スタックの射についてさらに

序論

本章では，代数スタックの射の性質の研究を続ける．表現可能な対角射をもつ準分離代数スタックの場合については [LM-B] が参考文献である．

規約と用語の濫用

引き続き，Properties of Stacks, Section 04XA で導入された規約と用語の濫用を用いる．

厚化

以下の用語は完全に標準的とは限らないが，便利である． \(\mathcal{Y}\) が代数スタック \(\mathcal{X}\) の閉部分スタックならば，射 \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) は表現可能である．

定義

厚化を次のように定める．

代数スタック \(\mathcal{X}'\) が代数スタック \(\mathcal{X}\) の厚化であるとは，\(\mathcal{X}\) が \(\mathcal{X}'\) の閉部分スタックであり，付随する位相空間が等しいことをいう．

二つの厚化 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) と \(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\) が与えられたとき， 厚化の射 とは，代数スタックの射 \(f' : \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) であって， \(f'|_\mathcal{X}\) が閉部分スタック \(\mathcal{Y}\) を経由するものをいう．この状況では \(f = f'|_\mathcal{X} : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) とおき， \((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) を厚化の射という．

\(\mathcal{Z}\) を代数スタックとする．同様に， \(\mathcal{Z}\) 上の厚化 および \(\mathcal{Z}\) 上の厚化の射 を定義する．これは，代数スタック \(\mathcal{X}'\) と \(\mathcal{Y}'\) に \(\mathcal{Z}\) への構造射が備わり，\(f'\) が代数スタックの適切な \(2\)-可換図式に組み込まれることを意味する．

\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) を代数スタックの厚化とする． \(U'\) をスキームとし，\(U' \to \mathcal{X}'\) を全射かつ平滑な射とする． \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\) とおけば，厚化の射 \[(U \subset U') \longrightarrow (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}')\] が得られ，\(U \to \mathcal{X}\) は全射かつ平滑である．厚化 \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) の性質は，しばしば対応する厚化 \(U \subset U'\) の性質から導ける．用語を濫用して，射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) が，\(|\mathcal{X}| \to |\mathcal{X}'|\) に全単射を誘導する閉埋め込みであるとき，これを厚化ということもある．

補題

\(i : \mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) を代数スタックの射とする．次は同値である．

\(i\) は代数スタックの厚化である（上記の用語の濫用による）．

\(i\) は代数空間で表現可能であり，Properties of Stacks, Section 04XB の意味で厚化である．

この場合，\(i\) は閉埋め込みかつ普遍同相射である．

証明

More on Morphisms of Spaces, Lemmas 0BPI および 09ZX により，代数空間の射が（一次）厚化であるという性質 \(P\) は，基底上 fpqc 局所的で，基底変換のもとで安定である．したがって，Properties of Stacks, Section 04XB の議論が実際に適用できる．このことを踏まえると，(1) と (2) の同値性は \(P = P_1 + P_2\) という事実から従う．ここで \(P_1\) は閉埋め込みであるという性質，\(P_2\) は全射であるという性質である．（厳密には，More on Morphisms of Spaces, Definition 05ZK， Properties of Stacks, Definition 04YL とそれに続く議論，Morphisms of Spaces, Lemma 03MD，および Properties of Stacks, Section 04ZR も参照し，すべての概念が整合することを確認すべきである．）

最後の主張は以上から明らかである．

以後，この補題を断りなく用いる．補題で用いたのと同じ More on Morphisms of Spaces, Lemmas 0BPI および 09ZX により，一次厚化を次のように定義できる．

定義

代数スタック \(\mathcal{X}'\) が代数スタック \(\mathcal{X}\) の 一次厚化 であるとは，\(\mathcal{X}\) が \(\mathcal{X}'\) の閉部分スタックであり，\(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) が Properties of Stacks, Section 04XB の意味で一次厚化であることをいう．

上のように \((U \subset U') \to (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}')\) がスキームによる平滑被覆ならば，これは単に \(U \subset U'\) が一次厚化であることを意味する．次に，当然必要となる補題を述べる．

補題

\(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\) を代数スタックの厚化とする． \(\mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) を代数スタックの射とし， \(\mathcal{X} = \mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) とおく．このとき \((\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) は厚化の射である．\(\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}'\) が一次厚化ならば， \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) も一次厚化である．

証明

上の議論，Properties of Stacks, Section 04XB，および More on Morphisms of Spaces, Lemma 09ZX を参照せよ．

補題

\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) と \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}''\) が代数スタックの厚化ならば，\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}''\) も代数スタックの厚化である．

証明

上の議論，Properties of Stacks, Section 04XB，および More on Morphisms of Spaces, Lemma 0BPH を参照せよ．

例

\(\mathcal{X}'\) を代数スタックとする．このとき \(\mathcal{X}'\) はその被約化 \(\mathcal{X}'_{red}\) の厚化である．Properties of Stacks, Definition 050C を参照せよ．さらに，\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) が代数スタックの厚化ならば， \(\mathcal{X}'_{red} = \mathcal{X}_{red} \subset \mathcal{X}\) である．言い換えれば，\(\mathcal{X} = \mathcal{X}'_{red}\) であることと， \(\mathcal{X}\) が被約代数スタックであることとは同値である．

補題

\((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) を代数スタックの厚化の射とする．このとき \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) は厚化であり，標準図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[r]_-\Delta \ar[d] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r]^-{\Delta'} & \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' }\] はカルテシアンである．

証明

\(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}'\) は閉部分スタック \(\mathcal{Y}\) を経由するので， \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}\) である．したがって \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) は合成 \[\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\] と同型である．各射は厚化の基底変換として厚化である（Lemma 0BPR）．ゆえに，その合成も厚化である（Lemma 0BPS）． \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) はモノ射なので，補題の最後の主張は \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}' \to \mathcal{Y}'\) に Properties of Stacks, Lemma 0CBB を適用すれば従う．

補題

\((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) を代数スタックの厚化の射とする． \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) と \(\Delta' : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) を対応する対角射とする．このとき，次の各性質を \(\Delta\) が満たすことと \(\Delta'\) が満たすこととは同値である： (a) スキームで表現可能，(b) アフィン，(c) 全射，(d) 準コンパクト， (e) 普遍閉，(f) 整，(g) 準分離，(h) 分離，(i) 普遍単射， (j) 普遍開，(k) 局所準有限，(l) 有限，(m) 不分岐，(n) モノ射， (o) 埋め込み，(p) 閉埋め込み，(q) 固有．

証明

\[(\Delta, \Delta') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \longrightarrow (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \subset \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}')\] が厚化の射であることに注意する（Lemma 0BPU）．さらに，Morphisms of Stacks, Lemma 04XS により， \(\Delta\) と \(\Delta'\) は代数空間で表現可能である．したがって， Properties of Stacks, Section 04XB の議論を通じて，場合 (a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (j) については More on Morphisms of Spaces, Lemma 09ZY を用いれば補題が従う．

Lemma 0BPU により， \(\mathcal{X} = (\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}) \times_{(\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}')} \mathcal{X}'\) である．また，上で挙げた Morphisms of Stacks, Lemma 04XS により， \(\Delta\) と \(\Delta'\) は局所有限型である．したがって，場合 (k), (l), (m), (n), (o), (p), (q) の結果は More on Morphisms of Spaces, Lemma 0BPJ を用いれば従う．

その帰結として，次の好ましい結果を得る．

補題

\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) を代数スタックの厚化とする．このとき

\(\mathcal{X}\) が代数空間であることと \(\mathcal{X}'\) が代数空間であることとは同値である．

\(\mathcal{X}\) がスキームであることと \(\mathcal{X}'\) がスキームであることとは同値である．

\(\mathcal{X}\) が DM であることと \(\mathcal{X}'\) が DM であることとは同値である．

\(\mathcal{X}\) が準 DM であることと \(\mathcal{X}'\) が準 DM であることとは同値である．

\(\mathcal{X}\) が分離的であることと \(\mathcal{X}'\) が分離的であることとは同値である．

\(\mathcal{X}\) が準分離的であることと \(\mathcal{X}'\) が準分離的であることとは同値である．

ここにさらに追加する．

証明

各場合に問題を対角射に関する問題へ帰着し，厚化の射 \[(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to \left(\Spec(\mathbf{Z}) \subset \Spec(\mathbf{Z})\right)\] に Lemma 0BPV を適用する．その際， Algebraic Stacks, Definition 04X6 により \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) を \(\Spec(\mathbf{Z})\) 上の代数スタックの厚化とみなす．

場合 (1)．代数スタックが代数空間であるための必要十分条件は，その対角射がモノ射であることである．Morphisms of Stacks, Lemma 0AHJ を参照せよ（これは Algebraic Stacks, Proposition 04SZ からも直ちに従う）．

場合 (2)．(1) により \(\mathcal{X}\) と \(\mathcal{X}'\) が代数空間であると仮定してよく，その後 More on Morphisms of Spaces, Lemma 05ZR を用いる．

場合 (3)–(6)．これらの各場合は対角射に関する条件に対応する． Morphisms of Stacks, Definitions 04YW および 050D を参照せよ．

厚化の射

\((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) が代数スタックの厚化の射であるとき，射 \(f\) の性質はしばしば \(f'\) に受け継がれる．いくつかの変種がある．

補題

\((f, f') : (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \to (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}')\) を代数スタックの厚化の射とする．このとき

\(f\) がアフィン射であることと \(f'\) がアフィン射であることは同値である，

\(f\) が全射であることと \(f'\) が全射であることは同値である，

\(f\) が準コンパクトであることと \(f'\) が準コンパクトであることは同値である，

\(f\) が普遍閉であることと \(f'\) が普遍閉であることは同値である，

\(f\) が整であることと \(f'\) が整であることは同値である，

\(f\) が普遍単射であることと \(f'\) が普遍単射であることは同値である，

\(f\) が普遍開であることと \(f'\) が普遍開であることは同値である，

\(f\) が準 DMであることと \(f'\) が準 DMであることは同値である，

\(f\) がDMであることと \(f'\) がDMであることは同値である，

\(f\) が（準）分離であることと \(f'\) が（準）分離であることは同値である，

\(f\) が表現可能であることと \(f'\) が表現可能であることは同値である，

\(f\) が代数空間によって表現可能であることと \(f'\) が代数空間によって表現可能であることは同値である，

ここにさらに追加する．

証明

Lemma 0CJ7 により，射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) および \(\mathcal{Y} \to \mathcal{Y}'\) は普遍同相射である．したがって， \(|f| : |\mathcal{X}| \to |\mathcal{Y}|\) に関する任意の条件は， \(|f'| : |\mathcal{X}'| \to |\mathcal{Y}'|\) に関する対応する条件と同値であり，射 \(\mathcal{Z}' \to \mathcal{Y}'\) による任意の基底変換の後にも同じことが成り立つ．これにより (2)，(3)，(4)，(6)，(7) が成り立つ．

場合 (8)，(9)，(10)，(12) では，\(f\) と \(f'\) に関する条件を対角射 \(\Delta\) と \(\Delta'\) に関する条件へと，補題 0BPV と同様に書き換えることができる． Morphisms of Stacks, Definition 04YW および Lemma 0AHJ を参照せよ．したがって，これらの場合はLemma 0BPV から従う．

(11) の証明．\(f'\) が表現可能ならば \(f\) も表現可能である．実際，スキーム \(T\) と射 \(T \to \mathcal{Y}\) に対して \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} (\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T)\) であり，\(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) は閉埋め込み（したがって表現可能）である．逆に，\(f\) が表現可能であると仮定し，射 \(T' \to \mathcal{Y}'\) をとる．ここで \(T'\) はスキームとする．このとき \[\mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}} (\mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} T') = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} (\mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T') \to \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} T'\] は（Lemma 0BPR により）厚化であり，その始域はスキームである．したがって補題 0BPW により，その終域もスキームである．

場合 (1) と (5) では，\(f\) または \(f'\) のいずれかが述べられた性質をもつならば， (11) により \(f\) と \(f'\) はともに表現可能である．この場合，代数空間 \(V'\) と全射かつ滑らかな射 \(V' \to \mathcal{Y}'\) をとる．\(V = \mathcal{Y} \times_{\mathcal{Y}'} V'\)， \(U' = \mathcal{X}' \times_{\mathcal{Y}'} V'\)，および \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{Y}'} V'\) とおく．このとき求める結果は，代数空間の厚化の射 \((U \subset U') \to (V \subset V')\) に対する対応する結果から， Properties of Stacks, Lemma 04XD の原理によって従う．代数空間の場合の対応する結果については，More on Morphisms of Spaces, Lemma 09ZY を参照せよ．

代数スタックの無限小変形

本節はMore on Morphisms of Spaces, Section 06BG に対応するものである．

補題

次の可換図式を考える． \[\xymatrix{ (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}') \ar[ld] \\ & (\mathcal{B} \subset \mathcal{B}') }\] この図式は代数スタックの厚化からなるものとする．次を仮定する．

\(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) は局所有限型である，

\(\mathcal{X}' \to \mathcal{B}'\) は平坦かつ局所有限表示である，

\(f\) は平坦であり，

\(\mathcal{X} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{X}'\) かつ \(\mathcal{Y} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\) である．

このとき \(f'\) は平坦であり，任意の \(y' \in |\mathcal{Y}'|\) について，それが \(|f'|\) の像に属するならば，射 \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) は \(y'\) において平坦である．

証明

代数空間 \(U'\) と全射かつ滑らかな射 \(U' \to \mathcal{B}'\) をとる．代数空間 \(V'\) と全射かつ滑らかな射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\) をとる．代数空間 \(W'\) と全射かつ滑らかな射 \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) をとる．\(U, V, W\) をそれぞれ \(U', V', W'\) の \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) による基底変換とする．このとき \(f'\) の平坦性は \(W' \to V'\) の平坦性と同値であり， \(W \to V\) は平坦であると仮定されている．したがって，次の代数空間の厚化の図式に代数空間の場合の補題を適用できる． \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CGW を参照せよ．\(\mathcal{Y}'/\mathcal{B}'\) が \(|f'|\) の像に属する点において平坦であるという主張も同様に従う．

補題

次の可換図式を考える． \[\xymatrix{ (\mathcal{X} \subset \mathcal{X}') \ar[rr]_{(f, f')} \ar[rd] & & (\mathcal{Y} \subset \mathcal{Y}') \ar[ld] \\ & (\mathcal{B} \subset \mathcal{B}') }\] この図式は代数スタックの厚化からなるものとする． \(\mathcal{Y}' \to \mathcal{B}'\) は局所有限型であり， \(\mathcal{X}' \to \mathcal{B}'\) は平坦かつ局所有限表示であり， \(\mathcal{X} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{X}'\) であり， \(\mathcal{Y} = \mathcal{B} \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\) と仮定する．このとき

\(f\) が平坦であることと \(f'\) が平坦であることは同値である， [0CJD]

\(f\) が同型であることと \(f'\) が同型であることは同値である， [0CJE]

\(f\) が開埋め込みであることと \(f'\) が開埋め込みであることは同値である， [0CJF]

\(f\) がモノ射であることと \(f'\) がモノ射であることは同値である， [0CJG]

\(f\) が局所準有限であることと \(f'\) が局所準有限であることは同値である， [0CJH]

\(f\) がシントミックであることと \(f'\) がシントミックであることは同値である， [0CJI]

\(f\) が滑らかであることと \(f'\) が滑らかであることは同値である， [0CJJ]

\(f\) が非分岐であることと \(f'\) が非分岐であることは同値である， [0CJK]

\(f\) が étale であることと \(f'\) が étale であることは同値である， [0CJL]

\(f\) が有限であることと \(f'\) が有限であることは同値であり， [0CJM]

ここにさらに追加する．

証明

場合 (0CJD) では，これは補題 0CJB から従う．

場合 (0CJI)，(0CJJ) では，Lemma 0CJB の証明で用いた方法によって示すことができる．すなわち，代数空間 \(U'\) と全射かつ滑らかな射 \(U' \to \mathcal{B}'\) をとる．代数空間 \(V'\) と全射かつ滑らかな射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\) をとる．代数空間 \(W'\) と全射かつ滑らかな射 \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) をとる．\(U, V, W\) をそれぞれ \(U', V', W'\) の \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) による基底変換とする．このとき \(f\)（それぞれ \(f'\)）がこの性質をもつことは， \(W' \to V'\)（それぞれ \(W \to V\)）がこの性質をもつことと同値である．したがって，代数空間の場合の補題を次の代数空間の厚化の図式に適用できる． \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CGX を参照せよ．

場合 (0CJK) と (0CJL) では，まず \(f\) または \(f'\) に関する仮定から，両方の射 \(f\) と \(f'\) が代数スタックの DM 射であることがわかる．補題 0CJ9 を参照せよ．次に代数空間 \(U'\) と全射かつ滑らかな射 \(U' \to \mathcal{B}'\) をとる．代数空間 \(V'\) と全射かつ滑らかな射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\) をとる．代数空間 \(W'\) と全射な étale(!) 射 \(W' \to V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) をとる．\(U, V, W\) をそれぞれ \(U', V', W'\) の \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) による基底変換とする．このとき \(W \to V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) も全射かつ étale である．したがって，\(f\)（それぞれ \(f'\)）がこの性質をもつことは， \(W' \to V'\)（それぞれ \(W \to V\)）がこの性質をもつことと同値である．したがって，代数空間の場合の補題を次の代数空間の厚化の図式に適用できる． \[\xymatrix{ (W \subset W') \ar[rr] \ar[rd] & & (V \subset V') \ar[ld] \\ & (U \subset U') }\] More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CGX を参照せよ．

場合 (0CJE)， (0CJF)， (0CJG)， (0CJM) では，まずLemma 0CJ9 により， \(f\) と \(f'\) は代数空間によって表現可能である．したがって，代数空間 \(U'\) と全射かつ滑らかな射 \(U' \to \mathcal{B}'\)，代数空間 \(V'\) と全射かつ滑らかな射 \(V' \to U' \times_{\mathcal{B}'} \mathcal{Y}'\) を順にとることができ，このとき \(W' = V' \times_{\mathcal{Y}'} \mathcal{X}'\) は代数空間となる． \(U, V, W\) をそれぞれ \(U', V', W'\) の \(\mathcal{B} \to \mathcal{B}'\) による基底変換とする．このときやはり \(W = V \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) である．そこで，\(W' \to V'\) が同型，開埋め込み，モノ射，有限のそれぞれであることと，\(W \to V\) が同じ性質をもつこととが同値であることを示せばよい．Properties of Stacks, Lemma 04XD を参照せよ．したがって，上記の代数空間に対する結果を適用すれば結論を得る．

場合 (0CJH) では，まず Morphisms of Stacks, Lemma 06U9 により， \(f\) と \(f'\) は局所有限型であることに注意する．一方，射 \(f\) が準 DMであることと \(f'\) が準 DMであることは， Lemma 0CJ9 により同値である． \(f\) または \(f'\) が局所準有限であるかどうかを判定するために最後に確認すべきことは（Morphisms of Stacks, Definition 06PU），台となる位相空間に関する条件である．この条件は，証明の最初の段落の議論により，\(f\) について成り立つことと \(f'\) について成り立つことが同値である．

アフィンスキームの持ち上げ

次の実線で示された図式を考える． \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar@{..>}[r] & W' \ar@{..>}[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] ここで，\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) は代数スタックの厚化， \(W\) はアフィンスキームであり，\(W \to \mathcal{X}\) は滑らかである．本節で扱う問題は，正方形がカルテジアンとなり，かつ \(W' \to \mathcal{X}'\) が滑らかとなるような \(W'\) と点線の矢印を見いだせるかどうかである．一般にはその答えは分からないが， \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) が一次厚化ならば答えが肯定的であることを証明する．

この問題を調べるため，次の圏を導入する．

注意

次の図式を考える． \[\xymatrix{ W \ar[d]_x \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] ここで，\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) は代数スタックの厚化， \(W\) は代数空間であり，\(W \to \mathcal{X}\) は滑らかである．以下のように圏 \(\mathcal{C}\) と関手 \[p : \mathcal{C} \longrightarrow W_{spaces, \etale}\] を構成する（記法については Properties of Spaces, Definition 03G0 を参照）． \(\mathcal{C}\) の対象は系 \((U, U', a, i, x', \alpha)\) であり，これは可換図式 [0CJQ]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ U \ar[d]_a \ar[r]_i & U' \ar[dd]^{x'} \\ W \ar[d]_x & \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' } } \end{equation}\] をなす．その可換性が \(2\)-射 \(\alpha : x \circ a \to x' \circ i\) によって与えられ， \(U\) と \(U'\) が代数空間，\(a : U \to W\) が étale， \(x' : U' \to \mathcal{X}'\) が滑らかであり，さらに \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\) を満たすものとする．とくに \(U \subset U'\) は厚化である．射 \[(U, U', a, i, x', \alpha) \to (V, V', b, j, y', \beta)\] は \((f, f', \gamma)\) によって与えられる．ここで \(f : U \to V\) は \(W\) 上の射，\(f' : U' \to V'\) は \(U\) への制限が \(f\) を与える射， \(\gamma : x' \circ f' \to y'\) は次の図式の右側の三角形の可換性を与える \(2\)-射である． [0CJR]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & V \ar[ld]_f \ar[ldd]^b \ar[rr]_j & & V' \ar[ld]_{f'} \ar[lddd]^{y'} \\ U \ar[d]_a \ar[rr]_i & & U' \ar[dd]_{x'} \\ W \ar[d]_x & \\ \mathcal{X} \ar[rr] & & \mathcal{X}' } } \end{equation}\] 最後に，\(\gamma\) が \(\alpha\) および \(\beta\) と両立することを要求する． Categories, Sections 003D および 003G の \(2\)-圏の計算では，これは \[\beta = (\gamma \star \text{id}_j) \circ (\alpha \star \text{id}_f)\] と書かれる（より簡潔には \(\beta = j^*\gamma \circ f^*\alpha\)）．別の言い方をすれば，対象は付加的な性質をもつ可換図式 (0CJQ) であり，射は可換図式 (0CJR) である．後者は圏 \(\textit{Spaces}/\mathcal{X}'\) における図式であり，この圏は Properties of Stacks, Remark 04ZQ で導入された．この見方から，\(\mathcal{C}\) が圏であり， \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\)，すなわち \((U, U', a, i, x', \alpha)\) を \(a : U \to W\) へ送る規則が関手であることは明らかである．

