대수적 스택 입문

왜 이것을 읽는가?

여기서는 대수적 스택을 비형식적으로 소개한다. 목표는 여러분이 선호하는 모듈라이 문제의 국소적 성질과 대역적 성질을 생각하는 데 쓸 수 있는 간단한 언어를 빠르게 소개하는 것이다. 이 과정을 거치고 나면 일반 이론이 존재한다고 가정한 채로도 모듈라이 문제에 관해 잘 정식화된 질문을 던지고 그 문제를 풀기 시작할 수 있을 것이다. 흥미로운 결과를 얻는다면 스택 프로젝트의 다른 부분에 있는 일반 이론으로 돌아가 필요에 따라 빈틈을 메울 수 있다.

여기서 취하는 관점은 [KatzMazur]와 [mumford_picard]에서 취한 관점에 가깝다.

예비 사항

\(S\)를 스킴이라 하자. \(S\) 위의 타원곡선은 삼중항 \((E, f, 0)\)으로, 여기서 \(E\)는 스킴이고 \(f : E \to S\)와 \(0 : S \to E\)는 다음을 만족하는 스킴의 사상이다.

1. \(f : E \to S\)는 고유이고 상대 차원 \(1\)인 매끄러운 사상이다.

2. 모든 \(s \in S\)에 대해 올 \(E_s\)는 종수 \(1\)인 연결 곡선이다. 즉, \(H^0(E_s, \mathcal{O})\)와 \(H^1(E_s, \mathcal{O})\)는 모두 차원이 \(1\)인 \(\kappa(s)\)-벡터 공간이다.

3. \(0\)은 \(f\)의 단면이다.

타원곡선 \((E, f, 0)/S\)와 \((E', f', 0')/S'\)가 주어졌을 때, \(a : S \to S'\) 위의 타원곡선의 사상이란 사상 \(\alpha : E \to E'\)를 말하며, 이때 다음 그림은 가환이고 \[\xymatrix{ E \ar[rr]_\alpha \ar[d]^f & & E' \ar[d]_{f'} \\ S \ar@/^5ex/[u]^0 \ar[rr]^a & & S' \ar@/_5ex/[u]_{0'} }\] 안쪽 정사각형은 데카르트 정사각형이어야 한다. 다시 말해 사상 \(\alpha\)는 동형사상 \(E \to S \times_{S'} E'\)를 유도해야 한다. 이제 타원곡선의 스택 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)을 정의할 것이다. 스택 프로젝트의 나머지 부분에서는 Deligne과 Mumford의 논문 [DM]에서 소개한 방법을 전개한다. 이 방법은 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)을 함자 \[p : \mathcal{M}_{1, 1} \longrightarrow \Sch, \quad (E, f, 0)/S \longmapsto S\] 가 주어진 범주로 나타내는 것이다. 이는 스킴의 범주 위의 섬유화된 범주, 위상, 준군에 섬유화된 스택, 덮개 등을 다룬다는 뜻이다. 이 장에서는 그 모든 것을 제쳐 두고 조금 다른 방식으로 생각한다. 아마도 이론의 창시자들이 처음 이 문제를 생각했던 방식에 더 가까울 것이다.

타원곡선의 모듈라이 스택

이제 다음과 같이 할 것이다.

1. 여러분이 선호하는 스킴의 범주 \(\Sch\)에서 시작한다.

2. 새 기호 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)을 추가한다.

3. 사상 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)은 타원곡선 \((E, f, 0)\) 이다. 이는 \(S\) 위의 타원곡선이다.

4. 그림 \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', F', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 이 그림은 사상 \(\alpha : E \to E'\)가 존재하고 이것이 \(a : S \to S'\) 위의 타원곡선의 사상일 때, 그리고 그럴 때에만 가환이다. 이때 \(\alpha\)가 그림의 가환성을 입증한다고 말한다.

