대수공간에서의 Groupoid

서론

이 장에서는 대수공간에서의 groupoid에 관한 일반론을 다룬다. Keel과 Mori의 아름다운 논문 [K-M]을 읽기를 권한다.

여기서 말하는 내용의 상당 부분은 groupoid 스킴에 관한 장에서 다룬 내용을 되풀이한 것이다. Groupoids, Section 022M을 보라. 몫 스택에 관한 논의는 여기서 새로 다룬다.

규약

모든 스킴은 큰 fppf 사이트 \(\Sch_{fppf}\)에 들어 있다고 항상 가정한다. 또한 여기서 다루는 모든 환 \(A\)는 \(\Spec(A)\)가 이 큰 사이트의 대상과 동형이라는 성질을 가진다.

\(S\)를 스킴이라 하고 \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 이 장과 다음 장에서는 \(X \times_S X\)로 \(X\)와 자기 자신의 곱(즉 \(S\) 위 대수공간의 범주에서의 곱)을 나타내며, \(X \times X\)라고 쓰지 않는다.

사영 사상의 첨자를 \(0\)부터 붙이는 규약도 계속 사용한다. 따라서 \(\text{pr}_0 : X \times_S Y \to X\) 및 \(\text{pr}_1 : X \times_S Y \to Y\)이다.

표기

\(S\)를 스킴이라 하자. 이것을 기저 스킴으로 삼으며 모든 대수공간은 \(S\) 위에 놓인다. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. 이것을 기저 대수공간으로 삼으며, 다른 대수공간과 스킴들도 흔히 \(B\) 위에 놓인다. \(X\)가 \(B\) 위의 대수공간이라고 하면, 이는 \(X\)가 \(S\) 위의 대수공간이고 구조 사상 \(X \to B\)가 주어져 있다는 뜻이다. 또한 문자 \(T\)는 \(B\) 위의 시험 스킴을 나타내는 데 가급적 남겨 둔다. 즉 \(T\)는 구조 사상 \(T \to B\)가 주어진 스킴이다. 이 상황에서 \(X(T)\)는 \(T\)-값점들로 이루어진 \(X\)의 집합을 \(B\) 위에서 나타낸다. 식으로 쓰면 \[X(T) = \Mor_B(T, X).\] 마찬가지로 또 다른 대수공간 \(Y\)가 \(B\) 위에 주어지면 \[X(Y) = \Mor_B(Y, X).\] 위와 같이 대수공간 \(X\), \(Y\)가 \(B\) 위에 있고 사상 \(f : X \to Y\)가 \(B\) 위에 주어졌다고 하자. \(T\)를 \(B\) 위의 임의의 스킴이라 하면 유도된 집합의 사상 \[f : X(T) \longrightarrow Y(T)\] 을 얻으며, 이는 스킴 \(T\)에 함자적이고 그 스킴은 \(B\) 위에 있다. \(f\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위의 층 사상이고 층 \(B\) 위에 있으므로, 이 규칙이 \(f\)를 결정하며 그 역도 성립한다는 것이 분명하다. 더 일반적으로 올곱들 사이의 사상에도 같은 표기를 쓴다. 예를 들어 \(X\), \(Y\), \(Z\)가 \(B\) 위의 대수공간이고 \(m : X \times_B Y \to Z \times_B Z\)가 \(B\) 위 대수공간의 사상이면, \(m\)은 \(T\)-값점들 사이의 사상들의 모음 \[X(T) \times Y(T) \longrightarrow Z(T) \times Z(T).\] 에 대응한다고 생각한다. 이후에도 같은 방식이다.

끝으로 대수공간의 두 사상 \(f, g : X \to Y\)가 \(B\) 위에 주어졌다고 하자. 유도 사상 \(f, g : X(T) \to Y(T)\)가 모든 스킴 \(T\)에 대하여 같고 그 스킴이 \(B\) 위에 있으면 \(f = g\)이다. 따라서 사상 \(f, g : X(Z) \to Y(Z)\)도 모든 세 번째 대수공간 \(Z\)가 \(B\) 위에 있을 때 같다. 그러므로 예를 들어 군 대수공간 \(G\)가 \(B\) 위에 있을 때 그 공리를 확인하려면 \(T\)-값점에 대한 도식의 가환성을 확인하면 충분하다. 여기서 \(T\)는 \(B\) 위의 스킴이고, 이는 아래 Definition 043H에서 하는 방식이다.

동치관계

표기는 Groupoids, Section 022O을 보라.

정의

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(U\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하자.

1. \(U\)의 \(B\) 위 전관계란 대수공간들의 임의의 사상 \(j : R \to U \times_B U\)를 말하며, 이 대수공간들은 \(B\) 위에 있다. 이 경우 \(t = \text{pr}_0 \circ j\) 및 \(s = \text{pr}_1 \circ j\)로 두므로 \(j = (t, s)\)이다.

2. \(U\)의 \(B\) 위 관계란 대수공간들의 단사 사상 \(j : R \to U \times_B U\)를 말하며, 이 대수공간들은 \(B\) 위에 있다.

3. 전동치관계란 전관계 \(j : R \to U \times_B U\)로서, \(j : R(T) \to U(T) \times U(T)\)의 상이 모든 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 동치관계인 것을 말한다.

4. 대수공간의 사상 \(R \to U \times_B U\)가 \(B\) 위에 있다고 하자. 이것이 \(U\)의 \(B\) 위 동치관계라는 것은, 모든 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 \(T\)-값점들 가운데 \(R\)에 속하는 것들이 \(T\)-값점들 가운데 \(U\)에 속하는 것들의 집합에 동치관계를 정의한다는 것과 동치이다.

달리 말하면, 동치관계란 \(j\)가 관계인 전동치관계이다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(U\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하자. \(j : R \to U \times_B U\)를 전관계라 하자. \(g : U' \to U\)를 \(B\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 끝으로 \[R' = (U' \times_B U')\times_{U \times_B U} R \xrightarrow{j'} U' \times_B U'\] 로 두자. 그러면 \(j'\)은 \(U'\)의 전관계이며 \(B\) 위에 있다. \(j\)가 관계이면 \(j'\)도 관계이다. \(j\)가 전동치관계이면 \(j'\)도 전동치관계이다. \(j\)가 동치관계이면 \(j'\)도 동치관계이다.

증명

생략한다.

정의

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(U\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하자. \(j : R \to U \times_B U\)를 전관계라 하자. \(g : U' \to U\)를 \(B\) 위 대수공간의 사상이라 하자. Lemma 043D의 전관계 \(j' : R' \to U' \times_B U'\)를 전관계 \(j\)의 \(U'\)로의 제한 또는 당김이라 한다. 이 상황에서 때로는 \(R' = R|_{U'}\)라고 쓴다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(j : R \to U \times_B U\)를 \(B\) 위 대수공간의 전관계라 하자. 다음 규칙으로 정의한 \(|U|\) 위의 관계를 생각하자. \[x \sim y \Leftrightarrow \exists\ r \in |R| : t(r) = x, s(r) = y.\] \(j\)가 전동치관계이면 이것은 동치관계이다.

증명

\(x \sim y\)이고 \(y \sim z\)라고 하자. \(r \in |R|\) 가운데 \(t(r) = x\), \(s(r) = y\)인 것을 택하고, \(r' \in |R|\) 가운데 \(t(r') = y\), \(s(r') = z\)인 것을 택하자. 체 \(K\)를 택하여 \(r\)과 \(r'\)을 사상 \(r, r' : \Spec(K) \to R\)로 나타내고 \(s \circ r = t \circ r'\)이 되게 할 수 있다. \(x = t \circ r\), \(y = s \circ r = t \circ r'\), \(z = s \circ r'\)로 두면 \(x, y, z : \Spec(K) \to U\)이다. 구성상 \((x, y) \in j(R(K))\)이고 \((y, z) \in j(R(K))\)이다. \(j\)가 전동치관계이므로 \((x, z) \in j(R(K))\)도 성립한다. 이는 명백히 \(x \sim z\)를 함의한다.

\(\sim\)이 반사적이고 대칭적이라는 증명은 생략한다.

군 대수공간

표기는 Groupoids, Section 022R을 보라.

정의

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자.

1. \(B\) 위의 군 대수공간이란 쌍 \((G, m)\)을 말한다. 여기서 \(G\)는 \(B\) 위의 대수공간이고 \(m : G \times_B G \to G\)는 다음 성질을 가지는 \(B\) 위 대수공간의 사상이다. 모든 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 쌍 \((G(T), m)\)은 군이다.

2. 군 대수공간의 사상 \(\psi : (G, m) \to (G', m')\)가 \(B\) 위에 있다는 것은, 대수공간의 사상 \(\psi : G \to G'\)가 \(B\) 위에 있고 모든 \(T/B\)에 대하여 유도 사상 \(\psi : G(T) \to G'(T)\)가 군 준동형인 것을 말한다.

\((G, m)\)을 대수공간 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. Groupoids, Section 022R의 논의에 의해 \(B\) 위 대수공간의 사상 (항등원) \(e : B \to G\)와 (역원) \(i : G \to G\)를 얻으며, 모든 \(T\)에 대하여 사중항 \((G(T), m, e, i)\)는 군의 공리를 만족한다.

\((G, m)\), \((G', m')\)을 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하고 \(f : G \to G'\)를 \(B\) 위 대수공간의 사상이라 하자. 정의에 따라 \(f\)가 \(B\) 위 군 대수공간의 사상인 것은 다음 도식이 가환인 것과 동치이다. \[\xymatrix{ G \times_B G \ar[r]_-{f \times f} \ar[d]_m & G' \times_B G' \ar[d]^m \\ G \ar[r]^f & G' }\]

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((G, m)\)을 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(B' \to B\)를 대수공간의 사상이라 하자. 당김 \((G_{B'}, m_{B'})\)은 \(B'\) 위의 군 대수공간이다.

증명

생략한다.

군 대수공간의 성질

이 절에서는 임의의 기저 위에서 성립하는 군 대수공간의 몇 가지 간단한 성질을 모은다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(G\)를 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(G \to B\)가 분리(각각 준분리, 국소 분리)인 것은 항등원 사상 \(e : B \to G\)가 폐몰입(각각 준콤팩트, 몰입)인 것과 동치이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 03KP에 의해, \(e\)가 폐몰입(각각 준콤팩트, 몰입)인 것은 \(G \to B\)가 분리(각각 준분리, 국소 분리)이면 성립함을 상기하자. 역으로 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ G \ar[r]_-{\Delta_{G/B}} \ar[d] & G \times_B G \ar[d]^{(g, g') \mapsto m(i(g), g')} \\ B \ar[r]^e & G }\] 이 도식이 데카르트라는 것은 대수기하학의 함자적 관점에 관한 한 연습문제이다. 달리 말하면 \(\Delta_{G/B}\)는 \(e\)의 밑변환이다. 따라서 \(e\)가 폐몰입(각각 준콤팩트, 몰입)이면 \(\Delta_{G/B}\)도 그러하다. Spaces, Lemma 02YW (각각 Morphisms of Spaces, Lemma 03HF, 각각 Spaces, Lemma 02YW)를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(G\)를 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(G \to B\)가 국소 유한형이라고 가정하자. 그러면 \(G \to B\)가 비분기(각각 국소 준유한)인 것은 \(G \to B\)가 \(e(b)\)에서 비분기(각각 준유한)이고 이것이 모든 \(b \in |B|\)에 대하여 성립하는 것과 동치이다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 05W2 (각각 Morphisms of Spaces, Lemma 0ABM)에 의해, \(U \subset G\)인 최대 열린 부분공간 가운데 \(U \to B\)가 비분기(각각 국소 준유한)가 되는 것이 있으며, \(U\)의 형성은 밑변환과 가환한다. 따라서 \(B = \Spec(k)\)가 체의 스펙트럼인 경우로 환원된다. \(g \in G(K)\)를 확대 \(K/k\)에 값을 가지는 점이라 하자. \(g\)가 \(U\)에 속하는지 확인할 때 \(K\)로 밑변환할 수 있다. 그러므로 다음을 보이면 충분하다. \[G \to \Spec(k)\text{가 다음 점에서 비분기이다: }e \Leftrightarrow G \to \Spec(k)\text{가 다음 점에서 비분기이다: }g\] 여기서 \(k\)-유리점은 \(g\)이다(준유한성과 \(g\), \(e\)에 대해서도 마찬가지이다). \(g\)에 의한 평행이동은 \(G\)의 자기동형이고 이는 \(k\) 위에 있으므로 분명하다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(G\)를 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(G \to B\)가 국소 유한형이라고 가정하자.

1. \(U \subset B\)인 최대 열린 부분공간으로서 \(G_U \to U\)가 비분기인 것이 존재하며, \(U\)의 형성은 밑변환과 가환한다.

2. \(U \subset B\)인 최대 열린 부분공간으로서 \(G_U \to U\)가 국소 준유한인 것이 존재하며, \(U\)의 형성은 밑변환과 가환한다.

증명

Morphisms of Spaces, Lemma 05W2 (각각 Morphisms of Spaces, Lemma 0ABM)에 의해, \(W \subset G\)인 최대 열린 부분공간 가운데 \(W \to B\)가 비분기(각각 국소 준유한)가 되는 것이 있다. 또한 \(W\)의 형성은 밑변환과 가환한다. 두 경우 모두 Lemma 0DSI에 의해 \(U = e^{-1}(W)\)이다.

군 대수공간의 예

\(G \to S\)가 기저 스킴 \(S\) 위의 군 스킴이면, 밑변환 \(G_B\)를 임의의 대수공간 \(B\)에 \(S\) 위에서 취했을 때, 이는 Lemma 043I에 의해 \(B\) 위의 군 대수공간이다.

아래 예들에서 이를 자주 사용한다.

예

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 구조층의 전역 절단의 단위원군 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\)를 대응시키는 함자를 생각하자. 이는 군 대수공간 \[\mathbf{G}_{m, B} = B \times_S \mathbf{G}_{m, S}\] 으로 표현되고 이 공간은 \(B\) 위에 있다. 여기서 \(\mathbf{G}_{m, S}\)는 \(S\) 위의 곱셈군 스킴이다. Groupoids, Example 022U을 보라.

예

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(n \in \mathbf{N}\)이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T^*)\)의 부분군 가운데 \(n\)차 1의 근들로 이루어진 것을 대응시키는 함자를 생각하자. 이는 군 대수공간 \[\mu_{n, B} = B \times_S \mu_{n, S}\] 으로 표현되고 이 공간은 \(B\) 위에 있다. 여기서 \(\mu_{n, S}\)는 \(n\)차 1의 근들의 군 스킴이고 \(S\) 위에 있다. Groupoids, Example 040M를 보라.

예

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 구조층의 전역 절단군 \(\Gamma(T, \mathcal{O}_T)\)를 대응시키는 함자를 생각하자. 이는 군 대수공간 \[\mathbf{G}_{a, B} = B \times_S \mathbf{G}_{a, S}\] 으로 표현되고 이 공간은 \(B\) 위에 있다. 여기서 \(\mathbf{G}_{a, S}\)는 \(S\) 위의 덧셈군 스킴이다. Groupoids, Example 022V을 보라.

예

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(n \geq 1\)이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 군 \[\text{GL}_n(\Gamma(T, \mathcal{O}_T))\] 을 대응시키는 함자를 생각하자. 이는 구조층의 전역 절단 위의 가역 \(n \times n\) 행렬들로 이루어진다. 이는 군 대수공간 \[\text{GL}_{n, B} = B \times_S \text{GL}_{n, S}\] 으로 표현되고 이 공간은 \(B\) 위에 있다.

여기서 \(\mathbf{G}_{m, S}\)는 \(S\) 위의 일반선형군 스킴이다. Groupoids, Example 022W을 보라.

예

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(n \geq 1\)이라 하자. 행렬식은 군 대수공간의 사상 \[\det : \text{GL}_{n, B} \longrightarrow \mathbf{G}_{m, B}\] 을 정의하고 이 사상은 \(B\) 위에 있다. 이는 \(S\) 위의 행렬식 사상, 즉 Groupoids, Example 022X의 사상의 밑변환이다.

예

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(G\)를 추상군이라 하자. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 국소 상수 사상 \(T \to G\)의 군을 대응시키는 함자를 생각하자 (여기서 \(T\)에는 자리스키 위상을, \(G\)에는 이산 위상을 준다). 이는 군 대수공간 \[G_B = B \times_S G_S\] 으로 표현되고 이 공간은 \(B\) 위에 있다. 여기서 \(G_S\)는 Groupoids, Example 03YW에서 도입한 상수 군 스킴이다.

군 대수공간의 작용

표기는 Groupoids, Section 022Y을 보라.

정의

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((G, m)\)을 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(X\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하자.

1. \(G\)의 대수공간 \(X/B\) 위 작용이란 사상 \(a : G \times_B X \to X\)가 \(B\) 위에 있고, 모든 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 사상 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\)가 \(G(T)\)-집합의 구조를 \(X(T)\)에 정의하는 것을 말한다.

2. \(X\), \(Y\)가 \(B\) 위의 대수공간이고 각각 \(G\)의 작용을 갖추었다고 하자. 동변 사상, 더 정확히는 \(G\)-동변 사상 \(\psi : X \to Y\)란 \(B\) 위 대수공간의 사상으로서, 모든 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 \(\psi : X(T) \to Y(T)\)가 \(G(T)\)-집합의 사상인 것을 말한다.

