스킴 위의 위상

서론

이 글에서는 스킴의 범주 위에 놓이는 여러 위상이 무엇인지 설명한다. 참고 문헌으로는 [SGA1] 및 [Ner] 등이 있다. 이에 앞서, 같은 기저 범주에서 동일한 층의 개념을 주는 사이트(Sites, Definition 00VH에서 정의됨)의 선택이 여럿임을 지적해 둔다. 따라서 여기서 택하는 정의는 참고 문헌의 정의와 약간 다를 수 있지만, 궁극적으로는 같은 코호몰로지 군 등을 준다.

일반적 절차

이 절에서는 앞으로 사용할 사이트들을 만드는 일반적 절차를 설명한다. 어떤 위상 \(\tau\)에 관하여 스킴 위의 층을 연구하고자 한다고 하자. 그 위상을 지닌 스킴들로 Sites, Definition 00VH의 의미에서 사이트를 만들려면 몇 가지 작업이 필요하다. 실제로 “Zariski 위상을 지닌 모든 스킴을 생각한다”고 단순히 말할 수는 없다. 그러면 “큰” 범주가 생기기 때문이다. 대신 이 장의 각 절에서는 다음과 같이 진행한다.

1. Sites, Definition 00VH의 공리를 만족하는 스킴 덮개들의 클래스 \(\text{Cov}_\tau\)를 정의한다. 스킴의 Zariski 열린 덮개는 언제나 \(\tau\)-덮개가 된다.

2. 아핀 스킴의 범주 안에서 표준 \(\tau\)-덮개라는 개념을 따로 정한다.

3. “절대적” 큰 \(\tau\)-사이트 \(\Sch_\tau\)가 무엇인지 정의한다. 이는 스킴들의 집합과 덮개들의 집합을 적절히 선택하여 얻는 사이트이다.

4. \(\Sch_\tau\)의 임의의 대상 \(S\)에 대하여 큰 \(\tau\)-사이트 \((\Sch/S)_\tau\)를 정의하고, 적절한 \(\tau\)에 대해서는 작은 ¹ \(\tau\)-사이트 \(S_\tau\)도 정의한다.

5. 또한 아핀의 표준 \(\tau\)-덮개라는 개념을 사용하는 사이트 \((\textit{Aff}/S)_\tau\)가 있다². 이 사이트의 층 범주는 \((\Sch/S)_\tau\) 위의 층 범주와 동치이다.

위 절차는 스킴의 큰 \(\tau\)-사이트는 물론 작은 \(\tau\)-사이트에 대해서도 표준적인 선택을 주지 않는다는 점에서 다소 번거롭다. 집합론적 어려움을 무시해도 좋다면 클래스를 사용하여 표준적인 큰 사이트와 작은 사이트를 얻을 수 있다…

Zariski 위상

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. \(T\)의 Zariski 덮개란 스킴 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)로서, 각 \(f_i\)가 열린 몰입이고 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)를 만족하는 것이다.

이는 덮개들의 (진)클래스를 정의한다. 이제 이 개념이 Sites, Definition 00VH의 조건들을 만족함을 보인다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 Zariski 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 Zariski 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 Zariski 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 Zariski 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 Zariski 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴의 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 Zariski 덮개이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 Zariski 덮개라 하자. 그러면 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)의 세분인 Zariski 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 존재하여, 각 \(U_j\)는 \(T\)의 표준 열린집합이다. Schemes, Definition 01HT을 보라. 더욱이 각 \(U_j\)를 어떤 \(T_i\)의 열린부분으로 택할 수 있다.

증명

\(T\)가 준콤팩트이고 표준 열린집합들이 그 위상의 기저를 이루므로 따른다. 이는 Schemes, Lemma 01HS에서도 증명되어 있다.

따라서 이에 대응하는 아핀의 표준 덮개를 다음과 같이 정의한다.

정의

Schemes, Definition 01HT과 비교하라. \(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(T\)의 표준 Zariski 덮개란 Zariski 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)로서, 각 \(U_j \to T\)가 \(T\)의 어떤 표준 아핀 열린부분과의 동형을 유도하는 것이다.

정의

큰 Zariski 사이트란 Sites, Definition 00VH의 사이트 \(\Sch_{Zar}\) 가운데 다음과 같이 구성된 임의의 것을 말한다.

1. 스킴들의 임의의 집합 \(S_0\)와 이 스킴들 사이의 Zariski 덮개들의 임의의 집합 \(\text{Cov}_0\)를 택한다.

2. 집합 \(S_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J와 같이 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 \(\Sch_{Zar}\)의 기저 범주로 삼는다.

3. 범주 \(\Sch_\alpha\), Zariski 덮개들의 클래스, 그리고 위에서 택한 집합 \(\text{Cov}_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000X와 같이 얻은 덮개들의 임의의 집합을 \(\Sch_{Zar}\)의 덮개들로 택한다.

Sites, Lemma 00VY에 따르면, 범주 \(\Sch_\alpha\)를 택하고 나면 \(\Sch_\alpha\) 위의 층 범주는 위의 (3)에서 택한 덮개들의 선택에 의존하지 않는다. 다시 말해 토포스 \(\Sh(\Sch_{Zar})\)는 범주 \(\Sch_\alpha\)의 선택에만 의존한다. Sets, Lemma 000R에 따르면 이 범주들은 올곱을 취하거나 열린 부분스킴과 닫힌 부분스킴을 취하는 것과 같은 대수기하학의 많은 구성에 대하여 닫혀 있다. 또한 \(\Sch_\alpha\)의 정확한 선택도 그다지 중요하지 않음을 보일 수 있다. Section 022I를 보라.

다른 방법으로는 강하게 도달 불가능한 기수가 존재한다고 가정하고, \(\Sch_{Zar}\)를 택한 우주에 속하는 스킴들의 범주로 정의하되 덮개들의 집합은 같은 우주에 속하는 Zariski 덮개들로 정의할 수도 있다.

스킴 \(S\)의 큰 Zariski 사이트를 도입하기에 앞서, 큰 Zariski 사이트 \(\Sch_{Zar}\) 위의 위상은 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 Zariski 위상으로부터 유도된다는 점을 지적해 둔다.

보조정리

\(\Sch_{Zar}\)를 Definition 020S와 같은 큰 Zariski 사이트라 하고 \(T \in \Ob(\Sch_{Zar})\)라 하자. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 임의의 Zariski 덮개라 하자. 그러면 사이트 \(\Sch_{Zar}\) 안에서 \(T\)의 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재하여 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)와 자명하게 동치이다(Sites, Definition 00VU을 보라).

증명

각 \(T_i \to T\)가 열린 몰입이므로 Sets, Lemma 000R에 의해 각 \(T_i\)는 \(\Sch_{Zar}\)의 어떤 대상 \(V_i\)와 동형이다. 덮개 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(I\) 위의 항등사상을 양방향으로 사용하면 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)와 자명하게 동치이다. 더욱이 Sets, Lemma 000X에 의해 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 사이트 \(\Sch_{Zar}\) 안의 \(T\)의 어떤 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)와 조합적으로 동치이다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{Zar}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 Zariski 사이트라 하자.

1. \((\Sch/S)_{Zar}\)로 나타내는 \(S\)의 큰 Zariski 사이트는 Sites, Section 00XZ에서 도입한 사이트 \(\Sch_{Zar}/S\)이다.

2. \(S_{Zar}\)로 나타내는 \(S\)의 작은 Zariski 사이트는 \((\Sch/S)_{Zar}\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 \(U \to S\)가 열린 몰입인 \(U/S\)들이다. \(S_{Zar}\)의 덮개란 \(U \in \Ob(S_{Zar})\)인 \((\Sch/S)_{Zar}\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

3. \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\)로 나타내는 \(S\)의 큰 아핀 Zariski 사이트는 \((\Sch/S)_{Zar}\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 \(U\)가 아핀 스킴인 \(U/S\)들이다. \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\)의 덮개란 \(U \in \Ob((\textit{Aff}/S)_{Zar})\)이고 표준 Zariski 덮개인 \((\Sch/S)_{Zar}\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

4. \(S_{affine, Zar}\)로 나타내는 \(S\)의 작은 아핀 Zariski 사이트는 \(S_{Zar}\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 \(U\)가 아핀 스킴인 \(U/S\)들이다. \(S_{affine, Zar}\)의 덮개란 \(U \in \Ob(S_{affine, Zar})\)이고 표준 Zariski 덮개인 \(S_{Zar}\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

작은 Zariski 사이트, 큰 아핀 Zariski 사이트, 작은 아핀 Zariski 사이트가 실제로 사이트라는 것은 완전히 자명하지 않다. 이제 이를 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{Zar}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 Zariski 사이트라 하자. 위에서 정의한 구조 \(S_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), \(S_{affine, Zar}\)는 사이트이다.

증명

\(S_{Zar}\)가 사이트임을 보이자. 이는 공통 표적을 가진 사상족들의 주어진 집합을 갖는 범주이다. 따라서 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 보여야 한다. \((\Sch/S)_{Zar}\)가 사이트이므로, \(U \in \Ob(S_{Zar})\)인 \((\Sch/S)_{Zar}\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)에 대하여 \(U_i \in \Ob(S_{Zar})\)임을 보이면 충분하다. 열린 몰입의 합성이 열린 몰입이므로 이는 정의에서 바로 따른다.

\((\textit{Aff}/S)_{Zar}\)가 사이트임을 보이자. 위와 같이 논하면 아핀의 표준 Zariski 덮개들의 모임이 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 만족함을 보이면 충분하다. \(R\)을 환이라 하고 \(f_1, \ldots, f_n \in R\)이 단위 아이디얼을 생성한다고 하자. 각 \(i \in \{1, \ldots, n\}\)에 대하여 \(g_{i1}, \ldots, g_{in_i} \in R_{f_i}\)가 \(R_{f_i}\)의 단위 아이디얼을 생성한다고 하자. 가능한 대로 \(g_{ij} = f_{ij}/f_i^{e_{ij}}\)라 쓰자. 필요하면 \(f_{ij}\)를 \(f_i f_{ij}\)로 바꾼 뒤에는 \(D(f_{ij}) \subset D(f_i) \cong \Spec(R_{f_i})\)가 \(D(g_{ij}) \subset \Spec(R_{f_i})\)와 같다. 따라서 사상족 \(\{D(g_{ij}) \to \Spec(R)\}\)는 표준 Zariski 덮개이다. 이 고찰로부터 표준 Zariski 덮개에 대하여 (2)가 성립한다. (1)과 (3)의 확인은 생략한다.

\(S_{affine, Zar}\)가 사이트라는 증명은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{Zar}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 Zariski 사이트라 하자. 사이트 \(\Sch_{Zar}\), \((\Sch/S)_{Zar}\), \(S_{Zar}\), \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\), \(S_{affine, Zar}\)의 기저 범주들은 올곱을 갖는다. 각 경우에 모든 스킴의 범주 \(\Sch\)로 가는 자명한 함자는 올곱을 취하는 것과 가환한다. 범주 \((\Sch/S)_{Zar}\)와 \(S_{Zar}\)는 모두 끝 대상 \(S/S\)를 갖는다.

증명

\(\Sch_{Zar}\)에 대해서는 구성상 참이다. Sets, Lemma 000R을 보라. \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{Zar})\)이고 \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 스킴의 사상이라고 하자. \(\Sch_{Zar}\)에서의 올곱 \(V \times_U W\)는 \(\Sch\)에서도 올곱이며, \(S\) 위의 모든 스킴의 범주에서 \(U/S\) 위의 \(V/S\)와 \(W/S\)의 올곱이다. 따라서 이는 \((\Sch/S)_{Zar}\)에서도 올곱이다. 이로써 \((\Sch/S)_{Zar}\)의 경우를 얻는다. \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 열린 몰입이면 \(V \times_U W \to S\)도 열린 몰입이므로 \(S_{Zar}\)의 경우를 얻는다. \(U, V, W\)가 아핀이면 \(V \times_U W\)도 아핀이므로 \((\textit{Aff}/S)_{Zar}\)와 \(S_{affine, Zar}\)의 경우를 얻는다.

이제 큰 아핀 사이트와 작은 아핀 사이트가 각각 큰 사이트와 작은 사이트와 같은 토포스를 정의함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{Zar}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 Zariski 사이트라 하자. 함자 \((\textit{Aff}/S)_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)는 특수 공연속 함자이다. 따라서 이는 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{Zar})\)에서 \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

특수 공연속 함자의 개념은 Sites, Definition 03CG에서 도입한다. 따라서 Sites, Lemma 03A0의 가정 (1)–(5)를 확인해야 한다. 포함 함자를 \(u : (\textit{Aff}/S)_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)라 쓰자. 공연속이라는 것은 아핀 \(T\)에 대한 \(T/S\)의 임의의 Zariski 덮개가 \(T\)의 표준 Zariski 덮개로 세분될 수 있다는 뜻이다. 이것이 Lemma 020Q의 내용이므로 (1)이 성립한다. 표준 Zariski 덮개는 Zariski 덮개이므로 \(u\)가 연속임은 바로 보이고, 따라서 (2)가 성립한다. (3)과 (4)는 \(u\)가 충실충만이라는 사실에서 즉시 따른다. 마지막으로 (5)는 모든 스킴이 아핀 열린 덮개를 갖는다는 사실에서 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{Zar}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 Zariski 사이트라 하자. 함자 \(S_{affine, Zar} \to S_{Zar}\)는 특수 공연속 함자이다. 따라서 이는 \(\Sh(S_{affine, Zar})\)에서 \(\Sh(S_{Zar})\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 020W의 증명과 비교하라.

작은 Zariski 사이트 위의 층 개념이 \(S\) 위의 층 개념에 대응함을 확인하자.

보조정리

\(S_{Zar}\) 위의 층 범주는 \(S\)의 기저 위상공간 위의 층 범주와 동치이다.

증명

\(S_{Zar}\)의 임의의 대상 \(U/S\)에 대하여 사상 \(U \to S\)가 어떤 열린 부분스킴 위의 동형이라는 사실을 반복하여 사용한다. \(\mathcal{F}\)를 \(S\) 위의 층이라 하자. 그러면 규칙 \(\mathcal{F}'(U/S) = \mathcal{F}(\Im(U \to S))\)로 \(S_{Zar}\) 위의 층을 정의한다. 반대로 각 열린 부분스킴 \(U \subset S\)에 대하여 \(\Im(U' \to S) = U\)인 대상 \(U'/S \in \Ob(S_{Zar})\)를 택한다(여기서는 Sets, Lemma 000R을 사용해야 한다). \(S_{Zar}\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)가 주어지면 \(\mathcal{G}'(U) = \mathcal{G}(U'/S)\)로 두어 \(S\) 위의 층을 정의한다. \(\mathcal{G}'\)가 층임을 보이기 위해, 임의의 열린 덮개 \(U = \bigcup_{i \in I} U_i\)에 대하여 Sets, Lemma 000X에 의해 덮개 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 \(S_{Zar}\) 안의 어떤 덮개 \(\{U_j' \to U'\}_{j \in J}\)와 조합적으로 동치임을 사용하고, Sites, Lemma 00VW를 사용한다. 세부는 생략한다.

이제부터 \(S_{Zar}\) 위의 층과 \(S\) 위의 층을 구별하지 않는다. 두 개념을 오갈 때에는 항상 위 보조정리의 증명에서 쓴 절차를 사용한다. 다음으로 이 사이트들에 대응하는 토포스 사이의 몇 가지 관계를 확립한다.

보조정리

\(\Sch_{Zar}\)를 큰 Zariski 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_{Zar}\)의 사상이라 하자. 함자 \(T_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)는 공연속이며 다음 토포스 사상을 유도한다. \[i_f : \Sh(T_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] \((\Sch/S)_{Zar}\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이다. 또한 함자 \(i_f^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(i_{f, !}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u : T_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)를 생각하자. 다시 말해, \(T_{Zar}\)의 대상에 대응하는 열린 몰입 \(j : U \to T\)가 주어지면 \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\)로 둔다. 이 함자는 올곱과 가환한다(Lemma 020V 참조). 또한 \(T_{Zar}\)에는 등화자가 있고(시작 대상과 끝 대상이 같은 임의의 두 사상이 서로 같기 때문이다), \(u\)는 등화자와 가환한다. 공연속임은 명백하다. 또한 \(u\)는 덮개를 덮개로 보내고 올곱과 가환하므로 연속이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS로부터 결론이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{Zar}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 Zariski 사이트라 하자. 포함 함자 \(S_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)는 Sites, Lemma 00XU의 가정을 만족하므로 다음 사이트 사상을 유도한다. \[\pi_S : (\Sch/S)_{Zar} \longrightarrow S_{Zar}\] 그리고 다음 토포스 사상을 유도한다. \[i_S : \Sh(S_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] 여기서 \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\)이다. 또한 \(i_S = i_{\text{id}_S}\)이며, \(i_{\text{id}_S}\)는 Lemma 020Y에서와 같다. 특히 함자 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\)는 \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\)로 주어진다.

증명

이 경우 함자 \(u : S_{Zar} \to (\Sch/S)_{Zar}\)는 위의 Lemma 020Y의 증명에서 본 성질들에 더하여 충실충만이고, 끝 대상을 끝 대상으로 보낸다. 따라서 결론이 따른다.

정의

Lemma 020Z의 상황에서 함자 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\)를 흔히 작은 Zariski 사이트로의 제한이라 한다. 큰 Zariski 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 이 제한을 \(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}\)로 나타낸다.

이 표기를 쓰면 큰 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)와 작은 사이트 위의 층 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_{Zar})}(\mathcal{F}|_{S_{Zar}}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_{Zar})}(\mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_{Zar})}(\mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_{Zar}}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_{Zar})}(\pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 이다. 또한 \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_{Zar}} = \mathcal{G}\)이고 \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_{Zar}} = \mathcal{G}\)이다.

보조정리

\(\Sch_{Zar}\)를 큰 Zariski 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_{Zar}\)의 사상이라 하자. 함자 \[u : (\Sch/T)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/S)_{Zar}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 는 공연속이고, 다음과 같은 연속인 오른쪽 수반을 갖는다. \[v : (\Sch/S)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/T)_{Zar}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 이 두 함자는 동일한 토포스 사상을 유도한다. \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{Zar}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{Zar})\] \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이고 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다. 또한 \(f_{big}^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(f_{big!}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u\)는 공연속이고 연속이며 올곱 및 등화자와 가환한다(세부는 생략하며 Lemma 020Y의 증명과 비교하라). 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS를 적용하여 \(f_{big}^{-1}\)의 공식과 \(f_{big!}\)의 존재를 얻는다. 또한 \(U/T\)와 \(V/S\)가 주어졌을 때 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)이므로 함자 \(v\)는 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XX 및 00XY를 적용하면 \(f_{big, *}\)의 공식을 얻는다.

보조정리

\(\Sch_{Zar}\)를 큰 Zariski 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_{Zar}\)의 사상이라 하자.

1. \(i_f = f_{big} \circ i_T\)이다. 여기서 \(i_f\)는 Lemma 020Y에서와 같고 \(i_T\)는 Lemma 020Z에서와 같다.

2. 함자 \(S_{Zar} \to T_{Zar}\), \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\)는 연속이며 다음 사이트 사상을 유도한다. \[f_{small} : T_{Zar} \longrightarrow S_{Zar}\] Lemma 020X을 통해 \(T_{Zar}\) 위의 층과 \(T\) 위의 층을, 그리고 \(S_{Zar}\) 위의 층과 \(S\) 위의 층을 각각 동일시하면, 함자 \(f_{small}^{-1}\)와 \(f_{small, *}\)는 통상적인 \(f^{-1}\) 및 \(f_*\)와 일치한다.

3. 다음은 사이트 사상들의 가환도식이다. \[\xymatrix{ T_{Zar} \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_{Zar} \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T} \\ S_{Zar} & (\Sch/S)_{Zar} \ar[l]_{\pi_S} }\] 따라서 토포스 사상으로서 \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\)이다.

4. \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\)이다.

증명

\(i_f = f_{big} \circ i_T\)라는 등식은 \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\)에서 따르며, 후자의 등식은 위의 함자 설명에서 명백하다. 이로써 (1)을 얻는다.

명제 (2): Sites, Example 00X2을 보라.

(3)은 \(\pi_S\)와 \(\pi_T\)가 포함 함자로 주어지고, \(f_{small}\)과 \(f_{big}\)이 기저변환 함자 \(U \mapsto U \times_S T\)로 주어지므로 따른다.

(4)는 (3)에 \(i_T\)를 앞에서 합성하면 따른다.

위 보조정리의 상황에서 Definition 04BS의 용어를 쓰면, \(T\)의 큰 Zariski 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_{Zar}} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_{Zar}}),\] 이다. 이 등식은 보조정리의 사이트 도식이 가환한다는 사실에서 명백하다. 실제로 \(T\)와 \(S\)의 작은 Zariski 사이트로의 제한은 각각 \(\pi_{T, *}\)와 \(\pi_{S, *}\)로 주어진다. 당김과 제한을 포함하는 이와 비슷한 공식은 성립하지 않는다.

보조정리

\((\Sch/S)_{Zar}\)의 스킴 \(X\), \(Y\), \(Z\)와 사상 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)가 주어지면 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\)이고 \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\)이다.

증명

큰 사이트 위 함자들의 밂과 당김에 대한 Lemma 0210의 간단한 설명으로부터 따른다. 작은 사이트 위 함자들에 대해서는 Lemma 020X의 동일시를 통하여 Sheaves, Lemma 008E이 바로 이 명제이다.

보조정리

\(\Sch_{Zar}\)를 큰 Zariski 사이트라 하자. \(\Sch_{Zar}\)에서의 다음 Cartesian 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 그러면 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\)이고 \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\)이다.

