서론
이 장은 대수공간에서의 groupoid에 관한 고급 주제를 다룬다. 결과들은 대수공간에서의 groupoid라는 말로 서술되지만, 독자는 \(2\)-카테시안 도식 [04P6]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[r] \ar[d] & U \ar[d] \\ U \ar[r] & [U/R] } } \end{equation}\] 을 염두에 두어야 한다. 여기서 \([U/R]\)은 몫 스택이다. Groupoids in Spaces, Remark 04M7를 보라. 많은 결과는 이 도식을 생각함으로써 동기를 얻는다. 예를 들어 Keel과 Mori의 아름다운 논문 [K-M]을 보라.
표기
Groupoids in Spaces, Section 043A에서 도입한 규약과 표기를 계속 따른다.
유용한 도식
이 장에서 쉽게 참조할 수 있도록 Groupoids in Spaces, Lemmas 043Z 및 0450의 결과를 간단히 다시 서술한다. \(S\)를 스킴, \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. 가환 도식 [04P9]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U } } \end{equation}\] 에서 아래의 두 정사각형은 올곱 정사각형이다. 또한 위쪽 삼각형 (실제로는 정사각형)도 카테시안이다.
도식 [0451]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } } \end{equation}\] 은 가환한다. 위의 두 행은 주어진 수직 사상들을 통해 동형이다. 왼쪽 아래의 두 정사각형은 카테시안이다.
국소 구조
\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(S\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(\overline{u}\)를 \(U\)의 기하학적 점이라 하자. 이 절에서는 국소환 (Properties of Spaces, Definition 04KG) \[A = \mathcal{O}_{U, \overline{u}} \quad\text{and}\quad B = \mathcal{O}_{R, e(\overline{u})}\] 위에 어떤 구조가 생기는지 설명한다. 사용할 규약은 사상 \(s,t,c,e,i\)가 유도하는 국소환 준동형을 각각 같은 문자로 나타내는 것이다. 특히 국소환들의 가환 도식 \[\xymatrix{ A \ar[rd]_t \ar[rrd]^1 \\ & B \ar[r]^e & A \\ A \ar[ru]^s \ar[rru]_1 }\] 을 얻는다. 따라서 \(I \subset B\)가 \(e : B \to A\)의 핵이면 \(B = s(A) \oplus I = t(A) \oplus I\)이다. 다음과 같이 놓자. \[C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e, e)(\overline{u})}\] 이다. 그러면 \[C = (B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}^h\] 이다. 실제로 \((B \otimes_{s, A, t} B)_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B}\) 의 국소화는 분리폐 잉여체를 갖는다. \(J \subset C\)를 \(C\)의 아이디얼로서 \(I \otimes B + B \otimes I\)가 생성하는 것이라 하자. 그러면 \(J\)는 국소환 준동형 \[(e, e) : C \longrightarrow A\] 의 핵이기도 하다. 합성 법칙 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)은 환 사상 \[c : B \longrightarrow C\] 에 대응하며, 이는 \(I\)를 \(J\)로 보낸다.
보조정리
사상 \(I/I^2 \to J/J^2\), 즉 \(c\)가 유도하는 사상은 합성 \[I/I^2 \xrightarrow{(1, 1)} I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\] 이다. 여기서 둘째 화살표는 등식 \(J = (I \otimes B + B \otimes I)C\)에서 온다. \(i : B \to B\)가 유도하는 사상은 \(-1 : I/I^2 \to I/I^2\)이다.
증명
\(C\)에서 다른 헨젤 국소환으로 가는 국소 준동형을 기술하려면, 예를 들어 Algebra, Lemma 04GS에 의해 \(b_1 \otimes b_2\) 꼴의 원소에 무슨 일이 일어나는지만 말하면 충분하다. 이를 염두에 두면 표준 사상 \[e_2 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto b_1s(e(b_2)),\quad e_1 : C \to B,\ b_1 \otimes b_2 \mapsto t(e(b_1))b_2\] 을 얻는다. 이들은 매장 \(R \to R \times_{s, U, t} R\)에 대응하며, 그 매장들은 각각 \(r \mapsto (r, e(s(r)))\) 및 \(r \mapsto (e(t(r)), r)\)로 주어진다. 이 사상들이 유도하는 사상 \(J/J^2 \to I/I^2\)는 함께 보조정리의 사상 \(I/I^2 \oplus I/I^2 \to J/J^2\)의 역을 이룬다.
따라서 명제를 증명하려면 \(e_1 \circ c : B \to B\)와 \(e_2 \circ c : B \to B\)가 항등사상임을 보이면 된다. 이는 두 합성 \(R \to R \times_{s, U, t} R \to R\)이 모두 항등사상이라는 사실에서 따른다.
\(i\)에 관한 명제는 \(c\)에 관한 명제와 \(c \circ (1, i) = e \circ t\)라는 사실에서 따른다. 일부 세부사항은 생략한다.
단면의 groupoid
groupoid \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c, e, i)\)가 주어졌다고 하자. 그러면 모노이드 \(\Gamma\)를 구성할 수 있다. 그 원소는 사상 \(\delta : \text{Ob} \to \text{Arrows}\)로서 \(s \circ \delta = \text{id}_{\text{Ob}}\)를 만족하고, 합성은 \[\delta_1 \circ \delta_2 = c(\delta_1 \circ t \circ \delta_2, \delta_2)\] 로 주어진다. 달리 말해 \(\Gamma\)의 원소는 각 대상에서 출발하는 화살표 하나를 지정하는 규칙 \(\delta\)이고, 합성은 자연스러운 방식으로 정한다. 예를 들면 자명한 표기 아래 \[\vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar[dl] \\ \bullet \ar@(ul, dl)[] & \bullet \ar[d] \\ & \bullet \ar[lu] } } \quad\circ\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar[d] \\ \bullet \ar[ru] & \bullet \ar[d] \\ & \bullet \ar[lu] } } \quad = \quad\quad \vcenter{ \xymatrix{ & \bullet \ar@/^/[dd] \\ \bullet \ar@(ul, dl)[] & \bullet \ar[l] \\ & \bullet \ar[lu] } }\] 이다.
같은 절차를 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c, e, i)\)에도 적용할 수 있으며, 이는 스킴 \(S\) 위에 있다. 즉 \(\Gamma\)의 원소로 집합 \[\Gamma = \{\delta : U \to R \mid s \circ \delta = \text{id}_U\}\] 을 취하고, 합성 \(\circ : \Gamma \times \Gamma \to \Gamma\)는 위의 규칙 [0CKC]\[\begin{equation} \delta_1 \circ \delta_2 = c(\delta_1 \circ t \circ \delta_2, \delta_2) \end{equation}\] 로 주어진다. 항등원은 \(e \in \Gamma\)이다.
groupoid \(\Gamma\)는 일반적으로 군이 아니다. 역원을 갖지 않는 원소 \(\delta \in \Gamma\)가 있을 수 있기 때문이다. \(\delta \in \Gamma\)가 역원을 가질 필요충분조건은 \(t \circ \delta\)가 \(U\)의 자기동형사상인 것이 명백하며, 이 경우 \(\delta^{-1} = i \circ \delta \circ (t \circ \delta)^{-1}\)이다.
뒤에서 사용하기 위해 subgroupoid \(\Gamma_0\)를 논의한다. 이는 \(\Gamma\)의 단면들 가운데 항등원 \(e\)에 무한소적으로 가까운 것들로 이루어진다.
더 정확히 말해 \(R\)-불변 닫힌 부분공간 \(U_0 \subset U\)가 주어지고 \(U\)가 \(U_0\)의 일차 두껍게 하기라고 하자. \(R_0 = s^{-1}(U_0) = t^{-1}(U_0)\)라 쓰고 \((U_0, R_0, s_0, t_0, c_0, e_0, i_0)\)를 대응하는 대수공간에서의 groupoid라 하자. 다음과 같이 놓는다. \[\Gamma_0 = \{\delta \in \Gamma \mid \delta|_{U_0} = e_0\}\] \(s\)와 \(t\)가 평탄하면 \(\Gamma_0\)의 모든 원소는 가역이다. 실제로 \(t \circ \delta\)는 \(U \to U\)의 사상이고 \(\mathcal{O}_{U_0}\)와 \(\mathcal{C}_{U_0/U}\) 위에서 항등을 유도한다 (Lemma 0CKD). 또한 짧은 완전열 \(0 \to \mathcal{C}_{U_0/U} \to \mathcal{O}_U \to \mathcal{O}_{U_0} \to 0\)이 있으므로 결론이 따른다.
보조정리
이 절에서 논의한 상황에서 \(\delta \in \Gamma_0\)라 하고 \(f = t \circ \delta : U \to U\)라 하자. \(s,t\)가 평탄하면 표준 사상 \(\mathcal{C}_{U_0/U} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\), 즉 \(f\)가 유도하는 사상은 (More on Morphisms of Spaces, Lemma 04CP) 항등사상이다.
증명
이를 보기 위해 도식 (0451)의 아래쪽을 다음과 같이 확장한다. \[\xymatrix{ Y \ar[r] \ar[d] & R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ U \ar[r]_\delta & R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U }\] 왼쪽 정사각형은 카테시안이며, 이것이 \(Y\)의 정의이다. \(Y\)에 대해 더 알 필요는 없다. 모든 곳을 \(U_0\)로 기저변환하여 얻는 비슷한 도식도 같은 성질을 갖는다. 우리는 \(\text{id}_U = s \circ \delta\)와 \(f = t \circ \delta\)가 여법층 위에서 같은 사상을 유도함을 보이려 한다. \(s\)가 평탄 전사이므로 위 행을 따르는 두 합성 \(a,b : Y \to R\)에 대해 같은 것을 증명하면 충분하다. \(a_0=b_0\)임을 관찰하자. 또한 \(a\)와 \(b\) 중 하나는 \(s\circ\delta\)가 동형사상이라는 사실 때문에 동형사상이다. 따라서 두 사상 \(a,b:Y\to R\)은 \(U\) 위에서 평탄한 대수공간들 사이의 사상이다. 여기서 첫 구조 사상은 \(t:R\to U\)이고, 둘째 구조 사상은 \(t\circ a=t\circ b:Y\to U\)이다. 이는 원하는 결론을 준다. 실제로 More on Morphisms of Spaces, Lemma 04G2의 합성과의 호환성에 의해 두 사상 \(a_0^*\mathcal{C}_{R_0/R} \to \mathcal{C}_{Y_0/Y}\)은 모두 가환 도식 \[\xymatrix{ a_0^*\mathcal{C}_{R_0/R} \ar[rr] & & \mathcal{C}_{Y_0/Y} \\ a_0^*t_0^*\mathcal{C}_{U_0/U} \ar[u] \ar@{=}[rr] & & (t_0 \circ a_0)^*\mathcal{C}_{U_0/U} \ar[u] }\] 에 들어간다. 수직 화살표들은 More on Morphisms of Spaces, Lemma 06BH에 의해 동형사상이다. 따라서 보조정리가 성립한다.
군 \(\Gamma_0\)를 식별하자. More on Morphisms of Spaces, Remarks 0CK6 및 0CK7의 논의를 도식 \[\xymatrix{ (U_0 \subset U) \ar@{..>}[rr]_{(e_0, \delta)} \ar[rd]_{(\text{id}_{U_0}, \text{id}_U)} & & (R_0 \subset R) \ar[ld]^{(s_0, s)} \\ & (U_0 \subset U) }\] 에 적용하면 \(\delta=\theta\cdot e\)임을 알 수 있는데, 여기서 유일한 \(\mathcal{O}_{U_0}\)-선형 사상은 \(\theta : e_0^*\Omega_{R_0/U_0} \to \mathcal{C}_{U_0/U}\)이다. 따라서 More on Morphisms of Spaces, Lemma 061C를 적용하여 전단사 [0CKE]\[\begin{equation} \Hom_{\mathcal{O}_{U_0}}(e_0^*\Omega_{R_0/U_0}, \mathcal{C}_{U_0/U}) \longrightarrow \Gamma_0 \end{equation}\] 를 얻는다.
보조정리
전단사 (0CKE)는 군의 동형사상이다.
증명
\(\delta_1,\delta_2\in\Gamma_0\)가 위와 같이 \(\theta_1,\theta_2\)에 대응하고, 합성 \(\delta=\delta_1\circ\delta_2\)가 \(\Gamma_0\)에서 \(\theta\)에 대응한다고 하자. \(\theta=\theta_1+\theta_2\)임을 보여야 한다. More on Morphisms of Spaces, Lemma 04D0에 의해 \(\theta_1,\theta_2,\theta\)는 미분 \(D_1,D_2,D:e_0^{-1}\mathcal{O}_{R_0}\to\mathcal{C}_{U_0/U}\)에 대응하며, 이들은 \(D_1=\theta_1\circ\text{d}_{R_0/U_0}\) 등으로 주어진다. \(D=D_1+D_2\)임을 확인하면 충분하다.