補題

任意の射 (0CJR) に対し，写像 \(f' : V' \to U'\) は étale である．

証明

実際，\(f : V \to U\) は étale である．これは \(W_{spaces, \etale}\) における射である．また，Lemma 0CJC を適用できる．なぜなら， \(U' \to \mathcal{X}'\) と \(V' \to \mathcal{X}'\) は滑らかで， \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\) および \(V = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} V'\) が成り立つからである．

補題

圏 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) は， Remark 0CJP で構成したものであり，亜群にファイバー化されている．

証明

\(p\) のファイバー圏は亜群であると主張する． \((f, f', \gamma')\) が (0CJR) における射であり， \(f : U \to V\) が同型ならば，Lemma 0CJC により \(f'\) も同型である．したがって \((f, f', \gamma')\) は同型である．

\(f : V \to U\) を \(W_{spaces, \etale}\) における射とし， \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\) を \(\mathcal{C}\) の \(U\) 上の対象とする．「引き戻し」\(f^*\xi\) を \(V\) 上に構成しよう．まず \(b = a \circ f\) とおく．射 \(f' : V' \to U'\) を取る．この射は étale で，その \(V\) への制限が \(f\) である（More on Morphisms of Spaces, Lemma 07VW）．対応する厚化を \(j : V \to V'\) と記す． \(y' = x' \circ f'\) および \(\gamma = \text{id} : x' \circ f' \to y'\) とおく．さらに \[\beta = \alpha \star \text{id}_f : x \circ b = x \circ a \circ f \to x' \circ i \circ f = x' \circ f' \circ j = y' \circ j\] とおく．\((f, f', \gamma) : (V, V', b, j, y', \beta) \to (U, U', a, i, x', \alpha)\) が (0CJR) の射であることは明らかである．このように構成された射 \((f, f', \gamma)\) は強カルテジアンである（Categories, Definition 02XK）．詳しい証明は省略するが，本質的な理由は次のとおりである．射 \((g, g', \epsilon) : (Y, Y', c, k, z', \delta) \to (U, U', a, i, x', \alpha)\) が \(\mathcal{C}\) において与えられ，\(g\) が \(g = f \circ h\) と分解するとする．ここで \(h : Y \to V\) である．このとき一意的な分解 \(g' = f' \circ h'\) を得る（More on Morphisms of Spaces, Lemma 07VW）．その後，必要な \(\zeta\) を構成して， \((h, h', \zeta) : (Y, Y', c, k, z', \delta) \to (V, V', b, j, y', \beta)\) が \(\mathcal{C}\) の射となり， \((g, g', \epsilon) = (f, f', \gamma) \circ (h, h', \zeta)\) を満たすようにできる．

したがって \(p : \mathcal{C} \to W_\etale\) はファイバー化圏である（Categories, Definition 02XM）．これと上で見たファイバー圏が亜群であるという事実を合わせると， \(p : \mathcal{C} \to W_\etale\) は亜群にファイバー化されていると結論される．これは Categories, Lemma 003V による．

補題

圏 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) は， Remark 0CJP で構成したものであり，亜群のスタックである．

証明

Lemma 0CJT により，Stacks, Definition 02ZI の第1の条件が成り立つ．慣例どおり対象の降下を検証し，射の降下の検証は読者に委ねる．そこで，\(a : U \to W\) を \(W_{spaces, \etale}\) における射， \(\{U_k \to U\}_{k \in K}\) を \(W_{spaces, \etale}\) における被覆， \(\xi_k = (U_k, U'_k, a_k, i_k, x'_k, \alpha_k)\) を \(\mathcal{C}\) の \(U_k\) 上の対象とし，さらにコサイクル条件を満たす制限間の射 \[\varphi_{kk'} = (f_{kk'}, f'_{kk'}, \gamma_{kk'}) : \xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_{k'}|_{U_k \times_U U_{k'}}\] が与えられているとする．有効性を証明するため，まず被覆を細分してよい．したがって，各 \(U_k\) がスキーム（望むならアフィンスキーム）であると仮定してよい．次のように書く． \[\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} = (U_k \times_U U_{k'}, U'_{kk'}, a_{kk'}, x'_{kk'}, \alpha_{kk'})\] すると，étale 射（Lemma 0CJS による） \(s_{kk'} : U'_{kk'} \to U'_k\) を得る．これは射 \(\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_k\) の第2成分であり， \(\mathcal{C}\) における射である．同様に，étale 射 \(t_{kk'} : U'_{kk'} \to U'_{k'}\) を，合成 \[\xi_k|_{U_k \times_U U_{k'}} \xrightarrow{\varphi_{kk'}} \xi_{k'}|_{U_k \times_U U_{k'}} \to \xi_{k'}\] の第2成分を見ることにより得る．次の射を考える． \[j : \coprod\nolimits_{(k, k') \in K \times K} U'_{kk'} \xrightarrow{(\coprod s_{kk'}, \coprod t_{kk'})} (\coprod\nolimits_{k \in K} U'_k) \times (\coprod\nolimits_{k \in K} U'_k)\] これは étale 同値関係であると主張する．まず，表示された射の成分 \(s, t\) が étale であることは既に見た．射 \(j\) を \((\coprod U_k) \times (\coprod U_k) \to (\coprod U'_k) \times (\coprod U'_k)\) で基底変換すると，それは写像 \[\coprod\nolimits_{(k, k') \in K \times K} U_k \times_U U_{k'} \longrightarrow (\coprod\nolimits_{k \in K} U_k) \times (\coprod\nolimits_{k \in K} U_k)\] であるから単射である．したがって More on Morphisms, Lemma 0BPG により \(j\) は単射である．最後に，関係 \(j\) の対称性は \(\varphi_{kk'}^{-1}\) が \(\varphi_{k'k}\) の「反転」であること（Stacks, Remarks 026C を参照）から従い，推移性はコサイクル条件から従う（詳細は省略する）．よって \(\coprod U'_k\) の \(j\) による商は代数空間 \(U'\) である（Spaces, Theorem 02WW）．また，上で厚化 \(i : U \to U'\) が存在することも既に示されている．実際，\(j\) の \(\coprod U_k\) への制限が \((\coprod U_k) \times_U (\coprod U_k)\) を与えることを見た．最後に，\(1\)-射 \(x'_k : U'_k \to \mathcal{X}'\) を一時的にスタック \(\mathcal{X}'\) の \(U'_k\) 上の対象とみなす．すると，これらには étale 被覆 \(\{U'_k \to U'\}\) に関する降下データが備わっていることが分かる． \(\gamma_{kk'}\)，すなわち射 \(\varphi_{kk'}\) の第3成分がこの降下データを与える．ここで後者は \(\mathcal{C}\) の射である． \(\mathcal{X}'\) はスタックなので，この降下データは有効である．元の記述に戻すと， \(1\)-射 \(x' : U' \to \mathcal{X}'\) を得る．この射について，合成 \(U'_k \to U' \to \mathcal{X}'\) は \(x'_k\) への同型を備え，それらは \(\gamma_{kk'}\) と両立する．これは，射 \(\alpha_k : x \circ a_k \to x'_k \circ i_k\) が射 \(\alpha : x \circ a \to x' \circ i\) へ貼り合わされることを意味する．したがって \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\) が求める \(U\) 上の対象である．

補題

\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) を代数スタックの厚化とする． \(W\) を代数空間とし，\(W \to \mathcal{X}\) を滑らかな射とする． étale 被覆 \(\{W_i \to W\}_{i \in I}\) が存在し，各 \(i\) に対してカルテジアン図式 \[\xymatrix{ W_i \ar[r] \ar[d] & W_i' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] であって，\(W_i' \to \mathcal{X}'\) が滑らかなものが存在する．

証明

スキーム \(U'\) と全射かつ滑らかな射 \(U' \to \mathcal{X}'\) を選ぶ．通常どおり \(U = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} U'\) とおく．すると \(U \to \mathcal{X}\) は全射かつ滑らかな射である．したがって基底変換 \[V = W \times_{\mathcal{X}} U \longrightarrow W\] は代数空間の全射かつ滑らかな射である． Topologies on Spaces, Lemma 0CFV により，étale 被覆 \(\{W_i \to W\}\) であって，\(W_i \to W\) が \(V \to W\) を経由して分解するものを見いだせる．\(W_i\) をアフィンで被覆すれば（Properties of Spaces, Lemma 03FX），各 \(W_i\) がアフィンであると仮定してよい．\(W\) を \(W_i\) で置き換えることができ，実際そうすることで，次の段落で論じる状況へ帰着される．

\(W\) はアフィンであり，与えられた射 \(W \to \mathcal{X}\) は \(U\) を経由して分解すると仮定する．図式は \[W \xrightarrow{i} U \to \mathcal{X}\] である．\(W\) と \(U\) は \(\mathcal{X}\) 上滑らかなので，\(i\) は局所有限型である（Morphisms of Stacks, Lemma 06U9）． \(U\) を \(\mathbf{A}^n_U\) で置き換えることにより，\(i\) が埋め込みであると仮定してよい．Morphisms, Lemma 04II を参照されたい． Morphisms of Stacks, Lemma 0CJ6 により，射 \(i\) は局所完全交叉である．したがって \(i\) は Koszul 正則埋め込み（Divisors, Definition 063J で定義される意味で）である．これは More on Morphisms, Lemma 069G による．

なおも \(W\) をアフィン開被覆で置き換えてよい．各点 \(w \in W\) に対し，アフィン開集合 \(U'_w \subset U'\) を選べる．ここで，対応するアフィン開集合を \(U_w \subset U\) とすると， \(w \in i^{-1}(U_w)\) であり，\(i^{-1}(U_w) \to U_w\) が Koszul 正則列 \(f_1, \ldots, f_r \in \Gamma(U_w, \mathcal{O}_{U_w})\) によって切り出される閉埋め込みとなるように選ぶ．これは Koszul 正則埋め込みの定義と Divisors, Lemma 063G から従う． \(W_w = i^{-1}(U_w)\) とおく．これは \(w \in W\) のアフィン開近傍である． \(f'_1, \ldots, f'_r \in \Gamma(U'_w, \mathcal{O}_{U'_w})\) を， \(f_1, \ldots, f_r\) の持ち上げとして選ぶ． \(U_w \to U'_w\) はアフィンスキームの閉埋め込みなので，これは可能である． \(W'_w \subset U'_w\) を \(f'_1, \ldots, f'_r\) によって切り出される閉部分スキームとする． \(W'_w \to \mathcal{X}'\) は滑らかであると主張する．この主張により証明が終わる．実際，構成から \(W_w = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} W'_w\) である．

この主張を確かめるには，基底変換 \(W'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \to X'\) が滑らかであることを，任意のアフィンスキーム \(X'\) であって \(\mathcal{X}'\) 上滑らかなものに対して確かめれば十分である．étale 射 \[Y' \to U'_w \times_{\mathcal{X}'} X'\] を，\(Y'\) がアフィンとなるように選ぶ． \(U'_w \times_{\mathcal{X}'} X'\) はそのような射の像で被覆されるので， \(Z'\) を，\(Y'\) の中で \(f'_1, \ldots, f'_r\) によって切り出される閉部分スキームとする．これが \(X'\) 上滑らかであることを示せば十分である．図式は \[\xymatrix{ Z' \ar[r] \ar[d] & Y' \ar[d] \\ W'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \ar[d] \ar[r] & U'_w \times_{\mathcal{X}'} X' \ar[d] \ar[r] & X' \\ W'_w = V(f'_1, \ldots, f'_r) \ar[r] & U'_w }\] \(X = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} X'\)， \(Y = X \times_{X'} Y' = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} Y'\)，および \(Z = Y \times_{Y'} Z' = X \times_{X'} Z' = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} Z'\) とおく．この列に現れる二つの射 \((Z \subset Z') \to (Y \subset Y') \subset (X \subset X')\) はいずれも，アフィンスキームの厚化の（カルテジアンな）射であり， \(Z \to X\) と \(Y' \to X'\) は滑らかであることが与えられている．最後に，関数列 \(f'_1, \ldots, f'_r\) は \(\Gamma(Y', \mathcal{O}_{Y'})\) の Koszul 正則列へ写る．これは More on Algebra, Lemma 062H による．実際， \(Y' \to U'_w\) は滑らかであり，したがって平坦である． More on Algebra, Lemma 0CER （また，More on Algebra, Lemmas 062F， 0CEM，および 062I により，Koszul 正則列が準正則列であるという事実）から，望むとおり \(Z' \to X'\) は滑らかであると結論される．

補題

\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) を代数スタックの厚化とする．次の可換図式を考える． \[\xymatrix{ W'' \ar[d]_{x''} & W \ar[l] \ar[r] \ar[d]_x & W' \ar[d]^{x'} \\ \mathcal{X}' & \mathcal{X} \ar[l] \ar[r] & \mathcal{X}' }\] ここで，二つの正方形はカルテジアンであり，\(W', W, W''\) は代数空間，縦の矢印は滑らかである．このとき，次のものが存在する．

étale 被覆 \(\{f'_k : W'_k \to W'\}_{k \in K}\)，

étale 射 \(f''_k : W'_k \to W''\)，および

\(2\)-射 \(\gamma_k : x'' \circ f''_k \to x' \circ f'_k\)．

これらは (a) \((f'_k)^{-1}(W) = (f''_k)^{-1}(W)\)，(b) \(f'_k|_{(f'_k)^{-1}(W)} = f''_k|_{(f''_k)^{-1}(W)}\) を満たし，さらに (c) \(\gamma_k\) を (a) の閉部分スキームへ引き戻したものは，最初の図式の可換性によって与えられる \(2\)-射，すなわち \(W\) 上のものと一致する．

証明

与えられた二つの厚化をそれぞれ \(i : W \to W'\) および \(i'' : W \to W''\) と記す．補題の主張にある図式の可換性は，\(2\)-射 \(\delta : x' \circ i' \to x'' \circ i''\) が存在することを意味する．これが主張の (c) で言及された \(2\)-射である．代数空間 \[I' = W' \times_{x', \mathcal{X}', x''} W''\] を，射影 \(p' : I' \to W'\) および \(q' : I' \to W''\) とともに考える．「普遍」\(2\)-射 \(\gamma : x' \circ p' \to x'' \circ q'\) が存在することに注意する（これは後で用いる）．\(\delta\) の選択により射 \[\xymatrix{ W \ar[rr]_\delta & & I' \ar[ld]^{p'} \ar[rd]_{q'} \\ & W' & & W'' }\] が定まり，合成 \(W \to I' \to W'\) と \(W \to I' \to W''\) はそれぞれ \(i : W \to W'\) と \(i' : W \to W''\) である． \(x''\) は滑らかなので，射 \(p' : I' \to W'\) は \(x''\) の基底変換として滑らかである．

étale 被覆 \(\{f'_k : W'_k \to W'\}\) と射 \(\delta_k : W'_k \to I'\) であって， \(\delta_k\) の \(W_k = (f'_k)^{-1}\) への制限が \(\delta \circ f_k\) に等しいものを見いだせると仮定する．ここで \(f_k = f'_k|_{W_k}\) である．図式は \[\xymatrix{ W_k \ar[r]^{f_k} \ar[d] & W \ar[r]^\delta & I' \ar[d]^{p'} \\ W'_k \ar[rr]^{f'_k} \ar[rru]^{\delta_k} & & W' }\] である．言い換えれば，与えられた切断 \(\delta : W \to I'\)（\(p'\) の切断）を \(W'\) 上の切断へ延長したいのであり，必要なら \(W'\) を étale 被覆で置き換えてよい．

これができれば，\(f''_k = q' \circ \delta_k\) および \(\gamma_k = \gamma \star \text{id}_{\delta_k}\)（より簡潔には \(\gamma_k = \delta_k^*\gamma\)）とおける．実際，この時点で残るのは射 \(f''_k\) が étale であることを示すことだけである．構成により，射 \(x' \circ p'\) は \(2\)-同型によって \(x'' \circ q'\) と結ばれる．したがって \(x'' \circ f''_k\) は \(2\)-同型によって \(x' \circ f'_k\) と結ばれる．ゆえに，合成 \[W'_k \xrightarrow{f''_k} W'' \xrightarrow{x''} \mathcal{X}'\] は \(x' \circ f'_k\) が滑らかであることから滑らかである． \(f_k\) は étale なので，\(f''_k\) は étale であると結論される．これは Lemma 0CJC による．

厚化が一次厚化ならば，任意の étale 被覆 \(\{W'_k \to W'\}\) であって \(W_k'\) がアフィンであるものを選べる．実際，\(p'\) は滑らかなので，無限小持ち上げ判定法（More on Morphisms of Spaces, Lemma 04AM）により， \(p'\) は形式的に滑らかである．\(W_k\) はアフィンであり， \(W_k \to W'_k\) は一次厚化（\(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) の基底変換であるため． Lemma 0BPR を参照）なので，求める \(\delta_k\) を得る．

一般の場合，被覆と射 \(\delta_k\) の存在は More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CHJ から従う．

補題

圏 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) は， Remark 0CJP で構成したものであり，ジェルブである．

証明

Lemma 0CJU で，これは亜群のスタックであることを見た．したがって，Stacks, Definition 06NZ の条件 (2) と (3) を確かめることだけが残る．条件 (2) は Lemma 0CJV から従う．条件 (3) は Lemma 0CJW から従う．

補題

Remark 0CJP において， \(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) が一次厚化であると仮定する．このとき，

ジェルブ \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) （Remark 0CJP で構成したもの）の対象の自己同型層は可換であり，

群の層 \(\mathcal{G}\)（Stacks, Lemma 0CJY で構成されるもの）は準連接 \(\mathcal{O}_W\)-加群である．

証明

二つの主張を同時に証明する．すなわち，対象 \(\xi = (U, U', a, i, x', \alpha)\) が与えられたとき， \(\mathit{Aut}(\xi)\) に準連接 \(\mathcal{O}_U\)-加群の構造を \(U_{spaces, \etale}\) 上で入れ，この構造が引き戻しと両立することを示す．層の貼り合わせ（Sites, Section 04TP）， \(\mathcal{G}\) の構成（Stacks, Lemma 0CJY の証明では，自己同型層 \(\mathit{Aut}(\xi)\) の貼り合わせとして構成される），および加群が準連接であることは étale 被覆へ移った後に確かめれば十分であること（Properties of Spaces, Lemma 03M0）により，これで十分である．

層 \(\mathit{Aut}(\xi)\) を，Lemma 0CJW の証明で用いたものと同じ方法により記述する．代数空間 \[I' = U' \times_{x', \mathcal{X}', x'} U'\] を，射影 \(p' : I' \to U'\) および \(q' : I' \to U'\) とともに考える． \(I'\) 上には普遍 \(2\)-射 \(\gamma : x' \circ p' \to x' \circ q'\) がある．恒等射 \(x' \to x'\) は対角射 \[\xymatrix{ U' \ar[rr]_{\Delta'} & & I' \ar[ld]^{p'} \ar[rd]_{q'} \\ & U' & & U' }\] を定め，合成 \(U' \to I' \to U'\) と \(U' \to I' \to U'\) は恒等射となる． \(U', I', p', q', \Delta'\) の \(\mathcal{X}\) への基底変換を \(U, I, p, q, \Delta\) と記す．\(W' \to \mathcal{X}'\) は滑らかなので， \(p' : I' \to U'\) は基底変換として滑らかである．

\(\mathit{Aut}(\xi)\) の \(U\) 上の切断とは，射 \(\delta' : U' \to I'\) であって， \(\delta'|_U = \Delta\) および \(p' \circ \delta' = \text{id}_{U'}\) を満たすもののことである．明示的には，対応する自己同型は \((\text{id}_U, q' \circ \delta', (\delta')^*\gamma) : \xi \to \xi\) で与えられる．より一般に，\(f : V \to U\) が étale 射ならば，厚化 \(j : V \to V'\) と étale 射 \(f' : V' \to U'\) が存在する．後者の \(V\) への制限は \(f\) であり，\(f^*\xi\) は \((V, V', a \circ f, j, x' \circ f', f^*\alpha)\) に対応する． Lemma 0CJT の証明を参照されたい． \(\mathit{Aut}(\xi)\) の \(V\) 上の切断とは，射 \(\delta' : V' \to I'\) であって， \(\delta'|_V = \Delta \circ f\) および \(p' \circ \delta' = f'\)¹ を満たすもののことである．

以上から，集合の層としての \(\mathit{Aut}(\xi)\) は， More on Morphisms of Spaces, Remark 0CK7 において，厚化 \((U \subset U')\) と \((I \subset I')\) に対して，\((U \subset U')\) 上の \(\text{id}_{U'}\) と \(p'\) を介して定義された層と一致する．対角射 \(\Delta'\) はこの層の切断であり，More on Morphisms of Spaces, Lemma 061C を用いてこの切断に作用させることで，同型 [0CKH]\[\begin{equation} \SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\Delta^*\Omega_{I/U}, \mathcal{C}_{U/U'}) \longrightarrow \mathit{Aut}(\xi) \end{equation}\] を \(U_{spaces, \etale}\) 上に得る．なお，次の三点を確かめる必要がある．

(0CKH) の構成が étale 局所化と可換すること，

\(\SheafHom_{\mathcal{O}_U}(\Delta^*\Omega_{I/U}, \mathcal{C}_{U/U'})\) が \(U\) 上の準連接加群であること，

\(\mathit{Aut}(\xi)\) における合成が，この準連接加群の切断の加法に対応すること．

これらを順に確かめる．

(1) を見るには，\(f : V \to U\) が étale ならば， (0CKH)，すなわち \(\xi\) を用いて \(U\) 上で構成した同型が，写像 (0CKH) \[\SheafHom_{\mathcal{O}_V}( \Delta_V^*\Omega_{V \times_\mathcal{X} V/V}, \mathcal{C}_{V/V'}) \to \mathit{Aut}(\xi|_V)\] へ制限されることを示さなければならない．ここで後者は，\(\xi|_V\) を用いて \(V\) 上で構成した \(V_{spaces, \etale}\) 上の写像である．これは上の脚注の議論と More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CK8 から従う．

