다양체

서론

이 장에서는 다양체와, 더 일반적으로는 체 위의 스킴을 연구하기 시작한다. 기본 참고문헌은 [EGA]이다.

표기

이 장 전체에서 문자 \(k\)는 기초체를 나타낸다.

다양체

Stacks 프로젝트에서는 다음을 다양체의 정의로 사용한다.

정의

\(k\)를 체라 하자. 다양체란 스킴 \(X\)가 \(k\) 위에 있고, \(X\)가 정수적이고 구조 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 분리이며 유한형인 것을 말한다.

이 정의에는 다음과 같은 단점이 있다. \(k'/k\)가 체의 확대라고 하자. \(X\)가 \(k\) 위의 다양체라고 하자. 그러면 기저 변환 \(X_{k'} = X \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\)는 반드시 \(k'\) 위의 다양체인 것은 아니다. 이 현상은 뒤의 절들에서 더 일반적인 형태로 자세히 논의한다. 두 다양체의 곱도 다양체가 아닐 수 있다(이는 사실 같은 현상이다). 다음은 그 예이다.

예

\(k = \mathbf{Q}\)라 하자. \(X = \Spec(\mathbf{Q}(i))\)이고 \(Y = \Spec(\mathbf{Q}(i))\)라 하자. 그러면 곱 \(X \times_{\Spec(k)} Y\), 즉 다양체 \(X\)와 \(Y\)의 곱은 가약이므로 다양체가 아니다. (이는 \(X\) 두 개의 분리합과 동형이다.)

그러나 기초체가 대수적으로 닫혀 있으면 다양체들의 곱은 다양체이다. 이는 대수학 장의 결과에서 따르지만, 그곳에서는 훨씬 더 일반적인 상황을 다룬다. 여기서는 간단한 직접 증명도 제시한다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 다양체라 하자. 그러면 \(X \times_{\Spec(k)} Y\)는 \(k\) 위의 다양체이다.

증명

사상 \(X \times_{\Spec(k)} Y \to \Spec(k)\)는 분리이고 유한형인 사상들 \(X \times_{\Spec(k)} Y \to Y \to \Spec(k)\)의 합성이므로 유한형이고 분리이다. Morphisms, Lemmas 01T4와 01T3, 그리고 Schemes, Lemma 01KU를 보라. 증명을 끝내려면 \(X \times_{\Spec(k)} Y\)가 정수적임을 보이면 충분하다. \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i\)와 \(Y = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} V_j\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. 각 \(U_i \times_{\Spec(k)} V_j\)가 정수적임을 보일 수 있으면 Properties, Lemmas 01OL, 01OM, 그리고 01ON에 의해 증명이 끝난다. 따라서 아핀인 경우로 환원된다.

아핀인 경우는 다음 대수적 명제로 옮겨진다. \(A\), \(B\)가 정역이고 유한 생성 \(k\)-대수라고 하자. 그러면 \(A \otimes_k B\)는 정역이다. 모순을 얻기 위해 \[(\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} a_i \otimes b_i) (\sum\nolimits_{j = 1, \ldots, m} c_j \otimes d_j) = 0\] 이 \(A \otimes_k B\)에서 성립하고 두 인수가 모두 \(A \otimes_k B\)에서 영이 아니라고 하자. \(b_1, \ldots, b_n\)이 \(k\) 위에서 선형 독립인 \(B\)의 원소이고, \(d_1, \ldots, d_m\)이 \(k\) 위에서 선형 독립인 \(B\)의 원소라고 가정해도 된다. 물론 \(a_1\)과 \(c_1\)이 \(A\)에서 영이 아니라고 가정해도 된다. 따라서 \(D(a_1c_1) \subset \Spec(A)\)는 공집합이 아니다. Hilbert 영점 정리 (Algebra, Theorem 00FV)에 의해 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset A\)를 찾을 수 있으며, 이는 \(D(a_1c_1)\)에 포함되고 \(A/\mathfrak m = k\)를 만족한다. 마지막 등식은 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있기 때문이다. \(\overline{a}_i, \overline{c}_j\)를 \(a_i, c_j\)의 \(A/\mathfrak m = k\)에서의 잉여류라 하자. 위 등식은 \[(\sum\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \overline{a}_i b_i) (\sum\nolimits_{j = 1, \ldots, m} \overline{c}_j d_j) = 0\] 이 된다. 이는 \(\mathfrak m \in D(a_1c_1)\)라는 사실, \(b_1, \ldots, b_n\)과 \(d_1, \ldots, d_m\)의 선형 독립성, 그리고 \(B\)가 정역이라는 사실과 모순이다.

다양체와 유리 사상

\(k\)를 체라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 다양체라 하자. \(X\)에서 \(Y\)로 가는 다양체의 유리 사상이라는 말은 Morphisms, Definition 01RS에서 정의된 대로 \(\Spec(k)\)-유리 사상, 즉 스킴 \(X\)에서 스킴 \(Y\)로 가는 유리 사상을 뜻한다. 관례상 “다양체의 유리 사상”이라는 말은 다양체들의 (공통) 기초체를 가리키지 않는다. 반면 일반 스킴에서는 유리 사상과 주어진 바탕 위의 유리 사상을 구별한다.

이 절의 제목은 다음 기본 정리를 가리킨다.

정리

\(k\)를 체라 하자. 다양체와 우세 유리 사상의 범주는 유한 생성 체 확대 \(K/k\)의 범주와 동치이다.

증명

\(X\)와 \(Y\)를 다양체라 하고, 그 일반점을 각각 \(x \in X\)와 \(y \in Y\)라 하자. \(X\)에서 \(Y\)로 가는 우세 유리 사상은 정확히 \(x\)를 \(y\)로 보내는 유리 사상이다 (Morphisms, Definition 0A1Z과 그 뒤의 논의를 보라). 따라서 우세 유리 사상 \(X \supset U \to Y\)가 주어지면 함수체의 사상 \[k(Y) = \kappa(y) = \mathcal{O}_{Y, y} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x} = \kappa(x) = k(X)\] 을 얻는다. 역으로, 그러한 \(k\)-대수 사상은 원천과 목표가 체이므로 자동으로 국소 사상이며, Morphisms, Lemma 0BX8에 의해 하나의 우세 유리 사상을 유일하게 결정한다. 이로써 완전 충실한 함자를 얻는다. 증명을 끝내려면 모든 유한 생성 체 확대 \(K/k\)가 본질적 상에 속함을 보이면 충분하다. \(K/k\)가 유한 생성이므로 유한형 \(k\)-대수 \(A \subset K\)가 존재하여 \(K\)는 \(A\)의 분수체가 된다. 그러면 \(X = \Spec(A)\)는 함수체가 \(K\)인 다양체이다.

\(k\)를 체라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 다양체라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 쌍유리 다양체이다라는 말은 Morphisms, Definition 01RO에서 정의된 대로 \(X\)와 \(Y\)가 \(\Spec(k)\)-쌍유리라는 뜻으로 사용한다. 관례상 “쌍유리 다양체”라는 말은 다양체들의 (공통) 기초체를 가리키지 않는다. 반면 일반 기약 스킴에서는 쌍유리인 것과 주어진 바탕 위에서 쌍유리인 것을 구별한다.

보조정리

\(X\)와 \(Y\)를 체 \(k\) 위의 다양체라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)와 \(Y\)는 쌍유리 다양체이다.

2. 함수체 \(k(X)\)와 \(k(Y)\)는 동형이다.

3. \(X\)와 \(Y\)에 서로 동형인 공집합이 아닌 열린집합들이 다양체로서 존재한다.

4. 열린집합 \(U \subset X\)와 다양체의 쌍유리 사상 \(U \to Y\)가 존재한다.

증명

이는 Morphisms, Lemma 0BAD의 특수한 경우이다.

체의 변경과 국소환

기초체를 확대할 때 국소환에 일어나는 일에 관한 몇 가지 예비 결과를 제시한다.

보조정리

\(K/k\)를 체의 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하고 \(Y = X_K\)로 두자. \(y \in Y\)의 상이 \(x \in X\)이면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)는 충실히 평탄한 국소환 준동형이다.

2. \(\mathfrak p_0 = \Ker(\kappa(x) \otimes_k K \to \kappa(y))\)로 두면 \(\kappa(y) = \kappa(\mathfrak p_0)\)이다.

3. \(\mathcal{O}_{Y, y} = (\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k K)_\mathfrak p\)이며, 여기서 \(\mathfrak p \subset \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k K\)는 \(\mathfrak p_0\)의 역상이다.

4. 다음이 성립한다. \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y} = (\kappa(x) \otimes_k K)_{\mathfrak p_0}\)

증명

\(X = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 그러면 \(Y = \Spec(A \otimes_k K)\)이다. \(K\)는 \(k\) 위에서 평탄하므로 \(A \to A \otimes_k K\)가 평탄하다. 따라서 \(Y \to X\)는 평탄하고, Algebra, Lemma 00HR도 사용하면 첫째 주장을 얻는다. 둘째 주장은 Schemes, Lemma 01JT에서 따른다. 이제 \(y\)는 소 아이디얼 \(\mathfrak q \subset A \otimes_k K\)에 대응하고, \(x\)는 \(\mathfrak r = A \cap \mathfrak q\)에 대응한다. 그러면 \(\mathfrak p_0\)는 유도된 사상 \(\kappa(\mathfrak r) \otimes_k K \to \kappa(\mathfrak q)\)의 핵이다. 국소환 사이의 사상은 \[A_\mathfrak r \longrightarrow (A \otimes_k K)_\mathfrak q\] 이다. 이 사상을 \(A_\mathfrak r \otimes_k K = (A \otimes_k K)_{\mathfrak r}\)를 통하여 인수분해하면 \[A_\mathfrak r \longrightarrow A_\mathfrak r \otimes_k K \longrightarrow (A \otimes_k K)_\mathfrak q\] 를 얻고, 둘째 화살표는 어떤 소 아이디얼에서의 국소화이다. 이 소 아이디얼은 \(\mathfrak p_0\)의 역상이며(세부 사항은 생략한다), 이로써 (3)이 증명된다. (4)는 (3), 그리고 국소화와 \(- \otimes_k K\)가 완전 함자라는 사실에서 따른다.

보조정리

표기는 보조정리 0C4Y과 같다고 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \[\dim(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y}) = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) - \text{trdeg}_K(\kappa(y)) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) - \dim(\mathcal{O}_{X, x})\] 이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 0CWE을 다시 서술한 것이다.

보조정리

표기는 보조정리 0C4Y과 같다고 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이고, \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\)이며, \(\kappa(x) \otimes_k K\)가 축약환이라고 가정하자 (예를 들어 \(\kappa(x)/k\)가 분리적이거나 \(K/k\)가 분리적인 경우이다). 그러면 \(\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y} = \mathfrak m_y\)이다.

증명

(괄호 안의 주장은 Algebra, Lemma 030U에서 따른다.) 보조정리 0C4Y과 0C4Z을 결합하면 \(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y}\)는 차원이 \(0\)이고 축약이다. 따라서 이는 체이다.

기하적으로 축약인 스킴

\(X\)가 체 위의 축약 스킴이어도, 기초체를 확대하면 \(X\)가 축약이 아니게 될 수 있다. 기하적으로 축약인 스킴에는 이런 일이 일어나지 않는다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자.

1. \(x \in X\)를 점이라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 축약이라고 함은 모든 체 확대 \(k'/k\)와 모든 점 \(x' \in X_{k'}\)가 \(x\) 위에 놓일 때 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)가 축약인 경우이다.

2. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이라고 함은 \(X\)가 \(X\)의 모든 점에서 기하적으로 축약인 경우이다.

처음에는 이 개념이 다소 신비로워 보일 수 있지만, 실제로는 대수학 장에서 논의한 개념과 같은 것이다. 다음 기본 결과들이 그 관계를 설명한다. 보조정리 056V도 보라. 그 보조정리에 따르면 체 위의 다양체에 대하여 “기하적으로 축약”은 “일반점에서 매끄러움”과 동치이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(x \in X\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 축약이다.

2. 환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다 (Algebra, Definition 030S을 보라).

증명

(1)을 가정하자. 특히 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 축약이다. \(k'/k\)를 유한 순수 비분리 체 확대라 하고 환 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)를 생각하자. Algebra, Lemma 0BRA에 의해 그 스펙트럼은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 스펙트럼과 같다. 따라서 이 환도 국소환이다 (Algebra, Lemma 00E9). 그러므로 유일한 점 \(x' \in X_{k'}\)가 \(x\) 위에 놓이고 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)이다. 보조정리 0C4Y을 보라. 가정에 의해 이 환은 축약이다. 따라서 Algebra, Lemma 030V에 의해 (2)를 얻는다.

(2)를 가정하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)가 전사이므로 \(X_{k'} \to X\)도 전사이다 (Morphisms, Lemma 01S1). 임의의 점 \(x' \in X_{k'}\)를 \(x\) 위에서 잡자. 보조정리 0C4Y에 의해 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)는 환 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)의 국소화이다. 따라서 가정에 의해 축약이고, (1)이 증명된다.

표수가 영이면 이 개념은 특별한 내용을 갖지 않는다.

보조정리

\(X\)를 완전체 \(k\) 위의 스킴이라 하자(예를 들어 \(k\)의 표수가 영인 경우이다). \(x \in X\)라 하자. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 축약이면 \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 축약이다. \(X\)가 축약이면 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다.

증명

첫째 주장은 보조정리 035W, Algebra, Lemma 030U, 그리고 완전체의 정의(Algebra, Definition 030Y)에서 따른다. 둘째 주장은 첫째 주장으로부터 따른다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 기하적으로 축약이다.

2. \(X_{k'}\)는 모든 체 확대 \(k'/k\)에 대해 축약이다.

3. \(X_{k'}\)는 모든 유한 순수 비분리 체 확대 \(k'/k\)에 대해 축약이다.

4. \(X_{k^{1/p}}\)는 축약이다.

5. \(X_{k^{perf}}\)는 축약이다.

6. \(X_{\bar k}\)는 축약이다.

7. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 기하적으로 축약이다(Algebra, Definition 030S을 보라).

증명

(1)을 가정하자. 모든 체 확대 \(k'/k\)와 모든 점 \(x' \in X_{k'}\)에 대해 \(X_{k'}\)의 \(x'\)에서의 국소환은 축약이다. 다시 말해 \(X_{k'}\)는 축약이다. 따라서 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하자. \(U \subset X\)를 아핀 열린집합이라 하자. 모든 체 확대 \(k'/k\)에 대해 스킴 \(X_{k'}\)가 축약이므로 \(U_{k'} = \Spec(\mathcal{O}(U)\otimes_k k')\)도 축약이고, 따라서 \(\mathcal{O}(U)\otimes_k k'\)는 축약이다 (Properties, Section 01OJ을 보라). 다시 말해 \(\mathcal{O}(U)\)는 기하적으로 축약이므로 (7)이 성립한다.

(7)을 가정하자. 임의의 체 확대 \(k'/k\)에 대해 기저 변환 \(X_{k'}\)는 환 \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_k k'\)들의 스펙트럼을 이어붙여 얻는데, 여기서 \(U\)는 \(X\)의 아핀 열린집합들을 달린다 (Schemes, Section 01JO를 보라). 따라서 \(X_{k'}\)는 축약이고, (1)이 성립한다.

이로써 (1), (2), (7)이 서로 동치임을 증명했다. 이 조건들은 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)에 Algebra, Lemma 030V을 적용할 수 있기 때문이다. 여기서 \(U \subset X\)는 아핀 열린집합을 달린다. 따라서 (3), (4), (5), (6)과도 동치이다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(x \in X\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 축약이다.

2. \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)는 \(k'\)가 \(k\)의 모든 유한 순수 비분리 체 확대이고 유일한 점 \(x' \in X_{k'}\)가 \(x\) 위에 놓일 때 축약이다.

3. \(\mathcal{O}_{X_{k^{1/p}}, x'}\)는 유일한 점 \(x' \in X_{k^{1/p}}\)가 \(x\) 위에 놓일 때 축약이다.

4. \(\mathcal{O}_{X_{k^{perf}}, x'}\)는 유일한 점 \(x' \in X_{k^{perf}}\)가 \(x\) 위에 놓일 때 축약이다.

증명

\(k'/k\)가 순수 비분리이면 \(X_{k'} \to X\)는 바탕 위상공간들 사이의 위상동형을 유도한다. Algebra, Lemma 0BRA을 보라. 따라서 진술에 나온 \(x'\)는 \(x\) 위에 놓이는 점으로서 유일하다. 더욱이 이 경우 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} = \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)이다. 그러므로 위의 보조정리 035W과 Algebra, Lemma 030V에서 결론이 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고, 점 \(x' \in X_{k'}\)를 \(x\) 위에서 잡자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 축약이다.

2. \(X_{k'}\)는 \(x'\)에서 기하적으로 축약이다.

특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약일 필요충분조건은 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 축약인 것이다.

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)를 가정하자. \(k''/k\)를 유한 순수 비분리 체 확대라 하고 점 \(x'' \in X_{k''}\)를 \(x\) 위에서 잡자(실제로 유일하다). 공통 체 확대 \(k'''/k\)를 \(k''/k\)와 \(k'/k\)에 대해 택하자. Fields, Lemma 0H7K을 보라. 점 \(x''' \in X_{k'''}\)를 \(x'\)과 \(x''\) 양쪽 위에서 잡자. 국소환의 사상 \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x'''}.\] 을 생각하자. 이는 평탄한 국소환 준동형이므로 충실히 평탄하다. (2)에 의해 오른쪽 국소환은 축약이다. 따라서 Algebra, Lemma 033F에 의해 \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\)가 축약임을 알 수 있다. 그러므로 보조정리 035Y에 의해 \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 축약이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 스킴들이라 하자.

1. \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 축약이고 \(Y\)가 축약이면, \(X \times_k Y\)는 \(x\) 위에 놓이는 모든 점에서 축약이다.

2. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이고 \(Y\)가 축약이면 \(X \times_k Y\)는 축약이다.

3. \(X\)와 \(Y\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이면 \(X \times_k Y\)는 기하적으로 축약이다.

4. \(k\)가 완전체이고 \(X\)와 \(Y\)가 축약이면 \(X \times_k Y\)는 축약이다.

5. 여기에 더 추가할 것.

증명

(1)을 증명하려면 보조정리 035W과 Algebra, Lemma 034N을 결합한다. (2)를 증명하려면 보조정리 035X와 Algebra, Lemma 034N을 결합한다. (3)을 증명하려면 \((X \times_k Y)_{\overline{k}} = X_{\overline{k}} \times_{\overline{k}} Y_{\overline{k}}\)임을 관찰하고, (2)와 보조정리 035X을 사용한다. (4)를 증명하려면 (3)과 보조정리 020I을 결합한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자.

1. \(x' \leadsto x\)가 특수화이고 \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 축약이면, \(X\)는 \(x'\)에서도 기하적으로 축약이다.

2. \(x \in X\)가 다음을 만족한다고 하자. (a) \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 축약이고, (b) 모든 특수화 \(x' \leadsto x\)에 대해, \(x'\)가 \(X\)의 한 기약 성분의 일반점이면 \(X\)는 \(x'\)에서 기하적으로 축약이다. 그러면 \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 축약이다.

3. \(X\)가 축약이고 \(X\)의 기약 성분들의 모든 일반점에서 기하적으로 축약이면, \(X\)는 기하적으로 축약이다.

4. \(X\)가 \(k\) 위의 다양체이면, \(X\)가 기하적으로 축약일 필요충분조건은 그 함수체가 \(k\)의 분리 확대인 것이다.

증명

(1)은 보조정리 035W과 다음 사실에서 따른다. \(A\)가 기하적으로 축약인 \(k\)-대수이면, \(S^{-1}A\)도 기하적으로 축약인 \(k\)-대수이다. 여기서 \(S\)는 \(A\)의 임의의 곱셈적 부분집합이다. Algebra, Lemma 04KN를 보라.

\(A = \mathcal{O}_{X, x}\)로 두자. (2)의 가정 (a), (b)는 \(A\)가 축약이고, \(A_{\mathfrak q}\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약임을 뜻한다. 여기서 \(\mathfrak q\)는 \(A\)의 임의의 극소 소 아이디얼이다. 따라서 \(A\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다. Algebra, Lemma 07K2을 보라. 그러므로 보조정리 035W에 의해 \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 축약이다.

(3)은 (2)에서 자명하게 따른다. 마지막으로 (4)는 (3)과 Algebra, Lemma 030W에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(x \in X\)라 하자. \(X\)가 국소 뇌터이고 \(x\)에서 기하적으로 축약이라고 가정하자. 그러면 열린 근방 \(U \subset X\)가 \(x\)의 근방으로 존재하여 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이다.

증명

\(X\)가 국소 뇌터이고 \(x\)에서 기하적으로 축약이라고 가정하자. Properties, Lemma 0BX3에 의해 아핀 열린 근방 \(U \subset X\)를 \(x\)의 근방으로 찾아 \(R = \mathcal{O}_X(U) \to \mathcal{O}_{X, x}\)가 단사이게 할 수 있다. 보조정리 035W에 의해 가정은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약임을 뜻한다. Algebra, Lemma 030T에 의해 \(R\)도 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이고, 따라서 \(U\)도 기하적으로 축약이다.

예

\(k = \mathbf{F}_p(s, t)\), 즉 소체의 순수 초월 확대라 하자. 다양체 \(X = \Spec(k[x, y]/(1 + sx^p + ty^p))\)를 생각하자. \(k'/k\)를 \(s\)와 \(t\) 모두가 \(p\)제곱근을 \(k'\)에서 갖는 임의의 확대라 하자. 그러면 기저 변환 \(X_{k'}\)는 축약이 아니다. 실제로 환 \(k'[x, y]/(1 + s x^p + ty^p)\)는 원소 \(1 + s^{1/p}x + t^{1/p}y\)를 포함하며, 그 \(p\)제곱은 영이지만 그 자체는 영이 아니다 (아이디얼 \((1 + sx^p + ty^p)\)는 차수가 \(< p\)인 영이 아닌 원소를 전혀 포함하지 않기 때문이다).

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X \to \Spec(k)\)가 국소 유한형이라고 하자. \(X\)가 유한 개의 기약 성분을 갖는다고 가정하자. 그러면 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)가 존재하여 \((X_{k'})_{red}\)는 \(k'\) 위에서 기하적으로 축약이다.

증명

이 보조정리를 증명할 때 \(X\)를 그 축약 \(X_{red}\)로 바꾸어도 된다. 따라서 \(X\)가 축약이고 \(k\) 위에서 국소 유한형이라고 가정해도 된다. \(x_1, \ldots, x_n \in X\)를 \(X\)의 기약 성분들의 일반점이라 하자. 모든 순수 비분리 대수적 확대 \(k'/k\)에 대해 사상 \((X_{k'})_{red} \to X\)는 위상동형이다. Algebra, Lemma 0BRA을 보라. 따라서 점들 \(x'_1, \ldots, x'_n\)은 \(x_1, \ldots, x_n\) 위에 놓이고 \((X_{k'})_{red}\)의 기약 성분들의 일반점이다. \(X\)가 축약이므로 국소환 \(K_i = \mathcal{O}_{X, x_i}\)는 체이다. Algebra, Lemma 00EU을 보라. \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이므로 체 확대 \(K_i/k\)는 유한 생성 체 확대이다. 마지막으로 국소환 \(\mathcal{O}_{(X_{k'})_{red}, x'_i}\)는 체 \((K_i \otimes_k k')_{red}\)이다. Algebra, Lemma 030R에 의해 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)를 찾아 \((K_i \otimes_k k')_{red}\)가 \(k'\)의 분리 체 확대가 되게 할 수 있다. 특히 각각의 \((K_i \otimes_k k')_{red}\)는 \(k'\) 위에서 기하적으로 축약이다. Algebra, Lemma 030W을 보라. 이제 보조정리 04KS의 (3)에 의해 \((X_{k'})_{red}\)는 기하적으로 축약이다.

기하적으로 연결인 스킴

\(X\)가 체 위의 연결 스킴이어도 기초체를 확대하면 \(X\)가 비연결이 될 수 있다. 기하적으로 연결인 스킴에서는 이런 일이 일어나지 않는다.

정의

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이라고 함은 스킴 \(X_{k'}\)가, \(k'\)가 \(k\)의 임의의 체 확대일 때마다, 연결인 경우이다.

관례상 연결 위상공간은 공집합이 아니다. 따라서 특히 기하적으로 연결인 스킴은 공집합이 아니다. 다음은 기하적으로 연결이 아닌 다양체의 예이다.

예

\(k = \mathbf{Q}\)라 하자. 스킴 \(X = \Spec(\mathbf{Q}(i))\)는 \(\Spec(\mathbf{Q})\) 위의 다양체이다. 그러나 기저 변환 \(X_{\mathbf{C}}\)는 \(\mathbf{C} \otimes_{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}(i) \cong \mathbf{C} \times \mathbf{C}\)의 스펙트럼이며, 이는 \(\Spec(\mathbf{C})\) 두 개의 서로소 합이다. 따라서 이것은 실제로 기하적으로 연결이 아닌 다양체의 예이다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하고 \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결일 필요충분조건은 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 연결인 것이다.

증명

\(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이면 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 연결임은 분명하다. 역으로, 임의의 체 확대 \(k''/k\)에 대해 공통 체 확대 \(k'''/k'\)와 \(k'''/k''\)가 존재한다. Fields, Lemma 0H7K을 보라. 사상 \(X_{k'''} \to X_{k''}\)는 체들의 스펙트럼 사이 전사 사상의 기저 변환이므로 전사이다. 따라서 \(X_{k'''}\)의 연결성은 \(X_{k''}\)의 연결성을 함의한다. 그러므로 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 연결이면 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이라고 가정하자. 그러면 사영 사상 \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] 은 연결 성분들 사이의 전단사를 유도한다.

증명

\(p\)의 스킴론적 올들은 기하적으로 연결인 스킴 \(X\)를 체 확대에 따라 기저 변환한 것이므로 연결이다. 또한 스킴론적 올은 집합론적 올과 위상동형이다. Schemes, Lemma 01K1을 보라. Morphisms, Lemma 0383에 의해 사상 \(p\)는 열린 사상이다. 이제 Topology, Lemma 0378를 적용하면 된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(A\)를 \(k\)-대수라 하자. 그러면 \(X = \Spec(A)\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결일 필요충분조건은 \(A\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결인 것이다(Algebra, Definition 037T을 보라).

증명

정의에서 곧바로 따른다.

보조정리

\(k'/k\)를 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(k\)가 분리 대수적으로 닫혀 있다고 가정하자. 그러면 사상 \(X_{k'} \to X\)는 연결 성분들의 전단사를 유도한다. 특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결일 필요충분조건은 \(X\)가 연결인 것이다.

증명

\(k\)가 분리 대수적으로 닫혀 있으므로 \(k'\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이다. Algebra, Lemma 037U을 보라. 따라서 위의 보조정리 0386에 의해 \(Z = \Spec(k')\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이다. \(X_{k'} = Z \times_k X\)이므로 결과는 보조정리 0385의 특수한 경우이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(\overline{k}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. \(X\)가 기하적으로 연결일 필요충분조건은 기저 변환 \(X_{\overline{k}}\)가 연결인 것이다.

증명

\(X_{\overline{k}}\)가 연결이라고 가정하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. 체 확대 \(\overline{k}'/\overline{k}\)가 존재하여 \(k'\)가 \(\overline{k}'\) 안에 \(k\)의 확대체로서 매장된다. 보조정리 0363에 의해 \(X_{\overline{k}'}\)는 연결이다. 사상 \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\)가 전사이므로 원하는 대로 \(X_{k'}\)가 연결임을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(A\)를 \(k\)-대수라 하고 \(V \subset X_A\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. 그러면 유한 생성 \(k\)-부분대수 \(A' \subset A\)와 준콤팩트 열린집합 \(V' \subset X_{A'}\)가 존재하여 \(V = V'_A\)이다.

증명

\(X\)가 추가로 준분리이면 이는 Limits, Lemma 01Z4에서 따른다는 점을 먼저 언급한다. \(U_1, \ldots, U_n\)을 \(X\)의 유한 개 아핀 열린집합으로 택하여 \(V \subset \bigcup U_{i, A}\)가 되게 하자. \(U_i = \Spec(R_i)\)라 하자. \(V\)가 준콤팩트이므로 유한 개의 원소 \(f_{ij} \in R_i \otimes_k A\), \(j = 1, \ldots, n_i\)를 찾아 \(V = \bigcup_i \bigcup_{j = 1, \ldots, n_i} D(f_{ij})\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(D(f_{ij}) \subset U_{i, A}\)는 대응하는 표준 열린집합이다. (\(V \cap U_{i, A}\)가 \(D(f_{ij})\), \(j = 1, \ldots, n_i\)의 합집합이라고 주장하는 것은 아니다.) 유한 생성 \(k\)-부분대수 \(A' \subset A\)를 찾아 \(f_{ij}\)가 어떤 \(f_{ij}' \in R_i \otimes_k A'\)의 상이 되게 할 수 있음은 분명하다. \(V' = \bigcup D(f_{ij}')\)로 두면 이는 \(X_{A'}\)의 준콤팩트 열린집합이다. 표준 사상을 \(\pi : X_A \to X_{A'}\)로 나타내자. \(\pi(V) \subset V'\)인데, 이는 \(\pi(D(f_{ij})) \subset D(f_{ij}')\)이기 때문이다. \(x \in X_A\)이고 \(\pi(x) \in V'\)이면 \(\pi(x) \in D(f_{ij}')\)인 어떤 \(i, j\)가 존재하며, \(x \in D(f_{ij})\)임을 알 수 있다. 실제로 \(f_{ij}'\)가 \(f_{ij}\)로 간다. 따라서 원하는 대로 \(V = \pi^{-1}(V')\)이다.

\(k\)를 체라 하자. \(\overline{k}/k\)를 유한일 필요가 없는 갈루아 확대라 하자. 예를 들어 \(\overline{k}\)는 \(k\)의 분리 대수적 폐포일 수 있다. 임의의 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)에 대응하여 자기동형 \(\Spec(\sigma) : \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\) 을 얻는다. \(\Spec(\sigma) \circ \Spec(\tau) = \Spec(\tau \circ \sigma)\)임에 유의하자. 따라서 스킴 \(\Spec(\overline{k})\) 위에 반대군의 작용 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \Spec(\overline{k}) \longrightarrow \Spec(\overline{k})\] 을 얻는다. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 정의에 의해 \(X_{\overline{k}} = \Spec(\overline{k}) \times_{\Spec(k)} X\)이므로 위 작용은 표준 작용 [038A]\[\begin{equation} \text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times X_{\overline{k}} \longrightarrow X_{\overline{k}}. \end{equation}\] 을 유도한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(\overline{k}\)를 \(k\)의 유한일 필요가 없는 갈루아 확대라 하자. \(V \subset X_{\overline{k}}\)를 준콤팩트 열린집합이라 하자. 그러면

1. 유한 부분확대 \(\overline{k}/k'/k\)와 준콤팩트 열린집합 \(V' \subset X_{k'}\)가 존재하여 \(V = (V')_{\overline{k}}\)이고,

2. 열린 부분군 \(H \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\)가 존재하여 \(\sigma(V) = V\)가 모든 \(\sigma \in H\)에 대해 성립한다.

증명

보조정리 0388에 의해 유한 부분확대 \(k'/k \subset \overline{k}\)와 열린집합 \(V' \subset X_{k'}\)가 존재하여 후자를 당기면 \(V\)가 된다. 이것으로 (1)이 증명된다. \(\text{Gal}(\overline{k}/k')\)가 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 열린 부분군이므로 (2)도 분명하다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(\overline{k}/k\)를 유한일 필요가 없는 갈루아 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 부분집합 \(\overline{T} \subset X_{\overline{k}}\)가 다음 성질들을 갖는다고 하자.

1. \(\overline{T}\)는 \(X_{\overline{k}}\)의 닫힌 부분집합이다.

2. 모든 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)에 대해 \(\sigma(\overline{T}) = \overline{T}\)이다.

그러면 닫힌 부분집합 \(T \subset X\)가 존재하여 \(X_{\overline{k}}\)에서의 역상이 \(\overline{T}\)이다.

증명

이 보조정리는 \(X = \Spec(A)\)가 아핀인 경우로 즉시 환원된다. 이 경우 \(\overline{I} \subset A \otimes_k \overline{k}\)를 \(\overline{T}\)에 대응하는 근기 아이디얼이라 하자. 가정 (2)는 \(\sigma(\overline{I}) = \overline{I}\)가 모든 \(\sigma \in \text{Gal}(\overline{k}/k)\)에 대해 성립함을 뜻한다. \(x \in \overline{I}\)를 택하자. 유한 갈루아 확대 \(k'/k\)가 \(\overline{k}\) 안에 포함되고 \(x \in A \otimes_k k'\)가 되게 할 수 있다. \(G = \text{Gal}(k'/k)\)로 두고 \[P(T) = \prod\nolimits_{\sigma \in G} (T - \sigma(x)) \in (A \otimes_k k')[T]\] 로 두자. \(P(T)\)가 일계수이고 실제로 \((A \otimes_k k')^G[T] = A[T]\)의 원소임은 분명하다 (기본적인 갈루아 이론에 의한다). 또한 \(P(T) = T^d + a_1T^{d - 1} + \ldots + a_d\)로 쓰면 \(a_i \in I := A \cap \overline{I}\)임을 알 수 있다. \(P(x) = 0\)과 \(a_i \in I\)를 합치면 \(x^d = - a_1 x^{d - 1} - \ldots - a_d \in I(A \otimes_k \overline{k})\)를 얻는다. 따라서 \(x\)는 \(I(A \otimes_k \overline{k})\)의 근기에 속한다. 그러므로 \(\overline{I}\)는 \(I(A \otimes_k \overline{k})\)의 근기이고, \(T = V(I)\)로 두면 원하는 해를 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 기하적으로 연결이다.

2. 모든 유한 분리 체 확대 \(k'/k\)에 대해 스킴 \(X_{k'}\)는 연결이다.

증명

정의에서 (1)이 (2)를 함의함은 곧바로 따른다. \(X\)가 기하적으로 연결이 아니라고 가정하자. \(k \subset \overline{k}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. 보조정리 0387에 의해 \(X_{\overline{k}}\)는 비연결이다. 따라서 \(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\)로 쓸 수 있으며, \(\overline{U}\)와 \(\overline{V}\)는 열리고 닫혀 있고 공집합이 아니다.

\(W \subset X\)를 임의의 준콤팩트 열린집합이라 하자. \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)는 \(W_{\overline{k}}\)에서 열리고 닫혀 있다. 특히 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)는 준콤팩트이고, 보조정리 04KU에 의해 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)는 모두 유한 부분확대 위에서 정의되며 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 열린 부분군 아래 불변이다. 이하에서는 이를 따로 언급하지 않고 사용한다.

준콤팩트 열린집합 \(W_0 \subset X\)를 택하여 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V}\)가 모두 공집합이 아니게 하자. 유한 부분확대 \(\overline{k}/k'/k\)와 열린닫힌 부분집합들로의 분해 \(W_{0, k'} = U_0' \amalg V_0'\)를 택하여 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U} = (U'_0)_{\overline{k}}\) 및 \(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{V} = (V'_0)_{\overline{k}}\)가 되게 하자. \(H = \text{Gal}(\overline{k}/k') \subset \text{Gal}(\overline{k}/k)\)로 두자. 특히 \(\sigma(W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}) = W_{0, \overline{k}} \cap \overline{U}\)이고, \(\overline{V}\)에 대해서도 마찬가지이다.

위와 같이 \(W_0\), \(k'\)를 택했을 때, 모든 준콤팩트 열린집합 \(W \subset X\)에 대해 \[U_W = \bigcap\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}), \quad V_W = \bigcup\nolimits_{\sigma \in H} \sigma(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}).\] 로 두자. \(W_{\overline{k}} \cap \overline{U}\)와 \(W_{\overline{k}} \cap \overline{V}\)가 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 열린 부분군에 의해 고정되므로 위의 합집합과 교집합은 유한하다. 따라서 \(U_W\)와 \(V_W\)는 모두 열리고 닫혀 있다. 또한 구성에 의해 \(W_{\bar k} = U_W \amalg V_W\)이다.

\(W \subset W' \subset X\)가 준콤팩트 열린집합들이면 \(W_{\overline{k}} \cap U_{W'} = U_W\)이고 \(W_{\overline{k}} \cap V_{W'} = V_W\)라고 주장한다. 확인은 생략한다. 따라서 \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) 및 \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\)로 정의하면 \(X_{\overline{k}} = U \amalg V\)는 열린닫힌 부분집합들의 서로소 합이다. \(V\)는 (국소적으로) 합집합을 취하여 구성했으므로 공집합이 아님이 분명하다. 한편 \(U\)는 구성에 의해 \(W_0 \cap \overline{U}\)를 포함하므로 공집합이 아니다. 마지막으로 \(U, V \subset X_{\bar k}\)는 구성에 의해 닫혀 있고 \(H\)-불변이다. 따라서 보조정리 038B에 의해 \(U = (U')_{\bar k}\)이고 \(V = (V')_{\bar k}\)인 어떤 닫힌 부분집합 \(U', V' \subset X_{k'}\)가 존재한다. 분명히 \(X_{k'} = U' \amalg V'\)이므로, 원하는 대로 \(X_{k'}\)가 비연결임을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(\overline{k}/k\)를 유한일 필요가 없는 갈루아 확대라 하자. \(f : T \to X\)를 \(k\) 위의 스킴들의 사상이라 하자. \(T_{\overline{k}}\)는 연결이고 \(X_{\overline{k}}\)는 비연결이라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 비연결이다.

증명

\(X_{\overline{k}} = \overline{U} \amalg \overline{V}\)로 쓰자. 여기서 \(\overline{U}\)와 \(\overline{V}\)는 열리고 닫혀 있다. \(\overline{f} : T_{\overline{k}} \to X_{\overline{k}}\)를 \(f\)의 기저 변환이라 하자. \(T_{\overline{k}}\)가 연결이므로 \(T_{\overline{k}}\)는 \(\overline{f}^{-1}(\overline{U})\) 또는 \(\overline{f}^{-1}(\overline{V})\) 중 하나에 포함된다. \(T_{\overline{k}} \subset \overline{f}^{-1}(\overline{U})\)라고 하자.

