대수적 스택의 기하학

서론

이 장에서는 대수적 스택의 몇 가지 기하학적 성질을 논한다. 절 0DR4와 0DRE의 초판은 Matthew Emerton과 Toby Gee가 작성했으며, 그 원래 형태는 [Emerton-Gee-dim]에서 볼 수 있다.

버설 환

이 절에서는 국소 뇌터 기저 위의 유한형 대수적 스택에서 변형환과 국소환 사이의 관계를 밝힌다.

설정

여기서 \(\mathcal{X}\)는 국소 뇌터 스킴 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 대수적 스택이다.

정의는 다음과 같다.

정의

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이란 잉여체가 \(k\)인 완비 뇌터 국소 \(S\)-대수 \(A\)로서, 『Artin의 공리』의 정의 0CXJ에서와 같은 버설 형식적 대상 \((A, \xi_n, f_n)\)이 존재하고 \(\xi_1 \cong x_0\)인 것(\(2\)-동형사상)을 말한다.

버설 환이 존재하며 매끄러운 인자를 제외하고 유일함을 증명하고자 한다. 이를 위해 『Artin의 공리』의 절 07T2에 나오는 전변형 범주를 사용할 것이다. 우리의 상황에서 이들은 항상 변형 범주이다.

보조정리

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. 그러면 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)는 변형 범주이고, \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)와 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\)는 유한 차원 \(k\)-벡터공간이다.

증명

\(\Spec(k) \to S\)가 통과하는 아핀 열린집합 \(\Spec(\Lambda) \subset S\)를 택한다. 『Artin의 공리』의 절 07T2에 의해 범주 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 위의 전변형 범주 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)를 얻는다. (앞서 인용한 곳에서 지적했듯이 이 범주는 \(\Lambda\)의 선택이 아니라 사상 \(\Spec(k) \to S\)에만 의존한다.) 『Artin의 공리』의 보조정리 07WU와 07WQ에 의해 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)는 실제로 변형 범주이다. 『Artin의 공리』의 보조정리 07X1에 의해 \(T\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)와 \(\text{Inf}(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0})\)가 유한 차원 \(k\)-벡터공간임을 알 수 있다.

보조정리

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. 그러면 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이 존재한다. 그러한 두 환 \(A\), \(A'\)가 주어지면, 어떤 \(r\)에 대해 \(S\)-대수로서 \(A \cong A'[[t_1, \ldots, t_r]]\)이거나 \(A' \cong A[[t_1, \ldots, t_r]]\)이다.

증명

존재성은 보조정리 0DQW와 『형식적 변형 이론』의 정의 06J9 및 보조정리 06J7, 06IW에서 따른다. 『형식적 변형 이론』의 보조정리 06T5의 유일성 결과에 의해, \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 “극소” 버설 환 \(A\)가 존재하여 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 다른 모든 버설 환은 어떤 \(r\)에 대해 \(A[[t_1, \ldots, t_r]]\)과 동형이다. 이는 두 번째 명제를 명백히 함의한다.

보조정리

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. \(l/k\)를 체의 유한 확대라 하고, 유도된 사상을 \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\)로 나타내자. \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환 \(A\)가 주어지면, \(\mathcal{X}\)의 \(x_{l, 0}\)에서의 버설 환 \(A'\)가 존재하여 주어진 체의 확대 \(l/k\)를 유도하고 \(\mathfrak m_{A'}\)-진 위상에서 형식적으로 매끄러운 \(S\)-대수 사상 \(A \to A'\)가 존재한다.

증명

『Artin의 공리』의 보조정리 07WX와 『형식적 변형 이론』의 보조정리 0DQF에서 곧바로 따른다. (또한 『Artin의 공리』의 보조정리 07WQ에 의해 \(\mathcal{X}\)가 (RS)를 만족한다는 사실도 사용한다.)

보조정리

상황 0DQU에서 \(x : U \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(U\)는 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 스킴이다. \(u_0 \in U\)를 유한형 점이라 하자. \(k = \kappa(u_0)\)로 두고, 유도된 사상을 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)로 나타내자. 다음은 동치이다.

1. \(x\)는 \(u_0\)에서 버설이다 (『Artin의 공리』의 정의 07XF),

2. \(\hat x : \mathcal{F}_{U, k, u_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)는 매끄럽다,

3. \(x|_{\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge)}\)에 대응하는 형식적 대상은 버설이다, 그리고

4. \(x\)의 열린 근방 \(U' \subset U\)가 존재하여 \(x|_{U'} : U' \to \mathcal{X}\)가 매끄럽다.

더욱이 이 경우 완비화 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)는 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이다.

증명

\(U \to S\)는 (그러한 사상들의 합성으로서) 국소적으로 유한형이므로, \(\Spec(k) \to S\)도 (다시 합성으로서) 유한형이다. 따라서 이 명제는 의미가 있다. (1)과 (2)의 동치는 \(x\)가 \(u_0\)에서 버설이라는 정의이다. (1)과 (3)의 동치는 『Artin의 공리』의 보조정리 0CXK이다. 따라서 (1), (2), (3)은 동치이다.

\(x|_{U'}\)가 매끄러우면 『Artin의 공리』의 보조정리 07WK에 의해 함자 \(\hat x : \mathcal{F}_{U, k, u_0} \to \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)는 매끄럽다. 따라서 (4)는 (1), (2), (3)을 함의한다. 역으로 \(x\)가 \(u_0\)에서 버설이라고 가정하자. \(V\)가 스킴인 전사 매끄러운 사상 \(y : V \to \mathcal{X}\)를 택한다. \(Z = V \times_\mathcal{X} U\)로 두고 \(u_0\) 위에 놓이는 유한형 점 \(z_0 \in |Z|\)를 택한다(이는 『대수공간의 사상』의 보조정리 06EJ에 의해 가능하다). 『Artin의 공리』의 보조정리 0CXM에 의해 사상 \(Z \to V\)는 \(z_0\)에서 매끄럽다. 정의에 의해 \(z_0\)의 열린 근방 \(W \subset Z\)로서 \(W \to V\)가 매끄러운 것을 찾을 수 있다. \(Z \to U\)는 열린 사상이므로, \(U' \subset U\)를 \(W\)의 상으로 두자. 그러면 스택의 매끄러운 사상에 대한 우리의 정의에 의해 \(U' \to \mathcal{X}\)가 매끄럽다.

마지막 명제는 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)가 \(\mathcal{F}_{U, k, u_0}\)를 프로표현한다는 사실과 정의에서 따른다.

보조정리

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. \(\Spec(k) \to S\)는 상이 \(s\)인 유한형 사상이라 하자. \(A\)를 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(x_0\)는 \(\mathcal{X} \to S\)의 매끄러운 자취에 속한다 (『스택의 사상』의 보조정리 0DZR),

2. \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\)는 \(\mathfrak m_A\)-진 위상에서 형식적으로 매끄럽다, 그리고

3. \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)에는 장애가 없다.

증명

(2)와 (3)의 동치는 『형식적 변형 이론』의 보조정리 0DZK에서 곧바로 따른다.

\(\mathcal{O}_{S, s} \to A\)가 \(\mathfrak m_A\)-진 위상에서 형식적으로 매끄러운 것은 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A' = A[[t_1, \ldots, t_r]]\)가 \(\mathfrak m_{A'}\)-진 위상에서 형식적으로 매끄러운 것과 동치임에 유의하자. 따라서 보조정리 0DQX에 의해 (2)는 버설 환의 선택에 의존하지 않는다. 다음으로 \(l/k\)를 유한 확대라 하고 보조정리 0DQY에서와 같은 \(A \to A'\)를 택하자. \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\)가 \(\mathfrak m_A\)-진 위상에서 형식적으로 매끄러우면, 『대수학 더 보기』의 보조정리 07EF에 의해 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A'\)는 \(\mathfrak m_{A'}\)-진 위상에서 형식적으로 매끄럽다. 역으로 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A'\)가 \(\mathfrak m_{A'}\)-진 위상에서 형식적으로 매끄러우면, \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge \to A'\)와 \(A \to A'\)는 정칙이다 (『대수학 더 보기』의 명제 07PM). 따라서 \(\mathcal{O}_{S, s}^\wedge \to A\)도 정칙이고 (『대수학 더 보기』의 보조정리 07NT), 그러므로 \(\mathcal{O}_{S, s} \to A\)는 \(\mathfrak m_A\)-진 위상에서 형식적으로 매끄럽다(앞과 같은 보조정리). 따라서 \(k\)와 \(x_0\)에 대해 (2)와 (1)이 동치인 것은 \(l\)과 \(x_{0, l}\)에 대해 동치인 것과 필요충분하다.

스킴 \(U\)와 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)를 \(\Spec(k) \times_\mathcal{X} U\)가 공집합이 아니도록 택한다. 유한 확대 \(l/k\)와 점 \(w_0 : \Spec(l) \to \Spec(k) \times_\mathcal{X} U\)를 택하자. \(u_0 \in U\)를 \(w_0\)의 상이라 하자. \(l/k\)와 \(l/\kappa(u_0)\)에 위 논의를 적용하면 \(u_0\)의 경우로 환원할 수 있음을 알 수 있다. 따라서 보조정리 0DQZ에 의해 \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)라 가정해도 좋다. \(x_0\)가 \(\mathcal{X} \to S\)의 매끄러운 자취에 속하는 것은 \(u_0\)가 \(U \to S\)의 매끄러운 자취에 속하는 것과 동치임에 유의하자. 예를 들어 『스택의 사상』의 보조정리 0DZR를 보라. 따라서 (1)과 (2)의 동치는 『대수학 더 보기』의 보조정리 07VH에서 따른다.

Artin 근사의 한 귀결을 상기한다.

보조정리

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. \(\Spec(k) \to S\)는 상이 \(s\)인 유한형 사상이라 하자. \(A\)를 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이라 하자. \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 G-환이면, 원천이 스킴인 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)와 잉여체가 \(k\)인 점 \(u_0 \in U\)를 다음과 같이 찾을 수 있다.

1. \(\Spec(k) \to U \to \mathcal{X}\)는 주어진 사상 \(x_0\)와 일치한다.

2. 동형사상 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge \cong A\)가 존재한다.

증명

\((\xi_n, f_n)\)을 \(A\) 위의 버설 형식적 대상이라 하자. 『Artin의 공리』의 보조정리 07X8에 의해 \(\xi = (A, \xi_n, f_n)\)가 효과적임을 안다. 가정에 의해 \(\mathcal{X}\)는 \(S\) 위에서 국소적으로 유한 표시이고 (『스택의 사상』의 보조정리 0DQJ를 사용하라), 따라서 『대수적 스택의 극한』의 명제 0CMY에 의해 극한을 보존한다. 그러므로 『Artin의 공리』의 보조정리 07XH에서와 같은 Artin 근사에 의해, 유한형 \(S\)-스킴을 원천으로 하고 잉여체가 \(k\)인 점 \(u_0 \in U\)를 포함하는 사상 \(U \to \mathcal{X}\)를 찾을 수 있다. 이 사상 \(U \to \mathcal{X}\)는 (1), (2)를 만족하며 \(u_0\)에서 버설이다. 보조정리 0DQZ에 의해 \(U\)를 축소한 뒤 \(U \to \mathcal{X}\)가 매끄럽다고 가정해도 좋다.

주

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. \(A\)를 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이라 하자. 『Artin의 공리』의 보조정리 07X8에 의해 우리의 버설 형식적 대상은 사실 \(S\) 위의 사상 \[\Spec(A) \longrightarrow \mathcal{X}\] 에서 온다. 더욱이 위의 결과들은 각각 이 사상과 양립하도록 강화할 수 있다. 그 목록은 다음과 같다.

1. 보조정리 0DQX에서 동형사상 \(A \cong A'[[t_1, \ldots, t_r]]\) 또는 \(A' \cong A[[t_1, \ldots, t_r]]\)은 이 사상들과 양립하도록 택할 수 있다.

2. 보조정리 0DQY에서 준동형사상 \(A \to A'\)는 이 사상들과 양립하도록 택할 수 있다.

3. 보조정리 0DQZ에서 사상 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to \mathcal{X}\)는 표준 사상 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to U\)와 주어진 사상 \(U \to \mathcal{X}\)의 합성이다.

4. 보조정리 0DR0에서 동형사상 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge \cong A\)는 \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\)가 앞 항목의 표준 사상에 대응하도록 택할 수 있다.

각 경우에 명제는 우리의 사상들이 버설 형식적 원소들과 양립한다는 사실에서 따른다. 다만 이때 암묵적으로 나타나는 도식들은 \(2\)-화살표를 (비표준적으로) 택해야만 \(2\)-가환한다는 점에 유의하자. 그럼에도 이는 (1)의 암묵적인 사상 \(A' \to A\) 또는 \(A \to A'\)가 형식적 호모토피를 제외하고 잘 정의된다는 뜻이다. 『형식적 변형 이론』의 보조정리 0DQD를 보라.