(2) の証明．\(p'\) は滑らかなので，射 \(I \to U\) は滑らかであり，したがって相対微分加群 \(\Omega_{I/U}\) は有限局所自由である（More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CK5）．一方，\(\mathcal{C}_{U/U'}\) は準連接である（More on Morphisms of Spaces, Definition 04CN）． Properties of Spaces, Lemma 03M1 により結論を得る．

(3) の証明．射 \(c' : I' \times_{p', U', q'} I' \to I'\) が存在し， \((U', I', p', q', c')\) は恒等射 \(\Delta'\) をもつ代数空間の亜群となる．たとえば Algebraic Stacks, Lemma 04T4 を参照されたい． \(\mathit{Aut}(\xi)\) における合成は，射 \(c'\) によって次のように誘導される．二つの射 \[\delta'_1, \delta'_2 : U' \longrightarrow I'\] が，上で述べたように \(\mathit{Aut}(\xi)\) の \(U\) 上の切断に対応するとする．言い換えれば，\(\delta'_i|U = \Delta_U\) および \(p' \circ \delta'_i = \text{id}_{U'}\) が成り立つ．このとき \(\mathit{Aut}(\xi)\) における合成は \[\delta'_1 \circ \delta'_2 = c'(\delta'_1 \circ q' \circ \delta'_2, \delta'_2)\] である．詳しい確認は省略する²．したがって More on Groupoids in Spaces, Section 0CKB で述べられた状況にあり，求める結果は More on Groupoids in Spaces, Lemma 0CKF から従う．

命題

\(\mathcal{X} \subset \mathcal{X}'\) を代数スタックの一次厚化とする． \(W\) をアフィンスキームとし，\(W \to \mathcal{X}\) を滑らかな射とする．このとき，カルテジアン図式 \[\xymatrix{ W \ar[d] \ar[r] & W' \ar[d] \\ \mathcal{X} \ar[r] & \mathcal{X}' }\] であって，\(W' \to \mathcal{X}'\) が滑らかで \(W'\) がアフィンであるものが存在する．

証明

圏 \(p : \mathcal{C} \to W_{spaces, \etale}\) を考える．これは Remark 0CJP で導入したものである．命題の主張は，\(\mathcal{C}\) の対象で \(W\) 上にあるものが存在するということである．実際，そのような対象 \((W, W', a, i, y', \alpha)\) があれば， \(W = \mathcal{X} \times_{\mathcal{X}'} W'\) である．したがって \(W \to W'\) は代数空間の厚化であるから， More on Morphisms of Spaces, Lemma 05ZR および More on Morphisms, Lemma 06AD により \(W'\) はアフィンである．

Lemma 0CJX によれば，\(\mathcal{C}\) は \(W_{spaces, \etale}\) 上のジェルブである．これは，étale 局所的に解を見いだすことができ，かつそれらの局所解が étale 局所的に同型であることを意味する．この部分では，この厚化が一次厚化であるという仮定は必要ない． Lemma 0CKG により，このジェルブの対象の自己同型層は可換であり，互いに貼り合わさって準連接加群 \(\mathcal{G}\) をなす．これは \(W_{spaces, \etale}\) 上の加群である． Cohomology on Sites, Lemma 0CK0 の条件 (1) と (2) を検証し，\(\mathcal{C}\) の対象で \(W\) 上にあるものの存在を結論する．条件 (1) は成り立つ．すなわち，étale 被覆 \(\{W_i \to W\}\) であって，各 \(W_i\) がアフィンであるものは，被覆全体の族の中で共終である．そのような被覆に対して，\(W_i\) と \(W_i \times_W W_j\) はアフィンであり， \(H^1(W_i, \mathcal{G})\) と \(H^1(W_i \times_W W_j, \mathcal{G})\) は零である．実際，たとえば Cohomology of Spaces, Proposition 072B により，アフィン代数空間上の準連接加群のコホモロジーは零である．最後に，条件 (2) は \(H^2(W, \mathcal{G}) = 0\) となることである．ここで \(\mathcal{G}\) は上の準連接層であり，この消滅も Cohomology of Spaces, Proposition 072B から従う．これで証明が完了した．

無限小変形

引き続き，Artin’s Axioms, Section 07Y6 の議論を行う．

補題

\(\mathcal{X}\) をスキーム \(S\) 上の代数スタックとする． \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は局所有限表示であると仮定する． \(A \to B\) を平坦な \(S\)-代数準同型とする． \(x\) を \(\mathcal{X}\) の \(A\) 上の対象とし，\(y = x|_B\) とおく．このとき \(\text{Inf}_x(M) \otimes_A B = \text{Inf}_y(M \otimes_A B)\) である．

証明

\(\text{Inf}_x(M)\) は，\(x\) の \(A[M]\) への自明な変形の自己同型のうち， \(x\) の \(A\) 上の恒等自己同型を誘導するもの全体の集合であった．この自明な変形は，\(x\) の \(\Spec(A[M])\) への， \(\Spec(A[M]) \to \Spec(A)\) による引き戻しである． \(G \to \Spec(A)\) を \(x\) の自己同型群代数空間とする（これは \(\mathcal{X}\) が代数空間なので存在する）． \(e : \Spec(A) \to G\) を単位元とする． More on Morphisms of Spaces, Section 0617 の議論から \[\text{Inf}_x(M) = \Hom_A(e^*\Omega_{G/A}, M)\] を得る．同様に \[\text{Inf}_y(M \otimes_A B) = \Hom_B(e_B^*\Omega_{G_B/B}, M \otimes_A B)\] である．仮定により \(G \to \Spec(A)\) は局所有限表示なので， \(\Omega_{G/A}\) は局所有限表示である．More on Morphisms of Spaces, Lemma 05ZF を参照されたい．したがって \(e^*\Omega_{G/A}\) は有限表示 \(A\)-加群である．さらに，\(\Omega_{G_B/B}\) は \(\Omega_{G/A}\) の引き戻しである．これは More on Morphisms of Spaces, Lemma 05ZC による．ゆえに \(e_B^*\Omega_{G_B/B} = e^*\Omega_{G/A} \otimes_A B\) である． More on Algebra, Lemma 087R から結論が従う．

補題

\(\mathcal{X}\) を基礎スキーム \(S\) 上の代数スタックとする． \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は局所有限表示であると仮定する． \((A' \to A, x)\) を変形状況とする．このとき関手 \[F : B' \longmapsto \{\text{次の写像の持ち上げ：}x|_{B' \otimes_{A'} A}\text{，持ち上げ先：} B'\}/\text{同型}\] はサイト \((\textit{Aff}/\Spec(A'))_{fppf}\) 上の層である．これは Topologies, Definition 021S のサイトである．

証明

\(\{T'_i \to T'\}_{i = 1, \ldots n}\) を \(A'\) 上のアフィンスキームの標準 fppf 被覆とする．\(T' = \Spec(B')\) と書く．通常どおり \[T'_{i_0 \ldots i_p} = T'_{i_0} \times_{T'} \ldots \times_{T'} T'_{i_p} = \Spec(B'_{i_0 \ldots i_p})\] と書く．ここで環は適切なテンソル積である． \(B = B' \otimes_{A'} A\) および \(B_{i_0 \ldots i_p} = B'_{i_0 \ldots i_p} \otimes_{A'} A\) とおく． \(y = x|_B\) および \(y_{i_0 \ldots i_p} = x|_{B_{i_0 \ldots i_p}}\) と書く． \(\gamma_i \in F(B'_i)\) とし，\(\gamma_{i_0}\) と \(\gamma_{i_1}\) の \(F(B'_{i_0i_1})\) における像が同じであるとする．唯一の \(\gamma \in F(B')\) で，その像が \(\gamma_i\) （\(F(B'_i)\) の元）であるものを見つけなければならない．

\(y'_i\) という \(\textit{Lift}(y_i, B'_i)\) の実際の対象を，同型類 \(\gamma_i\) の中から選ぶ．同型 \(\varphi_{i_0i_1} : y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1}} \to y'_{i_1}|_{B'_{i_0i_1}}\) を圏 \(\textit{Lift}(y_{i_0i_1}, B'_{i_0i_1})\) の中で選ぶ．写像 \(\varphi_{i_0i_1}\) がコサイクル条件を満たすなら，所望の対象 \(\gamma\) が得られる．これは \(\mathcal{X}\) が fppf 位相に関するスタックだからである．コサイクル条件とは，合成 \[y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_0i_1}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_1}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_1i_2}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_2}|_{B'_{i_0i_1i_2}} \xrightarrow{\varphi_{i_2i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}}} y'_{i_0}|_{B'_{i_0i_1i_2}}\] が恒等射であるという条件である．そうでなければ，これらの写像は元 \[\delta_{i_0i_1i_2} \in \text{Inf}_{y_{i_0i_1i_2}}(J_{i_0i_1i_2}) = \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1i_2}\] を与える．ここで \(J = \Ker(B' \to B)\) および \(J_{i_0 \ldots i_p} = \Ker(B'_{i_0 \ldots i_p} \to B_{i_0 \ldots i_p})\) である．表示した式の等号は，Lemma 0DNR を \(B' \to B'_{i_0 \ldots i_p}\) と \(y\) および \(y_{i_0 \ldots i_p}\) に適用することから従う．写像 \(B' \to B'_{i_0 \ldots i_p}\) の平坦性は，さらに \(J_{i_0 \ldots i_p} = J \otimes_{B'} B'_{i_0 \ldots i_p}\) も保証する．計算（省略する）により，\(\delta_{i_0i_1i_2}\) は次の Čech 複体における \(2\)-コサイクルをなす． \[\prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0} \to \prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1} \to \prod \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1i_2} \to \ldots\] Descent, Lemma 03FJ により，この複体の正次数のコホモロジーは消滅し， \(H^0 = \text{Inf}_y(J)\) である． \(\text{Inf}_{y_{i_0i_1}}(J_{i_0i_1})\) は射に作用するので（Artin’s Axioms, Remark 07YB）， \(\varphi_{i_0i_1}\) の選び方を変更して \(\delta_{i_0i_1i_2} = 0\) の場合に帰着できる．

一意性．さらに，\(\gamma\) であって，すべての \(i\) について \(\gamma_i\) に制限されるものが高々一つであることを示さなければならない． \(y', z'\) を \(\textit{Lift}(y, B')\) の対象とし， \(\psi_i : y'|_{B'_i} \to z'|_{B'_i}\) を \(\textit{Lift}(y_i, B'_i)\) における同型とする．すると \[\psi_{i_1}^{-1} \circ \psi_{i_0} \in \text{Inf}_{y_{i_0i_1}}(J_{i_0i_1}) = \text{Inf}_y(J) \otimes_B B_{i_0i_1}\] を考えることができる．先ほどと同様に論じると， \(y'\) と \(z'\) の間の \(B'\) 上の同型の存在に対する障害は，上に表示した Čech 複体の \(H^1\) の元であるが，これは零である．

補題

\(\mathcal{X}\) をスキーム \(S\) 上の代数スタックとし，その構造射 \(\mathcal{X} \to S\) は局所有限表示であるとする． \(A \to B\) を平坦な \(S\)-代数準同型とする． \(x\) を \(\mathcal{X}\) の \(A\) 上の対象とする．このとき \(T_x(M) \otimes_A B = T_y(M \otimes_A B)\) である．

証明

スキーム \(U\) と全射かつ滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) を選ぶ．まず補題を，\(x\) が \(U\) に持ち上がる場合へ帰着させる． \(T_x(M)\) は \(x\) の \(A[M]\) への持ち上げの同型類全体の集合であった．したがって Lemma 0DNS ³ により，対応 \[A_1 \mapsto T_{x|_{A_1}}(M \otimes_A A_1)\] は \(\Spec(A)\) の小 étale サイト上の層である．テンソル積は， \(A[M] \to A_1[M \otimes_A A_1]\) を平坦な環準同型とするために必要である．忠実平坦な étale 環準同型 \(A \to A_1\) であって， \(x|_{A_1}\) が射 \(u_1 : \Spec(A_1) \to U\) に持ち上がるものを選ぶことができる．例えば Sheaves on Stacks, Lemma 06XH を参照されたい．\(A_2 = A_1 \otimes_A A_1\) と書き， \(B_1 = B \otimes_A A_1\) および \(B_2 = B \otimes_A A_2\) とおく．次の図式を考える． \[\xymatrix{ 0 \ar[r] & T_y(M \otimes_A B) \ar[r] & T_{y|_{B_1}}(M \otimes_A B_1) \ar[r] & T_{y|_{B_2}}(M \otimes_A B_2) \\ 0 \ar[r] & T_x(M) \ar[r] \ar[u] & T_{x|_{A_1}}(M \otimes_A A_1) \ar[r] \ar[u] & T_{x|_{A_2}}(M \otimes_A A_2) \ar[u] }\] 層条件により各行は完全である． \(M \otimes_A B_i = (M \otimes_A A_i) \otimes_{A_i} B_i\) である．したがって中央と右の縦矢印について結果を証明すれば，求める結果が従う．これで次の段落で議論する場合に帰着された．

\(x\) は射 \(u : \Spec(A) \to U\) の像であると仮定する． \(T_u(M) \to T_x(M)\) は全射であることに注意する．これは \(U \to \mathcal{X}\) が滑らかで代数空間によって表現可能だからである． Criteria for Representability, Lemma 06D3 （説明についてはその直前の議論を参照されたい）および More on Morphisms of Spaces, Lemma 04AM を参照されたい．\(R = U \times_\mathcal{X} U\) とおく．代数空間の亜群 \((U, R, s, t, c, e, i)\) が得られ， \(\mathcal{X} = [U/R]\) となることを思い出そう． Artin’s Axioms, Lemma 0DNN により，完全列 \[T_{e \circ u}(M) \to T_u(M) \oplus T_u(M) \to T_x(M) \to 0\] を得る．ここで右端の零は上で示した．\(B\) への基底変換についても同様の列が成り立つ．したがって，\(T_u(M)\) と \(T_{e \circ u}(M)\) について補題の結果を証明できれば，求める結果が従う．これで次の段落で議論する場合に帰着された．

\(\mathcal{X} = X\) は \(S\) 上局所有限表示な代数空間であると仮定する．このとき \[T_x(M) = \Hom_A(x^*\Omega_{X/S}, M)\] である．これは More on Morphisms of Spaces, Section 0617 の議論による．同様に \[T_y(M \otimes_A B) = \Hom_B(y^*\Omega_{X/S}, M \otimes_A B)\] である．\(X \to S\) は局所有限表示なので，\(\Omega_{X/S}\) は局所有限表示である．More on Morphisms of Spaces, Lemma 05ZF を参照されたい．したがって \(x^*\Omega_{X/S}\) は有限表示 \(A\)-加群である．明らかに \(y^*\Omega_{X/S} = x^*\Omega_{X/S} \otimes_A B\) である． More on Algebra, Lemma 087R から結論が従う．

補題

\(\mathcal{X}\) をスキーム \(S\) 上の代数スタックとし，その構造射 \(\mathcal{X} \to S\) は局所有限表示であるとする． \((A' \to A, x)\) を変形状況とする．忠実平坦な有限表示 \(A'\)-代数 \(B'\) と，対象 \(y'\) であって \(\mathcal{X}\) の \(B'\) 上にあり， \(x|_{B' \otimes_{A'} A}\) を持ち上げるものが存在するなら，対象 \(x'\) であって，\(A'\) 上で \(x\) を持ち上げるものが存在する．

証明

\(I = \Ker(A' \to A)\) とする．\(B'_1 = B' \otimes_{A'} B'\) および \(B'_2 = B' \otimes_{A'} B' \otimes_{A'} B'\) とおく． \(J = IB'\)，\(J_1 = IB'_1\)，\(J_2 = IB'_2\) および \(B = B'/J\)，\(B_1 = B'_1/J_1\)，\(B_2 = B'_2/J_2\) とおく． \(y = x|_B\)，\(y_1 = x|_{B_1}\)，\(y_2 = x|_{B_2}\) とおく． \(F\) を Lemma 0DNS の fppf 層とする（これは適用できる．Lemma 0DNT の証明中の脚注を参照されたい）．したがって等化子図式 \[\xymatrix{ F(A') \ar[r] & F(B') \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & F(B'_1) }\] を得る．一方，\(F(B') = \text{Lift}(y, B')\)， \(F(B'_1) = \text{Lift}(y_1, B'_1)\)，\(F(B'_2) = \text{Lift}(y_2, B'_2)\) である．ここでは Artin’s Axioms, Section 07Y6 の用語を用いた．これらの集合は空でなく，それぞれ \(T_y(J)\)， \(T_{y_1}(J_1)\)，\(T_{y_2}(J_2)\) の（標準的な）主等質空間である． Artin’s Axioms, Lemma 07Y9 を参照されたい．したがって，\(y'\) の二つの像の \(F(B'_1)\) における差は元 \[\delta_1 \in T_{y_1}(J_1) = T_x(I) \otimes_A B_1\] である．表示した式の等号は，Lemma 0DNT を \(A' \to B'_1\) と \(x\) および \(y_1\) に適用することから従う． \(A' \to B'_1\) の平坦性は，さらに \(J_1 = I \otimes_{A'} B'_1\) も保証する．\(B'\) と \(B'_2\) についても同様の等式が成り立つ．計算（省略する）により，\(\delta_1\) は次の Čech 複体における \(1\)-コサイクルをなす． \[T_x(I) \otimes_A B \to T_x(I) \otimes_A B_1 \to T_x(I) \otimes_A B_2 \to \ldots\] Descent, Lemma 03FJ により，この複体の正次数のコホモロジーは消滅し，\(H^0 = T_x(I)\) である．したがって，\(T_x(I) \otimes_A B = T_y(J)\) の中に元を選ぶことができ，その境界は \(\delta_1\) である．\(y'\) を，この元を作用させた結果である新たな選択 \(y'\) に置き換えると，\(\delta_1 = 0\) となる．したがって \(y'\) は二つの写像 \(F(B') \to F(B'_1)\) の下で同じ元に写り，層条件により \(F(A')\) の元 o を得る．

形式的に滑らかな射

本節では，代数スタックの形式的に滑らかな射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) の概念を導入する．このような射は， \(T\) がアフィンならば \(\mathcal{X}\) の \(T\)-値点が \(T\) の無限小厚化へ持ち上がるという性質によって特徴づけられる．主要な結果は，形式的に滑らかで局所有限表示な射は滑らかであるというものである． Lemma 0DP0 を参照されたい．この判定法はヤコビ判定法よりも使いやすいことが多い．

定義

代数スタックの射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が，亜群にファイバー化された圏における \(1\)-射として対象について形式的に滑らかであるとき，形式的に滑らか であるという．この意味は Criteria for Representability, Section 06CZ で説明されている．

この定義の条件を，現在用いている言葉に翻訳しよう（Properties of Stacks, Section 04XA を参照されたい）．\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする．次の \(2\)-可換な実線の図式を考える． [0DNX]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ T \ar[r]_-x \ar[d]_i & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ T' \ar[r]^-y \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} } } \end{equation}\] ここで \(i : T \to T'\) はアフィンスキームの一次厚化である． \[\gamma : y \circ i \longrightarrow f \circ x\] を，この図式の \(2\)-可換性を与える \(2\)-射とする．（記法については Categories, Sections 003D および 003G を参照されたい．） (0DNX) と \(\gamma\) が与えられたとき， 点線矢印 とは，三つ組 \((x', \alpha, \beta)\) であって，射 \(x' : T' \to \mathcal{X}\) と \(2\)-射 \(\alpha : x' \circ i \to x\)，\(\beta : y \to f \circ x'\) からなり， \(\gamma = (\text{id}_f \star \alpha) \circ (\beta \star \text{id}_i)\) を満たすものをいう．言い換えれば，図式 \[\xymatrix{ & f \circ x' \circ i \ar[rd]^{\text{id}_f \star \alpha} \\ y \circ i \ar[ru]^{\beta \star \text{id}_i} \ar[rr]^\gamma & & f \circ x }\] が可換であるということである．点線矢印の射 \((x'_1, \alpha_1, \beta_1) \to (x'_2, \alpha_2, \beta_2)\) とは， \(2\)-射 \(\theta : x'_1 \to x'_2\) であって， \(\alpha_1 = \alpha_2 \circ (\theta \star \text{id}_i)\) および \(\beta_2 = (\text{id}_f \star \theta) \circ \beta_1\) を満たすものをいう．

以上で記述した点線矢印の圏は，Categories, Definition 0H18 の特別な場合である．

補題

代数スタックの射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が形式的に滑らか（Definition 0DNW）であるための必要十分条件は，すべての図式 (0DNX) と \(\gamma\) に対して，点線矢印の圏が空でないことである．

証明

異なる言葉の間の翻訳は省略する．

補題

代数スタックの形式的に滑らかな射を代数スタックの任意の射で基底変換したものは形式的に滑らかである．

証明

Categories, Lemma 0H1A と定義から従う．

補題

代数スタックの形式的に滑らかな射の合成は形式的に滑らかである．

証明

Categories, Lemma 0H1B と定義から従う．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数空間によって表現可能な代数スタックの射とする．このとき次の条件は同値である．

\(f\) は形式的に滑らかである．

任意のスキーム \(T\) と射 \(T \to \mathcal{Y}\) に対して，射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} T \to T\) は代数空間の射として形式的に滑らかである．

証明

Categories, Lemma 0H1A と定義から従う．

補題

\(T \to T'\) をアフィンスキームの一次厚化とする． \(\mathcal{X}'\) を \(T'\) 上の代数スタックとし，その構造射 \(\mathcal{X}' \to T'\) は滑らかであるとする． \(x : T \to \mathcal{X}'\) を \(T'\) 上の射とする．このとき，射 \(x' : T' \to \mathcal{X}'\) であって， \(T'\) 上にあり，\(x'|_T = x\) を満たすものが存在する．

