Topologie · Stacks

Introduction

Nous exposerons dans ce chapitre les éléments de topologie générale dont nous aurons besoin. On pourra consulter [Engelking] comme ouvrage de référence.

Notions de base

Voici une liste de notions fondamentales de topologie. Certaines seront étudiées plus en détail dans la suite, certaines sont définies dans la liste, mais les autres sont tenues pour acquises et ne seront pas définies. Si la plupart des notions en italique ne vous sont pas familières, nous vous conseillons de consulter un ouvrage d’introduction à la topologie avant de poursuivre.

\(X\) est un espace topologique,
\(x\in X\) est un point,
\(E \subset X\) est une partie localement fermée,
\(x\in X\) est un point fermé,
\(E \subset X\) est une partie dense,
\(f : X_1 \to X_2\) est continue,
une fonction à valeurs réelles étendues \(f : X \to \mathbf{R} \cup \{\infty, -\infty\}\) est semi-continue supérieurement si \(\{x \in X \mid f(x) < a\}\) est ouvert pour tout \(a \in \mathbf{R}\),
une fonction à valeurs réelles étendues \(f : X \to \mathbf{R} \cup \{\infty, -\infty\}\) est semi-continue inférieurement si \(\{x \in X \mid f(x) > a\}\) est ouvert pour tout \(a \in \mathbf{R}\),
une application continue d’espaces \(f : X \to Y\) est ouverte si \(f(U)\) est ouvert dans \(Y\) pour toute partie ouverte \(U \subset X\),
une application continue d’espaces \(f : X \to Y\) est fermée si \(f(Z)\) est fermé dans \(Y\) pour toute partie fermée \(Z \subset X\),
un voisinage de \(x \in X\) est toute partie \(E \subset X\) qui contient un ouvert contenant \(x\),
la topologie induite sur une partie \(E \subset X\),
\(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\) est un recouvrement ouvert de \(U\) (remarquons que chaque \(U_i\) peut être vide et que, lorsque \(U\) est vide, nous admettons même que \(I\) soit l’ensemble vide),
un sous-recouvrement d’un recouvrement comme en (004K) est un recouvrement ouvert \(\mathcal{U}' : U = \bigcup_{i \in I'} U_i\), où \(I' \subset I\),
le recouvrement ouvert \(\mathcal{V}\) est un raffinement du recouvrement ouvert \(\mathcal{U}\) (si \(\mathcal{V} : U = \bigcup_{j \in J} V_j\) et \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{i \in I} U_i\), cela signifie que chaque \(V_j\) est contenu dans l’un des \(U_i\)),
\(\{ E_i \}_{i \in I}\) est un système fondamental de voisinages de \(x\) dans \(X\),
un espace topologique \(X\) est dit séparé, ou de Hausdorff, si et seulement si, pour toute paire de points distincts \(x, y \in X\), il existe des ouverts disjoints \(U, V \subset X\) tels que \(x \in U\), \(y \in V\),
le produit de deux espaces topologiques, [08ZB]
le produit fibré \(X \times_Y Z\) de deux applications continues \(f : X \to Y\) et \(g : Z \to Y\),
la topologie discrète et la topologie grossière sur un ensemble,
etc.

Espaces séparés

La catégorie des espaces topologiques admet les produits finis.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est séparé,

la diagonale \(\Delta(X) \subset X \times X\) est fermée.

Démonstration

Supposons que \(X\) soit séparé. Soit \((x, y) \not \in \Delta(X)\), c’est-à-dire \(x \neq y\). Il existe deux ouverts disjoints \(U\) et \(V\) de \(X\) tels que \(x \in U\) et \(y \in V\). Il s’ensuit que \(U \times V \subset (X \times X) \setminus \Delta(X)\). Cela montre que \((X \times X) \setminus \Delta(X)\) est un ouvert de \(X \times X\), ce qui revient à dire que la diagonale \(\Delta(X) \subset X \times X\) est fermée dans \(X \times X\). La réciproque est analogue : le complémentaire \((X \times X) \setminus \Delta(X)\) est formé précisément des \((x, y) \in X\times X\) tels que \(x \neq y\). Ainsi, si \(\Delta(X) \subset X \times X\) est fermée, alors, par définition de la topologie produit, pour tout tel couple \((x, y)\), il existe des ouverts \(U, V \subset X\) tels que \((x, y) \in U \times V\) et \((U \times V)\cap \Delta(X) = \emptyset\). Autrement dit, \(x \in U\) et \(y \in V\), avec \(U \cap V = \emptyset\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Si \(Y\) est séparé, alors le graphe de \(f\) est fermé dans \(X \times Y\).

Démonstration

Le graphe est l’image réciproque de la diagonale par l’application \(X \times Y \to Y \times Y\). Le lemme résulte donc du lemme 08ZE.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(s : Y \to X\) une application continue telle que \(f \circ s = \text{id}_Y\). Si \(X\) est séparé, alors \(s(Y)\) est fermé.

Démonstration

Cela résulte du lemme 08ZE, puisque \(s(Y) = \{x \in X \mid x = s(f(x))\}\).

Lemme

Soient \(X \to Z\) et \(Y \to Z\) des applications continues d’espaces topologiques. Si \(Z\) est séparé, alors \(X \times_Z Y\) est fermé dans \(X \times Y\).

Démonstration

Cela résulte du lemme 08ZE, car \(X \times_Z Y\) est l’image réciproque de \(\Delta(Z)\) par \(X \times Y \to Z \times Z\).

Applications séparées

Voici simplement la définition et quelques lemmes élémentaires.

Définition

Une application continue \(f : X \to Y\) d’espaces topologiques est dite séparée si et seulement si la diagonale \(\Delta : X \to X \times_Y X\) est une application fermée.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(f\) est séparée,

\(\Delta(X) \subset X \times_Y X\) est une partie fermée,

étant donnés deux points distincts \(x, x' \in X\) ayant la même image dans \(Y\), il existe des voisinages ouverts disjoints de \(x\) et de \(x'\).

Démonstration

Si \(f\) est séparée, la définition 0CY1 dit que \(\Delta\) est une application fermée. Le fait que \(X\) soit fermé dans \(X\) entraîne que \(\Delta(X)\) est fermé dans \(X\times_Y X\). Ainsi, (1) implique (2).

Supposons que \(\Delta(X) \subset X \times_Y X\) soit une partie fermée et notons \(U\) son complémentaire ouvert. Il existe donc un ouvert \(W \subset X \times X\) tel que \(W \cap (X \times_Y X) = U\). Or, par définition de la topologie produit, si \((x, x') \in W \cap (X \times_Y X)\), il existe des ouverts \(V\) et \(V'\) de \(X\) tels que \(x \in V\), \(x' \in V'\) et \(V \times V' \subset W\). Si \(V \cap V' \neq \emptyset\), il existerait \(z \in V \cap V'\). Mais \((z, z) \in X \times_Y X\), donc \((z,z) \in (V \times V') \cap (X\times_Y X) \subset U\), ce qui est absurde. Ainsi \(V \cap V' = \emptyset\), et nous avons obtenu deux voisinages ouverts disjoints de \(x\) et \(x'\). Cela montre que (2) implique (3).

Supposons enfin que, pour tous points distincts \(x, x' \in X\) ayant la même image dans \(Y\), il existe des voisinages ouverts disjoints de \(x\) et de \(x'\). Soit \(F\) un fermé de \(X\). Montrons que \(\Delta(F)\) est une partie fermée de \(X \times_Y X\). Soit \((x, x') \in X \times_Y X\) un point qui n’appartient pas à \(\Delta(F)\). Alors soit \(x \not = x'\), soit \(x \not \in F\). Dans le premier cas, choisissons des voisinages ouverts disjoints \(V, V' \subset X\) de \(x, x'\) ; alors \((V \times V') \cap X \times_Y X\) est un voisinage ouvert de \((x, x')\) qui ne rencontre pas \(\Delta(F)\). Dans le second cas, \(((X \setminus F) \times X) \cap X \times_Y X\) est un voisinage ouvert de \((x, x')\) qui ne rencontre pas \(\Delta(F)\). Nous avons montré que (3) implique (1).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Si \(X\) est séparé, alors \(f\) est séparée.

Démonstration

C’est immédiat d’après les lemmes 0CY2 et 08ZE, car le fait que \(\Delta(X)\) soit fermé dans \(X \times X\) entraîne que \(\Delta(X)\) est fermé dans \(X \times_Y X\).

Lemme

Soient \(f : X \to Y\) et \(Y' \to Y\) des applications continues d’espaces topologiques. Si \(f\) est séparée, alors \(f' : Y' \times_Y X \to Y'\) est séparée.

Démonstration

Cela résulte de la caractérisation (2) du lemme 0CY2. En effet, si \(X' = Y' \times_Y X\), la diagonale \(\Delta(X')\) dans le produit fibré \(X' \times_{Y'} X'\) est l’image réciproque de \(\Delta(X)\) dans \(X \times_Y X\).

Bases

Rappels élémentaires sur les bases des espaces topologiques.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Une famille de parties \(\mathcal{B}\) de \(X\) est appelée une base de la topologie sur \(X\), ou une base de la topologie de \(X\), si les conditions suivantes sont satisfaites :

Tout élément \(B \in \mathcal{B}\) est ouvert dans \(X\).

Pour tout ouvert \(U \subset X\) et tout \(x \in U\), il existe \(B \in \mathcal{B}\) tel que \(x \in B \subset U\).

Le lemme suivant sert parfois à définir une topologie.

Lemme

Soit \(X\) un ensemble et soit \(\mathcal{B}\) une famille de parties. Supposons que \(X = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B\) et que, pour tous \(x \in B_1 \cap B_2\) avec \(B_1, B_2 \in \mathcal{B}\), il existe \(B_3 \in \mathcal{B}\) tel que \(x \in B_3 \subset B_1 \cap B_2\). Il existe alors une unique topologie sur \(X\) dont \(\mathcal{B}\) est une base.

Démonstration

Notons \(\sigma(\mathcal B)\) l’ensemble des parties de \(X\) qui s’écrivent comme réunions d’éléments de \(\mathcal B\). Nous affirmons que \(\sigma(\mathcal{B})\) est une topologie. En effet, l’ensemble vide appartient à \(\sigma(\mathcal{B})\) (en tant que réunion vide), et \(X\) appartient à \(\sigma(\mathcal{B})\) (en tant que réunion de tous les éléments de \(\mathcal{B}\)). Il est clair que \(\sigma(\mathcal{B})\) est stable par réunion. Enfin, si \(U, V \in \sigma(\mathcal{B})\), écrivons \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\) et \(V = \bigcup_{j \in J} V_j\), où \(U_i, V_j \in \mathcal{B}\) pour tout \(i \in I\) et tout \(j \in J\). Alors \[U \cap V = \bigcup\nolimits_{i \in I, j \in J} U_i \cap V_j\] L’hypothèse du lemme montre que \(U_i \cap V_j \in \sigma(\mathcal{B})\), et donc que \(U \cap V\) y appartient également. Ainsi, \(\sigma(\mathcal{B})\) est une topologie. Les propriétés (1) et (2) de la définition 004P sont immédiates pour cette topologie. Pour en montrer l’unicité, soit \(\mathcal T\) une topologie sur \(X\) dont \(\mathcal B\) est une base. Tout élément de \(\mathcal{B}\) appartient évidemment à \(\mathcal{T}\) d’après le point (1) de la définition 004P, et donc \(\sigma(\mathcal{B}) \subset \mathcal{T}\). Réciproquement, le point (2) de la définition 004P montre que tout élément de \(\mathcal{T}\) est une réunion d’éléments de \(\mathcal{B}\), c’est-à-dire que \(\mathcal{T} \subset \sigma(\mathcal{B})\). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une base de la topologie de \(X\). Soit \(\mathcal{U} : U = \bigcup_i U_i\) un recouvrement ouvert de \(U \subset X\). Il existe un recouvrement ouvert \(U = \bigcup V_j\) qui raffine \(\mathcal{U}\) et tel que chaque \(V_j\) appartienne à la base \(\mathcal{B}\).

Démonstration

Si \(x \in U = \bigcup_{i\in I} U_i\), il existe \(i_x \in I\) tel que \(x \in U_{i_x}\). Il existe donc \(B_{i_x} \in \mathcal{B}\) vérifiant \(x \in B_{i_x} \subset U_{i_x}\). Posons \(J = \{i_x | x \in U\}\) et, pour \(j = i_x \in J\), posons \(V_j = B_{i_x}\). On obtient ainsi le recouvrement ouvert voulu de \(U\) par \(\{V_j\}_{j \in J}\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Une famille de parties \(\mathcal{B}\) de \(X\) est appelée une sous-base de la topologie sur \(X\), ou une sous-base de la topologie de \(X\), si les intersections finies d’éléments de \(\mathcal{B}\) forment une base de la topologie de \(X\).

En particulier, tout élément de \(\mathcal{B}\) est ouvert.

Lemme

Soit \(X\) un ensemble. Pour toute famille \(\mathcal{B}\) de parties de \(X\), il existe une unique topologie sur \(X\) dont \(\mathcal{B}\) est une sous-base.

Démonstration

Par convention, \(\bigcap_\emptyset B = X\). Nous pouvons donc appliquer le lemme 0D5P à l’ensemble des intersections finies d’éléments de \(\mathcal B\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une famille d’ouverts de \(X\). Supposons que \(X = \bigcup_{U \in \mathcal{B}} U\) et que, pour \(U, V \in \mathcal{B}\), on ait \(U \cap V = \bigcup_{W \in \mathcal{B}, W \subset U \cap V} W\). Il existe alors une application continue \(f : X \to Y\) d’espaces topologiques telle que

pour \(U \in \mathcal{B}\), l’image \(f(U)\) soit ouverte,

pour \(U \in \mathcal{B}\), on ait \(f^{-1}(f(U)) = U\), et

les ouverts \(f(U)\), \(U \in \mathcal{B}\), forment une base de la topologie de \(Y\).

Démonstration

Définissons une relation d’équivalence \(\sim\) sur les points de \(X\) par \[x \sim y \Leftrightarrow (\forall U \in \mathcal{B} : x \in U \Leftrightarrow y \in U)\] Soit \(Y\) l’ensemble des classes d’équivalence et soit \(f : X \to Y\) l’application naturelle. Le point (2) est satisfait par construction. Les hypothèses portant sur \(\mathcal{B}\) sont exactement celles du lemme 0D5P pour l’ensemble des parties \(f(U)\), \(U \in \mathcal{B}\). Il existe donc une unique topologie sur \(Y\) pour laquelle (3) soit satisfaite. Le point (1) est alors clair lui aussi.

Applications submersives

Si \(X\) est un espace topologique et si \(E \subset X\) est une partie, nous munissons habituellement \(E\) de la topologie induite.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(Y\) un ensemble et soit \(f : Y \to X\) une application injective d’ensembles. La topologie induite sur \(Y\) est la topologie caractérisée par chacune des assertions suivantes :

c’est la topologie la moins fine sur \(Y\) pour laquelle \(f\) soit continue,

les ouverts de \(Y\) sont les \(f^{-1}(U)\), où \(U \subset X\) est ouvert,

les fermés de \(Y\) sont les ensembles \(f^{-1}(Z)\), où \(Z \subset X\) est fermé.

Démonstration

L’ensemble \(\mathcal{T} = \{f^{-1}(U) | U \subset X \text{ ouvert}\}\) est une topologie sur \(Y\). Tout d’abord, \(\emptyset = f^{-1}(\emptyset)\) et \(f^{-1}(X) = Y\). Ainsi, \(\mathcal{T}\) contient \(\emptyset\) et \(Y\).

Soit maintenant \(\{V_i\}_{i \in I}\) une famille de parties ouvertes avec \(V_i \in \mathcal{T}\), et écrivons \(V_i = f^{-1}(U_i)\), où \(U_i\) est une partie ouverte de \(X\). Alors \[\bigcup\nolimits_{i\in I} V_i = \bigcup\nolimits_{i\in I} f^{-1}(U_i) = f^{-1}\left(\bigcup\nolimits_{i\in I} U_i\right)\] Ainsi, \(\bigcup_{i\in I} V_i \in \mathcal{T}\), puisque \(\bigcup_{i\in I} U_i\) est ouvert dans \(X\). Soient maintenant \(V_1, V_2 \in \mathcal{T}\). Il existe des ouverts \(U_1, U_2\) de \(X\) tels que \(V_1 = f^{-1}(U_1)\) et \(V_2 = f^{-1}(U_2)\). Alors \[V_1 \cap V_2 = f^{-1}(U_1) \cap f^{-1}(U_2) = f^{-1}(U_1 \cap U_2)\] Ainsi, \(V_1 \cap V_2 \in \mathcal{T}\), car \(U_1 \cap U_2\) est ouvert dans \(X\).

Toute topologie sur \(Y\) pour laquelle \(f\) est continue contient \(\mathcal{T}\), par définition d’une application continue. Ainsi, \(\mathcal{T}\) est bien la topologie la moins fine sur \(Y\) pour laquelle \(f\) soit continue. Cela prouve l’équivalence de (1) et (2).

L’équivalence de (2) et (3) résulte de l’égalité \(f^{-1}(X \setminus E) = Y \setminus f^{-1}(E)\) pour toute partie \(E \subset X\).

Duellement, si \(X\) est un espace topologique et si \(X \to Y\) est une surjection d’ensembles, on peut munir \(Y\) de la topologie quotient.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(Y\) un ensemble et soit \(f : X \to Y\) une application surjective d’ensembles. La topologie quotient sur \(Y\) est la topologie caractérisée par chacune des assertions suivantes :

c’est la topologie la plus fine sur \(Y\) pour laquelle \(f\) soit continue,

une partie \(V\) de \(Y\) est ouverte si et seulement si \(f^{-1}(V)\) est ouverte,

une partie \(Z\) de \(Y\) est fermée si et seulement si \(f^{-1}(Z)\) est fermée.

Démonstration

L’ensemble \(\mathcal{T} = \{V\subset Y | f^{-1}(V) \text{ est ouvert}\}\) est une topologie sur \(Y\). Tout d’abord, \(\emptyset = f^{-1}(\emptyset)\) et \(f^{-1}(Y) = X\). Ainsi, \(\mathcal{T}\) contient \(\emptyset\) et \(Y\).

Soit \((V_i)_{i \in I}\) une famille d’éléments \(V_i \in \mathcal{T}\). Alors \[\bigcup\nolimits_{i\in I} f^{-1}(V_i) = f^{-1}\left(\bigcup\nolimits_{i\in I} V_i\right)\] Ainsi, \(\bigcup_{i\in I} V_i \in \mathcal{T}\), puisque \(\bigcup_{i\in I}f^{-1}(V_i)\) est ouvert dans \(X\). De plus, si \(V_1, V_2 \in \mathcal{T}\), alors \[f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2) = f^{-1}(V_1 \cap V_2)\] Ainsi, \(V_1 \cap V_2 \in \mathcal{T}\), car \(f^{-1}(V_1) \cap f^{-1}(V_2)\) est ouvert dans \(X\).

Enfin, toute topologie sur \(Y\) pour laquelle \(f\) est continue est contenue dans \(\mathcal{T}\), par définition d’une application continue. Par conséquent, \(\mathcal{T}\) est la topologie la plus fine sur \(Y\) pour laquelle \(f\) soit continue. Cela prouve l’équivalence de (1) et (2).

Enfin, l’équivalence de (2) et (3) résulte de \(f^{-1}(X\setminus E) = Y \setminus f^{-1}(E)\) pour toute partie \(E \subset X\).

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Nous obtenons alors une factorisation \(X \to f(X) \to Y\) d’applications d’ensembles. Nous pouvons munir \(f(X)\) soit de la topologie quotient provenant de la surjection \(X \to f(X)\), soit de la topologie induite provenant de l’injection \(f(X) \to Y\). L’application \[(f(X), \text{topologie quotient}) \longrightarrow (f(X), \text{topologie induite})\] est continue.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques.

On dit que \(f\) est une application stricte d’espaces topologiques si la topologie induite et la topologie quotient sur \(f(X)\) coïncident (voir la discussion ci-dessus).

On dit que \(f\) est submersive¹ si \(f\) est surjective et stricte.

Ainsi, une application continue \(f : X \to Y\) est submersive si \(f\) est une surjection et si, pour toute partie \(T \subset Y\), la partie \(T\) est ouverte (respectivement fermée) si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est ouverte (respectivement fermée). Autrement dit, \(Y\) porte la topologie quotient relative à la surjection \(X \to Y\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application surjective, ouverte et continue d’espaces topologiques. Soit \(T \subset Y\) une partie. Alors

\(f^{-1}(\overline{T}) = \overline{f^{-1}(T)}\),

\(T \subset Y\) est fermé si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est fermé,

\(T \subset Y\) est ouvert si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est ouvert, et

\(T \subset Y\) est localement fermé si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est localement fermé.

En particulier, \(f\) est submersive.

Démonstration

Il est clair que \(\overline{f^{-1}(T)} \subset f^{-1}(\overline{T})\). Si \(x \in X\) et \(x \not \in \overline{f^{-1}(T)}\), il existe un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) tel que \(U \cap f^{-1}(T) = \emptyset\). Comme \(f\) est ouverte, \(f(U)\) est un voisinage ouvert de \(f(x)\) qui ne rencontre pas \(T\). Ainsi, \(x \not \in f^{-1}(\overline{T})\). Cela prouve (1). Le point (2) résulte immédiatement de (1). Le point (3) est évident puisque \(f\) est ouverte et surjective. Pour (4), si \(f^{-1}(T)\) est localement fermé, alors \(f^{-1}(T) \subset \overline{f^{-1}(T)} = f^{-1}(\overline{T})\) est ouvert. En appliquant alors (3) à l’application \(f^{-1}(\overline{T}) \to \overline{T}\), nous voyons que \(T\) est ouvert dans \(\overline{T}\), c’est-à-dire que \(T\) est localement fermé.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application surjective, fermée et continue d’espaces topologiques. Soit \(T \subset Y\) une partie. Alors

\(\overline{T} = f(\overline{f^{-1}(T)})\),

\(T \subset Y\) est fermé si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est fermé,

\(T \subset Y\) est ouvert si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est ouvert, et

\(T \subset Y\) est localement fermé si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est localement fermé.

En particulier, \(f\) est submersive.

Démonstration

Il est clair que \(\overline{f^{-1}(T)} \subset f^{-1}(\overline{T})\). Alors \(T \subset f(\overline{f^{-1}(T)}) \subset \overline{T}\) est une partie fermée, d’où (1). Le point (2) est évident puisque \(f\) est fermée et surjective. Le point (3) résulte de (2) appliqué au complémentaire de \(T\). Pour (4), si \(f^{-1}(T)\) est localement fermé, alors \(f^{-1}(T) \subset \overline{f^{-1}(T)}\) est ouvert. Puisque l’application \(\overline{f^{-1}(T)} \to \overline{T}\) est surjective d’après (1), nous pouvons appliquer le point (3) à l’application \(\overline{f^{-1}(T)} \to \overline{T}\) induite par \(f\) et conclure que \(T\) est ouvert dans \(\overline{T}\), c’est-à-dire que \(T\) est localement fermé.

Composantes connexes

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

On dit que \(X\) est connexe si \(X\) n’est pas vide et si, chaque fois que \(X = T_1 \amalg T_2\) avec \(T_i \subset X\) ouvert et fermé, on a \(T_1 = \emptyset\) ou \(T_2 = \emptyset\).

On dit que \(T \subset X\) est une composante connexe de \(X\) si \(T\) est une partie connexe maximale de \(X\).

L’espace vide n’est pas connexe.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Si \(E \subset X\) est une partie connexe, alors \(f(E) \subset Y\) est également connexe.

Démonstration

Soit \(A \subset f(E)\) une partie ouverte et fermée de \(f(E)\). Comme \(f\) est continue, \(f^{-1}(A)\) est une partie ouverte et fermée de \(E\). Puisque \(E\) est connexe, \(f^{-1}(A) = \emptyset\) ou \(f^{-1}(A) = E\). Or \(A\subset f(E)\) entraîne que \(A = f(f^{-1}(A))\). En effet, si \(x\in f(f^{-1}(A))\), il existe \(y\in f^{-1}(A)\) tel que \(f(y) = x\) et, puisque \(y\in f^{-1}(A)\), nous avons \(f(y) \in A\), c’est-à-dire \(x\in A\). Réciproquement, si \(x\in A\), l’inclusion \(A\subset f(E)\) implique qu’il existe \(y\in E\) tel que \(f(y) = x\). Alors \(y\in f^{-1}(A)\), puis \(x\in f(f^{-1}(A))\). Ainsi, \(A = \emptyset\) ou \(A = f(E)\), ce qui prouve que \(f(E)\) est connexe.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique.

Si \(T \subset X\) est connexe, son adhérence l’est aussi.

Toute composante connexe de \(X\) est fermée (mais pas nécessairement ouverte).

Toute partie connexe de \(X\) est contenue dans une unique composante connexe de \(X\).

Tout point de \(X\) appartient à une unique composante connexe ; autrement dit, \(X\) est la réunion disjointe de ses composantes connexes.

Démonstration

Soit \(\overline{T}\) l’adhérence de la partie connexe \(T\). Supposons \(\overline{T} = T_1 \amalg T_2\), où \(T_i \subset \overline{T}\) est ouvert et fermé. Alors \(T = (T\cap T_1) \amalg (T \cap T_2)\). Par conséquent, \(T\) est égal à l’une des deux parties, disons \(T = T_1 \cap T\). Ainsi, \(\overline{T} \subset T_1\). Cela entraîne (1) et (2).

Soit \(A\) un ensemble non vide de parties connexes de \(X\) tel que \(\Omega = \bigcap_{T \in A} T\) soit non vide. Nous affirmons que \(E = \bigcup_{T \in A} T\) est connexe. En effet, \(E\) est non vide puisqu’il contient \(\Omega\). Écrivons \(E = E_1 \amalg E_2\), où \(E_i\) est fermé dans \(E\). Nous pouvons supposer que \(E_1\) rencontre \(\Omega\) (quitte à renuméroter). Alors tout \(T \in A\) rencontre \(E_1\) et doit donc être contenu dans \(E_1\), puisque \(T\) est connexe. Ainsi \(E \subset E_1\), ce qui prouve l’affirmation.

Soit \(W \subset X\) une partie connexe non vide. Appliquons le résultat du paragraphe précédent à l’ensemble de toutes les parties connexes de \(X\) qui contiennent \(W\). Nous voyons alors que \(E\) est une composante connexe de \(X\). Cela prouve l’existence et l’unicité dans (3).

Soit \(x \in X\). En prenant \(W = \{x\}\) dans le paragraphe précédent, nous voyons que \(x\) appartient à une unique composante connexe de \(X\). Deux composantes connexes distinctes sont nécessairement disjointes, d’après le résultat du deuxième paragraphe.

Pour obtenir un exemple où les composantes connexes ne sont pas ouvertes, il suffit de considérer un produit infini \(\prod_{n \in \mathbf{N}} \{0, 1\}\) muni de la topologie produit. Ses composantes connexes sont les singletons, qui ne sont pas ouverts.

Remarque

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(x \in X\). Soit \(Z \subset X\) la composante connexe de \(X\) passant par \(x\). Considérons l’intersection \(E\) de toutes les parties ouvertes et fermées de \(X\) qui contiennent \(x\). Il est clair que \(Z \subset E\). En général, \(Z \not = E\). Par exemple, soit \(X = \{x, y, z_1, z_2, \ldots\}\) muni de la topologie ayant pour base d’ouverts \(\{z_n\}\), \(\{x, z_n, z_{n + 1}, \ldots\}\) et \(\{y, z_n, z_{n + 1}, \ldots\}\) pour tout \(n\). Alors \(Z = \{x\}\) et \(E = \{x, y\}\). Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Supposons que

toutes les fibres de \(f\) soient connexes, et

une partie \(T \subset Y\) soit fermée si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est fermée.

Alors \(f\) induit une bijection entre les ensembles de composantes connexes de \(X\) et de \(Y\).

Démonstration

Soit \(T \subset Y\) une composante connexe. Remarquons que \(T\) est fermée ; voir le lemme 004T. Le lemme résulte du fait que \(f^{-1}(T)\) est connexe, car toute partie connexe de \(X\) s’envoie dans une composante connexe de \(Y\) d’après le lemme 0376. Supposons que \(f^{-1}(T) = Z_1 \amalg Z_2\), avec \(Z_1\), \(Z_2\) fermés. Pour tout \(t \in T\), nous avons \(f^{-1}(\{t\}) = Z_1 \cap f^{-1}(\{t\}) \amalg Z_2 \cap f^{-1}(\{t\})\). D’après (1), \(f^{-1}(\{t\})\) est connexe ; nous en concluons que soit \(f^{-1}(\{t\}) \subset Z_1\), soit \(f^{-1}(\{t\}) \subset Z_2\). Autrement dit, \(T = T_1 \amalg T_2\), avec \(f^{-1}(T_i) = Z_i\). D’après (2), \(T_i\) est fermé dans \(Y\). Ainsi, \(T_1 = \emptyset\) ou \(T_2 = \emptyset\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Supposons que (a) \(f\) soit ouverte, (b) toutes les fibres de \(f\) soient connexes. Alors \(f\) induit une bijection entre les ensembles de composantes connexes de \(X\) et de \(Y\).

Démonstration

C’est un cas particulier du lemme 0377.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques non vides. Supposons que (a) \(Y\) soit connexe, (b) \(f\) soit ouverte et fermée, et (c) il existe un point \(y\in Y\) tel que la fibre \(f^{-1}(y)\) soit un ensemble fini. Alors \(X\) possède au plus \(|f^{-1}(y)|\) composantes connexes. Par conséquent, toute composante connexe \(T\) de \(X\) est ouverte et fermée, et \(f(T)\) est une partie ouverte et fermée non vide de \(Y\), donc égale à \(Y\).

Démonstration

Si l’espace topologique \(X\) possède au moins \(N\) composantes connexes pour un certain \(N \in \mathbf{N}\), nous obtenons par récurrence une décomposition \(X = X_1 \amalg \ldots \amalg X_N\) de \(X\) en réunion disjointe de \(N\) parties ouvertes et fermées non vides \(X_1, \ldots , X_N\) de \(X\). Puisque \(f\) est ouverte et fermée, chaque \(f(X_i)\) est une partie ouverte et fermée non vide de \(Y\), donc égale à \(Y\). En particulier, l’intersection \(X_i \cap f^{-1}(y)\) est non vide pour tout \(1 \leq i \leq N\). Ainsi, \(f^{-1}(y)\) possède au moins \(N\) éléments.

Définition

Un espace topologique est totalement discontinu si toutes ses composantes connexes sont des singletons.

Un espace discret est totalement discontinu. Un espace totalement discontinu n’est pas nécessairement discret ; par exemple, \(\mathbf{Q} \subset \mathbf{R}\) est totalement discontinu mais non discret.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\pi_0(X)\) l’ensemble des composantes connexes de \(X\). Soit \(X \to \pi_0(X)\) l’application qui envoie \(x \in X\) sur la composante connexe de \(X\) passant par \(x\). Munissons \(\pi_0(X)\) de la topologie quotient. Alors \(\pi_0(X)\) est un espace totalement discontinu, et toute application continue \(X \to Y\) de \(X\) vers un espace totalement discontinu \(Y\) se factorise par \(\pi_0(X)\).

Démonstration

D’après le lemme 0377, les composantes connexes de \(\pi_0(X)\) sont les singletons. Nous omettons la démonstration de la seconde assertion.

Définition

Un espace topologique \(X\) est dit localement connexe si tout point \(x \in X\) possède un système fondamental de voisinages connexes.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Si \(X\) est localement connexe, alors

toute partie ouverte de \(X\) est localement connexe, et

les composantes connexes de \(X\) sont ouvertes.

Les composantes connexes des parties ouvertes de \(X\) sont donc elles aussi ouvertes. En particulier, tout point possède un système fondamental de voisinages ouverts connexes.

Démonstration

Pour tout \(x\in X\), notons \(\mathcal{N}(x)\) le système fondamental de voisinages connexes de \(x\), et soit \(U\subset X\) une partie ouverte de \(X\). Pour tout \(x\in U\), \(U\) est un voisinage de \(x\), donc l’ensemble \(\{V \in \mathcal{N}(x) | V\subset U\}\) n’est pas vide et forme un système fondamental de voisinages connexes de \(x\) dans \(U\). Ainsi, \(U\) est localement connexe, ce qui prouve (1).