5. 가환 그림은 다음과 같이 이어 붙일 수 있음에 유의하자. \[\xymatrix{ S \ar[rrr]_a \ar[rrrd]_{(E, f, 0)} & & & S' \ar[d]_{(E', F', 0')} \ar[rrr]_{a'} & & & S'' \ar[llld]^{(E'', F'', 0'')} \\ & & & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 왜냐하면 \(\alpha' \circ \alpha\)는, \(\alpha\)와 \(\alpha'\)이 각각 왼쪽 삼각형과 오른쪽 삼각형의 가환성을 입증할 때, 바깥쪽 삼각형의 가환성을 입증하기 때문이다.

6. 합성 \[S \xrightarrow{a} S' \xrightarrow{(E', f', 0')} \mathcal{M}_{1, 1}\] 은 \((E' \times_{S'} S, f' \times_{S'} S, 0' \times_{S'} S)\)로 주어진다.

이 절차가 끝나면 스킴의 범주 \(\Sch\)에 정확히 하나의 대상을 덧붙여 확장한 셈이다...

다만 아직 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)에서 스킴 \(T\)로 가는 사상이 무엇인지 정의하지 않았다. 답은 합성이 의미를 갖게 하는 가장 약한 개념이다. 따라서 사상 \(F : \mathcal{M}_{1, 1} \to T\)는 모든 타원곡선 \((E, f, 0)/S\)에 사상 \(F(E, f, 0) : S \to T\)를 대응시키는 규칙으로, 가환 그림 \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', F', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 이 주어질 때 그림 \[\xymatrix{ S \ar[rr]_a \ar[rd]_{F(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{F(E', F', 0')} \\ & T }\] 도 가환이어야 한다. 한 가지 예는 들어 본 적이 있을 법한 \(j\)-불변량 \[j : \mathcal{M}_{1, 1} \longrightarrow \mathbf{A}^1_{\mathbf{Z}}\] 이다. 자, 이제 끝났다...

하지만 아직 끝나지 않았다! 사상 \(\mathcal{M}_{1, 1} \to \mathcal{M}_{1, 1}\)의 개념도 정의해야 한다. 이는 앞과 정확히 같은 방식으로 한다. 즉, 사상 \(F : \mathcal{M}_{1, 1} \to \mathcal{M}_{1, 1}\)은 모든 타원곡선 \((E, f, 0)/S\)에 또 다른 타원곡선 \(F(E, f, 0)\)을 대응시키면서 위와 같은 그림의 가환성을 보존하는 규칙이다. 하지만 그러한 함자의 자명하지 않은 예를 나는 알지 못하므로, 당장은 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)에서 자기 자신으로 가는 사상의 집합이 항등사상 하나만으로 이루어진다고 정의하겠다.

이 확장된 범주에 다른 대상을 어떻게 추가하는지도 이제 알 수 있기를 바란다. 어떤 의미에서는 임의의 “잘 작동하는” 모듈라이 문제가 주어졌을 때 위의 구성을 수행하여 범주에 대상을 추가할 수 있다는 것이 직관적으로 분명해 보인다. 실제로 현대 대수기하학의 상당 부분은 \(\Sch\)에 가산 개의 (명시적으로 구성된) 모듈라이 스택을 덧붙여 확장한 그러한 세계에서 이루어진다.

가환성을 보이는 증거를 제시해야 하므로 그림이 언제 가환하는지, 또 어떤 그림들의 조합이 계속 가환하는지에 “모호함”이 있고, 따라서 이렇게 얻은 범주는 범주가 아니라고 이의를 제기할 수도 있다. 그러나 가환성의 증거를 둔다는 이 발상은 \(2\)-범주를 다루는 타당한 접근법임이 밝혀진다! 그러므로 이 접근법을 계속 사용하겠다.

섬유곱

여기서는 다음 그림의 섬유곱이 무엇이어야 하는지를 묻는다. \[\xymatrix{ & ? \ar@{..>}[rd] \ar@{..>}[ld] \\ S \ar[rd]_{(E, f, 0)} & & S' \ar[ld]^{(E', f', 0')} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 답은 다음과 같다. 스킴 \(T\)에서 \(?\)로 가는 사상은 삼중항 \((a, a', \alpha)\)이어야 한다. 여기서 \(a : T \to S\), \(a' : T \to S'\)는 스킴의 사상이고 \(\alpha : E \times_{S, a} T \to E' \times_{S', a'} T\)는 \(T\) 위의 타원곡선의 동형사상이다. 앞서 합성과 가환 그림을 정의한 방식에 따르면 이는 의미가 있다.