보조정리

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. \(A\)를 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이라 하자. 그러면 주석 0DR1의 사상 \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\)는 평탄하다.

증명

상의 점에서 \(S\)의 국소환이 G-환이면, 이는 보조정리 0DR0와 뇌터 국소환에서 그 완비화로 가는 사상이 평탄하다는 사실에서 곧바로 따른다. 일반적인 경우에는 다음과 같이 증명한다.

1단계. \(A\)와 \(A'\)가 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 두 버설 환이면, 결과가 \(A\)에 대해 참인 것은 \(A'\)에 대해 참인 것과 동치이다. 실제로 필요하면 \(A\)와 \(A'\)를 맞바꾼 뒤, 합성 \[\Spec(A') \to \Spec(A) \to \mathcal{X}\] 이 사상 \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\)가 되도록 하는 형식적으로 매끄러운 사상 \(\varphi : A \to A'\)가 존재한다고 가정해도 좋다. 보조정리 0DQX과 주석 0DR1를 보라. \(A \to A'\)는 충실하게 평탄하므로, 『스택의 사상』의 보조정리 06PX과 06Q0에서 이 동치를 얻는다.

2단계. \(l/k\)를 체의 유한 확대라 하자. \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\)를 유도된 사상이라 하자. \(A\)를 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이라 하고, \(A \to A'\)를 보조정리 0DQY에서와 같이 택하자. 그러면 다시 합성 \[\Spec(A') \to \Spec(A) \to \mathcal{X}\] 은 사상 \(\Spec(A') \to \mathcal{X}\)이다. 주석 0DR1를 보라. 앞과 같이 논하고 1단계를 사용하여 버설 환의 선택은 무관함을 알면, 보조정리가 \(x_0\)에 대해 성립하는 것은 \(x_{l, 0}\)에 대해 성립하는 것과 동치임을 알 수 있다.

3단계. 스킴 \(U\)와 전사 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)를 택한다. 그러면 \(Z = U \times_\mathcal{X} x_0\) 위의 유한형 점 \(z_0\)를 택할 수 있다 (이는 공집합이 아닌 대수공간이다). \(u_0 \in U\)를 \(U\)에서 \(z_0\)의 상이라 하자. \(z_0\)가 어떤 스킴의 닫힌점 \(w_0 \in W\)의 상이 되도록 하는 전사 에탈 사상 \(W \to Z\)를 택한다 (『대수공간의 사상』의 절 06EE을 보라). \(W \to \Spec(k)\)와 \(W \to U\)가 유한형이므로, \(\kappa(w_0)/k\)와 \(\kappa(w_0)/\kappa(u_0)\)는 체의 유한 확대이다 (『스킴의 사상』의 절 01T9을 보라). 2단계를 두 번 적용하면 \(x_0\)를 \(u_0 \to U \to \mathcal{X}\)로 대체할 수 있다. 그러면 우리의 사상은 합성 \[\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge) \to U \to \mathcal{X}\] 임을 알 수 있다. 첫 번째 화살표는 뇌터 국소환의 완비화가 평탄하므로 평탄하고(『대수학』의 보조정리 00MB), 두 번째 화살표는 매끄러운 사상이 평탄하므로 평탄하다. 평탄성은 합성으로 보존되므로 그 합성도 평탄하다.

주

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. 보조정리 0DQW와 『형식적 변형 이론』의 정리 06L8에 의해, \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)가 범주 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 위의 함자들로 이루어진 매끄러운 프로표현가능 준군에 의한 표시를 가짐을 안다. 정의를 풀어 쓰면 다음을 택할 수 있다는 뜻이다.

1. 잉여체가 \(k\)인 뇌터 완비 국소 \(\Lambda\)-대수 \(A\)와 \(A\) 위의 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)의 버설 형식적 대상 \(\xi\),

2. 잉여체가 \(k\)인 뇌터 완비 국소 \(\Lambda\)-대수 \(B\)와 동형사상 \[\underline{B}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \longrightarrow \underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda} \times_{\underline{\xi}, \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}, \underline{\xi}} \underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda}\]

사영들은 형식적으로 매끄러운 사상 \(t : A \to B\)와 \(s : A \to B\)에 대응한다(\(\xi\)가 버설이기 때문이다). 사상 \(c : B \to B \widehat{\otimes}_{s, A, t} B\)가 존재하여 \((A, B, s, t, c)\)를 잉여체가 \(k\)인 뇌터 완비 국소 \(\Lambda\)-대수들의 범주에서 쌍대준군으로 만든다 (프로표현가능 함자들에 대해서는 이 사상을 『형식적 변형 이론』의 보조정리 06KY에서 구성한다). 마지막으로, 인용한 정리에 따르면 \(\xi\)는 \(\mathcal{C}_\Lambda\) 위에서 쌍대섬유화된 준군들의 동치 \[[\underline{A}|_{\mathcal{C}_\Lambda} / \underline{B}|_{\mathcal{C}_\Lambda}] \longrightarrow \mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\] 를 유도한다. 사실 완비화된 범주 \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\) 위에서 쌍대섬유화된 준군들의 동치 \[[\underline{A}/\underline{B}] \longrightarrow \widehat{\mathcal{F}}_{\mathcal{X}, k, x_0}\] 도 얻는다(이것이 작동하는 이유는 『형식적 변형 이론』의 절 06KC에 있는 논의를 보라). 물론 \(A\)는 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이다.

대수적 스택의 성분의 중복도

\(X\)가 국소 뇌터 스킴이면, \(X\)를(단순히 위상공간으로 생각하여) 기약 성분들의 합집합 \(X = \bigcup T_i\)로 쓸 수 있다. 각 기약 성분은 유일한 일반점 \(\xi_i\)의 폐포이고, 국소환 \(\mathcal O_{X,\xi_i}\)는 국소 아르틴 환이다. \(T_i\)를 따른 \(X\)의 중복도 또는 \(X\)에서 \(T_i\)의 중복도를 \[m_{T_i, X} = \text{length}_{\mathcal O_{X, \xi_i}} \mathcal O_{X, \xi_i}\] 로 정의할 수 있다. 다시 말해 이는 국소 아르틴 환의 길이이다. 『Chow 호몰로지』의 절 02QS과 비교하라.

여기서 우리의 목표는 이 정의를 국소 뇌터 대수적 스택으로 일반화하는 것이다. \(\mathcal{X}\)가 스택이면 그 위상공간 \(|\mathcal{X}|\)는 (『스택의 성질』의 정의 04Y8를 보라) 국소 뇌터이다(『스택의 사상』의 보조정리 0DQI). \(|\mathcal{X}|\)의 기약 성분을 때로 \(\mathcal{X}\)의 기약 성분이라고 부른다. \(\mathcal{X}\)가 준분리이면 \(|\mathcal{X}|\)는 소버 공간이지만 (『스택의 사상』의 보조정리 0DQQ), 준분리가 아닌 경우에는 그렇지 않을 수 있다. 예를 들어 준분리가 아닌 대수공간 \(X = \mathbf{A}^1_\mathbf{C}/\mathbf{Z}\)을 생각하라. 더욱이 \(|\mathcal{X}|\) 위에는 그 줄기를 사용하여 중복도를 정의할 수 있는 구조층이 없다.

보조정리

\(f : U \to \mathcal{X}\)를 스킴에서 국소 뇌터 대수적 스택으로 가는 매끄러운 사상이라 하자. \(|U|\)의 임의의 기약 성분의 상의 폐포는 \(|\mathcal{X}|\)의 기약 성분이다. \(U \to \mathcal{X}\)가 전사이면, \(|\mathcal{X}|\)의 모든 기약 성분을 이 방식으로 얻는다.

증명

『스택의 성질』의 보조정리 04XL에 의해 사상 \(|U| \to |\mathcal{X}|\)는 연속이고 열린 사상이다. \(T \subset |U|\)를 기약 성분이라 하자. \(U\)는 국소 뇌터이므로 \(T\)에 포함되는 공집합이 아닌 아핀 열린집합 \(W \subset U\)를 찾을 수 있다. 그러면 \(f(T) \subset |\mathcal{X}|\)는 기약이고 공집합이 아닌 열린부분집합 \(f(W)\)를 포함한다. 따라서 \(f(T)\)의 폐포는 기약이고 공집합이 아닌 열린집합을 포함한다. 그러므로 이 폐포는 기약 성분이다.

\(U \to \mathcal{X}\)가 전사라고 가정하고, \(Z \subset |\mathcal{X}|\)를 기약 성분이라 하자. \(Z\)와 만나는 \(|\mathcal{X}|\)의 뇌터 열린부분집합 \(V\)를 택한다. \(V\)에서 다른 기약 성분들을 제거한 뒤 \(V \subset Z\)라 가정해도 좋다. 공집합이 아닌 열린집합 \(f^{-1}(V) \subset |U|\)의 기약 성분 하나를 택하고, \(T \subset |U|\)를 그 폐포라 하자. 이는 \(|U|\)의 기약 성분이며, \(T\)의 선택에 의해 \(f(T)\)의 폐포는 \(Z\)와 같아야 한다.

앞의 보조정리는 특히 국소 뇌터 스킴 사이의 매끄러운 사상에도 적용된다. 다음 보조정리의 명제에서는 이 특수한 경우를 암묵적으로 사용한다.

보조정리

\(U \to X\)를 국소 뇌터 스킴들의 매끄러운 사상이라 하자. \(T'\)가 \(U\)의 기약 성분이라 하자. \(T'\)의 상의 폐포로 얻어지는 \(X\)의 기약 성분을 \(T\)라 하자. 그러면 \(m_{T', U} = m_{T, X}\)이다.

증명

\(T'\)의 일반점을 \(\xi'\), \(T\)의 일반점을 \(\xi\)라 쓰자. \(A = \mathcal{O}_{X, \xi}\) 및 \(B = \mathcal{O}_{U, \xi'}\)로 둔다. \(\text{length}_A A = \text{length}_B B\)임을 보여야 한다. \(A \to B\)는 환의 평탄 국소 준동형사상이므로 (매끄러운 사상은 평탄하기 때문이다), 『대수학』의 보조정리 02M1에 의해 \[\text{length}_A(A) \text{length}_B(B/\mathfrak m_A B) = \text{length}_B(B)\] 이다. 따라서 \(\mathfrak m_A B = \mathfrak m_B\), 또는 동치로 \(B/\mathfrak m_A B\)가 축소됨을 보이면 충분하다. \(U \to X\)가 매끄러우므로 그 밑변환 \(U_{\xi} \to \Spec \kappa(\xi)\)도 매끄럽다. \(U_{\xi}\)는 체 위의 매끄러운 스킴이므로 축소되고, 따라서 임의의 점에서 그 국소환도 축소된다 (『다양체』의 보조정리 056T). 특히 \[B/\mathfrak m_A B = \mathcal{O}_{U, \xi'}/\mathfrak m_{X, \xi}\mathcal{O}_{U, \xi'} = \mathcal{O}_{U_\xi, \xi'}\] 는 축소된다. 이것이 요구한 바이다.

이 결과를 사용하면 매끄러운 국소 관점으로 살펴봄으로써 중복도의 좋은 개념이 존재함을 보일 수 있다.

보조정리

\(U_1 \to \mathcal{X}\)와 \(U_2 \to \mathcal{X}\)를 스킴들에서 국소 뇌터 대수적 스택 \(\mathcal{X}\)로 가는 두 매끄러운 사상이라 하자. \(T_1'\)과 \(T_2'\)를 각각 \(|U_1|\)과 \(|U_2|\)의 기약 성분이라 하자. \(T_1'\)과 \(T_2'\)의 상들의 폐포가 \(|\mathcal{X}|\)의 같은 기약 성분 \(T\)라고 가정하자. 그러면 \(m_{T_1', U_1} = m_{T_2', U_2}\)이다.

증명

\(V_1\)과 \(V_2\)를 각각 \(T_1'\)과 \(T'_2\)의 조밀한 부분집합으로서, 각각 \(U_1\)과 \(U_2\)에서 열린 것으로 택한다 (보조정리 0DR5의 증명을 보라). \(|V_1|\)과 \(|V_2|\)의 \(|\mathcal{X}|\) 안에서의 상은 기약 부분집합 \(T\)의 공집합이 아닌 열린부분집합들이므로, 그 교집합은 공집합이 아니다. 『스택의 성질』의 보조정리 04XH에 의해 사상 \(|V_1 \times_\mathcal{X} V_2| \to |V_1| \times_{|\mathcal{X}|} |V_2|\)는 전사이다. 따라서 \(V_1 \times_\mathcal{X} V_2\)는 공집합이 아닌 대수공간이다. 그러므로 원천이 (공집합이 아닌) 스킴인 에탈 전사 \(V \to V_1 \times_\mathcal{X} V_2\)를 택할 수 있다. \(T'\)를 \(V\)의 임의의 기약 성분이라 하면, 보조정리 0DR5에 의해 \(T'\)의 \(U_1\)(각각 \(U_2\)) 안에서의 상의 폐포는 \(T'_1\)(각각 \(T'_2\))과 같다.