증명

도식이 Cartesian이므로 \(U'/S'\)에 대하여 \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\)이다. 따라서 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\)와 \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\)는 모두 \((\Sch/T)_{Zar}\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)를 \(S'_{Zar}\) 위의 층 \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\)로 보낸다(Lemmas 020Y 및 0211을 사용하라). 두 번째 등식도 같은 방식으로 증명할 수 있으며, 더 일반적인 Sites, Lemma 03CF으로부터 유도할 수도 있다.

\(S\)의 큰 Zariski 사이트 위의 층은 \(S\) 위의 모든 스킴에 놓인 “통상적인” 층들의 모음으로 생각할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 큰 Zariski 사이트 \(\Sch_{Zar}\)에 속하는 스킴이라 하자. 큰 Zariski 사이트 \((\Sch/S)_{Zar}\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)는 다음 자료로 주어진다.

1. 각 \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_{Zar})\)에 대하여 \(T\) 위의 층 \(\mathcal{F}_T\),

2. \((\Sch/S)_{Zar}\)의 각 \(f : T' \to T\)에 대하여 사상 \(c_f : f^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\).

이 자료는 다음 조건을 만족해야 한다.

1. \((\Sch/S)_{Zar}\)의 임의의 \(f : T' \to T\)와 \(g : T'' \to T'\)에 대하여 합성 \(c_g \circ g^{-1}c_f\)는 \(c_{f \circ g}\)와 같고,

2. \((\Sch/S)_{Zar}\)의 \(f : T' \to T\)가 열린 몰입이면 \(c_f\)는 동형이다.

증명

이 보조정리는 Sites, Remark 0GWL에서 논의한 순수한 층론적 명제로부터 따른다. 여기서는 직접적인 증명도 제시한다.

\(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)가 주어졌다고 하자. \(p : T \to S\)가 구조 사상일 때 \(\mathcal{F}_T = i_p^{-1}\mathcal{F}\)로 둔다. 임의의 열린집합 \(U \subset T\)와, 상이 \(U\)인 \((\Sch/T)_{Zar}\)의 열린 몰입 \(U' \to T\)에 대하여 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U'/S)\)임에 유의하라(Lemmas 020X 및 020Y 참조). 따라서 \(S\) 위의 \(f : T' \to T\)와 \(U, U' \to T\)가 주어지면 표준 사상 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U'/S) \to \mathcal{F}(U'\times_T T'/S) = \mathcal{F}_{T'}(f^{-1}(U))\)를 얻는다. 여기서 가운데 사상은 \(S\) 위의 사상 \(U' \times_T T' \to U'\)에 관한 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상이다. 이 사상들의 모음은 제한과 양립하므로 \(\mathcal{F}_T\)에서 \(\mathcal{F}_{T'}\)로 가는 \(f\)-사상 \(c_f\)를 정의한다(Sheaves, Definition 008J과 그 주변의 논의를 보라). \(\mathcal{F}\)의 제한 사상들을 합성하면 다시 제한 사상이 되므로 \(c_{f \circ g}\)가 \(c_f\)와 \(c_g\)의 합성임은 명백하다.

반대로 보조정리와 같은 계 \((\mathcal{F}_T, c_f)\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{F}(T/S) = \mathcal{F}_T(T)\)로 두어 \(\Sh((\Sch/S)_{Zar})\) 위의 준층 \(\mathcal{F}\)를 정의할 수 있다. 제한 사상은 다음과 같이 정의한다. \(f : T' \to T\)와 \(s \in \mathcal{F}(T)\)가 주어지면 당김 \(f^*(s)\)를 \(c_f(s)\)로 둔다 (여기서도 \(c_f\)를 \(f\)-사상으로 생각한다). \(c_f\)들에 대한 조건은 이 당김들이 필요한 함자성을 만족함을 보장한다. 이것이 층이라는 확인은 생략한다. 이렇게 정의한 두 구성은 서로 역임이 명백하다.

Étale 위상

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위의 스킴 범주에 에탈 위상을 정의하고자 한다. 앞서 정한 일반 원칙에 따라 먼저 에탈 덮개의 개념을 도입한다.

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. \(T\)의 에탈 덮개란 각 \(f_i\)가 에탈이고 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)를 만족하는 스킴 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 말한다.

보조정리

모든 Zariski 덮개는 에탈 덮개이다.

증명

정의와 열린 몰입이 에탈 사상이라는 사실로부터 명백하다(Morphisms, Lemma 02GP 참조).

다음으로 이 개념이 Sites, Definition 00VH의 조건을 만족함을 보인다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 에탈 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 에탈 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 에탈 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 에탈 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 에탈 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 에탈 덮개이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 에탈 덮개라 하자. 그러면 각 \(U_j\)가 아핀 스킴이고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)의 세분인 에탈 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 존재한다. 더 나아가 각 \(U_j\)를 어떤 \(T_i\)의 아핀 열린집합으로 택할 수 있다.

증명

생략한다.

따라서 아핀 스킴의 대응하는 표준 덮개를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(T\)의 표준 에탈 덮개란 각 \(U_j\)가 아핀이고 \(T\) 위에서 에탈이며 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)를 만족하는 사상족 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 말한다.

위 정의에서는 사상 \(f_j\)가 표준 에탈이라고 가정하지 않는다. 그렇게 가정하면 표준 에탈 덮개가 \(\textit{Aff}/S\) 위의 사이트를 정의하지 못하기 때문이다. 예를 들어 Algebra, Lemma 00UC의 (4)항을 보라. 한편 아핀 스킴 사이의 에탈 사상은 자동으로 표준 매끄러운 사상이다(Algebra, Lemma 00U9 참조). 따라서 표준 에탈 덮개는 표준 매끄러운 덮개이자 표준 syntomic 덮개이다.

정의

큰 에탈 사이트란 Sites, Definition 00VH에서와 같은 사이트로서 다음과 같이 구성한 임의의 \(\Sch_\etale\)를 말한다.

1. 임의의 스킴들의 집합 \(S_0\)와 이 스킴들 사이의 임의의 에탈 덮개 집합 \(\text{Cov}_0\)를 택한다.

2. 기저 범주로, 집합 \(S_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J에서와 같이 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 택한다.

3. 범주 \(\Sch_\alpha\), 에탈 덮개들의 모임, 그리고 위에서 택한 집합 \(\text{Cov}_0\)로부터 출발하여 Sets, Lemma 000X에서와 같은 임의의 덮개 집합을 택한다.

큰 사이트 정의의 동기와 설명은 Definition 020S 뒤의 주석을 보라.

스킴 \(S\)의 큰 에탈 사이트를 계속 도입하기 전에, 큰 에탈 사이트 \(\Sch_\etale\)의 위상은 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 에탈 위상으로부터 유도됨을 지적해 두자.

보조정리

\(\Sch_\etale\)를 Definition 021A에서와 같은 큰 에탈 사이트라 하자. \(T \in \Ob(\Sch_\etale)\)라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 임의의 에탈 덮개라 하자.

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 \(\Sch_\etale\) 안의 \(T\)의 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재한다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 표준 에탈 덮개이면, \(\Sch_\etale\) 안의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 Zariski 덮개이면, \(\Sch_\etale\) 안의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

증명

각 \(i\)에 대하여, 모든 \(T_{ij}\)가 \(T\)의 어떤 아핀 열린 부분스킴으로 사상되는 아핀 열린 덮개 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)를 택한다. Lemma 0217에 의해 세분 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\)도 \(T\)의 에탈 덮개이다. 따라서 각 \(T_i\)가 아핀이고 \(T\)의 아핀 열린집합 \(W_i\)로 사상된다고 가정할 수 있다. Sets, Lemma 000R을 적용하면 \(W_i\)가 \(\Sch_\etale\)의 어떤 대상과 동형임을 알 수 있다. 그러면 \(W_i\) 위의 유한형 스킴인 \(T_i\)도 Sets, Lemma 000R을 다시 적용하여 \(\Sch_\etale\)의 어떤 대상 \(V_i\)와 동형이다. 덮개 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분한다(서로 동형이기 때문이다). 또한 Sets, Lemma 000R에 의해 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\Sch_\etale\) 안의 \(T\)의 어떤 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)와 조합적으로 동치이다. 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)는 (1)에서 요구한 세분이다. (2), (3)의 상황에서는 Sets, Lemma 000R에 의해 각 스킴 \(T_i\)가 \(\Sch_\etale\)의 어떤 대상과 동형이고, Sets, Lemma 000X을 한 번 더 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_\etale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 에탈 사이트라 하자.

1. \(S\)의 큰 에탈 사이트 \((\Sch/S)_\etale\)는 Sites, Section 00XZ에서 도입한 사이트 \(\Sch_\etale/S\)이다.

2. \(S\)의 작은 에탈 사이트 \(S_\etale\)는 \((\Sch/S)_\etale\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 \(U \to S\)가 에탈인 \(U/S\)이다. \(S_\etale\)의 덮개는 \(U \in \Ob(S_\etale)\)인 \((\Sch/S)_\etale\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

3. \(S\)의 큰 아핀 에탈 사이트 \((\textit{Aff}/S)_\etale\)는 \((\Sch/S)_\etale\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 \(U\)가 아핀 스킴인 \(U/S\)이다. \((\textit{Aff}/S)_\etale\)의 덮개는 \(U \in \Ob((\textit{Aff}/S)_\etale)\)인 \((\Sch/S)_\etale\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\) 가운데 표준 에탈 덮개인 것이다.

4. \(S\)의 작은 아핀 에탈 사이트 \(S_{affine, \etale}\)는 \(S_\etale\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 \(U\)가 아핀 스킴인 \(U/S\)이다. \(S_{affine, \etale}\)의 덮개는 \(U \in \Ob(S_{affine, \etale})\)인 \(S_\etale\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\) 가운데 표준 에탈 덮개인 것이다.

큰 아핀 에탈 사이트, 작은 에탈 사이트, 작은 아핀 에탈 사이트가 실제로 사이트인지는 완전히 자명하지 않다. 이제 이를 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_\etale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 에탈 사이트라 하자. 구조 \(S_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\), 그리고 \(S_{affine, \etale}\)는 사이트이다.

증명

\(S_\etale\)가 사이트임을 보이자. 이는 끝 대상이 고정된 사상족들의 집합이 주어진 범주이다. 따라서 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 보이면 된다. \((\Sch/S)_\etale\)가 사이트이므로, \(U \in \Ob(S_\etale)\)인 \((\Sch/S)_\etale\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)에 대하여 \(U_i \in \Ob(S_\etale)\)임을 보이면 충분하다. 에탈 사상의 합성은 에탈 사상이므로 이는 정의에서 바로 따른다.

\((\textit{Aff}/S)_\etale\)가 사이트임을 보이자. 위와 같이 논하면, 아핀 스킴의 표준 에탈 덮개들의 모음이 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 만족함을 보이면 충분하다. 이는 명백하다. 예를 들어 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 표준 에탈 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 표준 에탈 덮개이면, \(\bigcup_{i\in I} J_i\)가 유한이고 각 \(T_{ij}\)가 아핀이므로 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 표준 에탈 덮개이다.

\(S_{affine, \'etale}\)가 사이트라는 증명은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_\etale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 에탈 사이트라 하자. 사이트 \(\Sch_\etale\), \((\Sch/S)_\etale\), \(S_\etale\), \((\textit{Aff}/S)_\etale\), 그리고 \(S_{affine, \etale}\)의 기저 범주에는 올곱이 존재한다. 각 경우 모든 스킴의 범주 \(\Sch\)로 가는 자명한 함자는 올곱을 취하는 연산과 가환한다. 범주 \((\Sch/S)_\etale\)와 \(S_\etale\)에는 모두 끝 대상이 있으며, 그것은 \(S/S\)이다.

증명

\(\Sch_\etale\)에 대해서는 구성상 참이다(Sets, Lemma 000R 참조). \(U, V, W \in \Ob(\Sch_\etale)\)인 스킴 사상 \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 주어졌다고 하자. \(\Sch_\etale\) 안의 올곱 \(V \times_U W\)는 \(\Sch\) 안의 올곱이며, 모든 \(S\)-스킴의 범주에서 \(U/S\) 위의 \(V/S\)와 \(W/S\)의 올곱이기도 하다. 따라서 \((\Sch/S)_\etale\) 안의 올곱이다. 이로써 \((\Sch/S)_\etale\)에 대한 결론을 얻는다. \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 에탈이면 \(V \times_U W \to S\)도 에탈이므로 \(S_\etale\)에 대한 결론을 얻는다. \(U, V, W\)가 아핀이면 \(V \times_U W\)도 아핀이므로 \((\textit{Aff}/S)_\etale\)와 \(S_{affine, \etale}\)에 대한 결론도 얻는다.

다음으로 큰 아핀 사이트와 작은 아핀 사이트가 각각 큰 사이트와 작은 사이트와 같은 토포스를 정의함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_\etale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 에탈 사이트라 하자. 함자 \((\textit{Aff}/S)_\etale \to (\Sch/S)_\etale\) 는 특수 공연속이며 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_\etale)\)에서 \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

특수 공연속 함자의 개념은 Sites, Definition 03CG에서 도입한다. 따라서 Sites, Lemma 03A0의 가정 (1)–(5)를 확인해야 한다. 포함 함자를 \(u : (\textit{Aff}/S)_\etale \to (\Sch/S)_\etale\)라 쓰자. 공연속이라는 것은 아핀 \(T\)에 대한 \(T/S\)의 임의의 에탈 덮개가 \(T\)의 표준 에탈 덮개로 세분될 수 있다는 뜻이며, 이것이 Lemma 0218의 내용이다. 따라서 (1)이 성립한다. 표준 에탈 덮개는 에탈 덮개이므로 \(u\)는 연속이다. 따라서 (2)가 성립한다. (3)과 (4)는 \(u\)가 충실충만이라는 사실에서 즉시 따른다. 마지막으로 모든 스킴에는 아핀 열린 덮개가 존재하므로 조건 (5)가 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_\etale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 에탈 사이트라 하자. 함자 \(S_{affine, \etale} \to S_\etale\)는 특수 공연속이며 \(\Sh(S_{affine, \etale})\)에서 \(\Sh(S_\etale)\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 021E의 증명과 비교하라.

다음으로 이 사이트들에 대응하는 토포스 사이의 몇 가지 관계를 확립한다.

보조정리

\(\Sch_\etale\)를 큰 에탈 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_\etale\)의 사상이라 하자. 함자 \(T_\etale \to (\Sch/S)_\etale\)는 공연속이며 다음 토포스 사상을 유도한다. \[i_f : \Sh(T_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] \((\Sch/S)_\etale\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \((i_f^{-1}\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이다. 또한 함자 \(i_f^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(i_{f, !}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u : T_\etale \to (\Sch/S)_\etale\)를 생각하자. 다시 말해, \(T_\etale\)의 대상에 대응하는 에탈 사상 \(j : U \to T\)가 주어지면 \(u(U \to T) = (f \circ j : U \to S)\)로 둔다. 이 함자는 올곱과 가환한다(Lemma 021D 참조). \(a, b : U \to V\)를 \(T_\etale\)의 두 사상이라 하자. 이때 (스킴의 범주에서) \(a\)와 \(b\)의 등화자는 \[V \times_{\Delta_{V/T}, V \times_T V, (a, b)} U\] 이다. 이는 \(T\) 위에서 에탈인 스킴들의 올곱이므로 \(T\) 위에서 에탈이다. 따라서 \(T_\etale\)에는 등화자가 있고 \(u\)는 등화자와 가환한다. 공연속임은 명백하다. 또한 \(u\)는 덮개를 덮개로 보내고 올곱과 가환하므로 연속이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS로부터 결론이 따른다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_\etale\)를 \(S\)를 포함하는 큰 에탈 사이트라 하자. 포함 함자 \(S_\etale \to (\Sch/S)_\etale\)는 Sites, Lemma 00XU의 가정을 만족하므로 다음 사이트 사상을 유도한다. \[\pi_S : (\Sch/S)_\etale \longrightarrow S_\etale\] 그리고 다음 토포스 사상을 유도한다. \[i_S : \Sh(S_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] 여기서 \(\pi_S \circ i_S = \text{id}\)이다. 또한 \(i_S = i_{\text{id}_S}\)이며, \(i_{\text{id}_S}\)는 Lemma 021F에서와 같다. 특히 함자 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\)는 \(i_S^{-1}(\mathcal{G})(U/S) = \mathcal{G}(U/S)\)로 주어진다.

증명

이 경우 함자 \(u : S_\etale \to (\Sch/S)_\etale\)는 위의 Lemma 021F의 증명에서 본 성질들에 더하여 충실충만이고, 끝 대상을 끝 대상으로 보낸다. 따라서 Sites, Lemma 00XU로부터 결론이 따른다.

정의

Lemma 021G의 상황에서 함자 \(i_S^{-1} = \pi_{S, *}\)를 흔히 작은 에탈 사이트로의 제한이라 한다. 큰 에탈 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 이 제한을 \(\mathcal{F}|_{S_\etale}\)로 나타낸다.

이 표기를 쓰면 큰 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)와 작은 사이트 위의 층 \(\mathcal{G}\)에 대하여 \[\begin{align*} \Mor_{\Sh(S_\etale)}( \mathcal{F}|_{S_\etale}, \mathcal{G}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\etale)}( \mathcal{F}, i_{S, *}\mathcal{G}) \\ \Mor_{\Sh(S_\etale)}( \mathcal{G}, \mathcal{F}|_{S_\etale}) & = \Mor_{\Sh((\Sch/S)_\etale)}( \pi_S^{-1}\mathcal{G}, \mathcal{F}) \end{align*}\] 이다. 또한 \((i_{S, *}\mathcal{G})|_{S_\etale} = \mathcal{G}\)이고 \((\pi_S^{-1}\mathcal{G})|_{S_\etale} = \mathcal{G}\)이다.

보조정리

\(\Sch_\etale\)를 큰 에탈 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_\etale\)의 사상이라 하자. 함자 \[u : (\Sch/T)_\etale \longrightarrow (\Sch/S)_\etale, \quad V/T \longmapsto V/S\] 는 공연속이고, 다음과 같은 연속인 오른쪽 수반을 갖는다. \[v : (\Sch/S)_\etale \longrightarrow (\Sch/T)_\etale, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 이 두 함자는 동일한 토포스 사상을 유도한다. \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_\etale) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_\etale)\] \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이고 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다. 또한 \(f_{big}^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(f_{big!}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u\)는 공연속이고 연속이며 올곱 및 등화자와 가환한다(세부는 생략하며 Lemma 021F의 증명과 비교하라). 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS를 적용하여 \(f_{big}^{-1}\)의 공식과 \(f_{big!}\)의 존재를 얻는다. 또한 \(U/T\)와 \(V/S\)가 주어졌을 때 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)이므로 함자 \(v\)는 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XX 및 00XY를 적용하면 \(f_{big, *}\)의 공식을 얻는다.

보조정리

\(\Sch_\etale\)를 큰 에탈 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_\etale\)의 사상이라 하자.

1. \(i_f = f_{big} \circ i_T\)이다. 여기서 \(i_f\)는 Lemma 021F에서와 같고 \(i_T\)는 Lemma 021G에서와 같다.

2. 함자 \(S_\etale \to T_\etale\), \((U \to S) \mapsto (U \times_S T \to T)\)는 연속이며 다음 사이트 사상을 유도한다. \[f_{small} : T_\etale \longrightarrow S_\etale\] \(f_{small, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다.

3. 다음은 사이트 사상들의 가환도식이다. \[\xymatrix{ T_\etale \ar[d]_{f_{small}} & (\Sch/T)_\etale \ar[d]^{f_{big}} \ar[l]^{\pi_T}\\ S_\etale & (\Sch/S)_\etale \ar[l]_{\pi_S} }\] 따라서 토포스 사상으로서 \(f_{small} \circ \pi_T = \pi_S \circ f_{big}\)이다.

4. \(f_{small} = \pi_S \circ f_{big} \circ i_T = \pi_S \circ i_f\)이다.

증명

\(i_f = f_{big} \circ i_T\)라는 등식은 \(i_f^{-1} = i_T^{-1} \circ f_{big}^{-1}\)에서 따르며, 후자의 등식은 위의 함자 설명에서 명백하다. 이로써 (1)을 얻는다.

함자 \(u : S_\etale \to T_\etale\), \(u(U \to S) = (U \times_S T \to T)\) 는 덮개를 덮개로 보내고 올곱과 가환한다(Lemma 0217 (3) 및 021D 참조). 또한 \(S_\etale\), \(T_\etale\)에는 각각 끝 대상 \(S/S\)와 \(T/T\)가 있고 \(u(S/S) = T/T\)이다. 따라서 Sites, Proposition 00X6에 의해 함자 \(u\)는 사이트 사상 \(T_\etale \to S_\etale\)에 대응한다. 이 사이트 사상은 다시 토포스 사상을 유도한다(Sites, Lemma 00XC 참조). 이 참고문헌들로부터 밂의 설명은 명백하다.

(3)은 \(\pi_S\)와 \(\pi_T\)가 포함 함자로 주어지고, \(f_{small}\)과 \(f_{big}\)이 기저변환 함자 \(U \mapsto U \times_S T\)로 주어지므로 따른다.

(4)는 (3)에 \(i_T\)를 앞에서 합성하면 따른다.

위 보조정리의 상황에서 Definition 04BT의 용어를 쓰면, \(T\)의 큰 에탈 사이트 위의 층 \(\mathcal{F}\)에 대하여 \[(f_{big, *}\mathcal{F})|_{S_\etale} = f_{small, *}(\mathcal{F}|_{T_\etale}),\] 이다. 이 등식은 보조정리의 사이트 도식이 가환한다는 사실에서 명백하다. 실제로 \(T\)와 \(S\)의 작은 에탈 사이트로의 제한은 각각 \(\pi_{T, *}\)와 \(\pi_{S, *}\)로 주어진다. 당김과 제한을 포함하는 이와 비슷한 공식은 성립하지 않는다.

보조정리

\(\Sch_\etale\)의 스킴 \(X\), \(Y\), \(Y\)와 사상 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)가 주어지면 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\)이고 \(g_{small} \circ f_{small} = (g \circ f)_{small}\)이다.