Soit \(x \in \mathcal{C} \subset X\), où \(\mathcal{C}\) est la composante connexe de \(x\). Comme \(X\) est localement connexe, il existe un voisinage connexe \(\mathcal{N}\) de \(x\). Par définition d’une composante connexe, nous avons donc \(\mathcal{N} \subset \mathcal{C}\) ; ainsi, \(\mathcal{C}\) est un voisinage de \(x\). Cela montre que \(\mathcal{C}\) est un voisinage de chacun de ses points ; autrement dit, \(\mathcal{C}\) est ouverte, ce qui prouve (2).

Composantes irréductibles

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

On dit que \(X\) est irréductible si \(X\) n’est pas vide et si, chaque fois que \(X = Z_1 \cup Z_2\) avec \(Z_i\) fermé, on a \(X = Z_1\) ou \(X = Z_2\).

On dit que \(Z \subset X\) est une composante irréductible de \(X\) si \(Z\) est une partie irréductible maximale de \(X\).

Un espace irréductible est évidemment connexe.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Si \(E \subset X\) est une partie irréductible, alors \(f(E) \subset Y\) est également irréductible.

Démonstration

Nous pouvons évidemment supposer \(E = X\) (c’est-à-dire \(X\) irréductible) et \(f(E) = Y\) (c’est-à-dire \(f\) surjective). Tout d’abord, \(Y \not = \emptyset\), puisque \(X \not = \emptyset\). Supposons ensuite \(Y = Y_1 \cup Y_2\), où \(Y_1\), \(Y_2\) sont fermés. Alors \(X = X_1 \cup X_2\), où \(X_i = f^{-1}(Y_i)\) est fermé dans \(X\). Par hypothèse sur \(X\), on a nécessairement \(X = X_1\) ou \(X = X_2\), et donc \(Y = Y_1\) ou \(Y = Y_2\), puisque \(f\) est surjective.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique.

Si \(T \subset X\) est irréductible, son adhérence dans \(X\) l’est aussi.

Toute composante irréductible de \(X\) est fermée.

Toute partie irréductible de \(X\) est contenue dans une composante irréductible de \(X\).

Tout point de \(X\) appartient à une composante irréductible de \(X\) ; autrement dit, \(X\) est la réunion de ses composantes irréductibles.

Démonstration

Soit \(\overline{T}\) l’adhérence de la partie irréductible \(T\). Si \(\overline{T} = Z_1 \cup Z_2\), avec \(Z_i \subset \overline{T}\) fermé, alors \(T = (T\cap Z_1) \cup (T \cap Z_2)\) ; ainsi, \(T\) est égal à l’une des deux parties, disons \(T = Z_1 \cap T\). Il est donc clair que \(\overline{T} \subset Z_1\). Cela prouve (1). Le point (2) résulte aussitôt de (1) et de la définition des composantes irréductibles.

Soit \(T \subset X\) irréductible. Considérons l’ensemble \(A\) des parties irréductibles \(T \subset T' \subset X\). Remarquons que \(A\) est non vide, puisque \(T \in A\). L’inclusion définit sur \(A\) un ordre partiel : \(T' \leq T'' \Leftrightarrow T' \subset T''\). Choisissons une partie totalement ordonnée maximale \(A' \subset A\) et posons \(E = \bigcup_{T' \in A'} T'\). Nous affirmons que \(E\) est irréductible. Supposons en effet que \(E = Z_1 \cup Z_2\) soit la réunion de deux parties fermées de \(E\). Pour tout \(T' \in A'\), on a soit \(T' \subset Z_1\), soit \(T' \subset Z_2\), par l’irréductibilité de \(T'\). Supposons qu’il existe \(T'_0 \in A'\) tel que \(T'_0 \not\subset Z_1\) (sinon, nous avons déjà fini). Puisque \(A'\) est totalement ordonné, nous voyons immédiatement que \(T' \subset Z_2\) pour tout \(T' \in A'\). Ainsi \(E = Z_2\). Cela prouve (3). Le point (4) résulte immédiatement de (3), puisqu’un espace réduit à un singleton est irréductible.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et supposons \(X = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\), où chaque \(X_i\) est une partie fermée irréductible de \(X\) et aucun \(X_i\) n’est contenu dans la réunion des autres. Alors chaque \(X_i\) est une composante irréductible de \(X\), et toute composante irréductible de \(X\) est l’un des \(X_i\).

Démonstration

Soit \(Y\) une composante irréductible de \(X\). Écrivons \(Y = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} (Y \cap X_i)\) et remarquons que chaque \(Y \cap X_i\) est fermé dans \(Y\), puisque \(X_i\) est fermé dans \(X\). L’irréductibilité de \(Y\) montre que \(Y\) est égal à l’un des \(Y \cap X_i\), c’est-à-dire que \(Y \subset X_i\). Par maximalité des composantes irréductibles, nous obtenons \(Y = X_i\).

Réciproquement, choisissons l’un des \(X_i\). D’après le lemme 004W, il est contenu dans une composante irréductible \(Y\) de \(X\). Le paragraphe précédent donne \(Y = X_j\) pour un certain \(j\). Ainsi \(X_i \subset X_j\) et, comme la réunion initiale ne contient aucun terme superflu, \(X_i = X_j\), qui est une composante irréductible.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue et surjective d’espaces topologiques. Si \(X\) possède un nombre fini, disons \(n\), de composantes irréductibles, alors \(Y\) possède un nombre de composantes irréductibles qui est \(\leq n\).

Démonstration

Soient \(X_1, \ldots, X_n\) les composantes irréductibles de \(X\). D’après les lemmes 0379 et 004W, l’adhérence \(Y_i \subset Y\) de \(f(X_i)\) est irréductible. Comme \(f\) est surjective, \(Y\) est la réunion des \(Y_i\). Nous pouvons choisir une partie minimale \(I \subset \{1, \ldots, n\}\) telle que \(Y = \bigcup_{i \in I} Y_i\). Le lemme 0G2Y montre alors que les \(Y_i\), pour \(i \in I\), sont les composantes irréductibles de \(Y\).

Un singleton est irréductible. Ainsi, si \(x \in X\) est un point, l’adhérence \(\overline{\{x\}}\) est une partie fermée irréductible de \(X\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

Soit \(Z \subset X\) une partie fermée irréductible. Un point générique de \(Z\) est un point \(\xi \in Z\) tel que \(Z = \overline{\{\xi\}}\).

L’espace \(X\) est dit de Kolmogorov si, pour tous \(x, x' \in X\) tels que \(x \not = x'\), il existe une partie fermée de \(X\) qui contient exactement l’un des deux points.

L’espace \(X\) est dit quasi-sobre si toute partie fermée irréductible possède un point générique.

L’espace \(X\) est dit sobre si toute partie fermée irréductible possède un unique point générique.

Un espace topologique \(X\) est de Kolmogorov, quasi-sobre, resp. sobre si et seulement si l’application \(x\mapsto\overline{\{x\}}\) de \(X\) vers l’ensemble des parties fermées irréductibles de \(X\) est injective, surjective, resp. bijective. Nous voyons donc qu’un espace topologique est sobre si et seulement s’il est quasi-sobre et de Kolmogorov.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(Y\subset X\).

Si \(X\) est de Kolmogorov, alors \(Y\) l’est aussi.

Supposons que \(Y\) soit localement fermé dans \(X\). Si \(X\) est quasi-sobre, alors \(Y\) l’est aussi.

Supposons que \(Y\) soit localement fermé dans \(X\). Si \(X\) est sobre, alors \(Y\) l’est aussi.

Démonstration

Démonstration de (1). Supposons que \(X\) soit de Kolmogorov. Soient \(x,y\in Y\) avec \(x\neq y\). Alors \(\overline{\overline{\{x\}}\cap Y}=\overline{\{x\}}\neq\overline{\{y\}}= \overline{\overline{\{y\}}\cap Y}\). Par conséquent, \(\overline{\{x\}}\cap Y\neq\overline{\{y\}}\cap Y\). Cela montre que \(Y\) est de Kolmogorov.

Démonstration de (2). Supposons que \(X\) soit quasi-sobre. Il suffit de traiter les cas où \(Y\) est fermé et où \(Y\) est ouvert. Supposons d’abord \(Y\) fermé. Soit \(Z\) une partie fermée irréductible de \(Y\). Alors \(Z\) est une partie fermée irréductible de \(X\). Il existe donc \(x \in Z\) tel que \(\overline{\{x\}} = Z\). Il s’ensuit que \(\overline{\{x\}} \cap Y = Z\). Ainsi, \(Y\) est quasi-sobre. Supposons ensuite \(Y\) ouvert. Soit \(Z\) une partie fermée irréductible de \(Y\). Alors \(\overline{Z}\) est une partie fermée irréductible de \(X\). Il existe donc \(x \in \overline{Z}\) tel que \(\overline{\{x\}}=\overline{Z}\). Si \(x\notin Y\), nous obtenons la contradiction \(Z=Z\cap Y\subset\overline{Z}\cap Y=\overline{\{x\}}\cap Y=\emptyset\). Par conséquent, \(x\in Y\). Il s’ensuit que \(Z=\overline{Z}\cap Y=\overline{\{x\}}\cap Y\). Ainsi, \(Y\) est quasi-sobre.

Démonstration de (3). Elle résulte immédiatement de (1) et (2).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \((X_i)_{i\in I}\) un recouvrement de \(X\).

Supposons \(X_i\) localement fermé dans \(X\) pour tout \(i\in I\). Alors \(X\) est de Kolmogorov si et seulement si \(X_i\) l’est pour tout \(i\in I\).

Supposons \(X_i\) ouvert dans \(X\) pour tout \(i\in I\). Alors \(X\) est quasi-sobre si et seulement si \(X_i\) l’est pour tout \(i\in I\).

Supposons \(X_i\) ouvert dans \(X\) pour tout \(i\in I\). Alors \(X\) est sobre si et seulement si \(X_i\) l’est pour tout \(i\in I\).

Démonstration

Démonstration de (1). Si \(X\) est de Kolmogorov, alors \(X_i\) l’est pour tout \(i\in I\) d’après le lemme 0B31. Supposons \(X_i\) de Kolmogorov pour tout \(i\in I\). Soient \(x,y\in X\) tels que \(\overline{\{x\}}=\overline{\{y\}}\). Il existe \(i\in I\) tel que \(x\in X_i\). Il existe un ouvert \(U\subset X\) tel que \(X_i\) soit fermé dans \(U\). Si \(y\notin U\), nous obtenons la contradiction \(x\in\overline{\{x\}}\cap U=\overline{\{y\}}\cap U=\emptyset\). Ainsi, \(y\in U\). Il s’ensuit que \(y\in\overline{\{y\}}\cap U=\overline{\{x\}}\cap U\subset X_i\). Cela montre que \(y\in X_i\). Par conséquent, \(\overline{\{x\}}\cap X_i=\overline{\{y\}}\cap X_i\). Comme \(X_i\) est de Kolmogorov, nous obtenons \(x=y\). Cela montre que \(X\) est de Kolmogorov.

Démonstration de (2). Si \(X\) est quasi-sobre, alors \(X_i\) l’est pour tout \(i\in I\) d’après le lemme 0B31. Supposons \(X_i\) quasi-sobre pour tout \(i\in I\). Soit \(Y\) une partie fermée irréductible de \(X\). Comme \(Y\neq\emptyset\), il existe \(i\in I\) tel que \(X_i\cap Y\neq\emptyset\). Puisque \(X_i\) est ouvert dans \(X\), la partie \(X_i\cap Y\) est non vide et ouverte dans \(Y\), donc irréductible et dense dans \(Y\). Ainsi, \(X_i\cap Y\) est une partie fermée irréductible de \(X_i\). Comme \(X_i\) est quasi-sobre, il existe \(x\in X_i\cap Y\) tel que \(X_i\cap Y=\overline{\{x\}}\cap X_i\subset\overline{\{x\}}\). Puisque \(X_i\cap Y\) est dense dans \(Y\) et que \(Y\) est fermé dans \(X\), il s’ensuit que \(Y=\overline{X_i\cap Y}\cap Y\subset\overline{X_i\cap Y}\subset \overline{\{x\}}\subset Y\). Par conséquent, \(Y=\overline{\{x\}}\). Cela montre que \(X\) est quasi-sobre.

Démonstration de (3). Elle résulte immédiatement de (1) et (2).

Exemple

Soit \(X\) un espace indiscret de cardinalité au moins \(2\). Alors \(X\) est quasi-sobre mais non de Kolmogorov. De plus, la famille de ses singletons est un recouvrement de \(X\) par des espaces discrets, donc de Kolmogorov.

Exemple

Soit \(Y\) un ensemble infini, muni de la topologie dont les fermés sont \(Y\) et les parties finies de \(Y\). Alors \(Y\) est de Kolmogorov mais non quasi-sobre. Cependant, la famille de ses singletons est un recouvrement par des espaces discrets, donc sobres.

Exemple

Soient \(X\) et \(Y\) comme dans l’exemple 0B32 et l’exemple 0B33. Alors \(X\amalg Y\) n’est ni de Kolmogorov ni quasi-sobre.

Exemple

Soit \(Z\) un ensemble infini et soit \(z\in Z\). Munissons \(Z\) de la topologie dont les fermés sont \(Z\) et les parties finies de \(Z\setminus\{z\}\). Alors \(Z\) est sobre, mais son sous-espace \(Z\setminus\{z\}\) n’est pas quasi-sobre.

Exemple

Rappelons qu’un espace topologique \(X\) est séparé si et seulement si, pour toute paire de points distincts \(x, y \in X\), il existe des ouverts disjoints \(U, V \subset X\) tels que \(x \in U\), \(y \in V\). Dans ce cas, \(X\) est irréductible si et seulement si \(X\) est réduit à un singleton. De même, toute partie de \(X\) est irréductible si et seulement si elle est réduite à un singleton. Ainsi, tout espace séparé est sobre.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Supposons que (a) \(Y\) soit irréductible, (b) \(f\) soit ouverte, et (c) il existe une famille dense de points \(y \in Y\) tels que \(f^{-1}(y)\) soit irréductible. Alors \(X\) est irréductible.

Démonstration

Supposons \(X = Z_1 \cup Z_2\), avec \(Z_i\) fermé. Considérons les ouverts \(U_1 = Z_1 \setminus Z_2 = X \setminus Z_2\) et \(U_2 = Z_2 \setminus Z_1 = X \setminus Z_1\). Pour obtenir une contradiction, supposons que \(U_1\) et \(U_2\) soient tous deux non vides. D’après (b), \(f(U_i)\) est ouvert. D’après (a), \(Y\) est irréductible, et donc \(f(U_1) \cap f(U_2) \not = \emptyset\). D’après (c), cet ouvert non vide contient un point \(y\) tel que la fibre \(X_y = f^{-1}(y)\) soit irréductible. Alors \(X_y \cap U_1\) et \(X_y \cap U_2\) sont des parties ouvertes non vides et disjointes de \(X_y\), ce qui est contradictoire.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Supposons que (a) \(f\) soit ouverte et que (b) pour tout \(y \in Y\), la fibre \(f^{-1}(y)\) soit irréductible. Alors \(f\) induit une bijection entre les composantes irréductibles.

Démonstration

Remarquons que l’hypothèse (b) implique que \(f\) est surjective (voir la définition 004V). Soit \(T \subset Y\) une composante irréductible. Remarquons que \(T\) est fermée ; voir le lemme 004W. Le lemme résulte du fait que \(f^{-1}(T)\) est irréductible, car toute partie irréductible de \(X\) s’envoie dans une composante irréductible de \(Y\) d’après le lemme 0379. Remarquons que \(f^{-1}(T) \to T\) satisfait aux hypothèses du lemme 004Z. Nous avons donc terminé.

La construction du lemme suivant est parfois appelée la « sobrification ».

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Il existe une application continue canonique \[c : X \longrightarrow X'\] de \(X\) vers un espace topologique sobre \(X'\), universelle parmi les applications continues de \(X\) vers les espaces topologiques sobres. De plus, l’application \(U' \mapsto c^{-1}(U')\) est une bijection entre les ouverts de \(X'\) et ceux de \(X\), qui commute aux intersections finies et aux réunions quelconques. L’image \(c(X)\) est un espace topologique de Kolmogorov, et l’application \(c : X \to c(X)\) est universelle parmi les applications de \(X\) vers les espaces de Kolmogorov.

Démonstration

Soit \(X'\) l’ensemble des parties fermées irréductibles de \(X\) et soit \[c : X \to X', \quad x \mapsto \overline{\{x\}}.\] Pour tout ouvert \(U \subset X\), notons \(U' \subset X'\) l’ensemble des parties fermées irréductibles de \(X\) qui rencontrent \(U\). Alors \(c^{-1}(U') = U\). En particulier, si \(U_1 \not = U_2\) sont ouverts dans \(X\), alors \(U'_1 \not = U_2'\). Ainsi, \(c\) induit une bijection entre les parties de \(X'\) de la forme \(U'\) et les ouverts de \(X\).

Soient \(U_1, U_2\) des ouverts de \(X\). Supposons que \(Z \in U'_1\) et \(Z \in U'_2\). Alors \(Z \cap U_1\) et \(Z \cap U_2\) sont des parties ouvertes non vides de l’espace irréductible \(Z\) ; par conséquent, \(Z \cap U_1 \cap U_2\) est non vide. Ainsi, \((U_1 \cap U_2)' = U'_1 \cap U'_2\). La règle \(U \mapsto U'\) est également compatible avec les réunions quelconques (nous omettons les détails). Il est donc clair que la famille des \(U'\) forme une topologie sur \(X'\) et que l’on obtient la bijection annoncée dans le lemme.

Montrons ensuite que \(X'\) est sobre. Soit \(T \subset X'\) une partie fermée irréductible. Soit \(U \subset X\) l’ouvert tel que \(X' \setminus T = U'\). Alors \(Z = X \setminus U\) est irréductible, en vertu des propriétés de la bijection du lemme. Nous affirmons que \(Z \in T\) est l’unique point générique. En effet, tout ouvert de la forme \(V' \subset X'\) qui ne contient pas \(Z\) provient nécessairement d’un ouvert \(V \subset X\) qui ne rencontre pas \(Z\), c’est-à-dire qui est contenu dans \(U\).

Vérifions enfin la propriété universelle. Soit \(f : X \to Y\) une application continue à valeurs dans un espace topologique sobre. Définissons alors \(f' : X' \to Y\) comme l’application qui envoie la partie fermée irréductible \(Z \subset X\) sur l’unique point générique de \(\overline{f(Z)}\). Il est immédiat que \(f' \circ c = f\) comme applications d’ensembles, et les propriétés de \(c\) entraînent que \(f'\) est continue. Nous omettons la vérification de l’unicité de l’application continue \(f'\). Nous omettons aussi la démonstration des assertions concernant les espaces de Kolmogorov.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique connexe possédant un nombre fini de composantes irréductibles \(X_1, \ldots, X_n\). Si \(n > 1\), il existe \(1 \leq j \leq n\) tel que \(X' = \bigcup_{i \not = j} X_i\) soit connexe.

Démonstration

C’est un problème de théorie des graphes. Soit \(\Gamma\) le graphe dont les sommets sont \(V = \{1, \ldots, n\}\) et dans lequel \(i\) et \(j\) sont reliés par une arête si et seulement si \(X_i \cap X_j\) est non vide. La connexité de \(X\) signifie que \(\Gamma\) est connexe. Il s’agit de trouver \(1 \leq j \leq n\) tel que \(\Gamma \setminus \{j\}\) soit encore connexe. On peut le faire en choisissant \(j, j' \in E\) à distance maximale ; alors \(j\) convient (choisir une feuille !). Nous omettons les détails.

Espaces topologiques noethériens

Définition

Un espace topologique est dit noethérien si les parties fermées de \(X\) satisfont à la condition de chaîne descendante. Un espace topologique est dit localement noethérien si tout point possède un voisinage noethérien.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien.

Toute partie de \(X\), munie de la topologie induite, est noethérienne.

L’espace \(X\) possède un nombre fini de composantes irréductibles.

Chaque composante irréductible de \(X\) contient un ouvert non vide de \(X\).

Démonstration

Soit \(T \subset X\) une partie de \(X\). Soit \(T_1 \supset T_2 \supset \ldots\) une chaîne descendante de parties fermées de \(T\). Écrivons \(T_i = T \cap Z_i\), avec \(Z_i \subset X\) fermé. Considérons la chaîne descendante de parties fermées \(Z_1 \supset Z_1\cap Z_2 \supset Z_1 \cap Z_2 \cap Z_3 \ldots\) Elle est stationnaire par hypothèse, et la suite initiale des \(T_i\) l’est donc elle aussi. Ainsi \(T\) est noethérien.

Soit \(A\) l’ensemble des parties fermées de \(X\) qui n’ont pas un nombre fini de composantes irréductibles. Supposons que \(A\) soit non vide afin d’aboutir à une contradiction. L’inclusion définit sur \(A\) un ordre partiel : \(\alpha \leq \alpha' \Leftrightarrow Z_{\alpha} \subset Z_{\alpha'}\). La condition de chaîne descendante permet de trouver un plus petit élément de \(A\), disons \(Z\). Comme \(Z\) n’est pas une réunion finie de composantes irréductibles, il n’est pas irréductible. Nous pouvons donc écrire \(Z = Z' \cup Z''\), où les deux termes sont des parties fermées strictement plus petites. Par construction, \(Z' = \bigcup Z'_i\) et \(Z'' = \bigcup Z''_j\) sont des réunions finies de leurs composantes irréductibles (lemme 004W). Ainsi, \(Z = \bigcup Z'_i \cup \bigcup Z''_j\) est une réunion finie de parties fermées irréductibles. Après suppression des termes superflus de cette expression, on obtient la décomposition de \(Z\) en ses composantes irréductibles (lemme 0G2Y), ce qui est contradictoire.

Soit \(Z \subset X\) une composante irréductible de \(X\). Soient \(Z_1, \ldots, Z_n\) les autres composantes irréductibles de \(X\). Considérons \(U = Z \setminus (Z_1\cup\ldots\cup Z_n)\). Cette partie n’est pas vide, sinon l’espace irréductible \(Z\) serait contenu dans l’un des autres \(Z_i\). Comme \(X = Z \cup Z_1 \cup \ldots Z_n\) (voir le lemme 004W), on a également \(U = X \setminus (Z_1\cup\ldots\cup Z_n)\), qui est donc ouvert dans \(X\). Ainsi, \(Z\) contient un ouvert non vide de \(X\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques.

Si \(X\) est noethérien, alors \(f(X)\) est noethérien.

Si \(X\) est localement noethérien et si \(f\) est ouverte, alors \(f(X)\) est localement noethérien.

Démonstration

Dans le cas (1), supposons que \(Z_1 \supset Z_2 \supset Z_3 \supset \ldots\) soit une chaîne descendante de parties fermées de \(f(X)\) (muni, comme d’habitude, de la topologie induite en tant que partie de \(Y\)). Alors \(f^{-1}(Z_1) \supset f^{-1}(Z_2) \supset f^{-1}(Z_3) \supset \ldots\) est une chaîne descendante de parties fermées de \(X\). Cette chaîne est donc stationnaire. Puisque \(f(f^{-1}(Z_i)) = Z_i\), nous en concluons que \(Z_1 \supset Z_2 \supset Z_3 \supset \ldots\) est elle aussi stationnaire. Dans le cas (2), soit \(y \in f(X)\). Choisissons \(x \in X\) tel que \(f(x) = y\). Par hypothèse, il existe un voisinage \(E \subset X\) de \(x\) qui est noethérien. Alors \(f(E) \subset f(X)\) est un voisinage noethérien d’après le point (1).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soient \(X_i \subset X\), \(i = 1, \ldots, n\), une famille finie de parties. Si chaque \(X_i\) est noethérien (pour la topologie induite), alors \(\bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) est noethérien (pour la topologie induite).

Démonstration

Soit \(\{F_m\}_{m \in \mathbf{N}}\) une suite décroissante de parties fermées de \(X' = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} X_i\) muni de la topologie induite. On peut trouver une suite décroissante \(\{G_m\}_{m \in \mathbf{N}}\) de parties fermées de \(X\) vérifiant \(F_m = G_m \cap X'\) pour tout \(m\) (nous omettons ce petit détail). Comme \(X_i\) est noethérien et que \(\{G_m \cap X_i\}_{m \in \mathbf{N}}\) est une suite décroissante de parties fermées de \(X_i\), il existe \(m_i \in \mathbf{N}\) tel que, pour tout \(m \geq m_i\), on ait \(G_m \cap X_i = G_{m_i} \cap X_i\). Posons \(m_0 = \max_{i = 1, \ldots, n} m_i\). Alors, manifestement, \[F_m = G_m \cap X' = G_m \cap (X_1 \cup \ldots \cup X_n) = (G_m \cap X_1) \cup \ldots (G_m \cap X_n)\] est stationnaire pour \(m \geq m_0\), ce qui achève la démonstration.

Exemple

Tout espace topologique noethérien non vide et de Kolmogorov possède un point fermé (combiner les lemmes 005E et 04ZA). Soit \(X = \{1, 2, 3, \ldots \}\). Définissons sur \(X\) la topologie dont les ouverts sont \(\emptyset\), \(\{1, 2, \ldots, n\}\), \(n \geq 1\), et \(X\). Alors \(X\) est un espace topologique localement noethérien sans aucun point fermé. Cet espace ne peut pas être l’espace topologique sous-jacent à un schéma localement noethérien ; voir Propriétés, lemme 02IL.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique localement noethérien. Alors \(X\) est localement connexe.

Démonstration

Soit \(x \in X\). Soit \(E\) un voisinage de \(x\). Nous devons trouver un voisinage connexe de \(x\) contenu dans \(E\). Par hypothèse, il existe un voisinage \(E'\) de \(x\) qui est noethérien. Alors \(E \cap E'\) est noethérien ; voir le lemme 0052. Soit \(E \cap E' = Y_1 \cup \ldots \cup Y_n\) sa décomposition en composantes irréductibles ; voir le lemme 0052. Soit \(E'' = \bigcup_{x \in Y_i} Y_i\). C’est une partie connexe de \(E \cap E'\) qui contient \(x\). Elle contient l’ouvert \(E \cap E' \setminus (\bigcup_{x \not \in Y_i} Y_i)\) de \(E \cap E'\) ; c’est donc un voisinage de \(x\) dans \(X\). Cela prouve le lemme.

Dimension de Krull

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

Une chaîne de parties fermées irréductibles de \(X\) est une suite \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n \subset X\), où \(Z_i\) est fermé irréductible et \(Z_i \not = Z_{i + 1}\) pour \(i = 0, \ldots, n - 1\).

La longueur d’une chaîne \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n \subset X\) de parties fermées irréductibles de \(X\) est l’entier \(n\).

La dimension, ou plus précisément la dimension de Krull, \(\dim(X)\) de \(X\), est l’élément de \(\{-\infty, 0, 1, 2, 3, \ldots, \infty\}\) défini par la formule \[\dim(X) = \sup \{\text{longueurs des chaînes de parties fermées irréductibles}\}\] Ainsi, \(\dim(X) = -\infty\) si et seulement si \(X\) est l’espace vide.

Soit \(x \in X\). La dimension de Krull de \(X\) en \(x\) est définie par \[\dim_x(X) = \min \{\dim(U), x\in U\subset X\text{ ouvert}\}\] c’est-à-dire comme le minimum des \(\dim(U)\) lorsque \(U\) parcourt les voisinages ouverts de \(x\) dans \(X\).

Remarquons que, si \(U' \subset U \subset X\) sont ouverts, alors \(\dim(U') \leq \dim(U)\). Ainsi, si \(\dim_x(X) = d\), le point \(x\) possède un système fondamental de voisinages ouverts \(U\) tels que \(\dim(U) = \dim_x(X)\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Alors \(\dim(X) = \sup \dim_x(X)\), où la borne supérieure est prise sur les points \(x\) de \(X\).

Démonstration

Il est clair que \(\dim(X) \geq \dim_x(X)\) pour tout \(x \in X\) (voir la discussion qui suit la définition 0055). Nous obtenons ainsi l’une des inégalités. Pour la réciproque, soit \(n \geq 0\) et supposons que \(\dim(X) \geq n\). On peut alors trouver une chaîne de parties fermées irréductibles \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots \subset Z_n \subset X\). Choisissons \(x \in Z_0\). Pour tout voisinage ouvert \(U\) de \(x\), nous obtenons une chaîne de parties fermées irréductibles \[Z_0 \cap U \subset Z_1 \cap U \subset \ldots \subset Z_n \cap U\] dans \(U\). En effet, les ensembles \(U \cap Z_i\) sont fermés irréductibles dans \(U\) et les inclusions sont strictes (détails omis ; indication : l’adhérence de \(U \cap Z_i\) est \(Z_i\)). Nous voyons ainsi que \(\dim_x(X) \geq n\), ce qui prouve l’autre inégalité.

Exemple

La dimension de Krull de l’espace euclidien usuel \(\mathbf{R}^n\) est \(0\).

Exemple

Soit \(X = \{s, \eta\}\), dont les ouverts sont \(\{\emptyset, \{\eta\}, \{s, \eta\}\}\). Dans ce cas, une chaîne maximale de parties fermées irréductibles est \(\{s\} \subset \{s, \eta\}\). Ainsi, \(\dim(X) = 1\). Il est facile de généraliser cet exemple pour obtenir un espace topologique à \((n + 1)\) éléments et de dimension de Krull \(n\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. On dit que \(X\) est équidimensionnel si toutes les composantes irréductibles de \(X\) ont la même dimension.

Codimension et espaces caténaires

Nous ne définissons que la codimension des parties fermées irréductibles.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(Y \subset X\) une partie fermée irréductible. La codimension de \(Y\) dans \(X\) est la borne supérieure des longueurs \(e\) des chaînes \[Y = Y_0 \subset Y_1 \subset \ldots \subset Y_e \subset X\] de parties fermées irréductibles de \(X\) qui commencent par \(Y\). Nous la noterons \(\text{codim}(Y, X)\).

La codimension est un élément de \(\{0, 1, 2, \ldots\} \cup \{\infty\}\). Si \(\text{codim}(Y, X) < \infty\), toute chaîne peut être prolongée en une chaîne maximale (mais celles-ci n’ont pas nécessairement toutes la même longueur).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(Y \subset X\) une partie fermée irréductible. Soit \(U \subset X\) un ouvert tel que \(Y \cap U\) soit non vide. Alors \[\text{codim}(Y, X) = \text{codim}(Y \cap U, U)\]

Démonstration

La règle \(T \mapsto \overline{T}\) définit une application bijective qui préserve les inclusions entre les parties fermées irréductibles de \(U\) et les parties fermées irréductibles de \(X\) qui rencontrent \(U\). Le lemme en résulte facilement. Nous omettons les détails.

Exemple

Soit \(X = [0, 1]\) l’intervalle unité muni de la topologie suivante : les ensembles \([0, 1]\), \((1 - 1/n, 1]\) pour \(n \in \mathbf{N}\), et \(\emptyset\) sont ouverts. Les fermés sont donc \(\emptyset\), \(\{0\}\), \([0, 1 - 1/n]\) pour \(n > 1\), et \([0, 1]\). C’est manifestement un espace topologique noethérien. Mais la partie fermée irréductible \(Y = \{0\}\) est de codimension infinie : \(\text{codim}(Y, X) = \infty\). Pour le voir, il suffit de remarquer que tous les fermés \([0, 1 - 1/n]\) sont irréductibles.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. On dit que \(X\) est caténaire si, pour toute paire de parties fermées irréductibles \(T \subset T'\), on a \(\text{codim}(T, T') < \infty\) et si toute chaîne maximale de parties fermées irréductibles \[T = T_0 \subset T_1 \subset \ldots \subset T_e = T'\] a la même longueur (égale à la codimension).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est caténaire,

\(X\) possède un recouvrement ouvert par des espaces caténaires.

De plus, dans ce cas, tout sous-espace localement fermé de \(X\) est caténaire.

