브라우어 군

서론

참고문헌으로 Cartan 세미나에서 이루어진 Serre의 강의를 들 수 있다. [Serre-Cartan]을 보라. Serre는 다시 [Deuring]과 [ANT]를 인용한다. 여기서는 몇몇 증명을 바꾸었으며, 특히 Wedderburn 정리를 증명하기 위해 Rieffel의 흥미로운 논증을 사용했다. 이 변경이 개선일 가능성은 매우 낮으므로, 독자에게 Serre의 원래 해설을 읽어 볼 것을 강력히 권한다.

비가환 대수

\(k\)를 체라 하자. 이 장에서 \(k\) 위의 대수 \(A\)란, 비가환일 수도 있는 환 \(A\)와 환 준동형 \(k \to A\)의 쌍으로서, \(k\)의 상이 \(A\)의 중심에 들어가고 \(1\)이 \(A\)의 항등원으로 가는 것을 말한다. \(A\)-가군이란 \(A\)의 항등원이 항등사상으로 작용하는 오른쪽 \(A\)-가군을 말한다.

정의

\(A\)를 \(k\)-대수라 하자. \(\dim_k(A) < \infty\)이면 \(A\)를 유한이라 한다. 이 경우 \([A : k] = \dim_k(A)\)로 쓴다.

정의

나눗셈환이란 항등원 \(1\)을 가지고 \(1 \not = 0\)이며, 모든 영이 아닌 원이 곱셈 역원을 갖는, 비가환일 수도 있는 환을 말한다.

나눗셈환은 어떤 \(k\)에 대해서는 \(k\)-대수이다(예를 들어 그 안에 들어 있는 소체를 택하면 된다). 아래에서는 나눗셈환 위의 모든 가군이 자유 가군이라는 사실을 사용한다. 벡터들의 극대 선형독립 집합은 기저를 이루며, 그러한 집합은  Zorn의 보조정리에 의해 존재하기 때문이다.

정의

\(A\)를 \(k\)-대수라 하자. \(A\)-가군 \(M\)이 영이 아니고 그 \(A\)-부분가군이 \(0\)과 \(M\)뿐이면 이 가군을 단순이라 한다. \(A\)의 양쪽 아이디얼이 \(0\)과 \(A\)뿐이면 \(A\)를 단순이라 한다.

정의

\(k\)-대수 \(A\)의 중심이 \(k \to A\)의 상이면 \(A\)를 중심적이라 한다.

정의

\(k\)-대수 \(A\)가 주어졌을 때, \(A\)의 곱셈 순서를 뒤집어 얻는 \(k\)-대수를 \(A^{op}\)로 나타낸다. 이를 반대대수라 한다.

Wedderburn 정리

다음의 멋진 논증은 Rieffel의 논문에서 찾을 수 있다. [Rieffel]을 보라. 이 증명은 이보다 더 간단할 수 없다(Carl Faith의 서평에서 인용).

보조정리

\(A\)를 단위원 \(1\)을 가지며 비자명한 양쪽 아이디얼을 갖지 않는, 비가환일 수도 있는 환이라 하자. \(M\)을 \(A\)의 영이 아닌 오른쪽 아이디얼이라 하고, \(M\)을 오른쪽 \(A\)-가군으로 보자. 그러면 \(A\)는 \(M\)의 이중 가환자와 일치한다.

증명

\(A' = \text{End}_A(M)\)로 놓으면 \(M\)은 왼쪽 \(A'\)-가군이다. \(A'' = \text{End}_{A'}(M)\)로 놓자(이는 \(M\)의 이중 가환자이다). \(M\)을 오른쪽 \(A''\)-가군으로 본다¹. \(mR(a) = ma\)로 정해지는 자연스러운 준동형 \(R : A \to A''\)를 취하자. \(R(1) = \text{id}_M\)이고 \(A\)에는 비자명한 양쪽 아이디얼이 없으므로 \(R\)은 단사이다. \(R(M)\)이 \(A''\)의 오른쪽 아이디얼임을 보이자. 실제로 \(a'' \in A''\)이고 \(m\)이 \(M\)에 속하면 \(R(m)a'' = R(ma'')\)이다. 왜냐하면 \(M\) 위의 왼쪽 곱셈 가운데 \(M\)의 임의의 원 \(n\)이 주는 것은 \(A'\)의 한 원을 나타내므로, \(M\)에 속하는 모든 \(n\)에 대해 \((nm)a'' = n(ma'')\)이기 때문이다. 마지막으로 곱 아이디얼 \(AM\)은 양쪽 아이디얼이므로 \(A = AM\)이다. 따라서 \(R(A) = R(A)R(M)\)이고, 이에 따라 \(R(A)\)는 \(A''\)의 오른쪽 아이디얼이다. 그런데 \(R(A)\)는 \(A''\)의 항등원을 포함하므로 \(R(A) = A''\)이다.