証明

Lemma 0DNU の結果を適用できる．したがって，全射かつ滑らかな射 \(W' \to T'\) であって，\(W'\) がアフィンであり， \(x|_{T \times_{W'} T'}\) が \(W'\) に持ち上がるものを構成すれば十分である．（すでに確立した代数空間に対する類似の結果を用いて，この事実の証明を各自で見つけることを読者に勧める．）スキーム \(U'\) と全射かつ滑らかな射 \(U' \to \mathcal{X}'\) を選ぶ． \(U' \to T'\) は滑らかであり，射影 \(T \times_{\mathcal{X}'} U' \to T\) は全射かつ滑らかであることに注意する．アフィンスキーム \(W\) と étale 射 \(W \to T \times_{\mathcal{X}'} U'\) であって，\(W \to T\) が全射となるものを選ぶ．すると \(W \to T\) はアフィンスキーム間の滑らかな射である．\(W\) をアフィン主開部分の非交和で置き換えることにより，アフィンスキームの滑らかな射 \(W' \to T'\) が存在し，\(W = T \times_{T'} W'\) を満たすと仮定してよい． Algebra, Lemma 04B1 を参照されたい． More on Morphisms of Spaces, Lemma 04AM により，射 \(W' \to U'\) であって，\(T'\) 上にあり，与えられた射 \(W \to U'\) を持ち上げるものを見つけることができる．これで証明が完了する．

次の補題が本節の主要な結果である．これは Limits of Stacks, Proposition 0CMY と組み合わせると，代数スタックの射 \(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) が滑らかであるかどうかを，亜群のスタックの \(1\)-射 \(\mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) の “単純な” 性質によって判定できることを意味する．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする．次の条件は同値である．

射 \(f\) は滑らかである．

射 \(f\) は局所有限表示かつ形式的に滑らかである．

証明

\(f\) は滑らかであると仮定する．すると Morphisms of Stacks, Lemma 0DNP により \(f\) は局所有限表示である．したがって，図式 (0DNX) と \(\gamma : y \circ i \to f \circ x\) が与えられたときに点線矢印を見つければ十分である（Lemma 0DNY を参照されたい）．ファイバー積を作ると \[\xymatrix{ T \ar[d] \ar[r] & T' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ T' \ar[r] & T' \ar[r] & \mathcal{Y} }\] を得る．したがって，左の正方形に点線矢印を見つければ十分である． \(T' \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} \to T'\) は滑らかなので（Morphisms of Stacks, Lemma 075W），左の正方形における点線矢印の存在は Lemma 0DNZ によって保証される．

逆に，\(f\) は局所有限表示かつ形式的に滑らかであると仮定する．スキーム \(U\) と全射かつ滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) を選ぶ．すると \(a : U \to \mathcal{X}\) および \(b : U \to \mathcal{Y}\) は代数空間によって表現可能かつ局所有限表示である（Morphisms of Stacks, Lemma 06Q3 と，上で見た滑らかな射が局所有限表示であるという事実を用いる）． Algebraic Stacks, Lemma 045F の一般原理を適用する．その際，More on Morphisms of Spaces, Lemma 04AM の同値性を入力として用いると同時に， Criteria for Representability, Lemma 06D3 の翻訳も用いる．まずこれを \(a\) に適用すると，\(a\) は対象について形式的に滑らかであることが分かる．次に，仮定により \(f\) は対象について形式的に滑らかであること（Lemma 0DNY を参照されたい）と Criteria for Representability, Lemma 06D2 を用いると，\(b = f \circ a\) は対象について形式的に滑らかであることが分かる．そこでこの原理をもう一度適用すると，\(b\) は滑らかであると結論できる．代数スタックの射が滑らかであることの定義により，これは \(f\) が滑らかであることを意味し，証明が完了する．

ブローアップと平坦性

本節では，代数空間上の代数スタックについて， More on Morphisms of Spaces, Sections 087A および 087D から何が導けるかを手短に論じる．

補題

\(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする． \(V \subset Y\) を開部分空間とする．次を仮定する．

\(Y\) は準コンパクトかつ準分離である．

\(f\) は有限型かつ準分離である．

\(V\) は準コンパクトである．

\(\mathcal{X}_V\) は \(V\) 上平坦かつ局所有限表示である．

このとき，\(V\)-許容ブローアップ \(Y' \to Y\) と閉部分スタック \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}_{Y'}\) であって， \(\mathcal{X}'_V = \mathcal{X}_V\) であり，かつ \(\mathcal{X}' \to Y'\) が平坦かつ有限表示となるものが存在する．

証明

\(\mathcal{X}\) は準コンパクトであることに注意する．アフィンスキーム \(U\) と全射かつ滑らかな射 \(U \to \mathcal{X}\) を選ぶ． \(R = U \times_\mathcal{X} U\) とおくと，代数空間の亜群 \((U, R, s, t, c)\) で \(Y\) 上にあり，\(\mathcal{X} = [U/R]\) を満たすものが得られる（Algebraic Stacks, Lemma 04T5）． More on Morphisms of Spaces, Lemma 087E を \(U \to Y\) と開部分空間 \(V \subset Y\) に適用できる．したがって，\(V\)-許容ブローアップ \(Y' \to Y\) であって，狭義変換 \(U' \subset U_{Y'}\) が \(Y'\) 上平坦かつ有限表示となるものが得られる． \(R' \subset R_{Y'}\) を \(R\) の狭義変換とする． \(s\) と \(t\) は滑らか（特に平坦）なので， Divisors on Spaces, Lemma 0865 により，カルテジアン図式 \[\vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[r] \ar[d] & R_{Y'} \ar[d]^{s_{Y'}} \\ U' \ar[r] & U_{Y'} } } \quad\text{および}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[r] \ar[d] & R_{Y'} \ar[d]^{t_{Y'}} \\ U' \ar[r] & U_{Y'} } }\] を得る．言い換えれば，\(U'\) は \(R_{Y'}\)-不変な \(U_{Y'}\) の閉部分空間である．したがって，\(U'\) は閉部分スタック \(\mathcal{X}' \subset \mathcal{X}_{Y'}\) を定める．これは Properties of Stacks, Lemma 0507 による．射 \(\mathcal{X}' \to Y'\) は平坦かつ局所有限表示である．これは \(U' \to Y'\) について成り立つからである．一方，すでに \(\mathcal{X}' \to Y'\) は準コンパクトかつ準分離であることが分かっている（\(f\) に関する仮定と，閉埋め込みについてこの性質が成り立つことによる）．これで証明が完了する．

代数スタックに対する Chow の補題

本節では，代数スタックに対する Chow の補題を論じる．

補題

\(Y\) を準コンパクトかつ準分離的な代数空間とする． \(V \subset Y\) を準コンパクト開部分空間とする．\(f : \mathcal{X} \to V\) を全射，平坦かつ局所有限表示とする．このとき，有限全射 \(g : Y' \to Y\) であって， \(V' = g^{-1}(V) \to Y\) が Zariski 局所的に \(f\) を経由して分解するものが存在する．

証明

まず \(Y\) がスキームである場合を証明する．スキーム \(U\) と全射平滑射 \(U \to \mathcal{X}\) を選べる．このとき \(\{U \to V\}\) はスキームの fppf 被覆である． More on Morphisms, Lemma 0CP0 により，有限全射 \(V' \to V\) であって，\(V' \to V\) が Zariski 局所的に \(U\) を経由して分解するものが存在する． More on Morphisms, Lemma 0CNY により，その \(V\) への制限が所望の \(V' \to V\) となる有限全射 \(Y' \to Y\) を見いだせる．

\(Y\) が代数空間である場合には，\(Y'\) がスキームであるような有限全射 \(Y' \to Y\) によってまず有限基底変換を行えば，補題が成り立つことが分かる． Limits of Spaces, Proposition 09YC を参照せよ．

補題

\(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする． \(V \subset Y\) を開部分空間とする．次を仮定する．

\(f\) は分離的かつ有限型である．

\(Y\) は準コンパクトかつ準分離的である．

\(V\) は準コンパクトである．

\(\mathcal{X}_V\) は \(V\) 上の gerbe である．

このとき，可換図式 \[\xymatrix{ \overline{Z} \ar[rd]_{\overline{g}} & Z \ar[l]^j \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[ld]^f \\ & Y }\] であって，\(j\) が開埋め込み，\(\overline{g}\) と \(h\) が固有であり， \(|V|\) が \(|g|\) の像に含まれるものが存在する．

証明

可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d]_{f'} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ Y' \ar[r] & Y }\] と準コンパクト開部分空間 \(V' \subset Y'\) があり， \(Y' \to Y\) は代数空間の固有射， \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) は代数スタックの固有射， \(V' \subset Y'\) は \(V\) の上へ全射的に写り，かつ \(\mathcal{X}'_{V'}\) は \(V'\) 上の gerbe であると仮定する．このとき，対 \((f' : \mathcal{X}' \to Y', V')\) について補題を証明すれば十分である．詳細の一部は省略する．

証明の全体的な方針を述べる．上の注意を繰り返し適用して， \(f\) の像が開であり，かつこの開集合上で \(f\) が切断をもつ場合へ帰着する．各段階は直接的であるが，段階数がかなり多いため証明は少し込み入っている．

Limits of Spaces, Proposition 09YC を用いて，\(Y\) がスキームである場合へ帰着する．（\(Y'\) がスキームであるような有限全射 \(Y' \to Y\) をとり， \(\mathcal{X}' = \mathcal{X}_{Y'}\) と置いて証明冒頭の注意を適用する．）

Lemma 0CQ4 （および gerbe が平坦かつ局所有限表示であることを示すための Morphisms of Stacks, Lemma 06QI）を用いて，\(f\) が平坦かつ有限表示である場合へ帰着する．

\(f\) は平坦かつ局所有限表示なので，\(|f|\) の像は開部分空間 \(W \subset Y\) である．\(f\) が有限型で \(Y\) が準コンパクトであるため \(\mathcal{X}\) は準コンパクトであり，したがって \(W\) は準コンパクトである． Lemma 0CQ6 により，有限全射 \(g : Y' \to Y\) であって，\(g^{-1}(W) \to Y\) が Zariski 局所的に \(\mathcal{X} \to Y\) を経由して分解するものを選べる． \(Y\) を \(Y'\) で，\(\mathcal{X}\) を \(\mathcal{X} \times_Y Y'\) で置き換えると，次段落の状況へ帰着する．

\(n \geq 0\)，準コンパクト開部分空間 \(W_i \subset Y\)（\(i = 1, \ldots, n\)），および射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) が存在し，次を満たすと仮定する． (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) は \(V\) を含み， (c) \(W\) は \(|f|\) の像である． \(n\) に関する帰納法を用いる．基底の場合は \(n = 0\) である．このとき \(V = \emptyset\) であり，\(\overline{Z} = \emptyset\) ととれる． \(n > 0\) のとき，\(i = 1, \ldots, n\) に対し，台位相空間が \(Y \setminus W_i\) である被約閉部分スキーム \(Y_i\) を考える．有限射 \[Y' = Y \amalg \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} Y_i \longrightarrow Y\] と準コンパクト開部分空間 \[V' = (W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \amalg \coprod_{i = 1, \ldots, n} (V \cap Y_i).\] を考える．証明冒頭の注意により，対 \[(\mathcal{X} \to Y, W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \quad\text{かつ}\quad (\mathcal{X} \times_Y Y_i \to Y_i, V \cap Y_i),\quad i = 1, \ldots, n\] について補題を証明できれば結論が従う．ここで集合論的等式 \(V = (W_1 \cap \ldots \cap W_n \cap V) \cup \bigcup\nolimits_{i = 1, \ldots n} (V \cap Y_i)\) を用いる．上の第2種の対には帰納法の仮定が適用できる．したがって次段落の状況へ帰着する．

\(n \geq 0\)，準コンパクト開部分空間 \(W_i \subset Y\)（\(i = 1, \ldots, n\)），および射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) が存在し，次を満たすと仮定する． (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) は \(V\) を含み， (c) \(W\) は \(|f|\) の像であり， (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\) である．射 \[T_{ij} = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_i|_{W_i \cap W_j \cap V}, x_j|_{W_i \cap W_j \cap V}) \longrightarrow W_i \cap W_j \cap V\] は全射，平坦かつ局所有限表示である（Morphisms of Stacks, Lemma 0CPR）．各準コンパクト開部分空間 \(W_i \cap W_j \cap V\) と射 \(T_{ij} \to W_i \cap W_j \cap V\) に Lemma 0CQ6 を適用して，有限全射 \(Y'_{ij} \to Y\) を得る． \(Y\) をすべての \(Y'_{ij}\) の \(Y\) 上のファイバー積で置き換えると，次段落の状況へ帰着する．

\(n \geq 0\)，準コンパクト開部分空間 \(W_i \subset Y\)（\(i = 1, \ldots, n\)），および射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) が存在し，次を満たすと仮定する． (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) は \(V\) を含み， (c) \(W\) は \(|f|\) の像であり， (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\) であり， (e) \(x_i\) と \(x_j\) は \(W_i \cap W_j \cap V\) 上 Zariski 局所的に同型である． \(y \in V\) を任意にとる．準コンパクト開近傍 \(y \in V_y \subset V\) であって，対 \((\mathcal{X} \to Y, V_y)\) について補題が成り立つものを見いだせたとする．その解を \(\overline{Z}_y, Z_y, \overline{g}_y, g_y, h_y\) とする． \(V\) は準コンパクトなので，\(V = V_{y_1} \cup \ldots \cup V_{y_m}\) となる有限個の \(y_1, \ldots, y_m\) を選べる．このとき \[\overline{Z} = \coprod \overline{Z}_{y_j},\quad Z = \coprod Z_{y_j},\quad \overline{g} = \coprod \overline{g}_{y_j},\quad g = \coprod g_{y_j},\quad h = \coprod h_{y_j}\] と置けば補題の解となる．\(y\) が与えられれば，条件 (e) により準コンパクト開近傍 \(y \in V_y \subset V\) と同型 \(\varphi_i : x_1|_{V_y} \to x_i|_{V_y}\)（\(i = 2, \ldots, n\)）を選べる．\(\varphi_{ij} = \varphi_j \circ \varphi_i^{-1}\) と置く．これにより次段落の状況へ至る．

\(n \geq 0\)，準コンパクト開部分空間 \(W_i \subset Y\)（\(i = 1, \ldots, n\)），および射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) が存在し，次を満たすと仮定する． (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) は \(V\) を含み， (c) \(W\) は \(|f|\) の像であり， (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\) であり， (f) 同型 \(\varphi_{ij} : x_i|_V \to x_j|_V\) が存在して \(\varphi_{jk} \circ \varphi_{ij} = \varphi_{ik}\) を満たす．射 \[I_{ij} = \mathit{Isom}_\mathcal{X}(x_i|_{W_i \cap W_j}, x_j|_{W_i \cap W_j}) \longrightarrow W_i \cap W_j\] は，\(f\) が分離的なので固有である（Morphisms of Stacks, Lemma 0CPL）． \(\varphi_{ij}\) は \(V\) 上で \(I_{ij} \to W_i \cap W_j\) の切断 \(V \to I_{ij}\) を定めることに注意せよ． More on Morphisms of Spaces, Lemma 0CPI により，\(s_{ij}\) が \(p_{ij}^{-1}(W_i \cap W_j)\) へ延長されるような \(V\)-許容 blowup \(p_{ij} : Y_{ij} \to Y\) を選べる．

\(Y\) をすべての \(Y_{ij}\) の \(Y\) 上のファイバー積で置き換えると，次段落の状況に至る．

\(n \geq 0\)，準コンパクト開部分空間 \(W_i \subset Y\)（\(i = 1, \ldots, n\)），および射 \(x_i : W_i \to \mathcal{X}\) が存在し，次を満たすと仮定する． (a) \(f \circ x_i = \text{id}_{W_i}\)， (b) \(W = \bigcup_{i = 1, \ldots, n} W_i\) は \(V\) を含み， (c) \(W\) は \(|f|\) の像であり， (d) \(V \subset W_1 \cap \ldots \cap W_n\) であり， (g) 同型 \(\varphi_{ij} : x_i|_{W_i \cap W_j} \to x_j|_{W_i \cap W_j}\) が存在して \[\varphi_{jk}|_V \circ \varphi_{ij}|_V = \varphi_{ik}|_V.\] を満たす．必要なら \(Y\) をさらに別の \(V\)-許容 blowup で置き換えることにより， \(V\) が \(Y\) において稠密かつスキーム論的に稠密であり，したがって \(V\) を含む \(Y\) の任意の開部分空間でも同様であると仮定してよい．このように置き換えた後， Morphisms of Spaces, Lemma 084N と \(I_{ik} \to W_i \cap W_j\) が固有（したがって分離的）であることにより，

\[\varphi_{jk}|_{W_i \cap W_j \cap W_k} \circ \varphi_{ij}|_{W_i \cap W_j \cap W_k} = \varphi_{ik}|_{W_i \cap W_j \cap W_k}\] を得る．もちろん，これは \((x_i, \varphi_{ij})\) が降下データであることを意味し，

\(\mathcal{X}\) はスタックなので，各 \(W_i\) 上で \(x_i\) と一致する射 \(x : W \to \mathcal{X}\) を得る．\(x\) は分離射 \(\mathcal{X} \to W\) の切断であるから，\(x\) は固有である（Morphisms of Stacks, Lemma 050J）．したがって，\(\overline{Z} = Y\)，\(Z = W\)， \(\overline{g} = \text{id}_Y\)，\(g = \text{id}_W\)，\(h = x\) とすれば補題が成り立つ．

定理

\(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする．次を仮定する．

\(Y\) は準コンパクトかつ準分離的である．

\(f\) は分離的かつ有限型である．

このとき，可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[rd] & X \ar[l] \ar[d] \ar[r] & \overline{X} \ar[ld] \\ & Y }\] であって，\(X \to \mathcal{X}\) が固有全射， \(X \to \overline{X}\) が開埋め込み，かつ \(\overline{X} \to Y\) が代数空間の固有射であるものが存在する．

証明

大まかな着想は，\(\mathcal{X}\) が gerbe であるような稠密開部分をもつこと（Morphisms of Stacks, Proposition 06RC）を用い， Lemma 0CQ7 を適用することである．これがそのままでは機能しない理由は，この開部分が準コンパクトとは限らず，技術的な問題が生じるからである．そこでまず，Noether 的な場合への（標準的な）帰着を行う．

まず閉埋め込み \(\mathcal{X} \to \mathcal{X}'\) であって， \(\mathcal{X}'\) が \(Y\) 上分離的かつ有限型の代数スタックであるものを選ぶ． Limits of Stacks, Lemma 0CQ2 を参照せよ．\(\mathcal{X}'\) について定理を証明すれば十分であることは明らかなので， \(\mathcal{X} \to Y\) は分離的かつ有限表示であると仮定してよい．

\(\mathcal{X} \to Y\) が分離的かつ有限表示であると仮定する． Limits of Spaces, Proposition 07SU により，\(Y = \lim Y_i\) を，アフィン遷移射をもつ Noether 代数空間系の有向極限として書ける．Limits of Stacks, Lemma 0CN4 により，ある \(i\) と，代数スタックから \(Y_i\) への有限表示射 \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) が存在して \(\mathcal{X} = Y \times_{Y_i} \mathcal{X}_i\) となる． \(i\) を大きくすれば \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) が分離的であると仮定できる． Limits of Stacks, Lemma 0CPZ を参照せよ．したがって \(\mathcal{X}_i \to Y_i\) について定理を証明すれば十分であり，次段落の場合へ帰着する．

\(Y\) が Noether 的であると仮定する．\(\mathcal{X}\) をその被約化で置き換えてよい（Properties of Stacks, Definition 050C）．これにより次段落の場合へ帰着する．

\(Y\) は Noether 的で，\(\mathcal{X}\) は被約であると仮定する． \(\mathcal{X} \to Y\) は分離的で \(Y\) は準分離的なので， \(\mathcal{X}\) は代数スタックとして準分離的である．したがって慣性射 \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は準コンパクトである．よって Morphisms of Stacks, Proposition 06RC により， gerbe である稠密開部分スタック \(\mathcal{V} \subset \mathcal{X}\) が存在する． \(\mathcal{V} \to V\) を，\(\mathcal{V}\) を代数空間 \(V\) 上の gerbe として表す射とする． \(\mathcal{V} \to V\) の構成については Morphisms of Stacks, Lemma 06QD を参照せよ．特にこの構成から，射 \(\mathcal{V} \to Y\) は \(\mathcal{V} \to V \to Y\) と分解することが分かる．図式は \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & Y }\] である．射 \(\mathcal{V} \to V\) は全射，平坦かつ有限表示であり（Morphisms of Stacks, Lemma 06QI）， \(\mathcal{V} \to Y\) は局所有限表示なので，\(V \to Y\) は局所有限表示である（Morphisms of Stacks, Lemma 06Q9）． \(\mathcal{V} \to V\) は普遍同相射であることに注意せよ（Morphisms of Stacks, Lemma 06R9）． \(\mathcal{V}\) は準コンパクトなので（Morphisms of Stacks, Lemma 0CPM を参照）， \(V\) も準コンパクトである．最後に，\(\mathcal{V} \to Y\) が分離的なので， \(\mathcal{V} \to V \to Y\) に Morphisms of Stacks, Lemma 0CPQ を適用すれば \(V \to Y\) も分離的である（その仮定が満たされることは既に確認した）．

以上により，Limits of Spaces, Lemma 088N の仮定が射 \(V \to Y\) に適用できる．したがって，稠密開部分空間 \(V' \subset V\) と \(Y\) 上の埋め込み \(V' \to \mathbf{P}^n_Y\) を選べる． \(V\) を \(V'\) で，\(\mathcal{V}\) を \(\mathcal{V}\) における \(V'\) の逆像で置き換えてよいことは明らかである（上で見たように \(|\mathcal{V}| = |V|\) であることを思い出せ）．よって図式 \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[rr] \ar[d] & & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[r] & Y }\] があり，矢印 \(V \to \mathbf{P}^n_Y\) が埋め込みであると仮定してよい． \(\mathcal{X}'\) を射 \[j : \mathcal{V} \longrightarrow \mathbf{P}^n_Y \times_Y \mathcal{X}\] のスキーム論的像とし，\(Y'\) を射 \(V \to \mathbf{P}^n_Y\) のスキーム論的像とする．可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{V} \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathbf{P}^n_Y \times_Y \mathcal{X} \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ V \ar[r] & Y' \ar[r] & \mathbf{P}^n_Y \ar[r] & Y }\] を得る（Morphisms of Stacks, Lemma 0CPV を参照）． \(\mathcal{V} = V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) であり，かつ射 \(\mathcal{X}' \to Y'\) と開部分空間 \(V \subset Y'\) に Lemma 0CQ7 を適用できると主張する．この主張が正しければ， \[\xymatrix{ \overline{X} \ar[rd]_{\overline{g}} & X \ar[l] \ar[d]_g \ar[r]_h & \mathcal{X}' \ar[ld]^f \\ & Y' }\] であって，\(X \to \overline{X}\) が開埋め込み， \(\overline{g}\) と \(h\) が固有で，\(|V|\) が \(|g|\) の像に含まれるものを得る．このとき合成 \(X \to \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) は固有射の合成として固有であり，その像は \(|\mathcal{V}|\) を含むから，この合成は全射である．また，\(\overline{X} \to Y' \to Y\) も固有射の合成として固有である．

