Morphismes de champs algébriques

Introduction

Dans ce chapitre, nous introduisons certains types de morphismes de champs algébriques. Une référence pour le cas des champs algébriques quasi-séparés à diagonale représentable est [LM-B].

Le but est d’étendre à des morphismes de champs algébriques la définition de chacun des types de morphismes d’espaces algébriques. Chaque cas présente de légères différences, et il semble préférable de les traiter séparément.

Pour les morphismes de champs algébriques représentables par des espaces algébriques, nous avons déjà défini un grand nombre de types de morphismes, voir Propriétés des champs, section 04XB. Dans chaque cas correspondant du présent chapitre, nous devons vérifier que la définition générale est compatible avec celle qui y a été donnée.

Conventions et abus de langage

Nous continuons d’employer les conventions et les abus de langage introduits dans Propriétés des champs, section 04XA.

Propriétés des diagonales

La diagonale d’un champ algébrique est étroitement liée aux faisceaux \(\mathit{Isom}\), voir Champs algébriques, Lemme 045G. Par la seconde propriété qui définit un champ algébrique, ces faisceaux \(\mathit{Isom}\) sont toujours des espaces algébriques.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(T\) un schéma et soient \(x,y\) des objets de la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\). Alors le morphisme \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x,y) \to T\) est localement de type fini.

Démonstration

Par Champs algébriques, Lemme 04T5, nous pouvons supposer que \(\mathcal{X}=[U/R]\) pour un groupoïde lisse en espaces algébriques. Par Descente sur les espaces, Lemme 041S, il suffit de vérifier la propriété localement pour la topologie fppf sur \(T\). Nous pouvons donc supposer que \(x,y\) proviennent de morphismes \(x',y':T\to U\). Par Groupoïdes en espaces, Lemme 044V, nous avons alors \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x,y)=T\times_{(y',x'),U\times_S U}R\). Il suffit donc de prouver que \(R\to U\times_S U\) est localement de type fini. Cela résulte du fait que le composé \(s:R\to U\times_S U\to U\) est lisse (donc localement de type fini, voir Morphismes d’espaces, Lemmes 04AJ et 0464) et Morphismes d’espaces, Lemme 0462.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(T\) un schéma et soient \(x,y\) des objets de la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\). Alors

1. \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(y,y)\) est un espace algébrique en groupes sur \(T\), et

2. \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x,y)\) est un pseudo-torseur sous \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(y,y)\) sur \(T\).

Démonstration

Voir Groupoïdes en espaces, Définitions 043H et 04TW. Le lemme résulte immédiatement du fait que \(\mathcal{X}\) est un champ en groupoïdes.

Soit \(f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. La diagonale de \(f\) est le morphisme \[\Delta_f : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] Voici deux propriétés que possède tout morphisme diagonal.

Lemme

Soit \(f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Alors

1. \(\Delta_f\) est représentable par des espaces algébriques, et

2. \(\Delta_f\) est localement de type fini.

Démonstration

Soit \(T\) un schéma et soit \(a:T\to\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcal{X}\) un morphisme. Par la définition du produit fibré et le lemme de \(2\)-Yoneda, le morphisme \(a\) est donné par un triplet \(a=(x,x',\alpha)\), où \(x,x'\) sont des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\) et \(\alpha:f(x)\to f(x')\) est un morphisme dans la catégorie fibre de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\). Par la définition d’un champ algébrique, les faisceaux \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x,x')\) et \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x),f(x'))\) sont des espaces algébriques sur \(T\). Dans ce langage, \(\alpha\) définit une section du morphisme \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x),f(x'))\to T\). Un point à valeurs dans \(T'\) de \(\mathcal{X}\times_{\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcal{X},a}T\), où \(T'\to T\) est un schéma au-dessus de \(T\), est la même chose qu’un isomorphisme \(x|_{T'}\to x'|_{T'}\) dont l’image par \(f\) est \(\alpha|_{T'}\). Nous voyons donc que [04XT]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, a} T \ar[d] \ar[r] & \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x') \ar[d] \\ T\ar[r]^-\alpha & \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x')) } } \end{equation}\] est un carré cartésien de faisceaux sur \(T\). En particulier, \(\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, a} T\) est un espace algébrique, ce qui démontre l’assertion (1) du lemme.

Pour démontrer la seconde assertion, nous devons montrer que la flèche verticale de gauche du Diagramme (04XT) est localement de type fini. Par le Lemme 04XR, l’espace algébrique \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x,x')\) est localement de type fini sur \(T\). La flèche verticale de droite du Diagramme (04XT) est donc localement de type fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0462. Nous concluons par Morphismes d’espaces, Lemme 03XH.

Lemme

Soit \(f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Alors

1. \(\Delta_f\) est représentable (par des schémas),

2. \(\Delta_f\) est localement de type fini,

3. \(\Delta_f\) est un monomorphisme,

4. \(\Delta_f\) est séparé, et

5. \(\Delta_f\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Nous avons déjà vu au Lemme 04XS que \(\Delta_f\) est représentable par des espaces algébriques. Les assertions (2) – (5) ont donc un sens, voir Propriétés des champs, section 04XB. Le Lemme 04XS garantit aussi (2). Soit \(T\to\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcal{X}\) un morphisme, et considérons le Diagramme (04XT). Par Champs algébriques, Lemme 02ZY, la flèche verticale de droite est injective comme application de faisceaux, c’est-à-dire qu’elle est un monomorphisme d’espaces algébriques. Par suite, le morphisme \(T\times_{\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcal{X}}\mathcal{X}\to T\) est lui aussi un monomorphisme. Ainsi, (3) est satisfaite. Nous savons déjà que \(T\times_{\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcal{X}}\mathcal{X}\to T\) est localement de type fini. Morphismes d’espaces, Lemme 0463, permet donc de conclure que \(T\times_{\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcal{X}}\mathcal{X}\to T\) est localement quasi-fini et séparé. Cela démontre (4) et (5). Enfin, Morphismes d’espaces, Proposition 03XX, implique que \(T\times_{\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}\mathcal{X}}\mathcal{X}\) est un schéma, ce qui démontre (1).

Lemme

Soit \(f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est séparé ;

2. \(\Delta_f\) est une immersion fermée ;

3. \(\Delta_f\) est propre ;

4. \(\Delta_f\) est universellement fermé.

Démonstration

Les énoncés « \(f\) est séparé », « \(\Delta_f\) est une immersion fermée », « \(\Delta_f\) est universellement fermé » et « \(\Delta_f\) est propre » font référence aux notions définies dans Propriétés des champs, section 04XB. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V\to\mathcal{Y}\). Posons \(U=\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}V\), qui est par hypothèse un espace algébrique ; le morphisme \(U\to\mathcal{X}\) est lisse et surjectif. Par Catégories, Lemme 04YR, et Propriétés des champs, Lemme 04XD, pour toute propriété \(P\) considérée dans ce dernier lemme, \(\Delta_f\) possède \(P\) si et seulement si \(\Delta_{U/V}:U\to U\times_VU\) possède \(P\). L’équivalence de (2), (3) et (4) résulte donc de Morphismes d’espaces, Lemme 04Y0, appliqué à \(U\to V\). De plus, si (1) est satisfaite, \(U\to V\) est séparé, donc \(\Delta_{U/V}\) est une immersion fermée : (2) est satisfaite. Supposons enfin (2). Soient \(T\) un schéma et \(a:T\to\mathcal{Y}\) un morphisme. Posons \(T'=\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\). Pour démontrer (1), il faut montrer que le morphisme d’espaces algébriques \(T'\to T\) est séparé. En appliquant de nouveau Catégories, Lemme 04YR, nous voyons que \(\Delta_{T'/T}\) est le changement de base de \(\Delta_f\). L’hypothèse (2) implique donc que \(\Delta_{T'/T}\) est une immersion fermée, et ainsi que \(T'\to T\) est séparé, comme voulu.

Lemme

Soit \(f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est quasi-séparé ;

2. \(\Delta_f\) est quasi-compact ;

3. \(\Delta_f\) est de type fini.

Démonstration

Les énoncés « \(f\) est quasi-séparé », « \(\Delta_f\) est quasi-compact » et « \(\Delta_f\) est de type fini » font référence aux notions définies dans Propriétés des champs, section 04XB. Remarquons que (2) et (3) sont équivalentes, puisque \(\Delta_f\) est localement de type fini par le Lemme 04YQ (et Champs algébriques, Lemme 045F). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V\to\mathcal{Y}\). Posons \(U=\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}V\), qui est par hypothèse un espace algébrique ; le morphisme \(U\to\mathcal{X}\) est lisse et surjectif. Par Catégories, Lemme 04YR, et Propriétés des champs, Lemme 04XD, \(\Delta_f\) est quasi-compact si et seulement si \(\Delta_{U/V}:U\to U\times_VU\) est quasi-compact. Si (1) est satisfaite, \(U\to V\) est quasi-séparé, donc \(\Delta_{U/V}\) est quasi-compact : (2) est satisfaite. Supposons (2). Soient \(T\) un schéma et \(a:T\to\mathcal{Y}\) un morphisme. Posons \(T'=\mathcal{X}\times_\mathcal{Y}T\). Pour démontrer (1), il faut montrer que le morphisme d’espaces algébriques \(T'\to T\) est quasi-séparé. En appliquant de nouveau Catégories, Lemme 04YR, nous voyons que \(\Delta_{T'/T}\) est le changement de base de \(\Delta_f\). L’hypothèse (2) implique donc que \(\Delta_{T'/T}\) est quasi-compact, et ainsi que \(T'\to T\) est quasi-séparé, comme voulu.

Lemme

Soit \(f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement séparé ;

2. \(\Delta_f\) est une immersion.

Démonstration

Les énoncés « \(f\) est localement séparé » et « \(\Delta_f\) est une immersion » font référence aux notions définies dans Propriétés des champs, section 04XB. Démonstration omise. Indication : raisonner comme dans les démonstrations des Lemmes 04YS et 04YT.

Axiomes de séparation

Soit \(\mathcal{X}=[U/R]\) une présentation d’un champ algébrique. Les propriétés de la diagonale de \(\mathcal{X}\) sur \(S\) sont alors celles du morphisme \(j:R\to U\times_SU\). Par exemple, si \(\mathcal{X}=[S/G]\) pour un groupe lisse \(G\) en espaces algébriques sur \(S\), alors \(j\) est le morphisme structural \(G\to S\). La diagonale elle-même n’est donc pas automatiquement séparée (contrairement à ce qui se produit pour les schémas et les espaces algébriques). Dire que \([S/G]\) est quasi-séparé sur \(S\) devrait certainement impliquer que \(G\to S\) est quasi-compact ; nous hésitons toutefois à dire que \([S/G]\) est quasi-séparé sur \(S\) sans exiger aussi que \(G\to S\) soit quasi-séparé. Autrement dit, imposer seulement que le morphisme diagonal soit quasi-compact ne correspond pas vraiment à l’intuition que nous avons d’un « champ algébrique quasi-séparé » : il faut aussi exiger que la diagonale elle-même soit quasi-séparée.

Qu’en est-il des « champs algébriques séparés » ? Nous avons vu dans Morphismes d’espaces, Lemme 04Y0, qu’un espace algébrique est séparé si et seulement si sa diagonale est propre. C’est aussi la condition habituellement employée pour définir les champs algébriques séparés. Dans l’exemple \([S/G]\to S\) ci-dessus, cela signifie que \(G\to S\) est un schéma en groupes propre. Ainsi, les champs algébriques de la forme \([\Spec(k)/E]\) sont propres sur \(k\) lorsque \(E\) est une courbe elliptique sur \(k\) (insérer ici une référence ultérieure). Dans certaines situations, il peut être plus naturel de supposer la diagonale finie.

Définition

Soit \(f:\mathcal{X}\to\mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Nous disons que \(f\) est DM si \(\Delta_f\) est non ramifié¹.

2. Nous disons que \(f\) est quasi-DM si \(\Delta_f\) est localement quasi-fini².

3. Nous disons que \(f\) est séparé si \(\Delta_f\) est propre.

4. Nous disons que \(f\) est quasi-séparé si \(\Delta_f\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Dans cette définition, nous utilisons le fait que \(\Delta_f\) est représentable par des espaces algébriques ainsi que Propriétés des champs, section 04XB, afin de donner un sens aux conditions imposées à \(\Delta_f\). Notons que ces définitions sont compatibles avec les notions déjà existantes lorsque \(f\) est représentable par des espaces algébriques, voir les Lemmes 04YT et 04YS. On peut caractériser ces conditions d’une manière intéressante en considérant les diagonales d’ordre supérieur, voir le Lemme 04Z0.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur le schéma de base \(S\). Notons \(p:\mathcal{X}\to S\) le morphisme structural.

1. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est DM sur \(S\) si \(p:\mathcal{X}\to S\) est DM.

2. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est quasi-DM sur \(S\) si \(p:\mathcal{X}\to S\) est quasi-DM.

3. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est séparé sur \(S\) si \(p:\mathcal{X}\to S\) est séparé.

4. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé sur \(S\) si \(p:\mathcal{X}\to S\) est quasi-séparé.

5. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est DM si \(\mathcal{X}\) est DM³ sur \(\Spec(\mathbf{Z})\).

6. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est quasi-DM si \(\mathcal{X}\) est quasi-DM sur \(\Spec(\mathbf{Z})\).

7. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est séparé si \(\mathcal{X}\) est séparé sur \(\Spec(\mathbf{Z})\).

8. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé sur \(\Spec(\mathbf{Z})\).

Dans les quatre dernières définitions, nous considérons \(\mathcal{X}\) comme un champ algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) au moyen de Champs algébriques, Définition 04X6.

Dans chaque cas, nous disposons donc d’une notion absolue et d’une notion relative au schéma de base fixé (que notre abus de notation introduit dans Propriétés des champs, section 04XA, conduit généralement à ne pas mentionner). Nous verrons que (1) \(\Leftrightarrow\) (5) et (2) \(\Leftrightarrow\) (6) au Lemme 050N. Nous consacrons quelque temps à démontrer des résultats usuels sur ces notions.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Si \(f\) est séparé, alors \(f\) est quasi-séparé.

2. Si \(f\) est DM, alors \(f\) est quasi-DM.

3. Si \(f\) est représentable par des espaces algébriques, alors \(f\) est DM.

Démonstration

Pour (1), remarquons qu’un morphisme propre d’espaces algébriques est quasi-compact et quasi-séparé, voir Morphismes d’espaces, Définition 03ZM. Pour (2), remarquons qu’un morphisme non ramifié d’espaces algébriques est localement quasi-fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 05W0. Enfin, (3) résulte du Lemme 04YQ.

Lemme

Tous les axiomes de séparation énumérés dans la Définition 04YW sont stables par changement de base.

Démonstration

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) des morphismes de champs algébriques. Soit \(f' : \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) le changement de base de \(f\) par \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\). Alors \(\Delta_{f'}\) est le changement de base de \(\Delta_f\) par le morphisme \(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), voir Catégories, Lemme 04YR. D’après les résultats de Propriétés des champs, section 04XB, chacune des propriétés de la diagonale employées dans la Définition 04YW est stable par changement de base. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie, où \(W\) est un espace algébrique. Si le changement de base \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) possède l’une des propriétés de séparation de la Définition 04YW, alors \(f\) la possède également.

Démonstration

Notons \(g : W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) le changement de base. Alors \(\Delta_g\) est le changement de base de \(\Delta_f\) par le morphisme \(q : W \times_\mathcal{Y} (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Comme \(q\) est le changement de base de \(W \to \mathcal{Y}\), nous voyons que \(q\) est représentable par des espaces algébriques, surjectif, plat et localement de présentation finie. Le résultat découle donc de Propriétés des champs, Lemme 06TY.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. La propriété d’être quasi-DM sur \(S\), quasi-séparé sur \(S\) ou séparé sur \(S\) (voir la Définition 050D) est stable par changement du schéma de base, voir Champs algébriques, Définition 04X7.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 050F.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\), \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) et \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) des morphismes de champs algébriques. Considérons le morphisme induit \(i : \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y}\). Alors

1. \(i\) est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini ;

2. si \(\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}\) est quasi-séparé, alors \(i\) est quasi-séparé ;

3. si \(\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}\) est séparé, alors \(i\) est séparé ;

4. si \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) est DM, alors \(i\) est non ramifié ;

5. si \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) est quasi-DM, alors \(i\) est localement quasi-fini ;

6. si \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) est séparé, alors \(i\) est propre ;

7. si \(\mathcal{Z} \to \mathcal{T}\) est quasi-séparé, alors \(i\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

Le diagramme suivant \[\xymatrix{ \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \ar[r]_i \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y} \ar[d] \\ \mathcal{Z} \ar[r]^-{\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}} \ar[r] & \mathcal{Z} \times_\mathcal{T} \mathcal{Z} }\] est un diagramme de \(2\)-produit fibré, voir Catégories, Lemme 04Z1. Par conséquent, \(i\) est le changement de base du morphisme diagonal \(\Delta_{\mathcal{Z}/\mathcal{T}}\). Le lemme résulte donc du Lemme 04XS et des résultats de Propriétés des champs, section 04XB.

Lemme

Soit \(\mathcal{T}\) un champ algébrique. Soit \(g : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques sur \(\mathcal{T}\). Considérons le graphe \(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y}\) de \(g\). Alors

1. \(i\) est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini ;

2. si \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) est DM, alors \(i\) est non ramifié ;

3. si \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) est quasi-DM, alors \(i\) est localement quasi-fini ;

4. si \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) est séparé, alors \(i\) est propre ;

5. si \(\mathcal{Y} \to \mathcal{T}\) est quasi-séparé, alors \(i\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

Il s’agit du cas particulier du Lemme 050H appliqué au morphisme \(\mathcal{X} = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{T} \mathcal{Y}\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{T}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(s : \mathcal{T} \to \mathcal{X}\) un morphisme tel que \(f \circ s\) soit \(2\)-isomorphe à \(\text{id}_\mathcal{T}\). Alors

1. \(s\) est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini ;

2. si \(f\) est DM, alors \(s\) est non ramifié ;

3. si \(f\) est quasi-DM, alors \(s\) est localement quasi-fini ;

4. si \(f\) est séparé, alors \(s\) est propre ;

5. si \(f\) est quasi-séparé, alors \(s\) est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

Il s’agit du cas particulier du Lemme 050I appliqué à \(g = s\) et \(\mathcal{Y} = \mathcal{T}\) ; dans ce cas, \(i : \mathcal{T} \to \mathcal{T} \times_\mathcal{T} \mathcal{X}\) est \(2\)-isomorphe à \(s\).

Lemme

Tous les axiomes de séparation énumérés dans la Définition 04YW sont stables par composition des morphismes.

Démonstration

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques auxquels s’applique l’axiome considéré. La diagonale \(\Delta_{\mathcal{X}/\mathcal{Z}}\) est le composé \[\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}.\] Notre axiome de séparation est défini en imposant à la diagonale une certaine propriété \(\mathcal{P}\). D’après le Lemme 050H ci-dessus, la seconde flèche possède elle aussi cette propriété. Le lemme en résulte, puisque le composé de morphismes représentables par des espaces algébriques et possédant la propriété \(\mathcal{P}\) possède encore la propriété \(\mathcal{P}\), voir la discussion générale dans Propriétés des champs, section 04XB et Morphismes d’espaces, Lemmes 03ZI, 03XK, 04XY, 03HG et 03KQ.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques sur le schéma de base \(S\).

1. Si \(\mathcal{Y}\) est DM sur \(S\) et \(f\) est DM, alors \(\mathcal{X}\) est DM sur \(S\).

2. Si \(\mathcal{Y}\) est quasi-DM sur \(S\) et \(f\) est quasi-DM, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-DM sur \(S\).

3. Si \(\mathcal{Y}\) est séparé sur \(S\) et \(f\) est séparé, alors \(\mathcal{X}\) est séparé sur \(S\).

4. Si \(\mathcal{Y}\) est quasi-séparé sur \(S\) et \(f\) est quasi-séparé, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé sur \(S\).

5. Si \(\mathcal{Y}\) est DM et \(f\) est DM, alors \(\mathcal{X}\) est DM.

6. Si \(\mathcal{Y}\) est quasi-DM et \(f\) est quasi-DM, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-DM.

7. Si \(\mathcal{Y}\) est séparé et \(f\) est séparé, alors \(\mathcal{X}\) est séparé.

8. Si \(\mathcal{Y}\) est quasi-séparé et \(f\) est quasi-séparé, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé.

Démonstration

Les assertions (1), (2), (3) et (4) résultent immédiatement du Lemme 050K et de la Définition 050D. Pour (5), (6), (7) et (8), considérons \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) comme des champs algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) et appliquons le Lemme 050K. Détails omis.

Le lemme suivant diffère quelque peu de son analogue pour les espaces algébriques. Pour les comparer, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03KR.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques.

1. Si \(g \circ f\) est DM, alors \(f\) l’est aussi.

2. Si \(g \circ f\) est quasi-DM, alors \(f\) l’est aussi.

3. Si \(g \circ f\) est séparé et \(\Delta_g\) est séparé, alors \(f\) est séparé.

4. Si \(g \circ f\) est quasi-séparé et si \(\Delta_g\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-séparé.

Démonstration

Considérons la factorisation \[\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\] du morphisme diagonal de \(g \circ f\). Les deux morphismes sont représentables par des espaces algébriques, voir les Lemmes 04XS et 050H. Ainsi, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), nous obtenons des morphismes d’espaces algébriques \[A = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow B = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow T\] Si \(g \circ f\) est DM (resp. quasi-DM), alors le composé \(A \to T\) est non ramifié (resp. localement quasi-fini). Par conséquent, \(A \to B\) est non ramifié (resp. localement quasi-fini) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06G6 (resp. Morphismes d’espaces, Lemme 03XN). Considérons maintenant le diagramme \[\xymatrix{ A \times_B T \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ A \ar[r] \ar[d] & B \ar[r] \ar[d] & T \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X} }\] dont tous les carrés sont \(2\)-cartésiens et où la flèche \(T \to B\) provient de la flèche \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) de départ. La flèche \(A \times_B T \to T\) est non ramifiée (resp. localement quasi-finie) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03ZJ (resp. Morphismes d’espaces, Lemme 03XL). Comme \(A \times_B T\) est égal à \(\mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} T\), nous concluons que \(f\) est DM (resp. quasi-DM). Cela démontre (1) et (2).

Démonstration de (4). Supposons que \(g \circ f\) soit quasi-séparé et que \(\Delta_g\) soit quasi-séparé. Considérons la factorisation \[\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\] du morphisme diagonal de \(g \circ f\). Les deux morphismes sont représentables par des espaces algébriques, et le second est quasi-séparé, voir les Lemmes 04XS et 050H. Ainsi, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), nous obtenons des morphismes d’espaces algébriques \[A = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow B = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow T\] tel que \(B \to T\) soit quasi-séparé. Le composé \(A \to T\) est quasi-compact et quasi-séparé, puisque nous avons supposé que \(g \circ f\) est quasi-séparé. Par conséquent, \(A \to B\) est quasi-séparé d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03KR. De plus, \(A \to B\) est quasi-compact d’après Morphismes d’espaces, Lemme 03KS. Ainsi, \(f\) est quasi-séparé.

Démonstration de (3). Supposons que \(g \circ f\) soit séparé et que \(\Delta_g\) soit séparé. Considérons la factorisation \[\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\] du morphisme diagonal de \(g \circ f\). Les deux morphismes sont représentables par des espaces algébriques, et le second est séparé, voir les Lemmes 04XS et 050H. Ainsi, pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(T \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), nous obtenons des morphismes d’espaces algébriques \[A = \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow B = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X})} T \longrightarrow T\] tel que \(B \to T\) soit séparé. Le composé \(A \to T\) est propre, puisque nous avons supposé que \(g \circ f\) est séparé. Par conséquent, \(A \to B\) est propre d’après Morphismes d’espaces, Lemme 04NX, ce qui signifie que \(f\) est séparé.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique sur le schéma de base \(S\).

1. \(\mathcal{X}\) est DM \(\Leftrightarrow\) \(\mathcal{X}\) est DM sur \(S\).

2. \(\mathcal{X}\) est quasi-DM \(\Leftrightarrow\) \(\mathcal{X}\) est quasi-DM sur \(S\).

3. Si \(\mathcal{X}\) est séparé, alors \(\mathcal{X}\) est séparé sur \(S\).

4. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé sur \(S\).

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques sur le schéma de base \(S\).

1. Si \(\mathcal{X}\) est DM sur \(S\), alors \(f\) est DM.

2. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-DM sur \(S\), alors \(f\) est quasi-DM.

3. Si \(\mathcal{X}\) est séparé sur \(S\) et si \(\Delta_{\mathcal{Y}/S}\) est séparé, alors \(f\) est séparé.

4. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé sur \(S\) et si \(\Delta_{\mathcal{Y}/S}\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-séparé.

Démonstration

Les assertions (5), (6), (7) et (8) résultent immédiatement du Lemme 050M et de Espaces, Définition 02X5. Pour démontrer (3) et (4), considérons \(X\) et \(Y\) comme des champs algébriques sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) et appliquons le Lemme 050M. De même, pour démontrer (1) et (2), considérons \(\mathcal{X}\) comme un champ algébrique sur \(\Spec(\mathbf{Z})\) et considérons les morphismes \[\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_S \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{\Spec(\mathbf{Z})} \mathcal{X}\] Les deux flèches sont représentables par des espaces algébriques. La seconde est non ramifiée et localement quasi-finie, car elle est le changement de base de l’immersion \(\Delta_{S/\mathbf{Z}}\). Le composé est donc non ramifié (resp. localement quasi-fini) si et seulement si la première flèche est non ramifiée (resp. localement quasi-finie), voir Morphismes d’espaces, Lemmes 03ZI et 06G6 (resp. Morphismes d’espaces, Lemmes 03XK et 03XN).

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(W\) un espace algébrique et soit \(f : W \to \mathcal{X}\) un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie.

1. Si \(f\) est non ramifié (c’est-à-dire étale, ou encore si \(\mathcal{X}\) est de Deligne–Mumford), alors \(\mathcal{X}\) est DM.

2. Si \(f\) est localement quasi-fini, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-DM.

Démonstration

Remarquons que, si \(f\) est non ramifié, alors il est étale d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06LU. Cela explique la parenthèse de (1). Supposons que \(f\) soit non ramifié (resp. localement quasi-fini). Il faut montrer que \(\Delta_\mathcal{X} : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est non ramifié (resp. localement quasi-fini). Remarquons que \(W \times W \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est lui aussi surjectif, plat et localement de présentation finie. Il suffit donc de montrer que \[W \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}, \Delta_\mathcal{X}} \mathcal{X} = W \times_\mathcal{X} W \longrightarrow W \times W\] est non ramifié (resp. localement quasi-fini), voir Propriétés des champs, Lemme 04XD. Par hypothèse, le morphisme \(\text{pr}_i : W \times_\mathcal{X} W \to W\) est non ramifié (resp. localement quasi-fini). La flèche affichée est donc non ramifiée (resp. localement quasi-finie) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 06G6 (resp. Morphismes d’espaces, Lemme 03XN).

Lemme

Un monomorphisme de champs algébriques est séparé et DM. Il en va de même des immersions de champs algébriques.

Démonstration

Si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un monomorphisme de champs algébriques, alors \(\Delta_f\) est un isomorphisme, voir Propriétés des champs, Lemme 04ZZ. Comme un isomorphisme d’espaces algébriques est propre et non ramifié, \(f\) est séparé et DM. La seconde assertion résulte de la première, puisqu’une immersion est un monomorphisme, voir Propriétés des champs, Lemme 0504.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique et soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Supposons que la gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x\) de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe. Si \(\mathcal{X}\) est DM, resp. quasi-DM, resp. séparé, resp. quasi-séparé, alors \(\mathcal{Z}_x\) l’est aussi.

Démonstration

En effet, \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme, donc est DM et séparé d’après le Lemme 06MY. On conclut en appliquant le Lemme 050L.

Champs d’inertie

Le champ d’inertie (relatif) d’un champ en groupoïdes est défini dans Champs, section 036X. La construction proprement dite, dans le cadre des catégories fibrées, ainsi que certaines de ses propriétés se trouvent dans Catégories, section 04Z2.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Alors le champ d’inertie \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) est lui aussi un champ algébrique. Le morphisme \[\mathcal{I}_\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X}\] est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini. Plus généralement, soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Alors l’inertie relative \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est un champ algébrique et le morphisme \[\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \longrightarrow \mathcal{X}\] est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini.

Démonstration

D’après Catégories, Lemme 034H, il existe des équivalences \[\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_S \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X} \quad\text{et}\quad \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}\] qui montrent que les champs d’inertie sont des champs algébriques. Soit \(T \to \mathcal{X}\) le morphisme donné par l’objet \(x\) de la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\). Nous obtenons alors un carré de \(2\)-produit fibré \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[d] \\ T \ar[r]^x & \mathcal{X} }\] Cela résulte immédiatement de la définition de \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\). Puisque \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x)\) est toujours un espace algébrique localement de type fini sur \(T\) (voir le Lemme 04XR), nous concluons que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini. Enfin, pour l’inertie relative, nous obtenons \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \ar[d] & K \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[d] \\ \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x)) & T \ar[l]_-e \ar[r]^x & \mathcal{X} } }\] où les deux carrés sont des \(2\)-produits fibrés. Cela résulte de Catégories, Lemme 04Z6. La flèche verticale de gauche est un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini sur \(T\); elle est donc localement de type fini, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0462. Ainsi, \(K\) est un espace algébrique et \(K \to T\) est localement de type fini. Ceci démontre l’assertion relative à l’inertie relative.

Remarque

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Dans Propriétés des champs, Remarque 04ZQ, nous avons vu que la \(2\)-catégorie des morphismes \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) représentables par des espaces algébriques, ayant \(\mathcal{X}\) pour but, est une catégorie. Dans cette catégorie, le champ d’inertie de \(\mathcal{X}/\mathcal{Y}\) est un objet en groupes. Rappelons qu’un objet de \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est simplement un couple \((x, \alpha)\), où \(x\) est un objet de \(\mathcal{X}\) et \(\alpha\) un automorphisme de \(x\), dans la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) à laquelle appartient \(x\), tel que \(f(\alpha) = \text{id}\). La composition \[c : \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \longrightarrow \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\] est donnée sur les objets par la règle \[((x, \alpha), (x', \alpha'), \beta) \mapsto (x, \alpha \circ \beta^{-1} \circ \alpha' \circ \beta)\] qui a un sens puisque \(\beta : x \to x'\) est un isomorphisme dans la catégorie fibre, par notre définition des produits fibrés. L’élément neutre \(e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est donné par le foncteur \(x \mapsto (x, \text{id}_x)\). Nous omettons la vérification des axiomes d’un objet en groupes.

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques et soit \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) son champ d’inertie. Soit \(T\) un schéma et soit \(x\) un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\). Posons \(y = f(x)\). Nous avons vu, dans la démonstration du Lemme 050Q, que, pour tout schéma \(T\) et tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\), il existe une suite exacte de faisceaux de groupes [0CPJ]\[\begin{equation} 0 \to \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y, y) \end{equation}\] Les structures de groupe sur les deuxième et troisième termes sont celles définies au Lemme 04YP, et la suite donne un sens au premier terme. Il existe en outre un carré cartésien canonique \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[d] \\ T \ar[r]^x & \mathcal{X} }\] En fait, la structure de groupe sur \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) considérée dans la Remarque 050R induit la structure de groupe sur \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x)\). Cela nous permet de définir le faisceau \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x)\) également pour les morphismes d’espaces algébriques vers \(\mathcal{X}\). Nous formalisons ceci dans la définition suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(Z\) un espace algébrique.

1. Soit \(x : Z \to \mathcal{X}\) un morphisme. Nous posons \[\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x) = Z \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\] Nous le munissons d’une structure d’espace algébrique en groupes sur \(Z\) par changement de base de la loi de composition considérée dans la Remarque 050R. Nous appellerons parfois \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x, x)\) le faisceau relatif d’automorphismes de \(x\).

2. Soient \(x_1, x_2 : Z \to \mathcal{X}\) des morphismes. Posons \(y_i = f \circ x_i\). Soit \(\alpha : y_1 \to y_2\) un \(2\)-morphisme. Alors \(\alpha\) détermine un morphisme \(\Delta^\alpha : Z \to Z \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} Z\), et nous posons \[\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2) = (Z \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} Z) \times_{Z \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} Z, \Delta^\alpha} Z.\] Nous appellerons parfois \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2)\) le faisceau relatif des isomorphismes de \(x_1\) vers \(x_2\).

Si \(\mathcal{Y} = \Spec(\mathbf{Z})\), ou plus généralement si \(\mathcal{Y}\) est un espace algébrique, nous employons les notations \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x)\) et \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2)\) et nous parlons du faisceau d’automorphismes de \(x\) et du faisceau des isomorphismes de \(x_1\) vers \(x_2\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(Z\) un espace algébrique et soient \(x_i : Z \to \mathcal{X}\), \(i = 1, 2\), des morphismes. Alors

1. \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2)\) est un espace algébrique en groupes sur \(Z\),

2. il existe une suite exacte de groupes \[0 \to \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2) \to \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_2, x_2) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f \circ x_2, f \circ x_2)\]

3. il existe un morphisme d’espaces algébriques \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f \circ x_1, f \circ x_2)\) telle que, pour tout \(2\)-morphisme \(\alpha : f \circ x_1 \to f \circ x_2\), nous obtenions un diagramme cartésien \[\xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2) \ar[d] \ar[r] & Z \ar[d]^\alpha \\ \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \ar[r] & \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f \circ x_1, f \circ x_2) }\]

4. pour tout \(2\)-morphisme \(\alpha : f \circ x_1 \to f \circ x_2\), l’espace algébrique \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2)\) est un pseudo-torseur sous \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2)\) sur \(Z\).

Démonstration

L’assertion (1) résulte de la Définition 06PP. L’assertion (2) résulte de la suite exacte (0CPJ) localement pour la topologie étale sur \(Z\). L’assertion (3) se voit en explicitant les définitions. Localement sur \(Z\) pour la topologie étale, l’assertion (4) se réduit à l’assertion (2) du Lemme 04YP.

Lemme

Soient \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(f : \mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) des morphismes de champs algébriques. Posons \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y}'\). Alors les deux carrés du diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}'/\mathcal{Y}'} \ar[r] \ar[d]_{ \text{Catégories, Équation}\ (\href{categories.html#categories-equation-functorial}{04Z4}) } & \mathcal{X}' \ar[r]_{\pi'} \ar[d] & \mathcal{Y}' \ar[d]^f \\ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[r]^\pi & \mathcal{Y} }\] sont des carrés de produit fibré.

