스택

서론

이 매우 짧은 장에서는 스택과 군체 스택을 도입한다. [DM]과 [Vis2]를 보라.

섬유화된 범주에 결부된 사상 준층

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. Categories, Section 02XJ를 보라. \(x, y\in \Ob(\mathcal{S}_U)\)가 \(U\) 위의 섬유 범주의 대상이라고 가정하자. 이제 함자 \[\mathit{Mor}(x, y) : (\mathcal{C}/U)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}.\] 를 정의하려 한다. 다시 말해 이는 \(\mathcal{C}/U\) 위의 준층이 될 것이다. Sites, Definition 00V3를 보라. Categories, Definition 02XN에서와 같이 당김을 하나씩 선택하자. 그러면 \(f : V \to U\)에 대하여 \[\mathit{Mor}(x, y)(f : V \to U) = \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y).\] 로 둔다. \(f' : V' \to U\)를 \(\mathcal{C}/U\)의 두 번째 대상이라 하자. \(\mathcal{C}/U\)에서의 사상 \(g : V'/U \to V/U\), 즉 \(g : V' \to V\)이고 \(f' = f \circ g\)인 사상에 대응하는 제한 사상도 정의해야 한다. 이는 사상 \[\Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y) \longrightarrow \Mor_{\mathcal{S}_{V'}}({f'}^\ast x, {f'}^\ast y), \quad \phi \longmapsto \phi|_{V'}\] 이 될 것이다. 이 사상은 본질적으로 \(g^\ast\)이지만, 그렇게 하면 왼쪽의 원소 \(\phi\)가 \(\Mor_{\mathcal{S}_{V'}}(g^\ast f^\ast x, g^\ast f^\ast y)\)의 원소 \(g^\ast \phi\)로 옮겨진다. 이 시점에서 Categories, Lemma 02XO의 변환 \(\alpha_{g, f}\)를 사용한다. 공식으로 쓰면 제한 사상은 \[\phi|_{V'} = (\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ g^\ast \phi \circ (\alpha_{g, f})_x.\] 로 기술된다. 물론 실제로 이 제한 사상을 이런 방식으로 생각하는 사람은 없다. 다음 보조정리를 확인하기 위해 여기서 한 번만 이렇게 하겠다.

보조정리

이 구성은 실제로 준층을 준다.

증명

\(g : V'/U \to V/U\)를 위와 같이 두고, 마찬가지로 \(g' : V''/U \to V'/U\)를 \(\mathcal{C}/U\)의 사상이라 하자. 그러면 \(f' = f \circ g\)이고 \(f'' = f' \circ g' = f \circ g \circ g'\)이다. \(\phi \in \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^\ast x, f^\ast y)\)라 하자. 그러면 \[\begin{eqnarray*} & & (\alpha_{g \circ g', f})_y^{-1} \circ (g \circ g')^\ast \phi \circ (\alpha_{g \circ g', f})_x \\ & = & (\alpha_{g \circ g', f})_y^{-1} \circ (\alpha_{g', g})_{f^*y}^{-1} \circ (g')^*g^\ast \phi \circ (\alpha_{g', g})_{f^*x} \circ (\alpha_{g \circ g', f})_x \\ & = & (\alpha_{g', f'})_y^{-1} \circ (g')^*(\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ (g')^* g^\ast \phi \circ (g')^*(\alpha_{g, f})_x \circ (\alpha_{g', f'})_x \\ & = & (\alpha_{g', f'})_y^{-1} \circ (g')^*\Big( (\alpha_{g, f})_y^{-1} \circ g^\ast \phi \circ (\alpha_{g, f})_x \Big) \circ (\alpha_{g', f'})_x \end{eqnarray*}\] 이고, 이는 곧 원하는 등식 \(\phi|_{V''} = (\phi|_{V'})|_{V''}\)이다. 첫 번째 등식은 \(\alpha_{g', g}\)가 함자들의 변환이므로 도표 \[\xymatrix{ (g \circ g')^*f^*x \ar[rr]_{(g \circ g')^\ast \phi} \ar[d]_{(\alpha_{g', g})_{f^*x}} & & (g \circ g')^*f^*y \ar[d]^{(\alpha_{g', g})_{f^*y}} \\ (g')^*g^*f^*x \ar[rr]^{(g')^*g^\ast \phi} & & (g')^*g^*f^*y }\] 가 가환하기 때문에 성립한다. 두 번째 등식은 \(f' = f \circ g\)이고 유사함자의 성질 (d)가 성립하기 때문이다(Categories, Definition 003N를 보라). 마지막 등식은 \((g')^*\)가 함자라는 사실에서 따른다.

이제부터는 변환 \(\alpha_{g, f}\)를 언급하지 않고 함자 \(g^* \circ f^*\)와 \((f \circ g)^*\)를 단순히 동일시하는 경우가 많다. 특히 \(g : V'/U \to V/U\)가 주어지면 준층 \(\mathit{Mor}(x, y)\)의 제한 사상을 때때로 \(\phi \mapsto g^*\phi\)로 나타낼 것이다. 이 구성을 정의로 정식화하자.

정의

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. Categories, Section 02XJ를 보라. \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\)와 그 섬유 범주의 대상 \(x\), \(y\)가 주어졌다고 하자. 위에서 기술한 준층 \[(f : V \to U) \longmapsto \Mor_{\mathcal{S}_V}(f^*x, f^*y)\] 을 \(x\)에서 \(y\)로 가는 사상 준층이라 하며 \(\mathit{Mor}(x, y)\)로 나타낸다. \(V\)에서의 값이 섬유 범주 \(\mathcal{S}_V\) 안의 동형사상 \(f^*x \to f^*y\)들의 집합인 부분준층 \(\mathit{Isom}(x, y)\)를 \(x\)에서 \(y\)로 가는 동형사상 준층이라 한다.

\(\mathcal{S}\)가 군체로 섬유화되어 있으면 물론 \(\mathit{Isom}(x, y) = \mathit{Mor}(x, y)\)이고, 관례상 \(\mathit{Isom}\) 표기를 사용한다.

보조정리

\(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\)를 범주 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(x, y\in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\)라 하자. 그러면 \(F\)는 \(\mathcal{C}/U\) 위의 준층들의 표준 사상 \[\mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))\] 을 정의한다.

증명

Categories, Definition 02XP에 따르면 함자 \(F\)는 강한 카르테시안 사상을 강한 카르테시안 사상으로 보낸다. 따라서 \(f : V \to U\)가 \(\mathcal{C}\)의 사상이면 표준 동형사상 \(\alpha_V : f^*F(x) \to F(f^*x)\), \(\beta_V : f^*F(y) \to F(f^*y)\)가 있어서 \(f^*F(x) \to F(f^*x) \to F(x)\)는 표준 사상 \(f^*F(x) \to F(x)\)이고, \(\beta_V\)에 대해서도 마찬가지이다. 그러므로 도표 \[\xymatrix{ \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y)(f : V \to U) \ar@{=}[r] & \Mor_{\mathcal{S}_{1, V}}(f^\ast x, f^\ast y) \ar[d] \\ \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))(f : V \to U) \ar@{=}[r] & \Mor_{\mathcal{S}_{2, V}}(f^\ast F(x), f^\ast F(y)) }\] 의 세로 사상을 \(\phi \mapsto \beta_V^{-1} \circ F(\phi) \circ \alpha_V\)로 정의할 수 있다. 이것이 제한 사상들과 양립한다는 확인은 생략한다.

주

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)가 군체로 섬유화되어 있다고 가정하자. 이 경우에는 Lemma 026A를 Categories, Lemma 004A를 사용하여 증명할 수 있다. 이 보조정리는 \(\mathcal{S} \to \mathcal{C}\)가 반변함자 \(F : \mathcal{C} \to \textit{Groupoids}\)에 결부된 범주와 동치라고 말한다. \(F\)에 결부된 섬유화 범주의 경우 \(g^* \circ f^* = (f \circ g)^*\)가 문자 그대로 성립하므로 사상 \(\alpha_{g, f}\)를 사용할 필요가 없다. 이 경우 보조정리는 (더더욱) 자명하다. 물론 이때에는 동치인 섬유화 범주로 바꾸어도 \(\mathit{Mor}(x, y)\) 준층이 변하지 않는다는 사실을 사용하는데, 이는 Lemma 042V에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. Categories, Section 02XJ를 보라. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)이고 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)라 하자.

Categories, Lemma 004B에서와 같이 대응하는 \(1\)-사상도 \(x, y : \mathcal{C}/U \to \mathcal{S}\)로 나타내자. 그러면

1. \(2\)-섬유곱 \(\mathcal{S} \times_{\mathcal{S} \times \mathcal{S}, (x, y)} \mathcal{C}/U\) 은 \(\mathcal{C}/U\) 위에서 세토이드로 섬유화되어 있고,

2. \(\mathit{Isom}(x, y)\)는 이 세토이드로 섬유화된 범주에 대응하는 집합 준층이다. Categories, Lemma 04SC를 보라.

증명

생략한다. 힌트: \(2\)-섬유곱의 대상은 \((a : V \to U, z, (\alpha, \beta))\)이고, 여기서 \(\alpha : z \to a^*x\)와 \(\beta : z \to a^*y\)는 \(\mathcal{S}_V\)의 동형사상이다. 이러한 대상에 동형사상 \(\beta \circ \alpha^{-1}\)을 대응시키면 \(\mathit{Isom}(x, y)\)와의 관계를 얻는다.

섬유화된 범주의 내림 자료

이 절에서는 섬유화된 범주라는 추상적인 틀에서 내림 자료의 개념을 정의한다. 먼저 이것이 준연접층의 내림 자료(Descent, Section 023A) 및 스킴 위의 스킴에 대한 내림 자료 (Descent, Section 023U)와 완전히 유사하다는 점을 지적해 둔다.

사영 사상 \(\text{pr}_i : X \times \ldots \times X \to X\)의 번호를 \(i = 0\)부터 붙이는 관례를 사용한다. 따라서 \(\text{pr}_0, \text{pr}_1 : X \times X \to X\), \(\text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_2 : X \times X \times X \to X\) 등을 갖는다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. Categories, Definition 02XN에서와 같이 당김을 하나씩 선택하자. \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{C}\)의 사상족이라 하자. 모든 섬유곱 \(U_i \times_U U_j\)와 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\)가 존재한다고 가정하자.

1. 족 \(\{f_i : U_i \to U\}\)에 대한 \(\mathcal{S}\)의 내림 자료 \((X_i, \varphi_{ij})\)란 각 \(i \in I\)에 대하여 \(\mathcal{S}_{U_i}\)의 대상 \(X_i\)와, 각 쌍 \((i, j) \in I^2\)에 대하여 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j}\)의 동형사상 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*X_i \to \text{pr}_1^*X_j\)가 주어져서, 모든 지표 삼중항 \((i, j, k) \in I^3\)에 대해 범주 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j \times_U U_k}\)의 도표 \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*X_i \ar[rd]_{\text{pr}_{01}^*\varphi_{ij}} \ar[rr]_{\text{pr}_{02}^*\varphi_{ik}} & & \text{pr}_2^*X_k \\ & \text{pr}_1^*X_j \ar[ru]_{\text{pr}_{12}^*\varphi_{jk}} & }\] 가 가환하는 것을 말한다. 이를 코사이클 조건이라 한다.

2. 내림 자료의 사상 \(\psi : (X_i, \varphi_{ij}) \to (X'_i, \varphi'_{ij})\)이란 각 \(\mathcal{S}_{U_i}\) 안의 사상 \(\psi_i : X_i \to X'_i\)들로 이루어진 족 \(\psi = (\psi_i)_{i\in I}\)가 주어져서, 범주 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_j}\) 안의 모든 도표 \[\xymatrix{ \text{pr}_0^*X_i \ar[r]_{\varphi_{ij}} \ar[d]_{\text{pr}_0^*\psi_i} & \text{pr}_1^*X_j \ar[d]^{\text{pr}_1^*\psi_j} \\ \text{pr}_0^*X'_i \ar[r]^{\varphi'_{ij}} & \text{pr}_1^*X'_j \\ }\] 가 가환하는 것을 말한다.

3. \(\mathcal{U}\)에 대한 내림 자료들의 범주를 \(DD(\mathcal{U})\)로 나타낸다.

각 사상 \(f_i : U_i \to U\)가 표현 가능하면 섬유곱 \(U_i \times_U U_j\)와 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\)가 존재한다. Categories, Definition 001X을 보라. 사이트에서 \(\{U_i \to U\}\)가 덮개이기 위한 조건 가운데 하나는 각 사상이 표현 가능하다는 것이다. Sites, Definition 00VH의 (3)을 보라. 실제로 위 정의에서 주로 관심을 두는 경우는 \(\mathcal{C}\)가 사이트이고 \(\{U_i \to U\}\)가 \(\mathcal{C}\)의 덮개인 경우이다. 그러나 내림 자료는 위와 같이 정의할 수 있는 추상적인 장치일 뿐이다. 이것은 유용하다. 예컨대 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주가 주어지면, 어떤 족들에 대하여 내림 자료가 유효한지 살펴보고 그 족들을 사이트의 덮개족으로 사용하려 할 수 있다.

주

Definition 026B에 관해 두 가지를 언급하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. \(\{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)와 \((X_i, \varphi_{ij})\)가 Definition 026B에서와 같다고 하자.

1. 대각 사상 \(\Delta : U_i \to U_i \times_U U_i\)가 있다. 이 사상으로 \(\varphi_{ii}\)를 당기면 자기동형사상 \(\Delta^\ast \varphi_{ii} \in \text{Aut}_{U_i}(X_i)\)를 얻는다. 삼중항 \((i, i, i)\)에 대한 코사이클 조건을 \(\Delta_{123} : U_i \to U_i \times_U U_i \times_U U_i\)로 당기면 \(\Delta^\ast \varphi_{ii} \circ \Delta^\ast \varphi_{ii} = \Delta^\ast \varphi_{ii}\)를 얻는다. 따라서 \(\Delta^\ast \varphi_{ii} = \text{id}_{X_i}\)이다.

2. 사상 \(\Delta_{13}: U_i \times_U U_j \to U_i \times_U U_j \times_U U_i\)가 있다. 삼중항 \((i, j, i)\)에 대한 코사이클 조건을 당기면 등식 \((\sigma^\ast \varphi_{ji}) \circ \varphi_{ij} = \text{id}_{\text{pr}_0^\ast X_i}\)를 얻는다. 여기서 \(\sigma : U_i \times_U U_j \to U_j \times_U U_i\)는 두 인자를 바꾸는 사상이다.

보조정리

(내림 자료의 당김.) \(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자.

Categories, Definition 02XN에서와 같이 당김을 하나씩 선택하자. \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)와 \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\)를 공역이 고정된 \(\mathcal{C}\)의 사상족이라 하자.

모든 섬유곱 \(U_i \times_U U_{i'}\), \(U_i \times_U U_{i'} \times_U U_{i''}\), \(V_j \times_V V_{j'}\), \(V_j \times_V V_{j'} \times_V V_{j''}\)가 존재한다고 가정하자. \(\alpha : I \to J\), \(h : U \to V\)와 \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\)를 공역이 고정된 사상족들의 사상이라 하자. Sites, Definition 00VT를 보라.

1. \((Y_j, \varphi_{jj'})\)를 족 \(\{V_j \to V\}\)에 대한 내림 자료라 하자. 계 \[\left( g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')} \right)\] 은 \(\mathcal{U}\)에 대한 내림 자료이다.

2. 이 구성은 \(\mathcal{V}\)에 대한 내림 자료에서 \(\mathcal{U}\)에 대한 내림 자료로 가는 함자를 정의한다.

3. 두 번째 \(\alpha' : I \to J\), \(h' : U \to V\)와

   \(g'_i : U_i \to V_{\alpha'(i)}\)가 공역이 고정된 사상족들의 사상을 준다고 하자. \(h = h'\)이면 내림 자료들 사이에 얻어지는 두 함자는 표준적으로 동형이다.

증명

생략한다.

정의

\(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\), \(\mathcal{V} = \{V_j \to V\}_{j \in J}\), \(\alpha : I \to J\), \(h : U \to V\)와 \(g_i : U_i \to V_{\alpha(i)}\)가 Lemma 02ZD에서와 같다고 하자. 그 보조정리에서 구성한 함자 \[(Y_j, \varphi_{jj'}) \longmapsto (g_i^*Y_{\alpha(i)}, (g_i \times g_{i'})^*\varphi_{\alpha(i)\alpha(i')})\] 를 내림 자료의 당김 함자라 한다.

\(h : U \to V\)가 주어졌다고 하자. \(h\)를 덮는 사상 \(\tilde h : \mathcal{U} \to \mathcal{V}\)가 존재하면, Lemma 02ZD에서 보았듯 \(\tilde h^*\)는 \(\tilde h\)의 선택과 무관하다. 따라서 때때로 당김 함자를 단순히 \(h^*\)로 나타낸다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. Categories, Definition 02XN에서와 같이 당김을 하나씩 선택하자. \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)를 공역이 \(U\)인 사상족이라 하자. 모든 섬유곱 \(U_i \times_U U_j\)와 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\)가 존재한다고 가정하자.

1. \(\mathcal{S}_U\)의 대상 \(X\)가 주어졌을 때 자명한 내림 자료란 족 \(\{\text{id}_U : U \to U\}\)에 대한 내림 자료 \((X, \text{id}_X)\)를 말한다.

2. \(\mathcal{S}_U\)의 대상 \(X\)가 주어졌을 때, 자명한 내림 자료 \((X, \text{id}_X)\)를 자명한 사상 \(\{f_i : U_i \to U\} \to \{\text{id}_U : U \to U\}\)로 당기면 대상족 \(f_i^*X\) 위의 표준 내림 자료를 얻는다. 이 내림 자료를 \((f_i^*X, can)\)으로 나타낸다.

3. \(\{f_i : U_i \to U\}\)에 대한 내림 자료 \((X_i, \varphi_{ij})\)가 유효하다는 것은 \(\mathcal{S}_U\)의 대상 \(X\)가 존재하여 \((X_i, \varphi_{ij})\)가 \((f_i^*X, can)\)과 동형이라는 뜻이다.

\(X \in \mathcal{S}_U\)에 \(\mathcal{U}\)에 대한 표준 내림 자료를 대응시키는 규칙은 함자 \[\mathcal{S}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U}).\] 를 정의한다. 내림 자료가 유효할 필요충분조건은 이 함자의 본질적 상에 속하는 것이다. 이제 표준 내림 자료를 명시적으로 기술하자.

