序論
参考文献として、Cartan セミネールにおける Serre の講義 [Serre-Cartan] がある。Serre はさらに [Deuring] と [ANT] を参照している。本章ではいくつかの証明を 変更した。特に、Wedderburn の定理の証明には Rieffel の巧妙な議論を 用いた。この変更が改良になっているとは考えにくく、読者には Serre の 原典を読むことを強く勧める。
非可換代数
\(k\) を体とする。本章で \(k\) 上の 代数 \(A\) とは、可換とは限らない 環 \(A\) と環準同型 \(k \to A\) の組であって、\(k\) の像が \(A\) の中心に 含まれ、かつ \(1\) が \(A\) の単位元に写るものをいう。\(A\)-加群 とは、 \(A\) の単位元が恒等写像として作用する右 \(A\)-加群をいう。
定義
\(A\) を \(k\)-代数とする。\(\dim_k(A) < \infty\) のとき、\(A\) は 有限 であるという。この場合、\([A : k] = \dim_k(A)\) と書く。
定義
斜体 とは、単位元 \(1\) をもち、\(1 \not = 0\) であり、すべての非零元が 乗法逆元をもつ、可換とは限らない環をいう。
斜体は、ある \(k\) に対する \(k\)-代数である（例えば、その斜体に含まれる 素体を取ればよい）。以下では、斜体上の任意の加群が自由であることを 用いる。実際、ベクトルの極大線形独立集合は基底をなし、その存在は Zorn の補題による。
定義
\(A\) を \(k\)-代数とする。\(A\)-加群 \(M\) が非零で、その \(A\)-部分加群が \(0\) と \(M\) のみであるとき、\(M\) は 単純 であるという。 \(A\) の両側イデアルが \(0\) と \(A\) のみであるとき、\(A\) は 単純 であるという。
定義
\(k\)-代数 \(A\) の中心が \(k \to A\) の像に等しいとき、\(A\) は 中心的 であるという。
定義
\(k\)-代数 \(A\) に対し、\(A\) における積の順序を逆にして得られる \(k\)-代数を \(A^{op}\) と書く。これを 反対代数 という。
Wedderburn の定理
次の巧妙な議論は Rieffel の論文 [Rieffel] に見られる。 証明はこれ以上ないほど簡単である（Carl Faith の書評からの引用）。
補題
\(A\) を、\(1\) をもち非自明な両側イデアルをもたない、可換とは限らない環と する。\(M\) を \(A\) の非零右イデアルとし、右 \(A\)-加群とみなす。このとき \(A\) は \(M\) の二重可換子と一致する。
証明
\(A' = \text{End}_A(M)\) と置けば、\(M\) は左 \(A'\)-加群である。 \(A'' = \text{End}_{A'}(M)\)（\(M\) の二重可換子）と置く。 \(M\) を右 \(A''\)-加群とみなす1。 \(mR(a) = ma\) で定まる自然な準同型 \(R : A \to A''\) を考える。 \(R(1) = \text{id}_M\) であり、\(A\) は非自明な両側イデアルをもたないので、 \(R\) は単射である。\(R(M)\) が \(A''\) の右イデアルであることを示す。 実際、\(a'' \in A''\) とし、\(m\) が \(M\) に属するとき \(R(m)a'' = R(ma'')\) である。なぜなら、\(M\) の任意の元 \(n\) による \(M\) の 左 乗法は \(A'\) の元を表し、したがって任意の \(n\) が \(M\) に属するとき \((nm)a'' = n(ma'')\) となるからである。 最後に、積イデアル \(AM\) は両側イデアルであるから \(A = AM\) である。 よって \(R(A) = R(A)R(M)\) であり、\(R(A)\) は \(A''\) の右イデアルである。 しかも \(R(A)\) は \(A''\) の単位元を含むので、\(R(A) = A''\) である。
補題
\(A\) を \(k\)-代数とする。\(A\) が有限ならば、次が成り立つ。
\(A\) は単純加群をもつ。
任意の非零加群は単純部分加群を含む。
\(A\) 上の単純加群は \(k\) 上有限次元である。
\(M\) が単純 \(A\)-加群ならば、\(\text{End}_A(M)\) は斜体である。
証明
\(A\) 自身が非零 \(A\)-加群なので、(1) はもちろん (2) から従う。 (2) については、\(k\)-ベクトル空間として最小の（有限）次元をもつ 部分加群を取れば、それは単純である。巡回部分加群は有限次元なので、 そのような有限次元部分加群は存在する。\(M\) が単純ならば \(mA \subset M\) は部分加群であり、これから (3) が従う。 \(\text{End}_A(M)\) の任意の非零元は同型なので、(4) が成り立つ。
定理