보조정리

\(A\)를 \(k\)-대수라 하자. \(A\)가 유한이면 다음이 성립한다.

1. \(A\)는 단순 가군을 갖는다.

2. 영이 아닌 모든 가군은 단순 부분가군을 포함한다.

3. \(A\) 위의 단순 가군은 \(k\) 위에서 유한 차원이다.

4. \(M\)이 단순 \(A\)-가군이면 \(\text{End}_A(M)\)은 나눗셈환이다.

증명

\(A\) 자체가 영이 아닌 \(A\)-가군이므로 물론 (1)은 (2)에서 따른다. (2)에 대해서는, \(k\)-벡터 공간으로서 최소인 (유한) 차원을 갖는 부분가군을 택하면 단순하다. 순환 부분가군은 유한 차원이므로 그러한 유한 차원 부분가군이 존재한다. \(M\)이 단순이면 \(mA \subset M\)은 부분가군이므로 (3)을 얻는다. \(\text{End}_A(M)\)의 영이 아닌 모든 원은 동형사상이므로 (4)가 성립한다.

정리

\(A\)를 유한 단순 \(k\)-대수라 하자. 그러면 \(A\)는 나눗셈환인 유한 \(k\)-대수 \(K\) 위의 행렬 대수이다.

증명

단순 부분가군 \(M \subset A\)를 택할 수 있으며, 이때 \(k\)-대수 \(K = \text{End}_A(M)\)은 나눗셈환이다. 보조정리 0746를 보라. 보조정리 0745에 의해 \(A = \text{End}_K(M)\)이다. \(K\)는 나눗셈환이고 \(M\)은 유한 생성(\(\dim_k(M) < \infty\)이므로)이므로, \(M\)은 왼쪽 \(K\)-가군으로서 유한 자유 가군이다. 따라서 곧바로 \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K^{op})\)를 얻는다.

대수에 관한 보조정리

\(A\)를 \(k\)-대수라 하자. \(B \subset A\)를 부분대수라 하자. \(A\) 안에서 \(B\)의 중심화자란 다음 부분대수를 말한다. \[C = \{y \in A \mid xy = yx \text{ for all }x \in B\}.\] 이는 \(k\)-대수이다.

보조정리

\(A\), \(A'\)을 \(k\)-대수라 하자. \(B \subset A\), \(B' \subset A'\)을 각각 중심화자가 \(C\), \(C'\)인 부분대수라 하자. 그러면 \(A \otimes_k A'\) 안에서 \(B \otimes_k B'\)의 중심화자는 \(C \otimes_k C'\)이다.

증명

\(B \otimes_k B'\)의 중심화자를 \(C'' \subset A \otimes_k A'\)로 나타내자. \(C \otimes_k C' \subset C''\)임은 명백하다. 반대로 \(C''\)의 모든 원은 \(B \otimes 1\)과 가환하므로 \(C \otimes_k A'\)에 속한다. 마찬가지로 \(C'' \subset A \otimes_k C'\)이다. 따라서 \(C'' \subset C \otimes_k A' \cap A \otimes_k C' = C \otimes_k C'\)이다.

보조정리

\(A\)를 유한 단순 \(k\)-대수라 하자. 그러면 \(A\)의 중심 \(k'\)은 \(k\)의 유한 체확장이다.

증명

어떤 \(k\) 위에서 유한인 나눗셈환 \(K\)에 대해 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\)로 쓰자. 정리 0747을 보라. 보조정리 0749에 의해 \(A\)의 중심은 \(k \otimes_k k'\)이다. 여기서 \(k' \subset K\)는 \(K\)의 중심이다. 나눗셈환의 중심은 체이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(V\)를 \(k\)-벡터 공간이라 하자. \(K\)를 나눗셈환인 중심 \(k\)-대수라 하자. \(W \subset V \otimes_k K\)를 양쪽 \(K\)-부분벡터공간이라 하자. 그러면 \(W\)는 \(W \cap (V \otimes 1)\)에 의해 왼쪽 \(K\)-벡터 공간으로 생성된다.