상황 (1)에서는 도식들 [043R]\[\begin{equation} \xymatrix{ G \times_B G \times_B X \ar[r]_-{1_G \times a} \ar[d]_{m \times 1_X} & G \times_B X \ar[d]^a \\ G \times_B X \ar[r]^a & X } \quad \xymatrix{ G \times_B X \ar[r]_-a & X \\ X\ar[u]^{e \times 1_X} \ar[ru]_{1_X} } \end{equation}\] 이 가환이라는 뜻이다. 상황 (2)에서는 단지 도식 \[\xymatrix{ G \times_B X \ar[r]_-{\text{id} \times f} \ar[d]_a & G \times_B Y \ar[d]^a \\ X \ar[r]^f & Y }\] 이 가환이라는 뜻이다.

정의

Definition 043Q에서와 같이 \(B \to S\), \(G \to B\), \(X \to B\)라 하자. \(a : G \times_B X \to X\)를 \(G\)의 \(X/B\) 위 작용이라 하자. 모든 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 \(a : G(T) \times X(T) \to X(T)\)가 군 \(G(T)\)의 집합 \(X(T)\) 위 자유 작용이면, 이 작용을 자유롭다고 한다.

보조정리

Definition 06P8과 같은 상황이라 하자.

작용 \(a\)가 자유로운 것은 \[G \times_B X \to X \times_B X, \quad (g, x) \mapsto (a(g, x), x)\] 가 대수공간의 단사 사상인 것과 동치이다.

증명

정의에서 즉시 따른다.

주동차 공간

이 절은 Groupoids, Section 0497에 대응한다. 먼저 그 절을 읽기를 권한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \((G, m)\)을 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(X\)를 \(B\) 위의 대수공간이라 하고, \(a : G \times_B X \to X\)를 \(G\)의 \(X\) 위 작용이라 하자.

1. \(X\)를 유사 \(G\)-토서라 하거나 \(X\)가 \(G\) 아래 형식적 주동차라고 하는 것은 유도 사상 \(G \times_B X \to X \times_B X\), \((g, x) \mapsto (a(g, x), x)\)가 동형일 때이다.

2. 유사 \(G\)-토서 \(X\)에 대하여

   \(G\)-동변 동형 \(G \to X\)가 \(B\) 위에 존재하고 \(G\)가 \(G\) 위에 왼쪽 곱셈으로 작용하면, 이를 자명하다고 한다.

대수공간의 사상 \(B' \to B\)가 주어졌다고 하자. 그러면 당김 \(X_{B'}\)은, 원래의 유사 \(G\)-토서가 \(B\) 위에 있을 때, 유사 \(G_{B'}\)-토서이고 \(B'\) 위에 있음이 분명하다.

보조정리

Definition 04TW의 상황에서 다음이 성립한다.

1. 대수공간 \(X\)가 유사 \(G\)-토서인 것은 모든 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 집합 \(X(T)\)가 공집합이거나 군 \(G(T)\)의 \(X(T)\) 위 작용이 단순 추이적인 것과 동치이다.

2. 유사 \(G\)-토서 \(X\)가 자명한 것은 사상 \(X \to B\)가 절단을 갖는 것과 동치이다.

증명

생략한다.

정의

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \((G, m)\)을 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(X\)를 유사 \(G\)-토서라 하고 이것은 \(B\) 위에 있다고 하자.

1. \(X\)를 주동차 공간, 더 정확히는 주동차 \(G\)-공간이며 \(B\) 위에 있는 것이라고 하는 것은, fpqc 덮개¹ \(\{B_i \to B\}_{i \in I}\)가 존재하여 각각의 \(X_{B_i} \to B_i\)가 절단을 가지면(즉 자명한 유사 \(G_{B_i}\)-토서이면) 성립한다.

2. \(\tau \in \{Zariski, \etale, smooth, syntomic, fppf\}\)라 하자. \(X\)를 \(G\)-토서라 하되 그 위상이 \(\tau\)라고 하거나, \(\tau\) \(G\)-토서, 간단히 \(\tau\) 토서라고 하는 것은 \(\tau\) 덮개 \(\{B_i \to B\}_{i \in I}\)가 존재하여 각각의 \(X_{B_i} \to B_i\)가 절단을 가질 때이다.

3. \(X\)가 주동차 \(G\)-공간이고 \(B\) 위에 있다고 하자. 이것이 에탈 위상에 대한 토서이면 준등자명이라고 한다.

4. \(X\)가 주동차 \(G\)-공간이고 \(B\) 위에 있다고 하자. 이것이 자리스키 위상에 대한 토서이면 국소 자명이라고 한다.

때로는 “\(X\)를 \(G\)-주동차 공간이라 하고 \(B\) 위에 두자”라고 말한다. 이는 \(X\)가 \(B\) 위의 대수공간이고 \(G\)의 작용을 갖추어 \(B\) 위의 주동차 공간이 됨을 뜻한다. 이제 두 표기가 모두 적용될 때 앞에서 도입한 표기와 일치함을 보인다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \((G, m)\)을 \(S\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(X\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하고, \(a : G \times_S X \to X\)를 \(G\)의 \(X\) 위 작용이라 하자. 그러면 Definition 04TY의 의미에서 \(X\)가 \(G\)-토서이고 그 위상이 \(fppf\)인 것은 Cohomology on Sites, Definition 03AH의 의미에서 \(X\)가 \(G\)-토서이고 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에 있는 것과 동치이다.

증명

생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위의 대수공간이라 하자. \(G\)를 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(X\)를 유사 \(G\)-토서라 하고 이것은 \(B\) 위에 있다고 하자.

\(G\)와 \(X\)가 \(B\) 위에서 국소 유한형이라고 가정하자.

1. \(G \to B\)가 비분기이면 \(X \to B\)도 비분기이다.

2. \(G \to B\)가 국소 준유한이면 \(X \to B\)도 국소 준유한이다.

증명

(1)의 증명. Morphisms of Spaces, Lemma 05W2에 의해 \(B\)가 체의 스펙트럼인 경우로 환원된다. \(X\)가 공집합이면 결론이 성립한다. \(X\)가 공집합이 아니면 체를 확대하여 \(X\)가 점을 가진다고 가정할 수 있다. 그러면 \(G \cong X\)이고 결론이 성립한다.

(2)의 증명도 Morphisms of Spaces, Lemma 0ABM를 사용하면 완전히 같은 방식으로 진행된다.

동변 준연접층

Groupoids, Section 03LE와 비교하라.

정의

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((G, m)\)을 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하고, \(a : G \times_B X \to X\)를 \(G\)의 작용이라 하자. 여기서 대수공간 \(X\)는 \(B\) 위에 있다. \(G\)-동변 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군, 또는 간단히 동변 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이란 쌍 \((\mathcal{F}, \alpha)\)를 말한다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이고, \(\alpha\)는 \(\mathcal{O}_{G \times_B X}\)-가군 사상 \[\alpha : a^*\mathcal{F} \longrightarrow \text{pr}_1^*\mathcal{F}\] 이며, \(\text{pr}_1 : G \times_B X \to X\)는 사영이고 다음을 만족한다.

1. 도식

   \[\xymatrix{ (1_G \times a)^*\text{pr}_2^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_{12}^*\alpha} & \text{pr}_2^*\mathcal{F} \\ (1_G \times a)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]^{(1_G \times a)^*\alpha} \ar@{=}[r] & (m \times 1_X)^*a^*\mathcal{F} \ar[u]_{(m \times 1_X)^*\alpha} }\]

   은 \(\mathcal{O}_{G \times_B G \times_B X}\)-가군의 범주에서 가환한다.

2. 당김 \[(e \times 1_X)^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 은 항등 사상이다.

설명은 Equation (043R)의 관련 도식들과 비교하라.

첫 번째 도식의 가환성은 \((e \times 1_X)^*\alpha\)가 \(\mathcal{F}\) 위의 멱등 연산자임을 보장한다. 따라서 조건 (2)는 이것이 동형이라는 조건일 뿐이다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \(G\)를 \(B\) 위의 군 대수공간이라 하자. \(f : X \to Y\)를 \(G\)-동변 사상이라 하자. 여기서 두 대수공간은 \(B\) 위에 있고 \(G\)-작용을 갖춘다.

당김 \(f^*\)를 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, (1_G \times f)^*\alpha)\) 로 정의하면, 준연접 \(G\)-동변층 가운데 \(Y\) 위에 있는 것들의 범주에서 준연접 \(G\)-동변층 가운데 \(X\) 위에 있는 것들의 범주로 가는 함자가 된다.

증명

생략한다.

대수공간에서의 groupoid

표기는 Groupoids, Section 0230을 보라.

정의

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자.

1. \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid란 오중항 \((U, R, s, t, c)\)를 말한다. 여기서 \(U\)와 \(R\)은 \(B\) 위의 대수공간이고, \(s, t : R \to U\) 및 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)은 다음 성질을 가지는 \(B\) 위 대수공간의 사상이다. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 오중항 \[(U(T), R(T), s, t, c)\] 은 groupoid 범주이다.

2. 대수공간에서의 groupoid의 사상 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)가 \(B\) 위에 있다는 것은 대수공간의 사상 \(f : U \to U'\) 및 \(f : R \to R'\)가 \(B\) 위에 주어지고 다음 성질을 만족하는 것을 말한다. 임의의 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 사상 \(f\)는 groupoid 범주 \((U(T), R(T), s, t, c)\)에서 groupoid 범주 \((U'(T), R'(T), s', t', c')\)로 가는 함자를 정의한다.

\((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 이것은 \(B\) 위에 있다고 하자. 대수공간의 유일한 사상 \(e : U \to R\) 및 \(i : R \to R\)가 \(B\) 위에 존재하여, 모든 스킴 \(T\)가 \(B\) 위에 있을 때 유도 사상

\(e : U(T) \to R(T)\)는 항등이고,

\(i : R(T) \to R(T)\)는 groupoid 범주의 역원이다. 칠중항 \((U, R, s, t, c, e, i)\)은 Groupoids, Section 0230의 공리 (1), (2)(a), (2)(b), (3)(a), (3)(b)에 각각 대응하는 가환 도식들을 만족한다. 반대로 이 성질을 가지는 칠중항이 주어지면 오중항 \((U, R, s, t, c)\)는 대수공간에서의 groupoid이고 \(B\) 위에 있다. \(i\)는 동형이고 \(e\)는 \(s\)와 \(t\) 모두의 절단임에 유의하라. 또한 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid가 주어지면 다음과 같이 쓴다. \[j = (t, s) : R \longrightarrow U \times_B U\] 이는 위의 Section 043B에서 정한 관례와 양립한다. 항등원과 역원의 존재를 강조하려고 때로는 “\((U, R, s, t, c, e, i)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자”라고 말한다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)가 \(B\) 위에 주어지면, 사상 \(j : R \to U \times_B U\)는 전동치관계이다.

증명

생략한다. 정의에 관한 좋은 연습문제이다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. 동치관계 \(j : R \to U \times_B U\)가 \(B\) 위에 주어지면, 이를 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)로 확장하고 \(B\) 위에 두는 방법이 유일하게 존재한다.

증명

생략한다. 정의에 관한 좋은 연습문제이다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. 가환 도식 \[\xymatrix{ & U & \\ R \ar[d]_s \ar[ru]^t & R \times_{s, U, t} R \ar[l]^-{\text{pr}_0} \ar[d]^{\text{pr}_1} \ar[r]_-c & R \ar[d]^s \ar[lu]_t \\ U & R \ar[l]_t \ar[r]^s & U }\] 에서 아래쪽 두 정사각형은 올곱 정사각형이다. 또한 위쪽 삼각형은 (실제로는 정사각형인데) 역시 데카르트이다.

증명

생략한다. 이는 정의와 대수기하학의 함자적 관점에 관한 연습문제이다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. 도식 [04P3]\[\begin{equation} \xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-{\text{pr}_1} \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_0 \times c \circ (i, 1)} & R \ar[r]^t \ar[d]^{\text{id}_R} & U \ar[d]^{\text{id}_U} \\ R \times_{s, U, t} R \ar@<1ex>[r]^-c \ar@<-1ex>[r]_-{\text{pr}_0} \ar[d]_{\text{pr}_1} & R \ar[r]^t \ar[d]^s & U \\ R \ar@<1ex>[r]^s \ar@<-1ex>[r]_t & U } \end{equation}\] 은 가환한다. 위쪽 두 행은 주어진 수직 사상들을 통해 동형이다. 왼쪽 아래의 두 정사각형은 데카르트이다.

증명

도식의 가환성은 groupoid의 공리에서 따른다. groupoid의 말로 하면, 왼쪽 위 수직 화살표는 같은 표적을 가지는 사상의 쌍 \((\alpha, \beta)\)에 사상의 쌍 \((\alpha, \alpha^{-1} \circ \beta)\)를 대응시킨다. 모든 groupoid에서 이는 \(\text{Arrows} \times_{t, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\)와 \(\text{Arrows} \times_{s, \text{Ob}, t} \text{Arrows}\) 사이의 전단사를 정의한다. 따라서 보조정리의 두 번째 주장이 따른다. 마지막 주장은 Lemma 043Z에서 따른다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \(B' \to B\)를 대수공간의 사상이라 하자. 그러면 밑변환 \(U' = B' \times_B U\), \(R' = B' \times_B R\)에 \(s'\), \(t'\), \(c'\)를 갖추되 이들이 사상 \(s, t, c\)의 밑변환이면, 대수공간에서의 groupoid \((U', R', s', t', c')\)가 되고 이것은 \(B'\) 위에 있다. 또한 사영들은 대수공간에서의 groupoid의 사상 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 정의하며 이것은 \(B\) 위에 있다.

증명

생략한다. 힌트: \(R' \times_{s', U', t'} R' = B' \times_B (R \times_{s, U, t} R)\).

Groupoid 위의 준연접층

Groupoids, Section 03LH와 비교하라.

정의

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군이란 쌍 \((\mathcal{F}, \alpha)\)를 말한다. 여기서 \(\mathcal{F}\)는 준연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이고, \(\alpha\)는 \(\mathcal{O}_R\)-가군 사상 \[\alpha : t^*\mathcal{F} \longrightarrow s^*\mathcal{F}\] 이며 다음을 만족한다.

1. 도식 \[\xymatrix{ & \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \ar[r]_-{\text{pr}_1^*\alpha} & \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[rd] & \\ \text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \ar@{=}[ru] & & & c^*s^*\mathcal{F} \\ & \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \ar[lu]^{\text{pr}_0^*\alpha} \ar@{=}[r] & c^*t^*\mathcal{F} \ar[ru]_{c^*\alpha} }\]

   은 \(\mathcal{O}_{R \times_{s, U, t} R}\)-가군의 범주에서 가환한다.

2. 당김 \[e^*\alpha : \mathcal{F} \longrightarrow \mathcal{F}\] 은 항등 사상이다.

Lemma 043Z의 가환 도식들과 비교하라.

첫 번째 도식의 가환성은 연산자 \(e^*\alpha\)가 멱등임을 강제한다. 따라서 두 번째 조건은 \(e^*\alpha\)가 동형이라는 말로 다시 쓸 수 있다. 실제로 이 조건은 \(\alpha\)가 동형임을 함의한다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군이면 \(\alpha\)는 동형이다.

증명

Definition 0441의 가환 도식을 사상 \((i, 1) : R \to R \times_{s, U, t} R\)로 당겨오자. 그러면 \(i^*\alpha \circ \alpha = s^*e^*\alpha\)임을 알 수 있다. 사상 \((1, i)\)로 당겨오면 관계 \(\alpha \circ i^*\alpha = t^*e^*\alpha\)를 얻는다. 두 번째 가정에 의해 이 사상들은 항등이다. 따라서 \(i^*\alpha\)는 \(\alpha\)의 역이다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. 사상 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)를 생각하자. 이는

대수공간에서의 groupoid의 사상이고 \(B\) 위에 있다. 다음으로 정의한

당김 \(f^*\) \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f^*\mathcal{F}, f^*\alpha)\] 은 \((U', R', s', t', c')\) 위의 준연접층의 범주에서 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접층의 범주로 가는 함자를 정의한다.

증명

생략한다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. 사상 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)를 생각하자. 이는 대수공간에서의 groupoid의 사상이고 \(B\) 위에 있다. 다음을 가정하자.

1. \(f : U \to U'\)는 준콤팩트이고 준분리이다.

2. 정사각형 \[\xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 은 데카르트이다.

3. \(s'\)와 \(t'\)는 평탄하다.

다음으로 정의한 앞보냄 \(f_*\) \[(\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (f_*\mathcal{F}, f_*\alpha)\] 은 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접층의 범주에서 \((U', R', s', t', c')\) 위의 준연접층의 범주로 가는 함자를 정의하며, Lemma 0442에서 정의한 당김의 오른쪽 수반이다.

증명

\(U \to U'\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 \(f_*\)는 준연접층을 준연접층으로 보낸다(Morphisms of Spaces, Lemma 03M9). 또한 정사각형들 \[\vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' } } \quad\text{및}\quad \vcenter{ \xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' } }\] 이 데카르트이므로 \((t')^*f_*\mathcal{F} = f_*t^*\mathcal{F}\) 및 \((s')^*f_*\mathcal{F} = f_*s^*\mathcal{F}\)를 얻는다. Cohomology of Spaces, Lemma 073K를 보라. 따라서 \(f_*\alpha\)를 사상 \((t')^*f_*\mathcal{F} \to (s')^*f_*\mathcal{F}\)로 생각하는 것은 타당하다. 비슷한 논증으로 \(f_*\alpha\)가 코사이클 조건을 만족함을 알 수 있다. 환 달린 공간 위 가군의 당김과 앞보냄은 서로 수반이므로 이 함자는 당김 함자와 수반이다. 몇 가지 세부사항은 생략한다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주는 여극한을 가진다.