보조정리

함자 \(\Sch^{opp} \to \textit{Sets}\), \(T \mapsto \{(a, a', \alpha)\text{는 위와 같음}\}\)는 스킴 \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S'\)로 표현가능하다.

증명

증명의 착상. 이 함자를 \[\mathit{Isom}_{S \times S'}(E \times S', S \times E')\] 와 연관 짓고 Grothendieck의 Hilbert 스킴 이론을 사용한다.

주

다음 공식이 성립한다. \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S' = (S \times S') \times_{\mathcal{M}_{1, 1} \times \mathcal{M}_{1, 1}} \mathcal{M}_{1, 1}\). 따라서 핵심 사실은 대각사상 \(\Delta_{\mathcal{M}_{1, 1}}\), 즉 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)의 대각사상이 갖는 성질이다.

어쨌든 핵심 사실 덕분에 다음 정의를 내릴 수 있다.

정의

사상 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)에 대하여, 모든 사상 \(S' \to \mathcal{M}_{1, 1}\)에 대해 사영사상 \[S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} S' \longrightarrow S'\] 이 매끄러우면 이 사상을 매끄럽다고 한다.

매끄러운 사상의 밑변환은 매끄러우므로 이는 스킴의 매끄러운 사상이라는 개념과 양립한다. 더 나아가 이 정의를 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)로 가는 사상(또는 여러분이 선호하는 모듈라이 스택으로 가는 사상)의 다른 성질로 어떻게 확장할지도 분명하다. 특히 아래에서는 전사 사상에 이 정의를 사용할 것이다.

정의

독자가 다른 경우들(스택 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)만이 아니고 모든 스킴의 범주 \(\Sch\)만도 아닌 경우들)을 직접 시험해 보기를 기대하므로 이를 결과가 아니라 정의로 정식화하겠다.

정의

다음 조건들이 모두 성립할 때, 그리고 그럴 때에만 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)을 대수적 스택이라고 한다.

1. \(\Sch\) 위의 에탈 위상에 대해 대상의 내림이 성립한다.

2. 핵심 사실이 성립한다.

3. 전사 매끄러운 사상 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)이 존재한다.

첫 번째 조건은 “층 성질”이다. 짚고 넘어가야 할 기술적인 점이 있으므로 이를 자세히 쓰겠다. 스킴 \(S\)와 에탈 덮개 \(\{S_i \to S\}\), 그리고 다음 그림들이 가환하도록 하는 사상 \(e_i : S_i \to \mathcal{M}_{1, 1}\)이 주어졌다고 하자. \[\xymatrix{ S_i \times_S S_j \ar[rd]_{e_i \circ \text{pr}_1} \ar[rr]_{\text{id}} & & S_i \times_S S_j \ar[ld]^{e_j \circ \text{pr}_2} \\ & \mathcal{M}_{1, 1} }\] 이 상황에서 층 조건은 사상 \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)의 존재를 보장하지 않는다. 즉, 위 그림들의 가환성을 입증하는 \(\alpha_{ij}\)를 고르고 \(S_i \times_S S_j \times_S S_k\) 위에서의 증거로서 다음을 요구해야 한다. \[\text{pr}_{02}^*\alpha_{ik} = \text{pr}_{12}^*\alpha_{jk} \circ \text{pr}_{01}^*\alpha_{ij}\] 이것이 무슨 뜻인지는 분명하리라 생각한다... 그렇지 않다면 유감스럽게도 준군에 섬유화된 범주 등에 관한 자료를 어느 정도 읽어야 할 것이다. 어쨌든 위에 표시한 등식을 흔히 코사이클 조건이라고 한다. “층 성질”을 더 정확히 서술하면 다음과 같다. \(\{S_i \to S\}\), \(e_i : S_i \to \mathcal{M}_{1, 1}\), 그리고 코사이클 조건을 만족하는 증거 \(\alpha_{ij}\)가 주어지면 사상 \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)이 (유일한 동형사상까지) 유일하게 존재하며, \(e_i \cong e|_{S_i}\)이고 \(\alpha_{ij}\)를 복원한다.