증명

\(v \otimes 1 \in W\)를 만족하는 \(v \in V\)들이 생성하는 \(k\)-부분벡터공간을 \(V' \subset V\)라 하자. 그러면 \(V' \otimes_k K \subset W\)이고 다음을 얻는다. \[W/(V' \otimes_k K) \subset (V/V') \otimes_k K.\] \(\overline{v} \in V/V'\)가 영이 아닌 벡터이고 \(\overline{v} \otimes 1\)이 \(W/(V' \otimes_k K)\)에 들어 있다고 하자. \(\overline{v}\)를 올리는 \(v \in V\)에 대해 \(v \otimes 1 \in W\)임을 알 수 있다. 이는 \(V'\)의 구성에 모순이다. 따라서 \(V\)를 \(V/V'\)로, \(W\)를 \(W/(V' \otimes_k K)\)로 바꾸어도 되며, \(W\)가 영이 아닐 때 \(W \cap (V \otimes 1)\)이 영이 아님을 보이면 충분하다.

이를 보이기 위해, \(n\)이 최소가 되도록 \(w = \sum_{i = 1, \ldots, n} v_i \otimes k_i\)로 쓸 수 있는 영이 아닌 원 \(w \in W\)를 택하자. 오른쪽에서 \(k_1^{-1}\)을 곱하여 \(k_1 = 1\)이라 가정할 수 있다. \(n = 1\)이면 \(v_1 \otimes 1 \in W\)이므로 끝난다. \(n > 1\)이면 임의의 \(c \in K\)에 대해 \[c w - w c = \sum\nolimits_{i = 2, \ldots, n} v_i \otimes (c k_i - k_i c) \in W\] 이고, 따라서 \(n\)의 최소성에 의해 \(c k_i - k_i c = 0\)이다. 이는 \(k_i\)가 \(K\)의 중심에 속한다는 뜻인데, 가정에 의해 그 중심은 \(k\)이다. 따라서 \(w = (v_1 + \sum k_i v_i) \otimes 1\)이 되어 \(n\)의 최소성에 모순이다.

보조정리

\(A\)를 \(k\)-대수라 하자. \(K\)를 나눗셈환인 중심 \(k\)-대수라 하자. 그러면 모든 양쪽 아이디얼 \(I \subset A \otimes_k K\)는 어떤 양쪽 아이디얼 \(J \subset A\)에 대해 \(J \otimes_k K\) 꼴이다. 특히 \(A\)가 단순이면 \(A \otimes_k K\)도 단순하다.

증명

\(J = \{a \in A \mid a \otimes 1 \in I\}\)로 놓자. 이는 \(A\)의 양쪽 아이디얼이다. 또한 보조정리 074B에 의해 \(I = J \otimes_k K\)이다.

보조정리

\(R\)을 비가환일 수도 있는 환이라 하자. \(n \geq 1\)을 정수라 하자. \(R_n = \text{Mat}(n \times n, R)\)로 놓자.

1. 함자 \(M \mapsto M^{\oplus n}\)과 \(N \mapsto Ne_{11}\)은 서로 준역인 범주 동치 \(\text{Mod}_R \leftrightarrow \text{Mod}_{R_n}\)을 정의한다.

2. \(R_n\)의 양쪽 아이디얼은 \(R\)의 어떤 양쪽 아이디얼 \(I\)에 대해 \(IR_n\) 꼴이다.

3. \(R_n\)의 중심은 \(R\)의 중심과 같다.

증명

(1)은 자명하다. \(J \subset R_n\)이 양쪽 아이디얼이면 \(J = \bigoplus e_{ii}Je_{jj}\)이고, 모든 직합항 \(e_{ii}Je_{jj}\)은 서로 같으며 \(R\)의 양쪽 아이디얼 \(I\)이다. 이로써 (2)를 얻는다. (3)은 명백하다.

보조정리

\(A\)를 유한 단순 \(k\)-대수라 하자.

1. 동형을 제외하면 단순 \(A\)-가군 \(M\)은 정확히 하나 존재한다.

2. 모든 유한 \(A\)-가군은 단순 가군들의 직합이다.

3. 두 유한 \(A\)-가군이 동형일 필요충분조건은 \(k\) 위의 차원이 같은 것이다.

4. \(K\)가 \(k\)의 유한 나눗셈환 확장이고 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\)이면, \(M = K^{\oplus n}\)은 단순 \(A\)-가군이며 \(\text{End}_A(M) = K^{op}\)이다.