준콤팩트 열린집합 \(W \subset X\)를 고정하자. 유한 갈루아 부분확대 \(\overline{k}/k'/k\)가 존재하여 \(\overline{U} \cap W_{\overline{k}}\)와 \(\overline{V} \cap W_{\overline{k}}\)가 준콤팩트 열린집합 \(U', V' \subset W_{k'}\)로부터 온다. 그러면 또한 \(W_{k'} = U' \amalg V'\)이다. 다음을 생각하자. \[U'' = \bigcap\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} \sigma(U'), \quad V'' = \bigcup\nolimits_{\sigma \in \text{Gal}(k'/k)} \sigma(V').\] 이들은 갈루아 불변인 열린닫힌 부분집합이며 \(W_{k'} = U'' \amalg V''\)이다. 보조정리 038B에 의해 열린닫힌 부분집합 \(U_W, V_W \subset W\)를 얻어 \(U'' = (U_W)_{k'}\), \(V'' = (V_W)_{k'}\) 및 \(W = U_W \amalg V_W\)가 성립한다.

\(W \subset W' \subset X\)가 준콤팩트 열린집합들이면 \(W \cap U_{W'} = U_W\)이고 \(W \cap V_{W'} = V_W\)라고 주장한다. 확인은 생략한다. 따라서 \(U = \bigcup_{W \subset X} U_W\) 및 \(V = \bigcup_{W \subset X} V_W\)로 정의하면 \(X = U \amalg V\)를 얻는다. \(V\)는 (국소적으로) 합집합을 취하여 구성했으므로 공집합이 아님이 분명하다. 한편 \(U\)는 구성에 의해 \(f(T)\)를 포함하므로 공집합이 아니다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(T \to X\)를 \(k\) 위의 스킴들의 사상이라 하자. \(T\)가 기하적으로 연결이고 \(X\)가 연결이라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 기하적으로 연결이다.

증명

이는 보조정리 038C를 다시 표현한 것이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 연결이고 점 \(x\)를 가지며, \(k\)가 \(\kappa(x)\) 안에서 대수적으로 닫혀 있다고 가정하자. 그러면 \(X\)는 기하적으로 연결이다. 특히 \(X\)가 \(k\)-유리점을 갖고 \(X\)가 연결이면 \(X\)는 기하적으로 연결이다.

증명

\(T = \Spec(\kappa(x))\)로 두자. \(\overline{k}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. \(\kappa(x)/k\)에 대한 가정은 \(T_{\overline{k}}\)가 기약임을 함의한다. Algebra, Lemma 037P을 보라. 따라서 보조정리 056R에 의해 \(X_{\overline{k}}\)는 연결이다. 보조정리 0387에 의해 \(X\)가 기하적으로 연결임을 얻는다.

보조정리

\(K/k\)를 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(T\)를 \(X\)의 임의의 연결 성분이라 하면 역상 \(T_K \subset X_K\)는 \(X_K\)의 연결 성분들의 합집합이다.

증명

이는 순수하게 위상적인 명제이다. 사영 사상을 \(p : X_K \to X\)로 나타내자. \(T \subset X\)를 \(X\)의 연결 성분이라 하자. \(t \in T_K = p^{-1}(T)\)라 하고 \(C \subset X_K\)를 \(t\)를 포함하는 연결 성분이라 하자. 그러면 \(p(C)\)는 \(X\)의 연결 부분집합이고 \(T\)와 만나므로 \(p(C) \subset T\)이다. 따라서 \(C \subset T_K\)이다.

다음 보조정리는 아래의 더 강한 보조정리 04PZ로 대체될 것이다.

보조정리

\(K/k\)를 유한 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 사영 사상을 \(p : X_K \to X\)로 나타내자. 모든 연결 성분 \(T\)에 대해, 그것이 \(X_K\)의 연결 성분이면 상 \(p(T)\)는 \(X\)의 연결 성분이다.

증명

상 \(p(T)\)는 어떤 연결 성분 \(X'\)에 포함되며, 이는 \(X\)의 연결 성분이다. \(X'\)에 임의의 방식으로 닫힌 부분스킴 구조를 주어 \(X\)의 부분스킴으로 보자. 그러면 \(T\)는 \(X'_K = p^{-1}(X')\)의 연결 성분이기도 하므로 \(X\)가 연결인 경우를 가정해도 된다. 사상 \(p\)는 열린 사상이고 (Morphisms, Lemma 0383), 닫힌 사상이며 (Morphisms, Lemma 01WM) \(p\)의 올들은 유한집합이다 (Morphisms, Lemma 02NU). 따라서 Topology, Lemma 07VB를 적용하면 된다.

보조정리

\(K/k\)를 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 사영 사상을 \(p : X_K \to X\)로 나타내자. \(\overline{T} \subset X_K\)를 연결 성분이라 하자. 그러면 \(p(\overline{T})\)는 \(X\)의 연결 성분이다.

증명

\(K/k\)가 유한이면 이는 보조정리 07VM이다. 일반적인 경우에는 증명이 더 어렵다.

\(T \subset X\)를 \(X\)의 연결 성분 중 \(\overline{T}\)의 상을 포함하는 것으로 하자. \(X\)를 \(T\)로 바꾸어도 된다(유도된 축약 부분스킴 구조를 준다). 따라서 \(X\)가 연결이라고 가정해도 된다. \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. \(L \subset A\)를 극대 약 에탈 \(k\)-부분대수라 하자. More on Algebra, Lemma 0CKS를 보라. \(A\)에는 자명하지 않은 멱등원이 없으므로, More on Algebra, Lemma 0CKR에 의해 \(L\)은 체이고 \(k\)의 분리 대수적 확대이다. \(L\)은 또한 \(L\)-대수로 볼 때 \(A\)의 극대 약 에탈 부분대수이다 (More on Algebra, Lemma 092J에 의해 모든 약 에탈 \(L\)-대수는 \(k\) 위에서도 약 에탈이기 때문이다). Schemes, Lemma 01I1에 의해 구조 사상의 분해 \(X \to \Spec(L) \to \Spec(k)\)를 얻는다.

\(L'/L\)을 유한 분리 확대라 하자. Cohomology of Schemes, Lemma 0CKW에 의해 \[A \otimes_L L' = H^0(X \times_{\Spec(L)} \Spec(L'), \mathcal{O}_{X \times_{\Spec(L)} \Spec(L')})\] 이다. 극대 약 에탈 \(L'\)-부분대수로서 \(A \otimes_L L'\) 안에 있는 것은 More on Algebra, Lemma 0CKU에 의해 \(L \otimes_L L' = L'\)이다. 특히 \(A \otimes_L L'\)에는 자명하지 않은 멱등원이 없다(그런 멱등원은 약 에탈 부분대수를 생성할 것이다). 따라서 \(X \times_{\Spec(L)} \Spec(L')\)가 연결임을 얻는다. 보조정리 0389에 의해 \(X\)는 \(L\) 위에서 기하적으로 연결이다.

\(\overline{T}\)에 유도된 축약 스킴 구조를 주고 합성 \[\overline{T} \xrightarrow{i} X_K = X \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \xrightarrow{\pi} \Spec(L \otimes_k K)\] 을 생각하자. 그 상은 \(\Spec(L \otimes_k K)\)의 한 연결 성분에 포함된다. \(K \to L \otimes_k K\)가 정수적이므로 \(\Spec(L \otimes_k K)\)의 연결 성분들은 점이고 모든 점이 닫혀 있다. Algebra, Lemma 00GS을 보라. 따라서 몫체 \(L \otimes_k K \to E\)가 존재하여 \(\overline{T}\)가 \(\Spec(E) \subset \Spec(L \otimes_k K)\)로 사상된다. 그러므로 \(i(\overline{T}) \subset \pi^{-1}(\Spec(E))\)이다. 한편 \[\pi^{-1}(\Spec(E)) = (X \times_{\Spec(k)} \Spec(K)) \times_{\Spec(L \otimes_k K)} \Spec(E) = X \times_{\Spec(L)} \Spec(E)\] 이고, \(X\)가 \(L\) 위에서 기하적으로 연결이므로 이는 연결이다. 따라서 집합론적으로 \(\overline{T} = X \times_{\Spec(L)} \Spec(E)\)이고, 원하는 대로 \(\overline{T} \to X\)가 전사임을 얻는다.

\(X\)를 스킴이라 하자. \(\pi_0(X)\)로 \(X\)의 연결 성분들의 집합을 나타낸다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 그 분리 대수적 폐포를 \(\overline{k}\)라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음 작용이 존재한다. \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \pi_0(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \pi_0(X_{\overline{k}})\] 이 작용은 다음 성질들을 갖는다.

1. 원소 \(\overline{T} \in \pi_0(X_{\overline{k}})\)가 이 작용에 의해 고정될 필요충분조건은 연결 성분 \(T \subset X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 연결이고 \(T_{\overline{k}} = \overline{T}\)가 되도록 존재하는 것이다.

2. 임의의 체 확대 \(k'/k\)와 그 분리 대수적 폐포 \(\overline{k}'\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ \text{Gal}(\overline{k}'/k') \times \pi_0(X_{\overline{k}'}) \ar[r] \ar[d] & \pi_0(X_{\overline{k}'}) \ar[d] \\ \text{Gal}(\overline{k}/k) \times \pi_0(X_{\overline{k}}) \ar[r] & \pi_0(X_{\overline{k}}) }\] 은 가환이다(오른쪽 수직 화살표는 보조정리 0363에 의해 전단사이다).

증명

\(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 \(X_{\overline{k}}\) 위 작용 (038A)은 그 연결 성분들 위의 작용을 유도한다. 연결 성분은 항상 닫혀 있다 (Topology, Lemma 004T). 따라서 \(\overline{T}\)가 (1)과 같으면 보조정리 038B에 의해 닫힌 부분집합 \(T \subset X\)가 존재하여 \(\overline{T} = T_{\overline{k}}\)이다. \(T\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 연결임에 유의하자. 보조정리 0387을 보라. \(T\)가 \(X\)의 연결 성분임을 보이기 위해, \(T \subset T'\)이고 \(T \not = T'\)이며 \(T'\)가 \(X\)의 연결 성분이라고 가정하자. 이 경우 \(T'_{k'}\)는 \(\overline{T}\)를 진부분집합으로 포함하므로 비연결이다. 보조정리 038C에 의해 이는 \(T'\)가 비연결임을 뜻한다! 모순이다.

(2)의 함자성에 대한 증명은 생략한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 그 분리 대수적 폐포를 \(\overline{k}\)라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X\)는 준콤팩트이다.

2. \(X_{\overline{k}}\)의 연결 성분들은 열려 있다.

그러면

1. \(\pi_0(X_{\overline{k}})\)는 유한하고,

2. \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 \(\pi_0(X_{\overline{k}})\) 위 작용은 연속이다.

더욱이 \(X\)가 \(k\) 위에서 유한형이면 가정 (1), (2)가 성립한다.

증명

연결 성분들은 열려 있고 \(X_{\overline{k}}\)를 덮는다 (Topology, Lemma 004T). \(X_{\overline{k}}\)가 준콤팩트이므로 연결 성분은 유한 개뿐이다. 따라서 (a)가 성립한다. 보조정리 0388에 의해 이 연결 성분들은 각각 \(\overline{k}/k\)의 유한 부분확대 위에서 정의되므로 (b)를 얻는다. \(X\)가 \(k\) 위에서 유한형이면 \(X_{\overline{k}}\)는 \(\overline{k}\) 위에서 유한형이다 (Morphisms, Lemma 01T4). 따라서 \(X_{\overline{k}}\)는 뇌터 스킴이다 (Morphisms, Lemma 01T6). 그러므로 \(X_{\overline{k}}\)는 유한 개의 기약 성분을 갖고 (Properties, Lemma 0BA8), 따라서 특히 연결 성분도 유한 개이다(그러므로 이들은 열려 있다).

기하적으로 기약인 스킴

\(X\)가 체 위의 기약 스킴이어도 기초체를 확대하면 \(X\)가 가약이 될 수 있다. 기하적으로 기약인 스킴에서는 이런 일이 일어나지 않는다.

정의

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이라고 함은 스킴 \(X_{k'}\)가 기약인 경우이다¹ 여기서 \(k'\)는 \(k\)의 임의의 체 확대이다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하고 \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약일 필요충분조건은 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 기약인 것이다.

증명

\(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이면 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 기약임은 분명하다. 역으로 임의의 체 확대 \(k''/k\)에 대해 공통 체 확대 \(k'''/k'\)와 \(k'''/k''\)가 존재한다. Fields, Lemma 0H7K을 보라. 사상 \(X_{k'''} \to X_{k''}\)는 체들의 스펙트럼 사이 전사 사상의 기저 변환이므로 전사이다. 따라서 \(X_{k'''}\)의 기약성은 \(X_{k''}\)의 기약성을 함의한다. 그러므로 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 기약이면 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

보조정리

\(X\)를 분리 닫힌 체 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 기약이면 \(X_K\)는 임의의 체 확대 \(K/k\)에 대해 기약이다. 즉 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

증명

Properties, Lemma 01OM과 Algebra, Lemma 00I7을 사용하라.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이라고 가정하자. 그러면 사영 사상 \[p : X \times_k Y \longrightarrow Y\] 은 기약 성분들 사이의 전단사를 유도한다.

증명

먼저 \(p\)의 스킴론적 올들은 기약이다. 실제로 이들은 기하적으로 기약인 스킴 \(X\)를 체 확대에 따라 기저 변환한 것이다. 또한 스킴론적 올들은 집합론적 올들과 위상동형이다. Schemes, Lemma 01K1을 보라. Morphisms, Lemma 0383에 의해 사상 \(p\)는 열린 사상이다. 따라서 Topology, Lemma 037A를 적용하면 된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

2. 모든 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U\)에 대해 \(k\)-대수 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다 (Algebra, Definition 037L을 보라).

3. \(X\)는 기약이고, 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여 각 \(k\)-대수 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)가 기하적으로 기약이다.

4. 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i \in I} X_i\)가 존재하여 \(I \not = \emptyset\)이고, \(X_i\)가 각 \(i\)에 대해 기하적으로 기약이며, \(X_i \cap X_j \not = \emptyset\)가 모든 \(i, j \in I\)에 대해 성립한다.

더욱이 \(X\)가 기하적으로 기약이면 \(X\)의 모든 공집합이 아닌 열린 부분스킴도 기하적으로 기약이다.

증명

\(\Spec(A)\)가 \(k\) 위의 아핀 스킴일 때 기하적으로 기약일 필요충분조건은 \(A\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약인 것이다. 이는 정의에서 곧바로 따른다. 스킴이 기약이면 \(X\)의 모든 공집합이 아닌 열린 부분스킴도 기약이고, 공집합이 아닌 임의의 두 열린 부분집합이 서로 만남을 상기하자. 또한 모든 아핀 열린집합이 기약이면 스킴도 기약이다. Properties, Lemma 01OM을 보라. 따라서 보조정리의 마지막 진술과 함의 (1) \(\Rightarrow\) (2), (2) \(\Rightarrow\) (3), (3) \(\Rightarrow\) (4)는 분명하다. (4)가 성립하면 임의의 체 확대 \(k'/k\)에 대해 스킴 \(X_{k'}\)는 쌍마다 서로 만나는 기약 열린집합들로 이루어진 덮개를 갖는다. 따라서 \(X_{k'}\)는 기약이고, (4)는 (1)을 함의한다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 기약 스킴이라 하고 \(\xi \in X\)를 그 일반점이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

2. \(\kappa(\xi)\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

3. \(k\)의 분리 대수적 폐포가 \(\kappa(\xi)\) 안에서 \(k\)와 같다.

증명

Algebra, Lemma 0G33에 의해 (2)와 (3)은 서로 동치이다.

(1)을 가정하자. \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)는 \(\mathcal{O}_X(U)\)들의 여과 쌍대극한임을 상기하자. 여기서 \(U\)는 \(X\)의 공집합이 아닌 아핀 열린 부분스킴들을 달린다. 보조정리 038G과 Algebra, Lemma 037N을 합치면 \(\mathcal{O}_{X, \xi}\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약임을 알 수 있다. \(\mathcal{O}_{X, \xi} \to \kappa(\xi)\)는 국소 멱영 핵을 갖는 전사이므로 (Algebra, Lemma 00EU을 보라) \(\kappa(\xi)\)는 기하적으로 기약이다. Algebra, Lemma 0BRA을 보라.

(2)를 가정하자. \(X\)가 축약이라고 가정해도 된다. \(U \subset X\)를 공집합이 아닌 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 \(U = \Spec(A)\)이고 \(A\)는 분수체 \(\kappa(\xi)\)를 갖는 정역이다. 따라서 \(A\)는 기하적으로 기약인 \(k\)-대수의 \(k\)-부분대수이다. 그러므로 Algebra, Lemma 037N에 의해 \(A\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다. 보조정리 038G에 의해 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

보조정리

스킴 \(X\)가 체 \(k\) 위에 있을 때 \(k\) 위에서 기하적으로 기약일 필요충분조건은 \(X\times_k X\)가 기약인 것이다.

증명

\(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이면 보조정리 038F에 의해 \(X\times_k X\)는 기약이다.

역으로 \(X \times_k X\)가 기약이라고 가정하자. \(X\)를 그 바탕 축약 스킴으로 바꾸면 문제를 바꾸지 않고 \(X\)가 축약이라고 가정할 수 있다. 첫째 사영 \(X \times_k X \to X\)가 전사이므로 \(X\)도 기약이고, 따라서 정역적이다. 원소 \(\alpha\)가 함수체 \(k(X)\) 안에 있고 \(k\) 위에서 분리 대수적이지만 \(k\)에는 속하지 않는다고 가정하자. \(E = k(\alpha)\)로 두자.

그러면 공집합이 아닌 아핀 열린 부분스킴 \(U\)가 \(X\) 안에 존재하여 \(k \subset E \subset O(U)\)이고, 따라서 \(E \otimes_k E \subset O(U)\otimes_k O(U) = O(U\times_k U)\)이다. 그러므로 우세 사상 \(U \times_k U \to \Spec(E\otimes_k E)\)를 얻는다. \(X\times_k X\)가 기약이므로 \(U \times_k U\)도 기약이고, 따라서 \(\Spec(E \otimes_k E)\)는 연결이다. \(E\)가 \(k\)보다 진정으로 크면 \(E \otimes_k E\)는 \(E\)를 한 인자로 포함하는 체들의 곱이다. 이는 차원이 \((\dim_k(E))^2>\dim_k(E)\)인 \(k\)-벡터 공간이므로 \(E\otimes_k E\)는 적어도 두 체의 곱이다. 이는 \(\Spec(E \otimes_k E)\)가 연결이라는 사실과 모순이다. 따라서 실제로 \(E\)는 \(k\)와 같다. 보조정리 054Q에 의해 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

보조정리

\(k'/k\)를 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X' = X_{k'}\)로 두자. \(k\)가 분리 대수적으로 닫혀 있다고 가정하자. 그러면 사상 \(X' \to X\)는 기약 성분들의 전단사를 유도한다.

증명

\(k\)가 분리 대수적으로 닫혀 있으므로 \(k'\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다. Algebra, Lemma 037M을 보라. 따라서 위의 보조정리 038G에 의해 \(Z = \Spec(k')\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다. \(X' = Z \times_k X\)이므로 결과는 보조정리 038F의 특수한 경우이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

2. 모든 유한 분리 체 확대 \(k'/k\)에 대해 스킴 \(X_{k'}\)는 기약이다.

3. \(X_{\overline{k}}\)는 기약이다. 여기서 \(k \subset \overline{k}\)는 \(k\)의 분리 대수적 폐포이다.

증명

\(X_{\overline{k}}\)가 기약이라고, 즉 (3)을 가정하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. 체 확대 \(\overline{k}'/\overline{k}\)가 존재하여 \(k'\)가 \(\overline{k}'\) 안에 \(k\)의 확대체로서 매장된다. 보조정리 038H에 의해 \(X_{\overline{k}'}\)는 기약이다. \(X_{\overline{k}'} \to X_{k'}\)가 전사이므로 \(X_{k'}\)는 기약이다. 따라서 (1)이 성립한다.

\(k \subset \overline{k}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. (3)이 아니라고, 즉 \(X_{\overline{k}}\)가 가약이라고 가정하자. 목표는 \(X_{k'}\)가 어떤 유한 부분확대 \(\overline{k}/k'/k\)에 대해 가약임을 보이는 것이다. \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 \(U_i\)들이 공집합이 아닌 아핀 열린 덮개라 하자. 어떤 \(i\)에 대해 스킴 \(U_i\)가 가약이거나 어떤 쌍 \(i \not = j\)에 대해 교집합 \(U_i \cap U_j\)가 공집합이면, \(X\)는 가약이고(보조정리 01OM) 증명이 끝난다. 특히 \(U_{i, \overline{k}} \cap U_{j, \overline{k}}\)가 모든 \(i, j \in I\)에 대해 공집합이 아니라고 가정할 수 있고, 그러면 \(U_{i, \overline{k}}\)가 어떤 \(i\)에 대해 가약이어야 한다. Algebra, Lemma 037K에 따르면 이는 \(U_{i, k'}\)가 어떤 유한 분리 체 확대 \(k'/k\)에 대해 가약이라는 뜻이다. 따라서 \(X_{k'}\)도 가약이고, (2)가 (3)을 함의함을 얻는다.

함의 (1) \(\Rightarrow\) (2)는 즉시 성립한다. 이것으로 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(K/k\)를 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(T\)를 \(X\)의 임의의 기약 성분이라 하면 역상 \(T_K \subset X_K\)는 \(X_K\)의 기약 성분들의 합집합이다.

증명

\(T \subset X\)를 \(X\)의 기약 성분이라 하자. 사상 \(T_K \to T\)는 평탄이므로 일반화는 \(T_K \to T\)를 따라 올라간다. 따라서 모든 \(\xi \in T_K\)가 \(T_K\)의 기약 성분의 일반점이면 일반점 \(\eta\)로 사상되며, 이는 \(T\)의 일반점이다. \(\xi' \leadsto \xi\)가 \(X_K\)에서의 특수화이면 \(\xi'\)도 \(\eta\)로 사상된다. 실제로 \(\eta\)로 특수화되는 점은 \(X\)에 없기 때문이다. 따라서 \(\xi' \in T_K\)이고 \(\xi = \xi'\)임을 얻는다. 다시 말해 \(\xi\)는 \(X_K\)의 한 기약 성분의 일반점이다. 이는 \(T_K\)의 기약 성분들이 모두 \(X_K\)의 기약 성분임을 뜻한다.

스킴 \(X\)에 대해 \(\text{IrredComp}(X)\)로 \(X\)의 기약 성분들의 집합을 나타낸다.

보조정리

\(K/k\)를 체 확대라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 모든 기약 성분 \(\overline{T} \subset X_K\)에 대해 \(\overline{T}\)의 \(X\)에서의 상은 \(X\)의 기약 성분이다. 이로써 전사인 표준 사상 \[\text{IrredComp}(X_K) \longrightarrow \text{IrredComp}(X)\] 이 정의된다.

증명

도식 \[\xymatrix{ X_K \ar[d] & X_{\overline{K}} \ar[d] \ar[l] \\ X & X_{\overline{k}} \ar[l] }\] 을 생각하자. 여기서 \(\overline{K}\)는 \(K\)의 분리 대수적 폐포이고, \(\overline{k}\)는 \(k\)의 분리 대수적 폐포이다. 보조정리 038H에 의해 사상 \(X_{\overline{K}} \to X_{\overline{k}}\)는 기약 성분들의 전단사를 유도한다. 따라서 사상 \(X_{\overline{k}} \to X\)와 \(X_{\overline{K}} \to X_K\)에 대해 보조정리를 보이면 충분하다. 다시 말해 \(K = \overline{k}\)라고 가정해도 된다.

사상 \(p : X_{\overline{k}} \to X\)는 정수적이고 평탄하며 전사이다. 평탄성에 의해 일반화는 \(p\)를 따라 올라간다. Morphisms, Lemma 03HV을 보라. 따라서 \(X_{\overline{k}}\)의 기약 성분들의 일반점은 \(X\)의 기약 성분들의 일반점으로 사상된다. 정수성에 의해 \(p\)는 보편 닫힌 사상이다. Morphisms, Lemma 01WM을 보라. 따라서 기약 성분의 상 \(p(\overline{T})\)는 \(X\)의 한 기약 성분의 일반점을 포함하는 닫힌 기약 부분집합이다. 그러므로 \(p(\overline{T})\)는 \(X\)의 기약 성분이다. 이것으로 첫째 주장이 증명된다. \(T \subset X\)가 기약 성분이면 \(p^{-1}(T) =T_K\)는 공집합이 아닌 기약 성분들의 합집합이다. 보조정리 04KW을 보라. 첫째 부분에 의해 이 성분들은 각각 반드시 \(T\) 위로 전사된다. 따라서 이 사상은 전사이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 기약이고 \(k\)-유리점들의 조밀한 집합을 가지면 \(X\)는 기하적으로 기약이다.

증명

\(k'/k\)를 유한 체 확대라 하고 \(Z, Z' \subset X_{k'}\)를 기약 성분들이라 하자. \(Z = Z'\)임을 보이면 충분하다. 보조정리 038I을 보라. 보조정리 04KX에 의해 \(p(Z) = p(Z') = X\)이며, 여기서 \(p : X_{k'} \to X\)는 사영이다. \(Z \not = Z'\)이면 \(Z \cap Z'\)는 \(X_{k'}\)에서 조밀한 곳이 없으므로 \(p(Z \cap Z')\)도 조밀하지 않다. Morphisms, Lemma 03HX를 보라. 여기서 \(p\)가 유한 사상 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)의 기저 변환이므로 유한 사상이라는 사실도 사용한다. Morphisms, Lemma 01WL를 보라. 따라서 \(k\)-유리점 \(x \in X\)를 택하여 \(x \not \in p(Z \cap Z')\)가 되게 할 수 있다. \(x\)의 잉여체가 \(k\)이므로 \(p^{-1}(\{x\}) = \{x'\}\)이고, 여기서 \(x' \in X_{k'}\)의 잉여체는 \(k'\)이다. \(x \in p(Z) = p(Z')\)이므로 \(x' \in Z \cap Z'\)를 얻는데, 이는 원하는 모순이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 그 분리 대수적 폐포를 \(\overline{k}\)라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음 작용이 존재한다. \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\] 이 작용은 다음 성질들을 갖는다.

1. 원소 \(\overline{T} \in \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\)가 이 작용에 의해 고정될 필요충분조건은 기약 성분 \(T \subset X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이고 \(T_{\overline{k}} = \overline{T}\)인 것이다.

2. 임의의 체 확대 \(k'/k\)와 그 분리 대수적 폐포 \(\overline{k}'\)에 대해 도식 \[\xymatrix{ \text{Gal}(\overline{k}'/k') \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}'}) \ar[r] \ar[d] & \text{IrredComp}(X_{\overline{k}'}) \ar[d] \\ \text{Gal}(\overline{k}/k) \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \ar[r] & \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) }\] 은 가환이다(오른쪽 수직 화살표는 보조정리 038H에 의해 전단사이다).

증명

\(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 \(X_{\overline{k}}\) 위 작용 (038A)은 그 기약 성분들 위의 작용을 유도한다. 기약 성분은 항상 닫혀 있다 (Topology, Lemma 004T). 따라서 \(\overline{T}\)가 (1)과 같으면 보조정리 038B에 의해 닫힌 부분집합 \(T \subset X\)가 존재하여 \(\overline{T} = T_{\overline{k}}\)이다. \(T\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약임에 유의하자. 보조정리 038I을 보라. \(T\)가 \(X\)의 기약 성분임을 보이기 위해 \(T \subset T'\), \(T \not = T'\)이고 \(T'\)가 \(X\)의 기약 성분이라고 가정하자. \(\overline{\eta}\)를 \(\overline{T}\)의 일반점이라 하자. 이는 일반점 \(\eta\)로 사상되며, 그 점은 \(T\)의 일반점이다. 그러면 일반점 \(\xi \in T'\)는 \(\eta\)로 특수화된다. \(X_{\overline{k}} \to X\)가 평탄이므로 점 \(\overline{\xi} \in X_{\overline{k}}\)가 존재하여 \(\xi\)로 사상되고 \(\overline{\eta}\)로 특수화된다. 따라서 한원소 집합 \(\{\overline{\xi}\}\)의 폐포는 \(X_{\overline{\xi}}\)의 기약 닫힌 부분집합이며 \(\overline{T}\)를 진부분집합으로 포함한다. 이것이 원하는 모순이다.

(2)의 함자성에 대한 증명은 생략한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 그 분리 대수적 폐포를 \(\overline{k}\)라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 보조정리 04KX의 사상 \[\text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X)\] 의 올들은 보조정리 038J의 작용 아래 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)의 궤도들과 정확히 같다.

증명

\(T \subset X\)를 \(X\)의 기약 성분이라 하고 \(\eta \in T\)를 그 일반점이라 하자. 보조정리 04KW과 04KX에 의해 \(\overline{T}\)의 기약 성분들의 일반점 중 \(T\)로 사상되는 것들은 \(\eta\)로 사상된다. Algebra, Lemma 04KP에 의해 갈루아 군은 \(X_{\overline{k}}\)의 모든 점 가운데 \(\eta\)로 사상되는 것들 위에서 추이적으로 작용한다. 따라서 보조정리가 성립한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X \to \Spec(k)\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 이 경우

1. 작용 \[\text{Gal}(\overline{k}/k)^{opp} \times \text{IrredComp}(X_{\overline{k}}) \longrightarrow \text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\] 은 \(\text{IrredComp}(X_{\overline{k}})\)에 이산 위상을 주면 연속이고,

2. \(X_{\overline{k}}\)의 모든 기약 성분은 \(k\)의 유한 확대 위에서 정의될 수 있으며,

3. 임의의 기약 성분 \(T \subset X\)에 대해 스킴 \(T_{\overline{k}}\)는 \(X_{\overline{k}}\)의 기약 성분들의 유한 합집합이고, 이 성분들은 모두 같은 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)-궤도에 속한다.

증명

\(\overline{T}\)를 \(X_{\overline{k}}\)의 기약 성분이라 하자. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)를 택하여 \(\overline{T} \cap U_{\overline{k}}\)가 공집합이 아니게 할 수 있다. \(U = \Spec(A)\)로 쓰자. 그러면 \(A\)는 유한형 \(k\)-대수이다. Morphisms, Lemma 01T2를 보라. 따라서 \(A_{\overline{k}}\)는 유한형 \(\overline{k}\)-대수이고 특히 뇌터이다. \(\mathfrak p = (f_1, \ldots, f_n)\)를 \(\overline{T} \cap U_{\overline{k}}\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(A_{\overline{k}} = A \otimes_k \overline{k}\)이므로 유한 부분확대 \(\overline{k}/k'/k\)가 존재하여 각 \(f_i \in A_{k'}\)이다. \(\text{Gal}(\overline{k}/k')\)가 \(\overline{T}\)를 고정함은 분명하고, 이것으로 (1)이 증명된다.

(2)는 \(k'\) 위의 상황에 보조정리 038J의 (1)을 적용하면 따른다. 그 결과 기약 성분 \(\overline{T}\)는 \(T'_{\overline{k}}\)의 꼴이며, 여기서 \(T' \subset X_{k'}\)는 어떤 기약 성분이다.

(3)을 증명하기 위해 \(T \subset X\)를 기약 성분이라 하자. 기약 성분 \(\overline{T} \subset X_{\overline{k}}\)를 택하여 \(T\)로 사상되게 하자. 보조정리 04KX을 보라. 위에서 본 바에 의해 \(\overline{T}\)의 궤도는 유한하며, 이를 \(\overline{T}_1, \ldots, \overline{T}_n\)이라 하자. 그러면 \(\overline{T}_1 \cup \ldots \cup \overline{T}_n\)은 \(\text{Gal}(\overline{k}/k)\)-불변인 \(X_{\overline{k}}\)의 닫힌 부분집합이므로, 보조정리 038B에 의해 \(W_{\overline{k}}\)의 꼴이며, 여기서 \(W \subset X\)는 어떤 닫힌 부분집합이다. 분명히 \(W = T\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X \to \Spec(k)\)가 국소 유한형이라고 하자. \(X\)가 유한 개의 기약 성분을 갖는다고 가정하자. 그러면 유한 분리 확대 \(k'/k\)가 존재하여 \(X_{k'}\)의 모든 기약 성분이 \(k'\) 위에서 기하적으로 기약이다.

증명

\(\overline{k}\)를 \(k\)의 분리 대수적 폐포라 하자. \(X\)가 유한 개의 기약 성분을 갖는다는 가정과 보조정리 04KZ의 (3)을 합치면 \(X_{\overline{k}}\)가 유한 개의 기약 성분 \(\overline{T}_1, \ldots, \overline{T}_n\)을 가짐을 알 수 있다. 보조정리 04KZ의 (2)에 의해 유한 확대 \(\overline{k}/k'/k\)와 기약 성분들 \(T_i \subset X_{k'}\)가 존재하여 \(\overline{T}_i = T_{i, \overline{k}}\)이고, 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 유한 개의 기약 성분을 가지며 이들이 모두 기하적으로 기약이라고 가정하자. 그러면 \(X\)는 유한 개의 연결 성분을 가지며 각각은 기하적으로 연결이다.

증명

연결 성분은 기약 성분들의 합집합이므로 분명하다. 세부사항은 생략한다.

기하적으로 정역적인 스킴

\(X\)가 체 위의 정역적 스킴이어도 기초체를 확대하면 \(X\)가 비축약 또는 가약이 될 수 있다. 기하적으로 정역적인 스킴에서는 이런 일이 일어나지 않는다.

정의

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하자.

1. \(x \in X\)라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 점별 정역적이라고 함은 모든 체 확대 \(k'/k\)와 모든 \(x' \in X_{k'}\)에 대해, 이것이 \(x\) 위에 놓이면 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)가 정역인 경우이다.

2. \(X\)가 기하적으로 점별 정역적이라고 함은 \(X\)가 모든 점에서 기하적으로 점별 정역적인 경우이다.

3. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 정역적이라고 함은 스킴 \(X_{k'}\)가 모든 체 확대 \(k'\)가 \(k\)의 확대일 때 정역적인 경우이다.

개념 (2)와 (3)은 구별할 필요가 있다. 예를 들어 \(k = \mathbf{R}\)이고 \(X = \Spec(\mathbf{C}[x])\)이면 \(X\)는 \(\mathbf{R}\) 위에서 기하적으로 점별 정역적이지만, 물론 기하적으로 정역적이지는 않다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 정역적일 필요충분조건은 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 축약이고 동시에 기하적으로 기약인 것이다.

증명

Properties, Lemma 01ON을 보라.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자.

1. \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한 차원 \(k\)-대수이다.

2. \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} A_i\)는 아르틴 국소 \(k\)-대수들의 곱이며, \(X\)의 각 연결 성분에 인자가 하나씩 대응한다.

3. \(X\)가 축약이면 \(A = \prod_{i = 1, \ldots, n} k_i\)는 체들의 곱이며 각 체는 \(k\)의 유한 확대이다.

4. \(X\)가 기하적으로 축약이면 \(k_i\)는 \(k\)의 유한 분리 확대이다.

5. \(X\)가 기하적으로 연결이면 \(A\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

6. \(X\)가 기하적으로 기약이면 \(A\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 기약이다.

7. \(X\)가 기하적으로 축약이고 기하적으로 연결이면 \(A = k\)이다.

8. \(X\)가 기하적으로 정역적이면 \(A = k\)이다.

증명

Cohomology of Schemes, Lemma 02O6에 의해 \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 유한 차원 \(k\)-대수이다. 이것으로 (1)이 증명된다.

그러면 Algebra, Lemma 00J6와 Proposition 00KJ에 의해 \(A\)는 아르틴 국소 \(k\)-대수들의 곱이다. \(X = Y \amalg Z\)이고 \(Y\), \(Z\)가 \(X\)에서 열려 있으면, 멱등원 \(e \in A\)를 얻기 위해 \(\mathcal{O}_X\)의 절단 가운데 값이 \(1\)인 곳이 \(Y\)이고 값이 \(0\)인 곳이 \(Z\)인 것을 택한다. 역으로 \(e \in A\)가 멱등원이면 \(X\)의 대응하는 분해를 얻는다. 마지막으로 \(X\)의 바탕 위상공간은 뇌터이므로 그 연결 성분들은 열려 있다. 따라서 \(X\)의 연결 성분들은 \(1\) 대 \(1\)로 \(A\)의 원시 멱등원들과 대응한다. 이것으로 (2)가 증명된다.

\(X\)가 축약이면 \(A\)도 축약이다. 따라서 국소환 \(A_i = k_i\)들은 축약이고, 그러므로 체이다(예를 들어 Algebra, Lemma 00EU에 의한다). 이것으로 (3)이 증명된다.

\(X\)가 기하적으로 축약이면 \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\)는 축약이다 (등식은 Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의한다). 이는 \(k_i \otimes_k \overline{k}\)가 체들의 곱임을 함의하므로 \(k_i/k\)는 분리 확대이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 030W와 030V을 보라. 이것으로 (4)가 증명된다.

\(X\)가 기하적으로 연결이면 \(A \otimes_k \overline{k} = H^0(X_{\overline{k}}, \mathcal{O}_{X_{\overline{k}}})\)는 (2)에 의해 0차원 국소환이므로 그 스펙트럼은 점 하나를 갖고, 특히 기약이다. 따라서 \(A\)는 기하적으로 기약이다. 이것으로 (5)가 증명된다. 물론 (5)는 (6)을 함의한다.

\(X\)가 기하적으로 축약이고 기하적으로 연결이면 \(A = k_1\)은 체이고 확대 \(k_1/k\)는 유한 분리이면서 기하적으로 기약이다. 그러나 이 경우 \(k_1 \otimes_k \overline{k}\)는 \([k_1 : k]\)개의 \(\overline{k}\) 복사본의 곱이므로 \(k_1 = k\)임을 얻는다. 이것으로 (7)이 증명된다. 물론 (7)은 (8)을 함의한다.

다음은 스타인 분해의 초보적 판본이다. 실제 스타인 분해는 More on Morphisms, Section 03GX에서 다룰 것이다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(A = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)로 두자. 표준 사상 \(X \to \Spec(A)\)의 올들은 기하적으로 연결이다.

