique \[L_{B/A} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/A}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/A}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B})\] dans \(D(B)\).

Démonstration

Pour un objet \(\alpha : P \to B\) de la catégorie \(\mathcal{C}\), le module \(\Omega_{P/A}\) est un \(P\)-module libre. Ainsi, \(\Omega_{\mathcal{O}/A}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat. Par conséquent, \(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/A} = i^*\Omega_{\mathcal{O}/A}\) est le faisceau de \(\underline{B}\)-modules qui associe à \(\alpha : P \to A\) le \(B\)-module \(\Omega_{P/A} \otimes_{P, \alpha} B\). D’après le lemme 08PT, le membre de droite se calcule en évaluant ce faisceau sur la résolution standard ; c’est précisément notre définition du membre de gauche (définition 08PN).

Lemme

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux, alors \(L\pi_!(\pi^{-1}M) = M\), où \(\pi\) est comme dans (08PR).

Démonstration

Cela résulte du lemme 08PS, qui affirme que \(L\pi_!(\pi^{-1}M)\) se calcule par \((\pi^{-1}M)(P_\bullet, \epsilon)\), objet simplicial constant de valeur \(M\).

Lemme

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux, alors \(H^0(L_{B/A}) = \Omega_{B/A}\).

Démonstration

Nous allons le démontrer par un calcul direct, en utilisant l’identification du lemme 08PU. Il existe manifestement un homomorphisme de \(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B}\) vers le faisceau constant de valeur \(\Omega_{B/A}\). Il induit donc un homomorphisme \[H^0(L_{B/A}) = H^0(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B})) = \pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B}) \to \Omega_{B/A}\] En choisissant un objet \(P \to B\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\) tel que \(P \to B\) soit surjectif, on voit que cet homomorphisme est surjectif (d’après Algèbre, lemme 00RR). Pour montrer son injectivité, supposons que \(P \to B\) soit un objet de \(\mathcal{C}_{B/A}\) et que \(\xi \in \Omega_{P/A} \otimes_P B\) soit un élément dont l’image dans \(\Omega_{B/A}\) est nulle. Choisissons d’abord une factorisation \(P \to P' \to B\) telle que \(P' \to B\) soit surjectif et que \(P'\) soit une algèbre polynomiale sur \(A\). Nous pouvons remplacer \(P\) par \(P'\). Si \(B = P/I\), alors le noyau de \(\Omega_{P/A} \otimes_P B \to \Omega_{B/A}\) est l’image de \(I/I^2\) (Algèbre, lemme 00RU). Disons que \(\xi\) est l’image de \(f \in I\). Considérons alors les deux homomorphismes \(a, b : P' = P[x] \to P\) : le premier envoie \(x\) sur \(0\) et le second envoie \(x\) sur \(f\) (dans les deux cas, \(P[x] \to B\) envoie \(x\) sur zéro). On voit que \(\xi\) et \(0\) sont les images de \(\text{d}x \otimes 1\) dans \(\Omega_{P'/A} \otimes_{P'} B\). Ainsi, \(\xi\) et \(0\) ont la même image dans la colimite (voir Cohomologie sur les sites, exemple 08PF) \(\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes \underline{B})\), comme voulu.

Lemme

Si \(B\) est une algèbre polynomiale sur l’anneau \(A\), alors, pour \(\pi\) comme dans (08PR), le foncteur \(\pi_!\) est exact et \(\pi_!\mathcal{F} = \mathcal{F}(B \to B)\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 08PS, qui affirme que l’algèbre simpliciale constante de valeur \(B\) peut servir à calculer \(L\pi_!\).

Lemme

Si \(B\) est une algèbre polynomiale sur l’anneau \(A\), alors \(L_{B/A}\) est quasi-isomorphe à \(\Omega_{B/A}[0]\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des lemmes 08PU et 08QG.

Construction d’une résolution

Dans le cas noethérien de type fini, on peut construire une “petite” résolution simpliciale des homomorphismes d’anneaux de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie des homomorphismes de \(A\)-algèbres \(C \to B\). Soit \(n \geq 0\), et soit \(P_\bullet\) un objet simplicial de \(\mathcal{A}\) tel que :

1. \(P_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux ;

2. \(P_k\) est de type fini sur \(A\) pour \(k \leq n\) ;

3. \(P_\bullet = \text{cosk}_n \text{sk}_n P_\bullet\) comme objets simpliciaux de \(\mathcal{A}\).

Alors \(P_{n + 1}\) est une \(A\)-algèbre de type fini.

Démonstration

Bien que la démonstration que nous allons donner soit directe, elle est un peu laborieuse. Pour en éclairer l’idée, expliquons d’abord ce qui se passe pour les petites valeurs de \(n\), avant de traiter le cas général. Si, par exemple, \(n = 0\), alors (3) signifie que \(P_1 = P_0 \times_B P_0\). Comme l’homomorphisme d’anneaux \(P_0 \to B\) est surjectif, cette algèbre est de type fini sur \(A\) d’après Compléments d’algèbre, lemme 00IT.

Si \(n = 1\), alors (3) signifie que \[P_2 = \{(f_0, f_1, f_2) \in P_1^3 \mid d_0f_0 = d_0f_1,\ d_1f_0 = d_0f_2,\ d_1f_1 = d_1f_2 \}\] où les égalités ont lieu dans \(P_0\). Remarquons que le triplet \[(d_0f_0, d_1f_0, d_1f_1) = (d_0f_1, d_0f_2, d_1f_2)\] est un élément du produit fibré \(P_0 \times_B P_0 \times_B P_0\) au-dessus de \(B\), car les applications \(d_i : P_1 \to P_0\) sont des morphismes au-dessus de \(B\). On obtient donc une application \[\psi : P_2 \longrightarrow P_0 \times_B P_0 \times_B P_0\] La fibre de \(\psi\) au-dessus d’un élément \((g_0, g_1, g_2) \in P_0 \times_B P_0 \times_B P_0\) est l’ensemble des triplets \((f_0, f_1, f_2)\) de \(1\)-simplexes tels que \((d_0, d_1)(f_0) = (g_0, g_1)\), \((d_0, d_1)(f_1) = (g_0, g_2)\) et \((d_0, d_1)(f_2) = (g_1, g_2)\). Puisque \(P_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale, l’application \((d_0, d_1) : P_1 \to P_0 \times_B P_0\) est surjective. Ainsi, \(P_2\) s’insère dans le diagramme cartésien \[\xymatrix{ P_2 \ar[d] \ar[r] & P_1^3 \ar[d] \\ P_0 \times_B P_0 \times_B P_0 \ar[r] & (P_0 \times_B P_0)^3 }\] On conclut par Compléments d’algèbre, lemme 08NI. Le cas général est analogue, mais demande un peu plus de notation.

Traitons le cas \(n > 1\). D’après Objets simpliciaux, lemme 08NJ, la condition \(P_\bullet = \text{cosk}_n \text{sk}_n P_\bullet\) implique que la même égalité vaut dans la catégorie des \(A\)-algèbres simpliciales, puis dans celle des ensembles (car le foncteur d’oubli des \(A\)-algèbres vers les ensembles commute aux limites). Ainsi, \[P_{n + 1} = \Mor(\Delta[n + 1], P_\bullet) = \Mor(\text{sk}_n \Delta[n + 1], \text{sk}_n P_\bullet)\] d’après Objets simpliciaux, lemme 0177, et l’équation (0181). Nous allons démontrer par récurrence sur \(1 \leq k < m \leq n + 1\) que l’anneau \[Q_{k, m} = \Mor(\text{sk}_k \Delta[m], \text{sk}_k P_\bullet)\] est de type fini sur \(A\). Le cas \(k = 1\), \(1 < m \leq n + 1\), est entièrement analogue à la discussion ci-dessus du cas \(n = 1\). Plus précisément, on a un diagramme cartésien \[\xymatrix{ Q_{1, m} \ar[d] \ar[r] & P_1^N \ar[d] \\ P_0 \times_B \ldots \times_B P_0 \ar[r] & (P_0 \times_B P_0)^N }\] où \(N = {m + 1 \choose 2}\). On conclut comme précédemment.

Soit \(1 \leq k_0 \leq n\), et supposons que \(Q_{k, m}\) soit de type fini sur \(A\) pour tous \(1 \leq k \leq k_0\) et \(k < m \leq n + 1\). Pour \(k_0 + 1 < m \leq n + 1\), nous affirmons qu’il existe un carré cartésien \[\xymatrix{ Q_{k_0 + 1, m} \ar[d] \ar[r] & P_{k_0 + 1}^N \ar[d] \\ Q_{k_0, m} \ar[r] & Q_{k_0, k_0 + 1}^N }\] où \(N\) est le nombre de \((k_0 + 1)\)-simplexes non dégénérés de \(\Delta[m]\). En effet, considérons un élément de \(Q_{k_0 + 1, m}\) comme une application \(f\) du \((k_0 + 1)\)-squelette de \(\Delta[m]\) vers \(P_\bullet\). On peut restreindre \(f\) au \(k_0\)-squelette, ce qui donne l’application verticale gauche du diagramme. Sa restriction à chaque \((k_0 + 1)\)-simplexe non dégénéré donne la flèche horizontale supérieure. De plus, se donner un tel \(f\) revient à se donner sa restriction au \(k_0\)-squelette et à chaque \((k_0 + 1)\)-face non dégénérée, pourvu que ces restrictions coïncident sur leurs intersections ; c’est exactement le contenu du diagramme. Enfin, le fait que \(P_\bullet \to B\) soit une fibration de Kan triviale implique que l’application \[P_{k_0} \to Q_{k_0, k_0 + 1} = \Mor(\partial \Delta[k_0 + 1], P_\bullet)\] est surjective, car toute application \(\partial \Delta[k_0 + 1] \to B\) se prolonge en une application \(\Delta[k_0 + 1] \to B\) pour \(k_0 \geq 1\) (nous omettons un petit argument sur les ensembles simpliciaux constants). Par l’hypothèse de récurrence, les anneaux \(Q_{k_0, m}\), \(Q_{k_0, k_0 + 1}\) sont des \(A\)-algèbres de type fini ; il en va donc de même de \(Q_{k_0 + 1, m}\), encore une fois d’après Compléments d’algèbre, lemme 08NI.

Proposition

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Il existe une \(A\)-algèbre simpliciale \(P_\bullet\) munie d’une augmentation \(\epsilon : P_\bullet \to B\) telle que chaque \(P_n\) soit une algèbre polynomiale de type fini sur \(A\) et que \(\epsilon\) soit une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux.

Démonstration

Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie des homomorphismes de \(A\)-algèbres \(C \to B\). Dans cette démonstration, les objets simpliciaux ainsi que les foncteurs squelette et cosquelette seront pris dans cette catégorie.

Choisissons une algèbre polynomiale \(P_0\) de type fini sur \(A\) et une surjection \(P_0 \to B\). En première approximation, prenons \(P_\bullet = \text{cosk}_0(P_0)\). Autrement dit, \(P_\bullet\) est la \(A\)-algèbre simpliciale dont les termes sont \(P_n = P_0 \times_A \ldots \times_A P_0\). (Dans le dernier paragraphe de la démonstration, cet objet simplicial sera noté \(P^0_\bullet\).) D’après Objets simpliciaux, lemme 01AB, l’application \(P_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux. Remarquons aussi que \(P_\bullet = \text{cosk}_0 \text{sk}_0 P_\bullet\).

Supposons que, pour un certain \(n \geq 0\), nous ayons construit \(P_\bullet\) (qui sera noté \(P^n_\bullet\) dans le dernier paragraphe de la démonstration) de telle sorte que :

1. \(P_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux ;

2. \(P_k\) est une algèbre polynomiale de type fini pour \(0 \leq k \leq n\) ;

3. \(P_\bullet = \text{cosk}_n \text{sk}_n P_\bullet\)

D’après le lemme 08PW, il existe une algèbre polynomiale de type fini \(Q\) sur \(A\) et une surjection \(Q \to P_{n + 1}\). Comme \(P_n\) est une algèbre polynomiale, les homomorphismes de \(A\)-algèbres \(s_i : P_n \to P_{n + 1}\) se relèvent en des homomorphismes \(s'_i : P_n \to Q\). Définissons \(d'_j : Q \to P_n\) comme la composée de \(Q \to P_{n + 1}\) et de \(d_j : P_{n + 1} \to P_n\). On obtient un objet simplicial tronqué \(P'_\bullet\) de \(\mathcal{A}\) en posant \(P'_k = P_k\) pour \(k \leq n\) et \(P'_{n + 1} = Q\), en prenant les morphismes \(d'_i = d_i\) et \(s'_i = s_i\) aux degrés \(k \leq n - 1\), puis les morphismes \(d'_j\) et \(s'_i\) au degré \(n\). Prolongeons-le en un objet simplicial complet \(P'_\bullet\) de \(\mathcal{A}\) au moyen de \(\text{cosk}_{n + 1}\). Par fonctorialité des foncteurs cosquelette, il existe un morphisme d’objets simpliciaux \(P'_\bullet \to P_\bullet\) qui prolonge le morphisme donné d’objets simpliciaux \((n + 1)\)-tronqués. (Ce morphisme sera noté \(P^{n + 1}_\bullet \to P^n_\bullet\) dans le dernier paragraphe de la démonstration.)

Notons que les conditions (b) et (c) sont satisfaites par \(P'_\bullet\) après remplacement de \(n\) par \(n + 1\). Nous affirmons que l’application \(P'_\bullet \to P_\bullet\) satisfait aux hypothèses (1), (2), (3) et (4) de Objets simpliciaux, lemme 01A6, avec \(n + 1\) à la place de \(n\). Les conditions (1) et (2) sont vraies par construction. D’après Objets simpliciaux, lemme 08NJ, on a \(P_\bullet = \text{cosk}_{n + 1}\text{sk}_{n + 1}P_\bullet\) et \(P'_\bullet = \text{cosk}_{n + 1}\text{sk}_{n + 1}P'_\bullet\) non seulement dans \(\mathcal{A}\), mais aussi dans la catégorie des \(A\)-algèbres, puis dans celle des ensembles (car le foncteur d’oubli des \(A\)-algèbres vers les ensembles commute à toutes les limites). Cela démontre (3) et (4). Le lemme s’applique donc, et \(P'_\bullet \to P_\bullet\) est une fibration de Kan triviale. D’après Objets simpliciaux, lemme 08NP, on en déduit que \(P'_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale ; la condition (a) est donc également satisfaite.

Pour achever la démonstration, prenons la limite projective \(P_\bullet = \lim P^n_\bullet\) de la suite d’algèbres simpliciales \[\ldots \to P^2_\bullet \to P^1_\bullet \to P^0_\bullet\] construite ci-dessus. L’application \(P_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale d’après Objets simpliciaux, lemme 08NQ. Or la construction ci-dessus se stabilise, en chaque degré, en une algèbre polynomiale de type fini fixée, comme voulu.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Soient \(\pi\), \(\underline{B}\) comme dans (08PR). Si \(\mathcal{F}\) est un \(\underline{B}\)-module tel que \(\mathcal{F}(P, \alpha)\) soit un \(B\)-module fini pour tout \(\alpha : P = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\), alors les modules de cohomologie de \(L\pi_!(\mathcal{F})\) sont des \(B\)-modules finis.

Démonstration

D’après le lemme 08PS et la proposition 08PX, on peut calculer \(L\pi_!(\mathcal{F})\) au moyen d’un complexe construit à partir des valeurs de \(\mathcal{F}\) sur les algèbres polynomiales de type fini.

Lemme

Soit \(A\) un anneau noethérien. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux de type fini. Alors \(H^n(L_{B/A})\) est un \(B\)-module fini pour tout \(n \in \mathbf{Z}\).

Démonstration

Appliquer les lemmes 08PU et 08PY.

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux quelconque. Appelons une \(A\)-algèbre simpliciale augmentée \(\epsilon : P_\bullet \to B\) une résolution de \(B\) sur \(A\) si chaque \(P_n\) est une algèbre polynomiale et si \(\epsilon\) est une fibration de Kan triviale d’ensembles simpliciaux. Si \(P_\bullet \to B\) est une augmentation d’une \(A\)-algèbre simpliciale telle que chaque \(P_n\) soit une algèbre polynomiale se surjectant sur \(B\), alors les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\epsilon : P_\bullet \to B\) est une résolution de \(B\) sur \(A\) ;

2. \(\epsilon : P_\bullet \to B\) est un quasi-isomorphisme sur les complexes associés ;

3. \(\epsilon : P_\bullet \to B\) induit une équivalence d’homotopie d’ensembles simpliciaux.

Pour le voir, utiliser Objets simpliciaux, lemmes 08NS, 08P2 et 08P1. Une résolution \(P_\bullet\) de \(B\) sur \(A\) fournit un objet cosimplicial \(U_\bullet\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\) comme dans Cohomologie sur les sites, lemme 08Q9 et il s’ensuit que \[L\pi_!\mathcal{F} = \mathcal{F}(P_\bullet)\] fonctoriellement en \(\mathcal{F}\) ; voir le lemme 08PS. La partie formelle de la démonstration de la proposition 08PX montre l’existence de résolutions. Nous avons aussi vu, dans la première démonstration du lemme 08PT, que la résolution standard de \(B\) sur \(A\) est une résolution (de sorte que cette terminologie ne crée pas de conflit). Cependant, l’argument de la démonstration de la proposition 08PX établit l’existence de résolutions sans faire appel aux calculs simpliciaux d’Objets simpliciaux, section 08N8. De plus, pour tout choix de résolution, on dispose d’un isomorphisme canonique \[L_{B/A} = \Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} B\] dans \(D(B)\) d’après le lemme 08PU. La liberté de choisir une résolution arbitraire peut être fort utile.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soient \(\pi\), \(\mathcal{O}\), \(\underline{B}\) comme dans (08PR). Pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), on a \[L\pi_!(\mathcal{F}) = L\pi_!(Li^*\mathcal{F}) = L\pi_!(\mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B})\] dans \(D(\textit{Ab})\).

Démonstration

Il suffit de vérifier que les hypothèses de Cohomologie sur les sites, lemme 08RX sont satisfaites pour \(\mathcal{O} \to \underline{B}\) sur \(\mathcal{C}_{B/A}\). Nous utiliserons sans plus le signaler les résultats de la remarque 08QI. Choisissons une résolution \(P_\bullet\) de \(B\) sur \(A\) afin d’obtenir un objet cosimplicial convenable \(U_\bullet\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\). Puisque \(P_\bullet \to B\) induit un quasi-isomorphisme sur les complexes associés de groupes abéliens, on voit que \(L\pi_!\mathcal{O} = B\). D’autre part, \(L\pi_!\underline{B}\) est calculé par \(\underline{B}(U_\bullet) = B\). Cela vérifie la seconde hypothèse de Cohomologie sur les sites, lemme 08RX et achève la démonstration.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soient \(\pi\), \(\mathcal{O}\), \(\underline{B}\) comme dans (08PR). On a \[L\pi_!(\mathcal{O}) = L\pi_!(\underline{B}) = B \quad\text{et}\quad L_{B/A} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A})\] dans \(D(\textit{Ab})\).

Démonstration

C’est une application immédiate du lemme 08QJ (et la première égalité à droite est le lemme 08PU).

Voici un cas particulier du triangle fondamental dont la démonstration est facile.

Lemme

Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes d’anneaux. Si \(B\) est une algèbre polynomiale sur \(A\), alors il existe un triangle distingué \(L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1]\) dans \(D(C)\).

Démonstration

Nous utiliserons sans plus le signaler les observations de la remarque 08QI. Choisissons une résolution \(\epsilon : P_\bullet \to C\) de \(C\) sur \(B\) (par exemple la résolution standard). Puisque \(B\) est une algèbre polynomiale sur \(A\), on voit que \(P_\bullet\) est aussi une résolution de \(C\) sur \(A\). Ainsi, \(L_{C/A}\) est calculé par \(\Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} C\) et \(L_{C/B}\) est calculé par \(\Omega_{P_\bullet/B} \otimes_{P_\bullet, \epsilon} C\). Comme, pour chaque \(n\), on a la suite exacte courte \(0 \to \Omega_{B/A} \otimes_B P_n \to \Omega_{P_n/A} \to \Omega_{P_n/B} \to 0\) (Algèbre, lemme 031K) et comme \(L_{B/A} = \Omega_{B/A}[0]\) (lemme 08QH), on obtient le résultat.

Exemple

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Dans cet exemple, nous allons construire une résolution “explicite” \(P_\bullet\) de \(B\) sur \(A\) de longueur \(2\). Pour ce faire, nous suivons la procédure de la démonstration de la proposition 08PX ; voir aussi la discussion de la remarque 08QI.