Démonstration

Le champ d’inertie \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'/\mathcal{Y}'}\) est défini comme la catégorie des couples \((x', \alpha')\), où \(x'\) est un objet de \(\mathcal{X}'\) et \(\alpha'\) un automorphisme de \(x'\) tel que \(\pi'(\alpha') = \text{id}\), voir Catégories, section 04Z2. Supposons que \(x'\) soit au-dessus du schéma \(U\) et s’envoie sur l’objet \(x\) de \(\mathcal{X}\). Par la construction du \(2\)-produit fibré dans Catégories, Lemme 0040, nous voyons que \(x' = (U, x, y', \beta)\), où \(y'\) est un objet de \(\mathcal{Y}'\) au-dessus de \(U\) et \(\beta\) un isomorphisme \(\beta : \pi(x) \to f(y')\) dans la catégorie fibre de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U\). Par la construction même du \(2\)-produit fibré, l’automorphisme \(\alpha'\) est un couple \((\alpha, \gamma)\), où \(\alpha\) est un automorphisme de \(x\) au-dessus de \(U\) et \(\gamma\) un automorphisme de \(y'\) au-dessus de \(U\), tels que \(\alpha\) et \(\gamma\) soient compatibles par \(\beta\). La condition \(\pi'(\alpha') = \text{id}\) signifie que \(\gamma = \text{id}\); la compatibilité de \(\alpha, \beta, \gamma\) équivaut alors exactement à la condition \(\pi(\alpha) = \text{id}\), c’est-à-dire que \((x, \alpha)\) est un objet de \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\). Nous voyons ainsi que le carré de gauche est un carré de produit fibré (certains détails sont omis).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un monomorphisme de champs algébriques. Alors le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{I}_\mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] est un carré de produit fibré.

Démonstration

Cela résulte immédiatement du fait que \(f\) est pleinement fidèle (voir Propriétés des champs, Lemme 04ZZ) et de la définition de l’inertie dans Catégories, section 04Z2. En effet, un objet de \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma \(T\) est la même chose qu’un couple \((x, \alpha)\) constitué d’un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\) et d’un morphisme \(\alpha : x \to x\) dans la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\). Comme \(f\) est pleinement fidèle, se donner \(\alpha\) revient à se donner un morphisme \(\beta : f(x) \to f(x)\) dans la catégorie fibre de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\). Nous pouvons donc considérer les objets de \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\) comme les triplets \(((y, \beta), x, \gamma)\), où \(y\) est un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(T\), où \(\beta : y \to y\) appartient à \(\mathcal{Y}_T\), et où \(\gamma : y \to f(x)\) est un isomorphisme au-dessus de \(T\), c’est-à-dire comme les objets de \(\mathcal{I}_\mathcal{Y} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) au-dessus de \(T\).

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \([U/R] \to \mathcal{X}\) une présentation. Soit \(G/U\) l’espace algébrique en groupes stabilisateur associé au groupoïde \((U, R, s, t, c)\). Alors \[\xymatrix{ G \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} }\] est un diagramme de produit fibré.

Démonstration

C’est immédiat d’après Groupoïdes en espaces, Lemme 06PC.

Diagonales d’ordre supérieur

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Dans cette situation, il est naturel de considérer non seulement la diagonale \[\Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] mais aussi la diagonale de la diagonale, c’est-à-dire le morphisme \[\Delta_{\Delta_f} : \mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})} \mathcal{X}\] C’est pourquoi nous employons parfois la terminologie suivante. Nous appelons \(\Delta_{f, 0} = f\) la diagonale d’ordre zéro, \(\Delta_{f, 1} = \Delta_f\) la première diagonale et \(\Delta_{f, 2} = \Delta_{\Delta_f}\) la seconde diagonale. Remarquons que \(\Delta_{f, 1}\) est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini, voir le Lemme 04XS. Par conséquent, \(\Delta_{f, 2}\) est représentable, est un monomorphisme, et est localement de type fini, séparé et localement quasi-fini, voir le Lemme 04YQ.

Nous pouvons décrire la seconde diagonale à l’aide du champ d’inertie relatif. En effet, le produit fibré \(\mathcal{X} \times_{(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})} \mathcal{X}\) est équivalent au champ d’inertie relatif \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) d’après Catégories, Lemme 034H. De plus, par cette identification, la seconde diagonale devient la section unité \[\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\] du champ d’inertie relatif. Par analogie avec ce qui se passe pour les groupoïdes en espaces algébriques (Groupoïdes en espaces, Lemme 0455), nous avons les équivalences suivantes.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) est séparé,

   2. \(\Delta_{f, 1} = \Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est séparé, et

   3. \(\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est une immersion fermée.

2. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) est quasi-séparé,

   2. \(\Delta_{f, 1} = \Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est quasi-séparé, et

   3. \(\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est quasi-compact.

3. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) est localement séparé,

   2. \(\Delta_{f, 1} = \Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est localement séparé, et

   3. \(\Delta_{f, 2} = e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est une immersion.

4. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) est non ramifié,

   2. \(f\) est DM.

5. Les conditions suivantes sont équivalentes :

   1. \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) est localement quasi-fini,

   2. \(f\) est quasi-DM.

Démonstration

Démonstration de (1), (2) et (3). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Alors \(G = U \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est un espace algébrique sur \(U\) (Lemme 050Q). En fait, \(G\) est un espace algébrique en groupes sur \(U\), par la loi de groupe sur l’inertie relative construite dans la Remarque 050R. De plus, \(G \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est surjectif et lisse comme changement de base de \(U \to \mathcal{X}\). Enfin, le changement de base de \(e : \mathcal{X} \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) par \(G \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est la section unité \(U \to G\) de \(G/U\). L’équivalence de (a) et (c) résulte donc de Groupoïdes en espaces, Lemme 06P6. Puisque \(\Delta_{f, 2}\) est la diagonale de \(\Delta_f\), nous avons (b) \(\Leftrightarrow\) (c) par définition.

Démonstration de (4) et (5). Rappelons que (4)(b) signifie que \(\Delta_f\) est non ramifié, tandis que (5)(b) signifie que \(\Delta_f\) est localement quasi-fini. Choisissons un schéma \(Z\) et un morphisme \(a : Z \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Alors \(a = (x_1, x_2, \alpha)\), où \(x_i : Z \to \mathcal{X}\) et où \(\alpha : f \circ x_1 \to f \circ x_2\) est un \(2\)-morphisme. Rappelons que \[\vcenter{ \xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2) \ar[d] \ar[r] & Z \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^{\Delta_f} & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} } } \quad\text{et}\quad \vcenter{ \xymatrix{ \mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2) \ar[d] \ar[r] & Z \ar[d]^{x_2} \\ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[r] & \mathcal{X} } }\] sont des carrés cartésiens. D’après le Lemme 0CPK, l’espace algébrique \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}^\alpha(x_1, x_2)\) est un pseudo-torseur sous \(\mathit{Isom}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}(x_2, x_2)\) sur \(Z\). Les équivalences de (4) et (5) résultent donc de Groupoïdes en espaces, Lemme 0DSK.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. le morphisme \(f\) est représentable par des espaces algébriques,

2. la seconde diagonale de \(f\) est un isomorphisme,

3. le champ en groupes \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) est trivial sur \(\mathcal X\), et

4. pour tout schéma \(T\) et tout morphisme \(x : T \to \mathcal{X}\), le noyau de \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x))\) est trivial.

Démonstration

Montrons d’abord l’équivalence de (1) et (2). En effet, \(f\) est représentable par des espaces algébriques si et seulement si \(f\) est fidèle, voir Champs algébriques, Lemme 04Y5. D’autre part, \(f\) est fidèle si et seulement si, pour tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma \(T\), le foncteur \(f\) induit une injection \(\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \to \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(f(x), f(x))\), ce qui a lieu si et seulement si le noyau \(K\) est trivial, ou encore si et seulement si \(e : T \to K\) est un isomorphisme pour tout \(x : T \to \mathcal{X}\). Puisque \(K = T \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\), comme nous l’avons vu ci-dessus, cela démontre l’équivalence de (1) et (2). Pour démontrer l’équivalence de (2) et (3), il suffit, d’après ce qui précède, de remarquer qu’un champ en groupes est trivial si et seulement si sa section unité est un isomorphisme. Enfin, l’équivalence de (3) et (4) résulte des définitions : dans la démonstration du Lemme 050Q, nous avons vu que le noyau de (4) correspond au produit fibré \(T \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\) sur \(T\).

Ce lemme fournit la hiérarchie suivante pour les morphismes de champs algébriques.

Lemme

Un morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques est

1. un monomorphisme si et seulement si \(\Delta_{f, 1}\) est un isomorphisme, et

2. représentable par des espaces algébriques si et seulement si \(\Delta_{f, 1}\) est un monomorphisme.

De plus, la seconde diagonale \(\Delta_{f, 2}\) est toujours un monomorphisme.

Démonstration

Rappelons, d’après Propriétés des champs, Lemme 04ZZ, qu’un morphisme de champs algébriques est un monomorphisme si et seulement si sa diagonale est un isomorphisme de champs. Le Lemme 04YY peut donc se reformuler en disant qu’un morphisme est représentable par des espaces algébriques si sa diagonale est un monomorphisme. En particulier, il montre que la condition (3) du Lemme 04YQ est en fait une condition nécessaire et suffisante : un morphisme de champs algébriques est représentable par des espaces algébriques si et seulement si sa diagonale est un monomorphisme.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Alors

1. \(\Delta_{f, 1}\) est séparé \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) est une immersion fermée \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) est propre \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) est universellement fermé,

2. \(\Delta_{f, 1}\) est quasi-séparé \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) est de type fini \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) est quasi-compact, et

3. \(\Delta_{f, 1}\) est localement séparé \(\Leftrightarrow\) \(\Delta_{f, 2}\) est une immersion.

Démonstration

Cela résulte des Lemmes 04YS, 04YT et 04YU appliqués à \(\Delta_{f, 1}\).

Le lemme suivant est assez élégant et suggère peut-être une généralisation de ces conditions aux champs algébriques supérieurs.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Alors

1. \(f\) est séparé si et seulement si \(\Delta_{f, 1}\) et \(\Delta_{f, 2}\) sont universellement fermés, et

2. \(f\) est quasi-séparé si et seulement si \(\Delta_{f, 1}\) et \(\Delta_{f, 2}\) sont quasi-compacts.

3. \(f\) est quasi-DM si et seulement si \(\Delta_{f, 1}\) et \(\Delta_{f, 2}\) sont localement quasi-finis.

4. \(f\) est DM si et seulement si \(\Delta_{f, 1}\) et \(\Delta_{f, 2}\) sont non ramifiés.

Démonstration

Démonstration de (1). Supposons \(\Delta_{f, 2}\) et \(\Delta_{f, 1}\) universellement fermés. Alors \(\Delta_{f, 1}\) est séparé et universellement fermé d’après le Lemme 04YZ. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 04XW, et Champs algébriques, Lemme 045F, nous voyons que \(\Delta_{f, 1}\) est quasi-compact. Il est donc quasi-compact, séparé, universellement fermé et localement de type fini (d’après le Lemme 04XS), donc propre. Cela démontre l’implication “\(\Leftarrow\)” de (1). La démonstration de l’implication réciproque est omise.

Démonstration de (2). Cela résulte immédiatement du Lemme 04YZ.

Démonstration de (3). Cela résulte du fait que \(\Delta_{f, 2}\) est toujours localement quasi-fini, d’après le Lemme 04YQ appliqué à \(\Delta_f = \Delta_{f, 1}\).

Démonstration de (4). Cela résulte du fait que \(\Delta_{f, 2}\) est toujours non ramifié : le Lemme 04YQ, appliqué à \(\Delta_f = \Delta_{f, 1}\), montre que \(\Delta_{f, 2}\) est localement de type fini et est un monomorphisme. Voir Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 05W6.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme séparé (resp. quasi-séparé, resp. quasi-DM, resp. DM) de champs algébriques. Alors

1. pour des espaces algébriques \(T_i\), \(i = 1, 2\), et des morphismes \(x_i : T_i \to \mathcal{X}\), en posant \(y_i = f \circ x_i\), le morphisme \[T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \longrightarrow T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2\] est propre (resp. quasi-compact et quasi-séparé, resp. localement quasi-fini, resp. non ramifié),

2. pour un espace algébrique \(T\) et des morphismes \(x_i : T \to \mathcal{X}\), \(i = 1, 2\), en posant \(y_i = f \circ x_i\), le morphisme \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \longrightarrow \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y_1, y_2)\] est propre (resp. quasi-compact et quasi-séparé, resp. localement quasi-fini, resp. non ramifié).

Démonstration

Démonstration de (1). Observons que le diagramme \[\xymatrix{ T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \ar[d] \ar[r] & T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2 \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] est cartésien. L’assertion résulte donc du fait que \(f\) est séparé (resp. quasi-séparé, resp. quasi-DM, resp. DM) si et seulement si sa diagonale est propre (resp. quasi-compacte et quasi-séparée, resp. localement quasi-finie, resp. non ramifiée).

Démonstration de (2). Cela résulte de l’égalité \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) = (T \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T) \times_{T \times T, \Delta_T} T\] et le morphisme de (2) est donc un changement de base du morphisme de (1).

Morphismes quasi-compacts

Soit \(f\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Dans Propriétés des champs, section 04XB nous avons défini ce que signifie, pour \(f\), être quasi-compact. En voici une autre caractérisation.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est quasi-compact (au sens de Propriétés des champs, section 04XB), et

2. pour tout champ algébrique quasi-compact \(\mathcal{Z}\) et tout morphisme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), le champ algébrique \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est quasi-compact.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques, avec \(\mathcal{Z}\) quasi-compact. D’après Propriétés des champs, Lemme 04YC, il existe un schéma quasi-compact \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{Z}\). Puisque \(f\) est représentable par des espaces algébriques et quasi-compact, la définition montre que \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un espace algébrique et que \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to U\) est quasi-compact. Ainsi, \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un espace algébrique quasi-compact. Le morphisme \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est lisse et surjectif (comme changement de base du morphisme lisse et surjectif \(U \to \mathcal{Z}\)). Par conséquent, \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est quasi-compact par une nouvelle application de Propriétés des champs, Lemme 04YC.

Supposons (2). Soit \(Z \to \mathcal{Y}\) un morphisme, où \(Z\) est un schéma. Il faut montrer que le morphisme d’espaces algébriques \(p : Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) est quasi-compact. Soit \(U \subset Z\) un ouvert affine. Alors \(p^{-1}(U) = U \times_\mathcal{Y} Z\), et l’espace algébrique \(U \times_\mathcal{Y} Z\) est quasi-compact par l’hypothèse (2). Par conséquent, \(p\) est quasi-compact, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03KG.

Ceci motive la définition suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Nous disons que \(f\) est quasi-compact si, pour tout champ algébrique quasi-compact \(\mathcal{Z}\) et tout morphisme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), le produit fibré \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est quasi-compact.

D’après le Lemme 050T ci-dessus, cette définition coïncide avec la notion déjà existante pour les morphismes de champs algébriques représentables par des espaces algébriques. En particulier, cette notion coïncide avec celles déjà définies pour les morphismes entre champs algébriques et schémas.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme quasi-compact de champs algébriques par un morphisme quelconque de champs algébriques est quasi-compact.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Le composé de deux morphismes quasi-compacts de champs algébriques est quasi-compact.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Une immersion fermée de champs algébriques est quasi-compacte.

Démonstration

Cela résulte du fait que les immersions sont toujours représentables et de l’énoncé correspondant pour les immersions fermées d’espaces algébriques.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr]_f \ar[rd]_p & & \mathcal{Y} \ar[dl]^q \\ & \mathcal{Z} }\] un diagramme \(2\)-commutatif de morphismes de champs algébriques. Si \(f\) est surjectif et \(p\) quasi-compact, alors \(q\) est quasi-compact.

Démonstration

Soit \(\mathcal{T}\) un champ algébrique quasi-compact et soit \(\mathcal{T} \to \mathcal{Z}\) un morphisme. D’après Propriétés des champs, Lemme 04ZU, le morphisme \(\mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X} \to \mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) est surjectif et, par hypothèse, \(\mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) est quasi-compact. Il s’ensuit que \(\mathcal{T} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) est quasi-compact d’après Propriétés des champs, Lemme 04YC.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(g \circ f\) est quasi-compact et si \(g\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-compact.

Démonstration

En effet, \(f\) est le composé \((1, f) : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\). Le premier morphisme est quasi-compact d’après le Lemme 050J, car c’est une section du morphisme quasi-séparé \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) (un changement de base de \(g\); voir le Lemme 050F). Le second morphisme est quasi-compact puisqu’il est le changement de base de \(f\); voir le Lemme 050V. Enfin, les composés de morphismes quasi-compacts sont quasi-compacts; voir le Lemme 050W.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-compact et si \(\mathcal{Y}\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-compact.

2. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-compact et quasi-séparé et si \(\mathcal{Y}\) est quasi-séparé, alors \(f\) est quasi-compact et quasi-séparé.

3. Un produit fibré de champs algébriques quasi-compacts et quasi-séparés est quasi-compact et quasi-séparé.

Démonstration

L’assertion (1) résulte du Lemme 050Y. L’assertion (2) résulte de (1) et du Lemme 050M. Pour (3), soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) des morphismes de champs algébriques quasi-compacts et quasi-séparés. Alors \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) est quasi-compact et quasi-séparé, car il s’obtient par changement de base à partir de \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\), en vertu de (2) et des Lemmes 050V et 050F. Par conséquent, \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) est quasi-compact et quasi-séparé en tant que champ algébrique quasi-compact et quasi-séparé sur \(\mathcal{Z}\); voir les Lemmes 050L et 050W.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact de champs algébriques. Soit \(y \in |\mathcal{Y}|\) un point de l’adhérence de l’image de \(|f|\). Il existe un anneau de valuation \(A\), de corps des fractions \(K\), et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] tels que le point fermé de \(\Spec(A)\) s’envoie sur \(y\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme lisse \(V \to \mathcal{Y}\) qui envoie \(v\) sur \(y\). Considérons le diagramme de changement de base \[\xymatrix{ V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d]_g & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ V \ar[r] & \mathcal{Y} }\] Rappelons que \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V| \times_{|\mathcal{Y}|} |\mathcal{X}|\) est surjectif (Propriétés des champs, Lemme 04XH). Comme \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) est ouvert (Propriétés des champs, Lemme 04XL), nous en déduisons que \(v\) appartient à l’adhérence de l’image de \(|g|\). Il suffit donc de démontrer le lemme pour le morphisme quasi-compact \(g\) (Lemme 050V), ce que nous faisons au paragraphe suivant.

Supposons que \(\mathcal{Y} = Y\) soit un schéma affine. Alors \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, puisque \(f\) est quasi-compact (Définition 050U). Choisissons un schéma affine \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\). L’image de \(|f|\) est alors l’image de \(W \to Y\). D’après Morphismes, Lemme 02JQ, nous pouvons choisir un diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & Y \ar[r] & Y }\] tel que le point fermé de \(\Spec(A)\) s’envoie sur \(y\). En composant avec \(W \to \mathcal{X}\), nous obtenons le diagramme voulu.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie, où \(W\) est un espace algébrique. Si le changement de base \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est quasi-compact, alors \(f\) est quasi-compact.

Démonstration

Supposons que \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) soit quasi-compact. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme, où \(\mathcal{Z}\) est un champ algébrique quasi-compact. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\). Puisque \(U \to \mathcal{Z}\) est plat, surjectif et localement de présentation finie, et puisque \(\mathcal{Z}\) est quasi-compact, il existe un sous-schéma ouvert quasi-compact \(U' \subset U\) tel que \(U' \to \mathcal{Z}\) soit surjectif. Alors \(U' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = U' \times_W (W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})\) est quasi-compact par hypothèse et se surjecte sur \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Par conséquent, \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est quasi-compact, comme voulu.

Champs algébriques noethériens

Nous avons déjà défini les champs algébriques localement noethériens dans Propriétés des champs, section 04YE.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Nous disons que \(\mathcal{X}\) est noethérien si \(\mathcal{X}\) est quasi-compact, quasi-séparé et localement noethérien.

Remarquons qu’un champ algébrique noethérien \(\mathcal{X}\) n’est pas seulement quasi-compact et localement noethérien, mais aussi quasi-séparé. Dans le langage de la section 04YX, si l’on note \(p : \mathcal{X} \to \Spec(\mathbf{Z})\) le morphisme structural “absolu” (c’est-à-dire le morphisme structural de \(\mathcal{X}\) considéré comme champ algébrique sur \(\mathbf{Z}\)), alors \[\mathcal{X}\text{ noethérien} \Leftrightarrow \mathcal{X}\text{ localement noethérien et } \Delta_{p, 0}, \Delta_{p, 1}, \Delta_{p, 2} \text{ quasi-compacts}.\] Cela impliquera plus loin qu’un champ algébrique de type fini sur un champ algébrique noethérien n’est pas nécessairement noethérien.

Lemme

Soit \(j : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) une immersion de champs algébriques.

1. Si \(\mathcal{Y}\) est localement noethérien, alors \(\mathcal{X}\) est localement noethérien et \(j\) est quasi-compact.

2. Si \(\mathcal{Y}\) est noethérien, alors \(\mathcal{X}\) est noethérien.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Alors \(U = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est un schéma et \(V \to U\) est une immersion; voir Propriétés des champs, Définition 04YL. Rappelons que \(\mathcal{Y}\) est localement noethérien si et seulement si \(V\) l’est. Dans ce cas, \(U\) est lui aussi localement noethérien (Morphismes, Lemmes 01T5 et 01T6), et \(U \to V\) est quasi-compact (Propriétés, Lemme 01OX). Cela montre que \(j\) est quasi-compact (Lemme 0DTL) et que \(\mathcal{X}\) est localement noethérien. Enfin, si \(\mathcal{Y}\) est noethérien, ce qui précède montre que \(\mathcal{X}\) est quasi-compact et localement noethérien. Pour achever la démonstration, observons que \(j\) est séparé; par conséquent, \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé puisque \(\mathcal{Y}\) l’est, d’après le Lemme 050L.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique.

1. Si \(\mathcal{X}\) est localement noethérien, alors \(|\mathcal{X}|\) est un espace topologique localement noethérien.

2. Si \(\mathcal{X}\) est quasi-compact et localement noethérien, alors \(|\mathcal{X}|\) est un espace topologique noethérien.

Démonstration

Supposons \(\mathcal{X}\) localement noethérien. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Comme \(\mathcal{X}\) est localement noethérien, \(U\) l’est aussi. D’après Propriétés, Lemme 01OZ, cela signifie que \(|U|\) est un espace topologique localement noethérien. Puisque \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est ouvert et surjectif, nous en déduisons que \(|\mathcal{X}|\) est localement noethérien d’après Topologie, Lemme 04Z8. Cela démontre (1). Si \(\mathcal{X}\) est quasi-compact et localement noethérien, alors \(|\mathcal{X}|\) est quasi-compact et localement noethérien. Par conséquent, \(|\mathcal{X}|\) est noethérien d’après Topologie, Lemme 04ZB.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Alors \(|\mathcal{X}|\) est quasi-sobre (Topologie, Définition 004X).

Démonstration

Il faut démontrer que toute partie fermée irréductible \(T \subset |\mathcal{X}|\) possède un point générique. Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme lisse \(f : U \to \mathcal{X}\) tels que \(f^{-1}(T) \subset |U|\) soit non vide. Puisque \(U\) est noethérien, la partie fermée \(f^{-1}(T)\) n’a qu’un nombre fini de composantes irréductibles (Topologie, Lemme 0052). Écrivons \(f^{-1}(T) = Z_1 \cup \ldots \cup Z_n\) pour sa décomposition en composantes irréductibles. Comme \(f\) est ouvert, l’image de \(f|_{f^{-1}(T)} : f^{-1}(T) \to T\) contient une partie ouverte non vide de \(T\). Puisque \(T\) est irréductible, cela signifie que \(f(f^{-1}(T))\) est dense. L’irréductibilité de \(T\) entraîne alors que \(f(Z_i)\) est dense pour un certain \(i\). Si \(\xi_i \in Z_i\) est le point générique, \(f(\xi_i)\) est donc un point générique de \(T\).

Morphismes affines

Les morphismes affines de champs algébriques se définissent comme suit.

Définition

Un morphisme de champs algébriques est dit affine s’il est représentable et affine au sens de Propriétés des champs, section 04XB.

Il nous est un peu plus commode de considérer un morphisme affine de champs algébriques comme un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques et affine au sens de Propriétés des champs, section 04XB. (Rappelons que, par défaut, “représentable” signifie dans le Champs Project représentable par des schémas.) Puisque cela équivaut manifestement à la notion qui vient d’être définie, nous emploierons cette caractérisation sans autre mention. Démontrons quelques lemmes simples sur cette notion.

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme affine de champs algébriques. Alors \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est un morphisme affine de champs algébriques.

Démonstration

Cela résulte de la discussion de Propriétés des champs, section 04XB.

Lemme

Les composés de morphismes affines de champs algébriques sont affines.

Démonstration

Cela résulte de la discussion de Propriétés des champs, section 04XB, et de Morphismes d’espaces, Lemme 03WH.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr]_f \ar[rd]_a & & \mathcal{Y} \ar[dl]^b \\ & \mathcal{Z} }\] un diagramme commutatif de morphismes de champs algébriques. Si \(a\) et \(\Delta_b\) sont affines, alors \(f\) est affine.

Démonstration

Le changement de base \(\text{pr}_2 : \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) de \(a\) est affine d’après le Lemme 0CHR. Le morphisme \((1, f) : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) est le changement de base de \(\Delta_b : \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) par le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\) (voir Catégories, section 003O). Il est donc affine d’après le Lemme 0CHR. Le composé \(f = \text{pr}_2 \circ (1, f)\) de morphismes affines est affine d’après le Lemme 0CHS, ce qui achève la démonstration.

Morphismes intégraux et finis

Les morphismes intégraux et finis de champs algébriques se définissent comme suit.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Nous disons que \(f\) est intégral si \(f\) est représentable et intégral au sens de Propriétés des champs, section 04XB.

2. Nous disons que \(f\) est fini si \(f\) est représentable et fini au sens de Propriétés des champs, section 04XB.

Il nous est un peu plus commode de considérer un morphisme intégral, resp. fini, de champs algébriques comme un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques et intégral, resp. fini, au sens de Propriétés des champs, section 04XB. (Rappelons que, par défaut, “représentable” signifie dans le Champs Project représentable par des schémas.) Puisque cela équivaut manifestement à la notion qui vient d’être définie, nous emploierons cette caractérisation sans autre mention. Démontrons quelques lemmes simples sur cette notion.

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme intégral (ou fini) de champs algébriques. Alors \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est un morphisme intégral (ou fini) de champs algébriques.

Démonstration

Cela résulte de la discussion de Propriétés des champs, section 04XB.

Lemme

Les composés de morphismes intégraux, resp. finis, de champs algébriques sont intégraux, resp. finis.

Démonstration

Cela résulte de la discussion de Propriétés des champs, section 04XB, et de Morphismes d’espaces, Lemme 03ZR.

Morphismes ouverts

Soit \(f\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Dans Propriétés des champs, section 04XB nous avons défini ce que signifie pour \(f\) d’être universellement ouvert. En voici une autre caractérisation.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement ouvert (au sens de Propriétés des champs, section 04XB) ;

2. pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application d’espaces topologiques \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) est ouverte.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Z}\). Par hypothèse, le morphisme d’espaces algébriques \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est universellement ouvert ; en particulier, l’application \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) est ouverte. D’après Propriétés des champs, section 04XE, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives ; de plus, \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] est surjective. Puisque la flèche verticale de gauche est ouverte, il s’ensuit que celle de droite est ouverte. Cela démontre (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Nous disons que \(f\) est ouvert si l’application d’espaces topologiques \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est ouverte.

2. Nous disons que \(f\) est universellement ouvert si, pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application d’espaces topologiques \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] est ouverte, c’est-à-dire si le changement de base \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est ouvert.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme universellement ouvert de champs algébriques par un morphisme quelconque de champs algébriques est universellement ouvert.

Démonstration

C’est immédiat par définition.

Lemme

Le composé de deux morphismes (universellement) ouverts de champs algébriques est (universellement) ouvert.

Démonstration

Démonstration omise.

Morphismes submersifs

Soit \(f\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Dans Propriétés des champs, section 04XB nous avons défini ce que signifie pour \(f\) d’être universellement submersif. En voici une autre caractérisation.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement submersif (au sens de Propriétés des champs, section 04XB) ;

2. pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application d’espaces topologiques \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) est submersive.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Z}\). Par hypothèse, le morphisme d’espaces algébriques \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est universellement submersif ; en particulier, l’application \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) est submersive. D’après Propriétés des champs, section 04XE, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives ; de plus, \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] est surjective. Puisque la flèche verticale de gauche est submersive, il s’ensuit que celle de droite est submersive. Cela démontre (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Nous disons que \(f\) est submersif⁴ si l’application continue \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est submersive ; voir Topologie, Définition 0406.

2. Nous disons que \(f\) est universellement submersif si, pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\), le changement de base \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) est submersif.

Notons qu’un morphisme submersif est en particulier surjectif.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme universellement submersif de champs algébriques par un morphisme quelconque de champs algébriques est universellement submersif.

Démonstration

C’est immédiat par définition.

Lemme

Le composé de deux morphismes (universellement) submersifs de champs algébriques est (universellement) submersif.

Démonstration

Démonstration omise.

Morphismes universellement fermés

Soit \(f\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Dans Propriétés des champs, section 04XB nous avons défini ce que signifie pour \(f\) d’être universellement fermé. En voici une autre caractérisation.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement fermé (au sens de Propriétés des champs, section 04XB) ;

2. pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application d’espaces topologiques \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) est fermée.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Z}\). Par hypothèse, le morphisme d’espaces algébriques \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est universellement fermé ; en particulier, l’application \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) est fermée. D’après Propriétés des champs, section 04XE, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives ; de plus, \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] est surjective. Puisque la flèche verticale de gauche est fermée, il s’ensuit que celle de droite est fermée. Cela démontre (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Nous disons que \(f\) est fermé si l’application d’espaces topologiques \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est fermée.

2. Nous disons que \(f\) est universellement fermé si, pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application d’espaces topologiques \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] est fermée, c’est-à-dire si le changement de base \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est fermé.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme universellement fermé de champs algébriques par un morphisme quelconque de champs algébriques est universellement fermé.

Démonstration

C’est immédiat par définition.

Lemme

Le composé de deux morphismes (universellement) fermés de champs algébriques est (universellement) fermé.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement fermé ;

2. pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to \mathcal{Y}\), la projection \(|Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |Z|\) est fermée ;

3. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to \mathcal{Y}\), la projection \(|Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |Z|\) est fermée ;

4. il existe un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\) tels que \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) soit un morphisme universellement fermé de champs algébriques.

Démonstration

Nous omettons de démontrer que (1) entraîne (2) et que (2) entraîne (3).

Supposons (3). Choisissons un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Nous allons montrer que \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est un morphisme universellement fermé de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to V\) un morphisme d’un champ algébrique vers \(V\). Soit \(W \to \mathcal{Z}\) un morphisme lisse surjectif, où \(W = \coprod W_i\) est une réunion disjointe de schémas affines. Nous avons alors le diagramme commutatif suivant : \[\xymatrix{ \coprod_i |W_i \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar@{=}[r] \ar[d] & |W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \ar@{=}[r] & |\mathcal{Z} \times_V (V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})| \ar[ld] \\ \coprod |W_i| \ar@{=}[r] & |W| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] Il faut montrer que la flèche sud-est est fermée. Les flèches horizontales du milieu sont surjectives et ouvertes (Propriétés des champs, Lemme 04XL). En vertu de (3) et du fait que les \(W_i\) sont affines, les flèches verticales de gauche sont fermées. Il s’ensuit que la flèche verticale de droite est fermée.

Supposons (4). Nous allons montrer que \(f\) est universellement fermé. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ |(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}) \times_V (V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X})| \ar@{=}[r] \ar[rd] & |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ & |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] La flèche sud-ouest est fermée par hypothèse. Les flèches horizontales sont surjectives et ouvertes, car les morphismes de champs algébriques correspondants sont lisses et surjectifs (voir la référence ci-dessus). Il s’ensuit que la flèche verticale de droite est fermée.

Morphismes universellement injectifs

Soit \(f\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Dans Propriétés des champs, section 04XB nous avons défini ce que signifie pour \(f\) d’être universellement injectif (ou radiciel, dans la terminologie classique des morphismes représentables). En voici une autre caractérisation.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement injectif (au sens de Propriétés des champs, section 04XB) ;

2. pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) est injective.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Z}\). Par hypothèse, le morphisme d’espaces algébriques \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est universellement injectif ; en particulier, l’application \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) est injective. D’après Propriétés des champs, section 04XE, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives ; de plus, \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] est surjective. Puisque la flèche verticale de gauche est injective, il s’ensuit que celle de droite est injective. Cela démontre (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Nous disons que \(f\) est universellement injectif si, pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] est injective.

Lemme

Le changement de base d’un morphisme universellement injectif de champs algébriques par un morphisme quelconque de champs algébriques est universellement injectif.

Démonstration

C’est immédiat par définition.

Lemme

Le composé de deux morphismes universellement injectifs de champs algébriques est universellement injectif.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement injectif ;

2. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est surjective ;

3. pour tout corps algébriquement clos, tous \(x_1, x_2 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) et toute \(2\)-flèche \(\beta : f \circ x_1 \to f \circ x_2\), il existe une \(2\)-flèche \(\alpha : x_1 \to x_2\) telle que \(\beta = \text{id}_f \star \alpha\).

Démonstration

(1) \(\Rightarrow\) (2). Si \(f\) est universellement injectif, la première projection \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{X}|\) est injective, ce qui implique que \(|\Delta|\) est surjective.

(2) \(\Rightarrow\) (1). Supposons \(\Delta\) surjective. Tout changement de base de \(\Delta\) est alors surjectif (voir Propriétés des champs, section 04ZR). Comme la diagonale d’un changement de base de \(f\) est un changement de base de \(\Delta\), il suffit de montrer que \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est injective. Dans le cas contraire, Propriétés des champs, Lemme 04XH montre que la première projection \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{X}|\) n’est pas injective. Cela signifie évidemment que \(|\Delta|\) n’est pas surjective.