증명

큰 사이트 위 함자들의 밂과 당김에 대한 Lemma 021H의 간단한 설명으로부터 따른다. 작은 사이트 위 함자들에 대해서는 Lemma 021I의 밂 함자 설명으로부터 따른다.

보조정리

\(\Sch_\etale\)를 큰 에탈 사이트라 하자. \(\Sch_\etale\)에서의 다음 Cartesian 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ T' \ar[r]_{g'} \ar[d]_{f'} & T \ar[d]^f \\ S' \ar[r]^g & S }\] 그러면 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\)이고 \(g_{big}^{-1} \circ f_{big, *} = f'_{big, *} \circ (g'_{big})^{-1}\)이다.

증명

도식이 Cartesian이므로 \(U'/S'\)에 대하여 \(U' \times_{S'} T' = U' \times_S T\)이다. 따라서 \(i_g^{-1} \circ f_{big, *}\)와 \(f'_{small, *} \circ (i_{g'})^{-1}\)는 모두 \((\Sch/T)_\etale\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)를 \(S'_\etale\) 위의 층 \(U' \mapsto \mathcal{F}(U' \times_{S'} T')\)로 보낸다(Lemmas 021F 및 021H을 사용하라). 두 번째 등식도 같은 방식으로 증명할 수 있으며, 더 일반적인 Sites, Lemma 03CF으로부터 유도할 수도 있다.

\(S\)의 큰 에탈 사이트 위의 층은 \(S\) 위의 모든 스킴에 놓인 “통상적인” 층들의 모음으로 생각할 수 있다.

보조정리

\(S\)를 큰 에탈 사이트 \(\Sch_\etale\)에 속하는 스킴이라 하자. 큰 에탈 사이트 \((\Sch/S)_\etale\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)는 다음 자료로 주어진다.

1. 각 \(T/S \in \Ob((\Sch/S)_\etale)\)에 대하여 \(T_\etale\) 위의 층 \(\mathcal{F}_T\),

2. \((\Sch/S)_\etale\)의 각 \(f : T' \to T\)에 대하여 사상 \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\).

이 자료는 다음 조건을 만족해야 한다.

1. \((\Sch/S)_\etale\)의 임의의 \(f : T' \to T\)와 \(g : T'' \to T'\)에 대하여 합성 \(c_g \circ g_{small}^{-1}c_f\)는 \(c_{f \circ g}\)와 같고,

2. \((\Sch/S)_\etale\)의 \(f : T' \to T\)가 에탈이면 \(c_f\)는 동형이다.

증명

이 보조정리는 Sites, Remark 0GWL에서 논의한 순수한 층론적 명제로부터 따른다. 여기서는 직접적인 증명도 제시한다.

\(\Sh((\Sch/S)_\etale)\) 위의 층 \(\mathcal{F}\)가 주어졌다고 하자. \(p : T \to S\)가 구조 사상일 때 \(\mathcal{F}_T = i_p^{-1}\mathcal{F}\)로 둔다. \(T_\etale\)의 임의의 \(U \to T\)에 대하여 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U/S)\)임에 유의하라(Lemma 021F 참조). 따라서 \(S\) 위의 \(f : T' \to T\)와 \(U \to T\)가 주어지면 표준 사상 \(\mathcal{F}_T(U) = \mathcal{F}(U/S) \to \mathcal{F}(U \times_T T'/S) = \mathcal{F}_{T'}(U \times_T T')\)를 얻는다. 여기서 가운데 사상은 \(S\) 위의 사상 \(U \times_T T' \to U\)에 관한 \(\mathcal{F}\)의 제한 사상이다. 이 사상들의 모음은 제한과 양립하므로 사상 \(c'_f : \mathcal{F}_T \to f_{small, *}\mathcal{F}_{T'}\)를 정의한다. 여기서 \(u : T_\etale \to T'_\etale\)는 \(f\)에 대응하는 기저변환 함자이다. \(f_{small, *}\)와 \(f_{small}^{-1}\) 사이의 수반(Sites, Section 00WU 참조)에 의해 이는 사상 \(c_f : f_{small}^{-1}\mathcal{F}_T \to \mathcal{F}_{T'}\)와 같다. \(\mathcal{F}\)의 제한 사상들을 합성하면 다시 제한 사상이 되므로 \(c'_{f \circ g}\)는 \(c'_f\)와 \(f_{small, *}c'_g\)의 합성이다. 이로부터 \(c_f\), \(c_g\), \(c_{f \circ g}\) 사이의 원하는 관계를 얻는다.

반대로 보조정리와 같은 계 \((\mathcal{F}_T, c_f)\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{F}(T/S) = \mathcal{F}_T(T)\)로 두어 \(\Sh((\Sch/S)_\etale)\) 위의 준층 \(\mathcal{F}\)를 정의할 수 있다. 제한 사상은 다음과 같이 정의한다. \(f : T' \to T\)와 \(s \in \mathcal{F}(T)\)가 주어지면 당김 \(f^*(s)\)를 \(c_f(s)\)로 둔다 (여기서도 \(c_f\)를 사상 \(\mathcal{F}_T \to f_{small, *}\mathcal{F}_{T'}\)로 생각한다). \(c_f\)들에 대한 조건은 이 당김들이 필요한 함자성을 만족함을 보장한다. 이것이 층이라는 확인은 생략한다. 이렇게 정의한 두 구성은 서로 역임이 명백하다.

매끄러운 위상

이 절에서는 매끄러운 위상을 정의한다. 뒤에서 이 위상이 에탈 위상과 같은 토포스를 정의한다는 사실이 밝혀지므로(More on Morphisms, Section 055S 참조) 다소 불필요해 보인다. 그러나 이 위상은 여전히 의미가 있으며 때때로 사용된다.

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. \(T\)의 매끄러운 덮개란 각 \(f_i\)가 매끄럽고 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)를 만족하는 스킴 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 말한다.

보조정리

모든 에탈 덮개는 매끄러운 덮개이며, 따라서 모든 Zariski 덮개도 매끄러운 덮개이다.

증명

정의, 에탈 사상이 매끄럽다는 사실(Morphisms, Definition 02GI 참조), 그리고 Lemma 0216로부터 명백하다.

다음으로 이 개념이 Sites, Definition 00VH의 조건을 만족함을 보인다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 매끄러운 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 매끄러운 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 매끄러운 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 매끄러운 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 매끄러운 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 매끄러운 덮개이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 매끄러운 덮개라 하자. 그러면 각 \(U_j\)가 아핀 스킴이고 각 사상 \(U_j \to T\)가 표준 매끄러운 사상인, \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)의 세분 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 존재한다(Morphisms, Definition 01V5 참조). 더 나아가 각 \(U_j\)를 어떤 \(T_i\)의 아핀 열린집합으로 택할 수 있다.

증명

생략한다. 다만 Algebra, Lemma 00TA을 보라.

따라서 아핀 스킴의 대응하는 표준 덮개를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(T\)의 표준 매끄러운 덮개란 각 \(U_j\)가 아핀이고 \(U_j \to T\)가 표준 매끄러운 사상이며 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)를 만족하는 사상족 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 말한다.

정의

큰 매끄러운 사이트란 Sites, Definition 00VH에서와 같은 사이트로서 다음과 같이 구성한 임의의 \(\Sch_{smooth}\)를 말한다.

1. 임의의 스킴들의 집합 \(S_0\)와 이 스킴들 사이의 임의의 매끄러운 덮개 집합 \(\text{Cov}_0\)를 택한다.

2. 기저 범주로, 집합 \(S_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J에서와 같이 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 택한다.

3. 범주 \(\Sch_\alpha\), 매끄러운 덮개들의 모임, 그리고 위에서 택한 집합 \(\text{Cov}_0\)로부터 출발하여 Sets, Lemma 000X에서와 같은 임의의 덮개 집합을 택한다.

큰 사이트 정의의 동기와 설명은 Definition 020S 뒤의 주석을 보라.

스킴 \(S\)의 큰 매끄러운 사이트를 계속 도입하기 전에, 큰 매끄러운 사이트 \(\Sch_{smooth}\)의 위상은 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 매끄러운 위상으로부터 유도됨을 지적해 두자.

보조정리

\(\Sch_{smooth}\)를 Definition 03WY에서와 같은 큰 매끄러운 사이트라 하자. \(T \in \Ob(\Sch_{smooth})\)라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 임의의 매끄러운 덮개라 하자.

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 \(\Sch_{smooth}\) 안의 \(T\)의 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재한다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 표준 매끄러운 덮개이면, \(\Sch_{smooth}\)의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 Zariski 덮개이면, \(\Sch_{smooth}\)의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

증명

각 \(i\)에 대하여, 모든 \(T_{ij}\)가 \(T\)의 어떤 아핀 열린 부분스킴으로 사상되는 아핀 열린 덮개 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)를 택한다. Lemma 0221에 의해 세분 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\)도 \(T\)의 매끄러운 덮개이다. 따라서 각 \(T_i\)가 아핀이고 \(T\)의 아핀 열린집합 \(W_i\)로 사상된다고 가정할 수 있다. Sets, Lemma 000R을 적용하면 \(W_i\)가 \(\Sch_{smooth}\)의 어떤 대상과 동형임을 알 수 있다. 그러면 \(W_i\) 위의 유한형 스킴인 \(T_i\)도 Sets, Lemma 000R을 다시 적용하여 \(\Sch_{smooth}\)의 어떤 대상 \(V_i\)와 동형이다. 덮개 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분한다(서로 동형이기 때문이다). 또한 Sets, Lemma 000R에 의해 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\Sch_{smooth}\) 안의 \(T\)의 어떤 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)와 조합적으로 동치이다. 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)는 (1)에서 요구한 세분이다. (2), (3)의 상황에서는 Sets, Lemma 000R에 의해 각 스킴 \(T_i\)가 \(\Sch_{smooth}\)의 어떤 대상과 동형이고, Sets, Lemma 000X을 한 번 더 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{smooth}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 매끄러운 사이트라 하자.

1. \(S\)의 큰 매끄러운 사이트 \((\Sch/S)_{smooth}\)는 Sites, Section 00XZ에서 도입한 사이트 \(\Sch_{smooth}/S\)이다.

2. \(S\)의 큰 아핀 매끄러운 사이트 \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\)는 \((\Sch/S)_{smooth}\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 아핀 \(U/S\)이다. \((\textit{Aff}/S)_{smooth}\)의 덮개는 표준 매끄러운 덮개인 \((\Sch/S)_{smooth}\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

다음으로 큰 아핀 사이트가 큰 사이트와 같은 토포스를 정의함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{smooth}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 매끄러운 사이트라 하자. 함자 \((\textit{Aff}/S)_{smooth} \to (\Sch/S)_{smooth}\) 는 특수 공연속이며 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{smooth})\)에서 \(\Sh((\Sch/S)_{smooth})\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

특수 공연속 함자의 개념은 Sites, Definition 03CG에서 도입한다. 따라서 Sites, Lemma 03A0의 가정 (1)–(5)를 확인해야 한다. 포함 함자를 \(u : (\textit{Aff}/S)_{smooth} \to (\Sch/S)_{smooth}\)라 쓰자. 공연속이라는 것은 아핀 \(T\)에 대한 \(T/S\)의 임의의 매끄러운 덮개가 \(T\)의 표준 매끄러운 덮개로 세분될 수 있다는 뜻이며, 이것이 Lemma 0222의 내용이다. 따라서 (1)이 성립한다. 표준 매끄러운 덮개는 매끄러운 덮개이므로 \(u\)는 연속이다. 따라서 (2)가 성립한다. (3)과 (4)는 \(u\)가 충실충만이라는 사실에서 즉시 따른다. 마지막으로 모든 스킴에는 아핀 열린 덮개가 존재하므로 조건 (5)가 따른다.

계속될 예정이다…

보조정리

\(\Sch_{smooth}\)를 큰 매끄러운 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_{smooth}\)의 사상이라 하자. 함자 \[u : (\Sch/T)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/S)_{smooth}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 는 공연속이고, 다음과 같은 연속인 오른쪽 수반을 갖는다. \[v : (\Sch/S)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/T)_{smooth}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 이 두 함자는 동일한 토포스 사상을 유도한다. \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{smooth}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{smooth})\] \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이고 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다. 또한 \(f_{big}^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(f_{big!}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u\)는 공연속이고 연속이며 올곱 및 등화자와 가환한다. 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS를 적용하여 \(f_{big}^{-1}\)의 공식과 \(f_{big!}\)의 존재를 얻는다. 또한 \(U/T\)와 \(V/S\)가 주어졌을 때 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)이므로 함자 \(v\)는 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XX 및 00XY를 적용하면 \(f_{big, *}\)의 공식을 얻는다.

신토믹 위상

이 절에서는 신토믹 위상을 정의한다. 이 위상은 흔히 fppf 위상과 같은 코호몰로지 군을 가지면서도 기술적으로 다루기가 더 쉽다는 점에서 매우 흥미롭다.

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. \(T\)의 신토믹 덮개란 각 \(f_i\)가 신토믹이고 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)를 만족하는 스킴 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 말한다.

보조정리

모든 매끄러운 덮개는 신토믹 덮개이며, 따라서 모든 에탈 덮개나 Zariski 덮개도 신토믹 덮개이다.

증명

정의와 매끄러운 사상이 신토믹이라는 사실로부터 명백하다(Morphisms, Lemma 01VD 및 Lemma 0220 참조).

다음으로 이 개념이 Sites, Definition 00VH의 조건을 만족함을 보인다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 신토믹 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 신토믹 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 신토믹 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 신토믹 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 신토믹 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 신토믹 덮개이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 신토믹 덮개라 하자. 그러면 각 \(U_j\)가 아핀 스킴이고 각 사상 \(U_j \to T\)가 표준 신토믹 사상인, \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)의 세분 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 존재한다(Morphisms, Definition 01UC 참조). 더 나아가 각 \(U_j\)를 어떤 \(T_i\)의 아핀 열린집합으로 택할 수 있다.

증명

생략한다. 다만 Algebra, Lemma 00SY을 보라.

따라서 아핀 스킴의 대응하는 표준 덮개를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(T\)의 표준 신토믹 덮개란 각 \(U_j\)가 아핀이고 \(U_j \to T\)가 표준 신토믹 사상이며 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)를 만족하는 사상족 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 말한다.

정의

큰 신토믹 사이트란 Sites, Definition 00VH에서와 같은 사이트로서 다음과 같이 구성한 임의의 \(\Sch_{syntomic}\)을 말한다.

1. 임의의 스킴들의 집합 \(S_0\)와 이 스킴들 사이의 임의의 신토믹 덮개 집합 \(\text{Cov}_0\)를 택한다.

2. 기저 범주로, 집합 \(S_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J에서와 같이 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 택한다.

3. 범주 \(\Sch_\alpha\), 신토믹 덮개들의 모임, 그리고 위에서 택한 집합 \(\text{Cov}_0\)로부터 출발하여 Sets, Lemma 000X에서와 같은 임의의 덮개 집합을 택한다.

큰 사이트 정의의 동기와 설명은 Definition 020S 뒤의 주석을 보라.

스킴 \(S\)의 큰 신토믹 사이트를 계속 도입하기 전에, 큰 신토믹 사이트 \(\Sch_{syntomic}\)의 위상은 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 신토믹 위상으로부터 유도됨을 지적해 두자.

보조정리

\(\Sch_{syntomic}\)을 Definition 03X1에서와 같은 큰 신토믹 사이트라 하자. \(T \in \Ob(\Sch_{syntomic})\)라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 임의의 신토믹 덮개라 하자.

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 \(\Sch_{syntomic}\) 안의 \(T\)의 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재한다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 표준 신토믹 덮개이면, \(\Sch_{syntomic}\) 안의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 Zariski 덮개이면, \(\Sch_{syntomic}\) 안의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

증명

각 \(i\)에 대하여, 모든 \(T_{ij}\)가 \(T\)의 어떤 아핀 열린 부분스킴으로 사상되는 아핀 열린 덮개 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)를 택한다. Lemma 0227에 의해 세분 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\)도 \(T\)의 신토믹 덮개이다. 따라서 각 \(T_i\)가 아핀이고 \(T\)의 아핀 열린집합 \(W_i\)로 사상된다고 가정할 수 있다. Sets, Lemma 000R을 적용하면 \(W_i\)가 \(\Sch_{syntomic}\)의 어떤 대상과 동형임을 알 수 있다. 그러면 \(W_i\) 위의 유한형 스킴인 \(T_i\)도 Sets, Lemma 000R을 다시 적용하여 \(\Sch_{syntomic}\)의 어떤 대상 \(V_i\)와 동형이다. 덮개 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분한다(서로 동형이기 때문이다). 또한 Sets, Lemma 000R에 의해 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\Sch_{syntomic}\) 안의 \(T\)의 어떤 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)와 조합적으로 동치이다. 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)는 (1)에서 말한 덮개이다. (2), (3)의 상황에서는 Sets, Lemma 000R에 의해 각 스킴 \(T_i\)가 \(\Sch_{syntomic}\)의 어떤 대상과 동형이고, Sets, Lemma 000X을 한 번 더 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{syntomic}\)을 \(S\)를 포함하는 큰 신토믹 사이트라 하자.

1. \(S\)의 큰 신토믹 사이트 \((\Sch/S)_{syntomic}\)은 Sites, Section 00XZ에서 도입한 사이트 \(\Sch_{syntomic}/S\)이다.

2. \(S\)의 큰 아핀 신토믹 사이트 \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\)은 \((\Sch/S)_{syntomic}\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 아핀 \(U/S\)이다. \((\textit{Aff}/S)_{syntomic}\)의 덮개는 표준 신토믹 덮개인 \((\Sch/S)_{syntomic}\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

다음으로 큰 아핀 사이트가 큰 사이트와 같은 토포스를 정의함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{syntomic}\)을 \(S\)를 포함하는 큰 신토믹 사이트라 하자. 함자 \((\textit{Aff}/S)_{syntomic} \to (\Sch/S)_{syntomic}\) 는 특수 공연속이며 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{syntomic})\)에서 \(\Sh((\Sch/S)_{syntomic})\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

특수 공연속 함자의 개념은 Sites, Definition 03CG에서 도입한다. 따라서 Sites, Lemma 03A0의 가정 (1)–(5)를 확인해야 한다. 포함 함자를 \(u : (\textit{Aff}/S)_{syntomic} \to (\Sch/S)_{syntomic}\)이라 쓰자. 공연속이라는 것은 아핀 \(T\)에 대한 \(T/S\)의 임의의 신토믹 덮개가 \(T\)의 표준 신토믹 덮개로 세분될 수 있다는 뜻이며, 이것이 Lemma 0228의 내용이다. 따라서 (1)이 성립한다. 표준 신토믹 덮개는 신토믹 덮개이므로 \(u\)는 연속이다. 따라서 (2)가 성립한다. (3)과 (4)는 \(u\)가 충실충만이라는 사실에서 즉시 따른다. 마지막으로 모든 스킴에는 아핀 열린 덮개가 존재하므로 조건 (5)가 따른다.

계속될 예정이다…

보조정리

\(\Sch_{syntomic}\)을 큰 신토믹 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_{syntomic}\)의 사상이라 하자. 함자 \[u : (\Sch/T)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/S)_{syntomic}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 는 공연속이고, 다음과 같은 연속인 오른쪽 수반을 갖는다. \[v : (\Sch/S)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/T)_{syntomic}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 이 두 함자는 동일한 토포스 사상을 유도한다. \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{syntomic}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{syntomic})\] \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이고 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다. 또한 \(f_{big}^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(f_{big!}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u\)는 공연속이고 연속이며 올곱 및 등화자와 가환한다. 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS를 적용하여 \(f_{big}^{-1}\)의 공식과 \(f_{big!}\)의 존재를 얻는다. 또한 \(U/T\)와 \(V/S\)가 주어졌을 때 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)이므로 함자 \(v\)는 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XX 및 00XY를 적용하면 \(f_{big, *}\)의 공식을 얻는다.

fppf 위상

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위의 스킴 범주에 fppf 위상³을 정의하고자 한다. 앞서 정한 일반 원칙에 따라 먼저 fppf 덮개의 개념을 도입한다.

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. \(T\)의 fppf 덮개란 각 \(f_i\)가 평탄하고 국소적으로 유한 표시이며 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)를 만족하는 스킴 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 말한다.

보조정리

모든 신토믹 덮개는 fppf 덮개이며, 따라서 모든 매끄러운 덮개, 에탈 덮개, 또는 Zariski 덮개도 fppf 덮개이다.

증명

정의, 신토믹 사상이 평탄하고 국소적으로 유한 표시라는 사실(Morphisms, Lemmas 01UK 및 01UL 참조), 그리고 Lemma 0226으로부터 명백하다.

다음으로 이 개념이 Sites, Definition 00VH의 조건을 만족함을 보인다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 fppf 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 fppf 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 fppf 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 fppf 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 fppf 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 fppf 덮개이다.

증명

첫 번째 주장은 명백하다. 두 번째 주장은 평탄 사상의 합성이 평탄하고 (Morphisms, Lemma 01U7 참조), 유한 표시 사상의 합성이 유한 표시라는 사실(Morphisms, Lemma 01TR 참조)에서 따른다. 세 번째 주장은 평탄 사상의 기저변환이 평탄하고(Morphisms, Lemma 01U9 참조), 유한 표시 사상의 기저변환이 유한 표시라는 사실(Morphisms, Lemma 01TS 참조)에서 따른다. 또한 전사 사상족의 기저변환은 전사이다(증명은 생략한다).

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 fppf 덮개라 하자. 그러면 각 \(U_j\)가 아핀 스킴이고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)의 세분인 fppf 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 존재한다. 더 나아가 각 \(U_j\)를 어떤 \(T_i\)의 아핀 열린집합으로 택할 수 있다.

증명

평탄하고 국소적으로 유한 표시인 사상이 열린 사상이라는 사실을 쓰면 정의에서 바로 따른다(Morphisms, Lemma 01UA 참조).