보았듯이 정확한 명제를 정식화하는 일조차 약간의 수고가 든다. 이 “층 성질”의 증명은 대수기하학의 근본적인 기법인 내림 이론에 의존한다. 처음에는 단순히 “층 성질”이 성립한다고 받아들이고, 이것이 실제로 무엇을 함의하는지 살펴보기를 권한다. 사실 “층 성질”을 냅킨에 적을 수 있을 만큼 다루기 쉬운 명제로 정리해 내기 위해서는 어느 정도의 사고 유연성이 필요하다. 이미 조금 흥미로운 가장 간단한 변형은 아마 다음과 같을 것이다. 체의 유한 Galois 확대 \(L/K\)가 주어지고 그 Galois 군이 \(G = \text{Gal}(L/K)\)라고 하자. \(T = \Spec(L)\), \(S = \Spec(K)\)로 놓는다. 그러면 \(\{T \to S\}\)는 에탈 덮개이다. \((E, f, 0)\)을 \(L\) 위의 타원곡선이라 하자. (그렇다. 이는 단지 \(E \subset \mathbf{P}^2_L\)이 Weierstrass 방정식으로 주어지고 \(0\)이 무한대의 통상적인 점이라는 뜻이다.) 밑변환을 \(E_\sigma = E \times_{T, \Spec(\sigma)} T\)로 나타내자. (그렇다. 이는 Weierstrass 방정식의 계수에 \(\sigma\)를 적용하는 것에 해당한다. 아니면 \(\sigma^{-1}\)인가?) 이제 각 \(\sigma \in G\)에 대해 \(T\) 위의 동형사상 \[\alpha_\sigma : E \longrightarrow E_\sigma\] 가 주어졌다고 더 가정하자. 이 상황에서 위의 코사이클 조건은 \[(\alpha_\tau)^\sigma \circ \alpha_\sigma = \alpha_{\tau\sigma}\] 가 \(\sigma, \tau \in G\)에 대해 성립한다는 뜻이다. 군 코호몰로지를 조금이라도 다루어 보았다면 익숙할 것이다. 어쨌든 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)에 대한 “붙이기” 조건은 이 연립방정식의 해가 있으면 타원곡선 \(E'\)가 \(S\) 위에 존재하고 \(E \cong E' \times_S T\)라고 말한다(\(\alpha_\sigma\)를 복원하는 방법도 알려 주므로 실제로는 조금 더 많은 것을 말한다).

도전 문제: Weierstrass 방정식으로 정의된 타원곡선만을 이용하여 이것을 완전히 증명할 수 있는가?

매끄러운 덮개

마지막으로 해야 할 일은 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)의 매끄러운 덮개를 찾는 것이다. 사실 어떤 의미에서는 매끄러운 덮개의 존재가 핵심 사실을 함의한다¹! 타원곡선의 경우에는 Weierstrass 방정식을 사용하여 하나를 구성한다.