증명

\(i \mapsto (\mathcal{F}_i, \alpha_i)\)를 도식이라 하고 그 지표 범주를 \(\mathcal{I}\)라 하자. 여극한 \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{F}_i\)를 만들 수 있으며, 이는 \(U\) 위의 준연접층이다. Properties of Spaces, Lemma 03M1를 보라. 여극한은 당김과 가환하므로 \(s^*\mathcal{F} = \colim s^*\mathcal{F}_i\)이고, 마찬가지로 \(t^*\mathcal{F} = \colim t^*\mathcal{F}_i\)이다. 따라서 \(\alpha = \colim \alpha_i\)로 둘 수 있다. \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주에서 이 도식의 여극한이라는 증명은 생략한다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \(s\), \(t\)가 평탄하면 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 범주는 아벨 범주이다.

증명

\(\varphi : (\mathcal{F}, \alpha) \to (\mathcal{G}, \beta)\)를 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군의 준동형이라 하자. \(s\)가 평탄하므로 \[0 \to s^*\Ker(\varphi) \to s^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{G} \to s^*\Coker(\varphi) \to 0\] 은 완전하고 \(t\)를 따른 당김도 마찬가지이다. 따라서 \(\alpha\)와 \(\beta\)는 코사이클 조건을 만족하는 동형 \(\kappa : t^*\Ker(\varphi) \to s^*\Ker(\varphi)\) 및 \(\lambda : t^*\Coker(\varphi) \to s^*\Coker(\varphi)\)를 유도한다. 이제 \((\Ker(\varphi), \kappa)\)와 \((\Coker(\varphi), \lambda)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군 범주에서 각각 핵과 여핵임을 확인하는 것은 곧바르다. 또한 \(\Coim(\varphi) = \Im(\varphi)\)라는 조건은 \(U\) 위에서 성립하므로 여기서도 성립한다.

준연접 가군의 여극한

이 절은 Groupoids, Section 07TS에 대응한다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \(s, t\)가 평탄하고 준콤팩트이며 준분리라고 가정하자. 임의의 준연접 가군 \(\mathcal{G}\)가 \(U\) 위에 있을 때 표준 동형 \(\alpha : t^*s_*t^*\mathcal{G} \to s^*s_*t^*\mathcal{G}\)가 존재하며, 이는 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)를 \((U, R, s, t, c)\) 위의 준연접 가군으로 만든다. 이 구성은 함자 \[\QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(U, R, s, t, c)\] 를 정의하며, 이 함자는 망각 함자 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\)의 오른쪽 수반이다.

증명

준콤팩트이고 준분리인 사상을 따른 준연접 가군의 앞보냄은 준연접이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03M9를 보라. 따라서 \(s_*t^*\mathcal{G}\)는 준연접이다. Lemma 043Z의 표기를 쓰면 \[t^*s_*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}\text{pr}_0^*t^*\mathcal{G} = \text{pr}_{1, *}c^*t^*\mathcal{G} = s^*s_*t^*\mathcal{G}\] 이다. 가운데 등식은 \(t \circ c = t \circ \text{pr}_0\)가 사상 \(R \times_{s, U, t} R \to U\) 사이에서 성립하기 때문이고, 첫째 및 마지막 등식은 이 단계에서 밑변환과 앞보냄이 가환함을 알고 있기 때문이다. Cohomology of Spaces, Lemma 073K를 보라.

Definition 0441의 \(\alpha\)에 대한 코사이클 조건과 수반성을 확인하기 위해 구성 \(\mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)를 다른 방식으로 설명하자.

groupoid 스킴

\((R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_0, \text{pr}_1, \text{pr}_{02})\)를 생각하자. 이것은 동치관계 \(R \times_{t, U, t} R\)에 결부되며, 그 관계는 \(R\) 위에 있다. Lemma 043Y를 보라. 사상 \[f : (R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02}) \longrightarrow (U, R, s, t, c)\]

이 존재한다. 이는 groupoid 스킴의 사상으로서 \(s : R \to U\)와 \(R \times_{t, U, t} R \to R\)로 주어지며, 뒤의 사상은 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\)이다. 필요한 도식들의 가환성 확인은 생략한다. \(t, s : R \to U\)는 준콤팩트이고 준분리이며 평탄하고, 데카르트 정사각형 \[\xymatrix{ R \times_{t, U, t} R \ar[d]_{\text{pr}_0} \ar[rr]_-{(r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1} & & R \ar[d]^t \\ R \ar[rr]^s & & U }\] 이 있기 때문에, Lemma 0450에 의해 Lemma 0GPM를 \(f\)에 적용할 수 있다. 따라서 \(f\)를 따른 준연접 가군의 앞보냄과 당김은 수반 함자이다. 증명을 끝내기 위해 이 함자들을 위에서 설명한 함자들과 동일시하겠다. 이를 위해 \[t^* : \QCoh(\mathcal{O}_U) \longrightarrow \QCoh(R, R \times_{t, U, t} R, \text{pr}_1, \text{pr}_0, \text{pr}_{02})\] 는 준연접층의 하강 이론에 의해 동치임에 유의하자. 실제로 \(\{t : R \to U\}\)는 fpqc 덮개이다. Descent on Spaces, Proposition 04W8를 보라.

\(f\)를 따른 앞보냄 앞에 동치 \(t^*\)를 합성하면 \(\mathcal{G}\)를 \((s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\)로 보낸다. 이 방식으로 얻은 동형 \(\alpha\)가 위에서 구성한 것과 같다는 확인은 생략한다.

\(f\)를 따른 당김 뒤에 동치 \(t^*\)의 역을 합성하면 \((\mathcal{F}, \beta)\)를 \(\{t : R \to U\}\)에 관한 가군 \(s^*\mathcal{F}\)의 하강으로 보낸다. 이 가군에는 하강 자료 \(\gamma\)를 갖추고, 이 자료는 \(R \times_{t, U, t} R\) 위에 있으며 이는 \(\beta\)를 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\)로 당겨온 것이다. 동형 \(\beta : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\)를 생각하자. \(t^*\mathcal{F}\) 위의 표준 하강 자료로서 \(\{t : R \to U\}\)에 관한 것 (Descent on Spaces, Definition 04W5)는 \(\beta\)를 통해 사상 \[\text{pr}_0^*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_0^*\beta^{-1}} \text{pr}_0^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{can} \text{pr}_1^*t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\text{pr}_1^*\beta} \text{pr}_1^*s^*\mathcal{F}\] 으로 옮겨진다. \(\beta\)가 코사이클 조건을 만족하므로, 이는 \(\beta\)를 \((r_0, r_1) \mapsto r_0^{-1} \circ r_1\)로 당겨온 것과 같다. 이를 보려면 Definition 0441의 실제 코사이클 관계를 취해 사상 \((\text{pr}_0, c \circ (i, 1)) : R \times_{t, U, t} R \to R \times_{s, U, t} R\) 로 당겨오라. 이 사상은 Lemma 0450의 가환 도식에도 등장한다. 따라서 \((s^*\mathcal{F}, \gamma)\)는 \((t^*\mathcal{F}, can)\)과 동형이다. 모두 합치면, \(f\)를 따른 당김 뒤에 동치 \(t^*\)의 역을 합성한 것은 망각 함자 \((\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\)와 동형이다.

주

Lemma 0GPP의 상황에서 \[F : \QCoh(U, R, s, t, c) \to \QCoh(\mathcal{O}_U),\quad (\mathcal{F}, \beta) \mapsto \mathcal{F}\] 를 망각 함자라 하고, \[G : \QCoh(\mathcal{O}_U) \to \QCoh(U, R, s, t, c),\quad \mathcal{G} \mapsto (s_*t^*\mathcal{G}, \alpha)\] 를 보조정리에서 구성한 오른쪽 수반이라 하자. 수반의 단위원 \(\eta : \text{id} \to G \circ F\)를 \((\mathcal{F}, \beta)\)에서 계산하면 사상 \[\mathcal{F} \to s_*s^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta^{-1}} s_*t^*\mathcal{F}\] 으로 주어진다. 확인은 생략한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(f : Y \to X\)를 \(S\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(\mathcal{F}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이라 하고, \(\mathcal{G}\)를 준연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이라 하며, \(\varphi : \mathcal{G} \to f^*\mathcal{F}\)를 가군 사상이라 하자. 다음을 가정하자.

1. \(\varphi\)는 단사이다.

2. \(f\)는 준콤팩트이고 준분리이며 평탄하고 전사이다.

3. \(X\), \(Y\)는 국소 뇌터이고,

4. \(\mathcal{G}\)는 연접 \(\mathcal{O}_Y\)-가군이다.

올곱으로 정의한 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\) \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & f_*f^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G} \ar[u] \ar[r] & f_*\mathcal{G} \ar[u] }\] 은 연접 \(\mathcal{O}_X\)-가군이다.

증명

Cohomology of Spaces, Lemma 07UB의 연접 가군의 특성화와, 연접 가군들이 \(\QCoh(\mathcal{O}_X)\)의 Serre 부분범주를 이룬다는 사실을 자유롭게 쓰겠다. 후자는 Cohomology of Spaces, Lemma 07UD을 보라. \(f\)가 절단 \(\sigma\)를 가지면 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\)는 \(\sigma^*\mathcal{G} \to \sigma^*f^*\mathcal{F} = \mathcal{F}\)의 상에 포함되므로 연접이다. 일반적으로 \(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G}\)가 연접임을 보이기 위해서는

\(f^*(\mathcal{F} \cap f_*\mathcal{G})\)가 연접임을 보이면 충분하다 (Descent on Spaces, Lemma 060U를 보라). \(f\)가 평탄하므로 이는 \(f^*\mathcal{F} \cap f^*f_*\mathcal{G}\)와 같다. \(f\)가 평탄하고 준콤팩트이며 준분리이므로 \(f^*f_*\mathcal{G} = p_*q^*\mathcal{G}\)이다. 여기서 \(p, q : Y \times_X Y \to Y\)는 사영이다. Cohomology of Spaces, Lemma 073K를 보라. \(p\)는 절단을 가지므로 결론이 따른다.

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \(U\)가 국소 뇌터라고 가정하자. 아래 보조정리에서는 준연접층 \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위에 있을 때 연접이라는 말을 \(\mathcal{F}\)가 연접 \(\mathcal{O}_U\)-가군이라는 뜻으로 쓴다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. 다음을 가정하자.

1. \(U\), \(R\)은 뇌터이다.

2. \(s, t\)는 평탄하고 준콤팩트이며 준분리이다.

그러면 모든 준연접 가군 \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 \((U, R, s, t, c)\) 위에 있을 때 연접 가군들의 여과 여극한이다.

증명

국소 뇌터 대수공간 위 연접 가군에 대한 Cohomology of Spaces, Lemma 07UB의 특성화를 더 언급하지 않고 쓰겠다. \(\mathcal{F} = \colim \mathcal{H}_i\)를 연접 부분가군 \(\mathcal{H}_i \subset \mathcal{F}\)들의 여과 여극한으로 쓸 수 있다. Cohomology of Spaces, Lemma 07UV를 보라. 준연접층 \(\mathcal{H}\)가 \(U\) 위에 주어지면, Lemma 0GPP의 준연접층 \((s_*t^*\mathcal{H}, \alpha)\)를 \((U, R, s, t, c)\) 위에 있는 것으로 나타내겠다. 수반 사상 \((\mathcal{F}, \beta) \to (s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)\)를 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\)에서 생각하자. Remark 0GPQ을 보라. 다음과 같이 둔다. \[(\mathcal{F}_i, \beta_i) = (\mathcal{F}, \beta) \times_{(s_*t^*\mathcal{F}, \alpha)} (s_*t^*\mathcal{H}_i, \alpha)\] 이는 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\)에서의 정의이다. \(U\)로의 제한은 Lemma 06VZ의 증명에 의해 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 위의 완전함자이므로 올곱 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*t^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 을 얻는다. 달리 말하면 \(\mathcal{F}_i = \mathcal{F} \cap s_*t^*\mathcal{H}_i\)이다. Remark 0GPQ의 수반 사상 설명에 의해 이 도식은 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{F} \ar[r] & s_*s^*\mathcal{F} \\ \mathcal{F}_i \ar[r] \ar[u] & s_*t^*\mathcal{H}_i \ar[u] }\] 과 동형이다. 여기서 오른쪽 수직 화살표는 \(s_*\)를 사상 \[t^*\mathcal{H}_i \to t^*\mathcal{F} \xrightarrow{\beta} s^*\mathcal{F}\] 에 적용한 결과이다. \(t\)가 평탄 사상이므로 이 화살표는 단사이다. 따라서 Lemma 0GPR에 의해 \(\mathcal{F}_i\)는 연접이다. 끝으로 \(s\)가 준콤팩트이고 준분리이므로 \(s_*\)는 여극한과 가환한다(Cohomology of Schemes, Lemma 07TB를 보라). 따라서 \(s_*t^*\mathcal{F} = \colim s_*t^*\mathcal{H}_i\)이고, 원하는 대로 \((\mathcal{F}, \beta) = \colim (\mathcal{F}_i, \beta_i)\)이다.

준연접층의 결정

\((I, \Phi, j)\)를 집합 \(I\)와 전관계 \(j : \Phi \to I \times I\)로 이루어진 쌍이라 하자. 각 \(i \in I\)에 대해 스킴 \(X_i\)가, 각 \(\phi \in \Phi\)에 대해 스킴의 사상 \(f_\phi : X_{i'} \to X_i\)가 주어졌다고 하자. 여기서 \(j(\phi) = (i, i')\)이다. 다음과 같이 둔다. \(X = (\{X_i\}_{i \in I}, \{f_\phi\}_{\phi \in \Phi})\). \(X\) 위 준연접 가군의 결정이란 다음 규칙을 말한다. 이 규칙은 각

\(i \in \Ob(\mathcal{I})\)에 준연접층 \(\mathcal{F}_i\)를 대응시키고, 이 층은 \(X_i\) 위에 있다. 또한 각 \(\phi \in \Phi\) 가운데 \(j(\phi) = (i, i')\)인 것에 준연접층의 동형 \[\alpha_\phi : f_\phi^*\mathcal{F}_i \longrightarrow \mathcal{F}_{i'}\] 을 대응시키고, 이 동형은 \(X_{i'}\) 위에 있다. 이러한 준연접 가군의 결정들은 가법 범주 \(\textit{CQC}(X)\)를 이룬다.² 이 범주는 여극한을 가진다(증명은 Lemma 077X의 증명과 같다). 모든 사상 \(f_\phi\)가 평탄하면 \(\textit{CQC}(X)\)는 아벨 범주이다(증명은 Lemma 06VZ의 증명과 같다). \(\kappa\)를 기수라 하자. 준연접 가군의 결정 \(\mathcal{F}\)가 \(X\) 위에 있고 \(\kappa\)-생성이라는 것은 각 \(\mathcal{F}_i\)가 \(\kappa\)-생성이라는 뜻이다(Properties, Definition 077L을 보라).

보조정리

위의 상황에서 모든 사상 \(f_\phi\)가 평탄하면, 어떤 기수 \(\kappa\)가 존재하여 모든 대상 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)가 \(\textit{CQC}(X)\) 안에서 자신의 \(\kappa\)-생성 부분가군들의 유향 여극한이 된다.

증명

이 보조정리와 증명에서 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)의 부분가군이란 준연접 부분가군 \(\mathcal{G}_i \subset \mathcal{F}_i\)를 모든 \(i\)에 대해 주어 \(\alpha_\phi(f_\phi^*\mathcal{G}_i) = \mathcal{G}_{i'}\)가 모든 \(\mathcal{F}_{i'}\)의 부분층으로서 모든 \(\phi \in \Phi\)에 대해 성립하게 하는 자료를 뜻한다. \(f_\phi\)가 평탄하면 당김 \(f^*_\phi\)는 완전함자, 즉 부분층을 보존하므로 이 정의는 타당하다.

이 증명은 Properties, Lemma 077N의 증명의 한 변형이다. 먼저 그 증명을 읽기를 권한다.

모든 스킴 \(X_i\)가 아핀인 경우에 보조정리를 증명하면 충분하다고 주장한다. 이를 보기 위해 \[J = \coprod\nolimits_{i \in I} \{U \subset X_i\text{ affine open}\}\] 로 두고,

\[\begin{align*} \Psi = & \coprod\nolimits_{\phi \in \Phi} \{ (U, V) \mid U \subset X_i, V \subset X_{i'}\text{ affine open with } f_\phi(U) \subset V \} \\ & \amalg \coprod\nolimits_{i \in I} \{ (U, U') \mid U, U' \subset X_i\text{ affine open with } U \subset U' \} \end{align*}\] 에 자명한 사상 \(\Psi \to J \times J\)를 갖추자. 그러면 \((\mathcal{F}, \alpha)\)는 준연접층의 결정 \((\{\mathcal{H}_j\}_{j \in J}, \{\beta_\psi\}_{\psi \in \Psi})\)를 유도하고, 이 결정은 \(Y = (J, \Psi)\) 위에 있다. 이는 \(\mathcal{H}_{(i, U)} = \mathcal{F}_i|_U\)로 두되 \((i, U) \in J\)에 대해 그렇게 하고, \(\beta_\psi\)를 \(\psi \in \Psi\)에 대해 다음과 같이 두어 얻는다.