5. \(M\)이 단순 \(A\)-가군이면 \(L = \text{End}_A(M)\)은 \(k\) 위에서 유한이고 \(M\)에 왼쪽에서 작용하는 나눗셈환이며, \(A = \text{End}_L(M)\)이고 \(A\)와 \(L\)의 중심은 일치한다. 또한 \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\)이다.

6. 유한 \(A\)-가군 \(N\)에 대해 대수 \(B = \text{End}_A(N)\)은 (5)의 나눗셈환 \(L\) 위의 행렬 대수이다. 더욱이 \(\text{End}_B(N) = A\)이다.

증명

정리 0747에 의해, \(k\)의 어떤 유한 나눗셈환 확장 \(K\)에 대해 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\)로 쓸 수 있다. 보조정리 074D에 의해 \(A\) 위의 가군 범주는 \(K\) 위의 가군 범주와 동치이다. 따라서 \(K\) 위의 모든 가군이 자유이므로 (1), (2), (3)이 성립한다. 이 동치가 \(K\)-가군 \(K\)를 \(M = K^{\oplus n}\)으로 보내므로 (4)가 성립한다. (5)에서 \(M = K^{\oplus n}\)을 사용하면 \(L = K^{op}\)임을 알 수 있다. \(L = K^{op}\)의 중심에 관한 명제는 보조정리 074D에서 따른다. \(\text{End}_L(M)\)에 관한 명제는 \(M\)의 명시적인 꼴에서 따르며, 차원 공식은 명백하다. \(N\)은 단순 가군들의 직합과 동형이므로 (6)이 따른다.

보조정리

\(A\), \(A'\)을 두 단순 \(k\)-대수라 하고, 그중 하나는 \(k\) 위에서 유한이고 중심적이라 하자. 그러면 \(A \otimes_k A'\)은 단순하다.

증명

\(A'\)이 \(k\) 위에서 유한이고 중심적이라고 하자. 정리 0747을 써서 \(A' = \text{Mat}(n \times n, K')\)로 쓰자. 그러면 \(K'\)의 중심은 \(k\)이고, 보조정리 074C에 의해 \(A \otimes_k K'\)은 단순하다. 따라서 보조정리 074D에 의해 \(A \otimes_k A' = \text{Mat}(n \times n, A \otimes_k K')\)은 단순하다.

보조정리

\(k\) 위의 유한 중심 단순 대수들의 텐서곱은 유한이고 중심적이며 단순하다.

증명

보조정리 0749와 074F을 결합하면 된다.

보조정리

\(A\)를 \(k\) 위의 유한 중심 단순 대수라 하자. \(k'/k\)를 체확장이라 하자. 그러면 \(A' = A \otimes_k k'\)은 \(k'\) 위의 유한 중심 단순 대수이다.

증명

보조정리 0749와 074F을 결합하면 된다.

보조정리

\(A\)를 \(k\) 위의 유한 중심 단순 대수라 하자. 그러면 \(n = [A : k]\)에 대해 \(A \otimes_k A^{op} \cong \text{Mat}(n \times n, k)\)이다.

증명

보조정리 074G에 의해 대수 \(A \otimes_k A^{op}\)은 단순하다. 따라서 사상 \[A \otimes_k A^{op} \longrightarrow \text{End}_k(A),\quad a \otimes a' \longmapsto (x \mapsto axa')\] 은 단사이다. 화살표 양쪽의 차원이 같으므로 결론을 얻는다.

체의 브라우어 군

\(k\)를 체라 하자. \(k\) 위의 두 유한 중심 단순 대수 \(A\)와 \(B\)를 생각하자. 어떤 \(n, m > 0\)에 대해 \(\text{Mat}(n \times n, A) \cong \text{Mat}(m \times m, B)\)가 \(k\)-대수로서 성립하면 \(A\)와 \(B\)가 유사하다고 한다.

보조정리

유사성에 관하여 다음이 성립한다.

1. 유사성은 \(k\) 위의 유한 중심 단순 대수들의 동형류 집합 위에 동치관계를 정의한다.

2. 각 유사류는 동형을 제외하면 유일한, \(k\)의 유한 중심 나눗셈환 확장을 포함한다.

3. \(K\), \(K'\)가 \(k\) 위의 유한 중심 나눗셈환이고 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) 및 \(B = \text{Mat}(m \times m, K')\)이면, \(A\)와 \(B\)가 유사할 필요충분조건은 \(K \cong K'\)가 \(k\)-대수로서 성립하는 것이다.