보조정리

Definition 026E의 (2)의 상황에서 사상 \(can_{ij} : \text{pr}_0^*f_i^*X \to \text{pr}_1^*f_j^*X\)는 \((\alpha_{\text{pr}_1, f_j})_X \circ (\alpha_{\text{pr}_0, f_i})_X^{-1}\)와 같다. 여기서 \(\alpha_{\cdot, \cdot}\)는 Categories, Lemma 02XO에서와 같으며, 사상 \(U_i \times_U U_j \to U\)로서의 등식 \(f_i \circ \text{pr}_0 = f_j \circ \text{pr}_1\)을 사용한다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. 공역이 고정된 \(\mathcal{C}\)의 사상족들의 사상 \(\mathcal{V} = \{V_j \to U\}_{j \in J} \to \mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) 가 \(\text{id} : U \to U\), \(\alpha : J \to I\)와 \(f_j : V_j \to U_{\alpha(j)}\)로 주어졌다고 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(0 \leq p \leq 3\)이고 \(0 \leq q \leq 3\)이며 \(p + q \geq 2\)인 모든 경우와 \(i_1, \ldots, i_p \in I\), \(j_1, \ldots, j_q \in J\)에 대하여 섬유곱 \(U_{i_1} \times_U \ldots \times_U U_{i_p} \times_U V_{j_1} \times_U \ldots \times_U V_{j_q}\)가 존재한다.

2. 함자 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{V})\)는 동치이다.

3. 모든 \(i \in I\)에 대하여 함자 \(\mathcal{S}_{U_i} \to DD(\mathcal{V}_i)\)는 충만충실이다.

4. 모든 \(i, i' \in I\)에 대하여 함자 \(\mathcal{S}_{U_i \times_U U_{i'}} \to DD(\mathcal{V}_{ii'})\)는 충실하다.

여기서 \(\mathcal{V}_i = \{U_i \times_U V_j \to U_i\}_{j \in J}\)이고 \(\mathcal{V}_{ii'} = \{U_i \times_U U_{i'} \times_U V_j \to U_i \times_U U_{i'}\}_{j \in J}\)이다. 그러면 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\)는 동치이다.

증명

조건 (1)은 명제가 의미를 갖기에 충분한 섬유곱이 있음을 보장한다. 함자 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\)가 본질적으로 전사임을 보이자. \(\mathcal{U}\)에 대한 내림 자료 \((X_i, \varphi_{ii'})\)가 주어졌다고 가정하자. Lemma 02ZD에 의해 이를 \(\mathcal{V}\)에 대한 내림 자료 \((X_j, \varphi_{jj'})\)로 당길 수 있다. 가정 (2)에 따라 이 내림 자료는 유효하므로 \(\mathcal{S}_U\)의 대상 \(X\)가 있어서, 자명한 내림 자료 \((X, \text{id}_X)\)를 사상 \(\mathcal{V} \to \{U \to U\}\)로 당긴 것이 \((X_j, \varphi_{jj'})\)와 동형이다. 이제 공역이 고정된 \(\mathcal{C}\)의 사상족들의 사상으로 이루어진 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{V}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{V} \ar[r] & \mathcal{U} \ar[d] \\ \{U_i \to U_i\} \ar[rr] \ar[rru] & & \{U \to U\} }\] 를 갖는다. 이 도표는 가환하지 않지만, Lemma 02ZD에 의해 여기서 얻는 내림 자료의 당김 함자들은 표준적으로 동형이다. 따라서 \((X, \text{id}_X)\)와 \((X_i, \text{id}_{X_i})\)는 \(DD(\mathcal{V}_i)\)에서 동형인 대상들로 당겨진다. 가정 (3)에 따라 범주 \(\mathcal{S}_{U_i}\) 안의 동형사상 \((U_i \to U)^*X \to X_i\)를 얻는다. 이 사상들이 사상 \(\varphi_{ii'}\)와 양립한다는 확인은 생략한다. 힌트: 조건 (4)의 함자들이 충실하다는 사실을 사용하라. 또한 함자 \(\mathcal{S}_U \to DD(\mathcal{U})\)가 충만충실이라는 확인도 생략한다.

스택

이제 스택을 정의하자. 이 정의는 섬유화된 범주의 개념과 내림의 개념을 결합한다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 스택은 다음 조건을 만족하는 \(\mathcal{C}\) 위의 범주 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)이다.

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)는 섬유화된 범주이다. Categories, Definition 02XM를 보라.

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 모든 \(x, y \in \mathcal{S}_U\)에 대하여 준층 \(\mathit{Mor}(x, y)\)(Definition 02ZB를 보라)는 사이트 \(\mathcal{C}/U\) 위의 층이다.

3. 사이트 \(\mathcal{C}\)의 임의의 덮개 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)에 대하여, \(\mathcal{U}\)에 대한 \(\mathcal{S}\)의 모든 내림 자료는 유효하다.

우리는 위의 정식화가 스택을 생각하는 가장 편리한 방식이라고 본다. 즉 \(\mathcal{C}\) 위의 범주가 주어졌을 때 그것이 스택인지 확인하려면 (1), (2), (3)의 순서로 성질들을 검사한다. 범주가 섬유화되어 있지 않으면 (2)와 (3)은 당연히 의미가 없다. (2)가 없으면 (3)의 내림이 유일한 동형사상을 제외하고 유일하며 함자적이라는 것을 증명할 수 없다.

다음 보조정리는 다른 정의를 준다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

2. 사이트 \(\mathcal{C}\)의 임의의 덮개 \(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)에 대하여, 대상에 그 표준 내림 자료를 대응시키는 함자 \[\mathcal{S}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] 는 동치이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이라 하고, \(\mathcal{S}'\)를 \(\mathcal{S}\)의 부분범주라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\varphi : y \to x\)가 \(\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상이고 \(x\)가 \(\mathcal{S}'\)의 대상이면, \(y\)는 \(\mathcal{S}'\)의 어떤 대상과 동형이다.

2. \(\mathcal{S}'\)는 \(\mathcal{S}\)의 충만 부분범주이다.

3. \(\{f_i : U_i \to U\}\)가 \(\mathcal{C}\)의 덮개이고 \(x\)가 \(U\) 위의 \(\mathcal{S}\)의 대상이며, 각 \(i\)에 대하여 \(f_i^*x\)가 \(\mathcal{S}'\)의 어떤 대상과 동형이면, \(x\)는 \(\mathcal{S}'\)의 어떤 대상과 동형이다.

그러면 \(\mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)는 스택이다.

증명

생략한다. 힌트는 다음과 같다. 첫 번째 조건은 \(\mathcal{S}'\)가 섬유화된 범주임을 보장한다. 두 번째 조건은 \(\mathcal{S}'\)의 \(\mathit{Isom}\)-준층들이 층임을 보장한다(\(\mathcal{S}\)의 대응하는 준층들과 같기 때문이다).

세 번째 조건은 내림 조건이 \(\mathcal{S}'\)에서 성립함을 보장한다. 실제로 먼저 \(\mathcal{S}\)에서 내린 다음, (3)에 의해 얻어진 대상이 \(\mathcal{S}'\)의 어떤 대상과 동형임을 알 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주라 하자. \(\mathcal{S}_1\)과 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 범주로서 동치라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{S}_1\)이 \(\mathcal{C}\) 위의 스택일 필요충분조건은 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 스택인 것이다.

증명

\(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\), \(G : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 함자라 하고, \(i : F \circ G \to \text{id}_{\mathcal{S}_2}\), \(j : G \circ F \to \text{id}_{\mathcal{S}_1}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 함자들의 동형사상이라 하자. Categories, Lemma 042G에 의해 \(\mathcal{S}_1\)이 \(\mathcal{C}\) 위에서 섬유화될 필요충분조건은 \(\mathcal{S}_2\)가 그렇다는 것이다. 따라서 \(\mathcal{S}_1\)과 \(\mathcal{S}_2\)가 모두 섬유화되어 있다고 가정할 수 있다. 또한 Categories, Lemma 042G의 증명은 \(F\)와 \(G\)가 강한 카르테시안 사상을 강한 카르테시안 사상으로 보냄을 보여 준다. 즉 \(F\)와 \(G\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이다. 따라서 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(x, y \in \mathcal{S}_{1, U}\)가 주어지면 준층 \[\mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y), \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(F(x), F(y)) : (\mathcal{C}/U)^{opp} \longrightarrow \textit{Sets}.\]

은 동일시된다. Lemma 042V를 보라. 따라서 첫 번째가 층일 필요충분조건은 두 번째가 층인 것이다. 마지막으로 \(\mathcal{S}_1\)의 모든 내림 자료가 유효하면 \(\mathcal{S}_2\)의 모든 내림 자료도 유효함을 보여야 한다. 이를 위해 \((X_i, \varphi_{ii'})\)를 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)에 대한 \(\mathcal{S}_2\)의 내림 자료라 하자.

그러면 \((G(X_i), G(\varphi_{ii'}))\)는 덮개 \(\{U_i \to U\}\)에 대한 \(\mathcal{S}_1\)의 내림 자료이다. \(X\)를 \(\mathcal{S}_{1, U}\)의 대상이라 하여 내림 자료 \((f_i^*X, can)\)이 \((G(X_i), G(\varphi_{ii'}))\)와 동형이라고 하자. 그러면 \(F(X)\)는 \(\mathcal{S}_{2, U}\)의 대상이고, 그 내림 자료 \((f_i^*F(X), can)\)은 \((F(G(X_i)), F(G(\varphi_{ii'})))\)와 동형이며, 후자는 다시 \(i\)를 사용하면 원래의 내림 자료 \((X_i, \varphi_{ii'})\)와 동형이다.

\(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(2\)-범주를 다음과 같이 정의한다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(2\)-범주는 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(2\)-범주 (Categories, Definition 02XP를 보라)의 다음과 같은 부분 \(2\)-범주이다.

1. 대상은 스택 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)이다.

2. \(1\)-사상 \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\)은 다음을 만족하는 함자 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)이다. 즉 \(p' \circ G = p\)이고, \(G\)는 강한 카르테시안 사상을 강한 카르테시안 사상으로 보낸다.

3. \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) 사이의 \(2\)-사상 \(t : G \to H\)는 모든 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\)에 대하여 \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\)를 만족하는 함자들의 사상이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \((2, 1)\)-범주는 2-섬유곱을 가지며, 이는 Categories, Lemma 0040에서와 같이 기술된다.

증명

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{S}\)와 \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{S}\)를 위에서 정의한 \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(1\)-사상이라 하자. Categories, Lemma 0040에서 기술한 범주 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\)는 Categories, Lemma 02XQ에 의해 섬유화된 범주이다. (여기에서 \(f\)와 \(g\)가 강한 카르테시안 사상을 보존한다는 사실을 사용한다.) 사상 준층들이 층이고 \(\mathcal{C}\)의 덮개에 대한 내림이 유효함을 보이는 일만 남는다.

\(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\)의 대상은 사중항 \((U, x, y, \phi)\)로 주어진다는 것을 상기하자. 이는 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에 놓인다. 다음으로 \((U, x', y', \phi')\)를 \(U\) 위에 놓이는 두 번째 대상이라 하자.

\(\phi : f(x) \to g(y)\)와 \(\phi' : f(x') \to g(y')\)는 범주 \(\mathcal{S}_U\)의 동형사상임을 상기하자. 이 동형사상들을 사용하여 \(z = f(x) = g(y)\)와 \(z' = f(x') = g(y')\)를 동일시하자. 이 동일시들 아래

준층으로서 \[\mathit{Mor}((U, x, y, \phi), (U, x', y', \phi')) = \mathit{Mor}(x, x') \times_{\mathit{Mor}(z, z')} \mathit{Mor}(y, y')\] 임은 명백하다. 그러나 준층의 범주에서 섬유곱은 층을 보존하므로 (Sites, Lemma 00W2) 이것은 층이다.

\(\mathcal{U} = \{f_i : U_i \to U\}_{i \in I}\)를 사이트 \(\mathcal{C}\)의 덮개라 하자. \((X_i, \chi_{ij})\)를 \(\mathcal{U}\)에 대한 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\)의 내림 자료라 하자. 위와 같이 \(X_i = (U_i, x_i, y_i, \phi_i)\)로 쓰자. 범주 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y}\)의 정의에서와 같이 \(\chi_{ij} = (\varphi_{ij}, \psi_{ij})\)로 쓰자(Categories, Lemma 0040를 보라). \((x_i, \varphi_{ij})\)가 \(\mathcal{X}\)의 내림 자료이고 \((y_i, \psi_{ij})\)가 \(\mathcal{Y}\)의 내림 자료임은 명백하다. \(\mathcal{X}\)와 \(\mathcal{Y}\)가 스택이므로 이 내림 자료들은 유효하다. 따라서 내림 자료와 양립하도록 \(x_i = x|_{U_i}\)와 \(y_i = y|_{U_i}\)가 되는 \(x \in \Ob(\mathcal{X}_U)\)와 \(y \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\)를 얻는다. \(z = f(x)\)와 \(z' = g(y)\)로 두자. 둘 다 \(\mathcal{S}_U\)의 대상이다. 사상 \(\phi_i\)는 \(\mathit{Isom}(z, z')(U_i)\)의 원소이며 \(\phi_i|_{U_i \times_U U_j} = \phi_j|_{U_i \times_U U_j}\)를 만족한다. 따라서 \(\mathit{Isom}(z, z')\)의 층 성질에 의해 동형사상 \(\phi : z = f(x) \to z' = g(y)\)를 얻는다. \((\mathcal{X} \times_\mathcal{S} \mathcal{Y})_U\)의 대상 \((U, x, y, \phi)\)에 결부된 표준 내림 자료가 처음의 내림 자료와 동형이라는 확인은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이라 하자. \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\)를 \(1\)-사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(F\)는 충만충실이다.

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 모든 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U})\)에 대하여 사상 \[F : \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_1}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{S}_2}(F(x), F(y))\] 은 \(\mathcal{C}/U\) 위의 층들의 동형사상이다.

증명

(1)을 가정하자. (2)에서와 같은 \(U, x, y\)에 대하여, 표시된 사상 \(F\)는 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(V\)가 \(U\) 위에 놓일 때 사상 \(F : \Mor_{\mathcal{S}_{1, V}}(x|_V, y|_V) \to \Mor_{\mathcal{S}_{2, V}}(F(x|_V), F(y|_V))\)로 값매김된다. 이제 \(F\)가 충만충실이므로 대응하는 사상 \(\Mor_{\mathcal{S}_1}(x|_V, y|_V) \to \Mor_{\mathcal{S}_2}(F(x|_V), F(y|_V))\)는 전단사이다. 섬유 범주 \(\mathcal{S}_{1, V}\)의 사상은 정확히 \(\mathcal{S}_1\) 안에서 \(x|_V\)에서 \(y|_V\)로 가며 \(\text{id}_V\) 위에 놓이는 사상들이다. 마찬가지로 섬유 범주 \(\mathcal{S}_{2, V}\)의 사상은 정확히 \(\mathcal{S}_2\) 안에서 \(F(x|_V)\)에서 \(F(y|_V)\)로 가며 \(\text{id}_V\) 위에 놓이는 사상들이다. 따라서 \(F\)는 이들 사이에도 전단사를 유도한다. 그러므로 (2)가 성립한다.

(2)를 가정하자. \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\), \(V\)와 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U})\), \(y \in \Ob(\mathcal{S}_{1, V})\)가 주어졌다고 하자. \(F\)가 충만충실임을 보이려면 고정된 \(f : U \to V\) 위에 놓이는 사상들에 전단사를 유도함을 보이면 충분하다. \(\mathcal{S}_1\)에서 \(f\) 위에 놓이는 강한 카르테시안 사상 \(f^*y \to y\)를 선택하자. 그러면 \(\mathcal{S}_1\)에서 \(f\) 위에 놓이며 \(x \to y\)인 사상들의 집합과 \(\Mor_{\mathcal{S}_{1, U}}(x, f^*y)\) 사이의 전단사를 얻는다. \(F\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(2\)-범주에서 \(1\)-사상이므로 강한 카르테시안 사상을 보존한다. 따라서 \(\mathcal{S}_2\)에서 \(f\) 위에 놓이며 \(F(x) \to F(y)\)인 사상들의 집합과 \(\Mor_{\mathcal{S}_{2, U}}(F(x), F(f^*y))\) 사이에도 전단사를 얻는다. \(F\)가 전단사 \(\Mor_{\mathcal{S}_{1, U}}(x, f^*y) \to \Mor_{\mathcal{S}_{2, U}}(F(x), F(f^*y))\)를 유도하므로 (1)이 성립한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이라 하자. \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\)를 충만충실인 \(1\)-사상이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(F\)는 동치이다.

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 모든 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_{2, U})\)에 대하여 덮개 \(\{f_i : U_i \to U\}\)가 존재하여 \(f_i^*x\)가 함자 \(F : \mathcal{S}_{1, U_i} \to \mathcal{S}_{2, U_i}\)의 본질적 상에 속한다.

증명

(1) \(\Rightarrow\) (2)는 즉시 성립한다. (2)가 (1)을 함의함을 보이려면 (2)에서와 같은 모든 \(x\)가 함자 \(F\)의 본질적 상에 속함을 보여야 한다. 이를 위해 (2)에서와 같은 덮개, 대상 \(x_i \in \Ob(\mathcal{S}_{1, U_i})\), 그리고 동형사상 \(\varphi_i : F(x_i) \to f_i^*x\)를 선택하자. 그러면 \(\mathcal{S}_1\)에 대한 \(\{f_i : U_i \to U\}\)에 관한 내림 자료를 다음과 같이 얻는다. \[\varphi_{ij} : x_i|_{U_i \times_U U_j} \longrightarrow x_j|_{U_i \times_U U_j}\] 를 \(F(\varphi_{ij}) = \varphi_j^{-1} \circ \varphi_i\)를 만족하는 사상으로 취한다. 이 내림 자료는 스택의 공리들에 의해 유효하므로 \(U\) 위의 \(\mathcal{S}_1\)의 대상 \(x_1\)을 얻는다. \(F(x_1)\)이 \(U\) 위에서 \(x\)와 동형이라는 확인은 생략한다.

주

(“큰” 스택을 줄여 스택을 얻기.) \(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)가 “큰” 범주에서 \(\mathcal{C}\)로 가는 함자라고 가정하자. 즉 \(\mathcal{S}\)의 대상들의 모임이 진클래스라고 가정한다.

마지막으로 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)가 Definition 026F의 조건 (1), (2), (3)을 만족한다고 가정하자. 일반적으로 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 동치인 범주로 바꾸어 스택을 얻을 수는 없다.

그 이유는 섬유 범주 \(\mathcal{S}_U\)가 대상들의 동형류를 진클래스만큼 가질 수 있기 때문이다.

한편 다음을 가정하자.

1. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대하여 집합 \(S_U \subset \Ob(\mathcal{S}_U)\)가 존재하고, \(\mathcal{S}_U\)의 모든 대상은 \(\mathcal{S}_U\) 안에서 \(S_U\)의 한 원소와 동형이다.

이 경우 \(\mathcal{S}\)의 충만 부분범주 \(\mathcal{S}_{small}\)을 찾아 \(p_{small} = p|_{\mathcal{S}_{small}}\)로 두었을 때 다음이 성립하게 할 수 있다.

1. 함자 \(p_{small} : \mathcal{S}_{small} \to \mathcal{C}\)는 스택을 정의한다.