\(\alpha_\phi\)를 \(U\)에 제한한 것으로 두되 이는 \(\psi = (\phi, U, V)\)일 때이고, \(\text{id} : (\mathcal{F}_i|_{U'})|_U \to \mathcal{F}_i|_U\)로 두되 이는 \(\psi = (i, U, U')\)일 때이다. 더 나아가 \((\{\mathcal{H}_j\}_{j \in J}, \{\beta_\psi\}_{\psi \in \Psi})\)의 부분가군들은 \(1\)-대-\(1\)로 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)의 부분가군들과 일대일로 대응한다. 증명은 생략한다(힌트: Sheaves, Section 009H를 사용하라). 또한 \(\kappa\)가 \(Y\)에 대해 성립하면 같은 \(\kappa\)가 \(X\)에 대해서도 성립함이 분명하다 (\(\kappa\)-생성 가군의 정의에 의한다).

따라서 \(Y\) 위 준연접층의 결정에 대하여 보조정리를 증명하면 충분하다.

모든 스킴 \(X_i\)가 아핀이라고 가정하자. \(\kappa\)를 \(I\) 또는 \(\Phi\)의 크기보다 큰 무한 기수라 하자. 대상 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)를 \(\textit{CQC}(X)\)에서 잡자. 각 \(i\)에 대하여 \(X_i = \Spec(A_i)\) 및 \(M_i = \Gamma(X_i, \mathcal{F}_i)\)로 쓰자. 모든 \(\phi \in \Phi\) 가운데 \(j(\phi) = (i, i')\)인 것에 대하여 \(\alpha_\phi\)는 \(A_{i'}\)-가군 동형 \[\alpha_\phi : M_i \otimes_{A_i} A_{i'} \longrightarrow M_{i'}\] 으로 옮겨진다. 선택 공리를 사용하여 규칙

\[(\phi, m) \longmapsto S(\phi, m')\] 을 택하자. 정의역은 쌍 \((\phi, m')\)의 모음이다. 여기서 \(\phi \in \Phi\)이고 \(j(\phi) = (i, i')\)이며 \(m' \in M_{i'}\)이다. 값은 유한 부분집합 \(S(\phi, m') \subset M_i\)이며 \[m' = \alpha_\phi\left(\sum\nolimits_{m \in S(\phi, m')} m \otimes a'_m\right)\] 이 어떤 \(a'_m \in A_{i'}\)에 대해 성립한다.

이 선택들을 한 뒤, 임의의 \(\mathcal{F}_i\)의 임의의 \(X_i\) 위 절단이 \(\kappa\)-생성 부분가군에 속한다고 주장한다. 이를 보기 위해 부분집합들의 모음 \(\mathcal{S} = \{S_i\}_{i \in I}\)가 주어지고 각 \(S_i \subset M_i\)의 크기가 \(\kappa\) 이하라고 하자. 새 모음 \(\mathcal{S}' = \{S'_i\}_{i \in I}\)을 다음과 같이 정의한다. \[S'_i = S_i \cup \bigcup\nolimits_{(\phi, m'),\ j(\phi) = (i, i'),\ m' \in S_{i'}} S(\phi, m')\] 각 \(S'_i\)의 크기는 여전히 \(\kappa\) 이하이다. \(\mathcal{S}^{(0)} = \mathcal{S}\), \(\mathcal{S}^{(1)} = \mathcal{S}'\)로 두고 귀납적으로 \(\mathcal{S}^{(n + 1)} = (\mathcal{S}^{(n)})'\)로 둔다. 그런 다음 \(S_i^{(\infty)} = \bigcup_{n \geq 0} S_i^{(n)}\) 및 \(\mathcal{S}^{(\infty)} = \{S_i^{(\infty)}\}_{i \in I}\)로 둔다. 구성상 모든 \(\phi \in \Phi\) 가운데 \(j(\phi) = (i, i')\)인 것과 모든 \(m' \in S^{(\infty)}_{i'}\)에 대하여 \(m'\)을 \(\alpha_\phi(m \otimes 1)\) 꼴의 상들의 유한 선형결합으로 쓸 수 있으며, 여기서 \(m \in S_i^{(\infty)}\)이다. 따라서 \(N_i\)를 \(A_i\)-부분가군으로 두되, 이는 \(M_i\) 안에서 \(S_i^{(\infty)}\)가 생성한 것으로 한다. 그러면 대응하는 준연접 부분가군

\(\widetilde{N_i} \subset \mathcal{F}_i\)들은 \(\kappa\)-생성 부분가군을 이룬다. 이로써 증명이 끝난다.

보조정리

Section 043A에서와 같이 \(B \to S\)라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 대수공간에서의 groupoid라 하고 \(B\) 위에 두자. \(s\), \(t\)가 평탄하면 어떤 집합 \(T\)와 대상들의 족 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)_{t \in T}\)가 \(\QCoh(U, R, s, t, c)\) 안에 존재하여, 모든 대상 \((\mathcal{F}, \alpha)\)가 이 대상들 가운데 하나와 동형인 자신의 부분가군들, 즉 \((\mathcal{F}_t, \alpha_t)\) 가운데 하나와 동형인 부분가군들의 유향 여극한이 된다.

증명

이 보조정리는 스킴에서의 groupoid를 다루는 Groupoids, Lemma 077U의 일반화이다. 정확히 같은 논증을 쓸 수는 없으므로, 위에서 전개한 “준연접층의 결정”에 관한 내용을 사용한다.

스킴 \(W\)와 전사 에탈 사상 \(W \to U\)를 택하자. 스킴 \(V\)와 전사 에탈 사상 \(V \to W \times_{U, s} R\)를 택하자. 스킴 \(V'\)과 전사 에탈 사상 \(V' \to R \times_{t, U} W\)를 택하자. 스킴들의 모음 \[I = \{W, W \times_U W, V, V', V \times_R V'\}\] 과 스킴 사상들의 집합 \[\Phi = \{\text{pr}_i : W \times_U W \to W, V \to W, V' \to W, V \times_R V' \to V, V \times_R V' \to V'\}\] 을 생각하자. \(X = (I, \Phi)\)로 둔다. 준연접층의 결정의 범주 \(\textit{CQC}(X)\)를 정의했음을 상기하자. 이 범주의 결정들은 \(X\) 위에 있다. 다음 함자가 있다. \[\QCoh(U, R, s, t, c) \longrightarrow \textit{CQC}(X)\] 이 함자는 \((\mathcal{F}, \alpha)\)에 다음 자료를 대응시킨다. 층 \(\mathcal{F}|_W\)를 \(W\) 위에, 층 \(\mathcal{F}|_{W \times_U W}\)를 \(W \times_U W\) 위에, \(\mathcal{F}\)를 \(V \to W \times_{U, s} R \to W \to U\)를 통해 당겨온 층을 \(V\) 위에, \(\mathcal{F}\)를 \(V' \to R \times_{t, U} W \to W \to U\)를 통해 당겨온 층을 \(V'\) 위에, 끝으로 \(\mathcal{F}\)를 \(V \times_R V' \to V \to W \times_{U, s} R \to W \to U\)를 통해 당겨온 층을 \(V \times_R V'\) 위에 둔다. 비교 사상 \(\{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi}\)에는 당김의 결합법칙에서 오는 자명한 것들을 쓰되, 사상 \(\phi = \text{pr}_{V'} : V \times_R V' \to V'\)에는 \(\alpha : t^*\mathcal{F} \to s^*\mathcal{F}\)를 \(V \times_R V'\)로 당겨온 것을 쓴다. 이는 다음 가환 도식 때문에 타당하다. \[\xymatrix{ & V \times_R V' \ar[ld] \ar[rd] \\ V \ar[rd] \ar[dd] & & V' \ar[ld] \ar[dd] \\ & R \ar@<-1ex>[dd]_s \ar@<1ex>[dd]^t \\ W \ar[rd] & & W \ar[ld] \\ & U }\] 위에 표시한 함자는 범주의 동치가 아니다. 그러나 \(W \to U\)가 전사 에탈이므로 이 함자는 충실하다.³ 위 도식의 모든 사상이 평탄하므로 이 함자는 아벨 범주 사이의 완전함자이다. 또한

\((\mathcal{F}, \alpha)\)가 주어지고 그 상이 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)이면 \(1\)-대-\(1\) 대응이 존재하며, 이는 \((\mathcal{F}, \alpha)\)의 준연접 부분가군들과 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)의 부분가군들 사이의 대응이라고 주장한다. 실제로 \((\{\mathcal{F}_i\}_{i \in I}, \{\alpha_\phi\}_{\phi \in \Phi})\)의 부분가군이 주어졌을 때, \(W\) 위 부분가군과 사영 사상 \(W \times_U W \to W\)의 양립성은 이 부분가군이 \(\mathcal{F}\)의 준연접 부분가군에서 옴을 보장한다(Properties of Spaces, Proposition 03M3에 의한다). 또한 \(\alpha_{\text{pr}_{V'}}\)와의 양립성은 이 부분층이 \(\alpha\)와 양립함을 보장한다(세부사항은 생략한다).

기수 \(\kappa\)를 Lemma 077Z에서처럼 계 \(X = (I, \Phi)\)에 대해 택하자. Properties, Lemma 077M에서 \(\kappa\)-생성인 준연접층의 결정 가운데 \(X\) 위에 있는 것들의 동형류들이 집합을 이룸이 분명하다. 따라서 결론이 분명하다.

Groupoid와 군 공간

Groupoids, Section 03LK와 비교하라.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 군 대수공간 \((G, m)\)을 \(B\) 위에 잡되 그 항등원을 \(e_G\), 역원을 \(i_G\)라 하자. 대수공간 \(X\)를 \(B\) 위에 잡고, 사상 \(a : G \times_B X \to X\)를 \(G\)의 \(X\)에 대한 \(B\) 위 작용이라 하자. 그러면 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c, e, i)\)를 \(B\) 위에서 다음과 같이 얻는다.

1. \(U = X\), \(R = G \times_B X\)로 둔다.

2. \(s : R \to U\)를 \((g, x) \mapsto x\)로 둔다.

3. \(t : R \to U\)를 \((g, x) \mapsto a(g, x)\)로 둔다.

4. \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)를 \(((g, x), (g', x')) \mapsto (m(g, g'), x')\)로 둔다.

5. \(e : U \to R\)를 \(x \mapsto (e_G(x), x)\)로 둔다.

6. \(i : R \to R\)를 \((g, x) \mapsto (i_G(g), a(g, x))\)로 둔다.

증명

생략한다. 힌트: 집합 수준에서 이것이 성립함을 보이면 충분하다. 이를 위해 보조정리 앞에서 \(g\)를 \(v\)에서 \(a(g, v)\)로 가는 화살표로 설명한 내용을 사용하라.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 군 대수공간 \((G, m)\)을 \(B\) 위에 잡자. 대수공간 \(X\)를 \(B\) 위에 잡고, 사상 \(a : G \times_B X \to X\)를 \(G\)의 \(X\)에 대한 \(B\) 위 작용이라 하자. Lemma 0444에서 구성한 대수공간에서의 groupoid를 \((U, R, s, t, c)\)라 하자. 규칙 \((\mathcal{F}, \alpha) \mapsto (\mathcal{F}, \alpha)\)는 \(G\)-동변 \(\mathcal{O}_X\)-가군의 범주와 \((U, R, s, t, c)\) 위 준연접 가군의 범주 사이의 범주 동치를 정의한다.

증명

이 주장은 의미가 있다. 실제로 \(t = a\)이고 \(s = \text{pr}_1\)이며, 이들은 사상 \(R = G \times_B X \to X\)이다. Definitions 043T와 0441를 보라. Lemma 0444의 번역을 사용하면 두 정의의 가환성 조건이 정확히 서로 일치한다.

안정자 군 대수공간

Groupoids, Section 03LM와 비교하라. 대수공간에서의 groupoid가 주어지면 다음과 같이 군 대수공간을 얻는다.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위에 잡자. 다음 데카르트 정사각형으로 정의되는 대수공간 \(G\) \[\xymatrix{ G \ar[r] \ar[d] & R \ar[d]^{j = (t, s)} \\ U \ar[r]^-{\Delta} & U \times_B U }\] 는 \(U\) 위 군 대수공간이며, 그 합성법칙 \(m\)은 합성법칙 \(c\)에 의해 유도된다.

증명

이는 groupoid 범주에서 임의의 대상의 자기 사상들의 집합이 군을 이루기 때문이다.

\(\Delta\)가 단사사상이므로 \(G = j^{-1}(\Delta_{U/B})\)는 \(R\)의 부분층이다. 이렇게 생각하면 구조 사상 \(G = j^{-1}(\Delta_{U/B}) \to U\)는 \(s\) 또는 \(t\) 중 어느 것에 의해서도 유도되며(둘은 같다), \(m\)은 \(c\)에 의해 유도된다.

정의

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위에 잡자. 군 대수공간 \(j^{-1}(\Delta_{U/B}) \to U\)를 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)의 안정자라 한다.

문헌에서는 안정자 군 대수공간을 흔히 \(S\)로 나타낸다(아마도 stabilizer라는 단어가 s로 시작하기 때문일 것이다). 여기서는 이미 기저 스킴을 \(S\)로 나타냈으므로 그렇게 할 수 없다.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위에 잡고 그 안정자를 \(G/U\)라 하자. \(R_t/U\)는 대수공간 \(R\)을 \(U\) 위에서 사상 \(t : R \to U\)를 통하여 본 것이라고 나타내자. 표준적인 왼쪽 작용 \[a : G \times_U R_t \longrightarrow R_t\] 이 존재하며, 이는 합성법칙 \(c\)에 의해 유도된다.

증명

\(T/B\) 위의 점으로 표현하면 \(a(g, r) = c(g, r)\)로 정의한다.

Groupoid의 제한

표기법은 Groupoids, Section 02VA을 참조하라.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위에 잡자. 대수공간의 사상 \(g : U' \to U\)를 잡자. 다음 도식을 생각하자. \[\xymatrix{ R' \ar[d] \ar[r] \ar@/_3pc/[dd]_{t'} \ar@/^1pc/[rr]^{s'}& R \times_{s, U} U' \ar[r] \ar[d] & U' \ar[d]^g \\ U' \times_{U, t} R \ar[d] \ar[r] & R \ar[r]^s \ar[d]_t & U \\ U' \ar[r]^g & U }\] 여기서 모든 정사각형은 섬유곱 정사각형이다. 그러면 표준적인 합성법칙 \(c' : R' \times_{s', U', t'} R' \to R'\)가 존재하여 \((U', R', s', t', c')\)는 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid가 되고, \(U' \to U\), \(R' \to R\)은 사상 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid 사이에 정의한다. 더욱이 임의의 스킴 \(T\)를 \(B\) 위에 잡으면 groupoid의 함자 \[(U'(T), R'(T), s', t', c') \to (U(T), R(T), s, t, c)\] 는 \((U(T), R(T), s, t, c)\)를 사상 \(U'(T) \to U(T)\)를 통하여 제한한 것이다(Groupoids, Section 02VA 참조).

증명

생략한다.

정의

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위에 잡자. 사상 \(g : U' \to U\)를 대수공간의 사상으로서 \(B\) 위에 잡자. Lemma 044B에서 구성한 대수공간에서의 groupoid의 사상 \((U', R', s', t', c') \to (U, R, s, t, c)\)를 \((U, R, s, t, c)\)의 \(U'\)로의 제한이라 한다. 이 경우 때때로 \(R' = R|_{U'}\)라는 표기법을 사용한다.

보조정리

Definitions 044C와 043E에서 정의한 groupoid와 (준)동치관계의 제한 개념은 Lemmas 043X와 043Y의 구성을 통하여 일치한다.

증명

여기서 말하는 것은 Lemma 044B의 \(R'\)가 또한 \[R' = (U' \times_B U')\times_{U \times_B U} R \longrightarrow U' \times_B U'\] 와 같다는 것이다. 실제로 이것이 그 보조정리를 진술하는 더 명료한 방식이었을 수도 있다.

불변 부분공간

이 절에서는 불변 부분공간의 개념을 간단히 논한다.

정의

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 기저 \(B\) 위에 잡자.

1. 열린 부분공간 \(W \subset U\)가 \(R\)-불변이라는 것은 \(t(s^{-1}(W)) \subset W\)를 만족한다는 뜻이다.

2. 국소 닫힌 부분공간 \(Z \subset U\)가 \(R\)의 국소 닫힌 부분공간으로서 \(t^{-1}(Z) = s^{-1}(Z)\)를 만족하면 \(R\)-불변이라고 한다.

3. 대수공간의 단사사상 \(T \to U\)가 \(R\) 위 대수공간으로서 \(T \times_{U, t} R = R \times_{s, U} T\)를 만족하면 \(R\)-불변이라고 한다.

열린 부분공간 \(W \subset U\)의 \(R\)-불변성은 \(s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)를 요구하는 것과도 동치이다. \(W \subset U\)가 \(R\)-불변이면 \(R\)의 \(W\)로의 제한은 단지 \(R_W = s^{-1}(W) = t^{-1}(W)\)이다. 마찬가지로 \(Z \subset U\)가 \(R\)-불변 국소 닫힌 부분공간이면 \(R\)의 \(Z\)로의 제한은 단지 \(R_Z = s^{-1}(Z) = t^{-1}(Z)\)이다.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위에 잡자.