Démonstration

Supposons que \(X\) soit caténaire et que \(U \subset X\) soit ouvert. La règle \(T \mapsto \overline{T}\) définit une application bijective qui préserve les inclusions entre les parties fermées irréductibles de \(U\) et les parties fermées irréductibles de \(X\) qui rencontrent \(U\). Le lemme en résulte facilement. Nous omettons les détails.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est caténaire, et

pour toute paire de parties fermées irréductibles \(Y \subset Y'\), on a \(\text{codim}(Y, Y') < \infty\), et pour tout triplet \(Y \subset Y' \subset Y''\) de parties fermées irréductibles, on a \[\text{codim}(Y, Y'') = \text{codim}(Y, Y') + \text{codim}(Y', Y'').\]

Démonstration

Supposons que \(X\) soit caténaire. D’après la définition 02I1, pour toute paire de parties fermées irréductibles \(Y \subset Y'\), on a \(\text{codim}(Y,Y') < \infty\). Soit \(Y \subset Y' \subset Y''\) un triplet de parties fermées irréductibles de \(X\). Soit \[Y = Y_0 \subset Y_1 \subset ... \subset Y_{e_1} = Y'\] une chaîne maximale de parties fermées irréductibles entre \(Y\) et \(Y'\), où \(e_1 = \text{codim}(Y,Y')\). Soit aussi \[Y' = Y_{e_1} \subset Y_{e_1 + 1}\subset ... \subset Y_{e_1 + e_2} = Y''\] une chaîne maximale de parties fermées irréductibles entre \(Y'\) et \(Y''\), où \(e_2 = \text{codim}(Y',Y'')\). Comme les deux chaînes sont maximales, leur concaténation \[Y = Y_0\subset Y_1 \subset ... \subset Y_{e_1} = Y' = Y_{e_1} \subset Y_{e_1+1}\subset ... \subset Y_{e_1+e_2}=Y''\] est elle aussi maximale (entre \(Y\) et \(Y''\)), et sa longueur est \(e_1 + e_2\). Puisque \(X\) est caténaire, toute chaîne maximale a la même longueur, égale à la codimension. Le point (2), à savoir \(\text{codim}(Y,Y'') = e_1 + e_2 = \text{codim}(Y,Y') + \text{codim}(Y',Y'')\), est donc vérifié.

Réciproquement, une récurrence montre que, si \(Y = Y_1 \subset ... \subset Y_n = Y'\), alors \(\text{codim}(Y,Y') = \text{codim}(Y_1,Y_2) + ... + \text{codim}(Y_{n-1},Y_n)\). Cela force les chaînes maximales à avoir la même longueur.

Espaces et applications quasi-compacts

Nous réserverons le mot « compact » aux espaces topologiques séparés. Or de nombreux espaces qui interviennent en géométrie algébrique ne sont pas séparés.

Définition

Quasi-compacité.

On dit qu’un espace topologique \(X\) est quasi-compact si tout recouvrement ouvert de \(X\) admet un sous-recouvrement fini.

On dit qu’une application continue \(f : X \to Y\) est quasi-compacte si l’image réciproque \(f^{-1}(V)\) de tout ouvert quasi-compact \(V \subset Y\) est quasi-compacte.

On dit qu’une partie \(Z \subset X\) est rétrocompacte si l’application d’inclusion \(Z \to X\) est quasi-compacte.

Dans de nombreux textes de topologie, un espace est dit compact s’il est quasi-compact et séparé ; dans d’autres, la condition de séparation est omise. Pour éviter toute ambiguïté en géométrie algébrique, nous employons le terme quasi-compact. La quasi-compacité d’une application est très différente de la notion d’« application propre » : pour celle-ci, on exige (outre le caractère fermé et séparé) que l’image réciproque de toute partie quasi-compacte du but soit quasi-compacte, tandis que la définition ci-dessus ne considère que les ensembles ouverts quasi-compacts.

Lemme

Une composée d’applications quasi-compactes est quasi-compacte.

Démonstration

C’est immédiat d’après la définition.

Lemme

Une partie fermée d’un espace topologique quasi-compact est quasi-compacte.

Démonstration

Soit \(E \subset X\) une partie fermée de l’espace quasi-compact \(X\). Soit \(E = \bigcup V_j\) un recouvrement ouvert. Choisissons des ouverts \(U_j \subset X\) tels que \(V_j = E \cap U_j\). Alors \(X = (X \setminus E) \cup \bigcup U_j\) est un recouvrement ouvert de \(X\). On a donc \(X = (X \setminus E) \cup U_{j_1} \cup \ldots \cup U_{j_n}\) pour un certain \(n\) et des indices \(j_i\). Ainsi \(E = V_{j_1} \cup \ldots \cup V_{j_n}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique séparé.

Si \(E \subset X\) est quasi-compact, alors il est fermé.

Si \(E_1, E_2 \subset X\) sont deux parties quasi-compactes disjointes, il existe des ouverts \(E_i \subset U_i\) tels que \(U_1 \cap U_2 = \emptyset\).

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(x \in X\), avec \(x \not \in E\). Pour tout \(e \in E\), on peut trouver des ouverts disjoints \(V_e\) et \(U_e\) tels que \(e \in V_e\) et \(x \in U_e\). Comme \(E \subset \bigcup V_e\), il existe un nombre fini d’éléments \(e_1, \ldots, e_n\) tels que \(E \subset V_{e_1} \cup \ldots \cup V_{e_n}\). Alors \(U = U_{e_1} \cap \ldots \cap U_{e_n}\) est un voisinage ouvert de \(x\) qui ne rencontre pas \(V_{e_1} \cup \ldots \cup V_{e_n}\). En particulier, il ne rencontre pas \(E\). Ainsi \(E\) est fermé.

Démonstration de (2). Dans la démonstration de (1), nous avons vu que, pour \(x \in E_1\), on peut trouver un voisinage ouvert \(x \in U_x\) et un ouvert \(E_2 \subset V_x\) tels que \(U_x \cap V_x = \emptyset\). Comme \(E_1\) est quasi-compact, il existe un nombre fini de points \(x_i \in E_1\) tels que \(E_1 \subset U = U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_n}\). Il suffit de prendre \(V = V_{x_1} \cap \ldots \cap V_{x_n}\).

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé quasi-compact. Soit \(E \subset X\). Les assertions suivantes sont équivalentes : (a) \(E\) est fermé dans \(X\), (b) \(E\) est quasi-compact.

Démonstration

L’implication (a) \(\Rightarrow\) (b) est le lemme 005C. L’implication (b) \(\Rightarrow\) (a) est le lemme 08YB.

L’énoncé suivant n’est qu’une reformulation de la quasi-compacité.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique quasi-compact. Si \(\{Z_\alpha\}_{\alpha \in A}\) est une famille de parties fermées telle que l’intersection de toute sous-famille finie soit non vide, alors \(\bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\) est non vide.

Démonstration

Supposons que \(\bigcap_{\alpha \in A} Z_{\alpha} = \emptyset\). En passant aux complémentaires, on a \(\bigcup_{\alpha \in A} (X\setminus Z_{\alpha})=X\). Comme les parties \(Z_\alpha\) sont fermées, \(\bigcup_{\alpha \in A} (X \setminus Z_{\alpha})\) est un recouvrement ouvert de l’espace quasi-compact \(X\). Il existe donc une partie finie \(J \subset A\) telle que \(X = \bigcup_{\alpha \in J} (X\setminus Z_{\alpha})\). Son complémentaire est alors vide, ce qui signifie que \(\bigcap_{\alpha \in J} Z_{\alpha} = \emptyset\). Il existe donc une sous-famille finie de \(\{Z_{\alpha}\}_{\alpha \in J}\) vérifiant \(\bigcap_{\alpha \in J} Z_{\alpha}=\emptyset\), ce qui conclut par contraposition.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques.

Si \(X\) est quasi-compact, alors \(f(X)\) est quasi-compact.

Si \(f\) est quasi-compacte, alors \(f(X)\) est rétrocompact.

Démonstration

Si \(f(X) = \bigcup V_i\) est un recouvrement ouvert, alors \(X = \bigcup f^{-1}(V_i)\) est un recouvrement ouvert. Par conséquent, si \(X\) est quasi-compact, on a \(X = f^{-1}(V_{i_1}) \cup \ldots \cup f^{-1}(V_{i_n})\) pour certains \(i_1, \ldots, i_n \in I\), et donc \(f(X) = V_{i_1} \cup \ldots \cup V_{i_n}\). Cela prouve (1). Supposons \(f\) quasi-compacte et soit \(V \subset Y\) un ouvert quasi-compact. Alors \(f^{-1}(V)\) est quasi-compact ; d’après (1), \(f(f^{-1}(V)) = f(X) \cap V\) est donc quasi-compact. Ainsi, \(f(X)\) est rétrocompact.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que

\(X\) soit non vide,

\(X\) soit quasi-compact, et

\(X\) soit de Kolmogorov.

Alors \(X\) possède un point fermé.

Démonstration

Considérons l’ensemble \[\mathcal{T} = \{Z \subset X \mid Z = \overline{\{x\}} \text{ pour un certain }x \in X\}\] de toutes les adhérences de singletons de \(X\). Il est non vide, puisque \(X\) est non vide. Munissons \(\mathcal{T}\) de l’ordre partiel défini par l’inclusion. Supposons que \(Z_\alpha\), \(\alpha \in A\), soit une partie totalement ordonnée de \(\mathcal{T}\). D’après le lemme 005D, \(\bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha \not = \emptyset\). Il existe donc \(x \in \bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\), et \(Z = \overline{\{x\}}\in \mathcal{T}\) est un minorant de la famille. Le lemme de Zorn assure l’existence d’un élément minimal \(Z \in \mathcal{T}\). Comme \(X\) est de Kolmogorov, nous en concluons que \(Z = \{x\}\) pour un certain \(x\), et \(x \in X\) est un point fermé.

Lemme

Soit \(X\) un espace de Kolmogorov quasi-compact. Alors l’ensemble \(X_0\) des points fermés de \(X\) est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(X_0 = \bigcup U_{i, 0}\) un recouvrement ouvert. Écrivons \(U_{i, 0} = X_0 \cap U_i\) pour un ouvert \(U_i \subset X\). Considérons le complémentaire \(Z\) de \(\bigcup U_i\). C’est une partie fermée de \(X\), donc quasi-compacte (lemme 005C) et de Kolmogorov. D’après le lemme 005E, si \(Z\) n’était pas vide, il aurait un point fermé, ce qui contredit le fait que \(X_0 \subset \bigcup U_i\). Ainsi \(Z = \emptyset\) et \(X = \bigcup U_i\). Comme \(X\) est quasi-compact, ce recouvrement admet un sous-recouvrement fini, ce qui permet de conclure.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que

\(X\) soit quasi-compact,

\(X\) possède une base de la topologie formée d’ouverts quasi-compacts, et

l’intersection de deux ouverts quasi-compacts soit quasi-compacte.

Pour tout \(x \in X\), la composante connexe de \(X\) contenant \(x\) est l’intersection de toutes les parties à la fois ouvertes et fermées de \(X\) contenant \(x\).

Démonstration

Soit \(T\) la composante connexe contenant \(x\). Soit \(S = \bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\) l’intersection de toutes les parties \(Z_\alpha\) de \(X\), à la fois ouvertes et fermées, contenant \(x\). Remarquons que \(S\) est fermé dans \(X\). Remarquons que toute intersection finie des \(Z_\alpha\) est l’un des \(Z_\alpha\). Puisque \(T\) est connexe et que \(x \in T\), nous avons \(T \subset S\). Il suffit de montrer que \(S\) est connexe. Sinon, il existe une décomposition en réunion disjointe \(S = B \amalg C\) où \(B\) et \(C\) sont à la fois ouverts et fermés dans \(S\). En particulier, \(B\) et \(C\) sont fermés dans \(X\), et donc quasi-compacts d’après le lemme 005C et l’hypothèse (1). D’après l’hypothèse (2), il existe des ouverts quasi-compacts \(U, V \subset X\) tels que \(B = S \cap U\) et \(C = S \cap V\) (détails omis). Alors \(U \cap V \cap S = \emptyset\). Ainsi \(\bigcap_\alpha U \cap V \cap Z_\alpha = \emptyset\). D’après l’hypothèse (3), l’intersection \(U \cap V\) est quasi-compacte. D’après le lemme 005D, pour un certain \(\alpha' \in A\), nous avons \(U \cap V \cap Z_{\alpha'} = \emptyset\). Comme \(X \setminus (U \cup V)\) est disjoint de \(S\) et fermé dans \(X\), donc quasi-compact, nous pouvons appliquer le même lemme pour voir que \(Z_{\alpha''} \subset U \cup V\) pour un certain \(\alpha'' \in A\). Alors \(Z_\alpha = Z_{\alpha'} \cap Z_{\alpha''}\) est contenu dans \(U \cup V\) et disjoint de \(U \cap V\). Ainsi \(Z_\alpha = U \cap Z_\alpha \amalg V \cap Z_\alpha\) est une décomposition en deux parties ouvertes, donc \(U \cap Z_\alpha\) et \(V \cap Z_\alpha\) sont ouverts et fermés dans \(X\). Ainsi, si \(x \in B\) par exemple, alors nous voyons que \(S \subset U \cap Z_\alpha\), et nous concluons que \(C = \emptyset\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que \(X\) soit quasi-compact et séparé. Pour tout \(x \in X\), la composante connexe de \(X\) contenant \(x\) est l’intersection de toutes les parties à la fois ouvertes et fermées de \(X\) contenant \(x\).

Démonstration

Soit \(T\) la composante connexe contenant \(x\). Soit \(S = \bigcap_{\alpha \in A} Z_\alpha\) l’intersection de toutes les parties \(Z_\alpha\) de \(X\), à la fois ouvertes et fermées, contenant \(x\). Remarquons que \(S\) est fermé dans \(X\). Remarquons que toute intersection finie des \(Z_\alpha\) est l’un des \(Z_\alpha\). Puisque \(T\) est connexe et que \(x \in T\), nous avons \(T \subset S\). Il suffit de montrer que \(S\) est connexe. Sinon, il existe une décomposition en réunion disjointe \(S = B \amalg C\) où \(B\) et \(C\) sont à la fois ouverts et fermés dans \(S\). En particulier, \(B\) et \(C\) sont fermés dans \(X\), et donc quasi-compacts d’après le lemme 005C. D’après le lemme 08YB, il existe des ouverts disjoints \(U, V \subset X\) tels que \(B \subset U\) et \(C \subset V\). Alors \(X \setminus U \cup V\) est fermé dans \(X\), donc quasi-compact (lemme 005C). Il s’ensuit que \((X \setminus U \cup V) \cap Z_\alpha = \emptyset\) pour un certain \(\alpha\), d’après le lemme 005D. Autrement dit, \(Z_\alpha \subset U \cup V\). Ainsi, \(Z_\alpha = Z_\alpha \cap V \amalg Z_\alpha \cap U\) est une décomposition en deux parties ouvertes, donc \(U \cap Z_\alpha\) et \(V \cap Z_\alpha\) sont ouverts et fermés dans \(X\). Ainsi, si \(x \in B\) par exemple, alors nous voyons que \(S \subset U \cap Z_\alpha\), et nous concluons que \(C = \emptyset\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que

\(X\) soit quasi-compact,

\(X\) possède une base de la topologie formée d’ouverts quasi-compacts, et

l’intersection de deux ouverts quasi-compacts soit quasi-compacte.

Pour une partie \(T \subset X\), les assertions suivantes sont équivalentes :

\(T\) est une intersection de parties à la fois ouvertes et fermées de \(X\), et

\(T\) est fermée dans \(X\) et est une réunion de composantes connexes de \(X\).

Démonstration

Il est clair que (a) implique (b). Supposons (b). Soit \(x \in X\), \(x \not \in T\). Soit \(x \in C \subset X\) la composante connexe de \(X\) contenant \(x\). D’après le lemme 005F, nous voyons que \(C = \bigcap V_\alpha\) est l’intersection de toutes les parties à la fois ouvertes et fermées \(V_\alpha\) de \(X\) qui contiennent \(C\). En particulier, toute intersection \(V_\alpha \cap V_\beta\) de deux de ces parties est elle-même un \(V_\alpha\). Comme \(T\) est une réunion de composantes connexes de \(X\), nous voyons que \(C \cap T = \emptyset\). Ainsi, \(T \cap \bigcap V_\alpha = \emptyset\). Puisque \(T\) est quasi-compacte en tant que partie fermée d’un espace quasi-compact (voir le lemme 005C), nous en déduisons que \(T \cap V_\alpha = \emptyset\) pour un certain \(\alpha\), voir le lemme 005D. Pour cet \(\alpha\), nous voyons que \(U_\alpha = X \setminus V_\alpha\) est une partie à la fois ouverte et fermée de \(X\) qui contient \(T\) mais pas \(x\). Le lemme en découle.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien.

L’espace \(X\) est quasi-compact.

Toute partie de \(X\) est rétrocompacte.

Démonstration

Supposons que \(X = \bigcup U_i\) soit un recouvrement ouvert de \(X\) indexé par l’ensemble \(I\) et n’admettant pas de raffinement par un recouvrement ouvert fini. Choisissons \(i_1, i_2, \ldots\) dans \(I\) par récurrence de la manière suivante : choisissons \(i_{n + 1}\) tel que \(U_{i_{n + 1}}\) ne soit pas contenu dans \(U_{i_1} \cup \ldots \cup U_{i_n}\). Ainsi, nous voyons que \(X \supset (X \setminus U_{i_1}) \supset (X \setminus U_{i_1} \cup U_{i_2}) \supset \ldots\) est une suite infinie strictement décroissante de parties fermées. Cela contredit le fait que \(X\) est noethérien. Cela démontre la première assertion. La seconde assertion est maintenant claire, puisque toute partie de \(X\) est noethérienne d’après le lemme 0052.

Lemme

Un espace quasi-compact et localement noethérien est noethérien.

Démonstration

Les hypothèses impliquent immédiatement que \(X\) admet un recouvrement fini par des parties noethériennes, et est donc noethérien d’après le lemme 0053.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(\mathcal{B}\) une sous-base de \(X\). Si tout recouvrement de \(X\) par des éléments de \(\mathcal{B}\) admet un raffinement fini, alors \(X\) est quasi-compact.

Démonstration

Supposons qu’il existe un recouvrement ouvert de \(X\) qui n’admette aucun raffinement fini. À l’aide du lemme de Zorn, nous pouvons choisir un recouvrement ouvert maximal \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) qui n’admette aucun raffinement fini (détails omis). Autrement dit, si \(U \subset X\) est un ouvert quelconque qui ne figure pas parmi les \(U_i\), alors le recouvrement \(X = U \cup \bigcup_{i \in I} U_i\) admet un raffinement fini. Soit \(I' \subset I\) l’ensemble des indices tels que \(U_i \in \mathcal{B}\). Alors \(\bigcup_{i \in I'} U_i \not = X\), car sinon nous obtiendrions un raffinement fini recouvrant \(X\) en vertu de notre hypothèse sur \(\mathcal{B}\). Choisissons \(x \in X\), \(x \not \in \bigcup_{i \in I'} U_i\). Choisissons \(i \in I\) tel que \(x \in U_i\). Choisissons \(V_1, \ldots, V_n \in \mathcal{B}\) tels que \(x \in V_1 \cap \ldots \cap V_n \subset U_i\). Cela est possible puisque \(\mathcal{B}\) est une sous-base de \(X\). Remarquons que \(V_j\) ne figure pas parmi les \(U_i\). Par maximalité du recouvrement choisi, nous voyons que pour tout \(j\), il existe \(i_{j, 1}, \ldots, i_{j, n_j} \in I\) tels que \(X = V_j \cup U_{i_{j, 1}} \cup \ldots \cup U_{i_{j, n_j}}\). Puisque \(V_1 \cap \ldots \cap V_n \subset U_i\), nous concluons que \(X = U_i \cup \bigcup U_{i_{j, l}}\), ce qui est une contradiction.

Espaces localement quasi-compacts

Rappelons qu’un voisinage d’un point n’est pas nécessairement ouvert.

Définition

Un espace topologique \(X\) est dit localement quasi-compact² si tout point possède un système fondamental de voisinages quasi-compacts.

Dans la littérature, l’expression espace localement compact désigne souvent un espace comme dans le lemme suivant.

Lemme

Un espace séparé est localement quasi-compact si et seulement si tout point possède un voisinage quasi-compact.

Démonstration

Soit \(X\) un espace séparé. Soit \(x \in X\) et soit \(x \in E \subset X\) un voisinage quasi-compact. Alors \(E\) est fermé d’après le lemme 08YB. Supposons que \(x \in U \subset X\) soit un voisinage ouvert de \(x\). Alors \(Z = E \setminus U\) est une partie fermée de \(E\) qui ne contient pas \(x\). Il existe donc deux ouverts disjoints \(W, V \subset E\) de \(E\) tels que \(x \in V\) et \(Z \subset W\) ; voir le lemme 08YB. Il s’ensuit que \(\overline{V} \subset E\) est un voisinage fermé de \(x\) contenu dans \(E \cap U\). De plus, \(\overline{V}\) est quasi-compact en tant que partie fermée de \(E\) (lemme 005C). Nous obtenons ainsi un système fondamental de voisinages quasi-compacts de \(x\).

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé localement quasi-compact. Soient \(U_n \subset X\), \(n \geq 1\), des ouverts denses. Alors \(\bigcap_{n \geq 1} U_n\) est dense dans \(X\).

Démonstration

En remplaçant \(U_n\) par \(\bigcap_{i = 1, \ldots, n} U_i\), nous pouvons supposer que \(U_1 \supset U_2 \supset \ldots\). Soit \(x \in X\). Montrons que \(x\) appartient à l’adhérence de \(\bigcap_{n \geq 1} U_n\). Soit donc \(E\) un voisinage de \(x\). Pour montrer que \(E \cap \bigcap_{n \geq 1} U_n\) est non vide, nous pouvons remplacer \(E\) par un voisinage plus petit. Après avoir remplacé \(E\) par un voisinage plus petit, nous pouvons supposer que \(E\) est quasi-compact.

Posons \(x_0 = x\) et \(E_0 = E\). Nous choisirons par récurrence un point \(x_i \in E_{i - 1} \cap U_i\) et un voisinage quasi-compact \(E_i\) de \(x_i\) tel que \(E_i \subset E_{i - 1} \cap U_i\). Comme \(X\) est séparé, les parties \(E_i \subset X\) sont fermées (lemme 08YB). Puisque les \(E_i\) sont aussi non vides, nous concluons que \(\bigcap_{i \geq 1} E_i\) est non vide (lemme 005D). Comme \(\bigcap_{i \geq 1} E_i \subset E \cap \bigcap_{n \geq 1} U_n\), le lemme est démontré.

Le cas initial \(i = 0\) a été traité ci-dessus. Passons à l’étape de récurrence. Puisque \(E_{i - 1}\) est un voisinage de \(x_{i - 1}\), il existe un ouvert \(x_{i - 1} \in W \subset E_{i - 1}\). Comme \(U_i\) est dense dans \(X\), l’intersection \(W \cap U_i\) est non vide. Choisissons un point \(x_i \in W \cap U_i\) quelconque. Par définition des espaces localement quasi-compacts, il existe un voisinage quasi-compact \(E_i\) de \(x_i\) contenu dans \(W \cap U_i\). Alors \(E_i \subset E_{i - 1} \cap U_i\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé et quasi-compact. Soit \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Il existe alors un recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{i \in I} V_i\) tel que \(\overline{V_i} \subset U_i\) pour tout \(i\).

Démonstration

Soit \(x \in X\). Choisissons \(i(x) \in I\) tel que \(x \in U_{i(x)}\). Comme \(X \setminus U_{i(x)}\) et \(\{x\}\) sont deux parties fermées disjointes de \(X\), les lemmes 005C et 08YB fournissent un voisinage ouvert \(U_x\) de \(x\) dont l’adhérence ne rencontre pas \(X \setminus U_{i(x)}\). Ainsi, \(\overline{U_x} \subset U_{i(x)}\). Comme \(X\) est quasi-compact, il existe une liste finie de points \(x_1, \ldots, x_m\) telle que \(X = U_{x_1} \cup \ldots \cup U_{x_m}\). En posant \(V_i = \bigcup_{i = i(x_j)} U_{x_j}\), on achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé et quasi-compact. Soit \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) un recouvrement ouvert. Supposons donnés un entier \(p \geq 0\) et, pour tout \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\) d’éléments de \(I\), un recouvrement ouvert \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\). Il existe alors un recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{j \in J} V_j\) et une application \(\alpha : J \to I\) tels que \(\overline{V_j} \subset U_{\alpha(j)}\) et que chaque \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) soit contenu dans \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\) pour un certain \(k\).

Démonstration

Comme \(X\) est quasi-compact, on se ramène au cas où \(I\) est fini (détails omis). Nous démontrons le résultat pour \(I\) fini par récurrence sur \(p\). Le cas initial \(p = 0\) est immédiat : il suffit de prendre un recouvrement comme dans le lemme 09UV, qui raffine le recouvrement ouvert \(X = \bigcup W_{i_0, k}\).

Passons à l’étape de récurrence. Supposons le lemme démontré pour \(p - 1\). Pour tout \(p\)-uplet \(i'_0, \ldots, i'_{p - 1}\) d’éléments de \(I\), choisissons \(U_{i'_0} \cap \ldots \cap U_{i'_{p - 1}} = \bigcup W_{i'_0 \ldots i'_{p - 1}, k}\) comme raffinement commun des recouvrements \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\) associés aux \((p + 1)\)-uplets tels que \(\{i'_0, \ldots, i'_{p - 1}\} = \{i_0, \ldots, i_p\}\) (égalité d’ensembles). (Il n’y en a qu’un nombre fini, puisque \(I\) est fini.) Par récurrence, il existe une solution pour ces ouverts, disons \(X = \bigcup V_j\) et \(\alpha : J \to I\). À ce stade, le recouvrement \(X = \bigcup_{j \in J} V_j\) et \(\alpha\) vérifient \(\overline{V_j} \subset U_{\alpha(j)}\), et chaque \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) est contenu dans \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\) pour un certain \(k\) dès qu’il y a une répétition parmi \(\alpha(j_0), \ldots, \alpha(j_p)\). Bien entendu, nous pouvons et allons supposer que \(J\) est fini.

Fixons \(i_0, \ldots, i_p \in I\) deux à deux distincts. Considérons les \((p + 1)\)-uplets \(j_0, \ldots, j_p \in J\) tels que \(i_0 = \alpha(j_0), \ldots, i_p = \alpha(j_p)\) et pour lesquels \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) n’est pas contenu dans \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\), quel que soit \(k\). Soit \(N\) le nombre de ces \((p + 1)\)-uplets. Montrons comment diminuer \(N\). Comme \[\overline{V_{j_0}} \cap \ldots \cap \overline{V_{j_p}} \subset U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} = \bigcup W_{i_0 \ldots i_p, k}\] il existe un ensemble fini \(K = \{k_1, \ldots, k_t\}\) tel que le membre de gauche soit contenu dans \(\bigcup_{k \in K} W_{i_0 \ldots i_p, k}\). Considérons alors le recouvrement ouvert \[V_{j_0} = (V_{j_0} \setminus (\overline{V_{j_1}} \cap \ldots \cap \overline{V_{j_p}})) \cup (\bigcup\nolimits_{k \in K} V_{j_0} \cap W_{i_0 \ldots i_p, k})\] Le premier ouvert du membre de droite a une intersection vide avec \(V_{j_1} \cap \ldots \cap V_{j_p}\), tandis que les autres ouverts \(V_{j_0, k}\) du membre de droite satisfont \(V_{j_0, k} \cap V_{j_1} \ldots \cap V_{j_p} \subset W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\). Posons \(J' = J \amalg K\). Pour \(j \in J\), posons \(V'_j = V_j\) si \(j \not = j_0\), et posons \(V'_{j_0} = V_{j_0} \setminus (\overline{V_{j_1}} \cap \ldots \cap \overline{V_{j_p}})\). Pour \(k \in K\), posons \(V'_k = V_{j_0, k}\). Enfin, l’application \(\alpha' : J' \to I\) est égale à \(\alpha\) sur \(J\) et envoie tout élément de \(K\) sur \(i_0\). Une vérification immédiate montre que ce remplacement diminue \(N\) d’une unité. En répétant cette procédure \(N\) fois, nous arrivons à la situation où \(N = 0\).

Pour achever la démonstration, raisonnons par récurrence sur le nombre \(M\) de \((p + 1)\)-uplets \(i_0, \ldots, i_p \in I\) à entrées deux à deux distinctes pour lesquels il existe un \((p + 1)\)-uplet \(j_0, \ldots, j_p \in J\) tel que \(i_0 = \alpha(j_0), \ldots, i_p = \alpha(j_p)\) et tel que \(V_{j_0} \cap \ldots \cap V_{j_p}\) ne soit pas contenu dans \(W_{\alpha(j_0) \ldots \alpha(j_p), k}\), quel que soit \(k\). À cette fin, nous affirmons que l’opération du paragraphe précédent n’augmente pas \(M\). Cela résulte formellement du fait que l’application \(\alpha' : J' \to I\) se factorise par une application \(\beta : J' \to J\) telle que \(V'_{j'} \subset V_{\beta(j')}\).

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé et localement quasi-compact. Soit \(Z \subset X\) une partie quasi-compacte (donc fermée). Supposons donnés un entier \(p \geq 0\), un ensemble \(I\), pour tout \(i \in I\) un ouvert \(U_i \subset X\), et pour tout \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\) d’éléments de \(I\) un ouvert \(W_{i_0 \ldots i_p} \subset U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) tel que

\(Z \subset \bigcup U_i\), et

pour tous \(i_0, \ldots, i_p\), on ait \(W_{i_0 \ldots i_p} \cap Z = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} \cap Z\).

Il existe alors des ouverts \(V_i\) de \(X\) tels que \(Z \subset \bigcup V_i\), pour tout \(i\), on ait \(\overline{V_i} \subset U_i\), et \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) pour tout \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\).

Démonstration

Puisque \(Z\) est quasi-compact, on se ramène au cas où \(I\) est fini (détails omis). Comme \(X\) est localement quasi-compact et \(Z\) quasi-compact, nous pouvons trouver un voisinage \(Z \subset E\) qui soit quasi-compact, c’est-à-dire que \(E\) est quasi-compact et contient un voisinage ouvert de \(Z\) dans \(X\). Si nous démontrons le résultat après avoir remplacé \(X\) par \(E\), le résultat s’ensuit. Nous pouvons donc supposer \(X\) quasi-compact.

Nous démontrons le résultat lorsque \(I\) est fini et \(X\) quasi-compact, par récurrence sur \(p\). Le cas initial est \(p = 0\). Dans ce cas, \(X = (X \setminus Z) \cup \bigcup W_i\). D’après le lemme 09UV, il existe un recouvrement \(X = V \cup \bigcup V_i\) par des ouverts \(V_i \subset W_i\) et \(V \subset X \setminus Z\), avec \(\overline{V_i} \subset W_i\) pour tout \(i\). On voit alors que l’on obtient une solution du problème posé dans le lemme.

Passons à l’étape de récurrence. Supposons le lemme démontré pour \(p - 1\). Posons \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) égal à l’intersection de tous les \(W_{i_0 \ldots i_p}\) tels que \(\{j_0, \ldots, j_{p - 1}\} = \{i_0, \ldots, i_p\}\) (égalité d’ensembles). Par récurrence, il existe une solution pour ces ouverts, disons \(V_i \subset U_i\). Il résulte de notre choix de \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) que \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) pour tout \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\) tel que \(i_a = i_b\) pour certains \(0 \leq a < b \leq p\). Il ne reste donc à modifier notre choix des \(V_i\) que si \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \not \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) pour un \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\) dont les éléments sont deux à deux distincts. Dans ce cas, \[T = \overline{V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}} \subset \overline{V_{i_0}} \cap \ldots \cap \overline{V_{i_p}} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}\] est un fermé de \(X\), contenu dans \(U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) et disjoint de \(Z\). Nous pouvons donc remplacer \(V_{i_0}\) par \(V_{i_0} \setminus T\) pour « corriger » le problème. Après avoir répété cette opération un nombre fini de fois pour chacun des uplets problématiques, le lemme est démontré.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(Z \subset X\) une partie quasi-compacte telle que deux points quelconques de \(Z\) admettent dans \(X\) des voisinages ouverts disjoints. Supposons donnés un entier \(p \geq 0\), un ensemble \(I\), pour tout \(i \in I\) un ouvert \(U_i \subset X\), et pour tout \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\) d’éléments de \(I\) un ouvert \(W_{i_0 \ldots i_p} \subset U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p}\) tel que

\(Z \subset \bigcup U_i\), et

pour tous \(i_0, \ldots, i_p\), on ait \(W_{i_0 \ldots i_p} \cap Z = U_{i_0} \cap \ldots \cap U_{i_p} \cap Z\).

Il existe alors des ouverts \(V_i\) de \(X\) tels que

\(Z \subset \bigcup V_i\),

\(V_i \subset U_i\) pour tout \(i\),

\(\overline{V_i} \cap Z \subset U_i\) pour tout \(i\), et

\(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) pour tout \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\).

Démonstration

Puisque \(Z\) est quasi-compact, on se ramène au cas où \(I\) est fini (détails omis). Nous démontrons le résultat lorsque \(I\) est fini, par récurrence sur \(p\).