다음과 같이 놓자. \[W = \Spec(\mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6, 1/\Delta])\] 여기서 \(\Delta \in \mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6]\)는 어떤 다항식이다(아래를 보라). 다음과 같이 놓자. \[\mathbf{P}_W^2 \supset E_W : zy^2 + a_1 xyz + a_3 yz^2 = x^3 + a_2x^2z + a_4xz^2 + a_6z^3.\] 사영을 \(f_W : E_W \to W\)로 나타내자. 마지막으로 \(0_W : W \to E_W\)는 \(f_W\)의 단면이며 \((0 : 1 : 0)\)으로 주어진다. 차수 \(12\)의 동차다항식 \(\Delta\)가 \(a_i\)에 관해 존재함이 밝혀진다. 여기서 \(\deg(a_i) = i\)이며, 이 다항식으로 인해 \(E_W \to W\)가 매끄럽게 된다. Weierstrass 방정식의 편도함수를 계산하면 이를 명시적으로 구할 수 있다. 물론 찾아보아도 된다. pari/gp를 사용하여 계산할 수도 있다. 그 다항식은 다음과 같다. \[\begin{align*} \Delta & = -a_6a_1^6 + a_4a_3a_1^5 + ((-a_3^2 - 12a_6)a_2 + a_4^2)a_1^4 + \\ & (8a_4a_3a_2 + (a_3^3 + 36a_6a_3))a_1^3 + \\ & ((-8a_3^2 - 48a_6)a_2^2 + 8a_4^2a_2 + (-30a_4a_3^2 + 72a_6a_4))a_1^2 + \\ & (16a_4a_3a_2^2 + (36a_3^3 + 144a_6a_3)a_2 - 96a_4^2a_3)a_1 + \\ & (-16a_3^2 - 64a_6)a_2^3 + 16a_4^2a_2^2 + (72a_4a_3^2 + 288a_6a_4)a_2 + \\ & -27a_3^4 - 216a_6a_3^2 -64a_4^3 - 432a_6^2 \end{align*}\] \(y^2 = x^3 + Ax + B\)의 판별식이 \(-64A^3 - 432B^2 = -16(4A^3 + 27B^2)\)인 경우에서 마지막 두 항을 알아볼 수도 있을 것이다.

보조정리

사상 \(W \xrightarrow{(E_W, f_W, 0_W)} \mathcal{M}_{1, 1}\)은 매끄럽고 전사이다.

증명

전사성은 체 위의 모든 타원곡선이 Weierstrass 방정식을 갖는다는 사실에서 따라온다. 매끄러움을 증명하는 한 가지 방법을 대략적으로 설명하겠다. 다음 부분군 스킴을 생각하자. \[H = \left\{ \left( \begin{matrix} u^2 & s & 0 \\ 0 & u^3 & 0 \\ r & t & 1 \end{matrix} \right) \middle| \begin{matrix} u\text{는 가역원} \\ s, r, t\text{는 임의} \end{matrix} \right\} \subset \text{GL}_{3, \mathbf{Z}}\] 작용 \(H \times W \to W\)가 있으며, 이는 \(H\)가 Weierstrass 스킴 \(W\)에 작용하는 것이다. 이 작용의 방정식을 구하려면 \(H\)의 행렬로 주어지는 좌표변환이 일반적인 Weierstrass 방정식에 어떤 영향을 주는지 모두 써 보면 된다. 그러면 다음 명제들이 성립함을 알 수 있다.

1. 임의의 타원곡선 \((E, f, 0)/S\)는 \(S\) 위에서 Zariski 국소적으로 Weierstrass 방정식을 갖는다.

2. \((E, f, 0)\)의 임의의 두 Weierstrass 방정식은 (Zariski 국소적으로) \(H\)의 한 원소에 의한 좌표변환으로 서로 바뀐다.

섬유곱 \(S \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W = \mathit{Isom}_{S \times W}(E \times W, S \times E_W)\) 을 생각하면 이는 사상 \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\)이 \(H\)-토서라는 뜻임을 알 수 있다. \(H \to \Spec(\mathbf{Z})\)가 매끄럽고 매끄러운 군 스킴 위의 토서가 매끄러우므로 증명이 끝난다.

주

위에서 개략적으로 설명한 논증은 실제로 \(\mathcal{M}_{1, 1} = [W/H]\)가 대역 몫 스택임을 보인다. 모듈라이 스택이 대수적임을 증명하는 논증은 약 50%의 경우 그 스택이 대역 몫 스택임까지 보인다.

대수적 스택의 성질

좋다. 이제 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)이 대수적 스택임을 알았다. 이를 가지고 무엇을 할 수 있는가? 여기서 도움이 되는 것은 대수적 스택이라는 사실 자체라기보다 \(\mathcal{M}_{1, 1}\)의 성질을 사상 \(S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)의 성질, 즉 타원곡선의 족의 성질로 표현해야 한다는 관점이다. 몇 가지 예를 나열하겠다.