1. \(s\)와 \(t\)가 열린 사상이면, 모든 열린집합 \(W \subset U\)에 대하여 열린집합 \(s(t^{-1}(W))\)는 \(R\)-불변이다.

2. \(s\)와 \(t\)가 열린 준콤팩트 사상이면, \(U\)는 \(R\)-불변 준콤팩트 열린 부분공간들로 이루어진 열린 덮개를 갖는다.

증명

\(s\)와 \(t\)가 열린 사상이고 \(W \subset U\)가 열린집합이라고 하자. \(s\)가 열린 사상이므로 \(W' = s(t^{-1}(W))\)는 \(U\)의 열린 부분공간이다. 이제 함자적 관점으로 이것이 \(R\)-불변인 \(U\)의 열린 부분집합임을 확인하기는 매우 쉽지만, 도식으로 직접 논증하는 것이 유익하다고 생각하므로 그렇게 하겠다. \(t^{-1}(W')\)는 사상 \[A := t^{-1}(W) \times_{s|_{t^{-1}(W)}, U, t} R \xrightarrow{\text{pr}_1} R\] 의 상이고, \(s^{-1}(W')\)는 사상 \[B := R \times_{s, U, s|_{t^{-1}(W)}} t^{-1}(W) \xrightarrow{\text{pr}_0} R.\] 의 상임에 유의하라. 위 화살표 왼쪽의 대수공간 \(A\), \(B\)는 각각 \(R \times_{s, U, t} R\)와 \(R \times_{s, U, s} R\)의 열린 부분공간이다. Lemma 043Z에 의해 도식 \[\xymatrix{ R \times_{s, U, t} R \ar[rd]_{\text{pr}_1} \ar[rr]_{(\text{pr}_1, c)} & & R \times_{s, U, s} R \ar[ld]^{\text{pr}_0} \\ & R & }\] 은 가환하고 수평 화살표는 동형사상이다. 더욱이 \((\text{pr}_1, c)(A) = B\)임이 명백하다. 따라서 \(s^{-1}(W') = t^{-1}(W')\)이고 \(W'\)는 \(R\)-불변이다. 이로써 (1)을 증명했다.

이제 \(s\), \(t\)가 모두 열린 준콤팩트 사상이라고 하자. \(W \subset U\)가 준콤팩트 열린집합이면 \(W' = s(t^{-1}(W))\)도 준콤팩트 열린집합이고, 위 논의에 의해 불변이다. \(W\)가 \(U\) 위 에탈 아핀들의 상들을 모두 달리하게 하면 (2)를 얻는다.

몫 층

\(S\)를 스킴이라 하고 \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(j : R \to U \times_B U\)를 \(B\) 위 준관계라 하자. 각 스킴 \(S'\)를 \(S\) 위에 잡자. 동치관계 \(\sim_{S'}\)는 사상 \(j(S') : R(S') \to U(S') \times U(S')\)의 상이 생성하는 것으로 취할 수 있다. 따라서 준층 [044I]\[\begin{equation} \begin{matrix} (\Sch/S)^{opp}_{fppf} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ S' & \longmapsto & U(S')/\sim_{S'} \end{matrix} \end{equation}\] 을 얻는다. \(j\)는 \(B\) 위 대수공간의 사상이고 \(U \times_B U\)로 가므로, 준층 (044I)에서 \(B\)로 가는 표준적인 준층의 변환이 있음에 유의하라.

정의

위와 같은 \(B \to S\)와 준관계 \(j : R \to U \times_B U\)를 잡자. 이 상황에서 몫 층 \(U/R\)은 \(j\)에 연관되며, \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 준층 (044I)의 층화이다. \(j : R \to U \times_B U\)가 Lemma 0444에서와 같이 군 대수공간 \(G\)의 \(B\) 위에서의 \(U\)에 대한 작용에서 오면, 몫 층을 \(U/G\)라 나타낸다.

이는 정확히 도식 \[\xymatrix{ R \ar@<1ex>[r] \ar@<-1ex>[r] & U \ar[r] & U/R }\] 이 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 집합의 층의 범주에서 쌍대등화자 도식이라는 뜻이다. 다시 층의 표준적인 사상 \(U/R \to B\)가 있다. 이는 \(j\)가 \(B\) 위 대수공간의 사상으로서 \(U \times_B U\)로 가기 때문이다.

주

위 구성의 한 변형은 함자 \[\begin{matrix} (\textit{Spaces}/B)^{opp}_{fppf} & \longrightarrow & \textit{Sets}, \\ X & \longmapsto & U(X)/\sim_X \end{matrix}\] 를 층화하는 것이다. 여기서 이제 \(\sim_X \subset U(X) \times U(X)\)는 \(j : R(X) \to U(X) \times U(X)\)의 상이 생성하는 동치관계이다. 물론 여기서 \(U(X) = \Mor_B(X, U)\)이고 \(R(X) = \Mor_B(X, R)\)이다. 실제로 (Topologies of Spaces의 미래 참조를 여기에 삽입)의 동일시를 통하면 결과는 같았을 것이다.

정의

Definition 044J의 상황을 가정하자. 준관계 \(j\)에 대하여 층 \(U/R\)가 대수공간이면 대수공간으로 표현되는 몫을 갖는다고 한다. 준관계 \(j\)에 대하여 층 \(U/R\)가 스킴으로 표현되면 표현 가능한 몫을 갖는다고 한다. 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)가 \(B\) 위에 있을 때 몫 \(U/R\)가 \(j = (t, s)\)에 대해 표현 가능하면(각각 대수공간이면) 표현 가능한 몫을 갖는다고(각각 대수공간으로 표현되는 몫을 갖는다고) 한다.

몫 \(U/R\)가 \(M\)으로 표현되면(\(S\) 위의 스킴이나 대수공간 어느 경우든), 위에서 본 것처럼 표준적인 구조 사상 \(M \to B\)가 함께 주어진다.

다음 보조정리는 몫을 표현하는 \(M\)을 특징짓는다. 예를 들어 \(U \to M\)이 평탄하고 유한 표시이며 전사이고 \(R \cong U \times_M U\)이면 이를 적용할 수 있다.

보조정리

Definition 044J의 상황을 가정하자. \(M\)이라는 대수공간이 \(S\) 위에 있고 다음을 만족하는 사상 \(U \to M\)이 존재한다고 가정하자.

1. 사상 \(U \to M\)은 \(s, t\)를 등화한다.

2. 사상 \(U \to M\)은 층의 전사이다.

3. 유도된 사상 \((t, s) : R \to U \times_M U\)은 층의 전사이다.

이 경우 \(M\)은 몫 층 \(U/R\)를 표현한다.

증명

조건 (1)은 \(U \to M\)이 \(U/R\)를 통하여 인수분해된다는 뜻이다. 조건 (2)는 층의 사상으로서 \(U/R \to M\)이 전사라는 뜻이다. 조건 (3)은 층의 사상으로서 \(U/R \to M\)이 단사라는 뜻이다. 따라서 보조정리를 얻는다.

다음 보조정리는 \(j\)가 준동치관계라고 요구하지 않으면(가령 단지 준관계라고만 하면) 틀리다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(j : R \to U \times_B U\)를 \(B\) 위 준동치관계라 하자. 스킴 \(S'\)를 \(S\) 위에 잡고 \(a, b \in U(S')\)라 하자. 다음은 동치이다.

1. \(a\)와 \(b\)는 \((U/R)(S')\)의 같은 원소로 사상된다.

2. fppf 덮개 \(\{f_i : S_i \to S'\}\)가 \(S'\)를 덮고 다음을 만족하는 사상 \(r_i : S_i \to R\)이 존재한다. \(a \circ f_i = s \circ r_i\)이고 \(b \circ f_i = t \circ r_i\)이다.

달리 말하면, 이 경우 층의 사상 \[R \longrightarrow U \times_{U/R} U\] 은 전사이다.

증명

생략한다. 힌트: 이것이 성립하는 이유는 이 경우 준층 (044I)가 실제로 \(T \mapsto U(T)/j(R(T))\)로 주어지기 때문이다. 실제로 \(j(R(T)) \subset U(T) \times U(T)\)는 동치관계이다. Definition 043C을 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(j : R \to U \times_B U\)를 \(B\) 위 준동치관계라 하고 \(g : U' \to U\)를 \(B\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \(j' : R' \to U' \times_B U'\)를 \(j\)의 \(U'\)로의 제한이라 하자. 몫 층의 사상 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 은 단사이다. \(U' \to U\)가 층의 사상으로서 전사이면, 예를 들어 \(\{g : U' \to U\}\)가 fppf 덮개이면(Topologies on Spaces, Definition 03Y8 참조), \(U'/R' \to U/R\)는 층의 동형사상이다.

증명

\(\xi, \xi' \in (U'/R')(S')\)가 \(U/R\)의 같은 단면으로 사상되는 단면들이라고 하자. 그러면 fppf 덮개 \(\mathcal{S} = \{S_i \to S'\}\)를 \(S'\)에 대해 찾아 \(\xi|_{S_i}, \xi'|_{S_i}\)가 \(a_i, a_i' \in U'(S_i)\)로 주어지게 할 수 있다. Lemma 046O와 자리의 공리들에 의해 \(\mathcal{T}\)를 세분한 뒤 사상 \(r_i : S_i \to R\)이 존재하여 \(g \circ a_i = s \circ r_i\), \(g \circ a_i' = t \circ r_i\)를 만족한다고 가정할 수 있다. 구성상 \(R' = R \times_{U \times_S U} (U' \times_S U')\) 이므로 \((r_i, (a_i, a_i')) \in R'(S_i)\)이고, 이는 \(a_i\)와 \(a_i'\)가 \(U'/R'\)에서 \(S_i\) 위의 같은 단면을 정의함을 보인다. 층 조건에 의해 이는 \(\xi = \xi'\)를 뜻한다.

\(U' \to U\)가 층의 전사이면 \(U'/R' \to U/R\)도 전사이다. 마지막으로 \(\{g : U' \to U\}\)가 fppf 덮개이면 층의 사상 \(U' \to U\)는 전사이다. Topologies on Spaces, Lemma 0469를 보라.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(g : U' \to U\)를 \(B\) 위 대수공간의 사상이라 하자. \((U', R', s', t', c')\)를 \((U, R, s, t, c)\)의 \(U'\)로의 제한이라 하자. 몫 층의 사상 \[U'/R' \longrightarrow U/R\] 은 단사이다. 합성 \[\xymatrix{ U' \times_{g, U, t} R \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R \ar[r]_s & U }\] 이 fppf 층의 전사이면 이 사상은 전단사이다. 예를 들어 \(\{h : U' \times_{g, U, t} R \to U\}\)가 \(fppf\)-덮개이거나, \(U' \to U\)가 층의 전사이거나, \(\{g : U' \to U\}\)가 fppf 위상에서 덮개이면 이것이 성립한다.

증명

단사성은 Lemmas 043X와 046P를 결합하면 따른다. 전사성을 보이기 위해(Sites, Section 00WL에서 층의 전사 사상의 특징짓기를 보라) 다음과 같이 논증한다. \(T\)가 스킴이고 \(\sigma \in U/R(T)\)라고 하자. 덮개 \(\{T_i \to T\}\)가 존재하여 \(\sigma|_{T_i}\)가 어떤 원소 \(f_i \in U(T_i)\)의 상이 된다. 따라서 \(\sigma\)가 \(f \in U(T)\)의 상이라고 가정할 수 있다. \(h\)가 층의 전사라는 가정에 의해 fppf 덮개 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\)와 사상 \(f_i : T_i \to U' \times_{g, U, t} R\)를 찾아 \(f \circ \varphi_i = h \circ f_i\)를 만족하게 할 수 있다. \(f'_i = \text{pr}_0 \circ f_i : T_i \to U'\)라 나타내자. 그러면 \(f'_i \in U'(T_i)\)는 \(g \circ f'_i \in U(T_i)\)로 사상되고, \[g \circ f'_i \sim_{T_i} h \circ f_i = f \circ \varphi_i\] 이다. 표기법은 (044I)에서와 같다. 즉 관계를 주는 \(R(T_i)\)의 원소는 \(\text{pr}_1 \circ f_i\)이다. 이는 \(\sigma\)의 \(T_i\)로의 제한이 원하는 대로 \(U'/R'(T_i) \to U/R(T_i)\)의 상에 있음을 뜻한다.

\(\{h\}\)가 fppf 덮개이면 층의 전사를 유도한다. Topologies on Spaces, Lemma 0469를 보라. \(U' \to U\)가 전사이면 \(h\)도 전사이다. 실제로 \(s\)는 단면, 즉 groupoid 스킴의 중립원 \(e\)를 가진다.

몫 스택

이 절과 이어지는 몇 절에서는 위의 Section 044H와 Groupoids, Section 02VE의 한 일반화를 설명한다. 차이는 다음과 같다. 몫 층 대신 몫 스택을 취할 것이다.

스킴 \(S\), 대수공간 \(B\)를 \(S\) 위에, 그리고 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위에 가지고 있다고 하자. 이 자료가 주어지면 함자 [044P]\[\begin{equation} \begin{matrix} (\Sch/S)_{fppf}^{opp} & \longrightarrow & \textit{Groupoids} \\ S' & \longmapsto & (U(S'), R(S'), s, t, c) \end{matrix} \end{equation}\] 를 생각한다. Categories, Example 0049에 의해 이 ‘groupoid에서의 준층’은 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 groupoid들로 섬유화된 범주에 대응한다. 이 장에서는 이를 \[[U/_{\!p}R] \to (\Sch/S)_{fppf}\] 로 나타낸다. 여기서 아래첨자 \({}_p\)는 몫 스택과 구별하기 위해 붙인 것이다.

정의

몫 스택. 위와 같은 \(B \to S\)를 잡자.

1. \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. 몫 스택 \[p : [U/R] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 은 \((U, R, s, t, c)\)의 것이며 스택화이다(Stacks, Lemma 02ZP 참조). 스택화하는 대상은 groupoid들로 섬유화된 범주 \([U/_{\!p}R]\)이며, \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에 있고 (044P)에 연관된다.

2. \((G, m)\)을 \(B\) 위 군 대수공간이라 하자. \(a : G \times_B X \to X\)를 \(G\)의 한 대수공간에 대한 \(B\) 위 작용이라 하자. 몫 스택 \[p : [X/G] \longrightarrow (\Sch/S)_{fppf}\] 은 대수공간에서의 groupoid \((X, G \times_B X, s, t, c)\)를 \(B\) 위에서 취한 것에 연관된 몫 스택이다. 이는 Lemma 0444의 groupoid이다.

따라서 \([U/R]\)와 \([X/G]\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 groupoid에서의 스택이다. 이 스택들은 뒤에서 매우 중요하므로 상세히 설명하는 것이 타당하다. 대수공간 \(X\)가 \(S\) 위에 주어졌을 때 표기법 \(\mathcal{S}_X \to (\Sch/S)_{fppf}\)는 층 \(X\)에 연관된 집합에서의 스택을 나타낸다는 것을 상기하라. Categories, Lemma 02Y2와 Stacks, Lemma 0430를 보라.

보조정리

Definition 044Q (1)에서와 같은 \(B \to S\)와 \((U, R, s, t, c)\)를 가정하자. 표준적인 \(1\)-사상 \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\)와 \([U/R] \to \mathcal{S}_B\)가 존재하며, 이들은 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 groupoid에서의 스택의 사상이다. 합성 \(\mathcal{S}_U \to \mathcal{S}_B\)는 \(1\)-사상이며 구조 사상 \(U \to B\)에 연관된다.

증명

이 증명에서 준층 (044P)에 연관된 groupoid들로 섬유화된 범주를 \([U/_{\!p}R]\)로 나타내자. 스택화의 구성에 의해 \(1\)-사상 \([U/_{\!p}R] \to [U/R]\)가 존재한다. \(1\)-사상 \(\mathcal{S}_U \to [U/R]\)는 단순히 합성 \(\mathcal{S}_U \to [U/_{\!p}R] \to [U/R]\)이다. 여기서 첫 화살표는 스킴 \(S'/S\)와 사상 \(x : S' \to U\)를 취하되 이 사상은 \(S\) 위에 있고, 대상 \(x \in U(S')\)를 대응시킨다. 이는 \([U/_{\!p}R]\)의 섬유 범주에서 \(S'\) 위의 대상이다.

\(1\)-사상 \([U/R] \to \mathcal{S}_B\)를 구성하려면 \(1\)-사상 \([U/_{\!p}R] \to \mathcal{S}_B\)를 구성하면 충분하다. Stacks, Lemma 0436를 보라. \(S'/S\) 위의 대상에는 사상 \[U(S') \longrightarrow B(S')\] 을 사용한다. 이는 구조 사상 \(U \to B\)에서 온다. 그리고 \(a \in R(S')\)가 시작점 \(s(a) \in U(S')\)와 끝점 \(t(a) \in U(S')\)를 갖는 ‘화살표’라 하자. \(s\)와 \(t\)는 \(B\) 위의 사상이므로 두 점은 모두 같은 원소 \(\overline{a}\)로 사상되며, 이는 \(B(S')\)의 원소이다. 따라서 화살표 \(a \in R(S')\)를 \(\overline{a}\)의 항등사상으로 보낼 수 있다. (섬유 범주 \((\mathcal{S}_B)_{S'}\)에는 항등사상만 있으므로 이것이 옳다.) 이 규칙이 이러한 분할 섬유화 범주에서의 당김과 양립하여 원하는 \(1\)-사상 \([U/_{\!p}R] \to \mathcal{S}_B\)를 정의한다는 확인은 생략한다.