(3) \(\Rightarrow\) (2). Soit \(t \in |\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\). Nous pouvons représenter \(t\) par un morphisme \(t : \Spec(k) \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) où \(k\) est un corps algébriquement clos. D’après notre construction des \(2\)-produits fibrés, nous pouvons représenter \(t\) par \((x_1, x_2, \beta)\), où \(x_1, x_2 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) et \(\beta : f \circ x_1 \to f \circ x_2\) est un \(2\)-morphisme. L’assertion (3) implique alors qu’il existe un \(2\)-morphisme \(\alpha : x_1 \to x_2\) dont l’image est \(\beta\). Cela signifie exactement que \(\Delta(x_1) = (x_1, x_1, \text{id})\) est isomorphe à \(t\). L’assertion (2) est donc satisfaite.

(2) \(\Rightarrow\) (3). Soient \(x_1, x_2 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) des morphismes, où \(k\) est un corps algébriquement clos. Soit \(\beta : f \circ x_1 \to f \circ x_2\) un \(2\)-morphisme. Comme au paragraphe précédent, nous obtenons un morphisme \(t = (x_1, x_2, \beta) : \Spec(k) \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). D’après le Lemme 04XS, \[T = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}, t} \Spec(k)\] est un espace algébrique localement de type fini sur \(\Spec(k)\). La condition (2) implique que \(T\) est non vide. Comme \(k\) est algébriquement clos, il existe alors un point à valeurs dans \(k\) appartenant à \(T\). En explicitant les définitions, cela signifie qu’il existe un morphisme \(\alpha : x_1 \to x_2\) dans \(\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})\) tel que \(\beta = \text{id}_f \star \alpha\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme universellement injectif de champs algébriques. Soit \(y : \Spec(k) \to \mathcal{Y}\) un morphisme, où \(k\) est un corps algébriquement clos. Si \(y\) appartient à l’image de \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\), il existe un morphisme \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) tel que \(y = f \circ x\).

Démonstration

Remarquons d’abord que ce lemme n’est pas trivial : l’hypothèse selon laquelle \(y\) appartient à l’image de \(|f|\) signifie seulement que l’on peut relever \(y\) en un morphisme vers \(\mathcal{X}\) après avoir éventuellement remplacé \(k\) par un corps d’extension. Pour démontrer le lemme, nous pouvons effectuer le changement de base de \(f\) par \(y\). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique non vide muni d’un morphisme universellement injectif \(\mathcal{X} \to \Spec(k)\), et nous voulons trouver, à valeurs dans \(k\), un point de \(\mathcal{X}\). Nous pouvons remplacer \(\mathcal{X}\) par sa réduction. Choisissons un corps \(k'\) et un morphisme plat surjectif et localement de type fini \(\Spec(k') \to \mathcal{X}\) ; voir Propriétés des champs, Lemme 06MN. Comme \(\mathcal{X} \to \Spec(k)\) est universellement injectif, \[\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k') \to \Spec(k' \otimes_k k')\] est surjectif, car c’est le changement de base du morphisme surjectif \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\Spec(k)} \mathcal{X}\) (Lemme 0CPN). Comme \(k\) est algébriquement clos, \(k' \otimes_k k'\) est un domaine (Algèbre, Lemme 09P9). Soit \(\xi \in \Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k')\) un point dont l’image est le point générique de \(\Spec(k' \otimes_k k')\). Soit \(U\) la composante connexe de \(\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k')\) contenant \(\xi\), munie de sa structure réduite induite de sous-schéma fermé. Les deux projections \(U \to \Spec(k')\) sont alors localement de type fini, puisque c’était le cas des projections \(\Spec(k') \times_\mathcal{X} \Spec(k') \to \Spec(k')\) qui sont des changements de base du morphisme \(\Spec(k') \to \mathcal{X}\). En appliquant Variétés, Proposition 04MK, nous voyons que les clôtures intégrales des deux images de \(k'\) dans \(\Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) sont égales. Dans \(\kappa(\xi)\), cela signifie que tout élément de la forme \(\lambda \otimes 1\) est algébriquement dépendant du sous-corps \[1 \otimes k' \subset (\text{corps des fractions de }k' \otimes_k k') \subset \kappa(\xi).\] Comme \(k\) est algébriquement clos, cela n’est possible que si \(k' = k\), ce qui achève la démonstration.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est universellement injectif ;

2. pour tout schéma affine \(Z\) et tout morphisme \(Z \to \mathcal{Y}\), le morphisme \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) est universellement injectif ;

3. compléter ici.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) est immédiate. Supposons (2). Nous allons montrer que \(\Delta_f : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est surjective, ce qui implique (1) d’après le Lemme 0CPN. Considérons un schéma affine \(V\) et un morphisme lisse \(V \to \mathcal{Y}\). Puisque \(g : V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est universellement injectif d’après (2), sa diagonale \(\Delta_g\) est surjective. Or \(\Delta_g\) est le changement de base de \(\Delta_f\) par le morphisme lisse \(V \to \mathcal{Y}\). Comme la famille de ces morphismes \(V \to \mathcal{Y}\) est conjointement surjective, nous concluons que \(\Delta_f\) est surjective.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat surjectif et localement de présentation finie, où \(W\) est un espace algébrique. Si le changement de base \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est universellement injectif, alors \(f\) est universellement injectif.

Démonstration

Observons que la diagonale \(\Delta_g\) du morphisme \(g : W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est le changement de base de \(\Delta_f\) par \(W \to \mathcal{Y}\). Ainsi, si \(\Delta_g\) est surjective, alors \(\Delta_f\) l’est aussi d’après Propriétés des champs, Lemme 04XD. Le lemme résulte donc de la caractérisation (2) du Lemme 0CPN.

Homéomorphismes universels

Soit \(f\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Dans Propriétés des champs, section 04XB nous avons défini ce que signifie pour \(f\) d’être un homéomorphisme universel. En voici une autre caractérisation.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est un homéomorphisme universel (Propriétés des champs, section 04XB) ;

2. pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application d’espaces topologiques \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) est un homéomorphisme.

Démonstration

Supposons (1), et soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Z}\). Par hypothèse, le morphisme d’espaces algébriques \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est un homéomorphisme universel ; en particulier, l’application \(|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |V|\) est un homéomorphisme. D’après Propriétés des champs, section 04XE, dans le diagramme commutatif \[\xymatrix{ |V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[r] \ar[d] & |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \ar[d] \\ |V| \ar[r] & |\mathcal{Z}| }\] les flèches horizontales sont ouvertes et surjectives ; de plus, \[|V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \longrightarrow |V| \times_{|\mathcal{Z}|} |\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] est surjective. Puisque la flèche verticale de gauche est un homéomorphisme, il s’ensuit que celle de droite est un homéomorphisme. Cela démontre (2). L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) résulte des définitions.

Nous pouvons donc adopter la définition naturelle suivante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Nous disons que \(f\) est un homéomorphisme universel si, pour tout morphisme de champs algébriques \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), l’application d’espaces topologiques \[|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\] est un homéomorphisme.

Lemme

Le changement de base d’un homéomorphisme universel de champs algébriques par un morphisme quelconque de champs algébriques est un homéomorphisme universel.

Démonstration

C’est immédiat par définition.

Lemme

Le composé de deux homéomorphismes universels de champs algébriques est un homéomorphisme universel.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat surjectif et localement de présentation finie, où \(W\) est un espace algébrique. Si le changement de base \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est un homéomorphisme universel, alors \(f\) est un homéomorphisme universel.

Démonstration

Supposons que \(g : W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) soit un homéomorphisme universel. Alors \(g\) est universellement injectif ; par conséquent, \(f\) est universellement injectif d’après le Lemme 0DTP. D’autre part, soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme, où \(\mathcal{Z}\) est un champ algébrique. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d]^g & U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \ar[l] \ar[r] & \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ W & U \ar[l] \ar[r] & \mathcal{Z} }\] Par l’hypothèse sur \(g\), la flèche verticale médiane induit un homéomorphisme sur les espaces topologiques. Les morphismes \(U \to \mathcal{Z}\) et \(U \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) sont plats, surjectifs et localement de présentation finie ; ils induisent donc des applications ouvertes sur les espaces topologiques. Nous concluons que \(|\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}| \to |\mathcal{Z}|\) est ouverte. La surjectivité est facile à démontrer ; nous omettons la démonstration.

Propriétés de morphismes locales pour la topologie lisse sur la source et la cible

Étant donnée une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible, voir Descente sur les espaces, Définition 06F8, nous pouvons nous en servir pour définir une propriété correspondante des morphismes de champs algébriques, en imposant l’une ou l’autre des conditions équivalentes du lemme suivant.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Considérons des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques et les flèches verticales sont lisses. Les assertions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout diagramme comme ci-dessus tel que, de plus, \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) soit lisse, le morphisme \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) ;

2. pour un certain diagramme comme ci-dessus où \(a : U \to \mathcal{X}\) est surjectif, le morphisme \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Si \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont représentables par des espaces algébriques, ces assertions équivalent encore à ce que \(f\), considéré comme morphisme d’espaces algébriques, possède la propriété \(\mathcal{P}\). Si, de plus, \(\mathcal{P}\) est stable par tout changement de base et locale pour la topologie fppf sur la base, alors, pour les morphismes \(f\) représentables par des espaces algébriques, elles équivalent encore à ce que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) au sens de Propriétés des champs, section 04XB.

Démonstration

Démontrons l’implication (1) \(\Rightarrow\) (2). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Le morphisme \(U \to \mathcal{X}\) est lui aussi lisse et surjectif, car il est le composé du changement de base \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X}\) et du morphisme choisi \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Nous obtenons donc un diagramme comme en (1). Si (1) est satisfaite, \(h : U \to V\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) ; puisque \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, (2) est satisfaite.

Réciproquement, supposons (2) satisfaite et soient \(U, V, a, b, h\) comme en (2). Soit ensuite \(U', V', a', b', h'\) un diagramme quelconque comme en (1). Considérons \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_h & V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} } \quad\quad \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r]_{h'} & V' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] Pour montrer que (2) implique (1), il faut prouver que \(h'\) possède \(\mathcal{P}\). Considérons à cette fin le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[dd]^h & U \times_\mathcal{X} U' \ar[d] \ar[l] \ar@/^6ex/[dd]^{(h, h')} \ar[r] & U' \ar[dd]^{h'} \\ & U \times_\mathcal{Y} V' \ar[lu] \ar[d] & \\ V & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] d’espaces algébriques. Les flèches horizontales sont lisses, car ce sont des changements de base des morphismes lisses \(V \to \mathcal{Y}\), \(V' \to \mathcal{Y}\), \(U \to \mathcal{X}\) et \(U' \to \mathcal{X}\). D’autre part, \[\xymatrix{ U \times_\mathcal{X} U' \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d] \\ U \times_\mathcal{Y} V' \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V' }\] est cartésien ; la flèche verticale de gauche est donc lisse puisque \(U', V', a', b', h'\) sont comme en (1). Comme \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la cible d’après Descente sur les espaces, Lemme 06F9, partie (2), le changement de base \(U \times_\mathcal{Y} V' \to V \times_\mathcal{Y} V'\) possède \(\mathcal{P}\). Comme \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source d’après Descente sur les espaces, Lemme 06F9, partie (1), nous pouvons précomposer par le morphisme lisse \(U \times_\mathcal{X} U' \to U \times_\mathcal{Y} V'\) et conclure que \((h, h')\) possède \(\mathcal{P}\). Comme \(V \times_\mathcal{Y} V' \to V'\) est lisse, Descente sur les espaces, Lemme 06F9, partie (3), montre que \(U \times_\mathcal{X} U' \to V'\) possède \(\mathcal{P}\). Enfin, puisque \(U \times_X U' \to U'\) est lisse et surjectif et que \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie lisse sur la source (même lemme), nous concluons que \(h'\) possède \(\mathcal{P}\). Cela achève la démonstration de l’équivalence de (1) et (2).

Si \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont représentables, Descente sur les espaces, Lemme 06FA, s’applique et montre que (1) et (2) équivalent à ce que \(f\) possède \(\mathcal{P}\).

Enfin, supposons \(f\) représentable, soient \(U, V, a, b, h\) comme dans la partie (2) du lemme, et supposons \(\mathcal{P}\) stable par tout changement de base. Il faut montrer que, pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to \mathcal{Y}\), le changement de base \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Z \times_\mathcal{Y} U \ar[d] \ar[r] & Z \times_\mathcal{Y} V \ar[d] \\ Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] & Z }\] La flèche horizontale supérieure est un changement de base de \(h\) et possède donc la propriété \(\mathcal{P}\). La flèche verticale de gauche est lisse et surjective, et celle de droite est lisse. Descente sur les espaces, Lemme 06FA, s’applique donc et montre que \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible. Nous disons qu’un morphisme \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques possède la propriété \(\mathcal{P}\) si les conditions équivalentes du Lemme 06FM sont satisfaites.

Remarque

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible et stable par composition. La propriété des morphismes de champs algébriques définie dans la Définition 06FN est alors stable par composition. En effet, soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques possédant la propriété \(\mathcal{P}\). Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\). Enfin, choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Par définition, les morphismes \(V \to W\) et \(U \to V\) possèdent la propriété \(\mathcal{P}\). Ainsi, \(U \to W\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), puisque nous avons supposé \(\mathcal{P}\) stable par composition. La définition montre alors de nouveau que \(g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Remarque

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété des morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible et stable par changement de base. La propriété des morphismes de champs algébriques définie dans la Définition 06FN est alors stable par changement de base. En effet, soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) des morphismes de champs algébriques, et supposons que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Enfin, choisissons un espace algébrique \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} V\). Par définition, le morphisme \(U \to V\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Ainsi, \(V' \times_V U \to V'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), puisque nous avons supposé \(\mathcal{P}\) stable par changement de base. En considérant le diagramme \[\xymatrix{ V' \times_V U \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V' \ar[r] & \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] nous voyons que la flèche horizontale supérieure gauche est lisse et surjective ; la définition montre donc que la projection \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Remarque

Soient \(\mathcal{P}, \mathcal{P}'\) des propriétés des morphismes d’espaces algébriques qui sont locales pour la topologie lisse sur la source et la cible. Supposons que \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\) pour les morphismes d’espaces algébriques. Alors \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\) également pour les propriétés des morphismes de champs algébriques définies dans la Définition 06FN à l’aide de \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{P}'\). Cela résulte immédiatement de la définition.

Morphismes de type fini

La propriété « localement de type fini » des morphismes d’espaces algébriques est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible ; voir Descente sur les espaces, Remarque 06FC. Elle est également stable par changement de base et locale pour la topologie fpqc sur la cible ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XH, et Descente sur les espaces, Lemme 041S. Par conséquent, d’après le Lemme 06FM ci-dessus, nous pouvons définir comme suit ce que signifie pour un morphisme de champs algébriques d’être localement de type fini. Cette définition coïncide, lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques, avec la notion déjà définie dans Propriétés des champs, section 04XB.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Nous disons que \(f\) est localement de type fini si les conditions équivalentes du Lemme 06FM sont satisfaites avec \(\mathcal{P} = \text{localement de type fini}\).

2. Nous disons que \(f\) est de type fini s’il est localement de type fini et quasi-compact.

Lemme

Le composé de morphismes de type fini est de type fini. Il en va de même pour les morphismes localement de type fini.

Démonstration

Le résultat découle de la Remarque 06FP et du Lemme 03XG de Morphismes d’espaces.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme de type fini est de type fini. Il en va de même pour les morphismes localement de type fini.

Démonstration

Le résultat découle de la Remarque 06FQ et du Lemme 03XH de Morphismes d’espaces.

Lemme

Une immersion est localement de type fini.

Démonstration

Le résultat découle de la Remarque 06PS et du Lemme 06ED de Morphismes d’espaces.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Si \(f\) est localement de type fini et si \(\mathcal{Y}\) est localement noethérien, alors \(\mathcal{X}\) est localement noethérien.

Démonstration

Soit \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] un diagramme commutatif où \(U\) et \(V\) sont des schémas, \(V \to \mathcal{Y}\) est lisse et surjectif, et \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est lisse et surjectif. Alors \(U \to V\) est localement de type fini. Si \(\mathcal{Y}\) est localement noethérien, \(V\) l’est aussi. D’après Morphismes, Lemme 01T6, \(U\) est localement noethérien, ce qui signifie que \(\mathcal{X}\) est localement noethérien.

Les deux lemmes suivants seront améliorés plus loin (après l’étude des morphismes de champs algébriques localement de présentation finie).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(W \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat surjectif et localement de présentation finie, où \(W\) est un espace algébrique. Si le changement de base \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est localement de type fini, alors \(f\) est localement de type fini.

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Il faut montrer que \(U \to V\) est localement de type fini. Effectuons maintenant partout le changement de base par \(W \to \mathcal{Y}\) : posons \(U' = W \times_\mathcal{Y} U\), \(V' = W \times_\mathcal{Y} V\), \(\mathcal{X}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), et \(\mathcal{Y}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} = W\). Par changement de base, \(U' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) est encore lisse. La définition des morphismes de champs algébriques localement de type fini et l’hypothèse selon laquelle \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) est localement de type fini montrent donc que \(U' \to V'\) est localement de type fini. Puisque \(V' \to V\) est plat, surjectif et localement de présentation finie, comme changement de base de \(W \to \mathcal{Y}\), Descente sur les espaces, Lemme 041S, montre que \(U \to V\) est localement de type fini, ce qui conclut.

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Supposons \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) localement de type fini et \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) représentable par des espaces algébriques, plat, surjectif et localement de présentation finie. Alors \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) est localement de type fini.

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\). Posons \(U = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), qui est un espace algébrique. Le morphisme \(U \to V\) est plat, surjectif et localement de présentation finie, tandis que \(U \to W\) est localement de type fini. Le lemme se ramène donc au cas des morphismes d’espaces algébriques. Ce cas est Descente sur les espaces, Lemme 06EW.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est localement de type fini, alors \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est localement de type fini.

Démonstration

On peut trouver un diagramme \[\xymatrix{ U \ar[r] \ar[d] & V \ar[r] \ar[d] & W \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Z} }\] où \(U\), \(V\) et \(W\) sont des schémas, la flèche verticale \(W \to \mathcal{Z}\) est lisse et surjective, la flèche \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) est lisse et surjective, et la flèche \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est lisse et surjective. Alors \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} V\) est lui aussi lisse et surjectif (comme composé d’un morphisme lisse surjectif et du changement de base d’un tel morphisme). Par définition, \(U \to W\) est localement de type fini. D’après Morphismes, Lemme 01T8, \(U \to V\) est donc localement de type fini, ce qui signifie à son tour, par définition, que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est localement de type fini.

Points de type fini

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Un point de type fini \(x \in |\mathcal{X}|\) est un point qui peut être représenté par un morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) localement de type fini. Les points de type fini remplacent avantageusement les points fermés pour les espaces algébriques et les champs algébriques. Par exemple, il y en a toujours “assez”.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. Il existe un morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) localement de type fini qui représente \(x\).

2. Il existe un schéma \(U\), un point fermé \(u \in U\) et un morphisme lisse \(\varphi : U \to \mathcal{X}\) tels que \(\varphi(u) = x\).

Démonstration

Soient \(u \in U\) et \(U \to \mathcal{X}\) comme en (2). Alors \(\Spec(\kappa(u)) \to U\) est de type fini, et \(U \to \mathcal{X}\) est représentable et localement de type fini (par Morphismes d’espaces, Lemmes 0468 et 0464). La condition (1) résulte donc du Lemme 06FT.

Réciproquement, supposons que \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) soit localement de type fini et représente \(x\). Soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif, où \(U\) est un schéma. Par hypothèse, \(U \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to U\) est un morphisme d’espaces algébriques localement de type fini. Choisissons un point de type fini \(v\) de \(U \times_\mathcal{X} \Spec(k)\) (il en existe au moins un, voir Morphismes d’espaces, Lemme 06EH). Par Morphismes d’espaces, Lemme 06EI, l’image \(u \in U\) de \(v\) est un point de type fini de \(U\). Par Morphismes, Lemme 02J2, quitte à restreindre \(U\), nous pouvons donc supposer que \(u\) est un point fermé de \(U\) ; autrement dit, (2) est satisfaite.

Définition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. On dit qu’un point \(x \in |\mathcal{X}|\) est un point de type fini⁵ s’il satisfait aux conditions équivalentes du Lemme 06FX. On note \(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}\) l’ensemble des points de type fini de \(\mathcal{X}\).

On peut décrire comme suit l’ensemble des points de type fini.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. On a \[\mathcal{X}_{\text{ft-pts}} = \bigcup\nolimits_{\varphi : U \to \mathcal{X}\text{ lisse}} |\varphi|(U_0)\] où \(U_0\) est l’ensemble des points fermés de \(U\). Ici, on peut faire parcourir à \(U\) soit tous les schémas lisses sur \(\mathcal{X}\), soit tous les schémas affines lisses sur \(\mathcal{X}\).

Démonstration

C’est une conséquence immédiate du Lemme 06FX.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Si \(f\) est localement de type fini, alors \(f(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}) \subset \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\).

Démonstration

Soit \(x \in \mathcal{X}_{\text{ft-pts}}\). Représentons \(x\) par un morphisme localement de type fini \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\). Alors \(f \circ x\) est localement de type fini par le Lemme 06FT. Par conséquent, \(f(x) \in \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Si \(f\) est localement de type fini et surjectif, alors \(f(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}) = \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\).

Démonstration

On a \(f(\mathcal{X}_{\text{ft-pts}}) \subset \mathcal{Y}_{\text{ft-pts}}\) par le Lemme 06G0. Soit \(y \in |\mathcal{Y}|\) un point de type fini. Représentons \(y\) par un morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) localement de type fini. Puisque \(f\) est surjectif, le champ algébrique \(\mathcal{X}_k = \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est non vide ; il possède donc un point de type fini \(x \in |\mathcal{X}_k|\) par le Lemme 06FZ. Or \(\mathcal{X}_k \to \mathcal{X}\) est localement de type fini, car il se déduit de \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) par changement de base (Lemme 06FU). L’image de \(x\) dans \(\mathcal{X}\) est donc un point de type fini par le Lemme 06G0, et elle s’envoie sur \(y\) par construction.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Pour toute partie localement fermée \(T \subset |\mathcal{X}|\), on a \[T \not = \emptyset \Rightarrow T \cap \mathcal{X}_{\text{ft-pts}} \not = \emptyset.\] En particulier, pour toute partie fermée \(T \subset |\mathcal{X}|\), \(T \cap \mathcal{X}_{\text{ft-pts}}\) est dense dans \(T\).

Démonstration

Soit \(i : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) la structure réduite de sous-champ induite sur \(T\), voir Propriétés des champs, Remarque 06FK. Une immersion est localement de type fini, voir le Lemme 06FV. Par le Lemme 06G0, on a donc \(\mathcal{Z}_{\text{ft-pts}} \subset \mathcal{X}_{\text{ft-pts}} \cap T\). Enfin, tout schéma affine non vide \(U\) muni d’un morphisme lisse vers \(\mathcal{Z}\) possède au moins un point fermé ; ainsi \(\mathcal{Z}\) possède au moins un point de type fini par le Lemme 06FZ. Le lemme en résulte.

Voici une autre caractérisation, plus technique, d’un point de type fini d’un champ algébrique. Elle montre notamment que la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe dès que \(x\) est un point de type fini !

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(x\) est un point de type fini,

2. il existe un champ algébrique \(\mathcal{Z}\) dont l’espace topologique sous-jacent \(|\mathcal{Z}|\) est réduit à un point, ainsi qu’un morphisme localement de type fini \(f : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) tel que \(\{x\} = |f|(|\mathcal{Z}|)\), et

3. la gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x\) de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe et le morphisme d’inclusion \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) est localement de type fini.

Démonstration

(Tous les morphismes qui interviennent dans ce paragraphe sont représentables par des espaces algébriques ; les conventions et les résultats de Propriétés des champs, section 04XB, sont donc applicables.) Supposons que \(x\) soit un point de type fini. Choisissons un schéma affine \(U\), un point fermé \(u \in U\) et un morphisme lisse \(\varphi : U \to \mathcal{X}\) tels que \(\varphi(u) = x\), voir le Lemme 06FZ. Comme d’habitude, posons \(u = \Spec(\kappa(u))\). Posons \(R = u \times_\mathcal{X} u\) ; on obtient ainsi un groupoïde en espaces algébriques \((u, R, s, t, c)\), voir Champs algébriques, Lemme 04T4. Chacun des morphismes de projection \(R \to u\) est le composé \[R = u \times_\mathcal{X} u \to u \times_\mathcal{X} U \to u \times_\mathcal{X} X = u\] où la première flèche est de type fini (c’est un changement de base de l’immersion fermée de schémas \(u \to U\)) et la seconde est lisse (c’est un changement de base du morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\)). Par conséquent, \(s, t : R \to u\) sont localement de type fini (comme composés, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XG). Comme \(u\) est le spectre d’un corps, les morphismes \(s, t\) sont plats et localement de présentation finie (par Morphismes d’espaces, Lemme 06G4). Le champ \(\mathcal{Z} = [u/R]\) est donc algébrique par Critères de représentabilité, Théorème 06FI. Par Champs algébriques, Lemme 04T4, on obtient un morphisme canonique \[f : \mathcal{Z} \longrightarrow \mathcal{X}\] qui est pleinement fidèle. Ce morphisme est donc représentable par des espaces algébriques, voir Champs algébriques, Lemme 04Y5, et c’est un monomorphisme, voir Propriétés des champs, Lemme 04ZZ. Il s’ensuit que la gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{X}\) de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe et que \(f\) induit une équivalence \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}_x\), voir Propriétés des champs, Lemme 06MX. Par construction, le diagramme \[\xymatrix{ u \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \mathcal{Z} \ar[r]^f & \mathcal{X} }\] est commutatif. Par Critères de représentabilité, Lemme 06FH, la flèche verticale de gauche est surjective, plate et localement de présentation finie. Considérons \[\xymatrix{ u \times_\mathcal{X} U \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ u \ar[r] & \mathcal{Z} \ar[r]^f & \mathcal{X} }\] Comme \(u \to \mathcal{X}\) est localement de type fini, son changement de base \(u \times_\mathcal{X} U \to U\) est localement de type fini. De plus, \(u \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, car il se déduit de \(u \to \mathcal{Z}\) par changement de base. Ainsi, \(\{u \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U\}\) est un recouvrement fppf d’espaces algébriques ; on en conclut que \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U \to U\) est localement de type fini par Descente sur les espaces, Lemme 06EV. Par définition, cela signifie que \(f\) est localement de type fini (en effet, la flèche verticale \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{Z}\) est lisse, comme changement de base de \(U \to \mathcal{X}\), et surjective puisque \(\mathcal{Z}\) n’a qu’un point). Comme \(\mathcal{Z} = \mathcal{Z}_x\), la condition (3) est satisfaite.

Il est clair que (3) implique (2). Si (2) est satisfaite, alors \(x\) est un point de type fini de \(\mathcal{X}\) par le Lemme 06G0 et le Lemme 06G2, qui montre que \(\mathcal{Z}_{\text{ft-pts}}\) est non vide, autrement dit que l’unique point de \(\mathcal{Z}\) est un point de type fini de \(\mathcal{Z}\).

Groupes d’automorphismes

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) correspondant à \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\). Dans cette situation, nous dirons souvent : “soit \(G_x/k\) l’espace algébrique en groupes des automorphismes de \(x\)”. Cela signifie simplement que \[G_x = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) = \Spec(k) \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\] est l’espace algébrique en groupes des automorphismes de \(x\). C’est un espace algébrique en groupes sur \(\Spec(k)\). Si \(k'/k\) est une extension de corps, l’espace algébrique en groupes des automorphismes du morphisme induit \(x' : \Spec(k') \to \mathcal{X}\) se déduit de \(G_x\) par changement de base à \(\Spec(k')\).

Lemme

Dans la situation ci-dessus, \(G_x\) est un schéma si l’une des conditions suivantes est satisfaite :

1. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est quasi-séparée,

2. \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est localement séparée,

3. \(\mathcal{X}\) est quasi-DM,

4. \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est quasi-séparé,

5. \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est localement séparé, ou

6. \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Le Lemme 0CL0 montre que (1) \(\Rightarrow\) (4), (2) \(\Rightarrow\) (5) et (3) \(\Rightarrow\) (6). Dans le cas (4), \(G_x\) est un espace algébrique quasi-séparé ; dans le cas (5), \(G_x\) est un espace algébrique localement séparé. Dans les deux cas, \(G_x\) est un espace algébrique décent (Espaces décents, section 03I7 et Lemme 088J). Ensuite, \(G_x\) est séparé par Compléments sur les groupoïdes en espaces, Lemme 08BH ; on en conclut que \(G_x\) est un schéma par Compléments sur les groupoïdes en espaces, Proposition 0B8G. Dans le cas (6), \(G_x \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini ; \(G_x\) est donc un schéma par Espaces sur des corps, Lemme 06S0.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique et soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point. Soit \(P\) une propriété des espaces algébriques sur des corps qui soit invariante par extension du corps de base ; par exemple, \(P(X/k) = X \to \Spec(k)\text{ est fini}\). Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour un certain morphisme \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) représentant la classe de \(x\), l’espace algébrique en groupes d’automorphismes \(G_x/k\) vérifie \(P\), et

2. pour tout morphisme \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) représentant la classe de \(x\), l’espace algébrique en groupes d’automorphismes \(G_x/k\) vérifie \(P\).

Démonstration

Démonstration omise.

Remarque

Soit \(P\) une propriété des espaces algébriques sur des corps qui soit invariante par extension du corps de base. Étant donnés un champ algébrique \(\mathcal{X}\) et \(x \in |\mathcal{X}|\), on dit que le groupe d’automorphismes de \(\mathcal{X}\) en \(x\) vérifie \(P\) si les conditions équivalentes du Lemme 0DTT sont satisfaites. Par exemple, on dit que le groupe d’automorphismes de \(\mathcal{X}\) en \(x\) est fini si \(G_x \to \Spec(k)\) est fini pour tout représentant \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) de \(x\). On procède de même pour les propriétés lisse, propre, etc. (Il s’agit manifestement d’un abus de langage, mais nous pensons qu’il n’entraînera ni confusion ni imprécision.)

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour un certain morphisme \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) représentant la classe de \(x\), si l’on pose \(y = f \circ x\), l’application \(G_x \to G_y\) entre les espaces algébriques en groupes d’automorphismes est un isomorphisme, et

2. pour tout morphisme \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) représentant la classe de \(x\), si l’on pose \(y = f \circ x\), l’application \(G_x \to G_y\) entre les espaces algébriques en groupes d’automorphismes est un isomorphisme.

Démonstration

Cela résulte du fait qu’être un isomorphisme est une propriété locale pour la topologie fpqc sur la cible, voir Descente sur les espaces, Lemme 041Y. En effet, supposons que \(k'/k\) soit une extension de corps, notons \(x' : \Spec(k') \to \mathcal{X}\) le composé et posons \(y' = f \circ x'\). Alors le morphisme \(G_{x'} \to G_{y'}\) se déduit de \(G_x \to G_y\) par le changement de base \(\Spec(k') \to \Spec(k)\). Par conséquent, \(G_x \to G_y\) est un isomorphisme si et seulement si \(G_{x'} \to G_{y'}\) en est un. La propriété vaut donc pour toute la classe d’équivalence dès qu’elle vaut pour un représentant.

Remarque

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques, et soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point. Pour exprimer que \(f\) et \(x\) satisfont aux conditions équivalentes du Lemme 0DTV, la littérature dit que \(f\) préserve les stabilisateurs en \(x\) ou que \(f\) reflète les points fixes en \(x\). Nous préférons dire que \(f\) induit un isomorphisme entre les groupes d’automorphismes en \(x\) et en \(f(x)\).

Présentations et propriétés des champs algébriques

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques. Si \(s, t : R \to U\) sont plats et localement de présentation finie, alors le champ quotient \([U/R]\) est un champ algébrique, voir Critères de représentabilité, Théorème 06FI. Dans cette section, nous étudions les conséquences des propriétés de \((U, R, s, t, c)\) pour le champ algébrique \([U/R]\).

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques tel que \(s, t : R \to U\) soient plats et localement de présentation finie. Considérons le champ algébrique \(\mathcal{X} = [U/R]\) (voir ci-dessus).

1. Si \(R \to U \times U\) est séparé, alors \(\Delta_\mathcal{X}\) est séparée.

2. Si \(U\) et \(R\) sont séparés, alors \(\Delta_\mathcal{X}\) est séparée.

3. Si \(R \to U \times U\) est localement quasi-fini, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-DM.

4. Si \(s, t : R \to U\) sont localement quasi-finis, alors \(\mathcal{X}\) est quasi-DM.

5. Si \(R \to U \times U\) est propre, alors \(\mathcal{X}\) est séparé.

6. Si \(s, t : R \to U\) sont propres et si \(U\) est séparé, alors \(\mathcal{X}\) est séparé.

7. Ajouter d’autres cas ici.

Démonstration

Remarquons que le morphisme \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie par Critères de représentabilité, Lemme 06FH. Il en est donc de même de \(U \times U \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\). On a le diagramme cartésien \[\xymatrix{ R = U \times_\mathcal{X} U \ar[r] \ar[d] & U \times U \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times \mathcal{X} }\] (voir Groupoïdes en espaces, Lemme 04M9). Ainsi, \(\Delta_\mathcal{X}\) possède l’une des propriétés énumérées dans Propriétés des champs, section 04XB si et seulement si le morphisme \(R \to U \times U\) la possède, voir Propriétés des champs, Lemme 04XD. Cela démontre (1), (3) et (5). La condition de (2) implique que \(R \to U \times U\) est séparé ; (2) résulte donc de (1). La condition de (4) implique celle de (3) ; (4) résulte donc de (3). La condition de (6) implique celle de (5) par Morphismes d’espaces, Lemme 04NX ; (6) résulte donc de (5).

Lemme

Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques tel que \(s, t : R \to U\) soient plats et localement de présentation finie. Considérons le champ algébrique \(\mathcal{X} = [U/R]\) (voir ci-dessus). Alors l’image de \(|R| \to |U| \times |U|\) est une relation d’équivalence et \(|\mathcal{X}|\) est le quotient de \(|U|\) par cette relation d’équivalence.

Démonstration

Le morphisme induit \(p : U \to \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, voir Critères de représentabilité, Lemme 06FH. Ainsi, \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est surjectif par Propriétés des champs, Lemme 04XI. Notons que \(R = U \times_\mathcal{X} U\), voir Groupoïdes en espaces, Lemme 04M9. Par conséquent, Propriétés des champs, Lemme 04XH, montre que l’application \[|R| \longrightarrow |U| \times_{|\mathcal{X}|} |U|\] est surjective. L’image de \(|R| \to |U| \times |U|\) est donc exactement l’ensemble des couples \((u_1, u_2) \in |U| \times |U|\) tels que \(u_1\) et \(u_2\) aient la même image dans \(|\mathcal{X}|\). En combinant ces deux assertions, on obtient le résultat du lemme.