보조정리 0DR6를 두 번 적용하면 요구한 대로 \[m_{T_1', U_1} = m_{T', V} = m_{T_2', U_2},\] 를 얻는다.

정의

\(\mathcal{X}\)를 국소 뇌터 대수적 스택이라 하자. \(T \subset |\mathcal{X}|\)를 기약 성분이라 하자. \(\mathcal{X}\)에서 \(T\)의 중복도를 \(m_{T, \mathcal{X}} = m_{T', U}\)로 정의한다. 여기서 \(f : U \to \mathcal{X}\)는 스킴에서 오는 매끄러운 사상이고, \(T' \subset |U|\)는 \(f(T') \subset T\)인 기약 성분이다.

보조정리 0DR5와 0DR7에 의해, 이는 \(f : U \to \mathcal{X}\)의 선택과 \(T\)로 사상되는 기약 성분 \(T'\)의 선택에 무관하다.

마지막으로, \(\mathcal{X}\)의 기약 성분을 닫힌 부분스택으로 생각하는 것이 때때로 편리함을 언급한다. 이를 위해 \(T \subset |\mathcal{X}|\)가 기약 성분이면 \(|\mathcal{T}| = T\)인 유일한 축소 닫힌 부분스택 \(\mathcal{T} \subset \mathcal{X}\)를 생각할 수 있다. 『스택의 성질』의 정의 050C를 보라. \(\mathcal{X}\)가 준분리이면 기약 성분은 정수적 스택이다. 더 자세한 논의는 『스택의 사상』의 절 0GWA을 보라.

형식적 가지와 중복도

정의 0DR8에서 주어진 기약 성분의 중복도 개념과, 유한형 점에서 \(\mathcal{X}\)의 버설 환(의 스펙트럼)의 기약 성분들의 중복도라는 관련 개념을 비교해 두면 편리할 것이다.

상황 0DQU에서 \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. \(A\), \(A'\)를 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이라 하자. 필요하면 \(A\)와 \(A'\)를 맞바꾼 뒤, 버설 형식적 대상들과 양립하는 형식적으로 매끄러운¹ 사상 \(\varphi : A \to A'\)가 존재함을 안다. 보조정리 0DQX과 주석 0DR1를 보라. 더욱이 \(\varphi\)는 형식적 호모토피를 제외하고 잘 정의된다. 『형식적 변형 이론』의 보조정리 0DQD를 보라. 특히 『형식적 변형 이론』의 보조정리 0DQE에 의해 \(\varphi(\mathfrak p)A'\)는 \(A'\)의 잘 정의된 아이디얼이다. \(A \to A'\)는 형식적으로 매끄러우므로, 실제로 \(\varphi(\mathfrak p)A'\)는 \(A'\)의 극소 소 아이디얼이고, \(A'\)의 모든 극소 소 아이디얼은 유일한 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak p \subset A\)에 대해 이 형태이다 (이 모든 것은 \(A'\)를 \(A\) 위의 멱급수환으로 써서 쉽게 증명할 수 있다). 따라서 극소 소 아이디얼이 기약 성분에 대응한다는 사실을 상기하면 다음 정의는 의미가 있다.

정의

\(\mathcal{X}\)를 국소 뇌터 스킴 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 대수적 스택이라 하자. \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. \(x_0\)를 지나는 \(\mathcal{X}\)의 형식적 가지란 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환을 임의로 택했을 때 \(\Spec(A)\)의 기약 성분들의 집합을 말하며, \(A\)의 선택이 다를 때에는 위에서 설명한 절차로 이 집합들을 동일시한다.

정의 0DRA의 상황에서 유한 확대 \(l/k\)가 주어졌다고 하자. \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\)를 \(\Spec(l) \to \Spec(k)\)와 \(x_0\)의 합성으로 두자. \(A \to A'\)를 보조정리 0DQY에서와 같이 택하자. \(A \to A'\)가 충실하게 평탄하므로 사상 \[\Spec(A') \to \Spec(A)\] 은 기약 성분의 (일반점)을 기약 성분의 (일반점)으로 보낸다. 이는 전사 사상이지만 일반적으로 전단사는 아니다. 다시 말해 전사 사상 \[\text{형식적 가지: }\mathcal{X}\text{의 점 }x_{l, 0} \longrightarrow \text{형식적 가지: }\mathcal{X}\text{의 점 }x_0\] 를 얻는다. \(l/k\)가 순수 비분리이면 이 사상은 단사이기도 하다 (이를 필요로 하게 되면 여기에 정확한 명제와 증명을 덧붙일 것이다).

보조정리

정의 0DRA의 상황에서, \(x_0\)를 지나는 \(\mathcal{X}\)의 형식적 가지들의 집합에서 \(|\mathcal{X}|\) 안에서 \(x_0\)를 포함하는 \(|\mathcal{X}|\)의 기약 성분들의 집합으로 가는 표준 전사가 존재한다.

증명

\(A\)를 정의 0DRA에서와 같이 택하고, \(\Spec(A) \to \mathcal{X}\)를 주석 0DR1에서와 같이 택하자. \(\Spec(A)\)의 기약 성분의 일반점은 \(|\mathcal{X}|\)의 기약 성분의 일반점으로 사상됨을 주장한다. 스킴 \(U\)와 전사 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)를 택하자. 도식 \[\xymatrix{ \Spec(A) \times_\mathcal{X} U \ar[d]_p \ar[r]_-q & U \ar[d]^f \\ \Spec(A) \ar[r]^j & \mathcal{X} }\] 을 생각하자. 보조정리 0DR2에 의해 \(j\)는 평탄하고, 따라서 \(q\)도 평탄하다. 한편 \(f\)는 전사 매끄러운 사상이므로 \(p\)도 전사 매끄러운 사상이다. 이는 기약 성분의 임의의 일반점 \(\eta \in \Spec(A)\)가 대수공간 \(\Spec(A) \times_\mathcal{X} U\)의 여차원 \(0\)인 점 \(\eta'\)의 상임을 함의한다(표기법과 에탈 국소환에 대한 내려가기를 사용하려면 『대수공간의 성질』의 절 0BAP을 보라). \(q\)가 평탄하므로 \(q(\eta')\)는 \(U\)의 여차원 \(0\)인 점이다(같은 논증). \(U\)는 스킴이므로 \(q(\eta')\)는 \(U\)의 한 기약 성분의 일반점이다. 따라서 주장한 대로, 보조정리 0DR5에 의해 \(|\mathcal{X}|\) 안에서 \(q(\eta')\)의 상의 폐포는 기약 성분이다.

이 주장은 원하는 사상을 정의하는 방법을 명백히 제공한다. 그것이 전사임을 보이기 위해 \(|\mathcal{X}|\)에서 \(x_0\)로 사상되는 \(u_0 \in U\)를 택하자. \(u_0\)의 아핀 열린 근방 \(U' \subset U\)를 택한다. \(U'\)를 축소한 뒤 \(U'\)의 모든 기약 성분이 \(u_0\)를 지난다고 가정해도 좋다. 그런 다음 \(\mathcal{X}\)를 \(|U'| \to |\mathcal{X}|\)의 상에 대응하는 열린 부분스택으로 대체할 수 있다. 따라서 \(U\)가 아핀이고, \(x_0 \in |\mathcal{X}|\)로 사상되는 점 \(u_0\)를 가지며, \(U\)의 모든 기약 성분이 \(u_0\)를 지난다고 가정해도 좋다. 『스택의 성질』의 보조정리 04XH에 의해 \(\Spec(A)\)의 닫힌점과 \(u_0\)로 사상되는 점 \(t \in |\Spec(A) \times_\mathcal{X} U|\)가 존재한다. 평탄 국소환 준동형사상들 \[A \longrightarrow \mathcal{O}_{\Spec(A) \times_\mathcal{X} U, \overline{t}} \longleftarrow \mathcal{O}_{U, u_0}\] 에 내려가기를 사용하면, \(\mathcal{O}_{U, u_0}\)의 모든 극소 소 아이디얼은 가운데 국소환의 어떤 극소 소 아이디얼의 상이고, 그러한 극소 소 아이디얼은 \(A\)의 극소 소 아이디얼로 사상됨을 알 수 있다. 이는 전사성을 증명한다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

\(A\)를 뇌터 완비 국소환이라 하자. 그러면 \(\Spec(A)\)의 기약 성분들은 중복도를 가진다. 절 0DR4의 서론을 보라. \(A' = A[[t_1, \ldots, t_r]]\)이면 사상 \(\Spec(A') \to \Spec(A)\)는 기약 성분들 사이에서 중복도를 보존하는 전단사를 유도한다(쉬운 증명은 생략한다). 이 사실과 정의 0DRA 앞의 논의에 의해 다음 정의는 의미가 있다.

정의

\(\mathcal{X}\)를 국소 뇌터 스킴 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 대수적 스택이라 하자. \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. \(x_0\)를 지나는 \(\mathcal{X}\)의 형식적 가지의 중복도란 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환을 임의로 택했을 때 \(\Spec(A)\)의 대응하는 기약 성분의 중복도를 말한다(위 논의를 보라).

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 국소 뇌터 스킴 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 대수적 스택이라 하자. \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이고 그 상은 \(s \in S\)이다. \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 G-환이면, 보조정리 0DRB의 사상은 중복도를 보존한다.

증명

보조정리 0DR0에 의해, \(U\)가 스킴인 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)와 \(U\)의 \(k\)-값 점 \(u_0\)가 존재하고 \(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)가 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이라고 가정해도 좋다. 보조정리 0DRB의 증명에서 우리의 사상을 구성한 방식에 의해 (\(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)이므로 크게 단순화된다), 다음을 보이면 충분하다. \(u_0\)를 지나는 \(U\)의 기약 성분의 중복도는 그 성분으로 사상되는 \(\Spec(\mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge)\)의 임의의 기약 성분의 중복도와 같다.

가환대수로 옮기면 다음과 같다. \(C = \mathcal{O}_{U, u_0}\)로 두자. 이는 \(\mathcal{O}_{S, s}\) 위에서 본질적으로 유한형이므로 G-환이다 (『대수학 더 보기』의 명제 07PV). 또 \(A = C^\wedge\)이다. 따라서 \(C \to A\)는 정칙 환 사상이다. \(\mathfrak q \subset C\)를 극소 소 아이디얼이라 하고, \(\mathfrak p \subset A\)를 \(\mathfrak q\) 위에 놓이는 극소 소 아이디얼이라 하자. 그러면 \[R = C_\mathfrak p \longrightarrow A_\mathfrak p = R'\] 은 아르틴 국소환들의 정칙 환 사상이다. 그러한 환 사상에 대해서는 항상 \[\text{length}_R R = \text{length}_{R'} R'\] 이다. 좌변은 \(U\) 위에서 우리 성분의 중복도이고 우변은 \(\Spec(A)\) 위에서 우리 성분의 중복도이므로, 이것이 보여야 할 바이다. 등식을 보이기 위해 먼저 『대수학』의 보조정리 02M1에 의해 \[\text{length}_R(R) \text{length}_{R'}(R'/\mathfrak m_R R') = \text{length}_{R'}(R')\] 임을 사용한다. 따라서 \(\mathfrak m_R R' = \mathfrak m_{R'}\)임을 보이면 충분한데, 이는 0차원 국소환들의 정칙 준동형사상이라는 사실의 귀결이다.

대수적 스택의 차원론

우리가 아는 한, 문헌에서 대수적 스택의 차원론에 관한 주요 결과는 여차원과 상대 차원의 개념을 연구한 [Osserman]의 결과이다. 우리는 한 점에서 대수적 스택의 차원이라는 개념을 더 자세히 살펴보고, 사상의 원천에 있는 한 점에서 섬유의 차원을 그 원천과 표적의 차원에 연결하는 여러 결과를 증명한다. 또한 (적절한 가정 아래에서) 한 점에서 대수적 스택의 차원을 버설 환으로 계산할 수 있게 하는 결과인 아래의 보조정리 0DSB도 증명한다.

항상 결과를 최적으로 만들려고 하지는 않았지만, 불필요한 가정은 대체로 피하려고 했다. 그러나 한 점에서 대수적 스택의 어떤 성질과 그 점에서 이 스택의 버설 환의 성질을 비교하는 일부 결과에서는, 모든 국소환이 \(G\)-환인 국소 뇌터 스킴을 기저로 하여 그 위에서 국소적으로 유한 표시인 대수적 스택으로 범위를 제한했다. 이렇게 하면 Artin 근사를 이용하여 버설 환의 기하학과 스택 자체의 기하학을 편리하게 비교할 수 있다. 다만 우리가 증명하는 여러 명제가 모두 참이기 위해 이 제한적인 가정이 필요하지는 않을 수도 있다. 그렇지만 염두에 둔 응용에서는 이 가정이 만족되므로, 도움이 될 때에는 기꺼이 이를 가정했다.