등식은 줄기에서 확인할 수 있다. \(\overline{u}\)를 \(U\)의 기하학적 점이라 하고 Section 0CK9에서 도입한 국소환 \(A,B,C\)를 사용하자. 사상 \(\delta_i\)는 환 사상 \(\delta_i:B\to A\)에 대응한다. \(K\subset A\)를 제곱영인 아이디얼로서 \(A/K=\mathcal{O}_{U_0,\overline{u}}\)가 되도록 잡자. 달리 말해 \(K\)는 \(\mathcal{C}_{U_0/U}\)의 \(\overline{u}\)에서의 줄기이다. \(\delta_i\in\Gamma_0\)라는 사실은 정확히 \(\delta_i(I)\subset K\)라는 뜻이다. 미분 \(D_i\)는 사상 \(\delta_i-e:B\to A\)이다. \(B=s(A)\oplus I\)이므로 \(D_i\)는 \(I\)로의 제한에 의해 결정되고, 이는 바로 \(\delta_i|_I\)이다.
더욱이 \(D_i\)와 따라서 \(\delta_i\)는 \(I^2\)를 영으로 보낸다. 이는 \(I=\Ker(I)\)이기 때문이다.
증명을 끝내기 위해 \(\delta\)가 합성 \[B \to C = (B \otimes_{s, A, t} B)^h_{\mathfrak m_B \otimes B + B \otimes \mathfrak m_B} \to A\] 에 대응함을 관찰한다. 여기서 첫 화살표는 \(c\)이고 둘째 화살표는 규칙 \(b_1 \otimes b_2 \mapsto \delta_2(t(\delta_1(b_1))) \delta_2(b_2)\)로 결정된다. 이는 (0CKC)에서 따른다. Lemma 0CKA에 의해 \(\zeta\)를 \(I\)의 원소라 하면 고차항을 제외하고 \(\zeta\otimes1+1\otimes\zeta\)로 사상된다. 따라서 \[D(\zeta) = (\delta_2 \circ t)\left(D_1(\zeta)\right) + D_2(\zeta)\] 이다. 그러나 Lemma 0CKD에 의해 \(\delta_2\circ t\)의 \(K=\mathcal{C}_{U_0/U,\overline{u}}\) 위 작용은 항등이므로 결론이 따른다.
Groupoid의 성질
이 절은 More on Groupoids, Section 02YD에 대응한다. 독자는 먼저 그 절을 읽기를 강하게 권한다.
다음 보조정리는 More on Groupoids, Lemma 03JC에 대응한다.
보조정리
\(B\to S\)가 Section 04P7에서와 같다고 하자. \((U,R,s,t,c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \[\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\] 라 하자. \(\mathcal{P}\)를 대수공간 사상의 성질로서 대상에 대해 \(\tau\)-국소적이라고 하자(Descent on Spaces, Definition 03YH). \(\{s:R\to U\}\)와 \(\{t:R\to U\}\)가 \(\tau\)-위상의 덮개라고 하자. \(W\subset U\)를 최대 열린 부분공간으로서 \(s^{-1}(W)\to W\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖도록 하는 것이라 하자. 그러면 \(W\)는 \(R\)-불변이다 (Groupoids in Spaces, Definition 044F).
증명
열린집합 \(W\subset U\)의 존재와 성질은 Descent on Spaces, Lemma 06R2에 기술되어 있다. 도식 (04P9)에서
\(W_1\subset R\)를 사상 \(\text{pr}_1:R\times_{s,U,t}R\to R\)이 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖는 최대 열린 부분스킴이라 하자. 앞서 인용한 Descent on Spaces, Lemma 06R2와 \(\{s:R\to U\}\) 및 \(\{t:R\to U\}\)가 \(\tau\)-위상의 덮개라는 가정으로부터 원하는 등식 \(t^{-1}(W)=W_1=s^{-1}(W)\)가 따른다.
보조정리
\(B\to S\)가 Section 04P7에서와 같다고 하자. \((U,R,s,t,c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(G\to U\)를 그 안정자 군 대수공간이라 하자. \[\tau \in \{fppf, \linebreak[0] \etale, \linebreak[0] smooth, \linebreak[0] syntomic\}\] 라 하자. \(\mathcal{P}\)를 대상에 대해 \(\tau\)-국소적인 대수공간 사상의 성질이라 하자. \(\{s:R\to U\}\)와 \(\{t:R\to U\}\)가 \(\tau\)-위상의 덮개라고 하자. \(W\subset U\)를 최대 열린 부분공간으로서 \(G_W\to W\)가 성질 \(\mathcal{P}\)를 갖도록 하는 것이라 하자. 그러면 \(W\)는 \(R\)-불변이다 (Groupoids in Spaces, Definition 044F).
증명
열린집합 \(W\subset U\)의 존재와 성질은 Descent on Spaces, Lemma 06R2에 기술되어 있다. 사상 \[G \times_{U, t} R \longrightarrow R \times_{s, U} G, \quad (g, r) \longmapsto (r, r^{-1} \circ g \circ r)\] 은 \(R\) 위 대수공간의 동형사상이다. 여기서 \(\circ\)는 groupoid의 합성을 나타낸다. 따라서 \(s^{-1}(W)=t^{-1}(W)\)이다. 이는 \(W\)의 성질, 즉 앞서 인용한 Descent on Spaces, Lemma 06R2에서 증명한 성질로부터 따른다.
올 비교
이 절은 More on Groupoids, Section 04LJ에 대응한다. 독자는 먼저 그 절을 읽기를 강하게 권한다.
보조정리
\(B\to S\)가 Section 04P7에서와 같다고 하자. \((U,R,s,t,c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(K\)를 체라 하고 \(r,r':\Spec(K)\to R\)가 \(t\circ r=t\circ r':\Spec(K)\to U\)를 만족한다고 하자. \(u=s\circ r\), \(u'=s\circ r'\)라 놓고 \(F_u=\Spec(K)\times_{u,U,s}R\) 및 \(F_{u'}=\Spec(K)\times_{u',U,s}R\)로 올곱을 나타내자. 그러면 \(F_u\cong F_{u'}\)는 \(K\) 위 대수공간의 동형사상이다.
증명
도식 (04P9)의 존재와 성질을 사용한다. 사상 \(\xi:\Spec(K)\to R\times_{s,U,t}R\)이 존재하여 \(\text{pr}_0\circ\xi=r\)이고 \(c\circ\xi=r'\)이다. \(\tilde r=\text{pr}_1\circ\xi:\Spec(K)\to R\)라 하자. 도식 (04P9)의 아래 두 정사각형을 보면 \(F_u\)와 \(F_{u'}\)가 모두 대수공간 \[\Spec(K)\times_{\tilde r,R,\text{pr}_1} (R\times_{s,U,t}R)\] 과 동일시됨을 알 수 있다.
실제로 보조정리의 상황에서 쌍들의 사상 \(s:(R,r)\to(U,u)\) 및 \(s:(R,r')\to(U,u')\)은 \(\tau\)-위상에서 국소적으로 동형이다. 단, \(\{s:R\to U\}\)가 \(\tau\)-덮개라고 가정한다. 필요하다면 여기에 정확한 명제를 삽입할 것이다.
Groupoid의 제한
이 절에서는 제한에 의해 상속되는 groupoid의 성질들에 관한 여러 보조정리를 모은다. 이들 대부분은 제한을 정의하는 도식 [04RN]\[\begin{equation} \vcenter{ \xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U } } \end{equation}\] 을 살펴보면 증명할 수 있다. Groupoids in Spaces, Lemma 044B를 보라.
보조정리
\(S\)를 스킴, \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \((U,R,s,t,c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(g:U'\to U\)를 \(B\) 위 대수공간의 사상이라 하고 \((U',R',s',t',c')\)를 \((U,R,s,t,c)\)의 \(g\)를 통한 제한이라 하자.
\(s,t\)와 \(g\)가 국소 유한형이면 \(s',t'\)도 국소 유한형이다.
\(s,t\)와 \(g\)가 국소 유한 표시이면 \(s',t'\)도 국소 유한 표시이다.
\(s,t\)와 \(g\)가 평탄하면 \(s',t'\)도 평탄하다.
여기에 더 추가한다.
증명
국소 유한형이라는 성질은 합성과 임의의 기저변환에 대해 안정하다. Morphisms of Spaces, Lemmas 03XG 및 03XH를 보라. 따라서 (1)은 도식 (04RN)에서 명백하다. 나머지 경우는 Morphisms of Spaces, Lemmas 03XQ, 03XR, 03MN, 및 03MO를 보라.
체 위 군과 체 위 groupoid의 성질
독자는 먼저 groupoid 스킴에 관한 대응 절들을 살펴보기를 권한다. Groupoids, Section 047J와 More on Groupoids, Section 04LL를 보라.
설정
여기서 \(S\)는 스킴이고, \(k\)는 \(S\) 위의 체이며, \((G, m)\)은 \(\Spec(k)\) 위의 군 대수공간이다.
설정
여기서 \(S\)는 스킴이고, \(B\)는 대수공간이며, \((U, R, s, t, c)\)는 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid이다. 또한 \(U = \Spec(k)\)이며, 여기서 \(k\)는 어떤 체이다.
Situation 06DX에서는 대수공간에서의 groupoid [06DZ]\[\begin{equation} (\Spec(k), G, p, p, m) \end{equation}\] 를 얻는다. 여기서 \(p : G \to \Spec(k)\)는 \(G\)의 구조 사상이다. Groupoids in Spaces, Lemma 0444을 보라. 이는 Situation 06DY와 같은 상황이다. 이 절의 나머지 부분에서는 이를 더 언급하지 않고 사용한다.
보조정리
Situation 06DY에서 합성 사상 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)은 평탄하고 보편적으로 열린 사상이다. Situation 06DX에서 군 법칙 \(m : G \times_k G \to G\)은 평탄하고 보편적으로 열린 사상이다.
증명
합성은 도식 (0451)에 의해 사영 사상 \(\text{pr}_1 : R \times_{t, U, t} R \to R\)과 동형이다. 이 사영은 평탄 사상 \(t\)의 기저변환이므로 평탄하고, Morphisms of Spaces, Lemma 06DN에 의해 열린 사상이다. 둘째 명제는 (06DZ)에서 \(m\)이 \(c\)와 일치하므로 첫째 명제에서 즉시 따른다.
다음 보조정리는 특히 준분리 대수공간 또는 국소 분리 대수공간을 다룰 때 적용된다(Decent Spaces, Lemma 088J).
보조정리
Situation 06DY에서 \(R\)가 decent 공간이라고 가정하자. 그러면 \(R\)는 분리 대수공간이다. Situation 06DX에서 \(G\)가 decent 대수공간이라고 가정하자.
그러면 \(G\)는 분리 대수공간이다.
증명
먼저 둘째 명제를 증명한다. Groupoids in Spaces, Lemma 06P6에 의해
\(e : S \to G\)가 닫힌 몰입임을 보이면 된다. 이는 Decent Spaces, Lemma 08AL에서 따른다.
이제 첫째 명제를 증명한다. 이를 위해 \(B\)를 \(S\)로 바꾸어도 된다. 위 문단에 의해
안정자 군 스킴 \(G \to U\)는 분리이다. Groupoids in Spaces, Lemma 0455에 의해 사상 \(j = (t, s) : R \to U \times_S U\)는 분리이다. \(U\)가 체의 스펙트럼이므로 스킴 \(U \times_S U\)는 아핀이다 (Schemes, Section 01JO의 올곱 구성에 의한다). 따라서 \(R\)는 분리이다. Morphisms of Spaces, Lemma 04ZH를 보라.
보조정리
Situation 06DY에서. 체 확대 \(k'/k\)와 \(U' = \Spec(k')\)를 잡고 \((U', R', s', t', c')\)를 \((U, R, s, t, c)\)의 \(U' \to U\)를 통한 제한이라 하자. 정의 도식 \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'} \ar@{..>}[rd] & R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d] \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r] & U }\] 에서 모든 사상은 전사이고 평탄하며 보편적으로 열려 있다. 점선 화살표 \(R' \to R\)는 더 나아가 아핀이다.
증명
사상 \(U' \to U\)는 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)와 같으므로 아핀이고 전사이며 평탄하다. 사상 \(s, t : R \to U\)와 사상 \(U' \to U\)는
Morphisms, Lemma 0383에 의해 보편적으로 열려 있다. \(R\)가 공집합이 아니고 \(U\)가 체의 스펙트럼이므로 사상 \(s, t : R \to U\)는 전사이고 평탄하다. 이제 Morphisms of Spaces, Lemmas 03MH, 03MG, 03Z4, 03WI, 03WH, 03MO, 및 03MN을 사용하여 결론을 얻는다.
보조정리
Situation 06DY에서. 임의의 점 \(r \in |R|\)에 대해 다음이 존재한다.
체 확대 \(k'/k\). 여기서 \(k'\)는 대수적으로 닫혀 있다.
점 \(r' : \Spec(k') \to R'\). 여기서 \((U', R', s', t', c')\)는 \((U, R, s, t, c)\)의 \(\Spec(k') \to \Spec(k)\)를 통한 제한이다.
이들은 다음을 만족한다.
점 \(r'\)는 \(r\)로 사상되는데, 이는 사상 \(R' \to R\) 아래에서이다.
사상 \(s' \circ r', t' \circ r' : \Spec(k') \to \Spec(k')\) 은 자기동형사상이다.