증명

\(S = \Spec(A)\)로 두자. 표준 사상 \(X \to S\)는 Schemes, Lemma 01I1를 통해 \(\Gamma(S, \mathcal{O}_S) = A = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)에 대응하는 사상이다. \(k\)-대수 \(A\)는 국소 아르틴 대수들의 유한 곱 \(A = \prod A_i\)이며, 각 인자는 \(k\)-대수로서 \(k\) 위에서 유한하다. 보조정리 0BUG을 보라. \(s_i \in S\)를 \(A_i\)의 극대 아이디얼에 대응하는 점이라 하자. \(\overline{k}\)를 \(k\)의 대수적 폐포로 택하고 \(\overline{A} = A \otimes_k \overline{k}\)로 두자. \(\kappa(s_i) \to \overline{k}\)를 \(k\) 위의 매장으로 택하자. 이는 \(\overline{k}\)-대수 사상 \[\sigma_i : \overline{A} = A \otimes_k \overline{k} \to \kappa(s_i) \otimes_k \overline{k} \to \overline{k}\] 을 결정한다. 다음 기저 변환을 생각하자. \[\xymatrix{ \overline{X} \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \overline{S} \ar[r] & S }\] 이는 \(X\)를 \(\overline{S} = \Spec(\overline{A})\)로 기저 변환한 것이다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의해 \(\Gamma(\overline{X}, \mathcal{O}_{\overline{X}}) = \overline{A}\)이다. \(\overline{s}_i \in \Spec(\overline{A})\)가 \(\overline{k}\)-유리점이고 \(\sigma_i\)에 대응하면, \(\overline{s}_i\)는 \(s_i \in S\)로 사상되고 \(\overline{X}_{\overline{s}_i}\)는 \(X_{s_i}\)를 \(\Spec(\sigma_i)\)에 따라 기저 변환한 것이다. 따라서 \(k\)가 대수적으로 닫힌 경우를 증명하면 충분하다.

\(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 가정하자. 이 경우 \(\kappa(s_i)\)는 대수적으로 닫혀 있고 \(X_{s_i}\)가 연결임을 보여야 한다. 곱 분해 \(A = \prod A_i\)는 서로소 합 분해 \(\Spec(A) = \coprod \Spec(A_i)\)에 대응한다. Algebra, Lemma 00ED를 보라. \(X_i\)를 \(\Spec(A_i)\)의 역상이라 하자. 보조정리 0BUG의 (2)에 의해 \(A_i = \Gamma(X_i, \mathcal{O}_{X_i})\)이다. \(X_{s_i} \to X_i\)는 닫힌 몰입이고 바탕 위상공간들 사이의 동형을 유도한다 (\(\Spec(A_i)\)가 한원소 집합이기 때문이다). 따라서 \(X_{s_i}\)가 연결이 아니면 \(X_i\)도 연결이 아니다. 그러므로 \(X_i\)가 공집합이고 \(A_i = 0\)이거나, \(X_i\)를 \(U \amalg V\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(U\)와 \(V\)는 열려 있고 공집합이 아니며, 이 경우 \(A_i\)는 자명하지 않은 멱등원을 갖게 된다. \(A_i\)는 국소환이므로 이는 모순이고, 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 고유하고 기하적으로 축약인 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)이다.

2. \(X\)는 기하적으로 연결이다.

증명

보조정리 0FD1에 의해 (1) \(\Rightarrow\) (2)이다. 보조정리 0BUG에 의해 (2) \(\Rightarrow\) (1)이다.

기하적으로 정규인 스킴

Properties, Definition 033I에서 정규 스킴의 개념을 정의하였다. 이 개념은 뇌터가 아닌 스킴에 대해서도 정의된다. 따라서 ‘‘기하적으로 정칙인’’ 스킴을 논의할 때와 달리, 여기서는 기초체의 모든 체 확대를 고려한다.

정의

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하자.

1. \(x \in X\)라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 정규라고 함은 모든 체 확대 \(k'/k\)와 모든 \(x' \in X_{k'}\)에 대해, 이것이 \(x\) 위에 놓일 때 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)가 정규인 경우이다.

2. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 정규라고 함은 \(X\)가 모든 \(x \in X\)에서 기하적으로 정규인 경우이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(x \in X\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 정규이다.

2. 모든 유한 순수 비분리 체 확대 \(k'\)가 \(k\)의 확대이고 모든 \(x' \in X_{k'}\)가 \(x\) 위에 놓일 때 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)가 정규이다.

3. 환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 정규이다 (Algebra, Definition 0380 참조).

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)를 가정하자. \(k'/k\)를 유한 순수 비분리 체 확대라 하자(예를 들어 \(k = k'\)일 수 있다). 환 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)를 생각하자. Algebra, Lemma 0BRA에 의해 그 스펙트럼은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 스펙트럼과 같다. 따라서 이 환도 국소환이다 (Algebra, Lemma 00E9). 그러므로 유일한 점 \(x' \in X_{k'}\)가 \(x\) 위에 놓이며, \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)이다. 가정에 의해 이는 정규환이다. 따라서 Algebra, Lemma 037Z에 의해 (3)을 얻는다.

(3)을 가정하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)가 전사이므로 \(X_{k'} \to X\)도 전사이다 (Morphisms, Lemma 01S1). 임의의 점 \(x' \in X_{k'}\)를 택하되 이것이 \(x\) 위에 놓인다고 하자. 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)는 환 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)의 국소화이다. 따라서 가정에 의해 정규이고, (1)이 증명된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 기하적으로 정규이다.

2. \(X_{k'}\)는 모든 체 확대 \(k'/k\)에 대해 정규 스킴이다.

3. \(X_{k'}\)는 모든 유한 생성 체 확대 \(k'/k\)에 대해 정규 스킴이다.

4. \(X_{k'}\)는 모든 유한 순수 비분리 체 확대 \(k'/k\)에 대해 정규 스킴이다.

5. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 기하적으로 정규이다 (Algebra, Definition 0380 참조).

6. \(X_{k^{perf}}\)는 정규 스킴이다.

증명

(1)을 가정하자. 그러면 모든 체 확대 \(k'/k\)와 모든 점 \(x' \in X_{k'}\)에 대해 \(X_{k'}\)의 \(x'\)에서의 국소환은 정규이다. 정의에 의해 이는 \(X_{k'}\)가 정규라는 뜻이다. 따라서 (2)가 성립한다.

(2)가 (3)을 함의하고 (3)이 (4)를 함의함은 분명하다.

(4)를 가정하고 \(U \subset X\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(U_{k'}\)는 모든 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)에 대해 (여기에는 \(k = k'\)도 포함된다) 정규 스킴이다. 이는 \(k' \otimes_k \mathcal{O}(U)\)가 모든 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)에 대해 정규환이라는 뜻이다. 따라서 정의에 의해 \(\mathcal{O}(U)\)는 기하적으로 정규인 \(k\)-대수이다. 그러므로 (4)는 (5)를 함의한다.

(5)를 가정하자. 임의의 체 확대 \(k'/k\)에 대해 기저 변환 \(X_{k'}\)는 환 \(\mathcal{O}_X(U) \otimes_k k'\)들의 스펙트럼을 이어 붙여 얻어진다. 여기서 \(U\)는 \(X\)의 아핀 열린집합이다 (Schemes, Section 01JO 참조). 따라서 \(X_{k'}\)는 정규이다. 그러므로 (1)이 성립한다.

(5)와 (6)의 동치는 기하적으로 정규인 대수의 정의와 방금 증명한 (3)과 (4)의 동치에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고, 점 \(x' \in X_{k'}\)를 택하되 이것이 \(x\) 위에 놓인다고 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 정규이다.

2. \(X_{k'}\)는 \(x'\)에서 기하적으로 정규이다.

특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 정규일 필요충분조건은 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 정규인 것이다.

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)를 가정하자. \(k''/k\)를 유한 순수 비분리 체 확대라 하고, 점 \(x'' \in X_{k''}\)를 택하되 이것이 \(x\) 위에 놓인다고 하자 (실제로 이 점은 유일하다). Fields, Lemma 0H7K에 따라 공통 체 확대 \(k'''/k\)를 택하되 이것이 \(k'/k\)와 \(k''/k\)의 공통 확대가 되게 하자. 점 \(x''' \in X_{k'''}\)를 택하되 이것이 \(x'\)와 \(x''\) 둘 다의 위에 놓이게 하자. 다음 국소환 사상을 생각하자. \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x''''}.\] 이는 평탄 국소환 준동형이므로 충실히 평탄하다. (2)에 의해 오른쪽 국소환은 정규이다. 따라서 Algebra, Lemma 033G에 의해 \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\)가 정규임을 얻는다. Lemma 038N에 의해 \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 정규이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 기하적으로 정규인 스킴이라 하고, \(Y\)를 \(k\) 위의 정규 스킴이라 하자. 그러면 \(X \times_k Y\)는 정규 스킴이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 06DF로 귀착된다. 여기에는 Lemma 038O을 사용한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 정규 스킴이라 하자. \(K/k\)를 분리 체 확대라 하자. 그러면 \(X_K\)는 정규 스킴이다.

증명

Lemma 06DG와 Algebra, Lemma 0C30에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 고유하고 기하적으로 정규인 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(H^0(X, \mathcal{O}_X) = k\)이다.

2. \(X\)는 기하적으로 연결이다.

3. \(X\)는 기하적으로 기약이다.

4. \(X\)는 기하적으로 정역적이다.

증명

Lemma 0FD2에 의해 (1)과 (2)는 동치이다. 국소 뇌터 정규 스킴(가령 \(X_{\overline{k}}\))은 그 기약 성분들의 서로소 합이다(Properties, Lemma 033M). 따라서 (2)와 (3)은 동치이다. \(X_{\overline{k}}\)는 축약이라고 가정되어 있으므로 (3)과 (4)도 동치이다.

체의 확대와 국소 뇌터 스킴

\(X\)를 체 \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(X_{k'}\) 역시 언제나 국소 뇌터인 것은 아니다. 예를 들어 \(X = \Spec(\overline{\mathbf{Q}})\)이고 \(k = \mathbf{Q}\)이면, \(X_{\overline{\mathbf{Q}}}\)는 \(\overline{\mathbf{Q}} \otimes_{\mathbf{Q}} \overline{\mathbf{Q}}\)의 스펙트럼인데 이는 뇌터가 아니다(힌트: 멱등원이 너무 많다). 그러나 유한 생성 체 확대만을 사용하여 기저 변환하면 뇌터 성질은 보존된다. (또는 \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이어도 된다. 이 성질은 기저 변환으로 보존되기 때문이다.)

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(k'/k\)를 유한 생성 체 확대라 하자. 그러면 \(X\)가 국소 뇌터일 필요충분조건은 \(X_{k'}\)가 국소 뇌터인 것이다.

증명

Properties, Lemma 01OW을 사용하면 \(X\)가 아핀인 경우로 귀착된다. \(X = \Spec(A)\)라 하자. 이 경우 \(A\)가 뇌터일 필요충분조건이 \(A_{k'}\)가 뇌터임을 증명해야 한다. \(A \to A_{k'} = k' \otimes_k A\)가 충실히 평탄하므로, \(A_{k'}\)가 뇌터이면 Algebra, Lemma 033E에 의해 \(A\)도 뇌터이다. 역으로 \(A\)가 뇌터이면 Algebra, Lemma 045I에 의해 \(A_{k'}\)도 뇌터이다.

기하적으로 정칙인 스킴

체 \(k\) 위의 기하적으로 정칙인 스킴이란, \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴으로서 적절히 기초체를 바꾸어도 정칙으로 남는 스킴이다. \(k\) 위의 유한형 스킴이 기하적으로 정칙일 필요충분조건은 \(k\) 위에서 매끄러운 것이다 (Lemma 038X 참조). 기하적 정칙성은 형식적 올처럼 매끄러움을 사용할 수 없는 상황에서 가장 흥미롭다(여기에 이후 참조를 삽입한다).

아래 정의에서는 국소 뇌터 스킴으로 한정한다. 정칙 국소환이라는 성질이 뇌터 국소환에 대해서만 정의되기 때문이다. 위의 Lemma 038R에 의해 유한 생성 체 확대만 고려하면 이 성질은 기초체를 바꾸어도 보존된다. 이 절에서는 이 사실을 별도의 인용 없이 사용한다. 특히 다음 정의는 잘 정의된다.

정의

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴이라 하자.

1. \(x \in X\)라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 정칙이라고 \(k\) 위에서 함은, 모든 유한 생성 체 확대 \(k'/k\)와 모든 \(x' \in X_{k'}\)에 대해, 이것이 \(x\) 위에 놓일 때 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)가 정칙인 경우이다.

2. \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙이라고 함은 \(X\)가 모든 점에서 기하적으로 정칙인 경우이다.

비슷한 정의로 체 위에서 기하적으로 코언–매콜리인 스킴, \((R_k)\) 스킴, \((S_k)\) 스킴을 정의할 수 있다. 필요해지면 이들을 위한 절을 따로 추가할 것이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(x \in X\)라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 정칙이다.

2. 모든 유한 순수 비분리 체 확대 \(k'\)가 \(k\)의 확대이고 모든 \(x' \in X_{k'}\)가 \(x\) 위에 놓일 때 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)가 정칙이다.

3. 환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙이다 (Algebra, Definition 0382 참조).

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)를 가정하자. 특히 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 정칙 국소환이다. \(k'/k\)를 유한 순수 비분리 체 확대라 하자. 환 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)를 생각하자. Algebra, Lemma 0BRA에 의해 그 스펙트럼은 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 스펙트럼과 같다. 따라서 이 환도 국소환이다 (Algebra, Lemma 00E9). 그러므로 유일한 점 \(x' \in X_{k'}\)가 \(x\) 위에 놓이며, \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'} \cong \mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)이다. 가정에 의해 이는 정칙환이다. 따라서 기하적으로 정칙인 환의 정의로부터 (3)을 얻는다.

(3)을 가정하자. \(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)가 전사이므로 \(X_{k'} \to X\)도 전사이다 (Morphisms, Lemma 01S1). 임의의 점 \(x' \in X_{k'}\)를 택하되 이것이 \(x\) 위에 놓인다고 하자. 국소환 \(\mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\)는 환 \(\mathcal{O}_{X, x} \otimes_k k'\)의 국소화이다. 따라서 가정에 의해 정칙이고, (1)이 증명된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 기하적으로 정칙이다.

2. \(X_{k'}\)는 모든 유한 생성 체 확대 \(k'/k\)에 대해 정칙 스킴이다.

3. \(X_{k'}\)는 모든 유한 순수 비분리 체 확대 \(k'/k\)에 대해 정칙 스킴이다.

4. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 환 \(\mathcal{O}_X(U)\)는 기하적으로 정칙이다 (Algebra, Definition 0382 참조).

5. 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)가 존재하여, 각 \(\mathcal{O}_X(U_i)\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙이다.

증명

(1)을 가정하자. 그러면 모든 유한 생성 체 확대 \(k'/k\)와 모든 점 \(x' \in X_{k'}\)에 대해 \(X_{k'}\)의 \(x'\)에서의 국소환은 정칙이다. Properties, Lemma 02IT에 의해 이는 \(X_{k'}\)가 정칙이라는 뜻이다. 따라서 (2)가 성립한다.

(2)가 (3)을 함의함은 분명하다.

(3)을 가정하고 \(U \subset X\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(U_{k'}\)는 모든 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)에 대해 (여기에는 \(k = k'\)도 포함된다) 정칙 스킴이다. 이는 \(k' \otimes_k \mathcal{O}(U)\)가 모든 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)에 대해 정칙환이라는 뜻이다. 따라서 \(\mathcal{O}(U)\)는 기하적으로 정칙인 \(k\)-대수이고, (4)가 성립한다.

(4)가 (5)를 함의함은 분명하다. (5)와 같은 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)를 택하자. 임의의 체 확대 \(k'/k\)에 대해 기저 변환 \(X_{k'}\)는 환 \(\mathcal{O}_X(U_i) \otimes_k k'\)들의 스펙트럼을 이어 붙여 얻어진다 (Schemes, Section 01JO 참조). 따라서 \(X_{k'}\)는 정칙이다. 그러므로 (1)이 성립한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(k'/k\)를 유한 생성 체 확대라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고, 점 \(x' \in X_{k'}\)를 택하되 이것이 \(x\) 위에 놓인다고 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 정칙이다.

2. \(X_{k'}\)는 \(x'\)에서 기하적으로 정칙이다.

특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙일 필요충분조건은 \(X_{k'}\)가 \(k'\) 위에서 기하적으로 정칙인 것이다.

증명

(1)이 (2)를 함의함은 분명하다. (2)를 가정하자. \(k''/k\)를 유한 순수 비분리 체 확대라 하고, 점 \(x'' \in X_{k''}\)를 택하되 이것이 \(x\) 위에 놓인다고 하자 (실제로 이 점은 유일하다). 유한 생성 공통 체 확대 \(k'''/k\)를 택하되 이것이 \(k'/k\)와 \(k''/k\)의 공통 확대가 되게 하자. Fields, Lemma 0H7K와 그 증명을 보라. 그리고 점 \(x''' \in X_{k'''}\)를 택하되 이것이 \(x'\)와 \(x''\) 둘 다의 위에 놓이게 하자. 다음 국소환 사상을 생각하자. \[\mathcal{O}_{X_{k''}, x''} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'''}, x''''}.\] 이는 뇌터 국소환 사이의 평탄 국소환 준동형이므로 충실히 평탄하다. (2)에 의해 오른쪽 국소환은 정칙이다. 따라서 Algebra, Lemma 00OF에 의해 \(\mathcal{O}_{X_{k''}, x''}\)가 정칙임을 얻는다. Lemma 038U에 의해 \(X\)는 \(x\)에서 기하적으로 정칙이다.

다음 보조정리는 Algebra, Lemma 07NH의 기하학적 변형이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴 사이의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고 \(y = f(x)\)로 두자. \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 정칙이고 \(f\)가 \(x\)에서 평탄이면, \(Y\)는 \(y\)에서 기하적으로 정칙이다. 특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙이고 \(f\)가 평탄 전사이면 \(Y\)는 \(k\) 위에서 기하적으로 정칙이다.

증명

\(k'\)를 \(k\)의 유한 순수 비분리 확대라 하자. \(f' : X_{k'} \to Y_{k'}\)를 \(f\)의 기저 변환이라 하자. \(x' \in X_{k'}\)를 \(x\) 위에 놓이는 유일한 점이라 하자. \(Y_{k'}\)가 \(y' = f'(x')\)에서 정칙임을 보이면, Lemma 038V에 의해 \(Y\)는 \(k\) 위에서 \(y'\)에서 기하적으로 정칙이다. Morphisms, Lemma 01U8에 의해 사상 \(X_{k'} \to Y_{k'}\)는 \(x'\)에서 평탄하다. 따라서 환 사상 \[\mathcal{O}_{Y_{k'}, y'} \longrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\] 은 뇌터 국소환 사이의 평탄 국소 준동형이고, 가정에 의해 오른쪽 환은 정칙이다. 따라서 Algebra, Lemma 00OF에 의해 왼쪽 환도 정칙 국소환이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하고 \(x \in X\)라 하자. \(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 정칙일 필요충분조건은 \(X \to \Spec(k)\)가 \(x\)에서 매끄러운 것이다 (Morphisms, Definition 01V5).

증명

문제는 \(x\)의 근방에서 국소적이므로 \(X = \Spec(A)\)라 가정해도 된다. 여기서 이는 어떤 유한형 \(k\)-대수에 대한 표현이다. \(x\)가 소 아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대응한다고 하자.

\(A\)가 \(k\) 위에서 \(\mathfrak p\)에서 매끄러우면 \(A\)를 국소화하여 \(A\)가 \(k\) 위에서 매끄럽다고 가정할 수 있다. 이 경우 \(k' \otimes_k A\)는 \(k'\) 위에서 모든 확대체 \(k'/k\)에 대해 매끄럽고, 이 뇌터환들은 각각 Algebra, Lemma 00TT에 의해 정칙이다.

\(X\)가 \(x\)에서 기하적으로 정칙이라고 가정하자. \(K := \kappa(x) = \kappa(\mathfrak p)\)를 생각하자. 이는 \(x\)의 잉여체이고 \(k\)의 유한 생성 확대이다. Algebra, Lemma 030R에 의해 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)가 존재하여 합성체 \(k'K\)는 \(k'\)의 분리 체 확대가 된다. \(\mathfrak p' \subset A' = k' \otimes_k A\)를 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 소 아이디얼이라 하자. Algebra, Lemma 0BRA에 의해 이는 \(\mathfrak p\) 위에 놓이는 유일한 소 아이디얼이다. 따라서 잉여체 \(K' := \kappa(\mathfrak p')\)는 합성체 \(k'K\)이다. 가정에 의해 국소환 \((A')_{\mathfrak p'}\)는 정칙이다. 따라서 Algebra, Lemma 00TV에 의해 \(k' \to A'\)는 \(\mathfrak p'\)에서 매끄럽다. 그러면 다시 Algebra, Lemma 02UQ에 의해 \(k \to A\)가 \(\mathfrak p\)에서 매끄럽다. 보조정리가 증명되었다.

예

\(k =\mathbf{F}_p(t)\)라 하자. 정칙이지만 기하적으로 축약이지 않은 대수다양체 \(V\)의 예는 \(k\) 위에서 쉽게 줄 수 있다. 예를 들어 \(\Spec(k[x]/(x^p - t))\)를 택할 수 있다. 사실 기하적으로 축약이지만 기하적으로 정규조차 아닌 정칙 대수다양체 \(V\)의 예도 존재한다. 즉 \(p > 2\)일 때 스킴 \(V = \Spec(k[x, y]/(y^2 - x^p + t))\)를 택하자. 다항식 \(y^2 - x^p + t \in k[x, y]\)가 기약이므로 이는 대수다양체이다. 사상 \(V \to \Spec(k)\)는 점 \(v_0 \in V\)를 제외한 모든 점에서 매끄럽다. 이 점은 극대 아이디얼 \((y, x^p - t)\)에 대응한다 (\(2y\)가 가역이기 때문이다). 특히 \(V\)는 \(v_0\)를 제외하면 모든 점에서 (기하적으로) 정칙이다. 국소환 \[\mathcal{O}_{V, v_0} = \left(k[x, y]/(y^2 - x^p + t)\right)_{(y, x^p - t)}\] 은 차원 \(1\)인 정역이다. 그 극대 아이디얼은 원소 \(1\)개, 즉 \(y\)로 생성된다. 따라서 이는 이산 값매김환이고 정칙이다. \(k' = k[t^{1/p}]\)라 하자. \(t' = t^{1/p} \in k'\), \(V' = V_{k'}\)로 쓰고, \(v'_0 \in V'\)를 \(v_0\) 위에 놓이는 유일한 점이라 하자. \(k'\) 위에서 \(x^p - t = (x - t')^p\)로 쓸 수 있지만 다항식 \(y^2 - (x - t')^p\)는 여전히 기약이고 \(V'\)는 여전히 대수다양체이다. 그러나 원소 \[\frac{y}{x - t'} \in (\text{fraction field of }\mathcal{O}_{V', v'_0})\] 는 \(\mathcal{O}_{V', v'_0}\) 위에서 정역적이지만 (그 제곱을 계산하면 된다) 그 안에 들어 있지 않다. 따라서 \(V'\)는 \(v'_0\)에서 정규가 아니다. 이것으로 예가 끝난다.

체의 확대와 코언–매콜리 성질

다음 보조정리는 기하적으로 코언–매콜리인 스킴을 정의할 필요가 없음을 말해 준다. 그렇게 정의한 스킴은 코언–매콜리 스킴과 같기 때문이다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(k'/k\)를 유한 생성 체 확대라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고, 점 \(x' \in X_{k'}\)를 택하되 이것이 \(x\) 위에 놓인다고 하자. 그러면 \[\mathcal{O}_{X, x}\text{ is Cohen-Macaulay} \Leftrightarrow \mathcal{O}_{X_{k'}, x'}\text{ is Cohen-Macaulay}\] 가 성립한다. \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이면, 모든 체 확대 \(k'/k\)에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

첫 번째 경우는 Algebra, Lemma 045N에서 따른다. 두 번째 경우는 Algebra, Lemma 00RJ와 동치이다.

체의 확대와 야콥슨 성질

체 위에서 국소 유한형인 스킴에는 닫힌점이 충분히 많이 있다. 즉 이런 스킴은 야콥슨 스킴이다. 더욱이 그 잉여체들은 기초체의 유한 확대이다.

보조정리

\(X\)를 \(k\) 위에서 국소 유한형인 스킴이라 하자. 그러면

1. 모든 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 확대 \(\kappa(x)/k\)는 대수적이다.

2. \(X\)는 야콥슨 스킴이다 (Properties, Definition 01P2).

증명

스킴이 야콥슨일 필요충분조건은 야콥슨 스킴들로 이루어진 아핀 열린 덮개를 갖는 것이다. Properties, Lemma 01P4을 보라. 닫힌점에서 잉여체에 관한 성질도 \(X\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 결과는 힐베르트 영점정리에서 따른다. Algebra, Theorem 00FV을 보라. 또한 Morphisms, Lemmas 01TB, 02J5, 02J6을 함께 사용해도 얻어진다.

\(X\)가 국소 유한형이 아니더라도 충분히 큰 기초체 확대를 택하면 같은 결과를 얻을 수 있음이 밝혀진다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 크기가 충분히 큰 모든 체 확대 \(K/k\)에 대해 다음이 성립한다.

1. 모든 닫힌점 \(x \in X_K\)에 대해 확대 \(\kappa(x)/K\)는 대수적이다.

2. \(X_K\)는 야콥슨 스킴이다 (Properties, Definition 01P2).

증명

아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_i\)를 택하자. Algebra, Lemma 046V와 Properties, Lemma 01P3에 의해 다음 성질을 갖는 기수들 \(\kappa_i\)가 존재하여 \(U_{i, K}\)가 \(K\) 위에서 원하는 성질들을 갖게 된다. 여기에는 \(\#(K) \geq \kappa_i\)이면 충분하다. \(\kappa = \max\{\kappa_i\}\)로 두자. 그러면 \(K\)의 기수가 \(\kappa\)보다 크면 각 \(U_{i, K}\)가 보조정리의 결론들을 만족한다. 따라서 Properties, Lemma 01P4에 의해 \(X_K\)는 야콥슨이다. \(X_K\)의 닫힌점에서 잉여체에 관한 명제는 \(U_{i, K}\)의 닫힌점에서 잉여체에 관한 대응하는 명제들로부터 따른다.

체의 확대와 풍부한 가역층

다음 결과는 이 절의 결과들을 대표한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X_K\) 위에 풍부한 가역층이 존재하게 하는 어떤 체 확대 \(K/k\)가 있으면, \(X\) 위에도 풍부한 가역층이 존재한다.

증명

\(K/k\)를 \(X_K\) 위에 풍부한 가역층 \(\mathcal{L}\)이 존재하는 체 확대라 하자. 사상 \(X_K \to X\)는 전사이다. 따라서 \(X\)는 준콤팩트 스킴의 상이므로 준콤팩트이다 (Properties, Definition 01PS). \(X_K\)가 준분리이므로(Properties, Lemma 01PY) \(X\)도 준분리이다. 실제로 \(U, V \subset X\)가 아핀 열린집합이면 \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\)는 준콤팩트이고 \((U \cap V)_K \to U \cap V\)는 전사이다. 따라서 Schemes, Lemma 01KO을 적용할 수 있다.

\(K = \colim A_i\)로 쓰자. 여기서 이들은 \(K\)의 부분대수들이고 \(k\) 위에서 유한형이다. \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\)로 두자. \(X_K = \lim X_i\)이므로 어떤 \(i\)와 가역층 \(\mathcal{L}_i\)를 \(X_i\) 위에서 찾아, 이것을 \(X_K\)로 당긴 것이 \(\mathcal{L}\)이 되게 할 수 있다(Limits, Lemma 0B8W; 여기와 아래에서는 방금 보인 \(X\)의 준콤팩트성과 준분리성을 사용한다). Limits, Lemma 09MT에 의해 \(\mathcal{L}_i\)가 풍부하다고 가정할 수 있으며, 필요하면 \(i\)를 키운다. 그런 \(i\)를 고정하고 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset A_i\)를 택하자. 힐베르트 영점정리(Algebra, Theorem 00FV)에 의해 잉여체 \(k' = A_i/\mathfrak m\)는 \(k\)의 유한 확대이다. 따라서 \(X_{k'} \subset X_i\)는 닫힌 부분스킴이고, 그러므로 풍부한 가역층을 갖는다(Properties, Lemma 01PU). \(X_{k'} \to X\)가 유한 국소 자유 사상이므로 Divisors, Proposition 0BD4에 의해 \(X\)에도 풍부한 가역층이 존재한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X_K\)가 준아핀이 되게 하는 어떤 체 확대 \(K/k\)가 있으면 \(X\)도 준아핀이다.

증명

\(K/k\)를 \(X_K\)가 준아핀이 되는 체 확대라 하자. 사상 \(X_K \to X\)는 전사이다. 따라서 \(X\)는 준콤팩트 스킴의 상이므로 준콤팩트이다 (Properties, Definition 01P6). \(X_K\)는 아핀 스킴의 열린 부분스킴이므로 준분리이고, 따라서 \(X\)도 준분리이다. 실제로 \(U, V \subset X\)가 아핀 열린집합이면 \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\)는 준콤팩트이고 \((U \cap V)_K \to U \cap V\)는 전사이다. 따라서 Schemes, Lemma 01KO을 적용할 수 있다.

\(K = \colim A_i\)로 쓰자. 여기서 이들은 \(K\)의 부분대수들이고 \(k\) 위에서 유한형이다. \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\)로 두자. \(X_K = \lim X_i\)이므로 어떤 \(i\)를 찾아 \(X_i\)가 준아핀이 되게 할 수 있다 (Limits, Lemma 01Z5; 여기서는 방금 보인 \(X\)의 준콤팩트성과 준분리성을 사용한다). 힐베르트 영점정리(Algebra, Theorem 00FV)에 의해 잉여체 \(k' = A_i/\mathfrak m\)는 \(k\)의 유한 확대이다. 따라서 \(X_{k'} \subset X_i\)는 닫힌 부분스킴이고, 그러므로 준아핀이다 (Properties, Lemma 0BCK). \(X_{k'} \to X\)가 유한 국소 자유 사상이므로 Divisors, Lemma 0BD5에 의해 결론을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X_K\)가 \(K\) 위에서 준사영이 되게 하는 어떤 체 확대 \(K/k\)가 있으면, \(X\)는 \(k\) 위에서 준사영이다.

증명

정의에 의해 스킴의 사상 \(g : Y \to T\)가 준사영이라고 함은 그 사상이 국소 유한형이고 준콤팩트이며, \(g\)-풍부한 가역층이 \(Y\) 위에 존재하는 경우이다. \(K/k\)를 \(X_K\)가 \(K\) 위에서 준사영이 되는 체 확대라 하자. 아핀 열린집합 \(\Spec(A) \subset X\)를 택하자. 그러면 \(U_K\)는 \(X_K\)의 아핀 열린 부분스킴이고, 따라서 \(A_K\)는 유한형 \(K\)-대수이다. 그러면 Algebra, Lemma 00QP에 의해 \(A\)는 유한형 \(k\)-대수이다. 따라서 \(X \to \Spec(k)\)는 국소 유한형이다. \(X_K \to \Spec(K)\)가 준콤팩트이므로 \(X_K\)가 준콤팩트이고, 따라서 \(X\)가 준콤팩트이며, 따라서 \(X \to \Spec(k)\)는 유한형이다. Morphisms, Lemma 01VT에 의해 \(X_K\)는 풍부한 가역층을 갖는다. 그러면 Lemma 0BDC에 의해 \(X\)도 풍부한 가역층을 갖는다. 따라서 Morphisms, Lemma 01VT에 의해 \(X \to \Spec(k)\)는 준사영이다.

다음 보조정리는 Descent, Lemma 02L1의 특수한 경우이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X_K\)가 \(K\) 위에서 고유가 되게 하는 어떤 체 확대 \(K/k\)가 있으면, \(X\)는 \(k\) 위에서 고유이다.

증명

\(K/k\)를 \(X_K\)가 \(K\) 위에서 고유인 체 확대라 하자. 그러면 \(X_K\)는 분리이고 준콤팩트임을 상기하자 (Morphisms, Definition 01W1). 사상 \(X_K \to X\)는 전사이다. 따라서 \(X\)는 준콤팩트 스킴의 상이므로 준콤팩트이다 (Properties, Definition 01PS). \(X_K\)가 분리이므로 \(X\)는 준분리이다. 실제로 \(U, V \subset X\)가 아핀 열린집합이면 \((U \cap V)_K = U_K \cap V_K\)는 준콤팩트이고 \((U \cap V)_K \to U \cap V\)는 전사이다. 따라서 Schemes, Lemma 01KO을 적용할 수 있다.

\(K = \colim A_i\)로 쓰자. 여기서 이들은 \(K\)의 부분대수들이고 \(k\) 위에서 유한형이다. \(X_i = X \times_{\Spec(k)} \Spec(A_i)\)로 두자. Limits, Lemma 081F에 의해 어떤 \(i\)가 존재하여 \(X_i \to \Spec(A_i)\)가 고유이다. 여기서는 방금 보인 \(X\)의 준콤팩트성과 준분리성을 사용한다. 극대 아이디얼 \(\mathfrak m \subset A_i\)를 택하자. 힐베르트 영점정리(Algebra, Theorem 00FV)에 의해 잉여체 \(k' = A_i/\mathfrak m\)는 \(k\)의 유한 확대이다. 기저 변환 \(X_{k'} \to \Spec(k')\)는 고유이다 (Morphisms, Lemma 01W4). \(k'/k\)가 유한이므로 \(X_{k'} \to X\)와 합성 \(X_{k'} \to \Spec(k)\)도 모두 고유이다 (Morphisms, Lemmas 01WN, 01W4, 01W3). 첫 번째 사실로부터 \(X\)가 \(k\) 위에서 분리임을 얻는다. 여기에는 \(X_{k'}\)가 분리임을 사용한다(Morphisms, Lemma 09MQ). 두 번째 사실로부터 Morphisms, Lemma 03GN에 의해 \(X \to \Spec(k)\)가 고유임을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X_K\)가 \(K\) 위에서 사영이 되게 하는 어떤 체 확대 \(K/k\)가 있으면, \(X\)는 \(k\) 위에서 사영이다.

증명

\(k\) 위의 스킴이 \(k\) 위에서 사영일 필요충분조건은 \(k\) 위에서 준사영이고 고유인 것이다. Morphisms, Lemma 0BCL을 보라. 따라서 이 보조정리는 Lemmas 0BDE와 0BDF에서 따른다.

접공간

이 절에서는 이중수에 값을 갖는 점들을 사용하여, 스킴의 사상이 정의역의 한 점에서 갖는 접공간을 정의한다.

정의

임의의 환 \(R\)에 대해 \(R\) 위의 이중수는 \(R\)-대수이며 \(R[\epsilon]\)으로 나타낸다. \(R\)-가군으로서는 기저 \(1\), \(\epsilon\)을 갖는 자유 가군이며, \(R\)-대수 구조는 \(\epsilon^2 = 0\)으로 놓아 얻는다.

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고, 그 상을 \(s = f(x)\)라 하자. 이 점은 \(S\)에 있다. 다음 실선 가환 그림을 생각하자. [0B2A]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(\kappa(x)) \ar[r] \ar[dr] \ar@/^1pc/[rr] & \Spec(\kappa(x)[\epsilon]) \ar@{.>}[r] \ar[d]& X \ar[d] \\ & \Spec(\kappa(s)) \ar[r] & S } } \end{equation}\] 여기서 굽은 화살표는 \(\Spec(\kappa(x))\)에서 \(X\)로 가는 표준 사상이다.

보조정리

(0B2A)를 가환으로 만드는 점선 화살표들의 집합은 표준적인 \(\kappa(x)\)-벡터공간 구조를 갖는다.

증명

\(\kappa = \kappa(x)\)로 두자. 스킴의 범주에서 다음 밂이 있음을 관찰하자. \[\Spec(\kappa[\epsilon]) \amalg_{\Spec(\kappa)} \Spec(\kappa[\epsilon]) = \Spec(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2])\] 여기서 \(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2]\)는 \(\kappa\)-대수이며 기저 \(1, \epsilon_1, \epsilon_2\)를 갖고 \(\epsilon_1^2 = \epsilon_1\epsilon_2 = \epsilon_2^2 = 0\)이다. 이는 환에 대한 대응하는 결과와, 국소환의 스펙트럼에서 스킴으로 가는 사상에 대한 Schemes, Lemma 01J6의 기술에서 바로 따른다. 두 화살표 \(\theta_1, \theta_2 : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to X\)가 주어지면 사상 \[\theta_1 + \theta_2 : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to \Spec(\kappa[\epsilon_1, \epsilon_2]) \xrightarrow{\theta_1, \theta_2} X\] 을 생각할 수 있다. 여기서 첫 번째 화살표는 \(\epsilon_i \mapsto \epsilon\)으로 주어진다. 한편 \(\lambda \in \kappa\)가 주어지면 \(\Spec(\kappa[\epsilon])\)의 자기 사상이 있는데, 이는 \(\kappa\)-대수 자기준동형, 구체적으로 \(\kappa[\epsilon]\)의 자기준동형 가운데 \(\epsilon\)을 \(\lambda \epsilon\)으로 보내는 것에 대응한다. \(\theta : \Spec(\kappa[\epsilon]) \to X\)를 이 자기 사상과 먼저 합성하면 \(\lambda \theta\)를 얻는다. 독자는 적절한 스킴의 가환 그림이 존재함을 확인하여 벡터공간 공리들을 검증할 수 있다. 세부사항은 생략한다. (또 다른 증명은 모든 것을 국소환으로 표현한 뒤 환 사상의 수준에서 벡터공간 공리들을 검증하는 것이다.)

정의

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(x \in X\)라 하자. (0B2A)를 가환으로 만드는 점선 화살표들의 집합에 표준적인 \(\kappa(x)\)-벡터공간 구조를 준 것을 \(X\)의 \(S\) 위 \(x\)에서의 접공간이라 하며 \(T_{X/S, x}\)로 나타낸다. 이 공간의 원소를 \(X/S\)의 \(x\)에서의 접벡터라고 한다.