따라서 아핀 스킴의 대응하는 표준 덮개를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(T\)의 표준 fppf 덮개란 각 \(U_j\)가 아핀이고 \(T\) 위에서 평탄하며 유한 표시이고 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)를 만족하는 사상족 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 말한다.

정의

큰 fppf 사이트란 Sites, Definition 00VH에서와 같은 사이트로서 다음과 같이 구성한 임의의 \(\Sch_{fppf}\)를 말한다.

1. 임의의 스킴들의 집합 \(S_0\)와 이 스킴들 사이의 임의의 fppf 덮개 집합 \(\text{Cov}_0\)를 택한다.

2. 기저 범주로, 집합 \(S_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J에서와 같이 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 택한다.

3. 범주 \(\Sch_\alpha\), fppf 덮개들의 모임, 그리고 위에서 택한 집합 \(\text{Cov}_0\)로부터 출발하여 Sets, Lemma 000X에서와 같은 임의의 덮개 집합을 택한다.

큰 사이트 정의의 동기와 설명은 Definition 020S 뒤의 주석을 보라.

스킴 \(S\)의 큰 fppf 사이트를 계속 도입하기 전에, 큰 fppf 사이트 \(\Sch_{fppf}\)의 위상은 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 fppf 위상으로부터 유도됨을 지적해 두자.

보조정리

\(\Sch_{fppf}\)를 Definition 021R에서와 같은 큰 fppf 사이트라 하자. \(T \in \Ob(\Sch_{fppf})\)라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 임의의 fppf 덮개라 하자.

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 \(\Sch_{fppf}\) 안의 \(T\)의 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재한다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 표준 fppf 덮개이면, \(\Sch_{fppf}\)의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 Zariski 덮개이면, \(\Sch_{fppf}\)의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

증명

각 \(i\)에 대하여, 모든 \(T_{ij}\)가 \(T\)의 어떤 아핀 열린 부분스킴으로 사상되는 아핀 열린 덮개 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)를 택한다. Lemma 021O에 의해 세분 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\)도 \(T\)의 fppf 덮개이다. 따라서 각 \(T_i\)가 아핀이고 \(T\)의 아핀 열린집합 \(W_i\)로 사상된다고 가정할 수 있다. Sets, Lemma 000R을 적용하면 \(W_i\)가 \(\Sch_{fppf}\)의 어떤 대상과 동형임을 알 수 있다. 그러면 \(W_i\) 위의 유한형 스킴인 \(T_i\)도 Sets, Lemma 000R을 다시 적용하여 \(\Sch_{fppf}\)의 어떤 대상 \(V_i\)와 동형이다. 덮개 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분한다(서로 동형이기 때문이다). 또한 Sets, Lemma 000R에 의해 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\Sch_{fppf}\) 안의 \(T\)의 어떤 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)와 조합적으로 동치이다. 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)는 (1)에서 요구한 세분이다. (2), (3)의 상황에서는 Sets, Lemma 000R에 의해 각 스킴 \(T_i\)가 \(\Sch_{fppf}\)의 어떤 대상과 동형이고, Sets, Lemma 000X을 한 번 더 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{fppf}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 fppf 사이트라 하자.

1. \(S\)의 큰 fppf 사이트 \((\Sch/S)_{fppf}\)는 Sites, Section 00XZ에서 도입한 사이트 \(\Sch_{fppf}/S\)이다.

2. \(S\)의 큰 아핀 fppf 사이트 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 아핀 \(U/S\)이다. \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)의 덮개는 표준 fppf 덮개인 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 임의의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

큰 아핀 fppf 사이트가 실제로 사이트인지는 완전히 자명하지 않다. 이제 이를 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{fppf}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 fppf 사이트라 하자. 그러면 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)는 사이트이다.

증명

\((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)가 사이트임을 보이자. Lemma 021C의 증명에서와 같이 논하면, 아핀 스킴의 표준 fppf 덮개들의 모음이 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 만족함을 보이면 충분하다. 이는 명백하다. 예를 들어 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 표준 fppf 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 표준 fppf 덮개이면, \(\bigcup_{i\in I} J_i\)가 유한이고 각 \(T_{ij}\)가 아핀이므로 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 표준 fppf 덮개이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{fppf}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 fppf 사이트라 하자. 사이트 \(\Sch_{fppf}\), \((\Sch/S)_{fppf}\), 그리고 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)의 기저 범주에는 올곱이 존재한다. 각 경우 모든 스킴의 범주 \(\Sch\)로 가는 자명한 함자는 올곱을 취하는 연산과 가환한다. 범주 \((\Sch/S)_{fppf}\)에는 끝 대상이 있으며, 그것은 \(S/S\)이다.

증명

\(\Sch_{fppf}\)에 대해서는 구성상 참이다(Sets, Lemma 000R 참조). \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{fppf})\)인 스킴 사상 \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 주어졌다고 하자. \(\Sch_{fppf}\) 안의 올곱 \(V \times_U W\)는 \(\Sch\) 안의 올곱이며, 모든 \(S\)-스킴의 범주에서 \(U/S\) 위의 \(V/S\)와 \(W/S\)의 올곱이기도 하다. 따라서 \((\Sch/S)_{fppf}\) 안의 올곱이다. 이로써 \((\Sch/S)_{fppf}\)에 대한 결론을 얻는다. \(U, V, W\)가 아핀이면 \(V \times_U W\)도 아핀이므로 \((\textit{Aff}/S)_{fppf}\)에 대한 결론도 얻는다.

다음으로 큰 아핀 사이트가 큰 사이트와 같은 토포스를 정의함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{fppf}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 fppf 사이트라 하자. 함자 \((\textit{Aff}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 공연속이며 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{fppf})\)에서 \(\Sh((\Sch/S)_{fppf})\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

특수 공연속 함자의 개념은 Sites, Definition 03CG에서 도입한다. 따라서 Sites, Lemma 03A0의 가정 (1)–(5)를 확인해야 한다. 포함 함자를 \(u : (\textit{Aff}/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\)라 쓰자. 공연속이라는 것은 아핀 \(T\)에 대한 \(T/S\)의 임의의 fppf 덮개가 \(T\)의 표준 fppf 덮개로 세분될 수 있다는 뜻이며, 이것이 Lemma 021P의 내용이다. 따라서 (1)이 성립한다. 표준 fppf 덮개는 fppf 덮개이므로 \(u\)는 연속이다. 따라서 (2)가 성립한다. (3)과 (4)는 \(u\)가 충실충만이라는 사실에서 즉시 따른다. 마지막으로 모든 스킴에는 아핀 열린 덮개가 존재하므로 조건 (5)가 따른다.

다음으로 이 사이트들에 대응하는 토포스 사이의 몇 가지 관계를 확립한다.

보조정리

\(\Sch_{fppf}\)를 큰 fppf 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_{fppf}\)의 사상이라 하자. 함자 \[u : (\Sch/T)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 는 공연속이고, 다음과 같은 연속인 오른쪽 수반을 갖는다. \[v : (\Sch/S)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/T)_{fppf}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 이 두 함자는 동일한 토포스 사상을 유도한다. \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{fppf}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{fppf})\] \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이고 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다. 또한 \(f_{big}^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(f_{big!}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u\)는 공연속이고 연속이며 올곱 및 등화자와 가환한다. 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS를 적용하여 \(f_{big}^{-1}\)의 공식과 \(f_{big!}\)의 존재를 얻는다. 또한 \(U/T\)와 \(V/S\)가 주어졌을 때 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)이므로 함자 \(v\)는 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XX 및 00XY를 적용하면 \(f_{big, *}\)의 공식을 얻는다.

보조정리

\((\Sch/S)_{fppf}\)의 스킴 \(X\), \(Y\), \(Z\)와 사상 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)가 주어지면 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\)이다.

증명

큰 사이트 위 함자들의 밂과 당김에 대한 Lemma 021W의 간단한 설명으로부터 따른다.

ph 위상

이 절에서는 ph 위상을 정의한다. 이는 Zariski 덮개와 고유 전사 사상으로 생성되는 위상이다(Lemma 0DBQ 참조).

표기와 용어는 Goodwillie와 Lichtenbaum의 논문 [ph]에서 빌려온다. 이들은 Noetherian 스킴의 부분범주로 제한하면 ph 위상이 Voevodsky가 처음 정의한 “h 위상”과 같음을 보인다. 이는 Zariski 열린 덮개와 보편적으로 몫사상인 유한형 사상으로 생성되는 위상이다. 또한 두 위상이 비 Noetherian 스킴에서는 일치하지 않음을 보인다 ([ph, Example 4.5] 참조). 우리의 h 위상은 More on Flatness, Section 0ETQ에서 다시 다룬다.

이 위상의 덮개를 정의하기 전에 약간의 준비가 필요하다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. 표준 ph 덮개란 고유 전사 사상 \(f : U \to T\)와 아핀 열린 덮개 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)로부터 \(f_j = f|_{U_j}\)로 두어 구성한 사상족 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 말한다.

Chow 보조정리로부터 표준 ph 덮개를 전사 사영 사상에 대응하는 표준 ph 덮개로 세분할 수 있음이 즉시 따른다.

보조정리

\(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 표준 ph 덮개라 하고 \(T' \to T\)를 아핀 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(\{U_j \times_T T' \to T'\}_{j = 1, \ldots, m}\)는 표준 ph 덮개이다.

증명

Definition 0DBD에서와 같이 \(f : U \to T\)가 고유 전사이고 아핀 열린 덮개 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)가 주어졌다고 하자. 그러면 \(U \times_T T' \to T'\)는 고유 전사이다(Morphisms, Lemmas 01S1 및 01W4). 또한 \(U \times_T T' = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j \times_T T'\)는 아핀 열린 덮개이다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. 끝 대상이 \(T\)인 다음 각 유형의 사상족에는 표준 ph 덮개에 의한 세분이 존재한다.

1. \(T\)의 임의의 Zariski 열린 덮개,

2. \(\{W_{ji} \to T\}_{j = 1, \ldots, m, i = 1, \ldots n_j}\) 단, \(\{W_{ji} \to U_j\}_{i = 1, \ldots, n_j}\)와 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)는 표준 ph 덮개이다.

증명

(1)은 \(T\)의 임의의 Zariski 열린 덮개가 유한 아핀 열린 덮개로 세분될 수 있다는 사실에서 따른다.

(3)의 증명. 고유 전사 사상 \(U \to T\)와 Definition 0DBD에서와 같은 덮개 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)를 택한다. 또한 고유 전사 사상 \(W_j \to U_j\)와 \(W_j = \bigcup W_{ji}\)를 Definition 0DBD에서와 같이 택한다. Chow 보조정리 (Limits, Lemma 0202)에 의해 고유 전사 사상 \(W'_j \to W_j\)와 닫힌 몰입 \(W'_j \to \mathbf{P}^{e_j}_{U_j}\)를 찾을 수 있다. 따라서 \(W_j\)를 \(W'_j\)로, \(W_j = \bigcup W_{ji}\)를 \(W'_j\)의 적절한 아핀 열린 덮개로 바꾸어, 모든 \(j = 1, \ldots, m\)에 대하여 닫힌 몰입 \(W_j \subset \mathbf{P}^{e_j}_{U_j}\)가 존재한다고 가정할 수 있다.

\(\overline{W}_j \subset \mathbf{P}^{e_j}_U\)를 \(W_j\)의 스킴론적 폐포라 하자. 그러면 \(W_j \subset \overline{W}_j\)는 열린 부분스킴이다. 실제로 \(W_j\)는 사상 \(\overline{W}_j \to U\)에 의한 \(U_j \subset U\)의 역상이다. (이를 보려면 \(W_j \to \mathbf{P}^{e_j}_U\)가 준콤팩트이므로 스킴론적 상의 형성이 열린집합으로의 제한과 가환한다는 사실을 사용하라. Morphisms, Section 01R5 참조.) \(Z_j = U \setminus U_j\)에 유도된 축소 닫힌 부분스킴 구조를 주자. 그러면 \[V_j = \overline{W}_j \amalg Z_j \to U\] 는 고유 전사이고, 열린 부분스킴 \(W_j \subset V_j\)는 \(U_j\)의 역상이다. 따라서 \(v \in V_j\), \(v \not \in W_j\)에 대하여 어떤 \(1 \leq j' \leq m\)인 \(U_{j'}\)로 사상되는 아핀 열린 근방 \(v \in V_{j, v} \subset V_j\)를 택할 수 있다.

증명을 마치기 위해 다음 고유 전사 사상을 생각한다. \[V = V_1 \times_U V_2 \times_U \ldots \times_U V_m \longrightarrow U \longrightarrow T\] 그리고 다음 아핀 열린집합들에 의한 \(V\)의 덮개를 생각한다. \[V_{1, v_1} \times_U \ldots \times_U V_{j - 1, v_{j - 1}} \times_U W_{j i} \times_U V_{j + 1, v_{j + 1}} \times_U \ldots \times_U V_{m, v_m}\] 이들은 실제로 덮개를 이룬다. \(U\)의 각 점은 어떤 \(U_j\)에 속하고, \(V\)에서 \(U_j\)의 역상은 \(V_1 \times \ldots \times V_{j - 1} \times W_j \times V_{j + 1} \times \ldots \times V_m\)와 같기 때문이다. 위에 표시한 아핀 열린집합에서 \(T\)로 가는 사상은 \(W_{ji}\)를 거쳐 분해되므로 세분을 얻는다. 마지막으로 \(V\)는 준콤팩트이므로(아핀 스킴 \(T\) 위의 고유 스킴이므로) 이 아핀 열린집합들 가운데 유한 개만 필요하다.

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. \(T\)의 ph 덮개란 각 \(f_i\)가 국소적으로 유한형이고, 모든 아핀 열린집합 \(U \subset T\)에 대하여 사상족 \(\{T_i \times_T U \to U\}_{i \in I}\)를 세분하는 표준 ph 덮개 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 존재하는 스킴 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 말한다.

Lemma 0DBE에 의해 표준 ph 덮개는 ph 덮개이다.

보조정리

Zariski 덮개는 ph 덮개이다⁴.

증명

Lemma 0DBF에 의해 아핀 스킴의 Zariski 덮개는 표준 ph 덮개로 세분될 수 있으므로 참이다.

보조정리

\(f : Y \to X\)를 스킴의 고유 전사 사상이라 하자. 그러면 \(\{Y \to X\}\)는 ph 덮개이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하고 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 모든 \(i\)에 대하여 \(f_i\)가 국소적으로 유한형인 사상족이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)는 ph 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 ph 덮개가 존재한다.

3. \(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\)는 ph 덮개이다.

증명

(1)과 (2)의 동치는 Definition 0DBG과 세분의 세분이 세분이라는 사실에서 즉시 따른다. (1)과 (2)의 동치 및 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 \(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\)를 세분한다는 사실로부터 (1)이 (3)을 함의함을 알 수 있다. 마지막으로 (3)이 성립한다고 가정하자. \(U \subset T\)를 아핀 열린집합이라 하고, \(\{U \times_T \coprod_{i \in I} T_i \to U\}\)를 세분하는 표준 ph 덮개 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 택하자. 이는 각 \(j\)에 대하여 다음 사상이 존재한다는 뜻이다. \[h_j : U_j \longrightarrow U \times_T \coprod\nolimits_{i \in I} T_i = \coprod\nolimits_{i \in I} U \times_T T_i\] 이는 \(U\) 위의 사상이다. \(U_j\)가 준콤팩트이므로, 거의 모두 공집합인 열리고 닫힌 부분스킴들에 의한 서로소 합 분해 \(U_j = \coprod_{i \in I} U_{j, i}\)를 얻을 수 있으며, \(h_j|_{U_{j, i}}\)는 \(U_{j, i}\)를 \(U \times_T T_i\)로 보낸다. 따라서 \[\{U_{j, i} \to U\}_{j = 1, \ldots, m,\ i \in I,\ U_{j, i} \not = \emptyset}\] 는 \(\{U \times_T T_i \to U\}_{i \in I}\)를 세분하는 표준 ph 덮개이다 (작은 세부는 생략한다). 따라서 (1)이 성립한다.

다음으로 이 개념이 Sites, Definition 00VH의 조건을 만족함을 보인다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 ph 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 ph 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 ph 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 ph 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 ph 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 ph 덮개이다.

증명

주장 (1)은 명백하다.

(3)의 증명. 기저변환 \(T_i \times_T T' \to T'\)는 Morphisms, Lemma 01T4에 의해 국소적으로 유한형이다. 따라서 아핀 열린집합에 대한 조건만 확인하면 된다. \(U' \subset T'\)를 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(U'\)가 준콤팩트이므로, \(U'_j \to T\)가 아핀 열린집합 \(U_j \subset T\)로 사상되는 유한 아핀 열린 덮개

\(U' = U'_1 \cup \ldots \cup U'\)를 찾을 수 있다. 사상족 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)를 세분하는 표준 ph 덮개 \(\{U_{jl} \to U_j\}_{l = 1, \ldots, n_j}\)를 택한다. Lemma 0DBE에 의해 기저변환 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'_j\}\)는 표준 ph 덮개이다. 또한 \(\{U'_j \to U'\}\)도 표준 ph 덮개임에 유의하라. Lemma 0DBF에 의해 사상족 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\)는 표준 ph 덮개로 세분될 수 있다. \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\)가 \(\{T_i \times_T U' \to U'\}\)를 세분하므로 결론을 얻는다.

(2)의 증명. 합성은 국소적 유한형성을 보존한다(Morphisms, Lemma 01T3 참조). 따라서 아핀 열린집합에 대한 조건만 확인하면 된다. \(U \subset T\)를 아핀 열린집합이라 하자. 먼저 \(\{T_i \times_T U \to U\}\)를 세분하는 표준 ph 덮개 \(\{U_k \to U\}_{k = 1, \ldots, m}\)를 택한다. 이 세분이 \(T\) 위의 사상 \(U_k \to T_{i_k}\)로 주어진다고 하자. 그러면 \[\{T_{i_kj} \times_{T_{i_k}} U_k \to U_k\}_{j \in J_{i_k}}\] 는 (3)에 의해 ph 덮개이다. \(U_k\)가 아핀이므로 이 사상족을 세분하는 표준 ph 덮개 \(\{U_{ka} \to U_k\}_{a = 1, \ldots, b_k}\)를 찾을 수 있다. 이제 Lemma 0DBF를 적용하면 \(\{U_{ka} \to U\}\)가 표준 ph 덮개로 세분될 수 있음을 알 수 있다. \(\{U_{ka} \to U\}\)가 \(\{T_{ij} \times_T U \to U\}\)를 세분하므로 증명이 끝난다.

정의

큰 ph 사이트란 Sites, Definition 00VH에서와 같은 사이트로서 다음과 같이 구성한 임의의 \(\Sch_{ph}\)를 말한다.

1. 임의의 스킴들의 집합 \(S_0\)와 이 스킴들 사이의 임의의 ph 덮개 집합 \(\text{Cov}_0\)를 택한다.

2. 기저 범주로, 집합 \(S_0\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J에서와 같이 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 택한다.

3. 범주 \(\Sch_\alpha\), ph 덮개들의 모임, 그리고 위에서 택한 집합 \(\text{Cov}_0\)로부터 출발하여 Sets, Lemma 000X에서와 같은 임의의 덮개 집합을 택한다.

큰 사이트 정의의 동기와 설명은 Definition 020S 뒤의 주석을 보라.

스킴 \(S\)의 큰 ph 사이트를 계속 도입하기 전에, 큰 ph 사이트 \(\Sch_{ph}\)의 위상은 어떤 의미에서 모든 스킴의 범주 위의 ph 위상으로부터 유도됨을 지적해 두자.

보조정리

\(\Sch_{ph}\)를 Definition 0DBJ에서와 같은 큰 ph 사이트라 하자. \(T \in \Ob(\Sch_{ph})\)라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 임의의 ph 덮개라 하자.

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분하는 \(\Sch_{ph}\) 안의 \(T\)의 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재한다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 표준 ph 덮개이면, \(\Sch_{ph}\)의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 Zariski 덮개이면, \(\Sch_{ph}\)의 어떤 덮개와 자명하게 동치이다.

증명

각 \(i\)에 대하여, 모든 \(T_{ij}\)가 \(T\)의 어떤 아핀 열린 부분스킴으로 사상되는 아핀 열린 덮개 \(T_i = \bigcup_{j \in J_i} T_{ij}\)를 택한다. Lemmas 0DBH 및 0DBI에 의해 세분 \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j \in J_i}\)도 \(T\)의 ph 덮개이다. 따라서 각 \(T_i\)가 아핀이고 \(T\)의 아핀 열린집합 \(W_i\)로 사상된다고 가정할 수 있다. Sets, Lemma 000R을 적용하면 \(W_i\)가 \(\Sch_{ph}\)의 어떤 대상과 동형임을 알 수 있다. 그러면 \(W_i\) 위의 유한형 스킴인 \(T_i\)도 Sets, Lemma 000R을 다시 적용하여 \(\Sch_{ph}\)의 어떤 대상 \(V_i\)와 동형이다. 덮개 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 세분한다(서로 동형이기 때문이다). 또한 Sets, Lemma 000R에 의해 \(\{V_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(\Sch_{ph}\) 안의 \(T\)의 어떤 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)와 조합적으로 동치이다. 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j \in J}\)는 (1)에서 요구한 세분이다. (2), (3)의 상황에서는 Sets, Lemma 000R에 의해 각 스킴 \(T_i\)가 \(\Sch_{ph}\)의 어떤 대상과 동형이고, Sets, Lemma 000X을 한 번 더 적용하면 원하는 결론을 얻는다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{ph}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 ph 사이트라 하자.

1. \(S\)의 큰 ph 사이트 \((\Sch/S)_{ph}\)는 Sites, Section 00XZ에서 도입한 사이트 \(\Sch_{ph}/S\)이다.