Le cas initial est \(p = 0\). Pour \(z \in Z \cap U_i\) et \(z' \in Z \setminus U_i\), il existe des ouverts disjoints \(z \in V_{z, z'}\) et \(z' \in W_{z, z'}\) de \(X\). Comme \(Z \setminus U_i\) est quasi-compact (lemme 005C), nous pouvons choisir un nombre fini de points \(z'_1, \ldots, z'_r\) tels que \(Z \setminus U_i \subset W_{z, z'_1} \cup \ldots \cup W_{z, z'_r}\). On voit alors que \(V_z = V_{z, z'_1} \cap \ldots \cap V_{z, z'_r} \cap U_i\) est un voisinage ouvert de \(z\) contenu dans \(U_i\) et vérifiant \(\overline{V_z} \cap Z \subset U_i\). Comme \(z\) et \(i\) étaient arbitraires et que \(Z\) est quasi-compact, nous pouvons trouver une liste finie \(z_1, i_1, \ldots, z_t, i_t\) et des ouverts \(V_{z_j} \subset U_{i_j}\) tels que \(\overline{V_{z_j}} \cap Z \subset U_{i_j}\) et \(Z \subset \bigcup V_{z_j}\). Nous pouvons alors poser \(V_i = W_i \cap (\bigcup_{j : i = i_j} V_{z_j})\) pour résoudre le problème lorsque \(p = 0\).

Passons à l’étape de récurrence. Supposons le lemme démontré pour \(p - 1\). Posons \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) égal à l’intersection de tous les \(W_{i_0 \ldots i_p}\) tels que \(\{j_0, \ldots, j_{p - 1}\} = \{i_0, \ldots, i_p\}\) (égalité d’ensembles). Par récurrence, il existe une solution pour ces ouverts, disons \(V_i \subset U_i\). Il résulte de notre choix de \(W_{j_0 \ldots j_{p - 1}}\) que \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) pour tout \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\) tel que \(i_a = i_b\) pour certains \(0 \leq a < b \leq p\). Il ne reste donc à modifier notre choix des \(V_i\) que si \(V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \not \subset W_{i_0 \ldots i_p}\) pour un \((p + 1)\)-uplet \(i_0, \ldots, i_p\) dont les éléments sont deux à deux distincts. Dans ce cas, \[T = \overline{V_{i_0} \cap \ldots \cap V_{i_p} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}} \subset \overline{V_{i_0}} \cap \ldots \cap \overline{V_{i_p}} \setminus W_{i_0 \ldots i_p}\] est un fermé de \(X\) disjoint de \(Z\), d’après la propriété (3) des ouverts \(V_i\). Nous pouvons donc remplacer \(V_{i_0}\) par \(V_{i_0} \setminus T\) pour « corriger » le problème. Après avoir répété cette opération un nombre fini de fois pour chacun des uplets problématiques, le lemme est démontré.

Limites d’espaces

La catégorie des espaces topologiques admet les produits. Plus précisément, si \(I\) est un ensemble et si, pour \(i \in I\), on se donne un espace topologique \(X_i\), on munit \(\prod_{i \in I} X_i\) de la topologie produit. On prend pour base de cette topologie les ensembles de la forme \(\prod U_i\), où \(U_i \subset X_i\) est ouvert et \(U_i = X_i\) pour presque tout \(i\).

La catégorie des espaces topologiques admet les égalisateurs. Plus précisément, si \(a, b : X \to Y\) sont des morphismes d’espaces topologiques, l’égalisateur de \(a\) et \(b\) est la partie \(\{x \in X \mid a(x) = b(x)\} \subset X\), munie de la topologie induite.

Lemme

La catégorie des espaces topologiques admet les limites, et le foncteur d’oubli vers les ensembles commute à celles-ci.

Démonstration

Cela résulte de la discussion précédente et de Catégories, lemme 002N. La description précédente montre que le foncteur d’oubli commute aux limites. On peut aussi le voir en appliquant Catégories, lemme 0038, et en observant que le foncteur d’oubli admet un adjoint à gauche, à savoir le foncteur qui associe à un ensemble l’espace topologique discret correspondant.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces topologiques indexé par \(\mathcal{I}\). Soit \(X = \lim X_i\) sa limite, avec applications de projection \(f_i : X \to X_i\).

Tout ouvert de \(X\) est de la forme \(\bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\) pour une partie \(J \subset I\) et des ouverts \(U_j \subset X_j\).

Tout ouvert quasi-compact de \(X\) est de la forme \(f_i^{-1}(U_i)\) pour un certain \(i\) et un ouvert \(U_i \subset X_i\).

Démonstration

La construction de la limite donnée ci-dessus montre que \(X \subset \prod X_i\), avec la topologie induite. Une base de la topologie de \(\prod X_i\) est donnée par les ouverts \(\prod U_i\), où \(U_i \subset X_i\) est ouvert et \(U_i = X_i\) pour presque tout \(i\). Soient \(i_1, \ldots, i_n \in \Ob(\mathcal{I})\) les objets tels que \(U_{i_j} \not = X_{i_j}\). Alors \[X \cap \prod U_i = f_{i_1}^{-1}(U_{i_1}) \cap \ldots \cap f_{i_n}^{-1}(U_{i_n})\] Dans le cas d’une limite quelconque d’espaces topologiques, ces ouverts forment une base de la topologie de \(X\). Toutefois, si \(\mathcal{I}\) est cofiltrante comme dans l’énoncé du lemme, nous pouvons choisir un \(j \in \Ob(\mathcal{I})\) et des morphismes \(j \to i_l\), \(l = 1, \ldots, n\). Posons \[U_j = (X_j \to X_{i_1})^{-1}(U_{i_1}) \cap \ldots \cap (X_j \to X_{i_n})^{-1}(U_{i_n})\] Il est alors clair que \(X \cap \prod U_i = f_j^{-1}(U_j)\). Ainsi, pour tout ouvert \(W\) de \(X\), il existe un ensemble \(A\), une application \(\alpha : A \to \Ob(\mathcal{I})\) et des ouverts \(U_a \subset X_{\alpha(a)}\) tels que \(W = \bigcup f_{\alpha(a)}^{-1}(U_a)\). Posons \(J = \Im(\alpha)\) et, pour \(j \in J\), posons \(U_j = \bigcup_{\alpha(a) = j} U_a\) ; on obtient alors \(W = \bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\). Ceci démontre (1).

Pour démontrer (2), supposons que \(\bigcup_{j \in J} f_j^{-1}(U_j)\) soit quasi-compact. Cet ouvert est alors égal à \(f_{j_1}^{-1}(U_{j_1}) \cup \ldots \cup f_{j_m}^{-1}(U_{j_m})\) pour certains \(j_1, \ldots, j_m \in J\). Puisque \(\mathcal{I}\) est cofiltrante, nous pouvons choisir un \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et des morphismes \(i \to j_l\), \(l = 1, \ldots, m\). Posons \[U_i = (X_i \to X_{j_1})^{-1}(U_{j_1}) \cup \ldots \cup (X_i \to X_{j_m})^{-1}(U_{j_m})\] Notre ouvert est alors égal à \(f_i^{-1}(U_i)\), comme voulu.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces topologiques indexé par \(\mathcal{I}\). Soit \(X\) un espace topologique tel que

\(X = \lim X_i\) comme ensemble (on note \(f_i\) les applications de projection),

les ensembles \(f_i^{-1}(U_i)\), pour \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et \(U_i \subset X_i\) ouvert, forment une base de la topologie de \(X\).

Alors \(X\) est la limite des \(X_i\) dans la catégorie des espaces topologiques.

Démonstration

Cela résulte de la description de la topologie limite donnée dans le lemme 0A2P.

Théorème

Tout produit d’espaces quasi-compacts est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(I\) un ensemble et, pour \(i \in I\), soit \(X_i\) un espace topologique quasi-compact. Posons \(X = \prod X_i\). Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des parties de \(X\) de la forme \(U_i \times \prod_{i' \in I, i' \not = i} X_{i'}\), où \(U_i \subset X_i\) est ouvert. Par construction, cette famille est une sous-base de la topologie de \(X\). D’après le lemme 08ZP, il suffit de montrer que tout recouvrement \(X = \bigcup_{j \in J} B_j\) par des éléments \(B_j\) de \(\mathcal{B}\) admet un sous-recouvrement fini. Nous pouvons décomposer \(J = \coprod J_i\) de telle sorte que, si \(j \in J_i\), alors \(B_j = U_j \times \prod_{i' \not = i} X_{i'}\), avec \(U_j \subset X_i\) ouvert. Si \(X_i = \bigcup_{j \in J_i} U_j\), il existe un sous-recouvrement fini et nous concluons que \(X = \bigcup_{j \in J} B_j\) admet un sous-recouvrement fini. Si ce n’est pas le cas, nous pouvons choisir, pour tout \(i\), un point \(x_i \in X_i\) qui n’appartient pas à \(\bigcup_{j \in J_i} U_j\). Mais alors le point \(x = (x_i)_{i \in I}\) est un élément de \(X\) qui n’appartient pas à \(\bigcup_{j \in J} B_j\), contradiction.

Le lemme suivant devient faux si l’on omet l’hypothèse que les espaces \(X_i\) sont séparés ; voir Exemples, section 09ZJ.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie et soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme indexé par \(\mathcal{I}\) dans la catégorie des espaces topologiques. Si chaque \(X_i\) est quasi-compact et séparé, alors \(\lim X_i\) est quasi-compact.

Démonstration

Rappelons que \(\lim X_i\) est un sous-espace de \(\prod X_i\). D’après le théorème 08ZU, ce produit est quasi-compact. Il suffit donc de montrer que \(\lim X_i\) est un sous-espace fermé de \(\prod X_i\) (lemme 005C). Si \(\varphi : j \to k\) est un morphisme de \(\mathcal{I}\), notons \(\Gamma_\varphi \subset X_j \times X_k\) le graphe de l’application continue correspondante \(X_j \to X_k\). D’après le lemme 08ZF, ce graphe est fermé. Il est clair que \(\lim X_i\) est l’intersection des fermés \[\Gamma_\varphi \times \prod\nolimits_{l \not = j, k} X_l \subset \prod X_i\] Le résultat s’ensuit.

Le lemme suivant généralise Catégories, lemme 086J, et généralise partiellement le lemme 005D.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie cofiltrante et soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme indexé par \(\mathcal{I}\) dans la catégorie des espaces topologiques. Si chaque \(X_i\) est quasi-compact, séparé et non vide, alors \(\lim X_i\) est non vide.

Démonstration

Dans la démonstration du lemme 08ZV, nous avons vu que \(X = \lim X_i\) est l’intersection des fermés \[Z_\varphi = \Gamma_\varphi \times \prod\nolimits_{l \not = j, k} X_l\] dans l’espace quasi-compact \(\prod X_i\), où \(\varphi : j \to k\) est un morphisme de \(\mathcal{I}\) et où \(\Gamma_\varphi \subset X_j \times X_k\) est le graphe du morphisme correspondant \(X_j \to X_k\). D’après le lemme 005D, il suffit donc de montrer que toute intersection finie de ces parties est non vide. Soit \(\varphi_t : j_t \to k_t\), \(t = 1, \ldots, n\), une famille finie de morphismes de \(\mathcal{I}\). Puisque \(\mathcal{I}\) est cofiltrante, nous pouvons choisir un objet \(j\) et un morphisme \(\psi_t : j \to j_t\) pour tout \(t\). Pour chaque paire \(t, t'\) telle que (a) \(j_t = j_{t'}\), ou (b) \(j_t = k_{t'}\), ou (c) \(k_t = k_{t'}\), nous obtenons deux morphismes \(j \to l\), avec \(l = j_t\) dans les cas (a) et (b), ou \(l = k_t\) dans le cas (c). Comme \(\mathcal{I}\) est cofiltrante et qu’il n’y a qu’un nombre fini de paires \((t, t')\), nous pouvons choisir une application \(j' \to j\) qui égalise ces deux morphismes pour toutes ces paires \((t, t')\). Choisissons un élément \(x \in X_{j'}\) et, pour tout \(t\), notons \(x_{j_t}\), respectivement \(x_{k_t}\), l’image de \(x\) par le morphisme \(X_{j'} \to X_j \to X_{j_t}\), respectivement \(X_{j'} \to X_j \to X_{j_t} \to X_{k_t}\). Pour tout indice \(l \in \Ob(\mathcal{I})\) qui n’est égal ni à \(j_t\) ni à \(k_t\) pour aucun \(t\), choisissons un élément arbitraire \(x_l \in X_l\) (en utilisant l’axiome du choix). Alors \((x_i)_{i \in \Ob(\mathcal{I})}\) appartient, par construction, à l’intersection \[Z_{\varphi_1} \cap \ldots \cap Z_{\varphi_n}\] et la démonstration est achevée.

Parties constructibles

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(E \subset X\) une partie de \(X\).

On dit que \(E\) est constructible³ dans \(X\) si \(E\) est une réunion finie de parties de la forme \(U \cap V^c\), où \(U, V \subset X\) sont des ouverts rétrocompacts dans \(X\).

On dit que \(E\) est localement constructible dans \(X\) s’il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup V_i\) tel que chaque \(E \cap V_i\) soit constructible dans \(V_i\).

Lemme

La collection des parties constructibles est stable par intersections finies, unions finies et passage au complémentaire.

Démonstration

Remarquons que si \(U_1\), \(U_2\) sont des ouverts rétrocompacts dans \(X\), alors \(U_1 \cup U_2\) l’est aussi, car la réunion de deux parties quasi-compactes de \(X\) est quasi-compacte. Il est également vrai que \(U_1 \cap U_2\) est rétrocompact. En effet, supposons que \(U \subset X\) soit un ouvert quasi-compact ; alors \(U_2 \cap U\) est quasi-compact puisque \(U_2\) est rétrocompact dans \(X\), et nous en déduisons que \(U_1 \cap (U_2 \cap U)\) est quasi-compact puisque \(U_1\) est rétrocompact dans \(X\). À partir de là, il est formel de montrer que le complémentaire d’une partie constructible est constructible, que les unions finies de parties constructibles sont constructibles et que les intersections finies de parties constructibles sont constructibles.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Si l’image réciproque de tout ouvert rétrocompact de \(Y\) est rétrocompacte dans \(X\), alors les images réciproques des parties constructibles sont constructibles.

Démonstration

Cette assertion résulte de \(f^{-1}(U \cap V^c) = f^{-1}(U) \cap f^{-1}(V)^c\) et de la définition des parties constructibles.

Lemme

Soit \(U \subset X\) un ouvert. Pour une partie constructible \(E \subset X\), l’intersection \(E \cap U\) est constructible dans \(U\).

Démonstration

Supposons que \(V \subset X\) soit un ouvert rétrocompact dans \(X\). Il suffit de montrer que \(V \cap U\) est rétrocompact dans \(U\) d’après le lemme 005I. Pour cela, soit \(W \subset U\) un ouvert quasi-compact. Alors \(W\) est ouvert et quasi-compact dans \(X\). Par conséquent, \(V \cap W = V \cap U \cap W\) est quasi-compact puisque \(V\) est rétrocompact dans \(X\).

Lemme

Soit \(U \subset X\) un ouvert rétrocompact. Soit \(E \subset U\). Si \(E\) est constructible dans \(U\), alors \(E\) est constructible dans \(X\).

Démonstration

Supposons que \(V, W \subset U\) soient des ouverts rétrocompacts dans \(U\). Alors \(V, W\) sont des ouverts rétrocompacts dans \(X\) (lemme 005B). Ainsi, \(V \cap (U \setminus W) = V \cap (X \setminus W)\) est constructible dans \(X\). On conclut puisque toute partie constructible de \(U\) est une réunion finie de parties de la forme \(V \cap (U \setminus W)\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(E \subset X\) une partie. Soit \(X = V_1 \cup \ldots \cup V_m\) un recouvrement fini par des ouverts rétrocompacts. Alors \(E\) est constructible dans \(X\) si et seulement si \(E \cap V_j\) est constructible dans \(V_j\) pour chaque \(j = 1, \ldots, m\).

Démonstration

Si \(E\) est constructible dans \(X\), alors le lemme 005J montre que \(E \cap V_j\) est constructible dans \(V_j\) pour tout \(j\). Réciproquement, supposons que \(E \cap V_j\) soit constructible dans \(V_j\) pour chaque \(j = 1, \ldots, m\). Alors \(E = \bigcup E \cap V_j\) est une réunion finie de parties constructibles d’après le lemme 09YD, et est donc constructible.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(Z \subset X\) une partie fermée telle que \(X \setminus Z\) soit quasi-compact. Alors, pour toute partie constructible \(E \subset X\), l’intersection \(E \cap Z\) est constructible dans \(Z\).

Démonstration

Supposons que \(V \subset X\) soit un ouvert rétrocompact dans \(X\). Il suffit de montrer que \(V \cap Z\) est rétrocompact dans \(Z\) d’après le lemme 005I. Pour cela, soit \(W \subset Z\) un ouvert quasi-compact. La partie \(W' = W \cup (X \setminus Z)\) est quasi-compacte, ouverte, et \(W = Z \cap W'\). Par conséquent, \(V \cap Z \cap W = V \cap Z \cap W'\) est une partie fermée de l’ouvert quasi-compact \(V \cap W'\) puisque \(V\) est rétrocompact dans \(X\). Ainsi, \(V \cap Z \cap W\) est quasi-compact d’après le lemme 005C.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(T \subset X\) une partie. Supposons que

\(T\) soit rétrocompacte dans \(X\),

les ouverts quasi-compacts forment une base de la topologie de \(X\).

Alors, pour toute partie constructible \(E \subset X\), l’intersection \(E \cap T\) est constructible dans \(T\).

Démonstration

Supposons que \(V \subset X\) soit un ouvert rétrocompact dans \(X\). Il suffit de montrer que \(V \cap T\) est rétrocompact dans \(T\) d’après le lemme 005I. Pour cela, soit \(W \subset T\) un ouvert quasi-compact. Par l’hypothèse (2), nous pouvons trouver un ouvert quasi-compact \(W' \subset X\) tel que \(W = T \cap W'\) (détails omis). Ainsi, \(V \cap T \cap W = V \cap T \cap W'\) est l’intersection de \(T\) avec l’ouvert quasi-compact \(V \cap W'\) puisque \(V\) est rétrocompact dans \(X\). Ainsi, \(V \cap T \cap W\) est quasi-compact.

Lemme

Soit \(Z \subset X\) une partie fermée dont le complémentaire est un ouvert rétrocompact. Soit \(E \subset Z\). Si \(E\) est constructible dans \(Z\), alors \(E\) est constructible dans \(X\).

Démonstration

Supposons que \(V \subset Z\) soit un ouvert rétrocompact dans \(Z\). Considérons l’ouvert \(\tilde V = V \cup (X \setminus Z)\) de \(X\). Soit \(W \subset X\) un ouvert quasi-compact. Alors \[W \cap \tilde V = \left(V \cap W\right) \cup \left((X \setminus Z) \cap W\right).\] La première partie est quasi-compacte, car \(V \cap W = V \cap (Z \cap W)\) et \((Z \cap W)\) est un ouvert quasi-compact dans \(Z\) (lemme 005C), et \(V\) est rétrocompact dans \(Z\). La seconde partie est quasi-compacte puisque \((X \setminus Z)\) est rétrocompact dans \(X\). Nous voyons ainsi que \(\tilde V\) est rétrocompact dans \(X\). Ainsi, si \(V_1, V_2 \subset Z\) sont des ouverts rétrocompacts, alors \[V_1 \cap (Z \setminus V_2) = \tilde V_1 \cap (X \setminus \tilde V_2)\] est constructible dans \(X\). On conclut puisque toute partie constructible de \(Z\) est une réunion finie de parties de la forme \(V_1 \cap (Z \setminus V_2)\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Toute partie constructible de \(X\) est rétrocompacte.

Démonstration

Soit \(E = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i \cap V_i^c\), où \(U_i, V_i\) sont des ouverts rétrocompacts dans \(X\). Soit \(W \subset X\) un ouvert quasi-compact. Alors \(E \cap W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} U_i \cap V_i^c \cap W\). Il suffit donc de montrer que \(U \cap V^c \cap W\) est quasi-compact si \(U, V\) sont des ouverts rétrocompacts et \(W\) un ouvert quasi-compact. Cela est vrai parce que \(U \cap V^c \cap W\) est une partie fermée de la partie quasi-compacte \(U \cap W\), si bien que le lemme 005C s’applique.

Question : le lemme suivant reste-t-il valable si l’on suppose que \(X\) est un espace topologique quasi-compact ? Comparer avec le lemme 09YE.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que \(X\) possède une base constituée d’ouverts quasi-compacts. Pour des parties \(E, E'\) constructibles dans \(X\), l’intersection \(E \cap E'\) est constructible dans \(E\).

Démonstration

Combiner les lemmes 09YF et 09YH.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que \(X\) possède une base constituée d’ouverts quasi-compacts. Soit \(E\) une partie constructible dans \(X\) et \(F \subset E\) une partie constructible dans \(E\). Alors \(F\) est constructible dans \(X\).

Démonstration

Observons que toute partie rétrocompacte \(T\) de \(X\) possède, pour la topologie induite, une base constituée d’ouverts quasi-compacts. Cela vaut en particulier pour toute partie constructible (lemme 09YH). Écrivons \(E = E_1 \cup \ldots \cup E_n\), avec \(E_i = U_i \cap V_i^c\), où \(U_i, V_i \subset X\) sont des ouverts rétrocompacts. Notons que \(E_i = E \cap E_i\) est constructible dans \(E\) d’après le lemme 09YI. Ainsi, \(F \cap E_i\) est constructible dans \(E_i\) d’après le lemme 09YI. Il suffit donc de démontrer le lemme dans le cas où \(E = U \cap V^c\), où \(U, V \subset X\) sont des ouverts rétrocompacts. Dans ce cas, l’inclusion \(E \subset X\) est la composée \[E = U \cap V^c \to U \to X\] On peut alors appliquer le lemme 09YG à la première inclusion et le lemme 09YD à la seconde.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique quasi-compact possédant une base constituée d’ouverts quasi-compacts telle que l’intersection de deux ouverts quasi-compacts quelconques soit quasi-compacte. Soit \(T \subset X\) une partie localement fermée telle que \(T\) soit quasi-compacte et que \(T^c\) soit rétrocompacte dans \(X\). Alors \(T\) est constructible dans \(X\).

Démonstration

Notons que \(T\) est quasi-compacte et ouverte dans \(\overline{T}\). En utilisant notre base d’ouverts quasi-compacts, nous pouvons écrire \(T = U \cap \overline{T}\), où \(U\) est un ouvert quasi-compact de \(X\). Alors \(V = U \setminus T = U \cap T^c\) est rétrocompact dans \(U\), puisque \(T^c\) est rétrocompact dans \(X\). Par conséquent, \(V\) est quasi-compact. Puisque l’intersection de deux ouverts quasi-compacts quelconques est quasi-compacte, tout ouvert quasi-compact de \(X\) est rétrocompact. Ainsi, \(T = U \cap V^c\), où \(U\) et \(V = U \setminus T\) sont des ouverts rétrocompacts de \(X\). A fortiori, \(T\) est constructible dans \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique dont la topologie possède une base constituée d’ouverts quasi-compacts. Soit \(E \subset X\) une partie. Soit \(X = E_1 \cup \ldots \cup E_m\) un recouvrement fini par des parties constructibles. Alors \(E\) est constructible dans \(X\) si et seulement si \(E \cap E_j\) est constructible dans \(E_j\) pour chaque \(j = 1, \ldots, m\).

Démonstration

Combiner les lemmes 09YI et 09YJ.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que \(Z \subset X\) soit irréductible. Soit \(E \subset X\) une réunion finie de parties localement fermées (par exemple, \(E\) est constructible). Les assertions suivantes sont équivalentes :

L’intersection \(E \cap Z\) contient une partie ouverte dense de \(Z\).

L’intersection \(E \cap Z\) est dense dans \(Z\).

Si \(Z\) possède un point générique \(\xi\), elles sont également équivalentes à

On a \(\xi \in E\).

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est claire. Supposons (2). Notons que \(E \cap Z\) est une réunion finie de parties localement fermées \(Z_i\) de \(Z\). Puisque \(Z\) est irréductible, l’une des \(Z_i\) doit être dense dans \(Z\). Cette partie \(Z_i\) est alors ouverte et dense dans \(Z\), car elle est ouverte dans son adhérence. Par conséquent, (1) est vérifiée.

Supposons que \(\xi \in Z\) soit un point générique. Si les conditions équivalentes (1) et (2) sont vérifiées, alors \(\xi \in E\). Réciproquement, si \(\xi \in E\), alors \(\xi \in E \cap Z\) et, par conséquent, \(E \cap Z\) est dense dans \(Z\).

Parties constructibles et espaces noethériens

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien. Les parties constructibles de \(X\) sont exactement les réunions finies de parties localement fermées de \(X\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 04ZA.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue entre espaces topologiques noethériens. Si \(E \subset Y\) est constructible dans \(Y\), alors \(f^{-1}(E)\) est constructible dans \(X\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du lemme 005L et de la définition d’une application continue.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien. Soit \(E \subset X\) une partie. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

\(E\) est constructible dans \(X\), et

pour tout fermé irréductible \(Z \subset X\), l’intersection \(E \cap Z\) contient un ouvert non vide de \(Z\) ou n’est pas dense dans \(Z\).

Démonstration

Supposons \(E\) constructible et \(Z \subset X\) fermé irréductible. Alors \(E \cap Z\) est constructible dans \(Z\) d’après le lemme 053Y. Ainsi, \(E \cap Z\) est une réunion finie de parties localement fermées non vides \(T_i\) de \(Z\). Il est clair que, si aucun des \(T_i\) n’est ouvert dans \(Z\), alors \(E \cap Z\) n’est pas dense dans \(Z\). On voit ainsi que (1) implique (2).

Réciproquement, supposons (2) vérifiée. Considérons l’ensemble \(\mathcal{S}\) des fermés \(Y\) de \(X\) tels que \(E \cap Y\) ne soit pas constructible dans \(Y\). Si \(\mathcal{S} \not = \emptyset\), il admet un plus petit élément \(Y\), car \(X\) est noethérien. Soit \(Y = Y_1 \cup \ldots \cup Y_r\) la décomposition de \(Y\) en ses composantes irréductibles ; voir le lemme 0052. Si \(r > 1\), alors chaque \(Y_i \cap E\) est constructible dans \(Y_i\), donc est une réunion finie de parties localement fermées de \(Y_i\). Par conséquent, \(E \cap Y\) est lui aussi une réunion finie de parties localement fermées de \(Y\), et nous concluons que \(E \cap Y\) est constructible dans \(Y\) d’après le lemme 005L. C’est une contradiction ; ainsi \(r = 1\). Si \(r = 1\), alors \(Y\) est irréductible et, par l’hypothèse (2), on voit que \(E \cap Y\) se trouve dans l’un des deux cas suivants : (a) il contient un ouvert non vide \(V\) de \(Y\) ; ou (b) il n’est pas dense dans \(Y\). Dans le cas (a), la minimalité de \(Y\) montre que \(E \cap (Y \setminus V)\) est une réunion finie de parties localement fermées de \(Y \setminus V\). Ainsi, \(E \cap Y\) est une réunion finie de parties localement fermées de \(Y\) et est constructible d’après le lemme 005L. C’est une contradiction ; nous sommes donc nécessairement dans le cas (b). Dans le cas (b), on a \(E \cap Y = E \cap Y'\) pour un fermé propre \(Y' \subset Y\). La minimalité de \(Y\) montre que \(E \cap Y'\) est une réunion finie de parties localement fermées de \(Y'\), puis que \(E \cap Y' = E \cap Y\) est une réunion finie de parties localement fermées de \(Y\) et est constructible d’après le lemme 005L. Cette contradiction achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien. Soit \(x \in X\). Soit \(E \subset X\) constructible dans \(X\). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

\(E\) est un voisinage de \(x\), et

pour tout fermé irréductible \(Y\) de \(X\) qui contient \(x\), l’intersection \(E \cap Y\) est dense dans \(Y\).

Démonstration

Il est clair que (1) implique (2). Supposons (2). Considérons l’ensemble \(\mathcal{S}\) des fermés \(Y\) de \(X\) qui contiennent \(x\) et tels que \(E \cap Y\) ne soit pas un voisinage de \(x\) dans \(Y\). Si \(\mathcal{S} \not = \emptyset\), il admet un élément minimal \(Y\), car \(X\) est noethérien. Supposons \(Y = Y_1 \cup Y_2\), où \(Y_1\), \(Y_2\) sont deux fermés non vides strictement plus petits. Si \(x \in Y_i\) pour \(i = 1, 2\), alors \(Y_i \cap E\) est un voisinage de \(x\) dans \(Y_i\), et nous concluons que \(Y \cap E\) est un voisinage de \(x\) dans \(Y\), contradiction. Si \(x \in Y_1\) mais \(x \not\in Y_2\) (disons), alors \(Y_1 \cap E\) est un voisinage de \(x\) dans \(Y_1\), donc aussi dans \(Y\), ce qui est encore une contradiction. Nous concluons que \(Y\) est un fermé irréductible. Par l’hypothèse (2), \(E \cap Y\) est dense dans \(Y\). Ainsi, \(E \cap Y\) contient un ouvert \(V\) de \(Y\) ; voir le lemme 053Z. Si \(x \in V\), alors \(E \cap Y\) est un voisinage de \(x\) dans \(Y\), ce qui est une contradiction. Si \(x \not \in V\), alors \(Y' = Y \setminus V\) est un fermé propre de \(Y\) qui contient \(x\). La minimalité de \(Y\) montre que \(E \cap Y'\) contient un voisinage ouvert \(V' \subset Y'\) de \(x\) dans \(Y'\). Mais alors \(V' \cup V\) est un voisinage ouvert de \(x\) dans \(Y\) contenu dans \(E\), contradiction. Cette contradiction achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien. Soit \(E \subset X\) une partie. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

\(E\) est ouvert dans \(X\), et

pour tout fermé irréductible \(Y\) de \(X\), l’intersection \(E \cap Y\) est vide ou contient un ouvert non vide de \(Y\).

Démonstration

Cela résulte formellement des lemmes 053Z et 0540.

Caractérisation des applications propres

Nous consacrons une section à la notion d’application propre en topologie usuelle. Nous définissons une application continue d’espaces topologiques comme étant propre si elle est universellement fermée et séparée. Bien que cette définition s’accorde avec celle d’un morphisme propre en géométrie algébrique, elle diffère de la définition de Bourbaki. Avec notre définition d’une application propre d’espaces topologiques, le théorème de changement de base propre (Cohomologie, théorème 09V6) est valable sans aucune hypothèse supplémentaire. De plus, pour un morphisme \(f : X \to Y\) de schémas de type fini sur \(\mathbf{C}\), on a l’équivalence suivante : \(f\) est propre comme morphisme de schémas si et seulement si l’application continue \(f : X(\mathbf{C}) \to Y(\mathbf{C})\) sur les points à valeurs dans \(\mathbf{C}\), munis de la topologie classique, est propre. Ceci est expliqué dans [SGA1, Exp. XII, Prop. 3.2(v)], où une note signale aussi que la notion topologique de propreté employée est celle de Bourbaki, à laquelle on ajoute l’hypothèse de séparation.

Il nous paraît utile de nommer trois notions distinctes : être séparée, être universellement fermée, et posséder ces deux propriétés à la fois (c’est-à-dire être propre). Pour une application continue \(f : X \to Y\) entre espaces localement compacts et séparés, le mot « propre » désigne depuis longtemps la propriété « \(f^{-1}(\)compact\() =\) compact », laquelle équivaut à être universellement fermée pour des espaces aussi réguliers. En fait, nous verrons que, dans le cas général, la condition sur les images réciproques, formulée par souci de clarté à l’aide du mot « quasi-compact », équivaut à être universellement fermée si l’on suppose en outre l’application fermée. Voir aussi [LangReal, exercices 22 à 26 du chapitre II], mais attention : Lang emploie « propre » comme synonyme d’« universellement fermée », à l’instar de Bourbaki.

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des espaces topologiques. Soient \(A \subset X\) et \(B \subset Y\) des parties quasi-compactes. Soit \(A \times B \subset W \subset X \times Y\), où \(W\) est ouvert dans \(X \times Y\). Il existe alors des ouverts \(A \subset U \subset X\) et \(B \subset V \subset Y\) tels que \(U \times V \subset W\).