Choisissons une surjection \(P_0 = A[u_i] \to B\), où les \(u_i\) forment un ensemble de variables. Choisissons des générateurs \(f_t \in P_0\), \(t \in T\), de l’idéal \(\Ker(P_0 \to B)\). Prenons \(P_1 = A[u_i, x_t]\), avec pour applications de face \(d_0\) et \(d_1\) les uniques homomorphismes de \(A\)-algèbres tels que \(d_j(u_i) = u_i\), \(d_0(x_t) = 0\) et \(d_1(x_t) = f_t\). L’application \(s_0 : P_0 \to P_1\) est l’unique homomorphisme de \(A\)-algèbres tel que \(s_0(u_i) = u_i\). Il est clair que \[P_1 \xrightarrow{d_0 - d_1} P_0 \to B \to 0\] est exacte ; en particulier, l’application \((d_0, d_1) : P_1 \to P_0 \times_B P_0\) est surjective. Ainsi, si \(P_\bullet\) désigne l’algèbre simpliciale \(1\)-tronquée sur \(A\) donnée par \(P_0\), \(P_1\), \(d_0\), \(d_1\) et \(s_0\), alors l’augmentation \(\text{cosk}_1(P_\bullet) \to B\) est une fibration de Kan triviale. L’étape suivante de la procédure de la démonstration de la proposition 08PX consiste à choisir une algèbre polynomiale \(P_2\) et une surjection \[P_2 \longrightarrow \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\] Rappelons que \[\text{cosk}_1(P_\bullet)_2 = \{(g_0, g_1, g_2) \in P_1^3 \mid d_0(g_0) = d_0(g_1), d_1(g_0) = d_0(g_2), d_1(g_1) = d_1(g_2)\}\] En considérant \(g_i \in P_1\) comme un polynôme en les \(x_t\), les conditions sont \[g_0(0) = g_1(0),\quad g_0(f_t) = g_2(0),\quad g_1(f_t) = g_2(f_t)\] Ainsi, \(\text{cosk}_1(P_\bullet)_2\) contient les éléments \(y_t = (x_t, x_t, f_t)\) et \(z_t = (0, x_t, x_t)\). Tout élément \(G\) de \(\text{cosk}_1(P_\bullet)_2\) est de la forme \(G = H + (0, 0, g)\), où \(H\) appartient à l’image de \(A[u_i, y_t, z_t] \to \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\). Ici, \(g \in P_1\) est un polynôme de terme constant nul tel que \(g(f_t) = 0\) dans \(P_0\). Observons que

1. \(g = x_t x_{t'} - f_t x_{t'}\) ;

2. \(g = \sum r_t x_t\) avec \(r_t \in P_0\) si \(\sum r_t f_t = 0\) dans \(P_0\),

sont des éléments de \(P_1\) de la forme voulue. Posons \[Rel = \Ker(\bigoplus\nolimits_{t \in T} P_0 \longrightarrow P_0),\quad (r_t) \longmapsto \sum r_tf_t\] Prenons \(P_2 = A[u_i, y_t, z_t, v_r, w_{t, t'}]\), où \(r = (r_t) \in Rel\), muni de l’application \[P_2 \longrightarrow \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\] définie par \(y_t \mapsto (x_t, x_t, f_t)\), \(z_t \mapsto (0, x_t, x_t)\), \(v_r \mapsto (0, 0, \sum r_t x_t)\) et \(w_{t, t'} \mapsto (0, 0, x_t x_{t'} - f_t x_{t'})\). Un calcul (omis) montre que cette application est surjective. Notre choix de l’application affichée ci-dessus détermine les applications \(d_0, d_1, d_2 : P_2 \to P_1\). Enfin, la procédure de la démonstration de la proposition 08PX nous dit de choisir les applications \(s_0, s_1 : P_1 \to P_2\) relevant les deux applications \(P_1 \to \text{cosk}_1(P_\bullet)_2\). Il est clair que l’on peut prendre pour \(s_i\) les uniques homomorphismes de \(A\)-algèbres déterminés par \(s_0(x_t) = y_t\) et \(s_1(x_t) = z_t\).

Fonctorialité

Dans cette section, nous considérons un carré commutatif [08QM]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ B \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & A' \ar[u] } } \end{equation}\] d’homomorphismes d’anneaux. Nous affirmons qu’il existe une application canonique \(B\)-linéaire de complexes \[L_{B/A} \longrightarrow L_{B'/A'}\] associée à ce diagramme. En effet, si \(P_\bullet \to B\) est la résolution standard de \(B\) sur \(A\) et si \(P'_\bullet \to B'\) est la résolution standard de \(B'\) sur \(A'\), alors il existe une application canonique \(P_\bullet \to P'_\bullet\) de \(A\)-algèbres simpliciales compatible avec les augmentations \(P_\bullet \to B\) et \(P'_\bullet \to B'\). Cela se voit au moyen de la construction des résolutions standard dans Objets simpliciaux, section 08N8, mais, dans le cas particulier qui nous occupe, il suffit probablement de dire simplement que les applications \[P_0 = A[B] \longrightarrow A'[B'] = P'_0,\quad P_1 = A[A[B]] \longrightarrow A'[A'[B']] = P'_1,\] et ainsi de suite sont données par les homomorphismes prescrits \(A \to A'\) et \(B \to B'\). L’application souhaitée \(L_{B/A} \to L_{B'/A'}\) provient alors des applications associées \(\Omega_{P_n/A} \to \Omega_{P'_n/A'}\).

On peut décrire autrement l’application de fonctorialité comme suit. Soient \(\mathcal{C} = \mathcal{C}_{B/A}\) et \(\mathcal{C}' = \mathcal{C}_{B'/A}'\) les catégories considérées dans la section 08PQ. Il existe un foncteur \[u : \mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{C}',\quad (P, \alpha) \longmapsto (P \otimes_A A', c \circ (\alpha \otimes 1))\] où \(c : B \otimes_A A' \to B'\) est l’application évidente. Comme il est expliqué dans Cohomologie sur les sites, exemple 08PH on obtient un morphisme de topos \(g : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) et un diagramme commutatif d’applications de topos annelés [08QN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}'), \underline{B}) \ar[d]_{\pi'} & (\Sh(\mathcal{C}'), \underline{B'}) \ar[d]_{\pi'} \ar[l]^h & (\Sh(\mathcal{C}), \underline{B'}) \ar[d]_\pi \ar[l]^g \\ (\Sh(*), B) & (\Sh(*), B') \ar[l]_f & (\Sh(*), B') \ar[l] } } \end{equation}\] Ici, \(h\) est l’identité sur les topos sous-jacents et est donné, sur les faisceaux d’anneaux, par l’homomorphisme d’anneaux \(B \to B'\). D’après Cohomologie sur les sites, remarque 08PD étant donnés \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}\) et \(\mathcal{F}'\) sur \(\mathcal{C}'\), ainsi qu’une transformation \(t : \mathcal{F} \to g^{-1}\mathcal{F}'\), on obtient une application canonique \(L\pi_!(\mathcal{F}) \to L\pi'_!(\mathcal{F}')\). Appliquons ceci aux faisceaux \[\mathcal{F} : (P, \alpha) \mapsto \Omega_{P/A} \otimes_P B,\quad \mathcal{F}' : (P', \alpha') \mapsto \Omega_{P'/A'} \otimes_{P'} B',\] et à la transformation \(t\) donnée par les applications canoniques \[\Omega_{P/A} \otimes_P B \longrightarrow \Omega_{P \otimes_A A'/A'} \otimes_{P \otimes_A A'} B'\] pour obtenir une application canonique \[L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) \longrightarrow L\pi'_!(\Omega_{\mathcal{O}'/A'} \otimes_{\mathcal{O}'} \underline{B'})\] D’après le lemme 08PU, cela fournit \(L_{B/A} \to L_{B'/A'}\). Nous omettons de vérifier que cette application coïncide avec celle définie ci-dessus à l’aide de résolutions simpliciales.

Lemme

Supposons que (08QM) induise un quasi-isomorphisme \(B \otimes_A^\mathbf{L} A' = B'\). Alors, avec les notations de (08QN) et pour \(\mathcal{F}' \in \textit{Ab}(\mathcal{C}')\), on a \(L\pi_!(g^{-1}\mathcal{F}') = L\pi'_!(\mathcal{F}')\).

Démonstration

Nous utiliserons sans plus le signaler les résultats de la remarque 08QI. Appliquons Cohomologie sur les sites, lemme 08QA. Soit \(P_\bullet \to B\) une résolution. Il suffit de montrer que \(u(P_\bullet) = P_\bullet \otimes_A A' \to B'\) est un quasi-isomorphisme. Le complexe de \(A\)-modules \(s(P_\bullet)\) associé à \(P_\bullet\) (considéré comme un \(A\)-module simplicial) est une résolution par des \(A\)-modules libres de \(B\). En effet, \(P_n\) est un \(A\)-module libre et \(s(P_\bullet) \to B\) est un quasi-isomorphisme. Ainsi, \(B \otimes_A^\mathbf{L} A'\) est calculé par \(s(P_\bullet) \otimes_A A' = s(P_\bullet \otimes_A A')\). L’hypothèse du lemme signifie donc que \(\epsilon' : P_\bullet \otimes_A A' \to B'\) est un quasi-isomorphisme.

Le lemme suivant s’applique en particulier lorsque \(A \to A'\) est plat et que \(B' = B \otimes_A A'\) (changement de base plat).

Lemme

Si (08QM) induit un quasi-isomorphisme \(B \otimes_A^\mathbf{L} A' = B'\), alors l’application de fonctorialité induit un isomorphisme \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B' \longrightarrow L_{B'/A'}\]

Démonstration

Nous utiliserons les notations introduites dans l’équation (08QN). On a \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B' = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) \otimes_B^\mathbf{L} B' = L\pi_!(Lh^*(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}))\] où la première égalité résulte du lemme 08PU et la seconde de Cohomologie sur les sites, lemme 08Q8. Comme \(\Omega_{\mathcal{O}/A}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat, on voit que \(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}\) est un \(\underline{B}\)-module plat. Ainsi, \(Lh^*(\Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}) = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B'}\) qui est égal à \(g^{-1}(\Omega_{\mathcal{O}'/A'} \otimes_{\mathcal{O}'} \underline{B'})\) par inspection. On conclut par le lemme 08QP et par le fait que \(L_{B'/A'}\) est calculé par \(L\pi'_!(\Omega_{\mathcal{O}'/A'} \otimes_{\mathcal{O}'} \underline{B'})\).

Remarque

Supposons donné un carré (08QM) tel qu’il existe une flèche \(\kappa : B \to A'\) qui rende le diagramme commutatif : \[\xymatrix{ B \ar[r]_\beta \ar[rd]_\kappa & B' \\ A \ar[u] \ar[r]^\alpha & A' \ar[u] }\] Dans ce cas, nous affirmons que l’application de fonctorialité \(P_\bullet \to P'_\bullet\) est homotope à la composée \(P_\bullet \to B \to A' \to P'_\bullet\). En effet, au moyen de \(\kappa\), l’application de fonctorialité se factorise sous la forme \[P_\bullet \to P_{A'/A', \bullet} \to P'_\bullet\] où \(P_{A'/A', \bullet}\) est la résolution standard de \(A'\) sur \(A'\). Comme \(A'\) est l’algèbre polynomiale sur l’ensemble vide sur \(A'\), on déduit d’Objets simpliciaux, lemme 08ND, que l’augmentation \(\epsilon_{A'/A'} : P_{A'/A', \bullet} \to A'\) est une équivalence d’homotopie d’anneaux simpliciaux. Observons que l’application inverse à homotopie près \(c : A' \to P_{A'/A', \bullet}\) construite dans la démonstration de ce lemme n’est autre que le morphisme structural ; on obtient donc le résultat voulu, car les deux composées \[\xymatrix{ P_\bullet \ar[r] & P_{A'/A', \bullet} \ar@<1ex>[rr]^{\text{id}} \ar@<-1ex>[rr]_{c \circ \epsilon_{A'/A'}} & & P_{A'/A', \bullet} \ar[r] & P'_\bullet }\] sont les deux applications considérées ci-dessus, et elles sont homotopes (Objets simpliciaux, remarque 08RJ). Puisque la seconde application \(P_\bullet \to P'_\bullet\) induit l’application nulle \(\Omega_{P_\bullet/A} \to \Omega_{P'_\bullet/A'}\), on conclut que, dans ce cas, l’application de fonctorialité \(L_{B/A} \to L_{B'/A'}\) est homotope à zéro.

Lemme

Soient \(A \to B\) et \(A \to C\) des homomorphismes d’anneaux. Alors l’application \(L_{B \times C/A} \to L_{B/A} \oplus L_{C/A}\) est un isomorphisme dans \(D(B \times C)\).

Démonstration

Bien que ce lemme puisse se déduire du triangle fondamental, nous allons en donner maintenant une démonstration directe et élémentaire. Factorisons l’homomorphisme d’anneaux \(A \to B \times C\) sous la forme \(A \to A[x] \to B \times C\), où \(x \mapsto (1, 0)\). D’après le lemme 08SA, on a un triangle distingué \[L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} (B \times C) \to L_{B \times C/A} \to L_{B \times C/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} (B \times C)[1]\] dans \(D(B \times C)\). De même, on a les triangles distingués \[\begin{matrix} L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} B[1] \\ L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/A[x]} \to L_{A[x]/A} \otimes_{A[x]}^\mathbf{L} C[1] \end{matrix}\] Il suffit donc de démontrer le résultat pour \(B \times C\) sur \(A[x]\). Notons que \(A[x] \to A[x, x^{-1}]\) est plat, que \((B \times C) \otimes_{A[x]} A[x, x^{-1}] = B \otimes_{A[x]} A[x, x^{-1}]\), et que \(C \otimes_{A[x]} A[x, x^{-1}] = 0\). Par changement de base (lemme 08QQ), l’application \(L_{B \times C/A[x]} \to L_{B/A[x]} \oplus L_{C/A[x]}\) devient un isomorphisme après inversion de \(x\). De la même manière, on montre que l’application devient un isomorphisme après inversion de \(x - 1\). Cela démontre le lemme.

Le triangle fondamental

Dans cette section, nous considérons une suite d’homomorphismes d’anneaux \(A \to B \to C\). Notre but est de montrer que ce triangle donne naissance à un triangle distingué [08QS]\[\begin{equation} L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1] \end{equation}\] dans \(D(C)\). Cela sera démontré dans la proposition 08QX. Pour une autre approche, voir la remarque 08SD.

Considérons la catégorie \(\mathcal{C}_{C/B/A}\), qui est la catégorie opposée de la catégorie dont les objets sont les \((P \to B, Q \to C)\) tels que

1. \(P\) soit une algèbre polynomiale sur \(A\),

2. \(P \to B\) soit un homomorphisme de \(A\)-algèbres,

3. \(Q\) soit une algèbre polynomiale sur \(P\), et

4. \(Q \to C\) soit un homomorphisme de \(P\)-algèbres.

Nous prenons la catégorie opposée parce que nous voulons voir \((P \to B, Q \to C)\) comme correspondant au diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(C) \ar[d] \ar[r] & \Spec(Q) \ar[d] \\ \Spec(B) \ar[d] \ar[r] & \Spec(P) \ar[dl] \\ \Spec(A) }\] Soient \(\mathcal{C}_{B/A}\), \(\mathcal{C}_{C/A}\) et \(\mathcal{C}_{C/B}\) les catégories considérées dans la section 08PQ. Il existe des foncteurs \[\begin{matrix} u_1 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{B/A}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (P \to B) \\ u_2 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{C/A}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (Q \to C) \\ u_3 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{C/B}, & (P \to B, Q \to C) \mapsto (Q \otimes_P B \to C) \end{matrix}\] Ces foncteurs induisent des morphismes de topos correspondants \(g_i\). Posons \(\mathcal{O}_i = g_i^{-1}\mathcal{O}\) ; nous obtenons ainsi des morphismes de topos annelés [08QT]\[\begin{equation} \begin{matrix} g_1 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_1) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{B/A}), \mathcal{O}) \\ g_2 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_2) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{C/A}), \mathcal{O}) \\ g_3 : (\Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}), \mathcal{O}_3) \longrightarrow (\Sh(\mathcal{C}_{C/B}), \mathcal{O}) \end{matrix} \end{equation}\] Notons \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{C/B/A}) \to \Sh(*)\), \(\pi_1 : \Sh(\mathcal{C}_{B/A}) \to \Sh(*)\), \(\pi_2 : \Sh(\mathcal{C}_{C/A}) \to \Sh(*)\), et \(\pi_3 : \Sh(\mathcal{C}_{C/B}) \to \Sh(*)\), de sorte que \(\pi = \pi_i \circ g_i\). Nous obtiendrons notre triangle distingué à partir de l’identification du complexe cotangent dans le lemme 08PU et des lemmes suivants.

Lemme

Avec les notations de (08QT), posons \[\begin{matrix} \Omega_1 = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B} \text{ sur }\mathcal{C}_{B/A} \\ \Omega_2 = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{C} \text{ sur }\mathcal{C}_{C/A} \\ \Omega_3 = \Omega_{\mathcal{O}/B} \otimes_\mathcal{O} \underline{C} \text{ sur }\mathcal{C}_{C/B} \end{matrix}\] Alors nous avons une suite exacte courte canonique de faisceaux de \(\underline{C}\)-modules \[0 \to g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C} \to g_2^{-1}\Omega_2 \to g_3^{-1}\Omega_3 \to 0\] sur \(\mathcal{C}_{C/B/A}\).

Démonstration

Rappelons que \(g_i^{-1}\) s’obtient simplement par précomposition avec \(u_i\). Pour un objet \(U = (P \to B, Q \to C)\), nous avons une suite exacte courte scindée \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes Q \to \Omega_{Q/A} \to \Omega_{Q/P} \to 0\] par exemple d’après Algèbre, lemme 031K. En tensorisant par \(C\) sur \(Q\), nous obtenons une suite exacte courte \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes C \to \Omega_{Q/A} \otimes C \to \Omega_{Q/P} \otimes C \to 0\] Nous avons \(\Omega_{P/A} \otimes C = \Omega_{P/A} \otimes B \otimes C\) ; c’est donc la valeur de \(g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C}\) en \(U\). Le module \(\Omega_{Q/A} \otimes C\) est la valeur de \(g_2^{-1}\Omega_2\) en \(U\). Nous avons \(\Omega_{Q/P} \otimes C = \Omega_{Q \otimes_P B/B} \otimes C\) d’après Algèbre, lemme 00RV ; c’est donc la valeur de \(g_3^{-1}\Omega_3\) en \(U\). La suite exacte courte du lemme s’obtient ainsi en associant à \(U\) la dernière suite exacte courte affichée.

Lemme

Avec les notations de (08QT), supposons que \(C\) soit une algèbre polynomiale sur \(B\). Alors \(L\pi_!(g_3^{-1}\mathcal{F}) = L\pi_{3, !}\mathcal{F} = \pi_{3, !}\mathcal{F}\) pour tout faisceau abélien \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{C/B}\).

Démonstration

Écrivons \(C = B[E]\) pour un certain ensemble \(E\). Choisissons une résolution \(P_\bullet \to B\) de \(B\) sur \(A\). Pour tout \(n\), considérons l’objet \(U_n = (P_n \to B, P_n[E] \to C)\) de \(\mathcal{C}_{C/B/A}\). Alors \(U_\bullet\) est un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}_{C/B/A}\). Notons que \(u_3(U_\bullet)\) est l’objet cosimplicial constant de \(\mathcal{C}_{C/B}\) de valeur \((C \to C)\). Nous allons démontrer que l’objet \(U_\bullet\) de \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) satisfait aux hypothèses de Cohomologie sur les sites, lemme 08Q9. Cela implique le lemme, car on voit ainsi que \(L\pi_!(g_3^{-1}\mathcal{F})\) est calculé par le groupe abélien simplicial constant \(\mathcal{F}(C \to C)\), qui est la valeur de \(L\pi_{3, !}\mathcal{F} = \pi_{3, !}\mathcal{F}\) d’après le lemme 08QG.

Soit \(U = (\beta : P \to B, \gamma : Q \to C)\) un objet de \(\mathcal{C}_{C/B/A}\). Nous pouvons écrire \(P = A[S]\) et \(Q = A[S \amalg T]\), par définition de notre catégorie \(\mathcal{C}_{C/B/A}\). Nous devons montrer que \[\Mor_{\mathcal{C}_{C/B/A}}(U_\bullet, U)\] est homotopiquement équivalent au singleton simplicial \(*\). Observons que cet ensemble simplicial est le produit \[\prod\nolimits_{s \in S} F_s \times \prod\nolimits_{t \in T} F'_t\] où \(F_s\) est l’ensemble simplicial correspondant à \(U_s = (A[\{s\}] \to B, A[\{s\}] \to C)\) et \(F'_t\) est l’ensemble simplicial correspondant à \(U_t = (A \to B, A[\{t\}] \to C)\). En effet, l’objet \(U\) est le produit \(\prod U_s \times \prod U_t\) dans \(\mathcal{C}_{C/B/A}\). Il suffit que chaque \(F_s\) et chaque \(F'_t\) soit homotopiquement équivalent à \(*\) ; voir Simplicial, lemme 08Q4. Le cas de \(F_s\) résulte de ce que \(P_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale (puisqu’il s’agit d’une résolution) et que \(F_s\) est la fibre de cette application au-dessus de \(\beta(s)\). (Utiliser Simplicial, lemmes 08NN et 08NS). Le cas de \(F'_t\) est plus intéressant. Il s’agit ici d’affirmer que la fibre de \[P_\bullet[E] \longrightarrow C = B[E]\] au-dessus de \(\gamma(t) \in C\) est homotopiquement équivalente à un point. En fait, nous allons montrer que cette application est une fibration de Kan triviale. En effet, \(P_\bullet \to B\) est une fibration de Kan triviale. Pour tout anneau \(R\), nous avons \[R[E] = \colim_{\Sigma \subset \text{Map}(E, \mathbf{Z}_{\geq 0})\text{ finite}} \prod\nolimits_{I \in \Sigma} R\] (colimite filtrante). Ainsi, l’application affichée d’ensembles simpliciaux est une colimite filtrante de fibrations de Kan triviales, donc une fibration de Kan triviale d’après Simplicial, lemme 08Q5.