\(x \in X\)에서의 접벡터는 스킴론적 올 \(X_s\) 안에 있다. 이 올은 \(f : X \to S\)의 \(s = f(x)\) 위의 올이므로, 표준적인 동일시 [0BEA]\[\begin{equation} T_{X/S, x} = T_{X_s/s, x} \end{equation}\] 를 얻는다. 점 함자를 사용하는 이 간결한 정의는 다음 대수적 기술을 갖는다. 이 기술은 \(X\)의 \(S\) 위 \(x\)에서의 여접공간을 \(\kappa(x)\)-벡터공간 \[T^*_{X/S, x} = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 으로 정의하게 한다. 이는 이 공간이 \(\kappa(x)\)에 관하여 \(X\)의 \(S\) 위 \(x\)에서의 접공간과 표준적으로 쌍대이기 때문이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하고 \(x \in X\)라 하자. 표준 동형 \[T_{X/S, x} = \Hom_{\mathcal{O}_{X, x}}(\Omega_{X/S, x}, \kappa(x))\] 이 존재하며, 이는 \(\kappa(x)\) 위의 벡터공간의 동형이다.

증명

\(\kappa = \kappa(x)\)로 두자. \(\theta \in T_{X/S, x}\)가 주어지면 사상 \[\theta^*\Omega_{X/S} \to \Omega_{\Spec(\kappa[\epsilon])/\Spec(\kappa(s))} \to \Omega_{\Spec(\kappa[\epsilon])/\Spec(\kappa)}\] 을 얻는다. 절단을 취하면 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-선형 사상 \(\xi_\theta : \Omega_{X/S, x} \to \kappa \text{d}\epsilon\), 즉 보조정리 공식의 오른쪽 원소를 얻는다. \(\theta \mapsto \xi_\theta\)가 동형임을 보이기 위해 \(S\)를 \(s\)로, \(X\)를 스킴론적 올 \(X_s\)로 바꿀 수 있다. 실제로 공식의 양변은 스킴론적 올에만 의존한다. \(T_{X/S, x}\)에 대해서는 분명하고, 오른쪽에 대해서는 Morphisms, Lemma 01V0를 보라. 또한 \(X\)를 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 스펙트럼으로 바꿀 수 있다. 그러더라도 \(T_{X/S, x}\)는 바뀌지 않고 (Schemes, Lemma 01J6), \(\Omega_{X/S, x}\)도 바뀌지 않는다 (Modules, Lemma 08TE).

\((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 체 \(k\) 위의 국소환이라 하자. 증명을 끝내려면 임의의 \(A\)-선형 사상 \(\xi : \Omega_{A/k} \to \kappa\)가 유일한 \(k\)-대수 사상 \(\varphi : A \to \kappa[\epsilon]\)에서 생김을 보이면 된다. 이 사상은 표준 사상 \(c : A \to \kappa\)와 \(\epsilon\)을 법으로 일치한다. \(\varphi(a) = c(a) + D(a) \epsilon\)으로 쓰면, 독자는 \(a \mapsto D(a)\)가 \(k\)-미분임을 알 수 있다. \(\Omega_{A/k}\)의 보편 성질에 의해 각 \(D\)는 유일한 \(\xi\)에 대응하고 그 역도 성립한다. 이것으로 증명이 끝난다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고 \(s = f(x) \in S\)라 하자. \(\kappa(x) = \kappa(s)\)라고 가정하자. 그러면 표준 동형 \[\mathfrak m_x/(\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}) = \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 및 \[T_{X/S, x} = \Hom_{\kappa(x)}( \mathfrak m_x/(\mathfrak m_x^2 + \mathfrak m_s\mathcal{O}_{X, x}), \kappa(x))\] 이 존재한다. 이는 더 일반적으로 \(\kappa(x)/\kappa(s)\)가 분리 대수 확대인 경우에도 성립한다.

증명

두 번째 동형은 첫 번째 동형과 Lemma 0B2D에서 따른다. 첫 번째 동형에 대해서는 \(S\)를 \(s\)로, \(X\)를 \(X_s\)로 바꿀 수 있다. Morphisms, Lemma 01V0를 보라. 또한 \(X\)를 \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 스펙트럼으로 바꿀 수 있다. Modules, Lemma 08TE를 보라. 따라서 다음 대수적 사실을 보이면 된다. \((A, \mathfrak m, \kappa)\)를 체 \(k\) 위의 국소환이라 하고 \(\kappa/k\)가 분리 대수 확대라고 하자. 그러면 표준 사상 \[\mathfrak m/\mathfrak m^2 \longrightarrow \Omega_{A/k} \otimes \kappa\] 은 동형이다. \(\mathfrak m/\mathfrak m^2 = H_1(\NL_{\kappa/A})\)임을 관찰하자. Algebra, Lemma 00S2에 의해 \(\Omega_{\kappa/k} = 0\)이고 \(H_1(\NL_{\kappa/k}) = 0\)임을 보이면 충분하다. \(\kappa\)는 \(k\) 안의 유한 분리 확대들의 합집합이므로, \(\kappa\)가 \(k\)의 유한 분리 확대인 경우만 증명하면 충분하다 (Algebra, Lemma 07BQ). 이 경우 환 사상 \(k \to \kappa\)는 에탈이고, 따라서 \(\NL_{\kappa/k} = 0\)이다(거의 정의에서 바로 따르며, Algebra, Section 00U0 참조).

보조정리

\(f : X \to Y\)를 기초 스킴 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고 \(y = f(x)\)로 두자. \(\kappa(y) = \kappa(x)\)이면 \(f\)는 자연스러운 선형 사상 \[\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}\] 을 유도한다. 이 사상은 선형 사상 \(\Omega_{Y/S, y} \otimes \kappa(y) \to \Omega_{X/S, x} \otimes \kappa(x)\)과 쌍대이며, 여기에는 Lemma 0B2D의 동일시를 사용한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(X\), \(Y\)를 기초 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(x \in X\)와 \(y \in Y\)가 같은 상점 \(s \in S\)를 가지며, \(\kappa(s) = \kappa(x)\) 및 \(\kappa(s) = \kappa(y)\)가 성립한다고 하자. 표준 동형 \[T_{X \times_S Y/S, (x, y)} = T_{X/S, x} \oplus T_{Y/S, y}\] 이 존재한다. 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 사상은 사영 \(X \times_S Y \to X\)와 \(X \times_S Y \to Y\)가 유도하는 접공간의 사상들로 유도된다. 오른쪽에서 왼쪽으로 가는 사상은 사상 \(1 \times y : X_s \to X_s \times_s Y_s\)와 \(x \times 1 : Y_s \to X_s \times_s Y_s\)가 유도한다. 여기서 접공간과 올의 접공간 사이의 동일시 (0BEA)를 사용한다.

증명

직합 분해는 Morphisms, Lemma 01V1에서 Lemma 0B2E를 통해 따른다. 사상들과의 양립성은 Lemma 0B2F에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to Y\)를 기초 스킴 \(S\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고 \(y = f(x)\)로 두며 \(\kappa(y) = \kappa(x)\)라고 가정하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\text{d}f : T_{X/S, x} \longrightarrow T_{Y/S, y}\)는 단사이다.

2. \(f\)는 \(x\)에서 비분기이다.

증명

사상 \(f\)는 Morphisms, Lemma 01T8에 의해 국소 유한형이다. 사상 \(\text{d}f\)가 단사일 필요충분조건은 \(\Omega_{Y/S, y} \otimes \kappa(y) \to \Omega_{X/S, x} \otimes \kappa(x)\)가 전사인 것이다 (Lemma 0B2F). 완전열 \(f^*\Omega_{Y/S} \to \Omega_{X/S} \to \Omega_{X/Y} \to 0\) (Morphisms, Lemma 01UX)에 의해 이는 \(\Omega_{X/Y, x} \otimes \kappa(x) = 0\)일 필요충분조건이다. 따라서 결과는 Morphisms, Lemma 02GF에서 따른다.

일반점에서 유한인 사상

이 절에서는 Morphisms, Section 02NV에서 연구한, 스킴 사이의 일반점에서 유한인 사상이라는 개념을 다시 살펴본다.

보조정리

\(f : X \to Y\)가 국소 유한형이라고 하자. \(y \in Y\)를 점이라 하고, \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 차원 \(\leq 1\)인 뇌터환이라고 하자. 또한 다음 조건 가운데 하나가 성립한다고 가정하자.

1. 모든 일반점 \(\eta\) 가운데 \(X\)의 기약 성분의 일반점인 것에 대해 체 확대 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\)가 유한이다(또는 대수적이다).

2. 모든 일반점 \(\eta\) 가운데 \(X\)의 기약 성분의 일반점이고 \(f(\eta) \leadsto y\)를 만족하는 것에 대해 체 확대 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\)가 유한이다(또는 대수적이다).

3. \(f\)는 \(X\)의 기약 성분의 모든 일반점에서 준유한이다.

4. \(Y\)는 국소 뇌터이고 \(f\)는 \(X\)의 조밀한 점 집합에서 준유한이다.

5. 여기에 더 추가한다.

그러면 \(f\)는 \(X\)의 모든 점 가운데 \(y\) 위에 놓이는 점에서 준유한이다.

증명

조건 (4)는 \(X\)가 국소 뇌터임을 함의한다 (Morphisms, Lemma 01T6). 사상이 준유한인 점들의 집합은 열린집합이다 (Morphisms, Lemma 01TI). 국소 뇌터 스킴의 조밀한 열린집합은 기약 성분의 모든 일반점을 포함하므로 (4)는 (3)을 함의한다. 조건 (3)은 Morphisms, Lemma 01TG에 의해 조건 (1)을 함의한다. 조건 (1)은 조건 (2)를 함의한다. 따라서 조건 (2)가 성립하는 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다.

(2)가 성립한다고 가정하자. \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)는 \(Y\)에서 \(y\)로 특수화되는 점들의 집합임을 상기하자. Schemes, Lemma 01J7를 보라. 이를 Morphisms, Lemma 01TM와 함께 사용하면 \(Y\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)로 바꿀 수 있다. 따라서 \(Y = \Spec(B)\)라 가정할 수 있다. 여기서 \(B\)는 차원 \(\leq 1\)인 뇌터 국소환이고 \(y\)는 닫힌점이다.

\(X = \bigcup X_i\)를 \(X\)의 기약 성분들을 축약 닫힌 부분스킴으로 본 것이라 하자. 각 올 \(X_{i, y}\)가 이산 공간임을 보일 수 있다면 \(X_y = \bigcup X_{i, y}\)도 이산이다. 그러면 Morphisms, Lemma 01TH에 의해 \(X \to Y\)는 \(X_y\)의 모든 점에서 준유한이다. 따라서 \(X\)가 정역적 스킴이라고 가정할 수 있다.

\(X \to Y\)가 일반점 \(\eta\)—곧 \(X\)의 일반점—를 \(y\)로 보내면, \(X\)는 \(\kappa(y)\)의 유한 확대의 스펙트럼이므로 결과가 성립한다. \(X\)가 \(\eta\)를 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대응하는 점으로 보낸다고 가정하자. 이 아이디얼은 \(B\)의 소 아이디얼이고 \(\mathfrak m_B\)와 다르다. 분해 \(X \to \Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(B)\)를 얻는다. \(x \in X\)를 \(y\) 위에 놓이는 점이라 하자. 차원 공식 (Morphisms, Lemma 02JU)에 의해 \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) \leq \dim(B/\mathfrak q) + \text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X)) - \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x)\] 를 얻는다. \(\dim(B/\mathfrak q) = 1\)이고, \(X\)의 일반점은 \(x\)와 다르면서 \(x\)로 특수화되며, \(R(X)\)는 \(\kappa(\mathfrak q)\) 위에서 대수적임을 안다. 따라서 \[1 \leq 1 - \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x)\] 를 얻는다. 따라서 모든 점 \(x\) 가운데 \(X_y\)에 속하는 것은 Morphisms, Lemma 01TE에 의해 \(X_y\)에서 닫혀 있다. 그러므로 Morphisms, Lemma 01TH에 의해 \(X \to Y\)는 모든 점 \(x\) 가운데 \(X_y\)에 속하는 점에서 준유한이다 (같은 보조정리는 \(X_y\)가 이산 위상공간임도 함의한다).

보조정리

\(f : X \to Y\)를 고유 사상이라 하자. \(y \in Y\)를 점이라 하고 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 차원 \(\leq 1\)인 뇌터환이라고 하자. 또한 다음 조건 가운데 하나가 성립한다고 가정하자.

1. 모든 일반점 \(\eta\) 가운데 \(X\)의 기약 성분의 일반점인 것에 대해 체 확대 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\)가 유한이다(또는 대수적이다).

2. 모든 일반점 \(\eta\) 가운데 \(X\)의 기약 성분의 일반점이고 \(f(\eta) \leadsto y\)를 만족하는 것에 대해 체 확대 \(\kappa(\eta)/\kappa(f(\eta))\)가 유한이다(또는 대수적이다).

3. \(f\)는 \(X\)의 모든 일반점에서 준유한이다.

4. \(Y\)는 국소 뇌터이고 \(f\)는 \(X\)의 조밀한 점 집합에서 준유한이다.

5. 여기에 더 추가한다.

그러면 열린 근방 \(V \subset Y\)가 \(y\)에 대해 존재하여 \(f^{-1}(V) \to V\)는 유한이다.

증명

Lemma 0AB6에 의해 사상 \(f\)는 올 \(X_y\)의 모든 점에서 준유한이다. 따라서 \(X_y\)는 이산 위상공간이다 (Morphisms, Lemma 01TH). \(f\)가 고유이므로 올 \(X_y\)는 준콤팩트, 즉 유한이다. 따라서 Cohomology of Schemes, Lemma 02OH를 적용하여 결론을 얻는다.

보조정리

\(X\)를 뇌터 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 스킴의 쌍유리 고유 사상이라 하고 \(Y\)가 축약이라고 하자. \(U \subset X\)를 \(f\)가 동형이 되는 최대 열린집합이라 하자. 그러면 \(U\)는 다음을 포함한다.

1. 여차원 \(0\)을 \(X\)에서 갖는 모든 점.

2. 모든 \(x \in X\) 가운데 여차원 \(1\)을 \(X\)에서 갖고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 이산 값매김환인 점.

3. 모든 \(x \in X\) 가운데 \(Y \to X\)의 \(x\) 위의 올이 유한이고 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정규인 점.

4. 모든 \(x \in X\) 가운데 \(f\)가 어떤 \(y \in Y\)에서 준유한이고, 그 점이 \(x\) 위에 놓이며 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정규인 점.

증명

(1)은 Morphisms, Lemma 0BAJ에서 따른다. (2)는 (3)과 Lemma 0AB7에서 따른다 (유한 사상의 올이 유한하다는 사실도 사용한다).

(3)은 (4)와 Morphisms, Lemma 02NG에서 따르지만, 직접 증명도 제시하겠다. \(x \in X\)가 (3)과 같다고 하자. Cohomology of Schemes, Lemma 02OH에 의해 \(f\)가 유한이라고 가정할 수 있다. \(X\)가 아핀이라고 가정할 수도 있다. 그러면 뇌터 아핀 스킴의 유한 쌍유리 사상 \(Y \to X\)와 \(x \in X\)를 다루면 된다. 여기서 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 정규 정역이다. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정역이고 \(X\)가 뇌터이므로, \(X\)를 \(x\)의 정역적 아핀 열린 근방으로 바꿀 수 있다. 이제 \(Y \to X\)가 쌍유리이고 \(Y\)가 축약이므로 \(Y\)도 정역적이다. \(X = \Spec(A)\) 및 \(Y = \Spec(B)\)로 쓰면, \(A \subset B\)는 같은 분수체를 갖는 정역들의 유한 포함이다. \(\mathfrak p \subset A\)가 \(x\)에 대응하는 소 아이디얼이면, \(A_\mathfrak p\)가 정규라는 사실로부터 \(A_\mathfrak p \subset B_\mathfrak p\)가 등식임을 얻는다. \(B\)가 유한 \(A\)-가군이므로 \(a \in A\), \(a \not \in \mathfrak p\)인 어떤 원소가 존재하여 \(A_a \to B_a\)가 동형이다.

\(x \in X\)와 \(y \in Y\)가 (4)와 같다고 하자. \(X\)를 아핀 열린 근방으로 바꾸어 \(X = \Spec(A)\)이고 \(A \subset \mathcal{O}_{X, x}\)라고 가정할 수 있다. Properties, Lemma 0BX3을 보라. 그러면 \(A\)는 정역이고, 따라서 \(X\)는 정역적이다. \(f\)가 쌍유리이고 \(Y\)가 축약이므로 \(Y\)도 정역적이다. 환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)를 생각하자. 이는 본질적 유한형인 환 사상이고, 잉여체 확대는 유한이며, \(\dim(\mathcal{O}_{Y, y}/\mathfrak m_x\mathcal{O}_{Y, y}) = 0\)이다 (이를 확인하려면 Morphisms, Definition 01TD와 Algebra, Definition 00PL에서 준유한 사상의 정의를 따라가라). Algebra, Lemma 052V에 의해 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)는 유한 \(\mathcal{O}_{X, x}\)-대수 \(B\)의 국소화이다. 물론 \(B\)를 \(B\)의 \(\mathcal{O}_{Y, y}\) 안에서의 상으로 바꾸고, \(B\)가 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)와 같은 분수체를 갖는 정역이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(\mathcal{O}_{X, x} \subset B\)는 같은 분수체를 갖는다. 이는 \(f\)가 쌍유리이기 때문이다. \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 정규이므로 \(\mathcal{O}_{X, x} = B\)임을 얻는다 (유한이면 정수적이기 때문이다). 특히 \(\mathcal{O}_{X, x} = \mathcal{O}_{Y, y}\)이다. Morphisms, Lemma 0BX6에 의해 \(X\)를 줄여서, \(X \to Y\)가 \(f\)의 절단이고 \(x\)를 \(y\)로 보내며 주어진 국소환의 동형을 유도한다고 가정할 수 있다. \(X \to Y\)는 닫힌 사상이고(Schemes, Lemma 01KT), 반드시 \(X\)의 일반점을 \(Y\)의 일반점으로 보내므로 \(X \to Y\)의 상은 \(Y\)이다. 따라서 \(Y = X\)이고, 원하는 바를 증명하였다.

뇌터 정규화의 변형들

뇌터 정규화란 \(k\)가 체이고 \(A\)가 유한형 \(k\)-대수이며 차원이 \(d\)이면, 유한 단사 \(k\)-대수 준동형 \(k[x_1, \ldots, x_d] \to A\)가 존재한다는 명제이다. Algebra, Lemma 00OY를 보라. 기하학적으로 이는 \(\Spec(A) \to \mathbf{A}^d_k\)라는 유한 전사 사상이 \(\Spec(k)\) 위에서 존재한다는 뜻이다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. \(V \subset S\)를 \(s\)의 아핀 열린 근방이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 \(\dim_x(X_s) = d\)이면, 아핀 열린집합 \(U \subset X\)로서 \(x \in U\)이고 \(f(U) \subset V\)인 것과 분해 \[U \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^d_V \to V\] 가 \(f|_U : U \to V\)에 대해 존재하며, 여기서 \(\pi\)는 준유한이다.

증명

이는 Algebra, Lemma 00QE에서 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 아핀 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(s \in S\)라 하자. \(\dim(X_s) = d\)이면, 분해 \[X \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^d_S \to S\] 가 \(f\)에 대해 존재하며, 올 사이의 사상 \(\pi_s : X_s \to \mathbf{A}^d_{\kappa(s)}\)는 \(s\) 위에서 유한이다.

증명

\(S = \Spec(A)\) 및 \(X = \Spec(B)\)로 쓰고, \(A \to B\)를 \(f\)에 대응하는 환 사상이라 하자. \(\mathfrak p \subset A\)를 \(s\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. 전사 \(A[x_1, \ldots, x_r] \to B\)를 택할 수 있다. Algebra, Lemma 00OY에 의해, 원소 \(y_1, \ldots, y_d \in A\)가 존재한다. 이들은 \(\mathbf{Z}\)-부분대수로서 \(A\) 안에서 \(x_1, \ldots, x_r\)로 생성되는 것에 속하고, \(A\)-대수 준동형 \(A[t_1, \ldots, t_d] \to B\) 가운데 \(t_i\)를 \(y_i\)로 보내는 것은 유한 \(\kappa(\mathfrak p)\)-대수 준동형 \(\kappa(\mathfrak p)[t_1, \ldots, t_d] \to B \otimes_A \kappa(\mathfrak p)\)를 유도한다. 이로써 보조정리가 증명된다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)라 하자. \(V = \Spec(A)\)를 \(f(x)\)의 아핀 열린 근방이라 하되 \(S\) 안에서 택하자. \(f\)가 \(x\)에서 비분기이면, 아핀 열린집합 \(U \subset X\)로서 \(x \in U\)이고 \(f(U) \subset V\)인 것이 존재하여 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ X \ar[d] & U \ar[l] \ar[rd] \ar[r]^-j & \Spec(A[t]_{g'}/(g)) \ar[d] \ar[r] & \Spec(A[t]) = \mathbf{A}^1_V \ar[ld] \\ Y & & V \ar[ll] }\] 여기서 \(j\)는 몰입이고, \(g \in A[t]\)는 일계수 다항식이며, \(g'\)는 \(g\)의 \(t\)에 관한 도함수이다. \(f\)가 \(x\)에서 에탈이면, \(j\)가 열린 몰입이 되도록 그림을 택할 수 있다.

증명

비분기인 경우는 Algebra, Proposition 0395을 기하학적으로 옮긴 것이다. 에탈인 경우에는 Algebra, Proposition 00UE을 옮긴 것이며, 진술들이 조금 다르기는 하지만 동치로 Morphisms, Lemma 02GT에서도 따른다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 아핀 스킴의 유한형 사상이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. 다음과 같이 놓자. \[r = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} T_{X/S, x}\] 그러면 분해 \[X \xrightarrow{\pi} \mathbf{A}^r_S \to S\] 가 \(f\)에 대해 존재하며, \(\pi\)는 \(x\)에서 비분기이다.

증명

Morphisms, Lemma 01V2에 의해 첫 번째 차원은 유한이다. 첫 번째 등식은 올에 제한한 \(\Omega_{X/S}\)가 미분 가군이라는 사실, 즉 Morphisms, Lemma 01V0에서 따른다. 마지막 등식은 Lemma 0B2D에서 따른다. 따라서 이 진술은 의미가 있다.

보조정리를 증명하기 위해 \(S = \Spec(A)\) 및 \(X = \Spec(B)\)로 쓰고 \(A \to B\)를 \(f\)에 대응하는 환 사상이라 하자. \(\mathfrak q \subset B\)를 \(x\)에 대응하는 소 아이디얼이라 하자. \(A\)-대수의 전사 \(A[x_1, \ldots, x_t] \to B\)를 택하자. \(\Omega_{B/A}\)는 \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_t\)로 생성되므로, 그 상들은 \(\Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\)를 \(\kappa(x)\)-벡터공간으로서 생성한다. 번호를 다시 매긴 뒤에는 \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_r\)의 상들이 \(\Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\)의 기저라고 가정할 수 있다. \(P = A[x_1, \ldots, x_r] \to B\)가 \(\mathfrak q\)에서 비분기라고 주장한다. 이를 보이려면 \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} = 0\)임을 보이면 충분하다 (Algebra, Lemma 00UV). \(\Omega_{B/P}\)는 \(\Omega_{B/A}\)를 \(\text{d}x_1, \ldots, \text{d}x_r\)로 생성된 부분가군으로 나눈 몫임에 유의하자. 따라서 \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} \otimes_{B_\mathfrak q} \kappa(\mathfrak q) = 0\)이다. 이는 \(x_1, \ldots, x_r\)의 선택에 따른다. 나카야마의 보조정리, 더 정확히는 \(\Omega_{B/P}\)가 유한이므로 적용되는 Algebra, Lemma 00DV의 (2)에 의해 \(\Omega_{B/P, \mathfrak q} = 0\)이라는 결론을 얻는다.

보조정리

\(f : X \to S\)를 스킴의 사상이라 하자. \(x \in X\)의 상을 \(s \in S\)라 하자. \(V \subset S\)를 \(s\)의 아핀 열린 근방이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 \[r = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X/S, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} \Omega_{X_s/s, x} \otimes_{\mathcal{O}_{X_s, x}} \kappa(x) = \dim_{\kappa(x)} T_{X/S, x}\] 이면 다음이 존재한다.

1. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)로서 \(x \in U\)이고 \(f(U) \subset V\)인 것 및 분해 \[U \xrightarrow{j} \mathbf{A}^{r + 1}_V \to V\] 로서 \(f|_U\)의 분해이고 \(j\)가 몰입인 것, 또는

2. 아핀 열린집합 \(U \subset X\)로서 \(x \in U\)이고 \(f(U) \subset V\)인 것 및 분해 \[U \xrightarrow{j} D \to V\] 로서 \(f|_U\)의 분해이고 \(j\)가 닫힌 몰입이며 \(D \to V\)가 상대차원 \(r\)인 매끄러운 사상인 것.

증명

임의의 아핀 열린집합 \(U \subset X\)로서 \(x \in U\)이고 \(f(U) \subset V\)인 것을 택하자. \(U \to V\)에 Lemma 0CBK를 적용하여 그 보조정리의 진술과 같은 \(U \to \mathbf{A}^r_V \to V\)를 얻는다. Lemma 0CBJ에 의해 분해 \[U \xrightarrow{j} D \xrightarrow{j'} \mathbf{A}^{r + 1}_V \xrightarrow{p} \mathbf{A}^r_V \to V\] 를 얻는다. 여기서 \(j\)와 \(j'\)는 몰입이고, \(p\)는 사영이며, \(p \circ j'\)는 표준 에탈이다. 따라서 특히 (1)과 (2)가 성립한다.

올의 차원

유한형 사상의 올의 차원은 보통 위로 뛰어오른다는 사실을 이미 보았다. 이 절에서는 여차원 \(1\)에서는 이 현상이 일어나지 않음을 논한다. 더 일반적으로는 올의 차원이 얼마나 뛰어오를 수 있는지를 논한다. 관련된 결과들은 다음과 같다.

1. 유한형 사상 \(X \to S\)에 대해, 조건 \(x \in X\) 및 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d\)를 만족하는 점들의 집합은 열려 있다. Algebra, Lemma 00QH와 Morphisms, Lemma 02FZ를 보라.

2. 차원 공식이 성립한다. Algebra, Lemma 02IJ와 Morphisms, Lemma 02JU를 보라.

3. 값매김환을 지배하는 정역적 유한형 스킴의 올의 차원은 일정하다. Algebra, Lemma 00QK를 보라.

4. \(X \to S\)가 유한형이고 \(X\)의 모든 일반점에서 준유한이면, \(X \to S\)는 여차원 \(1\)에서 준유한이다. Algebra, Lemma 02MA과 Lemma 0AB6을 보라.

위에서 마지막으로 언급한 결과는 다음과 같이 일반화된다.

보조정리

\(f : X \to Y\)가 국소 유한형이라고 하자. \(x \in X\)의 상을 \(y \in Y\)라 하고, \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 차원 \(\leq 1\)인 뇌터환이라고 하자. \(d \geq 0\)를 다음 조건을 만족하는 정수라 하자. 모든 일반점 \(\eta\) 가운데 \(X\)의 기약 성분 중 \(x\)를 포함하는 것의 일반점인 것에 대해 \(\dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\)이다. 그러면 \(\dim_x(X_y) = d\)이다.

증명

\(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)는 \(Y\)에서 \(y\)로 특수화되는 점들의 집합임을 상기하자. Schemes, Lemma 01J7를 보라. 따라서 \(Y\)를 \(\Spec(\mathcal{O}_{Y, y})\)로 바꾸어 \(Y = \Spec(B)\)라고 가정할 수 있다. 여기서 \(B\)는 차원 \(\leq 1\)인 뇌터 국소환이고 \(y\)는 닫힌점이다. \(X\)도 \(x\)의 아핀 근방으로 바꿀 수 있다.

\(X = \bigcup X_i\)를 \(X\)의 기약 성분들을 축약 닫힌 부분스킴으로 본 것이라 하자. 각 올 \(X_{i, y}\)의 차원이 \(d\)임을 보일 수 있다면 \(X_y = \bigcup X_{i, y}\)의 차원도 \(d\)이다. 따라서 \(X\)가 정역적 스킴이라고 가정할 수 있다.

\(X \to Y\)가 일반점 \(\eta\) 가운데 \(X\)의 일반점을 \(y\)로 보내면, \(X\)는 \(\kappa(y)\) 위의 스킴이므로 가정에 의해 결과가 성립한다. \(X\)가 \(\eta\)를, 점 \(\xi \in Y\) 가운데 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)에 대응하고 이 아이디얼이 \(B\)의 \(\mathfrak m_B\)와 다른 점으로 보낸다고 가정하자. 분해 \(X \to \Spec(B/\mathfrak q) \to \Spec(B)\)를 얻는다. 차원 공식(Morphisms, Lemma 02JU)에 의해 \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq \dim(B/\mathfrak q) + \text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X))\] 를 얻는다. \(\dim(B/\mathfrak q) = 1\)이다. 또한 \(\text{trdeg}_{\kappa(\mathfrak q)}(R(X)) = d\)이다. 이는 \(\dim_\eta(X_\xi) = d\)라는 가정과 Morphisms, Lemma 02FX에서 따른다. \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_s, x}\)는 핵을 갖고 (\(\eta \mapsto \xi \not = y\)이므로), \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 뇌터 정역이므로 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) > \dim(\mathcal{O}_{X_y, x})\)이다. 따라서 \[\dim_x(X_s) = \dim(\mathcal{O}_{X_s, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq d\] 라는 결론을 얻는다(Morphisms, Lemma 02FX). 한편 Morphisms, Lemma 02FZ에 의해 \(\dim_x(X_s) \geq \dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\)이다.

보조정리

\(f : X \to \Spec(R)\)를 기약 스킴에서 값매김환의 스펙트럼으로 가는 사상이라 하자. \(f\)가 국소 유한형이고 전사이면, 특수 올은 순수차원이며 그 차원은 일반 올의 차원과 같다.

증명

\(X\)를 그 축약으로 바꾸어도 \(X\)나 특수 올의 차원은 변하지 않으므로 그렇게 바꿀 수 있다. 그러면 \(X\)는 정역적이고, 보조정리는 Algebra, Lemma 00QK에서 따른다.

다음 보조정리는 Lemma 0B2I을 일반화한다.

보조정리

\(f : X \to Y\)가 국소 유한형이라고 하자. \(x \in X\)의 상을 \(y \in Y\)라 하고 \(\mathcal{O}_{Y, y}\)가 뇌터환이라고 하자. \(d \geq 0\)를 다음 조건을 만족하는 정수라 하자. 모든 일반점 \(\eta\) 가운데 \(X\)의 기약 성분 중 \(x\)를 포함하는 것의 일반점인 것에 대해 \(f(\eta) \not = y\)이고 \(\dim_\eta(X_{f(\eta)}) = d\)이다. 그러면 \(\dim_x(X_y) \leq d + \dim(\mathcal{O}_{Y, y}) - 1\)이다.

증명

Lemma 0B2I의 증명과 정확히 같은 방식으로 다음 경우로 환원한다. 즉 \(X = \Spec(A)\)이고 \(A\)는 정역이며, \(Y = \Spec(B)\)이고 \(B\)는 극대 아이디얼이 \(y\)에 대응하는 뇌터 국소환인 경우이다. \(B\)를 \(B/\Ker(B \to A)\)로 바꾸면 \(B\)가 정역이고 \(B \subset A\)라고 가정할 수 있다. 이제 차원 공식(Morphisms, Lemma 02JU)을 사용하여 \[\dim(\mathcal{O}_{X, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) \leq \dim(B) + \text{trdeg}_B(A)\] 를 얻는다. \(\text{trdeg}_B(A) = d\)이다. 이는 \(\dim_\eta(X_\xi) = d\)라는 가정과 Morphisms, Lemma 02FX에서 따른다. \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X_y, x}\)는 핵을 갖고 (\(f(\eta) \not = y\)이므로), \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 뇌터 정역이므로 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) > \dim(\mathcal{O}_{X_y, x})\)이다. 따라서 \[\dim_x(X_y) = \dim(\mathcal{O}_{X_y, x}) + \text{trdeg}_{\kappa(y)} \kappa(x) < \dim(B) + d\] 를 얻는다. 여기서 등식은 Morphisms, Lemma 02FX에 의한 것이며, 이는 원하는 바를 증명한다.

대수적 스킴

다음 정의는 [EGA, I Definition 6.4.1]에서 가져왔다.

정의

\(k\)를 체라 하자. 대수적 \(k\)-스킴이란 스킴 \(X\) 가운데 \(k\) 위에 놓이고 구조 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 유한형인 것을 말한다. 국소 대수적 \(k\)-스킴이란 스킴 \(X\) 가운데 \(k\) 위에 놓이고 구조 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 국소 유한형인 것을 말한다.

모든 (국소) 대수적 \(k\)-스킴은 (국소) 뇌터임에 유의하자. Morphisms, Lemma 01T6을 보라. 대수적 \(k\)-스킴의 범주는 모든 곱과 올곱을 갖는다 (\(k\) 위의 다형체의 범주와는 달리). 국소 대수적 \(k\)-스킴의 범주도 마찬가지이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴 가운데 차원 \(0\)인 것이라 하자. 그러면 \(X\)는 국소 아르틴 \(k\)-대수 \(A\) 가운데 \(\dim_k(A) < \infty\)인 것들의 스펙트럼의 서로소 합이다. \(X\)가 대수적 \(k\)-스킴 가운데 차원 \(0\)인 것이면, 더욱이 \(X\)는 아핀이고 사상 \(X \to \Spec(k)\)는 유한이다.

증명

\(X\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴 가운데 차원 \(0\)인 것이라 하자. \(U = \Spec(A) \subset X\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(\dim(X) = 0\)이므로 \(\dim(A) = 0\)이다. 뇌터 정규화, 즉 Algebra, Lemma 00OY에 의해 유한 단사 \(k \to A\)가 존재한다. 다시 말해 \(\dim_k(A) < \infty\)이다. 따라서 \(A\)는 아르틴이다. Algebra, Lemma 00J6를 보라. 그러므로 \(A = A_1 \times \ldots \times A_r\)는 유한 개의 아르틴 국소환의 곱이다. Algebra, Lemma 00JB를 보라. \(\dim_k(A_i) < \infty\)가 각 \(i\)에 대해 성립함은 물론이다. 실제로 이 차원들의 합은 \(\dim_k(A)\)와 같다.

위 논증은 \(X\)가 유한 이산 위상공간들로 이루어진 열린 덮개를 가짐을 보인다. 따라서 \(X\)는 이산 위상공간이다. 그러므로 \(X\)는 각각 한 점인 연결 성분들의 서로소 합과 동형이다. 한 점 스킴은 아핀이므로, 위 문단의 결과에 의해 각 한 점 성분은 국소 아르틴 \(k\)-대수 \(A\) 가운데 \(\dim_k(A) < \infty\)인 것의 스펙트럼이다.

마지막으로 \(X\)가 대수적 \(k\)-스킴 가운데 차원 \(0\)인 것이면 \(X\)는 준콤팩트이고, 따라서 유한 서로소 합 \(X = \Spec(A_1) \amalg \ldots \amalg \Spec(A_r)\)이다. 그러므로 아핀이다(Schemes, Lemma 01I5를 보라). 또한 증명의 첫 문단에서 \(X \to \Spec(k)\)의 유한성을 이미 보았다.

다음 보조정리는 국소 대수적 스킴의 차원론에 관한 몇 가지 명제를 모아 둔다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴이라 하자.

1. \(X\)의 위상공간은 카테너리이다 (Topology, Definition 02I1).

2. 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 \(\dim_x(X) = \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)이다.

3. \(X\)가 기약이면 \(\dim(X) = \dim(U)\)가 임의의 공집합이 아닌 열린집합 \(U \subset X\)에 대해 성립하고, \(\dim(X) = \dim_x(X)\)가 임의의 \(x \in X\)에 대해 성립한다.

4. \(X\)가 기약이면 기약 닫힌 부분집합들의 임의의 사슬은 극대 사슬로 연장되며, 기약 닫힌 부분집합들의 모든 극대 사슬의 길이는 \(\dim(X)\)와 같다.

5. \(x \in X\)에 대해 \(\dim_x(X) = \max \dim(Z) = \min \dim(\mathcal{O}_{X, x'})\)이다. 여기서 최댓값은 기약 성분 \(Z \subset X\) 가운데 \(x\)를 포함하는 것 전체에 대해 취하고, 최솟값은 특수화 \(x \leadsto x'\) 가운데 \(x'\)가 \(X\)에서 닫힌점인 것 전체에 대해 취한다.

6. \(X\)가 기약이고 일반점이 \(x\)이면 \(\dim(X) = \text{trdeg}_k(\kappa(x))\)이다.

7. \(x \leadsto x'\)가 \(X\)의 점들의 바로 다음 특수화이면 \(\text{trdeg}_k(\kappa(x)) = \text{trdeg}_k(\kappa(x')) + 1\)이다.

8. \(X\)의 차원은 수들 \(\text{trdeg}_k(\kappa(x))\)의 상한이다. 여기서 \(x\)는 \(X\)의 기약 성분들의 일반점 전체를 달린다.

9. \(x \leadsto x'\)가 \(X\)의 점들의 자명하지 않은 특수화이면 다음이 성립한다.

   1. \(\dim_x(X) \leq \dim_{x'}(X)\),

   2. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) < \dim(\mathcal{O}_{X, x'})\),

   3. \(\text{trdeg}_k(\kappa(x)) > \text{trdeg}_k(\kappa(x'))\), 그리고

   4. 자명하지 않은 특수화들로 이루어진 임의의 극대 사슬 \(x = x_0 \leadsto x_1 \leadsto \ldots \leadsto x_n = x'\)의 길이는 \(n = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) - \text{trdeg}_k(\kappa(x'))\)이다.

10. \(x \in X\)에 대해 \(\dim_x(X) = \text{trdeg}_k(\kappa(x)) + \dim(\mathcal{O}_{X, x})\)이다.

11. \(x \leadsto x'\)가 \(X\)의 점들의 바로 다음 특수화이고 \(X\)가 기약이거나 순수차원이면 \(\dim(\mathcal{O}_{X, x'}) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) + 1\)이다.

증명

앞에서 증명한 더 일반적인 결과에 의존하는 대신, 각 명제를 유한형 \(k\)-대수에 관한 대응 명제로 환원하고 가환대수 장의 결과를 인용하겠다.

(0B17)의 증명. Topology, Lemma 02I2에 의해 이는 \(X\) 위에서 국소적이다. 따라서 \(X = \Spec(A)\)이고 \(A\)가 유한형 \(k\)-대수라고 가정할 수 있다. \(A\)가 카테너리임을 보여야 한다 (Algebra, Lemma 02IH). Algebra, Lemma 00NK를 사용하여 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)의 경우로 환원한 다음 Algebra, Lemma 00OR을 적용할 수 있다. 또는 \(k\)가 (자명하게) 코언–매콜리이고 코언–매콜리 환은 보편 카테너리이므로 성립한다(Algebra, Lemma 00NM).