증명
\(r\)을 사상 \(r : \Spec(K) \to R\)로 표현하자. 여기서 \(K\)는 어떤 체이다. 보조정리를 증명하려면 대수적으로 닫힌 체 \(k'\)와 가환 도식 \[\xymatrix{ k' & k' \ar[l]^1 & \\ k' \ar[u]^\tau & K \ar[lu]^\sigma & k \ar[l]^-s \ar[lu]_i \\ & k \ar[lu]^i \ar[u]_t }\] 을 찾아야 한다. 여기서 \(s, t : k \to K\)는 \(s \circ r\)와 \(t \circ r\)에서 오는 체 사상이다. More on Groupoids, Lemma 04LR의 증명에서 그런 도식을 구성하는 방법을 보인다.
보조정리
Situation 06DY에서. \(r : \Spec(k) \to R\)가 사상이고 \(s \circ r, t \circ r\)가 \(\Spec(k)\)의 자기동형사상이라 하자. 그러면 사상 \[R \longrightarrow R, \quad x \longmapsto c(r, x)\] 은 자기동형사상 \(R \to R\)이고 \(e\)를 \(r\)로 보낸다.
증명
증명은 More on Groupoids, Lemma 04LS의 증명과 동일하다.
보조정리
Situation 06DY에서 대수공간 \(R\)는 기하학적으로 단가지이다. Situation 06DX에서 대수공간 \(G\)는 기하학적으로 단가지이다.
증명
\(r \in |R|\)라 하자. \(R\)가 \(r\)에서 기하학적으로 단가지임을 보여야 한다. Lemma 06E1와 Descent on Spaces, Lemma 06DQ를 결합하면 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있고, \(r\)이 사상 \(r : \Spec(k) \to R\)에서 오며, \(s \circ r\)와 \(t \circ r\)가 \(\Spec(k)\)의 자기동형사상인 경우만 증명하면 충분하다. Lemma 06E3에 의해 \(r = e\)가 \(R\)의 항등원이고 \(k\)가 대수적으로 닫힌 경우로 환원된다.
\(r = e\)이고 \(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 하자. \(A = \mathcal{O}_{R, e}\)를 \(R\)의 \(e\)에서의 에탈 국소환이라 하고, \(C = \mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R, (e, e)}\)를 \(R \times_{s, U, t} R\)의 \((e, e)\)에서의 에탈 국소환이라 하자. More on Algebra, Lemma 06DU에 의해 극소 소 아이디얼 \(\mathfrak q\)를 \(C\)에서 택하면, 이것은 \(1\) 대 \(1\) 대응으로 극소 소 아이디얼 쌍 \(\mathfrak p,\mathfrak p' \subset A\)와 대응한다. 한편 합성 법칙은 평탄한 환 사상 \[\xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C & \mathfrak q \\ & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[u] & \mathfrak p \otimes A + A \otimes \mathfrak p' \ar@{|}[u] }\] 을 유도한다. \((c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)\)는 \(\mathfrak p\)와 \(\mathfrak p'\)를 모두 포함한다. 실제로 도식 \[\xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C \\ A \otimes_{s^\sharp, k} k \ar[u] & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[l]_{1 \otimes e^\sharp} \ar[u] } \quad\quad \xymatrix{ A \ar[r]_{c^\sharp} & C \\ k \otimes_{k, t^\sharp} A \ar[u] & A \otimes_{s^\sharp, k, t^\sharp} A \ar[l]_{e^\sharp \otimes 1} \ar[u] }\] 은 (04P9)에 의해 가환한다. \(c^\sharp\)는 평탄하므로 (\(c\)는 Lemma 06E0에 의해 평탄한 사상이다), \((c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)\)는 \(A\)의 극소 소 아이디얼이다. 따라서 \(\mathfrak p=(c^\sharp)^{-1}(\mathfrak q)=\mathfrak p'\)이다.
다음 보조정리에서는 Properties of Spaces, Section 04N3에서 정의한 대수공간의 (한 점에서의) 차원을 사용한다. 또한 Properties of Spaces, Section 04N7에서 정의한 국소환의 차원과 점의 초월차수를 사용한다. Morphisms of Spaces, Section 04NH을 보라.
보조정리
Situation 06DY에서 \(s, t\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 모든 \(r \in |R|\)에 대해
\(\dim(R) = \dim_r(R)\)이다.
\(r\)의 \(\Spec(k)\) 위 초월차수는 \(s\)를 통할 때와 \(r\)의 \(\Spec(k)\) 위 초월차수는 \(t\)를 통할 때 서로 같다.
(2)에서 말한 초월차수가 \(0\)이면 \(\dim(R) = \dim(\mathcal{O}_{R, \overline{r}})\)이다.
증명
\(r \in |R|\)라 하자. \(\text{trdeg}(r/_{\!\! s}k)\)는 \(r\)의 \(\Spec(k)\) 위 초월차수를 \(s\)를 통해 나타낸다. 에탈 사상 \(\varphi : V \to R\)를 택하되 \(V\)는 스킴이고 \(v \in V\)는 \(r\)로 사상되게 하자. 보조정리 위에서 언급한 정의를 사용하면 \[\dim_r(R) = \dim_v(V) = \dim(\mathcal{O}_{V, v}) + \text{trdeg}_{s(k)}(\kappa(v)) = \dim(\mathcal{O}_{R, \overline{r}}) + \text{trdeg}(r/_{\!\! s}k)\] 이고 \(t\)에 대해서도 마찬가지이다. 둘째 등식은 Morphisms, Lemma 02FX에 의한다. 그러므로 \(\text{trdeg}(r/_{\!\! s}k) = \text{trdeg}(r/_{\!\! t}k)\)이고, 즉 (2)가 성립한다.
\(k'/k\)를 체 확대라 하자. 제한 \(R'\)를 고려하자. 이는 \(R\)의 \(\Spec(k')\)로의 제한이다(Lemma 06E1). 이는 \(R\)에서 체의 사상에 의한 두 번의 기저변환으로 얻어진다. 따라서 Morphisms of Spaces, Lemma 04NS에 의해 \(R\)의 한 점에서의 차원은 이 연산으로 변하지 않는다. 그러므로 (1)을 증명하기 위해 Lemma 06E2에 의해 \(r\)이 사상 \(r : \Spec(k) \to R\)로 표현되고 \(s \circ r\)와 \(t \circ r\)가 모두 \(\Spec(k)\)의 자기동형사상인 경우를 가정해도 된다. 이 경우 자기동형사상 \(R \to R\)가 존재하여 \(r\)을 \(e\)로 보낸다(Lemma 06E3). 따라서 \(\dim_r(R) = \dim_e(R)\)이며, 이는 모든 \(r\)에 대해 성립한다. 정의상 이는 \(\dim_r(R) = \dim(R)\)이라는 뜻이다.
(3)은 위 논의에서 얻은 결과들의 형식적 귀결이다.
보조정리
Situation 06DX에서
\(G\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 모든 \(g \in |G|\)에 대해
\(\dim(G) = \dim_g(G)\)이다.
\(g\)의 \(k\) 위 초월차수가 \(0\)이면 \(\dim(G) = \dim(\mathcal{O}_{G, \overline{g}})\)이다.
증명
보조정리
Situation 06DY에서 \(s, t\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 다음을 안정자 군 대수공간이라 하자. \[G = \Spec(k) \times_{\Delta, \Spec(k) \times_B \Spec(k), t \times s} R\] 그러면 \(\dim(R) = \dim(G)\)이다.
증명
\(G\)와 \(R\)는 등차원적이므로(Lemmas 06FD 및 06FE), \(\dim_e(R) = \dim_e(G)\)임을 증명하면 충분하다. \(V\)를 아핀 스킴, \(v \in V\)라 하고 \(\varphi : V \to R\)를 \(\varphi(v) = e\)인 스킴의 에탈 사상이라 하자. \(V\)는 \(s \circ \varphi\)가 국소 유한형 사상들의 합성으로서 국소 유한형이고 \(V\)가 준콤팩트이므로 뇌터 스킴이다(Morphisms of Spaces, Lemmas 03XG, 0468, 0464 및 Morphisms, Lemma 01T6을 사용하라). 따라서 \(V\)는 국소 연결이다(Properties, Lemma 01OZ 및 Topology, Lemma 04MF). 그러므로 \(V\)를 \(v\)를 포함하는 연결성분으로 바꾸어도 된다 (이는 \(V\)의 열리고 닫힌 부분스킴이므로 여전히 아핀이다). \(T = V_{red}\)를 \(V\)의 축약이라 하자. 두 사상 \(a, b : T \to \Spec(k)\)를 \(a = s \circ \varphi|_T\) 및 \(b = t \circ \varphi|_T\)로 정의한다. \(a, b\)는 같은 체 사상 \(k \to \kappa(v)\)를 유도하는데, 이는 \(\varphi(v) = e\)이기 때문이다. \(k_a \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)를 \(a^\sharp(k) \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)의 정수적 폐포라 하자. 마찬가지로 \(k_b \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)를 \(b^\sharp(k) \subset \Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)의 정수적 폐포라 하자. Varieties, Proposition 04MK에 의해 \(k_a = k_b\)이다. 따라서 가환 도식 \[\xymatrix{ k \ar[rd]^a \ar[rrrd] \\ & k_a = k_b \ar[r] & \Gamma(T, \mathcal{O}_T) \ar[r] & \kappa(v) \\ k \ar[ru]_b \ar[rrru] }\] 을 얻는다. 위에서 논의했듯 긴 화살표들은 같다. \(k_a = k_b \to \kappa(v)\)가 단사이므로 두 사상 \(a\)와 \(b\)가 같음을 알 수 있다. 따라서 \(T \to R\)는 \(G\)를 통해 인수분해된다. 그러므로 \(R_{red} = G_{red}\)가 \(e\)의 어떤 열린 근방에서 성립하고, 이는 분명히 \(\dim_e(R) = \dim_e(G)\)를 함의한다.
체 위의 군 대수공간
체 위에는 비분리 군 대수공간이 존재한다. 즉 표수 영인 체 위의 \(\mathbf{G}_a/\mathbf{Z}\)가 그 예이다. Examples, Section 06E9을 보라. 실제로 체 위의 모든 군 스킴은 분리이므로(Lemma 08BH), 체 위의 모든 비분리 군 대수공간은 표현불가능하다. 한편 체 위의 군 대수공간은 decent이기만 하면 분리이다. Lemma 08BH를 보라. 이 절에서는 체 위의 분리 군 대수공간이 표현가능함, 즉 스킴임을 보일 것이다.
보조정리
\(k\)를 체라 하고 그 대수적 폐포를 \(\overline{k}\)라 하자. \(G\)를 \(k\) 위의 군 대수공간이라 하고, 이것이 분리라고 하자1. 그러면 \(G_{\overline{k}}\)는 스킴이다.
증명
Spaces over Fields, Lemma 0B84에 의해 \(G_K\)가 스킴임을 보이면 충분하다. 여기서 \(K/k\)는 어떤 체 확대이다. \(G_K' \subset G_K\)로 \(G_K\)의 스킴적 자리를 나타내자. 이는 Properties of Spaces, Lemma 03JH에서의 표기이다. Properties of Spaces, Proposition 06NH에 의해 \(G_K' \subset G_K\)는 조밀 열린집합이며, 특히 공집합이 아니다. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(U \to G\)를 택하자. Varieties, Lemma 0479에 의해 \(K\)가 충분히 큰 초월차수의 대수적으로 닫힌 체이면 \(U_K\)는 야콥슨 스킴이고 \(U_K\)의 모든 닫힌점은 \(K\)-유리점이다. 따라서 \(G_K'\)는 \(K\)-유리점을 가지며, 모든 \(K\)-유리점이 \(G_K\)의 점일 때 \(G_K'\)에 속함을 보이면 충분하다. \(g \in G_K(K)\)를 \(K\)-유리점이라 하고 \(g' \in G_K'(K)\)를 스킴적 자리의 \(K\)-유리점이라 하면, \(g\)는 \(G_K'\)의 상에 속하는데, 해당 자기동형사상은 \[G_K \longrightarrow G_K,\quad h \longmapsto g(g')^{-1}h\] 이다. 이는 \(G_K\)의 자기동형사상이다. 대수공간으로서 \(G_K\)의 자기동형사상은 \(G_K'\)를 보존하므로 원하는 대로 \(g \in G_K'\)임을 얻는다.
보조정리
\(k\)를 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(G\)가 분리이고 \(k\) 위에서 국소 유한형이면 \(G\)는 스킴이다.
증명
이는 Lemma 0B8E, Groupoids, Lemma 0B7S, 및 Spaces over Fields, Lemma 0B88에서 따른다.
명제
\(k\)를 체라 하고 \(G\)를 \(k\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(G\)가 분리이면 \(G\)는 스킴이다.
증명
이 보조정리는 Lemma 0B8F를 일반화한다(이는 실제로 관심 있는 모든 경우를 포괄한다). 증명은 Spaces over Fields, Lemma 0B88의 증명과 매우 비슷하다. 이 증명은 Lemma 0B8F의 증명에 사용되었으며, 독자는 그 증명을 먼저 읽기를 권한다.