Lemme

Avec les notations de (08QT), nous avons \(Lg_{i, !} \circ g_i^{-1} = \text{id}\) for \(i = 1, 2, 3\) et par conséquent aussi \(L\pi_! \circ g_i^{-1} = L\pi_{i, !}\) pour \(i = 1, 2, 3\).

Démonstration

Démonstration pour \(i = 1\). Nous affirmons que le foncteur \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) est une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}_{B/A}\). En effet, supposons donnés \((P \to B, Q \to C)\) et un morphisme \((P' \to B) \to (P \to B)\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\). Rappelons que cela signifie que nous avons un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(P \to P'\) compatible aux applications vers \(B\). Posons alors \(Q' = Q \otimes_P P'\), muni de l’application induite vers \(C\) ; le morphisme \[(P' \to B, Q' \to C) \longrightarrow (P \to B, Q \to C)\] dans \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) (noter à nouveau le renversement des flèches) est fortement cartésien dans \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) au-dessus de \(\mathcal{C}_{B/A}\). Observons en outre que la catégorie fibre de \(u_1\) au-dessus de \(P \to B\) est la catégorie \(\mathcal{C}_{C/P}\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}_{B/A}\). Puisque nous avons une catégorie fibrée, nous pouvons appliquer Cohomologie sur les sites, lemme 08PJ. Ainsi, \(L_ng_{1, !}g_1^{-1}\mathcal{F}\) est le (pré)faisceau qui associe à \(U \in \Ob(\mathcal{C}_{B/A})\) la \(n\)-ième homologie de \(g_1^{-1}\mathcal{F}\) restreint à la catégorie fibre au-dessus de \(U\). Comme ces restrictions sont constantes, le résultat voulu découle du lemme 08QE, grâce aux identifications des catégories fibres données ci-dessus.

Le cas \(i = 2\). Nous affirmons que \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) est une catégorie fibrée sur \(\mathcal{C}_{C/A}\). En effet, supposons donnés \((P \to B, Q \to C)\) et un morphisme \((Q' \to C) \to (Q \to C)\) de \(\mathcal{C}_{C/A}\). Rappelons que cela signifie que nous avons un homomorphisme de \(B\)-algèbres \(Q \to Q'\) compatible aux applications vers \(C\). Alors \[(P \to B, Q' \to C) \longrightarrow (P \to B, Q \to C)\] est fortement cartésien dans \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) au-dessus de \(\mathcal{C}_{C/A}\). Notons que la catégorie fibre de \(u_2\) au-dessus de \(Q \to C\) possède un objet final (attention au renversement des flèches), à savoir \((A \to B, Q \to C)\). Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}_{C/A}\). Puisque nous avons une catégorie fibrée, nous pouvons appliquer Cohomologie sur les sites, lemme 08PJ. Ainsi, \(L_ng_{2, !}g_2^{-1}\mathcal{F}\) est le (pré)faisceau qui associe à \(U \in \Ob(\mathcal{C}_{C/A})\) la \(n\)-ième homologie de \(g_1^{-1}\mathcal{F}\) restreint à la catégorie fibre au-dessus de \(U\). Comme ces restrictions sont constantes, le résultat voulu découle de Cohomologie sur les sites, lemme 08Q7, puisque les catégories fibres possèdent toutes des objets finals.

Le cas \(i = 3\). Dans ce cas, nous appliquerons Cohomologie sur les sites, lemme 08PK à \(u = u_3 : \mathcal{C}_{C/B/A} \to \mathcal{C}_{C/B}\) et à \(\mathcal{F}' = g_3^{-1}\mathcal{F}\), où \(\mathcal{F}\) est un faisceau abélien sur \(\mathcal{C}_{C/B}\). Supposons que \(U = (\overline{Q} \to C)\) soit un objet de \(\mathcal{C}_{C/B}\). Alors \(\mathcal{I}_U = \mathcal{C}_{\overline{Q}/B/A}\) (attention encore au renversement des flèches). Le faisceau \(\mathcal{F}'_U\) est donné par la règle \((P \to B, Q \to \overline{Q}) \mapsto \mathcal{F}(Q \otimes_P B \to C)\). Autrement dit, ce faisceau est l’image inverse d’un faisceau sur \(\mathcal{C}_{\overline{Q}/C}\) par le morphisme \(\Sh(\mathcal{C}_{\overline{Q}/B/A}) \to \Sh(\mathcal{C}_{\overline{Q}/B})\). Le lemme 08QV montre donc que \(H_n(\mathcal{I}_U, \mathcal{F}'_U) = 0\) for \(n > 0\) et est égal à \(\mathcal{F}(\overline{Q} \to C)\) pour \(n = 0\). Le lemme de Cohomologie sur les sites déjà cité, 08PK implique que \(Lg_{3, !}(g_3^{-1}\mathcal{F}) = \mathcal{F}\), ce qui achève la démonstration.

Proposition

Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes d’anneaux. Il existe un triangle distingué canonique \[L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C \to L_{C/A} \to L_{C/B} \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C[1]\] dans \(D(C)\).

Démonstration

Considérons la suite exacte courte de faisceaux du lemme 08QU et appliquons-lui le foncteur dérivé \(L\pi_!\) ; nous obtenons un triangle distingué \[L\pi_!(g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C}) \to L\pi_!(g_2^{-1}\Omega_2) \to L\pi_!(g_3^{-1}\Omega_3) \to L\pi_!(g_1^{-1}\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C})[1]\] dans \(D(C)\). Les lemmes 08QW et 08PU montrent que les deuxième et troisième termes s’identifient respectivement à \(L_{C/A}\) et \(L_{C/B}\), tandis que le premier est égal à \[L\pi_{1, !}(\Omega_1 \otimes_{\underline{B}} \underline{C}) = L\pi_{1, !}(\Omega_1) \otimes_B^\mathbf{L} C = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C\] La première égalité résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 08Q8 (et de la platitude de \(\Omega_1\) comme faisceau de modules sur \(\underline{B}\)), et la seconde du lemme 08PU.

Remarque

Esquissons une autre démonstration, peut-être plus simple, de l’existence du triangle fondamental. Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes d’anneaux et supposons que \(B \to C\) soit injectif. Soit \(P_\bullet \to B\) la résolution standard de \(B\) sur \(A\), et soit \(Q_\bullet \to C\) la résolution standard de \(C\) sur \(B\). Représentons-les ainsi : \[\xymatrix{ P_\bullet : & A[A[A[B]]] \ar[d] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[B]] \ar[d] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[B] \ar[d] \ar@<0ex>[l] \ar[r] & B \\ Q_\bullet : & A[A[A[C]]] \ar@<2ex>[r] \ar@<0ex>[r] \ar@<-2ex>[r] & A[A[C]] \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] \ar@<1ex>[l] \ar@<-1ex>[l] & A[C] \ar@<0ex>[l] \ar[r] & C }\] Puisque \(B \to C\) est injectif, observons que l’anneau \(Q_n\) est une algèbre polynomiale sur \(P_n\) pour tout \(n\). Nous obtenons donc un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}_{C/B/A}\) (attention au renversement des flèches). Posons maintenant \(\overline{Q}_\bullet = Q_\bullet \otimes_{P_\bullet} B\). Le point clef de la démonstration de la proposition 08QX consiste à montrer que \(\overline{Q}_\bullet\) est une résolution de \(C\) sur \(B\). Cela résulte de Cohomologie sur les sites, lemme 08RX appliqué à \(\mathcal{C} = \Delta\), \(\mathcal{O} = P_\bullet\), \(\mathcal{O}' = B\) et \(\mathcal{F} = Q_\bullet\) (on utilise ici que \(Q_n\) est plat sur \(P_n\) ; pour relier les modules simpliciaux aux faisceaux, voir Cohomologie sur les sites, remarque 08QD). Ce fait clef implique que le triangle distingué de la proposition 08QX est celui qui est associé à la suite exacte courte de \(C\)-modules simpliciaux \[0 \to \Omega_{P_\bullet/A} \otimes_{P_\bullet} C \to \Omega_{Q_\bullet/A} \otimes_{Q_\bullet} C \to \Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet} C \to 0\] qui se déduit des suites exactes courtes \(0 \to \Omega_{P_n/A} \otimes_{P_n} Q_n \to \Omega_{Q_n/A} \to \Omega_{Q_n/P_n} \to 0\) of Algèbre, lemme 031K. En effet, d’après la remarque 08QI et le fait clef, le complexe du membre de droite représente \(L_{C/B}\) dans \(D(C)\).

Si \(B \to C\) n’est pas injectif, nous pouvons appliquer ce qui précède pour obtenir un triangle fondamental pour \(A \to B \to B \times C\). Puisque \(L_{B \times C/B} \to L_{B/B} \oplus L_{C/B}\) et \(L_{B \times C/A} \to L_{B/A} \oplus L_{C/A}\) constituent des quasi-isomorphismes dans \(D(B \times C)\) (lemme 08SC) cela induit le triangle distingué voulu dans \(D(C)\) en tensorisant par l’homomorphisme plat d’anneaux \(B \times C \to C\).

Remarque

Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes d’anneaux, avec \(B \to C\) injectif. Rappelons les notations \(P_\bullet\), \(Q_\bullet\) et \(\overline{Q}_\bullet\) de la remarque 08SD. Soit \(R_\bullet\) la résolution standard de \(C\) sur \(B\). Dans cette remarque, nous expliquons comment obtenir l’identification canonique de \(\Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet} C\) à \(L_{C/B} = \Omega_{R_\bullet/B} \otimes_{R_\bullet} C\). Soit \(S_\bullet \to B\) la résolution standard de \(B\) sur \(B\). Notons que l’application de fonctorialité \(S_\bullet \to R_\bullet\) fait de \(R_n\) une algèbre polynomiale sur \(S_n\), puisque \(B \to C\) est injectif. Par exemple, en degré \(0\), nous avons l’application \(B[B] \to B[C]\) ; en degré \(1\), l’application \(B[B[B]] \to B[B[C]]\) ; et ainsi de suite. Par conséquent, \(\overline{R}_\bullet = R_\bullet \otimes_{S_\bullet} B\) est elle aussi une algèbre polynomiale simpliciale sur \(B\), et il résulte (comme dans la remarque 08SD) de Cohomologie sur les sites, lemme 08RX que \(\overline{R}_\bullet \to C\) est une résolution. Comme nous avons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ Q_\bullet \ar[r] & R_\bullet \\ P_\bullet \ar[u] \ar[r] & S_\bullet \ar[u] \ar[r] & B }\] nous obtenons une application canonique \(\overline{Q}_\bullet = Q_\bullet \otimes_{P_\bullet} B \to \overline{R}_\bullet\). Les applications \[L_{C/B} = \Omega_{R_\bullet/B} \otimes_{R_\bullet} C \longrightarrow \Omega_{\overline{R}_\bullet/B} \otimes_{\overline{R}_\bullet} C \longleftarrow \Omega_{\overline{Q}_\bullet/B} \otimes_{\overline{Q}_\bullet} C\] sont alors des quasi-isomorphismes (remarque 08QI), et composer l’une avec l’inverse de l’autre donne l’identification voulue.

Localisation et homomorphismes d’anneaux étales

Dans cette section, nous étudions ce qui se passe lorsque nous localisons nos anneaux. Soient \(A \to A' \to B\) des homomorphismes d’anneaux tels que \(B = B \otimes_A^\mathbf{L} A'\). C’est le cas, par exemple, si \(A' = S^{-1}A\) est le localisé de \(A\) par une partie multiplicative \(S \subset A\). Dans ce cas, pour un faisceau abélien \(\mathcal{F}'\) sur \(\mathcal{C}_{B/A'}\), l’homologie de \(g^{-1}\mathcal{F}'\) sur \(\mathcal{C}_{B/A}\) coïncide avec celle de \(\mathcal{F}'\) sur \(\mathcal{C}_{B/A'}\) ; voir le lemme 08QP pour un énoncé précis.

Lemme

Soient \(A \to A' \to B\) des homomorphismes d’anneaux tels que \(B = B \otimes_A^\mathbf{L} A'\). Alors \(L_{B/A} = L_{B/A'}\) dans \(D(B)\).

Démonstration

D’après la discussion précédente (c’est-à-dire en utilisant le lemme 08QP) et le lemme 08PU, il nous faut montrer que le faisceau défini sur \(\mathcal{C}_{B/A}\) par la règle \((P \to B) \mapsto \Omega_{P/A} \otimes_P B\) est l’image inverse du faisceau défini par la règle \((P \to B) \mapsto \Omega_{P/A'} \otimes_P B\). Le foncteur image inverse \(g^{-1}\) s’obtient en précomposant avec le foncteur \(u : \mathcal{C}_{B/A} \to \mathcal{C}_{B/A'}\), \((P \to B) \mapsto (P \otimes_A A' \to B)\). Il nous faut donc montrer que \[\Omega_{P/A} \otimes_P B = \Omega_{P \otimes_A A'/A'} \otimes_{(P \otimes_A A')} B\] D’après Algèbre, lemme 00RV, le membre de droite est égal à \[(\Omega_{P/A} \otimes_A A') \otimes_{(P \otimes_A A')} B\] Comme \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(A\), le module \(\Omega_{P/A}\) est libre et l’égalité est évidente.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux tel que \(B = B \otimes_A^\mathbf{L} B\). Alors \(L_{B/A} = 0\) dans \(D(B)\).

Démonstration

Cela résulte de \(L_{B/A} = L_{B/B} = 0\), d’après les lemmes 08QZ et 08QH.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux tel que \(\text{Tor}^A_i(B, B) = 0\) pour \(i > 0\) et tel que \(L_{B/B \otimes_A B} = 0\). Alors \(L_{B/A} = 0\) dans \(D(B)\).

Démonstration

D’après le lemme 08QQ, on a \(L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} (B \otimes_A B) = L_{B \otimes_A B/B}\). Utilisons maintenant le triangle distingué (08QS) \[L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B \to L_{B/B} \to L_{B/B \otimes_A B} \to L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B[1]\] associé aux homomorphismes d’anneaux \(B \to B \otimes_A B \to B\), ainsi que l’annulation de \(L_{B/B}\) (lemme 08QH) et celle, supposée, de \(L_{B/B \otimes_A B}\), pour obtenir \[0 = L_{B \otimes_A B/B} \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} (B \otimes_A B) \otimes^\mathbf{L}_{(B \otimes_A B)} B = L_{B/A}\] comme voulu.

Lemme

Le complexe cotangent \(L_{B/A}\) est nul dans chacun des cas suivants :

1. \(A \to B\) et \(B \otimes_A B \to B\) sont plats, c’est-à-dire que \(A \to B\) est faiblement étale (Compléments sur l’algèbre, définition 092B),

2. \(A \to B\) est un épimorphisme plat d’anneaux,

3. \(B = S^{-1}A\) pour une partie multiplicative \(S \subset A\),

4. \(A \to B\) est non ramifié et plat,

5. \(A \to B\) est étale,

6. \(A \to B\) est une colimite filtrante d’homomorphismes d’anneaux dont le complexe cotangent s’annule,

7. \(B\) est un hensélisé d’un anneau local de \(A\),

8. \(B\) est un hensélisé strict d’un anneau local de \(A\), et

9. ajouter ici d’autres cas.

Démonstration

Dans le cas (1), nous pouvons appliquer le lemme 08R0 à l’homomorphisme d’anneaux plat surjectif \(B \otimes_A B \to B\) pour conclure que \(L_{B/B \otimes_A B} = 0\), puis le lemme 08R1 permet de conclure. Les cas (2) – (5) sont tous des cas particuliers de (1). L’assertion (6) résulte du lemme 08S9. Les assertions (7) et (8) résultent du fait que les hensélisés (stricts) sont des colimites filtrantes d’extensions d’anneaux étales de \(A\) ; voir Algèbre, lemmes 04GV et 04GW.

Lemme

Soient \(A \to B \to C\) des homomorphismes d’anneaux tels que \(L_{C/B} = 0\). Alors \(L_{C/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} C\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du triangle distingué (08QS).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux, et soient \(S \subset A\) et \(T \subset B\) des parties multiplicatives telles que \(S\) s’envoie dans \(T\). Alors \(L_{T^{-1}B/S^{-1}A} = L_{B/A} \otimes_B T^{-1}B\) dans \(D(T^{-1}B)\).

Démonstration

D’après le lemme 08R3, \(L_{T^{-1}B/A} = L_{B/A} \otimes_B T^{-1}B\) et, d’après le lemme 08QZ, \(L_{T^{-1}B/A} = L_{T^{-1}B/S^{-1}A}\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme local d’anneaux locaux. Notons \(A^h \to B^h\), resp. \(A^{sh} \to B^{sh}\), les homomorphismes induits entre hensélisés, resp. hensélisés stricts. Alors \[L_{B^h/A^h} = L_{B^h/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^h \quad\text{resp.}\quad L_{B^{sh}/A^{sh}} = L_{B^{sh}/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^{sh}\] dans \(D(B^h)\), resp. \(D(B^{sh})\).

Démonstration

Les complexes \(L_{A^h/A}\), \(L_{A^{sh}/A}\), \(L_{B^h/B}\) et \(L_{B^{sh}/B}\) sont tous nuls d’après le lemme 08R2. En appliquant le triangle distingué fondamental (08QS) à \(A \to B \to B^h\), nous obtenons \(L_{B^h/A} = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} B^h\). Le triangle fondamental appliqué à \(A \to A^h \to B^h\) donne \(L_{B^h/A^h} = L_{B^h/A}\). Le raisonnement est le même pour les hensélisés stricts.

Homomorphismes d’anneaux lisses

Soit \(C \to B\) une surjection d’anneaux de noyau \(I\). Disons qu’un tel homomorphisme d’anneaux est « faiblement quasi régulier » si \(I/I^2\) est un \(B\)-module plat et si \(\text{Tor}_*^C(B, B)\) est l’algèbre extérieure de \(I/I^2\). Pour généraliser aux « homomorphismes d’anneaux lisses » ce qui est fait dans le lemme 08R2 pour les « homomorphismes d’anneaux étales », il convient de considérer les homomorphismes plats \(A \to B\) tels que l’homomorphisme de multiplication \(B \otimes_A B \to B\) soit faiblement quasi régulier. Pour le moment, nous nous en tenons aux homomorphismes d’anneaux lisses.

Lemme

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’anneaux lisse, alors \(L_{B/A} = \Omega_{B/A}[0]\).

Démonstration

L’identification en degré cohomologique \(0\) est donnée par le lemme 08QF. Il suffit donc de montrer que les autres groupes de cohomologie sont nuls. Il suffit de le faire localement sur \(\Spec(B)\), puisque \(L_{B_g/A} = (L_{B/A})_g\) pour \(g \in B\) d’après le lemme 08R3. Nous pouvons ainsi supposer que \(A \to B\) est lisse standard (Algèbre, lemme 00TA), c’est-à-dire que \(A \to B\) se factorise sous la forme \(A \to A[x_1, \ldots, x_n] \to B\), où \(A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) est étale. Dans ce cas, les lemmes 08R2 et 08R3 montrent que \(L_{B/A} = L_{A[x_1, \ldots, x_n]/A} \otimes B\) d’où la conclusion par le lemme 08QH.

Caractéristique positive

Dans cette section, nous fixons un nombre premier \(p\). Si \(A\) est un anneau tel que \(p = 0\) dans \(A\), alors \(F_A : A \to A\) désigne l’endomorphisme de Frobenius \(a \mapsto a^p\).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux tel que \(p = 0\) dans \(A\). Soit \(P_\bullet\) la résolution standard de \(B\) sur \(A\). L’application \(P_\bullet \to P_\bullet\) induite par le diagramme \[\xymatrix{ B \ar[r]_{F_B} & B \\ A \ar[u] \ar[r]^{F_A} & A \ar[u] }\] considéré dans la section 08QL est homotope à l’endomorphisme de Frobenius \(P_\bullet \to P_\bullet\) donné par Frobenius sur chaque \(P_n\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{A}\) la catégorie des homomorphismes de \(\mathbf{F}_p\)-algèbres \(A \to B\). Soit \(\mathcal{S}\) la catégorie des couples \((A, E)\), où \(A\) est une \(\mathbf{F}_p\)-algèbre et \(E\) un ensemble. Considérons les foncteurs adjoints \[V : \mathcal{A} \to \mathcal{S}, \quad (A \to B) \mapsto (A, B)\] et \[U : \mathcal{S} \to \mathcal{A}, \quad (A, E) \mapsto (A \to A[E])\] Soit \(X\) l’objet simplicial de la catégorie des foncteurs de \(\mathcal{A}\) dans \(\mathcal{A}\) construit dans Simplicial, section 08N8. Il est clair que \(P_\bullet = X(A \to B)\) car, si l’on fixe \(A\), alors.