Démonstration

Pour tous \(a \in A\) et \(b \in B\), il existe des ouverts \(U_{(a, b)}\) de \(X\) et \(V_{(a, b)}\) de \(Y\) tels que \((a, b) \in U_{(a, b)} \times V_{(a, b)} \subset W\). Fixons \(b\) ; il existe alors un nombre fini de points \(a_1, \ldots, a_n\) tels que \(A \subset U_{(a_1, b)} \cup \ldots \cup U_{(a_n, b)}\). Par conséquent, \[A \times \{b\} \subset (U_{(a_1, b)} \cup \ldots \cup U_{(a_n, b)}) \times (V_{(a_1, b)} \cap \ldots \cap V_{(a_n, b)}) \subset W.\] Ainsi, pour tout \(b \in B\), il existe des ouverts \(U_b \subset X\) et \(V_b \subset Y\) tels que \(A \times \{b\} \subset U_b \times V_b \subset W\). Comme précédemment, il existe un nombre fini de points \(b_1, \ldots, b_m\) tels que \(B \subset V_{b_1} \cup \ldots \cup V_{b_m}\). Le résultat en découle, car \(A \times B \subset (U_{b_1} \cap \ldots \cap U_{b_m}) \times (V_{b_1} \cup \ldots \cup V_{b_m})\).

La terminologie de la définition suivante peut différer légèrement de celle dont le lecteur a l’habitude.

Définition

Soit \(f : X\to Y\) une application continue entre espaces topologiques.

On dit que l’application \(f\) est fermée si l’image de toute partie fermée est fermée.

On dit que l’application \(f\) est propre au sens de Bourbaki⁴ si l’application \(Z \times X\to Z \times Y\) est fermée pour tout espace topologique \(Z\).

On dit que l’application \(f\) est quasi-propre si l’image réciproque \(f^{-1}(V)\) de toute partie quasi-compacte \(V \subset Y\) est quasi-compacte.

On dit que \(f\) est universellement fermée si l’application \(f': Z \times_Y X \to Z\) est fermée pour toute application continue \(g: Z \to Y\).

On dit que \(f\) est propre si \(f\) est séparée et universellement fermée.

Le lemme suivant sera utile plus loin.

Lemme

Un espace topologique \(X\) est quasi-compact si et seulement si l’application de projection \(Z \times X \to Z\) est fermée pour tout espace topologique \(Z\).

Démonstration

(Voir aussi la remarque ci-dessous.) Si \(X\) n’est pas quasi-compact, il existe un recouvrement ouvert \(X = \bigcup_{i \in I} U_i\) tel qu’aucun nombre fini des \(U_i\) ne recouvre \(X\). Soit \(Z\) la partie de l’ensemble des parties \(\mathcal{P}(I)\) de \(I\) constituée de \(I\) et de toutes les parties finies non vides de \(I\). Définissons sur \(Z\) une topologie ayant pour base les ensembles suivants :

Toutes les parties de \(Z\setminus\{I\}\).

Pour toute partie finie \(K\) de \(I\), l’ensemble \(U_K := \{J\subset I \mid J \in Z, \ K\subset J \})\).

Nous laissons au lecteur le soin de vérifier qu’il s’agit bien d’une base de topologie. Considérons la partie de \(Z \times X\) définie par la formule \[M = \{(J, x) \mid J \in Z, \ x \in \bigcap\nolimits_{i \in J} U_i^c)\}\] Si \((J, x) \not \in M\), alors \(x \in U_i\) pour un certain \(i \in J\). Ainsi, \(U_{\{i\}} \times U_i \subset Z \times X\) est un ouvert contenant \((J, x)\) et ne rencontrant pas \(M\). Par conséquent, \(M\) est fermé. La projection de \(M\) sur \(Z\) est \(Z-\{I\}\), qui n’est pas fermée. L’application \(Z \times X \to Z\) n’est donc pas fermée.

Supposons \(X\) quasi-compact. Soit \(Z\) un espace topologique. Soit \(M \subset Z \times X\) fermé. Soit \(z \in Z\) un point qui n’appartient pas à \(\text{pr}_1(M)\). D’après le lemme du tube 005N, il existe un ouvert \(U \subset Z\) tel que \(U \times X\) soit contenu dans le complémentaire de \(M\). Ainsi, \(\text{pr}_1(M)\) est fermé.

Remarque

Le lemme 005P combine [Bourbaki, I, p. 75, Lemme 1] et [Bourbaki, I, p. 76, Corollaire 1].

Théorème

Soit \(f: X\to Y\) une application continue entre espaces topologiques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

L’application \(f\) est quasi-propre et fermée.

L’application \(f\) est propre au sens de Bourbaki.

L’application \(f\) est universellement fermée.

L’application \(f\) est fermée et \(f^{-1}(y)\) est quasi-compact pour tout \(y\in Y\).

Démonstration

(Voir aussi la remarque ci-dessous.) Si l’application \(f\) vérifie (1), elle vérifie automatiquement (4), car tout singleton est quasi-compact.

Supposons que l’application \(f\) vérifie (4). Nous allons montrer qu’elle est universellement fermée, c’est-à-dire que (3) est vérifiée. Soit \(g : Z \to Y\) une application continue d’espaces topologiques et considérons le diagramme \[\xymatrix{ Z \times_Y X \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & X \ar[d]^f \\ Z \ar[r]^g & Y }\] Dans la démonstration, nous utiliserons le fait que \(Z \times_Y X \to Z \times X\) est un homéomorphisme sur son image, c’est-à-dire que nous pouvons identifier \(Z \times_Y X\) à la partie correspondante de \(Z \times X\), munie de la topologie induite. L’image de \(f' : Z \times_Y X \to Z\) est \(\Im(f') = \{z : g(z) \in f(X)\}\). Comme \(f(X)\) est fermé, on voit que \(\Im(f')\) est un sous-espace fermé de \(Z\). Considérons un fermé \(P \subset Z \times_Y X\). Soit \(z \in Z\), \(z \not \in f'(P)\). Si \(z \not \in \Im(f')\), alors \(Z \setminus \Im(f')\) est un voisinage ouvert qui ne rencontre pas \(f'(P)\). Si \(z\) appartient à \(\Im(f')\), alors \((f')^{-1}\{z\} = \{z\} \times f^{-1}\{g(z)\}\), et \(f^{-1}\{g(z)\}\) est quasi-compact par hypothèse. Comme \(P\) est un fermé de \(Z \times_Y X\), il existe un fermé \(P'\) de \(Z \times X\) tel que \(P = P' \cap Z \times_Y X\). Puisque \((f')^{-1}\{z\}\) est contenu dans \(P^c = P'^c \cup (Z \times_Y X)^c\) et puisque \((f')^{-1}\{z\}\) est disjoint de \((Z \times_Y X)^c\), on voit que \((f')^{-1}\{z\}\) est contenu dans \(P'^c\). Nous pouvons appliquer le lemme du tube 005N à \((f')^{-1}\{z\} = \{z\} \times f^{-1}\{g(z)\} \subset (P')^c \subset Z \times X\). Nous obtenons ainsi \(V \times U\) contenant \((f')^{-1}\{z\}\), où \(U\) et \(V\) sont des ouverts respectivement de \(X\) et de \(Z\), et tel que \(V \times U\) ne rencontre pas \(P'\). Alors l’ensemble \(V \cap g^{-1}(Y-f(U^c))\) est ouvert dans \(Z\), puisque \(f\) est fermée ; il contient \(z\) et ne rencontre pas l’image de \(P\). Ainsi, \(f'(P)\) est fermé. Autrement dit, l’application \(f\) est universellement fermée.

L’implication (3) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. En effet, étant donné un espace topologique \(Z\), considérons la projection \(g : Z \times Y \to Y\). Il est alors facile de voir que \(f'\) est l’application \(Z \times X \to Z \times Y\), autrement dit que \((Z \times Y) \times_Y X = Z \times X\). (Cette identification est une propriété purement catégorique, qui n’a rien de spécifiquement topologique.)

Supposons que \(f\) vérifie (2). Nous allons montrer qu’elle vérifie (1). Notons que \(f\) est fermée, car \(f\) s’identifie à l’application \(\{pt\} \times X \to \{pt\} \times Y\), qui est fermée par hypothèse. Choisissons une partie quasi-compacte quelconque \(K \subset Y\). Soit \(Z\) un espace topologique quelconque. Comme \(Z \times X \to Z \times Y\) est fermée, on voit que l’application \(Z \times f^{-1}(K) \to Z \times K\) est fermée (si \(T\) est fermé dans \(Z \times f^{-1}(K)\), écrivons \(T = Z \times f^{-1}(K) \cap T'\) pour un certain fermé \(T' \subset Z \times X\)). Comme \(K\) est quasi-compact, \(K \times Z\to Z\) est fermée d’après le lemme 005P. Par conséquent, la composée \(Z \times f^{-1}(K)\to Z \times K \to Z\) est fermée ; le lemme 005P montre alors, une nouvelle fois, que \(f^{-1}(K)\) est quasi-compact.

Remarque

Voici quelques références bibliographiques. Dans [Bourbaki, I, p. 75, théorème 1], on trouve : (2) \(\Leftrightarrow\) (4). Dans [Bourbaki, I, p. 77, Proposition 6], on trouve : (2) \(\Rightarrow\) (1). Bien entendu, on a trivialement (1) \(\Rightarrow\) (4). Ainsi, (1), (2) et (4) sont équivalentes. L’équivalence de (3) et (4) est [LangReal, chapitre II, exercice 25].

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Si \(X\) est quasi-compact et \(Y\) séparé, alors \(f\) est universellement fermée.

Démonstration

Comme tout point de \(Y\) est fermé, le lemme 005C montre que le fermé \(f^{-1}(y)\) de \(X\) est quasi-compact pour tout \(y \in Y\). Ainsi, d’après le théorème 005R, il suffit de montrer que \(f\) est fermée. Si \(E \subset X\) est fermé, alors il est quasi-compact (lemme 005C), donc \(f(E) \subset Y\) est quasi-compact (lemme 04Z9), donc \(f(E)\) est fermé dans \(Y\) (lemme 08YB).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Si \(f\) est bijective, si \(X\) est quasi-compact et si \(Y\) est séparé, alors \(f\) est un homéomorphisme.

Démonstration

Il suffit de montrer que \(f\) est fermée, car il en résulte que \(f^{-1}\) est continue. Si \(T \subset X\) est fermé, alors \(T\) est quasi-compact d’après le lemme 005C, donc \(f(T)\) est quasi-compact d’après le lemme 04Z9, donc \(f(T)\) est fermé d’après le lemme 08YB.

Espaces de Jacobson

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X_0\) l’ensemble des points fermés de \(X\). On dit que \(X\) est de Jacobson si toute partie fermée \(Z \subset X\) est l’adhérence de \(Z \cap X_0\).

Notons qu’un espace topologique \(X\) est de Jacobson si et seulement si toute partie localement fermée non vide de \(X\) possède un point fermé dans \(X\).

Soit \(X\) un espace de Jacobson et soit \(X_0\) l’ensemble des points fermés de \(X\), muni de la topologie induite. Il est clair que la définition implique que le morphisme \(X_0 \to X\) induit une bijection entre les parties fermées de \(X_0\) et les parties fermées de \(X\). Ainsi, nombre de propriétés de \(X\) passent à \(X_0\). Par exemple, les dimensions de Krull de \(X\) et de \(X_0\) sont égales.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X_0\) l’ensemble des points fermés de \(X\). Supposons que, pour tout point \(x\in X\), l’intersection \(X_0 \cap \overline{\{x\}}\) soit dense dans \(\overline{\{x\}}\). Alors \(X\) est de Jacobson.

Démonstration

Soient \(Z\) une partie fermée de \(X\) et \(U\) un ouvert de \(X\) tels que \(U\cap Z\) soit non vide. Alors, pour \(x\in U\cap Z\), l’ensemble \(\overline{\{x\}}\cap U\) est une partie non vide de \(Z\cap U\) et, par hypothèse, il contient un point fermé dans \(X\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique de Kolmogorov muni d’une base d’ouverts quasi-compacts. Si \(X\) n’est pas de Jacobson, alors il existe un point non fermé \(x \in X\) tel que \(\{x\}\) soit localement fermé.

Démonstration

Puisque \(X\) n’est pas de Jacobson, il existe une partie fermée \(Z\) et un ouvert \(U\) de \(X\) tels que \(Z \cap U\) soit non vide et ne contienne aucun point fermé dans \(X\). Comme \(X\) possède une base d’ouverts quasi-compacts, nous pouvons remplacer \(U\) par un voisinage ouvert quasi-compact d’un point de \(Z\cap U\) et ainsi supposer que \(U\) est un ouvert quasi-compact. D’après le lemme 005E, il existe un point \(x \in Z \cap U\) fermé dans \(Z \cap U\) ; ainsi, \(\{x\}\) est localement fermé mais n’est pas fermé dans \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Alors \(X\) est de Jacobson si et seulement si chaque \(U_i\) est de Jacobson. De plus, dans ce cas, \(X_0 = \bigcup U_{i, 0}\).

Démonstration

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X_0\) l’ensemble des points fermés de \(X\). Soit \(U_{i, 0}\) l’ensemble des points fermés de \(U_i\). Alors \(X_0 \cap U_i \subset U_{i, 0}\), mais l’égalité n’est pas toujours vérifiée.

Supposons d’abord que chaque \(U_i\) soit de Jacobson. Nous affirmons qu’alors \(X_0 \cap U_i = U_{i, 0}\). En effet, supposons que \(x \in U_{i, 0}\), c’est-à-dire que \(x\) soit fermé dans \(U_i\). Soit \(\overline{\{x\}}\) l’adhérence dans \(X\). Considérons \(\overline{\{x\}} \cap U_j\). Si \(x \not \in U_j\), alors \(\overline{\{x\}} \cap U_j = \emptyset\). Si \(x \in U_j\), alors \(U_i \cap U_j \subset U_j\) est un ouvert de \(U_j\) contenant \(x\). Soient \(T' = U_j \setminus U_i \cap U_j\) et \(T = \{x\} \amalg T'\). Comme \(x\) est fermé dans \(U_i \cap U_j\) (puisque \(x\) est fermé dans \(U_i\)), on voit que \(T\) et \(T'\) sont des parties fermées de \(U_j\) et que \(T\) contient \(x\). Comme \(U_j\) est de Jacobson, les points fermés de \(U_j\) sont denses dans \(T\). Puisque \(T = \{x\} \amalg T'\), cela n’est possible que si \(x\) est fermé dans \(U_j\). Par conséquent, \(\overline{\{x\}} \cap U_j = \{x\}\). Nous concluons que \(\overline{\{x\}} = \{ x \}\), comme voulu.

Soit \(Z \subset X\) une partie fermée (toujours en supposant que chaque \(U_i\) soit de Jacobson). Puisque nous savons maintenant que \(X_0 \cap Z \cap U_i = U_{i, 0} \cap Z\) est dense dans \(Z \cap U_i\), il s’ensuit immédiatement que \(X_0 \cap Z\) est dense dans \(Z\).

Réciproquement, supposons que \(X\) soit de Jacobson. Soit \(Z \subset U_i\) une partie fermée. Alors \(X_0 \cap \overline{Z}\) est dense dans \(\overline{Z}\). Par conséquent, \(X_0 \cap Z\) est également dense dans \(Z\), car \(\overline{Z} \setminus Z\) est fermé. Comme \(X_0 \cap U_i \subset U_{i, 0}\), on voit que \(U_{i, 0} \cap Z\) est dense dans \(Z\). Ainsi, \(U_i\) est de Jacobson, comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un espace de Jacobson. Les types suivants de parties \(T \subset X\) sont de Jacobson :

Les sous-espaces ouverts.

Les sous-espaces fermés.

Les sous-espaces localement fermés.

Les réunions de sous-espaces localement fermés.

Les parties constructibles.

Toute partie \(T \subset X\) qui, localement sur \(X\), est une réunion de parties localement fermées.

Dans chacun de ces cas, les points fermés de \(T\) sont fermés dans \(X\).

Démonstration

Soit \(X_0\) l’ensemble des points fermés de \(X\). Pour toute partie \(T \subset X\), notons \((*)\) la propriété suivante :

Toute partie localement fermée non vide de \(T\) possède un point fermé dans \(X\).

Notons que l’on a toujours \(X_0 \cap T \subset T_0\). La propriété \((*)\) implique donc que \(T\) est de Jacobson. En outre, elle implique clairement que tout point fermé de \(T\) est fermé dans \(X\).

Supposons que \(T=\bigcup_i T_i\), où \(T_i\) est localement fermé dans \(X\). Prenons une partie \(A\subset T\) localement fermée et non vide dans \(T\) ; on peut alors choisir \(T_i\) de telle sorte que \(A\cap T_i\) soit non vide ; cette intersection est localement fermée dans \(T_i\), donc dans \(X\). Comme \(X\) est de Jacobson, \(A\) possède un point fermé dans \(X\).

Lemme

Un espace de Jacobson fini est discret. Un espace de Jacobson qui ne possède qu’un nombre fini de points fermés est discret.

Démonstration

Si \(X\) est fini, alors l’ensemble \(X_0 \subset X\) de ses points fermés est fini. Supposons que \(X_0\) soit fini et que \(X\) soit de Jacobson. Alors \(\overline{X_0} = X\) par la propriété de Jacobson. Or \(X_0 =\{x_1, \ldots, x_n\} = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} \{x_i\}\) est une réunion finie de fermés, donc est fermé ; ainsi, \(X = \overline{X_0} = X_0\). Tout point est fermé et, par finitude, tout point est ouvert.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un espace topologique de Jacobson. Soit \(X_0\) l’ensemble des points fermés de \(X\). Il existe une correspondance bijective, qui préserve les inclusions, \[\{\text{réunions finies de parties loc. fermées de } X\} \leftrightarrow \{\text{réunions finies de parties loc. fermées de } X_0\}\] définie par \(E \mapsto E \cap X_0\). Cette correspondance préserve les parties localement fermées, les parties ouvertes et les parties fermées.

Démonstration

Nous nous contentons de démontrer que la correspondance \(E \mapsto E \cap X_0\) est injective. En effet, si \(E\neq E'\), alors, sans perte de généralité, \(E\setminus E'\) est non vide, et c’est une réunion finie de parties localement fermées (détails omis). Comme \(X\) est de Jacobson, on voit que \((E \setminus E') \cap X_0 = E \cap X_0 \setminus E' \cap X_0\) n’est pas vide.

Lemme

Supposons que \(X\) soit un espace topologique de Jacobson. Soit \(X_0\) l’ensemble des points fermés de \(X\). Il existe une correspondance bijective, qui préserve les inclusions, \[\{\text{parties constructibles de } X\} \leftrightarrow \{\text{parties constructibles de } X_0\}\] définie par \(E \mapsto E \cap X_0\). Cette correspondance préserve la sous-collection des ouverts rétrocompacts, ainsi que leurs complémentaires.

Démonstration

D’après le lemme 005Z ci-dessus, il suffit de voir que, si \(U\) est ouvert dans \(X\), alors \(U\cap X_0\) est rétrocompact dans \(X_0\) si et seulement si \(U\) est rétrocompact dans \(X\). Pour cela, il suffit de démontrer que, si \(U\) est ouvert dans \(X\), alors \(U\cap X_0\) est quasi-compact si et seulement si \(U\) est quasi-compact. D’après le lemme 005X, nous pouvons remplacer \(X\) par \(U\) et supposer que \(U = X\). Enfin, observons qu’une famille d’ouverts \(\mathcal{U}\) de \(X\) recouvre \(X\) si et seulement si elle recouvre \(X_0\) : cela découle de la propriété de Jacobson de \(X\), appliquée au fermé \(X\setminus \bigcup \mathcal{U}\) : si ce fermé était non vide, il contiendrait un point de \(X_0\).

Spécialisation

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

Si \(x, x' \in X\), on dit que \(x\) est une spécialisation de \(x'\), ou que \(x'\) est une générisation de \(x\), si \(x \in \overline{\{x'\}}\). Notation : \(x' \leadsto x\).

Une partie \(T \subset X\) est stable par spécialisation si, pour tout \(x' \in T\) et toute spécialisation \(x' \leadsto x\), on a \(x \in T\).

Une partie \(T \subset X\) est stable par générisation si, pour tout \(x \in T\) et toute générisation \(x' \leadsto x\), on a \(x' \in T\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique.

Toute partie fermée de \(X\) est stable par spécialisation.

Toute partie ouverte de \(X\) est stable par générisation.

Une partie \(T \subset X\) est stable par spécialisation si et seulement si son complémentaire \(T^c\) est stable par générisation.

Démonstration

Soit \(F\) une partie fermée de \(X\). Si \(y\in F\), alors \(\{y\} \subset F\), donc \(\overline{\{y\}} \subset \overline{F} = F\), puisque \(F\) est fermé. Ainsi, pour toute spécialisation \(x\) de \(y\), on a \(x\in F\).

Soient \(x, y\in X\) tels que \(x\in \overline{\{y\}}\), et soit \(T\) une partie de \(X\). Dire que \(T\) est stable par spécialisation signifie que \(y\in T\) implique \(x\in T\) ; réciproquement, dire que \(T\) est stable par générisation signifie que \(x\in T\) implique \(y\in T\). L’assertion (3) résulte donc de la contraposition.

La deuxième assertion découle de (1) et (3) en passant au complémentaire.

Lemme

Soit \(T \subset X\) une partie d’un espace topologique \(X\). Les propriétés suivantes sont équivalentes :

\(T\) est stable par spécialisation, et

\(T\) est une réunion (filtrante) de parties fermées de \(X\).

Démonstration

Supposons \(T\) stable par spécialisation. Alors, pour tout \(y\in T\), on a \(\overline{\{y\}} \subset T\). Ainsi, \(T = \bigcup_{y\in T} \overline{\{y\}}\), qui est une réunion de parties fermées de \(X\). Réciproquement, supposons que \(T = \bigcup_{i\in I}F_i\), où les \(F_i\) sont des parties fermées de \(X\). Si \(y\in T\), il existe \(i\in I\) tel que \(y\in F_i\). Comme \(F_i\) est fermé, on a \(\overline{\{y\}} \subset F_i \subset T\), ce qui prouve que \(T\) est stable par spécialisation.

Définition

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques.

On dit que les spécialisations se relèvent le long de \(f\), ou que \(f\) est spécialisante, si, étant donnés \(y' \leadsto y\) dans \(Y\) et \(x'\in X\) tel que \(f(x') = y'\), il existe une spécialisation \(x' \leadsto x\) de \(x'\) dans \(X\) telle que \(f(x) = y\).

On dit que les générisations se relèvent le long de \(f\), ou que \(f\) est générisante, si, étant donnés \(y' \leadsto y\) dans \(Y\) et \(x\in X\) tel que \(f(x) = y\), il existe une générisation \(x' \leadsto x\) de \(x\) dans \(X\) telle que \(f(x') = y'\).

Lemme

Supposons que \(f : X \to Y\) et \(g : Y \to Z\) soient des applications continues d’espaces topologiques. Si les spécialisations se relèvent le long de \(f\) et de \(g\), elles se relèvent le long de \(g \circ f\). Il en va de même pour le relèvement des générisations.

Démonstration

Soit \(z'\leadsto z\) une spécialisation dans \(Z\) et soit \(x' \in X\) tel que \(g\circ f (x') = z'\). Puisque les spécialisations se relèvent le long de \(g\), il existe une spécialisation \(f(x') \leadsto y\) de \(f(x')\) dans \(Y\) telle que \(g(y) = z\). De même, puisqu’elles se relèvent le long de \(f\), il existe une spécialisation \(x' \leadsto x\) de \(x'\) dans \(X\) telle que \(f(x) = y\). Cela fournit une spécialisation \(x' \leadsto x\) de \(x'\) dans \(X\) telle que \(g\circ f(x) = z\). Autrement dit, les spécialisations se relèvent le long de \(g\circ f\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques.

Si les spécialisations se relèvent le long de \(f\) et si \(T \subset X\) est stable par spécialisation, alors \(f(T) \subset Y\) est stable par spécialisation.

Si les générisations se relèvent le long de \(f\) et si \(T \subset X\) est stable par générisation, alors \(f(T) \subset Y\) est stable par générisation.

Démonstration

Soit \(y' \leadsto y\) une spécialisation dans \(Y\), où \(y'\in f(T)\), et soit \(x'\in T\) tel que \(f(x') = y'\). Puisque les spécialisations se relèvent le long de \(f\), il existe une spécialisation \(x'\leadsto x\) de \(x'\) dans \(X\) telle que \(f(x) = y\). Or \(T\) est stable par spécialisation, donc \(x\in T\), et alors \(y \in f(T)\). Par conséquent, \(f(T)\) est stable par spécialisation.

La démonstration de (2) est identique, en utilisant le relèvement des générisations le long de \(f\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques.

Si \(f\) est fermée, alors les spécialisations se relèvent le long de \(f\).

Si \(f\) est ouverte, si \(X\) est un espace topologique noethérien, si tout fermé irréductible de \(X\) possède un point générique et si \(Y\) est un espace de Kolmogorov, alors les générisations se relèvent le long de \(f\).

Démonstration

Supposons \(f\) fermée. Soient \(y' \leadsto y\) dans \(Y\) et \(x'\in X\) tel que \(f(x') = y'\). Considérons le fermé \(T = \overline{\{x'\}}\) de \(X\). Alors \(f(T) \subset Y\) est fermé et \(y' \in f(T)\). Par conséquent, \(y \in f(T)\). Ainsi, \(y = f(x)\) avec \(x \in T\), c’est-à-dire \(x' \leadsto x\).

Supposons \(f\) ouverte, \(X\) noethérien, tout fermé irréductible de \(X\) pourvu d’un point générique, et \(Y\) un espace de Kolmogorov. Soient \(y' \leadsto y\) dans \(Y\) et \(x \in X\) tel que \(f(x) = y\). Considérons \(T = f^{-1}(\{y'\}) \subset X\). Prenons un voisinage ouvert \(x \in U \subset X\) de \(x\). Alors \(f(U) \subset Y\) est ouvert et \(y \in f(U)\). Par conséquent, \(y' \in f(U)\). Autrement dit, \(T \cap U \not = \emptyset\). Ceci prouve que \(x \in \overline{T}\). Puisque \(X\) est noethérien, \(T\) est noethérien (lemme 0052). Il admet donc une décomposition \(T = T_1 \cup \ldots \cup T_n\) en composantes irréductibles. On a alors, de même, \(\overline{T} = \overline{T_1} \cup \ldots \cup \overline{T_n}\). D’après ce qui précède, \(x \in \overline{T_i}\) pour un certain \(i\). Par hypothèse, il existe un point générique \(x' \in \overline{T_i}\), et l’on voit que \(x' \leadsto x\). Comme \(x' \in \overline{T}\), on a \(f(x') \in \overline{\{y'\}}\). Remarquons que \(f(\overline{T_i}) = f(\overline{\{x'\}}) \subset \overline{\{f(x')\}}\). Si \(f(x') \not = y'\), alors, puisque \(Y\) est un espace de Kolmogorov, \(f(x')\) n’est pas un point générique du fermé irréductible \(\overline{\{y'\}}\), et l’inclusion \(\overline{\{f(x')\}} \subset \overline{\{y'\}}\) est stricte, c’est-à-dire que \(y' \not \in f(\overline{T_i})\). Ceci contredit l’égalité \(f(T_i) = \{y'\}\). Ainsi, \(f(x') = y'\), ce qui conclut.

Lemme

Supposons que \(s, t : R \to U\) et \(\pi : U \to X\) soient des applications continues d’espaces topologiques telles que

\(\pi\) est ouverte,

\(U\) est sobre,

\(s, t\) ont des fibres finies,

les générisations se relèvent le long de \(s, t\),

\((t, s)(R) \subset U \times U\) est une relation d’équivalence sur \(U\) et \(X\) est le quotient de \(U\) par cette relation d’équivalence (comme ensemble).

Alors \(X\) est un espace de Kolmogorov.

Démonstration

Les propriétés (3) et (5) impliquent qu’un point \(x\) correspond à une classe d’équivalence finie \(\{u_1, \ldots, u_n\} \subset U\). Supposons que \(x' \in X\) soit un second point correspondant à la classe d’équivalence \(\{u'_1, \ldots, u'_m\} \subset U\). Supposons que \(u_i \leadsto u'_j\) pour certains \(i, j\). Alors, pour tout \(r' \in R\) tel que \(s(r') = u'_j\), la propriété (4) fournit \(r \leadsto r'\) tel que \(s(r) = u_i\). Par conséquent, \(t(r) \leadsto t(r')\). Puisque \(\{u'_1, \ldots, u'_m\} = t(s^{-1}(\{u'_j\}))\), nous concluons que tout élément de \(\{u'_1, \ldots, u'_m\}\) est une spécialisation d’un élément de \(\{u_1, \ldots, u_n\}\). Ainsi, \(\overline{\{u_1\}} \cup \ldots \cup \overline{\{u_n\}}\) est une réunion de classes d’équivalence, donc est de la forme \(\pi^{-1}(Z)\) pour une partie \(Z \subset X\). La propriété (1) montre que \(Z\) est fermé dans \(X\) et, en fait, que \(Z = \overline{\{x\}}\), car \(\pi(\overline{\{u_i\}}) \subset \overline{\{x\}}\) pour tout \(i\). Autrement dit, \(x \leadsto x'\) si et seulement si un relèvement de \(x\) dans \(U\) se spécialise en un relèvement de \(x'\) dans \(U\), si et seulement si tout relèvement de \(x'\) dans \(U\) est une spécialisation d’un relèvement de \(x\) dans \(U\).

Supposons que l’on ait à la fois \(x \leadsto x'\) et \(x' \leadsto x\). Disons que \(x\) correspond à \(\{u_1, \ldots, u_n\}\) et \(x'\) à \(\{u'_1, \ldots, u'_m\}\), comme ci-dessus. D’après les résultats du paragraphe précédent, nous pouvons alors trouver une suite \[\ldots \leadsto u'_{j_3} \leadsto u_{i_3} \leadsto u'_{j_2} \leadsto u_{i_2} \leadsto u'_{j_1} \leadsto u_{i_1}\] qui doit comporter une répétition ; la propriété (2) donne donc \(\{u_1, \ldots, u_n\} = \{u'_1, \ldots, u'_m\}\), c’est-à-dire \(x = x'\). Ainsi, \(X\) est un espace de Kolmogorov.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) un morphisme d’espaces topologiques. Supposons que \(Y\) soit un espace topologique sobre et que \(f\) soit surjectif. Si les spécialisations ou les générisations se relèvent le long de \(f\), alors \(\dim(X) \geq \dim(Y)\).

Démonstration

Supposons que les spécialisations se relèvent le long de \(f\). Soit \(Z_0 \subset Z_1 \subset \ldots Z_e \subset Y\) une chaîne de fermés irréductibles de \(X\). Soit \(\xi_e \in X\) un point s’envoyant sur le point générique de \(Z_e\). Par hypothèse, il existe une spécialisation \(\xi_e \leadsto \xi_{e - 1}\) dans \(X\) telle que \(\xi_{e - 1}\) s’envoie sur le point générique de \(Z_{e - 1}\). En poursuivant ainsi, on obtient une suite de spécialisations \[\xi_e \leadsto \xi_{e - 1} \leadsto \ldots \leadsto \xi_0\] où \(\xi_i\) s’envoie sur le point générique de \(Z_i\). Cela implique clairement que la suite de fermés irréductibles \[\overline{\{\xi_0\}} \subset \overline{\{\xi_1\}} \subset \ldots \overline{\{\xi_e\}}\] est une chaîne de longueur \(e\) dans \(X\). Le cas où les générisations se relèvent le long de \(f\) est analogue.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien et sobre. Soit \(E \subset X\) une partie de \(X\).

Si \(E\) est constructible et stable par spécialisation, alors \(E\) est fermé.

Si \(E\) est constructible et stable par générisation, alors \(E\) est ouvert.

Démonstration

Soit \(E\) constructible et stable par générisation. Soit \(Y \subset X\) un fermé irréductible de point générique \(\xi \in Y\). Si \(E \cap Y\) est non vide, alors il contient \(\xi\) (par stabilité par générisation), et est donc dense dans \(Y\) ; il contient par conséquent un ouvert non vide de \(Y\) ; voir le lemme 053Z. Ainsi, \(E\) est ouvert d’après le lemme 0541. Ceci démontre (2). Pour démontrer (1), appliquons (2) au complémentaire de \(E\) dans \(X\).