\(X\)가 스킴이면 \(X\)의 차원 \(\dim(X)\)을 \(X\)의 바탕 위상공간의 크룰 차원으로 정의한다. 한편 \(x\)가 \(X\)의 점이면 \(x\)에서 \(X\)의 차원 \(\dim_x (X)\)을 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 열린부분집합 \(U\)들의 차원의 최솟값으로 정의한다. 『스킴의 성질』의 정의 04MT을 보라. 『스킴의 성질』의 보조정리 04MU에 의해 \(\dim(X) = \sup_{x \in X} \dim_x(X)\)라는 관계가 성립한다. \(X\)가 국소 뇌터이면 \(\dim_x(X)\)는 \(x\)를 지나는 \(X\)의 기약 성분들의 \(x\)에서의 차원의 상한과 일치한다.

\(X\)가 대수공간이고 \(x \in |X|\)이면 \(\dim_x X = \dim_u U\)로 정의한다. 여기서 \(U\)는 에탈 전사 \(U \to X\)를 갖는 임의의 스킴이고, \(u\in U\)는 \(x\) 위에 놓이는 임의의 점이다. 『대수공간의 성질』의 정의 04N5를 보라. 또 \(\dim(X) = \sup_{x \in |X|} \dim_x(X)\)로 둔다. 『대수공간의 성질』의 정의 04N6을 보라.

주

일반적으로 한 점 \(x\)에서 대수공간 \(X\)의 차원은 \(x\)에서 바탕 위상공간 \(|X|\)의 차원과 일치하지 않을 수 있다. 예를 들어 \(k\)가 표수 0인 체이고 \(X = \mathbf{A}^1_k / \mathbf{Z}\)이면, \(X\)는 각 점에서 차원이 \(1\)(\(\mathbf{A}^1_k\)의 차원)이지만 \(|X|\)는 비이산 위상을 가지므로 크룰 차원이 0이다. 한편 『대수공간』의 예 02Z8에는 각 점에서 차원이 \(0\)이지만 \(|X|\)가 크룰 차원 \(1\)인 기약공간이고 일반점을 갖는 대수공간의 예가 있다 (따라서 \(|X|\)은 모든 점에서 차원이 \(1\)이다). 이 예에 관한 논의는 『대수공간의 성질』의 절 04N3도 보라.

한편 \(X\)가 『적절한 대수공간』의 정의 03I8의 의미에서 적절한 대수공간이면(특히 \(X\)가 준분리이면 그렇다. 『적절한 대수공간』의 절 03I7을 보라), 실제로 \(x\)에서 \(X\)의 차원은 \(x\)에서 \(|X|\)의 차원과 일치한다. 『적절한 대수공간』의 보조정리 0A4J를 보라.

대수적 스택의 차원을 정의하기 위해서는 먼저 원천이 대수공간이고 표적이 대수적 스택인 사상의 원천의 한 점에서 상대 차원이라는 개념을 도입하는 것이 유용하다. 정의가 조금 복잡한 까닭은 (스킴의 경우와 달리) 대수적 스택이나 대수공간의 점을 체의 스펙트럼에서 오는 사상으로 나타낼 수 없고 오직 그러한 사상들의 동치류로만 나타낼 수 있기 때문이다.

정의

\(f : T \to \mathcal{X}\)가 대수공간에서 대수적 스택으로 가는 국소적으로 유한형인 사상이고, \(t \in |T|\)가 상이 \(x \in | \mathcal{X}|\)인 점이면, \(t\)에서 \(f\)의 상대 차원을 \(\dim_t(T_x)\)로 표기하고 다음과 같이 정의한다. \(x\)를 나타내는, 체의 스펙트럼을 원천으로 하는 사상 \(\Spec k \to \mathcal{X}\)를 택하고, \(|T|\)로의 사영 아래에서 \(t\)로 사상되는 점 \(t' \in |T \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\)를 택한다 (그러한 점 \(t'\)는 『스택의 성질』의 보조정리 04XH에 의해 존재한다). 그러면 \[\dim_t(T_x) = \dim_{t'}(T \times_{\mathcal{X}} \Spec k ).\]

\(T\)는 대수공간이고 \(\mathcal{X}\)는 대수적 스택이므로 섬유곱 \(T \times_{\mathcal{X}} \Spec k\)는 대수공간이고, 따라서 이 정의에서 제안한 우변의 양은 실제로 정의되어 있음에 유의하자(위 논의를 보라).

주

(1) 예를 들어 스킴들의 국소적으로 유한형인 사상의 상대 차원이 밑변환 아래에서 불변임을 사용하면(『스킴의 사상』의 보조정리 02FY를 보라), \(\dim_t(T_x)\)가 그 계산에 사용한 선택과 무관하게 잘 정의됨을 쉽게 확인한다.

(2) \(\mathcal{X}\)도 대수공간인 경우, 이 정의가 『대수공간의 사상』의 정의 04NM에서 주어진 상대 차원의 정의와 일치함을 곧바로 확인할 수 있다.

이제 국소 뇌터 대수적 스택의 차원 연구의 토대가 되는 다음 보조정리를 상기한다.

보조정리

\(f: U \to X\)가 국소 뇌터 대수공간들의 매끄러운 사상이고, \(u \in |U|\)의 상이 \(x \in |X|\)이면 \[\dim_u (U) = \dim_x(X) + \dim_{u} (U_x)\] 이다. 여기서 \(\dim_u (U_x)\)는 정의 0DRG에 의해 정의한다.

증명

『대수공간의 사상』의 보조정리 0AFI를 보라. 주석 0DRH (2)에 의해 여기서 사용한 \(\dim_u (U_x)\)의 정의가 그곳에서 사용한 정의와 일치함에 유의하자.

보조정리

\(\mathcal{X}\)가 국소 뇌터 대수적 스택이고 \(x \in |\mathcal{X}|\)라 하자. \(U \to \mathcal{X}\)를 대수공간에서 \(\mathcal{X}\)로 가는 매끄러운 사상이라 하고, \(u\)를 \(x\)로 사상되는 \(|U|\)의 임의의 점이라 하자. 그러면 \[\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_{u}(U_x)\] 이다. 여기서 상대 차원 \(\dim_u(U_x)\)는 정의 0DRG에 의해 정의하고, \(x\)에서 \(\mathcal{X}\)의 차원은 『스택의 성질』의 정의 0AFN에서와 같다.

증명

보조정리 0DRI를 사용하면 우변 \(\dim_u(U) + \dim_u(U_x)\)가 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)와 \(u \in |U|\)의 선택에 무관함을 확인할 수 있다. 세부사항은 생략한다. 특히 \(U\)가 스킴이라고 가정해도 좋다. 이 경우 \(x\)의 대표를 합성 \(\Spec \kappa(u) \to U \to \mathcal{X}\)로 택하여 \(\dim_u(U_x)\)를 계산할 수 있다. 여기서 첫 번째 사상은 \(u \in U\)를 상으로 하는 표준 사상이다. \(R = U \times_{\mathcal{X}} U\)로 쓰고 \(e : U \to R\)을 대각사상이라 하자. 상대 차원이 밑변환 아래에서 불변이므로 \(\dim_u(U_x) = \dim_{e(u)}(R_u)\)이다. 따라서 우변은 원하는 대로 \(\dim_u (U) - \dim_{e(u)}(R_u) = \dim_x(\mathcal{X})\)와 같다.

주

충분히 적절한(예를 들어 준분리인) Deligne–Mumford 스택에 대해서는 다시 \(\dim_x(\mathcal{X})\)가 위상적으로 정의한 양 \(\dim_x |\mathcal{X}|\)와 일치한다. 그러나 더 일반적인 Artin 스택에서는 보통 그렇지 않다. 예를 들어 \(\mathcal{X} = [\mathbf{A}^1/\mathbf{G}_m]\)라 하자 (어떤 체 위에서 \(\mathbf{A}^1\)에 대한 \(\mathbf{G}_m\)의 통상적인 곱셈 작용으로 몫을 취한다). 그러면 \(|\mathcal{X}|\)에는 두 점이 있고 하나는 다른 하나의 특수화이므로(\(\mathbf{A}^1\) 위의 \(\mathbf{G}_m\)의 두 궤도에 대응한다), 위상공간으로서 차원이 \(1\)이다. 하지만 두 점 \(x \in |\mathcal{X}|\) 모두에 대해 \(\dim_x (\mathcal{X}) = 0\)이다. (더 극단적인 예는 분류 공간 \([\Spec k/\mathbf{G}_m]\)이며, 그 유일한 점에서의 차원은 \(-1\)이다.)

이제 정의 0DRG을 (국소 뇌터) 대수적 스택들 사이의 (국소적으로 유한형인) 사상으로 확장할 수 있다.

정의

\(f : \mathcal{T} \to \mathcal{X}\)가 국소 뇌터 대수적 스택들 사이의 국소적으로 유한형인 사상이고, \(t \in |\mathcal{T}|\)가 상이 \(x \in |\mathcal{X}|\)인 점이면, \(t\)에서 \(f\)의 상대 차원을 \(\dim_t(\mathcal{T}_x)\)로 표기하고 다음과 같이 정의한다. \(x\)를 나타내는, 체의 스펙트럼을 원천으로 하는 사상 \(\Spec k \to \mathcal{X}\)를 택하고, \(|\mathcal{T}|\)로의 사영 아래에서 \(t\)로 사상되는 점 \(t' \in |\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\)를 택한다 (그러한 점 \(t'\)는 『스택의 성질』의 보조정리 04XH에 의해 존재한다. 그러면 \[\dim_t(\mathcal{T}_x) = \dim_{t'}(\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} \Spec k ).\]

\(\mathcal{T}\)와 \(\mathcal{X}\)가 대수적 스택이므로 섬유곱 \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} \Spec k\)는 대수적 스택이고, 『스택의 사상』의 보조정리 06R6에 의해 국소 뇌터이다. 따라서 이 정의에서 제안한 우변의 양은 『스택의 성질』의 정의 0AFN에 의해 정의된다.

주

표준적인 조작으로 \(\dim_t(\mathcal{T}_x)\)가 그 계산에 사용한 선택과 무관하게 잘 정의됨을 알 수 있다.

이제 상대 차원의 몇 가지 기본 성질을 확립한다. 이는 스킴의 사상의 경우에 대응하는 명제들을 명백히 일반화한 것이다.

보조정리

국소 뇌터 스택들의 사상의 카르테시안 정사각형 \[\xymatrix{ \mathcal{T}' \ar[d]\ar[r] & \mathcal{T} \ar[d] \\ \mathcal{X}' \ar[r] & \mathcal{X} }\] 이 주어졌고, 수직 사상들이 국소적으로 유한형이라고 하자. \(t' \in |\mathcal{T}'|\)의 \(|\mathcal{T}|\), \(|\mathcal{X}'|\), \(|\mathcal{X}|\)에서의 상을 각각 \(t\), \(x'\), \(x\)라 하면, \(\dim_{t'}(\mathcal{T}'_{x'}) = \dim_{t}(\mathcal{T}_x)\)이다.

증명

정의에 의해 양변을 같은 섬유곱의 차원으로 계산할 수 있다.

보조정리

\(f: \mathcal{U} \to \mathcal{X}\)가 국소 뇌터 대수적 스택들의 매끄러운 사상이고, \(u \in |\mathcal{U}|\)의 상이 \(x \in |\mathcal{X}|\)이면 \[\dim_u (\mathcal{U}) = \dim_x(\mathcal{X}) + \dim_{u} (\mathcal{U}_x).\]

증명

원천이 스킴인 매끄러운 전사 \(V \to \mathcal{U}\)를 택하고, \(v\in |V|\)를 \(u\)로 사상되는 점이라 하자. 합성 \(V \to \mathcal{U} \to \mathcal{X}\)도 매끄러우므로, 보조정리 0DRI에 의해 \(\dim_x(\mathcal{X}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_x)\)이고, \(\dim_u(\mathcal{U}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_u)\)이다. 따라서 \[\dim_u(\mathcal{U}) - \dim_x(\mathcal{X}) = \dim_v (V_x) - \dim_v (V_u).\]

\(x\)의 대표 \(\Spec k \to \mathcal{X}\)를 택하고, \(v\) 위에 놓이는 점 \(v' \in | V \times_{\mathcal{X}} \Spec k|\)를 택하자. \(|\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k|\)에서 그 상을 \(u'\)라 하자. 그러면 정의에 의해 \(\dim_u(\mathcal{U}_x) = \dim_{u'}(\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k)\)이고, \(\dim_v(V_x) = \dim_{v'}(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k)\)이다.