2. \(S\)의 큰 아핀 ph 사이트 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\)는 \((\Sch/S)_{ph}\)의 충만한 부분범주로서, 그 대상은 아핀 \(U/S\)이다. \((\textit{Aff}/S)_{ph}\)의 덮개는 \(U_i\)와 \(U\)가 아핀인 \((\Sch/S)_{ph}\)의 임의의 유한 덮개 \(\{U_i \to U\}\)이다.

\((\textit{Aff}/S)_{ph}\)의 덮개는 표준 ph 덮개로 주어지는 것이 아님에 유의하라. 그렇게 하면 Sites, Definition 00VH의 두 번째 공리를 만족하지 못하기 때문이다. 대신 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\)의 덮개는 \((\Sch/S)_{ph}\)의 아핀 대상 사이의 유한형 사상으로 이루어진 유한 사상족 \(\{U_i \to U\}\) 가운데 표준 ph 덮개로 세분될 수 있는 것들이다. 큰 아핀 ph 사이트가 사이트임을 명시적으로 진술하고 증명한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{ph}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 ph 사이트라 하자. 그러면 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\)는 사이트이다.

증명

Lemma 021C의 증명에서와 같이 논하면, \(U\)와 \(U_i\)가 아핀인 유한 ph 덮개 \(\{U_i \to U\}\)들의 모음이 Sites, Definition 00VH의 성질 (1), (2), (3)을 만족함을 보이면 충분하다. 이는 명백하다. 예를 들어 \(T_i, T\)가 아핀인 유한 ph 덮개 \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 주어지고, 각 \(i\)에 대하여 \(T_{ij}\)가 아핀인 유한 ph 덮개 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 주어지면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 ph 덮개이고(Lemma 0DBI), \(\bigcup_{i\in I} J_i\)는 유한이며 각 \(T_{ij}\)는 아핀이다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{ph}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 ph 사이트라 하자. 사이트 \(\Sch_{ph}\), \((\Sch/S)_{ph}\), 그리고 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\)의 기저 범주에는 올곱이 존재한다. 각 경우 모든 스킴의 범주 \(\Sch\)로 가는 자명한 함자는 올곱을 취하는 연산과 가환한다. 범주 \((\Sch/S)_{ph}\)에는 끝 대상이 있으며, 그것은 \(S/S\)이다.

증명

\(\Sch_{ph}\)에 대해서는 구성상 참이다(Sets, Lemma 000R 참조). \(U, V, W \in \Ob(\Sch_{ph})\)인 스킴 사상 \(U \to S\), \(V \to U\), \(W \to U\)가 주어졌다고 하자. \(\Sch_{ph}\) 안의 올곱 \(V \times_U W\)는 \(\Sch\) 안의 올곱이며, 모든 \(S\)-스킴의 범주에서 \(U/S\) 위의 \(V/S\)와 \(W/S\)의 올곱이기도 하다. 따라서 \((\Sch/S)_{ph}\) 안의 올곱이다. 이로써 \((\Sch/S)_{ph}\)에 대한 결론을 얻는다. \(U, V, W\)가 아핀이면 \(V \times_U W\)도 아핀이므로 \((\textit{Aff}/S)_{ph}\)에 대한 결론도 얻는다.

다음으로 큰 아핀 사이트가 큰 사이트와 같은 토포스를 정의함을 확인한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(\Sch_{ph}\)를 \(S\)를 포함하는 큰 ph 사이트라 하자. 함자 \((\textit{Aff}/S)_{ph} \to (\Sch/S)_{ph}\)는 공연속이며 \(\Sh((\textit{Aff}/S)_{ph})\)에서 \(\Sh((\Sch/S)_{ph})\)로 가는 토포스의 동치를 유도한다.

증명

특수 공연속 함자의 개념은 Sites, Definition 03CG에서 도입한다. 따라서 Sites, Lemma 03A0의 가정 (1)–(5)를 확인해야 한다. 포함 함자를 \(u : (\textit{Aff}/S)_{ph} \to (\Sch/S)_{ph}\)라 쓰자. 공연속성은 정의에 의해 아핀 \(T\)에 대한 \(T/S\)의 임의의 ph 덮개가 \(T\)의 표준 ph 덮개로 세분될 수 있다는 사실에서 따른다. 따라서 (1)이 성립한다. 아핀 스킴을 아핀 스킴들로 덮는 유한 ph 덮개는 ph 덮개이므로 \(u\)는 연속이다. 따라서 (2)가 성립한다. (3)과 (4)는 \(u\)가 충실충만이라는 사실에서 즉시 따른다. 마지막으로 모든 스킴에는 아핀 열린 덮개가 존재하고 이는 ph 덮개이므로 조건 (5)가 따른다.

보조정리

\(\mathcal{F}\)를 \((\Sch/S)_{ph}\) 위의 준층이라 하자. 그러면 \(\mathcal{F}\)가 층일 필요충분조건은 다음과 같다.

1. \(\mathcal{F}\)는 Zariski 덮개에 대한 층 조건을 만족한다.

2. \(f : V \to U\)가 고유 전사이면, \(\mathcal{F}(U)\)는 두 사상 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\)의 등화자에 전단사로 사상된다.

또한 (1)이 성립할 때 성질 (2)는 다음 성질과 동치이다.

1. (2)에서와 같이 \(U\)가 아핀인 \(\{V \to U\}\)에 대한 층 성질.

증명

(1)과 (2)가 성립하면 \(\mathcal{F}\)가 층임을 보이자. \(\{T_i \to T\}\)를 ph 덮개, 즉 \((\Sch/S)_{ph}\)의 덮개라 하자. 이 덮개에 대한 층 조건을 확인한다. \(s_i \in \mathcal{F}(T_i)\)를 \(T_i \times_T T_{i'}\) 위에서 같은 절단으로 제한되는 절단들이라 하자. 각 \(T_i\) 위에서 \(s_i\)로 제한되는 유일한 절단 \(s \in \mathcal{F}(T)\)가 존재함을 보일 것이다. \(T = \bigcup U_j\)를 아핀 열린 덮개라 하자. 성질 (1)에 의해, \(U_j \cap U_{j'}\)에서 일치하는 절단 \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\)들을 구성하면 \(s\)를 구성하기에 충분하다. ph 덮개 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)를 생각하자. 그러면 \(s_{ji} = s_i|_{T_i \times_T U_j}\)는 \((T_i \times_T U_j) \times_{U_j} (T_{i'} \times_T U_j)\) 위에서 일치하는 절단들이다. 표준 ph 덮개 \(\{V_{jk} \to U_j\}\)가 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)를 세분하도록 고유 전사 사상 \(V_j \to U_j\)와 유한 아핀 열린 덮개 \(V_j = \bigcup V_{jk}\)를 택한다. \(s_{jk} \in \mathcal{F}(V_{jk})\)가 암묵적으로 주어진 사상에 의한 \(s_{ji}\)의 \(V_{jk}\)로의 당김을 나타내면, \(s_{jk}\)들은 붙어서 절단 \(s'_j \in \mathcal{F}(V_j)\)를 이룬다. 겹침에서의 일치를 다시 한 번 사용하면 \(s'_j\)가 두 사상 \(\mathcal{F}(V_j) \to \mathcal{F}(V_j \times_{U_j} V_j)\)의 등화자에 속함을 알 수 있다. 따라서 (2)에 의해 \(s'_j\)는 유일한 절단 \(s_j \in \mathcal{F}(U_j)\)에서 온다. 이 절단 \(s_j\)들이 원하는 모든 성질을 가진다는 확인은 생략한다.

(1)이 성립할 때 (2)와 (2’)가 동치임을 증명하자. \(V \to U\)를 고유 전사인 \((\Sch/S)_{ph}\)의 사상이라 하자. 아핀 열린 덮개 \(U = \bigcup U_i\)를 택하고 \(V_i = V \times_U U_i\)로 둔다. (2’)에 의해 \(\mathcal{F}(U_i) \to \mathcal{F}(V_i)\)가 단사이고, (1)에 의해 \(\mathcal{F}(U) \to \prod \mathcal{F}(U_i)\)가 단사이므로 \(\mathcal{F}(U) \to \mathcal{F}(V)\)도 단사임을 알 수 있다. 마지막으로 \(t \in \mathcal{F}(V)\)가 두 사상 \(\mathcal{F}(V) \to \mathcal{F}(V \times_U V)\)의 등화자에 속한다고 하자. 그러면 모든 \(i\)에 대하여 \(t|_{V_i}\)는 두 사상 \(\mathcal{F}(V_i) \to \mathcal{F}(V_i \times_{U_i} V_i)\)의 등화자에 속한다. 따라서 (2’)에 의해 모든 \(i\)에 대하여 \(t|_{V_i}\)로 사상되는 유일한 절단 \(s_i \in \mathcal{F}(U_i)\)를 얻는다. 모든 \(i, j\)에 대하여 \(s_i|_{U_i \cap U_j} = s_j|_{U_i \cap U_j}\)라는 확인은 생략한다. 이는 방금 보인 유일성을 사용한다. 덮개 \(U = \bigcup U_i\)에 대한 층 성질로 절단 \(s \in \mathcal{F}(U)\)를 얻는다. \(s\)가 \(\mathcal{F}(V)\)에서 \(t\)로 사상된다는 증명은 생략한다.

다음으로 이 사이트들에 대응하는 토포스 사이의 몇 가지 관계를 확립한다.

보조정리

\(\Sch_{ph}\)를 큰 ph 사이트라 하고 \(f : T \to S\)를 \(\Sch_{ph}\)의 사상이라 하자. 함자 \[u : (\Sch/T)_{ph} \longrightarrow (\Sch/S)_{ph}, \quad V/T \longmapsto V/S\] 는 공연속이고, 다음과 같은 연속인 오른쪽 수반을 갖는다. \[v : (\Sch/S)_{ph} \longrightarrow (\Sch/T)_{ph}, \quad (U \to S) \longmapsto (U \times_S T \to T).\] 이 두 함자는 동일한 토포스 사상을 유도한다. \[f_{big} : \Sh((\Sch/T)_{ph}) \longrightarrow \Sh((\Sch/S)_{ph})\] \(f_{big}^{-1}(\mathcal{G})(U/T) = \mathcal{G}(U/S)\)이고 \(f_{big, *}(\mathcal{F})(U/S) = \mathcal{F}(U \times_S T/T)\)이다. 또한 \(f_{big}^{-1}\)에는 올곱 및 등화자와 가환하는 왼쪽 수반 \(f_{big!}\)가 존재한다.

증명

함자 \(u\)는 공연속이고 연속이며 올곱 및 등화자와 가환한다. 따라서 Sites, Lemmas 00XR 및 00XS를 적용하여 \(f_{big}^{-1}\)의 공식과 \(f_{big!}\)의 존재를 얻는다. 또한 \(U/T\)와 \(V/S\)가 주어졌을 때 \(\Mor_S(u(U), V) = \Mor_T(U, V \times_S T)\)이므로 함자 \(v\)는 오른쪽 수반이다. 따라서 Sites, Lemmas 00XX 및 00XY를 적용하면 \(f_{big, *}\)의 공식을 얻는다.

보조정리

\((\Sch/S)_{ph}\)의 스킴 \(X\), \(Y\), \(Y\)와 사상 \(f : X \to Y\), \(g : Y \to Z\)가 주어지면 \(g_{big} \circ f_{big} = (g \circ f)_{big}\)이다.

증명

큰 사이트 위 함자들의 밂과 당김에 대한 Lemma 0DBR의 간단한 설명으로부터 따른다.

fpqc 위상

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. 스킴의 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)가 각 \(f_i\)가 평탄이고, 모든 아핀 열린집합 \(U \subset T\)에 대하여 \(n \geq 0\), 사상 \(a : \{1, \ldots, n\} \to I\), 그리고 아핀 열린집합 \(V_j \subset T_{a(j)}\), \(j = 1, \ldots, n\)가 존재하여 \(\bigcup_{j = 1}^n f_{a(j)}(V_j) = U\)를 만족할 때, 이를 \(T\)의 fpqc 덮개라 한다.

물론 이 조건은 \(T = \bigcup f_i(T_i)\)를 함의한다. fpqc 덮개를 판별하는 일은 조금 더 어려우므로 이를 위한 몇 가지 보조정리를 제시한다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하고, \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 끝 대상이 \(T\)인 스킴 사상족이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)는 fpqc 덮개이다.

2. 각 \(f_i\)는 평탄이고, 모든 아핀 열린집합 \(U \subset T\)에 대하여 거의 모두 공집합인 준콤팩트 열린집합 \(U_i \subset T_i\)들이 존재하여 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)이다.

3. 각 \(f_i\)는 평탄이고, 아핀 열린 덮개 \(T = \bigcup_{\alpha \in A} U_\alpha\)가 존재하며, 각 \(\alpha \in A\)에 대하여 \(i_{\alpha, 1}, \ldots, i_{\alpha, n(\alpha)} \in I\)와 준콤팩트 열린집합 \(U_{\alpha, j} \subset T_{i_{\alpha, j}}\)들이 존재하여 \(U_\alpha = \bigcup_{j = 1, \ldots, n(\alpha)} f_{i_{\alpha, j}}(U_{\alpha, j})\).

\(T\)가 준분리이면 이들은 다음 조건과도 동치이다.

1. 각 \(f_i\)는 평탄이고, 모든 \(t \in T\)에 대하여 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)와 준콤팩트 열린집합 \(U_j \subset T_{i_j}\)들이 존재하여 \(\bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\)가 \(T\)에서 \(t\)의 (열린집합일 필요는 없는) 근방이다.

증명

(1), (2), (3)의 동치에 대한 증명은 생략한다. 이제부터 \(T\)가 준분리라고 가정한다. (4)가 (2)를 함의함을 보이자. 아핀 열린집합 \(U \subset T\)를 택한다. (2)를 보이려면 모든 \(t \in U\)에 대하여 유한 개의 준콤팩트 열린집합 \(U_j \subset T_{i_j}\)들이 존재하여 \(f_{i_j}(U_j) \subset U\)이고 \(\bigcup f_{i_j}(U_j)\)가 \(U\)에서 \(t\)의 근방임을 보이면 충분하다. 가정에 의해 유한 개의 준콤팩트 열린집합 \(U'_j \subset T_{i_j}\)들이 존재하여

\(\bigcup f_{i_j}(U'_j)\)가 \(T\)에서 \(t\)의 근방이다. \(T\)가 준분리이므로 \(U_j = U'_j \cap f_{i_j}^{-1}(U) = (f_{i_j}|_{U'_j})^{-1}(U)\) 는 Schemes, Lemma 03GI에 의해 준콤팩트이다. 따라서 (2)가 성립한다. (2)가 (4)를 함의함은 명백하므로 증명이 끝난다.

예

Schemes, Example 01KL의 준분리가 아닌 스킴 \(X = X_1 \cup X_2\)를 생각하자. 여기서 \(X_1 = X_2 = \Spec(k[t_1,t_2,\dots])\)이고, \(Y = X_1 \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\)로 둔다. 그러면 자명한 사상 \(f : Y \to X\)는 평탄 전사이고, (\(Y\)가 준콤팩트이므로) Lemma 03L7의 (4)를 자명하게 만족한다. 그러나 \(\{f : Y \to X\}\)는 fpqc 덮개가 아니다. 실제로 \(f\)에 의한 상이 \(X_2\)인 \(Y\)의 준콤팩트 열린집합 \(W\)는 존재하지 않는다고 주장한다. 사실 \(f^{-1}(X_2) = X_1 \setminus \{0\} \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\)이다. 따라서 \(W\)가 존재한다면 \(X_1 \setminus \{0\} = X_2 \setminus \{0\}\)의 어떤 준콤팩트 열린집합 \(U\)에 대하여 \(W = U \amalg \Spec(\mathcal{O}_{X_2, 0})\)이다. 그런데 \(0\)에서 소멸하는 어떤 \(f_i \in k[t_1, t_2, \ldots]\)들에 대하여 \(U = D(f_1) \cup \ldots \cup D(f_n)\)로 쓸 수 있다.

\(f_1, \ldots, f_n\)이 변수 \(x_1, \ldots, x_m\)만을 사용한다고 하자. 그러면 \((m + 1)\)번째 성분이 \(1\)인 \(p = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)\)은 \(W\)의 상에 속하지 않는 \(X_2\)의 닫힌점이다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하고, \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 끝 대상이 \(T\)인 스킴 사상족이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)는 fpqc 덮개이다.

2. \(T' = \coprod_{i \in I} T_i\) 및 \(f = \coprod_{i \in I} f_i\)로 두면 \(\{f : T' \to T\}\)는 fpqc 덮개이다.

증명

\(U \subset T\)를 아핀 열린집합이라 하자. (1)이 성립하면 \(i_1, \ldots, i_n \in I\)와 아핀 열린집합 \(U_j \subset T_{i_j}\)들을 찾아 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, n} f_{i_j}(U_j)\)로 둘 수 있다. 그러면 \(U_1 \amalg \ldots \amalg U_n \subset T'\)은 \(U\) 위로 전사하는 준콤팩트 열린집합이다. 따라서 Lemma 03L7에 의해 \(\{f : T' \to T\}\)는 fpqc 덮개이다. 역으로 (2)가 성립하면 \(U = f(U')\)인 준콤팩트 열린집합 \(U' \subset T'\)이 존재한다. 이때 \(U_j = U' \cap T_j\)는 \(T_j\)의 준콤팩트 열린집합이며 거의 모든 \(j\)에 대하여 공집합이다. Lemma 03L7에 의해 (1)이 성립한다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하고, \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 끝 대상이 \(T\)인 스킴 사상족이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 각 \(f_i\)는 평탄이다.

2. 사상족 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)에는 \(T\)의 fpqc 덮개에 의한 세분이 존재한다.

그러면 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(T\)의 fpqc 덮개이다.

증명

\(\{g_j : X_j \to T\}_{j \in J}\)를 \(\{f_i : T_i \to T\}\)의 세분인 fpqc 덮개라 하자. \(U \subset T\)를 아핀 열린집합이라 하자. \(U = \bigcup g_{j_k}(V_k)\)가 되도록 \(j_1, \ldots, j_m \in J\)와 아핀 열린집합 \(V_k \subset X_{j_k}\)를 택한다. 각 \(j\)에 대하여 \(g_j = f_{i_j} \circ h_j\)가 되도록 \(i_j \in I\)와 사상 \(h_j : X_j \to T_{i_j}\)를 택한다. \(h_{j_k}(V_k)\)가 준콤팩트이므로 준콤팩트 열린집합 \(h_{j_k}(V_k) \subset U_k \subset f_{i_{j_k}}^{-1}(U)\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(U = \bigcup f_{i_{j_k}}(U_k)\)이다. Lemma 03L7에 의해 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)가 fpqc 덮개임을 얻는다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하고, \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 끝 대상이 \(T\)인 스킴 사상족이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 각 \(f_i\)는 평탄이다.

2. fpqc 덮개 \(\{g_j : S_j \to T\}_{j \in J}\)가 존재하여, 각 지표에 대하여 \(\{S_j \times_T T_i \to S_j\}_{i \in I}\)는 fpqc 덮개이다.

그러면 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(T\)의 fpqc 덮개이다.

증명

이후 별도 언급 없이 Lemma 03L7을 사용한다. \(U \subset T\)를 아핀 열린집합이라 하자. (2)에 의해 \(j \in J\)로 지표화된 준콤팩트 열린집합 \(V_j \subset S_j\)들을 찾아, 거의 모두 공집합이고 \(U = \bigcup g_j(V_j)\)가 되게 할 수 있다. 그러면 각 \(j\)에 대하여 \(i \in I\)로 지표화된 준콤팩트 열린집합 \(W_{ij} \subset S_j \times_T T_i\)들을 택하여, 거의 모두 공집합이고 \(V_j = \bigcup_i \text{pr}_1(W_{ij})\)가 되게 할 수 있다. 따라서 \(\{S_j \times_T T_i \to T\}\)는 fpqc 덮개이다. 이 덮개는 \(\{f_i : T_i \to T\}\)를 세분하므로 Lemma 03L8으로 결론을 얻는다.

보조정리

모든 fppf 덮개는 fpqc 덮개이다. 따라서 특히 모든 신토믹 덮개, 매끄러운 덮개, 에́탈 덮개 또는 Zariski 덮개는 fpqc 덮개이다.

증명

fppf 덮개가 fpqc 덮개임을 보이면 나머지는 Lemma 021N에서 따른다. \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)를 fppf 덮개라 하자. 정의에 의해 \(f_i\)들은 평탄이므로 Definition 022B의 첫째 조건이 성립한다. 둘째 조건을 확인하기 위해 아핀 열린부분집합 \(V \subset U\)를 택한다. 어떤 아핀 열린집합 \(V_{ij} \subset U_i\)들에 대하여 \(f_i^{-1}(V) = \bigcup_{j \in J_i} V_{ij}\)로 쓰자. 각 \(f_i\)가 열린 사상이므로 (Morphisms, Lemma 01UA), \(V = \bigcup_{i\in I} \bigcup_{j \in J_i} f_i(V_{ij})\) 는 \(V\)의 열린 덮개이다. \(V\)가 준콤팩트이므로 이 덮개에는 유한 세분이 존재한다. 이로써 증명이 끝난다.

fpqc⁵ 위상은 fppf 위상과 같은 방식으로 다룰 수 없다⁶. 실제로 \(R\)이 영이 아닌 환이라고 하자. Lemma 0BBK에서 \(\Spec(R)\)의 fpqc 덮개들의 집합 \(A\)로서 모든 fpqc 덮개가 \(A\)의 원소에 의해 세분되는 것은 존재하지 않음을 볼 것이다. \(R = k\)가 체이면 이러한 비유계성의 이유는 \(k\)의 모든 체 확대를 포함하는 하나의 \(k\)의 체 확대가 존재하지 않기 때문이다.