Fonctions de dimension

Il n’est guère pertinent de considérer des fonctions de dimension à moins que l’espace considéré ne soit sobre (Définition 004X). On pourrait donc améliorer la définition ci-dessous en considérant l’espace topologique sobre associé à \(X\). Puisque l’espace topologique sous-jacent à un schéma est sobre, nous ne nous attarderons pas sur cette amélioration.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

Soient \(x, y \in X\), \(x \not = y\). Supposons que \(x \leadsto y\), c’est-à-dire que \(y\) soit une spécialisation de \(x\). On dit que \(y\) est une spécialisation immédiate de \(x\) s’il n’existe aucun \(z \in X \setminus \{x, y\}\) tel que \(x \leadsto z\) et \(z \leadsto y\).

Une application \(\delta : X \to \mathbf{Z}\) est appelée une fonction de dimension⁵ si

dès que \(x \leadsto y\) et \(x \not = y\), on a \(\delta(x) > \delta(y)\), et

pour toute spécialisation immédiate \(x \leadsto y\) dans \(X\), on a \(\delta(x) = \delta(y) + 1\).

Il est clair que si \(\delta\) est une fonction de dimension, alors \(\delta + t\) l’est aussi pour tout \(t \in \mathbf{Z}\). Voici un petit lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Si \(X\) est sobre et possède une fonction de dimension, alors \(X\) est caténaire. De plus, pour toute relation de spécialisation \(x \leadsto y\), on a \[\delta(x) - \delta(y) = \text{codim}\left(\overline{\{y\}}, \ \overline{\{x\}}\right).\]

Démonstration

Supposons que \(Y \subset Y' \subset X\) soient des fermés irréductibles. Soient \(\xi \in Y\), \(\xi' \in Y'\) leurs points génériques. Les définitions donnent immédiatement \(\text{codim}(Y, Y') \leq \delta(\xi) - \delta(\xi') < \infty\). En fait, la première inégalité est une égalité. En effet, supposons que \[Y = Y_0 \subset Y_1 \subset \ldots \subset Y_e = Y'\] soit une chaîne maximale quelconque de fermés irréductibles. Notons \(\xi_i \in Y_i\) le point générique. Alors \(\xi_i \leadsto \xi_{i + 1}\) est une spécialisation immédiate. Ainsi, \(e = \delta(\xi) - \delta(\xi')\), comme voulu. Cela démontre également la dernière assertion du lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soient \(\delta\), \(\delta'\) deux fonctions de dimension sur \(X\). Si \(X\) est localement noethérien et sobre, alors \(\delta - \delta'\) est localement constante sur \(X\).

Démonstration

Soit \(x \in X\) un point. Nous allons montrer que \(\delta - \delta'\) est constante dans un voisinage de \(x\). Nous pouvons remplacer \(X\) par un voisinage ouvert noethérien de \(x\) dans \(X\). Nous pouvons donc supposer que \(X\) est noethérien et sobre. Soient \(Z_1, \ldots, Z_r\) les composantes irréductibles de \(X\) qui contiennent \(x\). (Il n’y en a qu’un nombre fini puisque \(X\) est noethérien, voir le Lemme 0052.) Soit \(\xi_i \in Z_i\) le point générique. Notons que \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_r\) est un voisinage de \(x\) dans \(X\) (pas nécessairement fermé). Nous affirmons que \(\delta - \delta'\) est constante sur \(Z_1 \cup \ldots \cup Z_r\). En effet, si \(y \in Z_i\), alors \[\delta(x) - \delta(y) = \delta(x) - \delta(\xi_i) + \delta(\xi_i) - \delta(y) = - \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_i)\] d’après le Lemme 02IA. Il en va de même pour \(\delta'\), d’où le résultat.

Lemme

Soit \(X\) un espace localement noethérien, sobre et caténaire. Alors tout point possède un voisinage ouvert \(U \subset X\) qui admet une fonction de dimension.

Démonstration

Nous utiliserons à plusieurs reprises le fait qu’un sous-espace ouvert d’un espace caténaire est caténaire, voir le Lemme 02I2, et qu’un espace topologique noethérien n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles, voir le Lemme 0052. Dans la démonstration du Lemme 02IB, nous avons vu comment construire une telle fonction. Tout d’abord, nous remplaçons \(X\) par un voisinage ouvert noethérien de \(x\). Ensuite, soient \(Z_1, \ldots, Z_r \subset X\) les composantes irréductibles de \(X\). Soit \[Z_i \cap Z_j = \bigcup Z_{ijk}\] la décomposition en composantes irréductibles. Nous remplaçons \(X\) par \[X \setminus \left( \bigcup\nolimits_{x \not \in Z_i} Z_i \cup \bigcup\nolimits_{x \not \in Z_{ijk}} Z_{ijk} \right)\] de sorte que nous puissions supposer que \(x \in Z_i\) pour tout \(i\) et \(x \in Z_{ijk}\) pour tous \(i, j, k\). Pour \(y \in X\), choisissons un \(i\) quelconque tel que \(y \in Z_i\) et posons \[\delta(y) = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_i).\] Nous affirmons qu’il s’agit d’une fonction de dimension. Montrons d’abord qu’elle est bien définie, c’est-à-dire qu’elle ne dépend pas du choix de \(i\). Supposons en effet que \(y \in Z_{ijk}\) pour certains \(i, j, k\). Alors nous avons (en utilisant le Lemme 02I6) \[\begin{align*} \delta(y) & = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_i) \\ & = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_{ijk}) - \text{codim}(Z_{ijk}, Z_i) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_{ijk}) + \text{codim}(Z_{ijk}, Z_i) \\ & = - \text{codim}(\overline{\{y\}}, Z_{ijk}) + \text{codim}(\overline{\{x\}}, Z_{ijk}) \end{align*}\] ce qui est symétrique en \(i\) et \(j\). Nous omettons la démonstration du fait qu’il s’agit d’une fonction de dimension.

Remarque

En combinant les Lemmes 02IB et 02IC, nous voyons que, sur un espace topologique caténaire, localement noethérien et sobre, l’obstruction à l’existence d’une fonction de dimension est un élément de \(H^1(X, \mathbf{Z})\).

Ensembles nulle part denses

Définition

Soit \(X\) un espace topologique.

Étant donnée une partie \(T \subset X\), l’intérieur de \(T\) est le plus grand ouvert de \(X\) contenu dans \(T\).

Une partie \(T \subset X\) est dite nulle part dense si l’adhérence de \(T\) a un intérieur vide.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. La réunion d’un nombre fini d’ensembles nulle part denses est un ensemble nulle part dense.

Démonstration

Il suffit de démontrer le lemme pour deux ensembles nulle part denses, le cas général en résultant par récurrence. Soient \(A,B \subset X\) deux parties nulle part denses. On a \(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cup \overline{B}\). Ainsi, si \(U \subset \overline{A \cup B}\) est un ouvert de \(X\), alors \(U \setminus U \cap \overline{B}\) est un ouvert de \(U\) et de \(X\), contenu dans \(\overline{A}\), et est donc vide. De même, \(U \setminus U \cap \overline{A}\) est vide. Ainsi \(U = \emptyset\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(U \subset X\) un ouvert. Soit \(T \subset U\) une partie. Si \(T\) est nulle part dense dans \(U\), alors \(T\) est nulle part dense dans \(X\).

Démonstration

Supposons que \(T\) soit nulle part dense dans \(U\). Supposons que \(x \in X\) soit un point intérieur à l’adhérence \(\overline{T}\) de \(T\) dans \(X\). Il existe alors \(x \in V \subset \overline{T}\), où \(V \subset X\) est ouvert dans \(X\). Notons que \(\overline{T} \cap U\) est l’adhérence de \(T\) dans \(U\). Puisque l’intérieur de \(\overline{T} \cap U\) est vide, on a \(V \cap U = \emptyset\). Par conséquent, \(x\) ne peut appartenir à l’adhérence de \(U\), et a fortiori ne peut appartenir à l’adhérence de \(T\), ce qui est une contradiction.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(X = \bigcup U_i\) un recouvrement ouvert. Soit \(T \subset X\) une partie. Si \(T \cap U_i\) est nulle part dense dans \(U_i\) pour tout \(i\), alors \(T\) est nulle part dense dans \(X\).

Démonstration

Notons \(\overline{T}_i\) l’adhérence de \(T \cap U_i\) dans \(U_i\). On a \(\overline{T} \cap U_i = \overline{T}_i\). La prise de l’intérieur commute avec l’intersection par un ouvert, donc \[(\text{intérieur de }\overline{T}) \cap U_i = \text{intérieur de }(\overline{T} \cap U_i) = \text{intérieur dans }U_i\text{ de }\overline{T}_i\] Par hypothèse, le dernier de ces ensembles est vide. Ainsi, \(T\) est nulle part dense dans \(X\).

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(T \subset X\) une partie. Si \(f\) est un homéomorphisme de \(X\) sur une partie fermée de \(Y\) et si \(T\) est nulle part dense dans \(X\), alors \(f(T)\) est également nulle part dense dans \(Y\).

Démonstration

Puisque \(f(X)\) est fermé dans \(Y\) et que \(f\) est un homéomorphisme de \(X\) sur \(f(X)\), l’adhérence de \(f(T)\) dans \(Y\) est égale à \(f(\overline{T})\). Ainsi, si \(V \subset Y\) est ouvert et contenu dans l’adhérence de \(f(T)\), alors \(U = f^{-1}(V)\) est ouvert et contenu dans \(\overline{T}\). Par conséquent, \(U = \emptyset\), ce qui entraîne à son tour que \(V = \emptyset\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue d’espaces topologiques. Soit \(T \subset Y\) une partie. Si \(f\) est ouverte et si \(T\) est une partie fermée nulle part dense de \(Y\), alors \(f^{-1}(T)\) est également une partie fermée nulle part dense de \(X\). Si \(f\) est surjective et ouverte, alors \(T\) est fermée et nulle part dense si et seulement si \(f^{-1}(T)\) est fermée et nulle part dense.

Démonstration

Démonstration omise. (Indication : dans le premier cas, l’intérieur de \(f^{-1}(T)\) s’envoie dans l’intérieur de \(T\), tandis que, dans le second cas, l’intérieur de \(f^{-1}(T)\) s’envoie sur l’intérieur de \(T\).)

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(E \subset X\) une réunion finie de parties localement fermées (par exemple, \(E\) est constructible). Alors \(E\) contient un ouvert dense de son adhérence.

Démonstration

Après avoir remplacé \(X\) par l’adhérence de \(E\), nous pouvons supposer que \(E\) est dense dans \(X\) et devons montrer que \(E\) contient un ouvert dense. Le complémentaire \(T\) de \(E\) est alors une réunion finie de parties localement fermées, disons \(T = T_1 \cup \ldots \cup T_n\), et \(T\) est nulle part dense dans \(X\). Puisque \(T_i\) est un ouvert dense de son adhérence \(Z_i\), nous voyons que \(Z_i\) est également nulle part dense dans \(X\). L’adhérence \(Z = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) de \(T\) est donc nulle part dense dans \(X\) d’après le Lemme 03HO. Nous en concluons que \(E\) contient l’ouvert dense \(X \setminus Z\).

Espaces profinis

Voici la définition.

Définition

Un espace topologique est dit profini s’il est homéomorphe à la limite d’un diagramme d’espaces discrets finis.

Ce n’est pas la caractérisation la plus commode d’un espace profini.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est un espace profini, et

\(X\) est séparé, quasi-compact et totalement discontinu.

Si ces conditions sont satisfaites, alors \(X\) est une limite cofiltrante d’espaces discrets finis.

Démonstration

Supposons (1). Choisissons un diagramme \(i \mapsto X_i\) d’espaces discrets finis tel que \(X = \lim X_i\). Comme chaque \(X_i\) est séparé et quasi-compact, le lemme 08ZV montre que \(X\) est quasi-compact. Si \(x, x' \in X\) sont des points distincts, alors \(x\) et \(x'\) ont des images distinctes dans un certain \(X_i\). Par conséquent, \(x\) et \(x'\) possèdent des voisinages ouverts disjoints, c’est-à-dire que \(X\) est séparé. Exactement de la même manière, nous voyons que \(X\) est totalement discontinu.

Supposons (2). Soit \(\mathcal{I}\) l’ensemble des décompositions en réunion disjointe finie \(X = \coprod_{i \in I} U_i\), où \(U_i\) est un ouvert non vide (et fermé) pour tout \(i \in I\). Pour chaque \(I \in \mathcal{I}\), il existe une application continue \(X \to I\) qui envoie tout point de \(U_i\) sur \(i\). Nous définissons un ordre partiel : \(I \leq I'\) pour \(I, I' \in \mathcal{I}\) si et seulement si le recouvrement correspondant à \(I'\) raffine le recouvrement correspondant à \(I\). Dans ce cas, nous obtenons une application canonique \(I' \to I\). En d’autres termes, nous obtenons un système projectif d’espaces discrets finis indexé par \(\mathcal{I}\). Les applications \(X \to I\) sont compatibles et fournissent une application continue \[X \longrightarrow \lim_{I \in \mathcal{I}} I\] Nous affirmons que cette application est un homéomorphisme, ce qui achève la démonstration. (L’assertion finale en résulte également, car l’ensemble partiellement ordonné \(\mathcal{I}\) est dirigé : étant données deux décompositions de \(X\) en réunions disjointes, nous pouvons en trouver une troisième qui raffine les deux.) En effet, l’application est injective puisque \(X\) est totalement discontinu et que, par conséquent, \(\{x\}\) est l’intersection de toutes les parties ouvertes et fermées de \(X\) qui contiennent \(x\) (lemme 08ZN) ; l’application est surjective d’après le lemme 005D. D’après le lemme 08YE, l’application est un homéomorphisme.

Lemme

Toute limite d’espaces profinis est un espace profini.

Démonstration

Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces profinis indexé par la catégorie \(\mathcal{I}\). Utilisons la caractérisation des espaces profinis donnée par le lemme 08ZY. En particulier, chaque \(X_i\) est séparé, quasi-compact et totalement discontinu. D’après le lemme 08ZT, la limite \(X = \lim X_i\) existe. D’après le lemme 08ZV, la limite \(X\) est quasi-compacte. Soient \(x, x' \in X\) des points distincts. Il existe alors un \(i\) tel que \(x\) et \(x'\) aient des images distinctes \(x_i\) et \(x'_i\) dans \(X_i\) par la projection \(X \to X_i\). Les points \(x_i\) et \(x'_i\) possèdent alors des voisinages ouverts disjoints dans \(X_i\). En prenant les images réciproques de ces ouverts, nous concluons que \(X\) est séparé. De même, \(x_i\) et \(x'_i\) appartiennent à des composantes connexes distinctes de \(X_i\) ; nécessairement, \(x\) et \(x'\) appartiennent donc à des composantes connexes distinctes de \(X\). Ainsi, \(X\) est totalement discontinu. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un espace profini. Tout recouvrement ouvert de \(X\) admet un raffinement par un recouvrement fini \(X = \coprod U_i\) dont les \(U_i\) sont ouverts et fermés.

Démonstration

Écrivons \(X = \lim X_i\) comme limite d’un système projectif d’espaces discrets finis indexé par un ensemble dirigé \(I\) (lemme 08ZY). Notons \(f_i : X \to X_i\) la projection. Pour tout point \(x = (x_i) \in X\), la famille des \(f_i^{-1}(\{x_i\})\) forme un système fondamental de voisinages ouverts. Ainsi, puisque \(X\) est quasi-compact, nous pouvons supposer donné un recouvrement ouvert \[X = f_{i_1}^{-1}(\{x_{i_1}\}) \cup \ldots \cup f_{i_n}^{-1}(\{x_{i_n}\})\] Choisissons \(i \in I\) tel que \(i \geq i_j\) pour \(j = 1, \ldots, n\) (c’est possible puisque \(I\) est un ensemble dirigé). Nous voyons alors que le recouvrement \[X = \coprod\nolimits_{t \in X_i} f_i^{-1}(\{t\})\] raffine le recouvrement donné et possède la forme voulue.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Si \(X\) est quasi-compact et si toute composante connexe de \(X\) est l’intersection des parties ouvertes et fermées qui la contiennent, alors \(\pi_0(X)\) est un espace profini.

Démonstration

Nous allons appliquer le lemme 08ZY. Puisque \(\pi_0(X)\) est l’image d’un espace quasi-compact, il est quasi-compact (lemme 04Z9). Il est totalement discontinu par construction (lemme 08ZL). Soient \(C, D \subset X\) deux composantes connexes distinctes de \(X\). Écrivons \(C = \bigcap U_\alpha\) comme intersection des parties ouvertes et fermées de \(X\) qui contiennent \(C\). Toute intersection finie de \(U_\alpha\) est encore une telle partie. Puisque \(\bigcap U_\alpha \cap D = \emptyset\), nous en concluons que \(U_\alpha \cap D = \emptyset\) pour un certain \(\alpha\) (utiliser les lemmes 004T, 005C et 005D). Comme \(U_\alpha\) est ouvert et fermé, il est la réunion des composantes connexes qu’il contient ; autrement dit, \(U_\alpha\) est l’image réciproque d’une certaine partie ouverte et fermée \(V_\alpha \subset \pi_0(X)\). Cela montre que les points correspondant à \(C\) et \(D\) sont contenus dans des ouverts disjoints, c’est-à-dire que \(\pi_0(X)\) est séparé.

Espaces spectraux

Le contenu de cette section est tiré de [Hochster] et de [Hochster-thesis]. Dans sa thèse, Hochster démontre (entre autres) que les espaces spectraux sont exactement les espaces topologiques qui sont des spectres d’anneaux.

Définition

Un espace topologique \(X\) est dit spectral s’il est sobre et quasi-compact, si l’intersection de deux ouverts quasi-compacts est quasi-compacte et si l’ensemble des ouverts quasi-compacts forme une base de la topologie. Une application continue \(f : X \to Y\) entre espaces spectraux est dite spectrale si l’image réciproque de tout ouvert quasi-compact est quasi-compacte.

Autrement dit, une application continue entre espaces spectraux est spectrale si et seulement si elle est quasi-compacte (Définition 005A).

Soit \(X\) un espace spectral. La topologie constructible sur \(X\) est la topologie dont une sous-base d’ouverts est formée des ensembles \(U\) et \(U^c\), où \(U\) est un ouvert quasi-compact de \(X\). Puisque \(X\) est spectral, un ouvert \(U \subset X\) est rétrocompact si et seulement si \(U\) est quasi-compact. La topologie constructible peut donc aussi être caractérisée comme la topologie la moins fine pour laquelle toute partie constructible de \(X\) est à la fois ouverte et fermée (voir la section 04ZC pour les définitions et les propriétés des parties constructibles). Il s’ensuit qu’une partie de \(X\) est ouverte, resp. fermée, pour la topologie constructible si et seulement si elle est une réunion, resp. une intersection, de parties constructibles. Comme l’ensemble des ouverts quasi-compacts est une base de la topologie de \(X\), la topologie constructible est plus fine que la topologie donnée sur \(X\).

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral. La topologie constructible est séparée, totalement discontinue et quasi-compacte.

Démonstration

Soient \(x, y \in X\) avec \(x \not = y\). Comme \(X\) est sobre, il existe un ouvert \(U\) qui contient exactement l’un des deux points \(x, y\). Supposons que \(x \in U\). On peut remplacer \(U\) par un voisinage ouvert quasi-compact de \(x\) contenu dans \(U\). Alors \(U\) et \(U^c\) sont ouverts et fermés pour la topologie constructible. Ainsi, \(X\) est séparé pour la topologie constructible, car \(x \in U\) et \(y \in U^c\) appartiennent à des ouverts disjoints de cette topologie. L’existence de \(U\) implique aussi que \(x\) et \(y\) appartiennent à des composantes connexes distinctes pour la topologie constructible ; ainsi, \(X\) est totalement discontinu pour cette topologie.

Soit \(\mathcal{B}\) l’ensemble des parties \(B \subset X\) telles que \(B\) soit un ouvert quasi-compact ou un fermé dont le complémentaire est quasi-compact. Si \(B \in \mathcal{B}\), alors \(B^c \in \mathcal{B}\). Il suffit de montrer que tout recouvrement \(X = \bigcup_{i \in I} B_i\) avec \(B_i \in \mathcal{B}\) admet un raffinement fini, voir le Lemme 08ZP. En passant aux complémentaires, on voit qu’il faut montrer que toute famille \(\{B_i\}_{i \in I}\) d’éléments de \(\mathcal{B}\) telle que \(B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \not = \emptyset\) pour tout \(n\) et tous \(i_1, \ldots, i_n \in I\) possède un point commun. On peut supposer, et l’on suppose, que \(B_i \not = B_{i'}\) si \(i \not = i'\).

Raisonnons par l’absurde et supposons que \(\{B_i\}_{i \in I}\) soit une famille d’éléments de \(\mathcal{B}\) ayant la propriété d’intersection finie, mais dont l’intersection est vide. Une application du lemme de Zorn montre que l’on peut supposer cette famille maximale (les détails sont omis). Soit \(I' \subset I\) l’ensemble des indices pour lesquels \(B_i\) est fermé, et posons \(Z = \bigcap_{i \in I'} B_i\). C’est une partie fermée non vide de \(X\), d’après le Lemme 005D. Si \(Z\) est réductible, on peut écrire \(Z = Z' \cup Z''\) comme réunion de deux parties fermées, toutes deux distinctes de \(Z\). On peut donc, en particulier, trouver un ouvert quasi-compact \(U' \subset X\) qui rencontre \(Z'\) mais pas \(Z''\). De même, on peut trouver un ouvert quasi-compact \(U'' \subset X\) qui rencontre \(Z''\) mais pas \(Z'\). Posons \(B' = X \setminus U'\) et \(B'' = X \setminus U''\). Remarquons que \(Z'' \subset B'\) et \(Z' \subset B''\). S’il existe un nombre fini d’indices \(i_1, \ldots, i_n \in I\) tels que \(B' \cap B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} = \emptyset\) ainsi qu’un nombre fini d’indices \(j_1, \ldots, j_m \in I\) tels que \(B'' \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m} = \emptyset\), alors on obtient \(Z \cap B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m} = \emptyset\). Cependant, l’ensemble \(B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m}\) est quasi-compact ; il existerait donc un nombre fini d’indices \(i'_1, \ldots, i'_l \in I'\) tels que \(B_{i_1} \cap \ldots \cap B_{i_n} \cap B_{j_1} \cap \ldots \cap B_{j_m} \cap B_{i'_1} \cap \ldots \cap B_{i'_l} = \emptyset\), ce qui est contradictoire. On voit donc que l’on peut adjoindre soit \(B'\), soit \(B''\), à la famille donnée, contrairement à sa maximalité. On en conclut que \(Z\) est irréductible. Mais cela conduit encore à une contradiction, car tout ouvert non vide \(Z \cap B_i\), pour \(i \in I \setminus I'\), contient alors (par le même argument que ci-dessus) l’unique point générique de \(Z\). Cette contradiction démontre le lemme.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application spectrale entre espaces spectraux. Alors

\(f\) est continue pour les topologies constructibles,

les fibres de \(f\) sont quasi-compactes, et

l’image est fermée pour la topologie constructible.

Démonstration

Notons \(X'\) et \(Y'\) les espaces \(X\) et \(Y\) munis de leur topologie constructible ; ce sont des espaces quasi-compacts séparés d’après le Lemme 0901. L’assertion (1) affirme que \(X' \to Y'\) est continue et résulte immédiatement des définitions. L’assertion (3) résulte du fait que \(f(X')\) est une partie quasi-compacte de l’espace séparé \(Y'\), voir le Lemme 08YB. On a un diagramme commutatif \[\xymatrix{ X' \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] d’applications continues entre espaces topologiques. Comme \(Y'\) est séparé, les fibres \(X'_y\) sont fermées dans \(X'\). Puisque \(X'\) est quasi-compact, \(X'_y\) est quasi-compact (Lemme 005C). Comme \(X'_y \to X_y\) est une application continue surjective, on en conclut que \(X_y\) est quasi-compact (Lemme 04Z9).

Lemme

Soient \(X\) et \(Y\) des espaces spectraux et \(f : X \to Y\) une application continue. Alors \(f\) est spectrale si et seulement si \(f\) est continue pour les topologies constructibles.

Démonstration

L’implication directe est le Lemme 0A2S. Supposons \(f\) continue pour les topologies constructibles. Soit \(V \subset Y\) un ouvert quasi-compact. Alors \(V\) est ouvert et fermé pour la topologie constructible. Ainsi, \(f^{-1}(V)\) est ouvert et fermé pour la topologie constructible. Ainsi, \(f^{-1}(V)\) est quasi-compact pour la topologie constructible, puisque \(X\) est quasi-compact pour cette topologie d’après le Lemme 0901. L’application identité \(f^{-1}(V) \to f^{-1}(V)\) étant continue et surjective de la topologie constructible vers la topologie usuelle, on conclut que \(f^{-1}(V)\) est quasi-compact pour la topologie de \(X\), d’après le Lemme 04Z9. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral. Soit \(E \subset X\) une partie fermée pour la topologie constructible (par exemple une partie constructible ou fermée). Alors \(E\), muni de la topologie induite, est un espace spectral.

Démonstration

Soit \(Z \subset E\) une partie fermée irréductible. Soit \(\eta\) le point générique de l’adhérence \(\overline{Z}\) de \(Z\) dans \(X\). Pour démontrer que \(E\) est sobre, montrons que \(\eta \in E\). Sinon, puisque \(E\) est fermé pour la topologie constructible, il existe une partie constructible \(F \subset X\) telle que \(\eta \in F\) et \(F \cap E = \emptyset\). D’après le Lemme 005K, cela implique que \(F \cap \overline{Z}\) contient un ouvert non vide de \(\overline{Z}\). Mais c’est impossible puisque \(\overline{Z}\) est l’adhérence de \(Z\) et que \(Z \cap F = \emptyset\).

Puisque \(E\) est fermé pour la topologie constructible, il est quasi-compact pour cette topologie (Lemmes 005C et 0901). Il est donc, à plus forte raison, quasi-compact pour la topologie induite par celle de \(X\). Si \(U \subset X\) est un ouvert quasi-compact, alors \(E \cap U\) est fermé pour la topologie constructible, donc quasi-compact (comme on vient de le voir). Il en résulte que les ouverts quasi-compacts de \(E\) sont les intersections \(E \cap U\) où \(U\) est un ouvert quasi-compact de \(X\). Ils forment une base de la topologie. Enfin, étant donnés deux ouverts quasi-compacts \(U, U' \subset X\), on a \((E \cap U) \cap (E \cap U') = E \cap (U \cap U')\), et \(U \cap U'\) est quasi-compact puisque \(X\) est spectral. Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral. Soit \(E \subset X\) une partie fermée pour la topologie constructible (par exemple une partie constructible).

Si \(x \in \overline{E}\), alors \(x\) est une spécialisation d’un point de \(E\).

Si \(E\) est stable par spécialisation, alors \(E\) est fermée.

Si \(E' \subset X\) est ouverte pour la topologie constructible (par exemple constructible) et stable par générisation, alors \(E'\) est ouverte.

Démonstration

Démonstration de (1). Soit \(x \in \overline{E}\). Soit \(\{U_i\}\) l’ensemble des voisinages ouverts quasi-compacts de \(x\). Toute intersection finie de \(U_i\) est encore un tel voisinage. L’intersection \(U_i \cap E\) est non vide pour tout \(i\). Comme les parties \(U_i \cap E\) sont fermées pour la topologie constructible, l’intersection \(\bigcap (U_i \cap E)\) est non vide d’après le Lemme 0901 et le Lemme 005D. Puisque \(\{U_i\}\) est un système fondamental de voisinages ouverts de \(x\), l’intersection \(\bigcap U_i\) est l’ensemble des générisations de \(x\). Ainsi, \(x\) est une spécialisation d’un point de \(E\).

L’assertion (2) résulte immédiatement de (1).

Démonstration de (3). Supposons que \(E'\) vérifie les hypothèses de (3). Le complémentaire de \(E'\) est fermé pour la topologie constructible (Lemme 005H) et stable par spécialisation (Lemme 0062). Ce complémentaire est donc fermé d’après (2), c’est-à-dire que \(E'\) est ouverte.

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral et soient \(x, y \in X\). Alors, ou bien il existe un troisième point dont \(x\) et \(y\) sont des spécialisations, ou bien il existe des voisinages ouverts disjoints de \(x\) et de \(y\).

Démonstration

Soit \(\{U_i\}\) l’ensemble des voisinages ouverts quasi-compacts de \(x\). Toute intersection finie de \(U_i\) est encore un tel voisinage. Soit \(\{V_j\}\) l’ensemble des voisinages ouverts quasi-compacts de \(y\). Toute intersection finie de \(V_j\) est encore un tel voisinage. Si \(U_i \cap V_j\) est vide pour certains \(i, j\), la conclusion est acquise. Sinon, \(U_i \cap V_j\) est non vide pour tous \(i\) et \(j\). Les ensembles \(U_i \cap V_j\) sont fermés pour la topologie constructible de \(X\). D’après le Lemme 0901, l’intersection \(\bigcap (U_i \cap V_j)\) est non vide (Lemme 005D). Comme \(X\) est sobre et que \(\{U_i\}\) est un système fondamental de voisinages ouverts de \(x\), l’intersection \(\bigcap U_i\) est l’ensemble des générisations de \(x\). De même, \(\bigcap V_j\) est l’ensemble des générisations de \(y\). Ainsi, tout élément de \(\bigcap (U_i \cap V_j)\) a pour spécialisations à la fois \(x\) et \(y\).

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

\(X\) est profini,

\(X\) est séparé,

\(X\) est totalement discontinu,

tout ouvert quasi-compact est fermé,

il n’existe aucune spécialisation non triviale entre points,

tout point de \(X\) est fermé,

tout point de \(X\) est le point générique d’une composante irréductible de \(X\),

la topologie constructible est égale à la topologie donnée sur \(X\), et

ajouter quelque chose ici.

Démonstration

Le Lemme 08ZY donne l’implication (1) \(\Rightarrow\) (3). Les composantes irréductibles sont fermées ; si \(X\) est totalement discontinu, tout point est donc fermé. Ainsi, (3) implique (6). L’équivalence de (6) et (5) est immédiate, et (6) \(\Leftrightarrow\) (7) parce que \(X\) est sobre. Supposons (5). Alors toutes les parties constructibles de \(X\) sont fermées (Lemme 0903), et en particulier tous les ouverts quasi-compacts sont fermés. Donc (5) implique (4). Comme \(X\) est sobre, pour deux points quelconques il existe un ouvert quasi-compact qui contient exactement l’un des deux ; par conséquent, (4) implique (2). Les assertions (4) et (8) sont équivalentes par définition de la topologie constructible. Il reste à démontrer que (2) implique (1). Supposons \(X\) séparé. Tout ouvert quasi-compact est alors fermé (Lemme 08YB). Cela implique que \(X\) est totalement discontinu. Il est donc profini d’après le Lemme 08ZY.

Lemme

Si \(X\) est un espace spectral, alors \(\pi_0(X)\) est un espace profini.

Démonstration

Combiner les Lemmes 005F et 0900.

Lemme

Le produit de deux espaces spectraux est spectral.

Démonstration

Soient \(X\) et \(Y\) des espaces spectraux. Notons \(p : X \times Y \to X\) et \(q : X \times Y \to Y\) les projections. Soit \(Z \subset X \times Y\) une partie fermée irréductible. Alors \(p(Z) \subset X\) et \(q(Z) \subset Y\) sont irréductibles. Soit \(x \in X\) le point générique de l’adhérence de \(p(X)\) et soit \(y \in Y\) le point générique de l’adhérence de \(q(Y)\). Si \((x, y) \not \in Z\), il existe des ouverts \(x \in U \subset X\) et \(y \in V \subset Y\) tels que \(Z \cap U \times V = \emptyset\). Ainsi, \(Z\) est contenu dans \((X \setminus U) \times Y \cup X \times (Y \setminus V)\). Comme \(Z\) est irréductible, on a soit \(Z \subset (X \setminus U) \times Y\), soit \(Z \subset X \times (Y \setminus V)\). Dans le premier cas, \(p(Z) \subset (X \setminus U)\) et, dans le second, \(q(Z) \subset (Y \setminus V)\). Les deux cas sont absurdes, puisque \(x\) appartient à l’adhérence de \(p(Z)\) et \(y\) à celle de \(q(Z)\). On en conclut que \((x, y) \in Z\), ce qui signifie que \((x, y)\) est le point générique de \(Z\).