2. 포함 \(\mathcal{S}_{small} \to \mathcal{S}\)는 충만충실이고 본질적으로 전사이다.

(힌트: 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대하여 \(\Ob(\mathcal{S}_U) \cap V_{\alpha(U)}\)가 \(\mathcal{S}_U\)의 동형류들의 집합으로 전사하는 최소 순서수를 \(\alpha(U)\)라 하고, \(\alpha = \sup_{U \in \Ob(\mathcal{C})} \alpha(U)\)로 두자. 그런 다음 \(\Ob(\mathcal{S}_{small}) = \Ob(\mathcal{S}) \cap V_\alpha\)로 취한다. 사용한 표기는 Sets, Section 000B를 보라.)

군체 스택

스택 가운데 군체로 섬유화된 것들은 비교적 이해하기 쉽다. 이를 다음과 같이 다시 정의한다.

정의

사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택은 다음을 만족하는 \(\mathcal{C}\) 위의 범주 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)이다.

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)는 \(\mathcal{C}\) 위에서 군체로 섬유화되어 있다(Categories, Definition 003T를 보라).

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 모든 \(x, y\in \Ob(\mathcal{S}_U)\)에 대하여 준층 \(\mathit{Isom}(x, y)\)은 사이트 \(\mathcal{C}/U\) 위의 층이다.

3. \(\mathcal{C}\)의 모든 덮개 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)에 대하여, \(\mathcal{U}\)에 관한 모든 내림 자료 \((x_i, \phi_{ij})\)는 유효하다.

보통 가장 확인하기 어려운 것은 세 번째 조건이다. 다음 보조정리는 이를 스택의 개념과 비교한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이다.

2. \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이고 모든 섬유 범주는 군체이다.

3. \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위에서 군체로 섬유화되어 있고 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

증명

생략한다. 다만 Categories, Lemma 003V를 보라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 스택이라 하자. Categories, Lemma 03WQ에서 구성한, \(\mathcal{S}\)에 결부된 군체로 섬유화된 범주를 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)라 하자. 그러면 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)는 군체 스택이다.

증명

\(\mathcal{S}'\)의 사상은 정확히 \(\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상들이며, \(\mathcal{S}\)의 모든 동형사상은 그러한 사상임을 상기하자. 따라서 \(\mathcal{S}'\)의 내림 자료는 \(\mathcal{S}\)의 내림 자료와 정확히 같은 것이다. 이제 Lemma 02ZF를 적용한다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주라 하자. \(\mathcal{S}_1\)과 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 범주로서 동치라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{S}_1\)이 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택일 필요충분조건은 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택인 것이다.

증명

Lemmas 02ZJ와 042W를 결합하면 따른다.

\(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-범주는 다음과 같이 정의한다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-범주는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(2\)-범주(Definition 02ZG를 보라)의 다음과 같은 부분 \(2\)-범주이다.

1. 그 대상은 군체 스택 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)이다.

2. 그 \(1\)-사상 \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\)은 \(p' \circ G = p\)를 만족하는 함자 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)이다. (모든 사상이 강한 카르테시안 사상이므로 모든 함자는 이를 보존한다.)

3. \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) 사이의 \(2\)-사상 \(t : G \to H\)는 모든 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\)에 대하여 \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\)를 만족하는 함자들의 사상이다.

모든 \(2\)-사상은 자동으로 동형사상이다. 따라서 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-범주는 실제로 (엄밀한) \((2, 1)\)-범주이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 범주라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-범주는 2-섬유곱을 가지며, 이는 Categories, Lemma 0040에서와 같이 기술된다.

증명

Categories, Lemma 0041와 Lemmas 02ZJ 및 026G에서 명백하다.

세토이드 스택

이 절에서는 집합 스택이 집합의 층과 같은 것임을 간단히 설명한다. 표기에 대해서는 Categories, Section 04S9를 보라.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자.

1. \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택은 모든 섬유 범주가 세토이드인 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

2. 집합 스택, 또는 이산 범주 스택은 모든 섬유 범주가 이산적인 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

Section 02ZH의 논의에 따르면, 이는 섬유 범주들이 세토이드(각각 이산 범주)인 군체 스택과 같은 것이다. 또한 세토이드(각각 집합)로 섬유화되어 있으면서 스택인 범주와도 같은 것이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. Categories, Lemma 02Y2의 동치 \[\left\{ \begin{matrix} \text{the category of presheaves}\\ \text{of sets over }\mathcal{C} \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{the category of categories}\\ \text{fibred in sets over }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\] 아래에서 집합 스택은 정확히 층에 대응한다.

증명

생략한다. 힌트: 내림의 유효성이 정확히 층 조건에 대응함을 보여라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}\)를 \(\mathcal{C}\) 위에서 세토이드로 섬유화된 범주라 하자. 그러면 \(\mathcal{S}\)가 세토이드 스택일 필요충분조건은 유일한 동치인, 집합으로 섬유화된 범주 \(\mathcal{S}'\)(Categories, Lemma 0045를 보라)이 집합 스택인 것이다. 달리 말해, 준층 \[U \longmapsto \Ob(\mathcal{S}_U)/\!\!\cong\] 이 층일 필요충분조건과 같다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주라 하자. \(\mathcal{S}_1\)과 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 범주로서 동치라고 가정하자. 그러면 \(\mathcal{S}_1\)이 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택일 필요충분조건은 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택인 것이다.

증명

Categories, Lemma 0045에 의해 \(\mathcal{C}\) 위의 범주 \(\mathcal{S}\)가 \(\mathcal{C}\) 위에서 세토이드로 섬유화될 필요충분조건은 \(\mathcal{C}\) 위에서 집합으로 섬유화된 어떤 범주와 동치인 것이다. 따라서 \(\mathcal{S}_1\)이 \(\mathcal{C}\) 위에서 세토이드로 섬유화될 필요충분조건은 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위에서 세토이드로 섬유화되는 것이다. 이제 Lemma 0432에서 결론이 따른다.

\(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택들의 \(2\)-범주는 다음과 같이 정의한다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택들의 \(2\)-범주는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(2\)-범주(Definition 02ZG를 보라)의 다음과 같은 부분 \(2\)-범주이다.

1. 그 대상은 세토이드 스택 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)이다.

2. 그 \(1\)-사상 \((\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\)은 \(p' \circ G = p\)를 만족하는 함자 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)이다. (모든 사상이 강한 카르테시안 사상이므로 모든 함자는 이를 보존한다.)

3. \(G, H : (\mathcal{S}, p) \to (\mathcal{S}', p')\) 사이의 \(2\)-사상 \(t : G \to H\)는 모든 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\)에 대하여 \(p'(t_x) = \text{id}_{p(x)}\)를 만족하는 함자들의 사상이다.

모든 \(2\)-사상은 자동으로 동형사상이다. 따라서 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택들의 \(2\)-범주는 실제로 (엄밀한) \((2, 1)\)-범주이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택들의 \(2\)-범주는 2-섬유곱을 가지며, 이는 Categories, Lemma 0040에서와 같이 기술된다.

증명

Categories, Lemmas 0041와 04SB, 그리고 Lemmas 02ZJ와 026G에서 명백하다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}, \mathcal{T}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이라 하고, \(\mathcal{R}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택이라 하자. \(f : \mathcal{T} \to \mathcal{S}\)와 \(g : \mathcal{R} \to \mathcal{S}\)를 \(1\)-사상이라 하자. \(f\)가 충실하면 \(2\)-섬유곱 \[\mathcal{T} \times_{f, \mathcal{S}, g} \mathcal{R}\] 은 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택이다.

증명

Categories, Lemma 0040의 \(2\)-섬유곱에 대한 명시적 기술에서 바로 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이라 하고, \(\mathcal{S}_i\), \(i = 1, 2\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택이라 하자. \(f_i : \mathcal{S}_i \to \mathcal{S}\)를 \(1\)-사상이라 하자. 그러면 \(2\)-섬유곱 \[\mathcal{S}_1 \times_{f_1, \mathcal{S}, f_2} \mathcal{S}_2\] 은 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택이다.

증명

\(f_2\)가 충실하므로 이는 Lemma 05UI의 특수한 경우이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{T}_2 \ar[r] \ar[d]_{G'} & \mathcal{T}_1 \ar[d]^G \\ \mathcal{S}_2 \ar[r]^F & \mathcal{S}_1 }\] 를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-카르테시안 도표라 하자. 다음을 가정하자.

1. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(x \in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\)에 대하여 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재하여 \(x|_{U_i}\)가 함자 \(F : (\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\)의 본질적 상에 속한다.

2. \(G'\)는 충실하다.

그러면 \(G\)는 충실하다.

증명

\(\mathcal{T}_2\)가 Categories, Lemma 0040에서 기술한 범주 \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\)이라고 가정할 수 있다. Categories, Lemma 003Z에 의해 \(G, G'\)의 충실성은 섬유 범주에서 확인할 수 있다. \(y, y'\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{T}_1\)의 대상이라 하자. \(\alpha, \beta : y \to y'\)를 \(G(\alpha) = G(\beta)\)를 만족하는 \((\mathcal{T}_1)_U\)의 사상이라 하자. 목표는 \(\alpha = \beta\)임을 보이는 것이다. 대신 \(\gamma = \alpha^{-1} \circ \beta\)를 생각하면 \(G(\gamma) = \text{id}_{G(y)}\)이고, \(\gamma = \text{id}_y\)임을 보여야 한다. 가정에 의해 덮개 \(\{U_i \to U\}\)를 찾아 \(G(y)|_{U_i}\)가 함자 \(F :(\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\)의 본질적 상에 속하게 할 수 있다. 각 \(i\)에 대하여 \(\gamma|_{U_i} = \text{id}\)임을 보이면 충분하므로, \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{S}_2\)의 어떤 대상 \(x\)와 \((\mathcal{S}_1)_U\)의 사상 \(f\)에 대해 다음을 갖는다고 가정할 수 있다.

\(f : F(x) \to G(y)\) 이 경우 \(U\) 위의 섬유 범주 \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\)에서 사상 \[(1, \gamma) : (U, x, y, f) \longrightarrow (U, x, y, f)\] 을 얻으며, 이는 \(G'\) 아래에서 \(\mathcal{S}_1\)의 \(\text{id}_x\)로 보내진다. \(G'\)가 충실하므로 \(\gamma = \text{id}_y\)이고 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{T}_2 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{T}_1 \ar[d]^G \\ \mathcal{S}_2 \ar[r]^F & \mathcal{S}_1 }\] 를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-카르테시안 도표라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(F : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\)은 충만충실이다.

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(x \in \Ob((\mathcal{S}_1)_U)\)에 대하여 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재하여 \(x|_{U_i}\)가 함자 \(F : (\mathcal{S}_2)_{U_i} \to (\mathcal{S}_1)_{U_i}\)의 본질적 상에 속한다.

3. \(\mathcal{T}_2\)는 세토이드 스택이다.

그러면 \(\mathcal{T}_1\)은 세토이드 스택이다.

증명

\(\mathcal{T}_2\)가 Categories, Lemma 0040에서 기술한 범주 \(\mathcal{S}_2 \times_{\mathcal{S}_1} \mathcal{T}_1\)이라고 가정할 수 있다. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(y \in \Ob((\mathcal{T}_1)_U)\)를 택하자. \(\mathcal{C}/U\) 위의 층 \(\mathit{Aut}(y)\)가 자명함을 보여야 한다.

이를 위해 \(U\)를 \(U\)의 한 덮개의 원소들로 바꾸어도 된다. 따라서 가정 (2)에 의해 어떤 대상 \(x \in \Ob((\mathcal{S}_2)_U)\)와 동형사상 \(f : F(x) \to G(y)\)가 존재한다고 가정할 수 있다. 그러면 \(y' = (U, x, y, f)\)는 \(U\) 위의 \(\mathcal{T}_2\)의 대상이고, 사영 \(\mathcal{T}_2 \to \mathcal{T}_1\) 아래에서 \(y\)로 보내진다. (1)에 의해 \(F\)가 충만충실이므로 사상 \(\mathit{Aut}(y') \to \mathit{Aut}(y)\)는 전사이다. 여기서는 Categories, Lemma 0040의 \(\mathcal{T}_2\) 사상에 대한 명시적 기술을 사용한다. (3)에 의해 층 \(\mathit{Aut}(y')\)가 자명이므로 보조정리의 결론을 얻는다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{T}\)를 \(\mathcal{C}\) 위에서 군체로 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\mathcal{T}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이다.

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대하여 섬유 범주들의 함자 \(\mathcal{S}_U \to \mathcal{T}_U\)는 충실하다.

3. 각 \(U\)와 각 \(y \in \Ob(\mathcal{T}_U)\)에 대하여 준층 \[(h : V \to U) \longmapsto \{(x, f) \mid x \in \Ob(\mathcal{S}_V), f : F(x) \to f^*y\text{ over }V\}/\cong\] 은 \(\mathcal{C}/U\) 위의 층이다.

그러면 \(\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이다.

증명

사상의 내림과 대상의 내림을 증명해야 한다.

사상의 내림. \(\{U_i \to U\}\)를 \(\mathcal{C}\)의 덮개라 하자. \(x, x'\)를 \(U\) 위의 \(\mathcal{S}\)의 대상이라 하자. 각 \(i\)에 대하여 \(\alpha_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\)를 \(U_i\) 위의 사상이라 하고, \(\alpha_i\)와 \(\alpha_j\)가 같은 사상 \(x|_{U_i \times_U U_j} \to x'|_{U_i \times_U U_j}\)로 제한된다고 하자. \(\mathcal{T}\)가 군체 스택이므로, \(U\) 위의 사상 \(\beta : F(x) \to F(x')\)가 존재하여 \(U_i\) 위에서 \(F(\alpha_i)\)로 제한된다. 그러면 \(\xi = (x, \beta)\)와 \(\xi' = (x', \text{id}_{F(x')})\)를 가정 (3)의 \(y = F(x')\)에 결부된 준층의 \(U\) 위의 절단으로 생각할 수 있다. 한편 \(\xi\)와 \(\xi'\)의 \(U_i\) 위의 제한은 각각 \((x|_{U_i}, F(\alpha_i))\)와 \((x'|_{U_i}, \text{id}_{F(x'|_{U_i})})\)이다. 이들은 사상 \(\alpha_i\)에 의해 서로 동형이다. 따라서 가정 (3)에 의해 \(\xi\)와 \(\xi'\)는 동형이다. 이는 \(F(\alpha) = \beta\)를 만족하는 \(U\) 위의 사상 \(\alpha : x \to x'\)가 존재함을 뜻한다. \(F\)가 섬유 범주에서 충실하므로 \(\alpha|_{U_i} = \alpha_i\)를 얻는다.

대상의 내림. \(\{U_i \to U\}\)를 \(\mathcal{C}\)의 덮개라 하자. \((x_i, \varphi_{ij})\)를 주어진 덮개에 관한 \(\mathcal{S}\)의 내림 자료라 하자. \(\mathcal{T}\)가 군체 스택이므로, \(\mathcal{T}_U\)의 대상 \(y\)와 다음을 만족하는 동형사상 \(\beta_i : F(x_i) \to y|_{U_i}\)가 존재한다. \(F(\varphi_{ij}) = \beta_j|_{U_i \times_U U_j} \circ (\beta_i|_{U_i \times_U U_j})^{-1}\). 그러면 \((x_i, \beta_i)\)는 가정 (3)에서 정의한 \(y\)에 결부된 준층의 \(U\) 위의 절단이다. 또한 \(\varphi_{ij}\)는 쌍 \((x_i, \beta_i)|_{U_i \times_U U_j}\)에서 쌍 \((x_j, \beta_j)|_{U_i \times_U U_j}\)로 가는 동형사상을 정의한다. 따라서 가정 (3)에 의해 \(U\) 위의 쌍 \((x, \beta)\)가 존재하여 그 \(U_i\) 위의 제한은 \((x_i, \beta_i)\)와 동형이다. 이는 \(\beta_i = \beta|_{U_i} \circ F(\alpha_i)\)를 만족하는 사상 \(\alpha_i : x_i \to x|_{U_i}\)가 존재함을 뜻한다. \(F\)가 섬유 범주에서 충실하므로 계산을 통해 \(\varphi_{ij} = \alpha_j|_{U_i \times_U U_j} \circ (\alpha_i|_{U_i \times_U U_j})^{-1}\)를 얻는다. 이로써 증명이 끝난다.

관성 스택

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)와 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)를 범주 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주라 하자. \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. Categories, Definition 034I에서 상대 관성 섬유화 범주 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'} \to \mathcal{C}\)를 정의했음을 상기하자. 이는 \(x \in \Ob(\mathcal{S})\)이고 \(F(\alpha) = \text{id}_{F(x)}\)를 만족하는 \(\alpha : x \to x\)인 쌍 \((x , \alpha)\)들을 대상으로 하는 범주이다. 절대적 판본도 있는데, 이는 \(\mathcal{S}\)의 관성 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\)이다. \(\mathcal{S}\)와 \(\mathcal{S}'\)가 스택이면 이 관성 범주들은 실제로 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)와 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)를 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이라 하자. \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(1\)-사상이라 하자.

1. 관성 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\)와 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

2. \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이면 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\)와 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\)도 그러하다.

3. \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 세토이드 스택이면 \(\mathcal{I}_{\mathcal{S}/\mathcal{S}'}\)와 \(\mathcal{I}_\mathcal{S}\)도 그러하다.

증명

처음 세 주장은 Lemmas 026G, 02ZL, 0434와 Categories, Lemma 034H의 (1)에 있는 동치에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}\)가 군체 스택이면, 표준 \(1\)-사상 \(\mathcal{I}_\mathcal{S} \to \mathcal{S}\)가 동치일 필요충분조건은 \(\mathcal{S}\)가 세토이드 스택인 것이다.

증명

Categories, Lemma 042J에서 바로 따른다.

섬유화된 범주의 스택화

다음 보조정리의 절차로 얻는 결과를 사이트 위의 섬유화된 범주의 스택화라고 한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주라 하자. 스택 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)(Categories, Definition 02XP를 보라)이 존재하여 다음을 만족한다.

1. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 임의의 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)에 대하여 \(G\)가 유도하는 사상 \[\mathit{Mor}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}(G(x), G(y))\] 은 오른쪽을 왼쪽의 층화와 동일시한다.

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 임의의 \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\)에 대하여 덮개 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 존재하여, 모든 \(i \in I\)에 대해 대상 \(x'|_{U_i}\)가 함자 \(G : \mathcal{S}_{U_i} \to \mathcal{S}'_{U_i}\)의 본질적 상에 속한다.

더욱이 이 조건들은 유일한 \(2\)-동형사상의 의미에서 스택 \(\mathcal{S}'\)을 결정한다.

증명

이 증명 방법에서는 다음 단계들을 거친다.