이제 \(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k \to \mathcal{U}\times_{\mathcal{X}}\Spec k\)는 그러한 사상의 밑변환이므로 매끄러운 전사이고, 그 원천은 대수공간이다 (\(V\)와 \(\Spec k\)가 스킴이고 \(\mathcal{X}\)가 대수적 스택이기 때문이다). 따라서 다시 정의에 의해 \[\begin{align*} \dim_{u'}(\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k) & = \dim_{v'}(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k) - \dim_{v'}(V \times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}) \\ & = \dim_v(V_x) - \dim_{v'}( (V\times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}). \end{align*}\] 이제 \(V\times_{\mathcal{X}} \Spec k \cong V\times_{\mathcal{U}} (\mathcal{U}\times_{\mathcal{X}} \Spec k)\)이므로, 보조정리 0DRN에 의해 \(\dim_{v'}((V\times_{\mathcal{X}} \Spec k)_{u'}) = \dim_v(V_u)\)이다. 모든 것을 합치면 요구한 대로 \[\dim_u(\mathcal{U}) - \dim_x(\mathcal{X}) = \dim_u(\mathcal{U}_x),\] 를 얻는다.

보조정리

\(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\)를 대수적 스택들의 국소적으로 유한형인 사상이라 하자.

1. 함수 \(t \mapsto \dim_t(\mathcal{T}_{f(t)})\)는 \(|\mathcal{T}|\) 위에서 상반연속이다.

2. \(f\)가 매끄러우면 함수 \(t \mapsto \dim_t(\mathcal{T}_{f(t)})\)는 \(|\mathcal{T}|\) 위에서 국소 상수이다.

증명

먼저 \(\mathcal{T}\)가 스킴 \(T\)라고 하자. 원천이 스킴인 매끄러운 전사 \(U \to \mathcal{X}\)를 택하고, \(T' = T \times_{\mathcal{X}} U\)로 두자. \(f': T' \to U\)를 \(U\) 위로 당겨온 \(f\)라 하고, \(g: T' \to T\)를 사영이라 하자.

보조정리 0DRN에 의해 \(t' \in T'\)에 대해 \(\dim_{t'}(T'_{f'(t')}) = \dim_{g(t')}(T_{f(g(t'))})\)이다. 한편 \(g\)는 매끄러운 전사의 밑변환이므로 매끄럽고 전사이며, \(g\)가 바탕 위상공간들 위에 유도하는 사상은 『대수공간의 성질』의 보조정리 03BX에 의해 연속이고 열려 있으며 전사이다. 따라서 (1)은 사상 \(f'\)에 대해 『대수공간의 사상』의 보조정리 04NT에서 따르고, (2)는 『스킴의 사상』의 보조정리 02NM 또는 『스킴의 사상』의 보조정리 02G1에서 따른다는 점만 확인하면 충분하다(두 결과 모두 스킴에 대한 결과를 주며, 그 결과에서 대수공간에 대한 유사한 결과는 『대수공간의 사상』의 보조정리 04NT에서와 똑같이 추론할 수 있다.

이제 일반적인 경우로 돌아가 원천이 스킴인 매끄러운 전사 \(h:V \to \mathcal{T}\)를 택하자. \(v \in V\)이면 사실상 정의에 의해 \[\dim_{h(v)}(\mathcal{T}_{f(h(v))}) = \dim_{v}(V_{f(h(v))}) - \dim_{v}(V_{h(v)}).\] \(V\)가 스킴이므로, 이 등식 우변의 첫 번째 항이 상반연속이고 (\(f\)가 매끄러우면 심지어 국소 상수이고), 두 번째 항은 실제로 국소 상수임을 증명했다. 따라서 그 차는 상반연속이고 (\(f\)가 매끄러우면 국소 상수이고), 그러므로 함수 \(\dim_{h(v)}(\mathcal{T}_{f(h(v))})\)는 \(|V|\) 위에서 상반연속이며 (\(f\)가 매끄러우면 국소 상수이다). 사상 \(|V| \to |\mathcal{T}|\)가 열리고 전사이므로 보조정리가 따른다.

논의를 계속하기 전에 스킴의 차원론과 관련된 두 보조정리를 증명한다.

첫 번째 보조정리의 맥락을 설명하자. \(X\)가 유한 차원 스킴이면 \(\dim X\)는 차원 \(\dim_x X\)들의 상한으로 정의되므로 \(\dim_x X = \dim X\)인 점 \(x \in X\)가 존재한다. 다음 보조정리는 더 나아가 \(x\)를 유한형 점으로 택할 수 있음을 보인다.

보조정리

\(X\)가 유한 차원 스킴이면 \(\dim_x X = \dim X\)인 닫힌(따라서 유한형인) 점 \(x \in X\)가 존재한다.

증명

\(d = \dim X\)로 두고, \(X\)의 기약 닫힌부분집합들의 극대 진감소 사슬 [0DRS]\[\begin{equation} Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_d. \end{equation}\] 을 택하자. 부분집합 \(Z_d\)는 \(X\)의 극소 기약 닫힌부분집합이므로, \(Z_d\)의 모든 점은 \(Z_d\)의 일반점이다. 스킴 \(X\)의 바탕 위상공간은 소버 공간이므로, \(Z_d\)는 하나의 닫힌점 \(x \in X\)로 이루어진 한원소 집합이라고 결론 내린다. \(U\)가 \(x\)의 임의의 근방이면 사슬 \[U\cap Z_0 \supset U\cap Z_1 \supset \ldots \supset U\cap Z_d = Z_d = \{x\}\] 은 \(U\)의 기약 닫힌부분집합들의 진감소 사슬이고, 따라서 \(\dim U \geq d\)이다. 그러므로 \(\dim_x X \geq d\)를 얻는다. 반대 부등식은 명백하므로 보조정리가 증명되었다.

다음 보조정리는 몇 가지 온화한 추가 가정을 만족하는 기약 스킴에서 \(\dim_x X\)가 상수 함수임을 보인다.

보조정리

\(X\)가 유한 차원의 기약이고 제이컵슨이며 코테너리인 국소 뇌터 스킴이면, \(X\)의 공집합이 아닌 모든 열린부분집합 \(U\)에 대해 \(\dim U = \dim X\)이다. 동치로 \(\dim_x X\)는 \(X\) 위의 상수 함수이다.

증명

두 주장의 동치는 정의에서 곧바로 따른다. 그러므로 \(U\subset X\)가 공집합이 아닌 열린부분집합이라고 하자. 분명히 \(\dim U \leq \dim X\)이며, \(\dim U \geq \dim X\)를 보여야 한다. \(d = \dim X\)로 쓰고, \(X\)의 기약 닫힌부분집합들의 극대 진감소 사슬 \[X = Z_0 \supset Z_1 \supset \ldots \supset Z_d.\] 를 택하자. \(X\)가 제이컵슨이므로 극소 기약 닫힌부분집합 \(Z_d\)는 어떤 닫힌점 \(x\)에 대해 \(\{x\}\)와 같다.

\(x \in U\)이면 \[U = U \cap Z_0 \supset U\cap Z_1 \supset \ldots \supset U\cap Z_d = \{x\}\] 은 \(U\)의 기약 닫힌부분집합들의 진감소 사슬이다. 따라서 요구한 대로 \(\dim U \geq d\)이다. 그러므로 이제 \(x \not\in U\)라고 가정해도 좋다.

평탄 사상 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \to X\)를 생각하자. \(X\)의 공집합이 아닌(따라서 조밀한) 열린부분집합 \(U\)는 열린부분집합 \(V \subset \Spec \mathcal{O}_{X,x}\)로 당겨진다. \(U\)를 공집합이 아닌 준콤팩트, 따라서 뇌터인 열린부분집합으로 대체하여, 포함사상 \(U \to X\)가 준콤팩트 사상이라고 가정해도 좋다. 준콤팩트 사상의 스킴론적 상의 형성은 평탄 밑변환과 가환하므로 『스킴의 사상』의 보조정리 081I에 의해 \(V\)는 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\)에서 조밀하고, 특히 공집합이 아니며, 물론 \(x \not\in V\)이다. (여기서는 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\)의 닫힌점도 \(x\)로 나타낸다. 그 상이 주어진 점 \(x \in X\)와 같기 때문이다.) 이제 『스킴의 성질』의 보조정리 02IM에 의해 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \setminus \{x\}\)는 제이컵슨이고, 따라서 \(V\)는 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x} \setminus \{x\}\)의 닫힌점 \(z\)를 포함한다. \(X\) 안에서 \(z\)의 상의 폐포는 \(x\)를 포함하고 \(U\)와의 교집합이 공집합이 아닌 \(X\)의 기약 닫힌부분집합 \(Z\)이며, \(Z\)에 진포함되고 \(\{x\}\)를 진포함하는 기약 닫힌부분집합은 없다 (\(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\)로의 당김이 \(x\)를 포함하는 \(X\)의 기약 닫힌부분집합과 \(\Spec \mathcal{O}_{X,x}\)의 기약 닫힌부분집합 사이의 전단사를 유도하기 때문이다). \(U \cap Z\)는 공집합이 아닌 \(U\)의 닫힌부분집합이므로, \(X\)가 제이컵슨이라는 사실에 의해 \(X\)에서 닫힌 점 \(u\)를 포함한다. 또한 \(U\cap Z\)는 기약집합 \(Z\)의 공집합이 아닌(따라서 조밀한) 열린부분집합이고, 이 기약집합은 \(U\)에 속하지 않는 점 \(x\)를 포함하므로 포함관계 \(\{u\} \subset U\cap Z\)는 진포함이다.

\(X\)가 코테너리이므로 사슬 \[X = Z_0 \supset Z \supset \{x\} = Z_d\] 은 길이 \(d+1\)인 사슬로 세분할 수 있고, 이는 다음 형태여야 한다. \[X = Z_0 \supset W_1 \supset \ldots \supset W_{d-1} = Z \supset \{x\} = Z_d.\] \(U\cap Z\)가 공집합이 아니므로 \[U = U \cap Z_0 \supset U \cap W_1\supset \ldots \supset U\cap W_{d-1} = U\cap Z \supset \{u\}\] 는 \(U\)의 기약 닫힌부분집합들의 길이 \(d+1\)인 진감소 사슬이다. 따라서 요구한 대로 \(\dim U \geq d\)이다.

보조정리 0DRT의 스택론적 유사물을 아래의 보조정리 0DRX에서 증명할 것이다. 그러나 그에 앞서 추가 정의를 도입해야 한다. 스킴이 코테너리라는 개념은 에탈 국소적이지 않기 때문에 이것이 필요하다 (『대수학』의 주석 0355의 예를 보라. 이 때문에 대수공간이나 대수적 스택이 코테너리라는 말의 의미를 정의하기가 어렵다([Osserman, page 3]의 논의를 보라). 차원론의 몇몇 측면에서는 다음 정의가 코테너리 대수적 스택이라는 빠진 개념을 잘 대신하는 듯하다.

정의

국소 뇌터 대수적 스택 \(\mathcal{X}\)에 대해, 원천이 보편적으로 코테너리인 스킴인 매끄러운 전사 \(U \to \mathcal{X}\)가 존재하면 이를 유사 코테너리라고 한다.

예

\(\mathcal{X}\)가 보편적으로 코테너리인 국소 뇌터 스킴 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형이고, \(U\to \mathcal{X}\)가 원천이 스킴인 매끄러운 전사라고 하자. 그러면 합성 \(U \to \mathcal{X} \to S\)는 국소적으로 유한형이므로 『스킴의 사상』의 보조정리 02J9에 의해 \(U\)는 보편적으로 코테너리이다. 따라서 \(\mathcal{X}\)는 유사 코테너리이다.

다음 보조정리는 유사 코테너리라는 성질이 유한형 사상을 따라 전달됨을 보인다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)가 유사 코테너리인 국소 뇌터 대수적 스택이고, \(\mathcal{Y} \to \mathcal{X}\)가 국소적으로 유한형인 사상이면, 원천이 보편적으로 코테너리인 스킴인 매끄러운 전사 \(V \to \mathcal{Y}\)가 존재한다. 따라서 \(\mathcal{Y}\)도 유사 코테너리이다.

증명

가정에 의해 원천이 보편적으로 코테너리인 스킴인 매끄러운 전사 \(U \to \mathcal{X}\)를 찾을 수 있다. 밑변환 \(U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y}\)는 대수적 스택이다. \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y}\)를 원천이 스킴인 매끄러운 전사라 하자. 그러면 합성 \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y} \to \mathcal{Y}\)는 매끄러운 전사들의 합성이므로 매끄럽고 전사이다. 한편 사상 \(V \to U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Y} \to U\)는 국소적으로 유한형인 사상들의 합성이므로 국소적으로 유한형이다. \(U\)가 보편적으로 코테너리이므로 『스킴의 사상』의 보조정리 02J9에 의해 주장한 대로 \(V\)도 보편적으로 코테너리이다.