Une base de la topologie de \(X \times Y\) est formée des ouverts de la forme \(U \times V\), où \(U \subset X\) et \(V \subset Y\) sont des ouverts quasi-compacts (on utilise ici le fait que \(X\) et \(Y\) sont spectraux). Alors \(U \times V\) est quasi-compact, car le produit de deux espaces quasi-compacts est quasi-compact. De plus, tout ouvert quasi-compact de \(X \times Y\) est réunion finie de tels rectangles quasi-compacts \(U \times V\). Il s’ensuit que l’intersection de deux tels ouverts est encore quasi-compacte (puisque \(X\) et \(Y\) sont spectraux). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue entre espaces topologiques. Supposons que

\(X\) et \(Y\) soient spectraux,

\(f\) soit spectrale et bijective, et

les générisations (resp. les spécialisations) se relèvent le long de \(f\).

Alors \(f\) est un homéomorphisme.

Démonstration

Puisque \(f\) est spectrale, elle définit une application continue entre \(X\) et \(Y\) munis de leurs topologies constructibles. D’après les Lemmes 0901 et 08YE, il en résulte que \(X \to Y\) est un homéomorphisme pour les topologies constructibles. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Alors \(f(U)\) est constructible dans \(Y\). Soit \(y \in Y\) une spécialisation d’un point de \(f(U)\). La dernière hypothèse montre que \(f^{-1}(y)\) est une spécialisation d’un point de \(U\). Ainsi \(f^{-1}(y) \in U\), et donc \(y \in f(U)\). Il en résulte que \(f(U)\) est ouvert, voir le Lemme 0903. Par conséquent, \(f\) est un homéomorphisme. Pour démontrer le lemme lorsque les spécialisations se relèvent le long de \(f\), on montre plutôt que \(f(Z)\) est fermé si \(X \setminus Z\) est un ouvert quasi-compact de \(X\).

Lemme

La limite projective d’un système projectif filtrant d’espaces topologiques finis et sobres est un espace topologique spectral.

Démonstration

Soit \(I\) un ensemble préordonné filtrant. Soit \(X_i\) un système projectif d’espaces finis et sobres indexé par \(I\). Soit \(X = \lim X_i\), qui existe d’après le Lemme 08ZT. En tant qu’ensemble, \(X = \lim X_i\). Notons \(p_i : X \to X_i\) la projection. Comme \(I\) est filtrant, on peut appliquer le Lemme 0A2P. Les ouverts \(p_i^{-1}(U_i)\), où \(U_i \subset X_i\) est ouvert, forment une base de la topologie. Comme tout recouvrement ouvert de \(p_i^{-1}(U_i)\) est en particulier un recouvrement ouvert pour la topologie profinie, on en conclut que \(p_i^{-1}(U_i)\) est quasi-compact. Si \(U_i \subset X_i\) et \(U_j \subset X_j\), alors \(p_i^{-1}(U_i) \cap p_j^{-1}(U_j) = p_k^{-1}(U_k)\) pour un certain \(k \geq i, j\) et un ouvert \(U_k \subset X_k\). Enfin, si \(Z \subset X\) est fermée et irréductible, alors \(p_i(Z) \subset X_i\) est irréductible et possède donc un unique point générique \(\xi_i\) (puisque \(X_i\) est un espace topologique fini et sobre). Alors \(\xi = \lim \xi_i\) est un point générique de \(Z\) (c’est un point de \(Z\) puisque \(Z\) est fermé). Ceci achève la démonstration.

Lemme

Soit \(W\) l’espace topologique à deux points dont l’un est fermé et l’autre ne l’est pas. Un espace topologique est spectral si et seulement s’il est homéomorphe à un sous-espace d’un produit de copies de \(W\) qui est fermé pour la topologie constructible.

Démonstration

Écrivons \(W = \{0, 1\}\), où \(0\) est une spécialisation de \(1\), mais non réciproquement. Soit \(I\) un ensemble. L’espace \(\prod_{i \in I} W\) est spectral d’après le Lemme 09XV. On voit donc qu’un sous-espace de \(\prod_{i \in I} W\) fermé pour la topologie constructible est un espace spectral d’après le Lemme 0902.

Réciproquement, soit \(X\) un espace spectral. Soit \(U \subset X\) un ouvert quasi-compact. Considérons l’application continue \[f_U : X \longrightarrow W\] qui envoie tout point de \(U\) sur \(1\) et tout point de \(X \setminus U\) sur \(0\). En prenant le produit de ces applications, on obtient une application continue \[f = \prod f_U : X \longrightarrow \prod\nolimits_U W\] Par construction, l’application \(f : X \to Y\) est spectrale. D’après le Lemme 0A2S, l’image de \(f\) est fermée pour la topologie constructible. Si \(x', x \in X\) sont distincts, alors, puisque \(X\) est sobre, ou bien \(x'\) n’est pas une spécialisation de \(x\), ou bien ce dernier n’est pas une spécialisation du premier. Dans les deux cas (les ouverts quasi-compacts formant une base de la topologie de \(X\)), il existe un ouvert quasi-compact \(U \subset X\) tel que \(f_U(x') \not = f_U(x)\). Ainsi, \(f\) est injective. Soit \(Y = f(X)\), muni de la topologie induite. Soit \(y' \leadsto y\) une spécialisation dans \(Y\), et écrivons \(f(x') = y'\) et \(f(x) = y\). Le même raisonnement montre que \(x' \leadsto x\), car, sinon, il existerait un \(U\) tel que \(x \in U\) et \(x' \not \in U\), ce qui impliquerait \(f_U(x') \not \leadsto f_U(x)\). On conclut que \(f : X \to Y\) est un homéomorphisme d’après le Lemme 09XU.

Lemme

Un espace topologique est spectral si et seulement s’il est limite projective filtrante d’espaces topologiques finis et sobres.

Démonstration

Une implication est donnée par le Lemme 09XV. Réciproquement, supposons \(X\) spectral. On peut alors supposer que \(X \subset \prod_{i \in I} W\) est une partie fermée pour la topologie constructible, où \(W = \{0, 1\}\) est comme dans le Lemme 09XW. On peut écrire \[\prod\nolimits_{i \in I} W = \lim_{J \subset I\text{ fini }} \prod\nolimits_{j \in J} W\] comme limite cofiltrante. Pour chaque \(J\), soit \(X_J \subset \prod_{j \in J} W\) l’image de \(X\). On voit alors que \(X = \lim X_J\) en tant qu’ensembles parce que \(X\) est fermé dans le produit muni de la topologie constructible (détail omis). Un argument formel (omis) sur les limites montre que \(X = \lim X_J\) comme espaces topologiques.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(c : X \to X'\) l’application universelle de \(X\) vers un espace topologique sobre, voir le Lemme 0A2N.

Si \(X\) est quasi-compact, alors \(X'\) l’est aussi.

Si \(X\) est quasi-compact, possède une base d’ouverts quasi-compacts et si l’intersection de deux ouverts quasi-compacts est quasi-compacte, alors \(X'\) est spectral.

Si \(X\) est noethérien, alors \(X'\) est un espace spectral noethérien.

Démonstration

Soit \(U \subset X\) un ouvert et soit \(U' \subset X'\) l’ouvert correspondant, c’est-à-dire l’ouvert tel que \(c^{-1}(U') = U\). Alors \(U\) est quasi-compact si et seulement si \(U'\) est quasi-compact, car l’image réciproque par \(c\) établit une bijection entre les ouverts de \(X\) et ceux de \(X'\) qui commute aux réunions. Cela démontre en particulier (1).

Démonstration de (2). Il résulte de ce qui précède que \(X'\) possède une base d’ouverts quasi-compacts. Comme \(c^{-1}\) commute aussi aux intersections de paires d’ouverts, on voit que l’intersection de deux ouverts quasi-compacts de \(X'\) est quasi-compacte. Enfin, \(X'\) est quasi-compact d’après (1) et sobre par construction. Ainsi, \(X'\) est spectral.

Démonstration de (3). Il est immédiat que \(X'\) est noethérien, puisque cette propriété se définit par la condition de chaîne ascendante sur les ouverts, laquelle est satisfaite pour \(X\). On a déjà vu en (2) que \(X'\) est spectral.

Limites d’espaces spectraux

Le Lemme 09XX nous dit que tout espace spectral est une limite cofiltrante d’espaces finis sobres. Tout espace fini sobre est un espace spectral, et toute application continue entre espaces finis sobres est une application spectrale entre espaces spectraux. Dans cette section, nous démontrons quelques lemmes concernant les limites de systèmes d’espaces topologiques spectraux dont les applications de transition sont spectrales.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces spectraux tel que, pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), l’application correspondante \(f_a : X_j \to X_i\) soit spectrale.

Si l’on se donne des parties \(Z_i \subset X_i\) fermées pour la topologie constructible telles que \(f_a(Z_j) \subset Z_i\) pour tout \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), alors \(\lim Z_i\) est quasi-compact.

L’espace \(X = \lim X_i\) est quasi-compact.

Démonstration

La limite \(Z = \lim Z_i\) existe d’après le Lemme 08ZT. Notons \(X'_i\) l’espace \(X_i\) muni de la topologie constructible et \(Z'_i\) le sous-espace correspondant de \(X'_i\). Soit \(a : j \to i\) un morphisme de \(\mathcal{I}\). Comme \(f_a\) est spectrale, elle définit une application continue \(f_a : X'_j \to X'_i\). Ainsi, \(f_a|_{Z_j} : Z'_j \to Z'_i\) est une application continue entre espaces quasi-compacts séparés (d’après les Lemmes 0901 et 005C). Ainsi, \(Z' = \lim Z_i\) est quasi-compact d’après le Lemme 08ZV. Les applications \(Z'_i \to Z_i\) sont continues ; par conséquent, \(Z' \to Z\) est continue et induit une bijection entre les ensembles sous-jacents. Ainsi, \(Z\) est quasi-compact comme image de l’application continue surjective \(Z' \to Z\) (Lemme 04Z9).

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces spectraux tel que, pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), l’application correspondante \(f_a : X_j \to X_i\) soit spectrale.

Si l’on se donne des parties non vides \(Z_i \subset X_i\) fermées pour la topologie constructible telles que \(f_a(Z_j) \subset Z_i\) pour tout \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), alors \(\lim Z_i\) est non vide.

Si chaque \(X_i\) est non vide, alors \(X = \lim X_i\) est non vide.

Démonstration

Notons \(X'_i\) l’espace \(X_i\) muni de la topologie constructible et \(Z'_i\) le sous-espace correspondant de \(X'_i\). Soit \(a : j \to i\) un morphisme de \(\mathcal{I}\). Comme \(f_a\) est spectrale, elle définit une application continue \(f_a : X'_j \to X'_i\). Ainsi, \(f_a|_{Z_j} : Z'_j \to Z'_i\) est une application continue entre espaces quasi-compacts séparés (d’après les Lemmes 0901 et 005C). D’après le Lemme 0A2R, l’espace \(\lim Z'_i\) est non vide. Puisque \(\lim Z'_i = \lim Z_i\) comme ensembles, on conclut.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces spectraux tel que, pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), l’application correspondante \(f_a : X_j \to X_i\) soit spectrale. Soit \(X = \lim X_i\), avec pour projections \(p_i : X \to X_i\). Soient \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et \(E, F \subset X_i\) des parties telles que \(E\) soit fermée et \(F\) ouverte pour la topologie constructible. Alors \(p_i^{-1}(E) \subset p_i^{-1}(F)\) si et seulement s’il existe un morphisme \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\) tel que \(f_a^{-1}(E) \subset f_a^{-1}(F)\).

Démonstration

Observons que \[p_i^{-1}(E) \setminus p_i^{-1}(F) = \lim_{a : j \to i} f_a^{-1}(E) \setminus f_a^{-1}(F)\] Puisque \(f_a\) est une application spectrale, elle est continue pour la topologie constructible ; la partie \(f_a^{-1}(E) \setminus f_a^{-1}(F)\) est donc fermée pour la topologie constructible. Le Lemme 0A2W montre alors que le membre de gauche est non vide si et seulement si chacun des espaces du membre de droite est non vide.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces spectraux tel que, pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), l’application correspondante \(f_a : X_j \to X_i\) soit spectrale. Soit \(X = \lim X_i\), avec pour projections \(p_i : X \to X_i\). Soit \(E \subset X\) une partie constructible. Il existe alors un \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et une partie constructible \(E_i \subset X_i\) tels que \(p_i^{-1}(E_i) = E\). Si \(E\) est ouverte, resp. fermée, on peut choisir \(E_i\) ouverte, resp. fermée.

Démonstration

Supposons que \(E\) soit un ouvert quasi-compact de \(X\). D’après le Lemme 0A2P, on peut écrire \(E = p_i^{-1}(U_i)\) pour un certain \(i\) et un certain ouvert \(U_i \subset X_i\). Écrivons \(U_i = \bigcup U_{i, \alpha}\) comme réunion d’ouverts quasi-compacts. Comme \(E\) est quasi-compact, on peut trouver \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) tels que \(E = p_i^{-1}(U_{i, \alpha_1} \cup \ldots \cup U_{i, \alpha_n})\). Ainsi, \(E_i = U_{i, \alpha_1} \cup \ldots \cup U_{i, \alpha_n}\) convient.

Supposons que \(E\) soit une partie constructible fermée. Alors \(E^c\) est un ouvert quasi-compact. Ainsi, \(E^c = p_i^{-1}(F_i)\) pour un certain \(i\) et un ouvert quasi-compact \(F_i \subset X_i\), d’après le résultat du paragraphe précédent. Alors \(E = p_i^{-1}(F_i^c)\), comme voulu.

Si \(E\) est quelconque, on peut écrire \(E = \bigcup_{l = 1, \ldots, n} U_l \cap Z_l\), où \(U_l\) est un ouvert constructible et \(Z_l\) un fermé constructible. D’après les paragraphes précédents, on peut écrire \(U_l = p_{i_l}^{-1}(U_{l, i_l})\) et \(Z_l = p_{j_l}^{-1}(Z_{l, j_l})\), où \(U_{l, i_l} \subset X_{i_l}\) est un ouvert constructible et \(Z_{l, j_l} \subset X_{j_l}\) un fermé constructible. Comme \(\mathcal{I}\) est cofiltrante, on peut choisir un objet \(k\) de \(\mathcal{I}\) et des morphismes \(a_l : k \to i_l\) et \(b_l : k \to j_l\). En prenant alors \(E_k = \bigcup_{l = 1, \ldots, n} f_{a_l}^{-1}(U_{l, i_l}) \cap f_{b_l}^{-1}(Z_{l, j_l})\), on obtient une partie constructible de \(X_k\) dont l’image réciproque dans \(X\) est \(E\).

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces spectraux tel que, pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), l’application correspondante \(f_a : X_j \to X_i\) soit spectrale. Alors la limite projective \(X = \lim X_i\) est un espace topologique spectral, et les applications de projection \(p_i : X \to X_i\) sont spectrales.

Démonstration

La limite \(X = \lim X_i\) existe (Lemme 08ZT) et est quasi-compacte d’après le Lemme 0A2V.

Notons \(p_i : X \to X_i\) la projection. Comme \(\mathcal{I}\) est cofiltrante, on peut appliquer le Lemme 0A2P. Une base de la topologie de \(X\) est donc donnée par les ouverts \(p_i^{-1}(U_i)\), où \(U_i \subset X_i\) est ouvert. Comme une base de la topologie de \(X_i\) est donnée par les ouverts quasi-compacts, on conclut qu’une base de la topologie de \(X\) est donnée par les \(p_i^{-1}(U_i)\), où \(U_i \subset X_i\) est un ouvert quasi-compact. Un argument formel montre que \[p_i^{-1}(U_i) = \lim_{a : j \to i} f_a^{-1}(U_i)\] comme espaces topologiques. Puisque chaque \(f_a\) est spectrale, les parties \(f_a^{-1}(U_i)\) sont fermées pour la topologie constructible de \(X_j\) ; par conséquent, \(p_i^{-1}(U_i)\) est quasi-compact d’après le Lemme 0A2V. Ainsi, \(X\) possède une base de sa topologie formée d’ouverts quasi-compacts.

Tout ouvert quasi-compact \(U\) de \(X\) est de la forme \(U = p_i^{-1}(U_i)\) pour un certain \(i\) et un certain ouvert quasi-compact \(U_i \subset X_i\) (voir le Lemme 0A2Y). Étant donnés des ouverts quasi-compacts \(U_i \subset X_i\) et \(U_j \subset X_j\), on a \(p_i^{-1}(U_i) \cap p_j^{-1}(U_j) = p_k^{-1}(U_k)\) pour un certain \(k\) et un certain ouvert quasi-compact \(U_k \subset X_k\). En effet, choisissons \(k\) et des morphismes \(k \to i\) et \(k \to j\), et prenons pour \(U_k\) l’intersection des images réciproques de \(U_i\) et de \(U_j\) dans \(X_k\). On voit ainsi que l’intersection de deux ouverts quasi-compacts de \(X\) est un ouvert quasi-compact.

Enfin, soit \(Z \subset X\) une partie fermée irréductible. Alors \(p_i(Z) \subset X_i\) est irréductible, et par conséquent \(Z_i = \overline{p_i(Z)}\) possède un unique point générique \(\xi_i\) (puisque \(X_i\) est un espace spectral). On a alors \(f_a(\xi_j) = \xi_i\) pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), car \(\overline{f_a(Z_j)} = Z_i\). Ainsi, \(\xi = \lim \xi_i\) est un point de \(X\). Nous affirmons que \(\xi \in Z\). Sinon, on pourrait trouver un ouvert quasi-compact contenant \(\xi\) et disjoint de \(Z\). Il serait de la forme \(p_i^{-1}(U_i)\) pour un certain \(i\) et un certain ouvert quasi-compact \(U_i \subset X_i\). On aurait alors \(\xi_i \in U_i\), mais \(p_i(Z) \cap U_i = \emptyset\), ce qui contredit \(\xi_i \in \overline{p_i(Z)}\). Ainsi, \(\xi \in Z\), et donc \(\overline{\{\xi\}} \subset Z\). Réciproquement, tout \(z \in Z\) appartient à l’adhérence de \(\xi\). En effet, étant donné un voisinage ouvert quasi-compact \(U\) de \(z\), écrivons \(U = p_i^{-1}(U_i)\) pour un certain \(i\) et un certain ouvert quasi-compact \(U_i \subset X_i\). On voit que \(p_i(z) \in U_i\), donc que \(\xi_i \in U_i\), et donc que \(\xi \in U\). Ainsi, \(\xi\) est un point générique de \(Z\). Nous omettons de démontrer que \(\xi\) est l’unique point générique de \(Z\) (indication : montrer qu’un second point générique est nécessairement égal à \(\xi\) en montrant qu’il a pour image \(\xi_i\) dans \(X_i\), puisque \(X_i\) est spectral et que l’irréductible \(Z_i\) possède un unique point générique). Cela achève la démonstration.

Lemme

Soit \(\mathcal{I}\) une catégorie d’indices cofiltrante. Soit \(i \mapsto X_i\) un diagramme d’espaces spectraux tel que, pour \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\), l’application correspondante \(f_a : X_j \to X_i\) soit spectrale. Posons \(X = \lim X_i\) et notons \(p_i : X \to X_i\) la projection.

Pour tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\), il existe un \(i \in \Ob(\mathcal{I})\) et un ouvert quasi-compact \(U_i \subset X_i\) tels que \(p_i^{-1}(U_i) = U\).

Étant donnés des ouverts quasi-compacts \(U_i \subset X_i\) et \(U_j \subset X_j\) tels que \(p_i^{-1}(U_i) \subset p_j^{-1}(U_j)\), il existe \(k \in \Ob(\mathcal{I})\) et des morphismes \(a : k \to i\) et \(b : k \to j\) tels que \(f_a^{-1}(U_i) \subset f_b^{-1}(U_j)\).

Si \(U_i, U_{1, i}, \ldots, U_{n, i} \subset X_i\) sont des ouverts quasi-compacts et si \(p_i^{-1}(U_i) = p_i^{-1}(U_{1, i}) \cup \ldots \cup p_i^{-1}(U_{n, i})\), alors \(f_a^{-1}(U_i) = f_a^{-1}(U_{1, i}) \cup \ldots \cup f_a^{-1}(U_{n, i})\) pour un certain morphisme \(a : j \to i\) dans \(\mathcal{I}\).

Même énoncé qu’en (3), mais pour les intersections.

Démonstration

L’assertion (1) est un cas particulier du Lemme 0A2Y. L’assertion (2) est un cas particulier du Lemme 0A2X, car les ouverts quasi-compacts sont à la fois ouverts et fermés pour la topologie constructible. Les assertions (3) et (4) résultent formellement de (1) et (2), ainsi que du fait que la formation des images réciproques commute aux réunions et aux intersections.

Lemme

Soit \(W\) une partie d’un espace spectral \(X\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(W\) est une intersection de parties constructibles et est stable par générisation,

\(W\) est quasi-compacte et stable par générisation,

il existe une partie quasi-compacte \(E \subset X\) telle que \(W\) soit l’ensemble des points qui se spécialisent en un point de \(E\),

\(W\) est une intersection d’ouverts quasi-compacts,

il existe un ensemble non vide \(I\) et des ouverts quasi-compacts \(U_i \subset X\), \(i \in I\), tels que \(W = \bigcap U_i\) et que, pour tous \(i, j \in I\), il existe un \(k \in I\) tel que \(U_k \subset U_i \cap U_j\).

Dans ce cas, (a) \(W\) est un espace spectral, (b) \(W = \lim U_i\) comme espaces topologiques et (c) pour tout ouvert \(U\) contenant \(W\), il existe un \(i\) tel que \(U_i \subset U\).

Démonstration

Soit \(W \subset X\) vérifiant (1). Alors \(W\) est fermée pour la topologie constructible, donc quasi-compacte pour la topologie constructible (d’après les Lemmes 0901 et 005C), donc quasi-compacte pour la topologie de \(X\) (car les ouverts de \(X\) sont ouverts pour la topologie constructible). Ainsi, (2) est satisfaite.

Il est clair que (2) implique (3) en prenant \(E = W\).

Soit \(X\) un espace spectral et soit \(E \subset W\) comme en (3). Puisque tout point de \(W\) se spécialise en un point de \(E\), on voit qu’un ouvert de \(W\) qui contient \(E\) est égal à \(W\). Par conséquent, puisque \(E\) est quasi-compacte, \(W\) l’est également. Si \(x \in X\), \(x \not \in W\), alors \(Z = \overline{\{x\}}\) est disjoint de \(W\). Comme \(W\) est quasi-compacte, on peut trouver un ouvert quasi-compact \(U\) tel que \(W \subset U\) et \(U \cap Z = \emptyset\). On conclut que (4) est satisfaite.

Si \(W = \bigcap_{j \in J} U_j\), alors, en prenant pour \(I\) l’ensemble des parties finies de \(J\) et \(U_i = U_{j_1} \cap \ldots \cap U_{j_r}\) pour \(i = \{j_1, \ldots, j_r\}\), on voit que (4) implique (5). Il est immédiat que (5) implique (1).

Soient \(I\) et \(U_i\) comme en (5). Puisque \(W = \bigcap U_i\), on a \(W = \lim U_i\) par la propriété universelle des limites. Alors \(W\) est un espace spectral d’après le Lemme 0A2Z. Soit \(U \subset X\) un voisinage ouvert de \(W\). Alors les \(E_i = U_i \cap (X \setminus U)\) forment une famille de parties constructibles de l’espace spectral \(Z = X \setminus U\) d’intersection vide. En utilisant le fait que la topologie spectrale sur \(Z\) est quasi-compacte (Lemme 0901), on déduit du Lemme 005D que \(E_i = \emptyset\) pour un certain \(i\).

Lemme

Soit \(X\) un espace spectral. Soit \(E \subset X\) une partie constructible. Soit \(W \subset X\) l’ensemble des points de \(X\) qui se spécialisent en un point de \(E\). Alors \(W \setminus E\) est un espace spectral. Si \(W = \bigcap U_i\), avec les \(U_i\) comme dans le Lemme 0A31 (0ANZ), alors \(W \setminus E = \lim (U_i \setminus E)\).

Démonstration

Puisque \(E\) est constructible, elle est quasi-compacte, et le Lemme 0A31 s’applique donc à \(W\). Si \(E\) est constructible, alors \(E\) est constructible dans \(U_i\) pour tout \(i \in I\). Ainsi, \(U_i \setminus E\) est spectral d’après le Lemme 0902. Puisque \(W \setminus E = \bigcap (U_i \setminus E)\), on a \(W \setminus E = \lim U_i \setminus E\) par la propriété universelle des limites. Alors \(W \setminus E\) est un espace spectral d’après le Lemme 0A2Z.

Compactification de Stone-Čech

La compactification de Stone-Čech d’un espace topologique \(X\) est une application \(X \to \beta(X)\) de \(X\) vers un espace séparé quasi-compact \(\beta(X)\), universelle parmi de telles applications. Nous démontrons son existence par un argument standard utilisant le lemme élémentaire suivant.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue entre espaces topologiques. Supposons que \(f(X)\) soit dense dans \(Y\) et que \(Y\) soit séparé. Alors le cardinal de \(Y\) est inférieur ou égal à celui de \(P(P(X))\), où \(P\) désigne l’opération qui associe à un ensemble l’ensemble de ses parties.

Démonstration

Soit \(S = f(X) \subset Y\). Soit \(\mathcal{D}\) l’ensemble de tous les fermés réguliers de \(Y\), c’est-à-dire des parties \(D \subset Y\) qui sont égales à l’adhérence de leur intérieur. Notons que l’adhérence d’une partie ouverte de \(Y\) est un fermé régulier. Pour \(y \in Y\), considérons l’ensemble \[I_y = \{T \subset S \mid \text{ il existe } D \in \mathcal{D}\text{ tel que }T = S \cap D\text{ et }y \in D\}.\] Comme \(S\) est dense dans \(Y\), pour tout fermé régulier \(D\), on voit que \(S \cap D\) est dense dans \(D\). Par conséquent, si \(D \cap S = D' \cap S\) pour \(D, D' \in \mathcal{D}\), alors \(D = D'\). Ainsi, \(I_y = I_{y'}\) implique \(y = y'\), car la condition de séparation assure que l’on peut trouver un fermé régulier contenant \(y\) mais pas \(y'\). Le résultat s’ensuit.

Soit \(X\) un espace topologique. D’après le Lemme 0909, il existe un ensemble \(I\) de classes d’isomorphisme d’applications continues \(f : X \to Y\) à image dense, où \(Y\) est séparé et quasi-compact. Pour \(i \in I\), choisissons un représentant \(f_i : X \to Y_i\). Considérons l’application \[\prod f_i : X \longrightarrow \prod\nolimits_{i \in I} Y_i\] et notons \(\beta(X)\) l’adhérence de son image. Puisque chaque \(Y_i\) est séparé, \(\beta(X)\) l’est aussi. Puisque chaque \(Y_i\) est quasi-compact, \(\beta(X)\) l’est aussi (utiliser le Théorème 08ZU et le Lemme 005C).

Montrons que l’application canonique \(X \to \beta(X)\) satisfait à la propriété universelle relativement aux applications vers des espaces séparés quasi-compacts. Soit donc \(f : X \to Y\) un tel morphisme. Soit \(Z \subset Y\) l’adhérence de \(f(X)\). Alors \(X \to Z\) est isomorphe à l’une des applications \(f_i : X \to Y_i\), disons \(f_{i_0} : X \to Y_{i_0}\). Ainsi, \(f\) se factorise sous la forme \(X \to \beta(X) \to \prod Y_i \to Y_{i_0} \cong Z \to Y\), comme voulu.

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé et localement quasi-compact. Il existe une application \(X \to X^*\) qui identifie \(X\) à un sous-espace ouvert d’un espace séparé quasi-compact \(X^*\) tel que \(X^* \setminus X\) soit un singleton (compactification par adjonction d’un point). En particulier, l’application \(X \to \beta(X)\) identifie \(X\) à un sous-espace ouvert de \(\beta(X)\).

Démonstration

Posons \(X^* = X \amalg \{\infty\}\). Déclarons qu’une partie \(V\) de \(X^*\) est ouverte si \(V \subset X\) est ouverte dans \(X\), ou bien si \(\infty \in V\) et si \(U = V \cap X\) est un ouvert de \(X\) tel que \(X \setminus U\) soit quasi-compact. Nous omettons de vérifier que cela définit une topologie. Il est clair que \(X \to X^*\) identifie \(X\) à un sous-espace ouvert de \(X\).

Puisque \(X\) est localement quasi-compact, tout point \(x \in X\) possède un voisinage quasi-compact \(x \in E \subset X\). Alors \(E\) est fermé (Lemme 08YB, partie (1)), et \(V = (X \setminus E) \amalg \{\infty\}\) est un voisinage ouvert de \(\infty\) disjoint de l’intérieur de \(E\). Ainsi, \(X^*\) est séparé.

Soit \(X^* = \bigcup V_i\) un recouvrement ouvert. Alors, pour un certain \(i\), disons \(i_0\), on a \(\infty \in V_{i_0}\). Par construction, \(Z = X^* \setminus V_{i_0}\) est quasi-compact. Le recouvrement \(Z \subset \bigcup_{i \not = i_0} Z \cap V_i\) admet donc un raffinement fini, ce qui implique que le recouvrement donné de \(X^*\) admet un raffinement fini. Ainsi, \(X^*\) est quasi-compact.

L’application \(X \to X^*\) se factorise sous la forme \(X \to \beta(X) \to X^*\) par la propriété universelle de la compactification de Stone-Čech. Soit \(\varphi : \beta(X) \to X^*\) cette factorisation. Alors \(X \to \varphi^{-1}(X)\) est une section de \(\varphi^{-1}(X) \to X\), et possède donc une image fermée (Lemme 08ZG). Comme l’image de \(X \to \beta(X)\) est dense, on conclut que \(X = \varphi^{-1}(X)\).

Espaces extrêmement discontinus

Le contenu de cette section est tiré de [Gleason] (avec une légère modification comme dans [Rainwater]). Dans l’article de Gleason, il est démontré que, dans la catégorie des espaces séparés quasi-compacts, les « objets projectifs » sont exactement les espaces extrêmement discontinus.

Définition

On dit qu’un espace topologique \(X\) est extrêmement discontinu si l’adhérence de toute partie ouverte de \(X\) est ouverte.

Si \(X\) est séparé et extrêmement discontinu, alors \(X\) est totalement discontinu (cela est faux en général). Si \(X\) est quasi-compact, séparé et extrêmement discontinu, alors \(X\) est profini d’après le lemme 08ZY, mais la réciproque est fausse en général. Par exemple, l’anneau des entiers \(p\)-adiques \(\mathbf{Z}_p = \lim \mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z}\) est un espace profini qui n’est pas extrêmement discontinu. En effet, si \(U \subset \mathbf{Z}_p\) est l’ensemble des éléments non nuls dont la valuation est paire, alors \(U\) est ouvert, mais son adhérence est \(U \cup \{0\}\), qui n’est pas ouvert.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue entre espaces topologiques. Supposons que \(f\) soit surjective et que \(f(E) \not = Y\) pour toute partie fermée propre \(E \subset X\). Alors, pour tout ouvert \(U \subset X\), la partie \(f(U)\) est contenue dans l’adhérence de \(Y \setminus f(X \setminus U)\).

Démonstration

Choisissons \(y \in f(U)\) et un voisinage ouvert quelconque \(V \subset Y\) de \(y\). Nous allons montrer que \(V\) rencontre \(Y \setminus f(X \setminus U)\). Remarquons que \(W = U \cap f^{-1}(V)\) est un ouvert non vide de \(X\) ; ainsi, \(f(X \setminus W) \not = Y\). Prenons \(y' \in Y\) tel que \(y' \not \in f(X \setminus W)\). Il est élémentaire de vérifier que \(y' \in V\) et que \(y' \in Y \setminus f(X \setminus U)\).

Lemme

Soit \(X\) un espace extrêmement discontinu. Si \(U, V \subset X\) sont des ouverts disjoints, alors \(\overline{U}\) et \(\overline{V}\) sont eux aussi disjoints.

Démonstration

Par hypothèse, \(\overline{U}\) est ouvert ; ainsi, \(V \cap \overline{U}\) est ouvert et disjoint de \(U\), donc vide, puisque \(\overline{U}\) est l’intersection de toutes les parties fermées de \(X\) qui contiennent \(U\). Cela signifie que l’ouvert \(\overline{V} \cap \overline{U}\) ne rencontre pas \(V\) ; il est donc vide par le même argument.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue entre espaces topologiques séparés quasi-compacts. Si \(Y\) est extrêmement discontinu, si \(f\) est surjective et si \(f(Z) \not = Y\) pour toute partie fermée propre \(Z\) de \(X\), alors \(f\) est un homéomorphisme.