Posons \(Y = U \circ V\). Rappelons que \(X\) est construit à partir de \(Y\) et de certaines applications, et que ses termes sont \(X_n = Y \circ \ldots \circ Y\), avec \(n + 1\) facteurs ; la construction est donnée dans Simplicial, exemple 0G5M, et l’on trouvera les détails dans la démonstration de Simplicial, lemme 08NC.

Soit \(f : \text{id}_\mathcal{A} \to \text{id}_\mathcal{A}\) l’endomorphisme de Frobenius du foncteur identité. Autrement dit, posons \(f_{A \to B} = (F_A, F_B) : (A \to B) \to (A \to B)\). Nos deux applications sur \(X(A \to B)\) sont alors données par les transformations naturelles \(f \star 1_X\) et \(1_X \star f\). Nous omettons les détails. On conclut donc par Simplicial, lemme 0G5S.

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et supposons que \(p = 0\) dans \(A\). L’application \(L_{B/A} \to L_{B/A}\) de la section 08QL induite par les applications de Frobenius \(F_A\) et \(F_B\) est homotope à zéro.

Démonstration

Soit \(P_\bullet\) la résolution standard de \(B\) sur \(A\). D’après le lemme 0G5Y, l’application \(P_\bullet \to P_\bullet\) induite par \(F_A\) et \(F_B\) est homotope à l’application \(F_{P_\bullet} : P_\bullet \to P_\bullet\) donnée par Frobenius sur chaque terme. On obtient donc le résultat voulu, puisque \(F_{P_\bullet}\) induit manifestement l’application nulle \(\Omega_{P_n/A} \to \Omega_{P_n/A}\) (la dérivée d’une puissance \(p\)-ième étant nulle).

Lemme

Soit \(p\) un nombre premier. Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux et supposons que \(p = 0\) dans \(A\). Si \(A\) et \(B\) sont parfaits, alors \(L_{B/A}\) est nul dans \(D(B)\).

Démonstration

L’application \((F_A, F_B) : (A \to B) \to (A \to B)\) est un isomorphisme et induit donc un isomorphisme sur \(L_{B/A}\) ; d’autre part, elle induit zéro sur \(L_{B/A}\) d’après le lemme 0G5Z.

Comparaison avec le complexe cotangent naïf

Le complexe cotangent naïf a été introduit dans Algèbre, section 00S0.

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Travaillons sur \(\mathcal{C}_{B/A}\) comme dans la section 08PQ, et notons \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}\) le noyau de \(\mathcal{O} \to \underline{B}\). Remarquons que \(L\pi_!(\mathcal{J}) = 0\) d’après le lemme 08QK. Posons \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}\) de sorte que \(L_{B/A} = L\pi_!(\Omega)\) d’après le lemme 08PU. Il s’ensuit que \(L\pi_!(\mathcal{J} \to \Omega) = L\pi_!(\Omega) = L_{B/A}\). Ainsi, pour tout objet \(U = (P \to B)\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\), nous obtenons une application [08R8]\[\begin{equation} (J \to \Omega_{P/A} \otimes_P B) \longrightarrow L_{B/A} \end{equation}\] où \(J = \Ker(P \to B)\) dans \(D(A)\) ; voir Cohomologie sur les sites, remarque 08Q6. Poursuivant de cette façon, remarquons que \(L\pi_!(\mathcal{J} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B}) = L\pi_!(\mathcal{J}) = 0\) by lemme 08QJ. Comme \(\text{Tor}_0^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}) = \mathcal{J}/\mathcal{J}^2\), la suite spectrale \[H_p(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_q^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B})) \Rightarrow H_{p + q}(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} \underline{B}) = 0\] (duale de Catégories dérivées, lemme 015J) implique que \(H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) = 0\) et \(H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) = 0\). Il s’ensuit que le complexe de \(\underline{B}\)-modules \(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega\) vérifie \(\tau_{\geq -1}L\pi_!(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega) = \tau_{\geq -1}L_{B/A}\). Ainsi, pour tout objet \(U = (P \to B)\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\), nous obtenons une application [08R9]\[\begin{equation} (J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B) \longrightarrow \tau_{\geq -1}L_{B/A} \end{equation}\] dans \(D(B)\) ; voir Cohomologie sur les sites, remarque 08Q6.

Le premier cas est celui d’une surjection d’anneaux.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux surjectif de noyau \(I\). Alors \(H^0(L_{B/A}) = 0\) et \(H^{-1}(L_{B/A}) = I/I^2\). Cet isomorphisme provient de l’application (08R9) pour l’objet \((A \to B)\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\).

Démonstration

Nous allons montrer ci-dessous (en utilisant la surjectivité de \(A \to B\)) qu’il existe une suite exacte courte \[0 \to \pi^{-1}(I/I^2) \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to \Omega \to 0\] de faisceaux sur \(\mathcal{C}_{B/A}\). En appliquant \(L\pi_!\), puis la suite exacte longue d’homologie associée, et en utilisant l’annulation de \(H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2)\) et de \(H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2)\) établie dans la remarque 08R7, nous obtenons le résultat voulu grâce au lemme 08QE.

Il reste à vérifier l’énoncé local mentionné ci-dessus. Pour tout objet \(U = (P \to B)\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\), nous pouvons choisir un isomorphisme \(P = A[E]\) tel que l’homomorphisme \(P \to B\) envoie chaque \(e \in E\) sur zéro. Alors \(J = \mathcal{J}(U) \subset P = \mathcal{O}(U)\) est égal à \(J = IP + (e; e \in E)\). La valeur en \(U\) de la suite exacte courte de faisceaux ci-dessus est la suite \[0 \to I/I^2 \to J/J^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B \to 0\] Nous omettons la vérification (indication : le seul point délicat est l’égalité \(IP \cap J^2 = IJ\), qui résulte par exemple de Compléments sur l’algèbre, lemme 0666).

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Alors \(\tau_{\geq -1}L_{B/A}\) est canoniquement quasi-isomorphe au complexe cotangent naïf.

Démonstration

Considérons \(P = A[B] \to B\), de noyau \(I\). Le complexe cotangent naïf \(\NL_{B/A}\) de \(B\) sur \(A\) est le complexe \(I/I^2 \to \Omega_{P/A} \otimes_P B\) ; voir Algèbre, définition 07BN. Remarquons que nous avons déjà construit dans (08R9) une application canonique \[c : \NL_{B/A} \longrightarrow \tau_{\geq -1}L_{B/A}\] Considérons le triangle distingué (08QS) \[L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/P} \to (L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B)[1]\] associé aux homomorphismes d’anneaux \(A \to A[B] \to B\). Nous savons que \(L_{P/A} = \Omega_{P/A}[0] = \NL_{P/A}\) in \(D(P)\) (lemme 08QH et Algèbre, lemme 08Q1) et que \(\tau_{\geq -1}L_{B/P} = I/I^2[1] = \NL_{B/P}\) in \(D(B)\) (lemme 08RA et Algèbre, lemme 07BP). Pour montrer que \(c\) est un quasi-isomorphisme, il suffit, d’après Algèbre, lemme 00S2, et la suite exacte longue de cohomologie associée au triangle distingué, de montrer que les applications \(L_{P/A} \to L_{B/A} \to L_{B/P}\) sont compatibles sur les groupes de cohomologie avec les applications correspondantes \(\NL_{P/A} \to \NL_{B/A} \to \NL_{B/P}\) du complexe cotangent naïf. Nous omettons la vérification.

Remarque

Nous pouvons expliciter comme suit l’application de comparaison du lemme 08RB. Soit \(P_\bullet\) la résolution standard de \(B\) sur \(A\). Posons \(I = \Ker(A[B] \to B)\). Rappelons que \(P_0 = A[B]\). L’application du lemme est donnée par le diagramme commutatif \[\xymatrix{ L_{B/A} \ar[d] & \ldots \ar[r] & \Omega_{P_2/A} \otimes_{P_2} B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B \ar[d] \\ \NL_{B/A} & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & I/I^2 \ar[r] & \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B }\] Nous construisons la flèche descendante de but \(I/I^2\) en envoyant \(\text{d}f \otimes b\) sur la classe de \((d_0(f) - d_1(f))b\) dans \(I/I^2\). Ici, \(d_i : P_1 \to P_0\), \(i = 0, 1\), sont les deux applications de face de la structure simpliciale. Cela a un sens puisque \(d_0 - d_1\) envoie \(P_1\) dans \(I = \Ker(P_0 \to B)\). Nous omettons de vérifier que cette règle est bien définie. Notre application est compatible avec la différentielle \(\Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B \to \Omega_{P_0/A} \otimes_{P_0} B\) car celle-ci envoie \(\text{d}f \otimes b\) sur \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f)) \otimes b\). En outre, la différentielle \(\Omega_{P_2/A} \otimes_{P_2} B \to \Omega_{P_1/A} \otimes_{P_1} B\) envoie \(\text{d}f \otimes b\) sur \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f) + d_2(f)) \otimes b\), qui est annulé par notre flèche descendante. Nous obtenons ainsi une application de complexes. Nous omettons de vérifier qu’elle coïncide avec l’application du lemme 08RB.

Remarque

Reprenons les notations de la remarque 08R7. Les arguments qui y sont donnés montrent que la différentielle \[H_2(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \longrightarrow H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}))\] de la suite spectrale est un isomorphisme. Notons \(\mathcal{C}'_{B/A}\) la sous-catégorie pleine de \(\mathcal{C}_{B/A}\) formée des homomorphismes surjectifs \(P \to B\). L’identification du complexe cotangent avec le complexe cotangent naïf (lemme 08RB) montre que nous avons une suite exacte de faisceaux \[0 \to \underline{H_1(L_{B/A})} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \xrightarrow{\text{d}} \Omega \to \underline{H_2(L_{B/A})} \to 0\] sur \(\mathcal{C}'_{B/A}\). Il s’ensuit que \(\Ker(d)\) et \(\Coker(d)\) sur la catégorie tout entière \(\mathcal{C}_{B/A}\) ont leurs groupes d’homologie supérieure nuls, puisque ceux-ci sont calculés par les groupes d’homologie de groupes abéliens simpliciaux constants d’après le lemme 08PS. Nous en concluons que \[H_n(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \to H_n(L_{B/A})\] est un isomorphisme pour tout \(n \geq 2\). Avec la remarque précédente, ceci donne la formule \(H_2(L_{B/A}) = H_0(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Tor}_1^\mathcal{O}(\mathcal{J}, \underline{B}))\).

Une suite spectrale de Quillen

Dans cette section, nous étudions une suite spectrale qui relie le produit tensoriel dérivé au complexe cotangent.

Lemme

Adoptons les notations et les hypothèses de Cohomologie sur les sites, exemple 08PF. Supposons que \(\mathcal{C}\) possède un objet cosimplicial comme dans Cohomologie sur les sites, lemme 08Q9. Soit \(\mathcal{F}\) un \(\underline{B}\)-module plat tel que \(H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F}) = 0\). Alors \(H_l(\mathcal{C}, \text{Sym}_{\underline{B}}^k(\mathcal{F})) = 0\) pour \(l < k\).

Démonstration

Nous omettons l’indice \({}_{\underline{B}}\) dans les produits tensoriels, les puissances extérieures et les puissances symétriques. Démontrons le lemme par récurrence sur \(k\). Les cas \(k = 0, 1\) résultent des hypothèses. Si \(k > 1\), considérons le complexe exact \[\ldots \to \wedge^2\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - 2}\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - 1}\mathcal{F} \to \text{Sym}^k\mathcal{F} \to 0\] dont les différentielles sont celles du complexe de Koszul. Considéré comme une résolution de \(\text{Sym}^k\mathcal{F}\), ce complexe donne une suite spectrale du premier quadrant \[E_1^{p, q} = H_p(\mathcal{C}, \wedge^{q + 1}\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}) \Rightarrow H_{p + q}(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F}))\] D’après Cohomologie sur les sites, lemme 08QC, nous avons \[L\pi_!(\wedge^{q + 1}\mathcal{F} \otimes \text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}) = L\pi_!(\wedge^{q + 1}\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\text{Sym}^{k - q - 1}\mathcal{F}))\] Il résulte de la construction des produits tensoriels dérivés que l’hypothèse de récurrence, jointe à l’annulation de \(H_0(\mathcal{C}, \wedge^{q + 1}(\mathcal{F})) = 0\), donnera le résultat voulu. Cette annulation est vraie parce que \(\wedge^{q + 1}(\mathcal{F})\) est un quotient de \(\mathcal{F}^{\otimes q + 1}\) et que \(H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F}^{\otimes q + 1})\) est un quotient de \(H_0(\mathcal{C}, \mathcal{F})^{\otimes q + 1}\), qui est nul.

Remarque

Dans la situation du lemme 08RD, on peut montrer que \(H_k(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F})) = \wedge^k_B(H_1(\mathcal{C}, \mathcal{F}))\). En effet, on peut déduire de la démonstration que \(H_k(\mathcal{C}, \text{Sym}^k(\mathcal{F}))\) est le module des coinvariants sous \(S_k\) de \[H^{-k}(L\pi_!(\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\mathcal{F}) \otimes_B^\mathbf{L} \ldots \otimes_B^\mathbf{L} L\pi_!(\mathcal{F})) = H_1(\mathcal{C}, \mathcal{F})^{\otimes k}\] Notre assertion est donc que cette action est l’action usuelle de \(S_k\) sur le produit tensoriel, multipliée par le caractère signature. Pour le démontrer, il faut examiner les conventions de signes dans la définition du complexe total associé à un multicomplexe. Nous omettons la vérification.

Lemme

Soit \(A\) un anneau. Soit \(P = A[E]\) un anneau de polynômes. Posons \(I = (e; e \in E) \subset P\). Les applications \(\text{Tor}_i^P(A, I^{n + 1}) \to \text{Tor}_i^P(A, I^n)\) sont nulles pour tous \(i\) et \(n\).

Démonstration

Notons \(x_e \in P\) la variable correspondant à \(e \in E\). Le complexe de Koszul \(K_\bullet\) associé aux \(x_e\) fournit une résolution libre de \(A\) sur \(P\). Ici, \(K_i\) a pour base les produits extérieurs \(e_1 \wedge \ldots \wedge e_i\), \(e_1, \ldots, e_i \in E\), et \(d(e) = x_e\). Ainsi, \(K_\bullet \otimes_P I^n = I^nK_\bullet\) calcule \(\text{Tor}_i^P(A, I^n)\). Remarquons que tout est gradué, avec \(\deg(x_e) = 1\), \(\deg(e) = 1\) et \(\deg(a) = 0\) pour \(a \in A\). Soit \(\xi \in I^{n + 1}K_i\) un cocycle homogène de degré \(m\). On a \(m \geq i + 1 + n\). Il existe alors \(\eta \in K_{i + 1}\) tel que \(\xi = \text{d}\eta\), puisque \(K_\bullet\) est exact en degrés \(> 0\). (Le cas \(i = 0\) est laissé au lecteur.) Or \(\deg(\eta) = m \geq i + 1 + n\). En écrivant \(\eta\) dans la base, on voit donc que ses coordonnées appartiennent à \(I^n\). Ainsi, \(\xi\) s’envoie sur zéro dans l’homologie de \(I^nK_\bullet\), comme voulu.

Théorème

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux surjectif. Considérons le faisceau de \(\underline{B}\)-modules \(\Omega = \Omega_{\mathcal{O}/A} \otimes_\mathcal{O} \underline{B}\) sur \(\mathcal{C}_{B/A}\) ; voir la section 08PQ. Il existe alors une suite spectrale dont la page \(E_1\) est \[E_1^{p, q} = H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^p_{\underline{B}}(\Omega)) \Rightarrow \text{Tor}^A_{- p - q}(B, B)\] et dans laquelle \(d_r\) est de bidegré \((r, -r + 1)\). De plus, \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k_{\underline{B}}(\Omega)) = 0\) pour \(i < k\).

Démonstration

Soit \(I \subset A\) le noyau de \(A \to B\). Soit \(\mathcal{J} \subset \mathcal{O}\) le noyau de \(\mathcal{O} \to \underline{B}\). Alors \(I\mathcal{O} \subset \mathcal{J}\). Posons \(\mathcal{K} = \mathcal{J}/I\mathcal{O}\) et \(\overline{\mathcal{O}} = \mathcal{O}/I\mathcal{O}\).

Pour tout objet \(U = (P \to B)\) de \(\mathcal{C}_{B/A}\), nous pouvons choisir un isomorphisme \(P = A[E]\) tel que l’homomorphisme \(P \to B\) envoie chaque \(e \in E\) sur zéro. Alors \(J = \mathcal{J}(U) \subset P = \mathcal{O}(U)\) est égal à \(J = IP + (e; e \in E)\). De plus, \(\overline{\mathcal{O}}(U) = B[E]\) et \(K = \mathcal{K}(U) = (e; e \in E)\) est l’idéal engendré par les variables dans l’anneau de polynômes \(B[E]\). En particulier, il est clair que \[K/K^2 \xrightarrow{\text{d}} \Omega_{P/A} \otimes_P B\] est une bijection. Autrement dit, \(\Omega = \mathcal{K}/\mathcal{K}^2\) et \(\text{Sym}_B^k(\Omega) = \mathcal{K}^k/\mathcal{K}^{k + 1}\). Remarquons que \(\pi_!(\Omega) = \Omega_{B/A} = 0\) (lemme 08QF), puisque \(A \to B\) est surjectif (Algèbre, lemme 00RP). D’après le lemme 08RD, nous en concluons que \[H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^k/\mathcal{K}^{k + 1}) = H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k_{\underline{B}}(\Omega)) = 0\] pour \(i < k\). Cela démontre la dernière assertion du théorème.

Pour aborder le théorème, remarquons que \[B \otimes_A^\mathbf{L} B = L\pi_!(\mathcal{O}) \otimes_A^\mathbf{L} B = L\pi_!(\mathcal{O} \otimes_{\underline{A}}^\mathbf{L} \underline{B}) = L\pi_!(\overline{\mathcal{O}})\] La première égalité résulte du lemme 08QK, la deuxième de Cohomologie sur les sites, lemme 08Q8, et la troisième de la platitude de \(\mathcal{O}\) sur \(\underline{A}\). Le faisceau \(\overline{\mathcal{O}}\) possède une filtration \[\ldots \subset \mathcal{K}^3 \subset \mathcal{K}^2 \subset \mathcal{K} \subset \overline{\mathcal{O}}\] Celle-ci induit une filtration \(F\) sur un complexe \(C\) représentant \(L\pi_!(\overline{\mathcal{O}})\), où \(F^pC\) représente \(L\pi_!(\mathcal{K}^p)\) (nous omettons la construction de \(C\) et de \(F\)). Considérons la suite spectrale de Homologie, section 012K, associée à \((C, F)\). Sa page \(E_1\) est \[E_1^{p, q} = H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^p/\mathcal{K}^{p + 1}) \quad\Rightarrow\quad H_{- p - q}(\mathcal{C}_{B/A}, \overline{\mathcal{O}}) = \text{Tor}_{- p - q}^A(B, B)\] et ses différentielles sont \(E_r^{p, q} \to E_r^{p + r, q - r + 1}\). Pour montrer la convergence, nous allons établir que, pour tout \(k\), il existe un \(c\) tel que \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n) = 0\) pour \(i < k\) et \(n > c\)².

Étant donné \(k \geq 0\), posons \(c = k^2\). Nous affirmons que \[H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) \to H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n)\] est nulle pour \(i < k\) et tout \(n \geq 0\). Remarquons que \(\mathcal{K}^n/\mathcal{K}^{n + c}\) possède une filtration finie dont les quotients successifs \(\mathcal{K}^m/\mathcal{K}^{m + 1}\), \(n \leq m < n + c\), vérifient \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^m/\mathcal{K}^{m + 1}) = 0\) pour \(i < n\) (voir ci-dessus). L’assertion implique donc \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) = 0\) pour \(i < k\) et tout \(n \geq k\), ce qu’il fallait montrer.