먼저 \(U\) 위에 놓이는 \(x\)와 \(\mathcal{S}\)의 임의의 대상 \(y\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{S}\)의 두 사상 \(a, b : x \to y\)가 \(\mathcal{C}\)의 같은 화살표 위에 놓이고, \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{f_i : U_i \to U\}\)가 존재하여 합성 \[f_i^*x \to x \xrightarrow{a} y, \quad f_i^*x \to x \xrightarrow{b} y\] 들이 같으면 이 두 사상이 국소적으로 같다고 한다. 이는 \(\mathcal{S}\)의 화살표들 위에 동치관계 \(\sim\)을 준다. \(b \sim b'\)이면 \(a \circ b \circ c \sim a \circ b' \circ c\)이다(확인은 생략한다). 따라서 이 동치관계로 몫을 취하여 \(\mathcal{C}\) 위의 새 범주 \(\mathcal{S}^1\)과 사상 \(G^1 : \mathcal{S} \to \mathcal{S}^1\)을 얻는다.

\(G^1\)이 강한 카르테시안 사상을 보존하고 \(\mathcal{S}^1\)이 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주임을 확인할 수 있다. 확인은 생략한다. 따라서 국소적으로 같은 사상들이 서로 같은 경우로 환원된다.

다음으로 사상을 다음과 같이 추가한다. \(U\) 위에 놓이는 \(x\)와

\(V\) 위에 놓이는 임의의 대상 \(y\)가 주어졌을 때, \(x\)에서 \(y\)로 가는 국소적으로 정의된 사상은 다음으로 주어진다.

1. 사상 \(f : U \to V\),

2. \(U\)의 덮개 \(\{f_i : U_i \to U\}\),

3. \(p(a_i) = f \circ f_i\)를 만족하는 사상 \(a_i : f_i^*x \to y\).

여기에는 합성 \[(f_i \times f_j)^*x \to f_i^*x \xrightarrow{a_i} y, \quad (f_i \times f_j)^*x \to f_j^*x \xrightarrow{a_j} y\] 들이 같다는 조건을 부과한다. 보통의 사상 \(a : x \to y\)는 국소적으로 정의된 사상 \((p(a) : U \to V, \{\text{id}_U\}, a)\)를 준다는 점에 유의하자. 국소적으로 정의된 두 사상 \((f, \{f_i : U_i \to U\}, a_i)\)와 \((g, \{g_j : U'_j \to U\}, b_j)\)에 대하여 \(f = g\)이고 합성 \[(f_i \times g_j)^*x \to f_i^*x \xrightarrow{a_i} y, \quad (f_i \times g_j)^*x \to g_j^*x \xrightarrow{b_j} y\] 들이 같으면 두 사상이 같다고 한다. (국소적으로 같은 사상들이 같은 경우를 다루고 있으므로 이것이 올바른 조건이다.) \(x\)에서 \(y\)로 가는 국소적으로 정의된 사상 \((f, \{f_i : U_i \to U\}, a_i)\)와 \(y\)에서 \(W\) 위에 놓이는 \(z\)로 가는 국소적으로 정의된 사상 \((g, \{g_j : V_j \to V\}, b_j)\)를 합성하려면, \(g \circ f : U \to W\)와 덮개 \(\{U_i \times_V V_j \to U\}\)를 취하고, 사상으로 합성 \[x|_{U_i \times_V V_j} \xrightarrow{\text{pr}_0^*a_i} y|_{V_j} \xrightarrow{b_j} z\] 을 취하면 된다. 이것이 국소적으로 정의된 사상이라는 확인은 생략한다.

\(\mathcal{S}\)와 같은 대상들을 가지고 국소적으로 정의된 사상들을 사상으로 하는 \(\mathcal{S}^2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 범주이고, \(\mathcal{C}\) 위의 함자 \(G^2 : \mathcal{S} \to \mathcal{S}^2\)가 존재하며, 이 함자가 강한 카르테시안 대상을 보존하고,

\(\mathcal{S}^2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주임을 확인할 수 있다. 확인은 생략한다. 국소적으로 정의된 사상을 사용하는 효과가 (분리된) 사상 준층을 층화하는 것임을 확인함으로써, \(\mathcal{S}\)의 모든 사상 준층이 층인 경우로 환원된다.

마지막으로 사상 준층들이 모두 층인 경우, 최종 결과에서 내림 조건이 유효하도록 대상을 추가해야 한다. 이를 행하는 가장 간단한 방법은 대상이 쌍 \((\mathcal{U}, \xi)\)인 범주 \(\mathcal{S}'\)을 생각하는 것이다. 여기서 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이고,

\(\xi = (X_i, \varphi_{ii'})\)는 \(\mathcal{U}\)에 관한 내림 자료이다. 다음과 같은 두 자료가 주어졌다고 하자. \((\mathcal{U}, \xi) = (\{f_i : U_i \to U\}, x_i, \varphi_{ii'})\)와 \((\mathcal{V}, \eta) = (\{g_j : V_j \to V\}, y_j, \psi_{jj'})\). \[\Mor_{\mathcal{S}'}((\mathcal{U}, \xi), (\mathcal{V}, \eta))\] 를 모든 \((f, a_{ij})\)의 집합으로 정의한다. 여기서 \(f : U \to V\)이고 \[a_{ij} : x_i|_{U_i \times_V V_j} \longrightarrow y_j\] 는 \(U_i \times_V V_j \to V_j\) 위에 놓이는 \(\mathcal{S}\)의 사상이다. 이들은 다음 조건을 만족해야 한다. 임의의 \(i, i' \in I\)와 \(j, j' \in J\)에 대하여 \(W = (U_i \times_U U_{i'}) \times_V (V_j \times_V V_{j'})\)로 두자. 그러면 \[\xymatrix{ x_i|_W \ar[r]_{a_{ij}|_W} \ar[d]_{\varphi_{ii'}|_W} & y_j|_W \ar[d]^{\psi_{jj'}|_W} \\ x_{i'}|_W \ar[r]^{a_{i'j'}|_W} & y_{j'}|_W }\] 는 가환한다. 이제 다음 사항들을 확인해야 한다.

1. 위와 같은 사상들에는 잘 정의된 합성이 있다.

2. 이로써 \(\mathcal{S}'\)은 \(\mathcal{C}\) 위의 범주가 된다.

3. \(\mathcal{C}\) 위의 함자 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)이 존재한다.

4. \(\mathcal{S}\)의 대상 \(x, y\)에 대하여 \(\Mor_\mathcal{S}(x, y) = \Mor_{\mathcal{S}'}(G(x), G(y))\)이다.

5. \(\mathcal{S}'\)의 모든 대상은 국소적으로 \(\mathcal{S}\)의 대상에서 온다. 즉 보조정리의 (2)가 성립한다.

6. \(G\)는 강한 카르테시안 사상을 보존한다.

7. \(\mathcal{S}'\)은 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주이다.

8. \(\mathcal{S}'\)은 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

이 모든 것은 어렵지 않지만 확인할 것이 많다. 세부사항은 생략한다.

증명

다음은 덜 소박한 증명이다. Categories, Lemma 004A에 의해 섬유화된 범주들의 동치 \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)이 존재하며, 여기서 \(\mathcal{S}'\)은 분할 섬유화 범주, 즉 당김 함자들이 문자 그대로 합성되는 범주이다. \(\mathcal{S}'\)에 대한 보조정리가 \(\mathcal{S}\)에 대한 보조정리를 함의함은 명백하다. 따라서 \(\mathcal{S}\)를 범주 값 준층으로 생각할 수 있다.

잠시 \(2\)-사상을 잊어 \(2\)-범주 \(\textit{Cat}\)을 범주로 생각하자. Categories, Section 0013에서처럼 범주를 오중항 \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, \circ)\)로 생각하자. 망각 함자 \[forget : \textit{Cat} \to \textit{Sets} \times \textit{Sets}, \quad (\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, \circ) \mapsto (\text{Ob}, \text{Arrows}).\] 를 생각하자. 그러면 \(forget\)은 충실하고, \(\textit{Cat}\)은 극한을 가지며 \(forget\)은 극한과 교환하고, \(\textit{Cat}\)은 유향 여극한을 가지며 \(forget\)은 이들과 교환하고, \(forget\)은 동형사상을 반영한다. \(\textit{Cat}\) 값을 갖는 준층을 층화할 수 있고, Sites, Section 00YR의 첫 부분과 비슷한 논증에 의해 결과는 \(forget\)과 교환한다. 이를 \(\mathcal{S}\)에 적용하여 층화 \(\mathcal{S}^\#\)을 얻는다. 이 범주는 대상의 층과 사상의 층을 가지며, 둘 다 \(\mathcal{S}\)의 대응하는 준층의 층화이다. 이 경우 사상 \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}^\#\)이 보조정리의 성질 (1), (2)를 가짐을 쉽게 알 수 있다.

그러나 대상 준층이 층이라 하더라도 내림 조건이 아직 만족되지 않을 수 있으므로 범주 \(\mathcal{S}^\#\)은 아직 스택이 아닐 수 있다. 이를 바로잡으려면 대상을 더 추가해야 한다. 하지만 위 논증은 어떤 범주 값의 층(!) \(F : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\)에 대해 \(\mathcal{S} = \mathcal{S}_F\)인 경우로 문제를 환원한다. 이 경우 다음과 같이 정의한 함자 \(F' : \mathcal{C}^{opp} \to \textit{Cat}\)을 생각하자.

1. 집합 \(\Ob(F'(U))\)는 쌍 \((\mathcal{U}, \xi)\)들의 집합이다. 여기서 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)는 \(U\)의 덮개이고 \(\xi = (x_i, \varphi_{ii'})\)는 \(\mathcal{U}\)에 관한 내림 자료이다.

2. \(F'(U)\)에서 \((\mathcal{U}, \xi)\)로부터 \((\mathcal{V}, \eta)\)로 가는 사상은 \[\colim \Mor_{DD(\mathcal{W})}(a^*\xi, b^*\eta)\] 의 원소이다. 여기서 여극한은 모든 공통 세분 \(a : \mathcal{W} \to \mathcal{U}\), \(b : \mathcal{W} \to \mathcal{V}\)에 걸친다. 이 여극한은 여과되어 있다 (확인은 생략한다). 따라서 \(F(U)\)의 사상의 합성은 공통 세분을 찾아

   \(DD(\mathcal{W})\)에서 합성함으로써 정의한다.

3. \(h : V \to U\)와 \(F'(U)\)의 대상 \((\mathcal{U}, \xi)\)가 주어졌을 때, \(F'(h)(\mathcal{U}, \xi)\)를 \((V \times_U \mathcal{U}, \text{pr}_1^*\xi)\)와 같게 둔다. 더 정확히, \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)이고 \(\xi = (x_i, \varphi_{ii'})\)이면 \(V \times_U \mathcal{U} = \{V \times_U U_i \to V\}\)이며, 이는 표준 사상 \(\text{pr}_1 : V \times_U \mathcal{U} \to \mathcal{U}\)을 갖고 \(\text{pr}_1^*\xi\)는 이 사상에 관한 \(\xi\)의 당김이다(Definition 02ZE를 보라).

4. \(h : V \to U\), 대상 \((\mathcal{U}, \xi)\)와 \((\mathcal{V}, \eta)\), 그리고 이들 사이의 사상이 주어졌다고 하자. 그 사상이 \(a : \mathcal{W} \to \mathcal{U}\), \(b : \mathcal{W} \to \mathcal{V}\) 및 \(\alpha : a^*\xi \to b^*\eta\)로 표현되면, \(F'(h)(\alpha)\)는 \(a' : V \times_U\mathcal{W} \to V \times_U\mathcal{U}\), \(b' : V \times_U\mathcal{W} \to V \times_U\mathcal{V}\)와 사상 \(\alpha\)의 사상 \(V \times_U \mathcal{W} \to \mathcal{W}\)에 의한 당김 \(\alpha'\)로 표현된다. \(\mathcal{S}_F\)의 당김은 문자 그대로 교환하므로 이 구성은 성립한다.

\(F(U)\)의 대상 \(x\)에 \(F'(U)\)의 대상 \((\{U \to U\}, (x, triv))\)을 대응시키는 사상 \(F \to F'\)가 있다. 이제 대응하는 함자 \(\mathcal{S}_F \to \mathcal{S}_{F'}\)가 보조정리의 성질 (1), (2)를 가지며, 마지막으로 \(\mathcal{S}_{F'}\)가 스택임을 확인해야 한다. 세부사항은 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주라 하자. \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)와 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)를 Lemma 02ZN에서 구성한 스택과 \(1\)-사상이라 하자.

이 구성은 다음 보편 성질을 갖는다. 스택 \(q : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상 \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{X}\)가 주어지면, 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{S} \ar[rr]_F \ar[rd]_G & & \mathcal{X} \\ & \mathcal{S}' \ar[ru]_H }\] 가 \(2\)-가환이 되게 하는 \(1\)-사상 \(H : \mathcal{S}' \to \mathcal{X}\)가 존재한다.

증명

생략한다. 힌트: \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\)라고 하자. Lemma 02ZN의 결과에 의해 덮개 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 존재하여 어떤 \(x_i \in \Ob(\mathcal{S}_{U_i})\)에 대해 \(x'|_{U_i} = G(x_i)\)이다. 더욱이 덮개 \(\{U_{ijk} \to U_i \times_U U_j\}\)와 동형사상 \(\alpha_{ijk} : x_i|_{U_{ijk}} \to x_j|_{U_{ijk}}\)가 존재하여 \(G(\alpha_{ijk}) = \text{id}_{x'|_{U_{ijk}}}\)를 만족한다. \(y_i = F(x_i)\)로 두자. 그러면 \[F(\alpha_{ijk}) : y_i|_{U_{ijk}} \to y_j|_{U_{ijk}}\] 가 겹침에서 일치함을 확인할 수 있으며, 따라서 \(\mathcal{X}\)가 스택이므로 사상 \(\beta_{ij} : y_i|_{U_i \times_U U_j} \to y_j|_{U_i \times_U U_j}\)를 정의한다. 다음으로 \(\beta_{ij}\)가 내림 자료를 정의함을 확인한다. \(\mathcal{X}\)가 스택이므로 이 내림 자료는 유효하고, \(U_i\) 위에서 \(G(x_i)\)와 일치하는 \(\mathcal{X}_U\)의 대상 \(y\)를 얻는다.

힌트는 \(H(x') = y\)로 두는 것이다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 0435에서와 같다. 앞의 보조정리의 증명에 있는 구성으로 주어지는 범주들의 표준 동치 \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{X}) = \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}', \mathcal{X})\] 가 있다.

증명

생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)와 \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 사상이라 하자. 이 경우 \(2\)-섬유곱의 스택화는 각 스택화들의 \(2\)-섬유곱이다.

증명

\(\mathcal{X}', \mathcal{Y}', \mathcal{Z}'\)으로 각 스택화를 나타내고, \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\)의 스택화를 \(\mathcal{W}\)로 나타내자. \(2\)-섬유곱의 구성에 의해 표준 \(1\)-사상 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)이 있다. 두 번째 \(2\)-섬유곱은 스택이므로(Lemma 026G를 보라), 스택화의 보편 성질(Lemma 0435를 보라)에 의해 이 \(1\)-사상은 \(1\)-사상 \(h : \mathcal{W} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)을 유도한다. 이제 \(h\)는 스택들의 사상이고, Lemmas 04WQ와 046N를 사용하여 이것이 동치임을 확인할 수 있다.

따라서 먼저 \(h\)가 \(\mathit{Mor}\)-층들의 동형사상을 유도함을 증명하자. \(\xi, \xi'\)를 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 위에 놓이는 \(\mathcal{W}\)의 대상이라 하자. 사상 \[h : \mathit{Mor}(\xi, \xi') \longrightarrow \mathit{Mor}(h(\xi), h(\xi'))\] 이 동형사상임을 보이고자 한다. 이를 위해 \(U\) 위에서 국소적으로 작업할 수 있다(Sites, Section 04TP를 보라). 그러므로 \(\mathcal{W}\)의 구성(Lemma 02ZN를 보라)에 의해 \(\xi, \xi'\)가 실제로 \(U\) 위의 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\)의 대상 \((x, z, \alpha)\)와 \((x', z', \alpha')\)에서 온다고 가정할 수 있다. 같은 보조정리를 다시 사용하면 이 경우 \(\mathit{Mor}(\xi, \xi')\)는 다음 준층의 층화이다. \[V/U \longmapsto \Mor_{\mathcal{X}_V}(x|_V, x'|_V) \times_{\Mor_{\mathcal{Y}_V}(f(x)|_V, f(x')|_V)} \Mor_{\mathcal{Z}_V}(z|_V, z'|_V)\] 그리고 \(\mathit{Mor}(h(\xi), h(\xi'))\)는 섬유곱

\[\mathit{Mor}(i(x), i(x')) \times_{\mathit{Mor}(j(f(x)), j(f(x'))} \mathit{Mor}(k(z), k(z'))\] 과 같다. 여기서 \(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\), \(j : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}'\), \(k : \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}'\)은 표준 함자이다. 층화는 정확하므로 (따라서 준층의 섬유곱의 층화는 각 층화의 섬유곱이므로) 이 문단에서 처음 표시한 사상은 동형사상이다.

마지막으로 \(U\) 위의 \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)의 모든 대상이 \(U\) 위에서 국소적으로 \(h\)의 본질적 상에 있음을 확인해야 한다. 그러한 대상을 삼중항 \((x', z', \alpha)\)로 쓰자. 그러면 \(x'\)은 국소적으로 \(\mathcal{X}\)의 대상에서 오고, \(z'\)은 국소적으로 \(\mathcal{Z}\)의 대상에서 온다. \(x'\), \(z'\)을 적절히 바꾸고 나면 \(\mathcal{Y}'_U\)의 사상 \(\alpha\)는 국소적으로 \(\mathcal{Y}\)의 사상에서 온다. 달리 말해, \(U\) 위의 \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)의 모든 대상이 \(U\) 위에서 국소적으로 사상 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\)의 본질적 상에 있음을 보였다. 따라서 더욱이 그것은 국소적으로 \(h\)의 본질적 상에 있다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{X}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주라 하자. 관성 섬유화 범주 \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\)의 스택화는 \(\mathcal{X}\)의 스택화의 관성이다.

증명

Lemma 04Y1에 의해 스택화가 \(2\)-섬유곱과 양립하고, \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 관성을 \(2\)-섬유곱으로 나타내는 공식이 있기 때문이다. Categories, Lemma 034H를 보라.

군체로 섬유화된 범주의 스택화

결과는 다음과 같다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위에서 군체로 섬유화된 범주라 하자. 군체 스택 \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C}\) 위에서 군체로 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\) (Categories, Definition 02XS를 보라)이 존재하여 다음을 만족한다.

1. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 임의의 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)에 대하여 \(G\)가 유도하는 사상 \[\mathit{Mor}(x, y) \longrightarrow \mathit{Mor}(G(x), G(y))\] 은 오른쪽을 왼쪽의 층화와 동일시한다.