(0B18)의 증명. 아핀 근방 \(U = \Spec(A)\)를 \(x\)에 대해 택하자. 그러면 \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\)이다. 따라서 아핀인 경우로 환원되며, 이는 Algebra, Lemma 00OU이다.

(0B19)의 증명. 공집합이 아닌 임의의 두 아핀 열린집합 \(U, U' \subset X\)가 같은 차원을 가짐을 보이면 충분하다 (기약 부분집합들의 임의의 유한 사슬은 한 아핀 열린집합과 만난다). \(x\)를 \(X\)의 닫힌점 가운데 \(x \in U \cap U'\)인 것으로 택하자. \(X\)가 기약이므로 \(U \cap U'\)는 공집합이 아니고, Lemma 0478에 의해 \(X\)가 야콥슨이므로 그러한 닫힌점이 존재한다. Algebra, Lemma 00OS에 의해 \(\dim(U) = \dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(U')\)이다 (엄밀하게 말하면 이 보조정리를 적용하기 전에 \(X\)를 그 축약으로 바꾸어야 한다).

(0B1A)의 증명. 기약 닫힌 부분집합들의 사슬이 주어졌을 때, 그 최소 원소와 만나는 아핀 열린집합 \(U \subset X\)를 찾을 수 있다. 따라서 이 명제는 Algebra, Lemma 00OS 및 (0B19)에서 이미 본 \(\dim(U) = \dim(X)\)에서 따른다.

(0B1B)의 증명. 아핀 근방 \(U = \Spec(A)\)를 \(x\)에 대해 택하자. 그러면 \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\)이다. 대응 \(Z \mapsto Z \cap U\)는 \(X\)의 기약 성분 가운데 \(x\)를 지나는 것과 \(U\)의 기약 성분 가운데 \(x\)를 지나는 것 사이의 전단사이다. 또한 \(\dim(Z \cap U) = \dim(Z)\)가 그러한 \(Z\)에 대해 성립한다. 이는 (0B19)에서 따른다. 따라서 명제는 Algebra, Lemma 00OT에서 따른다.

(0B1C)의 증명. (0B19)에 의해 \(X = \Spec(A)\)가 아핀인 경우로 환원된다. 이 경우 \(A_{red}\)에 Algebra, Lemma 00P0을 적용하면 된다.

(0B1D)의 증명. \(Z = \overline{\{x\}} \supset Z' = \overline{\{x'\}}\)라 하자. 그러면 (0B1A)에 의해 \(Z \supset Z'\)는 \(Z\) 안의 기약 닫힌 부분스킴들의 극대 사슬의 시작이고, 따라서 \(\dim(Z) = \dim(Z') + 1\)이다. (0B1C)에 의해 결론을 얻는다.

(0B1E)의 증명. 간단한 위상 논증으로 \(\dim(X) = \sup \dim(Z)\)임을 알 수 있다. 여기서 상한은 \(X\)의 기약 성분 전체에 대해 취한다(힌트: Topology, Lemma 004W을 사용하라). 따라서 (0B1C)에서 따른다.

(0B1F)의 증명. (a)는 임의의 열린집합 \(U \subset X\) 가운데 \(x'\)를 포함하는 것이 \(x\)도 포함한다는 사실에서 따른다. (b)는 \(\mathcal{O}_{X, x}\)가 \(\mathcal{O}_{X, x'}\)의 국소화이므로, \(\mathcal{O}_{X, x}\)의 소 아이디얼 사슬은 \(\mathcal{O}_{X, x'}\)의 소 아이디얼 사슬에 대응하고, 끝에 \(\mathfrak m_{x'}\)를 붙여 이를 연장할 수 있다는 사실에서 따른다. (c)와 (d)는 모두 (0B1D)에서 형식적으로 따른다.

(0B1G)의 증명. 아핀 근방 \(U = \Spec(A)\)를 \(x\)에 대해 택하자. 그러면 \(\dim_x(X) = \dim_x(U)\)이다. 따라서 아핀인 경우로 환원되며, 이는 Algebra, Lemma 00P1이다.

(0B1H)의 증명. \(X\)가 순수차원이면(Topology, Definition 0058), \(\dim(X)\)는 \(X\)의 각 기약 성분의 차원과 같다. 따라서 (0B1B)에 의해 \(\dim_x(X) = \dim(X) = \dim_{x'}(X)\)이다. 그러므로 (0B1D)에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(f : X \to Y\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴들의 사상이라 하자.

1. \(y \in Y\)에 대해 올 \(X_y\)는 \(\kappa(y)\) 위의 국소 대수적 스킴이므로 Lemma 0A21의 모든 결과가 적용된다.

2. \(X\)가 기약이라고 가정하자. \(Z = \overline{f(X)}\) 및 \(d = \dim(X) - \dim(Z)\)로 놓자. 그러면

   1. \(\dim_x(X_{f(x)}) \geq d\)가 모든 \(x \in X\)에 대해 성립하고,

   2. 조건 \(x \in X\) 및 \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\)를 만족하는 점들의 집합은 조밀한 열린집합이고,

   3. \(\dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) \geq 1\)이면 \(\dim_x(X_{f(x)}) \leq d + \dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) - 1\)이고,

   4. \(\dim(\mathcal{O}_{Z, f(x)}) = 1\)이면 \(\dim_x(X_{f(x)}) = d\)이다.

3. \(x \in X\)이고 \(y = f(x)\)이면 \(\dim_x(X_y) \geq \dim_x(X) - \dim_y(Y)\)이다.

증명

Morphisms, Lemma 01T8에 의해 사상 \(f\)는 국소 유한형이다. 따라서 밑변환 \(X_y \to \Spec(\kappa(y))\)는 국소 유한형이다. 이로써 (1)이 증명된다. 이하 증명에서는 \(X\), \(Y\), 그리고 \(f\)의 올에 대해 Lemma 0A21의 결과들을 자유롭게 사용한다.

(2)의 증명. \(\eta \in X\)를 일반점이라 하고 \(\xi = f(\eta)\)로 놓자. 그러면 \(Z = \overline{\{\xi\}}\)이다. 따라서 \[d = \dim(X) - \dim(Z) = \text{trdeg}_k \kappa(\eta) - \text{trdeg}_k \kappa(\xi) = \text{trdeg}_{\kappa(\xi)} \kappa(\eta) = \dim_\eta(X_\xi)\] 그러므로 (2)(a)와 (2)(b)는 Morphisms, Lemma 02FZ에서 따른다. (2)(c)와 (2)(d)는 Lemmas 0B2K와 0B2I에서 따른다.

(3)의 증명. \(x \in X\)라 하자. \(X' \subset X\)를 \(X\)의 기약 성분 가운데 \(x\)를 지나고 차원이 \(\dim_x(X)\)인 것이라 하자. 그러면 (2)에 의해 \(\dim_x(X_y) \geq \dim(X') - \dim(Z')\)이다. 여기서 \(Z' \subset Y\)는 \(X'\)의 상의 폐포이다. 이로써 (3)이 증명된다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\), \(Y\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴이라 하자.

1. \(z \in X \times Y\) 가운데 \((x, y)\) 위에 놓이는 것에 대해 \(\dim_z(X \times Y) = \dim_x(X) + \dim_y(Y)\)이다.

2. \(\dim(X \times Y) = \dim(X) + \dim(Y)\)이다.

증명

(1)의 증명. 구조 사상의 분해 \[X \times Y \longrightarrow Y \longrightarrow \Spec(k)\] 를 생각하자. 첫 번째 사상 \(p : X \times Y \to Y\)는 평탄 사상 \(X \to \Spec(k)\)의 밑변환이므로 평탄하다. Morphisms, Lemma 01U9을 보라. 더욱이 Morphisms, Lemma 02FY에 의해 \(\dim_z(p^{-1}(y)) = \dim_x(X)\)이다. 따라서 Morphisms, Lemma 02JS에 의해 \(\dim_z(X \times Y) = \dim_x(X) + \dim_y(Y)\)이다. (2)는 (1)의 직접적인 귀결이다.

완비 국소환

체 위의 스킴의 완비 국소환에 관한 몇 가지 결과를 제시한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 국소 뇌터 스킴이라 하자. \(x \in X\)를 잉여체가 \(\kappa\)인 점이라 하자. 잉여체 위에서 항등을 유도하는 동형 [0C53]\[\begin{equation} \kappa[[x_1, \ldots, x_n]]/I \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \end{equation}\] 이 존재한다. 일반적으로 (0C53)을 \(k\)-대수의 동형으로 택할 수는 없다. 그러나 확대 \(\kappa/k\)가 분리적이면 (0C53)을 \(k\)-대수의 동형으로 택할 수 있다.

증명

동형의 존재는 코언 구조 정리의 직접적인 귀결이다.² (Algebra, Theorem 032A).

\(p\)를 홀수 소수라 하고, \(k = \mathbf{F}_p(t)\) 및 \(A = k[x, y]/(y^2 + x^p - t)\)라 하자. 그러면 \(A^\wedge\)를 \(A\)의 극대 아이디얼 \(\mathfrak m = (y)\)에 관한 완비화라 할 때, 이는 환으로서는 \(k(t^{1/p})[[z]]\)와 동형이지만 \(k\)-대수로서는 그렇지 않다. 그 이유는 \(A^\wedge\)가 \(p\)제곱이 \(t\)인 원소를 포함하지 않기 때문이다 (독자는 \(y^2\)을 법으로 계산하여 이를 확인할 수 있다). 이는 또한 임의의 동형 (0C53)이 \(k\)-대수의 동형일 수 없음을 보인다.

\(\kappa/k\)가 분리적이면, 잉여체 위에서 항등을 유도하는 \(k\)-대수 준동형 \(\kappa \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)가 존재한다. More on Algebra, Lemma 0C34를 보라. \(f_1, \ldots, f_n \in \mathfrak m_x\)를 생성원들이라 하자. 사상 \[\kappa[[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge,\quad x_i \longmapsto f_i\] 을 생각하자. 양변은 \((x_1, \ldots, x_n)\)-진 완비이고 (오른쪽은 Algebra, Lemmas 05GG에 의해 그러하다), 구성상 \((x_1, \ldots, x_n)\)을 법으로 이 사상이 전사이므로 Algebra, Lemma 0315에 의해 이 사상은 전사이다.

보조정리

\(K/k\)를 체의 확대라 하자. \(X\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴이라 하자. \(Y = X_K\)로 놓자. \(y \in Y\)의 상을 \(x \in X\)라 하자. \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = \dim(\mathcal{O}_{Y, y})\)이고 \(\kappa(x)/k\)가 분리적이라고 가정하자. (0C53)에서와 같은 \(k\)-대수의 동형 \[\kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\] 을 택하자. 그러면 (0C53)에서와 같은 \(K\)-대수의 동형 \[\kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] 을 얻는다. 여기서는 \(\kappa(x) \to \kappa(y)\)를 사용하여 \(g_j\)를 \(\kappa(y)\) 위의 형식적 멱급수로 본다.

증명

국소환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)는 국소환 사상 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)를 유도한다. 유도된 사상 \[\kappa(x) \to \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \to \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] 을 \(\kappa(y)\)로의 사영과 합성한 것은 표준 준동형 \(\kappa(x) \to \kappa(y)\)이다. Lemma 0C4Y에 의해 잉여체 \(\kappa(y)\)는 \(\kappa(x) \otimes_k K\)를 핵 \(\mathfrak p_0\)에서 국소화한 것이다. 여기서 이는 사상 \(\kappa(x) \otimes_k K \to \kappa(y)\)의 핵이다. 한편 Lemma 0C50에 의해 국소환 \((\kappa(x) \otimes_k K)_{\mathfrak p_0}\)는 \(\kappa(y)\)와 같다. 따라서 사상 \[\kappa(x) \otimes_k K \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\] 은 표준적으로 \(\kappa(y)\)를 거쳐 분해된다. 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ \kappa(y) \ar[rr] & & \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \\ \kappa(x) \ar[r] \ar[u] & \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] }\] \(f_i \in \mathfrak m_x^\wedge \subset \mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)를 \(x_i\)의 상이라 하자. 사상이 전사이므로 \(\mathfrak m_x^\wedge = (f_1, \ldots, f_n)\)임에 유의하자. 사상 \[\kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]] \longrightarrow \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge,\quad x_i \longmapsto f_i\] 을 생각하자. 여기서 \(f_i\)는 실제로는 \(f_i\)의 \(\mathfrak m_y^\wedge\) 안에서의 상을 뜻한다. Lemma 0C50에 의해 \(\mathfrak m_x \mathcal{O}_{Y, y} = \mathfrak m_y\)이므로, 오른쪽은 \((x_1, \ldots, x_n)\)에 관해 완비이다(그것이 완비 국소환임을 보이려면 Algebra, Lemma 05GG를 사용하라). 양변이 \((x_1, \ldots, x_n)\)-진 완비이고 이 사상이 \((x_1, \ldots, x_n)\)을 법으로 전사이므로, Algebra, Lemma 0315에 의해 이 사상은 전사이다. 물론 형식적 멱급수 \(g_1, \ldots, g_m\)은 이 사상 아래에서 영으로 가는데, 이미 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge\)에서 영으로 가기 때문이다. 따라서 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ \kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] & \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge \\ \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m) \ar[r] \ar[u] & \mathcal{O}_{X, x}^\wedge \ar[u] }\] 이제 위쪽 수평 화살표가 동형임을 보여야 한다. 이것이 전사임은 이미 안다. \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{Y, y}\)가 평탄임도 안다 (Lemma 0C4Y). 이는 \(\mathcal{O}_{X, x}^\wedge \to \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\)가 평탄임을 함의한다(More on Algebra, Lemma 0C4G). 따라서 Algebra, Lemma 00ME를 \(R = \kappa(x)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m)\), \(S = \kappa(y)[[x_1, \ldots, x_n]]/(g_1, \ldots, g_m)\), \(M = \mathcal{O}_{Y, y}^\wedge\), 그리고 \(N = S\)에 적용하면 사상이 단사라는 결론을 얻는다.

전역 생성

준연접 가군의 전역 생성과 관련된 몇 가지 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(X \to \Spec(A)\)를 스킴의 사상이라 하자. \(A \subset A'\)를 충실히 평탄한 환 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 전역 생성될 필요충분조건은 밑변환 \(\mathcal{F}_{A'}\)가 전역 생성되는 것이다.

증명

더 정확히 \(X_{A'} = X \times_{\Spec(A)} \Spec(A')\)로 놓자. \(\mathcal{F}_{A'} = p^*\mathcal{F}\)로 놓자. 여기서 \(p : X_{A'} \to X\)는 사영이다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의해 \(H^0(X_{k'}, \mathcal{F}_{A'}) = H^0(X, \mathcal{F}) \otimes_A A'\)이다. 따라서 \(s_i\), \(i \in I\)가 \(H^0(X, \mathcal{F})\)의 \(A\)-가군으로서의 생성원들이면, 그 상들은 \(H^0(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\) 안에서 \(H^0(X_{A'}, \mathcal{F}_{A'})\)의 \(A'\)-가군으로서의 생성원들이다. 그러므로 사상 \(\alpha : \bigoplus_{i \in I} \mathcal{O}_X \to \mathcal{F}\), \((f_i) \mapsto \sum f_i s_i\)가 전사일 필요충분조건이 \(p^*\alpha\)가 전사인 것임을 보이면 된다. 아핀 열린집합 \(U = \Spec(B)\) 가운데 \(X\)에 속하는 것 위에서 이를 확인할 수 있다. 그러면 \(\mathcal{F}|_U\)는 \(B\)-가군 \(M\)에 대응하고, \(s_i|_U\)는 원소 \(x_i \in M\)에 대응한다. 따라서 \(\bigoplus_{i \in I} B \to M\)가 전사일 필요충분조건이 밑변환 \(\bigoplus_{i \in I} B \otimes_A A' \to M \otimes_A A'\)가 전사인 것임을 보이면 된다. 이는 \(A \to A'\)가 충실히 평탄하므로 참이다.

보조정리

\(k\)를 무한체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위의 매우 풍부한 가역층이라 하자. \(n \geq 0\)이고 \(x, x_1, \ldots, x_n \in X\)를 점들이라 하되, \(x\)는 \(k\)-유리점, 즉 \(\kappa(x) = k\)이고 \(x \not = x_i\)가 \(i = 1, \ldots, n\)에 대해 성립한다고 하자. 그러면 \(s \in H^0(X, \mathcal{L})\)가 존재하여 \(x\)에서는 영이고 \(x_i\)에서는 영이 아니다.

증명

\(n = 0\)이면 결과는 자명하므로 \(n > 0\)이라고 가정한다. 매우 풍부한 가역층의 정의에 의해 보조정리는 \(X = \mathbf{P}^r_k\)이고 어떤 \(r > 0\)에 대해 \(\mathcal{L} = \mathcal{O}_X(1)\)인 경우로 곧바로 환원된다. \(\mathbf{P}^r_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_r])\)로 쓰고, \(V = H^0(X, \mathcal{L}) = kT_0 \oplus \ldots \oplus kT_r\)로 놓자. \(x\)가 \(k\)-유리점이므로 \(s \in V\) 가운데 \(x\)에서 영이 되는 것들의 집합은 여차원 \(1\)인 부분공간 \(W \subset V\)이고, \(W\)는 \(x\)에 대응하는 동차 소 아이디얼을 생성한다. \(x_i \not = x\)이므로 이에 대응하는 동차 소 아이디얼 \(\mathfrak p_i \subset k[T_0, \ldots, T_r]\)는 \(W\)를 포함하지 않는다. \(k\)가 무한이므로 \(W \not = \bigcup W \cap \mathfrak q_i\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 무한체라 하자. \(X\)를 대수적 \(k\)-스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(V \to \Gamma(X, \mathcal{L})\)를 \(k\)-벡터공간의 선형사상 가운데 그 상이 \(\mathcal{L}\)을 생성하는 것이라 하자. 그러면 부분공간 \(W \subset V\) 가운데 \(\dim_k(W) \leq \dim(X) + 1\)을 만족하고 \(\mathcal{L}\)을 생성하는 것이 존재한다.

증명

증명 전체에서 모든 \(x \in X\)에 대해 선형사상 \[\psi_x : V \to \Gamma(X, \mathcal{L}) \to \mathcal{L}_x \to \mathcal{L}_x \otimes_{\mathcal{O}_{X, x}} \kappa(x)\] 이 영이 아니라는 사실을 사용한다. \(\dim(X)\)에 대한 귀납법으로 증명한다.

기초 단계는 \(\dim(X) = 0\)인 경우이다. 이때 \(X\)는 유한 개의 점 \(X = \{x_1, \ldots, x_n\}\)을 갖는다(예를 들어 Lemma 06LH을 보라). \(k\)가 무한이므로 모든 \(v \in V\)인 벡터 가운데 \(\psi_{x_i}(v) \not = 0\)이 모든 \(i\)에 대해 성립하는 것이 존재한다. 그러면 \(W = k\cdot v\)가 원하는 조건을 만족한다.

\(\dim(X) > 0\)이라고 가정하자. \(X_i \subset X\)를 차원이 \(\dim(X)\)와 같은 기약 성분들이라 하자. \(X\)가 뇌터이므로 이러한 성분은 유한 개뿐이다. 각 \(i\)에 대해 점 \(x_i \in X_i\)를 택하자. 위와 같이 \(v \in V\)를 택하여 \(\psi_{x_i}(v) \not = 0\)이 모든 \(i\)에 대해 성립하게 하자. \(Z \subset X\)를 \(v\)의 \(\Gamma(X, \mathcal{L})\) 안에서의 상의 영점 스킴이라 하자. Divisors, Definition 02OQ를 보라. 구성에 의해 \(\dim(Z) < \dim(X)\)이다. 귀납가정에 의해 부분공간 \(W \subset V\) 가운데 \(\dim(W) \leq \dim(X)\)인 것을 찾을 수 있다. 이 \(W\)는 \(\mathcal{L}|_Z\)를 생성한다. 그러면 \(W + k\cdot v\)가 \(\mathcal{L}\)을 생성한다.

점과 접벡터의 분리

이는 바로 다음 결과이다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 고유 \(k\)-스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. \(V \subset H^0(X, \mathcal{L})\)를 \(k\)-부분벡터공간이라 하자. 다음을 가정하자.

1. 서로 다른 임의의 두 닫힌점 \(x, y \in X\)에 대해 단면 \(s \in V\)가 존재하여, 그것은 \(x\)에서는 영이지만 \(y\)에서는 영이 아니고,

2. 임의의 닫힌점 \(x \in X\)와 영이 아닌 접벡터 \(\theta \in T_{X/k, x}\)에 대해 단면 \(s \in V\)가 존재하여, 그것은 \(x\)에서는 영이지만 \(\theta\)에 의한 당김은 영이 아니다.

그러면 \(\mathcal{L}\)은 매우 풍부하며 정준 사상 \(\varphi_{\mathcal{L}, V} : X \to \mathbf{P}(V)\)는 닫힌 몰입이다.

증명

조건 (1)은 특히 \(V\)의 원소들이 \(\mathcal{L}\)을 \(X\) 위에서 생성함을 뜻한다. 따라서 Constructions, Example 0FCY에 의해 정준 사상 \[\varphi = \varphi_{\mathcal{L}, V} : X \longrightarrow \mathbf{P}(V)\] 을 얻는다. 사상 \(\varphi\)는 Morphisms, Lemma 01W6에 의해 고유이다. (1)에 의해 사상 \(\varphi\)는 닫힌점들 위에서 단사이다 (계산은 생략한다). 특히 \(\mathbf{P}(V)\)의 임의의 닫힌점 위의 올은 한 점으로 이루어진다(작은 세부사항은 생략한다). 따라서 예컨대 Cohomology of Schemes, Lemma 02OH를 적용하면 \(\varphi\)가 유한임을 알 수 있다. 증명을 끝내려면 사상 \[\varphi^\sharp : \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V)} \longrightarrow \varphi_*\mathcal{O}_X\] 이 전사임을 보이면 충분하다. 이는 닫힌점에서의 줄기 위에서 확인할 수 있다. \(x \in X\)를 닫힌점이라 하고 그 상인 닫힌점을 \(p = \varphi(x) \in \mathbf{P}(V)\)라 하자. (1)에 의해 \(\varphi^{-1}(\{p\}) = \{x\}\)이고 \(\varphi\)가 고유이므로 (따라서 닫힌 사상이므로), \(\varphi^{-1}(U)\)들이 \(x\)의 열린 근방들의 기본계를 이룬다. 여기서 \(U\)는 \(p\)의 열린 근방들의 기본계를 달린다. 따라서 \(p\)에서의 줄기 위에서 사상 \[\varphi^\sharp_x : \mathcal{O}_{\mathbf{P}(V), p} \longrightarrow \mathcal{O}_{X, x}\] 을 얻는다. 특히 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}(V), p}\)-유한 가군이다. 또한 \(x\)와 \(p\)의 잉여체는 모두 \(k\)와 같다 (\(k\)가 대수적으로 닫혀 있기 때문이다. 힐베르트 영점정리를 사용하라). 마지막으로 조건 (2)에 의해 사상 \[T_{X/k, x} \longrightarrow T_{\mathbf{P}(V)/k, p}\] 은 단사이다. 실제로 이 사상의 핵에 속하는 영이 아닌 임의의 \(\theta\)는 (2)의 결론을 만족할 수 없다. 위의 국소환 사상으로 표현하면 이는 \[\mathfrak m_p/\mathfrak m_p^2 \longrightarrow \mathfrak m_x/\mathfrak m_x^2\] 이 전사라는 뜻이다. Lemma 0B2E를 보라. 이제 Algebra, Lemma 0E8M를 적용하면 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 고유 \(k\)-스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 임의의 닫힌 부분스킴 \(Z \subset X\) 가운데 차원이 \(0\)이고 차수가 \(2\)인 것을 \(k\) 위에서 택하면, 사상 \[H^0(X, \mathcal{L}) \longrightarrow H^0(Z, \mathcal{L}|_Z)\] 이 전사라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{L}\)은 \(X\)에서 \(k\) 위로 매우 풍부하다.

증명

이는 Lemma 0E8S를 다시 쓴 것이다. 실제로 서로 다른 닫힌점 \(x, y \in X\)가 주어지면 \(Z = x \cup y\)로 두어(닫힌 부분스킴으로 본다) 그 보조정리의 조건 (1)을 얻는다. 또한 영이 아닌 접벡터 \(\theta \in T_{X/k, x}\)가 주어지면 사상 \(\theta : \Spec(k[\epsilon]) \to X\)는 닫힌 몰입이다. \(Z = \Im(\theta)\)로 두면 그 보조정리의 조건 (2)를 얻는다.

곱의 폐포

폐포와 곱 사이의 관계에 관한 몇 가지 결과를 제시한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\), \(Y\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하고, \(A \subset X\), \(B \subset Y\)를 부분집합이라 하자. 다음과 같이 두자. \[AB = \{z \in X \times_k Y \mid \text{pr}_X(z) \in A, \ \text{pr}_Y(z) \in B\} \subset X \times_k Y\] 그러면 집합론적으로 \[\overline{A} \times_k \overline{B} = \overline{AB}\] 이다.

증명

포함관계 \(\overline{AB} \subset \overline{A} \times_k \overline{B}\)는 자명하다. \(X\)와 \(Y\)를 각각 축소된 닫힌 부분스킴 \(\overline{A}\)와 \(\overline{B}\)로 바꾸어도 된다. \(W \subset X \times_k Y\)를 공집합이 아닌 열린 부분집합이라 하자. Morphisms, Lemma 0383에 의해 부분집합 \(U = \text{pr}_X(W)\)는 \(X\)에서 공집합이 아닌 열린집합이다. 따라서 \(A \cap U\)는 공집합이 아니다. \(a \in A \cap U\)를 택하자. \(Y_a = \{a\} \times_k Y \cong Y_{\kappa(a)}\)를 \(\text{pr}_X : X \times_k Y \to X\)의 \(a\) 위의 올이라 쓰자. 다시 Morphisms, Lemma 0383에 의해 사상 \(Y_a \to Y\)는 열린 사상이다. 실제로 \(\Spec(\kappa(a)) \to \Spec(k)\)가 보편적으로 열린 사상이기 때문이다. 따라서 공집합이 아닌 열린 부분집합 \(W_a = W \times_{X \times_k Y} Y_a\)의 상은 \(Y\)에서 공집합이 아닌 열린 부분집합이다. 그러므로 그 상에 속하는 \(b \in B\)가 존재한다. 따라서 원하는 대로 \(AB \cap W \not = \emptyset\)이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(f : A \to X\), \(g : B \to Y\)를 \(k\) 위의 스킴 사상이라 하자. 그러면 집합론적으로 \[\overline{f(A)} \times_k \overline{g(B)} = \overline{(f \times g)(A \times_k B)}\] 이다.

증명

이는 Lemma 047B에서 따른다. 실제로 그 보조정리의 표기법으로 \(f \times g\)의 상은 \(f(A)g(B)\)이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(f : A \to X\), \(g : B \to Y\)를 \(k\) 위의 스킴 사이의 준콤팩트 사상이라 하자. \(Z \subset X\)를 \(f\)의 스킴론적 상이라 하자. Morphisms, Definition 01R7를 보라. 마찬가지로 \(Z' \subset Y\)를 \(g\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(Z \times_k Z'\)는 \(f \times g\)의 스킴론적 상이다.

증명

\(Z\)는 \(X\)의 닫힌 부분스킴 가운데 \(f\)가 이를 통해 분해되는 가장 작은 것임을 상기하자. \(Z'\)에 대해서도 마찬가지이다. \(W \subset X \times_k Y\)를 \(f \times g\)의 스킴론적 상이라 하자. \(f \times g\)가 \(Z \times_k Z'\)를 통해 분해되므로 \(W \subset Z \times_k Z'\)이다.

반대쪽 포함관계를 보이기 위해 \(U \subset X\)와 \(V \subset Y\)를 아핀 열린집합이라 하자. Morphisms, Lemma 01R8에 의해 스킴 \(Z \cap U\)는 \(f|_{f^{-1}(U)} : f^{-1}(U) \to U\)의 스킴론적 상이며, \(Z' \cap V\)와 \(W \cap U \times_k V\)에 대해서도 마찬가지이다. 따라서 \(X\)와 \(Y\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(f\)와 \(g\)가 준콤팩트이므로 이는 \(A = \bigcup U_i\)가 아핀들의 유한 합집합이고 \(B = \bigcup V_j\)가 아핀들의 유한 합집합임을 뜻한다. 그렇다면 \(A\)를 \(\coprod U_i\)로, \(B\)를 \(\coprod V_j\)로 바꾸어도 된다. 즉 \(A\)와 \(B\)도 아핀이라고 가정해도 된다. 이 경우 \(Z\)는 \(\Ker(\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to \Gamma(A, \mathcal{O}_A))\)가 정의하는 닫힌 부분스킴이고, \(Z'\)와 \(W\)도 마찬가지이다. 따라서 결과는 등식 \[\Gamma(A \times_k B, \mathcal{O}_{A \times_k B}) = \Gamma(A, \mathcal{O}_A) \otimes_k \Gamma(B, \mathcal{O}_B)\] 에서 따른다. 이 등식은 \(A\)와 \(B\)가 아핀이므로 성립한다. 세부사항은 생략한다.

체 위에서 매끄러운 스킴

체 위에서 매끄러운 스킴을 특징짓는 두 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 \(k\) 위에서 국소 유한형이고,

2. \(\Omega_{X/k}\)는 국소 자유이며,

3. \(k\)의 표수는 영이다.

그러면 구조 사상 \(X \to \Spec(k)\)는 매끄럽다.

증명

이는 Algebra, Lemma 00TX에서 따른다.

양의 표수에서는 미분층이 자유인 비축소 유한형 스킴이 존재한다. 예를 들어 \(\Spec(\mathbf{F}_p[t]/(t^p))\)는 \(\Spec(\mathbf{F}_p)\) 위에서 그러하다. 바탕체 \(k\)가 표수 \(p\)인 비완전체라면, 축소 스킴 \(X/k\) 가운데 \(\Omega_{X/k}\)가 자유이지만 매끄럽지 않은 것이 존재한다. 예를 들어 \(\Spec(k[t]/(t^p-a)\)가 그러한데, 여기서 \(a \in k\)는 \(p\)제곱이 아니다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 \(k\) 위에서 국소 유한형이고,

2. \(\Omega_{X/k}\)는 국소 자유이며,

3. \(X\)는 축소이고,

4. \(k\)는 완전체이다.

그러면 구조 사상 \(X \to \Spec(k)\)는 매끄럽다.

증명

\(x \in X\)를 점이라 하자. \(X\)는 국소 뇌터 스킴이므로(Morphisms, Lemma 01T6을 보라), 유한 개의 기약 성분 \(X_1, \ldots, X_n\)만이 \(x\)를 지난다(Properties, Lemma 01OZ 및 Topology, Lemma 0052을 보라). \(\eta_i \in X_i\)를 일반점이라 하자. \(X\)가 축소이므로 \(\mathcal{O}_{X, \eta_i} = \kappa(\eta_i)\)이다. Algebra, Lemma 00EU을 보라. 더욱이 \(\kappa(\eta_i)\)는 완전체 \(k\)의 유한 생성 체 확대이므로 \(k\) 위에서 분리적으로 생성된다(Algebra, Section 030I을 보라). 따라서 \(\Omega_{X/k, \eta_i} = \Omega_{\kappa(\eta_i)/k}\)는 \(\kappa(\eta_i)\)가 \(k\) 위에서 갖는 초월차수를 계수로 갖는 자유 가군이다. Morphisms, Lemma 02FX에 의해 \(\dim_{\eta_i}(X_i) = \text{rank}_{\eta_i}(\Omega_{X/k})\)임을 얻는다. \(x \in X_1 \cap \ldots \cap X_n\)이므로 \[\text{rank}_x(\Omega_{X/k}) = \text{rank}_{\eta_i}(\Omega_{X/k}) = \dim(X_i).\] 따라서 \(\dim_x(X) = \text{rank}_x(\Omega_{X/k})\)이다. Algebra, Lemma 00OT를 보라. 그러므로 예컨대 Algebra, Lemma 00TT에 의해 \(X \to \Spec(k)\)는 \(x\)에서 매끄럽다.

보조정리

\(X \to \Spec(k)\)를 매끄러운 사상이라 하고 \(k\)를 체라 하자. 그러면 \(X\)는 정칙 스킴이다.

증명

(Lemma 038X도 보라.) Algebra, Lemma 00TT에 의해 모든 국소환 \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 정칙이다. 또한 \(X\)는 \(k\) 위에서 국소 유한형이므로 국소 뇌터 스킴이다. 따라서 Properties, Lemma 02IT에 의해 \(X\)는 정칙이다.

보조정리

\(X \to \Spec(k)\)를 매끄러운 사상이라 하고 \(k\)를 체라 하자. 그러면 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 정칙이고, 기하학적으로 정규이며, 기하학적으로 축소이다.

증명

(Lemma 038X도 보라.) \(k'\)를 \(k\)의 유한 순수 비분리 확대라 하자. 다음 보조정리들에 의해 \(X_{k'}\)가 정칙이고 정규이며 축소임을 보이면 충분하다. Lemmas 038V, 038O, and 035Y. Morphisms, Lemma 01VB에 의해 사상 \(X_{k'} \to \Spec(k')\)도 매끄럽다. 따라서 체 위에서 매끄러운 스킴 \(X\)가 정칙이고 정규이며 축소임을 보이면 충분하다. Lemma 056S에 의해 \(X\)는 정칙이다. 따라서 Properties, Lemma 0569에 의해 \(X\)는 정규이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(d \geq 0\)이라 하자. \(W \subset \mathbf{A}^d_k\)를 공집합이 아닌 열린집합이라 하자. 그러면 닫힌점 \(w \in W\) 가운데 \(k \subset \kappa(w)\)가 유한 분리 확대인 것이 존재한다.

증명

필요하다면 \(W\)를 줄여서 \(W = \mathbf{A}^d_k \setminus V(f)\)라고 가정할 수 있다. 여기서 \(f \in k[x_1, \ldots, x_d]\)이다. 이 보조정리가 거짓이라면 \(f(a_1, \ldots, a_d) = 0\)이 모든 \((a_1, \ldots, a_d) \in (k^{sep})^d\)에 대해 성립한다. 그러나 \(k^{sep}\)는 무한체이므로 이는 모순이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)가 \(\Spec(k)\) 위에서 매끄럽다면 집합 \[\{x \in X\text{ closed such that }k \subset \kappa(x) \text{ is finite separable}\}\] 은 \(X\)에서 조밀하다.

증명

공집합이 아닌 매끄러운 \(X\)가 \(k\) 위에서 주어졌을 때 잉여체가 \(k\)의 유한 분리 확대인 닫힌점이 하나 이상 존재함을 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해 다음 그림을 택하자. \[\xymatrix{ X & U \ar[l] \ar[r]^-\pi & \mathbf{A}^d_k }\] 여기서 \(\pi\)는 étale이다. Morphisms, Lemma 054L를 보라. 사상 \(\pi : U \to \mathbf{A}^d_k\)는 열린 사상이다. Morphisms, Lemma 03WT을 보라. Lemma 055T에 의해 닫힌점 \(w \in \pi(U)\)를 택하여 그 잉여체가 \(k\)의 유한 분리 확대가 되게 할 수 있다. 임의의 \(x \in U\) 가운데 \(\pi(x) = w\)인 것을 택하자. Morphisms, Lemma 02GL에 의해 체 확대 \(\kappa(x)/\kappa(w)\)는 유한 분리 확대이다. 따라서 \(\kappa(x)/k\)는 유한 분리 확대이다. Morphisms, Lemma 01TE에 의해 점 \(x\)는 \(X\)의 닫힌점이다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위에서 국소 유한형인 축소 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 \(k\) 위에서 기하학적으로 축소일 필요충분조건은 \(X\)가 \(k\) 위에서 매끄러운 조밀 열린집합을 포함하는 것이다.

증명

문제는 \(X\) 위에서 국소적이므로 \(X\)가 준콤팩트라고 가정해도 된다. \(X = X_1 \cup \ldots \cup X_n\)을 \(X\)의 기약 성분들이라 하자. 먼저 \(X\)가 \(k\) 위에서 매끄러운 조밀 열린집합을 포함한다고 가정하자. 그러면 \(X\)는 각 \(X_i\)의 일반점에서 기하학적으로 축소이다 (예를 들어 Lemma 056T에 의한다). Lemma 04KS에 의해 \(X\)는 기하학적으로 축소이다.

역으로 \(X\)가 기하학적으로 축소라고 가정하자. \(Z = \bigcup_{i \not = j} X_i \cap X_j\)는 \(X\)에서 조밀하지 않은 닫힌집합이므로 \(X\)를 \(X \setminus Z\)로 바꾸어도 된다. \(X \setminus Z\)가 기약 스킴들의 분리합이므로 \(X\)가 기약인 경우로 귀착된다. \(X\)는 기약이고 축소이므로 정역 스킴이다. Properties, Lemma 01ON을 보라. \(\eta \in X\)를 그 일반점이라 하자. 그러면 함수체 \(K = k(X) = \kappa(\eta) = \mathcal{O}_{X, \eta}\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 축소이므로 \(k\) 위에서 분리적이다. Algebra, Lemma 030W를 보라. \(U = \Spec(A) \subset X\)를 공집합이 아닌 임의의 아핀 열린집합이라 하자. 그러면 \(K = A_{(0)}\)은 \(A\)의 분수체이다. Algebra, Lemma 00TV를 적용하면 \(A\)는 \((0)\)에서 \(k\) 위로 매끄럽다. 정의에 따라 이는 \(A\)의 어떤 주국소화가 \(k\) 위에서 매끄럽다는 뜻이므로 결론을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 완전체라 하자. \(X\)를 국소 대수적인 축소 \(k\)-스킴, 예를 들어 \(k\) 위의 대수다양체라 하자. 그러면 \[\{x \in X \mid X \to \Spec(k)\text{ is smooth at }x\} = \{x \in X \mid \mathcal{O}_{X, x}\text{ is regular}\}\] 이고, 이는 \(X\)의 조밀 열린 부분스킴이다.