마지막 명제의 확인은 생략한다.

보조정리

Lemma 044R와 같은 가정과 표기법을 사용하자. 표준적인 \(2\)-사상 \(\alpha : \pi \circ s \to \pi \circ t\)가 존재하여 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]_t & \mathcal{S}_U \ar[d]^\pi \\ \mathcal{S}_U \ar[r]^-\pi & [U/R] }\] 을 \(2\)-가환으로 만든다.

증명

\(S'\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자. \(r : S' \to R\)를 \(S\) 위 사상이라 하자. 그러면 \(r \in R(S')\)는 대상 \(s \circ r, t \circ r \in U(S')\) 사이의 동형사상이다. 더욱이 이 구성은 당김과 양립한다. 이는 표준적인 \(2\)-사상 \(\alpha_p : \pi_p \circ s \to \pi_p \circ t\)를 준다. 여기서 \(\pi_p : \mathcal{S}_U \to [U/_{\!p}R]\)는 Lemma 044R의 증명에서와 같다. 따라서 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]^t & \mathcal{S}_U \ar[d]^{\pi_p} \\ \mathcal{S}_U \ar[r]^-{\pi_p} & [U/_{\!p}R] }\] 조차 \(2\)-가환이다. 그러므로 보조정리의 도식은 더욱이 \(2\)-가환이다.

주

뒤의 장들에서는 \(\mathcal{S}_X\)로 나타내는 집합에서의 스택이 \(X\)에 연관되어 있을 때 이를 단순히 \(X\)라고 쓰는 모호한 표기법을 사용할 것이다. 이 표기법을 사용하면 Lemma 044S의 도식은 익숙한 도식 \[\xymatrix{ R \ar[r]_s \ar[d]_t & U \ar[d]^\pi \\ U \ar[r]^-\pi & [U/R] }\] 이 된다. 다음 절들에서는 이 도식이 좋은 성질을 많이 가짐을 보일 것이다. 특히 이것이 \(2\)-섬유곱임을 (Section 04M8) 보이고, \(2\)-쌍대등화자, 즉 \(s\)와 \(t\)를 쌍대등화하는 것에 가깝다는 것도 (Section 04MA) 보일 것이다.

몫 스택의 함자성

대수공간에서의 groupoid의 사상은 연관된 몫 스택의 사상을 준다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid의 사상이라 하자. 그러면 \(f\)는 표준적인 몫 스택의 \(1\)-사상 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R'].\] 을 유도한다.

증명

함자 (044P)에 연관된 groupoid들로 섬유화된 범주를 \([U/_{\!p}R]\)와 \([U'/_{\!p}R']\)로 나타내자. 이들은 기저 자리 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에 있다. \(f\)가 \(1\)-사상 \([U/_{\!p}R] \to [U'/_{\!p}R']\)를 정의함은 명백하며, 이를 \([U'/R']\)의 스택화 함자와 합성하여 \([U/_{\!p}R] \to [U'/R']\)를 얻는다. 그런 다음 스택화 함자 \([U/_{\!p}R] \to [U/R]\)의 보편성에 의해(Stacks, Lemma 0436 참조) \([U/R] \to [U'/R']\)를 얻는다.

Lemma 046Q에서와 같은 \(B \to S\)와 \(f : (U, R, s, t, c) \to (U', R', s', t', c')\)를 잡자. 이 상황에서 세 번째 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid를 다음과 같이 정의한다. 여기서는 \(T\)-값 점의 언어를 사용하며, \(T\)는 달리는 스킴으로 \(B\) 위에 있다.

1. \(U'' = U \times_{f, U', t'} R'\)로 둔다. 따라서 \(T\)-값 점은 쌍 \((u, r')\)이며 \(f(u) = t'(r')\)를 만족한다.

2. \(R'' = R \times_{f \circ s, U', t'} R'\)로 둔다. 따라서 \(T\)-값 점은 쌍 \((r, r')\)이며 \(f(s(r)) = t'(r')\)를 만족한다.

3. \(s'' : R'' \to U''\)는 \(s''(r, r') = (s(r), r')\)로 주어진다.

4. \(t'' : R'' \to U''\)는 \(t''(r, r') = (t(r), c'(f(r), r'))\)로 주어진다.

5. \(c'' : R'' \times_{s'', U'', t''} R'' \to R''\)는 \(c''((r_1, r'_1), (r_2, r'_2)) = (c(r_1, r_2), r'_2)\)로 주어진다.

\(c''\)의 공식은 의미가 있다. 실제로 \(s''(r_1, r'_1) = t''(r_2, r'_2)\)이다. \(c''\)가 결합적임은 명백하다. 항등원 \(e''\)는 \(e''(u, r) = (e(u), r)\)로 주어진다. \((r, r')\)의 역원은 \((i(r), c'(f(r), r'))\)로 주어진다. 따라서 실제로 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid를 얻는다.

사상 \(U'' \to U\)와 \(R'' \to R\)이 groupoid의 사상 \(g : (U'', R'', s'', t'', c'') \to (U, R, s, t, c)\)를 정의함은 명백하며, 이는 대수공간에서의 groupoid 사이에서 \(B\) 위에 있다. 더욱이 사상 \(U'' \to U'\), \((u, r') \mapsto s'(r')\)와 \(R'' \to U'\), \((r, r') \mapsto s'(r')\)는 실제로 \((U'', R'', s'', t'', c'')\)가 \(U'\) 위 대수공간에서의 groupoid임을 보인다.

보조정리

Lemma 046Q에서와 같은 표기법과 가정을 사용하자. 위에서 구성한 대수공간에서의 groupoid \((U'', R'', s'', t'', c'')\)를 \(B\) 위에 잡자. \(2\)-가환 정사각형 \[\xymatrix{ [U''/R''] \ar[d] \ar[r]_{[g]} & [U/R] \ar[d]^{[f]} \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/R'] }\] 이 존재하며, 이는 \([U''/R'']\)를 \(2\)-섬유곱과 동일시한다.

증명

사상 \([f]\)와 \([g]\)는 Lemma 046Q을 적용하여 얻고, 나머지 두 사상은 Lemma 044R에서 얻는다 (\((U'', R'', s'', t'', c'')\)가 \(U'\) 위에 있다는 사실도 사용한다). \(2\)-섬유곱 성질을 보이려면 groupoid들로 섬유화된 범주의 도식 \[\xymatrix{ [U''/_{\!p}R''] \ar[d] \ar[r]_{[g]} & [U/_{\!p}R] \ar[d]^{[f]} \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/_{\!p}R'] }\] 에 대해 보조정리를 증명하면 충분하다. Stacks, Lemma 04Y2를 보라. 달리 말하면, \(2\)-섬유곱 \(\mathcal{S}_U \times_{[U'/_{\!p}R']} [U/_{\!p}R]\)의 대상을 \(T\) 위에서 잡았을 때, 이것이 \(T\)-값 점이며 \(U''\)에 속하는 점에 대응하고 사상에 대해서도 마찬가지임을 보이면 충분하다. 물론 이는 애초에 \(U''\)와 \(R''\)를 구성한 바로 그 방식이다.

구체적으로, \(\mathcal{S}_U \times_{[U'/_{\!p}R']} [U/_{\!p}R]\)의 대상은 \(T\) 위에서 삼중항 \((u', u, r')\)이다. 여기서 \(u'\)는 \(T\)-값 점이며 \(U'\)에 속하고, \(u\)는 \(T\)-값 점이며 \(U\)에 속한다. 또한 \(r'\)는 \(u'\)에서 \(f(u)\)로 가는 \([U'/R']_T\)의 사상이다. 즉 \(r'\)는 \(T\)-값 점이며 \(R\)에 속하고 \(s'(r') = u'\)이고 \(t'(r') = f(u)\)이다. 정보를 잃지 않고 \(u'\)를 잊을 수 있음이 명백하고, 이 대상들이 \(T\)-값 점이며 \(R''\)에 속하는 점들과 일대일 대응함을 알 수 있다.

사상도 마찬가지이다. \((u'_1, u_1, r'_1)\)와 \((u'_2, u_2, r'_2)\)를 \(T\) 위 섬유곱의 두 대상이라 하자. \((u'_2, u_2, r'_2)\)에서 \((u'_1, u_1, r'_1)\)로 가는 사상은 \((1, r)\)로 주어진다. 여기서 \(1 : u'_1 \to u'_2\)는 단순히 \(u'_1 = u'_2\)를 뜻하고(\(\mathcal{S}_U\)가 집합에서 섬유화되어 있기 때문이다), \(r\)은 \(T\)-값 점으로 \(R\)에 속하며 \(s(r) = u_2\), \(t(r) = u_1\) 및 \(c'(f(r), r'_2) = r'_1\)을 만족한다. 따라서 화살표 \[(1, r) : (u'_2, u_2, r'_2) \to (u'_1, u_1, r'_1)\] 는 쌍 \((r, r'_2)\)만 알면 완전히 결정된다. 따라서 화살표의 함자는 \(R''\)로 표현되고, 더욱이 사상 \(s''\), \(t''\), \(c''\)는 \(2\)-섬유곱 \(\mathcal{S}_U \times_{[U'/_{\!p}R']} [U/_{\!p}R]\)에서의 시작점, 끝점, 합성에 각각 명백히 대응한다.

몫 스택의 2-데카르트 정사각형

이 절에서는 몫 스택의 \(\mathit{Isom}\)-층들을 계산하고, 몫 스택을 정의하는 도식이 \(2\)-섬유곱임을 추론한다.

보조정리

\(B \to S\), \((U, R, s, t, c)\) 및 \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\)가 Lemma 044R에서와 같다고 가정하자. \(S'\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자. \(x, y \in \Ob([U/R]_{S'})\)를 \(S'\) 위 몫 스택의 대상이라 하자. \(x = \pi(x')\)이고 \(y = \pi(y')\)라고 하자. 여기서 어떤 사상 \(x', y' : S' \to U\)가 존재한다고 가정한다. 그러면 \[\mathit{Isom}(x, y) = S' \times_{(y', x'), U \times_S U} R\] 이며, 이는 \(S'\) 위 층의 등식이다.

증명

\([U/_{\!p}R]\)를 groupoid에서의 준층 (044P)에 연관된 groupoid들로 섬유화된 범주라 하자. 이는 Lemma 044R의 증명에서와 같다. 구성상 층 \(\mathit{Isom}(x, y)\)는 준층 \(\mathit{Isom}(x', y')\)에 연관된 층이다. 한편 \([U/_{\!p}R]\)에서의 사상의 정의에 의해 \[\mathit{Isom}(x', y') = S' \times_{(y', x'), U \times_S U} R\] 이고, 우변은 대수공간이므로 층이다.

보조정리

\(B \to S\), \((U, R, s, t, c)\) 및 \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\)가 Lemma 044R에서와 같다고 가정하자. Lemma 044S의 \(2\)-가환 정사각형 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]_t & \mathcal{S}_U \ar[d]^\pi \\ \mathcal{S}_U \ar[r]^-\pi & [U/R] }\] 은 \(2\)-섬유곱이며, 이는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 groupoid에서의 스택들 사이의 섬유곱이다.

증명

Stacks, Lemma 02ZL에 의하면 보조정리는 의미가 있다. 또한 그 결과에 의하면 함자 \[\mathcal{S}_R \longrightarrow \mathcal{S}_U \times_{[U/R]} \mathcal{S}_U\] 가 동치임을 보여야 한다. 이 함자는 \(r : T \to R\)를 \((T, t(r), s(r), \alpha(r))\)로 보내고, 우변은 Categories, Lemma 0040에 설명된 \(2\)-섬유곱이다. 정의들을 풀어 쓰면 이것은 정확히 Lemma 044V의 내용이다. (대안적 증명: 이 상황에서 Lemma 04Y4의 의미를 계산해도 결과를 얻는다.)

보조정리

\(B \to S\)와 \((U, R, s, t, c)\)가 Definition 044Q (1)에서와 같다고 가정하자. \(T\)를 \(S\) 위 임의의 스킴이라 하고, 대상 \(x, y\)를 \([U/R]\)에서 \(T\) 위에 잡자. 층 \(\mathit{Isom}(x, y)\)는 \((\Sch/T)_{fppf}\) 위에서 다음 성질을 갖는다. fppf 덮개 \(\{T_i \to T\}_{i \in I}\)가 존재하여 \[\mathit{Isom}(x, y)|_{(\Sch/T_i)_{fppf}}\] 는 대수공간으로 표현된다.

증명

Lemma 044V와 다음 사실에서 바로 따른다. 몫 스택의 구성상 \(x\)와 \(y\)는 모두 fppf 위상에서 국소적으로 \(\mathcal{S}_U\)의 대상에서 온다.

몫 스택의 2-쌍대등화자 성질

groupoid에는 합성이 있으며, 이는 위 보조정리의 표준적인 \(2\)-사상에 대한 여접합 조건을 낳는다. 정확히 정식화하기 위해 Categories, Sections 003D와 003G에서 도입한 표기법을 사용할 것이다.

보조정리

Lemmas 044R와 044S에서와 같은 가정과 표기법을 사용하자. 다음의 수직 합성 \[\xymatrix@C=15pc{ \mathcal{S}_{R \times_{s, U, t} R} \ruppertwocell^{\pi \circ s \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ c}{\ \ \ \ \ \ \alpha \star \text{id}_{\text{pr}_1}} \ar[r]_(.3){\pi \circ t \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ \text{pr}_0} \rlowertwocell_{\pi \circ t \circ \text{pr}_0 = \pi \circ t \circ c}{\ \ \ \ \ \ \alpha \star \text{id}_{\text{pr}_0}} & [U/R] }\] 은 \(2\)-사상 \(\alpha \star \text{id}_c\)이다. 공식으로는 \(\alpha \star \text{id}_c = (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_0}) \circ (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_1})\)이다.

증명

두 가지를 지적한다.

1. 공식 \(\alpha \star \text{id}_c = (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_0}) \circ (\alpha \star \text{id}_{\text{pr}_1})\)이 의미를 가지려면 다음 등식들을 알아야 한다. \(\pi \circ s \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ c\), \(\pi \circ t \circ \text{pr}_1 = \pi \circ s \circ \text{pr}_0\), 그리고 \(\pi \circ t \circ \text{pr}_0 = \pi \circ t \circ c\)이다. 즉 두 번째 등식은 수직 합성 \(\circ\)가 의미를 갖게 하고, 나머지 두 등식은 공식의 양변이 시작점과 끝점이 같은 \(2\)-사상임을 보장한다.

2. 이 보조정리가 성립하는 이유는 groupoid에서의 준층 (044P)에 연관된 groupoid들로 섬유화된 범주 \([U/_{\!p}R]\)에서의 합성이 합성법칙 \(c : R \times_{s, U, t} R \to R\)에서 오기 때문이다.

보조정리의 증명은 생략한다.

보조정리의 상황에서는 실제로 등식 \(s \circ \text{pr}_1 = s \circ c\), \(t \circ \text{pr}_1 = s \circ \text{pr}_0\), 그리고 \(t \circ \text{pr}_0 = t \circ c\)가 있으며, 이는 \(\pi\)와 합성하기 전부터 성립함에 유의하라. 따라서 아래 보조정리의 공식은 위 보조정리의 공식과 정확히 같은 방식으로 의미를 갖는다.

보조정리

Lemmas 044R와 044S에서와 같은 가정과 표기법을 사용하자. Lemma 044S의 \(2\)-가환 도식은 다음 의미에서 \(2\)-쌍대등화자이다. 다음 자료가 주어졌다고 하자.

1. groupoid에서의 스택 \(\mathcal{X}\), 이는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에 있다.

2. \(1\)-사상 \(f : \mathcal{S}_U \to \mathcal{X}\),

3. \(2\)-화살표 \(\beta : f \circ s \to f \circ t\).

이들이 \[\beta \star \text{id}_c = (\beta \star \text{id}_{\text{pr}_0}) \circ (\beta \star \text{id}_{\text{pr}_1})\] 를 만족하면, \(1\)-사상 \([U/R] \to \mathcal{X}\)가 존재하여 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_R \ar[r]_s \ar[d]^t & \mathcal{S}_U \ar[d] \ar[ddr]^f \\ \mathcal{S}_U \ar[r] \ar[rrd]_f & [U/R] \ar[rd] \\ & & \mathcal{X} }\] 을 \(2\)-가환으로 만든다.