\(A\) を単純有限 \(k\)-代数とする。このとき \(A\) は、斜体である有限 \(k\)-代数 \(K\) 上の行列代数である。
証明
単純部分加群 \(M \subset A\) を選べる。このとき \(k\)-代数 \(K = \text{End}_A(M)\) は斜体である。補題 0746 を参照されたい。 補題 0745 により \(A = \text{End}_K(M)\) である。\(K\) は斜体であり、 \(M\) は有限生成（\(\dim_k(M) < \infty\) だから）なので、 \(M\) は左 \(K\)-加群として有限自由である。したがって直ちに \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K^{op})\) を得る。
代数に関する補題
\(A\) を \(k\)-代数とし、\(B \subset A\) を部分代数とする。 \(A\) における \(B\) の中心化代数 とは、部分代数 \[C = \{y \in A \mid xy = yx \text{ for all }x \in B\}.\] のことである。これは \(k\)-代数である。
補題
\(A\), \(A'\) を \(k\)-代数とする。\(B \subset A\), \(B' \subset A'\) を 部分代数とし、それぞれの中心化代数を \(C\), \(C'\) とする。このとき \(A \otimes_k A'\) における \(B \otimes_k B'\) の中心化代数は \(C \otimes_k C'\) である。
証明
\(C'' \subset A \otimes_k A'\) を \(B \otimes_k B'\) の中心化代数とする。 \(C \otimes_k C' \subset C''\) は明らかである。 逆に、\(C''\) の任意の元は \(B \otimes 1\) と可換するので \(C \otimes_k A'\) に属する。同様に \(C'' \subset A \otimes_k C'\)。 したがって \(C'' \subset C \otimes_k A' \cap A \otimes_k C' = C \otimes_k C'\)。
補題
\(A\) を有限単純 \(k\)-代数とする。このときその中心 \(k'\) は \(k\) の有限体拡大である。
証明
定理 0747 により、\(k\) 上有限なある斜体 \(K\) に対して \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) と書ける。 補題 0749 により、\(A\) の中心は \(k \otimes_k k'\) である。ここで \(k' \subset K\) は \(K\) の中心である。 斜体の中心は体なので、結論を得る。
補題
\(V\) を \(k\)-ベクトル空間とする。\(K\) を斜体である中心的 \(k\)-代数とする。\(W \subset V \otimes_k K\) を両側 \(K\)-部分ベクトル空間とする。このとき \(W\) は、左 \(K\)-ベクトル空間として \(W \cap (V \otimes 1)\) によって生成される。
証明
\(v \otimes 1 \in W\) を満たす \(v \in V\) によって生成される \(k\)-部分ベクトル空間を \(V' \subset V\) とする。このとき \(V' \otimes_k K \subset W\) であり、 \[W/(V' \otimes_k K) \subset (V/V') \otimes_k K.\] \(\overline{v} \in V/V'\) が非零ベクトルで、 \(\overline{v} \otimes 1\) が \(W/(V' \otimes_k K)\) に含まれるならば、 \(\overline{v}\) の持ち上げ \(v \in V\) に対して \(v \otimes 1 \in W\) と なる。これは \(V'\) の構成に反する。したがって \(V\) を \(V/V'\) で、 \(W\) を \(W/(V' \otimes_k K)\) で置き換えてよく、\(W\) が非零ならば \(W \cap (V \otimes 1)\) も非零であることを示せば十分である。
これを見るため、非零元 \(w \in W\) を \(w = \sum_{i = 1, \ldots, n} v_i \otimes k_i\) と書けるもののうち \(n\) が最小になるように取る。右から \(k_1^{-1}\) を掛けて \(k_1 = 1\) と仮定してよい。\(n = 1\) なら \(v_1 \otimes 1 \in W\) なので結論を得る。 \(n > 1\) ならば、任意の \(c \in K\) に対して \[c w - w c = \sum\nolimits_{i = 2, \ldots, n} v_i \otimes (c k_i - k_i c) \in W\] であり、\(n\) の最小性から \(c k_i - k_i c = 0\) である。 したがって \(k_i\) は \(K\) の中心、すなわち仮定により \(k\) に属する。 ゆえに \(w = (v_1 + \sum k_i v_i) \otimes 1\) となり、 \(n\) の最小性に反する。