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 임의의 \(x' \in \Ob(\mathcal{S}'_U)\)에 대하여 덮개 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)가 존재하여, 모든 \(i \in I\)에 대해 대상 \(x'|_{U_i}\)가 함자 \(G : \mathcal{S}_{U_i} \to \mathcal{S}'_{U_i}\)의 본질적 상에 속한다.

더욱이 이 조건들은 유일한 \(2\)-동형사상의 의미에서 군체 스택 \(\mathcal{S}'\)을 결정한다.

증명

Lemma 02ZN를 적용한다. Lemma 02ZJ를 적용하면 결과는 군체 스택이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위에서 군체로 섬유화된 범주라 하자. \(p' : \mathcal{S}' \to \mathcal{C}\)와 \(G : \mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)를 Lemma 02ZP에서 구성한 군체 스택과 \(1\)-사상이라 하자.

이 구성은 다음 보편 성질을 갖는다. 군체 스택 \(q : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\)와 \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 \(1\)-사상 \(F : \mathcal{S} \to \mathcal{X}\)가 주어지면, 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{S} \ar[rr]_F \ar[rd]_G & & \mathcal{X} \\ & \mathcal{S}' \ar[ru]_H }\] 가 \(2\)-가환이 되게 하는 \(1\)-사상 \(H : \mathcal{S}' \to \mathcal{X}\)가 존재한다.

증명

이는 Lemma 0435의 특수한 경우이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)와 \(g : \mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\)를 \(\mathcal{C}\) 위에서 군체로 섬유화된 범주들의 사상이라 하자. 이 경우 \(2\)-섬유곱의 스택화는 각 스택화들의 \(2\)-섬유곱이다.

증명

이는 Lemma 04Y1의 특수한 경우이다.

상속된 위상

사이트 위의 섬유화된 범주는 바탕 사이트로부터 표준 위상을 상속받는다는 것을 알 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. \(\text{Cov}(\mathcal{S})\)를 고정된 공역을 갖는 \(\mathcal{S}\)의 사상들의 족 \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\) 가운데 다음을 만족하는 것들의 집합이라 하자. (a) 각 \(x_i \to x\)는 강한 카르테시안 사상이고, (b) \(\{p(x_i) \to p(x)\}_{i \in I}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이다. 그러면 \((\mathcal{S}, \text{Cov}(\mathcal{S}))\)는 사이트이다.

증명

Sites, Definition 00VH의 세 조건을 확인해야 한다.

1. \(x \to y\)가 \(\mathcal{S}\)의 동형사상이면 Categories, Lemma 02XL에 의해 강한 카르테시안 사상이고, \(p(x) \to p(y)\)는 \(\mathcal{C}\)의 동형사상이다. 따라서 \(\{p(x) \to p(y)\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이고, \(\{x \to y\} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)이다.

2. \(\{x_i \to x\}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)이고 각 \(i\)에 대해 \(\{y_{ij} \to x_i\}_{j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)라고 하자. Categories, Lemma 02XL에 의해 각 합성 \(y_{ij} \to x\)는 강한 카르테시안 사상이고, \(\{p(y_{ij}) \to p(x)\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이다. 따라서 \(\{y_{ij} \to x\}_{i \in I, j\in J_i} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)이기도 하다.

3. \(\{x_i \to x\}_{i\in I}\in \text{Cov}(\mathcal{S})\)이고 \(y \to x\)가 \(\mathcal{S}\)의 사상이라고 하자. \(\{p(x_i) \to p(x)\}\)가 \(\mathcal{C}\)의 덮개이므로 \(p(x_i) \times_{p(x)} p(y)\)가 존재한다. 따라서 Categories, Lemma 06N5에 의해 \(x_i \times_x y\)가 존재하고, \(p(x_i \times_x y) = p(x_i) \times_{p(x)} p(y)\)이며, \(x_i \times_x y \to y\)는 강한 카르테시안 사상이다. 또한 \(\{p(x_i) \times_{p(x)} p(y) \to p(y) \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\)이므로 \(\{x_i \times_x y \to y \}_{i\in I} \in \text{Cov}(\mathcal{S})\)이다.

이로써 증명이 끝난다.

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)가 군체로 섬유화되어 있으면 \(\mathcal{S}\)의 모든 사상이 강한 카르테시안 사상이므로, Lemma 06NU의 사이트 \(\mathcal{S}\)의 덮개는 다음과 같이 특징지어진다. \[\{x_i \to x\} \in \text{Cov}(\mathcal{S}) \Leftrightarrow \{p(x_i) \to p(x)\} \in \text{Cov}(\mathcal{C})\]

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하자. Lemma 06NU의 \((\mathcal{S}, \text{Cov}(\mathcal{S}))\)를 \(\mathcal{C}\)로부터 \(\mathcal{S}\)에 상속된 사이트 구조라고 한다.

때로는 이를 \(\mathcal{S}\)에 \(\mathcal{C}\)로부터 상속된 위상이 주어졌다고 표현한다.

특히 이 상황에서는 층들의 토포스 \(\Sh(\mathcal{S})\)를 얻는다. 이 토포스는 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상에 대해 함자적임을 알 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. 그러면 \(F\)는 \(\mathcal{C}\)로부터 상속된 사이트 구조들 사이의 연속이고 쌍대연속인 함자이다. 따라서 \(F\)는 \(f_* = {}_sF = {}_pF\)와 \(f^{-1} = F^s = F^p\)를 만족하는 토포스의 사상 \(f : \Sh(\mathcal{X}) \to \Sh(\mathcal{Y})\)를 유도한다. 특히 \(\mathcal{Y}\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)와 \(\mathcal{X}\)의 대상 \(x\)에 대해 \(f^{-1}(\mathcal{G})(x) = \mathcal{G}(F(x))\)이다.

증명

먼저 \(F\)가 연속임을 증명하자. \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\)를 \(\mathcal{X}\)의 덮개라 하자. Categories, Definition 02XP에 의해 함자 \(F\)는 강한 카르테시안 사상을 강한 카르테시안 사상으로 보내므로, \(\{F(x_i) \to F(x)\}_{i \in I}\)는 \(\mathcal{Y}\)의 덮개이다. 이는 Sites, Definition 00WV의 (1)을 증명한다. 또한 \(x' \to x\)를 \(\mathcal{X}\)의 사상이라 하자. Categories, Lemma 06N5에 의해 섬유곱 \(x_i \times_x x'\)가 존재하고 \(x_i \times_x x' \to x'\)는 강한 카르테시안 사상이다. 따라서 \(F(x_i \times_x x') \to F(x')\)는 강한 카르테시안 사상이다. \(\mathcal{Y}\)에 Categories, Lemma 06N5를 적용하면 이는 \(F(x_i \times_x x') = F(x_i) \times_{F(x)} F(x')\)를 뜻한다. 이는 Sites, Definition 00WV의 (2)를 증명하므로 \(F\)는 연속이다.

다음으로 \(F\)가 쌍대연속임을 증명하자. \(x \in \Ob(\mathcal{X})\)이고 \(\{y_i \to F(x)\}_{i \in I}\)가 \(\mathcal{Y}\)의 덮개라고 하자. \(\mathcal{C}\)의 대응하는 덮개를 \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\)로 나타내자. 각 \(i\)에 대해 \(U_i \to U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 강한 카르테시안 사상 \(x_i \to x\)를 선택하자. 그러면 \(F(x_i) \to F(x)\)와 \(y_i \to F(x)\)는 둘 다 \(U_i \to U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{Y}\)의 강한 카르테시안 사상이다.

따라서 \(F(x)\)로 가는 사상들과 양립하는 유일한 동형사상 \(F(x_i) \to y_i\)가 \(\mathcal{Y}_{U_i}\)에 존재한다. 그러므로 \(\{x_i \to x\}_{i \in I}\)는 \(\mathcal{X}\)의 덮개이고, \(\{F(x_i) \to F(x)\}_{i \in I}\)는 \(\{y_i \to F(x)\}_{i \in I}\)와 동형이다. 따라서 \(F\)는 쌍대연속이다. Sites, Definition 00XJ를 보라.

마지막 주장은 처음 두 주장으로부터 따른다. Sites, Lemmas 00XO, 00XK, 00XR를 보라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\)를 군체로 섬유화된 범주라 하자. \(x \in \Ob(\mathcal{X})\)가 \(U = p(x)\) 위에 놓인다고 하자. \(\mathcal{X}\)에 \(\mathcal{C}\)로부터 상속된 위상을 주면, 함자 \(p\)는 사이트의 동치 \(\mathcal{X}/x \to \mathcal{C}/U\)를 유도한다.

증명

여기서 \(\mathcal{C}/U\)는 사이트 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\)에서의 국소화이고 \(\mathcal{X}/x\)도 마찬가지이다. Categories, Definition 003T에 의해 대응 \(x'/x \mapsto p(x')/p(x)\)는 범주의 동치 \(\mathcal{X}/x \to \mathcal{C}/U\)를 정의한다. 그러면 Definition 06NV에 의해 \(\mathcal{X}/x\)에서 \(x'\)의 덮개들은 \(\mathcal{C}/U\)에서 \(p(x')\)의 덮개들과 전단사로 대응한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\)와 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\)를 군체 스택이라 하자. \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(F\)가 \(\mathcal{X}\)를 \(\mathcal{Y}\) 위에서 군체로 섬유화된 범주로 만들면, \(\mathcal{X}\)는 \(\mathcal{Y}\) 위의 군체 스택이다(\(\mathcal{C}\)로부터 상속된 위상을 갖는다).

증명

대상에 대한 내림을 증명하자. \(\{y_i \to y\}\)를 \(\mathcal{Y}\)의 덮개라 하자. \((x_i, \varphi_{ij})\)를 이 덮개에 관한 \(\mathcal{X}\)의 내림 자료라 하자. 그러면 \((x_i, \varphi_{ij})\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{q(y_i) \to q(y)\}\)에 관한 내림 자료이기도 하다. \(\mathcal{X}\)가 군체 스택이므로, \(q(y)\) 위의 대상 \(x\)와 \(q(y_i)\) 위의 동형사상 \(\psi_i : x|_{q(y_i)} \to x_i\)를 얻는다. 이들은 \(\varphi_{ij}\)와 양립한다. 즉 \[\varphi_{ij} = \psi_j|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)} \circ \psi_i^{-1}|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)}.\] \(\mathcal{C}/p(x)\) 위의 층 \(\mathit{I} = \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(F(x), y)\)를 생각하자.

\(F(x_i) = y_i\)이므로 \(s_i = F(\psi_i) \in \mathit{I}(q(x_i))\)임에 유의하자. \(\{y_i \to y\}\) 위의 내림 자료로 시작했으므로 \(F(\varphi_{ij}) = \text{id}\)이고, 위 공식은 \(s_i|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)} = s_j|_{q(y_i) \times_{q(y)} q(y_j)}\)임을 보여 준다. 따라서 국소 절단 \(s_i\)들은 \(s : F(x) \to y\)로 붙는다. \(F\)가 군체로 섬유화되어 있으므로 \(x\)는 \(F(x') = y\)를 만족하는 어떤 대상 \(x'\)과 동형이다. \(y\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 섬유 범주에서 \(x'\)이 내림 자료 \((x_i, \varphi_{ij})\)가 제기하는 내림 문제의 해라는 확인은 생략한다. \(\mathcal{X}/\mathcal{Y}\)의 \(\mathit{Isom}\)-준층의 층 성질에 대한 증명도 생략한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\)를 스택이라 하자. \(\mathcal{X}\)에 \(\mathcal{C}\)로부터 상속된 위상을 주고 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\)를 스택이라 하자. 그러면 \(\mathcal{Y}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다. \(p\)와 \(q\)가 군체 스택을 정의하면 \(\mathcal{Y}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이다.

증명

\(\mathcal{Y}\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 스택임을 증명하기 위해 Definition 026F의 세 조건을 확인한다. Categories, Lemma 09WV에 의해 \(\mathcal{Y}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주이다. 따라서 조건 (1)이 성립한다.

\(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하고, \(y_1, y_2\)를 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{Y}\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{X}\)에서 \(x_i = q(y_i)\)로 나타내자. \(\mathcal{C}/U\) 위의 준층들의 사상 \[q : \mathit{Mor}_{\mathcal{Y}/\mathcal{C}}(y_1, y_2) \longrightarrow \mathit{Mor}_{\mathcal{X}/\mathcal{C}}(x_1, x_2)\] 을 생각하자. Lemma 042V를 보라. \(\{U_i \to U\}\)를 덮개라 하고 \(\varphi_i\)를 왼쪽 준층의 \(U_i\) 위의 절단이라 하자. \(\varphi_i\)와 \(\varphi_j\)가 \(U_i \times_U U_j\) 위에서 같은 절단으로 제한된다고 하자. \(\varphi_i\)로 제한되는 사상 \(\varphi : y_1 \to y_2\)를 찾아야 한다. 두 번째 준층은 가정에 의해 층이므로, \(U\) 위의 어떤 사상 \(\psi : x_1 \to x_2\)에 대해 \(q(\varphi_i) = \psi|_{U_i}\)임에 유의하자. \(y_{12} \to y_2\)를 \(\psi\) 위에 놓이는 \(\mathcal{Y}\)의 강한 \(\mathcal{X}\)-카르테시안 사상이라 하자. 그러면 \(\varphi_i\)는 \(x_1|_{U_i}\) 위의 사상 \(\varphi'_i : y_1|_{U_i} \to y_{12}|_{U_i}\)에 대응한다. 달리 말해, \(\varphi'_i\)들은 준층 \[\mathit{Mor}_{\mathcal{Y}/\mathcal{X}}(y_1, y_{12})\] 의 덮개 \(\{x_1|_{U_i} \to x_1\}\)의 원소들 위의 국소 절단을 정의한다. 가정에 의해 이들은 유일한 사상 \(y_1 \to y_{12}\)로 붙고, 이를 주어진 사상 \(y_{12} \to y_2\)와 합성하면 원하는 사상 \(y_1 \to y_2\)를 얻는다.

마지막으로 내림 자료가 유효함을 보이자. \(\{f_i : U_i \to U\}\)를 \(\mathcal{C}\)의 덮개라 하고 \((y_i, \varphi_{ij})\)를 이 덮개에 관한 내림 자료라 하자(Definition 026B). \(x_i = q(y_i)\)와 \(\psi_{ij} = q(\varphi_{ij})\)로 두면 \(\mathcal{X}\)의 덮개에 대한 내림 자료 \((x_i, \psi_{ij})\)를 얻는다. \(\mathcal{X}\)에 대한 가정에 의해 \(x_i = x|_{U_i}\)이고 \(\psi_{ij}\)가 표준 내림 자료와 같다고 가정할 수 있다(Definition 026E). 이 경우 \(\{x|_{U_i} \to x\}\)는 덮개이고, \((y_i, \varphi_{ij})\)를 이 덮개에 관한 내림 자료로 볼 수 있다.

\(\mathcal{Y}\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이라는 가정에 의해 이것은 유효하며, 이로써 조건 (3)의 증명이 끝난다.

마지막 주장은 \(\mathcal{Y}\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이고 Categories, Lemma 09WW에 의해 군체로 섬유화되어 있으므로 따른다.

제르브

제르브는 특별한 종류의 군체 스택이다.

정의

사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 제르브란 \(\mathcal{C}\) 위의 범주 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)로서 다음을 만족하는 것을 말한다.

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이다(Definition 02ZI 참조).

2. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)에 대해 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재하여 \(\mathcal{S}_{U_i}\)는 공집합이 아니다.

3. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(x, y \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)에 대해 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재하여 \(\mathcal{S}_{U_i}\)에서 \(x|_{U_i} \cong y|_{U_i}\)이다.

달리 말해, 제르브는 임의의 두 대상이 국소적으로 동형이고 대상들이 국소적으로 존재하는 군체 스택이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{S}_1\), \(\mathcal{S}_2\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주라 하자. \(\mathcal{S}_1\)과 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 범주로서 동치라고 하자. 그러면 \(\mathcal{S}_1\)이 \(\mathcal{C}\) 위의 제르브일 필요충분조건은 \(\mathcal{S}_2\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 제르브인 것이다.

증명

\(\mathcal{S}_1\)이 \(\mathcal{C}\) 위의 제르브라고 가정하자. Lemma 042X에 의해 \(\mathcal{S}_2\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이다. \(F : \mathcal{S}_1 \to \mathcal{S}_2\), \(G : \mathcal{S}_2 \to \mathcal{S}_1\)을 \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 동치라 하자. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)가 주어지면 \((\mathcal{S}_1)_{U_i}\)가 공집합이 아니게 하는 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재한다. \(F\)를 적용하면 \((\mathcal{S}_2)_{U_i}\)도 공집합이 아님을 알 수 있다. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(x, y \in \Ob((\mathcal{S}_2)_U)\)가 주어지면 \((\mathcal{S}_1)_{U_i}\)에서 \(G(x)|_{U_i} \cong G(y)|_{U_i}\)이게 하는 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재한다. Categories, Lemma 003Z에 의해 이는 \((\mathcal{S}_2)_{U_i}\)에서 \(x|_{U_i} \cong y|_{U_i}\)임을 뜻한다.

제르브의 정의를 조금 일반화하고자 한다. 즉, 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(1\)-사상 \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)가 주어졌다고 하자. \(\mathcal{X}\)가 \(\mathcal{Y}\) 위의 제르브라는 말의 뜻을 정하고자 한다. Section 06NT에 의해 범주 \(\mathcal{Y}\)는 \(\mathcal{C}\)로부터 사이트의 구조를 상속받는다. 순진한 추측은 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)가 위 의미의 제르브라고 요구하는 것이다. 다만 이렇게 얻은 개념은 \(\mathcal{X}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 동치인 군체 스택으로 바꾸어도 불변이지 않으며, \(\mathcal{Y}\) 위에서 군체로 섬유화된다는 성질조차 그러하다. 그러나 \(\mathcal{X}\)를 \(\mathcal{C}\) 위에서 동치이면서 \(\mathcal{Y}\) 위에서 군체로 섬유화된 군체 스택으로 바꿀 수 있고, 그 뒤에는 \(\mathcal{Y}\) 위의 제르브라는 성질이 이 선택에 무관함이 드러난다. 정확한 정식화는 다음과 같다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{C}\)와 \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{C}\)를 군체 스택이라 하자. \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. 다음은 서로 동치이다.

1. \(F = F' \circ a\)인 어떤 (동치로, 임의의) 분해에서 \(a : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 동치이고 \(F'\)가 군체로 섬유화되어 있을 때, 사상 \(F' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\)는 제르브이다(여기서 \(\mathcal{Y}\)의 위상은 \(\mathcal{C}\)로부터 상속된다).

2. 다음 두 조건이 성립한다.

   1. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 위에 놓이는 \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\)에 대해 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(U_i\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 대상 \(x_i\)들이 존재하여 \(\mathcal{Y}_{U_i}\)에서 \(F(x_i) \cong y|_{U_i}\)이다.

   2. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\), \(x, x' \in \Ob(\mathcal{X}_U)\) 및 \(\mathcal{Y}_U\)의 사상 \(b : F(x) \to F(x')\)에 대해 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(\mathcal{X}_{U_i}\)의 사상 \(a_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\)가 존재하여 \(F(a_i) = b|_{U_i}\)이다.