Lemma 0B8E에 의해 기저변환 \(G_{\overline{k}}\)는 스킴이다. \(K/k\)를 매우 큰 초월차수의 순수 초월 확대라 하자. Spaces over Fields, Lemma 0B85에 의해 \(G_K\)가 스킴임을 보이면 충분하다. \(K^{perf}\)를 \(K\)의 완전화라 하자. Spaces over Fields, Lemma 0B83에 의해 \(G_{K^{perf}}\)가 스킴임을 보이면 충분하다.
\(K \subset K^{perf} \subset \overline{K}\)를 \(K\)의 대수적 폐포라 하자. 매장 \(\overline{k} \to \overline{K}\)를 \(k\) 위에서 택할 수 있으므로 \(G_{\overline{K}}\)는 스킴 \(G_{\overline{k}}\)를 \(\overline{k} \to \overline{K}\)로 기저변환한 것이다. Varieties, Lemma 0479에 의해 \(G_{\overline{K}}\)는 야콥슨 스킴이고 모든 닫힌점의 잉여체는 \(\overline{K}\)이다.
\(G_{\overline{K}} \to G_{K^{perf}}\)가 전사이므로, 점 \(g \in |G_{K^{perf}}|\)를 \(G_{\overline{K}}\)의 임의의 닫힌점의 상이라 하면 이 점이
\(G_K\)의 스킴적 자리에 속함을 보이면 충분하다. 특히 \(g\)를 사상 \(g : \Spec(L) \to G_{K^{perf}}\)로 표현할 수 있다. 여기서 \(L/K^{perf}\)는 분리 대수적 확대이다 (예를 들어 \(L = \overline{K}\)로 둘 수 있다). 따라서 스킴 \[\begin{align*} T & = \Spec(L) \times_{G_{K^{perf}}} G_{\overline{K}} \\ & = \Spec(L) \times_{\Spec(K^{perf})} \Spec(\overline{K}) \\ & = \Spec(L \otimes_{K^{perf}} \overline{K}) \end{align*}\] 은 \(\overline{K}\)-대수의 스펙트럼이며, 그 대수는 \(\overline{K}\)의 유한 개 복사본의 곱들로 이루어진 대수들의 여과 쌍대극한이다. 그러므로 Groupoids, Lemma 0B7U에 의해 아핀 열린집합 \(W \subset G_{\overline{K}}\)를 찾을 수 있으며, 이 열린집합은 \(g_{\overline{K}} : T \to G_{\overline{K}}\)의 상을 포함한다.
준콤팩트 열린집합 \(V \subset G_{K^{perf}}\)를 택하되, 이 열린집합이 \(W\)의 상을 포함하게 하자. Spaces over Fields, Lemma 0B84에 의해 \(V_{K'}\)는 어떤 유한 확대 \(K'/K^{perf}\)에 대해 스킴이다. \(K'\)를 확대하여, 아핀 열린집합 \(U' \subset V_{K'} \subset G_{K'}\)가 존재하고 이를 \(\overline{K}\)로 기저변환하면 \(W\)가 된다고 가정할 수 있다. 실제로 \(V_{\overline{K}}\)는 유한 확대에 대한 스킴 \(V_{K''}\)의 극한이며, 여기서 \(K' \subset K'' \subset \overline{K}\)이다. Limits, Lemmas 01Z4 및 01Z6을 사용한다. \(K'/K^{perf}\)가 갈루아 확대라고 가정해도 된다
(정규 폐포를 취한다. Fields, Lemma 09DT와 \(K^{perf}\)가 완전체라는 사실을 사용한다). \(H = \text{Gal}(K'/K^{perf})\)라 하자. 구성상 \(H\)-불변 닫힌 부분스킴 \(\Spec(L) \times_{G_{K^{perf}}} G_{K'}\)는 \(U'\)에 포함된다. Spaces over Fields, Lemmas 0B86 및 0B87에 의해 결론이 따른다.
군에는 유리 곡선이 없음
이 절에서는 체 위에서 국소 유한형인 군 대수공간으로 가는 \(\mathbf{P}^1\)의 비상수 사상이 없음을 증명한다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(f : X \to Y\)와 \(g : X \to Z\)를 \(B\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 다음을 가정하자.
\(Y \to B\)는 분리이다.
\(g\)는 전사이고 평탄하며 국소 유한 표시이다.
스킴론적으로 조밀한 열린 부분공간 \(V \subset Z\)가 존재하여 \(f|_{g^{-1}(V)} : g^{-1}(V) \to Y\)가 \(V\)를 통해 인수분해된다.
그러면 \(f\)는 \(g\)를 통해 인수분해된다.
증명
\(R = X \times_Z X\)라 놓자. (2)에 의해 층으로서 \(Z = X/R\)임을 알 수 있다. 또한 (2)에 의해 \(V\)의 \(R\) 안에서의 역상은 \(R\)에서 스킴론적으로 조밀하다(Morphisms of Spaces, Lemma 089D).
그러면 두 합성 \(R \to X \to Y\)가 같음을 Morphisms of Spaces, Lemma 084N에서 알 수 있다. 이로써 보조정리가 따른다.
보조정리
\(k\)를 체라 하자. \(n \geq 1\)이라 하고 \((\mathbf{P}^1_k)^n\)을 \(n\)중 자기곱이라 하자. 이 곱은 \(\Spec(k)\) 위에서 취한다. 대수공간의 사상 \(f : (\mathbf{P}^1_k)^n \to Z\)가 \(k\) 위에 있다고 하자. \(Z\)가 \(k\) 위에서 분리 유한형이면 \(f\)는 다음과 같이 인수분해된다. \[(\mathbf{P}^1_k)^n \xrightarrow{projection} (\mathbf{P}^1_k)^m \xrightarrow{finite} Z.\]
증명
\(k\)가 대수적으로 닫혀 있다고 가정해도 된다(세부사항은 생략한다). 이는 유리점을 사용하여 논증하기 위한 것일 뿐이며, 원한다면 독자는 이 가정을 우회할 수 있다. 증명에서 모든 곱은 \(k\) 위에서 취한다. \((\mathbf{P}^1_k)^n\)의 자기동형사상 군 대수공간은 \(G = (\text{GL}_{2, k})^n\)을 포함한다. \(C \subset (\mathbf{P}^1_k)^n\)가 한 점으로 사상되는 닫힌 부분다양체 (특히 \(k\) 위에서 기약인 부분다양체)라 하자. 그러면 사상 \[G \times C \to G \times Z,\quad (g, c) \mapsto (g, f(g \cdot c))\] 에 More on Morphisms of Spaces, Lemma 0AEJ를 \(G\) 위에서 적용할 수 있다. 따라서 \(g(C)\)는 \(g \in G(k)\) 중 어떤 자리스키 열린집합 \(U \subset G\)에 속하는 것들에 대해 한 점으로 사상된다. \(x = (x_1, \ldots, x_n)\)와 \(y = (y_1, \ldots, y_n)\)를 \(k\)-값 점이라 하며, 이들은 \((\mathbf{P}^1_k)^n\)의 점이다. \(I \subset \{1, \ldots, n\}\)를 지표 \(i\) 중 \(x_i = y_i\)인 것들의 집합이라 하자. 그러면 \[\{g(x) \mid g(y) = y,\ g \in U(k)\}\] 는 사영 \(\pi_I : (\mathbf{P}^1_k)^n \to \prod_{i \in I} \mathbf{P}^1_k\) 의 올에서 자리스키 조밀하다(연습문제). 따라서 서로 다른 \(x, y \in C(k)\)에 대해 \(f\)는 \(\pi_I\)의 올 전체를 한 점으로 보내며, 이 올은 \(x, y\)를 포함한다. 더 나아가 \(U(k)\)-궤도인 \(C\)는 \(\pi_I\)의 올들 중 자리스키 열린집합과 만난다. Lemma 0AEL에 의해 \(f\)는 \(\pi_I\)를 통해 인수분해된다. 이 과정을 유한 번 반복하면 \(f\)의 \(k\)-점 위 모든 올이 유한한 단계에 도달한다. 이 경우 \(f\)는 More on Morphisms of Spaces, Lemma 0A4Y와 \(k\)-점들이 \(Z\)에서 조밀하다는 사실(Spaces over Fields, Lemma 07W4)에 의해 유한이다.
보조정리
\(k\)를 체라 하자. \(G\)를 \(k\) 위에서 국소 유한형인 분리 군 대수공간이라 하자. 비상수 사상 \(f : \mathbf{P}^1_k \to G\)가 \(\Spec(k)\) 위에서 존재할 수 없다.
증명
\(f\)가 비상수라고 가정하자. 다음 사상들을 생각하자. \[\mathbf{P}^1_k \times_{\Spec(k)} \ldots \times_{\Spec(k)} \mathbf{P}^1_k \longrightarrow G, \quad (t_1, \ldots, t_n) \longmapsto f(g_1) \ldots f(g_n)\] 우변에서는 군의 곱셈을 사용한다. Lemma 0AEM과 \(f\)가 비상수라는 가정에 의해 이 사상은 그 상 위에서 유한이다. 따라서 \(\dim(G) \geq n\)이 모든 \(n\)에 대해 성립하는데, 이는 Lemma 06FE 및 \(G\)가 \(k\) 위에서 국소 유한형이라는 사실에 모순된다.
사상의 유한 부분
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 대수공간 또는 스킴 \(T\)를 생각하자. 이는 \(S\) 위에 있다. 이때 다음과 같은 쌍 \((a, Z)\)를 생각하자. [04PC]\[\begin{equation} \begin{matrix} a : T \to Y\text{는 S 위의 사상이고}, \\ Z \subset T \times_Y X\text{는 열린 부분공간이며} \\ \text{또한 }\text{pr}_0|_Z : Z \to T\text{는 유한이다.} \end{matrix} \end{equation}\] \(h : T' \to T\)가 \(S\) 위 대수공간의 사상이고 \((a, Z)\)가 \(T\) 위에서 (04PC)와 같은 쌍이라고 하자. \(a' = a \circ h\) 및 \(Z' = (h \times \text{id}_X)^{-1}(Z) = T' \times_T Z\)라 놓자. 그러면 \((a', Z')\)는 \(T'\) 위에서 (04PC)와 같은 쌍이다. 유한 사상은 기저변환으로 보존되므로 이 주장이 따른다. Morphisms of Spaces, Lemma 03ZS을 보라. 따라서 함자 [04PD]\[\begin{equation} \begin{matrix} (X/Y)_{fin} : & (\Sch/S)^{opp} & \longrightarrow & \textit{Sets} \\ & T & \longmapsto & \{(a, Z)\text{ 위와 같음}\} \end{matrix} \end{equation}\] 를 얻는다. 응용에서는 주로 이 함자 \((X/Y)_{fin}\)에 관심이 있으며, 여기서는 \(f\)가 분리이고 국소 유한형인 경우가 중요하다. 이 대상이 무엇인지 감을 잡으려면 Remark 04PJ를 보라.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 다음이 성립한다.
준층 \((X/Y)_{fin}\)은 fppf 위상에 대한 층 조건을 만족한다.
\(T\)가 \(S\) 위의 대수공간이면 표준 전단사 \[\Mor_{\Sh((\Sch/S)_{fppf})}(T, (X/Y)_{fin}) = \{(a, Z)\text{가 \href{spaces-more-groupoids.html#spaces-more-groupoids-equation-finite-conditions}{04PC}을 만족함}\}\] 가 존재한다.
증명
\(T\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(\{T_i \to T\}\)를 (대수공간들에 의한) fppf 피복이라 하자. \(s_i = (a_i, Z_i)\)를 \(T_i\) 위에서 04PC을 만족하는 쌍이라 하고, \[s_i|_{T_i \times_T T_j} = s_j|_{T_i \times_T T_j}\] 라고 하자. 우선 이는 특히 \(a_i\)와 \(a_j\)가 같은 사상 \(T_i \times_T T_j \to Y\)를 정의함을 뜻한다. Descent on Spaces, Lemma 04P2에 의해 유일한 사상 \(a : T \to Y\)가 존재하여 \(a_i\)가 합성 \(T_i \to T \to Y\)와 같음을 얻는다. 둘째, 이는 \(Z_i \subset T_i \times_Y X\)가 열린 부분공간이고 이들의 역상이 \((T_i \times_T T_j) \times_Y X\) 안에서 서로 같음을 뜻한다. \(\{T_i \times_Y X \to T \times_Y X\}\)가 fppf 피복이므로, \(Z \subset T \times_Y X\)인 유일한 열린 부분공간이 존재하여 \(Z_i\)가 되는데, 이는 \(T_i\) 위로 제한했을 때이다. Descent on Spaces, Lemma 04P1을 보라. 사영 \(Z \to T\)가 유한이라고 주장한다. 유한이라는 성질은 fpqc 위상에 대해 국소적이므로 이 주장이 따른다. Descent on Spaces, Lemma 0426를 보라.
앞 문단의 결과는 특히 (1)을 함의한다.
\(T\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. (2)를 증명하기 위해 표시된 두 집합 사이에서 서로 역인 사상들을 구성한다. 아래에서 “쌍”이라고 하면 조건 04PC을 만족하는 쌍을 뜻한다.