最後にこの主張を証明する．\(\mathcal{X}' \to Y'\) は分離的かつ有限型であり， \(Y'\) は準コンパクトかつ準分離的であり，\(V\) は準コンパクトであることに注意せよ（詳細の完全な確認は省略する）．次に，Morphisms of Stacks, Lemma 0CPW により，\(b : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) は \(\mathcal{V}\) 上で同型である．特に \(\mathcal{V}\) は \(\mathcal{X}'\) の開部分スタックと同一視される．射 \(j\) は準コンパクトである（始域が準コンパクトで終域が準分離的だからである）．したがって Morphisms of Stacks, Lemma 0CMK により，\(j\) のスキーム論的像の形成は平坦基底変換と可換である．特に，\(V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) は射 \(\mathcal{V} \to V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) のスキーム論的像である．一方，Morphisms of Stacks, Lemma 0CPT により，\(|\mathcal{V}| \to |V \times_{Y'} \mathcal{X}'|\) の像は閉である（上で見たとおり \(\mathcal{V} \to V\) は普遍同相射，したがって普遍閉であることを用いる）．さらに，この像は稠密である（直前の議論と Morphisms of Stacks, Lemma 0CML を組み合わせよ）．したがって \(|\mathcal{V}| = |V \times_{Y'} \mathcal{X}'|\) を得る．

よって \(\mathcal{V} \to V \times_{Y'} \mathcal{X}'\) は同型であり，主張の証明が完了する．

Noether 的付値判定法

本節では Noether 的な設定において，離散付値環のみを用いる代数スタックの射の（精密化された）付値判定法を論じる．さまざまな変種があり，必要に応じて今後さらに追加する．

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタック（または代数空間，スキーム）の射とする．精密化された付値判定法とは，ある性質をもつ射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) が与えられ，次の形の実線図式における点線矢印の存在または一意性のみを調べるものである． \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[d] \ar[r] & \mathcal{U} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{Y} }\] 以下では，これまでに得た結果を記述するためにこの用語を用いる．

代数スタックの射に対する非 Noether 的な付値判定法は次のとおりである．

Morphisms of Stacks, Section 0CLQ （対角射の分離性について），
Morphisms of Stacks, Section 0CLS （分離性について），
Morphisms of Stacks, Section 0CLV （普遍閉性について），
Morphisms of Stacks, Section 0CLY （固有性について）．

代数空間については次の付値判定法がある．

Morphisms of Spaces, Section 03K9 （普遍閉性について），
Morphisms of Spaces, Lemma 089G （普遍閉性についての精密化），
Morphisms of Spaces, Section 03KT （分離性について），
Morphisms of Spaces, Section 0CKZ （固有性について），
Decent Spaces, Section 06NP （decent 空間の普遍閉性について），
Decent Spaces, Lemma 03M6 （代数空間間の decent 射の普遍閉性について），
Cohomology of Spaces, Section 0ARI には次の Noether 的付値判定法が含まれる．
1. Cohomology of Spaces, Lemma 0ARJ （離散付値環を用いる分離性について），
2. Cohomology of Spaces, Lemma 0ARK （離散付値環を用いる固有性について），
3. Cohomology of Spaces, Remark 0ARL （完備離散付値環の場合への帰着方法を論じる）．
Limits of Spaces, Section 0CMB は Noether 的付値判定法を論じ，次を含む．
1. Limits of Spaces, Lemma 0H1W （離散付値環と一般点を用いる分離性について），
2. Limits of Spaces, Lemma 0H1X （離散付値環と一般点を用いる固有性について），
3. Limits of Spaces, Lemma 0H1Y （離散付値環を用いる普遍閉性について）．
Limits of Spaces, Section 0H1Z は精密化された Noether 的付値判定法を論じ，次を含む．
1. Limits of Spaces, Lemmas 0CMD and 0CMF （離散付値環を用いる固有性についての精密化），
2. Limits of Spaces, Lemma 0CME （離散付値環を用いる分離性についての精密化）．

スキームについては次の付値判定法がある．

Schemes, Section 01KA （普遍閉性について），
Schemes, Section 01KY （分離性について），
Morphisms, Section 0BX4 （固有性について），
Morphisms, Lemma 0894 （普遍閉性についての精密化），
Limits, Section 0CM1 は Noether 的付値判定法を論じ，次を含む．
1. Limits, Lemma 0207 （離散付値環と一般点を用いる分離性について），
2. Limits, Lemma 0208 （離散付値環と一般点を用いる固有性について），
3. Limits, Lemma 05JY （離散付値環を用いる普遍閉性について）．
Limits, Section 0H1P は精密化された Noether 的付値判定法を論じ，次を含む．
1. Limits, Lemmas 0CM3 and 0CM5 （離散付値環を用いる固有性についての精密化），
2. Limits, Lemma 0CM4 （離散付値環を用いる分離性についての精密化）．
Limits, Section 0GWU は Noether 基底上の付値判定法を論じ，そこでは基底上本質的有限型の離散付値環を得ることができる．

以上で既存の結果の一覧を終える．

本節の結果の多くは，次の補題を適用して証明できる（また，おそらくそうすべきである）が，常にそうしたわけではない．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする． \(f\) は有限型で，\(\mathcal{Y}\) は局所 Noether 的であると仮定する．

\(y \in |\mathcal{Y}|\) を \(|f|\) の像の閉包に属する点とする．このとき，代数スタックの可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & \mathcal{Y} }\] であって，\(A\) が離散付値環，\(K\) がその分数体であり， \(\Spec(A)\) の閉点が \(y\) に写るものが存在する．

証明

アフィンスキーム \(V\)，点 \(v \in V\)，および \(v\) を \(y\) に写す平滑射 \(V \to \mathcal{Y}\) を選ぶ．写像 \(|V| \to |\mathcal{Y}|\) は開であり， Properties of Stacks, Lemma 04XH により，\(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |V|\) の像は \(|f|\) の像の逆像である．したがって点 \(v\) は \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |V|\) の像の閉包に属する． \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) と点 \(v\) について補題を証明すれば， \(f\) と \(y\) について補題が従う．このようにして次段落の状況へ帰着する．

補題と同じ条件を満たす \(f : \mathcal{X} \to Y\) と \(y \in |Y|\) があり， \(Y\) が Noether アフィンスキームであると仮定する．\(f\) は準コンパクトなので \(\mathcal{X}\) は準コンパクトである．したがってアフィンスキーム \(W\) と全射平滑射 \(W \to \mathcal{X}\) を選べる．このとき \(|f|\) の像は \(|W| \to |Y|\) の像と同じである．このようにしてスキームの場合へ帰着し，これは Limits, Lemma 0CM2 である．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする．次を仮定する．

\(\mathcal{Y}\) は局所 Noether 的である．

\(f\) は局所有限型かつ準分離的である．

任意の可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^y \ar@{-->}[ru] & \mathcal{Y} }\] で，\(A\) が離散付値環，\(K\) がその分数体であるもの，および任意の \(2\)-射 \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\) に対し，点線矢印の圏（Morphisms of Stacks, Definition 0CLA）は空であるか，ちょうど一つの同型類をもつ setoid である．

このとき \(f\) は分離的である．

証明

\(f\) が分離的であることを証明するには， \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) が固有であることを示せばよい．\(\Delta\) は代数空間によって表現可能で，局所有限型であり（Morphisms of Stacks, Lemma 04XS），また準コンパクトかつ準分離的であること（\(f\) が準分離的であることの定義による）は既知である．スキーム \(U\) と全射平滑射 \(U \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) を選ぶ． \[V = \mathcal{X} \times_{\Delta, \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}} U\] と置く．代数空間の射 \(V \to U\) が固有であることを示せば十分である（Properties of Stacks, Lemma 04XD）． \(U\) は局所 Noether 的であること（Morphisms of Stacks, Lemma 06R6 と \(U \to \mathcal{Y}\) が局所有限型であることを用いる），また \(V \to U\) は有限型かつ準分離的であることに注意せよ（これは \(\Delta\) の基底変換であり，上に挙げた \(\Delta\) の性質を用いる）． Cohomology of Spaces, Lemma 0ARK を適用すると，次を示せば十分である．すなわち，可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_v \ar[d]_j & V \ar[d]^g \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[r]^u \ar@{-->}[ru] \ar@{..>}[rru] & U \ar[r] & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] が与えられ，\(A\) が離散付値環，\(K\) がその分数体であるとき，図式を可換にする破線矢印が一意に存在することを示せばよい． Morphisms of Stacks, Lemma 0CLE により，破線矢印の圏と点線矢印の圏は同値である．仮定 (3) により，同型を除いて一意な点線矢印が存在する．Morphisms of Stacks, Lemma 0E8L を参照せよ．したがって所望の一意な破線矢印が存在する．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) と \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) を代数スタックの射とする．\(\mathcal{Y}\) は局所 Noether 的， \(f\) と \(h\) は有限型，\(f\) は分離的であり， \(|h| : |\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) の像は \(|\mathcal{X}|\) において稠密であると仮定する．任意の \(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y & & \mathcal{Y} }\] で，\(A\) が分数体 \(K\) をもつ離散付値環であり， \(\gamma : y \circ j \to f \circ h \circ u\) であるものが与えられたとき，体の拡大 \(K'/K\) と，\(A\) を支配する付値環 \(A' \subset K'\) が存在し，誘導される図式

\[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r]_-{x'} \ar[d]_{j'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r]^-{y'} \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] において，誘導される \(2\)-射 \(\gamma' : y' \circ j' \to f \circ x'\) に関する点線矢印の圏が空でないならば（Morphisms of Stacks, Definition 0CLA），\(f\) は固有である．

証明

\(f\) が普遍閉であることを証明すれば十分である． \(V\) をアフィンスキームとし，\(V \to \mathcal{Y}\) を平滑射とする． Properties of Stacks, Lemma 04XH により，\(|\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V| \to |\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V|\) の像 \(I\) は \(|h|\) の像の逆像である． \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V| \to |\mathcal{X}|\) は開なので（Morphisms of Stacks, Lemma 06R7）， \(I\) は \(|\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V|\) において稠密である．また，点線矢印の圏は基底変換に関してよく振る舞うので（Morphisms of Stacks, Lemma 0CLE），拡大後に点線矢印が存在するという仮定は射 \(\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) に継承される．したがって，射 \(\mathcal{U} \times_\mathcal{Y} V \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) は補題の仮定を満たす．よって \(\mathcal{Y}\) はアフィンスキームであると仮定してよい．

\(\mathcal{Y} = Y\) がアフィンスキームであると仮定する．（以後は \(2\)-射 \(\gamma\) と \(\gamma'\) を考慮する必要はない． Morphisms of Stacks, Lemma 0CLD を参照せよ．）このとき \(\mathcal{U}\) は準コンパクトである．アフィンスキーム \(U\) と全射平滑射 \(U \to \mathcal{U}\) を選ぶ．ここで \(\mathcal{U}\) を \(U\) で置き換えてよく，実際そうする．したがって \(\mathcal{U}\) はアフィンスキームであると仮定してよい．

\(\mathcal{Y} = Y\) と \(\mathcal{U} = U\) がアフィンスキームであると仮定する． Chow の補題（Theorem 0CQ8）により， \(X\) が代数空間であるような全射固有射 \(X \to \mathcal{X}\) を選べる．以下では，\(X \to Y\) が分離射の合成として分離的であることを用いる．代数空間 \(W = X \times_\mathcal{X} U\) を考える．射影 \(W \to X\) は有限型である． \(X\) を \(W \to X\) のスキーム論的像で置き換えてよい．したがって \(|X|\) における \(|W|\) の像は \(|X|\) において稠密であると仮定してよい（ここでは \(|h|\) の像が \(|\mathcal{X}|\) において稠密であることを用いるので，この置換後も射 \(X \to \mathcal{X}\) は全射である）．任意の実線可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & W \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(A) \ar[rr] \ar@{..>}[rru] & & Y }\] で，\(A\) が分数体 \(K\) をもつ離散付値環であるものに対し，図式を可換にする点線矢印が存在すると主張する．まず，\(K\) を拡大で，\(A\) をその拡大内で \(A\) を支配する付値環で置き換えた後に点線矢印が存在することを証明すれば十分である．Morphisms of Spaces, Lemma 0ARH を参照せよ．補題の仮定により，拡大 \(K'/K\)，\(A\) を支配する付値環 \(A' \subset K'\)，および合成 \(\Spec(A') \to \Spec(A) \to Y\) を持ち上げ，合成 \(\Spec(K') \to \Spec(K) \to W \to X\) と両立する矢印 \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\) を得る．\(X \to \mathcal{X}\) は固有なので，固有性の付値判定法（Morphisms of Stacks, Lemma 0CLZ）を用いて，拡大 \(K''/K'\)，\(A'\) を支配する付値環 \(A'' \subset K''\)，および合成 \(\Spec(A'') \to \Spec(A') \to \mathcal{X}\) を持ち上げ，合成 \(\Spec(K'') \to \Spec(K') \to \Spec(K) \to X\) と両立する射 \(\Spec(A'') \to X\) を見いだせる．このとき \(K''/K\)，\(A'' \subset K''\)，および射 \(\Spec(A'') \to X\) は，上で述べた問題の解をなす．したがって主張が従う．

この主張と代数空間に対する補題の場合（Limits of Spaces, Lemma 0CMD）により，射 \(X \to Y\) は固有である．Morphisms of Stacks, Lemma 0CQK により，所望のとおり \(\mathcal{X} \to Y\) が固有であることを得る．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) と \(h : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\) を代数スタックの射とする．\(\mathcal{Y}\) は局所 Noether 的， \(f\) は局所有限型かつ準分離的，\(h\) は有限型であり， \(|h| : |\mathcal{U}| \to |\mathcal{X}|\) の像は \(|\mathcal{X}|\) において稠密であると仮定する．任意の \(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{Y} }\] で，\(A\) が分数体 \(K\) をもつ離散付値環であり， \(\gamma : y \circ j \to f \circ h \circ u\) であるものが与えられたとき，点線矢印の圏が空であるか，ちょうど一つの同型類をもつ setoid ならば， \(f\) は分離的である．

証明

\(\Delta\) が固有射であることを証明しなければならない．まず \(\Delta\) が分離的であると仮定する．このとき，射 \(\mathcal{U} \to \mathcal{X}\) と \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\) に Lemma 0CQM を適用できる． \(f\) が準分離的なので \(\Delta\) は準コンパクトであることに注意せよ．もちろん \(\Delta\) は局所有限型である（これは任意の対角射について成り立つ． Morphisms of Stacks, Lemma 04XS を参照せよ）．最後に，\(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-u \ar[d]_j & \mathcal{U} \ar[r]_h & \mathcal{X} \ar[d]^\Delta \\ \Spec(A) \ar[rr]^-y \ar@{..>}[rru] & & \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X} }\] で，\(A\) が分数体 \(K\) をもつ離散付値環であり， \(\gamma : y \circ j \to \Delta \circ h \circ u\) であるものが与えられたとする．Morphisms of Stacks, Lemma 0E8L と補題の仮定により，一意な点線矢印が存在する．これは Lemma 0CQM の最後の仮定が成り立つことを示し，結論が従う．

一般の場合，\(\Delta\) が分離的であることを証明すれば十分である．そうすれば前の場合に戻るからである．実際，射 \[\mathcal{U} \to \mathcal{X} \quad\text{かつ}\quad \Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_\mathcal{Y} \mathcal{X}\] について補題の仮定が成り立つと主張する．すなわち，\(\Delta\) は代数空間によって表現可能なので，前段落のような図式に対する点線矢印の圏は setoid である（例えば Morphisms of Stacks, Lemma 0CLC を参照）．前段落の議論により，これらの圏は空であるか，一つの同型類をもつ．したがって \(\Delta\) は分離的である．

補題

\(f : \mathcal{X} \to \mathcal{Y}\) を代数スタックの射とする． \(\mathcal{Y}\) は局所 Noether 的で，\(f\) は有限型であると仮定する．任意の \(2\)-可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r]_-x \ar[d]_j & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^-y & \mathcal{Y} }\] で，\(A\) が分数体 \(K\) をもつ離散付値環であり， \(\gamma : y \circ j \to f \circ x\) であるものが与えられたとき，体の拡大 \(K'/K\) と，\(A\) を支配する付値環 \(A' \subset K'\) が存在し，誘導される図式

\[\xymatrix{ \Spec(K') \ar[r]_-{x'} \ar[d]_{j'} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A') \ar[r]^-{y'} \ar@{..>}[ru] & \mathcal{Y} }\] において，誘導される \(2\)-射 \(\gamma' : y' \circ j' \to f \circ x'\) に関する点線矢印の圏が空でないならば（Morphisms of Stacks, Definition 0CLA），\(f\) は普遍閉である．

証明

\(V\) をアフィンスキームとし，\(V \to \mathcal{Y}\) を平滑射とする．点線矢印の圏は基底変換に関してよく振る舞う（Morphisms of Stacks, Lemma 0CLE）．したがって，拡大後に点線矢印が存在するという仮定は射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) に継承される．よって射 \(\mathcal{X} \times_\mathcal{Y} V \to V\) は補題の仮定を満たす．したがって \(\mathcal{Y}\) はアフィンスキームであると仮定してよい．

\(\mathcal{Y} = Y\) が Noether アフィンスキームであると仮定する．（以後は \(2\)-射 \(\gamma\) と \(\gamma'\) を考慮する必要はない． Morphisms of Stacks, Lemma 0CLD を参照せよ．） \(f\) が普遍閉であることを証明するには，Limits of Stacks, Lemma 0H2A により，すべての \(n\) に対し \(|\mathcal{X} \times \mathbf{A}^n| \to |Y \times \mathbf{A}^n|\) が閉写像であることを示せば十分である．補題の仮定は積射 \(\mathcal{X} \times \mathbf{A}^n \to Y \times \mathbf{A}^n\) に継承されるので（詳細は省略する），\(|\mathcal{X}| \to |Y|\) が閉写像であることの証明へ帰着する．

\(Y\) が Noether アフィンスキームであると仮定する． \(T \subset |\mathcal{X}|\) を閉部分集合とする．\(|Y|\) における \(T\) の像が閉であることを示さなければならない．\(\mathcal{X}\) を \(T\) 上に誘導される被約閉部分空間構造で置き換えてよい．点線矢印の存在に関する性質がこの置換によって保存されることの確認は省略する．こうして \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) の像が閉であることの証明へ帰着する．

\(y \in |Y|\) を \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) の像の閉包に属する点とする． Lemma 0H2B により，可換図式 \[\xymatrix{ \Spec(K) \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r] & Y }\] で，\(A\) が離散付値環，\(K\) がその分数体であり，\(\Spec(A)\) の閉点を \(y\) に写すものを選べる．補題の仮定から直ちに，\(y\) は \(|\mathcal{X}| \to |Y|\) の像に属することが従い，証明が完了する．

モジュライ空間

本節では，代数スタックから代数空間への射 \(f : \mathcal{X} \to Y\) を論じる．適切な仮定のもとで， \(Y\) を \(\mathcal{X}\) の モジュライ空間という． \(\mathcal{X} = [U/R]\) が一つの表示ならば，\(R\)-不変射 \(U \to Y\) が得られ，適切な仮定のもとで \(Y\) は亜群 \((U, R, s, t, c)\) の商である．異なる種類の商については Quotients of Groupoids, Section 048B 以降で論じられている．

定義

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし，\(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数空間 \(Y\) への射とする．

代数空間 \(W\) への任意の射 \(\mathcal{X} \to W\) が \(f\) を経由して一意に分解するとき，\(f\) を 圏論的モジュライ空間という．

代数空間の任意の平坦射 \(Y' \to Y\) に対し，基底変換 \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) が圏論的モジュライ空間となるとき， \(f\) を 一様圏論的モジュライ空間という．

\(\mathcal{C}\) を代数空間の圏の充満部分圏とする．

\(Y \in \Ob(\mathcal{C})\) であり，\(W \in \Ob(\mathcal{C})\) を満たす任意の射 \(\mathcal{X} \to W\) が \(f\) を経由して一意に分解するとき， \(f\) を \(\mathcal{C}\) における圏論的モジュライ空間という．

\(Y \in \Ob(\mathcal{C})\) であり，\(\mathcal{C}\) における任意の平坦射 \(Y' \to Y\) に対し，基底変換 \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) が \(\mathcal{C}\) における圏論的モジュライ空間となるとき，これを \(\mathcal{C}\) における一様圏論的モジュライ空間という．

Yoneda の補題により，圏論的モジュライ空間は存在すれば一意である．これを商について導入した用語と対応させよう．

補題

\((U, R, s, t, c)\) を代数空間の亜群とし， \(s, t : R \to U\) は平坦かつ局所有限表示であるとする．代数スタック \(\mathcal{X} = [U/R]\) を考える．代数空間 \(Y\) が与えられたとき，射 \(f : \mathcal{X} \to Y\) と \(R\)-不変射 \(\phi : U \to Y\) との間には \(1\) 対 \(1\) の対応がある．

証明

Criteria for Representability, Theorem 06FI により，\(\mathcal{X}\) は代数スタックである．射 \(f : \mathcal{X} \to Y\) が与えられたとき，\(\phi : U \to Y\) を合成 \(U \to \mathcal{X} \to Y\) とする． \(R = U \times_\mathcal{X} U\) なので（Groupoids in Spaces, Lemma 04M9）， \(\phi\) が \(R\)-不変であることは直ちに従う．逆に，\(\phi : U \to Y\) が代数空間への \(R\)-不変射ならば，Groupoids in Spaces, Lemma 044U により射 \(f : \mathcal{X} \to Y\) を得る． Groupoids in Spaces, Lemma 044X にある商スタックの明示的記述を用いて，\(\phi\) から \(f\) を構成することもできる．