증명

Categories, Lemma 06N7에 의해 \(a : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 동치이고 \(F'\)가 군체로 섬유화된 분해 \(F = F' \circ a\)가 존재한다. Categories, Lemma 06N8에 의해 그러한 두 분해 \(F = F' \circ a = F'' \circ b\)가 주어지면 \(\mathcal{X}'\)과 \(\mathcal{X}''\)은 \(\mathcal{Y}\) 위의 범주로서 동치이다. 따라서 Lemma 06P0는 조건 (1)이 분해의 선택에 무관함을 보장한다. 더욱이 이는 Categories, Lemma 06N7의 증명에서처럼 \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_{F, \mathcal{Y}, \text{id}} \mathcal{Y}\) 라고 가정해도 됨을 뜻한다.

(a)와 (b)가 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\)가 제르브임을 함의함을 증명하자. 먼저 Lemma 06NX에 의해 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}\)는 군체 스택이다. 다음으로 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\) 위에 놓이는 \(\mathcal{Y}\)의 대상 \(y\)를 택하자. (a)에 의해 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\), \(U_i\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}\)의 대상 \(x_i\), 그리고 \(\mathcal{Y}_{U_i}\)의 동형사상 \(f_i : F(x_i) \to y|_{U_i}\)를 찾을 수 있다. 그러면 \((U_i, x_i, y|_{U_i}, f_i)\)는 \(\mathcal{X}'_{U_i}\)의 대상이므로 Definition 06NZ의 두 번째 조건이 성립한다. 마지막으로 \((U, x, y, f)\)와 \((U, x', y, f')\)를 같은 대상 \(y \in \Ob(\mathcal{Y})\) 위에 놓이는 \(\mathcal{X}'\)의 대상이라 하자. \(b = (f')^{-1} \circ f\)로 두자. 조건 (b)에 의해 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(\mathcal{X}_{U_i}\)의 동형사상 \(a_i : x|_{U_i} \to x'|_{U_i}\)를 찾아 \(F(a_i) = b|_{U_i}\)가 되게 할 수 있다. 그러면 \[(a_i, \text{id}) : (U, x, y, f)|_{U_i} \to (U, x', y, f')|_{U_i}\] 는 원하는 대로 \(\mathcal{X}'_{U_i}\)의 사상이다. 이로써 (2)가 (1)을 함의함을 증명했다.

(1)이 (2)를 함의함을 증명하려면 앞 문단의 논증을 역으로 읽으면 된다. 세부사항은 생략한다.

정의

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(\mathcal{X}\)와 \(\mathcal{Y}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이라 하자. \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. Lemma 06P1의 동치 조건들이 성립하면 \(\mathcal{X}\)를 \(\mathcal{Y}\) 위의 제르브라고 한다.

이 정의는 Definition 06NZ와 충돌하지 않는다. 실제로 \(\mathcal{Y} = \mathcal{C}\)인 경우 Lemma 06P1의 (1)에서 \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}\)로 둘 수 있다. Lemma 06P1의 조건 (2)(a), (2)(b)는 Definition 06NZ의 조건 (2), (3)과 취지가 매우 비슷하다. 즉, (2)(a)는 대상들의 동형류의 준층 사이의 사상이 층화 후 전사가 됨을 말한다. 또한 (2)(b)는 임의의 \(U\)와 \(x, x' \in \Ob(\mathcal{X}_U)\)에 대해 \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x') \longrightarrow \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(F(x), F(x'))\] 가 \(\mathcal{C}/U\) 위의 층들의 전사임을 말한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_{G'} \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^G & \mathcal{Y} }\] 를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-섬유곱이라 하자. \(\mathcal{X}\)가 \(\mathcal{Y}\) 위의 제르브이면 \(\mathcal{X}'\)은 \(\mathcal{Y}'\) 위의 제르브이다.

증명

\(2\)-섬유곱의 유일성에 의해 Categories, Lemma 0040에서처럼 \(\mathcal{X}' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)라고 가정할 수 있다. \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\)에 대해 Lemma 06P1의 성질 (2)(a), (2)(b)를 증명하자.

\(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{Y}'\)의 대상 \(y'\)을 택하자. 가정에 의해 \(U\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(x_i \in \mathcal{X}_{U_i}\)가 존재하며, 동형사상 \(\alpha_i : G(y')|_{U_i} \to F(x_i)\)가 있다. 그러면 \((U_i, y'|_{U_i}, x_i, \alpha_i)\)는 \(U_i\) 위의 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)의 대상으로서 \(\mathcal{Y}'\)에서의 상은 \(y'|_{U_i}\)이다. 따라서 (2)(a)가 성립한다.

\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고, \(x'_1, x'_2\)를 \(U\) 위의 \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)의 대상이라 하며, \(b' : F'(x'_1) \to F'(x'_2)\)를 \(\mathcal{Y}'_U\)의 사상이라 하자. \(x'_i = (U, y'_i, x_i, \alpha_i)\)로 쓰자.

\(F'(x'_i) = x_i\)이고 \(G'(x'_i) = y'_i\)임에 유의하자. 가정에 의해 \(\mathcal{C}\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(\mathcal{X}_{U_i}\)의 사상 \(a_i : x_1|_{U_i} \to x_2|_{U_i}\)가 존재하여 \(F(a_i) = G(b')|_{U_i}\)이다. 그러면 \((b'|_{U_i}, a_i)\)는 (2)(b)에서 요구한 사상 \(x'_1|_{U_i} \to x'_2|_{U_i}\)이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(F : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)와 \(G : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(1\)-사상이라 하자. \(\mathcal{X}\)가 \(\mathcal{Y}\) 위의 제르브이고 \(\mathcal{Y}\)가 \(\mathcal{Z}\) 위의 제르브이면 \(\mathcal{X}\)는 \(\mathcal{Z}\) 위의 제르브이다.

증명

\(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\)에 대해 Lemma 06P1의 성질 (2)(a), (2)(b)를 증명하자.

\(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{Z}\)의 대상 \(z\)를 택하자. \(G\)에 대한 가정에 의해 \(U\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(y_i \in \mathcal{Y}_{U_i}\)가 존재하여 \(G(y_i) \cong z|_{U_i}\)이다. \(F\)에 대한 가정에 의해 덮개 \(\{U_{ij} \to U_i\}\)와 \(x_{ij} \in \mathcal{X}_{U_{ij}}\)가 존재하여 \(F(x_{ij}) \cong y_i|_{U_{ij}}\)이다. 그러면 \(\{U_{ij} \to U\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이고 \((G \circ F)(x_{ij}) \cong z|_{U_{ij}}\)이다. 따라서 (2)(a)가 성립한다.

\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고, \(x_1, x_2\)를 \(U\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 대상이라 하며, \(c : (G \circ F)(x_1) \to (G \circ F)(x_2)\)를 \(\mathcal{Z}_U\)의 사상이라 하자. \(G\)에 대한 가정에 의해 \(U\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(\mathcal{Y}_{U_i}\)의 사상 \(b_i : F(x_1)|_{U_i} \to F(x_2)|_{U_i}\)가 존재하여 \(G(b_i) = c|_{U_i}\)이다. \(F\)에 대한 가정에 의해 덮개 \(\{U_{ij} \to U_i\}\)와 \(\mathcal{X}_{U_{ij}}\)의 사상 \(a_{ij} : x_1|_{U_{ij}} \to x_2|_{U_{ij}}\)가 존재하여 \(F(a_{ij}) = b_i|_{U_{ij}}\)이다. 그러면 \(\{U_{ij} \to U\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이고 \((G \circ F)(a_{ij}) = c|_{U_{ij}}\)이므로 (2)(b)가 성립한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r]_{G'} \ar[d]_{F'} & \mathcal{X} \ar[d]^F \\ \mathcal{Y}' \ar[r]^G & \mathcal{Y} }\] 를 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택들의 \(2\)-카르테시안 도표라 하자. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(x \in \Ob(\mathcal{Y}_U)\)에 대해 덮개 \(\{U_i \to U\}\)가 존재하여 \(x|_{U_i}\)가 \(G : \mathcal{Y}'_{U_i} \to \mathcal{Y}_{U_i}\)의 본질적 상에 속하고, \(\mathcal{X}'\)이 \(\mathcal{Y}'\) 위의 제르브이면 \(\mathcal{X}\)는 \(\mathcal{Y}\) 위의 제르브이다.

증명

\(2\)-섬유곱의 유일성에 의해 Categories, Lemma 0040에서처럼 \(\mathcal{X}' = \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)라고 가정할 수 있다. \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)에 대해 Lemma 06P1의 성질 (2)(a), (2)(b)를 증명하자.

\(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{Y}\)의 대상 \(y\)를 택하자. 가정에 의해 \(U\)의 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(y'_i \in \mathcal{Y}'_{U_i}\)가 존재하여 \(G(y'_i) \cong y|_{U_i}\)이다. \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\)에 대한 (2)(a)에 의해 덮개 \(\{U_{ij} \to U_i\}\)와 \(U_{ij}\) 위의 \(\mathcal{X}'\)의 대상 \(x'_{ij}\)가 존재한다.

\(F'(x'_{ij})\)는 \(y'_i\)의 \(U_{ij}\)로의 제한과 동형이다. 그러면 \(\{U_{ij} \to U\}\)는 \(\mathcal{C}\)의 덮개이고 \(G'(x'_{ij})\)들은 \(U_{ij}\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 대상으로서 \(\mathcal{Y}\)에서의 상은 \(y|_{U_{ij}}\)의 제한과 동형이다. 이로써 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)에 대해 (2)(a)가 성립한다.

\(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하고, \(x_1, x_2\)를 \(U\) 위의 \(\mathcal{X}\)의 대상이라 하며, \(b : F(x_1) \to F(x_2)\)를 \(\mathcal{Y}_U\)의 사상이라 하자. 가정에 의해 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(U_i\) 위의 \(\mathcal{Y}'\)의 대상 \(y'_i\)들을 택하여 동형사상 \(\alpha_i : G(y'_i) \to F(x_1)|_{U_i}\)가 존재하게 할 수 있다. 그러면 \(U_i\) 위의 \(\mathcal{X}'\)의 대상 \[x'_{1i} = (U_i, y'_i, x_1|_{U_i}, \alpha_i) \quad\text{and}\quad x'_{2i} = (U_i, y'_i, x_2|_{U_i}, b|_{U_i} \circ \alpha_i)\] 를 얻는다. \(y'_i\) 위의 항등사상은 사상 \(F'(x'_{1i}) \to F'(x'_{2i})\)이다. \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\)에 대한 (2)(b)에 의해 덮개 \(\{U_{ij} \to U_i\}\)와 사상 \(a'_{ij} : x'_{1i}|_{U_{ij}} \to x'_{2i}|_{U_{ij}}\)가 존재하여 \(F'(a'_{ij}) = \text{id}_{y'_i}|_{U_{ij}}\)이다. \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\)에서 사상의 정의를 풀어 쓰면 \(G'(a'_{ij}) : x_1|_{U_{ij}} \to x_2|_{U_{ij}}\)가 찾던 사상임을 알 수 있다. 즉, \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\)에 대해 (2)(b)가 성립한다.

자기동형사상 층들이 모두 아벨인 제르브는 대수기하학에서 중요한 역할을 한다.

보조정리

\(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 사이트 \(\mathcal{C}\) 위의 제르브라 하자. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)에 대해 \(\mathcal{C}/U\) 위의 군의 층 \(\mathit{Aut}(x) = \mathit{Isom}(x, x)\)가 아벨이라고 가정하자. 그러면 다음이 존재한다.

1. \(\mathcal{C}\) 위의 아벨 군의 층 \(\mathcal{G}\),

2. 모든 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)와 모든 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)에 대한 동형사상 \(\mathcal{G}|_U \to \mathit{Aut}(x)\).

이들은 모든 \(U\)와 \(\mathcal{S}_U\)의 모든 사상 \(\varphi : x \to y\)에 대해 도표 \[\xymatrix{ \mathcal{G}|_U \ar[d] \ar@{=}[rr] & & \mathcal{G}|_U \ar[d] \\ \mathit{Aut}(x) \ar[rr]^{\alpha \mapsto \varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1}} & & \mathit{Aut}(y) }\] 가 가환하도록 한다.

증명

\(x, y\)를 \(U = p(x) = p(y)\)를 만족하는 \(\mathcal{S}\)의 두 대상이라 하자.

\(U\) 위의 사상 \(\varphi : x \to y\)가 존재하면 그것은 동형사상이고, \(\alpha\)를 \(\varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1}\)로 보내는 동형사상 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\)를 얻는다. 더욱이 \(\mathit{Aut}(x)\)가 가환이라고 가정했으므로 간단한 계산에 의해 이 동형사상은 \(\varphi\)의 선택에 무관하다. 실제로 \(\psi\)가 두 번째 그러한 사상이면 \[\varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \psi^{-1} \circ \varphi \circ \alpha \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \alpha \circ \psi^{-1} \circ \varphi \circ \varphi^{-1} = \psi \circ \alpha \circ \psi^{-1}\] 따라서 층들의 표준 동형사상 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\)를 얻는다. 또한 세 번째 대상 \(z\)와 사상 \(y \to z\)가 존재한다면(따라서 사상 \(x \to z\)도 존재한다), 표준 동형사상 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\), \(\mathit{Aut}(y) \to \mathit{Aut}(z)\), \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(z)\)은 다음 도표가 가환한다는 의미에서 양립한다. \[\xymatrix{ \mathit{Aut}(x) \ar[rd] \ar[rr] & & \mathit{Aut}(z) \\ & \mathit{Aut}(y) \ar[ru] }\]

\(U\) 위에서 \(x\)로부터 \(y\)로 가는 사상이 없다면, 사상 \(x|_{U_i} \to y|_{U_i}\)가 존재하게 하는 덮개 \(\{U_i \to U\}\)를 택할 수 있다. 이로부터 표준 동형사상 \[\mathit{Aut}(x)|_{U_i} \longrightarrow \mathit{Aut}(y)|_{U_i}\] 을 얻으며, 표준성에 의해 이들은 \(U_i \times_U U_j\) 위에서 일치한다. 층의 붙이기(Sites, Lemma 04TQ)에 의해 각 \(U_i\)로의 제한이 앞 문단의 표준 동형사상인 유일한 동형사상 \(\mathit{Aut}(x) \to \mathit{Aut}(y)\)를 얻는다. 위와 마찬가지로 이 표준 동형사상들은 \(U\) 위의 세 번째 대상이 있을 때 양립 조건을 만족한다.

\(U\) 위의 \(\mathcal{S}\)의 섬유 범주가 공집합이면 어떻게 되는가? 이 경우 덮개 \(\{U_i \to U\}\)와 \(U_i\) 위의 \(\mathcal{S}\)의 대상 \(x_i\)들을 찾을 수 있다. 이제 \(\mathcal{G}_i = \mathit{Aut}(x_i)\)로 둔다. 위에서 표준 동형사상 \[\varphi_{ij} : \mathcal{G}_i|_{U_i \times_U U_j} \longrightarrow \mathcal{G}_j|_{U_i \times_U U_j}\] 을 얻었고, 이들의 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\)로의 제한은 Sites, Section 04TP에서 설명한 코사이클 조건을 만족한다. Sites, Lemma 04TR에 의해 \(U\) 위의 층 \(\mathcal{G}\)를 얻으며, 이것의 \(U_i\)로의 제한은 붙이기 사상 \(\varphi_{ij}\)와 양립하는 방식으로 \(\mathcal{G}_i\)를 준다.

\(\mathcal{C}\)가 종대상 \(U\)를 가지면 방금 구성한 층을 \(\mathcal{G}\)로 택할 수 있으므로 이것으로 증명이 끝난다. 일반적인 경우에는 변하는 \(U\) 위에서 구성한 층 \(\mathcal{G}\)들이 표준적인 방식으로 양립함을 확인해야 한다. 이는 생략한다.

스택의 함자성

이 절에서는 스택의 기저 사이트를 바꾸고자 할 때 무슨 일이 생기는지 연구한다. 처음 읽을 때에는 이 절을 건너뛰어도 된다.

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 범주 사이의 함자라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 범주라 하자. 이 상황에서 다음과 같이 정의되는 \(\mathcal{C}\) 위의 범주를 \(u^p\mathcal{S}\)로 나타낸다.

1. \(u^p\mathcal{S}\)의 대상은 \(\mathcal{C}\)의 대상 \(U\)와 \(\mathcal{S}_{u(U)}\)의 대상 \(y\)로 이루어진 쌍 \((U, y)\)이다.

2. 사상 \((a, \beta) : (U, y) \to (U', y')\)는 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(a : U \to U'\)와 \(\mathcal{S}\)의 사상 \(\beta : y \to y'\)로 주어지며, \(p(\beta) = u(a)\)를 만족한다.

이 정의들에 따라 \(U\) 위의 \(u^p\mathcal{S}\)의 섬유 범주는 \(u(U)\) 위의 \(\mathcal{S}\)의 섬유 범주와 같다.

보조정리

위 상황에서 \(\mathcal{S}\)가 \(\mathcal{D}\) 위의 섬유화된 범주이면 \(u^p\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주이다.

증명

이 증명을 읽기 전에 Categories, Definitions 02XK 및 02XM 주변의 논의를 살펴보라. \((a, \beta) : (U, y) \to (U', y')\)를 \(u^p\mathcal{S}\)의 사상이라 하자. \((a, \beta)\)가 강한 카르테시안일 필요충분조건은 \(\beta\)가 강한 카르테시안이라고 주장한다. 먼저 \(\beta\)가 강한 카르테시안이라고 가정하자. \(u^p\mathcal{S}\)의 또 다른 임의의 사상 \((a_1, \beta_1) : (U_1, y_1) \to (U', y')\)를 생각하자. 그러면 \[\begin{align*} & \Mor_{u^p\mathcal{S}}((U_1, y_1), (U, y)) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U))} \Mor_\mathcal{S}(y_1, y) \\ & = \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U))} \Mor_\mathcal{S}(y_1, y') \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U'))} \Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U)) \\ & = \Mor_\mathcal{S}(y_1, y') \times_{\Mor_\mathcal{D}(u(U_1), u(U'))} \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \\ & = \Mor_{u^p\mathcal{S}}((U_1, y_1), (U', y')) \times_{\Mor_\mathcal{C}(U_1, U')} \Mor_\mathcal{C}(U_1, U) \end{align*}\] 이고, 두 번째 등식은 \(\beta\)가 강한 카르테시안이기 때문에 성립한다. 따라서 \((a, \beta)\)가 실제로 강한 카르테시안임을 알 수 있다. 반대로 \((a, \beta)\)가 강한 카르테시안이라고 하자. \(p(\beta') = u(a)\)인 \(\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상 \(\beta' : y'' \to y'\)을 택하자.