\(v : T \to (X/Y)_{fin}\)을 자연변환이라 하자. 스킴 \(U\)와 전사 에탈 사상 \(p : U \to T\)를 택하자. 그러면 \(v(p) \in (X/Y)_{fin}(U)\)는 쌍 \((a_U, Z_U)\)에 대응하며, 이 쌍은 \(U\) 위에 있다. \(R = U \times_T U\)라 놓고 사영을 \(t, s : R \to U\)라 하자. \(v\)가 함자의 변환이므로 \((a_U, Z_U)\)를 \(s\)와 \(t\)로 당겨 얻는 두 쌍이 같음을 알 수 있다. 따라서 \(\{U \to T\}\)가 fppf 피복이므로
첫 문단의 결과를 적용하여 유일한 쌍 \((a, Z)\)가 \(T\) 위에 존재함을 얻는다.
반대로 \((a, Z)\)를 \(T\) 위의 쌍이라 하자. 위와 같이 \(U \to T\), \(R = U \times_T U\), 그리고 \(t, s : R \to U\)를 잡는다. 그러면 제한 \((a, Z)|_U\)는 요네다 보조정리(Categories, Lemma 001P)에 의해 함자의 변환 \(v : h_U \to (X/Y)_{fin}\)을 준다. 두 당김 \(s^*(a, Z)|_U\)와 \(t^*(a, Z)|_U\)가 같으므로 \(v\)가 두 사상 \(h_t, h_s : h_R \to h_U\)를 같은 사상으로 보냄을 알 수 있다. Spaces, Lemma 0262에 의해 \(T = U/R\)는 fppf 몫층이고, (1)에 의해 \((X/Y)_{fin}\)은 fppf 층이므로 \(v\)는 사상 \(T \to (X/Y)_{fin}\)를 통해 인수분해된다.
위의 두 구성이 서로 역이라는 확인은 생략한다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 가환 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ X' \ar[rr]_j \ar[rd] & & X \ar[ld] \\ & Y }\] 이는 \(S\) 위의 대수공간들로 이루어져 있다. \(j\)가 열린 몰입이면 층의 표준 단사 사상 \(j : (X'/Y)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\) 이 존재한다.
증명
\((a, Z)\)가 \(T\) 위에서 \(X'/Y\)에 대한 쌍이면, \((a, j(Z))\)는 \(T\) 위에서 \(X/Y\)에 대한 쌍이다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 국소 유한형 사상이라 하자. \(X' \subset X\)를 \(f\)가 국소 준유한인 최대 열린 부분공간이라 하자. Morphisms of Spaces, Lemma 04NW을 보라. 그러면 \((X/Y)_{fin} = (X'/Y)_{fin}\)이다.
증명
Lemma 04PF은 단사 사상 \((X'/Y)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\)을 준다. Morphisms of Spaces, Lemma 04NW은 \(X'\)의 형성이 기저변환과 가환함을 보장한다. 따라서 \(Z \subset X\)가 열린 부분공간이고 \(f|_Z : Z \to Y\)가 유한이면 \(Z \subset X'\)임을 보이는 것으로 모두 귀착된다. 유한 사상은 국소 준유한이므로 이는 참이다. Morphisms of Spaces, Lemma 04NY을 보라.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(T\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고 \((a, Z)\)를 04PC과 같은 쌍이라 하자. \(f\)가 분리이면 \(Z\)는 \(T \times_Y X\)에서 닫혀 있다.
증명
대수공간의 유한 사상은 Morphisms of Spaces, Lemma 04NZ에 의해 보편적으로 닫혀 있다. \(f\)가 분리이므로 사상 \(T \times_Y X \to T\)도 분리이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03KL를 보라. 따라서 \(Z\)의 닫힘은 Morphisms of Spaces, Lemma 04NX에서 따른다.
주
\(f : X \to Y\)를 대수공간의 분리 사상이라 하자. 층 \((X/Y)_{fin}\)에는 자연스러운 사상 \((X/Y)_{fin} \to Y\)가 있으며, 이는 쌍 \((a, Z) \in (X/Y)_{fin}(T)\)를 원소 \(a \in Y(T)\)로 보낸다. Lemma 04PH를 사용하여 연산 \[\star_i : (X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin}\] 을 다음 규칙으로 정의할 수 있다. \[\begin{align*} \star_1 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \cup Z_2) \\ \star_2 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \cap Z_2) \\ \star_3 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_1 \setminus Z_2) \\ \star_4 : ((a, Z_1), (a, Z_2)) & \longmapsto (a, Z_2 \setminus Z_1). \end{align*}\] 이것이 가능한 까닭은 \(Z_1 \cap Z_2\)가 \(Z_1\)과 \(Z_2\) 각각에서 열리고 닫혀 있기 때문이다(이는 또한 \(Z_1 \cup Z_2\)가 나머지 세 조각의 분리합임을 뜻한다). 따라서 \((X/Y)_{fin}\)을 \(\mathbf{F}_2\)-대수(단위원 없음)로 생각할 수 있으며, 이 대수는 \(Y\) 위에 있다. 곱셈은 \(ss' = \star_2(s, s')\)이고 덧셈은 \[s + s' = \star_1(\star_3(s, s'), \star_4(s, s'))\] 이며, 이는 대칭차를 취하는 것에 해당한다. 이 대수층에서 \(0 = (1_Y, \emptyset)\)이고, 실제로 \(s + s = 0\)이며 이는 임의의 국소 단면 \(s\)에 대해 성립한다. \(f : X \to Y\)가 유한이면 이 대수는 단위원 \(1 = (1_Y, X)\)을 가지며, \(\star_3(s, s') = s(1 + s')\)이고 \(\star_4(s, s') = (1 + s)s'\)이다.
주
\(f : X \to Y\)를 스킴의 분리 국소 준유한 사상이라 하자. 이 경우 층 \((X/Y)_{fin}\)은 층 \(f_!\mathbf{F}_2\)와 밀접히 관련되며, 후자는 \(Y_\etale\) 위에 있다
(향후 참조를 여기에 삽입). 구체적으로 \(V \to Y\)가 에탈이고 \(s \in \Gamma(V, f_!\mathbf{F}_2)\)이면, \(s \in \Gamma(V \times_Y X, \mathbf{F}_2)\)는 고유 지지 \(Z = \text{Supp}(s)\)를 갖는 단면이며, 이 지지는 \(V\) 위에서 고유하다. \(f\)는 또한 국소 준유한이므로 사영 \(Z \to V\)가 실제로 유한임을 알 수 있다. 상수 아벨 층의 단면의 지지는 열려 있으므로 쌍 \((V \to Y, \text{Supp}(s))\)가 04PC을 만족함을 알 수 있다. 실제로 이 경우 \(f_!\mathbf{F}_2 \cong (X/Y)_{fin}|_{Y_\etale}\)이며, 이는 Remark 04PI에서 도입한 \(\mathbf{F}_2\)-대수 구조도 설명한다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \((X/Y)_{fin} \to Y\)의 대각사상 \[(X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin}\] 은 (스킴으로) 표현가능하고 열린 몰입이며, “절대” 대각사상 \[(X/Y)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin} \times (X/Y)_{fin}\] 은 (스킴으로) 표현가능하다.
증명
절대 대각사상은 상대 대각사상과 \(Y\)의 대각사상의 한 기저변환을 합성한 것이므로 둘째 명제는 첫째 명제에서 따른다(후자는 스킴으로 표현가능하다). Spaces, Section 025U을 보라. 첫째 명제를 증명하려면 다음을 보여야 한다. 스킴 \(T\)와 두 쌍 \((a, Z_1)\) 및 \((a, Z_2)\)가 주어지고, 이 쌍들이 같은 첫 성분을 가지며 \(T\) 위에서 04PC을 만족한다고 하자. 그러면 다음 성질을 갖는 열린 부분스킴 \(V \subset T\)가 존재한다. 스킴의 임의의 사상 \(h : T' \to T\)에 대해 \[h(T') \subset V \Leftrightarrow \Big(T' \times_T Z_1 = T' \times_T Z_2 \text{가 다음 공간의 부분공간으로서 성립함 }T' \times_Y X\Big)\] 이다. \(V\)를 구성하자. \(Z_1 \cap Z_2\)는 \(Z_1\)에서도 \(Z_2\)에서도 열려 있음에 유의하자. \(\text{pr}_0|_{Z_i} : Z_i \to T\)는 유한이고, 따라서 고유이므로(Morphisms of Spaces, Lemma 04NZ을 보라), \[E = \text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right) \cup \text{pr}_0|_{Z_2}\left(Z_2 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right)\] 는 \(T\)에서 닫혀 있다. 이제 \(V = T \setminus E\)가 조건을 만족함이 분명하다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(U\)가 스킴이고 \(U \to Y\)가 에탈 사상이며 \(Z \subset U \times_Y X\)가 \(U\) 위에서 유한인 열린 부분공간이라고 하자. 그러면 유도된 사상 \(U \to (X/Y)_{fin}\)은 에탈이다.
증명
이는 Lemma 04PK의 대각사상에 대한 서술에서 형식적으로 따르지만, 이론 전개에서 중요한 단계이므로 자세히 쓴다. 임의의 스킴 \(T\)를 택하되 이는 \(S\) 위에 있고, 사상 \(T \to (X/Y)_{fin}\)이 주어졌다고 하자. 사영 \[T \times_{(X/Y)_{fin}} U \longrightarrow T\] 이 에탈임을 확인해야 한다. 다음에 유의하자. \[T \times_{(X/Y)_{fin}} U = (X/Y)_{fin} \times_{((X/Y)_{fin} \times_Y (X/Y)_{fin})} (T \times_Y U)\] Lemma 04PK의 결과를 적용하면 \(T \times_{(X/Y)_{fin}} U\)는 \(T \times_Y U\)의 열린 부분스킴으로 표현된다. 사영 \(T \times_Y U \to T\)는 Morphisms of Spaces, Lemma 0466에 의해 에탈이므로 결론이 따른다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. 다음 도식이 \[\xymatrix{ X' \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] \(S\) 위 대수공간의 올곱 정사각형이라고 하자. 그러면 \[\xymatrix{ (X'/Y')_{fin} \ar[d] \ar[r] & (X/Y)_{fin} \ar[d] \\ Y' \ar[r] & Y }\] 은 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 층들의 올곱 정사각형이다.
증명
정의에서 층 \((X'/Y')_{fin}\)이 층 \(Y' \times_Y (X/Y)_{fin}\)과 같음이 즉시 따른다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(f\)가 분리이고 국소 준유한이면 스킴 \(U\)가 존재하여 \(Y\) 위에서 에탈이고, 전사 에탈 사상 \(U \to (X/Y)_{fin}\)은 \(Y\) 위에 있다.
증명
이 명제가 의미를 갖는다는 것은 \((X/Y)_{fin}\)의 대각사상에 대한 Lemma 04PK의 결과에서 따른다. Spaces, Lemma 025W을 보라. \(V\)를 스킴이라 하고 \(V \to Y\)를 전사 에탈 사상이라 하자. Lemma 04QF에 의해 사상 \((V \times_Y X/V)_{fin} \to (X/Y)_{fin}\)은 \(V \to Y\)의 기저변환이므로 전사이고 에탈이다. Spaces, Lemma 02WL을 보라. 따라서 \((V \times_Y X/V)_{fin}\)에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. (여기서는 표현가능하고 전사이며 에탈인 함자 변환들의 합성도 다시 표현가능하고 전사이며 에탈이라는 사실을 암묵적으로 사용한다. Spaces, Lemmas 02WA, 02WK, 및 Morphisms, Lemmas 01S0, 02GN을 보라.) 분리 및 국소 준유한이라는 성질은 기저변환으로 보존됨에 유의하자. Morphisms of Spaces, Lemmas 03KL 및 03XL을 보라. 따라서 \(V \times_Y X \to V\)도 분리이고 국소 준유한이며, Morphisms of Spaces, Proposition 03XX에 의해 \(V \times_Y X\)도 스킴이다. 그러므로 \(f : X \to Y\)가 스킴의 분리 국소 준유한 사상이라고 가정해도 된다.
점 \(y \in Y\)를 택하자. \(x_1, \ldots, x_n \in X\)를 \(y\) 위에 놓인 점들로 택하자. 에탈 근방 \(a : (U, u) \to (Y, y)\)와 분해
\[U \times_S X = W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j}\] 를 More on Morphisms, Lemma 02LO와 같이 택하자. 임의의 부분집합 \[I \subset \{(i, j) \mid 1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m_i\}.\] 을 택하자. 이 선택들로부터 쌍 \((a, Z)\)를 얻는데, \(Z = \bigcup_{(i, j) \in I} V_{i, j}\)이고 이는 조건 04PC을 만족한다. 달리 말해 사상 \(U \to (X/Y)_{fin}\)을 얻는다. 이 사상의 구성은 위에서 택한 모든 것에 의존하므로 실제로는 \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \longrightarrow (X/Y)_{fin}\] 라고 써야 한다. 이 사상은 Lemma 04QE에 의해 에탈이다.
주장: 이 사상들을 모두 분리합한 것은 \((X/Y)_{fin}\) 위로 전사이다. 주장이 성립하면 보조정리가 참임은 분명하다.