補題
\(A\) を \(k\)-代数とする。\(K\) を斜体である中心的 \(k\)-代数とする。 このとき任意の両側イデアル \(I \subset A \otimes_k K\) は、\(A\) の ある両側イデアル \(J \subset A\) に対して \(J \otimes_k K\) の形である。 特に \(A\) が単純ならば \(A \otimes_k K\) も単純である。
証明
\(J = \{a \in A \mid a \otimes 1 \in I\}\) と置く。これは \(A\) の 両側イデアルである。補題 074B により \(I = J \otimes_k K\) である。
補題
\(R\) を可換とは限らない環とし、\(n \geq 1\) を整数とする。 \(R_n = \text{Mat}(n \times n, R)\) と置く。
関手 \(M \mapsto M^{\oplus n}\) と \(N \mapsto Ne_{11}\) は、圏の互いに準逆な同値 \(\text{Mod}_R \leftrightarrow \text{Mod}_{R_n}\) を定める。
\(R_n\) の任意の両側イデアルは、\(R\) のある両側イデアル \(I\) に 対して \(IR_n\) の形である。
\(R_n\) の中心は \(R\) の中心に等しい。
証明
(1) は明らかである。\(J \subset R_n\) が両側イデアルならば \(J = \bigoplus e_{ii}Je_{jj}\) であり、すべての直和因子 \(e_{ii}Je_{jj}\) は互いに等しく、\(R\) の両側イデアル \(I\) になる。 これで (2) が従う。(3) は明らかである。
補題
\(A\) を有限単純 \(k\)-代数とする。
同型を除いてただ一つの単純 \(A\)-加群 \(M\) が存在する。
任意の有限 \(A\)-加群は単純加群のコピーの直和である。
二つの有限 \(A\)-加群が同型であることと、それらの \(k\) 上の 次元が等しいことは同値である。
\(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) で、\(K\) が \(k\) の有限斜体拡大 ならば、\(M = K^{\oplus n}\) は単純 \(A\)-加群であり、 \(\text{End}_A(M) = K^{op}\) である。
\(M\) が単純 \(A\)-加群ならば、\(L = \text{End}_A(M)\) は \(k\) 上 有限な斜体で、\(M\) に左から作用する。また \(A = \text{End}_L(M)\) であり、\(A\) と \(L\) の中心は一致する。 さらに \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\) である。
有限 \(A\)-加群 \(N\) に対し、代数 \(B = \text{End}_A(N)\) は (5) の斜体 \(L\) 上の行列代数である。さらに \(\text{End}_B(N) = A\) である。
証明
定理 0747 により、\(k\) のある有限斜体拡大 \(K\) に 対して \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) と書ける。 補題 074D により、\(A\)-加群の圏は \(K\)-加群の圏と同値である。\(K\) 上の任意の加群は自由なので、 (1)、(2)、(3) が従う。(4) は、この同値が \(K\)-加群 \(K\) を \(M = K^{\oplus n}\) に移すことから従う。(5) で \(M = K^{\oplus n}\) を用いれば \(L = K^{op}\) を得る。 \(L = K^{op}\) の中心に関する主張は補題 074D から従う。 \(\text{End}_L(M)\) に関する主張は \(M\) の具体的な形から従い、 次元公式も明らかである。(6) は、\(N\) が単純加群のコピーの直和に 同型であることから従う。
補題
\(A\), \(A'\) を二つの単純 \(k\)-代数とし、その一方が \(k\) 上有限かつ 中心的であるとする。このとき \(A \otimes_k A'\) は単純である。
証明
\(A'\) が \(k\) 上有限かつ中心的であるとする。 定理 0747 により \(A' = \text{Mat}(n \times n, K')\) と書く。 \(K'\) の中心は \(k\) なので、補題 074C により \(A \otimes_k K'\) は単純である。したがって補題 074D により \(A \otimes_k A' = \text{Mat}(n \times n, A \otimes_k K')\) は単純である。