補題

Lemma 0DUH と同じ仮定および記法を用いる．

このとき，\(f\) が（一様）圏論的モジュライ空間であることと， \(\phi\) が（一様）圏論的商であることとは同値である．充満部分圏におけるモジュライ空間についても同様である．

証明

Lemma 0DUH で確立した \(1\) 対 \(1\) の対応から， \(f\) が圏論的モジュライ空間であることと \(\phi\) が圏論的商であることとは直ちに同値となる（Quotients of Groupoids, Definition 048J）． \(Y' \to Y\) が射ならば，\(U \to \mathcal{X}\) の基底変換として \(U' = Y' \times_Y U \to Y' \times_Y \mathcal{X} = \mathcal{X}'\) は全射，平坦かつ局所有限表示である（Criteria for Representability, Lemma 06FH）．また，ファイバー積の結合則により \(R' = Y' \times_Y R\) は \(U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) に等しい．したがって \(\mathcal{X}' = [U'/R']\) である．Algebraic Stacks, Remark 04WY を参照せよ．よって，この状況の \(Y'\) への基底変換は，補題の主張と同じ型の状況である．これより，\(f\) が一様圏論的モジュライ空間であることと， \(\phi\) が一様圏論的商であることとの同値が直ちに従う．

補題

\(f : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする．任意のアフィンスキーム \(Y'\) と平坦射 \(Y' \to Y\) に対し，基底変換 \(f' : Y' \times_Y \mathcal{X} \to Y'\) が圏論的モジュライ空間ならば， \(f\) は一様圏論的モジュライ空間である．

証明

\(Y_i\) がアフィンスキームであるような étale 被覆 \(\{Y_i \to Y\}\) を選ぶ．各 \(i\) および \(j\) に対し，アフィン開被覆 \(Y_i \times_Y Y_j = \bigcup Y_{ijk}\) を選ぶ．

\(\mathcal{X}_i = Y_i \times_Y \mathcal{X}\) および \(\mathcal{X}_{ijk} = Y_{ijk} \times_Y \mathcal{X}\) と置く． \(g : \mathcal{X} \to W\) を代数空間への射とする．図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \ar[r]_g & W \\ Y_i \ar[r] \ar@{..>}[rru] & Y }\] を考える．\(\mathcal{X}_i \to Y_i\) が圏論的モジュライ空間であるという仮定から，一意な点線矢印 \(h_i : Y_i \to W\) が得られる． \(\mathcal{X}_{ijk} \to Y_{ijk}\) が圏論的モジュライ空間であるという仮定から， \(h_i\) と \(h_j\) の \(Y_{ijk}\) への制限は等しい．

したがって \(h_i\) と \(h_j\) は \(Y_i \times_Y Y_j\) 上で一致する． \(Y = \coprod Y_i / \coprod Y_i \times_Y Y_j\) なので（Spaces, Section 0261），\(g\) が経由して分解する一意な射 \(Y \to W\) が存在する．したがって \(f\) は圏論的モジュライ空間である．同じ議論は平坦基底変換後にも適用できるので，\(f\) は一様圏論的モジュライ空間である．

Keel–Mori の定理

本節では，代数スタックの枠組みにおける Keel–Mori の定理の議論を始める．関連文献については，Guide to Literature, Subsection 04UX を参照されたい．

定義

代数スタック \(\mathcal{X}\) をとる．\(\mathcal{X}\) が ほとんどアフィンであるとは，アフィンスキーム \(U\) と全射，平坦，有限かつ有限表示な射 \(U \to \mathcal{X}\) が存在することをいう．

この性質をそれほど頻繁に使うつもりはないので，いくぶん滑稽な名前を付けた．

補題

代数スタック \(\mathcal{X}\) をとる．次の条件は同値である．

\(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンである．

亜群スキーム \((U, R, s, t, c)\) であって，\(U\) と \(R\) がアフィンであり，\(s, t : R \to U\) が有限局所自由で， \(\mathcal{X} = [U/R]\) を満たすものが存在する．

これらの条件が成り立つならば，\(\mathcal{X}\) は準コンパクト，準 DM かつ分離である．

証明

\(\mathcal{X}\) がほとんどアフィンであると仮定する．アフィンスキーム \(U\) と全射，平坦，有限かつ有限表示な射 \(U \to \mathcal{X}\) をとる．\(R = U \times_\mathcal{X} U\) とおく．このとき，代数空間における亜群 \((U, R, s, t, c)\) と同型 \([U/R] \to \mathcal{X}\) を得る．Algebraic Stacks, Lemma 04T4 および Remark 04WY を参照されたい． \(s, t : R \to U\) は

（\(U \to \mathcal{X})\) の基底変換として）平坦，有限かつ有限表示な射なので， \(s, t\) は有限局所自由である（Morphisms, Lemma 02KB）．したがって \(R\) はアフィンであり（有限射はアフィン射だからである）， (2) が成り立つ．

亜群スキーム \((U, R, s, t, c)\) が与えられ，\(U\) と \(R\) がアフィンであり，\(s, t : R \to U\) が有限局所自由であるとする． \(\mathcal{X} = [U/R]\) とおく．このとき \(\mathcal{X}\) は， Criteria for Representability, Theorem 06FI により代数スタックである（厳密にいえば，ここではこの事実は必要ないが，この事実はいくら強調してもしすぎることはない）．射 \(U \to \mathcal{X}\) は，Criteria for Representability, Lemma 06FH により，全射，平坦かつ局所有限表示である．したがって，\(U \to \mathcal{X}\) が有限であるかどうかは，射影 \(U \times_\mathcal{X} U \to U\) が有限であるかどうかを調べれば判定できる． Properties of Stacks, Lemma 04XD を参照されたい． \(U \times_\mathcal{X} U = R\) である（Groupoids in Spaces, Lemma 04M9）ので，実際に有限である．したがって \(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンである．

最後の主張を証明する．\(\mathcal{X}\) は準コンパクトである（Properties of Stacks, Lemma 04YC）．また， \(\mathcal{X} = [U/R]\) は，Morphisms of Stacks, Lemma 0DTY により準 DM かつ分離である．

補題

代数スタック \(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンであるとする．

\(\mathcal{X}\) が代数空間ならば，これはアフィンである．

\(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) が代数スタックのアフィン射ならば， \(\mathcal{X}'\) はほとんどアフィンである．

証明

(1) は直ちに Limits of Spaces, Lemma 07VS から従う．しかし，これは必要以上に強い結果を用いている．(1) は Lemma 0DUM と Groupoids, Proposition 03BM を組み合わせても従う．

(2) を証明するため，アフィンスキーム \(U\) と全射，平坦，有限かつ有限表示な射 \(U \to \mathcal{X}\) をとる．このとき \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) から \(U\) への射はアフィンである（Morphisms of Stacks, Lemma 0CHR）．したがって \(U'\) はアフィンスキームである．もちろん \(U' \to \mathcal{X}'\) は \(U \to \mathcal{X}\) の基底変換として，全射，平坦，有限かつ有限表示である．

補題

代数スタック \(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンであるとする．アフィンスキームの圏における一様圏論的モジュライ空間 \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] が存在する．さらに，\(f\) は分離かつ準コンパクトであり，普遍同相射である．

証明

\(\mathcal{X} = [U/R]\) と \((U, R, s, t, c)\) を Lemma 0DUM のように書く．\(C\) を \(R\) に関して不変な \(U\) 上の関数の環とする．Groupoids, Section 03BE を参照されたい． \(M = \Spec(C)\) とおく．\(R\)-不変な射 \(U \to M\) は，射 \(f : \mathcal{X} \to M\) に対応する（Lemma 0DUH）． Schemes, Lemma 01I1 による

アフィンスキームへの射の特徴づけから，\(\phi : U \to M\) はアフィンスキームの圏における圏論的商であることが直ちに保証される．したがって \(f\) は，アフィンスキームの圏における圏論的モジュライ空間である（Lemma 0DUI）．

\(\mathcal{X}\) は分離である（Lemma 0DUM）ので， \(f\) は分離である（Morphisms of Stacks, Lemma 050M）．

\(U \to \mathcal{X}\) は全射であり，\(U \to M\) は準コンパクトなので， Morphisms of Stacks, Lemma 050X により，\(f\) は準コンパクトである．

Groupoids, Lemma 03BJ により，合成 \[U \to \mathcal{X} \to M\] はアフィンスキームの整射である．とくに，これは普遍閉である（Morphisms, Lemma 01WM）． \(U \to \mathcal{X}\) は全射なので，\(\mathcal{X} \to M\) は普遍閉である（Morphisms of Stacks, Lemma 0CQK）． \(\mathcal{X} \to M\) が普遍同相射であると結論するには，これが普遍全単射，すなわち全射かつ普遍単射であることを示せば十分である．

\(|\mathcal{X}| = |U|/|R|\) である（Morphisms of Stacks, Lemma 0DTZ）．したがって \(|f|\) は全射であり，さらに全単射である（Groupoids, Lemma 03BL）．

環準同型 \(C \to C'\) をとる．\((U', R', s', t', c')\) を \((U, R, s, t, c)\) の \(M' = \Spec(C') \to M\) による基底変換とする． \(\mathcal{X}' = [U'/R']\) とおく．このとき \(M' \times_M \mathcal{X} = \mathcal{X}'\) である（Quotients of Groupoids, Lemma 0DTG）． \(C^1\) を \(R'\) に関して不変な \(U'\) 上の関数の環とする． \(M^1 = \Spec(C^1)\) とおき，次の図式を考える． \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d]^{f'} \ar[r] & \mathcal{X} \ar[dd]^f \\ M^1 \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] Groupoids, Lemma 03BK および Algebra, Lemma 09EF により，射 \(M^1 \to M'\) は同相写像である．一方，前の段落を \((U', R', s', t', c')\) に適用すると， \(|f'|\) は全単射であることがわかる．したがって，\(f\) はアフィンスキームによる任意の基底変換の後に点の集合上の全単射を誘導する．ゆえに Morphisms of Stacks, Lemma 0DTN により， \(f\) は普遍単射である．

最後に，\(f\) がアフィンスキームの圏における一様モジュライ空間であることを示す必要がある．これは上の議論と，環準同型 \(C \to C'\) が平坦ならば \(C' \to C^1\) が同型であるという事実（Groupoids, Lemma 03BK）から従う．

補題

\(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) を代数スタックの射とする． \(\mathcal{X}'\) と \(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンであり，\(h\) は étale で， \(h\) は自己同型群上に同型を誘導すると仮定する（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW）．このとき，カルテジアン図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] が存在する．ここで \(M' \to M\) は étale であり，縦の矢印は Lemma 0DUP で構成したモジュライ空間への射である．

証明

\(h\) は代数空間によって表現可能であることに注意する．これは Morphisms of Stacks, Lemmas 0DU9 および 0DU7 による．アフィンスキーム \(U\) と，全射，平坦，有限かつ有限表示な射 \(U \to \mathcal{X}\) を選ぶ．このとき \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) は代数空間であり， \(U' \to \mathcal{X}'\) は有限（とくにアフィン）である． Lemma 0DUN により，\(U'\) はアフィンである． \(R = U \times_\mathcal{X} U\) および \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) とおくと，亜群 \((U, R, s, t, c)\) と \((U', R', s', t', c')\) が得られ， \(\mathcal{X} = [U/R]\) および \(\mathcal{X}' = [U'/R']\) となる． Lemma 0DUM の証明を参照されたい．次の図式がカルテジアンであることが分かる． \[\xymatrix{ R' \ar[d]_{s'} \ar[r]_f & R \ar[d]^s \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ R' \ar[d]_{t'} \ar[r]_f & R \ar[d]^t \\ U' \ar[r]^f & U } \quad \quad \xymatrix{ G' \ar[d] \ar[r]_f & G \ar[d] \\ U' \ar[r]^f & U }\] ここで \(G\) と \(G'\) は安定化群スキームである．最初の二つについてはファイバー積の推移性から従い，最後のものについては，同型 \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) の引き戻しであることから従う（この同型は，既に用いた Morphisms of Stacks, Lemma 0DU9 による）． \(M\)，resp. \(M'\) は Lemma 0DUP において，それぞれ \(R\)-不変な \(U\) 上の関数の環，resp. \(R'\)-不変な \(U'\) 上の関数の環のスペクトルとして構成されたことを思い出そう．したがって \(M' \to M\) は étale であり，\(U' = M' \times_M U\) である．これは Groupoids, Lemma 0DT9 による．これより

\(R' = M' \times_M U\) となる．言い換えれば，亜群 \((U', R', s', t', c')\) は \((U, R, s, t, c)\) の \(M' \to M\) による基底変換である．これは，補題の図式がカルテジアンであることを意味する． Quotients of Groupoids, Lemma 0DTG による．

補題

代数スタック \(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンであるとする． \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] という Lemma 0DUP の射は一様圏論的モジュライ空間である．

証明

\(M\) はアフィンスキームの圏における一様圏論的モジュライ空間であることを既に知っている．Lemma 0DUJ により，基底変換 \(f' : M' \times_M \mathcal{X} \to M'\) が，アフィンスキームの任意の平坦射 \(M' \to M\) に対して圏論的モジュライ空間であることを示せば十分である．\(\mathcal{X}' = M' \times_M \mathcal{X}\) は Lemma 0DUN によりほとんどアフィンであることに注意する．したがって \(\mathcal{X}\) を \(\mathcal{X}'\) で，\(M\) を \(M'\) で置き換えることにより，\(f\) が圏論的モジュライ空間であることの証明に帰着される．

\(g : \mathcal{X} \to Y\) を射とし，\(Y\) は代数空間であるとする． \(g = h \circ f\) となる一意な射 \(h : M \to Y\) が存在することを示さなければならない．

一意性．二つの射 \(h_i : M \to Y\) があり， \(g = h_1 \circ f = h_2 \circ f\) を満たすとする． \(M' \subset M\) を \(h_1\) と \(h_2\) の等化子とする．このとき \(M' \to M\) はモノ射であり，\(f : \mathcal{X} \to M\) は \(M'\) を経由して分解する．したがって \(M' \to M\) は普遍同相射である． \(M'\) はアフィンであると結論される（Morphisms, Lemma 04DF）．しかしこのとき，\(f : \mathcal{X} \to M\) はアフィンスキームの圏における圏論的モジュライ空間なので，\(M' = M\) であることが分かる．

存在性．以下で，すべての \(p \in M\) に対し，カルテジアンな正方形 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] が存在することを示す．ここで \(M' \to M\) はアフィンスキーム間の étale 射で，その像は \(p\) を含み，合成 \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X} \to Y\) は \(M'\) を経由して分解する．これは，写像 \(h : M \to Y\) を \(M\) 上 étale 局所的に構成できることを意味する．\(Y\) は étale 位相に関する層であり，上で一意性を示したので，これで十分である（細部は省略する）．

\(y \in |Y|\) を \(p\) の像とする． \((V, v) \to (Y, y)\) を，\(V\) がアフィンであるような étale 射とする． \(\mathcal{X}' = V \times_Y \mathcal{X}\) を考える． \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) は分離的かつ étale であることに注意する．これは \(V \to Y\) の基底変換だからである．さらに， \(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) は自己同型群上に同型を誘導する（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW）．実際，これは \(V \to Y\) について成り立つ．Morphisms of Stacks, Lemma 0DUB を参照されたい．表示 \(\mathcal{X} = [U/R]\) を Lemma 0DUM と同様に選ぶ． \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U = V \times_Y U\) とおき， \(u' \in U'\) を，\(p\) と \(v\) に写るように選ぶ（これは Properties of Spaces, Lemma 03H4 により可能である）． \(U' \to U\) は分離的かつ étale なので，\(U'\) の任意の有限個の点はあるアフィン開集合に含まれる．More on Morphisms, Lemma 07S0 を参照されたい．一方，射 \(U' \to \mathcal{X}'\) は全射，有限，平坦かつ局所有限表示である． \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) とおくと， \(s', t' : R' \to U'\) は有限局所自由であることが分かる． Groupoids, Lemma 03JE により， \(R'\)-不変なアフィン開部分スキーム \(U'' \subset U'\) であって \(u'\) を含むものが存在する．対応する開部分スタックを \(\mathcal{X}'' \subset \mathcal{X}'\) とする．このとき \(\mathcal{X}''\) はほとんどアフィンである．Lemma 0DUQ により，カルテジアンな正方形 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M'' \ar[r] & M }\] が得られる．ここで \(M'' \to M\) は étale である． \(\mathcal{X}'' \to M''\) はアフィンスキームの圏における圏論的モジュライ空間なので，射 \(M'' \to V\) であって，合成 \(\mathcal{X}'' \to \mathcal{X}' \to V\) と合成 \(\mathcal{X}'' \to M'' \to V\) とが等しくなるものを得る．これで主張が証明され，証明が完了する．

補題

\(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) を代数スタックの射とする． \(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンであり，\(h\) は étale で，\(h\) は分離的で， \(h\) は自己同型群上に同型を誘導すると仮定する（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW）．このとき，カルテジアン図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] が存在する．ここで \(M' \to M\) はスキーム間の分離的 étale 射であり， \(\mathcal{X} \to M\) は Lemma 0DUP で構成したモジュライ空間である．

証明

アフィンスキーム \(U\) と，全射，平坦，有限かつ局所有限表示な射 \(U \to \mathcal{X}\) を選ぶ．\(h\) は代数空間によって表現可能なので（Morphisms of Stacks, Lemmas 0DU9 および 0DU7）， \(U' = \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} U\) は代数空間であることが分かる． \(U' \to U\) は分離的かつ étale なので，\(U'\) はスキームであり， \(U'\) の任意の有限個の点はあるアフィン開集合に含まれる． Morphisms of Spaces, Lemma 0418 および More on Morphisms, Lemma 07S0 を参照されたい． \(R' = U' \times_{\mathcal{X}'} U'\) とおくと， \(s', t' : R' \to U'\) は有限局所自由であることが分かる． Groupoids, Lemma 03JE により，開被覆 \(U' = \bigcup U'_i\) が存在し，その被覆は \(R'\)-不変なアフィン開部分スキーム \(U'_i \subset U'\) からなる．対応する開部分スタックを \(\mathcal{X}'_i \subset \mathcal{X}'\) とする．これらはほとんどアフィンである．実際，\(U'_i \to \mathcal{X}'_i\) は全射，平坦，有限かつ有限表示である． Lemma 0DUQ により，カルテジアン図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M'_i \ar[r] & M }\] が得られる．ここで \(M'_i \to M\) はアフィンスキーム間の étale 射であり，縦の矢印は Lemma 0DUP のものと同じである． \(\mathcal{X}'_{ij} = \mathcal{X}'_i \cap \mathcal{X}'_j\) は

\(\mathcal{X}'_i\) および \(\mathcal{X}'_j\) の開部分空間であることに注意する．したがって，対応する開部分スキーム \(V_{ij} \subset M'_i\) と \(V_{ji} \subset M'_j\) を得る． Lemma 0DUR の結果により， \(\mathcal{X}'_{ij} \to V_{ij}\) と \(\mathcal{X}'_{ji} \to V_{ji}\) はともに圏論的モジュライ空間である！したがって，一意な同型 \(\varphi_{ij} : V_{ij} \to V_{ji}\) であって，図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d] & & \mathcal{X}'_i \cap \mathcal{X}'_j \ar[rr] \ar[ll] \ar[ld] \ar[rd] & & \mathcal{X}'_j \ar[d] \\ M'_i & V_{ij} \ar[l] \ar[rr]^{\varphi_{ij}} & & V_{ji} \ar[r] & M'_j }\] を可換にするものを得る．これらの同型は Schemes, Section 01JA のコサイクル条件を満たす．これは計算（および前の補題のもう一度の適用）によるが，省略する．したがってアフィンスキームを貼り合わせてスキーム \(M'\) を得る． Schemes, Lemma 01JB を参照されたい． \(M'_i\) を \(M'\) におけるその像と同一視しよう．射 \(\mathcal{X}' \to M'\) であって，カルテジアン図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \ar[d] \\ M'_i \ar[r] & M' }\] に入るものが存在すると主張する．これは，貼り合わせたスキーム \(M'\) への射についての Schemes, Lemma 01JB の記述と，射 \(\mathcal{X}' \to M'\) を与えることが，射 \(T \to M'\) を任意の射 \(T \to \mathcal{X}'\) に対して与えることと同じであるという事実から明らかである．同様に，射 \(M' \to M\) であって，与えられた射 \(M'_i \to M\) に \(M'_i\) 上で制限されるものが存在する．射 \(M' \to M\) は étale である（étale 被覆の各要素上で étale だからである）．また，ファイバー積の性質は（アフィン）開被覆 \(M' = \bigcup M'_i\) の各要素上で確認できるので成り立つ．最後に，\(M' \to M\) は分離的である．実際，合成 \(U' \to \mathcal{X}' \to M'\) は全射かつ普遍閉なので， Morphisms, Lemma 09MQ を適用できる．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする． \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は有限であると仮定する．このとき集合 \(I\) と，各 \(i \in I\) に対して代数スタックの射 \[g_i : \mathcal{X}_i \longrightarrow \mathcal{X}\] であって，次の性質をもつものが存在する．

\(|\mathcal{X}| = \bigcup |g_i|(|\mathcal{X}_i|)\) である，

\(\mathcal{X}_i\) はほとんどアフィンである，

\(\mathcal{I}_{\mathcal{X}_i} \to \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) は同型であり，

\(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) は代数空間によって表現可能で，分離かつ étale である．