집합론적 어려움을 무시하면 층화를 갖지 않는 전층을 만나게 된다. [Waterhouse-fpqc-sheafification, Theorem 5.5]를 보라. 다소 흥미로운 선택지는 \(R'\)의 기수가 적절히 제한된 충실히 평탄한 환 확대 \(R \to R'\)만을 생각하는 것이다. (SGA4에서처럼 고정된 우주에 속하는 모든 스킴을 생각한다면, 이는 강불가접 기수로 기수를 제한하는 셈이다.) 그러나 그 기수를 더 큰 것으로 바꾸면 무슨 일이 일어나는지는 그리 명확하지 않다.

이러한 이유로 우리는 fpqc 사이트를 도입하지 않으며 fpqc 위상에 관한 코호몰로지를 생각하지 않을 것이다.

한편 반변 함자 \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Sets}\)가 주어졌을 때 \(F\)가 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족하는지 묻는 것은 의미가 있다. 아래를 보라. 또한 fpqc 위상에서 대상의 내림 등을 물을 수 있다. 간단히 말해 어떤 결과들에는 fpqc 덮개를 다루는 것이 올바른 일반성이다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 fpqc 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 fpqc 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 fpqc 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 fpqc 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 fpqc 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴의 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 fpqc 덮개이다.

증명

(1)은 즉시 성립한다. 평탄 사상의 합성은 평탄이고 평탄 사상의 기저변환은 평탄임을 기억하라(Morphisms, Lemmas 01U9 및 01U7). 따라서 각 경우에 Lemma 03L7을 적용하여 주어진 사상족이 fpqc 덮개임을 확인할 수 있다.

(2)의 증명. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 fpqc 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{f_{ij} : T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 fpqc 덮개라고 가정하자. \(U \subset T\)를 아핀 열린집합이라 하자. \(i \in I\)로 지표화된 준콤팩트 열린집합 \(U_i \subset T_i\)들을 찾아, 거의 모두 공집합이고 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)가 되게 할 수 있다. 그러면 각 \(i\)에 대하여 \(j \in J_i\)로 지표화된 준콤팩트 열린집합 \(U_{ij} \subset T_{ij}\)들을 택하여, 거의 모두 공집합이고 \(U_i = \bigcup_j f_{ij}(U_{ij})\)가 되게 할 수 있다. 따라서 \(\{T_{ij} \to T\}\)는 fpqc 덮개이다.

(3)의 증명. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 fpqc 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴의 사상이라고 가정하자. \(U' \subset T'\)을 아핀 열린집합 \(U \subset T\) 안으로 사상되는 아핀 열린집합이라 하자. 거의 모두 공집합인 준콤팩트 열린집합 \(U_i \subset T_i\)들을 택하여 \(U = \bigcup f_i(U_i)\)가 되게 하자. 그러면 \(U' \times_U U_i\)는 \(T' \times_T T_i\)의 준콤팩트 열린집합이고 \(U' = \bigcup \text{pr}_1(U' \times_U U_i)\)이다. \(T'\)는 이러한 아핀 열린집합 \(U' \subset T'\)들로 덮이므로, Lemma 03L7에 의해 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 fpqc 덮개이다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하고 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 \(T\)의 fpqc 덮개라 하자. 그러면 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)의 세분인 fpqc 덮개 \(\{U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\)가 존재하여 각 \(U_j\)는 아핀 스킴이다. 더 나아가 각 \(U_j\)를 어느 한 \(T_i\)의 아핀 열린집합으로 택할 수 있다.

증명

정의에서 바로 따른다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. 각 \(U_j\)가 아핀이고 \(T\) 위에서 평탄이며 \(T = \bigcup f_j(U_j)\)인 사상족 \(\{f_j : U_j \to T\}_{j = 1, \ldots, n}\)을 \(T\)의 표준 fpqc 덮개라 한다.

아핀 사이트를 도입하지 않으므로 모든 표준 fpqc 덮개들의 모임이 공리들을 만족함을 직접 보여야 한다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 표준 fpqc 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 표준 fpqc 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 표준 fpqc 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 표준 fpqc 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 표준 fpqc 덮개이고 \(T' \to T\)가 아핀 스킴의 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 표준 fpqc 덮개이다.

증명

평탄 사상의 합성과 기저변환이 평탄이라는 사실(Morphisms, Lemmas 01U9 및 01U7) 및 아핀 스킴의 섬유곱이 아핀이라는 사실(Schemes, Lemma 01JQ)에서 형식적으로 따른다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하고, \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 끝 대상이 \(T\)인 스킴 사상족이라 하자. 다음을 가정한다.

1. 각 \(f_i\)는 평탄이다.

2. 모든 아핀 스킴 \(Z\)와 사상 \(h : Z \to T\)에 대하여 사상족 \(\{T_i \times_T Z \to Z\}_{i \in I}\)을 세분하는 표준 fpqc 덮개 \(\{Z_j \to Z\}_{j = 1, \ldots, n}\)가 존재한다.

그러면 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)는 \(T\)의 fpqc 덮개이다.

증명

\(T = \bigcup U_\alpha\)를 아핀 열린 덮개라 하자. 각 \(\alpha\)에 대하여 당김 사상족 \(\{T_i \times_T U_\alpha \to U_\alpha\}\)에는 표준 fpqc 덮개에 의한 세분이 존재하므로, Lemma 03L8에 의해 이는 fpqc 덮개이다. \(\{U_\alpha \to T\}\)가 fpqc 덮개이므로 Lemma 03L9에 의해 \(\{T_i \to T\}\)가 fpqc 덮개임을 얻는다.

정의

\(F\)를 스킴의 범주에서 집합으로 가는 반변 함자라 하자.

1. \(\{U_i \to T\}_{i \in I}\)를 고정된 끝 대상을 갖는 스킴 사상족이라 하자. 다음을 만족할 때 \(F\)가 주어진 사상족에 대한 층 성질을 만족한다고 한다. 즉, \(\xi_i|_{U_i \times_T U_j} = \xi_j|_{U_i \times_T U_j}\) 를 만족하는 임의의 원소족 \(\xi_i \in F(U_i)\)에 대하여, \(F(U_i)\)에서 \(\xi_i = \xi|_{U_i}\)를 만족하는 유일한 원소 \(\xi \in F(T)\)가 존재한다.

2. 모든 fpqc 덮개에 대한 층 성질을 만족할 때, \(F\)가 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족한다고 한다.

위에서 설명했듯이 fpqc 층들의 범주를 정의하는 것이 아니므로, 이 상황에서는 “\(F\)는 층이다”라는 용어를 되도록 사용하지 않는다.

보조정리

\(F\)를 스킴의 범주에서 집합으로 가는 반변 함자라 하자. 그러면 \(F\)가 fpqc 위상에 대한 층 성질을 만족할 필요충분조건은 다음을 만족하는 것이다.

1. 모든 Zariski 덮개에 대한 층 성질.

2. 임의의 표준 fpqc 덮개에 대한 층 성질.

더 나아가 (1)이 성립할 때 (2)는 다음 조건과 동치이다.

1. \(V\), \(U\)가 아핀이고 \(V \to U\)가 충실히 평탄인 \(\{V \to U\}\)에 대한 층 성질.

증명

(1)과 (2)가 성립한다고 가정하자. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 fpqc 덮개라 하자. \(s_i\)와 \(s_j\)가 \(F(T_i \times_T T_j)\)의 같은 원소로 사상되는 원소족 \(s_i \in F(T_i)\)를 택한다. 모든 \(i\)에 대하여 \(s|_{f_i^{-1}(W)} = s_i|_{f_i^{-1}(W)}\)를 만족하는 유일한 \(s \in F(W)\)가 존재하도록 하는 극대 열린부분집합 \(W \subset T\)를 택한다. \(F\)가 Zariski 덮개에 대한 층 성질을 만족하므로 이러한 극대 열린집합이 존재한다. 실제로 \(W\)는 이 성질을 갖는 모든 열린집합의 합집합이다. \(t \in T\)를 택하자. \(t \in W\)임을 보이겠다. 이를 위해 아핀 열린집합 \(t \in U \subset T\)를 택하고, 모든 \(i\)에 대하여 \(s|_{f_i^{-1}(U)} = s_i|_{f_i^{-1}(U)}\)를 만족하는 유일한 \(s \in F(U)\)가 존재함을 보이겠다.

Lemma 022E에 의해 \(\{U \times_T T_i \to U\}\)를 세분하는 표준 fpqc 덮개 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, n}\)를 찾을 수 있다. 그 세분 사상들을 \(h_j : U_j \to T_{i_j}\)라 하자. (2)에 의해 \(s|_{U_j} = F(h_j)(s_{i_j})\)를 만족하는 유일한 원소 \(s \in F(U)\)를 얻는다. \(U\) 위의 임의의 스킴 \(V \to U\)에 대하여, 각 \(j = 1, \ldots, n\)에 대해 \(V \times_U U_j\) 위에서 \(F(h_j \circ \text{pr}_2)(s_{i_j})\)로 제한되는 유일한 절단 \(s_V \in F(V)\)가 존재함에 유의하라. 실제로 \(V\)가 아핀이면 \(\{V \times_U U_j \to V\}\)가 표준 fpqc 덮개이므로 (2)에서 따르고, 일반적으로는 \(V\)의 아핀 열린 덮개를 택한 뒤 (1)과 아핀인 경우에서 따른다. 특히 \(s_V = s|_V\)이다. 이제 \(V = U \times_T T_i\)로 두고 \(s_{i_j}|_{T_{i_j} \times_T T_i} = s_i|_{T_{i_j} \times_T T_i}\) 임을 사용하면 \(s|_{U \times_T T_i} = s_V = s_i|_{U \times_T T_i}\)를 얻는다. 이것이 보이고자 한 바이다.

(1)이 성립할 때 (2)와 (2’)가 동치임을 증명하자. \(\{T_i \to T\}\)가 표준 fpqc 덮개라고 하자. 그러면 \(\coprod T_i \to T\)는 아핀 스킴의 충실히 평탄한 사상이다. (1)이 성립하므로 \(F(\coprod T_i) = \prod F(T_i)\)이고, 마찬가지로 \(F((\coprod T_i) \times_T (\coprod T_i)) = \prod F(T_i \times_T T_{i'})\). 따라서 \(\{T_i \to T\}\)와 \(\{\coprod T_i \to T\}\)에 대한 층 조건은 같다.

다음 보조정리는 집합론적 어려움이 실제로 생기며 대부분의 독자는 이를 무시해도 됨을 지적하기 위해 제시한다.

보조정리

\(R\)을 영이 아닌 환이라 하자. \(\Spec(R)\)의 fpqc 덮개들의 집합 \(A\)로서 모든 fpqc 덮개가 \(A\)의 원소에 의해 세분되는 것은 존재하지 않는다.

증명

먼저 \(R = k\)가 체인 경우를 설명하자. 임의의 집합 \(I\)에 대하여 순수 초월 체 확대 \(k_I = k(\{t_i\}_{i \in I})/k\)를 생각한다. \(k \to k_I\)가 충실히 평탄이므로 \(\{\Spec(k_I) \to \Spec(k)\}\)는 fpqc 덮개이다. \(A\)를 집합이라 하고, 각 \(\alpha \in A\)에 대하여 \(\mathcal{U}_\alpha = \{S_{\alpha, j} \to \Spec(k)\}_{j \in J_\alpha}\)를 fpqc 덮개라 하자. \(\mathcal{U}_\alpha\)가 \(\{\Spec(k_I) \to \Spec(k)\}\)를 세분하면 사상 \(S_{\alpha, j} \to \Spec(k)\)들은 \(\Spec(k_I)\)를 통하여 분해된다. \(\mathcal{U}_\alpha\)가 덮개이므로 적어도 하나의 \(S_{\alpha, j}\)는 공집합이 아니다. 한 점 \(s \in S_{\alpha, j}\)를 택하자. 분해 \(S_{\alpha, j} \to \Spec(k_I) \to \Spec(k)\) 가 있으므로 체 준동형 \(k_I \to \kappa(s)\)를 얻는다. 특히 \(\kappa(s)\)의 기수는 적어도 \(I\)의 기수이다. 따라서 모든 스킴 \(S_{\alpha, j}\)의 잉여체들의 기수보다 큰 기수를 갖는 집합 \(I\)를 택하면 그러한 분해가 존재하지 않는다. 이로써 \(R = k\)인 경우 보조정리가 성립한다.

일반적인 경우를 보자. \(R\)이 영이 아니므로 잉여체가 \(\kappa\)인 극대 소아이디얼 \(\mathfrak m\)을 갖는다. \(I\)를 집합이라 하고 \(R_I = S_I^{-1} R[\{t_i\}_{i \in I}]\)를 생각하자. 여기서 \(S_I \subset R[\{t_i\}_{i \in I}]\)는 \(f \in R[\{t_i\}_{i \in I}]\)들 중 모든 \(R\)의 소아이디얼 \(\mathfrak p\)에 대하여 \(f\)가 \(R/\mathfrak p[\{t_i\}_{i \in I}]\)의 영이 아닌 원소로 사상되는 것들로 이루어진 곱셈적 부분집합이다. 그러면 \(R_I\)는 충실히 평탄한 \(R\)-대수이고 \(\{\Spec(R_I) \to \Spec(R)\}\)는 fpqc 덮개이다. 다음을 보이는 일은 독자의 연습문제로 남긴다. \(R_I \otimes_R \kappa \cong \kappa(\{t_i\}_{i \in I}) = \kappa_I\) 표기는 위와 같으며, 힌트는 \(R \to \kappa\)가 전사이고 계수가 \(1\)인 단항식을 하나라도 갖는 임의의 \(f \in R[\{t_i\}_{i \in I}]\)가 \(S_I\)의 원소라는 사실을 사용하는 것이다. \(A\)를 집합이라 하고, 각 \(\alpha \in A\)에 대하여 \(\mathcal{U}_\alpha = \{S_{\alpha, j} \to \Spec(R)\}_{j \in J_\alpha}\)를 fpqc 덮개라 하자. \(\mathcal{U}_\alpha\)가 \(\{\Spec(R_I) \to \Spec(R)\}\)를 세분하면 기저변환에 의해 \(\{S_{\alpha, j} \times_{\Spec(R)} \Spec(\kappa) \to \Spec(\kappa)\}\) 가 \(\{\Spec(\kappa_I) \to \Spec(\kappa)\}\)를 세분함을 얻는다. 따라서 앞 문단의 결과에 의해 이것이 성립하지 않게 하는 \(I\)가 존재하며, 보조정리가 증명되었다.

V 위상

V 위상은 이 장의 다른 모든 위상보다 강하다. 대략 말하면 이는 Zariski 덮개와 특수화에 대한 올림 성질을 만족하는 준콤팩트 사상들로 생성된다 (Lemma 0ETN). 그러나 여기서 V 덮개를 정의하는 절차는 조금 다르다. 먼저 아핀 스킴의 표준 V 덮개를 정의한 뒤 이를 사용하여 일반적인 V 덮개를 정의한다. 표기상 문헌에서는 때때로 “V 덮개” 대신 “\(v\)-덮개”를 사용한다.

정의

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(T_j\)가 아핀인 유한 사상족 \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 다음 성질을 만족할 때 이를 표준 V 덮개라 한다. 즉, \(V\)가 값매김환인 모든 사상 \(g : \Spec(V) \to T\)에 대하여 값매김환의 확대 \(V \subset W\) (More on Algebra, Definition 0ASG), 지표 \(1 \leq j \leq m\), 그리고 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & T_j \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r]^g & T }\]

먼저 이 개념에 관한 몇 가지 기본 보조정리를 증명한다.

보조정리

표준 fpqc 덮개는 표준 V 덮개이다.

증명

\(\{X_i \to X\}_{i = 1, \ldots, n}\)를 표준 fpqc 덮개라 하자 (Definition 022F). \(V\)가 값매김환인 사상 \(g : \Spec(V) \to X\)를 택한다. \(x \in X\)를 \(\Spec(V)\)의 닫힌점의 상이라 하자. 어떤 \(i\)와 \(x\)로 사상되는 점 \(x_i \in X_i\)를 택한다. 그러면 \(\Spec(V) \times_X X_i\)에는 \(\Spec(V)\)의 닫힌점으로 사상되는 점 \(x'_i\)가 있다. \(\Spec(V) \times_X X_i \to \Spec(V)\)가 평탄이므로, \(\Spec(V)\)의 일반점으로 사상되는 \(x''_i\)를 갖는 \(\Spec(V) \times_X X_i\)의 점들의 특수화 \(x''_i \leadsto x'_i\)를 찾을 수 있다. Morphisms, Lemma 03HV를 보라. Schemes, Lemma 01J8에 의해 값매김환 \(W\)와 사상 \(h : \Spec(W) \to \Spec(V) \times_X X_i\)를 택하여, \(h\)가 \(\Spec(W)\)의 일반점을 \(x''_i\)로, \(\Spec(W)\)의 닫힌점을 \(x'_i\)로 사상하게 할 수 있다. 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X_i \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & X }\] 여기서 \(V \to W\)는 값매김환의 확대이다. 이로써 보조정리가 증명되었다.

보조정리

표준 ph 덮개는 표준 V 덮개이다.

증명

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(f : U \to T\)를 고유 전사 사상이라 하고 \(U = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)를 유한 아핀 열린 덮개라 하자. Definition 0DBD에 따라 \(\{U_j \to T\}\)가 표준 V 덮개임을 보여야 한다. \(V\)가 분수체 \(K\)를 갖는 값매김환인 사상 \(g : \Spec(V) \to T\)를 택한다. \(U \to T\)가 전사이므로 체 확대 \(L/K\)와 다음 가환 그림을 택할 수 있다. \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[rr] \ar[d] & & U \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & \Spec(V) \ar[r]^g & T }\] Algebra, Lemma 00IA에 의해 \(V\)를 지배하는 값매김환 \(W \subset L\)을 택할 수 있다. 고유성의 값매김 판정법(Morphisms, Lemma 0BX5)에 의해 다음 가환 그림의 사상 \(h\)를 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ \Spec(L) \ar[r] \ar[d] & \Spec(W) \ar[r]_h \ar[d] & U \ar[d] \\ \Spec(K) \ar[r] & \Spec(V) \ar[r]^g & X }\] \(\Spec(W)\)가 유일한 닫힌점을 가지므로 어떤 \(j\)에 대하여 \(\Im(h)\)가 \(U_j\)에 포함됨을 알 수 있다. 따라서 \(h : \Spec(W) \to U_j\)는 원하는 올림이며, \(\{U_j \to T\}\)가 표준 V 덮개임을 얻는다.

보조정리

\(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 표준 V 덮개라 하고 \(T' \to T\)를 아핀 스킴의 사상이라 하자. 그러면 \(\{T_j \times_T T' \to T'\}_{j = 1, \ldots, m}\)는 표준 V 덮개이다.

증명

\(V\)가 값매김환인 사상 \(\Spec(V) \to T'\)를 택한다. 가정에 의해 값매김환의 확대 \(V \subset W\), 어떤 \(i\), 그리고 다음 가환 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & T_i \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & T }\] 섬유곱의 보편 성질에 의해 원하는 사상 \(\Spec(W) \to T' \times_T T_i\)를 얻는다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하자. \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 표준 V 덮개라 하고, \(\{T_{ji} \to T_j\}_{i = 1, \ldots n_j}\)를 표준 V 덮개라 하자. 그러면 \(\{T_{ji} \to T\}_{i, j}\)는 표준 V 덮개이다.

증명

\(V \subset W\)와 \(W \subset \Omega\)가 값매김환의 확대이면 \(V \subset \Omega\)도 값매김환의 확대라는 관찰에서 형식적으로 따른다.

보조정리

\(T\)를 아핀 스킴이라 하고, 모든 \(j\)에 대하여 \(T_j\)가 아핀인 사상족 \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 택하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)는 표준 V 덮개이다.

2. \(\{T_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 세분하는 표준 V 덮개가 존재한다.

3. \(\{\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j \to T\}\)는 표준 V 덮개이다.

증명

생략한다. 힌트: 정의에서 거의 즉시 따른다. 조금 흥미로운 유일한 점은 국소환의 스펙트럼에서 \(\coprod_{j = 1, \ldots, m} T_j\)로 가는 사상은 어떤 \(T_j\)를 통하여 분해되어야 한다는 것이다.

정의

\(T\)를 스킴이라 하자. 모든 아핀 열린집합 \(U \subset T\)에 대하여 사상족 \(\{T_i \times_T U \to U\}_{i \in I}\)을 세분하는 표준 V 덮개 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 존재하는 스킴 사상족 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)을 \(T\)의 V 덮개라 한다.

V 위상에는 fpqc 위상과 같은 집합론적 문제가 있다. 따라서 V 사이트를 정의하지 않으며 V 위상에 관한 코호몰로지를 생각하지 않을 것이다. 한편 \(F : \Sch^{opp} \to \textit{Sets}\)가 주어졌을 때 \(F\)가 V 위상에 대한 층 성질을 만족하는지 묻는 것은 의미가 있다. 아래를 보라. 또한 V 위상에서 대상의 내림 등을 물을 수 있다.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하고, \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 사상족이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)는 V 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)을 세분하는 V 덮개가 존재한다.

3. \(\{\coprod_{i \in I} T_i \to T\}\)는 V 덮개이다.

증명

생략한다. 힌트: Lemma 0ET9의 증명과 비교하라.

보조정리

\(T\)를 스킴이라 하자.

1. \(T' \to T\)가 동형이면 \(\{T' \to T\}\)는 \(T\)의 V 덮개이다.

2. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 V 덮개이고 각 \(i\)에 대하여 \(\{T_{ij} \to T_i\}_{j\in J_i}\)가 V 덮개이면, \(\{T_{ij} \to T\}_{i \in I, j\in J_i}\)는 V 덮개이다.

3. \(\{T_i \to T\}_{i\in I}\)가 V 덮개이고 \(T' \to T\)가 스킴의 사상이면 \(\{T' \times_T T_i \to T'\}_{i\in I}\)는 V 덮개이다.

증명

(1)은 명백하다.