이제 (어떤 국소 뇌터 스택 \(\mathcal{X}\)에 대해) \(|\mathcal{X}|\) 위의 함수 \(\dim_x(\mathcal{X})\)가 \(|\mathcal{X}|\)의 기약 성분들에 대해 어떻게 행동하는지, 그리고 이와 관련된 여러 주제를 연구한다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)가 제이컵슨이고 유사 코테너리인 국소 뇌터 대수적 스택이며 \(|\mathcal{X}|\)가 기약이면, \(\dim_x(\mathcal{X})\)는 \(|\mathcal{X}|\) 위의 상수 함수이다.

증명

\(\dim_x(\mathcal{X})\)가 \(|\mathcal{X}|\) 위에서 국소 상수임을 보이면 충분하다. 그러면 \(|\mathcal{X}|\)가 기약이어서 연결이므로 반드시 상수이기 때문이다. \(\mathcal{X}\)가 유사 코테너리이므로, \(U\)가 보편적으로 코테너리인 스킴인 매끄러운 전사 \(U \to \mathcal{X}\)를 찾을 수 있다. \(\{U_i\}\)가 준콤팩트 열린부분스킴들로 이루어진 \(U\)의 덮개이면 \(U\)를 \(\coprod U_i,\),로 대체할 수 있으며, 함수 \(u \mapsto \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\)가 \(U_i\) 위에서 국소 상수임을 보이면 충분하다. 이를 한 번에 하나의 \(U_i\)에 대해 확인하므로 이제 아래첨자를 생략하고 \(U_i\) 대신 단순히 \(U\)라고 쓴다. \(U\)는 준콤팩트이므로 유한 개의 기약 성분, 이를테면 \(T_1 \cup \ldots \cup T_n\)의 합집합이다. 각 \(T_i\)는 제이컵슨이고 코테너리인 국소 뇌터 스킴 \(U\)의 닫힌부분스킴이므로, 그 자신도 제이컵슨이고 코테너리이며 국소 뇌터이다.

보조정리 0DRI에 의해 \(\dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_{u}(U) - \dim_{u}(U_{f(u)})\)이다. \(f\)가 매끄러우므로 보조정리 0DRQ (2)에 의해 우변의 두 번째 항은 \(U\) 위에서 국소 상수이다. 따라서 \(\dim_u(U)\)가 \(U\) 위에서 국소 상수임을 보여야 한다. \(\dim_u(U)\)는 \(u\)를 포함하는 \(U\)의 성분들 \(T_i\)에 대한 \(\dim_u T_i\)의 최댓값이므로, 점 \(u\)가 서로 다른 두 성분 \(T_i\)와 \(T_j\)(\(i \neq j\))에 놓이면 \(\dim_u T_i = \dim_u T_j\)임을 보이는 것으로 충분하다. 그런 다음 기약이고 제이컵슨이며 코테너리인 국소 뇌터 스킴 \(T\) 위에서 \(t\mapsto \dim_t T\)가 상수 함수라는 점을 사용한다(보조정리 0DRT에서 따른다).

\(V = T_i \setminus (\bigcup_{i' \neq i} T_{i'})\) 및 \(W = T_j \setminus (\bigcup_{i' \neq j} T_{i'})\)로 두자. 그러면 \(V\)와 \(W\)는 각각 \(U\)의 공집합이 아닌 열린부분집합이고, 따라서 \(|\mathcal{X}|\)에서 각각의 상은 공집합이 아닌 열린집합이다. \(|\mathcal{X}|\)가 기약이므로 \(|\mathcal{X}|\)의 이 두 열린부분집합의 교집합은 공집합이 아니다. 이 교집합에 놓이는 점을 \(x\)라 하고, \(x\)로 사상되는 점들을 \(v \in V\), \(w\in W\)라 하자. 그러면 \[\dim T_i = \dim V = \dim_v (U) = \dim_x (\mathcal{X}) + \dim_v (U_x)\] 이고 마찬가지로 \[\dim T_j = \dim W = \dim_w (U) = \dim_x (\mathcal{X}) + \dim_w (U_x).\] 함수 \(u \mapsto \dim_u (U_{f(u)})\)는 \(U\) 위에서 국소 상수이고, \(T_i \cup T_j\)는 교집합이 공집합이 아닌 두 기약, 따라서 연결인 집합의 합집합이므로 연결이다. 따라서 \(\dim_v (U_x) = \dim_w(U_x)\)이고, 앞의 두 등식을 비교하면 요구한 대로 \(\dim T_i = \dim T_j\)이다.

보조정리

\(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\)가 국소 뇌터 대수적 스택들의 닫힌 몰입이고, \(z \in |\mathcal{Z}|\)의 상이 \(x \in |\mathcal{X}|\)이면 \(\dim_z (\mathcal{Z}) \leq \dim_x(\mathcal{X})\)이다.

증명

원천이 스킴인 매끄러운 전사 \(U\to \mathcal{X}\)를 택한다. 밑변환된 사상 \(V = U\times_{\mathcal{X}} \mathcal{Z} \to \mathcal{Z}\)도 매끄럽고 전사이며, 사영 \(V \to U\)는 닫힌 몰입이다. \(v \in |V|\)가 \(z \in |\mathcal{Z}|\)로 사상된다고 하고, \(u\)를 \(|U|\)에서 \(v\)의 상이라 하자. 그러면 분명히 \(\dim_v(V) \leq \dim_u(U)\)이고, 보조정리 0DRN에 의해 \(\dim_v (V_z) = \dim_u(U_x)\)이다. 따라서 주장한 대로 \[\dim_z(\mathcal{Z}) = \dim_v(V) - \dim_v(V_z) \leq \dim_u(U) - \dim_u(U_x) = \dim_x(\mathcal{X}),\] 이다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)가 국소 뇌터 대수적 스택이고 \(x \in |\mathcal{X}|\)이면 \(\dim_x(\mathcal{X}) = \sup_{\mathcal{T}} \{ \dim_x(\mathcal{T}) \}\), 여기서 \(\mathcal{T}\)는 \(x\)를 지나는 \(|\mathcal{X}|\)의 모든 기약 성분을 그 유도된 축소 구조와 함께 달린다.

증명

보조정리 0DRY에 의해 점 \(x\)를 지나는 각 기약 성분 \(\mathcal{T}\)에 대해 \(\dim_x (\mathcal{T}) \leq \dim_x(\mathcal{X})\)이다. 따라서 보조정리를 증명하려면 [0DS0]\[\begin{equation} \dim_x(\mathcal{X}) \leq \sup_{\mathcal{T}} \{\dim_x(\mathcal{T})\}. \end{equation}\] 임을 보이면 충분하다. \(U\to\mathcal{X}\)를 스킴에 의한 매끄러운 덮개라 하자. \(T\)가 \(U\)의 기약 성분이면 \(\mathcal{T}\)를 \(\mathcal{X}\) 안에서 그 상의 폐포라 하자. 이는 \(\mathcal{X}\)의 기약 성분이다. \(u \in U\)를 \(x\)로 사상되는 점이라 하자. 그러면 \(\dim_x(\mathcal{X})=\dim_uU-\dim_uU_x=\sup_T\dim_uT-\dim_uU_x\)이다. 여기서 상한은 \(u\)를 지나는 \(U\)의 기약 성분들에 걸쳐 취한다. 상한이 달성되는 성분 \(T\)를 택하고 \(\dim_x(\mathcal{T})=\dim_uT-\dim_u T_x\)임에 유의하자. 이제 원하는 부등식 (0DS0)은 명백한 부등식 \(\dim_u T_x \leq \dim_u U_x\)에서 따른다. (\(\Spec k \to \mathcal{X}\)가 \(x\)의 대표이면 \(T\times_{\mathcal{X}} \Spec k\)는 \(U\times_{\mathcal{X}} \Spec k\)의 닫힌 부분공간임에 유의하자.)

보조정리

\(\mathcal{X}\)가 국소 뇌터 대수적 스택이고 \(x \in |\mathcal{X}|\)이면, \(x\)를 포함하는 \(\mathcal{X}\)의 임의의 열린 부분스택 \(\mathcal{V}\)에 대해 \(\dim_{x_0}(\mathcal{X}) = \dim_x(\mathcal{V})\)인 유한형 점 \(x_0 \in |\mathcal{V}|\)가 존재한다.

증명

원천이 스킴인 매끄러운 전사 \(f:U \to \mathcal{X}\)를 택하고, 함수 \(u \mapsto \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\)를 생각하자. \(f\)가 매끄러우므로 \(f\)가 유도하는 사상 \(|U| \to |\mathcal{X}|\)는 열리고, 가정에 의해 전사이며, \(|\mathcal{X}|\)의 유한형 점의 정의 자체에 의해 유한형 점을 유한형 점으로 보낸다. 따라서 임의의 \(u \in U\)와 \(u\)의 임의의 열린 근방에 대해, 이 근방 안에 \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\)인 유한형 점 \(u_0\)가 존재함을 보이면 충분하다. 문제를 이렇게 다시 표현하면 \(f\)의 전사성은 더 이상 필요하지 않으므로, \(U\)를 문제의 점 \(u\)의 열린 근방으로 대체할 수 있다. 따라서 각 \(u \in U\)에 대해 \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\)인 유한형 점 \(u_0 \in U\)가 존재함을 보이는 문제로 환원된다. 보조정리 0DRI에 의해 \(\dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_u(U) - \dim_u(U_{f(u)})\)이고, \(\dim_{f(u_0)}(\mathcal{X}) = \dim_{u_0}(U) - \dim_{u_0}(U_{f(u_0)})\)이다. \(f\)가 매끄러우므로 \(u_0\)가 \(U\) 위에서 변할 때 식 \(\dim_{u_0}(U_{f(u_0)})\)은 국소 상수이다 (보조정리 0DRQ (2)). 그러므로 필요하면 \(u\) 주위로 \(U\)를 더 축소하여 이 식이 상수라고 가정해도 좋다. 따라서 \(\dim_{u_0}(U) = \dim_u(U)\)인 유한형 점 \(u_0 \in U\)를 찾을 수 있음을 보이는 문제가 된다. 정의에 의해 \(\dim_u U\)는 \(U\) 안에서 \(u\)의 열린 근방 \(V\)들에 대한 \(\dim V\)의 최솟값이므로, \(u\) 주위로 \(U\)를 더 축소하여 \(\dim_u U = \dim U\)라고 해도 좋다. 이제 원하는 점 \(u_0\)의 존재는 보조정리 0DRR에서 따른다.

보조정리

\(\mathcal{T} \hookrightarrow \mathcal{X}\)를 대수적 스택들의 국소적으로 유한형인 단사상이라 하자. \(\mathcal{X}\)와 (따라서) \(\mathcal{T}\)는 제이컵슨이고 유사 코테너리이며 국소 뇌터라고 하자. 더 나아가 \(\mathcal{T}\)는 어떤 (유한한) 차원 \(d\)의 기약 스택이고, \(\mathcal{X}\)는 축소되며 차원이 \(d\) 이하라고 하자. 그러면 \(\mathcal{T}\)의 공집합이 아닌 열린 부분스택 \(\mathcal{V}\)가 존재하여, 유도된 단사상 \(\mathcal{V} \hookrightarrow \mathcal{X}\)는 \(\mathcal{V}\)를 \(\mathcal{X}\)의 한 기약 성분의 열린부분집합과 동일시하는 열린 몰입이다.

증명

원천이 스킴인 매끄러운 전사 \(f:U \to \mathcal{X}\)를 택한다. \(\mathcal{X}\)가 축소되었으므로 이 스킴도 반드시 축소되어 있다. \(U' = \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} U\)로 쓰자. 밑변환된 사상 \(U' \to U\)는 대수공간들의 국소적으로 유한형인 단사상이고, 따라서 『대수공간의 사상』의 보조정리 0418와 0463에 의해 표현가능하다. \(U\)가 스킴이므로 \(U'\)도 스킴이다. 사영 \(f': U' \to \mathcal{T}\)도 매끄러운 전사이다. \(u' \in U'\)라 하고 그 상을 \(u \in U\)라 하자. 보조정리 0DRN에 의해 \(\dim_{u'}(U'_{f(u')}) = \dim_u(U_{f(u)})\)이고, 보조정리 0DRX 및 \(\mathcal{T}\)와 \(\mathcal{X}\)에 대한 우리의 가정에 의해 \(\dim_{f'(u')}(\mathcal{T}) =d \geq \dim_{f(u)}(\mathcal{X})\)이다. 따라서 [0DS3]\[\begin{equation} \dim_{u'} (U') = \dim_{u'} (U'_{f(u')}) + \dim_{f'(u')}(\mathcal{T}) \\ \geq \dim_u (U_{f(u)}) + \dim_{f(u)}(\mathcal{X}) = \dim_u (U). \end{equation}\] \(U' \to U\)는 국소적으로 유한형인 단사상이므로 특히 비분기이다. 따라서 비분기 사상의 에탈 국소 구조에 관한 『에탈 사상』의 보조정리 04HJ에 의해 가환 도식 \[\xymatrix{ V' \ar[r]\ar[d] & V \ar[d] \\ U' \ar[r] & U }\] 을 찾을 수 있다. 여기서 스킴 \(V'\)는 공집합이 아니고, 수직 화살표들은 에탈이며, 위쪽 수평 화살표는 닫힌 몰입이다. \(V\)를 그 상이 \(U'\)의 상과 공집합이 아닌 교집합을 갖는 준콤팩트 열린부분집합으로 대체하고 \(V'\)을 \(V\)의 역상으로 대체하면, \(V\)(따라서 \(V'\)도)가 준콤팩트이라고 더 가정할 수 있다. \(V\)는 국소 뇌터이기도 하므로 뇌터이고, 따라서 유한 개의 기약 성분의 합집합이다.