Démonstration

D’après le lemme 08YE, il suffit de montrer que \(f\) est injective. Supposons que \(x, x' \in X\) soient des points distincts tels que \(y = f(x) = f(x')\). Choisissons des voisinages ouverts disjoints \(U, U' \subset X\) respectifs de \(x, x'\). Remarquons que \(f\) est fermée (lemme 08YD) ; ainsi, \(T = f(X \setminus U)\) et \(T' = f(X \setminus U')\) sont fermés dans \(Y\). Puisque \(X\) est la réunion de \(X \setminus U\) et de \(X \setminus U'\), on voit que \(Y = T \cup T'\). D’après le lemme 08YJ, on voit que \(y\) appartient à l’adhérence de \(Y \setminus T\) et à celle de \(Y \setminus T'\). D’autre part, d’après le lemme 08YK, leur intersection est vide. Nous obtenons ainsi la contradiction souhaitée.

Lemme

Soit \(f : X \to Y\) une application continue surjective entre espaces topologiques séparés quasi-compacts. Il existe une partie quasi-compacte \(E \subset X\) telle que \(f(E) = Y\), mais \(f(E') \not = Y\) pour toute partie fermée propre \(E' \subset E\).

Démonstration

Nous utiliserons sans plus le mentionner le fait que les parties quasi-compactes de \(X\) sont exactement les parties fermées (lemme 08YC). Considérons la collection \(\mathcal{E}\) de toutes les parties quasi-compactes \(E \subset X\) telles que \(f(E) = Y\), ordonnée par inclusion. Nous allons utiliser le lemme de Zorn pour montrer que \(\mathcal{E}\) possède un élément minimal. Pour cela, il suffit de montrer que, pour toute famille totalement ordonnée \(E_\lambda\) d’éléments de \(\mathcal{E}\), l’intersection \(\bigcap E_\lambda\) appartient à \(\mathcal{E}\). Elle est quasi-compacte car elle est fermée. Pour tout \(y \in Y\), les parties \(E_\lambda \cap f^{-1}(\{y\})\) sont non vides et fermées ; ainsi, l’intersection \(\bigcap E_\lambda \cap f^{-1}(\{y\}) = \bigcap (E_\lambda \cap f^{-1}(\{y\}))\) est non vide d’après le lemme 005D. Cela achève la démonstration.

Proposition

Soit \(X\) un espace topologique séparé et quasi-compact. Les assertions suivantes sont équivalentes :

\(X\) est extrêmement discontinu,

pour toute application continue surjective \(f : Y \to X\), où \(Y\) est séparé et quasi-compact, il existe une section continue, et

pour tout diagramme commutatif en traits pleins \[\xymatrix{ & Y \ar[d] \\ X \ar@{..>}[ru] \ar[r] & Z }\] formé d’applications continues entre espaces séparés quasi-compacts, dans lequel \(Y \to Z\) est surjective, il existe dans la catégorie des espaces topologiques une flèche pointillée qui rend le diagramme commutatif.

Démonstration

Il est clair que (3) implique (2). D’autre part, si (2) est vérifiée et si \(X \to Z\) et \(Y \to Z\) sont comme en (3), alors (2) assure l’existence d’une section de la projection \(X \times_Z Y \to X\), d’où l’existence d’une flèche pointillée convenable (détails omis). Ainsi, (3) est équivalente à (2).

Supposons \(X\) extrêmement discontinu et soit \(f : Y \to X\) comme en (2). D’après le lemme 08YM, il existe une partie quasi-compacte \(E \subset Y\) telle que \(f(E) = X\), mais \(f(E') \not = X\) pour toute partie fermée propre \(E' \subset E\). D’après le lemme 08YL, \(f|_E : E \to X\) est un homéomorphisme, dont l’inverse donne la section souhaitée.

Supposons (2). Soit \(U \subset X\) un ouvert de complémentaire \(Z\). Considérons la surjection continue \(f : \overline{U} \amalg Z \to X\). Soit \(\sigma\) une section. Alors \(\overline{U} = \sigma^{-1}(\overline{U})\) est ouverte. Ainsi, \(X\) est extrêmement discontinu.

Lemme

Soit \(f : X \to X\) une application continue surjective d’un espace topologique séparé dans lui-même. Si \(f\) n’est pas \(\text{id}_X\), alors il existe une partie fermée propre \(E \subset X\) telle que \(X = E \cup f(E)\).

Démonstration

Choisissons \(p \in X\) tel que \(f(p) \not = p\). Choisissons des voisinages ouverts disjoints \(p \in U\), \(f(p) \in V\) et posons \(E = X \setminus U \cap f^{-1}(V)\). Alors \(p \not \in E\) ; ainsi, \(E\) est une partie fermée propre. Si \(x \in X\), alors soit \(x \in E\), soit, dans le cas contraire, \(x \in U \cap f^{-1}(V)\). Écrivons \(x = f(y)\), ce qui est possible puisque \(f\) est surjective. Si \(y \in U \cap f^{-1}(V)\), alors on aurait \(x = f(y) \in V\), ce qui contredit \(x \in U\). Ainsi, \(y \in E\) et \(x \in f(E)\).

Exemple

La proposition 08YN permet de voir que la compactification de Stone-Čech \(\beta(X)\) d’un espace discret \(X\) est extrêmement discontinue. En effet, soit \(f : Y \to \beta(X)\) une surjection continue, où \(Y\) est quasi-compact et séparé. Nous pouvons alors relever l’application \(X \to \beta(X)\) en une application continue (!) \(X \to Y\), puisque \(X\) est discret. Par la propriété universelle de la compactification de Stone-Čech, nous obtenons une factorisation \(X \to \beta(X) \to Y\). Puisque \(\beta(X) \to Y \to \beta(X)\) est égale à l’identité sur la partie dense \(X\), nous concluons que nous avons obtenu une section. En particulier, nous concluons que la compactification de Stone-Čech d’un espace discret est totalement discontinue, donc profinie (voir la discussion qui suit la définition 08YI et le lemme 08ZY).

Grâce aux espaces extrêmement discontinus fournis par l’exemple 090C, nous pouvons démontrer que tout espace séparé quasi-compact possède une « enveloppe projective » dans la catégorie des espaces séparés quasi-compacts.

Lemme

Soit \(X\) un espace séparé quasi-compact. Il existe une surjection continue \(X' \to X\) telle que \(X'\) soit quasi-compact, séparé et extrêmement discontinu. Si l’on exige qu’aucune partie fermée propre de \(X'\) n’ait pour image \(X\), alors \(X'\) est unique à isomorphisme près.

Démonstration

Soit \(Y = X\), mais muni de la topologie discrète. Soit \(X' = \beta(Y)\). L’application continue \(Y \to X\) se factorise en \(Y \to X' \to X\). Cela démontre la première assertion du lemme d’après l’exemple 090C.

D’après le lemme 08YM, nous pouvons trouver une partie quasi-compacte \(E \subset X'\) dont l’image est \(X\) et telle qu’aucune partie fermée propre de \(E\) n’ait pour image \(X\). Puisque \(X'\) est extrêmement discontinu, il existe une application continue \(f : X' \to E\) au-dessus de \(X\) (proposition 08YN). En composant \(f\) avec l’application \(E \to X'\), on obtient l’endomorphisme continu \(f|_E : E \to E\). Remarquons que \(f|_E\) doit être surjectif, car sinon son image serait une partie fermée propre d’image \(X\). Ainsi, \(f|_E\) doit être \(\text{id}_E\), car sinon le lemme 090B montrerait que \(E\) n’est pas minimal. Par conséquent, \(\text{id}_E\) se factorise par l’espace extrêmement discontinu \(X'\). Un argument catégorique formel (utilisant la caractérisation de la proposition 08YN) montre que \(E\) est extrêmement discontinu.

Pour démontrer l’unicité, supposons donnée une seconde enveloppe minimale \(X'' \to X\). Par la propriété de relèvement démontrée dans la proposition 08YN, nous pouvons trouver une application continue \(g : X' \to X''\) au-dessus de \(X\). Remarquons que \(g\) est une application fermée (lemme 08YD). Ainsi, \(g(X') \subset X''\) est une partie fermée d’image \(X\), et nous concluons que \(g(X') = X''\) par minimalité de \(X''\). D’autre part, si \(E \subset X'\) est une partie fermée propre, alors \(g(E) \not = X''\), car \(E\) n’a pas pour image \(X\) par minimalité de \(X'\). D’après le lemme 08YL, \(g\) est un isomorphisme.

Remarque

Soit \(X\) un espace séparé quasi-compact. Soit \(\kappa\) un cardinal infini supérieur ou égal au cardinal de \(X\). Alors le cardinal de l’enveloppe minimale séparée, quasi-compacte et extrêmement discontinue \(X' \to X\) (lemme 090D) est au plus \(2^{2^\kappa}\). En effet, choisissons une partie \(S \subset X'\) qui s’envoie bijectivement sur \(X\). Par minimalité de \(X'\), la partie \(S\) est dense dans \(X'\). Ainsi, \(|X'| \leq 2^{2^\kappa}\) d’après le lemme 0909.

Divers

Le lemme suivant s’applique à l’espace topologique sous-jacent à un schéma quasi-séparé.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique qui

possède une base de la topologie formée d’ouverts quasi-compacts, et

est tel que l’intersection de deux ouverts quasi-compacts quelconques est quasi-compacte.

Alors

\(X\) est localement quasi-compact,

tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\) est rétrocompact,

tout ouvert quasi-compact \(U \subset X\) possède un système cofinal de recouvrements ouverts \(\mathcal{U} : U = \bigcup_{j\in J} U_j\) où \(J\) est fini et où tous les \(U_j\) et \(U_j \cap U_{j'}\) sont quasi-compacts,

en ajouter ici.

Démonstration

La démonstration est omise.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. On dit que \(x \in X\) est un point isolé de \(X\) si \(\{x\}\) est ouvert dans \(X\).

Partitions et stratifications

Les stratifications peuvent être définies de bien des manières. Toute remarque sur le choix des définitions adoptées dans cette section est la bienvenue.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Une partition de \(X\) est une décomposition \(X = \coprod X_i\) en parties localement fermées \(X_i\). Les \(X_i\) sont appelées les parties de la partition. Étant donné deux partitions de \(X\), nous disons que l’une raffine l’autre si les parties de l’une sont des réunions de parties de l’autre.

Tout espace topologique \(X\) admet une partition en composantes connexes. Si \(X\) possède un nombre fini de composantes irréductibles \(Z_1, \ldots, Z_r\), il existe une partition qui raffine la partition en composantes connexes et dont les parties \(X_I = \bigcap_{i \in I} Z_i \setminus (\bigcup_{i \not \in I} Z_i)\) sont indexées par les sous-ensembles \(I \subset \{1, \ldots, r\}\).

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Une bonne stratification de \(X\) est une partition \(X = \coprod X_i\) telle que, pour tous \(i, j \in I\), on ait \[X_i \cap \overline{X_j} \not = \emptyset \Rightarrow X_i \subset \overline{X_j}.\]

Une bonne stratification \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) définit un ordre partiel sur \(I\) en posant \(i \leq j\) si et seulement si \(X_i \subset \overline{X_j}\). On voit alors que \[\overline{X_j} = \bigcup\nolimits_{i \leq j} X_i\] Cependant, en géométrie algébrique, il arrive souvent que l’on sache seulement que le membre de gauche est contenu dans le membre de droite dans la dernière formule affichée. Cela conduit à la définition suivante.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Une stratification de \(X\) est la donnée d’une partition \(X = \coprod_{i \in I} X_i\) et d’un ordre partiel sur \(I\) tels que, pour tout \(j \in I\), on ait \[\overline{X_j} \subset \bigcup\nolimits_{i \leq j} X_i\] Les parties \(X_i\) sont appelées les strates de la stratification.

Nous imposons souvent des conditions supplémentaires à la stratification. Par exemple, les stratifications sont particulièrement agréables lorsqu’elles sont localement finies, ce qui signifie que tout point possède un voisinage ne rencontrant qu’un nombre fini de strates. Plus généralement, nous introduisons la définition suivante.

Définition

Soit \(X\) un espace topologique. Soit \(I\) un ensemble et, pour \(i \in I\), soit \(E_i \subset X\) une partie. Nous disons que la famille \(\{E_i\}_{i \in I}\) est localement finie si, pour tout \(x \in X\), il existe un voisinage ouvert \(U\) de \(x\) tel que \(\{i \in I | E_i \cap U \not = \emptyset\}\) soit fini.

Remarque

Étant donné une stratification localement finie \(X = \coprod X_i\) d’un espace topologique \(X\), on obtient une famille de parties fermées \(Z_i = \bigcup_{j \leq i} X_j\) de \(X\), indexée par \(I\), telle que \[Z_i \cap Z_j = \bigcup\nolimits_{k \leq i, j} Z_k\] Réciproquement, supposons données des parties fermées \(Z_i \subset X\) indexées par un ensemble ordonné \(I\), telles que \(X = \bigcup Z_i\), que tout point possède un voisinage ne rencontrant qu’un nombre fini de \(Z_i\) et que la formule affichée soit vérifiée. On obtient alors une stratification localement finie de \(X\) en posant \(X_i = Z_i \setminus \bigcup_{j < i} Z_j\).

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique et soit \(X = \coprod X_i\) une partition finie de \(X\). Il existe alors une stratification finie de \(X\) qui la raffine.

Démonstration

Posons \(T_i = \overline{X_i}\) et \(\Delta_i = T_i \setminus X_i\). Soit \(S\) l’ensemble de toutes les intersections de \(T_i\) et de \(\Delta_i\). (Par exemple, \(T_1 \cap T_2 \cap \Delta_4\) est un élément de \(S\).) Alors \(S = \{Z_s\}\) est une famille finie de parties fermées de \(X\) telle que \(Z_s \cap Z_{s'} \in S\) pour tous \(s, s' \in S\). Munissons \(S\) de l’ordre partiel donné par l’inclusion. En posant ensuite \(Y_s = Z_s \setminus \bigcup_{s' < s} Z_{s'}\), on obtient la stratification cherchée.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique. Supposons que \(X = T_1 \cup \ldots \cup T_n\) soit écrit comme réunion de parties constructibles. Il existe une stratification finie \(X = \coprod X_i\), dont chaque \(X_i\) est constructible, telle que chaque \(T_k\) soit une réunion de strates.

Démonstration

Par définition des parties constructibles, chaque \(T_i\) s’écrit comme réunion finie de parties \(U \cap V^c\), où \(U, V \subset X\) sont des ouverts rétrocompacts. Nous pouvons donc supposer que \(T_i = U_i \cap V_i^c\), où \(U_i, V_i \subset X\) sont des ouverts rétrocompacts. Soit \(S\) l’ensemble fini de parties fermées de \(X\) constitué de \(\emptyset, X, U_i^c, V_i^c\) et de leurs intersections finies. Si \(Z \in S\), alors \(Z\) est constructible dans \(X\) (Lemme 005H). De plus, \(Z \cap Z' \in S\) pour tous \(Z, Z' \in S\). Munissons \(S\) de l’ordre partiel donné par l’inclusion. Pour \(Z \in S\), posons \(X_Z = Z \setminus \bigcup_{Z' < Z,\ Z' \in S} Z'\). On obtient ainsi une stratification \(X = \coprod_{Z \in S} X_Z\) qui possède les propriétés énoncées dans le lemme.

Lemme

Soit \(X\) un espace topologique noethérien. Toute partition finie de \(X\) peut être raffinée par une bonne stratification finie.

Démonstration

Soit \(X = \coprod X_i\) une partition finie de \(X\). Soit \(Z\) une composante irréductible de \(X\). Puisque \(X = \bigcup \overline{X_i}\) et que l’ensemble d’indices est fini, il existe un \(i\) tel que \(Z \subset \overline{X_i}\). Comme \(X_i\) est localement fermé, il s’ensuit que \(Z \cap X_i\) contient un ouvert de \(Z\). Ainsi, \(Z \cap X_i\) contient un ouvert \(U\) de \(X\) (Lemme 0052). Écrivons \(X_i = U \amalg X_i^1 \amalg X_i^2\), où \(X_i^1 = (X_i \setminus U) \cap \overline{U}\) et \(X_i^2 = (X_i \setminus U) \cap \overline{U}^c\). Pour \(i' \not = i\), posons \(X_{i'}^1 = X_{i'} \cap \overline{U}\) et \(X_{i'}^2 = X_{i'} \cap \overline{U}^c\). Alors \[X \setminus U = \coprod X^k_l\] est une partition telle que \(\overline{U} \setminus U = \bigcup X_l^1\). Remarquons que \(X \setminus U\) est une partie fermée strictement contenue dans \(X\). Par récurrence noethérienne, nous pouvons raffiner cette partition par une bonne stratification finie \(X \setminus U = \coprod_{\alpha \in A} T_\alpha\). Alors \(X = U \amalg \coprod_{\alpha \in A} T_\alpha\) est une bonne stratification finie de \(X\) qui raffine la partition initiale.

Colimites d’espaces

La catégorie des espaces topologiques possède des coproduits. En effet, si \(I\) est un ensemble et si, pour \(i \in I\), on se donne un espace topologique \(X_i\), on munit l’ensemble \(\coprod_{i \in I} X_i\) de la topologie somme. Une base de cette topologie est formée des parties \(U_i\), où \(U_i \subset X_i\) est ouvert.

La catégorie des espaces topologiques possède des coégalisateurs. En effet, si \(a, b : X \to Y\) sont des morphismes d’espaces topologiques, alors le coégalisateur de \(a\) et \(b\) est le coégalisateur \(Y/\sim\) dans la catégorie des ensembles, muni de la topologie quotient (section 0405).

Lemme

La catégorie des espaces topologiques possède des colimites, et le foncteur d’oubli vers la catégorie des ensembles commute aux colimites.

Démonstration

Cela résulte de la discussion précédente et de Catégories, Lemme 002P. Une autre preuve de l’existence des colimites est esquissée dans Catégories, Remarque 0AHP. Il résulte de ce qui précède que le foncteur d’oubli commute aux colimites. On peut également le voir en utilisant Catégories, Lemme 0038, et le fait que le foncteur d’oubli possède un adjoint à droite, à savoir le foncteur qui associe à un ensemble l’espace topologique chaotique (ou indiscret) correspondant.

Groupes, anneaux et modules topologiques

Cette courte section ne contient que des définitions et des propriétés élémentaires.

Définition

Un groupe topologique est un groupe \(G\) muni d’une topologie telle que la multiplication \(G \times G \to G\), \((x, y) \mapsto xy\), et l’inversion \(G \to G\), \(x \mapsto x^{-1}\), soient continues. Un homomorphisme de groupes topologiques est un homomorphisme de groupes qui est continu.

Si \(G\) est un groupe topologique et \(H \subset G\) un sous-groupe, alors \(H\), muni de la topologie induite, est un groupe topologique. Si \(G\) est un groupe topologique et \(G \to H\) une surjection de groupes, alors \(H\), muni de la topologie quotient, est un groupe topologique.

Exemple

Soit \(E\) un ensemble. On peut munir l’ensemble de ses applications dans lui-même, noté \(\text{Map}(E, E)\), de la topologie compacte-ouverte, c’est-à-dire de la topologie pour laquelle, étant donné \(f : E \to E\), un système fondamental de voisinages de \(f\) est formé des ensembles \(U_S(f) = \{f' : E \to E \mid f'|_S = f|_S\}\), où \(S \subset E\) est fini. Pour cette topologie, l’action \[\text{Map}(E, E) \times E \longrightarrow E,\quad (f, e) \longmapsto f(e)\] est continue lorsque \(E\) est muni de la topologie discrète. Si \(X\) est un espace topologique et si \(X \times E \to E\) est une application continue, alors l’application \(X \to \text{Map}(E, E)\) est continue. Autrement dit, la topologie compacte-ouverte est la topologie la moins fine pour laquelle l’application d’« action » affichée ci-dessus est continue. La composition \[\text{Map}(E, E) \times \text{Map}(E, E) \to \text{Map}(E, E)\] est elle aussi continue (comme on le vérifie aisément à l’aide de la description précédente des voisinages). Enfin, si \(\text{Aut}(E) \subset \text{Map}(E, E)\) est la partie des applications bijectives, alors l’inversion \(i : \text{Aut}(E) \to \text{Aut}(E)\), \(f \mapsto f^{-1}\), est également continue. En effet, si \(S \subset E\) est fini, alors \(i^{-1}(U_S(f^{-1})) = U_{f^{-1}(S)}(f)\). Ainsi, \(\text{Aut}(E)\) est un groupe topologique au sens de la Définition 0B1Z.

Lemme

La catégorie des groupes topologiques possède des limites, et les foncteurs d’oubli vers (a) la catégorie des espaces topologiques et (b) la catégorie des groupes commutent aux limites.

Démonstration

Il suffit d’établir ces assertions pour les produits et les égalisateurs ; voir Catégories, Lemme 002N. Soient \(G_i\), \(i \in I\), une famille de groupes topologiques. Munissons le produit usuel \(G = \prod G_i\) de la topologie produit. Puisque \(G \times G = \prod (G_i \times G_i)\) comme espace topologique (les produits commutent entre eux dans toute catégorie), la multiplication sur \(G\) est continue. Il en va de même de l’inversion. Soient \(a, b : G \to H\) deux homomorphismes de groupes topologiques. Pour l’égalisateur, il suffit alors de prendre l’égalisateur de \(a\) et \(b\) dans la catégorie des espaces topologiques : il s’agit aussi de leur égalisateur dans la catégorie des groupes, muni de la topologie induite.

Lemme

Soit \(G\) un groupe topologique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

\(G\), considéré comme espace topologique, est profini,

\(G\) est la limite d’un diagramme de groupes topologiques discrets finis,

\(G\) est une limite cofiltrante de groupes topologiques discrets finis.

Démonstration

Nous disposons du résultat correspondant pour les espaces topologiques ; voir le Lemme 08ZY. Combiné au Lemme 0B20, ce résultat montre qu’il suffit de prouver que (1) implique (3).

Montrons d’abord que tout voisinage \(E\) de l’élément neutre \(e\) contient un sous-groupe ouvert. En effet, puisque \(G\) est une limite cofiltrante d’espaces topologiques discrets finis (Lemme 08ZY), on peut choisir une application continue \(f : G \to T\) vers un espace discret fini \(T\) telle que \(f^{-1}(f(\{e\})) \subset E\). Considérons \[H = \{g \in G \mid f(gg') = f(g')\text{ pour tout }g' \in G\}\] Il s’agit d’un sous-groupe de \(G\) contenu dans \(E\). Il suffit donc de montrer que \(H\) est ouvert. Fixons \(t \in T\) et posons \(W = f^{-1}(\{t\})\). La partie \(W \subset G\) est ouverte et fermée, donc en particulier quasi-compacte. Pour tout \(w \in W\), il existe des voisinages ouverts \(e \in U_w \subset G\) et \(w \in U'_w \subset W\) tels que \(U_wU'_w \subset W\). Par quasi-compacité, on peut trouver \(w_1, \ldots, w_n\) tels que \(W = \bigcup U'_{w_i}\). Alors \(U_t = U_{w_1} \cap \ldots \cap U_{w_n}\) est un voisinage ouvert de \(e\) tel que \(f(gw) = t\) pour tout \(w \in W\). Comme \(T\) est fini, \(\bigcap_{t \in T} U_t \subset H\) est un voisinage ouvert de \(e\). Puisque \(H \subset G\) est un sous-groupe, il s’ensuit que \(H\) est ouvert.

Supposons que \(H \subset G\) soit un sous-groupe ouvert. Puisque \(G\) est quasi-compact, l’indice de \(H\) dans \(G\) est fini. Écrivons \(G = Hg_1 \cup \ldots \cup Hg_n\). Alors \(N = \bigcap_{i = 1, \ldots, n} g_iHg_i^{-1}\) est un sous-groupe normal ouvert contenu dans \(H\). Comme \(N\) est lui aussi d’indice fini, \(G \to G/N\) est une surjection vers un groupe topologique discret fini.

Considérons l’application \[G \longrightarrow \lim_{N \subset G\text{ ouvert et normal}} G/N\] Nous affirmons que cette application est un isomorphisme de groupes topologiques. Cela achève la preuve du lemme, car le système qui figure à droite est cofiltrant (l’intersection de deux sous-groupes normaux ouverts est ouverte et normale). L’application est continue puisque chaque \(G \to G/N\) l’est. Elle est injective parce que \(G\) est séparé et que tout voisinage de \(e\) contient un tel \(N\), d’après les arguments précédents. Elle est surjective par le Lemme 005D. Enfin, le Lemme 08YE montre que c’est un homéomorphisme.

Définition

Un groupe topologique est appelé un groupe profini s’il satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 0BR1.

Si \(G_1 \to G_2 \to G_3 \to \ldots\) est un système de groupes topologiques, alors sa colimite \(G = \colim G_n\) dans la catégorie des groupes topologiques (Lemme 0B21) diffère en général de sa colimite dans la catégorie des espaces topologiques (Lemme 0B1X), bien que ces deux colimites aient le même ensemble sous-jacent. Voir Exemples, section 0B2Y.

Lemme

La catégorie des groupes topologiques possède des colimites, et le foncteur d’oubli vers la catégorie des groupes commute aux colimites.

Démonstration

Pour démontrer l’existence des colimites, nous utiliserons l’argument de Catégories, Remarque 0AHP. Supposons donc que \(\mathcal{I} \to \textit{Top}\), \(i \mapsto G_i\), soit un foncteur à valeurs dans la catégorie \(\textit{TopGroup}\) des groupes topologiques. Considérons \[F : \textit{TopGroup} \longrightarrow \textit{Ensembles},\quad H \longmapsto \lim_\mathcal{I} \Mor_{\textit{TopGroup}}(G_i, H)\] Ce foncteur commute aux limites. De plus, étant donné un groupe topologique \(H\) et un élément \((\varphi_i : G_i \to H)\) de \(F(H)\), il existe un sous-groupe \(H' \subset H\) de cardinal au plus \(|\coprod G_i|\) (le coproduit étant pris dans la catégorie des groupes, c’est-à-dire le produit libre des \(G_i\)) tel que les morphismes \(\varphi_i\) soient à valeurs dans \(H'\). On peut en effet choisir le sous-groupe engendré par les images des \(\varphi_i\), muni de la topologie induite. Les hypothèses de Catégories, Lemme 0AHN, sont donc satisfaites, et l’on obtient un groupe topologique \(G\) qui représente le foncteur \(F\), ce qui signifie précisément que \(G\) est la colimite du diagramme \(i \mapsto G_i\).

Pour montrer que le foncteur d’oubli vers les groupes commute aux colimites, nous utilisons Catégories, Lemme 0038. En effet, le foncteur d’oubli possède un adjoint à droite : le foncteur qui associe à un groupe le groupe topologique chaotique (ou indiscret) correspondant.

Définition

Un anneau topologique est un anneau \(R\) muni d’une topologie telle que l’addition \(R \times R \to R\), \((x, y) \mapsto x + y\), et la multiplication \(R \times R \to R\), \((x, y) \mapsto xy\), soient continues. Un homomorphisme d’anneaux topologiques est un homomorphisme d’anneaux qui est continu.

Dans le projet Champs, les anneaux sont commutatifs et possèdent une unité, notée \(1\). Si \(R\) est un anneau topologique, alors \((R, +)\) est un groupe topologique, puisque \(x \mapsto -x\) est continue. Si \(R\) est un anneau topologique et \(R' \subset R\) un sous-anneau, alors \(R'\), muni de la topologie induite, est un anneau topologique. Si \(R\) est un anneau topologique et \(R \to R'\) une surjection d’anneaux, alors \(R'\), muni de la topologie quotient, est un anneau topologique.

Lemme

La catégorie des anneaux topologiques possède des limites, et les foncteurs d’oubli vers (a) la catégorie des espaces topologiques et (b) la catégorie des anneaux commutent aux limites.

Démonstration

Il suffit d’établir ces assertions pour les produits et les égalisateurs ; voir Catégories, Lemme 002N. Soient \(R_i\), \(i \in I\), une famille d’anneaux topologiques. Munissons le produit usuel \(R = \prod R_i\) de la topologie produit. Puisque \(R \times R = \prod (R_i \times R_i)\) comme espace topologique (les produits commutent entre eux dans toute catégorie), l’addition et la multiplication sur \(R\) sont continues. Soient \(a, b : R \to R'\) deux homomorphismes d’anneaux topologiques. Pour l’égalisateur, il suffit alors de prendre l’égalisateur de \(a\) et \(b\) dans la catégorie des espaces topologiques : il s’agit aussi de leur égalisateur dans la catégorie des anneaux, muni de la topologie induite.

Lemme

La catégorie des anneaux topologiques possède des colimites, et le foncteur d’oubli vers la catégorie des anneaux commute aux colimites.

Démonstration

Le même argument que dans la preuve du Lemme 0B21 démontre l’existence des colimites. Pour montrer que le foncteur d’oubli vers les anneaux commute aux colimites, nous utilisons Catégories, Lemme 0038. En effet, le foncteur d’oubli possède un adjoint à droite : le foncteur qui associe à un anneau l’anneau topologique chaotique (ou indiscret) correspondant.

Définition

Soit \(R\) un anneau topologique. Un module topologique est un \(R\)-module \(M\) muni d’une topologie telle que l’addition \(M \times M \to M\) et la multiplication par les scalaires \(R \times M \to M\) soient continues. Un homomorphisme de modules topologiques est un homomorphisme de modules qui est continu.

Si \(R\) est un anneau topologique et \(M\) un module topologique, alors \((M, +)\) est un groupe topologique, puisque \(x \mapsto -x\) est continue. Si \(R\) est un anneau topologique, \(M\) un module topologique et \(M' \subset M\) un sous-module, alors \(M'\), muni de la topologie induite, est un module topologique. Si \(R\) est un anneau topologique, \(M\) un module topologique et \(M \to M'\) une surjection de modules, alors \(M'\), muni de la topologie quotient, est un module topologique.

Lemme

Soit \(R\) un anneau topologique. La catégorie des modules topologiques sur \(R\) possède des limites, et les foncteurs d’oubli vers (a) la catégorie des espaces topologiques et (b) la catégorie des \(R\)-modules commutent aux limites.

Démonstration

Il suffit d’établir ces assertions pour les produits et les égalisateurs ; voir Catégories, Lemme 002N. Soient \(M_i\), \(i \in I\), une famille de modules topologiques sur \(R\). Munissons le produit usuel \(M = \prod M_i\) de la topologie produit. Puisque \(M \times M = \prod (M_i \times M_i)\) comme espace topologique (les produits commutent entre eux dans toute catégorie), l’addition sur \(M\) est continue. Il en va de même de la multiplication par les scalaires \(R \times M \to M\). Soient \(a, b : M \to M'\) deux homomorphismes de modules topologiques sur \(R\). Pour l’égalisateur, il suffit alors de prendre l’égalisateur de \(a\) et \(b\) dans la catégorie des espaces topologiques : il s’agit aussi de leur égalisateur dans la catégorie des modules, muni de la topologie induite.

Lemme

Soit \(R\) un anneau topologique. La catégorie des modules topologiques sur \(R\) possède des colimites, et le foncteur d’oubli vers la catégorie des modules sur \(R\) commute aux colimites.

Démonstration

Le même argument que dans la preuve du Lemme 0B21 démontre l’existence des colimites. Pour montrer que le foncteur d’oubli vers les \(R\)-modules commute aux colimites, nous utilisons Catégories, Lemme 0038. En effet, le foncteur d’oubli possède un adjoint à droite : le foncteur qui associe à un module le module topologique chaotique (ou indiscret) correspondant.

Cette notion est très différente de celle de submersion entre variétés différentielles ! Il est sans doute préférable d’employer « stricte et surjective » plutôt que « submersive ».↩︎
Cette terminologie n’est peut-être pas standard. On rencontre dans la littérature les deux autres notions suivantes : (1) tout point possède un voisinage quasi-compact ; (2) tout point possède un voisinage fermé quasi-compact. Un schéma a la propriété que tout point possède un système fondamental de voisinages ouverts quasi-compacts.↩︎
Dans la deuxième édition d’EGA I [EGA1-second], cette partie était appelée « globalement constructible » et la terminologie « constructible » était employée pour ce que nous appelons une partie localement constructible.↩︎
C’est la terminologie employée dans [Bourbaki]. Cette propriété est parfois appelée « universellement fermée » dans la littérature.↩︎
Il s’agit vraisemblablement d’une notation non standard. Cette notion n’est habituellement introduite que pour les schémas (localement) noethériens, auquel cas la condition (a) résulte de (b).↩︎