증명

두 집합의 등식은 Algebra, Lemma 00TV와 정의에서 곧바로 따른다 (완전체의 정의는 Algebra, Definition 030Y을 보라). 스킴 사상이 매끄러운 점들의 집합은 열려 있으므로 이 집합은 열린집합이다. Morphisms, Definition 01V5를 보라. 마지막으로 이 집합이 조밀함을 보이는 두 가지 논증을 제시한다. (1) \(X\)의 일반점에서의 국소환은 체이므로(Algebra, Lemma 00EU) 정칙이다. 따라서 일반점들은 이 집합에 속한다. (2) Lemma 020I에 의해 \(X\)가 기하학적으로 축소라는 사실을 사용하고, 따라서 Lemma 056V를 적용한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(k\) 위에서 국소 유한형인 스킴들의 사상이라 하자. \(x \in X\)를 점이라 하고 \(y = f(x)\)로 두자. \(X \to \Spec(k)\)가 \(x\)에서 매끄럽고 \(f\)가 \(x\)에서 평탄하면 \(Y \to \Spec(k)\)는 \(y\)에서 매끄럽다. 특히 \(X\)가 \(k\) 위에서 매끄럽고 \(f\)가 평탄 전사이면 \(Y\)는 \(k\) 위에서 매끄럽다.

증명

\(Y\)가 \(y\)에서 기하학적으로 정칙임을 보이면 충분하다. Lemma 038X를 보라. 이는 Lemma 05AW에서 따른다 (그리고 Lemma 038X를 \((X, x)\)에 적용한다).

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 대수다양체라 하고, \(k\)-유리점 \(x\)를 가지며 \(X\)가 \(x\)에서 매끄럽다고 하자. 그러면 \(X\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 정역이다.

증명

\(U \subset X\)를 \(X\)의 매끄러운 자취라 하자. 가정에 의해 \(U\)는 공집합이 아니며, 따라서 조밀하고 스킴론적으로도 조밀하다. 그러면 \(U_{\overline{k}} \subset X_{\overline{k}}\)도 조밀하고 스킴론적으로 조밀하다 (몇몇 세부사항은 생략한다). 따라서 \(U\)가 기하학적으로 정역임을 보이면 충분하다. \(U\)는 \(k\)-유리점을 가지므로 Lemma 04KV에 의해 기하학적으로 연결이다. 한편 \(U_{\overline{k}}\)는 축소이고 정규이다 (Lemma 056T. 연결이고 정규인 뇌터 스킴은 정역이므로(Properties, Lemma 033M) 증명이 끝난다.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 유한형 스킴이라 하자. 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\), 정수 \(t \geq 0\), 그리고 닫힌 부분스킴들 \[X_{k'} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] 이 존재하여 \(Z_0 = (X_{k'})_{red}\)이고 \(Z_i \setminus Z_{i + 1}\)은 \(k'\) 위에서 매끄럽다. 이는 모든 \(i\)에 대해 성립한다.

증명

\(\dim(X)\)에 관한 귀납법을 사용할 수 있다. Lemma 04KT에 의해 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)를 찾아서 \((X_{k'})_{red}\)가 \(k'\) 위에서 기하학적으로 축소가 되게 할 수 있다. Lemma 056V에 의해 어디에서도 조밀하지 않은 닫힌 부분스킴 \(X' \subset (X_{k'})_{red}\)가 존재하여 \((X_{k'})_{red} \setminus X'\)는 \(k'\) 위에서 매끄럽다. 그러면 \(\dim(X') < \dim(X)\)이다. 귀납가정에 의해 유한 순수 비분리 확대 \(k''/k'\), 정수 \(t' \geq 0\), 그리고 닫힌 부분스킴들 \[X'_{k''} \supset Y_0 \supset Y_1 \supset \ldots \supset Y_{t'} = \emptyset\] 이 존재하여 \(Y_0 = (X'_{k''})_{red}\)이고 \(Y_i \setminus Y_{i + 1}\)은 \(k''\) 위에서 매끄럽다. 이는 모든 \(i\)에 대해 성립한다. 이제 \(t = t' + 1\)로 두고 다음 닫힌 부분스킴들을 생각하자. \[X_{k''} \supset Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_t = \emptyset\] 여기서 \(Z_0 = (X_{k''})_{red}\)이고 \(Z_i = Y_{i - 1}\)로 둔다 (\(i > 0\)). \(X'_{k''}\)가 \(X_{k''}\)의 닫힌 부분스킴이므로 이는 잘 정의된다. 명시한 모든 성질이 성립한다는 검증은 생략한다.

대수다양체의 유형

대수다양체의 몇 가지 초보적인 전역 성질을 논하는 짧은 절이다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 대수다양체라 하자.

1. \(X\)를 아핀 대수다양체라 하는 것은 \(X\)가 아핀 스킴인 경우이다. 이는 \(X\)가 \(\mathbf{A}^n_k\)의 닫힌 부분스킴과 동형이라고 요구하는 것과 동치이며, 여기서 \(n\)은 어떤 정수이다.

2. \(X\)를 사영 대수다양체라 하는 것은 구조 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 사영적인 경우이다. Morphisms, Lemma 01WB에 의해 이는 \(X\)가 \(\mathbf{P}^n_k\)의 닫힌 부분스킴과 동형일 필요충분조건이며, 여기서 \(n\)은 어떤 정수이다.

3. \(X\)를 준사영 대수다양체라 하는 것은 구조 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 준사영적인 경우이다. Morphisms, Lemma 01VZ에 의해 이는 \(X\)가 \(\mathbf{P}^n_k\)의 국소 닫힌 부분스킴과 동형일 필요충분조건이며, 여기서 \(n\)은 어떤 정수이다.

4. 고유 대수다양체란 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 고유인 대수다양체이다.

5. 매끄러운 대수다양체란 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 매끄러운 대수다양체이다.

사영 대수다양체는 고유 대수다양체임에 주의하라. Morphisms, Lemma 01WC를 보라. 또한 \(\mathbf{A}^n_k\)는 \(\mathbf{P}^n_k\)의 열린 부분스킴과 동형이므로 아핀 대수다양체는 준사영적이다. Constructions, Lemma 01NG를 보라.

보조정리

\(X\)를 \(k\) 위의 고유 대수다양체라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(K = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 체이고 체 \(k\)의 유한 확대이다.

2. \(X\)가 기하학적으로 축소이면 \(K/k\)는 분리 확대이다.

3. \(X\)가 기하학적으로 기약이면 \(K/k\)는 순수 비분리 확대이다.

4. \(X\)가 기하학적으로 정역이면 \(K = k\)이다.

증명

이는 Lemma 0BUG의 특수한 경우이다.

정규화

정규화에 수반되는 몇 가지 문제를 다룬다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 국소 대수적 스킴이라 하자. \(\nu : X^\nu \to X\)를 정규화 사상이라 하자. Morphisms, Definition 035N을 보라. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\nu\)는 유한이고 우세이며, \(X^\nu\)는 \(k\) 위의 정규이고 기약인 국소 대수적 스킴들의 분리합이다.

2. \(\nu\)는 \(X^\nu \to X_{red} \to X\)로 분해되고 첫 번째 사상은 \(X_{red}\)의 정규화 사상이다.

3. \(X\)가 축소 대수적 스킴이면 \(\nu\)는 쌍유리이다.

4. \(X\)가 대수다양체이면 \(X^\nu\)도 대수다양체이고, \(\nu\)는 대수다양체 사이의 유한 쌍유리 사상이다.

증명

\(X\)는 체 위에서 국소 유한형이므로 \(X\)는 국소 뇌터 스킴이다 (Morphisms, Lemma 01T6). 따라서 각 준콤팩트 열린집합은 유한 개의 기약 성분만을 갖는다 (Properties, Lemma 0BA8). 그러므로 Morphisms, Definition 035N을 적용할 수 있다. 정규화 \(X^\nu\)는 언제나 정규 정역 스킴들의 분리합이고, 정규화 사상 \(\nu\)는 언제나 우세이다. Morphisms, Lemma 035Q을 보라. \(X\)가 보편 나가타 스킴이므로(Morphisms, Lemma 035B), \(\nu\)는 유한이다(Morphisms, Lemma 035S). 따라서 \(X^\nu\)도 국소 대수적이다. 이로써 (1)을 증명했다.

(2)는 Morphisms, Lemma 035O이다.

(3)은 Morphisms, Lemma 0BXC이다.

(4)는 (1), (2), (3), 그리고 \(X^\nu\)가 분리 스킴 위의 유한 스킴이므로 분리라는 사실에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\nu : X^\nu \to X\)를 정규화 사상이라 하자. Morphisms, Definition 035N을 보라. 그러면 \(X^\nu\)는 \(k\) 위에서 고유이다. \(X\)가 \(k\) 위에서 사영적이면 \(X^\nu\)도 \(k\) 위에서 사영적이다.

증명

Lemma 0BXR에 의해 사상 \(\nu\)는 유한이다. 따라서 Morphisms, Lemmas 01WN 및 01W3에 의해 \(X^\nu\)는 \(k\) 위에서 고유이다. 사상 \(\nu\)는 Morphisms, Lemma 0B3I에 의해 사영적이다. 그러므로 \(X\)가 \(k\) 위에서 사영적이면 Morphisms, Lemma 0C4P에 의해 \(X^\nu\)도 \(k\) 위에서 사영적이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(k\) 위의 국소 대수적 스킴 사이의 준콤팩트 사상이라 하자. \(X'\)를 \(X\)의 \(Y\) 안에서의 정규화라 하자. \(Y\)가 축소이면 \(X' \to X\)는 유한이다.

증명

\(Y\)는 준분리이므로(Properties, Lemma 01OY 및 Morphisms, Lemma 01T6에 의해), 사상 \(f\)는 준분리이다(Schemes, Lemma 01KV). 따라서 Morphisms, Definition 035H을 적용할 수 있다. 결과는 Morphisms, Lemma 0AVK에서 따른다. 여기서는 국소 대수적 스킴이 국소 뇌터 스킴이고(따라서 국소적으로 유한 개의 기약 성분을 가지며), 국소 대수적 스킴이 나가타 스킴이라는 사실을 사용한다 (Morphisms, Lemma 035B). 몇 가지 작은 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 대수적 \(k\)-스킴이라 하자. 유한 순수 비분리 확대 \(k'/k\)가 존재하여 정규화 \(Y\), 곧 \(X_{k'}\)의 정규화는 \(k'\) 위에서 기하학적으로 정규이다.

증명

\(K = k^{perf}\)를 완전 폐포라 하자. \(Y_K\)를 \(X_K\)의 정규화라 하자. Lemma 0BXR를 보라. Limits, Lemma 01ZM에 의해 유한 부분확대 \(K/k'/k\)와 유한 표시 사상 \(\nu : Y \to X_{k'}\)가 존재하여, 그 \(K\)로의 밑변환은 정규화 사상 \(\nu_K : Y_K \to X_K\)가 된다. \(Y\)가 \(k'\) 위에서 기하학적으로 정규임에 주의하라 (Lemma 038O). \(k'\)를 더 크게 잡아서 \(Y \to X_{k'}\)가 유한이라고 가정해도 된다(Limits, Lemma 01ZO). \(\nu_K : Y_K \to X_K\)가 정규화 사상이므로 쌍유리 사상 \(Y_K \to (X_K)_{red}\)를 유도한다. 따라서 조밀 열린집합 \(V_K \subset X_K\)가 존재하여 \(\nu_K^{-1}(V_K) \to V_K\)는 닫힌 몰입이다(이는 \(\nu_K^{-1}(V_K)\)와 \(V_{K, red}\) 사이의 동형을 유도한다. 예를 들어 Morphisms, Lemma 0BAJ를 보라). \(k'\)를 더 크게 잡으면 \(V_K\)가 조밀 열린집합 \(V \subset Y\)의 밑변환이고, 사상 \(\nu^{-1}(V) \to V\)가 닫힌 몰입이 되게 할 수 있다 (Limits, Lemmas 01Z4 및 01ZP). 이로부터 \(\nu\)가 정규화 사상임이 곧바로 따라 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴이라 하자. \(K/k\)를 체의 확대라 하자. \(\nu : X^\nu \to X\)를 \(X\)의 정규화라 하고 \(Y^\nu \to X_K\)를 밑변환의 정규화라 하자. 그러면 정준 사상 \[Y^\nu \longrightarrow X^\nu \times_{\Spec(k)} \Spec(K)\] 은 \(K/k\)가 분리 확대이면 동형이고, 일반적으로는 보편 위상동형이다.

증명

\(Y = X_K\)로 두자. \(X^{(0)}\), 각각 \(Y^{(0)}\)를 \(X\), 각각 \(Y\)의 기약 성분들의 일반점 집합이라 하자. 그러면 사영 사상 \(\pi : Y \to X\)는 \(\pi(Y^{(0)}) = X^{(0)}\)을 만족한다. 이는 \(\pi\)가 전사이고 열려 있으며 일반화 보존 사상이기 때문이다. Morphisms, Lemmas 0383 및 040F을 보라. \(X^{(0)}\), 각각 \(Y^{(0)}\)를 (축소) 스킴으로 보면 \(X^\nu\), 각각 \(Y^\nu\)는 \(X\), 각각 \(Y\)의 \(X^{(0)}\), 각각 \(Y^{(0})\) 안에서의 정규화이다. 따라서 Morphisms, Lemma 035J는 정준 사상 \(Y^\nu \to X^\nu\)를 주며, 이는 \(Y \to X\) 위에 있다. 다시 올곱의 보편 성질에 의해 보조정리의 정준 사상을 준다.

이 사상이 보조정리에서 명시한 성질을 가짐을 보이기 위해 \(X = \Spec(A)\)가 아핀이라고 가정해도 된다. \(Q(A_{red})\)를 \(A_{red}\)의 전분수환이라 하자. 그러면 \(X^\nu\)는 정수적 폐포 \(A'\), 곧 \(A\)의 \(Q(A_{red})\) 안에서의 정수적 폐포의 스펙트럼이다. Morphisms, Lemmas 035O 및 035P을 보라. 마찬가지로 \(Y^\nu\)는 정수적 폐포 \(B'\), 곧 \(A \otimes_k K\)의 \(Q((A \otimes_k K)_{red})\) 안에서의 정수적 폐포의 스펙트럼이다. 정준 사상 \(Q(A_{red}) \to Q((A \otimes_k K)_{red})\)와 정준 사상 \(A' \to B'\)가 있으며, 보조정리의 사상은 유도된 \(K\)-대수 사상 \[A' \otimes_k K \longrightarrow B'\] 에 대응한다. 그 핵은 멱영 원소들로 이루어진다. 실제로 \(Q(A_{red}) \otimes_k K \to Q((A \otimes_k K)_{red})\)의 핵이 멱영 원소들의 집합이기 때문이다.

\(K/k\)가 분리 확대이면 Lemma 0C3M에 의해 \(A' \otimes_k K\)는 정규이다. 특히 이는 축소이므로 \(Q((A \otimes_k K)_{red}) = Q(A' \otimes_k K)\)이고, Algebra, Lemma 030C에 의해 \(B' = A' \otimes_k K\)이다.

\(K/k\)가 분리 확대가 아니라고 가정하자. 그러면 \(k\)의 표수는 \(p > 0\)이다. 모든 \(b \in B'\)에 대해 \(q\)가 존재하고, 이는 \(p\)의 거듭제곱이며 \(b^q\)가 \(A' \otimes_k K\)의 상에 속함을 보이겠다. 그러면 Algebra, Lemma 0BRA에 의해 위에 표시한 사상이 보편 위상동형임이 증명된다. 주어진 \(b\)에 대해 부분체 \(F \subset K\)가 존재하여 \(F/k\)는 유한 생성이고, \(b\)는 \(Q((A \otimes_k F)_{red})\)에 속하며 \(A \otimes_k F\) 위에서 정수적이다. 일계수 다항식 \(P = T^d + \alpha_1 T^{d - 1} + \ldots + \alpha _d\)를 택하여 \(P(b) = 0\)이고 \(\alpha_i \in A \otimes_k F\)가 되게 하자. \(t_1, \ldots, t_r\)를 \(F\)의 \(k\) 위의 초월기저로 택하자. \(F/F'/k(t_1, \ldots, t_r)\)를 최대 분리 부분확대라 하자(Fields, Lemma 030K). \(F/F'\)는 유한 순수 비분리 확대이므로 어떤 \(q\)가 존재하여 \(\lambda^q \in F'\)가 모든 \(\lambda \in F\)에 대해 성립한다. 그러면 \(b^q\)는 \(Q((A \otimes_k F')_{red})\)에 속하고, 다항식 \(T^d + \alpha_1^q T^{d - 1} + \ldots + \alpha _d^q\)을 만족하며, \(\alpha_i^q \in A \otimes_k F'\)이다. 분리 확대인 경우에 의해 \(b^q \in A' \otimes_k F'\)이고 증명이 끝난다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 국소 대수적 \(k\)-스킴이라 하자. \(\nu : X^\nu \to X\)를 \(X\)의 정규화라 하자. 점 \(x \in X\)가 다음을 만족한다고 하자. (a) \(\mathcal{O}_{X, x}\)는 축소이고, (b) \(\dim(\mathcal{O}_{X, x}) = 1\)이며, (c) 모든 \(x' \in X^\nu\) 가운데 \(\nu(x') = x\)인 것에 대해 확대 \(\kappa(x')/k\)는 분리 확대이다. 그러면 \(X\)는 \(x\)에서 기하학적으로 축소이고, \(X^\nu\)는 \(x'\)에서 기하학적으로 정칙이다. 여기서 \(\nu(x') = x\)이다.

증명

Lemma 0BXR의 결과들을 더 언급하지 않고 사용하겠다. \(x' \in X^\nu\)를 \(x\) 위의 점이라 하자. 차원론 (Section 06LF)에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}) = 1\)이다. \(X^\nu\)가 정규이므로 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\)는 이산 값매김환이다(Properties, Lemma 0345). 따라서 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\)는 잉여체가 \(k\) 위에서 분리적인 정칙 국소 \(k\)-대수이다. 그러므로 \(k \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\)는 \(\mathfrak m_{x'}\)-진 위상에서 형식적으로 매끄럽다. More on Algebra, Lemma 07EJ를 보라. 이어서 More on Algebra, Theorem 07EL에 의해 \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 정칙이다. 따라서 Lemma 038U에 의해 \(X^\nu\)는 \(x'\)에서 기하학적으로 정칙이다.

\(\mathcal{O}_{X, x}\)가 축소이므로 사상들의 족 \(\mathcal{O}_{X, x} \to \mathcal{O}_{X^\nu, x'}\)는 단사이다. \(\mathcal{O}_{X^\nu, x'}\)가 기하학적으로 축소인 \(k\)-대수이므로 \(\mathcal{O}_{X, x}\)도 곧바로 기하학적으로 축소인 \(k\)-대수이다. 따라서 Lemma 035W에 의해 \(X\)는 \(x\)에서 기하학적으로 축소이다.

가역 함수들의 군

군 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\)는 \(X\)가 \(k\) 위의 대수다양체일 때 유한 생성 아벨 군인 경우가 흔하지만 항상 그런 것은 아니다. 일련의 보조정리를 통해 이를 보인다. 모든 것은 다음 특수한 경우에 기초한다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(\overline{X}\)를 \(k\) 위의 고유 대수다양체라 하자. \(X \subset \overline{X}\)를 열린 부분스킴이라 하자. \(X\)가 정규라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\)는 유한 생성 아벨 군이다.

증명

명제는 \(X\)에만 관한 것이므로 \(\overline{X}\)를 \(k\) 위의 다른 고유 대수다양체로 바꾸어도 된다. \(\nu : \overline{X}^\nu \to \overline{X}\)를 정규화 사상이라 하자. Lemma 0BXR에 의해 \(\nu\)는 유한이고 \(\overline{X}^\nu\)는 대수다양체이다. \(X\)가 정규이므로 \(\nu^{-1}(X) \to X\)는 동형이다(아주 작은 세부사항은 생략한다). 마지막으로 \(\overline{X}^\nu\)는 \(k\) 위에서 고유이다. 실제로 유한 사상은 고유이고(Morphisms, Lemma 01WN), 고유 사상들의 합성은 고유이다(Morphisms, Lemma 01W3). 따라서 \(\overline{X}\)가 정규라고 가정하며, 이제부터 그렇게 하겠다.

더 언급하지 않고 다음 사실을 사용하겠다. 임의의 아핀 열린집합 \(U\)가 \(\overline{X}\)에 들어 있을 때 환 \(\mathcal{O}(U)\)는 유한 생성 \(k\)-대수이고, 이는 뇌터 정규 정역이다. 다음을 보라: Algebra, Lemma 00FN, Properties, Definition 01OK, Properties, Lemmas 01OW 및 033J, Morphisms, Lemma 01T2.

\(\xi_1, \ldots, \xi_r\)를 \(X\)의 \(\overline{X}\) 안에서의 여집합의 일반점들이라 하자. \(\overline{X}\)의 바탕 위상공간이 뇌터이므로 이들은 유한 개이다 (Morphisms, Lemma 01T6, Properties, Lemma 01OZ, 그리고 Topology, Lemma 0052을 보라). 각 \(i\)에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_i = \mathcal{O}_{X, \xi_i}\)는 뇌터 정규 정역의 국소화이므로 뇌터 정규 국소 정역이다. \(J \subset \{1, \ldots, r\}\)를 지표 \(i\) 가운데 \(\dim(\mathcal{O}_i) = 1\)인 것들의 집합이라 하자. \(j \in J\)에 대해 국소환 \(\mathcal{O}_j\)는 이산 값매김환이다. Algebra, Lemma 00PD을 보라. 따라서 값매김 \[v_j : k(\overline{X})^* \longrightarrow \mathbf{Z}\] 을 얻으며, 이는 \(v_j(f) \geq 0 \Leftrightarrow f \in \mathcal{O}_j\)라는 성질을 갖는다.

\(\mathcal{O}(X)\)를 부분 \(k\)-대수로서 \(k(X) = k(\overline{X})\) 안에 있다고 생각하자. 사상 \[\mathcal{O}(X)^* \longrightarrow \prod\nolimits_{j \in J} \mathbf{Z}, \quad f \longmapsto \prod v_j(f)\] 의 핵이 \(k^*\)라고 주장한다. 이 주장이 보조정리를 증명함은 분명하다. 실제로 \(f \in \mathcal{O}(X)\)를 그 핵의 원소라 하자. 임의의 아핀 열린집합 \(U = \Spec(B) \subset \overline{X}\)를 택하자. 그러면 \(B\)는 뇌터 정규 정역이다. 높이 일인 임의의 소아이디얼 \(\mathfrak q \subset B\)와 그에 대응하는 점 \(\xi \in X\)에 대해, \(\xi = \xi_j\)인 \(j \in J\)가 존재하거나 \(\xi \in X\)이다. 그 이유는 Properties, Lemma 02IZ에 의해 \(\text{codim}(\overline{\{\xi\}}, \overline{X}) = 1\)이고, 따라서 \(\xi \in \overline{X} \setminus X\)이면 이는 \(\overline{X} \setminus X\)의 일반점이어야 하므로 어떤 \(\xi_j\)와 같고, \(j \in J\)이기 때문이다. 두 경우 모두 \(f \in \mathcal{O}_{X, \xi} = B_{\mathfrak q}\)이다. 실제로 \(f\)가 사상의 핵에 속하기 때문이다. 따라서 \(f \in \bigcap_{\text{ht}(\mathfrak q) = 1} B_{\mathfrak q} = B\)이다. Algebra, Lemma 031T을 보라. 바꾸어 말하면 \(f \in \Gamma(\overline{X}, \mathcal{O}_{\overline{X}})\)이다. 그러나 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있으므로 Lemma 04L2에 의해 \(f \in k\)이다.

이제 여전히 체가 대수적으로 닫혀 있다고 두고, 몇 가지 초보적인 논증으로 위의 경우를 일반화한다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 국소 유한형인 정역 스킴이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\)는 유한 생성 아벨 군이다.

증명

\(X\)가 정역이므로 제한 사상 \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(U)\)는 임의의 공집합이 아닌 열린 부분스킴 \(U \subset X\)에 대해 단사이다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정해도 된다. 닫힌 몰입 \(X \to \mathbf{A}^n_k\)를 택하고, \(\overline{X}\)를 \(X\)의 \(\mathbf{P}^n_k\) 안에서의 폐포라 쓰자. 여기서는 보통의 몰입 \(\mathbf{A}^n_k \to \mathbf{P}^n_k\)를 사용한다. 따라서 \(X\)가 사영 대수다양체 \(\overline{X}\)의 아핀 열린집합이라고 가정해도 된다.

\(\nu : \overline{X}^\nu \to \overline{X}\)를 정규화 사상이라 하자. Morphisms, Definition 035N을 보라. \(\nu\)가 유한이고 우세이며, \(\overline{X}^\nu\)가 정규 기약 스킴임을 알고 있다. Morphisms, Lemmas 035Q, 035R, 및 035B를 보라. \(\overline{X}^\nu\)는 고유 대수다양체이다. 실제로 \(\overline{X} \to \Spec(k)\)는 유한 사상과 고유 사상의 합성이므로 고유이다 (Morphisms, Sections 01W0 및 01WG의 결과를 보라). 또한 \(\nu\)는 전사이다. 실제로 \(\nu\)의 상은 닫혀 있고 \(\overline{X}\)의 일반점을 포함한다. 따라서 \(X^\nu = \nu^{-1}(X)\)로 두면 \(X^\nu\)에 대해 결과를 증명하는 것으로 충분하다. 바꾸어 말하면 \(X\)가 정규 고유 대수다양체 \(\overline{X}\)의 공집합이 아닌 열린집합이라고 가정해도 된다. 이 경우는 Lemma 04L4에서 다루었다.

앞의 보조정리에서 다음과 같은 작은 일반화가 나온다.

보조정리

\(k\)를 대수적으로 닫힌 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위에서 국소 유한형이고, 연결이며 축소이고, 기약 성분이 유한 개인 스킴이라 하자. 그러면 \(\mathcal{O}^*(X)/k^*\)는 유한 생성 아벨 군이다.

증명

\(X = \bigcup X_i\)를 기약 성분들로 분해하자. Lemma 04L5에 의해 \(\mathcal{O}(X_i)^*/k^*\)는 유한 생성 아벨 군이다. \(f \in \mathcal{O}(X)^*\)를 사상 \[\mathcal{O}(X)^* \longrightarrow \prod \mathcal{O}(X_i)^*/k^*.\] 의 핵에 속하는 원소라 하자. 그러면 각 \(i\)에 대해 원소 \(\lambda_i \in k\)가 존재하여 \(f|_{X_i} = \lambda_i\)가 된다. \(X_i \cap X_j\)에 제한하면 \(\lambda_i = \lambda_j\)임을 얻는다. 단, \(X_i \cap X_j \not = \emptyset\)인 경우이다. \(X\)가 연결이므로 모든 \(\lambda_i\)가 일치하고, 따라서 \(f \in k^*\)이다. 이로써 \[\mathcal{O}(X)^*/k^* \subset \prod \mathcal{O}(X_i)^*/k^*\] 임을 증명했다. 오른쪽은 유한 개의 유한 생성 아벨 군들의 곱이므로 보조정리가 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 연결이고 축소인 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 그러면 \(k\)의 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서의 정수적 폐포는 체이다.

증명

\(k' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 \(k\)의 정수적 폐포라 하자. 그러면 \(X \to \Spec(k)\)는 \(\Spec(k')\)를 통해 분해된다. Schemes, Lemma 01I1을 보라. \(X\)가 축소이므로 \(k'\)에는 영이 아닌 멱영 원소가 없다. \(k \to k'\)가 정수적이므로 \(k'\)의 모든 소아이디얼은 극대아이디얼이면서 극소소아이디얼이고, \(\Spec(k')\)는 완전 비연결이다. Algebra, Lemmas 00GT 및 04MG를 보라. \(X\)가 연결이므로 사상 \(X \to \Spec(k')\)는 상수이며, 그 상을 \(\mathfrak p \subset k'\)에 대응하는 점이라 하자. 그러면 임의의 \(f \in k'\), \(f \not \in \mathfrak p\)는 \(\mathcal{O}_X\)의 가역 원소로 보내진다. \(k'\)의 정의에 의해 이는 다시 \(f\)가 \(k'\)의 단원임을 강제한다. 따라서 \(k'\)는 극대아이디얼 \(\mathfrak p\)를 갖는 국소환이다. Algebra, Lemma 00E9을 보라. 이미 \(k'\)가 축소임을 보았으므로 \(k'\)는 체이다. Algebra, Lemma 00EU을 보라.

명제

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. \(X\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이고, 연결이며 축소이고, 기약 성분이 유한 개라고 가정하자. 위 조건들에 더하여 다음 조건 가운데 하나 이상이 성립하면 \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\)는 유한 생성 아벨 군이다.

1. \(k\)의 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서의 정수적 폐포가 \(k\)이다.

2. \(X\)는 \(k\)-유리점을 갖는다.

3. \(X\)는 기하학적으로 정역이다.

증명

\(\overline{k}\)를 \(k\)의 대수적 폐포라 하자. \(Y\)를 \((X_{\overline{k}})_{red}\)의 연결 성분이라 하자. 정준 사상 \(p : Y \to X\)는 열려 있고(Morphisms, Lemma 0383에 의해) 닫혀 있음에 주의하라(Morphisms, Lemma 01WM에 의해). 따라서 \(p(Y) = X\)이다. 실제로 \(X\)는 연결이라고 가정했다. 특히 \(X\)가 축소이므로 이는 \(\mathcal{O}(X) \subset \mathcal{O}(Y)\)를 뜻한다. Lemma 04KZ에 의해 \(Y\)는 기약 성분을 유한 개만 갖는다(그 보조정리의 체 \(\overline{k}\)는 분리 대수적 폐포이지만, 두 밑변환 \(X_{\overline{k}}\)가 Lemma 038H에 의해 같은 기약 성분들을 가지므로 이는 중요하지 않다). 따라서 Lemma 04L6를 \(Y\)에 적용할 수 있다. 이에 따라 \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\)가 유한 생성 아벨 군이 아니라면, \(f \in \mathcal{O}(X)\)이고 \(f \not \in k\)인 원소가 존재하여 \(\overline{k}\)의 원소로 보내진다. 여기서 사상 \(\mathcal{O}(X) \to \mathcal{O}(Y)\)을 사용한다. 이 경우 \(f\)는 \(k\) 위에서 대수적이므로 \(k\) 위에서 정수적이다. 따라서 조건 (1)이 성립하면 이런 일은 일어날 수 없다. 증명을 끝내기 위해 조건 (2)와 (3)이 (1)을 함의함을 보인다.

\(k \subset k' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)를 \(k\)의 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서의 정수적 폐포라 하자. Lemma 04MI에 의해 \(k'\)는 체이다. \(e : \Spec(k) \to X\)가 \(k\)-유리점이면 \(e^\sharp : \Gamma(X, \mathcal{O}_X) \to k\)는 포함 사상 \(k \to \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)의 절단이다. 특히 \(e^\sharp\)의 \(k'\)로의 제한은 체 사상 \(k' \to k\)이며, 이는 \(k\) 위의 사상이다. 따라서 (2)가 (1)을 함의함을 분명히 보여 준다.

\(k'\)를 \(k\)의 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서의 정수적 폐포라 하자. 이것이 자명하지 않다면, \(X\)가 기하학적으로 연결이 아니거나 (\(k'/k\)가 순수 비분리 확대가 아닌 경우), \(X\)가 기하학적으로 축소가 아니다(\(k'/k\)가 자명하지 않은 순수 비분리 확대인 경우). 세부사항은 생략한다. 따라서 (3)은 (1)을 함의한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 대수다양체라 하자. 다음 조건 가운데 하나 이상이 성립하면 군 \(\mathcal{O}(X)^*/k^*\)는 유한 생성 아벨 군이다.

1. \(k\)는 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서 정수적으로 닫혀 있다.

2. \(k\)는 \(k(X)\) 안에서 대수적으로 닫혀 있다.

3. \(X\)는 \(k\) 위에서 기하학적으로 정역이다.

4. \(k\)는 체 확대 \(\kappa(x)/k\)들의 ‘교집합’이다. 여기서 \(x\)는 \(x\)의 닫힌점들을 달린다.

증명

Proposition 04L7에 의해 (1)이 충분함을 알 수 있다. (2), (3), (4)가 각각 (1)을 함의한다는 검증은 생략한다.

퀴네트 공식, I

이 절에서는 바탕이 체이고 준연접 가군의 코호몰로지를 다룰 때의 퀴네트 공식을 증명한다. 더 일반적인 판본은 Derived Categories of Schemes, Section 0FLN를 보라.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하고, \(\mathcal{F}\), 각각 \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 각각 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 정준 동형 \[H^n(X \times_{\Spec(k)} Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_{\Spec(k)} Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{G})\] 이 존재한다. 단, \(X\)와 \(Y\)는 준콤팩트이고 아핀 대각을 갖는다고 가정한다³ (예를 들어 \(X\)와 \(Y\)가 분리인 경우).

증명

이 증명에서 별도 표시가 없는 곱과 텐서곱은 \(k\) 위에서 취한다. 사상 \[H^p(X, \mathcal{F}) \otimes H^q(Y, \mathcal{G}) \longrightarrow H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 으로 다음 것을 사용한다. 먼저 코호몰로지의 함자성을 이용하여 사상 \(H^p(X, \mathcal{F}) \to H^p(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F})\)와 \(H^p(Y, \mathcal{G}) \to H^p(X \times Y, \text{pr}_2^*\mathcal{G})\)를 얻고, 이어서 컵곱 \[\cup : H^p(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \otimes H^q(X \times Y, \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \longrightarrow H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 을 사용한다. \(X\)와 \(Y\)가 아핀이면 아핀 위의 고차 코호몰로지 군이 사라진다는 사실(Cohomology of Schemes, Lemma 01XB)과 정의 (준연접 가군의 당김 및 준연접 가군의 텐서곱의 정의)에 의해 결과가 성립한다.

유한 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U} : X = \bigcup_{i \in I} U_i\)와 \(\mathcal{V} : Y = \bigcup_{j \in J} V_j\)를 택하자. 이는 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{W} : X \times Y = \bigcup_{(i, j) \in I \times J} U_i \times V_j\) 를 정한다. \(\mathcal{W}\)는 \(\text{pr}_1^{-1}\mathcal{U}\)와 \(\text{pr}_2^{-1}\mathcal{V}\) 각각의 세분임에 주의하라. 따라서 Cohomology, Lemma 01FD에 의해 사상 \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \quad\text{and}\quad \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G}) \to \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 을 얻으며, 이들은 코호몰로지 위의 당김 사상과 양립한다. Cohomology, Equation (07MB)에서는 복합체 사상 \[\text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_2^*\mathcal{G})) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] 을 구성했으며, 이는 코호몰로지 위의 컵곱을 정의한다. 위의 것들을 합치면 복합체 사상 [0BEE]\[\begin{equation} \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \longrightarrow \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \end{equation}\] 을 얻는다. 이 사상이 복합체의 동형은 아님을 독자에게 경고한다. 우리의 준연접 층들의 코호몰로지는 이 덮개들을 사용해 계산할 수 있음을 상기하자 (Cohomology of Schemes, Lemmas 0BDX 및 01XD). 따라서 코호몰로지 위에서 (0BEE)는 보조정리의 사상을 재현한다.

준연접 가군들의 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\)을 생각하자. (0BEE)의 구성이 \(\mathcal{F}\)에 대해 함자적이고, 관련 Čech 복합체의 형성이 변수 \(\mathcal{F}\)에 대해 완전하므로 (아핀 열린집합 위에서 단면을 취하기 때문이다), 짧은 완전 복합체 열들 사이의 사상 \[\xymatrix{ \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}') \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[r] \ar[d] & \text{Tot}( \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}'') \otimes \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{V}, \mathcal{G})) \ar[d] \\ \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \ar[r] & \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{W}, \text{pr}_1^*\mathcal{F}'' \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) }\] 을 얻는다(바깥쪽 영들은 생략했다). 긴 완전 코호몰로지 열을 살펴보고 \(2\)-out-of-\(3\) 원리를 적용하면, \(\mathcal{F}, \mathcal{F}', \mathcal{F}''\) 가운데 두 개에 대해 보조정리의 결과가 성립할 경우 나머지 하나에 대해서도 성립함을 알 수 있다.

\(X\)는 준연접 가군에 대해 유한 코호몰로지 차원을 갖는다. Cohomology of Schemes, Lemma 01XI를 보라. \(d(\mathcal{F}) = \max \{d \mid H^d(X, \mathcal{F}) \not = 0\}\)에 관한 귀납법을 사용하여 \(d(\mathcal{F}) = 0\)인 경우로 귀착시키겠다. \(d(\mathcal{F}) > 0\)이라고 가정하자. Cohomology of Schemes, Lemma 0BDY에서 보았듯, 매입 \(\mathcal{F} \to \mathcal{F}'\)가 존재하여 \(H^p(X, \mathcal{F}') = 0\)이 모든 \(p \geq 1\)에 대해 성립한다. \(\mathcal{F}'' = \Coker(\mathcal{F} \to \mathcal{F}')\)로 두면 \(d(\mathcal{F}'') < d(\mathcal{F})\)이다. 이제 앞 단락의 결과를 적용하면 \(\mathcal{F}'\)와 \(\mathcal{F}''\)에 대해 보조정리를 증명하는 것으로 충분하며, 이로써 귀납 단계를 증명한다.

\(\mathcal{G}\)에 대해서도 같은 방식으로 논증하면 \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)가 모두 차수 \(0\)에서만 영이 아닌 코호몰로지를 갖는다고 가정해도 됨을 알 수 있다. \(V \subset Y\)를 아핀 열린집합이라 하자. 아핀 열린 덮개 \(\mathcal{U}_V : X \times V = \bigcup_{i \in I} U_i \times V\)를 생각하자. 다음은 자명하다. \[\check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}, \mathcal{F}) \otimes \mathcal{G}(V) = \check{\mathcal{C}}^\bullet(\mathcal{U}_V, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\] (복합체의 등식이다). 따라서 \(Y\) 위에서 \[R\text{pr}_{2, *}(\text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) \cong \Gamma(X, \mathcal{F}) \otimes_k \mathcal{G} \cong \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} \mathcal{G}\] 임을 얻는다. 여기서 \(A\)는 \(k\)-벡터공간 \(\Gamma(X, \mathcal{F})\)의 기저이다. \(Y\) 위의 코호몰로지는 직합과 교환한다(Cohomology, Lemma 01FF). \(\text{pr}_2\)에 대한 르레 스펙트럼 열을 사용하면(Cohomology, Lemma 01F4를 통해), \(H^n(X \times Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G})\)가 \(n > 0\)에서는 영이고 \(H^0(X, \mathcal{F}) \otimes H^0(Y, \mathcal{G})\)와 동형임을 얻는다. 후자는 \(n = 0\)인 경우이다. 이로써 증명이 끝난다(다만 이 동형이 차수 \(0\)의 컵곱으로 실제로 주어지는지 확인해야 하는데, 그 검증은 생략한다).