証明

任意の \(x \in |\mathcal{X}|\) に対し， \(g : \mathcal{U} \to \mathcal{X}\)，\(\mathcal{U} = [U/R]\)，および \(u\) を Morphisms of Stacks, Lemma 0DU4 におけるように選ぶことができる．すると Morphisms of Stacks, Lemma 0DUA により，開部分スタック \(\mathcal{U}' \subset \mathcal{U}\) であって，\(u\) を含み， \(\mathcal{I}_{\mathcal{U}'} \to \mathcal{U}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) が同型となるものが存在することが分かる． \(U' \subset U\) を，\(R\)-不変な開部分であって，開部分スタック \(\mathcal{U}'\) に対応するものとする． \(u' \in U'\) を \(U'\) の点で \(u\) に写るものとする． \(t(s^{-1}(\{u'\}))\) は有限であることに注意する．これは \(s : R \to U\) が有限だからである． Properties, Lemma 01ZY および Groupoids, Lemma 03JE により，\(R\)-不変なアフィン開部分 \(U'' \subset U'\) であって，\(u'\) を含むものを見つけることができる． \(R''\) を \(R\) の \(U''\) への制限とする．すると \(\mathcal{U}'' = [U''/R'']\) は \(\mathcal{U}'\) の開部分スタックであって \(u\) を含み，ほとんどアフィンであり， \(\mathcal{I}_{\mathcal{U}''} \to \mathcal{U}'' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) は同型であり，また \(\mathcal{U}'' \to \mathcal{X}\) は代数空間によって表現可能かつ étale である．最後に，\(\mathcal{U}'' \to \mathcal{X}\) は分離である．実際， \(\mathcal{U}''\) は分離であり（Lemma 0DUM）， \(\mathcal{X}\) の対角射は分離であり（Morphisms of Stacks, Lemma 0CL0），分離性は Morphisms of Stacks, Lemma 050M から従う．点 \(x \in |\mathcal{X}|\) は任意であったから，証明は完了する．

定理

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとする． \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は有限であると仮定する．このとき一様圏論的モジュライ空間 \[f : \mathcal{X} \longrightarrow M\] が存在し，\(f\) は分離，準コンパクト，かつ普遍同相射である．

証明

集合 \(I\)⁴ と，各 \(i \in I\) に対して代数スタックの射 \(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) を Lemma 0DUE におけるように選ぶ．以下では，この補題に列挙したすべての性質を断りなく用いる． \[f_i : \mathcal{X}_i \to M_i\] を Lemma 0DUP におけるものとする．スタック \[\mathcal{X}_{ij} = \mathcal{X}_i \times_{g_i, \mathcal{X}, g_j} \mathcal{X}_j\] を \(i, j \in I\) に対して考える．射影 \(\mathcal{X}_{ij} \to \mathcal{X}_i\) および \(\mathcal{X}_{ij} \to \mathcal{X}_j\) は Morphisms of Stacks, Lemma 050F により分離であり，また étale である．これは Morphisms of Stacks, Lemma 0CIN による．さらに自己同型群上に同型を誘導する（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW における意味で）．これは Morphisms of Stacks, Lemma 0DUB による．したがって Lemma 0DUS を適用して，カルテジアンな正方形からなる可換図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[d]_{f_i} & \mathcal{X}_{ij} \ar[d]_{f_{ij}} \ar[l] \ar[r] & \mathcal{X}_j \ar[d]_{f_j} \\ M_i & M_{ij} \ar[l] \ar[r] & M_j }\] であって，\(M_{ij} \to M_i\) と \(M_{ij} \to M_j\) がスキームの分離な étale 射となるものを見つけることができる．

ここではさらに，Lemma 0DUR により \(f_i\) が一様圏論的商であることも用いた．次を主張する： \[\coprod M_{ij} \longrightarrow \coprod M_i \times \coprod M_i\] は étale 同値関係である．

主張の証明．\(R = \coprod M_{ij}\) および \(U = \coprod M_i\) とおく． \(t : R \to U\) と \(s : R \to U\) が étale であることはすでに見た．射 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\) であって， \(\text{pr}_{13} : U \times U \times U \to U \times U\) と両立するものを構成しよう．すなわち，\(i, j, k \in I\) に対して \[\mathcal{X}_{ijk} = \mathcal{X}_i \times_{g_i, \mathcal{X}, g_j} \mathcal{X}_j \times_{g_j, \mathcal{X}, g_k} \mathcal{X}_k = \mathcal{X}_{ij} \times_{\mathcal{X}_j} \mathcal{X}_{jk}\] を考える．直前の段落とまったく同様に論じると， \(M_{ijk} = M_{ij} \times_{M_j} M_{jk}\) は \(\mathcal{X}_{ijk}\) の圏論的モジュライ空間であることが分かる．特に，標準的な射 \(M_{ijk} = M_{ij} \times_{M_j} M_{jk} \to M_{ik}\) が存在する．これは射影 \(\mathcal{X}_{ijk} \to \mathcal{X}_{ik}\) から生じる．これらの射をまとめると，射 \(c\) が得られる．同様に，射 \(e : U \to R\) であって \(\Delta : U \to U \times U\) と両立するもの，および \(i : R \to R\) であって因子を入れ替える写像 \(U \times U \to U \times U\) と両立するものを構成する． \(k\) を代数閉体とする．すると \[\Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_i) \to \Mor(\Spec(k), M_i) = M_i(k)\] は同型類上全単射であり，射 \(M' \to M\) による任意の基底変換の後にも

同じことが成り立つ．これは \(f_i\) の選び方と Morphisms of Stacks, Lemmas 0CPN および 0DTM から従う．\(2\)-ファイバー積の構成により，図式 \[\xymatrix{ \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_{ij}) \ar[d] \ar[r] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_j) \ar[d] \\ \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}_i) \ar[r] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}) }\] は圏のファイバー積である．\(g_i\) の選び方により，この図式中の関手は自己同型群上に全単射を誘導する．したがって，この図式は同型類の集合上にファイバー積図式を誘導する！これにより \[R(k) = U(k) \times_{|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|} U(k)\] が分かる．ここで \(|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|\) は同型類全体の集合を表す．特に，任意の代数閉体 \(k\) に対して，

\(k\)-値点上の写像は同値関係である． Groupoids, Lemma 0DT7 により，主張が成り立つと結論する．

\(M = U/R\) を，上の étale 同値関係による商である代数空間とする． Spaces, Theorem 02WW を参照されたい．標準的な射 \(f : \mathcal{X} \to M\) が存在し，これは可換図式 [0DUU]\[\begin{equation} \xymatrix{ \mathcal{X}_i \ar[r]_{g_i} \ar[d]_{f_i} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ M_i \ar[r] & M } \end{equation}\] に入る．すなわち，このような射 \(f\) は関手 \[f : \Mor(T, \mathcal{X}) \longrightarrow \Mor(T, M)\] によって与えられる．これは任意のスキーム \(T\) に対して定まり，基底変換と両立する．\(a : T \to \mathcal{X}\) を左辺の対象とする． étale 被覆 \(\{T_i \to T\}\) であって \(T_i = \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} T\) となるものと，射 \(a_i : T_i \to \mathcal{X}_i\) が得られる．すると \(b_i = f_i \circ a_i : T_i \to M_i\) が得られる． \(T_i \times_T T_j = \mathcal{X}_{ij} \times_\mathcal{X} T\) なので，さらに射 \(a_{ij} : T_i \times_T T_j \to \mathcal{X}_{ij}\) が得られる．\(b_{ij} = f_{ij} \circ a_{ij}\) とおくと， \(b_i \times b_j\) はモノ射 \(M_{ij} \to M_i \times M_j\) を経由することが分かる．したがって射 \[T_i \xrightarrow{b_i} M_i \to M\] は \(T_i \times_T T_j\) 上で一致する．\(M\) は étale 位相に関する層なので，これらの射は一意な射 \(b = f(a) : T \to M\) に貼り合わさることが分かる．この構成が基底変換と両立することの確認，および図式 (0DUU) が可換であることの確認は省略する．

主張：図式 (0DUU) はカルテジアンである．これを見るため，誘導される射 \[h_i : \mathcal{X}_i \longrightarrow M_i \times_M \mathcal{X}\] を調べる．これは étale な \(\mathcal{X}\) 上のスタック間の射であり，したがって \(h_i\) は étale である（Morphisms of Stacks, Lemma 0CIR）． \(g_i\) は分離なので，\(h_i\) は分離であることが分かる（Morphisms of Stacks, Lemma 050M と，上で見た \(\mathcal{X}\) の対角射が分離であるという事実を用いる）．射 \(h_i\) は自己同型群上に同型を誘導する（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW）．これは \(g_i\) について成り立つからである．代数閉体 \(k\) に対して，図式 \[\xymatrix{ \Mor(\Spec(k), M_i \times_M \mathcal{X}) \ar[r] \ar[d] & \Mor(\Spec(k), \mathcal{X}) \ar[d] \\ M_i(k) \ar[r] & M(k) }\]

はカルテジアンな圏の図式であり，上の矢印は自己同型群上に全単射を誘導する．一方， \[M(k) = U(k)/R(k) = U(k)/ U(k) \times_{|\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|} U(k) = |\Mor(\Spec(k), \mathcal{X})|\] が上で述べたことから成り立つ．したがって，上のカルテジアン図式の右の縦矢印は同型類上の全単射である．よって \(|\Mor(\Spec(k), M_i \times_M \mathcal{X})| \to M_i(k)\) は全単射である．

確認すると，\(h_i\) は分離かつ étale であり，自己同型群上に同型を誘導し（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW における意味で），代数閉体上のファイバー圏の間に同値を誘導する．したがって Morphisms of Stacks, Lemma 0DUD により同型である．

この主張から，特に次が得られる：全射な étale 射 \(U \to M\) であって，\(f\) の基底変換が分離，準コンパクト，かつ普遍同相射となるものが存在する．したがって \(f\) は分離，準コンパクト，かつ普遍同相射である．これについては Morphisms of Stacks, Lemma 06TZ， 0DTL，および

0DTQ を参照されたい

証明を終えるには，\(f : \mathcal{X} \to M\) が一様圏論的モジュライ空間であることを示さなければならない．これを証明するには，代数空間の平坦な射 \(M' \to M\) が与えられたとき，基底変換 \[M' \times_M \mathcal{X} \longrightarrow M'\] が圏論的モジュライ空間であることを示せば十分である．そこで，射 \[\theta : M' \times_M \mathcal{X} \longrightarrow E\] を考える．ここで \(E\) は代数空間である．各 \(i\) に対して， \(f_i\) は一様圏論的モジュライ空間であることが分かっている．したがって \[\xymatrix{ M' \times_M \mathcal{X}_i \ar[d] \ar[r] & M' \times_M \mathcal{X} \ar[d]^\theta \\ M' \times_M M_i \ar[r]^{\psi_i} & E }\] を得る．\(\{M' \times_M M_i \to M'\}\) は étale 被覆なので，所望の射 \(\psi : M' \to E\) を得るには，\(\psi_i\) と \(\psi_j\) が \(M' \times_M M_i \times_M M_j = M' \times_M M_{ij}\) 上で一致することを示せば十分である．これは

\(f_{ij} : \mathcal{X}_{ij} = \mathcal{X}_i \times_\mathcal{X} \mathcal{X}_j \to M_{ij}\) が一様圏論的商であるという事実から容易に従う．詳細は省略する．最後に，\(\psi\) が可換図式 \[\xymatrix{ M' \times_M \mathcal{X} \ar[d] \ar[rd]^\theta \\ M' \ar[r]^\psi & E }\] に入ることを示す．これは “\(\{M' \times_M \mathcal{X}_i \to M' \times_M \mathcal{X}\}\) が étale 被覆である” ことと，構成により射 \(\psi_i\) が対応する可換図式に入ることから従う．これで Keel–Mori の定理の証明が完了する．

次の補題は，この構成の étale 局所的な性質を強調する．

補題

\(h : \mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) を代数スタックの射とする．次を仮定する．

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は有限である．

\(h\) は étale かつ分離的で，自己同型群上に同型を誘導する（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW）．

このとき，カルテジアン図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[d] \ar[r] & \mathcal{X} \ar[d] \\ M' \ar[r] & M }\] であって，\(M' \to M\) が代数空間の分離的 étale 射であり，縦の矢印が Theorem 0DUT で構成されたモジュライ空間への射であるものが存在する．

証明

Morphisms of Stacks, Lemma 0DU9 により， \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{I}_\mathcal{X}\) は同型である．したがって \(\mathcal{I}_{\mathcal{X}'} \to \mathcal{X}'\) は \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) の基底変換として有限である． \(f' : \mathcal{X}' \to M'\) と \(f : \mathcal{X} \to M\) を Theorem 0DUT のものとする． \(f'\) は圏論的モジュライ空間なので，補題にある可換図式を得る． \(I\) と \(g'_i : \mathcal{X}'_i \to \mathcal{X}'\) を Lemma 0DUE のように選ぶ． \(g_i = h \circ g'_i\) は étale かつ分離的で，自己同型群上に同型を誘導することに注意せよ（Morphisms of Stacks, Remark 0DTW）． \(f'_i : \mathcal{X}'_i \to M'_i\) を Lemma 0DUP のものとする． Theorem 0DUT の証明において，図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d]_{f'_i} \ar[r]_{g'_i} & \mathcal{X}' \ar[d]^{f'} \\ M'_i \ar[r] & M' } \quad\text{および}\quad \xymatrix{ \mathcal{X}'_i \ar[d]_{f'_i} \ar[r]_{g_i} & \mathcal{X} \ar[d]^f \\ M'_i \ar[r] & M }\] がカルテジアンであり，\(M'_i \to M'\) と \(M'_i \to M\) が étale であることを既に見た（これまでに挙げた射 \(g'_i, g_i, f', f'_i, f\) の性質から，

全く同じ議論によって直接にも従う）．これから第一に \(M' \to M\) が étale であり，第二に補題の図式がカルテジアンであることが従う．なお \(M' \to M\) が分離的であることを示さなければならない．そのため図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X}' \ar[r] \ar[d] & \mathcal{X}' \times_\mathcal{X} \mathcal{X}' \ar[d] \\ M' \ar[r] & M' \times_M M' }\] を考える．上の水平矢印は，\(\mathcal{X}' \to \mathcal{X}\) が分離的なので普遍閉である．縦の矢印は Theorem 0DUT のもの（\(\mathcal{X} \to M\) の平坦基底変換）なので，普遍同相射である．したがって下の水平矢印は普遍閉である．これは，それが代数空間の étale モノ射でもあることと合わせて，所望のとおり閉埋め込みであることを示す．

モジュライ空間の性質

モジュライ空間の存在が証明されれば，そのモジュライ空間の性質を確立することが可能になり，通常は容易である．

補題

\(p : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする．次を仮定する．

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は有限である．

\(Y\) は局所 Noether 的である．

\(p\) は局所有限型である．

\(f : \mathcal{X} \to M\) を Theorem 0DUT で構成されたモジュライ空間とする．このとき \(M \to Y\) は局所有限型である．

証明

\(f\) は一様圏論的モジュライ空間なので，射 \(M \to Y\) を得る． \(M \to Y\) が局所有限型であることを \(M\) と \(Y\) 上 étale 局所的に確認すれば十分である．\(f\) は一様圏論的モジュライ空間なので，まず \(Y\) を \(Y\) 上 étale なアフィンスキームで置き換えてよい．次に \(I\) と \(g_i : \mathcal{X}_i \to \mathcal{X}\) を Lemma 0DUE のように選べる．すると Lemma 0DUV により， \(\mathcal{X} = \mathcal{X}_i\) の場合へ帰着する．言い換えれば， \(\mathcal{X}\) はほとんどアフィンであると仮定してよい．この場合 \(Y = \Spec(A_0)\) であり，\(\mathcal{X} = [U/R]\) で， \(U = \Spec(A)\) であり，\(M = \Spec(C)\) である．ここで \(C \subset A\) は \(R\)-不変な \(U\) 上の関数全体である． Lemmas 0DUM and 0DUP を参照せよ．このとき \(A_0\) は Noether 環であり，\(A_0 \to A\) は有限型である．さらに Groupoids, Lemma 03BJ により \(A\) は \(C\) 上整であり，したがって \(C\) 上有限である（\(A_0\) 上有限型だからである）．最後に Algebra, Lemma 00IS を適用して結論を得る．

補題

\(\mathcal{X}\) を代数スタックとし， \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は有限であると仮定する． \(f : \mathcal{X} \to M\) を Theorem 0DUT で構成されたモジュライ空間とする．

\(\mathcal{X}\) が準分離的ならば，\(M\) は準分離的である．

\(\mathcal{X}\) が分離的ならば，\(M\) は分離的である．

ここにさらに追加する．例えば，上記の相対版などである．

証明

これを証明するため，図式 \[\xymatrix{ \mathcal{X} \ar[d]_f \ar[r]_{\Delta_\mathcal{X}} & \mathcal{X} \times \mathcal{X} \ar[d]^{f \times f} \\ M \ar[r]^{\Delta_M} & M \times M }\] を考える．\(f\) は普遍同相射なので，\(f \times f\) も普遍同相射である．

\(\mathcal{X}\) が分離的ならば \(\Delta_\mathcal{X}\) は固有，したがって \(\Delta_\mathcal{X}\) は普遍閉であり，ゆえに \(\Delta_M\) は普遍閉である．したがって Morphisms of Spaces, Lemma 04Y0 により \(M\) は分離的である．

\(\mathcal{X}\) が準分離的ならば \(\Delta_\mathcal{X}\) は準コンパクトであり，したがって \(\Delta_M\) は準コンパクト，ゆえに \(M\) は準分離的である．

補題

\(p : \mathcal{X} \to Y\) を代数スタックから代数空間への射とする．次を仮定する．

\(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は有限である．

\(p\) は固有である．

\(Y\) は局所 Noether 的である．

\(f : \mathcal{X} \to M\) を Theorem 0DUT で構成されたモジュライ空間とする．このとき \(M \to Y\) は固有である．

証明

Lemma 0DUX により，\(M \to Y\) は局所有限型である． Lemma 0DUY により，\(M \to Y\) は分離的である．もちろん \(M \to Y\) は準コンパクトかつ普遍閉である．これらは位相的性質であり， \(\mathcal{X} \to Y\) はこれらの性質をもち，\(\mathcal{X} \to M\) は普遍同相射だからである．

スタックと fpqc 被覆

ある種の代数スタックは fpqc 降下を満たす．代数空間について本節に対応するものは Properties of Spaces, Section 03W8 である．

命題

\(\mathcal{X}\) を，対角射が準アフィン⁵ である代数スタックとする．このとき \(\mathcal{X}\) は fpqc 被覆に関する降下を満たす．

証明

ここでの約束では，\(\mathcal{X}\) は亜群のスタック \(p : \mathcal{X} \to (\Sch/S)_{fppf}\) であり，これは基底スキーム \(S\) 上のスキームの圏に fppf 位相を入れたものの上で考える．主張の意味は次のとおりである． fpqc 被覆 \(\mathcal{U} = \{U_i \to U\}_{i \in I}\) が \(S\) 上のスキームについて与えられたとき，関手 \[\mathcal{X}_U \longrightarrow DD(\mathcal{U})\] は同値である．左辺は \(\mathcal{X}\) の \(U\) 上の対象の圏，右辺は \(\mathcal{X}\) 内の \(\mathcal{U}\) に関する降下データの圏である． Stacks, Section 02ZC の議論を参照せよ．

充満忠実性．二つの対象 \(x, y\) を \(\mathcal{X}\) に取り，これらは \(U\) 上にあるとする．このとき \(I = \mathit{Isom}(x, y)\) は \(U\) 上の代数空間である． \(I\) の \(U_i\) 上の切断の族であって，\(U_i \times_U U_j\) への制限が一致するものは，代数空間に対する命題の類似物，すなわち Properties of Spaces, Proposition 0APL により，\(U\) 上の一意な切断から来る．したがってこの関手は充満忠実である．

本質的全射性．ここでは，対象 \(x_i\) が \(U_i\) 上に，また同型 \(\varphi_{ij} : \text{pr}_0^*x_i \to \text{pr}_1^*x_j\) が \(U_i \times_U U_j\) 上に与えられ，これらは \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上でコサイクル条件を満たす．

\(W\) をアフィンスキームとし，\(W \to \mathcal{X}\) を射とする．各 \(i\) に対し \[W_i = U_i \times_{x_i, \mathcal{X}} W\] を形成できる．射影 \(W_i \to U_i\) は，\(\mathcal{X}\) の対角射が準アフィンなので準アフィンである．各組 \(i, j \in I\) に対し，同型 \(\varphi_{ij}\) は同型 \[W_i \times_U U_j = (U_i \times_U U_j) \times_{x_i \circ \text{pr}_0, \mathcal{X}} W \to (U_i \times_U U_j) \times_{x_j \circ \text{pr}_1, \mathcal{X}} W = U_i \times_U W_j\] を誘導する．さらに，これらの同型は \(U_i \times_U U_j \times_U U_k\) 上でコサイクル条件を満たす．言い換えれば，これらの同型はスキーム \(W_i/U_i\) 上に \(\mathcal{U}\) に関する降下データを定める．Descent, Lemma 0247 により，この降下データは有効である ⁶．したがって，準アフィン射 \(W' \to U\) と，両正方形がカルテジアンである可換図式 \[\xymatrix{ W' \ar[d] & W_i \ar[l] \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ U & U_i \ar[l] \ar[r]^{x_i} & \mathcal{X} }\] が存在する．\(\{W_i \to W'\}_{i \in I}\) は \(\mathcal{U}\) の \(W' \to U\) による基底変換なので，fpqc 被覆である．\(W\) は fpqc 被覆に関する層条件を満たすから，一意な射 \(W' \to W\) であって， \(W_i \to W' \to W\) が与えられた射 \(W_i \to W\) となるものを得る．言い換えれば，可換図式 \[\xymatrix{ W_i \ar[d] \ar[r] & W' \ar[d] \ar[r] & W \ar[d] \\ U_i \ar[r] \ar@/_1pc/[rr]_{x_i} & U & \mathcal{X} }\] をもち，これは同型 \(\varphi_{ij}\) と両立し，その正方形と長方形はカルテジアンである．

アフィンスキームの族 \(W_\alpha\)（\(\alpha \in A\)）と平滑射 \(W_\alpha \to \mathcal{X}\) を，\(\coprod W_\alpha \to \mathcal{X}\) が全射となるように選ぶ．前段落の手順により図式 \[\xymatrix{ W_{\alpha, i} \ar[d] \ar[r] & W_\alpha' \ar[d] \ar[r] & W_\alpha \ar[d] \\ U_i \ar[r] \ar@/_1pc/[rr]_{x_i} & U & \mathcal{X} }\] を各 \(\alpha\) に対して作る．このとき射 \(W_\alpha' \to U\) は平滑で，合わせて全射である．