에탈 사상은 점별 차원을 보존하므로 『내림』의 보조정리 04N4와 (0DS3)에 의해, \(v \in V\)로 사상되는 임의의 점 \(v' \in V'\)에 대해 \(\dim_{v'}( V') \geq \dim_v(V)\)이다. 특히 \(V'\)의 상은 \(V\)의 서로 다른 두 기약 성분의 교집합에 포함될 수 없다. 따라서 \(V'\)과 공집합이 아닌 교집합을 갖는 \(V\)의 기약 열린부분집합을 적어도 하나 찾을 수 있다. \(V\)를 이 부분집합으로 대체하여 \(V\)가 정수적이라고 가정해도 좋다 (\(V\)는 축소되고 기약이기 때문이다). 앞의 차원 부등식에서 닫힌 몰입 \(V' \hookrightarrow V\)가 실제로 동형사상이라고 결론 내린다. \(W\)를 \(U'\) 안에서 \(V'\)의 상이라 하자. 그러면 에탈 사상은 열리므로 \(W\)는 \(U'\)의 공집합이 아닌 열린부분집합이다. 유도된 단사상 \(W \to U\)는 원천 위에서 에탈 국소적으로, 즉 \(V'\)으로 당긴 뒤 에탈이므로 에탈이고, 따라서 에탈 단사상으로서 열린 몰입이다. 그러므로 \(\mathcal{V}\)를 \(\mathcal{T}\) 안에서 \(W\)의 상이라 하면, \(\mathcal{V}\)는 \(\mathcal{T}\)의 조밀한(동치로 공집합이 아닌) 열린 부분스택이며, 그 상은 \(\mathcal{X}\)의 한 기약 성분에서 조밀하다. 마지막으로 사상 \(\mathcal{V} \to \mathcal{X}\)가 매끄럽다는 점을 언급한다(매끄러운 사상 \(W\to \mathcal{V}\)와의 합성이 매끄럽기 때문이다). 이 사상은 단사상이기도 하므로 열린 몰입이다.

보조정리

\(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\)를 제이컵슨이고 유사 코테너리이며 국소 뇌터인 대수적 스택들의 국소적으로 유한형인 사상이라 하자. 원천은 기약이고 표적은 준분리라고 하며, \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\)를 \(\mathcal{T}\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 모든 \(t \in |T|\)에 대해 \(\dim_t( \mathcal{T}_{f(t)}) \geq \dim \mathcal{T} - \dim \mathcal{Z}\)이고, 그 위에서 등식이 성립하는 \(|\mathcal{T}|\)의 공집합이 아닌 (동치로 조밀한) 열린부분집합이 존재한다.

증명

\(\mathcal{X}\)를 \(\mathcal{Z}\)로 대체하여 \(f\)가 스킴론적으로 우세하고 \(\mathcal{X}\)가 기약이라고 가정할 수 있고, 그렇게 한다. 섬유 차원의 상반연속성(보조정리 0DRQ (1))에 의해, \(\mathcal{T}\)의 어떤 공집합이 아닌 열린 부분스택에 속하는 \(t\)에 대해 등식 \(\dim_t( \mathcal{T}_{f(t)}) =\dim \mathcal{T} - \dim \mathcal{Z}\)이 성립함을 증명하면 충분하다. 이 때문에 논증에서 언제나 \(\mathcal{T}\)를 공집합이 아닌 열린 부분스택으로 자유롭게 대체할 수 있다.

\(T' \to \mathcal{T}\)를 원천이 스킴인 매끄러운 전사라 하고, \(T\)를 \(T'\)의 공집합이 아닌 준콤팩트 열린부분집합이라 하자. \(\mathcal{Y}\)가 준분리이므로 \(T \to \mathcal{Y}\)는 준콤팩트이다 (『스택의 사상』의 보조정리 050Y를 사상 \(T \to \mathcal{Y} \to \Spec \mathbf{Z}\)에 적용하라). 따라서 \(\mathcal{T}\)를 \(\mathcal{T}\) 안에서 \(T\)의 상으로 대체하면, 사상 \(f:\mathcal{T} \to \mathcal{X}\)가 (『스택의 사상』의 보조정리 050X에 호소하여 준콤팩트라고 가정할 수 있다.

\(U\)가 스킴인 매끄러운 전사 \(U \to \mathcal{X}\)를 택하면, 보조정리 0DR5에 의해 \(U\)의 기약 열린부분집합 \(V\)로서 \(V \to \mathcal{X}\)가 매끄럽고 스킴론적으로 우세한 것을 찾을 수 있다. 준콤팩트 사상의 스킴론적 우세성은 평탄 밑변환으로 보존되므로, 스킴론적으로 우세한 사상 \(f\)의 밑변환 \(\mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} V \to V\)도 스킴론적으로 우세하다. 이 섬유곱으로의 매끄러운 전사를 갖는 스킴을 \(Z\)라 하자. 그러면 \(Z \to \mathcal{T} \times_{\mathcal{X}} V \to V\)도 스킴론적으로 우세하다. 따라서 \(V\)를 스킴론적으로 지배하는 \(Z\)의 기약 성분 \(C\)를 찾을 수 있다. 합성 \(Z \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V \to \mathcal{T}\)는 매끄럽고 \(\mathcal{T}\)는 기약이므로, 보조정리 0DR5에 의해 원천의 모든 기약 성분은 \(|\mathcal{T}|\)에서 조밀한 상을 갖는다. 이제 \(C\)를 \(Z\)의 다른 모든 기약 성분과 서로소인 공집합이 아닌 열린부분집합 \(W\)로 대체하고, 이어서 \(\mathcal{T}\)와 \(\mathcal{X}\)를 각각 \(W\)와 \(V\)의 상으로 대체한다 (보조정리 0DRX을 적용하면 이것이 \(\mathcal{T}\)나 \(\mathcal{X}\)의 차원을 바꾸지 않음을 알 수 있다). \(\mathcal{W}\)를 사상 \(W \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\)의 상이라 하자. 그러면 \(W \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\)가 매끄러우므로 \(\mathcal{W}\)는 \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\)에서 열려 있고, 기약 스킴의 상이므로 기약이다. 이로써 가환 도식 \[\xymatrix{ W \ar[dr] \ar[r] & \mathcal{W} \ar[r] \ar[d] & V \ar[d] \\ & \mathcal{T} \ar[r] & \mathcal{X} }\] 을 얻는다. 여기서 \(W\)와 \(V\)는 스킴이고, 수직 화살표들은 매끄럽고 전사이며, 대각 화살표들과 왼쪽 위 수평 화살표는 매끄럽고, 유도된 사상 \(\mathcal{W} \to \mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\)는 열린 몰입이다. 이 도식과 보조정리의 명제에 등장하는 여러 차원의 정의를 함께 사용하여, 보조정리의 확인을 알려진 스킴의 경우로 환원할 것이다.

\(w \in |W|\)를 고정하고, 그 상을 \(w' \in |\mathcal{W}|\), 그 상을 \(t \in |\mathcal{T}|\), \(|V|\)에서의 상을 \(v\), \(|\mathcal{X}|\)에서의 상을 \(x\)라 하자. 사실상 정의에 의해(\(\mathcal{W}\)가 \(\mathcal{T}\times_{\mathcal{X}} V\)에서 열려 있고 밑변환의 섬유가 섬유의 밑변환이라는 사실을 사용하여) 등식 \[\dim_v V_x = \dim_{w'} \mathcal{W}_t\] 및 \[\dim_t \mathcal{T}_x = \dim_{w'} \mathcal{W}_v.\] 을 얻는다. 보조정리 0DRI에 의해 (우리 도식의 대각 화살표와 오른쪽 수직 화살표는 \(W\)와 \(V\)를 각각 스택 \(\mathcal{T}\)와 \(\mathcal{X}\)의 스킴에 의한 매끄러운 덮개로 실현한다) \[\dim_t \mathcal{T} = \dim_w W - \dim_w W_t\] 이고 \[\dim_x \mathcal{X} = \dim_v V - \dim_v V_x.\] 이다. 이 등식들을 합치면 \[\dim_t \mathcal{T}_x - \dim_t \mathcal{T} + \dim_x \mathcal{X} = \dim_{w'} \mathcal{W}_v - \dim_w W + \dim_w W_t + \dim_v V - \dim_{w'} \mathcal{W}_t\] 를 얻는다. \(W \to \mathcal{W}\)는 매끄러운 전사이므로, (\(W \to \mathcal{W}\)를 \(V\) 위의 사상으로 생각하여) 사상 \(\Spec \kappa(v) \to V\) 위로 밑변환해도 마찬가지이다. 이 매끄러운 사상에서 다음 두 등식 중 첫 번째를 얻는다. \[\dim_w W_v - \dim_{w'} \mathcal{W}_v = \dim_w (W_v)_{w'} = \dim_w W_{w'};\] 두 번째 등식은 등장하는 두 섬유를 직접 비교하면 따른다. 마찬가지로 \(W \to \mathcal{W}\)를 \(\mathcal{T}\) 위의 스킴들의 사상으로 생각하고 점 \(t \in |\mathcal{T}|\)의 어떤 대표 위로 밑변환하면 등식 \[\dim_w W_t - \dim_{w'} \mathcal{W}_t = \dim_w (W_t)_{w'} = \dim_w W_{w'}.\] 을 얻는다. 모든 것을 합치면 \[\dim_t \mathcal{T}_x - \dim_t \mathcal{T} + \dim_x \mathcal{X} = \dim_w W_v - \dim_w W + \dim_v V.\] 을 얻는다. 우리의 목표는 이 등식의 좌변이 공집합이 아닌 \(t\)의 열린부분집합에서 사라짐을 보이는 것이다. \(w\)가 \(W\)의 공집합이 아닌 열린부분집합 위에서 변하면 그 상 \(t \in |\mathcal{T}|\)도 \(|\mathcal{T}|\)의 공집합이 아닌 열린부분집합 위에서 변한다(\(W \to \mathcal{T}\)가 매끄럽기 때문이다).

따라서 다음을 보이는 것으로 환원된다. \(W\to V\)가 기약인 국소 뇌터 스킴들의 국소적으로 유한형이고 스킴론적으로 우세한 사상이면, \(\dim_w W_v =\dim_w W - \dim_v V\)가 성립하는 점 \(w\in W\)들의 공집합이 아닌 열린부분집합이 존재한다(여기서 \(v\)는 \(V\)에서 \(w\)의 상이다). 이는 표준적인 사실이며, 독자의 편의를 위해 그 증명을 상기한다.

이 등식의 성립 여부를 바꾸지 않고 \(W\)와 \(V\)를 그 바탕 축소 부분스킴으로 대체할 수 있다. 따라서 이들이 실제로 정수적 스킴이라고 가정해도 좋다. \(\dim_w W_v\)는 \(W\) 위에서 국소 상수이므로, 필요하면 \(W\)를 공집합이 아닌 열린부분집합으로 대체하여 \(\dim_w W_v\)가 어떤 \(d\)와 같은 상수라고 가정해도 좋다. 이 열린부분집합을 아핀으로 택하면 사상 \(W\to V\)가 실제로 유한형이라고도 가정할 수 있다. 필요하면 \(V\)를 공집합이 아닌 열린부분집합으로 대체하고 (그런 다음 이 열린부분집합 위로 \(W\)를 당긴다. 준콤팩트이고 스킴론적으로 우세한 사상의 평탄 밑변환은 여전히 스킴론적으로 우세하므로, 그 당김은 공집합이 아니다), 더 나아가 \(W\)가 \(V\) 위에서 평탄하다고 가정할 수 있다. 따라서 『스킴의 사상』의 정의 02NJ의 의미에서 사상 \(W\to V\)는 상대 차원 \(d\)이고, 『스킴의 사상』의 보조정리 0AFE에 의해 요구한 대로 \(\dim_w(W) = \dim_v(V) + d\)이다.