補題
\(k\) 上の有限中心単純代数のテンソル積は、有限、中心的かつ単純である。
証明
補題
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とし、\(k'/k\) を体拡大とする。このとき \(A' = A \otimes_k k'\) は有限中心単純 \(k'\)-代数である。
証明
補題
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とする。このとき \(n = [A : k]\) とすれば \(A \otimes_k A^{op} \cong \text{Mat}(n \times n, k)\) である。
証明
補題 074G により \(A \otimes_k A^{op}\) は単純である。したがって写像 \[A \otimes_k A^{op} \longrightarrow \text{End}_k(A),\quad a \otimes a' \longmapsto (x \mapsto axa')\] は単射である。矢印の両辺の次元が等しいので、結論を得る。
体のブラウアー群
\(k\) を体とする。\(k\) 上の二つの有限中心単純代数 \(A\) と \(B\) を考える。 ある \(n, m > 0\) が存在して \(\text{Mat}(n \times n, A) \cong \text{Mat}(m \times m, B)\) が \(k\)-代数として成り立つとき、\(A\) と \(B\) は 相似 であるという。
補題
相似関係について、次が成り立つ。
相似関係は、\(k\) 上の有限中心単純代数の同型類の集合上の 同値関係を定める。
各相似類は、同型を除いて一意な \(k\) の有限中心斜体拡大を含む。
\(K\), \(K'\) を \(k\) 上の有限中心斜体とし、 \(A = \text{Mat}(n \times n, K)\) および \(B = \text{Mat}(m \times m, K')\) とする。このとき \(A\) と \(B\) が 相似であることと、\(K \cong K'\) が \(k\)-代数として成り立つことは同値である。
証明
Wedderburn の定理（定理 0747）により、有限中心単純代数は 常に有限中心斜体上の行列代数として書ける。したがって第三の主張を 示せば十分である。そのためには、 \(A = \text{Mat}(n \times n, K) \cong \text{Mat}(m \times m, K') = B\) ならば \(K \cong K'\) であることを 示せばよい。\(A\) の単純加群 \(M\) に対して、補題 074E により \(\text{End}_A(M) = K^{op}\) である。よって \(A \cong B\) から \(K^{op} \cong (K')^{op}\) が従い、結論を得る。
\(k\) 上の二つの有限中心単純代数 \(A\), \(B\) に対し、補題 074G によればテンソル積 \(A \otimes_k B\) も有限中心単純代数である。 さらに \(A\) が \(A'\) と相似ならば、テンソル積と行列代数を取る操作は 可換するので、\(A \otimes_k B\) は \(A' \otimes_k B\) と相似である。 したがってテンソル積は有限中心単純代数の同値類上に、明らかに結合的かつ 可換な演算を定める。最後に補題 074I により \(A \otimes_k A^{op}\) は行列代数と同型、すなわち \(A \otimes_k A^{op}\) は \(k\) の相似類に属する。こうして可換群を得る。
定義
\(k\) を体とする。上で定めた有限中心単純 \(k\)-代数の相似類からなる 可換群を、\(k\) の ブラウアー群 という。記号は \(\text{Br}(k)\) である。
任意の体の準同型 \(k \to k'\) に対し、補題 074H により群準同型 \[\text{Br}(k) \longrightarrow \text{Br}(k'),\quad A \longmapsto A \otimes_k k'\] を得る。言い換えれば、\(\text{Br}(-)\) は体の圏から可換群の圏への 関手である。体のブラウアー群が零であることと、任意の有限中心斜体拡大 \(k \subset K\) が自明であることは同値である。
補題
代数閉体のブラウアー群は零である。
証明
\(k \subset K\) を有限中心斜体拡大とする。任意の元 \(x \in K\) に対し、 部分環 \(k[x] \subset K\) は可換で有限かつ \(k\) 上整な部分代数なので体である。 Algebra, Lemma 00GS を参照されたい。 \(k\) は代数閉なので \(k[x] = k\) である。\(x\) は任意だったから \(k = K\)。
補題
\(A\) を体 \(k\) 上の有限中心単純代数とする。このとき \([A : k]\) は 平方数である。