증명

Wedderburn 정리(정리 0747)에 의해 유한 중심 단순 대수는 항상 유한 중심 나눗셈환 위의 행렬 대수로 쓸 수 있음에 유의하자. 따라서 세 번째 명제만 증명하면 충분하다. 이를 위해서는 \(A = \text{Mat}(n \times n, K) \cong \text{Mat}(m \times m, K') = B\)이면 \(K \cong K'\)임을 보이면 충분하다. 실제로 \(A\)의 단순 가군 \(M\)에 대해 \(\text{End}_A(M) = K^{op}\)이다. 보조정리 074E를 보라. 따라서 \(A \cong B\)이면 \(K^{op} \cong (K')^{op}\)이고, 결론을 얻는다.

두 유한 중심 단순 \(k\)-대수 \(A\), \(B\)가 주어지면 텐서곱 \(A \otimes_k B\)도 그러한 대수이다. 보조정리 074G을 보라. 또한 \(A\)가 \(A'\)과 유사하면, 텐서곱과 행렬 대수를 취하는 연산이 가환하므로 \(A \otimes_k B\)는 \(A' \otimes_k B\)와 유사하다. 따라서 텐서곱은 유한 중심 단순 대수들의 동치류 위에 연산을 정의하며, 이 연산은 명백히 결합적이고 가환적이다. 마지막으로 보조정리 074I에 의해 \(A \otimes_k A^{op}\)은 행렬 대수와 동형이다. 다시 말해 \(A \otimes_k A^{op}\)은 \(k\)의 유사류에 속한다. 이로써 아벨 군을 얻는다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(k\)의 브라우어 군은 위에서 정의한 유한 중심 단순 \(k\)-대수들의 유사류로 이루어진 아벨 군이다. \(\text{Br}(k)\)로 표기한다.

체의 임의의 사상 \(k \to k'\)에 대해 군 준동형 \[\text{Br}(k) \longrightarrow \text{Br}(k'),\quad A \longmapsto A \otimes_k k'\] 을 얻는다. 보조정리 074H를 보라. 다시 말해 \(\text{Br}(-)\)는 체의 범주에서 아벨 군의 범주로 가는 함자이다. 체의 브라우어 군이 영일 필요충분조건은 모든 유한 중심 나눗셈환 확장 \(k \subset K\)가 자명한 것임에 유의하자.

보조정리

대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 영이다.

증명

\(k \subset K\)를 유한 중심 나눗셈환 확장이라 하자. 임의의 원 \(x \in K\)에 대해 부분환 \(k[x] \subset K\)는 가환이고 유한이며 정수적인 \(k\)-부분대수이므로 체이다. Algebra의 보조정리 00GS를 보라. \(k\)가 대수적으로 닫혀 있으므로 \(k[x] = k\)이다. \(x\)가 임의였으므로 \(k = K\)를 얻는다.

보조정리

\(A\)를 체 \(k\) 위의 유한 중심 단순 대수라 하자. 그러면 \([A : k]\)는 제곱수이다.

증명

보조정리 074M에 의해 \(A \otimes_k \overline{k}\)는 \(\overline{k}\) 위의 행렬 대수이므로 성립한다.

Skolem–Noether 정리

정리

\(A\)를 유한 중심 단순 \(k\)-대수라 하고, \(B\)를 단순 \(k\)-대수라 하자. \(f, g : B \to A\)를 두 \(k\)-대수 준동형이라 하자. 그러면 모든 \(b \in B\)에 대해 \(f(b) = xg(b)x^{-1}\)을 만족하는 가역원 \(x \in A\)가 존재한다.

증명

단순 \(A\)-가군 \(M\)을 택하고 \(L = \text{End}_A(M)\)으로 놓자. 그러면 \(L\)은 중심이 \(k\)이고 \(M\)에 왼쪽에서 작용하는 나눗셈환이다. 보조정리 0746와 074E를 보라. 이제 \(M\)에는 \(m \cdot_1 (b \otimes l) = lmf(b)\)와 \(m \cdot_2 (b \otimes l) = lmg(b)\)로 정의되는 두 \(B \otimes_k L^{op}\)-가군 구조가 있다. 보조정리 074F에 의해 \(k\)-대수 \(B \otimes_k L^{op}\)은 단순하다. \(B\)가 단순하므로 \(k\)-대수 준동형 \(B \to A\)가 존재한다는 사실에서 \(B\)가 유한임이 따른다. 따라서 \(B \otimes_k L^{op}\)은 유한 단순이고, 보조정리 074E에 의해 \(M\) 위의 두 \(B \otimes_k L^{op}\)-가군 구조는 동형이다. 그러므로 이 두 작용을 얽는 \(\varphi : M \to M\)을 얻는다. 특히 \(\varphi\)는 \(L\)의 가환자에 속한다. 따라서 \(\varphi\)는 어떤 \(x \in A\)에 의한 곱셈이다. 보조정리 074E를 보라. 정의를 풀어 쓰면 \(x\)가 우리 문제의 해임을 알 수 있다.