그러면 \((a, \beta) : (U, y) \to (U, y')\)와 \((a, \beta') : (U, y'') \to (U, y)\)는 둘 다 강한 카르테시안이고 \(a\)를 올린다. 따라서 강한 카르테시안 사상의 유일성(Categories, Section 02XJ의 논의 참조)에 의해 \(\beta = \beta' \circ \iota\)를 만족하는 \(\mathcal{S}_{u(U)}\)의 동형사상 \(\iota : y \to y''\)이 존재한다. 따라서 Categories, Lemma 02XL에 의해 \(\beta\)는 \(\mathcal{S}\)에서 강한 카르테시안이다.

마지막으로 \((U', y')\)와 \(U \to U'\)가 주어졌을 때 이 사상을 올리는 \(u^p\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상 \((U, y) \to (U', y')\)를 찾을 수 있음을 보여야 한다. 즉 \(U \to U'\)를 올려야 한다. 가정에 의해 사상 \(u(U) \to u(U')\)를 올리는 강한 카르테시안 사상 \(y \to y'\)을 찾을 수 있으므로 위 논의에서 바로 따른다.

보조정리

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 사이트들의 연속 함자라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 스택이라 하자. 그러면 \(u^p\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이다.

증명

Lemma 04WB에서 \(u^p\mathcal{S}\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주임을 보았다. 또한 그 보조정리의 증명에서 \(u^p\mathcal{S}\)의 사상 \((a, \beta)\)가 강한 카르테시안일 필요충분조건은 \(\beta\)가 \(\mathcal{S}\)에서 강한 카르테시안이라는 것도 보았다. 따라서 \(\mathcal{C}\)의 사상 \(a : U \to U'\)가 주어졌을 때 등식

\((u^p\mathcal{S})_U = \mathcal{S}_U\)와 \((u^p\mathcal{S})_{U'} = \mathcal{S}_{U'}\)가 성립할 뿐 아니라, 이 등식들을 통한 당김 함자들도 일치한다. 공식으로는 \(a^*(U', y') = (U, u(a)^*y')\)이다.

이제 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}\)를 \(\mathcal{C}\)의 덮개라 하자. \(u\)가 연속이므로 \(\mathcal{V} = \{u(U_i) \to u(U)\}\)는 \(\mathcal{D}\)의 덮개이고, \(u(U_i \times_U U_j) = u(U_i) \times_{u(U)} u(U_j)\)이며 삼중 섬유곱 \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\)에 대해서도 마찬가지이다. 섬유 범주와 당김을 이와 같이 동일시했으므로

\(\mathcal{U}\)에 대한 내림 자료는 \(\mathcal{V}\)에 대한 내림 자료와 동일하다. 가정에 의해 \(\mathcal{S}\)에서 내림이 유효하므로 \(u^p\mathcal{S}\)에서도 마찬가지라고 결론내린다.

보조정리

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 사이트들의 연속 함자라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{D}\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 군체 스택이라 하자. 그러면 \(u^p\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{C}\) 위의 군체 스택이다.

증명

Lemma 04WC와 모든 섬유 범주가 군체라는 사실에서 바로 따른다.

정의

\(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)를 연속 함자 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)로 주어지는 사이트의 사상이라 하자. \(\mathcal{S}\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 섬유화된 범주라 하자. 이 상황에서 위에서 정의한 섬유화된 범주 \(u^p\mathcal{S}\)를 \(f_*\mathcal{S}\)로 쓴다. \(f_*\mathcal{S}\)를 \(f\)를 따른 \(\mathcal{S}\)의 직접상이라고 한다.

위 결과들에 의해 \(\mathcal{S}\)가 스택(각각 군체 스택)이면 \(f_*\mathcal{S}\)도 스택(각각 군체 스택)이다. 스택의 역상을 정의하기는 더 어렵다(우리의 특정한 구성에는 추가 가정이 필요하다. 더 일반적인 구성을 작성하여 제출해도 좋다). 이를 여러 단계로 수행한다.

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 범주 사이의 함자라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 범주라 하자. 이 상황에서 범주 \(u_{pp}\mathcal{S}\)를 다음과 같이 정의한다.

1. \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 대상은 삼중항 \((U, \phi : V \to u(U), x)\)이다. 여기서 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)이고, 사상 \(\phi : V \to u(U)\)는 \(\mathcal{D}\)의 사상이며, \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U)\)이다.

2. \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 사상 \[(U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U_2, \phi_2 : V_2 \to u(U_2), x_2)\] 은 \((a, b, \alpha)\)로 주어진다. 여기서 \(a : U_1 \to U_2\)는 \(\mathcal{C}\)의 사상이고, \(b : V_1 \to V_2\)는 \(\mathcal{D}\)의 사상이며,

   \(\alpha : x_1 \to x_2\)는 \(\mathcal{S}\)의 사상으로, \(p(\alpha) = a\)를 만족하고 도표 \[\xymatrix{ V_1 \ar[d]_{\phi_1} \ar[r]_b & V_2 \ar[d]^{\phi_2} \\ u(U_1) \ar[r]^{u(a)} & u(U_2) }\] 가 \(\mathcal{D}\)에서 가환한다.

\(u_{pp}\mathcal{S}\)를 \[p_{pp} : u_{pp}\mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{D}, \quad (U, \phi : V \to u(U), x) \longmapsto V.\] 을 통해 \(\mathcal{D}\) 위의 범주로 생각한다. \(\mathcal{D}\)의 대상 \(V\) 위의 \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 섬유 범주에는 간단한 기술이 없다.

보조정리

위 상황에서 다음을 가정하자.

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)는 섬유화된 범주이다.

2. \(\mathcal{C}\)는 공집합이 아닌 유한 극한을 가진다.

3. \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)는 공집합이 아닌 유한 극한과 교환한다.

다음 꼴의 사상들로 이루어진 집합 \(R \subset \text{Arrows}(u_{pp}\mathcal{S})\)을 생각하자. \[(a, \text{id}_V, \alpha) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 여기서 \(\alpha\)는 강한 카르테시안이다. 그러면 \(R\)은 오른쪽 곱셈계이다.

증명

Categories, Definition 04VC에 따라 RMS1, RMS2, RMS3을 확인해야 한다. 강한 카르테시안 사상들의 합성은 강한 카르테시안이므로 RMS1이 성립한다. Categories, Lemma 02XL를 보라.

RMS2를 확인하기 위해 \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 사상 \[(a, b, \alpha) : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 과, \(\gamma\)가 강한 카르테시안인 \(R\)의 사상 \[(c, \text{id}_V, \gamma) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 이 있다고 하자. 이 상황에서 \(U'_1 = U_1 \times_U U'\)로 두고, 사영들을 \(a' : U'_1 \to U'\) 및 \(c' : U'_1 \to U_1\)로 나타내자. \(u(U'_1) = u(U_1) \times_{u(U)} u(U')\)이므로 \(\phi'_1 = (\phi_1, \phi') : V_1 \to u(U'_1)\)는 \(\mathcal{D}\)의 사상이다. \(\gamma_1 : x_1' \to x_1\)을

\(p(\gamma_1) = \phi'_1\)인 \(\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상이라 하자(\(\mathcal{S}\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 섬유화된 범주이므로 존재한다). \(\gamma : x' \to x\)가 강한 카르테시안이므로 \(p(\alpha') = a'\)를 만족하는 유일한 사상 \(\alpha' : x'_1 \to x'\)이 존재한다. 이제

\[(a', b, \alpha') : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U'_1), x'_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U'), x')\] 은 사상이고,

\[(c', \text{id}_{V_1}, \gamma_1) : (U'_1, \phi'_1 : V_1 \to u(U'_1), x'_1) \longrightarrow (U_1, \phi : V_1 \to u(U_1), x_1)\] 은 \(R\)의 원소임을 알 수 있다.

이들은 RMS2가 제기하는 존재 문제의 해를 이룬다.

마지막으로 \[(a, b, \alpha), (a', b', \alpha') : (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 가 \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 두 사상이고, \[(c, \text{id}_V, \gamma) : (U, \phi : V \to u(U), x) \longrightarrow (U', \phi : V \to u(U'), x')\] 가 \((a, b, \alpha)\)와 \((a', b', \alpha')\)를 같게 만드는 \(R\)의 원소라고 하자. 특히 \(b = b'\)이다. \(d : U_2 \to U_1\)을 \(a, a'\)의 등화자라 하자. 이것은 존재한다 (Categories, Lemma 04AU 참조). 또한 \(u(d) : u(U_2) \to u(U_1)\)는 \(u(a), u(a')\)의 등화자이므로 \(b = b'\)에 의해 \(\phi_2 : V_1 \to u(U_2)\)인 사상이 존재하여

\(\phi_1 = u(d) \circ \phi_1\)이다. \(\delta : x_2 \to x_1\)을

\(p(\delta) = u(d)\)인 \(\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상이라 하자. 이제 \(\alpha \circ \delta = \alpha' \circ \delta\)라고 주장한다. 실제로 \(\gamma\)는 강한 카르테시안이고, \(\gamma \circ \alpha \circ \delta = \gamma \circ \alpha' \circ \delta\)이며 \(p(\alpha \circ \delta) = p(\alpha' \circ \delta)\)이므로 참이다. 따라서 화살 \[(d, \text{id}_{V_1}, \delta) : (U_2, \phi_2 : V_1 \to u(U_2), x_2) \longrightarrow (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1)\] 은 \(R\)의 원소이고 \((a, b, \alpha)\)와 \((a', b', \alpha')\)를 같게 만든다. 따라서 \(R\)은 RMS3도 만족한다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 04WF에서와 같이 하자. Categories, Section 04VB을 참고하여 \(u_p\mathcal{S} = R^{-1}u_{pp}\mathcal{S}\)로 두자. 그러면 \(u_p\mathcal{S}\)는 \(\mathcal{D}\) 위의 섬유화된 범주이다.

증명

Categories, Lemma 04VH 바로 앞에 주어진 \(u_p\mathcal{S}\)의 기술을 사용한다. 함자 \(p_{pp} : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{D}\)는 \(R\)의 모든 원소를 항등사상으로 보낸다. 따라서 Categories, Lemma 04VK에 의해 주어진 함자를 연장하는 표준 함자 \(p_p : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{D}\)를 얻는다. 이것이 \(u_p\mathcal{S}\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 범주로 보는 방식이다.

먼저 \(u_p\mathcal{S}\)의 \(\mathcal{D}\)-강한 카르테시안 사상들을 특징짓고자 한다. \(u_p\mathcal{S}\)의 사상 \(f : X \to Y\)는 \(r \in R\)인 쌍 \((f' : X' \to Y, r : X' \to X)\)의 동치류이다. 실제로 자명한 표기를 쓰면 \(u_p\mathcal{S}\)에서 \(f = (f', 1) \circ (r, 1)^{-1}\)이다. 동형사상은 언제나 강한 카르테시안이고 강한 카르테시안 사상들의 합성도 그러하다. Categories, Lemma 02XL를 보라. 따라서 \(f\)가 강한 카르테시안일 필요충분조건은 \((f', 1)\)이 그런 것이다. 그러므로 다음 주장이 강한 카르테시안 사상들을 완전히 특징짓는다. 주장: \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 사상 \[(a, b, \alpha) : X_1 = (U_1, \phi_1 : V_1 \to u(U_1), x_1) \longrightarrow (U_2, \phi_2 : V_2 \to u(U_2), x_2) = X_2\] 의 상 \(f = ((a, b, \alpha), 1)\)이 \(u_p\mathcal{S}\)에서 강한 카르테시안일 필요충분조건은 \(\alpha\)가 \(\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상인 것이다.

\(\alpha\)가 강한 카르테시안이라고 가정하자. \(X = (U, \phi : V \to u(U), x)\)를 또 다른 대상이라 하고, \(f_2 : X \to X_2\)를 어떤 \(b_1 : U \to U_1\)에 대해

\(p_p(f_2) = b \circ b_1\)을 만족하는 \(u_p\mathcal{S}\)의 사상이라 하자. \(f\)가 강한 카르테시안임을 보이려면 \(p_p(f_1) = b_1\)이고 \(u_p\mathcal{S}\)에서 \(f_2 = f \circ f_1\)인 유일한 사상 \(f_1 : X \to X_1\)이 \(u_p\mathcal{S}\)에 존재함을 보여야 한다. \(f_2 = (f'_2 : X' \to X_2, r : X' \to X)\)로 쓰자. 다시 \(u_p\mathcal{S}\)에서 \(f_2 = (f'_2, 1) \circ (r, 1)^{-1}\)로 쓸 수 있다. \((r, 1)\)은 \(\mathcal{D}\)에서의 상이 항등사상인 동형사상이므로, 필요한 성질을 가진 사상 \(f_1 : X \to X_1\)을 찾는 것은

\(p(f'_1) = b_1\)이고 \(f'_2 = f \circ f'_1\)인 \(u_p\mathcal{S}\)의 사상 \(f'_1 : X' \to X_1\)을 찾는 것과 같다. 따라서 \(f_2\)는 \(b_2 = b \circ b_1\)인 \(f_2 = ((a_2, b_2, \alpha_2), 1)\) 꼴이라고 가정해도 된다. 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ & & (U_1, V_1 \to u(U_1), x_1) \ar[d]^{(a, b, \alpha)} \\ (U, V \to u(U), x) \ar[rr]^{(a_2, b_2, \alpha_2)} & & (U_2, V_2 \to u(U_2), x_2) }\] 이제 사상 \(f_1\)을 구성하는 법은 명백하다. \(U' = U \times_{U_2} U_1\)로 두고 사영을 \(c : U' \to U\)와 \(a_1 : U' \to U_1\)로 나타내자. 사상 \(c\)를 올리는 강한 카르테시안 사상 \(\gamma : x' \to x\)를 택하자. \(b_2 = b \circ b_1\)이고 \(u(U') = u(U) \times_{u(U_2)} u(U_1)\)이므로 \(\phi' = (\phi, \phi_1 \circ b_1) : V \to u(U')\)이다. \(\alpha\)가 강한 카르테시안이고 \(a \circ a_1 = a_2 \circ c = p(\alpha_2 \circ \gamma)\)이므로, \(a_1\)을 올리고 \(\alpha \circ \alpha_1 = \alpha_2 \circ \gamma\)를 만족하는 사상 \(\alpha_1 : x' \to x_1\)이 존재한다. \(X' = (U', \phi' : V \to u(U'), x')\)로 두자. 그러면 \[f_1 = ((a_1, b_1, \alpha_1) : X' \to X_1, (c, \text{id}_V, \gamma) : X' \to X) : X \longrightarrow X_1\] 이 작동한다. 실제로 도표 \[\xymatrix{ (U', \phi' : V \to u(U'), x') \ar[d]_{(c, \text{id}_V, \gamma)} \ar[rr]_{(a_1, b_1, \alpha_1)} & & (U_1, V_1 \to u(U_1), x_1) \ar[d]^{(a, b, \alpha)} \\ (U, V \to u(U), x) \ar[rr]^{(a_2, b_2, \alpha_2)} & & (U_2, V_2 \to u(U_2), x_2) }\] 는 구성에 의해 가환한다. 이로써 존재성을 증명했다.

이어서 여전히 \(f = ((a, b, \alpha), 1)\)이고 \(f_2 = ((a_2, b_2, \alpha_2), 1)\)인 특수한 경우에 유일성을 증명한다. 독자에게 이 부분을 건너뛸 것을 강하게 권한다. \(g_1, g'_1 : X \to X_1\)을 \(p_p(g_1) = p_p(g'_1) = b_1\)이고 \(f_2 = f \circ g_1 = f \circ g'_1\)인 \(u_p\mathcal{S}\)의 두 사상이라 하자. 목표는 \(g_1 = g'_1\)임을 보이는 것이다. Categories, Lemma 04VI에 의해 \(g_1\)과 \(g'_1\)을 각각 \((f_1 : X' \to X_1, r : X' \to X)\)와 \((f'_1 : X' \to X_1, r : X' \to X)\)의 동치류로 나타낼 수 있다. 여기서 \(r \in R\)이다. Categories, Lemma 04VJ에 의해 \(f_2 = f \circ g_1 = f \circ g'_1\)은 \(r' \circ r \in R\)이고 \[(a, b, \alpha) \circ f_1 \circ r' = (a, b, \alpha) \circ f'_1 \circ r' = (a_2, b_2, \alpha_2) \circ r'\] 인 \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 사상 \(r' : X'' \to X'\)이 존재함을 뜻한다. 이 등식들은 \(u_{pp}\mathcal{S}\)에서 성립한다. 이제 \(g_1\)은 \((f_1 \circ r', r \circ r')\)로 나타나고 \(g'_1\)도 마찬가지이다. 따라서 \[(a, b, \alpha) \circ f_1 = (a, b, \alpha) \circ f'_1 = (a_2, b_2, \alpha_2).\] 라고 가정해도 된다. \(r = (c, \text{id}_V, \gamma) : (U', \phi' : V \to u(U'), x')\), \(f_1 = (a_1, b_1, \alpha_1)\), \(f'_1 = (a'_1, b_1, \alpha'_1)\)로 쓰자. 여기서는 조건 \(p_p(g_1) = p_p(g'_1)\)을 사용했다. 위 등식들은 이제 \(a \circ a_1 = a \circ a'_1 = a_2 \circ c\) 및 \(\alpha \circ \alpha_1 = \alpha \circ \alpha'_1 = \alpha_2 \circ \gamma\) 와 동치이다. 이 상황에서 반드시 \(a_1 = a'_1\)인 것은 아니다. 그러므로 \(R\)의 사상을 하나 더 앞에서 합성해야 한다. \(U'' = \text{Eq}(a_1, a'_1)\)을 \(a_1\)과 \(a'_1\)의 등화자라 하자. 이는 \(U'\)의 부분대상이다. 표준 단사사상을 \(c' : U'' \to U'\)로 나타내자. 위 사상들 사이의 관계에 의해 \(V \to u(U')\)는 \(u(U'') = u(\text{Eq}(a_1, a'_1)) = \text{Eq}(u(a_1), u(a'_1))\)로 간다. 따라서 새로운 대상 \((U'', \phi'' : V \to u(U''), x'')\)을 얻는다. 여기서

\(\gamma' : x'' \to x'\)은 \(\gamma\)를 올리는 강한 카르테시안 사상이다. 이제 \(f_1\)과 \(f'_1\) 앞에 \(R\)의 원소 \((c', \text{id}_V, \gamma')\)를 합성할 수 있다. 그렇게 하여 \((U', \phi' : V \to u(U'), x')\)를 \((U'', \phi'' : V \to u(U''), x'')\)로 바꾸면 앞의 상황으로 돌아오며, 이제 추가로 \(a_1 = a'_1\)이다. 이 경우 \(\alpha\)가 강한 카르테시안이라는 사실(!)에서 형식적으로 \(\alpha_1 = \alpha'_1\)이 따른다. 이로써 원하는 \(g_1 = g'_1\)을 얻는다.