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)와 \(Y\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하고, \(\mathcal{F}\), 각각 \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 각각 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 정준 동형 \[H^n(X \times_{\Spec(k)} Y, \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times_{\Spec(k)} Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{F}) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{G})\] 이 존재한다. 단, \(X\)와 \(Y\)는 준콤팩트이고 준분리라고 가정한다.

증명

\(X\)와 \(Y\)가 분리이거나 더 일반적으로 아핀 대각을 가지면, 더 ‘좋은’ 증명은 Lemma 0BED를 보라(그 증명이 이 증명보다 나은 점은 사상들을 당김 뒤의 컵곱으로 식별한다는 것이다). \(X'\), 각각 \(Y'\)를 \(X\), 각각 \(Y\)의 무한소 두껍히기로 두고, 그 구조층을 \(\mathcal{O}_{X'} = \mathcal{O}_X \oplus \mathcal{F}\), 각각 \(\mathcal{O}_{Y'} = \mathcal{O}_Y \oplus \mathcal{G}\)로 둔다. 여기서 \(\mathcal{F}\), 각각 \(\mathcal{G}\)는 제곱이 영인 아이디얼이다. 그러면 \[\mathcal{O}_{X' \times Y'} = \mathcal{O}_{X \times Y} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{F} \oplus \text{pr}_2^*\mathcal{G} \oplus \text{pr}_1^*\mathcal{F} \otimes_{\mathcal{O}_{X \times Y}} \text{pr}_2^*\mathcal{G}\] 이 \(X \times Y\) 위의 층들의 등식으로 성립한다. 이로부터 임의의 준콤팩트 준분리 \(k\)-스킴 쌍에 대해 \[H^n(X \times Y, \mathcal{O}_{X \times Y}) = \bigoplus\nolimits_{p + q = n} H^p(X, \mathcal{O}_X) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)\] 임을 증명하면 충분하다는 것을 알 수 있다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

이 명제를 증명하기 위해 Cohomology of Schemes, Lemma 01XN 형태의 코호몰로지와 밑변환을 사용한다. 이 보조정리에 따르면 아래로 유계인 \(k\)-벡터공간의 복합체, 즉 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)가 존재한다. 이는 \(\Spec(k)\) 위의 준연접 가군들로 이루어져 \(Y\)의 \(\Spec(k)\) 위의 코호몰로지를 보편적으로 계산한다. 특히 \[R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \cong (X \to \Spec(k))^*\mathcal{K}^\bullet\] 가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 성립한다. 호모토피까지 고려하면 복합체 \(\mathcal{K}^\bullet\)는 \(\bigoplus_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q]\)와 동형이다. 이는 체 위의 벡터공간의 모든 복합체에 대해 참이기 때문이다. 따라서 \[R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y}) \cong \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \otimes_k \mathcal{O}_X\] 가 \(D(\mathcal{O}_X)\)에서 성립한다. 이제 다음을 얻는다. \[\begin{align*} R\Gamma(X \times Y, \mathcal{O}_{X \times Y}) & = R\Gamma(X, R\text{pr}_{1, *}(\mathcal{O}_{X \times Y})) \\ & = R\Gamma(X, \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \otimes_k \mathcal{O}_X) \\ & = \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} R\Gamma(X, H^q(Y, \mathcal{O}_Y) \otimes \mathcal{O}_X)[-q] \\ & = \bigoplus\nolimits_{q \geq 0} R\Gamma(X, \mathcal{O}_X) \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \\ & = \bigoplus\nolimits_{p, q \geq 0} H^p(X, \mathcal{O}_X)[-p] \otimes_k H^q(Y, \mathcal{O}_Y)[-q] \end{align*}\] 원하는 등식이다. 첫 번째 등식은 \(\text{pr}_1\)에 대한 르레에서 따른다 (Cohomology, Lemma 01EZ). 두 번째 등식은 위에서 얻은 전체 직접상의 분해에서 따른다. 세 번째 등식은 코호몰로지가 언제나 유한 직합과 교환하기 때문이다 (그리고 \(Y\)의 코호몰로지는 충분히 큰 차수에서 사라진다. Cohomology of Schemes, Lemma 071L를 보라). 네 번째 등식은 \(X\) 위의 코호몰로지가 무한 직합과 교환하기 때문이다. Cohomology, Lemma 01FF를 보라. 마지막 등식은 위에서 언급한 체의 유도범주에 관한 사실에서 따른다.

대수다양체의 피카르 군

이 절에서는 대수다양체의 피카르 군에 관한 몇 가지 초보적 결과를 모은다.

보조정리

\(A \to B\)를 충실 평탄 환 준동형이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 준콤팩트 준분리 스킴이라 하자. \(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, 그 \(X_B\)로의 당김이 자명하다고 하자. 그러면 \(H^0(X, \mathcal{L})\)과 \(H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\)은 가역 \(H^0(X, \mathcal{O}_X)\)-가군이고, 곱셈 사상은 동형 \[H^0(X, \mathcal{L}) \otimes_{H^0(X, \mathcal{O}_X)} H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1}) \longrightarrow H^0(X, \mathcal{O}_X)\] 을 유도한다.

증명

\(\mathcal{L}_B\)를 \(\mathcal{L}\)의 \(X_B\)로의 당김이라 쓰자. 동형 \(\mathcal{L}_B \to \mathcal{O}_{X_B}\)를 택하자. \(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\), \(M = H^0(X, \mathcal{L})\)로 두고 \(M\)을 \(R\)-가군으로 생각하자. 임의의 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군 \(\mathcal{F}\)와 그 당김 \(\mathcal{F}_B\)를 생각하자. 이는 \(X_B\) 위에 있다. 이때 정준 동형 \(H^0(X_B, \mathcal{F}_B) = H^0(X, \mathcal{F}) \otimes_A B\)가 있다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH를 보라. 따라서 \[M \otimes_R (R \otimes_A B) = M \otimes_A B = H^0(X_B, \mathcal{L}_B) \cong H^0(X_B, \mathcal{O}_{X_B}) = R \otimes_A B\] 이다. \(R \to R \otimes_A B\)는 충실 평탄 사상 \(A \to B\)의 밑변환이므로 충실 평탄이다. 따라서 Algebra, Proposition 058S에 의해 \(M\)은 가역 \(R\)-가군이다. 마찬가지로 \(N = H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes -1})\)도 가역 \(R\)-가군이다. 텐서곱에 관한 명제가 참임을 보이려면, \(X_B\)로 당긴 뒤에는 그것이 참이라는 사실과 \(R \to R \otimes_A B\)의 충실 평탄성을 사용한다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(A \to B\)를 충실 평탄 환 준동형이라 하자. \(X\)를 \(A\) 위의 스킴이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 반국소환이다.

그러면 당김 사상 \(\Pic(X) \to \Pic(X_B)\)는 단사이다.

증명

\(\mathcal{L}\)을 가역 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, 그 당김 \(\mathcal{L}'\)이 \(X_B\) 위에서 자명하다고 하자. \(M = H^0(X, \mathcal{L})\)과 \(N = H^0(X, \mathcal{L}^{\otimes - 1})\)로 두자. Lemma 0CDX에 의해 \(R\)-가군 \(M\)과 \(N\)은 가역이다. \(R\)이 반국소환이므로 \(M \cong R\)이고 \(N \cong R\)이다. Algebra, Lemma 02M9를 보라. 생성원 \(s \in M\)과 \(t \in N\)을 택하자. 그러면 \(st \in R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 Lemma 0CDX의 마지막 부분에 의해 단원이다. 따라서 \(s\)와 \(t\)는 \(\mathcal{L}\)과 \(\mathcal{L}^{\otimes -1}\)의 자명화를 각각 \(X\) 위에서 정의한다.

보조정리

\(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하고 다음을 가정하자.

1. \(X\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. \(R = H^0(X, \mathcal{O}_X)\)는 반국소환이다. 예를 들어 \(\dim_k R < \infty\)이면 그러하다.

그러면 당김 사상 \(\Pic(X) \to \Pic(X_{k'})\)는 단사이다.

증명

Lemma 0CDY의 특수한 경우이다. \(\dim_k R < \infty\)이면 \(R\)은 아르틴 환이고 따라서 반국소환이다 (Algebra, Lemmas 00J6 및 00J7).

예

Lemma 0CC5는 스킴 \(X\)에 체 \(k\) 위에서 아무 조건도 두지 않으면 참이 아니다. 다음이 그 예이다. \(k\)를 체라 하자. \(t \in \mathbf{P}^1_k\)를 닫힌점이라 하자. \(X = \mathbf{P}^1 \setminus \{t\}\)로 두자. 그러면 전사 \[\mathbf{Z} = \Pic(\mathbf{P}^1_k) \longrightarrow \Pic(X)\] 를 얻는다. 첫 번째 등식은 Divisors, Lemma 0BXJ에 의하고, 전사성은 Divisors, Lemma 0BD9에 의한다 (\(\mathbf{P}^1_k\)가 차원 \(1\)이고 \(k\) 위에서 매끄러운 스킴이며, 따라서 그 모든 국소환이 이산 값매김환이기 때문이다). \(\mathcal{L}\)이 표시한 사상의 핵에 속하면 \(\mathcal{L} \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(nt)\)이다. 여기서 \(n \in \mathbf{Z}\)이다. 독자에게 다음을 보이는 일을 맡긴다. \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(t) \cong \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_k}(d)\), 여기서 \(d = [\kappa(t) : k]\)이다. 따라서 \[\Pic(X) = \mathbf{Z}/d\mathbf{Z}\] 이다. 그러므로 \(t\)가 \(k\)-유리점이 아니면 \(d > 1\)이고 이 피카르 군은 영이 아니다. 한편 바탕체 \(k\)를 체 확대 \(k'\)로 확대했을 때 \(k\)-매입 \(\kappa(t) \to k'\)가 존재한다면 \(\mathbf{P}^1_{k'} \setminus X_{k'}\)는 \(k'\)-유리점 \(t'\)를 갖는다. 따라서 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_{k'}}(1) = \mathcal{O}_{\mathbf{P}^1_{k'}}(t')\)는 사상 \(\mathbf{Z} \to \Pic(X_{k'})\)의 핵에 속하고, 위와 같은 방식으로 \(\Pic(X_{k'}) = 0\)임이 따른다.

다음 보조정리는 ‘유리적으로 동치인 가역 가군들’이 정규 대수다양체 위에서 동형임을 말해 준다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 정규 대수다양체라 하자. \(U \subset \mathbf{A}^n_k\)를 \(k\)-유리점 \(p, q \in U(k)\)를 갖는 열린 부분스킴이라 하자. 모든 가역 가군 \(\mathcal{L}\) 가운데 \(X \times_{\Spec(k)} U\) 위에 있는 것에 대해 제한 \(\mathcal{L}|_{X \times p}\)와 \(\mathcal{L}|_{X \times q}\)는 동형이다.

증명

\(X \times_{\Spec(k)} U \to X\)의 올들은 체 위의 아핀 \(n\)-공간의 열린 부분스킴이다. 따라서 Divisors, Lemma 0BDA에 의해 이 올들의 피카르 군은 자명하다. Divisors, Lemma 0BD7를 적용하면 \(\mathcal{L}\)은 가역 가군 \(\mathcal{N}\)의 당김이다. 이 가군은 \(X\) 위에 있다.

바탕체의 유일성

‘\(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자’라는 문구는 \(X\)가 사상 \(X \to \Spec(k)\)와 함께 주어진 스킴이라는 뜻이다. 이제 체 \(k\)가 스킴 \(X\)에 의해 유일하게 결정되는지 물을 수 있다. 물론 그렇지 않다. 예를 들어 \(\mathbf{A}^1_{\mathbf{C}}\)는 보통 복소수체 \(\mathbf{C}\) 위의 스킴으로 생각하지만, \(\mathbf{Q}\) 위의 스킴으로도 생각할 수 있다. 그러나 사상 \(X \to \Spec(k)\)가 \(X \to \Spec(k') \to \Spec(k)\)로 분해되지 않는다고 요구하면 어떨까? 여기서 \(k'/k\)는 임의의 자명하지 않은 체 확대이다. 바꾸어 말하면 \(k\)가 어떤 의미에서 극대여서 \(X\)가 \(k\) 위에서 살 수 있다고 요구한다.

이 조건도 \(k\)의 유일성을 보장하지 않음을 보여 주는 예는 스킴 \[X = \Spec\left( \mathbf{Q}(x)[y]\left[\frac{1}{P(y)}, P \in \mathbf{Q}[y], P \not = 0\right] \right)\] 이다. 처음 보면 이는 \(\mathbf{Q}(x)\) 위의 스킴인 듯하지만, 다시 보면 \(\mathbf{Q}(y)\) 위의 스킴이기도 함이 분명하다. 더욱이 체 \(\mathbf{Q}(x)\)와 \(\mathbf{Q}(y)\)는 \(R = \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)의 부분체이고, \(R\)의 부분체 가운데 극대이다(세부사항은 생략한다). 특히 \(\mathbf{Q}(x)\)와 \(\mathbf{Q}(y)\)는 모두 위의 의미에서 극대이다. 두 사상 \(X \to \Spec(\mathbf{Q}(x))\)와 \(X \to \Spec(\mathbf{Q}(y))\)가 모두 ‘본질적으로 유한형’임에 주의하라 (즉 대응하는 환 준동형이 본질적으로 유한형이다). 따라서 \(X\)는 유한 차원의 뇌터 스킴이며, 즉 완전히 병리적인 예는 아니다.

유일성을 방해할 수 있는 또 다른 문제는 스킴 \(X\)가 비축소일 수 있다는 것이다. 그 경우 \(X\)에서 주어진 체의 스펙트럼으로 가는 서로 다른 사상이 많이 존재할 수 있다. 구체적인 예로 쌍대수 \(D = \mathbf{C}[y]/(y^2) = \mathbf{C} \oplus \epsilon \mathbf{C}\)를 생각하자. 임의의 미분 \(\theta : \mathbf{C} \to \mathbf{C}\)가 \(\mathbf{Q}\) 위에서 주어지면 환 준동형 \[\mathbf{C} \longrightarrow D, \quad c \longmapsto c + \epsilon \theta(c).\] 을 얻는다. 이 사상들이 모두 일치하는 \(\mathbf{C}\)의 부분체는 \(\mathbf{Q}\)의 대수적 폐포이다. 이는 \(X\)가 살 수 있는 모든 체의 교집합을 취할 경우, \(X\)가 비축소이면 매우 작은 체를 얻게 될 수도 있다는 뜻이다.

이와 관련된 한 가지 관찰은 다음과 같다. 체 \(k\)와 두 부분체 \(k_1, k_2\), 즉 \(k\)의 부분체들이 주어지고, \(k\)가 \(k_1\) 위에서도 \(k_2\) 위에서도 유한이라고 하자. 그러면 일반적으로 \(k\)가 \(k_1 \cap k_2\) 위에서 유한인 것은 아니다. 예를 들어 체 \(k = \mathbf{Q}(t)\)와 그 부분체 \(k_1 = \mathbf{Q}(t^2)\) 및 \(\mathbf{Q}((t + 1)^2)\)를 생각하자. 이 경우 \(k_1 \cap k_2 = \mathbf{Q}\)이다. 따라서 아래에서는 체들의 교집합을 취할 때 주의해야 한다.

이제 이 모든 점을 감안하여, \(X\)가 체 위에서 국소 유한형이면 일정한 유일성이 성립함을 보인다. 정확한 결과는 다음과 같다.

명제

\(X\)를 스킴이라 하자. \(a : X \to \Spec(k_1)\)과 \(b : X \to \Spec(k_2)\)를 \(X\)에서 체들의 스펙트럼으로 가는 사상이라 하자. \(a, b\)가 국소 유한형이고 \(X\)가 축소이며 연결이라고 가정하자. 그러면 \(k_1' = k_2'\)이다. 여기서 \(k_i' \subset \Gamma(X, \mathcal{O}_X)\)는 \(k_i\)의 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서의 정수적 폐포이다.

증명

먼저 \(X\)가 준콤팩트인 경우에 명제가 성립한다고 가정하자 (준콤팩트인 경우는 아래에서 증명한다). \(X\)는 체 위에서 국소 유한형이므로 국소 뇌터 스킴이다. Morphisms, Lemma 01T6을 보라. 특히 이는 국소 연결이고, 열린 부분집합의 연결 성분들이 열려 있으며, 준콤팩트 열린집합들의 교집합이 준콤팩트이라는 뜻이다. 다음을 보라: Properties, Lemma 01OZ, Topology, Lemma 04ME, Topology, Section 0050, 및 Topology, Lemma 005L. 열린 덮개 \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\)를 택하여 각 \(U_i\)가 준콤팩트이고 연결이 되게 하자. 각 \(i\)에 대해 \(K_i \subset \mathcal{O}_X(U_i)\)를 \(k_1\)과 \(k_2\)의 정수적 폐포라 하자. 각 쌍 \(i, j \in I\)에 대해 \[U_i \cap U_j = \coprod U_{i, j, l}\] 를 그 유한 개의 연결 성분들로 분해하자. \(K_{i, j, l} \subset \mathcal{O}(U_{i, j, l})\)를 \(k_1\)과 \(k_2\)의 정수적 폐포라 쓰자. Lemma 04MI에 의해 환 \(K_i\)와 \(K_{i, j, l}\)은 체이다. 이제 \(k_1'\)과 \(k_2'\)가 모두 사상 \[\prod K_i \longrightarrow \prod K_{i, j, l}, \quad (x_i)_i \longmapsto x_i|_{U_{i, j, l}} - x_j|_{U_{i, j, l}}\] 의 핵과 같다고 주장한다. 이것이 원하는 결론을 증명한다. \(k_1'\)이 이 핵에 포함됨은 분명하다. 역으로 \((x_i)_i\)가 핵에 속한다고 가정하자. 층 조건에 의해 \((x_i)_i\)는 \(f \in \mathcal{O}(X)\)에 대응한다. 어떤 \(i_0 \in I\)를 택하고, 일계수 다항식 \(P(T) \in k_1[T]\)를 택하여 \(P(x_{i_0}) = 0\)이 되게 하자. 그러면 \(P(f) = 0\)이라고 주장하며, 이로부터 \(f \in k_1\)이 따라 결론을 얻는다. 이를 보이려면 \(P(x_i) = 0\)임을 모든 \(i\)에 대해 보이면 된다. \(i \in I\)를 택하자. \(X\)가 연결이므로 수열 \(i_0, i_1, \ldots, i_n = i \in I\)가 존재하여 \(U_{i_t} \cap U_{i_{t + 1}} \not = \emptyset\)이다. 이는 각 \(t\)에 대해 어떤 \(l_t\)가 존재하여 \(x_{i_t}\)와 \(x_{i_{t + 1}}\)가 체 \(K_{i_t, i_{t + 1}, l_t}\)의 같은 원소로 보내진다는 뜻이다. 따라서 \(P(x_{i_t}) = 0\)이면 \(P(x_{i_{t + 1}}) = 0\)이다. 귀납법으로 \(P(x_{i_0}) = 0\)에서 시작하여 원하는 대로 \(P(x_i) = 0\)을 얻는다.

명제의 증명을 끝내기 위해 \(X\)가 준콤팩트이라는 추가 가정 아래에서 명제를 증명한다. Lemma 04MI에 의해 \(k_i\)를 \(k_i'\)로 바꾼 뒤, \(k_i\)가 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서 정수적으로 닫혀 있다고 가정해도 된다. 이는 \(\mathcal{O}(X)^*/k_i^*\)가 유한 생성 아벨 군임을 뜻한다. Proposition 04L7을 보라. \(k_{12} = k_1 \cap k_2\)를 \(\mathcal{O}(X)\)의 부분환으로 두자. \(k_{12}\)는 체임에 주의하라. 사상 \[k_1^*/k_{12}^* \longrightarrow \mathcal{O}(X)^*/k_2^*\] 이 있으므로 \(k_1^*/k_{12}^*\)도 유한 생성 아벨 군이다. 따라서 \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in k_1^*\)가 존재하여 모든 \(\lambda \in k_1\)는 \[\lambda = c \alpha_1^{e_1} \ldots \alpha_n^{e_n}\] 꼴로 쓸 수 있다. 여기서 어떤 \(e_i \in \mathbf{Z}\)와 \(c \in k_{12}\)를 취한다. 특히 환 준동형 \[k_{12}[x_1, \ldots, x_n, \frac{1}{x_1 \ldots x_n}] \longrightarrow k_1, \quad x_i \longmapsto \alpha_i\] 은 전사이다. 힐베르트 영점정리 Algebra, Theorem 00FV에 의해 \(k_1\)은 \(k_{12}\)의 유한 확대이다. 같은 방식으로 \(k_2\)도 \(k_{12}\)의 유한 확대임을 얻는다. 특히 \(k_1\)과 \(k_2\)는 모두 정수적 폐포 \(k_{12}'\)에 포함된다. 여기서 이는 \(k_{12}\)의 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서의 정수적 폐포이다. 그러나 Lemma 04MI에 의해 \(k_{12}'\)은 체이고, \(k_i\)가 \(\Gamma(X, \mathcal{O}_X)\) 안에서 정수적으로 닫히도록 택했으므로 원하는 대로 \(k_1 = k_{12} = k_2\)이다.

자기동형

체 위의 스킴의 자기동형을 다루는 절이다. 곡선의 (무한소) 자기동형에 관한 내용은 Algebraic Curves, Section 0E66 및 Moduli of Curves, Section 0DST를 보라.

보조정리

\(X\)를 체 \(k\) 위의 축소 유한형 스킴이라 하자. \(f : X \to X\)를 \(k\) 위의 자기동형이라 하고, 이것이 \(X\)의 바탕 위상공간 위에서 항등 사상을 유도한다고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(f^*\mathcal{F} \cong \mathcal{F}\)이다. 이는 모든 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군에 대해 성립한다.

2. \(\dim(Z) > 0\)이 모든 기약 성분 \(Z \subset X\)에 대해 성립하면 \(f\)는 항등 사상이다.

증명

(1)은 (2)와 \(X\)의 차원 \(0\)인 연결 성분들이 체의 스펙트럼이라는 사실에서 따른다.

\(Z \subset X\)를 정역 닫힌 부분스킴으로 본 기약 성분이라 하자. 분명히 \(f(Z) \subset Z\)이고, \(f|_Z : Z \to Z\)는 \(k\) 위의 자기동형으로서 \(Z\)의 바탕 위상공간 위에서 항등 사상을 유도한다. \(X\)가 축소이므로 사상들 \(f|_Z : Z \to Z\)가 항등임을 보이면 충분하다. 이는 다음 단락에서 다루는 경우로 귀착된다.

\(X\)가 차원 \(> 0\)인 기약 스킴이라고 가정하자. 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(U \subset X\)를 택하자. \(f(U) \subset U\)이고 \(U \subset X\)가 스킴론적으로 조밀하므로 \(f|_U : U \to U\)가 항등임을 보이면 충분하다.

\(X = \Spec(A)\)가 아핀이고 기약이며 차원 \(> 0\)이고, \(k\)가 무한체라고 가정하자. 상수가 아닌 \(g \in A\)를 택하자. 집합 \[S = \bigcup\nolimits_{\lambda \in k} V(g - \lambda)\] 은 \(X\)에서 조밀하다. 실제로 이는 조밀 부분집합 \(\mathbf{A}^1_k(k)\)의 비상수 사상 \(g : X \to \mathbf{A}^1_k\)에 의한 역상이다. \(x \in S\)이면 \(g(x)\), 즉 \(g\)의 \(\kappa(x)\)에서의 상은 \(k \to \kappa(x)\)의 상에 속한다. 따라서 \(f^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(x)\)는 \(g(x)\)를 고정한다. 그러므로 \(f^\sharp(g)\)의 \(\kappa(x)\)에서의 상은 \(g(x)\)와 같다. 따라서 \[S \subset V(g - f^\sharp(g))\] 이다. \(X\)가 축소이고 \(S\)가 조밀하므로 \(g=f^\sharp(g)\)임을 얻는다. \(f^\sharp = \text{id}_A\)임이 증명된다. 실제로 \(A\)는 \(k\)-대수로서 위와 같은 원소 \(g\)들에 의해 생성된다(세부사항은 생략한다. 힌트: 상수 함수들의 집합은 유한 차원 \(k\)-부분벡터공간이며, 이는 \(A\) 안에 있다). 따라서 \(f = \text{id}_X\)이다.

\(X = \Spec(A)\)가 아핀이고 기약이며 차원 \(> 0\)이고, \(k\)가 유한체라고 가정하자. 모든 \(1\)차원 정역 닫힌 부분스킴 \(C \subset X\)에 대해 제한 \(f|_C : C \to C\)가 항등이면 \(f\)는 항등이다. 따라서 \(X\)가 곡선인 경우로 귀착된다. 유한체 위의 곡선은 유한 자기동형군을 갖는다 (세부사항은 생략한다). 따라서 \(f\)는 유한 위수, 이를테면 \(n\)을 갖는다. 그런 다음 위와 같이 비상수인 \(g : X \to \mathbf{A}^1_k\)를 택하고 집합 \[S = \{x \in X\text{ closed such that }[\kappa(g(x)) : k] \text{ is prime to }n\}\] 을 생각하자. 앞과 같이 논증하면 \(S\)가 \(X\)에서 조밀함을 알 수 있다. 닫힌점 \(x \in X\)에 대해 사상 \(f^\sharp : \kappa(x) \to \kappa(x)\)는 위수가 \(n\)을 나누는 자기동형이다. 따라서 \(x \in S\)일 때 이 자기동형은 \(g\)의 상이 \(\kappa(x)\) 안에서 생성하는 부분체 위에 자명하게 작용한다. 그러므로 \(S \subset V(g - f^\sharp(g))\)이고, 앞과 같이 결론을 얻는다.

오일러 표수

이 절에서는 체 위에서 고유인 스킴 위의 연접 층의 오일러 표수에 관한 몇 가지 초보적인 성질을 증명한다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하자. 이 상황에서 \(\mathcal{F}\)의 오일러 표수는 정수 \[\chi(X, \mathcal{F}) = \sum\nolimits_i (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal{F}).\] 이다. 이 공식의 정당화는 아래를 보라.

정의의 상황에서는 벡터공간 \(H^i(X, \mathcal{F})\) 가운데 유한 개만이 영이 아니다(Cohomology of Schemes, Lemma 01XJ). 또한 이 공간들은 각각 유한 차원이다(Cohomology of Schemes, Lemma 02O6). 따라서 \(\chi(X, \mathcal{F}) \in \mathbf{Z}\)는 잘 정의된다. 이 정의는 체 \(k\)에 의존하며 쌍 \((X, \mathcal{F})\)에만 의존하는 것이 아님에 주의하라.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(0 \to \mathcal{F}_1 \to \mathcal{F}_2 \to \mathcal{F}_3 \to 0\)을 \(X\) 위의 연접 가군들의 짧은 완전열이라 하자. 그러면 \[\chi(X, \mathcal{F}_2) = \chi(X, \mathcal{F}_1) + \chi(X, \mathcal{F}_3)\] 이다.

증명

보조정리의 짧은 완전열에 결부된 긴 완전 코호몰로지 열 \[0 \to H^0(X, \mathcal{F}_1) \to H^0(X, \mathcal{F}_2) \to H^0(X, \mathcal{F}_3) \to H^1(X, \mathcal{F}_1) \to \ldots\] 을 생각하자. 선형대수의 계수-영차원 정리에 의해 \[0 = \dim H^0(X, \mathcal{F}_1) - \dim H^0(X, \mathcal{F}_2) + \dim H^0(X, \mathcal{F}_3) - \dim H^1(X, \mathcal{F}_1) + \ldots\] 이다. 이로부터 보조정리가 즉시 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\dim(\text{Supp}(\mathcal{F})) \leq 0\)인 연접 층이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. \(\mathcal{F}\)는 전역 단면들로 생성된다.

2. \(H^0(X, \mathcal{F}) = \bigoplus_{x \in \text{Supp}(\mathcal{F})} \mathcal{F}_x\)이다.

3. \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\)은 \(i > 0\)에 대해 성립한다.

4. \(\chi(X, \mathcal{F}) = \dim_k H^0(X, \mathcal{F})\)이다.

5. \(\chi(X, \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}) = n\chi(X, \mathcal{F})\)이다. 이는 모든 국소 자유 가군 \(\mathcal{E}\) 가운데 계수가 \(n\)인 것에 대해 성립한다.

증명

Cohomology of Schemes, Lemma 01Y5에 의해 \(\mathcal{F} = i_*\mathcal{G}\)이다. 여기서 \(i : Z \to X\)는 \(\mathcal{F}\)의 스킴론적 지지의 포함 사상이고, \(\mathcal{G}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Z\)-가군이다. 스킴론적 지지의 정의에 따라 \(Z\)의 바탕 위상공간은 \(\text{Supp}(\mathcal{F})\)이다. \(Z\)의 차원이 \(0\)이므로 \(Z\)는 아핀이다(Properties, Lemma 0AAX). 따라서 \(\mathcal{G}\)는 전역 생성되고 \(\mathcal{G}\)의 고차 코호몰로지 군들은 영이다(Cohomology of Schemes, Lemma 01XB). 사실 Lemma 06LH에 의해 스킴 \(Z\)는 국소 아르틴 환들의 스펙트럼들의 유한 분리합이다. 따라서 그에 대응하여 \(H^0(Z, \mathcal{G}) = \bigoplus_{z \in Z} \mathcal{G}_z\)이다. \(\mathcal{F}\)와 \(\mathcal{G}\)의 코호몰로지는 Cohomology of Schemes, Lemma 089W에 의해 일치한다. 따라서 \(H^i(X, \mathcal{F}) = 0\)은 \(i > 0\)에 대해 성립하고 \(H^0(X, \mathcal{F}) = H^0(Z, \mathcal{G})\)이다. 특히 (3)이 참이다. \(z \in Z\)가 \(x \in \text{Supp}(\mathcal{F})\)에 대응하면 \(\mathcal{G}_z = (i_*\mathcal{G})_x = \mathcal{F}_x\)이다. 따라서 (2)가 성립한다. 물론 (2)는 (1)을 함의한다. 오일러 표수 \(\chi(X, \mathcal{F})\)의 정의와 (3)에 의해 (4)를 얻는다. 사영 공식(Cohomology, Lemma 01E8)에 의해 \[i_*(\mathcal{G} \otimes i^*\mathcal{E}) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{E}.\] 이다. \(Z\)의 차원이 \(0\)이므로 국소 자유 층 \(i^*\mathcal{E}\)는 \(\mathcal{O}_Z^{\oplus n}\)과 동형이고, 위와 같이 논증하면 (5)를 얻는다.

보조정리

\(k'/k\)를 체 확대라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(X\) 위의 연접 층이라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(X_{k'}\)로의 당김이라 하자. 그러면 \(\chi(X, \mathcal{F}) = \chi(X', \mathcal{F}')\)이다.

증명

이는 평탄 밑변환에 의한 등식 \[H^i(X_{k'}, \mathcal{F}') = H^i(X, \mathcal{F}) \otimes_k k'\] 때문에 참이다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH를 보라.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(k\) 위의 고유 스킴 사이의 사상이라 하자. \(\mathcal{G}\)를 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하자. 그러면 \[\chi(Y, \mathcal{G}) = \sum (-1)^i \chi(X, R^if_*\mathcal{G})\] 이다.

증명

공식은 의미가 있다. 층 \(R^if_*\mathcal{G}\)는 연접이고 그중 유한 개만이 영이 아니다. Cohomology of Schemes, Proposition 02O5 및 Lemma 01XJ를 보라. Cohomology, Lemma 01F2에 의해 \[E_2^{p, q} = H^p(X, R^qf_*\mathcal{G})\] 를 갖고 \(H^{p + q}(Y, \mathcal{G})\)로 수렴하는 스펙트럼 열이 있다. \(X\) 위의 코호몰로지의 유한성에 의해 \(E_2^{p, q}\) 가운데 유한 개만 영이 아니고, 각 \(E_2^{p, q}\)는 유한 차원 벡터공간이다. 따라서 \(E_r^{p, q}\)도 \(r \geq 2\)에 대해 같은 성질을 가지며 \[\sum (-1)^{p + q} \dim_k E_r^{p, q}\] 는 \(r\)에 무관하다. 충분히 큰 \(r\)에 대해 \(E_r^{p, q} = E_\infty^{p, q}\)이고, 수렴한다는 말은 \(H^n(Y, \mathcal{G})\) 위에 여과가 있어서 그 등급 조각들이 \(E_\infty^{p, q}\)이며 \(p + q = n\)이라는 뜻이므로(이것이 스펙트럼 열의 수렴의 의미이다), 결론을 얻는다. 더 일반적인 Homology, Lemma 0BDW와도 비교하라.

사영공간

체 위의 사영공간에 관한 몇 가지 결과이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(n \geq 0\)이라 하자. 그러면 \(\mathbf{P}^n_k\)는 차원 \(n\)이고 \(k\) 위에서 매끄러운 사영 대수다양체이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(n \geq 0\)이라 하자. \(X, Y \subset \mathbf{A}^n_k\)를 닫힌 부분집합이라 하자. \(X\)와 \(Y\)가 순수차원이고 \(\dim(X) = r\), \(\dim(Y) = s\)라고 가정하자. 그러면 \(X \cap Y\)의 모든 기약 성분의 차원은 \(\geq r + s - n\)이다.

증명

닫힌 부분스킴 \(X \times Y \subset \mathbf{A}^{2n}_k\)을 생각하자. 여기서 좌표 \(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\)을 사용한다. 그러면 \(X \cap Y = X \times Y \cap V(x_1 - y_1, \ldots, x_n - y_n)\)이다. 닫힌점 \(t \in X \cap Y \subset X \times Y\)를 택하자. Lemma 0B2M에 의해 \(\dim_t(X \times Y) = \dim(X) + \dim(Y)\)이다. 따라서 Lemma 0A21에 의해 \(\dim(\mathcal{O}_{X \times Y, t}) = r + s\)이다. Algebra, Lemma 00KW에 의해 \[\dim(\mathcal{O}_{X \cap Y, t}) = \dim(\mathcal{O}_{X \times Y, t}/(x_1 - y_1, \ldots, x_n - y_n)) \geq r + s - n\] 임을 얻는다. Lemma 0A21에 의해 이로부터 결과가 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하고 \(n \geq 0\)이라 하자. \(X, Y \subset \mathbf{P}^n_k\)를 공집합이 아닌 닫힌 부분집합이라 하자. \(\dim(X) = r\), \(\dim(Y) = s\)이고 \(r + s \geq n\)이면 \(X \cap Y\)는 공집합이 아니며 \(\dim(X \cap Y) \geq r + s - n\)이다.

증명

\(\mathbf{A}^n = \Spec(k[x_0, \ldots, x_n])\) 및 \(\mathbf{P}^n = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\)로 쓰자. 사상 \(\pi : \mathbf{A}^{n + 1} \setminus \{0\} \to \mathbf{P}^n\)을 생각하자. 이는 \((x_0, \ldots, x_n)\)을 점 \([x_0 : \ldots : x_n]\)으로 보낸다. 더 정확히 말하면 이는 쌍 \((\mathcal{O}_{\mathbf{A}^{n + 1} \setminus \{0\}}, (x_0, \ldots, x_n))\)에 결부된 사상이다. Constructions, Lemma 01NE를 보라. 표준 아핀 열린집합 \(D_+(T_i)\) 위에서는 환 준동형 \[k\left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}\right] \longrightarrow k\left[T_0, \ldots, T_n, \frac{1}{T_i}\right] \cong k\left[\frac{T_0}{T_i}, \ldots, \frac{T_n}{T_i}\right] \left[T_i, \frac{1}{T_i}\right]\] 에 결부된 사상을 얻는다. 이는 전사이고, 상대차원 \(1\)로 매끄러우며, 기약 올들을 갖는다(세부사항은 생략한다). 따라서 \(\pi^{-1}(X)\)와 \(\pi^{-1}(Y)\)는 차원이 각각 \(r + 1\)과 \(s + 1\)인 공집합이 아닌 닫힌 부분집합이다. 기약 성분 \(V \subset \pi^{-1}(X)\) 가운데 차원 \(r + 1\)인 것과 기약 성분 \(W \subset \pi^{-1}(Y)\) 가운데 차원 \(s + 1\)인 것을 택하자. 이는 \(V\)와 \(W\)가 자신이 만나는 \(\pi\)의 모든 올을 포함함을 뜻한다. 실제로 \(\pi\)의 올들은 차원 \(1\)인 기약 스킴이고, Lemma 0B2L에 따르면 \(V \to \pi(V)\)와 \(W \to \pi(W)\)의 올들은 차원 \(\geq 1\)이다. \(\overline{V}\)와 \(\overline{W}\)를 \(V\)와 \(W\)의 \(\mathbf{A}^{n + 1}\) 안에서의 폐포라 하자. \(0 \in \mathbf{A}^{n + 1}\)은 \(\pi\)의 모든 올의 폐포에 속하므로 \(0 \in \overline{V} \cap \overline{W}\)이다. Lemma 0B2Q에 의해 \(\dim(\overline{V} \cap \overline{W}) \geq r + s - n + 1\)이다. 다시 Lemma 0B2L를 사용하여 위와 같이 논증하면 \(\pi(V \cap W) \subset X \cap Y\)의 차원이 적어도 \(r + s - n\)임을 얻는다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(Z \subset \mathbf{P}^n_k\)를 매장점이 없는 닫힌 부분스킴이라 하고, \(Z\)의 모든 기약 성분의 차원이 \(n - 1\)이라고 하자. 그러면 아이디얼 \(I(Z) \subset k[T_0, \ldots, T_n]\), 즉 \(Z\)에 대응하는 아이디얼은 주아이디얼이다.

증명

이는 Divisors, Lemma 0BXL의 특수한 경우이다.