보조정리

\(A\)를 유한 중심 단순 \(k\)-대수라 하자. \(A\)의 모든 자기동형은 내부자기동형사상이다. 특히 \(\text{Mat}(n \times n, k)\)의 모든 자기동형은 내부자기동형사상이다.

증명

Skolem–Noether 정리(정리 074Q)를 적용하면 된다.

중심화자 정리

정리

\(A\)를 \(k\) 위의 유한 중심 단순 대수라 하고, \(B\)를 \(A\)의 단순 부분대수라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(A\) 안에서 \(B\)의 중심화자 \(C\)는 단순하다.

2. \([A : k] = [B : k][C : k]\)이다.

3. \(A\) 안에서 \(C\)의 중심화자는 \(B\)이다.

증명

이 증명 전체에서 보조정리 074E의 결과를 자유롭게 사용한다. 단순 \(A\)-가군 \(M\)을 택하고 \(L = \text{End}_A(M)\)으로 놓자. 그러면 \(L\)은 중심이 \(k\)이고 \(M\)에 왼쪽에서 작용하는 나눗셈환이며, \(A = \text{End}_L(M)\)이다. 이제 \(M\)은 오른쪽 \(B \otimes_k L^{op}\)-가군이고 \(C = \text{End}_{B \otimes_k L^{op}}(M)\)이다. 보조정리 074F에 의해 대수 \(B \otimes_k L^{op}\)은 단순하므로, 보조정리 074E를 다시 써서 \(C\)가 단순임을 알 수 있다.

\(k\) 위에서 유한인 어떤 나눗셈환 \(K\)에 대해 \(B \otimes_k L^{op} = \text{Mat}(m \times m, K)\)로 쓰자. \(M\)이 단순 \(B \otimes_k L^{op}\)-가군 \(K^{\oplus m}\)의 \(n\)개 복사본의 직합과 동형이면(다시 그 보조정리에 의해), \(C = \text{Mat}(n \times n, K^{op})\)이다. 따라서 \(\dim_k(M) = nm [K : k]\), \([B : k] [L : k] = m^2 [K : k]\), \([C : k] = n^2 [K : k]\), 그리고 \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\)이다(다시 그 보조정리에 의해). 이로부터 (2)가 성립한다.

\(C \subset A\)에 (2)를 적용하면, \(C'\)이 \(A\) 안에서 \(C\)의 중심화자일 때 \([B : k] = [C' : k]\)를 얻는다. 또한 명백한 사실 (\(B \subset C')\)에 의해 (3)이 따른다.

보조정리

\(A\)를 \(k\) 위의 유한 중심 단순 대수라 하고, \(B\)를 \(A\)의 단순 부분대수라 하자. \(B\)가 중심 \(k\)-대수이면 \(A = B \otimes_k C\)이다. 여기서 \(C\)는 \(A\) 안에서 \(B\)의 (중심 단순) 중심화자이다.

증명

정리 074T에 의해 \(\dim_k(A) = \dim_k(B \otimes_k C)\)이다. 보조정리 074F에 의해 텐서곱은 단순하다. 따라서 자연스러운 사상 \(B \otimes_k C \to A\)는 단사이고, 이에 따라 동형이다.

보조정리

\(A\)를 \(k\) 위의 유한 중심 단순 대수라 하자. \(K \subset A\)가 부분체이면 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \([A : k] = [K : k]^2\)이다.

2. \(K\)는 자기 자신의 중심화자이다.

3. \(K\)는 극대 가환 부분환이다.

증명

정리 074T에 의해 (1)과 (2)는 동치이다. (3)과 (2)가 동치임은 명백하다.

보조정리

\(A\)를 \(k\) 위의 유한 중심 나눗셈환이라 하자. 그러면 모든 극대 부분체 \(K \subset A\)는 \([A : k] = [K : k]^2\)을 만족한다.