증명

보조정리에서와 같은 \(\mathcal{X}\), \(f\), \(\beta\)가 주어졌다고 하자. Stacks, Lemma 0436에 의해 \(1\)-사상 \(g : [U/_{\!p}R] \to \mathcal{X}\)를 구성하면 충분하다. 먼저 \(1\)-사상 \(\mathcal{S}_U \to [U/_{\!p}R]\)가 대상들 위에서 전단사임에 유의하라. 따라서 대상들 위에서는 \(g(x) = f(x)\)로 둘 수 있다. 여기서 \(x \in \Ob(\mathcal{S}_U) = \Ob([U/_{\!p}R])\)이다. 사상 \(\varphi : x \to y\)는 \([U/_{\!p}R]\)에 속하며 가환 도식 \[\xymatrix{ S_2 \ar[dd]_h \ar[r]_x \ar[dr]_\varphi & U \\ & R \ar[u]_s \ar[d]^t \\ S_1 \ar[r]^y & U. }\] 에서 온다. 따라서 \(g(\varphi)\)를 합성 \[\xymatrix{ f(x) \ar@{=}[r] \ar[rrrrrd] & f(s \circ \varphi) \ar@{=}[r] & (f \circ s)(\varphi) \ar[r]^\beta & (f \circ t)(\varphi) \ar@{=}[r] & f(t \circ \varphi) \ar@{=}[r] & f(y \circ h) \ar[d] \\ & & & & & f(y). }\] 과 같게 둘 수 있다. 수직 화살표는 함자 \(f\)를 표준적인 사상 \(y \circ h \to y\)에 적용한 결과이다. 이 사상은 \(\mathcal{S}_U\)에 속하며, \(h\)를 올리고 끝점이 \(y\)인 강한 데카르트 사상이다. 이렇게 정의한 \(f\)가 적어도 섬유 범주들 위에서 합성과 양립함을 확인하자. \(S'\)를 \(S\) 위 스킴이라 하고 \(a : S' \to R \times_{s, U, t} R\)를 사상이라 하자. 이 상황에서 \(x = s \circ \text{pr}_1 \circ a = s \circ c \circ a\), \(y = t \circ \text{pr}_1 \circ a = s \circ \text{pr}_0 \circ a\), 그리고 \(z = t \circ \text{pr}_0 \circ a = t \circ \text{pr}_0 \circ c\)로 두어 가환 도식 \[\xymatrix{ x \ar[rr]_{c \circ a} \ar[rd]_{\text{pr}_1 \circ a} & & z \\ & y \ar[ru]_{\text{pr}_0 \circ a} }\] 을 섬유 범주 \([U/_{\!p}R]_{S'}\)에서 얻는다. 더욱이 이 섬유 범주의 모든 가환 삼각형은 이러한 꼴이다. 위 정의들에 의해 \(f\)가 이를 가환 도식으로 보낼 필요충분조건은 도식 \[\xymatrix{ & (f \circ s)(c \circ a) \ar[r]_-{\beta} & (f \circ t)(c \circ a) \ar@{=}[rd] & \\ (f \circ s)(\text{pr}_1 \circ a) \ar[rd]^\beta \ar@{=}[ru] & & & (f \circ t)(\text{pr}_0 \circ a) \\ & (f \circ t)(\text{pr}_1 \circ a) \ar@{=}[r] & (f \circ s)(\text{pr}_0 \circ a) \ar[ru]^\beta }\] 이 가환하는 것이며, 이는 정확히 보조정리의 공식이 나타내는 조건이다. \(f\)가 항등원을 항등원으로 보내고 임의의 사상들의 합성과 양립한다는 확인은 생략한다.

몫 스택의 명시적 설명

결과를 정식화하려면 몇 가지 표기법을 도입해야 한다. \(B \to S\)와 \((U, R, s, t, c)\)가 Definition 044Q (1)에서와 같다고 가정하자. \(T\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자. \(\mathcal{T} = \{T_i \to T\}_{i \in I}\)를 fppf 덮개라 하자. \([U/R]\)-하강 자료 가운데 \(\mathcal{T}\)에 대한 것은 계 \((u_i, r_{ij})\)로 주어지는데, 여기서

1. 각 \(i\)에 대하여 사상 \(u_i : T_i \to U\)가 있고,

2. 각 \(i, j\)에 대하여 사상 \(r_{ij} : T_i \times_T T_j \to R\)가 있으며,

다음을 만족한다.

1. \(T_i \times_T T_j \to U\)의 사상으로서 \[s \circ r_{ij} = u_i \circ \text{pr}_0 \quad\text{and}\quad t \circ r_{ij} = u_j \circ \text{pr}_1,\] 이고,

2. \(T_i \times_T T_j \times_T T_k \to R\)의 사상으로서 \[c \circ (r_{jk} \circ \text{pr}_{12}, r_{ij} \circ \text{pr}_{01}) = r_{ik} \circ \text{pr}_{02}.\] 이다.

두 하강 자료 사이의 사상 \((u_i, r_{ij}) \to (u'_i, r'_{ij})\) 가운데 \([U/R]\)-하강 자료의 사상으로서 같은 덮개 \(\mathcal{T}\) 위에 있는 것은 다음을 만족하는 모음 \((r_i : T_i \to R)\)이다.

1. \((\alpha)\) \(T_i \to U\)의 사상으로서 \[u_i = s \circ r_i \quad\text{and}\quad u'_i = t \circ r_i\] 이고,

2. \((\beta)\) \(T_i \times_T T_j \to R\)의 사상으로서 \[c \circ (r'_{ij}, r_i \circ \text{pr}_0) = c \circ (r_j \circ \text{pr}_1, r_{ij}).\] 이다.

고정된 덮개에 대한 하강 자료의 사상들 위에는 자연스러운 합성법칙이 있고, 하강 자료의 범주를 얻는다. 이 범주는 groupoid이다. 마지막으로 \(\mathcal{T}' = \{T'_j \to T\}_{j \in J}\)가 \(\mathcal{T}\)를 세분하는 두 번째 fppf 덮개이면 하강 자료의 당김 개념이 있다. 이 경우 이를 명시적으로 설명하기가 특히 쉽다. 즉 \(\alpha : J \to I\)이고

\(\varphi_j : T'_j \to T_{\alpha(i)}\)가 덮개의 사상이면 하강 자료 \((u_i, r_{ii'})\)의 당김은 단순히 \[(u_{\alpha(i)} \circ \varphi_j, r_{\alpha(j)\alpha(j')} \circ \varphi_j \times \varphi_{j'}).\] 이다. 이렇게 정의한 당김은 \(\mathcal{T}\) 위 하강 자료의 범주에서 \(\mathcal{T}'\) 위 하강 자료의 범주로 가는 함자를 정의한다.

보조정리

\(B \to S\)와 \((U, R, s, t, c)\)가 Definition 044Q (1)에서와 같다고 가정하자. \(\pi : \mathcal{S}_U \to [U/R]\)를 Lemma 044R에서와 같이 잡자. \(T\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자.

1. 모든 대상 \(x\)가 섬유 범주 \([U/R]_T\)에 속하면, fppf 덮개 \(\{f_i : T_i \to T\}_{i \in I}\)가 존재하여 \(f_i^*x \cong \pi(u_i)\)가 되며, 여기서 어떤 \(u_i \in U(T_i)\)를 취할 수 있다.

2. 동형사상들의 합성 \[\pi(u_i \circ \text{pr}_0) = \text{pr}_0^*\pi(u_i) \cong \text{pr}_0^*f_i^*x \cong \text{pr}_1^*f_j^*x \cong \text{pr}_1^*\pi(u_j) = \pi(u_j \circ \text{pr}_1)\] 은 \(\pi(r_{ij})\) 꼴이며, 여기서 어떤 사상 \(r_{ij} : T_i \times_T T_j \to R\)를 취할 수 있다.

3. 계 \((u_i, r_{ij})\)는 위에서 정의한 \([U/R]\)-하강 자료를 이룬다.

4. 임의의 \([U/R]\)-하강 자료 \((u_i, r_{ij})\)는 이 방식으로 생긴다.

5. \(x\)가 위와 같이 \((u_i, r_{ij})\)에 대응하고, \(y \in \Ob([U/R]_T)\)가 \((u'_i, r'_{ij})\)에 대응하면 표준적인 전단사 \[\Mor_{[U/R]_T}(x, y) \longleftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \text{morphisms }(u_i, r_{ij}) \to (u'_i, r'_{ij})\\ \text{of }[U/R]\text{-descent data} \end{matrix} \right\}\] 가 존재한다.

6. 이 대응은 fppf 덮개의 세분과 양립한다.

증명

명제 (1)은 스택화 구성의 일부이다. (2)는 Lemma 044V에서 따른다. (3)의 확인은 생략한다. (4)는 스택에서 모든 하강 자료가 효과적이라는 사실을 옮겨 쓴 것이다. (5)와 (6)의 확인은 생략한다.

제한과 몫 스택

이 절에서는 제한을 취할 때 몫 스택에 어떤 일이 일어나는지 연구한다.

보조정리

Lemma 046Q에서와 같은 표기법과 가정을 사용하자. 몫 스택의 사상 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R']\] 이 완전충실일 필요충분조건은 \(R\)가 \(R'\)의 제한인 것이다. 여기서 제한은 사상 \(f : U \to U'\)를 통하여 취한다.

증명

\(x, y\)를 \([U/R]\)의 대상으로 하되 스킴 \(T/S\) 위에 잡자. \(x', y'\)를 \(x, y\)의 상이라 하되 범주는 \([U'/R']_T\)라 하자. 함자 \([f]\)가 완전충실일 필요충분조건은 층의 사상 \[\mathit{Isom}(x, y) \longrightarrow \mathit{Isom}(x', y')\] 이 모든 \(T, x, y\)에 대하여 동형사상인 것이다. 이를 \(T\) 위에서 국소적으로(fppf 위상으로) 검사할 수 있다. 따라서 Lemma 044X에 의해 \(x, y\)가 \(a, b \in U(T)\)에서 온다고 가정할 수 있다. 그 경우 \(x', y'\)가 \(f \circ a, f \circ b\)에 대응함을 안다. Lemma 044V에 의해 이 경우 표시된 층의 사상은 \[T \times_{(a, b), U \times_B U} R \longrightarrow T \times_{f \circ a, f \circ b, U' \times_B U'} R'.\] 이 된다. \(R\)가 제한이면 이것은 동형사상이다. 실제로 그 경우 \(R = (U \times_B U) \times_{U' \times_B U'} R'\)이다. Lemma 044D과 그 증명을 보라. 거꾸로 마지막 표시 사상이 모든 \(T, a, b\)에 대하여 동형사상이면 \(R = (U \times_B U) \times_{U' \times_B U'} R'\)가 따르며, 즉 \(R\)는 \(R'\)의 제한이다.

보조정리

Lemma 046Q에서와 같은 표기법과 가정을 사용하자. 몫 스택의 사상 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R']\] 이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

1. \((U, R, s, t, c)\)는 \((U', R', s', t', c')\)의 제한이며, 이는 \(f : U \to U'\)를 통하여 취한다.

2. 사상 \[\xymatrix{ U \times_{f, U', t'} R' \ar[r]_-{\text{pr}_1} \ar@/^3ex/[rr]^h & R' \ar[r]_{s'} & U' }\] 은 층의 전사이다.

예를 들어 \(\{h : U \times_{f, U', t'} R' \to U'\}\)가 fppf 덮개이거나, \(f : U \to U'\)가 층의 전사이거나, \(\{f : U \to U'\}\)가 fppf 덮개이면 (2)가 성립한다.

증명

Lemma 046S에 의해 (1)이 완전충실성과 동치임을 이미 안다. 따라서 (1)이 성립하고 \([f]\)가 완전충실이라고 가정할 수 있다. 이 가정 아래 \([f]\)가 동치일 필요충분조건이 (2)임을 보이는 것이 목표이다. 동치를 특징짓는 Stacks, Lemma 046N를 사용할 수 있다.

(2)를 가정하자. Stacks, Lemma 046N를 사용하여 \([f]\)가 동치임을 증명하겠다. \(T\)가 스킴이고 \(x' \in \Ob([U'/R']_T)\)라고 하자. \(\{g_i : T_i \to T\}\)라는 덮개가 존재하여 \(g_i^*x'\)가 어떤 원소 \(a'_i \in U'(T_i)\)의 상이 된다. Lemma 044X를 보라. 따라서 \(x'\)가 \(a' \in U'(T)\)의 상이라고 가정할 수 있다. \(h\)가 층의 전사라는 가정에 의해 fppf 덮개 \(\{\varphi_i : T_i \to T\}\)와 다음을 만족하는 사상

\(b_i : T_i \to U \times_{g, U', t'} R'\)를 찾을 수 있다. \(a' \circ \varphi_i = h \circ b_i\)이다. \(a_i = \text{pr}_0 \circ b_i : T_i \to U\)라 나타내자. 그러면 \(a_i \in U(T_i)\)는 \(f \circ a_i \in U'(T_i)\)로 사상되고 \(f \circ a_i \cong_{T_i} h \circ b_i = a' \circ \varphi_i\)이다. 여기서 \(\cong_{T_i}\)는 섬유 범주 \([U'/R']_{T_i}\)에서의 동형사상을 나타낸다. 즉 동형사상을 주는 \(R'(T_i)\)의 원소는 \(\text{pr}_1 \circ b_i\)이다. 이는 원하는 대로 \(x\)의 \(T_i\)로의 제한이 함자 \([U/R]_{T_i} \to [U'/R']_{T_i}\)의 본질적 상에 있음을 뜻한다.

\([f]\)가 동치라고 가정하자. \(\xi' \in [U'/R']_{U'}\)를 \(U'\)의 항등사상에 대응하는 대상이라 하자. Stacks, Lemma 046N를 적용하면 fppf 덮개 \(\mathcal{U}' = \{g'_i : U'_i \to U'\}\)가 존재하여 \((g'_i)^*\xi' \cong [f](\xi_i)\)가 된다. 여기서 어떤 \(\xi_i\)가 \([U/R]_{U'_i}\)에 있다. 덮개 \(\mathcal{U}'\)를 세분한 뒤(Lemma 044X 사용) \(\xi_i\)가 사상 \(a_i : U'_i \to U\)에서 온다고 가정할 수 있다. \([f](\xi_i) \cong (g'_i)^*\xi'\)라는 사실은, 필요하면 덮개 \(\mathcal{U}'\)를 한 번 더 세분한 뒤, 다음을 만족하는 사상 \(r'_i : U'_i \to R'\)가 존재한다는 뜻이다. \(t' \circ r'_i = f \circ a_i\)이고 \(s' \circ r'_i = \text{id}_{U'} \circ g'_i\)이다. 도식은 \[\xymatrix{ U \ar[d]^f & & U'_i \ar[ll]^{a_i} \ar[ld]_{r'_i} \ar[d]^{g'_i} \\ U' & R' \ar[l]_{t'} \ar[r]^{s'} & U' }\] 이다. 따라서

\((a_i, r'_i) : U'_i \to U \times_{g, U', t'} R'\)는 \(h \circ (a_i, r'_i) = g'_i\)를 만족하는 사상이다. 그러므로 \(\{h : U \times_{g, U', t'} R' \to U'\}\)는 fppf 덮개 \(\mathcal{U}'\)로 세분될 수 있고, 이는 \(h\)가 층의 전사를 유도한다는 뜻이다. Topologies on Spaces, Lemma 0469를 보라.

\(\{h\}\)가 fppf 덮개이면 층의 전사를 유도한다. Topologies on Spaces, Lemma 0469를 보라.

\(U' \to U\)가 전사이면 \(h\)도 전사이다. 실제로 \(s\)가 단면, 즉 대수공간에서의 groupoid의 중립원 \(e\)를 가진다.

보조정리

Lemma 046Q에서와 같은 표기법과 가정을 사용하자. 다음 도식이 데카르트라고 가정하자. \[\xymatrix{ R \ar[d]_s \ar[r]_f & R' \ar[d]^{s'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 그러면 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_U \ar[d] \ar[r] & [U/R] \ar[d]^{[f]} \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/R'] }\] 은 \(2\)-섬유곱 정사각형이다.

증명

보조정리의 명제에 나온 (첫 번째) 데카르트 도식에 역동형사상 \(i : R \to R\)와 \(i' : R' \to R'\)를 적용하면 \[\xymatrix{ R \ar[d]_t \ar[r]_f & R' \ar[d]^{t'} \\ U \ar[r]^f & U' }\] 도 데카르트임을 안다. Lemma 04Y4에 의해 \(2\)-섬유 정사각형 \[\xymatrix{ [U''/R''] \ar[d] \ar[r] & [U/R] \ar[d] \\ \mathcal{S}_{U'} \ar[r] & [U'/R'] }\] 을 갖는다. 여기서 \(U'' = U \times_{f, U', t'} R'\)이고 \(R'' = R \times_{f \circ s, U', t'} R'\)이다. 위에서 \((t, f) : R \to U''\)가 동형사상이고 \[R'' = R \times_{f \circ s, U', t'} R' = R \times_{s, U} U \times_{f, U', t'} R' = R \times_{s, U, t} \times R.\] 임을 안다. 명시적으로 동형사상 \(R \times_{s, U, t} R \to R''\)은 규칙 \((r_0, r_1) \mapsto (r_0, f(r_1))\)로 주어진다. 더욱이 \(s'', t'', c''\)는 사상 \[R \times_{s, U, t} R \to R, \quad s''(r_0, r_1) = r_1, \quad t''(r_0, r_1) = c(r_0, r_1)\] 및 \[\begin{matrix} c'' : & (R \times_{s, U, t} R) \times_{s'', R, t''} (R \times_{s, U, t} R) & \longrightarrow & R \times_{s, U, t} R, \\ & ((r_0, r_1), (r_2, r_3)) & \longmapsto & (c(r_0, r_2), r_3). \end{matrix}\] 으로 옮겨진다. 동형사상 \[R \times_{s, U, s} R \longrightarrow R \times_{s, U, t} R, \quad (r_0, r_1) \longmapsto (c(r_0, i(r_1)), r_1)\] 을 앞에 합성하면 \(t''\)와 \(s''\)는 \(\text{pr}_0\)와 \(\text{pr}_1\)로, \(c''\)는 \(\text{pr}_{02} : R \times_{s, U, s} R \times_{s, U, s} R \to R \times_{s, U, s} R\)로 바뀐다. 따라서 동형사상 \([U''/R''] \cong [R/R \times_{s, U, s} R]\)가 존재함을 안다. 여기서 대수공간에서의 groupoid \((R, R \times_{s, U, s} R, s'', t'', c'')\)는 자명한 groupoid \((U, U, \text{id}, \text{id}, \text{id})\)를 \(s : R \to U\)를 통하여 제한한 것이다. \(s : R \to U\)는 오른쪽 역을 가지므로 fppf 층의 전사이고, 따라서 사상 \[[U''/R''] \cong [R/R \times_{s, U, s} R] \longrightarrow [U/U] = \mathcal{S}_U\] 은 Lemma 046T에 의해 동치이다. 이것으로 보조정리를 증명했다.