주

앞의 보조정리의 맥락에서는 \(\dim \mathcal{T} \geq \dim \mathcal{Z}\)일 필요가 없음을 언급한다. 이는 보조정리 명제의 부등식과 모순되지 않는다. 사상 \(f\)의 섬유도 대수적 스택이므로 음의 차원을 가질 수 있기 때문이다. \(k\)를 체라 하고 보조정리를 사상 \([\Spec k/\mathbf{G}_m] \to \Spec k\)에 적용하면 이를 볼 수 있다.

보조정리 명제의 사상 \(f\)가 준-DM이라고 가정하면 (『스택의 사상』의 정의 04YW의 의미에서이다. 예를 들어 대수공간으로 표현가능한 사상은 준-DM이다), 표적의 점 위에서 사상의 섬유는 준-DM 대수적 스택이므로 차원이 음이 아니다. 이 경우 보조정리는 실제로 \(\dim \mathcal{T} \geq \dim \mathcal{Z}\)임을 함의한다. 사실 다음과 같은 더 일반적인 결과를 얻는다.

보조정리

\(f: \mathcal{T} \to \mathcal{X}\)를 제이컵슨이고 유사 코테너리이며 국소 뇌터인 대수적 스택들의 국소적으로 유한형인 준-DM 사상이라 하자. 원천은 기약이고 표적은 준분리라고 하며, \(\mathcal{Z} \hookrightarrow \mathcal{X}\)를 \(\mathcal{T}\)의 스킴론적 상이라 하자. 그러면 \(\dim \mathcal{Z} \leq \dim \mathcal{T}\)이고, 더 나아가 다음 두 조건 중 정확히 하나가 성립한다.

1. 모든 유한형 점 \(t \in |T|\)에 대해 \(\dim_t(\mathcal{T}_{f(t)}) > 0\)이고, 이 경우 \(\dim \mathcal{Z} < \dim \mathcal{T}\)이다. 또는

2. \(\mathcal{T}\)와 \(\mathcal{Z}\)의 차원이 같다.

증명

앞의 주석에서 관찰했듯이 준-DM 스택의 차원은 항상 음이 아니다. 따라서 모든 \(t \in |\mathcal{T}|\)에 대해 \(\dim_t \mathcal{T}_{f(t)} \geq 0\)이고, 점들 \(t\in |\mathcal{T}|\)의 조밀한 열린부분집합에서 등식 \[\dim_t \mathcal{T}_{f(t)} = \dim_t \mathcal{T} - \dim_{f(t)} \mathcal{Z}\] 이 성립한다고 결론 내린다.

국소환의 차원

대수적 스택은 통상적인 의미의 국소환을 실제로 갖지는 않지만, 국소환의 차원을 다음과 같이 정의할 수 있다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 국소 뇌터 대수적 스택이라 하자. \(U \to \mathcal{X}\)를 매끄러운 사상이라 하고 \(u \in U\)라 하자. 그러면 \[\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R_u, e(\overline{u})}) = 2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})})\] 이다. 여기서 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)이고 사영은 \(s, t : R \to U\), 대각사상은 \(e : U \to R\)이며, \(R_u\)는 \(u\) 위에서 \(s : R \to U\)의 섬유이다.

증명

이는 \(s : \mathcal{O}_{U, \overline{u}} \to \mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}\)가 뇌터 국소환들의 평탄 국소 준동형사상이어서 『대수학』의 보조정리 00ON에 의해 \[\dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = \dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) + \dim(\mathcal{O}_{R_u, e(\overline{u})})\] 이기 때문이다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)를 국소 뇌터 대수적 스택이라 하자. \(x \in |\mathcal{X}|\)를 유한형 점이라 하자 『스택의 사상』의 정의 06FY). \(d \in \mathbf{Z}\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. 스킴 \(U\), 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\), \(x\)로 사상되는 유한형 점 \(u \in U\)가 존재하여 \(2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = d\)이다. 그리고

2. 임의의 스킴 \(U\), 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\), \(x\)로 사상되는 유한형 점 \(u \in U\)에 대해 \(2\dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) - \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) = d\)이다.

여기서 \(R = U \times_\mathcal{X} U\)이고 사영은 \(s, t : R \to U\), 대각사상은 \(e : U \to R\)이며, \(R_u\)는 \(u\) 위에서 \(s : R \to U\)의 섬유이다.

증명

\((U, u)\)와 \((U', u')\)를 \(x\)의 두 매끄러운 근방이라 하고, \(u\)와 \(u'\)을 유한형 점이라 하자. \(U\)와 \(U'\)을 축소한 뒤 \(u\)와 \(u'\)이 닫힌점이라고 가정해도 좋다(유한형 점의 정의에 의해). 그런 다음 전사 에탈 사상 \(W \to U \times_\mathcal{X} U'\)을 택한다. \(W_u\)를 \(u\) 위에서 \(W \to U\)의 섬유라 하고, \(W_{u'}\)을 \(u'\) 위에서 \(W \to U'\)의 섬유라 하자. \(u\)와 \(u'\)이 \(|\mathcal{X}|\)의 같은 점으로 사상되므로 \(W_u \cap W_{u'}\)는 공집합이 아니다. 따라서 \(u\)와 \(u'\) 모두로 사상되는 닫힌점 \(w \in W\)를 택할 수 있다. 이로써 다음 문단의 논의로 환원된다.

\((U', u') \to (U, u)\)가 \(x\)의 매끄러운 근방들의 매끄러운 사상이고, \(u\)와 \(u'\)은 닫힌점이라고 가정하자. 목표는 \((U, u)\)에 대해 정의한 불변량과 \((U', u')\)에 대해 정의한 불변량이 같음을 증명하는 것이다. 이를 보기 위해 \(\mathcal{O}_{U, u} \to \mathcal{O}_{U', u'}\)가 뇌터 국소환들의 평탄 국소 준동형사상임을 관찰하자. 따라서 『대수학』의 보조정리 00ON에 의해 \[\dim(\mathcal{O}_{U', \overline{u}'}) = \dim(\mathcal{O}_{U, \overline{u}}) + \dim(\mathcal{O}_{U'_u, \overline{u}'})\] 이다. (국소환과 그 엄밀 헨젤화의 성질을 연결하는 모든 단계를 다루는 일은 생략한다. 『대수학 더 보기』의 절 07QL을 보라.) 한편 \[R' = U' \times_{U, t} R \times_{s, U} U'\] 이므로 \[\dim(\mathcal{O}_{R', e(\overline{u}')}) = \dim(\mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}) + \dim(\mathcal{O}_{U'_u \times_u U'_u, (\overline{u}', \overline{u}')})\] 임을 알 수 있다. 보조정리를 증명하려면 \[\dim(\mathcal{O}_{U'_u \times_u U'_u, (\overline{u}', \overline{u}')}) = 2\dim(\mathcal{O}_{U'_u, \overline{u}'})\] 임을 보이면 충분하다. 이것은 항상 참은 아니다 (예를 들어 \(U'_u\)가 곡선이고 \(u'\)이 이 곡선의 일반점인 경우). 그러나 \(u'\)은 \(u\) 위에서 국소적으로 유한형인 대수공간 \(U'_u\)의 닫힌점임을 안다. 이 경우 등식은 다음 두 사실 때문에 성립한다. 첫째, 『다양체』의 보조정리 0B2M에 의해 \(\dim_{(u', u')}(U'_u \times_u U'_u) = 2\dim_{u'}(U'_u)\)이다. 둘째, 국소적으로 대수적인 스킴의 닫힌점에서는 차원과 국소환의 차원이 일치한다. 『다양체』의 보조정리 0A21를 보라. 스킴에 관한 이 결과들을 대수공간의 언어로 옮기는 일은 생략한다.

정의

\(\mathcal{X}\)를 국소 뇌터 대수적 스택이라 하자. \(x \in |\mathcal{X}|\)를 유한형 점이라 하자. 보조정리 0DS9의 동치인 조건들이 만족될 때, \(x\)에서 \(\mathcal{X}\)의 국소환의 차원은 \(d \in \mathbf{Z}\)이다.

분명 이 정의의 동기는 보조정리 0DS8와 『스택의 성질』의 정의 0AFN이다. 이 절을 마치며, \(\mathcal{X}\)의 \(x\)에서의 버설 환의 성질로 \(\dim_x(\mathcal{X})\)를 계산할 수 있게 하는 공식을 확립한다.

보조정리

\(\mathcal{X}\)가 국소 뇌터 스킴 \(S\) 위에서 국소적으로 유한형인 대수적 스택이라고 하자. \(x_0 : \Spec(k) \to \mathcal{X}\)를 사상이라 하자. 여기서 \(k\)는 \(S\) 위의 유한형 체이다. 주석 0DR3에서와 같이 \(\mathcal{F}_{\mathcal{X}, k, x_0}\)를 잉여체가 \(k\)인 뇌터 완비 국소 \(S\)-대수들의 쌍대준군 \((A, B, s, t, c)\)로 나타내자. 그러면 \[\text{국소환 차원: }\mathcal{X}\text{의 점 }x_0 = 2\dim A - \dim B\] 이다.

증명

\(s \in S\)를 \(x_0\)의 상이라 하자. \(\mathcal{O}_{S, s}\)가 G-환이면 (실제로 거의 항상 만족되는 조건이다) 다음과 같이 보조정리를 증명할 수 있다. 보조정리 0DR0에 의해, 원천이 스킴이고 잉여체가 \(k\)인 점 \(u_0 \in U\)를 포함하는 매끄러운 사상 \(U \to \mathcal{X}\)를 찾을 수 있다. 이때 유도된 사상 \(\Spec(k) \to U \to \mathcal{X}\)는 \(x_0\)와 일치하고 \(A = \mathcal{O}_{U, u_0}^\wedge\)이다. \(R = U \times_\mathcal{X} U\)로 쓰자. 그러면 \(\mathcal{O}_{R, e(u_0)}^\wedge\)를 \(B\)와 동일시할 수 있다. 따라서 등식은 정의에서 따른다.

이 증명의 나머지에서는 보조정리를 일반적으로 증명하는 방법을 설명하지만, 독자에게는 이 부분을 건너뛰기를 권한다.

먼저 우변이 \((A, B, s, t, c)\)의 선택에 무관함을 보이자. \((A', B', s', t', c')\)를 두 번째 선택이라고 하자. \(A\)와 \(A'\)은 \(\mathcal{X}\)의 \(x_0\)에서의 버설 환이므로, 필요하면 \(A\)와 \(A'\)을 맞바꾼 뒤 \(A\)와 \(A'\) 위의 주어진 버설 형식적 대상 \(\xi\)와 \(\xi'\)에 양립하는 형식적으로 매끄러운 사상 \(A \to A'\)을 택할 수 있다. \(\widehat{\mathcal{C}}_\Lambda\)가 쌍대곱을 가지며 이들이 \(\Lambda\) 위의 완비 텐서곱으로 주어진다는 사실을 상기하자. 『형식적 변형 이론』의 보조정리 06H1를 보라. 그러면 \(B\)는 \(\xi\)를 \(A \widehat{\otimes}_\Lambda A\)로 보내어 얻은 두 대상 사이의 동형사상 함자를 프로표현한다. \(B'\)도 마찬가지이다. 따라서 \[B' = B \otimes_{(A \widehat{\otimes}_\Lambda A)} (A' \widehat{\otimes}_\Lambda A')\] 라고 결론 내린다. 다음 사상이 형식적으로 매끄럽고, 그 상대 차원이 형식적으로 매끄러운 사상 \(A \to A'\)의 상대 차원의 \(2\)배와 같음을 곧바로 알 수 있다. \[A \widehat{\otimes}_\Lambda A \longrightarrow A \widehat{\otimes}_\Lambda A' \longrightarrow A' \widehat{\otimes}_\Lambda A'\] (이는 일반 원리에서 따르지만, 이 특별한 경우에는 \(A'\)이 \(r\)개 변수에 대한 \(A\) 위의 멱급수환이기 때문이기도 하다.) 따라서 원하는 대로 \(B \to B'\)은 상대 차원이 \(2(\dim(A') - \dim(A))\)인 형식적으로 매끄러운 사상이다.

다음으로 \(l/k\)를 유한 확대라 하자. \(x_{l, 0} : \Spec(l) \to \mathcal{X}\)를 유도된 점이라 하자. 공식의 우변이 \(x_0\)에 대해서나 \(x_{l, 0}\)에 대해서나 같다고 주장한다. 이는 보조정리 0DQY에서와 같은 \(A \to A'\)을 택하고 앞 문단과 정확히 똑같이 논증하면 보일 수 있다. 세부사항은 생략한다.

마지막으로 보조정리 0DR2의 증명에서와 같이 논증하면, 앞의 두 문단의 양립성을 사용하여 \(A\)가 \(\mathcal{X}\) 위에서 매끄러운 어떤 스킴 \(U\)의 \(u_0\)에서의 완비 국소환이고 \(u_0\)가 유한형 점인 경우 (첫 문단에서 논의한 경우)로 환원할 수 있다. 세부사항은 생략한다.

이제 다음 정의가 의미 있음을 보이기에 충분한 준비가 되었다.