증명

보조정리 074V의 특수한 경우이다.

분해체

정의

\(A\)를 유한 중심 단순 \(k\)-대수라 하자. \(A \otimes_k k'\)이 \(k'\) 위의 행렬 대수이면 체확장 \(k'/k\)가 \(A\)를 분해한다고 하거나, \(k'\)을 \(A\)의 분해체라고 한다.

이는 \(\text{Br}(k) \to \text{Br}(k')\) 아래에서 \(A\)의 류가 영으로 간다고 말하는 것과 같다.

정리

\(A\)를 유한 중심 단순 \(k\)-대수라 하고, \(k'/k\)를 유한 체확장이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(k'\)은 \(A\)를 분해한다.

2. \(A\)와 유사하고 \(k' \subset B\) 및 \([B : k] = [k' : k]^2\)을 만족하는 유한 중심 단순 대수 \(B\)가 존재한다.

증명

(2)를 가정하자. \(B \otimes_k k'\)이 행렬 대수임을 보이면 충분하다. \(B \otimes_k B^{op} \cong \text{End}_k(B)\)임을 알고 있다. 보조정리 074V에 의해 \(k'\)은 \(B^{op}\) 안에서 \(k'\)의 중심화자이므로, \(B \otimes_k k'\)은 \(B \otimes_k B^{op} = \text{End}_k(B)\) 안에서 \(k \otimes k'\)의 중심화자이다. 이 중심화자는 물론 \(\text{End}_{k'}(B)\)이다. 여기서는 매장 \(k' \to B\)를 통해 \(B\)를 \(k'\)-벡터 공간으로 본다. 이로써 결론을 얻는다.

(1)을 가정하자. 이는 어떤 \(k'\)-벡터 공간 \(V\)에 대해 \(A \otimes_k k' \cong \text{End}_{k'}(V)\)인 동형이 있음을 뜻한다. \(\text{End}_k(V)\) 안에서 \(A\)의 가환자를 \(B\)라 하자. \(k'\)이 \(B\)에 들어 있음에 유의하자. 보조정리 074U에 의해 \(A\)와 \(B\)의 류를 \(\text{Br}(k)\)에서 더하면 영이다. 정리 074T의 차원 공식으로부터 \[[B : k] [A : k] = \dim_k(V)^2 = [k' : k]^2 \dim_{k'}(V)^2 = [k' : k]^2 [A : k].\] 따라서 \([B : k] = [k' : k]^2\)이다. 이로써 \(A\)의 브라우어 류의 반대에 대해 결과를 증명했다. 그러나 \(k'\)이 \(A\)의 브라우어 류를 분해할 필요충분조건은 그 반대대수의 브라우어 류를 분해하는 것이므로 어쨌든 결론을 얻는다.

보조정리

\(k\) 위의 유한 중심 나눗셈환 \(K\)의 극대 부분체는 \(K\)의 분해체이다.

증명

보조정리 074W와 정리 074Z을 결합하면 된다.

보조정리

\(k\) 위의 유한 중심 나눗셈환 \(K\)를 생각하자. \(d^2 = [K : k]\)로 놓자. \(K\)의 임의의 유한 분해체 \(k'\)에 대해 차수 \([k' : k]\)는 \(d\)로 나누어진다.

증명

정리 074Z에 의해, \(K\)의 브라우어 류에 속하고 \([B : k] = [k' : k]^2\)을 만족하는 유한 중심 단순 대수 \(B\)가 존재한다. 보조정리 074K에 의해 어떤 \(n\)에 대해 \(B = \text{Mat}(n \times n, K)\)이다. 그러면 \([k' : k]^2 = n^2d^2\)이므로 결론이 따른다.

명제

\(k\) 위의 유한 중심 나눗셈환 \(K\)를 생각하자. \(k\) 위에서 분리적인 극대 부분체 \(k \subset k' \subset K\)가 존재한다. 특히 모든 브라우어 류는 유한 분리 분해체를 갖는다.

증명

모든 브라우어 류는 \(k\) 위의 유한 중심 나눗셈환으로 표현되므로, 두 번째 명제는 첫 번째 명제와 보조정리 0750에서 따른다.