Démonstration de l’assertion. Rappelons que, pour tout \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{F}\), l’application \(\mathcal{F} \to \mathcal{F} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\) induit un isomorphisme après application de \(L\pi_!\) ; voir le lemme 08QJ. Considérons l’application \[\mathcal{K}^{n + k} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B \longrightarrow \mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\] Nous affirmons que cette application induit l’application nulle sur les faisceaux de cohomologie en degrés \(0, -1, \ldots, - k + 1\). Si cette seconde assertion est vraie, la composée de \(k\) applications \[\mathcal{K}^{n + c} \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B \longrightarrow \mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\] se factorise par \(\tau_{\leq -k}\mathcal{K}^n \otimes_\mathcal{O}^\mathbf{L} B\) et induit donc zéro sur \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, -) = L_i\pi_!( - )\) pour \(i < k\) ; voir Catégories dérivées, lemme 08Q2. D’après la remarque précédente, il en va de même de \(H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^{n + c}) \to H_i(\mathcal{C}_{B/A}, \mathcal{K}^n)\) ce qui démontre la première assertion.

Démonstration de la seconde assertion. L’énoncé est local ; nous pouvons donc travailler au-dessus d’un objet \(U = (P \to B)\) comme ci-dessus. Il faut montrer que les applications \[\text{Tor}_i^P(B, K^{n + k}) \to \text{Tor}_i^P(B, K^n)\] sont nulles pour \(i < k\). Il existe une suite spectrale \[\text{Tor}_a^P(P/IP, \text{Tor}_b^{P/IP}(B, K^n)) \Rightarrow \text{Tor}_{a + b}^P(B, K^n),\] voir Compléments sur l’algèbre, exemple 068F. Il suffit donc de montrer que les applications \[\text{Tor}_i^{P/IP}(B, K^{n + 1}) \to \text{Tor}_i^{P/IP}(B, K^n)\] sont nulles pour tout \(i\). C’est le lemme 08RE.

Remarque

Dans la situation du théorème 08RF, posons \(I = \Ker(A \to B)\). Alors \(H^{-1}(L_{B/A}) = H_1(\mathcal{C}_{B/A}, \Omega) = I/I^2\), d’après le lemme 08RA. Ainsi, \(H_k(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^k(\Omega)) = \wedge^k_B(I/I^2)\) d’après la remarque 08SG. La page \(E_1\) se présente donc sous la forme \[\begin{matrix} B \\ 0 \\ 0 & I/I^2 \\ 0 & H^{-2}(L_{B/A}) \\ 0 & H^{-3}(L_{B/A}) & \wedge^2(I/I^2) \\ 0 & H^{-4}(L_{B/A}) & H_3(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^2(\Omega)) \\ 0 & H^{-5}(L_{B/A}) & H_4(\mathcal{C}_{B/A}, \text{Sym}^2(\Omega)) & \wedge^3(I/I^2) \end{matrix}\] avec une différentielle horizontale. Nous obtenons ainsi des morphismes de bord \(\text{Tor}_i^A(B, B) \to H^{-i}(L_{B/A})\), \(i > 0\), et \(\wedge^i_B(I/I^2) \to \text{Tor}_i^A(B, B)\). Enfin, \(\text{Tor}_1^A(B, B) = I/I^2\) et il existe une suite exacte à cinq termes \[\text{Tor}_3^A(B, B) \to H^{-3}(L_{B/A}) \to \wedge^2_B(I/I^2) \to \text{Tor}_2^A(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] formée des termes de bas degré.

Remarque

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(P_\bullet\) une résolution de \(B\) sur \(A\) (remarque 08QI). Posons \(J_n = \Ker(P_n \to B)\). Remarquons que \[\text{Tor}_2^{P_n}(B, B) = \text{Tor}_1^{P_n}(J_n, B) = \Ker(J_n \otimes_{P_n} J_n \to J_n^2).\] Ainsi, \(H_2(L_{B/A})\) est canoniquement égal à \[\Coker(\text{Tor}_2^{P_1}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B))\] d’après la remarque 09D5. Pour expliciter ceci, choisissons \(P_2\), \(P_1\), \(P_0\) comme dans l’exemple 09D4. Nous affirmons que \[\text{Tor}_2^{P_1}(B, B) = \wedge^2(\bigoplus\nolimits_{t \in T} B)\ \oplus \ \bigoplus\nolimits_{t \in T} J_0\ \oplus \ \text{Tor}_2^{P_0}(B, B)\] Plus précisément, les éléments de base \(x_t \wedge x_{t'}\) du premier facteur direct correspondent à l’élément \(x_t \otimes x_{t'} - x_{t'} \otimes x_t\) de \(J_1 \otimes_{P_1} J_1\). Pour \(f \in J_0\), l’élément \(x_t \otimes f\) du deuxième facteur direct correspond à l’élément \(x_t \otimes s_0(f) - s_0(f) \otimes x_t\) de \(J_1 \otimes_{P_1} J_1\). Enfin, l’application \(\text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_1}(B, B)\) est donnée par \(s_0\). L’application \(d_0 - d_1 : \text{Tor}_2^{P_1}(B, B) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B)\) est nulle sur le dernier facteur direct, envoie \(x_t \otimes f\) sur \(f \otimes f_t - f_t \otimes f\), et \(x_t \wedge x_{t'}\) sur \(f_t \otimes f_{t'} - f_{t'} \otimes f_t\). En définitive, nous en concluons qu’il existe une suite exacte \[\wedge^2_B(J_0/J_0^2) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] Nous obtenons ainsi une démonstration directe d’une conséquence de la suite spectrale de Quillen examinée dans la remarque 08RG.

Comparaison avec Lichtenbaum-Schlessinger

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. L’article [Lichtenbaum-Schlessinger] donne une détermination assez explicite de \(\tau_{\geq -2}L_{B/A}\), souvent utilisée pour calculer les espaces de déformations verselles de singularités. En voici la construction. Choisissons une algèbre polynomiale \(P\) sur \(A\) et une surjection \(P \to B\) de noyau \(I\). Choisissons des générateurs \(f_t\), \(t \in T\), de \(I\), ce qui induit une surjection \(F = \bigoplus_{t \in T} P \to I\), où \(F\) est un \(P\)-module libre. Soit \(Rel \subset F\) le noyau de \(F \to I\) ; autrement dit, \(Rel\) est l’ensemble des relations entre les \(f_t\). Soit \(TrivRel \subset Rel\) le sous-module des relations triviales, c’est-à-dire le sous-module de \(Rel\) engendré par les éléments \((\ldots, f_{t'}, 0, \ldots, 0, -f_t, 0, \ldots)\). Considérons le complexe de \(B\)-modules [09CD]\[\begin{equation} Rel/TrivRel \longrightarrow F \otimes_P B \longrightarrow \Omega_{P/A} \otimes_P B \end{equation}\] où le dernier terme est placé en degré \(0\). La première application est l’application évidente et la seconde envoie l’élément de base correspondant à \(t \in T\) sur \(\text{d}f_t \otimes 1\).

Définition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \((B, B)\)-bimodule sur \(A\). Une \(A\)-bidérivation est une application \(A\)-linéaire \(\lambda : B \to M\) telle que \(\lambda(xy) = x\lambda(y) + \lambda(x)y\).

Pour une algèbre polynomiale, les bidérivations sont faciles à décrire.

Lemme

Soit \(P = A[S]\) un anneau de polynômes sur \(A\). Soit \(M\) un \((P, P)\)-bimodule sur \(A\). Étant donnés des \(m_s \in M\), pour \(s \in S\), il existe une unique \(A\)-bidérivation \(\lambda : P \to M\) qui envoie \(s\) sur \(m_s\) pour \(s \in S\).

Démonstration

Posons \[\lambda(s_1 \ldots s_t) = \sum s_1 \ldots s_{i - 1} m_{s_i} s_{i + 1} \ldots s_t\] dans \(M\). Le prolongement par \(A\)-linéarité est une bidérivation.

Voici l’énoncé de comparaison. Le lecteur pourra également consulter [Andre-Homologie, page 206, Proposition 12] ou l’article [Doncel], qui prolonge le complexe (09CD) d’un terme et étend la comparaison à \(\tau_{\geq -3}\).

Lemme

Dans la situation précédente, notons \(L\) le complexe (09CD). Il existe dans \(D(B)\) une application canonique \(L_{B/A} \to L\) qui induit un isomorphisme \(\tau_{\geq -2}L_{B/A} \to L\) dans \(D(B)\).

Démonstration

Soit \(P_\bullet \to B\) une résolution de \(B\) sur \(A\) (remarque 08QI). Nous identifierons \(L_{B/A}\) à \(\Omega_{P_\bullet/A} \otimes B\). Pour construire l’application, effectuons quelques choix.

Choisissons un homomorphisme de \(A\)-algèbres \(\psi : P_0 \to P\) compatible avec les homomorphismes donnés \(P_0 \to B\) et \(P \to B\).

Écrivons \(P_1 = A[S]\) pour un certain ensemble \(S\). Pour \(s \in S\), nous pouvons écrire \[\psi(d_0(s) - d_1(s)) = \sum p_{s, t} f_t\] pour certains \(p_{s, t} \in P\). Considérons \(F = \bigoplus_{t \in T} P\) comme un \((P_1, P_1)\)-bimodule au moyen des homomorphismes \((\psi \circ d_0, \psi \circ d_1)\). D’après le lemme 09CF, il existe une unique \(A\)-bidérivation \(\lambda : P_1 \to F\) envoyant \(s\) sur le vecteur de coordonnées \(p_{s, t}\). Par construction, la composée \[P_1 \longrightarrow F \longrightarrow P\] envoie \(f \in P_1\) sur \(\psi(d_0(f) - d_1(f))\), car l’application \(f \mapsto \psi(d_0(f) - d_1(f))\) est une \(A\)-bidérivation qui coïncide avec la composée sur les générateurs.

Pour \(g \in P_2\), nous affirmons que \(\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))\) appartient à \(Rel\). En effet, d’après la dernière observation du paragraphe précédent, l’image de \(\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))\) dans \(P\) est \[\psi((d_0 - d_1)(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g)))\] qui est nulle d’après Simplicial, section 0194.

Le choix de \(\psi\) détermine une application \[\text{d}\psi \otimes 1 : \Omega_{P_0/A} \otimes B \longrightarrow \Omega_{P/A} \otimes B\] La composée de \(\lambda\) avec l’application \(F \to F \otimes B\) est une \(A\)-dérivation usuelle, puisque les deux structures de \(P_1\)-module sur \(F \otimes B\) coïncident. Ainsi, \(\lambda\) détermine une application \[\overline{\lambda} : \Omega_{P_1/A} \otimes B \longrightarrow F \otimes B\] Enfin, nous obtenons une application \(B\)-linéaire \[q : \Omega_{P_2/A} \otimes B \longrightarrow Rel/TrivRel\] en envoyant \(\text{d}g\) sur la classe de \(\lambda(d_0(g) - d_1(g) + d_2(g))\) dans le quotient.

Le diagramme \[\xymatrix{ \Omega_{P_3/A} \otimes B \ar[r] \ar[d] & \Omega_{P_2/A} \otimes B \ar[r] \ar[d]_q & \Omega_{P_1/A} \otimes B \ar[r] \ar[d]_{\overline{\lambda}} & \Omega_{P_0/A} \otimes B \ar[d]_{\text{d}\psi \otimes 1} \\ 0 \ar[r] & Rel/TrivRel \ar[r] & F \otimes B \ar[r] & \Omega_{P/A} \otimes B }\] est commutatif (calcul omis), et nous obtenons l’application du lemme. La remarque 08UP et le lemme 08RB montrent que cette application induit des isomorphismes \(H_1(L_{B/A}) \to H_1(L)\) et \(H_0(L_{B/A}) \to H_0(L)\).

Il reste à voir que notre application \(L_{B/A} \to L\) induit un isomorphisme \(H_2(L_{B/A}) \to H_2(L)\). Choisissons une résolution de \(B\) sur \(A\) telle que \(P_0 = P = A[u_i]\), puis \(P_1\) et \(P_2\) comme dans l’exemple 09D4. Dans la remarque 09D6, nous avons construit une suite exacte \[\wedge^2_B(J_0/J_0^2) \to \text{Tor}_2^{P_0}(B, B) \to H^{-2}(L_{B/A}) \to 0\] où \(P_0 = P\) et \(J_0 = \Ker(P \to B) = I\). En calculant le groupe de Tor à l’aide des suites exactes courtes \(0 \to I \to P \to B \to 0\) et \(0 \to Rel \to F \to I \to 0\), nous trouvons que \(\text{Tor}_2^P(B, B) = \Ker(Rel \otimes B \to F \otimes B)\). Sous cette identification, l’image de l’application \(\wedge^2_B(I/I^2) \to \text{Tor}_2^P(B, B)\) est exactement l’image de \(TrivRel \otimes B\). On voit donc que \(H_2(L_{B/A}) \cong H_2(L)\).

Enfin, il faut vérifier que notre application \(L_{B/A} \to L\) induit bien cet isomorphisme. Nous utiliserons sans autre mention les notations et les résultats de l’exemple 09D4 et des remarques 09D6 et 09D5. Choisissons un élément \(\xi\) de \(\text{Tor}_2^{P_0}(B, B) = \Ker(I \otimes_P I \to I^2)\). Écrivons \(\xi = \sum h_{t', t}f_{t'} \otimes f_t\) pour certains \(h_{t', t} \in P\). En suivant les suites exactes précédentes, on trouve que \(\xi\) correspond à l’image dans \(Rel \otimes B\) de l’élément \(r \in Rel \subset F = \bigoplus_{t \in T} P\) dont la coordonnée d’indice \(t\) est \(r_t = \sum_{t' \in T} h_{t', t}f_{t'}\). D’autre part, \(\xi\) correspond à l’élément de \(H_2(L_{B/A}) = H_2(\Omega)\) qui est l’image, par \(\text{d} : H_2(\mathcal{J}/\mathcal{J}^2) \to H_2(\Omega)\), du bord de \(\xi\) pour la \(2\)-extension \[0 \to \text{Tor}_2^\mathcal{O}(\underline{B}, \underline{B}) \to \mathcal{J} \otimes_\mathcal{O} \mathcal{J} \to \mathcal{J} \to \mathcal{J}/\mathcal{J}^2 \to 0\] Calculons les transgressions successives de notre élément. Tout d’abord, \[\xi = (d_0 - d_1)(- \sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) \otimes x_t)\] puis \[\sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) x_t = d_0(v_r) - d_1(v_r) + d_2(v_r)\] par notre choix des variables \(v\) dans l’exemple 09D4. Nous pouvons choisir l’application \(\lambda\) ci-dessus de telle sorte que \(\lambda(u_i) = 0\) et \(\lambda(x_t) = - e_t\), où \(e_t \in F\) désigne le vecteur de base correspondant à \(t \in T\). La construction de l’application \(q\) ci-dessus envoie donc \(\text{d}v_r\) sur \[\lambda(\sum s_0(h_{t', t} f_{t'}) x_t) = \sum\nolimits_t \left(\sum\nolimits_{t'} h_{t', t}f_{t'}\right) e_t\] qui coïncide avec l’image de \(\xi\) dans \(Rel \otimes B\) (les deux signes moins apparus ci-dessus se compensent). Cette coïncidence achève la démonstration.

Remarque

Considérons un carré commutatif \[\xymatrix{ A' \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] d’homomorphismes d’anneaux. Choisissons une factorisation \[\xymatrix{ A' \ar[r] & P' \ar[r] & B' \\ A \ar[u] \ar[r] & P \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] où \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(A\) et \(P'\) une algèbre polynomiale sur \(A'\). Choisissons des générateurs \(f_t\), \(t \in T\), de \(\Ker(P \to B)\). Pour \(t \in T\), notons \(f'_t\) l’image de \(f_t\) dans \(P'\). Choisissons des \(f'_s \in P'\) de sorte que les éléments \(f'_t\), pour \(t \in T' = T \amalg S\), engendrent le noyau de \(P' \to B'\). Posons \(F = \bigoplus_{t \in T} P\) et \(F' = \bigoplus_{t' \in T'} P'\). Soient \(Rel = \Ker(F \to P)\) et \(Rel' = \Ker(F' \to P')\), où les applications sont données sur les coordonnées par la multiplication par \(f_t\), resp. \(f'_t\). Enfin, soit \(TrivRel\), resp. \(TrivRel'\), le sous-module de \(Rel\), resp. \(TrivRel\), engendré par les éléments \((\ldots, f_{t'}, 0, \ldots, 0, -f_t, 0, \ldots)\) pour \(t, t' \in T\), resp. \(T'\). Ces choix donnent un diagramme commutatif canonique \[\xymatrix{ L' : & Rel'/TrivRel' \ar[r] & F' \otimes_{P'} B' \ar[r] & \Omega_{P'/A'} \otimes_{P'} B' \\ L : \ar[u] & Rel/TrivRel \ar[r] \ar[u] & F \otimes_P B \ar[r] \ar[u] & \Omega_{P/A} \otimes_P B \ar[u] }\] De plus, en suivant les choix effectués dans la démonstration du lemme 09CG, le lecteur constate que l’on obtient un diagramme commutatif \[\xymatrix{ L_{B'/A'} \ar[r] & L' \\ L_{B/A} \ar[r] \ar[u] & L \ar[u] }\]

Le complexe cotangent d’une intersection complète locale

Si \(A \to B\) est un homomorphisme d’intersection complète locale, alors \(L_{B/A}\) est un complexe parfait. Le lemme suivant est la clef de la démonstration.

Lemme

Soit \(A = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n] \to B = \mathbf{Z}\) l’homomorphisme d’anneaux qui envoie \(x_i\) sur \(0\) pour \(i = 1, \ldots, n\). Soit \(I = (x_1, \ldots, x_n) \subset A\). Alors \(L_{B/A}\) est quasi-isomorphe à \(I/I^2[1]\).

Démonstration

Il y a plusieurs façons de le démontrer. On peut, par exemple, construire explicitement une résolution de \(B\) sur \(A\) et effectuer le calcul. Nous utiliserons (08QS). Considérons en effet le triangle distingué \[L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]} \mathbf{Z} \to L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}} \to L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]}\to L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}} \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]} \mathbf{Z}[1]\] Le complexe \(L_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}}\) est quasi-isomorphe à \(\Omega_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_n]/\mathbf{Z}}\) d’après le lemme 08QH. Le complexe \(L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}}\) est nul dans \(D(\mathbf{Z})\) d’après le lemme 08R2. On voit ainsi que \(L_{B/A}\) n’a qu’un seul groupe de cohomologie non nul, qui est celui décrit dans l’énoncé d’après le lemme 08RA.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux surjectif dont le noyau \(I\) est engendré par une suite régulière au sens de Koszul (par exemple une suite régulière). Alors \(L_{B/A}\) est quasi-isomorphe à \(I/I^2[1]\).

Démonstration

Soit \(f_1, \ldots, f_r \in I\) une suite régulière au sens de Koszul qui engendre \(I\). Considérons l’homomorphisme d’anneaux \(\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r] \to A\) qui envoie \(x_i\) sur \(f_i\). Comme \(x_1, \ldots, x_r\) est une suite régulière dans \(\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\), le complexe de Koszul associé à \(x_1, \ldots, x_r\) est une résolution libre de \(\mathbf{Z} = \mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)\) sur \(\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]\) (voir Compléments sur l’algèbre, lemme 062F). Ainsi, l’hypothèse que \(f_1, \ldots, f_r\) est régulière au sens de Koszul signifie exactement que \(B = A \otimes_{\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]}^\mathbf{L} \mathbf{Z}\). Par conséquent, \(L_{B/A} = L_{\mathbf{Z}/\mathbf{Z}[x_1, \ldots, x_r]} \otimes_\mathbf{Z}^\mathbf{L} B\) d’après les lemmes 08QQ et 08SI.

Lemme

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux surjectif dont le noyau \(I\) est un idéal de Koszul. Alors \(L_{B/A}\) est quasi-isomorphe à \(I/I^2[1]\).

Démonstration

Localement sur \(\Spec(A)\), l’idéal \(I\) est engendré par une suite régulière au sens de Koszul ; voir Compléments sur l’algèbre, définition 07CV. Le résultat découle donc du lemme 08QQ.

Proposition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’intersection complète locale. Alors \(L_{B/A}\) est un complexe parfait d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\).

Démonstration

Choisissons une surjection \(P = A[x_1, \ldots, x_n] \to B\) de noyau \(J\). D’après le lemme 08RB, le complexe \(J/J^2 \to \bigoplus B\text{d}x_i\) est quasi-isomorphe à \(\tau_{\geq -1}L_{B/A}\). Remarquons que \(J/J^2\) est projectif de type fini (Compléments sur l’algèbre, lemme 08RK) ; ainsi, \(\tau_{\geq -1}L_{B/A}\) est un complexe parfait d’amplitude de Tor contenue dans \([-1, 0]\). Il suffit donc de montrer que \(H^i(L_{B/A}) = 0\) pour \(i \not \in [-1, 0]\). Cela résulte de (08QS) \[L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B \to L_{B/A} \to L_{B/P} \to L_{P/A} \otimes_P^\mathbf{L} B[1]\] et du lemme 08SK, qui montrent que \(H^i(L_{B/P})\) est nul sauf si \(i \in \{-1, 0\}\). (Pour le terme de gauche, nous utilisons également le lemme 08QH.)