証明
補題 074M により \(A \otimes_k \overline{k}\) は \(\overline{k}\) 上の行列代数なので、主張が従う。
Skolem–Noether
定理
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とし、\(B\) を単純 \(k\)-代数とする。 \(f, g : B \to A\) を二つの \(k\)-代数準同型とする。このとき、任意の \(b \in B\) に対して \(f(b) = xg(b)x^{-1}\) を満たす可逆元 \(x \in A\) が存在する。
証明
単純 \(A\)-加群 \(M\) を選び、\(L = \text{End}_A(M)\) と置く。 補題 0746 と 074E により、 \(L\) は中心 \(k\) をもつ斜体で、\(M\) に左から作用する。 \(M\) 上に二つの \(B \otimes_k L^{op}\)-加群構造を \(m \cdot_1 (b \otimes l) = lmf(b)\) と \(m \cdot_2 (b \otimes l) = lmg(b)\) により定める。 補題 074F により \(k\)-代数 \(B \otimes_k L^{op}\) は単純である。\(B\) は単純であり \(k\)-代数準同型 \(B \to A\) が存在するので、\(B\) は有限である。 したがって \(B \otimes_k L^{op}\) は有限単純であり、補題 074E により \(M\) 上の二つの \(B \otimes_k L^{op}\)-加群構造は同型である。 よってこれらの作用を絡み合わせる \(\varphi : M \to M\) が存在する。 特に \(\varphi\) は \(L\) の可換子に属するので、補題 074E により、\(\varphi\) は ある \(x \in A\) による乗法である。 定義を書き下せば、\(x\) が求める解であることが分かる。
補題
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とする。\(A\) の任意の自己同型は内部自己同型である。 特に \(\text{Mat}(n \times n, k)\) の任意の自己同型は内部自己同型である。
証明
Skolem–Noether の定理（定理 074Q）を適用すればよい。
中心化定理
定理
\(A\) を \(k\) 上の有限中心単純代数とし、\(B\) を \(A\) の単純部分代数とする。 このとき次が成り立つ。
\(A\) における \(B\) の中心化代数 \(C\) は単純である。
\([A : k] = [B : k][C : k]\) である。
\(A\) における \(C\) の中心化代数は \(B\) である。
証明
この証明では補題 074E の結果を自由に用いる。 単純 \(A\)-加群 \(M\) を選び、\(L = \text{End}_A(M)\) と置く。 すると \(L\) は中心 \(k\) をもつ斜体で \(M\) に左から作用し、 \(A = \text{End}_L(M)\) である。 このとき \(M\) は右 \(B \otimes_k L^{op}\)-加群であり、 \(C = \text{End}_{B \otimes_k L^{op}}(M)\) である。 補題 074F により代数 \(B \otimes_k L^{op}\) は単純なので、再び補題 074E により \(C\) は単純である。
\(k\) 上有限なある斜体 \(K\) に対して \(B \otimes_k L^{op} = \text{Mat}(m \times m, K)\) と書く。 \(M\) が単純 \(B \otimes_k L^{op}\)-加群 \(K^{\oplus m}\) の \(n\) 個の コピーの直和に同型ならば、同じ補題により \(C = \text{Mat}(n \times n, K^{op})\) である。したがって \(\dim_k(M) = nm [K : k]\)、 \([B : k] [L : k] = m^2 [K : k]\)、 \([C : k] = n^2 [K : k]\)、および同じ補題により \([A : k] [L : k] = \dim_k(M)^2\) である。これから (2) が従う。
(3) を示す。\(A\) における \(C\) の中心化代数を \(C'\) とする。 \(C \subset A\) に (2) を適用すれば \([B : k] = [C' : k]\) となる。 一方（明らかに \(B \subset C')\) なので、(3) が従う。
補題
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とし、\(B\) を \(A\) の単純部分代数とする。 \(B\) が中心的 \(k\)-代数ならば、\(C\) を \(A\) における \(B\) の （中心単純な）中心化代数として \(A = B \otimes_k C\) である。