\(x_\alpha\) を，\(\mathcal{X}\) の \(W_\alpha'\) 上の対象であって， \(W_\alpha' \to W_\alpha \to \mathcal{X}\) に対応するものと書く． \(\mathcal{X}\) は fppf スタックで，\(\{W_\alpha' \to U\}\) は fppf 被覆なので，同型 \(\text{pr}_0^*x_\alpha \to \text{pr}_1^*x_\beta\) であって， \(W_\alpha' \times_U W'_\beta\) 上でコサイクル条件を満たすものが存在することを示せば十分である．一方，\(W_{\alpha, i}\) へ引き戻した後には， \(W_{\alpha, i} \times_{U_i} W_{\beta, i} = U_i \times_U (W_\alpha' \times_U W'_\beta)\) 上でそのような同型が存在する．実際，\(x_\alpha\) の \(W_{\alpha, i}\) への引き戻しは，\(x_i\) の \(W_{\alpha, i}\) への引き戻しと同型である． \(\{U_i \times_U (W_\alpha' \times_U W'_\beta) \to W_\alpha' \times_U W'_\beta\}_{i \in I}\) は fpqc 被覆であり，さらに上の図式と \(\varphi_{ij}\) との既述の両立性により，これらの同型は \(W_\alpha' \times_U W'_\beta\) へ降下する．これで証明が完了する．

テンソル関手

\(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) を Noether 的代数スタックの射とする．引き戻し関手 \[f^* : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \longrightarrow \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\] は右完全テンソル関手である．すなわち，加法的かつ右完全であり，連接加群のテンソル積と可換する．任意の右完全テンソル関手 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) が，どの程度まで射 \(f : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) から生じるかを問うことができる．この種の非常に一般的な結果については [Hall-Rydh-coherent] を参照されたい．本節の目的は，これらの考え方への導入として Theorem 0GRR の短い証明を与えることである．

いくつかの補題から始める．

補題

\(\mathcal{X}\) と \(\mathcal{Y}\) を Noether 的代数スタックとする．任意の右完全テンソル関手 \(F : \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \textit{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) は，すべての余極限と可換する右完全テンソル関手 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{Y})\) へ一意に拡張される．

証明

拡張の存在と一意性は一般的事実である．Categories, Lemma 0FWY を参照せよ．この補題が適用できることを見るため，局所 Noether 的代数スタック上の連接加群は定義により有限表示加群であることに注意する．Cohomology of Stacks, Definition 0GR6 を参照せよ．したがって \(\mathcal{X}\) 上の連接加群は \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) の圏論的コンパクト対象である．これは Cohomology of Stacks, Lemma 0GQZ による．最後に，Cohomology of Stacks, Lemma 0GRF により，任意の準連接加群はその連接部分加群のフィルター余極限である．

\(F\) は加法的なので，\(F\) の拡張も加法的である（詳細は省略する）． \(F\) はテンソル関手であり，加群の余極限はテンソル積の形成と可換するので， \(F\) の拡張もテンソル関手である（詳細は省略する）．

この段落では，拡張が任意の直和と可換することを示す． \(\mathcal{F} = \bigoplus_{j \in J} \mathcal{H}_j\) であり， \(\mathcal{H}_j\) が準連接ならば， \(\mathcal{F} = \colim_{J' \subset J\text{ 有限}} \bigoplus_{j \in J'} \mathcal{H}_j\) である． \(F\) の拡張も \(F\) と書けば， \[\begin{align*} F(\mathcal{F}) & = \colim_{J' \subset J\text{ 有限}} F(\bigoplus\nolimits_{j \in J'} \mathcal{H}_j) \\ & = \colim_{J' \subset J\text{ 有限}} \bigoplus\nolimits_{j \in J'} F(\mathcal{H}_j) \\ & = \bigoplus\nolimits_{j \in J} F(\mathcal{H}_j) \end{align*}\] を得る．したがって \(F\) は任意の直和と可換する．

この段落では，拡張が右完全であることを示す． \(0 \to \mathcal{F} \to \mathcal{F}' \to \mathcal{F}'' \to 0\) を準連接 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-加群の短完全列とする．このとき \(\mathcal{F}' = \bigcup \mathcal{F}'_i\) と，その連接部分加群の合併として書く（上で挙げた参照箇所を見よ）．

\(\mathcal{F}''_i \subset \mathcal{F}''\) を \(\mathcal{F}'_i\) の像と書き，さらに \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap \mathcal{F}'_i = \Ker(\mathcal{F}'_i \to \mathcal{F}''_i)\) と書く．すると明らかに \(\mathcal{F} = \bigcup \mathcal{F}_i\) および \(\mathcal{F}'' = \bigcup \mathcal{F}''_i\) であり，短完全列 \[0 \to \mathcal{F}_i \to \mathcal{F}_i' \to \mathcal{F}_i'' \to 0\] を得る．拡張はフィルター余極限と可換するので， \(F(\mathcal{F}) = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}_i)\)， \(F(\mathcal{F}') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}'_i)\)，および \(F(\mathcal{F}'') = \colim_{i \in I} F(\mathcal{F}''_i)\) である．

加群の層のフィルター余極限は完全なので，\(F\) の拡張は右完全であると結論する．

すべての余積と可換する右完全関手はすべての余極限と可換するので，証明は完了する．Categories, Lemma 002P を参照せよ．

補題

\(\mathcal{X}\) をアフィン対角射をもつ代数スタックとする． \(B\) を環とする．\(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) を，直和と可換する右完全テンソル関手とする． \(g : U \to \mathcal{X}\) を \(U = \Spec(A)\) がアフィンである射とする．このとき

\(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) は可換 \(B\)-代数であり，

環準同型 \(A \to C\) が存在する

ので，\(F \circ g_{\QCoh, *} : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) は \(M\) を \(M \otimes_A C\) へ送り，これを \(B\)-加群とみなす．

証明

\(g\) は準コンパクトかつ準分離であることに注意する．Morphisms of Stacks, Lemma 075S を参照せよ．Cohomology of Stacks, Proposition 077A において関手 \(g_{\QCoh, *} : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) を構成した．Cohomology of Stacks, Remarks 0GQR および 0GQM により乗法 \[\mu : g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \longrightarrow g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\] を得る．これにより \(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) は可換 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-代数となる．したがって \(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) は \(\text{Mod}_B\) における可換代数対象，すなわち \(C\) は可換 \(B\)-代数である．写像 \(\kappa : A \to \text{End}_{\mathcal{O}_\mathcal{X}}(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) があり，任意の \(a \in A\) に対して図式 \[\xymatrix{ g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[d]_{\kappa(r) \otimes 1} \ar[rr]_-\mu & & g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[d]^{\kappa(r)} \\ g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \ar[rr]^-\mu & & g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U }\]

は可換である．したがって写像 \(\kappa' = F(\kappa) : A \to \text{End}_B(C)\) を得て，\(\kappa'(a)(c) c' = \kappa'(a)(cc')\) が成り立つ．もちろんこれは， \(a \mapsto \kappa'(a)(1)\) が環準同型 \(A \to C\) であることを意味する．

射 \(g : U \to \mathcal{X}\) はアフィンである．Morphisms of Stacks, Lemma 0GQE を参照せよ．したがって \(g_{\QCoh, *}\) は完全であり，直和と可換する．これは Cohomology of Stacks, Lemma 0GQY による．ゆえに \(F \circ g_{\QCoh, *} : \text{Mod}_A \to \text{Mod}_B\) は直和と可換する右完全関手であり，\(A\) を \(C\) へ送る． Functors and Morphisms, Lemma 0GNS により，関手 \(F \circ g_{\QCoh, *}\) は \(A\)-加群 \(M\) を， \(M \otimes_A C\) へ送り，これを \(B\)-加群とみなすことが分かる．

補題

Lemma 0GRK と同じ記法を用いる．\(\mathcal{X}\) は Noether 的であり，\(g\) は全射かつ平坦であると仮定する．このとき \(B \to C\) は普遍単射である．

証明

自然な写像 \(1 : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) を \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) において考える．これを \(U\) へ引き戻し，随伴を用いると，合成 \[\mathcal{O}_U = g^*\mathcal{O}_\mathcal{X} \xrightarrow{g^*1} g^*g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] は \(\QCoh(\mathcal{O}_U)\) における恒等写像であることがわかる． \(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U = \colim \mathcal{F}_i\) を連接 \(\mathcal{O}_\mathcal{X}\)-加群のフィルター余極限として書く．Cohomology of Stacks, Lemma 0GRF を参照されたい．十分大きい \(i\) に対し，写像 \(1 : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U\) は \(\mathcal{F}_i\) を経由して分解する．Cohomology of Stacks, Lemma 0GQZ を参照されたい． \(s : \mathcal{O}_\mathcal{X} \to \mathcal{F}_i\) をこの分解とする．このとき \[\mathcal{O}_U \xrightarrow{g^*s} g^*\mathcal{F}_i \to g^*g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_U\] は恒等写像である．言い換えると，\(s\) は \(U\) へ引き戻すと直和因子の包含になる． \(\mathcal{F}_i^\vee = hom(\mathcal{F}_i, \mathcal{O}_\mathcal{X})\) とおく．記法は Cohomology of Stacks, Lemma 0GQN と同様である．とくに評価写像 \(ev : \mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{F}_i^\vee \to \mathcal{O}_\mathcal{X}\) がある． \(s\) における評価は写像 \(s^\vee : \mathcal{F}_i^\vee \to \mathcal{O}_\mathcal{X}\) を定める． \(s\) に関する主張の双対として，\(g^*(s^\vee)\) は全射であることがわかる． Cohomology of Stacks, Section 0GQS を参照されたい．ここでは \(hom\) と \(\otimes\) の \(U\) への制限との両立性を用いる． \(g\) は全射かつ平坦なので，\(s^\vee\) は全射であると結論できる（同所を参照）．\(F\) は右完全なので， \(F(\mathcal{F}_i^\vee) \to F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = B\) は全射である． \(\lambda \in F(\mathcal{F}_i^\vee)\) を，その像が \(1 \in B\) となるように選ぶ．

また，\(e = F(s)(1) \in F(\mathcal{F}_i)\) と記す．これは \(1\) を写像 \(F(s) : B = F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to F(\mathcal{F}_i)\) で送った像である．このとき写像 \[F(ev) : F(\mathcal{F}_i) \otimes_B F(\mathcal{F}_i^\vee) = F(\mathcal{F}_i \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} \mathcal{F}_i^\vee) \longrightarrow F(\mathcal{O}_\mathcal{X}) = B\] は構成により \(e \otimes \lambda\) を \(1\) へ送る．したがって，写像 \(B \to F(\mathcal{F}_i)\)，\(b \mapsto be\) は普遍単射である．実際，片側逆写像 \(F(\mathcal{F}_i) \to B\)，\(\xi \mapsto F(ev)(\xi \otimes \lambda)\) が存在する．これは十分大きいすべての \(i\) について成り立つので，結論を得る．

補題

\(B \to C\) を環準同型とする．次を仮定する．

余積への二つの標準射 \(C \to C \otimes_B C\) は平坦である．

\(B \to C\) は普遍単射である．

このとき \(B \to C\) は忠実平坦である．

証明

写像 \(\Spec(C) \to \Spec(B)\) は，\(B \to C\) が普遍単射なので全射である．したがって，\(B \to C\) が平坦であることを示せば十分であり，これは Descent, Theorem 08XD から従う．

次に示す Künneth の非常に簡単な形は，代数スタック上の準連接加群のコホモロジーに対する Künneth の定理についての節を書けば，不要になるはずである．

補題

\(a : \mathcal{Y} \to \mathcal{X}\) および \(b : \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) は，スキームによって表現可能で，準コンパクト，準分離かつ平坦であるとする．このとき \(a_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Z} = f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\) である．ここで \(f : \mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z} \to \mathcal{X}\) は明らかな射である．

証明

\(\mathcal{P} = \mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}\) と略記する． \(a \circ \text{pr}_1 = f\) かつ \(b \circ \text{pr}_2 = f\) なので，写像 \(a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y} \to f_*\mathcal{O}_\mathcal{P}\) および \(b_*\mathcal{O}_\mathcal{Z} \to f_*\mathcal{O}_\mathcal{P}\) を得る（相対引き戻し写像を用いる．Sites, Section 06UM を参照されたい）．したがって相対カップ積 \[\mu : a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_*\mathcal{O}_\mathcal{Z} \longrightarrow f_*\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\] を得る．\(Q\) を適用し，テンソル積との両立性（Cohomology of Stacks, Remark 0GQM）を用いると，射 \(Q(\mu) : a_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Y} \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} b_{\QCoh, *}\mathcal{O}_\mathcal{Z} \to f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{\mathcal{Y} \times_\mathcal{X} \mathcal{Z}}\) を \(\QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X})\) において得る．次に，スキーム \(U\) と全射な平滑射 \(U \to \mathcal{X}\) をとる．\(Q(\mu)\) の \(U_\etale\) への制限が同型であることを示せば十分である．Cohomology of Stacks, Section 0GQS を参照されたい．さらに同じ節の内容により，\(\mu\) の \(U_\etale\) への制限が同型であることを示せば十分である（ここでは \(\mu\) の始域と終域が基底変換性をもつ局所準連接加群であることを用いる）．さらに，étale 位相で順像を計算してよい．Cohomology of Stacks, Proposition 0771 を参照されたい．このとき最終的に \(a_*\mathcal{O}_\mathcal{Y}|_{U_\etale} = (V \to U)_{small, *}\mathcal{O}_V\) であることがわかる．ここで \(V = U \times_\mathcal{X} \mathcal{Y}\) である． \(b_*\) と \(f_*\) についても同様である．したがって結果は，スキームの平坦，準コンパクトかつ準分離な射に対する Künneth の公式から従う．Derived Categories of Schemes, Lemma 0FLQ を参照されたい．

補題

\(\mathcal{X}\) をアフィン対角射をもつ代数スタックとする． \(B\) を環とする．\(f_i : \Spec(B) \to \mathcal{X}\)，\(i = 1, 2\) を二つの射とする．\(t : f_1^* \to f_2^*\) をテンソル関手 \(f_i^* : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) の同型とする．このとき，\(2\)-射 \(f_1 \to f_2\) で \(t\) を誘導するものが存在する．

証明

アフィンスキーム \(U = \Spec(A)\) と全射な平滑射 \(g : U \to \mathcal{X}\) をとる．Properties of Stacks, Lemma 04YC を参照されたい． \(\mathcal{X}\) の対角射はアフィンなので， \(U_i = \Spec(B) \times_{f_i, \mathcal{X}, g} U\) はアフィンである． \(U_i = \Spec(C_i)\) と書く．このとき \(C_i\) は \(B\)-代数であり，環準同型 \(A \to C_i\) とともに Lemma 0GRK において関手 \(F = f_i^*\) を用いて構成されたものである．したがって \(t\) は，同型 \(C_1 \to C_2\) を \(B\)-代数の同型として誘導し，これは環準同型 \(A \to C_1\) および \(A \to C_2\) と両立する．

言い換えると，次の図式はいずれも可換である． \[\xymatrix{ U_i \ar[r] \ar[d] & U \ar[d]^g \\ \Spec(B) \ar[r]^{f_i} & \mathcal{X} } \quad\quad \xymatrix{ & U_2 \ar[ld] \ar[d]^{\cong} \ar[rd] \\ \Spec(B) & U_1 \ar[l] \ar[r] & U }\] これにより，対象 \(f_1\) と \(f_2\) は，\(\mathcal{X}\) の \(\Spec(B)\) 上の対象として，平滑被覆 \(\{U_1 \to \Spec(B)\}\) に沿って引き戻すと同型になることがすでにわかる．この局所同型を \(f_1\) と \(f_2\) の \(\Spec(B)\) 上の同型に降下できることを示すには，この同型（上の可換図式から得られるもの）が \(U_1 \times_{\Spec(B)} U_1\) 上の降下データと両立することを示す必要がある．このため，\(U \times_\mathcal{X} U\) もアフィンであり，射 \(g' : U \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{X}\) が存在し，さらに \[U_i \times_{\Spec(B)} U_i = \Spec(B) \times_{f_i, \mathcal{X}, g'} (U \times_\mathcal{X} U)\] であることに注意する．したがって，同型 \(C_1 \otimes_B C_1 \to C_2 \otimes_B C_2\) は同型 \(C_1 \to C_2\) から得られ，射 \(U_i \times_{\Spec(B)} U_i \to U \times_\mathcal{X} U\) と両立する．いくつかの詳細は省略する．

補題

\(\mathcal{X}\) をアフィン対角射をもつ Noether 的代数スタックとする． \(B\) を環とする． \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) を，直和と可換な右完全テンソル関手とする．このとき \(F\) は一意な射 \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\) に由来する．

証明

\(g : U \to \mathcal{X}\) を，\(U = \Spec(A)\) がアフィンとなる全射な滑らかな射として選ぶ．Properties of Stacks, Lemma 04YC を参照されたい． Lemma 0GRK を適用して，有限型可換 \(B\)-代数 \(C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\) と環準同型 \(A \to C\) を得る． Lemma 0GRL により，環準同型 \(B \to C\) は普遍単射である．代数 \[C \otimes_B C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U)\] を考える．\(g\) は平坦，準コンパクトかつ準分離であるから， Lemma 0GRN により，次の式の最初の等号が成り立つ： \[g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U = f_{\QCoh, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U} = g_{\QCoh, *}(\text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U})\] ここで \(f : U \times_\mathcal{X} U \to \mathcal{X}\) は自然な射であり， \(\text{pr}_2 : U \times_\mathcal{X} U \to U\) は第二射影である．第二の等号は Cohomology of Stacks, Lemma 0783 と \(f = g \circ \text{pr}_2\) から従う．\(\mathcal{X}\) の対角射はアフィンなので， \(U \times_\mathcal{X} U = \Spec(R)\) はアフィンである． \(\text{pr}_2 : A \to R\) により \(R\) を \(A\)-代数とみなすことにしよう．以上を総合すると \[C \otimes_B C = F(g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U \otimes_{\mathcal{O}_\mathcal{X}} g_{\QCoh, *}\mathcal{O}_U) = F(g_{\QCoh, *}(\text{pr}_{2, *}\mathcal{O}_{U \times_\mathcal{X} U})) = R \otimes_A C\] を得る．最後の等号は Lemma 0GRK の最後の主張から従う． \(A \to R\) は平坦なので（これは \(\text{pr}_2\) が \(U \to \mathcal{X}\) の基底変換として平坦だからである）， \(C \otimes_B C\) は \(C\) 上平坦であると結論される． Lemma 0GRM により，\(B \to C\) は忠実平坦である．

実線部分が可換となる次の図式が存在すると主張する： \[\xymatrix{ \Spec(C \otimes_B C) \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \ar[r] & U \times_\mathcal{X} U \ar@<1ex>[d] \ar@<-1ex>[d] \\ \Spec(C) \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ \Spec(B) \ar@{..>}[r] & \mathcal{X} }\] 矢印 \(\Spec(C) \to U = \Spec(A)\) は，環準同型 \(A \to C\) から得られる．この環準同型は Lemma 0GRK の主張に現れる．同様に，矢印 \(\Spec(C \otimes_B C) \to U \times_\mathcal{X} U\) は環準同型 \(R \to C \otimes_B C\) から得られる．上の正方形が可換であることを確かめるには Lemma 0GRP を用いればよい；詳細は省略する．点線の矢印 \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\) が得られることを Proposition 0GRH により結論する．

\(F\) が点線の矢印による引き戻しに対応する関手であるという主張も，以上と Lemma 0GRK の対応する主張から明らかである．詳細は省略する．

環 \(B\) に対し，\(\text{Mod}^{fg}_B\) で有限生成 \(B\)-加群（別名，有限 \(B\)-加群）の圏を表すことにする．

定理

\(\mathcal{X}\) をアフィン対角射をもつ Noether 的代数スタックとする． \(B\) を Noether 環とする． \(F : \text{Coh}(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}^{fg}_B\) を右完全テンソル関手とする．このとき \(F\) は一意な射 \(\Spec(B) \to \mathcal{X}\) に由来する．

証明

Lemma 0GRJ により，\(F\) を，すべての直和と可換な

右完全テンソル関手 \(F : \QCoh(\mathcal{O}_\mathcal{X}) \to \text{Mod}_B\) に一意に拡張できる．そこで Lemma 0GRQ を適用できる．

対応する自己同型は \((\text{id}_V, h', (\delta')^*\gamma)\) で与えられる．ここで \(h' : V' \to V'\) は，\(h'|_V = \text{id}_V\) を満たし，かつ \[\xymatrix{ V' \ar[r]_{h'} \ar[rd]_{q' \circ \delta'} & V' \ar[d]^{f'} \\ & U' }\] を可換にする一意的な（同型）射である．\(h'\) の一意性と存在は étale サイトの位相的不変性による．More on Morphisms of Spaces, Theorem 05ZH を参照されたい．読者は，代わりに射 \(\delta'' : V' \to V' \times_{\mathcal{X}'} V'\) であって， \(\delta'' \circ j = \Delta_{V'/\mathcal{X}'}\) および \(\text{pr}_1 \circ \delta'' = \text{id}_{V'}\) を満たすものを考えるべきだと感じるかもしれない．これでもよい．実際， \(V' \times_{\mathcal{X}'} V' \to I'\) は étale なので，同じ位相的不変性により， \(\delta''\) を \(\delta' = (V' \times_{\mathcal{X}'} V' \to I') \circ \delta''\) へ送る写像は，二つの射の集合の間の全単射である．↩︎
読者には，\(\delta'_1\) に \(q' \circ \delta'_2\) を前合成して初めて，\(U'\) に値をもつファイバー積 \(I' \times_{p', U', q'} I'\) の良定義された点が得られることが直ちに分かるであろう．↩︎
この補題は適用できる． \(\Delta : \mathcal{X} \to \mathcal{X} \times_S \mathcal{X}\) は Morphisms of Stacks, Lemma 06Q6 と \(\mathcal{X} \to S\) が局所有限表示であるという仮定により，局所有限表示である．したがって \(\mathcal{I}_\mathcal{X} \to \mathcal{X}\) は \(\Delta\) の基底変換として局所有限表示である．↩︎
集合論的な問題をなお追っている読者は， \(I\) が大きすぎないことを確認すべきである．↩︎
ind-準アフィンと仮定するだけで十分である．↩︎
対角射が ind-準アフィンの場合には More on Groupoids, Lemma 0APK を用いてもよい．↩︎