관성과 몫 스택

groupoid에서의 스택의 (상대적) 관성 스택은 Stacks, Section 036X에서 정의한다. 섬유화된 범주의 설정에서 실제 구성과 그 성질 몇 가지는 Categories, Section 04Z2에 있다.

보조정리

\(B \to S\)와 \((U, R, s, t, c)\)가 Definition 044Q (1)에서와 같다고 가정하자. \(G/U\)를 groupoid \((U, R, s, t, c, e, i)\)의 안정자 군 대수공간이라 하자. Definition 0448을 보라. \(R' = R \times_{s, U} G\)로 두고 다음과 같이 둔다.

1. \(s' : R' \to G\), \((r, g) \mapsto g\),

2. \(t' : R' \to G\), \((r, g) \mapsto c(r, c(g, i(r)))\),

3. \(c' : R' \times_{s', G, t'} R' \to R'\), \(((r_1, g_1), (r_2, g_2) \mapsto (c(r_1, r_2), g_1)\).

그러면 \((G, R', s', t', c')\)는 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid이고 \[\mathcal{I}_{[U/R]} = [G/ R'].\] 이다. 즉 연관된 몫 스택은 \([U/R]\)의 관성 스택이다.

증명

Stacks, Lemma 06NS에 의해 \(\mathcal{I}_{[U/_{\!p}R]} = [G/_{\!p} R']\)임을 증명하면 충분하다. \(T\)를 \(S\) 위 스킴이라 하자. \([U/_{\!p}R]\)의 관성 섬유화 범주에서 \(T\) 위의 대상은 쌍 \((x, g)\)로 주어짐을 상기하라. 여기서 \(x\)는 \([U/_{\!\!p}R]\)의 대상으로서 \(T\) 위에 있고, \(g\)는 \(x\)의 자기동형사상으로서 그 섬유 범주에서 \(T\) 위에 있다. 달리 말하면 \(x : T \to U\)와 \(g : T \to R\)이고 \(x = s \circ g = t \circ g\)를 만족한다. 이는 정확히 \(g : T \to G\)라는 뜻이다. 관성 섬유화 범주에서 \((x, g) \to (y, h)\)로 가는 \(T\) 위 사상은 \(r : T \to R\)로 주어지고, \(s(r) = x\), \(t(r) = y\), \(c(r, g) = c(h, r)\)를 만족한다. Categories, Lemma 034H의 가환 도식을 보라. 공식으로는 \[h = c(r, c(g, i(r))) = c(c(r, g), i(r)).\] 이다. 표기법 \(s(r)\) 등은 \(s \circ r\) 등의 약기이다. \(r_1 : (x_2, g_2) \to (x_1, g_1)\)과 \(r_2 : (x_1, g_1) \to (x_2, g_2)\)의 합성은

\(c(r_1, r_2) : (x_1, g_1) \to (x_3, g_3)\)이다.

위에서 대상을 나타낼 때 \(g\)라고 쓸 수도 있었다. 이는 \((x, g)\)를 대신하는 표기이다. 이 대상은 \(\mathcal{I}_{[U/_{\!p}R]}\)에서 \(T\) 위에 있다. 실제로 \(x\)는 \(g\)의 상이며, 그 사상은 \(G \to U\)이다. 그러면 사상 \(g \to h\)는 \(\mathcal{I}_{[U/_{\!p}R]}\)에서 \(T\) 위에 있고, 사상 \(r' : T \to R'\)와 정확히 대응한다. 이때 \(s'(r') = g\), \(t'(r') = h\)이다. 더욱이 합성은 (3)에서 설명한 규칙에 대응한다. 따라서 보조정리가 증명되었다.

보조정리

\(B \to S\)와 \((U, R, s, t, c)\)가 Definition 044Q (1)에서와 같다고 가정하자. \(G/U\)를 groupoid \((U, R, s, t, c, e, i)\)의 안정자 군 대수공간이라 하자. Definition 0448을 보라. 표준적인 \(2\)-데카르트 도식 \[\xymatrix{ \mathcal{S}_G \ar[r] \ar[d] & \mathcal{S}_U \ar[d] \\ \mathcal{I}_{[U/R]} \ar[r] & [U/R] }\] 이 존재하며, 이는 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 groupoid에서의 스택들의 도식이다.

증명

Lemma 04ZN에 의해 Lemma 06PB의 사상 \(s' : R' \to G\)가 \(s\)의 기저변환과 동형임을 증명하면 충분하다. 이 기저변환은 구조 사상 \(G \to U\)에 의해 취한다. 이 기저변환 성질은 \(s'\)의 구성에서 명백하다.

제르브와 몫 스택

이 절에서는 몫 스택을 Stacks, Section 06NY의 논의, 특히 Stacks, Definition 06P2에서 정의한 제르브와 관련짓는다. 이 절에 등장하는 groupoid에서의 스택들은 일반적으로 대수 스택이 아니다!

보조정리

Lemma 046Q에서와 같은 표기법과 가정을 사용하자. 몫 스택의 사상 \[[f] : [U/R] \longrightarrow [U'/R']\] 은 \([U/R]\)를 \([U'/R']\) 위 제르브로 만든다. 단, \(f : U \to U'\)와 \(R \to R'|_U\)가 fppf 층의 전사라고 가정한다. 여기서 \(R'|_U\)는 \(R'\)의 \(U\)로의 제한이며, \(f : U \to U'\)를 통하여 취한다.

증명

Stacks, Lemma 06P1의 성질 (2) (a)와 (2) (b)가 성립함을 확인하겠다. \(U \to U'\)가 층의 전사이므로 성질 (2)(a)가 성립한다(\([U'/R']\)의 대상들이 국소적으로 \(U'\)에서 옴을 보려면 Lemma 044X를 사용하라). (2)(b)를 증명하기 위해 \(x, y\)를 \([U/R]\)의 대상으로 하되 스킴 \(T/S\) 위에 잡자. \(x', y'\)를 \(x, y\)의 상이라 하되 범주는

\([U'/'R]_T\)라 하자. 조건 (2)(b)는 층의 사상 \[\mathit{Isom}(x, y) \longrightarrow \mathit{Isom}(x', y')\] 이 \((\Sch/T)_{fppf}\) 위에서 전사임을 확인하라고 요구한다. 이를 보이기 위해 \(T\) 위에서 fppf 국소적으로 작업할 수 있고,

그 대상들이 \(a, b \in U(T)\)에서 온다고 가정할 수 있다. 그 경우 \(x', y'\)는 \(f \circ a, f \circ b\)에 대응한다. Lemma 044V에 의해 이 경우 표시한 층의 사상은 \[T \times_{(a, b), U \times_B U} R \longrightarrow T \times_{f \circ a, f \circ b, U' \times_B U'} R' = T \times_{(a, b), U \times_B U} R'|_U.\] 이 된다. 따라서 \(R \to R'|_U\)가 fppf 층의 전사라는 가정은 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위에서 원하는 전사성을 함의한다.

보조정리

\(S\)를 스킴이라 하자. \(B\)를 \(S\) 위 대수공간이라 하자. \(G\)를 \(B\) 위 군 대수공간이라 하자. \(B\)에 \(G\)의 자명한 작용을 주자. 사상 \[[B/G] \longrightarrow \mathcal{S}_B\] (Lemma 044R)는 \([B/G]\)를 \(B\) 위 제르브로 만든다.

증명

사상 \(B \to B\)와 \(B \times_B G \to B\)가 층의 사상으로서 전사이므로 Lemma 06PE에서 바로 따른다.

몫 스택과 큰 자리의 변경

처음 읽을 때는 이 절을 건너뛰기를 권한다. 스택의 당김은 Stacks, Section 04WA에서 정의한다.

보조정리

큰 자리 \(\Sch_{fppf}\)와 \(\Sch'_{fppf}\)가 주어졌다고 하자. \(\Sch_{fppf}\)가 \(\Sch'_{fppf}\)에 포함된다고 가정하자. Topologies, Section 022I를 보라. \(S \in \Ob(\Sch_{fppf})\)라 하자. \(B, U, R \in \Sh((\Sch/S)_{fppf})\)를 대수공간이라 하고, \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(f : (\Sch'/S)_{fppf} \to (\Sch/S)_{fppf}\)를 포함 함자 \(u : \Sch_{fppf} \to \Sch'_{fppf}\)에 대응하는 자리의 사상이라 하자. 그러면 표준적인 동치 \[[f^{-1}U/f^{-1}R] \longrightarrow f^{-1}[U/R]\] 가 존재하며, 이는 \((\Sch'/S)_{fppf}\) 위 groupoid에서의 스택들의 동치이다.

증명

Spaces, Lemma 03FP에 의해 \(f^{-1}B, f^{-1}U, f^{-1}R \in \Sh((\Sch'/S)_{fppf})\)는 대수공간이다. 따라서 \((f^{-1}U, f^{-1}R, f^{-1}s, f^{-1}t, f^{-1}c)\)는 \(f^{-1}B\) 위 대수공간에서의 groupoid이다. 그러므로 명제는 의미가 있다.

범주 \(u_p[U/_{\!p}R]\)는 범주 \(u_{pp}[U/_{\!p}R]\)를 사상의 오른쪽 곱셈계 \(I\)에 관하여 국소화한 것이다. \(u_{pp}[U/_{\!p}R]\)의 대상은 삼중항 \[(T', \phi : T' \to T, x)\] 이다. 여기서 \(T' \in \Ob((\Sch'/S)_{fppf})\), \(T \in \Ob((\Sch/S)_{fppf})\)이고, \(\phi\)는 \(S\) 위 스킴의 사상이며 \(x : T \to U\)는 \((\Sch/S)_{fppf}\) 위 층의 사상이다. 스킴의 사상 \(\phi : T' \to T\)는 사상 \(\phi : T' \to u(T)\)와 같은 자료이다. 그리고 \(u(T)\)가 \(f^{-1}T\)를 표현하므로 이는 사상 \(T' \to f^{-1}T\)와 같은 자료이다. 더욱이 대수공간 위의 \(f^{-1}\)는 완전충실이므로 (Spaces, Lemma 04W1 참조) \(x\)를 사상 \(x : f^{-1}T \to f^{-1}U\)로 생각할 수도 있다. 이제부터는 이러한 동일시를 별도의 언급 없이 사용한다. 사상 \[(a, a', \alpha) : (T'_1, \phi_1 : T'_1 \to T_1, x_1) \longrightarrow (T'_2, \phi_2 : T'_2 \to T_2, x_2)\] 은 \(u_{pp}[U/_{\!p}R]\)에 속하며 가환 도식 \[\xymatrix{ & & U \\ T'_1 \ar[d]_{a'} \ar[r]_{\phi_1} & T_1 \ar[d]_a \ar[ru]^{x_1} \ar[r]_\alpha & R \ar[d]^t \ar[u]_s \\ T'_2 \ar[r]^{\phi_2} & T_2 \ar[r]^{x_2} & U }\] 이다. 이러한 사상이 \(I\)의 원소일 필요충분조건은 \(T'_1 = T'_2\)이고 \(a' = \text{id}\)인 것이다. 함자 \[u_{pp}[U/_{\!p}R] \longrightarrow [f^{-1}U/_{\!p}f^{-1}R]\] 를 대상 위에서 규칙 \[(T', \phi : T' \to T, x) \longmapsto (x \circ \phi : T' \to f^{-1}U)\] 으로, 위와 같은 사상 위에서 규칙 \[(a, a', \alpha) \longmapsto (\alpha \circ \phi_1 : T'_1 \to f^{-1}R)\] 으로 정의한다. \(I\)의 원소들이 동형사상으로 옮겨짐은 명백하다. 실제로 \((f^{-1}U, f^{-1}R, f^{-1}s, f^{-1}t, f^{-1}c)\)는 \(f^{-1}B\) 위 대수공간에서의 groupoid이다. 따라서 이 함자는 표준적으로 함자 \[u_p[U/_{\!p}R] \longrightarrow [f^{-1}U/_{\!p}f^{-1}R]\] 를 통하여 인수분해된다. 스택화를 적용하면 스택의 함자 \[f^{-1}[U/R] \longrightarrow [f^{-1}U/f^{-1}R]\] 를 얻으며, 이는 \((\Sch'/S)_{fppf}\) 위의 함자이다. 실제로 Stacks, Lemma 04WR에 의해 스택 \(f^{-1}[U/R]\)는 \(u_p[U/_{\!p}R]\)의 스택화이다.

이제 스택의 사상을 얻었으며, 이것이 동치임을 확인하려면 완전충실이고 대상들이 국소적으로 본질적 상에 있음을 보이면 충분하다. Stacks, Lemmas 04WQ와 046N를 보라. 대상들에 대한 명제는 \(f^{-1}R\)가 전사 에탈 사상 \(f^{-1}W \to f^{-1}R\)를 허용하므로 성립한다. 여기서 \(W\)는 어떤 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이다.

함자가 ‘충만’임을 보이려면 사상들이 국소적으로 함자의 상에 있음을 보이면 충분하다. 이는 \(f^{-1}U\)가 전사 에탈 사상 \(f^{-1}W \to f^{-1}U\)를 허용하므로 성립한다. 여기서 \(W\)는 어떤 \((\Sch/S)_{fppf}\)의 대상이다.

함자가 충실하다는 증명은 생략한다.

분리 조건

이는 실제로 사상 \(j : R \to U \times_B U\)에 대한 조건을 뜻한다. 이때 대수공간에서의 groupoid \((U, R, s, t, c)\)가 \(B\) 위에 주어져 있다. 앞 절에서와 같이 먼저 대응하는 도식을 정식화한다.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(G \to U\)를 안정자 군 대수공간이라 하자. 가환 도식 \[\xymatrix{ R \ar[d]^{\Delta_{R/U \times_B U}} \ar[rrr]_{f \mapsto (f, s(f))} & & & R \times_{s, U} U \ar[d] \ar[r] & U \ar[d] \\ R \times_{(U \times_B U)} R \ar[rrr]^{(f, g) \mapsto (f, f^{-1} \circ g)} & & & R \times_{s, U} G \ar[r] & G }\] 에서 왼쪽의 두 수평 화살표는 동형사상이고 오른쪽 정사각형은 섬유곱 정사각형이다.

증명

생략한다. 정의와 대수기하에서의 함자적 관점에 관한 연습문제이다.

보조정리

Section 043A에서와 같은 \(B \to S\)를 잡자. \((U, R, s, t, c)\)를 \(B\) 위 대수공간에서의 groupoid라 하자. \(G \to U\)를 안정자 군 대수공간이라 하자.

1. 다음은 동치이다.

   1. \(j : R \to U \times_B U\)는 분리 사상이다.

   2. \(G \to U\)는 분리 사상이다.

   3. \(e : U \to G\)는 닫힌 몰입이다.

2. 다음은 동치이다.

   1. \(j : R \to U \times_B U\)는 국소 분리 사상이다.

   2. \(G \to U\)는 국소 분리 사상이다.

   3. \(e : U \to G\)는 몰입이다.

3. 다음은 동치이다.

   1. \(j : R \to U \times_B U\)는 준분리 사상이다.

   2. \(G \to U\)는 준분리 사상이다.

   3. \(e : U \to G\)는 준콤팩트 사상이다.

증명

군 대수공간 \(G \to U\)는 \(R \to U \times_B U\)의 기저변환이다. 이 기저변환은 대각사상 \(U \to U \times_B U\)에 의해 취한다. Lemma 0447를 보라. 따라서 \(j\)가 분리 사상(각각 국소 분리 사상, 준분리 사상)이면 \(G \to U\)도 분리 사상(각각 국소 분리 사상, 준분리 사상)이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03KL를 보라. 따라서 (1), (2), (3)에서 (a) \(\Rightarrow\) (b)이다.

거꾸로 \(G \to U\)가 분리 사상(각각 국소 분리 사상, 준분리 사상)이면, 사상 \(e : U \to G\)는 구조 사상 \(G \to U\)의 단면이므로 닫힌 몰입(각각 몰입, 준콤팩트 사상)이다. Morphisms of Spaces, Lemma 03KP을 보라. 따라서 (1), (2), (3)에서 (b) \(\Rightarrow\) (c)이다.

\(e\)가 닫힌 몰입(각각 몰입, 준콤팩트 사상)이면 Lemma 0454의 결과(그리고 Spaces, Lemma 02YW와 Morphisms of Spaces, Lemma 03HF)에 의해 \(\Delta_{R/U \times_B U}\)가 닫힌 몰입(각각 몰입, 준콤팩트 사상)임을 안다. 따라서 (1), (2), (3)에서 (c) \(\Rightarrow\) (a)이다.