証明
定理 074T により \(\dim_k(A) = \dim_k(B \otimes_k C)\) である。 補題 074F によりテンソル積は単純である。 したがって自然な写像 \(B \otimes_k C \to A\) は単射であり、 次元が等しいので同型である。
補題
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とする。\(K \subset A\) が部分体ならば、 次の条件は同値である。
\([A : k] = [K : k]^2\)。
\(K\) は自身の中心化代数である。
\(K\) は極大可換部分環である。
証明
定理 074T により (1) と (2) は同値である。 (3) と (2) の同値性は明らかである。
補題
\(A\) を \(k\) 上の有限中心斜体とする。このとき任意の極大部分体 \(K \subset A\) は \([A : k] = [K : k]^2\) を満たす。
証明
補題 074V の特別な場合である。
分解体
定義
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とする。\(A \otimes_k k'\) が \(k'\) 上の 行列代数であるとき、体拡大 \(k'/k\) は \(A\) を 分解する、 または \(k'\) は \(A\) の 分解体 であるという。
これは、\(A\) の類が写像 \(\text{Br}(k) \to \text{Br}(k')\) の下で零に写ると言い換えてもよい。
定理
\(A\) を有限中心単純 \(k\)-代数とし、\(k'/k\) を有限体拡大とする。 次の条件は同値である。
\(k'\) は \(A\) を分解する。
\(A\) と相似な有限中心単純代数 \(B\) で、 \(k' \subset B\) かつ \([B : k] = [k' : k]^2\) を満たすものが存在する。
証明
(2) を仮定する。\(B \otimes_k k'\) が行列代数であることを示せば十分である。 \(B \otimes_k B^{op} \cong \text{End}_k(B)\) である。 補題 074V により、 \(k'\) は \(B^{op}\) における \(k'\) の中心化代数なので、 \(B \otimes_k k'\) は \(B \otimes_k B^{op} = \text{End}_k(B)\) における \(k \otimes k'\) の中心化代数である。この中心化代数は、 埋め込み \(k' \to B\) によって \(B\) を \(k'\)-ベクトル空間とみたときの \(\text{End}_{k'}(B)\) にほかならない。よって結論を得る。
(1) を仮定する。これは、ある \(k'\)-ベクトル空間 \(V\) に対して \(A \otimes_k k' \cong \text{End}_{k'}(V)\) という同型があることを意味する。 \(B\) を \(\text{End}_k(V)\) における \(A\) の可換子とする。 \(k'\) は \(B\) に含まれることに注意する。 補題 074U により、\(A\) と \(B\) の類の和は \(\text{Br}(k)\) で零である。定理 074T の次元公式から \[[B : k] [A : k] = \dim_k(V)^2 = [k' : k]^2 \dim_{k'}(V)^2 = [k' : k]^2 [A : k].\] を得る。したがって \([B : k] = [k' : k]^2\) である。 以上で \(A\) のブラウアー類の逆元について結果を示した。しかし \(k'\) が \(A\) のブラウアー類を分解することと、反対代数のブラウアー類を分解する ことは同値なので、いずれにせよ結論を得る。
補題
\(k\) 上の有限中心斜体 \(K\) の極大部分体は、\(K\) の分解体である。
証明
補題
\(k\) 上の有限中心斜体 \(K\) を考え、\(d^2 = [K : k]\) とする。 \(K\) の任意の有限分解体 \(k'\) に対し、次数 \([k' : k]\) は \(d\) で割り切れる。
証明
定理 074Z により、\(K\) のブラウアー類に属し \([B : k] = [k' : k]^2\) を満たす有限中心単純代数 \(B\) が存在する。 補題 074K により、ある \(n\) に対して \(B = \text{Mat}(n \times n, K)\) である。 したがって \([k' : k]^2 = n^2d^2\) であり、結論を得る。
命題
\(k\) 上の有限中心斜体 \(K\) を考える。\(k\) 上分離的な極大部分体 \(k \subset k' \subset K\) が存在する。特に、任意のブラウアー類は 有限分離分解体をもつ。
証明
任意のブラウアー類は \(k\) 上の有限中心斜体によって表されるので、 第二の主張は補題 0750 により第一の主張から 従う。