Présentations particulières des champs algébriques

Dans cette section, nous démontrons deux théorèmes importants. Le premier caractérise les champs quasi-DM \(\mathcal{X}\) comme les champs de la forme \(\mathcal{X} = [U/R]\) pour lesquels \(s, t : R \to U\) sont localement quasi-finis (ainsi que plats et localement de présentation finie). Le second affirme que les champs algébriques DM sont de Deligne–Mumford.

Le lemme suivant donne un critère pour qu’une “tranche” d’une présentation reste plate sur le champ algébrique.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l] }\] où \(U\) est un espace algébrique, \(k\) un corps, et où \(U \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie. Soient \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\) et \(z \in |F|\) tels que les images de \(f_1, \ldots, f_r\) forment une suite régulière dans l’anneau local \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\). Alors, après avoir remplacé \(U\) par un sous-espace ouvert contenant \(p(z)\), le morphisme \[V(f_1, \ldots, f_r) \longrightarrow \mathcal{X}\] est plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Choisissons un schéma \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X}\). Choisissons une extension de corps \(k'/k\) et un morphisme \(w : \Spec(k') \to W\) tels que \(\Spec(k') \to W \to \mathcal{X}\) soit \(2\)-isomorphe à \(\Spec(k') \to \Spec(k) \to \mathcal{X}\). Cela est possible puisque \(W \to \mathcal{X}\) est surjectif. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_\mathcal{X} W \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d] & F' \ar[l]^-{p'} \ar[d] \\ \mathcal{X} & W \ar[l] & \Spec(k') \ar[l] }\] dont les deux carrés sont cartésiens. D’après le choix de \(w\), on a \(F' = F \times_{\Spec(k)} \Spec(k')\). Ainsi \(F' \to F\) est surjectif, et l’on peut choisir un point \(z' \in |F'|\) qui s’envoie sur \(z\). Comme \(F' \to F\) est plat, l’homomorphisme \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}} \to \mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\) est plat, voir Morphismes d’espaces, Lemme 04NG. Les images de \(f_1, \ldots, f_r\) forment donc une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{F', \overline{z}'}\), voir Algèbre, Lemme 00LM. Notons que \(U \times_\mathcal{X} W \to W\) est un morphisme d’espaces algébriques plat et localement de présentation finie. Par Compléments sur les morphismes d’espaces, Lemme 06LW, il existe donc un sous-espace ouvert \(U'\) de \(U \times_\mathcal{X} W\), contenant \(p'(z')\), tel que l’intersection \(U' \cap (V(f_1, \ldots, f_r) \times_\mathcal{X} W)\) soit plate et localement de présentation finie sur \(W\). Notons que \(\text{pr}_0(U')\) est un sous-espace ouvert de \(U\) contenant \(p(z)\), car \(\text{pr}_0\) est lisse, donc ouvert. Or \(U' \cap (V(f_1, \ldots, f_r) \times_\mathcal{X} W) \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie comme composé \[U' \cap (V(f_1, \ldots, f_r) \times_\mathcal{X} W) \to W \to \mathcal{X}.\] Par conséquent, Propriétés des champs, Lemme 06M2, montre que \(\text{pr}_0(U') \cap V(f_1, \ldots, f_r) \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie, comme souhaité.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l] }\] où \(U\) est un espace algébrique, \(k\) un corps, et où \(U \to \mathcal{X}\) est localement de type fini. Soit \(z \in |F|\) tel que \(\dim_z(F) = 0\). Alors, après avoir remplacé \(U\) par un sous-espace ouvert contenant \(p(z)\), le morphisme \[U \longrightarrow \mathcal{X}\] est localement quasi-fini.

Démonstration

Comme \(f : U \to \mathcal{X}\) est localement de type fini, il existe un ouvert maximal \(W(f) \subset U\) tel que la restriction \(f|_{W(f)} : W(f) \to \mathcal{X}\) soit localement quasi-finie, voir Propriétés des champs, Remarque 06M5 (06M7). Il suffit donc de montrer que \(p(z)\) appartient à \(W(f)\). De plus, la remarque citée ci-dessus montre aussi que la formation de \(W(f)\) commute à tout changement de base par un morphisme représentable par des espaces algébriques. Il suffit donc de montrer que le morphisme \(F \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini en \(z\). Cela résulte immédiatement de Morphismes d’espaces, Lemme 04NV.

Un champ quasi-DM admet un “recouvrement” localement quasi-fini par un schéma.

Théorème

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est quasi-DM, et

2. il existe un schéma \(W\) et un morphisme \(W \to \mathcal{X}\) surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini.

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (1) est le contenu du Lemme 06MB. Supposons (1). Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point de type fini. Nous allons construire un schéma sur \(\mathcal{X}\) qui “convient” dans un voisinage de \(x\). À la fin de la démonstration, nous prendrons la réunion disjointe de tous ces schémas.

Soient \(U\) un schéma affine, \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse et \(u \in U\) un point fermé qui s’envoie sur \(x\), voir le Lemme 06FX. Notons, comme d’habitude, \(u = \Spec(\kappa(u))\). Considérons le diagramme commutatif suivant \[\xymatrix{ u \ar[d] & R \ar[l] \ar[d] \\ U \ar[d] & F \ar[d] \ar[l]^p \\ \mathcal{X} & u \ar[l] }\] dont les deux carrés sont des carrés de produit fibré ; en particulier, \(R = u \times_\mathcal{X} u\). Dans la démonstration du Lemme 06G3, nous avons vu que \((u, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques dont les morphismes \(s, t\) sont localement de type fini. Soit \(G \to u\) l’espace algébrique en groupes stabilisateur (voir Groupoïdes en espaces, Définition 0448). Notons que \[G = R \times_{(u \times u)} u = (u \times_\mathcal{X} u) \times_{(u \times u)} u = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}} u.\] Comme \(\mathcal{X}\) est quasi-DM, \(G\) est localement quasi-fini sur \(u\). Par Compléments sur les groupoïdes en espaces, Lemme 06FF on a \(\dim(R) = 0\).

Soit \(e : u \to R\) l’identité du groupoïde. Le composé \(u \to R \to u\) est le morphisme identité de \(u\). Notons que \(R \subset F\) est un sous-espace fermé, puisque \(u \subset U\) est un sous-schéma fermé. On peut donc aussi voir \(e\) comme un point de \(F\) ; notons-le \(z\). Considérons les homomorphismes d’anneaux locaux étales \[\mathcal{O}_{U, u} \xrightarrow{p^\sharp} \mathcal{O}_{F, \overline{z}} \longrightarrow \mathcal{O}_{R, \overline{e}}\] L’anneau \(\mathcal{O}_{R, \overline{e}}\) est de dimension \(0\) d’après le premier paragraphe. D’autre part, le noyau de la seconde flèche est \(p^\sharp(\mathfrak m_u)\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\), puisque \(R\) est défini dans \(F\) par \(\mathfrak m_u\). Ainsi, \[\mathfrak m_{\overline{z}} = \sqrt{p^\sharp(\mathfrak m_u)\mathcal{O}_{F, \overline{z}}}\] D’autre part, puisque le morphisme \(U \to \mathcal{X}\) est lisse, \(F \to u\) est un morphisme lisse d’espaces algébriques. Cela signifie que \(F\) est un espace algébrique régulier (Espaces sur des corps, Lemme 06M1). Par conséquent, \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\) est un anneau local régulier (Propriétés des espaces, Lemme 06LQ). Rappelons qu’un anneau local régulier est de Cohen–Macaulay (Algèbre, Lemme 00NQ). Posons \(d = \dim(\mathcal{O}_{F, \overline{z}})\). Par Algèbre, Lemme 06LC, on peut trouver \(f_1, \ldots, f_d \in \mathcal{O}_{U, u}\) dont les images \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)\) forment une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{F, \overline{z}}\). Par le Lemme 06MD, quitte à restreindre \(U\), nous pouvons supposer que \(Z = V(f_1, \ldots, f_d) \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie. Par construction, \(F_Z = Z \times_\mathcal{X} u\) est un sous-espace fermé de \(F = U \times_\mathcal{X} u\), le point \(z\) appartient à ce sous-espace fermé, et \[\dim(\mathcal{O}_{F_Z, \overline{z}}) = 0.\] Par Morphismes d’espaces, Lemme 04NQ, il s’ensuit que \(\dim_z(F_Z) = 0\), car le degré de transcendance de \(z\) relativement à \(u\) est nul. Le Lemme 06ME montre donc que, quitte à restreindre encore \(U\), le morphisme \(Z \to \mathcal{X}\) est localement quasi-fini.

Nous concluons que, pour tout point de type fini \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un morphisme \(f_x : Z_x \to \mathcal{X}\) localement quasi-fini, plat et localement de présentation finie, tel que \(x\) appartienne à l’image de \(|f_x|\). Posons \(W = \coprod_x Z_x\) et \(f = \coprod f_x\). Alors \(f\) est plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini. En particulier, l’image de \(|f|\) est ouverte, voir Propriétés des champs, Lemme 04XL. Par construction, l’image contient tous les points de type fini de \(\mathcal{X}\) ; le morphisme \(f\) est donc surjectif par le Lemme 06G2 (et Propriétés des champs, Lemme 04XI).

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique DM, localement noethérien et réduit, tel que \(|\mathcal{Z}|\) soit réduit à un point. Alors il existe un corps \(k\) et un morphisme étale surjectif \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\).

Démonstration

Par Propriétés des champs, Lemme 06MP, il existe un corps \(k\) et un morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) surjectif, plat et localement de présentation finie. Posons \(U = \Spec(k)\) et \(R = U \times_\mathcal{Z} U\) ; on obtient ainsi un groupoïde en espaces algébriques \((U, R, s, t, c)\), voir Champs algébriques, Lemme 02ZY. Notons que, par Champs algébriques, Remarque 04WY, on a une équivalence \[f_{can} : [U/R] \longrightarrow \mathcal{Z}\] Les projections \(s, t : R \to U\) sont localement de présentation finie. Comme \(\mathcal{Z}\) est DM, l’espace algébrique en groupes stabilisateur \[G = U \times_{U \times U} R = U \times_{U \times U} (U \times_\mathcal{Z} U) = U \times_{\mathcal{Z} \times \mathcal{Z}, \Delta_\mathcal{Z}} \mathcal{Z}\] est non ramifié sur \(U\). En particulier, \(\dim(G) = 0\) et, par Compléments sur les groupoïdes en espaces, Lemme 06FF on a \(\dim(R) = 0\). Il s’ensuit que \(R\) est un schéma, voir Espaces sur des corps, Lemme 06LZ. Par Variétés, Lemme 06LH, \(R\) (ainsi que \(G\)) est réunion disjointe de spectres d’anneaux locaux artiniens, finis sur \(k\) aussi bien par \(s\) que par \(t\). Soit \(P = \Spec(A) \subset R\) le sous-schéma ouvert et fermé dont le point sous-jacent est l’identité \(e\) du schéma en groupoïdes \((U, R, s, t, c)\). Comme \(s \circ e = t \circ e = \text{id}_{\Spec(k)}\), l’anneau \(A\) est local artinien et son corps résiduel s’identifie à \(k\) aussi bien par \(s^\sharp : k \to A\) que par \(t^\sharp : k \to A\). Notons que \(s, t : \Spec(A) \to \Spec(k)\) sont finis (par le lemme cité ci-dessus). Puisque \(G \to \Spec(k)\) est non ramifié, on a \[G \cap P = P \times_{U \times U} U = \Spec(A \otimes_{k \otimes k} k)\] qui est non ramifié sur \(k\). D’autre part, \(A \otimes_{k \otimes k} k\) est local, comme quotient de \(A\), et admet une surjection sur \(k\). On en conclut que \(A \otimes_{k \otimes k} k = k\). Il s’ensuit que \(P \to U \times U\) est universellement injectif (car \(P\) n’a qu’un point, de corps résiduel \(k\)), non ramifié (d’après le calcul ci-dessus de la fibre sur l’unique point image) et de type fini (parce que \(s, t\) le sont) ; c’est donc un monomorphisme (voir Morphismes étales, Lemme 05VH). Ainsi, \(s|_P, t|_P : P \to U\) définissent une relation d’équivalence finie plate. La Proposition 03BM de Groupoïdes montre alors que \(U/P\) existe et est un schéma \(\overline{U}\). De plus, \(U \to \overline{U}\) est fini localement libre et \(P = U \times_{\overline{U}} U\). En fait, \(\overline{U} = \Spec(k_0)\), où \(k_0 \subset k\) est l’anneau des fonctions invariantes par \(R\). Comme \(k\) est un corps, la définition donnée dans Groupoïdes, Équation (03BF), montre que \(k_0\) est un corps.

Nous affirmons que [06N1]\[\begin{equation} \Spec(k_0) = \overline{U} = U/P \to [U/R] = \mathcal{Z} \end{equation}\] est le morphisme étale surjectif cherché. Il résulte de Propriétés des champs, Lemme 06MM, que ce morphisme est surjectif. Il suffit donc de montrer que (06N1) est étale⁶. Au lieu de démontrer directement l’étalité, appliquons d’abord Amorçage, Lemme 04S4. Il existe alors un schéma en groupoïdes \((\overline{U}, \overline{R}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) tel que \((U, R, s, t, c)\) soit la restriction de \((\overline{U}, \overline{R}, \overline{s}, \overline{t}, \overline{c})\) par le morphisme quotient \(U \to \overline{U}\). (Nous avons vérifié ci-dessus toutes les hypothèses du lemme, hormis que \(j : R \to U \times U\) est séparé et localement quasi-fini ; cela résulte du fait que \(R\) est un schéma séparé localement quasi-fini sur \(k\).) Comme \(U \to \overline{U}\) est fini localement libre, \([U/R] \to [\overline{U}/\overline{R}]\) est une équivalence, voir Groupoïdes en espaces, Lemme 046T.

Notons que \(s, t\) sont les changements de base des morphismes \(\overline{s}, \overline{t}\) par \(U \to \overline{U}\). Comme \(\{U \to \overline{U}\}\) est un recouvrement fppf, on en conclut que \(\overline{s}, \overline{t}\) sont plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis, voir Descente, Lemmes 02L2, 02KY et 02VI. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \times_{\overline{U}} U \ar@{=}[r] \ar[rd] & P \ar[r] \ar[d] & R \ar[d] \\ & \overline{U} \ar[r]^{\overline{e}} & \overline{R} }\] Il est général, pour les restrictions, que les quatre sommets extérieurs forment un diagramme cartésien. L’égalité montre que le carré intérieur est cartésien. Comme \(P\) est ouvert dans \(R\), on en conclut que \(\overline{e}\) est une immersion ouverte par Descente, Lemme 02L3.

Bien entendu, si \(\overline{e}\) est une immersion ouverte et si \(\overline{s}, \overline{t}\) sont plats et localement de présentation finie, alors les morphismes \(\overline{t}, \overline{s}\) sont étales. On peut le voir, par exemple, en appliquant Compléments sur les groupoïdes, Lemme 04R9, qui montre que \(\Omega_{\overline{R}/\overline{U}} = 0\) implique que \(\overline{s}, \overline{t} : \overline{R} \to \overline{U}\) sont non ramifiés (voir Morphismes, Lemme 02G5), ce qui implique à son tour que \(\overline{s}, \overline{t}\) sont étales (voir Morphismes, Lemme 02GV). Ainsi, \(\mathcal{Z} = [\overline{U}/\overline{R}]\) est une présentation étale du champ algébrique \(\mathcal{Z}\), et l’on conclut que \(\overline{U} \to \mathcal{Z}\) est étale par Propriétés des champs, Lemme 04XD.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Considérons un diagramme cartésien \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l]^p \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l] }\] où \(U\) est un espace algébrique, \(k\) un corps, et où \(U \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie. Soit \(z \in |F|\) tel que \(F \to \Spec(k)\) soit non ramifié en \(z\). Alors, après avoir remplacé \(U\) par un sous-espace ouvert contenant \(p(z)\), le morphisme \[U \longrightarrow \mathcal{X}\] est étale.

Démonstration

Comme \(f : U \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie, il existe un ouvert maximal \(W(f) \subset U\) tel que la restriction \(f|_{W(f)} : W(f) \to \mathcal{X}\) soit étale, voir Propriétés des champs, Remarque 06M5 (06MA). Il suffit donc de montrer que \(p(z)\) appartient à \(W(f)\). De plus, la remarque citée ci-dessus montre que la formation de \(W(f)\) commute à tout changement de base par un morphisme représentable par des espaces algébriques. Il suffit donc de montrer que \(F \to \Spec(k)\) est étale en \(z\). Ce morphisme est plat et localement de présentation finie, comme changement de base de \(U \to \mathcal{X}\), et, puisque \(F \to \Spec(k)\) est non ramifié en \(z\) par hypothèse, le résultat découle donc de Morphismes d’espaces, Lemme 06LU.

Un champ DM est un champ de Deligne–Mumford.

Théorème

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est DM,

2. \(\mathcal{X}\) est de Deligne–Mumford, et

3. il existe un schéma \(W\) et un morphisme étale surjectif \(W \to \mathcal{X}\).

Démonstration

Rappelons que (3) est la définition de (2), voir Champs algébriques, Définition 03YO. L’implication (3) \(\Rightarrow\) (1) est le contenu du Lemme 06MB. Supposons (1). Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) un point de type fini. Nous allons construire un schéma sur \(\mathcal{X}\) qui “convient” dans un voisinage de \(x\). À la fin de la démonstration, nous prendrons la réunion disjointe de tous ces schémas.

Par le Lemme 06G3, la gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x\) de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe et \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) est localement de type fini. Par le Lemme 06MZ, le champ algébrique \(\mathcal{Z}_x\) est DM. Par le Lemme 06N0, il existe un corps \(k\) et un morphisme étale surjectif \(z : \Spec(k) \to \mathcal{Z}_x\). En particulier, le composé \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\) est localement de type fini (par Morphismes d’espaces, Lemmes 03XG et 06LT).

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\) tels que \(x\) appartienne à l’image de \(|U| \to |\mathcal{X}|\). Considérons le carré de produit fibré suivant \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l] \ar[d] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l]_-x }\] autrement dit \(F = U \times_{\mathcal{X}, x} \Spec(k)\). Par Propriétés des champs, Lemme 04XH, l’espace \(F\) est non vide. Comme \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme, on a \[\Spec(k) \times_{z, \mathcal{Z}_x, z} \Spec(k) = \Spec(k) \times_{x, \mathcal{X}, x} \Spec(k)\] dont les projections vers \(\Spec(k)\) sont étales par construction de \(z\). Comme \[F \times_U F = (\Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k)) \times_{\Spec(k)} F\] les projections \(F \times_U F \to F\) sont elles aussi étales. Il s’ensuit que \(\Delta_{F/U} : F \to F \times_U F\) est étale (voir Morphismes d’espaces, Lemme 05W3). Par Morphismes d’espaces, Lemme 05W5 cela implique que \(\Delta_{F/U}\) est une immersion ouverte ; enfin, par Morphismes d’espaces, Lemme 05W1 il s’ensuit que \(F \to U\) est non ramifié.

Choisissons un schéma affine non vide \(V\) et un morphisme étale \(V \to F\). (On pourrait éviter ce choix en travaillant directement avec \(F\), mais il semble ainsi plus facile d’expliquer ce qui se passe.) Représentons la situation par le diagramme \[\xymatrix{ U \ar[d] & F \ar[l] \ar[d] & V \ar[l] \ar[ld] \\ \mathcal{X} & \Spec(k) \ar[l]_-x }\] Alors \(V \to \Spec(k)\) est un morphisme lisse de schémas et \(V \to U\) un morphisme non ramifié de schémas (voir Morphismes d’espaces, Lemmes 03ZD et 03ZI). Choisissons un point fermé \(v \in V\) tel que l’extension \(k \subset \kappa(v)\) soit finie séparable, voir Variétés, Lemme 056U. Soit \(u \in U\) le point image. L’anneau local \(\mathcal{O}_{V, v}\) est régulier (voir Variétés, Lemme 056S), et l’homomorphisme d’anneaux locaux \[\varphi : \mathcal{O}_{U, u} \longrightarrow \mathcal{O}_{V, v}\] induit par le morphisme \(V \to U\) vérifie \(\varphi(\mathfrak m_u)\mathcal{O}_{V, v} = \mathfrak m_v\), voir Morphismes, Lemme 02GF. On peut donc trouver \(f_1, \ldots, f_d \in \mathcal{O}_{U, u}\) tels que les images \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)\) forment une base de \(\mathfrak m_v/\mathfrak m_v^2\) sur \(\kappa(v)\). Comme \(\mathcal{O}_{V, v}\) est un anneau local régulier, il s’ensuit que \(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)\) forment une suite régulière dans \(\mathcal{O}_{V, v}\) (voir Algèbre, Lemme 00NQ). Après avoir remplacé \(U\) par un voisinage ouvert de \(u\), on peut supposer que \(f_1, \ldots, f_d \in \Gamma(U, \mathcal{O}_U)\). En remplaçant encore \(U\) par un voisinage ouvert éventuellement plus petit de \(u\), on peut supposer que \(V(f_1, \ldots, f_d) \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie, voir le Lemme 06MD. Par construction, \[V(f_1, \ldots, f_d) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \longleftarrow V(f_1, \ldots, f_d) \times_U V\] est étale, et \(V(f_1, \ldots, f_d) \times_U V\) est le sous-schéma fermé \(T \subset V\) défini par \(f_1|_V, \ldots, f_d|_V\). Par construction, \(v \in T\) et \[\mathcal{O}_{T, v} = \mathcal{O}_{V, v}/(\varphi(f_1), \ldots, \varphi(f_d)) = \kappa(v)\] qui est une extension finie séparable de \(k\). Il s’ensuit que \(T \to \Spec(k)\) est non ramifié en \(v\), voir Morphismes, Lemme 02GF. Par définition d’un morphisme non ramifié d’espaces algébriques, cela signifie que \(V(f_1, \ldots, f_d) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to \Spec(k)\) est non ramifié au point image de \(v\) dans \(V(f_1, \ldots, f_d) \times_\mathcal{X} \Spec(k)\). En appliquant le Lemme 06N2, on voit que, quitte à restreindre encore \(U\) à un voisinage ouvert de \(u\), le morphisme \(V(f_1, \ldots, f_d) \to \mathcal{X}\) est étale.

Nous concluons que, pour tout point de type fini \(x\) de \(\mathcal{X}\), il existe un morphisme étale \(f_x : W_x \to \mathcal{X}\) tel que \(x\) appartienne à l’image de \(|f_x|\). Posons \(W = \coprod_x W_x\) et \(f = \coprod f_x\). Alors \(f\) est étale. En particulier, l’image de \(|f|\) est ouverte, voir Propriétés des champs, Lemme 04XL. Par construction, l’image contient tous les points de type fini de \(\mathcal{X}\) ; le morphisme \(f\) est donc surjectif par le Lemme 06G2 (et Propriétés des champs, Lemme 04XI).

Voici un corollaire utile qui montre que les “fibres” d’un morphisme DM de champs algébriques sont de Deligne–Mumford.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme DM de champs algébriques. Alors

1. pour tout champ algébrique DM \(\mathcal{Z}\) et tout morphisme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\), il existe un schéma et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\).

2. pour tout espace algébrique \(Z\) et tout morphisme \(Z \to \mathcal{Y}\), il existe un schéma et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} Z\).

Démonstration

Preuve de (1). Comme \(f\) est DM, son changement de base \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) est DM par le Lemme 050F. Puisque \(\mathcal{Z}\) est DM, il en résulte que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\) est DM par le Lemme 050L. Il existe donc un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\), voir le Théorème 06N3. La partie (2) est un cas particulier de (1), puisqu’un espace algébrique (considéré comme un champ algébrique) est DM par le Lemme 050E.

Le lieu de Deligne–Mumford

Tout champ algébrique admet un plus grand sous-champ ouvert qui soit un champ de Deligne–Mumford ; cela est plus ou moins clair, mais nous en donnons tout de même la démonstration ci-dessous. Bien entendu, ce sous-champ peut être vide, par exemple si \(X = [\Spec(\mathbf{Z})/\mathbf{G}_{m, \mathbf{Z}}]\). Nous caractériserons ci-dessous les points du lieu DM.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Il existe des sous-champs ouverts \[\mathcal{X}'' \subset \mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\] tels que \(\mathcal{X}''\) soit DM et \(\mathcal{X}'\) quasi-DM, et ce sont les plus grands sous-champs ouverts possédant respectivement ces propriétés.

Démonstration

Tout ce que nous affirmons ici est que, si \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) et \(\mathcal{V} \subset \mathcal{X}\) sont des sous-champs ouverts qui sont DM, alors le sous-champ ouvert \(\mathcal{W} \subset \mathcal{X}\) défini par \(|\mathcal{W}| = |\mathcal{U}| \cup |\mathcal{V}|\) est lui aussi DM. (Il en va de même pour quasi-DM.) Même s’il y a là un léger artifice, utilisons le Théorème 06N3 pour le démontrer. D’après ce théorème, on peut choisir des schémas \(U\) et \(V\) et des morphismes étales surjectifs \(U \to \mathcal{U}\) et \(V \to \mathcal{V}\). Alors, bien entendu, \(U \amalg V \to \mathcal{W}\) est étale et surjectif. Le cas quasi-DM se démontre exactement de la même manière en utilisant le Théorème 06MF.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\) le point correspondant à \(x : \Spec(k) \to \mathcal{X}\). Soit \(G_x/k\) l’espace algébrique en groupes des automorphismes de \(x\). Alors

1. \(x\) appartient au lieu DM de \(\mathcal{X}\) si et seulement si \(G_x \to \Spec(k)\) est non ramifié, et

2. \(x\) appartient au lieu quasi-DM de \(\mathcal{X}\) si et seulement si \(G_x \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Preuve de (2). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Considérons le produit fibré \[\xymatrix{ G \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[d] \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] Rappelons que \(G\) est l’espace algébrique en groupes des automorphismes de \(U \to \mathcal{X}\). Par Groupoïdes en espaces, Lemme 0DSJ il existe un plus grand sous-schéma ouvert \(U' \subset U\) tel que \(G_{U'} \to U'\) soit localement quasi-fini. En outre, la formation de \(U'\) commute à tout changement de base. En particulier, les deux images réciproques de \(U'\) dans \(R = U \times_\mathcal{X} U\) sont le même sous-espace ouvert de \(R\) (les deux morphismes \(R \to \mathcal{X}\) sont en effet isomorphes, et leurs espaces algébriques en groupes d’automorphismes sont donc isomorphes). Par conséquent, \(U'\) est l’image réciproque d’un sous-champ ouvert \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) par Propriétés des champs, Lemme 0507 et l’on a un diagramme cartésien \[\xymatrix{ G_{U'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \ar[d] \\ U' \ar[r] & \mathcal{X}' }\] Ainsi, le morphisme \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) est localement quasi-fini, et le Lemme 0CL0, partie (5), montre que \(\mathcal{X}'\) est quasi-DM. D’autre part, si \(\mathcal{W} \subset \mathcal{X}\) est un sous-champ ouvert quasi-DM, l’image réciproque \(W \subset U\) de \(\mathcal{W}\) est contenue dans \(U'\) par construction de \(U'\), puisque \(\mathcal{I}_\mathcal{W} = \mathcal{W} \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) est localement quasi-fini sur \(\mathcal{W}\). Ainsi, \(\mathcal{X}'\) est le lieu quasi-DM. Enfin, choisissons une extension de corps \(K/k\) et un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \Spec(k) \ar[d]^x \\ U \ar[r] & \mathcal{X} }\] On obtient alors un isomorphisme \(G_x \times_{\Spec(k)} \Spec(K) \cong G \times_U \Spec(K)\) entre espaces algébriques en groupes sur \(K\). Par conséquent, \(G_x\) est localement quasi-fini sur \(k\) si et seulement si l’image de \(\Spec(K) \to U\) est contenue dans \(U'\) (utiliser la commutation de la formation de \(U'\) aux changements de base et Groupoïdes en espaces, Lemme 0DSJ appliqué à \(\Spec(K) \to \Spec(k)\) et à \(G_x\)). Ceci achève la preuve de (2). Celle de (1) est exactement la même.

Morphismes localement quasi-finis

La propriété “localement quasi-fini” des morphismes d’espaces algébriques n’est pas locale pour la topologie lisse sur la source et la cible ; nous ne pouvons donc pas utiliser les résultats de la section 06FL pour définir les morphismes localement quasi-finis de champs algébriques. Nous savons déjà ce que signifie être localement quasi-fini pour un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques, voir Propriétés des champs, section 04XB. Pour trouver une condition convenant aux morphismes généraux, faisons l’observation suivante.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Supposons que \(f\) soit représentable par des espaces algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement quasi-fini (au sens de Propriétés des champs, section 04XB), et

2. \(f\) est localement de type fini et, pour tout morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\), où \(k\) est un corps, l’espace \(|\Spec(k) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\) est discret.

Démonstration

Supposons (1). Le morphisme d’espaces algébriques \(\mathcal{X}_k \to \Spec(k)\) est alors localement quasi-fini, car il est un changement de base de \(f\). Ainsi, \(|\mathcal{X}_k|\) est discret par Morphismes d’espaces, Lemme 06RW. Réciproquement, supposons (2). Choisissons un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\), où \(V\) est un schéma. Il suffit de montrer que le morphisme d’espaces algébriques \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est localement quasi-fini, voir Propriétés des champs, Lemme 04XD. Par hypothèse, le morphisme \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est localement de type fini. Pour tout morphisme \(\Spec(k) \to V\), où \(k\) est un corps, \[\Spec(k) \times_V (V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) = \Spec(k) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] a par hypothèse un espace de points discret. On en conclut que \(V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to V\) est localement quasi-fini par Morphismes d’espaces, Lemme 06RW.

Un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques est quasi-DM, voir le Lemme 050E. Avec le lemme précédent, cela montre que la définition suivante est compatible avec la notion déjà existante dans le cas des morphismes représentables par des espaces algébriques.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. On dit que \(f\) est localement quasi-fini si \(f\) est quasi-DM, localement de type fini et si, pour tout morphisme \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\), où \(k\) est un corps, l’espace \(|\mathcal{X}_k|\) est discret.

La condition que \(f\) soit quasi-DM est naturelle. Par exemple, soit \(k\) un corps et considérons le morphisme \(\pi : [\Spec(k)/\mathbf{G}_m] \to \Spec(k)\) dont les fibres sont réduites à un point et qui est localement de type fini. Comme nous le verrons plus loin, ce morphisme est lisse de dimension relative \(-1\), tandis que nous voulons que les morphismes localement quasi-finis aient la dimension relative \(0\). Notons aussi que la section \(\Spec(k) \to [\Spec(k)/\mathbf{G}_m]\) n’a pas de fibres discrètes et n’est donc pas localement quasi-finie. Nous souhaitons en outre la propriété de permanence suivante : si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) est un morphisme de champs algébriques localement quasi-fini sur le champ algébrique \(\mathcal{Y}\), alors \(f\) est localement quasi-fini (un énoncé légèrement plus fort est en fait vrai, voir le Lemme 06UG).

La définition précédente est également justifiée par le Lemme 06UF ci-dessous, qui caractérise la propriété d’être localement quasi-fini par l’existence de “présentations” ou de “recouvrements” convenables de \(\mathcal{X}\) et de \(\mathcal{Y}\).

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme localement quasi-fini est localement quasi-fini.

Démonstration

Nous l’avons vu pour les morphismes quasi-DM au Lemme 050F et pour les morphismes localement de type fini au Lemme 06FU. La condition sur les fibres se conserve manifestement par changement de base.

Lemme

Soit \(\mathcal{X} \to \Spec(k)\) un morphisme localement quasi-fini, où \(\mathcal{X}\) est un champ algébrique et \(k\) un corps. Soit \(f : V \to \mathcal{X}\) un morphisme localement quasi-fini, où \(V\) est un schéma. Alors \(V \to \Spec(k)\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Le Lemme 06FT montre que \(V \to \Spec(k)\) est localement de type fini. Supposons, afin d’obtenir une contradiction, que \(V \to \Spec(k)\) ne soit pas localement quasi-fini. Il existe alors une spécialisation non triviale \(v \leadsto v'\) de points de \(V\), voir Morphismes, Lemme 01TH. En particulier, \(\text{trdeg}_k(\kappa(v)) > \text{trdeg}_k(\kappa(v'))\), voir Morphismes, Lemme 06RU. Comme \(|\mathcal{X}|\) est discret, on a \(|f|(v) = |f|(v')\). Considérons \(R = V \times_\mathcal{X} V\). Alors \(R\) est un espace algébrique et les projections \(s, t : R \to V\) sont localement quasi-finies comme changements de base de \(V \to \mathcal{X}\) (ce morphisme est représentable par des espaces algébriques, si bien que cela résulte de la discussion de Propriétés des champs, section 04XB). Par Propriétés des champs, Lemme 04XH, il existe \(r \in |R|\) tel que \(s(r) = v\) et \(t(r) = v'\). Par Morphismes d’espaces, Lemme 06RX, le degré de transcendance de \(v/k\) est égal à celui de \(r/k\), lui-même égal à celui de \(v'/k\). Cette contradiction démontre le lemme.

Lemme

Un composé de morphismes localement quasi-finis est localement quasi-fini.

Démonstration

Nous l’avons vu pour les morphismes quasi-DM au Lemme 050K et pour les morphismes localement de type fini au Lemme 06FT. Supposons que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) soient localement quasi-finis. Soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\) un morphisme. Il suffit de montrer que \(|\mathcal{X}_k|\) est discret. Par le Lemme 06UB, les morphismes \(\mathcal{X}_k \to \mathcal{Y}_k\) et \(\mathcal{Y}_k \to \Spec(k)\) sont localement quasi-finis. En particulier, \(\mathcal{Y}_k\) est un champ algébrique quasi-DM, voir le Lemme 050N. Par le Théorème 06MF, il existe un schéma \(V\) et un morphisme surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini \(V \to \mathcal{Y}_k\). Le Lemme 06UC montre que \(V\) est localement quasi-fini sur \(k\) ; en particulier, \(|V|\) est discret. Le morphisme \(V \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k \to \mathcal{X}_k\) est surjectif, plat et localement de présentation finie ; l’application \(|V \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k| \to |\mathcal{X}_k|\) est donc surjective et ouverte. Il suffit ainsi de montrer que \(|V \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k|\) est discret. Notons que \(V\) est réunion disjointe de spectres de \(k\)-algèbres locales artiniennes \(A_i\), de corps résiduels \(k_i\), voir Variétés, Lemme 06LH. Il suffit donc de montrer que chacun des espaces \[|\Spec(A_i) \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k| = |\Spec(k_i) \times_{\mathcal{Y}_k} \mathcal{X}_k| = |\Spec(k_i) \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}|\] est discret, ce qui résulte de l’hypothèse que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est localement quasi-fini.