Produits tensoriels et complexe cotangent

Soit \(R\) un anneau et soient \(A\), \(B\) des \(R\)-algèbres. Dans cette section, nous étudions \(L_{A \otimes_R B/R}\). L’essentiel des renseignements recherchés est contenu dans le diagramme suivant [09D9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[r] & L_{A \otimes_R B/B} \ar[r] & E \\ L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[r] \ar@{=}[u] & L_{A \otimes_R B/R} \ar[r] \ar[u] & L_{A \otimes_R B/A} \ar[u] \\ & L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[u] \ar@{=}[r] & L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \ar[u] } } \end{equation}\] Explication : la ligne médiane est le triangle fondamental (08QS) associé aux homomorphismes d’anneaux \(R \to A \to A \otimes_R B\). La colonne médiane est le triangle fondamental (08QS) associé aux homomorphismes d’anneaux \(R \to B \to A \otimes_R B\). Ensuite, \(E\) est un objet de \(D(A \otimes_R B)\) qui « complète » le coin supérieur droit, c’est-à-dire qui fait de la ligne supérieure et de la colonne droite des triangles distingués. Un tel \(E\) existe d’après Catégories dérivées, proposition 05R0, appliquée au carré inférieur gauche (en plaçant \(0\) à la position manquante). Plus explicitement, nous pourrions par exemple définir \(E\) comme le cône (Catégories dérivées, définition 014E) de l’application de complexes \[L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \oplus L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \longrightarrow L_{A \otimes_R B/R}\] et obtenir les deux applications de but \(E\) en appliquant TR3. Dans le cas Tor-indépendant, l’objet \(E\) est nul.

Lemme

Si \(A\) et \(B\) sont des \(R\)-algèbres Tor-indépendantes, alors l’objet \(E\) de (09D9) est nul. Dans ce cas, nous avons \[L_{A \otimes_R B/R} = L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \oplus L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B)\] qui est représenté par le complexe \(L_{A/R} \otimes_R B \oplus L_{B/R} \otimes_R A\) de \(A \otimes_R B\)-modules.

Démonstration

Les deux premières assertions résultent immédiatement du lemme 08QQ. La dernière résulte du fait que \(L_{A/R}\) est un complexe de \(A\)-modules libres ; ainsi, \(L_{A/R} \otimes_A^\mathbf{L} (A \otimes_R B)\) est représenté par \(L_{A/R} \otimes_A (A \otimes_R B) = L_{A/R} \otimes_R B\)

En général, nous pouvons dire ce qui suit de l’objet \(E\).

Lemme

Soit \(R\) un anneau et soient \(A\), \(B\) des \(R\)-algèbres. L’objet \(E\) de (09D9) vérifie \[H^i(E) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \text{si} & i \geq -1 \\ \text{Tor}_1^R(A, B) & \text{si} & i = -2 \end{matrix} \right.\]

Démonstration

Nous utilisons la description de \(E\) comme le cône de \(L_{B/R} \otimes_B^\mathbf{L} (A \otimes_R B) \to L_{A \otimes_R B/A}\). D’après le lemme 09CG, les troncations canoniques \(\tau_{\geq -2}L_{B/R}\) et \(\tau_{\geq -2}L_{A \otimes_R B/A}\) sont calculées par le complexe de Lichtenbaum-Schlessinger (09CD). Ces isomorphismes sont compatibles à la fonctorialité (remarque 09D7). Nous travaillons donc avec les complexes de Lichtenbaum-Schlessinger dans cette démonstration.

Choisissons une algèbre polynomiale \(P\) sur \(R\) et une surjection \(P \to B\). Choisissons des générateurs \(f_t \in P\), \(t \in T\), du noyau de cette surjection. Soit \(Rel \subset F = \bigoplus_{t \in T} P\) le noyau de l’application \(F \to P\) qui envoie le vecteur de base correspondant à \(t\) sur \(f_t\). Posons \(P_A = A \otimes_R P\) et \(F_A = A \otimes_R F = P_A \otimes_P F\). Soit \(Rel_A\) le noyau de l’application \(F_A \to P_A\). La suite exacte \[0 \to Rel \to F \to P \to B \to 0\] et les suites exactes courtes usuelles pour Tor donnent une suite exacte \[A \otimes_R Rel \to Rel_A \to \text{Tor}_1^R(A, B) \to 0\] Remarquons que \(P_A \to A \otimes_R B\) est une surjection dont le noyau est engendré par les éléments \(1 \otimes f_t\) de \(P_A\). Notons \(TrivRel_A \subset Rel_A\) le sous-\(P_A\)-module engendré par les éléments \((\ldots, 1 \otimes f_{t'}, 0, \ldots, 0, - 1 \otimes f_t \otimes 1, 0, \ldots)\). Comme \(TrivRel \otimes_R A \to TrivRel_A\) est surjectif, nous obtenons une suite exacte canonique \[A \otimes_R (Rel/TrivRel) \to Rel_A/TrivRel_A \to \text{Tor}_1^R(A, B) \to 0\] L’application entre les complexes de Lichtenbaum-Schlessinger est donnée par le diagramme \[\xymatrix{ Rel_A/TrivRel_A \ar[r] & F_A \otimes_{P_A} (A \otimes_R B) \ar[r] & \Omega_{P_A/A \otimes_R B} \otimes_{P_A} (A \otimes_R B) \\ Rel/TrivRel \ar[r] \ar[u]_{-2} & F \otimes_P B \ar[r] \ar[u]_{-1} & \Omega_{P/A} \otimes_P B \ar[u]_0 }\] Remarquons que les applications verticales \(-1\) et \(-0\) induisent un isomorphisme après application du foncteur \(A \otimes_R - = P_A \otimes_P -\) à la source, et que l’application verticale \(-2\) donne exactement l’application dont le conoyau est le module de Tor recherché, comme nous l’avons vu ci-dessus.

Déformations d’homomorphismes d’anneaux et complexe cotangent

Cette section prolonge Théorie des déformations, section 08S3, que nous invitons vivement le lecteur à lire d’abord. Partons d’un homomorphisme d’anneaux surjectif \(A' \to A\) dont le noyau est un idéal \(I\) de carré nul. Supposons de plus donnés un homomorphisme d’anneaux \(A \to B\), un \(B\)-module \(N\) et une application de \(A\)-modules \(c : I \to N\). Nous cherchons ici si l’on peut remplacer le point d’interrogation dans le diagramme suivant [08SN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & N \ar[r] & {?} \ar[r] & B \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & I \ar[u]^c \ar[r] & A' \ar[u] \ar[r] & A \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] et, si une solution existe, à quel point elle est unique. Plus précisément, nous cherchons une surjection de \(A'\)-algèbres \(B' \to B\) dont le noyau est un idéal de carré nul identifié à \(N\), et telle que \(A' \to B'\) induise l’application donnée \(c\). Nous dirons que \(B'\) est une solution de (08SN).

Lemme

Dans la situation précédente :

1. il existe un élément canonique \(\xi \in \Ext^2_B(L_{B/A}, N)\) dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une solution de (08SN) ;

2. s’il existe une solution, l’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_B(L_{B/A}, N)\) ;

3. étant donnée une solution \(B'\), l’ensemble des automorphismes de \(B'\) qui s’insèrent dans (08SN) est canoniquement isomorphe à \(\Ext^0_B(L_{B/A}, N)\).

Démonstration

Au moyen des identifications \(\NL_{B/A} = \tau_{\geq -1}L_{B/A}\) (lemme 08RB) et \(H^0(L_{B/A}) = \Omega_{B/A}\) (lemme 08QF), nous avons déjà établi (2) et (3) dans Théorie des déformations, lemmes 08S5 et 08S7.

Démonstration de (1). En gros, l’assertion découle de la discussion de Théorie des déformations, remarque 0GPY, en remplaçant le complexe cotangent naïf par le complexe cotangent entier. Voici une explication plus détaillée. D’après Théorie des déformations, lemme 0GPX et remarque 0GPY, il existe un élément \[\xi' \in \Ext^1_A(\NL_{A/A'}, N) = \Ext^1_B(\NL_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) = \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N)\] (pour les égalités, voir Théorie des déformations, remarque 0GPY, et utiliser \(\NL_{A'/A} = \tau_{\geq -1} L_{A'/A}\)) tel qu’une solution existe si et seulement si cet élément appartient à l’image de l’application \[\Ext^1_B(\NL_{B/A'}, N) = \Ext^1_B(L_{B/A'}, N) \longrightarrow \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N)\] Le triangle distingué (08QS) associé à \(A' \to A \to B\) donne naissance à une suite exacte longue \[\ldots \to \Ext^1_B(L_{B/A'}, N) \to \Ext^1_B(L_{A/A'} \otimes_A^\mathbf{L} B, N) \to \Ext^2_B(L_{B/A}, N) \to \ldots\] Il suffit donc de prendre pour \(\xi\) l’image de \(\xi'\).

La classe d’Atiyah d’un module

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(B\)-module. Soit \(P \to B\) un objet de \(\mathcal{C}_{B/A}\) (section 08PQ). Considérons l’extension des parties principales \[0 \to \Omega_{P/A} \otimes_P M \to P^1_{P/A}(M) \to M \to 0\] voir Algèbre, lemme 09CN. Cette suite est fonctorielle en \(P\) d’après Algèbre, remarque 09CP. Nous obtenons ainsi une suite exacte courte de faisceaux de \(\mathcal{O}\)-modules \[0 \to \Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{M} \to P^1_{\mathcal{O}/\underline{A}}(M) \to \underline{M} \to 0\] sur \(\mathcal{C}_{B/A}\). Nous avons \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{A}} \otimes_\mathcal{O} \underline{M}) = L_{B/A} \otimes_B M = L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M\) d’après le lemme 08PT et la platitude des termes de \(L_{B/A}\). De plus, \(L\pi_!(\underline{M}) = M\) d’après le lemme 08QE. On obtient donc un triangle distingué [09DD]\[\begin{equation} L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M \to L\pi_!\left(P^1_{\mathcal{O}/\underline{A}}(M)\right) \to M \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M [1] \end{equation}\] dans \(D(B)\). Nous utilisons ici Cohomologie sur les sites, remarque 09CZ, pour obtenir un triangle distingué dans \(D(B)\), et pas seulement dans \(D(A)\).

Définition

Soit \(A \to B\) un homomorphisme d’anneaux. Soit \(M\) un \(B\)-module. L’application \(M \to L_{B/A} \otimes_B^\mathbf{L} M[1]\) de (09DD) est appelée la classe d’Atiyah de \(M\).

Le complexe cotangent

Dans cette section, nous étudions le complexe cotangent d’un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur un site. Dans les sections suivantes, nous spécialiserons cette construction afin d’obtenir le complexe cotangent d’un morphisme de topos annelés, d’espaces annelés, de schémas, d’espaces algébriques, etc.

Soit \(\mathcal{C}\) un site et notons \(\Sh(\mathcal{C})\) le topos associé. Soit \(\mathcal{A}\) un faisceau d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Notons \(\mathcal{A}\textit{-Alg}\) la catégorie des \(\mathcal{A}\)-algèbres. Considérons le couple de foncteurs adjoints \((U, V)\), où \(V : \mathcal{A}\textit{-Alg} \to \Sh(\mathcal{C})\) est le foncteur d’oubli et où \(U : \Sh(\mathcal{C}) \to \mathcal{A}\textit{-Alg}\) associe à un faisceau d’ensembles \(\mathcal{E}\) l’algèbre polynomiale \(\mathcal{A}[\mathcal{E}]\) en \(\mathcal{E}\) sur \(\mathcal{A}\). Soit \(X_\bullet\) l’objet simplicial de \(\text{Fun}(\mathcal{A}\textit{-Alg}, \mathcal{A}\textit{-Alg})\) construit dans Simplicial, section 08N8.

Supposons maintenant que \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) soit un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Alors \(\mathcal{B}\) est un objet de la catégorie \(\mathcal{A}\textit{-Alg}\). Notons \(\mathcal{P}_\bullet = X_\bullet(\mathcal{B})\) la \(\mathcal{A}\)-algèbre simpliciale ainsi obtenue. Rappelons que \(\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}]\), \(\mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]]\), et ainsi de suite. Rappelons également qu’il existe une augmentation \[\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \longrightarrow \mathcal{B}\] où \(\mathcal{B}\) est regardée comme une \(\mathcal{A}\)-algèbre simpliciale constante.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). La résolution standard de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\) est l’augmentation \(\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\) dont les termes sont \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}],\quad \mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]],\quad \ldots\] et dont les applications sont celles construites ci-dessus.

Cette définition étant posée, le complexe cotangent d’un homomorphisme de faisceaux d’anneaux se définit comme suit. Nous utiliserons le module des différentielles défini dans Modules sur les sites, section 04BJ.

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Le complexe cotangent \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) est le complexe de \(\mathcal{B}\)-modules associé au module simplicial \[\Omega_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_\bullet, \epsilon} \mathcal{B}\] où \(\epsilon : \mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\) est la résolution standard de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\). Nous considérons généralement \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) comme un objet de \(D(\mathcal{B})\).

Ces constructions possèdent une fonctorialité analogue à celle étudiée dans la section 08QL. Plus précisément, étant donné un diagramme commutatif [08ST]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{B} \ar[r] & \mathcal{B}' \\ \mathcal{A} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{A}' \ar[u] } } \end{equation}\] de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\), il existe une application canonique \(\mathcal{B}\)-linéaire de complexes \[L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \longrightarrow L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\] construite de la manière suivante. Si \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\) est la résolution standard de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\) et si \(\mathcal{P}'_\bullet \to \mathcal{B}'\) est la résolution standard de \(\mathcal{B}'\) sur \(\mathcal{A}'\), il existe une application canonique \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{P}'_\bullet\) de \(\mathcal{A}\)-algèbres simpliciales, compatible avec les augmentations \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\) et \(\mathcal{P}'_\bullet \to \mathcal{B}'\). Les applications \[\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}] \longrightarrow \mathcal{A}'[\mathcal{B}'] = \mathcal{P}'_0, \quad \mathcal{P}_1 = \mathcal{A}[\mathcal{A}[\mathcal{B}]] \longrightarrow \mathcal{A}'[\mathcal{A}'[\mathcal{B}']] = \mathcal{P}'_1\] et ainsi de suite sont données par les homomorphismes \(\mathcal{A} \to \mathcal{A}'\) et \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\). L’application recherchée \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\) provient alors des applications associées sur les faisceaux de différentielles.

Lemme

Soit \(f : \Sh(\mathcal{D}) \to \Sh(\mathcal{C})\) un morphisme de topos. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Alors \(f^{-1}L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} = L_{f^{-1}\mathcal{B}/f^{-1}\mathcal{A}}\).

Démonstration

Le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[d]_{f^{-1}} \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[l] \ar[d]^{f^{-1}} \\ f^{-1}\mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[r] & \Sh(\mathcal{D}) \ar@<1ex>[l] }\] est commutatif.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Alors \(H^i(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})\) est le faisceau associé au préfaisceau \(U \mapsto H^i(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)})\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{C}'\) le site obtenu en munissant \(\mathcal{C}\) de la topologie chaotique (les préfaisceaux sont alors des faisceaux). Il existe un morphisme de topos \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\), où \(f_*\) est l’inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux et \(f^{-1}\) la faisceautisation. D’après le lemme 08SV, il suffit de démontrer le résultat pour \(\mathcal{C}'\), c’est-à-dire lorsque \(\mathcal{C}\) est muni de la topologie chaotique.

Si \(\mathcal{C}\) est muni de la topologie chaotique, alors \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(U)\) est égal à \(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\), car le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{A}\textit{-Alg} \ar[d]_{\text{sections sur }U} \ar[r] & \Sh(\mathcal{C}) \ar@<1ex>[l] \ar[d]^{\text{sections sur }U} \\ \mathcal{A}(U)\textit{-Alg} \ar[r] & \textit{Ensembles} \ar@<1ex>[l] }\] est commutatif.

Remarque

Il ressort de la démonstration du lemme 08SW que, pour tout \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), il existe une application canonique \(L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}(U)\) de complexes de \(\mathcal{B}(U)\)-modules. De plus, ces applications sont compatibles aux applications de restriction, et le complexe \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) est la faisceautisation de la règle \(U \mapsto L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\).

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Alors \(H^0(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}) = \Omega_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\).

Démonstration

Cela résulte des lemmes 08SW et 08QF, ainsi que de Modules sur les sites, lemme 08TP.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soient \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) et \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}'\) des homomorphismes de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Alors \[L_{\mathcal{B} \times \mathcal{B}'/\mathcal{A}} \longrightarrow L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \oplus L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}}\] est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{B} \times \mathcal{B}')\).

Démonstration

D’après le lemme 08SW, il suffit de le démontrer pour des homomorphismes d’anneaux. Dans le cas des anneaux, il s’agit du lemme 08SC.

Le triangle fondamental pour le complexe cotangent de faisceaux d’anneaux est une conséquence immédiate du résultat pour les homomorphismes d’anneaux.

Lemme

Soit \(\mathcal{D}\) un site. Soient \(\mathcal{A} \to \mathcal{B} \to \mathcal{C}\) des homomorphismes de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{D}\). Il existe un triangle distingué canonique \[L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{C} \to L_{\mathcal{C}/\mathcal{A}} \to L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{C}[1]\] dans \(D(\mathcal{C})\).

Démonstration

Nous utiliserons la méthode décrite dans les remarques 08SD et 08SE pour construire le triangle, et ferons librement usage des résultats qui y sont mentionnés. Comme dans ces remarques, nous construisons d’abord le triangle lorsque \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\) est un homomorphisme injectif de faisceaux d’anneaux. Dans ce cas, posons :

1. \(\mathcal{P}_\bullet\) est la résolution standard de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\),

2. \(\mathcal{Q}_\bullet\) est la résolution standard de \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{A}\),

3. \(\mathcal{R}_\bullet\) est la résolution standard de \(\mathcal{C}\) sur \(\mathcal{B}\),

4. \(\mathcal{S}_\bullet\) est la résolution standard de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{B}\),

5. \(\overline{\mathcal{Q}}_\bullet = \mathcal{Q}_\bullet \otimes_{\mathcal{P}_\bullet} \mathcal{B}\), et

6. \(\overline{\mathcal{R}}_\bullet = \mathcal{R}_\bullet \otimes_{\mathcal{S}_\bullet} \mathcal{B}\).

Le triangle distingué est celui qui est associé à la suite exacte courte de \(\mathcal{C}\)-modules simpliciaux \[0 \to \Omega_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_\bullet} \mathcal{C} \to \Omega_{\mathcal{Q}_\bullet/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{Q}_\bullet} \mathcal{C} \to \Omega_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet} \mathcal{C} \to 0\] Les deux premiers termes sont égaux aux deux premiers termes du triangle de l’énoncé. L’identification du dernier terme avec \(L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}}\) utilise les quasi-isomorphismes de complexes \[L_{\mathcal{C}/\mathcal{B}} = \Omega_{\mathcal{R}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\mathcal{R}_\bullet} \mathcal{C} \longrightarrow \Omega_{\overline{\mathcal{R}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{R}}_\bullet} \mathcal{C} \longleftarrow \Omega_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet/\mathcal{B}} \otimes_{\overline{\mathcal{Q}}_\bullet} \mathcal{C}\] Toutes les constructions utilisées ci-dessus peuvent d’abord être effectuées au niveau des préfaisceaux, puis faisceautisées. Ainsi, pour démontrer que des suites sont exactes ou que des applications sont des quasi-isomorphismes, il suffit de démontrer l’énoncé correspondant pour les homomorphismes d’anneaux \(\mathcal{A}(U) \to \mathcal{B}(U) \to \mathcal{C}(U)\) pour lesquels le résultat est connu. Ceci achève la démonstration lorsque \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\) est injectif.

Dans le cas général, nous nous ramenons au cas où \(\mathcal{B} \to \mathcal{C}\) est injectif en remplaçant, si nécessaire, \(\mathcal{C}\) par \(\mathcal{B} \times \mathcal{C}\). Cela est possible grâce à l’argument de la remarque 08SD et au lemme 08SY.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Si \(p\) est un point de \(\mathcal{C}\), alors \((L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}})_p = L_{\mathcal{B}_p/\mathcal{A}_p}\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 08SV.

Pour la construction du complexe cotangent naïf et ses propriétés, nous renvoyons à Modules sur les sites, section 08TT.

Lemme

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}\). Il existe une application canonique \(L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \to \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) qui identifie le complexe cotangent naïf à la troncation \(\tau_{\geq -1}L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\).