第一の主張を示すため、分離的な部分体 \(k' \subset K\) が与えられたとする。 \(K\) における \(k'\) の中心化代数 \(K'\) は中心 \(k'\) をもち、問題は \(k'\) 上分離的な \(K'\) の極大部分体を見つけることに帰着する。 したがって \(k \not = K\) のとき、\(k\) 上分離的で \(x \not \in k\) を満たす元 \(x \in K\) を見つければ十分である。 標数零ではこれは明らかである。よって \(k\) の標数は \(p > 0\) と仮定してよい。 基礎体 \(k\) が有限ならば、有限体の拡大は常に分離的なので、この場合も 明らかである。したがって \(k\) は正標数の無限体と仮定してよい。
背理法のため、\(K\) のどの元も \(k\) 上分離的でないと仮定する。
Fields, Section 037H の議論により、 これは任意の \(x \in K\) の最小多項式が \(T^q - a\) の形であることを意味する。ここで \(q\) は \(p\) の冪であり \(a \in k\) である。\(K\) の各元の最小多項式の次数が \(\leq \dim_k(K)\) であることは明らかなので、すべての \(x \in K\) に対して \(x^q \in k\) となる固定した \(p\)-冪 \(q\) が存在する。
写像 \[(-)^q : K \longrightarrow K\] を考え、\(a_1 = 1\) を満たす \(K\) の \(k\)-基底 \(\{a_1, \ldots, a_n\}\) を用いて書き下す。すると \[(\sum x_i a_i)^q = \sum f_i(x_1, \ldots, x_n)a_i.\] \(K\) 上の乗法は \(k\)-双線形なので、各 \(f_i\) は \(x_1, \ldots, x_n\) の多項式である（詳細は省略する）。 上で選んだ \(q\) と \(k\) が無限であることから、\(i \geq 2\) に対して \(f_i\) は恒等的に零である。したがって \(k\) をその代数閉包 \(\overline{k}\) に拡大しても零のままである。しかし \(K \otimes_k \overline{k}\) は行列代数である（例えば補題 074H と 074M による）。 したがって \(q\) 乗が中心に属さない元（例えば \(e_{11}\)）が存在する。 これは求める矛盾である。
以上の結果により、有限中心単純代数を次のように特徴づけられる。
補題
\(k\) を体とする。\(k\)-代数 \(A\) に対し、次の条件は同値である。
\(A\) は有限中心単純 \(k\)-代数である。
\(A\) は有限次元 \(k\)-ベクトル空間で、\(k\) は \(A\) の中心であり、 \(A\) は非自明な両側イデアルをもたない。
ある \(d \geq 1\) が存在して \(A \otimes_k \bar k \cong \text{Mat}(d \times d, \bar k)\) である。
ある \(d \geq 1\) が存在して \(A \otimes_k k^{sep} \cong \text{Mat}(d \times d, k^{sep})\) である。
ある \(d \geq 1\) と有限 Galois 拡大 \(k'/k\) が存在して \(A \otimes_k k' \cong \text{Mat}(d \times d, k')\) である。
ある \(n \geq 1\) と \(k\) 上の有限中心斜体 \(K\) が存在して \(A \cong \text{Mat}(n \times n, K)\) である。
整数 \(d\) を \(A\) の 次数 という。
証明
(1) と (2) の同値性は定義から従う。第 073Y 節を参照されたい。 (1) を仮定する。命題 0752 により、\(A\) には分離分解体 \(k \subset k'\) が存在する。もちろん \(k'/k\) の Galois 閉包も分解体である。 したがって (1) は (5) を含意する。(5) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (3) は明らかである。(3) を仮定する。このとき \(A \otimes_k \overline{k}\) は、例えば補題 074D により有限中心単純 \(\overline{k}\)-代数である。これは直ちに \(A\) が有限中心単純 \(k\)-代数であることを含意する。最後に、(1) と (6) の同値性は Wedderburn の定理、すなわち定理 0747 である。
\(a'' \in A''\) と \(m \in M\) に 対して積 \(m a'' \in M\) が定まるという意味である。特に、\(A''\) の元を 左から作用する自己準同型として書いたときに得られる積とは、\(A''\) の積の 順序が逆になる。↩︎