(3)의 증명. \(U' \subset T'\)을 아핀 열린 부분스킴이라 하자. \(U'\)이 준콤팩트이므로, \(U'_j \to T\)가 어떤 아핀 열린집합 \(U_j \subset T\) 안으로 사상되도록 하는 유한 아핀 열린 덮개

\(U' = U'_1 \cup \ldots \cup U'\)를 찾을 수 있다. 사상족 \(\{T_i \times_T U_j \to U_j\}\)를 세분하는 표준 V 덮개 \(\{U_{jl} \to U_j\}_{l = 1, \ldots, n_j}\)를 택한다. Lemma 0ETE에 의해 기저변환 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'_j\}\)는 표준 V 덮개이다. 또한 \(\{U'_j \to U'\}\)도 표준 V 덮개이다(예를 들어 Lemma 0ETC에 의함). Lemma 0ETF에 의해 사상족 \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\)는 표준 V 덮개이다. \(\{U_{jl} \times_{U_j} U'_j \to U'\}\)는 \(\{T_i \times_T U' \to U'\}\)를 세분하므로 결론을 얻는다.

(2)의 증명. \(U \subset T\)를 아핀 열린집합이라 하자. 먼저 \(\{T_i \times_T U \to U\}\)를 세분하는 표준 V 덮개 \(\{U_k \to U\}_{k = 1, \ldots, m}\)를 택한다. 이 세분이 \(T\) 위의 사상 \(U_k \to T_{i_k}\)들로 주어진다고 하자. 그러면 \[\{T_{i_kj} \times_{T_{i_k}} U_k \to U_k\}_{j \in J_{i_k}}\] 는 (3)에 의해 V 덮개이다. \(U_k\)가 아핀이므로 이 사상족을 세분하는 표준 V 덮개 \(\{U_{ka} \to U_k\}_{a = 1, \ldots, b_k}\)를 찾을 수 있다. 이제 Lemma 0ETF를 적용하면 \(\{U_{ka} \to U\}\)가 \(\{T_{ij} \times_T U \to U\}\)를 세분하는 표준 V 덮개임을 알 수 있다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

모든 fpqc 덮개는 V 덮개이다. 따라서 특히 모든 fppf 덮개, 신토믹 덮개, 매끄러운 덮개, 에́탈 덮개 또는 Zariski 덮개는 V 덮개이다. 또한 ph 덮개는 V 덮개이다.

증명

fpqc 덮개는 아핀 국소적으로 표준 fpqc 덮개에 의해 세분된다. Lemma 022E을 보라. 표준 fpqc 덮개는 표준 V 덮개이다. Lemma 0ETC를 보라. 따라서 첫째 명제는 표준 V 덮개를 통한 V 덮개의 정의에서 따른다. fppf 덮개, 신토믹 덮개, 매끄러운 덮개, 에́탈 덮개 또는 Zariski 덮개에 대한 결론은 이들이 fpqc 덮개라는 사실에서 따른다. Lemma 022C를 보라.

ph 덮개에 대한 명제도 같은 방식으로 Lemma 0ETD에서 따른다.

정의

\(F\)를 스킴의 범주에서 집합으로 가는 반변 함자라 하자. 임의의 V 덮개에 대한 층 성질을 만족할 때, \(F\)가 V 위상에 대한 층 성질을 만족한다고 한다(Definition 022G 참조).

위에서 설명했듯이 V 층들의 범주를 정의하는 것이 아니므로 이 상황에서는 “\(F\)는 층이다”라는 용어를 되도록 사용하지 않는다.

보조정리

\(F\)를 스킴의 범주에서 집합으로 가는 반변 함자라 하자. 그러면 \(F\)가 V 위상에 대한 층 성질을 만족할 필요충분조건은 다음을 만족하는 것이다.

1. 모든 Zariski 덮개에 대한 층 성질.

2. 임의의 표준 V 덮개에 대한 층 성질.

더 나아가 (1)이 성립할 때 (2)는 다음 조건과 동치이다.

1. 하나의 화살표로 이루어진 \(\{V \to U\}\) 꼴의 표준 V 덮개에 대한 층 성질.

증명

(1)과 (2)가 성립한다고 가정하자. \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)를 V 덮개라 하자. \(s_i\)와 \(s_j\)가 \(F(T_i \times_T T_j)\)의 같은 원소로 사상되는 원소족 \(s_i \in F(T_i)\)를 택한다. 모든 \(i\)에 대하여 \(s|_{f_i^{-1}(W)} = s_i|_{f_i^{-1}(W)}\)를 만족하는 유일한 \(s \in F(W)\)가 존재하도록 하는 극대 열린부분집합 \(W \subset T\)를 택한다. \(F\)가 Zariski 덮개에 대한 층 성질을 만족하므로 이러한 극대 열린집합이 존재한다. 실제로 \(W\)는 이 성질을 갖는 모든 열린집합의 합집합이다. \(t \in T\)를 택하자. \(t \in W\)임을 보이겠다. 이를 위해 아핀 열린집합 \(t \in U \subset T\)를 택하고, 모든 \(i\)에 대하여 \(s|_{f_i^{-1}(U)} = s_i|_{f_i^{-1}(U)}\)를 만족하는 유일한 \(s \in F(U)\)가 존재함을 보이겠다.

\(\{U \times_T T_i \to U\}\)를 세분하는 표준 V 덮개 \(\{U_j \to U\}_{j = 1, \ldots, n}\)를 찾을 수 있다. 그 세분 사상들을 \(h_j : U_j \to T_{i_j}\)라 하자. (2)에 의해 \(s|_{U_j} = F(h_j)(s_{i_j})\)를 만족하는 유일한 원소 \(s \in F(U)\)를 얻는다. \(U\) 위의 임의의 스킴 \(V \to U\)에 대하여, 각 \(j = 1, \ldots, n\)에 대해 \(V \times_U U_j\) 위에서 \(F(h_j \circ \text{pr}_2)(s_{i_j})\)로 제한되는 유일한 절단 \(s_V \in F(V)\)가 존재함에 유의하라. 실제로 \(V\)가 아핀이면 \(\{V \times_U U_j \to V\}\)가 표준 V 덮개이므로 (2)에서 따른다 (Lemma 0ETE). 일반적으로는 \(V\)의 아핀 열린 덮개를 택한 뒤 (1)과 아핀인 경우에서 따른다. 특히 \(s_V = s|_V\)이다. 이제 \(V = U \times_T T_i\)로 두고 \(s_{i_j}|_{T_{i_j} \times_T T_i} = s_i|_{T_{i_j} \times_T T_i}\) 임을 사용하면 \(s|_{U \times_T T_i} = s_V = s_i|_{U \times_T T_i}\)를 얻는다. 이것이 보이고자 한 바이다.

(1)이 성립할 때 (2)와 (2’)가 동치임을 증명하자. \(\{T_i \to T\}_{i = 1, \ldots, n}\)가 표준 V 덮개라고 하자. 그러면 \(\coprod_{i = 1, \ldots, n} T_i \to T\)는 아핀 스킴의 사상이며, 명백히 표준 V 덮개이기도 하다. (1)이 성립하므로 \(F(\coprod T_i) = \prod F(T_i)\)이고, 마찬가지로 \(F((\coprod T_i) \times_T (\coprod T_i)) = \prod F(T_i \times_T T_{i'})\). 따라서 \(\{T_i \to T\}\)와 \(\{\coprod T_i \to T\}\)에 대한 층 조건은 같다.

다음 보조정리는 V 덮개라는 조건이 특수화를 올릴 수 있는 가능성과 관련됨을 보여 준다.

보조정리

\(X \to Y\)를 스킴의 준콤팩트 사상이라 하자. 다음 조건들은 서로 동치이다.

1. \(\{X \to Y\}\)는 V 덮개이다.

2. 임의의 값매김환 \(V\)와 사상 \(g : \Spec(V) \to Y\)에 대하여 값매김환의 확대 \(V \subset W\)와 다음 가환 그림이 존재한다. \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & Y }\]

3. 임의의 사상 \(Z \to Y\)와 \(Z\)의 점들의 특수화 \(z' \leadsto z\)에 대하여, \(z' \leadsto z\)로 사상되는 \(Z \times_Y X\)의 점들의 특수화 \(w' \leadsto w\)가 존재한다.

증명

(1)을 가정하고 \(g : \Spec(V) \to Y\)를 (2)에서와 같이 택하자. \(V\)가 국소환이므로 어떤 아핀 열린집합 \(U \subset Y\)가 있어 \(g\)가 \(U\)를 통하여 분해된다. Definition 0ETH에 의해 \(\{X \times_Y U \to U\}\)를 세분하는 표준 V 덮개 \(\{U_j \to U\}\)를 찾을 수 있다. Definition 0ETB에 의해 어떤 \(j\), 값매김환의 확대 \(V \subset W\), 그리고 다음 가환 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[r] \ar[d] & U_j \ar[d] \ar@{..>}[r] & X \ar[ld] \\ \Spec(V) \ar[r] & Y }\] 덮개의 세분 성질에 의해 그림을 가환하게 하는 점선 화살표가 존재하므로 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하고 \(Z \to Y\)와 \(z' \leadsto z\)를 (3)에서와 같이 택하자. Schemes, Lemma 01J8에 의해 값매김환 \(V\)와 사상 \(\Spec(V) \to Z\)를 찾아, \(\Spec(V)\)의 닫힌점이 \(z\)로, \(\Spec(V)\)의 일반점이 \(z'\)로 사상되게 할 수 있다. (2)에 의해 값매김환의 확대 \(V \subset W\)와 다음 가환 그림을 찾을 수 있다. \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[rr] \ar[d] & & X \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & Z \ar[r] & Y }\] \(\Spec(W)\)의 일반점과 닫힌점은 유도된 사상 \(\Spec(W) \to Z \times_Y X\)에 의해 \(Z \times_Y X\)의 점들 \(w' \leadsto w\)로 사상된다. 따라서 (3)이 성립한다.

(3)이 성립한다고 가정하고 \(U \subset Y\)를 아핀 열린집합이라 하자. 유한 아핀 열린 덮개 \(U \times_Y X = \bigcup_{j = 1, \ldots, m} U_j\)를 택한다. \(X \to Y\)가 준콤팩트이므로 이것이 가능하다. \(\{U_j \to U\}\)가 표준 V 덮개라고 주장한다. 이 주장은 (1)을 함의하며 보조정리의 증명을 끝낸다. 주장을 증명하기 위해 \(V\)를 값매김환이라 하고 \(g : \Spec(V) \to U\)를 사상이라 하자. (3)에 의해 다음 공간의 점들의 특수화 \(w' \leadsto w\)를 찾을 수 있다. \[T = \Spec(V) \times_X Y = \Spec(V) \times_U (U \times_X Y)\] 여기서 \(w'\)는 \(\Spec(V)\)의 일반점으로, \(w\)는 \(\Spec(V)\)의 닫힌점으로 사상된다. Schemes, Lemma 01J8에 의해 값매김환 \(W\)와 사상 \(\Spec(W) \to T\)를 찾아, \(\Spec(W)\)의 일반점이 \(w'\)로, \(\Spec(W)\)의 닫힌점이 \(w\)로 사상되게 할 수 있다. 합성 \(\Spec(W) \to T \to \Spec(V)\)는 포함 \(V \subset W\)에 대응하며, 이는 \(W\)를 값매김환 \(V\)의 확대로 나타낸다. \(T = \bigcup \Spec(V) \times_U U_j\)가 열린 덮개이므로 어떤 \(j\)에 대하여 \(\Spec(W) \to T\)가 \(\Spec(V) \times_U U_j\)를 통하여 분해됨을 알 수 있다. 따라서 다음 가환 그림을 얻는다. \[\xymatrix{ \Spec(W) \ar[d] \ar[r] & U_j \ar[d] \\ \Spec(V) \ar[r] & U }\] 이로써 주장의 증명이 끝난다.

V 덮개는 보편적으로 몫사상인 사상족을 준다. 다음 보조정리의 역은 거짓이다. Examples, Section 0EU8를 보라.

보조정리

\(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)를 V 덮개라 하자. 그러면 \[\coprod\nolimits_{i \in I} f_i : \coprod\nolimits_{i \in I} X_i \longrightarrow X\] 는 스킴의 보편적 몫사상이다(Morphisms, Definition 040H).

증명

V 덮개의 기저변환이 V 덮개라는 사실(Lemma 0ETJ)을 이후 별도 언급 없이 사용한다. 특히 주어진 사상이 몫사상임을 보이면 충분하다. 몫사상성은 명백히 밑에서 Zariski 국소적이다. 따라서 \(X\)가 아핀이라고 가정할 수 있다. 그러면 \(\{X_i \to X\}\)는 표준 V 덮개 \(\{Y_j \to X\}\)에 의해 세분된다. \(\coprod Y_j \to X\)가 몫사상임을 보일 수 있다면, 분해 \(\coprod Y_j \to \coprod X_i \to X\)가 존재하므로 \(\coprod X_i \to X\)가 몫사상임을 얻는다. \(Y = \coprod Y_j\)로 두고 아핀 스킴의 사상 \(f : Y \to X\)를 생각하자. Lemma 0ETN에 의해 \(X\)의 임의의 특수화 \(x' \leadsto x\)를 \(Y\)의 어떤 특수화 \(y' \leadsto y\)로 올릴 수 있다. 따라서 \(f^{-1}(T)\)가 \(Y\)에서 닫힌집합인 부분집합 \(T \subset X\)가 주어지면 \(T \subset X\)는 특수화에 대하여 닫혀 있다. \(f^{-1}(T) \subset Y\)에 유도된 축소 닫힌 부분스킴 구조를 주면 이는 아핀 스킴이므로, Algebra, Lemma 00HY에 의해 \(T \subset X\)가 닫혀 있음을 얻는다. 따라서 \(f\)는 몫사상이다.

위상의 변경

\(f : X \to Y\)를 밑스킴 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. 이 경우 다음과 같은 사이트의 사상들이 존재한다⁷(아래 Remark 03FF에서와 같이 사이트를 적절히 택한다).

1. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{fppf}\),

2. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{syntomic}\),

3. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),

4. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

5. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

6. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{syntomic}\),

7. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),

8. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

9. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

10. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_{smooth}\),

11. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

12. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

13. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow (\Sch/Y)_\etale\),

14. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

15. \((\Sch/X)_{Zar} \longrightarrow (\Sch/Y)_{Zar}\),

16. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow Y_\etale\),

17. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow Y_\etale\),

18. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow Y_\etale\),

19. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow Y_\etale\),

20. \((\Sch/X)_{fppf} \longrightarrow Y_{Zar}\),

21. \((\Sch/X)_{syntomic} \longrightarrow Y_{Zar}\),

22. \((\Sch/X)_{smooth} \longrightarrow Y_{Zar}\),

23. \((\Sch/X)_\etale \longrightarrow Y_{Zar}\),

24. \((\Sch/X)_{Zar} \longrightarrow Y_{Zar}\),

25. \(X_\etale \longrightarrow Y_\etale\),

26. \(X_\etale \longrightarrow Y_{Zar}\),

27. \(X_{Zar} \longrightarrow Y_{Zar}\),

각 경우 밑에 놓인 연속 함자 \(\Sch/Y \to \Sch/X\) 또는 \(Y_\tau \to \Sch/X\)는 함자 \(Y'/Y \mapsto X \times_Y Y'/X\)이다. 실제로 앞 절들에서 위와 같은 \(\tau\)에 대하여 다음 사상들을 보았다. \(f_{big} : (\Sch/X)_\tau \to (\Sch/Y)_\tau\) 및 \(f_{small} : X_\tau \to Y_\tau\) 또한 \(\tau \in \{\etale, Zariski\}\)에 대하여 사이트의 사상 \(\pi_Y : (\Sch/Y)_\tau \to Y_\tau\)를 보았다. 한편 \(\tau\)가 \(\tau'\)보다 강한 위상이면 항등 함자 \((\Sch/X)_\tau \to (\Sch/X)_{\tau'}\)가 사이트의 사상을 정의함은 명백하다. 따라서 이들을 합성하면 위의 가능한 사상 목록을 얻는다.

밑에 놓인 함자의 설명이 간단하므로, 스킴 사상 \(X \to Y \to Z\)가 주어졌을 때 위 사이트 사상들 가운데 두 개의 합성, 예를 들어 \[(\Sch/X)_{\tau_0} \longrightarrow (\Sch/Y)_{\tau_1} \longrightarrow (\Sch/Z)_{\tau_2}\] 는 스킴 사상 \(X \to Z\)에 대응하여 결합된 사이트의 사상임이 명백하다.

주

스킴들의 집합 \(\{X, Y, S\}\)에서 시작하여 Sets, Lemma 000J에서처럼 구성한 임의의 범주 \(\Sch_\alpha\)를 택한다. 범주 \(\Sch_\alpha\)와 fppf 덮개들의 모임에서 시작하여 Sets, Lemma 000X에서처럼 \(\Sch_\alpha\) 위의 임의의 덮개 집합 \(\text{Cov}_{fppf}\)를 택한다. 이렇게 얻은 큰 fppf 사이트를 \(\Sch_{fppf}\)라 하자. 다음으로 \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic\}\)에 대하여 \(\Sch_\tau\)의 밑 범주를 \(\Sch_{fppf}\)의 것과 같게 하고, 덮개를 단순히 \(\tau\)-덮개들로 이루어진 부분집합 \(\text{Cov}_\tau \subset \text{Cov}_{fppf}\)로 둔다. 이것이 큰 사이트 \(\Sch_\tau\)를 준다는 사실은 쉽게 확인할 수 있다.

큰 사이트의 변경

이 절에서는 큰 Zariski/fppf/에́탈 사이트를 바꿀 때 무슨 일이 일어나는지 설명한다.

\(\tau, \tau' \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. 두 큰 사이트 \(\Sch_\tau\)와 \(\Sch'_{\tau'}\)가 주어졌을 때, \(\Ob(\Sch_\tau) \subset \Ob(\Sch'_{\tau'})\) 및 \(\text{Cov}(\Sch_\tau) \subset \text{Cov}(\Sch'_{\tau'})\). 가 성립하면 \(\Sch_\tau\)가 \(\Sch'_{\tau'}\)에 포함된다고 한다. 이 경우 \(\tau\)는 \(\tau'\)보다 강하다. 예를 들어 어떤 fppf 사이트도 에́탈 사이트에 포함될 수 없다.

보조정리

큰 Zariski 사이트들의 임의의 집합은 하나의 공통 큰 Zariski 사이트에 포함된다. 필요한 부분을 바꾸면 큰 fppf 사이트와 큰 에́탈 사이트에 대해서도 같은 명제가 성립한다.

증명

집합들의 집합의 합집합은 집합이고, Sets, Lemmas 000J 및 000X의 구성은 처음에 임의로 주어진 스킴과 덮개의 집합에서 시작할 수 있으므로 성립한다.

보조정리

\(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. 큰 사이트 \(\Sch_\tau\)와 \(\Sch'_\tau\)가 주어지고 \(\Sch_\tau\)가 \(\Sch'_\tau\)에 포함된다고 가정하자. 포함 함자 \(\Sch_\tau \to \Sch'_\tau\)는 Sites, Lemma 00XU의 가정들을 만족한다. 다음 토포스의 사상들이 존재한다. \[\begin{eqnarray*} g : \Sh(\Sch_\tau) & \longrightarrow & \Sh(\Sch'_\tau) \\ f : \Sh(\Sch'_\tau) & \longrightarrow & \Sh(\Sch_\tau) \end{eqnarray*}\] 이때 \(f \circ g \cong \text{id}\)이다. \(\Sch_\tau\)의 임의의 대상 \(S\)에 대하여 포함 함자 \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\)도 Sites, Lemma 00XU의 가정들을 만족한다. 따라서 마찬가지로 다음 사상들을 얻는다. \[\begin{eqnarray*} g : \Sh((\Sch/S)_\tau) & \longrightarrow & \Sh((\Sch'/S)_\tau) \\ f : \Sh((\Sch'/S)_\tau) & \longrightarrow & \Sh((\Sch/S)_\tau) \end{eqnarray*}\] 여기서 \(f \circ g \cong \text{id}\)이다.

증명

함자 \(\Sch_\tau \to \Sch'_\tau\)와 \((\Sch/S)_\tau \to (\Sch'/S)_\tau\)에 대하여 Sites, Lemma 00XU의 가정 (b), (c), (e)는 즉시 성립한다. 성질 (a)는 Lemma 03WV, 03WW, 03WZ, 03X2, 또는 03WX에 의해 성립한다. 범주 \(\Sch_\tau\)와 \(\Sch'_\tau\)에서 섬유곱이 존재하고 스킴의 범주에서의 섬유곱과 호환되므로 성질 (d)가 성립한다.

논의: 함자 \(g^{-1} = f_*\)는 \(\Sch'_\tau\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)에 제한 \(\mathcal{G}|_{\Sch_\tau}\)를 대응시키는 제한 함자일 뿐이다. 따라서 이 보조정리는 \(\Sch_\tau\) 위의 임의의 집합 층 \(\mathcal{F}\)가 주어졌을 때 \(\Sch'_\tau\) 위의 표준적인 층 \(\mathcal{F}'\)가 존재하여 다음을 만족한다고 말하는 것에 불과하다.

\(\mathcal{F}|_{\Sch'_\tau} = \mathcal{F}'\)이다. \(\mathcal{F}'\)는 다음과 같이 기술된다. 즉, 다음 전층의 층화이다. \[\Sch'_\tau \longrightarrow \textit{Sets}, \quad V \longmapsto \colim_{V \to U} \mathcal{F}(U)\] 여기서 \(U\)는 \(\Sch_\tau\)의 대상이다. Sites, Lemmas 00XR 및 00XU에 따라 \(\mathcal{F}' = f^{-1}\mathcal{F} = (u_p\mathcal{F})^\#\)이므로 이 설명이 성립한다.