전사성을 보이려면 다음을 보여야 한다(Spaces, Remark 02YN을 보라). 스킴 \(T\)가 주어지고 이는 \(S\) 위에 있으며, 점 \(t \in T\)와 사상 \(T \to (X/Y)_{fin}\)이 주어졌다고 하자. 그러면 위와 같은 자료 \((y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I)\)를 찾아서 \(t\)가 사영 \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \times_{(X/Y)_{fin}} T \longrightarrow T.\] 의 상에 속하게 할 수 있다. 이를 증명할 때 \(T\)를 \(\Spec(\overline{\kappa(t)})\)로, \(T \to (X/Y)_{fin}\)을 합성 \(\Spec(\overline{\kappa(t)}) \to T \to (X/Y)_{fin}\)으로 바꾸어도 됨은 분명하다. 달리 말해 \(T\)가 대수적으로 닫힌 체의 스펙트럼이라고 가정해도 된다.
\(T = \Spec(k)\)를 대수적으로 닫힌 체 \(k\)의 스펙트럼이라 하자. 사상 \(T \to (X/Y)_{fin}\)은 조건 04PC을 만족하는 쌍 \((T \to Y, Z)\)로 주어진다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다. \[\xymatrix{ & Z \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(k) \ar@{=}[r] & T \ar[r] & Y }\] \(y \in Y\)를 \(T \to Y\)의 상점이라 하자. \(Z\)는 \(k\) 위에서 유한이므로 유한 개의 점을 갖는다. 따라서 유한 개의 점 \(x_1, \ldots, x_n \in X\)가 존재하여 \(Z\)의 \(X\) 안에서의 상이 \(\{x_1, \ldots, x_n\}\)에 포함된다. \(a : (U, u) \to (Y, y)\)를 택하자. 이는 위와 같이 \(y\)와 \(x_1, \ldots, x_n\)에 맞춘 것이며, 이로부터 도식 \[\xymatrix{ W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ U \ar[r] & Y. }\] 을 얻는다. \(k\)는 대수적으로 닫혀 있고 \(\kappa(y) \subset \kappa(u)\)는 유한 분리 확대이므로 사상 \(T = \Spec(k) \to Y\)를 사상 \(u = \Spec(\kappa(u)) \to \Spec(\kappa(y)) = y \subset Y\)를 통해 인수분해할 수 있다. 이 선택으로 가환 도식 \[\xymatrix{ Z \ar[d] \ar[r] & W \amalg \ \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n} \ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} V_{i, j} \ar[d] \ar[r] & X \ar[d] \\ \Spec(k) \ar[r] & U \ar[r] & Y }\] 을 얻는다. 왼쪽 위 화살표의 상은 \(\coprod V_{i, j}\) 안에 들어감을 알고 있다. 또한 정의에 의해 \(Z\)는 \(\Spec(k) \times_Y X\)의 열린 부분스킴이고 \((X/Y)_{fin}\)의 정의에 해당하며, 오른쪽 정사각형은 올곱 정사각형임을 상기하자. 따라서 \[Z \subset \coprod\nolimits_{i = 1, \ldots, n}\ \coprod\nolimits_{j = 1, \ldots, m_j} \Spec(k) \times_U V_{i, j}\] 가 열린 부분스킴임을 알 수 있다. 구성상(More on Morphisms, Lemma 02LO 를 보라) 각 \(V_{i, j}\)에는 유일한 점 \(v_{i, j}\)가 있고, 이 점은 \(u\) 위에 놓여 있으며, 잉여체 확대 \(\kappa(v_{i, j})/\kappa(u)\)는 순수 비분리이다. 따라서 각 스킴 \(\Spec(k) \times_U V_{i, j}\)은 정확히 한 점을 갖는다. 그러므로 \[Z = \coprod\nolimits_{(i, j) \in I} \Spec(k) \times_U V_{i, j}\] 이며, 이를 만족하는 유일한 부분집합 \(I \subset \{(i, j) \mid 1 \leq i \leq n, \ 1 \leq j \leq m_i\}\)가 존재한다. 정의를 풀어 쓰면 \[U(y, n, x_1, \ldots, x_n, a, I) \times_{(X/Y)_{fin}} T\] 가 위에서 찾은 \(I\)에 대해 공집합이 아니며, 이것이 원하는 결론이다.
명제
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 분리 국소 유한형 사상이라 하자. 그러면 \((X/Y)_{fin}\)은 대수공간이다. 더 나아가 사상 \((X/Y)_{fin} \to Y\)는 에탈이다.
증명
Lemma 04PG에 의해 \(X\)를 \(Y\) 위에서 국소 준유한인 열린 부분스킴으로 바꾸어도 된다. 따라서 \(f\)가 분리이고 국소 준유한이라고 가정해도 된다. Spaces, Definition 025Y의 세 조건을 확인하자. 조건 (1)은 Lemma 04PE에서 따르고, 조건 (2)는 Lemma 04PK에서 따르며, 마지막으로 조건 (3)은 Lemma 04QG에서 따른다. 따라서 \((X/Y)_{fin}\)은 대수공간이다. 더 나아가 그 보조정리에 의해 가환 도식 \[\xymatrix{ U \ar[rr] \ar[rd] & & (X/Y)_{fin} \ar[ld] \\ & Y }\] 이 존재하는데, 수평 화살표는 전사이고 에탈이며 남동쪽 화살표는 에탈이다. Properties of Spaces, Lemma 03FS에 의해 남서쪽 화살표도 에탈이다.
주
\(f\)가 분리라는 조건은 Proposition 04QH에서 생략할 수 없다. 예로 \(X\)를 영점을 두 겹으로 만든 아핀 직선이라 하자. Schemes, Example 01JD를 보라. \(Y = \mathbf{A}^1_k\)를 아핀 직선이라 하고 \(X \to Y\)를 자명한 사상이라 하자. \(0 \in Y\) 위에는 두 점 \(0_1\)과 \(0_2\)가 있고 이들은 \(X\)에 속함을 상기하자. 따라서 \((X/Y)_{fin}\)은 \(0\) 위에 네 점 \(\emptyset, \{0_1\}, \{0_2\}, \{0_1, 0_2\}\)을 갖는다. 이 네 점 가운데 세 점만이 \(U \times_Y X\)의 열린 부분스킴으로 올려지며, 이 부분스킴은 \(U\) 위에서 유한이고 \(U \to Y\)는 에탈이다. 그 세 점은 \(\emptyset, \{0_1\}, \{0_2\}\)이다. 이는 \((X/Y)_{fin}\)이 대수공간으로 표현가능하더라도 \(Y\) 위에서 에탈이지 않음을 보인다. 비슷한 논증은 \((X/Y)_{fin}\)이 실제로 대수공간이 아님을 보인다. 세부사항은 생략한다.
주
\(Y = \mathbf{A}^1_{\mathbf{R}}\)를 실수체 위의 아핀 직선이라 하고, \(X = \Spec(\mathbf{C})\)가 \(\mathbf{R}\)-유리점 \(0\)으로 사상되며, 이 점은 \(Y\)에 속한다고 하자. 이 경우 사상 \(f : X \to Y\)는 유한이지만 \((X/Y)_{fin}\)이 스킴인 것은 아니다. 실제로 이 경우 대수공간 \((X/Y)_{fin}\)은 Spaces, Example 03FN에서 확대 \(\mathbf{R} \subset \mathbf{C}\)에 결부된 대수공간과 동형임을 보일 수 있다. 따라서 층 \((X/Y)_{fin}\)을 표현하려면 실제로 스킴의 범주를 벗어나야 하며, 이는 \(f\)가 유한 사상인 경우조차 그러하다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 분리 평탄 국소 유한 표시 사상이라 하자. 이 경우
\((X/Y)_{fin} \to Y\)는 분리이고 표현가능하며 에탈이다.
\(Y\)가 스킴이면 \((X/Y)_{fin}\)은 스킴으로 표현가능하다.
증명
\(f\)는 특히 분리이고 국소 유한형이므로(Morphisms of Spaces, Lemma 0464을 보라), Proposition 04QH에 의해 \((X/Y)_{fin}\)은 대수공간이다. \((X/Y)_{fin} \to Y\)가 분리임을 증명하려면 다음을 보여야 한다. 스킴 \(T\)와 두 쌍 \((a, Z_1)\) 및 \((a, Z_2)\)가 주어졌고, 이 두 쌍은 같은 첫 성분을 가지며 \(T\) 위에서 04PC을 만족한다고 하자. 그러면 다음 성질을 갖는 닫힌 부분스킴 \(V \subset T\)가 존재한다. 스킴의 임의의 사상 \(h : T' \to T\)에 대해 \[h \text{가 다음을 통해 인수분해됨 } V \Leftrightarrow \Big(T' \times_T Z_1 = T' \times_T Z_2 \text{가 다음 공간의 부분공간으로서 성립함 }T' \times_Y X\Big)\] 이다. Lemma 04PK의 증명에서
\(V = T' \setminus E\)가 \(T'\)의 열린 부분스킴이고 그 닫힌 여집합이 \[E = \text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right) \cup \text{pr}_0|_{Z_2}\left(Z_2 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right).\] 임을 보았다. 따라서 \(E\)도 열려 있음을 보이는 것으로 모두 귀착된다. Lemma 04PH에 의해 \(Z_1\)과 \(Z_2\)는 \(T' \times_Y X\)에서 닫혀 있다. 따라서 \(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2\)는 \(Z_1\)에서 열려 있다. \(f\)가 평탄하고 국소 유한 표시이므로 \(\text{pr}_0|_{Z_1}\)도 그러하다. 이는 \(Z_1\)이 기저변환 \(T' \times_Y X\)의 열린 부분공간이라는 사실과 Morphisms of Spaces, Lemmas 03XR 및 Lemmas 03MO에서 따른다. 따라서 \(\text{pr}_0|_{Z_1}\)은 열려 있다. Morphisms of Spaces, Lemma 042S을 보라. 그러므로 \(\text{pr}_0|_{Z_1}\left(Z_1 \setminus Z_1 \cap Z_2)\right)\)는 열려 있고, 원하는 대로 \(E\)가 열려 있음이 따른다.
\((X/Y)_{fin} \to Y\)가 에탈임은 이미 보았다. Proposition 04QH를 보라. 따라서 이제 이것이 국소 준유한임을 알고(Morphisms of Spaces, Lemma 03XU을 보라), 또한 분리이므로 Morphisms of Spaces, Lemma 0418에 의해 표현가능하다. 마지막 명제는 분명하다(원한다면 Morphisms of Spaces, Proposition 03XX을 사용할 수 있다).
변형: \(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\sigma : Y \to X\)를 \(f\)의 단면이라 하자. 대수공간 또는 스킴 \(T\)를 생각하자. 이는 \(S\) 위에 있다. 다음과 같은 쌍 \((a, Z)\)를 생각하자. [04RQ]\[\begin{equation} \begin{matrix} a : T \to Y\text{는 S 위의 사상이고}, \\ Z \subset T \times_Y X\text{는 열린 부분공간이며} \\ \text{또한 }\text{pr}_0|_Z : Z \to T\text{는 유한이고} \\ (1_T, \sigma \circ a) : T \to T \times_Y X\text{는 다음을 통해 인수분해된다 }Z. \end{matrix} \end{equation}\] 이런 쌍들을 매개화하는 부분함자를 \((X/Y, \sigma)_{fin}\)으로 나타내겠다. 이는 \((X/Y)_{fin}\)의 부분함자이다.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\sigma : Y \to X\)를 \(f\)의 단면이라 하자. 위에서 정의한 함자의 변환 \[t : (X/Y, \sigma)_{fin} \longrightarrow (X/Y)_{fin}.\] 을 생각하자. 그러면
\(t\)는 열린 몰입으로 표현가능하다.
\(f\)가 분리이면 \(t\)는 열리고 닫힌 몰입으로 표현가능하다.
\((X/Y)_{fin}\)이 대수공간이면 \((X/Y, \sigma)_{fin}\)은 대수공간이며 \((X/Y)_{fin}\)의 열린 부분공간이다.
\((X/Y)_{fin}\)이 스킴이면 \((X/Y, \sigma)_{fin}\)은 그 열린 부분스킴이다.
증명
생략한다. 힌트: \((a, Z)\)가 \(T\) 위에서 (04PC)와 같은 쌍이라고 하자. 그러면 \(Z\)의 \((1_T, \sigma \circ a) : T \to T \times_Y X\)에 의한 역상이 우리가 찾는 \(T\)의 열린 부분스킴이다.
화살표의 유한 모음
\(\mathcal{C}\)를 groupoid라 하자. Categories, Definition 0018을 보라. Groupoids, Section 0230에서 논의했듯이 이는 칠중항 \((\text{Ob}, \text{Arrows}, s, t, c, e, i)\)에 대응한다.
이 자료를 사용하여 다음과 같이 또 다른 groupoid \(\mathcal{C}_{fin}\)을 만들 수 있다.
\(\mathcal{C}_{fin}\)의 대상은 다음 성질을 갖는 유한 부분집합 \(Z \subset \text{Arrows}\)이다.
\(s(Z) = \{u\}\)는 한원소집합이고,
\(e(u) \in Z\)이다.