사영공간 위의 연접 층

이 절에서는 체 위의 \(\mathbf{P}^n\) 위에 놓인 연접 층의 코호몰로지에 관하여 [Mum]에서 찾을 수 있는 몇 가지 결과를 증명한다. 이 결과들은 나중에 Quot 스킴과 힐베르트 스킴을 논할 때 유용할 것이다.

준비

\(k\)를 체, \(n \geq 1\), \(d \geq 1\)이라 하고, 영이 아닌 단면 \(s \in \Gamma(\mathbf{P}_k^n, \mathcal{O}(d))\)를 택하자. 이 절에서는 \(\mathcal{O}(d)\)로 사영공간 구조층의 \(d\)번째 꼬임을 나타낸다 (Constructions, Definitions 01MN 및 01NF). \(\mathbf{P}^n_k\)가 대수다양체이므로 이 단면은 정칙이며, 따라서 \(s\)는 \(\mathcal{O}(d)\)의 정칙 단면이고 유효 카르티에 인자 \(H = Z(s) \subset \mathbf{P}^n_k\)를 정의한다. Divisors, Section 01WQ를 보라. 이러한 인자 \(H\)를 초곡면이라 하고, \(d = 1\)이면 초평면이라 한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 1\)이라 하자. \(i : H \to \mathbf{P}^n_k\)를 초평면이라 하자. 그러면 동형 \[\varphi : \mathbf{P}^{n - 1}_k \longrightarrow H\] 이 존재하여 \(i^*\mathcal{O}(1)\)의 당김은 \(\mathcal{O}(1)\)이 된다.

증명

\(\mathbf{P}^n_k = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n])\)이다. 단면 \(s\)는 \(T_0, \ldots, T_n\)에 관한 차수 \(1\)의 동차형식에 대응한다. Cohomology of Schemes, Section 01XS을 보라. \(s = \sum a_i T_i\)라 하자. Constructions, Lemma 03GL에 의해 \(H = \text{Proj}(k[T_0, \ldots, T_n]/I)\)이다. 여기서 등급 아이디얼 \(I\)는 \(I_d\)를 사상 \(\Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) \to \Gamma(H, i^*\mathcal{O}(d))\)의 핵으로 둠으로써 정의한다. Divisors, Definition 02OQ에서 한 \(Z(s)\)의 구성에 따라, \(D_{+}(T_j)\) 위에서 \(H\)의 아이디얼은 \(\sum a_i T_i/T_j\)로 생성되며, 이는 다항식환 \(k[T_0/T_j, \ldots, T_n/T_j]\)의 원소이다. 따라서 \(I\)가 \(\sum a_i T_i\)로 생성되는 아이디얼임은 분명하다. 다음 등급환의 동형에 주의하라. \[k[T_0, \ldots, T_n]/I = k[T_0, \ldots, T_n]/(\sum a_i T_i) \cong k[S_0, \ldots, S_{n - 1}]\] 예를 들어 \(a_n \not = 0\)이면 \(S_i\)를 \(T_i\)의 류로 보내면 된다. \(\text{Proj}\)의 함자성에 의해 원하는 동형을 얻는다. 구조층 꼬임들의 동일성은 예를 들어 Constructions, Lemma 01N1에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 무한체라 하자. \(n \geq 1\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 가군이라 하자. 그러면 영이 아닌 단면 \(s \in \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\)과 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F} \to i_*\mathcal{G} \to 0\] 이 존재한다. 여기서 \(i : H \to \mathbf{P}^n_k\)는 초평면 \(H\)의 몰입이고, 이 초평면은 \(s\)에 결부되어 있으며, \(\mathcal{G} = i^*\mathcal{F}\)이다.

증명

사상 \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\)는 Constructions, Equation (03GJ)에서 \(n = 1\), \(m = -1\), 그리고 단면 \(s\)를 \(\mathcal{O}(1)\)에서 취하여 얻는다. 이 사상을 \(D_{+}(T_0)\)에 제한했을 때 어떤 모습인지 계산하자. \(D_{+}(T_0) = \Spec(k[x_1, \ldots, x_n])\)로 쓰고 \(x_i = T_i/T_0\)로 두자. \(\mathcal{O}(1)|_{D_{+}(T_0)}\)를 \(\mathcal{O}\)와 동일시하되 단면 \(T_0\)를 사용한다. 따라서 \(s = \sum a_iT_i\)이면 위에서 택한 동일시 아래 \(s|_{D_{+}(T_0)} = a_0 + \sum a_ix_i\)이다. 더 나아가 \(\mathcal{F}|_{D_{+}(T_0)}\)가 유한 \(k[x_1, \ldots, x_n]\)-가군 \(M\)에 대응한다고 하자. 동일시 \(\mathcal{F}(-1) = \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(-1)\)과 \(\mathcal{O}(1)\)의 위에서 택한 자명화에 의해 \(\mathcal{F}(-1)\)도 \(M\)에 대응한다. 따라서 \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\)를 \(D_{+}(T_0)\)에 제한하면 사상 \[M \xrightarrow{a_0 + \sum a_ix_i} M\] 을 얻는다. 화살표가 단사임을 보이려면 \(a_0 + \sum a_ix_i\)를 \(M\)의 모든 결합소아이디얼 밖에서 택하면 충분하다. Algebra, Lemma 00LD를 보라. Algebra, Lemma 00LC에 의해 집합 \(\text{Ass}(M)\)은 \(M\)의 결합소아이디얼들로 이루어지며 유한하다. \(\mathfrak p \in \text{Ass}(M)\)에 대해 교집합 \(\mathfrak p \cap \{a_0 + \sum a_i x_i\}\)는 진 \(k\)-부분벡터공간임에 주의하라. 따라서 유한한 진 부분벡터공간들의 족 \(V_1, \ldots, V_m \subset \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\)가 존재하여, \(s\)를 \(\bigcup V_i\) 밖에서 택하면 \(s\)에 의한 곱셈이 \(D_{+}(T_0)\) 위에서 단사이다. \(D_{+}(T_j)\)로의 제한도 마찬가지이며, 여기서 \(j = 1, \ldots, n\)이다. \(k\)가 무한이므로 유한 개의 진 부분벡터공간들의 합집합은 전체 공간과 같을 수 없다. 따라서 사상이 단사가 되도록 \(s\)를 택할 수 있다. \(\mathcal{F}(-1) \to \mathcal{F}\)의 여핵은 \(\Im(s : \mathcal{O}(-1) \to \mathcal{O})\)에 의해 소멸된다. 이것은 Divisors, Definition 02OQ에 의해 \(H\)의 아이디얼층이다. 따라서 Cohomology of Schemes, Lemma 087T를 이용하여 \(\mathcal{G}\)를 \(H\) 위에서 얻는다.

주

\(k\)를 무한체라 하자. \(n \geq 1\)이라 하자. 유한 개의 연접 가군 \(\mathcal{F}_i\)가 \(\mathbf{P}^n_k\) 위에 주어지면 단 하나의 \(s \in \Gamma(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\)를 택하여 Lemma 08A0의 명제가 각 가군에 대해 성립하게 할 수 있다. 이를 증명하려면 그 보조정리를 \(\bigoplus \mathcal{F}_i\)에 적용하면 된다.

주

Lemmas 089Z 및 08A0의 상황에서 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\)이고, 세르 꼬임은 \(\mathcal{O}_H(d) = i^*\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\)이다. 모든 \(d \in \mathbf{Z}\)에 대해 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}(d - 1) \to \mathcal{F}(d) \to i_*(\mathcal{G}(d)) \to 0\] 이 있다. 실제로 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\)와의 텐서곱은 완전 함자이고, 사영 공식(Cohomology, Lemma 01E8)에 의해 \(i_*(\mathcal{G}(d)) = i_*\mathcal{G} \otimes \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)\)이다. 이에 대응하는 긴 완전열 \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1)) \to H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d)) \to H^i(H, \mathcal{G}(d)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1))\] 을 얻는다. 이는 위의 내용과 Cohomology of Schemes, Lemma 089W에 의한 등식 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, i_*\mathcal{G}(d)) = H^i(H, \mathcal{G}(d))\)에서 따른다(닫힌 몰입은 아핀이다).

정칙성

정의는 다음과 같다.

정의

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하자. 다음이 성립하면 \(\mathcal{F}\)를 \(m\)-정칙이라 한다. \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i)) = 0\] 여기서 \(i = 1, \ldots, n\)이다.

\(\mathcal{F} = \mathcal{O}(d)\)가 \(m\)-정칙일 필요충분조건은 \(d \geq -m\)임에 주의하라. 이는 Cohomology of Schemes, Equation (01XU)의 코호몰로지 군 계산에서 따른다. 실제로 \(H^n(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(d)) = 0\)일 필요충분조건은 \(d \geq -n\)이다.

보조정리

\(k'/k\)를 체의 확대라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 \(\mathcal{F}\)의 \(\mathbf{P}^n_{k'}\)로의 당김이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-정칙일 필요충분조건은 \(\mathcal{F}'\)가 \(m\)-정칙인 것이다.

증명

평탄 기저변환에 의해 \[H^i(\mathbf{P}^n_{k'}, \mathcal{F}') = H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}) \otimes_k k'\] 이기 때문이다. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH를 보라.

보조정리

Lemma 08A0의 상황에서 \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-정칙이면 \(\mathcal{G}\)는 \(m\)-정칙이고, 그 바탕은 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\)이다.

증명

Cohomology of Schemes, Lemma 089W에 의해 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, i_*\mathcal{G}) = H^i(H, \mathcal{G})\)임을 상기하라. 따라서 Remark 0EGK에 의해 \(i \geq 1\)에 대해 \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i)) \to H^i(H, \mathcal{G}(m - i)) \to H^{i + 1}(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - 1 - i))\] 를 얻는다. 이제 보조정리가 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-정칙이면 \(\mathcal{F}\)는 \((m + 1)\)-정칙이다.

증명

\(n\)에 관한 귀납법으로 증명한다. \(n = 0\)이면 모든 층은 모든 \(m\)에 대해 \(m\)-정칙이므로 증명할 것이 없다. Lemma 08A4에 의해 \(k\)를 무한 확대체로 바꾸어 \(k\)가 무한이라고 가정할 수 있다. 따라서 Lemma 08A0을 적용할 수 있다. Lemma 08A5에 의해 \(\mathcal{G}\)가 \(m\)-정칙임을 안다. \(n\)에 관한 귀납법에 의해 \(\mathcal{G}\)는 \((m + 1)\)-정칙이다. Remark 0EGK에서와 같이 완전열 \[0 \to \mathcal{F}(m - i) \to \mathcal{F}(m + 1 - i) \to i_*\mathcal{G}(m + 1 - i) \to 0\] 에 결부된 긴 코호몰로지 완전열을 살펴보면, 독자는 \(i \geq 1\)에 대해 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1 - i))\)의 소멸을 쉽게 얻는다. 이는 이미 알려진 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - i))\)의 소멸과 \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{G}(m + 1 - i))\)의 소멸에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-정칙이면 곱셈 사상 \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m)) \otimes_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1)) \longrightarrow H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1))\] 은 전사이다.

증명

\(k'/k\)를 체의 확대라 하자. \(\mathcal{F}'\)를 Lemma 08A4에서와 같이 두자. Cohomology of Schemes, Lemma 02KH에 의해 보조정리의 선형사상을 \(k'\)로 기저변환하면 층 \(\mathcal{F}'\)에 대한 같은 선형사상을 얻는다. \(k \to k'\)가 충실히 평탄하므로 보조정리를 \(k'\) 위에서 증명하면 충분하다. 즉, \(k\)가 무한이라고 가정할 수 있다.

\(k\)가 무한이라고 가정하자. \(n\)에 관한 귀납법으로 보조정리를 증명한다. \(n = 0\)인 경우에는 \(\mathcal{O}(1) \cong \mathcal{O}\)가 \(T_0\)로 생성되므로 자명하다. \(n > 0\)일 때 Lemma 08A0을 적용하고 그 완전열에 \(\mathcal{O}(m + 1)\)을 텐서하여 \[0 \to \mathcal{F}(m) \xrightarrow{s} \mathcal{F}(m + 1) \to i_*\mathcal{G}(m + 1) \to 0\] 을 얻는다. Remark 0EGK을 보라. \(t \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m + 1))\)라 하자. 귀납가정에 의해 그 상 \(\overline{t} \in H^0(H, \mathcal{G}(m + 1))\)은 \(\sum g_i \otimes \overline{s}_i\)의 상이다. 여기서 \(\overline{s}_i \in \Gamma(H, \mathcal{O}(1))\)이고 \(g_i \in H^0(H, \mathcal{G}(m))\)이다. \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-정칙이므로 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m - 1)) = 0\)이다. 따라서 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{F}(m - 1) \xrightarrow{s} \mathcal{F}(m) \to i_*\mathcal{G}(m) \to 0\] 에 결부된 긴 코호몰로지 완전열은 \(g_i\)를 \(f_i \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\)로 올릴 수 있음을 보인다. 또한 \(\overline{s}_i\)를 \(s_i \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1))\)로 올릴 수 있다 (예를 들어 Lemma 089Z의 증명을 보라). \(\sum f_i \otimes s_i\)의 상을 \(t\)에서 빼면 \(\overline{t} = 0\)이라고 가정할 수 있음을 알 수 있다. 그러나 이는 정확히 \(t\)가 \(f \otimes s\)의 상이라는 뜻이다. 여기서 \(f \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(m))\)이고, 이것이 원하는 바이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하자. \(\mathcal{F}\)가 \(m\)-정칙이면 \(\mathcal{F}(m)\)은 대역적으로 생성된다.

증명

모든 \(d \gg 0\)에 대해 층 \(\mathcal{F}(d)\)는 대역적으로 생성된다. 이는 예를 들어 Cohomology of Schemes, Lemma 01YS의 첫째 부분에서 따른다. \(d \geq m\)이고 \(\mathcal{F}(d)\)가 대역적으로 생성되도록 값을 택하자. 기저 \(f_1, \ldots, f_r \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F})\)를 택하자. Lemma 08A7에 의해 모든 원소 \(f \in H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\)는 \(f = \sum P_if_i\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(P_i \in k[T_0, \ldots, T_n]\)는 차수 \(d - m\)인 동차다항식이다. 단면들 \(f\)가 \(\mathcal{F}(d)\)를 생성하므로 단면들 \(f_i\)가 \(\mathcal{F}(m)\)을 생성한다.

힐베르트 다항식

다음 보조정리는 더 일반적인 Lemma 0BEM에 의해 불필요해질 것이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하자. 함수 \[d \longmapsto \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\] 는 다항식이다.

증명

\(n\)에 관한 귀납법으로 증명한다. \(n = 0\)이면 \(\mathbf{P}^n_k = \Spec(k)\)이고 \(\mathcal{F}(d) = \mathcal{F}\)이다. 따라서 이 경우 함수는 상수, 즉 차수 \(0\)의 다항식이다. \(n > 0\)이라고 가정하자. Lemma 08AB에 의해 \(k\)가 무한이라고 가정할 수 있다. Lemma 08A0을 적용하자. 꼬인 완전열 \(0 \to \mathcal{F}(d - 1) \to \mathcal{F}(d) \to i_*\mathcal{G}(d) \to 0\)에 Lemma 08AA를 적용하면 \[\chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d)) - \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d - 1)) = \chi(H, \mathcal{G}(d))\] 을 얻는다. Remark 0EGK을 보라. \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\)이므로 귀납가정에 의해 우변은 다항식이다. 이제 함수 \(f : \mathbf{Z} \to \mathbf{Z}\)가 사상 \(d \mapsto f(d) - f(d - 1)\)이 다항식이라는 성질을 가지면 그 함수 자체도 다항식이라는 사실로부터 보조정리가 끝난다. 이 사실의 증명은 생략한다(힌트: Algebra, Lemma 00JZ과 비교하라).

정의

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하자. 함수 \(d \mapsto \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\)를 \(\mathcal{F}\)의 힐베르트 다항식이라 한다.

힐베르트 다항식의 계수는 \(\mathbf{Q}\)에 속하지만 일반적으로 \(\mathbf{Z}\)에는 속하지 않는다. 예를 들어 \(\mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}\)의 힐베르트 다항식은 \[d \longmapsto {d + n \choose n} = \frac{d^n}{n!} + \ldots\] 이다. 이는 다음 보조정리와 \[H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}_{\mathbf{P}^n_k}(d)) = k[T_0, \ldots, T_n]_d\] 라는 사실에서 따른다. 이 공간은 차수 \(d\) 부분이며, \(k\) 위의 차원은 \({d + n \choose n}\)이다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층이라 하고, 그 힐베르트 다항식을 \(P \in \mathbf{Q}[t]\)라 하자. 그러면 \[P(d) = \dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{F}(d))\] 가 모든 \(d \gg 0\)에 대해 성립한다.

증명

이는 \(\mathcal{F}\)의 충분히 높은 꼬임의 코호몰로지가 소멸한다는 사실에서 따른다. Cohomology of Schemes, Lemma 01YS를 보라.

몫들의 유계성

이 소절에서는 \(\mathbf{P}^n\) 위에 주어진 연접 층의 몫들의 정칙성을 힐베르트 다항식으로 한정한다.

보조정리

\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 0\)이라 하자. \(r \geq 1\)이라 하자. \(P \in \mathbf{Q}[t]\)라 하자. 정수 \(m\)이 존재하며 이는 \(n\), \(r\), \(P\)에 의존하고 다음 성질을 가진다. \(\mathbf{P}^n_k\) 위의 연접 층들의 짧은 완전열 \[0 \to \mathcal{K} \to \mathcal{O}^{\oplus r} \to \mathcal{F} \to 0\] 이 주어지고 \(\mathcal{F}\)의 힐베르트 다항식이 \(P\)이면, \(\mathcal{K}\)는 \(m\)-정칙이다.

증명

\(n\)에 관한 귀납법으로 증명한다. \(n = 0\)이면 \(\mathbf{P}^n_k = \Spec(k)\)이고 모든 연접 가군은 \(0\)-정칙이며, 모든 전사 사상은 대역단면 위에서도 전사이다. \(n > 0\)이라고 가정하자. 보조정리에 나오는 완전열을 생각하자. \(P' \in \mathbf{Q}[t]\)를 \(P'(t) = P(t) - P(t - 1)\)인 다항식이라 하자. \(m'\)를 \(n - 1\), \(r\), \(P'\)에 대해 성립하는 정수라 하자. Lemmas 08A4 및 08AB에 의해 \(k\)를 체의 확대로 바꿀 수 있으므로 \(k\)가 무한이라고 가정할 수 있다. 연접 층 \(\mathcal{F}\)에 Lemma 08A0을 적용하자. \(\mathcal{F}' = i^*\mathcal{F}\)의 힐베르트 다항식은 \(P'\)이다 (Lemma 08AC의 증명을 보라). \(i^*\)가 오른쪽 완전이므로 \(\mathcal{F}'\)는 \(\mathcal{O}_H^{\oplus r} = i^*\mathcal{O}^{\oplus r}\)의 몫이다. 따라서 귀납가정은 \(\mathcal{F}'\)에 적용된다. 그 바탕은 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\)이다(Lemma 089Z). \(\mathcal{K}(-1) \to \mathcal{K}\)는 단사임에 주의하라. 실제로 \(\mathcal{K} \subset \mathcal{O}^{\oplus r}\)이다. 그 여핵은 \(i_*\mathcal{H}\)이고, 여기서 \(\mathcal{H} = i^*\mathcal{K}\)이다. 뱀 보조정리(Homology, Lemma 010H)에 의해 열과 행이 완전인 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] & 0 \ar[d] \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K}(-1) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}^{\oplus r}(-1) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F}(-1) \ar[d] \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & \mathcal{K} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{O}^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{F} \ar[d] \ar[r] & 0\\ 0 \ar[r] & i_*\mathcal{H} \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{O}_H^{\oplus r} \ar[r] \ar[d] & i_*\mathcal{F}' \ar[r] \ar[d] & 0 \\ & 0 & 0 & 0 }\] 따라서 귀납가정은 완전열 \(0 \to \mathcal{H} \to \mathcal{O}_H^{\oplus r} \to \mathcal{F}' \to 0\)에 적용된다. 이는 \(H \cong \mathbf{P}^{n - 1}_k\) 위의 열이다 (Lemma 089Z). 그러므로 \(\mathcal{H}\)는 \(m'\)-정칙이다. 이는 \(\mathcal{H}\)가 \(d\)-정칙임을 함의하며, 모든 \(d \geq m'\)에 대해 그러하다는 것을 상기하라 (Lemma 08A6).

\(i \geq 2\)이고 \(d \geq m'\)이라 하자. 위 그림의 왼쪽 열에 결부된 긴 코호몰로지 완전열과 \(H^{i - 1}(H, \mathcal{H}(d))\)의 소멸로부터 사상 \[H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \longrightarrow H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\] 이 단사임을 얻는다. 이 군들은 \(d \gg 0\)이면 영이므로 (Cohomology of Schemes, Lemma 01YS), \(H^i(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\)가 모든 \(d \geq m'\) 및 \(i \geq 2\)에 대해 영이라고 결론짓는다.

아직 \(H^1\)을 제어해야 한다. 먼저 모든 사상 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m' - 1)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m' + 1)) \to \ldots\] 이 전사임을 관찰한다. 이는 \(H^1(H, \mathcal{H}(d))\)가 \(d \geq m'\)에 대해 소멸하기 때문이다. \(d > m'\)이고 사상 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \longrightarrow H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\] 이 단사라고 하자. 그러면 \(H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \to H^0(H, \mathcal{H}(d))\)는 전사이다. 가환 그림 \[\xymatrix{ H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \otimes_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}(1)) \ar[r] \ar[d] & H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1)) \ar[d] \\ H^0(H, \mathcal{H}(d)) \otimes_k H^0(H, \mathcal{O}_H(1)) \ar[r] & H^0(H, \mathcal{H}(d + 1)) }\] 을 생각하자. Lemma 08A7에 의해 아래쪽 수평 화살표는 전사이다. 따라서 오른쪽 수직 화살표도 전사이다. 그러므로 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \longrightarrow H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1))\] 이 단사이다. 귀납법으로 \[H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d)) \to H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d + 1)) \to \ldots\] 가 모두 단사임을 안다. 이 군들이 결국 소멸하므로 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d - 1)) = 0\)이라고 결론짓는다. 따라서 군들 \(H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(d))\)의 차원은 \(d \geq m'\)에 대해 영이 될 때까지 엄밀히 감소한다. 그러므로 \(\mathcal{K}\)의 정칙성은 \(m' + \dim_k H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\)로 한정된다. 한편 고차 코호몰로지 군들의 소멸에 의해 \[\dim_k H^1(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) = - \chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m')) + \dim_k H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\] 이다. 여기서 \(H^0\)의 차원은 \(H^0(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{O}^{\oplus r}(m'))\)의 차원으로 한정되며, 이는 기껏해야 \(r{n + m' \choose n}\)이다. 여기서는 \(m' > 0\)인 경우를 말하며, 그렇지 않으면 영이다. 마지막으로 \(\chi(\mathbf{P}^n_k, \mathcal{K}(m'))\) 항은 \(r{n + m' \choose n} - P(m')\)과 같다. 이로써 원하는 유형의 상계를 얻고 보조정리의 증명이 끝난다.

프로베니우스 사상

\(p\)를 소수라 하자. 스킴 \(X\)에 대하여 “\(X\)의 표수는 \(p\)이다”, “\(X\)는 표수 \(p\)이다”, 또는 “\(X\)는 표수 \(p\) 안에 있다”라고 말한다. 이는 \(p\)가 \(\mathcal{O}_X\)에서 영일 때이다.

정의

\(p\)를 소수라 하자. \(X\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. \(X\)의 절대 프로베니우스는 사상 \(F_X : X \to X\)이다. 이 사상은 바탕 위상공간에서는 항등사상이고, \(F_X^\sharp : \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X\)는 \(g \mapsto g^p\)로 주어진다.

이 정의가 가능한 까닭은 임의의 환 \(A\)가 표수 \(p\)일 때 사상 \(F_A : A \to A\), \(a \mapsto a^p\)가 \(\Spec(A)\) 위에 항등사상을 유도하는 환 자기준동형이기 때문이다. 더구나 \(A\)가 국소환이면 \(F_A\)는 국소 준동형이다. 이로부터 \(X\)의 절대 프로베니우스가 스킴의 범주에서 \(X\)의 자기준동형임을 알 수 있다. 실제로 절대 프로베니우스는 표수 \(p\)인 스킴의 범주 위 항등 함자에서 자기 자신으로 가는 사상을 정의한다.

보조정리

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(f : X \to Y\)를 표수 \(p\)인 스킴들의 사상이라 하자. 그러면 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_{F_X} & X \ar[d]^f \\ Y \ar[r]^{F_Y} & Y }\] 은 가환이다.

증명

다음 자명한 대수적 사실에서 따른다. \(\varphi : A \to B\)가 표수 \(p\)인 환들의 준동형이면 \(\varphi(a^p) = \varphi(a)^p\)이다.

보조정리

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(X\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. 그러면 절대 프로베니우스 \(F_X : X \to X\)는 보편 위상동형사상이고 정수적이며, 순비분리 잉여체 확대를 유도한다.

증명

이는 프로베니우스 자기준동형 \(F_A : A \to A\)에 대한 대응하는 결과들에서 따른다. 여기서 환 \(A\)의 표수는 \(p > 0\)이다. 예를 들어 Algebra, Section 0BR5의 논의와 Lemma 0BRA을 보라.

고정된 바탕 위의 스킴을 다룰 때에는 프로베니우스 사상의 상대적 형태가 있다.

정의

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(S\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. 다음과 같이 정의한다. \[X^{(p)} = X^{(p/S)} = X \times_{S, F_S} S\] 이를 \(S\) 위의 스킴으로 본다. Lemma 0CC7을 적용하면 다음 가환 그림에 들어맞는 유일한 사상 \(F_{X/S} : X \longrightarrow X^{(p)}\)가 존재하고, 이 사상은 \(S\) 위의 사상임을 알 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{F_{X/S}} \ar[rrd] \ar@/^1em/[rrrr]^{F_X} & & X^{(p)} \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ & & S \ar[rr]^{F_S} & & S }\] 여기서 오른쪽 사각형은 데카르트 사각형이다. 사상 \(F_{X/S}\)를 \(X/S\)의 상대 프로베니우스 사상이라 한다.

\(X \mapsto X^{(p)}\)는 함자임에 주의하라. 이는 절대 프로베니우스 사상 \(F_S : S \to S\)에 대한 기저변환 함자이다. 상대 프로베니우스 사상에 관해서도 앞과 같은 보조정리들이 성립한다.

보조정리

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(S\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 스킴들의 사상이라 하자. 그러면 그림 \[\xymatrix{ X \ar[d]_f \ar[r]_{F_{X/S}} & X^{(p)} \ar[d]^{f^{(p)}} \\ Y \ar[r]^{F_{Y/S}} & Y^{(p)} }\] 은 가환이다.

증명

Lemma 0CC7과 정의들에서 따른다.

보조정리

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(S\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. 그러면 상대 프로베니우스 \(F_{X/S} : X \to X^{(p)}\)는 보편 위상동형사상이고 정수적이며, 순비분리 잉여체 확대를 유도한다.

증명

Lemma 0CC8에 의해 사상 \(F_X : X \to X\)와 기저변환 \(h : X^{(p)} \to X\)는 보편 위상동형사상이다. 여기서 후자는 \(F_S\)의 기저변환이다. \(h \circ F_{X/S} = F_X\)이므로 \(F_{X/S}\)가 보편 위상동형사상이라고 결론짓는다(Morphisms, Lemma 0H2M). Morphisms, Lemmas 04DF 및 01S4에 의해 \(F_{X/S}\)가 나머지 성질들도 가짐을 알 수 있다.

보조정리

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(S\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. 그러면 \(\Omega_{X/S} = \Omega_{X/X^{(p)}}\)이다.

증명

이는 다음 대수적 사실로 옮겨진다. \(A \to B\)를 표수 \(p\)인 환들의 준동형이라 하자. \(B' = B \otimes_{A, F_A} A\)로 두고 환 준동형 \(F_{B/A} : B' \to B\), \(b \otimes a \mapsto b^pa\)를 생각하자. 그러면 우리의 주장은 \(\Omega_{B/A} = \Omega_{B/B'}\)라는 것이다. \(\text{d}(b^pa) = 0\)이다. 여기서 \(\text{d} : B \to \Omega_{B/A}\)는 보편 미분이며, 따라서 \(\text{d}\)는 \(B'\)-미분이므로 이 주장은 참이다.

보조정리

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(S\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(X \to S\)가 국소 유한형이면 \(F_{X/S}\)는 유한이다.

증명

이는 다음 대수적 사실로 옮겨진다. \(A \to B\)를 표수 \(p\)인 환들의 유한형 준동형이라 하자. \(B' = B \otimes_{A, F_A} A\)로 두고 환 준동형 \(F_{B/A} : B' \to B\), \(b \otimes a \mapsto b^pa\)를 생각하자. 그러면 우리의 주장은 \(F_{B/A}\)가 유한이라는 것이다. 실제로 \(x_1, \ldots, x_n \in B\)가 \(A\) 위의 생성원들이면 \(x_i\)는 \(B'\) 위에서 정수적이다. 실제로 \(x_i^p = F_{B/A}(x_i \otimes 1)\)이다. 따라서 Algebra, Lemma 02JJ에 의해 \(F_{B/A} : B' \to B\)는 유한이다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 스킴이라 하자. 그러면 \(X\)가 기하적으로 기약인 것과 \(X^{(p)}\)가 기약인 것은 동치이다.

증명

절대 프로베니우스 \(F_k : k \to k\)를 생각하자. 그러면 \(F_k(k) = k^p\)이다. 다시 말해 \(F_k : k \to k\)는 \(k\)를 \(k^{1/p}\)에 넣는 매입과 동형이다. 따라서 보조정리는 Lemma 035X에서 따른다.

보조정리

\(k\)를 표수 \(p > 0\)인 체라 하자. \(X\)를 \(k\) 위의 대수다양체라 하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(X^{(p)}\)는 기약이다.

2. \(X\)는 기하적으로 기약이다.

3. 공집합이 아닌 열린부분집합 \(U \subset X\)가 존재하고, 이는 \(k\) 위에서 매끄럽다.

이 경우 \(X^{(p)}\)는 \(k\) 위의 대수다양체이고, \(F_{X/k} : X \to X^{(p)}\)는 차수 \(p^{\dim(X)}\)의 유한 우세 사상이다.

증명

Lemma 0CCE에서 (1)과 (2)가 동치임을 보았다. Lemma 056V에서 (2)가 (3)을 함의함을 보았다. (3)이 성립하면 \(U\)는 기하적으로 기약이고(예를 들어 Lemma 038X를 보라), 따라서 Lemma 04KS에 의해 \(X\)는 기하적으로 기약이다. 이로써 (1), (2), (3)이 동치임을 알 수 있다.

(1), (2), (3)이 성립한다고 가정하자. \(F_{X/k}\)는 위상동형사상이므로 (Lemma 0CCB), \(X^{(p)}\)가 대수다양체임을 알 수 있다. 이어서 Lemma 0CCD에 의해 \(F_{X/k}\)는 유한이다. 이 사상은 전사이므로 우세하다. 차수 (Morphisms, Definition 02NY)를 계산하려면 \(F_{U/k} : U \to U^{(p)}\)의 차수를 계산하면 충분하다. 실제로 Lemma 0CCA에 의해 \(F_{U/k} = F_{X/k}|_U\)이다. \(U\)를 조금 줄여서 에탈 사상 \(h : U \to \mathbf{A}^n_k\)가 존재한다고 가정할 수 있다. Morphisms, Lemma 054L를 보라. 물론 \(n = \dim(U)\)이다. 실제로 \(\mathbf{A}^n_k \to \Spec(k)\)는 상대차원 \(n\)의 매끄러운 사상이고, 에탈 사상 \(h\)는 상대차원 \(0\)의 매끄러운 사상이며, \(U \to \Spec(k)\)는 상대차원 \(\dim(U)\)의 매끄러운 사상이고, 상대차원들은 올바르게 더해진다(Morphisms, Lemma 02NL). \(h\)는 대수다양체들의 생성적으로 유한인 우세 사상이고, 따라서 \(\deg(h)\)가 정의됨에 주의하라. Lemma 0CCA에 의해 가환 그림 \[\xymatrix{ U \ar[rr]_{F_{X/k}} \ar[d]_h & & U^{(p)} \ar[d]^{h^{(p)}} \\ \mathbf{A}^n_k \ar[rr]^{F_{\mathbf{A}^n_k/k}} & & (\mathbf{A}^n_k)^{(p)} }\] 을 얻는다. \(h^{(p)}\)는 \(h\)의 기저변환이므로 역시 에탈이고, 따라서 \(h^{(p)}\) 역시 대수다양체들의 생성적으로 유한인 우세 사상이다. \(h^{(p)}\)의 차수는 확대 \(k(X^{(p)})/k((\mathbf{A}^n_k)^{(p)})\)의 차수이고, 이는 확대 \(k(X)/k(\mathbf{A}^n_k)\)의 차수와 같다. 왜냐하면 \(h^{(p)}\)는 \(h\)의 기저변환이기 때문이다(작은 세부사항은 생략한다). 차수의 곱셈성(Morphisms, Lemma 02NZ)에 의해 \(F_{\mathbf{A}^n_k/k}\)의 차수가 \(p^n\)임을 보이면 충분하다. 이를 보려면 \((\mathbf{A}^n_k)^{(p)} = \mathbf{A}^n_k\)이고 \(F_{\mathbf{A}^n_k/k}\)가 각 좌표를 그 \(p\)제곱으로 보내는 사상으로 주어짐을 관찰하면 된다.

주

\(p > 0\)을 소수라 하자. \(S\)를 표수 \(p\)인 스킴이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하자. \(n \geq 1\)에 대해 \[X^{(p^n)} = X^{(p^n/S)} = X \times_{S, F_S^n} S\] 로 두고 이를 \(S\) 위의 스킴으로 본다. \(X \mapsto X^{(p^n)}\)는 함자임에 주의하라. Lemma 0CC7을 적용하면 \(F_{X/S, n} = (F_X^n, \text{id}_S) : X \longrightarrow X^{(p^n)}\)가 다음 가환 그림에 들어맞는 \(S\) 위의 사상임을 알 수 있다. \[\xymatrix{ X \ar[rr]_{F_{X/S, n}} \ar[rrd] \ar@/^1em/[rrrr]^{F_X^n} & & X^{(p^n)} \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ & & S \ar[rr]^{F_S^n} & & S }\] 여기서 오른쪽 사각형은 데카르트 사각형이다. 사상 \(F_{X/S, n}\)를 때때로 \(n\)중 상대 프로베니우스 사상, 즉 \(X/S\)의 그러한 사상이라 한다. 이는 다음 공식 때문에 자연스럽다. \[F_{X/S, n} = F_{X^{(p^{n - 1})}/S} \circ \ldots \circ F_{X^{(p)}/S} \circ F_{X/S}\] 이 공식은 \(F_{X/S, n}\)이 \(n\)개의 상대 프로베니우스의 합성임을 보인다. 또한 \[F_{X^{(p^m)}/S} = F_{X^{(p^{m - 1})}/S}^{(p)} = \ldots = F_{X/S}^{(p^m)}\] 이므로(세부사항은 생략한다), 다음 식도 얻는다. \[F_{X/S, n} = F_{X/S}^{(p^{n - 1})} \circ \ldots \circ F_{X/S}^{(p)} \circ F_{X/S}\]

1차원 환의 붙이기

이 절에서는 분리 스킴의 여차원 \(1\)인 유한 개의 점들이 하나의 아핀 열린부분집합에 포함된다는 것을 증명하기 위한 몇 가지 대수적 준비를 한다.

설정

여기서는 다음 환들의 가환 그림이 주어져 있다. \[\xymatrix{ A \ar[r] & K \\ R \ar[u] \ar[r] & B \ar[u] }\] 여기서 \(K\)는 체이고 \(A\), \(B\)는 \(K\)의 부분환이며 분수체가 \(K\)이다. 마지막으로 \(R = A \times_K B = A \cap B\)이다.

보조정리

Situation 09MY에서 \(B\)가 값매김환이라고 가정하자. 그러면 모든 단원 \(u\)에 대해, 그것이 \(A\)의 단원이면 \(u \in R\)이거나 \(u^{-1} \in R\)이다.

증명

실제로 상 \(c\)를 생각하자. 이것은 \(u\)의 \(K\)에서의 상이다. 이 상이 \(B\)에 속하면 \(u \in R\)이다. 그렇지 않으면 \(c^{-1} \in B\)이고(Algebra, Lemma 00IB), \(u^{-1} \in R\)이다.

다음 보조정리는 이후 자주 나타나는 조건 “\(A \otimes B \to K\)가 전사이다”의 의미를 설명한다.

보조정리

Situation 09MY에서 \(A\)가 차원 \(1\)의 뇌터 환이라고 가정하자. 다음 조건들은 동치이다.

1. \(A \otimes B \to K\)는 전사가 아니다.

2. 이산 값매김환 \(\mathcal{O} \subset K\)가 존재하고, 이는 \(A\)와 \(B\)를 모두 포함한다.

증명

(2)가 (1)을 함의함은 분명하다. 반대로 \(A \otimes B \to K\)가 전사가 아니면 그 상 \(C \subset K\)는 체가 아니므로 \(C\)는 영이 아닌 극대아이디얼 \(\mathfrak m\)을 가진다. 값매김환 \(\mathcal{O} \subset K\)를 택하자. 이는 \(C_\mathfrak m\)을 지배한다. \(A \subset \mathcal{O}\)에 Algebra, Lemma 00PG를 적용하면 환 \(\mathcal{O}\)는 뇌터 환이다. 따라서 Algebra, Lemma 00II에 의해 \(\mathcal{O}\)는 이산 값매김환이다.

보조정리

Situation 09MY에서 다음을 가정하자.

1. \(A\)는 차원 \(1\)의 뇌터 반국소 정역이다.

2. \(B\)는 이산 값매김환이다.

그러면 다음 두 가능성이 있다.

1. \(A^*\)가 \(R\)에 포함되지 않으면 \(\Spec(A) \to \Spec(R)\)와 \(\Spec(B) \to \Spec(R)\)는 \(\Spec(R)\)을 덮는 열린 몰입들이고 \(K = A \otimes_R B\)이다.

2. \(A^*\)가 \(R\)에 포함되면 \(B\)는 \(A\)의 한 극대아이디얼에서의 국소환을 지배하고, \(A \otimes B \to K\)는 전사가 아니다.