함자의 확장

우리가 하려는 일을 설명하는 간단한 예로 시작하자. \(R\)을 환이라 하자. \(F\)가 다음 꼴의 \(R\)-대수들로 이루어진 범주 \(\mathcal{C}\) 위에 정의된 함자라고 하자. \[A = R[x_1, \ldots, x_n]/(f_1, \ldots, f_m)\] 여기서 \(n, m \geq 0\)은 정수이고 \(f_1, \ldots, f_m \in R[x_1, \ldots, x_n]\)은 원소이다. 그러면 임의의 \(R\)-대수 \(B\)에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다. \[F'(B) = \colim_{A \to B,\ A \in \mathcal{C}} F(A)\] \(F'\)는 모든 \(R\)-대수의 범주 위에서 \(F\)를 확장하고 여과 여극한과 가환하는 유일한 함자임이 밝혀진다. 함자가 Zariski 층이라고 요구하면 같은 절차가 스킴의 범주에서도 작동한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고, \(\mathcal{C}\)를 \(S\) 위의 모든 스킴으로 이루어진 범주 \(\Sch/S\)의 충만 부분범주라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X \to S\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이고 \(U \subset X\)가 아핀 열린집합이면, \(U \to S\)는 \(\mathcal{C}\)의 어떤 대상과 동형이다.

2. \(V\)가 아핀 열린집합 \(U \subset S\) 위의 아핀 스킴이고 \(V \to U\)가 유한 표시이면, \(V \to S\)는 \(\mathcal{C}\)의 어떤 대상과 동형이다.

\(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Sets}\)를 함자라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(X, X_i\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상인 임의의 Zariski 덮개 \(\{f_i : X_i \to X\}_{i \in I}\)에 대하여 \(F\)와 이 사상족은 층 조건을 만족한다⁸.

2. \(X = \lim X_i\)가 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이고 \(X, X_i\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이면 \(F(X) = \colim F(X_i)\)이다.

그러면 (a), (b)의 유사 조건을 만족하는 함자 \(F' : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)로 \(F\)를 확장하는 방법이 유일하게 존재한다. 즉, \(F'\)는 임의의 Zariski 덮개에 대한 층 조건을 만족하고, \(X = \lim X_i\)가 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한일 때마다 \(F'(X) = \colim F'(X_i)\)이다.

증명

먼저 \(F\)를 \(S\) 위의 충분히 큰 아핀 스킴 모임으로 확장한 뒤 Zariski 층 성질을 사용하여 모든 스킴으로 확장하는 것이 기본 발상이다.

\(V\)를 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하고, 그 구조 사상 \(V \to S\)가 어떤 아핀 열린집합 \(U \subset S\)를 통하여 분해된다고 하자. 이 경우 \[V = \lim V_i\] 로 쓸 수 있다. 이는 \(V_i \to U\)가 유한 표시이고 \(V_i\)가 아핀인 공여과 극한이다. Algebra, Lemma 00QN를 보라. 조건 (1), (2)에 의해 \(V_i\)들을 \(\mathcal{C}\)의 대상들로 바꿀 수 있다. \(V_i \to S\)가 국소적으로 유한 표시임에 유의하라(\(S\)가 준분리이면 이 사상들은 실제로 유한 표시이다). 이제 다음과 같이 둔다. \[F'(V) = \colim F(V_i)\] 실제로 다음과 같은 더 표준적인 식을 줄 수 있다. \[F'(V) = \colim_{V \to V'} F(V')\] 여기서 여극한은 \(S\) 위의 사상 \(V \to V'\)들의 범주에 걸치며, \(V'\)는 구조 사상 \(V' \to S\)가 국소적으로 유한 표시인 \(\mathcal{C}\)의 대상이다. Limits, Proposition 01ZC에 의해 역계 \(V_i\)가 이 범주에서 공종이므로 이 식은 첫째 식과 같다. 마지막으로 \(V\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이면 가정 (b)에 의해 \(F'(V) = F(V)\)임에 유의하라.

둘째 식은 구조 사상이 \(S\)의 아핀 열린집합을 통하여 분해되는 \(S\) 위의 아핀 스킴 \(V\)들로 이루어진 범주에서 \(F'\)를 반변 함자로 만든다. \(V\)를 그러한 \(S\) 위의 아핀 스킴이라 하고, \(V = \bigcup_{k = 1, \ldots, n} V_k\)를 아핀들에 의한 유한 열린 덮개라고 하자. 그러면 \(F'\)와 이 열린 덮개에 대하여 층 조건이 성립하는지 묻는 것이 의미가 있다. 이는 참이며 쉽게 보일 수 있다. 앞 문단에서처럼 \(V = \lim V_i\)로 쓰자. Limits, Lemma 01Z4에 의해 충분히 큰 모든 \(i\)에 대하여 전이 사상들과 호환되고 \(V\)에서 \(V_k\)로 당겨지는 아핀 열린집합 \(V_{i, k} \subset V_i\)들을 찾을 수 있다. 따라서 \[F'(V_k) = \colim F(V_{i, k}) \quad\text{및}\quad F'(V_k \cap V_l) = \colim F(V_{i, k} \cap V_{i, l})\] 엄밀히 말하면 이 식들에서 함자 \(F\)를 적용하기 전에 \(V_{i, k}\)와 \(V_{i, k} \cap V_{i, l}\)을 이들과 동형인 \(\mathcal{C}\)의 아핀 대상들로 바꾸어야 한다. \(I\)가 유향이므로 여극한은 등화자와 가환한다. 따라서

\(F\)와 Zariski 덮개 \(\{V_{i, k} \to V_i\}\)에 대한 층 조건 (b)는 \(F'\)와 이 덮개에 대한 층 조건을 함의한다.

\(X\)를 \(S\) 위의 일반적인 스킴이라 하자. \(\mathcal{B}_X\)를 구조 사상이 \(S\)로 가며 그 상이 \(S\)의 어떤 아핀 열린집합에 포함되는 \(X\)의 아핀 열린집합들의 모임이라 하자. \(\mathcal{B}_X\)가 \(X\)의 위상의 기저임은 명백하다. 앞 문단의 결과와 Sheaves, Lemma 009L에 의해 \(F'\)는 \(\mathcal{B}_X\) 위의 층이다. 따라서 \(\mathcal{B}_X\)에 제한된 \(F'\)는 \(X\) 위의 층 \(F'_X\)로 유일하게 확장된다. Sheaves, Lemma 009N를 보라. \(X\)가 \(\mathcal{C}\)의 대상이면, \(F'\)와 \(F\)가 둘 다 정의된 대상에서 일치한다는 사실 및 \(F\)가 Zariski 덮개에 대한 층 조건을 만족한다는 사실에 의해 표준적인 식별 \(F'_X(X) = F(X)\)를 갖는다.

\(f : X \to Y\)를 \(S\) 위의 스킴 사상이라 하자. \(f(U) \subset V\)인 모든 \(U \in \mathcal{B}_X\)와 \(V \in \mathcal{B}_Y\)에 대하여 사상 \(F'(V) \to F'(U)\)들과 호환되는 \(F'_Y\)에서 \(F'_X\)로 가는 유일한 \(f\)-사상을 얻는다. Sheaves, Lemma 009X를 보라. \(S\) 위의 스킴 사상 \(X \to Y \to Z\)가 주어졌을 때 이 사상들이 올바르게 합성됨에 대한 확인은 생략한다. 또한 \(f\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면 유도된 사상 \(F'_Y(Y) \to F'_X(X)\)가 위의 식별 \(F'_X(X) = F(X)\)와 \(F'_Y(Y) = F(Y)\) 아래에서 사상 \(F(Y) \to F(X)\)와 같다는 확인도 생략한다. 이렇게 하여 원하는 \(F\)의 확장은 \(X/S\)에 \(F'_X(X)\)를 대응시키는 함자임을 알 수 있다.

함자 \(X \mapsto F'_X(X)\)에 대한 성질 (a)는 구성에서 거의 즉시 따른다. 세부 사항은 생략한다. \(X = \lim_{i \in I} X_i\)가 \(S\) 위의 아핀 스킴들의 유향 극한이라고 하자. 다음을 보여야 한다. \[F'_X(X) = \colim_{i \in I} F'_{X_i}(X_i)\] 먼저 어떤 \(i \in I\)에 대하여 \(X_i \to S\)가 아핀 열린집합 \(U \subset S\)를 통하여 분해된다고 가정하자. 그러면 \(F'\)는 \(X\)와 \(i' \geq i\)인 \(X_{i'}\) 위에 정의되며, \(i' \geq i\)에 대하여 \(F'_{X_{i'}}(X_{i'}) = F'(X_{i'})\)이고 \(F'_X(X) = F'(X)\)임을 알 수 있다. 이 경우 \(V\)가 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시인 모든 화살표 \(X \to V\)는 어떤 \(i' \geq i\)에 대하여 \(X \to X_{i'} \to V\)로 분해된다. Limits, Proposition 01ZC을 보라. 따라서 \[\begin{align*} F'_X(X) & = F'(X) \\ & = \colim_{X \to V} F(V) \\ & = \colim_{i' \geq i} \colim_{X_{i'} \to V} F(V) \\ & = \colim_{i' \geq i} F'(X_{i'}) \\ & = \colim_{i' \geq i} F'_{X_{i'}}(X_{i'}) \\ & = \colim_{i' \in I} F'_{X_{i'}}(X_{i'}) \end{align*}\] 를 얻는다. 이제 일반적인 경우 임의의 \(i \in I\)를 택하고,

\(V_{i, k} \to S\)가 \(S\)의 아핀 열린집합을 통하여 분해되도록 하는 유한 아핀 열린 덮개 \(V_i = V_{i, 1} \cup \ldots \cup V_{i, n}\)을 택한다. \(V_k \subset V\)와 \(i' \geq i\)인 \(V_{i', k}\)를 \(V_{i, k}\)의 역상이라 하자. 앞의 경우에 의해 \[F'_{V_k}(V_k) = \colim_{i' \geq i} F'_{V_{i', k}}(V_{i', k})\] 그리고 \[F'_{V_k \cap V_l}(V_k \cap V_l) = \colim_{i' \geq i} F'_{V_{i', k} \cap V_{i', l}}(V_{i', k} \cap V_{i', l})\] 층 성질과 여과 여극한의 완전성에 의해 이 경우에도 \(F'_X(X) = \colim_{i \in I} F'_{X_i}(X_i)\)임을 얻는다. 이로써 성질 (b)의 증명과 보조정리의 증명이 끝난다.

보조정리

\(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. \(T\)를 아핀 스킴들의 유향 역계의 극한 \(T = \lim_{i \in I} T_i\)로 쓰인 아핀 스킴이라 하자.

1. \(\mathcal{V} = \{V_j \to T\}_{j = 1, \ldots, m}\)를 \(T\)의 표준 \(\tau\)-덮개라 하자. Definitions 020R, 0219, 0223, 0229 및 021Q를 보라. 그러면 어떤 지표 \(i\)와 표준 \(\tau\)-덮개 \(\mathcal{V}_i = \{V_{i, j} \to T_i\}_{j = 1, \ldots, m}\) 가 존재하여, \(T\)로의 기저변환 \(T \times_{T_i} \mathcal{V}_i\)는 \(\mathcal{V}\)와 동형이다.

2. \(\mathcal{V}_i\), \(\mathcal{V}'_i\)를 \(T_i\)의 두 표준 \(\tau\)-덮개라 하자. 다음 \(f : T \times_{T_i} \mathcal{V}_i \to T \times_{T_i} \mathcal{V}'_i\)가 \(T\)의 덮개의 사상이면 어떤 지표 \(i' \geq i\)와 다음 사상이 존재하여

   \(f_{i'} : T_{i'} \times_{T_i} \mathcal{V} \to T_{i'} \times_{T_i} \mathcal{V}'_i\) 그 \(T\)로의 기저변환은 \(f\)이다.

3. 다음이 \(T_i\)의 표준 \(\tau\)-덮개들의 사상이고

   \(f, g : \mathcal{V} \to \mathcal{V}'_i\) 그 \(T\)로의 기저변환 \(f_T, g_T\)가 같으면, 어떤 지표 \(i' \geq i\)가 존재하여 \(f_{T_{i'}} = g_{T_{i'}}\)이다.

다시 말해 \(T\)의 표준 \(\tau\)-덮개의 범주는 \(T_i\)의 표준 \(\tau\)-덮개의 범주들을 \(I\)에 걸쳐 취한 여극한이다.

증명

\(\tau = fppf\)인 경우를 증명하자. Limits, Lemma 01ZM에 의해 \(T\) 위의 유한 표시 스킴들의 범주는 \(T_i\) 위의 유한 표시 스킴들의 범주를 \(I\)에 걸쳐 취한 여극한이다. Limits, Lemmas 01ZN 및 04AI에 의해 \(T\) 위에서 아핀이고 평탄이며 유한 표시인 스킴들의 범주에 대해서도 같은 명제가 성립한다. 보조정리의 증명을 끝내려면 다음을 보이면 충분하다. 즉, \(\{V_{j, i} \to T_i\}_{j = 1, \ldots, m}\)가 \(V_{j, i}\)가 아핀인 평탄 유한 표시 사상들의 유한 사상족이고, 기저변환 \(\coprod_j T \times_{T_i} V_{j, i} \to T\)가 전사이면, 어떤 \(i' \geq i\)에 대하여 사상

\(\coprod T_{i'} \times_{T_i} V_{j, i} \to T_{i'}\) 가 전사이다. 그 상을 각각 \(W_{i'} \subset T_{i'}\)와 \(W \subset T\)로 표기하자. 물론 가정에 의해 \(W = T\)이다. 사상들이 평탄 유한 표시이므로 \(W_i\)는 \(T_i\)의 준콤팩트 열린집합이다. Morphisms, Lemma 01UA을 보라. 더 나아가 상의 형성은 기저변환과 가환하므로 \(W = T \times_{T_i} W_i\)이다. 따라서 Limits, Lemma 01Z4에 의해 충분히 큰 어떤 \(i'\)에 대하여 \(W_{i'} = T_{i'}\)임을 얻고 결론이 따른다.

\(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic\}\)에 대하여 표준 \(\tau\)-덮개는 표준 fppf 덮개이다. 따라서 함자의 충만충실성이 성립한다. 남은 유일한 문제는 어떤 \(i\)에 대한 표준 fppf 덮개 \(\mathcal{V}_i\)가 \(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T\)가 표준 \(\tau\)-덮개라는 성질을 만족하면, 모든 \(i' \gg i\)에 대하여 \(\mathcal{V}_i \times_{T_i} T_{i'}\)도 표준 \(\tau\)-덮개임을 보이는 것이다. 이는 Limits, Lemmas 0EUU, 07RP, 0C0C 및 0C3L에서 즉시 따른다.

보조정리

\(S\), \(\mathcal{C}\), \(F\)가 Lemma 0EUW의 조건 (1), (2), (a), (b)를 만족한다고 하고, 그 보조정리에서 구성한 유일한 확장을 \(F' : (\Sch/S)^{opp} \to \textit{Sets}\)로 표기하자. \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(V \to S\)가 아핀 열린집합 \(U \subset S\)를 통하여 분해되고 \(V \to U\)가 유한 표시인, \(\Sch/S\) 안의 아핀들의 임의의 표준 \(\tau\)-덮개 \(\{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\)에 대하여 \(F\)와 \(\{V_i \to V\}_{i = 1, \ldots, n}\)는 층 조건을 만족한다⁹.

그러면 \(F'\)는 모든 \(\tau\)-덮개에 대한 층 조건을 만족한다.

증명

\(X\)를 \(S\) 위의 스킴이라 하고 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)를 \(\tau\)-덮개라 하자. 모든 \(i, j \in I\)에 대하여 \(s_i\)와 \(s_j\)가 \(F'(X_i \times_X X_j)\)의 같은 원소로 사상되는 원소 \(s_i \in F'(X_i)\)들을 택한다. 모든 \(i \in I\)에 대하여 \(s_i \in F'(X_i)\)로 제한되는 유일한 원소 \(s \in F'(X)\)가 존재함을 보여야 한다.

특수한 경우: \(X\)가 구조 사상이 \(S\)의 아핀 열린집합 \(U\) 안으로 사상되는 아핀 스킴이고 덮개 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)가 표준 \(\tau\)-덮개라고 하자. 이 경우 \[X = \lim V_k\] 로 쓸 수 있다. 이는 \(V_k \to U\)가 유한 표시이고 \(V_k\)가 아핀인 공여과 극한이다. Algebra, Lemma 00QN를 보라. Lemma 049N에 의해 어떤 \(k\)와 표준 \(\tau\)-덮개 \(\{V_{k, i} \to V_k\}_{i \in I}\)가 존재하여 그 \(X\)로의 기저변환은 주어진 덮개이다. \(k' \geq k\)에 대하여 우리 덮개의 \(V_{k'}\)로의 기저변환을 \(\{V_{k', i} \to V_{k'}\}_{i \in I}\)로 표기하자. 그러면 \[\begin{align*} F'(X) & = \colim_{k' \geq k} F(V_k) \\ & = \colim_{k' \geq k} \text{Equalizer}( \xymatrix{ \prod F(V_{k', i}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F(V_{k', i} \times_{V_{k'}} V_{k', j}) } \\ & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \colim_{k' \geq k} \prod F(V_{k', i}) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \colim_{k' \geq k} \prod F(V_{k', i} \times_{V_{k'}} V_{k', j}) } \\ & = \text{Equalizer}( \xymatrix{ \prod F'(X_i) \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & \prod F'(X_i \times_X X_j) } \end{align*}\] 첫째 등식은 \(F'\)의 구성에 의해 성립한다. 둘째는 가정 (c)에 의해 성립한다. 셋째는 여과 여극한이 완전하기 때문에 성립한다. 넷째도 다시 \(F'\)의 구성에 의해 성립한다. 이렇게 하여 \(F'\)가 \(\{X_i \to X\}_{i \in I}\)에 대한 층 성질을 만족함을 얻는다.

일반적인 경우. 각 \(U_k\)가 \(S\)의 아핀 열린집합 안으로 사상되도록 아핀 열린 덮개 \(X = \bigcup U_k\)를 택한다. 모든 \(k\)에 대하여 \(\{X_i \times_X U_k \to U_k\}_{i \in I}\)를 세분하는 표준 \(\tau\)-덮개 \(\{V_{k, j} \to U_k\}_{j = 1, \ldots, m_k}\)를 택할 수 있다. 각 \(j \in \{1, \ldots, m_k\}\)에 대하여 지표 \(i_{k, j} \in I\)와 \(X\) 위의 사상 \(g_{k, j} : V_{k, j} \to X_{i_{k, j}}\)를 택한다. \(s_{k, j}\)를 \(s_{i_{k, j}}\)를 \(g_{k, j}\)를 통해 제한하여 얻는 \(F'(V_{k, j})\)의 원소라 하자. 모든 \(k\)와 \(k'\), 모든 \(j \in \{1, \ldots, m_k\}\)와 \(j' \in \{1, \ldots, m_{k'}\}\)에 대하여 \(s_{k, j}\)와 \(s_{k', j'}\)가 \(F'(V_{k, j} \times_X V_{k', j'})\)의 같은 원소로 제한됨에 유의하라. 확인은 생략한다. 특히 앞 문단의 결과에 의해 모든 \(j\)에 대하여 \(s_{k, j}\)로 제한되는 유일한 원소 \(s_k \in F'(U_k)\)가 존재한다. 이 표기로 증명을 끝낼 준비가 되었다.

\(s\)의 유일성에 대한 증명: \(F'\)가 Zariski 덮개에 대한 층 성질을 만족하고, \(s|_{U_k}\)와 \(s_k\) 모두 모든 \(j\)에 대하여 \(s_{k, j}\)로 제한되므로 두 절단은 같아야 한다. 또한 이 유일성에 의해 \(s_k\)와 \(s_{k'}\)는 (아핀이 아닌 스킴) \(U_k \cap U_{k'}\) 위에서 \(F'\)의 같은 절단으로 제한되어야 한다. 실제로 이 절단들은 \(\tau\)-덮개 \(\{V_{k, j} \times_X V_{k', j'} \to U_k \cap U_{k'}\}\) 위의 같은 절단으로 제한된다. 따라서 Zariski 덮개에 대한 층 성질에 의해, \(U_k\)로의 제한이 \(s_k\)인 \(X\) 위의 \(F'\)의 절단 \(s\)가 유일하게 존재한다. \(s\)가 \(X_i\) 위에서 \(s_i\)로 제한된다는 확인은 위와 비슷하므로 생략한다.

보조정리

\(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. \(S\)를 큰 사이트 \(\Sch_\tau\)에 포함된 스킴이라 하자. \(F : (\Sch/S)_\tau^{opp} \to \textit{Sets}\)를 \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\)로 둔 Lemma 0EUW의 성질 (b)를 만족하는 \(\tau\)-층이라 하자. 그러면 \(F\)를 \(S\) 위의 모든 스킴의 범주로 확장한 \(F'\)는 모든 \(\tau\)-덮개에 대한 층 조건을 만족한다.

증명

Lemma 0GDW에 \(\mathcal{C} = (\Sch/S)_\tau\)를 적용하면 따른다. Lemma 0EUW의 조건 (1), (2), (a), (b)가 성립한다. 세부 사항은 생략한다. 따라서 \(S\) 위의 모든 스킴의 범주로 가는 유일한 확장 \(F'\)를 얻는다. 마지막으로 임의의 표준 \(\tau\)-덮개는 \((\Sch/S)_\tau\) 안의 어떤 덮개와 자명하게 동치임에 유의하라. Sets, Lemma 000R 및 Lemmas 03WV, 03WW, 03WZ, 03X2 및 03WX를 보라. Sites, Lemma 00VW에 의해 층 성질은 덮개의 자명한 동치를 따라 보존된다. 따라서 \(F\)가 \(\tau\)-층이라는 사실은 Lemma 0GDW의 성질 (c)를 함의하며 결론을 얻는다.