Démonstration

Soit \(\mathcal{P}_\bullet\) la résolution standard de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\). Posons \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{A}[\mathcal{B}] \to \mathcal{B})\). Rappelons que \(\mathcal{P}_0 = \mathcal{A}[\mathcal{B}]\). L’application du lemme est donnée par le diagramme commutatif \[\xymatrix{ L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \ar[d] & \ldots \ar[r] & \Omega_{\mathcal{P}_2/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_2} \mathcal{B} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B} \ar[r] \ar[d] & \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B} \ar[d] \\ \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} & \ldots \ar[r] & 0 \ar[r] & \mathcal{I}/\mathcal{I}^2 \ar[r] & \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B} }\] Nous construisons la flèche descendante de but \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\) en envoyant une section locale \(\text{d}f \otimes b\) sur la classe de \((d_0(f) - d_1(f))b\) dans \(\mathcal{I}/\mathcal{I}^2\). Ici, \(d_i : \mathcal{P}_1 \to \mathcal{P}_0\), \(i = 0, 1\), sont les deux applications de face de la structure simpliciale. Cela a un sens puisque \(d_0 - d_1\) envoie \(\mathcal{P}_1\) dans \(\mathcal{I} = \Ker(\mathcal{P}_0 \to \mathcal{B})\). Nous omettons de vérifier que cette règle est bien définie. Notre application est compatible avec la différentielle \(\Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{P}_0/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_0} \mathcal{B}\) car celle-ci envoie une section locale \(\text{d}f \otimes b\) sur \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f)) \otimes b\). En outre, la différentielle \(\Omega_{\mathcal{P}_2/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_2} \mathcal{B} \to \Omega_{\mathcal{P}_1/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_1} \mathcal{B}\) envoie une section locale \(\text{d}f \otimes b\) sur \(\text{d}(d_0(f) - d_1(f) + d_2(f)) \otimes b\), qui est annulé par notre flèche descendante. Nous obtenons ainsi une application de complexes.

Pour voir que notre application induit un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie \(H^0\) et \(H^{-1}\), raisonnons comme suit. Soit \(\mathcal{C}'\) le site ayant même catégorie sous-jacente que \(\mathcal{C}\), mais muni de la topologie chaotique. Soit \(f : \Sh(\mathcal{C}) \to \Sh(\mathcal{C}')\) le morphisme de topos dont le foncteur image inverse est la faisceautisation. Considérons l’homomorphisme donné \(\mathcal{A}' \to \mathcal{B}'\) comme un homomorphisme de faisceaux d’anneaux sur \(\mathcal{C}'\). La construction précédente donne sur \(\mathcal{C}'\) une application \(L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} \to \NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'}\) dont la valeur sur tout objet \(U\) de \(\mathcal{C}'\) est simplement l’application \[L_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)} \to \NL_{\mathcal{B}(U)/\mathcal{A}(U)}\] de la remarque 08UP, qui induit un isomorphisme sur \(H^0\) et \(H^{-1}\). Puisque \(f^{-1}L_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} = L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) (lemme 08SV) et \(f^{-1}\NL_{\mathcal{B}'/\mathcal{A}'} = \NL_{\mathcal{B}/\mathcal{A}}\) (Modules sur les sites, lemme 08TZ), le lemme est démontré.

La classe d’Atiyah d’un faisceau de modules

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{B}\)-modules. Soit \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{B}\) la résolution standard de \(\mathcal{B}\) sur \(\mathcal{A}\) (section 08UQ). Pour tout \(n \geq 0\), considérons l’extension des parties principales [09DG]\[\begin{equation} 0 \to \Omega_{\mathcal{P}_n/\mathcal{A}} \otimes_{\mathcal{P}_n} \mathcal{F} \to \mathcal{P}^1_{\mathcal{P}_n/\mathcal{A}}(\mathcal{F}) \to \mathcal{F} \to 0 \end{equation}\] voir Modules sur les sites, lemme 09CW. La fonctorialité de cette construction (Modules sur les sites, remarque 09CX) montre que (09DG) est la partie de degré \(n\) d’une suite exacte courte de \(\mathcal{P}_\bullet\)-modules simpliciaux (Cohomologie sur les sites, section 09D0). En utilisant le foncteur \(L\pi_! : D(\mathcal{P}_\bullet) \to D(\mathcal{B})\) de Cohomologie sur les sites, remarque 09D3 (nous utilisons ici le fait que \(\mathcal{P}_\bullet \to \mathcal{A}\) est une résolution), nous obtenons un triangle distingué [09DH]\[\begin{equation} L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F} \to L\pi_!\left(\mathcal{P}^1_{\mathcal{P}_\bullet/\mathcal{A}}(\mathcal{F})\right) \to \mathcal{F} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F} [1] \end{equation}\] dans \(D(\mathcal{B})\).

Définition

Soit \(\mathcal{C}\) un site. Soit \(\mathcal{A} \to \mathcal{B}\) un homomorphisme de faisceaux d’anneaux. Soit \(\mathcal{F}\) un faisceau de \(\mathcal{B}\)-modules. L’application \(\mathcal{F} \to L_{\mathcal{B}/\mathcal{A}} \otimes_\mathcal{B}^\mathbf{L} \mathcal{F}[1]\) de (09DH) est appelée la classe d’Atiyah de \(\mathcal{F}\).

Le complexe cotangent d’un morphisme d’espaces annelés

Le complexe cotangent d’un morphisme d’espaces annelés se définit au moyen du complexe cotangent défini ci-dessus.

Définition

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) un morphisme d’espaces annelés. Le complexe cotangent \(L_f\) de \(f\) est \(L_f = L_{\mathcal{O}_X/f^{-1}\mathcal{O}_S}\). Nous utiliserons également la notation \(L_f = L_{X/S} = L_{\mathcal{O}_X/\mathcal{O}_S}\).

Plus précisément, nous considérons le complexe cotangent (définition 08SS) de l’homomorphisme \(f^\sharp : f^{-1}\mathcal{O}_S \to \mathcal{O}_X\) de faisceaux d’anneaux sur le site associé à l’espace topologique \(X\) (Sites, exemple 00VJ).

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\) un morphisme d’espaces annelés. Alors \(H^0(L_{X/S}) = \Omega_{X/S}\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 08UR.

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) des morphismes d’espaces annelés. Il existe alors un triangle distingué canonique \[Lf^* L_{Y/Z} \to L_{X/Z} \to L_{X/Y} \to Lf^*L_{Y/Z}[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Posons \(h = g \circ f\), de sorte que \(h^{-1}\mathcal{O}_Z = f^{-1}g^{-1}\mathcal{O}_Z\). D’après le lemme 08SV, nous avons \(f^{-1}L_{Y/Z} = L_{f^{-1}\mathcal{O}_Y/h^{-1}\mathcal{O}_Z}\) et celui-ci est un complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\)-modules plats. Le triangle distingué précédent est donc un cas du triangle distingué du lemme 08SZ, avec \(\mathcal{A} = h^{-1}\mathcal{O}_Z\), \(\mathcal{B} = f^{-1}\mathcal{O}_Y\) et \(\mathcal{C} = \mathcal{O}_X\).

Lemme

Soit \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (Y, \mathcal{O}_Y)\) un morphisme d’espaces annelés. Il existe une application canonique \(L_{X/Y} \to \NL_{X/Y}\) qui identifie le complexe cotangent naïf à la troncation \(\tau_{\geq -1}L_{X/Y}\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 08US.

Déformations d’espaces annelés et complexe cotangent

Cette section prolonge Théorie des déformations, section 08U6, que nous invitons vivement le lecteur à lire d’abord. Rappelons brièvement la situation. Nous avons un épaississement du premier ordre \(t : (S, \mathcal{O}_S) \to (S', \mathcal{O}_{S'})\) d’espaces annelés, avec \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\), un morphisme d’espaces annelés \(f : (X, \mathcal{O}_X) \to (S, \mathcal{O}_S)\), un \(\mathcal{O}_X\)-module \(\mathcal{G}\) et un \(f\)-morphisme \(c : \mathcal{J} \to \mathcal{G}\) de faisceaux de modules. Nous cherchons si l’on peut remplacer le point d’interrogation dans le diagramme suivant [08UY]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O}_X \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & \mathcal{O}_{S'} \ar[u] \ar[r] & \mathcal{O}_S \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] et, si une solution existe, à quel point elle est unique. Plus précisément, nous cherchons un épaississement du premier ordre \(i : (X, \mathcal{O}_X) \to (X', \mathcal{O}_{X'})\) et un morphisme d’épaississements \((f, f')\) comme dans Théorie des déformations, équation (08L0), où \(\Ker(i^\sharp)\) est identifié à \(\mathcal{G}\), tels que \((f')^\sharp\) induise l’application donnée \(c\). Nous dirons que \(X'\) est une solution de (08UY).

Lemme

Dans la situation précédente :

1. il existe un élément canonique \(\xi \in \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})\) dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une solution de (08UY) ;

2. s’il existe une solution, l’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})\) ;

3. étant donnée une solution \(X'\), l’ensemble des automorphismes de \(X'\) qui s’insèrent dans (08UY) est canoniquement isomorphe à \(\Ext^0_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G})\).

Démonstration

Au moyen des identifications \(\NL_{X/S} = \tau_{\geq -1}L_{X/S}\) (lemme 08UW) et \(H^0(L_{X/S}) = \Omega_{X/S}\) (lemme 08UV), nous avons déjà établi (2) et (3) dans Théorie des déformations, lemmes 08U8 et 08UC.

Démonstration de (1). En gros, l’assertion découle de la discussion de Théorie des déformations, remarque 0GQ4, en remplaçant le complexe cotangent naïf par le complexe cotangent entier. Voici une explication plus détaillée. D’après Théorie des déformations, lemme 0GQ3, il existe un élément \[\xi' \in \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*\NL_{S/S'}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G})\] tel qu’une solution existe si et seulement si cet élément appartient à l’image de l’application \[\Ext^1_{\mathcal{O}_X}(NL_{X/S'}, \mathcal{G}) = \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S'}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G})\] Le triangle distingué du lemme 08T4, appliqué à \(X \to S \to S'\), donne naissance à une suite exacte longue \[\ldots \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_{\mathcal{O}_X}(Lf^*L_{S/S'}, \mathcal{G}) \to \Ext^2_{\mathcal{O}_X}(L_{X/S}, \mathcal{G}) \to \ldots\] Il suffit donc de prendre pour \(\xi\) l’image de \(\xi'\).

Le complexe cotangent d’un morphisme de topos annelés

Le complexe cotangent d’un morphisme de topos annelés se définit au moyen du complexe cotangent défini ci-dessus.

Définition

Soit \((f, f^\sharp) : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}_\mathcal{C}) \to (\Sh(\mathcal{D}), \mathcal{O}_\mathcal{D})\) un morphisme de topos annelés. Le complexe cotangent \(L_f\) de \(f\) est \(L_f = L_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{D}}\). Nous écrivons parfois \(L_f = L_{\mathcal{O}_\mathcal{C}/\mathcal{O}_\mathcal{D}}\).

Cette définition s’applique dans de nombreuses situations, mais elle ne donne pas toujours l’objet attendu. Par exemple, si \(f : X \to Y\) est un morphisme de schémas, alors \(f\) induit un morphisme de grands sites étales \(f_{big} : (\Sch/X)_\etale \to (\Sch/Y)_\etale\) qui est un morphisme de topos annelés (Descente, remarque 070R). Toutefois, \(L_{f_{big}} = 0\) puisque \((f_{big})^\sharp\) est un isomorphisme. En revanche, si nous prenons \(L_f\) en regardant \(f\) comme un morphisme entre les topos annelés de Zariski sous-jacents, alors \(L_f\) coïncide bien avec le complexe cotangent \(L_{X/Y}\) (défini ci-dessous), dont le faisceau de cohomologie de degré zéro est \(\Omega_{X/Y}\).

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) un morphisme de topos annelés. Alors \(H^0(L_f) = \Omega_f\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 08UR.

Lemme

Soient \(f : (\Sh(\mathcal{C}_1), \mathcal{O}_1) \to (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2)\) et \(g : (\Sh(\mathcal{C}_2), \mathcal{O}_2) \to (\Sh(\mathcal{C}_3), \mathcal{O}_3)\) des morphismes de topos annelés. Il existe alors un triangle distingué canonique \[Lf^* L_g \to L_{g \circ f} \to L_f \to Lf^*L_g[1]\] dans \(D(\mathcal{O}_1)\).

Démonstration

Posons \(h = g \circ f\), de sorte que \(h^{-1}\mathcal{O}_3 = f^{-1}g^{-1}\mathcal{O}_3\). D’après le lemme 08SV, nous avons \(f^{-1}L_g = L_{f^{-1}\mathcal{O}_2/h^{-1}\mathcal{O}_3}\) et celui-ci est un complexe de \(f^{-1}\mathcal{O}_2\)-modules plats. Le triangle distingué précédent est donc un cas du triangle distingué du lemme 08SZ, avec \(\mathcal{A} = h^{-1}\mathcal{O}_3\), \(\mathcal{B} = f^{-1}\mathcal{O}_2\) et \(\mathcal{C} = \mathcal{O}_1\).

Lemme

Soit \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\) un morphisme de topos annelés. Il existe une application canonique \(L_f \to \NL_f\) qui identifie le complexe cotangent naïf à la troncation \(\tau_{\geq -1}L_f\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 08US.

Déformations de topos annelés et complexe cotangent

Cette section prolonge Théorie des déformations, section 08UE, que nous invitons vivement le lecteur à lire d’abord. Rappelons brièvement la situation. Nous avons un épaississement du premier ordre \(t : (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B}) \to (\Sh(\mathcal{B}'), \mathcal{O}_{\mathcal{B}'})\) de topos annelés, avec \(\mathcal{J} = \Ker(t^\sharp)\), un morphisme de topos annelés \(f : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{B}), \mathcal{O}_\mathcal{B})\), an \(\mathcal{O}\)-module \(\mathcal{G}\) et une application \(f^{-1}\mathcal{J} \to \mathcal{G}\) de faisceaux de \(f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B}\)-modules. Nous cherchons si l’on peut remplacer le point d’interrogation dans le diagramme suivant [08V4]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ 0 \ar[r] & \mathcal{G} \ar[r] & {?} \ar[r] & \mathcal{O} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & f^{-1}\mathcal{J} \ar[u]^c \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_{\mathcal{B}'} \ar[u] \ar[r] & f^{-1}\mathcal{O}_\mathcal{B} \ar[u] \ar[r] & 0 } } \end{equation}\] et, si une solution existe, à quel point elle est unique. Plus précisément, nous cherchons un épaississement du premier ordre \(i : (\Sh(\mathcal{C}), \mathcal{O}) \to (\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) et un morphisme d’épaississements \((f, f')\) comme dans Théorie des déformations, équation (08M8), où \(\Ker(i^\sharp)\) est identifié à \(\mathcal{G}\), tels que \((f')^\sharp\) induise l’application donnée \(c\). Nous dirons que \((\Sh(\mathcal{C}'), \mathcal{O}')\) est une solution de (08V4).

Lemme

Dans la situation précédente :

1. il existe un élément canonique \(\xi \in \Ext^2_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})\) dont l’annulation est une condition nécessaire et suffisante pour l’existence d’une solution de (08V4) ;

2. s’il existe une solution, l’ensemble des classes d’isomorphisme de solutions est un espace principal homogène sous \(\Ext^1_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})\) ;

3. étant donnée une solution \(X'\), l’ensemble des automorphismes de \(X'\) qui s’insèrent dans (08V4) est canoniquement isomorphe à \(\Ext^0_\mathcal{O}(L_f, \mathcal{G})\).

Démonstration

Au moyen des identifications \(\NL_f = \tau_{\geq -1}L_f\) (lemme 08V2) et \(H^0(L_f) = \Omega_f\) (lemme 08V0), nous avons déjà établi (2) et (3) dans Théorie des déformations, lemmes 08UG et 08UK.

Démonstration de (1). Pour accorder les notations à celles de Théorie des déformations, section 08UE, nous écrirons \(\NL_f = \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\) et \(L_f = L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}\), et de même pour les morphismes \(t\) et \(t \circ f\). D’après Théorie des déformations, lemme 0GQ9, il existe un élément \[\xi' \in \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*\NL_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] tel qu’une solution existe si et seulement si cet élément appartient à l’image de l’application \[\Ext^1_\mathcal{O}( \NL_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) = \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \longrightarrow \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G})\] Le triangle distingué du lemme 08V1, appliqué à \(f\) et \(t\), donne naissance à une suite exacte longue \[\ldots \to \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_\mathcal{O}( Lf^*L_{\mathcal{O}_\mathcal{B}/\mathcal{O}_{\mathcal{B}'}}, \mathcal{G}) \to \Ext^1_\mathcal{O}( L_{\mathcal{O}/\mathcal{O}_\mathcal{B}}, \mathcal{G})\] Il suffit donc de prendre pour \(\xi\) l’image de \(\xi'\).

Le complexe cotangent d’un morphisme de schémas

Comme annoncé plus haut, nous définissons comme suit le complexe cotangent d’un morphisme de schémas.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Le complexe cotangent \(L_{X/Y}\) de \(X\) sur \(Y\) est le complexe cotangent de \(f\) considéré comme un morphisme d’espaces annelés (définition 08UU).

En particulier, les résultats de la section 08UT s’appliquent aux complexes cotangents des morphismes de schémas. Le lemme suivant montre que cette définition est compatible avec celle donnée pour les homomorphismes d’anneaux ; il implique aussi que \(L_{X/Y}\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme de schémas. Soient \(U = \Spec(B) \subset X\) et \(V = \Spec(A) \subset Y\) des ouverts affines tels que \(f(U) \subset V\). Il existe une application canonique \[\widetilde{L_{B/A}} \longrightarrow L_{X/Y}|_U\] de complexes qui est un isomorphisme dans \(D(\mathcal{O}_U)\). Cette application est compatible à la restriction à des ouverts affines plus petits de \(X\) et de \(Y\).

Démonstration

D’après la remarque 08SX, il existe une application canonique de complexes \(L_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)} \to L_{X/Y}(U)\) de \(B = \mathcal{O}_X(U)\)-modules, compatible aux restrictions ultérieures. En utilisant l’application canonique \(A \to f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)\), nous obtenons une application canonique \(L_{B/A} \to L_{\mathcal{O}_X(U)/f^{-1}\mathcal{O}_Y(U)}\) de complexes de \(B\)-modules. La propriété universelle du foncteur \(\widetilde{\ }\) (voir Schémas, lemme 01I7) fournit l’application de l’énoncé. Pour vérifier qu’elle est un isomorphisme sur les faisceaux de cohomologie, il suffit de vérifier qu’elle induit des isomorphismes sur les fibres. Cela résulte immédiatement des lemmes 08T0 et 08SF (et de la description des fibres de \(\mathcal{O}_X\) et \(f^{-1}\mathcal{O}_Y\) en un point \(\mathfrak p \in \Spec(B)\) comme \(B_\mathfrak p\) et \(A_\mathfrak q\), où \(\mathfrak q = A \cap \mathfrak p\) ; les références utilisées sont Schémas, lemme 01HV, et Faisceaux, lemme 008H).

Lemme

Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(X\) un schéma sur \(\Lambda\). Alors \[L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{\mathcal{O}_X/\underline{\Lambda}}\] où \(\underline{\Lambda}\) est le faisceau constant de valeur \(\Lambda\) sur \(X\).

Démonstration

Soit \(p : X \to \Spec(\Lambda)\) le morphisme structural. Soit \(q : \Spec(\Lambda) \to (*, \Lambda)\) le morphisme évident. D’après le triangle distingué du lemme 08T4, il suffit de montrer que \(L_q = 0\). Pour cela, il suffit de montrer, pour \(\mathfrak p \in \Spec(\Lambda)\), que \[(L_q)_\mathfrak p = L_{\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda), \mathfrak p}/\Lambda} = L_{\Lambda_\mathfrak p/\Lambda}\] (lemme 08T0) est nul, ce qui résulte du lemme 08R2.

Le complexe cotangent d’un schéma sur un anneau

Soit \(\Lambda\) un anneau et soit \(X\) un schéma sur \(\Lambda\). Écrivons \(L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{X/\Lambda}\), ce qui est justifié par le lemme 08V6. Dans cette section, nous donnons de \(L_{X/\Lambda}\) une description analogue à celle du lemme 08PU. Plus précisément, nous construisons une catégorie \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) fibrée au-dessus de \(X_{Zar}\) et la munissons d’un faisceau \(\mathcal{O}\) de \(\Lambda\)-algèbres (polynomiales) tel que \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X).\] Nous utiliserons plus loin la catégorie \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) pour construire une théorie naïve des obstructions pour le champ des faisceaux cohérents.

Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(X\) un schéma sur \(\Lambda\). Soit \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) la catégorie dont les objets sont les diagrammes commutatifs [08V8]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(\Lambda) & \mathbf{A} \ar[l] } } \end{equation}\] de schémas tels que

1. \(U\) soit un sous-schéma ouvert de \(X\),

2. il existe un isomorphisme \(\mathbf{A} = \Spec(P)\), où \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(\Lambda\) (en un certain ensemble de variables).

Autrement dit, \(\mathbf{A}\) est un espace affine (de dimension infinie) sur \(\Spec(\Lambda)\). Les morphismes sont donnés par des diagrammes commutatifs. Rappelons que \(X_{Zar}\) désigne le petit site de Zariski de \(X\). Il existe un foncteur d’oubli \[u : \mathcal{C}_{X/\Lambda} \to X_{Zar},\ (U \to \mathbf{A}) \mapsto U\] Remarquons que la catégorie fibre au-dessus de \(U\) est canoniquement équivalente à la catégorie \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\) introduite dans la section 08PQ.