\(\mathcal{C}_{fin}\)의 사상은 쌍 \((Z, z)\)이다. 여기서 \(Z\)는 \(\mathcal{C}_{fin}\)의 대상이고 \(z \in Z\)이다.
\((Z, z)\)의 원천은 \(Z\)이다.
\((Z, z)\)의 표적은 \(t(Z, z) = \{z' \circ z^{-1}; z' \in Z\}\)이다.
\((Z_1, z_1)\)과 \((Z_2, z_2)\)가 \(s(Z_1, z_1) = t(Z_2, z_2)\)를 만족할 때, 합성 \((Z_1, z_1) \circ (Z_2, z_2)\)는 \((Z_2, z_1 \circ z_2)\)이다.
이것이 groupoid를 정의한다는 확인은 생략한다. 그림으로 보면 \(\mathcal{C}_{fin}\)의 대상은 다음 도식으로 볼 수 있다. \[\xymatrix{ & \bullet \\ \bullet \ar@(ul, dl)[]_e \ar[ru] \ar[r] \ar[rd] & \bullet \\ & \bullet }\] \(\mathcal{C}_{fin}\)의 사상을 만들려면 화살표 하나를 고르고, 나머지 화살표들 앞에 그 역을 합성한다. 예를 들어 가운데 수평 화살표를 고르면 표적은 다음 그림이다. \[\xymatrix{ & \bullet \\ \bullet & \bullet \ar[l] \ar[u] \ar@(dr, ur)[]_e \ar[d] \\ & \bullet }\] \(s(Z, z)\)와 \(t(Z, z)\)의 기수가 같음에 유의하자. 따라서 \(\mathcal{C}_{fin}\)은 실제로 groupoid들의 가산 서로소 합이다.
Groupoid의 유한 부분
이 절에서는 Section 04RS에서 설명한 발상을 사용하여 대수공간에서의 groupoid의 유한 부분을 취한다.
\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. 가정: 사상 \(s, t\)는 분리이고 국소 유한형이다. 이 표기와 가정은 이 절 전체에서 고정한다.
\(R_s\)는 대수공간 \(R\)를 \(U\) 위 대수공간으로 본 것을 나타내며, 그 구조사상은 \(s\)이다. \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\)이라 하자. \(s\)가 분리이고 국소 유한형이므로 Proposition 04QH과 Lemma 04RR에 의해 \(U'\)은 에탈 사상 \(g : U' \to U\)가 주어진 대수공간이다. 또한 Lemma 04PE에 의해 보편 열린 부분공간 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\)이 존재한다. 이는 \(U'\) 위에서 유한이며, \((1_{U'}, e \circ g) : U' \to R \times_{s, U, g} U'\)는 \(Z_{univ}\)을 통해 인수분해된다. 또한 Lemma 04PH에 의해 열린 부분공간 \(Z_{univ}\)은
\(R \times_{s, U', g} U\)에서도 닫혀 있다. 지금까지의 그림은 다음과 같다. \[\xymatrix{ Z_{univ} \ar[d] \ar[rd] & \\ R \times_{s, U, g} U' \ar[d] \ar[r] & U' \ar[d]^g \\ R \ar[r]^s & U }\] \(T\)를 \(B\) 위 스킴이라 하자. \(T\)-값 점인 \(Z_{univ}\)의 점은 다음 조건을 만족하는 삼중항 \((u, Z, z)\)로 볼 수 있다.
\(u : T \to U\)는 \(T\)-값 점인 \(U\)의 점이고,
\(Z \subset R \times_{s, U, u} T\)는 \(T\) 위에서 유한인 열린닫힌 부분공간으로서 \((e \circ u, 1_T)\)가 이를 통해 인수분해되며,
\(z : T \to R\)는 \(T\)-값 점인 \(R\)의 점으로서 \(s \circ z = u\)를 만족하고 \((z, 1_T)\)가 \(Z\)를 통해 인수분해된다.
이렇게 말하고 나면 Section 04RS의 논의로부터 \((Z_{univ}, U')\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid로 만들 수 있음이 직관적으로 분명하다. 확실히 하기 위해 사상 \(s', t', c', e', i'\)을
함자적 관점을 사용하여 하나씩 정의하겠다. (Section 04RS의 간단한 구성을 읽고 이해하기 전에는 이 내용을 읽지 말라.)
사상 \(s' : Z_{univ} \to U'\)는 다음 규칙에 대응한다. \[s' : (u, Z, z) \mapsto (u, Z).\] 사상 \(t' : Z_{univ} \to U'\)는 다음 규칙으로 주어진다. \[t' : (u, Z, z) \mapsto (t \circ z, c(Z, i \circ z)).\] \(c(Z, i \circ z)\)라는 항은 사상 \(c(-, i \circ z) : R \times_{s, U, u} T \to R \times_{s, U, t \circ z} T\)가 \(c(-, z)\)를 역으로 갖는 동형이므로 의미가 있다. 사상 \(e' : U' \to Z_{univ}\)은 다음 규칙으로 주어진다. \[e' : (u, Z) \mapsto (u, Z, (e \circ u, 1_T)).\] 이는 \((e \circ u, 1_T)\)가 \(Z\)를 통해 인수분해된다는 조건 때문에 의미가 있다. 사상 \(i' : Z_{univ} \to Z_{univ}\)은 다음 규칙으로 주어진다. \[i' : (u, Z, z) \mapsto (t \circ z, c(Z, i \circ z), i \circ z).\] 마지막으로 합성은 다음 규칙으로 정의한다. \[c' : ((u_1, Z_1, z_1), (u_2, Z_2, z_2)) \mapsto (u_2, Z_2, z_1 \circ z_2).\] \((U', Z_{univ}, s', t', c', e', i')\)에 대해 대수공간에서의 groupoid 공리들이 성립한다는 확인은 생략한다.
마지막 정보는 다음과 같은 표준적 groupoid 사상이 존재한다는 것이다. \[(U', Z_{univ}, s', t', c', e', i') \longrightarrow (U, R, s, t, c, e, i)\] 실제로 사상 \(U' \to U\)는 사상 \(g : U' \to U\)이며, 이는 규칙 \((u, Z) \mapsto u\)로 정의된다. 사상 \(Z_{univ} \to R\)는 규칙 \((u, Z, z) \mapsto z\)로 정의된다. 이로써 구성이 끝났다. 얻은 결과를 다음과 같이 요약하자.
보조정리
\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. 사상 \(s, t\)가 분리이고 국소 유한형이라고 가정하자. 다음과 같은 표준적 사상이 존재한다. \[(U', Z_{univ}, s', t', c', e', i') \longrightarrow (U, R, s, t, c, e, i)\] 이는 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid들의 사상이며, 다음이 성립한다.
\(g : U' \to U\)는 \((R_s/U, e)_{fin} \to U\)와 동일시되고,
\(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\)은 \(U'\) 위에서 유한인 보편 열린(이면서 닫힌) 부분공간이며 단위원 사상 \(e\)의 기저변환을 포함한다.
증명
위의 논의를 보라.
Groupoid 스킴의 에탈 국소화
이 절에서는 [K-M, Proposition 4.2]와 비슷한 결과들을 증명한다. 조금 더 일반적인 결과를 얻으려 하며, Hilbert 스킴 대신 사상의 유한 부분을 사용하여 Hilbert 스킴의 사용을 피하고자 한다. 목표는 에탈 국소화 뒤에 한 점 위 대수공간에서의 groupoid를 “분할”하는 것이다. 다음은 정의이며, [K-M, Definition 4.1]와 매우 비슷하다.
정의
\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(u \in |U|\)를 한 점이라 하자.
\(R\)가 it \(u\) 위에서 강하게 분할된다는 것은 다음을 만족하는 열린 부분공간 \(P \subset R\)가 존재한다는 뜻이다.
\((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\)는 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid이다.
\(s|_P\), \(t|_P\)는 유한이다.
\(\{r \in |R| : s(r) = u, t(r) = u\} \subset |P|\)이다.
이런 \(P\)의 선택을 it \(R\)의 \(u\) 위에서의 강한 분할이라 한다.
\(R\)가 it \(u\) 위에서 분할된다는 것은 다음을 만족하는 열린 부분공간 \(P \subset R\)가 존재한다는 뜻이다.
\((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\)는 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid이다.
\(s|_P\), \(t|_P\)는 유한이다.
\(\{g \in |G| : g\text{ maps to }u\} \subset |P|\)이다. 여기서 \(G \to U\)는 안정자이다.
이런 \(P\)의 선택을 it \(R\)의 \(u\) 위에서의 분할이라 한다.
\(R\)가 it \(u\) 위에서 준분할된다는 것은 다음을 만족하는 열린 부분공간 \(P \subset R\)가 존재한다는 뜻이다.
\((U, P, s|_P, t|_P, c|_{P \times_{s, U, t} P})\)는 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid이다.
\(s|_P\), \(t|_P\)는 유한이다.
\(e(u) \in |P|\)이다2.
이런 \(P\)의 선택을 it \(R\)의 \(u\) 위에서의 준분할이라 한다.
\(P\)에 관한 조건들과 (04PC)의 쌍들에 관한 조건들이 비슷함에 유의하자. 특히 \(s, t\)가 분리이면 \(P\)는 \(R\)에서도 닫혀 있다(Lemma 04PH를 보라).
대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)가 \(B\) 위에 주어지고 한 점 \(u \in |U|\)가 주어졌다고 하자. 목표가 에탈 국소화 뒤 groupoid를 분할하는 것이므로 \(U\)를 아핀 스킴으로 바꾸어도 무방하다(즉 가능한 모든 응용에서 이것은 해가 없다). 더욱이 앞으로 부과할 추가 가정은 \(R\)가 적어도 \(\{r \in |R| : s(r) = u, t(r) = u\}\) 또는 \(e(u)\)의 근방에서 스킴이 되도록 강제한다. 이것이 아래에 기술하는 groupoid 스킴에서 시작하는 이유이다. 그러나 우리의 증명 기법은 스킴의 범주 밖으로 이끈다. 이 때문에 위에서는 대수공간에서의 groupoid인 경우에 대하여 분할을 정식화하였다. 한편 우리가 아는 응용에서는 사상 \(s\), \(t\)가 평탄하고 유한 표시인 경우만 필요하며, 이 경우에는 결국 다시 스킴의 범주로 돌아온다.
설정
\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위 groupoid 스킴이라 하자. \(u \in U\)를 한 점이라 하자. 다음을 가정한다.
\(s, t : R \to U\)는 분리이다.
\(s\), \(t\)는 국소 유한형이다.
집합 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\)는 유한하다.
\(s\)는 (3)의 집합의 각 점에서 준유한이다.
가정 (3)과 (4)는 올 \(s^{-1}(\{u\})\)가 유한이라는 가정에서 따른다. Morphisms, Lemma 02NG를 보라.
설정
\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위 groupoid 스킴이라 하자. \(u \in U\)를 한 점이라 하자. 다음을 가정한다.
\(s, t : R \to U\)는 분리이다.
\(s\), \(t\)는 국소 유한형이다.
집합 \(\{g \in G : g\text{ maps to }u\}\)는 유한하다. 여기서 \(G \to U\)는 안정자이다.
\(s\)는 (3)의 집합의 각 점에서 준유한이다.
설정
\(S\)를 스킴이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(S\) 위 groupoid 스킴이라 하자. \(u \in U\)를 한 점이라 하자. 다음을 가정한다.
\(s, t : R \to U\)는 분리이다.
\(s\), \(t\)는 국소 유한형이다.
\(s\)는 \(e(u)\)에서 준유한이다.
대수공간의 존재 정리에 적용하려면 준분할의 경우로 충분하다. 더욱이 준분할의 경우를 통해 준-DM 스택의 에탈 국소 구조 정리를 증명할 수 있다. 분할의 경우는 Keel–Mori 정리의 한 판본을 증명하는 데 사용한다. 강한 분할의 경우는 준콤팩트 대각사상을 갖는 준-DM 대수스택의 에탈 국소 구조 정리를 준다.
보조정리
Situation 04RL에서 대수공간 \(U'\), 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\) 위에 놓이며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 강하게 분할된다.
증명
\(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 Lemma 04RU에서 구성한 사상이라 하자. \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\)임을 상기하자. 따라서 대수공간에서의 groupoid들의 사상 \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\)를 얻는다. \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] (표기를 남용하여 두 groupoid의 사상들을 같은 기호로 나타낸다.) 이제 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\)은 열려 있고, \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\)은 \(U' \to U\)의 기저변환이므로 에탈이다. 따라서 \(Z_{univ} \to R'\)은 열린 몰입이다. 구성에 의해 사상 \(s', t' : Z_{univ} \to U'\)은 유한이다. 남은 일은 점 \(u'\)을 \(U'\)에서 찾는 것이다.