\(u_p\mathcal{S}\)의 \(((a, b, \alpha), 1)\) 꼴인 임의의 강한 카르테시안 사상에 대해 \(\alpha\)가 \(\mathcal{S}\)에서 강한 카르테시안이라는 사실의 증명은 생략한다. 증명의 나머지에는 강한 카르테시안 사상의 이 특징짓기가 필요하지 않지만, 이 절의 뒤에서 사용하기는 한다.

\((U, \phi : V \to u(U), x)\)를 \(u_p\mathcal{S}\)의 대상이라 하고 \(b : V' \to V\)를 \(\mathcal{D}\)의 사상이라 하자. 그러면 앞 문단들의 결과에 의해 사상 \[(\text{id}_U, b, \text{id}_x) : (U, \phi \circ b : V' \to u(U), x) \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 은 강한 카르테시안이고, 이것으로 끝난다.

보조정리

표기와 가정은 Lemma 04WG에서와 같이 하자. \(\mathcal{S}\)가 군체로 섬유화되어 있으면 \(u_p\mathcal{S}\)도 군체로 섬유화되어 있다.

증명

Lemma 04WG에 의해 \(u_p\mathcal{S}\)가 섬유화된 범주임을 안다. \(f : X \to Y\)를 \(p_p(f) = \text{id}_V\)인 \(u_p\mathcal{S}\)의 사상이라 하자. \(f\)가 가역임을 보이면 끝난다. Categories, Lemma 003V를 보라. \(f\)를 \(r \in R\)인 쌍 \(((a, b, \alpha), r)\)의 동치류로 쓰자. 그러면 \(p_p(r) = \text{id}_V\)이고, 따라서 \(p_{pp}((a, b, \alpha)) = \text{id}_V\)이다. 그러므로 \(b = \text{id}_V\)이다. 그런데 \(\mathcal{S}\)의 모든 사상은 강한 카르테시안이다. Categories, Lemma 003V를 보라. 따라서 \((a, b, \alpha) \in R\)은 원하는 대로 \(u_p\mathcal{S}\)에서 가역이다.

보조정리

\(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 함자라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)와 \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\)를 각각 \(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{D}\) 위의 범주라 하자. 다음을 가정한다.

1. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)는 섬유화된 범주이다.

2. \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\)는 섬유화된 범주이다.

3. \(\mathcal{C}\)는 공집합이 아닌 유한 극한을 가진다.

4. \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)는 공집합이 아닌 유한 극한과 교환한다.

그러면 사상 범주들의 표준 동치 \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] 가 있다.

증명

이 증명에서 \(x/U\)는 \(\mathcal{C}\)의 \(U\) 위에 놓이는 \(\mathcal{S}\)의 대상 \(x\)를 나타낸다. 마찬가지로 \(y/V\)는 \(\mathcal{D}\)의 \(V\) 위에 놓이는 \(\mathcal{T}\)의 대상 \(y\)를 나타낸다. 같은 맥락에서 \(\alpha/a : x/U \to x'/U'\)는 \(\mathcal{C}\)에서의 상이 \(a : U \to U'\)인 사상 \(\alpha : x \to x'\)을 나타낸다.

\(G : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{T}\)를 \(\mathcal{D}\) 위의 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이라 하자.

\(G' : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{T}\)로 \(G\)와 표준 (국소화) 함자 \(u_{pp}\mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\)의 합성을 나타내자. 이제 대상에 대해서는 \[H(x/U) = (U, G'(U, \text{id}_{u(U)} : u(U) \to u(U), x))\] 로, 사상에 대해서는

\[H((\alpha, a) : x/U \to x'/U') = G'(a, u(a), \alpha)\] 로 주어지는 함자 \(H : \mathcal{S} \to u^p\mathcal{T}\)를 생각하자. \(G\)는 강한 카르테시안 사상을 강한 카르테시안 사상으로 보내므로, \(\alpha\)가 강한 카르테시안이면 \(H(\alpha)\)도 강한 카르테시안이다. 실제로 Lemma 04WG의 증명에서 이 경우 사상 \((a, u(a), \alpha)\)가 \(u_p\mathcal{S}\)에서 강한 카르테시안이 됨을 보았다. 이 구성은 명백히 \(G\)에 대해 함자적이므로 함자 \[A : \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T}) \longrightarrow \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T})\] 를 얻는다.

반대로 \(H : \mathcal{S} \to u^p\mathcal{T}\)를 섬유화된 범주들의 \(1\)-사상이라 하자. \(u^p\mathcal{T}\)의 대상은 \(y \in \Ob(\mathcal{T}_{u(U)})\)인 쌍 \((U, y)\)임을 상기하자.

\(\text{pr} : u^p\mathcal{T} \to \mathcal{T}\)로 함자 \((U, y) \mapsto y\)를 나타내자. 이 경우 다음 규칙들로 함자 \(G' : u_{pp}\mathcal{S} \to \mathcal{T}\)를 정의한다. 대상에 대해서는 \[G'(U, \phi : V \to u(U), x) = \phi^*\text{pr}(H(x))\] 로 두고, \[G'((a, b, \alpha) : (U, \phi : V \to u(U), x) \to (U', \phi' : V' \to u(U'), x')) = \beta\] 를 \(q(\beta) = b\)이고 도표 \[\xymatrix{ \phi^*\text{pr}(H(x)) \ar[d] \ar[r]_-{\beta} & (\phi')^*\text{pr}(H(x')) \ar[d] \\ \text{pr}(H(x)) \ar[r]^{\text{pr}(H(a, \alpha))} & \text{pr}(H(x')) }\] 가 가환하도록 하는 유일한 사상 \(\beta : \phi^*\text{pr}(H(x)) \to (\phi')^*\text{pr}(H(x'))\)로 둔다. \(\mathcal{T}\)가 섬유화된 범주이므로 그러한 사상은 존재하며 유일하다.

\(r \in R\)이면 \(G'(r)\)가 동형사상임을 확인하자. 즉, \(\alpha\)가 강한 카르테시안이고 \[(a, \text{id}_V, \alpha) : (U', \phi' : V \to u(U'), x') \longrightarrow (U, \phi : V \to u(U), x)\] 가 Lemma 04WF의 오른쪽 곱셈계 \(R\)의 원소이면 \(H(\alpha)\)는 강한 카르테시안이고 \(\text{pr}(H(\alpha))\)도 강한 카르테시안이다. Lemma 04WB의 증명을 보라. 따라서 이 경우 사상 \(\beta\)는 \(q(\beta) = \text{id}_V\)이고 강한 카르테시안이다. 따라서 Categories, Lemma 02XL에 의해 \(\beta\)는 동형사상이다. 그러므로 Categories, Lemma 04VK에 의해 표준 연장 \(G : u_p\mathcal{S} \to \mathcal{T}\)를 얻는다.

이어서 \(G\)가 강한 카르테시안 사상을 강한 카르테시안 사상으로 보냄을 증명하자.

\(f : X \to Y\)가 강한 카르테시안이라고 하자. \(u_p\mathcal{S}\)의 강한 카르테시안 사상의 특징짓기에 의해 \(f\)를

\(((a, b, \alpha) : X' \to Y, r : X' \to Y)\)로 쓸 수 있다. 여기서 \(r \in R\)이고 \(\alpha\)는 \(\mathcal{S}\)에서 강한 카르테시안이다. 위 논의에 의해

\(G'(a, b \alpha)\)가 강한 카르테시안임을 보이면 충분하다. 앞에서와 같이 \(\alpha\)가 강한 카르테시안이라는 조건은 \(\text{pr}(H(a, \alpha)) : \text{pr}(H(x)) \to \text{pr}(H(x'))\)가 \(\mathcal{T}\)에서 강한 카르테시안임을 뜻한다.

위 가환 정사각형의 모든 화살 중 \(\beta\)를 제외한 것들이 이제 강한 카르테시안이므로 \(\beta\)도 원하는 대로 강한 카르테시안이다. 구성 \(H \mapsto G\)는 명백히 \(H\)에 대해 함자적이므로 함자 \[B : \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) \longrightarrow \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] 를 얻는다. 보조정리의 증명을 끝내려면 함자 \(A\)와 \(B\)가 서로 준역임을 보여야 한다. 확인은 생략한다.

정의

\(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)를 Sites, Proposition 00X6의 가정과 결론을 만족하는 연속 함자 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)로 주어지는 사이트의 사상이라 하자. \(\mathcal{S}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이라 하자. 이 상황에서 위에서 구성한 \(\mathcal{D}\) 위의 섬유화된 범주 \(u_p\mathcal{S}\)의 스택화를 \(f^{-1}\mathcal{S}\)로 쓴다. \(f^{-1}\mathcal{S}\)를 \(f\)를 따른 \(\mathcal{S}\)의 역상이라고 한다.

물론 \(\mathcal{S}\)가 군체 스택이면 Lemmas 02ZP 및 04WH에 의해 \(f^{-1}\mathcal{S}\)도 군체 스택이다.

보조정리

\(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)를 Sites, Proposition 00X6의 가정과 결론을 만족하는 연속 함자 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)로 주어지는 사이트의 사상이라 하자. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)와 \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{D}\)를 스택이라 하자. 그러면 사상 범주들의 표준 동치 \[\Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, f_*\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, \mathcal{T})\] 가 있다.

증명

\(i = 1, 2\)에 대해 스택의 \(i\)-사상은 섬유화된 범주의 \(i\)-사상과 같다. Definition 02ZG를 보라. Lemma 04WI에 의해 이미 \[\Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, u^p\mathcal{T}) = \Mor_{\textit{Fib}/\mathcal{D}}(u_p\mathcal{S}, \mathcal{T})\] 이다. \(u^p\mathcal{T} = f_*\mathcal{T}\)이고 \(f^{-1}\mathcal{S}\)가 \(u_p\mathcal{S}\)의 스택화이므로 Lemma 04W9에서 결과가 따른다.

보조정리

\(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)를 Sites, Proposition 00X6의 가정과 결론을 만족하는 연속 함자 \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)로 주어지는 사이트의 사상이라 하자. \(\mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 섬유화된 범주라 하고, \(\mathcal{S} \to \mathcal{S}'\)을 \(\mathcal{S}\)의 스택화라 하자. 그러면 \(f^{-1}\mathcal{S}'\)은 \(u_p\mathcal{S}\)의 스택화이다.

증명

생략한다. 힌트: 이는 Sites, Lemma 00WY의 유사체이다.

다음 보조정리는 \(\Sch'_{fppf}\)가 \(\Sch_{fppf}\)를 포함할 때 \(\Sch_{fppf}\) 위의 스택들의 \(2\)-범주가 \(\Sch'_{fppf}\) 위의 스택들의 \(2\)-범주의 “충만 2-부분범주”임을 말해 준다. Topologies, Section 022I를 보라.

보조정리

\(\mathcal{C}\)와 \(\mathcal{D}\)를 사이트라 하자. \(u : \mathcal{C} \to \mathcal{D}\)를 Sites, Lemma 00XU의 가정을 만족하는 함자라 하자. \(f : \mathcal{D} \to \mathcal{C}\)를 대응하는 사이트의 사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.

1. 모든 스택 \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}\)에 대해 표준 함자 \(\mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\)는 스택들의 동치이다.

2. \(\mathcal{C}\) 위의 스택 \(\mathcal{S}, \mathcal{S}'\)이 주어지면 구성 \(f^{-1}\)은 사상 범주들의 동치 \[\Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, \mathcal{S}') \longrightarrow \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, f^{-1}\mathcal{S}')\] 를 유도한다.

증명

Lemma 04WK에 의해 범주들의 동치 \[\Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{D}}(f^{-1}\mathcal{S}, f^{-1}\mathcal{S}') = \Mor_{\textit{Stacks}/\mathcal{C}}(\mathcal{S}, f_*f^{-1}\mathcal{S}')\] 가 있음에 유의하자. 따라서 (2)는 (1)에서 따른다.

(1)을 증명하기 위해 Lemma 046N를 사용할 것이다. 이 보조정리에 따르면 \(can : \mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\)가 충만충실이고 \(f_*f^{-1}\mathcal{S}\)의 모든 대상이 국소적으로 본질적 상에 놓임을 보여야 한다.

Lemma 04WI의 증명을 참고하여 함자 \(can\)을 빠르게 기술하자. 이를 위해 \(c''(x/U) = (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x)\) 및 \(c''(\alpha/a) = (a, u(a), \alpha)\)로 정의되는 함자 \(c'' : \mathcal{S} \to u_{pp}\mathcal{S}\)를 도입한다. \(c' : \mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\)을 \(c''\)과 표준 함자 \(u_{pp}\mathcal{S} \to u_p\mathcal{S}\)의 합성으로 둔다. \(c : \mathcal{S} \to f^{-1}\mathcal{S}\)를 \(c'\)과 표준 함자 \(u_p\mathcal{S} \to f^{-1}\mathcal{S}\)의 합성으로 둔다. 그러면 \(can : \mathcal{S} \to f_*f^{-1}\mathcal{S}\)는 \(x/U\)에 쌍 \((U, c(x))\)를 대응시키고 \(\alpha/a\)에 사상 \((a, c(\alpha))\)를 대응시키는 함자이다.

충만충실성. 이를 증명하기 위해 Lemma 04WQ를 사용한다. \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. \(x, y \in \mathcal{S}_U\)라 하자. 먼저 \(u\)가 충만충실이므로 \(f_*\)의 정의에서 바로 \[\Mor_{(f_*f^{-1}\mathcal{S})_U}(can(x), can(y)) = \Mor_{(f^{-1}\mathcal{S})_{u(U)}}(c(x), c(y))\] 이다.

임의의 \(U'/U\)로 당긴 뒤에도 마찬가지이다. \(f^{-1}\mathcal{S}\)가 \(u_p\mathcal{S}\)의 스택화이고 \(u\)가 연속이며 쌍대연속이므로 준층 \[U'/U \longmapsto \Mor_{(f^{-1}\mathcal{S})_{u(U')}}(c(x|_{U'}), c(y|_{U'}))\] 은 준층 \[U'/U \longmapsto \Mor_{(u_p\mathcal{S})_{u(U')}}(c'(x|_{U'}), c'(y|_{U'}))\] 의 층화이다. 따라서 충만충실성의 증명을 끝내려면 임의의 \(U\)와 \(x, y\)에 대해 사상

\[\Mor_{\mathcal{S}_U}(x, y) \longrightarrow \Mor_{(u_p\mathcal{S})_U}(c'(x), c'(y))\] 이 전단사임을 보이면 충분하다. \(u(U)\) 위의 \(u_p\mathcal{S}\)의 사상 \(f : x \to y\)는 도표 \[\xymatrix{ (U', \phi : u(U) \to u(U'), x') \ar[d]_{(c, \text{id}_{u(U)}, \gamma)} \ar[r]_{(a, b, \alpha)} & (U, \text{id} : u(U) \to u(U), y) \\ (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x) }\] 의 동치류로 주어진다. 여기서 \(\gamma\)는 강한 카르테시안이고 \(b = \text{id}_{u(U)}\)이다. 그런데 \(u\)가 충만충실이므로 어떤 사상 \(c' : U \to U'\)에 대해 \(\phi = u(c')\)로 쓸 수 있고, 이때

\(a \circ c' = \text{id}_U\) 및 \(c \circ c' = \text{id}_{U'}\)임을 알 수 있다. \(\gamma\)가 강한 카르테시안이므로 \(c'\)을 올리고 \(\gamma \circ \gamma' = \text{id}_x\)를 만족하는 사상 \(\gamma' : x \to x'\)을 찾을 수 있다. \(u_p\mathcal{S}\)의 사상을 정의하는 동치류의 정의에 의해 \(u_{pp}\mathcal{S}\)의 사상 \[\xymatrix{ (U, \text{id} : u(U) \to u(U), x) \ar[rr]_{(\text{id}, \text{id}, \alpha \circ \gamma')} & & (U, \text{id} : u(U) \to u(U), y) }\] 은 \(u_p\mathcal{S}\)의 사상 \(f\)를 유도한다. 이로써 사상이 전사임을 증명했다. 단사임의 증명은 생략한다.

마지막으로 \(f_*f^{-1}\mathcal{S}\)의 임의의 대상이 국소적으로 \(\mathcal{S}\)의 대상에서 옴을 보여야 한다. 이는 구성에서 명백하다(세부사항은 생략한다).

스택과 국소화

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하자. \(U\)를 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. \(\mathcal{C}/U\) 위의 스택을 \(\mathcal{C}\) 위의 스택과 \(U\)로 향하는 사상을 합친 것으로 이해하고자 한다. 다음 보조정리는 준층 \(h_U\)가 층일 때 이렇게 하기가 더 쉬운 이유를 설명한다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(U \in \Ob(\mathcal{C})\)라 하자. 그러면 \(j_U : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\)가 \(\mathcal{C}\) 위의 스택일 필요충분조건은 \(h_U\)가 층인 것이다.

증명

Lemma 0432와 Categories, Example 0044를 결합하면 된다.

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고 \(U\)를 그 연관된 표현가능 준층이 층인 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자.

국소화 함자를 \(j : \mathcal{C}/U \to \mathcal{C}\)로 나타낸다.

구성 A. \(p : \mathcal{S} \to \mathcal{C}/U\)를 사이트 \(\mathcal{C}/U\) 위의 스택이라 하자. 스택 \(j_!p : j_!\mathcal{S} \to \mathcal{C}\)를 다음과 같이 정의한다.

1. 범주로서 \(j_!\mathcal{S} = \mathcal{S}\)이다.

2. 함자 \(j_!p : j_!\mathcal{S} \to \mathcal{C}\)는 단순히 합성 \(j \circ p\)이다.

이것이 스택이라는 확인은 생략한다(힌트: \(h_U\)가 층이라는 사실을 사용하여 \(U\)로 가는 사상들을 붙여라). 표준 함자 \[j_!\mathcal{S} \longrightarrow \mathcal{C}/U\] 가 있다. 즉, 함자 \(p\)이며 이는 \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 \(1\)-사상이다.

구성 B. \(q : \mathcal{T} \to \mathcal{C}\)를 \(\mathcal{C}\) 위의 스택이라 하고, \(\mathcal{C}\) 위의 스택들의 사상 \(p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\)가 주어졌다고 하자. 이 경우 \(p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\)는 자동으로 \(\mathcal{C}/U\) 위의 스택이다.

보조정리

\(\mathcal{C}\)를 사이트라 하고, \(U\)를 그 연관된 표현가능 준층이 층인 \(\mathcal{C}\)의 대상이라 하자. 위의 구성 A와 B는 \(2\)-범주 사이의 서로 역인(!) 함자 \[\left\{ \begin{matrix} 2\text{-category of}\\ \text{stacks over }\mathcal{C}/U \end{matrix} \right\} \leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 2\text{-category of pairs }(\mathcal{T}, p) \text{ consisting} \\ \text{of a stack }\mathcal{T}\text{ over }\mathcal{C}\text{ and a morphism} \\ p : \mathcal{T} \to \mathcal{C}/U\text{ of stacks over }\mathcal{C} \end{matrix} \right\}\] 를 정의한다.

증명

명백하다.