국소적 성질: \[\mathcal{M}_{1, 1} \to \Spec(\mathbf{Z})\text{은 매끄럽다} \Leftrightarrow W \to \Spec(\mathbf{Z})\text{는 매끄럽다}\] 착상. 대수적 스택의 국소적 성질은 그 매끄러운 덮개의 국소적 성질로 표현된다.

대역적 성질: \[\begin{matrix} \mathcal{M}_{1, 1}\text{은 준콤팩트이다} \Leftarrow W\text{는 준콤팩트이다} \\ \mathcal{M}_{1, 1}\text{은 기약이다} \Leftarrow W\text{는 기약이다} \end{matrix}\] 착상. 대수적 스택의 몇몇 대역적 성질은 적절한² 매끄러운 덮개의 대응하는 성질에서 알아낼 수 있다.

준연접 층: \[\QCoh(\mathcal{O}_{\mathcal{M}_{1, 1}}) = H\text{-등변 준연접 가군들, 바탕 공간 }W\] 착상. 한편으로 \(\mathcal{M}_{1, 1}\) 위의 준연접 가군은 준연접 층 \(\mathcal{F}_{S, e}\)에 대응해야 한다. 이 층은 \(S\) 위에 있고 각 사상 \(e : S \to \mathcal{M}_{1, 1}\)마다 주어진다. 특히 사상 \((E_W, f_W, 0_W) : W \to \mathcal{M}_{1, 1}\)에 대해서도 그러하다. 이 사상은 \(H\)-등변이므로 얻어지는 준연접 가군 \(\mathcal{F}_W\)도 \(H\)-등변임을 알 수 있다. 역으로 \(H\)-등변 가군이 주어지면 내림 이론으로 층 \(\mathcal{F}_{S, e}\)들을 복원할 수 있다. 출발점은 \(S \times_{e, \mathcal{M}_{1, 1}} W\)가 \(H\)-토서라는 관찰이다.

피카르 군: \[\Pic(\mathcal{M}_{1, 1}) = \Pic_H(W) = \mathbf{Z}/12\mathbf{Z}\] 착상. 위에서 첫 번째 등식을 보았다. \(\Pic(W) = 0\)임에 유의하자. 그 이유는 환 \(\mathbf{Z}[a_1, a_2, a_3, a_4, a_6, 1/\Delta]\)의 인자류군이 자명하기 때문이다. 다음 완전열이 있다. \[\mathbf{Z}\Delta \to \Pic_H(\mathbf{A}^5_{\mathbf{Z}}) \to \Pic_H(W) \to 0\] 가운데 군은 \(\Hom(H, \mathbf{G}_m) = \mathbf{Z}\)와 같다. \(\Delta\)의 차수가 \(12\)이므로 \(\Delta\)의 상은 \(12\)이다. 이 논증은 대략 맞으며, [PicM11]을 보라.

에탈 코호몰로지: \(\Lambda\)를 환이라 하자. \(H^{p + q}_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda)\)로 수렴하며 \(E_2\)-페이지가 \[E_2^{p, q} = H_\etale^q(W \times H \times \ldots \times H, \Lambda) \quad(p\text{회 반복되는 인자 }H)\] 인 제1사분면 스펙트럼 열이 있다. 착상. 다음 등식에 유의하자. \[W \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} \ldots \times_{\mathcal{M}_{1, 1}} W = W \times H \times \ldots \times H\] 이는 \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\)이 \(H\)-토서이기 때문이다. 이 스펙트럼 열은 매끄러운 덮개 \(\{W \to \mathcal{M}_{1, 1}\}\)에 대한 Čech-코호몰로지 스펙트럼 열이다. 예를 들어 \(H^0_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda) = \Lambda\)임을 알 수 있는데, 이는 \(W\)가 연결이기 때문이다. 또한 \(H^1_\etale(\mathcal{M}_{1, 1}, \Lambda) = 0\)이다. 왜냐하면 \(H^1_\etale(W, \Lambda) = 0\)이기 때문이다 (물론 이는 증명이 필요하다). 물론 매끄러운 덮개 \(W \to \mathcal{M}_{1, 1}\)은 에탈 코호몰로지를 계산하는 데 “최적”이 아닐 수도 있다.