Avant de caractériser les morphismes localement quasi-finis au moyen de recouvrements, faisons-le pour les morphismes quasi-DM.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est quasi-DM,

2. pour tout morphisme \(V \to \mathcal{Y}\), où \(V\) est un espace algébrique, il existe un morphisme surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\), où \(U\) est un espace algébrique, et

3. il existe des espaces algébriques \(U\), \(V\), un morphisme \(V \to \mathcal{Y}\) surjectif, plat et localement de présentation finie, et un morphisme \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini.

Démonstration

L’implication (2) \(\Rightarrow\) (3) est immédiate.

Supposons (1) et soit \(V \to \mathcal{Y}\) comme en (2). Alors \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) est quasi-DM, voir le Lemme 050F. Par le Lemme 050E, l’espace algébrique \(V\) est DM, donc quasi-DM. Ainsi, \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est quasi-DM par le Lemme 050L. On peut donc appliquer le Théorème 06MF pour obtenir le morphisme \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) de (2).

Supposons (3). Soient \(V \to \mathcal{Y}\) et \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) comme en (3). Pour montrer que \(f\) est quasi-DM, il suffit de montrer que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) est quasi-DM, voir le Lemme 06TZ. Le Lemme 06MB montre que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est quasi-DM. Par conséquent, \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) est quasi-DM par le Lemme 050N, et (1) est vérifiée. Ceci achève la démonstration du lemme.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est localement quasi-fini,

2. \(f\) est quasi-DM et, pour tout morphisme \(V \to \mathcal{Y}\), où \(V\) est un espace algébrique, et tout morphisme localement quasi-fini \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\), où \(U\) est un espace algébrique, le morphisme \(U \to V\) est localement quasi-fini,

3. pour tout morphisme \(V \to \mathcal{Y}\) issu d’un espace algébrique \(V\), il existe un morphisme surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\), où \(U\) est un espace algébrique, tel que \(U \to V\) soit localement quasi-fini,

4. il existe des espaces algébriques \(U\), \(V\), un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \(V \to \mathcal{Y}\), et un morphisme \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, tels que \(U \to V\) soit localement quasi-fini.

Démonstration

Supposons (1). Alors \(f\) est quasi-DM par hypothèse. Soient \(V \to \mathcal{Y}\) et \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) comme en (2). Par le Lemme 06UD, le composé \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) est localement quasi-fini. Ainsi, (1) implique (2).

Supposons (2). Soit \(V \to \mathcal{Y}\) comme en (3). Par le Lemme 06UE, on peut trouver un espace algébrique \(U\) et un morphisme surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Par (2), le composé \(U \to V\) est localement quasi-fini. Ainsi, (2) implique (3).

Il est immédiat que (3) implique (4).

Supposons (4). Nous allons établir (1), ce qui achèvera la démonstration. Le Lemme 06UE montre que \(f\) est quasi-DM. Pour montrer que \(f\) est localement de type fini, il suffit de montrer que \(g : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) est localement de type fini, voir le Lemme 06U7. Il suffit ensuite de vérifier que le précomposé de \(g\) avec \(h : U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est localement de type fini, voir le Lemme 06U8. Cela résulte de l’hypothèse que \(g \circ h : U \to V\) est localement quasi-fini ; ainsi, \(f\) est localement de type fini. Enfin, soit \(k\) un corps et soit \(\Spec(k) \to \mathcal{Y}\) un morphisme. Alors \(V \times_\mathcal{Y} \Spec(k)\) est un espace algébrique non vide, localement de présentation finie sur \(k\). Il existe donc une extension finie \(k'/k\) et un morphisme \(\Spec(k') \to V\) tels que le diagramme \[\xymatrix{ \Spec(k') \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] soit commutatif (détails omis). Alors \(\mathcal{X}_{k'} \to \mathcal{X}_k\) est représentable (par des schémas), surjectif et fini localement libre. En particulier, \(|\mathcal{X}_{k'}| \to |\mathcal{X}_k|\) est surjectif et ouvert. Il suffit donc de montrer que \(|\mathcal{X}_{k'}|\) est discret. Puisque \[U \times_V \Spec(k') = U \times_{\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V} \mathcal{X}_{k'}\] le morphisme \(U \times_V \Spec(k') \to \mathcal{X}_{k'}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie (comme changement de base de \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\)). L’application \(|U \times_V \Spec(k')| \to |\mathcal{X}_{k'}|\) est donc surjective et ouverte. Il suffit ainsi de montrer que \(|U \times_V \Spec(k')|\) est discret. Cela résulte du fait que \(U \to V\) est localement quasi-fini (soit par notre définition ci-dessus, soit par la définition originelle pour les morphismes d’espaces algébriques, au moyen de Morphismes d’espaces, Lemme 06RW).

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Supposons que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) soit localement quasi-fini et que \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) soit quasi-DM. Alors \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est localement quasi-fini.

Démonstration

Écrivons \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) comme le composé \[\mathcal{X} \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \longrightarrow \mathcal{Y}\] La seconde flèche est localement quasi-finie comme changement de base de \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\), voir le Lemme 06UB. La première est localement quasi-finie par le Lemme 050I, puisque \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) est quasi-DM. Ainsi, \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est localement quasi-fini par le Lemme 06UD.

Morphismes quasi-finis

Nous avons défini les morphismes “localement quasi-finis” de champs algébriques à la section 06PT, et les morphismes “quasi-compacts” de champs algébriques à la section 050S. Comme un morphisme d’espaces algébriques est, par définition, quasi-fini si et seulement s’il est à la fois localement quasi-fini et quasi-compact (Morphismes d’espaces, Définition 03XJ), nous pouvons définir comme suit ce que signifie être quasi-fini pour un morphisme de champs algébriques. Cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans Propriétés des champs, section 04XB, lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. On dit que \(f\) est quasi-fini si \(f\) est localement quasi-fini (Définition 06PU) et quasi-compact (Définition 050U).

Lemme

Le composé de morphismes quasi-finis est quasi-fini.

Démonstration

Il suffit de combiner les Lemmes 06UD et 050W.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme quasi-fini est quasi-fini.

Démonstration

Il suffit de combiner les Lemmes 06UB et 050V.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(g \circ f\) est quasi-fini et si \(g\) est quasi-séparé et quasi-DM, alors \(f\) est quasi-fini.

Démonstration

Il suffit de combiner les Lemmes 06UG et 050Y.

Morphismes plats

La propriété “être plat” des morphismes d’espaces algébriques est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible, voir Descente sur les espaces, Remarque 06FC. Elle est aussi stable par changement de base et locale pour la topologie fpqc sur la cible, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03MO, et Descente sur les espaces, Lemme 041W. Par le Lemme 06FM ci-dessus, nous pouvons donc définir comme suit ce que signifie être plat pour un morphisme de champs algébriques. Cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans Propriétés des champs, section 04XB, lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. On dit que \(f\) est plat si les conditions équivalentes du Lemme 06FM sont satisfaites avec \(\mathcal{P} = \text{plat}\).

Lemme

Le composé de morphismes plats est plat.

Démonstration

Il suffit de combiner la Remarque 06FP avec Morphismes d’espaces, Lemme 03MN.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme plat est plat.

Démonstration

Il suffit de combiner la Remarque 06FQ avec Morphismes d’espaces, Lemme 03MO.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat surjectif de champs algébriques. Si le changement de base \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est plat, alors \(f\) est plat.

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Alors \(W \to \mathcal{Z}\) est surjectif et plat (Morphismes d’espaces, Lemme 04TA) ; par conséquent, \(W \to \mathcal{Y}\) est surjectif et plat (par Propriétés des champs, Lemme 04ZT, et le Lemme 06PX). Puisque le changement de base de \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) par \(W \to \mathcal{Z}\) est un morphisme plat (Lemme 06PY), nous pouvons remplacer \(\mathcal{Z}\) par \(W\).

Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Il faut montrer que \(U \to V\) est plat. Effectuons maintenant partout le changement de base par \(W \to \mathcal{Y}\) : posons \(U' = W \times_\mathcal{Y} U\), \(V' = W \times_\mathcal{Y} V\), \(\mathcal{X}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), et \(\mathcal{Y}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} = W\). Par changement de base, \(U' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) est encore lisse. Notre définition des morphismes plats de champs algébriques et l’hypothèse que \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) est plat montrent donc que \(U' \to V'\) est plat. Enfin, \(V' \to V\) est surjectif comme changement de base de \(W \to \mathcal{Y}\) ; ainsi, \(U \to V\) est plat par Morphismes d’espaces, Lemme 05VW (2) et la démonstration est achevée.

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est plat et si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est surjectif et plat, alors \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) est plat.

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Nous savons que \(U \to V\) est plat et que \(U \to W\) est plat. De plus, puisque \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est surjectif, \(U \to V\) est surjectif (comme composé de morphismes surjectifs). Le lemme se ramène donc au cas des morphismes d’espaces algébriques, qui est Morphismes d’espaces, Lemme 05VY.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat de champs algébriques. Soit \(\Spec(A) \to \mathcal{Y}\) un morphisme, où \(A\) est un anneau de valuation. Si le point fermé de \(\Spec(A)\) s’envoie sur un point de \(|\mathcal{Y}|\) appartenant à l’image de \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\), alors il existe un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \Spec(A') \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] où \(A \to A'\) est une extension d’anneaux de valuation (Compléments d’algèbre, Définition 0ASG).

Démonstration

Le changement de base \(\mathcal{X}_A \to \Spec(A)\) est plat (Lemme 06PY) et le point fermé de \(\Spec(A)\) appartient à l’image de \(|\mathcal{X}_A| \to |\Spec(A)|\) (Propriétés des champs, Lemme 04XH). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{Y} = \Spec(A)\). Soit \(U \to \mathcal{X}\) un morphisme lisse surjectif, où \(U\) est un schéma. On peut alors appliquer Morphismes d’espaces, Lemme 089F au morphisme \(U \to \Spec(A)\) pour conclure.

Plat en un point

Il nous reste à développer le formalisme général nécessaire pour exprimer qu’un morphisme de champs algébriques possède une propriété donnée en un point. Pour l’instant, le lemme suivant suffit.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Considérons des diagrammes commutatifs \[\vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} } } \quad\text{avec des points} \vcenter{ \xymatrix{ u \in |U| \ar[d] \\ x \in |\mathcal{X}| } }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques, \(b\) est plat, et \((a, h) : U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est plat. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(h\) est plat en \(u\) pour l’un des diagrammes ci-dessus ;

2. \(h\) est plat en \(u\) pour tout diagramme comme ci-dessus.

Démonstration

Supposons donné un second diagramme \(U', V', u', a', b', h'\) satisfaisant aux conditions du lemme. Nous pouvons alors considérer \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_\mathcal{X} U' \ar[l] \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d] \\ V & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] D’après Propriétés des champs, Lemme 04XH, il existe un point \(u'' \in |U \times_\mathcal{X} U'|\) qui s’envoie sur \(u\) et \(u'\). Si \(h\) est plat en \(u\), alors le changement de base \(U \times_V (V \times_\mathcal{Y} V') \to V \times_\mathcal{Y} V'\) est plat en tout point au-dessus de \(u\) ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 05VW. D’autre part, le morphisme \[U \times_\mathcal{X} U' \to U \times_\mathcal{X} (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V') = U \times_\mathcal{Y} V' = U \times_V (V \times_\mathcal{Y} V')\] est plat, car c’est un changement de base de \((a', h')\) ; voir le Lemme 06PY. En composant et en utilisant Morphismes d’espaces, Lemme 05VX, nous concluons que \(U \times_\mathcal{X} U' \to V \times_\mathcal{Y} V'\) est plat en \(u''\). En composant ensuite avec le morphisme plat \(V \times_\mathcal{Y} V' \to V'\), nous voyons que \(U \times_\mathcal{X} U' \to V'\) est plat en \(u''\). Enfin, puisque \(U \times_\mathcal{X} U' \to U'\) est plat en \(u''\) et que \(u''\) s’envoie sur \(u'\), nous concluons que \(U' \to V'\) est plat en \(u'\) d’après Morphismes d’espaces, Lemme 05VY.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Nous disons que \(f\) est plat en \(x\) si les conditions équivalentes du Lemme 0CIC sont satisfaites.

Morphismes de présentation finie

La propriété “être localement de présentation finie” des morphismes d’espaces algébriques est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible, voir Descente sur les espaces, Remarque 06FC. Elle est aussi stable par changement de base et locale pour la topologie fpqc sur la cible, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03XR, et Descente sur les espaces, Lemme 041T. Par le Lemme 06FM ci-dessus, nous pouvons donc définir comme suit ce que signifie être localement de présentation finie pour un morphisme de champs algébriques. Cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans Propriétés des champs, section 04XB, lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. On dit que \(f\) est localement de présentation finie si les conditions équivalentes du Lemme 06FM sont satisfaites avec \(\mathcal{P} = \text{localement de présentation finie}\).

2. On dit que \(f\) est de présentation finie s’il est localement de présentation finie, quasi-compact et quasi-séparé.

Notons qu’un morphisme de présentation finie n’est pas simplement un morphisme quasi-compact qui est localement de présentation finie.

Lemme

Le composé de morphismes de présentation finie est de présentation finie. Il en va de même pour les morphismes localement de présentation finie.

Démonstration

Il suffit de combiner la Remarque 06FP avec Morphismes d’espaces, Lemme 03XQ.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme de présentation finie est de présentation finie. Il en va de même pour les morphismes localement de présentation finie.

Démonstration

Il suffit de combiner la Remarque 06FQ avec Morphismes d’espaces, Lemme 03XR.

Lemme

Un morphisme localement de présentation finie est localement de type fini. Un morphisme de présentation finie est de type fini.

Démonstration

Il suffit de combiner la Remarque 06PS avec Morphismes d’espaces, Lemme 0464.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques.

1. Si \(\mathcal{Y}\) est localement noethérien et \(f\) localement de type fini, alors \(f\) est localement de présentation finie.

2. Si \(\mathcal{Y}\) est localement noethérien et si \(f\) est de type fini et quasi-séparé, alors \(f\) est de présentation finie.

Démonstration

Supposons \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) localement de type fini et \(\mathcal{Y}\) localement noethérien. Il existe donc un diagramme comme dans le Lemme 06FM, avec \(h\) localement de type fini et la flèche verticale \(a\) surjective. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 06G4 \(h\) est localement de présentation finie. Ainsi, \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est localement de présentation finie par définition. Cela prouve (1). Si \(f\) est de type fini et quasi-séparé, il est aussi quasi-compact et quasi-séparé, et (2) en résulte immédiatement.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(g \circ f\) est localement de présentation finie et si \(g\) est localement de type fini, alors \(f\) est localement de présentation finie.

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Le lemme résulte de l’application de Morphismes d’espaces, Lemme 05WT aux morphismes \(U \to V \to W\).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques, de diagonale \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Si \(f\) est localement de type fini, alors \(\Delta\) est localement de présentation finie. Si \(f\) est quasi-séparé et localement de type fini, alors \(\Delta\) est de présentation finie.

Démonstration

Notons que \(\Delta\) est un morphisme au-dessus de \(\mathcal{X}\) (par la seconde projection). Si \(f\) est localement de type fini, alors \(\mathcal{X}\) est de présentation finie sur \(\mathcal{X}\) et \(\text{pr}_2 : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est localement de type fini d’après le Lemme 06FU. La première assertion résulte donc du Lemme 06Q6. La seconde résulte de la première et des définitions (car, par définition, dire que \(f\) est quasi-séparé signifie que \(\Delta_f\) est quasi-compact et quasi-séparé).

Lemme

Une immersion ouverte est localement de présentation finie.

Démonstration

Compte tenu de Propriétés des champs, Définition 04YL, cela résulte de Morphismes d’espaces, Lemme 06CN.

Lemme

Soit \(P\) une propriété de morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie fppf sur la cible et stable par changement de base arbitraire. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques surjectif, plat et localement de présentation finie. Posons \(\mathcal{W} = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Alors \[(f\text{ possède }P) \Leftrightarrow (\text{la projection }\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\text{ possède }P).\] Pour la signification de cet énoncé, voir Propriétés des champs, section 04XB.

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme \(W \to \mathcal{Z}\) surjectif, plat et localement de présentation finie. D’après Propriétés des champs, Lemme 04ZT et les Lemmes 06PX et 06Q3, le composé \(W \to \mathcal{Y}\) est encore surjectif, plat et localement de présentation finie. Posons \(V = W \times_\mathcal{Z} \mathcal{W} = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). D’après Propriétés des champs, Lemme 04XD \(f\) possède \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(V \to W\) la possède, et \(\mathcal{W} \to \mathcal{Z}\) possède \(\mathcal{P}\) si et seulement si \(V \to W\) la possède. Le lemme en résulte.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes d’espaces algébriques qui est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible, et locale pour la topologie fppf sur la cible. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques surjectif, plat et localement de présentation finie. Si le changement de base \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) possède \(\mathcal{P}\), alors \(f\) possède \(\mathcal{P}\).

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) possède \(\mathcal{P}\). Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Observons que \(W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Par la définition même de ce que signifie, pour \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\), posséder \(\mathcal{P}\) (voir la Définition 06FN et le Lemme 06FM), le morphisme \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) possède donc \(\mathcal{P}\). D’autre part, \(W \to \mathcal{Z}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie (Morphismes d’espaces, Lemmes 04TA et 04AJ) ; par conséquent, \(W \to \mathcal{Y}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie (d’après Propriétés des champs, Lemme 04ZT et les Lemmes 06PX et 06Q3). Nous pouvons donc remplacer \(\mathcal{Z}\) par \(W\).

Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Il s’agit de montrer que \(U \to V\) possède \(\mathcal{P}\). Effectuons partout le changement de base par \(W \to \mathcal{Y}\) et posons \(U' = W \times_\mathcal{Y} U\), \(V' = W \times_\mathcal{Y} V\), \(\mathcal{X}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), et \(\mathcal{Y}' = W \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y} = W\). Le morphisme \(U' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) demeure lisse par changement de base. Le Lemme 06FM, utilisé dans la définition de ce que signifie pour \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}' = W\) posséder \(\mathcal{P}\), montre donc que \(U' \to V'\) possède \(\mathcal{P}\). Enfin, \(V' \to V\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, car c’est un changement de base de \(W \to \mathcal{Y}\) ; il s’ensuit que \(U \to V\) possède \(\mathcal{P}\), puisque \(\mathcal{P}\) est locale pour la topologie fppf sur la cible.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques surjectif, plat et localement de présentation finie. Si le changement de base \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est localement de présentation finie, alors \(f\) est localement de présentation finie.

Démonstration

La propriété “être localement de présentation finie” satisfait aux conditions du Lemme 0DN6. Nous avons vu dans l’introduction de cette section qu’elle est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible ; sa localité pour la topologie fppf sur la cible est Descente sur les espaces, Lemme 041T.

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est localement de présentation finie et si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, alors \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) est localement de présentation finie.

Démonstration

Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to W \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Nous savons que \(U \to V\) est plat et localement de présentation finie, et que \(U \to W\) est localement de présentation finie. De plus, puisque \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est surjectif, \(U \to V\) est surjectif (comme composé de morphismes surjectifs). Le lemme se ramène donc au cas des morphismes d’espaces algébriques, lequel est Descente sur les espaces, Lemme 06EV.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques surjectif, plat et localement de présentation finie. Pour tout schéma \(U\) et tout objet \(y\) de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(U\), il existe alors un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}\) et des objets \(x_i\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U_i\) tels que \(f(x_i) \cong y|_{U_i}\) dans \(\mathcal{Y}_{U_i}\).

Démonstration

Nous pouvons considérer \(y\) comme un morphisme \(U \to \mathcal{Y}\). D’après Propriétés des champs, Lemme 04ZU et les Lemmes 06Q4 et 06PY, le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U \to U\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. Soient \(V\) un schéma et \(V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U\) un morphisme lisse surjectif. Le morphisme \(V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U\) est aussi surjectif, plat et localement de présentation finie (voir Morphismes d’espaces, Lemmes 04TA et 04AJ). Ainsi, \(V \to U\) est lui aussi surjectif, plat et localement de présentation finie ; voir Propriétés des champs, Lemme 04ZT et les Lemmes 06Q3 et 06PX. Par conséquent, \(\{V \to U\}\) est le recouvrement fppf recherché et \(x : V \to \mathcal{X}\) est l’objet recherché.

Lemme

Soit \(f_j : \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\), \(j \in J\), une famille de morphismes de champs algébriques, plats et localement de présentation finie, qui sont conjointement surjectifs, c’est-à-dire \(|\mathcal{X}| = \bigcup |f_j|(|\mathcal{X}_j|)\). Alors, pour tout schéma \(U\) et tout objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\), il existe un recouvrement fppf \(\{U_i \to U\}_{i \in I}\), une application \(a : I \to J\) et des objets \(x_i\) de \(\mathcal{X}_{a(i)}\) au-dessus de \(U_i\) tels que \(f_{a(i)}(x_i) \cong y|_{U_i}\) dans \(\mathcal{X}_{U_i}\).

Démonstration

Appliquons le Lemme 06QA au morphisme \(\coprod_{j \in J} \mathcal{X}_j \to \mathcal{X}\). (Il subsiste ici un léger problème ensembliste, dû à notre formalisme, que nous ignorons.) Enfin, un morphisme \(x_i : U_i \to \coprod_{j \in J} \mathcal{X}_j\) équivaut à la donnée d’une décomposition en union disjointe \(U_i = \coprod U_{i, j}\) et de morphismes \(U_{i, j} \to \mathcal{X}_j\). Le recouvrement fppf \(\{U_{i, j} \to U\}\) et les morphismes \(U_{i, j} \to \mathcal{X}_j\) conviennent donc.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) plat et localement de présentation finie. Alors \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est ouverte.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\). Par hypothèse, le morphisme de schémas \(U \to V\) est plat et localement de présentation finie. Ainsi, \(U \to V\) est ouvert d’après Morphismes, Lemme 01UA. Par construction de la topologie sur \(|\mathcal{Y}|\), l’application \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) est ouverte. L’application \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est surjective. Le résultat découle alors de ces faits par topologie élémentaire.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques surjectif, plat et localement de présentation finie. Si le changement de base \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est quasi-compact, alors \(f\) est quasi-compact.

Démonstration

Il faut montrer que, pour tout \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) avec \(\mathcal{Y}'\) quasi-compact, le champ \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est quasi-compact. Posons \(\mathcal{Z}' = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y}'\). Alors \(|\mathcal{Z}'| \to |\mathcal{Y}'|\) est ouverte ; voir le Lemme 06R7. Il existe donc un sous-champ ouvert quasi-compact \(\mathcal{W} \subset \mathcal{Z}'\) dont l’image contient \(\mathcal{Y}'\). Puisque \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est quasi-compact, nous savons que \[\mathcal{W} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = \mathcal{W} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] est quasi-compact. Or l’application \(\mathcal{W} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est surjective, ce qui conclut. Quelques détails sont omis.

Lemme

Soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes composables de champs algébriques, de composé \(h = g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\). Si \(f\) est surjectif, plat, localement de présentation finie et universellement injectif, et si \(h\) est séparé, alors \(g\) est séparé.

Démonstration

Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r]_\Delta \ar[rd] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X} \ar[d] \\ & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} }\] Le carré est cartésien. Il faut montrer que la flèche horizontale inférieure est propre. Nous savons déjà qu’elle est représentable par des espaces algébriques et localement de type fini (Lemme 04XS). Puisque la flèche verticale de droite est surjective, plate et localement de présentation finie, il suffit de montrer que la flèche horizontale supérieure de droite est propre (Lemme 0CPP). Comme \(h\) est séparé, le composé des flèches horizontales supérieures est propre.

Puisque \(f\) est universellement injectif, \(\Delta\) est surjective (Lemme 0CPN). Comme le composé de \(\Delta\) avec la projection \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est l’identité, \(\Delta\) est universellement fermé. D’après Morphismes d’espaces, Lemme 05Z2 nous concluons que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) est séparé, puisque \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) est séparé. Nous utilisons ici le fait que les implications entre propriétés de morphismes d’espaces algébriques se transportent aux mêmes implications entre propriétés de morphismes de champs algébriques représentables par des espaces algébriques ; ceci est expliqué dans Propriétés des champs, section 04XB. Enfin, le même principe et Morphismes d’espaces, Lemme 08AJ, permettent de conclure que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{X}\) est propre.

Gerbes

Une classe importante de champs algébriques est formée des champs de la forme \([B/G]\), où \(B\) est un espace algébrique et \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(B\), plat et localement de présentation finie (agissant trivialement sur \(B\)) ; voir Critères de représentabilité, Lemme 06PL. Un champ algébrique est une gerbe lorsqu’il est localement de cette forme pour la topologie fppf ; voir le Lemme 06QH. Dans cette section, nous examinons brièvement cette notion et la notion relative correspondante.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. On dit que \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) comme champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\) ; voir Champs, Définition 06P2. On dit qu’un champ algébrique \(\mathcal{X}\) est une gerbe s’il existe un morphisme \(\mathcal{X} \to X\), où \(X\) est un espace algébrique, qui fasse de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur \(X\).

La condition que \(\mathcal{X}\) soit une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) se définit uniquement à partir de la topologie et de la théorie des catégories sous-jacentes aux champs algébriques considérés ; mais, comme nous le verrons, elle a des conséquences géométriques. Elle implique par exemple que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie ; voir le Lemme 06QI. La notion absolue est plus délicate à interpréter, car il n’est pas évident à première vue que \(X\) soit bien déterminé. Il l’est néanmoins.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe, alors le faisceau associé au préfaisceau \[(\Sch/S)_{fppf}^{opp} \to \textit{Ens}, \quad U \mapsto \Ob(\mathcal{X}_U)/\!\!\cong\] est un espace algébrique, et \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur celui-ci.

Démonstration

(Dans cette démonstration, l’abus de langage introduit à la section 04XP se révèle particulièrement utile.) Choisissons un morphisme \(\pi : \mathcal{X} \to X\), où \(X\) est un espace algébrique, qui fasse de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur \(X\). Il suffit de montrer que \(X\) est le faisceau associé au préfaisceau \(\mathcal{F}\) affiché dans le lemme. Il existe manifestement une application \(c : \mathcal{F} \to X\). Nous utiliserons les propriétés (2)(a) et (2)(b) de Champs, Lemme 06P1, pour montrer que l’application \(c^\# : \mathcal{F}^\# \to X\) est surjective et injective, donc un isomorphisme ; voir Sites, Lemme 00WN.

Surjectivité : soit \(T\) un schéma et \(f : T \to X\). D’après la propriété (2)(a), il existe un recouvrement fppf \(\{h_i : T_i \to T\}\) et des morphismes \(x_i : T_i \to \mathcal{X}\) tels que \(f \circ h_i\) corresponde à \(\pi \circ x_i\). Ainsi, \(f|_{T_i}\) appartient à l’image de \(c\).

Injectivité : soient \(T\) un schéma et \(x, y : T \to \mathcal{X}\) des morphismes tels que \(c \circ x = c \circ y\). D’après (2)(b), il existe un recouvrement \(\{T_i \to T\}\) et des morphismes \(x|_{T_i} \to y|_{T_i}\) dans la catégorie fibre \(\mathcal{X}_{T_i}\). Les restrictions \(x|_{T_i}, y|_{T_i}\) sont donc égales dans \(\mathcal{F}(T_i)\). Cela prouve, comme voulu, que \(x, y\) définissent la même section de \(\mathcal{F}^\#\) au-dessus de \(T\).

Lemme

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] un produit fibré de champs algébriques. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\), alors \(\mathcal{X}'\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}'\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement des définitions et de Champs, Lemme 06P3.

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) et \(\mathcal{Y}\) une gerbe sur \(\mathcal{Z}\), alors \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur de \(\mathcal{Z}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement de Champs, Lemme 06R3.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] un produit fibré de champs algébriques. Si \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, et si \(\mathcal{X}'\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}'\), alors \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\).

Démonstration

Cela résulte immédiatement du Lemme 06QA et de Champs, Lemme 06P4.

Lemme

Soit \(\pi : \mathcal{X} \to U\) un morphisme d’un champ algébrique vers un espace algébrique, et soit \(x : U \to \mathcal{X}\) une section de \(\pi\). Posons \(G = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x)\) ; voir la Définition 06PP. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(U\), alors :

1. il existe une équivalence canonique de champs en groupoïdes \[x_{can} : [U/G] \longrightarrow \mathcal{X}.\] où \([U/G]\) est le champ quotient pour l’action triviale de \(G\) sur \(U\) ;

2. \(G \to U\) est plat et localement de présentation finie ;

3. \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Posons \(R = U \times_{x, \mathcal{X}, x} U\). Le morphisme \(R \to U \times U\) se factorise par la diagonale \(\Delta_U : U \to U \times U\), puisqu’il se factorise par \(U \times_U U = U\). Ainsi \(R = G\), car \[\begin{align*} G & = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x, x) \\ & = U \times_{x, \mathcal{X}} \mathcal{I}_\mathcal{X} \\ & = U \times_{x, \mathcal{X}} (\mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_S \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}) \\ & = (U \times_{x, \mathcal{X}, x} U) \times_{U \times U, \Delta_U} U \\ & = R \times_{U \times U, \Delta_U} U \\ & = R \end{align*}\] où, pour la quatrième égalité, on utilise Catégories, Lemme 02XF. Soient \(t, s : R \to U\) les projections. La loi de composition \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) construite sur \(R\) dans Champs algébriques, Lemme 04T4, coïncide avec la loi de groupe sur \(G\) (démonstration omise). Ainsi, Champs algébriques, Lemme 04T4, fournit un \(1\)-morphisme canonique pleinement fidèle \[x_{can} : [U/G] \longrightarrow \mathcal{X}\] de champs en groupoïdes sur \((\Sch/S)_{fppf}\). Pour voir que c’est une équivalence, il suffit de montrer qu’il est essentiellement surjectif. Il suffit pour cela de montrer que tout objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus d’un schéma \(T\) provient, localement pour la topologie fppf, de \(x\) par un morphisme \(T \to U\) ; voir Champs, Lemme 046N. Or cela résulte de la condition selon laquelle \(\pi\) fait de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur \(U\) ; voir la propriété (2)(a) de Champs, Lemme 06P1.

D’après Critères de représentabilité, Lemme 06PL, le morphisme \(G \to U\) est plat et localement de présentation finie. Enfin, \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après Critères de représentabilité, Lemme 06FH.

Lemme

Soit \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) ;

2. il existe un espace algébrique \(U\), un espace algébrique en groupes \(G\) sur \(U\), plat et localement de présentation finie, et un morphisme \(U \to \mathcal{Y}\) surjectif, plat et localement de présentation finie, tels que \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} U \cong [U/G]\) au-dessus de \(U\).

Démonstration

Supposons (2). D’après le Lemme 06QF, il suffit, pour prouver (1), de montrer que \([U/G]\) est une gerbe sur \(U\). Cela résulte immédiatement de Groupoïdes en espaces, Lemme 06PF.

Supposons (1). Tout changement de base de \(\pi\) est une gerbe ; voir le Lemme 06QE. Choisissons d’abord un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Nous pouvons ainsi supposer que \(\pi : \mathcal{X} \to V\) est une gerbe sur un schéma. Il existe alors un recouvrement fppf \(\{V_i \to V\}\) tel que la catégorie fibre \(\mathcal{X}_{V_i}\) soit non vide ; voir Champs, Lemme 06P1 (2)(a). Notons que \(U = \coprod V_i \to V\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. Nous pouvons donc remplacer \(V\) par \(U\) et supposer que \(\pi : \mathcal{X} \to U\) est une gerbe sur le schéma \(U\), et qu’il existe un objet \(x\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(U\). D’après le Lemme 06QG, on a alors \(\mathcal{X} = [U/G]\) au-dessus de \(U\), pour un certain espace algébrique en groupes \(G\) sur \(U\), plat et localement de présentation finie.

Lemme

Soit \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\), alors \(\pi\) est surjectif, plat et localement de présentation finie.

Démonstration

D’après Propriétés des champs, Lemme 06PM et les Lemmes 06PZ et 06Q8, il suffit de démontrer le lemme après avoir remplacé \(\pi\) par son changement de base par un morphisme \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) surjectif, plat et localement de présentation finie. D’après le Lemme 06QH, nous pouvons supposer que \(\mathcal{Y} = U\) est un espace algébrique et que \(\mathcal{X} = [U/G]\) au-dessus de \(U\). Le morphisme \(U \to [U/G]\) est alors surjectif, plat et localement de présentation finie ; voir le Lemme 06QG. Il en résulte que \(\pi\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après Propriétés des champs, Lemme 06PN, et les Lemmes 06Q0 et 06Q9.

Proposition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est une gerbe ;

2. \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Supposons (1). Choisissons un morphisme \(\mathcal{X} \to X\) vers un espace algébrique \(X\) qui fasse de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur \(X\). Soit \(X' \to X\) un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie, et posons \(\mathcal{X}' = X' \times_X \mathcal{X}\). Le champ \(\mathcal{X}'\) est une gerbe sur \(X'\) d’après le Lemme 06QE. Les deux carrés du diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & X' \ar[d] \\ \mathcal{I}_\mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[r] & X }\] sont cartésiens ; voir le Lemme 06PQ. Pour montrer que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie, il suffit donc de le vérifier après un tel changement de base, d’après les Lemmes 06PZ et 06Q8. Le Lemme 06QH permet alors de supposer que \(\mathcal{X} = [U/G]\). D’après le Lemme 06QG, \(G\) est plat et localement de présentation finie sur \(U\), et \(x : U \to [U/G]\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. De plus, le changement de base de \(\mathcal{I}_\mathcal{X}\) par \(x\) est \(G\) ; une nouvelle descente, c’est-à-dire les Lemmes 06PZ et 06Q8, montre donc (2).