첫 번째 명제를 증명하기 위해 분리 부분체 \(k' \subset K\)가 주어졌다고 하자. \(K\) 안에서 \(k'\)의 중심화자 \(K'\)의 중심은 \(k'\)이고, 문제는 \(k'\) 위에서 분리적인 \(K'\)의 극대 부분체를 찾는 것으로 환원된다. 따라서 \(k \not = K\)일 때 \(k\) 위에서 분리적이고 \(x \not \in k\)인 원 \(x \in K\)를 찾을 수 있음을 보이면 충분하다. 이 명제는 표수가 영이면 명백하다. 따라서 \(k\)의 표수가 \(p > 0\)이라고 가정해도 된다. 바탕체 \(k\)가 유한이면 결과는 역시 명백하다 (유한체의 확장은 항상 분리적이기 때문이다). 그러므로 \(k\)가 양의 표수를 갖는 무한체라고 가정할 수 있다.

모순을 얻기 위해 \(K\)의 어떤 원도 \(k\) 위에서 분리적이지 않다고 가정하자.

Fields의 절 037H에서 논의한 바에 따르면, 이는 임의의 \(x \in K\)의 최소다항식이 \(T^q - a\) 꼴임을 뜻한다. 여기서 \(q\)는 \(p\)의 거듭제곱이고 \(a \in k\)이다. \(K\)의 모든 원이 차수 \(\leq \dim_k(K)\)인 최소다항식을 가짐은 명백하므로, 모든 \(x \in K\)에 대해 \(x^q \in k\)를 만족하는 고정된 \(p\)의 거듭제곱 \(q\)가 존재한다.

사상 \[(-)^q : K \longrightarrow K\] 을 생각하고, \(a_1 = 1\)인 \(K\)의 \(k\)-기저 \(\{a_1, \ldots, a_n\}\)를 사용해 이 사상을 써 보자. 즉, \[(\sum x_i a_i)^q = \sum f_i(x_1, \ldots, x_n)a_i.\] \(K\) 위의 곱셈은 \(k\)-쌍선형이므로 각 \(f_i\)는 \(x_1, \ldots, x_n\)의 다항식이다(세부사항은 생략한다). 위에서 택한 \(q\)와 \(k\)가 무한이라는 사실에 의해 \(i \geq 2\)이면 \(f_i\)는 항등적으로 영이다. 따라서 \(k\)를 그 대수적 폐포 \(\overline{k}\)로 확장해도 여전히 영이다. 그런데 대수 \(K \otimes_k \overline{k}\)는 행렬 대수이다(예를 들어 보조정리 074H와 074M에 의해). 그러므로 \(q\)제곱이 중심적이지 않은 원들이 존재한다(예: \(e_{11}\)). 이것이 원하는 모순이다.

위의 결과들을 이용하면 유한 중심 단순 대수를 다음과 같이 특징지을 수 있다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(k\)-대수 \(A\)에 대해 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(A\)는 유한 중심 단순 \(k\)-대수이다.

2. \(A\)는 유한 차원 \(k\)-벡터 공간이고, \(k\)는 \(A\)의 중심이며, \(A\)에는 비자명한 양쪽 아이디얼이 없다.

3. 어떤 \(d \geq 1\)에 대해 \(A \otimes_k \bar k \cong \text{Mat}(d \times d, \bar k)\)이다.

4. 어떤 \(d \geq 1\)에 대해 \(A \otimes_k k^{sep} \cong \text{Mat}(d \times d, k^{sep})\)이다.

5. 어떤 \(d \geq 1\)과 유한 갈루아 확장 \(k'/k\)가 존재하여 \(A \otimes_k k' \cong \text{Mat}(d \times d, k')\)이다.

6. 어떤 \(n \geq 1\)과 \(k\) 위의 유한 중심 나눗셈환 \(K\)가 존재하여 \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K)\)이다.

정수 \(d\)를 \(A\)의 차수라 한다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 정의에서 따른다. 절 073Y를 보라. (1)을 가정하자. 명제 0752에 의해 \(A\)의 분리 분해체 \(k \subset k'\)이 존재한다. 물론 이때 \(k'/k\)의 갈루아 폐포도 분해체이다. 따라서 (1)은 (5)를 함의한다. (5) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (3)은 명백하다. (3)을 가정하자. 그러면 예를 들어 보조정리 074D에 의해 \(A \otimes_k \overline{k}\)는 유한 중심 단순 \(\overline{k}\)-대수이다. 이는 자명하게 \(A\)가 유한 중심 단순 \(k\)-대수임을 함의한다. 마지막으로 (1)과 (6)의 동치는 Wedderburn 정리이다. 정리 0747을 보라.