보조정리의 명제에서처럼 \(u\)를 사상 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)로 생각한다. \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\)라 놓자. 집합 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\)는 가정에 의해 유한하고, \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\)는 가정에 의해 그 각 원소에서 준유한이다. 따라서 열린닫힌 부분스킴들로의 분해 \[F_u = Z_u \amalg Rest\] 를 찾을 수 있다. 여기서 스킴 \(Z_u\)는 \(\kappa(u)\) 위에서 유한하며 그 받침은 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\)이다. \(e(u) \in Z_u\)임에 유의하자. 따라서 Section 04RT의 \(U'\)의 구성에 의해 \((u, Z_u)\)는 \(\Spec(\kappa(u))\)-값 점 \(u'\)을 \(U'\) 위에 정의한다.
이제 집합 \(\{r' \in |R'| : s'(r') = u', t'(r') = u'\}\)가 \(|Z_{univ}|\)에 포함됨을 보여야 한다. 이 집합의 임의의 점 \(r'\)을 고르고 사상 \(z' : \Spec(k) \to R'\)로 나타내자. \(z : \Spec(k) \to R\)를 \(z'\)와 사상 \(R' \to R\)의 합성이라 하자. 분명 \(z\)는 집합 \(\{r \in R : s(r) = u, t(r) = u\}\)의 원소를 정의한다. 또한 합성 \(s \circ z, t \circ z : \Spec(k) \to U\)는 \(u\)를 통해 인수분해되므로 \(s \circ z, t \circ z\)를 사상 \(\Spec(k) \to \Spec(\kappa(u))\)로 생각할 수 있다. 그러면
\(z' = (z, u' \circ t \circ z, u'\circ s \circ u)\)가 \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\)로 가는 사상이다. 삼중항 \[(s \circ z, Z_u \times_{\Spec(\kappa(u)), s \circ z} \Spec(k), z)\] 을 생각하자. 여기서 \(Z_u\)는 위와 같다. 이는 \(\Spec(k)\)-값 점을 \(Z_{univ}\) 위에 정의한다. 그 \(s', t'\)에 의한 \(U'\)에서의 상은 \(u'\)이고, 사상 \(Z_{univ} \to R'\)에 의한 상은 점 \(r'\)이다. 이는 위에서 언급한 \(z\)와 \(z'\)의 관계에서 따른다. 이로써 증명이 끝난다.
보조정리
Situation 0DTB에서 대수공간 \(U'\), 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\) 위에 놓이며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 분할된다.
증명
\(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 Lemma 04RU에서 구성한 사상이라 하자. \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\)임을 상기하자. 따라서 대수공간에서의 groupoid들의 사상 \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\)를 얻는다. \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] (표기를 남용하여 두 groupoid의 사상들을 같은 기호로 나타낸다.) 이제 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\)은 열려 있고, \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\)은 \(U' \to U\)의 기저변환이므로 에탈이다. 따라서 \(Z_{univ} \to R'\)은 열린 몰입이다. 구성에 의해 사상 \(s', t' : Z_{univ} \to U'\)은 유한이다. 남은 일은 점 \(u'\)을 \(U'\)에서 찾는 것이다.
보조정리의 명제에서처럼 \(u\)를 사상 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)로 생각한다. \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\)라 놓자. \(G_u \subset F_u\)를 \(G \to U\)의 \(u\) 위 스킴론적 올이라 하자. 가정에 의해 \(G_u\)는 유한하고, \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\)는 가정에 의해 \(G_u\)의 각 점에서 준유한이다. 따라서 열린닫힌 부분스킴들로의 분해 \[F_u = Z_u \amalg Rest\] 를 찾을 수 있다. 여기서 스킴 \(Z_u\)는 \(\kappa(u)\) 위에서 유한하며 그 받침은 \(G_u\)이다. \(e(u) \in Z_u\)임에 유의하자. 따라서 Section 04RT의 \(U'\)의 구성에 의해 \((u, Z_u)\)는 \(\Spec(\kappa(u))\)-값 점 \(u'\)을 \(U'\) 위에 정의한다.
이제 집합 \(\{g' \in |G'| : g'\text{ maps to }u'\}\)가 \(|Z_{univ}|\)에 포함됨을 보여야 한다. 이 집합의 임의의 점 \(g'\)을 고르고 사상 \(z' : \Spec(k) \to G'\)로 나타내자. \(z : \Spec(k) \to G\)를 \(z'\)와 사상 \(G' \to G\)의 합성이라 하자. 분명 \(z\)는 \(G_u\)의 한 점을 정의한다. 실제로 이에 대응하는 사상을 \(\tilde u : \Spec(k) \to u \to U\)라고 쓰자. 이는 \(u\) 또는 \(U\)로 가는 사상이다. 삼중항 \[(\tilde u, Z_u \times_{u, \tilde u} \Spec(k), z)\] 을 생각하자. 여기서 \(Z_u\)는 위와 같다. 이는 \(\Spec(k)\)-값 점을 \(Z_{univ}\) 위에 정의한다. 그 \(s', t'\)에 의한 \(U'\)에서의 상은 \(u'\)이고, \(Z_{univ} \to R'\)에 의한 상은 점 \(z'\)이다(\(R\)에서의 상이 \(z\)이기 때문이다). 이로써 증명이 끝난다.
보조정리
Situation 04RV에서 대수공간 \(U'\), 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' : \Spec(\kappa(u)) \to U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u : \Spec(\kappa(u)) \to U\) 위에 놓이며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 준분할된다.
증명
\(f : (U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 Lemma 04RU에서 구성한 사상이라 하자. \(R' = R \times_{(U \times_S U)} (U' \times_S U')\)임을 상기하자. 따라서 대수공간에서의 groupoid들의 사상 \((f, t', s') : Z_{univ} \to R'\)를 얻는다. \[(U', Z_{univ}, s', t', c') \to (U', R', s', t', c')\] (표기를 남용하여 두 groupoid의 사상들을 같은 기호로 나타낸다.) 이제 \(Z_{univ} \subset R \times_{s, U, g} U'\)은 열려 있고, \(R' \to R \times_{s, U, g} U'\)은 \(U' \to U\)의 기저변환이므로 에탈이다. 따라서 \(Z_{univ} \to R'\)은 열린 몰입이다. 구성에 의해 사상 \(s', t' : Z_{univ} \to U'\)은 유한이다. 남은 일은 점 \(u'\)을 \(U'\)에서 찾는 것이다.
보조정리의 명제에서처럼 \(u\)를 사상 \(\Spec(\kappa(u)) \to U\)로 생각한다. \(F_u = R \times_{s, U} \Spec(\kappa(u))\)라 놓자. 사상 \(F_u \to \Spec(\kappa(u))\)는 가정에 의해 \(e(u)\)에서 준유한이다. 따라서 열린닫힌 부분스킴들로의 분해 \[F_u = Z_u \amalg Rest\] 를 찾을 수 있다. 여기서 스킴 \(Z_u\)는 \(\kappa(u)\) 위에서 유한하며 그 받침은 \(e(u)\)이다. 따라서 Section 04RT의 \(U'\)의 구성에 의해 \((u, Z_u)\)는 \(\Spec(\kappa(u))\)-값 점 \(u'\)을 \(U'\) 위에 정의한다. 증명을 끝내려면 \(e'(u') \in Z_{univ}\)임을 보여야 하는데, 이는 분명하다.
마지막으로 가정을 더하면 스킴들을 얻는다.
보조정리
Situation 04RL에서 \(s, t\)가 평탄하고 국소 유한 표시라고 추가로 가정하자. 그러면 스킴 \(U'\), 분리 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' \in U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u\) 위에 놓이고 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)을 만족하며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 강하게 분할된다.
증명
이는 Lemma 03FM의 증명에 나오는 \(U'\)의 구성에서 따른다. 실제로 이 경우 \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\)은 Lemmas 04RI 및 04RR에 의해 \(U\) 위에서 분리인 스킴이다.
보조정리
Situation 0DTB에서 \(s, t\)가 평탄하고 국소 유한 표시라고 추가로 가정하자. 그러면 스킴 \(U'\), 분리 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' \in U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u\) 위에 놓이고 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)을 만족하며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 분할된다.
증명
이는 Lemma 0DTC의 증명에 나오는 \(U'\)의 구성에서 따른다. 실제로 이 경우 \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\)은 Lemmas 04RI 및 04RR에 의해 \(U\) 위에서 분리인 스킴이다.
보조정리
Situation 04RV에서 \(s, t\)가 평탄하고 국소 유한 표시라고 추가로 가정하자. 그러면 스킴 \(U'\), 분리 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' \in U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u\) 위에 놓이고 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)을 만족하며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 준분할된다.
증명
이는 Lemma 04RW의 증명에 나오는 \(U'\)의 구성에서 따른다. 실제로 이 경우 \(U' = (R_s/U, e)_{fin}\)은 Lemmas 04RI 및 04RR에 의해 \(U\) 위에서 분리인 스킴이다.
사실 유한 국소 자유 groupoid들에 관한 앞의 결과를 적용하면 아핀 스킴들을 얻을 수 있다.
보조정리
Situation 04RL에서 \(s, t\)가 평탄하고 국소 유한 표시이며 \(U\)가 아핀이라고 추가로 가정하자. 그러면 아핀 스킴 \(U'\), 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' \in U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u\) 위에 놓이고 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)을 만족하며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 강하게 분할된다.
증명
\(U' \to U\)와 \(u' \in U'\)를 Lemma 04RX에서 찾은 스킴의 분리 에탈 사상과 점이라 하자. \(P \subset R'\)를 \(R'\)의 \(u'\) 위에서의 강한 분할이라 하자. More on Groupoids, Lemma 04MP에 의해 사상 \(s', t' : R' \to U'\)은 평탄하고 국소 유한 표시이다. 이들은 가정에 의해 유한하다. 따라서 \(s', t'\)는 유한 국소 자유이다. Morphisms, Lemma 02KB을 보라. 특히 \(t(s^{-1}(u'))\)는 유한집합 \(\{u'_1, u'_2, \ldots, u'_n\}\)이고, 그 원소들은 \(U'\)의 점들이다. 준콤팩트 열린 \(W \subset U'\)를 고르되 각 \(u'_i\)를 포함하게 하자. \(U\)가 아핀이므로 사상 \(W \to U\)는 준콤팩트이다(Schemes, Lemma 01K4를 보라). 사상 \(W \to U\)는 또한 국소 준유한이고(Morphisms, Lemma 03WS를 보라) 분리이다. 따라서 More on Morphisms, Lemma 02LR (Zariski 주정리의 한 판본)에 의해 \(W\)는 준아핀이다. Properties, Lemma 01ZY에 의해 \(\{u'_1, \ldots, u'_n\}\)는 \(U'\)의 어떤 아핀 열린집합에 포함된다. 따라서 Groupoids, Lemma 03JE를 적용하면 아핀 \(P\)-불변 열린집합 \(U'' \subset U'\)이 존재하고, 이는 \(u'\)을 포함한다.
증명을 끝내기 위해 \(R'' = R|_{U''}\)을 \(R\)의 \(U''\)에 대한 제한이라 하자. 이는 \(R'\)의 \(U''\)에 대한 제한과 같다. \(P \subset R'\)이 열린닫힌 부분스킴이므로 \(P|_{U''} \subset R''\)도 그러하다. 구성에 의해 열린 부분스킴 \(U'' \subset U'\)은 \(P\)-불변이고, 이는 \[P|_{U''} = (s'|_P)^{-1}(U'') = (t'|_P)^{-1}(U'')\] 을 뜻한다(Groupoids, Section 03LN의 논의를 보라). 따라서 \(s''\)과 \(t''\)을 \(P|_{U''}\)에 제한한 사상들은 여전히 유한이다. 부분 groupoid 스킴 \(P|_{U''}\)은 여전히 \(R''\)의 강한 분할이며 그 점은
\(u''\)이다. 위에서 (a), (b), (c)를 확인했으며, 실제로 \[\{r' \in R': t'(r') = u', s'(r') = u'\} = \{r'' \in R'': t''(r'') = u', s''(r'') = u'\}\] 은 자명하다. 보조정리가 증명되었다.
보조정리
Situation 0DTB에서 \(s, t\)가 평탄하고 국소 유한 표시이며 \(U\)가 아핀이라고 추가로 가정하자. 그러면 아핀 스킴 \(U'\), 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' \in U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u\) 위에 놓이고 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)을 만족하며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 분할된다.
증명
이 보조정리의 증명은 Lemma 04RZ의 증명에서 “강한 분할”을 “분할”로 (두 번) 바꾸고, Lemma 04RX에 대한 참조를 Lemma 0DTD에 대한 참조로 바꾸면 문자 그대로 같다.
보조정리
Situation 04RV에서 \(s, t\)가 평탄하고 국소 유한 표시이며 \(U\)가 아핀이라고 추가로 가정하자. 그러면 아핀 스킴 \(U'\), 에탈 사상 \(U' \to U\), 그리고 점 \(u' \in U'\)이 존재한다. 이 점은 \(u\) 위에 놓이고 \(\kappa(u) = \kappa(u')\)을 만족하며, \(R' = R|_{U'}\)은 \(R\)를 \(U'\)에 제한한 것으로서 \(u'\) 위에서 준분할된다.
증명
이 보조정리의 증명은 Lemma 04RZ의 증명에서 “강한 분할”을 “준분할”로 (두 번) 바꾸고, Lemma 04RX에 대한 참조를 Lemma 04RY에 대한 참조로 바꾸면 문자 그대로 같다.