Réciproquement, supposons (2). Choisissons une présentation lisse \(\mathcal{X} = [U/R]\) ; voir Champs algébriques, section 04T3. Notons \(G \to U\) l’espace algébrique en groupes stabilisateur du groupoïde \((U, R, s, t, c, e, i)\) ; voir Groupoïdes en espaces, Définition 0448. D’après le Lemme 06PR, \(G \to U\) est plat et localement de présentation finie, comme changement de base de \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) ; voir les Lemmes 06PY et 06Q4. Considérons l’action \[a : G \times_{U, t} R \to R, \quad (g, r) \mapsto c(g, r)\] de \(G\) sur \(R\). Pour tout schéma \(T\), cette action est libre sur les points à valeurs dans \(T\), puisque \(R\) est un groupoïde. Ainsi \(R' = R/G\) est un espace algébrique, et le morphisme quotient \(\pi : R \to R'\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après Amorçage, Lemme 06PH. Les projections \(s, t : R \to U\) sont \(G\)-invariantes ; il existe donc des morphismes \(s' , t' : R' \to U\) tels que \(s = s' \circ \pi\) et \(t = t' \circ \pi\). Puisque \(s, t : R \to U\) sont plats et localement de présentation finie, \(s', t'\) le sont aussi ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 05VY, et Descente sur les espaces, Lemme 06EV. Considérons le morphisme \[j' = (t', s') : R' \longrightarrow U \times U.\] Nous affirmons que c’est un monomorphisme. Soient en effet \(T\) un schéma et \(a, b : T \to R'\) des morphismes ayant la même image dans \(U \times U\). Par définition du quotient \(R' = R/G\), il existe un recouvrement fppf \(\{h_j : T_j \to T\}\) tel que \(a \circ h_j = \pi \circ a_j\) et \(b \circ h_j = \pi \circ b_j\), pour des morphismes \(a_j, b_j : T_j \to R\). Puisque \(a_j, b_j\) ont la même image dans \(U \times U\), l’élément \(g_j = c(a_j, i(b_j))\) est un point à valeurs dans \(T_j\) de \(G\) tel que \(c(g_j, b_j) = a_j\). Autrement dit, \(a_j\) et \(b_j\) ont la même image dans \(R'\), ce qui prouve l’affirmation. Comme \(j : R \to U \times U\) est une prérelation d’équivalence (voir Groupoïdes en espaces, Lemme 043X) et que \(R \to R'\) est surjectif (comme morphisme de faisceaux), le morphisme \(j' : R' \to U \times U\) est une relation d’équivalence. Par conséquent, Amorçage, Théorème 04S6, montre que \(X = U/R'\) est un espace algébrique. Enfin, nous affirmons que le morphisme \[\mathcal{X} = [U/R] \longrightarrow X = U/R'\] fait de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur \(X\). Cela résulte de Groupoïdes en espaces, Lemme 06PE, puisque \(R \to R'\) est surjectif, plat et localement de présentation finie (au besoin, utiliser Amorçage, Lemme 04S1, pour voir que cela entraîne l’hypothèse requise).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques qui fait de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur \(\mathcal{Y}\). Alors :

1. \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \to \mathcal{X}\) est plat et localement de présentation finie ;

2. \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie ;

3. étant donnés des espaces algébriques \(T_i\), \(i = 1, 2\), et des morphismes \(x_i : T_i \to \mathcal{X}\), avec \(y_i = f \circ x_i\), le morphisme \[T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \longrightarrow T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2\] est surjectif, plat et localement de présentation finie ;

4. étant donnés un espace algébrique \(T\) et des morphismes \(x_i : T \to \mathcal{X}\), \(i = 1, 2\), avec \(y_i = f \circ x_i\), le morphisme \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) \longrightarrow \mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y_1, y_2)\] est surjectif, plat et localement de présentation finie.

Démonstration

Démonstration de (1). Choisissons un schéma \(Y\) et un morphisme lisse surjectif \(Y \to \mathcal{Y}\). Posons \(\mathcal{X}' = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} Y\). Le Lemme 06PQ fournit les carrés cartésiens \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & Y \ar[d] \\ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} }\] D’après les Lemmes 06PZ et 06Q8, il suffit de montrer que \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) est plat et localement de présentation finie. Cela résulte de la Proposition 06QJ (car \(\mathcal{X}'\) est une gerbe au-dessus de \(Y\) d’après le Lemme 06QE).

Démonstration de (2). Avec les notations ci-dessus, nous pouvons supposer que \(\mathcal{X}' = [Y/G]\) pour un espace algébrique en groupes \(G\) sur \(Y\), plat et localement de présentation finie ; voir le Lemme 06QH. Le changement de base du morphisme \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) au-dessus de \(\mathcal{Y}\) par \(Y \to \mathcal{Y}\) est le morphisme \(\Delta' : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_Y \mathcal{X}'\). Il suffit donc de montrer que \(\Delta'\) est surjectif, plat et localement de présentation finie (voir les Lemmes 06PZ et 06Q8). Autrement dit, il faut montrer que \[[Y/G] \longrightarrow [Y/G \times_Y G]\] est surjectif, plat et localement de présentation finie. En effet, son changement de base par le morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \(Y \to [Y/G \times_Y G]\) est le morphisme \(G \to Y\).

Démonstration de (3). Observons que le diagramme \[\xymatrix{ T_1 \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T_2 \ar[d] \ar[r] & T_1 \times_{y_1, \mathcal{Y}, y_2} T_2 \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] est cartésien. Ainsi (3) résulte de (2).

Démonstration de (4). Cela résulte de l’égalité \[\mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_1, x_2) = (T \times_{x_1, \mathcal{X}, x_2} T) \times_{T \times T, \Delta_T} T\] car le morphisme de (4) est ainsi un changement de base du morphisme de (3).

Proposition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\) ;

2. \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) sont surjectifs, plats et localement de présentation finie.

Démonstration

L’implication (1) \(\Rightarrow\) (2) résulte des Lemmes 06QI et 0CPR.

Supposons (2). Il suffit de prouver (1) après avoir changé \(f\) de base par un morphisme \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) surjectif, plat et localement de présentation finie ; voir le Lemme 06QF (le changement de base de la diagonale de \(f\) est la diagonale du changement de base). Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{Y}\) est un schéma \(Y\). Dans ce cas, \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est un changement de base de \(\Delta\), et la Proposition 06QJ montre que \(\mathcal{X}\) est une gerbe. Il reste à montrer que \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(Y\). Soit \(\mathcal{X} \to X\) le morphisme du Lemme 06QD qui fait de \(\mathcal{X}\) une gerbe au-dessus de l’espace algébrique \(X\) classifiant les classes d’isomorphisme d’objets de \(\mathcal{X}\). Le morphisme \(f : \mathcal{X} \to Y\) se factorise manifestement en \(\mathcal{X} \to X \to Y\). Comme \(f\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, \(X \to Y\) est surjectif comme morphisme de faisceaux fppf (utiliser par exemple le Lemme 06QA). D’autre part, \(X \to Y\) est aussi injectif : pour tout schéma \(T\) et tous points à valeurs dans \(T\), \(x_1, x_2\), de \(X\) ayant même image dans \(Y\), on peut d’abord, localement pour la topologie fppf sur \(T\), relever \(x_1, x_2\) en des objets \(\xi_1, \xi_2\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\), puis déduire que \(\xi_1\) et \(\xi_2\) sont localement isomorphes pour la topologie fppf, puisque \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_Y \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie. On a donc \(x_1 = x_2\) par construction de \(X\). Ainsi \(X = Y\), ce qui achève la démonstration.

Nous disposons maintenant d’un formalisme suffisant pour montrer que les gerbes résiduelles, lorsqu’elles existent, sont des gerbes.

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique réduit et localement noethérien tel que \(|\mathcal{Z}|\) soit un singleton. Alors \(\mathcal{Z}\) est une gerbe sur un espace algébrique \(Z\) réduit et localement noethérien, dont \(|Z|\) est un singleton.

Démonstration

D’après Propriétés des champs, Lemme 06MP, il existe un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \(\Spec(k) \to \mathcal{Z}\), où \(k\) est un corps. Le morphisme \(\mathcal{I}_Z \times_\mathcal{Z} \Spec(k) \to \Spec(k)\) est alors représentable par des espaces algébriques et localement de type fini (comme changement de base de \(\mathcal{I}_\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) ; voir les Lemmes 050Q et 06FU). Il est donc localement de présentation finie ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 06G4. Il est aussi plat, puisque \(k\) est un corps. Les Lemmes 06PZ et 06Q8 montrent donc que \(\mathcal{I}_\mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\) est plat et localement de présentation finie. La Proposition 06QJ implique que \(\mathcal{Z}\) est une gerbe. Soit \(\pi : \mathcal{Z} \to Z\) un morphisme vers un espace algébrique tel que \(\mathcal{Z}\) soit une gerbe sur \(Z\). Le morphisme \(\pi\) est surjectif, plat et localement de présentation finie d’après le Lemme 06QI. Par composition, \(\Spec(k) \to Z\) est donc surjectif, plat et localement de présentation finie ; voir Propriétés des champs, Lemme 04ZT, et les Lemmes 06PX et 06Q3. Enfin, Propriétés des champs, Lemme 06MP, montre que \(|Z|\) est un singleton et que \(Z\) est localement noethérien et réduit.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\), alors \(f\) est un homéomorphisme universel.

Démonstration

D’après le Lemme 06QE, l’hypothèse sur \(f\) est stable par changement de base. Il suffit donc de montrer que l’application \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est un homéomorphisme d’espaces topologiques. Soient \(k\) un corps et \(y\) un objet de \(\mathcal{Y}\) au-dessus de \(\Spec(k)\). D’après la propriété (2)(a) de Champs, Lemme 06P1, il existe un recouvrement fppf \(\{T_i \to \Spec(k)\}\) et des objets \(x_i\) de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T_i\), avec \(f(x_i) \cong y|_{T_i}\). Choisissons \(i\) tel que \(T_i \not = \emptyset\), puis un morphisme \(\Spec(K) \to T_i\) pour un certain corps \(K\). Alors \(k \subset K\) et \(x_i|_K\) est un objet de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(y|_K\). L’application \(|\mathcal{Y}| \to |\mathcal{X}|\) est donc surjective. L’application \(|\mathcal{Y}| \to |\mathcal{X}|\) est aussi injective. En effet, si \(x, x'\) sont des objets de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(\Spec(k)\) dont les images \(f(x), f(x')\) deviennent isomorphes (après une extension) dans \(\mathcal{Y}\), la propriété (2)(b) de Champs, Lemme 06P1, garantit l’existence d’une extension de \(k\) sur laquelle \(x\) et \(x'\) deviennent isomorphes (détails omis). Ainsi, \(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) est continue et bijective ; il suffit de montrer qu’elle est ouverte. Cela résulte des Lemmes 06QI et 06R7.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques tel que \(\mathcal{X}\) soit une gerbe sur \(\mathcal{Y}\). Si \(\Delta_\mathcal{X}\) est quasi-compact, alors \(\Delta_\mathcal{Y}\) l’est aussi.

Démonstration

Considérons le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \times \mathcal{X} \ar[d] \\ & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Y} \times \mathcal{Y} }\] La Proposition 0CPS montre que la flèche supérieure de gauche est surjective. Puisque le composé des flèches horizontales supérieures est quasi-compact, le Lemme 050X montre que la flèche supérieure de droite est quasi-compact. Le carré est cartésien et la flèche verticale de droite est surjective, plate et localement de présentation finie. On conclut donc par le Lemme 0DQK.

Le lemme suivant affirme que les gerbes résiduelles existent en tout point d’un champ algébrique qui est une gerbe.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe, alors, pour tout \(x \in |\mathcal{X}|\), la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe.

Démonstration

Soit \(\pi : \mathcal{X} \to X\) un morphisme de \(\mathcal{X}\) vers un espace algébrique \(X\) qui fasse de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur \(X\). Soit \(Z_x \to X\) l’espace résiduel de \(X\) en \(x\) ; voir Espaces décents, Définition 06R0. Posons \(\mathcal{Z} = \mathcal{X} \times_X Z_x\). D’après le Lemme 06QE, le champ algébrique \(\mathcal{Z}\) est une gerbe sur \(Z_x\). Ainsi \(|\mathcal{Z}| = |Z_x|\) est un singleton (Lemme 06R9). Comme \(\mathcal{Z} \to Z_x\) est localement de présentation finie, en tant que changement de base de \(\pi\) (voir les Lemmes 06QI et 06Q4), le champ \(\mathcal{Z}\) est localement noethérien ; voir le Lemme 06R6. La gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x\) de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe donc et vaut \(\mathcal{Z}_x = \mathcal{Z}_{red}\), la réduction du champ algébrique \(\mathcal{Z}\). En effet, nous avons vu que \(|\mathcal{Z}_{red}|\) est un singleton qui s’envoie sur \(x \in |\mathcal{X}|\) ; ce champ est réduit par construction et localement noethérien (la réduction d’un champ algébrique localement noethérien est localement noethérienne ; détails omis).

Stratification par des gerbes

Le but de cette section est de montrer que de nombreux champs algébriques \(\mathcal{X}\) possèdent une « stratification » par des sous-champs localement fermés \(\mathcal{X}_i \subset \mathcal{X}\) tels que chaque \(\mathcal{X}_i\) soit une gerbe. Cela montre qu’en un certain sens les gerbes sont les briques élémentaires dont est construit tout champ algébrique. Notons que, par stratification, nous entendons ici uniquement que \[|\mathcal{X}| = \bigcup\nolimits_i |\mathcal{X}_i|\] est une stratification de l’espace topologique associé à \(\mathcal{X}\), et rien de plus (dans cette section). On peut donc, sans inconvénient, remplacer \(\mathcal{X}\) par sa réduction (voir Propriétés des champs, section 0508) pour étudier cette stratification.

La proposition suivante affirme qu’il existe (presque toujours) un sous-champ ouvert dense de la réduction de \(\mathcal{X}\).

Proposition

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique réduit tel que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) soit quasi-compact. Il existe alors un sous-champ ouvert dense \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) qui est une gerbe.

Démonstration

D’après la Proposition 06QJ, il suffit de trouver un sous-champ ouvert dense \(\mathcal{U}\) tel que \(\mathcal{I}_\mathcal{U} \to \mathcal{U}\) soit plat et localement de présentation finie. Notons que \(\mathcal{I}_\mathcal{U} = \mathcal{I}_\mathcal{X} \times_\mathcal{X} \mathcal{U}\) ; voir le Lemme 06PQ.

Choisissons une présentation \(\mathcal{X} = [U/R]\). Soit \(G \to U\) l’espace algébrique en groupes stabilisateur du groupoïde \(R\). D’après le Lemme 06PR, \(G \to U\) est le changement de base de \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) ; il est donc quasi-compact (par hypothèse) et localement de type fini (d’après le Lemme 050Q). Soit \(W \subset U\) le plus grand sous-schéma ouvert (éventuellement vide) tel que la restriction \(G_W \to W\) soit plate et localement de présentation finie (nous omettons la preuve de l’existence de \(W\) ; indication : utiliser le caractère local des propriétés). D’après Morphismes d’espaces, Proposition 06QS \(W \subset U\) est dense. Notons que \(W \subset U\) est \(R\)-invariant d’après Compléments sur les groupoïdes en espaces, Lemme 06R4. Ainsi, \(W\) correspond à un sous-champ ouvert \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) d’après Propriétés des champs, Lemme 0507. Comme l’application \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est ouverte et que \(|W| \subset |U|\) est dense, \(\mathcal{U}\) est dense dans \(\mathcal{X}\). Enfin, le morphisme \(\mathcal{I}_\mathcal{U} \to \mathcal{U}\) est plat et localement de présentation finie, car son changement de base par le morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{U}\) est le morphisme \(G_W \to W\), qui est plat et localement de présentation finie par construction. Voir les Lemmes 06PZ et 06Q8.

La proposition précédente implique immédiatement que tout point d’un champ algébrique à inertie quasi-compacte possède une gerbe résiduelle, comme nous le montrerons dans le Lemme 06RD. Il n’existe cependant pas toujours de stratification finie par des gerbes. En voici un exemple.

Exemple

Soit \(k\) un corps. Prenons \(U = \Spec(k[x_0, x_1, x_2, \ldots])\) et faisons agir \(\mathbf{G}_m\) par \(t(x_0, x_1, x_2, \ldots) = (tx_0, t^p x_1, t^{p^2} x_2, \ldots)\) où \(p\) est un nombre premier. Posons \(\mathcal{X} = [U/\mathbf{G}_m]\). C’est un champ algébrique. Il existe une stratification de \(\mathcal{X}\) dont les strates sont les suivantes :

1. \(\mathcal{X}_0\) est le lieu où \(x_0\) est non nul,

2. \(\mathcal{X}_1\) est le lieu où \(x_0\) est nul mais \(x_1\) est non nul,

3. \(\mathcal{X}_2\) est le lieu où \(x_0, x_1\) sont nuls mais \(x_2\) est non nul,

4. et ainsi de suite, et

5. \(\mathcal{X}_{\infty}\) est le lieu où tous les \(x_i\) sont nuls.

Chaque strate est une gerbe sur un schéma, de groupe \(\mu_{p^i}\) pour \(\mathcal{X}_i\) et \(\mathbf{G}_m\) pour \(\mathcal{X}_{\infty}\). Les strates sont des sous-champs localement fermés réduits. Il n’existe pas de stratification plus grossière ayant les mêmes propriétés.

Néanmoins, par induction transfinie, la Proposition 06RC permet de construire des stratifications par des gerbes, éventuellement infinies... !

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique tel que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) soit quasi-compact. Il existe alors un ensemble d’indices bien ordonné \(I\) et, pour tout \(i \in I\), un sous-champ localement fermé réduit \(\mathcal{U}_i \subset \mathcal{X}\) tels que

1. chaque \(\mathcal{U}_i\) est une gerbe,

2. on a \(|\mathcal{X}| = \bigcup_{i \in I} |\mathcal{U}_i|\),

3. \(T_i = |\mathcal{X}| \setminus \bigcup_{i' < i} |\mathcal{U}_{i'}|\) est fermé dans \(|\mathcal{X}|\) pour tout \(i \in I\), et

4. \(|\mathcal{U}_i|\) est ouvert dans \(T_i\).

On peut de plus s’arranger pour que, soit (a) \(|\mathcal{U}_i| \subset T_i\) soit dense, soit (b) \(\mathcal{U}_i\) soit quasi-compact. Dans le cas (a), si l’on choisit \(\mathcal{U}_i\) aussi grand que possible (voir la démonstration pour les détails), la stratification est canonique.

Démonstration

Soit \(T \subset |\mathcal{X}|\) une partie fermée non vide. Pour tout \(T\) de cette sorte, nous allons trouver (resp. choisir) un sous-champ localement fermé réduit \(\mathcal{U}(T) \subset \mathcal{X}\) tel que \(|\mathcal{U}(T)| \subset T\) soit une partie ouverte dense (resp. une partie ouverte non vide et quasi-compacte) de cette dernière. En effet, d’après Propriétés des champs, Lemme 0509 il existe un unique sous-champ fermé réduit \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) tel que \(T = |\mathcal{X}'|\). Notons que \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} = \mathcal{I}_\mathcal{X} \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\) d’après le Lemme 06R5. Ainsi, \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) est quasi-compact en tant que changement de base ; voir le Lemme 050V. La Proposition 06RC implique donc qu’il existe un sous-champ ouvert dense maximal \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}'\) qui est une gerbe (voir la démonstration de cette proposition). Dans le cas (a), posons \(\mathcal{U}(T) = \mathcal{U}\) (ce choix est canonique) ; dans le cas (b), choisissons simplement un ouvert non vide quasi-compact \(\mathcal{U}(T) \subset \mathcal{U}\) ; voir Propriétés des champs, Lemme 04Y9 (l’axiome du choix permet d’effectuer ces choix simultanément pour tous les \(T\)).

Par récurrence transfinie, construisons pour tout ordinal \(\alpha\) une partie fermée \(T_\alpha \subset |\mathcal{X}|\). Pour \(\alpha = 0\), posons \(T_0 = |\mathcal{X}|\). Une fois \(T_\alpha\) construit, posons \[T_{\alpha + 1} = T_\alpha \setminus |\mathcal{U}(T_\alpha)|.\] Si \(\beta\) est un ordinal limite, posons \[T_\beta = \bigcap\nolimits_{\alpha < \beta} T_\alpha.\] Nous affirmons que \(T_\alpha = \emptyset\) pour tout \(\alpha\) assez grand. Supposons en effet que \(T_\alpha \not = \emptyset\) pour tout \(\alpha\). On obtiendrait alors une application injective de la classe des ordinaux dans l’ensemble des parties de \(|\mathcal{X}|\), ce qui est contradictoire.

L’affirmation implique le lemme. Posons en effet \[I = \{\alpha \mid \mathcal{U}_\alpha \not = \emptyset \}.\] D’après l’affirmation, c’est un ensemble bien ordonné. Pour \(i = \alpha \in I\), posons \(\mathcal{U}_i = \mathcal{U}_\alpha\). Ainsi, \(\mathcal{U}_i\) est un sous-champ localement fermé réduit et une gerbe, ce qui donne (1). Par construction, \(T_i = T\alpha\) si \(i = \alpha \in I\), d’où (3). De même, (4) ainsi que (a) ou (b) résultent de notre choix de \(\mathcal{U}(T)\). Enfin, pour établir (2), soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Il existe un plus petit ordinal \(\beta\) tel que \(x \not \in T_\beta\) (puisque les ordinaux sont bien ordonnés). Cet ordinal \(\beta\) est nécessairement un successeur d’après la définition de \(T_\beta\) pour les ordinaux limites. Ainsi, \(\beta = \alpha + 1\) et \(x \in |\mathcal{U}(T_\alpha)|\), ce qui achève la preuve.

Remarque

On peut s’interroger sur le type d’ordre des stratifications canoniques obtenues par la construction de type (a) du Lemme 06RF. Il est naturel de conjecturer que l’ensemble bien ordonné \(I\) est de cardinal au plus \(\aleph_0\). Nous ignorons si cela est vrai ou faux. Si vous le savez, veuillez écrire à stacks.project@gmail.com.

L’espace topologique d’un champ algébrique

Dans cette section, nous appliquons les résultats précédents à l’espace topologique \(|\mathcal{X}|\) associé à un champ algébrique.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique quasi-compact dont la diagonale \(\Delta\) est quasi-compacte. Alors \(|\mathcal{X}|\) est un espace spectral.

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\) ; voir Propriétés des champs, Lemme 04YC. L’application \(|U| \to |\mathcal{X}|\) est alors continue, ouverte et surjective ; voir Propriétés des champs, Lemme 04XL. Les ouverts quasi-compacts de \(|\mathcal{X}|\) forment donc une base de la topologie. Pour deux ouverts quasi-compacts \(W_1, W_2 \subset |\mathcal{X}|\), on peut choisir des ouverts quasi-compacts \(V_1, V_2\) de \(U\) dont les images sont respectivement \(W_1\) et \(W_2\). Comme \(\Delta\) est quasi-compacte, \[V_1 \times_\mathcal{X} V_2 = (V_1 \times V_2) \times_{\mathcal{X} \times \mathcal{X}, \Delta} \mathcal{X}\] est quasi-compact. L’image de \(|V_1 \times_\mathcal{X} V_2|\) dans \(|\mathcal{X}|\) est \(W_1 \cap W_2\) d’après Propriétés des champs, Lemme 04XH. Ainsi, \(W_1 \cap W_2\) est quasi-compact. Pour conclure, il suffit de montrer que \(|\mathcal{X}|\) est sobre ; voir Topologie, Définition 08YG.

Soit \(T \subset |\mathcal{X}|\) une partie fermée irréductible. Il faut montrer que \(T\) possède un unique point générique. Soit \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{X}\) le sous-champ fermé muni de la structure réduite induite correspondant à \(T\) ; voir Propriétés des champs, Définition 050C. Comme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est une immersion fermée, \(\Delta_\mathcal{Z}\) est quasi-compacte : montrons d’abord que \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est quasi-compact comme composé de \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) et de \(\Delta\), puis écrivons \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) comme le composé de \(\Delta_\mathcal{Z}\) et de \(\mathcal{Z} \times \mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\), et appliquons le Lemme 050Y ainsi que le fait que \(\mathcal{Z} \times \mathcal{Z} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}\) est séparé. Nous sommes ainsi ramenés au cas traité dans le paragraphe suivant.

Supposons \(\mathcal{X}\) quasi-compact, \(\Delta\) quasi-compacte, \(\mathcal{X}\) réduit et \(|\mathcal{X}|\) irréductible. Il faut montrer que \(|\mathcal{X}|\) possède un unique point générique. Comme \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est un changement de base de \(\Delta\), le morphisme \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est quasi-compact (Lemme 050V). D’après la Proposition 06RC, il existe donc un sous-champ ouvert dense \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) qui est une gerbe. Autrement dit, \(|\mathcal{U}| \subset |\mathcal{X}|\) est ouvert dense. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{X}\) est une gerbe. Soit \(\mathcal{X} \to X\) un morphisme faisant de \(\mathcal{X}\) une gerbe sur l’espace algébrique \(X\). D’après le Lemme 06R9, on a alors \(|\mathcal{X}| \cong |X|\). En particulier, \(X\) est quasi-compact. D’après le Lemme 0DQL, la diagonale de \(X\) est quasi-compacte, c’est-à-dire que \(X\) est un espace algébrique quasi-séparé. Alors \(|X|\) est spectral d’après Propriétés des espaces, Lemme 0A4G et le résultat en découle.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique quasi-compact et quasi-séparé. Alors \(|\mathcal{X}|\) est un espace spectral.

Démonstration

C’est un cas particulier du Lemme 0DQN.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique dont la diagonale est quasi-compacte (par exemple, si \(\mathcal{X}\) est quasi-séparé). Il existe alors un recouvrement ouvert \(|\mathcal{X}| = \bigcup U_i\) tel que chaque \(U_i\) soit spectral. En particulier, \(|\mathcal{X}|\) est un espace sobre.

Démonstration

Conséquence immédiate du Lemme 0DQN.

Existence des gerbes résiduelles

La gerbe résiduelle d’un point d’un champ algébrique est définie dans Propriétés des champs, Définition 06MU. Nous avons déjà montré que les gerbes résiduelles existent aux points de type fini (Lemme 06G3) et en tout point d’une gerbe (Lemme 06RA). Dans cette section, nous montrons que les gerbes résiduelles existent sur de nombreux champs algébriques. Commençons par l’application annoncée de la Proposition 06RC.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique tel que \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) soit quasi-compact. Alors la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe pour tout \(x \in |\mathcal{X}|\).

Démonstration

Soit \(T = \overline{\{x\}} \subset |\mathcal{X}|\) l’adhérence de \(x\). D’après Propriétés des champs, Lemme 0509 il existe un sous-champ fermé réduit \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) tel que \(T = |\mathcal{X}'|\). Notons que \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} = \mathcal{I}_\mathcal{X} \times_\mathcal{X} \mathcal{X}'\) d’après le Lemme 06R5. Ainsi \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) est quasi-compact comme changement de base, voir le Lemme 050V. La Proposition 06RC implique donc qu’il existe un sous-champ ouvert dense \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}'\) qui est une gerbe. Notons que \(x \in |\mathcal{U}|\), car \(\{x\} \subset T\) est lui aussi dense. Il existe donc une gerbe résiduelle \(\mathcal{Z}_x \subset \mathcal{U}\) de \(\mathcal{U}\) en \(x\), d’après le Lemme 06RA. Il résulte immédiatement des définitions que \(\mathcal{Z}_x \to \mathcal{X}\) est une gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\).

Si le champ est quasi-DM, les gerbes résiduelles existent également. En particulier, elles existent toujours sur les champs de Deligne–Mumford.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique quasi-DM. Alors la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe pour tout \(x \in |\mathcal{X}|\).

Démonstration

Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme \(U \to \mathcal{X}\) surjectif, plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, voir le Théorème 06MF. Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\). Les projections \(s, t : R \to U\) sont surjectives, plates, localement de présentation finie et localement quasi-finies, car ce sont des changements de base du morphisme \(U \to \mathcal{X}\). Il existe un morphisme canonique \([U/R] \to \mathcal{X}\) (voir Champs algébriques, Lemme 04T4), qui est une équivalence puisque \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif, plat et localement de présentation finie, voir Champs algébriques, Remarque 04WY. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{X} = [U/R]\), où \((U, R, s, t, c)\) est un groupoïde en espaces algébriques tel que \(s, t : R \to U\) soient surjectifs, plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis. Posons \[U' = \coprod\nolimits_{u \in U\text{ se projetant sur }x} \Spec(\kappa(u)).\] Le morphisme canonique \(U' \to U\) est un monomorphisme. Posons \[R' = U' \times_\mathcal{X} U' = R \times_{(U \times U)} (U' \times U')\] Comme \(U' \to U\) est un monomorphisme, chacune des deux projections \(s', t' : R' \to U'\) se factorise en un monomorphisme suivi d’un morphisme localement quasi-fini. Puisque \(U'\) est une somme disjointe de spectres de corps, le Lemme 06S1 d’Espaces sur des corps montre que les morphismes \(s', t' : R' \to U'\) sont localement quasi-finis. Comme \(U'\) est une somme disjointe de spectres de corps, les morphismes \(s', t'\) sont aussi plats. Enfin, comme \(s', t'\) sont localement quasi-finis, \(s', t'\) sont localement de type fini et, par suite, \(s', t'\) sont localement de présentation finie (en effet, \(U'\) est une somme disjointe de spectres de corps et, en particulier, est localement noethérien, si bien que le Lemme 06G4 de Morphismes d’espaces s’applique). Ainsi \(\mathcal{Z} = [U'/R']\) est un champ algébrique d’après Critères de représentabilité, Théorème 06FI. Comme \(R'\) est la restriction de \(R\) par \(U' \to U\), le morphisme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme d’après Groupoïdes en espaces, Lemme 046S et Propriétés des champs, Lemme 04ZZ. Puisque \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme, l’application \(|\mathcal{Z}| \to |\mathcal{X}|\) est injective, voir Propriétés des champs, Lemme 0500. D’après Propriétés des champs, Lemme 04XH, l’application \[|U'| = |\mathcal{Z} \times_\mathcal{X} U'| \longrightarrow |\mathcal{Z}| \times_{|\mathcal{X}|} |U'|\] est surjective. Par le choix de \(U'\), il en résulte que l’image de \(|\mathcal{Z}| \to |\mathcal{X}|\) est \(\{x\}\). Ainsi \(|\mathcal{Z}|\) est réduit à un point. Enfin, \(U'\) est par construction localement noethérien et réduit ; autrement dit, \(\mathcal{Z}\) est réduit et localement noethérien. L’image essentielle de \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est donc la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\), voir Propriétés des champs, Lemme 06MX.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique localement noethérien. Alors la gerbe résiduelle de \(\mathcal{X}\) en \(x\) existe pour tout \(x \in |\mathcal{X}|\).

Démonstration

Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme lisse \(U \to \mathcal{X}\) tels que \(x\) appartienne à l’image de l’application continue ouverte \(|U| \to |\mathcal{X}|\). Remplaçons \(\mathcal{X}\) par le sous-champ ouvert correspondant à l’image de \(|U| \to |\mathcal{X}|\), voir Propriétés des champs, Lemme 06FJ. Nous pouvons ainsi supposer que \(\mathcal{X} = [U/R]\) pour un groupoïde lisse \((U, R, s, t, c)\) en espaces algébriques, où \(U\) est un schéma affine noethérien, voir Champs algébriques, section 04T3.

Soit \(E \subset |U|\) l’image réciproque de \(\{x\} \subset |\mathcal{X}|\). Bien sûr, \(E \not = \emptyset\). Puisque \(|U|\) est un espace topologique noethérien, nous pouvons choisir \(u \in E\) tel que \(\overline{\{u\}} \cap E = \{u\}\). Comme d’habitude, nous identifions \(u = \Spec(\kappa(u))\) au spectre de son corps résiduel. Écrivons \[F = u \times_{U, t} R = u \times_\mathcal{X} U \quad\text{et}\quad R' = (u \times u) \times_{(U \times U), (t, s)} R = u \times_\mathcal{X} u\] Munissons en outre \(Z = \overline{\{u\}} \subset U\) de la structure réduite de sous-schéma induite. Notons \(p : F \to U\) le morphisme induit par la seconde projection (on utilise \(s : R \to U\) dans la première description de \(F\) comme produit fibré). Alors \(E\) est l’image ensembliste de \(p\). Le morphisme \(R' \to F\) est un monomorphisme qui se factorise par l’image réciproque \(p^{-1}(Z)\) de \(Z\). Cette image réciproque \(p^{-1}(Z) \subset F\) est un sous-schéma fermé ; l’image de la restriction \(p|_{p^{-1}(Z)} : p^{-1}(Z) \to Z\) est, ensemblistement, contenue dans \(\{u\} \subset Z\) par le choix soigneux de \(u \in E\) fait plus haut. Puisque \(u = \lim W\), où la limite porte sur les sous-schémas ouverts affines non vides du schéma réduit irréductible \(Z\), le morphisme \(p|_{p^{-1}(Z)} : p^{-1}(Z) \to Z\) se factorise par \(u \to Z\). Cela implique clairement que \(R' = p^{-1}(Z)\). En particulier, le morphisme \(t' : R' \to u\) est localement de présentation finie : c’est la composée de l’immersion fermée \(p^{-1}(Z) \to F\) d’espaces algébriques localement noethériens et du morphisme lisse \(\text{pr}_1 : F \to u\) ; voir Morphismes d’espaces, Lemmes 04ZK, 084Q et 03XQ. La restriction \((u, R', s', t', c')\) de \((U, R, s, t, c)\) par \(u \to U\) est donc un groupoïde en espaces algébriques dont \(s'\) et \(t'\) sont plats et localement de présentation finie. Ainsi \(\mathcal{Z} = [u/R']\) est un champ algébrique d’après Critères de représentabilité, Théorème 06FI. Comme \(R'\) est la restriction de \(R\) par \(u \to U\), le morphisme \(\mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) est un monomorphisme d’après Groupoïdes en espaces, Lemme 046S et Propriétés des champs, Lemme 04ZZ. Le champ \(\mathcal{Z}\) est alors isomorphe à la gerbe résiduelle d’après les résultats de Propriétés des champs, section 06ML.

Structure locale étale

Dans cette section, nous commençons à examiner ce que l’on peut dire de la structure locale étale d’un champ algébrique.

Lemme

Soit \(Y\) un espace algébrique. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(Y\). Supposons que \(U \to Y\) soit plat et localement de présentation finie et que \(R \to U \times_Y U\) soit une immersion ouverte. Alors \(X = [U/R] = U/R\) est un espace algébrique et \(X \to Y\) est étale.