Lemme

Dans la situation précédente, la catégorie \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) est fibrée au-dessus de \(X_{Zar}\).

Démonstration

Étant donnés un objet \(U \to \mathbf{A}\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) et un morphisme \(U' \to U\) de \(X_{Zar}\), considérons l’objet \(U' \to \mathbf{A}\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\), où \(U' \to \mathbf{A}\) est la composée de \(U' \to U\) et de \(U \to \mathbf{A}\). Le morphisme \((U' \to \mathbf{A}) \to (U \to \mathbf{A})\) of de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) est fortement cartésien au-dessus de \(X_{Zar}\).

Munissons \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) de la topologie héritée de \(X_{Zar}\) (voir Champs, section 06NT). Le foncteur \(u\) définit un morphisme de topos \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}) \to \Sh(X_{Zar})\). Le site \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) est muni de plusieurs faisceaux d’anneaux :

1. le faisceau \(\mathcal{O}\) donné par la règle \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \Gamma(\mathbf{A}, \mathcal{O}_\mathbf{A})\).

2. le faisceau \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\) donné par la règle \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{O}_X(U)\) ;

3. le faisceau constant \(\underline{\Lambda}\).

Nous obtenons des morphismes de topos annelés [08VA]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_{Zar}), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] Le morphisme \(i\) est l’identité sur les topos sous-jacents, et \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\) est l’homomorphisme évident. Le morphisme \(\pi\) est un cas particulier de Cohomologie sur les sites, situation 08P8. Les foncteurs dérivés suivants joueront un rôle important : \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\) adjoint à gauche de \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\), et \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\) adjoint à gauche de \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\). Nos travaux précédents permettent de calculer \(L\pi_!\).

Remarque

Dans la situation précédente, pour tout ouvert \(U \subset X\), soit \(P_{\bullet, U}\) la résolution standard de \(\mathcal{O}_X(U)\) sur \(\Lambda\). Posons \(\mathbf{A}_{n, U} = \Spec(P_{n, U})\). Alors \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\) est un objet cosimplicial de la catégorie fibre \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) au-dessus de \(U\). De plus, comme expliqué dans la remarque 08QI, \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\) est un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\) comme dans Cohomologie sur les sites, lemme 08Q9. La construction \(U \mapsto \mathbf{A}_{\bullet, U}\) étant fonctorielle en \(U\), tout faisceau (abélien) \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) donne un complexe de préfaisceaux \[U \longmapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{\bullet, U})\] dont les groupes de cohomologie calculent l’homologie de \(\mathcal{F}\) sur la catégorie fibre. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 08PJ, nous en concluons que la faisceautisation calcule \(L_n\pi_!(\mathcal{F})\). Autrement dit, le complexe de faisceaux dont le terme de degré \(-n\) est la faisceautisation de \(U \mapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{n, U})\) calcule \(L\pi_!(\mathcal{F})\).

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat principal de cette section.

Lemme

Dans la situation précédente, il existe un isomorphisme canonique \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Observons d’abord que, pour tout objet \((U \to \mathbf{A})\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\), la valeur du faisceau \(\mathcal{O}\) est une algèbre polynomiale sur \(\Lambda\). Ainsi, \(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat, et les deuxième et troisième égalités de l’énoncé sont vérifiées.

D’après la remarque 08VB, l’objet \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) se calcule comme la faisceautisation du complexe de préfaisceaux \[U \mapsto \left(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X\right)(\mathbf{A}_{\bullet, U}) = \Omega_{P_{\bullet, U}/\Lambda} \otimes_{P_{\bullet, U}} \mathcal{O}_X(U) = L_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\] avec les notations de la remarque 08VB. La remarque 08SX montre alors que \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) calcule le complexe cotangent de l’homomorphisme d’anneaux \(\underline{\Lambda} \to \mathcal{O}_X\) sur \(X\). C’est le résultat voulu d’après le lemme 08V6.

Le complexe cotangent d’un morphisme d’espaces algébriques

Nous définissons le complexe cotangent d’un morphisme d’espaces algébriques au moyen du morphisme associé entre les petits sites étales.

Définition

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Le complexe cotangent \(L_{X/Y}\) de \(X\) sur \(Y\) est le complexe cotangent du morphisme de topos annelés \(f_{small}\) entre les petits sites étales de \(X\) et de \(Y\) (voir Propriétés des espaces, lemme 03G8, et définition 08SU).

En particulier, les résultats de la section 08SQ s’appliquent aux complexes cotangents des morphismes d’espaces algébriques. Les lemmes suivants montrent que cette définition est compatible avec celles données pour les homomorphismes d’anneaux et pour les schémas, et que \(L_{X/Y}\) est un objet de \(D_\QCoh(\mathcal{O}_X)\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_p \ar[r]_g & V \ar[d]^q \\ X \ar[r]^f & Y }\] d’espaces algébriques sur \(S\), où \(p\) et \(q\) sont étales. Il existe alors une identification canonique \(L_{X/Y}|_{U_\etale} = L_{U/V}\) dans \(D(\mathcal{O}_U)\).

Démonstration

La formation du complexe cotangent commute à l’image inverse (lemme 08SV), et nous avons \(p_{small}^{-1}\mathcal{O}_X = \mathcal{O}_U\) et \(g_{small}^{-1}\mathcal{O}_{V_\etale} = p_{small}^{-1}f_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale}\) parce que \(q_{small}^{-1}\mathcal{O}_{Y_\etale} = \mathcal{O}_{V_\etale}\) (Propriétés des espaces, lemme 03LV). En suivant les définitions, nous en concluons que \(L_{X/Y}|_{U_\etale} = L_{U/V}\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(X\) et \(Y\) soient représentables par des schémas \(X_0\) et \(Y_0\). Il existe alors une identification canonique \(L_{X/Y} = \epsilon^*L_{X_0/Y_0}\) in \(D(\mathcal{O}_X)\) où \(\epsilon\) est celui de Catégories dérivées des espaces, section 071P, et où \(L_{X_0/Y_0}\) est celui de la définition 08T2.

Démonstration

Soit \(f_0 : X_0 \to Y_0\) le morphisme de schémas correspondant à \(f\). Il existe une application canonique \(\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0} \to f_{small}^{-1}\mathcal{O}_Y\) compatible à \(\epsilon^\sharp : \epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0} \to \mathcal{O}_X\) parce qu’il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X_{0, Zar} \ar[d]_{f_0} & X_\etale \ar[l]^\epsilon \ar[d]^f \\ Y_{0, Zar} & Y_\etale \ar[l]_\epsilon }\] voir Catégories dérivées des espaces, remarque 08GH. Nous obtenons ainsi une application canonique \[\epsilon^{-1}L_{X_0/Y_0} = \epsilon^{-1}L_{\mathcal{O}_{X_0}/f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} = L_{\epsilon^{-1}\mathcal{O}_{X_0}/\epsilon^{-1}f_0^{-1}\mathcal{O}_{Y_0}} \longrightarrow L_{\mathcal{O}_X/f^{-1}_{small}\mathcal{O}_Y} = L_{X/Y}\] par la fonctorialité étudiée dans la section 08UQ et le lemme 08SV. Pour voir que l’application induite \(\epsilon^*L_{X_0/Y_0} \to L_{X/Y}\) est un isomorphisme, nous pouvons le vérifier sur les fibres aux points géométriques (Propriétés des espaces, théorème 04K5). Nous utiliserons le lemme 08T0 pour calculer les fibres. Soit \(\overline{x} : \Spec(k) \to X_0\) un point géométrique au-dessus de \(x \in X_0\), et soit \(\overline{y} = f \circ \overline{x}\) au-dessus de \(y \in Y_0\). Alors \[L_{X/Y, \overline{x}} = L_{\mathcal{O}_{X, \overline{x}}/\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}}\] et \[(\epsilon^*L_{X_0/Y_0})_{\overline{x}} = L_{X_0/Y_0, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}} = L_{\mathcal{O}_{X_0, x}/\mathcal{O}_{Y_0, y}} \otimes_{\mathcal{O}_{X_0, x}} \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\] Nous omettons quelques détails (indication : utiliser le fait que la fibre d’une image inverse est la fibre au point image ; voir Sites, lemme 05V1, ainsi que le résultat correspondant pour les modules, Modules sur les sites, lemme 05V5). Remarquons que \(\mathcal{O}_{X, \overline{x}}\) est le hensélisé strict de \(\mathcal{O}_{X_0, x}\), et de même pour \(\mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) (Propriétés des espaces, lemme 04KF). Le résultat découle donc du lemme 08UN.

Lemme

Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(\Lambda\). Alors \[L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{\mathcal{O}_X/\underline{\Lambda}}\] où \(\underline{\Lambda}\) est le faisceau constant de valeur \(\Lambda\) sur \(X_\etale\).

Démonstration

Soit \(p : X \to \Spec(\Lambda)\) le morphisme structural. Soit \(q : \Spec(\Lambda)_\etale \to (*, \Lambda)\) le morphisme évident. D’après le triangle distingué du lemme 08V1, il suffit de montrer que \(L_q = 0\). Pour cela, il suffit de montrer (Propriétés des espaces, théorème 04K5) que, pour tout point géométrique \(\overline{t} : \Spec(k) \to \Spec(\Lambda)\), \[(L_q)_{\overline{t}} = L_{\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda)_\etale, \overline{t}}/\Lambda}\] (lemme 08T0) est nul. Comme \(\mathcal{O}_{\Spec(\Lambda)_\etale, \overline{t}}\) est le hensélisé strict d’un anneau local de \(\Lambda\) (Propriétés des espaces, lemme 04KF), cela résulte du lemme 08R2.

Le complexe cotangent d’un espace algébrique sur un anneau

Soit \(\Lambda\) un anneau et soit \(X\) un espace algébrique sur \(\Lambda\). Écrivons \(L_{X/\Spec(\Lambda)} = L_{X/\Lambda}\), ce qui est justifié par le lemme 08VG. Dans cette section, nous donnons de \(L_{X/\Lambda}\) une description analogue à celle du lemme 08PU. Plus précisément, nous construisons une catégorie \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) fibrée au-dessus de \(X_\etale\) et la munissons d’un faisceau \(\mathcal{O}\) de \(\Lambda\)-algèbres (polynomiales) tel que \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X).\] Nous utiliserons plus loin la catégorie \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) pour construire une théorie naïve des obstructions pour le champ des faisceaux cohérents.

Soit \(\Lambda\) un anneau. Soit \(X\) un espace algébrique sur \(\Lambda\). Soit \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) la catégorie dont les objets sont les diagrammes commutatifs [08VI]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[d] \\ \Spec(\Lambda) & \mathbf{A} \ar[l] } } \end{equation}\] de schémas tels que

1. \(U\) soit un schéma,

2. \(U \to X\) soit étale,

3. il existe un isomorphisme \(\mathbf{A} = \Spec(P)\), où \(P\) est une algèbre polynomiale sur \(\Lambda\) (en un certain ensemble de variables).

Autrement dit, \(\mathbf{A}\) est un espace affine (de dimension infinie) sur \(\Spec(\Lambda)\). Les morphismes sont donnés par des diagrammes commutatifs. Rappelons que \(X_\etale\) désigne le petit site étale de \(X\), dont les objets sont les schémas étales sur \(X\). Il existe un foncteur d’oubli \[u : \mathcal{C}_{X/\Lambda} \to X_\etale, \quad (U \to \mathbf{A}) \mapsto U\] Remarquons que la catégorie fibre au-dessus de \(U\) est canoniquement équivalente à la catégorie \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\) introduite dans la section 08PQ.

Lemme

Dans la situation précédente, la catégorie \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) est fibrée au-dessus de \(X_\etale\).

Démonstration

Étant donnés un objet \(U \to \mathbf{A}\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) et un morphisme \(U' \to U\) de \(X_\etale\), considérons l’objet \(U' \to \mathbf{A}\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\), où \(U' \to \mathbf{A}\) est la composée de \(U' \to U\) et de \(U \to \mathbf{A}\). Le morphisme \((U' \to \mathbf{A}) \to (U \to \mathbf{A})\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) est fortement cartésien au-dessus de \(X_\etale\).

Munissons \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) de la topologie héritée de \(X_\etale\) (voir Champs, section 06NT). Le foncteur \(u\) définit un morphisme de topos \(\pi : \Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}) \to \Sh(X_\etale)\). Le site \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) est muni de plusieurs faisceaux d’anneaux :

1. le faisceau \(\mathcal{O}\) donné par la règle \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \Gamma(\mathbf{A}, \mathcal{O}_\mathbf{A})\).

2. le faisceau \(\underline{\mathcal{O}}_X = \pi^{-1}\mathcal{O}_X\) donné par la règle \((U \to \mathbf{A}) \mapsto \mathcal{O}_X(U)\) ;

3. le faisceau constant \(\underline{\Lambda}\).

Nous obtenons des morphismes de topos annelés [08VK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \underline{\mathcal{O}}_X) \ar[r]_i \ar[d]_\pi & (\Sh(\mathcal{C}_{X/\Lambda}), \mathcal{O}) \\ (\Sh(X_\etale), \mathcal{O}_X) } } \end{equation}\] Le morphisme \(i\) est l’identité sur les topos sous-jacents, et \(i^\sharp : \mathcal{O} \to \underline{\mathcal{O}}_X\) est l’homomorphisme évident. Le morphisme \(\pi\) est un cas particulier de Cohomologie sur les sites, situation 08P8. Les foncteurs dérivés suivants joueront un rôle important : \(Li^* : D(\mathcal{O}) \longrightarrow D(\underline{\mathcal{O}}_X)\) adjoint à gauche de \(Ri_* = i_* : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \to D(\mathcal{O})\), et \(L\pi_! : D(\underline{\mathcal{O}}_X) \longrightarrow D(\mathcal{O}_X)\) adjoint à gauche de \(\pi^* = \pi^{-1} : D(\mathcal{O}_X) \to D(\underline{\mathcal{O}}_X)\). Nos travaux précédents permettent de calculer \(L\pi_!\).

Remarque

Dans la situation précédente, pour tout objet \(U \to X\) de \(X_\etale\), soit \(P_{\bullet, U}\) la résolution standard de \(\mathcal{O}_X(U)\) sur \(\Lambda\). Posons \(\mathbf{A}_{n, U} = \Spec(P_{n, U})\). Alors \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\) est un objet cosimplicial de la catégorie fibre \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) au-dessus de \(U\). De plus, comme expliqué dans la remarque 08QI, \(\mathbf{A}_{\bullet, U}\) est un objet cosimplicial de \(\mathcal{C}_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\) comme dans Cohomologie sur les sites, lemme 08Q9. La construction \(U \mapsto \mathbf{A}_{\bullet, U}\) étant fonctorielle en \(U\), tout faisceau (abélien) \(\mathcal{F}\) sur \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\) donne un complexe de préfaisceaux \[U \longmapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{\bullet, U})\] dont les groupes de cohomologie calculent l’homologie de \(\mathcal{F}\) sur la catégorie fibre. D’après Cohomologie sur les sites, lemme 08PJ, nous en concluons que la faisceautisation calcule \(L_n\pi_!(\mathcal{F})\). Autrement dit, le complexe de faisceaux dont le terme de degré \(-n\) est la faisceautisation de \(U \mapsto \mathcal{F}(\mathbf{A}_{n, U})\) calcule \(L\pi_!(\mathcal{F})\).

Nous pouvons maintenant énoncer le résultat principal de cette section.

Lemme

Dans la situation précédente, il existe un isomorphisme canonique \[L_{X/\Lambda} = L\pi_!(Li^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(i^*\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}) = L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\] dans \(D(\mathcal{O}_X)\).

Démonstration

Observons d’abord que, pour tout objet \((U \to \mathbf{A})\) de \(\mathcal{C}_{X/\Lambda}\), la valeur du faisceau \(\mathcal{O}\) est une algèbre polynomiale sur \(\Lambda\). Ainsi, \(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}}\) est un \(\mathcal{O}\)-module plat, et les deuxième et troisième égalités de l’énoncé sont vérifiées.

D’après la remarque 08VL, l’objet \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) se calcule comme la faisceautisation du complexe de préfaisceaux \[U \mapsto \left(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X\right)(\mathbf{A}_{\bullet, U}) = \Omega_{P_{\bullet, U}/\Lambda} \otimes_{P_{\bullet, U}} \mathcal{O}_X(U) = L_{\mathcal{O}_X(U)/\Lambda}\] avec les notations de la remarque 08VL. La remarque 08SX montre alors que \(L\pi_!(\Omega_{\mathcal{O}/\underline{\Lambda}} \otimes_\mathcal{O} \underline{\mathcal{O}}_X)\) calcule le complexe cotangent de l’homomorphisme d’anneaux \(\underline{\Lambda} \to \mathcal{O}_X\) sur \(X_\etale\). C’est le résultat voulu d’après le lemme 08VG.

Produits fibrés d’espaces algébriques et complexe cotangent

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to B\) et \(Y \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). Considérons le produit fibré \(X \times_B Y\), muni des morphismes de projection \(p : X \times_B Y \to X\) et \(q : X \times_B Y \to Y\). Dans cette section, nous étudions \(L_{X \times_B Y/B}\). L’essentiel des renseignements recherchés est contenu dans le diagramme suivant [09DK]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ Lp^*L_{X/B} \ar[r] & L_{X \times_B Y/Y} \ar[r] & E \\ Lp^*L_{X/B} \ar[r] \ar@{=}[u] & L_{X \times_B Y/B} \ar[r] \ar[u] & L_{X \times_B Y/X} \ar[u] \\ & Lq^*L_{Y/B} \ar[u] \ar@{=}[r] & Lq^*L_{Y/B} \ar[u] } } \end{equation}\] Explication : la ligne médiane est le triangle fondamental du lemme 08V1 associé aux morphismes \(X \times_B Y \to X \to B\). La colonne médiane est le triangle fondamental associé aux morphismes \(X \times_B Y \to Y \to B\). Ensuite, \(E\) est un objet de \(D(\mathcal{O}_{X \times_B Y})\) qui « complète » le coin supérieur droit, c’est-à-dire qui fait de la ligne supérieure et de la colonne droite des triangles distingués. Un tel \(E\) existe d’après Catégories dérivées, proposition 05R0, appliquée au carré inférieur gauche (en plaçant \(0\) à la position manquante). Plus explicitement, nous pourrions par exemple définir \(E\) comme le cône (Catégories dérivées, définition 014E) de l’application de complexes \[Lp^*L_{X/B} \oplus Lq^*L_{Y/B} \longrightarrow L_{X \times_B Y/B}\] et obtenir les deux applications de but \(E\) en appliquant TR3. Dans le cas Tor-indépendant, l’objet \(E\) est nul.

Lemme

Dans la situation précédente, si \(X\) et \(Y\) sont Tor-indépendants sur \(B\), alors l’objet \(E\) de (09DK) est nul. Dans ce cas, nous avons \[L_{X \times_B Y/B} = Lp^*L_{X/B} \oplus Lq^*L_{Y/B}\]

Démonstration

Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to B\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to X \times_B W\). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to Y \times_B W\). Alors \(U \times_W V \to X \times_B Y\) est également étale surjectif. Il suffit donc de montrer que la restriction de \(E\) à \(U \times_W V\) est nulle. D’après le lemme 08VF et Catégories dérivées des espaces, lemme 08IQ, nous sommes ramenés au cas des schémas. En choisissant des ouverts affines convenables, nous nous ramenons au cas des schémas affines. Le lemme 08T3 nous ramène alors au cas d’un produit tensoriel d’anneaux, c’est-à-dire au lemme 09DA.

Dans le cas général, nous pouvons dire ce qui suit de l’objet \(E\).

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soient \(X \to B\) et \(Y \to B\) des morphismes d’espaces algébriques sur \(S\). L’objet \(E\) de (09DK) vérifie \(H^i(E) = 0\) pour \(i = 0, -1\), et, pour tout point géométrique \((\overline{x}, \overline{y}) : \Spec(k) \to X \times_B Y\), nous avons \[H^{-2}(E)_{(\overline{x}, \overline{y})} = \text{Tor}_1^R(A, B) \otimes_{A \otimes_R B} C\] où \(R = \mathcal{O}_{B, \overline{b}}\), \(A = \mathcal{O}_{X, \overline{x}}\), \(B = \mathcal{O}_{Y, \overline{y}}\) et \(C = \mathcal{O}_{X \times_B Y, (\overline{x}, \overline{y})}\).

Démonstration

La formation du complexe cotangent commute au passage aux fibres et aux images inverses ; voir les lemmes 08T0 et 08SV. Remarquons que \(C\) est un hensélisé de \(A \otimes_R B\). \(L_{C/R} = L_{A \otimes_R B/R} \otimes_{A \otimes_R B} C\) d’après les résultats de la section 08QY. Ainsi, la fibre de \(E\) en notre point géométrique est le cône de l’application \(L_{A/R} \otimes C \to L_{A \otimes_R B/R} \otimes C\). Les assertions du lemme résultent donc du cas des anneaux, c’est-à-dire du lemme 09DB.