Démonstration

Le champ quotient \([U/R]\) est un champ algébrique d’après Critères de représentabilité, théorème 06FI. D’autre part, puisque \(R \to U \times U\) est un monomorphisme, ce champ est un espace algébrique (en vertu de notre abus de langage et d’après Champs algébriques, proposition 04SZ) et il est bien sûr égal à l’espace algébrique \(U/R\) (d’Amorçage, théorème 04S6). Comme \(U \to X\) est surjectif, plat et localement de présentation finie (Amorçage, lemme 06PG), nous en déduisons que \(X \to Y\) est plat et localement de présentation finie d’après Morphismes d’espaces, lemme 05VY et Descente sur les espaces, lemme 0AHC. Enfin, considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ R \ar[d] \ar[r] & U \times_Y U \ar[d] \\ X \ar[r] & X \times_Y X }\] Puisque la flèche verticale de droite est surjective, plate et localement de présentation finie (petit détail omis), nous voyons que \(X \to X \times_Y X\) est une immersion ouverte, car la flèche horizontale supérieure possède cette propriété par hypothèse (utiliser Propriétés des champs, lemme 04XD). Ainsi \(X \to Y\) est non ramifié d’après Morphismes d’espaces, lemme 05W1. Nous concluons à l’aide de Morphismes d’espaces, lemme 06LU.

Lemme

Soit \(S\) un schéma. Soit \((U, R, s, t, c)\) un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\). Supposons que \(s, t\) soient plats et localement de présentation finie. Soit \(P \subset R\) un sous-espace ouvert tel que \((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\) soit un groupoïde en espaces algébriques sur \(S\). Alors \[[U/P] \longrightarrow [U/R]\] est un morphisme de champs algébriques qui est représentable par des espaces algébriques, surjectif et étale.

Démonstration

Puisque \(P \subset R\) est ouvert, \(s|_P\) et \(t|_P\) sont plats et localement de présentation finie. Ainsi \([U/R]\) et \([U/P]\) sont des champs algébriques d’après Critères de représentabilité, théorème 06FI. Pour voir que le morphisme est représentable par des espaces algébriques, il suffit de montrer que \([U/P] \to [U/R]\) est fidèle sur chaque catégorie fibre ; voir Champs algébriques, lemme 04Y5. Cela résulte immédiatement du fait que \(P \to R\) est un monomorphisme et de la description explicite des champs quotients donnée dans Groupoïdes en espaces, lemme 044X. Ceci établi, nous savons ce que signifie le fait que \([U/P] \to [U/R]\) soit surjectif et étale, d’après Champs algébriques, définition 03YK. La surjectivité résulte par exemple de Critères de représentabilité, lemme 06D7 et de la description des objets des champs quotients (voir le lemme cité ci-dessus) sur les spectres de corps. Il reste à prouver que notre morphisme est étale.

Pour cela, il suffit de montrer que \(U \times_{[U/R]} [U/P] \to U\) est étale ; voir Propriétés des champs, lemme 04XD. D’après Groupoïdes en espaces, lemme 04Y4, le produit fibré s’identifie à \([R/P \times_{s, U, t} R]\), le morphisme vers \(U\) étant induit par \(s : R \to U\). Les applications \(s', t' : P \times_{s, U, t} R \to R\) sont définies par \(s' : (p, r) \mapsto r\) et \(t' : (p, r) \mapsto c(p, r)\). Puisque \(P \subset R\) est ouvert, nous en déduisons que \((t', s') : P \times_{s, U, t} R \to R \times_{s, U, s} R\) est une immersion ouverte. Nous pouvons donc appliquer le lemme 0DU1 pour conclure.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Supposons que \(\mathcal{X}\) soit quasi-DM à diagonale séparée (de manière équivalente, \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est localement quasi-fini et séparé). Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Il existe alors un morphisme de champs algébriques \[\mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\] ayant les propriétés suivantes :

1. il existe un point \(u \in |\mathcal{U}|\) dont l’image est \(x\),

2. \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques et étale,

3. \(\mathcal{U} = [U/R]\), où \((U, R, s, t, c)\) est un schéma en groupoïdes, avec \(U\) et \(R\) affines, et \(s, t\) finis, plats et localement de présentation finie.

Démonstration

(L’assertion entre parenthèses résulte des équivalences du lemme 0CL0). Choisissons un schéma affine \(U\) et un morphisme \(U \to \mathcal{X}\) plat, localement de présentation finie et localement quasi-fini, tel que \(x\) soit l’image d’un point \(u \in U\). Cela est possible d’après le théorème 06MF et l’hypothèse que \(\mathcal{X}\) est quasi-DM. Soit \((U, R, s, t, c)\) le groupoïde en espaces algébriques obtenu en posant \(R = U \times_\mathcal{X} U\) ; voir Champs algébriques, lemme 04T4. Soit \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}\) le sous-champ ouvert correspondant à l’image ouverte de \(|U| \to |\mathcal{X}|\) (Propriétés des champs, lemmes 04XL et 06FJ). Il est clair que nous pouvons remplacer \(\mathcal{X}\) par le sous-champ ouvert \(\mathcal{X}'\). Nous pouvons donc supposer que \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif ; alors Champs algébriques, remarque 04WY donne \(\mathcal{X} = [U/R]\). Remarquons que \(s, t : R \to U\) sont plats, localement de présentation finie et localement quasi-finis. Comme \(R = U \times U \times_{(\mathcal{X} \times \mathcal{X})} \mathcal{X}\) et que la diagonale de \(\mathcal{X}\) est séparée, nous voyons que \(R\) est séparé. Par conséquent, \(s, t : R \to U\) sont séparés. Il s’ensuit que \(R\) est un schéma d’après Morphismes d’espaces, proposition 03XX, appliquée à \(s : R \to U\).

Nous avons vérifié ci-dessus que toutes les hypothèses de Compléments sur les groupoïdes en espaces, lemme 04S0 sont satisfaites pour \((U, R, s, t, c)\) et \(u\). Nous pouvons donc trouver un voisinage étale élémentaire \((U', u') \to (U, u)\) tel que la restriction \(R'\) de \(R\) à \(U'\) soit quasi-scindée au-dessus de \(u\). Remarquons que \(R' = U' \times_\mathcal{X} U'\) (petit détail omis ; indication : transitivité des produits fibrés). En remplaçant \((U, R, s, t, c)\) par \((U', R', s', t', c')\) et en rétrécissant \(\mathcal{X}\) comme ci-dessus, nous pouvons supposer que \((U, R, s, t, c)\) admet un quasi-scindage au-dessus de \(u\) (le point \(u\) ne joue désormais plus aucun rôle, comme le montre la note de bas de page de Compléments sur les groupoïdes en espaces, définition 04RK). Soit \(P \subset R\) un quasi-scindage de \(R\) au-dessus de \(u\). Le lemme 0DU2 montre que \[\mathcal{U} = [U/P] \longrightarrow [U/R] = \mathcal{X}\] possède toutes les propriétés voulues.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Supposons que \(\mathcal{X}\) soit quasi-DM à diagonale séparée (de manière équivalente, \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est localement quasi-fini et séparé). Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Supposons que le groupe d’automorphismes de \(\mathcal{X}\) en \(x\) soit fini (remarque 0DTU). Il existe alors un morphisme de champs algébriques \[g : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\] ayant les propriétés suivantes :

1. il existe un point \(u \in |\mathcal{U}|\) dont l’image est \(x\), et \(g\) induit un isomorphisme entre les groupes d’automorphismes en \(u\) et en \(x\) (remarque 0DTW),

2. \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques et étale,

3. \(\mathcal{U} = [U/R]\), où \((U, R, s, t, c)\) est un schéma en groupoïdes, avec \(U\) et \(R\) affines, et \(s, t\) finis, plats et localement de présentation finie.

Démonstration

Remarquons que \(G_x\) est un schéma en groupes d’après le lemme 0DTS. Le début de cette preuve est exactement le même que celui de la preuve du lemme 0DU3. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{X} = [U/R]\), où \((U, R, s, t, c)\) et \(u \in U\), d’image \(x\), satisfont à toutes les hypothèses de Compléments sur les groupoïdes en espaces, lemme 04S0. Notre hypothèse sur \(G_x\) implique que \(G_u\) est fini sur \(u\). Toutes les hypothèses de Compléments sur les groupoïdes en espaces, lemme 0DTE sont donc satisfaites. Nous pouvons par conséquent trouver un voisinage étale élémentaire \((U', u') \to (U, u)\) tel que la restriction \(R'\) de \(R\) à \(U'\) soit scindée au-dessus de \(u\). Remarquons que \(R' = U' \times_\mathcal{X} U'\) (petit détail omis ; indication : transitivité des produits fibrés). En remplaçant \((U, R, s, t, c)\) par \((U', R', s', t', c')\) et en rétrécissant \(\mathcal{X}\) comme ci-dessus, nous pouvons supposer que \((U, R, s, t, c)\) admet un scindage au-dessus de \(u\). Soit \(P \subset R\) un scindage de \(R\) au-dessus de \(u\). Le lemme 0DU2 montre que \[\mathcal{U} = [U/P] \longrightarrow [U/R] = \mathcal{X}\] est représentable par des espaces algébriques et étale. Par construction, \(G_u\) est contenu dans \(P\) ; ce morphisme induit donc l’isomorphisme voulu du groupe d’automorphismes en \(u\) sur celui du point image.

Lemme

Soit \(\mathcal{X}\) un champ algébrique. Supposons que \(\mathcal{X}\) soit quasi-DM à diagonale séparée (de manière équivalente, \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) est localement quasi-fini et séparé). Soit \(x \in |\mathcal{X}|\). Supposons que \(x\) puisse être représenté par un morphisme quasi-compact \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\). Il existe alors un morphisme de champs algébriques \[g : \mathcal{U} \longrightarrow \mathcal{X}\] ayant les propriétés suivantes :

1. il existe un point \(u \in |\mathcal{U}|\) dont l’image est \(x\), et \(g\) induit un isomorphisme entre les gerbes résiduelles en \(u\) et en \(x\),

2. \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) est représentable par des espaces algébriques et étale,

3. \(\mathcal{U} = [U/R]\), où \((U, R, s, t, c)\) est un schéma en groupoïdes, avec \(U\) et \(R\) affines, et \(s, t\) finis, plats et localement de présentation finie.

Démonstration

Le début de cette preuve est exactement le même que celui de la preuve du lemme 0DU3. Nous pouvons donc supposer que \(\mathcal{X} = [U/R]\), où \((U, R, s, t, c)\) et \(u \in U\), d’image \(x\), satisfont à toutes les hypothèses de Compléments sur les groupoïdes en espaces, lemme 04S0. Remarquons que \(u = \Spec(\kappa(u)) \to \mathcal{X}\) est quasi-compact ; voir Propriétés des champs, lemme 0DTK. Considérons le diagramme cartésien \[\xymatrix{ F \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ u \ar[r]^u & \mathcal{X} }\] Puisque \(U\) est un schéma affine et que \(F \to U\) est quasi-compact, \(F\) est quasi-compact. Puisque \(U \to \mathcal{X}\) est localement quasi-fini, \(F \to u\) est localement quasi-fini. Ainsi \(F \to u\) est quasi-fini, et \(F\) est un schéma affine dont l’espace topologique sous-jacent est fini et discret (Espaces sur des corps, lemme 06S0). Remarquons que nous avons un monomorphisme \(u \times_\mathcal{X} u \to F\). En particulier, l’ensemble \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\), qui est l’image de \(|u \times_\mathcal{X} u| \to |R|\), est fini. Nous en concluons que toutes les hypothèses de Compléments sur les groupoïdes en espaces, lemme 04RZ sont satisfaites.

Nous pouvons donc trouver un voisinage étale élémentaire \((U', u') \to (U, u)\) tel que la restriction \(R'\) de \(R\) à \(U'\) soit fortement scindée au-dessus de \(u'\). Remarquons que \(R' = U' \times_\mathcal{X} U'\) (petit détail omis ; indication : transitivité des produits fibrés). En remplaçant \((U, R, s, t, c)\) par \((U', R', s', t', c')\) et en rétrécissant \(\mathcal{X}\) comme ci-dessus, nous pouvons supposer que \((U, R, s, t, c)\) admet un scindage fort au-dessus de \(u\). Soit \(P \subset R\) un scindage fort de \(R\) au-dessus de \(u\). Le lemme 0DU2 montre que \[\mathcal{U} = [U/P] \longrightarrow [U/R] = \mathcal{X}\] est représentable par des espaces algébriques et étale. Puisque \(P \subset R\) est ouvert et contient \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\) par construction, nous voyons que \(u \times_\mathcal{U} u \to u \times_\mathcal{X} u\) est un isomorphisme. L’assertion sur les gerbes résiduelles résulte alors de Propriétés des champs, lemme 0DTI (nous remarquons que les gerbes résiduelles en question existent d’après le lemme 06UI).

Morphismes lisses

La propriété “être lisse” des morphismes d’espaces algébriques est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible, voir Descente sur les espaces, Remarque 06FC. Elle est également stable par changement de base et locale pour la topologie fpqc sur la cible, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZE et Descente sur les espaces, Lemme 0429. Par conséquent, d’après le Lemme 06FM ci-dessus, nous pouvons définir comme suit ce que signifie être lisse pour un morphisme de champs algébriques, et cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans Propriétés des champs, section 04XB lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Nous disons que \(f\) est lisse si les conditions équivalentes du Lemme 06FM sont satisfaites avec \(\mathcal{P} = \text{lisse}\).

Lemme

Le composé de morphismes lisses est lisse.

Démonstration

Le résultat découle de la Remarque 06FP et du Lemme 03ZD de Morphismes d’espaces.

Lemme

Un changement de base d’un morphisme lisse est lisse.

Démonstration

Le résultat découle de la Remarque 06FQ et du Lemme 03ZE de Morphismes d’espaces.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques surjectif, plat et localement de présentation finie. Si le changement de base \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est lisse, alors \(f\) est lisse.

Démonstration

La propriété “être lisse” satisfait aux conditions du Lemme 0DN6. Nous avons vu dans l’introduction de cette section qu’elle est locale pour la topologie lisse sur la source et la cible ; le caractère local pour la topologie fppf sur la cible résulte de Descente sur les espaces, Lemme 0429.

Lemme

Un morphisme lisse de champs algébriques est localement de présentation finie.

Démonstration

Démonstration omise.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Il existe un plus grand sous-champ ouvert \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) tel que \(f|_\mathcal{U} : \mathcal{U} \to \mathcal{Y}\) soit lisse. En outre, la formation de cet ouvert commute aux opérations suivantes :

1. la précomposition par des morphismes lisses,

2. le changement de base par des morphismes plats et localement de présentation finie,

3. le changement de base par des morphismes plats, pourvu que \(f\) soit localement de présentation finie.

Démonstration

Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques, les flèches verticales sont lisses et \(a : U \to \mathcal{X}\) est surjectif. Il existe un ouvert maximal \(U' \subset U\) tel que \(h_{U'} : U' \to V\) soit lisse, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0DZI. Soit \(\mathcal{U} \subset \mathcal{X}\) le sous-champ ouvert correspondant à l’image de \(|U'| \to |\mathcal{X}|\) (Propriétés des champs, Lemmes 04XL et 06FJ). D’après l’équivalence du Lemme 06FM, nous voyons que \(f|_\mathcal{U} : \mathcal{U} \to \mathcal{Y}\) est lisse et que \(\mathcal{U}\) est le plus grand sous-champ ouvert possédant cette propriété.

L’assertion (1) résulte du fait que la propriété d’être lisse est locale pour la topologie lisse sur la source (cette propriété a même servi à définir les morphismes lisses de champs algébriques). Les assertions (2) et (3) résultent du cas des espaces algébriques, voir Morphismes d’espaces, Lemme 0DZI.

Lemme

Soit \(X \to Y\) un morphisme lisse d’espaces algébriques. Soit \(G\) un espace algébrique en groupes sur \(Y\), plat et localement de présentation finie sur \(Y\). Soit donnée une action de \(G\) sur \(X\) au-dessus de \(Y\). Alors le champ quotient \([X/G]\) est lisse sur \(Y\).

Cela reste vrai même si \(G\) n’est pas lisse sur \(Y\) !

Démonstration

Le champ quotient \([X/G]\) est un champ algébrique d’après Critères de représentabilité, Théorème 06FI. La lissité de \([X/G]\) sur \(Y\) résulte du fait que la lissité descend par les recouvrements fppf : Choisissons un morphisme lisse surjectif \(U \to [X/G]\), où \(U\) est un schéma. La lissité de \([X/G]\) sur \(Y\) équivaut à celle de \(U\) sur \(Y\). Notons que \(U \times_{[X/G]} X\) est lisse sur \(X\), donc lisse sur \(Y\) (car un composé de morphismes lisses est lisse). D’autre part, \(U \times_{[X/G]} X \to U\) est localement de présentation finie, plat et surjectif (car c’est le changement de base de \(X \to [X/G]\), qui possède ces propriétés, par exemple d’après Critères de représentabilité, Lemme 06FH). Nous pouvons donc appliquer Descente sur les espaces, Lemme 0AHE.

Lemme

Soit \(\pi : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Si \(\mathcal{X}\) est une gerbe sur \(\mathcal{Y}\), alors \(\pi\) est surjectif et lisse.

Démonstration

Nous avons établi la surjectivité au Lemme 06QI. D’après le Lemme 0DN7, il suffit de démontrer le lemme après avoir remplacé \(\pi\) par son changement de base par un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\). D’après le Lemme 06QH, nous pouvons supposer que \(\mathcal{Y} = U\) est un espace algébrique et que \(\mathcal{X} = [U/G]\) au-dessus de \(U\), avec \(G \to U\) plat et localement de présentation finie. Le résultat découle alors du Lemme 0DLS.

Types de morphismes dont la propriété est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but

Soit une propriété de morphismes d’espaces algébriques qui est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but, voir Descente sur les espaces, Définition 0CFZ. Nous pouvons l’utiliser pour définir une propriété correspondante des morphismes DM de champs algébriques, en imposant l’une ou l’autre des conditions équivalentes du lemme ci-dessous.

Lemme

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes d’espaces algébriques qui est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme DM de champs algébriques. Considérons des diagrammes commutatifs \[\xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_h & V \ar[d]^b \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] où \(U\) et \(V\) sont des espaces algébriques, \(V \to \mathcal{Y}\) est lisse, et \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est étale. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout diagramme comme ci-dessus, le morphisme \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) ;

2. pour un diagramme comme ci-dessus dans lequel \(a : U \to \mathcal{X}\) est surjectif, le morphisme \(h\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Si \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont représentables par des espaces algébriques, cela équivaut également au fait que \(f\) (considéré comme morphisme d’espaces algébriques) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Si \(\mathcal{P}\) est en outre stable par tout changement de base et de nature locale pour la topologie fppf sur la base, alors, pour les morphismes \(f\) qui sont représentables par des espaces algébriques, cela équivaut également au fait que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) au sens de Propriétés des champs, section 04XB.

Démonstration

Montrons l’implication (1) \(\Rightarrow\) (2). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Comme \(f\) est DM, il existe un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\), voir Lemme 0CIA. Nous voyons ainsi que (2) est vérifiée. Notons que \(U \to \mathcal{X}\) est également lisse et surjectif, puisqu’il est le composé du changement de base \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X}\) et du morphisme choisi \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Nous obtenons donc un diagramme comme en (1). Par conséquent, si (1) est vérifiée, \(h : U \to V\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), ce qui signifie que (2) est vérifiée puisque \(U \to \mathcal{X}\) est surjectif.

Réciproquement, supposons que (2) soit vérifiée et soient \(U, V, a, b, h\) comme en (2). Soient ensuite \(U', V', a', b', h'\) les données d’un diagramme quelconque comme en (1). Considérons \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r]_h & V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} } \quad\quad \xymatrix{ U' \ar[d] \ar[r]_{h'} & V' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r]^f & \mathcal{Y} }\] Pour montrer que (2) implique (1), nous devons prouver que \(h'\) possède \(\mathcal{P}\). À cette fin, considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d]^h & U \times_\mathcal{X} U' \ar[l] \ar[d]^{(h, h')} \ar[r] & U' \ar[d]^{h'} \\ V & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[l] \ar[r] & V' }\] d’espaces algébriques. Notons que les flèches horizontales sont lisses comme changements de base des morphismes lisses \(V \to \mathcal{Y}\), \(V' \to \mathcal{Y}\), \(U \to \mathcal{X}\) et \(U' \to \mathcal{X}\). Notons que les carrés \[\xymatrix{ U \ar[d] & U \times_\mathcal{X} U' \ar[l] \ar[d] & U \times_\mathcal{X} U' \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d] \\ V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} & V \times_\mathcal{Y} U' \ar[l] & U \times_\mathcal{Y} V' \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V' }\] sont cartésiens ; les flèches verticales sont donc étales par nos hypothèses sur \(U', V', a', b', h'\) et \(U, V, a, b, h\). Puisque \(\mathcal{P}\) est de nature locale pour la topologie lisse sur le but d’après Descente sur les espaces, Lemme 0CG0, partie (2), nous voyons que le changement de base \(t : U \times_\mathcal{Y} V' \to V \times_\mathcal{Y} V'\) de \(h\) possède \(\mathcal{P}\). Puisque \(\mathcal{P}\) est de nature locale pour la topologie étale sur la source d’après Descente sur les espaces, Lemme 0CG0, partie (1), et que \(s : U \times_\mathcal{X} U' \to U \times_\mathcal{Y} V'\) est étale, nous voyons que le morphisme \((h, h') = t \circ s\) possède \(\mathcal{P}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ U \times_\mathcal{X} U' \ar[r]_{(h, h')} \ar[d] & V \times_\mathcal{Y} V' \ar[d] \\ U' \ar[r]^{h'} & V' }\] La flèche verticale gauche est surjective, la flèche verticale droite est lisse et le morphisme induit \[U \times_\mathcal{X} U' \longrightarrow U' \times_{V'} (V \times_\mathcal{Y} V') = V \times_\mathcal{Y} U'\] est étale, comme on l’a vu ci-dessus. Par conséquent, d’après Descente sur les espaces, Définition 0CFZ, partie (3), nous concluons que \(h'\) possède \(\mathcal{P}\). Ceci achève la démonstration de l’équivalence de (1) et (2).

Si \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont représentables, alors Descente sur les espaces, Lemme 0CG1, s’applique et montre que les conditions (1) et (2) équivalent au fait que \(f\) possède \(\mathcal{P}\).

Enfin, supposons \(f\) représentable, soient \(U, V, a, b, h\) comme dans la partie (2) du lemme, et supposons que \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base arbitraire. Nous devons montrer que pour tout schéma \(Z\) et tout morphisme \(Z \to \mathcal{X}\), le changement de base \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Considérons le diagramme \[\xymatrix{ Z \times_\mathcal{Y} U \ar[d] \ar[r] & Z \times_\mathcal{Y} V \ar[d] \\ Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] & Z }\] Notons que la flèche horizontale supérieure est un changement de base de \(h\) et possède donc la propriété \(\mathcal{P}\). La flèche verticale gauche est surjective, et le morphisme induit \[Z \times_\mathcal{Y} U \longrightarrow (Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_Z (Z \times_\mathcal{Y} V)\] est étale, tandis que la flèche verticale droite est lisse. Ainsi, Descente sur les espaces, Lemme 0CG1 s’applique et montre que \(Z \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to Z\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Définition

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes d’espaces algébriques qui est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but. On dit qu’un morphisme DM \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) de champs algébriques possède la propriété \(\mathcal{P}\) si les conditions équivalentes du Lemme 06FM sont vérifiées.

Remarque

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes d’espaces algébriques qui est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but, et stable par composition. Alors la propriété des morphismes DM de champs algébriques définie dans la Définition 0CIG est stable par composition. En effet, soient \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) et \(g : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes DM de champs algébriques possédant la propriété \(\mathcal{P}\). D’après le Lemme 050K, le composé \(g \circ f\) est DM. Choisissons un espace algébrique \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{Z}\). Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) (Lemme 0CIA). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). Alors les morphismes \(V \to W\) et \(U \to V\) possèdent la propriété \(\mathcal{P}\) par définition. Par suite, \(U \to W\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), puisque nous avons supposé que \(\mathcal{P}\) est stable par composition. Ainsi, par définition encore, nous voyons que \(g \circ f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Remarque

Soit \(\mathcal{P}\) une propriété de morphismes d’espaces algébriques qui est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but, et stable par changement de base. Alors la propriété des morphismes DM de champs algébriques définie dans la Définition 0CIG est stable par changement de base arbitraire. En effet, soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme DM de champs algébriques, soit \(g : \mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques, et supposons que \(f\) possède la propriété \(\mathcal{P}\). Alors le changement de base \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) est un morphisme DM d’après le Lemme 050F. Choisissons un espace algébrique \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un espace algébrique \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) (Lemme 0CIA). Enfin, choisissons un espace algébrique \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} V\). Alors le morphisme \(U \to V\) possède la propriété \(\mathcal{P}\) par définition. Par suite, \(V' \times_V U \to V'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\), puisque nous avons supposé que \(\mathcal{P}\) est stable par changement de base. Considérons le diagramme \[\xymatrix{ V' \times_V U \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V' \ar[r] & \mathcal{Y}' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] nous voyons que la flèche horizontale supérieure de gauche est surjective et que \[V' \times_V U \to V' \times_\mathcal{Y} (\mathcal{Y}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}) = V' \times_V (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V)\] est étale comme changement de base de \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) ; d’où, par définition, la projection \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) possède la propriété \(\mathcal{P}\).

Remarque

Soient \(\mathcal{P}, \mathcal{P}'\) des propriétés de morphismes d’espaces algébriques qui sont de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but. Supposons que l’on ait \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\) pour les morphismes d’espaces algébriques. Alors on a également \(\mathcal{P} \Rightarrow \mathcal{P}'\) pour les propriétés des morphismes de champs algébriques définies dans la Définition 0CIG à partir de \(\mathcal{P}\) et de \(\mathcal{P}'\). Cela résulte immédiatement de la définition.

Morphismes étales

Un morphisme étale de champs algébriques ne saurait être défini comme un morphisme lisse de dimension relative \(0\). En effet, le morphisme \[[\mathbf{A}^1_k/\mathbf{G}_{m, k}] \longrightarrow \Spec(k)\] est lisse de dimension relative \(0\), quelle que soit l’action choisie du schéma en groupes \(\mathbf{G}_{m, k}\) sur \(\mathbf{A}^1_k\). Cela ne correspond pas à l’idée usuelle selon laquelle les morphismes étales devraient identifier les espaces tangents. L’exemple ci-dessus n’est pas quasi-fini, mais le morphisme \[\mathcal{X} = [\Spec(k)/\mu_{p, k}] \longrightarrow \Spec(k)\] est lisse et quasi-fini (section 06PT). Toutefois, si la caractéristique de \(k\) est \(p > 0\), on constate que le morphisme représentable \(\Spec(k) \to \mathcal{X}\) n’est pas étale, puisque son changement de base \(\mu_{p, k} = \Spec(k) \times_\mathcal{X} \Spec(k) \to \Spec(k)\) est un morphisme d’un schéma non réduit vers le spectre d’un corps. Ainsi, si l’on définissait un morphisme étale comme un morphisme lisse et localement quasi-fini, alors l’analogue du lemme de Morphismes d’espaces 05W3 serait faux.

Notre démarche consistera plutôt à partir des exigences suivantes : “être étale” devra être une propriété stable par changement de base et, si \(\mathcal{X} \to X\) est un morphisme étale d’un champ algébrique vers un schéma, alors \(\mathcal{X}\) devra être de Deligne–Mumford. Autrement dit, nous exigerons qu’un morphisme étale soit DM et nous utiliserons les résultats de la section 0CIE pour définir les morphismes étales de champs algébriques.

Dans le lemme 0CJ1, nous caractériserons les morphismes étales de champs algébriques comme ceux qui sont (a) localement de présentation finie, (b) plats et (c) à diagonale étale.

La propriété “être étale” des morphismes d’espaces algébriques est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but; voir Descente sur les espaces, remarque 0CG3. Elle est aussi stable par changement de base et de nature locale pour la topologie fpqc sur le but; voir Morphismes d’espaces, lemme 0466 et Descente sur les espaces, lemme 042B. Par conséquent, d’après le lemme 0CIF ci-dessus, nous pouvons définir comme suit ce que signifie, pour un morphisme de champs algébriques, être étale; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans Propriétés des champs, section 04XB, lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques, car un tel morphisme est automatiquement DM d’après le lemme 050E.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. On dit que \(f\) est étale si \(f\) est DM et si les conditions équivalentes du lemme 0CIF sont vérifiées avec \(\mathcal{P} = \etale\).

Nous utiliserons sans autre mention le fait que cette définition coïncide avec la notion déjà existante de morphisme étale lorsque \(f\) est représentable par des espaces algébriques ou lorsque \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont représentables par des espaces algébriques.

Lemme

Le composé de deux morphismes étales est étale.

Démonstration

Cela résulte de la remarque 0CIH et du lemme 0465 de Morphismes d’espaces.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme étale est étale.

Démonstration

Cela résulte de la remarque 0CII et du lemme 0466 de Morphismes d’espaces.

Lemme

Toute immersion ouverte est étale.

Démonstration

Soit \(j : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) une immersion ouverte de champs algébriques. Puisque \(j\) est représentable, il est DM d’après le lemme 050E. D’autre part, si \(X \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse et surjectif, où \(X\) est un schéma, alors \(U = \mathcal{U} \times_\mathcal{X} X\) est un sous-schéma ouvert de \(X\). Par conséquent, \(U \to X\) est étale (Morphismes, lemme 02GP) et la définition montre que \(j\) est étale.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est étale,

2. \(f\) est DM et, pour tout morphisme \(V \to \mathcal{Y}\) où \(V\) est un espace algébrique, et tout morphisme étale \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) où \(U\) est un espace algébrique, le morphisme \(U \to V\) est étale,

3. il existe un morphisme surjectif, localement de présentation finie et plat \(W \to \mathcal{Y}\), où \(W\) est un espace algébrique, et un morphisme étale surjectif \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) où \(T\) est un espace algébrique, tel que le morphisme \(T \to W\) soit étale.

Démonstration

Supposons (1). Alors \(f\) est DM et, comme la propriété d’être étale est stable par changement de base, la condition (2) est vérifiée.

Supposons (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) (lemme 0CIA). La condition (3) est donc vérifiée.

Supposons que \(W \to \mathcal{Y}\) et \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) soient comme dans (3). Vérifions d’abord que \(f\) est DM. En effet, il suffit de vérifier que \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est DM; voir le lemme 06TZ. D’après le lemme 050M, il suffit de vérifier que \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est de Deligne–Mumford. Cela résulte de l’existence de \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) par le sens facile du théorème 06N3.

Supposons que \(f\) soit DM et que \(W \to \mathcal{Y}\) et \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) soient comme dans (3). Soit \(V\) un espace algébrique, soit \(V \to \mathcal{Y}\) un morphisme lisse surjectif, soit \(U\) un espace algébrique, et soit \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) un morphisme étale surjectif (lemme 0CIA). Il faut vérifier que \(U \to V\) est étale. Il suffit de montrer que \(U \times_\mathcal{Y} W \to V \times_\mathcal{Y} W\) est étale d’après Descente sur les espaces, lemme 042B. Nous pouvons remplacer \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, W, T, U, V\) respectivement par \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} W, W, W, T, U \times_\mathcal{Y} W, V \times_\mathcal{Y} W\) (un petit détail est omis). Nous pouvons donc supposer que \(Y = \mathcal{Y}\) est un espace algébrique, qu’il existe un espace algébrique \(T\) et un morphisme étale surjectif \(T \to \mathcal{X}\) tel que \(T \to Y\) soit étale, et que \(U\) et \(V\) soient comme ci-dessus. Dans ce cas, on sait que \[U \to V\text{ est \'etale} \Leftrightarrow \mathcal{X} \to Y\text{ est \'etale} \Leftrightarrow T \to Y\text{ est \'etale}\] par l’équivalence des propriétés (1) et (2) du lemme 0CIF et la définition 0CIL. Cela achève la démonstration.

Lemme

Soient \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}\) des champs algébriques étales sur un champ algébrique \(\mathcal{Z}\). Tout morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) au-dessus de \(\mathcal{Z}\) est étale.

Démonstration

Le morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est DM d’après le lemme 050M. Soit \(W \to \mathcal{Z}\) un morphisme lisse surjectif dont la source est un espace algébrique. Soit \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) un morphisme étale surjectif dont la source est un espace algébrique (lemme 0CIA). Soit \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) un morphisme étale surjectif dont la source est un espace algébrique (lemme 0CIA). Alors \[U \longrightarrow \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} W\] est étale surjectif en tant que composé de \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) et du changement de base de \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) par \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} W \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\). Il suffit donc de montrer que \(U \to W\) est étale. Or \(U \to W\) et \(V \to W\) sont étales, puisque \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) le sont; la conclusion résulte donc de la version du lemme pour les espaces algébriques, à savoir Morphismes d’espaces, lemme 05W3.

Morphismes non ramifiés

Pour justifier notre choix de la définition des morphismes non ramifiés, nous renvoyons le lecteur à la discussion de la section sur les morphismes étales, section 0CIK.

Dans le Lemme 0CJ0, nous caractériserons les morphismes non ramifiés de champs algébriques comme les morphismes qui sont localement de type fini et dont la diagonale est étale.

La propriété “non ramifié” des morphismes d’espaces algébriques est de nature locale pour la topologie étale sur la source et pour la topologie lisse sur le but, voir Descente sur les espaces, Remarque 0CG3. Elle est aussi stable par changement de base et locale sur la cible pour la topologie fpqc, voir Morphismes d’espaces, Lemme 03ZJ et Descente sur les espaces, Lemme 042A. Par conséquent, d’après le Lemme 0CIF ci-dessus, nous pouvons définir comme suit ce que signifie, pour un morphisme de champs algébriques, d’être non ramifié; cette définition coïncide avec la notion déjà définie dans Propriétés des champs, section 04XB, lorsque le morphisme est représentable par des espaces algébriques, car un tel morphisme est automatiquement DM d’après le Lemme 050E.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. On dit que \(f\) est non ramifié si \(f\) est DM et si les conditions équivalentes du Lemme 0CIF sont satisfaites pour \(\mathcal{P} =\)“non ramifié”.

Nous utiliserons sans autre mention le fait que cette définition coïncide avec la notion déjà existante de morphisme non ramifié lorsque \(f\) est représentable par des espaces algébriques, ou lorsque \(\mathcal{X}\) et \(\mathcal{Y}\) sont représentables par des espaces algébriques.

Lemme

Le composé de morphismes non ramifiés est non ramifié.

Démonstration

Cela résulte de la Remarque 0CIH et de Morphismes d’espaces, Lemme 03ZI.

Lemme

Tout morphisme déduit par changement de base d’un morphisme non ramifié est non ramifié.

Démonstration

Cela résulte de la Remarque 0CII et de Morphismes d’espaces, Lemme 03ZJ.

Lemme

Un morphisme étale est non ramifié.

Démonstration

Cela résulte de la Remarque 0CIJ et de Morphismes d’espaces, Lemme 06CR.

Lemme

Une immersion est non ramifiée.

Démonstration

Soit \(j : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) une immersion de champs algébriques. Comme \(j\) est représentable, il est DM d’après le Lemme 050E. D’autre part, si \(X \to \mathcal{X}\) est un morphisme lisse et surjectif, où \(X\) est un schéma, alors \(Z = \mathcal{Z} \times_\mathcal{X} X\) est un sous-schéma localement fermé de \(X\). Par conséquent, \(Z \to X\) est non ramifié (Morphismes, Lemmes 02GB et 02GC), et la définition montre que \(j\) est non ramifié.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est non ramifié,

2. \(f\) est DM et, pour tout morphisme \(V \to \mathcal{Y}\) où \(V\) est un espace algébrique, et tout morphisme étale \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) où \(U\) est un espace algébrique, le morphisme \(U \to V\) est non ramifié,

3. il existe un morphisme \(W \to \mathcal{Y}\) surjectif, localement de présentation finie et plat, où \(W\) est un espace algébrique, et un morphisme \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) surjectif et étale, où \(T\) est un espace algébrique, tel que le morphisme \(T \to W\) soit non ramifié.

Démonstration

Supposons (1). Alors \(f\) est DM et, puisque la propriété d’être non ramifié est stable par changement de base, la condition (2) est satisfaite.

Supposons (2). Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme étale surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme étale surjectif \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) (Lemme 0CIA). La condition (3) est donc satisfaite.

Supposons que \(W \to \mathcal{Y}\) et \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) soient comme en (3). Montrons d’abord que \(f\) est DM. Il suffit en effet de vérifier que \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to W\) est DM, voir le Lemme 06TZ. D’après le Lemme 050M, il suffit de vérifier que \(W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un champ de Deligne–Mumford. Cela résulte de l’existence de \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) par le sens facile du Théorème 06N3.

Supposons que \(f\) soit DM et que \(W \to \mathcal{Y}\) et \(T \to W \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) soient comme en (3). Soit \(V\) un espace algébrique, soit \(V \to \mathcal{Y}\) un morphisme lisse surjectif, soit \(U\) un espace algébrique, et soit \(U \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) un morphisme surjectif et étale (Lemme 0CIA). Nous devons vérifier que \(U \to V\) est non ramifié. Il suffit de montrer que \(U \times_\mathcal{Y} W \to V \times_\mathcal{Y} W\) est non ramifié d’après Descente sur les espaces, Lemme 042A. Nous pouvons remplacer \(\mathcal{X}, \mathcal{Y}, W, T, U, V\) par \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} W, W, W, T, U \times_\mathcal{Y} W, V \times_\mathcal{Y} W\) (un détail mineur est omis). Nous pouvons donc supposer que \(Y = \mathcal{Y}\) est un espace algébrique, qu’il existe un espace algébrique \(T\) et un morphisme étale surjectif \(T \to \mathcal{X}\) tel que \(T \to Y\) soit non ramifié, et que \(U\) et \(V\) soient comme ci-dessus. Dans ce cas, nous savons que \[U \to V\text{ est non ramifi\'e} \Leftrightarrow \mathcal{X} \to Y\text{ est non ramifi\'e} \Leftrightarrow T \to Y\text{ est non ramifi\'e}\] par l’équivalence des propriétés (1) et (2) du Lemme 0CIF et par la Définition 0CIT. Cela achève la démonstration.

Lemme

Un morphisme non ramifié de champs algébriques est localement quasi-fini.

Démonstration

Cela résulte du Lemme 0CIY (qui caractérise les morphismes non ramifiés), du Lemme 06UF (qui caractérise les morphismes localement quasi-finis), et de Morphismes d’espaces, Lemme 05W0 (qui est l’énoncé correspondant pour les espaces algébriques).

Lemme

Soient \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) des morphismes de champs algébriques. Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est non ramifié et si \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) est DM, alors \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est non ramifié.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) soit non ramifié. D’après le Lemme 050M, le morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est DM. Choisissons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & V \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{Y} \ar[r] & \mathcal{Z} }\] où \(U, V, W\) sont des espaces algébriques, où \(W \to \mathcal{Z}\) est lisse et surjectif, \(V \to \mathcal{Y} \times_\mathcal{Z} W\) est étale et surjectif, et \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est étale et surjectif (voir le Lemme 0CIA). Alors \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} W\) est lui aussi surjectif et étale. Nous savons donc que \(U \to W\) est non ramifié, et il nous faut montrer que \(U \to V\) est non ramifié. Cela résulte de Morphismes d’espaces, Lemme 06G6.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est non ramifié, et

2. \(f\) est localement de type fini et sa diagonale est étale.

Démonstration

Supposons que \(f\) soit non ramifié. Alors \(f\) est DM; nous pouvons donc choisir des espaces algébriques \(U\), \(V\), un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\) et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) (Lemme 0CIA). Comme \(f\) est non ramifié, le morphisme induit \(U \to V\) est non ramifié. Ainsi, \(U \to V\) est localement de type fini (Morphismes d’espaces, Lemme 05VZ), et nous en concluons que \(f\) est localement de type fini. La diagonale \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) est un morphisme de champs algébriques au-dessus de \(\mathcal{Y}\). Le changement de base de \(\Delta\) par le morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\) est la diagonale du changement de base de \(f\), c’est-à-dire de \(\mathcal{X}_V = \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\). Autrement dit, le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{X}_V \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] est cartésien. Comme la flèche verticale de droite est lisse et surjective, il suffit de montrer que la flèche horizontale supérieure est étale, d’après Propriétés des champs, Lemme 06TY. Considérons le diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U \times_V U \ar[d] \\ \mathcal{X}_V \ar[r] & \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V }\] Toutes les flèches sont représentables par des espaces algébriques, les flèches verticales sont étales, celle de gauche est surjective, et la flèche horizontale supérieure est une immersion ouverte d’après Morphismes d’espaces, Lemme 05W1. Cela donne le résultat voulu : tout d’abord, \(U \to \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V\) est étale comme composé de morphismes étales; nous pouvons ensuite appliquer Propriétés des champs, Lemme 06M2 pour voir que \(\mathcal{X}_V \to \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V\) est étale, puisque la propriété d’être étale (pour les morphismes d’espaces algébriques) est locale sur la source pour la topologie étale (Descente sur les espaces, Lemme 06F4).

Supposons que \(f\) soit localement de type fini et que sa diagonale soit étale. Alors \(f\) est DM par définition (puisque les morphismes étales d’espaces algébriques sont non ramifiés). Comme ci-dessus, cela signifie que nous pouvons choisir des espaces algébriques \(U\), \(V\), un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\) et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) (Lemme 0CIA). Pour achever la démonstration, nous devons montrer que \(U \to V\) est non ramifié. Nous savons déjà que \(U \to V\) est localement de type fini. En raisonnant comme ci-dessus, nous obtenons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ U \ar[d] \ar[r] & U \times_V U \ar[d] \\ \mathcal{X}_V \ar[r] & \mathcal{X}_V \times_V \mathcal{X}_V }\] où toutes les flèches sont représentables par des espaces algébriques, les flèches verticales sont étales, et la flèche horizontale inférieure est étale comme changement de base de \(\Delta\). Il s’ensuit que \(U \to U \times_V U\) est étale, par exemple d’après le Lemme 0CIR⁷. Ainsi, \(U \to U \times_V U\) est un monomorphisme étale, donc une immersion ouverte (Morphismes d’espaces, Lemme 05W5). Le morphisme \(U \to V\) est alors non ramifié d’après Morphismes d’espaces, Lemme 05W1.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Les conditions suivantes sont équivalentes :

1. \(f\) est étale, et

2. \(f\) est localement de présentation finie, plat et non ramifié,

3. \(f\) est localement de présentation finie, plat, et sa diagonale est étale.

Démonstration

L’équivalence de (2) et (3) résulte immédiatement du Lemme 0CJ0. Ainsi, dans chaque cas, le morphisme \(f\) est DM. Nous pouvons donc choisir des espaces algébriques \(U\), \(V\), un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\) et un morphisme étale surjectif \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) (Lemme 0CIA). Pour achever la démonstration, nous devons montrer que \(U \to V\) est étale si et seulement s’il est localement de présentation finie, plat et non ramifié. Cela résulte de Morphismes d’espaces, Lemme 06LU (et, plus immédiatement, de Morphismes d’espaces, Lemmes 06CR, 0468 et 0467).

Morphismes propres

La notion de morphisme propre joue un rôle important en géométrie algébrique. Voici la définition d’un morphisme propre de champs algébriques.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. On dit que \(f\) est propre si \(f\) est séparé, de type fini et universellement fermé.

Cette définition est compatible avec la notion déjà existante de morphisme propre d’espaces algébriques : un morphisme d’espaces algébriques est propre si et seulement si il est séparé, de type fini et universellement fermé (Morphismes d’espaces, Définition 03ZM), et nous avons déjà vérifié la compatibilité de ces notions dans le Lemme 04YS, la section 06FR et le Lemme 0512. De même, si \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques, nous avons défini ce que signifie pour \(f\) d’être propre dans Propriétés des champs, section 04XB. Cependant, la discussion de cette section montre que cela équivaut à exiger que \(f\) soit séparé, de type fini et universellement fermé, et les mêmes références que ci-dessus établissent la compatibilité.

Lemme

Tout changement de base d’un morphisme propre est propre.

Démonstration

Voir les Lemmes 050F, 06FU et 0514.

Lemme

Le composé de morphismes propres est propre.

Démonstration

Voir les Lemmes 050K, 06FT et 0515.

Lemme

Une immersion fermée de champs algébriques est un morphisme propre de champs algébriques.

Démonstration

Une immersion fermée est, par définition, représentable (Propriétés des champs, Définition 04YL). L’assertion résulte donc de la discussion de Propriétés des champs, section 04XB et du résultat correspondant pour les morphismes d’espaces algébriques ; voir Morphismes d’espaces, Lemme 04XZ.

Lemme

Considérons un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rr] \ar[rd] & & \mathcal{Y} \ar[ld] \\ & \mathcal{Z} & }\] de champs algébriques.

1. Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est universellement fermé et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) est séparé, alors le morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est universellement fermé. En particulier, l’image de \(|\mathcal{X}|\) dans \(|\mathcal{Y}|\) est fermée.

2. Si \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) est propre et \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) est séparé, alors le morphisme \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est propre.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) soit universellement fermé et que \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) soit séparé. Factorisons le morphisme sous la forme \(\mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\). Le premier morphisme est propre (Lemme 050I), donc universellement fermé. La projection \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Z} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) est déduite par changement de base d’un morphisme universellement fermé, donc elle est universellement fermée ; voir le Lemme 0514. Ainsi, \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) est universellement fermé comme composé de morphismes universellement fermés ; voir le Lemme 0515. Cela prouve (1). Pour en déduire (2), combinons (1) avec les Lemmes 050M, 050Y et 06U9.

Lemme

Soit \(\mathcal{Z}\) un champ algébrique. Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques au-dessus de \(\mathcal{Z}\). Si \(\mathcal{X}\) est universellement fermé au-dessus de \(\mathcal{Z}\) et si \(f\) est surjectif, alors \(\mathcal{Y}\) est universellement fermé au-dessus de \(\mathcal{Z}\). En particulier, si de plus \(\mathcal{Y}\) est séparé et de type fini au-dessus de \(\mathcal{Z}\), alors \(\mathcal{Y}\) est propre au-dessus de \(\mathcal{Z}\).

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{X}\) soit universellement fermé et que \(f\) soit surjectif. Notons \(p : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) et \(q : \mathcal{Y} \to \mathcal{Z}\) les morphismes structuraux. Soit \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) un morphisme de champs algébriques. Le changement de base \(f' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) de \(f\) par \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z}\) est surjectif (Propriétés des champs, Lemme 04ZU) et le changement de base \(p' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Z}'\) de \(p\) est fermé. Si \(T \subset |\mathcal{Y}'|\) est fermé, alors \((f')^{-1}(T) \subset |\mathcal{X}'|\) est fermé, donc \(p'((f')^{-1}(T)) = q'(T)\) est fermé. Ainsi, \(q'\) est fermé.

Image schématique

Voici la définition.

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. L’image schématique de \(f\) est le plus petit sous-champ fermé \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\) par lequel \(f\) se factorise⁸.

Nous désignons souvent encore par \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Z}\) la factorisation de \(f\). Si le morphisme \(f\) n’est pas quasi-compact, alors, en général, la construction de l’image schématique ne commute pas à la restriction aux sous-champs ouverts de \(\mathcal{Y}\). Toutefois, si \(f\) est quasi-compact, l’image schématique commute au changement de base plat (lemme 0CMK).

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Soit \(g : \mathcal{W} \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques surjectif, plat et localement de présentation finie. Alors l’image schématique de \(f\) existe si et seulement si celle de \(f \circ g\) existe et, dans ce cas, ces images schématiques sont les mêmes.

Démonstration

Supposons que \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\) soit un sous-champ fermé et que \(f \circ g\) se factorise par \(\mathcal{Z}\). Pour démontrer le lemme, il suffit de montrer que \(f\) se factorise par \(\mathcal{Z}\). Considérons un schéma \(T\) et un morphisme \(T \to \mathcal{X}\) donné par un objet \(x\) de la catégorie fibre de \(\mathcal{X}\) au-dessus de \(T\). Nous allons montrer que \(f(x)\) appartient en fait à la catégorie fibre de \(\mathcal{Z}\) au-dessus de \(T\). En effet, la projection \(T \times_\mathcal{X} \mathcal{W} \to T\) est un morphisme surjectif, plat et localement de présentation finie. Il existe donc un recouvrement fppf \(\{T_i \to T\}\) tel que \(T_i \to T\) se factorise par \(T \times_\mathcal{X} \mathcal{W} \to T\) pour tout \(i\). Alors \(T_i \to \mathcal{X}\) se factorise par \(\mathcal{W}\) et donc \(T_i \to \mathcal{Y}\) se factorise par \(\mathcal{Z}\). Ainsi \(f(x)|_{T_i}\) est un objet de \(\mathcal{Z}\). Puisque \(\mathcal{Z}\) est un sous-champ strictement plein, nous en concluons que \(f(x)\) est un objet de \(\mathcal{Z}\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) un morphisme de champs algébriques. Alors l’image schématique de \(f\) existe.

Démonstration

Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). D’après le lemme 0CMJ, nous pouvons remplacer \(\mathcal{Y}\) par \(V\). Il suffit donc de montrer que, si \(X \to \mathcal{X}\) est un morphisme d’un schéma vers un champ algébrique, alors l’image schématique existe. Choisissons un schéma \(U\) et un morphisme lisse surjectif \(U \to \mathcal{X}\). Posons \(R = U \times_\mathcal{X} U\). Nous avons \(\mathcal{X} = [U/R]\) d’après Champs algébriques, lemme 04T5. D’après Propriétés des champs, lemme 0507, les sous-champs fermés \(\mathcal{Z}\) de \(\mathcal{X}\) sont en correspondance \(1\) à \(1\) avec les sous-schémas fermés invariants par \(R\), \(Z \subset U\). Soit \(Z_1 \subset U\) l’image schématique de \(X \times_\mathcal{X} U \to U\). Remarquons que \(X \to \mathcal{X}\) se factorise par \(\mathcal{Z}\) si et seulement si \(X \times_\mathcal{X} U \to U\) se factorise par le sous-schéma fermé correspondant, invariant par \(R\), à savoir \(Z\) (détails omis ; indication : ceci résulte de ce que \(X \times_\mathcal{X} U \to X\) est lisse et surjectif). Il nous faut donc montrer qu’il existe un plus petit sous-schéma fermé invariant par \(R\), \(Z \subset U\), et contenant \(Z_1\).

Soit \(\mathcal{I}_1 \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant au sous-schéma fermé \(Z_1 \subset U\). Soient \(Z_\alpha\), \(\alpha \in A\), tous les sous-schémas fermés invariants par \(R\) de \(U\) et contenant \(Z_1\). Pour \(\alpha \in A\), soit \(\mathcal{I}_\alpha \subset \mathcal{O}_U\) le faisceau quasi-cohérent d’idéaux correspondant au sous-schéma fermé \(Z_\alpha \subset U\). L’inclusion \(Z_1 \subset Z_\alpha\) signifie que \(\mathcal{I}_\alpha \subset \mathcal{I}_1\). L’invariance par \(R\) de \(Z_\alpha\) signifie que \[s^{-1}\mathcal{I}_\alpha \cdot \mathcal{O}_R = t^{-1}\mathcal{I}_\alpha \cdot \mathcal{O}_R\] comme faisceaux quasi-cohérents d’idéaux sur l’espace algébrique \(R\). Considérons l’image \[\mathcal{I} = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} \mathcal{I}_\alpha \to \mathcal{I}_1 \right) = \Im\left( \bigoplus\nolimits_{\alpha \in A} \mathcal{I}_\alpha \to \mathcal{O}_X \right)\] Comme les sommes directes de faisceaux quasi-cohérents sont quasi-cohérentes et que les images de morphismes entre faisceaux quasi-cohérents sont quasi-cohérentes, nous voyons que \(\mathcal{I}\) est quasi-cohérent. Comme le foncteur image inverse est exact et commute aux sommes directes, nous obtenons \[s^{-1}\mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_R = t^{-1}\mathcal{I} \cdot \mathcal{O}_R\] Par conséquent, \(\mathcal{I}\) définit un sous-schéma fermé invariant par \(R\), \(Z \subset U\) qui est contenu dans tout \(Z_\alpha\) et contient \(Z_1\), comme voulu.

Lemme

Soit \[\xymatrix{ \mathcal{X}_1 \ar[d] \ar[r]_{f_1} & \mathcal{Y}_1 \ar[d] \\ \mathcal{X}_2 \ar[r]^{f_2} & \mathcal{Y}_2 }\] un diagramme commutatif de champs algébriques. Soient \(\mathcal{Z}_i \subset \mathcal{Y}_i\), \(i = 1, 2\), les images schématiques de \(f_i\). Alors le morphisme \(\mathcal{Y}_1 \to \mathcal{Y}_2\) induit un morphisme \(\mathcal{Z}_1 \to \mathcal{Z}_2\) et un diagramme commutatif \[\xymatrix{ \mathcal{X}_1 \ar[r] \ar[d] & \mathcal{Z}_1 \ar[d] \ar[r] & \mathcal{Y}_1 \ar[d] \\ \mathcal{X}_2 \ar[r] & \mathcal{Z}_2 \ar[r] & \mathcal{Y}_2 }\]

Démonstration

L’image réciproque schématique de \(\mathcal{Z}_2\) dans \(\mathcal{Y}_1\) est un sous-champ fermé de \(\mathcal{Y}_1\) par lequel \(f_1\) se factorise. Par conséquent, \(\mathcal{Z}_1\) y est contenu. Ceci démontre le lemme.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact de champs algébriques. Alors la formation de l’image schématique commute au changement de base plat.

Démonstration

Soit \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) un morphisme plat de champs algébriques. Choisissons un schéma \(V\) et un morphisme lisse surjectif \(V \to \mathcal{Y}\). Choisissons un schéma \(V'\) et un morphisme lisse surjectif \(V' \to \mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} V\). Nous supposerons que \(V = \coprod_{i \in I} V_i\) est une somme disjointe de schémas affines et que \(V' = \coprod_{i \in I} \coprod_{j \in J_i} V_{i, j}\) est une somme disjointe de schémas affines, chaque \(V_{i, j}\) s’envoyant dans \(V_i\). Soient

1. \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\) l’image schématique de \(f\),

2. \(\mathcal{Z}' \subset \mathcal{Y}'\) l’image schématique du changement de base de \(f\) par \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\),

3. \(Z \subset V\) l’image schématique du changement de base de \(f\) par \(V \to \mathcal{Y}\),

4. \(Z' \subset V'\) l’image schématique du changement de base de \(f\) par \(V' \to \mathcal{Y}\).

Si nous pouvons montrer que (a) \(Z = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{Z}\), (b) \(Z' = V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{Z}'\), et (c) \(Z' = V' \times_V Z\), alors le lemme en résulte : l’inclusion \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} \mathcal{Y}'\) (lemme 0CPV) est nécessairement un isomorphisme, car son changement de base par le morphisme lisse surjectif \(V' \to \mathcal{Y}'\) en est un.

Démonstration de (a). Posons \(R = V \times_\mathcal{Y} V\). D’après Propriétés des champs, lemme 0507, l’application \(\mathcal{Z} \mapsto \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} V\) définit une correspondance bijective entre les sous-champs fermés de \(\mathcal{Y}\) et les sous-espaces fermés invariants par \(R\) dans \(V\). De plus, \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) se factorise par \(\mathcal{Z}\) si et seulement si le changement de base \(g : \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) se factorise par \(\mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} V\). Nous affirmons que l’image schématique \(Z \subset V\) de \(g\) est invariante par \(R\). Cette assertion implique (a) d’après ce qui précède.

Pour chaque \(i\), le morphisme \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i \to V_i\) est quasi-compact ; par conséquent, \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i\) est quasi-compact. Nous pouvons donc choisir un schéma affine \(W_i\) et un morphisme lisse surjectif \(W_i \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i\). Remarquons que \(W = \coprod W_i\) est un schéma muni d’un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) tel que le composé \(W \to V\) défini par \(g\) soit quasi-compact. Soit \(Z \to V\) l’image schématique de \(W \to V\), voir Morphismes, section 01R5, et Morphismes d’espaces, section 082W. Il résulte du lemme 0CMJ que \(Z \subset V\) est l’image schématique de \(g\). Pour montrer que \(Z\) est invariant par \(R\), nous affirmons que les deux \[\text{pr}_0^{-1}(Z), \text{pr}_1^{-1}(Z) \subset R = V \times_\mathcal{Y} V\] sont l’image schématique de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} R \to R\). En effet, Morphismes d’espaces, lemme 089E, montre d’abord que \(\text{pr}_0^{-1}(Z)\) est l’image schématique du composé \[W \times_{V, \text{pr}_0} R = W \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} R \to R\] Comme la première flèche est lisse et surjective, nous voyons que \(\text{pr}_0^{-1}(Z)\) est l’image schématique de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} R \to R\). Le même argument montre que \(\text{pr}_1^{-1}(Z)\) l’est aussi. Ainsi \(Z\) est invariant par \(R\).

L’assertion (b) se démontre exactement de la même manière que (a).

Démonstration de (c). Soit \(Z_i \subset V_i\) l’image schématique de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_i \to V_i\) et soit \(Z_{i, j} \subset V_{i, j}\) l’image schématique de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V_{i, j} \to V_{i, j}\). Il suffit clairement de montrer que l’image réciproque de \(Z_i\) dans \(V_{i, j}\) est \(Z_{i, j}\). Nous avons vu ci-dessus que \(Z_i\) est l’image schématique de \(W_i \to V_i\) et, de même, que \(Z_{i, j}\) est l’image schématique de \(W_i \times_{V_i} V_{i, j} \to V_{i, j}\). L’égalité résulte donc du cas des schémas (Morphismes, lemme 081I) et du fait que \(V_{i, j} \to V_i\) est plat.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme quasi-compact de champs algébriques. Soit \(\mathcal{Z} \subset \mathcal{Y}\) l’image schématique de \(f\). Alors \(|\mathcal{Z}|\) est l’adhérence de l’image de \(|f|\).

Démonstration

Soit \(z \in |\mathcal{Z}|\) un point. Choisissons un schéma affine \(V\), un point \(v \in V\) et un morphisme lisse \(V \to \mathcal{Y}\) envoyant \(v\) sur \(z\). Alors \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\) est un champ algébrique quasi-compact. Nous pouvons donc trouver un schéma affine \(W\) et un morphisme lisse surjectif \(W \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V\). D’après le lemme 0CMK, l’image schématique de \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) est \(Z = \mathcal{Z} \times_\mathcal{Y} V\). Ainsi, l’image réciproque de \(|\mathcal{Z}|\) dans \(|V|\) est \(|Z|\) d’après Propriétés des champs, lemme 04XH. D’après le lemme 0CMJ, \(Z\) est l’image schématique de \(W \to V\). D’après Morphismes d’espaces, lemme 082Z, nous voyons que l’image de \(|W| \to |Z|\) est dense. Par conséquent, l’image de \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |Z|\) est dense. Remarquons que \(v \in Z\). Puisque \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) est ouvert, un argument topologique montre que \(z\) appartient à l’adhérence de l’image de \(|f|\), comme voulu.

Lemme

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques représentable par des espaces algébriques et séparé. Soit \(\mathcal{V} \subset \mathcal{Y}\) un sous-champ ouvert tel que \(\mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) soit quasi-compact. Soit \(s : \mathcal{V} \to \mathcal{X}\) un morphisme tel que \(f \circ s = \text{id}_\mathcal{V}\). Soit \(\mathcal{Y}'\) l’image schématique de \(s\). Alors \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{Y}\) est un isomorphisme au-dessus de \(\mathcal{V}\).

Démonstration

D’après le lemme 050Y, le morphisme \(s : \mathcal{V} \to \mathcal{Y}\) est quasi-compact. Par conséquent, la construction de l’image schématique \(\mathcal{Y}'\) de \(s\) commute au changement de base plat d’après le lemme 0CMK. Ainsi, pour démontrer le lemme, nous pouvons supposer que \(\mathcal{Y}\) est représentable par un espace algébrique, et nous sommes ramenés au cas des espaces algébriques, qui est Morphismes d’espaces, lemme 0CP3.

Critères valuatifs

Il faut prendre garde lors de l’énoncé du critère valuatif. En effet, dans la formulation, nous devons parler de diagrammes commutatifs, mais nous travaillons dans une \(2\)-catégorie et nous devons nous assurer que les \(2\)-morphismes se composent eux aussi correctement !

Définition

Soit \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) un morphisme de champs algébriques. Considérons le diagramme \(2\)-commutatif en flèches pleines [0CLB]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] où \(A\) est un anneau de valuation et \(K\) son corps des fractions. Soit \[\gamma : y \circ j \longrightarrow f \circ x\] un \(2\)-morphisme témoignant de la \(2\)-commutativité du diagramme. (Notations comme dans Catégories, sections 003D et 003G.) Étant donnés (0CLB) et \(\gamma\), une flèche pointillée est un triplet \((a, \alpha, \beta)\) constitué d’un morphisme \(a : \Spec(A) \to \mathcal{X}\) et de \(2\)-flèches \(\alpha : a \circ j \to x\), \(\beta : y \to f \circ a\) telles que \(\gamma = (\text{id}_f \star \alpha) \circ (\beta \star \text{id}_j)\), autrement dit telles que \[\xymatrix{ & f \circ a \circ j \ar[rd]^{\text{id}_f \star \alpha} \\ y \circ j \ar[ru]^{\beta \star \text{id}_j} \ar[rr]^\gamma & & f \circ x }\] soit commutatif. Un morphisme de flèches pointillées \((a, \alpha, \beta) \to (a', \alpha', \beta')\) est une \(2\)-flèche \(\theta : a \to a'\) telle que \(\alpha = \alpha' \circ (\theta \star \text{id}_j)\) et \(\beta' = (\text{id}_f \star \theta) \circ \beta\).

La définition précédente est un cas particulier de Catégories, Définition 0H18. La catégorie des flèches pointillées dépend en général de \(\gamma\). Si \(\mathcal{Y}\) est représentable par un espace algébrique (ou si les groupes d’automorphismes des objets au-dessus des corps sont triviaux), il existe bien entendu au plus un \(\gamma\), et il n’est pas nécessaire de vérifier la commutativité du triangle. Plus généralement, nous disposons du Lemme 0CLD. La commutativité du triangle est importante dans la démonstration de la compatibilité au changement de base, voir la démonstration du Lemme 0CLE.

Lemme

Dans la situation de la Définition 0CLA, la catégorie des flèches pointillées est un groupoı̈de. Si \(\Delta_f\) est séparé, alors c’est un sétoı̈de.

Démonstration

Comme les \(2\)-flèches sont inversibles, il est clair que la catégorie des flèches pointillées est un groupoı̈de. Pour une flèche pointillée \((a, \alpha, \beta)\), un automorphisme de \((a, \alpha, \beta)\) est un \(2\)-morphisme \(\theta : a \to a\) qui vérifie deux conditions. La première condition \(\beta = (\text{id}_f \star \theta) \circ \beta\) exprime que \(\theta\) définit un morphisme \((a, \theta) : \Spec(A) \to \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}}\). La seconde condition \(\alpha = \alpha \circ (\theta \star \text{id}_j)\) implique que la restriction de \((a, \theta)\) à \(\Spec(K)\) est l’identité. On a le diagramme \[\xymatrix{ \mathcal{I}_{\mathcal{X}/\mathcal{Y}} \ar[d] & & \Spec(K) \ar[d]^j \ar[ll]_{(a \circ j, \text{id})} \\ \mathcal{X} & & \Spec(A) \ar[ll]_a \ar[llu]_{(a, \theta)} }\] Autrement dit, si \(G \to \Spec(A)\) est l’espace algébrique en groupes obtenu par changement de base de l’inertie relative suivant \(a\), alors \(\theta\) définit un point \(\theta \in G(A)\) dont l’image dans \(G(K)\) est l’élément neutre. Bien entendu, si la section unité \(e : \Spec(A) \to G\) est une immersion fermée, cela ne peut se produire que si \(\theta\) est l’identité. Le Lemme 0CL0 donne le résultat voulu.

Lemme

Dans la Définition 0CLA, supposons que \(\mathcal{I}_\mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\) soit propre (par exemple si \(\mathcal{Y}\) est séparé, ou si \(\mathcal{Y}\) est séparé au-dessus d’un espace algébrique). Alors la catégorie des flèches pointillées est indépendante, à une équivalence non canonique près, du choix de \(\gamma\), et l’existence d’une flèche pointillée (pour un certain choix, donc, de manière èquivalente, pour tout \(\gamma\)) équivaut à l’existence d’un diagramme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y \ar[ru]_a & \mathcal{Y} }\] dont les triangles sont \(2\)-commutatifs (sans vérifier que les \(2\)-morphismes se composent correctement).

Démonstration

Soient \(\gamma, \gamma' : y \circ j \longrightarrow f \circ x\) deux \(2\)-morphismes. Alors \(\gamma^{-1} \circ \gamma'\) est un automorphisme de \(y\) au-dessus de \(\Spec(K)\). Ainsi, si \(\mathit{Isom}_\mathcal{Y}(y, y) \to \Spec(A)\) est propre, le critère valuatif de propreté (Morphismes d’espaces, Lemme 0A40) permet de trouver \(\delta : y \to y\) dont la restriction à \(\Spec(K)\) est \(\gamma^{-1} \circ \gamma'\). Nous pouvons alors utiliser \(\delta\) pour définir une èquivalence entre la catégorie des flèches pointillées pour \(\gamma\) et la catégorie des flèches pointillées pour \(\gamma'\), en envoyant \((a, \alpha, \beta)\) sur \((a, \alpha, \beta \circ \delta)\). La dernière assertion est claire.

Lemme

Supposons donné un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-{x'} \ar[d]_j & \mathcal{X}' \ar[d]^p \ar[r]_q & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-{y'} & \mathcal{Y}' \ar[r]^g & \mathcal{Y} }\] dont le carré de droite est \(2\)-cartésien. Choisissons une \(2\)-flèche \(\gamma' : y' \circ j \to p \circ x'\). Posons \(x = q \circ x'\), \(y = g \circ y'\) et soit \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\) le composé de \(\gamma'\) et de la \(2\)-flèche implicite dans la \(2\)-commutativité du carré de droite. Alors la catégorie des flèches pointillées pour le carré de gauche et \(\gamma'\) est èquivalente à la catégorie des flèches pointillées pour le rectangle extérieur et \(\gamma\).

Démonstration

(Nous ne savons pas démontrer l’analogue de ce lemme si, au lieu de la catégorie des flèches pointillées, nous considérons l’ensemble des classes d’isomorphie des morphismes donnant deux triangles \(2\)-commutatifs comme dans le Lemme 0CLD; il se peut fort bien, en fait, que cet analogue soit faux.) Première démonstration : ce lemme est un cas particulier de Catégories, Lemme 0H1A. Seconde démonstration : nous pouvons remplacer \(\mathcal{X}'\) par le \(2\)-produit fibré \(\mathcal{Y}' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) tel qu’il est décrit dans Catégories, Lemme 0040. L’objet \(x'\) devient alors le triplet \((y' \circ j, x, \gamma)\). On passe alors d’une flèche pointillée \((a, \alpha, \beta)\) pour le rectangle extérieur à une flèche pointillée \((a', \alpha', \beta')\) pour le carré de gauche en prenant \(a' = (y', a, \beta)\), \(\alpha' = (\text{id}_{y' \circ j}, \alpha)\) et \(\beta' = \text{id}_{y'}\). Détails omis.

Lemme

Supposons donné un diagramme \(2\)-commutatif \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[dd]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ & \mathcal{Y} \ar[d]^g \\ \Spec(A) \ar[r]^-z & \mathcal{Z} }\] Choisissons une \(2\)-flèche \(\gamma : z \circ j \to g \circ f \circ x\). Soit \(\mathcal{C}\) la catégorie des flèches pointillées pour le rectangle extérieur et \(\gamma\). Soit \(\mathcal{C}'\) la catégorie des flèches pointillées pour le carré \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-{f \circ x} \ar[d]_j & \mathcal{Y} \ar[d]^g \\ \Spec(A) \ar[r]^-z & \mathcal{Z} }\] et \(\gamma\). Alors \(\mathcal{C}\) est èquivalente à une catégorie \(\mathcal{C}''\) qui possède la propriété suivante : il existe un foncteur \(\mathcal{C}'' \to \mathcal{C}'\) qui fait de \(\mathcal{C}''\) une catégorie fibrée en groupoı̈des sur \(\mathcal{C}'\) et dont les catégories-fibres sont des catégories de flèches pointillées pour certains carrés de la forme \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] et certains choix de \(y \circ j \to f \circ x\).